Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 10 – Lê Doãn Thịnh

Giới thiệu Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 10 – Lê Doãn Thịnh

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 10 – Lê Doãn Thịnh.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Lý thuyết và trắc nghiệm môn Toán lớp 10 – Lê Doãn Thịnh

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

1 y TRUNG TÂM GDNN – GDTX THUẬN AN TỔ TOÁN y − O I ∆ 4a −b a x − ∆ 4a O I −b a x TOÁN TOÁN 10 LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT THUYẾT LÝ LÝ THUYẾT & & TRẮC NGHIỆM & TRẮC TRẮC NGHIỆM NGHIỆM Hữu chí cánh thành! LƯU HÀNH NỘI BỘ y BÌNH DƯƠNG – 2021 7GV: Doãn Thịnh MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ 3 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 5 1 MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN 5 2 TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP CHƯƠNG 2 HÀM SỐ 21 39 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 39 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 48 3 HÀM SỐ BẬC HAI 60 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 73 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 73 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 85 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 101 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 111 1 BẤT ĐẲNG THỨC 111 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 121 3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 130 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 140 5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 148 CHƯƠNG 5 THỐNG KÊ 165 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 165 2 PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN 190 1 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh MỤC LỤC CHƯƠNG 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 201 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 201 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 209 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 232 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1 VECTƠ 259 261 1 VECTƠ – CÁC ĐỊNH NGHĨA 261 2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ 270 3 TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ 282 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 297 CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 313 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 313 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 318 3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 329 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 343 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 343 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 367 3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP 388 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh PHẦN I ĐẠI SỐ 3 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 1 BÀI 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 MỆNH ĐỀ L Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai. L Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai. 2 MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH L Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P . L Ký hiệu là P . L Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. 3 MỆNH ĐỀ KÉO THEO Cho hai mệnh đề P và Q . L Mệnh đề “nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P ⇒ Q . L Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai. L Mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của Q ⇒ P . 4 MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Cho hai mệnh đề P và Q . L Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương. Ký hiệu là P ⇔ Q . L Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng. ! 5 Chú ý: “Tương đương” còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. 5 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN CÁC KÍ HIỆU ∀, ∃. 6 L L L L 7 Kí hiệu ∀: đọc là với mọi. Kí hiệu ∃: đọc là tồn tại. Phủ định của mệnh đề “∀ x ∈ X ,P ( x)” là mệnh đề “∃ x ∈ X ,P ( x)”. Phủ định của mệnh đề “∃ x ∈ X ,P ( x)” là mệnh đề “∀ x ∈ X ,P ( x)”. CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến Phương pháp: Một câu mà chắc chắn là đúng hay chắc chắn là sai thì đó là một mệnh đề. ! Câu cảm thán, câu hỏi không phải là mệnh đề. u Ví dụ 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? 1 7 + 5 = 3. 2 7 p+ x > 0. 3 2 > 1. 4 15 không chia hết cho 3. 5 3 có phải số nguyên không? 2 6 Ôi! Xinh quá!. 7 BangKok là thủ đô Campuchia. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Xét tính đúng – sai của mệnh đề Phương pháp: Một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai là mệnh đề sai. u Ví dụ 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng, mệnh đề nào sai? 1 Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. 2 Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. 3 Nếu một tam giác có một góc bằng 60◦ thì tam giác đó đều. 4 Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. 5 Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba. 6 15 là số nguyên tố. 7 Bạn có chăm học không? Lời giải: …………………………………………………………………………………… 6 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN …………………………………………………………………………………… { Dạng 3. Phủ định mênh đề Phương pháp: Thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. u Ví dụ 1. Phủ định các mệnh đề sau. 1 Phương trình x2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. 2 Con thì thấp hơn cha. 3 5 + 4 = 10. 4 10 chia hết cho 3. 5 5 là số hữu tỉ. 6 Pa-ri là thủ đô nước Anh. 7 Có vô số số nguyên tố. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 4. Mệnh đề kéo theo Phương pháp: L Xét mệnh đề P ⇒ Q . Khi đó P là giả thiết, Q là kết luận. L P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P . u Ví dụ 1. Phát biểu mệnh đề A ⇒ B và xét tính đúng sai của nó. 1 A : “π > 3″; B : ” − 2π > −6″. 2 A: “252 chia hết cho 2 và 3” ; B: “252 chia hết cho 6”. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 5. Mệnh đề đảo Phương pháp: Mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của Q ⇒ P . u Ví dụ 1. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau. 1 Nếu 2 góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau. 2 ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 7 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN { Dạng 6. Mệnh đề tương dương Phương pháp: Kiểm tra từng mệnh đề kéo theo để xác định một mệnh đề có phải là mệnh đề tương đương hay không ? u Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề tương đương? 1 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD có ba góc vuông. 2 Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi ABCD có bốn góc vuông. 3 Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 7. Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ Phương pháp: L Phủ định của mệnh đề “∀ x ∈ X ,P ( x)” là mệnh đề “∃ x ∈ X ,P ( x)”. L Phủ định của mệnh đề “∃ x ∈ X ,P ( x)” là mệnh đề “∀ x ∈ X ,P ( x)”. u Ví dụ 1. Phủ định các mệnh đề sau. 1 Mọi động vật đều di chuyển. 2 Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 3 ∀ x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. 4 ∃ x ∈ N, x2 = x. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… B TỰ LUẬN t Câu 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến: 1 2 3 4 5 Số 11 là số chẵn. Bạn có chăm học không ? Huế là một thành phố của Việt Nam. 2x + p 3 là một số nguyên dương. 2 − 5 < 0. 6 7 8 9 10 8 4 + x = 3. Hãy trả lời câu hỏi này!. Paris là thủ đô nước Ý. Phương trình x2 − x + 1 = 0 có nghiệm. 13 là một số nguyên tố. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? 1 2 3 4 Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 . Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. 5 6 7 8 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. 81 là một số chính phương. 5 > 3 hoặc 5 < 3. Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. t Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời: 1 2 3 4 5 6 ∀ x ∈ R, x2 > 0. ∃ x ∈ R, x > x2 ∃ x ∈ Q, 4 x2 − 1 = 0. ∀ n ∈ N, n2 > n. ∀ x ∈ R, x > 3 ⇒ x2 > 9 p. ∀ x ∈ R, x2 < 5 ⇒ x < 5 7 8 9 10 ∃ x ∈ R, 5 x − 3 x2 ≤ 1 ∃ x ∈ N, x2 + 2 x + 5 là hợp số. ∀ n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3. ∀ n ∈ N ∗ , n( n + 1) là số lẻ. 11 ∀ n ∈ N ∗ , n( n + 1)( n + 2) chia hết cho 6. t Câu 4. Cho mệnh đề chứa biến P ( x), với x ∈ R. Tìm x để P ( x) là mệnh đề đúng: 1 P ( x) : " x2 − 5 x + 4 = 0"0 2 P ( x) : " x2 − 5 x + 6 = 0" 3 P ( x) : " x2 − 3 x > 0″ p 4 P ( x) : ” x ≥ x” 5 P ( x) : “2 x + 3 ≤ 7″ 6 P ( x) : ” x2 + x + 1 > 0″ t Câu 5. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 9 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN 1 2 3 4 5 ∀ x ∈ R : x 2 > 0. ∃ x ∈ R : x > x2 . ∃ x ∈ Q : 4 x 2 − 1 = 0. ∀ x ∈ R : x2 − x + 7 > 0. ∀ x ∈ R : x2 − x − 2 < 0. 6 7 8 9 10 ∃ x ∈ R : x 2 = 3. ∀ n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3. ∀ n ∈ N, n2 + 2 n + 5 là số nguyên tố. ∀ n ∈ N, n2 + n chia hết cho 2. ∀ n ∈ N, n2 − 1 là số lẻ. t Câu 6. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": 1 Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. 2 Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. 3 Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. 4 Nếu a = b thì a2 = b2 . 5 Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. t Câu 7. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”: 1 Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. 2 Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 3 Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. 4 Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. 5 Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy mở cửa ra! b) Số 20 chia hết cho 8. 10 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN c) Số 17 là một số nguyên tố. d) Bạn có thích chơi bóng đá không? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t Câu 2. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Đăk Lăk là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 + 19 = 24. e) 6 + 81 = 25. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t Câu 3. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề sai? (1) Hãy cố gắng học thật tốt! (2) Số 20 chia hết cho 6. (3) Số 5 là số nguyên tố. (4) Số 15 là một số chẵn. A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4. t Câu 4. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Paris có phải là thủ đô của nước Pháp không? B. Paris là thủ đô của nước Pháp. p C. 3 là một số vô tỉ. D. Tam giác ABC có một góc tù. 11 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 5. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. Mọi số tự nhiên đều là số nguyên. B. Số 2017 là số nguyên tố. C. Tổng các góc trong của một tam giác bằng 90◦ . D. x2 − 3 x + 2 > 0. t Câu 6. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng? A. π là một số hữu tỉ. B. Tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba. C. Bạn có chăm học không? . D. Con thì thấp hơn cha. t Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 7 ≤ 7. B. 7 ≤ 10. C. π2 ≥ 10. p D. π ≤ 10. t Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề ”Hôm nay, trời nắng to”? A. Hôm qua, trời nắng to. B. Hôm nay, trời nắng không to. C. Hôm nay, trời không nắng to. D. Hôm nay, trời mưa to. 12 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 9. Phủ định của mệnh đề “Dơi là một loài chim” là mệnh đề nào sau đây? A. Dơi là một loài có cánh. B. Chim cùng loài với dơi. C. Bồ câu là một loài chim. D. Dơi không phải là một loài chim. t Câu 10. Trong các câu khẳng định sau, câu nào là mệnh đề sai? A. Nếu tam giác ABC thỏa mãn AB2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại B. B. 2 là số nguyên tố. C. Nếu một phương trình bậc hai có biệt thức ∆ không âm thì nó có nghiệm. D. Tổng 3 góc trong của một tam giác bằng 1800 . t Câu 11. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” ? A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. t Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu n là một số nguyên lẻ thì n2 là số lẻ. B. Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 3 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. C. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD . D. Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện b = 600 . AB = AC và A 13 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 . B. Nếu a2 ≥ b2 thì a ≥ b. C. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. D. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. t Câu 14. Biết A là mệnh đề sai, còn B là mệnh đề đúng. Mệnh đề nào sau đây đúng? D. B ⇒ A . A. B ⇒ A . B. B ⇔ A . C. A ⇔ B . t Câu 15. Cho a,b là hai số tự nhiên. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a, b là các số lẻ thì ab lẻ. B. Nếu a chẵn và b lẻ thì ab lẻ. C. Nếu a và b lẻ thì a + b chẵn. D. Nếu a2 lẻ thì a lẻ. t Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu m,n là các số vô tỉ thì m.n cũng là số vô tỉ. B. Nếu ABC là một tam giác vuông thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. #» #» #» #» C. Với ba vectơ #» a , b , #» c đều khác vectơ 0 , nếu #» a , b cùng hướng với #» c thì #» a , b cùng hướng. # » # » # » #» D. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi G A + GB + GC = 0 . 14 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 17. Cho các mệnh đề P : “5 chia hết cho 2” và Q : ”11 là số nguyên tố”. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. C. P ⇔ Q . D. P ⇒ Q . A. Q ⇒ P . B. P ⇒ Q . t Câu 18. Xét mệnh đề chứa biến P (n) : “n chia hết cho 12”. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P (48). B. P (4). C. P (3). D. P (88). . . . . . . t Câu 19. Cho các mệnh đề P : “∀n ∈ N,n..2 và n..3 thì n..6”, Q : “∀n ∈ Z,n..6 thì n..3 và n..2”. Khẳng định nào dưới đây đúng vế tính đúng – sai của các mệnh đề P và Q ? A. P đúng, Q sai. B. P sai, Q đúng. C. P và Q cùng sai. D. P và Q cùng đúng. t Câu 20. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? Có bao nhiêu mệnh đề đúng? a) Tam giác cân có hai góc bằng nhau phải không? b) Hai vectơ có độ dài bằng nhau thì bằng nhau. c) Một tháng có tối đa 5 ngày chủ nhật. d) 23 là một số nguyên tố. e) Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 6= 0) là một đường parabol. A. Có 5 mệnh đề; 4 mệnh đề đúng. B. Có 4 mệnh đề; 3 mệnh đề đúng. C. Có 3 mệnh đề; 2 mệnh đề đúng. D. Có 4 mệnh đề; 2 mệnh đề đúng. 15 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 2 A. − B. p π < 4 ⇔ π2 < 16 p. pπ < −2 ⇔ πp< 4 . D. 23 < 5 ⇒ −2 23 > −2 · 5. C. 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2 · 5 . t Câu 22. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. π là số không nhỏ hơn 4. B. Nếu a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a + b > c + d thì a > c và b > d . C. Nếu a > 3 thì a > 0. D. ∃ x ∈ N,x2 = 2 . t Câu 23. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề ”An nói Bình tặng hoa cho mẹ vào ngày 8 – 3” ? A. Cường nói Bình tặng hoa cho mẹ vào ngày 8 – 3. B. An nói Bình không tặng hoa cho mẹ vào ngày 8 – 3. C. An không nói Bình tặng hoa cho mẹ vào ngày 8 – 3. D. An nói Bình tặng hoa cho mẹ vào ngày sinh nhật. t Câu 24. Cho A, B là hai điểm trên đường tròn (C ) tâm O , và I là một điểm trên đoạn AB (dây AB không đi qua tâm O ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. “Nếu I là trung điểm AB thì OI = AB”. B. “Nếu I là trung điểm AB thì OI ⊥ AB”. 1 2 C. “Nếu I là trung điểm AB thì OI ∥ AB”. D. “Nếu I là trung điểm AB thì OI = AB”. 16 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 25. Cho P và Q là hai mệnh đề. P : “Tuần này tôi mua một vé xổ số vietlott”, Q : “Tôi sẽ trúng 100 tỉ đồng”. Mệnh đề nào dưới đây không là mệnh đề P ⇐⇒ Q . A. “Tuần này tôi mua một vé xổ số vietlott nếu và chỉ nếu tôi sẽ trúng 100 tỉ đồng” . B. “Tuần này tôi mua một vé xổ số vietlott khi và chỉ khi tôi sẽ trúng 100 tỉ đồng”. C. “Nếu tuần này tôi mua một vé xổ số vietlott thì tôi sẽ trúng 100 tỉ đồng. D. “Tuần này tôi mua một vé xổ số vietlott là điều kiện cần và đủ để tôi sẽ trúng 100 tỉ đồng”. t Câu 26. Cho P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Q . B. Q ⇒ P . C. P ⇐⇒ Q . D. P ⇐⇒ Q . t Câu 27. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀ z ∈ Z : z2 + z > z4 + 10”. A. “∃ z ∈ Z : z2 + z ≤ z4 + 10”. B. “∃ z ∈ Z : z2 + z < z4 + 10". C. "∃ z ∈ Z : z2 + z ≥ z4 + 10". D. "∃ z ∈ Z : z2 + z > z4 + 10″. t Câu 28. Cách phát biểu nào sau đây không dùng để phát biểu mệnh đề P ⇔ Q ? A. P khi và chỉ khi Q . B. P tương đương Q . C. P kéo theo Q . D. P là điều kiện cần và đủ để có Q . 17 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 29. Tìm mệnh đề đúng. A. ∀n ∈ N : n > 0. B. ∃ m ∈ Z : 2 m = m. C. ∀ x ∈ R : x2 > 0. D. ∃ k ∈ Q : k2 = 2. t Câu 30. Mệnh đề “Bình phương mọi số thực đều không âm” mô tả mệnh đề nào dưới đây? A. “∀n ∈ N : n2 ≥ 0”. B. “∃ x ∈ R : x2 ≥ 0”. C. “∀ x ∈ R : x2 ≥ 0”. D. “∀ x ∈ R : x2 > 0”. t Câu 31. Mệnh đề “Có ít nhất một số tự nhiên khác 0” mô tả mệnh đề nào dưới đây? A. “∀n ∈ N : n 6= 0”. B. “∃ x ∈ N : x = 0”. C. “∃ x ∈ Z : x 6= 0”. D. “∃ x ∈ N : x 6= 0”. t Câu 32. Phủ định của mệnh đề ∀n ∈ N,n2 − n là số chẵn? A. ∀n ∈ N,n2 − n là số lẻ. B. ∀n ∈ N,n2 − n là số chẵn. C. ∃ n ∈ N,n2 − n là số chẵn. D. ∃ n ∈ N,n2 − n là số lẻ. t Câu 33. Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 ∈ Z. x+2 C. ∃ x ∈ R,x2 + 3 x + 5 = 0. B. ∀a,b ∈ R,a2 + b2 > 2ab. A. ∃ x ∈ Z, D. ∀ y ∈ Z,y3 > y. 18 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 34. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ∃ n ∈ N : n2 = n. C. ∃ n ∈ N : n2 − 2 = 0. B. ∀n ∈ N : n2 > 0. D. ∀n ∈ N : n2 + 1 là số lẻ. t Câu 35. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ∀ x ∈ R : x2 > 0. C. ∃ x ∈ R : x2 + 1 = 3 x. B. ∀ x ∈ R : x ≤ x − 1. D. ∀ x ∈ R : 1 > x. x t Câu 36. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ∀m ∈ Z, ∃ n ∈ Z : m2 − n2 = 1. A. ∃ m ∈ Z, ∀n ∈ Z : m2 − n2 6= 1. B. ∃ m ∈ Z, ∀n ∈ Z : m2 − n2 = 1. 2 2 C. ∃ m ∈ Z, ∃ n ∈ Z : m − n 6= 1. D. ∀m ∈ Z, ∀n ∈ Z : m2 − n2 = 1. t Câu 37. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ∃ x ∈ R, ∃ y ∈ R : x2 − y2 > 101000 . A. ∃ x ∈ R, ∃ y ∈ R : x2 − y2 < 101000 . B. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R : x2 − y2 > 101000 . C. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R : x2 − y2 < 101000 . D. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R : x2 − y2 ≤ 101000 . 19 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỆNH ĐỀ- MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN t Câu 38. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P:"∃ x ∈ R : x − 3 > 0″ là : A. P :”∃ x ∈ R : x − 3 ≤ 0″. B. P :”∀ x ∈ R : x − 3 ≤ 0″. C. P :”∀ x ∈ R : x − 3 > 0″. D. P :”∃ x ∉ R : x − 3 > 0″. t Câu 39. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P:”∀ x ∈ R : x2 ≥ 0″ là : A. P :”∃ x ∈ R : x2 ≤ 0″. B. P :”∀ x ∈ R : x2 ≤ 0″. C. P :”∃ x ∈ R : x2 < 0". D. P :"∀ x ∉ R : x2 ≥ 0". t Câu 40. Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q:"∀ x ∈ R : x2 + 1 6= 0" là : B. Q :"∀ x ∉ R : x2 + 1 6= 0". A. Q :"∃ x ∈ R : x2 + 1 = 0". 2 C. Q :"∀ x ∈ R : x + 1 = 0". D. Q :"∃ x ∈ R : x2 + 1 6= 0". 20 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP BÀI 2. 7GV: Doãn Thịnh TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA M Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. M Cách xác định tập hợp: (a) Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc {. . . }. (b) Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. M Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. 2 TẬP HỢP CON – TẬP HỢP BẰNG NHAU. M A ⊂ B ⇔ (∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B). M A = B ⇔ ( A ⊂ B và B ⊂ A ) ⇔ (∀ x,x ∈ A ⇔ x ∈ B). ! 3 ○ A ⊂ A,∀ A . ○ ∅ ⊂ A,∀ A . ○ A ⊂ B,B ⊂ C ⇒ A ⊂ C . MỘT SỐ TẬP CON CỦA TẬP HỢP SỐ THỰC. 21 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 4 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP. 1 2 3 4 5 7GV: Doãn Thịnh Giao của hai tập hợp: A ∩ B ⇔ { x| x ∈ A và x ∈ B}. Hợp của hai tập hợp: A ∪ B ⇔ { x| x ∈ A hoặc x ∈ B}. Hiệu của hai tập hợp: A B ⇔ { x| x ∈ A và x ∉ B}. Phần bù: Cho B ⊂ A thì C A B = A B. CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xác định tập hợp M Xác định tập hợp bằng cách liệt kê. M Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. u Ví dụ 1. © Liệt kê các phần ªtử của các tập hợp sau. 1 X = x ∈ R|2 x2 − 7 x + 5 = 0 . 2 Y = ©{ x ∈ N|3 x − 5 < x}. ª 3 Z = x ∈ Z|( x2 − 10 x + 21)( x3 − x) = 0 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Xác định tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng. 1 X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. 2 Y =½ {−3; −2; −1; 0; 1;¾2; 3}. 3 Z= 1 1 1 1 ; ; ; ;... . 2 4 8 16 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 22 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP { Dạng 2. Tìm giao của các tập hợp Giao hai tập hợp của A và B là một tập hợp gồm các phần tử chung của A và B. ( x ∈ A∩B ⇔ x∈ A x∈B u Ví dụ 1. Tìm A ∩ B. 1 A = { x ∈ N| x < 20}, B = { x ∈ N| x < 30}. 2 A = {−7; 0; 6; 7; 8}, B = {−3; 5; 7; 10; 12}. 3 A = (0; 3), B = (2; 7). 4 A = (1; 5), B = [−2; 4]. 5 A = (−∞; 3), B = [−2; 8). 6 A = [−1; 6), B = [−2; +∞). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Tìm hợp của các tập hợp Hợp hai tập hợp của A và B là một tập hợp gồm các phần tử chung và riêng của A và B. " x ∈ A∪B ⇔ x∈ A x∈B u Ví dụ 1. Tìm A ∪ B. 1 A = { x ∈ N| x < 20}, B = { x ∈ N| x < 30}. 2 A = {−7; 0; 6; 7; 8}, B = {−3; 5; 7; 10; 12}. 3 A = (0; 3), B = (2; 7). 4 A = (1; 5), B = [−2; 4]. 5 A = (−∞; 3), B = [−2; 8). 6 A = [−1; 6), B = [−2; +∞). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 23 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Tìm hiệu của các tập hợp Hiệu hai tập hợp của A và B là một tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B. ( x ∈ A B ⇔ x∈ A x∉B u Ví dụ 1. Tìm A B. 1 A = { x ∈ N| x < 20}, B = { x ∈ N| x < 30}. 2 A = {−7; 0; 6; 7; 8}, B = {−3; 5; 7; 10; 12}. 3 A = (0; 3), B = (2; 7). 4 A = (1; 5), B = [−2; 4]. 5 A = (−∞; 3), B = [−2; 8). 6 A = [−1; 6), B = [−2; +∞). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 5. Tìm tập con của tập hợp A được gọi là tập con của tập B và kí hiệu là A ⊂ B nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc B. u Ví dụ 1. Tìm tất cả các tập hợp con của tập 1 A = {1; 2; 3}. 2 A = {a; b}, B = {a; b; c; d }. 24 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: 1 2 3 4 ¯ © ª A = © x ∈ R ¯¯(2 x2 − 5 x + 3)( x2 − 4 x + 3) ª= 0 B = ©x ∈ R ¯¯( x2 − 10 x + 21)( x3 − x) = 0 ª C = ©x ∈ R ¯¯(6 x2 − 7 x + 1)( x2ª− 5 x + 6) = 0 D = x ∈ Z ¯2 x 2 − 5 x + 3 = 0 5 6 7 8 E = { x ∈ N | x + 3 < 4 + 2 x và 5 x − 3 < 4 x − 1 } F = { x ∈ Z || x + 2| ≤ 1 } G = {©x ∈ N |¯x < 5 } ª H = x ∈ R ¯ x2 + x + 3 = 0 t Câu 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: 1 A = {0; 1; 2; 3; 4} 2 B = {0; 4; 8; 12; 16} 3 C = {−3; 9; −27; 81} 4 D = {9; 36; 81; 144} 5 E = {2,3, 5,7, 11} 6 F = {3,6, 9,12,15} t Câu 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng: ¯ © ª 4 D = © x ∈ Q ¯¯ x2 − 2 = 0 ª 5 E = © x ∈ N¯¯ x2 + 7 x + 12 = ª0 6 F = x ∈ R ¯ x2 − 4 x + 2 = 0 1 A = ©{ x ∈ Z || ¯ x| < 1 } ª 2 B = ©x ∈ R ¯¯x2 − x + 1 = 0 ª 3 C = x ∈ Q ¯ x2 − 4 x + 2 = 0 25 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 4. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau: ¯ © ª 4 D = © x ∈ R ¯¯2 x2 − 5 x + 2 = 0ª 5 E = x ∈ Q ¯ x2 − 4 x + 2 = 0 1 A = {1,2} 2 B = {1,2, 3} 3 C = {a, b, c, d } t Câu 5. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A B, B A với: 1 2 3 4 5 6 A = {2,4, 7,8, 9,12}, B = {2,8, 9,12} A = {©2,4, 6,¯9}, B = {1,2, 3,4} ª A = x ∈ R ¯2 x2 − 3 x + 1 = 0 , B = { x ∈ R ||2 x − 1| = 1 }. A = ©Tập các ¯ ước số của 212, B = Tập các ª ước số của 18. ¯ A = © x ∈ R ¯( x + 1)(ªx − 2)( ©x − 8 x¯ + 15) = 0 , B = Tập các số ª nguyên tố có một chữ số. 2 2 2 ¯ ¯ A = x ∈ Z x < 4 , B = x ∈ Z (5 x − 3 x )( x − 2 x − 3) = 0 . t Câu 6. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A B, B A với: 1 A = [−4; 4], B = [1; 7] 2 A = [−4; −2], B = (3; 7] 3 A = [−4; −2], B = (3; 7) 4 A = (−∞; −2], B = [3; +∞) 5 A = [3; +∞), B = (0; 4) 6 A = (1; 4), B = (2; 6) t Câu 7. Tìm A ∪ B ∪ C , A ∩ B ∩ C với: 1 A = [1; 4], B = (2; 6),C = (1; 2) 2 A = (−∞; −2], B = [3; +∞), C = (0; 4) 3 A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] 4 A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3) 26 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho tập hợp A = {n ∈ N | 3 ≤ n ≤ 10}. Dạng liệt kê của tập hợp A là A. A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. B. A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. C. A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}. D. A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. t Câu 2. Cho tập hợp A = {n ∈ Z | −2 < n ≤ 5}. Tập hợp A bằng tập hợp nào sau đây? A. M = {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. B. N = {−1; 1; 2; 3; 4; 5}. C. P = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. D. Q = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. t Câu 3. Tập hợp A = x ∈ R | x2 + 3 x − 7 = 0 có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. © ª D. 3. t Câu 4. Cho tập hợp F = {−10; −5; 0; 5; 10}. Tập hợp F được viết bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trưng½cho các phần tử của nó lྠ½ ¾ .. .. A. F = n ∈ Z | n.5 và − 10 ≤ n ≤ 10 . B. F = n ∈ Z | n.5 . . D. F = n ∈ Z | n..5 và − 11 < n ≤ 15 . ½ C. F = {n ∈ Z | −10 ≤ n ≤ 10}. 27 ¾ Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai? A. A ⊂ B ⇔ (∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B). B. ( A ⊂ B) và (B ⊂ C ) ⇒ ( A ⊂ C ). C. ∅ không phải tập hợp con của A với mọi tập hợp A . D. A = B ⇔ ( A ⊂ B và B ⊂ A ). t Câu 6. Cho tập hợp B = x ∈ R¯ x2 − 3 x − 4 = 0 . Dùng phương pháp liệt kê phần tử, xác định tập hợp B. A. B = {−1}. B. B = {4}. C. B = (−1; 4). D. B = {−1; 4}. © ¯ ª t Câu 7. Cho tập hợp A = x ∈ N¯ x2 + 8 x + 15 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. A = {−3; −5}. B. A = ∅. C. A = {∅}. D. A = {0}. © ¯ ª t Câu 8. ©Cho tập hợp ¯ ¯ ¯ đúng? ª C = {0; 1; 2;©3; 4}. Khẳng ª định nào sau © đây ª ¯ ¯ A. C = x ∈ R x < 5 . B. C = x ∈ N x < 5 . C. C = x ∈ Z¯ x < 4 . 28 D. C = x ∈ Q¯ x ≤ 4 . © ¯ ª Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 9. Cho tập hợp A = x ∈ R¯ − 1 < x ≤ 4 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. A = (−1; 4]. B. A = {−1; 4}. C. A = (−1; 4). D. A = [−1; 4]. ¯ © ª t Câu 10. Cho tập hợp X = x ∈ R¯ − 2 ≤ x ≤ 5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. X = (−2; 5). B. X = {−2; 5}. C. X = [−2; 5). D. X = [−2; 5]. ¯ © ª t Câu 11. Tập hợp X = x ∈ Z¯ x2 − 7 x + 6 = 0 có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. t Câu 12. Tập hợp X = [−1; 4] có bao nhiêu phần tử? A. 2. B. 1. C. 5. D. Vô số. ¯ © ª ¾ ¯ . . ¯ t Câu 13. Cho tập hợp A = n ∈ Z 6 . n . Hãy viết tập hợp A dưới dạng liệt kê? ½ A. A = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}. C. A = {1; 2; 3; 6}. B. A = {−6; −3; −2; −1}. D. A = {−6; −1; 1; 6}. 29 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 14. Cho A là một tập hợp, hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. A ∈ A . B. ∅ ⊂ A . C. A ⊂ A . D. A ∈ { A }. t Câu 15. Tập hợp A = x ∈ R¯2 > x > 0 bằng tập hợp nào dưới đây? A. (0; 2]. B. (0; 2). C. [0; 2]. D. {0; 2}. t Câu 16. Tập hợp A = x ∈ R¯2 x2 − 7 x + 1 = 0 có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. t Câu 17. Tập hợp A = x ∈ R¯2 x2 − x + 1 = 0 có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 18. Tập hợp A = (1; 5) có bao nhiêu phần tử? A. 2. B. vô số. C. 3. D. 5. © © © ¯ ª ¯ ¯ ª ª 30 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP ¯ 2 t Câu 19.½ Hãy ¾ viết tập hợp A = ½x ∈¾R 2 x − 3 x + 1 = 0 dưới ½ dạng ¾ liệt kê các phần µ tử.¶ ¯ © A. A = 1; 1 . 2 B. A = ª 1 . 2 C. A = −1; 1 . 2 D. A = 1 ;1 . 2 t Câu 20. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác tập© ∅? ª A. A = ©{n ∈ N | n + 1 =ª 0}. B. B = ©( x; y) | x,y ∈ R và x2 +ªy2 = 0 . D. D = x ∈ R | − x2 + x − 1 = 0 . C. C = n ∈ Z | n2 = 2 . t Câu 21. Cho tập hợp A = [−2; 1). A là tập con của tập hợp nào sau đây? A. B = [−1; 2). B. C = { x ∈ R | −2 ≤ x < 1}. C. D = { x ∈ Z | −2 ≤ x < 1}. D. E = { x ∈ N | −2 ≤ x < 1}. t Câu 22. Cho tập hợp X = { x ∈ R | x > −1} . Tập hợp nào trong các tập hợp sau đây không chứa tập hợp X ? A. A = [−3; 7). B. R. C. B = [−3; +∞). D. C = [−1; +∞). 31 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 23. Cho tập hợp K = x ∈ R | 2 x2 + x + 18 = 0 . Kết luận nào sau đây đúng? A. K = {0}. B. K = 0. C. K = ∅. D. K = {∅}. © ª t Câu 24. Cho tập hợp A 6= ∅. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. A ∪ ∅ = A . B. A ∪ ∅ = ∅. C. A ∪ A = ∅. D. ∅ ∪ A = ∅. t Câu 25. Cho hai tập hợp X = {7, 2, 8, 4, 9, 12} và Y = {1, 3, 7, 4}. Tìm tập hợp X ∩ Y . A. {1, 2, 3, 4, 8, 9, 7, 12}. B. {2, 8, 9, 12}. C. {4, 7}. D. {1, 3}. t Câu 26. Cho hai tập hợp X = {2, 4, 6, 9} và Y = {1, 2, 3, 4}. Tìm tập hợp X ∪ Y . A. {1, 3} . B. {6, 9}. C. {1, 2, 3, 4, 6, 9}. D. {2, 4}. t Câu 27. Cho hai tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4} và Y = {2, 3, 4, 5, 6}. Tìm tập hợp X Y . A. {0}. B. {0, 1}. C. {1, 2}. D. {1, 5}. 32 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh ¾ 1 t Câu 28. Cho hai tập hợp M = , 1, 5, 7, 9 và N = {−2, 0, 5, 7, 8}. Tìm tập hợp M ∪ N . 2 ¾ ½ 1 A. {−2, 0, 5, 9}. B. −2, 0, , 9 . 2 ½ ¾ ½ ¾ 1 1 C. −2, 0, , 1, 5, 7, 8, 9 . D. , 1, 9 . 2 2 ½ t Câu 29. Cho hai tập hợp A = {0, 2, 4, 6, 8} và B = {0, 2, 4}. Tìm tập hợp C A B. A. {0, 2, 4, 6}. B. {0, 2, 4, 8}. C. {2, 4}. D. {6, 8}. t Câu 30. Cho hai tập hợp A = {1,2,3,4} và B = {2,4,6,8}. Tìm tập hợp A B. A. {1,2,3}. B. {1,3}. C. {6,8}. D. {2,4,6}. t Câu 31. Cho hai tập hợp X = (−∞; 3] và Y = (2; +∞). Tìm tập hợp X ∪ Y . A. [2; +∞). B. (−3; 2]. C. R. D. ∅. t Câu 32. Cho hai tập hợp X = (−∞; 1] và Y = (1; +∞). Tìm tập hợp X ∩ Y . A. [3; +∞). B. R. C. ∅. D. {3}. 33 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 7GV: Doãn Thịnh t Câu 33. Cho hai tập hợp X = [−2; 3] và Y = (1; 5]. Tìm tập hợp X Y . A. [−2; 1]. B. (3; 5]. C. [−2; 1). D. (−2; 1]. t Câu 34. Cho tập hợp A = (2; +∞). Tìm tập hợp CR A . A. [2; +∞). B. (2; +∞). C. (−∞; 2]. D. (−∞; −2]. t Câu 35. Cho các tập hợp sau A = (−1; 5] , B = (2; 7). Tìm tập hợp A B. A. (−1; 2]. B. (2; 5]. C. (−1; 7). D. (−1; 2). t Câu 36. Cho các tập hợp A = [−2; 3] ; B = (1; 5]. Tìm tập hợp A ∪ B. A. [−2; 5]. B. (1; 3]. C. [−2; 1]. D. (3; 5]. t Câu 37. Cho các tập hợp A = (−∞; 3] ; B = [3; +∞). Tìm tập hợp B ∩ A . A. R. B. {3}. C. ∅. D. [3; +∞). 34 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP t Câu 38. Cho các tập hợp A = [−2; 3] , B = (1; 5]. Tìm tập hợp B A . A. (3; 5]. B. [−2; 5]. C. (1; 3]. 7GV: Doãn Thịnh D. [−2; 1]. t Câu 39. Cho tập hợp A = (2; +∞). Tìm phần bù của tập hợp A trong tập hợp các số thực R. A. [2; +∞). B. (2; +∞). C. (−∞; 2]. D. (−∞; −2]. t Câu 40. Cho các tập hợp A = (−∞; 3] , B = (2; +∞). Tìm tập hợp B ∩ A . A. [3; +∞). B. (2; 3]. C. R. D. ∅. t Câu 41. Cho hai tập hợp A = (−∞; 3], B = (2; +∞). Tìm tập hợp B ∪ A . A. [2; +∞). B. (2; 3]. C. R. D. ∅. 35 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP t Câu 42. Cho hai tập hợp A = (−5; 3) và B = (0; 7). Tìm tập hợp A ∩ B. A. (0; 3). B. [0; 3]. C. (−5; 0). D. (3; 7). t Câu 43. Cho hai tập hợp A = (−1; 5) và B = (3; 7). Tìm tập hợp A ∪ B. A. (3; 5). B. (5; 7). C. (−1; 7). D. (−1; 3). t Câu 44. Cho hai tập hợp A = x¯ x ∈ R và B = (0; +∞). Tìm tập hợp A B. A. (−∞; 0]. B. [0; +∞). C. (0; +∞). D. (−∞; 0). © ¯ ª t Câu 45. Cho hai tập hợp A = x ∈ R¯ x + 2 ≥ 0 và B = x ∈ R¯5 − x ≥ 0 . Tìm tập hợp A B. A. [−2; 5]. B. [−2; 6]. C. (5; +∞). D. (2; +∞). © ¯ ª ¯ © ª t Câu 46. Cho hai tập hợp A = x ∈ R¯ x2 − 1 x2 − 3 x + 4 = 0 và B = x ∈ Z¯ | x| ≤ 2 . Tìm tập hợp A ∪ B. A. {−2, − 1,0,1,2, 4}. B. {−2, − 1,0,1,2, −4}. C. {−1, 1}. D. {−2, 0, 2}. © ¯¡ ¢¡ 36 ¢ ª © ¯ ª Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP t Câu 47. Cho tập hợp A = x ∈ R¯( x2 − 1)( x2 − 4) = 0 và tập hợp B = x ∈ Z¯| x| ≤ 2 . Khi đó, tập A ∪ B là A. {−2, −1, 0, 1, 2}. B. {−4, −2, −1, 0, 1, 2, 4}. C. {−2, −1, 1, 2}. D. {−2, 0, 2}. © ¯ ª © ¯ ª t Câu 48. Cho tập hợp B = x ∈ N∗ ¯ x ≤ 4 và tập hợp A gồm những số tự nhiên lẻ không lớn hơn 8. Tìm tập hợp A ∩ B. A. {1, 3}. B. {1, 2, 3, 4}. C. {0, 1, 3, 5}. D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. © ¯ ª t Câu 49. Cho các tập hợp M = [1; 4], N = (2; 6) và P = (1; 2). Tìm tập hợp M ∩ N ∩ P . A. [0; 4]. B. [5; +∞). C. (−∞; 1). D. ∅. t Câu 50. Cho hai tập hợp X = [−4; 7] và Y = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Tìm tập hợp X ∩ Y . A. [−4; −2) ∪ (3; 7]. B. [−4; −2) ∪ (3; 7). C. (−∞; 2] ∪ (3; +∞). D. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). 37 Sưu tầm và biên soạn 2. TẬP HỢP- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 38 7GV: Doãn Thịnh Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 2 BÀI HÀM SỐ 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1. Cho D ⊂ R, D 6= ∅. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số y ∈ R. x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f ( x). D được gọi là tập xác định của hàm số f . 2 CÁCH CHO HÀM SỐ 1 2 3 4 3 Cho bằng bảng. Cho bằng biểu đồ. Cho bằng công thức y = f ( x). Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đồ thị của hàm số y = f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M ( x; f ( x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x ∈ D. 4 SƯ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định trên K . 1 Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ). 2 Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ). 5 TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D. 1 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f ( x) = f ( x). 2 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f ( x) = − f ( x). Chú ý:  Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 39 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 6 CÁC DẠNG BÀI TẬP. { Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số. Phương pháp giải. Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa. Chú ý: Nếu P ( x) là một đa thức thì: 1 có nghĩa⇔ P ( x) 6= 0. P ( x) p  P ( x) có nghĩa ⇔ P ( x) ≥ 0. 1  p có nghĩa ⇔ P ( x) > 0. P ( x)  u Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: 1 y = x 4 + x 3 − 2 x + 5. x+3 2 y= 2 . x +p2 x − 3 x+ 5 . 3 y= 2 x + 4x p 3 x − 5. 2x − 3 5 y= p . px−2 p 6 y = 2 + x + 6 − 3 x. 4 y= p 2x 3x + 7 7 y= 2 . x + 2x − 3 p 3x 8 y = 4x + 2 + p . 1− x Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 40 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ { Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số. Phương pháp giải. Hàm số y = f ( x) xác ( định trên D: ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D  Hàm số chẵn  Hàm số lẻ f (− x) = f ( x) ( ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D f (− x) = − f ( x)  Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ. Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ. 1 Tìm tập xác định của hàm số. 2 Kiểm tra  Nếu ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D. Chuyển qua bước ba  Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ − x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ. 3 Xác định f (− x) và so sánh với f ( x).  Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn.  Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ.  Nếu tồn tại một giá trị x0 ∈ D mà f (− x0 ) 6= f ( x0 ) , f (− x0 ) 6= − f ( x0 ) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. u Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số − x4 + x2 + 5 . p 3x p 4 y = 2 + x + 2 − x. 1 y = x2 + 3 x4 . 2 y = x3 + 3 x. 3 y= Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… B TỰ LUẬN t Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số 41 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ x+1 ¡ ¢ ( x + 1) x2 + 3 x + 4 2 x2 + x + 1 2 y= 3 x + x2 − 5 x − 2 x 3 y= ¡ ¢2 x2 − 1 − 2 x2 p 3 2 x −1 4 y= 2 x + 2x + 3 1 y= p 2 x−1 y= . | x| − 2 p 2 y = x+2− p . x−1 p x+1 y= 2 . x p− x − 6 3 x−1 y= 2 . x + x+1 5 6 7 8 p p 6 − 3x − x − 1 2x + 9 . 10 y = p (px + 4) x + 3 3x − 2 + 6x . 11 y = p x p 4 − 3p 2− x+ x+2 12 y = . x 9 y= t Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau p x+5+ 5− x x3 + 5 x 2 f ( x) = 2 x +4 x2 + 5 3 f ( x) = 2 x −1 1 f ( x) = C p p p 4 f ( x) = x + 1 − 1 − x 5 f ( x) = 3 x2 − 2 x + 1 x−5 6 f ( x) = x−1 TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y = A. D = R {3}. B. D = R {−3}. x+2 . 3− x C. D = R. D. D = (−∞; 3). t Câu 2. Hàm số nào sau đây luôn p xác định với mọi x thuộc p tập R? A. y = 1 . x2 3 B. y = x x2 + 1 C. y = . 42 x x2 + 1 . D. y = x x2 − 1 . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ p t Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số ¶y = 2 x − 3. · 3 B. D = ; +∞ . 2 A. D = R. ¶ 2 C. D = ; +∞ . 3 µ ¸ 3 D. D = −∞; . 2 · p 2 t Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số p y = 2− x . p p A. D = [−2; 2]. B. D = (−∞; 2]. C. D = [− 2; 2]. p p D. D = (− 2; 2). p x−a , với a là hằng số. Tập xác định của hàm số đã cho là 2x − a nao nao B. D = [a; +∞) . C. D = [a; +∞). D. D = (a; +∞) . 2 2 t Câu 5. Cho hàm số y = A. D = R nao 2 . x+2 t Câu 6. Cho hàm số f ( x) = p f ( x)? x2 − 9 . Hàm số nào sau đây có cùng tập xác định với hàm số p x2 − 9 . x+2 1 C. k( x) = . p ( x + 4) x2 − 9 A. g( x) = B. h( x) = p p 2x x2 − 9 . D. t( x) = x2 − 9. 43 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ t Câu 7. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập R? A. y = x2 . C. y = − x2 + 3 x − 1. B. y = 2 x + 1. p 2017 t Câu 8. Tập xác định của hàm số y = 2 − x + p A. D = [1; 2]. C. D = (−∞; 1] ∪ [2; +∞). x−3 B. D = [0; +∞). x t Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y = A. D = R {−3}. là B. D = (1; 2]. D. D = (−∞; 1) ∪ [2; +∞). t Câu 9. Tập xác định của hàm số y = p 3 A. D = (0; +∞). x−1 1 x D. y = . B. D = R {−3; 3}. là C. D = R {0}. 3− x . 9 − x2 C. D = R {−3}. D. D = R. D. D = R. t Câu 11. Hàm số nào sau đây có tập xác định là D = Rp? 2x + 1 A. y = . x−4 x+1 . B. y = 2 x +1 2+ x C. y = . x−3 44 p D. y = x x2 − 3 x + 2 . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ t Câu 12. Hàm số f ( x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu A. ∀ x ∈ D thì f (− x) = − f ( x). B. ∀ x ∈ D thì f (− x) = f ( x). C. ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f (− x) = − f ( x). D. ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f (− x) = f ( x). t Câu 13. Hàm số f ( x) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu A. ∀ x ∈ D thì f (− x) = − f ( x). B. ∀ x ∈ D thì f (− x) = f ( x). C. ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f (− x) = − f ( x). D. ∀ x ∈ D thì − x ∈ D và f (− x) = f ( x). t Câu 14. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x) = −2 x3 + x. A. f ( x) là hàm số chẵn. B. f ( x) là hàm số lẻ. C. f ( x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f ( x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. t Câu 15. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x) = x4 − 3 x2 + 1. A. f ( x) là hàm số chẵn. B. f ( x) là hàm số lẻ. C. f ( x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f ( x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. 45 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ t Câu 16. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x) = x2 | x|. A. f ( x) là hàm số chẵn. B. f ( x) là hàm số lẻ. C. f ( x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f ( x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. t Câu 17. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x) = x3 + 2 x2 − 1. A. f ( x) là hàm số chẵn. B. f ( x) là hàm số lẻ. C. f ( x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f ( x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. t Câu 18. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ? A. y = 2. B. y = x3 + 2 x2 . C. y = − x4 + 2 x2 + 1 . x D. y = x4 − 4 x2 . x+4 . 2x − 2 D. y = t Câu 19. Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn? A. y = x3 + x. B. y = 3. C. y = 46 x4 + 2 x2 − 5 . x Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ t Câu 20. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số y = f ( x) = 2 x3 + 3 x + 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f ( x) là hàm số chẵn. B. y = f ( x) là hàm số lẻ. C. y = f ( x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y = f ( x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. 47 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 2. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ BẬC NHẤT Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a 6= 0). 2 SỰ BIẾN THIÊN 1 TXĐ: D = R 2 Hàm số số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0 3 Bảng biến thiên: x −∞ +∞ x ax + b (a < 0) −∞ 3 +∞ +∞ +∞ ax + b (a > 0) −∞ −∞ ĐỒ THỊ. Đồ thịµ của hàm số y = ax + b (a 6= 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục hoành ¶ b a tại A − ; 0 và trục tung tại B (0; b) Chú ý:  Nếu a = 0 ⇒ y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.  Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.  Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ), khi đó phương trình của đường thẳng d là: y − y0 = a ( x − x0 ). 4 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất Phương pháp:  Hàm số y = ax + b đồng biến trên R ⇔ a > 0.  Hàm số y = ax + b nghịch biến trên R ⇔ aµ< 0. ¶ µ ¶ b b  Hàm số y = |ax + b| (a 6= 0) đồng biến trên − ; +∞ và nghịch biến trên −∞; − . a a  Hàm số y = a | x| + b với a > 0 đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 0).  Hàm số y = a | x| + b với a < 0 nghịch biến trên (0; +∞) và đồng biến trên (−∞; 0). u Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số y = (2 − m) x + m + 1 đồng biến trên R. 48 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số y = (2m + 2) x − m nghịch biến trên R. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Xác định hàm số bậc nhất  Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, ( x A 6= xB ). M Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b (1). M Thế tọa độ A và B vào (1), được hệ phương trình hai ẩn a và b. M Giải hệ phương trình này, tìm được a và b.  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với ∆ : y = a0 x + b0 . ¡ ¢ M Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b, b 6= b0 (1). M Vì A ∈ d nên thế tọa độ A vào (1) được phương trình (*). M Vì d ∥ ∆ nên a = a0 (**). M Giải hệ (*) và (**) ta tìm được a và b.  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với ∆ : y = a0 x + b0 . M Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b (1). M Vì A ∈ d nên thế tọa độ A vào (1) được phương trình (*). M Vì d ⊥∆ nên a.a0 = −1(**). M Giải hệ (*) và (**) ta tìm được a và b. u Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (−2 ; 1) , B (1 ; −2). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (3 m + 2) x − 7 m − 1 vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2 x − 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 49 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT ................................................................................................ { Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Phương pháp:  Cho x = 0 ⇒ y = a.0 + b = b ⇒ A (0; b). µ ¶ b b  Cho y = 0 ⇒ x = − ⇒ B − ; 0 . a a  Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua A , B. u Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = x − 2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Tương giao của hai đường thẳng y = ax + b(d1 ) và y = a0 x + b0 (d2 ) (  a 6= a0 ⇔ d1 ∩ d2 = I . Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình: y = ax + b y = a0 x + b 0 .  ( d ⊥ d 0 ⇔ a.a0 = −1. 0   a=a b 6= b0 ( a = a0 b = b0 ⇔ d ∥ d0. ⇔ d ≡ d0. u Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d ) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d ) biết ( d ) đi qua điểm A (−3; 2) và song song với (∆) : y = − x + 2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho đường thẳng (d ) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d ) biết 1 ( d ) đi qua điểm M (2; 5) và vuông góc với (∆) : y = − x + 2. 2 50 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = 2 x − 3 b) y = − x − 3 c) y = x + 2 d) y = 2 x − 5 e) y = x + 3 f) y = 3 x − 7 t Câu 2. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A (1; 1), B(3; −2). b) d đi qua A (3; 0), B(−2; 2). c) d đi qua C (2; −2) và song song với ∆ : x − y + 1 = 0. d) d đi qua D (1; 3) và song song với ∆ : 2 x − y + 5 = 0. e) d đi qua N (1; −1) và d ⊥ d 0 với d 0 : y = − x + 3. f) d đi qua M (2; 0) và d ⊥ d 0 với d 0 : y = x + 3. t Câu 3. Cho đường thẳng (d1 ) : y = x + 2 và đường thẳng (d2 ) : y = 2m2 − m x + m2 + m. a) Tìm m để (d1 ) ∥ (d2 ). b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hoành độ x = 2. Viết phương trình đường thẳng ( d 3 ) đi qua A vuông góc với ( d 1 ). ¡ 51 ¢ Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Hàm số nào sau đây không phải là hàm số bậc nhất? A. y = 1 − x. x 2 2 x B. y = . C. y = . D. y = x + 2. t Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? A. y = 1 . x+2 p B. y = 7 x + 1. C. y = mx + 1 . x p D. y = 2 x + m + 1. t Câu 3. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = 3. B. y = 2 + 4. x C. y = − x + 5. 1 2 D. y = x + 3. t Câu 4. Cho hàm số y = 2 x + 1. Khẳng định nào sau đây sai? A. Tập xác định của hàm số trên là D = R. B. Hàm số đã cho nghịch biến trên R. C. Hàm số đã cho đồng biến trên R. D. Đồ thị hàm số trên đi qua điểm (0; 1). t Câuµ 5. Đồ ¶ thị hàm số y = 3 x + 2 cắt trục tung tại điểm A. 2 − ;0 . 3 B. (0; 3). C. (0; 2). 52 ¶ 2 D. 0; − . 3 µ Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT t Câu 6. Đường thẳng (d ) : y = 2 x + 1 vuông góc với đường thẳng A. y = −2 x + 9. 1 2 1 2 B. y = − x + 3. C. y = x + 4. D. y = 2 x − 4. t Câu 7. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2 x − 1 và y = 3 x + 2 là A. (−3; 7). B. (3; 11). C. (3; 5). D. (−3; −7). t Câu 8. Giá trị của hàm số y = 4 x + 1 tại x = 1 là A. 2. B. 5. C. 4. D. 6. t Câu 9. Hàm số nào sau đây đi qua hai điểm A (1; 2) và B(0; −1)? A. y = x + 1. B. y = x − 1. C. y = 3 x − 1. D. y = −3 x − 1. 53 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 1 2 t Câu 10. Cho hai đường thẳng d1 : y = x + 100 và d2 : y = −2 x + 100. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d1 và d2 trùng nhau. C. d1 và d2 song song với nhau. B. d1 và d2 cắt nhau. D. d1 và d2 vuông góc với nhau. t Câu 11. Hàm số y = (m − 1) x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi A. m = 1. B. m > 1. C. m < 1. D. m 6= 1. t Câu 12. Hàm số y = (m − 1) x + m − 2 nghịch biến trên R khi A. m = 1. B. m > 1. C. m < 1. D. m 6= 1. t Câu 13. Hệ số góc của đồ thị hàm số y = 2 x − 1 là A. −1. B. 1. C. 2. t Câu 14. Hàm số y = (−2 + m) x + 3m đồng biến trên R khi A. m = 2. B. m < 2. C. m > 2. 54 D. 1 . 2 D. m > −2. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT t Câu 15. Giá trị nào của k thì hàm số y = (k − 1) x + k − 2 nghịch biến trên tập xác định của hàm số. A. k < 1. B. k > 1. C. k < 2. D. k > 2. t Câu 16. Cho hàm số y = ax + b(a 6= 0). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến khi a > 0. B. Hàm số đồng biến khi a < 0. b a b a D. Hàm số đồng biến khi x < − . C. Hàm số đồng biến khi x > − . t Câu 17. Với giá trị nào của a và b thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A (−2; 1), B (1; 2) A. a = −2 và b = −1. B. a = 2 và b = 1. C. a = 1 và b = 1. D. a = −1 và b = −1. t Câu 18. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (−1; 2) và B (3; 1) là: A. y = x 1 + . 4 4 B. y = −x 7 + . 4 4 C. y = 55 3x 7 + . 2 2 D. y = − 3x 1 + . 2 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT t Câu 19. Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm x = 3 và đi qua điểm M (−2; 4) với các giá trị a, b là 1 2 A. a = ; b = 3. 1 2 1 2 B. a = − ; b = 3. 1 2 C. a = − ; b = −3. 1 D. a = ; b = −3. 1 t Câu 20. Cho hai đường thẳng d1 : y = x + 100 và d2 : y = − x + 100. Mệnh đề nào sau đây 2 2 đúng? A. d1 và d2 trùng nhau. B. d1 và d2 cắt nhau và không vuông góc. C. d1 và d2 song song với nhau. D. d1 và d2 vuông góc. 3 4 t Câu 21. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + 2 và y = − x + 3 là µ A. ¶ 4 18 ; . 7 7 µ B. ¶ 4 18 ;− . 7 7 µ ¶ 4 18 C. − ; . 7 7 µ ¶ 4 18 D. − ; − . 7 7 t Câu 22. Đường thẳng đi qua điểm A (1; 3) và song song với đường thẳng (d ) : y = x + 1 có phương trình là A. y = x − 2. B. y = − x − 2. C. y = − x + 2. D. y = x + 2. 1 t Câu 23. Đường thẳng đi qua M (−1; 4) và vuông góc với đường thẳng (d ) : y = − x + 2 có 2 phương trình là 56 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT A. y = 2 x + 6. B. y = −2 x + 6. C. y = 2 x − 6. D. y = −2 x − 6. t Câu 24. Tìm hàm số bậc nhất đi qua điểm A (2; 1) và song song với đường thẳng y = 2 x +3. A. y = 2 x − 3. B. y = −2 x − 2. C. y = 2 x + 4. D. y = 2 x + 2. t Câu 25. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số bậc nhất có hệ số góc bằng 2 và đi qua gốc tọa độ? A. M (1; 2). B. N (0; 2). C. P (2; 0). D. Q (0; 2). t Câu 26. Trong các đồ thị sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y = x − 1? y y y y x x A. x . B. x C. . . D. . t Câu 27. Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = ax + b, với a 6= 0 57 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y y x A. y x y x B. C. x D. 1 2 t Câu 28. Cho hai hàm số y = 2 x + 2 và y = x + 3. Đồ thị của hai hàm số này sẽ A. vuông góc nhau. B. song song nhau. C. trùng nhau. D. cắt nhau. t Câu 29. Trong các cặp hàm số sau đây, cặp hàm số nào có đồ thị là hai đường thẳng song song nhau p p p 3 6−2 3 1 x+ A. d1 : y = p x − 2 3 và d2 : y = p . 3 3 1 + p3 p 1 3 6+2 3 B. d1 : y = p x + 2 3 và d2 : y = p x + p . 3 1 + p3 p3 p 1 3 6+2 3 C. d1 : y = p x + 2 3 và d2 : y = x+ p . 3p 3 1 + 3p p 1 6+2 3 3 D. d1 : y = − p x + 2 3 và d2 : y = x+ p . 3 3 1− 3 t Câu 30. Gọi M (a; b) là điểm thuộc đồng thời cả hai đồ thị của các hàm số y = 3 x − 1 và y = 4 − 5 x. Khi đó, giá trị của tổng a + b là A. −6. B. 5 . 2 C. 58 3 . 2 7 4 D. − . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 59 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 3. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa 1. Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c (a 6= 0). 2 SỰ BIẾN THIÊN  TXĐ: D = R.  Bảng biến thiên x −∞ − b 2a +∞ +∞ x −∞ +∞ y (a > 0) − y (a < 0) ∆ 4a −∞ ¶ µ b  Khi a > 0 hàm số đồng biến trên − ; +∞ , nghịch biến trên 2a b ∆ khi x = − . nhỏ nhất là − 4a 2a µ ¶ b  Khi a < 0 hàm số đồng biến trên −∞; − , nghịch biến trên 2a ∆ b lớn nhất là − khi x = − . 4a 2a 3 − b 2a − ∆ 4a +∞ −∞ µ ¶ b −∞; − và có giá trị 2a ¶ µ b − ; +∞ và có giá trị 2a ĐỒ THỊ. µ ¶ b ∆  Khi a > 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là I − ; − . µ 2a 4a ¶ ∆ b .  Khi a < 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là I − ; − 2a 4a b  Đồ thị nhận đường thẳng x = − làm trục đối xứng. 2a y y ∆ − 4a I O O ∆ − 4a −b a x −b a x I Hình 2 Hình 1 60 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI 4 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai  Tập xác định D = R. µ ¶ b ∆ b  Xác định tọa độ đỉnh I − ; − , trục đối xứng x = − . 2a 4a 2a  Bảng biến thiên.  Lập bảng giá trị (5 điểm).  Xác định "chiều quay" của parabol và vẽ đường cong qua 5 điểm trên hệ trục. u Ví dụ 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau đây 1 y = x 2 − 4 x + 1. 2 y = − x 2 − 2 x + 3. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Xác định tọa độ giao điểm của parabol (P ) : y = ax2 + bx + c với đường thẳng d : y = mx + n Phương pháp giải.  Lập phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = mx + n.  Giải phương trình, tìm nghiệm x0 .  Thay các nghiệm x0 vào một trong hai hàm số ban đầu, tính y0 .  Kết luận giao điểm ( x0 ; y0 ). u Ví dụ 1. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số sau: 1 y = x2 + 2 x − 3 và y = 2 x + 1. 2 y = − x2 − 4 x + 1 và y = − x + 3. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 61 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI { Dạng 3. Xác định (P ) : y = ax2 + bx + c khi biết các yếu tố liên quan Phương pháp giải.  Nếu đề cho (P ) qua điểm ( x0 ; y0 ) thì ta thay x0 , y0 vào hàm số.  Nếu đề cho hoành độ đỉnh (hoặc trục đối xứng) x = x0 ta được −  Nếu đề cho tung độ đỉnh y = y0 ta được − −∆ = y0 . 4a b = x0 . 2a  Nếu đề cho tọa độ đỉnh I ( x0 ; y0 ) thì ta được b = x0 . 2a L ( x0 ; y0 ) ∈ (P ) nên ax02 + bx0 + c = y0 . L Giải phương trình ẩn số a, b, c. L Hoành độ đỉnh − u Ví dụ 1. Xác định phương trình của (P ) : y = −2 x2 + bx + c, biết (P ) 1 đi qua hai điểm M (0; −2) và N (2; 0). 2 có đỉnh I (1; 3). 3 đi qua điểm A (2; −3) và có hoành độ đỉnh x0 = 3. 4 có trục đối xứng là x = 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 1 y = x 2 − 3 x + 2. 2 y = −2 x2 + 4 x. 3 y = − x 2 − 2 x + 3. 4 y = x2 − 6 x + 8. 5 y = 2 x2 . 6 y = x2 − 4 x. 62 7 y = − x 2 − 2. 8 y = x 2 + 1. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 2. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số sau: 1 y = 3 x − 2 và y = 9 x2 − 3 x − 1. 2 y = −2 x2 − 3 x + 2 và y = 2. 3 y = 3 x và y = x2 − x + 5. 4 y = x2 − 4 và y = 4 − x2 . t Câu 3. Xác định phương trình Parabol có dạng 3 1 y = ax2 + bx + 2 qua A (1; 0) và trục đối xứng x = . 2 2 y = ax2 + bx + 3 qua A (−1; 9) và trục đối xứng x = −2. t Câu 4. Tìm Parabol y = ax2 + 3 x − 2, biết rằng Parabol đó 1 Qua điểm A (1; 5). 2 Cắt trục Ox µ tại điểm ¶ có hoành độ bằng 2. 1 11 3 Có đỉnh I − ; − . 2 4 4 Có trục đối xứng x = −3. t Câu 5. Xác định parabol P : y = ax2 + bx + 2, biết rằng P đi qua điểm M (1; 5) và có trục đối 1 4 xứng là đường thẳng x = − . ¶ 1 11 t Câu 6. Xác định parabol P : y = ax + 2 x + c, biết rằng I ; là đỉnh của P . 2 2 µ 2 63 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 7. Tìm parabol P : y = ax2 + bx + c, biết rằng P đi qua ba điểm A (1; −1), B (2; 3), C (−1; −3). C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Hàm số y = x2 đồng biến trên khoảng A. (0; +∞). B. (−∞; 0). C. (−∞; +∞). D. (−1; 1). t Câu 2. Hàm số y = − x2 + 4 x + 5 nghịch biến trên khoảng A. (1; +∞). B. (−∞; −1). C. (−∞; +∞). D. (2; +∞). t Câu 3. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ bên? A. y = − x2 − 4 x − 9. B. y = x2 + 4 x − 5. C. y = x2 + 4 x − 1. D. y = x2 + 2 x − 5. 64 x −∞ −2 +∞ +∞ +∞ y −5 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 4. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (−∞; 3)? A. y = x2 − 6 x + 5. B. y = x2 − 4 x + 1. C. y = − x2 − 2 x + 3. D. y = − x2 + 8 x − 3. t Câu 5. Cho hàm số y = 2 x2 − 2 x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). D. Đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh là I (1; 3). t Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? A. y = 2 x − 1. B. y = | x|. C. y = 2 − x2 . p D. y = 2 x2 + x + 5. t Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào xác định trên R? p A. y = x. B. y = x x2 − 1 1 C. y = p . x2 . D. y = −2 x2 + 3 x − 1. t Câu 8. Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua hai điểm M (1; 5) và N (−2; 8) có phương trình là: A. y = x2 + x + 2. B. y = x2 + 2 x + 2. C. y = 2 x2 + x + 2. D. y = 2 x2 + 2 x + 2. 65 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 9. Parabol y = ax2 + bx + c đi qua A (8; 0) và có đỉnh A (6; −12) có phương trình là: A. y = x2 − 12 x + 96. B. y = 2 x2 − 24 x + 96. C. y = 2 x2 − 36 x + 96. D. y = 3 x2 − 36 x + 96. t Câu 10. Hàm số y = 2 x2 + 4 x − 1. Khi đó: A. Hàm số đồng biến trên (−∞; −2)và nghịch biến trên (−2; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2)và đồng biến trên (−2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1)và nghịch biến trên (−1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1)và đồng biến trên (−1; +∞). 2( x + 2)2 + 9 là điểm nào sau đây? −3 B. I (2; 9). C. I (−2; 3). t Câu 11. Đỉnh của parabol y = A. I (−2; 9). t Câu 12. Bảng biến thiên ở hình bên của hàm số nào trong các hàm số sau? A. y = x2 + 4 x + 5. B. y = − x2 − 4 x − 3. C. y = x2 − 4 x − 11. D. y = − x2 − 4 x + 1. 66 x −∞ D. I (−2; −3). −2 +∞ 1 y −∞ −∞ Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 13. Hãy lập bảng biến thiên của hàm số y = x2 + 2 x + 3. x +∞ 1 +∞ x +∞ +∞ +∞ +∞ y 6 A. −∞ 1 . 2 B. x +∞ −∞ 6 −1 . +∞ 2 y C. −1 +∞ y x +∞ y −∞ −∞ . D. −∞ −∞ . t Câu 14. Cho hàm số y = ax2 + bx + c với a µ> 0. Mệnh¶ đề nào sau đây đúng? A. B. C. D. ¶ µ b b Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −∞; − và nghịch biến trên khoảng − ; +∞ . 2a ¶ µ 2a µ ¶ b b và đồng biến trên khoảng − ; +∞ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞; − 2¶a µ ¶ µ 2a ∆ ∆ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −∞; − và nghịch biến trên khoảng − ; +∞ . 4a ¶ µ µ 4a ¶ ∆ ∆ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞; − và đồng biến trên khoảng − ; +∞ . 4a 4a t Câu 15. Xác định parabol (P ) : y = x2 + ax − b, biết đỉnh của nó là I (−1; −2). A. (P ) : y = x2 + 2 x − 1. B. (P ) : y = x2 + 2 x + 1. C. (P ) : y = x2 − 2 x − 1. D. (P ) : y = − x2 − 2 x − 1. 67 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 16. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + 1, biết đỉnh của nó là I (2; −3). A. (P ) : y = x2 − 4 x + 1. B. (P ) : y = x2 + 4 x + 1. 2 C. (P ) : y = − x + 4 x + 1. D. (P ) : y = x2 + 2 x + 1. t Câu 17. Đường thẳng 2 x + 1 = 0 là trục đối xứng của parabol (P ) nào sau đây? A. (P ) : y = 3 x2 + x − 1. B. (P ) : y = 2 x2 + x − 1. C. (P ) : y = x2 + x − 1. D. (P ) : y = − x2 + x − 1. t Câu 18. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết đỉnh của nó là I (−1; 1) và cắt trục hoành tại điểm M (0; 2). A. (P ) : y = − x2 + 2 x − 1. B. (P ) : y = x2 − 2 x + 2. 2 C. (P ) : y(= − x − 2 x + 2. D. (P ) : y = x2 + 2 x + 2. 1 = a−b+2 −1; 1), nên ta có . Vậy y = x2 + 2 x + 2. − b = −2a t Câu 19. Xác định tọa độ đỉnh I và trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x2 − 5 x + 4. ³ 5 2 A. I − ; − ³5 9´ 9´ 5 5 , x = − . B. I ; − , x = − . 4 2 2 4 2 68 ³ 5 2 C. I − ; − 9´ 5 , x= . 4 2 D. I ³5 2 ;− 9´ 5 , x= . 4 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 20. Đồ thị của hàm số nào sau đây nhận trục tung làm trục đối xứng? A. y = x2 − 3 x + 2. B. y = 2 x2 + 4. C. y = 3 x2 + 2 x. D. y = 4 x2 − x + 1. t Câu 21. Tìm tọa độ tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số y = 2 x2 + 3 x + 2 và y = 4 x + 3. ³ 1 2 ³ 1 2 ´ ´ B. − ; 1 , (−1; −1). A. − ; 1 , (1; 7). C. ³1 2 ³ 1 2 ´ ; 5 , (1; 7). ´ D. − ; −5 , (1; 1). t Câu 22. Tìm tọa độ tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 − 5 x + 3 và y = 2 x2 + x + 3. A. (0; 3), (−6; −15). B. (−6; 69). C. (0; 3), (−6; 69). D. (0; 3), (6,9). t Câu 23. Trong các đường parabol dưới đây, đường nào là đồ thị của hàm số y = x2 −2 x−1? y y −1 O 1 O x −1 A. I I Hình 1 B. 69 x −1 −2 Hình 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI y y I 2 O 1 1 x −2 C. Hình 3 D. x O −1 I Hình 4 t Câu 24. Đường parabol ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = 2 x2 − 6 x + 3. B. y = −2 x2 − 6 x + 3. C. y = 2 x2 + 6 x + 3. D. y = −2 x2 + 6 x + 3. y 3 − 3 2 I t Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 6 x + 8. A. −1. B. 1. C. 8. D. 9. t Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − 4 x − x2 . A. 1. B. 5. C. −5. D. 4. 70 x O − 3 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI t Câu 27. Hàm số y = x − x2 đạt giá trị lớn nhất tại giá trị nào của x? 1 2 1 4 A. x = . 1 2 B. x = . C. x = − . t Câu 28. Đường parabol ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. y ≤ 0, ∀ x ∈ (−∞; 1] ∪ [3; +∞). B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. C. y > 0, ∀ x ∈ (1; 3). D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 2. 2 . 6 x − 5 − 9 x2 1 C. ymin = − . 2 1 4 D. x = − . y I 1 O 1 2 3 x −3 t Câu 29. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y = 1 4 A. ymin = − . 1 2 B. ymin = . t Câu 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x − 1)2 + ( x − 3)2 . A. 0. B. 2. C. 10. 71 1 4 D. ymin = . D. 4. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. HÀM SỐ BẬC HAI 72 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 3 BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt D = D f ∩ D g . Mệnh đề chứa biến ” f ( x) = g( x)” được gọi là phương trình một ẩn. 1 x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình. 2 x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) nếu ” f ( x0 ) = g ( x0 ) ” là mệnh đề đúng. ! 2 Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x) và y = g( x). PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ. 1 Phương trình tương đương: Hai phương trình f 1 ( x) = g 1 ( x) và f 2 ( x) = g 2 ( x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.  Kí hiệu là f 1 ( x) = g 1 ( x) ⇔ f 2 ( x) = g 2 ( x).  Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. 2 Phương trình hệ quả: f 2 ( x) = g 2 ( x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f 1 ( x) = g 1 ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f 1 ( x) = g 1 ( x).  Kí hiệu là f 1 ( x) = g 1 ( x) ⇒ f 2 ( x) = g 2 ( x).  Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Một số dạng thường gặp: 1 Phương trình tương đương.  f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) ∀ x ∈ D  f ( x) = g( x) ⇔ f ( x).h( x) = g( x).h( x) nếu h( x) 6= 0 với mọi x ∈ D 2 Phương trình hệ quả f ( x) = g ( x) ⇒ f 2 ( x) = g 2 ( x) ∀ x ∈ D ! Khi giải phương trình ta cần chú ý:  Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.  Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình tương đương.  Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai. 73 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 3 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là những điều kiện cần của ẩn x để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Các dạng thường gặp: p L f ( x) xác định khi f ( x) ≥ 0. ! 1 xác định khi f ( x) 6= 0. f ( x) 1 L p xác định khi f ( x) > 0. f ( x) L u Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 1 2 3 4 5 6 p p 7 1 + 2x − 4 = 2 − 4x p x+1 8 2x − 6 = 2 x − 3p x+2 p 9 4 x + 4 x − 3 = 2 3 − 4 x + 3. p 10 − x2 + 6 x − 9 + x3 = 27 p p p 11 x + x − 2 = −3 − x. p p 12 ( x − 3)2 (5 − 3 x) + 2 x = 3 x − 5 + 4 5 x+ 2 = 1. x −4 p p 1 + p3 − x = p x − 2. 1 + 2 x − 3 = 3 x − 2. p x+1 4 − 2x = 3 . x − 3x + 2 p 5 3 = x 2 x −px − 1 p 1+ x−2 = x−1 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 74 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH { Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1 Phương trình tương đương. L f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) ∀ x ∈ D L f ( x) = g( x) ⇔ f ( x).h( x) = g( x).h( x) nếu h( x) 6= 0 với mọi x ∈ D 2 Phương trình hệ quả f ( x) = g ( x) ⇒ f 2 ( x) = g 2 ( x) ∀ x ∈ D u Ví dụ 1. Giải các phương trình sau 1 6 = . 2 − x 4 − x2 10 24 2 = − 2 1+ x − 4 x + 5 (4 − x)( x + 5) 3 3x = 3 2x + x−2 x−2 p 2x 1 4 p =p − 3 − x. 3− x 3− x p ¡ ¢ x + 1 x2 − 16 = 0. p 3− x 6 = 0. 2 x − 2 x −p 3 p 7 p x − 2 = x 2 − 8. 8 3 x2 − x − 9 = x − 1. 5 1 1+ Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Xác định m để các cặp phương trình sau đây tương đương với nhau? 2 mx + 2 m + 1 = 0. x−2 2 x2 − 4 = 0 và 3 x2 + ( m + 3) x + 7 m + 9 = 0. 1 2 x − 3 = 0 và Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 75 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH B TỰ LUẬN t Câu 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: 5 5 = 12 + . x−4 x−4 1 1 2 5x + = 15 + . x+3 x+3 1 1 3 x2 − = 9− . x−1 x−1 2 2 = 15 + . x−5 x−5 3 3x 5 2x + = . x−1 x−1 2x − 3 1 6 x+ = . x−2 x−2 1 3x + 4 3x + t Câu 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: p p 1 1 + 1 − x = x − 2. p p 2 p x + 1 = 2 − x. x + 1 = x + 1. 3 p x − 1 = 1 − x. 3 x 5 p =p . x −p1 x− 1 p 6 x2 − 1 − x = x − 2 + 3. 4 t Câu 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: p 1 p x − 3( x2 − 3 x + 2) = 0. x + 1( x2 − x − 2) = 0. 2 p x 1 3 p =p − x − 2. x−2 x−2 x2 − 4 x+3 p 4 p =p + x + 1. x+1 ¡ 2x + 1 ¢ p 5 x + x − 2 x + 3 = 0. x 2 6 =p . p 2 x−3 x−3 t Câu 4. Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 1 3 x + 2 = 0 và ( m + 3) x − m + 4 = 0 76 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ¡ ¢ 2 x + 2 = 0 và m x2 + 3 x + 2 + m2 x + 2 = 0 C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình x + A. x 6= 0. B. x 6= ±2. 5 x2 − 4 =1 C. x 6= −2. p D. x 6= 2. p t Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 + 3 − x = x − 2 A. 2 < x < 3. B. 2 ≤ x ≤ 3. C. x ≤ 3. p D. x ≥ 2. p t Câu 3. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 + 2 x − 3 = 3 x − 2 3 2 A. x < . 3 4 3 2 B. x ≥ . C. x ≥ . 5 2 D. x ≥ . p x+1 4 − 2x = 3 x − 3x + 2 ½ ½ x<2 x<3 . D. . C. x 6= 1 x= 6 1 t Câu 4. Tìm điều kiện xác định của phương trình ½ A. x<2 . x 6= −1 ½ B. x<4 . x 6= 1 77 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH p 5 3 x = 2 x − x−1   x ≥ 3 C. x 6= 1 .   x 6= 2 t Câu 5. Tìm điều kiện xác định của phương trình A. x ≥ 2. B. x ∈ ∅. p p t Câu 6. Tìm điều kiện xác định của phương trình  1+ x−2 = x−1 A. x ≥ 2.  x ≥ 3 C. x 6= 1 .   x 6= 2 B. x ∈ ∅. p 1± 5 D. x 6= . 2 p 1± 5 . D. x 6= 2 p x+1 2x − 6 = 2 x − 3x + 2  p  x ≥ 3  1± 5 C. x 6= 1 . . D. x 6=  2  x 6= 2 t Câu 7. Tìm điều kiện xác định của phương trình A. x ≥ 2. B. x ∈ ∅. p 4 − 3x t Câu 8. Điều kiện của phương trình x + 2 − p = là: x+1 x+2 1 A. x > −2 và x 6= −1. 4 3 B. x > −2 và x < . 4 3 D. x 6= −2 và x 6= −1. C. x > −2, x 6= −1 và x ≤ . 78 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH p 3 − 2x t Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + p = là: x 2x + 4 3 A. x > −2 và x 6= 0. B. x > −2, x 6= 0 và x ≤ . 2 3 C. x > −2 và x < . D. Đáp án khác. 2 1 t Câu 10. Tìm số nghiệm của các phương trình 1 + A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm. p 1 =p − 3− x 3− x 3− x t Câu 11. Tìm số nghiệm của các phương trình p A. 1 nghiệm. 1 6 = 2 − x 4 − x2 B. 2 nghiệm. 2x C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm. p t Câu 12. Tìm số nghiệm của các phương trình x + 1( x2 − 16) = 0 A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. 79 D. Vô nghiệm. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH p 3− x t Câu 13. Tìm số nghiệm của các phương trình 2 =0 x − 2x − 3 A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. t Câu 14. Tập xác định của phương trình A. D = R {1}. B. D = R {−1}. t Câu 15. Tập xác định của phương trình A. (3; +∞). B. [2; +∞). C. 3 nghiệm. 2x 3 – 5 = là: x2 + 1 x2 + 1 C. D = R {±1}. p x−1 + x−2 = C. [1; +∞). p D. D = R. x − 3 là: D. [3; +∞). x2 + 5 x−2+ p = 0 là: 7− x C. 2 ≤ x ≤ 7. D. 2 ≤ x < 7. t Câu 16. Điều kiện xác định của phương trình A. x ≥ 2. p D. Vô nghiệm. B. x < 7. p p 1 = x + 3 là: x2 − 1 C. [−3; +∞) {±1}. t Câu 17. Điều kiện xác định của phương trình A. (1; +∞). B. [−3; +∞). 80 D. Đáp án khác. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH p 1 t Câu 18. Điều kiện của phương trình p + x2 − 1 = 0 là: x A. x ≥ 0. C. x > 0và x2 − 1 ≥ 0. B. x > 0. p 5 − 2x t Câu 19. Điều kiện xác định của phương trình p là: = x−2 x−1 5 A. x ≥ 1 và x 6= 2. B. x > 1 và x 6= 2. C. 1 < x ≤ và x 6= 2. 2 D. x ≥ 0và x2 − 1 > 0. 1 t Câu 20. Tập nghiệm của phương trình A. T = {0}. B. T = ∅. p p x2 − 2 x = 2 x − x2 là: C. T = {0; 2}. 5 2 D. 1 ≤ x ≤ . D. T = {2}. p t Câu 21. Tập nghiệm của phương trình A. S = {0}. B. S = ∅. x p = − x là: x C. S = {1}. D. S = {−1}. t Câu 22. Hai phương trình được gọi là tương đương khi: A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. 81 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Có cùng một nghiệm. t Câu 23.pTrong các khẳng định sau, phép biến đổipnào là tương đương: p 2 2 B. x − 1 = 3 x ⇔ x − 1 = 9 x2 . A. 3 x + p x − 2 = x ⇔p3 x = x − x − 2. C. 3 x + x − 2 = x2 + x − 2 ⇔ 3 x = x2 . D. Đáp án khác. t Câu 24. Phương trình x2 + 1 ( x1) ( x + 1) = 0 tương đương với phương trình: A. x − 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. x2 + 1 = 0. D. ( x − 1)( x + 1) = 0. ¡ ¢ t Câu 25. Phương trình x2 = 3 x tương đương với phương trình: p p 1 1 = 3x + . x−3 x −p3 p D. x2 + x2 + 1 = 3 x + x2 + 1. A. x2 + x − 2 = 3 x + x − 2. p B. x2 + p C. x2 x − 3 = 3 x x − 3. t Câu 26. Phương trình ( x − 4)2 = x − 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây p p p p A. x − 4 = x − 2. B. x − 2 = x − 4. C. x − 4 = x − 2. D. x − 4 = x − 2. 82 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH t Câu 27. Cho phương trình 2 x2 − x = 0 (1). Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình (1)? ¡ ¢2 x = 0. B. 4 x3 − x = 0. C. 2 x2 − x = 0. D. x2 − 2 x + 1 = 0. A. 2 x − 1− x t Câu 28. Phương trình x2 = 3 x tương đương với phương trình: p p 1 1 = 3x + . x−3 x −p3 p D. x2 + x2 + 1 = 3 x + x2 + 1. A. x2 + x − 2 = 3 x + x − 2. p B. x2 + p C. x2 x − 3 = 3 x x − 3. t Câu 29. Khẳng định nào sau đây sai? A. p x ( x − 1) = 1 ⇔ x = 1. p( x − 1) p D. x − 3 = 9 − 2 x ⇒ 3 x − 12 = 0. B. x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. C. |3 x − 2| = x − 3 ⇒ 8 x2 − 4 x − 5 = 0. p p t Câu 30. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x − 2 = 2 − x. A. 0. B. 1. C. 2. 83 D. vô số. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 84 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI BÀI 2. 7GV: Doãn Thịnh PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là số thực và a 6= 0. 2 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1) b b L Nếu a 6= 0: (1) ⇔ x = − do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = − . a a L Nếu a = 0: phương trình (1) trở thành 0 x + b = 0. TH1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R. TH2: Với b 6= 0 phương trình vô nghiệm. 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là số thực và a 6= 0. 2 Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) L Nếu a = 0: trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) L Nếu a 6= 0: ∆ = b2 − 4ac p −b ± ∆ TH1: ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x = . 2a b TH2: ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = − 2a TH3: ∆ < 0 phương trình vô nghiệm. 3 ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG 1 Định lí Vi - ét. Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi b c chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = − và x1 x2 = . a a 2 Ứng dụng. L Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai L Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ). L Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0. L Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai: b a Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) (∗), kí hiệu S = − , P = c khi đó a Phương trình (∗) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0 85 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh   ∆ > 0 Phương trình (∗) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi P > 0   S>0   ∆ > 0 Phương trình (∗) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi P >0   4 S<0 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp giải. (  f ( x) ≥ 0  g ( x) ≥ 0   " C 1  f ( x) = g ( x) C2  | f ( x)| = g( x) ⇐⇒  ⇐⇒ f ( x) = g ( x) (    f ( x) < 0  f ( x) = − g ( x) − f ( x) = g ( x) " f ( x) = g ( x) C1 C 2  | f ( x)| = | g( x)| ⇐⇒ [ f ( x)]2 = [ g( x)]2 ⇐⇒ f ( x) = − g ( x) 2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương pháp giải.  Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không).  Đặt ẩn phụ. 3 Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai. Phương pháp giải. ( p f ( x) = [ g( x)]2 f ( x) = g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 0 ( f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) ≥ 0( hay g( x) ≥ 0) p ( p t = f ( x ), t ≥ 0  a f ( x) + b f ( x) + c = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 p p f ( x) + g(p x) = h( x)  Đặt u = f ( x), v = g( x) với u,v ≥ 0. p p phươngptrình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. p Đưap f ( x) +p g( x) +p f ( x).g( x) = h( x) Đặt t = f ( x) + g( x), t ≥ 0. 4 Phương trình trùng phương. Phương pháp giải.  ( ax4 + bx2 + c = 0 ⇔ 86 t = x2 , t ≥ 0 at2 + bt + c = 0 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 5 7GV: Doãn Thịnh CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất y = ax + b b b do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = − . a a L Nếu a = 0: phương trình (1) trở thành 0 x + b = 0. TH1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R. TH2: Với b 6= 0 phương trình vô nghiệm. L Nếu a 6= 0: (1) ⇔ x = − u Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình (m2 − 3) x − 2 m2 = x − 4 m theo tham số m. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 L Nếu a = 0: trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) L Nếu a 6= 0: ∆ = b2 − 4ac p −b ± ∆ . TH1: ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a b TH2: ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x = − 2a TH3: ∆ < 0 phương trình vô nghiệm. u Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình 2m2 + 5m + 2 x2 − 4 mx + 2 = 0 theo tham số m. ¡ ¢ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 87 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh { Dạng 3. Biện luận theo m có áp dụng định lí V iet Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = − c b và x1 x2 = . a a u Ví dụ 1. Cho phương trình x2 − 2mx − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tính theo m giá trị của các biểu thức sau: 1 A = x12 + x22 . 2 B = x13 + x23 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho phương trình x2 − 2( m − 1) x + m2 − 4 m + 3 = 0. Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm trái dấu. 2 có hai nghiệm dương phân biệt. { Dạng 4. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (  f ( x) ≥ 0  g ( x) ≥ 0   " C 1  f ( x) = g ( x) C2  | f ( x)| = g( x) ⇐⇒  ⇐⇒ f ( x) = g ( x) (    f ( x) < 0  f ( x) = − g ( x) − f ( x) = g ( x) " f ( x) = g ( x) C1 C 2  | f ( x)| = | g( x)| ⇐⇒ [ f ( x)]2 = [ g( x)]2 ⇐⇒ f ( x) = − g ( x) u Ví dụ 1. Giải phương trình: |2 x + 1| = ¯ x2 − 3 x − 4¯. ¯ ¯ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Giải phương trình: |3 x − 2| = 3 − 2 x. Lời giải: ................................................................................................ 88 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.  Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không).  Đặt ẩn phụ. u Ví dụ 1. Giải phương trình 1 − 6 x 9 x + 4 x (3 x − 2) + 1 + = . x−2 x+2 x2 − 4 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 6. Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai (  p  p f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = [ g( x)]2 g ( x) ≥ 0 ( p p f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) ≥ 0( hay g( x) ≥ 0) p ( p t = f ( x), t ≥ 0  a f ( x) + b f ( x) + c = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 p p  f ( x) + g( xp ) = h( x) Đặt u = f ( x), v = g( x) với u,v ≥ 0. Đưapphương ptrình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. f ( x) +p g( x) +p f ( x).g( x) = h( x) Đặt t = f ( x) + g( x), t ≥ 0. p p u Ví dụ 1. Giải phương trình: x2 − 2 x − 4 = 2 − x. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 89 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh p u Ví dụ 2. Giải phương trình: x2 − 6 x + 6 = 2 x − 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ p p u Ví dụ 3. Giải phương trình: 15 − x + 3 − x = 6. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 7. Phương trình trùng phương. ( 4 2 ax + bx + c = 0 ⇔ t = x2 , t ≥ 0 at2 + bt + c = 0 . u Ví dụ 1. Giải phương trình x4 − 3 x2 + 2 = 0. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. 1 ( m − 1) x + 2 − m = 0 2 m ( mx − 1) = 9 x + 3 3 ( m + 1)2 x = (3 m + 7) x + 2 + m 4 (2 m − 4) x + 2 − m = 0 5 ( m + 1) x = (3 m2 − 1) x + m − 1 6 ( m − 3) x − 2 + m = 0 90 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. 1 ( m 2 − m ) x = 2 x + m 2 − 1. 2 m (4 mx − 3 m + 2) = x( m + 1). t Câu 3. Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. 1 2 3 4 ¡ ¢ 5 2 m2 + 5 m + 2 x2 − 4 mx + 2 = 0 6 ( m − 2) x2 − 2( m + 1) x + m − 5 = 0 7 ( m − 2) x2 − (2 m − 1) x + m + 2 = 0 8 ( m + 1) x2 − (2 m + 1) x + m − 2 = 0 2 x2 − 6 x + 3 m − 5 = 0 x2 − x + m = 0 x2 − 3 x + 4 m = 0 ( m + 1) x2 − 2 mx + m − 2 = 0 t Câu 4. Tìm m để phương trình mx2 + x + m + 1 = 0 1 Có nghiệm kép. 2 Có hai nghiệm phân biệt. t Câu 5. Tìm m để phương trình x2 − 9 x + m = 0 có một nghiệm là −3. Khi đó tìm nghiệm còn lại. 91 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI t Câu 6. 1 Tìm 2 Tìm 3 Tìm 7GV: Doãn Thịnh Cho phương trình x2 − (m + 5) x − m + 6 = 0 (1). m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. Tìm nghiệm còn lại. m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 13. t Câu 7. Tìm nghiệm của các phương trình sau 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C p 11 x − 2 x − 5 = 4. p 12 2 x + 1 = 3 x + 1. p p 13 x 3 − x = 4 x + 4. p p x4 + 3 x + 1 = x4 − x2 − 1 . 14 p p 15 2 x + 6 x 2 + 1 = x + 1. p 16 2 x + 3 = 9 x2 − x − 4. p 17 x2 + x + 7 = 7. ¯ ¯ | 2 x + 1 | = ¯ x 2 − 3 x − 4 ¯. |¯3 x − 2| = 3 − ¯ 2 x. ¯ x2 − 4 x − 5¯ = 4 x − 17 |¯3 x − 2¯| = ¯x2 + 2 x + 3. ¯ ¯ x 3 − 1 ¯ = ¯ x 2 − 3 x + 2 ¯. 2x + 1 x + 1 = . 3x + 2 x − 2 2 10 50 1+ = − . x − 2 x + 3 (2 − x)( x + 3) x+3 4x − 2 = . 2 ( x + 1) (2 x − 1)2 x + 1 x − 1 2x + 1 + = . x + 2 x − 2 px + 1 p x2 + 2 x + 4 = 2 − x. 18 2 x4 − 7 x2 + 5 = 0. 19 x4 − 5 x2 + 4 = 0. 20 x4 − 13 x2 + 36 = 0. TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho phương trình ax + b = 0. Chọn mệnh đề đúng. A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0. B. Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0. C. Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0. D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0. 92 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 2. Tìm m để phương trình(m2 − 9) x = 3 m(m − 3) (1) có nghiệm duy nhất A. m = 3. B. m = −3. C. m = 0. D. m 6= −3 và m 6= 3. t Câu 3. Phương trình m2 − 4m + 3 x = m2 − 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi A. m 6= 1. B. m 6= 3. C. m 6= 1 và m 6= 3. D. m = 1 và m = 3. ¡ ¢ t Câu 4. Phương trình m2 − 2m x = m2 − 3 m + 2 có nghiệm khi A. m = 0. B. m = 2. C. m 6= 0 và m 6= 2. ¡ ¢ D. m 6= 0. t Câu 5. Phương trình m2 x + 6 = 4 x + 3 m. Phương trình có nghiệm khi A. m 6= 2. B. m 6= −2. C. m 6= 2 và m 6= −2. D. ∀m. t Câu 6. Phương trình ax + b = 0 có tập nghiệm là R khi và chỉ khi A. a 6= 0. B. a = 0. C. b = 0. 93 D. a = 0 và b = 0. Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 7. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy ( nhất khi và ( chỉ khi A. a = 0. B. C. a = b = 0. D. p a 6= 0 ∆=0 ( a 6= 0 ∆=0 hoặc a=0 b 6= 0 . . p t Câu 8. Phương trình x2 − (2 + 3) x + 2 3 = 0 A. Có 2 nghiệm trái dấu. C. Có 2 nghiệm dương phân biệt. B. Có 2 nghiệm âm phân biệt. D. Vô nghiệm. t Câu 9. Phương trình x2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m > 0. B. m < 0. C. m ≤ 0. D. m ≥ 0. t Câu 10. Phương trình (m − 1) x2 + 3 x − 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi 5 4 A. m ≥ − . 5 4 5 4 B. m ≤ − . C. m = − . 94 5 4 D. m = . Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 11. Với giá trị nào của m thì phương trình: mx2 + 2( m − 2) x + m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt? A. m ≤ 4. B. m < 4. C. m < 4 và m 6= 0. D. m 6= 0. t Câu 12. Cho phương trình: mx2 − 2( m + 2) x + m − 1 = 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa điều kiện: 4 5 A. m < − và m 6= 0. 4 5 B. m 6= 0. C. m < − . 4 5 D. m > − và m 6= 0. t Câu 13. Cho phương trình (m + 1) x2 − 6(m + 1) x + 2m + 3 = 0 (1). Với giá trị nào sau đây của m thì phương trình (1) có nghiệm kép? 7 6 A. m = . 6 7 6 7 B. m = − . C. m = . D. m = −1. t Câu 14. Cho phương trình mx2 − 2( m + 1) x + m + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm duy nhất? A. m = 1. B. m = 0. C. m = 0 và m = −1. D. m = 0 hoặc m = −1. 95 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 15. Phương trình (m − 2) x2 + 2 x − 1 = 0 có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi: A. m = 0 và m = 2. B. m = 1 hoặc m = 2. C. m = −2 và m = 3. D. m = 2. t Câu 16. Với giá trị nào của m thì phương trình 2( x2 − 1) = x(mx + 1) có nghiệm duy nhất: 17 . 8 C. m = 2. A. m = B. m = 2 hoặc m = D. m = 0. 17 . 8 t Câu 17. Để hai đồ thị y = − x2 − 2 x + 3 và y = x2 − m có hai điểm chung thì: A. m = −3,5. B. m < −3,5. C. m > −3,5. D. m ≥ −3,5. t Câu 18. Nghiệm của phương trình x2 − 3 x + 5 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: A. y = x2 và y = −3 x + 5. B. y = x2 và y = −3 x − 5. C. y = x2 và y = 3 x − 5. D. y = x2 và y = 3 x + 5. p p t Câu 19.p 2 và p 3 là p hai nghiệm của phương trình:2 p p p A. x2 − (p2 − p3) x − p6 = 0. B. x − (p2 + p3) x + p6 = 0. C. x2 + ( 2 + 3) x + 6 = 0. D. x2 − ( 2 − 3) x − 6 = 0. 96 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu 20. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 3 x − 1 = 0. Ta có tổng x12 + x22 bằng A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. t Câu 21. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình 2 x2 − 4 x − 1 = 0. Khi đó, giá trị của T = | x1 − x2p | là p A. 2. B. 2. C. 6. D. 4. t Câu 22. Phương trình A. m 6= 0. x−m x−2 = có nghiệm duy nhất khi x+1 x−1 B. m 6= −1. C. m 6= 0 và m 6= −1. t Câu 23. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: A. 0. B. 1. C. 2. 97 D. Không có m. x+1 x+m − = m có đúng 1 nghiệm? x−2 x+2 D. Kết quả khác. Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 7GV: Doãn Thịnh t Câu½ 24. ¾Tập nghiệm của phương x − 5| (1)¾là tập hợp nào½sau đây ½ ¾trình: | x − 2| = |3½ ¾ ? A. 3 7 ; . 2 4 B. 3 7 − ; . 2 4 C. 7 3 − ;− . 4 2 t Câu 25. Tập nghiệm của phương trình: | x − 2| = 2 x − 1 là: A. S = {−1; 1}. B. S = {−1}. C. S = {1}. p D. 7 3 − ; . 4 2 D. S = {0}. p t Câu 26. Phương trình − x4 + ( 2 − 3) x2 = 0 có: A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. t Câu 27. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x4 − 2005 x2 − 13 = 0? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 28. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm: x4 + 1999 x2 + 13 = 0? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 98 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI t Câu 29. Phương trình x4 − 2020 x2 + 2019 = 0 có bao nhiêu nghiệm: A. 2. B. 3. C. 4. t Câu 30. Số nghiệm của bất phương trình A. 2. B. 1. x2 − 4 x − 2 p = x − 2 là p x−2 C. 0. 7GV: Doãn Thịnh D. Vô số. D. 3. t Câu 31. Tìm m để phương trình m2 4 x = m (m + 2) có tập nghiệm là R: A. m = 2. B. m = −2. C. m = 0. D. m 6= −2 và m 6= 2. ¡ ¢ t Câu 32. Tập nghiệm của phương trình 2 x + ½ ¾ 3 A. S = 1; . 2 B. S = {1}. 3 3x = là: x − 1 x −½1 ¾ 3 C. S = . 2 D. S = ∅. t Câu 33. Phương trình|ax + b| = | cx + d | tương đương với phương trình: A. ax + b = cx + d . B. p ax + b = − (pcx + d ). C. ax + b = cx + d hay ax + b = − ( cx + d ). D. ax + b = cx + d . 99 Sưu tầm và biên soạn 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI t Câu 34. Phương trình|2 x − 4| − 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. t Câu 35. Số nghiệm của phương trình A. 0. B. 1. p ¡ ¢ x − 4 x2 − 3 x + 2 = 0 là C. 2. D. Vô số. D. 3. p ¢ t Câu 36. Phương trình− x4 + 2 − 3 x2 = 0 có: A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. ¡p 7GV: Doãn Thịnh 100 D. 4 nghiệm. Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN BÀI 3. 7GV: Doãn Thịnh PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Định nghĩa 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng ( a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 (a21 + b21 6= 0, a22 + b22 6= 0)  Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.  Nếu cặp số ( x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì ( x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình.  Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.  Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. u Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1 2 ( 2x − 3 y = 1 x + 4y = 6 ( 5x − 4 y = 3 7x − y = 8 p ( p 2 x + 5 + y − 8 = 11 p 3 . p 5 x+5−4 y−8 = 8  10 1   + =1  4x − y x + y 4 . 3  25   + =2 4x − y x + y . . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN. Định nghĩa 2. Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + b y + cz = d . trong đó x,y,z là ba ẩn; a,b,c,d là các hệ số và a,b,c không đồng thời bằng Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là   a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a2 x + b2 y + c2 z = d2   a3 x + b3 y + c3 z = d3 101 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh  Trong đó x,y,z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.  Mỗi bộ ba số x0 ,y0 ,z0 nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình. ! Nhận xét: Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. u Ví dụ 2. Giải hệ phương trình   x − y + z = 3 2 x + y + z = −3 . 1   2 x + 2 y + z = −2   x + 2 y − 3z = 2 x − 3y + z = 5 . 2   x − 5y = 1 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… B TỰ LUẬN t Câu 1. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau 1 ( 5x − 4 y = 3 7x − 9 y = 8 2 ( 2 x + y = 11 (p 2 x + 4 y = −1 3 p 2x + 4 2 y = 5 5x − 4 y = 8 p 3x − y = 1 p p 5x + 2 y = 3 ( 4 t Câu 2. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau 1 ( ( x + 3) y − 5) = x y ( x − 2)( y + 5) = x y ( 2 | x − y| = p 2 2 x − y = −1 102  3( x + y)   = −7  x− y 3  5x − y 5   = y− x 3 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh t Câu 3. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau  6 5    + =3 x y 1 10 9    − =1 y x 6 2   + =3  x − 2y x + 2y 2 3 4    + = −1 x − 2y x + 2y  6x − 3 2y   − =5  y−1 x+1 3 4y 4x − 2    − =2 x+1 ( y−1 2 | x − 6| + 3 | y + 1| = 5 4 5 | x − 6| − 4 | y + 1| = 1   2 x − 5 y + z = 10 x + 2 y − 3 z = 10 5   − x + 3 y + 2 z = −16   2 x + 5 y + z = 8 x + 2 y − 3z = 0 6   x − y + 2z = 2 t Câu 4. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau   3 x + y − 3 z = 1 x − y + 2z = 2 1   − x + 2 y + 2z = 3   x + 2 y − 3z = 2 x − 3y + z = 5 2   x − 5y = 1   3 x + y − z = 1 2x − y + 2z = 5 3   x − 2 y − 3z = 0   x + 3 y + 2z = 8 2x + y + z = 6 4   3x + y + z = 6    x − 3 y + 2 z = −7 − 2x + 4 y + 3z = 8 5   3x + y − z = 5    x + y + z = 11 2x − y + z = 5 . 6   3 x + 2 y + z = 24  2 3 6   + + =1    x y z   1 1 3 2 − + = 7 .  x y z 3     1 1 2 1   − + + =  x y z 6 x+1 2 3   + − = −11    x y z   2 2y + 4 1 − + = −7 . 8  x y z     3 1 −2 − z   = −6 − + + x y z t Câu 5. Một bài kiểm tra có 15 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 5 điểm. Mỗi câu trả lời sai hoặc bỏ trống bị trừ 5 điểm. Một học sinh làm bài kiểm tra và đạt 25 điểm. Hỏi bạn đó đã trả lời đúng bao nhiêu câu? 103 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh t Câu 6. Có 2 loại xe khách (loại I và loại II). Nếu chọn phương án vận chuyển hành khách bằng 2 chuyến xe loại I và 5 chuyến xe loại II thì vận chuyển được tối đa 190 hành khách (không tính tài xế). Nếu chọn phương án vận chuyển bằng 3 chuyến xe loại I và 3 chuyến xe loại II thì vận chuyển được tối đa 195 hành khách (không tính tài xế). Hỏi mỗi loại xe có thể chứa tối đa bao nhiêu hành khách (không tính tài xế)? t Câu 7. Ba bạn Vân, Anh, Khoa đi chợ mua trái cây. Bạn Anh mua 2 kí cam và 3 kí quýt hết 105 nghìn đồng, bạn Khoa mua 4 kí nho và 1 kí cam hết 215 nghìn đồng, bạn Vân mua 2 kí nho, 3 kí cam và 1 kí quýt hết 170 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi loại cam, quýt, nho là bao nhiêu? t Câu 8. Một cửa hàng bán quần, áo và nón. Ngày thứ nhất bán được 3 cái quần, 7 cái áo và 10 cái nón, doanh thu là 1930000 đồng. Ngày thứ hai bán được 5 cái quần, 6 cái áo và 8 cái nón, doanh thu là 2310000 đồng. Ngày thứ ba bán được 11 cái quần, 9 cái áo và 3 cái nón, doanh thu là 3390000 đồng. Hỏi giá bán mỗi quần, mỗi áo, mỗi nón là bao nhiêu? C TRẮC NGHIỆM   3 x − 2 y − z = 7 t Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình − 4 x + 3 y − 2 z = 15 là:   − x − 2 y + 3 z = −5 µ ¶ µ ¶ 3 3 1 9 5 A. (−10; 7; 9). B. ; −2; . C. − ; − ; . 2 2 4 2 4 104 D. (−5; −7; −8). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN t Câu 2. Cặp ( x; y) = (1; 2) là nghiệm của phương trình: A. 3 x + 2 y = 7. B. x − 2 y = 5. C. 0.x + 3 y = 4. t Câu 3. Nghiệm của hệ phương trình µ A. (1; −2). B. ( 3 x + 4 y = −5 D. 3 x + 0.y = 2. là: − 2 x + y = −4 µ ¶ −1 C. ; −5 . 3 ¶ 1 −7 ; . 3 4 7GV: Doãn Thịnh D. (−2; 1). t Câu(4. Hệ phương trình nào trình bậc nhất hai( ẩn: ( sau đây là hệ hai phương ( A. x − 3y = 1 2x + y = 2 . x2 − 5 y = 1 B. 2 x− y =0 C. . x2 − x − 1 = 0 x−1 = 0 D. . x+ y− z = 1 x − y2 = 0 . t Câu5. Hệ phương trình nào sau đây là hệ ba phương trình bậc nhất ba  ẩn: 2  x + x = 1 A. x − 2 y = 0 .   − 3x + 2 y − z = 3 ( B. x2 − 2 y − 1 = 0 x+ y=0 C. . 105 ( 5 x2 − x − 1 = 0 2x − 3 = 0 .  x + y − z = 1 D. 2 x − y + 5 z = 0 .   − 3x + 2 y − z = 3 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh t Câu(6. Hệ phương trình nào trình bậc nhất hai( ẩn: ( sau đây là hệ hai phương ( A. x2 − 3 y = 1 −x+ y=3 . B. − x + 2 y − 3z = 5 x − y + 2z = 0 . x2 − 2 y = 0 C. x+ y=3 D. . t Câu(7. Hệ phương trình nào ( sau đây có duy nhất(một nghiệm ? A. x+ y=1 x − 2y = 0 . B. −x + y = 3 2 x − 2 y = −6 C. . −3 x + y = 1 −6 x + 2 y = 0 . A. x − 2y = 0 . B. −x + y = 0 2 x − 2 y = −6 C. . 4x + 3 y = 1 x + 2y = 0 D. . D. A. x − 2y = 0 . B. 2x − y = 1 −4 x + 2 y = −2 C. . −3 x + y = 1 x + 2y = 0 . D. t Câu(10. Hệ phương trình ( nào sau đây có nghiệm ( là (1; 1) ? A. x+ y=2 x − 2y = 0 . B. 2x − y = 1 −4 x = −2 C. . 106 x− y=0 x + 2y = 3 . D. . 5x + y = 3 10 x + 2 y = −1 ( t Câu(9. Hệ phương trình nào ? ( sau đây có vô số nghiệm ( x+ y=1 5 x + 4 z = −3 ( t Câu(8. Hệ phương trình nào ( sau đây vô nghiệm ?( x+ y=1 2x − z = 1 x+ y=3 − x − y = −3 ( 4x + y = 3 x + 2y = 7 ( 4x + y = 3 y=7 . . . . Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh t Câu11. Hệ phương trình  nào sau đây có nghiệm  là (1; 1; −1) ? A.     x+ y+ z = 1 x − 2 y + z = −2 . 3 x + y + 5 z = −1  − x + 2 y + z = 0 B. x − y + 3 z = −1 .   z=0 C.     x=3 x − y + z = −2 . x + y − 7z = 0    x − y + z = −1 t Câu 12. Hệ phương trình 2 x + y + 3 z = 4 có nghiệm là:   −x + 5 y + z = 9 A. (1; 2; 0). B. (−1; −2; 0). C. (0; 1; 2). ( t Câu 13. Hệ phương trình A. (2; 0). x− y+1 = 0 2x + y − 7 = 0 B. (−2; −3). t Câu 14. Nghiệm của hệ phương trình A. (2; 1). ( D. 4x + y = 3 x + 2y = 7 . D. (1; 2; 1). có nghiệm là: C. (2; 3). ( 3x − 2 y = 4 2x + y = 5 B. (−2; 1). là C. (1; 2). 107 D. (3; −2). D. (2; −1). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ( t Câu 15. Cho hệ phương trình x + 2y = 1 3x + 6 y = 3 7GV: Doãn Thịnh . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hệ phương trình vô nghiệm. C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. B. Hệ phương trình vô số nghiệm. D. Hệ phương trình có hai nghiệm.   x = 1 t Câu 16. Tập nghiệm của hệ phương trình y 2 là   x + y − 10 = 0 ¶¾ ½µ ¶¾ ½µ 10 20 20 10 ; . B. S = ∅. C. S = ; . A. S = 3 3 3 3 ¾ 10 20 D. S = ; . 3 3 ½  x + y = 8 t Câu 17. Hệ phương trình x y có bao nhiêu nghiệm?  + =2 y x A. 2. B. 3. C. 4. ( t Câu 18. Cho hệ phương trình A. (3; 7). x + y = 10 x2 + y2 = 58 D. 1. . Hệ phương trình trên có nghiệm ( x; y) là B. (7; 3). C. (3; 7) ; (7; 3). 108 D. (3; 3). Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 7GV: Doãn Thịnh t Câu 19. Tìm độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết rằng: Khi ta tăng mỗi cạnh 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2 ; khi ta giảm chiều dài cạnh này 3 cm và cạnh kia 1 cm thì diện tích giảm 11 cm2 . Đáp án đúng là A. 5cm và 10cm. B. 4cm và 7cm. C. 2cm và 3cm. D. 5cm và 6cm. t Câu 20. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tìm chiều dài và chiều rộng của thử ruộng biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Đáp án đúng là A. 32 m và 25 m. B. 75 m và 50 m. C. 50 m và 45 m. D. 60 m và 40 m. 109 Sưu tầm và biên soạn 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 110 7GV: Doãn Thịnh Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC Các mệnh đề dạng “a < b" , "a > b”, “a ≥ b”, “a ≤ b” được gọi là bất đẳng thức. 2 BẤT ĐẲNG THỨC HỆ QUẢ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG 1 Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d . 2 Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d . 3 TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện c>0 c<0 a > 0,c > 0 n ∈ N∗ n ∈ N∗ và a > 0 a>0 4 Tính chất Nội dung Tên gọi a < b ⇔ a+c < b+c a < b ⇔ ac < bc a < b ⇔ ac > bc a < b và c < d ⇒ a + c < b + d a < b và c < d ⇒ ac < bd a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1 a < b ⇔ a2n < b2n p p a 0 a . 5 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Định lí 2. Với các số thực a,b,c,d tùy ý ta luôn có ¡ ¢¡ ¢ a2 + b2 c2 + d 2 ≥ (ac + bd )2 a b = . c d Mở rộng: Với hai bộ số (a 1 ,a 2 ,…,a n ) và (b1 ,b2 ,…,b n ) ta có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad = bc hay ¡ ¢¡ ¢ a2n + a2n + … + a2n b2n + b2n + … + b2n ≥ (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n )2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 a1 a2 an = = … = . b1 b2 bn BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện a>0 7 Nội dung | x| ≥ 0, | x| ≥ x, | x| ≥ − x | x| ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a | x| ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a | a| − | b | ≤ | a + b | ≤ | a| + | b | CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau:  Ta đi chứng minh A − B ≥ 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A − B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. u Ví dụ 1. Cho hai số thực a, b, c. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau a2 + b 2 1 ab ≤ . 2 a+b 2 ab ≤ 2 µ ¶2 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 112 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy: 1 Khi áp dụng Cauchy thì các số phải là nhũng số không âm. 2 BĐT Cauchy thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích. 3 Điều kiện xảy ra dấu ” = ” là các số bằng nhau. Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 1 x2 + y2 ≥ 2 x y ( x + y)2 2 x 2 + y2 ≥ ³ x + y ´22 3 xy ≤ . 2 ! u Ví dụ 1. Cho a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng µ 1 a b + b a ¶µ ¶ a b + ≥ 4. b 2 a2 µ 2 1 a+ b ¶µ 1 b+ c ¶µ ¶ 1 c+ ≥8 a Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Với các số thực a,b,c,d tùy ý ta luôn có ¡ ¢¡ ¢ a2 + b2 c2 + d 2 ≥ (ac + bd )2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad = bc hay a b = . c d u Ví dụ 1. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1 Cho x2 + y2 = 5 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ p nhất của p biểu thức A = x + 2 y. 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 − x + 2 x + 1. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 113 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… B TỰ LUẬN t Câu 1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. (HD: ⇔ (a − b)2 + ( b − c)2 + ( c − a)2 ≥ 0) 2 a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b (HD: ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + ( b − 1)2 ≥ 0) 3 a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (HD: ⇔ (a − 1)2 + ( b − 1)2 + ( c − 1)2 ≥ 0) 4 a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc − ca) (HD: ⇔ (a − b + c)2 ≥ 0) t Câu 2. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất sau: p đẳng thức p p 1 (a + b)( b + c)( c + a) ≥ 8abc. (HD: a + b ≥ 2 ab; b + c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca) p p 3 3 2 2 2 2 2 2 2 (a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9abc. (HD: a + b + c ≥ 3 abc; a + b + c ≥ 3 a2 b2 c2 ) ³ ´3 p 3 3 (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1 + abc . (HD: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc) 4 bc ca bc ca ab + + ≥ a + b + c với a, b, c > 0. (HD: + ≥2 a b c a b abc2 = 2 c) ab t Câu 3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1 ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca). (HD: a > | b − c| ⇒ a2 > b2 − 2 bc + c2 ) 2 abc ≥ (a + b − c)( b + c − a)(a + c − b). (HD: a2 > a2 − ( b − c)2 ⇒ a2 > (a + b − c)(a − b + c)) 3 2a2 b2 + 2 b2 c2 + 2 c2 a2 − a4 − b4 − c4 > 0. (HD: ⇔ (a + b + c)(a + b − c)( b + c − a)( c + a − b) > 0) 4 a( b − c)2 + b( c − a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 . (HD: ⇔ (a + b − c)( b + c − a)( c + a − b) > 0) 114 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC t Câu 4. Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 y= x 18 + ; x > 0. 2 x 2 y= x 2 + ; x > 1. 2 x−1 t Câu 5. Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTLN của các biểu thức sau: 1 y = ( x + 3)(5 − x) với −3 ≤ x ≤ 5. 2 y = x(6 − x) với 0 ≤ x ≤ 6. p t Câu 6. Biêt x, y là 2 số thực dương thỏa mãn x + 2 2 y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x4 + y4 . p p t Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số A = 1 − 2 x + 3 1 + x. C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho bất đẳng thức|a − b| ≤ |a| + | b|. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? A. a = b. B. ab ≤ 0. C. ab ≥ 0. D. ab = 0. 115 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC t Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + 3 | x| với x ∈ R là 9 4 A. − . 3 2 B. − . C. 0. D. 3 . 2 p t Câu 3. Cho biểu thức f ( x) = 1 − x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f ( x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. t Câu 4. Cho hàm số f ( x) = p 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 + 1 A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1. B. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2. D. f ( x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. t Câu 5. Cho biết hai số avà b có tổng bằng 3. Khi đó, tích hai số a và b 9 4 3 C. có giá trị lớn nhất là . 2 9 4 A. có giá trị nhỏ nhất là . B. có giá trị lớn nhất là . D. không có giá trị lớn nhất. 116 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC t Câu 6. Cho ba số a; b; c thoả mãn đồng thời: a + b − c > 0; b + c − a > 0; c + a − b > 0. Để ba số a; b; clà ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì? A. Cần có cả a,b,c ≥ 0. B. Cần có cả a,b,c > 0. C. Chỉ cần một trong ba số a,b,c dương. D. Không cần thêm điều kiện gì. t Câu 7. Tìm mệnh đề đúng? 1 1 > . a b D. a < b ⇒ ac < bc, ( c > 0). A. a < b ⇒ ac < bc. B. a < b ⇒ C. a < b và c < d ⇒ ac < bd . t Câu( 8. Suy luận nào sau đây đúng? a>b A. c>d ( C. a>b c>d ( B. ⇒ ac > bd . c>d ( D. ⇒ a − c > b − d. a>b ⇒ a b > . c d a>b>0 c>d>0 ⇒ ac > bd . t Câu( 9. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? ( A. C. ad ( a≤b ⇒ a + c < b + d. B. ⇒ a − c < b − d. D. ac ≤ bc ⇒ a ≤ b. ( c > 0). c≤d ⇒ ac < bd . p t Câu 11. Cho biểu thức P = −a + a vớia ≥ 0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 4 1 C. Giá trị lớn nhất của P là . 2 1 4 A. Giá trị nhỏ nhất của P là . B. Giá trị lớn nhất của P là . t Câu 12. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = A. 11 . 4 B. 1 4 D. P đạt giá trị lớn nhất tại a = . 4 . 11 2 x2 − 5 x + 9 C. bằng 11 . 8 D. 8 . 11 t Câu 13. Cho f ( x) = x − x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 4 1 2 1 D. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 A. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng . B. f ( x) có giá trị lớn nhất bằng . 1 4 C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng − . 118 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC t Câu 14. Bất đẳng thức (m + n)2 ≥ 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? B. m2 + n2 ≥ 2mn. A. n(m − 1)2 − m(n − 1)2 ≥ 0. D. (m − n)2 ≥ 2 mn. C. (m + n)2 + m − n ≥ 0. t Câu 15. Với mọi a,b 6= 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. a − b < 0. B. a2 − ab + b2 < 0. C. a2 + ab + b2 > 0. D. a − b > 0. t Câu 16. Với hai số x, y dương thoả x y = 36, bất đẳng thức nào sau đây đúng? p A. x + y ≥ 2 x y = 12. C. 4 x y ≤ x2 + y2 . B. x + y ≥ 2 x y = 72. D. ³ x + y ´2 2 ≥ x y = 36. t Câu 17. Cho hai số x, y dương thoả x + y = 12, bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. p x y ≤ 6. B. x y < ³ x + y ´2 2 = 36. C. 2 x y < x2 + y2 . D. p x y ≥ 6. µ ¶ a2 + b 2 a+b 2 t Câu 18. Hai số a, b thỏa mãn bất đẳng thức ≤ thì 2 2 119 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. BẤT ĐẲNG THỨC A. a < b. B. a > b. C. a = b. t Câu 19. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = A. 2. B. 5 . 2 2 x + với x > 1 là 2 x−1 p C. 2 2. D. a 6= b. D. 3. t Câu 20. Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x2 + 2 y2 = 12. Giá trị lớn nhất của P = x y là A. 13 . 4 B. 4. C. 8. 120 D. 13. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Định nghĩa 1. Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) < g( x) hoặc f ( x) ≤ g( x) trong đó f ( x) và g( x) là những biểu thức của x. ! 2  f ( x) và g( x) lần lượt là vế trái, vế phải của bất phương trình.  Số thực x0 sao cho f ( x0 ) < g ( x0 ) ( f ( x0 ) ≤ g ( x0 )) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình.  Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý: Bất phương trình cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g( x) > f ( x) hoặc g( x) ≥ f ( x). HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Định nghĩa 2. Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. ! 3  Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.  Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.  Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. CÁC DẠNG BÀI TẬP { Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để f ( x) và g( x) có nghĩa. u Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 5x 3x − 2 4 + ≤ 7 + . 2x − 5 x2 + 1 2 x − 5 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 121 Sưu tầm và biên soạn 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN u Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 7GV: Doãn Thịnh p p 2 x + 6 > 3 + 2 2 x + 6. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b > 0 Bất phương trình ax + b > 0 (1) (ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0).  Nếu a = 0 khi đó (1) ⇔ b > 0. Nếu b ≤ 0 thì (1) vô nghiệm. Nếu b > 0 thì (1) có nghiệm ∀ x ∈ R. b a b  Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x < − . a  Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > − . u Ví dụ 1. Giải và biện luận bất phương trình sau. 1 mx + 6 ≤ 2 x + 3 m. 2 ( m2 + 9) x + 3 ≥ m(1 − 6 x). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 3. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp giải:  Giải từng bất phương trình trong hệ bất phương trình.  Tìm giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ bất phương trình.  Kết luận. u Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình sau: ( 3x + 1 ≥ 2x + 7 4 x + 3 > 2 x + 19 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 122 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN { Dạng 4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (  | f ( x )| < g ( x ) ⇔ g ( x) > 0 − g ( x) < f ( x) < g ( x) ( g ( x) < 0   f ( x) có nghĩa   .  | f ( x )| > g ( x ) ⇔    g ( x) ≥ 0   ” f ( x) < − g ( x)    f ( x) > g ( x) . Chú ý: Với B > 0 ta có: ! L | A | < B ⇔ −B < A < B " L | A| > B ⇔ A < −B A>B . u Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau 1 |5 x + 3| > 7. 2 | 2 x − 3| < x + 1 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Giải các bất phương trình sau: 3( x − 1) + 2 > 2 x + 3. x 2 − 3 x + 4 ≤ x 2 − 2. 4 x + 3 < 2 x − 1. 3 x2 − 10 x + 8 ≥ 3 x( x + 1). 3( x + 1) x−1 5 2+ < 3− . 8 4 1 2 3 4 2x + 1 3 > x+ . 5 4 5( x − 1) 2( x + 1) 7 −1 < . 6 3 2x + 1 3 8 3− > x+ 5 4 6 3− 3( x + 1) x−1 < 3− . 8 4 3 3(2 x − 7) 10 −2 x + > 5 3 x+1 x+2 x 11 − < 2+ . 2 3 6 9 2+ t Câu 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 123 Sưu tầm và biên soạn 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 1 mx + 1 > m2 + x 2 mx + 6 > 2 x + 3 m 7GV: Doãn Thịnh 3 ( m + 1) x + m < 3 m + 4 m( x − 2) x − m x + 1 4 + > 6 3 2 t Câu 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: 3 mx − m2 > mx − 4. 4 ( m2 − 4 m + 3) x + 2 m − 4 < 0. 1 3 − mx < 2( x − m) − ( m + 1)2 . 2 m2 x + 1 ≥ m + (3 m − 2) x. t Câu 4. Giải các hệ bất phương trình sau: 1 ( 3x + 1 ≥ 2x + 7 . 4 x + 3 > 2 x + 19  4x − 5   < x+3  7 2 . 3x + 8    > 2x − 5 4    4 − 12 x ≤ x + 1  3 2. 3 2 − x 4 x − 3    < 3  2 4 x    ≤ x+ 2 3 4 . 2 x − 9 19 + x    < 3 2    11 − x ≥ 2 x − 5  2 . 5 x−8   2 (3 x + 1) ≥ 2  1   15 x − 2 > 2 x + 3 . 6 3 x − 14   2 ( x − 4) < 2 t Câu 5. Giải các bất phương trình sau: 1 |3 x − 2| > 7. 2 |5 x − 12| < 3. x 3 | x − 2| < . 2 4 |2 x − 8| ≤ 7. 5 |3 x + 15| ≥ 3. x+1 6 | x − 1| > . 2 124 7 |2 x − 5| ≤ x + 1. 8 | 2 x + 1| ≤ x . 9 | x − 2| > x + 1. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Giá trị x = −3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau đây? A. ( x + 3) ( x + 2) > 0. B. ( x + 3)2 ( x + 2) ≤ 0. t Câu 2. Bất phương trình 5 x − 1 > A. ∀ x. p C. x + 1 − x2 ≥ 0. 2x + 3 có nghiệm là 5 B. x < 2. 5 2 C. x > − . D. 1 2 + > 0. 1 + x 3 + 2x D. x > 20 . 23 t Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ¯ x2 − 4 x¯ < 0. A. S = ∅. B. S = {0}. C. S = (0; 4). D. (−∞; 0) ∪ (4; +∞). t Câu 4. Bất phương trình | x − 1| ≥ x − 1 có nghiệm là A. x ∈ (−∞, + ∞). B. x = 1. C. x ≥ 1. D. x < 0. ¯ 125 ¯ Sưu tầm và biên soạn 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN t Câu 5. Bất phương trình | x − 3| ≥ 1 có nghiệm là A. 3 ≤ x ≤ 4. B. 2 < x < 3. C. x ≤ 2 hoặc x ≥ 4. 2 t Câuµ 6. Bất ¶ phương trình: ·|3 x − 2| ¶x + 1 ≥ 0có tập µnghiệm ¶ là ¡ A. 2 ; +∞ . 3 B. 7GV: Doãn Thịnh D. x = 3. ¢ 2 ; +∞ . 3 C. −∞; 2 . 3 D. R. t Câu 7. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm. B. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 và b ≥ 0. C. Bất phương trình ax + b < 0 có tập nghiệm là R khi a = 0 và b < 0. D. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0. t Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng? A. x2 ≤ 3 x ⇔ x ≤ 3. C. B. x+1 ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 0. x2 1 < 0 ⇔ x ≤ 1. x D. x + | x| ≥ x ⇔ | x| ≥ 0. 126 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN t Câu 9. Tập nghiệm của hệ bất phương trình A. (−∞; −3). ( 2− x > 0 B. (−3; 2). t Câu 10. Tập nghiệm của hệ bất phương trình A. (−∞; 0). B. (2; 3). 2x + 1 > x − 2 C. (2; +∞). B. m > −3. D. (−3; +∞). ( 2 x − 2 < 4 (− x + 1) 4 − 3 x < 2 (2 − x) C. (0; 1). t Câu 11. Điều kiện của tham số m để hệ bất phương trình A. m ≤ −3. là là D. (1; +∞). ( 4x − 2 < 2x − 8 x−m >0 C. m ≥ −3. có nghiệm là D. m < −3. t Câu 12. Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình |2 x − 4| ≥ x + 3 là A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 4. t Câu 13. Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình µ A. ∅. B. ¶ 1 ;1 . 5 ( 3x + 2 > 2x + 3 1− x > 0 C. (−∞; 1). 127 . D. (1; +∞). Sưu tầm và biên soạn 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN t Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình A. S = (−∞; 12). B. S = (2; +∞). 2x x − 1 > + 1 là 3 2 C. S = (−12; +∞). t Câuµ 15. Tập trình 3 x < 5 (1 ¶ nghiệm của bất µ phương ¶ ¶ µ − x) là A. 5 − ; +∞ . 2 B. 5 −∞; . 4 C. 5 ; +∞ . 8 7GV: Doãn Thịnh D. S = (12; +∞). µ ¶ 5 D. −∞; . 8  2x − 1   < −x + 1 3 là t Câu 16. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 4 − 3x   < 3− x 2 µ ¶ µ ¶ 4 4 A. S = −2; . B. S = ; +∞ . C. S = (−∞; −2). D. S = (−2; +∞). 5 5  x−1   < −x + 1 2 t Câu 17. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 5 − 2 x là   3+ x > µ ¶ µ ¶2 1 1 A. S = −∞; − . B. S = (1; +∞). C. S = − ; 1 . D. S = ∅. 4 4 128 Sưu tầm và biên soạn 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN t Câu 18. Tập nghiệm S của bất phương trình A. S = (−3; 5). 7GV: Doãn Thịnh ½ B. S = (−3; 5]. 2( x − 1) < x + 3 là 2 x ≤ 3( x + 1) C. S = [−3; 5). D. S = [−3; 5].  5   6x + > 4x + 7 7 t Câu 19. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 8x + 3   < 2 x + 25 2 A. Vô số. B. 4. C. 8. t Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình A. 21. B. 27. C. 28. 129 D. 0. ½ 5x − 2 < 4x + 5 bằng x2 < ( x + 2)2 D. 29. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f ( x) = ax + b (a 6= 0) trong đó a, b là hai số cho đã cho. 2 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Định lí µ1. Nhị thức f ( x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy µcác giá trị ¶ ¶ trong b b khoảng − ; +∞ , trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng −∞; − . a a Quy tắc: ! 3 ( Trái - Trái dấu của a Phải - Cùng CÁC DẠNG BÀI TẬP { Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất Phương pháp: Dưa vào bảng xét dấu. x f ( x) −∞ − b a 0 Trái dấu a +∞ Cùng dấu a u Ví dụ 1. Xét dấu biểu thức f ( x) = ( x − 2) ( x + 4). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức f ( x) = 2 − 3x . 4x + 1 Lời giải: 130 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn  Giải bất phương trình tích. Dạng P ( x) > 0 (1) (trong đó P ( x) là tích các nhị thức bậc nhất). Cách giải: Lập bảng xét dấu của P x. Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).  Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu. P ( x) > 0 (2) (trong đó P ( x),Q ( x) là tích những nhị thức bậc nhất.) Q ( x) P ( x) Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q ( x) Dạng ! Chú ý: L Quy đồng và không được khử mẫu. L Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). u Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau: ( x − 1) (2 − 3 x) ≥ 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: −2 x + 4 ≤ 0. (2 x − 1) (3 x + 1) Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 131 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT B TỰ LUẬN t Câu 1. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau 1 (3 x + 5)( x − 4). 2 (−5 x + 5)(9 − 2 x4). −2 x + 3 . 3 x−2 4 x (4 − x) ( x + 2). 5 x (2 x − 5) ( x − 7). 5x − 3 . 6 1− x+1 7 x (6 − 3 x) (− x + 4). 4 x − 12 8 . x2 − 4 x −3 x − 12 9 . x2 − 3 x t Câu 2. Giải các bất phương trình sau: 1 ( x + 1)( x − 1)(3 x − 6) > 0. 2 (2 x − 7)(4 − 5 x) ≥ 0. 2x − 5 3x + 2 3 < . 3x + 2 2x − 5 C x−3 x+5 > . x+1 x−2 5 x2 − x − 20 > 2( x − 11). x − 3 1 − 2x 6 < . x+5 x−3 4 7 3 x(2 x + 7)(9 − 3 x) ≥ 0. 3x − 4 > 1. 8 x−2 2x − 5 9 ≥ −1. 2− x TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho nhị thức bậc nhất f ( x) = 23 x − 20. Khẳng định nào sauµ đây đúng? ¶ A. f ( x) > 0 với ∀ x ∈ R. B. f ( x) > 0 với ∀ x ∈ −∞; 5 C. f ( x) > 0 với x > − . 2 µ D. f ( x) > 0 với ∀ x ∈ 20 . 23 ¶ 20 ; +∞ . 23 t Câu 2. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f ( x) = x ( x − 6) + 5 − 2 x − [10 + x ( x − 8)] luôn dương? A. ∅. B. R. C. (−∞; 5). D. (5; +∞). 132 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT t Câu 3. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = A. [−2,5]. B. (−2,5). C. (−2,5]. t Câu 4. Các giá trị của x thoả mãn điều kiện đa thức f ( x) = A. x 6= −2 và x 6= −1. B. x > −1. C. x 6= −1. p 1 1 + x−1− − x2 + 1 là x+2 x+1 D. x 6= −2. t Câu 5. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = A. (−∞; −1). B. (−∞; −1) ∪ (1; +∞). C. (1; +∞). x+2 không dương x−5 D. [−2,5). 2 − 1 âm? 1− x D. (−1; 1). t Câu 6. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = ( x − 1) ( x + 3) không âm A. (−3,1). B. [−3,1]. C. (−∞, − 3] ∪ [1, + ∞). D. (−∞, − 3) ∪ [1, + ∞). 133 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT −4 x + 1 t Câu 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = + 3 không 3x + 1 dương· ¸ · ¶ µ ¸ · ¶ 4 1 4 4 4 1 B. − , − . C. −∞, − . D. − , + ∞ . A. − , − . 5 3 5 3 5 t Câu 8. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = A. (−∞, − 3) ∪ [−1, + ∞). C. [−1, + ∞). B. (−3, − 1]. D. (−∞, − 1]. 5 4 −2 không dương x+3 t Câu 9. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = |2 x − 5| − 3 không dương A. 1 ≤ x ≤ 4. 5 2 B. x = . C. x = 0. D. x < 1. x−1 không dương? x2 + 4 x + 3 B. S = (−3; −1) ∪ [1; +∞). D. S = (−3; 1). t Câu 10. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f ( x) = A. S = (−∞; 1). C. S = (−∞; −3) ∪ (−1; 1]. 134 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT t Câu 11. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = ¶ 1 A. S = − ; 2 . ¶ µ 2 1 C. S = −∞; − ∪ [2; +∞). 2 2− x không âm? 2x + 1 ¶ 1 B. S = −∞; − ∪ (2; +∞). µ ¸2 1 D. S = − ; 2 . 2 µ µ t Câu 12. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f ( x) = x x2 − 1 không âm? A. (−∞; −1) ∪ [1; +∞). B. [−1; 0] ∪ [1; +∞). C. (−∞; −1] ∪ [0; 1). D. [−1; 1]. ¡ ¢ t Câu 13. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = |2 x − 3| − 1 không dương? A. 1 ≤ x ≤ 3. B. −1 ≤ x ≤ 1. C. 1 ≤ x ≤ 2. D. −1 ≤ x ≤ 2. x+1 − 4 − (2 x − 7) luôn âm 5 C. (−∞; −1). D. (−1; +∞). t Câu 14. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f ( x) = 5 x − A. ∅. B. R. t Câu 15. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f ( x) = x2 − 2 x + 3 luôn dương A. ∅. B. R. C. (−∞; −1) ∪ (3; +∞). D. (−1; 3). 135 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT t Câu 16. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f ( x) = x2 + 9 − 6 x luôn dương A. R {3}. B. R. C. (3; +∞). D. (−∞; 3). t Câu 17. Tìm tham số thực m để tồn tại x thỏa f ( x) = m2 x + 3 − (mx + 4) âm A. m = 1. B. m = 0. C. m = 1 hoặc m = 0. D. ∀m ∈ R. µ ¶ 3 3 t Câu 18. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f ( x) = 2 x + − 3+ âm 2x − 4 2x − 4 3 2 3 C. x < . D. x < . A. 2 x < 3. B. x < và x 6= 2. 2 2 3 t Câu 19. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f ( x) = 2 ( x − 1) − x − (3 ( x − 1) − 2 x − 5) luôn dương A. x ∈ R. B. x < 3,24. C. x > −2,12. D. Vô nghiệm. 136 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT t Câu 20. Số các giá trị nguyên âm của x để đa thức f ( x) = ( x + 3) ( x − 2) ( x − 4) không âm là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ¶ µ ¶ 5 x 13 x 9 2x t Câu 21. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f ( x) = − + − − luôn 5 21 15 25 35 µ âm A. x > 0. B. x < 257 . 295 5 2 C. x > − . D. x < −5. t Câu 22. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = A. [−2,5]. B. (−2,5). C. (−2,5]. x+2 không dương x−5 D. [−2,5). 1 1 t Câu 23. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = − luôn x−1 x+1 âm A. R. B. ∅. C. (−1,1). D. Một đáp số khác. 2x − 23 − (2 x − 16) luôn âm 5 35 B. − < x < 4. 8 D. {0; 1; 2; −3}. t Câu 24. Các số tự nhiên bé hơn 4 để đa thức f ( x) = A. {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. C. {0; 1; 2; 3}. 137 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT x−5 luôn dương ( x + 7) ( x − 2) C. x = 5. D. x = 6. t Câu 25. Tìm số nguyên nhỏ nhất của x để f ( x) = A. x = 3. B. x = −4. µ ¶ 1 2x t Câu 26. Các số tự nhiên bé hơn 6 để đa thức f ( x) = 5 x − − 12 − luôn dương 3 3 A. {2; 3; 4; 5}. B. {3; 4; 5}. C. {0; 1; 2; 3; 4; 5}. D. {3; 4; 5; 6}. µ ¶ 3x + 5 x+2 t Câu 27. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x) = −1− +x 2 3 luôn âm A. Vô nghiệm. C. x > 4,11. B. Mọi x đều là nghiệm. D. x < −5. x−1 x+2 − không âm? µ x+2 ¸ x−1 · ¶ 1 1 C. −2; − ∪ (1; +∞). D. (−∞; −2) ∪ − ; 1 . 2 2 t Câu 28. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f ( x) = ¸ µ 1 A. −2; − . 2 B. (−2; +∞). 138 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT x+4 2 4x − − luôn âm 2 x − 9 x + 3 3 x − x2 C. x = −2. D. x = −1. t Câu 29. Tìm số nguyên lớn nhất của x để đa thức f ( x) = A. x = 2. B. x = 1. x+1 x+5 − không âm x−1 x+1 C. (3,5) ∪ (6,16). D. (−6,4). t Câu 30. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức f ( x) = A. [1, + ∞). B. (−∞, − 1) ∪ (1,3]. 139 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ MIỀN NGHIỆM CỦA NÓ  Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: M ax + b y + c < 0. M ax + b y + c > 0. M ax + b y + c ≤ 0. M ax + b y + c ≥ 0. trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.  Mỗi cặp số ( x0 ; y0 ) sao cho ax0 + b y0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + b y + c < 0.  Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình được gọi là miền nghiệm của nó. 2 CÁCH XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Định lí 1. Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng d : ax + b y + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d )) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + b y + c > 0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d )) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + b y + c < 0. Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + b y + c < 0, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:  Bước 1: Vẽ đường thẳng (d ): ax + b y + c < 0  Bước 1: Xét một điểm M ( x0 ; y0 ) không nằm trên (d ). Nếu ax0 + b y0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d )) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + b y + c < 0. Nếu ax0 + b y0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d )) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + b y + c > 0. ! Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + b y + c ≤ 0 hoặc ax + b y + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. u Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x − 2 y > 1? Lời giải: µ ¶ 1 Í Đường thẳng d : x − 2 y = 1 đi qua hai điểm A (1; 0) và B 0; − . 2 Í x = y = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình. Í Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d : x − 2 y = 1, không chứa gốc tọa độ O , không bao gồm đường thẳng d (là miền không gạch chéo trên hình vẽ). 140 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ.  Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.  Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: ○ Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. ○ Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. ( u Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình x − 2y > 0 x + 3y < 3 . Lời giải: Í Vẽ các đường thẳng d1 : x − 2 y = 0; d2 : x + 3 y = 3. Í Điểm M (1; 0) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ d1 ; d2 không chứa điểm M . Í Miền không bị tô đậm (miền chứa điểm M ), không tính các bờ d1 ; d2 (hình vẽ) là miền nghiệm của hệ đã cho. B TỰ LUẬN t Câu 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình sau: 1 2 x − y ≥ 0. 2 −3 x + y + 2 ≤ 0. x − 2 y 2x + y + 1 > . 2 3 4 x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x). 3 x y + ≤ 1. 3 4 6 − x + 2 + 2( y − 2) < (1 − x). 5 t Câu 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình sau: ½ 1   3 x − y ≥ −1 2x + y ≤ 6 . 2   x + 3y > 3 x+ y−2 < 0 x− y+3 ≥ 0 141 Sưu tầm và biên soạn 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN   x+ y+2 > 0 2x − 3 y − 6 ≤ 0 3  x − 2y + 3 ≤ 0 C   2 x + 3 y − 6 < 0 x≥0 . 4   2x − 3 y − 1 ≤ 0 ½ x+ y−2 ≥ 0 5 x − 3y + 3 ≤ 0 7GV: Doãn Thịnh  − x + 2y ≤ 6     x + y ≤ 4 . 6  x≥0     y≥0 TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Miền nghiệm của bất phương trình − x + 2 + 2 ( y − 2) < 2 (1 − x) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A. (0; 0). B. (1; 1). C. (4; 2). D. (1; −1). t Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2) < 5 x − 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. (0; 0). B. (−4; 2). C. (−2; 2). D. (−5; 3). t Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2 (2 y + 5) < 2 (1 − x) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A. (−3; −4). B. (−2; −5). C. (−1; −6). D. (0; 0). 142 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN t Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình 4 ( x − 1) + 5 ( y − 3) > 2 x − 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. (0; 0). B. (1; 1). C. (−1; 1). D. (2; 5). x y  + −1 ≥ 0    2 3 t Câu 5. Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + 3 y ≤ 4 là   2    x≥0 phần mặt phẳng chứa điểm A. (2; 1). B. (0; 0). C. (1; 1). D. (3; 4). t Câu 6. Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình A. (−1; 4). B. (−2; 4). C. (0; 0). ( 2x + 3 y − 1 > 0 5x − y + 4 < 0 D. (−3; 4).   2 x − 5 y − 1 > 0 t Câu 7. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 x + y + 5 > 0 ?   x+ y+1 < 0 A. (0; 0). B. (1; 0). C. (0; −2). D. (0; 2). 143 Sưu tầm và biên soạn ? 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN   x − y > 0 t Câu 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình x − 3 y + 3 < 0 là phần mặt phẳng chứa   x+ y−5 > 0 điểm A. (5; 3). B. (0; 0). C. (1; −1). D. (−2; 2).   3 x + y ≥ 9   x ≥ y − 3 là phần mặt phẳng chứa điểm t Câu 9. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 y ≥ 8 − x     y≤6 A. (0; 0). B. (1; 2). C. (2; 1). D. (8; 4). t Câu 10. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 ( y + 3) > 4 ( x + 1) − y + 3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào? A. (3; 0). B. (3; 1). C. (1; 1). D. (0; 0). t Câu 11. Miền nghiệm của bất phương trình 5 ( x + 2) − 9 < 2 x − 2 y + 7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào? A. (−2; 1). B. (2; 3). C. (2; −1). D. (0; 0). 144 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN t Câu 12. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x + y < 1? A. (−2; 1). B. (3; −7). C. (0; 1). D. (0; 0). t Câu 13. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x−4 y+5 ≥ 0? A. (−5; 0). B. (−2; 1). C. (1; −3). D. (0; 0). t Câu 14. Miền nghiệm của bất phương trình −3 x + y +µ 2 ≤ 0¶ không chứa điểm nào sau đây? A. A (1; 2). B. B (2; 1). C. C 1; 1 . 2 D. D (3; 1). t Câu 15. Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x) không chứa điểm nào sau đây? µ ¶ A. A (−1; −2). B. B − 1 2 . ;− 11 11 C. C (0; −3). D. D (−4; 0). t Câu 16. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y > 1 không chứa điểm nào sau đây? A. A (1; 1) .. B. B (2; 2). C. C (3; 3). D. D (−1; −1). 145 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN p ¢ ¡ ¡ p ¢ t Câu 17. Miền nghiệm của bất phương trình 1 + 3 x − 1 − 3 y ≥ 2 chứa điểm nào sau đây? ¡ p p ¢ A. A (1; −1). B. B (−1; −1). C. C (−1; 1). D. D − 3; 3 . t Câu 18. Miền nghiệm của bất phương trình x −2+2 ( y − 1) > 2 x +4 chứa điểm nào sau đây? A. A (1; 1). B. B (1; 5). C. C (4; 3). D. D (0; 4). p p t Câu 19. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x − 2 ¡p y+ p 2 − 2 ≤ 0 chứa điểm nào sau p đây? ¢ ¡p ¢ A. A (1; 1). B. B (1; 0). C. C 2; 2 . D. D 2; − 2 . ( t Câu 20. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình x+ y−2 ≤ 0 2x − 3 y + 2 > 0 là A. (0; 0). B. (1; 1). C. (−1; 1). 146 D. (−1; −1). Sưu tầm và biên soạn 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 147 7GV: Doãn Thịnh Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f ( x) = ax2 + bx + c (a 6= 0), trong đó a, b, c là những số thực. 2 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI f ( x) = ax2 + bx + c, (a 6= 0)  ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm. x −∞ +∞ f ( x) Cùng dấu a  ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = − x f ( x) b . 2a −∞ − b 2a +∞ Cùng dấu a 0 Cùng dấu a  ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 . x f ( x) 3 −∞ x1 x2 +∞ Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (  f ( x) ≥ 0  g ( x) ≥ 0    C1 ” C 2  f ( x) = g ( x)  | f ( x)| = g( x)⇔ f ( x) = g ( x) ⇔  (    f ( x) = − g ( x)  f ( x) < 0 f ( x) = − g ( x) " f ( x) = g ( x)  | f ( x)| = | g( x)| ⇔ f ( x) = − g ( x) ( g ( x) > 0  | f ( x)| < g( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x) 148 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ( g ( x) < 0   f ( x) có nghĩa.    | f ( x)| > g( x) ⇔    g ( x) ≥ 0   ” f ( x) < − g ( x)    f ( x) > g ( x) ! 4 Chú ý: L | A | = A ⇔ A ≥ 0; | A | = − A ⇔ A ≤ 0 ” L Với B > 0 ta có: | A | < B ⇔ −B < A < B; | A | > B ⇔ A < −B A>B L | A + B| = | A | + |B| ⇔ AB ≥ 0; | A − B| = | A | + |B| ⇔ AB ≤ 0. . PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN (  p  p f ( x) = g ( x) ⇔ g ( x) ≥ 0 f ( x) = [ g( x)]2 ( p p f ( x) ≥ 0( hoa ëc g( x) ≥ 0)  f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) p ( p t = f ( x),t ≥ 0  a. f ( x) + b. f ( x) + c = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 p ( p p u = f ( x) p f ( x) ± g( x) = h( x). Đặt  ; u,v ≥ 0 đưa về hệ u, v. v = g ( x)    f ( x) ≥ 0 g ( x) > 0   f ( x) < [ g( x)]2 ( g ( x) < 0  p  f ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x) ⇔    ( g ( x) ≥ 0  f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x) > [ g( x)]2 5 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc xét dấu. u Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai 1 f ( x) = 2 x2 − 5 x + 2. 2 f ( x) = x2 + 2 x + 1. 3 f ( x) = 4 x2 + 7. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 149 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Xét dấu của các biểu thức ¡ ¢¡ ¢ 2 f ( x) = − x2 + 4 x x2 + 3 . ¡ ¢¡ ¢ 1 f ( x) = x2 − 4 −2 x2 + x + 3 . 3 f ( x) = 3 x2 + 2 x − 5 . 2− x 4 f ( x) = x2 + 2 x + 1 . x2 − 4 Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Tìm m để biểu thức luôn âm hoặc luôn dương trên R (  ax2 + bx + c > 0 ∀ x ∈ R ⇔  ax2 + bx + c ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔ a>0 ∆<0 ( a>0 ∆≤0 ( .  ax2 + bx + c < 0 ∀ x ∈ R ⇔ .  ax2 + bx + c ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ a>0 ∆<0 ( a<0 ∆≤0 . . u Ví dụ 1. Cho f ( x) = (m + 2) x2 + 2( m + 2) x + m + 3. Tìm các giá trị của tham số m để f ( x) ≥ 0 với mọi giá trị của x. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho f ( x) = mx2 − x − 1. Tìm các giá trị của tham số m để f ( x) < 0 với mọi giá trị của x. Lời giải: ................................................................................................ 150 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải: Sử dụng các công thức phần lý thuyết. u Ví dụ 1. Giải phương trình ¯ x2 − x − 1¯ = x − 1. ¯ ¯ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Giải phương trình ¯ x2 − 1¯ = |1 − 3 x|. ¯ ¯ Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Phương trình - bất phương trình chứa dấu căn Phương pháp giải: Sử dụng các công thức phần lý thuyết. u Ví dụ 1. Giải phương trình: p x2 − 3 x + 1 = x − 1. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 151 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI u Ví dụ 2. Giải bất phương trình: p ( x + 5)(3 x + 4) > 4( x − 1). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… TỰ LUẬN B t Câu 1. Xét dấu các biểu thức sau: 1 2 3 4 5 2 x2 − 7 x + 5 − x2 + 4 x + 5 −4 x2 + 12 x − 9 3 x2 − 2 x − 8 − x2 + 2 x − 1 6 2 x2 − 7 x + 5 7 (3 x2 − 10 x + 3)(4 x − 5) 8 (3 x2 − 4 x)(2 x2 − x − 1) (3 x2 − x)(3 − x2 ) 9 4 x2 + x − 3 ( x2 − x)(3 + x) x2 + x − 2 (2 x2 − 4)( x2 + 1) 11 2 x2 + x − 3 (2 x2 − 2)(1 − x2 ) 12 x2 − 2 10 t Câu 2. Giải các bất phương trình sau: 1 x2 − x − 6 ≤ 0 2 −5 x2 + 4 x + 12 < 0 3 16 x2 + 40 x + 25 > 0 4 −2 x2 + 3 x − 7 ≥ 0 5 3 x2 − 4 x + 4 ≥ 0 −3 x2 − x + 4 6 >0 x2 + 3 x + 5 t Câu 3. Giải các hệ bất phương trình sau: ( 1 x2 + x + 5 < 0 x2 − 6 x + 1 > 0 2 ( 2 2x + x − 6 > 0 3 x2 − 10 x + 3 ≥ 0 152 ( 3 − 2 x2 − 5 x + 4 < 0 − x2 − 3 x + 10 > 0 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI   x2 + 4 x + 3 ≥ 0   4 2 x2 − x − 10 ≤ 0    2 2x − 5x + 3 > 0 ( 5 − x2 + 4 x − 7 < 0 x2 − 2 x − 1 ≥ 0 6 −4 ≤ x2 − 2 x − 7 ≤1 x2 + 1 t Câu 4. Tìm m để các phương trình trên có nghiệm. 1 (1 + m) x2 − 2 mx + 2 m = 0 2 ( m − 2) x2 + 2(2 m − 3) x + 5 m − 6 = 0 3 (3 − m) x2 − 2( m + 3) x + m + 2 = 0 4 ( m − 2) x2 − 4 mx + 2 m − 6 = 0 5 (− m2 + 2 m − 3) x2 + 2(2 − 3 m) x − 3 = 0 t Câu 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x. 1 3 x2 + 2( m − 1) x + m + 4 > 0 2 x2 + ( m + 1) x + 2 m + 7 > 0 3 2 x2 + ( m − 2) x − m + 4 > 0 4 5 6 mx2 + ( m − 1) x + m − 1 < 0 (¯ m − 1) x2 − 2( m + 1) x + 3( m − 2) > ¯ 0 ¯3( m + 6) x2 − 3( m + 3) x + 2 m − 3¯ > 3 t Câu 6. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm. 1 ( m + 2) x2 − 2( m − 1) x + 4 < 0 2 ( m − 3) x2 + ( m + 2) x − 4 > 0 3 ( m2 + 2 m − 3) x2 + 2( m − 1) x + 1 < 0 4 mx2 + 2( m − 1) x + 4 ≥ 0 5 (3 − m) x2 − 2(2 m − 5) x − 2 m + 5 > 0 6 mx2 − 4( m + 1) x + m − 5 < 0 153 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 7. Giải các phương trình sau: ¯ ¯ 1 ¯¯ x2 − 5¯x + 4¯ = x2 + 6 x + 5 2 ¯ x2 − 1¯ = x2 − 2 x + 8 3 2 ¯ | x| − |¯x − 3| = 3 4 ¯ x 2 − 1¯ = 1 − | x | t Câu 8. Giải các bất phương trình sau: 1 2 3 C 2 x2 − |5¯x − 3| < 0 ¯ 8 >¯¯ x2 + 3 x − 4¯ ¯x − ¯ x2 − 1¯ − 2 x < 0 4 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ x + 4 x + 3¯ > ¯ x 2 − 4 x − 5¯ |¯x − 3| − | x +¯ 1| < 2 ¯ x 2 − 3 x + 2¯ + x 2 > 2 x TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Biểu thức nào sau đây là một tam thức bậc hai đối với x? p A. f ( x) = 2 x2 − 3. B. f ( x) = 2 x − 1. C. f ( x) = x2 − 1 . x t Câu 2. Cho f ( x) = x2 − 2 x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f (0) = 2. B. f (2) = 3. C. f (3) = 4. 154 D. f ( x) = x2 − x + 1 . x+2 D. f (4) = 5. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 3. Cho tam thức f ( x) = ax2 + bx + c, với a 6= 0 và ∆ = b2 − 4ac < 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a. f ( x) < 0 ∀ x ∈ R. B. a. f ( x) > 0 ∀ x ∈ R. C. a. f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ R. D. a. f ( x) ≤ 0 ∀ x ∈ R. t Câu 4. Cho hình vẽ bên, biết f ( x) = ax2 + bx + c và ∆ = b2 − 4ac. Xác định dấu của a và ∆. A. a > 0, ∆ < 0. B. a < 0, ∆ < 0. C. a > 0, ∆ > 0. y y = f ( x) O D. a > 0, ∆ = 0. x t Câu 5. Cho tam thức f ( x) = ax2 + bx + c, với a 6= 0 và ∆ = b2 − 4ac = 0. Khẳng định nào sau đây sai? A. f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a. B. a. f ( x) = 0 khi và chỉ khi x = − b . 2a ¾ b C. a. f ( x) > 0, ∀ x ∈ R − . 2a D. Đồ thị hàm số y = f ( x) cắt Ox tại một điểm duy nhất. ½ 155 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 6. Bảng xét dấu sau đây là của một trong số bốn tam thức bậc hai được cho dưới đây. Hỏi đó là tam thức nào? x f ( x) A. f ( x) = x2 − 2 x + 3. −∞ 1 + +∞ 2 − 0 B. f ( x) = x2 − 2 x − 3. 0 + C. f ( x) = x2 − 3 x + 2. D. f ( x) = − x2 + 3 x − 2. 2 t Câuµ 7. Trong khoảng nào f ( x) = −2 x2 + 3 x + 5 trái dấu với hệ số ¶ µ của x¶ ? 5 µ 2 ¶ 5 C. −1; . 2 A. − ; 1 . B. (−∞; −1) và 5 ; +∞ . 2 µ ¶ 5 D. −∞; − và (1; +∞). 2 t Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? A. f ( x) = x2 + 3 x + 1 > 0 với mọi x ∈ R. B. f ( x) = − x2 + 4 x − 4 ≤ 0 với mọi x ∈· R. ¸ 1 C. f ( x) = − x2 + 5 x − 4 > 0 với mọi x ∈ (1; 4). D. f ( x) = 2 x2 − x − 1 ≤ 0 với mọi x ∈ − ; 1 . 2 t Câu 9. Với giá trị tùy ý của m, biểu thức nào sau đây là¡một tam ¢ thức bậc hai đối với x? A. f ( x) = mx2 + 3 x + 1. B. f ( x) = ¡m2 − 1 x¢2 + 2 x + m − 1. C. f ( x) = (m + 1) x2 − 1. D. f ( x) = −m2 − 1 x2 + (2 m − 5) x − 2017. 156 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 10. Cho tam thức bậc hai f ( x) = x2 − bx + 3. Với giá trị nào của b thì f ( x) = 0 có hai nghiệm phânpbiệt? p p p A. b ∈ [−2 3; 2p 3]. p B. b ∈ (−2 3; 2p 3). p C. b ∈ (−∞; −2 3] ∪ [2 3; +∞). D. b ∈ (−∞; −2 3) ∪ (2 3; +∞) . p 2 t Câuµ 11. Tập ¸ xác định của hàm số y = 2 x − 5 x − 2µ là A. 1 −∞; . 2 B. [2; +∞). C. ¸ 1 −∞; ∪ [2; +∞). 2 · D. ¸ 1 ;2 . 2 t Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên x để tam thức bậc hai −2 x2 + 5 x − 2 không âm? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. t Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên x để tam thức bậc hai − x2 + 5 x − 6 luôn dương? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. t Câu 14. Tam thức bậc hai x2 − 5 x − 6 luôn dương khi A. x < −1 hoặc x > 6. B. −1 < x < 6. C. x ≤ −1 hoặc x ≥ 6. 157 D. −1 ≤ x ≤ 6. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 15. Tam thức bậc hai − x2 + 5 x − 4 không âm khi A. x < 1 hoặc x > 4. B. 1 < x < 4. C. x ≤ 1 hoặc x ≥ 4. D. 1 ≤ x ≤ 4. t Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên x để tam thức bậc hai x2 − 5 x + 4 luôn âm? A. 0. B. 1. C. 4. D. 2. t Câu 17. Cho f ( x) = 11 x2 − 5 x + 6 − x. Tìm x để f ( x) < 0. x2 + 5 x + 6 ¶ 3 B. x ∈ (−3; 1) ∪ 2; ∪ (3; +∞). µ2 ¶ 3 D. x ∈ (−2; −1) ∪ 1; ∪ (3; +∞). 2 A. x ∈ (−3; −2) ∪ (1; 2) ∪ (3; +∞). C. x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 2) ∪ (3; +∞). µ t Câu 18. Cho f ( xÃ) = 4px4 − x2 + 2 x − 1. Khẳng định nào sau đây đúng? p ! µ ¶ 1− 5 1+ 5 1 A. f ( x) > 0, ∀ x ∈ ; . B. f ( x) < 0, ∀ x ∈ −1; . 2 2 p ! 1+ 5 C. f ( x) > 0, ∀ x ∈ −∞; . 2 2 à ¶ 1 D. f ( x) < 0, ∀ x ∈ ; +∞ . 2 µ 158 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 19. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tam thức bậc hai f ( x) = −2 x2 − ( m + 2) x + m2 − m − 1 luôn dương trên R? A. 4. B. 3. C. 2. ¢2 D. 1. t Câu 20. Với giá trị nào của x thì f ( x) = x2 + 4 x + 10 − 7 x2 + 4 x + 11 + 7 mang giá trị âm? A. (1; 3). B. (−1; 3). C. (−3; 1). D. (−3; −1). ¡ ¡ ¢ t Câu 21. Có bao nhiêu giá trị x nguyên thỏa mãn f ( x) = x x3 − x + 2 − 1 < 0? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ¡ ¢ t Câu 22. Xác định tất cả các giá trị của m để tam thức bậc hai f ( x) = (m + 1) x2 − 3 mx + 4m có hai nghiệm µ dương. ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 3 A. m ∈ − ; −1 . B. m ∈ − 16 ; −1 . 7 3 4 C. m ∈ − ; 1 . D. m ∈ − 14 ;3 . 3 2 x2 − 5 x + 2 luôn âm? x2 + 7 x + 12 µ ¶ 1 C. (−∞; −4). D. −3; . 2 t Câu 23. Hãy chỉ ra một khoảng của x để biểu thức f ( x) = µ A. ¶ 1 ;2 . 2 B. (2; +∞). 159 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3x + 2 x − 2 − luôn dương trên khoảng nào? 2µx + 1 x¶ − 1 µ ¶ 1 1 B. −2; − . C. (−1; 0). D. − ; 0 . 2 2 t Câu 24. Biểu thức f ( x) = A. (0; 1). t Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên x để biểu thức f ( x) = (3 x2 + x − 2)2 − ( x2 − x − 7)2 luôn âm? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. x+4 2 và g( x) = . Tìm x để f ( x) < g( x). x−2 x+1 B. 1 < x < 2. C. x > 2. D. −1 < x < 2. t Câu 26. Cho hai biểu thức f ( x) = A. −2 < x < −1. t Câu 27. Cho biểu thức f ( x) = dương. A. (2; 3). x2 − 5 x − 6 . Tìm một khoảng của x để biểu thức f ( x) luôn x − x3 B. (1; 2). C. (−1; 0). 160 D. (0; 2). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI x2 − 12 x + 36 luôn âm trên khoảng nào? 2µx2 +¶9 x − 5 µ ¶ 1 1 B. ;6 . C. −5; . 2 2 t Câu 28. Biểu thức f ( x) = A. (6; +∞). D. (−∞; −5). t Câu 29. Cho biểu thức f ( x) = (2 x2 − 6 x − 8)(12 − x − x2 ). Tìm một khoảng của x để biểu thức f ( x) luôn dương. A. (−4; −3). B. (−3; 0). C. (−6; −1). D. (−1; 4). t Câu 30. Tập xác định của hàm số f ( x) = A. (−∞; 1). B. [−5; 1]. p p p (2 − 5) x2 + (15 − 7 5) x + 25 − 10 5 là p C. [−5; 5]. D. R. p t Câu 31. Giá trị nào của m thì phương trình (m − 3) x2 + (m + 3) x − (m + 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt?µ ¶ µ ¶ A. m ∈ −∞; − µ 3 5 3 5 3 ∪ (1; +∞) {3}. 5¶ B. m ∈ − ; 1 . D. m ∈ R {3}. C. m ∈ − ; +∞ . 161 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI p 2 t Câuµ 32. Tìm ¸ tập xác định của hàm số y = 2 x − 5µx + 2. ¸ 1 1 B. [2; +∞). C. −∞; ∪ [2; +∞). A. −∞; . 2 2 t Câu 33. Tìm m để (m + 1) x2 + mx + m < 0 ∀ x ∈ R? A. m < −1. B. m > −1. 4 3 C. m < − . · D. ¸ 1 ;2 . 2 4 3 D. m > . t Câu 34. Tìm m để f ( x) = x2 − 2 (2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀ x ∈ R? 3 2 A. m > . 3 4 B. m > . C. 3 3 1. C. m < . 162 1 2 D. a ≥ . 1 4 D. m > . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI t Câu 37. Cho f ( x) = −2 x2 + (m + 2) x + m − 4. Tìm m để f ( x) âm với mọi a,b,c > 0. A. −14 < m < 2. B. −14 ≤ m ≤ 2. C. −2 < m < 14. D. m < −14 hoặc m > 2. 1 1 2 − ≤ có nghiệm là − 2 x !x + 2 à à xp p ! 3 − 17 3 + 17 A. −2, ∪ (0,2) ∪ ,+∞ . B. x ∉ {−2,0,2}. 2 2 C. −2 < x < 0. D. 0 < x < 2. t Câu 38. Bất phương trình ¯ ¯ ¯ 3x ¯ ¯ ¯ < 1 là t Câu 39. Tập nghiệm của bất phương trình ¯ 2 x −4¯ A. S = (−∞, − 4) ∪ (−1,1) ∪ (4, + ∞). B. S = (−∞, − 4). C. S = (−1,1). D. S = (4, + ∞). p t Câu 40. Bất phương trình − x2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x có nghiệm là A. 3 < x ≤ 5. B. 2 < x ≤ 3. C. −5 < x ≤ −3. 163 D. −3 < x ≤ −2. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 164 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 5 THỐNG KÊ BÀI 1. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ, TẦN SUẤT. BIỂU ĐỒ MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 1 Số liệu thống kê Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra đgl một mẫu. Số phần tử của một mẫu đgl kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu đgl một mẫu số liệu. 2 Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu. ni 3 Tần suất: f i của giá trị x i là tỉ số giữa tần số n i và kích thước mẫu N : f i = N (thường viết tần suất dưới dạng %). 4 Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Giá trị Tần số Tần suất (%) Lớp x1 x2 ··· xk n1 n2 ··· nk N f1 f2 ··· fk 100% [ x1 ; x2 ) [ x2 ; x3 ) ··· [ xk ; xk+1 ) Tần số Tần suất (%) n1 n2 ··· nk N f1 f2 ··· fk 100% 5 Biểu đồ Biểu đồ hình cột Biểu đồ hình quạt Đường gấp khúc 2 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT 1 Số trung bình cộng: Với mẫu số liệu kích thước N là { x1 ,x2 ,...,x N }: x̄ = x1 + x2 + ... + x N N Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số: x̄ = n 1 x1 + n 2 x2 + ... + n k xk N Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp: x̄ = n 1 c 1 + n 2 c 2 + ... + n k c k N c i là giá trị đại diện của lớp thứ i . 2 Mốt: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là M0 . 3 Số trung vị: Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi đó số trung vị M e là: 165 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Số đứng giữa nếu N lẻ. Trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu N chẵn. ! Chú ý: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. { Dạng 1. Bảng phân bố tần số và tần suất Để lập bảng phân bố tần số và tần suất từ bảng số liệu thống kê ban đầu, ta thực hiện các bước sau: 1 Sắp thứ tự các giá trị trong các số liệu thống kê. 2 Tính tần số n i của các giá trị x i bằng cách đếm số lần xi xuất hiện. ni 3 Tính tần suất f i của x i theo công thức f i = . n 4 Đặt các số liệu x i , n i , f i vào bảng ta thu được bảng phân bố tần số và tần suất. u Ví dụ 1. Cho số liệu thống kê ghi trong bảng sau Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị: phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 1 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên. 2 Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp  Tần số của giá trị x i (hay một lớp nào đó) là số lần xuất hiện n i của x i . xi  Tần suất của giá trị x i (hay một lớp nào đó) là tỉ số . Σxi u Ví dụ 1. Nhiệt độ trung bình (đơn vị: ◦ C ) của tháng 10 ở địa phương D từ năm 1971 đến 2000 được cho ở bảng sau 166 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 27,1 28,1 26,8 26,9 27,4 26,7 28,5 27,4 29,0 27,4 26,5 28,4 29,1 27,8 28,3 27,0 28,2 27,4 27,1 27,6 27,0 27,4 28,7 27,0 28,0 27,3 28,3 28,6 26,8 25,9 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp của bảng số liệu đã cho? Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Điều tra về tuổi nghề của 30 công nhân được chọn ra từ 150 công nhân của một nhà máy A. Người ta thu được bảng số liệu ban đầu như sau: 7 2 9 2 4 4 5 4 14 9 5 2 7 6 8 4 7 5 3 7 5 8 5 7 10 4 3 4 1 8 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên. t Câu 2. Khi điều tra về năng suất của một giống lúa mới, điều tra viên ghi lại năng suất (tạ / ha) của giống lúa đó trên 40 thửa ruộng có cùng diện tích 1 ha trong bảng sau: 30 40 38 40 34 32 30 40 38 40 32 40 30 38 34 34 40 40 34 30 38 34 32 34 38 36 38 30 32 38 38 36 30 32 32 36 36 30 36 32 1 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên. 2 Trong 40 thửa ruộng được khảo sát, hãy cho biết những thửa ruộng có năng suất cao nhất chiếm bao nhiêu phần trăm. 167 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 3. Cho bảng số liệu thống kê năng suất lúa hè thu (tạ / ha) của 30 tỉnh như sau: 25 30 35 30 30 35 25 40 40 30 25 40 35 45 30 35 45 35 40 35 35 40 25 35 45 35 40 25 40 30 1 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên. 2 Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê. t Câu 4. Điều tra về số tiền mua sách (đơn vị: nghìn đồng) trong một năm của 50 sinh viên, người ta thu được bảng số liệu thống kê sau 203 425 608 498 98 37 141 27 72 302 703 968 350 552 101 43 55 87 215 68 149 57 75 612 333 303 358 327 503 451 252 521 127 712 901 758 863 125 440 875 321 284 489 185 789 123 279 234 404 202 1 Từ bảng số liệu thống kê trên, lập bảng phân bố tần số ghép lớp theo các lớp [0; 99], [100; 199],... [900; 999]. 2 Xét tốp 20% sinh viên dùng nhiều tiền để mua sách nhất. Người mua ít nhất trong nhóm này mua hết bao nhiêu tiền? t Câu 5. Một cảnh sát giao thông ghi tốc độ (đơn vị: km/h) của 30 chiếc xe qua trạm như sau 53 63 47 42 59 55 66 63 36 48 69 75 83 60 77 58 42 80 57 44 51 59 60 60 78 75 63 49 63 46 Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp gồm 6 lớp với độ dài mỗi đoạn của lớp là 7. 168 Sưu tầm và biên soạn 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ C 7GV: Doãn Thịnh TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Để điều tra các con trong mỗi gia đình của một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 4 và thu được mẫu số liệu sau đây: 44253511231123413232 Kích thước của mẫu là bao nhiêu? A. 5. B. 20. C. 4. D. 100. t Câu 2. Để điều tra các con trong mỗi gia đình của một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 4 và thu được mẫu số liệu sau đây: 32413511231213411235 Dấu hiệu ở đây là gì? A. Số gia đình ở tầng 4. C. Số tầng của chung cư. B. Số con ở mỗi gia đình. D. Số người trong mỗi gia đình. t Câu 3. Để điều tra các con trong mỗi gia đình của một chung cư gồm 100 gia đình . Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 4 và thu được mẫu số liệu sau đây: 24213511231223411234 Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên? A. 4. B. 20. C. 10. D. 5. t Câu 4. Điều tra về điện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kW·h) của 30 gia đình ở một khu phố A , người ta thu được mẫu số liệu sau: 169 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 165 100 40 85 100 70 65 100 84 65 70 50 45 100 45 100 90 53 70 141 42 50 150 59 75 57 133 45 65 75 Dấu hiệu điều tra ở đây là gì? A. Điện năng tiêu thu trong một tháng. C. Điện năng tiêu thu trong nửa tháng. B. Điện năng tiêu thu trong một ngày. D. Điện năng tiêu thu trong một năm. t Câu 5. Điều tra về điện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kW·h) của 30 gia đình ở một khu phố A , người ta thu được mẫu số liệu sau: 105 100 40 96 100 70 65 65 70 50 45 100 90 53 70 141 84 59 75 57 133 100 45 42 50 45 165 100 150 175 Tần số của giá trị 100 là bao nhiêu? A. 5. B. 1 . 6 C. 4. D. 1 . 5 t Câu 6. Điều tra về điện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kW·h) của 30 gia đình ở một khu phố A , người ta thu được mẫu số liệu sau: 87 100 40 85 65 89 100 70 84 65 70 50 45 90 53 70 141 59 75 57 133 100 45 100 42 50 150 45 65 75 Tập hợp các đơn vị điều tra ở đây là gì? A. Là tập hợp 30 gia đình. B. Là khu phố A. C. Là tập hợp số điện năng tiêu thụ. D. Là các con số được cho trong bảng số liệu trên. 170 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 7. Một cảnh sát giao thông ghi tốc độ (đơn vị: km/h) của 30 chiếc xe qua trạm như sau 40 60 41 65 41 60 80 65 40 65 52 70 52 70 52 65 Tìm tất cả các tốc độ có tần suất lớn nhất. A. 41 km/h và 52 km/h. C. 60 km/h và 65 km/h. 60 75 55 75 60 70 60 55 62 70 55 41 55 65 B. 55 km/h và 70 km/h. D. 62 km/h và 80 km/h. t Câu 8. Một cảnh sát giao thông ghi tốc độ (đơn vị: km/h) của 30 chiếc xe qua trạm như sau 40 60 41 65 41 60 80 65 40 65 52 70 52 70 52 65 Những tốc độ nào sau đây có tần suất là 3,3%? A. 41 km/h và 52 km/h. C. 60 km/h và 65 km/h. 60 75 55 75 60 70 60 55 62 70 55 41 55 65 B. 55 km/h và 70 km/h. D. 62 km/h và 80 km/h. t Câu 9. Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vị: giờ) có kết quả như trong bảng sau 1180 1178 1185 1179 1180 1184 1187 1185 1179 1190 1179 1180 1187 1180 1184 1198 1198 1198 1179 1179 1180 Tìm tuổi thọ của bóng đèn có tần suất lớn nhất. A. 1187 giờ. B. 1179 giờ. C. 1185 giờ. 1178 1198 1178 1185 1178 1179 1184 1191 1178 D. 1191 giờ. t Câu 10. Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vị: giờ) có kết quả như trong bảng sau 171 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 1180 1178 1185 1179 1180 1184 1187 1185 1179 1190 1179 1180 1187 1180 1184 1198 1198 1198 1179 1179 1180 1178 1198 1178 1185 1178 1179 1184 1191 1178 Tìm tất cả tuổi thọ của bóng đèn có tần suất nhỏ nhất. A. 1189 giờ và 1184 giờ. B. 1179 giờ và 1187 giờ. C. 1185 giờ và 1178 giờ. D. 1190 giờ và 1191 giờ. t Câu 11. Điều tra thời gian hoàn thành một sản phẩm của 20 công nhân, người ta thu được mẫu số liệu như sau (đơn vị: phút). 10 23 12 21 13 15 15 17 11 16 13 15 16 20 18 13 19 16 21 11 Thời gian hoàn thành sản phẩm là 11 phút thì chiếm bao nhiêu phần trăm? A. 10%. B. 11%. C. 12%. D. 13%. t Câu 12. Để điều tra thời gian hoàn thành một sản phẩm của 20 công nhân, người ta thu được mẫu số liệu như sau (đơn vị: phút). 10 23 12 21 13 15 15 17 11 16 13 15 16 20 18 13 19 16 21 11 Thời gian hoàn thành sản phẩm ngắn nhất chiếm bao nhiêu phần trăm? A. 6%. B. 5%. C. 7%. D. 9%. t Câu 13. Điều tra số con trong gia đình ở một chung cư 100 gia đình. Người ta chọn 20 gia đình ở lầu 2 được mẫu số liệu như sau 2 1 4 2 3 2 1 3 2 4 3 1 172 3 1 5 3 1 2 2 4 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Gia đình có 3 con chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 20 hộ? A. 15%. B. 25%. C. 35%. D. 45%. t Câu 14. Điều tra số con trong gia đình ở một chung cư 100 gia đình. Người ta chọn 20 gia đình ở lầu 2 được mẫu số liệu như sau 2 1 4 2 3 2 1 3 2 4 3 1 3 1 5 3 1 2 2 4 Gia đình có đông con nhất chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 20 hộ? A. 5%. B. 15%. C. 25%. D. 35%. t Câu 15. Điều tra về điện năng tiêu thụ điện trong 1 tháng của 16 hộ người ta thu được mẫu số liệu như sau (đơn vị: kW · h). 80 98 75 76 110 130 89 100 76 80 75 75 80 75 120 75 Điện năng tiêu thụ nào sau đây có tần suất là 31,25%? A. 76 kW · h. B. 80 kW · h. C. 75 kW · h. D. 100 kW · h. t Câu 16. Điều tra về điện năng tiêu thụ điện trong 1 tháng của 16 hộ người ta thu được mẫu số liệu như sau (đơn vị: kW·h). 80 98 75 76 110 130 89 100 76 80 75 75 80 75 Điện năng tiêu thụ nào sau đây có tần suất là 18,75%? A. 76 kW · h. B. 80 kW · h. C. 75 kW · h. 173 120 75 D. 100 kW · h. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 17. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 40 bệnh nhân bị đau mắt hột với số liệu thống kê như bảng sau 17 22 18 21 18 16 23 18 16 23 18 21 21 22 16 19 18 17 21 25 21 22 23 16 13 16 18 17 25 25 25 18 17 23 14 16 18 22 21 23 Bệnh nhân lớn tuổi nhất chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 40 bệnh nhân? A. 5%. B. 10%. C. 15%. D. 20%. t Câu 18. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 40 bệnh nhân bị đau mắt hột với số liệu thống kê như bảng sau 17 22 18 21 18 16 23 18 16 23 18 21 21 22 16 19 18 17 21 25 21 22 23 16 13 16 18 17 25 25 25 18 17 23 14 16 18 22 21 23 Bệnh nhân nhỏ tuổi nhất chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 40 bệnh nhân? A. 2,5%. B. 5%. C. 10%. D. 15%. t Câu 19. Số học sinh giỏi của 30 lớp ở trường trung học phổ thông A được cho ở bảng số liệu sau 1 2 6 2 11 10 3 0 2 1 6 0 6 2 11 5 0 10 5 11 7 4 0 6 10 4 6 11 5 2 Lớp không có học sinh giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 30 lớp? A. 13,3%. B. 6,7%. C. 16,7%. D. 10%. 174 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 20. Số học sinh giỏi của 30 lớp ở trường trung học phổ thông A được cho ở bảng số liệu sau 1 2 6 2 11 10 3 0 2 1 6 0 6 2 11 5 0 10 5 11 7 4 0 6 10 4 6 11 5 2 Lớp có 10 học sinh giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm trong số 30 lớp? A. 13,4%. B. 13,3%. C. 12%. D. 6%. t Câu 21. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Lớp Tần số [160; 162] 6 [163; 165] 12 [166; 168] 10 Tính độ dài của mỗi lớp. A. 36. B. 161. [169; 171] 5 [172; 174] 3 C. 5. Cộng n = 36 D. 2. t Câu 22. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Lớp Tần số [1; 10] 10 [11; 20] 5 [21; 30] 6 Tính giá trị đại diện lần lượt của mỗi lớp. A. 5,5; 15,5; 25,5; 35,5; 45,5. C. 1; 11; 21; 31; 41. [31; 40] 3 [41; 50] 12 Cộng n = 36 B. 10; 5; 6; 3; 12. D. 10; 20; 30; 40; 50. 175 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 23. Tuổi các học viên của một lớp học tiếng Anh buổi tối ở một trung tâm được ghi lại trong bảng tần số ghép lớp bên dưới. Tính kích thước mẫu n. Lớp Tần số A. n = 39. [15; 19] 10 [20; 24] 12 [25; 29] 14 B. n = 50. [30; 34] 9 [35; 39] 5 Cộng C. n = 24. n D. n = 5. t Câu 24. Kết quả của một kì thi tiếng Anh của 32 học sinh được cho bởi bảng phân bố tần số bên cạnh (thang điểm 100). Tính x. Lớp Tần số [40; 50) 4 A. x = 11. [50; 60) 6 [60; 70) x [70; 80) 6 B. x = 65. [80; 90) 3 [90; 100] 2 C. x = 10. Cộng n = 32 D. x = 9. t Câu 25. Nhiệt độ trung bình (đơn vị: ◦ C) của tháng 5 ở địa phương A từ năm 1961 đến 1990 được cho ở bảng sau 27,1 26,9 28,5 27,4 29,1 27,0 27,1 27,4 28,0 28,6 28,1 27,4 27,4 26,5 27,8 28,2 27,6 28,7 27,3 26,8 26,8 26,7 29,0 28,4 28,3 27,4 27,0 27,0 28,3 25,9 Trong 4 bảng sau đây, bảng nào là bảng phân bố tần số ghép lớp của bảng số liệu đã cho? Lớp Tần số Lớp Tần số A. [25; 27) [27; 29) [29; 31] Cộng Lớp C. [25; 27) [27; 29) [29; 31] Cộng 6 . 21 3 n = 30 B. [25; 27) [27; 29) [29; 31] Cộng Lớp Tần số 7 . 22 1 n = 30 D. [25; 27) [27; 29) [29; 31] Cộng 176 7 . 21 2 n = 30 Tần số 6 . 22 2 n = 30 Sưu tầm và biên soạn 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ 7GV: Doãn Thịnh t Câu 26. Thành tích chạy 50 m (đơn vị: giây) của học sinh lớp 10A ở một trường THPT được cho ở bảng phân bố tần suất sau Lớp Tần suất (%) [6,0; 6,5) [6,5; 7,0) [7,0; 7,5) [7,5; 8,0) [8,0; 8,5) [8,5; 9,0] 6,06 15,15 30,30 27,27 12,12 9,10 100 (%) Cộng Trong lớp 10A, số học sinh chạy 50 m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm? A. 12,12%. B. 90,90%. C. 69,69%. D. 84,84%. t Câu 27. Giá bán 80 lô đất (đơn vị: triệu đồng) được ghi lại trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau Lớp Tần số [79,5; 84,5) [84,5; 89,5) [89,5; 94,5) [94,5; 99,5) [99,5; 104,5) [104,5; 109,5) [109,5; 114,5] 5 10 15 26 13 7 4 n = 80 Cộng Tính tần suất của lớp [94,5; 99,5) (làm tròn một chữ số thập phân). A. 32,5%. B. 24,8%. C. 26,0%. 177 D. 56,0%. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 28. Giá bán (đơn vị: nghìn đồng) 120 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng tần suất ghép lớp sau Lớp Tần suất (%) [40; 49] 5,00 [50; 59] 10,00 [60; 69] 31,67 [70; 79] 38,33 [80; 89] 15,00 Cộng 100 Ở cửa hàng này, có bao nhiêu mặt hàng có giá bán từ 60 nghìn đồng đến 79 nghìn đồng? A. 84. B. 70. C. 39. D. 46. t Câu 29. Thống kê điểm kiểm tra một tiết chương 5 môn Toán của 35 học sinh lớp 10A, thấy phổ điểm rơi vào 5 giá trị khác nhau là 5, 6, 7, 8, 9, 10. Biết rằng số điểm 8 chiếm 20%, tính số học sinh đạt 8 điểm. A. 5. B. 6. C. 8. D. 7. t Câu 30. Điều tra số con trong mỗi gia đình của n hộ gia đình thấy có 8 hộ gia đình có 2 con và chiếm tỉ lệ 40%. Tìm n. A. n = 20. B. n = 5. C. n = 40. D. n = 32. t Câu 31. Số liệu thống kê qua điều tra dấu hiệu X , được cho như trong bảng sau Giá trị dấu hiệu ( X ) Tần số x1 n1 x2 n2 ··· ··· xk nk Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A. Dấu hiệu X có tất cả 3 giá trị khác nhau. B. Dấu hiệu X có tất cả n giá trị. 178 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ C. Số các giá trị của dấu hiệu X là n1 + n2 + · · · + n k . D. Số các giá trị của dấu hiệu X là x1 + x2 + · · · + xk . t Câu 32. Số liệu thống kê qua điều tra dấu hiệu X , được cho như trong bảng sau Lớp giá trị dấu hiệu ( X ) Tần số [ x1 ; x2 ) n1 [ x2 ; x3 ) n2 [ xk−1 ; xk ] nk ··· ··· Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A. Dấu hiệu X có các giá trị được chia thành 3 lớp. B. Dấu hiệu X có các giá trị được chia thành xk lớp. C. Dấu hiệu X có các giá trị được chia thành n k lớp. D. Dấu hiệu X có các giá trị được chia thành k − 1 lớp. t Câu 33. Điều tra dấu hiệu X , người ta chọn một mẫu kích thước N và thu được số liệu thống kê như trong bảng sau Giá trị dấu hiệu ( X ) Tần số Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A. n1 + n2 + · · · + n k = N . C. n1 + n2 + · · · + xk = N . x1 n1 x2 n2 ··· ··· xk nk B. x1 + x2 + · · · + xk = N . D. n1 + x2 + · · · + n k = N . t Câu 34. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Thời gian bạn A đi từ nhà đến trường trong 30 ngày Lớp thời gian (phút) Tần suất (%) [19; 21) 16,67 [21; 23) 33,33 179 [23; 25) 26,67 [25; 27] 23,33 Cộng 100% Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Biểu đồ nào sau đây là biểu đồ tần suất hình cột về thời gian đi từ nhà đến trường của bạn A trong 30 ngày? Tần suất A. Tần suất 33,33 33,33 26,67 26,67 23,33 23,33 16,67 16,67 10 10 O 1 19 21 23 25 27 Thời gian O B. . Tần suất C. 33,33 26,67 26,67 23,33 23,33 16,67 16,67 10 10 1 19 21 23 25 27 Thời gian . 19 21 23 25 27 Thời gian . Tần suất 33,33 O 1 19 21 23 25 27 Thời gian D. . O 1 t Câu 35. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Thời gian bạn sử dụng của 1 bóng đèn trong 30 ngày Lớp thời gian (phút) Tần suất (%) [190; 210) 15 [210; 230) 40 [230; 250) 25 [250; 270] 20 Cộng 100% Trục nằm ngang của biểu đồ tần suất hình cột về thời gian sử dụng của 1 bóng đèn trong 30 ngày biểu diễn giá trị gì? A. Tần số. B. Số ngày sử dụng. C. Tần suất. D. Thời gian sử dụng trong 1 ngày. t Câu 36. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Số hộp mỹ phẩm bán được trong 30 ngày của cửa hàng A Số sản phẩm (cái) Tần suất (%) [100; 120) 13 [120; 140) 37 180 [140; 150) 30 [150; 160] 20 Cộng 100% Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Trục đứng của biểu đồ tần suất hình cột về số hộp mỹ phẩm bán được trong 30 ngày của cửa hàng A biểu diễn giá trị gì? A. Tần số. B. Số mỹ phẩm bán được trong một ngày. C. Tần suất. D. Số ngày. t Câu 37. Cho biểu đồ tần suất hình cột về thời gian (giây) bạn A chạy 100 m trong 20 lần như hình vẽ Tần suất 40 25 20 15 O 1 4 11 11,5 12 12,5 13 Thời gian Thời gian bạn A chạy 100 m từ 11 giây đến dưới 11,5 giây có tần suất là bao nhiêu? A. 15%. B. 20%. C. 25%. D. 40%. t Câu 38. Cho biểu đồ tần suất hình cột về thời gian (phút) khách hàng sử dụng máy tính số 10 trong 30 ngày của một quán NET như hình vẽ Tần suất 30 26,67 23,33 20 O 15 60 90 120 150 180 Thời gian Thời gian khách hàng sử dụng máy tính số 10 có tần suất cao nhất nằm trong khoảng nào sau đây? A. Từ 60 phút đến dưới 90 phút. B. Từ 90 phút đến dưới 120 phút. C. Từ 120 phút đến dưới 150 phút. D. Từ 150 phút đến dưới 180 phút. 181 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 39. Cho biểu đồ tần suất hình cột về tiền điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của hộ gia đình X trong một năm như hình vẽ Tần suất 33,33 26,67 23,33 16,67 10 O 15 190 210 230 250 270 Tiền điện Số tiền điện mà hộ gia đình X phải trả hàng tháng có tần suất thấp nhất nằm trong khoảng nào sau đây? A. Từ 190 nghìn đồng đến dưới 210 nghìn đồng. B. Từ 210 nghìn đồng đến dưới 230 nghìn đồng. C. Từ 230 nghìn đồng đến dưới 250 nghìn đồng. D. Từ 250 nghìn đồng đến dưới 270 nghìn đồng. t Câu 40. Cho biểu đồ tần suất hình cột về tiền nước (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của hộ gia đình X trong một năm như hình vẽ Tần suất 33,33 26,67 23,33 16,67 10 O 10 80 100 120 140 160 Tiền nước Số tiền nước mà hộ gia đình X phải trả hàng tháng nằm trong khoảng nào sau đây? A. Từ 80 nghìn đồng đến dưới 100 nghìn đồng. B. Từ 100 nghìn đồng đến dưới 120 nghìn đồng. C. Từ 80 nghìn đồng đến dưới 140 nghìn đồng. D. Từ 80 nghìn đồng đến 160 nghìn đồng. 182 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 41. Cho biểu đồ tần suất hình cột về thời gian (phút) bạn A đi từ nhà đến trường trong 30 ngày như hình vẽ Tần suất 33,33 26,67 23,33 16,67 10 O 1 19 21 23 25 27 Thời gian Thời gian bạn A đi từ nhà đến trường nằm trong khoảng từ 21 đến dưới 23 phút có tần suất ít hơn thời gian bạn A đi từ nhà đến trường nằm trong khoảng từ 19 đến dưới 21 phút bao nhiêu phần trăm? A. 16,66%. B. 16,67%. C. 23,33%. D. 33,33%. t Câu 42. Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị: phút) 3 4 3 4 6 7 8 10 2 3 5 4 3 2 4 7 2 3 4 6 5 7 8 5 Tính thời gian (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy) trung bình hoàn thành một sản phẩm của nhóm công nhân đó. A. x̄ = 5,23. B. x̄ = 6,79. C. x̄ = 4,79. D. x̄ = 3,79. t Câu 43. Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau Điểm kiểm tra 450 môn toán của 30 học sinh lớp 11A1 1 2 6 5 8 8 9 10 6 5 2 8 7 5 5 4 9 10 3 4 3 6 4 2 1 7 8 7 2 1 183 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Tính gần đúng (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy) số trung bình cộng x̄ điểm của 30 học sinh nói trên. A. x̄ ≈ 5,27. B. x̄ ≈ 6,27. C. x̄ ≈ 4,27. D. x̄ ≈ 7,27. t Câu 44. Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau Điểm kiểm tra 450 môn toán của 30 học sinh lớp 11A1 1 2 6 5 8 8 9 10 6 5 2 8 7 5 5 4 9 10 3 4 3 6 4 2 1 7 8 7 2 1 Tìm số trung vị M e điểm của 30 học sinh nói trên. A. M e = 3. B. M e = 4. C. M e = 5. D. M e = 6. t Câu 45. Số áo bán được của một cửa hàng được cho bởi bảng sau Cỡ áo Tần số 36 13 37 45 38 126 39 110 40 126 41 40 42 5 Cộng 465 Tính số trung vị M e của áo bán được trong của hàng đó. A. M e = 37. B. M e = 38. C. M e = 39. D. M e = 40. t Câu 46. Cho biết tình hình thu hoạch lúa ở xã A được thống kê như sau Làng Diện tích trồng lúa(ha) Nắng suất lúa(tạ/ha) A 150 40 B 130 45 C 120 38 D 110 35 E 160 30 Tính năng suất trung bình x̄ (làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy) của xã đó. A. x̄ = 37,40. B. x̄ = 38,05. C. x̄ = 36,36. D. x̄ = 39,50. 184 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 47. Bảng số liệu sau đây thống kê thời gian hoàn thành sản phẩm ở một nhóm công nhân Thời gian(phút) Tần số 42 3 44 12 45 13 48 11 50 6 54 5 Tính giá trị trung bình x̄ (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) về thời gian hoàn thành một sản phẩm của nhóm công nhân đó. A. x̄ = 46,74. B. x̄ = 45,74. C. x̄ = 47,74. D. x̄ = 44,74. t Câu 48. Bảng số liệu sau đây thống kê thời gian hoàn thành sản phẩm ở một nhóm công nhân Thời gian(phút) Tần số 42 3 44 12 45 13 48 11 50 6 54 5 Tính số trung vị M e về thời gian hoàn thành một sản phẩm của nhóm công nhân đó. A. M e = 47. B. M e = 44. C. M e = 46. D. M e = 45. t Câu 49. Khối lượng 30 quả trứng gà được cho bởi bảng sau Khối lượng(g) Tần số 25 3 30 5 35 10 40 6 45 4 50 2 Cộng 30 Tính số trung bình x̄ (làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy) của bảng nói trên. A. x̄ = 36,5. B. x̄ = 35,5. C. x̄ = 37,5. D. x̄ = 34,5. 185 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 50. Khối lượng 30 quả trứng gà của được cho bởi bảng sau Khối lượng(g) Tần số 25 3 30 5 35 10 Tính số trung vị M e của bảng nói trên. A. M e = 30. B. M e = 35. 40 6 45 4 50 2 Cộng 30 C. M e = 40. D. M e = 45. t Câu 51. Bảng xếp loại học lực của học sinh lớp 11A2 trường THPT Bắc Thăng Long năm học 2012 − 2013 được cho như sau Học lực Điểm Số học sinh Kém Yếu Trung Bình Khá Giỏi [0; 3) [3; 5) [5; 6,5) [6,5; 8) [8; 10] 3 12 13 11 6 Xác định số trung bình x̄ điểm của 45 học sinh nói trên A. x̄ = 5,8. B. x̄ = 5,5. C. x̄ = 6,0. Tổng 45 D. x̄ = 5. t Câu 52. Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số nhỏ nhất. B. Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất. C. Mốt của mẫu số liệu là giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu. D. Mỗi mẫu số liệu chỉ có duy nhất một mốt. t Câu 53. Điều tra tiền lương (nghìn đồng) hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau 186 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Tiền lương Tần số 300 3 500 5 700 6 800 5 900 6 1000 5 Cộng 30 Tìm tất cả các mốt MO của bảng phân bố tần số đã cho. A. MO = 300. B. MO = 1000. (1) (2) (1) (2) C. MO = 800 và MO = 1000. D. MO = 700 và MO = 900. t Câu 54. Tiền thưởng (triệu đồng) cho 43 cán bộ và nhân viên trong công ti X được thống kê như sau Tiền thưởng Tần số 2 5 3 15 4 10 Mốt MO của bảng phân bố tần số đã cho là A. MO = 2. B. MO = 3. 5 6 6 7 Cộng 43 C. MO = 5. D. MO = 6. t Câu 55. Tuổi của 169 đoàn viên tại một khu dân cư được thống kê bởi bảng phân bố tần số sau Tuổi Tần số 18 10 19 50 20 70 Tính mốt MO của bảng phân bố tần số đã cho. A. MO = 18. B. MO = 22. 21 29 22 10 Cộng 169 C. MO = 20. D. MO = 19. t Câu 56. Một của hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán ra trong một quý theo các cỡ khác nhau và có được bảng phân bố tần số sau Cỡ áo Số áo bán được 36 13 37 45 38 110 187 39 184 40 126 41 40 42 5 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ Mốt MO của bảng phân bố tần số đã cho là A. MO = 42. B. MO = 39. C. MO = 38. D. MO = 36. t Câu 57. Kết quả của 100 học sinh dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20) được cho trong bảng sau đây Điểm Tần số 9 1 10 1 11 3 12 5 13 8 Mốt MO của bảng số liệu thống kê đã cho là A. MO = 9. B. MO = 19. 14 13 15 19 16 24 17 14 18 10 C. MO = 15. 19 2 D. MO = 16. t Câu 58. Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1,2,3,4,5 của một loại sản phầm mới được sản xuất ở nhà máy X. Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên. Mẫu Tần số 1 2100 2 1860 3 1950 4 2000 5 Cộng 10000 Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào? A. Mẫu 1. B. Mẫu 3. C. Mẫu 4. D. Mẫu 5. t Câu 59. Cho bảng phân bố tần suất Giá trị Tần suất 0 6,6% 1 10% 2 3 4 5 6 16,6% 16,6% 13,3% 13,3% 10% 7 10% 8 3,3% Cộng 100% Tính mốt MO của bảng số liệu thống kê đã cho. (1) (2) A. MO = 8. B. MO = 2 và MO = 3. (1) (2) C. MO = 4 và MO = 5. D. MO = 7. 188 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ t Câu 60. Tuổi của top 20 vận động viên giành được nhiều huy chương nhất cho đoàn Thể thao Việt Nam tại SEA Games 29 được thống kê trong bảng số liệu sau 21 26 21 24 20 29 24 20 26 24 22 31 Mốt MO của bảng số liệu đã cho là A. MO = 15. B. MO = 31. 24 22 26 25 C. MO = 24. 189 24 15 25 26 D. MO = 26. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN BÀI 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa cácpgiá trị của mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương sai s2 và độ lệch chuẩn s = s2 .  Với mẫu số liệu kích thước N là { x1 ,x2 ,...,x N }: à !2 N N N 1 X 1 X 1 X 2 2 s = ( x i − x̄) = xi − 2 x i = x2 − ( x̄)2 N i=1 N i=1 N i=1 2  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất: à !2 k k k X X X 1 1 1 n i ( x i − x̄)2 = n i x2i − 2 s2 = n i xi N i=1 N i=1 N i=1 à !2 k k k X X X f i x2i − f i xi f i ( x i − x̄)2 = = i =1 i =1 i =1  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: à !2 k k k X X X 1 1 1 n i ( c i − x̄)2 = n i c2i − 2 s2 = ni ci N i=1 N i=1 N i=1 à !2 k k k X X X f i c2i − fi ci = f i ( c i − x̄)2 = i =1 i =1 i =1 ( c i , n i , f i là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I ; N là số các số liệu thống kê N = n 1 + n 2 + ... + n k . ! Chú ý:  Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán của các số liệu thống kê càng lớn.  Phương sai s2 và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s vì s có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu. 190 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN 2 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu KHÔNG ghép lớp Để tính phương sai s2 của một mẫu số liệu { x1 ; x2 ; . . . ; x N } ta thực hiện cách sau: 1 N Σ xi . N i=1 2 Tính các độ lệch: x i − x, i = 1,N . 1 Tính số trung bình: x = 3 Tính các phương sai theo công thức N 1 P ( x i − x̄)2 N i=1 Tính độ lệch chuẩn s: Độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của phương sai. u Ví dụ 1. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số dưới đây: Sản lượng ( x) Tần số (n) 20 5 21 8 22 11 23 10 24 6 N = 40 1 Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng? 2 Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp Công thức: s2 = ¤ 1£ n 1 ( c 1 − x̄)2 + n 2 ( c 2 − x̄)2 + · · · + n k ( c k − x̄)2 n trong đó c i ; n i ; f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thức i ; c i được tính bằng trung bình cộng của 2 giá trị đầu mút của lớp i , n là số các số liệu thống kê ( n = n 1 + n 2 + . . . + n k ), x là số trung bình cộngpcủa các số trong số liệu thống kê đã cho. Độ lệch chuẩn s được tính bởi công thức s = s2 . u Ví dụ 1. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Tần số [10; 20) 8 [20; 30) 18 [30; 40) 24 [40; 50] 10 Cộng 60 Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. 191 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. 100 học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho trong bảng sau: Điểm Tần số 9 1 10 1 11 3 12 5 13 8 14 13 15 19 16 24 17 14 18 10 19 2 N = 100 1 Tính số điểm trung bình. 2 Tính phương sai và độ lệch chuẩn. t Câu 2. Kết quả thi kết thúc học kì một của bạn Hoa được ghi lại trong bảng sau: Văn 6,0 Địa 8,0 Lý 7,5 Hóa 8,5 Toán 7,0 Anh văn 7,5 Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn. t Câu 3. Trong sổ theo dõi bán hàng ở một cửa hàng bán xe máy có bảng sau: Số xe bán trong ngày Tần số 0 2 1 13 2 15 3 12 4 7 5 3 Tìm số xe trung bình bán được trong ngày. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. 192 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN t Câu 4. Theo dõi số bao xi măng bán ra trong 22 ngày tại một cửa hàng bán vật liệu xây dựng ta có bảng sau: 47 59 54 36 43 45 50 45 61 33 36 53 65 67 54 21 43 45 50 50 62 36 Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. t Câu 5. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Khối lượng của 30 của khoai tây Lớp của khối lượng (g) Tần số [70; 80) 3 [80; 90) 6 [90; 100) 12 [100; 110) 6 [110; 120) 3 Cộng 30 Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. t Câu 6. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Chiều cao của 35 cây bạch đàn Lớp của chiều cao (m) Tần suất (%) [6,5; 7,0) 5,7 [7,0; 7,5) 11,4 [7,5; 8,0) 25,7 [8,0; 8,5) 31,4 [8,5; 9,0) 17,2 [9,0; 9,5) 8,6 Cộng 100 Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần suất ghép lớp đã cho. 193 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Khẳng định nào dưới đây đúng khi nói về phương sai và độ lệch chuẩn? A. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu. B. Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng làm đại diện cho tần số. Nó là một số đặc trưng quan trọng của tần số. C. Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng nhỏ. D. Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn. t Câu 2. Cho dãy số liệu thống kê: 1,2,3,4,5,6,7. Phương sai của các số liệu thống kê đã cho là. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t Câu 3. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây. Sản lượng ( x) Tần số (n) Tính độ lệch chuẩn. A. s ≈ 1,23 (tạ). 20 5 21 8 22 11 B. s ≈ 1,24 (tạ). 23 10 C. s ≈ 1,25 (tạ). 194 24 6 N = 40 D. s ≈ 1,26 (tạ). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN t Câu 4. Tiền thưởng (đơn vị là triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên trong một công ty được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây. Tiền thưởng ( x) Tần số 2 5 3 15 4 10 Tính độ lệch chuẩn. A. s ≈ 1,23 (triệu đồng). C. s ≈ 1,25 (triệu đồng). 5 6 Cộng 6 7 43 B. s ≈ 1,24 (triệu đồng). D. s ≈ 1,26 (triệu đồng). t Câu 5. Bảng sau đây trích từ sổ theo dõi bán hàng của một cửa hàng bán xe máy. Số xe bán trong ngày Tần số Tính độ lệch chuẩn. A. s ≈ 1,25 (xe). 0 2 1 13 B. s ≈ 1,26 (xe). 2 15 3 12 C. s ≈ 1,27 (xe). 4 7 5 3 D. s ≈ 1,28 (xe). t Câu 6. Kết quả thi môn Ngữ văn của một trường Trung học phổ thông được cho trong bảng tần số sau đây. Điểm thi Tần số Tính độ lệch chuẩn. A. s ≈ 1,11 (điểm). 5 3 6 7 7 12 B. s ≈ 1,12 (điểm). 8 14 9 3 10 1 C. s ≈ 1,13 (điểm). Cộng 40 D. s ≈ 1,14 (điểm). t Câu 7. Người ta phân 20 con cá mè thành 4 lớp dựa trên khối lượng của chúng (đơn vị là kg). Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây. 195 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN Tính phương sai. A. s2 = 0,042. Lớp khối lượng (kg) Tần số [0,6; 0,8) [0,8; 1,0) [1,0; 1,2) [1,2; 1,4] 4 6 6 4 N = 20 B. s2 = 0,043. C. s2 = 0,044. D. s2 = 0,045. t Câu 8. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về một bộ phim mới chiếu trên truyền hình. Người điều tra yêu cầu cho điểm bộ phim (thang điểm là 100). Kết quả được trình bày trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây. Tính phương sai. A. s2 ≈ 122,66. Lớp Tần số [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100) 2 6 10 8 4 N = 30 B. s2 ≈ 122,67. C. s2 ≈ 122,68. D. s2 ≈ 122,69. t Câu 9. Cho dãy số liệu thống kê: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tính phương sai s2x của các số liệu thống kê đã cho. A. s2x = 3. B. s2x = 2. C. s2x = 5. D. s2x = 4. 196 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN t Câu 10. Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân là 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220. Phương sai s2x của dãy trên gần với số nào nhất? A. 200. B. 171. C. 175. D. 190. t Câu 11. Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân là 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250. Phương sai s2x của dãy trên gần với số nào nhất? A. 1200. B. 1230. C. 1228. D. 1225. t Câu 12. Tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên trong một công ti cho bởi bảng phân bố tần số sau Tiền thưởng Tần số 2 5 8 15 4 10 5 6 6 7 Phương sai của bảng số liệu trên thuộc khoảng nào dưới đây? A. (1,3; 1,4). B. (1,4; 1,5). C. (1,5; 1,6). D. (1,6; 1,7). t Câu 13. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho bởi bảng sau đây Điểm Tần số 9 1 10 1 11 3 12 5 13 8 197 14 13 15 19 16 24 17 14 18 10 19 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN Tính phương sai s2x của bảng trên. A. s2x ≈ 3,96. B. s2x ≈ 1,96. C. s2x ≈ 1,99. D. s2x ≈ 3,69. t Câu 14. Bảng sau đây trích từ sổ theo dõi bán hàng của một cửa hàng bán xe máy. Số xe bán trong ngày Tần số 0 2 Tính độ lệch chuẩn s của bảng trên. A. s ≈ 1,57. B. s ≈ 2,35. 1 13 2 15 3 12 4 7 5 3 C. s ≈ 1,25. D. s ≈ 1,75. t Câu 15. Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2005. Đơn vị là triệu đồng. Tháng Lãi 1 12 2 15 3 18 4 13 5 13 6 16 Tính phương sai s2x của bảng trên. A. s2x ≈ 5,29. B. s2x ≈ 5,39. 7 18 8 14 9 15 10 17 C. s2x ≈ 5,19. 11 20 12 17 D. s2x ≈ 2,32. t Câu 16. Khách đến tham quan một điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê trong bảng sau đây. Tháng Khách 1 430 2 560 3 450 4 550 5 760 6 430 Tính độ lệch chuẩn s của bảng trên. A. s ≈ 211. B. s ≈ 209,3. 7 525 8 110 C. s ≈ 403,54. 198 9 635 10 450 11 800 12 950 D. s ≈ 207,52. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN t Câu 17. Độ lệch chuẩn bằng A. bình phương của phương sai. C. một nửa của phương sai. B. căn bậc hai số học của phương sai. D. hai lần phương sai. t Câu 18. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tấn số sau đây Sản lượng Tần số 20 5 21 8 Tính độ lệch chuẩn s của bảng trên. A. s ≈ 1,54. B. s ≈ 0,34. 22 11 23 10 C. s ≈ 0,43. 24 6 D. s ≈ 1,24. t Câu 19. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. Phương sai luôn là một số không âm. B. Phương sai không có đơn vị. C. Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn. D. Độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn. 199 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN 200 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 6 BÀI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. Định nghĩa 1. Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Quy ước: chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Định nghĩa 2. Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm A và B. Một điểm M di chuyển trên đường tròn luôn theo một chiều (dương hoặc âm) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A , điểm cuối là B.  Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng, ta có vô số cung lượng giác æ ! điểm đầu A , điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB.  Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì æ ○ Kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoăc cung bé) hoàn tolàn xác định. æ ○ Kí hiệu AB chỉ một cung lương giác điểm đầu A , điểm cuối B. Định nghĩa 3. Trên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác æ CD . Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên æ cung lượng giác CD nói trên. Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD . Ta nói OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC , tia cuối là OD . Kí hiệu (OC,OD ). Định nghĩa 4. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn cắt 2 trục tọa độ tại A (1; 0), A 0 (−1; 0), B(0; 1), B0 (0; −1). Ta lấy A làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng giác. 201 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 2 SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC.  Độ và radian. Đơn vị radian: Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. µ ¶ Quan hệ giữa độ và radian 1◦ = π 180 Độ dài của một cung tròn: l = R · α rad và boxed 1 rad = 180 ◦ . π æ  Số đo của một cung lượng giác: AM = a + k2π,k ∈ Z. trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M .  Số đo của một góc lượng giác: Số đo của góc lượng giác (O A, OC ) là số đo của cung æ lượng giác AC tương ứng. { Dạng 1. Liên hệ giữa độ và radian Sử dụng cộng thức chuyển đổi giữa số đo độ và số đo radian π 180 1 = rad và 1 rad = 180 π ◦ µ ¶◦ u Ví dụ 1. Đổi số đo của các góc sau ra radian: 1 30◦ . 2 −45◦ . 3 90◦ . 4 −72◦ . 5 180◦ . 6 600◦ . 7 −135◦ . 8 270◦ . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Đổi số đo của các góc sau ra độ: 1 π 2 . 2 5 − . 5 3π . 5 π 6 . 2 5π . 18 3π 7 − . 2 2 3 4 2. 8 4π . 7 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 202 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC { Dạng 2. Độ dài cung lượng giác Cung tròn bán kính R có số đo α (0 ≤ a ≤ 2π) rad có độ dài là l = R · α u Ví dụ 1. Một đường tròn có bán kính 36 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là π 1 . 2 5 90◦ . 3π . 2 7 180◦ . 3π . 5 6 −72◦ . 3 − 2 4 . 7 8 45◦ . 4 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Đổi số đo của các góc sau ra Radian. 1 30◦ 2 60◦ 3 72◦ 4 −106◦ 5 45◦ 6 135◦ 7 540◦ 8 600◦ 9 −37◦ 450 3000 10 270◦ 11 225◦ 12 −720◦ t Câu 2. Đổi số đo của các góc sau ra độ. 5π 18 3π 2 5 3 −4 1 2π 9 5π 5 12 6 5 9π 2 4π 8 − 7 5π 9 − 3 4 − 7 203 10 − π 8 5π 11 − 16 10π 12 3 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC t Câu 3. Một đường tròn có bán kính 45m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3π 4 2 51◦ 1 3 3 1 C 3π 7 8 49◦ 4 9 3 4 135◦ 5 105◦ 2π 6 3 10π 3 11 72◦ 2π 12 3 7 10 TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trên đường tròn lượng giác, cung 1 rad có độ dài là A. π. B. 1. C. π 180 . t Câu 2. Góc có số đo 1080◦ thì có số đo là bao nhiêu rađian? A. 6π. B. 3π. C. 12π. D. 180 . π D. 4π. t Câu 3. Trong hệ trục tọa độ Ox y, góc lượng giác (Ox,O y) không thể có số đo nào trong các số đo dưới đây? A. −270◦ . B. −990◦ . C. 810◦ . D. 630◦ . 204 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC  là góc nhọn thì khẳng định nào dưới đây t Câu 4. Góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α mà uOv đúng? π π A. 0 ≤ α < . B. − < α ≤ 0. 2 π π 2 2 C. ∃ k ∈ Z : − + k2π < α < + k 2π . 2 π π 2 2 D. − ≤ α < .  là góc tù thì khẳng định nào dưới đây t Câu 5. Góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α mà uOv đúng? π π B. −π < α ≤ − . A. < α < π. 2 2 3π D. − ≤ α < . 2 2 π 3π C. ∃ k ∈ Z : + k2π < α < + k 2π . 2 2 π . t Câu 6. Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo −1955◦ . Tìm số đo góc hình học uOv A. 25◦ . B. 155◦ . C. 15◦ . D. 55◦ . t Câu 7. Tính số đo bằng rad của góc 22◦ 300 . A. π 8 . B. 7π . 12 C. 205 9π . 12 D. 5π . 12 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC t Câu 8. Tính số đo bằng độ của góc A. 6◦ . B. 8◦ . π 36 . C. 5◦ . D. 10◦ . t Câu 9. Trên đường tròn tùy ý, cung có số đo 1 rad là A. cung có độ dài bằng 1. B. cung có độ dài bằng bán kính. C. cung có độ dài bằng đường kính. D. cung tương ứng với góc ở tâm là 60◦ . t Câu 10. Tính số đo bằng rad của góc 108◦ . A. 3π . 5 B. π 10 t Câu 11. Tính độ dài l của cung có số đo π A. l = . 8 B. l = C. . 5π . 8 π 3π . 2 D. B. 4 . trên đường tròn có bán kính r = 5. 8 C. l = 5π . 4 D. l = t Câu 12. Tính số đo bằng rad của góc 120◦ . A. 120π. π 3π . 2 C. 12π. 206 D. 5 . 16 2π . 3 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 3π được đổi sang số đo độ (phút, giây) là 16 B. −29◦ 300 . C. −33◦ 450 . t Câu 13. Góc có số đo − A. 33◦ 450 . D. 32◦ 550 . t Câu 14. Trên một đường tròn tùy ý, cung có số đo 2 rad là A. cung có độ dài bằng 2. B. cung có độ dài bằng bán kính. C. cung có độ dài bằng đường kính. D. cung tương ứng với góc ở tâm là 60◦ . t Câu 15. Đổi 2 rad ra độ. µ ¶ 360 ◦ ◦ A. = 2 . B. . C. 360◦ . π D. 180◦ . t Câu 16. Trên đường tròn bán kính R = 20, tính độ dài ` của cung có số đo 50◦ . A. ` = 750. B. ` = 50π . 9 C. ` = 207 25π . 9 D. ` = 20. 180 .50. π Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC t Câu 17. Trên đường tròn bán kính R = 8 cm, lấy cung có số đo 54◦ . Tính độ dài ` của cung tròn. A. ` = 7,54 cm. B. ` = 5,74 cm. C. ` = 4,75 cm. D. ` = 7,47 cm. t Câu 18. Trong các góc lượng giác sau, góc nào có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác 999◦ ? A. −81◦ . B. −279◦ . C. 81◦ . D. 99◦ . t Câu 19. Trong các góc lượng giác sau, góc nào có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác − 22π ? 3 4π A. . 3 t Câu 20. Cho góc α = A. −8. π B. − . C. 3 8π . 3 D. π 3 . 11π + kπ ( k ∈ Z), để α ∈ (−18; −12) thì giá trị của k bằng bao nhiêu? 5 B. −7. C. −6. D. −5. 208 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. Cho (O A,OM ) = α. Giả sử M ( x; y). cos α = x = OH sin α = y = OK ³ ´ sin α π tan α = = AT α 6= + kπ cos α 2 cos α = BS (α 6= kπ) cot α = sin α Nhận xét: 1 ∀α, −1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1. π 2 tan α xác định khi α 6= + kπ, k ∈ Z. 3 4 5 6 7 2 2 cot α xác định khi α 6= kπ, k ∈ Z. sin (α + k2π) = sin α. tan (α + kπ) = tan α. cos (α + k2π) = cos α. cot (α + kπ) = cot α. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Giá trị lượng giác Góc phần tư I Góc phần tư II Góc phần tư III Góc phần tư IV sin α cos α tan α cot α + + + + + − − − − − + + − + − − 209 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 3 HỆ THỨC CƠ BẢN. sin α . cos α cos α cot α = sin α sin2 α + cos2 α = 1 với mọi α. kπ tan α. cot α = 1 với mọi α 6= . 2 1 1 + tan2 α = với mọi α 6= k2π. cos2 α 1 1 + cot2 α = với mọi α 6= kπ. sin2 α 1 tan α = 2 3 4 5 6 4 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT. 1 Hai cung đối nhau: α và −α.     cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α 2 Hai cung bù nhau: α và π − α.     sin(π − α) = sin α cos(π − α) = − cos α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α π 3 Hai cung phụ nhau: α và − α. 2 ³π ´  cos − α = sin α 2 ³π ´  sin − α = cos α ³2π ´  tan − α = cot α ³ π2 ´  cot − α = tan α 2 4 Hai cung hơn kém nhau π: α và π + α.     sin(π + α) = − sin α cos(π + α) = − cos α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α 210 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG π π 5 Hai cung hơn kém nhau : α và + α. 2 2 ³π ´  sin + α = cos α 2 ³π ´  cos + α = − sin α 2 ³π ´  cot + α = − tan α ´ ³2π  tan + α = − cot α 2 5 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Dấu của các giá trị lượng giác Giá trị lượng giác Sử dụng bảng sau: Góc phần tư I Góc phần tư II Góc phần tư III sin α cos α tan α cot α + + + + + − − − − − + + Góc phần tư IV − + − − u Ví dụ 1. Xác định dấu các biểu thức: 1 A = sin 50◦ · cos(−45◦ ). 2 B = sin 150◦ · cos(25◦ ). 3 C = sin 400◦ · tan(−30◦ ). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một cung Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: sin α . cos α cos α cot α = sin α sin2 α + cos2 α = 1 với mọi α. kπ tan α. cot α = 1 với mọi α 6= . 2 1 1 + tan2 α = với mọi α 6= k2π. cos2 α 1 1 + cot2 α = với mọi α 6= kπ. sin2 α 1 tan α = 2 3 4 5 6 211 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG u Ví dụ 1. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại biết ³π ´ 1 1 sin α = và α ∈ ; π . 3 2 3 tan α = µ ¶ 1 3π 2 cos α = − và α ∈ π; . 2 2 p 3 4 cot α = − và 270◦ < α < 360◦ . 3 p 3 và 0 < α < 90◦ . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt u Ví dụ 1. Sử dụng công thức µ các ¶cung có liên quan đặc biệt. 1 3π . 1 Cho cos α = . Tính sin α − 3 ³ π2 ´ 2 Rút gọn biểu thức A = cos + x + cos(2π − x) + cos(3π + x). 2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. u Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 1 A = sin2 x + sin2 x tan2 x. 2 B= 2 sin2 x − 1 sin2 x − sin x cos x Lời giải: 212 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Chứng minh rằng 2 + sin2 α 2 1 − sin α = 3 tan2 α + 2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Tính các giá trị lượng giác còn lại biết 1 với 900 < x < 1800 . 2 4 sin x = − với 2700 < x < 3600 . 5 3 3π sin x = − với π < x < . 5 2 1 π cos x = với 0 < x < . 4 2 3 cos x = với 0 < x < 900 . 5 5 với 1800 < x < 2700 . cos x = − 13 2 π cos x = p với − < x < 0. 2 5 4 cos x = với 2700 < x < 3600 . 5 5 π sin x = với < x < π. 13 2 1 với 1800 < x < 2700 . 3 3π tan x = 3 với π < x < . 2 π tan x = −2 với < x < π. 2 1 π tan x = − với < x < π. 2 2 3π cot x = 3 với π < x < . 2 3 3π tan x = với π < x < . 4p 2 π tan x = − 2 với < x < π. 2 π 2 cot x = với 0 < x < . 3p 2 π cot x = − 3 với < x < π. 2 3π cot x = −3 với < x < 2π . 2 1 sin x = 10 sin x = − 2 11 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 17 18 19 t Câu 2. Tính giác trị các biểu thức lượng giác sau. 1 Cho tan x = −2. Tính A 1 = 5 cot x + 4 tan x 2 sin x + cos x , A2 = . 5 cot x − 4 tan x cos x − 3 sin x 213 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG p 3 sin x − cos x sin x − 3 cos x 2. Tính B1 = , B2 = . sin x + cos x sin x + 3 cos x 2 sin x + 3 cos x 2 3 Cho cot x = 2. Tính C 1 = . , C2 = 2 3 sin x − 2 cos x cos x − sin x cos x 3 sin x − 2 cos x 2 sin x + 3 cos x , D2 = 4 Cho tan x = 2. Tính D 1 = . 4 sin x − 5 cos x 5 sin3 x + 4 cos3 x 2 Cho cot x = t Câu 3. Biểu diễn giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x. 1 2 3 4 5 sin ( x − 90◦ ). cos (180◦ + x). sin (270◦ − x). sin ( x − 180◦ ). cos ( x + 540◦ ). 6 7 8 9 cot (180◦ + x). sin ( x − 540◦ ). tan (360◦ − x). cot ( x − π). 10 sin (π + x). 11 tan (2π − x). 12 cot (3π − x). 13 sin ( x − 7π). 14 tan ( x − 5π). ¶ µ 5π +x . 15 sin µ 2 ¶ 3π 16 cos +x . 2 t Câu 4. Rút các biểu thức sau. ³ gọn π´ 1 A = cos x − + sin ( x − π). 2´ ³π ´ ³π ´ ³π ´ 2 B = cos − x + sin − x − cos + x − sin +x . 2 2 2 ¶ µ µ 2 ¶ 7π 3π 3 C = 2 cos x + 3 cos (π − x) − sin − x + tan −x . 2 µ 2 ¶ ³π ´ ³π ´ 3π 4 D = 2 sin + x + sin(5π − x) + sin + x + cos +x . 2 2 2 ³π t Câu 5. Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức (không sử dụng máy tính). 1 A = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + ...... + cos 180◦ . 2 3 4 5 C = cos 10◦ + cos 40◦ + cos 70◦ + ...... + cos 170◦ F = sin 5◦ + sin 10◦ + sin 15◦ + ...... + sin 360◦ I = tan 10◦ . tan 20◦ . tan 30◦ ...... tan 80◦ L = cos2 2◦ + cos2 4◦ + cos2 6◦ + ...... + cos2 88◦ . 214 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 6. Chứng minh các đẳng thức sau. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x. 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x. 3 − 4 sin2 x = 4 cos2 x − 1. sin x cot x + cos x tan x = sin x + cos x. sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x. cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x. 4 cos2 x − 3¡ = (1 − 2 sin x) (1 + 2 sin ¢ x). 2 2 2 (1 + cos x) sin x − cos x + cos x = sin x. sin4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x = 2 sin2 x − 1. sin3 x cos x + sin x cos3 x = sin x cos x. 11 tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x. 12 cot2 x − cos2 x = cot2 x cos2 x. 1 13 tan x + cot x = . sin x cos x 1 − cos x sin x 14 = . sin x 1 + cos x 1 1 15 + = 1. µ1 + tan x ¶ µ1 + cot x ¶ 1 1 1+ + tan2 x = 0. 16 1 − cos x cos x t Câu 7. Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x. 1 A = cos4 x − sin4 x + 2 sin2 x. 2 B = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x. 3 C = cos4 x + sin2 x cos2¢x + sin2 x¡. ¡ ¢ 4 D = cos4 x 2 cos2 x − 3 + sin4 x 2 sin2 x − 3 . C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Chọn mệnh đề đúng (với k là số nguyên tuỳ ý)? A. sin x = 1 ⇔ x = k2π. B. sin x = 0 ⇔ x = k2π. C. cos x = 1 ⇔ x = k2π. D. cos x = −1 ⇔ x = k2π. 215 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 2. Chọn mệnh đề sai (với k là số nguyên tuỳ ý)? A. sin( x + k2π) = sin x. B. cos( x + kπ) = cos x. C. tan( x + k2π) = tan x. D. cot( x + kπ) = cot x. t Câu 3. Tìm số dương T nhỏ nhất thoả sin( x + T ) = sin x với mọi x. π A. T = π. B. T = 2π. C. T = . 2 D. T = 4π. t Câu 4. Tìm số dương T nhỏ nhất thoả cot( x + T ) = cot x với mọi x (thoả các vế của đẳng thức có nghĩa). π D. T = 4π. A. T = π. B. T = 2π. C. T = . 2 t Câu 5. Có bao nhiêu giá trị thực của x thuộc [0; 10π) thoả sin x = 0? A. 10. B. 20. C. 19. 216 D. 9. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin (180◦ − a) = − cos a. B. sin (180◦ − a) = − sin a. C. sin (180◦ − a) = sin a. D. sin (180◦ − a) = cos a. t Câu 7.³ Trong thức nào sai? ³ ´ các đẳng thức sau, ³ π đẳng ´ ´ π π A. sin − x = cos x. B. sin + x = cos x. C. tan − x = cot x. 2 2 2 D. tan ³π 2 ´ + x = cot x. t Câu 8. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. ³ ´ π A. tan (π − a) = tan a. B. cos − a = − sin a. C. cot ³π 2 2 ´ + a = − tan a. D. sin (π + a) = sin a. t Câu 9. Cho ∆ ABC . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. sin A+C B = cos . 2 2 B. cos A+C B = sin . 2 2 ³ t Câu 10. Đơn giản biểu thức M = cos a − A. M = cos a + sin a. B. M = 2 sin a. π´ 2 C. sin ( A + B) = sin C . D. cos ( A + B) = cos C . + sin (a − π) ta được kết quả nào sau đây? C. M = sin a − cos a. 217 D. M = 0. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 47π là 6 1 B. . 2 t Câu 11. Giá trị của sin p 3 A. . 2 1 C. − . 2 p 2 D. . 2 C. II và III. D. I và II. t Câu 12. Cho ∆ ABC và các mệnh đề: A B+C = sin 2 2 C A+B . tan = 1 (II): tan 2 2 (III): cos ( A + B − C ) − cos 2C = 0 (I): cos Mệnh đề đúng là A. Chỉ I. B. chỉ III. t Câu 13. Cho ∆ ABC . Mệnh đề nào sau đây sai? A + B + 3C = cos C . 2 A + B − 2C 3C C. tan = cot . 2 2 A. sin t Câu 14. Giá trị của biểu thức A = A. −1. B. 1. B. cos ( A + B − C ) = − cos 2C . D. cot A + B + 2C C = tan . 2 2 (cot 44◦ + tan 226◦ ) . cos 406◦ − cot 72◦ . cot 18◦ bằng cos 316◦ C. −2. D. 0. 218 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 15. Cho ∆ ABC . Mệnh đề nào sau đây sai? C A+B = sin . 2 2 C. sin ( A + C ) = − sin B. B. cos ( A + B + 2C ) = − cos C . A. cos D. cos ( A + B) = − cos C . t Câu 16. ¶ µ Cho ¶∆ ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? µ C A+B C A+B = tan . B. tan = − tan . A. tan 2 ¶ 2 A+B C C. tan = cot . 2 2 2 ¶ 2 A+B C D. tan = − cot . 2 2 µ µ t Câu 17. Cho M = tan 10◦ . tan 20◦ . tan 30◦ . tan 40◦ . tan 50◦ . tan 60◦ . tan 70◦ . tan 80◦ . Giá trị của M bằng A. M = 0. B. M = 1. C. M = 4. D. M = 8. ³ t Câu 18. Cho góc lượng giác α ∈ 0; A. sin α > 0 và sin 2α > 0. C. cos α < 0 và cos 2α < 0. π´ 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? B. sin α > 0 và cos 2α < 0. D. cos α < 0 và sin 2α > 0. 219 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 19. Cho góc lượng giác α = 2017◦ . Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin α > 0 và cos α < 0. B. sin α > 0 và cos α > 0. C. sin α < 0 và cos α < 0. D. sin α < 0 và cos α > 0. t Câu 20. Cho góc lượng giác α = A. sin α > 0 và cos α < 0. C. sin α < 0 và cos α < 0. 2017π . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 B. sin α > 0 và cos α > 0. D. sin α < 0 và cos α > 0. 3π . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 µ ¶ ³ 3π π´ C. tan − α < 0. D. cot α − < 0. 2 2 t Câu 21. Cho góc lượng giác α thỏa mãn π < α < ³ π´ A. cos α − < 0. 2 B. sin ³π 2 ´ + α > 0. t Câu 22. Cho góc lượng giác α thỏa mãn A. sin α < 0. B. cos α < 0. π 2 < α < π. Khẳng định nào sau đây sai? C. tan α < 0. D. cot α < 0. π t Câu 23. Cho góc lượng giác α thỏa mãn 0 < α < . Khẳng định nào sau đây sai? A. sin (α + π) < 0. 2 B. cos (α + π) > 0. C. tan (α + π) > 0. 220 D. cot (α + π) > 0. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 11π < α < 6π. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 B. sin α > 0, cos α < 0. C. sin α < 0, cos α < 0. D. sin α < 0, cos α > 0. t Câu 24. Cho góc lượng giác α thỏa mãn A. sin α > 0, cos α > 0. 9π . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 C. tan α < 0, cot α < 0. D. tan α < 0, cot α > 0. t Câu 25. Cho góc lượng giác α thỏa mãn 4π < α < A. tan α > 0, cot α > 0. B. tan α > 0, cot α < 0. ¶ 5π 11π t Câu 26. Cho góc lượng giác α ∈ ; . Khẳng định nào sau đây sai? 2 4 A. sin α > 0. B. cos α > 0. C. cot α < 0. D. tan α < 0. µ t Câu 27. Trong p các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng? 3 A. cos 150◦ = . 2 p B. cot 150◦ = 3. 1 C. tan 150◦ = − p . 3 221 p 3 D. sin 150◦ = − . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 28. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng? A. cos2 α − sin2 α = 1. B. sin2 α = 1 − cos2 α. C. sin2 α − cos2 α = 1. D. cos α + sin α = 1. t Câu 29. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là sai? 1 π = 1 + tan2 α với α 6= + k.π, k ∈ Z. 2 2 cos α 2 2 C. cos α − sin α = 1. 1 = 1 + cot2 α với α 6= k.π, k ∈ Z. sin2 α π D. tan α. cot α = 1 với α 6= k. , k ∈ Z. 2 A. B. t Câu 30. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng? A. sin4 α + cos4 α = 0. B. sin4 α + cos4 α = 1. C. sin4 α + cos4 α = 1 + 2 sin2 α cos2 α. D. sin4 α + cos4 α = 1 − 2 sin2 α cos2 α. t Câu 31. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng? A. sin6 α + cos6 α = 1 − 3 sin2 α cos2 α. B. sin6 α + cos6 α = 1 + 6 sin2 α cos2 α. 6 2 6 2 C. sin α + cos α = 1 − 6 sin α cos α. D. sin6 α + cos6 α = 1 + 3 sin2 α cos2 α. t Câu 32. Giá trị của biểu thức S = 3 − sin2 90◦ + 2 cos2 60◦ − 3 tan2 45◦ bằng 1 2 A. S = . 1 2 B. S = − . C. S = 1. 222 D. S = 3. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 33. Trong các giá trị sau đây, cos α có thể nhận giá trị nào? A. p 2. B. 7 . 4 C. −0,7. D. −1,2. t Câu 34. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cho cung α có điểm đầu là A , điểm cuối thuộc góc phần tư thứ II. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng? A. sin α < 0. B. cos α > 0. C. tan α > 0. D. cot α < 0. t Câu 35. các mệnh sau, mệnh đề nào sai? ³ Trong π´ A. cos α − = sin α. B. tan (−α) = − tan α. C. sin (π − α) = sin α. 2 1 3 t Câu 36. Biết tan α = − . Tính P = sin α. cos α. 3 A. − p . 10 3 C. − . 10 9 B. . 10 223 D. cot (−α) = cot α. p 3 D. . 10 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG æ ƒ > 0. Xác định vị trí điểm t Câu 37. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung AM có sin AOM M. A. M thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II. B. M thuộc góc phần tư thứ I. C. M thuộc góc phần tư thứ II. D. M thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ IV. t Câu 38. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng với mọi α biết 0◦ ≤ α ≤ 180◦ ? A. sin α + cos α = 1. C. sin2 α + 1 = B. tan α > 0. 1 cot2 α t Câu 39. Tìm góc α thỏa mãn 90◦ ≤ α ≤ 180◦ và tan α = cot α. A. 120◦ . B. 135◦ . C. 145◦ . . D. sin α > 0. D. 180◦ . t Câu 40. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là sai? A. sin4 α + cos4 α = 1 − 2 sin2 α cos2 α. B. sin6 α − cos6 α = sin2 α − cos2 α. 4 2 4 2 C. sin α − cos α = sin α − cos α. D. sin6 α + cos6 α = 1 − 3 sin2 α cos2 α. 3π . Tính giá trị tan α. 2 p p 21 21 B. tan α = − . C. tan α = − . 2 5 2 5 t Câu 41. Cho cos α = − với π < α < p 21 A. tan α = . 5 224 p 21 D. tan α = . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 42. Cho cos α = 153 A. sin α = − . 169 4 π với 0 < α < . Tính giá trị sin α. 13 2p 3 17 153 B. sin α = . C. sin α = . 13 169 … D. sin α = − π p t Câu 43. Cho cot α = 2 + 3 với 0 < α < . Tính giá trị của sin α. p p p 2p p p 2− 3 2+ 3 2+ 3 A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = − . D. cos α = − t Câu 44. Nếu tan α − cot α = 3 thì tan2 α + cot2 α bằng bao nhiêu? A. 10. B. 9. C. 11. D. 12. 2 2 2 B. G = 1 . cos x C. G = cos x. 225 p 2− 3 . 2 p t Câu 45. Rút gọn biểu thức sau G = (1 − sin2 x) cot2 x + 1 − cot2 x. A. G = sin2 x. 153 . 169 D. G = 1 . sin x Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 46. Biết sin α = 1 A. tan α = − p . 2 2 1 và cos α < 0. Tính giá trị của tan α. 3 p 1 B. tan α = − p . C. tan α = 2 2. 3 3 4 t Câu 47. Cho tan α = − ở đó 3 5 π 2 < α < π. Tính giá trị của sin α. 4 5 3 5 B. sin α = . A. sin α = − . p D. tan α = 3. C. sin α = . 3π . Tính giá trị của sin α. 2 3 1 B. sin α = − p . C. sin α = p . 10 10 4 5 D. sin α = − . t Câu 48. Cho cot α = 3 và π < α < 3 A. sin α = p 10 . 3 5 t Câu 49. Cho sin α = , ở đó α ∈ 24 A. M = . 25 ³π 1 D. sin α = − p 10 . ´ ; π . Tính giá trị biểu thức M = 2 sin α cos α. 2 24 B. M = − . 25 C. M = − 12 . 25 D. M = 12 . 2 ³π π´ 4 ; và thỏa mãn điều kiện cos2 α − sin2 α = − . Tính giá trị của sin α. 4 2 5 3 2 3 1 A. sin α = p . B. sin α = p . C. sin α = p . D. sin α = p . 2 10 10 10 10 t Câu 50. Cho α ∈ 226 Sưu tầm và biên soạn 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 1 3 p A. tan α = −2 2. t Câu 52. Cho cos α = − 2 3 A. tan α = . ³π ´ ; π . Tính giá trị của tan α. 2 p 1 B. tan α = 2 2. C. tan α = − p . 2 2 t Câu 51. Cho cos α = − , ở đó α ∈ π 12 và < α < π. Tính giá trị của tan α. 13 2 5 5 B. tan α = − . C. tan α = . 12 12 3π . Tính giá trị của tan α. 2 p p 2 21 2 15 B. tan α = . C. tan α = − . 21 15 2 5 t Câu 53. Cho sin α = − với π < α < p 2 21 A. tan α = − . 21 t Câu 54. Cho cos α = p 3 13 A. sin α = . 13 7GV: Doãn Thịnh 4 π với 0 < α < . Tính giá trị của sin α. 13 2p p 3 17 3 17 B. sin α = . C. sin α = − . 13 13 227 1 D. tan α = − p . 2 2 D. tan α = − 5 . 12 p 2 15 D. tan α = . 15 p 3 13 D. sin α = − . 13 Sưu tầm và biên soạn 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 3π < α < 2π. Tính giá trị của cos α. 2 p p 3 10 10 B. cos α = − . C. cos α = . 10 10 p 10 D. cos α = − . 10 3π < α < 2π. Tính giá trị của cos α. 2p p p p 3− 5 5− 2 B. cos α = . C. cos α = . 4 4 p p 5− 5 D. cos α = . 3 t Câu 55. Cho cot α = −3 với p 3 10 A. cos α = . 10 7GV: Doãn Thịnh p t Câu 56. Cho tan α = 4 + 15 và p p 2− 5 . A. cos α = 4 t Câu 57. Cho sin α = A. tan α = − 8 . 13 8 π và < α < π. Tính giá trị của tan α. 17 2 8 8 B. tan α = − . C. tan α = − . 15 11 8 9 D. tan α = − . 3π < α < 2π. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 4 5 4 5 A. sin α = − p , cos α = − p . B. sin α = p , cos α = p . 41 41 41 41 4 5 4 5 C. sin α = − p , cos α = p . D. sin α = p , cos α = − p . 41 41 41 41 4 5 t Câu 58. Cho tan α = − với 228 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 59. Tính giá trị của biểu thức M = 4 9 A. M = − . B. M = t Câu 60. Cho cos α = 4 5 A. sin α = − . 4 . 19 3 sin x − 2 cos x , biết tan x = 2. 5 cos x + 7 sin x 4 4 C. M = − . D. M = . 19 9 ³ π´ 3 với α ∈ 0; . Tính sin α. 5 2 4 16 B. sin α = . C. sin α = − . 5 25 µ ¶ 3 3π t Câu 61. Cho sin α = − với α ∈ π; . Tính cos α. 5 2 4 16 4 B. cos α = . C. cos α = − . A. cos α = − . 5 5 25 1 3 D. sin α = 16 . 25 D. cos α = 16 . 25 t Câu 62. Cho cot α = . Tính giá trị của biểu thức P = tan α cot2 α. A. P = 1 . 27 1 9 1 3 B. P = . C. P = . 1 3 D. P = 3. t Câu 63. Cho cot α = . Tính giá trị của biểu thức P = tan α + cot α. A. P = 10 . 3 B. P = 1. C. P = 0. 229 4 3 D. P = . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG p ³π ´ ; π . Tính cos α. 2 p 3 1 B. cos α = . C. cos α = − . 3 3 t Câu 64. Cho tan α = − 2 với α ∈ p 3 A. cos α = − . 3 ¶ 3π t Câu 65. Cho cot α = −3 với α ∈ ; 2π . Tính sin α. 2 p 1 10 1 B. sin α = . C. sin α = − . A. sin α = − . 10 10 10 1 3 D. cos α = . µ 2 3 t Câu 66. Cho tan α = . Tính cot α. 2 A. cot α = − . 3 4 5 t Câu 67. Cho cos α = − với α ∈ 1 A. P = . 5 p 45 C. cot α = . 9 3 B. cot α = − . 2 ³π p 10 D. sin α = . 10 3 2 D. cot α = . ´ ; π . Tính giá trị của biểu thức P = sin α + cos α. 2 1 B. P = − . 5 7 5 C. P = . 230 7 5 D. P = − . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG t Câu 68. Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức M = cos2 α − sin2 α. 3 5 4 5 A. M = . 4 5 B. M = − . 1 2 C. M = . 3 5 D. M = − . π t Câu 69. Cho sin α. cos α = , ở đó 0 < α < . Tính giá trị biểu thức M = sin α + cos α. p A. M = 2. 2 p 2 C. M = . 2 p B. M = − 2. p 2 D. M = − . 2 ³π π´ ³ π´ ; . Tính giá trị của cos 2α − . 4 ´2 2 ³ ³ ³ π 4 π´ 4 π´ 3 B. cos 2α − = . C. cos 2α − = − . D. cos 2α − = − . 2 5 2 5 2 5 4 5 t Câu 70. Cho cos 2α = − , ở đó α ∈ ³ A. cos 2α − π´ 3 = . 2 5 231 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BÀI 3. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 CÔNG THỨC CỘNG. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b.  sin(a ± b) = sin a. cos b ± cos a. sin b. 2  tan(a ± b) = tan a ± tan b . 1 ∓ tan a. tan b CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI.  sin 2a = 2 sin a cos a.  cos 2a = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1. 2 tan α .  tan 2α = 2 1 − tan α cot2 α − 1  cot 2α = . 2 cot α 3 CÔNG THỨC HẠ BẬC.  sin2 a = 4 1 − cos 2a . 2  cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a. 1 2 1  sin a. sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]. 2 1 − cos 2a . 1 + cos 2a  tan 3α = 3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α . 1 2  sin a. cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH. a+b a−b . cos . 2 2 a+b a−b  cos a − cos b = −2 sin . sin . 2 2  cos a + cos b = 2 cos 7  tan2 a = CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG.  cos a. cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. 6 1 + cos 2a . 2 CÔNG THỨC NHÂN BA.  sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a. 5  cos2 a = a+b a−b . cos . 2 2 a+b a−b  sin a − sin b = 2 cos . sin . 2 2  sin a + sin b = 2 sin CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Công thức cộng Sử dụng các công thức cộng. 232 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC u Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức P = cos 10◦ + cos 11◦ cos 21◦ + cos 69◦ cos 79◦ . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ p 3 với 0 < x < 90◦ . Tính sin ( x + 30◦ ), cos (45◦ − x). u Ví dụ 2. Cho sin x = 2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Công thức nhân Sử dụng các công thức nhân. π π π 8 4 8 u Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức P = A = sin cos cos . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 4 5 u Ví dụ 2. Cho sin x = − với 3π < x < 2π. Tính sin 2 x, cos 2 x. 2 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Sử dụng các biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng u Ví dụ 1. Biến đổi thành tổng 1 2 sin(a + b) cos(a − b). 2 2 cos(a + b) cos(a − b). 233 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Biến đổi thành tích 1 sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x 2 sin 5 x + sin 6 x + sin 7 x + sin 8 x Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau. 1 A = sin 12◦ . cos 48◦ + cos 12◦ . sin 48◦ . 2 B = cos 38◦ . cos 22◦ − sin 38◦ . sin 22◦ . 3 C = sin 10◦ . cos 55◦ − cos 10◦ . sin 55◦ . 4 D = sin 36◦ . cos 6◦ − sin 126◦ . cos 84◦ . 5 E = cos 112◦ . cos 23◦ − sin 112◦ . sin 23◦ . 6 F = sin 200◦ . sin 310◦ + cos 340◦ . cos 50◦ . t Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau. 1 + tan 15◦ . 1 − tan◦15◦ tan 25 + tan 20◦ 2 B= . 1 − tan◦ 25◦ tan 20◦ ◦ sin 10 cos 20 + sin 20◦ cos 10◦ 3 C= . cos 17◦ cos 13◦ − sin 17◦ sin 13◦ tan 225◦ − cot 81◦ cot 69◦ . ◦ + tan 201◦ cot 261 sin 73◦ cos 3◦ − sin 87◦ cos 17◦ 5 E= . cos 132◦◦ cos 62◦ + cos 42◦◦cos 28◦ ◦ cot 225 − cot 79 · cot 71 6 F= . cot 259◦ + cot 251◦ 1 A= 4 D= 234 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 3. Tính giá trị các biểu thức sau. ³ 1 π´ π 1 A = cos x + biết sin x = p và 0 < x < . 3 2 3 ³π ´ 12 3π 2 B = sin − x biết cos x = − và π < x < . 3 13 2 p 3 C = cos ( x − 30◦ ) biết tan x = 2 và 0 < x < 90◦ . ³ π´ 3 π biết sin x = và < x < π. 4 D = tan x + 5 2 ³ π 3´ 12 3π 5 E = cos − x biết sin x = − và < x < 2π . 3 13 2 ³ π´ 3π 4 6 F = cot x − biết sin x = − và π < x < . 4 5 2 4 ¡ 5¡ ¡ ¢ ¢ A = cos α + β và B = sin α − β . t Câu 4. Biết sin α = , 00 < α < 90◦ và sin β = ¢ ¢ 8 ¡ ◦ , 90 < β < 180◦ . Hãy tính giá trị biểu thức 17 t Câu 5. Rút gọn các biểu thức sau. 1 A = sin x cos 5 x − cos x sin 5 x. 2 B = sin 4 x cot 2 x − cos 4 x. 3 C = cos 6 x tan 3 x − sin 6 x. 4 D = sin ( x + y) cos ( x − y) + sin ( x − y) cos ( x + y). 5 E = cos (40◦ − x) cos ( x + 20◦ ) − sin (40◦ − x) sin ( x + 20◦ ). 6 G = sin ( x + 10◦ ) cos (2 x − 80◦ ) + sin ( x + 100◦ ) cos (2 x + 10◦ ). t Câu 6. Cho tam giác ABC với A,B,C lần lượt và 3 góc của tam giác. Chứng minh rằng. 1 sin C = sin A. cos B + sin B. cos A . 2 sin A = sin B cos C + sin C cos B. 3 cos A = sin B sin C − cos B cos C . 235 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ¢ ¡ sin C = tan A + tan B, A,B 6= 900 . cos A. cos B ¢ ¡ 5 tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C, A,B,C 6= 900 . 6 cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1, 4 t Câu 7. Tính giá trị các biểu thức sau (không sử dụng máy tính bỏ túi) 1 A = cos2 π − sin2 π 4 D = 4 sin3 400 + 3 sin 1300 . 5 E = 4 sin3 500 + 3 cos 1400 . tan 150 6 F= . 1 − tan2 150 . 8 8 2 B = 3 cos 10¡0 − 4 cos3 100 . ¢ 3 C = sin 200 1 − 4 cos2 200 . t Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau. 1 A = (sin x + cos x)2 . 2 B = 1 − 4 sin2 x cos2 x. 3 C = sin x cos x cos 2 x. 4 4 D = cos4 ³2 x − sin ´ 2 x. ³ π´ π 5 E = cos2 x + − sin2 x + . 2 2 6 F = sin x cos x cos 2 x. t Câu 9. Tính giá trị các biểu thức sau. 2 cos2 x − 1 1 A= . sin x + cos x 2 1 − 2 sin 2 x 2 B= . cos 2 x − sin 2 x 2 3 C= . (1 − tan x) (1 + cot x) ¡ ¢ 4 D = 1 − tan2 x cot x. sin 2 x cos 2 x 5 E= − . sin x cos x cot x − tan x 6 F= . cos 2 x 236 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 10. Tính giá trị các biểu thức 3 π 1 sin 2 x, cos 2 x khi sin x = , < x < π. 5 2 p 2 sin 2 x, cos 2 x khi sin x + cos x = 2. 5 3π 3 cos 2 x, sin 2 x, tan 2 x khi cos x = − ,π < x < . 13 2 4 cos 2 x, sin 2 x, tan 2 x khi tan x = 2. 4 π 3π 5 sin x, cos x khisin 2 x = − , < x < . 5 2 2 t Câu 11. Chứng minh các đẳng thức sau. 1 2 3 4 5 3 1 + cos 4 x. 4 4 7 sin4 + cos4 x − 6 cos2 x sin2 x = cos 4 x. 5 3 8 sin6 x + cos6 x = + cos 4 x. 8 8 cos4 x − sin4 x = cos 2¡ x. ¢ sin 4 x = 4 sin x cos x 1 − 2 sin2 x . cos2 2 x − sin2 x = cos x cos 3 x. cos 4 x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1. 8 sin4 x = 3 − 4 cos 2 x + cos 4 x. 6 sin4 + cos4 x = t Câu 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây. 1 2 3 4 A = cos 3 x + cos x. B = sin 3 x + sin 2 x. C = cos 4 x − cos x. D = sin 5 x − sin x. 5 6 7 8 237 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x. sin x − sin 3 x + sin 7 x − sin 5 x. sin x − sin 2 x + sin 5 x + sin 8 x. cos 7 x + sin 3 x + sin 2 x − cos 3 x. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 13. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau đây. 2π . 5 5 2 B = sin 5 x cos 3 x. π 3π 3 C = sin cos . 4 6 1 A = sin π 7π . 12 12 5 E = sin ( x + y) cos ( x − y). 6 F = sin ( x + 30◦ ) cos ( x − 30◦ ). 4 D = sin sin π cos t Câu 14. Tính giá trị các biểu thức. cos x. cos 10 x π khi x = . cos 2 x + cos 4 x 13 tan 2 x − sin 2 x 2 4 D= khi tan x = . tan 2 x + sin 2 x 15 cos 2 x − cos 4 x khi x = 200 . sin 4 x − sin 2 x cos x. cos 13 x π 2 B= khi x = . cos 3 x + cos 5 x 17 1 A= 3 C= t Câu 15. Trong tam giác ABC có 3 góc lần lượt là A , B, C . Chứng minh rằng A B C cos cos . 2 2 2 A B C 2 sin A + sin B − sin C = 4 sin sin cos . 2 2 2 A B C sin sin . 2 2 2 4 sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C . 1 sin A + sin B + sin C = 4 cos C 3 cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Công thức nào sau đây là đúng? 238 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. sin( x + y) = sin x + sin y. C. cos( x − y) = sin x cos y − cos x sin y. B. sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y. D. sin( x − y) = cos x cos y − sin x sin y. t Câu 2. Công thức nào sau đây là đúng? A. cos 45◦ = sin 30◦ cos 15◦ − cos 30◦ sin 15◦ . C. cos 45◦ = cos 30◦ cos 15◦ − sin 30◦ sin 15◦ . B. cos 45◦ = cos 30◦ cos 15◦ + sin 30◦ sin 15◦ . D. cos 45◦ = sin 30◦ sin 15◦ − cos 15◦ cos 30◦ . t Câu 3. Công thức nào sau đây là đúng (với điều kiện có nghĩa của biểu thức)? tan x − tan y . 1 − tan x tan y tan x − tan y C. tan( x − y) = . 1 + tan x tan y tan x − tan y . 1 + tan x tan y tan x − tan y D. tan( x − y) = . 1 − tan x tan y A. tan( x + y) = B. tan( x + y) = t Câu 4. Tìm công thức đúng để tính giá trị sin A. sin π π π π 12 . π sin . 12 3 4 3 4 π π π π π D. sin = sin cos − cos sin . 12 3 4 3 4 B. sin = 2 sin cos . 12 6 6 π π π π π C. sin = cos cos + sin sin . 12 3 4 3 4 t Câu 5. Công thức nào³ sau đây là đúng? p π´ A. sin x + cos x = 2 sin x − . π = cos π cos p π − sin ³ π B. sin x + cos x = − 2 sin x + 4 239 π´ 4 . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ³ C. sin x + cos x = sin x + π´ 4 p t Câu 6. Công thức nào³ sau đây là đúng? p π´ A. sin x − cos x = 2 cos x − . ³ C. sin x − cos x = cos x + p π´ 4 ³ B. sin x − cos x = − 2 cos x + 4 π´ 4 ³ D. sin x + cos x = 2 sin x + . p ³ D. sin x − cos x = 2 cos x + . . π´ 4 π´ 4 . . t Câu 7. Công thức nào sau đây là đúng (với điều kiện có nghĩa của biểu thức)? sin(α + β) tan α − tan β = . sin(α − β) tan α + tan β sin(α + β) tan α tan β C. = . sin(α − β) tan α − tan β sin(α + β) tan α + tan β = . sin(α − β) tan α − tan β sin(α + β) tan α tan β D. = . sin(α − β) tan α + tan β B. A. ³π ´ 12 3π t Câu 8. Cho sin θ = − và < θ < 2π. Tính cos −θ . 13 2 4 p 5 19 7 2 A. − . B. − . C. − . 13 50 26 3 5 4 5 t Câu 9. Cho sin x = , sin y = , với 0 < x < A. sin( x − y) = − 7 . 25 π 2 và B. sin( x − y) = −1. π 2 < y < π. Tính giá trị sin( x − y). C. sin( x − y) = 1. 240 p 3 2 D. − . 13 D. sin( x − y) = 7 . 25 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 10. Cho tan a + tan b = 2 và tan(a + b) = 4, giá trị của tan a. tan b bằng A. 1 2 1 . 2 B. − . C. 1. D. −1. t Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. sin( x + y) = sin x cos y − cos x sin y. B. sin( x − y) = sin x cos y + sin y cos x. C. cos( x + y) = cos x cos y + sin x sin y. D. cos( x − y) = cos x cos y + sin y sin x. ³ t Câu 12. Cho P = sin x + p A. 2P = sin x + 3 cos x. p C. P = sin x − 3 cos x. π´ 3 p p 2Pp= sin x + 3 cos x. 3 1 sin x + cos x. D. P = 2 2 B. t Câu 13. Với giả thiết P = đúng? A. P = tan( x + y). . Khẳng định nào sau đây đúng? cos x cos y − sin x sin y luôn có nghĩa. Khẳng định nào sau đây cos x sin y + cos y sin x B. P = tan( x − y). C. P = cot( x + y). 241 D. P = cot( x − y). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 14. Cho tan a = 2, tan b = 3. Tính giá trị của tan(a + b). 1 7 A. tan(a + b) = −1. C. tan(a + b) = −7. B. tan(a + b) = − . π 1 D. tan(a + b) = 1. ³ t Câu 15. Biết sin a = p , với 0 < a < . Tính giá trị biểu thức P = cos a + p 6−3 . A. P = 6 2 p 3−3 B. P = . 6 3 p 6−3 C. P = . 4 π´ 3 . p 6+3 D. P = . 4 t Câu 16. Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? cot a − cot b . 1 + cot a cot b cot a cot b − 1 C. cot(a + b) = . cot a + cot b cot a + cot b . 1 − cot a cot b cot a cot b + 1 D. cot(a − b) = . cot a − cot b A. cot(a − b) = B. cot(a + b) = π ¶ 7π t Câu 17. Cho cot α = 2 và 0 < α < . Tính sin α + . 2 6 p p p 3+2 3+2 2+3 A. − p . B. C. − p . p . 2 5 2 5 2 5 µ 242 p 2+3 D. p . 2 5 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câup18. pTính chính xác giáptrị p của sin 105◦ . A. 6+ 2 . 4 B. 6− 2 . 4 p p 6+ 2 C. . 2 p p 6− 2 D. . 2 t Câu 19. Công thức nào sau đây là công thức sai? A. cos 2 x = 1 − sin2 2 x. B. cos 2 x = 2 cos2 x − 1. C. cos 2 x = 1 − 2 sin2 x. D. cos 2 x = cos2 x − sin2 x. t Câu 20. Công thức nào sau đây là công thức đúng? A. sin 2 x = 2 sin2 x − 1. B. sin 2 x = 1 − 2 sin2 x. C. sin 2 x = 1 − cos2 x. D. sin 2 x = 2 sin x. cos x. t Câu 21. Với điều kiện có nghĩa, công thức nào sau đây là công thức đúng? A. tan 2 x = 1 − tan2 x 1 + tan2 x . B. tan 2 x = 2 tan x 1 + tan2 x . C. tan 2 x = 2 tan x 1 − tan2 x . D. tan 2 x = 1 − tan2 x . 2 tan x t Câu 22. Công thức nào sau đây là công thức đúng? A. sin 3 x = 4 sin3 x − 3 sin x. B. sin 3 x = 3 sin x. cos x. C. sin 3 x = 3 sin x. D. sin 3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 243 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 23. Công thức nào sau đây là công thức đúng? A. cos 3 x = 3 cos x − 4 cos3 x. B. cos 3 x = 4 cos3 x − 3 cos x. C. cos 3 x = 3 cos x. D. cos 3 x = 3 cos2 x − 1. 1 3 t Câu 24. Cho số thực x thỏa mãn sin x − cos x = . Tính giá trị của sin 2 x. 2 3 A. sin 2 x = . 8 9 B. sin 2 x = . 8 9 C. sin 2 x = − . 3 4 2 3 D. sin 2 x = − . t Câu 25. Cho số thực x thỏa mãn sin x + cos x = . Tính giá trị của sin 2 x. A. sin 2 x = 1. B. sin 2 x = −1. 1 4 C. sin 2 x = . t Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cos4 x − sin4 x. A. 1. B. 2. C. −1. 244 D. sin 2 x = − 7 . 16 D. 0. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC x 2 − m2 + 2 m + 1 . A. P = 1 + m2 t Câu 27. Cho tan = m. Tính giá trị của biểu thức P = 2 sin x + cos x theo m. B. P = − m2 − 4 m + 1 . m2 + 1 1 4 15 B. . 16 C. P = − m2 + 4 m + 1 . m2 + 1 D. P = m2 + 4 m − 1 . m2 + 1 t Câu 28. Cho sin a + cos a = . Tính sin 2a. 3 4 A. − . C. − p 6 . Tính tan 3 x. t Câu 29. Cho sin x + cos x = 2 p p A. 2 − 3. B. 2 + 3. 15 . 16 D. C. 1. 3 . 4 D. −1. t Câu 30. Trong các công thức sau, công thức nào sai ? A. sin 3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. B. cos 3 x = 4 cos3 x + 3 cos x. C. tan 3 x = 3 tan x − tan3 x 1 − 3 tan2 x t Câu 31. Giả sử A = tan x tan số. Tìm n. A. 2. D. tan 2 x = . 2 tan x 1 − tan2 x . ³π ´ ³π ´ − x tan + x được rút gọn thành A = tan nx, với n là hằng 3 3 B. 1. C. 4. 245 D. 3. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 32. Cho sin x = 3 cos x, tính sin x cos x. A. 3 . 10 B. 2 . 9 C. t Câu 33. Giá trị của biểu thức p 1− 2 A. . 2 1 . 4 D. 1 1 − bằng ◦ sin 18 sin 54◦ B. 2. 1 . 6 p 1+ 2 D. . 2 C. −2. α t Câu 34. Cho cos x = . Tính cos 2 x. A. −1 + α2 2 2 . B. α2 4 C. −1 + − 1. p 5−1 t Câu 35. Cho sin 18◦ = . Tính cos 36◦ . 4 p 5−1 A. 0,8090169944. B. . 4 α2 4 . p 2+2 5 C. . 8 246 D. −1 − α2 2 . p −2 + 2 5 D. . 8 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 36. Cho sin 8◦ = α. Tính cos 1◦ . sin 1◦ . cos 2◦ . cos 4◦ . A. α. B. 1 α. 8 C. 8α. D. 1 α. 2 D. 1 β. 2 t Câu 37. Cho sin 40◦ = β. Tính cos 5◦ . sin 5◦ . cos 10◦ . cos 20◦ . cos 40◦ . A. β. B. 1 β. 16 C. 1 β. 8 t Câu 38. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. sin2 x = 2 sin x cos x. B. cos2 x = 1 − cos 2 x . 2 C. cos2 x = 1 + cos 2 x . 2 D. sin2 x = cos 2 x − 1 . 2 t Câu 39. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. sin 3 x = 4 sin3 x − 3 sin x. B. cos 3 x = 4 cos3 x + 3 cos x. C. sin 3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. D. cos 3 x = 3 cos x − 4 cos3 x. t Câu 40. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 − cos 2 x . 2 1 3 C. sin3 x = sin x − sin 3 x. 4 4 1 + cos 2 x . 2 3 1 D. cos3 x = cos x + cos 3 x. 4 4 A. sin2 x = B. cos2 x = 247 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 41. Biết sin α = 1 2 A. cos 2α = . 1 π với 0 < α < , tính cos 2α. 2 2 1 1 B. cos 2α = . C. cos 2α = . 3 4 t Câu 42. Biết cos 2α = 5 8 A. cos2 α = . t Câu 43. Biết cos 2α = A. sin2 α = 9 . 16 1 π với − < α < 0, tính cos2 α. 4 4 1 3 B. cos2 α = . C. cos2 α = . 8 8 3 π với 0 < α < , tính sin2 α. 8 4 5 3 2 B. sin α = . C. sin2 α = . 16 16 3 4 D. cos 2α = . 7 8 D. cos2 α = . D. sin2 α = 11 . 16 t Câu 44. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 sin x − 4 sin3 x. A. max P = 1 và min P = −1. B. max P = 7 và min P = −7. C. max P = 3 và min P = −3. D. max P = 4 và min P = −4. 248 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC t Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 3 1 4 4 1 3 3 C. cos 3 x = cos 3 x − cos 9 x. 4 4 3 1 4 4 1 3 3 D. cos 3 x = cos x + cos 3 x. 4 4 A. cos3 3 x = cos 3 x + cos 9 x. B. cos3 3 x = cos x + cos 3 x. t Câu 46. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 + 2 cos x . 2 1 − cos 2 x C. sin x2 x = . 2 B. 2cos2 x = 1 + 2 cos x. A. 3cos2 3 x = D. tan2 x = 1 − cos 2 x . 1 + cos 2 x t Câu 47. Đặt cos 2 x = m. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 + cos2 x = 3 + m. 2 B. 1 + cos2 2 x = 3 1 + m. C. 1 − cos2 x = + m. 2 2 µ ¶ 3 3π t Câu 48. Cho cos 2α = với < α < π . Tính giá trị sin α. 5 4 1 3 2 A. . B. − p . C. p . 5 5 5 4 5 t Câu 49. Cho cos 2 x = − với π 4 0, k a cùng hướng với cùng hướng với #» a và có độ dài bằng | k| ¯ #» a ¯. ¯ #»¯ #» #»  nếu k < 0 k a ngược hướng với a và có độ dài bằng | k| ¯ a ¯. #» #» #» Quy ước: 0 · #» a = 0 và k · 0 = 0 . Tính chất: ! 2 L (k ± l ) #» a = k #» a ± l #» a. #» #» #» #» L k( a ± b ) = k a ± k b . L k(m #» a ) = ( km) #» a. #» ( k=0 L k #» a = 0 ⇔ #» #» . a=0 L 1. #» a = #» a , −1. #» a = − #» a. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG. #» #» #»  b cùng phương #» a ( #» a 6= 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b = k #» a. # » # »  Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB = k AC . 3 PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG. #» #» Cho #» a không cùng phương b . Với mọi vectơ #» x luôn được biểu diễn #» x = m #» a + n b với m, n là các số thực duy nhất. ! 4 Tính chất: # » # » # » 1 Cho I là trung điểm của đoạn AB, với mọi M ta có: M A + MB = 2 M I . # » # » # » # » 2 Cho G là trọng tâm ∆ ABC , với mọi M ta có: M A + MB + MC = 3 MG CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Các bài toán sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc-tơ với một số. Áp dụng định nghĩa và các tính chất của phép nhân véc-tơ với một số để giải các bài tập. u Ví dụ 1. Cho ∆ ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Hãy tính: # » # » #» # » #» #» 1 BC theo IB. 2 BC theo IC . 3 AG theo I A . Lời giải: ................................................................................................ 282 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương Dùng các quy tắc về véc-tơ để phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương. #» #» Cho #» a không cùng phương b . Với mọi vectơ #» x luôn được biểu diễn #» x = m #» a + n b với m, n là các số thực duy nhất. # » # » u Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Phân tích véc-tơ AG theo 2 véc-tơ AB # » và AC . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh CD . Phân tích # » # » # » véc-tơ AM theo 2 véc-tơ AB và AC . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Chứng minh đẳng thức véc-tơ có chứa tích của véc-tơ với một số Phương pháp giải: L Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại. Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích véc-tơ. L Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. L Hướng 3: Biến đổi một đẳng thức véc-tơ đã biết luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. # » # » # » # » u Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB + 2 AC + AD = 3 AC . Lời giải: ................................................................................................ 283 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB # » # » # » và CD . Chứng minh rằng: AC + BD = 2 MN . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 3. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2 MC . Chứng # » 1# » 2# » minh rằng: AM = AB + AC . 3 3 Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . # » # » # » # » 1 Tìm x, y biết AB = xOM , BD = yOB. # » 2 Tìm tất cả các véc-tơ #» u thỏa mãn #» u = 2ON . t Câu 2. Cho tam giác ABC . Gọi H , K lần lượt thuộc 2 cạnh AB và AC sao cho 3 AH = 2 AB, # » 3 AK = AC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 4BM = 3 MC . Phân tích véc-tơ BM theo 2 véc-tơ # » # » AH và AK . 284 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 3. Cho tam giác ABC , có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM . # » # » # » #» 1 Chứng minh: 2 I A + IB + IC = 0 . # » # » # » #» 2 Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2O A + OB + OC = 4OI . t Câu 4. Cho hai tam giác ABC và A 0 B0 C 0 lần lượt có các trọng tâm là G và G 0 . Chứng minh # » # » # » # » A A 0 + BB0 + CC 0 = 3GG 0 . t Câu 5. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2 MC . Chứng minh: # » 1# » 2# » AM = AB + AC . 3 3 t Câu 6. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC , N là # » # » điểm thuộc AC sao cho CN = 2 N A . K là trung điểm của MN . Chứng minh: # » 1 AK = 1# » 1# » AB + AC . 4 6 # » 2 KD = 1# » 1# » AB + AC . 4 3 t Câu 7. Cho hình thang O ABC . M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC . Chứng minh rằng: # » 1# » # » 1 AM = OB − O A . 2 # » 1# » # » 2 BN = OC − OB. 2 285 # » 3 MN = 1 ³ # » # »´ OC − OB . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 8. Cho ∆ ABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Chứng minh rằng: 2# » 4# » # » 1 AB = − CM − BN 3 3 C 4# » 2# » # » 2 AC = − CM − BN 3 3 # » 1# » 1# » 3 MN = BN − CM . 3 3 TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » # » # » 1 ³ # » # » # »´ A. AM = AB + AC . B. MG = M A + MB + MC . 3 # » # » # » 2 ³ # » # »´ C. AM = 3 MG . D. AG = AB + AC . 3 t Câu 2. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng? # » 1 ³ # » # »´ # » 1 ³ # » # »´ A. AG = AB + AC . B. AG = AB + AC . 2 3 # » 3 ³ # » # »´ # » 2 ³ # » # »´ C. AG = AB + AC . D. AG = AB + AC . 2 3 # » # » t Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A , B, C . Nếu AB = −3 AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A. BC = −4 AC . B. BC = −2 AC . C. BC = 2 AC . D. BC = 4 AC . 286 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 4. Cho hình bình hành ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A. AC + BD = 2BC . B. AC + BC = AB. C. AC − BD = 2CD . D. AC − AD = CD . t Câu 5. Cho hình vuông ABCD tâm O . Khẳng định nào sau đây sai? 1# » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » 1# » C. AD + DO = − C A . D. AB + AD = 2 AO . A. AC + BD = 2BC . B. O A + OB = CB. 2 2 t Câu 6. Cho G là trọng tâm tam giác ABC , gọi I là trung điểm của BC . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1# » # » #» #» # » # » #» # » # » # » A. G A = 2G I . B. IG = − I A . C. GB + GC = 2G I . D. GB + GC = G A . 3 # » # » #» là trung điểm của BC nên GB + GC = 2G I . t Câu 7. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng 287 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ # » # » # » # » # » A. 2 M A + MB − 3 MC = AC + 2BC . # » # » # » # » # » C. 2 M A + MB − 3 MC = 2 AC + CB. # » # » # » # » # » B. 2 M A + MB − 3 MC = 2 AC + BC . # » # » # » # » # » D. 2 M A + MB − 3 MC = 2C A + CB. t Câu 8. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC . Các điểm D , E thỏa mãn các # » # » # » # » đẳng thức: BD = 4BA , AE = 3 AC . Khẳng định nào sau đây đúng? 1# » # » t Câu 9. Cho hình bình hành ABCD , tâm O . Gọi P là điểm thỏa mãn hệ thức OP = − O A . 3 Khẳng định nào sau đây đúng? 2# » # » # » 2# » A. AP = AC . B. AP = − AC . 3 # » 1# » C. AP = AC . 3 3 1# » # » D. AP = − AC . 3 t Câu 10. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A. 2 AM = AB + AC . B. 2 AM = 2 AB + BC . C. 2 AM = 2 AC − BC . D. 2 AM = 2 AC + BC . t Câu 11. Cho hình bình hành ABCD . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? # » # » # » # » # » # » A. AC = 2 AB + AD . B. AC = AB + 2 AD . # » # » # » # » # » # » C. AC = AB − AD . D. AC = AB + AD . 288 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? # » # » # » #» # » # » # » A. G A + BG + CG = 0 . B. AB + AC = 3 AG . # » # » # » # » # » # » C. AB + AC = 2 AG . D. 2 AB + BC = 2 AG . t Câu 13. Cho tam giác ABC và A 0 B0 C 0 có trọng tâm lần lượt là G và G 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? # » 1 ³ # » # » # »´ # » 1 ³ # » # » # »´ A. GG 0 = A A 0 + BB0 + CC 0 . B. GG 0 = A A 0 + BB0 + CC 0 . 2 3 # »0 # »0 # »0 # »0 # »0 1 ³ # »0 # »0 # »0 ´ C. GG = A A + BB + CC . D. GG = A A + BB + CC . 4 # » t Câu 14. Cho điểm A và véc-tơ #» u . Có bao nhiêu điểm M thoả mãn AM = #» u? A. Duy nhất một. B. Hai. C. Không có. D. Vô số. # » # » t Câu 15. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và M là điểm thoả mãn AB = CM . Chọn khẳng định đúng. A. ABMC là hình bình hành. B. ABCM là hình bình hành. C. M là trọng tâm của tam giác ABC . D. CM là trung tuyến của tam giác ABC . 289 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ # » # » t Câu 16. Cho hai điểm A , B phân biệt và điểm M thoả mãn M A = AB. Khi đó, A. M là trung điểm AB. B. M là điểm đối xứng với A qua B. C. M là điểm đối xứng với B qua A . D. M trùng với A . t Câu 17. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Đẳng thức nào sau đây không suy ra được G là trọng tâm tam giác ABC ? # » # » # » #» # » # » # » #» A. AG + BG + CG = 0 . B. G A + GB + GC = 0 . # » # » # » # » # » # » # » # » C. G A + GB + GC = 3GM . D. M A + MB + MC = 3 MG . t Câu 18. Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? # » #» A. I A = IB. # » 1# » B. I A = AB. # » #» C. AB = 2 AI . 2 #» t Câu 19. Cho hai vectơ tùy ý #» a , b và hai số thực đề nào sai? ³ #»´ #» A. h #» a − b = h #» a −hb. B. ¡ #»¢ C. h k a = (hk) #» a. D. 290 1# » #» D. IB = − AB. 2 h, k bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh a = h #» a + k #» a. ( h + k) #» a = #» a. (−1) #» Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ #» 1 t Câu 20. Vectơ đối của #» u = 3 #» a − 4 b + #» c là vectơ nào sau đây? 2 1 1 #» #» 1 A. #» v = −3 #» a + 4 b − #» c. B. #» v = #» a − b + 2 #» c. 2 3 4 #» 1 #» 1 c. D. #» v = −3 #» a − 4 b − #» c. C. #» v = 3 #» a + 4 b + #» 2 2 t Câu 21. Cho ∆ ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? # » # » #» # » # » # » # » A. G A + 2GM = 0 . B. O A + OB + OC = 3OG , với mọi điểm O . # » # » # » #» # » # » C. G A + GB + GC = 0 . D. AM = −2 MG . t Câu 22. Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM . Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » #» # » # » # » #» A. D A + DB + 2DC = 0 . B. D A + DC + 2DB = 0 . # » # » # » #» # » # » # » #» C. D A + DB + 2CD = 0 . D. DC + DB + 2D A = 0 . t Câu 23. Chọn phát biểu sai? A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi 291 # » # » # » # » AC = k BC, k 6= 0. # » # » AB = k AC, k 6= 0. # » # » AB = k AC . AB = k BC, k 6= 0. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ # » t Câu 24. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G . Khi đó G A = 2# » 2# » 1# » # » A. 2GM . B. GM . C. − AM . D. AM . 3 3 2 t Câu 25. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai: # » # » #» # » # » # » # » A. G A + 2GM = 0 . B. O A + OB + OC = 3OG , với mọi điểmO . # » # » # » #» # » # » C. G A + GB + GC = 0 . D. AM = −2 MG . # » # » # » t Câu 26. Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB + AC + AD là # » # » # » # » A. AC . B. 2 AC . C. 3 AC . D. 5 AC . t Câu 27. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là # » # » # » #» # » # » # » A. ∀ M : M A + MB + MC = 0 . B. ∀ M : M A + MC = MB. # » # » # » # » # » C. AC = AB + BC . D. ∃ k ∈ R : AB = k AC . # » # » # » t Câu 28. Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ ABvà AC của tam giác ABC với trung tuyến AM . 292 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ # » # » # » A. AM = AB + AC . # » # » # » B. AM = 2 AB + 3 AC . # » 1 # » # » # » 1 # » # » C. AM = ( AB + AC ). D. AM = ( AB + AC ). 2 3 t Câu 29. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A. AC − AD = CD . B. AC − BD = 2CD . C. AC + BC = AB. D. AC + BD = 2BC . t Câu 30. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » 3# » D. AB + AC = 2GM . A. 2 AM = 3 AG . B. AM = 2 AG . C. AB + AC = AG . 2 t Câu 31. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Câu nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A. GB + GC = 2GM . B. GB + GC = 2G A . C. AB + AC = 2 AG . D. AB + AC = 3 AM . t Câu 32. Nếu G là trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng. # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB + AC # » AB + AC # » 3( AB + AC ) # » 2( AB + AC ) A. AG = . B. AG = . C. AG = . D. AG = . 2 3 2 293 3 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 33. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB. # » # » # » # » # » # » #» A. O A = OB. B. O A = OB. C. AO = BO . D. O A + OB = 0 . #» t Câu 34. Cho hai vectơ #» a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 #» #» #» #» a +6 b. B. − #» a − b và 2 #» a + b. A. −3 #» a + b và − #» 2 1 #» #» 1 #» #» C. a − b và − a + b . 2 2 2 1 #» #» #» D. a + b và #» a −2 b. 2 #» t Câu 35. Cho hai vectơ #» a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 #» #» A. #» u = 2 #» a + 3 b và #» v = #» a −3 b. 2 2 #» #» #» #» #» C. u = a + 3 b và v = 2 #» a −9 b. 3 #» B. #» u = #» a + 3 b và 5 3 #» #» D. u = 2 #» a − b và 3 2 3 #» #» v = 2 #» a − b. 5 1 1 #» #» v = − #» a + b. 3 4 t Câu 36. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh ABsao cho MB = 3 M A . Khi đó, biễu # » # » # » diễn AM theo AB và AC là: # » 1# » # » # » 1# » 3# » A. AM = AB + 3 AC . B. AM = AB + AC . 4 4 4 # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » C. AM = AB + AC . D. AM = AB + AC . 4 6 2 294 6 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ t Câu 37. Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho CM = 2 MB và I là trung điểm của AB. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » A. I M = AB − AC . B. I M = AB + AC . C. I M = AB + AC . D. I M = AB + AC . 6 3 6 3 3 3 3 6 t Câu 38. Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN = 2 NC . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1# » 2# » # » 2# » 1# » # » A. AN = AB + AC . B. AN = − AB + AC . 3 3 3 3 # » 1# » 2# » # » 1# » 2# » D. AN = AB + AC . C. AN = AB − AC . 3 3 3 t Câu 39. Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC AB. Đẳng thức nào sau đây đúng? 1# » 2# » #» A. N I = − AB − AC . B. 6 3 # » 2# » 1# » C. N I = AB − AC . D. 3 3 3 sao cho BN = 2 NC và I là trung điểm của 1# » 2# » AB − AC . 6 3 2# » 1# » #» N I = − AB + AC . 3 6 #» NI = t Câu 40. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ,gọi I là trung điểm AM . Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » #» # » # » # » #» A. 2 I A + IB + IC = 0 . B. I A + IB + IC = 0 . # » #» #» #» #» #» # » C. 2 I A + IB + IC = 4 I A . D. IB + IC = I A . 295 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ 296 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BÀI 4. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 TRỤC TỌA ĐỘ. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Định nghĩa 1. Trục tọa độ( Trục , hay trục số) ¯ #»¯ là một đường thẳng trên đó ta đã xác #» ¯ ¯ định một điểm O và một vectơ đơn vị i (tức là ¯ i ¯ = 1). #» Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. #» Kí hiệu (O ; i ) hay x0 Ox hoặc đơn giản là Ox. 2 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Định nghĩa 2. Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông #» #» góc Ox và O y với hai vectơ đơn vị lần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và O y gọi là trục tung. ³ #» #»´ Kí hiệu Ox y hay O ; i , j . Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ. #» #» #» #» Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ) nếu #» u = x i + y j thì cặp số ( x; y) được gọi là tọa độ của vectơ #» u. Kí hiệu là #» u = ( x; y) hay #» u ( x; y). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ #» u. # » #» #» Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ), tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M , kí hiệu là M = ( x; y) hay M ( x; y). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M . Nhận xét. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và O y thì # » #» #» # » # » M ( x; y) ⇔ OM = x i + y j = OH + OK # » #» # » #» Như vậy OH = x i ,OK = y j hay x = OH,y = OK . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. L Cho A ( x A ; yA ), B( xB ; yB ) và M là trung điểm AB.  x A + xB   xM = 2 Tọa độ trung điểm M ( x M ; yM ) của đoạn thẳng AB là .   yM = yA + yB 2 297 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ L Cho tam giác ABC có A ( x A ; yA ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC). x A + xB + xC   xG = 3 Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) của tam giác ABC là y + y  B + yC A  yG = 3 Tính chất 1. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ. #» Cho #» u = ( x; y() ; u0 = ( x0 ; y0 ) và số thực k. Khi đó ta có : x = x0 #»0 #» L u =u ⇔ y = y0 L #» u ± #» v = ( x ± x0 ; y ± y0 ) #» L k. u = (kx; k y) #»0 #» L u cùng phương #» u , ( #» u 6= 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho # » L Cho A ( x A ; yA ), B( xB ; yB ) thì AB = ( xB − x A ; yB − yA ). 3 ( x0 = kx y0 = k y CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Các phép toán trên tọa độ véc- tơ 1 Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của điểm, véc-tơ và các công thức tọa độ của véc-tơ #» u + #» v , #» u − #» v , k #» u. #» #» 2 Phân tích c = ( c 1 ; c 2 ) theo các vec-tơ #» a = (a 1 ; a 2 ) và b = ( b 1 ; b 2 ) . #» Bước 1: Giả sử #» c = m #» a +nb. #» Bước 2:(Ta có m #» a + n b = ( ma 1 + nb 1 ; ma 2 + nb 2 ). c 1 = ma 1 + nb 1 Giải hệ c 2 = ma 2 + nb 2 . #» u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho #» a = (−4; 2), b = (5; 8). Tính tọa độ của các véc-tơ #» #» #» #» 1 #» a + b. 2 #» a − b. 3 5 #» a +2 b. 4 −(5 #» a −2 b) Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. phân tích 1 véc-tơ 2 véc-tơ 3 véc-tơ #» Trong mặt phẳng Ox y, cho các véc-tơ #» a = (4; −2), b = (−1; −1), #» c = (2; 5). Hãy #» b theo hai véc-tơ #» a theo hai véc-tơ #» c theo hai véc-tơ #» a và #» b và #» a và #» c. #» c. #» b. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ 298 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Tính tọa độ trung điểm - trọng tâm  x A + xB   xM = 2 L Tọa độ trung điểm M ( x M ; yM ) của đoạn thẳng AB là .   yM = yA + yB 2  x A + xB + xC   xG = 3 L Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) của tam giác ABC là y + y  B + yC A  yG = 3 u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho hai điểm A (1; 4), B(−2; 6). Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Ox y, cho ba điểm A (−1; 2), B(1; 4), C (−1; −2). Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 3. Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm # » #» #» L Tọa độ điểm M ( x; y) : OM = x i + y j # » L Tọa độ vectơ AB = ( xB − x A ; yB − yA ) L Sử dụng tọa độ hai vectơ bằng nhau, các phép tính tồng, hiệu, tích vectơ với một số, tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác. L Phương pháp chung: ta thường tìm nhữn ghệ thức về véctơ liên hệ giữa M (hay véctơ #» a ) với các điểm (hay véctơ) đã biết cho phép lập hệ phương trình ma fhai ẩn là tọa độ của M (hay véctơ #» a ), từ đó tìm được tọa độ của M (hay véctơ #» a ). u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho hình bình hành ABCD . Tìm tọa độ điểm D biết A (3; 2), B(2; −1), C (−2; −2). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 299 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ u Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho B(2; 3), C (−1; −2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn # » # » # » #» # » # » 1 2 MB + 3 MC = 0 . 2 3CM − 4BM = 2BC . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: #» #» #» #» #» #» #» 1 #» 1 #» c = 3 i ; d = −2 j . a = 2 i + 3 j ; b = i − 5 j ; #» 3 1 #» #» #» #» 3 #» #» #» #» a = i − 3 j ; b = i + j ; #» c = − i + j ; d = −4 j ; #» e =3 i . 2 #» 2 2 #» #» #» t Câu 2. Cho #» a = (1; −2), b = (0; 3). Tìm toạ độ của các vectơ sau: #» #» #» 1 #» x = #» a + b ; #» y = #» a − b ; #» z = 2 #» a −3 b. 1 #» #» #» #» 2 #» u = 3 #» a − 2 b ; #» v = 2 #» a + b;w = 4 #» a − b. 2 #» t Câu 3. Trong mặt phẳng Ox y, cho các véc-tơ #» a = (3; 2), b = (3; −3), #» c = (5; 0). Hãy phân tích #» #» #» 1 véc-tơ b theo hai véc-tơ a và c . #» 2 véc-tơ #» a theo hai véc-tơ b và #» c. #» #» #» 3 véc-tơ c theo hai véc-tơ a và b . 300 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1 #» t Câu 4. Cho #» a = (2; 0), b = −1; , #» c = (4; −6). 2 #» #» a − 3 b + 5 #» c. 1 Tìm toạ độ của vectơ d = 2 #» #» #» #» #» 2 Tìm 2 số m, n sao cho: m a + b − n c = 0 . #» 3 Biểu diễn vectơ #» c theo #» a, b. µ ¶ t Câu 5. Cho hai điểm A (3; −5), B(1; 0). # » # » 1 Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = −3 AB. 2 Tìm điểm D đối xứng của A qua C . 3 Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = −3. t Câu 6. Trong mặt phẳng Ox y, cho hình bình hành ABCD . Tìm tọa độ điểm D biết 1 A (−1; 4), B(2; 6), C (1; 1). 2 A (0; 4), B(−2; 0), C (3; 1). 3 A (−5; 0), B(−2; 3), C (1; −2). 4 A (2; 1), B(−2; 0), C (1; 1). t Câu 7. Cho ba điểm A (−1; 1), B(1; 3), C (−2; 0). 1 Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. 2 Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB. 301 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 8. Cho ba điểm A (1; −2), B(0; 4), C (3; 2). # » # » # » 1 Tìm toạ độ các vectơ AB, AC, BC . 2 Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. # » # » # » 3 Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2 AB − 3 AC . # » # » #» # » 4 Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2BN − 4CN = 0 . t Câu 9. Cho ba điểm A (1; −2), B(2; 3), C (–1; –2). 1 Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C . 2 Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C . 3 Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho A ( x A ; yA ) và B ( xB ; yB ). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là ³x −x y − y ´ ³x +x y + y ´ B B B B A A A A A. I ; . B. I ; . 2 2 ³x + ´ A xB yA + yB C. I ; . 3 3 2 2 ³x + yA xB + yB ´ A D. I ; . 2 2 # » t Câu 2. Trong mặt phẳng Ox y, cho A ( x A ; yA ) và B ( xB ; yB ). Tọa độ của vectơ AB là # » # » A. AB = ( yA − x A ; yB − xB ). B. AB = ( x A + xB ; yA + yB ). # » # » C. AB = ( x A − xB ; yA − yB ). D. AB = ( xB − x A ; yB − yA ). 302 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 3. Trong mặt phẳng Ox y, cho A ( x A ; yA ), B ( xB ; yB ) và C ( xC ; yC ). Tọa độ trọng tâm G của tam giác³ ABC là ´ ³ ´ x A − xB + xC yA + yB + yC ; . ³ x + x3 + x y + y3 + y ´ B B A C A C C. G ; . 3 3 x A + xB + xC yA + yB + yC ; . ³ x + x3 + x y + y2 + y ´ B B A C A C D. G ; . 2 3 B. G A. G t Câu(4. Cho các vectơ #» u = (( u 1 ; u 2 ) , #» v = (v1 ; v2 ). Điều(kiện để vectơ #» u = #» v là ( A. u1 = u2 v1 = v2 . B. u 1 = − v1 u 2 = − v2 C. . u 1 = v1 u 2 = v2 . D. u 1 = v2 u 2 = v1 . #» #» #» #» t Câu 5. Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ), cho véc-tơ #» a thỏa mãn #» a = 3 i − 4 j . Tìm tọa độ véc-tơ #» a. A. #» a = (3; −4). B. #» a = (3; 4). C. #» a = (−3; −4). D. #» a = (−4; 3). #» #» t Câu 6. Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ), cho véc-tơ #» u có tọa độ (−1; 3). Viết véc-tơ #» u dưới dạng #» #» #» u =x i +y j. #» #» #» #» #» #» #» #» A. #» u = − i +3 j . B. #» u = i +3 j . C. #» u = i −3 j . D. #» u = − i −3 j . 303 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai điểm A (−1; 2), B(4; −3). Tính tọa độ véc-tơ # » AB. # » # » # » # » A. AB = (3; −1). B. AB = (5; −5). C. AB = (−5; 5). D. AB = (−4; 6). t Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho hai điểm A (−1; 4) và B(3; −5). Khi đó tọa độ véc-tơ # » BA là cặp số nào? A. (2; −1). B. (4; −9). C. (−4; 9). D. (4; 9). #» t Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai véc-tơ #» a = (3; −1) và b = (3; 4). Tính tọa độ #» véc-tơ #» c = #» a + b. A. #» c = (3; 3). B. #» c = (2; 7). C. #» c = (2; 1). D. #» c = (6; 3). t Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho véc-tơ A. #» u = (5; 0). B. #» u = (6; 4). C. #» a = (3; −2). Tính tọa độ véc-tơ #» u = 2 #» a. #» #» u = (3; −2). D. u = (6; −4). t Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho bốn điểm A (3; −2), B(7; 1), C (0; 1), D (−8; −5). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 304 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ # » # » A. AB và CD là hai véc-tơ đối. # » # » C. Hai véc-tơ AB và CD cùng hướng. # » # » B. Hai véc-tơ AB và CD ngược hướng. D. Bốn điểm A , B, C , D thẳng hàng. t Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho ba điểm A (−1; 5), B(5; 5), C (−1; 11). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Ba điểm A , B, C thẳng hàng. # » # » B. Hai véc-tơ AB và AC cùng hướng. # » # » C. Hai véc-tơ AB và AC không cùng phương. # » # » D. Hai véc-tơ AB và BC cùng phương. t Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là mệnh đề đúng? #» A. Hai véc-tơ #» a (−5; 0) và b = (−4; 0) cùng phương. #» B. Véc-tơ #» c = (7; 3) là véc-tơ đối của d = (−7; 3). #» C. Hai véc-tơ #» a = (4; 2) và b = (8; 3) cùng phương. #» D. Hai véc-tơ #» a = (6; 3) và b = (2; 1) ngược hướng. # » # » #» #» #» #» t Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai véc-tơ O A = 2 i − j và OB = 5 i + 2 j . Tính # » tọa độ của véc-tơ AB. # » # » # » # » A. AB = (3; 3). B. AB = (2; −1). C. AB = (7; 1). D. AB = (−3; −3). 305 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cặp véc-tơ nào dưới đây đối nhau? #» #» A. #» a = (1; 2) và b = (−1; −2). B. #» a = (1; 2) và b = (2; 1). #» #» C. #» a = (−1; −2) và b = (−1; −2). D. #» a = (1; 2) và b = (−2; −1). #» #» #» #» t Câu 16. Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ), cho hai véc-tơ #» u = (2; −3) và #» v = −5 i − j . Tọa độ của #» = (a; b), biết w #» = 2 #» véc-tơ w u − 3 #» v . Khi đó a.b bằng A. −57. B. 57. C. −63. D. 63. #» t Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (2; −5) và b = (−4; 7). Tính tọa độ của véc-tơ #» #» a + b. A. (2; −2). B. (−2; 2). C. (6; −12). D. (−6; 12). #» t Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (2; 5) và b = (−4; 3). Tính tọa độ của véc-tơ #» #» a − b. A. (−2; 2). B. (−6; −2). C. (−2; 8). D. (6; 2). #» #» = t Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (1; 2), b = (3; 4). Tính tọa độ của véc-tơ m #» 2 #» a +3 b. #» = (11; 14). #» = (11; 6). #» = (4; 6). #» = (11; 16). A. m B. m C. m D. m 306 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» t Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai véc-tơ #» a = (2; −4), b = (−5; 3). Tính tọa độ #» véc-tơ #» u = 2 #» a − b. A. #» u = (7; −7). B. #» u = (9; −11). C. #» u = (9; 5). D. #» u = (−1; 5). #» t Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = (1; 2), b = (−2; 1), #» c = (3; −1). Tính tọa độ của #» véc-tơ #» x = 2 #» a + b − #» c. A. (−3; 6). B. (3; −6). C. (3; 6). D. (−3; −6). #» t Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho ba véc-tơ #» a = (2; 1), b = (3; −4), #» c = (−7; 2). Tính #» #» #» #» tọa độ của véc-tơ u = 3 a + 2 b − 4 c . A. #» u = (4; 3). B. #» u = (16; 10). C. #» u = (−12; 26). D. #» u = (40; −13). #» t Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho ba véc-tơ #» a = (1; 1), b = (3; −4) và #» c = (−5; 2). Tìm #» tọa độ véc-tơ #» x sao cho #» x + #» a = b − #» c. A. #» x = (7; 7). B. #» x = (7; −7). C. #» x = (1; −1). D. #» x = (9; −5). 307 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» t Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» a = ( m; m2 ) và b = ( m2 − 2; 4). Hỏi m bằng bao #» nhiêu nếu #» a = b? A. m = 2. B. m = −2. C. m = −1. D. m = 1. #» t Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai véc-tơ #» a = (λ + 1; 1) và b = (−1; µ − 2). Tính #» λ + µ, biết #» a = b. A. λ + µ = 1. B. λ + µ = 0. C. λ + µ = −1. D. λ + µ = 2. t Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai điểm A (1; −2), B(2; 5). Với điểm M bất kỳ, # » # » tính tọa độ véc-tơ M A − MB. A. (1; 7). B. (−1; −7). C. (1; −7). D. (−1; 7). # » t Câu 27. Trên trục tọa độ (O ; #» e ), cho điểm M sao cho OM = 2 #» e và điểm N sao cho MN = −3. Tọa độ của điểm N là bao nhiêu? A. −5. B. −1. C. 5. D. 1. 308 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai điểm A (1; −2) và B(3; 4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I (2; 1). B. I (4; 2). C. I (1; 3). D. I (2; 6). t Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho hai điểm A (0; 3) và B(−2; −5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I (−2; −2). B. I (−1; −2). C. I (1; 1). D. I (−1; −1). t Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho điểm M (2; 1) và véc-tơ #» u = (−3; 1). Tìm tọa độ # » #» điểm N sao cho MN = u . A. N (−5; 0). B. N (5; 0). C. N (−1; 2). D. N (1; −2). t Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hình bình hành O ABC có B(−6; 12). Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành O ABC . A. I (−3; 6). B. I (−1; 4). C. I (3; −6). D. I (1; −4). t Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho tam giác ABC có A (1; 4), B(−2; 2), C (4; 0). Tìm tọa # » độ véc-tơ BG với G là trọng tâm của tam giác ABC . A. (3; 0). B. (3; 1). C. (−1; 4). D. (−3; 0). 309 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ t Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho A (1; −1), B(3; −5), C (4; −7). Kết luận nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A. AB = −2CB. B. AB = 2CB. C. AB = BC . D. AB = −2BC . t Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho #» u = (3; −2) và hai điểm A (0; −3), B(1; 5). Biết # » #» #» #» #» 2 x + 2 u − AB = 0 . Tính tọa độ véc-tơ x . ¶ µ 5 A. − ; 6 . 2 µ B. ¶ 5 ; −6 . 2 C. (−5; 12). D. (5; −12). #» t Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho véc-tơ #» a = (2 m + 1; 3 m − 2) và b = (2; 1). Tìm giá #» trị của m để #» a cùng phương với b . 5 4 A. m = . 5 4 5 8 B. m = − . C. m = − . 3 8 D. m = . #» t Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho véc-tơ #» a = (−5; 0), b = (4; m). Tìm m sao cho hai #» véc-tơ #» a và b cùng phương. A. m = −5. B. m = 4. C. m = 0. D. m = −1. 310 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» t Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai véc-tơ #» a , b không cùng phương và #» v = 1 #» #» #» −2 a + b . Trong các véc-tơ sau, véc-tơ nào cùng hướng với véc-tơ v ? 3 1 #» # » = − #» A. u a + b. 1 6 1 #» # » = 2 #» C. u a − b. 3 # » = −2 #» B. u a. 2 #» # » = 6 #» D. u a − b. 4 3 ¶ 1 t Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho A (3; −2), B(−5; 4) và C ; 0 . Tìm giá trị của k 3 # » # » thỏa mãn AB = k AC . A. k = 3. B. k = −3. C. k = 2. D. k = −2. µ t Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho bốn điểm A (1; −2), B(0; 3), C (−3; 4), D (−1; 8). Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho là thẳng hàng? A. A , B, C . B. B, C , D . C. A , B, D . D. A , C , D . t Câu 40. Trong mặt phẳng Ox y, cho A (−2; 0) , B (5; −4) , C (−5; 1). Tọa độ điểm D để tứ giác BC AD là hình bình hành là: A. D (−8; −5). B. D (8; 5). C. D (−8; 5). D. D (8; −5). 311 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 312 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG BÀI 2 1. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA Trong mặt phẳng tọa độ Ox y. Với mỗi góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦ ), ta xác định điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho α = ƒ xOM . Giả sử điểm M có tọa độ ( x; y). Khi đó: x y sin α = y; cos α = x; tan α = (α 6= 90◦ ); cot α = (α 6= 0◦ , α 6= 180◦ ). x y Các số sin α, cos α, tan α, cot β được gọi là giá trị lượng giác của góc α. ! Nhận xét: ³ ´ Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, O y khi đó M OP ; OQ . Với 0◦ ≤ α ≤ 180◦ ta có 0 ≤ sin α ≤ 1; −1 ≤ cos α ≤ 1 Tính chất: L Góc phụ nhau ! 2 L Góc bù nhau sin(90◦ − α) = cos α sin(180◦ − α) = sin α cos(90◦ − α) = sin α cos(180◦ − α) = − cos α tan(90◦ − α) = cot α tan(180◦ − α) = − tan α cot(90◦ − α) = tan α cot(180◦ − α) = − cot α GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT. Góc α 0◦ sin α 0 cos α 1 tan α 0 cot α ∥ 30◦ 1 p2 3 p2 3 3 p 3 45◦ p 2 p2 2 2 1 1 313 60◦ p 3 2 1 2 p 3 p 3 3 90◦ 180◦ 1 0 0 -1 ∥ 0 0 ∥ Sưu tầm và biên soạn 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 3 7GV: Doãn Thịnh CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin α (α 6= 90◦ ) cos α cos α cot α = (α 6= 0◦ ; 180◦ ) sin α tan α. cot α = 1(α 6= 0◦ ; 90◦ ; 180◦ ) sin2 α + cos2 α = 1 1 1 + tan2 α = (α 6= 90◦ ) cos2 α 1 (α 6= 0◦ ; 180◦ ) 1 + cot2 α = 2 sin α L tan α = L L L L L 4 GÓC GIỮA HAI VECTƠ. #» #» Cho hai vectơ #» a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ # » #» # » #» dựng các vectơ O A = a và OB = b . Số đo góc AOB #» được gọi là số đo góc giữa hai vectơ #» a và b . #» #» #» L Quy ước: Nếu #» a = 0 hoặc b = 0 thì ta xem góc #» giữa hai ³vectơ´#» a và b là tùy ý (từ 0◦ đến 180◦ ). #» L Kí hiệu: #» a; b 5 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt Phương pháp giải:  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.  Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. u Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 2 B = 3 − sin2 90◦ + 2 cos2 60◦ − 3 tan2 45◦ . 1 A = a2 sin 90◦ + b2 cos 90◦ + c2 cos 180◦ . { Dạng 2. Chứng minh đẳng thức lượng giác Phương pháp giải:  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.  Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. u Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) 1 cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1. 2 tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x. 3 1 1 + = 1. 1 + tan x 1 + cot x 314 Sưu tầm và biên soạn 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 7GV: Doãn Thịnh Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 A = a2 sin 90◦ + b2 cos 90◦ + c2 cos 180◦ 2 B = 3 − sin2 90◦ + 2cos2 60◦ − 3tan2 45◦ 3 C = sin2 45◦ − 2sin2 50◦ + 3cos2 45◦ − 2sin2 40◦ + 4 tan 55◦ . tan 35◦ t Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 A = sin2 3◦ + sin2 15◦ + sin2 75◦ + sin2 87◦ 2 B = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + ... + cos 160◦ + cos 180◦ 3 C = tan 5◦ tan 10◦ tan 15◦ ... tan 80◦ tan 85◦ t Câu 3. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 A = sin 45◦ + 2 cos 60◦ − tan 30◦ + 5 cot 120◦ + 4 sin 135◦ 2 B = 4a2 sin2 45◦ − 3(a tan 45◦ )2 + (2a cos 45◦ )2 3 C = sin2 35◦ − 5sin2 73◦ + cos2 35◦ − 5cos2 73◦ 12 4 D= − 5 tan 85◦ cot 95◦ + 12sin2 104◦ 2 ◦ 1 + tan 76 5 E = sin2 1◦ + sin2 2◦ + ... + sin2 89◦ + sin2 90◦ 6 F = cos3 1◦ + cos3 2◦ + cos3 3◦ + ... + cos3 179◦ + cos3 180◦ t Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) 1 sin4 x + cos4 x = 1 − 2sin2 x.cos2 x 1 + cot x tan x + 1 2 = 1 − cot x tan x − 1 cos x + sin x 3 = tan3 x + tan2 x + tan x + 1 cos3 x 1 + sin2 x 4 = 1 + 2 tan2 x. 2 1 − sin x cos x 1 5 + tan x = . 1 + sin x cos x C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90◦ < sin 100◦ . B. cos 95◦ > cos 100◦ . C. tan 85◦ < tan 125◦ . D. cos 145◦ > cos 125◦ . t Câu 2. Giá trị của tan 45◦ + cot 135◦ bằng bao nhiêu? p A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. 315 Sưu tầm và biên soạn 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 7GV: Doãn Thịnh t Câup3. Giá trị của cos 30◦ +psin 60◦ bằng bao nhiêu? p 3 . C. 3. 2 ◦ ◦ ◦ ◦ t Câu 4. Giá trị của E = sin 36 p cos 6 sin 126 cos 84 là 1 3 A. . B. . C. 1. 2 2 t Câu 5. Giá trị của biểu thức A = sin2 51◦ + sin2 55◦ + sin2 39◦ + sin2 35◦ A. 3. B. 4. C. 1. A. 3 . 3 D. 1. B. D. −1. là D. 2. t Câup6. Giá trị của cos 60◦ + sin 30◦ bằng bao nhiêu?p A. 3 . 2 B. p 3. C. 3 . 3 D. 1. t Câu 7. Giá trị của tan 30◦ + cotp30◦ bằng bao nhiêu? 4 B. A. p . 3 1+ 3 . 3 2 D. 2. C. p . 3 t Câu 8. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0◦ + cos 0◦ = 1. B. sin 90◦ + cos 90◦ = 1. ◦ ◦ C. sin 180 + cos 180 = −1. D. sin 60◦ + cos 60◦ = 1. t Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos 60◦ = sin 30◦ . B. cos 60◦ = sin 120◦ . C. cos 30◦ = sin 120◦ . t Câu 10. Đẳng thức p nào sau đây sai? A. sin 45◦ + sin 45◦ = 2. C. sin 60◦ + cos 150◦ = 0. D. sin 60◦ = − cos 120◦ . B. sin 30◦ + cos 60◦ = 1. D. sin 120◦ + cos 30◦ = 0. t Câup11. Giá trị của sin 600 + cos 300 bằng bao nhiêu? p A. 3 . 2 B. p 3. C. 3 . 3 D. 1. 0 t Câu 12. Giá trị của tan 300 + cot p 30 bằng bao nhiêu? 4 A. p . B. 3 1+ 3 . 3 2 C. p . t Câu 13. Trongpcác đẳng thức sau đây, p đẳng thức nào đúng? A. sin 1500 = − 3 . 2 B. cos 1500 = D. 2. 3 3 . 2 p 1 C. tan 1500 = − p . D. cot 1500 = 3. 3 t Câu 14. Cho α và β là hai góc bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. sin α = sin β. B. cos α = − cos β. C. tan α = − tan β. D. cot α = cot β. t Câu 15. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin(1800 − α) = − sin α. B. cos(1800 − α) = cos α. C. tan(1800 − α) = tan α. D. cot(1800 − α) = − cot α. t Câu 16. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 00 + cos 00 = 1. B. sin 900 + cos 900 = 1p. C. sin 1800 + cos 1800 = 1. D. sin 600 + cos 600 = 3+1 . 2 t Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. sin 1200 = sin 600 . B. cos 600 = sin 1200 . C. cos 300 = sin 1200 . D. cos 600 = sin 300 . t Câu 18. Cho góc α tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin α < 0. B. cos α > 0. C. tan α > 0. D. cot α < 0. t Câu 19. Đẳng thức p nào sau đây sai: 0 0 A. sin 45 + sin 45 = 2. C. sin 600 + cos 1500 = 0. B. sin 300 + cos 600 = 1. D. sin 1200 + cos 300 = 0. 316 Sưu tầm và biên soạn 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 7GV: Doãn Thịnh t Câu 20. Cho hai góc nhọn α và β(α < β). Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos α < cos β. B. sin α < sin β. C. tan α + tan β > 0. D. cot α > cot β. 0 t Câu 21. Cho ∆ ABC vuông tại A , góc p Bbằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai? 1 1 1 3 B. sin C = . C. cos C = . D. sin B = . A. cos B = p . 2 3 2 2 t Câu 22. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin α = − sin(1800 − α). B. cos α = − cos(1800 − α). C. tan α = tan(1800 − α). D. cot α = cot(1800 − α). t Câu 23. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos 750 > cos 500 . B. sin 800 > sin 500 . C. tan 450 < tan 600 . D. cos 300 = sin 600 . t Câu 24. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. sin 900 < sin 1000 . B. cos 950 > cos 1000 . D. cos 1450 > cos 1250 . C. tan 850 < tan 1250 . t Câu 25. Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai? A. sin α = cos β. B. tan α = cot β. C. cot β = 1 . cot α D. cos α = − sin β. t Câu 26. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? α A. sin2 α + cos α2 = 1. B. sin2 α + cos2 = 1. 2 D. sin2 2α + cos2 2α = 1. C. sin α2 + cos α2 = 1. t Câu 27. Cho biết sin α + cos α = a. Giá trị của sin α. cos α bằng bao nhiêu? A. sin α. cos α = a2 . B. sin α. cos α = 2a. a2 − 11 . 2 2 cot α + 3 tan α Cho biết cos α = − . Tính giá trị của biểu thức E = ? 3 2 cot α + tan α 19 25 25 B. . C. . D. − . 13 13 13 C. sin α. cos α = t Câu 28. A. − 19 . 13 1 − a2 . 2 D. sin α. cos α = t Câu 29. Cho biết cot α = 5. Tính giá trị của E = 2cos2 α + 5 sin α cos α + 1 ? A. 10 . 26 B. 100 . 26 C. t Câu 30. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2, ∀ x. C. sin4 x + cos4 x = 1 − 2sin2 xcos2 x, ∀ x. 50 . 26 D. 101 . 26 B. tan2 x − sin2 x = tan2 xsin2 x, ∀ x 6= 900 . D. sin6 x − cos6 x = 1 − 3sin2 xcos2 x, ∀ x. 317 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA #» Định nghĩa 1. Tích vô hướng của hai véc tơ #» a và b là một số thực được xác định bởi: #» ¯ ¯¯ ¯¯ #»¯¯ #» #» a . b = ¯ #» a ¯ b ¯ . cos( #» a, b) 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG #» Với ba véc tơ bất kì #» a , b , #» c và mọi số thực k ta luôn có: #» #» #» #» L a.b = b.a #» #» L #» a ( b ± #» c ) = #» a . b ± #» a . #» c #» #» #» #» #» #» L ( k a ) b = k( a . b ) = a ( k b ) #» L #» a 2 ≥ 0, #» a 2 = 0 ⇔ #» a=0 ! 3 Chú ý: #» #» #» #» L Nếu hai véc¯ tơ¯ #» a và b khác 0 thì #» a ⊥ b ⇔ #» a.b =0 2 L #» a . #» a = #» a 2 = ¯ #» a ¯ gọi là bình phương vô hướng của véc tơ #» a. #» 2 #»2 #» #»2 #» #» L (a ± b) = a ±2a. b + b . #» #» #»2 L ( #» a + b )( #» a − b ) = #» a2− b BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG #» Cho hai vectơ #» a = (a 1 ; a 2 ) và b = ( b 1 ; b 2 ). Khi đó #» #» a · b = a1 b1 + a2 b2 L Độ dài vectơ #» a. | #» a|= » a21 + a22 #» L Công thức tính góc giữa 2 vectơ #» a và b #» #» a1 b1 + a2 b2 a.b #» #» cos( a , b ) = ¯ ¯ ¯ #»¯ = » » ¯ ¯ ¯ #» a ¯¯ b ¯ a2 + a2 b 2 + b 2 1 2 1 2 L Khoảng cách giữa 2 điểm A ( x A ; yA ) và B( xB ; yB ). AB = ! Hệ quả: » ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 #» #» a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0 318 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 4 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai véc-tơ #» ¯ ¯¯ ¯¯ #»¯¯ #»  Dựa vào định nghĩa #» a · b = ¯ #» a ¯ b ¯ . cos( #» a , b ).  Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ. u Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính # » # » # » # » 1 AB · AD . 2 AB · AC . # » # » 3 AB · CD . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Tính góc giữa hai véc-tơ -góc giữa hai đường thẳng  Để tính góc giữa hai vectơ, ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng kết hợp các kĩ thuật tính tích vô hướng.  Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta tính góc giữa hai véc-tơ có giá là hai đường thẳng đã cho rồi suy ra góc giữa hai đường thẳng.  Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 90◦ . #» #» #» #» #» #» #» u Ví dụ 1. Cho các véc-tơ #» a = − i + j , b = i + 3 j . Tìm góc giữa hai véc-tơ i và j . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho điểm A (1; 3) và B(3; −1). Tính góc giữa đường thẳng O A và AB. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 319 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ B TỰ LUẬN t Câu 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: # »# » 1 AB. AC . # »# » # »# » 2 AC.CB. 3 AB.BC . t Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a và G là trọng tâm. # »# » # »# » 1 Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.C A . # »# » # »# » # »# » 2 Tính giá trị của biểu thức AB.BC + BC.C A + C A. AB. t Câu 3. Cho tam giác ABC có A (1; 2) , B(−2; 6), C (9; 8). 1 Tam giác ABC là tam giác gì? 2 Tính cosin góc B của tam giác ABC . #» t Câu 4. Cho hai vectơ #» a (0; 4); b (4; −2) #» 1 Tính cosin góc giữa hai vectơ #» a và b . #» #» 2 Xác định tọa độ của vectơ #» c biết ( #» a + 2 b ). #» c = −1 và (− b + 2 #» c ). #» a = 6. t Câu 5. Cho tam giác ABC với A (3; 1), B (−1; −1), C (6; 0). Tính góc A của tam giác ABC . 320 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ t Câu 6. Biết A (1; −1), B (3; 0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD . Tìm tọa độ các đỉnh C và D . t Câu 7. Cho tam giác ABC có A (1; 2), B(−2; 6), C (9; 8). # »# » 1 Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A . 2 Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 3 Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC . 4 Tính chu vi, diện tích tam giác ABC . 5 Tìm toạ độ điểm M trên O y để B, M, A thẳng hàng. 6 Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N . 7 Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. # » # » #» # » 8 Tìm toạ độ điểm T thoả T A + 2TB − 3TC = 0 . 9 Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. C TRẮC NGHIỆM ¶ 3 t Câu 1. Trong mp Ox y cho A (4; 6), B (1; 4), C 7; . Khẳng định nào sau đây sai? 2 µ ¶ 9 # » # » # »# » A. AB = (−3; −2), AC = 3; − . B. AB. AC = 0. 2 ¯ # »¯ p ¯ # »¯ p13 ¯ ¯ ¯ ¯ C. ¯ AB¯ = 13. D. ¯BC ¯ = . 2 µ 321 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ #» #» t Câu 2. Cho #» a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết¯ quả đúng. ¯ ¯ ¯¯ #»¯¯ #» ¯¯ #»¯¯ ¯ #»¯¯ #» #» #» #» A. a . b = a . ¯ b ¯. B. #» a . b = 0. C. #» a . b = −1. D. #» a . b = − ¯ #» a ¯ . ¯ b ¯. #» t Câu 3. Cho các vectơ #» a = (1; −2) , b = (−2; −6). Khi đó góc giữa chúng là A. 45◦ . B. 60◦ . C. 30◦ . D. 135◦ . ³ # » # »´ # » # » t Câu 4. Cho OM = (−2; −1), ON = (3; −1). Tính góc của OM,ON A. 135◦ . p 2 B. − . 2 C. −135◦ . p 2 D. . 2 #» #» t Câu 5. Trong mặt phẳng Ox y cho #» a = (1; 3) , b = (−2; 1). Tích vô hướng của 2 vectơ #» a · b là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. t Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc? #» A. #» a = (2; −1) và b = (−3; 4). #» C. #» a = (−2; −3) và b = (−6; 4). B. D. 322 #» a = (3; −4) và #» a = (7; −3) và #» b = (−3; 4). #» b = (3; −7). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ #» t Câu 7. Cho 2 vec tơ #» a = (a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ), tìm biểu thức sai. ³ #»´ #» #» ¯¯ #»¯¯ ¯¯ #»¯¯ #» #» A. a . b = a 1 .b1 + a 2 .b2 . B. a . b = a . ¯ b ¯ . cos #» a,b . ¸ ¸ · ·³ ³ ´ ´ #» #» #»2 #»2 2 2 #» #» 1 #» #» #» 1 2 #» #» #» 2 D. a . b = a + b −a −b . C. a . b = a + b − a + b . 2 2 t Câu³ 8. Cho´ tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? # »# » # » # » # »# » A. AB. AC BC = 2BC . B. BC.C A = −2. ³ # » # »´ # » ³ # » # »´ # » C. AB + BC . AC = −4. D. BC − AC .BA = 2. # »# » t Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A , Ab = 120o và AB p = a. Tính BA.C A p a2 a2 3 a2 3 a2 . B. − . C. . D. − . A. 2 2 2 2 t Câu 10. Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng? # »# » # »# » # »# » A. ³AB. AC =´ 0. B. AB. AC = − AC. AB. ³ ´ # »# » # » # » # »# » # »# » # »# » D. AB. AC = BA.BC . C. AB. AC BC = AB AC.BC . 323 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ t Câu 11. Cho tam giác ABC có A (1; 2), B (−1; 1), C (5; −1).Tính cos A 2 A. p . 5 −1 1 B. p . C. p . 5 5 −2 D. p . 5 t Câu 12. Cho hình vuông ABCD tâm O . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? # »# » # » # » 1# » # » A. O A.OB = 0. B. O A.OC = O A. AC . # »# » # »# » # » # » #2 » # » C. AB. AC = AB.CD . D. AB. AC = AC. AD . t Câu 13. Trong mặt phẳng Ox y cho A (−1; −1), B (3; 1), C (6; 0). Khẳng định nào sau đây đúng. # » # » o A. ¯AB = B. ¯Bb = 135 . (−4; −2), AC = (1; 7). ¯ ¯ ¯ # »¯ ¯ # »¯ C. ¯ AB¯ = 20. D. ¯BC ¯ = 3. t Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? # »# » # »# » A. ³D A.CB = ´a2 . B. AB.CD = −a2 . # » # » # » # »# » # »# » C. AB + BC . AC = a2 . D. AB. AD + CB.CD = 0. t Câu 15. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai? 324 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ # »# » A. AB.DC = 8a2 . # »# » B. AD.CD = 0. # »# » C. AD. AB = 0. # »# » D. D A.DB = 0. t Câu 16. Cho hình thang vuông ABCD lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao ³ #có» đáy # »´ # » AD = 3a; I là trung điểm của AD . Khi đó I A + IB . ID bằng : A. 9 a2 . 2 B. − 9 a2 . 2 C. 0. D. 9a2 . t Câu 17. Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH , BK vẽ H I ⊥ AC . Câu nào sau đây đúng? ³ # » # »´ # » # » # » a2 A. AB + AC .BC = a2 . B. CB.CK = . 8 a2 D. CB.CK = . 2 # »# » # »# » a2 C. AB. AC = . 2 t Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai? # »# » # »# » A. AB. AD = 0. B. AB. AC = a2 . # »# » # » # » # » # » C. AB.CD = a2 . D. ( AB + CD + BC ). AD = a2 . ◦ b t Câu³ 19. Tam giác ABC vuông Hệ thức nào sau đây³ là sai? ´ ³ # » ở# A»´và có góc B = 50³ #. » # » # »´ # »´ # » # » ◦ ◦ A. AB, BC = 130 . B. BC, AC = 40 . C. AB, CB = 50◦ . D. AC, CB = 120◦ . 325 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ³ #» #»´ t Câu 20. Trong mặt phẳng O ; i , j cho 2 vectơ : sau đây sai? #» #» A. #» a . b = 0. B. #» a⊥b. C. #» #» #» #» #» #» a = 3 i + 6 j và b = 8 i − 4 j . Kết luận nào ¯ #»¯ ¯¯ #»¯¯ ¯ a ¯ . ¯ b ¯ = 0. ¯ #»¯ D. ¯ #» a . b ¯ = 0. ¯ ¯ ƒ? t Câu 21. Trong mặt phẳng Ox y cho A (1; 2), B (4; 1), C (5; 4). Tính BAC ◦ ◦ ◦ A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120◦ . ³ #» #»´ t Câu 22. Cho các vectơ #» a = (1; −3), b = (2; 5). Tính tích vô hướng của #» a #» a +2 b . A. 16. B. 26. C. 36. D. −16. ³ # » # »´ t Câu 23. Cho hình vuông ABCD , tính cos AB,C A . 1 A. . 2 p 2 C. . 2 1 B. − . 2 326 p 2 D. − . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ t Câu 24. Cho hai điểm A (−3,2) , B (4,3) . Tìm điểm M thuộc trục Oxvà có hoành độ dương để tam giác M AB vuông tại M . A. M (7; 0). B. M (5; 0). C. M (3; 0). D. M (9; 0). # » # » # » t Câu 25. Cho A (2; 5), B (1; 3), C (5; −1). Tìm tọa độ điểm K sao cho AK = 3BC + 2CK . A. K (−4; 5). B. K (−4; 5). C. K (4; −5). D. K (−4; −5). p # »# » t Câu 26. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = a 2. Tính p C A.CB p # »# » # »# » # »# » # »# » a 2 . D. C A.CB = a 2. A. C A.CB = a2 . B. C A.CB = a. C. C A.CB = 2 # »# » t Câu 27. Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính AB. AD A. 0. B. a. C. a2 . 2 D. a2 . #» t Câu 28. Trong mặt phẳng Ox y, cho #» a = (2; −1) và b = (−3; 4). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là −10. p B. Độ lớn của vectơ #» a là 5. #» C. Độ lớn của vectơ b là 5. D. Góc giữa hai vectơ là 90◦ . 327 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ t Câu 29. Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai. # »# » # »# » A. M A. AB = − M A.AB. B. M A. MB = − M A.MB. # »# » # »# » C. AM. AB = AM.AB. D. M A. MB = M A.MB. # »# » t Câu 30. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC . Tính AH.C A . A. 3 a2 . 4 B. −3a2 . 4 C. 328 3 a2 . 2 D. −3a2 . 2 Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC BÀI 3. 7GV: Doãn Thịnh CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH LÍ CÔSIN Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c. Ta có: a2 = b2 + c2 − 2 bc. cos A b2 = c2 + a2 − 2 ca. cos B c2 = a2 + b2 − 2ab. cos C Hệ quả 1. b 2 + c 2 − a2 cos A = 2 bc c 2 + a2 − b 2 cos B = 2 ca 2 a + b2 − c2 cos C = 2ab 2 ĐỊNH LÍ SIN Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có: b c a = = = 2R sin A sin B sin C 3 ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾN Cho tam giác ABC với m a , m b , m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A , B, C . Ta có: 2( b2 + c2 ) − a2 4 2 2(a + c2 ) − b2 2 mb = 4 2 2( a + b2 ) − c2 m2c = 4 m2a = 4 DIỆN TÍCH TAM GIÁC Với tam giác ABC ta kí hiệu: L h a , h b , h c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC , C A , AB. 329 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC L R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. L p= a+b+c là nửa chu vi tam giác. 2 L S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: ! 5 1 1 1 1 S = ah a = bh b = ch c 2 2 2 1 1 1 2 S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc 3 S= 4R 4 S=p pr 5 S = p( p − a)( p − b)( p − c) (công thức Hê–rông) CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. xác định các yếu tố trong tam giác. 1 Sử dụng định lí côsin và định lí sin. 2 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác. . u Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AC = 10, AB = 16 và Cb = 120◦ . Tính cạnh AB, các góc còn lại, diện tích của tam giác đó. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có Bb = 20◦ , Cb = 31◦ và b = 210. Tính góc A , các cạnh còn lại, diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 330 Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 7GV: Doãn Thịnh ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = 5 và BC = 7. Tính các góc, độ dài các đường trung tuyến, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Giải tam giác và tính diện tích ABC , biết: 1 2 3 4 b = 60◦ ; B b = 40◦ . c = 14; A ◦ b = 30 ; C b = 75◦ . b = 4, 5; A b = 40◦ ; C b = 120◦ . c = 35; A b = 57◦ . b = 83◦ ; C a = 137,5; B 5 6 7 8 b = 60◦ , B b = 40◦ ; c = 14. A b = 30◦ ; C b = 75◦ . b = 4, 5; A b = 66◦ 590 . b = 33◦ 240 ; C a = 109; B b = 65◦ . b = 35◦ ; C a = 12; B t Câu 2. Giải tam giác và tính diện tích ABC , biết: 1 2 3 4 b = 540 . a = 6,3; b = 6,3; C b = 870 . b = 32; c = 45; A b = 1300 . a = 7; b = 23; C b = 1450 . b = 14; c = 10; A 5 6 7 8 331 b = 870 . b = 32; c = 45 và A b = 1450 . b = 14; c = 10; A b = 1100 . a = 12; c = 8,2 và A b = 670 230 . a = 20; b = 13; A Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 7GV: Doãn Thịnh t Câu 3. Giải tam giác và tính diện tích ABC , biết: p p p p 4 a = 2 3; b = 2 2; c = 6 − 2. 5 a = 2, b = 3, c = 4. 6 a = 14; b = 18; c = 20. 1 a = 14; b = 18; c = 20. 2 a = 6; b = 7,3; c = 4,8. 3 a = 4; b = 5; c = 7. p p p p t Câu 4. Cho tam giác ABC biết a = 2 3, b = 2 2, c = 6− 2. Tính góc lớn nhất của tam giác. t Câu 5. Cho ∆ ABC ta có a = 13, b = 4 và cos C = − 5 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và 13 nội tiếp tam giác. t Câu 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết Ab = 30◦ , Bb = 45◦ . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. 332 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC t Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , Bb = 58◦ và a = 72. Tính góc Cb, cạnh b, c, đường cao h a , h b và độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC . t Câu 8. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho ba điểm A , B và C ƒ ƒ=β= thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m , C AD = α = 63◦ , CBD ◦ 48 . Tính chiều cao h của tháp. C TRẮC NGHIỆM t Câu p 1. Cho ∆ ABC có b = 6,cp= 8, Ab = 600 . Độ dài cạnh p a là A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. p 20. t Câu 2. Cho ∆ ABC có S = 84, a = 13, b = 14, c = 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. 333 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC t Câu 3. Cho ∆ ABC có a = 6,b = 8,c = 10. Diện tích S của tam giác trên là A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. p t Câu 4. Cho ∆ ABC thỏa mãn: 2 cos B = 2. Khi đó: A. B = 30◦ . B. B = 60◦ . C. B = 45◦ . D. B = 75◦ . t Câu 5. Cho ∆ ABC vuông tại B và có Cb = 25◦ . Số đo của góc A là A. A = 65◦ . B. A = 60◦ . C. A = 155◦ . D. A = 75◦ . t Câu 6. Cho ∆ ABC có B = 60◦ ,a = 8,c = 5. Độ dài cạnh b bằng A. 7. B. 129. C. 49. D. t Câu 7. Cho ∆ ABC có Cb = 45◦ ,Bb = 75◦ . Số đo của góc A là A. A = 65◦ . B. A = 70◦ . C. A = 60◦ . D. A = 75◦ . 334 p 129. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC p t Câu 8. Cho ∆ ABC có S = 10 3, nửa chu vi p = 10. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là p p D. 3. A. 3. B. 2. C. 2. t Câu p 9. Cho ∆ ABC có a = 4,c = 5,B = 150◦ . Diện tích của tam giác là A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. t Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 cos A = 1. Khi đó A. Ab = 30◦ . B. Ab = 45◦ . C. Ab = 120◦ . D. Ab = 60◦ . p 3 5 t Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cos A = . Đường cao h a của tam giác ABC là p 7 2 A. . 2 p p B. 8. C. 8 3. D. 80 3. t Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: A. m2a = b 2 + c 2 a2 + . 2 4 B. m2a = 335 a2 + c 2 b 2 − . 2 4 Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC C. m2a = a2 + b 2 c 2 − . 2 4 D. m2a = 7GV: Doãn Thịnh 2 c 2 + 2 b 2 − a2 . 4 t Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai. A. a = 2R . sin A B. sin A = a . 2R C. b sin B = 2R . D. sin C = c sin A . a t Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau. 1 2 A. S = bc sin A . 1 2 1 2 B. S = ac sin A . C. S = bc sin B. 1 2 D. S = bc sin B. t Câu 15.pCho tam giác ABC có p a = 8,b = 10, góc C bằng p 60◦ . Độ dài cạnh c là p A. c = 3 21. B. c = 7 2. C. c = 2 11. D. c = 2 21. t Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? a = R. sin A 2 b 2 + 2 a2 − c 2 D. m2c = . 4 1 2 b 2 + c 2 − a2 C. cos B = . 2 bc A. S∆ ABC = a.b.c. B. 336 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC t Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng? A. AB2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.AB cos C . B. AB2 = AC 2 − BC 2 + 2 AC.BC cos C . C. AB2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC cos C . D. AB2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC + cos C . t Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos B + cos C = 2 cos A . B. sin B + sin C = 2 sin A . 1 C. sin B + sin C = sin A . D. sin B + cos C = 2 sin A . 2 t Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai? A B+C = sin . 2 2 A + B + 2C C D. cos = sin . 2 2 A. sin( A + B − 2C ) = sin 3C . B. cos C. sin( A + B) = sin C . t Câu 20. Gọi S = m2a + m2b + m2c là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 4 3 2 A. S = (a2 + b2 + c2 ). B. S = a2 + b2 + c2 . C. S = (a2 + b2 + c2 ). D. S = 3(a2 + b2 + c2 ). 337 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC t Câu 21. Độ dài trung tuyến m c ứng với cạnh c của ∆ ABC bằng biểu thức nào sau đây? b 2 + a2 c 2 − . 2 4 ¢ 1 »¡ 2 2 b + 2 a2 − c 2 . C. 2 A. B. b 2 + a2 c 2 + . 2 4 D. b 2 + a2 − c 2 . 4 t Câu 22. Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây? p b 2 + c 2 − a2 1 − sin2 B. C. cos( A + C ). A. . B. 2 bc D. a2 + c 2 − b 2 . 2ac t Câu 23. Cho tam giác ABC có a2 + b2 − c2 > 0. Khi đó A. Góc C > 90◦ . B. Góc C < 90◦ . C. Góc C = 90◦ . D. Không thể kết luận được gì về góc C . t Câu 24. Một tam giác có ba p cạnh là 13,14,15. Diện tích tam giác bằng bao p nhiêu? A. 84. B. 84. C. 42. D. 168. t Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là 338 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. 16. B. 8. C. 4. p D. 4 2. t Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là A. 65 . 8 B. 40. C. 32,5. D. 65 . 4 t Câu 27. Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? p p C. 3. D. 2. A. 1. B. 2. p t Câu 28. Tam giác ABC có a = 6,b = 4 2,c = 2, M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? A. p 9. B. 9. C. 3. D. 1p 108. 2 t Câu 29. Cho các điểm A (1; −2),B(−2; 3),C (0; 4). Diện tích ∆ ABC bằng bao nhiêu? A. 13 . 2 B. 13. C. 26. 339 D. 13 . 4 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC t Câu 30. Cho tam giác ABC có A (1; −1),B(3; −3),C (6;p 0). Diện tích ∆ ABC là D. 9. A. 12. B. 6. C. 6 2. ƒ bằng bao nhiêu? t Câu 31. Cho các điểm A (1; 1),B(2; 4),C (10; −2). Góc BAC A. 90◦ . B. 60◦ . C. 45◦ . D. 30◦ . t Câu 32. Tam giác với ba cạnh là 5; 12; 13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? A. 6. B. 8. C. 13 . 2 D. 11 . 2 t Câu 33. Cho tam giác ABC có a = 4,b = 6,c = 8. Khi đó diện tích của tam giác là p A. 9 15. p B. 3 15. C. 105. D. 2p 15. 3 t Câu 34. Tam giác với ba cạnh là 5; 12; 13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? p p A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. 340 Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 7GV: Doãn Thịnh t Câu 35. Tam giác với ba cạnh là 6; 8; 10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? p p A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6. p t Câu 36. Cho tam giác ABC thoả mãn: b2 + c2 − a2 = 3bc. Khi đó A. Ab = 30◦ . B. Ab = 45◦ . C. Ab = 60◦ . D. Ab = 75◦ . t Câu 37. Cho tam giác ABC , biết a = 24,b = 13,c = 15. Tính góc A . A. 33◦ 340 . B. 117◦ 490 . C. 28◦ 370 . D. 58◦ 240 . t Câu 38. Tam giác ABC có Ab = 68◦ 120 , Bb = 34◦ 440 , AB = 117. Tính AC . A. 68. B. 168. C. 118. D. 200. 341 Sưu tầm và biên soạn 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 7GV: Doãn Thịnh t Câu 39. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78◦ 240 . Biết C A = 250 m, CB = 120 m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 266m. B. 255m. C. 166m. D. 298 m. t Câu 40. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72◦ 120 và 34◦ 260 . Ba điểm A,B,D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB? A. 71m. B. 91m. C. 79m. D. 40m. 342 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh CHƯƠNG 3 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG #» Định nghĩa 1. Cho đường thẳng ∆. Vectơ #» u 6= 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. ! 2 Nhận xét : Nếu #» u là VTCP của ∆ thì k #» u ( k 6= 0) cũng là VTCP của ∆. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và #» u = (a; b) là VTCP có phương trình tham số là ( ∆: 3 x = x0 + at y = y0 + bt t∈R PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và #» u = (a; b) (với a 6= 0,b 6= 0) là vectơ chỉ phương thì phương trình chính tắc ∆: 4 x − x0 y − y0 = a b VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG #» Định nghĩa 2. Cho đường thẳng ∆. Vectơ #» n= 6 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆ nếu giá của #» n vuông góc với ∆. ! 5 Nhận xét : L Nếu #» n là VTPT của ∆ thì k #» n ( k 6= 0) cũng là VTPT của ∆. L VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu ∆ có VTCP #» u = (a; b) thì #» n= (− b; a) là một VTPT của ∆. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG. Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT #» n = (a; b) có phương trình tổng quát là ∆ : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 ⇔ ax + b y + c = 0 ( c = −ax0 − b y0 ) 343 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ! Chú ý: Nếu đường thẳng ∆ : ax + b y + c = 0 thì #» n = (a; b) là VTPT của ∆. 6 CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ∆ song song hoặc trùng với trục Ox ⇔ ∆ : b y + c = 0. ∆ song song hoặc trùng với trục O y ⇔ ∆ : ax + c = 0. ∆ đi qua gốc tọa độ ⇔ ∆ : ax + b y = 0. x y ∆ đi qua hai điểm A (a; 0) ,B (0; b) ⇔ ∆ : + = 1 với (ab 6= 0). a b L Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y = kx + m với k = tan α, α là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên trục Ox và tia Mx. L L L L 7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d1 : a 1 x + b1 y + c 1 = 0; d2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0. a1 a2 6= thì hai đường thẳng cắt nhau. L Nếu b1 b2 a1 a2 c1 L Nếu = 6= thì hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a1 a2 c1 L Nếu = = thì hai đường thẳng trùng nhau. b1 b2 c2 8 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG L Hai đường thẳng ∆1 ,∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 ,∆2 không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . L Kí hiệu (∆1 ,∆2 ) . L Nếu ∆1 ⊥∆2 thì (∆1 ,∆2 ) = 90◦ . L Nếu ∆1 ,∆2 song song hay trùng nhau thì (∆1 ,∆2 ) = 0◦ . Công thức tính góc. # » = (a ; b ) và n # » = (a ; b ). Cho hai đường thẳng ∆1 ,∆2 lần lượt có vectơ pháp tuyến là n 2 2 2 1 1 1 Đặt ϕ = (∆1 ,∆2 ) thì ¯ # » # »¯ ¯ ¯ ¡ # » # »¢¯ ¯ n 1 .n2 cos ϕ = ¯cos n 1 , n 2 ¯ = ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯n ¯ ¯n ¯ 1 1 hay cos ϕ = » ! 9 |a 1 a 2 + b 1 b 2 | a21 + b21 » a22 + b22 Chú ý: Có thể sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng thay cho vectơ pháp tuyến trong công thức trên. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 344 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + B y + C = 0. d ( M,∆) = ! 10 | Ax0 + B y0 + C | ≥0 p A 2 + B2 Đặc biệt: d ( M,Ox) = | y0 | ,d ( M,O y) = | x0 |. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. L Nếu ∆1 ∩ ∆1 hoặc ∆1 ≡ ∆2 thì d (∆1 ,∆2 ) = 0. L Nếu ∆1 ∥ ∆2 thì ( d (∆1 ,∆2 ) = d ( M,∆2 ) với M bất kì thuộc ∆1 . L Đặc biệt: Nếu 11 ∆1 : ax + b y + c 1 = 0 ∆2 : ax + b y + c 2 = 0 | c1 − c2 | thì d (∆1 ; ∆2 ) = p a2 + b 2 . CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng 1 Xác định M0 ( x0 ; y0 ) và VTCP #» u = ( a ; b ). 2 Viết phương trình tham số là ( ∆: x = x0 + at y = y0 + bt t∈R u Ví dụ 1. Lập phương trình tham số đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm A (−1; 3) và có vectơ chỉ phương #» u = (4; 1). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm A (−2; 1) và B (5; −3). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 345 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG u Ví dụ 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm A (1; 1) và có hệ số góc k = −2. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng n = (a; b). 1 Xác định M0 ( x0 ; y0 ) và VTPT #» 2 Viết phương trình tham số là ∆ : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 ⇔ ax + b y + c = 0 ( c = −ax0 − b y0 ) u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm M (−1; 5) và có véc-tơ pháp tuyến #» n = (−2; 3). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm N (2; 3) và vuông góc với đường thẳng AB với A (1; 3), B(2; 1). Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1; 2) và vuông góc với đường thẳng d : 2 x − y + 4 = 0. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 346 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG { Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng a1 a2 6 = thì hai đường thẳng cắt nhau. b1 b2 a1 a2 c1 L Nếu = 6= thì hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a1 a2 c1 L Nếu = = thì hai đường thẳng trùng nhau. b1 b2 c2 L Nếu u Ví dụ 1. Cho các đường thẳng ∆ : 2 x + 3 y − 5 = 0, ∆0 : 3 x − 2 y − 1 = 0. Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng ∆ và ∆0 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ u Ví dụ 2. Cho các đường thẳng ∆ : ( m + 3) x + 3 y − 2m + 3 = 0, ∆0 : 2 x + 2 y + 2 − 3m = 0.Tìm giá trị của tham số m để 1 Đường thẳng ∆ song song với ∆0 . 2 Đường thẳng ∆ cắt ∆0 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ { Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng d ( M,∆) = | Ax0 + B y0 + C | ≥0 p A 2 + B2 u Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ biết 1 M (1; 2) và ∆ : 4 x + 3 y − 2 = 0. 2 M (0; 5) và ∆ : x − 4 y + 5 = 0. Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 347 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG { Dạng 5. Góc giữa hai đường thẳng ¯ # » # »¯ ¯ ¯ ¡ # » # »¢¯ ¯ n 1 .n2 ¯ ¯ cos ϕ = cos n 1 , n 2 = ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯n1 ¯ ¯n1 ¯ u Ví dụ 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng sau ( 1 ∆1 : 3 x − 3 y + 1 = 0 và ∆2 : x=t y = 7 − 5t ( 2 ∆1 : . x = 1− t y = 1 + 2t ( và ∆2 : x = 2 − 4 t0 y = 5 − 2 t0 . Lời giải: ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ B TỰ LUẬN t Câu 1. Lập PTTS, PTTQ, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP #» u . 1 M (−2; 3), #» u = (5; −1). #» 2 M (2; 3), u = (2; 3). 3 M (−4; 1), #» u = (1; −1). 4 M (−2; 2), #» u = (5; 0). #» 5 M (1; 3), u = (0; 3). 6 M (−2; 5), #» u = (−3; −1). 7 M (−3; 4), #» u = (−2; −2). #» 8 M (2; 1), u = (1; 2). 9 M (−3; 0), #» u = (5; 3). t Câu 2. Lập PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT #» n . 1 M (−2; 3), #» n = (5; −1). 2 M (2; 3), #» n = (2; 3). 3 M (−4; 1), #» n = (1; −1). 4 M (−2; 2), #» n = (5; 0). 5 M (1; 3), #» n = (0; 3). 6 M (−2; 5), #» n = (−3; −1). 348 7 M (−3; 4), #» n = (−2; −2). 8 M (2; 1), #» n = (1; 2). 9 M (−3; 0), #» n = (5; 3). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 3. Lập PTTS, PTTQ, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k. 1 M (−2; 3), k = −2. 2 M (2; 3), k = 3. 3 M (−4; 1), k = 1. 4 M (−2; 2), k = 3. 5 M (1; 3), k = 7. 6 M (−2; 5), k = 0. 7 M (−3; 4), k = 5. 8 M (2; 1), k = −3. 9 M (−3; 0), k = −5. t Câu 4. Lập PTTS, PTTQ, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua hai điểm A và B. 1 A (−2; 3), B(1; 1). 2 A (1; 2), B(3; 4). 3 A (−3; −1), B(5; 2). 4 A (−4; 3), B(5; 1). 5 A (−3; −3), B(1; 5). 6 A (4; 0), B(0; 1). 7 A (2; 5), B(2; 1). 8 A (−6; −1), B(−1; −1). 9 A (−3; −3), B(4; 5). t Câu 5. Lập PTTS, PTTQ, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆. 1 A (−2; 3), ∆ : 4 x − 10 y + 1 = 0. 2 A (1; 2), ∆ : x − 2 y + 3 = 0. 3 A (−3; −1), ∆ : 3 x + 2 y − 2 = 0. 4 A (−4; 3), ∆ : 2 x + y + 5 = 0. 5 A (−3; −3), ∆ : − x − y − 7 = 0. ( x = 1 − 2t 6 A (4; 0), ∆ : . y = 3 + 4t ( x = 2 + 3t 7 A (2; 5), ∆ : . y = −3 + t ( x = −2 − t ( y = −4 + t x = 1+ t 8 A (−6; −1), ∆ : 9 A (−3; −3), ∆ : y = 1 + 2t . . t Câu 6. Lập PTTS, PTTQ, PTCT (nếu có) của các đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆. 349 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 A (−2; 3), ∆ : 4 x − 10 y + 1 = 0. 2 A (1; 2), ∆ : x − 2 y + 3 = 0. 3 A (−3; −1), ∆ : 3 x + 2 y − 2 = 0. 4 A (−4; 3), ∆ : 2 x + y + 5 = 0. 5 A (−3; −3), ∆ : − x − y − 7 = 0. ( x = 1 − 2t 6 A (4; 0), ∆ : . y = 3 + 4t ( x = 2 + 3t 7 A (2; 5), ∆ : . y = −3 + t ( 8 A (−6; −1), ∆ : 9 A (−3; −3), ∆ : x = −2 − t y = −4 + t ( x = 1+ t y = 1 + 2t . . t Câu 7. Cho tam giác ABC . Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: 1 A (2; 0), B(2; –3), C (0; –1). 2 A (1; 4), B(3; –1), C (6; 2). 3 A (–1; –1), B(1; 9), C (9; 1). 4 A (4; –1), B(–3; 2), C (1; 6). 5 A (0; –1), B(1; 3), C (3; 4). 6 A (−4; 0), B(0; 5), C (4; 2). t Câu 8. Cho tam giác ABC biết A (2; 0), B(0; 4), C (1; 3). Viết phương trình tổng quát của 1 Đường cao AH . 2 Đường trung trực của đoạn thẳng BC . 3 Đường thẳng AB. 4 Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB. t Câu 9. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của cặp đường thẳng: ½ ½ x = −1 − 5 t x = −6 + 5 t0 và d 0 : y = 2 + 4t y = 2 − 4 t0 ½ x = 1 − 4t 2 d: và d 0 : 2 x + 4 y − 10 = 0 y = 2 + 2t ½ x y−3 x = −2 + t và d 0 : = 3 d: y = 2 + 2t 1 −2 1 d: 350 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 10. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 , với: 1 d 1 : x − 2 y − 1 = 0 và d 2 : x + 3 y − 11 = 0. 2 d 1 : 3 x + y − 4 = 0 và d 2 : 2 x + 3 y − 7 = 0. 3 d 1 : 4 x − y − 5 = 0 và d 2 : 2 x + 2 y − 5 = 0. 4 d 1 : x − 2 y + 3 = 0 và d 2 : 2 x + y − 11 = 0. 5 d 1 : 4 x + 2 y − 3 = 0 và d 2 : x + 3 y + 3 = 0. 6 d 1 : x + 6 y − 5 = 0 và d 2 : 2 x + 8 y − 20 = 0. t Câu 11. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, với: 1 M (4; −5) và ∆ : 3 x−4 y+8 = 0. 2 M (2; 3) và ∆ : x − y + 2 = 0. 3 M (1; 5) và ∆ : −2 x−3 y−7 = 0. C 4 ( M (4; −5) x=t y = 2 + 3t và ∆ ( : 5 M (−2; 3) và ∆ : . x = 2− t . y = 4+ t và ∆ : 6 ( M (3; −5) x = −2 t y = 5 + 2t . TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho điểm A (3; −4), B(0,6). Viết phương trình tham số của đường(thẳng AB. ( ( ( A. x = 3 − 3t y = −4 + 10 t . B. x = 3 + 3t y = −4 + 10 t C. . 351 x = 10 t y = 6 − 3t . D. x = 3t y = 6 + 10 t . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( t Câu 2. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng ∆? A. M (19; 1). B. N (19; 0). C. P (19; 2). ( t Câu 3. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng d : đường thẳng d là A. #» u = (2; 3). B. #» u = (3; 2). x = 3 + 4t y = −4 + t . D. Q (7; 1). x = 3 − 2t y = 1 + 3t C. #» u = (−2; −3). . Một véc-tơ chỉ phương của D. #» u = (2; −3). t Câu 4. Trong mặt phẳng Ox y, nếu một đường thẳng ∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một véc-tơ chỉ phương là A. #» u = ( k; 1). B. #» u = ( k; −1). C. #» u = (1; k). D. #» u = (−1; k). t Câu 5. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm #» A (1; −4) ( có một véc-tơ chỉ phương ( là u = (−4; 9). ( ( A. x = 1 − 4t y = 4 + 9t . B. x = 1 − 4t y = −4 − 9 t C. . 352 x = 1 − 4t y = −4 + 9 t . D. x = 1 + 9t y = −4 − 4 t . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 6. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A (3; −5) ( có hệ số góc k = −3. ( ( ( A. x = 3+ t y = −5 + 3 t . B. x = 3+ t y = −5 − 3 t C. . x = 3 + 3t y = −5 + t D. . x = 3 − 3t y = −5 + t . t Câu 7. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm ( A (0; −4) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình tham số ( ( ( x = −2 t x = −4 + 2 t x = −2 t A. y = −4 + t . B. y = −t C. . y = 4+ t . x = 2018 + 2 t y = 10 − t ( D. . x = −4 − t y = 2t . t Câu 8. Trong mặt phẳng Ox y, viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm #» M (5; −( 2) và có véc-tơ pháp tuyến ( n = (4; −3). ( ( A. x = 8 + 3t y = 2 + 4t . B. x = 5 − 3t y = −2 + 4 t ( t Câu 9. Cho đường thẳng d : A. A (5; 3). C. . x = 2 + 3t y = 5 − 4t B. B(2; 5). x = 5 + 4t y = −2 − 3 t . D. x = 2 + 4t y = 5 − 3t . . Điểm nào sau đây không thuộc d ? C. C (−1; 9). 353 D. D (8; −3). Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 10. Đường thẳng d có vecto pháp tuyến #» n = (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai? #» A. u 1 = (b; −a) là vecto chỉ phương của d . B. #» u 2 = (− b; a) là vecto chỉ phương của d . #»0 C. n = (ka; kb) k ∈ R là vecto pháp tuyến của d . D. d có hệ số góc k = −b ( b 6= 0). a t Câu 11. Đường thẳng đi qua A (−1; 2), nhận #» n = (2; −4) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là A. x − 2 y − 4 = 0. B. x + y + 4 = 0. C. − x + 2 y − 4 = 0. D. x − 2 y + 5 = 0. t Câu 12. Cho đường thẳng (d ) : 2 x + 3 y − 4 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của ( d )? # » = (3; 2). A. n 1 # » = (−4; −6). B. n 2 # » = (2; −3). C. n 3 # » = (−2; 3). D. n 4 t Câu 13. Cho đường thẳng d : 3 x − 7 y + 15 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai? 3 A. #» u = (7; 3) là vecto chỉ phương của d . B. d có hệ số góc k = . 7 µ ¶ 1 D. d đi qua hai điểm M − ; 2 và N (5; 0). 3 C. d không đi qua góc tọa độ. t Câu 14. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (−2; 4) ; B (−6; 1) là: 354 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. 3 x + 4 y − 10 = 0. B. 3 x − 4 y + 22 = 0. C. 3 x − 4 y + 8 = 0. D. 3 x − 4 y − 22 = 0. t Câu 15. Cho đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0. Nếu đường thẳng (∆) đi qua M (1; −1) và song song với d thì (∆) có phương trình A. x − 2 y − 3 = 0. B. x − 2 y + 5 = 0. C. x − 2 y + 3 = 0. D. x + 2 y + 1 = 0. t Câu 16. Cho ba điểm A (1; −2) ,B (5; −4) ,C (−1; 4). Đường cao A A 0 của tam giác ABC có phương trình A. 3 x − 4 y + 8 = 0. B. 3 x − 4 y − 11 = 0. C. −6 x + 8 y + 11 = 0. D. 8 x + 6 y + 13 = 0. t Câu 17. Cho hai đường thẳng (d1 ) : mx + y = m + 1, (d2 ) : x + m y = 2 cắt nhau khi và chỉ khi A. m 6= 2. B. m 6= ±1. C. m 6= 1. D. m 6= −1.. t Câu 18. Cho hai điểm A (4; 0) , B (0; 5). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của ( đường thẳng AB? A. x = 4 − 4t y = 5t ( t ∈ R). B. x y + = 1. 4 5 C. 355 x−4 y = . −4 5 D. y = −5 x + 15. 4 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 19. Đường thẳng (∆): 3 x − 2 y − 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây? A. (d1 ) : 3 x + 2 y = 0. B. (d2 ) : 3 x − 2 y = 0. C. (d3 ) : −3 x + 2 y − 7 = 0. D. (d4 ) : 6 x − 4 y − 14 = 0. t Câu 20. Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường thẳng d : x − 2 y + 5 = 0: A. Đi qua A (1; −2). ( B. Có phương trình tham số: x=t y = −2 t ( t ∈ R). 1 2 C. d có hệ số góc k = . D. d cắt d 0 có phương trình: x − 2 y = 0. ¡ ¢ t Câu 21. Cho đường thẳng d : 4 x − 3 y + 5 = 0. Nếu đường thẳng (∆) đi qua góc tọa độ và vuông góc với d thì (∆)có phương trình A. 4 x + 3 y = 0. B. 3 x − 4 y = 0. C. 3 x + 4 y = 0. D. 4 x − 3 y = 0. ( t Câu 22. Giao điểm M của d : ¶ 11 A. M 2; − . 2 µ x = 1 − 2t y = −3 + 5 t µ ¶ 1 B. M 0; . 2 và d 0 : 3 x − 2 y − 1 = 0 là µ ¶ 1 C. M 0; − . 2 356 µ ¶ 1 D. M − ; 0 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 23. Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng d : y = 2 x − 1? A. 2 x − y + 5 = 0.. B. 2 x − y − 5 = 0.. C. −2 x + y = 0.. D. 2 x + y − 5 = 0.. t Câu 24. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I (−1; 2) và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2 x − y + 4 = 0 A. − x + 2 y − 5 = 0. B. x + 2 y − 3 = 0. C. x + 2 y = 0. D. x − 2 y + 5 = 0. ( t Câu 25. Hai đường thẳng (d1 ) : tọa độ: A. (2; 3). x = −2 + 5 t y = 2t và (d2 ) : 4 x + 3 y − 18 = 0. Cắt nhau tại điểm có B. (3; 2). C. (1; 2). D. (2; 1). t Câu 26. Góc giữa hai đường thẳng ∆1 : a 1 x + b1 y + c 1 = 0 và ∆2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0 được xác định theo công thức: A. cos (∆1 ,∆2 ) = » C. cos (∆1 ,∆2 ) = » a1 a2 + b1 b2 a21 + b21 . » a22 + b22 |a 1 a 2 + b 1 b 2 | a21 + b21 + » B. cos (∆1 ,∆2 ) = » . a21 + b21 D. cos (∆1 ,∆2 ) = . 357 … |a 1 a 2 + b 1 b 2 | a21 + b21 . » a22 + b22 . a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 . a2 + b 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( t Câu 27. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10 x + 5 y − 1 = 0 và ∆2 : 3 A. . 10 p 10 B. . 10 p 3 10 C. . 10 x = 2+ t y = 1− t 3 D. . 5 . p t Câup28. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : x +p 2 y − 2 = 0 và ∆2 : x − y =p0. p 10 2 3 A. C. . B. 2. . D. . 10 3 3 t Câu 29. Tìm côsin giữa 2 đường thẳng ∆1 : 2 x + 3 y − 10 = 0 và ∆2 : 2 x − 3 y + 4 = 0. A. 7 . 13 B. 6 . 13 C. p 13. p p D. 5 . 13 p t Câu 30. Tìm góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0 và ∆2 : y − 6 = 0 A. 60◦ . B. 125◦ . C. 145◦ . D. 30◦ . p t Câu 31. Tìm góc giữa hai đường thẳng ∆1 : x + 3 y = 0 và ∆2 : x + 10 = 0. A. 45◦ . B. 125◦ . C. 30◦ . D. 60◦ . 358 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 32. Tìm góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 2 x − y − 10 = 0và ∆2 : x − 3 y + 9 = 0. A. 60◦ . B. 0◦ . C. 90◦ . D. 45◦ . t Câu 33. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : x + 2 y − 7 = 0 và ∆2 : 2 x − 4 y + 9 = 0. A. 3 . 5 2 B. p . C. 5 1 . 5 3 D. p . 5 t Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : x + 2 y − 6 = 0 và ∆2 : x − 3 y + 9 = 0. Tính góc tạo bởi ∆1 và ∆2 A. 30◦ . B. 135◦ . C. 45◦ . D. 60◦ . t Câu 35. Cho hai đường thẳng d1 : x + 2 y + 4 = 0; d2 : 2 x − y + 6 = 0. Số đo góc giữa d1 và d2 là A. 30◦ . B. 60◦ . C. 45◦ . D. 90◦ . 359 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( t Câu 36. Tìm góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 6 x − 5 y + 15 = 0 và ∆2 : A. 90◦ . B. 60◦ . C. 0◦ . x = 10 − 6 t ( t Câu 37. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 3 x + 4 y + 1 = 0 và ∆2 : A. 56 . 65 B. 63 . 13 C. . y = 1 + 5t D. 45◦ . 6 . 65 x = 15 + 12 t y = 1 + 5t 33 D. . 65 . t Câu 38. Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng ∆ : ax + b y + c = 0 với a2 + b2 > 0. Khi đó khoảng cách d(M;∆) là ax0 + b y0 + c A. d(M;∆) = p |ax0 + b y0 + c| B. d(M;∆) = p . a2 + b 2 + c 2 ax0 + b y0 + c . C. d(M;∆) = p a2 + b 2 ( t Câu 39. Khoảng cách từ điểm M (15; 1) đến đường thẳng ∆ : A. p 5. . a2 + b 2 + c 2 |ax0 + b y0 + c| D. d(M;∆) = p . a2 + b 2 1 B. p 10 C. . 360 p 10. x = 2 + 3t y=t là 16 D. p . 5 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 40. Khoảng cách từ điểm M (5; −1) đến đường thẳng ∆ : 3 x + 2 y + 13 = 0 là 13 A. p . 2 28 B. 2. C. p 13 p D. 2 13. . t Câu 41. Khoảng cách từ điểm M (0; 1) đến đường thẳng ∆ : 5 x − 12 y − 1 = 0 là A. 11 . 13 B. 13 . 17 C. 1. D. p 13. t Câu 42. Cho ba điểm A (0; 1), B (12; 5), C (−3; 5). Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A , B, C ? A. 5 x − y + 1 = 0. B. 2 x − 6 y + 21 = 0. C. x + y = 0. D. x − 3 y + 4 = 0. t Câu 43. Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng: ∆1 : 3 x − 2 y − 6 = 0 và∆2 : 3 x − 2 y + 3 = 0 µ ¶ ¡ p ¢ A. 0; 2 . B. 1 ;0 . 2 C. (1; 0). D. ( t Câu 44. Khoảng cách từ điểm M (2; 0) đến đường thẳng ∆ : A. 2. 10 C. p . 5 B. 1. 361 x = 1 + 3t y = 2 + 4t ¡p ¢ 2; 0 . là p 5 D. . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu 45. Khoảng cách từ điểm M (1; −1)đến đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 17 = 0 là A. 2 . 5 10 B. p . C. 2. 5 ( t Câu 46. Cho đường thẳng d : của t? 3 A. t = . x = 2 − 3t y = −1 + 2 t 18 . 5 7 2 và điểm A ( ; −2). Điểm A ∈ d ứng với giá trị nào 1 2 1 2 B. t = . 2 D. − 3 2 C. t = − . D. t = − . t Câu 47. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (1; −3) và có véc-tơ #» chỉ phương u = (−2; 1). ( ( ( ( A. x = 1 − 2t y = −3 + t . B. x = −2 + t y = 1 − 3t C. . x = −1 + 2 t y = 3− t x . D. x = −1 − 2 t y = 3+ t . y t Câu 48. Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : − = 1. Phương trình tham số của d 5 7 là: ( ( ( ( A. x = 5 + 5t y = −7 t . B. x = 5 + 5t y = 7t C. . 362 x = 5 − 7t y = 5t . D. x = 5 + 7t y = 5t . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( t Câu 49. Cho đường thẳng d : x = x0 + u 1 t y = y0 + u 2 t . Khẳng định nào sau đây là đúng? u2 , u1 6= 0. u1 u1 C. Hệ số góc của d là k = − ,u2 6= 0. u2 u1 ,u2 6= 0. u2 u2 D. Hệ số góc của d là k = − ,u1 6= 0. u1 A. Hệ số góc của d là k = B. Hệ số góc của d là k = ( t Câu 50. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = 2 + 2t y = 3+ t . Tìm điểm M có tọa độ nguyên nằm trên đường thẳng ∆ và cách điểm A (0; 1) một khoảng bằng 5. A. M (−4,4). B. M (4; 4). C. M (0; 2). D. M (8; 5). ( t Câu 51. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số ∆ : x = 2 + 2t y = 3+ t . Có bao nhiêu điểm thuộc đường thẳng ∆ và cách điểm A (0; 1) một khoảng bằng 5. A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. ( t Câu 52. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = 2 + 2t y = 3+ t 2 Gọi M (a; b) là giao điểm của đường thẳng ∆ với đường thẳng d : x + y + 1 = 0. Tính a + b2 . A. a2 + b2 = 4. B. a2 + b2 = 3. C. a2 + b2 = 5. D. a2 + b2 = 1. 363 . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( t Câu 53. Trong mặt phẳng Ox y, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số A (0; 1). Gọi M (a; b) là điểm trên ∆ sao cho AM ngắn nhất. Tính a + b. −2 11 9 B. . C. . A. . 5 5 5 D. x = 2 + 2t y = 3+ t và 7 . 5 t Câu 54. Trong mặt phẳng Ox y, cho tam giác ABC có A (1; 1), B(−2; 5) trọng tâm G thuộc đường thẳng ∆1 có phương trình ( x=k x = t , đỉnh C thuộc đường thẳng ∆2 có phương trình  y = 1 − 2t 3 .Tìm tọa độ điểm C . y = 1−k A. C (13; −12). B. C (14; −13). C. C (15; −14). D. C (16; −15). t Câu 55. Trong mặt phẳng Ox y, cho hình vuông ABCD biết A (−1; 2) và phương trình của ( một đường chéo là x = −1 + 2 t y = −2 t A. 2. . Biết tọa độ điểm C (a; b). Tính a.b. B. 3. C. 1. D. 0. t Câu 56. Trong ( mặt phẳng Ox y,cho hai điểm A (−1; 2), B(−2; 3). Gọi I (a; b) là điểm thuộc đường thẳng ∆ : A. 100. x=t y = 3 t + 10 sao cho I A = IB. Tính a2 + b2018 . B. 2018. C. 10. 364 D. 1000. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG t Câu(57. Viết phương trình(tham số của đường thẳng ( đi qua 2 điểm A (3; −(7) và B(1; −7). x=t A. y = −7 x=t B. . y=7 x=t C. . y = −7 − t . x = 3 − 7t D. y = 1 − 7t . t Câu 58. Viết (phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với đường thẳng d : ( A. x = 4t y = 3t x = 1 + 4t y = 1 + 3t . ( B. . x = 4t y = 1 + 3t ( C. . x = −3 t y = 4t ( D. . x = 3t y = −4 t . t Câu 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A (−1; 2) và vuông góc với đường(thẳng M: 2 x − y + 4 = 0. ( ( ( A. x = −1 + 2 t y = 2+ t . B. x = −1 + 2 t y = 2− t C. . x = 1 + 2t y = 2− t . D. x = −1 + t y = 2 + 2t . t Câu 60. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A (−1; 1), B(4; 7), C (3; −2), M là trung điểm của đoạn tham số của đường ( thẳng AB. Phương trình ( ( thẳng CM là: ( A. x = 3+ t y = −2 − 4 t . B. x = 3+ t y = −2 + 4 t C. . 365 x = 3− t y = 4 + 2t . D. x = 3 + 3t y = −2 + 4 t . Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 366 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn (C ) có tâm I (a; b) và bán kính R có dạng (C ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 = R 2 2 DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình x2 + y2 − 2ax − 2b y + c = 0 , với a2 + b2 − c > 0, là phương trình đường tròn tâm I (a; b), bán kính R = 3 p a2 + b 2 − c . PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn (C ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆. ∆ tiếp xúc (C ) ⇔ d ( I,∆) = R Khi đó ∆ được gọi là phương trình tiếp tuyến của (C ). 4 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn Phương pháp: Dựa vào định nghĩa đường tròn. u Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có: 1 x2 + y2 − 6 x + 8 y + 100 = 0. 2 x2 + y2 + 4 x − 6 y − 12 = 0. 3 2 x2 + 2 y2 − 4 x + 8 y − 2 = 0. 4 2 x2 + y2 + 2 x − 3 y + 9 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 367 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN u Ví dụ 2. Cho phương trình x2 + y2 − 2mx − 4( m − 2) y + 6 − m = 0 (1). 1 Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. 2 Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… { Dạng 2. Lập phương trình đường tròn phần 1 Phương pháp: Để lập phương trình đường tròn (C ) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C ).  (C ) có tâm I và đi qua điểm A . L Bán kính R = I A .  (C ) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆. L Bán kính R = d ( I,∆).  (C ) có đường kính AB. L Tâm I là trung điểm của AB. AB . 2  (C ) đi qua hai điểm A , B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆. L Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. L Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆ . L Bán kính R = I A .  (C ) đi qua hai điểm A , B và tiếp xúc với đường thẳng ∆. L Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. ( I∈d L Tâm I của (C ) thoả mãn: . d ( I,∆) = I A L Bán kính R = I A .  (C ) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B. L Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. L Viết phương trình đường thẳng ∆0 đi qua B và vuông góc với ∆ . L Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆0 . L Bán kính R = I A . L Bán kính R = 368 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN { Dạng 3. Lập phương trình đường tròn phần 2  (C ) đi qua điểm A và tiếp xúc(với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . L Tâm I của (C ) thoả mãn: d ( I,∆1 ) = d ( I,∆2 ) (1) d ( I,∆1 ) = I A (2) . L Bán kính R = I A .  (C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ( ∆1 , ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d . L Tâm I của (C ) thoả mãn: d ( I,∆1 ) = d ( I,∆2 ) I∈d . L Bán kính R = d ( I,∆1 ).  (C ) đi qua ba điểm không thẳng hàng A , B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). L Phương trình của (C ) có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2 b y + c = 0 (*). L Lần lượt thay toạ độ của A , B, C vào (*) ta được hệ phương trình. L Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c. L Suy ra phương trình của (C ).  (C ) nội tiếp tam giác ABC . L Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác L Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. L Bán kính R = d ( I,AB). u Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn (C ) biết tâm I (−2,3) , bán kính R = 3. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C ) biết tâm I (−2,3) và qua M (−2,7). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn tâm I (5; 6) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y − 6 = 0. Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 369 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn (C )có đường kính AB với A (1,1); B(7,5). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 5. Viết phương trình đường tròn (C ) biết tâm I là trung điểm của đoạn AB và bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng (∆) : 4 x − 3 y + 11 = 0. Với A (2,3) ; B (4,1). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 6. Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua 3 điểm A (5; 3) ; B (6; 2) ; C (3; −1). Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… u Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng: d1 : 3 x + 4 y + 5 = 0 và d2 : 4 x − 3 y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : x − 6 y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ,d2 . Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 370 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN …………………………………………………………………………………… B TỰ LUẬN t Câu 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A , với: 1 I (2; 4), A (−1; 3) 2 I (−3; 2), A (1; −1) 3 I (−1; 0), A (3; −11) t Câu 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: 1 I (3; 4),∆ : 4 x − 3 y + 15 = 0 2 I (2; 3),∆ : 5 x − 12 y − 7 = 0 3 I (−2; 1),∆ : x − 4 y + 20 = 0 4 I (5; 0),∆ : 2 x − y − 15 = 0 5 I (−3; 2),∆ ≡ Ox 6 I (−3; −5),∆ ≡ O y t Câu 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: 1 A (−2; 3), B(6; 5) 2 A (0; 1), C (5; 1) 3 A (−3; 4), B(7; 2) t Câu 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A , B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆, với: 1 A (2; 3),B(−1; 1),∆ : x − 3 y − 11 = 0 2 A (0; 4),B(2; 6),∆ : x − 2 y + 5 = 0 371 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 5. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A , B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: 1 A (1; 2),B(3; 4),∆ : 3 x + y − 3 = 0 2 A (6; 3),B(3; 2),∆ : x + 2 y − 2 = 0 3 A (−1; −2),B(2; 1),∆ : 2 x − y + 2 = 0 4 A (2; 0),B(4; 2),∆ ≡ O y t Câu 6. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B, với: 1 A (−2; 6),∆ : 3 x − 4 y − 15 = 0,B(1; −3) 2 A (−2; 1),∆ : 3 x − 2 y − 6 = 0,B(4; 3) 3 A (6; −2),∆ ≡ Ox,B(6; 0) 4 A (4; −3),∆ : x + 2 y − 3 = 0,B(3; 0) t Câu 7. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 , với: 1 A (2; 3),∆1 : 3 x − 4 y + 1 = 0,∆2 : 4 x + 3 y − 7 = 0 2 A (1; 3),∆1 : x + 2 y + 2 = 0,∆2 : 2 x − y + 9 = 0 3 A ≡ O (0; 0),∆1 : x + y − 4 = 0,∆2 : x + y + 4 = 0 4 A (3; −6),∆1 ≡ Ox,∆2 ≡ O y t Câu 8. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d , với: 1 ∆1 : 3 x + 2 y + 3 = 0,∆2 : 2 x − 3 y + 15 = 0,d : x − y = 0 372 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2 ∆1 : x + y + 4 = 0,∆2 : 7 x − y + 4 = 0,d : 4 x + 3 y − 2 = 0 3 ∆1 : 4 x − 3 y − 16 = 0,∆2 : 3 x + 4 y + 3 = 0,d : 2 x − y + 3 = 0 4 ∆1 : 4 x + y − 2 = 0,∆2 : x + 4 y + 17 = 0,d : x − y + 5 = 0 t Câu 9. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , với: 1 2 3 4 5 6 A (2; 0), B(0; −3), C (5; −3) A (5; 3), B(6; 2), C (3; −1) A (1; 2), B(3; 1), C (−3; −1) A (−1; −7), B(−4; −3), C ≡ O (0; 0) AB : x − y + 2 = 0, BC : 2 x + 3 y − 1 = 0, C A : 4 x + y − 17 = 0 AB : x + 2 y − 5 = 0, BC : 2 x + y − 7 = 0, C A : x − y + 1 = 0 t Câu 10. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC , với: 1 2 3 4 C A (2; 6), B(−3; −4), C (5; 0) A (2; 0), B(0; −3), C (5; −3) AB : 2 x − 3 y + 21 = 0,BC : 3 x − 2 y − 6 = 0,C A : 2 x + 3 y + 9 = 0 AB : 7 x − y + 11 = 0,BC : x + y − 15,C A : 7 x + 17 y + 65 = 0 TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Cho phương trình x2 + y2 − 2ax − 2 b y + c = 0 (1). Với điều kiện nào thì (1) là phương trình của đường tròn? A. a2 + b2 − 4 c > 0. B. a2 + b2 − c > 0. C. a2 + b2 − 4 c ≥ 0. D. a2 + b2 − c ≥ 0. 373 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 2. Tìm m để phương trình x2 + y2 − 2( m + 1) x − 2( m + 2) y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn. A. m < 0. B. m < 1. C. m > 1. D. m < −1 hoặc m > 1. t Câu 3. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4 x + 3 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai? A. (C ) có tâm I (2; 0). B. (C ) có bán kính R = 1. C. (C ) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. D. (C ) cắt trục O y tại hai điểm phân biệt. t Câu 4. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? A. x2 + y2 − x − y + 9 = 0. B. x2 + y2 − x = 0. C. x2 + y2 − 2 x y − 1 = 0. D. x2 − y2 − 2 x + 3 y − 1 = 0. t Câu 5. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường tròn đi qua điểm A (4; −2)? A. x2 + y2 − 4 x + 7 y − 8 = 0. B. x2 + y2 − 6 x − 2 y + 9 = 0. C. x2 + y2 − 2 x + 6 y = 0. D. x2 + y2 + 2 x − 20 = 0. 374 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 6. Cho đường cong (C m ) : x2 + y2 − 8 x + 10 y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (C m ) là đường tròn có bán kính bằng 7? A. m = 4. B. m = 8. C. m = −8. D. m = −4. t Câu 7. Viết phương trình đường tròn tâm I (3; −1) và bán kính R = 2. A. ( x + 3)2 + ( y − 1)2 = 4. B. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 4. C. ( x − 3)2 + ( y + 1)2 = 4. D. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 2. t Câu 8. Viết phương trình đường tròn tâm I (−1; 2) và đi qua điểm M (2; 1). A. x2 + y2 + 2 x − 4 y − 5 = 0. B. x2 + y2 + 2 x − 4 y − 3 = 0. 2 2 C. x + y − 2 x − 4 y − 5 = 0. D. x2 + y2 + 2 x + 4 y − 5 = 0. t Câu 9. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm O (0; 0), A (a; 0), B(0; b). A. x2 + y2 − 2ax − 2 b y = 0. B. x2 + y2 − ax − b y + x y = 0. C. x2 + y2 − ax − b y = 0. D. x2 + y2 − ax + b y = 0. t Câu 10. Trong các đường tròn cho bởi các phương trình sau, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox? A. x2 + y2 − 5 = 0. B. x2 + y2 − 4 x − 2 y + 4 = 0. C. x2 + y2 − 10 x + 1 = 0. D. x2 + y2 − 2 x + 10 = 0. 375 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 −4 x = 0 và (C2 ) : x2 + y2 +8 y = 0. A. (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc trong. B. (C1 ) và (C2 ) không cắt nhau. C. (C1 ) và (C2 ) cắt nhau. D. (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ngoài. t Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn? A. x2 + y2 − 2 x − 4 y + 1 = 0. B. x2 + y2 − 2 y + 3 = 0. C. x2 + y2 − 4 x + 2 y + 6 = 0. D. x2 + y2 − 6 x + 9 = 0. t Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một đường tròn? A. x2 + y2 − 2 y − 4 = 0. B. x2 + y2 − 2 x − 2 y + 4 = 0. C. x2 + y2 − 4 x − 2 y + 2 = 0. D. x2 + y2 − 2 = 0. t Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, đường tròn x2 + y2 − 2 x − 4 y + 4 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? A. 3 x − 4 y − 5 = 0. B. 3 x − 4 y + 10 = 0. C. x + 2 y + 5 = 0. D. x − 2 y − 5 = 0. 376 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4 x + 6 y + 8 = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng? p A. (C ) có tâm I (2; −3), bán kính R = 5 B. (C ) có tâm I (−2; 3), bán kính R = p 5. p. C. (C ) có tâm I (2; −3), bán kính R = 5. D. (C ) có tâm I (−2; 3), bán kính R = 2 2. t Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho I (1; 2) và d : 2 x − y + 5 = 0. Viết phương trình của đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d . p A. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 5. B. ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = p5. C. ( x + 1)2 + ( y + 2)2 = 5. D. ( x + 1)2 + ( y + 2)2 = 5. t Câu 17. Tìm m để phương trình x2 + y2 + 2 x + 2 y − m = 0 là phương trình của một đường tròn. ¯ ¯ A. m ≤ 2. B. m > 2. C. m ≥ 2. D. ¯ m¯>2. t Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai đường tròn (C 1 ) : ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 2 và (C 2 ) : x2 + ( y − 5)2 = 3. Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 377 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai điểm A (−3; 1), B(1; 5). Viết phương trình của đường tròn có đường kính p là AB. 2 2 A. ( x + 1) + ( y − 3) = 2 2. B. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 8. C. ( x + 1)2 + ( y − 3)2 = 8. D. ( x − 1)2 + ( y + 3)2 = 8. t Câu 20. Trong các phương trình cho dưới đây, phương trình nào không phải là phương trình của một đường tròn? A. x2 + y2 − 2 x = 0. B. x2 + y2 − 4 x + 2 y + 6 = 0. C. 3 x2 + 3 y2 + x − 2 y − 1 = 0. D. x2 + ( y + 1)2 = 2. t Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho đường tròn (T ) : x2 + y2 − 3 x + 4 y = 0. Tính chu vi của đường tròn (T ). A. 5π. B. 25π . 4 C. 5π . 2 D. 25π . 2 t Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho phương trình x2 + y2 + 2 x − 4 y + m = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho là phương trình của một đường tròn. p A. m > 5. B. m < 5. C. m < 5. D. m < 20. 378 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 6 x + 2 y + 1 = 0. Trong các điểm M , N , P , Q cho dưới đây, tìm điểm nằm ngoài đường tròn (C ). A. M (3; 0). B. N (3; −1). C. P (5; −2). D. Q (5; 2). t Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho tam giác ABC với A (−1; −1), B(1; 1), C (5; −3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . A. ( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 10 . B. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 10. p D. ( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 100. C. ( x + 2)2 + ( y + 2)2 = 10. t Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho hai điểm A (3; 0) và B(0; 4). Biết đường tròn nội tiếp ∆O AB có phương trình ( x − p)2 + ( y − q)2 = R 2 . Tính giá trị của biểu thức M = p + 2 q + 3R . A. M = 4. B. M = 6. C. M = 12. D. M = 36. t Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho hai đường tròn (C ) : ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 5 và (C 0 ) : ( x − 2)2 + ( y + 4)2 = 20. Tìm số tiếp tuyến chung của (C ) và (C 0 ). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 379 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 27. Viết phương trình đường tròn tâm I (3; 2) bán kính R = 3. A. ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 9. B. ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 3. C. ( x + 3)2 + ( y + 2)2 = 9. D. ( x + 3)2 + ( y + 2)2 = 3. t Câu 28. Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình x2 + y2 + 2ax + 2 b y = c là phương trình của một đường tròn. A. a2 + b2 − c ≥ 0. B. a2 + b2 − c > 0. C. a2 + b2 + c ≥ 0. D. a2 + b2 + c > 0. ( t Câu 29. Biết tập các điểm M ( x; y) cho bởi x = 1 + 2 cos t y = −3 + 2 sin t I và bán kính R của đường tròn đó. A. I (−1; 3), R = 4. B. I (−1; 3), R = 2. ( t ∈ R) là một đường tròn. Tìm tâm C. I (1; −3), R = 4. D. I (1; −2), R = 2. t Câu 30. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 6 x + 4 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào tiếp xúc với (C )? A. d1 : 3 x + 2 y − 1 = 0. B. d2 : 2 x − y + 1 = 0. C. d3 : x − 2 y + 2 = 0. D. d4 : x + 4 y − 1 = 0. t Câu 31. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 + 2ax + 2b y + c = 0 và điểm M (u,v). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. u2 + v2 + 2au + 2bv + c < 0 ⇔ M nằm trên đường tròn. 380 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN B. u2 + v2 + 2au + 2bv + c < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn. C. u2 + v2 + 2au + 2bv + c < 0 ⇔ M trùng tâm của đường tròn. D. u2 + v2 + 2au + 2bv + c < 0 ⇔ M nằm ngoài đường tròn. t Câu 32. Mệnh đề nào sau đây là đúng khi nói về hai đường tròn (C1 ) : ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 1 và (C2 ) : ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 9? A. Hai đường tròn cắt nhau. B. Hai đường tròn ở ngoài nhau. C. Một đường tròn đựng đường tròn còn lại. D. Hai đường tròn tiếp xúc trong. t Câu 33. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 4 tại điểm A (1; 1). A. x − 2 y − 1 = 0. B. y = 1. C. y = −3. D. 2 x + y − 1 = 0. t Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, phương trình nào trong các phương trình dưới đây là phương trình đường tròn? A. x2 + y2 + 2 x + 2 y + 9 = 0. B. x2 + y2 + 4 x − 6 y + 13 = 0. C. 2 x2 + y2 − 3 x + y = 0. D. 2 x2 + 2 y2 + x + y − 1 = 0. t Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, điểm nào trong các điểm sau đây nằm trên đường tròn có phương trình x2 + y2 − 2 x + 4 y − 20 = 0? A. A (0; 3). B. B (−2; −6). C. C (2; −6). D. D (3; 0). 381 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, đường tròn tâm I (2; 3) bán kính R = 3 có phương trình là A. x2 + y2 − 4 x − 6 y + 4 = 0. B. x2 + y2 + 4 x − 6 y + 4 = 0. C. x2 + y2 − 4 x + 6 y − 4 = 0. D. x2 + y2 − 4 x − 6 y − 4 = 0. t Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, phương trình x2 + y2 − 2ax − 2 b y + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi A. a2 + c2 − b > 0. B. a2 + b2 − c > 0. C. a2 + c2 − b > 0. D. b2 + c2 − a > 0. t Câu 38. Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4 x + 6 y − 3 = 0. A. I (2; 3); R = 4. B. I (2; −3); R = 4. C. I (3; 2); R = 2. D. I (−3; 2); R = 2. t Câu 39. Đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 2), B(5; 2), C (1; −3) có phương trình là A. x2 + y2 − 6 x + y − 1 = 0. B. x2 + y2 − 3 x + 2 y − 1 = 0. C. x2 + y2 + 6 x − y − 1 = 0. D. x2 + y2 − 2 x + 3 y − 1 = 0. 382 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 40. Cho họ đường cong (Cm ) : x2 + y2 − 2 (m + 2) x − 2 (m + 4) y + 4m + 2 = 0 (1). Tập hợp tất cả các “giá trị của m để (1) là phương trình của một đường tròn là A. m>1 m < −1 . B. m ∈ R. C. −1 < m < 2. D. m ≥ 3. t Câu 41. Tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x2 + y2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 tại điểm A (4; 2) có phương trình là A. −3 x − 4 y + 20 = 0. B. 3 x + 4 y + 20 = 0. C. 3 x − 4 y − 20 = 0. D. −3 x + 4 y + 20 = 0. t Câu 42. Cho phương trình (C ) : x2 + y2 − 2ax − 2b y + c = 0 với a, b, c là các số thực. Với điều kiện nào thì phương trình (C ) là phương trình đường tròn. A. a2 + b2 − 4 c > 0. B. a2 + b2 − c > 0. C. a2 + b2 − 4 c ≥ 0. D. a2 + b2 − c ≥ 0. t Câu 43. Tìm m để phương trình (C ) : x2 + y2 − 8 x + 10 y + m = 0 là phương trình đường tròn có bán kính bằng 7. A. m = 8. B. m = −8. C. m = 7. D. m = −7. 383 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 44. Phương trình nào trong các phương án dưới đây không phải là phương trình đường tròn A. x2 + y2 − 4 = 0. B. x2 + y2 + x + y + 2 = 0. C. x2 + y2 + x + y = 0. D. x2 + y2 − 2 x − 2 y + 1 = 0. t Câu 45. Cho phương trình đường tròn (C ) : 3 x2 + 3 y2 − 6 x + 9 y − 4 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của dường tròn (C ). p µ ¶ 3 165 A. I 1; ,R = . 2 6 … µ ¶ 3 165 C. I −1; ,R = . 2 6 µ ¶ 3 165 B. I 1; − ,R = . 2 6 µ ¶ 3 165 D. I −1; − ,R = . 2 6 t Câu 46. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(6 ; 0) và đi qua điểm B(9 ; 9). A. ( x − 6)2 + ( y − 5)2 = 25. B. ( x + 6)2 + ( y − 5)2 = 125. C. ( x − 6)2 + ( y + 5)2 = 125. D. ( x + 6)2 + ( y + 5)2 = 25. t Câu 47. Phương trình đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4 x − 4 y − 8 = 0 và đường thẳng (d ) : x − y − 1 = 0. Phương trình đường thẳng nào trong các phương án dưới đây là phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với ( d ). p p A. − x + y + 4 = 0. B. x − y − 4 = 0. C. x − y − 4 2 = 0. D. x + y + 4 2 = 0. 384 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 48. Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 + 2 x − 4 y − 4 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) kẻ từ A (2; 1). A. (d1 ) : x − 2 = 0,(d2 ) : 4 x − 3 y − 5 = 0. B. (d1 ) : 4 x − 3 y − 5 = 0,(d2 ) : y − 1 = 0. C. Từ điểm A không kẻ được tiếp tuyến với (C ). D. (d1 ) : 3 x − 4 y − 2 = 0,(d2 ) : y − 1 = 0. t Câu 49. Tìm phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với O y tại A (0; −2) và qua B(4; −2). A. ( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 4. B. ( x + 2)2 + ( y − 2)2 = 4. 2 2 C. ( x − 3) + ( y − 2) = 9. D. ( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 9. t Câu 50. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d : 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C ) : x2 + y2 − 9 = 0? p A. m = ±15. B. m = ± 3. C. m = −3. D. m = 3. t Câu 51. Đường tròn (C ) : x2 + y2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 cắt đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 theo một dây cung có độ dài K . Tính K . p A. K = 1. p B. K = 2. C. K = 2. 385 D. K = 2 . 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 52. Trong hệ trục tọa độ Ox y, cho hai điểm A (1; 3),B(3; 1) và đường thẳng d : 2 x− y+7 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d . A. ( x − 7)2 + ( y − 7)2 = 164. B. ( x + 7)2 + ( y + 7)2 = 164. 2 2 C. ( x − 3) + ( y − 5) = 25. D. ( x + 3)2 + ( y + 5)2 = 25. t Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường tròn (C ) đi qua hai điểm A (2; 3), B(−1; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x − 3 y − 11 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C ). A. x2 + y2 − 7 x + 5 y − 56 = 0. B. x2 + y2 − 7 x + 5 y − 14 = 0. 2 2 C. x + y + 7 x − 5 y − 56 = 0. D. x2 + y2 + 7 x − 5 y − 14 = 0. t Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 31 = 0 và điểm A (1; −7). Tìm tọa độ tâm của các đường tròn tiếp xúc với ∆ tại A và có bán kính R = 5. A. I 1 (−2; −3), I 2 (4; −11). B. I 1 (2; 3), I 2 (−4; 11). C. I 1 (2; −3), I 2 (4; −11). D. I 1 (−2; 3), I 2 (4; −11). t Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai đường tròn (C 1 ) : x2 + y2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 và (C 2 ) : x2 + y2 − 8 x − 2 y + 16 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. B. (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc với nhau. C. (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. D. (C 1 ) và (C 2 ) có bán kính bằng nhau. 386 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN t Câu 56. Đường tròn đi qua ba điểm A (1; 3), B(5; 6) và C (7; 0) có tâm I (a; b) và bán kính R . Tính S = a + b + 2R 2 . A. S = 32. B. S = 16. C. S = 24. D. S = 36. t Câu 57. Đường tròn đi qua điểm A (−1; −2) và tiếp xúc với đường thẳng (d ) : 7 x − y − 5 = 0 tại điểm M (1; 2) có phương trình là B. ( x − 6)2 + ( y − 3)2 = 50. A. ( x + 6)2 + ( y − 3)2 = 50. 2 2 D. ( x + 3)2 + ( y + 6)2 = 25. C. ( x + 3) + ( y − 6) = 25. t Câu 58. Đường tròn đi qua 2 điểm A (3; 1), B (5; 5) và có tâm nằm trên trục hoành có phương trình là A. x2 + y2 − 20 x + 50 = 0. B. x2 + y2 − 20 x − 50 = 0. 2 2 C. x + y − 24 x − 24 = 0. D. x2 + y2 − 24 x + 24 = 0. t Câu 59. Cho (d ) là đường thẳng đi qua hai điểm A (0; −5) và B(3; 1) và đường tròn (C ) : x2 + y2 − 20 x + 50 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của ( d ) và (C ). A. M (1; 3). B. Không có giao điểm. C. M (3; 1) và N (5; 5). D. M (−3; 1) và N (3; 5). 387 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP BÀI 3. A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH ELIP Cho hai điểm cố định F1 ; F2 với F1 F2 = 2 c và một độ dài không đổi 2a (0 < c < a). Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a. Khi đó ta gọi: F1 và F2 là tiêu điểm. F1 F2 = 2 c là tiêu cự. F1 M ; F2 M là bán kính qua tiêu. 2 PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Trong mặt phẳng tọa độ Ox y với F1 (− c; 0), F2 ( c; 0): M ( x; y) ∈ E ⇔ x2 y2 + = 1 (1) a2 b 2 Trong đó b2 = a2 − c2 và a > b > 0. Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Elip. 3 HÌNH DẠNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA ELIP Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (− c; 0), tiêu điểm phải F2 ( c; 0). Các đỉnh A 1 (−a; 0) ,A 2 (a; 0) ,B1 (0; −b) ,B2 (0; b). Trục lớn A 1 A 2 = 2a nằm trên trục Ox, trục nhỏ B1 B2 = 2b nằm trên trục O y. Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật tạo bởi đường thẳng x = ±a và y = ±b. Từ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b. c Tâm sai e = < 1. a 4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ELIP Cho đường thẳng d : Ax + B y + C = 0 A 2 + B2 6= 0 và (E ) : ¡ ¢ x2 y2 + = 1 (a > b > 0). a2 b 2    Ax + B y + C = 0 Xét hệ phương trình: x2 y2 ( I ).   + = 1 a2 b 2 Số nghiệm của hệ ( I ) bằng số giao điểm của đường thẳng d và elip (E ). Nếu hệ ( I ) vô nghiệm thì d ∩ E = ∅. Nếu hệ ( I ) có nghiệm duy nhất thì d ∩ E = { M ( xM ; yM )}. 388 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP Nếu hệ ( I ) có hai nghiệm phân biệt thì d ∩ E = { M ( x M ; yM ) ; N ( x N ; yN )}. 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ELIP Cho đường tròn (C ) : ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 (R > 0) và (E ) : x 2 y2 + = 1 (a > b > 0). a2 b 2  2 2 2   ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R Xét hệ phương trình: x2 y2 ( I I ).   + = 1 a2 b 2 Số nghiệm của hệ ( I I ) bằng số giao điểm của đường tròn (C ) và elip (E ). Hệ ( I I ) có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm hoặc 4 nghiệm. Khi đó đường tròn (C ) và elip (E ) có thể có 0 điểm chung, 1 điểm chung, 2 điểm chung, 3 điểm chung hoặc 4 điểm chung theo thứ tự đó. 6 CÁC DẠNG TOÁN { Dạng 1. Xác định một số tính chất của elip khi biết phương trình elip Phương pháp: Sử dụng các công thức của Elip. u Ví dụ 1. Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình sau (E ) : x2 y2 + = 1. 4 1 Lời giải: p p Từ phương trình của (E ) ta có a = 2,b = 1 ⇒ c = a2 − b2 = 3. −2; 0)¢ , A 2¡p Suy ra tọa độ các đỉnh là A¡ 1 (p (2; 0), ¢B1 (0; −1), B2 (0; 1). Tọa độ các tiêu điểm là F1 − 3; 0 , F2 3; 0 . p Độ dài trục lớn A 1 A 2 = 4, độ p dài trục nhỏ B1 B2 = 2, tiêu cự F1 F2 = 2 c = 2 3. Tâm sai của (E ) là e = c 3 = . a 2 u Ví dụ 2. Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình sau E : 4 x2 + 25 y2 = 100. Lời giải: p p x2 y2 + = 1 suy ra a = 5; b = 2 ⇒ c = a2 − b2 = 21. 25 4 Suy ra tọa độ các đỉnh là A¡ 1 (p −5; 0) ¢; A 2 (5; ¡p0) ; B1¢(0; −2) ; B2 (0; 2). Tọa độ các tiêu điểm là F1 − 21; 0 ; F2 21; 0 . p Độ dài trục lớn A 1 A 2 = 10, p độ dài trục nhỏ B1 B2 = 4, tiêu cự F1 F2 = 2 c = 2 21. c 21 Tâm sai của (E ) là e = = . a 5 Ta có 4 x2 + 25 y2 = 100 ⇔ { Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết một số yếu tố liên quan Phương pháp: Dựa vào dữ kiện đề bài và các công thức của Elip u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, viết phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 8. 389 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP Lời giải: Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, gọi phương trình chính tắc của elip là x2 y2 + = 1 (a > b > 0). a2 b 2 Do độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 8 nên a = 5,b = 4 (thỏa mãn). Vậy phương trình chính tắc của elip là x2 y2 + = 1. 25 16 u Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, viết phương trình chính tắc của Elip biết độ dài trục bé là 6 và tiêu cự là 8. Lời giải: x2 y2 + = 1,(a > b > 0). a2 b 2 p Do độ dài trục bé là 6 và tiêu cự là 8 nên b = 3,c = 4 ⇒ a = b2 + c2 = 5 (thỏa mãn). x2 y2 + = 1. Vậy phương trình chính tắc của Elip là 25 9 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, gọi phương trình chính tắc của Elip là { Dạng 3. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Để xác định tọa độ điểm M thuộc Elip có phương trình chính tắc là (E ) : x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ta làm như sau a2 b 2 2 x2M yM Giả sử M ( x M ; yM ), điểm M ∈ E ⇔ 2 + 2 = 1 ta thu được phương trình thứ nhất. a b Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn x M ,yM ta tìm được tọa độ của điểm M x2 y2 + = 1 và đường thẳng 16 9 d : x − 2 y + 3 = 0. Gọi A , B là hai đỉnh của Elip (E ) với A thuộc tia Ox, B thuộc tia O y. Tìm 1 tọa độ điểm C trên d sao cho tam giác ABC có diện tích bằng . 2 Lời giải: ( 2 a = 16 ⇒ a = 4 ⇒ A (4; 0) x y Ta có ⇒ AB : + = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0 và AB = 5. 2 4 3 b = 9 ⇒ b = 3 ⇒ B (0; 3) |3 (2 c − 3) + 4 c − 12| |10 c − 21| Vì C ∈ d ⇒ C (2 c − 3; c) ⇒ CH = d (C,AB) = = . 5 5 |10 c − 21| |10 c − 21| 1 1 Ta có S∆ ABC = AB.CH = · 5 · = . 2 2 5 2  ” 11 10 c − 21 = 1 c= |10 c − 21| 1 1 5 . Mặt khác, theo giả thiết: S ABC = ⇔ = ⇔ ⇔ 2 2 2 10 c − 21 = −1 c=2 ¶ µ 7 11 Vậy có hai điểm thỏa mãn là C1 ; và C2 (1; 2). 5 5 u Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho Elip (E ) : B TỰ LUẬN t Câu 1. Cho elip (E ). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, với (E ) có phương trình: 390 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP x2 y2 + =1 9 4 x2 y2 2 + =1 16 9 1 x2 y2 + =1 25 9 x2 y2 4 + =1 4 1 5 6 7 8 3 16 x2 + 25 y2 = 400 x2 + 4 y2 = 1 4 x2 + 9 y2 = 5 9 x2 + 25 y2 = 1 t Câu 2. Lập phương trình chính tắc của (E ), biết: 1 Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. 2 Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. 3 Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục ¡pnhỏ bằng ¢ tiêu cự. 4 Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M 15; −1 . ¡ p ¢ 5 Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M −2 5; 2 . 6 Một tiêu điểm là F1 (−2; 0) và độ dài trục lớn bằng à p10.! ¡ p ¢ 3 7 Một tiêu điểm là F1 − 3; 0 và đi qua điểm M 1; . 2 Ãp ! 3 8 Đi qua hai điểm M (1; 0),N ;1 . 2 p ¢ ¡ p ¡ ¢ 9 Đi qua hai điểm M 4; − 3 ,N 2 2; 3 . t Câu 3. Lập phương trình chính tắc của (E ), biết: 1 Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 3 . 5 2 Một tiêu điểm là F1 (−8; 0) và tâm sai bằng 4 . 5 p 3 Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7 ± 16 = 0. 3 4 Một đỉnh là A 1 (−8; 0), tâm sai bằng . 4 µ ¶ 2 5 5 Đi qua điểm M 2; − và có tâm sai bằng . 3 3 391 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP C TRẮC NGHIỆM t Câu 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) có tiêu điểm F1 (−2; 0) và qua A 1 (−3; 0). A. (E ) : x2 y2 + = 1. 4 9 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 4 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 5 D. (E ) : x2 y2 + = 1. 5 4 t Câu 2. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) qua A 2 (3; 0) và B1 (0; −2). A. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 4 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 5 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 3 2 D. (E ) : x2 y2 + = 1. 5 4 t Câu 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) có độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục bé bằng 4. A. (E ) : x2 y2 + = 1. 8 4 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 8 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 4 D. (E ) : x2 y2 + = 1. 4 2 t Câu 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) có độ dài trục bé bằng 6 và tiêu cự bằng 8. A. (E ) : x2 y2 + = 1. 25 9 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 8 6 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 4 3 D. (E ) : x 2 y2 + = 1. 16 9 t Câu 5. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết hình chữ nhật cơ sở của elip (E ) có một đỉnh có tọa độ là (3; 2). 392 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP A. (E ) : x 2 y2 + = 1. 3 2 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 4 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 5 3 D. (E ) : x2 y2 + = 1. 25 9 t Câu 6. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) có tiêu điểm F1 (−2; 0) và đi qua điểm B2 (0; 2). x 2 y2 A. (E ) : + = 1. 4 4 x 2 y2 B. (E ) : + = 1. 4 8 x2 y2 C. (E ) : + = 1. 8 4 x2 y2 D. (E ) : + = 1. 4 2 t Câu 7. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) đi qua A (0; 3) và nhận F (4; 0) làm tiêu điểm. A. x2 y2 + = 1. 25 9 B. x2 y2 + = 1. 9 25 C. x2 y2 − = 1. 25 9 D. x2 y2 − = 1. 9 25 ¶ 1 t Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Biết (E ) cắt trục hoành tại A ; 0 , cắt 2 µ ¶ 1 trục tung tại điểm B 0; . Viết phương trình chính tắc của (E ). 3 x2 y2 x2 y2 A. 4 x2 + 9 y2 = 36. B. + = 1. C. + = 1. D. 4 x2 − 9 y2 = 36. 1 1 4 9 4 9 µ t Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Viết phương trình chính tắc của (E ) biết (E ) có độ dài trục lớn bằng 13 và tiêu cự bằng 5. 393 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP A. x2 y2 + = 1. 169 25 B. x2 y2 + = 1. 25 36 C. y2 x2 + = 1. 169 36 4 D. y2 x2 − = 1. 169 36 4 t Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Viết phương trình chính tắc của (E ) biết (E ) có độ dài trục lớn bằng 6, độ dài trục bé bằng 4. A. 9 x2 + 4 y2 = 36. B. x2 y2 + = 1. 9 4 C. x2 y2 + = 1. 4 9 D. x 2 y2 − = 1. 9 4 t Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Viết phương trình chính tắc của (E ) biết (E ) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 6. A. x2 y2 + = 1. 25 16 B. x2 y2 + = 1. 16 9 C. x 2 y2 + = 1. 5 4 D. 16 x2 + 25 y2 = 400. t Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Hình chữ nhật cơ sở của (E ) có độ dài hai cạnh là 8 và 6. Viết phương trình chính tắc của (E ). A. x2 y2 + = 1. 4 9 B. x 2 y2 + = 1. 4 3 C. x2 y2 + = 1. 16 9 D. x2 y2 − = 1. 16 9 t Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho elip (E ). Biết hình chữ nhật cơ sở của (E ) nhận A (3; 5) làm đỉnh. Viết phương trình chính tắc của (E ). A. x 2 y2 + = 1. 5 9 B. x 2 y2 + = 1. 5 3 C. 394 x2 y2 + = 1. 25 9 D. x2 y2 − = 1. 25 9 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP t Câu 14. Trong mặt phẳng tọapđộ Ox y cho elip (E ). Biết hình chữ nhật cơ sở của (E ) có diện p tích bằng 16 2 và chu vi bằng 4( 2 + 1). Viết phương trình chính tắc của (E ). A. x2 y2 + = 1. 8 4 B. x2 y2 + = 1. 8 16 C. x2 y2 + = 1. 16 8 D. x2 y2 + = 1. 4 8 t Câu 15.pTrong mặt phẳng tọa độ Ox p y cho elip (E ). Biết hình chữ nhật cơ sở của (E ) có chiều dài bằng 4 2 và (E ) có tiêu cự bằng 2 6. Viết phương trình chính tắc của (E ). A. x2 y2 + = 1. 8 24 B. x2 y2 + = 1. 24 8 C. x2 y2 + = 1. 8 2 D. x2 y2 + = 1. 8 6 t Câu 16. Cho phương trình elip (E ) : 4 x2 + 9 y2 = 36. Tính khoảng cách giữa hai tiêu điểm F1 ,F2 của elip (E ). p p p p 5 2 5 B. F1 F2 = 2 5. C. F1 F2 = . D. F1 F2 = . A. F1 F2 = 5. 3 3 t Câu 17. Cho elip (E ) và điểm M ∈ (E ) thỏa MF1 = 2, MF2 = 1. Tìm độ dài trục lớn A 1 A 2 của ( E ). A. A 1 A 2 = 3. B. A 1 A 2 = 4. C. A 1 A 2 = 5. D. A 1 A 2 = 6. 395 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP t Câu 18. Cho phương trình elip (E ) : lớn của elip (E ). A. e = 5. x2 y2 + = 1. Tìm e là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục 25 16 3 5 B. e = 4. 4 5 C. e = . D. e = . t Câu 19. Cho phương trình elip (E ) : x2 + 4 y2 = 1. Tìm phương trình đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở của elip (E ). A. x = ±1, y = ±2. 1 2 1 4 B. x = ±1, y = ± . C. x = ±1, y = ± . D. x = ±1, y = ±4. t Câu 20. Cho phương trình elip (E ) : 4 x2 + 5 y2 = 20. Tìm độ p dài trục lớn A 1 A 2 của elip p ( E ). A. A 1 A 2 = 4. B. A 1 A 2 = 1. C. A 1 A 2 = 5. D. A 1 A 2 = 2 5. t Câu 21. Cho phương trình elip (E ) : x2 + 4 y2 = 4. Tìm độ dài trục bé B1 B2 của elip (E ). A. B1 B2 = 1. B. B1 B2 = 2. C. B1 B2 = 3. D. B1 B2 = 4. 396 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP t Câu 22. Cho phương trình elip (E ) : 4 x2 + 16 y2 − 1 = 0. Tính độ dài l là đường chéo hình chữ nhật cơ sởpcủa elip (E ). p A. l = 3 . 2 1 4 B. l = . C. l = 5 . 2 1 2 D. l = . x2 y2 t Câu 23. Cho elip (E ): 2 + 2 = 1 (0 < b < a). Gọi 2 c là tiêu cự của (E ). Mệnh đề nào sau đây a b là mệnh đề đúng? A. c = a + b. B. c2 = a2 + b2 . C. b2 = a2 + c2 . D. a2 = b2 + c2 . x2 y2 + = 1. Các tiêu điểm của (E ) là 25 9 A. F1 (−5; 0) và F1 (5; 0). B. F1 (−4; 0) và F1 (4; 0). C. F1 (−3; 0) và F1 (3; 0). D. F1 (−8; 0) và F1 (8; 0). t Câu 24. Cho elip (E ): t Câu 25. Cho elip (E ): A. A 3 (−5; 0). x2 y2 + = 1. Điểm nào sau đây là một đỉnh của (E )? 25 9 B. A 1 (25; 9). C. A 2 (5; 3). D. A 4 (3; 0). x2 y2 t Câu 26. Cho elip (E ): + = 1. Độ dài trục nhỏ của (E ) là 64 36 A. 36. B. 18. C. 12. 397 D. 8. Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP t Câu 27. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) có độ dài trục lớn bằng 8 và đi ³ qua điểm M 3; A. (E ) : x2 + 16 1´ . 2 y2 7 4 = 1. B. (E ) : x2 y2 + 4 = 1. 16 7 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 7 D. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 4 p ´ 5 . t Câu 28. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) đi qua các điểm M (2; 1) và N 1; 2 ³ A. (E ) : x2 y2 + 4 = 1. 16 3 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 4 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 16 3 D. (E ) : x2 y2 + 3 = 1. 16 4 t ¡Câup29. ¢ Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) đi qua các điểm B1 (0; −3) và M −2; 6 . A. (E ) : x2 y2 + = 1. 9 9 B. (E ) : x2 y2 + = 1. 12 9 C. (E ) : x2 y2 + = 1. 144 9 x2 D. (E ) : p + 2 3 y2 = 1. 3 t Câu 30. Viết phương trình chính tắc của elip (E ) biết (E ) đi qua các điểm A 2 (5; 0) và M (3; −2). A. (E ) : x2 y2 + 5 = 1. 25 2 B. (E ) : x2 y2 + 25 = 1. 5 4 C. (E ) : 398 x 2 y2 = 1. + 25 25 4 D. (E ) : x 2 y2 + 5 = 1. 5 2 Sưu tầm và biên soạn 7GV: Doãn Thịnh 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP 399 Sưu tầm và biên soạn
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top