Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm chuyên đề khối đa diện – Huỳnh Đức Khánh

CHUÛ ÑEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN MUA TRỌN BỘ 12 (Bản mới 2017) File Word liên hệ: Tác giả: HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 Facebook: https://www.facebook.com/duckhanh0205 Baøi 01 KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN I – KHỐI LĂNG TRỤ V1 KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN V1 KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng. d Miền ngoài Điểm trong N Điểm ngoài M Ví dụ – Các hình dưới đây là những khối đa diện: – Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Hình a Hình b Hình c Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác. III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1. Phép dời hình trong không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ′ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho MM ′ = v . Kí hiệu là Tv . b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ( P ) thành điểm M ′ sao cho ( P ) là mặt phẳng trung trực của MM ′ . Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành chính nó thì ( P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của ( H ) . c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ′ sao cho O là trung điểm của MM ′ . Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của ( H ) . d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M ′ sao cho ∆ là đường trung trực của MM ′ . Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình ( H ) thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của ( H ) . Nhận xét Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ′) , biến đỉnh, cạnh, mặt của ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của ( H ′) . Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD. A ′B ′C ′D ′ . Khi đó: Các hình chóp A. A ′B ′C ′D ′ và C ′. ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A. A ′B ′C ′D ′ biến thành hình chóp C ′. ABCD ). Các hình lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ và AA ′D ′.BB ′C ′ bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng ( AB ′C ′D ) thì hình lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ biến thành hình lăng trụ AA ′D ′.BB ′C ′ ). A D C B A D C B O A’ B’ A’ D’ C’ B’ D’ C’ 2. Hai hình bằng nhau Hai hình được gọi là nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia. IV – PHÂN CHIA V1 LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) . Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) để được khối đa diện ( H ) . Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác S . ABCD , xét hai khối chóp tam giác S . ABC và S . ACD . Ta thấy rằng: Hai khối chóp S . ABC và S . ACD không có điểm trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại). Hợp của hai khối chóp S . ABC và S . ACD chính là khối chóp S . ABCD. S D A B C Vậy khối chóp S . ABCD được phân chia thành hai khối chóp S . ABC và S . ACD hay hai khối chóp S . ABC và S . ACD được ghép lại thành khối chóp S . ABCD. Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ bởi mặt phẳng ( A ′BC ) . Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành A’ B’ C’ hai khối đa diện A ′ABC và A ′BCC ′B ′ . Nếu ta cắt khối chóp A ′BCC ′B ′ bởi mặt phẳng ( A ′B ′C ) thì ta chia khối chóp A ′BCC ′B ′ thành hai khối chóp A ′BCB ′ và A ′CC ′B ′ . Vậy khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ được chia thành ba khối tứ diện là A ′ABC , A ′BCB ′ và A ′CC ′B ′ . A B C MỘT SỐ KẾT QUẢN QUAN TRỌNG Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt. Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh. Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh. Kết quả 6: Cho ( H ) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của ( H ) là lẻ thì p phải là số chẵn. Chứng minh: Gọi M là số các mặt của khối đa diện ( H ) . Vì mỗi mặt của ( H ) có p cạnh nên M mặt sẽ có p.M cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai pM . Vì M lẻ nên p phải là số chẵn. 2 Kết quả 7 (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho ( H ) là đa diện có M mặt, mà đa giác nên số cạnh của ( H ) bằng C = pM . 2 Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của ( H ) là C = Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M . Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh 3 M C ∈ℤ  → M chẵn. của đa diện là C = 2 Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn). CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 1. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Chọn A. Câu 2. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Chọn D. Câu 3. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4. Chọn C. Câu 4. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Lời giải. Chọn C. Vì hình C vi phạm tính chất ” Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác ” . Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 6. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Chọn C. Câu 6. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Chọn B. Câu 7. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 11. B. 12. C. 13. D. 14. Lời giải. Chọn B. Câu 8. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất? A. Khối tứ diện B. Khối chóp tứ C. Khối đều. giác. phương. Lời giải. Chọn A. Câu 9. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. lập D. Khối 12 mặt đều. D. 16. Lời giải. Chọn D. Câu 10. Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Lời giải. Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện. Chọn C. Câu 11. Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đ > 4, M > 4, C > 6. B. Đ > 5, M > 5, C > 7. C. Đ ≥ 4, M ≥ 4, C ≥ 6. D. Đ ≥ 5, M ≥ 5, C ≥ 7. Lời giải. Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thỏa mãn đáp án C. Chọn C. Câu 12. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn A. 3C = 2 M . B. C = M + 2 . C. M ≥ C . D. 3 M = 2C . Lời giải. Tổng số cạnh của hình đa diện là 2C . Tổng số mặt của hình đa diện là M và mỗi mặt đều là tam giác nên có tổng số cạnh 3 M . Vậy ta có 3 M = 2C . Chọn D. Câu 13. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. Lời giải. Chọn A. B. Bát diện đều. C. Hình lập phương. D. Lăng trụ lục giác đều. Câu 14. Gọi n1 , n2 , n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. n1 = 0, n2 = 0, n3 = 6. B. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 9. C. n1 = 3, n2 = 1, n3 = 9. D. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 3. Lời giải. Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện). Chọn C. Câu 15. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải. Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm: 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy. 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy. Chọn A. Câu 16. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là: A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 8 mặt phẳng. D. 10 mặt phẳng. Lời giải. Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng. Chọn B. Câu 17. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải. Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới). Chọn A. Câu 18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải. Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. Chọn D. Câu 19. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải. Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm: 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy. Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên. Chọn D. Câu 20. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 10 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng. Lời giải. Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau). Chọn B. Câu 21. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là: A. 4 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng. Lời giải. Gọi bát diện đều ABCDEF . Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng ( ABCD ) , E D ( BEDF ) , ( AECF ) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD ). C A B Chọn B. F Câu 22. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện? A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. Lời giải. Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là: Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh) Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại. Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 4 cạnh ( 4 cạnh này thuộc 2 cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có 3 mặt phẳng như thế. Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại. Chọn C. Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Mặt phẳng ( AB ′C ′) chia khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ thành các khối đa diện nào ? A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tam giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng ( AB ′C ′) chia khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ thành A khối chóp tam giác A. A ′B ′C ′ và khối chóp tứ giác A.BCC ′B ′. Chọn A. C B C’ A’ B’ Câu 24. Lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ), ( H 2 ) để tạo thành khối đa diện ( H ) , trong đó ( H1 ) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , ( H 2 ) là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của ( H1 ) trùng với một mặt của ( H 2 ) như hình vẽ. Hỏi khối da diện ( H ) có tất cả bao nhiêu mặt? A. 5. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải. Khối đa diện ( H ) có đúng 5 mặt. Chọn A. Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt. Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện ( H ) có 8 mặt. Câu 25. Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải. Lần lượt dùng mặt phẳng ( BDD ′B ′) ta D’ C’ chia thành hai khối lập phương thành hai khối B’ A’ lăng trụ ABD. A ′B ′D ′ và BCD.B ′C ′D ′ . Với khối ABD. A ′B ′D ′ ta lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB ′D ′) và ( AB ′D ) chia thành ba khối tứ C D diện bằng nhau. Tương tự với khối BCD.B ′C ′D ′ . A B Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau. Chọn C. Baøi 02 KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện ( H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn thuộc ( H ) . Khi đó đa diện giới hạn ( H ) được gọi là đa diện lồi. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: Các mặt là những đa giác đều n cạnh. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p } . Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại {3;3} : khối tứ diện đều. Loại {4;3} : khối lập phương. Loại {3;4} : khối bát diện đều. Loại {5;3} : khối 12 mặt đều. Loại {3;5} : khối 20 mặt đều. Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Khối đa diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện đều 4 6 4 {3;3} Khối lập phương 8 12 6 {4;3} Bát diện đều 6 12 8 {3;4} Mười hai mặt đều 20 30 12 {5;3} Hai mươi mặt đều 12 30 20 {3;5} Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p } . Ta có p Đ = 2C = nM n = 3, p = 3 pĐ=2C =nM nM nM Xét tứ diện đều {3;3} →   →C = =6 & Đ= = 4.  2 p  M = 4 n = 4, p = 3 pĐ=2C =nM nM nM Xét khối lập phương {4;3} →   →C = = 12 & Đ = = 8.   M = 6 2 p n = 3, p = 4 pĐ=2C =nM nM nM Xét bát diện đều {3;4 } ↔   →C = = 12 & Đ = = 6.   M = 8 2 p Xét khối mười hai mặt đều n = 5, p = 3 pĐ= 2C =nM nM nM  →C = = 30 & Đ = = 20. {5;3} →   M = 12 2 p Xét khối hai mươi mặt đều n = 3, p = 5 pĐ=2C =nM nM nM  →C = = 30 & Đ = = 12.  M = 20 2 p {3;5} →  CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 1. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Áp dụng các tính chất của khối đa diện lồi ( H ) : ” Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn thuộc ( H ) ” . Chọn B. Câu 2. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải. Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4. Chọn B. Câu 3. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây? A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. C. Lục bát đều. D. Ngũ giác đều. Lời giải. Chọn A. Câu 4. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương. B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương. D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều. Lời giải. Chọn B. Câu 5. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. các đỉnh của một hình bát diện đều. C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. Lời giải. Chọn B. Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều. B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều. C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều. D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều. Lời giải. Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác. Chọn D. Câu 7. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4. B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng. D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh. Lời giải. Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Chọn B. Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai. Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai. Câu 8. Các khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn: A. Đ = C − 2 . B. Đ ≥ C . C. 3Đ = 2C . D. 3C = 2 Đ . Lời giải. Tổng số cạnh của hình đa diện là 2C . Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra các cạnh của hình đa diện là 3Đ. Vậy ta có 3Đ = 2C . Chọn C. Câu 9. Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4;3} là: A. 4π . B. 8π . C. 12π . D. 10π . Lời giải. Khối đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng 6.2π = 12 π. Chọn C. Câu 10. Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} là: A. 12π . B. 16π . C. 20π . D. 24π . Lời giải. Khối đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng 20.π = 20π. Chọn C. Câu 11. Tổng độ dài ℓ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a . A. ℓ = 4a . B. ℓ = 6a . C. ℓ = 6 . D. ℓ = 4 . Lời giải. Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6a . Chọn B. Câu 12. Tổng độ dài ℓ của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2. A. ℓ = 8. B. ℓ = 16. C. ℓ = 24. D. ℓ = 60. Lời giải. Khối mười hai mặt đều có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng ℓ = 30.2 = 60 . Chọn B. Câu 13. Cho hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 4 a 2 . B. S = 6 a 2 . C. S = 8 a 2 . D. S = 10 a 2 . Lời giải. Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a . Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S = 6 a 2 . Chọn B. Câu 14. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 4 3 a 2 . B. S = 3 a 2 . C. S = 2 3 a 2 . D. S = 8a 2 . Lời giải. Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S 0 là diện tích tam giác đều cạnh a  → S0 = a2 3 . 4 a2 3 = 2 3 a 2 . Chọn C. 4 Câu 15. Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 10 3. B. S = 20 3. C. S = 20. D. S = 10. Vậy diện tích S cần tính là S = 8.S0 = 8. Lời giải. Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S 0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 2  → S0 = 2 2. 3 = 3. 4 Vậy diện tích S cần tính là S = 20.S0 = 20 3 . Chọn B. Baøi 03 KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành. 1. Hình lăng trụ đứng Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. 2. Hình lăng trụ đều Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. 1. Hình hộp đứng Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật. 2. Hình hộp chữ nhật Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. 3. Hình lập phương Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông. Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh. I – THEÅ TÍCH 1. Công thức tính thể tích khối chóp 1 V = S .h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. 2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ ● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. ● Thể tích khối lập phương: V = a3 Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương. III – TÆ SỐ THEÅ TÍCH Cho khối chóp S . ABC và A ‘ , B ‘ , C ‘ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có S VS . A ‘ B ‘C ‘ SA ‘ SB ‘ SC ‘ = . . . VS . ABC SA SB SC Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau B’ A’ C’ A • Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh. B C • Đáy hai khối chóp phải là tam giác. • Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng. CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = a3 2 . 6 B. V = a3 2 . 4 C. V = a 3 2. Lời giải. Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . D. V = a3 2 . 3 S Chiều cao khối chóp là SA = a 2. 1 a3 2 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = . 3 3 A D C B Chọn D. Câu 2. Cho hình chóp S . ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S , SB = 2 a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = 2 a 3 . B. V = 4 a 3 . C. V = 6 a 3 D. V = 12a 3 . Lời giải. Ta chọn (SBC ) làm mặt đáy  → chiều cao khối chóp là d  A, (SBC ) = 3a. 1 Tam giác SBC vuông cân tại S nên S∆SBC = SB 2 = 2a 2 . 2 1 Vậy thể tích khối chóp V = S∆SBC .d  A, (SBC ) = 2a 3 . Chọn A. 3 Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = 40. B. V = 192. C. V = 32. D. V = 24. Lời giải. Tam giác ABC , có AB + AC = 6 + 8 = 10 = BC 1  → tam giác ABC vuông tại A  → S∆ABC = AB. AC = 24. 2 1 Vậy thể tích khối chóp VS . ABC = S∆ABC .SA = 32. Chọn C. 3 2 2 2 2 2 2 S B A C Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a , BC = 2a . Hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , cạnh SA = a 15 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = 2a 3 15 2a 3 15 . B. V = . 6 3 C. V = 2 a 3 15 . D. V = Lời giải. Vì hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông a 3 15 . 3 S góc với ( ABCD ) , suy ra SA ⊥ ( ABCD ) . Do đó chiều cao khối chóp là SA = a 15 . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.BC = 2a 2 . Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD 1 2 a 3 15 = S ABCD .SA = . 3 3 Chọn B. A D C B Câu 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD ) và SC = a 5 . Tính theo a thể tích V khối chóp S . ABCD. A. V = a3 3 . 3 B. V = a3 3 . 6 C. V = a 3 3 . Lời giải. Đường chéo hình vuông AC = a 2. D. V = a 3 15 . 3 S Xét tam giác SAC , ta có SA = SC 2 − AC 2 = a 3 . Chiều cao khối chóp là SA = a 3 . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . Vậy thể tích khối chop VS . ABCD A D 1 a3 3 = S ABCD .SA = . 3 3 C B Chọn A. Câu 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a 3 . B. V = a3 3 . 2 C. V = a3 . 3 D. V = 2a 3 . 3 Lời giải. Diện tích tam giác vuông S∆ABC = 1 a2 BA.BC = . 2 2 S Chiều cao khối chóp là SA = 2a . 1 a3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABC = S ABC .SA = . 3 3 C A Chọn C. B Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD . A. V = 1 . B. V = 3 . 2 C. V = 1 . 3 D. V = 2 . Lời giải. Diện tích hình thang ABCD là  AD + BC  3 S ABCD =  .AB = .   2 2 S A Chiều cao khối chóp là SA = 2 . 1 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = 1. Chọn A. 3 B D C Câu 8. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a , BC = a 3 . Mặt bên (SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 6 . 12 B. V = a3 6 . 4 C. V = 2a 3 6 . 12 D. V = a3 6 . 6 Lời giải. Gọi H là trung điểm của AB , suy ra SH ⊥ AB . Do (SAB ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ ( ABC ) . Tam giác SAB là đều cạnh AB = a nên SH = S a 3 . 2 Tam giác vuông ABC , có AC = BC 2 − AB 2 = a 2 . Diện tích tam giác vuông S∆ABC = 1 a2 2 AB. AC = . 2 2 1 a3 6 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SH = . Chọn A. 3 12 B C H A Câu 9. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a 3 15 . 12 B. V = a 3 15 . 6 C. V = 2 a 3 . D. V = 2a 3 . 3 Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB . Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ⊥ AB . Do (SAB ) ⊥ ( ABCD ) theo giao tuyến AB nên SI ⊥ ( ABCD ) . Tam giác vuông SIA , có S 2  AB  a 15 SI = SA 2 − IA 2 = SA 2 −  = .  2  2 A Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . D I 3 1 a 15 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SI = . Chọn B. 3 6 C B Câu 10. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = 13 a 3 . 12 11 a 3 . 12 B. V = 11 a 3 . 6 C. V = D. V = 11 a 3 . 4 Lời giải. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S . ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ⊥ ( ABC ). Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AI = S 2 a 3 . AM = 3 3 Tam giác SAI vuông tại I , có 2  a 3  a 33 . SI = SA − SI = (2 a ) −   = 3  3  2 2 2 Diện tích tam giác ABC là S∆ABC A C I M a2 3 = . 4 B 1 11 a 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S∆ABC .SI = . Chọn B. 3 12 Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 21 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . 6 A. V = a3 3 . 8 B. V = a3 3 . 12 C. V = a3 3 . 24 D. V = a3 3 . 6 Lời giải. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S . ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ⊥ ( ABC ). Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AI = S 2 a 3 AM = . 3 3 Tam giác SAI vuông tại I , có 2 2 SI = SA − AI 2 2  a 21   a 3  a      6  −  3  = 2 .     Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = A a2 3 . 4 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABC = S∆ABC .SI = Chọn C. 3 24 C I M B Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a 3 . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. A. h = a 3 . 6 B. h = a 3 . 2 C. h = a 3 . 3 D. h = a 3. Lời giải. Xét hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a ⇒ S∆ABC = a 2 3 . 3.VS . ABC 1 3a 3 Thể tích khối chóp VS . ABC = S∆ABC .h  →h = = 2 = a 3. Chọn D. 3 S∆ABC a 3 Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 6 . 12 B. V = a3 6 . 4 C. V = 2a 3 6 . 12 D. V = a3 6 . 6 Lời giải. Gọi M là trung điểm AC . Theo giả thiết, ta có SM ⊥ ( ABC ) ⇒ SM ⊥ AC . Tam giác vuông ABC , có AC = AB 2 = a 2. Tam giác vuông SMA , có S 2  AC  a 6 SM = SA 2 − AM 2 = SA 2 −  = .  2  2 Diện tích tam giác vuông cân ABC là S∆ABC = a2 . 2 M A 1 a3 6 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SM = . Chọn A. 3 12 C B Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc ABC = 60°. Cạnh bên SD = 2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD = 3HB. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 5 . 24 B. V = 15 . 24 15 . 8 C. V = D. V = Lời giải. Vì ABC = 60° nên tam giác ABC đều. Suy ra 3 3 3 3 BO = ; BD = 2 BO = 3; HD = BD = . 2 4 4 S 5 . 4 3 = . 2 Tam giác vuông SHD , có SH = SD 2 − HD 2 = Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD = 2S∆ABC 15 . 12 A H B D O C 1 15 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn B. 3 24 Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa AH = 2 BH . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 2 . 6 B. V = a3 2 . 3 C. V = a3 3 . 9 D. V = a3 2 . 9 Lời giải. Trong tam giác vuông SAB , ta có 2 2 SA 2 = AH . AB = AB. AB = a 2 ; 3 3 S a 2 . 3 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . SH = SA 2 − AH 2 = D A H 1 a3 2 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn D. 3 9 C B Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SBD = 60 0 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a 3 . B. V = a3 3 . 2 C. V = a3 . 3 D. V = Lời giải. Ta có ∆SAB = ∆SAD  → SB = SD. 2a 3 . 3 S Hơn nữa, theo giả thiết SBD = 60 . 0 Do đó ∆SBD đều cạnh SB = SD = BD = a 2 . Tam giác vuông SAB , ta có SA = SB 2 − AB 2 = a . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . A 1 a3 (đvtt). Chọn C. Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = 3 3 B D C Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2 a , AB = SA = a . Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABC ) . Tính theo a thể tích V của khối chóp S .ABC . A. V = a3 . 4 B. V = 3a 3 . 4 C. V = a 3 . D. V = 2a 3 . 3 Lời giải. Kẻ SH ⊥ AC . Do (SAC ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến AC nên SH ⊥ ( ABC ) . Trong tam giác vuông SAC , ta có S SA.SC a 3 SC = AC 2 − SA 2 = a 3 , SH = = . AC 2 Tam giác vuông ABC , có BC = AC 2 − AB 2 = a 3 . Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = 1 a2 3 AB.BC = . 2 2 1 a3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SH = . Chọn A. 3 4 H A C B Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy; diện tích tam giác SBC bằng a2 2 (đvdt). Tính theo a thể tích V 2 của khối chóp S . ABCD . A. V = a 3 . B. V = a3 3 . 2 C. V = a3 . 3 D. V = Lời giải. Ta có BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông). (1) Lại có BC ⊥ SA (do SA vuông góc với đáy ( ABCD ) ). (2 ) 2a 3 . 3 Từ (1) và (2 ) , suy ra BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ SB . Do đó tam giác SBC vuông tại B . Đặt cạnh hình vuông là x > 0 . Tam giác SAB vuông tại A nên S SB = SA 2 + AB 2 = a 2 + x 2 . Theo chứng minh trên, ta có tam giác SBC vuông tại B nên a2 2 1 1 2 = S∆ABC = SB.BC = a + x 2 .a  → x = a. 2 2 2 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . A 1 a3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = . Chọn C. 3 3 D C B Câu 19. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền AB bằng 3 . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của 14 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . 2 3 1 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 1 . 2 4 4 Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , AC . Suy ra G = CM ∩ BN là trọng tam giác ABC và SB = tâm tam giác ABC . Theo giả thiết, ta có SG ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABC vuông cân tại C , suy ra CA = CB = Ta có CM = AB 2 = 3 2 và CM ⊥ AB . 1 3 1 1 AB = , suy ra GM = CM = ; 2 2 3 2 10 ; SG = SB 2 + GB 2 = 1. 2 1 9 Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = CA.CB = . 2 4 1 3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SG = . Chọn C. 3 4 S BG = BM 2 + GM 2 = M A B G N C Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 6 . 6 B. V = a3 6 . 2 C. V = a3 6 . 3 D. V = a3 . 3 Lời giải. Gọi O = AC ∩ BD. Do S . ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD ) . Suy ra OB là hình chiếu của SB trên ( ABCD ) . S Khi đó 60 =SB, ( ABCD ) = SB, OB = SBO . 0 a 6 . 2 = AB 2 = a 2 . Tam giác vuông SOB , có SO = OB.tan SBO = Diện tích hình vuông ABC là S ABCD 1 a3 6 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SO = . Chọn A. 3 6 A B O D C Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AC = 5a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 6 2a 3 . B. V = 4 2a 3 . C. V = 2 2a 3 . D. V = 2 a 3 . Lời giải. Trong tam giác vuông ABC , ta có BC = AC 2 − AB 2 = 2 6a . Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của S SB trên mặt phẳng ( ABCD ) là AB . Do đó 60 0 = SB, ( ABCD ) = SB, AB = SBA . Tam giác vuông SAB , có SA = AB.tan SBA = a 3 . A D Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = 2 6a 2 . 1 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = 2 2a 3 . Chọn C. 3 C B Câu 22. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . a3 3a 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . 4 4 2 Lời giải. Do SA ⊥ ( ABCD ) nên ta có D. V = a 3 . S 60 0 = SB, ( ABC ) = SB, AB = SBA. Tam giác vuông SAB , có SA = AB. tan SBA = a 3. Diện tích tam giác đều SAB là S∆ABC = a2 3 . 4 B A 1 a3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SA = . Chọn A. 3 4 C Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD = 120 0 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD ) và SD tạo với đáy ( ABCD ) một góc 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . a3 3a 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . 4 4 2 D. V = a 3 . Lời giải. Do SA ⊥ ( ABCD ) nên ta có 60 0 = SD, ( ABCD ) = SD, AD = SDA. Tam giác vuông SAD , có SA = AD.tan SDA = a 3. Diện tích hình thoi a2 3 S ABCD = 2S∆BAD = AB. AD.sin BAD = . 2 1 a3 Vậy thể tích khối chop VS . ABCD = S ABCD .SA = . 3 2 S A D B C Chọn C. Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của cạnh AB , góc giữa SC và mặt đáy bằng 30 0 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 15 . 6 B. V = 15 . 18 C. V = 1 . 3 D. V = 5 . 6 Lời giải. Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy ( ABCD ) là HC . Do đó 300 = SC ,( ABCD ) = SC , HC = SCH . 5 . 2 15 Tam giác vuông SHC , có SH = HC .tan SCH = . 6 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = 1 . S Tam giác vuông BCH , có HC = BC 2 + BH 2 = Vậy VS . ABCD D A H 1 15 = S ABCD .SH = . Chọn B. 3 18 B C Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2a, BC = a . Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60o. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 3a 3 a3 . B. V = . C. V = . D. V = a 3 . 4 4 2 Lời giải. Gọi O là trung điểm AC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Theo giả thiết đỉnh S cách đều các điểm A, B, C nên hình chiếu của S xuống A. V = đáy là điểm O  → SO ⊥ ( ABCD )  → hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy S ( ABCD ) là OB . Do đó 60 0 = SB,( ABCD ) = SB,OB = SBO . Tam giác vuông SOB , có SO = OB.tan SBO = a 3 . Tam giác vuông ABC , có AB = AC 2 − BC 2 = a 3 . C D Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = a 2 3. O 1 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SO = a 3 . Chọn D. 3 B A Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = AC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ) . Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 0. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 6 . 4 B. V = a3 6 . 6 C. V = a3 . 2 D. V = a3 6 . 12 Lời giải. Vì SA ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ( ABC ) là AI . Do đó 60o = SI , ( ABC ) = SI , AI = SIA . Tam giác ABC vuông tại A , suy ra trung tuyến AI = 1 a 2 BC = . 2 2 S a 6 . 2 1 a2 = AB. AC = . 2 2 Tam giác vuông SAI , có SA = AI . tan SIA = Diện tích tam giác vuông S∆ABC Vậy VS . ABC A 1 a3 6 = SA.S∆ABC = . Chọn D. 3 12 C I B Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 3 . 8 B. V = 3a 3 3 . 8 C. V = a3 3 . 4 D. V = a3 3 . 3 Lời giải. Vì SH ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy ( ABC ) là HA . Do đó 60 0 = SA, ( ABC ) = SA, HA = SAH . Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = S a 3 . 2 Tam giác vuông SHA , có SH = AH . tan SAH = Diện tích tam giác đều ABC là S∆ABC = 3a . 2 a2 3 . 4 C B H 1 a3 3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SH = . Chọn A. 3 8 A Câu 28. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ; đỉnh S cách đều các điểm A, B, C . Biết AC = 2a, BC = a ; góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy ( ABC ) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S .ABC . A. V = a3 6 . 4 B. V = a3 6 . 6 C. V = a3 . 2 D. V = a3 6 . 12 Lời giải. Gọi H là trung điểm AC . Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C nên hình chiếu của S trên mặt đáy ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy ra SH ⊥ ( ABC ) . Do đó 60 0 = SB, ( ABC ) = SB, BH = SBH . Tam giác vuông SHB , có SH = BH .tan SBH = S AC .tan SBH = a 3. 2 Tam giác vuông ABC , có AB = AC 2 − BC 2 = a 3. Diện tích tam giác vuông S∆ABC = 1 a2 3 BA.BC = . 2 2 C A H 1 a3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SH = . Chọn C. 3 2 B Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD = 1 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ( ABCD ) là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD . A. V = 3 . 24 B. V = 3 . 8 C. V = 1 . 8 D. V = 3 . 12 Lời giải. Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ( ABCD ) là HD . Do đó 60 0 = SD, ( ABCD ) = SD, HD = SDH . Tam giác vuông SHD , có S BD SH = HD.tan SDH = .tan SDH = 4 BD Trong hình vuông ABCD , có AB = = 2 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD 3 . 4 1 2 . A 1 = AB = . 2 2 H 1 3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn A. 3 24 B O C D Câu 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng ( ABCD ) góc 30 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = a3 3 . 3 B. V = a3 . 3 C. V = a3 3 . 9 D. V = 2a 3 3 . 9 Lời giải. Gọi O = AC ∩ BD ; M là trung điểm AB . Suy ra H = BO ∩ CM . Theo giả thiết SH ⊥ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ( ABCD ) là HD . Do đó 30 0 = SD, ( ABCD ) = SD, HD = SDH . Tam giác ABC và ADC đều cạnh a , suy ra  OD = a 3  2a 3 2 ⇒ HD = OD + OH = .   3 1 a 3 OH = BO = S  3 6 2a Tam giác vuông SHD , có SH = HD.tan SDH = . 3 Diện tích hình thoi S ABCD = 2S∆ABC = 2. Vậy VS . ABCD a2 3 a2 3 = . 4 2 1 a3 3 = S ABCD .SH = . Chọn C. 3 9 D A M H B O C Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC ; AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD = 60 0. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SD tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 450 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 3 . 6 B. V = a3 3 . 2 C. V = 3a 3 3 . 2 D. V = a 3 3 . Lời giải. Ta có 450 = SD, ( ABCD ) = SD, AD = SDA . Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD = 2a . Trong hình thang ABCD , kẻ BH ⊥ AD ( H ∈ AD ) . S AD − BC a = . 2 2 a 3 Tam giác AHB , có BH = AB 2 − AH 2 = . 2 1 3a 2 3 Diện tích S ABCD = ( AD + BC ) BH = . 2 4 1 a3 3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = . Chọn B. 3 2 Do ABCD là hình thang cân nên AH = H A D B C Câu 32. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD . Biết rằng SA = 2a 3 và SC tạo với đáy một góc bằng 30 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 8 6a 3 . 9 B. V = 8 2a 3 . C. V = 8 6a 3 . D. V = 8 6a 3 . 3 Lời giải. Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy là HC nên 30 0 = SC , ( ABCD ) = SC , HC = SCH . S Tam giác vuông SAD , có SA = AH . AD 3 3 ⇔ 12a 2 = AD. AD = AD 2 . 4 4 Suy ra AD = 4 a , HA = 3a , HD = a , SH = HA.HD = a 3, 2 HC = SH .cot SCH = 3a, CD = HC 2 − HD 2 = 2a 2. H D Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AD.CD = 8 2a 2 . A 1 8 6a 3 Vậy thể tích khối chop VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn D. 3 3 C B Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AB = a . Gọi N là trung điểm SD , đường thẳng AN hợp với đáy ( ABCD ) một góc 30 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S .ABCD . a3 3 . 6 1 Lời giải. Tam giác SAD vuông tại A , có AN là trung tuyến nên AN = SD . 2 Gọi M là trung điểm AD , suy ra MN SA nên MN ⊥ ( ABCD ) . A. V = a3 3 . 9 B. V = a3 3 . 3 C. V = a 3 3 . D. V = Do đó 30 0 = AN , ( ABCD ) = AN , AM = NAM . SD 3 . 4 2  SD 3   . Tam giác SAD , có SD 2 = SA 2 + AD 2 ⇔ SD 2 = a 2 +   2  Tam giác vuông NMA , có AM = AN .cos NAM = S N Suy ra SD = 2a nên AD = a 3 . Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB. AD = a 2 3 . Vậy VS . ABCD M A D 1 a3 3 . Chọn B. = S ABCD .SH = 3 3 B C Câu 34. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB ) một góc bằng 30 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 6a 3 . 18 B. V = 3a 3 . C. V = 6a 3 . 3 Lời giải. ABCD là hình vuông suy ra AB ⊥ AD . (1) Vì SA ⊥ ( ABCD )  → SA ⊥ AD. 3a 3 . 3 D. V = S (2 ) Từ (1) và (2 ) , suy ra AD ⊥ (SAB ) . Khi đó SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAB ) . A Do đó 30 0 = SD ;(SAB ) = (SD; SA ) = DSA. Tam giác SAD vuông tại A , có SA = Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD AD tan DSA D = a 3. B 1 a3 3 . Chọn D. = S ABCD .SA = 3 3 C Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC ) một góc 60 0 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 1 6 . B. V = 6 . C. V = 6 . 3 D. V = 3 . Lời giải. Kẻ SH ⊥ BC . Vì (SBC ) ⊥ ( ABCD ) theo giao tuyến BC nên SH ⊥ ( ABCD ).  DC ⊥ BC Ta có  ⇒ DC ⊥ (SBC ) . Do đó 60 0 = SD, (SBC ) = SD, SC = DSC .   DC ⊥ SH Từ DC ⊥ (SBC )  → DC ⊥ SC . S Tam giác vuông SCD, có SC = DC tan DSC =1. Tam giác vuông SBC , có SB.SC BC 2 − SC 2 .SC 6 = = . BC BC 3 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = 3. C SH = 1 6 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn C. 3 3 D H B A Câu 36. Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 3 . 24 B. V = a3 3 . 8 C. V = a3 . 8 D. V = a3 3 . 12 Lời giải. Gọi E , F lần lượt là trung điểm BC , BA và O = AE ∩ CF . Do S . ABC là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABC ) . S Khi đó 60 = (SBC ), ( ABC ) = SE , OE = SEO . 0 Tam giác vuông SOE , có SO = OE .tan SEO = AE a 3 a .tan 60 0 = . 3= . 3 6 2 Diện tích tam giác đều ABC là S∆ABC C A a2 3 = . 4 3 1 a 3 Vậy VS . ABC = S∆ABC .SO = . Chọn A. 3 24 F O E B Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy và mặt bên (SCD ) hợp với đáy một góc bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 3 . 9 B. V = a3 3 . 6 C. V = a 3 3 . D. V = a3 3 . 3 CD ⊥ AD Lời giải. Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD nên có  ⇒ CD ⊥ (SAD ) ⇒ CD ⊥ SD.  CD ⊥ SA (SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD , suy ra 60 0 = (SCD ), ( ABCD ) = SD, AD  = SDA . Do    SD ⊥ CD; AD ⊥ CD     S Tam giác vuông SAD , có SA = AD.tan SDA = a 3 . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = AB 2 = a 2 . 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = . 3 3 A D Chọn D. B C Câu 38. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC ) tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = 3a 3 . B. V = 3 a3 . 3 C. V = a 3 . D. V = a3 . 3 BC ⊥ AB Lời giải. Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC nên có  ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ SB.  BC ⊥ SA (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC Do  , suy ra 60 0 = (SBC ), ( ABCD ) = SB, AB  = SBA .   SB ⊥ BC ; AB ⊥ BC     S Tam giác vuông SAB , có SA = AB.tan SBA = a 3 . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB. AD = a 2 3. A 1 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = a 3 . 3 B D C Chọn D. Câu 39. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD ) và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 6 . 12 B. V = a 3 . Lời giải. Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD . Gọi O = AC ∩ BD , suy ra BD ⊥ AO . C. V = a3 6 . 6 D. V = a3 6 . 2 (1) (2 ) Từ (1) và (2 ) , suy ra BD ⊥ (SAO ) ⇒ BD ⊥ SO . S (SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD Do  , suy ra  SO ⊥ BD, AO ⊥ BD  60 0 = (SBD ), ( ABCD ) = SO , AO  = SOA .     Tam giác vuông SAO , ta có SA = AO. tan SOA = a 6 . 2 D O Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 . 1 a3 6 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = . Chọn C. 3 6 A B C Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo AC = a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa (SCD ) và đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . a3 3a 3 a3 . B. V = . C. V = . 4 4 2 Lời giải. Gọi H là trung điểm AB , suy ra SH ⊥ AB . Mà (SAB ) ⊥ ( ABCD ) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ ( ABCD ) . A. V =  → CH ⊥ CD CH ⊥ AB  Tam giác ABC đều cạnh a nên  . S  CH = AB 3 = a 3  2 2 (SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  Ta có  suy ra SC ⊂ (SCD ), SC ⊥ CD  HC ⊂ ( ABCD ), HC ⊥ CD  H 450 = (SCD ), ( ABCD ) = SC , HC = SCH . a 3 Tam giác vuông SHC , có SH = HC .tan SCH = . 2 a2 3 Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD = 2S∆ADC = . 2 B D. V = A C a3 . 12 D 1 a3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SH = . Chọn A. 3 4 Câu 41. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD = DC = 1 , AB = 2 ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng (SBC ) tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 2 . B. V = 3 2 . 2 2 . 2 C. V = Lời giải. Gọi I là trung điểm AB , suy ra CI = AD = 1 = 2 . 6 D. V = 1 AB . 2 Do đó tam giác ABC vuông tại C . Suy ra BC ⊥ AC nên 450 = (SBC ), ( ABCD ) = SC , AC = SCA . Ta có AC = AD 2 + DC 2 = 2 . S Tam giác vuông SAC , có SA = AC .tan SCA = 2 . ( AB + DC ) AD 3 Diện tích hình thang S ABCD = = . 2 2 1 2 . Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = 3 2 I A B C D Chọn C. Câu 42. Cho tứ diện ABCD có S∆ABC = 4cm 2 , S∆ABD = 6cm 2 , AB = 3cm . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ) bằng 60 ο . Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho. 2 3 4 3 cm 3 . B. V = cm 3 . C. V = 2 3cm 3 . 3 3 1 8 → CK = cm. Lời giải. Kẻ CK ⊥ AB . Ta có S∆ABC = AB.CK  2 3 Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh C . Xét tam giác vuông CHK , ta có A. V = CH = CK .sin CKH = CK .sin ( ABC ), ( ABD ) = 4 3 . 3 D. V = 8 3 cm 3 . 3 C D A K H 1 8 3 Vậy thể tích khối tứ diện V = S∆ABD .CH = cm 3 . Chọn D. 3 3 B Câu 43. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6 a, AC = 7a và AD = 4 a. Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , BD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP . A. V = 7 3 a . 2 B. V = 14 a 3 . C. V = 28 3 a . 3 D. V = 7a 3 . Lời giải. Do AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 VABCD = AB. AC . AD = .6a.7a.4 a = 28a 3 . 6 6 1 Dễ thấy S∆MNP = S∆BCD . B 4 1 M Suy ra VAMNP = VABCD = 7a 3 . Chọn D. 4 A P D N C Câu 44. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp A.GBC . A. V = 3. B. V = 4. C. V = 6. Lời giải. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S∆GBC D. V = 5. 1 = S∆DBC . 3 1 1 Suy ra VA.GBC = VABCD = .12 = 4. Chọn B. 3 3 Câu 45. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng a 2 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2 a3 3 a3 A. V = . B. V = a 3 . C. V = . 2 9 (SBC ) bằng a3 . 3 D. V = Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A trên SB ⇒ AH ⊥ SB. SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Ta có  ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ AH ⊥ BC .   AB ⊥ BC  a 2 . Suy ra AH ⊥ (SBC ) ⇒ d  A, (SBC ) = AH = 2 1 1 1 Tam giác SAB vuông tại A , có = + ⇒ SA = a. AH 2 SA 2 AB 2 1 a3 Vậy V = .SA.S ABCD = . Chọn D. 3 3 S H B A D C Câu 46. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B , AC = a 2 , SA = a và vuông góc với đáy ( ABC ) . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB , SC lần lượt tại M , N . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . AMN . 2a 3 2a 3 A. V = . B. V = . 27 29 C. V = a3 . 9 D. V = a3 . 27 Lời giải. Từ giả thiết suy ra AB = BC = a . 1 a2 1 a3 Diện tích tam giác S∆ABC = AB.BC = . Do đó VS . ABC = S∆ABC .SA = . 2 2 3 6 S Gọi I là trung điểm BC . SG 2 Do G là trọng tâm ∆SBC nên = . SI 3 Vì BC (α )  → BC song song với giao tuyến MN N 2 4  → S∆AMN = S∆SBC . 3 9 4 2a 3 = .VS . ABC = . 9 27  → ∆AMN ∽ ∆ABC theo tỉ số Vậy thể tích khối chóp VS . AMN A G C M I B Chọn A. Nhận xét. 1) bạn đọc có thể tham khảo cách giải khác bằng tỉ số thể tích ở Bài ??? 2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số thể tích bằng k 2 . Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S .CDNM . A. V = 5a 3 3 . 8 B. V = 5a 3 3 . 24 C. V = 5a 3 . 8 Lời giải. Theo giả thiết, ta có SH = a 3 . Diện tích tứ giác SCDNM = S ABCD − S∆AMN − S∆BMC D. V = 5a 3 3 . 12 A M S 1 1 a 2 a 2 5a 2 = AB 2 − AM . AN − BM .BC = a 2 − − = . 2 2 8 4 8 B N 3 1 5a 3 Vậy VS .CDNM = SCDNM .SH = . Chọn B. 3 24 H D C Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Mặt bên tạo với đáy góc 60 0 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC . A. V = 2a 3 3 . 15 B. V = 4a3 3 . 5 C. V = 4a3 3 . 15 D. V = a 3 3 . Lời giải. Gọi M là trung điểm CD , suy ra OM ⊥ CD nên 60 0 = (SCD ), ( ABCD ) = SM , OM = SMO . Tam giác vuông SOM , có SO = OM . tan SMO = a 3 . Kẻ KH ⊥ OD ⇒ KH SO nên KH ⊥ ( ABCD ) . Tam giác vuông SOD , ta có S KH DK DO 2 = = SO DS DS 2 K OD 2 2 2 2a 3 = =  → KH = SO = . 2 SO + OD 2 5 5 5 1 Diện tích tam giác S∆ADC = AD.DC = 2a 2 . 2 1 4a 3 3 Vậy VDKAC = S∆ADC .KH = . Chọn C. 3 15 A D H M O B C Câu 49*. Cho hình chóp S . ABC có ASB = CSB = 60 0 , ASC = 90 0 và SA = SB = a, SC = 3a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 6 . 3 B. V = a3 6 . 12 C. V = a3 3 . 12 D. V = Lời giải. Gọi M là trung điểm của AB ⇒ SM ⊥ AB. a3 2 . 4 (1) S  AB = a SA = SB   ⇒ ∆SAB đều  → . Ta có   ASB = 60 0 SM = a 3   2 Tam giác SAC , có AC = SA 2 + SC 2 = a 10. A C Tam giác SBC , có BC = SB 2 + SC 2 − 2SB.SC .cos BSC = a 7. Tam giác SBC , có cos BAC = AB 2 + AC 2 − BC 2 10 = . 2 AB. AC 5 M B a 33 . 2 → ∆SMC vuông tại M  → SM ⊥ MC . Ta có SM 2 + MC 2 = AC 2 = 9 a 2   → CM = AM 2 + AC 2 − 2 AM . AC .cos BAC = (2 ) Từ (1) và (2 ) , ta có SM ⊥ ( ABC ). 1 a2 6 AB. AC .sin BAC = . 2 2 1 a3 2 Vậy thể tích khối chop VSABC = S∆ABC .SM = . Chọn D. 3 4 Diện tích tam giác S∆ABC = Cách 2. (Dùng phương pháp tỉ số thể tích-Bạn đọc sẽ hiểu rõ hơn vấn đề này ở Bài ??? đến Bài ???). Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho SD = a .  AB = CD = a, AD = a 2 ∆ABD vuong can Dễ dàng suy ra   →  .   ∆SAD vuong can SA = SD = a, AD = a 2 Lại có SA = SB = SD = a nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABD ) là S trung điểm I của AD . a 2 1 và S∆ABD = a 2 . 2 2 3 1 a 2 Suy ra VS . ABD = S∆ABD .SI = . 3 12 V SD 1 Ta có S . ABD = = VS . ABC SC 3 Ta tính được SI = a A a a D I 2a B a3 2  →VS . ABC = 3VS . ABD = . 4 Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. ” Cho hình chóp S . ABC có C ASB = α, BSC = β , CSA = γ và SA = a, SB = b, SC = c .” Khi đó ta có: VS . ABC = abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ − 2 cos α cos β cos γ . 6 Áp dụng công thức, ta được VS . ABC = a3 2 . 4 Câu 50. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB , SC = SD , (SAB ) ⊥ (SCD ) và tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng thể tích V của khối chóp S . ABCD. a3 4a3 A. V = . B. V = . 5 15 C. V = 4a3 . 25 Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. D. V = 7a 2 . Tính 10 12a 3 . 25 S A M D N H B C Tam giác SAB cân tại S suy ra SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ d , với d = (SAB ) ∩ (SCD ). Vì (SAB ) ⊥ (SCD ) suy ra SM ⊥ (SCD ) ⇒ SM ⊥ SN và (SMN ) ⊥ ( ABCD ). Kẻ SH ⊥ MN  → SH ⊥ ( ABCD ). 7a 2 1 1 7a 2 7a ⇔ AB.SM + CD.SN =  → SM + SN = . 10 2 2 10 5 2 2 2 2 Tam giác SMN vuông tại S nên SM + SN = MN = a .  SM + SN = 7a 3a 4a SM .SN 12a Giải hệ  & SN =  → SH = = . 5 ⇔ SM =   5 5 25 MN 2 2 2 SM + SN = a Ta có S∆SAB + S∆SCD = 1 4a 3 . Chọn C. Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = .S ABCD .SH = 3 25 Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 51. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. a3 3 a3 3 . D. V = . 2 4 Lời giải. Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC . A ′B ′C ′ có tất cả các cạnh bằng a. A. V = a3 3 . 6 B. V = a3 3 . 12 Diện tích tam giác đều cạnh a là S = C. V = a2 3 . 4 B’ Chiều cao của lăng trụ h = AA ‘ = a. Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC . A ′B ′C ′ = S .h = C’ A’ a3 3 . 4 C A Chọn D. B Câu 52. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a 2 . A. V = a3 3 . 6 B. V = a3 3 . 12 C. V = a3 2 . 3 D. V = a3 3 . 4 Lời giải. Xét khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác đều và AA ′ ⊥ ( ABC ). Diện tích xung quanh lăng trụ là S xq = 3.S ABB ′A ′ C’ A’ ⇔ 3a 2 = 3.( AA ′. AB ) ⇔ 3a 2 = 3.( AA ′.a ) ⇒ AA ′ = a. Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = a 2 Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC . A ′B ′C ′ 3 4 B’ . C A a3 3 = S∆ABC . AA ′ = . 4 B Chọn D. Câu 53. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC . A ′B ′C ′ có BB ′ = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a 3 . 2 6 3 Lời giải. Tam giác ABC vuông cân tại B , AC a2 suy ra BA = BC = = a ⇒ S∆ABC = . 2 2 Vậy thể tích khối lăng trụ V = S∆ABC .BB ′ = C’ A’ B’ 3 a . 2 A C Chọn C. B Câu 54. Cho lăng trụ đứng ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác với AB = a , AC = 2 a , BAC = 120 0 , AA ‘ = 2a 5 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = 4 a 3 5 . B. V = a 3 15 . C. V = a 3 15 . 3 D. V = 4a3 5 . 3 1 a2 3 AB. AC .sin BAC = . 2 2 = S∆ABC . AA ‘ = a 3 15. Chọn B. Lời giải. Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = Vậy thể tích khối lăng trụ VABC . A ‘ B ‘ C ‘ Câu 55. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘, biết AC ‘ = a 3. A. V = a 3 . B. V = 3 6a 3 . 4 C. V = 3 3a 3 . 1 D. V = a 3 . 3 Lời giải. Đặt cạnh của khối lập phương là x ( x > 0 ). Suy ra CC ‘ = x ; AC = x 2 . C’ D’ B’ A’ Tam giác vuông ACC ‘ , có D C AC ‘ = AC 2 + CC ‘2 ⇔ x 3 = a 3 ⇒ x = a. Vậy thể tích khối lập phương V = a 3 . Chọn A. A B Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a , biết A ‘ B = 3a . A. V = 4 5a 3 . 3 B. V = 4 5a 3 . C. V = 2 5a 3 . D. V = 12a 3 . Lời giải. Do ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ là lăng trụ đứng nên AA ‘ ⊥ AB . C’ D’ B’ A’ Xét tam giác vuông A ‘ AB , ta có A ‘ A = A ‘ B − AB = a 5 . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = AB 2 = 4 a 2 . 2 2 C D Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ A = 4 5a 3 . Chọn B. A B Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có AB = a , AD = a 2 , AB ‘ = a 5 . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho. A. V = a 3 10 . B. V = 2a 3 2 . 3 C. V = a 3 2 . D. V = 2a 3 2 . Lời giải. Trong tam giác vuông ABB ‘ , có BB ‘ = AB ‘2 − AB 2 = 2 a . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB. AD = a 2 2 . Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD .BB ‘ = 2a 3 2. Chọn D. Câu 58. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10cm 2 , 20cm 2 , 32cm 2 . Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho. A. V = 80cm 3 . B. V = 160cm 3 . C. V = 40cm 3 . D. V = 64cm 3 . Lời giải. Xét hình hộp chữ nhật ABCD. A ′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình chữ nhật. S ABCD = 10 cm 2 C’ D’  AB. AD = 10   B’ S A’ = 20 cm 2 ⇔  AB. AA ′ = 20 . Theo bài ra, ta có   ABB ′A ′  S ADD ′A ′ = 30 cm 2  AA ′. AD = 32  2 Nhân vế theo vế, ta được ( AA ′. AB. AD ) = 6400 ⇒ AA ′. AB. AD = 80. D C Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = AA ′. AB. AD = 80 cm 3 . Chọn A. B A Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = 21. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là 4 C. V = . D. V = 6. 3 Lời giải. Xét hình hộp chữ nhật ABCD. A ′B ′C ′D ′ có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA ′ = a, AB = b, AD = c và có đường chéo AC ′. A. V = 8. 8 B. V = . 3 b = 2a . Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q = 2 . Suy ra   c = 4 a Mặt khác, độ dài đường chéo AC ′ = 21 ⇒ AA ′ 2 + AB 2 + AD 2 = 21 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 21. a = 1 c = 2b = 4 a c = 2b = 4 a c = 2b = 4 a     Ta có hệ  2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ b = 2. 2 2 2 2 c = 4 a + b + c = 21 a + (2a ) + ( 4 a ) = 21 21a = 21  Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD . A ′B ′C ′D ′ = AA ′. AB. AD = abc = 8. Chọn A. Câu 60. Cho lăng trụ đứng ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = 1 . Cạnh A ‘ B tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 60 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = 3 . B. V = 3 . 6 C. V = 3 . 2 D. V = 1 . 2 Lời giải. Vì ABC . A ‘ B ‘ C ‘ là lăng trụ đứng nên AA ‘ ⊥ ( ABC ) , suy ra hình chiếu vuông góc của A ‘ B trên mặt đáy ( ABC ) là AB . Do đó 60 0 = A ‘ B, ( ABC ) = A ‘ B, AB = A ‘ BA . C’ A’ B’ Tam giác vuông A ‘ AB , ta có AA ‘ = AB.tan A ‘ BA = 3. 1 1 Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = BA.BC = . 2 2 3 Vậy V = S∆ABC . AA ‘ = . Chọn C. 2 C A B Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có AB = AA ‘ = a , đường chéo A ‘ C hợp với mặt đáy ( ABCD ) một góc α thỏa mãn cot α = 5 . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho. A. V = 2 a 3 . B. V = 2a 3 . 3 C. V = 5a 3 . D. V = Lời giải. Ta có AA ‘ ⊥ ( ABCD ) nên A ‘ C , ( ABCD ) = A ‘ C , AC = A ‘ CA . a3 5 . D’ C’ B’ A’ Tam giác vuông A ‘ AC , ta có AC = AA ‘.cot α = a 5 . Tam giác vuông ABC , ta có BC = AC 2 − AB 2 = 2a . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.BC = 2a 2 . D Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . AA ‘ = 2 a 3 . Chọn A. C B A Câu 62. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC . A ′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, BAC = 120 0 , mặt phẳng ( AB ′C ′) tạo với đáy một góc 60 0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a 3 9a 3 a3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 8 8 8 Lời giải. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B ′C ′. Tam giác ABC cân tại A  → tam giác A ′B ′C ′ cân tại A ′  → A ′M ⊥ B ′C ′. Do đó 60 0 = ( AB ′C ′), ( A ′B ′C ′) = ( AM ; A ′M ) = AMA ′. A C Tam giác vuông A ′B ′M , có a A ′M = A ′B ′.cos MA ′B ′ = a.cos 60 0 = . 2 ′ Tam giác vuông AA M , có a a 3 AA ′ = A ′M .tan AMA ′ = .tan 60 0 = . 2 2 1 a2 3 Diện tích tam giác S∆ABC = AB. AC .sin BAC = . 2 4 3a 3 Vậy VABC . A ′B ′C ′ = S∆ABC . AA ′ = . Chọn A. 8 B C’ A’ M B’ Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác cân, AB = a và BAC = 120 0 , góc giữa mặt phẳng ( A ‘ BC ) và mặt đáy ( ABC ) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ. a3 3a 3 A. V = . B. V = . 8 8 C. V = 3a 3 . 4 D. V = 3a 3 . 24 Lời giải. Tương tự như bài 62. Chọn B. Câu 64. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ . Biết rằng mặt phẳng ( A ‘ BC ) hợp với đáy ( ABCD ) một góc 60 0 , A ‘ C hợp với đáy ( ABCD ) một góc 30 0 và AA ‘ = a 3 . A. V = 2a 3 6 . B. V = 2a 3 6 . 3 C. V = 2a 3 2 . D. V = a 3 . Lời giải. Ta có 30 0 = A ‘ C , ( ABCD ) = A ‘ C , AC = A ‘ CA; C’ B’ 60 = ( A ‘ BC ), ( ABCD ) = A ‘ B, AB = A ‘ BA . 0 Tam giác vuông A ‘ AB , có AB = Tam giác vuông A ‘ AC , có AC = AA ‘ tan A ‘ BA AA ‘ tan A ‘ CA D’ A’ =a . = 3a . B C Tam giác vuông ABC ,có BC = AC − AB = 2a 2 . 2 2 Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = 2a 2 2 . D A Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . AA ‘ = 2a 3 6. Chọn A. Câu 65. Cho lăng trụ đứng ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 , BAD = 120 0 . Góc giữa đường thẳng AC ‘ và mặt phẳng ( ADD ‘ A ‘) bằng 30 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. V = 6 . B. V = 6 . 6 C. V = 6 . 2 D. V = 3 . Lời giải. Hình thoi ABCD có BAD = 120 0 , suy ra ADC = 60 0 . Do đó tam giác ABC C ‘ N ⊥ A ‘ D ‘  . và ADC là các tam giác đều. Vì N là trung điểm A ‘ D ‘ nên  C ‘ N = 3 2  Suy ra 30 0 = AC ‘, ( ADD ‘ A ‘) = AC ‘, AN = C ‘ AN . Tam giác vuông C ‘ NA , có AN = C ‘N 3 = . 2 tan C ‘ AN C’ D’ A’ B’ N Tam giác vuông AA ‘ N , có AA ‘ = AN − A ‘ N = 2 . 2 Diện tích hình thoi S ABCD = AB 2 .sin BAD = Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . AA ‘ = 2 3 . 2 6 . Chọn C. 2 C B D A Vấn đề 3. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN Câu 66. Cho hình hộp ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A ‘ trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho. A. V = 4a3 2 . 3 B. V = 8a 3 . 3 C. V = 8a 3 . D. V = 4 a 3 2 . Lời giải. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , suy ra A ‘ O ⊥ ( ABCD ) . C’ B’ D’ A’ Tam giác vuông A ‘ OA , có A ‘ O = AA ‘2 − AO 2 = 4 a 2 − 2a 2 = a 2 . Diện tích hình vuông S ABCD = 4 a 2 . B C Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S∆ABCD . A ‘ O = 4 a 3 2. Chọn D. O A D Câu 67. Cho lăng trụ ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên AA ‘ = a , hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của AB . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 3 . 6 B. V = a3 3 . 2 a3 . 3 B’ C. V = a 3 . D. V = Lời giải. Theo giả thiết, ta có A ‘ H ⊥ AB . Tam giác vuông A ‘ HA , có A ‘ H = AA ‘2 − AH 2 = a 3 . 2 D’ A’ Diện tích hình vuông S ABCD = a 2 . Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ H = a C’ B 3 3 2 H . Chọn B. C D A Câu 68. Cho hình lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2 a . Hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB và A ‘ A = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a 3 3 . B. V = a3 6 . 6 C. V = a3 6 . 2 D. V = 2a 3 2 . Lời giải. Từ giả thiết suy ra BA = BC = a 2. Tam giác vuông A ‘ HA , có A ‘ H = AA ‘2 − AH 2 = Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = Vậy V = S∆ABC . A ‘ H = a 3 6 2 1 BA.BC = a 2 . 2 . Chọn C. C’ A’ a 6 . 2 B’ A C H B Câu 69. Cho lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A ‘ O = a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 3 . 12 B. V = a3 3 . 4 C. V = a3 . 4 D. V = a3 . 6 a2 3 . Chiều cao khối lăng trụ A ‘ O = a . 4 a3 3 Vậy thể tích khối lăng trụ V = S∆ABC . A ‘ O = . Chọn A. 4 Câu 70. Cho hình lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác đều cạnh 2a 2 và A ‘ A = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A ‘ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với Lời giải. Diện tích tam giác đều S∆ABC = trọng tâm G của tam giác ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 2a 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2 a 3 . 2 3 6 Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, BC . C’ A’ Khi đó G = AN ∩ CM là trọng tâm ∆ABC . Theo giả thiết, ta có A ‘ G ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABC đều cạnh 2a 2 nên suy ra 2 2 AN = a 6  → AG = AN = a 6. 3 3 Tam giác vuông A ‘ GA , có A ‘ G = A ‘ A 2 − AG 2 = B’ A C a 3 M . 3 G N B 3 = 2a 2 3. 4 = S ABC . A ‘ G = 2 a 3 . Chọn D. ( 2 ) Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = 2a 2 . Vậy thể tích khối lăng trụ VABC . A ‘ B ‘ C ‘ Câu 71. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = AC = a . Biết rằng A ‘ A = A ‘ B = A ‘ C = a . a3 3 a3 2 a3 2 a3 . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 4 12 Lời giải. Gọi I là trung điểm BC . Từ A ‘ A = A ‘ B = A ‘ C = a , suy ra hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt đáy ( ABC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. V = Suy ra A ‘ I ⊥ ( ABC ) . B’ Tam giác ABC , có BC = AB + AC = a 2. 2 2 a 2 . 2 1 a2 = AB. AC = . 2 2 C’ A’ Tam giác vuông A ‘ IB , có A ‘ I = A ‘ B 2 − BI 2 = Diện tích tam giác ABC là S∆ABC Vậy VABC . A ‘ B ‘ C ‘ = S∆ABC . A ‘ I = a 3 2 4 . Chọn C. I B A C Câu 72. Cho lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = 1, AC = 2 ; cạnh bên AA ‘ = 2 . Hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt đáy ( ABC ) trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 21 21 7 A. V = . B. V = . C. V = . 4 12 4 Lời giải. Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong ∆ABC . Theo giả thiết, ta có A ‘ H ⊥ ( ABC ). D. V = A’ C’ Tam giác vuông ABC , có B’ AB 2 1 BC = AC − AB = 3 ; AH = = . AC 2 2 3 21 . 4 2 Tam giác vuông A ‘ HA , có A ‘ H = AA ‘2 − AH 2 = Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = 7 . 2 H A C 1 3 AB.BC = . 2 2 B 21 Vậy VABC . A ‘ B ‘ C ‘ = S∆ABC . A ‘ H = . Chọn A. 4 Câu 73. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ biết thể tích khối chóp A.BCB ′C ′ bằng 2a 3 . 5a 3 A. V = 6 a 3 . B. V = . C. V = 4 a 3 . D. V = 3a 3 . 2 1 Lời giải. Ta có thể tích khối chóp VA. A ′B ′C ′ = VABC . A ′B ′C ′ . 3 2 3 3 Suy ra VA.BCB ′C ′ = VABC . A ′B ′C ′  →VABC . A ′B ′C ′ = VA.BCB ′C ′ = .2a 3 = 3a 3 . Chọn D. 3 2 2 Câu 74. Cho hình hộp ABCD. A ′B ′C ′D ′ có thể tích bằng 12cm 3 . Tính thể tích V của khối tứ diện AB ′CD ′. A. V = 2cm 3 . B. V = 3cm 3 . C. V = 4cm 3 . D. V = 5cm 3 . Lời giải. Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp. Thể tích khối hộp VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S .h = 12cm 3 . D’ Chia khối hộp ABCD. A ′B ′C ′D ′ thành khối tứ diện B’ A’ AB ′CD ′ và 4 khối chóp: A. A ′B ′D ′, C .B ′C ′D ′ , C’ B ′.BAC , D ′.DAC (như hình vẽ). Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng 1 S . .h. 3 2 2 Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng V ‘ = Sh. 3 D C A B 2 1 1 Vậy thể tích khối tứ diện VAB ′CD ′ = Sh − Sh = Sh = .12 = 4cm 3 . Chọn C. 3 3 3 Câu 75. Cho lăng trụ ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB = a , AD = a 3 ; A ‘ O vuông góc với đáy ( ABCD ) . Cạnh bên AA ‘ hợp với mặt đáy ( ABCD ) một góc 450 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 3 . 6 B. V = a3 3 . 3 C. V = a3 6 . 2 D. V = a 3 3 . Lời giải. Vì A ‘ O ⊥ ( ABCD ) nên B’ 45 = AA ‘, ( ABCD ) = AA ‘, AO = A ‘ AO . 0 C’ D’ A’ Đường chéo hình chữ nhật AC =a. 2 Suy ra tam giác A ‘ OA vuông cân tại O nên A ‘ O = AO = a . Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB. AD = a 2 3 . AC = AB 2 + AD 2 = 2 a ⇒ AO = Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ O = a 3 3. Chọn D. B C O A D Câu 76. Cho hình lăng trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2 . Hình chiếu vuông góc của A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của BC . Góc tạo bởi cạnh bên AA ‘ với mặt đáy là 450 . Tính thể tích khối trụ ABC . A ‘ B ‘ C ‘ . A. V = 3 . B. V = 1 . C. V = 6 . 8 D. V = Lời giải. Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 nên 6 . 24 A’ B’ AH = 3 . Vì A ‘ H ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu vuông C’ góc của AA ‘ trên mặt đáy ( ABC ) là AH . Do đó 450 = AA ‘, ( ABC ) = AA ‘, AH = A ‘ AH . Suy ra tam A giác A ‘ HA vuông cân tại H nên A ‘ H = HA = 3 . Diện tích tam giác đều ABC là S∆ABC = 3 . C H Vậy V = S∆ABC . A ‘ H = 3. Chọn A. B Câu 77. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = 2 2 . Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60 0 và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB ′C ′ . 8 A. V = . 3 B. V = 16 . 3 C. V = 8 3 . 3 D. V = 16 3 . 3 Lời giải. Gọi H là hình chiếu của C ′ trên mặt phẳng ( ABC ) . C’ B’ Suy ra AH là hình chiếu của AC ′ trên mặt phẳng ( ABC ) . A’ Do đó 60 0 = AC ′, ( ABC ) = ( AC ′, AH ) = HAC ′. Tam giác vuông AHC ′ , có C ′H = AC ′.sin HAC ′ = 2 3. Thể tích khối lăng trụ VABC . A ′B ′C ′ = S∆ABC .C ′H = 8 3. C 2 16 3 Suy ra thể tích cần tính VABCB ′C ′ = VABC . A ′B ′C ′ = . Chọn D. 3 3 B H A Câu 78. Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích S = 10 cm 2 , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 và độ dài cạnh bên bằng 10cm. A. V = 100cm 3 . B. V = 50 3cm 3 . C. V = 5 0 c m 3 . D. V = 100 3cm 3 . Lời giải. Xét khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ có đáy là tam giác ABC . Gọi H là hình chiếu của A ′ trên mặt phẳng A’ B’ ( ABC ) ⇒ A ′H ⊥ ( ABC ). Suy ra AH là hình C’ chiếu của AA ′ trên mặt phẳng ( ABC ). Do đó 60 0 = AA ′, ( ABC ) = ( AA ′, AH ) = A ′AH . A Tam giác A ′AH vuông tại H , có A ′H = AA ′.sin A ′AH = 5 3. Vậy V = S∆ABC . A ′H = 50 3 cm 3 . Chọn B. B H C Câu 79. Cho lăng trụ ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ABC = 120 0 . Góc giữa cạnh bên AA ‘ và mặt đáy bằng 60 0 . Đỉnh A ‘ cách đều các điểm A, B, D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = 3a 3 . 2 B. V = a3 3 . 6 C. V = a3 3 . 2 D. V = a 3 3 . Lời giải. Từ giả thiết suy ra ∆ABD đều cạnh a . Gọi H là tâm tam giác ABD . Vì A ‘ cách đều các điểm A, B, D nên A ‘ H ⊥ ( ABD ) . B’ C’ Do đó 60 0 = AA ‘, ( ABCD ) = AA ‘, HA = A ‘ AH . A’ D’ 1 1 a 3 a 3 Ta có OH = AO = . = . 3 3 2 6 Tam giác vuông A ‘ AH , có A ‘ H = AH .tan A ‘ AH = a . Diện tích hình thoi S ABCD = 2S∆ABD = a2 3 . 2 B C 3 3 HO . Chọn C. D A 2 Câu 80. Cho hình hộp ABCD. A ′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a, góc Vậy VABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ H = a ABC = 60 0 . Biết rằng A ′O ⊥ ( ABCD ) và cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 0. Tính thể tích V của khối đa diện OABC ′D ′. a3 a3 A. V = . B. V = . 12 6 C. V = a3 . 8 D. V = Lời giải. Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều cạnh a ⇒ OA = AC a = . 2 2 Suy ra thể tích khối hộp V = S ABCD .OA ′ = a 3 . 2 C’ B’ 3a 3 . 4 A Ta có V = VO . ABC ′D ′ +VAA ′D ′. BB ′C ′ +VC ′. BOC +VD ′. AOD +VO .CDD ′C ′ 1 1 1 1 V a3 = VO . ABC ′D ′ + V + V + V + V ⇒ VO . ABC ′D ′ = = . Chọn C. 2 12 12 6 6 8 D’ A’ Vì A ′O ⊥ ( ABCD ) nên 60 0 = AA ′, ( ABCD ) = ( AA ′, AO ) = A ′AO. Tam giác vuông A ′AO , có OA ′ = OA.tan A ′AO = 3a 3 . 4 D O B C Vấn đề 4. TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD, BD. Biết rằng AB = 4 a , AC = 6 a , AD = 7a . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP . A. V = 7a 3 . B. V = 28a 3 . C. V = 14 a 3 . D. V = 21a 3 . Lời giải. Tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD 1 đôi một vuông góc nên VABCD = AB. AC . AD = 28a 3 . 6 1 1 Ta có S∆MNP = S∆BCD , suy ra VAMNP = VA.BCD = 7a 3 . 4 4 Chọn A. A M B C P N D Câu 82. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ‘ là thể tích của khối tứ diện có các V’ đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số . V V’ 8 V ‘ 23 V’ 1 V’ 4 A. = . = . = . = . B. C. D. V V V V 27 27 27 27 A Lời giải. Gọi M là trung điểm AC ; E , F làn lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ACD. 1 Trong tam giác MBD có EF = BD. 3 Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh 1 ra bằng cạnh của tứ diện ban đầu. 3 3 V ‘  1  1 =   = . Chọn C. Do đó  3 V 27 M E F B C D Câu 83. Cho hình chóp S . ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2 NC . Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC . A. V = 15. B. V = 5. C. V = 30. SN 2 SM 1 Lời giải. Từ giả thiết, ta có = và = . SC 3 SB 2 1 Thể tích khối chóp VS . ABC = .9.5 = 15. 3 V SM SN 1 2 Ta có S . AMN = . = ⇒ VABMNC = VS . ABC = 10. VS . ABC SB SC 3 3 D. V = 10. S M N A Chọn D. C B Câu 84. Cho khối chóp S . ABC có thể tích bằng 16. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP . A. V = 2. B. V = 4. C. V = 6. Lời giải. Ta có d S , ( MNP ) = d  A, ( MNP ) nên VAMNP = VSMNP . V 1 SM SN SP 1 Mà SMNP = . . = nên VAMNP = VS . ABC = 2 . Chọn A. VSABC SA SB SC 8 8 D. V = 8. Câu 85. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm P thuộc đoạn AB , điểm Q PA QB RB thuộc đoạn BC và điểm R thuộc đoạn BD sao cho = 2, = 3, = 4 . Tính thể PB QC RD tích của khối tứ diện BPQR theo V . V V A. VBPQR = . B. VBPQR = . 4 5 C. VBPQR = V . 3 D. VBPQR = Lời giải. Từ giả thiết, ta có BP 1 BQ 3 BR 4 = , = , = . BA 3 BC 4 BD 5 VBPQR BP BQ BR 1 3 4 1 = . . = . . = . Ta có VBACD BA BC BD 3 4 5 5 V . 6 B P R Q D A 1 V Suy ra VBPQR = .VBACD = . 5 5 C Chọn A. Câu 86. Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc và AB = 6 a, AC = 9a, AD = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD, ADB . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP . A. V = 8a 3 . B. V = 4 a 3 . C. V = 6 a 3 . 1 Lời giải. Ta có VABCD = AB. AC . AD = 27a 3 . 6 Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của BC , CD , DB . D. V = 2 a 3 . A 1 27 3 a . Suy ra VAEFG = VABCD = 4 4 Do M , N , P là trọng tâm của các tam giác ABC , AM AN AP 2 = = = . AE AF AG 3 AM AN AP 8 = . . = AE AF AG 27 P ACD , ADB nên ta có Ta có VA. MNP VA.EFG  →VA. MNP = 8 VA.EFG = 2a 3 . Chọn D. 27 M N G B D F E C Câu 87. Cho hình chóp S . ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và ASB = BSC = CSA = 60 0. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. V = 5 2. B. V = 5 3. C. V = 10. D. V = 15. Lời giải. Trên các đoạn SB, SC lần lượt lấy các S điểm E , F sao cho SE = SF = 3. Khi đó S . AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3. F a3 2 9 2 . = 12 4 3 3 9 SE SF . = = . = SB SC 4 5 20 Suy ra VS . AEF = Ta có VS . AEF VS . ABC  →VS . ABC = B A E 20 VS . AEF = 5 2. Chọn A. 9 C Câu 88. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V ′ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện V′ đã cho, tính tỉ số . V V′ 1 V′ 1 V′ 2 V′ 5 A. = . B. = . C. = . D. = . 2 4 3 8 V V V V Lời giải. Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ. V SA ′ SB ′ SC ′ 1 V Ta có S . A ′B ′C ′ = . . = ⇒ VS . A ′B ′C ′ = . VS . ABC SA SB SC 8 8 S A’ V Tương tự VA. A ′MP = VB .B ′MN = VC .C ′NP = . 8 Do đó V ′ = VS . ABC − (VS . A ′B ′C ′ +VA. A ′MP +VB .B ′MN +VC .C ′NP ) C’ P B’ A N M V V V V  V V′ 1 = V −  + + +  = ⇒ = . Chọn A.  8 8 8 8  2 V 2 C B Câu 89. Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2 NC . Tính thể tích V của khối chóp A.BCNM . A. V = a 3 11 . 36 B. V = a 3 11 . 16 C. V = a 3 11 . 24 D. V = a 3 11 . 18 Lời giải. Gọi O là tâm của ∆ABC , suy ra SO ⊥ ( ABC ) . Tam giác vuông SOA , có SO = SA 2 − AO 2 = a 11 3 1 a 2 3 a 11 a 3 11 Suy ra VS . ABC = . . = . 3 4 12 3 V SM SN 1 2 1 Ta có S . AMN = . = . = . VS . ABC SB SC 2 3 3 Suy ra S . VABCNM 2 2 a 3 11 = ⇒ VABCNM = VS . ABC = . Chọn D. VS . ABC 3 3 18 M N C A O B Câu 90. Cho hình chóp đều S .ABC có tất cả các cạnh bằng a . Mặt phẳng ( P ) song song với mặt đáy ( ABC ) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng ( P ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. a2 3 a2 3 A. S∆MNP = . B. S∆MNP = . 8 16 C. S∆MNP = a2 3 43 2 D. S∆MNP = . a2 3 43 4 . Lời giải. Mặt phẳng ( P ) ( ABC ) và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . SM SN SP = = =x. SA SB SC SM SN SP = . . = x 3. SA SB SC Theo Talet, ta có Do đó VS .MNP VS . ABC Theo giả thiết S VS .MNP 1 1 1 = → x3 = → x = 3 . VS . ABC 2 2 2 Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh P M a 3 2 C A . N 2 Vậy diện tích S∆MNP  a  3 a2 3 =  3  . = 3 . Chọn D.  2  4 4 4 B Câu 91. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với ( ABC ) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng (α ) qua C và vuông góc với BD , cắt BD tại F và cắt AD tại E . Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 6 36 54  AB ⊥ AC Lời giải. Ta có  ⇒ AB ⊥ ( ACD ) ⇒ AB ⊥ CE . (1)  AB ⊥ CD D Lại có BD ⊥ (α ) ⇒ BD ⊥ CE . (2) F Từ (1) và (2) , suy ra CE ⊥ ( ABD ) ⇒ CE ⊥ AD. Tam giác vuông ABC , có BC = AB 2 + AC 2 = a 2 . E Tam giác vuông DCB , có BD = BC + CD = a 3 . 2 2 C B 2 Tam giác vuông DCB , có CD 2 = DF .DB ⇒ DF CD 1 = = . DB DB 2 3 A DE CD 2 1 = = . 2 DA DA 2  a3 DE DF 1 1 1 1 1 = . =  →VD .EFC = .VD . ABC = . . a 2 .a  = . Chọn C.  36 DA DB 6 6 6  3 2 Tương tự, ta cũng có Suy ra VD .EFC VD . ABC Câu 92. Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện AM = 2 AB , AN = 3 AC và AP = 4 AD . Mệnh đều nào dưới đây đúng? V V A. VAMNP = . B. VAMNP = 8V . C. VAMNP = 24V . D. VAMNP = . 24 8 Lời giải. Từ giả thiết, suy ra AB 1 AC 1 AD 1 = ; = ; = . 4 AM 2 AN 3 AP VA.BCD AB AC AD 1 1 1 1 = . . = × × = . Ta có VA. MNP AM AN AP 2 3 4 24 A D B C P M Suy ra VA.MNP = 24.VA.BCD = 24V . Chọn C. N Câu 92. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng ( MNE ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . A. V = 7 2a 3 . 216 B. V = 11 2a 3 . 216 C. V = 13 2a 3 . 216 Lời giải. Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là VABCD = D. V = 2a 3 . 18 a3 2 . 12 Gọi P = EN ∩ CD và Q = EM ∩ AD . Suy ra P , Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE và ∆ABE . A Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra S∆CDE = S∆BNE = S . M 1 S P Ta có S∆PDE = .S∆CDE = . 3 3 D B Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra Q h h d  M ,( BCD ) = ; d Q,( BCD ) = . N 2 3 C 1 S .h 1 S .h ; VQ .PDE = S∆PDE .d Q,( BCD ) = . Khi đó VM .BNE = S∆BNE .d  M , ( BCD ) = 3 6 3 27 S .h S .h 7S .h 7 S .h 7 Suy ra VPQD .NMB = VM .BNE −VQ .PDE = − = = . = .VABCD . 6 27 54 18 3 18 Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là V = VABCD −VPQD .NMB = E 11 a 3 2 11 2 a 3 . = . 18 12 216 Chọn B. Câu 94. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó. 2 5 27 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 7 37 Lời giải. Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm của A các cạnh AC , BD, EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện ABCD. Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với ( BCD ). F Trong mặt phẳng ( EBD ) dựng đường thẳng qua I P song song với BD cắt EB, ED lần lượt tại M , N . M B Qua M , N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt J I Q E song song với BC , CD cắt AB, AC , AD lần lượt tại P , Q, J . N D C AQ 3 AP AJ AQ 3 = , suy ra = = = . AC 4 AB AD AC 4 VA. PQJ AP AQ AJ 3 3 3 27 27 . . = = . . = ⇒ = . Chọn C. 37 AB AC AD 4 4 4 64 VPQJBCD Do Q là trung điểm của EC ⇒ Ta có VA. PQJ VA. BCD Câu 95. Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1 . Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại M , N . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN . A. Vmin = 2 . 18 4 B. Vmin = . 9 C. Vmin = 2 . 27 D. Vmin = 2 . 36 Lời giải. Gọi E là trung điểm của BC . Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P , Q . S A N G M N A M P E C B G Q C B  AB AP  = AB AC AP AQ AP + AQ  AM AG Theo định lí Talet, ta có  ⇒ + = + = .   AC AQ AM AN AG AG AG =  AG  AN Mặt khác ∆BPE = ∆CQE  → PE = QE ⇒ AP + AQ = ( AE − PE ) + ( AE + QE ) = 2 AE . Do đó AB AC 2 AE 3 1 1 + = = 2. = 3 ⇒ + = 3 . Đặt AM AN AG 2 AM AN Vì SABC là tứ diện đều ⇒ SG ⊥ ( ABC ) và SG = 2 3  AM = x 1 1 ⇒ + = 3.   AN = y x y .  1 1 1 2 2 Do đó VSAMN = S∆AMN .SG =  AM . AN sin 60 0 .SG = AM . AN = xy.   3 3 2 12 12 Ta có 3 = 1 1 2 2 4 2 + ≥ ⇔ xy ≥ ⇔ xy ≥ ⇒ Vmin = . Chọn C. x y 3 9 27 xy Câu 96. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Gọi M , N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB , CD sao cho MA = MB, ND = 2 NC . Tính thể tích V của khối chóp S .MBCN . A. V = 8. B. V = 20. C. V = 28. D. V = 40. Lời giải. Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD. Diện tích hình bình hành S ABCD = AB.d . S Ta có S MBCN = S ABCD − S∆AMN − S∆ADN 1 1 1 1 = AB.d − AM .d − DN .d = AB.d − AB.d − AB.d 2 2 4 6 A M 7 7 B AB.d = S ABCD . 12 12 7 7 Vậy VS . MBCN . = VS . ABCD = .48 = 28. Chọn C. C N D 12 12 Câu 97. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A ‘, B ‘, C ‘, D ‘ lần lượt là trung điểm của SA, = SB, SC , SD. Tính tỷ số k của thể tích khối chóp S . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ chia cho thể tích khối chóp S . ABCD . 1 A. k = . 2 B. k = 1 . 4 C. k = 1 . 8 D. k = 1 . 16 Lời giải. Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ S giác ta chia đáy thành hai tam giác. Ta có VS . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = VS . A ‘ B ‘ C ‘ +VS . A ‘ D ‘ C ‘ . Mà VS . A ‘ B ‘C ‘ SA ‘ SB ‘ SC ‘ 1 1 1 1 = . . = . . = . VS . ABC SA SB SC 2 2 2 8 1 Suy ra VS . A ‘ B ‘ C ‘ = .VS . ABC . 8 B’ A’ A 1 Tương tự ta cũng có VS . A ‘ D ‘ C ‘ = .VS . ADC . 8 D 1 1 1 1 Vậy VS . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = VS . ABC + VS . ADC = (VS . ABC +VS . ADC ) = VS . ABCD . 8 8 8 8 VS . A ‘ B ‘C ‘ D ‘ 1 Suy ra = . Chọn C. VS . ABCD 8 D’ C’ B C Câu 98. Cho khối chóp S . ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ‘ trên cạnh SA sao 1 cho SA ‘ = SA . Mặt phẳng (α ) qua A ‘ và song song với đáy ( ABCD ) cắt các cạnh 3 SB, SC , SD lần lượt tại B ‘, C ‘, D ‘ . Tính thể tích V ‘ của khối chóp S . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ . V V V V A. V ‘ = . B. V ‘ = . C. V ‘ = . D. V ‘ = . 3 9 27 81 SB ‘ SA ‘ 1 SC ‘ SD ‘ 1 Lời giải. Từ giả thiết suy ra A ‘ B ‘ AB ⇒ = = . Tương tự = = . SB SA 3 SC SD 3 Ta có VS . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = VS . A ‘ B ‘ C ‘ +VS . A ‘ D ‘ C ‘ . Mà S  →VS . A ‘ B ‘ C ‘ = B’ A’ VS . A ‘ B ‘ C ‘ SA ‘ SB ‘ SC ‘ 1 1 1 1 = . . = . . = . VS . ABC SA SB SC 3 3 3 27 D’ C’ 1 .VS . ABC . 27 A B 1 D VS . ADC . C 27 1 1 1 V + VS . ADC = (VS . ABC +VS . ADC ) = VS . ABCD = . Chọn C. 27 27 27 27 Tương tự ta cũng có VS . A ‘ D ‘ C ‘ = Vậy VS . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = 1 VS . ABC 27 Câu 99. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (α ) đi qua A, B và trung điểm M của SC . Mặt phẳng (α ) chia khối chóp đã cho thành hai V1 . V2 phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số A. V1 1 = . V2 4 B. Lời giải. Kẻ MN CD V1 3 = . V2 8 C. V1 5 = . V2 8 D. V1 3 = . V2 5 (N ∈ CD ) , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có VS . ABMN = VS . ABM +VS . AMN . S VS . ABM 1 1 1 SM = = ⇒ VS . ABM = VS . ABC = VS . ABCD . 2 2 4 VS . ABC SC VS . AMN 1 1 SM SN . = = ⇒ VS . AMN = VS . ABCD . 8 VS . ACD SC SD 4 M N A 1 1 3 Do đó VS . ABMN = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD . 4 8 8 V1 3 5 Suy ra VABMNDC = VS . ABCD nên = . Chọn D. V2 5 8 D B C Câu 100. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BA = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính thể tích V của khối chóp S . AHCD . A. V = 2 2 . 3 B. V = 4 2 . 9 C. V = 4 2 . 3 D. V = 2 2 . 9 Lời giải. Tam giác vuông SAB , có SB = SA 2 + AB 2 = 3. Ta có VS . AHCD = VS . ACD +VS . AHC . ● VS . ACD ● S  1 11 2 = S∆ACD .SA =  AD.AB  SA = .   3 32 3 VS . AHC SH SA 2 2 2 2 = = 2 = ⇒ VS . AHC = VS . ABC = . VS . ABC SB SB 3 3 9 Vậy VS . AHCD = 2 2 4 2 . Chọn B. + = 3 9 9 H A B D C Câu 101. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng ( MNC ) chia khối chóp S . ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số V1 . V2 A. V1 5 = . V2 7 B. V1 5 = . V2 11 C. V1 5 = . V2 9 D. Lời giải. Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S . ABCD . 1 Khi đó VS . ABCD = S .h. 3 Nối MN cắt SA tại E , MC cắt AD tại F . Tam giác SBM có A, N lần lượt là V1 5 = . V2 13 S N E B M trung điểm của BM và SB suy ra E là trọng tâm tam giác SBM . Tứ giác ACDM là hình vuông nên F là trung điểm MC . F A C D Ta có VBNC . AEF = VABCEN +VE . ACF . VS .ENC SE SN 2 1 1 1 = . = × =  →VS .ENC = VS . ABC 3 2 3 3 VS . ABC SA SB  1 2 2 1  →VABCEN = VS . ABC =  VS . ABCD  = VS . ABCD .    3 3 3 2 1 1 1 1 1 VE . ACF = S∆ACF .d  E , ( ACF ) = . S . h = VS . ABCD . 3 3 4 3 12 1 1 5 Do đó VBNC . AEF = VABCEN +VE . ACF = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD = V1. 3 12 12 V1 5 7 Suy ra V2 = VS . ABCD  → = . Chọn A. V2 7 12 Câu 102. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a vuông SM góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ). Điểm M thuộc cạnh SA sao cho = k. Xác định SA k sao cho mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. A. k = −1 + 3 −1 + 5 . B. k = . 2 2 C. k = −1 + 2 . 2 D. k = 1+ 5 . 4 SN SM = = k. Khi đó mặt phẳng ( MBC ) chia SD SA S khối chóp thành hai phần là S .MBCN và AMBDNC . Ta có VS . MBCN = VS . MBC +VS . MCN . N M VS .MBC SM = = k ⇒ VS .MBC = k.VS . ABC . VS . ABC SA A D VS .MCN SM SN = . = k 2 ⇒ VS . MCN = k 2 .VS . ACD . VS . ACD SA SD C B 1 1 Từ giả thiết, ta có VS . MBCN = VS . ABCD ⇒ k.VS . ABC + k 2 .VS . ACD = VS . ABCD 2 2 V V 1 −1 + 5  → k. S . ABCD + k 2 . S . ABCD = VS . ABCD  → k + k2 = 1 → k = . Chọn B. 2 2 2 2 Lời giải. Kẻ MN AD ( N ∈ SD )  → Câu 103. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , V1 là thể tích tứ diện A ' ABD . Hệ thức nào sau đây đúng? A. V = 6V1. B. V = 4V1 . C. V = 3V1 . D. V = 2V1. 1 Lời giải. Ta có V = S ABCD . AA ' và V1 = S∆ABD . AA '. 3 1 V Mà S∆ABD = S ABCD  → =6. 2 V1 D' A' B' C' A D Suy ra V = 6V1. Chọn A. C B Câu 104. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' . Gọi D là trung điểm AC . Tính tỉ số k của thể tích khối tứ diện B ' BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho. 1 1 1 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 4 12 3 6 A' B' Lời giải. Ta có VABC . A ' B ' C ' = S∆ABC .BB ' và 1 VB ' BAD = S∆BAD .BB '. 3 VB ' BAD 1 1 →k = = . Mà S∆BAD = S∆ABC  VABC . A ' B ' C ' 6 2 C' B A D Chọn D. C Câu 105. Cho khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại D , E . Mặt phẳng ( A ′DE ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng. 2 A. . 3 B. 4 . 23 C. 4 . 9 Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . AG 2 Gọi E là trung điểm của BC ⇒ = . AE 3 Đường thẳng d đi qua G và song song BC , cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại M , N . ⇒ AM AN AG 2 = = = AB AC AE 3   AM = 2 AB 4  3 ⇒  ⇒ S∆AMN = S∆ABC .  2 9  AN = AC 3  D. 4 . 27 B' A' C' M A N G C (1) 1 Ta có VABC . A ′B ′C ′ = S∆ABC .AA ' và VA '. AMN = S∆AMN .AA '. (2 ) 3 4 23 Từ (1) và (2) , suy ra VA '. AMN = VABC . A ′B ′C ′  →VBMNC . A ′B ′C ′ = VABC . A ′B ′C ′ . 27 27 VA '. AMN 4 Vậy = . Chọn B. VBMNC . A ′B ′C ′ 23 E B Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AC = 2 2 . Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60 0 và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCC ′B ′ . A. V = 8 3. B. V = 16 . 3 C. V = 8 3 . 3 D. V = 16 3 . 3 Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( A ′B ′C ′) . Suy ra HC ′ là hình chiếu của AC ′ trên mặt phẳng ( A ′B ′C ′) . Do đó 60 0 = AC ′, ( A ′B ′C ′) = AC ′, HC ′ = AC ′H . A C Tam giác AHC ′ , có AH = AC ′.sin AC ′H = 2 3. AC 2 Diện tích tam giác S∆ABC = = 4. 2 Suy ra VABC . A ′B ′C ′ = S∆ABC . AH = 8 3. 1 1 8 3 . Ta có VA. A ' B ' C ' = S∆A ' B ' C ' . AH = VABC . A ′B ′C ′ = 3 3 3 Suy ra VABCC ′B ′ = VABC . A ′B ′C ′ −VA. A ′B ′C ′ = B C' A' H 16 3 . Chọn D. 3 B' Câu 107. Cho khối hộp ABCD. A ′B ′C ′D ′ có thể tích V . Các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện AM = 2 AC , AN = 3 AB ′ và AP = 4 AD ′ . Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V . A. VAMNP = 8V . B. VAMNP = 4V . C. VAMNP = 6V . D. VAMNP = 12V . Lời giải. Ta có V = VAB ' D ' C + (VAA ' B ' D ' +VCC ' B ' D ' +VD ' DAC +VB ' BAC ). Mà VAA ' B ' D ' = VCC ' B ' D ' = VD ' DAC = VB ' BAC = V . 6 V . 3 AB ′ 1 AC 1 AD ′ 1 Từ giả thiết, ta có = ; = ; = . AN 3 AM 2 AP 4 ′ ′ VA.B ′D ′C 1 AB AD AC Ta có = . . = VA.NPM AN AP AM 24 Suy ra VAB ' D ' C = D' C' B' A' D C V B A = 8V . Chọn A. 3 Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai 1 đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng của khối lăng trụ tam giác. 3  →VA.NPM = 24VA.B ′D ′C = 24. Câu 108. Cho hình lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần AM 1 BN CP 2 lượt thuộc các cạnh AA ' , BB ' , CC ' sao cho = , = = . Tính thể tích AA ' 2 BB ' CC ' 3 V ' của khối đa diện ABC .MNP . 2 9 20 11 A. V ' = V . B. V ' = V . C. V ' = V . D. V ' = V . 3 16 27 18  m + n + p  Lời giải. Công thức giải nhanh VABC . MNP =  V   3 C A B AM BN CP , n= , p= . AA ' BB ' CC ' 1 2 2 11 Áp dụng: m = , n = , p = , ta dược VABC . MNP = V . 2 3 3 18 P M với m = N C' A' Chọn D. B' Câu 109. Người ta cần cắt một khối lập phương B thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A M (như hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện A chứa điểm B bằng một nửa thể tích của khối đa diện CN còn lại. Tính tỉ số k = . CC ' B' 1 2 A. k = . B. k = . 3 3 A' 3 1 C. k = . D. k = . 4 2 CN BM DP 0+ + VAMNPBCD CC ' BB ' DD '. Lời giải. Công thức giải nhanh = = VABCDA ' B ' C ' D ' 2 2 VAMNPBCD 1 Theo giả thiết, ta có =  → VABCDA ' B ' C ' D ' 3 C D N P C' D' CN 2 CN CC ' = 1  → = . Chọn B. 2 3 CC ' 3 0+ Câu 110. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '. Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn CC ' = 4CM . Mặt phẳng ( AB ' M ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 . Gọi V1 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k = A. k = 7 . 32 B. k = 7 . 16 C. k = V1 . V2 7 . 25 D. k = 25 . 32 1 Lời giải. Trong mặt phẳng (CDD ' C ') , kẻ MN C ' D với N ∈ CD . Suy ra CN = CD 4 và V1 là khối đa điện ABB ' NCM . B' D' A' N D C' A' M B A B' C' D' A' B C C' M M C A N A C D Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó VABB '.NCM = VABB ' CM +VMACN . 1 0 + +1 5 1  4 VABB ' CM = .VABC . A ' B ' C ' = . V . 3 12  2   1 1 1 1 1 VMACN = . VC '. ADC = . V ADC . A ' D ' C '  = V .  96 4 4 16  3 V 7 25 7 Vậy V1 = VABCMB ' +VMACN = V  →V2 =  → 1 = . Chọn C. 32 32 V2 25 1 1 Nhận xét. Ta có VMACN = . VC '. ADC vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần. 4 4 Câu 141. Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a , người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau: Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V1 (Hình 1). Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là V2 (Hình 2). Hình 2 Hình 1 Tính tỉ số k = A. k = V1 . V2 3 3 . 2 B. k = 4 3 . 9 C. k = 3 3 . 4 D. k = 3 3 . 8 Lời giải. Gọi cạnh hình vuông là a . 2 2 a  a  3 V a3 a3 3 3 3 . Chọn C. Khi đó V1 =   .a = và V2 =   .a = . Suy ra k = 1 =  4     4 V2 16 3 4 36 Câu 142. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 6 3 cm 3 . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu? A. Cạnh đáy bằng 2 6cm và cạnh bên bằng 1cm. B. Cạnh đáy bằng 2 3cm và cạnh bên bằng 2cm. C. Cạnh đáy bằng 2 2cm và cạnh bên bằng 3cm. 1 D. Cạnh đáy bằng 4 3cm và cạnh bên bằng cm. 2 Lời giải. Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là ABC . A ′B ′C ′ có độ dài AB = x , AA ′ = h. 3 2 3 2 x và VABC . A ′B ′C ′ = S ABC . AA ′ = x h. 4 4 3 2 24 Theo giả thiết x h=6 3⇒h= 2 . 4 x Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ là nhỏ nhất. Gọi Stp là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ Khi đó S∆ABC = A' B' C' h B A a C ABC . A ′B ′C ′ , ta có S tp = 2S∆ABC + 3S ABB ′A ′ = Khảo sát f ( x ) = 3 2 3 2 72 x + 3hx = x + . 2 2 x 3 2 72 trên (0; +∞) , ta được f ( x ) nhỏ nhất khi x = 2 3 . x + 2 x Với x = 2 3 cm → h = 2cm. Chọn B. Câu 143. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 80cm ×50cm . Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm ) , rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn nhất Vmax của hộp tạo thành. A. Vmax = 18000cm 3 . C. Vmax = 38000cm 3 . B. Vmax = 28000cm 3 . D. Vmax = 8000cm 3 . Lời giải. Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80 − 2 x (cm ) , chiều rộng 50 − 2 x (cm ) , chiều cao x (cm ) . Suy ra thể tích thùng tạo thành V = x (80 − 2 x )(50 − 2 x ) = 4 x 3 − 260 x 2 + 4000 x . Khảo sát f ( x ) = 4 x 3 − 260 x 2 + 4000 x trên (0;25) , được max f ( x ) = f (10) = 18000cm 3 . (0;25) Chọn A. Câu 144. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm × 40cm . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng xcm , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 20 cm. 3 B. x = 4cm. C. x = 5cm. Lời giải. Các kích thước khối hộp lần lượt là: D. x = 10 cm. 3 60 − 3 x ; 40 − 2x ; x . 2  60 − 3 x  3 2 Khi đó Vhop =  (40 − 2 x ) x = 3 x −120 x + 1200 x = f ( x ).  2  Khảo sát hàm f ( x ) với 0 < x < 20 , ta được f ( x ) lớn nhất khi x = 20 . 3 Chọn A. Câu 145. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm ) , chiều cao là h (cm ) và thể tích là 500cm 3 . Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất. A. x = 2cm. B. x = 3cm. C. x = 5cm. D. x = 10cm. 500 . x2 Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất. Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) S tp = S day + S xung quanh = x .x + 4.hx = x 2 + 4hx Lời giải. Thể tích khối hộp V = x .x .h = x 2 h = 500 ⇒ h = 500 2000 1000 1000 Cosi 3 = x2 + = x2 + + ≥ 3 1000 2 . 2 x x x x 1000 1000 Dấu '' = '' xảy ra ⇔ x 2 = = ⇔ x 3 = 1000 ⇔ x = 10. Chọn D. x x 2000 Cách 2. Xét hàm f ( x ) = x 2 + với x > 0 . x x 2 + 4 x. Câu 146. Một người đã cắt tấm bìa các tông và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a (cm ) , chiều cao h (cm ) và diện tích toàn phần h h a a bằng 6m 2 . Tổng (a + h ) bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất. A. x + h = 2cm. B. x + h = 3cm. C. x + h = 4cm. D. x + h = 6cm. 2 6 − 2a Lời giải. Diện tích toàn phần S tp = 4 ah + 2a 2 = 6 ⇒ h = . 4a 6 − 2a 2 6a − 2a 3 Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.a.h = a 2 . = . 4a 4  1  6a − 2 a 3 Khảo sát hàm f (a ) = trên 0;  , ta được f (a ) lớn nhất tại a = 1.  4 3  Với a = 1 → h = 1  → a + h = 2cm. Chọn A. Câu 147. Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước x , y, z (dm ) . Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1: 3 , thể tích khối hộp bằng 18dm 3 . Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x + y + z bằng: A. 10dm. B. 19 dm. 2 C. 26dm. D. 26 dm. 3 Lời giải. Ta có x : y = 1 : 3 ⇒ y = 3x . 6 . x2 Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là: S tp = S day + S xungquanh (do hộp không nắp) Theo giả thiết, ta có xyz = 18 ⇒ z = z x y  6 6 48 = xy + 2 ( xz + yz ) = x .3 x + 2  x . 2 + 3x . 2  = 3 x 2 + .  x x  x 48 trên (0;+∞) , ta được f ( x ) nhỏ nhất khi x = 2. x 3 19 Khi x = 2 → y = 6, z =  → x + y + z = dm. Chọn A. 2 2  48 8 8 8 8 Cách 2. BĐT Côsi 3 x 2 + = 3  x 2 + +  ≥ 3.3 3 x 2 . . = 36.  x x x x x 8 8 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x 2 = = → x = 2. x x Xét hàm f ( x ) = 3 x 2 + Câu 148. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 60cm, thể tích 96000cm 3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. A. 320.000 đồng. B. 32.000 đồng. C. 83.200 đồng. D. 68.800 đồng. Lời giải. Gọi x (m ), y (m ) ( x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể. Theo giả thiết, ta có: 0, 6 xy = 0,096 ⇒ y = 0,16 . x 60cm 0,16 = 0,16 x  → giá tiền 0,16 ×100.000 = 16.000 đồng. Diện tích mặt đáy: Sday = xy = x. x y  0,16  Diện tích xung quanh: S xungquanh = 2 x .0,6 + 2 y.0, 6 = 1, 2  x +   x    0,16  0,16   → giá tiền 1,2  x + .70000 = 84000  x +  đồng.   x  x   0,16  Suy ra tổng chi phí f ( x ) = 84000  x +  + 16000  x  Cosi ≥ 84000.2 x . 0,16 + 16000 = 83.200 đồng. Chọn C. x Câu 149. Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng: A. x = 2 . 5 2 2 . 5 2 D. x = . 5 B. x = C. x = 2 2. Lời giải. Ta có 1 2 x AB − MO = − . 2 2 2 Chiều cao của hình chóp: BM = BO − MO =  2 x 2  x 2 1− x 2 h = BM − MO =  −  −   = .  2 2   2  2 2 2 Suy ra thể tích của khối chóp: 1 2 1− x 2 1 x4 −x5 2 x = . 3 2 3 2  2  2 2 Khảo sát hàm f ( x ) = x 4 − x 5 2 trên 0; .  , ta được f ( x ) lớn nhất khi x =  2  5 V= Chọn B.  2  Cách làm trắc nghiệm. Đầu tiên ta loại đáp án C do x = 2 2 ∉ 0;  . Thay ba đáp  2  án còn lại vào hàm số f ( x ) = x 4 − x 5 2 . So sánh kết quả nào lớn nhất ta chọn. Nếu đề bài hỏi giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp thì ta không làm theo cách này được. Câu 150. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m 2 và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). A. 16m × 24m . B. 8m × 48m . C. 12m ×32m . D. 24m ×32m . Lời giải. Đặt x , y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng. 384 . x Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.  384 576  Ta có S tp = 4 xh + 6 yh + 3 xy = 4 xh + 6. h + 1152 = 4 h  x +  + 1152 .  x x  Theo giả thiết, ta có x .3 y = 1152  →y= Vì h không đổi nên S tp nhỏ nhất khi f ( x ) = x + Khảo sát f ( x ) = x + 576 (với x > 0 ) nhỏ nhất. x 576 với x > 0 , ta được f ( x ) nhỏ nhất khi x = 24  → y = 16 . x Chọn A. Cách 2. BĐT Côsi x + 576 576 576 ≥ 2 x. = 48. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = → x = 24. x x x