Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Lê Doãn Thịnh

Giới thiệu Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Lê Doãn Thịnh

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Lê Doãn Thịnh.

Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Lê Doãn Thịnh

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Lê Doãn Thịnh

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

y Điểm cực đại của đồ thị Giá trị cực đại (cực đại) của hàm số 1 TRUNG TÂM GDNN – GDTX THUẬN AN TỔ TOÁN yCĐ Điểm cực đại của hàm số Điểm cực tiểu của hàm số xCT xCĐ x O yCT Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số Điểm cực tiểu của đồ thị TOÁN TOÁN 12 LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT THUYẾT LÝ LÝ THUYẾT & & TRẮC NGHIỆM & TRẮC TRẮC NGHIỆM NGHIỆM Hữu chí cánh thành! LƯU HÀNH NỘI BỘ y BÌNH DƯƠNG – 2021 7 GV: Doãn Thịnh MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH 3 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT HÀM SỐ 5 1 SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 5 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 30 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 63 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 75 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 137 1 LŨY THỪA 137 2 HÀM SỐ LŨY THỪA 146 3 LOGARIT 157 4 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 167 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 187 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 208 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG 225 1 NGUYÊN HÀM 225 2 TÍCH PHÂN 255 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 282 CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC 303 1 SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 303 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC 326 1 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh MỤC LỤC PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN 341 343 1 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 343 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 347 3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 352 CHƯƠNG 2 MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU 401 1 KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 401 2 MẶT CẦU 420 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 437 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 437 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 469 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 496 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh PHẦN I GIẢI TÍCH 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG BÀI 1. 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K , ta có Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 thì f ( x1 ) < f ( x2 ). Hàm số y = f ( x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 thì f ( x1 ) > f ( x2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K . Nhận xét. Hàm số f ( x) đồng biến trên K khi và chỉ khi y f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0, ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 . x2 − x1 O x Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số f ( x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi y f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0, ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 . x2 − x1 x O Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. Nếu f 0 ( x) > 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b). Nếu f 0 ( x) < 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b). Nếu f 0 ( x) = 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f ( x) không đổi trên khoảng (a; b). Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b). Nếu hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0 ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b). Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Cho u = u( x), v = v( x) và C là hằng số. 1 Tổng, hiệu: ( u ± v)0 = u0 ± v0 . 2 Tích: ( uv)0 = u0 v + v0 u ⇒ (C · u)0 = C · uµ0 . ¶ ³ u ´0 u0 · v − v0 · u C 0 C · u0 3 Thương: = , ( v = 6 0) ⇒ = − . 2 2 v u v u 4 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f ( u) với u = u( x) thì yx0 = yu0 · u0x . 5 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC µ ¶ ax + b 0 ad − bc ax + b 0 = 1 y= ⇒y = . cx + d cx + d ( cx + d )2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯a b¯ ¯a ¯b c¯¯ ¯ ¯ 2 ¯ ¯ x + 2 x + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¶ µ 0 0¯ 0 0¯ 0 2 2 ¯ ¯ ¯b a b a c ax + bx + c ax + bx + c 0 2 y= 0 2 ⇒ y = = ¢2 ¡ a x + b0 x + c0 a0 x2 + b 0 x + c 0 a0 x2 + b 0 x + c 0 4 . BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 0 Hàm sơ cấp (C là hằng số) Hàm hợp ( C ) = 0, ( xα )0 = α · xα−1 µ ¶0 1 1 = − 2 , ( x 6= 0) x x p 0 1 ( x) = p , ( x > 0) 2 x 0 (sin x) = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tan x)0 = cos2 x 1 (cot x)0 = − 2 sin x (sinn x)0 = n · sinn−1 x · cos x (cosn x)0 = − n · cosn−1 x · sin x 1 (tann x)0 = n · tann−1 x · cos2 x 1 (cotn x)0 = − n · cotn−1 x · sin2 x x 0 x = e (e ) (a x )0 = a x · ln a 1 (ln | x|)0 = , ( x 6= 0) x ¡ ¢0 1 loga | x| = , ( x 6= 0) x ln a 5 ¯ c¯¯ ¯ c0 ¯ ( uα )0 = α · uα−1 · u0 µ ¶0 1 u0 = − 2 , ( u 6= 0) u u p 0 u0 ( u) = p , ( u > 0) 2 u 0 (sin u) = u0 · cos u (cos u)0 = − u0 · sin u u0 (tan u)0 = cos2 0u u (cot u)0 = − 2 sin u (sinn u)0 = n · u0 · sinn−1 u · cos u (cosn u)0 = − n · u0 · cosn−1 u · sin u 1 (tann u)0 = n · u0 · tann−1 u · cos2 u 1 (cotn u)0 = − n · u0 · cotn−1 u · sin2 u u 0 0 u = u · e (e ) (a u )0 = u0 · a u · ln a u0 0 (ln | u|) = , ( u 6= 0) u ¡ ¢0 u0 loga | u| = , ( u 6= 0) u · ln a MỘT SỐ CHÚ Ý Nếu hàm số f ( x) và g( x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f ( x) + g( x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f ( x) − g( x). Nếu hàm số f ( x) và g( x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f ( x) · g( x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f ( x), g( x) không là các hàm số dương trên K . 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ B CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm y0 = f 0 ( x). Bước 3: Tìm nghiệm của f 0 ( x) hoặc những giá trị x làm cho f 0 ( x) không xác định. Bước 4: Lập bảng biến thiên. Bước 5: Kết luận. u Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3 x2 + 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 1 3 u Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 4 x + 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 1 3 u Ví dụ 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3 x2 + 9 x − 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 2 x2 . 7 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4 x2 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 6. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3x + 1 . 1− x Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 7. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y = − x2 + 2 x − 1 . x+2 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… p u Ví dụ 8. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2 x − x2 . 8 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Tìm tham số m để hàm bậc ba, hàm nhất biến, hàm bậc hai trên bậc 1 đơn điệu trên tập xác định hoặc từng khoảng xác định 1 Hàm nhất biến có dạng y = d ax + b , điều kiện x 6= − . cx + d c Đồng biến ad − bc > 0. Nghịch biến ad − bc < 0. y = ax3 + bx2 + cx + d . 2 Hàm bậc ba có dạng ( Đồng biến Nghịch biến a>0 b2 − 3ac ≤ 0 ( a<0 . . b2 − 3ac ≤ 0 Suy biến tức là a = b = 0 hàm số trở thành hàm bậc nhất, dễ thấy hàm số đồng biến nếu c > 0 và hàm số nghịch biến nếu c < 0. u Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = mx − 1 đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). x−1 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 1 3 u Ví dụ 2. Cho hàm số y = (m + 1) x3 − (m − 3) x2 + (m + 5) x − 1. Tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên tập xác định. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 9 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ { Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu trên một khoảng (m; n) cx + d d c Bước 1: Điều kiện xác định x 6= − . Bước 2: Tính y0 = ad − bc . ( cx + d )2 Bước 3: Thực hiện yêu cầu bài toán:  ad − bc > 0 Hàm số đồng biến trên khoảng (m; n) ⇔ .  − d ∉ ( m; n) c  ad − bc < 0 Hàm số nghịch trên khoảng (m; n) ⇔ .  − d ∉ ( m; n) c u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x−1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). x−m Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = trên khoảng (0; +∞)? x+2 nghịch biến x−m Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 10 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ { Dạng 4. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) đơn điệu trên khoảng (a; b) Phương pháp 1 : Khi f 0 ( x) = 0 nhẩm được nghiệm. Bước 1: Tính f 0 ( x). " Bước 2: Giải f 0 ( x) = 0 ⇔ x = x1 x = x2 . Bước 3: Lập bảng biến thiên. Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện để hàm số đơn điệu trên (a; b). Phương pháp 2 : Khi f 0 ( x) = 0 không nhẩm được nghiệm. Bước 1: Tính f 0 ( x). Bước 2: Cô lập m, đưa về một trong các dạng sau: m ≥ g( x), ∀ x ∈ K ⇔ m ≥ max g( x). K m ≤ g( x), ∀ x ∈ K ⇔ m ≤ max g( x). K u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3 x2 − mx + 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Hàm số y = − x3 + 3 x2 − 1 đồng biến trên các khoảng: A. (−∞; 1). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. R. t Câu 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = − x3 + 3 x2 − 1 là A. (−∞; 1) và (2; +∞). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. R. 11 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ x+2 nghịch biến trên các khoảng x−1 A. (−∞; 1) ; (1; +∞). B. (1; +∞). C. (−1; +∞). 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 3. Hàm số y = D. R\ {1}. t Câu 4. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2 x3 − 3 x2 − 3 là A. (−∞; 0) ; (1; +∞). B. (0; 1). C. [−1; 1]. D. R\ {0; 1}. t Câu 5. Các khoảng đồng biến của hàm số y = − x3 + 3 x2 + 1 là A. (−∞; 0) ; (2; +∞). B. (0; 2). C. [0; 2]. D. R. t Câu 6. Hàm số y = x4 − 2 x2 + 3 nghịch biến trên khoảng nào? A. (−∞; −1). B. (−1; 0). C. (1; +∞). D. R. x3 t Câu 7. Hỏi hàm số y = − 3 x2 + 5 x − 2 nghịch biến trên khoảng nào? 3 A. (5; +∞). B. (2; 3). C. (−∞; 1). D. (1; 5). 12 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 5 t Câu 8. Hỏi hàm số y = x5 − 3 x4 + 4 x3 − 2 đồng biến trên khoảng nào? A. (−∞; 0). B. R. C. (0; 2). D. (2; +∞). t Câu 9. Cho hàm số y = x3 + 3 x2 − 9 x + 15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1). B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên (−9; −5). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞). x+1 . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 1− x Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). t Câu 10. Cho hàm số y = A. B. C. D. t Câu 11. Cho hàm số y = − x3 + 3 x2 − 3 x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞). 13 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ D. Hàm số luôn đồng biến trên R. p t Câu 12. Cho hàm số y = x + 3 + 2 2 − x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)và đồng biến trên khoảng (−2; 2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2)và nghịch biến trên khoảng (−2; 2). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; 2). x2 − 3 x + 5 nghịch biến trên các khoảng nào? x+1 A. (−∞; −4) và (2; +∞). B. (−4; 2). C. (−∞; −1) và (−1; +∞). D. (−4; −1) và (−1; 2). t Câu 13. Hỏi hàm số y = p t Câu 14. Cho hàm số y = 2 x2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). t Câu 15. Cho hàm số f ( x) = x3 − 3 x2 − 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). B. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (−∞; 0). 14 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞). t Câu 16. Cho hàm số f ( x) = − x4 + 2 x2 + 2020. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (0; 1). B. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (−1; 0). C. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (0; 1). D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). x+2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x−1 f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) ∪ (1; +∞). f ( x) nghịch biến trên khoảng R \ {1}. f ( x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1),(1; +∞). f ( x) nghịch biến với x 6= 1. t Câu 17. Cho hàm số f ( x) = A. B. C. D. Hàm số Hàm số Hàm số Hàm số t Câu 18. Cho hàm số y = x4 − 2 x2 + 4. Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và [0; 1]. C. Hàm số đồng biến trên [−1; 0] và [1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) ∪ (0; 1). 15 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 19. Hàm số y = A. (−∞; 0). 2 3 x2 + 1 7 GV: Doãn Thịnh nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? B. (−∞; +∞). C. (0; +∞). D. (−1; 1). 2 nghịch biến trên khoảng (0; +∞). +1 t Câu 20. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d . Hỏi hàm  R khi nào?  số luôn đồng biến trên a = b = 0,c > 0 ( . A.   a>0 2 b − 3ac ≤ 0 a = b = 0,c > 0 ( . C.   a<0 2 b − 3ac ≤ 0 a = b = 0,c > 0 ( . B.   a>0 2 b − 3ac ≥ 0 a=b=c=0 ( . D.   a<0 2 b − 3ac < 0 1 3 t Câu 21. Với giá trị nào của m thì hàm số y = − x3 + 2 x2 − mx + 2 nghịch biến trên tập xác định của nó? A. m ≥ 4. B. m ≤ 4. C. m > 4. D. m < 4. mx + 4 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là x+m B. −2 < m ≤ −1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. −2 ≤ m ≤ 1. t Câu 22. Giá trị của m để hàm số y = A. −2 < m < 2. 16 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ mx + 4 nghịch biến trên (−∞; 1) là x+m B. −2 < m ≤ −1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. −2 ≤ m ≤ 1. t Câu 23. Giá trị của m để hàm số y = A. −2 < m < 2. t Câu 24. Hàm số y = − x3 + mx2 − m đồng biến trên µ(1;2)¶ thì m thuộc tập nào µ sau ¶đây? A. [3; +∞). B. (−∞; 3). t Câu 25. Cho hàm số f ( x) = x + 2 + C. 3 ;3 . 2 D. −∞; 3 . 2 m , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của x−1 tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. A. m < 1. B. m ≤ 0. C. m ≥ 1. D. m ≥ 0. t Câu 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = các khoảng mà nó xác định? A. m < −3. B. m ≤ −3. C. m ≤ 1. x−m+2 giảm trên x+1 D. m < 1. 1 3 t Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = − x3 − mx2 + (2 m − 3) x − m + 2 luôn nghịch biến trên R? 17 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. −3 ≤ m ≤ 1. B. m ≤ 1. C. −3 < m < 1. D. m ≤ −3; m ≥ 1. t Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2 x3 − 3(m + 2) x2 + 6( m + 1) x − 3 m + 5 luôn đồng biến trên R? A. 0. B. –1 . C. 2. D. 1. t Câu 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y = biến trên R? A. m = −5. B. m = 0. C. m = −1. t Câu 30. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y = các khoảng xác định của nó? A. m = −1. B. m = −2. C. m = 0. x3 + mx2 − mx − m luôn đồng 3 D. m = −6. ( m + 3) x − 2 luôn nghịch biến trên x+m D. Không có m. t Câu 31. Hàm số y = − x3 + mx2 − m đồng biến trên µ(1; 2)¶thì m thuộc tập nào µ sau đây? ¶ A. [3; +∞). B. (−∞; 3). C. 18 3 ;3 . 2 D. −∞; 3 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 32. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3 x2 + (4 − m) x đồng biến trên khoảng (2; +∞) là A. (−∞; 1]. B. (−∞; 4]. C. (−∞; 1). D. (−∞; 4). t Câu 33. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = khoảng (−∞; −7) là A. [4; 7). B. (4; 7]. C. (4; 7). D. (4; +∞). t Câu 34. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = khoảng (−∞; −5) A. (2; 5]. B. [2; 5). C. (2; +∞). x+4 đồng biến trên x+m x+2 . đồng biến trên x+m D. (2; 5). mx + 4 nghịch biến trên (−∞; 1) là x+m B. −2 < m ≤ −1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. −2 ≤ m ≤ 1. t Câu 35. Giá trị của m để hàm số y = A. −2 < m < 2. 19 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = x3 · ( x − 1)2 · ( x + 2). Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; −2) và (0; +∞). B. (−2; 0). C. (−∞; −2) và (0; 1). D. (−2; 0) và (1; +∞). t Câu 37. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có f 0 ( x) = ( x + 1)2 · ( x − 1)3 · (2 − x). Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 2). B. (−∞; −1). C. (−1; 1). D. (2; +∞). t Câu 38. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ x −∞ 0 −1 f 0 ( x) − 0 + 0 +∞ 1 − + 0 Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1). B. (−1; 0). C. (−∞; −1). D. (−1; +∞). t Câu 39. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 ( x) 0 −1 + 0 2 − 0 +∞ 1 + 0 2 − f ( x) 1 −∞ 20 −∞ Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; +∞). B. (−1; 0). C. (−1; 1). D. (0; 1). t Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ − y +∞ 3 −2 0 + 0 +∞ − 0 4 y 1 −∞ Hàm số đồng biến trên khoảng? A. (−2; +∞). B. (−2; 3). C. (3; +∞). D. (−∞; −2). t Câu 41. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −2 0 f ( x) −1 + 3 1 − 0 1 + 5 f ( x) 0 −2 Khẳng định nào dưới đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; −1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). 21 B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 f ( x) +∞ 2 + + +∞ 1 f ( x) 1 −∞ Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên R \ {2}. B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). t Câu 43. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x 0 f ( x) −∞ 0 −1 + 0 − − Mệnh đề nào đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; −1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). +∞ 2 + 0 B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1). t Câu 44. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào? A. (0; 1). B. (−∞; 1). C. (−1; 1). D. (−1; 0). y 2 −1 1 O 2 3 x −2 22 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 45. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R \ {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −∞ y0 −1 +∞ 1 − − + 0 +∞ +∞ +∞ y 2 −∞ A. B. C. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞). Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). trên khoảng (−∞; −1) đạo hàm y0 < 0 nên hàm số nghịch biến. t Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x y0 −∞ − 0 +∞ 0 −2 + 0 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2; 0). B. (−3; 1). C. (0; +∞). − D. (−∞; −2). t Câu 47. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau 23 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ x −∞ y0 0 −1 + + 0 +∞ +∞ 1 − − +∞ 0 y 1 −∞ 1 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (−1; 1). C. (−1; 0). D. (1; +∞). t Câu 48. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 −3 + +∞ −2 + 0 0 − 5 y −∞ −∞ Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai? i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−3; −2). ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 5). iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −2). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x−2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x+1 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞). t Câu 49. Cho hàm số y = A. B. C. D. 24 Sưu tầm và biên soạn 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 50. Cho hàm số y = − x3 + 3 x2 + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). t Câu 51. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f 0 ( x) = 2 x2 + 4 − cos x, ∀ x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). t Câu 52. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = ( x − 2)( x + 5)( x + 1). Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (−2; 0). C. (0; 1). D. (−6; −1). t Câu 53. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) = x3 ( x − 1)2 ( x + 2). Khoảng nghịch biến của hàm số là A. (−∞; −2); (0; 1). B. (−2; 0); (1; +∞). C. (−∞; −2); (0; +∞). D. (−2; 0). 25 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ t Câu 54. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của f 0 ( x) như sau: x −∞ f 0 ( x) −3 − −1 + 0 0 +∞ 1 − 0 Hàm số y = f (5 − 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; 3) . B. (0; 2). C. (3; 5). + D. (5; +∞). t Câu 55. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của f 0 ( x) như sau: x −∞ f 0 ( x) −3 − −1 + 0 0 Hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4; +∞) . B. (−2; 1). C. (2; 4). +∞ 1 − 0 + D. (1; 2). t Câu 56. Cho hàm số y = f ( x). Hàm số y = f 0 ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (2; +∞). B. (−2; 1). C. (−∞; −2). D. (1; 3). ) nghịch biến trên (1; 4) và (−∞; −1) suy ra g( x) = f (− x) đó f (2 − x) đồng biến biến trên khoảng (−2; 1)và (3; +∞). ó f 0 ( x) < 0 ⇔ " x < −1 1 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 . y00 ( x0 ) < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x0 thức y00 ( x0 ) kiểm tra: u Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x) = x3 − 3 mx2 + (m − 1) x + 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Xác định m để hàm số y = − x4 − mx2 − 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 34 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ { Dạng 4. Tìm m để hàm số có n cực trị Hàm số có n cực trị ⇔ y0 = 0 có n nghiệm phân biệt. Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx +(d . + Hàm số có hai điểm cực trị khi + Hàm số không có cực trị khi a 6= 0 b2 − 3ac > 0 ( a 6= 0 . . b2 − 3ac ≤ 0 Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c. + Hàm số có ba cực trị khi ab < 0. + Hàm số có 1 cực trị khi ab ≥ 0. u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3 (7m − 3) x. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Tìm phần tử của S . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Điểm cực tiểu của hàm số y = − x3 + 3 x + 4 là A. x = −1 . B. x = 1 . C. x = −3 . 35 D. x = 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 2. Hàm số nào sau đây đạt cực đại tại x = 1? A. y = x5 − 5 x2 + 5 x − 13. B. y = x4 − 4 x + 3 . C. y = x + 1 . x p D. y = 2 x − x. t Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (2 m − 3) x − 3 đạt cực đại tại x = 1. A. m = 3. B. m > 3. C. m ≤ 3. D. m < 3. t Câu 4. Đồ thị hàm số y = x3 − 2 x2 + x + 3 có tọa độ điểm cực µ ¶ tiểu là A. (3; 1). B. (−1; −1). C. 1 85 ; . 3 27 D. (1; 3). t Câu 5. Hàm số y = x4 + 2( m − 2) x2 + m2 − 2m + 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là: A. m ≥ 2. B. m < 2. C. m > 2. D. m = 2. 1 3 t Câu 6. Cho hàm số y = − x3 + 4 x2 − 5 x − 17. Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là x1 ,x2 . Khi đó, tích số x1 x2 có giá trị là: A. 5. B. −5. C. −4. 36 D. 4. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 7. Cho hàm số y = 3 x4 − 4 x3 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. π t Câu 8. Hàm số y = a sin 2 x + b cos 3 x − 2 x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = ; x = π. Khi đó, giá trị 2 của biểu thức P = a + 3 b − 3ab là: A. 3. B. −1. C. 1. t Câu 9. Hàm số y = x3 − 3 x2 + mx − 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi? A. m > 0. B. m 6= 0 . C. m = 0. D. −3. D. m < 0.. t Câu 10. Đồ thị hàm số y = x3 − 6 x2 + 9 x − 1 có tọa độ điểm cực đại là: A. (3; 0). B. (1; 3). C. (1; 4). D. (3; 1). 37 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 11. Cho hàm số y = (m − 1) x3 − 3 x2 − (m + 1) x + 3m2 − m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì: A. m = 1. B. m 6= 1. C. m > 1. D. m tùy ý. t Câu 12. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x4 − 2 x2 + 5 là A. 5. B. 4. C. 0. D. 1. t Câu 13. Cho hàm số y = x3 − 6 x2 + 4 x − 7. Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là x1 ,x2 . Khi đó, giá trị của tổng x1 + x2 là: A. −6 . B. −4. C. 6. D. 4. t Câu 14. Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3 x2 + 4 là A. −4. B. −2. C. 2. D. 4. t Câu 15. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d . Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A (−1; −1) thì hàm số có phương trình là A. y = 2 x3 − 3 x2 . B. y = −2 x3 − 3 x2 . C. y = x3 + 3 x2 + 3 x. D. y = x3 − 3 x − 1. 38 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 3 t Câu 16. Cho hàm số y = x3 − 2 mx2 + (4 m − 1) x − 3. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 2 1 C. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m 6= . 2 A. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m < . B. Với mọi m, hàm số luôn có cực trị. D. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m > 1.. t Câu 17. Hàm số y = − x4 + 4 x2 + 3 có giá trị cực đại là: A. 2. B. 3. C. 0. D. 7. p t Câu 18. Điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 1 + 4 x − x4 có tọa độ là: A. (1; 2). B. (0; 1). C. (2; 3). D. (3; 4). t Câu 19. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 2 x2 + ax + b có điểm cực trị là A (1; 3). Khi đó giá trị của 4a − b là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 39 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 20. Cho hàm số y = x3 − 3 x2 − 2. Gọi a,blần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó. Giá trị của 2a2 + b là: A. −8. B. −2. C. 2. D. 4. t Câu 21. Cho hàm số y = x4 − 5 x2 + 3 đạt cực trị tại x1 ,x2 ,x3 . Khi đó, giá trị của tích x1 x2 x3 là A. 0. B. 5. C. 1. D. 3. t Câu 22. Hàm số y = x3 − 3 x + 1 đạt cực đại tại x bằng: A. 2. B. 1. C. 0. D. −1. t Câu 23. Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = − x4 + 2 x2 − 5 A. −4. B. −5. C. −2. D. −6. 1 3 t Câu 24. Hàm số y = x3 − 2 x2 + 4 x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị? 40 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. t Câu 25. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đúng 2 cực trị? A. y = x4 + 3 x2 + 2. B. y = x3 − 5 x2 + 7 . C. y = 2 x2 − 1 . 3x D. y = 2017 x6 + 2016 x4 . t Câu 26. Khẳng định nào là đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số trùng phương có thể có 2 điểm cực trị. B. Hàm số bậc 3 có thể có 3 cực trị. C. Hàm số trùng phương luôn có cực trị. D. Hàm phân thức không thể có cực trị. t Câu 27. Hàm số y = −4 x3 − 6 x2 − 3 x + 2 có mấy điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 0. x−1 có bao nhiêu điểm cực trị? 4x + 7 B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 28. Đồ thị hàm số y = A. 3. 41 D. 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 29. Hàm số nào sau đây có cực trị? A. y = x3 + 1. B. y = x4 + 3 x2 + 2. C. y = 3 x + 4. t Câu 30. Đồ thị hàm số y = x4 − 3 x2 + 5 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1 . B. 0. C. 2. D. y = 2x − 1 . 3x + 2 D. 3. t Câu 31. Cho hàm số y = −3 x4 + 4 x2 − 2017. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. B. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu . D. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. t Câu 32. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = x3 + 3 x2 . B. y = x3 − x. C. y = x4 − 3 x2 + 2 . 42 D. y = x3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 33. Hàm số nào dưới đây có cực trị? A. y = x4 + 1 . B. y = x3 + x2 + 2 x − 1. C. y = 2 x − 1 . D. y = x+1 . 2x − 1 t Câu 34. Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có 3 điểm cực trị là A. ab < 0. B. ab > 0. C. b = 0. D. c = 0. t Câu 35. Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị? A. y = x + 1 . x+1 B. y = x3 + 3 x2 + 7 x − 2 . C. y = − x4 − 2 x2 + 3 . D. y = x − 2 . x+1 t Câu 36. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = 2 x + 2 . x+1 B. y = x3 + 3 x2 . C. y = − x4 + 2 x2 + 3 . D. y = x+1 . x−2 t Câu 37. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là khẳng định sai? 43 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d,(a 6= 0) luôn có cực trị. B. Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c,(a 6= 0) luôn có ít nhất một điểm cực trị. ax + b ,(ad − bc 6= 0) luôn không có cực trị. cx + d D. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d,(a 6= 0) có nhiều nhất hai điểm cực trị. C. Hàm số y = t Câu 38. Cho hàm số y= x3 − 3 x2 + 2. Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số có cực đại, cực tiểu . B. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số có cực đại, không có cực tiểu. D. Hàm số có cực tiểu không có cực đại. t Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = mx4 − (m + 1) x2 + 2m − 1 có 3 điểm cực trị? ” A. m < −1 m>0 . B. m < −1. C. −1 < m < 0. D. m > −1. t Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3 − 2 x2 + (m + 3) x − 1 không có cực trị? 8 3 A. m ≥ − . 5 3 5 3 B. m > − . C. m ≥ − . 44 8 3 D. m ≤ − . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 t Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m + 1) x − 1 đạt 3 cực đại tại x = −2? A. Không tồn tại m. B. −1 . C. 2. D. 3. 1 3 t Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y = x3 + mx2 + (m + 6) x + m có cực đại và cực tiểu. ” A. −2 < m < 3 . B. m < −2 m>3 ” C. . m ≤ −2 m≥3 D. −2 ≤ m ≤ 3. . t Câu 43. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 2) x3 + 3 x2 + mx − 6 có 2 cực trị? A. m ∈ (−3; 1)\ {−2}. B. m ∈ (−3; 1). C. m ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞). D. m ∈ [−3; 1]. 1 3 t Câu 44. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + (m + 3) x2 + 4( m + 3) x + m3 − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 " m < −3 7 A. − < m < −2. B. −3 < m < 1. C. . 2 m>1 45 7 2 D. − < m < −3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 3 t Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + (m2 − m + 2) x2 + (3m2 + 1) x đạt" cực tiểu tại x = −2. m=3 A. m=1 " B. m = 3. . C. m = 1. D. m = −3 m = −1 . t Câu 46. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m − 1) x2 + m chỉ có đúng một cực trị. " " A. 0 < m ≤ 1. B. m<0 m≥1 C. . m≤0 m≥1 . D. 0 ≤ m ≤ 1. t Câu 47. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 − 4 m + 3) x2 + 2m − 1 có ba điểm cực trị. A. m ∈ (−∞; 0). B. m ∈ (0; 1) ∪ (3; +∞). C. m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; 3). D. m ∈ (1; 3). t Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 − 9) x2 + 10 có 3 điểm cực " trị. " A. 0 1. 3 chỉ có 2 D. −1 ≤ m < 0. t Câu 50. Hàm số y = x3 − 3 x2 + mx − 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi : A. m > 0. B. m = 0. C. m < 0. D. m 6= 0. 1 t Câu 51. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1) x + 1 đạt cực 3 đại tại x = 1. A. m = 2. B. m = 3. C. m = −1. D. m = 0. t Câu 52. Tìm tất cả các giá trị nào của tham số m để hàm số y = mx3 + x2 + (m2 − 6) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. A. m = 1. B. m = −4. C. m = −2. D. m = 2. 1 3 t Câu 53. Tìm tất cả các giá trị nào của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − 4) x + 3 đạt cực tiểu tại x = 3. A. m = 1. B. m = −1. C. m = 5. 47 D. m = −7. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3( m + 1) x2 + 6mx có hai "điểm cực trị A,B sao cho " đường thẳng AB vuông " góc với đường thẳng:" y = x + 2. A. m = −3 m=2 . B. m = −2 m=3 C. . m=0 m=2 . D. m=0 m = −3 t Câu 55. Gọi M,n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y = đó giá trị của biểu thức M 2 − 2 n bằng: A. 8. B. 7. C. 9. . x2 + 3 x + 3 . Khi x+2 D. 6. t Câu 56. Cho hàm số y = x3 + 17 x2 − 24 x + 8. Kết luận nào sau đây là đúng? A. xCD = 1. B. xCD = 2 . 3 C. xCD = −3 . D. xCD = −12. t Câu 57. Cho hàm số y = 3 x4 − 6 x2 + 1. Kết luận nào sau đây là đúng? A. yCD = −2. B. yCD = 1 . C. yCD = −1 . D. yCD = 2. 48 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3 2 t Câu 58. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x = ? p 1 2 p C. y = 4 x2 − 12 x − 8. A. y = x4 − x3 + x2 − 3 x. B. y = − x2 + 3 x − 2 . D. y = x−1 . x+2 t Câu 59. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? B. y = −17 x3 + 2 x2 + x + 5 . A. y = −10 x4 − 5 x2 + 7 . C. y = x−2 . x+1 D. y = x2 + x + 1 . x−1 3 x2 + 13 x + 19 t Câu 60. Cho hàm số y = . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm x+3 số có phương trình là: A. 5 x − 2 y + 13 = 0. B. y = 3 x + 13 . C. y = 6 x + 13. D. 2 x + 4 y − 1 = 0. p t Câu 61. Cho hàm số y = x2 − 2 x. Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . C. Hàm số đạt cực đại x = 2 . D. Hàm số không có cực trị. 49 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 62. Cho hàm số y = x7 − x5 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị. B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị . C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị. D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị. t Câu 63. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f 0 ( x) = ( x + 1)( x − 2)2 ( x − 3)3 ( x + 5)4 . Hỏi hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 1 t Câu 64. Cho hàm số y = ( x − 2 x) 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 . 2 C. Hàm số không có điểm cực trị. D. Hàm số có đúng 2 điểm cực trị. t Câu 65. Cho hàm số y = − x3 + 3 x2 + 6 x. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 ,x2 . Khi đó giá trị của biểu thức S = x12 + x22 bằng: A. −10. B. −8. C. 10. D. 8. 50 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 66. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + 1 có hai điểm cực trị A,B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là: A. y = x − 2. B. y = 2 x − 1 . C. y = −2 x + 1. D. y = − x + 2. 3 t Câu p 67. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị p hàm số y = x − 3 x là A. 4 5. B. 2. C. 2 5 . D. 4. t Câu 68. Đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 − 9 x + 1 có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB? A. M (0; −1). B. N (1; −10). C. P (1; 0). D. Q (−1; 10). t Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (2m − 1) x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 + 1. 3 2 A. m = . 3 4 1 2 B. m = . C. m = − . 1 4 D. m = . t Câu 70. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = (2 m − 1) x + m + 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 3 4 A. m = . 1 2 3 4 B. m = . C. m = − . 51 1 2 D. m = − . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 71. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + 1 có hai điểm cực trị A , B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y = 2 x − 1. B. y = −2 x + 1.. C. y = − x + 2.. D. y = x − 2. t Câu 72. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ y0 0 +∞ 1 − + 0 + +∞ 2 y −3 −∞ Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất không có giá trị lớn nhất. B. Hàm số có một điểm cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −3. t Câu 73. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? x −∞ y0 + +∞ 6 2 − 0 0 + +∞ 6 y 1 −∞ 52 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) ∪ (6; +∞). B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. t Câu 74. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? x x1 −∞ y0 − + x3 x2 0 + 0 x5 x4 − + +∞ −∞ +∞ + 0 y2 +∞ y y1 −∞ A. 4. y3 B. 2. C. 3. D. 5. t Câu 75. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? x −∞ y0 0 −2 + 0 − 0 +∞ 1 + 0 + +∞ f (−2) y −∞ A. 3. f (0) B. 1. C. 0. 53 D. 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 76. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. y O t Câu 77. Cho hàm số y = f ( x). Hàm số y = f 0 ( x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x). A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. x y O x t Câu 78. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 0 − +∞ 2 + 0 +∞ 0 − 3 y −1 −∞ Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 0. B. −1. C. 2. 54 D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 79. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −1 y0 − 0 + − 0 +∞ +∞ 1 0 + 0 +∞ −3 y −4 −4 Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. −4. B. 0. C. 1. D. −3. t Câu 80. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −1 y0 + 0 − +∞ 1 0 + 0 2 − 0 2 y 1 −∞ Số điểm cực trị của hàm số đã cho A. 3. B. 2. −∞ C. 1. D. 4. t Câu 81. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −3 + 0 −2 − − 0 +∞ −2 +∞ −1 + +∞ y −∞ −∞ 55 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 2. B. −3. C. −1. D. −2. t Câu 82. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x 4 3 1 y0 + +∞ 2 − 0 + 0 +∞ 4 27 y 0 0 Hàm số đạt cực đại tại A. 4 . 27 B. 4 . 3 C. 2. D. 0. t Câu 83. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu x y0 Hàm số đạt cực tiểu tại A. x = −1. −∞ 0 −1 + 0 − B. x = 0. 0 C. x = 1. 56 +∞ 1 + 0 − D. x = 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 84. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 0 +∞ 1 − + 0 + +∞ 0 y −1 −∞ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1. D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. t Câu 85. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên đoạn [−2; 2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x = −2. B. x = −1. C. x = 1. D. x = 2. 4y 2 −2 −1 O −2 1 2x −4 t Câu 86. Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. y O 57 x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 87. Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. y O t Câu 88. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. y 2 −1 O t Câu 89. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. x 1 x y −1O −1 1 x −2 58 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 90. Hàm số y = f ( x) có đồ thị hàm số f 0 ( x) trên khoảng K như hình bên. Hỏi hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. y −1 O t Câu 91. Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm f 0 ( x). Biết rằng hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f 0 ( x). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x = −1. B. Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x = −2. C. Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x = −1. D. Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x = −2. 2 x 1 x y 4 2 −2 −1 O t Câu 92. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x f 0 ( x) −∞ −1 − 0 + Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. 59 + C. 3. +∞ 3 1 0 − D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 93. Cho hàm số y = f ( x) đồ thị của hàm số y = f 0 ( x) như hình vẽ bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. f (0). B. f (1). C. f (2). D. f (−1). y 2 −1O 1 x −2 t Câu 94. Cho hàm số y = f ( x) có có đồ thị của hàm số y = f 0 ( x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. y −4 O 1 2 x t Câu 95. Cho hàm số bậc bốn¡ y = f ( x¢) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g( x) = f x3 + 3 x2 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. 60 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ t Câu 96. Cho hàm số y = f ( x), bảng biến thiên của hàm số f 0 ( x) như sau: Số điểm cực trị của hàm số g( x) = f x2 − 2 x là A. 9. B. 3. ¡ ¢ C. 7. D. 5. t Câu 97. Cho hàm số y = f ( x), bảng biến thiên của hàm số f 0 ( x) như sau: Số điểm cực trị của hàm số g( x) = f 4 x2 + 4 x là A. 5. B. 9. C. 7. ¡ ¢ D. 3. t Câu 98. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R, có đồ thị f 0 ( x) như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số g( x) = f (− x2 + x) là A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. 61 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 62 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA 1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu f ( x) ≤ M, ∀ x ∈ D ( ∃ x0 ∈ D , f ( x0 ) = M. Kí hiệu: M = max f ( x). x∈D 2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu ( f ( x) ≥ m, ∀ x ∈ D ∃ x0 ∈ D , f ( x0 ) = m. Kí hiệu: m = min f ( x). x∈D 2 PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp Tính f 0 ( x) và tìm các điểm x1 , x2 , . . ., xn ∈ D mà tại đó f 0 ( x) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm. Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Hàm số đã cho y = f ( x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b]. Tìm các điểm x1 , x2 , . . ., xn trên khoảng (a; b), tại đó f 0 ( x) = 0 hoặc f 0 ( x) không xác định. Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), . . ., f ( xn ), f (b). Khi đó – max f ( x) = max{ f ( x1 ), f ( x2 ), . . . , f ( xn ), f (a), f (b)}. x∈[a;b] – min f ( x) = min{ f ( x1 ), f ( x2 ), . . . , f ( xn ), f (a), f (b)}. x∈[a;b] 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng Tính đạo hàm f 0 ( x). Tìm tất cả các nghiệm x i ∈ (a; b) của phương trình f 0 ( x) = 0 và tất cả các điểm α i ∈ (a; b) làm cho f 0 ( x) không xác định. Tính A = lim f ( x), B = lim− f ( x), f ( x i ), f (α i ). x→ a+ x→ b So sánh các giá trị và kết luận M = max f ( x), m = min f ( x). x∈(a;b) x∈(a;b) Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 63 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Nếu y = f ( x) đồng biến trên [a; b] thì min f ( x) = f (a) và max f ( x) = f (b). x∈[a;b] Nếu y = f ( x) nghịch biến trên [a; b] thì min f ( x) = f (b) và max f ( x) = f (a). ! B x∈[a;b] x∈[a;b] x∈[a;b] Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, ... CÁC DẠNG TOÁN u Ví dụ 3. Cho hàm số y = x2 + 6 x − 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 5]. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ x u Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2 trên đoạn x − x+1 [0; 3]. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trên đoạn [−1; 2], hàm số y = x3 + 3 x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2. B. x = 0. C. x = −1. D. x = 1. t Câu 2. Trên đoạn [0; 3], hàm số y = x3 − 3 x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 1. B. x = 0. C. x = 3. D. x = 2. 64 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 3. Trênđoạn [0; 3], hàm số y = − x3 + 3 x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0. B. x = 3. C. x = 1. D. x = 2. t Câu 4. Trên đoạn [−2; 1], hàm số y = x3 − 3 x2 − 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = −2. B. x = 0. C. x = −1. D. x = 1. t Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [−1; 3] và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 3]. Giá trị của M − m là A. 2. B. 4. C. 6. D. 5. y 2 1 x −1 O 1 2 3 −2 −3 −4 t Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3 x + 4 trên đoạn [0; 2]. A. min y = 2. B. min y = 0. C. min y = 1. D. min y = 4. [0;2] [0;2] [0;2] 65 [0;2] Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 8 x2 + 18 trên đoạn [−1; 3] bằng A. 2. B. 11. C. 27. D. 1. t Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3 x + 5 trên đoạn [0; 2] là A. min y = 0. B. min y = 3. C. min y = 5. D. min y = 7. [0;] [0;2] [0;2] [0;2] t Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x3 − 3 x2 − 9 x + 35 trên đoạn [−4; 4] là A. min f ( x) = −50. B. min f ( x) = 0. C. min f ( x) = −41. D. min f ( x) = 15. [−4;4] [−4;4] [−4;4] [−4;4] t Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x3 − 8 x2 + 16 x − 9 trên đoạn [1; 3] là A. max f ( x) = 0. [1;3] B. max f ( x) = [1;3] 13 . 27 C. max f ( x) = −6. [1; 3] 66 D. max f ( x) = 5. [1; 3] Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x4 − 2 x2 + 1 trên đoạn [0; 2] là A. max f ( x) = 64. B. max f ( x) = 1 . C. max f ( x) = 0. D. max f ( x) = 9. [0; 2] [0; 2] [0; 2] [0; 2] t Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x( x + 2)( x + 4)( x + 6) + 5 trên nữa khoảng [−4; +∞) là A. min y = −8. B. min y = −11. C. min y = −17. D. min y = −9. [−4;+∞) [−4;+∞) [−4;+∞) t Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. min y = −3. [0; 3] 1 2 x−1 trên đoạn [0; 3] là x+1 B. min y = . [0; 3] C. min y = −1. [0; 3] t Câu 14. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + A. min y = 6. [2; 4] B. min y = [2; 4] 13 . 2 (1;+∞) D. min y = 1. [0; 3] 9 trên đoạn [2; 4] là x C. min y = −6. [2; 4] t Câu 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = A. min y = −1. [−4;+∞) D. min y = [2; 4] 25 . 4 x2 − x + 1 trên khoảng (1; ∞) là x−1 B. min y = 3. C. min y = 5. (1;+∞) (1;+∞) 67 D. min y = (2;+∞) −7 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. max y = −1. B. max y = 1. R x∈R x2 − 8 x + 7 là x2 + 1 C. max y = 9. D. max y = 10. x∈R R p t Câu 17. Giá p trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 5 − 4 x trên đoạn [−1; 1] là B. m ax y = 1 và min y = −3 . A. m ax y = 5 và min y = 0. [−1;1] [−1;1] [−1;1] C. max y = 3 và min y = 1. [−1;1] [−1;1] p D. m ax y = 0 và min y = − 5. [−1;1] [−1;1] [−1;1] 1 3 t Câu 18. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 2 x2 + 3 x − 4 trên đoạn [1; 5] là A. 8 . 3 B. 10 . 3 t Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. 1 . 4 B. 2. C. −4. x−1 trên đoạn [0; 2] là x+2 1 C. − . 2 68 D. − 10 . 3 D. 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT x2 − 3 . Khẳng định nào sau đây đúng về giá trị lớn nhất và nhỏ x−2 nhất của hàm số trên đoạn [3; 4]: 3 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng . 2 B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. t Câu 20. Cho hàm số y = C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 6. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 13 và giá trị nhỏ nhất bằng 6. 2 1 x t Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 x2 + − 2 trên đoạn [−1; 2] bằng 29 . B. 1. C. 3. A. 2 giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ n hàm số không có D. Không tồn tại. t Câu 22. Hàm số y = x2 + 2 x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] lần lượt là y1 ; y2 . Khi đó tích y1 .y2 bằng: A. 5. B. −1. C. 4. D. 1. 1 3 5 2 t Câu 23. Hàm số y = x3 − x2 + 6 x + 1 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1; 3] tại điểm có hoành độ lần lượt là x1 ; x2 . Khi đó tổng x1 + x2 bằng A. 2. B. 5. C. 4. 69 D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT p t Câu 24. Hàm số y = 4 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x. Giá trị của x là A. x = 3. B. x = 0 hoặc x = 2. C. x = 0. D. x = −2 hoặc x = 2. t Câu 25. Hàm số y = ( x − 1)2 + ( x + 3)2 có giá trị nhỏ nhất bằng: A. 3. B. −1. C. 10. x−1 t Câu 26. Hàm số y = p x2 + 2 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−3; 0] lần lượt tại x1 ; x2 . Khi đó x1 .x2 bằng A. 2. B. 0. t Câu 27. Hàm số y = lượt làp A. 2 − 1; 0. p D. 8. C. 6. D. p 2. x2 + 1 + x2 có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−1; 1] lần B. p 2 + 1; 0. C. 1; −1. 70 D. 1; 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4 3 t Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x − sin3 x trên [0; π] là A. m ax y = 2. [0;π] 2 B. m ax y = . [0;π] 3 C. m ax y = 0. [0;π] p 2 2 D. m ax y = . [0;π] 3 h πi p t Câu 29. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2 x + 4 sin x trên đoạn 0; là 2 p p p A. min y = 4 − 2. B. min y = 2 2. C. min y = 2. D. min y = 0. π π π π [0; ] [0; ] [0; ] [0; ] 2 2 2 2 h π πi là t Câu 30. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 5 cos x − cos 5 x với x ∈ − ; p p 4 4 A. min y = 4. B. min y = 3 2. C. min y = 3 3. D. min y = −1. −π π −π π −π π −π π [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] 4 4 4 4 4 4 4 4 h π πi t Câu 31. Hàm số y = s inx + 1 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn − ; bằng 2 2 π A. 2. B. . C. 0. D. 1. 2 t Câu 32. Hàm số y = cos 2 x − 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] bằng A. −4. B. −3. C. −2. D. 0. 71 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT h t Câu 33. Hàm số y = tan x + x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; bằng A. 0. B. π 4 π C. 1 + . . 4 πi 4 tại điểm có hoành độ D. 1. t Câu 34. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng A. 64 cm2. B. 4 cm2. C. 16 cm2. D. 8 cm2. t Câu 35. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2 , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhấtpbằng p p B. 4 3cm. C. 24 cm. D. 8 3cm. A. 16 3cm. t Câu 36. Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = 6 t2 − t3 , vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng A. 2 (s). B. 12 (s). C. 6 (s). D. 4 (s). 72 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 37. Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)? A. a2 p . 6 3 B. a2 . 9 C. 2 a2 . 9 D. a2 p . 3 3 t Câu 38. Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P ( n) = 480 − 20 n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất? A. 12. B. 24. C. 6. D. 32. t Câu 39. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G ( x) = 0.025 x2 (30 − x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất bằng A. 100 mg. B. 20 mg. C. 30 mg. D. 0 mg. t Câu 40. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f ( t) = 45 t2 − t3 , t = 0,1,2,…,25. Nếu coi f ( t) là hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì đạo hàm f 0 ( t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất? A. Ngày thứ 19. B. Ngày thứ 5. C. Ngày thứ 16. D. Ngày thứ 15. 73 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT t Câu 41. Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y = 2 sin2 x + 2 sin x − 1 là A. M = −1; m = −3 . 2 B. M = 3; m = −1. C. M = 3; m = −3 . 2 3 2 D. M = ; m = −3. t Câu 42. Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 cos 2 x + 2 sin x là 9 4 A. M = ; m = −4. 9 4 B. M = 4; m = 0. C. M = 0; m = − . 9 4 D. M = 4; m = − . p t Câu 43. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x + 3) − x2 − 2 x + 3 là A. 2. B. 1. C. 0. p D. 3. p t Câu 44. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 2 + 4 − x là A. –2. B. 2. C. 3. 74 D. –3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x) = y0 . x→+∞ lim f ( x) = y0 . y M f ( xM ) H x→−∞ xM O 2 y = y0 x ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG y Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) = +∞, lim− f ( x) = −∞, lim+ f ( x) = −∞, lim− f ( x) = +∞. x→ x0+ x→ x0 x → x0 x→ x0 f ( xM ) H O M xM x x = x0 ax + b ( c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có cx + d a Tiệm cận ngang là đường thẳng y = . c d Tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . c Với đồ thị hàm phân thức dạng y = ! 75 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ B CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận của hàm phân thức Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc (−∞; +∞). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f ( x) = y0 ; lim = y0 . x→+∞ x→−∞ Nếu có ít nhất một trong các giới hạn sau xảy ra thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f ( x). lim f ( x) = +∞ lim f ( x) = −∞ x→ x0− x→ x0+ lim f ( x) = +∞ lim f ( x) = −∞ x→ x0− x→ x0+ u Ví dụ 1. Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x − 2 . 2x − 1 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = x+1 x2 − 3 x + 2 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Đọc phương trình đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số từ bảng biến thiên 1 Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) quan sát khi x dần tiến về +∞ hoặc −∞ thì y tiến đến một giá trị y0 . Khi đó, ta khẳng định y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x). 2 Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) quan sát khi x tiến đến x0 từ phía bên phải ( x → x0+ ) hoặc x tiến đến x0 từ phía bên trái ( x → x0− ) thấy y tiến đến −∞ hoặc +∞ ta khẳng định x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x). 76 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ u Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau. x −∞ 0 +∞ 1 − y − +∞ −1 y −1 −∞ Tìm tiệm cận đứng và tìm cận ngang của đồ thị hàm số? Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 +∞ −1 + + +∞ −2 y −2 −∞ Tìm tiệm cận đứng và tìm cận ngang của đồ thị hàm số? Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… C TRẮC NGHIỆM 2x − 3 t Câu 1. Đồ thị hàm số y = có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt x−1 là A. x = 1 và y = −3. B. x = 2 và y = 1. C. x = 1 và y = 2. D. x = −1 và y = 2. 77 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 1 − 3x t Câu 2. Đồ thị hàm số y = có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt x+2 là A. x = −2 và y = −3. B. x = −2 và y = 1. C. x = −2 và y = 3. D. x = 2 và y = 1. t Câu 3. Đồ thị hàm số y = là 2x − 3 x2 − 3 x + 2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt A. x = 1,x = 2 và y = 0. C. x = 1 và y = 0. B. x = 1,x = 2 và y = 2. D. x = 1,x = 2 và y = −3. t Câu 4. Đồ thị hàm số y = là A. x = 3 và y = −3. B. x = 3 và y = 0. t Câu 5. Đồ thị hàm số y = là A. y = 2 và x = 0. 1 − 3 x2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt x2 − 6 x + 9 C. x = 3 và y = 1. D. y = 3 và x = −3. 3 x2 + x + 2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt x3 − 8 B. x = 2 và y = 0 . C. x = 2 và y = 3. 78 D. y = 2 và x = 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 6. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 4. B. 1. C. 0. t Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 1. B. 3. B. 2. 1 là 3x + 2 D. 2. x+1 là x2 − 4 C. 1. t Câu 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 4. D. 2. C. 4. t Câu 8. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 4. 1− x là 3 + 2x B. 3. x x2 − 3 x − 4 D. 3. + x là C. 2. D. 5. x+2 khẳng định nào sau đây là sai: x−3 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3. Hàm số nghịch biến trên R\ {3} . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là I (3; 1). t Câu 10. Cho hàm số y = A. B. C. D. 79 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 11. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận? A. y = 1 − 2x . 1+ x B. y = t Câu 12. Cho hàm số y = A. B. C. D. 1 . 4 − x2 x − 9 x4 2 (3 x2 − 3) C. y = x+3 . 5x − 1 D. y = x x2 − x + 9 . . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang y = −3. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang y = −1. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang. t Câu 13. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận p đứng: A. y = 3x − 1 . x2 + 1 B. y = −1 . x C. y = x+3 . x+2 D. y = t Câu 14. Đồ thị hàm số nào sau p đây không có tiệm cận ngang: A. y = 2x − 3 . x+1 B. y = x4 + 3 x2 + 7 . 2x − 1 80 C. y = 3 . x2 − 1 D. y = 1 x2 − 2 x + 1 . 3 + 1. x−2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 3x − 1 có đường tiệm cận ngang là 3x + 2 B. x = 1. C. y = 3. t Câu 15. Đồ thị hàm số y = A. x = 3. t Câu 16. Đồ thị hàm số y = A. 1. 2x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x+2 B. 2. C. 3. t Câu 17. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0. B. 1. t Câu 18. Cho hàm số y = A. B. C. D. Khi Khi Khi Khi 2x − 1 x2 − 3 x + 2 C. 2. D. y = 1 . D. 0. là D. 3. mx + 9 có đồ thị (C ). Kết luận nào sau đây đúng ? x+m m = 3 thì (C ) không có đường tiệm cận đứng. m = −3 thì (C ) không có đường tiệm cận đứng. m 6= ±3 thì (C ) có tiệm cận đứng x = − m, tiệm cận ngang y = m. m = 0 thì (C ) không có tiệm cận ngang. 81 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ x+3 t Câu 19. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = p A. y = ±1. B. x = 1. C. y = 1. t Câu 20. Với giá trị nào của m thì đồ thị (C): y = p M (−1; 2)?p 2 A. m = . 2 D. y = −1. mx − 1 có tiệm cận đứng đi qua điểm 2x + m 1 2 B. m = 0. x2 + 1 C. m = . D. m = 2. mx + n có đồ thị (C). Biết tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm x−1 A (−1; 2) đồng thời điểm I (2; 1) thuộc (C). Khi đó giá trị của m + n là A. m + n = −1. B. m + n = 1. C. m + n = −3. D. m + n = 3. t Câu 21. Cho hàm số y = p t Câu 22. Số tiệm cận của hàm số y = p A. 2. B. 4. x2 + 1 − x x2 − 9 − 4 là C. 3. 82 D. 1. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 23. Giá trị của m để đồ thị hàm số y = A. m = 0; m = ±1. B. m = −1. p t Câu 24. Số tiệm cận của hàm số y = A. 3. B. 2. p 3 x2 + 1 + x3 + 3 x2 + 1 là x−1 t Câu 25. Xác định m để đồ thị hàm số y = A. m = −2. B. m = 2. C. 1. A. m < − 13 . 12 D. 4. x2 − (2 m + 3) x + 2( m − 1) không có tiệm cận đứng. x−2 C. m = 3. D. m = 1. t Câu 26. Xác định m để đồ thị hàm số y = đứng. x−m không có tiệm cận đứng là mx − 1 C. m = ±1. D. m = 1. 3 4 x2 + 2(2 m + 3) x + m2 − 1 3 2 B. −1 < m < 1. C. m > − . t Câu 27. Xác định m để đồ thị hàm số y = đứng. 83 có đúng hai tiệm cận D. m > − 13 . 12 x−1 có đúng hai tiệm cận x2 + 2( m − 1) x + m2 − 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 3 2 A. m < ; m 6= 1; m 6= −3. 3 2 B. m > − ; m 6= 1. 3 2 3 2 D. m < . C. m > − . x+3 t Câu 28. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = p A. 2. B. 0. C. 1. x2 + 1 là p 1 − x2 t Câu 29. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x−2 A. 0. B. 1. C. 3. D. 3. D. 3. p t Câu 30. Đồ thị hàm số y = x − x2 − 4 x + 2 có tiệm cậnpngang là A. y = 2. B. y = −2. C. y = 2. t Câu 31. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0. B. 1. x2 + x − 2 là x+2 C. 2. 84 D. x = −2. D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 32. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0. B. 1. x2 + x − 2 ( x + 2)2 là C. 2. D. 3. p t Câu 33. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 1. B. 0. t Câu 34. Cho hàm số y = x2 − 2 là x−1 C. 3. D. 2. x+2 (C ). Có tất cả bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng x−3 cách từ M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng. A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. x+2 có đường tiệm cận đứng là x = a và đường tiệm cận ngang 3x + 9 là y = b. Giá trị của số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn m ≥ a + b là A. 0. B. −3. C. −1. D. −2. t Câu 35. Đồ thị hàm số y = 85 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 36. Cho hàm số y = 2x − 3 (C ). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ x−2 M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là A. 5. B. 10. C. 6. D. 2. t Câu 37. Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào sau đây: A. y = x−1 . x+1 B. y = 3− x . x−1 C. y = x+2 . x−1 4 D. y = x−2 . x−1 y 3 2 1 −2 −1O −1 1 2 3 4x −2 x2 + x + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? −5 x2 − 2 x + 3 B. 3. C. 2. D. 1. t Câu 38. Đồ thị hàm số y = A. 4. x2 − 3 x + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x2 − 1 B. 1. C. 0. D. 2. t Câu 39. Đồ thị hàm số y = A. 3. 86 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ t Câu 40. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0. B. 2. C. 1. 2x − 1 . x2 + 1 D. 3. p 5 x2 + x + 1 t Câu 41. Đồ thị hàm số y = p có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm 2x − 1 − x cận ngang? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. t Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới. Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x) có bao nhiêu đường tiệm cận? x −∞ y 0 −1 − + 1 0 +∞ +∞ 1 + +∞ 3 y0 −2 −∞ A. 3. B. 4. C. 2. x+2 t Câu 43. Đồ thị hàm số y = p A. 2. B. 3. −∞ 9 − x2 D. 1. có bao nhiêu đường tiệm cận? C. 0. 87 D. 1. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ p − x2 + 2 x là t Câu 44. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x−1 A. 1. B. 2. C. 0. t Câu 45. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = p A. 1. B. 2. C. 4. x x2 + 1 D. 3. là D. 3. p x+ x t Câu 46. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = p . x2 − 1 bằng A. 2. B. 3. C. 4. p t Câu 47. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 0. B. 3. C. 1. 88 D. 1. x+3−2 là x2 − 1 D. 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ p x2 + x + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x B. 3. C. 1. D. 2. t Câu 48. Đồ thị hàm số y = A. 0. p t Câu 49. Đồ thị hàm số y = đứng? A. 1. x−1+1 x2 − 4 x − 5 có tổng số bao nhiêu đường tiệm cận ngang và B. 2. C. 4. D. 3. t Câu 50. Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình bên. Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4. B. Không có tiệm cận. C. 2. D. 3. y O x t Câu 51. 89 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ y Cho đồ thị có hình vẽ như hình dưới đây Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị của hàm số nào? A. y = 2x + 1 . x−1 B. y = x−3 . x−1 C. y = x−1 . x+1 D. y = x+1 . x−1 1 O x 1 t Câu 52. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R \ {0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 y +∞ 1 − + +∞ − 0 2 y0 −1 −∞ −∞ Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 53. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R \ {−1; 1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 − y 0 −1 − − − +∞ −2 +∞ 1 +∞ y −1 −∞ −∞ 2 Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và x = −1. B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 0. 90 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = −2 và một tiệm cận ngang y = 1.. D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = −2 và y = 2. t Câu 54. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R \ {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau x −∞ y +∞ 1 − + 0 +∞ 10 y0 2 Số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. −3 C. 0. D. 3. 2x + 1 tại một điểm duy x−1 nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; kí hiệu ( x0 ; y0 ) là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 . A. y0 = −1. B. y0 = 5. C. y0 = 1. D. y0 = 2. t Câu 55. Giả sử đường thẳng (d ) : x = a, (a > 0) cắt đồ thị hàm số y = 2x − 3 (C ). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C ), d là tổng khoảng cách từ x−2 M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C ). Giá trị nhỏ nhất của d là A. 5. B. 10. C. 6. D. 2. t Câu 56. Cho hàm số y = 91 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 92 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HÀM SỐ BẬC BA Y = A X 3 + BX 2 + C X + D ( A 6= 0) Tập xác định D = R. Tính y0 và cho y0 = 0 ( y0 = 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm). Tính các giới hạn lim f ( x), lim f ( x). x→+∞ x→−∞ Lập bảng biến thiên – Nếu y0 = 0 có hai nghiệm thì dấu của y0 là “Trong trái ngoài cùng”. – Nếu y0 = 0 có nghiệm kép thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại trừ tại nghiệm kép). – Nếu y0 = 0 vô nghiệm thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a”. Kết luận – Tính chất đơn điệu của hàm số. – Cực trị của hàm số. Tính y00 và cho y00 = 0. Suy ra điểm uốn. Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị. Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. y0 = 0 a>0 a<0 y y Có 2 nghiệm O x O y x y Có nghiệm kép O x O y x y Vô nghiệm O x O 93 x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Y = A X 4 + BX 2 + C ( A 6= 0) Tập xác định D = R. Tính y0 và cho y0 = 0 ( y0 = 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0). Tính các giới hạn lim f ( x), lim f ( x). x→+∞ x→−∞ Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y0 luôn luôn cùng dấu với a” Kết luận – Tính chất đơn điệu của hàm số. – Cực trị của hàm số. Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị. Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. y0 = 0 a>0 a<0 y y Có 3 nghiệm O O x y x y Có 1 nghiệm O O 3 HÀM SỐ NHẤT BIẾN Y = x x AX + B (C 6= 0, AD − BC 6= 0) CX + D ½ ¾ d Tập xác định D = R \ − . c ad − bc 0 0 Tính y = ( y hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀ x ∈ D) ( cx + d )2 Đường tiệm cận: – Tiệm cận đứng là đường thẳng x = − d vì c lim ³ ´+ x→ − dc y = . . . và lim ´− ³ x→ − dc y = . . .. a a vì lim y = . x→±∞ c c a Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y → . c – Tiệm cận ngang là đường thẳng y = “Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang” Kết luận – Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. – Hàm số không có cực trị. Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ. Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 94 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ad − bc > 0 ad − bc < 0 y y O 4 x O x ĐỒ THỊ (C 0 ) : Y = F (| X |) Từ đồ thị (C ) : y =(f ( x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y = f (| x|). f ( x) khi x ≥ 0 Ta có y = f (| x|) = f (− x) khi x < 0 và y = f (| x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C 0 ) nhận O y làm trục đối xứng. ä Cách vẽ (C 0 ) từ (C ): Giữ nguyên phần đồ thị bên phải O y của đồ thị (C ) : y = f ( x). Bỏ phần đồ thị bên trái O y của (C ), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua O y. y 4 y 4 O O −1 1 3 x −3 (C ) : y = x3 − 6 x + 9 x 5 1 3 x (C 0 ) : y = | x|3 − 6 x2 + 9| x| ĐỒ THỊ (C 0 ) : Y = |F ( X )| Từ đồ thị (C ) : y =(f ( x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y = | f ( x)|. f ( x) khi x ≥ 0 Ta có y = | f ( x)| = − f ( x) khi x < 0. 0 ä Cách vẽ (C ) từ (C ): Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C ) : y = f ( x). Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C ), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. y 2 y O −2 2 1 x O −3 −2 −1 −2 95 1 x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C ) : y = x3 + 3 x2 − 2 ! ¯ ¯ ( C 0 ) : y = ¯ x 3 + 3 x 2 − 2¯ Với dạng y = | f (| x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (| x|) và y = | f ( x)|. 6 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ), hãy suy ra đồ thị (C 0 ) của hàm số. STT 1 2 3 4 ĐỒ THỊ y = f (− x ) y = − f ( x) y = f (| x | ) y = | f ( x)| CÁCH VẼ Lấy đối xứng (C ) qua trục O y. Lấy đối xứng (C ) qua trục Ox. Giữ nguyên phần đồ thị bên phải O y. Bỏ phần đồ thị bên trái O y của (C ), lấy đối xứng đồ thị được giữ qua O y. Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C ). Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C ), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (| x|) và y = | f ( x )| . 5 y = | f (| x|)| 6 y = | u( x)| · v( x) với (C ) : y = u( x) · v( x) 7 8 9 10 11 12 y = f ( x) + p , p > 0 y = f ( x) − p , p > 0 y = f ( x + q), q > 0 y = f ( x − q), q > 0 y = f ( kx), k > 1 Tịnh tiến đồ thị (C ) lên trên p đơn vị. Tịnh tiến đồ thị (C ) xuống dưới p đơn vị. Tịnh tiến đồ thị (C ) sang trái q đơn vị. Tịnh tiến đồ thị (C ) sang phải q đơn vị. Co đồ thị (C ) theo chiều ngang hệ số k. y = f ( kx), 0 < k < 1 Giãn đồ thị (C ) theo chiều ngang hệ số 13 14 y = k f ( x), k > 1 Giãn đồ thị (C ) theo chiều dọc hệ số k. y = k f ( x), 0 < k < 1 Co đồ thị (C ) theo chiều dọc hệ số Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u( x) ≥ 0 của đồ thị (C ). Bỏ phần đồ thị trên miền u( x) < 0 của (C ), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 96 1 . k 1 . k Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 15 y = | f ( x )| + m 16 y = | f ( x + m )| 17 y = | f (| x | + m )| 18 y = | f (| x + m | )| 7 GV: Doãn Thịnh Vẽ đồ thị y = | f ( x)|. Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn vị. Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = | f ( x )| . Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = f (| x|). Vẽ đồ thị y = | f ( x)|. Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. TIẾP TUYẾN Cho hàm số y = f ( x), có đồ thị (C ). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) có dạng y = f 0 ( x0 )( x − x0 ) + y0 Trong đó điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) được gọi là tiếp điểm với y0 = f ( x0 ) và k = f 0 ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến. 8 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C1 ) và y = g( x) có đồ thị (C2 ). Phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C2 ) là f ( x) = g( x) (1). Khi đó 1 Số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) bằng số nghiệm của phương trình (1). 2 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm . 3 Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f ( x) hoặc y = g( x). 4 Điểm M ( x0 ; y0 ) là giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). B CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số thường gặp u Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x4 − x2 + 2. Lời giải: 97 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 3 x2 + 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x+1 . x−2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 98 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ { Dạng 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có x0 = a. Thế x = a vào phương trình y = f ( x) tìm được y0 . Tính f 0 ( x) từ đó tính f 0 ( x0 ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ). 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số b. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y0 = b. Thế y = b vào phương trình y = f ( x) từ đó tìm được x0 . Tính f 0 ( x), từ đó tính được f 0 ( x0 ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ). u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 + 3 x2 có đồ thị (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm M (1; 4). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x+2 tại điểm có tung 2x − 1 độ bằng 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 99 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh { Dạng 3. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f 0 ( x0 ) = k. Giải phương trình này ta tìm được x0 . Thế x0 vào phương trình y = f ( x) tìm được y0 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ). u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 có đồ thị (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0 ( x0 ) = a. Giải phương trình này tìm được x0 . Thế x0 vào phương trình y = f ( x) tìm được y0 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ). ! Nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án. u Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + x2 − 2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −36 x + 5. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 100 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ { Dạng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. 1 a Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0 ( x0 ) = − . Giải phương trình này tìm được x0 . Thế x0 vào phương trình y = f ( x) tìm được y0 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ). u Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = vuông góc với đường thẳng y = −6 x + 1. 2x − 2 biết tiếp tuyến x+2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM ============= ĐỒ THỊ HÀM SỐ =============== t Câu 1. Đường cong hình bên là đồ thị của một trong các hàm số sau, hỏi đó là hàm số nào? A. y = − x4 + 3 x2 + 1. B. y = x3 − 3 x2 + 1. 4 2 C. y = x + 3 x + 1. D. y = x4 − 3 x2 + 1. t Câu 2. Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau? A. y = x3 + 3 x2 − 1. B. y = x3 − 3 x + 2. 3 2 C. y = x − 3 x + 2. D. y = − x3 + 3 x2 − 1. 101 x y0 −∞ + 0 0 2 y − 2 0 +∞ + +∞ y −∞ x O −2 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 3. Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên dưới? A. y = x3 + 3 x. B. y = x3 − 3 x2 . 3 C. y = x − 3 x. D. y = x3 + 3 x2 . 7 GV: Doãn Thịnh y 1 O −1 1 2 3 x −2 −3 −4 t Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = 2 x4 − x2 − 1. B. y = − x4 + x2 − 1. 3 2 C. y = x − x − 1. D. y = −3 x3 + x2 − 1. t Câu 5. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong số bốn hàm số sau đây? A. y = x3 − 3 x2 + 2. B. y = − x4 + 2 x2 + 2. 3 2 C. y = −2 x + 3 x − 1. D. y = x4 − 2 x2 − 2. 102 y x O y O x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 6. Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. y = x+1 . x−1 C. y = x3 − 3 x + 2. 4 B. y = − x4 + 2 x2 − 1. 3 x−1 . x+1 2 D. y = y 1 −2 −1O −1 1 2 3 4x 1 2x −2 t Câu 7. Đường cong hình dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y = x3 − 3 x2 + 2. C. y = x4 − 2 x2 − 1. y 4 x+1 . x−1 x−1 D. y = . x+1 B. y = 3 2 1 −4 −3 −2 −1O −1 −2 t Câu 8. Biết rằng bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của một hàm số trong các hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 2x + 5 A. y = . x+2 x+1 C. y = . x−2 x−3 B. y = . x−2 2x − 1 D. y = . x+2 103 x y0 −∞ +∞ 2 − − +∞ 1 y −∞ 1 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 9. Bảng biến thiên ở hình dưới là của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hãy tìm hàm số đó. −2 x − 3 . x−1 2x − 3 C. y = . x+1 A. y = −x + 1 . x−2 2x + 3 D. y = . x−1 B. y = x y0 −∞ +∞ −1 + +∞ + 2 y t Câu 10. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây? A. y = x3 + 2 x2 − x − 1. B. y = − x4 + 2 x2 . 4 2 C. y = x − 2 x . D. y = − x2 + 2 x. 2 −∞ y 1 −2 −1 O −1 1 2 x −2 t Câu 11. Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? 1 3 C. y = 2 x3 + 3 x + 2. A. y = x3 − x2 − 2. y B. y = x3 − 3 x2 + 3. D. y = −3 x3 + 2 x2 + 2. O x t Câu 12. 104 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y Hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. y = x3 − 3 x2 + 1. B. y = − x4 + 2 x2 + 1. C. y = x+2 . x+1 D. y = x−1 . x+1 x O t Câu 13. Biết rằng đồ thị cho ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của một trong 4 hàm số cho trong 4 phương án A , B, C , D . Đó là hàm số nào? A. y = 2 x3 + 9 x2 − 11 x + 3. B. y = x3 − 4 x2 + 3 x + 3. C. y = 2 x3 − 6 x2 + 4 x + 3. D. y = x3 − 5 x2 + 4 x + 3. 5 y 4 3 2 1 −1O −1 t Câu 14. Đồ thị hình dưới đây là của hàm số nào? −x + 2 . x+1 −x + 1 C. y = . x+1 A. y = 1 2 2 −x . x+1 −2 x + 1 D. y = . 2x + 1 B. y = 3 4x 1 2x y 1 −4 −3 −2 −1O −1 −2 −3 −4 t Câu 15. 105 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ 2x − 5 A. y = . x−2 2x − 3 C. y = . x+2 2x − 1 B. y = . x−2 x+3 D. y = . x−2 x y0 −∞ +∞ 2 − − +∞ 2 y 2 −∞ t Câu 16. Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số nào? A. y = − x4 − 4 x2 + 1. B. y = x3 + 3 x + 1. C. y = − x3 + 3 x − 1. D. y = x3 − 3 x + 1. y x O t Câu 17. Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào? A. y = x4 + 2 x2 − 3. B. y = x4 − 2 x2 − 3. 4 2 C. y = − x − 2 x + 3. D. y = − x4 + 2 x2 + 3. 1 −3 −2 −1O −1 y 1 2 3x −2 −3 −4 −5 t Câu 18. 106 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ A. y = x3 − 3 x2 + 2. B. y = x3 − 3 x2 − 2. 3 2 C. y = − x + 3 x − 1. D. y = x3 + 3 x2 − 1. x y0 −∞ + 0 0 2 +∞ 2 0 − + +∞ y −2 −∞ t Câu 19. ax − 1 Xác định a, b, c để hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn bx + c đáp án đúng? A. a = 2, b = 1, c = −1. B. a = 2, b = 1, c = 1. C. a = 2, b = 2, c = −1. D. a = 2, b = −1, c = 1. 5 y 4 3 2 1 −2 −1O −1 1 2 3 4x 1 2 3x t Câu 20. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. y = − x4 + 4 x2 . B. y = 3 x4 − x2 + 1. C. y = 2 x4 + x2 . D. y = x2 . 4 y 3 2 1 −3 −2 −1O −1 t Câu 21. 107 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = − x3 + 3 x2 + 2. B. y = x3 − 3 x2 + 1. 3 2 C. y = x − 3 x + 2. D. y = x3 + 3 x2 + 2. 3 y 2 1 −2 −1O −1 1 2 3 4x −2 −3 t Câu 22. Bảng biến thiên sau là của hàm số nào? A. y = x4 − 2 x2 + 1. B. y = − x4 + 2 x2 − 1. C. y = x4 − 2 x2 − 1. D. y = x4 − x2 − 1. x y0 y −∞ − −1 0 + +∞ 0 0 −1 − 1 0 +∞ + +∞ −2 −2 t Câu 23. x y0 Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? A. y = − x3 + 6 x − 2. B. y = −3 x3 + 9 x2 − 2. C. y = 2 x3 − 3 x2 + 2 x − 2. D. y = −2 x3 + 6 x2 − 2. y −∞ − 0 0 +∞ −2 + 2 0 6 +∞ − −∞ t Câu 24. 108 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ax − b Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề x−1 nào dưới đây đúng? A. b < 0 < a. B. a < b < 0. C. a < 0; b < 0. D. 0 < b < a. 7 GV: Doãn Thịnh 4 y 3 2 1 −2 −1O −1 1 2 3 4x −2 t Câu 25. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên. A. y = x2 + 3. B. y = − x2 + 3. C. y = − x4 − 2 x2 + 3. D. y = − x4 + 3. y 3 O t Câu 26. Hàm số trùng phương nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên. A. y = x4 + 2 x2 − 4. B. y = x4 − 2 x2 − 4. 4 2 C. y = x + 2 x + 4. D. y = − x4 − 2 x2 − 4. x y O 109 1 x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 27. y Đường cong bên dưới là đồ thị của hàm số nhất biến nào dưới đây? x−4 . x−1 x+2 C. y = . x+3 x+4 . x+1 −2 x + 4 D. y = . x+3 A. y = B. y = O x t Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên. Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ( x)? x −∞ 0 − y 0 −1 0 + +∞ 0 +∞ 1 − + 0 +∞ 5 y 3 −3 y O A. y x O B. . 110 x . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y O C. y x O D. . t Câu 29. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a,b,c,d ∈ R) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng: A. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. B. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0. C. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. D. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0. x . y x O t Câu 30. Cho hàm số y = x3 + bx2 + d (b,d ∈ R) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. b < 0, d > 0. B. b > 0, d > 0. C. b = 0, d > 0. D. b > 0,d = 0. y O 111 x Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 31. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a,b,c,d ∈ R) có đồ thị như hình vẽ bên. ( Mệnh đề nào sau đây đúng? ( A. C. b2 − 3ac > 0 ac > 0 ( b2 − 3ac < 0 ac = 0 . B. . D. b2 − 3ac < 0 ac > 0 ( b2 − 3ac > 0 ac = 0 y . . x O t Câu 32. Cho hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn mệnh đề đúng. A. a > 0, b > 0, c > 0. B. a < 0, b < 0, c < 0. C. a < 0, b > 0, c > 0. D. a < 0, b < 0, c > 0. y O x phương ⇒ a < 0. có tung độ dương ⇒ c > 0. t Câu 33. 112 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = ax + b (a,b,c,d ∈ R) có đồ thị như hình vẽ bên. cx + d Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. C. a > 0, b > 0, c < 0, d > 0. y B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0. D. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0. x O t Câu 34. Cho hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có đồ thị (C ) như hình vẽ bên. Biết rằng AB = BC = CD . Chọn mệnh đề đúng. A. 9 b2 = 100ac. B. b2 = 100ac. C. b2 = ac. D. a = b = c. y C B A t Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Đồ thị nào dưới đây là đồ thị hàm số y = f (| x|)? Dx O y O y y O O A. x x x B. . 113 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y y x O x O C. D. . . t Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = | f ( x)|? y O y A. O y x B. . x O . y y x O C. O x x D. . . ==============TIẾP TUYẾN ============== t Câu 37. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 tại điểm A (3; 1) là 114 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. y = −9 x − 26. B. y = 9 x − 26. C. y = −9 x − 3. 7 GV: Doãn Thịnh D. y = 9 x − 2. t Câu 38. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 − 4 x2 + 1 tại điểm B(1; −2) là A. y = 4 x + 6. B. y = 4 x + 2. C. y = −4 x + 6. D. y = −4 x + 2. x−1 tại điểm C (−2; 3) là x+1 C. y = 2 x + 7. D. y = −2 x − 1. t Câu 39. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. y = 2 x + 1. B. y = −2 x + 7. t Câu 40. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x3 + 3 x − 2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương trình là A. y = −9 x + 14. B. y = 9 x + 14. C. y = −9 x + 22. D. y = 9 x + 22. t Câu 41. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x4 + 8 x2 tại điểm E có hoành độ bằng –3 có phương trình là A. y = 60 x + 171. B. y = −60 x + 171. C. y = 60 x + 189. D. y = −60 x + 189. 115 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x − 1 tại điểm F có hoành độ bằng 2 có phương t Câu 42. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x−1 trình là A. y = − x + 5. B. y = x + 5. C. y = − x − 1. D. y = x − 1. t Câu 43. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 x3 + 3 x2 tại điểm G có tung độ bằng 5 có phương trình là A. y = 12 x − 7. B. y = −12 x − 7. C. y = 12 x + 17. D. y = −12 x + 17. t Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2 x2 − 3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương " trình là " " " A. y = 40 x − 101 y = −40 x − 59 . B. y = 40 x − 59 y = −40 x − 101 C. . y = 40 x + 59 y = −40 x + 101 . D. y = −40 x − 59 y = 40 x + 101 . x+2 t Câu 45. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương 2x − 1 trình là 1 8 1 2 1 8 1 2 A. y = x + . B. y = − x − . C. y = − x + . D. y = x − . 5 5 5 5 5 116 5 5 5 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 46. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 − 2 có hệ số góc k = −3 có phương trình là A. y = −3 x − 7. B. y = −3 x + 7. C. y = −3 x + 1. D. y = −3 x − 1. 1 t Câu 47. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x4 + 2 x2 có hệ số góc bằng −48 có phương trình 4 là A. y = −48 x + 192. B. y = −48 x + 160. C. y = −48 x − 160. D. y = −48 x − 192. t Câu 48. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = góc bằng " 4. A. y = 4x − 3 y = 4 x + 13 " . B. y = 4x − 3 y = 4 x − 13 " C. . y = 4x + 3 y = 4 x + 13 x+3 biết tiếp tuyến có hệ số 1− x " . D. y = 4x + 3 y = 4 x − 13 . t Câu 49. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x3 + 2 x2 song song với đường thẳng y = x? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 117 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 50. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −36 x + 5 của đồ thị hàm số y = x4 + x2 − 2 có phương trình là A. y = −36 x − 54. B. y = −36 x + 54. C. y = −36 x − 90. D. y = −36 x + 90. −x + 5 có đồ thị là (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) sao cho x+2 1 5 tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = − x + . 7 7   1 5 5 1 y = −7 x + 7 y = −7 x + −7 1 23 1 23  A.  . B. . C. y = − x − . D. y = − x + .   1 1 23 23 7 7 7 7 y=− x− y=− x+ 7 7 7 7 t Câu 51. Cho hàm y = t Câu 52. Cho hàm y = 2 x3 − 3 x − 1 có đồ thị là (C ). Tiếp tuyến của đồ thị (C ) vuông góc với đườngthẳng x + 21 y − 2 = 0 có phương trình là:  1  y = 21 x − 33 . A.   1 x + 31 y= 21 " B. y = −21 x − 33 y = −21 x + 31 " C. . y = 21 x − 33 y = 21 x + 31 . −1  y = 21 x − 33 . D.   −1 x + 31 y= 21 t Câu 53. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x4 − 2 x2 + 3 vuông góc với đường thẳng x − 8 y + 2017 = 0 có phương trình là 1 8 A. y = − x + 8. B. y = 8 x + 8. C. y = −8 x + 8. 118 1 8 D. y = x − 8. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x − 2 biết tiếp tuyến vuông góc với x+2   1 1 1 1 y = −6 x + 3 y = 6 x + 3 C.  . D.  .   13 1 1 y = − x−1 y= x+ 6 6 3 t Câu 54. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = đường thẳng y = −6 x + 1 là 1 6 1 3 A. y = x + . 1 6 B. y = x − 1. t Câu 55. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 − 4 x2 tại giao điểm của đồ thị với trục Ox? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. t Câu 56. Cho hàm số y = − x3 + 3 x − 2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C ) với trục hoành có phương trình là " " A. y = −9 x − 18. B. y=0 y = −9 x − 18 C. y = −9 x + 18. . t Câu 57. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = trục hoành. Khi đó, phương trình của đường thẳng d là 1 4 5 4 A. y = x − . 1 4 5 4 1 4 B. y = − x − . y=0 y = −9 x + 18 . x−5 tại giao điểm A của (C) và −x + 1 5 4 C. y = x + . 119 D. 1 4 5 4 D. y = − x + . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 58. Tại giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = 2 x3 − 6 x + 1 và trục Oy ta lập được tiếp tuyến có phương trình là A. y = 6 x − 1. B. y = −6 x − 1. C. y = 6 x + 1. D. y = −6 x + 1. 1 4 t Câu 59. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = − x4 + 3 x2 − 2 tại giao điểm M của (C) " với trục tung là A. y = −2 y=2 " B. y = 2. . C. y = −2. t Câu 60. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = tung. Khi đó, phương trình của đường thẳng d là 7 9 1 3 A. y = x − . 7 9 1 3 y = −2 y=0 . 2x + 1 tại giao điểm A của (C ) và trục x−3 7 9 B. y = − x + . D. 1 3 C. y = − x − . 7 9 1 3 D. y = x + . x3 t Câu 61. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y = − 2 x2 + 3 x + 1 song song với đường thẳng 3 y = 3 x + 2016 có phương trình là     2 2 2 y = 3x − 8 y = 3x − y = 3x − y = 3x +     3. 3. 3. A. B. C. D. 2. y = 3 x + y = 3x − 8 y = 3x + 8 y = 3x + 8 3 120 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 62. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = A. song song với đường thẳng x = 1. C. có hệ số góc dương. x3 − 2 x2 + 3 x − 5 sẽ 3 B. song song với trục hoành. D. có hệ số góc bằng . 2x t Câu 63. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 3 x−1 là A. x − 2 y − 7 = 0. B. x + y − 8 = 0. C. 2 x − y − 9 = 0. D. x + 2 y − 9 = 0. t Câu 64. Cho đường cong (C ) : y = x3 − 3 x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm thuộc (C )và có hoành độ x0 = −1. A. y = −9 x + 5. B. y = 9 x + 5. C. y = 9 x − 5. D. y = −9 x − 5. t Câu 65. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3 x3 − x2 − 7 x + 1 tại điểm A (0; 1) là A. y = x + 1. B. y = −7 x + 1. C. y = 1. D. y = 0. t Câu 66. Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 có đồ thị (C ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 5 là 121 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. y = −45 x + 276. B. y = −45 x + 174. C. y = 45 x + 276. 7 GV: Doãn Thịnh D. y = 45 x − 174. t Câu 67. Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 6 x + 1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là A. y = −3 x + 2. B. y = 3 x + 2. C. y = −3 x + 8. D. y = 3 x + 8. t Câu 68. Cho hàm số y = − x3 + 6 x2 + 3 x − 1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là A. y = 15 x + 55. B. y = −15 x − 5. C. y = 15 x − 5. D. y = −15 x + 55. t Câu 69. Cho hàm số y = x3 + x + 1 có đồ thị (C ). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số luôn đồng biến trên R. B. Trên (C) tồn tại hai điểm A ( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc. C. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là y = 4 x − 1. D. Đồ thị (C ) chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 122 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 70. Đường thẳng y = ax − b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + 2 x2 − x + 2 tại điểm M (1; 0). Khi đó ta có A. ab = 36. B. ab = −6. C. ab = −36. D. ab = −5. t Câu 71. Cho hàm số y = x3 − x2 + 2 x + 5 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 4 . 3 D. 5 . 3 ============= TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ ============= t Câu 72. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = − x4 + 2 x2 − 1 với trục Ox là A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. t Câu 73. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x + 3)( x2 + 3 x + 2) với trục Ox là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. t Câu 74. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x2 + x − 12 và trục Oxlà A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. 123 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh 2x − 1 tại các điểm có tọa độ là x+1 C. (0; −1); (2; 1). D. (1; 2). t Câu 75. Đường thẳng y = x − 1 cắt đồ thị hàm số y = A. (0; 2). B. (−1; 0); (2; 1) . 2x − 1 cắt đường thẳng d : y = 2 x − 3 tại các điểm có tọa độ là x+1 1 3 1 B. (2; 1); (− ; −4) . C. (−1; −5); ( ; 0). D. ( ; −2). 2 2 2 t Câu 76. Đồ thị (C ) : y = 1 2 A. (2; −1); (− ; −2). t Câu 77. Đồ thị hàm số y = 2 x4 + x3 + x2 cắt trục hoành tại mấy điểm? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. t Câu 78. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x2 + 1 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = x − 1. Số giao điểm của (C ) và d là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 124 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh x2 − 4 x + 3 t Câu 79. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = và trục hoành là x+2 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. t Câu 80. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x2 − 3 x + 2) và trục hoành là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. x2 − 2 x − 3 và đường thẳng (d ) : y = x + 1 là t Câu 81. Giao điểm giữa đồ thị (C ) : y = x−1 A. A (2; −1). B. A (0; −1). C. A (−1; 2). D. A (−1; 0). t Câu 82. Cho hàm số y = x4 − 4 x2 − 2 có đồ thị (C ) và đồ thị (P ): y = 1 − x2 . Số giao điểm của (P ) và đồ thị (C ) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2x − 1 t Câu 83. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = 2 x − 3. Số giao điểm của x+1 (C ) và d là A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. 125 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 84. Tọa độ giao điểm giữa đồ thị (C ) : y = A. A (−1; −3); B(3; 1). C. A (−1; −3); B(0; −2). 7 GV: Doãn Thịnh 2x − 1 và đường thẳng d : y = x − 2 là x+2 B. A (1; −1); B(0; −2) . D. A (1; −1); B(3; 1). 2x − 1 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = 2 x − 3. Đường thằng d cắt x+1 (C ) tại hai điểm A và B. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là 4 3 3 4 A. x I = . B. x I = − . C. x I = . D. x I = − . 3 4 4 3 t Câu 85. Cho hàm số y = t Câu 86. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN với M,N là giao điểm của đường thẳng 2x + 2 là x−1 B. I (−1; 2). d : y = x + 1 và đồ thị hàm số (C ): y = A. I (−1; −2) . C. I (1; −2). D. I (1; 2). t Câu 87. Gọi M,N là hai giao điểm của đường thẳng d : y = x + 1 và (C ) : y = trung điểm I của đoạn thẳng MN là A. 2. B. 1. C. 126 5 . 2 2x + 4 . Hoành độ x−1 5 2 D. − . Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 88. Đồ thị hàm số y = 2 x4 − x2 + 2 cắt đuờng thẳng y = 6 tại bao nhiêu điểm? A. 2. B. 0. C. 4. D. 3. t Câu 89. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (H ) : y = tại các điểm có tọa độ là A. (1; 1); (−1; 1). B. (1; 1) . x+2 cắt đồ thị hàm số (C ) : y = 2 x4 − x2 x+1 C. (−1; 1) . D. (0; 1). t Câu 90. Đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 + 1 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá trị tham số m thỏa mãn là A. m > 1 . B. −3 ≤ m ≤ 1 . C. −3 < m < 1 . D. m < −3. t Câu 91. Đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = −2 x4 + 4 x2 + 2 thì tất cả các giá trị tham số m là A. m > 4. B. m ≥ 4. C. m ≤ 2. D. 2 < m < 4. 127 Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 92. Với tất cả giá trị nào của tham số m thì phương trình x4 − 2 x2 = m + 3 có bốn nghiệm phân biệt? A. m ∈ (−4; −3) . B. m = −3 hoặc m = −4 . C. m ∈ (−3; +∞) . D. m ∈ (−∞; −4). t Câu 93. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x3 − 3 x − m + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt là A. −1 < m < 3. B. −1 ≤ m ≤ 3 . C. m = 1. D. m < −1 hoặc m > 3. t Câu 94. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị (C ) : y = x3 − 3 x2 + 2 cắt đường thẳng d : y = m tại ba điểm phân biệt là A. −2 < m < 0 . B. −2 < m < 2. C. 0 < m < 1 . D. 1 < m < 2. t Câu 95. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị (C ) : y = x4 − 2 x2 − 3 cắt đường thẳng d : y = m tại bốn điểm phân biệt là A. −4 < m < −3. B. m < −4. C. m > −3. 128 7 2 D. −4 < m < − . Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 96. Cho hàm số y = x4 − 4 x2 − 2 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = m. Tất cả các giá trị của tham số m để d cắt (C ) tại bốn điểm phân biệt là A. −6 ≤ m ≤ −2. B. 2 < m < 6. C. −6 < m < −2. D. 2 ≤ m ≤ 6. t Câu 97. Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 − 3 x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt là A. 1 < m < 13 . 4 9 4 9 4 B. 0 < m < . C. − < m < 0. D. −1 < m < 13 . 4 t Câu 98. Cho hàm số y = − x4 + 2 x2 + m. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là A. 0 < m < 1. B. −1 < m ≤ 0 . C. −1 < m < 0. D. −1 ≤ m < 0. t Câu 99. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4 − 2 x2 − m + 3 = 0 có bốn nghiệm phân biệt là A. 2 < m < 3. B. 2 ≤ m ≤ 3. C. m ≥ 2. D. m > 2. t Câu 100. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4 − 2 x2 − m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là A. m > 3. B. m ≥ 3 . C. m > 3hoặc m = 2. D. m = 3 hoặc m = 2. 129 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 101. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = −2 x4 + 2 x2 + 1 cắt đường thẳng y = 3 m tại ba điểm phân biệt là A. 1 1 ≤m≤ . 3 2 1 2 1 3 B. m = . 1 3 C. m ≤ . D. m = . t Câu 102. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C ) : y = −2 x3 + 3 x2 + 2m − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là A. 1 1 ≤m< . 4 2 1 2 1 2 1 2 B. − < m < . C. 0 < m < . t Câu 103. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 −3 x2 +4+ m = 0 có nghiệm duy nhất lớn hơn 2. Biết rằng đồ thị của hàm số y = − x3 + 3 x2 − 4 là hình bên. A. m > 0 . B. m ≤ −4 . C. m < −4 . D. m ≤ −4 hoặc m ≥ 0. 1 2 D. 0 ≤ m ≤ . 1 −2 −1O −1 y 1 2 3 4x −2 −3 −4 −5 t Câu 104. Tất cả giá trị của thm số m để phương trình x3 − 3 x − m + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương là 130 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. −1 ≤ m ≤ 1. B. −1 < m ≤ 1. C. −1 < m < 3. D. −1 < m < 1. t Câu 105. Cho hàm số y = −2 x3 + 3 x2 − 1 có đồ thị (C ) như hình vẽ. Dùng đồ thị (C )suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình 2 x3 −3 x2 +2 m = 0(1) có ba nghiệm phân biệt là 1 A. 0 < m < . 2 B. −1 < m < 0. C. 0 ≤ m ≤ −1. 2 1 D. −1 ≤ m ≤ 0. −2 −1−O21 −1 y 1 2 1 2 3x −2 t Câu 106. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −1 − 0 + +∞ 0 +∞ 1 0 − 0 + +∞ −3 y −4 −4 Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x) + 10 = 0 là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. t Câu 107. 131 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x) + 1 = 0 là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. 2 O 1 x −2 t Câu 108. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 + +∞ 2 0 − 0 0 + +∞ 4 y 0 −∞ Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) − e = 0 là A. 4. B. 2. C. 3. t Câu 109. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình f ( x) − m + 1 = 0 với m > 4 là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. D. 1. y O x −3 −4 132 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 110. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 ( x) 0 −1 + − 0 +∞ 1 − 0 + +∞ −3 +∞ f ( x) −∞ −∞ Số nghiệm của phương trình | f ( x)| − 3 = 0 là A. 4. B. 3. 2 C. 2. D. 1. t Câu 111. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như sau. Số nghiệm của phương trình | f ( x)| − 1 2 m + 1 = 0 với < m < 3 là 2 A. 5. B. 4. C. 6. 5y D. 3. O x −5 t Câu 112. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình 3 f (| x|) = 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. y 1 O x −3 133 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ t Câu 113. Cho hàm số: y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ f 0 ( x) 0 + − 0 4 3 0 +∞ + +∞ 2 f ( x) 22 27 −∞ Số nghiệm của phương trình 2 f (| x|) − 1 = 0 là A. 1. B. 4. C. 3. D. 0. t Câu 114. Cho hàm số: y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 1 + f ( x) = 2 là 3 + 2 f ( x) A. 2. y 1 B. 4. C. 3. D. 5. O x −3 t Câu 115. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 ( x) + +∞ 2 0 − 0 0 + +∞ 2 f ( x) −2 −∞ 134 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm số nghiệm của phương trình A. 6. B. 5. | f ( x)| − 1 1 = . | f ( x)| + 1 4 C. 4. D. 7. t Câu 116. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 ( x) −1 + − 0 +∞ 1 0 + +∞ 9 f ( x) −3 −∞ Số nghiệm của phương trình f 2 ( x) − 9 = 0 là A. 4. B. I = 3. C. 5. 135 D. 6. Sưu tầm và biên soạn 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 136 7 GV: Doãn Thịnh Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN LŨY THỪA 1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho a ∈ R, n ∈ N∗ . Khi đó: a n = |a.a.a...a {z }. n thừa số 1 2 Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Cho a ∈ R∗ , n ∈ N∗ . Khi đó: a−n = n và a0 = 1. a 3 Lưu ý: 00 và 0−n với n ∈ N∗ không có nghĩa. 2 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ Cho a > 0 và số hữu tỉ r = 3 m p m ; trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2. Khi đó: a r = a n = n a m . n LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ Cho a > 0, α ∈ R, (r n ) là dãy số hữu tỉ sao cho lim r n = α. Khi đó: aα = lim a r n . x→+∞ 4 x→+∞ CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA Cho a, b là các số thực dương, x, y là các số thực tùy ý. ax 1 a x+ y = a x · a y và a x− y = y ³ a ´ax x a 2 a x · b x = (a · b) x ; x = và (a x ) y = a x· y . b b 3 Nếu a > 1 thì a x > a y ⇔ x > y. 4 Nếu 0 < a < 1 thì a x > a y ⇔ x < y. 5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N 1 Với n ∈ N∗ , ta có: p 2n a2n = |a|, ∀a ∈ R. p 2 n+1 2n+1 = a, ∀a ∈ R. p p a 2p 2n 2n ab = n a · b,∀a,b ≥ 0. p p 2 n+1 2 n+1 a· » ab = 2p n a 2n a b = » a b 2 n+1 2p n = p 2 n+1 b, ∀a,b , ∀a ≥ 0, b > 0. b 2 n+p 1 a 2 n+p 1 ,∀ a,∀ b 6= 0 b 2 Với a,b ∈ R, ta có: 137 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA p n ¡p ¢ m = n a m , ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên a p p n p m a = nm a, ∀a ≥ 0, n, m nguyên dương p p q p thì n a p = m a q ,∀a > 0,m,n nguyên dương, p, q nguyên. Nếu = n m p p Đặc biệt: n a = m·n a m B DẠNG TOÁN { Dạng 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa. Cho a, b là các số thực dương, x, y là các số thực tùy ý, ta có: ax a x+ y = a x · a y và a x− y = y . ³ a ´ax x a a x · b x = (a · b) x ; x = và (a x ) y = a x· y . b b Nếu a > 1 thì a x > a y ⇔ x > y. Nếu 0 < a < 1 thì a x > a y ⇔ x < y. ¶ µ ¶ µ 3 −5 2 −3 − + (0,2) 5 . u Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức 5 3 Lời giải: µ ¶ µ ¶ 3 −5 2 −3 − 3 5 Ta có: 5 + (0,2) = 52 + (0,2)−3 = 52 + 53 = 150. … p p ´10 p ³p 4 p 5 5. 5: 5 . u Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức Lời giải: … Ta có: p p ´10 p ³p 4 p 5 5. 5: 5 = 1 52 µ 1 58 ¶ 1 10 10 :5 = 1 52 » » µ ¶ 1 10 3 1 1 3 5 40 = 5 2 .5 4 = 5 4 = 5 8 . 4 a3 u Ví dụ 3. Cho số thực dương a. Hãy rút gọn biểu thức P = 1 a4  1 2 a 3 + a 3   −  3 a 4 1 +a 4 . − Lời giải: 4 a3 Ta có: P = 1 a4  1 2 a 3 + a 3   −  3 a 4 = 1 +a 4 − a + a2 a (a + 1) = = a. a+1 a+1 138 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA { Dạng 2. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa Cách 1. Đưa về cùng cơ số Cho a ∈ R; m, n ∈ Z. Khi đó 1 Với a > 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m > n; 2 Với 0 < a < 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m < n. Cách 2. Đưa về cùng số mũ Với 0 < a < b và m là số nguyên thì 1 a m < b m khi và chỉ khi m > 0; 2 a m > b m khi và chỉ khi m < 0. u Ví dụ 1. So sánh các số: ¡p ¢2019 ¡p ¢2020 a) 2−1 và 2 − 1 . 1015 1015 b) π và 3,14 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Viết lại biểu thức A. 5 x3. p B. x· p 3 5 x2. x· p 6 x5 , ( x > 0) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. 7 2 C. x 3 . D. x 3 . 4p t Câu 2. Cho a là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức P = a 3 a. bằng 7 5 A. a 3 . B. a 6 . t Câu 3. Cho biểu thức P = 2 A. P = x 3 . C. a » p 4 3 x. 1 11 6 . D. a 10 3 . p x2 . x3 , với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 13 B. P = x 2 . C. P = x 24 . 139 1 D. P = x 4 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA 1 1 p t Câu 4. Cho biểu thức P = x 2 .x 3 . 6 x với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P = x. B. P = x 11 6 . 1 7 C. P = x 6 . p t Câu 5. Rút gọn biểu thức P = x 6 · 3 x với x > 0. 1 A. P = x 8 . t Câu 6. Biểu thức P = A. 1 . 2 p x x 5 B. . 2 2 C. P = x 9 . B. P = x. » p p 3 5 2 5 D. P = x 6 . x = xα (với x > 0), giá trị của α là 9 C. . 2 D. P = x2 . D. 3 . 2 ´ 6 + 3(3 x + 3− x ) a ³ a = , là phân số tối giản . Tính P = a · b. 2 − 3 x+1 − 31− x b b B. P = −10. C. P = −45. D. P = 45. t Câu 7. Cho 9x + 9−x = 14; A. P = 10. 140 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA p ¡p ¢ ¡p t Câu 8. Rút gọn biểu thức K = x − 4 x + 1 A. K = x2 + 1. B. K = x2 − 1. t Câu 9. Cho biểu thức P = A. P = 23 x 30 . » 5 x3 B. P = p p 3 2 x p 4 ¢¡ ¢ p x+1 x− x+1 . C. K = x2 − x + 1. x+ D. K = x2 + x + 1. x với x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 37 x 15 . 53 C. P = x 30 . 31 D. P = x 10 . t Câu 10. Cho số thực a > 1 và các số thực α , β. Kết luận nào sau đây đúng? A. 1 < 0, α ∈ R. aα B. aα < 1, α ∈ R. p ¢a−1 t Câu 12. Cho A. a > b. D. aα > aβ ⇔ α > β. C. a > 0. D. a < 0. p t Câu 11. Nếu 7 + 4 3 < 7 − 4 3 thì A. a < 1. B. a > 1. ¡ C. aα > 1, α ∈ R. ¡p ¢a ¡p ¢b 5 − 2 > 5 − 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? B. a < b. C. a ≤ b. 141 D. a ≥ b. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA t Câu 13. Phát biểu nào sau đây là sai? 3 2 A. e > e . µ ¶2 1 . B. 0,5 > 2 3 C. ¡p ¢2 ¡p ¢3 3 < 3 . D. ³ π ´2 2 < t Câu 14. Điều nào sau đây đúng? A. a m < a n ⇔ m < n. C. a m > a n ⇔ m > n. B. Nếu a < b thì a m < a n ⇔ m > 0. D. 0 < a < 1, a m > a n ⇔ m < n. t Câu 15. Khẳng định nào sau đây đúng : A. a−n xác định với mọi ∀a ∈ R\ {0} ; ∀n ∈ N . C. a0 = 1; ∀a ∈ R. B. apn = n a m ; ∀a ∈ R . m D. n a m = a n ; ∀a ∈ R; ∀m,n ∈ Z. m ³ π ´3 2 . p t Câu 16. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. (5 x ) y = (5 y )x . x B. 4 y = 4x . 4y C. (2.7) x = 2x .7x . 142 D. 3x .3 y = 3x+ y . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA p t Câu 17. Cho a là số thực dương. Hãy biểu diễn biểu thức P = a2 · 3 a dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. 4 7 5 2 A. P = a 3 . B. P = a 3 . C. P = a 3 . D. P = a 3 . t Câu 18. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa? µ A. 3 − 4 ¶0 1 B. (−4)− 3 . . C. (−3)−4 . p 2 D. 1− . t Câu 19. Cho a, b là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai? µ ¶− n ³ ´ m A. a a = m b b m . C. (a m )n = a mn . B. a m · a n = a mn . D. 1 b = bn. t Câu 20. Cho 4 số thực a, b, x, y với a, b là các số dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? ax A. y = a x− y . a B. (a x ) y = a x+ y . C. a x · a y = a x· y . 1 t Câu 21. Tính giá trị của biểu thức P = 16 µ ¶−0,75 143 D. (a · b)x = a · b x . µ ¶− 4 1 3 + . 8 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA A. P = 16. B. P = 18. C. P = 12. D. P = 24. 1 t Câu 22. Biểu thức 22 · 2 2 · 8 viết dưới dạng lũy thừa cơ số 2 với số mũ hữu tỷ là 7 A. 2 2 . 5 11 B. 2 2 . 9 C. 2 2 . p 15 D. 2 2 . p t Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn a7 > 5 2. A. a = 0. B. a > 1. C. a < 0. p 5 D. 0 < a < 1. p 7 t Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn a3 < a4 . A. a > 1. B. a = 0. C. a < 0. 2 D. 0 < a < 1. 1 t Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn (a − 1)− 3 < (a − 1)− 3 . A. a > 2. B. a > 1. C. < 1a < 2. 144 D. 0 < a < 1. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. LŨY THỪA 1 3 t Câu 26. Cho (a2 − 2a + 1) 2 < (a2 − 2a + 1)− 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a ∈ (0; 2) \ {1}. B. a ∈ (0; 2). C. a ∈ (0; 2) \ {2}. D. a < 0 hoặc a > 2. 5 3 t Câu 27. Cho (−2a + 1) 2 < (−2a + 1) 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 A. a < . 1 2 1 2 B. 0 < a < . C. a < . 1 2 D. a < 0 hoặc a > . ¢5x−3 t Câu 28. Với giá trị nào của x thì ( x2 + 4) x−5 > x2 + 4 ¡ 1 2 A. x > − . 1 2 1 2 B. x < . C. x < − . 145 1 2 D. x > . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA BÀI 2. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN HÀM SỐ LŨY THỪA Định nghĩa 1. Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. a n = |a · a ·{z a . . . · a} n thừa số với a là cơ số, n là số mũ. Định nghĩa 2 (Căn bậc n). Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b. p n Với n lẻ, b ∈ R thì phương trình có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu: b. Với n chẵn: 1 b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b. 0. 2 b = 0: Có một căn bậc n của b là số p p n n 3 b > 0: Có hai căn bậc n của b là − b và b. Tính chất 1 (Tính chất căn bậc n). p p p p p n n n p m 1 ¡n a ·¢ b =p ab. 3 p a… = n· m a . p m n n n a n a 2 a = am . . = 4 p n ( an = −a khi n lẻ a khi n chẵn . b b 2 5 p n LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ , VÔ TỈ Định nghĩa 3 (Lũy thừa với số mũ hữu tỉ). Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = trong đó m ∈ Z, n ∈ N∗ . Lũy thừa của a với số mũ r là a r được xác định bởi m ar = a n = p n m , n am Định nghĩa 4 (Lũy thừa với số mũ vô tỉ). Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ (r n ) có giới hạn bằng α và dãy số ứng (αr n ) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r n ). Ta gọi giới hạn của dãy số (αr n ) là lũy thừa của a với số mũ α. Ký hiệu là aα . aα = lim a r n x→+∞ với α = lim r n . x→+∞ Tính chất 2 (Lũy thừa với số mũ thực). µ ¶−α aα ³ a ´α b 5 = = . α b b a 6 Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β. 7 Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β. 1 aα · aβ = aα+β . aα 2 = aα−β . aβ 3 (aα )β = aα·β . 4 (a · b)α = aα · bα . 146 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA 3 KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA Định nghĩa 5 (Khảo sát hàm số lũy thừa y = xα ). Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng D = (0; +∞). Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = xα trên khoảng này, ta có bảng tóm tắt sau: Đạo hàm Chiều biến thiên Tiệm cận Đồ thị Bảng biến thiên α>0 y = α xα−1 α<0 y = α xα−1 Hàm số luôn đồng biến Không có Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận ngang là trục Ox Tiệm cận đứng là trục O y Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) 0 0 Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) α>0 x α<0 y0 x +∞ 0 +∞ 0 y0 + +∞ − +∞ y y 0 0 Đồ thị y α>1 α=1 0<α<1 α=0 1 α<0 O B x 1 DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa Điều kiện xác định của hàm số y = xα Nếu α nguyên dương thì x ∈ R. Nếu α = 0 hoặc α nguyên âm thì x 6= 0. Nếu α không nguyên thì x > 0. 2 u Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = (2 x − 1) 3 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… 147 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 + x − 2 ¡ ¢−3 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 + 1 ¡ ¢2019 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa Sử dụng công thức 1 y = xα thì y0 = α · xα−1 . u Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = 2 y = uα thì y0 = α · uα−1 · u0 . p p 3 x2 x3 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = 3 − x ¡ 2 ¢− 4 3. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 148 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA { Dạng 3. Tính chất, đồ thị của hàm số lũy thừa Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số trên toàn tập xác định. Tìm tập xác định. Tập xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của α. Sự biến thiên. – Tìm đạo hàm y0 . Xét dấu y0 và kết luận về chiều biến thiên của hàm số. – Tìm tiệm cận (nếu có). – Lập bảng biến thiên. Đồ thị: Đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm (1; 1). C TRẮC NGHIỆM 1 t Câu 1. Tìm x để biểu thức ( x2 − 1) 3 có nghĩa: A. ∀ x ∈ (−∞; 1] ∪ [1; +∞). B. ∀ x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞). C. ∀ x ∈ (−1; 1). D. ∀ x ∈ R\ {±1}. −2 t Câu 2. Tìm x để biểu thức ( x2 + x + 1) 3 có nghĩa: A. ∀ x ∈ R . B. Không tồn tại x. C. ∀ x > 1. D. ∀ x ∈ R\ {0}. ¢π t Câu 3. Tập xác định của hàm số y = x2 − 3 x + 2 là A. R\ {1; 2}. B. (−∞; 1) ∪ (2; +∞). C. (1; 2). ¡ D. (−∞; 1] ∪ [2; +∞). t Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số y = (4 − 3 x − x2 )2017 . A. (−4; 1). B. (−∞; −4) và (1; +∞). C. R. D. [−4; 1]. 149 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA p t Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − 5) 3 . A. D = (−∞; 5). B. D = R\ {5}. C. D = [5; +∞). D. D = (5; +∞). ¢−2 t Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 − 1 . A. [−1; 1]. B. R\ {−1; 1}. C. (−∞; −1) ∪ (1; +∞). D. (−∞; −1] ∪ [1; +∞). ¡ 1 2 3 t Câu 7. µTìm tập xác ¸ ·định D của ¶ hàm số y = (3 x − 1) . µ 1 1 A. D = −∞; − p ∪ p ; +∞ . 3¾ 3 ½ 1 C. D = R\ ± p . 3 ¶ µ ¶ 1 1 B. D = −∞; − p ∪ p ; +∞ . 3 3 D. D = R. ¢−2 t Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 − 3 . ¡ p ¢ ¡p © p p ª ¢ A. D = R\ − 3; 3 . B. D = −∞ ;− 3 ∪ 3; +∞ . © p ª C. D = R. D. D = R\ − 3 . ¡ 150 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA ¢−3 t Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − x − 2 . A. D = R. B. D = (0; ∞). C. D = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). D. D = R \ {−1; 2}. ¡ ¢−2016 t Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − 3 x + 2 . A. D = R. B. D = R\ {1; 2}. C. D = (1; 2). D. D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). ¡ ¢−3 t Câu 11. Tập xác định D của hàm số y = x2 − 1 là A. D = R. B. D = R \ {±1}. C. D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞). D. D = ∅. ¡ ¢1 t Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y = − x2 + 7 x − 10 3 . A. R. B. (2; 5). C. R\ {2; 5}. ¡ t Câu 13. Tập xác định của hàm số y = x2 − x − 6 ¡ 151 ¢−4 D. (−∞; 2) ∪ (5; +∞). là: Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA A. D = (−∞; 2) ∪ (3; +∞). C. D = R. B. D = R\ {−2; 3}. D. D = R\ {0}. t Câu 14. Tập xác định của hàm số y = 1 − x2 A. (−∞; −1) ∪ (1; +∞). B. [−1; 1]. ¡ ¢2 3 là C. (−∞; 1). D. (−1; 1). ¢−12 t Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − 1 . A. D = R\ {±1}. B. D = (−1,1). C. D = R\ {1}. D. D = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). ¡ ¢−2 2 t Câu 16. Tìm ½ tập ¾ xác định D của hàm số y = 3 x − 1 ½ ¾ 1 1 A. D = R\ ± p . B. D = ± p . ¡ 3 ¶ µ ¶ 1 1 C. D = −∞; − p ∪ p ; +∞ . 3 3 3 ¶ 1 1 D. D = − p ; p . 3 3 µ µ ¢p2 t Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 + 2 x − 3 . A. D = R. B. D = (−∞; −3) ∪ (1; +∞). C. D = (0; +∞). D. D = R\ {−3; 1}. ¡ 152 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA t Câu 18. Hàm số y = ( x − 1)−4 có tập xác định là A. R. B. (1; +∞). C. (−∞; 1). t Câu 19. Đạo hàm của hàm số y = x2 − 2 x + 2 ¡ ¢1 2 B. y0 = t Câu 20. Đạo hàm của hàm số y = 3 − x2 ¡ 2x A. y0 = p . 3 2 3 x +1 ¢− 4 B. y0 ¢− 7 8 ¡ − x 3 − x2 3 . 3 t Câu 21. Đạo hàm của hàm số y = là: ¢− 1 1¡ 2 x − 2x + 2 2 . 2 ¡ ¢1 0 D. y = ( x − 1) . x2 − 2 x + 2 2 . ¢1 A. y0 = x2 − 2 x + 2 2 . (2 x − 2). ¡ ¢− 1 1 C. y0 = (2 x − 2) . x2 − 2 x + 2 2 . 2 ¡ ¢− 7 8 ¡ A. y0 = x 3 − x2 3 . 3 D. R\ {1}. 3 là ¢− 7 4 ¡ = C. y0 = 2 x 3 − x2 3 . 3 4 ¡ 3 D. y0 = x 3 − x2 ¢− 7 3 . p 3 x2 + 1 là: p 2 x 3 B. y0 = »¡ . C. y0 = 2 x x2 + 1 . ¢ 2 3 3 x2 + 1 153 D. y0 = 4 x »¡ 3 ¢2 x2 + 1 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA t Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 − 3 x + 2 ¡ p 1 A. y0 = p (2 x − 3)( x2 − 3 x + 2) 3−1 . 3 p1 1 0 2 C. y = p (2 x − 3)( x − 3 x + 2) 3 . 3 4p 3 x. 3 B. y0 = . p p 3+1 . p p 3−1 . B. y0 = 3(2 x − 3)( x2 − 3 x + 2) D. y0 = 3(2 x − 3)( x2 − 3 x + 2) t Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = A. y0 = ¢p3 p 3 7p 6 x. 6 p x2 · x3 , với x > 0. 6 C. y0 = p . 77x D. y0 = p 9 x. 2 t Câu 24. Hàm số g( x) = (2 x2 + 1)− 3 có đạo hàm là 8 1 3 8 5 0 C. g ( x) = − x(2 x2 + 1)− 3 . 3 2 5 3 2 1 0 D. g ( x) = − (2 x2 + 1)− 3 . 3 A. g0 ( x) = − x(2 x2 + 1)− 3 . B. g0 ( x) = − (2 x2 + 1)− 3 . t Câu 25. Tìm đạo hàm số của hàm số y = 0 A. y = p 4 4 1 ( x + 2)3 . 0 B. y = p 4 1 4 x+2 p 4 x + 2 với x > −2. C. y0 = p 4 . 2 154 1 ( x + 2)3 . p D. y0 = 4 3 x + 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA p 2 t Câu 26. Cho hàm số y = x− . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số có một tiệm ngang và không tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng. t Câu 27. Cho hàm số y = x−3 . Khẳng định nào dưới đây sai? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1). D. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). t Câu 28. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó? A. y = x2 . 5 B. y = x4 . C. y = x 2 . 5 D. y = x− 2 . t Câu 29. Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = xα , y = xβ với x > 0 và α, β là các số thực cho trước. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. 155 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ LŨY THỪA y y = xβ y = xα 1 O A. 0 < α < 1 < β. x 1 B. β < 0 < 1 < α. C. α < 0 < β < 1. D. 0 < α < β < 1. t Câu 30. Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = xα , y = xβ , y = xγ với x > 0 và α, β, γ là các số thực cho trước. mệnh đề nào dưới đây là đúng. y y = xα y = xβ y = xγ 1 O A. γ > β > α. 1 B. β > α > γ. x C. α > β > γ. 156 D. β > γ > α. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 3. LOGARIT Định nghĩa 1. Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b. α = loga b ⇔ aα = b, (a,b > 0; a 6= 1). Tính chất 1. Cho hai số dương a, b với a 6= 1, ta có tính chất sau: 3 aloga b = b. 4 loga aα = α. 1 loga 1 = 0. 2 loga a = 1. 2 CÁC QUY TẮC TÍNH LÔGARIT Cho ba số dương a, b1 , b2 với a 6= 1, ta có các quy tắc sau: 1 loga b 1 b 2 = loga b 1 + loga b 2 ; 1 b1 = loga b 1 − loga b 2 . Đặc biệt, với a, b > 0, a 6= 1 thì loga = − loga b. b2 b p 1 n α 3 loga b = α loga b. Đặc biệt: loga b = loga b. n 2 loga 3 CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Cho ba số dương a, b, c và a 6= 1, c 6= 1, ta có loga b = Đặc biệt: loga b = 4 log c b . log c a 1 1 , với b 6= 1; logaα b = loga b, với α 6= 0. logb a α LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN 1 Lôgarit cơ số 10 gọi là lôgarit thập phân, log10 N , ( N > 0) thường được gọi là lg N hay log N . 2 Lôgarit cơ số e gọi là lôgarit tự nhiên, log e N , ( N > 0), được viết là ln N . B DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức chứa logarit Sử dụng các định nghĩa, tính chất và qui tắc tính lôgarit để tính một biểu thức chứa lôgarit. 157 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT u Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức P = log2 8 + log3 27 − log5 53 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức P = ln (2 e) − log 100 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Biểu diễn logarit theo các tham số Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số a và b về dạng logarit với cơ số và đối số là tích các số nguyên tố. Bước 2: Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn x, y, z,. . . Từ đó ta thu được phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn là x, y, z,. . . ta tìm các ẩn này theo a, b. Bước 3: Giải hệ tìm được tìm x, y, z,. . . theo a, b. Từ đó tính được biểu thức theo các tham số a, b. Các công thức nền tảng là loga b = log c b 1 và = logb a. log c a loga b u Ví dụ 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương tùy ý. Rút gọn biểu thức: P = log a b c a + log + log − log b c d d Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Cho a,b là các số thực dương và a khác 1 . Rút gọn biểu thức: P = loga b3 + loga2 b6 158 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 3. Cho a = log2 m với 0 < m 6= 1. Tính A = logm 16m theo a. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 4. Cho log2 5 = a; log3 5 = b.Tính log5 6 tính theo a và b. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Biết log 3 = m, log 5 = n, tìm log9 45 theo m, n. n n n A. 1 − . B. 1 + . C. 2 + . 2m m 2m t Câu 2. Biết log6 a = 2 (0 < a 6= 1). Tính I = loga 6. A. I = 36. 1 2 B. I = . C. I = 64. 159 D. 1 + n . 2m 1 4 D. I = . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT p t Câu 3. Tính giá trị của biểu thức I = a · log2 8. 2 3 A. I = . B. I = 3a . 2 C. I = 2a . 3 3 2 D. I = . t Câu 4. Tính giá trị của biểu thức A = log8 12 − log8 15 + log8 20. A. 1. B. 4 . 3 log t Câu 5. Cho a > 0 và a 6= 1. Giá p trị của a A. 9. B. 3 . C. 2. p a3 D. 3 . 4 bằng C. 6. D. 3. t Câu 6. Giá trị của biểu thức log4 25 + log2 1,6 bằng A. 5. B. 3. C. 2. D. 1. t Câu 7. Cho a = log3 15, b = log3 10. Tính logp3 50 theo a và b. A. logp3 50 = 2 (a + b − 1). B. logp3 50 = 4 (a + b + 1). C. logp3 50 = a + b − 1. D. logp3 50 = 3 (a + b + 1). 160 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT t Câu 8. Cho log2 6 = a; log2 7 = b. Tính log3 7 theo a và b. A. log3 7 = b . a−1 B. log3 7 = a . b−1 C. log3 7 = t Câu 9. Nếu a = log30 3 và b = log30 5 thì A. log30 1350 = a + 2b + 1. C. log30 1350 = a + 2b + 2. b . 1−a D. log3 7 = B. log30 1350 = 2a + b + 1. D. log30 1350 = 2a + b + 2. t Câu 10. Cho log2 7 = a, log3 7 = b khi đó log6 7 bằng A. 1 . a+b a . 1−b B. a2 + b2 . C. a + b. D. ab . a+b t Câu 11. Biết rằng log 7 = a và log5 100 = b. Hãy biểu diễn log25 56 theo a và b. A. ab + 3 b + 6 . 4 B. ab + b − 6 . 4 C. ab + 3 b − 6 . 4 D. ab − 3 b − 6 . 4 t Câu 12. Đặt a = log2 3; b = log3 5. Biểu diễn log20 12 theo a,b. 161 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT A. log20 12 = ab + 1 . b−2 B. log20 12 = a+b . b+2 3 4 C. log20 12 = a+2 . ab + 2 D. log20 12 = a+1 . b−2 4 5 5 124 theo a và b. 6 125 C. I = a + 2b. D. I = a − 3b. t Câu 13. Đặt a = ln 3, b = ln 5. Tính I = ln + ln + ln + … + ln A. I = a + 3b. B. I = a − 2b. t Câu 14. Biết log2 x = a, tính theo a giá trị của biểu thức P = log2 4 x2 . A. P = 2 + a. B. P = 4 + 2a. C. P = 4 + a. D. P = 2 + 2a. t Câu 15. Cho loga x = −1 và loga y = 4. Tính giá trị của P = loga ( x2 y3 ). A. P = −14. B. P = 3. C. P = 10. 162 D. P = 65. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT p 1 t Câu 16. Cho a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn log2 6 360 = + a log2 3 + b log2 5. Khi đó tổng a + b 2 có giá trị là A. 4 . 3 t Câu 17. Tìm n biết x 6= 1. A. n = 31. B. 2 . 3 C. 1 . 18 D. 1 . 2 1 1 1 465 1 + + ··· + + = luôn đúng với mọi x > 0, log2 x log22 x log23 x log2n x log2 x B. không tồn tại n. C. n = 30. D. n = −31. t Câu 18. Cho số thực 0 < a 6= 1. Với mọi số thực dương x, y. Khẳng định nào sau đây đúng? x x A. loga = loga x − loga y. B. loga = loga x + loga y. y x C. loga = loga ( x − y). y y x loga x D. loga = . y loga y t Câu 19. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số dương x,y? x x A. loga = loga x + loga y. B. loga = loga ( x − y). y x C. loga = loga x − loga y. y y x loga x D. loga = . y loga y 163 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT t Câu 20. Cho các số thực dương a, b, c và khác 1. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: b B. loga (bc) = loga b + loga c. A. loga = loga b − loga c. c C. loga b = log c b . log c a D. loga b = log c a . log c b t Câu 21. Cho a là số thực dương khác 1. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. loga 2 · log2 a = 1. B. loga 1 = 0. C. loga a = 1. D. loga 2 = 1 . loga 2 t Câu 22. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ln(ab) = ln a + ln b. B. ln a = ln b − ln a. b C. ln(ab) = ln a · ln b. D. ln a ln a = . b ln b t Câu 23. Cho 0 < a 6= 1 và x > 0, y > 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. loga ( x + y) = loga x loga y. B. loga ( x y) = loga x + loga y. C. loga ( x y) = loga x loga y. D. loga ( x + y) = loga x + loga y. 164 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT t Câu 24. Nếu loga b = p thì loga a2 b4 bằng A. 4 p + 2. B. 4 p + 2a. C. a2 p4 . D. p4 + 2a. ¶ a3 t Câu 25. Cho a,b,c > 0,c 6= 1 và đặt log c a = m, log c b = n, T . Tính T theo m,n. c p 4 b3 3 3 3 3 3 3 A. T = m − n. B. T = 6 n − m. C. T = m + n. D. T = 6 m − n. 2 8 2 2 8 2 µ = logp p t Câu 26. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: alog3 7 = 27,blog7 11 = 49,clog11 25 = 11. Giá trị của 2 (log 11)2 (log 25)2 biểu thức A = a(log3 7) + b 7 + c 11 là: A. 519. B. 729. C. 469. D. 129. p t Câu 27. Cho log2 x = 2. Tính giá trị của biểu thức P = log22 x + log 1 x + log4 x. p 3 2 A. P = . 2 2 p 2 B. P = . 2 p C. P = 2 2. 165 p 4− 2 D. P = . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. LOGARIT t Câu 28. Giả sử p,q là các số thực dương sao cho log9 p = log12 q = log16 ( p + q) . Tìm giá trị p của . q A. p ¢ 1¡ −1 + 5 . 2 B. p ¢ 1¡ 1+ 5 . 2 C. 4 . 3 D. 8 . 5 t Câu 29. Cho a, b là các số thực dương khác 1, thỏa loga2 b + logb2 a = 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 b A. a = . B. a = b. C. a = 1 . b2 D. a = b2 . 2 t Câu 30. Cho a,b là các số thực dương và ab 6= 1 thỏa mãn logab a = 3 thì giá trị của logab … 3 a b bằng: A. 3 . 8 B. 3 . 2 C. 166 8 . 3 D. 2 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT BÀI 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HÀM SỐ MŨ y Hàm số y = a x (a > 0) có Tập xác định D = R. y y0 = a x ln a, ∀ x ∈ R Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi a > 1, nghịch biến trên R khi và chỉ khi 0 < a < 1. Đồ thị 2 1 O x O x 1 x HÀM SỐ LOGARIT y Hàm số y = loga x có Tập xác định D = (0; +∞). y0 = y 1 , ∀ x ∈ (0; +∞). x ln a Hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi a > 1, nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi 0 < a < 1. Đồ thị B 1 O 1 x O DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit u Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = log2 2 x − x2 . ¡ ¢ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 x + 5 . log2 x − 3 Lời giải: 167 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Các bài toán liên quan đến đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit Sử dụng các công thức sau¢ ¡ u(x) 0 x 0 x = u0 ( x)a u(x) ln a. (a ) = a ln a và a ¡ ¢0 loga x = ¡ ¢0 1 u 0 ( x) và loga u( x) = . x ln a u( x) ln a u Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x 2 +2 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 + 2 x e x . ¡ ¢ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Max-min của hàm số mũ và hàm số logarit 1 2 u Ví dụ 1. Cho hàm số y = ln x − x2 + 1. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số đã cho trên ¸ 1 đoạn ; 2 . 2 · Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 168 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT { Dạng 4. Bài toán thực tế 1) Lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ N∗ ) là S n = A + nAr = A (1 + nr). 2) Lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả…vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là S n = A (1 + r )n . Từ đó ta có thể tìm các giá trị: r = n µ ¶ Sn Sn Sn − 1, A = , n = log . (1 + r) A (1 + r )n A 3) Bài toán tăng trưởng dân số: Công thức tính tăng trưởng dân số ¡ ¢ X m = X n (1 + r )m−n , m,n ∈ Z+ ,m ≥ n trong đó: r là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m. X m là dân số năm m. X n là dân số năm n. Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r = m− n Xm − 1. Xn 4) Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r /tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng. Ta có công thức tính số tiền còn lại sau n tháng: S n = A (1 + r )n − X (1 + r )n − 1 . r 5) Tiền gửi hàng tháng: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N∗ ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n là S n = µ đó ta có n = log(1+r) ¶ Sn · r Sn · r +1 , A = . A (1 + r ) (1 + r ) [(1 + r )n − 1] A [(1 + r )n − 1] (1 + r ) Từ r u Ví dụ 1. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S = A · enr , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2017, dân số Việt Nam là 93 · 671 · 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr. 79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)? Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y = log 1 x2 − 3 x + 2 . ¡ ¢ 2 169 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT A. (−∞; 1) ∪ (2; +∞). B. (1; 2). C. (2; +∞). t Câu 2. Tập xác định của hàm số y = log3 (4 − x) là: A. D = [4; +∞). B. D = (−∞; 4]. C. D = (4; +∞). D. (−∞; 1). D. D = (−∞; 4). t Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của a để biểu thức B = log3 (2 − a) có nghĩa. A. a > 2. B. a = 3. C. a ≤ 2. D. a < 2. 2 t Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = e x −2x . A. D = R. B. D = [0; 2]. C. D = R\{0; 2}. D. D = ∅. t Câu 5. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa? − 31 A. (−4) . µ ¶0 3 B. − . 4 C. (−3)−4 . 170 p 2 D. 1− . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 6. µTìm¶tập xác định D của hàm số y = log2017 (9 − x2 ) + (2 x − 3)−2018 . 3 ;3 . ·2 ¶ µ ¸ 3 3 C. D = −3; ∪ ; . 2 2 B. D = (−3; 3). A. D = µ ¶ µ ¶ 3 3 D. D = −3; ∪ ; 3 . 2 2 t Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = log3 (− x2 + 3 x). A. D = (0; 3). B. D = R \ {0; 3}. C. D = (−∞; 0) ∪ (3; +∞). D. D = R. t Câu 8. Tập xác định của hàm số y = log2 (10 − 2 x) là gì? A. (−∞; 2). B. (5; +∞). C. (−∞; 10). D. (−∞; 5). t Câu 9. Tập xác định của y = ln − x2 + 5 x − 6 là A. [2; 3]. B. (2; 3). C. (−∞; 2] ∪ [3; +∞). D. (−∞; 2) ∪ (3; +∞). ¡ ¢ t Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y = logp5 171 1 . 6− x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT A. (−∞; 6). B. R. C. (0; +∞). t Câu 11. Tập xác định của hàm số y = log2 3 − 2 x − x2 là A. D = (−1; 1). B. D = (−1; 3). C. D = (−3; 1). D. (6; +∞). ¢ ¡ D. D = (0; 1). t Câu 12. Tập xác định của hàm số y = log2 x2 − 2 x − 3 là A. (−1; 3). B. [−1; 3]. C. (−∞; −1) ∪ (3; +∞). D. (−∞; −1] ∪ [3; +∞). ¡ ¢ p t Câu 13. Tìm tập xác định của hàm số: y = 2 x + log (3 − x) A. [0; +∞). B. (0; 3). C. (−∞; 3). D. [0; 3). t Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log x2 − 2 x − m + 1 có tập xác định là R. A. m ≤ 2. B. m > 2. C. m ≥ 0. D. m < 0. ¡ 172 ¢ Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln x2 − 2 x + m + 1 có tập xác định là R. A. 0 < m < 3. B. m < −1 hoặc m > 0. C. m > 0. D. m = 0. ¡ ¢ t Câu” 16. Hàm số y = ln x2 + mx + 1 xác định với mọi giá trị của x khi. ¡ A. m < −2 m>2 . ¢ B. m > 2. C. −2 < m < 2. D. m < 2. t Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log( x2 − 4 x − m + 1) có tập xác định là R. A. m > −4. B. m < 0. C. m < −4. D. m < −3. t ¡Câu 18. Có bao ¢ nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên [−2018; 2018] để hàm số y = 2 ln x − 2 x − m + 1 có tập xác định là R? A. 2019. B. 2017. C. 2018. D. 1009. 2 t Câu 19. Hàm số y = 2 x −x có đạo hàm là 2 2 A. 2 x −x . ln 2. B. (2 x − 1).2x −x . ln 2. 173 C. ( x2 − x).2x 2 − x−1 . D. (2 x − 1).2 x 2 −x . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 2 t Câu 20. Hàm số y = 3x −x có là ¡ 2đạo ¢hàm x2 − x x2 − x−1 A. (2 x − 1) .3 . B. x − x .3 . C. (2 x − 1) .3x 2 −x D. 3x . ln 3. 2 −x . ln 3. t Câu 21. Hàm số f ( x) = log2 x2 − 2 x có đạo hàm ¡ A. f 0 x = ln 2 x2 − 2 x . B. f 0 x = ¡ ¢ 1 x2 − 2 x ¢ ln 2 . C. f 0 x = (2 x − 2) ln 2 . x2 − 2 x D. f 0 x = ¡ e1−2x . 2 D. y0 = e1−2x . t Câu 22. Đạo hàm của hàm số y = e1−2x là A. y0 = 2 e1−2x . B. y0 = −2 e1−2x . C. y0 = − 2x − 2 ¢ . ln 2 x2 − 2 x t Câu 23. Đạo hàm của hàm số y = log3 x2 + x + 1 là ¡ ¢ (2 x + 1) ln 3 . x2 + x + 1 2x + 1 C. y0 = 2 . x + x+1 A. y0 = t Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số y = e x 2 A. (2 x + 1) e x . B. (2 x + 1) e x +x . B. y0 = ¡ D. y0 = ¡ 2 +x 2x + 1 ¢ x2 + x + 1 ln 3 1 x2 + x + 1 ¢ ln 3 . . . C. (2 x + 1) e2x+1 . 174 D. x2 + x e2x+1 . ¡ ¢ Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y = 22x+3 . A. y0 = 22x+2 ln 2. B. y0 = 22x+2 ln 16. C. y0 = 22x+3 ln 2. t Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số y = log5 ( x2 + 2). A. y0 = 1 ( x2 + 2) ln 5 . B. y0 = 2x ( x2 + 2) C. y0 = . 2 x ln 5 . ( x2 + 2) D. y0 = 4 x+2 ln 4. D. y0 = 2x ( x2 + 2) ln 5 . t Câu 27. Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x? A. (log x)0 = 1 . x · ln 10 B. (log x)0 = ln 10 . x C. (log x)0 = x ln 10. t Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y = log2 ( x + 1). A. y0 = 1 . ( x + 1) ln 2 B. y0 = 1 . x+1 C. y0 = t Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số y = log3 (3 x + 1). A. y0 = 3 . 3x + 1 B. y0 = 1 . 3x + 1 C. y0 = 175 D. (log x)0 = x . ( x + 1) ln 2 D. y0 = 0. 3 . (3 x + 1) ln 3 D. y0 = x . ln 10 1 . (3 x + 1) ln 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 30. Đạo hàm của hàm số y = log3 (4 x + 1) là A. y0 = 1 . (4 x + 1) ln 3 B. y0 = 4 . (4 x + 1) ln 3 C. y0 = ln 3 . 4x + 1 t Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số y = log2017 x2 + 1 . ¡ A. y0 = 2x . 2017 C. y0 = ¡ 4 ln 3 . 4x + 1 ¢ B. y0 = ¡ 1 ¢ . x2 + 1 ln 2017 D. y0 = D. y0 = ¡ 2x ¢ . ln 2017 x2 + 1 1 ¢. x2 + 1 ln x , mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 1 B. y0 + x y0 0 = 2 . C. y0 + x y0 0 = − 2 . x x t Câu 32. Cho hàm số y = A. 2 y0 + x y0 0 = − 1 . x2 D. 2 y0 + x y0 0 = 1 . x2 ln2 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào không đúng? x ln x (2 − ln x) Đạo hàm của hàm số là y0 = . x£2 ¤ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1; e3 là 0. Tập xác định của hàm số là R\ {0}. Tập xác định của hàm số là (0; +∞). t Câu 33. Cho hàm số y = A. B. C. D. 176 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 34. Goi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 · e−x trên đoạn [−1; 1]. Tính tổng M + N . A. M + N = 3e. B. M + N = e. C. M + N = 2e − 1. D. M + N = 2e + 1. t Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + e2x trên đoạn [0; 1]. A. max y = 2e. B. max y = e2 + 1. C. max y = e2 . D. max y = 1. t Câu 36. Giá trị lớn nhất của hàm số y = ( x − 2)2 ex trên [1; 3] là A. e3 . B. e. C. 0. D. e4 . x∈[0;1] x∈[0;1] t Câu 37. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. 0. B. 1. x∈[0;1] ln x trên đoạn [1; e] là x 1 C. − . e x∈[0;1] D. e. £ ¤ ln2 x t Câu 38. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn 1; e3 . x 177 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT A. 0. B. 4 . e2 C. 9 . e2 D. 9 . e3 ¸ 1 t Câu 39. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên đoạn ; e lần lượt 2 · là A. 1 và e − 1. B. 1 và e. C. 1 + ln 2 và e − 1. 2 D. 1 và 1 + ln 2. 2 t Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e x trên đoạn [−1; 1] là A. 0. B. 1 . e C. 1. D. e. t Câu 41. Cho a,b,c > 1. Biết rằng biểu thức P = loga (bc) + logb (ac) + 4 log c (ab) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logb c = n. Tính giá trị m + n. A. m + n = 12. B. m + n = 25 . 2 C. m + n = 14. D. m + n = 10. t Câu 42. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số y = e10x+2017 đồng biến trên R. B. Hàm số y = log1,2 x nghịch biến trên (0; +∞). C. a x+ y = a x + a y ; ∀a > 0, a 6= 1, x, y ∈ R. D. log(a + b) = log a + log b; ∀a > 0, b > 0. 178 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT t Câu 43. số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định? µ Hàm ¶ A. y = 1 2 −x . B. y = log p2 x. C. y = ln x. D. y = π x . 2 t Câu 44. các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên R? µ Trong ¶ A. y = 2 π x . p B. y = ( π)x . C. y = ³ π ´x 2 . D. y = ³ π ´x 3 . t Câu 45. các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R? µ Trong ¶ A. y = 2 e x . C. y = log π (2 x2 + 1). B. y = log 1 x. 4 2 t Câu 46. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R? ¡p ¢x A. y = 3 − 1 . B. y = (π − e)x . C. y = π x . 179 D. y = ³ π ´x 3 . D. y = ( e − 2) x . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT t Câu 47. Cho các số thực x, y và a thỏa mãn x > y, a > 1. Khi đó, điều nào sau đây là đúng? A. a x < a y . B. a x ≤ a y . C. a x > a y . D. a x ≥ a y . µ ¶2p− q 1 , n = e p−2q . Biết m > n, so sánh p và t Câu 48. Cho p, q là các số thực thoả mãn m = e q. A. p ≥ q. B. p > q. C. p ≤ q. D. p < q. ¢x t Câu 49. Cho hàm số y = 2 − 1 . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung. D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành. ¡p t Câu 50. Cho hàm số y = logp3 x. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A. Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục O y. D. Hàm số đã cho có tập xác định D = R\ {0}. 180 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 51. Cho hàm số y = log2 x. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Đạo hàm của hàm số là y0 = 1 . x ln 2 B. Đồ thị hàm số nhận trục O y làm tiệm cận đứng. C. Tập xác định của hàm số là (−∞; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). t Câu 52. Cho hàm số y = log 1 x. Khảng định nào sau đây sai 5 A. Hàm số có tập xác định là D = R\ {0}. B. y0 = −1 . x ln 5 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục O y. " =0⇔ x=0 x = −t 2. Câu 53. Cho hàm số y = x2 e x−1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số chỉ có một cực đại. C. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. + 0 +∞ 0 −2 − 0 B. Hàm số không có cực trị. D. Hàm số chỉ có một cực tiểu. + +∞ CĐ CT 181 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 54. Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = a x , y = b x , y = c x , trong đó a,b,c là các số thực dương khác 1,được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a > b > c. B. b > a > c. C. a > c > b. D. c > b > a. y y = bx y = cx y = ax x O t Câu 55. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào bên dưới A. y = log3 ( x + 1). B. y = log3 x + 1. C. y = log2 ( x + 1). D. y = log2 x. y 1 −1 O 2 x t Câu 56. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? A. y = 2x . x−1 B. y = π x2 − x + 1 C. y = ex . . D. y = log2 ( x2 + 1). t Câu 57. 182 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y = loga x, y = logb x, y = log c x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. a < b < c. B. c < a < b. C. c < b < a. D. b < c < a. y y = loga x y = logb x O x 1 y = log c x t Câu 58. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Hàm số y = a x với 0 < a < 1 đồng biến trên (−∞; +∞). µ ¶x 1 B. Đồ thị hàm số y = a và y = (0 < a 6= 1) đối xứng với nhau qua trục tung. a C. Hàm số y = a x (0 < a 6= 1) là một hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞). x D. Đồ thị hàm số y = a x (0 < a 6= 1) luôn đi qua điểm (a;1). t Câu 59. Cho hàm số y = a x ,0 < a 6= 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số y = a x có tập xác định là R và có tập giá trị là (0; +∞). B. Đồ thị hàm số y = a x có đường tiệm cận ngang là trục hoành. C. Đồ thị hàm số y = a x có đường tiệm cận đứng là trục tung. D. Hàm số y = a x đồng biến trên tập xác định của nó khi a > 1. t Câu 60. 183 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Cho ba số a, b, c > 0 và khác 1. Đồ thị của các hàm y = a x , y = b x , y = c x được cho trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a < b < c. B. b < c < a. C. c < a < b. D. a < c < b. y = ax y 0 y = bx y = cx x t Câu 61. Cho biết rằng sự tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì dân số sau N năm được tính theo công thức tăng trưởng liên tục S = A · e N r trong đó A là dân số tại thời điểm mốc, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Biết năm 2020 dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 7879 triệu người. B. 7680 triệu người. C. 7782 triệu người. D. 7777 triệu người. t Câu 62. Sinh nhật của An vào ngày 1 tháng 5. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá khoảng 600.000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn ấy quyết định bỏ ống tiết kiệm 10000 đồng vào ngày 1 tháng 1 của năm đó, sau đó cứ tiếp tục những ngày sau, mỗi ngày bạn bỏ ống tiết kiệm 5.000 đồng. Biết trong năm đó, tháng 1 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày, tháng 3 có 31 ngày và tháng 4 có 30 ngày. Gọi a (đồng) là số tiền An có được đến sinh nhật của mình (ngày sinh nhật An không bỏ tiền vào ống). Khi đó ta có: A. a ∈ [610000; 615000). B. a ∈ [605000; 610000). C. a ∈ [600000; 605000). D. a ∈ [595000; 600000). t Câu 63. Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6%/tháng (lãi kép). Hỏi hết kì hạn thì tổng số tiền người đó có được là bao nhiêu? A. 55,664 triệu đồng. B. 54,694 triệu đồng. C. 55,022 triệu đồng. D. 54,368 triệu đồng. 184 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 64. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Biết rằng, dân số của Việt Nam ngày 1 tháng 4 năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào ngày 1 tháng 4 năm 2030 thì dân số của Việt Nam là A. 106.118.331 người. B. 198.049.810 người. C. 107.232.574 người. D. 107.323.573 người. t Câu 65. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S = A · e N r (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. (1.281.600; 1.281.700). B. (1.281.700; 1.281.800). C. (1.281.800; 1.281.900). D. (1.281.900; 1.282.000). t Câu 66. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức S ( t) = S (0) · 2t , trong đó S (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, S ( t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 19 phút. B. 48 phút. C. 12 phút. D. 7 phút. 185 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT t Câu 67. Anh Nam gửi 500 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất không thay đổi hàng năm là 7,5 % năm. Sau 5 năm thì anh Nam nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là A. 685755000 đồng. B. 717815000 đồng. C. 667735000 đồng. D. 707645000 đồng. 186 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI 5. 7 GV: Doãn Thịnh PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Định nghĩa 1. Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b (a > 0, a 6= 1). ! 2 Để giải phương trình trên, chúng ta sử dụng định nghĩa lôgarit. 1 Với b > 0, ta có a x = b ⇔ x = loga b. 2 Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN Định nghĩa 2. Phương trình lô-ga-rít cơ bản có dạng loga x = b (a > 0, a 6= 1). ! Phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất x = a b . B CÁC DẠNG TOÁN 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ { Dạng 1. Đưa về phương trình mũ cơ bản Phương trình a x = b với 0 < a 6= 1. Nếu b > 0, ta có a x = b ⇔ x = loga b. Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm. u Ví dụ 1. Giải phương trình 2x 2 +3x = 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a 6= 1 ta có a f (x) = a g(x) ⇔ f ( x) = g( x). 187 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT µ ¶ x µ ¶3x−1 7 16 4 · − = 0. u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình 7 4 49 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 3. Phương pháp lô-ga-rít hóa Với a > 0,b > 0, a 6= 1,b 6= 1 : a f (x) = b g(x) ⇔ f ( x) = loga b g(x) ⇔ f ( x) = g( x) · loga b. Đặc biệt a f (x) = b ⇔ f ( x) = loga b. x−1 u Ví dụ 1. Phương trình 27 x · 2 x = 72 có một nghiệm viết dưới dạng x = − loga b, với a, b là các số nguyên dương. Tính tổng a + b. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 4. Đặt một ẩn phụ ( ¡ P a f (x) ¢ =0⇔ t = a f (x) ,t > 0 P ( t) = 0 u Ví dụ 1. Giải phương trình 32x+1 − 4 · 3x + 1 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 5. Đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp α · a2 f (x) + β · (ab) f (x) + γ · b2 f (x) = 0 Phương pháp: chia hai vế phương trình cho b2 f (x) rồi đặt t = ³ a ´ f (x) b > 0. Trong thực hành ta thường chia cho cơ số nhỏ nhất hoặc cơ số lớn nhất. 188 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh u Ví dụ 1. Giải phương trình 6 · 9x − 13 · 6 x + 6 · 4x = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 6. Đặt ẩn phu khi tích hai cơ số bằng 1 a f (x) + b f (x) = c với a.b = 1 Phương pháp: 1 t Đặt t = a f (x) > 0 suy ra b f (x) = . u Ví dụ 1. Giải phương trình p ¡p ¢ x ¡p ¢x 2 − 1 + 2 + 1 − 2 2 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 2 PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT { Dạng 7. Phương trình logarit cơ bản Phương trình loga x = b, với a > 0 và a 6= 1, luôn có nghiệm duy nhất x = a b với mọi b. u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 ( x + 4) = 4. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 189 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh { Dạng 8. Phương pháp đưa về cùng cơ số Cho 1 6= a > 0. Với điều kiện các biểu thức f ( x) và g( x) xác định, ta thường đưa các phương trình logarit về các dạng cơ bản sau: ( loga f ( x) = b ⇔ f ( x) > 0 f ( x) = a b . ( loga f ( x) = loga g( x) ⇔ f ( x) > 0 f ( x ) = g ( x ). u Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức log3 x = 3 log3 2 + log9 25 − logp3 3 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 9. Đặt một ẩn phụ £ ¤ Giải phương trình f loga g( x) = 0 (0 < a 6= 1) . Bước 1: Đặt t = loga g( x) (∗) Bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có). Bước 3: Đưa về giải phương trình f ( t) = 0 đã biết cách giải. Bước 4: Thay vào (∗) để tìm x. 4 ! – loga f 2 ( x) = 2 loga | f ( x)| . – loga f 2k x = 2k loga | f ( x)| . – loga f 2k+1 x = (2 k + 1) loga f ( x). – loga ( f ( x) g( x)) = loga | f ( x)| + loga | g( x)| . u Ví dụ 1. Phương trình log2 x − log x − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 190 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT C 7 GV: Doãn Thịnh TRẮC NGHIỆM 2 t Câu 1. Giải phương trình 2x +3x = 1. A. x = 0, x = 3. B. x = 1, x = −3. C. x = 1, x = 2. 1 có nghiệm là bao nhiêu? 32 B. x = −2. C. x = 2. D. x = 0, x = −3. t Câu 2. Phương trình 23−4x = A. x = −3. t Câu 3. Hỏi phương trình 22x A. 3. 2 −5x−1 = B. 2. 1 có bao nhiêu nghiệm? 8 C. 1. t Câu 4. Giải phương trình 2x = 3. p A. x = 2 3 . B. x = log2 3. C. x = log3 2. t Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình 2 x = A. x = 0. B. x = −1 . D. x = 3. D. 0. D. x = 3 p 2 . ¡p ¢ x 3 . 191 C. x = 2 . D. x = 1 . Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT µ ¶ x µ ¶3x−1 7 16 4 · − t Câu 6. Tập nghiệm S của phương trình = 0 là 7 4 ½ ¾ ½ 49 ¾ 1 1 1 A. S = − . B. S = {2}. C. S = − ; . 2 2 2 7 GV: Doãn Thịnh ½ ¾ 1 D. S = − ; 2 . 2 2 t Câu 7. Tìm số nghiệm của phương trình 22x −7x+5 = 1. A. 1. B. Vô số. C. 0. D. 2. µ ¶ x2 −2x−3 1 t Câu 8. Phương trình = 7 x−1 có bao nhiêu nghiệm? 7 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 1 t Câu 9. Cho phương trình 5x −3 = x . Khi đó, tổng các nghiệm của phương trình có giá trị 25 là A. 4. B. −4. C. 2. D. −2. 192 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 10. Gọi a, b (a < b) là các nghiệm của phương trình 6x + 6 = 2 x+1 + 3x+1 . Tính giá trị biểu thức P = 3a + 2b . A. P = 17. B. P = 7. C. P = 31. D. P = 5. x−1 t Câu 11. Phương trình 27 x · 2 x = 72 có một nghiệm viết dưới dạng x = − loga b, với a, b là các số nguyên dương. Khi đó tổng a + b có giá trị là A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. 2 x−1 t Câu 12. Biết phương trình 3x · 5 x = 15 có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 . Tính tích x1 · x2 . A. x1 · x2 = log3 5. B. x1 · x2 = − log3 5. C. x1 · x2 = 1 + log3 5. D. x1 · x2 = 1 − log3 5. 2 t Câu 13. Xác định số nghiệm của phương trình 3(x−1)(x +2) = 2 x−1 . A. 1. B. 3. C. Vô nghiệm. D. 2. 2 t Câu 14. Tính tích các nghiệm của phương trình 2x −4 = 5x−2 . A. 2 + 2 log2 5. B. 2. C. 4 + log2 5. 193 D. −4 + log2 25. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 2 t Câu 15. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x = 3x . Tính S = x1 + x2 . A. S = log3 2. B. S = 5. C. S = 0. D. S = log2 3. t Câu 16. Cho phương trình 9x − 6 · 3 x−1 − 3 = 0. Khi đặt t = 3x , ta được phương trình nào sau đây? A. 2 t2 − 3 = 0. B. t2 − 2 t − 3 = 0. C. t2 − t − 3 = 0. D. t2 − 6 t − 3 = 0. t Câu 17. Phương trình 32x+1 − 4 · 3x + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 , chọn phát biểu đúng. A. x1 x2 = −1. B. 2 x1 + x2 = 0. C. x1 + 2 x2 = −1. D. x1 + x2 = −2. t Câu 18. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình 9x − 4.3x + 3 = 0. Biết x1 < x2 , tìm x1 . A. x1 = 0. B. x1 = 1. C. x1 = −1. D. x1 = 2. 194 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 19. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 5x−1 + 53−x = 26 là A. 4. B. 3. C. 2. D. 8. 2 2 t Câu 20. Phương trình 2sin x + 3cos A. 1284. B. 4034. x 2 = 4 · 3sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc [−2017; 2017]. C. 1285. D. 4035. t Câu 21. Số nghiệm của phương trình 6 · 9 x − 13 · 6x + 6 · 4x = 0 là A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. t Câu 22. Phương trình 9 x + 6 x = 2 · 4x có nghiệm A. x = 2. B. x = 0. C. x = 3. D. x = 1. t Câu 23. Gọi a là một nghiệm của phương trình 4 · 22 log x − 6log x − 18 · 32 log x = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng khi đánh giá về a? A. (a − 10)2 = 1. µ ¶log x 2 9 B. a cũng là nghiệm của phương trình = . 3 4 C. a2 + a + 1 = 2. 195 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT D. a = 102 . t Câu 24. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4 · 9 x − 13 · 6x + 9 · 4x = 0. A. T = 2. B. T = 3. C. T = 13 . 4 1 4 D. T = . 2 t Câu 25. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4 · 3log(100x ) + 9 · 4log(10x) = 13 · 61+log x . A. 1. B. 0,1. C. 100. D. 10. p ¢x ¢x ¢x t Câu 26. Cho phương trình 3 + 2 2 − 2 2 − 1 = 3. Đặt t = 2 − 1 ta thu được phương trình nào sau đây? A. t3 − 3 t − 2 = 0. B. 2 t3 + 3 t2 − 1 = 0. C. 2 t3 + 3 t − 1 = 0. D. 2 t2 + 3 t − 1 = 0. ¡ t Câu 27. Từ phương trình ³ ¡p ¡p ¡p ³p ´x p ´x 3+2 2 −2 2−1 = 3 ¢x đặt t = 2 − 1 ta thu được phương trình nào sau đây? A. t3 − 3 t − 2 = 0. B. 2 t3 + 3 t2 − 1 = 0. C. 2 t3 + 3 t − 1 = 0. 196 D. 2 t3 + 3 t − 1 = 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ¢x t Câu 28. Phương trình 2 − 1 + A. −1. B. 2. ¡p ¢ x−1 t Câu 29. Phương trình 2 + 1 A. 1. B. 2. ¡p p p ¡p ¢x 2 + 1 − 2 2 = 0 có tích các nghiệm là C. 1. D. 0. + ¡p ¢ x−1 2−1 = 2 có bao nhiêu nghiệm thực. C. 0. D. 3. p p p t Câu 30. Bất phương trình (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x ≤ 4(2 + 3) có tập nghiệm là đoạn [a; b]. Khi đó b − a bằng A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. t Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x = m có nghiệm thực. A. m ≥ 1. B. m ≥ 0. C. m > 0. D. m 6= 0. 197 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh µ ¶ x+1 1 = m − 1 có nghiệm t Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 thực. A. m > 1. B. m ≥ 1. C. m < 1. D. m 6= 1. t Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x − m2 x+1 +(2 m2 −5) = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. 1. B. 5. C. 2. D. 4. t Câu 34. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 4 x − m2x+1 + 3 m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu. A. (−∞; 2). B. (1; +∞). C. (1; 2). D. (0; 2). t Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 9 x − 2 · 6 x + ( m − 2) · 4 x = 0 có nghiệm dương? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. t Câu Có baopnhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của phương trình p 36. x (7 + 3 5) + m(7 − 3 5) x = 2 x+3 có đúng hai phần tử? A. 15. B. 16. C. 17. D. 14. 198 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 37. Cơ số x bằng bao nhiêu để log x A. x = −3. 1 3 p 3 = −0,1. 7 GV: Doãn Thịnh 10 B. x = − . 1 3 C. x = . D. x = 3. 0 t Câu 38. Cho hàm số f ( x) = log3 ( x2 − 2 x). Tập nghiệm S© củapphương p ªtrình f ( x) = 0 là A. S = ∅. B. S = 1 + 2; 1 − 2 . C. S = {0; 2}. D. S = {1}. t Câu 39. Tìm tập nghiệm S của phương trình log4 ( x − 2) = 2. A. S = {16}. B. S = {18}. C. S = {10}. D. S = {14}. t Câu 40. Tìm nghiệm của phương trình log2 ( x − 1) = 3. A. x = 9. B. x = 7. C. x = 8. D. x = 10. 199 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 41. Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 ( x + 4) = 4. A. S = {−4; 12}. B. S = {4}. C. S = {4; 8}. D. S = {12}. t Câu 42. Nghiệm của phương trình log2 x = 3 là A. x = 9. B. x = 6. C. x = 8. D. x = 5. t Câu 43. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình log2 ( x − 5) = 4. A. x = 21. B. x = 3. C. x = 11. D. x = 13. t Câu 44. Tìm nghiệm của phương trình log3 (3 x − 2) = 3. A. x = 29 . 3 B. x = 11 . 3 C. x = 25 . 3 t Câu 45. Phương trình log2 x + log2 ( x − 1) = 1 có tập nghiệm là A. {−1; 3}. B. {1; 3}. C. {2}. 200 D. x = 87. D. {1}. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức log3 x = 3 log3 2 + log9 25 − logp3 3. 20 A. . 3 B. 40 . 9 C. 25 . 9 D. t Câu 47. Số nghiệm của phương trìnhlog2 x. log3 (2 x − 1) = 2 log2 x là A. 2. B. 0. C. 1. 28 . 3 D. 3. t Câu 48. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log 1 x2 − 5 x + 7 = 0 bằng ¡ A. 6. B. 5. C. 13. 2 t Câu 49. Tổng các nghiệm của phương trình log4 x2 − log2 3 = 1 là A. 6. B. 5. C. 4. 201 ¢ D. 7. D. 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 50. Số nghiệm của phương trình ( x + 3) log2 (5 − x2 ) = 0. A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. t Câu 51. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x2 − 5 x + 2 logx (7 x − 6) − 2 = 0 bằng ¡ A. 17 . 2 B. 9. ¢£ ¤ C. 8. D. 19 . 2 t Câu µ ¶ 52. Gọi T là tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log3 log3 x · log9 x · log27 x · log81 x = ¡ 2 . Khi đó T − 9 bằng 3 80 82 . B. . A. 9 9 ¢ log3 C. 9. D. 1 . 9 t Câu 53. Cho phương trình 2 log3 ( x3 + 1) = log3 (2 x − 1)2 + logp3 ( x + 1). Tổng các nghiệm của phương trình là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. t Câu 54. Phương trình log2 x − log x − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. 202 D. 0. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 55. Tìm tập nghiệm S của phương trình log2 x + 3 log x 2 = 4. A. S = {2; 8}. B. S = {3; 4}. C. S = {4; 16}. D. S = ∅. 1 = 3. ½ log9¾x 1 C. ;9 . 3 t Câu 56. Tìm tập nghiệm của phương trình log3 x + ½ A. {1; 2} . B. ¾ 1 ;3 . 3 D. {3; 9}. t Câu 57. Tính tổng các nghiệm của phương trình log22 x − 3 log2 x + 2 = 0. A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. t Câu 58. Tích các nghiệm của phương trình logx (125 x) log225 x = 1 bằng A. 7 . 25 B. 630 . 625 C. 203 1 . 125 D. 630. Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh p µp ¶ p 2 x+1 1 x t Câu 59. Biết phương trình log5 = 2 log3 − p có nghiệm duy nhất x = a + b 2 x 2 2 x trong đó a,b là các số nguyên. Tính 2a + 3b. A. 10. B. 12. C. 0. D. 5. a 4b − a . Giá trị của là 2 bp p 3− 5 C. 6 + 2 5. D. . 8 t Câu 60. Cho a,b là các số dương thỏa log4 a = log25 b = log p A. 6 − 2 5. p 3+ 5 B. . 8 t Câu 61. Tìm nghiệm của phương trình log2 2018 x = 3. A. x = 3 + log2 2018. B. x = 4 . 1009 C. x = 3 − log2 2018. t Câu 62. Số nghiệm của phương trình log2 x2 − x + 3 = 2 là A. 2. B. 1. C. 0. ¡ D. x = 32 . 2018 ¢ D. 3. t Câu 63. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log4 (3 · 2 x − 1) = x − 1. A. −6. B. 5. C. 12. D. 2. 204 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 64. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 (3 · 2x − 1) = 2 x + 1 bằng A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. −1. D. 0. t Câu 65. Gọi P là tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 (3 · 2x − 1) = 2 x + 1. Tính P . A. P = 0. 3 2 B. P = −1. 1 2 C. P = . D. P = . t Câu 66. Tìm tập nghiệm của phương trình log2 x = − x + 6. A. {4}. B. {2; 5}. C. {3}. t Câu 67. Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log2 A. 1. B. 0. C. 2. 205 D. ∅. µ ¶ 1 1 + x + 2 2x + x = 5. 2x 1 D. . 2 Sưu tầm và biên soạn 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 68. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình logp2 ( x − 1) = log2 (mx − 8) có hai nghiệm thực phân biệt là: A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số. t Câu 69. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn [−2017; 2017] để phương trình log3 m + log3 x = 2 log3 ( x + 1) luôn có hai nghiệm phân biệt? A. 4015. B. 2010. C. 2018. D. 2013. t Câu 70. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình log22 x − 2m log2 x + 2 m − 1 = 0 có hai nghiệm thực x1 ,x2 thỏa mãn x1 x2 < 64. A. m ∈ (−∞; 6). B. m ∈ (−∞; 3). C. m ∈ (−∞; 6) \ {1}. D. m ∈ (−∞; 3) \ {1}. t Câu 71. Để phương trình log22 x − 2m log2 x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì giá trị của m·là A. m<1 . m>2 B. m < 1. C. m > 2. 206 D. 1 < m < 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 72. Tất cả các giá trị của m để phương trình log23 x − (m + 2) log3 x + 3 m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 sao cho x1 x2 = 27. A. m = 28 . 3 4 3 B. m = . C. m = 25. t Câu 73. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình log23 x + h D. m = 1. » p i 3 một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 . A. 1 ≤ m ≤ 16. B. 4 ≤ m ≤ 8. C. 3 ≤ m ≤ 8. 207 log23 x + 1 − 2 m − 1 = 0 có ít nhất D. 0 ≤ m ≤ 2. Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI 6. 7 GV: Doãn Thịnh BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Định nghĩa 1. Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b (hoặc a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b) với a > 0, a 6= 1. 1 Xét bất phương trình dạng a x > b (dạng a x ≥ b giải tương tự) Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R. Nếu b > 0, khi đó Với a > 1, ta có a x > b ⇔ x > loga b. Với 0 < a < 1, ta có a x > b ⇔ x < loga b. 2 Xét bất phương trình dạng a x ≤ b (dạng a x < b giải tương tự) Nếu b ≤ 0, bất phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0, khi đó Với a > 1, ta có a x ≤ b ⇔ x ≤ loga b. Với 0 < a < 1, ta có a x ≤ b ⇔ x ≥ loga b. 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 Bất phương trình logarit cơ bản Định nghĩa 2. Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b (hoặc loga x ≥ b, loga x < b, loga ≤ b) với a > 0, a 6= 1. Xét bất phương trình loga x > b. (1) Trường hợp a > 1: (1) ⇔ x > a b . Trường hợp 0 < a < 1: (1) ⇔ 0 < x < a b . 2 Một số bất phương trình logarit đơn giản Một số cách giải bất phương trình logarit đơn giản. Đưa về bất phương trình logarit cơ bản. Đặt ẩn phụ. Mũ hóa. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá, bất đẳng thức. B CÁC DẠNG TOÁN 208 Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 7 GV: Doãn Thịnh BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. { Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản 1 Xét bất phương trình dạng a x > b (dạng a x ≥ b giải tương tự) Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R. Nếu b > 0, khi đó Với a > 1, ta có a x > b ⇔ x > loga b. Với 0 < a < 1, ta có a x > b ⇔ x < loga b. 2 Xét bất phương trình dạng a x ≤ b (dạng a x < b giải tương tự) Nếu b ≤ 0, bất phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0, khi đó Với a > 1, ta có a x ≤ b ⇔ x ≤ loga b. Với 0 < a < 1, ta có a x ≤ b ⇔ x ≥ loga b. u Ví dụ 1. Tìm nghiệm của bất phương trình 3x < 9. Lời giải: ................................................................................................ { Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số 1 Với a > 1, a f (x) ≤ a g(x) ⇔ f ( x) ≤ g( x). 2 Với 0 < a < 1, a f (x) ≤ a g(x) ⇔ f ( x) ≥ g( x). u Ví dụ 1. Tìm nghiệm của bất phương trình 3x−2 ≤ 243 Lời giải: ................................................................................................ { Dạng 3. Bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = a x ( t > 0). u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệp của bất phương trình 9 x − 3 x − 6 > 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 4. Phân tích thành nhân tử Biến đổi một vế của bất phương trình về dạng tích, vế còn lại bằng 0 hoặc hằng số. Dùng kiến thức đã học để giải quyết bài toán. 209 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT u Ví dụ 1. Cho hàm số y = x · e−x . Tìm nghiệm của bất phương trình y0 > 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT { Dạng 5. Giải bất phương trình logagit dạng cơ bản ” 0 < u < a b nếu a > 1 ” u > a b nếu 0 < a < 1. u > a b nếu a > 1 loga u < b ⇔ loga u > b ⇔ 0 < u < a b nếu 0 < a < 1. u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log3 (2 x − 3) > 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 6. Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số Dùng biến đổi logarit để đưa về cùng cơ số. ” loga u < loga v ⇔ 0 < u < v nếu a > 1 u > v > 0 nếu 0 < a < 1. u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x2 + 2 x − 8) ≥ −4. 2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 210 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT { Dạng 7. Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit Tìm một loga f ( x) chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình về bất phương trình theo ẩn t, giải bất phương trình này tìm t sau đó tìm x. 1 2 1 t Chú ý: Nếu đặt t = loga x thì log 1 x = − t, loga2 x = t, log2a x = (loga x)2 = t2 , logx a = . a u Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log22 x − 4 log2 x + 3 > 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… C TRẮC NGHIỆM µ ¶ x−1 µ ¶− x+3 3 3 t Câu 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình > . 4 4 A. (2; +∞). B. (−∞; 2). C. [2; +∞). ¢x D. (−∞; 2]. p t Câu 2. Giải bất phương trình 10 − 3 > 10 + 3 ta được kết quả nào sau đây? A. x < 1. B. x > 1. C. x < −1. D. x > −1. ¡p t Câu 3. Bất phương trình 3x < 9 có nghiệm là A. x < 2. B. x < 3. C. 0 < x < 2. 211 D. 0 < x < 3. Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 3 x > 9 là A. (2; +∞). B. (0; 2). C. (0; +∞). D. (−2; +∞). t Câu 5. Nghiệm của bất phương trình 3 x−2 ≤ 243 là A. x < 7. B. x ≤ 7. C. x ≥ 7. D. 2 ≤ x ≤ 7. t Câu 6. Giải bất phương trình log3 ( x − 1) > 2. A. 0 < x < 10. B. x ≥ 10. D. x > 10. t Câu 7. Tập nghiệm của phương trình 2 A. S = (−∞; 2). B. S = (1; +∞). x+2 µ ¶− x 1 là < 4 C. S = (2; +∞). t Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 2 A. (−∞; 0). C. x < 10. x+2 µ ¶ 2 B. − ; +∞ . 3 D. S = (−∞; 1). µ ¶x 1 < là 4 ¶ 2 D. −∞; − . 3 µ C. (0; +∞) \ {1}. 212 Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình 8 · 4 x+1 − 18 · 2x + 1 < 0 là A. (2; 4). B. (1; 4). C. (−4; −1). t Câu 10. Bất phương trình 9 x − 3 x − 6 > 0 có tập nghiệm là A. (−∞; −1). B. (1; +∞). C. (−1; 1). µ D. ¶ 1 1 ; . 16 2 D. (−∞; 1). t Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình 2 · 4x − 5 · 2x + 2 É 0 có dạng S = [a; b]. Tính giá trị của biểu thức b − a. 5 3 B. 1. C. . D. 2. A. . 2 2 t Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình 2x + 2x+1 ≤ 3x + 3x−1 A. x ∈ [2; +∞). B. x ∈ (2; +∞). C. x ∈ (−∞; 2). 213 D. (2; +∞). Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh µ ¶x 2x 1 > 3 x+1 là: t Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình 9 ” A. x < −2. B. −1 < x < 0. C. −1 ≤ x < 0. t Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình 16x − 4 x − 6 ≤ 0là A. x ≤ log4 3. B. x > log4 3. C. x ≥ 1. t Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình A. x > log3 2. D. C. log3 2 < x < 1. −1 < x < 0 . D. x ≥ 3. 3x < 3 là: 3x − 2 B. x < 1. x < −2 " D. x>1 x < log3 2 . p t Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 11 x+6 ≥ 11x là: A. x < −6. B. −6 ≤ x ≤ 3. C. x > 3. D. ∅. µ ¶ x2 − x+1 µ ¶2x−1 5 5 t Câu 17. Cho bất phương trình > , tập nghiệm của bất phương trình có 7 7 dạng S = (a; b). Giá trị của biểu thức A = b − a nhận giá trị nào sau đây? 214 Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. −1. B. 2. C. 1. 7 GV: Doãn Thịnh D. −2. t Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình 4x − 3.2x + 2 > 0 là: A. x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞). B. x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞). C. x ∈ (0; 1). D. x ∈ (1; 2). ¶1 µ ¶ 2 x 2 3 t Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình p ≤ p là: 5 µ 5¸ µ ¸ µ ¶ 1 1 1 A. 0; . B. 0; . C. −∞; . 3 3 3 µ ¸ 1 D. −∞; ∪ (0; +∞). 3 µ t Câu 20. Cho f ( x) = x2 e−x , bất phương trình f 0 ( x) ≥ 0 có tập nghiệm là A. (2; +∞). B. [0; 2]. C. (−2; 4]. D. (4; +∞). t Câu 21. Cho bất phương trình 2x của T = 2a + b là A. T = 1. B. T = −5. 2 +x + 2 x ≤ 23− x − x2 + 3 có tập nghiệm là [a; b] , a < b. Giá trị C. T = 3. 215 D. T = −2. Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4x+1 − m(2x + 1) > 0 có nghiệm với ∀ x ∈ R. A. m ∈ (−∞; 0]. B. m ∈ (−∞; 0). C. m ∈ (−∞; 1). D. m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞). t Câu 23. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3m + 1) · 18x + (2 − m) · 6x + 2x < 0 có nghiệm đúng ∀ x > 0 là ¶ µ ¶ µ 1 1 C. −∞; − . D. (−∞; −2]. A. (−∞; 2). B. −2; − . 3 3 t Câu 24. Tìm tập nghiệm S của trình log3 (2 x − 3) > 1. µ bất phương ¶ A. S = (1; +∞). B. S = 1 ; +∞ . 6 C. S = (2; +∞). t Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log x ≥ 1 là A. (10; +∞). B. (0; +∞). C. [10; +∞). 216 D. S = (3; +∞). D. (−∞; 10). Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình log3 13 − x2 ≥ 2 là A. (−∞; −2] ∪ [2 : +∞). B. (−∞; 2]. C. (0; 2]. D. [−2; 2]. ¢ ¡ t Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình log3 36 − x2 ≥ 3 là A. (−∞; −3] ∪ [3; +∞). B. (−∞; 3]. C. [−3; 3]. D. (0; 3]. t Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình log3 18 − x2 ≥ 2 là A. (−∞; 3]. B. (0; 3]. C. [−3; 3]. D. (−∞; −3] ∪ [3; +∞). ¢ ¡ ¡ ¢ ³ ´ t Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình log3 log 1 x < 1 là µ A. (0; 1). B. 2 ¶ 1 ;1 . 8 µ C. (1; 8). D. t Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình log2 x2 − 2 x + 3 > 1 là A. R\ {1}. B. R. C. {1}. ¡ 217 ¶ 1 ;3 . 8 ¢ D. ∅. Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 (2 x − 1) > −1 là 2 ¶ µ 3 A. 1; . 2 µ B. ¶ 3 ; +∞ . 2 µ C. ¶ 1 3 ; . 2 2 µ ¶ 3 D. −∞; . 2 t Câu 32. Giải bất phương trình log 3 (2 x − 1) > 2 ta được 25 1 A. < x < . 2 32 25 B. x > . 32 4 C. x < 1 25 hoặc x > . 2 32 t Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình 3 < log2 x < 4 là A. (8; 16). B. (0; 16). C. (8; +∞). 1 2 D. x > . D. R. t Câu 34. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log0,5 (2 x − 1) > −2 ¶ 1 5 A. S = ; . 2 2 µ ¶ 1 5 B. S = ; . 2 2 ¶ 5 C. S = −∞; . 2 · µ 218 ¶ 5 D. S = ; +∞ . 2 µ Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x2 ≥ −1 là A. £ p £p ¢ 2; +∞ . ¢ ¡ p ¤ B. − 2; 0 ∪ 0; 2 . 2 £ p p ¤ 7 GV: Doãn Thịnh ¡ p ¤ C. − 2; 2 . D. 0; 2 . 2 > 2. ¡2 x −p1 ¢ C. S = 1 + 2; +∞ . D. S = (9; +∞). t Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: log 1 ¡ p ¢ A. S = 1; 1 + 2 . B. S = (1; 9). t Câu 37. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 x2 − 3 x + 2 ≥ −1. 2 A. (−∞; 1). B. [0; 1) ∪ (2; 3]. C. [0; 2) ∪ (3; 7]. D. [0; 2). ¡ t Câu 38. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 1) ≥ 0 là 2 A. (1; 2). B. (1; 2]. C. (−∞; 2]. t Câu 39. Tập nghiệm của bất phương trình log3 · ¶ 3 A. S = −2; − . 2 B. S = [−2; 0). 4x + 6 ≤ 0 là x C. S = (−∞; 2]. 219 ¢ D. [2; +∞). · ¸ 3 D. S = R\ − ; 0 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 40. Bất phương trình log 2 2 x2 − x + 1 < 0 có tập nghiệm là ¡ ¢ 3 µ ¶ 3 A. S = 0; . 2 µ ¶ 3 B. S = −1; . 2 µ ¶ 3 D. S = (−∞; 1) ∪ ; +∞ . 2 ¶ 1 C. S = (−∞; 0) ∪ ; +∞ . 2 µ t Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 log2 (2 x − 1) > 0 là ¡ µ ¶ 3 A. S = 1; . 2 2 µ ¶ 3 B. S = 0; . 2 ¶ 3 D. S = ; 2 . 2 µ C. S = (0; 1). t Câu 42. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. log x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. C. log 1 a > log 1 b ⇔ a > b > 0. 5 ¢ B. log5 x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1. D. log 1 a = log 1 b ⇔ a = b > 0. 5 5 5 t Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của x để đồ thị hàm số y = log0,5 x nằm phía trên đường thẳng y = 2. 1 4 A. x ≥ . 1 4 1 4 B. 0 < x ≤ . C. 0 < x < . 220 1 4 D. x > . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 44. Bất phương trình log 1 f ( x) > log 1 g( x) tương đương với điều nào sau đây? 5 5 A. f ( x) < g( x). B. g( x) > f ( x) ≥ 0. C. g( x) > f ( x) > 0. D. f ( x) > g( x). t Câuµ 45. Tìm ¶ tập nghiệm của bất phương trình log3 (2 x − 1) > 1. A. 1 ; +∞ . 2 B. (−∞; 2). C. (2; +∞). D. [1; +∞). t Câu 46. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x2 + 2 x − 8) ≥ −4. 2 A. (−4; 2). B. [−6; 4). C. [−6; −4] ∪ [2; 4]. D. [−6; −4) ∪ (2; 4]. t Câu 47. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình log π4 x2 − 3 x < log π4 ( x + 4) là p p p A. " 2−2 2 < x < 2+ 2 . B. 2 − 2 2

2+2 2 D. ¢ x < 2−2 2 p . x > 2+2 2 t Câu 48. Bất phương trình log4 ( x + 7) > log2 ( x + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên? 221 Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. 1. B. 2. C. 4. 7 GV: Doãn Thịnh D. 3. t Câu 49. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 ( x − 1) + log3 (11 − 2 x) ≥ 0. 3 A. S = (1; 4]. µ ¶ 11 C. S = 3; . 2 B. S = (−∞; 4]. D. S = (1; 4). t Câu 50. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log22 x − 4 log2 x + 3 > 0. A. (1; 8). B. (−∞; 1) ∪ (8; +∞). C. (8; +∞). D. (0; 2) ∪ (8; +∞). t Câu 51. Khi đặt t = log5 x thì bất phương trình log25 (5 x) − 3 logp5 x − 5 É 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. t2 − 6 t − 4 É 0. B. t2 − 6 t − 5 É 0. C. t2 − 4 t − 4 É 0. D. t2 − 3 t − 5 É 0. µ ¶x 2 với t > 0 thì bất t Câu 52. Cho bất phương trình 12 · 9 − 35 · 6 + 18 · 4 > 0. Nếu đặt t = 3 x x x phương trình đã cho trở thành bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây? A. 12 t2 − 35 t + 18 > 0. B. 18 t2 − 35 t + 12 > 0. C. 12 t2 − 35 t + 18 < 0. D. 18 t2 − 35 t + 12 < 0. 222 Sưu tầm và biên soạn 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 53. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log0,8 (15 x + 2) > log0,8 (13 x + 8) là A. Vô số. B. 4. C. 2. D. 3. t Câu 54. Giải bất phương trình log2 (3 x − 2) > log2 (6 − 5 x) được tập nghiệm là (a; b). Hãy tính tổng S = a + b. A. S = 26 . 5 B. S = 11 . 5 C. S = 28 . 15 8 3 D. S = . t Câu 55. Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log 1 log2 2 − x2 £ ¡ ¢¤ > 2 0? A. Vô số. B. 1. C. 0. D. 2. t Câu 56. Bất phương trình log4 ( x + 7) > log2 ( x + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. 223 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT t Câu 57. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 x2 + 2 x − 8 ≥ −4 là ¡ ¢ 2 A. 6. B. Vô số. C. 4. D. 5. µ ¶2×2 −3x−7 1 > 32x−21 là t Câu 58. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3 A. 7. B. 6. C. vô số. 224 D. 8. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG BÀI 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM. NGUYÊN HÀM Cho hàm số f ( x) xác định trên k. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên k nếu F 0 ( x) = f ( x), ∀ x ∈ k. 2 TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM. Z f 0 ( x) d x = f ( x) + C . Z Z ä k f ( x) d x = k f ( x) d x với k 6= 0. Z Z Z ä [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x) d x ± g( x) d x. ä 3 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng Z Z 0d x = C 1 kd x = k · x + C xα+1 + C ,α 6= −1 α+1 Z 1 1 3 d x = − +C 2 x x Z ax x a dx = +C 4 ln a Z 5 exdx = ex + C Z 1 6 d x = ln | x| + C Z x 7 cos x d x = sin x + C Z 8 sin x d x = − cos x + C Z 1 9 d x = tan x + C 2 Z cos x 1 d x = − cot x + C 10 sin2 x Z 2 Z xα d x = Z Z Z Z Z Z Z Z 225 1 (ax + b)α+1 · + C ,α 6= −1 a α+1 dx 1 1 = − . +C a ax + b (ax + b)2 1 a mx+n mx+ n a dx = · +C m ln a 1 e ax+b d x = e ax+b + C a 1 1 d x = . ln |ax + b| + C ax + b a 1 cos (ax + b) d x = · sin (ax + b) + C a 1 sin (ax + b) d x = − cos (ax + b) + C a 1 1 d x = tan (ax + b) + C a cos2 (ax + b) 1 1 d x = − cot (ax + b) + C 2 a sin (ax + b) (ax + b)α d x = Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM B CÁC DẠNG TOÁN. { Dạng 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−→ khai triển. PP  Tích các hàm mũ −−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. PP  Chứa căn −−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. PP  Tích lượng giác bậc một của sin và cosin −−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. 1 [sin(a + b) + sin(a − b)]. 2 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]. 2 1 cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]. 2 sin a cos b =  Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x =  Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = Z 1 1 1 1 − cos 2a, cos2 x = + cos 2a. 2 2 2 2 P ( x) d x, với P ( x), Q ( x) là các đa thức. Q ( x) PP Nếu bậc của tử số P ( x) ≥ bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức. PP • Nếu bậc của tử số P ( x) < bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). • † † A Bx + C 1 = + , với ∆ = b2 − 4ac. 2 2 x − m ( x − m)(ax + bx + c) ax + bx + c 1 B D A C + + = + . 2 2 2 x − a ( x − a) x − b ( x − b)2 ( x − a) ( x − b ) Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. u Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định), biết 1 1 f ( x) = 3 x2 + x 3 2 f ( x) = ( x2 − 3 x)( x + 1) 1 2 3 f ( x) = 3 x3 + − 2 x x 4 f ( x) = (2 x + 3)5 + e2x+3 4 5 f ( x) = (5 x − 1)3 + 5x − 2 3 5 + 3 x − 1 (2 x + 3)2 ³ π´ 7 f ( x) = sin(2 x + 3) − 2 cos 3 x − ³π 3 ´ 8 f ( x) = sin(−7 x + π) + 5 cos −x 12 5 3 9 f ( x) = + 2 2 sin (2 x) cos (6 x) 6 f ( x) = Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 226 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 2 Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = −5 x4 + 4 x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 227 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN { Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Định lí 1. Cho Z f ( u) d u = F ( u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z 0 f [ u( x)] u ( x) d x = F [ u( x)] + C. Một số dạng đổi biến thường gặp            Z phương pháp f (ax + b)n · x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = ax + b ⇒ d t = a d x.   ¶m Z µ  xn phương pháp I = f d x −−−−−−−−−→ Đặt t = ax n+1 + 1 ⇒ d t = a( n + 1) x n d x, với m,n ∈ Z.  n + 1 ax +1  Z  phương pháp I = f (ax2 + b)n · x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = ax2 + b ⇒ d t = 2ax d x. Z p p 0 phương pháp 0 I = n f ( x) · f ( x) d x −−−−−−−−−→ Đặt t = n f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f ( x) d x. Z  1 1 phương pháp  I = f (ln x) · x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = ln x ⇒ d t = x d x.  Z  1 b phương pháp I = f (a + b ln x) · d x −−−−−−−−−→ Đặt t = a + b ln x ⇒ d t = d x. x x Z  phương pháp x x x x  I = f (e ) · e d x −−−−−−−−−→ Đặt t = e ⇒ d t = e d x.  Z  phương pháp I = f (a + be x ) · e x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = a + be x ⇒ d t = be x d x Z  phương pháp  I = f (cos x) · sin x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x.  Z  phương pháp I = f (a + b cos x) · sin x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = a + b cos x ⇒ d t = − b sin x d x. Z  phương pháp  I = f (sin x) · cos x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  Z  phương pháp I = f (a + b sin x) · cos x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = a + b sin x ⇒ d t = b cos x d x. Z 1 d x phương pháp −−−−−−−−−→ Đặt t = tan x ⇒ d t = d x = (1 + tan2 x) d x. I = f (tan x) · 2 2x cos x cos Z d x phương pháp 1 I = f (cot x) · −−−−−−−−−→ Đặt t = cot x ⇒ d t = − d x = −(1 + cot2 x) d x. 2 2 sin x sin x " Z t = sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x; phương pháp 2 2 I = f (sin x; cos x) · sin 2 x d x −−−−−−−−−→ Đặt t = cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x. Z phương pháp I = f (sin x ± cos x) · (sin x ∓ cos x) d x −−−−−−−−−→ Đặt t = sin x ± cos x ⇒ d t = (cos x ∓ sin x) d x. I= ! Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x. u Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 228 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM Z 1 I= 2017 x(1 + x) Z d x. tan x d x. 4 I= x e dx x Z e −1 ln x 3 I= d x. x Z Z sin3 x d x. Z cos2017 x · sin x d x 5 I= 2 I= 6 I= Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 2 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN { Dạng 3. Nguyên hàm từng phần Định lí 2. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm và liên tục trên K thì Z I= Z 0 u ( x) v ( x) d x = u ( x) v( x) − u 0 ( x) v( x) d x hay Z I= Z u dv − v d u. Vận dụng giải toán:  Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ:  Đặt:  u = . . .  dv = . . . d x vi phân −→ d u = . . . d x nguyên hàm −→ Suy ra: I = Z x e sin x d x, Z Z u dv = uv − Z x ln x d x, . . . v d u. v = ...  Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại.  Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.  Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. u Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 229 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM Z 1 I= Z ln x d x 4 I= Z 2 I= x ln x d x xe x d x Z (1 − 2 x) e x d x 5 I= Z 3 I= ( x + 1) sin 2 x d x Z x sin x d x 6 I= Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4 3 x2 A. F ( x) = + + 2x + C. 4 2 4 2 x x C. F ( x) = + + 2 x + C . 4 2 x4 B. F ( x) = + 3 x2 + 2 x + C . 3 D. F ( x) = 3 x2 + 3 x + C . t Câu 2. Hàm số F ( x) = 5 x3 + 4 x2 − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f ( x) = 15 x2 + 8 x − 7. B. f ( x) = 5 x2 + 4 x + 7. C. f ( x) = 5 x2 4 x3 7 x2 + − . 4 3 2 D. f ( x) = 5 x2 + 4 x − 7. 230 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM 1 x t Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y = x2 − 3 x + là x3 3 2 A. F ( x) = − x + ln x + C . 3 2 x3 3 2 C. F ( x) = + x + ln x + C . 3 2 ¯ ¯ x3 3 2 ¯ ¯ B. F ( x) = − x + ln ¯ x¯ + C . 3 2 1 D. F ( x) = 2 x − 3 − 2 + C . x t Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1) ( x + 2) x3 2 2 A. F ( x) = + x + 2 x + C . 3 3 x3 3 2 C. F ( x) = + x + 2 x + C . 3 2 B. F ( x) = 2 x + 3 + C . . x3 2 2 D. F ( x) = − x + 2 x + C . 3 3 t Câu 5. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 x A. F ( x) = − ln ¯5 − 2 x¯ + 2 ln ¯ x¯ − + C . . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 x C. F ( x) = ln ¯5 − 2 x¯ + 2 ln ¯ x¯ − + C . 2 2 3 + + 2 là hàm số nào? 5 − 2x x x ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ B. F ( x) = − ln ¯5 − 2 x¯ + 2 ln ¯ x¯ + + C . x ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ D. F ( x) = − ln ¯5 − 2 x¯ − 2 ln ¯ x¯ + + C . x t CâuZ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x Z 1 sin 2 xdx = − cos 2 x + C . 2 Z C. sin 2 xdx = cos 2 x + C . A. B. D. 231 sin 2 xdx = Z 1 cos 2 x + C . 2 sin 2 xdx = − cos 2 x + C . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM ³ π´ t Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x + . Z 6 Z ³ ³ 1 π´ π´ + C. B. f ( x) dx = − sin 3 x + + C. A. f ( x) .dx = sin 3 x + 6 ´ 3 ³ 6 Z Z ³ ´ 1 π π 1 C. f ( x) dx = sin 3 x + + C. D. f ( x) dx = sin 3 x + + C. 3 6 6 6 x Z2 x B. f ( x) dx = 2 tan + C . 2 Z x D. f ( x) dx = −2 tan + C . 2 t Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan2 . x + C. 2 Z 1 x C. f ( x) dx = tan + C . 2 2 A. Z f ( x) dx = tan t Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ³ π´ + C. f ( x) dx = − cot x + 3 Z ³ π´ C. f ( x) dx = cot x + + C. 3 A. Z 1 ³ π´. sin2 x + Z 3 ³ 1 π´ B. f ( x) dx = − cot x + + C. 3 ³ 3 Z π´ 1 D. + C. f ( x) dx = cot x + 3 3 t Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin3 x. cos x. sin4 x A. f ( x) dx = + C. 4 Z sin2 x C. f ( x) dx = + C. 2 sin4 x + C. 4 Z sin2 x D. f ( x) dx = − + C. 2 Z B. 232 Z f ( x) dx = − Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t CâuZ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x − eZ−x . f ( x) dx = − e x + e− x + C . A. C. Z x f ( x) dx = e − e −x f ( x) dx = e x + e− x + C . B. D. + C. Z f ( x) dx = − e x − e− x + C . t CâuZ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x .3−Z2x . µ ¶x µ ¶x 9 1 2 + C. B. f ( x) dx = A. f ( x) dx = . . C. Z 1 + C. µ 2 ¶ x ln 2 − ln 9 Z 2 1 D. f ( x) dx = + C. . 9 ln 2 + ln 9 µ 9 ¶ x ln 2 − ln 9 2 1 f ( x) dx = + C. . 3 ln 2 − ln 9 t Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x (3 + e−x ) là A. F ( x) = 3 e x + x + C . B. F ( x) = 3 e x + e x ln e x + C . C. F ( x) = 3 e x − 1 + C. ex D. F ( x) = 3 e x − x + C . t Câu 14. Hàm số F ( x) = 7 e x − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 . cos2 x ¶ µ 1 C. f ( x) = 7 e x − . cos2 x A. f ( x) = 7 e x + B. f ( x) = 7 e x + tan2 x − 1. µ ¶ e− x D. f ( x) = e 7 − . cos2 x x 233 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM p t CâuZ 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e4x−Z 2 . 1 A. f ( x) dx = e2x−1 + C . B. f ( x) dx = e2x−1 + C . 2 Z Z 1 p 2x−1 1 4x−2 + C. D. f ( x) dx = e + C. C. f ( x) dx = e 2 2 t Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = p p f ( x) dx = 2 2 x − 1 + C . p Z 2x − 1 C. f ( x) dx = + C. 2 A. Z 1 là 2x − 1 Z B. D. t Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = p Z 1 3 −Zx p f ( x) dx = −2 3 − x + C . Z p C. f ( x) dx = 2 3 − x + C . A. f ( x) dx = p 2x − 1 + C. p f ( x) dx = −2 2 x − 1 + C . . p f ( x) dx = − 3 − x + C . Z p D. f ( x) dx = −3 3 − x + C . Z B. p t Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1. 234 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM p 1 (2 x + 1) 2 x + 1 + C . 3 Z 1p C. f ( x) dx = − 2x + 1 + C. 3 A. p 2 (2 x + 1) 2 x + 1 + C . 3 Z 1p D. f ( x) dx = 2x + 1 + C. 2 Z B. f ( x) dx = Z f ( x) dx = p t CâuZ 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5 −Z3 x. p p 2 2 B. f ( x) dx = − (5 − 3 x) 5 − 3 x. A. f ( x) dx = − (5 − 3 x) 5 − 3 x + C . C. Z 9 p 2 f ( x) dx = (5 − 3 x) 5 − 3 x. 9 D. t CâuZ 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 3 3 f ( x) dx = ( x − 2) x − 2 + C . 4 A. C. p 3 Z f ( x) dx = Z 3 2p f ( x) dx = − 5 − 3x + C. 3 x −Z2. p 3 3 f ( x) dx = − ( x − 2) x − 2 + C . 4 2 Z − 1 D. f ( x) dx = ( x − 2) 3 + C . 3 B. p 2 ( x − 2) x − 2. 3 p t CâuZ 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 1 −Z3 x. p p 3 1 3 3 B. f ( x) dx = − (1 − 3 x) 1 − 3 x + C . A. f ( x) dx = − (1 − 3 x) 1 − 3 x + C . 4 C. Z 4 p 1 3 f ( x) dx = (1 − 3 x) 1 − 3 x + C . 4 D. 235 Z 2 f ( x) dx = −(1 − 3 x) 3 + C . − Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM p t Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e3x . p 2 e3x B. f ( x) dx = +C . 3 3x + 2 Z 2e 2 D. f ( x) dx = + C. 3x + 2 3 A. f ( x) dx = p +C . 2 e3x p Z 3 e3x C. f ( x) dx = +C . 2 Z Z p t Câu 23. Hàm số F ( x) = ( x + 1)2 x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 5 2 p p 2 5 p 5 D. f ( x) = ( x + 1) x + 1 . 2 A. f ( x) = ( x + 1) x + 1 + C . B. f ( x) = ( x + 1) x + 1 . p C. f ( x) = ( x + 1) x + 1 + C . t Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 2 F (−1) = . Khi đó F ( x) là hàm số nào sau đây? 3 2p A. F ( x) = x − 1 − 3x + 3 . 3 p 2 C. F ( x) = x − 1 − 3x + 1 . 3 1 1 − 3x + 1 là hàm số F ( x) thỏa mãn 2p 1 − 3x − 3 . 3 p 2 D. F ( x) = 4 − 1 − 3 x. 3 B. F ( x) = x − p t Câu 25. Biết F ( x) = 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = p a 1− x . Khi đó giá trị của a bằng A. −3. B. 3. C. 6. 236 D. 1 . 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 26. Tính F ( x) = Z x sin xdx bằng A. F ( x) = x sin x − cos x + C . C. F ( x) = sin x − x cos x + C . t Câu 27. Tính Z B. F ( x) = sin x + x cos x + C . D. F ( x) = x sin x + cos x + C . x ln2 xdx. Chọn kết quả đúng: 1 2 x (2ln2 x − 2 ln x + 1) + C . 4 1 C. x2 (2ln2 x + 2 ln x + 1) + C . 4 1 2 x (2ln2 x − 2 ln x + 1) + C . 2 1 D. x2 (2ln2 x + 2 ln x + 1) + C . 2 A. t Câu 28. Tính F ( x) = B. Z x sin x cos xdx. Chọn kết quả đúng: 1 x 8 4 1 x C. F ( x) = sin 2 x + cos 2 x + C . 4 8 1 x 4 2 −1 x D. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C . 4 8 A. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C . t Câu 29. Tính F ( x) = Z B. F ( x) = cos 2 x − sin 2 x + C . x xe 3 dx. Chọn kết quả đúng x x A. F ( x) = 3( x − 3) e 3 + C . B. F ( x) = ( x + 3) e 3 + C . C. F ( x) = D. F ( x) = x−3 x e3 +C . 3 237 x+3 x e 3 + C. 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM x dx. Chọn kết quả đúng cos2 x A. F ( x) = x tan x + ln | cos x| + C . B. F ( x) = − x cot x + ln | cos x| + C . C. F ( x) = − x tan x + ln | cos x| + C . D. F ( x) = − x cot x − ln | cos x| + C . t Câu 30. Tính F ( x) = t Câu 31. Tính F ( x) = Z Z x2 cos xdx. Chọn kết quả đúng A. F ( x) = 2 x2 sin x − x cos x + sin x + C . C. F ( x) = ( x2 − 2) sin x + 2 x cos x + C . t Câu 32. Tính F ( x) = B. F ( x) = x2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + C . D. F ( x) = (2 x + x2 ) cos x − x sin x + C . Z x sin 2 xdx. Chọn kết quả đúng 1 4 1 D. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . 4 1 4 1 C. F ( x) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . 4 A. F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . B. F ( x) = (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . t Câu 33. Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f ( x) = x sin x. B. f ( x) = x cos x. C. f ( x) = − x cos x. D. f ( x) = − x sin x. 238 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM 1 + ln( x + 1) dx. Khẳng định nào sau đây là sai? x2 ¯ ¯ ¯ x ¯ −1 + ln( x + 1) 1 + ln( x + 1) ¯ x ¯ ¯ ¯ A. + ln ¯ + ln + C . B. − ¯ ¯ ¯+C . x x+1 x x + 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ln( x + 1) x+1 ¯ ¯ ¯ ¯ (1 + ln( x + 1)) + ln | x| + C . D. − − ln ¯ x + 1¯ + ln ¯ x¯ + C . C. − x x t Câu 34. Tính Z t Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng A. C. Z ax a dx = + C (0 < a 6= 1). ln a x Z Z f ( x) .g ( x) dx = B. Z f ( x) dx D. g ( x) dx. t CâuZ 36. Mệnh đề nào sau đây sai? A. C. a x dx = ax + C, (0 < a 6= 1). ln a t Câu 37. Hàm số f ( x) = x3 − x2 + 3 + ¯ ¯ x3 ¯ ¯ + 3 x + ln ¯ x¯ + C . 3 ¯ ¯ ¯ ¯ C. F ( x) = x4 − x3 + 3 x + ln ¯ x¯ + C . xα dx = Z f ( x) dx = Z g ( x) f ( x) dx . g ( x) dx ¯ ¯ 1 ¯ ¯ dx = ln ¯ x¯ + C,x 6= 0. x Z D. e x dx = e x + C . B. sin xdx = cos x + C . Z xα+1 + C,∀α ∈ R. α +Z 1 Z Z 1 có nguyên hàm là x 1 + C. x2 ¯ ¯ x4 x3 ¯ ¯ D. F ( x) = − + 3 x + ln ¯ x¯ + C . 4 3 A. F ( x) = x4 − B. F ( x) = 3 x2 − 2 x − 239 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan2 x là A. F ( x) = tan x − x + C . B. F ( x) = − tan x + x + C . C. F ( x) = tan x + x + C . D. F ( x) = − tan x − x + C . t Câu 39. Hàm số F ( x) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f ( x) = sin x + 7 cos x. B. f ( x) = − sin x + 7 cos x. C. f ( x) = sin x − 7 cos x. D. f ( x) = − sin x − 7 cos x. t Câu 40. Kết quả tính A. tan x − cot x + C . 1 Z dx là sin xcos2 x B. cot 2 x + C . 2 1 t Câu 41. Hàm số F ( x) = 3 x2 − p + x p 1 A. f ( x) = x3 − 2 x − − x. x p 1 3 C. f ( x) = x − 2 x + . x C. tan 2 x − x + C . D. − tan x + cot x + C . 1 − 1 có một nguyên hàm là x2 p 1 B. f ( x) = x3 − x − − x. x 1p 1 3 D. f ( x) = x − x − − x. 2 x 240 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 42. Hàm số f ( x) = A. 1 4sin4 x cos x sin5 x B. . Z t Câu 43. Kết quả tính 2 x ¢ 3 »¡ A. − 5 − 4 x2 + C . 8 » ¢3 1 ¡ 5 − 4 x2 + C . C. − có một nguyên hàm F ( x) bằng 4 sin4 x p C. . −4 sin4 x . D. − 1 4sin4 x . 5 − 4 x2 dx bằng ¢3 1 »¡ B. 5 − 4 x2 + C . 6 » ¢3 1 ¡ 5 − 4 x2 + C . D. − 6 12 Z t Câu 44. Kết quả esin x cos xdx bằng A. esin x + C . t Câu 45. Tính B. cos x.esin x + C . C. ecos x + C . D. e− sin x + C . Z tan xdx bằng ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ B. ln ¯ cos x¯ + C . A. − ln ¯ cos x¯ + C . C. 241 1 + C. cos2 x D. −1 + C. cos2 x Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 46. Tính Z cot xdx bằng ¯ ¯ ¯ ¯ A. ln ¯ sinx¯ + C . ¯ ¯ ¯ ¯ B. − ln ¯ sinx¯ + C . t Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y = ¯ ¯ 1 3 1 2 ¯ ¯ x + x + x + ln ¯ x + 1¯ + C . 3 2 ¯ ¯ 1 3 1 2 ¯ ¯ C. x + x + x + ln ¯ x − 1¯ + C . 6 2 C. x3 là x−1 t Câu 49. Kết quả tính A. 1 ¯¯ x ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x+3 1 − C. sin2 x B. t Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¯ ¯ x2 ¯ ¯ + 3 x + 6 ln ¯ x + 1¯ . 2 ¯ ¯ x2 ¯ ¯ + 3 x − 6 ln ¯ x + 1¯. C. 2 D. ¯ ¯ 1 3 1 2 ¯ ¯ x + x + x + ln ¯ x − 1¯ + C . 3 2 ¯ ¯ 1 3 1 2 ¯ ¯ D. x + x + x + ln ¯ x − 1¯ + C . 3 4 A. A. −1 + C. sin2 x x2 − 2 x + 3 là x+1 ¯ ¯ x2 ¯ ¯ B. − 3 x + 6 ln ¯ x + 1¯. 2 x2 D. − 3 x + 6 ln ( x + 1). 2 1 dx bằng x ( x + 3) ¯ 1 ¯ x ¯¯ B. − ln ¯ ¯ + C. 3 x+3 Z C. 242 2 ¯¯ x + 3 ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x D. 2 ¯¯ x ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x+3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 50. Kết quả tính A. 1 ¯¯ x − 3 ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x 1 dx bằng x ( x − 3) 1 ¯¯ x + 3 ¯¯ B. ln ¯ ¯ + C. 3 x Z C. t Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 ¯¯ x + 2 ¯¯ A. F ( x) = ln ¯ ¯ + C. 3 ¯ x −1¯ 1 ¯ x −1¯ C. F ( x) = ln ¯ ¯ + C. 3 x+2 1 ¯¯ x ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x+3 1 x2 + x − 2 D. 1 ¯¯ x ¯¯ ln ¯ ¯ + C. 3 x−3 là ¯ x −1¯ ¯ ¯ B. F ( x) = ln ¯ ¯ + C. ¯x+2 ¯ ¯ ¯ D. F ( x) = ln ¯ x2 + x − 2¯ + C . ¶ 1− x 2 t Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = là x ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ A. F ( x) = − − 2 ln x + x + C . B. F ( x) = − 2 ln ¯ x¯ + x + C . x x ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ D. F ( x) = − − 2 ln ¯ x¯ − x + C . C. F ( x) = − − 2 ln ¯ x¯ + x + C . x x µ t Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¯x−a¯ 1 ¯ ¯ A. ln ¯ ¯ + C. 2a x+a 1 x2 − a2 ¯x+a¯ 1 ¯ ¯ B. ln ¯ ¯ + C. 2a x−a với a 6= 0 là C. 243 1 ¯¯ x − a ¯¯ ln ¯ ¯ + C. a x+a D. 1 ¯¯ x + a ¯¯ ln ¯ ¯ + C. a x−a Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM x t Câu 54. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 8 − x2 phương trình F ( x) = x có nghiệm là A. x = 1. B. x = −1. p C. x = 1 − 3. t Câu 55. Nếu F ( x)là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 2 A. ln 2 + 1. thoả mãn F (2) = 0. Khi đó B. ln . C. ln 2. 1 và F (2) = 1 thì F (3) bằng x−1 1 D. . 2 t Câu 56. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = p ln2 x + 1. Giá trị của F 2 ( e) là A. 8 . 9 B. 1 . 9 C. t Câu 57. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 x + A. cot x − x2 + π2 16 . B. − cot x + x2 − π2 16 8 . 3 ln x 1 thoả mãn F (1) = . x 3 D. 1 sin2 x thỏa mãn F C. − cot x + x2 . . D. x = 0. ³π´ 4 1 . 3 = −1 là D. cot x − x2 − π2 16 . t Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos2 x. sin x. 244 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM sin2 x + C. 2 Z sin2 x D. f ( x) dx = + C. 2 cos3 x + C. A. f ( x) dx = 3 Z cos3 x C. f ( x) dx = − + C. 3 Z B. t Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = Z ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) dx = − ln ¯ sin x¯ + C . Z ¯ ¯ ¯ ¯ C. f ( x) dx = ln ¯ sin 2 x¯ + C . A. Z f ( x) dx = − sin 2 x . cos 2Zx − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) dx = ln ¯ cos 2 x − 1¯ + C . Z ¯ ¯ ¯ ¯ D. f ( x) dx = ln ¯ sin x¯ + C . B. t Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x. cos 2 x.dx. cos3 x + cos x + C . 3 Z 1 1 D. f ( x) dx = cos 3 x − sin x + C . 6 2 1 1 A. f ( x) dx = cos 3 x + sin x + C . 6 2 Z −2cos3 x C. f ( x) dx = + cos x + C . 3 Z B. Z f ( x) dx = t CâuZ 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 sin Zx. cos 3 x. A. C. f ( x) dx = Z 1 1 cos 2 x − cos 4 x + C . 2 4 4 B. 2 D. f ( x) dx = 2cos x + 3cos x + C . 245 f ( x) dx = Z 1 1 cos 2 x + cos 4 x + C . 2 4 f ( x) dx = 3cos4 x − 3cos2 x + C . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 62. Hàm số f ( x) = 3x − 2x .3x có nguyên hàm bằng 3x 3 x .2 x + + C. lnx3 ln 6x 3 6 D. + + C. ln 3 ln 3. ln 2 A. 3x ln 3 (1 + 2x ln 2) + C . B. 3x 6x C. − + C. ln 3 ln 6 t Câu 63. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( e−x + e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 là 1 1 A. F ( x) = −2 e−2x + 2 e2x + 2 x + 1. B. F ( x) = − e−2x + e2x + 2 x + 1. 2 2 1 −2x 1 2x D. F ( x) = − e + e + 2 x − 1. 2 2 1 1 C. F ( x) = − e−2x + e2x + 2 x. 2 2 t Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¯ ¯ ¯ ¯ A. F ( x) = 2x − 3 ln ¯ x + 1¯ + C . ¯ ¯ ¯ ¯ C. F ( x) = 2x − ln ¯ x + 1¯ + C . t Câu 65. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¯ 1 5 ¯¯ ¯ 8 4¯ ¯ ¯ ¯ C. F ( x) = (2x + 1)2 + ln ¯2x + 1¯ + C . A. F ( x) = (2x + 1)2 + ln ¯2x + 1¯ + C . 2x − 1 . x+1 ¯ ¯ ¯ ¯ B. F ( x) = 2x + 3 ln ¯ x + 1¯ + C . ¯ ¯ ¯ ¯ D. F ( x) = 2x+ ln ¯ x + 1¯ + C . 2 x 2 + 2x + 3 . 2x + 1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ B. F ( x) = (2x + 1)2 + 5 ln ¯2x + 1¯ + C . 8 ¯ ¯ ¯ ¯ D. F ( x) = (2x + 1)2 − ln ¯2x + 1¯ + C . 246 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 66. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¡ ¢ x2 A. F ( x) = − ln x2 + 1 + C . 2 ¡ ¢ C. F ( x) = x2 − ln x2 + 1 + C . ¡ ¢ x2 B. F ( x) = + ln x2 + 1 + C . 2 ¡ ¢ D. F ( x) = x2 + ln x2 + 1 + C . t Câu 67. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ¯ ¯ ¯ ¯ A. F ( x) = ln ¯ ln x + 1¯ + C . ¯ ¯ ¯ ¯ C. F ( x) = ln ¯x + 1¯ + C . x3 − x . x2 + 1 1 . x ln x + x ¯ ¯ ¯ ¯ B. F ( x) = ln ¯ ln x − 1¯ + C . D. F ( x) = ln x + 1 + C . e2x t Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x . e +1 x x A. F ( x) = e + ln ( e + 1) + C . B. F ( x) = ln ( e x + 1) + C . C. F ( x) = e2x − e x + C . D. F ( x) = e x − ln ( e x + 1) + C . ½ ¾ 2 1 t Câu 69. Cho hàm số f ( x) xác định trên R\ thỏa mãn f 0 ( x) = , f (0) = 1, f (1) = 2. Giá 2 2x − 1 trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 2 + ln 15. B. 3 + ln 15. C. ln 15. D. 4 + ln 15. 247 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM 1 t Câu 70. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F ( e + 1) = x−1 4. Tìm F ( x). A. 2 ln ( x − 1) + 2. B. ln ( x − 1) + 3. C. 4 ln ( x − 1). D. ln ( x − 1) − 3. t Câu 71. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = bằng A. 2 + ln 2. B. ln 2. 1 biết F (1) = 2. Giá trị của F (0) x−2 C. 2 + ln (−2). D. ln (−2). 1 ; biết F (0) = 2. Tính F (1). 2x + 1 1 C. F (1) = 2 ln 3 − 2. D. F (1) = ln 3 + 2. 2 t Câu 72. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x) = 1 2 A. F (1) = ln 3 − 2. B. F (1) = ln 3 + 2. 3 t Câu 73. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) = . Tìm 2 F ( x). 1 2 A. F ( x) = e x + x2 + . 5 2 B. F ( x) = e x + x2 + . 248 3 2 C. F ( x) = e x + x2 + . 1 2 D. F ( x) = 2 e x + x2 − . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 74. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2x và F (0) = 0. Giá trị của F (ln 3) bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. t Câu 75. Hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên R và f 0 ( x) = 2 e2x + 1, ∀ x, f (0) = 2. Hàm f ( x) là A. f ( x) = 2 e x + 2 x. B. f ( x) = 2 e x + 2. C. f ( x) = e2x + x + 2. D. f ( x) = e2x + x + 1. t Câu 76. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + cos x thoả mãn F A. F ( x) = − cos x + sin x + 3. C. F ( x) = − cos x + sin x + 1. B. F ( x) = − cos x + sin x − 1. D. F ( x) = cos x − sin x + 3. ³π´ 2 = 2. t Câu 77. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 15. B. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 2. C. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. D. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 2. t Câu 78. Kết quả của Z sin2 x cos xdx bằng 249 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM A. 1 3 sin x + C . 3 t Câu 79. Tính 1 3 B. sin3 x + C . Z C. − sin3 x + C . cos2 x sin xdx bằng 1 3 A. − cos3 x + C . t Câu 80. Kết quả của B. −cos3 x + C . Z C. cos3 x − cos x + C . 3 cos3 x − cos x + C . C. 3 t Câu 81. Kết quả của A. 1 5 sin x + C . 5 D. cos3 x + C . B. 3 sin2 x. cos x + C . D. Z sin3 x + C. 3 t Câu 82. Kết quả của 1 cos3 x + C . 3 sin3 xdx bằng A. − A. sin x + D. −sin3 x + C . cos3 xdx bằng B. 3 sin2 x. cos x + C . Z cos3 x − cos x + C . 6 C. sin x − sin3 x + C. 3 D. − sin x − sin3 x + C. 3 sin4 x cos xdx bằng 1 5 B. − sin5 x + C . C. sin5 x + C . 250 D. −sin5 x + C . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM etan x dx bằng cos2 x A. tan x.etan x + C . B. e− tan x + C . t Câu 83. Tính t Câu 84. Tính A. Z Z 4 x3 + C. x4 + 4 x 3 x2 dx bằng x3 + 1 ¯ ¯ ¯ ¯ B. ln ¯ x3 + 1¯ + C . C. etan x + C . D. − etan x + C . C. ln x3 + 1 + C . D. ¡ 6 x2 − 12 x t Câu 85. Tính dx bằng x¯3 − 3 x2 + 6 ¯ ¯ ¯ A. 2 ln ¯ x3 − 3 x2 + 6¯ + C . ¯ 1 ¯¯ ¯ C. ln ¯ x3 − 3 x2 + 6¯ + C . 2 ¢ x3 + C. x4 + x Z ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 2 B. ln ¯ x − 3 x + 6¯ + C . ¡ ¢ D. 2 ln x3 − 3 x2 + 6 + C . 4 x3 + 2 x dx bằng 4 2 ¯ ¯ x + x +3 ¯ ¯ A. ln ¯ x4 + x2 + 3¯ + C . ¯ 1 ¯¯ 4 ¯ 2 C. ln ¯ x + x + 3¯ + C . 2 t Câu 86. Tính Z ¯ ¯ ¯ ¯ B. 2 ln ¯ x4 + x2 + 3¯ + C . D. −2 ln x4 + x2 + 3 + C . ¡ 251 ¢ Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM x2 + 1 t Câu 87. Tính dx bằng x¯ 3 + 3 x − 1 ¯ 1 ¯ ¯ A. ln ¯ x3 + 3 x − 1¯ + C . 3¯ ¯ ¯ 3 ¯ C. ln ¯ x + 3 x − 1¯ + C . Z t Câu 88. Tính A. Z 1 6x−5 e + C. 6 t Câu 89. Tính a + b. A. a + b = 1. D. Z ¢ 1 ¡ 3 ln x + 3 x − 1 + C . 3 C. 6 e6x−5 + C . D. e6x+5 − C . C. e x+5 + C . D. − e x+5 + C . e− x−5 dx bằng B. e−x−5 + C . Z ¯ ¯ e6x−5 dx bằng B. e6x−5 + C . A. − e−x−5 + C . t Câu 90. Biết ¯ ¯ B. ln ¯ x3 + 3 x − 1¯ + C . x+1 dx= a. ln | x − 1| + b. ln | x − 2| + C , a,b ∈ Z. Tính giá trị biểu thức ( x − 1) (2 − x) B. a + b = 5. C. a + b = −5. 252 D. a + b = −1. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM t Câu 91. Biết rằng A. Z a 1 =− . 2b 2 t Câu 92. Biết A. 0. B. Z b = 2. a Z 2 x − 13 dx = a ln | x + 1|+ b ln | x − 2|+ C . Mệnh đề nào sau đây đúng? ( x + 1) ( x − 2) B. a + b = 8. C. 2a − b = 8. D. a − b = 8. Z 4 x + 11 dx = a ln | x + 2| + b ln | x + 3| + C . Tính giá trị biểu thức: P = a2 + x2 + 5 x + 6 A. a + 2b = 8. t Câu 94. Cho biết A. 12. b + C với a,b ∈ Z. Chọn khẳng định đúng. x−1 2a C. = −1. D. a = 2b. b dx = a ln | x − 1| + 2x + 3 dx = a ln | bx + 1| + c ln | x − 1| + C , a, b, c ∈ Z. Khi đó a + b + c bằng 2 x2 − x − 1 3 B. 1. C. . D. 2. 2 t Câu 93. Cho biết ab + b2 . x−3 x2 − 2 x + 1 B. 13. C. 14. 253 D. 15. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. NGUYÊN HÀM 254 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA 2. TÍCH PHÂN Định nghĩa 1 (Khái niệm tích phân). Cho hàm số f ( x) liên tục trên K và a, b ∈ K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K thì F (b) − F (a) được gọi là tích phân Zb của f ( x) từ a đến b và được kí hiệu Zb f ( x) d x. Khi đó I = a ¯b ¯ f ( x) d x = F ( x)¯ = F ( b) − F (a) (a a a cận dưới, b cận trên). Đối với biến số lấy tích phân, có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x, nghĩa là ! Zb I= Zb f ( x) d x = a f ( t) d t = . . . = F ( b)−F (a) (không phụ thuộc biến mà phụ thuộc cận). a Tính chất 1 (Tính chất tính phân). Zb f ( x) d x. f ( x) d x = − 1 Za Za a a b Zb Zb ( f ( x) ± g( x)) d x = 3 f ( x) d x = 0. 2 a Zb Zb g ( x) d x. f ( x) d x ± a f ( x) d x = 4 a Zc a Zb f ( x) d x + a f ( x) d x ( a < c < c b). Zb 5 6 a a B Zb ¯b ¯ f 0 ( x ) d x = f ( x )¯ = f ( b ) − f ( a ) ¯b ¯ f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯ = f 0 ( b) − f 0 (a). a a CÁC DẠNG TOÁN. { Dạng 1. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán. u Ví dụ 1. Tính các tích phân sau Z3 a) Tính (3 x2 − 4 x + 5) d x. 1 Z1 b) Tính 0 dx . (1 + x)3 Lời giải: 255 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Phương Z pháp giải: Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp. 1 1 d x = ln |ax + b| + C , với a 6= 0. a Z ax + b 1 −1 1 dx = · + C , với a 6= 0, n ∈ N, n ≥ 2. 2 n a ( n − 1)(ax + b)n¯−1 Z (ax + b) ¯ 1 1 ¯x+a¯ 3 dx = ln ¯ ¯ + C , với a 6= b. ( x + a)( x + b) b−a x+b 1 u Ví dụ 1. Tính các tích phân sau Z1 1 Tính 0 Z1 x d x. ( x + 1)2 2 0 x d x. ( x + 2)3 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Tính chất của tích phân Phương pháp giải: Các tính chất Zc Zb f ( x) d x = 1 a Zb 2 Zb f ( x) d x + a f ( x) d x, c f ( x) d x = f ( x)|ab = f ( b) − f (a), a Zb Za f ( x) d x = − a Zb f ( x) d x. b ¯b f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯a = f ( b) − f (a),.. . . a u Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn Z10 f ( x) d x = 7 và 0 Z2 3. Tính f ( x) d x = 2 Z10 f ( x) d x. f ( x) d x + 0 Z6 6 Lời giải: ................................................................................................ 256 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN ................................................................................................ ................................................................................................ 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Zb ¯b ¯ [ f ( x)] u0 ( x) d x = F [ u( x)] ¯ = F [ u( b)] − F [ u(a)] . a a Bước 1: Biến đổi(để chọn phép đặt t = u( x) ⇒ d t = u0 ( x)d x. Bước 2: Đổi cận x = b ⇒ t = u( b) . x = a ⇒ t = u ( a) u(b) Z Bước 3: Đưa về dạng I = f ( t) d t đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) { Dạng 4. Z n f (ax + b)n x d x −→ Đặt t = ax + b ⇒ d t = ad x. ¶m Zmn µ xn d x −→ Đặt t = x n+1 + 1 ⇒ d t = ( n + 1) x n d x. I2 = n + 1 +1 Zm x I1 = n I3 = m f (ax2 + b)n xd x −→ Đặt t = ax2 + b ⇒ d t = 2axd x. u Ví dụ 1. Tính tích phân I = Z1 x(1 − x)19 d x. 0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tính tích phân I = Z1 0 x3 d x. 1 + x2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 257 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN { Dạng 5. I= Zb p n f ( x) f 0 ( x) d x −→ Đặt t = p n f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f 0 ( x)d x. a Z9 p 3 u Ví dụ 1. Tính tích phân I = x 1 − x d x. 1 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 6. Đổi biến biểu thức chứa ln , ex hoặc lượng giác trong dấu căn Phương pháp giải: Đặt t là căn thức chứa lôgarit hoặc căn thức chứa mũ hoặc căn thức chứa lượng giác. u Ví dụ 1. Tính tích phân I = Ze 1 ln x d x. p x 1 + ln x Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 7. Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn Zb I= a 1 f (ln x) d x. x   Phương pháp giải:  t = ln x ⇒ d t = 1 dx x t = m + n ln x ⇒ dt = u Ví dụ 1. Tính tích phân I = Ze n d x. x ln x d x. x 1 258 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 8. Tính Zb Zb f (sin x) cos x d x hoặc I = a Đặt a " t = sin x ⇒ d t = cos x d x " t = m + n sin x ⇒ d t = n cos x d x. t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Đặt f (cos x) sin x d x. t = m + n cos x ⇒ d t = − n sin x d x . π u Ví dụ 1. Tính I = Z4 cot x d x. π 6 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 9. Tính I = Zb a 1 f (tan x) d x hoặc I = cos2 x Zb f (cot x) a 1 sin2 x d x. ¡ ¢ 1 d x = 1 + tan2 x d x. 2 cos x ¡ ¢ 1 Phương pháp giải: Đặt t = cot x ⇒ d t = − 2 d x = − 1 + cot2 x d x. sin x Phương pháp giải: Đặt t = tan x ⇒ d t = π u Ví dụ 1. Tính I = Z4 (1 + tan x)2 d x. cos2 x 0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 259 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN { Dạng 10. Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ( t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β] (∗) sao cho ϕ(α) = a,ϕ(β) = b và a ≤ ϕ( t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó: Zβ Zb f ( x) d x = f (ϕ( t))ϕ0 ( t) d t. α a Một số phương pháp đổi biến: Nếu thức dưới dấu tích phân có dạng h biểu p π πi 2 2 a − x : đặt x = |a| sin t; t ∈ − ; . h π 2π i2 | a | x2 − a2 : đặt x = ; t∈ − ; \{0}. sin t 2 2 ´ ³ p π π x2 + a2 : x = |a| tan t; t ∈ − ; . 2 2 … … a+x a−x hoặc : đặt x = a. cos 2 t. a−x a+x 1 : đặt x = a tan t. 2 x + a2 p u Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: Z1 p a) I = 1 − x2 d x. Z1 b) I = 0 0 dx . 1 + x2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 2 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Định lý: Nếu u = u( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì Zb I= Zb ¯b Zb ¯b Zb ¯ ¯ 0 u( x)v ( x) d x = [ u( x)v( x)] ¯ − u ( x)v( x) d x hay I = u dv = uv¯ − v d u. 0 a a a a a a Thực hành: Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, . . .  VP Zb Zb  u = · · · · · · −→ du = · · · · · · d x b Đặt: . Suy ra I = u dv = uv|a − v d u. NH  dv = · · · d x −→ v = · · · · · · a a 260 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN Thứ tự ưu tiên chọn u: Nhất log - nhì đa - tam lượng - tứ mũ và dv = phần còn lại. Lưu ý: rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. u Ví dụ 2. Tính I = Z1 ( x − 3)e x d x. 0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 3. Tính I = Z1 ( x2 + 2 x)e x d x. 0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 4. Tính I = Zπ e x cos x d x. 0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 261 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN A. Zb Zb [ f ( x) + g ( x)] dx = a C. Zb a Zb B. g ( x) dx. f ( x) dx + a a D. f ( x) dx. a t Câu 2. Tích phân Za f ( x) dx. f ( x) dx = − a Zb k f ( x) dx = k Zb b Zb Zb f ( x) dx. x f ( x) dx = x a a Z1 dx có giá trị bằng 0 A. −1. B. 1. t Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn A. 1. B. −1. C. 0. Za D. 2. e x+1 dx = e2 − 1, khi đó a có giá trị bằng −1 C. 0. D. 2. t Câu 4. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π] đạt giá trị bằng 0? ³ x π´ ³ x π´ A. f ( x) = cos 3 x. B. f ( x) = sin 3 x. C. f ( x) = cos + . D. f ( x) = sin + . 4 262 2 4 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 5. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2? A. Ze2 B. ln xdx. 1 Z1 C. 2 dx. 0 Zπ 0 t Câu 7. Tích phân I = Z5 Z2 f ( x) dx? f ( x) dx = C. f ( x) = sin x. −2 D. f ( x) = x + 1. dx có giá trị bằng x 2 A. 3 ln 3. Z1 −1 B. f ( x) = cos x. xdx. 0 t Câu 6. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn A. f ( x) = e x . D. sin xdx. Z2 B. 1 ln 3. 3 5 2 C. ln . 2 5 D. ln . π t Câu 8. Tích phân I = Z2 π 1 1 A. ln . 2 3 dx có giá trị bằng sin x 3 B. 2 ln 3. C. 263 1 ln 3. 2 1 3 D. 2 ln . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN Z0 ³ ´ 4 − e− x/2 dx = K − 2 e thì giá trị của K là t Câu 9. Nếu −2 A. 12,5. t Câu 10. Tích phân I = B. 9. Z1 0 2 ln 2 A. . 3 C. 11. 1 x2 − x − 2 B. − D. 10. dx có giá trị bằng 2 ln 2 . 3 C. −2 ln 2. t Câu 11. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1; 5] sao cho D. 2 ln 2. Z5 Z5 f ( x) dx = 2 và 1 g ( x) dx = −4. 1 Z5 Giá trị của [ g ( x) − f ( x)] dx là 1 A. −6. B. 6. C. 2. t Câu 12. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0; 3]. Nếu D. −2. Z3 Z3 f ( x) dx = 2 thì tích phân [ x − 2 f ( x)] dx 0 0 có giá trị bằng A. 7. B. 5 . 2 C. 5. 264 D. 1 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0; 6]. Nếu Z5 Z3 f ( x) dx = 2 và 1 f ( x) dx = 7 thì 1 Z5 f ( x) dx có giá trị bằng 3 A. 5. t Câu 14. Nếu B. −5. Z2 Z3 f ( x) d x = −2 và 1 A. −3. t Câu 15. Nếu f ( x) d x = 4 và 1 4 f ( x) d x bằng 0 B. 9. C. 1. Z5 f ( x) d x = −5 và −1 B. 5. D. 3. Z10 f ( x) d x = 5 thì Z1 f ( x) d x bằng C. 1. Z10 0 A. 8. f ( x) d x = 1 thì 2 Z4 D. −9. Z3 B. −1. A. −1. t Câu 16. Cho C. 9. D. 3. Z5 f ( x) d x = 10, khi đó −1 f ( t) d t bằng 1 C. 15. 265 D. −15. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 17. Cho Z6 Z6 f ( x ) d x = 5, 1 A. I = 5. t Câu 18. Cho f ( t) d t = 4. Tính I = 2 Z4 0 2 C. 14. g( x) d x = 5. Giá trị của 0 [2 f ( x) − 3 g( x)] d x bằng 0 C. 7. D. −7. Z4 Z◦ g( x) d x = 3. Khi đó g ( x) d x = D. −2. Z5 B. 5. Z4 f ( x + 1) d x bằng −1 Z5 f ( x) d x = 10 và 1 A. 4. 2 f ( x) d x = 12 khi đó I = Z5 D. I = 1. Z1 B. 2. 0 t Câu 20. Cho C. I = 9. Z4 f ( x) d x = 8 và A. 1. f ( y) d y. 1 B. I = −1. A. 4. t Câu 19. Cho Z2 1 ( g( x) + 1) d x bằng 0 B. 9. C. 14. 266 D. 6. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 21. Cho A. 4. t Câu 22. Cho Z3 Z3 f ( x) d x = −3 và −1 1 t Câu 23. Cho Z1 1 Z1 g( x) d x = −1 thì 0 Z2 D. 8. £ ¤ 2 f ( x) + g( x) + e x d x bằng 0 C. 4 − e. Z2 f ( x) d x = 3, g( x) d x bằng C. 4. B. 5 + e. 1 A. 15. [2 f ( x) + 3 g( x)] d x = 16, khi đó Z1 f ( x) d x = 3, D. −6. Z3 1 0 t Câu 24. Cho −1 C. −9. B. 10. A. 6 + e. ( f ( x) − g( x)) d x bằng Z3 f ( x) d x = 2 và A. 18. 3 g( x) d x = 9. Khi đó −1 B. 9. Z3 Z3 D. 4 + e. Z2 2 g( x) d x = 9 thì 1 [2 f ( x) + 4 g( x)] d x bằng 1 B. 18. C. 27. 267 D. 24. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 25. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thoả Z2 Z2 [ f ( x) − g( x)] d x = −1, 1 [ f ( x) + 1 Z2 5 g( x)] d x = 17. Tính [ f ( x) + g( x)] d x. 1 A. 6. B. 5. C. 12. D. 8. t Câu 26. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thoả Z2 Z2 [ f ( x) − g( x)] d x = −4, 0 [2 f ( x) + 0 Z2 g( x)] d x = −2. Tính [ f ( x) + 2 g( x)] d x. 0 A. 7. B. 6. C. 2. t Câu 27. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 8] và D. 4. Z8 f ( x) d x = 16; 0 Z2 f ( x) d x = 6. Tính P = 2 Z8 f ( x) d x. f ( x) d x + 0 Z5 5 A. P = 4. B. P = 10. C. P = 7. 268 D. P = −4. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 28. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 10] và Z10 f ( x) d x = 10; 0 Z4 P= Z4 f (2 x) d x = 6. Tính 2 Z10 f ( x) d x. f ( x) d x + 0 8 A. P = 4. B. P = 10. C. P = 7. D. P = −2. t Câu 29. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên R, f (2) = 4 và f (−2) = 0. Tính I = A. I = 4. B. I = 3. C. I = 0. Z2 f ( x) d x. −2 D. I = −4. t Câu 30. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là F ( x), biết F (3) = 12, Z1 F (0) = 0 khi đó f (3 x) d x bằng 0 A. −5. B. 12. C. 4. D. −9. t Câu 31. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là F ( x), biết F (4) = 12, Z2 F (2) = 3. Khi đó 9 A. . 4 f (2 x) d x bằng 1 B. 9. C. 269 9 . 2 D. −9. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 32. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R thỏa mãn f (3 x) = 3 f ( x), ∀ x ∈ R. Biết rằng Z1 f ( x) d x = 0 Z3 1. Tính tích phân I = f ( x) d x. 1 A. I = 8. B. I = 6. t Câu 33. Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn C. I = 3. Z1 D. I = 2. Z3 f ( x) d x = 1 và 0 f ( x) d x = 8. Tính tích phân I = 1 Z3 f (|2 x − 5|) d x. 1 A. I = −8. B. I = 5. C. I = −4. D. I = −6. t Câu 34. Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [1; 2], biết tích phân Z2 f ( x) d x = 4 1 và f (1) = 2. Tính f (2). A. f (2) = 6. B. f (2) = 1. C. f (2) = 3. D. f (2) = −16. t Câu 35. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? 270 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN A. Zb f ( x) dx = F ( b) − F (a). a B. F 0 ( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b). C. Zb f ( x) dx = f ( b) − f (a). a Zb D. Hàm số G cho bởi G ( x) = F ( x) + 5 cũng thỏa mãn f ( x) dx = G ( b) − G (a). a t Câu 36. Xét hàm số f liên tục trên R và các số thực a, b, c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. C. Zb Zb f ( x) dx = Za B. f ( x) dx. f ( x) dx − Zb Zc f ( x) dx = Zb f ( x) dx. f ( x) dx + a c c a a c Zb Zc Zb Zb Zc Zc f ( x) dx = a a t Câu 37. Tích phân D. f ( x) dx. f ( x) dx − c f ( x) dx = a f ( x) dx. f ( x) dx − a b Z3 x ( x − 1) dx có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích 0 phân dưới đây? A. Z2 ¡ 2 ¢ x + x − 3 dx. Z3π B. 3 sin xdx. 0 t Câu 38. Tích phân I = C. 0 Z1 0 xdx ( x + 1)3 p lnZ 10 2x e dx. 0 D. Zπ cos (3 x + π) dx. 0 bằng 271 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN 1 7 A. − . B. t Câu 39. Tích phân Z1 0 1 A. 2 Z2 1 . 6 B. 1 Z3 t Câu 40. Tích phân I = ( t − 1)3 dt. t5 1 C. 2 1 p 4 3 D. 12. B. x ¡ Z2 ( t − 1)3 dt. t4 3 D. 2 1 1 Z 1 x4 + 1 Z2 Z4 ( t − 1)3 dt. t4 1 ¢ dx bằng 1 3 ln . 3 2 t Câu 41. Cho hai tích phân I = C. 3 1 3 ln . 5 2 D. 1 3 ln . 4 2 Z2 x dx, J = 0 A. I.J = 8. 1 . 8 x7 ¢5 dx bằng ¡ 1 + x2 ( t − 1)3 dt. t5 3 A. ln . 2 C. xdx.Tìm mối quan hệ giữa I và J 0 32 B. I.J = . 5 C. I − J = 272 128 . 7 D. I + J = 64 . 9 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 42. Cho số thực a thỏa mãn Za e x+1 dx = e4 − e2 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. −1. B. 3. t Câu 43. Tích phân Z2 C. 0. D. 2. ke x dx (với k là hằng số) có giá trị bằng 0 A. k e2 − 1 . ¡ ¢ B. e2 − 1. C. k e2 − e . ¡ D. e2 − e. ¢ t Câu 44. Với hằng số k, tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại? A. Z1 0 ¡ ¢ k e2 − 1 dx. B. Z2 ke x dx. C. 0 2 2 Z3 Z3 3 ke3x dx. D. 0 t Câu 45. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1; 5] sao cho ke2x dx. 0 Z5 Z5 f ( x) dx = −7 và 1 g ( x) dx = 5 1 Z5 và [ g ( x) − k f ( x)] dx = 19 Giá trị của k là: 1 A. 2. B. 6. C. 2. 273 D. −2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 46. Cho hàm số f liên tục trên R. Nếu Z5 Z3 2 f ( x) dx = 2 và 1 giá trị bằng: A. 5. B. −6. Z5 f ( x) dx = 7 thì 1 C. 9. t Câu 47. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0; 3]. Nếu 3 D. −9. Z2 Z2 f ( x) dx = 4 và tích phân 1 −1 giá trị k bằng A. 7. B. 5 . 2 f ( x) dx có [ kx − f ( x)] dx = 1 C. 5. D. 2. π t Câu 48. Tích phân I = −5π . A. 8 Z2 cos2 x cos 2 xdx có giá trị bằng 0 B. π 2 C. . 3π . 8 D. π 8 . π t Câu 49. Tích phân I = Z3 sin2 x tan xdx có giá trị bằng 0 3 A. ln 3 − . 5 3 4 B. ln 2 − 2. C. ln 2 − . 274 3 8 D. ln 2 − . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 50. Nếu Z0 ¡ ¢ 5 − e− x dx = K − e2 thì giá trị của K là: −2 A. 11. B. 9. C. 7. D. 12,5. π Z2 p p t Câu 51. Cho tích phân I = 1 + 3 cos x. sin xdx.Đặt u = 3 cos x + 1.Khi đó I bằng 0 2 A. 3 Z3 2 B. 3 2 u du. 1 Z2 2 ¯¯2 C. u3 ¯ . 9 1 2 u du. D. Z3 u2 du. 1 0 Ze p 8 ln x + 1 dxbằng t Câu 52. Tích phân I = x 1 A. −2. B. 13 . 6 3 4 C. ln 2 − . 3 5 D. ln 3 − . Z5 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 t Câu 53. Tích phân ¯ x − 2 x − 3¯ dx có giá trị bằng −1 A. 0. B. 64 . 3 C. 7. 275 D. 12,5. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 54. Tìm a để Z2 (3 − ax) dx = −3? 1 A. 2. t Câu 55. Nếu B. 9. Z5 C. 7. D. 4. ¡ ¢ k2 5 − x3 dx = −549 thì giá trị của k là: 2 A. ±2 . t Câu 56. Tích phân B. 2. Z3 2 1 4 A. + 6 ln . 3 3 C. −2 . D. 5. x2 − x + 4 dx bằng x+1 B. 1 4 + 6 ln . 2 3 C. 1 4 − ln . 2 3 D. 1 4 + ln . 2 3 1 t Câu 57. Giá trị của tích phân I = A. π 6 . B. π 4 Z2 0 1 dx là p 1 − x2 C. . 276 π 3 . D. π 2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 58. Giá trị của tích phân I = 3π B. I = . 4 π A. I = . 2 t Câu 59. Giá trị của tích phân I = 5π A. I = . 12 π Z1 0 dx là 1 + x2 π C. I = . 4 p Z3−1 0 C. I = 6 t Câu 60. Tích phân I = x2 0 10 p 4p 6− 3. A. 3 9 B. p 5π . 4 dx là x2 + 2 x + 2 B. I = . Z1 D. I = 3π . 12 D. I = π 12 . x3 + 5 dx có giá trị là 4p 10 p 7− 5. 3 9 C. 4p 10 p 6− 5. 3 9 D. 2p 10 p 6− 5. 3 9 Z2 p t Câu 61. Tích phân 4 − x2 dx có giá trị là A. π 4 0 . B. π 2 C. . 277 π 3 . D. π. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN Z1 p t Câu 62. Tích phân I = x x2 + 1dx có giá trị là p 3 2−1 A. . 3 0 p 2 2−1 B. . 3 p 2 2−1 C. . 2 p 3 2−1 D. . 2 Z0 p 3 t Câu 63. Tích phân I = x x + 1dx có giá trị là 9 A. − . 28 −1 B. − 3 . 28 C. t Câu 64. Giá trị của tích phân I = 2 p 16 − 10 2 A. . 3 Z1 p0 16 − 11 2 B. . 4 t Câu 65. Giá trị của tích phân I = Z1 3 . 28 x2 dx là p ( x + 1) x + 1 p 16 − 10 2 C. . 4 D. 9 . 28 p 16 − 11 2 D. . 3 ¡ ¢6 x5 1 − x3 dx là 0 1 A. . 167 1 B. . 168 C. 278 1 . 166 D. 1 . 165 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 66. Giá trị của tích phân Z2 1 1 A. . 2 dx (2 x − 1)2 1 B. . 3 C. t Câu 67. Giá trị của tích phân I = Z1 0 1 A. [2100 − 1]. 900 là (7 x − 1)99 (2 x + 1)101 1 B. [2101 − 1]. 900 1 . 4 D. 2 . 3 D. 1 [298 − 1]. 900 dxlà C. 1 [299 − 1]. 900 2π t Câu 68. Giá trị của tích phân Z3 π p 3 A. − . 3 µ ¶ 2π cos 3 x − dx là 3 p 3 2 B. − . 3 p 2 3 C. − . 3 p 2 2 D. − . 3 π t Câu 69. Giá trị của tích phân I = A. π 6 . B. π 8 Z2 cos2 x cos 2 xdx là 0 C. . 279 π 4 . D. π 2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 70. Giả sử hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 6, Z1 x f 0 ( x) d x = 0 Z1 5. Hãy tính I = f ( x) d x. 0 A. I = 1. B. I = −1. C. I = 11. D. I = 3. t Câu 71. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f x liên tục trên [0; 2] và f (2) = 3, 0 Z2 f ( x) dx = 3. Tính 0 Z2 x. f 0 ( x) dx. 0 A. −3. B. 3. C. 0. D. 6. t Câu 72. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f 0 ( x) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2. Biết Z1 Z1 f ( x) dx = 1, tính tích phân I = x. f 0 ( x) dx. 0 0 A. I = 1. B. I = −1. C. I = 3. 280 D. I = −3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH PHÂN t Câu 73. Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn Z1 ( x + 1) f 0 ( x) dx = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2. Tính I = 0 Z1 f ( x) dx. 0 A. I = 8. B. I = −8. C. I = 4. D. I = −4. t Câu 74. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 5] và f (5) = 10, Z5 x f 0 ( x) dx = 30. 0 Z5 Tính f ( x) dx. 0 A. 20. B. −30. C. −20. 281 D. 70. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y Định lí 1. Hình   ( C 1 ) : y = f ( x ) (H ) giới hạn bởi f ( x) thì diện tích của (H ) được xác đinh bởi (C 2 ) : y = g ( x)   phẳng (H ) x = a, x = b (a < b) công thức S= a b Z a O | f ( x) − g( x)| d x. g ( x) b x Phương pháp 1. Phương pháp đại số (phương pháp tự luận) Giải phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = g( x) tìm nghiệm x i ∈ [a; b]. Lập bảng xét dấu f ( x) − g( x), chẳng hạn x x1 a − f ( x) − g ( x) Zb S= 0 x2 + b − 0 Zx1 Zx2 Zb | f ( x) − g( x)| d x = [ f ( x) − g( x)] d x + [ g( x) − f ( x)] d x + [ f ( x) − g( x)] d x. a a x1 x2 Phương pháp 2. Phương pháp hình học (nếu 3 đường ta nên sử dụng hình học) y y (C 1 ) (C 1 ) (C 2 ) S a bx (C 2 ) O O Hình 1 x1 Hình 2 Hình 1 do (C1 ) nằm trên (C2 ) nên S = x2 x d : y = ax + b Zb [ f 1 ( x) − f 2 ( x)] d x. a Hình 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường, trong [0; x1 ] thì (C1 ) nằm trên (C2 ) Zx1 nằm dưới nên S1 = [ f 1 ( x) − f 2 ( x)] d x và trong [ x1 ; x2 ] thì đường d nằm trên và (C2 ) nằm 0 Zx2 dưới nên S2 = [ax + b − f 2 ( x)] d x. Khi đó diện tích hình 2 là S = S1 + S2 là phần gạch sọc x1 như hình. 282 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN u Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường sau ( H ) : { y = x3 + 11 x − 6, y = 6 x2 , x = 0, x = 2}. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 2 THỂ TÍCH VẬT THỂ 1. Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật Zb thể B được xác định: V = S ( x) d x. a P Q S ( x) O a x 2. Thể tích khối tròn xoay a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:  (C ) : y = f ( x)     Ox : y = 0  x=a     x = b. x b y y = f ( x) O a VOx = π Zb b x [ f ( x)]2 d x a b) 283 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g( y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục O y:  b x = g( y) (C ) : x = g( y)     O y : x = 0 y = c     y = d. a VO y = π Zd [ g( y)]2 d y. x O c c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = g( x)(cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: y f ( x) g ( x) O V =π Zb a ¯ 2 ¯ ¯ f ( x) − g2 ( x)¯ d x b x a u Ví dụ 6. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trụcpOx tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng 3 x và 2 3 x2 − 2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ p u Ví dụ 7. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục hoành và các π đường thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể 2 tích V bằng bao nhiêu? Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: A. S = π b¯ Z a ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) − g ( x) ¯ dx. B. S = 284 b Z a [ f ( x) − g ( x)] dx. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. S = b Z a 2 D. S = [ f ( x) − g ( x)] dx. b¯ Z a ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) − g( x)¯ dx. t Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x), liên tục trên [a; b] trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) cho bởi công thức: Zb ¯ ¯ ¯ ¯ A. S = ¯ f ( x) ¯ dx. B. S = a Zb Zb ¯ ¯ ¯ ¯ C. S = π ¯ f ( x) ¯ dx. f ( x) dx. a D. S = π a Zb f 2 ( x) dx. a t Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11 x − 6,y = 6 x2 , x = 0, x = 2. A. 4 . 3 B. 5 . 2 C. 8 . 3 t Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 ,y = 4 x là: A. 8. B. 9. C. 12. D. 18 . 23 D. 13. t Câu 5. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 + x − 2,y = x + 2 và hai đường thẳng x = −2; x = 3. Diện tích của (H ) bằng A. 87 . 5 B. 87 . 4 C. 285 87 . 3 D. 87 . 5 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 6. Gọi (H ) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = (1 + e x ) x,y = (1 + e) x. Diện tích của (H ) bằng A. e−1 . 2 B. e−2 . 2 C. e+2 . 2 D. e+1 . 2 t Câu 7. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức A. S = Zb f ( x) dx. B. S = − a Zb C. S = − f ( x) dx. a Zb 2 f ( x) dx. D. S = a Zb f 2 ( x) dx. a t Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x), y = g ( x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Zb ¯ ¯2 ¯ ¯ A. S = ¯ f ( x) − g ( x) ¯ dx. B. S = a Zb [ f ( x) − g ( x)] dx . a Zb ¯ ¯ ¯ ¯ C. S = ¯ f ( x) − g ( x) ¯ dx. Zb ¯ ¯2 ¯ ¯ D. S = π ¯ f ( x) − g ( x) ¯ dx. a a t Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là A. 19. B. 18. C. 20 . D. 21. 286 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = đường thẳng x = 1, x = 4 là A. 4. B. 14 . 5 C. 13 . 3 t Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = đường thẳng x = 1, x = 8 là A. 45 . 2 B. 45 . 4 C. 45 . 7 p x, trục hoành và hai D. p 3 14 . 3 x, trục hoành và hai D. 45 . 8 t Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành và hai đường thẳng x = π, x = 3π là 2 A. 1 . B. 1 . 2 C. 2. D. 3 . 2 t Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tan x, trục hoành và hai π π đường thẳng x = , x = là p 3 A. ln . 3 6 4 p 6 B. ln . 3 p 3 C. − ln . 3 287 p 6 D. − ln . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là A. e6 1 + . 2 2 B. e6 1 − . 2 2 C. e6 1 + . 3 3 D. e6 1 − . 3 3 t Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 3 x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4 là A. 53 . 4 B. 51 . 4 C. 49 . 4 D. 25 . 2 t Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 − 3 x2 − 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là A. 142 . 5 B. 143 . 5 C. 144 . 5 D. t Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = đường thẳng x = 2 là A. 3 + 2 ln 2. B. 3 − ln 2. C. 3 − 2 ln 2. 288 141 . 5 x+1 , trục hoành và x+2 D. 3 + ln 2. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 − x2 và đường thẳng y = − x là 9 9 7 B. . C. 3. D. . A. . 2 4 2 t Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x, trục hoành và hai π đường thẳng x = 0,x = là A. 2. 2 B. 1. C. 3. D. 4. p t Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x và y = 1 A. . 12 1 B. . 13 1 C. . 14 p 3 x là 1 D. . 15 t Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3 x2 + 1 và y = x3 − 4 x2 + 2 x + 1 là A. 37 . 13 B. 37 . 12 C. 3. 289 D. 4. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x2 + 4, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành là A. 22 . 3 B. 32 . 3 C. 25 . 3 D. 23 . 3 t Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x, trục hoành và đường thẳng x = e là A. e2 − 1 . 2 B. e2 + 1 . 2 C. e2 − 1 . 4 D. e2 + 1 . 4 t Câu 24. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 + x − 2, y = x + 2và hai đường thẳng x = −2, x = 3. Diện tích của (H ) bằng A. 87 . 5 B. 87 . 4 C. 87 . 3 D. 87 . 5 t Câu 25. Gọi (H ) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = (1 + e x ) x, y = (1 + e) x. Diện tích của (H ) bằng A. e−1 . 2 B. e−2 . 2 C. e−2 . 2 ¯ ¯ D. e+1 . 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t Câu 26. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = ¯ x2 − 1¯, y = ¯ x¯+ 5. Diện tích của (H ) bằng 290 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 71 . 3 B. 73 . 3 C. 70 . 3 D. 74 . 3 ¯ ¯ ¯ ¯ t Câu 27. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = ¯ x2 − 4 x + 3¯, y = x + 3. Diện tích của (H ) bằng A. 108 . 5 B. 109 . 5 C. 109 . 6 D. 119 . 6 t Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) : y = x2 + 3, tiếp tuyến của (P ) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng A. 8 . 3 B. 4 . 3 C. 2. D. 7 . 3 t Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 − 2 y + x = 0, x + y = 0 là A. 9 . 4 B. 9 . 2 C. 7 . 2 D. 11 . 2 1 2 27 x ; y= bằng 27 x D. 29 ln 3 . t Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 ; y = A. 27 ln 2. B. 27 ln 3. C. 28 ln 3. 291 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 31. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1,y = x và đồ thị hàm số x2 a trong miền x ≥ 0,y ≤ 1 là . Khi đó b − a bằng 4 b A. 4. B. 2. C. 3. y= D. 1. t Câu 32. Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 2 x + 1, trục hoành, x = 1 và x = 2 là 31 49 21 39 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 4 4 4 t Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x2 + 4, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành là A. 22 . 3 B. 32 . 3 C. 25 . 3 D. 23 . 3 t Câu 34. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln 8. Đường thẳng x = k (0 < k < ln 8) chia (H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 . Tìm k để S1 = S2 . 9 2 A. k = ln . 2 3 B. k = ln 4. C. k = ln 4. 292 D. k = ln 5. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 2, x = 1, x = 2, y = 0. A. S = 10 . 3 8 3 B. S = . C. S = 13 . 3 5 3 D. S = . 4 t Câu 36. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x x = 1, x = 4 quanh trục Ox là A. 6π. B. 6π. C. 12π. D. 6π. t Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos 4 x Ox, x = 0; x = π 8 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng A. π2 2 B. . π2 16 C. . π 4 µ D. . π+1 16 ¶ . π. t Câu 38. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , Ox, x = a, x = b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V = π 2 Zb f ( x) dx. a B. V = π Zb 2 f ( x) dx. a C. V = Zb a 293 2 2 π . f ( x) dx. D. V = Zb f 2 ( x) dx. a Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN p t Câu 39. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 π. 2 B. 3π. C. 2π. D. π. t Câu 40. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 79π . 63 B. 23π . 14 C. 5π . 4 D. 9π. t Câu 41. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x, x = a, x = b, (0 < a < b) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V = π 2 b Z xdx. a B. V = π bp Z C. V = π xdx. a b Z xdx . a D. V = π 2 bp Z xdx . a t Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = − x2 + 2 x, y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 496π . 15 B. 4π . 3 C. 64π . 15 D. 16π . 15 p t Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 − x2 , y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 294 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 3π . 2 B. 2π . 3 C. π 2 D. . 4 π. 3 t Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quanh trục ³Ox. Thể´ tích của khối tròn tạo thành bằng: ³p xoay ³p p π π´ π´ A. V = π 3 − . B. V = π 3 − . C. V = π 3 − . 3 3 3 π 3 D. V = π quay xung ³p π´ 3− . 3 p t Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 + x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 28π2 . 3 B. 68π . 3 C. 28π . 3 D. 68π2 . 3 t Câu 46. Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 xx2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng (H ) khi nó quay quanh trục Ox. A. 16π . 15 B. 17π . 15 C. 18π . 15 D. 19π . 15 t Câu 47. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức 295 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. V = π Zb 2 f ( x) dx. B. V = π2 a Zb 2 f ( x) dx. C. V = π2 a Zb f ( x) dx. D. V = 2π a Zb f 2 ( x) dx. a p t Câu 48. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, trục Ox và hai đường thẳng x = 1; x = 4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? A. V = π Z4 xdx. Z4 ¯ ¯ ¯p ¯ B. V = ¯ x¯ dx. 1 C. V = π 2 1 Z4 xdx. D. V = π Z4 1 p xdx. 1 t Câu 49. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị p π hàm số y = tan x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = quanh trục hoành là p π A. V = . 4 B. V = π ln 2 2 C. V = . π2 4 4 . π D. V = . 4 t Câu 50. Goi (H )là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x , trục Oxvà hai đường thẳng x = 0, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trụcOx là ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ π¡ 2 π¡ 2 A. e −1 . B. π e2 + 1 . C. e +1 . D. π e2 − 1 . 2 2 t Câu 51. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = ( x − 2)2 , y = 0, x = 0, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quạnh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 296 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. V = 32 . 5 B. V = 32π . 5 C. V = 32 . 5π D. V = 32π. t Câu 52. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x và các đường thẳng y = 0, x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây? A. V = Z1 2x e dx. B. V = π 0 Z1 x2 C. V = e dx. 0 Z1 x2 e dx. D. V = π 0 Z1 e2x dx. 0 t Câu 53. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox.  b 2 Z A. V = π f ( x) dx . B. V = π a C. V = Zb Zb [ f ( x)]2 dx. a Zb ¯ ¯ ¯ ¯ D. V = ¯ f ( x) ¯ dx. [ f ( x)]2 dx. a a t Câu 54. Cho hình (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Quay hình ( H ) quanh trục hoành ta được vật thể có thể tích bằng: A. 9π . 2 B. 7π . 3 C. 297 5π . 31 D. 31π . 5 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 55. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0, x = −1, x = 1. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra ¡khi cho ¢hình (H ) quay quanh trục hoành bằng¡ ¢ A. e2 − e−2 . 2 B. e2 + e−2 π 2 C. . e4 π . 2 D. e2 − e−2 π 2 . p t Câu 56. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x,y = 0, x = 0,x = 2 quanh trục hoành là: A. V = 4π. B. V = 2. C. V = 4. D. V = 2π . t Câu 57. Cho y = f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = 0, x = a và x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. V = π Zb 2 [ f ( x)] dx. Zb ¯ ¯ ¯ ¯ B. V = π ¯ f ( x) ¯ dx. a a Zb ¯ ¯ ¯ ¯ C. V = ¯ f ( x) ¯ dx. a D. V = Zb [ f ( x)]2 dx. a t Câu 58. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox. A. V = Zb 2 f ( x) dx . a B. V = π Zb C. V = π f ( x) dx. a Zb f ( x) dx . a 298 2 Zb ¯ ¯ ¯ ¯ D. V = ¯ f ( x) ¯ dx. a Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN p t Câu 59. Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − 1, trục hoành và đường thẳng x = 3. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox. A. V = 22π . 3 B. V = 20 . 3 C. V = 20π . 3 D. V = 16π . 3 t Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi dường cong y = tan x, trục hoành và hai đường thẳng π x = 0, x = . Tính thể tích V khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh 4 trục Ox. ³ ³ ³ ³ π´ π´ π´ π´ B. V = π 1 − . C. V = 1 − . D. V = −π 1 − . A. V = π 2 − . 4 4 4 4 t Câu 61. Cho hình phẳng (H )giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0,x = 2π. Tính thể tích V của khối nón tròn xoay sinh bởi (H )quay quanh trục hoành. π D. V = 2π2 . A. V = π. B. V = π2 . C. V = π2 + . 4 p t Câu 62. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x; y = 0; x = 0; x = 2 quanh trục hoành là: A. V = 2. B. V = 4π. C. V = 2π . D. V = 4. 299 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 63. Tích phân π Z3 ¡ ¢2 4 − x2 dx dùng để tính một trong bốn đại lượng sau, đó là đại lượng 2 nào? A. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H )giới hạn bởi các đường y = 4 − x2 ; y = 0; x = 3 quanh trục Ox. ¢2 ¡ B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 4 − x2 ; x = 2; x = 3. ¢2 ¡ C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 4 − x2 ; x = 3; y = 0. D. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H ) giới hạn bởi các đường y = 4− x2 ; y = 0; x = 3; x = 2; quanh trục Ox. p t Câu 64. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = x, x = 0, x = 1 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình (H ) quay quanh trục Ox. p π π B. . C. π. D. π. A. . 3 2 t Câu 65. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x2 + 4 x − 3, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Quay (H ) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là. Z3 ¯ ¯ ¯ ¯ A. V = ¯ x2 − 4 x + 3¯ dx. Z3 ¯ ¯2 ¯ ¯ B. V = ¯ x2 − 4 x + 3¯ dx. 1 1 C. V = π Z3 ¡ 2 Z3 ¯ ¯ ¯ ¯ D. V = π ¯ x2 − 4 x + 3¯ dx. ¢2 x − 4 x + 3 dx. 1 1 t Câu 66. 300 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = 0, x = −1 và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S = − Z1 Z5 −1 C. S = B. S = f ( x) dx. f ( x) dx − 1 Z1 −1 D. S = − f ( x) dx. Z5 f ( x) dx. f ( x) dx + −1 Z5 f ( x) dx − Z1 1 1 Z1 Z5 f ( x) dx. f ( x) dx + −1 1 t Câu 67. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = 0, x = −1, x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = Z1 Z2 −1 C. S = − B. S = − f ( x) dx. f ( x) dx + 1 Z1 −1 Z2 D. S = f ( x) dx. 1 f ( x) dx. f ( x) dx − −1 Z2 f ( x) dx + Z1 Z1 1 Z2 f ( x) dx. f ( x) dx − −1 1 t Câu 68. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? A. C. Z2 (−2 x + 2) dx. −1 Z2 −1 ¡ ¢ −2 x2 + 2 x + 4 dx. B. D. Z2 (2 x − 2) dx. −1 Z2 ¡ 2 ¢ 2 x − 2 x − 4 dx. −1 301 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN t Câu 69. Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong O AB) trong hình vẽ bên. A. 5 . 6 B. 5π . 6 C. 8 . 15 D. 8π . 15 t Câu 70. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x = −3, x = 2 (như hình vẽ bên). Z1 Đặt a = −3 Z2 f ( x) dx, b = A. S = a + b. f ( x) dx. Mệnh đề nào sau đây là đúng. 1 B. S = a − b. C. S = −a − b. D. S = b − a. 302 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC BÀI 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a, b ∈ R, i 2 = −1 được gọi là một số phức. Đối với số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i gọi là đơn vị ảo. Tập số phức C = {a + bi |a, b ∈ R, i 2 = −1}. Tập số thực R ⊂ C. ! Đặc biệt Khi phần ảo b = 0 ⇔ z = a ∈ R ⇔ z là số thực. Khi phần thực a = 0 ⇔ z = bi ⇔ z là số thuần ảo. Số 0 = 0 + 0 i vừa là số thực, vừa là số ảo. u Ví dụ 8. Số phức z = 3 − 2 i có phần thực là . . . . . . phần ảo là . . . . . . 2 HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. ( a + bi = c + di ⇔ a=c b=d , với a, b, c, d ∈ R. u Ví dụ 9. Tìm các số thực x, y biết rằng (2 x + 1) + (3 y − 2) i = ( x + 2) + ( y + 4) i . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Điểm M (a; b) trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi . 303 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC u Ví dụ 10. Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có 1 Điểm A biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . . 2 Điểm B biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . . 3 Điểm C biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . . 4 Điểm D biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . . y 3 D −3 2 3 x O −2 C 4 A 2 −3 B MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ. y # » 1 Độ dài của véc-tơ OM được gọi ¯là mô-đun của số phức z và ¯ p ¯ # »¯ được ký hiệu là | z|. Khi đó, | z| = ¯OM ¯ = |a + bi | = a2 + b2 . M b 2 Kết quả, với mọi số phức z ta có (a) | z| ≥ 0 và | z| = 0 ⇔ z = 0. (b) z · z̄ = | z|2 . (c) | z| = | z̄|. (d) ¯| z1 ·¯z2 | = | z1 | · | z2 |. ¯ z1 ¯ | z1 | . (e) ¯¯ ¯¯ = z2 | z2 | a O x u Ví dụ 11. Tìm mô-đun củapcác số phức sau 1 z = 3 − 2 i ⇒ | z| = |3 − 2 i | = . .» ....... = ...... p p 2 z = 1 + i 3 ⇒ | z| = |1 + i 3| = . . . . . . . . . = . . . . . . 5 SỐ PHỨC LIÊN HỢP Định nghĩa 2. Cho số phức z = a + bi , (a, b ∈ R). Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và được ký hiệu là z̄ = a − bi . ! Đặc biệt Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z̄ đối xứng với nhau qua trục Ox. Từ định nghĩa ta có các kết quả sau 1 z̄¯ = z; | z̄| = | z|. 2 z1 ± z2 = z̄1 ± z̄2 . 3 z1 · z2 = z̄1 · z̄2 . µ 4 ¶ z1 z̄1 = . z2 z̄2 y b O −b z = a + bi a x z̄ = a − bi 5 z là số thực ⇔ z = z̄. 6 z là số thuần ảo ⇔ z = − z̄. 304 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC u Ví dụ 12. 1 Cho z = −3 − 2 i ⇒ z̄ = . . . . . . . . . 2 Cho z̄ = 4 + 3 i ⇒ z = . . . . . . . . . 6 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. 1 Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức. Phép cộng: z1 + z2 = (a + bi ) + ( c + di) = (a + c) + (b + d ) i . Phép trừ: z1 − z2 = (a + bi ) − ( c + di) = (a − c) + (b − d ) i . Số phức đối của của số phức z = a + bi là − z = −a − bi . Do đó, z + (− z) = (− z) + z = 0. 2 Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i 2 = −1 trong kết quả nhận được. Cụ thể, z1 · z2 = (ac − bd ) + (ad + bc) i . z1 z1 · z̄2 z1 · z̄2 ac + bd bc − ad = = = 2 + 2 · i , ( z2 6= 0). z2 z2 z̄2 c + d2 c + d2 | z 2 |2 1 z̄ z̄ a − bi 4 Số phức nghịch đảo của z = a + bi 6= 0 là = 2 = 2 = 2 . 2 z | z| a +b a + b2 3 Phép chia: u Ví dụ 13. Cho hai số phức z1 = 5 + 2 i và z2 = 3 + 7 i . Tìm phần thực, phần ảo và mô-đun của số phức w = z1 + z2 và số phức w0 = z2 − z1 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 14. Cho hai số phức z1 = 5 + 2 i và z2 = 4 + 3 i . Hãy tính • w = z1 · z2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • z1 · z̄2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z1 • r= =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z2 B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho hai số phức z1 = 2 + 3 i , z2 = −4 − 5 i . Số phức z = z1 + z2 là A. z = 2 + 2 i . B. z = −2 − 2 i . C. z = 2 − 2 i . D. z = −2 + 2 i . 305 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 2. Biết A. 12 . 625 1 = a + bi , (a,b ∈ R). Tính ab. 3 + 4i 12 12 B. − . C. − . 625 25 t Câu 3. Cho hai số phức z1 = 1 − 2 i , z2 = −2 + i . Tìm số phức z = z1 z2 . A. z = 5 i . B. z = −5 i . C. z = 4 − 5 i . 7 GV: Doãn Thịnh D. 12 . 25 D. z = −4 + 5 i . t Câu 4. Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức ¯ ¯ ¯ p ¯¯ ¯ ¯ ¯ z = ¯1 − 3 i ¯(1 + 2 i ) + ¯3 − 4 i ¯(2 + 3 i ). Giá trị của a − b là A. 7. B. −7. C. 31. D. −31. t Câu 5. Cho số phức z1 = 3 + 2 i , z2 = 6 + 5 i . Tìm số phức liên hợp của số phức z = 6 z1 + 5 z2 A. z̄ = 51 + 40 i . B. z̄ = 51 − 40 i . C. z̄ = 48 + 37 i . D. z̄ = 48 − 37 i . t Câu 6. Cho hai số phức z1 = 1 + 2 i , z2 = 2 − 3 i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z = z1 + z2 . A. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng −5. B. Phần thực bằng 5; phần ảo bằng 5. 306 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC C. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng 1. 7 GV: Doãn Thịnh D. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng −1. t Câu 7. Số phức liên hợp của số phức z = 2 + i có điểm biểu diễn là: A. A (1 2). B. B(−1 2). C. E (2; −1). D. F (−2 1). t Câu 8. Hỏi điểm M (3; −1) là điểm biểu diễn số phức nào sau đây? A. z = −1 + 3 i . B. z = 1 − 3 i . C. z = 3 − i . D. z = −3 + i . t Câu 9. Số phức liên hợp của số phức z = i (1 − 2 i ) có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E (2; −1). B. B(−1; 2). C. A (1; 2). D. F (−2; 1). t Câu 10. Cho số phức z = −4 + 5 i . Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ A. (−4; 5). B. (−4; −5). C. (4; −5). D. (4; 5). 307 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 11. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình (1 + i ) z̄ = 3 − 5 i . A. M (−1; 4). B. M (−1; −4). C. M (1; 4). D. M (1; −4). t Câu 12. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4 i . A. M (3; −4). B. M (−3; 4). C. M (−3; −4). t Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 + i ) z + 1 + 2 z + z2 có giá trị là A. 10. B. −10. D. M (3; 4). 1− i = 5 − i . Mô-đun của số phức w = 1+ i C. 100. t Câu 14. Cho số phức z thỏa z = 2 i − 2. Mô-đun của số phức z2020 là A. 24040 . B. 22020 . C. 26060 . D. −100. D. 23030 . . t Câu 15. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5 i và B là 1điểm biểu diễn của số phức z = −2 + 5 i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 308 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A. B. C. D. Hai điểm Hai điểm Hai điểm Hai điểm A A A A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. và B đối xứng với nhau qua trục tung. và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O . và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. t Câu 16. Cho số phức z = −2 + i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P (−2; 1). B. N (2; 1). C. Q (1; 2). D. M (−1; −2). t Câup17. Cho số phức z thỏa mãn (2 z − 1)(1 + i ) + ( z̄ + p1)(1 − i ) = 2 − 2 i . Giá trịpcủa | z| là A. 2 . 2 B. p 2. C. 3 . 2 D. 2 . 3 p t Câu 18. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z| = 2 và z2 là số thuần ảo? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. p t Câu 19. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức | z − (2 + i )| = 10 và z · z̄ = 25. A. z = 3 + 4 i ; z = 5. B. z = 3 + 4 i ; z = −5. C. z = −3 + 4 i ; z = 5. D. z = 3 − 4 i ; z = −5. 309 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 20. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn 7a + 4 + 2bi = −10 + (6 − 5a) i . Tính P = (a + b)| z| p −4 29 A. P = . 7 p C. P = 12 17. p B. P = 24 17. p 72 2 D. P = . 49 t Câu 21. pCho số phức z1 = 1 − 2 i , z2 = 2 + i . Mô-đun của số phức w = z1 − 2 z2 + 3 là p B. |w| = 5. C. |w| = 4. D. |w| = 13. A. |w| = 5. t Câu 22. Cho hai số phức z1 = 2 − 2 i , z2 = −3 + 3 i . Khi đó số phức z1 − z2 là A. −5 + 5 i . B. −5 i . C. 5 − 5 i . D. −1 + i . t Câu 23. Tìm số phức z thỏa mãn (2 − i )(1 + i ) + z̄ = 4 − 2 i . A. z = −1 − 3 i . B. z = −1 + 3 i . C. z = 1 − 3 i . 310 D. z = 1 + 3 i . Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 24. Cho số phức z = −2 + 3 i . Tìm số phức w = 2 iz − z̄. A. w = −4 − i . B. w = −4 − 7 i . C. w = 8 − 7 i . ¯ ¯ 7 GV: Doãn Thịnh D. w = 8 − i . ¯ ¯ t Câu 25. Cho số phức z = 1 + i . Khi đó ¯ z3 ¯ bằng A. p 2. p B. 2 2. t Câu 26. Tính A = 3 + 2 i + (6 + i )(5 + i ). A. 30 + 10 i . B. 32 + 13 i . C. 4. D. 1. C. 33 + 13 i . D. 33 + 12 i . t Câu 27. Cho số phức z = a + bi (a,b ∈ R) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Mô đun của z là một số thực dương. ¯ ¯2 ¯ ¯ B. z = ¯ z¯ . 2 C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz. D. Điểm M (−a; b) là điểm biểu diễn của z̄. t Câu 28. Nếu z = 2 − 3 i thì z3 bằng: A. −46 − 9 i . B. 46 + 9 i . C. 54 − 27 i . 311 D. 27 + 24 i . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 29. Số A. 1 − i . 1 bằng 1+ i B. 1 + i . C. t Câu 30. Số phức z = (1 + 2 i )(2 − 3 i ) bằng A. 8 − i . B. 8. 1 (1 − i ). 2 C. 8 + i . D. i . D. −4 + i . t Câu 31. Cho hai số phức z1 = 1 − 2 i , z2 = x − 4 + yi với x,y ∈ R. Tìm cặp ( x; y) để z2 = 2 z̄1 . A. ( x; y) = (4; 6). B. ( x; y) = (5; −4). C. ( x; y) = (6; −4). D. ( x; y) = (6; 4). t Câu 32. Cho i là đơn vị ảo. Với a,b ∈ R,a2 + b2 > 0 thì số phức a + bi có nghịch đảo là A. 1 i. a+b B. a − bi . a+b C. 312 a − bi . a2 + b 2 D. a + bi . a2 + b 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 33. Thu gọn số phức z = i + (2 − 4 i ) − (3 − 2 i ) ta được? A. z = −1 − i . B. z = 1 − i . C. z = −1 − 2 i . D. z = 1 + i . t Câu¯ 34. Cho hai số phức z1 = 5 − 7 i , z2 = 2 − i . Tính¯ môđun ¯ ¯ của hiệu hai số phức đã cho p A. ¯ z1 − z2 ¯ = 3 5. ¯ ¯ B. ¯ z1 − z2 ¯ = 45. ¯ ¯ ¯ ¯ p p ¯ ¯ D. ¯ z1 − z2 ¯ = 74 − 5. ¯ ¯ p ¯ ¯ C. ¯ z1 − z2 ¯ = 113. t Câu 35. Cho hai số phức z1 = 1 + 2 i , z2 = 3 − i . Tìm số phức z = A. z = 1 7 + i. 5 5 B. z = 1 7 + i. 10 10 C. z = 1 7 − i. 5 5 3 − 2i 1+ i − ta được 1− i 3 + 2i 75 11 75 15 B. z = + i. C. z = + i. 26 26 26 26 z2 . z1 D. z = − 1 7 + i. 10 10 t Câu 36. Rút gọn số phức z = A. z = 55 15 + i. 26 26 t Câu 37. Tính z = A. z = 1 3 + i. 2 2 2− i . 1 − i 2017 B. z = 3 1 − i. 2 2 C. z = 313 1 3 − i. 2 2 D. z = 55 11 + i. 26 26 D. z = 3 1 + i. 2 2 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 1 của số phức z = (−1 + 4 i )2 z 1 15 8i 1 15 8i B. = + . C. = − . z 289 289 z 289 289 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 38. Tìm nghịch đảo A. 1 −15 8i = + . z 289 289 D. 1 −15 8i = − . z 289 289 p t Câu 39. Cho p số phức z = 1 + 3 i Khi p đó. 1 1 3 A. = + i. z 2 2 t Câu 40. Số phức z = A. 3 4 + i. 25 25 p 1 1 3 C. = − i. z 2 2 1 1 3 B. = + i. z 4 4 1 là số phức nào dưới đây? 3 − 4i 3 4 3 4 B. − − i . C. − i. 25 25 25 25 p 1 1 3 D. = − i. z 4 4 D. − 3 4 + i. 25 25 t Câu 41. Cho hai số phức: z1 = 2 + 5 i , z2 = 3 − 4 i . Tìm số phức z = z1 .z2 . A. z = 26 − 7 i . B. z = 6 − 20 i . C. z = 26 + 7 i . D. z = 6 + 20 i . 314 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 42. Cho số phức z = 2 + 4 i . Tìm số phức w = iz + z. A. w = 2 + 2 i . B. w = −2 − 2 i . C. w = 2 − 2 i . 1− i 3 + 2i + ta được. 1− i 3 + 2i 23 63 2 6 B. z = + i. C. z = z = + i. 26 26 13 13 D. w = −2 + 2 i . t Câu 43. Thu gọn số phức z = A. z = 15 55 + i. 26 26 t Câu 44. Tính z = (1 + 2 i )3 + (3 − i )2 ta được: A. z = 3 − 8 i . B. z = −3 + 8 i . C. z = 3 + 8 i . D. z = 21 61 + i. 26 26 D. z = −3 − 8 i . t Câu 45. Cho hai số phức: z1 = 2 + 5 i , z1 = 2 + 5 i ; z2 = 3 − 4 i . Tìm số phức z = z1 .z2 . A. z = 26 − 7 i . B. z = 6 − 20 i . C. z = 26 + 7 i . D. z = 6 + 20 i . t Câu 46. Tính z = A. z = 6 2 + i. 13 13 3 + 2i 1− i + ? 1− i 3 + 2i 23 61 B. z = + i. 26 26 C. z = 315 23 63 + i. 26 26 D. z = 15 55 + i. 26 26 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 47. Cho số phức z = 2 + 3 i . Tìm số phức w = iz − z̄. A. w = −3 + 5 i . B. z = 5 − 5 i . C. z = 5 + 3 i . D. z = −5 + 5 i . t Câu 48. Tìm số phức thỏa mãn . A. 3 − 4 i . B. 1 − 2 i . D. 3 + 4 i . C. 1 + 2 i . ( i − 1) z + 2 = 2 + 3 i. 1 − 2i 7 5 7 5 C. z̄ = − − i . D. z̄ = − + i . 2 2 2 2 t Câu 49. Xác định số phức liên hợp z̄của số phức z biết A. z̄ = 7 5 − i. 2 2 B. z̄ = 7 5 + i. 2 2 t Câu 50. Cho số phức z = 1 − 3 i Tìm số phức w = iz + z̄ A. w = −4 − 4 i . B. w = −4 + 4 i . C. w = 4 + 4 i . t Câu 51. Cho số phức z = 3 − 2 i . Tìm số phức w = 316 D. w = 4 − 4 i . 5z − 2 z̄? 2− i Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A. w = −2 − 5 i . B. w = −2 + 5 i . C. w = 2 − 5 i . D. w = 2 + 5 i . t Câu 52. Cho số phức z̄ = 3 + 2 i . Tìm số phức w = 2 i. z̄ + z. A. w = 4 − 7 i . B. w = −1 + 4 i . C. w = 9 − 2 i . D. w = 4 + 7 i . t Câu 53. Cho số phức z = 5 + 2 i . Tìm số phức w = i z̄ − z A. w = −3 + 3 i . B. w = 3 − 3 i . C. w = −3 − 3 i . D. w = 3 + 3 i . t Câu 54. Cho số phức z = 2 − 3 i . Tìm số phức w = iz + 2 z̄i . A. w = −3 + 6 i . B. w = −3 − 2 i . C. w = 9 − 6 i . D. w = 9 + 6 i . p t Câu” 55.pCho số phức u = −”1 + 2 2 ip. Nếu z2 = u thì”ta có. A. z= 2+ i . p z = 2 2− i B. z = 1 + 2i p . z = −1 − 2 i C. 317 z = 1 + 2i z = 2− i ” . D. p 2 + 2i . p z = 2− i z= Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 56. Cho hai số phức z1 = 2 + 3 i , z2 = 3 − 2 i . Tích z1 .z2 bằng: A. −5 i . B. 6 − 6 i . C. 5 i . t Câu 57. Số phức nghịch đảo z−1 của số phức z = 2 − 2 i là A. 1 1 − i. 4 4 1 4 1 4 B. − + i . C. 1 1 + i. 4 4 D. 12 + 5 i . 1 4 1 4 D. − − i . t Câu 58. Nếu 2 số thực x, y thỏa: x(3 + 2 i ) + y(1 − 4 i ) = 1 + 24 i thì x + y bằng: A. 4. B. 3. C. 2. D. −3. t Câu¯ 59. Nếu số phức z có số phức nghịch đảo và số phức liên hợp bằng nhau thì ¯ A. ¯ z¯ = 1. ¯ ¯ B. z là số ảo. t Câu 60. Tính S = 1 + i + i 2 + … + i 2017 + i 2018 A. S = − i . B. S = 1 + i . 318 C. z là số thực. D. z = 1. C. S = 1 − i . D. S = i . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC ¯ ¯ p ¯¯2018 t Câu 61. TínhP = ¯1 + 3 i ¯ A. P = 2. ¯ p ¯¯2018 ¯ + ¯1 − 3 i ¯ . B. P = 21010 . C. P = 22019 . D. P = 4. t Câu 62. Cho số phức z = 4 + 6 i . Tìm số phức w = i. z̄ + z A. w = 10 − 10 i . B. w = −10 + 10 i . C. w = 10 + 10 i . D. w = −2 + 10 i . t Câu 63. Cho số phức z = 3 + 2 i . Tìm số phức w = z(1 + i )2 − z̄. A. w = 7 − 8 i . B. w = −7 + 8 i . C. w = 3 + 5 i . D. w = −3 + 5 i . 1 3 t Câu 64. Cho số phức z = 1 − i . Tính số phức w = i z̄ + 3 z. 8 3 A. w = . B. w = 8 + i. 3 C. w = 319 10 + i. 3 D. 10 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC ¯ ¯ ¯ ¯ t Câu 65. Số phức z thỏa mãn ¯ z¯ + z = 0 Khi đó: ¯ ¯ ¯ ¯ A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0. B. ¯ z¯ = 1. C. Phần thực của z là số âm. D. z là số thuần ảo. t Câu 66. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 − 6z + 13 = 0. Tìm số phức 6 . z0 + i 24 7 A. w = − + i . 5 5 w = z0 + B. w = − 24 7 − i. 5 5 C. w = 24 7 − i. 5 5 D. w = 24 7 + i. 5 5 t Câu 67. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (1 + i )2 . z̄ + 4 − 5 i = −1 + 6 i Tính S = a + b A. S = −3. B. S = 8. C. S = 6. D. S = 3. t Câu 68. Cho các số phức z1 = 2 − 3 i , z2 = 1 + 4 i . Tìm số phức liên hợp với số phức z1 z2 . A. −14 − 5 i . B. −10 − 5 i . C. −10 + 5 i . D. 14 − 5 i . t Câu 69. Cho số phức z = 2 + 5 i . Số phức w = iz + z là: A. w = 7 − 3 i . B. w = −3 − 3 i . C. w = 3 + 7 i . 320 D. w = −7 − 7 i . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu¯ 70. Với bất kỳ z1 , z2 . Khẳng định¯ nào sau ¯ ¯hai¯ số¯ phức ¯ ¯ ¯đây ¯ đúng ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A. ¯ z1 + z2 ¯ ≤ ¯ z1 ¯ + ¯ z2 ¯ . B. ¯ z1 + z2 ¯ = ¯ z1 ¯ + ¯ z2 ¯. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ C. ¯ z1 + z2 ¯ = ¯ z1 ¯ + ¯ z2 ¯ + ¯ z1 − z2 ¯. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t Câu 71. Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 + 3 i là A. 1 (1 + 3 i ). 10 B. ¯ ¯ D. ¯ z1 + z2 ¯ ≥ ¯ z1 ¯ + ¯ z2 ¯. 1 (1 − 3 i ). 10 C. 1 − 3 i . 1 D. p 10 (1 + 3 i ). t Câu 72. Cho hai số phức z1 = 1 + 2 i , z2 = 2 − 3 i . Tổng của hai số phức z1 và z2 là A. 3 − 5 i . B. 3 + 5 i . C. 3 − i . D. 3 + i . t Câu 73. Căn bậc hai của số phức z = −5 + 12 i là: A. 2 + 3 i . B. −2 − 3 i . C. 2 − 3 i, − 2 + 3 i . 321 D. 2 + 3 i, − 2 − 3 i . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC (2 − i )2 (2 i )4 là: 1− i B. 56 − 8 i . C. 7 + i . t Câu 74. Kết quả của phép tính A. 7 − i . t Câu 75. Cho số phức z = 3 + 2 i . Tìm số phức w = z(1 + i )2 − z̄ A. w = 3 + 5 i . B. w = 7 − 8 i . C. w = −3 + 5 i . 1+ i 3 − 2i − ta được 1− i 3 + 2i 75 15 75 11 B. z = + i. C. z = + i. 26 26 26 26 D. 56 + 8 i . D. w = −7 + 8 i . t Câu 76. Rút gọn số phức z = A. z = 55 15 + i. 26 26 t Câu 77. Tính z = A. z = 1 3 − i. 2 2 2− i 1 − i 2017 B. z = 3 1 + i. 2 2 C. z = 1 3 + i. 2 2 D. z = 55 11 + i. 26 26 D. z = 3 1 − i. 2 2 20 t Câu 78. Cho i là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức z = ( i 5 + i 4 + i 3 + i 2 + i + 1) là A. −1024 i . B. −1024. C. 1024. D. 1024 i . 322 Sưu tầm và biên soạn 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 79. Cho số phức z = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i 9 . Khi đó A. z = i . B. z = 1 − i . C. z = 1 + i . 7 GV: Doãn Thịnh D. z = 1. t Câu 80. Cho hai số phức z1 = m − 1 + 3 i và z2 = 2 − mi (m ∈ R). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để z1 .z2 là số thực. A. m ∈ {−2; −3}. 2 5 B. m = . C. m ∈ {3; −2}. D. m ∈ {−3; 2}. t Câu¯ 81. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn 7a + 4 + 2bi = −10 + (6 − 5a) i . Tính P = ¯ ¯ ¯ (a + b)¯ z¯. p A. P = 12 17. p 72 2 B. P = . 49 p −4 29 C. P = . 7 t Câu 82. Phần thực của số phức z = (3 − i )(1 − 4 i ) là: A. −1. B. 13. C. 1. 323 p D. P = 24 17. D. −13. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC t Câu 83. Rút gọn biểu thức M = (1 − i )2018 ta được A. M = 21009 . B. M = −21009 . C. M = 21009 i . p 3 1 i . Số phức 1 + z + z2 bằng. t Câu 84. Cho số phức z = − + 2 2 p p 1 3 A. 2 − 3 i . B. 0. C. − + i. 2 2 1+ i t Câu 85. Cho số phức z = 1− i A. −2. B. 0. µ ¶5 3 4 + i. 25 25 B. D. 1. . Tính z5 + z6 + z7 + z8 . C. 4 i . t Câu 86. Biểu diễn về dạng z = a + bi của số phức z = A. D. M = −21009 i . D. 4. i 2016 (1 + 2 i )2 −3 4 C. − i. 25 25 3 4 − i. 25 25 là số phức nào? D. −3 4 + i. 25 25 t Câu 87. Cho z = (1 + i )2017 . Tìm z. 324 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A. z = −21008 − 21008 i . C. z = 21008 + 21008 i . B. z = −21008 i 1008 . D. z = 21008 i 1008 . t Câu 88. Gọi x, x,y là hai số thực thỏa mãn biểu thức bằng: A. x.y = 1. B. x.y = 5. x + yi = 3 + 2 i . Khi đó, tích số x.y 1− i C. x.y = −1. z bằng: z̄ 5 − 12 i B. . 13 D. x.y = −5. t Câu 89. Nếu z = 2 i + 3 thì A. 5 + 6i − 2 i. 11 C. 5 + 12 i . 13 D. 3 − 4i . 7 p t Câu 90.pCho số phức z thỏa mãnp(1 + i 3).z = 4 i . Tính z2017 p. A. 8672 ( 3.i − 1). B. −8672 ( 3 + i ). C. 8672 (1 − 3.i ). 325 p D. 8672 ( 3 + i ). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Căn bậc hai của số phức z = x + yi là một số phức w = a + bi và tìm như sau ( 2 2 2 a + bi ⇔ x + yi = (a + bi ) ⇔ (a − b ) + (2ab) · i = x + yi ⇔ a2 − b 2 = x 2ab = y Giải hệ này ta tìm được a, b. Từ đó tìm được căn bậc hai của số phức z. ! Ta có thể làm tương tự đối với các trường hợp căn bậc ba, bậc bốn. u Ví dụ 15. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4 i . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỰC Xét phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (1) với a 6= 0 có biệt thức ∆ = b2 − 4ac. b . 2a Nếu ∆ 6= 0 và gọi δ là căn bậc hai của ∆ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt −b + δ −b − δ là z1 = và z2 = . 2a 2a Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = − u Ví dụ 16. Biết z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2 z + 4 = 0. Tính | z1 |+| z2 |. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trong C, phương trình 2 x2 + x + 1 = 0 có nghiệm là: 326 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC p p 1 1 4 4 p p 1 1 C. x1 = (−1 + 7 i ); x2 = (1 − 7 i ). 4 4 p p 1 1 4 4 p p 1 1 D. x1 = (1 + 7 i ); x2 = (−1 − 7 i ). 4 4 A. x1 = (−1 − 7 i ); x2 = (−1 + 7 i ). B. x1 = (1 + 7 i ); x2 = (1 − 7 i ). t Câu 2. Khai căn bậc hai số phức z = −3 + 4 i có kết quả: A. z1 = 1 + 2 i ; z2 = −1 − 2 i . B. z1 = 1 + 2 i ; z2 = 1 − 2 i . C. z1 = 1 + 2 i ; z2 = −1 + 2 i . D. z1 = −1 + 2 i ; z2 = −1 − 2 i . t Câu 3. Trong C, p nghiệm củapphương trình z3 − 8 = 0 là: p p A. z1 = 2; z2 = 1 + 3 p i ; z3 = 1 − 3 i . p B. z1 = 2; z2 = −1 + p3 i ; z3 = −1 − p 3 i. C. z1 = −2; z2 = −1 + 3 i ; z3 = −1 − 3 i . D. z1 = −2; z2 = 1 + 3 i ; z3 = 1 − 3 i . ¯ ¯ ¯ ¯ t Câu 4. Trong C, phương trình ¯ z¯ + z = 2 + 4 i có nghiệm là: A. z = −3 + 4 i . B. z = −2 + 4 i . C. z = −4 + 4 i . D. z = −5 + 4 i . t Câu 5. Hai giá trị x1 = a + bi ; x2 = a − bi là hai nghiệm của phương trình: A. x2 + 2ax + a2 + b2 = 0. B. x2 + 2ax + a2 − b2 = 0. 2 2 2 C. x − 2ax + a + b = 0. D. x2 − 2ax + a2 − b2 = 0. 327 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu” 6. Trong C, phương trình z2 + 3 iz + 4 = 0 có nghiệm là: ” ” z = 3i A. z = 4i B. . z=i z = −4 i C. . z = 1+ i z = −3 i ” D. . t Câu 7. Trong C, phương trình z2 −p z + 1 = 0 có nghiệm là: p   ” A. z = 3 + 5i z = 3 − 5i . 2 + 3i z =  2p . B.   2 − 3i z= 2 1 + 5i z =  2p . C.   1 − 5i z= 2 A. z = 3+ i . B. z = 3+ i z = −3 − i C. . z = −3 + i z = 3− i z = 1+ i p 1 + 3i z =  2p . D.   1 − 3i z= 2 ” . .  t Câu” 8. Tính căn bậc hai của ” số phức z = 8 + 6 i ra kết ” quả: z = 3− i z = 2 − 3i D. z = 3− i z = −3 − i . p t Câu” 9. Trong C, nghiệm của trình z2 + 5 = 0 là: p p ” phương A. z= 5 p . z=− 5 B. z= 4 5i . p 4 z = − 5i C. 328 p 5 i. p D. − 5 i . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu” 10. Trong C, nghiệm của phương trình z2 = −5 + 12 i là: A. z = 2 + 3i z = −2 − 3 i . B. z = 2 + 3 i . ” C. z = 2 − 3 i . D. z = 2 − 3i z = −2 + 3 i . t Câu 11. Trong C, nghiệm của phương trình z2 + 4″z + 5 = 0 là: A. z = 2 − i . B. z = −2 − i . C. z = −2 − i z = −2 + i . D. z = −2 + i . 2 t Câu” 12. Trong C, nghiệm của ” phương trình z − 2″z + 1 − 2 i = 0 là A. z1 = 2 − i z2 = − i . B. z1 = i − 2 z2 = − i C. . z1 = 2 + i z2 = 2 − i . ” D. z1 = 2 + i z2 = − i . t Câu 13. Cho z = 3 + 4 i . Tìm căn bậc hai của z. A. −2 + i và 2 − i . B. 2 . p+ i và 2 − i p C. 2 + i và −2 − i . D. 3 + 2 i và − 3 − 2 i . t Câu 14. Trong C, phương trình z4 − 6 z2 + 25 = 0 có nghiệm là: A. ±8, ±5 i . B. ±3, ± 4 i . C. ±5, ± 2 i . 329 D. ±(2 + i ), ± (2 − i ). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC 1 = 2 i có nghiệm là: z p p B. (5 ± 2) i . C. (1 ± 2) i . t Câu 15. Trong C, phương trình z + p A. (1 ± 3) i . 3 t Câu 16. Trong + 1 = 0 có nghiệm là: p p C, phương trình z p 2± i 3 1± i 3 1± i 5 A. −1; . B. −1; . C. −1; . 2 2 4 p D. (2 ± 5) i . p 5± i 3 D. −1; . 4 t Câu 17. Trong C, phương trình z4 − 1 = 0 có nghiệm là: A. ±1, ± 2 i . B. ±2, ± 2 i . C. ±3, ± 4 i . D. ±1, ± i . t Câu 18. Trong C, căn bậc hai của −121 là: A. −11 i . B. 11 i . D. 11 i và −11 i . 330 C. −11. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 19. Phương trình 8 z2 − 4 z + 1 = 0 có nghiệm là: 5 1 1 1 + i ; z2 = − i . 4 4 4 4 1 1 1 1 C. z1 = + i ; z2 = − i . 4 4 4 4 1 1 1 3 + i ; z2 = − i . 4 4 4 4 2 1 1 1 D. z1 = + i ; z2 = − i . 4 4 4 4 B. z1 = A. z1 = p t Câu 20. Biết z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z2 + 3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z12 + z22 là: A. 9 . 4 B. 9. C. 4. 9 4 D. − . t Câu 21. Phương trình z2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1+2 i . Tổng 2 số avà bbằng: A. 0. B. −3. C. 3. D. −4. t Câu 22. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4 z + 5 = 0. Khi đó phần thực của z12 + z22 là: A. 5. B. 6. C. 4. D. 7 . 331 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 23. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2 z + 4 = 0. Khi đó A = | z1 |2 +| z2 |2 có giá trị là A. −7. B. – 8 . C. −4 . D. 8. t Câu 24. Phương trình z3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0 . t Câu 25. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z2 − 6 z + 5 = 0. Tìm iz0 ? 1 2 3 2 A. iz0 = − + i . B. iz0 = 1 3 + i. 2 2 1 2 3 2 C. iz0 = − − i . D. iz0 = 1 3 − i. 2 2 t Câu 26. Tìm nghiệm phức của phương trình: x2 + 2 x + 2 = 0. A. x1 = 2 − i ; x2 = 2 + i . B. x1 = −1 − i ; x2 = −1 + i . C. x1 = 1 − i ; x2 = 1 + i . D. x1 = −2 − i ; x2 = −2 + i . t Câu 27. Cho các số phức z1 = 3 + 2 i , z2 = 3 − 2 i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z2 + 6 z − 13 = 0. B. z2 − 6 z − 13 = 0. C. z2 − 6 z + 13 = 0. D. z2 + 6 z + 13 = 0. 332 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 28. Phương trình 2p x2 − 5 x + 4 = 0 có nghiệm trên tập sốpphức là p p 5 5 7 7 B. x1 = − + i ; x2 = − − i. 4 p4 4p 4 5 5 7 7 D. x1 = + i ; x2 = − i. 4 4 4 4 3 3 7 7 i ; x2 = − i. A. x1 = + 4 p4 4 p4 5 5 7 7 C. x1 = + i ; x2 = − i. 2 4 2 4 t Câu 29. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 6 z + 13 = 0 trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức ω = z1 + 2 z2 . A. ω = −9 − 2 i . B. ω = 9 − 2 i . C. ω = 9 + 2 i . D. ω = −9 + 2 i . t Câu 30. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 − 2 z + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức A. M (1; 2). 7 − 4i trên mặt phẳng phức? z1 B. N (1; −2). C. Q (3; −2). t Câu 31. Biết z là một nghiệm của phương trình z + z3 + 1 . z3 7 4 A. P = . B. P = −2. 1 = 1. Tính giá trị của biểu thức P = z C. P = 0. 333 D. P (3; 2). D. . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC p t Câu 32. Biết z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z2 + 3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z12 + z22 là: 9 9 A. 4. B. . C. 9. D. − . 4 4 t Câu 33. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 + 2 z + 2 = 0 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số nghiệm. t Câu 34. Tìm các căn bậc hai của −9. A. ±3 i . B. 3. D. −3. C. 3 i . t Câu 35. Trong C, phương trình z4 + 4 = 0 có nghiệm là: A. ±(1 − 4 i ); ±(1 + 4 i ). B. ±(1 − 2 i ); ±(1 + 2 i ). C. ±(1 − 3 i ); ±(1 + 3 i ). 334 D. ±(1 − i ); ±(1 + i ). Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC 7 GV: Doãn Thịnh 2 t Câu 36. Giải z + 7 = 0 trên tập số phức p ta được nghiệm là: p p phương trình z − 2p B. z = 1 ± 6 i . C. z = 1 ± 2 i . D. z = 1 ± 7 i . A. z = 1 ± 2 2 i . p t Câu 37. p Căn bậc hai của số phức p 4 + 6 5 i là: p B. (3 + 5 i ). C. ±(3 + 5 i ). A. −(3 + 5 i ). D. 2. t Câu 38. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 − 56 i . Phần thực của z là: A. 6 . B. 7. C. 4. D. –4. t Câu 39. Tập nghiệm trong C của phương trình z3 + z2 + z + 1 = 0 là: A. {− i ; i ; 1; −1}. B. {− i ; i ; 1}. C. {− i ; −1}. D. {− i ; i ; −1}. t Câu 40. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm α = 4 + 3 i ; β = −2 + i là: A. z2 + (2 + 4 i ) z − (11 + 2 i ) = 0. B. z2 − (2 + 4 i ) z − (11 + 2 i ) = 0. 2 C. z − (2 + 4 i ) z + (11 + 2 i ) = 0. D. z2 + (2 + 4 i ) z + (11 + 2 i ) = 0. 335 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 41. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z2 = | z|2 + z? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. t Câu 42. Phương trình (2 + i ) z2 + az + b = 0 (a,b ∈ C) có hai nghiệm là 3 + i và 1 − 2 i . Khi đó a =? A. −9 − 2 i . B. 15 + 5 i . C. 9 + 2 i . ¯ ¯ t Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn z2 − 6 z + 13 = 0. Tính ¯ z + A. p 17 và 4 . B. p 17 và 5. C. D. 15 − 5 i . 6 ¯¯ ¯ z+i p 17 và 3. D. p 17 và 2. t Câu 44. Gọi z1 ,z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + (1 − 3 i ) z − 2(1 + i ) = 0. Khi đó w = z12 + z22 − 3 z1 z2 là số phức có môđun là: p p p C. 2 13. D. 20. A. 2. B. 13. t Câu 45. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4 z2 + 8| z|2 − 3 = 0 là: 336 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. t Câu 46. Tìm số phức z để z − z = z2 . A. z = 0; z = 1 − i . C. z = 0; z = 1 + i ; z = 1 − i . B. z = 0; z = 1 + i . D. z = 1 + i ; z = 1 − i . t Câu 47. Với mọi số ảo z, số z2 + | z|2 là: A. Số thực âm . B. Số 0. C. Số thực dương. D. Số ảo khác 0. t Câu 48. Trong trường số phức phương trình z3 + 1 = 0 có mấy nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0. t Câu 49. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm là: ( ( ( ( A. b=2 c = −2 . B. b = −2 c = −2 C. . 337 b = −2 c=2 . D. b=2 c=2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 50. Trên tập hợp số phức, phương trình z2 + 7 z + 15 = 0 có hai nghiệm z1 ,z2 . Giá trị biểu thức z1 + z2 + z1 z2 là: A. –7 . B. 8. C. 15. D. 22. 3 t Câu(51. Tìm số nguyên x, (y sao cho số phức z = x + ( yi thỏa mãn z = 18 + 26 (i A. x=3 y = ±1 . B. x=3 y = −1 C. . x=3 y=1 . D. x = −3 y = ±1 . t Câu 52. Phương trình z6 − 9 z3 + 8 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 . B. 4. C. 2. D. 6. t Câu 53. Giả sử z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình z2 − 2 z + 5 = 0 và A , B là các điểm biểu diễn của z1 ,z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I (1; 1). B. I (−1; 0). C. I (0; 1). D. I (1; 0). 338 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC t Câu 54. Cho phương trình z2 + mz −6 i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m = ±(a + bi ) (a,b ∈ R). Giá trị a + 2 b là: A. 0. B. 1. C. −2. D. −1. ¶ z−1 4 t Câu 55. Gọi z1 ,z2 ,z2 ,z4 là các nghiệm phức của phương trình = 1. Giá trị của P = 2z − i ( z12 + 1)( z22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) là: 17 17 9 17 i A. . B. . C. . D. . 8 9 17 9 µ t Câu 56. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng −4 i là: A. ±(1 − i ). B. (1 − i ). C. ±(1 + i ). D. −1 − i . t Câu 57. Cho phương trình z2 − mz + 2m − 1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z1 ,z2 thỏa mãn z12 + z22 = −10 là: p p p p A. m = 2 ± 2 2 i . B. m = 2 + 2 2 i . C. m = 2 − 2 2 i . D. m = −2 − 2 2 i . t Câu 58. Gọi z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2 z + 8 = 0, trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w = (2 z1 + z2 ) z1 là: 339 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC A. 12 + 6 i . B. 10. C. 8. D. 12 − 6 i . t Câu 59. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z4 − 1 = 0 trên tập số phức là bao nhiêu? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. t Câu 60. Gọi z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình z2 − 2 z + 6 = 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá thức M = | z1 |p + |3 z 1 p − z2 | là: p p p p trị biểu p p A. 6 − 2 21 . B. 6 + 2 21. C. 6 + 4 21. D. 6 − 4 21. 340 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh PHẦN II HÌNH HỌC 341 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG BÀI 1. 1 KHỐI ĐA DIỆN KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN đỉnh 1 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 2 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 2 cạnh mặt KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. điểm trong điểm ngoài M N Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. 3 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình trong không gian. Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M 0 xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. * Một số phép dời hình trong không gian: 343 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Phép tịnh tiến Nội dung Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 sao cho # » MM 0 = #» v. Hình vẽ #» v M0 M 2 Phép đối xứng qua mặt phẳng Nội dung Hình vẽ M Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P ) thành điểm M 0 sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của MM 0 . I P M0 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình H thành chính nó thì (P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của H . 3 Phép đối xứng qua tâm O. Nội dung Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M 0 sao cho O là trung điểm MM 0 . Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H ) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H ). Hình vẽ M O M0 4 Phép đối xứng trục Nội dung Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M 0 sao cho ∆ là đường trung trực của MM 0 . Hình vẽ ∆ M O M0 Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H ) thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H ). ! Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. Phép dời hình biến đa diện (H ) thành đa diện (H 0 ), biến đỉnh, cạnh, mặt của ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của ( H 0 ). Hai hình bằng nhau: Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 344 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 4 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ ( H1 ) Nếu khối đa diện (H ) là hợp của hai khối đa diện (H1 ), (H2 ) sao cho (H1 ) và (H2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H ) thành hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) với nhau để được khối đa diện (H ). B (H ) ( H2 ) TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 9. B. 8. C. 5. D. 6. t Câu 2. Hình nào dưới nào dưới đây không có trục đối xứng? A. Hình bình hành. B. Hình thang cân. C. Hình elip. D. Tam giác cân. t Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. t Câu 4. Hình đa diện nào sau đây không có mặt đối xứng? A. Hình chóp tứ giác đều. B. Hình lập phương. C. Hình lăng trụ lục giác đều. D. Hình lăng trụ tam giác. t Câu 5. Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A. Hình tròn. B. Đường thẳng. C. Hình hộp xiên. D. Tam giác đều. t Câu 6. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8. B. 4. C. 2.. D. 6. t Câu 7. Hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. t Câu 8. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. t Câu 9. Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là A. 16. B. 26. C. 8. D. 24. t Câu 10. Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt? A. 6 mặt. B. 5 mặt. C. 7 mặt. D. 9 mặt. t Câu 11. Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất A. bốn mặt. B. hai mặt. C. ba mặt. D. năm mặt. t Câu 12. Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? A. 13. B. 9. C. 11. D. 12. 345 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN t Câu 13. Một hình lập phương được cắt đi 8 góc như hình vẽ bên. Hỏi hình mới nhận được có bao nhiêu mặt? A. 12. B. 10. C. 14. D. 16. t Câu 14. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 16. B. 20. C. 12. D. 8. t Câu 15. Một hình chóp có tất cả 2018 mặt. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu đỉnh? A. 1009. B. 2018. C. 2017. D. 1008. t Câu 16. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Trong một khối đa diện, số đỉnh luôn lớn hơn số cạnh. B. Trong một khối đa diện, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt. C. Tồn tại khối đa diện mà có cạnh là cạnh chung của ba mặt. D. Trong một khối đa diện, số mặt luôn bằng số đỉnh. t Câu 17. Gọi a, b lần lượt là số cạnh và số mặt của hình chóp tứ giác. Tính hiệu T = a − b. A. T = 7. B. T = 5. C. T = 4. D. T = 3. t Câu 18. Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 thành hai khối lăng trụ? A. ( A 0 BC 0 ). B. ( ABC 0 ). C. ( AB0 C ). D. ( A 0 BD ). t Câu 19. Khẳng định nào sau đây đúng? Cắt khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 bởi mp( A 0 BC ) ta được A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. B. Hai khối chóp tứ giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. D. Hai khối chóp tam giác. t Câu 20. Cho khối lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 . Mặt phẳng (BDD 0 B0 ) chia khối lập phương thành A. Hai khối lăng trụ tam giác. B. Hai khối tứ diện. C. Hai khối lăng trụ tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. 346 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU BÀI 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 KHỐI ĐA DIỆN LỒI Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 1 Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ ! 2 khi miền trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. 2 Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta luôn có Đ + M = C + 2. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa 1. 1 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây Các mặt là những đa giác đều p cạnh. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh. 2 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại { p; q}. Định lí 1. Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại {3; 3}: khối tứ diện đều. Loại {4; 3}: khối lập phương. Loại {3; 4}: khối bát diện đều. Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều. Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều. Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện. Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối hai mươi mặt Khối bát diện đều Khối mười hai mặt đều đều 347 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều: Đa diện đều cạnh a Số đỉnh Số cạnh Số mặt Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 Lập phương {4; 3} 8 12 6 Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 20 30 12 12 30 20 Mười hai mặt đều {5; 3} Hai mươi mặt đều {3; 5} Thể tích V p 3 2a 12 3 a p 3 2a 3 p 15 + 7 5 3 a 4p 15 + 5 5 3 a 12 Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp p a 6 4 p a 3 2 p a 2 p2 p 3 + 15 a 4 p p 10 + 20 a 4 Giả sử khối đa diện đều loại { p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có q · Đ = 2C = p · M B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau. t Câu 2. Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng: A. Lớn hơn hoặc bằng 4. B. Lớn hơn 4. C. Lớn hơn hoặc bằng 5. D. Lớn hơn 5. t Câu 3. Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn: A. Lớn hơn hoặc bằng 6. B. Lớn hơn 6. C. Lớn hơn 7. D. Lớn hơn hoặc bằng 8. t Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi. B. Lắp ghép hai khối hộp được một khối đa diện lồi. C. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi. D. Khối hộp là khối đa diện lồi. t Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. t Câu 6. Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. 348 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất 3 mặt. D. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh. t Câu 7. Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) dưới đây điền vào chỗ trống để mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . số mặt của hình đa diện đó.” A. nhỏ hơn hoặc bằng. B. lớn hơn. C. bằng. D. nhỏ hơn. t Câu 8. Mặt phẳng AB0 C 0 chia khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 thành các khối đa diện nào? A. Hai khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tam giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. D. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. ¡ ¢ t Câu 9. Cho khối đa diện đều loại { p; q}, chỉ số p là: A. Số cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện. D. Số đỉnh của đa diện. t Câu 10. Cho khối đa diện đều loại { p; q}, chỉ số q là: A. Số đỉnh của đa diện. B. Số cạnh của đa diện. C. Số mặt của đa diện. D. Số mặt ở mỗi đỉnh. t Câu 11. Số cạnh của một hình bát diện đều là: A. 8. B. 10. C. 12. D. 16. t Câu 12. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều . C. Hình lập phương. D. Lăng trụ lục giác đều. t Câu 13. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t Câu 14. Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 9. C. 6. D. 12. t Câu 15. Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8. B. 9. C. 10. D. 12. t Câu 16. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 6. C. 8. D. 10. t Câu 17. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 9. C. 3. D. 6. t Câu 19. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh p đề nào dưới đây đúng? p p A. S = 2 3a2 . B. S = 4 3a2 . C. S = 8a2 . D. S = 3a2 . t Câu 20. Số cạnh của tứ diện đều là A. 5. B. 6. C. 7. t Câu 21. Khối đa diện đều loại {4; 3} có bao nhiêu mặt A. 6. B. 12. C. 5. 349 D. 8. D. 8. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU t Câu 22. Khối lập phương là khối đa diện đều loại: A. {5; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}. t Câu 23. Khối đa diện đều loại {5; 3} có số mặt là: A. 14. B. 12. C. 10. D. 8. t Câu 24. Có bao nhiêu loại khối đa diện đều? A. 3. B. 5. C. 20. D. Vô số. t Câu 25. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều? A. Thập nhị diện đều. B. Nhị thập diện đều. C. Bát diện đều. D. Tứ diện đều. t Câu 26. Số cạnh của một bát diện đều là: A. 12. B. 8. C. 10. D. 16. t Câu 27. Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 3. B. 5. C. 8. D. 4. t Câu 28. Mỗi đỉnh của nhị thập diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 20. B. 12. C. 8. D. 5. t Câu 29. Khối mười hai mặt đều thuộc loại A. {5, 3}. B. {3, 5}. C. {4, 3}. D. {3, 4}. t Câu 30. Khối đa diện đều loại {3; 4} có số cạnh là: A. 14. B. 12. C. 10. D. 8. t Câu 31. Khối đa diện đều loại {4; 3} có số đỉnh là: A. 4. B. 6. C. 8. D. 10. t Câu 32. Số cạnh và số mặt của một hình bát diện đều là: A. Tám. B. Mười. C. Hai mươi. D. Mười sáu. t Câu 33. Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh A. 8. B. 6. C. 9. D. 7. t Câu 34. Hình mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện nào sau đây ? A. {3; 3}. B. {4; 3}. C. {3; 5}. D. {5; 3}. t Câu 35. Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là: A. Mười hai. B. Mười sáu. C. Hai mươi. D. Ba mươi. t Câu 36. Số cạnh của hình mười hai mặt đều là: A. Mười hai. B. Mười sáu. C. Hai mươi. D. Ba mươi. t Câu 37. Cho khối tứ diện đều (H). Gọi (H1 ) là khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh khối tứ diện (H). Hỏi (H1 ) là khối đa diện đều loại nào? A. {3; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}. t Câu 38. 350 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Cho khối bát diện đều (H). Gọi (H1 ) là khối đa diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của (H). Khi đó (H) là khối đa diện đều loại A. {3; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}. t Câu 39. Cho khối lập phương (H). Gọi (H1 ) là khối đa diện đều đỉnh là tâm các mặt của (H). Hỏi (H1 ) là khối đa diện đều loại nào? A. {3; 4}. B. {4; 3}. C. {3; 3}. D. {5; 3}. 351 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI 3. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ 1 VChóp = S đáy · h 3 ( Trong đó S S đáy là diện tích mặt đáy h h là chiều cao khối chóp. D A H 1 VS.ABCD = S ABCD · d(S,( ABCD )) 3 2 C B THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Nội dung Hình vẽ C0 A0 VLăng trụ = S đáy · h ( Trong đó ! 3 B0 h S đáy là diện tích mặt đáy C A h là chiều cao lăng trụ. H Lăng trụ đứng có chiều cao chính là độ dài cạnh bên. B THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT Nội dung Hình vẽ D0 A0 B0 VHộp chữ nhật = abc A Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh khối hộp chữ nhật. B 352 C0 c a D b C Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 4 THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG Nội dung Hình vẽ D0 A0 V = a3 B0 C0 A D B 5 C TỈ SỐ THỂ TÍCH Nội dung Hình vẽ S A0 B0 A 0 0 C 0 VS.A 0 B0 C 0 S A SB SC = · · VS.ABC S A SB SC Thể tích khối chóp cụt ABC.A 0 B0 C 0 ´ p h³ V= B + B0 + BB0 3 Với B, B0 , h là diện tích hai đáy và chiều cao 6 C0 B MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT p Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2. p Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3. p Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là a2 + b 2 + c 2 . p Đường cao của tam giác đều cạnh a là 7 a 3 . 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 Cho 4 ABC vuông tại A , đường cao AH AB2 + AC 2 = BC 2 . AB2 = BH · BC . AC 2 = CH · BC . AH · BC = AB · AC . 1 1 1 = + . 2 2 AH AB AC 2 AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B. 353 A B H C Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2 Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r ; nửa chu vi là p Định lí hàm số côsin a2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A . Định lí hàm số sin : b 2 = a2 + c 2 − 2ac cos B. c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos C . a b c = = = 2R . sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến m2a = 8 2( b2 + c2 ) − a2 . 4 m2b = 2(a2 + c2 ) − b2 . 4 m2c = 2(a2 + b2 ) − c2 . 4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1 Tam giác 1 1 1 S = a · ha = b · hb = c · h c. 2 2 2 1 1 1 S = bc sin A = ca sin B = ab sin C . 2 2 2 abc S= . 4R S=p pr . S = p( p − a)( p − b)( p − c). AB · AC BC · AH 4 ABC vuông tại A : S = = . 2 2 p p a 3 a2 3 4 ABC đều, cạnh a : AH = ,S = . 2 4 2 Hình vuông S = a2 ( a là cạnh hình vuông ) 3 Hình chữ nhật S = a·b ( a, b là hai kích thước ) 4 Hình bình hành ƒ S = đáy × cao = AB · AD · sin BAD 5 Hình thoi ƒ= S = AB · AD · sin BAD 1 AC · AD 2 ( a, b là hai kích thước ) 6 Hình thang 1 S = (a + b) h ( a, b là hai đáy, h là chiều cao ) 2 7 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD 1 S = AC · BD 2 B TRẮC NGHIỆM ========================= CÔNG THỨC ========================= t Câu 1. Một khối chóp có diện tích mặt đáy bằng S , chiều cao bằng h, thể tích của khối chóp đó là: 354 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. V = S.h. 1 3 1 2 B. V = .S.h2 . C. V = .S.h. 1 3 D. V = .S.h. t Câu 2. Một khối lăng trụ có diện tích một mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h. Thể tích của khối lăng trụ là: A. V = S.h. 1 3 C. V = B.h . B. V = B.h. D. V = B2 .h. t Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 8( cm), chiều cao SH bằng 3( cm). Tính thể tích khối chóp? A. V = 16( cm3 ). B. V = 24( cm3 ). C. V = 48( cm3 ). D. V = 64( cm3 ). ===== KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ======= t Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SC vuông góc với mặt đáy ( ABC ). Thể tích khối chóp S.ABC tính được theo công thức nào sau đây? 1 3 A. V = S∆ ABC .S A . 1 3 B. V = S∆ ABC .SB. 1 3 C. V = S∆ ABC .SC . D. V = S∆ ABC .SC . t Câu 5. Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AB = 1, AC = 2, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) và S A = 3. Thể tích của khối chóp đó bằng: A. 1. B. 2. C. 3. D. 6. t Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, BC = 2a. Cạnh S A vuông p góc với mp( ABCD ). Cạnh SC = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: A. 2 5 a3 . 3 p B. 2 3a3 . C. 4 3 a . 3 D. 6a3 . t Câu 7. Cho hình tứ diện O ABC có ba cạnh O A , OB, OC đôi một vuông góc. Thể tích của khối tứ diện đó được tính theo công thức nào sau đây? 355 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1 6 A. V = O A.OB.OC . 1 3 B. V = O A.OB.OC . C. V = O A.OB.OC . 1 2 D. V = O A.OB.OC . t Câu 8. Cho khối p chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết S A vuông góc với ( ABCD ) và S A = a 3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: p p 3 3 p a3 a a 3 3 A. . B. a3 3. C. . D. . 4 6 3 t Câu 9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng A. 4 a3 . 3 B. 2a3 . C. a3 . 3 D. 2 a3 . 3 t Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD p có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,BC = 2a, cạnh bên S A vuôngpgóc với đáy và S A = a 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . p A. 2 a3 3 . 3 p p B. a3 2. C. 2a3 2. D. 2 a3 2 . 3 t Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2a. Thể tích khối tứ diện S.BCD là: a3 A. . 4 a3 B. . 8 a3 C. . 6 356 a3 D. . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD p có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Biết S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABO . p p p p A. a3 2 . 3 B. 2 a3 2 . 12 C. a3 2 . 12 D. 4 a3 2 . 3 t Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Biết S A = 6a và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . p p A. 8a3 . B. 6 3a3 . C. 12 3a3 . D. 24a3 . t Câu 14. Cho hình chóp tam giác S.ABC với S A , SB, SC đôi một vuông góc và S A = SB = SC = a. Tính thế tích của khối chóp S.ABC . A. 1 3 a . 2 B. 1 3 a . 6 C. 2 3 a . 3 D. 1 3 a . 3 t Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh S A vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng. A. a3 . 6 B. a3 . 8 C. 357 a3 . 3 D. a3 . 4 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,AD = 2a, S A vuông góc p với mặt đáy và S A = a 3. Thể tính p khối chóp S.ABCD bằng p p A. 2a3 3. B. a3 3 . 3 p C. a3 3. D. 2 a3 3 . 3 t Câu 17. Cho tứ diện O ABC có O A , OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O và O A = 2, OB = 4, OC = 6. Thể tích khối tứ diện đó cho bằng. A. 24. B. 16. C. 8. D. 48. t Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy p và S A = 2a. Tính thểptích khối chóp S.ABC . p p A. a3 3 . 6 B. a3 3 . 2 C. a3 3 . 3 D. a3 3 . 12 t Câu 19. Cho hình p chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = a 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC . A. VS.ABC = a2 (đvtt). B. VS.ABC = a3 (đvtt). C. VS.ABC = a3 (đvtt). 2 D. VS.ABC = 3a3 (đvtt). 358 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, S A ⊥( ABC ), S A = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng A. 1 3 a . 6 B. a3 . C. 1 3 a . 3 D. 3a3 . t Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A p vuông góc với mặt phẳng đáy và SpA = 2a. Tính thể tíchpV của khối chóp S.ABCD p . p A. V = 2a3 . B. V = 2 a3 . 4 C. V = 2 a3 . 6 D. V = 2 a3 . 3 t Câup22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết S A ⊥( ABCD ) và S A = a 3p. Thể tích của khối chóp S.ABCD có giá trị là p A. a3 3 . 3 B. a3 . 4 C. a3 3 . 12 p D. a3 3. p t Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A ⊥( ABC ) và S A = a 3. Thể tích khối chóp S.ABC là. A. 3 a3 . 6 B. a3 . 4 C. 359 3 a3 . 4 D. 3 a3 . 8 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, đường thẳng S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và S A = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng A. a3 . B. 3a3 . C. 6a3 . D. 2a3 . p t Câu 25. Cho hình hình chóp S.ABC có cạnh S A vuông góc với mặt đáy và S A = a 3. Đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng. p p a3 a3 3 a3 3 B. V = . C. V = a 3. D. V = . A. V = . 12 4 12 t Câu 26. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Biết đáy ABC là tam giác vuông tại B và AD = 5, AB = 5, BC = 12. Tính thể tích V của tứ diện ABCD . A. V = 50. B. V = 120. C. V = 150. D. V = 325 . 16 t Câu 27.p Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A ⊥( ABCD ) và S A = ap 6. Thể tích của khối p chóp S.ABCD bằng p A. a3 6 . 3 B. a3 6 . 2 C. 360 a3 6 . 6 p D. a3 6. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A ⊥( ABCD ) và S A = 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD là. A. 2a3 . B. a3 . C. a3 . 3 D. a3 . 2 tpCâu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết S A ⊥( ABCD ); S A = a 3. Tính p thể tích của khối chóp. p A. a3 3 . 3 B. a3 3 . 12 C. a3 . 4 p D. a3 3. t Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; S A vuông góc mặt đáy, góc giữa ◦ SC và mặt p đáy của hình chóp bằng 60 . Thể tích khối chóp p S.ABCD là p A. a3 2 . 3 B. a3 . 3 C. a3 6 . 3 D. a3 3 . 3 t Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và S A vuông góc đáy ◦ ABCD và pmặt bên (SCD ) hợp với p đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD p . A. a3 3 . 3 B. a3 3 . 6 p C. a3 3. 361 D. 2 a3 3 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có S A vuông góc với mặt phẳng (p ABCD ), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, AD = 3a, BC = a. Biết S A = a 3, tính thể tích khối chóp S.BCD theo a. p p p A. 3 a3 . 6 B. 2 3 a3 . 3 C. 3 a3 . 4 p D. 2 3a3 . t Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có S A vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết S A = AC = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . p A. 2 3 a . 3 B. 1 3 a . 3 C. 2 2 3 a . 3 D. 4 3 a . 3 t Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. S A vuông góc với đáy và tạo với góc 45◦ . Tính thể tích khối p chóp S.ABC . p p đường thẳng SB một p a3 3 . A. 12 a3 3 B. . 4 a3 3 C. . 24 a3 3 D. . 6 t Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (S AB) và (S AD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ); góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) p bằng 60◦ . Tính theo a thể p tích khối chóp S.ABCD . A. a3 6 . 9 B. a3 6 . 3 p C. 3 2a3 . 362 D. 3a3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 36. p Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3. Tính thể tích V khối chóp đó. p p p 3 p a3 2 a3 2 a 2 3 . B. V = a 2. . D. V = . C. V = A. V = 9 6 3 p a 2 t Câu 37. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = , S A vuông 2 góc với mặt đáy. Góc giữa mặt bên (SBC ) và mặt đáy bằng 45◦ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . p p a3 3 a3 2 a3 a3 . B. . C. . D. . A. 16 48 48 48 t Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), SB = 2a. Tính thể tích khối chópp S.ABC . p A. a3 3 . 2 B. a3 . 4 C. a3 3 . 6 D. 3 a3 . 4 p t Câu 39. Cho khối chóp S.ABC có S A ⊥( ABC ), p tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AC = a 3. Tính thểptích khối chóp S.ABC , p biết rằng SB = a 5. p p A. a3 6 . 4 B. a3 15 . 6 C. 363 a3 2 . 3 D. a3 6 . 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc SC và ( ABCD ) bằng 45◦ . Thể tích khối chóp S.ABCD là p với mặt đáy, góc giữap p A. a3 2 . 6 B. a3 2 . 4 p C. a3 2. D. a3 2 . 3 t Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, S A ⊥( ABC ). Góc giữa hai ◦ mặt phẳng p (SBC ) và ( ABC ) bằng p 30 . Thể tích khối chóp p S.ABC là. p A. a3 3 . 8 B. a3 3 . 6 C. a3 3 . 12 D. a3 3 . 3 p t Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , AB = a 5, AC = a. Cạnh bên S A = 3a và p vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Thể tích khối chóp S.ABC bằng: a3 5 . A. 3 B. a3 . C. 2a3 . D. 3a3 . t Câu 43. Cho khối chóp tam giác S.ABC có S A ⊥( ABC ), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là ◦ AB = 5a; BC = 8a; AC = 7a, góc giữa p SB và ( ABC ) là 45 . Tính thể tích khối chóp p S.ABC . A. 50 3 a . 3 B. p 50 7 3 a . 3 C. 50 3a3 . 364 D. 50 3 3 a . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a, S A = CD = 3a, S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng. A. 1 3 a . 3 B. 2a3 . C. 6a3 . D. 1 3 a . 6 t Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có S A ⊥ ( ABC ) , góc giữa SB và ( ABC ) bằng 60fi circ; tam giác ABC đều cạnh a Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. a3 . B. p 3 3a . C. 1 3 a . 4 D. 1 3 a . 2 t Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bằng S A vuông góc với đáy ( ABCD ). Biết AB = a, BC p = 2a và SC = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . A. 4 3 a . 3 B. 2 5 3 a . 3 C. 2a3 . D. a3 . t Câu 47. Cho tứ diện S.ABC p có S AB,SCB là các tam giác cân tại S và S A,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. Biết BA = a 2, thể tích V của tứ diện S.ABC là. a3 A. V = . 6 a3 B. V = . 2 p C. V = 2a3 2. D. V = a3 . t Câu 48. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh p a. Hai mặt bên 5 ( cm) và (S AC ) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a 3. 365 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN p a3 6 A. . 12 p a3 3 B. . 2 p 2 a3 6 C. . 9 p a3 3 D. . 4 t Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a, S A = 2a, S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a. A. 8 a3 . 3 B. 4 a3 . 3 C. 6 a3 . 3 D. 4a3 . p t Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng S A = a 2 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng p p p A. a3 2. p B. 2a3 2. C. a3 2 . 3 D. 2 2 a3 . 3 t Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáypABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Cạnh bằng S A vuông góc p với mặt phẳng ( ABCD ) và SC = 5. Tính thể tích p khối chóp S.ABCD .p A. V = 15 . 3 p B. V = 3. C. V = 3 . 6 D. V = 3 . 3 p t Câu 52. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a,AD = a 2,S A ⊥ ( ABCD ), góc giữa SC và đáy bằng 60◦ . Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: 366 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. p 3 6a . p B. 3a3 . C. 3 2a. D. p 3 2a . p tpCâu 53. hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, S A vuông góc với đáy và S A = a 3, AC = a 2. Khipđó thể tích khối chóp S.ABCD là p p p 3 3 a 2 a 2 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 ƒ = 120◦ , t Câu 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , BC = 2a, BAC biết S A ⊥ ( ABC ) và mặt phẳng (SBC ) hợp với đáy một góc bằng 45◦ . Tính thể tích khối chóp S.ABC . p A. a3 2. B. a3 . 9 C. a3 . 2 D. a3 . 3 ƒ = 60◦ ,S A ⊥ ( ABCD ). t Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD Biết rằngpkhoảng cách từ A đếnpcạnh SC bằng a. Thể tích p khối chóp S.ABCD là A. a3 2 . 4 B. a3 2 . 12 C. a3 3 . 6 p D. a3 3. t Câu 56. Thể tích của tứ diện O ABC có O A,OB,OC đôi một vuông góc, O A = a, OB = 2a, OC = 3a là A. 3a3 . B. 2a3 . C. 4a3 . D. a3 . 367 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (S AB) và (S AD ) cùng vuông góc với đáy, biết diện tích đáy bằng m. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là: 1 1 1 1 B. V = m.SB. C. V = m.SC . D. V = m.S A . A. V = m.SD . 3 3 3 3 ======= KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ======== p t Câu 58. hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AB = 2a 3; AD = 2a. Mặt bên (S AB) là tam giác p đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABD là. A. 2 3 3 a . 3 p B. 4 3a3 . C. 4a3 . p D. 2 3a3 . t Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu của S trên ( ABCD ) trùng với trung điểm của cạnh AB; cạnh bên SD = theo a bằng: p a3 5 A. . 3 p a3 3 B. . 3 3a . Thể tích của khối chố S.ABCD tính 2 p a3 7 C. . 3 368 D. a3 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình p vuông cạnh a, (S AD )⊥( ABCD ), S A = a 21 . SD . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết SC = 2 p p a3 7 a3 7 A. V = . B. V = 2a3 . C. V = . 2 6 D. V = 2 a3 . 3 t Câu 61. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABD ), tam giác ABD là tam giác đều và có cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . p p p A. a3 2. B. a3 3 . 3 p C. a3 3. D. a3 3 . 9 t Câu 62. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác S AB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD , biết góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60◦ . p p A. V = 18a 15. 3 9a3 15 . C. V = 2 p B. V = 18a 3. 3 p D. V = 9a3 3. t Câu 63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt phẳng (S AC ) vuông góc với mặt đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45◦ . Tính thể tích khối chóp S.ABC . p p A. a3 . 12 B. a3 . 4 C. 369 a3 3 . 6 D. a3 3 . 4 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 64. Cho hình chóp S.ABC có tam giác S AB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với mặt ◦ đáy một góc p 30 . Tính theo a thể tích p V của khối chóp S.ABC p p A. V = 3 3 a . 4 B. V = 3 3 3 a . 4 C. V = 3 3 a . 8 D. V = 3 3 a . 2 t Câu 65. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Thể tích khối chóp trên gần số nào sau đây nhất? A. 0,4. B. 0,3. C. 0,2. D. 0,5. t Câu 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác đều và nằm trong mặt p phẳng vuông góc với p mp đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là: A. VS.ABCD = a3 3 . 2 B. VS.ABCD = a3 3 . 6 C. VS.ABCD = a3 . 3 p D. VS.ABCD = a3 3. p t Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = a 2. Tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích V của hình chóp S.ABCD là: p p p p A. V = 2 a3 3 . 3 B. V = a3 6 . 3 C. V = 370 2 a3 6 . 3 D. V = 3 a3 2 . 4 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác S AB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC ) và ( ABCD ) bằng 45◦ . Khi đó thể tích khối chóppS.ABCD là A. 2a3 . B. 2 3 a . 3 C. 3 3 a . 3 D. 1 3 a . 3 t Câu 69. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác S AB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60◦ .p p B. VS.ABCD = 9a3 15. A. VS.ABCD = 18a3p 3. C. VS.ABCD = 9a3 15 . 2 p D. VS.ABCD = 18a3 3. t Câu 70. Cho khối chóp S.ABC có S AB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ), AB = 2a và tam giác ABC có diện tích bằng3a2 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng. p A. 3a3 . B. 6a3 . C. a3 . D. 2a3 3. p t Câu 71. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tam giác S AD cân tại S và mặt bên (S AD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD ). 3 2 3 8 A. h = a. B. h = a. C. h = a. 3 4 3 371 4 3 D. h = a. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN =========== KHỐI CHÓP ĐỀU ============ t Câu 72. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ . Tínhpthể tích khối chóp đó. p p p a3 3 . A. VS.ABC = 4 a3 3 B. VS.ABC = . 2 a3 3 C. VS.ABC = . 6 a3 3 D. VS.ABC = . 12 t Câu 73. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ . Thể p tích của hình chóp đềupđó là: p p 3 a3 3 a3 3 a3 6 a 6 . B. . C. . D. . A. 6 6 2 t Câu 74. p Thể tích khối tứ diện p đều có cạnh bằng a là: p a3 2 A. . 3 a3 2 B. . 12 a3 2 C. . 6 2 p 5 a3 2 D. . 12 t Câu 75. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể V của khối chópptứ giác đó cho. p tích p p 2 a3 2 a3 14a3 14a3 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 372 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN p t Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3. Tính thể tích V của khối p p p chóp đó theo a. 3 a3 a3 2 a3 10 a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 2 3 6 t Câu 77. p Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3p. Thể tích V của khối chóp p đó là: p p 2 2 3 4 2 3 2 3 2 3 A. V = a . B. V = a . C. V = a . D. V = a . 6 9 3 t Câu 78. Cho cạnh bằng p tứ diện đều ABCD3 p 3 a 2 a 3 . B. V = . A. V = 12 6 3 p 2a. Tính thể tích của khối tứ diệnpđó. a3 a3 2 C. V = . D. V = . 3 6 t Câu 79. Cho hình chóp p đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và CD bằng a 3. Thể tích khối chóp đều S.ABCD bằng? p p 3 p p 4 a 3 a3 3 3 3 A. 4a 3. B. a 3. C. . D. . 3 373 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 80. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45◦ . Tínhpthể tích của khối chóppS.ABC theo a. p A. a3 15 . 25 B. a3 5 . 25 C. a3 . 3 D. a3 15 . 5 t Câu 81. p Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt thể tích V của khối chóp đó. bên là a 3. Tính p p p 3 3 3 p a 2 a 4 a 2 2 A. V = . B. V = 4a3 2. . D. V = . C. V = 9 3 6 t Câu 82. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt ◦ phẳng đáy một p p V của khối chóp. p p góc 60 . Tính thể tích 3 3 a 3 a3 2 a3 3 a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 4 24 6 8 p t Câu 83. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2. Thể tích khối chóp là p p p p a3 3 2 a3 2 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 374 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 84. Cho (H ) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của (H ) bằng: p p 4 3 4 3 3 4 2 3 4 A. a . B. a . C. a . D. a3 . 5 3 3 3 t Câu 85. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một p p góc α. Thể tích của hình chóp đó là 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 b cos α sin α. B. b sin α cos α. C. b cos α sin α. D. b cos α sin α. A. 4 4 4 4 t Câu 86. đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng: p p Khối chóp tam giác p A. a3 3 . 12 B. a3 3 . 4 C. a3 2 . 6 D. a3 . 3 ====================== TỈ SỐ THỂ TÍCH ========================= t Câu 87. Cho khối chóp S.ABCD . Nếu thể tích khối chóp S.ABD bằng V thì khối chóp S.ABCD có thể tích bằng bao nhiêu? A. 3V . B. 4V . C. 2V . 375 D. 3 V. 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 88. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD . Tính thể tích khối chóp S.AOD . A. 1 . 4 B. 1 . 3 C. 1 . 2 D. 2 . 3 t Câu 89. Cho hình chóp S.ABCD p có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Biết S A vuông chóp S.ABO . góc với mặt phẳng đáy và S A = a p p2 Tính thể tích khối p p A. 4 a3 2 . 3 B. 2 a3 2 . 12 C. a3 2 . 12 D. a3 2 . 3 t Câup90. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,AD = 2a, S A ⊥( ABCD )và S A = a 3. Thể tính khối chóp S.ABC bằng: p p p A. a3 3. p B. 2a3 3. C. 2 a3 3 . 3 D. a3 3 . 3 t Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và có độ dài bằng a. Tính thể tích khối tứ diện S.BCD . A. a3 . 2 B. a3 . 4 C. a3 . 6 D. a3 . 3 t Câu 92. Cho khối tứ diện O ABC với O A ,OB,OC vuông góc từng đôi một và O A = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC,BC . Thể tích của khối tứ diện 376 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN OCMN tính theo a bằng 3 a3 a3 . B. . A. 4 4 C. a3 . D. 2 a3 . 3 t Câu 93. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA,BC,BD đôi một vuông góc với nhau: BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD . Tính thể tích khối chóp C.BDN M . A. V = 3 a3 . 2 B. V = a3 . C. V = 2 a3 . 3 D. V = 8a3 . t Câu 94. Cho hình chóp S.ABCD có S A ⊥ ( ABCD ), ABCD là hình chữ nhật, S A = a, AB = 2a, BC = 4a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , CD . Thể tích của khối chóp S.MNC là A. a3 . 5 B. a3 . 2 C. a3 . 4 D. a3 . 3 t Câu 95. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm BC . Thể tích V của khối chóp p M.ABC bằng bao nhiêu? p p A. V = 3 a3 . 24 B. V = a3 . 2 C. V = 2 a3 . 12 D. V = 2 a3 . 24 t Câu 96. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó. 377 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. Không thay đổi. C. Tăng lên n − 1 lần. B. Tăng lên n lần. D. Giảm đi n lần. t Câu 97.p Tính thể tích khối chóp p tứ giác đều có tất cả p các cạnh bằng a. 2 a3 3 A. . 3 a3 2 B. . 6 p a3 3 D. . 2 a3 3 C. . 4 t Câu 98. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, tính thể tích khối chóp S.ABC biết cạnh bên bằng a là: p p A. VS.ABC = a3 . 4 B. VS.ABC = a3 2 . 12 C. VS.ABC = a3 3 . 6 D. VS.ABC = a3 . 12 t Câu 99. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60◦ . Thể p tích V của khối chóp S.ABCD bằng p p p A. V = a3 3 . 2 B. V = a3 3 . 3 C. V = a3 6 . 6 D. V = a3 6 . 3 p p a 6 t Câu 100. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng và cạnh đáy bằng a 3 3 bằng: p 3 a3 2 A. . 2 p 3 a3 2 B. . 4 p a3 6 C. . 3 378 p 3 a3 6 D. . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 101. Cho khối lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có thể tích V = 1. Tính thể tích V1 của khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 . 1 3 A. V1 = . 1 2 1 6 B. V1 = . C. V1 = . 2 3 D. V1 = . t Câu 102. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.M AB là 2a3 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng. A. 2a3 . B. 4a3 . C. a3 . 4 D. 1 3 a . 2 t Câu 103. Cho tứ diện ABCD có D A = 1,D A ⊥ ( ABC ). ∆ ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh D A , DB, DC lấy điểm M, N, P mà diện MNPD p bằng 2 A. V = . 96 p 3 B. V = . 12 DM 1 DN 1 DP 3 = , = , = . Thể tích V của tứ D A 2 DB 3 DC 4 p 3 C. V = . 96 p 2 D. V = . 12 t Câu 104. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là a3 . Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của S A , SB, SC , SD . Thể tích khối chóp S.MNPQ là A. a3 . 16 B. a3 .. 8 C. 379 a2 .. 4 D. a3 . 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 105. Cho khối chóp S.ABC . Gọi A 0 , B0 lần lượt là trung điểm của S A và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A 0 B0 C và S.ABC bằng A. 1 . 4 B. 1 . 6 C. 1 . 2 D. 1 . 3 t Câu 106. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của S A , SB, SC , SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là A. 1 . 8 B. 1 . 4 C. 1 . 16 D. 1 . 2 t Câu 107. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc S A,SB,SC,SD thỏa:S A = 2SM,SB = 3SN,SC = 4SP , SD = 5SQ . Thể tích khối chóp S.MNPQ là A. 4 . 5 B. 6 . 5 C. 2 . 5 D. 8 . 5 t Câu 108. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh S A vuông góc với đáy, p ◦ ƒ góc ACB = 60 , BC = a, S A = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện M ABC . A. V = a3 . 6 B. V = a3 . 4 C. V = a3 . 3 D. V = a3 . 2 t Câu 109. Cho tứ diện ABCD . Gọi B0 và C 0 lần lượt là trung điểm của AB,AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB0 C 0 D và khối ABCD bằng: 380 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 1 . 6 D. 1 . 8 t Câu 110. Cho tứ điện MNPQ . Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm các cạnh MN,MP,MQ . Tính tỉ số thể tích A. 1 . 6 VM I JK . VMNPQ B. 1 . 3 C. 1 . 4 D. 1 . 8 t Câu 111. Cho khối tứ diện O ABC với O A,OB,OC vuông góc từng đôi một và O A = a,OB = 2a,OC = 3a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC,BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: A. 3 a3 . 4 B. a3 . C. 2 a3 . 3 D. a3 . 4 t Câu 112. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh S A . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MBC và thể tích khối chóp S.ABC bằng. A. 1. B. 1 . 6 C. 1 . 2 D. 1 . 4 ========= KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VÀ LẬP PHƯƠNG ========== t Câu 113. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x, y, z. Thể tích khối hộp chữ nhật bằng A. x.y.z. B. 1 x.y.z. 3 C. ( x + y).z. 381 D. ( x + z).y. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 114. Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng 1 m là: A. V = 3m. 1 3 B. V = 1m3 . C. V = m3 . D. V = 1m2 . t Câu 115. Thể tích của hình lập phương có cạnh bằng 2 là bao nhiêu? A. V = 6. B. V = 8. C. V = 4. D. V = 16. t Câu 116. Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng A. 3π. B. 12π. C. π. D. 6π. t Câup117. Thể tích hình lập phương cạnh A. 3. B. 3. p 3 là: p C. 6 3. p D. 3 3. t Câu 118. Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a. A. V = a3 . 3 B. V = a3 . C. V = 382 2 a3 . 3 D. V = a3 . 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 119. Cho hình lập phương có thể tích bằng 8. Diện tích toàn phần của hình lập phương là A. 36. B. 48. C. 16. D. 24. t Câu 120. Một khối lập phương có độ dài cạnh bằng 5, thể tích khối lập phương đã cho bằng A. 243. B. 25. C. 81. D. 125. t Câu 121. Diện tích toàn phần của khối lập phương bằng 96 cm2 . Khi đó thể tích khối lập phương là? p p A. 24 3 3. B. 64. C. 24. D. 48 6. t Câu 122. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là A. V = 1000 cm3 . B. V = 500 cm3 . C. V = 1000 cm3 . 3 D. V = 100 cm3 . t Câu 123. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2. A. 4. B. 8 . 3 C. 6. 383 D. 8. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 124. Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là A. 2a3 . B. 27a3 . C. 8a3 . D. 3a3 . t Câu 125. Khối lập phương có đường chéo bằng 2a thì có thể tích là A. 8 p a3 . 3 3 B. 8a3 . p C. a3 . D. 2 2a3 . t Câu 126. Cho (H ) là khối lập phương có độ dài cạnh bằng 3( cm). Thể tích của (H ) bằng A. 27( cm2 ). B. 3( cm3 ). C. 9( cm3 ). D. 27( cm3 ). t Câu 127. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 , V1 là thể tích của tứ diện A 0 ABD . Hệ thức nào sau đây là đúng? A. V = 2V1 . B. V = 3V1 . C. V = 6V1 . D. V = 4V1 . t Câu 128. V của khối lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 biết AC 0 = a. p Tính theo a thể tích p A. V = 3 a3 . 9 B. V = 3 a3 . 3 p C. V = 3 3a3 . 384 D. V = a3 . 27 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 129. Tính thể tích của khối lập phương ABCD.ABCD biết AD = 2a. p B. V = 2 2a3 . 3 A. V = a . 3 C. V = 8a . p 2 2 3 D. V = a . 3 p t Câu 130. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có diện tích mặt chéo ACC 0 A 0 bằng 2 2a2 . Thể tích của khối lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 là. p A. a3 . B. 8a3 . C. 2a3 . D. 2 2a3 . p 0 0 0 0 0 t Câu 131. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A p B C D , biết AC = a 3. p 1 3 A. V = a3 . B. V = 3 3a3 . C. V = 3 6 a3 . 4 D. V = a3 . o là V = 2 · 3 · 5 = 30. A0 D0 t Câu 132. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt bằng 2, 3, 5. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng A. 30. B.5 15. C. 10. D. 60. C0 B0 3 2 B D A C 385 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ra đường chéo mặt B0 A0 p t Câu 133. Cho khối lập phương có đường chéo của mặt bên bằng 5 2. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng p 0 p à V = (5)3 = 125. 125 D0 C. A. 125. B. 250 2C. . D. 125 2. 3 p 2 5 B A D C B0 A0 a đường chéo hình p t Câu 134. Cho khối lập phương có đường chéo bằng 3 3. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng p 0 p = (3)3 = 27. D0 A. 27. B. 81 3.C C. 9. D. 27 3. p 3 3 B A D C 386 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN =============KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG ================== t Câu 135. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ tính được theo công thức nào sau đây? A. V = S∆ ABC .CC 0 . 1 3 B. V = S∆ ABC .A 0 H . C. V = S∆ ABC .A 0 A . 1 3 D. V = S∆ ABC .A 0 H . 0 0 0 t Câu 136. pHình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tai B, cạnh AB = a, p 0 cạnh BC = a 3, cạnh bên A A = 2a 5. Thể tích của khốiplăng trụ đó bằng: p A. 2a3 15. p B. a3 15. C. a3 15 . 3 p D. a3 10. t Câu 137. Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là 3a2 , độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng A. 2a3 . B. a3 . C. 3a3 . D. 6a3 . t Câu 138. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a2 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 2 A. V = a3 . B. V = 3a3 . C. V = a3 . 387 D. V = 9a3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 139. Cho p hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 0 AB = a vàpA A = a 3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 Cp0 bằng p A. 3 a3 3 . 2 p B. 3a3 3. C. a3 3 . 2 t Câu 140. Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là thể tích của khối lăng trụ là: p A. 6a3 . a3 3 . 6 p p 2 3a . Độ dài cạnh bên là a 2. Khi đó p C. 2a3 . p B. 3a3 . D. p 3 6a D. . 3 t Câu 141. Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3a2 , chiều cao bằng a có thể tích bằng A. a3 . B. 3a3 . C. 1 3 a . 2 D. 3 3 a . 2 t Câu 142. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 biết tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 2 A A 0 = a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: A. a3 . 2 B. a3 . 12 C. 388 a3 . 4 D. a3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 143. Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, AC = 5a, A 1p B = 4a. Tính thể tích Vpcủa lăng trụ ABC.A 1 B1 C 1 ? p B. V = 2 7a3 . C. V = 30a3 . D. V = 12 7a3 . A. V = 6 7a3 . p t Câu 144. Cho ABC.A 0 B0 C 0 là khối lăng trụ đứng có A 0 B = a 5, AB = a đáy ABC có diện tích bằng 3a2 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 bằng. A. a3 . B. 6a3 . C. 4a3 . D. 2a3 . 0 0 0 0 t Câu 145. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 45fi circ; đáy p B C , có góc giữa A B và ( ABC ) bằng 0 0 0 ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = 2 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng. A. 4a3 . B. 3a3 . C. a3 . D. 2a3 . t Câu 146. Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có cạnh bên A A 0 = h và diện tích tam giác ABC bằng S . Thể tích của khối hộp ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 bằng: 1 3 A. V = Sh. 2 3 B. V = Sh. C. V = Sh. D. V = 2Sh. t Câu 147. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết rằng AB = 3, AC = 4, A A 0 = 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 là 389 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. 30. B. 60. C. 10. D. 20. p t Câu 148. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, đường cao bằng a 3 có thể tích bằng p p p p a3 3 a3 3 3 3 B. 2a 3. C. . D. . A. a 3. 6 3 t Câu 149. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi, biết A A 0 = 4a, AC = 2a, BD = a. Thể tích của khối lăng trụ là A. 2a3 . B. 8a3 . C. 8 a3 . 3 D. 4a3 . 0 0 0 0 t Câu 150. Cho p khối lăng trụ đứng ABC.A B C có CC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 . B. V = a3 . 2 C. V = 2a3 . D. V = a3 . 3 t Câu 151. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A , AC = a,ƒ ACB = 60◦ 0 0 ◦ 0 0 0 góc giữa BC và ( A A C ) bằng 30 . Tính thể tích V của khối lăng p trụ ABC.A B C . p p A. V = a3 6. 2 a3 B. V = p . C. V = 6 390 a3 3 . 6 D. V = a3 6 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 152. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có tam giác ABC vuông tại A , AB = A A 0 = a, AC = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. A. a3 . 3 B. 2 a3 . 3 C. a3 . D. 2a3 . tpCâu 153. Lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AC = a 2, A A 0 = 2a. Khi đó thể tích của lăng trụ đó bằng. A. a3 . B. a3 . 3 C. 4a3 . D. 4 a3 . 3 0 0 0 0 t Câu 154. Cho p khối lăng trụ đứng ABC.A B C có B B = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 . 3 B. V = a3 . C. V = a3 . 6 D. V = a3 . 2 p t Câu 155. Trong hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có AB = A A 0 = a, BC = 2a, AC = a 5. Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A 0 BC ) có số đo bằng 45◦ . B. Hai mặt phẳng ( A A 0 B0 B) và (BB0 C ) vuông góc với nhau. p C. AC 0 = 2a 2. 391 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN D. Đáy ABC là tam giác vuông. 0 0 0 0 t Câu 156. Cho p khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 A. V = . 6 a3 B. V = . 3 a3 C. V = . 2 D. V = a3 . t Câu 157. Cho p hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a và A A 0 = a 3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 bằng p p p A. 3 a3 3 . 2 p B. 3a3 3. C. a3 3 . 2 D. a3 3 . 6 t Câu 158. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB = 2p a, AC = a và BC 0 = 2a p A. V = a3 3 . 6 B. V = 4 a3 . 3 C. V = a3 3 . 2 D. V = 4a3 . t Câu 159. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, góc giữa đường thẳng A 0 C và mặt phẳng ( ABC ) bằng 30fi circ. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 bằng: 392 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN p a3 6 A. . 18 p 2 a3 6 B. . 3 p a3 6 C. . 2 p a3 6 D. . 6 t Câu 160. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác cân ABC với AB = AC = a, ƒ = 120◦ , mặt phẳng ( AB0 C 0 ) tạo với đáy một góc 30◦ . Tính thể tích V của khối lăng trụ góc BAC đã cho. A. V = a3 . 6 B. V = a3 . 8 C. V = 3 a3 . 8 D. V = 9 a3 . 8 0 0 0 t Câu 161.pCho lăng trụ là tam giác vuông cân tại B. p đứng tam giác ABC.A B C có đáy ABC 0 0 0 0 Biết AC = a 2, A C = a 3. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . p A. a3 . 2 B. a3 . 6 C. 2 a3 . 3 D. a3 3 . 2 ƒ = 1200 . t Câu 162. Cho lăng trụ đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, BAD 0 0 0 0 Góc giữa đường thẳng AC và mặtpphẳng ( ADD A ) bằngp30 . Tính thể tích khối lăng trụ. p A. V = 6. B. V = 6 . 6 C. V = 6 . 2 p D. V = 3. t Câu 163. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A , AC = a, ƒ ACB = 60◦ . Đường thẳng BC 0 tạo với mặt phẳng ( A 0 C 0 C A ) góc 30◦ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 393 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN p A. 2 3a3 . p a3 3 C. . 2 p B. a 6. 3 p a3 3 D. . 3 t Câu 164. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh ƒ bằng 60◦ và cạnh bên A A 0 bằng a. a, góc BAD p A. 9 3 a . 2 B. 1 3 a . 2 C. 3 3 a . 2 D. p 3 3a . 0 0 0 0 t Câu 165. Cho p khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 . 2 B. V = a3 . 6 C. V = a3 . 3 D. V = a3 . t Câu 166. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ◦ với BA =p BC = a, biết A 0 B hợp với pmặt phẳng ( ABC ) mộtpgóc 60 . Thể tích lăng trụ là: A. a3 3 . 2 B. a3 3 . 4 C. a3 3 . 6 p D. a3 3. t Câu 167. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A,AC = a,ƒ ACB = 60◦ . 0 0 0 0 0 ◦ Đường chéo BC của mặt bên (BCC B ) tạo với mặt phẳng ( A A C C ) một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. 394 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN p a3 6 A. . 2 p a3 6 B. . 3 p 2 6 a3 C. . 3 p D. a3 6. t Câu 168. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa đường thẳng A 0 B và mặt phẳngp ( ABC ) bằng 45◦ . Thể tích đã cho là: p V của khối lăng trụ p p A. a3 3 . 24 B. a3 3 . 4 C. a3 3 . 12 D. a3 3 . 6 ƒ t Câu 169. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác cân tại A , AB = AC = 2a; C AB = ◦ 0 ◦ 120 . Gócpgiữa ( A BC ) và ( ABC ) là 45 . Thể tích khối lăng trụ là. p A. a3 3 . 2 p p B. 2a3 3. C. a3 3. D. a3 3 . 3 t Câu 170. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 Bp0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A ; BC = 2a; ƒ ABC = 30◦ . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a 3. Thể tích khối lăng trụ là. p A. 3a3 . B. 3a3 . C. 6a3 . D. 2a3 3. t Câu 171. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB = AC = ƒ 2a,C AB = 120p◦ . Góc giữa ( A 0 BC ) và ( ABC ) là 45◦ . Tính thể tích V của khối lăng trụ. a3 3 A. V = . 3 p B. V = a3 3. C. V = a3 . 395 D. V = 2a3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 172. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2a, AC = a và BC 0 = 2a. p p A. V = 4 a3 . 3 B. V = 4a3 . C. V = a3 3 . 6 D. V = a3 3 . 2 p t Câu 173. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a 5. Góc giữa cạnh A 0 B và mặt đáy là 60◦ . Tính thể tích lăngptrụ ABC.A 0 B0 C 0 . p A. 15a3 5. p B. 15a3 3. C. 5a3 15 . 2 p D. 5a3 3. t Câu 174. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = 0 ◦ a, góc giữa p . Tính thể tích khối lăng trụ. p p BC và ( ABC ) bằng 45 A. a3 2 . 8 B. a3 2 . 2 p C. a3 2. D. a3 2 . 4 t Câu 175. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a và A A 0 = 2a. Tính thể tích V của hình lăng trụ đã cho. A. V = 2a3 . B. V = 2 a3 . 3 C. V = a3 . 396 D. V = 3a3 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 176. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2a, AC = a và BC 0 = 2a. p p A. V = 4 a3 . 3 B. V = 4a3 . C. V = a3 3 . 6 D. V = a3 3 . 2 t Câu 177. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, ƒ ACB = 60◦ . 0 0 0 0 0 ◦ Đường chéo BC của mặt bên (BCC B ) tạo với mặt phẳng ( A A C C ) một góc 30 . Thể tích của khối lăng p p p trụ theo a là. A. 2 6 a3 . 3 B. a3 6 . 2 p C. a3 6. D. a3 6 . 3 t Câu 178. Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là: A. 100. B. 20. C. 64. D. 80. t Câu 179. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng p p p p A. 9 3 . 4 B. 27 3 . 4 C. 397 27 3 . 2 D. 9 3 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 180. Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a là p p p a3 3 . A. V = 2 a3 3 C. V = . 4 p B. V = a 3. 3 a3 3 D. V = . 3 t Câu 181. thể tích V của khối tất cả các cạnh đều a. p Tính p 3lăng trụ tam giác đều p có p bằng 2 a3 2a 3 a3 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 4 2 4 t Câu p 182. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên A A0 = a p 2. Thể tích của khối lăng trụ là p p 3 a 6 3 a3 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 12 t Câu 183. Cho (H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích của (H ) bằng: p p p a3 a3 3 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 398 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN t Câu 184. Cho lăng trụ đứng tam giác MNP.M 0 N 0 P 0 có đáy MNP là tam giác đều cạnh a, đường chéo MP 0 tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60◦ . Tính theo a thể tích của khối lăng 0 0 0 trụ MNP.M NP. p p p A. 3 a3 . 2 B. 2 a3 . 3 C. 3 a3 . 4 D. 2 a3 . 4 t Câup185. Thể tích của khốiplăng trụ tam giác đềupcó tất cả các cạnh bằngpa là. A. 3 3 a . 2 B. 2 3 a . 3 C. 2 3 a . 4 D. 3 3 a . 4 t Câup186. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B0 C 0 có độ dài cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3. Tính thể tích V của lăngptrụ. p C. V = 3a3 . D. V = 2a3 3. A. V = 2a3 . B. V = a3 3. t Câu 187. Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ đều là: p A. 2 a3 3 . 3 p B. 2a3 3. C. 399 a3 . 3 D. 2 a3 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 400 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 2 BÀI 1. MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 MẶT NÓN Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O và tạo với nhau một góc β với 0◦ < β < 90◦ . Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O . Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó. O ∆ Định nghĩa 2. Cho tam giác OI M vuông tại I . Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OM I tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. Đường thẳng OI gọi là trục, O gọi là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I , bán kính r = I M gọi là đáy của hình nón. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó. Định nghĩa 3. Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó. Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón. Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón. Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, măt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. d O M I O h I r M Tính chất 1. Gọi h là chiều cao, l là độ dài đường sinh và r là bán kính đáy của hình nón, ta có Diện tích xung quanh của hình nón S xq = π rl . 401 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 1 3 1 3 Thể tích của khối nón V = Sh = π r 2 h (S là diện tích đáy). 2 MẶT TRỤ Định nghĩa 4. Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r . Khi quay (P ) quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt nón tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh và khoảng cách r gọi là bán kính của mặt trụ. r B ∆ C l A D Định nghĩa 5. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. Đường thẳng AB gọi là trục, đoạn thẳng CD gọi là đường sinh, độ dài AB = CD gọi là chiều cao, hai hình tròn ( A ; AD ) và (B; BC ) gọi là hai đáy của hình trụ. Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay, kể cả hình trụ. Tính chất 2. Gọi h là chiều cao và r là bán kính đáy của hình trụ, ta có Diện tích xung quanh của hình trụ S xq = 2π rh . Thể tích khối trụ V = Sh = π r 2 h (S là diện tích đáy). B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Khi quay tam giác ABC (kể cả các điểm trong) quanh cạnh AC ta được A. Mặt nón. B. Khối nón. C. Khối trụ. D. Khối cầu. t Câu 2. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r , chiều cao h và đường sinh l . Kết luận nào sau đây sai? 1 3 A. V = π r 2 h. B. S tp = π rl + π r 2 . C. h2 = r 2 + l 2 . 402 D. S xq = π rl . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. l 2 = h2 + R 2 . B. 1 1 1 = 2 + 2. 2 l h R C. R 2 = h2 + l 2 . D. l 2 = hR . t Câu 4. Cho hình nón có đường sinh bằng 4a, diện tích xung quanh bằng 8πa2 . Tính chiều cao của hình nón đó theo a. p A. 2a. B. p 2a 3 . 3 C. a 3. p D. 2a 3. t Câu 5. Cho hình nón có diện tích xung quanh là S xq và bán kính đáy là r . Công thức nào dưới đây dùng để tính đường sinh l của hình nón đã cho. A. l = S xq πr . B. l = 2S xq πr C. l = 2πS xq r . . D. l = S xq 2π r . t Câu 6. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 6 cm, góc ở đỉnh bằng 60◦ . Thể tích khối nón là: p A. 27π cm3 . B. 9π cm3 . C. 9 3π cm3 . D. 27 cm3 . 403 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 7. Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R , chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằngpl . Khẳng định nào sau đây là đúng? p p B. R = l 2 + h2 . C. h = R 2 − l 2 . D. l = R 2 + h2 . A. l = R 2 − h2 . t Câu 8. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a và AC = 4a. Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay ∆ ABC xung quanh trục AC bằng p p A. l = a. B. l = 2a. C. l = 3a. D. l = 5a. t Câu 9. Tìm bán kính r của mặt nón biết diện tích toàn phần của mặt nón bằng 4π và độ dài đường sinh l = 3. 2 3 A. r = . 4 3 B. r = 2. C. r = . D. r = 1. 1 t Câu 10. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 2π cm2 và bán kính đáy r = . Khi đó 2 độ dài đường sinh là A. 3 cm. B. 1 cm. C. 2 cm. D. 4 cm. t Câu 11. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và ƒ ABC = 30◦ . Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC . 404 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 2a A. l = p . 2 2a a B. l = p . C. l = p . 3 2 a D. l = p . 3 t Câu 12. Cho hình nón có diện tích đáy bằng 9π, đường sinh tạo với mặt đáy một góc bằng 45◦ . Tinh độ dài đường sinh. p p A. 2. B. 3. C. 3 2. D. 2 2. p t Câu 13. Cho hình nón có bán kính đáy là r = 3 và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh p p p S của hình nón đã cho. B. S = 24π. C. S = 16 3π. D. S = 4 3π. A. S = 8 3π. p t Câu 14. Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đã cho. p p p A. S xq = 12π. B. S xq = 4 3π. C. S xq = 39π. D. S xq = 8 3π. p t Câu 15. Cho hình nón có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 3. Tính diện tích xung quanh Sp xq của hình nón đã cho.p A. S xq = 6π 2. B. S xq = 3π 2. C. S xq = 6π. D. S xq = 2π. 405 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 16. Tính diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy bằng 4a, chiều cao bằng 3 a. A. 20πa2 . B. 15πa2 . C. 24πa2 . D. 36πa2 . t Câu 17. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là 4 cm và độ dài đường sinh là 5 cm. p A. 15π cm2 . B. 20π cm2 . C. 9π 3 cm2 . D. 12π cm2 . t Câu 18. Một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng 90π. Tính diện tích xung quanh của khối trụ. A. 60π. B. 78π. C. 81π. D. 90π. t Câu 19. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 3. A. 15π. B. 32π. C. 16π. D. 30π. 406 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 20. Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn tâm O và thiết diện qua trục là tam giác đều cạnhpa. Tính thể tích hình nón. p p p A. a3 3 . 24 B. a3 3 . 6 C. a3 3 . 12 D. a3 3 . 36 t Câu 21. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối nón. p p p 3 3 p 3 π a 3 π a 3πa3 A. 3πa3 . B. . C. . D. . 3 6 2 t Câu 22. Cho hình nón có chiều cao bằng 3 cm, góc giữa trục và đường sinh bằng 60◦ . Thể tích của khối nón là: A. V = 9π (cm3 ). B. V = 54π (cm3 ). C. V = 27π (cm3 ). D. V = 18π (cm3 ). t Câu 23. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a, AC = 2a. Quay tam giác ABC (kể cả các điểm bên trong tam giác) quanh BC , ta thu được khối tròn xoay. Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay đó. A. 6πa2 p . 5 B. 3πa2 p . 5 C. 4πa2 . 407 D. 2πa2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 24. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a, AC = 4a. Gọi M là trung điểm của AC . Khi qua quanh AB, các đường gấp khúc AMB, ACB sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh S1 . S2 S1 1 B. = . S2 4 lần lượt là S1 , S2 . Tính tỉ số p S1 13 A. = . S2 10 p S1 2 C. = . S2 5 D. S1 1 = . S2 2 t Câup25. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 p3. Thể tích của khối nónplà p B. 3π 3. C. 3π. D. 3π 2. A. π 3. t Câu 26. Một hình nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. π. B. p p 2π. C. 2 2π. 1 D. p π. 2 t Câu 27. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2 và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. π. p 1 B. 2 2π. C. p π. 2 408 p D. 4 2π. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 28. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằngpbán kính đáy và bằng 2a. Mặt phẳng (P ) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A, B sao cho AB = 2 3a. Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến (P ). p a 2a A. p . B. p . 5 C. a. 5 D. a 2 . 2 t Câu 29. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h = 20 cm, bán kính r = 25 cm. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích của thiết diện đó. A. S = 500 cm2 . B. S = 400 cm2 . C. S = 300 cm2 . D. S = 406 cm2 . t Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A 0 B0 C 0 D 0 và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD . p p p A. S xq = πa2 17. B. S xq = πa2 17 2 C. S xq = . πa2 17 4 . p D. S xq = 2πa2 17. t Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và S AB = 60◦ . Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đáy là p đường tròn ngoại tiếp mặt đáy hình chóp S.ABCD . p p p A. V = π a3 2 12 . B. V = π a3 3 12 C. V = . 409 π a3 3 6 . D. V = π a3 2 6 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 32. Một hình trụ có chiều cao bằng 5 cm và bán kính đáy bằng 2 cm. Tính thể tích V của hình trụ. A. V = 20π. B. V = 10π. C. V = 18π. D. V = 9π. t Câu 33. Cho hình trụ có trục OO 0 và có chiều cao bằng ba lần bán kính đáy. Trên hai đường tròn đáy (O ) và (O 0 ) lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho O A ⊥ O 0 B. Gọi ϕ là góc giữa AB và trục OO 0 của p hình trụ. Tính tan ϕ. p A. tan ϕ = 2 . 3 B. tan ϕ = 3 2 . 2 1 3 C. tan ϕ = . D. tan ϕ = 3. t Câu 34. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Một mặt phẳng vuông góc với trục của mặt trụ thì cắt mặt trụ theo giao tuyến là một đường tròn. B. Mọi mặt phẳng song song với trục của hình trụ thì cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật. C. Một mặt phẳng đi qua một điểm nằm ngoài hình trụ và một điểm nằm trong hình trụ thì cắt hình trụ tại hai điểm phân biệt. D. Mọi hình trụ đều nội tiếp được hình lăng trụ có đáy là một hình thang cân cho trước. t Câu 35. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ đó bằng A. Sxq = 4πR 2 , V = 2πR 3 . B. Sxq = 2πR 2 , V = 2πR 3 . 2 3 C. Sxq = 4πR , V = 3πR . D. Sxq = 2πR 2 , V = πR 3 . 410 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 36. Cho khối trụ có thể tích bằng 64π và có độ dài chiều cao h bằng bán kính r của đường tròn đáy. Tính chiều cao h của khối trụ. A. h = 4. 4 3 B. h = . C. h = 8. 8 3 D. h = . p t Câu 37. Một hình trụ có bán kính đáy r = 2 3 cm và thể tích V = 24π cm3 . Tính chiều cao của hình trụ. p A. 2 cm . B. 6 cm. C. 2 3 cm. D. 1 cm . t Câu 38. Gọi l , h và R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn đúng là A. l = h. B. r = h. C. l 2 = h2 + R 2 . D. R 2 = h2 + l 2 . t Câu 39. Một hình trụ có bán kính đáy bằng với chiều cao của nó. Biết thể tích của khối trụ đó bằng 8π p, tính chiều cao h của hình trụ. p p A. h = 3 4. B. h = 2. C. h = 2 2. D. h = 3 32. 411 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 40. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. A. S = 24π. B. S = 12π. C. S = 6π. D. S = 8π. t Câu p 41. Tính diện tích xung quanh của khối trụ có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 2 5.p p p B. 2 5π. C. 2π. D. 4 5π. A. 8 5π. t Câu 42. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này. A. 24π (cm2 ). B. 22π (cm2 ). C. 26π (cm2 ). D. 20π (cm2 ). t Câup43. Cho hình trụ (T ) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = 2 3a và góc ƒ ACB = 45◦ . Tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ (T ). 2 A. S tp = 12πa . B. S tp = 8πa2 . C. S tp = 24πa2 . D. S tp = 16πa2 . t Câu 44. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ đó. 412 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY A. S tp = 4π . 3 B. S tp = 4π. C. S tp=6π . D. S tp = 3π. p p t Câu 45. Cho hình trụ có bán kính đáy r = 2 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 2 3 cm. Diện tíchpxung quanh của hình p trụ là p p 2 A. Sxq = 2 5π cm . B. Sxq = 2 6π cm2 . C. Sxq = 4 5π cm2 . D. Sxq = 4 6π cm2 . t Câu 46. Một khối trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7. Thể tích khối trụ bằng A. 35π. B. 125π. C. 175π. D. 70π. t Câu 47. Tính thể tích khối nón có bán kính đáy 3 cm và độ dài đường sinh 5 cm. A. 12π cm3 . B. 15π cm3 . C. 36π cm3 . D. 45π cm3 . t Câu 48. Cho hình lập phương có cạnh là a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S2 S2 . S1 S2 C. = π. S1 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số A. S2 1 = . S1 2 B. S2 π = . S1 2 413 D. S2 π = . S1 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 49. Hình trụ tròn xoay có đường kính đáy là 2a, chiều cao là h = 2a có thể tích là A. V = 2πa3 . B. V = πa3 . C. V = 2πa2 . D. V = 2πa2 h. t Câu 50. Công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao bằng h là A. V = πRh. 1 3 C. V = πR 2 h. B. V = πR 2 h. t Câu 51. Tính thể tích khối trụ có bán kính R = 3, chiều cao h = 5. A. V = 45π. B. V = 45. C. V = 15π. D. V = πRh2 . D. V = 90π. t Câu 52. Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD = π, đáy nhỏ AB = π, đáy lớn CD = 2π. Cho hình thang đó quay quanh CD ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 4 A. V = 2π4 . B. V = π4 . C. V = π3 . D. V = π2 . 3 3 3 414 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu p 53. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = D A = 2. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thang đó quay quanh AB. 4π 5π 2π 7π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 t Câu 54. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích của khối trụ đó bằng bao nhiêu? A. V = π a3 2 . B. V = π a3 8 C. V = . π a3 4 . D. V = πa3 . t Câu 55. Một khối trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7. Thể tích khối trụ bằng A. 35π. B. 125π. C. 175π. D. 70π. t Câu 56. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 4R . Tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ đã cho. A. 20πR 2 . B. 24πR 2 . C. 16πR 2 . D. 4πR 2 . t Câu 57. Cho khối trụ (T ) có O và O 0 là tâm hai đường tròn đáy. Gọi ABB0 A 0 là thiết diện song song với trục OO 0 ( A, B thuộc đường tròn tâm O ; A 0 , B0 thuộc đường tròn tâm O 0 ). Biết 415 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY AB = 8, A A 0 = 6 và thể tích của khối trụ (T ) bằng 150π. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( A A 0 BB0 ). A. d = 5. B. d = 2. C. d = 3. D. d = 4. t Câu 58. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 cm, thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ. A. V = 12π cm3 . B. V = 16π cm3 . C. V = 20π cm3 . D. V = 24π cm3 . t Câu 59. Một hình trụ có bán kính mặt đáy bằng 5cm. Thiết diện qua trục của hình trụ có diện tích bằng 40cm2 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. S xq = 30πcm2 . B. S xq = 45πcm2 . C. S xq = 40πcm2 . D. S xq = 15πcm2 . t Câu 60. Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 36a2 π. Tính thể p tích V của lăng trụ lục p giác đều nội tiếp hình ptrụ. p 3 3 3 A. V = 27a 3. B. V = 81a 3. C. V = 24a 3. D. V = 36a3 3. t Câu 61. Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Tính theo a thể tích V của khối trụ đó. A. V = π a3 8 . B. V = π a3 4 3 C. V = πa . . 416 D. V = π a3 2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 62. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . p p p p A. Sxq = 12 2π. B. Sxq = 24 3π. C. Sxq = 24 2π. D. Sxq = 12 3π. 0 0 0 t Câu 63. Cho hình lăng trụ đều ABC.Ap B C có góc giữa hai mặt phẳng ( A 0 BC ) và ( ABC ) ◦ 0 2 bằng 45 , diện tích tam giác A BC bằng a 6. Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 . p p A. 4πa2 3 . 3 B. 4πa2 . C. 2πa2 . D. 8π a 2 3 . 3 t Câu 64. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có cạnh bằng 2a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A 0 B0 C 0 D 0 . Tính diện tích S . p p p A. S = 4πa2 2. B. S = πa2 2. C. S = πa2 3. D. S = πa2 . t Câu 65. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao h. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho. 417 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY p 2 3a h A. V = . 4 µ ¶ π 2 4 a2 C. V = h + 3 3 p 3 3 a2 h B. V = . 4 p 3 3πa2 h D. V = . 4 h2 a2 + . 4 3 t Câu 66. Mộtpkhối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a 2. Tính theo a thể tích V của khối trụ đó. A. V = π a3 8 B. V = . π a3 4 C. V = πa3 . . D. V = π a3 2 . t Câu 67. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 9. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . p p p p B. Sxq = 54 3π. C. Sxq = 54 2π. D. Sxq = 27 2π. A. Sxq = 27 3π. t Câu 68. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B0 C 0 có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. V = π a2 h 9 . B. V = π a2 h 9 C. V = . 418 π a2 h 3 . D. V = 3πa2 h. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY t Câu 69. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. A. V = π a2 h 9 . B. V = π a2 h 3 C. V = 3πa2 h. . 419 D. V = πa2 h. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA 2. MẶT CẦU Định nghĩa 1. Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là S (O ; R ). Khi đó, S (O ; R ) = { M |OM = R }. Với hai điểm C , D ∈ S (O ; R ) thì đoạn thẳng CD gọi là dây cung của mặt cầu. Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2R . M R O Định nghĩa 2. Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là một điểm bất kì trong không gian. Nếu O A = R thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S (O ; R ). Nếu O A < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S (O ; R ). Nếu O A > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S (O ; R ). Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S (O ; R ) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R . 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG ¡ ¢ d = d O,(P ) = R (S ) (S ) O O P H ¡ ¢ d = d O,(P ) < R P H (S ) O H P R r R 2 = r2 + d 2 Tính chất 1. Cho mặt cầu S (O ; R ) và mặt phẳng (P ). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mặt phẳng (P ). Ta có: 420 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU Nếu d > R thì mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu S (O ; R ). Nếu d = R thì mặt phẳng (P ) và mặt cầu S (O ; R ) có một điểm chung duy nhất. Khi đó, ta nói mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S (O ; R ). Điểm tiếp xúc gọi là tiếp điểm, (P ) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Nếu pd < R thì mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S (O ; R ) theo một đường tròn bán kính R0 = R2 − d2. Đặc biệt, khi d = 0 thì tâm O thuộc mặt phẳng (P ), giao tuyến của (P ) và S (O ; R ) là đường tròn tâm O bán kính R . Đường tròn này gọi là đường tròn lớn. ! Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S (O ; R ) là (P ) vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Tính chất 2. Cho mặt cầu S (O ; R ) và đường thẳng ∆. Gọi d là khoảng cách O đến đường thẳng ∆. Khi đó, d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S (O ; R ). d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. d = R ⇔ ∆ và mặt cầu S (O ; R ) tiếp xúc nhau. Do đó, điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với mặt cầu S (O ; R ) là d = R . Định lí 1. Cho mặt cầu S (O ; R ) và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Khi đó, Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A . Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau. Định lí 2. Cho mặt cầu S (O ; R ) và điểm A nằm trên mặt cầu. Khi đó, Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính của mặt cầu tại A và nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A . ! Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đó đều nằm trên mặt cầu. Tính chất 3. Cho mặt cầu bán kính R . Khi đó, Diện tích mặt cầu S = 4πR 2 . 4 3 Thể tích khối cầu V = πR 3 . Diện tích S của mặt cầu bán kính R bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó. Thể tích V của khối cầu bán kính R bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó. ! B TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho khối cầu có bán kính r = 2. Thể tích của khối cầu đã cho bằng A. 16π. B. 32π . 3 C. 32π. 421 D. 8π . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 2. Thể tích khối cầu có đường kính 2a bằng A. 4π a 3 . 3 B. 4πa3 . t Câu 3. Cho mặt cầu có diện tích bằng p a 6 . A. r = 3 p a 3 B. r = . 3 C. π a3 3 . D. 2πa3 . 8π a 2 . Tính bán kính r của mặt cầu. 3 p p a 6 a 2 C. r = . D. r = . 2 3 t Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp p p chữ nhật đó bằng A. a2 + b 2 + c 2 . 3 p B. 2 a2 + b2 + c2 . C. a2 + b 2 + c 2 . 2 D. p a2 + b 2 + c 2 . t Câu 5. Một mặt cầu có diện tích là 16π. Tính bán kính R của mặt cầu. A. R = 2π. B. R = 2. C. R = 4. D. R = 4π. 422 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 6. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R . A. S = 4π R 3 . 3 B. S = πR 2 . C. S = 3π R 2 . 4 D. S = 4πR 2 . t Câu 7. Diện tích S của mặt cầu phương cạnh bằng 2 là p ngoại tiếp hình lập p A. 12π. B. 2π 3. C. 8π 3. D. 48π. t Câu 8. ¡Cho¢khối cầu S có thể tích bằng 36π ( cm3 ). Diện tích mặt cầu 1 bằng bao nhiêu? ¡ ¢ ¡ ¢ A. 36π cm2 . B. 27π cm2 . C. 4. D. 18π cm2 . t Câu 9. Cho mặt cầu (S1 ) bán kính R1 , mặt cầu (S2 ) bán kính R2 . Biết rằng R2 = 2R1 , tính tỉ số diện tích mặt cầu (S2 ) và mặt cầu (S1 ). A. 3. B. 2. C. 4. D. 1 . 2 32πa3 là: 3 p C. R = 2 2a. D. p 2 a. t Câu 10. Bán kính R của khối cầu có thể tích V = A. p 3 7 a. B. R = 2a. 423 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU p t Câu 11. pMột mặt cầu có bán kính R 3 có diện tích bằng B. 8πR 2 . C. 4πR 2 . A. 4πR 2 3. D. 12πR 2 . t Câu 12. Khối cầu có thể tích là 36π. Diện tích của mặt cầu là A. S = 9π. B. S = 18π. C. S = 36π. D. S = 27π. t Câu 13. Diện tích của mặt cầu có bán kính r = 5a là A. 40πa2 . B. 100πa2 . C. 25πa2 . t Câu 14. Tính diện tích S của mặt cầu có đường kính bằng 2a. A. S = 4πa2 . B. S = 2πa2 . C. S = πa2 . 424 D. 100πa2 . 3 D. S = 16πa2 . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 15. Công thức tính diện tích mặt cầu là A. S = 3πR 2 . 4 3 B. S = πR 3 . C. S = πR 2 . t Câu 16. Khối cầu bán kính R = 6 có thể tích bằng bao nhiêu? A. 72π. B. 48π. C. 288π. D. S = 4πR 2 . D. 144π. t Câu 17. Thể tích V của một khối cầu có bán kính R là 4 3 A. V = πR 3 . 1 3 4 3 B. V = πR 3 . C. V = πR 2 . D. V = 4πR 3 . t Câu 18. Khối cầu (S ) có bán kính bằng r và thể tích bằng V . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 3 A. V = π r 3 . 4 3 4 3 B. V = π2 r 2 . C. V = π2 r 3 . 425 4 3 D. V = π r . Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 19. Tính thể tích V của khối cầu có đường kính bằng 3 cm. A. V = 36π cm3 . B. V = 9π cm3 . 8 C. V = 9π cm3 . 2 D. V = 9π cm3 . t Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có AB = a, AD = 2a, A A 0 = 3a. Tính bán 0 0 kính R của p mặt cầu ngoại tiếp tứ diện p ACB D . p p a 14 a 3 a 3 a 6 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 2 2 4 2 p t Câu 21. Cho hình cầu đường p kính 2a 3. Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặtpphẳng (P ). A. a. p B. a 10. C. a . 2 D. a 10 . 2 t Câu 22. Cho mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S ( I ; R ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 3 cm, khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ) bằng 2 cm. của mặt cầu p Diện tích p S ( I ; R )2 bằng 2 2 2 A. 52π cm . B. 13π cm . C. 4 13π cm . D. 4 5π cm . t Câu 23. Cho mặt cầu (S ) có tâm I , bán kính R . Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (α), I H < R . Gọi r là bán kính đường tròn cắt bởi mặt phẳng (α) và (S ). Mệnh đề nào sau đây 426 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU là mệnh đúng? p A. r = R 2 + I H 2 . p p B. R = I H 2 − r 2 . p C. R = I H 2 + r 2 . D. I H = R 2 + r 2 . t Câu 24. Hình trụ có bán kính đáy r . Gọi O và O 0 là tâm của hai đường tròn đáy, với OO 0 = 2r . Một mặt cầu (S ) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O 0 . Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ trên. Khi đó A. S1 = 2S 2 . 3 B. S1 = S2 . C. S1 = 3S 2 . 4 D. S1 = S2 . 2 p t Câu 25. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn (O,R ) và O 0 ,R , chiều cao là R 3 và hình nón có đỉnh là O 0 và đáy là đường tròn (O,R ). Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích xung quanh của hình nón. p p B. 3. C. 3. D. 2. A. 2. ¡ ¢ t Câu 26. Gọi (S ) là khối cầu bán kính R , ( N ) là khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h. Biết rằng thể tích của khối cầu (S ) và khối nón ( N ) bằng nhau, tính tỉ số A. 1. B. 4 . 3 C. 12. 427 h . R D. 4. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 27. Trong mặt phẳng cho góc xO y. Một mặt phẳng (P ) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xO y cắt Ox, O y lần lượt tại A , B. Trong (P ) lấy điểm M sao cho ƒ = 90◦ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? AMB A. M chạy trên một mặt cầu. B. M chạy trên một mặt nón. C. M chạy trên một mặt trụ. D. M chạy trên một đường tròn. t Câu 28. Trong không gian cho hai điểm A , B cố định, phân biệt và điểm M thay đổi sao cho diện tích tam giác M AB không thay đổi. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng. B. Tập hợp các điểm M là một mặt trụ. C. Tập hợp các điểm M là một mặt nón. D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu. p t Câu 29. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và khoảng cách giữa hai đáy là r 3. Một hình nón có đỉnh là tâm của mặt đáy này và đáy trùng với đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. A. p 3. 1 C. B. p . 3 1 . 3 D. 3. p t Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên S A = a 6 và vuông góc với đáy ( ABCD ). Tính S.ABCD . p theo a diện tích mặt 2cầu ngoại tiếp khối chóp A. 8πa2 . B. a2 2. C. 2πa . D. 2a2 . 428 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 31. Cho p S.ABC có cạnh bên S A vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại p hình chóp B. Biết SB = 5a, BC = 3a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . p A. S = 4 2πa2 . B. S = 8πa2 . C. S = 2πa2 . D. S = 4πa2 . t Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có S A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), tam giác ABC vuông p tại B, S A = 2a, AB = a, BC = a 3. Tính bán kính R của mặtpcầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. p A. R = a. B. R = 2a. C. R = a 2. D. R = 2a 2. t Câu 33. Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, S A vuông góc với đáy, cho SC = 2a. Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. 4 3 πa . 3 B. 8 3 πa . 3 C. 4 2 3 π a . 3 D. 4p 3πa3 . 3 t Câu 34. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, S A vuông góc với mặt đáy và SC = 2a. Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 8 4 3 3 4 4 2 2 3 C. S mc = 4πR = 3πa và V = πR = πa3 . 3 3 4 4 3 3 4 4 2 2 3 D. S mc = 4πR = 4πa và V = πR = πa2 . 3 3 A. S mc = 4πR 2 = 4πa2 và V = πR 3 = πa3 . B. S mc = 4πR 2 = 4πa2 và V = πR 3 = πa3 . 429 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câup35. Cho chóp S.ABCD có cạnh S A vuông góc với đáy. ABCD là hình chữ nhật có đường chéo ap5, S A = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. 3a . 2 B. a . 2 C. 3a . 2 D. 5a . 2 t Câu 36. Cho chóp S.ABC có S A vuông góc với mặt đáy, ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A = 2ap . Tính bán kính mặt cầu p ngoại tiếp hình chóp.p p A. a 3 . 3 B. a 3 . 3 C. a 2 . 3 D. a 3 . 2 t Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Mặt bên S AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ). Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là A. 16πa2 . 3 B. 8π a 2 . 3 C. 16πa2 . 9 D. 4πa2 . 3 p 2a 6 t Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , (S AB) ⊥ 3 ( ABCD ) và S A = SB = a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 4πa3 3πa3 A. 4πa3 . B. . C. . D. 3πa3 . 3 4 430 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 39. Cho chóp S.ABC có S A vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác cân tại A và AB = a, b = 1200 , S A = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A p p p p A. R = 3a 2. B. R = 2a 2. C. R = a 3. D. R = a 2. t Câu 40. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Khẳng định nào đúng? A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trùng với đỉnh S . B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là tâm của mặt đáy ABCD . C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trung điểm của đoạn thẳng nối S với tâm của mặt đáy ABCD . D. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trọng tâm của tam giác S AC . p t Câu 41. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là 2a, cạnh bên là a 6. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. V = 9 a3 . 2 B. V = 9 a3 π . 2 C. V = 81a3 π . 32 D. V = 3 a3 π . 2 t Câu 42. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính a biết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng 1. p p p p A. a = 2 3 . 7 B. a = 2 5 . 3 C. 431 2 7 . 3 D. a = 2 6 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 43. p Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h = 3 (hình vẽ). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A. 100π . 3 B. 25π . 3 C. 100π . 27 D. 100π. h 1 t Câu 44. Cho chóp tam giác đều S.ABC , có AB = a và cạnh S A = 2a. Xác định bán kính mặt cầu ngoại p tiếp hình chóp. p p p A. 3 33 a. 11 B. 33 a. 11 C. 2 33 a. 11 D. 2 3 a. 11 t Câu 45. Cho chóp tứ giác đều S.ABCD , có AB = a cạnh S A = 2a. Xác định bán kính mặt cầu ngoại p tiếp hình chóp. p p p A. 2 14a . 7 B. 14a . 7 C. 3 14a . 7 D. 4 14a . 7 t Câu 46. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên S AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình p chóp S.ABC . p p A. V = 5 15π . 18 B. V = 5 15π . 54 C. V = 432 4 3π . 27 D. V = 5π . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c và đôi một vuông góc. Diện tích mặt cầu p ngoại tiếp hình chóp S.ABC là p ¢ ¡ A. a2 + b 2 + c 2 . 2 2 2 2 B. π(a + b + c ). C. π a2 + b 2 + c 2 2 . D. π a2 + b 2 + c 2 2 . t Câu 48. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt p Tính bán kinh mặt p cầu ngoại tiếp khối chóp. p phẳng vuông góc với đáy. p A. a 21 . 6 B. 5a 21 . 6 C. a 21 . 3 D. a 7 . 6 t Câu 49. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp p chữ nhật đó bằng p A. a2 + b 2 + c 2 . 3 p B. 2 a2 + b2 + c2 . C. a2 + b 2 + c 2 . 2 D. p a2 + b 2 + c 2 . t Câu 50. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 biết AB = 3, BB0 = 4, B0 C 0 = 12. A. 19. B. 13 . 2 C. 433 19 . 2 D. 13. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU t Câu 51. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2, 3, 4 nội tiếp trong một mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu đó. A. p p 29. B. 29 29π. C. 29 π. 2 D. 29π. t Câu 52. Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có kích thước AB = 4a, AD = 5a, A A 0 = 3a. Mặt cầu trên có bán kính bằng baopnhiêu? p p B. 6a. A. 2 3a. C. 5 2a . 2 D. 3 2a . 2 t Câu 53. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng p p trụ đó là p p A. 7πa3 21 . 54 B. 7πa3 21 . 18 C. 7πa3 3 . 54 D. 7πa3 7 . 54 0 0 0 t Câu 54. Cho khối p lăng0 trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, AC = a 3, A A = 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối lăngptrụ đó. p A. R = 2a 2. p B. R = a. C. R = a 2. 434 D. R = a 2 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU p t Câu 55. Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 3. A. 6a. B. p 3a . 2 D. 3a. C. a 3. t Câu 56. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2a. p p A. R = a. B. R = 2a 3. C. R = a 3 . 3 p D. R = a 3. t Câu 57. Trong không gian mặt cầu (S ) tiếp xúc với sáu mặt của một hình lập phương cạnh a. Tính thể tích V của khối cầu tương ứng. A. V = π a3 24 . B. V = π a3 3 C. V = . π a3 6 . D. V = 4πa3 . 3 t Câu 58. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh a cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối cầu qua các» đỉnh của lăng trụ. » ¡ ¢3 π 4 a2 + 3 b 2 . p 18 3 » ¡ ¢3 1 D. 4 a2 + 3 b 2 . p 18 2 ¡ ¢3 1 4 a2 + 3 b 2 . p 18 3 » ¡ ¢3 π C. 4 a2 + b 2 . p 18 3 A. B. 435 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. MẶT CẦU 436 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG BÀI 3 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔN GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC-TƠ Hệ trục tọa độ Điểm O gọi là gốc tọa độ. Trục Ox gọi là trục hoành; Trục O y gọi là trục tung; Trục Oz gọi là trục cao. Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ. Ta kí hiệu chúng lần lượt là (Ox y), (O yz), (Ozx). #» véc-tơ đơn vị của trục Ox, O y, Oz lần lượt là: i , #» #» j , k. Các véc tơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau và có độ dài bằng 1: #»2 #»2 y O #» j #» #» i k x z #»2 i = j = k =1 #» #» #» #» #» #» và i · j = j · k = i · k = 0. Tọa độ của điểm 1 Định nghĩa #» #» #» Trong không gian Ox yz cho điểm M tùy ý. Vì ba véc-tơ i , j , k không đồng phẳng nên có một bộ số duy nhất ( x; y; z) sao cho: # » #» #» #» OM = x · i + y · j + z · k Ta gọi bộ ba số ( x; y; z) là tọa độ của điểm M . Ký hiệu: M ( x; y; z) hoặc M = ( x; y; z) y Đặc biệt: Gốc O (0; 0; 0). M thuộc Ox ⇔ M ( x M ; 0; 0). M thuộc O y ⇔ M (0; yM ; 0). M thuộc Oz ⇔ M (0; 0; z M ). M thuộc (Ox y) ⇔ M ( x M ; yM ; 0). M thuộc (O yz) ⇔ M (0; yM ; z M ). M thuộc (Oxz) ⇔ M ( x M ; 0; z M ). M #» j O #» #» i x k z 437 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 Tính chất: Cho A ( x A ; yA ; z A ) , B ( xB ; yB ; zB ). # » AB = p ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ). AB = ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − ³z A )2 . x A + xB yA + yB z A + zB ´ Tọa độ trung điểm M của AB là M ; ; . 2 2 2 Tọa tâm G tam giác ³ x + xđộ+ x trọng ´ của B A C yA + yB + yC z A + zB + zC G ; ; . 3 3 3 Tọa tâm G của tứ ´ diện ³ x + xđộ+ x +trọng B A C xD yA + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC G ; ; . 4 4 4 ABC là ABCD là Tọa độ của véc-tơ Trong không gian Ox yz cho điểm véc-tơ #» a . Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) sao cho: #» #» #» #» a = a · i +a · j +a · k 1 2 3 Ta gọi bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) là tọa độ của véc-tơ #» a . Ký hiệu: #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ). # » Trong hệ tọa độ Ox yz, tọa độ của điểm M cũng chính là tọa độ của véc-tơ OM . #» #» #» i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1). 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC-TƠ #» Trong không gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ). Khi đó Định lí 1. #» #» a + b = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b 3 ). #» #» a − b = ( a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 ). k · #» a = ( k · a 1 ; k · a 2 ; k · a 3 ) ( k là số thực). #» Hệ quả 1. Trong không gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) khi đó  a 1 = b 1 #»  #» a = b ⇔ a2 = b2   a3 = b3 # » Với hai điểm A ( x A ; yA ; z A ), B ( xB ; yB ; zB ) thì tọa độ của véc-tơ AB là: # » AB = ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ) #» véc-tơ 0 = (0; 0; 0). #» véc-tơ #» u được gọi là biểu diễn (hoặc phân tích) theo ba véc-tơ #» a , b , #» c nếu có hai số #» #» #» #» x, y, z sao cho u = x · ( a + y· b + z· c . #» #» #» a , b 6= 0 a1 a2 a3 #» #» #» #» a cùng phương b ⇔ #» hay b = b = b (với b 6= 0 ). #» 1 2 3 ∃ k 6= 0 : a = k · b # » # » A , B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương với AC . Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: ³x +x y + y z +z ´ B B B A A A ; ; . 2 2 2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: ³x +x +x y + y + y z +z +z ´ B B B A C A C A C G ; ; . 3 3 3 M 438 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3 TÍCH VÔ HƯỚNG Biểu thức tọa độ tích vô hướng #» Định lí 2. Cho hai véc-tơ #» a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) và b = ( b 1 ,b 2 ,b 3 ). Khi đó tích vô hướng của hai #» véc-tơ #» a , b là : ³ #»´ #» ¯¯ #»¯¯ ¯¯ #»¯¯ #» a · b = a · ¯ b ¯ · cos #» a,b hay #» #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 Ứng dụng 1 Độ dài của véc-tơ #» a là: ¯ #»¯ » 2 ¯ a ¯ = a + a2 + a2 1 2 3 2 Khoảng cách giữa hai điểm A và B: ¯ # »¯ » ¯ ¯ AB = ¯ AB¯ = ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 #» 3 Góc giữa hai véc-tơ #» a , b thỏa mãn #» #» a·b #»´ #» cos a · b = ¯ ¯ ¯ #»¯ ¯ ¯ ¯ #» a¯·¯ b¯ ³ #» #» 4 #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = 0 ⇔ a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3 = 0. 4 TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG #» Định nghĩa Trong không gian Ox yz cho hai vectơ #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ). Tích #» #» có hướng của hai vectơ #» a và b . Kí hiệu là [a, b ], được xác định bởi ¯ a2 a3 ¯ ¯ a3 a1 ¯ ¯ a1 a2 ¯ #» ¯;¯ ¯ = (a 2 b 3 − a 3 b 2 ; a 3 b 1 − a 1 b 3 ; a 1 b 2 − a 2 b 1 ) . ¯;¯ [ #» a , b ] = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b2 b3 ! ¯ ¯ ¯ ¯ µ¯ b3 b1 ¯¶ b1 b2 Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. Ứng dụng của tích có hướng #» #» Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ #» a , b và #» c đồng phẳng ⇔ [ #» a , b ] · #» c = 0. # » # » Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD = |[ AB, AD ]|. 1 # » # » Diện tích tam giác ABC : S∆ ABC = |[ AB, AC ]|. 2 # » # » # » 0 0 0 Thể tích khối hộp ABC.A B C : VABCD · ABC0 D = |[ AB, AD ] · A A 0 |. 1 # » # » # » Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = |[ AB, AC ] · AD |. 6 439 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. #» #» – #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = 0. #» #» #» – #» a và b cùng phương ⇔ [ #» a, b]= 0. #» #» – #» a , b , #» c đồng phẳng ⇔ [ #» a , b ] · #» c = 0. ! 5 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Trong không gian Ox yz, phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a; b; c) bán kính R là: ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2b y − 2 cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương p trình mặt cầu tâm I (a; b; c), có bán kính là R = a2 + b2 + c2 − d . 6 MỘT SỐ YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Xét tam giác ABC , ta có: 1 H là chân đường cao hạ từ A của ∆ ABC ⇔ 2 3 4 5 B (# » # » AH ⊥ BC # » # » BH = k · BC AB # » # » · DC AD là đường phân giác trong của ∆ ABC ⇔ DB = − AC # » AB # » AE là đường phân giác ngoài của ∆ ABC ⇔ EB = · EC AC # » # »  AH ⊥ BC   # » # » H là trực tâm của ∆ ABC ⇔ BH ⊥ AC  h # » # »i # »    AB, AC · AH = 0  ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯ ¯ ¯ ¯    ¯ I A ¯ = ¯ IB¯   ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯ ¯ ¯ ¯ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ ¯ I A ¯ = ¯ IC ¯   h # » # »i # »    AB, AC · AI = 0 TRẮC NGHIỆM #» t Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho ba véc-tơ #» a = (2; −5; 3), b = (0; 2; −1), #» c = 1 #» (1; 7; 2). Tọa độ của véc-tơ #» u = 4 #» a − b + 3 #» c là 5 53 A. #» u = 11; ; . µ ¶ 3 3 µ3 121 17 B. #» u = 5; − ; . ¶ 3 3 440 1 55 C. #» u = 11; ; . µ ¶ 3 3 1 1 D. #» u = ; ; 18 . µ ¶ 3 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho bốn điểm A (1; −2; 0), B(1; 0; −1), C (0; −1; 2), D (0; m; k). Tìm hệ thức giữa m và k để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. A. m + k = 1. B. m + 2k = 3. C. 2 m − 3k = 0. D. 2 m + k = 0. t Câu 3. Cho ba điểm A (2; −1; 5), B(5; −5; 7) và điểm M ( x; y; 1). Với giá trị nào của x,y thì A, B, M thẳng hàng? A. x = 4,y = −7. B. x = 4,y = 7. C. x = −4,y = −7. D. x = −4,y = 7. # » # » t Câu 4. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (2; −1; −2) và N (−1; −2; 3). Tọa độ #» u = ON − OM là A. #» u = (−1; 3; −1). B. #» u = (1; −3; 1). C. #» u = (3; 1; −5). D. #» u = (−3; −1; 5). t Câu 5. Trong không gian với hệ trục Ox yz, cho tam giác ABC có A (3; 3; 2), B(−1; 2; 0), C (1; 1; −2). Gọi G ( x0 ; y0 ; z0 ) là trọng tâm của tam giác đó. Tổng x0 + y0 + z0 bằng A. 9. 2 3 B. − . C. 441 1 . 3 D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm A (4; 1; −2) qua mặt phẳng (Ozx). A. (4; −1; −2). B. (4; −1; 2). C. (−4; −1; 2). D. (4; 1; 2). a t Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M (1; 2; 3) trên trục Ox. A. (0; 0; 3). B. (0; 0; 0). C. (0; 2; 0). D. (1; 0; 0). t Câu 8. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (O yz) là điểm A. M (0; −1; 0). B. Q (0; 0; 1). C. N (3; 0; 0). D. P (0; −1; 1). t Câu 9. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; −2; 4). Hình chiếu vuông góc của A trên trục O y là điểm nào dưới đây? A. N (0; −2; 0). B. M (0; −2; 4). C. Q (1; 0; 0). D. P (0; 0; 4). #» #» #» t Câu 10. Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ #» a và b , với #» a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng 442 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN #» #» a.b A. ¯ ¯ ¯ #»¯ . ¯ #»¯ ¯ ¯ ¯ a ¯. ¯ b ¯ ¯ #»¯ ¯ #» ¯ ¯a.b¯ B. ¯ ¯ ¯ #»¯ . ¯ #»¯ ¯ ¯ ¯ a ¯. ¯ b ¯ #» − #» a.b C. ¯ ¯ ¯ #»¯ . ¯ #»¯ ¯ ¯ ¯ a ¯. ¯ b ¯ #» #» a+b D. ¯ ¯ ¯ #»¯ . ¯ #»¯ ¯ ¯ ¯ a ¯. ¯ b ¯ #» t Câu 11. Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ #» a = (1; 2; 0) và b = (2; 0; −1), khi đó cos ϕ bằng A. 0. B. 2 2 . 5 C. p . 5 2 5 D. − . #» t Câu 12. Cho vectơ #» a = (1; 3; 4), tìm vectơ b cùng phương với vectơ #» a #» #» #» #» A. b = (−2; −6; −8) . B. b = (−2; −6; 8) . C. b = (−2; 6; 8) . D. b = (2; −6; −8). #» t Câu 13. Tích vô hướng của hai vectơ #» a = (−2; 2; 5) , b = (0; 1; 2) trong không gian bằng A. 10. B. 13. C. 12. D. 14. # » t Câu 14. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1). Vectơ AB có tọa độ là A. (−1; −1; −3). B. (3; 1; 1). C. (1; 1; 3). D. (3; 3; −1). 443 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN # » t Câu 15. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; 1; −1) và B (2; 3; 2). Vectơ AB có tọa độ là A. (1; 2; 3). B. (−1; −2; 3). C. (3; 5; 1). D. (3; 4; 1). t Câup16. Cho vectơ #» a = (1; −1; 2), độ dài vectơ #» a là p A. 6. B. 2. C. − 6. D. 4. t Câup17. Trong không gianpcho hai điểm A (−1; 2; 3)p, B (0; 1; 1), độ dài đoạn p AB bằng A. 6 . B. 8 . C. 10 . D. 12. # » #» #» #» t Câu 18. Trong không gian Ox yz, gọi i , j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z) thì OM bằng #» #» #» #» #» #» #» #» #» A. − x i − y j − #» z k. B. x i − y j − #» z k. C. x j + y i + #» z k. D. x i + y j + z k . 444 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN #» t 19. Tích có hướng của hai vectơ #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) là một vectơ, kí hiệu h Câu i #» #» a , b , được xác định bằng tọa độ A. (a 2 b3 − a 3 b2 ; a 3 b1 − a 1 b3 ; a 1 b2 − a 2 b1 ). C. (a 2 b3 − a 3 b2 ; a 3 b1 + a 1 b3 ; a 1 b2 − a 2 b1 ). B. (a 2 b3 + a 3 b2 ; a 3 b1 + a 1 b3 ; a 1 b2 + a 2 b1 ). D. (a 2 b2 − a 3 b3 ; a 3 b3 − a 1 b1 ; a 1 b1 − a 2 b2 ). t Câu 20. Cho các vectơ #» u = ( u 1 ; u 2 ; u 3 ) và #» v = (v1 ; v2 ; v3 ), #» u . #» v = 0 khi và chỉ khi A. u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 1. B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 = 0. C. u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 0. D. u1 v2 + u2 v3 + u3 v1 = −1. t Câu 21. Trong không gian Ox yz, cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng A. M (a; 0; 0) ,a 6= 0. B. M (0; b; 0) ,b 6= 0. C. M (0; 0; c) ,c 6= 0. D. M (a; 1; 1) ,a 6= 0 . t Câu 22. Trong không gian Ox yz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng (Ox y) sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, O y, khi đó tọa độ điểm M là (a, b, c 6= 0) A. (0; b; a) . B. (a; b; 0) . C. (0; 0; c) . D. (a; 1; 1). ¯ #»¯ ¯ ¯ #» ¯ ¯ ¯ ¯ #» t Câu 23. Trong không gian Ox yz, cho a = (0; 3; 4) và ¯ b ¯ = 2¯ #» a ¯, khi đó tọa độ vectơ b có thể là 445 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. (0; 3; 4). B. (4; 0; 3) . C. (2; 0; 1) . D. (−8; 0; −6). ¯ ¯ t Câu 24. Trong không gian Ox yz, cho hai vectơ #» u và #» v , khi đó ¯[ #» u , #» v ]¯ bằng ¯ ¡ #»¢ ¯ ¯ ¯ #»¯ A. ¯ #» u ¯.¯ v ¯. sin #» u, v . ¡ #» #»¢ #» #» C. u . v .cos u , v . ¯ ¡ #»¢ ¯ ¯ ¯ #»¯ B. ¯ #» u ¯.¯ v ¯.cos #» u, v . ¡ #» #»¢ #» #» D. u . v . sin u , v . ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ #» t Câu 25. Trong không gian Ox yz, cho ba vectơ #» a = (1; −1; 2) , b = (3; 0; −1) , #» c = (−2; 5; 1), vectơ #» #» #» #» m = a + b − c có tọa độ là A. (6; 0; −6). B. (−6; 6; 0). C. (6; −6; 0). D. (0; 6; −6). t Câu 26. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (1; 0; −3) , B (2; 4; −1) , C (2; −2; 0). Độ dài các cạnh AB, p AC, p lầnplượt là p p p p BC pcủa tam giácpABC p p p B. 11, 14, 37. C. 21, 14, 37. D. 21, 13, 35. A. 21, 13, 37. t Câu 27. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (1; 0; −3) , B (2; 4; −1) , C (2; −2; 0). Tọa độ trọng tâm Gµcủa tam¶ giác ABC là µ ¶ µ ¶ A. 5 2 4 ; ;− . 3 3 3 B. 5 2 4 ; ; . 3 3 3 C. (5; 2; 4). 446 D. 5 ; 1; −2 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 28. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (1; 2; 0) , B (−1; 1; 3) , C (0; −2; 5). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là A. D (−2; 5; 0). B. D (1; 2; 3). C. D (1; −1; 6). D. D (0; 0; 2). #» t Câu 29. Trong không gian Ox yz, cho ba vecto #» a = (1; 2; 3) , b = (−2; 0; 1) , #» c = (−1; 0; 1). Tìm tọa #» #» #» #» #» độ của vectơ n = a + b + 2 c − 3 i A. #» n = (6; 2; 6). B. #» n = (6; 2; −6). C. #» n = (0; 2; 6). D. #» n = (−6; 2; 6). t Câu 30. Trong không gian Ox yz, cho tam giác ABC có A (1; 0; 2) ,B (−2; 1; 3) ,C (3; 2; 4). Tìm tọa độ trọngµ tâm G¶ của tam giác ABC µ ¶ A. G 2 ; 1; 3 . 3 B. G (2; 3; 9). C. G (−6; 0; 24). 1 3 D. G 2; ; 3 . t Câu 31. Cho 3 điểm M (2; 0; 0) , N (0; −3; 0) , P (0; 0; 4). Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là A. Q (−2; −3; 4). B. Q (2; 3; 4). C. Q (3; 4; 2). D. Q (−2; −3; −4) . 447 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 32. Trong không gian tọa độ Ox yz, cho ba điểm M (1; 1; 1) , N (2; 3; 4) , P (7; 7; 5). Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là A. Q (−6; 5; 2). B. Q (6; 5; 2). C. Q (6; −5; 2). D. Q (−6; −5; −2). t Câu 33. Cho 3 điểm A (1; 2; 0) , B (1; 0; −1) , C (0; −1; 2). Tam giác ABC là A. tam giác có ba góc nhọn. B. tam giác cân đỉnh A . C. tam giác vuông đỉnh A . D. tam giác đều. t Câu 34. Trong không gian tọa độ Ox yzcho ba điểm A (−1; 2; 2) , B (0; 1; 3) , C (−3; 4; 0). Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là A. D (−4; 5; −1). B. D (4; 5; −1). C. D (−4; −5; −1). D. D (4; −5; 1). ¯ ¯ ¯ #»¯ ¯ ¯ #» ¯ #» #»¯ ¯ #»¯ ¯ ¯ #» 0 t Câu 35. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 60 và ¯ a ¯ = 2; ¯ b ¯ = 4. Khi đó ¯ a + b ¯ bằng p p p p A. 8 3 + 20 . B. 2 7 . C. 2 5 . D. 2. 448 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 36. Cho điểm M (1; 2; −3), khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Ox y) bằng A. 2. B. −3. C. 1. D. 3. t Câu 37. Cho điểm M (−2; 5; 0), hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục O y là điểm A. M 0 (2; 5; 0). B. M 0 (0; −5; 0). C. M 0 (0; 5; 0). D. M 0 (−2; 0; 0). t Câu 38. Cho điểm M (1; 2; −3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Ox y)là điểm A. M 0 (1; 2; 0). B. M 0 (1; 0; −3). C. M 0 (0; 2; −3). D. M 0 (1; 2; 3). t Câup39. Cho điểm M (−2; 5;p1), khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng p A. 29. B. 5. C. 2. D. 26. t Câu 40. Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng # » #» #» # » # » # » #» # » # » # » #» # » # » # » #» A. I A = IB + IC . B. I A + IB + CI = 0 . C. I A + BI + IC = 0 . D. I A + IB + IC = 0 . 449 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN → → → t Câu 41. Trong không gian Ox yz, cho 3 vectơ a = (−1; 1; 0); b = (1; 1; 0); c = (1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: ¯# »¯ p ¯# »¯ p #» #» #» ¯ ¯ ¯ ¯ C. ¯ c¯ = 3. D. #» a⊥b. A. b ⊥ c . B. ¯a¯ = 2. t Câu 42. Cho điểm M (3; 2; −1), điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Ox y) là điểm A. M 0 (3; −2; 1). B. M 0 (3; −2; −1). C. M 0 (3; 2; 1). D. M 0 (3; 2; 0). t Câu 43. Cho điểm M (3; 2; −1), điểm M 0 (a; b; c) đối xứng của M qua trục O y, khi đó a + b + c bằng A. 6. B. 4. C. 0. D. 2. ³ #»´ #» #» t Câu 44. Trong không gian Ox yz cho 2 véc tơ a = (2; 1; −1); b = (1; 3; m). Tìm m để #» a; b = ◦ 90 . A. m = −5. B. m = 5. C. m = 1. D. m = −2. 450 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho #» u = (2; −1; 1) và #» v = (0; −3; − m). Tìm #» #» số thực m sao cho tích vô hướng u . v = 1. A. m = 4. B. m = 2. C. m = 3. D. m = −2. t Câu 46. Cho #» u = (1; 1; 1) và #» v = (0; 1; m). Để góc giữa hai vectơ #» u , #» v có số đo bằng 450 thì m bằng p p p p B. 2 ± 3. C. 1 ± 3. D. 3. A. ± 3. t Câu 47. Cho A (1; −2; 0) , B (3; 3; 2) , C (−1; 2; 2) , D (3; 3; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. t Câu 48. Trong không gian Ox yz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức¯ nào sau đây: ¯ # » ¯ # » # » # »¯ # » # »¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯[ AB, AC ]. AD ¯ ¯ # »# »¯ . ¯ 3 ¯[ AB. AC ]¯ ¯ ¯ # » # » # »¯ ¯ ¯ ¯[ AB, AC ]. AD ¯ C. h = ¯ # » # »¯ . ¯ ¯ ¯ AB. AC ¯ 1 ¯[ AB, AC ]. AD ¯ ¯ # » # »¯ . ¯ ¯ 3 ¯ AB. AC ¯ ¯ # » # » # »¯ ¯ ¯ ¯[ AB, AC ]. AD ¯ D. h = ¯ # » # » ¯ . ¯ ¯ ¯[ AB. AC ]¯ B. h = A. h = 451 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 49. Trong không gian tọa độ Ox yz, cho bốn điểm A (1; −2; 0) , B (3; 3; 2) , C (−1; 2; 2) , D (3; 3; 1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là A. 9 p . 7 2 B. 9 . 7 9 C. p . D. 2 9 . 14 t Câu 50. Trong không gian Ox yz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 2), B (−2; 1; 3), C (3; 2; 4), D (6; 9; −5). Tìm tọaµđộ trọng tâm ¶ G của tứ diện ABCD µ ¶ A. G −9; 18 ; −30 . 4 B. G (8; 12; 4). C. G 3; 3; 14 . 4 D. G (2; 3; 1). t Câu 51. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; 2; 1) ,B (2; −1; 2). Điểm M trên trục Ox và cách đềuµ hai điểm ¶ µ ¶ µ ¶ A,B có tọa độµ là ¶ 3 1 3 1 1 3 1 C. M ; 0; 0 . D. M 0; ; . A. M ; ; . B. M ; 0; 0 . 2 2 2 2 2 2 2 t Câu 52. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; 2; 1) ,B (3; −1; 2). Điểm M trên trục Oz và cách đều hai điểm A,B có tọa độ là µ ¶ µ ¶ 3 3 1 3 A. M (0; 0; 4). B. M (0; 0; −4). C. M 0; 0; . D. M ; ; . 2 452 2 2 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 53. Trong không gian Ox yz cho ba điểm A (−1; −2; 3) ,B (0; 3; 1) ,C (4; 2; 2). Cosin của góc ƒ là BAC 9 9 9 9 A. p . B. p . C. − p . D. − p . 2 35 35 t Câu 54. Tọa độ của vecto A. #» n = (3; 4; 1). B. 2 35 35 #» #» n vuông góc với hai vecto #» a = (2; −1; 2) , b = (3; −2; 1) là #» n = (3; 4; −1). C. #» n = (−3; 4; −1). D. #» n = (3; −4; −1). ¯ ¯ ¯ #»¯ 2π #» #» #» #» ¯ ¯ ¯ ¯ , u = k #» a − b ; #» v = #» a + 2 b Để t Câu 55. Cho ¯ #» a ¯ = 2; ¯ b ¯ = 5, góc giữa hai vectơ #» a và b bằng 3 #» u vuông góc với #» v thì k bằng A. − 6 . 45 B. 45 . 6 C. 6 . 45 D. − 45 . 6 #» = (1; 2; 1). Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên t Câu 56. Cho #» u = (2; −1; 1) , #» v = ( m; 3; −1) , w đồng phẳng A. 3 . 8 3 8 B. − . C. 8 . 3 8 3 D. − . ¡ ¢ #» ¡ ¢ #» t Câu 57. Cho hai vectơ #» a = 1; log3 5; m , b = 3; log5 3; 4 . Với giá trị nào của m thì #» a⊥b A. m = 1; m = −1. B. m = 1. C. m = −1. D. m = 2; m = −2. 453 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 58. Trong không gian Ox yz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 0),B(0; 1; 0),C (0; 0; 1),D (−2; 1; −1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng A. 3 . 2 B. 3. C. 1. D. 1 . 2 t Câu 59. Trong không gian Ox yz cho ba điểm A (2; 5; 3) ,B (3; 7; 4) ,C ( x; y; 6). Giá trị của x,y để ba điểm A,B,C thẳng hàng là A. x = 5; y = 11. B. x = −5; y = 11. C. x = −11; y = −5. D. x = 11; y = 5. t Câu 60. Trong không gian Ox yz cho ba điểm A (1; 0; 0) ,B (0; 0; 1) ,C (2; 1; 1). Tam giác ABC là A. tam giác vuông tại A . B. tam giác cân tại A . C. tam giác vuông cân tại A . D. Tam giác đều. t Câu 61. Trong không gian Ox yzcho tam giác ABC có A (1; 0; 0) ,B (0; 0; 1) ,C (2; 1; 1). Tam giác ABC có diện tích bằng p p A. p 6. B. 6 . 3 C. 454 6 . 2 D. 1 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 62. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1; 1; 1) , (2; 3; 4) , (7; 7; 5). Diện tích của hình bình hành đó bằng p p A. 2 83. B. p 83. C. 83. D. 83 . 2 #» #» t Câu 63. Cho 3 vecto #» a = (1; 2; 1) ; b = (−1; 1; 2) và #» c = ( x; 3 x; x + 2). Tìm x để 3 vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng A. 2. B. −1 . C. −2. D. 1. → → t Câu 64. Trong không gian Ox yz cho ba vectơ #» a = (3; −2; 4) , b = (5; 1; 6), c = (−3; 0; 2). Tìm #» vectơ #» x sao cho vectơ #» x đồng thời vuông góc với #» a , b , #» c A. (1; 0; 0). B. (0; 0; 1). C. (0; 1; 0). D. (0; 0; 0) . t Câu 65. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu? A. x2 + y2 + z2 − 2 x = 0 . B. x2 + y2 − z2 + 2 x − y + 1 = 0. C. 2 x2 + 2 y2 = ( x + y)2 − z2 + 2 x − 1. D. ( x + y)2 = 2 x y − z2 − 1. 455 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 66. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu? A. x2 + y2 + z2 − 2 x = 0. B. 2 x2 + 2 y2 = ( x + y)2 − z2 + 2 x − 1 . C. x2 + y2 + z2 + 2 x − 2 y + 1 = 0. D. ( x + y)2 = 2 x y − z2 + 1 − 4 x. t Câu 67. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu? B. ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 6. A. ( x − 1)2 + (2 y − 1)2 + ( z − 1)2 = 6. 2 2 2 D. ( x + y)2 = 2 x y − z2 + 3 − 6 x. C. (2 x − 1) + (2 y − 1) + (2 z + 1) = 6. t Câu 68. Cho các phương trình sau: (C 1 ) : ( x − 1)2 + y2 + z2 = 1; (C 2 ) : x2 + (2 y − 1)2 + z2 = 4; (C 3 ) : x2 + y2 + z2 + 1 = 0; (C 4 ) : (2 x + 1)2 + (2 y − 1)2 + 4 z2 = 16. Số phương trình là phương trình mặt cầu là: A. 4. B. 3. C. 2. t Câu 69. Mặt cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + z2 = 9 có tâm là: A. I (1; −2; 0). B. I (−1; 2; 0). C. I (1; 2; 0). 456 D. 1. D. I (−1; −2; 0). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 70. Mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 8 x + 2 y + 1 = 0 có tâm là: A. I (8; −2; 0). B. I (−4; 1; 0). C. I (−8; 2; 0). D. I (4; −1; 0). 2 2 2 t Câu 71. Mặt cầu p (S ) : x + y + z − 4 x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán p kính R là: p A. I (2; 0; 0) ,R = 3. B. I (2; 0; 0) ,R = 3. C. I (0; 2; 0) ,R = 3. D. I (−2; 0; 0) ,R = 3. t Câu 72. Phương trình mặt cầu có tâm I (−1; 2; −3), bán kính R = 3 là: A. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = 9. B. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 3. C. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 9. D. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 9. t Câu 73. Mặt cầu (S ) : ( x + y)2 = 2 x y − z2 + 1 − 4 x có tâm là: A. I (−2; 0; 0). B. I (4; 0; 0). C. I (−4; 0; 0) . D. I (2; 0; 0). t Câu 74. Đường kính của mặt cầu (S ) : x2 + y2 + ( z − 1)2 = 4 bằng: A. 4. B. 2. C. 8. D. 16. 457 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 75. Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I (−1; 1; 0)? A. x2 + y2 + z2 − 2 x + 2 y = 0. B. x2 + y2 + z2 + 2 x − 2 y + 1 = 0. D. ( x + y)2 = 2 x y − z2 + 1 − 4 x. C. 2 x2 + 2 y2 = ( x + y)2 − z2 + 2 x − 1 − 2 x y. t Câup76. Mặt cầu (S ) : 3 x2 + 3py2 + 3 z2 − 6 x + 12 y + 2 =p0 có bán kính bằng: A. 7 . 3 2 7 B. . 3 C. 21 . 3 D. … 13 . 3 ¯ # »¯ ¯ ¯ t Câu 77. Gọi I là tâm mặt cầu (S ) : x + y + ( z − 2) = 4. Độ dài ¯OI ¯ (O là gốc tọa độ) bằng: p A. 2. B. 4. C. 1. D. 2. 2 2 2 t Câu 78. Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ? A. x2 + y2 + z2 − 6 z = 0. B. x2 + y2 + z2 − 6 y = 0. 2 2 2 C. x + y + z = 9. D. x2 + y2 + z2 − 6 x = 0. 458 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 79. Mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2 x + 10 y + 3 z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây? A. (2; 1; 9). B. (3; −2; −4). C. (4; −1; 0). D. (−1; 3; −1). t Câu 80. Mặt cầu tâm I (−1; 2; −3) và đi qua điểm B. A. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 22. 2 2 2 D. C. ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 22. A (2; 0; 0) có phương trình: ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 11. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 22. t Câu 81. Cho hai điểm A (1; 0; −3) và B (3; 2; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. x2 + y2 + z2 − 4 x − 2 y + 2 z = 0. B. x2 + y2 + z2 + 4 x − 2 y + 2 z = 0. C. x2 + y2 + z2 − 2 x − y + z − 6 = 0. D. x2 + y2 + z2 − 4 x − 2 y + 2 z + 6 = 0. t Câu 82. Nếu mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm M (2; 2; 2) ,N (4; 0; 2) ,P (4; 2; 0) và Q (4; 2; 2) thì tâm I của (S ) có toạ độ là: A. (−1; −1; 0). B. (3; 1; 1). C. (1; 1; 1). D. (1; 2; 1). t Câup83. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M (1; 0; 1) ,N (1; 0; 0) ,P (2; 1; 0) và Q (1; 1; 1) bằng: A. 3 . 2 B. p 3. C. 1. 459 D. 3 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 84. Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4 = 0 và 4 điểm M (1; 2; 0) ,N (0; 1; 0) ,P (1; 1; 1), Q (1; −1; 2). Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu (S )? A. 2 điểm. B. 4 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm. t Câu 85. Mặt cầu (S ) tâm I (−1; 2; −3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x + 2 y + 2 z + 1 = 0 có phương trình: 4 9 16 2 2 2 D. ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = . 3 4 9 4 2 2 2 C. ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = . 3 B. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = . A. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = . t Câu 86. Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm I (2; 1; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0? A. ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 3)2 = 16. C. ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 25. B. ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 4. D. ( x + 2)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = 9. t Câu 87. Mặt cầu (S ) tâm I (3; −3; 1) và đi qua A (5; −2; 1)có phương trình: A. ( x − 3)2 + ( y + 3)2 + ( z − 1)2 = 5 B. ( x − 5)2 + ( y + 2)2 + ( z − 1)2 = p 5. p. 2 2 2 C. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) = 5. D. ( x − 5)2 + ( y + 2)2 + ( z − 1)2 = 5. 460 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 88. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A (1; 3; 2) ,B (3; 5; 0) là: B. ( x − 2)2 + ( y − 4)2 + ( z − 1)2 = 2. A. ( x − 2)2 + ( y − 4)2 + ( z − 1)2 = 3. 2 2 2 D. ( x + 2)2 + ( y + 4)2 + ( z + 1)2 = 3. C. ( x + 2) + ( y + 4) + ( z + 1) = 2. t Câu 89. Cho I (1; 2; 4) và mặt phẳng (P ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0. Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ), có phương trình là: A. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 4)2 = 4. B. ( x + 1)2 + ( y + 2)2 + ( z + 4)2 = 1 . C. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 4)2 = 4. D. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 4)2 = 3. x y−1 z+1 = = và điểm A (5; 4; −2). Phương trình mặt cầu đi 1 2 −1 qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Ox y) là: A. (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + z2 = 64. B. (S ) : ( x + 1)2 + ( y − 1)2 + z2 = 9. C. (S ) : ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + z2 = 65. D. (S ) : ( x + 1)2 + ( y − 1)2 + ( z + 2)2 = 65. t Câu 90. Cho đường thẳng d : t Câu 91. Cho ba điểm A (6; −2; 3), B (0; 1; 6), C (2; 0; −1), D (4; 1; 0). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là: A. x2 + y2 + z2 − 4 x + 2 y − 6 z − 3 = 0. B. x2 + y2 + z2 + 4 x − 2 y + 6 z − 3 = 0. 2 2 2 C. x + y + z − 2 x + y − 3 z − 3 = 0. D. x2 + y2 + z2 + 2 x − y + 3 z − 3 = 0. 461 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 92. Cho ba điểm A (2; 0; 1) ,B (1; 0; 0) ,C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − 2 = 0. Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P ) là: A. x2 + y2 + z2 − x + 2 z + 1 = 0. B. x2 + y2 + z2 − x − 2 y + 1 = 0 . 2 2 2 C. x + y + z − 2 x + 2 y + 1 = 0. D. x2 + y2 + z2 − 2 x − 2 z + 1 = 0. t Câu 93. Phương trình mặt cầu tâm I (1; −2; 3) và tiếp xúc với trục O ylà: A. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = 9. B. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = 16. C. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = 8. D. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = 10.   x = 1 + t t Câu 94. Cho các điểm A (−2; 4; 1) ,B (2; 0; 3) và đường thẳng d : y = 1 + 2 t . Gọi (S ) là mặt cầu   z = −2 + t đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d . Bán kính mặt cầu (S ) bằng: p p p A. 3 3. B. 6 . C. 3. D. 2 3. t Câu 95. Cho điểm A (1; −2; 3) và đường thẳng d có phương trình trình mặt cầu tâm A , tiếp xúc với d là: p 2 2 2 A. ( x1) + ( y + 2) + ( z3) = 50. C. ( x1)2 + ( y + 2)2 + ( z3)2 = 50. x+1 y−2 z+3 = = . Phương 2 1 −1 B. ( x1)2 + ( y + 2)2 + ( z3)2 = 5 . D. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3)2 = 50. 462 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x−1 y+1 z = = và mặt phẳng (P ) : 2 x + y − 2 z + 2 = 0. Phương 3 1 1 trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P ) và đi qua điểm A (1; −1; 1) là: B. ( x − 4)2 + y2 + ( z − 1)2 = 1. A. ( x + 2)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 1. 2 2 2 D. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 1. C. ( x − 1) + ( y + 1) + z = 1. t Câu 96. Cho đường thẳng d: t Câu 97. Phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là: A. x2 + y2 + z2 + 2 x + 4 y + 6 z − 10 = 0. B. x2 + y2 + z2 − 2 x − 4 y − 6 z + 10 = 0. C. x2 + y2 + z2 − 2 x − 4 y + 6 z + 10 = 0. D. x2 + y2 + z2 + 2 x + 4 y + 6 z − 10 = 0. t Câu 98. Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu tâm I (1; −3; 2) tại điểm M (7; −1; 5) có phương trình là: A. 6 x + 2 y + 3 z + 55 = 0. B. 3 x + y + z − 22 = 0 . C. 6 x + 2 y + 3 z − 55 = 0. D. 3 x + y + z + 22 = 0. t Câu 99. Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 −2 x −4 y−6 z −2 = 0 và mặt phẳng (α) : 4 x +3 y−12 z +10 = 0. Mặt phẳng tiếp xúc với (S ) và song song với (α) có phương trình là: A. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0. B. 4 x + 3 y − 12 z − 78 = 0 hoặc 4 x + 3 y − 12 z + 26 = 0. C. 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0. 463 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN D. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0 hoặc 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0. t Câu 100. Cho mặt cầu (S ) : ( x − 2)2 + ( y + 1)2 + z2 = 14. Mặt cầu (S ) cắt trục Oz tại A và B ( z A < 0). Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của (S ) tại B: A. 2 x − y − 3 z + 9 = 0. B. 2 x − y − 3 z − 9 = 0. C. x − 2 y − z − 3 = 0. D. x − 2 y + z + 3 = 0. t Câu 101. Cho 4 điềm A (3; −2; −2) ,B (3; 2; 0) ,C (0; 2; 1) và D (−1; 1; 2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD ) có phương trình là: p 2 2 2 A. ( x − 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = p14. B. ( x + 3)2 + ( y − 2)2 + ( z − 2)2 = 14. C. ( x + 3)2 + ( y − 2)2 + ( z − 2)2 = 14. D. ( x − 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 2)2 = 14. t Câu 102. Cho mặt phẳng (P ) : 2 x + 3 y + z − 2 = 0. Mặt cầu (S ) có tâm I thuộc trục Oz, bán 2 kính bằng p 14 và tiếp xúc mặt phẳng (P ) có phương trình: 2 2 hoặc x2 + y2 + ( z − 4)2 = . 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 B. x + y + ( z − 1) = hoặc x + y + ( z + 2) = . 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 C. x + y + z = hoặc x + y + ( z − 4) = . 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 D. x + y + z = hoặc x + y + ( z − 1) = . 7 7 A. x2 + y2 + ( z − 3)2 = 464 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x+5 y−7 z = = và điểm I (4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt 2 −2 1 cầu (S ) tâm I tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S ) là: B. ( x − 4)2 + ( y − 1)2 + ( z − 6)2 = 12. A. ( x − 4)2 + ( y − 1)2 + ( z − 6)2 = 18. D. ( x − 4)2 + ( y − 1)2 + ( z − 6)2 = 9. C. ( x − 4)2 + ( y − 1)2 + ( z − 6)2 = 16. t Câu 103. Cho đường thẳng d : t Câu 104. Cho mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S ) có phương trình lần lượt là (P ) : 2 x + 2 y + z − m2 + 4 m − 5 = 0 ; (S ) : x2 + y2 + z2 − 2 x + 2 y − 2 z − 6 = 0. Giá trị của m để (P ) tiếp xúc (S ) là: A. m = −1 hoặc m = 5. B. m = 1 hoặc m = −5. C. m = −1. D. m = 5. t Câu 105. Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và mặt phẳng (P ) : x + y − 2 z + 4 = 0. Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S ) tại A (3; −1; 1) và song song với mặt phẳng (P ) là:     x = 3 − 4t A. y = −1 + 6 t .   z = 1+ t  x = 1 + 4t B. y = −2 − 6 t .   z = −1 − t  x = 3 + 4t C. y = −1 − 6 t .   z = 1− t  x = 3 + 2t D. y = −1 + t .   z = 1 + 2t t Câu 106. Cho hai mặt phẳng (P ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0, (Q ) : 2 x − y − z + 2 = 0. Phương trình mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) tại điểm A (1; −1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q ) là: A. (S ) : ( x + 3)2 + ( y + 7)2 + ( z − 3)2 = 56. B. (S ) : ( x − 3)2 + ( y − 7)2 + ( z + 3)2 = 56. C. (S ) : ( x + 3)2 + ( y + 7)2 + ( z − 3)2 = 14. D. (S ) : ( x − 3)2 + ( y − 7)2 + ( z + 3)2 = 14. 465 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN t Câu 107. Cho đường thẳng ∆ : Số giao điểm của (∆) và (S ) là: A. 2. B. 1. t Câu 108. Cho đường thẳng d : độ giao điểm của (∆) và (S ) là: A. A (0; 0; 2) ,B (−2; 2; −3). C. A (−2; 2; −3). x+2 y z−3 = = và và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 4 x − 2 y − 21 = 0. −1 1 −1 C. 0. D. 3. x+2 y−2 z+3 = = và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + ( z + 2)2 = 9. Tọa 2 3 2 B. A (2; 3; 2). D. (∆) và (S ) không cắt nhau.   x = 1 + t t Câu 109. Cho đường thẳng (∆) : y = 2 và mặt cầu (S ): x2 + y2 + z2 − 2 x − 4 y + 6 z − 67 = 0.   z = −4 + 7 t Giao điểm của (∆) và (S ) là các điểm có tọa độ: A. (∆) và (S ) không cắt nhau. B. A (1; 2; 5) ,B (−2; 0; 4). C. A (2; −2; 5) ,B (4; 0; 3). D. A (1; 2; −4), B (2; 2; 3). x−1 y−1 z+2 = = . Phương trình mặt cầu 1 2 1 (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho AB = 4 là: A. ( x − 1)2 + y2 + z2 = 9. B. ( x − 1)2 + y2 + z2 = 3. 2 2 2 C. ( x + 1) + y + z = 3. D. ( x + 1)2 + y2 + z2 = 9. t Câu 110. Cho điểm I (1; 0; 0)và đường thẳng d : 466 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x+1 y−3 z−2 = = Phương trình mặt cầu (S ) 1 2 1 có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho AB = 6 là: B. ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = 27. A. ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z + 2)2 = 27. 2 2 2 D. ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z + 2)2 = 54. C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2) = 24. t Câu 111. Cho điểm I (1; 1; −2) đường thẳng d : ¡ p t Câu 112. Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; −7 và tiếp xúc trục tung là: p ¢2 p ¢2 ¡ ¡ A. ( x − 3)2 + y − 3 + ( z + 7)2 = 61. B. ( x − 3)2 + y − 3 + ( z + 7)2 = 58. p ¢2 p ¢2 ¡ ¡ C. ( x + 3)2 + y + 3 + ( z − 7)2 = 58. D. ( x − 3)2 + y − 3 + ( z + 7)2 = 12. t Câu 113. Phương trình mặt cầu có tâm I p ¢2 ¡ A. x + 5 + ( y + 3)2 + ( z + 9)2 = 86. p ¢2 ¡ C. x − 5 + ( y − 3)2 + ( z − 9)2 = 90. ¢ ¡p ¢ 5; 3; 9 và tiếp xúc trục hoành là: p ¢2 ¡ B. x − 5 + ( y − 3)2 + ( z − 9)2 = 14. p ¢2 ¡ D. x + 5 + ( y + 3)2 + ( z + 9)2 = 90. ¡ p p p t Câu 114. Phương trình mặt cầu có tâm I − 6; − 3; 2 − 1 và tiếp xúc trục Oz là: p p p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ ¡ ¢2 ¡ ¢2 A. x + 6 + y + 3 + z − 2 + 1 = 9. B. x + 6 + y + 3 + z − 2 − 1 = 9. p p p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ p ¢2 ¡ ¡ ¢2 ¡ ¢2 C. x + 6 + y + 3 + z − 2 − 1 = 3. D. x + 6 + y + 3 + z − 2 + 1 = 3. 467 ¢ Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 468 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG #» Định nghĩa 1. Cho mặt phẳng (α). Nếu #» n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì #» n được gọi là vectơ pháp tuyến của (α). ! Nếu #» n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k #» n với k 6= 0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. #» Khái niệm. Hai vectơ #» a , b không cùng phương được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của (α) nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên (α). Khái niệm. Trong không gian Ox yz, cho hai vectơ không cùng phương #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) #» #» và b = (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó vectơ n = (a 2 b3 − a 3 b2 ; a 3 b1 − a 1 b3 ; a 1 b2 − a 2 b1 ) đượch gọi là tích có #» #» #»i #» #» #» #» #» hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ a và b , kí hiệu là n = a ∧ b hoặc n = a , b . 2 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa 2. Phương trình có dạng Ax + B y + Cz + D = 0 trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 1 Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là Ax + B y + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là #» n = ( A ; B ; C ). #» n = ( A ; B; C ) khác 0 2 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ #» làm vectơ pháp tuyến là A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0. ! Các trường hợp riêng: Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + B y + Cz + D = 0 với A 2 + B2 + C 2 6= 0 Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O . Nếu A = 0,B 6= 0,C 6= 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox. Nếu A 6= 0,B = 0,C 6= 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục O y. Nếu A 6= 0,B 6= 0,C = 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz. Nếu A = B = 0,C 6= 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Ox y). Nếu A = C = 0,B 6= 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz). Nếu B = C = 0,A 6= 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (O yz). 1 Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa ! trục tương ứng. x y z 2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α) : + + = 1. Ở đây (α) cắt các a b c trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc 6= 0. 469 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 3 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Trong không gian Ox yz, cho điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng (α) : Ax + B y + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng α được tính: ¡ ¢ | Ax0 + B y0 + Cz0 + D | d M0; (α) = p A 2 + B2 + C 2 4 GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian Ox yz, cho hai mặt phẳng (α) : A 1 x + B1 y + C1 z + D 1 = 0 và (β) : A 2 x + B2 y + # ». Tức là C 2 z + D 2 = 0. Góc giữa α và β bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT #» n α, n β ¯ # » #» ¯ ¯ ¯ ¡ #» #» ¢¯ ¯ n | A 1 A 2 + B1 B2 + C 1 C 2 | α · nβ cos((α),(β)) = ¯cos n α , n β ¯ = ¯ # »¯ ¯ #» ¯ = » » ¯nα ¯ ¯ n β ¯ 2 2 2 A + B + C · A 2 + B2 + C 2 1 5 1 1 2 2 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng (P1 ) : A 1 x + B1 y + C1 z + D 1 = 0 và (P2 ) : A 2 x + B2 y + C2 z + D 2 = 0. Khi đó ta có ba trường hợp A 1 B1 C 1 D 1 = = = · A 2 B2 C 2 D 2 A 1 B1 C 1 D 1 2. (P1 ) ∥ (P2 ) ⇔ = = 6= · A 2 B2 C 2 D 2 3. (P1 ) cắt (P2 ) ⇔ A 1 : B1 : C1 6= A 2 : B2 : C2 . 1. (P1 ) ≡ (P2 ) ⇔ ! B A 1 · A 2 + B1 · B2 + C 1 · C 2 = 0 ⇔ (P1 ) ⊥ (P2 ). CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó. Do đó ta có  ³ ´ Đi qua I x A + xB ; yA + yB ; z A + zB 2 2 2 (P ) : # »  #» VTPT n P = AB = ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ). u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 1 A (2; 0; 1), B(0; −2; 3) 2 A (1; 3; −4), B(−1; 2; 2) Lời giải: ................................................................................................ 470 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp véc-tơ chỉ phương cho trước. Mặt phẳng cần tìm có véc-tơ pháp tuyến chính là tích có hướng của cặp véc-tơ chỉ phương. Do đó ta có  Đi qua điểm M cho trước h #»i (P ) : VTPT #» n = #» a; b . P u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp véc-tơ chỉ phương sau: #» 1 M (1; 2; −3), #» a = (2; 1; 2), b = (3; 2; −1) #» 2 M (1; −2; 3), #» a = (3; −1; −2), b = (0; 3; 4) Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua ba điểm A , B, C sau: 1 A (2; −5; 1), B(3; 4; −2), C (0; 0; −1) 2 A (1; −2; 4), B(3; 2; −1), C (−2; 1; −3) 3 A (3; −5; 2), B(1; −2; 0), C (0; −3; 7) Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 471 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG { Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua hai điểm A và B ( Mặt phẳng (P ) : Đi qua M # » VTPT: #» n P = #» u d = AB u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M (−1; 2; 3) và vuông góc với đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A (2; −4; 3), B(4; 5; 6). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A , B và vuông góc với mặt phẳng (Q ) Mặt phẳng (P ) :  Đi qua A h# » i VTPT: #» n P = AB, #» nQ u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua hai điểm A (0; 1; 0), B(1; 2; −2) và vuông góc với mặt phẳng (Q ) : 2 x − y + 3 z + 13 = 0. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng ∆ Xác định điểm A ∈ ∆ vàVTCP #» u ∆. Đi qua M h# » i Khi đó mặt phẳng (P ) : #» VTPT: #» n P = AM, u ∆ u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M (2; −3; 1) và chứa đường thẳng ∆ có phương trình   x = 4 + 2t ∆ : y = 2 − 3t .   z = 3+ t Lời giải: ................................................................................................ 472 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng song song ∆1 và ∆2  Đi qua A ∈ ∆1 và B ∈ ∆2 h# » i Mặt phẳng (P ) : VTPT: #» n P = AB, #» u ∆1 u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 với   x = 2 + 3t x+2 y−1 z+3 ∆1 : y = 4 + 2 t ( t ∈ R) và ∆2 : = = .  3 2 1  z = −1 + t Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt nhau ∆1 và ∆2 Đi qua M ∈ ∆1 £ ¤ u ∆1 , #» VTPT: #» n P = #» u ∆2 ( Mặt phẳng (P ) : u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng có phương trình   0   x = −t x = t ∆1 : y = −1 + 2 t ( t ∈ R) và ∆2 : y = 1 + 2 t0 ( t0 ∈ R).     z = 3t z = 4 + 5 t0 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 473 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG { Dạng 8. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 với ∆1 và ∆2 chéo nhau Đi qua M ∈ ∆1 £ ¤ VTPT: #» n P = #» u ∆1 , #» u ∆2 ( Mặt phẳng (P ) : u Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 với   0   x = 2t x = 1 − 2t ∆1 : y = 3 + t ( t ∈ R) và ∆2 : y = 1 + t0 ( t0 ∈ R).     z = 3 − 2 t0 z = −2 − 3 t Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β) #» n £ #» #» ¤ #» n (α) , n (β) = n (P) (P) #» n (β) P #» n Phương pháp giải: Vì (P ) vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β) nên £ ¤ Do vậy #» n (P) = #» n (α) , #» n (β) . (α) ( #» n (P) ⊥ #» n (α) #» n (P) ⊥ #» n (β) . ( Khi đó ta viết phương trình mặt phẳng (P ) : đi qua điểm M có véc-tơ pháp tuyến là #» n (P) . u Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz cho điểm M (1; −3; 2) và (α) : x + 2 y − 5 z + 1 = 0, (β) : 2 x − 3 y − z + 4 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ 474 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Chọn khẳng định sai. A. Nếu #» n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) thì k #» n ( k ∈ R) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ). B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi không gian Ox yz đều có phương trình dạng: Ax + B y + Cz + D = ¡ mặt phẳng trong ¢ 0 A 2 + B2 + C 2 6= 0 . ¡ ¢ D. Trong không gian Ox yz, mỗi phương trình dạng: Ax + B y + Cz + D = 0 A 2 + B2 + C 2 6= 0 đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. t Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. t Câu 3. Chọn khẳng định sai # »# » A. Nếu hai đường thẳng AB,CD song song thì vectơ [ AB,CD ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD ). # »# » B. Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng, vectơ [ AB, AC ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( ABC ). # »# » C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ [ AB,CD ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD . # »# » D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ [ AB,CD ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD ). 475 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 4. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x + y − 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P )? A. #» n = (2; 1; 0). B. #» n = (2; 1; −5). C. #» n = (2; −1; 0). D. #» n = (2; 1; 5). t Câu 5. Trong không gian Ox yz, mặt phẳng đi qua ba điểm M (1; 0; 1), N (1; 3; 0), P (0; 2; 1) có một vectơ pháp tuyến là A. #» n = (2; 1; −3). B. #» n = (2; 1; 3). C. #» n = (−2; 1; 3). D. #» n = (2; −1; 3). t Câu 6. Trong không gian Ox yz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (2; 1; −3) và nhận #» n = (1; 2; −2) làm vectơ pháp tuyến là A. 2 x + y − 3 z − 10 = 0. B. x + 2 y − 2 z + 2 = 0. C. 2 x + y − 3 z − 14 = 0. D. x + 2 y − 2 z − 10 = 0. t Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; −3) và có một vectơ pháp tuyến #» n = (1; −2; 3). A. x − 2 y + 3 z + 12 = 0. B. x − 2 y − 3 z − 6 = 0. C. x − 2 y + 3 z − 12 = 0. D. x − 2 y − 3 z + 6 = 0. 476 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (0; 1; 1) ) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P )đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB. A. x + y + 2 z − 3 = 0. B. x + y + 2 z − 6 = 0. C. x + 3 y + 4 z − 7 = 0. D. x + 3 y + 4 z − 26 = 0. t Câu 9. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (2 ; −1 ; 4) và mặt phẳng (P ) : 3 x − 2 y + z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P ) là A. 2 x − 2 y + 4 z − 21 = 0. B. 2 x − 2 y + 4 z + 21 = 0. C. 3 x − 2 y + z − 12 = 0. D. 3 x − 2 y + z + 12 = 0. t Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (3; −1; −2) và mặt phẳng (P ) : 3 x − y + 2 z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (P )? A. (Q ) : 3 x − y + 2 z − 6 = 0. B. (Q ) : 3 x + y − 2 z − 14 = 0. C. (Q ) : 3 x − y + 2 z + 6 = 0. D. (Q ) : 3 x − y − 2 z − 6 = 0. 477 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 11. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (3; 0; 0), B(0; 1; 0) và C (0; 0; −2). Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là: x y z x y z x y z x y z A. + + = 1. B. + + = 1. C. + + = 1. D. + + = 1. 3 −1 2 3 1 −2 3 1 2 −3 1 2 t Câu 12. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm M (1 ; 0 ; 0), N (0 ; 2 ; 0), P (0 ; 0 ; 3). Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là: A. 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0. B. 6 x + 3 y + 2 z + 1 = 0. C. 6 x + 3 y + 2 z − 1 = 0. D. x + y + z − 6 = 0. t Câu 13. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (1; 2; 3). Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox,O y,Oz. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ). x y z x y z x y z x y z A. + + = 1. B. − + = 1. C. + + = 0. D. − + + = 1. 1 2 3 1 2 3 1 478 2 3 1 2 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x + y + z − 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc (α)? A. Q (3; 3; 0). B. N (2; 2; 2). C. P (1; 2; 3). D. M (1; −1; 1). t Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2 y + z − 5 = 0 Điểm nào dưới đây thuộc (P )? A. P (0; 0; −5). B. M (1; 1; 6). C. Q (2; −1; 5). D. N (−5; 0; 0). 479 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 16. Trong không gian Ox yz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ? A. x + 20 = 0. B. x − 2019 = 0. C. y + 5 = 0. D. 2 x + 5 y − 8 z = 0. t Câu 17. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 3 x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm A (1; −2; 3). Tính khoảng cách d từ A đến (P ). p 5 9 A. d = . B. d = 5 . 29 5 C. d = p 29 . D. d = 5 . 3 t Câu 18. Trong không gian Ox yz, khoảng cách từ điểm M (1; 2; 3) đến mặt phẳng P : 2 x − 2 y + z − 5 = 0 bằng. A. 2 . 3 B. 4 . 9 4 3 C. − . 480 D. 4 . 3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 19. Trong không gian Ox yz, tính khoảng cách từ M (1; 2; −3) đến mặt phẳng (P ) : x + 2 y + 2 z − 10 = 0. A. 11 . 3 B. 3. C. 7 . 3 D. 4 . 3 t Câu 20. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x − 2 y + z − 1 = 0. Khoảng cách từ điểm M (−1; 2; 0) đến mặt phẳng (P ) bằng A. 5. B. 2. C. 5 . 3 D. 4 . 3 t Câu 21. Trong không gian Ox yz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; −1) là x y z x y z x y z x y z A. + + = 0. B. + + = −1. C. + + = 1. D. + + = −1. 2 3 −1 2 3 1 2 481 3 −1 2 3 −1 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2 y + z − 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc (P )? A. M (1; 1; 6). B. N (−5; 0; 0). C. E (0; 0; −5). D. Q (2; −1; 5). t Câu 23. Trong không gian Ox yz, mặt phẳng (α) chứa trục Ox và đi qua M (3; 1; 4) có phương trình là A. 4 y − z = 0. B. 4 y + z = 0. C. 4 x − 3 z = 0. D. x − 3 y = 0. t Câu 24. Trong không gian Ox yz, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A (2; −1; 0), B (−4; 3; 2) là A. −3 x + y + z − 5 = 0. B. −3 x + 2 y + z − 6 = 0. C. − x + y + z − 5 = 0. D. − x + y + z − 6 = 0. t Câu 25. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (4; 0; 1) và B (−2; 2; 3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 3 x − y − z = 0. B. 3 x + y + z − 6 = 0. C. x + y + 2 z − 6 = 0. D. 6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0. 482 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 26. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (−1; 2; 0) và B (3; 0; 2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x + y + z − 3 = 0. B. 2 x − y + z + 2 = 0. C. 2 x + y + z − 4 = 0. D. 2 x − y + z − 2 = 0. t Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : Ax + B y + Cz + D = 0. Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: A. A = 0,B 6= 0,C 6= 0,D 6= 0 khi và chỉ khi (α) song song với trục Ox. B. D = 0 khi và chỉ khi (α) đi qua gốc tọa độ. C. A 6= 0,B = 0,C 6= 0,D = 0 khi và chỉ khi (α) song song với mặt phẳng (O yz). D. A = 0,B = 0,C 6= 0,D 6= 0 khi và chỉ khi (α) song song với mặt phẳng (Ox y). t Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), (abc 6= 0). Khi đó phương trình mặt phẳng ( ABC ) là x y z x y z x y z x y z A. + + = 1. B. + + = 1. C. + + = 1. D. + + = 1. a b c b a c a 483 c b c b a Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : 3 x − z = 0. Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. (α) //Ox. B. (α) // ( xOz). C. (α) //O y. D. (α) ⊃ O y. t Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz. Mặt phẳng (P ) là − x + 3 z − 2 = 0 có phương trình song song với: A. Trục O y. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Ox y. D. Trục Ox. t Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) có phương trình 3 x + 2 y − z + 1 = 0. Mặt phẳng (P ) có một vectơ pháp tuyến là: A. #» n (3; 2; 1). B. #» n (−2; 3; 1). C. #» n (3; 2; −1). D. #» n (3; −2; −1). t Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) có phương trình −2 x + 2 y − z − 3 = 0. Mặt phẳng (P ) có một vectơ pháp tuyến là: A. #» n (4; −4; 2). B. #» n (−2; 2; −3). C. #» n (−4; 4; 2). D. #» n (0; 0; −3). t Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho ba điểm A (1; −2; 1), B (−1; 3; 3), C (2; −4; 2). Một vectơ pháp tuyến #» n của mặt phẳng ( ABC ) là: #» A. n = (9; 4; −1). B. #» n = (9; 4; 1). C. #» n = (4; 9; −1). D. #» n = (−1; 9; 4). 484 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P ) : −2 x + y − 5 = 0 A. (−2; 1; 0). B. (−2; 1; −5). C. (1; 7; 5). D. (−2; 2; −5). t Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz. Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm A (−1; 2; 0) và nhận #» n (−1; 0; 2) là vectơ pháp tuyến có phương trình là: A. − x + 2 y − 5 = 0. B. − x + 2 z − 5 = 0. C. − x + 2 y − 5 = 0. D. − x + 2 z − 1 = 0. t Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho ba điểm A (3; −2; −2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1). Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: A. 2 x − 3 y + 6 z = 0. B. 4 y + 2 z − 3 = 0. C. 3 x + 2 y + 1 = 0. D. 2 y + z − 3 = 0. t Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (−1; 0; 1) ,B (−2; 1; 1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. x − y − 2 = 0. B. x − y + 1 = 0. C. x − y + 2 = 0. D. − x + y + 2 = 0. 485 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz. Mặt phẳng (P ) đi qua các điểm A (−1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; −2) có phương trình là: A. −2 x + y + z − 2 = 0. B. −2 x − y − z + 2 = 0. C. −2 x + y − z − 2 = 0. D. −2 x + y − z + 2 = 0. t Câu 39. Trong không gian Ox yz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (−2; 1; 0), B (0; −1; 3), C (2; 0; −1) là: A. 5 x + 14 y + 6 z − 4 = 0. B. − x + 14 y + 6 z − 16 = 0. C. 5 x + 10 y + 6 z = 0. D. 5 x + 14 y + 10 z − 4 = 0. t Câu 40. Trong không gian Ox yz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm N (3; −1; 1), M (2; 0; −1) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2 x − y + z − 1 = 0 là A. x + 3 y + z − 1 = 0. B. − x + 3 y + z + 1 = 0. C. 2 x − 3 y + z − 1 = 0. D. 2 x + 3 y + z − 1 = 0 . t Câu 41. Trong không ¡gian ¢ với hệ trục toạ độ Ox yz, cho điểm A (−1; 2; 1) và hai mặt phẳng (α) : 2 x + 4 y − 6 z − 5¡ =¢0 và β : x + 2 y − 3 z = 0. Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng β đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (α). ¡ ¢ B. Mặt phẳng β đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng (α). ¡ ¢ C. Mặt phẳng β không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng (α). ¡ ¢ D. Mặt phẳng β không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (α). 486 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 42. Trong ¡ ¢ không gian ¡ ¢ với hệ trục toạ độ Ox yz, cho điểm M (2; −1; 3) và các mặt phẳng: (α) : x − 2 = 0, β : y + 1 = 0, γ :¡z ¢− 3 = 0. Tìm khẳng định ¡ ¢ sai. ¡ ¢ ¡ ¢ A. (α) //Ox. B. β đi qua M . C. γ // ( xO y). D. β ⊥ γ . t Câu 43. Trong không gian với hệ trục toạ độ Ox yz. Phương trình mặt phẳng qua A (2; 5; 1) và song song với mặt phẳng (Ox y) là: A. 2 x + 5 y + z = 0. B. x − 2 = 0. C. y − 5 = 0. D. z − 1 = 0. t Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ Ox yz. Mặt phẳng đi qua M (1; 4; 3) và vuông góc với trục O y có phương trình là: A. y − 4 = 0. B. x − 1 = 0. C. z − 3 = 0. D. x + 4 y + 3 z = 0. t Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : 6 x − 3 y − 2 z − 6 = 0. Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là #» u (−6,3,2). 6 8 B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α) bằng . C. Mặt phẳng (α) chứa điểm A (1,2, − 3). D. Mặt phẳng (α) cắt ba trục Ox,O y,Oz. 487 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Ox yz. Biết A,B,C là số thực khác 0, mặt phẳng chứa trục Ozcó phương trình là: A. Ax + Bz + C = 0. B. Ax + B y = 0 . C. B y + Az + C = 0. D. Ax + B y + C = 0. t Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho các điểm A (5; 1; 3) ,B (1; 2; 6) ,C (5; 0; 4) ,D (4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng ( ABC ). A. x + y + z − 10 = 0. B. x + y + z − 9 = 0. C. x + y + z − 8 = 0. D. x + 2 y + z − 10 = 0. t Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho các điểm A (5; 1; 3) ,B (1; 2; 6) ,C (5; 0; 4) ,D (4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD . A. 2 x + 5 y + z − 18 = 0. B. 2 x − y + 3 z + 6 = 0. C. 2 x − y + z + 4 = 0. D. x + y + z − 9 = 0. t Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, gọi (P )là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q ) : x + y + z − 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P ) là: A. y + z = 0. B. y − z = 0. C. y − z − 1 = 0. D. y − 2 z = 0. 488 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz. Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm I (2; −3; 1) là: A. 3 y + z = 0. B. 3 x + y = 0. C. y − 3 z = 0. D. y + 3 z = 0. t Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho ba điểm A (2; −1; 1) , B (1; 0; 4)và C (0; −2; −1). Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là: A. 2 x + y + 2 z − 5 = 0. B. x − 2 y + 3 z − 7 = 0. C. x + 2 y + 5 z − 5 = 0. D. x + 2 y + 5 z + 5 = 0. t Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α)đi qua A (2; −1; 4), B (3; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng (Q ) : x + y + 2 z − 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (α) là: A. 5 x + 3 y − 4 z + 9 = 0. B. x + 3 y − 5 z + 21 = 0. C. x + y + 2 z − 3 = 0. D. 5 x + 3 y − 4 z = 0. t Câu 53. Trong không gian hệ tọa độ Ox yz, cho A (1; 2; −1); B (−1; 0; 1) và mặt phẳng P : x + 2 y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng Q qua A,B và vuông góc với P A. Q : 2 x − y + 3 = 0. B. Q : x + z = 0. C. Q : − x + y + z = 0. D. Q : 3 x − y + z = 0. 489 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 54. Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (2; 4; 1) ,B (−1; 1; 3) và mặt phẳng P : x − 3 y + 2 z − 5 = 0. Lập phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A ,B và vuông góc với mặt phẳng P. A. 2 y + 3 z − 11 = 0. B. 2 x − 3 y − 11 = 0. C. x − 3 y + 2 z − 5 = 0. D. 3 y + 2 z − 11 = 0. t Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho điểm A (2; 4; 1) ; B (−1; 1; 3) và mặt phẳng P : x − 3 y + 2 z − 5 = 0. Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng P có dạng ax + b y + cz − 11 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a + b + c = 5. B. a + b + c = 15. C. a + b + c = −5. D. a + b + c = −15. t Câu 56. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, mặt phẳng (α) đi qua M (0; −2; 3), song x−2 y+1 song với đường thẳng d : = = z và vuông góc với mặt phẳng β : x + y − z = 0 có phương 2 −3 trình: A. 2 x − 3 y − 5 z − 9 = 0. B. 2 x − 3 y + 5 z − 9 = 0. C. 2 x + 3 y + 5 z + 9 = 0. D. 2 x + 3 y + 5 z − 9 = 0. ¡ ¢ 490 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz. Tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (P ) : 2 x + 3 y + z − 4 = 0 với trục Oxµ là? ¶ A. M (0,0,4). 4 3 B. M 0, ,0 . C. M (3,0,0). D. M (2,0,0). t Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, gọi (α)là mặt phẳng qua các hình chiếu của A (5; 4; 3)lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng (α)là: A. 12 x + 15 y + 20 z − 60 = 0 . B. 12 x + 15 y + 20 z + 60 = 0. x y z x y z C. + + = 0. D. + + − 60 = 0. 5 4 3 5 4 3 t Câu 59. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (α)đi qua hai điểm A (5; −2; 0), B (−3; 4; 1) và có một vectơ chỉ phương là #» a (1; 1; 1). Phương trình của mặt phẳng (α) là: A. 5 x + 9 y − 14 z = 0. B. x − y − 7 = 0. C. 5 x + 9 y − 14 z − 7 = 0. D. −5 x − 9 y − 14 z + 7 = 0. t Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (P ) : x + y + z − 6 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 = 12? A. 2. B. Không có. C. 1. D. 3. 491 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho 4 mặt phẳng (P ) : x − 2 y + 4 x − 3 = 0, (Q ) − 2 x + 4 y − 8 z + 5 = 0, (R ) : 3 x − 6 y + 12 z − 10 = 0, (W) : 4 x − 8 y + 8 z − 12 = 0. Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. t Câu 62.¡ Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai mặt phẳng (α) : 3 x + (m − 1) y + ¢ 4 ¡ z¢− 2 = 0, β : nx + ( m + 2) y + 2 z + 4 = 0. Với giá trị thực của m,n bằng bao nhiêu để (α) song song β A. m = 3; n = −6. B. m = 3; n = 6. C. m = −3; n = 6. D. m = −3; n = −6. t Câu 63. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai mặt phẳng (P ) : x + m y+(m − 1) z + 2 = 0, (Q ) : 2 x − y + 3 z − 4 = 0. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng (P ) , (Q ) vuông góc A. m = 1. 1 2 C. m = 2 . B. m = − . 1 2 D. m = . ¡t ¢Câu 64. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz. Cho hai ¡ ¢ mặt phẳng (α) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0, β : x − 2 y + 2 z − 8 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) , β là bao nhiêu? ¡ ¡ ¢¢ 5 ¡ ¡ ¢¢ 11 ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ 4 A. d (α) , β = . B. d (α) , β = . C. d (α) , β = 5. D. d (α) , β = . 3 3 3 492 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, (α)là mặt phẳng đi qua điểm A (2; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P ) : 3 x − 2 y + z + 7 = 0 và (Q ) : 5 x − 4 y + 3 z + 1 = 0. Phương trình mặt phẳng (α) là: A. x + 2 y + z − 5 = 0. B. 2 x − 4 y − 2 z − 10 = 0. C. 2 x + 4 y + 2 z + 10 = 0. D. x + 2 y − z + 5 = 0. t Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz,tọa độ điểm M nằm trên trục O y và cách đều hai mặt phẳng: (P ) : x + y − z + 1 = 0 và (Q ) : x − y + z − 5 = 0 là: A. M (0; −3; 0). B. M (0; 3; 0). C. M (0; −2; 0). D. M (0; 1; 0). t Câu 67. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, gọi (α) là mặt phẳng qua G (1; 2; 3) và cắt các trục Ox, O y, Oz lần lượt tại các điểm A , B, C (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình: A. 3 x + 6 y + 2 z + 18 = 0. B. 6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0. C. 2 x + y + 3 z − 9 = 0. D. 6 x + 3 y + 2 z + 9 = 0. t ¡ ¢Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, gọi (α)là mặt phẳng song song với mặt phẳng β : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0 và cách điểm A (2; −3; 4) một khoảng k = 3. Phương trình của mặt phẳng (α) là: A. 2 x − 4 y + 4 z − 5 = 0 hoặc 2 x − 4 y + 4 z − 13 = 0. B. x − 2 y + 2 z − 25 = 0. C. x − 2 y + 2 z − 7 = 0. D. x − 2 y + 2 z − 25 = 0 hoặc x − 2 y + 2 z − 7 = 0. 493 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz,cho hai đường thẳng d1 ,d2 lần lượt có phương x−2 x−1 y−2 z−3 y−2 z−1 = = , d2 : = = . Phương trình mặt phẳng (α) cách đều 2 1 3 2 −1 4 hai đường thẳng d1 ,d2 là: A. 7 x − 2 y − 4 z = 0. B. 7 x − 2 y − 4 z + 3 = 0. C. 2 x + y + 3 z + 3 = 0. D. 14 x − 4 y − 8 z + 3 = 0. trình d1 : t Câu 70. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), (b > 0,c > 0) và mặt phẳng (P ) : y − z + 1 = 0. Xác định b và c biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ O đến ( ABC ) bằng 1 1 A. b = p ,c = p . 2 2 1 2 1 . 3 1 2 B. b = 1,c = . 1 2 C. b = ,c = . 1 2 D. b = ,c = 1. t Câu 71. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz,mặt phẳng (α) đi qua điểm M (5; 4; 3)và cắt các tia Ox,O y,Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. x + y + z − 12 = 0. B. x + y + z = 0. C. 5 x + 4 y + 3 z − 50 = 0. D. x − y + z = 0. 494 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG t Câu 72. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, gọi (P )là mặt phẳng chứa trục O y và tạo với”mặt phẳng y + z + 1 = 0″góc 600 . Phương trình “mặt phẳng (P ) là ” A. x−z =0 x+z =0 . B. x− y=0 x+ y=0 C. . x− z−1 = 0 x− z =0 . D. x − 2z = 0 x+z =0 . t Câu 73. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho hình cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 1. Phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tiếp xúc với (S ) A. (α) : 4 x − 3 y + 2 = 0. B. (α) : 3 x + 4 y = 0. C. (α) : 3 x − 4 y = 0. D. (α) : 4 x − 3 y = 0. t Câu 74. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho hình cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 16. Phương trình mặt phẳng (α) chứa O y cắt hình cầu (S ) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8π A. (α) : 3 x − z = 0. B. (α) : 3 x + z = 0. C. (α) : 3 x + z + 2 = 0. D. (α) : x − 3 z = 0. 495 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI 3. 7 GV: Doãn Thịnh PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG Trong không gian Ox yz, véc-tơ #» u được gọi là véc-tơ chỉ phương của #» đường thẳng ∆ khi và chỉ khi #» u 6= 0 và giá của véc-tơ #» u song song hoặc trùng với ∆. #» u ∆ Một đường thẳng có vô số véc-tơ chỉ phương và các véc-tơ ấy cùng phương với nhau. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm đi qua và một véc-tơ chỉ phương của nó. ! 2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ chỉ phương     x = x0 + at, #» u = (a; b; c) là ∆ : y = y0 + bt,    z = z + ct. 0 2 Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ chỉ phương x − x0 y − y0 z − z0 #» u = (a; b; c) là ∆ : = = với abc 6= 0. a b c 3 GÓC 1 Góc của hai đường thẳng Cho đường thẳng ∆1 có véc-tơ chỉ phương #» u 1 và đường thẳng ∆2 có véc-tơ chỉ #» phương u 2 . ¯ #» # »¯ ¯ u 1 · u2 ¯ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . Ta có cos ϕ = ¯¯ # »¯¯ ¯¯ # »¯¯ . u1 · u2 2 Góc của đường thẳng và mặt phẳng # » và mặt phẳng α có véc-tơ pháp tuyến Cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ # ». n α ¯ #» #» ¯ ¯ u ∆ · n α¯ Gọi ϕ là góc của ∆ và α thì sin ϕ = ¯¯ #» ¯¯ ¯¯ #» ¯¯ u∆ · nα 496 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 4 7 GV: Doãn Thịnh KHOẢNG CÁCH 1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆. Cho điểm M và đường thẳng ∆ qua điểm M0 và có véc-tơ chỉ phương #» u ∆. ¯h i¯ ¯ #» # » ¯ ¯ u ∆ , M0 M ¯ ¯ # »¯ Ta có khoảng cách từ M đến ∆ là d( M, ∆) = ¯u∆ ¯ 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho ∆1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương #» u 1 , ∆2 đi qua điểm N và có vectơ #» chỉ phương u 2 ¯£ ¯ ¯ #» #» ¤ # »¯ ¯ u 1 , u 2 · MN ¯ Khoảng cách của ∆1 và ∆2 là d (∆1 , ∆2 ) = ¯¯£ #» #» ¤¯¯ u 1, u 2 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG    x = x0 + a 1 t Cho 2 đường thẳng: d : y = y0 + a 2 t qua M , có VTCP #» a d và   z = z0 + a 3 t  0 0 0   x = x0 + a 1 t 0 a d0 . d : y = y00 + a02 t0 qua N , có VTCP #»   z = z00 + a03 t0 Cách 1:  0 0 0   x0 + a 1 t = x0 + a 1 t Cách 2: Xét hệ phương trình: y0 + a 2 t = y00 + a02 t0 (∗).   z0 + a 3 t = z00 + a03 t0 497 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN – Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và d 0 cắt nhau. – Hệ vô nghiệm ⇔ d và d 0 song song hoặc chéo nhau. – Hệ vô số nghiệm ⇔ d và d 0 trùng nhau. ! Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d 0 . 0 ( #» a d = k #» a d0 1 d song song d ⇔ M ∉ d0. ( #» a d = k #» a 0d 0 2 d trùng d ⇔ M ∈ d0. ( #» a d không cùng phương với #» a d0 0 3 d cắt d ⇔ £ #» #»0 ¤ # » a , a · MN = 0. £ #» #» ¤ # » 0 4 d chéo d ⇔ a d , a d 0 · MN 6= 0. ! 6 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG    x = x0 + a 1 t Cho đường thẳng: d : y = y0 + a 2 t và mp (α) : Ax + B y + Cz + D = 0.   z = z0 + a 3 t Xét hệ phương trình:  x = x0 + a 1 t     y = y + a t 0 2  z = z0 + a 3 t     Ax + B y + Cz + D = 0 (1) (2) (3) (∗) (4) (∗) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt (α). (∗) có vô nghiệm ⇔ d ∥ (α). (∗) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α) B CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tìm vec-tơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng    x = x0 + ta 1 x − x0 y − y0 z − z0 Đường thẳng ∆ : y = y0 + ta 2 hoặc = = có một vec-tơ chỉ phương là  a1 a2 a3  z = z0 + ta 3 #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ). Ứng với mỗi giá trị của t ∈ R sẽ cho tọa độ một điểm thuộc ∆. u Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng x−3 y+1 z−4 = = là −2 #» 3 5 A. u = (−3; 1; −4). B. #» u = (2; 3; 5). C. #» u = (3; −1; 4). 498 D. #» u = (−2; 3; 5). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN u Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : x−1 y+1 z−2 = = 2 3 −2 và các điểm A (1; −1; 2), B(3; 2; 0), C (−1; −4; 4). Trong các điểm A, B, C có bao nhiêu điểm thuộc đường thẳng ∆? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. { Dạng 2. Đường thẳng đi qua một điểm và véc-tơ chỉ phương cho trước. Ở dạng này véc-tơ chỉ phương có thể được cho trước hoặc ẩn trong các đặc điểm tương ứng của đường thẳng # » Đường thẳng (d ) đi qua hai điểm A , B, khi đó véc-tơ AB là một chỉ phương của (d ). Đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (l ), khi đó véc-tơ chỉ phương của (l ) cũng là một chỉ phương của (d ). Đương thẳng (d ) vuông góc với mặt phẳng (α), khi đó véc-tơ pháp tuyến của (α) là một chỉ phương của (d ). u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) khi biết (d ) đi qua điểm M (1; 2; −3) và nhận véc-tơ #» u = (−1; 3; 5) làm một véc-tơ chỉ phương. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Viết phương tham số của đường thẳng (d ) biết (d ) đi qua hai điểm A (2; 3; −1) và B(1; 2; 4). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 3. Trong không gian Ox yz, viết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M (1; −2; 3) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Ox y). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 499 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh u Ví dụ 4. Trong không gian Ox yz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; 3) và song song với trục Oz. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 3. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P ) và (Q ) Phương pháp. VTPT£ của (P¤), (Q ) lần lượt là #» n 1 , #» n 2 . Lúc này ta được vec-tơ chỉ phương #» #» của đường thẳng d là n 1 , n 2 . u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1; −1; 1) và song song với hai mặt phẳng (P ) : x + y − 3 z − 1 = 0 và (Q ) : − 2 x + y − 4 z + 1 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 500 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh { Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng #» u #» n #» n Q P Q P Cho hai mặt phẳng (P ) : A 1 x + B1 y + C1 z + D 1 = 0, mặt phẳng (Q ) : A 2 x + B2 y + C2 z + D 2 = 0 để viết phương trình đường thẳng (d ) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng trên ta cần xác định hai yếu tố: £ ¤ Véc-tơ chỉ phương của (d ), #» u = #» n P , #» nQ . Điểm M mà (d ) đi qua, tìm được bằng cách cho z = z0 và khi đó x,y tìm từ hệ phương trình của (P ), (Q ). ! Đối ( với dạng này ta có thể tìm phương trình ( d ) bằng cách giải hệ phương trình A 1 x + B1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0 , nghiệm của hệ được viết ở dạng tham số là phương trình tham số của đường thẳng (d ). u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 và (Q ) : 3 x − 5 y − 2 z − 1 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 501 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN { Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng cho trước. Thực hiện theo các bước sau: u 1 , #» u 2 của các đường 1 Xác định véc tơ chỉ phương #» thẳng (d1 ),(d2 ) 2 Gọi #» u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( d ) ta có: ( #» £ #» #» ¤ u ⊥ #» u1 #» ⇒ u = u 1; u 2 #» u ⊥ #» u d M d2 #» u d1 2 3 Viết phương trình ( d ) đi qua M và có véc tơ chỉ phương #» u u Ví  dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M (1; 0; 5) và vuông góc với   x = 1 + 2t (d1 ) : y = 3 − 2 t , (d2 ) :   z = 1+ t  x = 1 − t y = 2+ t   z = 1 + 3 t. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1 d 1 Gọi M ∈ d ∩ d 1 . # » 2 Vì d ⊥ d 1 nên ta có AM · #» u d1 = 0. Từ đây tìm được tọa độ điểm M . 3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và M . A d1 u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M (1; 2; −2), vuông góc và cắt   x = t đường thẳng (l ) : y = 1 − t   z = 2 t. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 502 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1 . Tìm giao điểm B = (α) ∩ d2 . Đường thẳng cần tìm đi qua A và B. d1 d2 d A B α Cách 2: Gọi B là giao điểm của d và d2 . # » Vì AB vuông góc d1 nên AB · #» u d1 = 0 ⇒ tọa độ B. Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A,B. A d #» u d1 B d2 d1 Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 . Viết phương trình mặt phẳng (Q ) đi qua A và chứa đường thẳng d2 . Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P ) và (Q ). Q d1 d2 A P d u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M (0; 1; 1) vuông góc với    x = −1 x−1 y−2 z = = và cắt ( d 2 ) : y = t (d1 ) :  3 1 1  z = 1 + t. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 503 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN { Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 . Tìm giao điểm B = (α) ∩ d2 . Đường thẳng cần tìm đi qua A và B. d2 A α B d1 Cách 2: Gọi B, C lần lượt là hai điểm thuộc d1 , d2 . Ba điểm A,B,C thẳng hàng suy ra tọa độ B, C . Đường thẳng cần tìm đi qua ba điểm A,B,C . A B C d1 d2 Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và chứa đường thẳng d1 . Viết phương trình mặt phẳng (Q ) đi qua A và chứa đường thẳng d2 . Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P ) và (Q ). Q d2 A d1 P u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng ( d 1 ), ( d 2 ). Với M (1; 0; 5), (d1 ) : x−1 y−3 z−1 x−1 y−2 z−1 = = và (d2 ) : = = . 2 −2 1 −1 1 −3 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 504 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN { Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P ) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 1 Trường hợp trong hai đường thẳng d 1 , d 2 có đường thẳng song song với (P ) thì không tồn tại đường thẳng d . 2 Trường hợp d 1 và d 2 đều không nằm trên (P ) và cắt (P ): (a) Gọi giao điểm của d1 , d2 với (P ) lần lượt là A và B. Từ đó tìm được tọa độ A và B. (b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. d2 d1 B A d P 3 Trường hợp có đường thẳng nằm trên (P ), giả sử d 1 ⊂ (P ): (a) Nếu d2 ⊂ (P ) thì với mỗi điểm M nằm trên (P ) ta sẽ lập được vô số đường thẳng d qua M , đồng thời cắt d 1 và d 2 . (b) Nếu d2 6⊂ (P ), d2 cắt (P ) thì ta tìm giao điểm M của d2 và (P ). Như vậy, cũng có vô số đường thẳng d qua M và cắt d1 . u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng (d ) nằm trong mặt phẳng (P ) : y + 2 z = 0 cắt  x = 2 − t x−1 y z = = và ( d 2 ) : y = 4 + 2 t cả hai đường thẳng (d1 ) :  −1 1 4  z = 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… C TRẮC NGHIỆM # » = (1; 2; −1). Vectơ nào dưới đây là một t Câu 1. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng n 3 vectơ chỉ phương của d ? # » = (2; 1; 1). # » = (1; 2; −3). # » = (1; −2; −1). # » = (2; 1; −3). A. u B. u C. u D. u 1 2 3 4 t Câu 2. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A (2; 1; −5) và vuông góc với mặt phẳng (α) là 505 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN    x = −2 + t A. y = −1 + 2 t .   z = 5 − 2t   x = 2 + t C. y = 1 + 2 t .   z = −5 − 2 t   x = 1 + 2t B. y = 2 + t .   z = −2 − 5 t 7 GV: Doãn Thịnh   x = 2 − t D. y = 1 + 2 t .   z = −5 − 2 t t Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho đường thẳng d có phương trình tham số   x = 2 + t y = −3 t . Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?   z = −1 + 5 t x−2 y z+1 x+2 y z−1 x+2 y z−1 A. x − 2 = y = z + 1. B. = = . C. = = . D. = = . 1 −3 5 −1 3 −5 1 −3 5 t Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc x−3 y+1 z = = . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? 2 1  −3   x = 3 + 2t     x = 2 + 3t  x = −3 + 2 t A. y = −1 − 3 t . B. y = −3 − t . C. y = 1 − 3 t .       z=t z=t z=t    x = −3 − 2 t D. y = 1 + 3 t .   z=t   x = 0 t Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = t . Vectơ nào dưới   z = 2− t đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d ? A. #» u = (1; 0; −1). B. #» u = (0; 0; 2). C. #» u = (0; 1; 2). D. #» u = (0; 1; −1). 506 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 và điểm A (1; −2; 1). Phương trình đường  thẳng đi qua A và vuông   góc với (P ) là:  x = 2 + t A. ∆ : y = −1 − 2 t .   z = 1+ t  x = 1 + 2t C. ∆ : y = −2 − t .   z = 1+ t  x = 1 + 2t B. ∆ : y = −2 − 2 t .   z = 1 + 2t  x = 1 + 2t D. ∆ : y = −2 − 4 t .   z = 1 + 3t t Câu 7. Trong không gian Ox yz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : z+7 . −5 #» A. u = (7; −4; −5). B. #» u = (5; −4; −7). C. #» u = (4; 5; −7). t Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, đường thẳng d : điểm nào sau đây? A. A (−2; 2; 0). B. B (2; 2; 0). C. C (−3; 0; 3). t Câu 9. Trong không gian Ox yz cho đường thẳng d : không thuộc đường thẳng d ? A. Q (−1; 0; −5). B. M (−2; 1; 3). D. #» u = (7; 4; −5). x−2 y+2 z = = đi qua những 1 2 3 D. D (3; 0; 3). x−2 y+1 z+3 = = . Điểm nào sau đây 3 −1 2 C. N (2; −1; −3). 507 x−4 y−5 = = 7 4 D. P (5; −2; −1). Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC với A (1; 1; 1); B (−1; 1; 0); C (1; 3; 2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ #» a nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? A. #» a = (−1; 1; 0). B. #» a = (−2; 2; 2). C. #» a = (−1; 2; 1). D. #» a = (1; 1; 0). t Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương #» u và mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến #» n . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. d song song với (P ) thì #» u cùng phương với #» n. #» #» B. d vuông góc với (P ) thì u vuông góc với n . C. #» u vuông góc với #» n thì d song song với (P ). #» D. u không vuông góc với #» n thì d cắt (P ). t Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (2; 3; −1) ,B (1; 2; 4). Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phảilà phương trình đường thẳng AB.  x = 2 − t B. y = 3 − t .   z = −1 + 5 t x−1 y−2 z−4 A. = = . 1 1 −5   x = 1 − t y = 2− t . C.   z = 4 + 5t D. x+2 y+3 z−1 = = . 1 1 −5 x−1 y z−1 t Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : = = 1 −2 2 nào dưới đây không thuộc d ? A. N (1; 0; 1). B. F (3; −4; 5). C. M (0; 2; 1). D. E (2; −2; 3). 508 Điểm Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 14. Trong không gian tọa độ Ox yz, cho đường thẳng (d ) : x+1 y−1 2− z = = . Véctơ nào −2 3 1 sau đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng (d )? # » = (−2; 3; 1). # » = (−1; 1; 2). # » = (2; −3; 1). A. u B. u C. u d d d # » = (−2; −3; −1). D. u d    x = −2 + t t Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = 1 + t . Phương   z = 2 + 2t trình chính tắc của đường thẳng d là: x−2 y+1 z−2 = = . 1 1 2 x+1 y−2 z−4 C. = = . 1 1 2 x−2 y+1 z+2 = = . 1 1 2 x−1 y−1 z−2 D. = = . −2 1 2 B. A. t Câu 16. Trong không gian Ox yz cho đường thẳng (d ) có phương trình chính tắc là y+1 z−6 = . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng (d )? −4 #» 2 A. u = (5; −1; 6). B. #» u = (3; −4; 2). C. #» u = (−5; 1; −6). D. #» u = (3; 4; 2). 509 x−5 = 3 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh   x = 1 − t t Câu 17. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : y = −2 + 2 t . Vectơ nào dưới đây là   z = 1+ t vectơ chỉ phương của d ? A. #» n = (1; −2; 1). B. #» n = (1; 2; 1). C. #» n = (−1; −2; 1). D. #» n = (−1; 2; 1).   x = 0 t Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho đường thẳng d : y = 2 + t . Tìm một vec   z = −t tơ chỉ phương của đường thẳng d . A. #» u = (0; 1; 1). B. #» u = (0; 1; −1). C. #» u = (0; 2; −1). D. #» u = (0; 2; 0).   x = 1 − 2t t Câu 19. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : y = 3 . Trong các vecto sau, vecto   z = 5 + 3t nào là một vecto chỉ phương của đường thẳng d . A. a#»1 = (1; 3; 5). B. a#»1 = (2; 3; 3). C. a#»3 = (−2; 0; 3). D. a#»1 = (−2; 3; 3). t Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : nào trong các điểm dưới đây nằm trên đường thẳng d ? A. N (1; −1; 2). B. M (3; 2; 2). C. P (5; 2; 4). 510 x−1 y+1 z = = . Điểm 2 3 2 D. Q (1; 0; 0). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh   x = 3 + t t Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng (d ) : y = 1 − 2 t . Một vectơ   z=2 chỉ phương của d là A. #» u = (−1; 2; 2). B. #» u = (1; −2; 0). C. #» u = (3; 1; 2). D. #» u = (1; −2; 2). t Câu 22. Cho hai điểm A (4 ; 1 ; 0), B (2 ; −1 ; 2). Trong các vectơ sau, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. A. #» u = (6; 0; 2). B. #» u = (2; 2; 0). C. #» u = (1; 1; −1). D. #» u = (3; 0; −1). t Câu 23. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : phương của đường thẳng d có tọa độ là: A. (4; 2; 1). B. (4; 2; −1). y−5 z x+8 = = . Khi đó vectơ chỉ 4 −2 1 C. (4; −2; −1). D. (4; −2; 1). t Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho đường thẳng d có phương trình y−2 = z − 3. Véc tơ nào dưới đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d ? 2 A. #» u = (3; 2; 3). B. #» u = (1; 2; 3). C. #» u = (3; 2; 0). D. #» u = (3; 2; 1). 511 x−1 = 3 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN x y z−1 t Câu 25. Cho đường thẳng d : = = 2 1 2 A. #» u = (2; 2; 0). B. #» u = (2; 1; 2). 7 GV: Doãn Thịnh Tìm vectơ chỉ phương của d ?. C. #» u = (1; 6; 0). D. #» u = (2; 6; 2). t Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 4 x − z + 3 = 0. Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d ? A. #» u = (4; 1; 3). B. #» u = (4; 1; −1). C. #» u = (4; −1; 3). D. #» u = (4; 0; −1). t Câu 27. Trong không gian Ox yz cho d : thẳng d là. A. #» u = (0; 1; 0). x y−1 z = = . Khi đó vectơ chỉ phương của đường 1 2 1 B. #» u = (1; 2; 1). C. #» u = (1; 0; 1). D. #» u = (2; 0; 1). t Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (0; −1; −2) và B (2; 2; 2). Vectơ #» a nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB? A. #» a = (2; 1; 0). B. #» a = (2; 3; 4). C. #» a = (−2; 1; 0). D. #» a = (2; 3; 0). 512 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (1; 2; 2), B (3; −2; 0). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: A. #» u = (2; −4; 2). B. #» u = (2; 4; −2). C. #» u = (−1; 2; 1). D. #» u = (1; 2; −1). t Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x − 2 y + z = 0 và đường x+1 y z thẳng d : = = . Gọi ∆ là một đường thẳng chứa trong (P ), cắt và vuông góc với d . 1 2 −1 #» Vectơ u = (a; 1; b) là một vectơ chỉ phương của ∆. Tính tổng S = a + b. A. S = 2. B. S = 4. C. S = 1. D. S = 0. t Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai mặt phẳng (P ) : 2 x + y − z − 1 = 0 và (Q ) : x − 2 y + z − 5 = 0. Khi đó, giao tuyến của (P ) và (Q ) có một vectơ chỉ phương là A. #» u = (−1; 3; −5). B. #» u = (1; 3; 5). C. #» u = (1; −2; 1). D. #» u = (2; 1; −1).   x = 2t x−1 y z−3 t Câu 32. Cho hai đường thẳng d1 : y = 1 + 4 t và d2 : = = . Khẳng định nào sau  1 2 3  z = 2 + 6t là đúng? A. d1 cắt d2 . B. d1 ≡ d2 . C. d1 , d2 chéo nhau. 513 D. d1 // d2 . Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 33. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : phương của đường thẳng d là: # » = (1; 0; 1). # » = (2; −1; −3). A. u B. u 2 3 7 GV: Doãn Thịnh x−1 y z−1 = = . Một vec tơ chỉ 2 −1 −3 # » = (2; −1; 3). C. u 1 # » = (−2; −1; 3). D. u 4   x = 2t t Câu 34. Trong không gian Ox yz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ : y = −1 + t là   z=1 #» #» #» #» A. m = (2; −1; 1). B. n = (−2; −1; 0). C. v = (2; −1; 0). D. u = (2; 1; 1). t Câu 35. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : một vector chỉ phương là # » = (2; −3; 4). # » = (1; 2; 4). A. u B. u 1 4 x−1 y−2 z = = Đường thẳng d có 2 −3 4 # » = (1; 2; 0). C. u 2 # » = (2; −3; 0). D. u 3 t Câu 36. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2 y − 3 z − 2 = 0. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) có một vectơ chỉ phương là # » = (1; −3; −2). # » = (1; −2; −2). # » = (1; −2; −3). # » = (1; 2; 3). A. u B. u C. u D. u 3 1 2 4 514 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ có phương trình:   x = 1 + 2t y = −2 + t ( t là tham số thực ). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ∆?   z=3 # » = (1; −2; 3). # » = (2; 1; 0). # » = (2; 1; 3). # » = (−2; −1; 3). A. u B. u C. u D. u 1 2 3 4 t Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của    x = −1 + 2 t đường thẳng y = 1   z = 2− t # » # » = (−1; 1; 2). A. u3 = (2; 0; 2). B. u 1 # » = (2; 0; −1). C. u 2 # » = (2; 1; 2). D. u 4   x = t t Câu 39. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : y = 1 − t . Đường thẳng d đi qua điểm   z = 2+ t nào sau đây? A. F (0; 1; 2). B. H (1; 2; 0). C. E (1; 1; 2). D. K (1; −1; 1). t Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, véctơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A (1; 2; 4), B (−2; 3; 5), C (−9; 7; 6) có toạ độ là: A. (3; 4; 5). B. (−3; 4; −5). C. (3; −4; 5). D. (3; 4; −5). 515 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của Oz? #» #» #» #» = (1; 1; 1). A. i = (1; 0; 0). B. m C. k = (0; 0; 1). D. j = (0; 1; 0).   x = 2 + 3t , đường thẳng d t Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho A (4; −2; 3), ∆ : y = 4   z = 1− t đi qua A cắt và vuông góc với ∆ có một vectơ chỉ phương là. A. #» a = (5; 2; 15). B. #» a = (1; 0; 3). C. #» a = (4; 3; 12). D. #» a = (−2; 15; −6). t Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho đường thẳng d : Phương  trình tham số của đường thẳng d là?  x = 2 + 2t A. y = −1 − t , ( t ∈ R).   z = −1 + t   x = 2 − 2t C. y = 1 − t , ( t ∈ R).   z = −1 − t   x = 2 + 2t B. y = −1 − t , ( t ∈ R).   z = −1 − t   x = 2 + 2t D. y = −1 − t , ( t ∈ R).   z = 1− t t Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. M (1; −1; −3). B. N (3; −2; −1). C. P (1; −1; −5). 516 x−2 y+1 z−1 = = . 2 −1 −1 x−3 y+2 z+1 = = . 2 −1 4 D. Q (5; −3; 3). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 45. Trong không gian tọa độ Ox yz cho A (1; 2; −1), B (3; 1; −2), C (2; 3; −3) và G là trọng tâm tam giác ABC . Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng OG . A. #» u = (2; 2; −2). B. #» u = (1; 2; −1). C. #» u = (2; 1; −2). D. #» u = (1; 2; −2). z x−1 y+2 = = không đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 −1 B. A (−1; 2; 0). C. (−1; −3; 1). D. (3; −1; −1). t Câu 46. Đường thẳng (∆) : A. (1; −2; 0). t Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : x−2 y−2 z−1 = = và 1 1 2 mặt phẳng (α) : x + y + z − 1 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trên (α) đồng thời cắt đường thẳng ∆ và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là: A. #» u = (1; 1; −2). B. #» u = (1; 2; −3). C. #» u = (1; −2; 1). D. #» u = (2; −1; −1). t Câu 48. -2017] Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 4 x − z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d . A. #» u = (4; 1; −1). B. #» u = (4; −1; 3). C. #» u = (4; 1; 3). D. #» u = (4; 0; −1). 517 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh x+2 y−1 z−2 t Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : = = và 1 1 2 mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0. Tìm một vectơ chỉ phương #» u của đường thẳng ∆0 là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P ). A. #» u = (1; 1; −2). B. #» u = (1; −1; 0). C. #» u = (1; 0; −1). D. #» u = (1; −2; 1).   x = 2 + 3t t Câu 50. Trong không gian Ox yz, đường thẳng d : y = 5 − t có một vectơ chỉ phương là   z=2 #» #» #» A. u 4 = (−3; 1; 2). B. u 3 = (3; −1; 2). C. u 1 = (3; −1; 0). D. #» u 2 = (2; 5; 0). t Câu 51. Trong không gian Ox yz cho đường thẳng d : x−1 y+1 z+3 = = . Trong các vectơ 2 −1 2 sau vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d . A. #» u (2; 1; 2). B. #» u (1; −1; −3). C. #» u (−2; −1; −2). D. #» u (−2; 1; −2). x−1 y+2 z t Câu 52. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ : = = ?. 1#» −1 2 #» #» #» A. u 2 = (−1; 2; 0). B. u 3 = (−2; 2; −4). C. u 1 = (1; 1; 2). D. u 4 = (1; −2; 0). 518 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (2; −3; 1) và mặt phẳng (α): x + 3 y − z + 2 = 0. Đường thẳng d quađiểm M và vuông góc với trình là   mặt phẳng (α) có phương  x = 2 + t A. d : y = −3 − 3 t .   z = 1− t  x = 2 − t D. d : y = −3 − 3 t .   z = 1+ t  x = 2 + t C. d : y = −3 + 3 t .   z = 1+ t  x = 1 + 2t B. d : y = 3 − 3 t .   z = −1 + t t Câu 54. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (3; −2; 4)và có véctơ chỉ phương #» u = (2; −1; 6) có phương trình x−3 = 2 x−3 C. = 2 A. y+2 z−4 = . −1 6 y−2 z−4 = . −1 6 x+3 = 2 x−2 D. = 3 B. y−2 z+4 = . −1 6 y+1 z−6 = . −2 4 → t Câu 55. Đường thẳng d đi qua M (2; 0; −1) và có véc tơ chỉ phương a = (4; −6; 2) có phương trình      x = 2 + 2t A. y = −3 t .   z = −1 + t   x = −2 + 2 t B. y = −3 t .   z = 1+ t   x = −2 + 4 t C. y = −6 t .   z = 1 + 2t  x = 4 + 2t D. y = −3 t .   z = 2+ t t Câu 56. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 có phương trình là x+2 y−3 z+6 = = . 2 4 3 x+2 y+3 z−6 C. = = . 2 4 3 x+2 = 2 x−2 D. = 2 A. B. 519 y−4 z−3 = . −3 6 y+4 z+3 = . −3 6 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ O x yz, cho điểm B (2; −1; 3) và mặt phẳng (P ) : 2 x − 3 y + 3 z − 4 = 0. Đường thẳng ∆ đi qua điểm B và vuông góc mp (P ) có phương trình là x−2 y+1 z−3 = = . 2 3 1 x+2 y+1 z+3 = = . C. 2 −3 1 x−2 y+1 z−3 = = . 2 −3 1 x−2 y−1 z−3 D. = = . −2 3 −1 A. B. t Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình chính tắc của đường thẳng qua A (1; 4; −7) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x + 2 y2 z3 = 0 là x−4 y−1 z+7 = = . 1 2 −2 x−4 y−1 z+7 C. = = . 2 1 −2 x−1 y−4 z+7 = = . 1 2 −2 x−1 y−4 z−7 D. = = . 1 2 2 A. B. t Câu 59. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (−1; −3; 2) và mặt phẳng(P ) : x − 2 y − 3 z − 4 = 0, Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng(P ) có phương trình là x+1 y−2 z+3 = = . 1 −2 −3 x−1 y−3 z+2 C. = = . −1 2 3 x+1 = 1 x−1 D. = 1 B. A. y+3 = −2 y−3 = −2 z−2 . −3 z+2 . −3   x = 1 + 2t t Câu 60. Cho đường thẳng d có phương trình tham số y = 2 − t Viết phương trình chính   z = −3 + t tắc của đường thẳng d . 520 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN x+1 = 2 x−1 C. d : = 2 A. d : y+2 z−3 = . −1 1 y−2 z−3 = . −1 1 x−1 y−2 z+3 = = . 2 −1 1 x−1 y−2 z+3 D. d : = = . 2 1 1 B. d : t Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua hai điểm A (1; 2;  −3) , B (2; −3; 1).    x = 1 + t A. y = 2 − 5 t .   z = 3 + 4t  x = 1 + t C. y = 2 − 5 t .   z = −3 − 2 t  x = 2 + t B. y = −3 + 5 t .   z = 1 + 4t  x = 3 − t D. y = −8 + 5 t .   z = 5 − 4t t Câu 62. Trong không gian với hệ trục Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x − y + 3 z = 0. Đường thẳng d đi qua góc với (P ) có phương trình  M (1; −1; 2) và vuông     x = 1 + 2t A. y = −1 − t .   z = 2 + 3t  x = 1 + 3t B. y = −1 − t .   z = 5 − 2t  x = 3 + 3t C. y = t .   z = 2t  x = 2 + 3t D. y = t .   z = 2 + 2t t Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (5; −3; 2) và mặt phẳng (P ) : x − 2 y + z − 1 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc (P ). x−5 = 1 x+5 C. = 1 A. y+3 z−2 = . −2 −1 y+3 z−2 = . −2 1 x−6 = 1 x+5 D. = 1 B. 521 y+5 z−3 = . −2 1 y−3 z+2 = . −2 1 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 và điểm M (1; 1; 2). Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P ) có phương trình là: x−1 y−1 z−2 = = . 1 −2 1 x−1 y−1 z−2 = = . C. d : 1 1 2 x−1 y+2 z−1 = = . 1 1 2 x+1 y+1 z+2 D. d : = = . 1 −2 1 A. d : B. d : t Câu 65. Cho đường thẳng d đi qua điểm A (1; 4; −7) và vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2 y − 2 z − 3 = 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: z+7 x−1 y−4 = =− . 1 2 2 x−1 y−4 z+7 C. d : = = . 2 2 1 x−1 y−4 z+7 = = . 1 2 2 x−1 z+7 D. d : = y+4 = . 4 2 B. d : A. d : t Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho d là đường thẳng đi qua A (1; −2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : 3 x − 4 y − 5 z + 1 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d. x−1 y+2 z−3 x−1 y+2 z−3 A. = = . B. = = . −3 4 −5 x+1 y−2 z+3 C. = = . 3 −4 −5 3 4 5 x−1 y+2 z−3 D. = = . 3 −4 −5 t Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M (1; −1; 2) và nhận #» u = (2; 1; 3) làm vecto chỉ phương. x−1 y−1 z−2 = = . 2 1 3 x−1 y+1 z−2 C. = = . 2 1 3 x+1 y−1 z+2 = = . 2 1 3 x−1 y+1 z−2 D. = = . 1 2 3 A. B. 522 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh   x = 1 − t , ( t ∈ R). t Câu 68. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (1; 2; 3) và đường thẳng ∆ : y = t   z = −1 − 4 t Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song với ∆. x−1 y−2 z−3 x y−3 z+1 A. = = . B. = = . 1 1 4 1 −1 4 x+1 y+2 z+3 x−1 y+2 z−3 C. = = . D. = = . −1 1 −4 −2 2 −8 t Câu 69. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (1; 4; −7) và vuông góc với mặt phẳng x + 2 y − 2 z − 3 = 0 có phương trình là x−1 y−4 z−7 = = . 1 2 −2 x−1 y−4 z+7 = = . C. 1 −2 −2 x+1 y+4 z−7 = = . 1 4 −7 x−1 y−4 z+7 D. = = . 1 2 −2 A. B. t Câu 70. Trong không gian Ox yz đường thẳng (∆)đi qua 2 điểm A (2; 1; 3) và B (1; −2; 1)có phương trình là x−2 y−1 z−3 = = . 1 −2 1 x+2 y+1 z+3 C. (∆): = = . 1 3 2 x+1 y−2 z+1 = = . 1 3 2 x−2 y−1 z−3 D. (∆): = = . 1 3 2 A. (∆): B. (∆): 523 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 71. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (2; −3; 5) có hình chiếu vuông góc trên các trục Ox, O y, Oz là B, C , D . Gọi H là trực tâm tam giác BCD . Phương trình chính tắc của đường thẳng OH là y z x y z x y z x y z x = = . B. = = . C. = = . D. = = . A. 15 10 6 2 −3 5 10 15 6 15 −10 6 t Câu 72. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (3; 0; −4) và có véc tơ chỉ phương #» u (5; 1; −2) có phương trình:: A. x+3 y z−4 = = . 5 1 −2 B. x+3 y z+4 = = . 5 1 −2 C. x−3 y z+4 = = . 5 1 −2 D. x−3 y z−4 = = . 5 1 −2 t Câu 73. Cho đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 4 x + 3 y7 z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là      x = −1 + 8 t A. y = −2 + 6 t .   z = −3 − 14 t   x = −1 + 4 t B. y = −2 + 3 t .   z = −3 − 7 t  x = 1 + 3t C. y = 2 − 4 t .   z = 3 − 7t  x = 1 + 4t D. y = 2 + 3 t .   z = 3 − 7t t Câu 74. Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương #» a = (4; −6; 2). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là       x = −2 + 2 t A. y = −3 t .   z = 1+ t  x = 2 + 2t B. y = −3 t .   z = −1 + t   x = −2 + 4 t C. y = −6 t .   z = 1 + 2t 524  x = 4 + 2t D. y = −3 t .   z = 2+ t Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 75. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (3; −1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x + y − 3 z − 5 = 0 có phương trình là: x−3 y+1 z−2 = = . 1 1 −3 x−1 y−1 z+3 C. d : = = . 3 −1 2 x+1 y+1 z−3 = = . 3 −1 2 x+3 y−1 z+2 D. d : = = . 1 1 −3 B. d : A. d : t Câu 76. Cho đường thẳng d : d? x−2 y z−1 = = . A. ∆ : x−1 y+1 z−3 = = . Đường thẳng nào sau đây song song với 2 −1 2 x−2 = 2 x+1 D. ∆ : = −2 B. ∆ : −2 1 −2 x−3 y+2 z−5 C. ∆ : = = . −2 1 −2 y = 1 y = 1 z−1 . −2 z−1 . −2 t Câu 77. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2; −3) và B (3; −1; 1)? x−3 y+1 z−1 = = . 1 2 −3 x+1 y+2 z−3 C. = = . 2 −3 4 x−1 = 3 x−1 D. = 2 B. A. y−2 z+3 = . −1 1 y−2 z+3 = . −3 4 t Câu 78. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho M (−1; 2; 0) và mặt phẳng (α) : 2 x − 3 z − 5 = 0. Viếtphương trình đường thẳng qua M và vuông góc   với mặt phẳng (α)?      x = 2 − t x = 1 + 2t  x = −1 − 2 t  x = −1 + 2 t A. y = −3 + 2 t .   z = −5 B. y = −2   C. . y=2   z = −3 t 525 z = 3t . D. y = 2 − 3t .   z = −5 t Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 79. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1; 2; 3) và vuônggóc với mặt phẳng 4 x +3 y − 7 z + 1 = 0. Phương  trình tham số của đường  thẳng ∆ là  x = 1 + 3t A. y = 2 − 4 t .   z = 3 − 7t   x = −1 + 4 t C. y = −2 + 3 t .   z = −3 − 7 t   x = −1 + 8 t B. y = −2 + 6 t .   z = −3 − 14 t  x = 1 + 4t D. y = 2 + 3 t .   z = 3 − 7t t Câu 80. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (1; −2; −3),B (−1; 4; 1) và đường x+2 y−2 z+3 = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua 1 −1 2 trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d ? x−1 y−1 z+1 x y−2 z+2 A. d : = = . B. d : = = . 1 −1 2 1 −1 2 x y−1 z+1 x y−1 z+1 C. d : = = . D. d : = = . 1 −1 2 1 1 2 thẳng d : t Câu 81. Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2; 0; −1) và có một vectơ chỉ phương #» a = (4; −6; 2). Phương  trình tham số của đường  thẳng ∆ là.     x = −2 + 4 t A. y = −6 t .   z = 1 + 2t   x = −2 + 2 t B. y = −3 t .   z = 1+ t  x = 2 + 2t C. y = −3 t .   z = −1 + t t Câu 82. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng (d ) : phương của (d ) là: 526  x = 4 + 2t D. y = −3 t .   z = 2+ t x−1 y−2 3− z = = . Một véc tơ chỉ 2 3 4 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. (1; 2; 3). B. (2; 3; 4). C. (−1; −2; −3). 7 GV: Doãn Thịnh D. (−2; −3; 4). t Câu 83. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, viết phương trình của đường thẳng d đi qua hai điểmE (9; −8; 8) và F (−10; 6; 8).    x = −10 − 19 t B. d : y = 6 + 14 t ( t ∈ R).   z=8    x = 9 − 19 t D. d : y = −8 + 14 t ( t ∈ R).   z=0   x = 9 − 19 t A. d : y = −8 + 14 t ( t ∈ R).   z = 8+ t    x = −10 − 19 t C. d : y = 6 + 14 t ( t ∈ R).   z = 8+ t t Câu 84. Trong hệ tọa độ Ox yz, phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, vuông góc với mặt phẳng (P ) : 2 x y3 z + 2 = 0 là       x = −2 − 4 t A. y = 1 + 2 t .   z = 3 + 6t  x = 2t B. y = 1 − t .   z = −3 t  x = 2t C. y = − t .   z = 3t  x = 2 + 2t D. y = − t .   z = −3 t t Câu 85. Cho đường thẳng ∆đi qua điểm M (2; 0; −1) và có vec-tơ chỉ phương #» a = (4; −6; 2). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là.       x = −2 + 4 t A. y = −6 t .   z = 1 + 2t  x = 2 + 2t B. y = −3 t .   z = −1 + t   x = −2 + 2 t C. y = −3 t .   z = 1+ t 527  x = 4 + 2t D. y = −3 t .   z = 2+ t Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 86. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (1; 1; 2) và mặt phẳng (P ) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P ) có phương trình là x+2 y−1 z+3 = = . 1 1 2 x−1 y−1 z−2 C. = = . 2 −1 3 x−2 y+1 z−3 = = . 1 1 2 x+1 y+1 z+2 D. = = . 2 −1 3 B. A. t Câu 87. ¡Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M (1; −1; 2) và vuông góc với ¢ mặt phẳng β : 2 x + y + 3 z − 19 = 0 là x−1 y+1 z−2 = = . 2 −1 3 x+1 y−1 z+2 C. = = . 2 1 3 x−1 y−1 z−2 = = . 2 1 3 x−1 y+1 z−2 D. = = . 2 1 3 B. A. t Câu 88. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua hai điểm A (2; −1; 3), B (4; 2; −2)có phương trình: x+4 y+2 z−2 = = . 2 3 −5 x−2 y+1 z−3 C. AB: = = . 2 3 5 x+2 y−1 z+3 = = . 2 3 −5 x−2 y+1 z−3 D. AB: = = . 2 −1 −3 A. AB: B. AB: t Câu 89. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 và điểm M (1; 1; 2). Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P ) có phương trình là x+1 y+1 z+2 = = . 1 −2 1 x−1 y+2 z−1 C. d : = = . 1 1 2 x−1 y−1 z−2 = = . 1 −2 1 x−1 y−1 z−2 D. d : = = . 1 1 2 A. d : B. d : 528 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 90. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC với A (1; −3; 4), B (−2; −5; −7), C (6; − 3; −1). Phương trình đường trung tuyến AM của  tam giác là  x = 1 + t B. y = −1 − 3 t , ( t ∈ R).   z = 8 − 4t   x = 1 − 3t D. y = −3 − 2 t , ( t ∈ R).   z = 4 − 11 t  x = 1 + t A. y = −3 − t , ( t ∈ R).   z = 4 − 8t   x = 1 + 3t C. y = −3 + 4 t , ( t ∈ R).   z = 4− t t Câu 91. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (2; 1; 3) và đường thẳng d 0 : x−1 = 3 y−2 z = . Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d 0 . Phương trình nào sau đây không 1 1 phải làphương trình đường thẳng d?    x = 2 + 3 t x = − 4 + 3 t x = − 1 + 3 t        x = 5 − 3t A. y = 1 + t . B. y = −1 + t . C. y = t . D. y = 2 − t .         z = 3+ t z = 2+ t z = 2+ t z = 4− t t Câu¡92. ¢ Phương trình tổng quát của (α) qua A (2; −1; 4) , B (3; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng β : x + y + 2 z − 3 = 0 là. A. 11 x + 7 y − 2 z − 21 = 0. B. 11 x + 7 y + 2 z + 21 = 0. C. 11 x − 7 y − 2 z − 21 = 0. D. 11 x − 7 y + 2 z + 21 = 0. 529 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 93. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm M (1; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng(P ) : x − 2 y + 3 z + 4 = 0cóphương trình là    x = 1 − t A. y = 1 − 2 t .   z = 2 + 3t  x = 1 + t C. y = 1 − 2 t .   z = 2 − 3t  x = 1 + t B. y = 1 − 2 t .   z = 2 + 3t  x = 1 + t D. y = −2 + t .   z = 3 + 2t t Câu 94. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, đường thẳng ∆ đi qua A (2; −1; 2) và nhận #» u (−1; 2; −1) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là: x−1 y+2 z−1 = = . 2 −1 2 x+2 y−1 z+2 = = . C. ∆ : −1 2 −1 x+1 y−2 z+1 = = . 2 −1 2 x−2 y+1 z−2 D. ∆ : = = . −1 2 −1 A. ∆ : B. ∆ : t Câu 95. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1; 2; 3) và vuônggóc với (α) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng∆ là     x = −1 + 4 t A. y = −2 + 3 t .   z = −3 − 7 t   x = 1 + 3t B. y = 2 − 4 t .   z = 3 − 7t   x = 1 + 4t C. y = 2 + 3 t .   z = 3 − 7t   x = −1 + 8 t y = −2 + 6 t . D.   z = −3 − 14 t t Câu 96. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ). x−1 y−2 z−3 = = . 3 −4 −7 x+1 y+2 z+3 C. = = . 8 6 −14 x+1 y+2 z+3 = = . 4 3 −7 x−1 y−2 z−3 D. = = . 4 3 −7 A. B. 530 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 97. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số   B (3; 2; −1).  hai điểm A (1; 0; 1) và  của đường thẳng đi qua  x = 3 + t A. y = 2 − t ,t ∈ R .   z = −1 − t  x = 2 + t C. y = 2 + t ,t ∈ R .   z = −2 − t  x = 1 − t B. y = − t ,t ∈ R .   z = 1+ t  x = 1 + t D. y = 1 + t ,t ∈ R .   z = −1 − t t Câu 98. Trong không gian Ox yz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi quađiểm A (1; 2; 0) và vuông  góc với mặt phẳng (P ): 2 x + y − 3 z − 5 = 0.   x = 1 + 2t A. y = 2 − t .   z = −3 t  x = 3 + 2t B. y = 3 + t .   z = −3 − 3 t  x = 1 + 2t C. y = 2 + t .   z = 3t  x = 3 + 2t D. y = 3 + t .   z = 3 − 3t t Câu 99. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương #» a = (4; −6; 2). Phương trình tham   số của ∆ là    x = −2 + 2 t A. y = −3 t .   z = 1+ t  x = 4 + 2t B. y = −6 − 3 t .   z = 2+ t  x = 2 + 2t C. y = −3 t .   z = −1 + t   x = −2 + 4 t D. y = −6 t .   z = 1 + 2t t Câu 100. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) có phương trình là 2 x + y − 5 z + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; −2; 7) biết d vuông góc với ( P ). A. d : x−1 y−2 z−7 = = . 2 1 −5 B. d : 531 x−1 y+2 z−7 = = . 2 1 −5 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN C. d : x−2 y−1 z+5 = = . 1 −2 7 D. d : x+1 y−2 z+7 = = . 2 −1 −5 t Câu 101. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz,phương trình đường thẳng đi qua điểm A (3; 1; −4) và có vectơ chỉ phương #» u = (1; 3; −2) là x+3 y+1 z−4 = = . 1 3 −2 x−3 y−1 z+4 C. = = . 1 3 −2 x−1 y−3 z+2 = = . 3 1 −4 x + 11 y + 3 z − 2 D. = = . 3 1 −4 B. A. t Câu 102. Trong không gian với hệ trục Ox yz, cho tam giác ABC có A (−1; 3; 2), B (2; 0; 5) và C (0; −2; 1). Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC là. x−1 = 2 x+1 C. = 2 A. y+3 z+2 = . −4 1 y−3 z−2 = . −4 1 x+1 y−3 z−2 = = . −2 −2 −4 x−2 y+4 z−1 D. = = . −1 3 2 B. t Câu 103. Trong không gian với hệ toa độ Ox yz, lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A (0; − 1; 3) và vuông góc với mặt  phẳng (P ): x + 3 y − 1= 0.  A.     x=t y = −1 + 2 t . z = 3 + 2t B.     x=1 C. y = 3− t.     z=3 532 x=t y = −1 + 3 t . z = 3− t D.     x=t y = −1 + 3 t . z=3 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 104. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC có A (−1; 3; 2) ,B (2; 0; 5) ,C (0; −2; 1 Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x+1 y−3 z−2 = = . 2 −4 1 x−1 y+3 z+2 = = . C. AM : −2 4 −1 x−2 = 1 x−1 D. AM : = 2 B. AM : A. AM : y+4 z+1 = . −1 3 y−3 z+2 = . −4 1 t Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : y + 3 =0.    x = 1 A. ∆ : y = 1 − t .   z=3  x = 2 C. ∆ : y = 1 + t .   z=3  x = 2 B. ∆ : y = −1 + t .   z=3  x = 2 + t D. ∆ : y = −1 + t .   z=3 t Câu 106. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (1; 2; −3), B (−2; 3; 1) đường thẳng  đi qua A (1; 2; −3) và song song với OB có phương trình là      x = 1 − 2t A. y = 2 + 3 t .   z = −3 + t   x = 1 − 4t y = 2 − 6t . B.   z = −3 + 2 t   x = 1 − 2t C. y = 2 + 3 t .   z = −3 − t   x = −2 + t D. y = 3 + 2 t .   z = 1 − 3t t Câu107. Trong không gian Ox yz, đường thẳng chứa trục O y có phương trình tham số là     x = 0 A. y = 1 .   z=t  x = 0 B. y = t .   z=0  x = t C. y = 0 .   z=0 533  x = 0 D. y = 0 .   z=t Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN   x = 1 + 2t t Câu 108. Cho đường thẳng d : y = −3 + t ( t ∈ R). Khi đó phương trình chính tắc của d là:   z = 4− t x+1 y−3 z+4 x−1 y+3 z−4 A. = = . B. = = . 2 1 −1 2 1 −1 x−2 y+3 z−5 x−2 y−1 z+1 C. = = . D. = = . 2 −1 1 1 −3 4 t Câu 109. Trong không gian Ox yz, đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vecto chỉ phương #» u = (1; 2; 3) có phương trình:   x = 0 A. d : y = 2 t .   z = 3t   x = −t B. d : y = −2 t .   z = −3 t   x = 1 C. d : y = 2 .   z=3   x = t D. d : y = 3 t .   z = 2t t Câu 110. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (3; 2; 2), B (4; −1; 0) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua   hai điểm A và B    x = 1 + 3t A. ∆ : y = −3 + 2 t .   z = −2 + 2 t  x = 1 + 4t B. ∆ : y = −3 − t .   z = −2  x = 3 + 4t C. ∆ : y = 2 − t .   z=2  x = 3 − t D. ∆ : y = 2 + 3 t .   z = 2 + 2t t Câu 111. Cho đường thẳng d đi qua điểm A (1; 4; −7) và vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2 y − 2 z − 3 = 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là x−1 y−4 z+7 = = . 2 2 1 x−1 y−4 z+7 C. d : = =− . 1 2 2 x−1 z+7 = y+4 = . 4 2 x−1 y−4 z+7 D. d : = = . 1 2 2 A. d : B. d : 534 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 112. Trong không gian Ox yz, cho ba đường thẳng d1 : x−1 y z+1 x+2 = = ; d2 : = 2 3 −1 1 y−1 z x+3 y−2 z+5 = ; d3 : = = . Đường thẳng song song với d3 , cắt d1 và d2 có phương trình −2 2 −3 −4 8 là A. y z+1 x−1 = = . −3 −4 8 B. x+1 y−3 z = = . −3 −4 8 C. x−1 y−3 z = = . −3 −4 8 D. x−1 y z−1 = = . −3 −4 8 t Câu 113. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (3; 1; −5), hai mặt phẳng (P ): x − y + z − 4 = 0 và (Q ): 2 x + y + z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A đồng thời ∆ song song với hai mặt phẳng (P ) và (Q ). x+3 y+1 z−5 x−3 y−1 z+5 = = . B. ∆ : = = . A. ∆ : 2 −1 −3 2 −1 −3 x−3 y−1 z+5 x−3 y−1 z+5 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 2 1 −3 −2 −1 3 t Câu 114. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2 x+3 y+2z+2 = 0 và (Q ) : x−3 y+2z+1 = 0. Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng (P ), (Q ) là x y z x y z x y z x y z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 9 −12 −2 12 −2 −9 9 12 −2 12 2 −9 x+1 y−1 z−2 = = và 2 1 3 mặt phẳng (P ) : x − y − z − 1 = 0. Viết pt đường thẳng (∆) đi qua điểm A (1; 1; −2), biết (∆) // (P ) và (∆) cắt d . t Câu 115. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho đường thẳng (d ) : 535 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN x−1 y−1 z+2 = = . 1 −1 −1 x−1 y−1 z+2 C. = = . 8 3 5 7 GV: Doãn Thịnh x−1 y−1 z+2 = = . 2 1 3 x−1 y−1 z+2 D. = = . 2 1 1 A. B.   x = 1 − t t Câu 116. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : y = 2 + t và mặt phẳng (P ) : x − 2 y +   z = 2t z + 6 = 0. Phương trình đường  thẳng qua điểm M (0; 2; −1) cắt d và song song  với (P ) là.     x = 1 + 2t x = 1 − t x = t x = 1 − t A. y=2   z = −1 − t . B. y = 2t   C. . y = 2 − 3t .   z = −1 − t z = 1− t D. y=2   . z = 1− t x−3 y−3 z = = , mặt 1 3 2 phẳng (P ) : x + y − z + 3 = 0 và điểm A (1; 2; −1). Đường thẳng (∆) đi qua A , cắt (d ) và song song với mặt phẳng (P ) có phương trình: x−1 y−2 x+1 x−1 y−2 x+1 A. = = . B. = = . −1 2 −1 −1 −2 1 x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 x+1 C. = = . D. = = . 1 −2 1 1 −2 −1 t Câu 117. Trong không gian với hệ trục Ox yz, chođường thẳng (d) : y−1 z−2 x+1 = = và mặt phẳng 2 1 3 (P ) : x − y − z − 1 = 0. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A (1; 1; −2), song song với mặt phẳng (P ) và vuông góc với đường thẳng d là x+1 y+1 z−2 x−1 y−1 z+2 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . −2 −5 3 −2 −5 3 x+1 y+1 z−2 x−1 y−1 z+2 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 2 5 −3 2 5 −3 t Câu 118. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : 536 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh x+1 y−1 z−2 = = và mặt phẳng (P ) : x − y − z − 1 = 0. Phương 2 1 3 trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M (1; 1; −2) song song với (P ) và vuông góc với d t Câu 119. Cho đường thẳng d : là x+1 y−2 z+5 = = . −2 1 −3 x+1 y z+5 C. = = . 2 1 3 x−1 y−1 z+2 = = . 2 5 −3 x−1 y−1 z+2 D. = = . 2 1 3 A. B. t Câu 120. Trong không gian tọa độ Ox yz, cho điểm M (1; −3; 4), đường thẳng d : x+2 = 3 y−5 z−2 = và mặt phẳng (P ) : 2 x + z − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông −5 −1 góc với d và song song với (P ). x−1 y+3 z−4 x−1 y+3 z−4 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 −1 2 1 −1 −2 x−1 y+3 z−4 x−1 y+3 z−4 = = . D. ∆ : = = . C. ∆ : −1 −1 −2 1 1 −2 t Câu 121. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm M (1; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng(P ) : x − 2 y + 3 z + 4 = 0cóphương trình là    x = 1 + t A. y = 1 − 2 t .   z = 2 − 3t  x = 1 + t B. y = −2 + t .   z = 3 + 2t  x = 1 − t C. y = 1 − 2 t .   z = 2 + 3t 537  x = 1 + t D. y = 1 − 2 t .   z = 2 + 3t Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 122. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm A (1; 4; −7) và vuông góc với mặt phẳng x + 2 y − 2 z − 3 = 0 có phương trình là x−1 y−4 z+7 = = . 1 2 −2 x−1 y−4 z+7 C. = = . 1 −2 −2 x+1 y+4 z−7 = = . 1 4 −7 x−1 y−4 z−7 D. = = . 1 2 −2 B. A. t Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 −2 x+4 y+2 z−3 = 0, mặt phẳng (P ) : x + y + 2 z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) tại A (3; −1; −3) và song song với (P ). x−3 y+1 z+3 = = . −4 6 −1 x−3 y+1 z+3 C. d : = = . 0 6 −1 x−3 y+1 z+3 = = . −4 2 −1 x−3 y+1 z+3 D. d : = = . −4 6 3 B. d : A. d : t Câu 124. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho A (1; −4; 0),B (3; 0; 0). Viết phương trình đường trung trực (∆) của đoạn AB biết (∆) nằm trong mặt phẳng (α) : x + y + z =0.     x = 2 + 2t A. ∆ : y = −2 − t .   z=t  x = 2 + 2t B. ∆ : y = −2 − t .   z = −t  x = 2 + 2t C. ∆ : y = 2 − t .   z = −t  x = 2 + 2t D. ∆ : y = −2 − t .   z=0 t Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho điểm A (1; 2; 3) và hai đường thẳng d1 : x−2 y+2 z−3 x−1 y−1 z+1 = = ; d2 : = = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , vuông 2 −1 1 −1 2 1 góc với d1 và cắt d2 . x+1 y−2 z−3 x−1 y−2 z−3 A. = = . B. = = . 1 3 −5 1 −3 −5 x−1 y+2 z−3 x+1 y−2 z−3 C. = = . D. = = . 1 −3 5 −1 −3 5 538 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh y+2 x−1 y−1 z+1 x−2 = = z − 3 ; d2 : = = và A (1; 2; 3). 2 −1 −1 2 1 Đường thẳng qua A vuông góc d1 ,cắt d2 có phương trình là : x−1 y−2 z−3 x−1 y−2 z−3 = = . B. = = . A. 1 3 −5 1 3 5 x−1 y−2 z−3 x−1 y−2 z−3 C. = = . D. = = . 1 −3 −5 −1 −3 −5 t Câu 126. Cho 2 đường thẳng d1 : t Câu 127. Trong không gian Ox y, cho điểm M (−1 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng d : x−2 y+3 = = 3 2 z−1 0 x+1 y z ,d : = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm 1 1 3 −2 M , cắtd và vuông góc với d 0 ?    x = 1 + 3t      x = −1 + 3 t  x = −1 − 7 t  x = −1 + 3 t A. y = 1 − t . B. y = 1 + t . C. y = 1 + 7 t . D. y = 1 − t .         z=2 z=2 z = 2 + 7t z=2 t Câu 128. Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; 3) và đường thẳng d : x+1 = 2 y z−3 = . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục hoành. 1 −2 Tìm một vectơ chỉ phương #» u của đường thẳng ∆. A. #» u = (1; −2; 0). B. #» u = (1; 0; 1). C. #» u = (2; 2; 3). D. #» u = (0; 2; 1). 539 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 129. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (2; 1; 0) và đường thẳng ∆ : z x−1 y+1 = = . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M , cắt và vuông góc với 2 1 −1 ∆. x−2 y−1 z x−2 y−1 z = = . B. d : = = . A. d : 1 −4 1 1 4 1 x−2 y−1 z x−2 y−1 z C. d : = = . D. d : = = . 2 −4 1 1 −4 −2   x = 1 − t x−2 y+2 z−3 t Câu 130. Cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2 : y = 1 + 2 t và điểm A (1; 2; 3)  2 −1 1  z = −1 + t Đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là. x−1 y−2 z−3 = = . 1 3 5 x−1 y−2 z−3 = = . C. 1 −3 −5 x−1 y−2 z−3 = = . −1 −3 −5 x−1 y−2 z−3 D. = = . 1 3 −5 A. B. t Câu 131. Trong không gian Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : x−2 y+2 z−3 = = và d2 : 2 −1 1   x = 1 − t y = 1 + 2 t . Đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1; 2; 3), vuông góc với d 1 và cắt d 2 có phương trình   z = −1 + t là x−1 y−2 z−3 = = . −1 −3 −5 x−1 y−2 z−3 C. = = . 1 3 −5 x−1 y−2 z−3 = = . 1 3 5 x−1 y−2 z−3 D. = = . 1 −3 −5 A. B. t Câu 132. Trong không gian với hệ tọa độ Ox y, cho điểm A (1; 2; 3) và đường thẳng d : 540 x+1 = 2 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh y z−3 = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và 1 −2 cắt trục Ox. x−1 y−2 z−3 x+1 y+2 z+3 A. = = . B. = = . 2 2 3 2 2 3 x−2 y−2 z−3 x+2 y+2 z+3 C. = = . D. = = . 1 2 3 1 2 3   x = 1 − t y+2 z−3 x−2 = = ; d2 : y = 1 + 2 t và điểm A (1; 2; 3). t Câu 133. Cho hai đường thẳng d1 :  2 −1 1  z = −1 + t Đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là. x−1 y−2 z−3 = = . 1 −3 −5 x y+1 z−1 C. = = . 2 1 1 x−1 y−2 z−3 = = . 1 3 −5 x−1 y−2 z−3 D. = = . −1 −3 −5 A. B. t Câu 134. Trong không gian Ox yz, cho ba đường thẳng d1 : x−3 y+1 z−2 x+1 = = , (d2 ) : = 2 1 −2 3 y z+4 x+3 y−2 z = và (d3 ) : = = . Đường thẳng song song d 3 , cắt d 1 và d 2 có phương trình −2 −1 4 −1 6 là x−3 y+1 z−2 = = . −4 1 −6 x−1 y z+4 C. = = . 4 −1 6 x+1 y z−4 = = . 4 −1 6 x−3 y+1 z−2 D. = = . 4 1 6 B. A. t Câu 135. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (2; 1; 0) và đường thẳng d có x−1 y+1 z = = . Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt và 2 1 −1 vuông góc với đường thẳng d là: phương trình d : 541 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN x − 2 −y + 1 z = = . −3 −4 −2 x−2 y−1 z C. = = . −1 −4 2 x−2 = 1 x−2 D. = −1 A. B. 7 GV: Doãn Thịnh y−1 z = . −4 −2 y−1 z = . −3 2 t Câu 136. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; −1; 3) và hai đường thẳng d1 : x−4 y+2 = = 1 4 x−2 y+1 z−1 z−1 , d2 : = = Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với −2 1 −1 1 đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 x−1 y+1 z−3 x−1 y+1 z−3 A. d : = = . B. d : = = . 2 1 3 2 −1 −1 x−1 y+1 z−3 x−1 y+1 z−3 = = . D. d : = = . C. d : −2 2 3 4 1 4 t Câu 137. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; −1; 3) và hai đường thẳng. x−2 y+1 z−1 x−4 y+2 z−1 = = ,d 2 : = = Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, 1 4 −2 1 −1 1 vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 . x−1 y+1 z−3 x−1 y+1 z−3 A. d : = = . B. d : = = . 2 −1 −1 −2 2 3 x−1 y+1 z−3 x−1 y+1 z−3 C. d : = = . D. d : = = . 4 1 4 2 1 3 d1 : t Câu 138. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; 2), song song với mặt x−1 y−2 z−3 = = có phương trình 1 1 1    x = 1 + t x = 1 − t C. y = 2 − t . D. y = 2 − t .     z=3 z=2 phẳng (P ) : x − y + z + 3 = 0 đồng thời cắt đường thẳng d : là     x = 1 − t A. y = 2 + t .   z=3  x = 1 − t B. y = 2 − t .   z = 3− t 542 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 139. Trong không gian Ox yz, Cho mặt phẳng (R ) : x + y − 2 z + 2 = 0 và đường thẳng∆1 : x y z−1 = = . Đường thẳng ∆2 nằm trong mặt phẳng (R ) đồng thời cắt và vuông góc với đường 2 1 −1 thẳng  ∆1 có phương trình là        x = 2 + 3t x = 2 + t x = t x = t D. y = −2 t . C. y = −3 t . B. y = 1 − t . A. y = 1 − t .         z = 1+ t z = 1− t z=t z=t x−1 y−1 z = = và mặt phẳng 1 −1 3 (P ) : x + 3 y + z = 0. Đường thẳng (∆) đi qua M (1; 1; 2), song song với mặt phẳng (P ) đồng thời cắt đường thẳng (d ) có phương trình là x+2 y+1 z−6 x−1 y−1 z−2 A. = = . B. = = . 1 −1 2 −1 2 1 x−3 y+1 z−9 x−1 y−1 z−2 = = . D. = = . C. 1 −1 2 1 −1 2 t Câu 140. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng (d ) : t Câu 141. Trong không gian Ox yz, đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; 2), song song với mặt x−1 y−2 z−3 = = có phương trình 1 1 1    x = 1 − t x = 1 + t C. y = 2 − t . D. y = 2 − t .     z = 3− t z=3 phẳng (P ) : x − y + z + 3 = 0 đồng thời cắt đường thẳng d : là     x = 1 − t A. y = 2 + t .   z=3  x = 1 − t B. y = 2 − t .   z=2 543 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN t Câu 142. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x + y − z + 9 = 0, đường x−3 y−3 z = = và điểm A (1; 2; −1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A 1 3 2 cắt d và song song với mặt phẳng (P ). x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 z+1 A. = = . B. = = . −1 2 −1 1 2 −1 x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 z+1 C. = = . D. = = . 1 2 1 −1 2 1 thẳng d : x−2 y+1 z+5 = = và mặt phẳng 3 1 −1 (P ) : 2 x − 3 y + z − 6 = 0.Đường thẳng ∆ nằm trong (P ) cắt và vuông góc với d có phương trình x+4 y+1 z+5 x+8 y+1 z−7 = = . B. = = . A. 2 5 11 2 1 −1 x−4 y−3 z−3 x−8 y−1 z+7 = = . D. = = . C. 2 5 11 2 5 11 t Câu 143. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : x−1 y z−2 = = và mặt phẳng 1 −1 1 (P ) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0. Đường thẳng nằm trong (P ), cắt và vuông góc với d có phương trình t Câu 144. Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : là: x−1 y+1 z−1 A. = = . x+2 y−1 z+3 = = . 3 4 1 x−2 y+1 z−3 D. = = . 3 4 1 B. 3 4 1 x−2 y+1 z−3 C. = = . 3 4 −1 t Câu 145. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α) : x + y + z − 3 = 0, đồng thời đi qua điểm M (1; 2; 0) và cắt đường thẳng d : Một véc tơ chỉ phương của ∆ là A. #» u = (1; 1; −2). B. #» u = (1; −1; −2). C. #» u = (1; −2; 1). 544 x−2 y−2 z−1 = = . 2 1 3 D. #» u = (1; 0; −1). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 146. Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; 2; −1), đường thẳng d có phương trình x−3 y−3 z = = và mặt phẳng (α) có phương trình x + y − z + 3 = 0. Đường thẳng ⇒ (2) đi qua 1 3 2 điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng (α) có phương trình là x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 z+1 A. = = . B. = = . −1 −2 1 1 −2 −1 x−1 y−2 z−1 x−1 y−2 z+1 = = . D. = = . C. 1 2 1 1 2 1 t Câu 147. Trong không gian  với hệ tọa độ Ox yz. Cho mặt phẳng (P ) : 2 x − y + z − 10 = 0, điểm   x = −2 + 2 t A (1; 3; 2) và đường thẳng d : y = 1 + t . Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần   z = 1− t lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm cạnh MN . x+6 y+1 z−3 x−6 y−1 z+3 = = . B. = = . A. 7 4 −1 7 −4 −1 x−6 y−1 z+3 x+6 y+1 z−3 C. = = . D. = = . 7 −4 −1 7 4 −1 x−3 y−3 z = = , 1 3 2 mặt phẳng (α): x + y − z + 3 = 0 và điểm A (1; 2; −1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α). x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 z+1 A. = = . B. = = . 1 −2 −1 −1 2 −1 x−1 y−2 z+1 x−1 y−2 z+1 C. = = . D. = = . 1 2 1 −1 −2 1 t Câu 148. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : 545 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 149. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (1; −1; 3) và hai đường thẳng d : x−1 = 2 y−1 z−1 x y z−1 = và d 0 : = = . Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và cắt cả hai đường −1 −1 3 −2 1 thẳng d và d 0 . A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2. t Câu 150. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : x y−1 z+2 = = và 2 −1 1    x = −1 + 2 t d 2 : y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với (P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai đường   z=3 thẳng d1 ,d2 là x+2 y z−1 x−2 y z+1 x−7 y z+4 x−2 y z+1 = = . B. = = . C. = = . D. = = . A. 7 1 −4 −7 −1 4 7 1 4 2 1 1 t Câu 151. Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Ox yz, cho điểm M (0; −1; 2)và hai x−1 y+2 z−3 x+1 y−4 z−2 = = , d2 : = = . Phương trỡnh đường thẳng đi 1 −1 2 2 −1 4 qua M , cắt cả d1 và d2 là x y+1 z+3 x y+1 z−2 A. = = . B. = = . 9 9 8 3 −3 4 − 2 2 x y+1 z−2 x y+1 z−2 = . D. = = . C. = 9 −9 16 −9 9 16 đường thẳng d1 : 546 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 152. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2; −5) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : 2 x + 3 y − 4 z + 5 = 0 là    x = 1 + 2t C. d : y = 2 + 3 t .   z = −5 − 4 t  x = 1 + 2t B. d : y = 2 + 3 t .   z = −5 + 4 t  x = 2 + t A. d : y = 3 + 2 t .   z = −4 − 5 t  x = 2 + t D. d : y = 3 + 2 t .   z = 4 + 5t t Câu 153. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (0; 1; −1) và đường thẳng d : x+3 y−1 z−3 = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt đường 4 −1 −4 thẳng d . x y−1 z+1 x y−1 z+1 A. = = . B. = = . 13 28 −20 −13 28 20 x y−1 z+1 x y−1 z+1 C. = = . D. = = . 13 28 20 13 −28 20 t Câu 154. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (0; 2; 0) và đường thẳng d :   x = 4 + 3t y = 2 + t . Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là   z = −1 + t x y z−1 x y−2 z x−1 y z x−1 y−1 z = = . B. = = . C. = = . D. = = . A. −1 1 2 −1 1 2 1 −1 −2 1 1 2 t Câu 155. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 0; 2) và đường thẳng d có x−1 y phương trình = = x 1 d. x−1 y z−2 A. ∆ : = = . 1 1 z+1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt 2 B. ∆ : −1 547 x−1 y z−2 = = . 1 1 1 Sưu tầm và biên soạn 7 GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN C. ∆ : x−1 y z−2 = = . 1 −3 1 D. ∆ : x−1 y z−2 = = . 2 1 1 t Câu 156. Trong không gian Ox yz, cho điểm M (2; 1; 0) và đường thẳng ∆ có phương trình x−1 y−1 z = = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , cắt và vuông góc với đường 2 1 −1 thẳng ∆. x−2 y−1 z x−2 y−1 z A. d : = = . B. d : = = . 1 −4 1 2 −4 1 x−2 y−1 z x−2 y−1 z C. d : = = . D. d : = = . 1 4 1 1 −4 −2 ∆: t Câu 157. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho điểm A (1; 0; 2) và đường thẳng d có x−1 y phương trình: = = 1 1 d. x−1 y z−2 A. ∆ : = = . z+1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt 2 x−1 y z−2 = = . 1 1 −1 x−1 y z−2 D. ∆ : = = . 1 −3 1 B. ∆ : 1 1 1 x−1 y z−2 = = . C. ∆ : 2 1 1   x = 1 + t t Câu 158. Trong không gian với hệ trục Ox yz, cho đường thẳng ∆ : y = 2 + t . Đường thẳng   z = 13 − t d đi qua A (0; 1; −1) cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng d ?  0  x = t A. y = 1 + t0 .   z = −1 + 2 t0  0  x = t B. y = 1 − t0 .   z = −1  0  x = t C. y = 1 .   0 z = −1 + t 548   x = 0 D. y = 1 + t0 .   z = −1 + t0 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 7 GV: Doãn Thịnh t Câu 159. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 0; 2) và đường thẳng d :   x = 1 + t y=t . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt đường thẳng d là   z = −1 + 2 t x−1 y z−2 x−1 y z−2 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 1 −1 2 4 −3 x−1 y z−2 x−1 y z−2 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 1 −3 1 1 3 −2 549 Sưu tầm và biên soạn

guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top