Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ Pháp

Giới thiệu Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ Pháp

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ PhápChương Giới hạn.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 11 tại đây.

Text Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ Pháp
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong ÑAÏI SOÁ VAØ GIAÛI TÍCH 11 GIỚI HẠN LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG 1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án. 4. Một số đề ôn kiểm tra Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn. Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: [email protected] Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp MỤC LỤC §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ……………………………………………… 01 – 19 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ……………………………………………. 20 – 40 §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ……………………………………………………… 41 – 56 ÔN TẬP CHƯƠNG IV ………………………………………………………… 57 – 79 MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ……………………………………………… 80 – 88 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẤN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số lim un = 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n →+∞ đi. lim vn = a ⇔ lim (vn − a) = 0 n →+∞ n →+∞ ( ) Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số un có giới hạn 0 2. Giới hạn vô cực lim un = +∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n →+∞ trở đi. Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞ Dãy số ( un ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim(−un ) = +∞ Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ ; lim un = −∞ ⇔ lim (−un ) = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ Lưu ý: Thay cho viết lim un = a, lim un = ±∞ , ta viết lim un = a, lim un = ±∞ n →+∞ n →+∞ 3. Các giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim k = 0 ; lim = 0 ; n n n b) lim q = 0 , nếu q < 1 ; c) lim c = c ; lim lim n k = +∞ , với k nguyên dương. lim q n = +∞ nếu q > 1 c = 0, nk lim(c un) = climun, với c là hằng số, k ∈ ℕ* n = 0 nếu q > 1 qn 4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. Nếu lim un = L và lim vn = M , thì: d) lim lim(un + vn ) = lim un + lim vn = L + M lim(un − vn ) = lim un − lim vn = L − M lim un .vn = lim un .lim vn = L .M lim(c.un ) = c.L ( với c là hằng số) lim un L = (nếu M ≠ 0 ) vn M Định lí 2. Giả sử lim un = L Nếu un ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim un = L lim un = L và lim 3 un = 3 L Nếu lim un = +∞ thì lim 1 =0 un 5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Quy tắc 1. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim ( un vn ) được cho trong bảng: Chương IV. Giới hạn 1 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 lim un GV. Lư Sĩ Pháp lim ( un vn ) lim vn +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc 2. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L ≠ 0 thì lim ( un vn ) được cho trong bảng: lim un Dấu của L lim ( un vn ) +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ u  c) Quy tắc 3. Nếu lim un = L ≠ 0 và lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 thì lim  n  được cho trong  vn  bảng: Dấu của L Dấu của vn u  lim  n   vn  + + +∞ + − −∞ + − −∞ − − +∞ u Chú ý . Nếu lim un = L > 0,lim vn = ±∞ thì lim n = 0 vn 6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1 Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = 1 ; q < 1 hay S = u1 + u1q + u1q 2 + ... + u1q n −1 + ... = 1 ; q < 1 1− q 1− q 7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a n  1 d) Số e: e = lim  1 +  n →+∞  n 9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực: + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu cho nk, với k là số mũ cao nhất. + Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp. 10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn - Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. Chương IV. Giới hạn 2 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập - Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này. B. BÀI TẬP n +1 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0. n2 HD Giải 1 1 + 2 n +1 n +1 n n = 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy Đặt vn = 2 . Ta có lim vn = lim 2 = lim n 1 n n ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ vn ≤ vn (2) Bài 1.1. Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤ Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim un = 0. 3n + 1 − sin π n 3n HD Giải  π π n 3n + 1 − sin sin     1 n = lim  1 + n Ta có lim   − n  3 3n 3       Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn lim sin Mặt khác, ta lại có π n n ≤ 1 = 1 và lim 1 = lim  1  = 0 nên 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé   n 3n 3n 3 3n 3n 3 tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. sin Từ đó suy ra π 3n n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. π  π n sin     1 n = lim  1 + n Nghĩa là lim n n = 0 . Vậy lim   − n  =1 3 3 3n 3       Bài 1.3. Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = +∞ sin 3n + 1 − sin π HD Giải có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào Vì lim n = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên đó trở đi. Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim un = +∞ 2 n2 Bài 1.4. Biết dãy số (un) thỏa mãn un − 1 < Chương IV. Giới hạn 1 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 1 n3 3 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải Ta có lim 1 1 = 0 nên 3 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt 3 n n khác, ta có un − 1 < 1 1 = 3 với mọi n 3 n n Từ đó suy ra un − 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(un – 1) = 0. Do đó limun = 1 Bài 1.5. Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1 n+2 1 100 b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998; 2,001) HD Giải 2n + 1 −3 3 1 3 1 a) Ta có un − 2 = . Khi đó un − 2 < ⇔ < ⇔ n > 298 −2 = = n+2 n+2 n+2 100 n + 2 100 a) Tìm số n sao cho un − 2 < 3 3 < n + 2 2009 3 3 3 ⇔ un − 2 < ⇔ 2− < un < 2 + ⇔ 1,998 < un < 2, 001 2009 2009 2009 Bài 1.6. Tính các giới hạn sau 6n − 1 4n 2 − n − 1 3n 2 + n − 5 2n3 − 2n + 3 a) lim b) lim c) lim d) lim 3n + 2 3 + 2n 2 1 − 4 n3 2n 2 + 1 HD Giải  1 1 1 1 n6 −  4− − 2 6− 2 n 6n − 1 4 n − n − 1  = lim n n =2 n =2 b) lim a) lim = lim  = lim 2 2 3 3n + 2   2 3 + 2n 3+ +2 n3+  n n2 n   b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔ c) lim 3n + n − 5 3 = 2 2n 2 + 1 2 d) lim 2n − 2n + 3 = lim 1 − 4n3 3 Bài 1.7. Tính các giới hạn sau:  n + 1 cos n  3n + 5.4 n (−2)n + 3n a) lim n b) c) lim  lim + n  n n +1 n +1 4 +2 (−2) + 3 3   n HD Giải n  3   n 3 4 n    + 5 4 +5  4   3n + 5.4 n   a) lim n = lim = lim   n = 5 n n  2  4 +2 1 1+   4n 1 +     4  2   (−2)n + 3n 1 b) lim = n +1 n +1 3 (−2) + 3 Chương IV. Giới hạn 4 2 3 + n 2 n3 = − 1 1 2 −4 3 n 2−  (−1)n  d) lim  3 + n  2   0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  n + 1 cos n  n +1 cos n c) lim  + n  = lim + lim n = 1 n 3  3  n n   1 (−1)n  d) lim  3 + n  = lim 3 + lim  −  = 3 2   2  Bài 1.8. Tính các giới hạn 3n 2 + 1 + n 1 − 2n 2 a) lim b) lim (n + 1)(3 − 2n)2 9n 2 − n + 1 c) lim 4n − 2 n3 + 1 HD Giải d) lim 4n 2 + 1 + n 2n + 1 1 1 1 1 +n 3+ 2 + 2 n n n n = lim =0 1 1 − 2n2 −2 n2 8 3 9 4− − 2 + 3 (n + 1)(3 − 2n)2 4n3 − 8n 2 − 3n + 9 n n n =4 b) lim = lim = lim 1 n3 + 1 n3 + 1 1+ 3 n 3n 2 + 1 + n a) lim = lim 1 − 2n 2 n 3+ 1 1 + 2 9n − n + 1 3 9n 9n c) lim = lim = 4n − 2 4n − 2 4 1 4 + 2 +1 2 4n + 1 + n 3 n d) lim = lim = 1 2n + 1 2 2+ n Bài 1.9. Tính các giới hạn sau 3n 1 − 2 ( c) lim ( a) lim a) lim ( = lim ) n + n +1 − n ) n2 + n − n2 − 1 4 2 n +n− 2 ( n − 1 ) = lim 2 n +1 n + n + n2 − 1 2 = lim 2 ( n 4 + n2 + 1 − n2 Chương IV. Giới hạn )  n   ( d) lim n 2 ( b) lim ( n − n − n ) = lim c) lim b) lim n2 − n − n ( n2 − 1 − n2 + 2 HD Giải n + n − n −1 2 2 )( ) n2 + n + n2 − 1 ) ) n2 + n + n2 − 1  1 n 1 +  1  n = 1 1  2 1+ + 1− 2  n n  n2 − n − n )( n2 − n + n ) = lim −n =−  1  n  1 − + 1  n   1 1+ 2 n 4 + n2 + 1 − n 4 1 n = lim = lim = 2 1 1 n 4 + n2 + 1 + n2 1+ 2 + 4 +1 n n n2 − n + n 5 1 2 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập d ) lim n ( Toán 11 ) n − 1 − n + 2 = lim 2 2 = lim n ( n2 + n + 2 − n + 1 a) +∞ ) n 2 + 3n − n + 2 ( 1 n + 2n − n 2 HD Giải 1 c) 3 2 +1 n =1 2 1+ n 2 + 2n + n d) lim = lim 2 = lim n + 2n − n 2 n 2 + 2n − n Bài 1.11. Tính các giới hạn sau c) lim n 3n + 2 − 2n + 1 d) lim 1 ( ) 1 b) lim b) 0 a) lim n2 − 1 + n2 + 2 n2 − 1 + n2 + 2 −3n 3 =− 2 1 2  1− 2 + 1+ 2  n n  n2 + 1 − n + 1 3n + 2 c) lim )( n2 − 1 − n2 + 2  n   Bài 1.10. Tính các giới hạn sau: a) lim ( GV. Lư Sĩ Pháp n −1 − n ) b) lim ) ( 3 )( ( ) 4n 2 + 1 − 2n + 1 d) lim HD Giải n3 − 2n 2 − n n 2 + 2n − n )  n 2 + 3n − n  n 2 + 3n + n   a) lim n + 3n − n + 2 = lim  + 2 n 2 + 3n + n               3n 3 7 = lim  + 2  = lim  + 2 =   2 3  n  1 + 3 + 1  1+ +1        n n       2   3 3 n − 2n 2 − n  3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2    b) lim 3 n3 − 2n 2 − n = lim 2 3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n2 + n 2 ( ) 2 ) ( = lim ( −2n 3 c) lim n ( ) ( 5 2 3 ) n − 1 − n = lim Chương IV. Giới hạn 3 2 2 n (n −1− n) n −1 + n ) ) 2 n − 4n + 4n + n n − 2n + n 6 ( −2 = lim 3 = − lim 1− 4 4 3 2 + 4 + 1− +1 n n n n   1 n  1 − + 1  n   6 =− =− 2 3 1 2 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập 4n 2 + 1 − 2 n + 1 d ) lim n 2 + 2n − n Toán 11 ( = lim 4n 2 + 1 − (2n − 1) ( n 2 + 2n − n )( )( 4n2 + 1 + (2n − 1) n 2 + 2n + n )( )( n 2 + 2n + n 4n 2 + 1 − (2n − 1) ) ) GV. Lư Sĩ Pháp   2 2  1 + + 1 4n n + 2n + n   n   = 4 =1 = lim = lim 1  1 4 2n 4n 2 + 1 + (2n − 1) 4+ 2 +2−  n n  ( ( ) 2 ) Bài 1.12. Tính các giới hạn sau: d) ) b) lim 2.3n − 5.4n c) lim d) lim 2.3n − n + 2 a) +∞ ; c) lim ( a) lim 3n 4 − 10n + 12 ( n2 − n + n ) HD Giải b) −∞   1 n 2 − n + n = lim n  1 − + 1 = +∞   n   ) ( 2.3n − n + 2 = lim 2 − ( ) 3 n 2− n 2 n 2 + n với mọi n. Vì lim n = 0; lim n = 0 nên n 3 3 3 3 n 2 + = 2 > 0 . Ngoài ra lim 3n 3n ( 3) n = +∞ Do đó lim 2.3n − n + 2 = +∞ Bài 1.13. Tính các giới hạn sau:  2  a) lim  n 2 −  n +1  b) lim(−n 2 + n n + 1)  1 2 3 n −1  d) lim  2 + 2 + 2 + … + 2  n +1  n +1 n +1 n +1 HD Giải 1 2 1+ − 2  2 2  n3 + n 2 − 2 n n = +∞ a) lim  n − = lim  = lim 1 1 n + 1 n + 1   + 3 2 n n  1 1  b) lim(−n 2 + n n + 1) = lim(− n2 )  1 − + 2  = −∞  n n   c) lim n 1 + 2 + 3 + … + n n2 + n + 1 n(n + 1) n 1 + 2 + 3 + … + n c) lim = lim 2 2 = lim 2 n + n +1 n + n +1 1+ n 1 n = 2 2  1 1  2 1 + + 2   n n   1 2 3 n −1  1 + 2 + 3 + … + (n − 1) n(n − 1) 1 d) lim  2 + 2 + 2 + … + 2 = lim 2 =  = lim 2 n +1 n +1 2n + 2 2  n +1 n +1 n +1 Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau 2n +1 − 3.5n + 3 2 n +1 − 3n + 11 a) lim 3.2 n − 5n+1 + 10 b) lim c) lim 3.2 n + 7.4n 3n + 2 + 2 n+3 − 4 ( ) Chương IV. Giới hạn 7 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3n + 2 n +1 f) lim 3.4 n − n + 2 5 + 3n +1 HD Giải n  2 1 a) lim 3.2 n − 5n+1 + 10 = lim 5n  3.   − 5 + 10. n   5 5    n  2 1 Ta có lim 5n = +∞ , lim  3.   − 5 + 10. n  = −5 < 0 . Do vậy lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = −∞   5 5    d) lim 13.3n − 5n 3.2 n + 5.4 n ( e) lim ) ( ) n 2 3 2.   − 3 + n n +1 n 2 − 3.5 + 3 5  5 b) lim = lim n n n n 3.2 + 7.4 2 4 3.   + 7.2.   5  5 n n n   2 n   2 n 2 4 4  3 Ta có lim  2.   − 3 + n  = −3 < 0 ; lim 3.   + 7.2.    = 0 và 3.   + 7.2.   > 0, ∀n  5 5    5  5  5  5     2n +1 − 3.5n + 3 Vậy lim = −∞ 3.2n + 7.4 n 2 n +1 − 3n + 11 1 c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được lim n + 2 =− n +3 9 3 +2 −4 n 13.3n − 5n 0 d) Chia tử và mẫu cho 4n, và lưu ý lim n = 0 nếu q < 1 . Vậy lim = =0 q 3.2n + 5.4n 5 e) Xét un = Vậy lim n n +1 3n + 2n +1 1 n, khi đó lim 3 + 2 , chia tử và mẫu cho 3 = n +1 n +1 3 5+3 5+3 3n + 2 n +1 3 = n +1 3 5+3  n 2  f) lim 3.4n − n + 2 = lim 2n  3 − n + n   4 4   Ta có lim 2 n = +∞ , lim 3 − n 2 + n = 3 > 0 . Do vậy lim 3.4n − n + 2 = +∞ n 4 4 Bài 1.15. Tính các giới hạn  1 1 1 1  a) lim  + + + … +  n(n + 1)   1.2 2.3 3.4  1  1 1 1 b) lim  + + + … +  (2n − 1)(2n + 1)   1.3 3.5 5.7  1 2.12 + 3.22 + … + (n + 1)n 2 1 1  c) lim d) lim  + + … +  4  3 n n3 + 2 n3 + n   n +1 HD Giải  1  1 1 1  n 1  a) lim  + + + … + = lim  1 −  = lim  =1 n(n + 1)  n +1  1.2 2.3 3.4  n +1 b) Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  + + + … + = 1 − + − + … + − = 1 −  1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2  3 3 5 2n − 1 2n + 1  2  2n + 1   1  1 1 1 1 Nên lim  + + + … + = (2n − 1)(2n + 1)  2  1.3 3.5 5.7 Chương IV. Giới hạn 8 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập c) lim Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2.12 + 3.22 + … + (n + 1)n 2 13 + 23 + 33 + … + n3 + 12 + 22 + 32 + …n 2 = lim n4 n4 2 2  n(n + 1)  n(n + 1)(2n + 1)  1 2 3 1 + + 1 + n   2  + 6    + n n 2 n3 = 1 = lim  = lim 4 6 4 n4 1 1 d) Vì ≤ với mọi k ∈ ℕ* 3 3 n +k n +1 1 1 1 n 1 Do đó 0 < + + ... + ≤ < 3 3 3 3 n n +1 n +2 n +n n +1  1 1 1 1  Mà lim = 0 nên suy ra lim  + + ... +  = 0  3 n n3 + 2 n3 + n   n +1 Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết 1 1 1 1 1 1 a) un = b) un = + + ... + + + ... + 2 2 2 1 2 n n +1 n +2 n +n 1 1 1 3sin n + 4 cos n c) un = d) un = + + ... + n +1 n+ 1 n+ 2 n+ n HD Giải 1 1 1 a) Ta có + + ... + ≤ un ≤ + + ... + , ∀n ∈ ℕ* 2 2 2 2 2 2 n +n n +n n +n n +1 n +1 n +1 n n n n . Mà lim Do đó: ≤ un ≤ = 1 = lim n2 + n n2 + 1 n2 + n n2 + 1  1 1 1  Vậy lim un = lim  + + ... +  = 1  2 n2 + 2 n2 + n   n +1 1 1 1 n b) Ta có un ≥ + + ... + = = n , ∀n ∈ ℕ* n n n n  1 1 1  Mà lim n = +∞ . Vậy lim un = lim  + + ... +  = +∞ 2 n  1 1 1 1 1 1 1 c) Ta có + + ... + ≤ un ≤ + + ... + , ∀n ∈ ℕ* n+ n n+ n n+ n n+ 1 n+ 1 n+ 1 n n n n Do đó . Mà lim ≤ un ≤ = 1 = lim n +1 n +1 n+ n n+ n 1 1 1  1 1 1  Vậy lim un = lim  + + ... +  =1 n+ n  n+ 1 n+ 2 3sin n + 4 cos n 5 5 d) Ta có ≤ , ∀n ∈ ℕ* . Mà lim = 0. n +1 n +1 n +1 Vậy lim un = lim 3sin n + 4 cos n =0 n +1 Bài 1.17. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 − Chương IV. Giới hạn 1 1 + − ... 2 2 HD Giải 9 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Dãy số vô hạn 2, − 2,1, − Vì q = − 1 2 = 1 2 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 2 1 =− , ,... là một cấp số nhân với công bội q = − 2 2 2 2 < 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó S = 2 − 2 + 1 − 1 1 2 2 2 + − ... = = 1 2 2 2 +1 1+ 2 Bài 1.18. Tính tổng S = −1 + 1 1 (−1)n − 2 + ... + n −1 + ... 10 10 10 HD Giải 1 1 (−1)n 1 , − 2 ,..., n −1 ,... là một cấp số nhân với công bội q = − 10 10 10 10 1 1 Vì q = − = < 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 10 10 Dãy số −1, Do đó S = −1 + 1 1 (−1)n − 2 + ... + n −1 + ... = 10 10 10 Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân −1 10 =− 11  1 1−  −   10  1 1 1 1 , 2 , 3 ,..., n ,... 2 2 2 2 HD Giải 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 ,..., n ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = , q = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Do đó S = + 2 + 3 + ... + n + ... = 2 = 1 1 2 2 2 2 1− 2 Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777…dưới dạng một phân số. HD Giải 7 7 7 Ta có 0, 777... = + 2 + 3 + ... 10 10 10 7 1 Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = , q = 10 10 7 7 7 7 7 Do đo 0, 777... = + 2 + 3 + ... = 10 = 7 9 10 10 10 1− 10 Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số. HD Giải Dãy số 2 31 = 1 99 1− 100 Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13) và c = 2,131131131…( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số. HD Giải 0,313131... = 31 31 1 31  1  31 + . + . .  + ... = 100 100 100 100  100  100 Chương IV. Giới hạn 10 1 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 2 2 101 Ta có a = 1,020202... = 1 + + + ... + + ... = 1 + 100 = 1 + = 2 n 1 100 100 99 99 100 1− 100 2 2 2 1 (vì , ,... ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = ) 2 n 100 100 100 100 13 13 13 13 13 211 + + ... + + ... = 2 + 100 = 2 + = Ta có b = 2,131313... = 2 + 2 n 1 100 100 99 99 100 1− 100 131 131 131 131 131 2129 Ta có c = 2,131131131... = 2 + + + ... + + ... = 2 + 1000 = 2 + = 2 n 1 1000 1000 999 999 1000 1− 1000 Bài 1.23. 5 39 a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . 3 25 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2 b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 HD Giải a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có  u1 5 = (1)  1 − q 3  3 39  u1 1 − q  1 − q = 25 (2)  ( Thay (1) vào (2), ta được ) 5 39 2 1 − q3 = ⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 1 3 25 5 ( ) n −1 2 b) un =   3 Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 3 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 4 HD Giải Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho.  u1 = 12 (1)  1 − q  u 3 Khi đó S = 1 . Theo giả thiết, ta có (2) . u1 (1 − q ) = 4 1− q  u1 > 0   2 u = 9 3 3 Nhân (1) với (2), ta có  1 ⇔ u1 = 3 ⇒ q = . Vậy u1 = 3; q = 4 4 u1 > 0 Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là Chương IV. Giới hạn 11 12 và 5 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp tổng cấp số nhân này là 15. HD Giải Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có  12   1 4 u1q = 5 q = q = ⇔ 5 hoặc  5  u = 3  u1 = 15 u = 12  1  1 1 − q Bài 1.26. a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là 155 . 16 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1 b) Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + … + n −3 + … 3 HD Giải a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có  u1 = 10 (1)  1 − q  5 155  u1 1 − q (2)  1 − q = 16  ( ) 155 1 ⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 5 16 2 1 1 b) Vì 9,3,1,…, n −3 ,… là cấp số nhân lùi vô hạn, có q = và u1 = 9 nên : 3 3 1 9 27 S = 9 + 3 + 1 + … + n −3 + … = = 1 2 3 1− 3 1 7 Bài 1.27. Giải phương trình + x + x 2 + … + x n + … = , trong đó x < 1 . x 2 HD Giải u1 x Vì x < 1 , nên với u1 = 1, q = x . Ta có S = = x + x 2 + ... + x n + ... = 1− q 1− x  1 2 x = 3 1 1 1 x 7 x − x + 1 7 Do đó: + x + x 2 + ... + x n + ... = + S ⇔ + = ⇔ = ⇒ x x x 1− x 2 x (1 − x ) 2 x = 2  3 u = 2 Bài 1.28. Cho dãy số (un) xác định bởi  1 . Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm un +1 = 2 + un ; n ≥ 1 giới hạn đó. HD Giải  a = −1 Đặt limun = a. Ta có un +1 = 2 + un ⇒ lim un +1 = lim 2 + un ⇒ a = 2 + a ⇒ a 2 − a − 2 = 0 ⇒  a = 2 Thay (1) vào (2), ta được 10(1 − q5 ) = Vì un > 0 nên lim un = a ≥ 0 . Vậy limun = 2. Chương IV. Giới hạn 12 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  1 u1 = 2  Bài 1.29. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi  un +1 = 1 ; n ≥ 1 2 − un  Dãy số (un) có giới hạn hay không khi n → +∞ ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó. HD Giải 1 2 3 4 n Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = . Từ đó ta dự đoán un = (1) 2 3 4 5 n +1 Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp: 1 1 – n = 1, ta có u1 = = (đúng) 1+1 2 k . Khi đó ta có – Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk = k +1 1 1 k +1 , nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1. = = uk +1 = k 2 − uk k +2 2− k +1 n n 1 – Vậy un = , ∀n ∈ ℕ* . Từ đó ta có lim un = lim = lim =1 1 n +1 n +1 1+ n u1 = 2  Bài 1.30. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi  un + 1 ;n ≥1 un +1 =  2 Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó. HD Giải 3 5 9 17 2 n−1 + 1 Ta có u1 = 2; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = . Từ đó dự đoán un = n−1 ;∀n ∈ ℕ* 2 4 8 16 2 Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh) n   1  n−1   1  2 n−1 + 1 Từ đó, lim un = lim un = n−1 = lim 1 +    = lim 1 + 2.    = 1 2   2     2   u1 = 1  Bài 1.31. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi  2un + 3 un +1 = u + 2 ; n ≥ 1 n  a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. HD Giải a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n. (1) – Với n =1, ta có u1 = 1 > 0 – Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta 2u + 3 2u + 3 có uk +1 = k . Vì uk > 0 nên uk +1 = k >0 uk + 2 uk + 2 Vậy: un > 0 với mọi n. 2u + 3 2u + 3 2a + 3 Đặt limun = a. Ta có un+1 = n ⇒ lim un+1 = lim n ⇒a= ⇒a=± 3 un + 2 un + 2 a+2 Vì un > 0 với mọi n, nên lim un = a ≥ 0 . Từ đó suy ra lim un = 3 Chương IV. Giới hạn 13 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp u1 = −5  Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi  . Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18 2un −6 un+1 = 3  a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn) và tìm lim un HD Giải 2 2 un − 6 + 18 = un + 12 3 3 Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được: 2 2 vn+1 = ( vn − 18) + 12 = vn . 3 3 a) Ta có vn+1 = un +1 + 18 = Điều này chứng tỏ, dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (vn). Khi đó S = 2 3 v1 13 = = 39 2 1− q 1− 3 Vì lim vn = 0 nên lim un = −18 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.33. Tính các giới hạn sau   sin 3n  (−1)n  a) lim  2 + b) lim  − 1  n+2   4n   Bài 1.34. Tìm limun với  n −1  c) lim    n  n2 − 3n + 5 −2 n 2 + n + 2 b) u = n 2n 2 − 1 3n 4 + 5 Bài 1.35. Tính các giới hạn sau: c) un = a) un = a) lim lim n 4 − 40n3 + 15n − 7 n 4 + n + 100 3.2 n − 8.7n 4.3n + 5.7n b) lim e) lim 2n3 + 35n 2 − 10n + 3 5n 5 − n3 + 2n ( 3 (2 2n +1 3.2n − 3n −2 n n −1 +4 ) n+2 d) lim    n +1  2n 2 − n 1 − 3n 2 c) lim ) f) lim d) un = 4n 2.3n + 4n 6n 4 + n + 1 2n + 1 ( 2 n 3n −1 − 5.2 n ( 3n−1 2 n + 4 Bài 1.36. Tính các giới hạn sau (−3)n + 2.5n 1 + 2 + 3 + … + n a) lim b) lim c) lim n 2 + 2n + 1 − n 2 + n − 1 n 2 n + n +1 1− 5 2 n +3 1 8 − 33n + 2 26 n +3 − 33n + 5 d) lim e) lim 3n + 4 2 n +3 f) lim 3n + 4 4 +5 4 + 72 n + 3 n + 2 − n +1 Bài 1.37. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111… d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38. (  1 1 1 1 a) Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,…,  −  2 4 8  2 d) ) ) ) n −1 ,… b) Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + … + (0,9)n −1 + … Chương IV. Giới hạn 14 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 5 39 Câu 1. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 3 25 đầu và công bội của cấp số đó. 2 2 5 5     q = q = q = q = A.  B.  C.  D.  2. 5. 2. 5. u1 = 2 u1 = 1 u1 = 1 u1 = 2 1 1 1 1  1 1 Câu 2. Tìm tổng S =  −  +  −  + … +  n − n  + …  2 3  4 9 2 3  1 2 . A. . B. 1. C. 2 3 D. 3 . 4 Câu 3. Tìm N = lim 3n 4 − 10n + 12. A. N = −∞. C. N = +∞. B. N = 0. 1 1 (−1)n Câu 4. Tính tổng S = −1 + − 2 + … + n −1 + … 10 10 10 10 10 B. S = . A. S = − . 11 11 Câu 5. Tìm P = lim A. P = cot C. S = D. N = 3. 1 . 11 D. S = − 11 . 10 3n + 2 n +1 . 5 + 3n +1 2π . 3 B. P = tan π C. P = sin 1 B. H = − . 2 C. H = 3. π π D. P = cos . 6 3 4 5 39 Câu 6. Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 3 25 hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2 5 2 B. u1 = 1, q = . C. u1 = 2, q = . D. u1 = 1, q = 2. A. u1 = 1, q = . 5 2 5 (−2)n + 3n . Câu 7. Tìm H = lim (−2)n+1 + 3n +1 1 A. H = . 3 . . D. H = 1. Câu 8. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là đầu và công bội của cấp số đó. 1  q = A.  B. 5. u1 = 5 Câu 9. Tìm J = lim n ( 1  q = 2.  u1 = 1 1  q = C.  2. u1 = 3 ) 1  q = D.  2. u1 = 5 n 2 − 1 − n2 + 2 . 1 B. J = − . C. J = +∞. 2 1 7 Câu 10. Giải phương trình + x + x 2 + … + x n + … = , trong đó x < 1 . x 2 1 2  2  1  A. x ∈  ;  . B. x ∈   . C. x ∈   . 3 3  3  3 A. J = 1. Chương IV. Giới hạn 155 . Tìm số hạng 16 15 3 D. J = − . 2 D. x ∈ {1;2} . 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 1 1 , 2 , 3 ,..., n ,... 2 2 2 2 1 1 B. S = . C. S = n+1 . 2 2 Câu 11. Tiính tổng S của cấp số nhân A. S = 1. D. S = 2n. 3 n6 − 7n3 − 5n + 8 . n + 12 B. Q = +∞. A. Q = 0. π 3n + 1 − sin n. Câu 13. Tìm I = lim 3n 1 1 A. I = . B. I = . 3 2 Câu 12. Tìm Q = lim C. Q = 1. D. Q = n. C. I = 1. D. I = 0. C. J = 2. D. J = +∞. C. S = 2 + 1. D. S = Câu 14. Tìm J = lim 2.3n − n + 2. A. J = −∞. B. J = 1. 1 1 Câu 15. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 − + − ... 2 2 A. S = 2 2. B. S = 2 . 2 2 2 +1 2 +1 1 Câu 16. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ... 3 35 7 1 27 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 2 2 2 Câu 17. Cho (un ) và (vn ) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. lim 3 un = 3 lim un . C. lim . B. lim vn = lim vn . 1 1 = . un lim un D. lim un lim un = . vn lim vn Câu 18. Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ... A. S = 9. Câu 19. Tìm L = lim A. L = 2. B. S = 10. ( ) D. S = C. L = +∞. D. L = 1. C. J = 0. D. J = 2. n2 − n + n . B. L = 0.  n + 1 cos n  + n . Câu 20. Tìm J = lim  3   n 1 A. J = . 2 9 . 10 C. S = 11. B. J = 1. a 2n +1 − 3n + 11 a tối giản. Tính P = ab + a. = , với a, b ∈ ℤ và n+2 n +3 b 3 +2 −4 b A. P = −12. B. P = −10. C. P = 9. D. P = 7. Câu 21. Biết lim Câu 22. Tìm F = lim ) ( n2 + n + 2 − n + 1 . ( ) A. F = 0. B. F = +∞. n Câu 23. Tìm M = lim 2.3 − 5.4 n . Chương IV. Giới hạn C. F = −∞. 16 D. F = 1. 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 4 A. M = . 3 B. M = −∞. GV. Lư Sĩ Pháp D. M = +∞. C. M = 5. Câu 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(2345) được viết dưới dạng một phân số tối giản là S = a − b. A. S = 12345. B. S = 54321. C. S = 2345. D. S = 5432. Câu 25. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 7,(23456) được viết dưới dạng một phân số tối giản là S = a − b. A. S = 654321. B. S = 123450. a . Tính b C. S = 123456. D. S = 623450. C. L = 3. D. L = 0. 2 C. E = − . 3 1 D. E = − . 3 C. L = −1. D. L = 1. a . Tính b Câu 26. Tìm L = lim 3.4n − n + 2. A. L = +∞. Câu 27. Tìm E = lim ( A. E = −2. ) n − 2n − n . 3 2 B. E = −1. 3n 2 + 1 + n . 1 − 2n 2 Câu 28. Tìm L = lim A. L = − B. L = 2. 3 3 . 2 B. L = 0.  1 1 1 1 Câu 29. Tính tổng S cấp số nhân 1, − , , − ,...,  −  2 4 8  2 3 A. S = . 4 Câu 30. Tìm H = lim ( 2 B. S = . 3 ) ,... 3 C. S = . 2 3 D. S = . 8 1 C. H = − . 2 D. H = 0. C. L = 5. D. L = +∞. n2 − n − n . B. H = −∞. A. H = 2. n −1 1  Câu 31. Tìm L = lim  n2 − 3sin 2n + 5  . 2  11 1 A. L = . B. L = . 5 2 Câu 32. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 A. un =   2 n −1 Câu 33. Biết lim A. S = 4. 2 B. un =   3 . n +1 3 C. un =   2 . n +1 . 2 3 2 D. un =   3 n −1 . n2 + 1 − n + 1 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính S = a 2 − b 2 . 3n + 2 b b B. S = −2. C. S = 10. D. S = −8. Câu 34. Tìm I = lim ( A. I = 1. ) n 4 + n 2 + 1 − n2 . 1 B. I = ( ) 3 +1 1 C. I = . 2 . D. I = 0. Câu 35. Tìm I = lim 3.2 n − 5n +1 + 10 . Chương IV. Giới hạn 17 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. I = +∞. B. I = −5. C. I = −2. D. I = −∞. n  (−1)  Câu 36. Tìm M = lim  3 + n  2   A. M = 3. B. M = 0. C. M = 1. D. M = 4. Câu 37. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3 hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 4 3 1 3 A. u1 = 3; q = 3. B. u1 = 3; q = . C. u1 = 3; q = . D. u1 = 1; q = . 4 4 4 n +1 n 2 − 3.5 + 3 Câu 38. Tìm H = lim . 3.2n + 7.4 n 2 A. H = −∞. B. H = −3. C. H = . D. H = +∞. 5 3n + 5.4n . Câu 39. Tìm K = lim n 4 + 2n 5 3 A. K = . B. K = 1. C. K = 5. D. K = . 2 4 Câu 40. Tìm F = lim n ( ) n −1 − n . 3 B. F = − . 2 1 Câu 41. Tìm N = lim . 3n + 2 − 2n + 1 A. F = 1. A. N = 3 − 2. Câu 42. Tìm K = lim A. K = 1. B. N = 1. (n + 1)(3 − 2n)2 . n3 + 1 B. K = −2. C. F = 0. 1 D. F = − . 2 C. N = 0. D. N = C. K = 4. D. K = 2. 1 3− 2 . 4n + 1 + n a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 2n + 1 b b A. 2b − a = −1. B. a + b = 5. C. a − 2b = −1. D. ab + 4 = 10. Câu 43. Biết lim 2 4n 2 + 1 − 2n + 1 Câu 44. Tìm P = lim n 2 + 2n − n 3 A. P = . 2 Câu 45. Tìm G = lim . B. P = −1. C. P = 0. D. P = 1. 3sin n + 4 cos n . n +1 1 D. G = . 2 Câu 46. Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N và O với 3n − 1 n −2 3n − 5.4 n A = lim H = lim n 2 + 2n − n N = lim O = lim n+2 3n + 7 1 − 4n Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng. A. HANO. B. HOAN . C. NHOA. D. NHAO. A. G = 1. B. G = 7. ( Chương IV. Giới hạn C. G = 0. ) 18 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 47. Biết lim ( Câu 50. Biết lim ( GV. Lư Sĩ Pháp ) a a n2 + 3n − n + 2 = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính S = a + b − ab. b b A. S = 9. B. S = −14. C. S = −5. D. S = 23. 1 Câu 48. Tìm M = lim . n 2 + 2n − n 1 A. M = 1. B. M = . C. M = 0. D. M = −2. 2 1 Câu 49. Biết dãy số (un) thỏa mãn un − 1 < 3 với mọi n. Tìm lim un ? n 1 A. lim un = −1. B. lim un = 0. C. lim un = . D. lim un = 1. 2 ) n2 + n − n2 − 1 = a, a ∈ ℚ. Tính S = a 2 + a + 1. 3 A. S = . 2 7 C. S = . 4 B. S = 1. 1 D. S = . 2 9n 2 − n + 1 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4n − 2 b b B. a + b = 9. C. 2a + b = 12. D. ab + 2 = 10. A. b − a = 1. n 13.3 − 5n Câu 52. Tìm Q = lim . 3.2n + 5.4 n 3 1 B. Q = 0. C. Q = . D. Q = . A. Q = −∞. 4 2 Câu 51. Biết lim ĐÁP ÁN 1 B 26 A 51 A 2 A 27 C 52 B 3 C 28 B 53 4 A 29 B 54 5 B 30 C 55 6 A 31 D 56 Chương IV. Giới hạn 7 A 32 D 57 8 D 33 D 58 9 D 34 C 59 10 A 35 D 60 11 A 36 A 61 12 B 37 B 62 13 C 38 A 63 19 14 D 39 C 64 15 D 40 D 65 16 D 41 C 66 17 A 42 C 67 18 B 43 A 68 19 C 44 D 69 20 B 45 C 70 21 B 46 B 71 22 B 47 C 72 23 B 48 A 73 0916620899 – 0355334679 24 C 49 D 74 25 D 50 C 75 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn − Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K { x 0 } ). lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( x n ) bất kì, xn ∈ K { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L x → x0 n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( x 0 ; b ) . lim+ f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x → x0 x0 < xn < b và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; x0 ) . lim− f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x → x0 a < xn < x0 và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x →+∞ xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = L . n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x →−∞ xn < a và xn → −∞ thì lim f ( xn ) = L . n →+∞ 2. Giới hạn vô cực − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = −∞ khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất x →+∞ kì, xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = −∞ . n →+∞ − Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K { x 0 } ). lim f ( x ) = +∞ khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = +∞ x → x0 n →+∞ − lim f ( x ) = +∞ ⇔ lim  − f ( x ) = −∞ x →+∞ x →+∞ 3. Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí 1. Giả sử lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M . Khi đó x → x0 x → x0 a) lim  f ( x ) ± g( x ) = L ± M x → x0 b) lim  k. f ( x ) = k . lim f ( x ) = k.L;(k ∈ ℝ ) x → x0 x → x0 c) lim  f ( x ).g( x ) = L .M x → x0 d) lim x → x0 lim f ( x ) f ( x ) x → x0 L = = (nếu M ≠ 0, lim g( x ) ≠ 0 ) x → x0 g( x ) lim g( x ) M x → x0 e) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x ) = L thì L ≥ 0 và lim x → x0 x → x0 f (x) = L Các tính chất trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞ Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên) lim f ( x ) = L khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 4. Các giới hạn đặc biệt a) lim x = x0 x → x0 Chương IV. Giới hạn 20 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 x → x0 c) c = 0 (c là hằng số). x →±∞ x lim c = c ; b) lim c = c ; GV. Lư Sĩ Pháp lim x →±∞ lim x = +∞ , với k nguyên dương k x →+∞ d) lim x k = −∞ , nếu k là số lẻ; lim x k = +∞ , nếu k là số chẵn x →−∞ x →−∞ sin x sin u( x ) = 1 ; lim u( x ) = 0 ⇒ lim =1 x →0 x →0 x →0 x u( x ) e) lim tan x π = 1 ; lim tan x = ; x →+∞ x 2 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích ƒ(x).g(x) f) lim lim tan x = − x →0 x →−∞ π 2 Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0 và lim g( x ) = +∞ hoặc  lim g( x ) = −∞  thì lim f ( x ).g( x ) được tính: x → x0 x → x0 x → x0  x → x0  lim f ( x ) lim g( x ) lim f ( x ).g( x ) x → x0 x → x0 +∞ −∞ +∞ −∞ L>0 L<0 b) Quy tắc tìm giới hạn của thương lim f ( x ) x → x0 f (x) g( x ) lim g( x ) +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu của g(x) x → x0 f (x) g( x ) 0 +∞ −∞ −∞ +∞ lim x → x0 ±∞ L x → x0 Tùy ý + − + − L>0 0 L<0 4. Khử các dạng vô định Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định hàm số về dạng áp dụng được các định lí này. 0 f (x) Dạng 1. Tính lim khi lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 (hay dạng ) x → x0 x → x0 x → x0 g( x ) 0 - Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau: ( x − x 0 ) A( x ) f ( x) A( x ) A( x ) lim = lim = lim và tính lim x → x 0 g( x ) x → x0 ( x − x ) B ( x ) x → x0 B ( x ) x → x 0 B( x ) 0 - Nếu f ( x ) hay g( x ) có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước. f (x) ∞ Dạng 2. Tính lim khi lim f ( x ) = ±∞ và lim g( x ) = ±∞ (hay dạng ) x → x 0 g( x ) x → x0 x → x0 ∞ Ta chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước). - Nếu f ( x ) hay g( x ) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa x k ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x . Dạng 3. Tính lim  f ( x ) − g( x ) khi lim f ( x ) = lim g( x ) = +∞ (hay dạng ∞ − ∞ ) hoặc - x → x0 x → x0 x → x0 Tính lim f ( x ).g( x ) khi lim f ( x ) = 0 và lim g( x ) = ±∞ (hay dạng 0.∞ ) x → x0 Chương IV. Giới hạn x → x0 x → x0 21 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập - Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức) B. BÀI TẬP Bài 2.1. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: x2 − 4 2x2 + x − 3 a) lim b) lim x →−2 x + 2 x →1 x −1 2 − 5x 2 x →+∞ x 2 + 3 x +1 x →4 3x − 2 HD Giải d) lim c) lim x2 − 4 x2 − 4 . Xét hàm số f ( x ) = x →−2 x + 2 x+2 Hàm số xác định trên ℝ {−2} a) lim Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 và xn → −2 khi n → +∞ ( hay lim xn = −2 ) xn2 − 4 ( x + 2)( xn − 2) Ta có lim f ( xn ) = lim = lim n = lim( xn − 2) = −4 xn + 2 xn + 2 x2 − 4 = −4 x →−2 x + 2 2x2 + x − 3 2x2 + x − 3 b) lim . Xét hàm số f ( x ) = x →1 x −1 x −1 Hàm số xác định trên ℝ {1} Vậy lim Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ 1 và xn → 1 khi n → +∞ ( hay lim xn = 1)  3 2( xn − 1)  xn +  2 x + xn − 3 2  3  Ta có lim f ( xn ) = lim = lim = lim 2  xn +  = 5 xn − 1 xn − 1 2  2 n 2x2 + x − 3 =5 x →1 x −1 x +1 x +1 c) lim . Xét hàm số f ( x ) = x →4 3 x − 2 3x − 2   2  2 2 Hàm số xác định trên  −∞;  ∪  ; +∞  và x = 4 ∈  ; +∞  3 3   3  2  Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈  ; +∞  và xn → 4 khi n → +∞ 3  Vậy lim Ta có lim f ( xn ) = lim xn + 1 4 +1 1 x +1 1 = = . Vậy lim = x → 4 3 xn − 2 3.4 − 2 2 3x − 2 2 2 − 5x 2 2 − 5x2 d) lim 2 . Xét hàm số f ( x ) = 2 x →+∞ x + 3 x +3 Hàm số xác định trên ℝ Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞ 2 −5 2 − 5x xn2 2 − 5x 2 Ta có lim f ( xn ) = lim 2 = −5 = lim = −5 . Vậy lim 2 x →+∞ x + 3 3 xn + 3 1+ 2 xn 2 n Bài 2.2. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: Chương IV. Giới hạn 22 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 x3 + 1 x →+∞ x 2 + 1 x +3 x →5 3 − x 1 d) lim x →1 5− x a) lim GV. Lư Sĩ Pháp x 2 − 3x − 4 x →−1 x +1  1 e) lim  x.cos  x →0 x  b) lim c) lim HD Giải x +3 x +3 . Xét hàm số f ( x ) = 3− x 3− x Hàm số xác định trên ( −∞;3) ∪ ( 3; +∞ ) và x = 5 ∈ ( 3; +∞ ) a) lim x →5 Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ( 3; +∞ ) và xn → 5 khi n → +∞ Ta có lim f ( xn ) = lim xn + 3 5 + 3 x+3 = = −4 . Vậy lim = −4 x → 5 3 − xn 3 − 5 3− x x3 + 1 x3 + 1 . Xét hàm số f ( x ) = . Hàm số xác định trên ℝ x →+∞ x 2 + 1 x2 + 1 Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞ b) lim 1 x +1 xn3 x3 + 1 = +∞ Ta có lim f ( xn ) = lim = lim = +∞ . Vậy lim 2 x →+∞ x + 1 1 x +1 1+ 2 xn xn + 3 n 2 n x 2 − 3x − 4 x 2 − 3x − 4 . Xét hàm số f ( x ) = x →−1 x +1 x +1 Hàm số xác định trên ℝ {−1} c) lim Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ −2 và xn → −1 khi n → +∞ ( xn + 1) ( xn − 4 ) xn2 − 3 xn − 4 Ta có lim f ( xn ) = lim = lim = lim ( xn − 4 ) = −5 xn + 1 xn − 1 x 2 − 3x − 4 = −5 x →−1 x +1 1 1 d) lim . Xét hàm số f ( x ) = x →1 5− x 5− x Hàm số xác định trên ( −∞;5 ) và x = 1 ∈ ( −∞; 5) Vậy lim Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ( −∞; 5) và xn → 1 khi n → +∞ Ta có lim f ( xn ) = lim 1 5 − xn = 1 5 −1 = 1 1 1 . Vậy lim = x →1 2 5− x 2  1 1 e) lim  x.cos  . Xét hàm số f ( x ) = x.cos . x →0 x x  Với mọi dãy ( xn ) mà xn ≠ 0 với mọi n và lim xn = 0 Ta có f ( xn ) = x n .cos 1 1 . Vì f ( x n ) = xn cos ≤ xn và lim xn = 0 xn xn  1 Nên lim f ( xn ) = 0. Do đó lim  x.cos  = 0 x →0 x  Bài 2.3. Tính các giới hạn sau: Chương IV. Giới hạn 23 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập a) lim x →3 a) lim x →3 x2 + 1 2 x Toán 11 x2 +1 2 x = lim x →3 x2 + x − 2 x −1 b) lim x →1 x2 +1 2 x = ( )= x2 − x − 2 x →−1 x 3 + x 2 HD Giải lim x 2 + lim lim 2 x lim 2.lim x x →3 ( ) 2x2 − x + 1 x →−1 x 2 + 2 x c) lim lim x 2 + 1 x →3 GV. Lư Sĩ Pháp x →3 = x →3 x →3 d) lim lim x.lim x + lim1 x →3 x →3 x →3 x →3 lim 2. lim x x →3 x →3 = 5 3 x2 + x − 2 x2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) = lim = lim = lim( x + 2) = 3 x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 2 x − x−2 ( x + 1)( x − 2) x −2 c) lim 3 = lim = lim 2 = −3 2 2 x →−1 x + x x →−1 x →−1 x x ( x + 1) b) lim 2x2 − x + 1 4 = = −4 x →−1 x 2 + 2 x −1 Bài 2.4. Tính các giới hạn sau: d) lim x2 −1 x →−3 x + 1 4 − x2 x →−2 x + 2 a) lim b) lim c) lim x →6 x +3 −3 x −6 d) lim x →−2 ( ) x2 + 5 −1 HD Giải x −1 x −1 9 −1 = lim = = −4 x →− 3 x +1 x + 1 −3 + 1 4 − x2 (2 − x )(2 + x ) b) lim = lim = lim (2 − x ) = 4 x →−2 x + 2 x →−2 x →−2 x+2 2 a) lim 2 x →−3 x +3 −3 = lim x →6 x −6 c) lim x →6 = lim x →6 ( ( x − 6) x−6 ( x − 6) d) lim x →−2 ( ( x +3 +3 ) x +3 −3 ) = lim x →6 ( )( x +3 +3 x +3 +3 1 ( x +3 +3 ) ) = ) 1 6 x2 + 5 −1 = 4 + 5 −1 = 2 Bài 2.5. Tính các giới hạn sau: x2 + 2x − 3 a) lim 2 x →1 2 x − x − 1 2− x b) lim x +7 −3 x →2 2 x 3 + 15 x →−2 ( x + 2)2 (1 + x )3 − 1 x →0 x HD Giải x2 + 2x − 3 ( x − 1)( x + 3) ( x + 3) 4 a) lim 2 = lim = lim = x →1 2 x − x − 1 x →1  1  x →1  1 3 2( x − 1)  x +  2 x +  2 2   b) lim x →2 2− x x + 7 −3 = lim x →2 ( = lim  −  x →2  c) lim x →3 (2 − x ) ( x +7 −3 ( x +7 +3 )( ) x +7 +3 ) ) = lim x →2 (2 − x ) x2 − 2x − 3 x −1 f) lim x2 + 5 − 3 x+2 x →3 e) lim d) lim c) lim x →−2 ( x +7 +3 x −2 ) x + 7 + 3  = −6  x2 − 2x − 3 9 − 6 − 3 = =0 x −1 3 −1 Chương IV. Giới hạn 24 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 x 3 + 15 . Ta có lim (2 x 3 + 15) = −1 < 0 và lim ( x + 2)2 = 0 . x →−2 x →−2 x →−2 ( x + 2)2 d) lim 2 x 3 + 15 = −∞ x →−2 ( x + 2)2 Nên lim (1 + x − 1) (1 + x )2 + (1 + x ) + 1 x (1 + x )2 + (1 + x ) + 1 (1 + x )3 − 1 e) lim = lim = lim x →0 x →0 x →0 x x x 2 = lim (1 + x ) + (1 + x ) + 1 = 3 x →0 x2 + 5 − 3 x2 + 5 − 9 x−2 2 = lim = lim =− x →− 2 x →− 2 2 2 x+2 3 x +5 +3 ( x + 2) x + 5 + 3 f) lim ) ( x →−2 Bài 2.6. Tính các giới hạn sau: x − x3 x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3) a) lim x −3 x →9 9 x − x 2 b) lim c) lim x →2  1 d) lim x  1 −  x →0  x x 4 + 3x − 1 2x2 −1 HD Giải a) lim x →1 x−x 1−1 = =0 4 (2 x − 1)( x − 3) (2.1 − 1)(14 − 3) 3 3 ( x −3 x −3 = lim x →9 9 x − x 2 x →9 9x − x2 b) lim ( )( )( ) = lim x − 9 = − lim x + 3) x ( 9 − x ) ( x + 3) x( x +3 x →9 x →9 1 x +3 ) =− 1 54 x 4 + 3x − 1 2 4 + 3.2 − 1 = = 3 x →2 2x2 −1 2.22 − 1  1  1 d) lim x  1 −  . Với mọi x ≠ 0 , ta có x  1 −  = ( x − 1) . x →0  x  x c) lim  1 Nên lim x  1 −  = lim( x − 1) = −1 x →0  x  x →0 Bài 2.7. Tính các giới hạn sau: a) lim x 2 − 4 x→ 3 d) lim x − 8 2 x→ 3 b) lim x →−1 d) lim x 2 − 8 = 5 x→ 3 1 − x 3 − 3x =3 x →−2 2 x 2 + x − 3 Bài 2.8. Tính các giới hạn sau: e) lim f) lim Chương IV. Giới hạn 2 x + 1 − 5 x2 − 3 2x + 3 x →−2 ) a) lim − x 3 + x 2 − x + 1 x →−∞ 2 x ( x + 1) x2 − 6 x3 2 = 2 2 x −3 x →−1 2 x ( x + 1) =2 x2 − 6 ( x →3 b) lim x→ 3 x →3 c) lim 3 2 x + 1 − 5 x2 − 3 1 − x 3 − 3x e) lim f) lim x →−2 x →−2 2 x 2 + x − 3 2x + 3 HD Giải a) lim x 2 − 4 = 3 − 4 = 1 c) lim 3 x3 x2 − 3 =3 2 x 3 + 3x − 4 x →+∞ − x 3 − x 2 + 1 b) lim 25 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập c) lim x →−∞ Toán 11 x2 − x − 4x2 + 1 2x + 3 d) lim x →−∞ GV. Lư Sĩ Pháp ( 4x2 − x + 2x ) HD Giải  1 1 1  a) lim − x 3 + x 2 − x + 1 = lim x 3  −1 + − 2 + 3  = +∞ x →−∞ x →−∞ x x x   ( ) 3 4 − 3 2 2 x + 3x − 4 x x = −2 b) lim = lim x →+∞ − x 3 − x 2 + 1 x →+∞ 1 1 −1 − + 3 x x 2+ 3 1 1 1 1 − x 4+ 2 −x 1− + x 4 + 2 x − x − 4x + 1 x x x = lim x c) lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x + 3 2x + 3 2x + 3 1 1 − 1− + 4 + 2 x x =1 = lim x →−∞ 3 2 2+ x 2 2 4x − x − 4x −x d ) lim 4 x 2 − x + 2 x = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2 1 4x − x − 2x x 4 − − 2x x −x 1 = lim = x →−∞ 4 1 −x 4 − − 2x x Bài 2.9. Tính các giới hạn sau: 2x − 6 17 −2 x 2 + x − 1 a) lim b) lim 2 c) lim x →+∞ 4 − x x →+∞ x + 1 x →+∞ 3+ x 2 x 1− 2 ) ( ) ( 3x 2 − 2 x x →+∞ x 2 + 1 d) lim e) lim x →+∞ x2 + 1 + x 5 − 2x HD Giải 6 2x − 6 x = −2 a) lim = lim x →+∞ 4 − x x →+∞ 4 −1 x 2− −2 x 2 + x − 1 c) lim = lim x →+∞ x →+∞ 3+ x e) lim x →+∞ f ) lim x →−∞ f) lim x →−∞ b) lim x →+∞ 1 1 − x x 2 = −∞ 3 1 + x2 x −2 + x2 − 2x + 4 − x 3x − 1 17 =0 x2 + 1 3x 2 − 2 x d) lim = lim x →+∞ x 2 + 1 x →+∞ 2 x =3 1 1+ 2 x 3− 1 1 1 +x x 1+ 2 + x 1+ 2 +1 2 x x x = lim = lim = −1 x →+∞ x →+∞ 5 5 − 2x 5 − 2x −2 x 2 4 1− + 2 +1 2 x − 2x + 4 − x 2 x x = − lim =− x →−∞ 1 3x − 1 3 3− x x2 + 1 + x = lim x →+∞ 5 − 2x Chương IV. Giới hạn x 1+ 26 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x ;x ≥ 0 Bài 2.10. Cho hàm số f ( x ) =  1 − x ; x < 0 Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f ( x ) không có giới hạn khi x → 0 . Phương pháp: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f ( x ) không có giới hạn khi x → x 0 ta thường làm như sau - Chọn hai dãy số khác nhau ( xn ) và ( yn ) thỏa mãn: xn và yn thuộc tập xác định của hàm số y = f ( x ) và khác x0 ; xn → x 0 ; yn → x0 - Chứng minh rằng lim f ( xn ) ≠ lim f ( yn ) hoặc chứng minh một trong các giới hạn này không tồn tại. n →+∞ n →+∞ Lưu ý: Trường hợp x → x ; x → x hay x → ±∞ chứng minh tương tự. HD Giải Hàm số xác định trên ℝ 1 1 Lấy dãy số ( xn ) với xn = . Ta có xn → 0 và lim f ( xn ) = lim xn = lim = 0 (1) n →+∞ n →+∞ n →+∞ n n  1 1 Lấy dãy số ( yn ) với yn = − . Ta có yn → 0 và lim f ( yn ) = lim (1 − yn ) = lim  1 +  = 1 n →+∞ n →+∞ n →+∞ n  n Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 0 Bài 2.11. 1 2 a) Cho hai dãy số có dạng tổng quát là un = 3 và vn = . Tính limun và limvn. 4n + 1 n + 0 − 0 b) Dùng kết quả câu a), chứng minh rằng hàm số f ( x ) = sin π x (2) không có giới hạn khi x → 0 HD Giải 2 1 2 a) lim un = lim 3 = 0, lim vn = lim = lim n = 0 (1) 1 4n + 1 n 4+ n b) Hàm số f ( x ) = sin lim f (un ) = lim sin lim f (vn ) = lim sin π x π 1 n3 xác định trên ℝ {0} . Ta có un , vn đều thuộc ℝ {0} , với mọi n và = sin n3π = 0 , π 2 4n + 1 = lim sin  (4n + 1)π π = lim sin  2nπ +  = 1 2 2  Vì limun = limvn = 0, nhưng lim f (un ) ≠ lim f (vn ) nên hàm số f ( x ) = sin π x không có giới hạn khi x→0 Bài 2.12. Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞ HD Giải Xét hai dãy số ( xn ) với xn = 2nπ và ( yn ) với yn = π 2 + 2nπ (n ∈ ℕ* ) π  π  Ta có lim x n = lim 2nπ = +∞ , lim yn = lim  + 2nπ  = lim n  + 2π  = +∞ 2   2n  Chương IV. Giới hạn 27 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp π  lim sin xn = lim sin 2nπ = lim 0 = 0 , lim sin yn = lim sin  + 2nπ  = lim1 = 1 2  Vì lim xn = lim yn = +∞ nhưng lim f ( xn ) ≠ lim f ( yn ) nên hàm số f ( x ) = sin x không có giới hạn khi x→0 1 Bài 2.13. Chứng minh rằng hàm số y = cos không có giới hạn khi x → 0 x HD Giải 1 1 Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là xn = và yn = 2nπ (2n + 1)π Làm tương tự như bài 2.12.  x + 1; x ≥ 0 1 1 Bài 2.14. Cho hàm số f ( x ) =  .và các dãy số ( un ) với un = và ( vn ) với vn = − . Tính n n 2 x; x < 0 lim un ; lim vn ; lim f (un ); lim f (vn ) HD Giải  1 1 = 0, lim vn = lim  −  = 0 n  n Ta có lim un = lim 1 1 1 2 + 1 và f (vn ) = − > 0 và vn = − < 0 . Nên f (un ) = n n n n  1   2 Từ đó lim f (un ) = lim  + 1 = 1; lim f (vn ) = lim  −  = 0  n   n   Vì lim un = lim vn = 0 nhưng lim f (un ) ≠ lim f (vn ) nên hàm số y = f ( x ) không có giới hạn khi x → 0 Do ∀n ∈ ℕ * , un = 5 x + 2; Bài 2.15. Cho hàm số f ( x ) =  2  x − 3; x ≥1 x <1 . Tìm lim− f ( x ), lim+ f ( x ), lim f ( x ) x →1 x →1 x →1 HD Giải 2 Ta có lim− f ( x ) = lim( ; x − 3) = − 2 lim f ( x ) = lim(5 x + 2) = 7 − + + x →1 x →1 x →1 x →1 Vì lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) nên lim f ( x ) không tồn tại x →1 x →1 x →1  x 2 − 2 x + 3; Bài 2.16. Cho hàm số f ( x ) =  4 x − 3; x≤2 x>2 . Tìm lim− f ( x ), lim+ f ( x ), lim f ( x ) x →2 x →2 x →2 HD Giải Ta có lim− f ( x ) = lim− ( x − 2 x + 3) = 3 ; lim+ f ( x ) = lim+ (4 x − 3) = 5 2 x →2 x →2 x →2 x →2 Vì lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) nên lim f ( x ) không tồn tại x →2 x →2 x →2  9 − x 2 ; −3 ≤ x < 3  Bài 2.17. Cho hàm số f ( x ) = 1; x = 3 . Tìm lim− f ( x ), lim+ f ( x ) và lim f ( x ) (nếu có) x →3 x →3 x →3  2 x − 9 ; x > 3  HD Giải Ta có lim− f ( x ) = lim− 9 − x 2 = 0 ; lim+ f ( x ) = lim+ x 2 − 9 = 0 x →3 x →3 x →3 x →3 Do đó lim f ( x ) = 0 x →3 Chương IV. Giới hạn 28 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11  1 3 − 3 ;  Bài 2.18. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x − 1 mx + 2;  x >1 GV. Lư Sĩ Pháp . x ≤1 Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x ) có giới hạn khi x → 1 ? Tìm giới hạn này. HD Giải Ta có  1 3  x2 + x − 2 lim+ f ( x ) = lim+  − 3  = lim+ 2 x →1 x →1  x − 1 x − 1  x →1 ( x − 1)( x + x + 1) = lim+ x →1 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2) = lim+ 2 =1 2 x → 1 ( x − 1)( x + x + 1) ( x + x + 1) lim− f ( x ) = lim( mx + 2) = m + 2 − x →1 x →1 f ( x ) có giới hạn khi x → 1 ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = 1. Khi đó lim f ( x ) = 1 x →1 Bài 2.19. Tính các giới hạn sau: 2x − 3 2x − 3 a) lim− b) lim+ x →1 x − 1 x →1 x − 1 2x − 7 d) lim+ e) lim 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x →−∞ x →1 x −1 HD Giải ( 2x − 7 x −1 c) lim− x →1 ) f) lim 2 x 4 − 3 x + 12 x →+∞ 2x − 3 = +∞ x −1 2x − 3 b) Ta có lim( x − 1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2 x − 3) = −1 < 0 . Vậy lim− = −∞ + + x →1 x →1 x →1 x − 1 2x − 7 c) Ta có lim( = +∞ x − 1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2 x − 7) = −5 < 0 . Vậy lim− − − x →1 x →1 x →1 x −1 2x − 7 d) Ta có lim( x − 1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2 x − 7) = −5 < 0 . Vậy lim+ = −∞ + + x →1 x →1 x →1 x −1   5 7  5 7  e) lim 2 x 3 − 5 x 2 + 7 = lim x 3  2 − + 2  . Ta có lim x 3 = −∞; lim  2 − + 2  = 2 > 0 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x  x x    a) Ta có lim( x − 1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2 x − 3) = −1 < 0 . Vậy lim− − − x →1 ( x →1 x →1 ) ( ) Vậy lim 2 x 3 − 5 x 2 + 7 = −∞ x →−∞ f) lim 2 x 4 − 3 x + 12 = lim x 2 2 − x →+∞ x →+∞ 3 12 + = +∞ x2 x4 Bài 2.20. Tìm các giới hạn sau: a) lim+ x →0 x+2 x x− x b) lim− a) Với mọi x > 0, ta có x →2 x− x x →2 c) lim + 2− x x+2 x b) Với mọi x < 2, ta có lim− Chương IV. Giới hạn 4 − x2 = 4 − x2 2− x x 2 + 3x + 2 d) lim− x5 + x4 HD Giải x →( −1) ( x( x )= x − 1) x +2 = lim− x →2 x +2 x −1 (2 − x )(2 + x ) 2− x 29 x 2 − 7 x + 12 9 − x2 x →3 . Do đó lim+ x →0 x+2 x x− x = lim+ x →0 x +2 x −1 = 2 = −2 −1 = lim− ( x + 2) 2 − x = 0 x →2 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 c) Với mọi x > -1, ta có x 2 + 3x + 2 lim + 5 x +x x →( −1) 4 x →( −1) x x +1 2 x →( −1) (3 − x )(3 + x ) x →3 x + 1( x + 2) =0 x2 = lim + (3 − x )(4 − x ) = lim− 9 − x2 x →3 ( x + 1)( x + 2) = lim + x 2 − 7 x + 12 d) Với mọi – 3 < x < 3, ta có lim− GV. Lư Sĩ Pháp = lim− x →3 4−x 3+ x = 6 6 Bài 2.21. Tìm các giới hạn sau: 1− x a) lim+ x2 + x − x x2 a) lim+ x2 + x − x x2 + x − x = lim = lim+ x → 0+ 2 x →0 x2 x x2 + x + x x →0 x →1 1− x 2 1− x +1− x 3− x c) lim− 27 − x 3 x →3 = lim− = lim− x →3 ( 1− x 1− x 2 + 1− x x →1 3− x ) = lim− x →1 = lim− (3 − x )(9 + 3 x + x 2 ) x2 + x + x x →3 9 + 3x + x 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x3 − 8 1 lim = = lim+ 2 + x →2 x − 2 x x →2 x →2 x x ( x − 2) Bài 2.22. Tìm các giới hạn sau: 2 x 4 + 3x + 1 x2 − x + 2 3 x →−2 d) lim + 3 x →−2 b) lim x →−∞ x →−∞ 8 + 2x − 2 e) lim x+2 x →( −2) a) lim b) lim x →2 2 + 1− x 3− x = x →2 x3 − 8 x2 − 2x = +∞ 1 2 =0 x2 + 2x + 4 = +∞ x −2 d) lim+ a) lim 1 d) lim+ 27 − x 3 x →3 1 ) 3− x c) lim− 2 1− x +1− x HD Giải x →1 ( x →0 b) lim− b) lim− x2 − x + 5 2x −1 3 x+4 . 2 4− x ( x − 2) HD Giải c) lim − x →( −3) f) lim x →−∞ ( x4 +1 x2 + 4x + 3 x2 + x − 4 + x2 ) 2 x 4 + 3 x + 1 3 27 3 = = 8 2 x2 − x + 2 x − x+5 = lim x →−∞ 2x −1 2 1 5 1 5 + 2 −x 1− + 2 1 x x x x = lim =− x →−∞ 2   1 1 x2−  x2−  x x   x 1− x4 +1 x4 +1 x4 +1 1 . Với mọi , ta có = . x < − 3 2 x →( −3) x + 4 x + 3 x2 + 4x + 3 x + 1 x + 3 x4 +1 1 x4 +1 Vì lim − = +∞ = −41 < 0 và lim − = −∞ nên lim − 2 x →( −3) x + 1 x →( −3) x + 3 x →( −3) x + 4 x + 3 c) lim − d ) lim + x →( −2) = lim + x →( −2) 8 + 2x − 2 x+2 = lim + x →( −2) 2( x + 2) x+2 ( 8 + 2x + 2 ) 8 + 2x − 4 x+2 ( = lim + x →( −2) 8 + 2x + 2 ) 2 x+2 8 + 2x + 2 =0 3 x+4 3 x+4 3 x+4 . . Vì lim = 3 > 0 . Nên lim . = +∞ = +∞ và lim 2 2 2 x →2 ( x − 2) x →2 ( x − 2) x →2 x →2 ( x − 2) 4− x 4− x 4− x e) lim Chương IV. Giới hạn 30 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập f ) lim x →−∞ Toán 11 ) ( x−4 x 2 + x − 4 + x 2 = lim 4 x 1− = lim =− x2 + x + 4 + x2 x →−∞ GV. Lư Sĩ Pháp x−4 = lim x →−∞ x 1+ 1 +x x 4 +1 x 1 2 1 4 − +1 x x Bài 2.23. Tìm các giới hạn sau: x →−∞ − 1+ a) lim x →0 x2 + 1 −1 x + 4×2 − x + 1 x →−∞ 1 − 2x d) lim a) lim x →0 b) lim x →1 x2 +1 −1 4 − x 2 + 16 x− x x −1 = lim x →0 x = lim ( e) lim x x →+∞ ( x2 + 1 − x )  1 1  f) lim+  2 −  x →2  x −4 x −2 HD Giải ) = − lim 4 + x + 16 = −4 x +1 +1 − x ( x + 1 + 1) ( x 2 4 + x 2 + 16 2 2 x →0 2 ) = lim x −1 x −1 x →1 c) lim x −1 x →1 4 − x 2 + 16 2 x 4 + 5x − 1 x →+∞ 1 − x 2 + x 4 x− x b) lim x →1 2 x =1 5 1 2+ 3 − 4 2 x 4 + 5x − 1 x x =2 c) lim = lim x →+∞ 1 − x 2 + x 4 x →+∞ 1 1 − +1 x 4 x2 1 1 + x + 4x − x + 1 x x2 1 d) lim = lim = x →−∞ x →−∞ 1 1 − 2x 2 −2 x x x2 + 1− x2 2 e) lim x x + 1 − x = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x2 +1 + x 1− 4 − 2 ( ) ( ) x x 1+ 1 +x x2 1 = lim x →+∞ 1+ 1 +1 x2 = 1 2  1 1  1 − ( x + 2) −x −1 f) lim+  2 − = lim+ = lim+ 2 = −∞  2 x →2 x →2 x − 4  x − 4 x − 2  x →2 x − 4 Bài 2.24. Tính các giới hạn sau: a) lim x →−2 6 − 3x b) lim x →2 2×2 + 1 x − 3x − 2 x2 − 4 2x −1 x →+∞ x + 3  n  d) lim−  x + x 2 + … + x n −  x →1 1− x   c) lim+ x →2 x 2 − 3x + 1 x−2 x + 4×2 −1 x →−∞ 2 − 3x e) lim f) lim HD Giải a) lim x →−2 b) lim x →2 6 − 3x 2×2 + 1 =4 x − 3x − 2 x 2 − 3x + 2 = lim x →2 x2 − 4 x 2 − 4 x + 3x − 2 Chương IV. Giới hạn ( )( ) 31 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập = lim x →2 Toán 11 ( x − 1)( x − 2) ( ( x − 2)( x + 2) x + 3 x − 2 = lim ) ( x →2 x −1 ( x + 2) x + 3 x − 2 GV. Lư Sĩ Pháp = ) 1 16 x − 3x + 1 = −∞ ( Vì khi x → 2+ thì lim+ ( x − 2 ) = 0 và x − 2 > 0 còn x 2 − 3 x + 1 → −1 ) x →2 x −2  n  − d) lim−  x + x 2 + … + x n −  . Khi x → 1 thì x < 1 nên theo tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta x →1 1 − x    x x n  x−n . Do đó lim−  có: x + x 2 + ... + x n = − = lim− = −∞  x →1 1− x  1 − x 1 − x  x →1 1 − x 2 c) lim+ x →2 2x −1 e) lim = lim x →+∞ x + 3 x →+∞ 1 x =2 3 1+ x 2− x + 4x −1 lim x →−∞ 2 − 3x 2 f) lim 1− 4 − 2 −3 x Bài 2.25. Tính các giới hạn sau: x 2 + x + 10 a) lim x →−1 x3 + 6 x →−∞ x 2 + x − 40 x →+∞ 2 x 5 + 7 x 4 + 21 1 x2 = 1 3 x 2 + 11x + 30 x →−5 25 − x 2 b) lim d) lim g) lim x →+∞ ( e) lim x →−∞ 5x 2 + 1 − x 5 ) c) lim x6 + 4x2 + x − 2 (x x →−∞ 2x4 + 4x2 + 3 2x + 1 3 +2 ) 2 x +1 2x3 + x2 f) lim (2 x + 1) x →+∞ 1 h) lim x2 + x +1 − x x →+∞ HD Giải a) 2; b) 1 ; 10 c) 1; d) 0 3 1 − 2x2 + 4 + 2 2x4 + 4x2 + 3 2x4 + 4x2 + 3 x = −∞ = lim x = lim x →−∞ x →−∞ 1 1 2x + 1 2+ 2+ x x e) lim x →−∞  x +1 (2 x + 1)2 ( x + 1) (2 x + 1)( x + 1) 1  1  = lim = lim = lim  2 +   1 +  = 2 3 2 2 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x  x  2x + x x (2 x + 1) x  1 5 x 2 + 1 − x 5 = lim =0 x →+∞ 5x 2 + 1 + x 5 f ) lim (2 x + 1) x →+∞ g) lim x →+∞ h) lim ( ) 1 x →+∞ x + x +1 − x 2 = lim x →+∞ x + x +1 + x = lim x →+∞ x +1 2 1+ 1 1 + +1 x x2 =2 1 1+ x Bài 2.26. Tìm giới hạn các hàm số sau: a) lim x →2 x −2 3− x + 7 Chương IV. Giới hạn b) lim x →1 2x + 7 − 3 c) lim x +3 −2 x2 −1 x →1 3 32 x −1 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập x + x2 −1 −1 d) lim+ x →1 x →2 x →0 x 3 − 3x + 2 x 2 − 5x + 4 g) lim− x −2 3− x + 7 GV. Lư Sĩ Pháp 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 x →1 x 2 − 3x + 2 1− x − 3 1− x x e) lim x −1 x →1 a) lim Toán 11 f) lim  1 1  h) lim  2 − 3  x →1 x + x − 2 x −1   HD Giải = lim x →2 ( ( x − 2) (3 + x+7 )( ) 3− x + 7 3+ x + 7 ) = lim k) lim x →5 ( x − 2) (3 + x+7 2− x x →2 x −4 − x+4 +2 x −5 ) = − lim 3 + ( x →2 ) x + 7 = −6 ( 2 x + 7 − 3)( 2 x + 7 + 3)( x + 3 + 2) x +3 −2 ( 2 x + 7 + 3)( x + 3 − 2)( x + 3 + 2) 2( x − 1) ( x + 3 + 2 ) 2 ( x + 3 + 2) 4 4 = lim = lim = 2. = ( x − 1) ( 2 x + 7 + 3) ( 2 x + 7 + 3) 6 3 2x + 7 − 3 b) lim = lim x →1 x →1 x →1 x →1 c) lim x2 −1 x −1 x →1 3 = lim = lim x →1 ( x − 1)( x + 1) ( (x ( 3 3 )( −1 2 )( x −1 x2 + 3 x + 3 1 3 x2 + 3 x + 3 x2 + 3 x + 3 1 x −1 x →1 ( 3 ) x2 + 3 x + 3 1 = 6   x2 −1 x −1   = lim+  x + 1 + = lim+  + x →1  x − 1  x →1   x −1  x −1 x →1 ) = lim(x + 1) x →1 x + x2 −1 −1 d ) lim+ ) 1) 3 ( )( x + 1)   x − 1 ( x + 1)   x −1   x −1   = lim  x + 1 + ( x − 1) x − 1  = lim+ x + 1 +   +   x →1 ( x − 1) x + 1  x − 1 x + 1  x →1      x −1  = lim+  x + 1 +  = 2 ( vì x → 1+ ⇒ x − 1 > 0 ) x →1  x + 1   ( e) lim x →0 ( = lim 3 1− x − 3 1− x 1− x −1 1− x −1 = lim − lim x →0 x →0 x x x x →0 = lim x →0 x ( )( 1− x −1 x →0 = lim ) x ( ( ) ) 1− x +1 ) 1− x +1 − lim x →0 − lim x →0 ( 3 x 3 ( )( 1− x −1 x →0 1− x +1 −x −1 ) − lim ( 1− x +1 x ( 3 3 (1 − x )2 + 3 1 − x + 3 1 (1 − x )2 + 3 1 − x + 3 1 x 3 (1 − x ) + 3 1 − x + 3 1 2 1 (1 − x )2 + 3 1 − x + 3 1 ( ) ) ) ) =− 1 6 )( (3 x − 2) − 4 x 2 − x − 2 (3 x − 2) + 4 x 2 − x − 2 (3 x − 2) − 4 x 2 − x − 2 f ) lim = lim x →1 x →1 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3 x + 2 (3 x − 2) + 4 x 2 − x − 2 Chương IV. Giới hạn ( )( 33 ) ) 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập = lim x →1 = lim x →1 (x 5 x 2 − 11x + 6 2 )( − 3 x + 2 (3 x − 2) + 4 x 2 − x − 2 ( 5x + 6 ( x − 2) (3 x − 2) + 4 x 2 − x − 2 g) lim− x →1 Toán 11 ) = ) = lim x →1 GV. Lư Sĩ Pháp ( x − 1)(5 x + 6) ( ( x − 1)( x − 2) (3 x − 2) + 4 x 2 − x − 2 ) 1 2 x − 1 ( x − 2) ( x − 1)2 ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2) − 3 3 x 3 − 3x + 2 lim = = lim− = − lim− = = 2 − x →1 ( x − 1)( x − 4) x →1 ( x − 1)( x − 4) 3 −3 x − 5 x + 4 x →1 ( x − 1)( x − 4)    1 1  1 1 h) lim  2 − 3  = lim  −  2 x →1 x + x − 2 x − 1  x →1  ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + x + 1)   x 2 + x + 1 − ( x − 2) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 = lim = lim = lim = 2 2 2 x →1 ( x − 1)( x + 2)( x + x + 1) x →1 ( x − 1)( x + 2)( x + x + 1) x →1 ( x + 2)( x + x + 1) 9 ( ) ( ) x − 4 −1 − x + 4 − 3 x−4 − x+4 +2 = lim x →5 x →5 x −5 x −5  x − 4 −1 x − 4 +1 x + 4 −3 x +4 +3  1   = lim −  x →5 x − 5  x − 4 +1 x +4 +3     1 x −5  1  x −5 1 1 = lim − = lim  − =    x →5 x − 5 x + 4 + 3  x →5  x − 4 + 1 x + 4 + 3 3  x − 4 +1 k ) lim ( )( ) ( )( ) Bài 2.27. Tìm các giới hạn sau:   1 1 a) lim  2 + 2  x →2 x − 3 x + 2 x − 5x + 6   c) lim  x + x − x  x →+∞   x 2 − 3x + 2 e) lim 3 x →1 x − 4 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x − 4 + 3x + 1 b) lim x →+∞ d) lim x →+∞ ( x2 + 4x − 3 + 2x − 5 x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3 ) x3 − x2 + 4x + 5 x →+∞ x4 − x + 3 HD Giải 2   1 1 2 x − 8x + 8 a) lim  2 + 2  = lim x →2 x − 3 x + 2 x → 2 x − 5x + 6  ( x − 2)2 ( x − 1)( x − 3)  f) lim 2( x − 2)2 2 2 = lim = = −2 x → 2 ( x − 2)2 ( x − 1)( x − 3) x →2 ( x − 1)( x − 3) −1 = lim 2 4 − + 3x + 1 x + 2 x − 4 + 3x + 1 x x2 b) lim = lim x →+∞ 4 3 x 2 + 4 x − 3 + 2 x − 5 x →+∞ x 1 + − 2 + 2x − 5 x x  2 4 1 2 4 1 x  1+ − 2 + 3 +  1+ − 2 + 3 +   x x x x x x 4  = lim = lim  = x →+∞ x →+∞  4 3 5 3 4 3 5 1+ − 2 + 2 − x  1+ − 2 + 2 −    x x x x x x   2 Chương IV. Giới hạn x 1+ 34 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  2 4 1 −  1+ − 2 − 3 −   x x x  x 2 + 2 x − 4 + 3x + 1  Lưu ý: lim = lim =2 x →−∞ 4 3 5 x 2 + 4 x − 3 + 2 x − 5 x →−∞  − 1+ − 2 − 2 +   x x x    x + x − x  x + x + x         c) lim  x + x − x  = lim  x →+∞     x →+∞  x+ x + x   = lim x →+∞ x x+ x + x ( x − 2x −1 − x − 2x −1 − ( = lim d ) lim 2 x →+∞ 2 x →+∞ = lim x →+∞  x   1 = lim x →+∞ 1+ = 1 x ) x − 7 x + 3 )( +1 1 2 x 2 − 7x + 3 2 x2 − 2x −1 + x2 − 7x + 3 ) x2 − 2x −1 + x2 − 7x + 3  4 4 x5−  5− x 5  x = lim = x →+∞ 2 2 1 7 3 2 1 7 3  1− − 2 + 1− + 2 1− − 2 + 1− + 2  x x x x x x x x  Lưu ý: lim ( ) x 2 − 2 x − 1 − x 2 − 7 x + 3 = lim 5− 4 x  2 1 7 3 − 1− − 2 + 1− + 2  x x x x  x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −2 1 e) lim 3 = lim = lim 2 = x →1 x − 4 x 2 + 2 x + 1 x →1 ( x − 1)( x 2 − 3 x − 1) x →1 x − 3 x − 1 3 x →−∞ x →−∞     =− 5 2 1 4 5 + 2+ 3 x − x + 4x + 5 x x x =0 f ) lim = lim 4 x →+∞ x →+∞  x − x +3 1 3  x 1 − 3 + 4  x   x 3 1− 2 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 2.28. Tìm các giới hạn sau:  1 1 1 a) lim  −  x →3 x 3  ( x − 3 )3  x 3 − x 2 − x + 10 x →−2 x 2 + 3x + 2 Bài 2.29. Tìm các giới hạn sau: c) lim a) lim x →0 x + 9 + x + 16 − 7 x Chương IV. Giới hạn 4×4 − 3 2 x →( −2 ) 2 x + 3 x − 2 b) lim + d) lim x →−∞ b) lim x →1 35 ( 3 x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3 ) x + 7 − 5 − x2 x −1 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập c) lim x →+∞ ( Toán 11 3 x3 − 1 − x2 + 1 ) d) lim x →±∞ GV. Lư Sĩ Pháp ( x 2 + 8x + 3 − x 2 + 4 x + 3 )  x3 −1 neáu x < 1  Bài 2.30. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x ) có giới hạn khi mx + 2 neáu x ≥ 1  x → 1? 5− x Bài 2.31. Cho hàm số f ( x ) = . Tìm các giới hạn sau: lim+ f ( x ), lim− f ( x ) và lim f ( x ) (nếu có). x →5 x →5 x →5 x −5 2 x -1 neáu x ≤ −2 Bài 2.32. Cho hàm số f ( x ) =  . Tìm các giới hạn sau:  2x 2 + 1 neáu x > 2 lim f ( x ) (nếu có). lim f ( x ), lim − f ( x ) và x →( −2)+ x →( −2) x →2 Bài 2.33. Tìm các giới hạn sau: a) lim (x 2 ) + 1 (1 − 2 x ) b) lim 3 x + x +1 2 x →−1 x →11  2 3  d) lim −  2 −  x →( −4)  x + 3x − 4 x + 4  g) lim x →2 ( ( x − 11) x − 3 x + 16 2 ) x2 + x + 2 − 1− x x4 + x e) lim x →−1 x + 3x − 9 x − 2 x3 − x − 6 3 x 2 − 9 x − 22 2x + 1− 2x + 9x −1 x →2 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 2 2 h) lim c) lim x →−∞ ( x 2 + 8x − x 2 − x ) x 2 + 7 x − 18 f) lim 3x − 2 − 2 x →2 k) lim x →2 3 10 − x − 2 x −2 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Biết lim x →+∞ ? ( ) a a x 2 − 2 x − 1 − x 2 − 7 x + 3 = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai b b A. b − a = 2. B. a + b = 7. x2 − 2x − 3 . Câu 2. Tính G = lim x →3 x −1 A. G = 0. B. G = −1. Câu 3. Tính P = lim x− x x →1 A. P = −3. Câu 4. Tính M = lim+ x →1 x −1 C. a.b = 10. D. a − b = 3. C. G = 9. 9 D. G = . 2 C. P = 0. D. P = −1. . B. P = 1. x + x −1 −1 2 x −1 . B. M = 2. C. M = +∞. D. M = 0. a a b a Câu 5. Biết lim  x + x − x  = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính S = + . x →+∞  b b a  b 2 1 3 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 2 2 2 2 2  x − x − 4x + 1   = 3 . Tìm a. Câu 6. Biết lim  a + x →−∞   2x + 3   A. M = 2. Chương IV. Giới hạn 36 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 1 B. a = − . 2 3 2 x + 15 . Câu 7. Tính H = lim x →−2 ( x + 2)2 A. a = 3. A. H = −∞. B. H = +∞. x3 − x2 + 4x + 5 . x →+∞ x4 − x + 3 B. I = 0. GV. Lư Sĩ Pháp 5 C. a = . 2 1 D. a = . 2 C. H = −1. D. H = C. I = 1. D. I = 3. 1 . 16 Câu 8. Tính I = lim A. I = −1. x + 4x − x + 1 2 x + 5x − 1 = b . Tính P = a.b + 1. = a và lim 2 4 x →+∞ 1 − x + x x →−∞ 1− 2x Câu 9. Biết lim 2 4 1 A. P = . B. P = −2. C. P = 2. D. P = 1. 4 Câu 10. Tên của một người được mã hóa là 6320. Biết rằng mỗi chữ số là giá trị của một trong các biểu thức sau:  2 x − x 2 + 3x  3x − 9 A = lim 2 ; H = lim   ; N = lim x 2 − 6 x − x 2 − 3 ; x →−∞ x − 1 x →−∞  x →+∞  x −5    5x + 6  x2 − 1 ; T = lim  O = lim  . x →1 x − 1 x →6  x−5  Vậy tên của người đó là? B. HOAN . C. THOA. D. TOAN . A. THAN  1 3 − 3 ; x >1  Câu 11. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x − 1 .  mx + 2; x ≤1  Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x ) có giới hạn khi x → 1 ? Tìm giới hạn này. ( ) A. m = 1;lim f ( x ) = 2. B. m = 2;lim f ( x ) = 2. C. m = 2; lim f ( x ) = 1. D. m = 1; lim f ( x ) = 1. x →1 x →1 x →1 Câu 12. Biết lim x →5 A. u10 = 3. a x−4 − x+4 +2 a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính u10 = a.bb − a . x −5 b b B. u10 = 18. C. u10 = 9. D. u10 = 27. x2 + 5 − 3 . x+2 Câu 13. Tính K = lim x →−2 A. K = +∞. B. K = Câu 14. Tính N = lim A. N = +∞. x →1 2 3 C. K = 0. 2 D. K = − . 3 C. N = 9. D. N = 0. x2 −1 x →1 3 Câu 15. Biết lim− x →1 . x −1 B. N = 6. 1− x a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Biết a, b, x theo thứ tự lập thành cấp số b 2 1− x + 1− x b cộng. Tìm x. A. x = 1. Chương IV. Giới hạn B. x = 3. C. x = 2. 37 D. x = 4. 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  1 1  − Câu 16. Tính L = lim+  2 . x →2  x −4 x −2 A. L = −∞. B. L = 2. x →0 A. Q = 1. B. Q = − 4 − x2 2− x x →2 A. a = b. Câu 19. Biết lim x →+∞ 2 . 12 x 2 + 3x + 2 = a và lim + x5 + x4 x →( −1) B. a > b. ( D. L = 1 . 32 1− x − 3 1− x . x Câu 17. Tính Q = lim Câu 18. Biết lim− C. L = 0. C. Q = 30 . 36 D. Q = 6. = b, với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? C. a + b ≥ 4. ) D. ab = 1. 5x + 1 − x 5 = a . Tính cos a . 2 1 A. cos a = . 2 C. cos a = 1. B. cos a = k 2π, k ∈ ℤ. Câu 20. Tính E = lim x →1 D. cos a = 0. x + 2x − 3 . 2×2 − x −1 2 1 B. E = . 2 A. E = 2. 3 C. E = . 4 D. E = 4 . 3 2x + 7 − 3 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b x +3 −2 b B. a − 2b = 4. C. 2a + b = 12. D. a + 2b = 10. A. 2a − b = 3. 5 x + 2; x ≥ 1 Câu 22. Cho hàm số f ( x ) =  2 . Tính lim f ( x ). x →1  x − 3; x < 1 A. lim f ( x ) = −2. B. lim f ( x ) = 7. Câu 21. Biết lim x →1 x →1 x →1 C. lim f ( x ) không tồn tại. D. lim f ( x ) = 1. x →1 x − 3x + 2 . x − 4x2 + 2x + 1 1 B. P = . 6   1 1 L = lim  2 + 2 . x →2 x − 3 x + 2 x − 5x + 6   Câu 23. Tính P = lim 3 x →1 1 A. P = . 3 Câu 24. Tính x →1 2 1 2 3 2 Câu 25. Tính Q = lim − x + x − x + 1 . A. L = 2. B. L = − x →−∞ A. Q = 0. Câu 26. Biết lim x →−1 A. S = 21 . 10 2 ( 1 C. P = . 2 1 D. P = − . 4 C. L = 0. D. L = −2. C. Q = −∞. D. Q = −1. ) B. Q = +∞. 2 x + x + 10 x + 11x + 30 = a và lim = b . Tính S = a + b. 3 x →− 5 x +6 25 − x 2 1 B. S = . C. S = 2. 10 Chương IV. Giới hạn 38 1 D. S = . 5 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 27. Biết lim Toán 11 x6 + 4x2 + x − 2 (x x →−∞ A. S = 3 +2 10 . 3 ) 2 GV. Lư Sĩ Pháp x 2 + x − 40 = b . Tính S = a − b. x →+∞ 2 x 5 + 7 x 4 + 21 = a và lim B. S = 1. 1 D. S = . 2 C. S = 0. c2 2 x 3 + 3x − 4 . Tính H = +1 = c x →+∞ − x 3 − x 2 + 1 2 A. H = 3. B. H = −2. C. H = −1. D. H = 4.  x + 1; x ≥ 0 1 Câu 29. Cho hàm số f ( x ) =  .và dãy số ( un ) với un = . Tính lim f (un ) n 2 x; x < 0 Câu 28. Biết lim A. lim f (un ) = −1. Câu 30. Biết lim B. lim f (un ) = 0. 1 C. lim f (un ) = 2. D. lim f (un ) = 1. = a . Tính P = C10a + a x + x +1 − x A. P = 2. B. P = 47. C. P = 45. D. P = 100.   1 1 a a Câu 31. Biết lim  2 − 3  = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính u10 = a + 9b. x →1 x + x − 2 b x −1 b  B. u10 = 27. C. u10 = 20. D. u10 = 83. A. u10 = 162. x →+∞ 2 Câu 32. Tính F = lim x →2 2−x x + 7 −3 . 1 D. F = − . 6 Câu 33. Tên của một người được mã hóa là 4359. Biết rằng mỗi chữ số là giá trị của một trong các biểu thức sau: 5n + 3.12n + 2 A = lim x 2 − 10 x − x 2 − 3 ; H = lim 3 x3 − 7 + x ; N = lim ; x →−∞ x →−1 12n + 10n 3x 2 − 9 O = lim 2 ; T = lim ( 7 − 3 x ) . x →+∞ x − 1 x →1 Vậy tên của người đó là? A. THAN. B. THOA. C. HOAN. D. TOAN. A. F = −6. B. F = −1. ) ( Câu 34. Tính H = lim x →0 1 A. H = − . 4 Câu 35. Biết lim x →+∞ A. b − a = 1. C. F = 0. x2 + 1 −1 4 − x 2 + 16 ) ( . B. H = 2. C. H = 0. D. H = −4. x 2 + 2 x − 4 + 3x + 1 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b x + 4x − 3 + 2x − 5 b B. a + ab = 12. C. a + b = 7. D. ab − b = 10. 2 x2 + x − x . x →0 x2 A. J = 2. B. J = +∞. 2  x − 2 x + 3; Câu 37. Cho hàm số f ( x ) =   4 x − 3; A. lim f ( x ) = 5. Câu 36. Tính J = lim+ x≤2 . Tính lim f ( x ). x →2 x>2 B. lim f ( x ) = 1. x →2 x →2 C. lim f ( x ) không tồn tại. D. lim f ( x ) = 3. x →2 Chương IV. Giới hạn D. J = −∞. C. J = 0. x →2 39 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 38. Biết lim x →−∞ Toán 11 ) ( 4×2 − x + 2x + m = A. m = 1. B. m = 3 . Tìm m. 4 3 . 4 1 C. m = . 2 D. m = 1 . 4 C. K = 2. D. K = C. J = 0. D. J = −3. x +1 . 2×3 + x2 Câu 39. Tính K = lim (2 x + 1) x →+∞ B. K = 3. A. K = 2. GV. Lư Sĩ Pháp 2 . 2 (1 + x )3 − 1 . x →0 x Câu 40. Tính J = lim 1 A. J = . 3 B. J = 3. 3− x Câu 41. Biết lim− 27 − x 3 x →3 A. a + b = 10. Câu 42. Tính E = lim− x →3 x 2 − 7 x + 12 9 − x2 . 3 . 3 10 1 − b a a 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 a Câu 43. Biết lim v ớ i và t ố i gi ả n. Tính S = . = , a , b ∈ ℤ x →1 b 1− b b x 2 − 3x + 2 A. S = 7. B. S = 10. C. S = −10. D. S = 5. A. E = 2 . 2 x3 − 8 = b, với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 x →2 x − 2 x B. ab = 1. C. a < b. D. a − b = 0. = a và lim+ B. E = Câu 44. Tính F = lim+ x →0 A. F = 0. Câu 45. Biết lim− x →1 A. S = 1+ 3 . 2 Câu 46. Biết lim x x →+∞ A. P = 3. 5 . 5 C. E = 6 . 6 D. E = ( ) x+2 x . x− x B. F = 2. C. F = −∞. D. F = −2. π x 3 − 3x + 2 = tan α , với 0 < α < . Tính S = sin α + cos α . 2 2 x − 5x + 4 ( 1 3 3 B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 3 a a x 2 + 1 − x = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính P = a.b . b b 1 B. P = 2. C. P = . D. P = 1. 2 ) ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A A B A D C A B C C D C D B B A B A C D D C A 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 D B A B A D B D A D D C B C C A B C C B D A B Chương IV. Giới hạn 40 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Hàm số liên tục Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K . Hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số y = f ( x ) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó y = f ( x ) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng ( a; b ) và lim+ f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b) x →a x →b Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng được biểu thị bởi một “đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2. Giả sử y = f ( x ) và y = g( x ) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: a) Các hàm số f ( x ) + g( x ), f ( x ) − g( x ) và f ( x ).g( x ) cũng liên tục tại điểm x0. b) Hàm số f (x) liên tục tại x0, nếu g( x0 ) ≠ 0 g( x ) Định lí 3 Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và f (a). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0 Mệnh đề tương đương Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và f (a). f (b) < 0 . Khi đó phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). B. BÀI TẬP x tại x0 = 3 x −2 HD Giải Hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ {2} , do đó xác định trên khoảng (2; +∞) chứa x0 = 3. Bài 3.1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x = 3 = f (3) . Vậy hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 = 3. x−2  2x2 − 2x khi x ≠ 1  Bài 3.2. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.  5 khi x = 1  lim f ( x ) = lim x →3 x →3 HD Giải Tập xác định của hàm số là ℝ . 2x2 − 2x Nếu x ≠ 1 thì f ( x ) = . x −1 Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (−∞;1) ∪ (1; +∞) Chương IV. Giới hạn 41 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1; +∞) 2x2 − 2x 2 x ( x − 1) = lim = 2 ≠ f (1) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Vì lim f ( x ) ≠ f (1) , nên hàm số không liên tục tại x = 1. Nếu x = 1, ta có f (1) = 5 và lim f ( x ) = lim x →1 Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (−∞;1) , (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.  x2 − 2x − 3 khi x ≠ 3  . Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của Bài 3.3. Cho hàm số f ( x ) =  x − 3  khi x = 3 5  nó. HD Giải Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 − 2x − 3 Nếu x ≠ 3 thì f ( x ) = . x −3 Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (−∞;3) ∪ (3; +∞) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (−∞;3) và (3; +∞ ) x2 − 2x − 3 ( x + 1)( x − 3) = lim = 4 ≠ f (3) 3 x →3 x →3 x → x −3 x −3 Vì lim f ( x ) ≠ f (3) , nên hàm số không liên tục tại x = 3. Nếu x = 3, ta có f (3) = 5 và lim f ( x ) = lim x →3 Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (−∞;3) , (3; +∞ ) và gián đoạn tại x = 3 Bài 3.4. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 1 − x 2 trên đoạn  −1;1 . HD Giải Hàm số đã cho xác định trên đoạn  −1;1 . Với mọi x0 ∈ (−1;1) , ta có lim f ( x ) = lim 1 − x 2 = 1 − x02 = f ( x0 ) , nên hàm số liên tục trên khoảng ( −1;1) x → x0 x → x0 Ngoài ra, ta có lim + f ( x ) = lim + 1 − x 2 = 0 = f (−1) và lim − f ( x ) = lim − 1 − x 2 = 0 = f (1) x →( −1) x →( −1) x →( −1) x →( −1) Do đó f ( x ) liên tục trên đoạn  −1;1 Bài 3.5. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = x + 1 liên tục trên nửa khoảng [−1; +∞) HD Giải Hàm số f ( x ) liên tục trên nửa khoảng [−1; +∞) nếu nó liên tục trên khoảng (−1; +∞) và lim + f ( x ) = f (−1) Vì với mỗi x0 ∈ (−1; +∞) , ta có x →( −1) lim f ( x ) = lim x + 1 = x0 + 1 = f ( x0 ) , nên hàm số liên tục trên khoảng (−1; +∞) . x → x0 x → x0 Ngoài ra, ta có lim + f ( x ) = lim + x + 1 = 0 = f (−1) x →( −1) x →( −1) Do đó hàm số f ( x ) liên tục trên nửa khoảng [−1; +∞)  x3 − 8  Bài 3.6. Cho hàm số f ( x ) =  x − 2  5  neáu x ≠ 2 . Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. neáu x = 2 HD Giải Tập xác định của hàm số là ℝ . x3 − 8 Nếu x ≠ 2 thì f ( x ) = . x−2 Chương IV. Giới hạn 42 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (−∞; 2) ∪ (2; +∞) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (−∞;2) và (2; +∞) x2 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = lim = 12 ≠ f (2) x →2 x →2 x − 2 x →2 x −2 Vì lim f ( x ) ≠ f (2) , nên hàm số không liên tục tại x = 2. Nếu x = 2, ta có f (2) = 5 và lim f ( x ) = lim x →2 Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (−∞;2) , (2; +∞) và gián đoạn tại x = 2  x2 − x − 2  Bài 3.7. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 2  5− x  neáu x > 2 tại x = 2 neáu x ≤ 2 HD Giải x − x −2  Hàm số f ( x ) =  x − 2  5− x  Ta có f (2) = 3. 2 lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 khi x > 2 có tập xác định là ℝ khi x ≤ 2 (1) x − x −2 ( x − 2)( x + 1) = lim+ =3 x →2 x−2 x −2 2 (2) lim f ( x ) = lim− (5 − x ) = 3 x →2 − (3) x →2 Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f ( x ) = 3 = f (2) . Vậy f ( x ) liên tục tại x = 2. x →2  x −1 neáu x < 1  Bài 3.8. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2 − x − 1  − 2x neáu x ≥ 1  HD Giải  x −1 neáu x < 1  Hàm số f ( x ) =  2 − x − 1 có tập xác định là ℝ  − 2x neáu x ≥ 1  Ta có f (1) = −2 . (1) lim− f ( x ) = lim− x −1 2 − x −1 lim+ f ( x ) = lim( − 2 x ) = −2 + x →1 x →1 x →1 x →1 = lim− x →1 ( x − 1) ( ) = −2 tại x = 1 2 − x +1 1− x (2) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f ( x ) = −2 = f (1) . Vậy f ( x ) liên tục tại x = 1. x →1  x 2 + 5x + 4  Bài 3.9.Cho hàm số f ( x ) =  x 3 + 1  1  của nó. neáu x ≠ −1 . Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định neáu x = −1 HD Giải Tập xác định của hàm số là ℝ . x 2 + 5x + 4 Nếu x ≠ −1 thì f ( x ) = . x3 + 1 Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) Chương IV. Giới hạn 43 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x 2 + 5x + 4 ( x + 1)( x + 4) = lim =1 3 x →−1 x →−1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x +1 Nếu x = −1 , ta có f (−1) = 1 và lim f ( x ) = lim x →−1 Vì lim f ( x ) = f (−1) , nên hàm số liên tục tại x = −1 . x →−1 Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ . Bài 3.10. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 2 x − 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. HD Giải Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 2 x − 5 Ta có f (0) = −5 và f (2) = 7 . Do đó f (0). f (2) < 0 y = f ( x ) làm hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên đoạn [0; 2]. Từ đó suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (0;2) Bài 3.11.Chứng minh rằng phương trình: a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm b) cosx = x có nghiệm HD Giải a) Xét hàm số f ( x ) = 2x3 – 6x + 1. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [0; 1] và [1; 2] (1) Mặt khác, ta có (2) f (0) = 1 ; f (1) = −3 và f (2) = 5 . Do đó f (0). f (1) < 0 và f (1). f (2) < 0 Từ (1) và (2) suy ta f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 1), còn nghiệm kia thuộc khoảng (0; 2) b) Xét f ( x ) = cosx – x. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn  π  0; 2  (1)   π  π  π Mặt khác, ta có f (0) = 1 ; f   = − . Do đó f (0). f   < 0 2 2 2  π Từ (1) và (2) suy ra f ( x ) = 0 có nghiệm thuôc khoảng  0;  .  2 Bài 3.12. Chứng minh rằng phương trình: a) x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm  π  b) cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm thuộc trong khoảng  − ; π   6  (2) c) x 3 + 6 x + 1 − 2 = 0 có nghiệm dương d) x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;3) HD Giải a) Xét hàm số f ( x ) = x5 – 3x – 7 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [0; 2] (1) Mặt khác, ta có (2) f (0) = −7 < 0 ; f (2) = 19 > 0 f(2) = 19 > 0 . Do đó f (0). f (2) < 0 Từ (1) và (2) suy ta f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 2) Vậy f ( x ) = 0 luôn có nghiệm. b) Xét f ( x ) = cos2x – 2sinx + 2. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên  π π các đoạn  − ;  và  6 2 π   2 ; π  (1). Mặt khác, ta có   Chương IV. Giới hạn 44 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  π 7 f −  = ;  6 2 π   π  π  π  f   = −1 và f (π ) = 3 . Do đó f  −  . f   < 0 và f   . f (π ) < 0 (2) 2  6 2 2  π π Từ (1) và (2) suy ra f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuôc khoảng  − ;  , còn nghiệm kia  6 2 π  thuộc khoảng  ; π  . 2  c) Ta có x 3 + 6 x + 1 − 2 = 0 ⇔ x 3 + 6 x + 1 = 4 ⇔ x 3 + 6 x − 3 = 0 Xét hàm số f ( x ) = x3 + 6x – 3 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1) Mặt khác, ta có: f (0) = −3 ; f (1) = 4 . Do đó f (0). f (1) < 0 (2) Từ (1) và(2) suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) Vậy phương trình x 3 + 6 x + 1 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. d) Xét hàm số f ( x ) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên ℝ Nên f ( x ) liên tục trên đoạn [-1; 1] chứa trong  −1;3 . Mặt khác, ta có f (−1) = 5 và f (1) = −1 . Do đó f (−1). f (1) < 0 Suy ra f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1) chứa trong khoảng ( −1;3) . Vậy f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;3) . Bài 3.13. Chứng minh rằng phương trình: a) x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trong khoảng ( −2;5 ) . b) x5 – 5x – 1= 0 có ít nhất ba nghiệm c) x3 + 3x2 – 4x – 7 = 0 có nghiệm hay không trong khoảng ( −4; 0 ) ? HD Giải a) Xét hàm số f ( x ) = x5 – 3x4 + 5x – 2 liên tục trên ℝ Nên f(x) liên tục trên đoạn [0; 1], [1; 2] và [2; 3] chứa trong  −2;5 . Mặt khác, ta có f (0) = −2 và f (1) = 1 , f (2) = −8 và f (3) = 13 . Do đó f (0). f (1) < 0 , f (1). f (2) < 0 và f (2). f (3) < 0 Suy ra f ( x ) = 0 có ba nghiệm, một nghiệm thuộc trong khoảng (0; 1), một nghiệm thuộc trong khoảng (1; 2) và nghiệm còn lại thuộc trong khoảng (2; 3). Vậy f ( x ) = 0 có ba nghiệm trong khoảng ( −2;5 ) b) Xét hàm số f ( x ) = x5 – 5x – 1 tương tự như câu a), trên các đoạn  −2; −1 ,  −1; 0  và [0;3] c) Xét hàm số f ( x ) = x3 + 3x2 – 4x – 7 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Mặt khác, vì f (0). f (−2) < 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) . Do đó có nghiệm trong khoảng ( −4; 0 ) . Bài 3.14. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 HD Giải 2 5 Xét hàm số f ( x ) = (1 – m )x – 3x – 1, là hàm đa thức, liên tục trên ℝ , nên liên tục trên đoạn  −1; 0  Mặt khác, ta có f (0) = −1 < 0 và f (1) = m 2 + 1 > 0 nên f (1). f (0) < 0 , với mọi m Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc trong khoảng ( −1; 0 ) , nghĩa là phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Chương IV. Giới hạn 45 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 3.15. Chứng minh rằng phương trình: (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. HD Giải Xét hàm số f ( x ) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn  −2; −1 . Mặt khác, ta có f (−1) = −1 < 0 và f (−2) = m 2 + 2 > 0 nên f (−1). f (−2) < 0 , với mọi m Do đó f ( x ) = 0 luôn có ít một nghiệm thuộc trong khoảng ( −2; −1) với mọi m. Nghĩa là phương trình (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Bài 3.16. Chứng minh rằng các phương trình: a) x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) b) sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm c) x4 – 3x3 + x – 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( − 1; 3) không ? HD Giải 2 a) Hàm số f ( x ) = x cosx + xsinx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn  0; π  . Mặt khác, ta có f (0) = 1 > 0 , f (π ) = 1 − π 2 < 0 nên f (0). f (π ) < 0 . Do đó f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . Vậy phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) b) Hàm số f ( x ) = sinx – x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn  0; π  . Mặt khác, ta có f (0) = −1 < 0 , f (π ) = π − 1 > 0 nên f (0). f (π ) < 0 . Do đó f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . Vậy phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm. c) Hàm số f ( x ) = x4 – 3x3 + x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn  −1; 0  . Mặt khác, ta có f (0) = −1 < 0 , f (−1) = 2 > 0 nên f (−1). f (0) < 0 . Do đó f ( x ) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( −1; 0 ) chứa trong ( −1;3) . Vậy phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;3) .  x 2 − 3x + 2 neáu x < 2  liên tục trên ℝ . Bài 3.17. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) =  x 2 − 2 x mx + m + 1 neáu x ≥ 2  HD Giải Tập xác định của hàm số là D = ℝ Ta có f (2) = 3m + 1. lim+ f ( x ) = lim+ ( xm + m + 1) = 3m + 1 = f (2) và x →2 x →2 2 x − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −1 1 = lim− = lim− = 2 x →2 x →2 x →2 x →2 x ( x − 2) x 2 x − 2x 1 1 Để hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi 3m + 1 = ⇔ m = − 2 6 lim− f ( x ) = lim− 1 Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = − . 6  x2 − x − 2 neáu x ≠ 2  Bài 3.18. Tìm già trị của m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại x = 2. m neáu x = 2  Tập xác định của hàm số là D = ℝ Chương IV. Giới hạn HD Giải 46 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x2 − x − 2 ( x + 1)( x − 2) = lim = lim( x + 1) = 3 x →2 x →2 x →2 x →2 x−2 x −2 Để hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = lim f ( x ) ⇔ m = 3 Ta có f (2) = m và lim f ( x ) = lim x →2 Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 2.  1 3 − 3 neáu x > 1  . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số Bài 3.19. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x − 1 mx + 2 neáu x ≤ 1  f ( x ) liên tục tại x = 1 . HD Giải Tập xác định của hàm số là D = ℝ Ta có. f (1) = m + 2  1 3  x2 + x − 2 lim+ f ( x ) = lim+  − 3 = lim  2 + x →1 x →1  x − 1 x − 1  x →1 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + 2) x+2 = lim+ = lim+ 2 =1 2 x →1 ( x − 1)( x + x + 1) x →1 x + x + 1 Và lim− f ( x ) = lim( mx + 2) = m + 2 = f (1) − x →1 x →1 Để f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = −1 . x →1 x →1 Bài 3.20. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng  x2 − 2  1− x neáu x ≠ 2 neáu x ≠ 2   a) f ( x ) =  x − 2 b) f ( x ) =  ( x − 2)2 3  neáu x = 2 neáu x = 2  2 2 HD Giải  x −2 ;  a) f ( x ) =  x − 2  2 2; 2 khi x ≠ 2 khi x = 2 Nếu x ≠ 2 thì f ( x ) = ( 2; +∞ ) Tại x = 2 . lim x→ 2 . Hàm số xác định trên ℝ x2 − 2 x− 2 x2 − 2 x− 2 = lim x→ 2 ( ) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng −∞; 2 và ( x − 2 )( x + 2 ) = lim x− 2 x→ 2 (x + 2) = 2 2=f ( 2) Do đó hàm số liên tục tại x = 2 Vậy hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ  1− x ; khi x ≠ 2  b) f ( x ) =  ( x − 2)2 có tập xác định là ℝ 3; khi x = 2  Nếu x ≠ 2 thì f ( x ) = ( 2; +∞ ) . 1− x là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( x − 2)2 Chương IV. Giới hạn 47 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1− x = −∞ ≠ f (2) x →2 x →2 ( x − 2)2 Do đó hàm số f ( x ) không liên tục tại x = 2. Tại x = 2, ta có lim f ( x ) = lim Vậy hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( 2; +∞ ) và gián đoạn tại x = 2. Bài 3.21. Tìm số thực a sao cho hàm số a 2 x 2 neáu x ≤ 2 liên tục trên ℝ f (x) =  (1 − a) x neáu x > 2 HD Giải 2 2 2 Ta có lim− f ( x ) = lim− a x = 4a = f (2) ; lim+ f ( x ) = lim+ (1 − a ) x = 2(1 − a) x →2 x →2 ( ) x →2 x →2  a = −1 Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi 4a = 2(1 − a) ⇔  a = 1  2 Hiển nhiên hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 với mọi a 2 Vậy hàm số f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi a = −1, a = 1 2 Bài 3.22. a) Chứng minh rằng phương trình x 3 + 1000 x 2 + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm b) Chứng minh rằng phương trình x 3 − 1000 x 2 − 0,01 = 0 có ít nhất một nghiệm dương c) CMR với mọi số thực a, b, c, phương trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm HD Giải 3 2 a) Hàm số f ( x ) = x + 1000 x + 0,1 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = 0,1 > 0 . Vì lim f ( x ) = −∞ nên tồn x →−∞ tại một số thực a sao cho f (a) < 0 Vì f (0). f (a) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c ∈ (a; 0) sao cho f (c) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho. b) Hàm số f ( x ) = x 3 − 1000 x 2 − 0, 01 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = −0, 01 < 0 . Vì lim f ( x ) = +∞ nên x →+∞ tồn tại một số thực b đủ lớn sao cho f (b) > 0 Vì f (0). f (b) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c ∈ (0; b) sao cho f (c) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm dương của phương trình đã cho. c) Hàm số f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c liên tục trên ℝ . lim f ( x ) = +∞ và lim f ( x ) = −∞ . Do đó phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi x →+∞ x →−∞ số thực a, b, c. Bài 3.23. Tìm các giá trị của a và b để hàm số ax − b neáu x ≤ 1  f ( x ) = 3 x neáu 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2. bx 2 − a neáu x ≥ 2  HD Giải Hàm số liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2 khi và chỉ khi  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) a − b = 3 a = b + 3  x →1 x →1 ⇒ ⇒  f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) 4b − a ≠ 6 b ≠ 3  xlim →2− x →2 Chương IV. Giới hạn 48 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11  x −1  Bài 3.24. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x 2 − 1  m2 x  Ta có f (1) = m 2 . lim x →1 ( neáu x ≠ 1 )( GV. Lư Sĩ Pháp liên tục tại x = 1. neáu x = 1 HD Giải ) x −1 x +1 x −1 1 1 = lim = lim = 2 x → x → 1 1 x −1 ( x − 1)( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1 4 ( ) Để hàm số liên tục tại x = 1thì lim f ( x ) = f (1) ⇔ m = ± x →1 ( ) 1 2 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 liên tục trên tập xác định của nó. x −2 Bài 3.26. Chứng minh rằng phương trình x 3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn – 1. Bài 3.25. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = x 2 + x + 3 + ( ) Bài 3.27. Chứng minh rằng các phương trình m 2 cos x − 2 = 2 sin 5 x + 1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Bài 3.28. Chứng minh rằng hàm số  x5 + x2 neáu x ≠ 1 vaø x ≠ 0  2  x + x liên tục trên ℝ . f ( x ) = −3 neáu x = −1 0 neáu x = 0    x 2 − 3x + 2 neáu x ≠ 2  Bài 3.29. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại x = 2 .  1 neáu x = 2   x 2 − 5x + 6 neáu x ≠ 3  Bài 3.30. Cho hàm số f ( x ) =  x − 3 . Tìm m để hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 3 .  (m − 1) x neáu x = 3   6x + 7 − x neáu x > 7  Bài 3.31. Cho hàm số f ( x ) =  x 2 − 8 x + 7 . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 7 . 2ax 2 − 6ax + 1 neáu x ≤ 7  Chương IV. Giới hạn 49 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  cos 2 x − cos 4 x ;  Câu 1. Cho hàm số f ( x) =  x2 m; điểm x = 0 ? A. m = 3. x≠0 . Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x) liên tục tại x=0 B. m = 5. C. m = 4. D. m = 6.  1 1 + 2 khi x > 2 vaø x ≠ 3  2 Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 3 x + 2 x − 5 x + 6 m 2 x 2 − 3mx − 5 khi x ≤ 2  liên tục tại x 0 = 2 . 3 3 ± 21 4 ± 21 . B. m = . C. m = . D. m = 3 ± 21. 4 2 3 Câu 3. Cho hàm số f ( x) xác định trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ? A. m = A. Nếu f (a). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) . B. Nếu phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( a; b ) thì hàm số f ( x) phải liên tục trên khoảng ( a; b ) . C. Nếu hàm số f ( x) liên tục, tăng trên đoạn [ a; b ] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f ( x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng ( a; b ) . D. Nếu hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f ( x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng ( a; b ) .  x 2 − 3x + 2 vôùi x < 2  Câu 4. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) =  x 2 − 2 x liên tục trên ℝ . mx + m + 1 vôùi x ≥ 2  1 A. m = − . 6 B. m = −1.  x −1  Câu 5. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x 2 − 1  m2 x  1 1 A. m ≠ ± . B. m = . 2 2 C. m = 6. vôùi x ≠ 1 D. m = 4. liên tục tại x = 1. vôùi x = 1 1 C. m = − . 2 neáu x ≤ 2 1 D. m = ± . 2 a2 x 2 Câu 6. Tìm số thực a sao cho hàm số f ( x ) =  liên tục trên ℝ. (1 − a) x neáu x > 2 1 1 B. a = −1, a = . C. a = 1, a = . 2 2 Câu 7. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ. B. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. A. a = −1, a = 1. D. a = −1, a = 2. x 2 + 3x + 2 liên tục trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) . x+2 D. Phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( −2;5) . C. Hàm số y = Câu 8. Cho phương trình 2 x 4 − 5 x 2 + x + 1 = 0 Chương IV. Giới hạn (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ? 50 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( −2;0 ) . B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( −1;1) . C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng ( −2;1) . D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 0; 2 ) .  1 3 − 3 vôùi x > 1  Câu 9. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x − 1 . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số  mx + 2 vôùi x ≤ 1  f ( x ) liên tục tại x = 1. B. m = −1. C. m = −2. D. m = −3. A. m = 1. 2 x − x −2 vôùi x ≠ 2  Câu 10. Tìm giá trị của m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại x = 2. m vôùi x = 2  A. m = 0. B. m = 2. C. m = 1. D. m = 3. 3  x +1  x 2 − x − 2 khi x ≠ −1, x ≠ 2  Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) = −1 khi x = −1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 khi x = 2   A. Hàm số liên tục trên ℝ. B. Hàm số gián đoạn tại x = 2. D. Hàm số gián đoạn tại x = −1; x = 2. C. Hàm số liên tục trên khoảng ( −2;3) . ax − b vôùi x ≤ 1  Câu 12. Tìm các giá trị của a và b để hàm số f ( x ) = 3 x vôùi 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián bx 2 − a vôùi x ≥ 2  đoạn tại x = 2. b = a + 3 b = a + 3 a = b + 3 a = b − 3 A.  . B.  . C.  . D.  . a ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3 Câu 13. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ. B. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm x0 , còn hàm số y = g( x ) không liên tục tại x0 thì y = f ( x ) + g( x ) là hàm số liên tục tại x0 . C. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm x0 , còn hàm số y = g( x ) không liên tục tại x0 thì y = f ( x ) + g( x ) là hàm số không liên tục tại x0 . D. Nếu hàm số y = f ( x ) và y = g( x ) liên tục tại điểm x0 thì hàm số y = f ( x ) − g( x ) liên tục tại x0 . 2 ax khi x ≤ 2 Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) =  2 . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên ℝ.  x + x − 1 khi x > 2 5 2 A. a = 3. B. a = 4. C. a = . D. a = . 4 3 2  x + 2 x + a khi x > 2  Câu 15. Cho f ( x) = 2a + 1 khi x = 2 liên tục trên tại x = 2 với a, b ∈ ℚ. Tính S = a + b. bx − 3 khi x < 2  A. S = 16. B. S = 14. C. S = 15. D. S = 17. Chương IV. Giới hạn 51 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  x2 − x − 2 khi x ≠ 2  liên tục tại x = 2 Câu 16. Tim tham số thực m để hàm số f ( x ) =  3 x 2 − 5 x − 2  x 2 m 2 + m + x 3 khi x = 2  1 A. m = − . 2 1 B. m ≠ ± . C. m ∈ ∅ D. m = 2 − x cos x khi x < 0  2  x Câu 17. Cho hàm số f ( x ) =  khi 0 ≤ x < 1. Hàm số f ( x ) liên tục tại: 1 + x  x 3 khi x ≥ 1 A. mọi điểm trừ x = 0; x = 1. B. mọi điểm trừ x = 1. C. mọi điểm trừ x = 0. D. mọi điểm thuộc x ∈ ℝ. m 2 x 2 Câu 18. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  (1 − m ) x ℝ? A. 3. B. 1. C. 0. Câu 19. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ( −4; +∞ ) với f ( x ) = f ( 0) . A. 1. B. 4.  x2 x  Câu 20. Cho hàm số f ( x ) = 0   x  A. mọi điểm thuộc ℝ . C. mọi điểm trừ x = 1 . C. 2. 1 . 2 khi x ≤ 2 liên tục trên khi x > 2 D. 2. x x+4 −2 với x ≠ 0 . Tính D. 0. khi x < 1, x ≠ 0 khi x = 0 . Hàm số f ( x ) liên tục tại: khi x ≥ 1 B. mọi điểm trừ x = 0 . D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1 . x 2 − 3x + 2 Câu 21. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ với f ( x ) = với mọi x =/ 1. Tính x −1 f (1) . A. 2. B. −1. C. 1. D. 0.  tan x khi x ≠ 0 sin x  Câu 22. Biết rằng lim = 1. Hàm số f ( x ) =  x liên tục trên khoảng nào sau đây? x →0 x 0 khi x = 0 A. ( −∞; +∞ ) .  π π C.  − ;  .  4 4 B. x = 0 3  4 x + x Câu 23. Hàm số f ( x ) =  2 x + x 1 A. mọi điểm trừ x = −1. C. mọi điểm x ∈ ℝ.  π D.  0;  .  2 khi x = −1 khi x ≠ −1, x ≠ 0 liên tục tại: khi x = 0 B. mọi điểm trừ x = 0. D. mọi điểm trừ x = 0, x = 1. Câu 24. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1; 4] sao cho f ( −1) = 2 , f ( 4 ) = 7 . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f ( x ) = 5 trên đoạn [−1; 4] : Chương IV. Giới hạn 52 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. Có đúng một nghiệm. C. Có ít nhất một nghiệm. B. Có đúng hai nghiệm. D. Vô nghiệm. 1 − cos x khi x ≤ 0 Câu 25. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  . Khẳng định nào sau đây đúng? khi x > 0  x + 1 A. f ( x ) liên tục tại x = 0. B. f ( x ) gián đoạn tại x = 1. C. f ( x ) không liên tục trên ℝ. D. f ( x ) liên tục trên ( −∞;1) . khi x < 0 2 x  2 Câu 26. Số điểm gián đoạn của hàm số h ( x ) =  x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2 là: 3 x − 1 khi x > 2  A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. 2  x −1 khi x ≠ 1  Câu 27. Biết rằng f ( x ) =  x − 1 liên tục trên đoạn [ 0;1] (với a là tham số). Khẳng định a khi x = 1  nào dưới đây về giá trị a là đúng? A. a < 0. B. a là một số nguyên. C. a là một số vô tỉ. D. a > 5. 2  x −1  x − 1 khi x < 3, x ≠ 1  Câu 28. Cho hàm số f ( x ) =  4 . Hàm số f ( x ) liên tục tại: khi x = 1   x + 1 khi x ≥ 3  A. mọi điểm trừ x = 1 và x = 3 . B. mọi điểm trừ x = 1 . C. mọi điểm trừ x = 3 . D. mọi điểm thuộc ℝ .  x2 − x − 2 khi x ≠ 2  Câu 29. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại x = 2. m khi x = 2  A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 3.  x −1 khi x ≠ 1  Câu 30. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y = f ( x ) =  x − 1 liên tục tại x = 1.  khi x = 1 k + 1 1 1 A. k = − . B. k = 2. C. k = . D. k = 0. 2 2  x3 − x 2 + 2 x − 2 khi x ≠ 1  Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  liên tục tại x −1 3 x + m khi x = 1  x = 1. A. m = 4. B. m = 6. C. m = 0. D. m = 2. sin x Câu 32. Biết rằng lim = 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số x →0 x 1 + cos x khi x ≠ π 2  liên tục tại x = π . f ( x) = ( x − π ) m khi x = π  π 1 1 π A. m = . B. m = − . C. m = . D. m = − . 2 2 2 2 Chương IV. Giới hạn 53 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 33. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −10;10 ) để phương trình x3 − 3 x 2 + ( 2m − 2 ) x + m − 3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < −1 < x2 < x3 ? A. 4. B. 18. C. 19.  3− x  Câu 34. Biết rằng hàm số f ( x ) =  x + 1 − 2 m  định nào dưới đây đúng? A. m ∈ [ 0;5 ) . B. m ∈ [5; +∞ ) . Câu 35. Hàm số f ( x ) = 3 − x + A. C. [ −∞; −4] ∪ [3; +∞ ) . [ −4;3]. khi x ≠ 3 D. 3. liên tục tại x = 3 (với m là tham số). Khẳng khi x = 3 D. m ∈ ( −3;0 ) . C. m ≤ −3. 1 liên tục trên: x+4 B. [ −4;3) . D. ( −4;3] .  x2 − 5x + 6  Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f ( x ) =  4 x − 3 − x 1 − a 2 x  4 2 2 A. . B. − . C. . 3 3 3 khi x > 3 khi x ≤ 3 4 D. − . 3 Câu 37. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên m với f ( x ) = f (0) . A. 3 . 3 B. 2 3 . 3 x + 3 − 3− x với x ≠ 0 . Tính x C. 1.  3 3x + 2 − 2  Câu 38. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số f ( x ) =  x − 2 a 2 x + 1  4 A. amax = 2. B. amax = 0. C. amax = 3. liên tục tại x = 3 . D. 0. khi x > 2 liên tục tại x = 2. khi x ≤ 2 D. amax = 1.  x khi x ∈ [ 0; 4] Câu 39. Biết rằng hàm số f ( x ) =  tục trên [ 0;6 ] . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 + m khi x ∈ ( 4;6] A. m < 2. B. 2 ≤ m < 3. C. 3 < m < 5. D. m ≥ 5. 3 Câu 40. Cho hàm số f ( x ) = −4 x + 4 x − 1. Mệnh đề nào sau đây là sai? 1  A. Phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  −3;  . 2  B. Phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm trên khoảng ( −∞;1) . C. Hàm số đã cho liên tục trên ℝ. D. Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trên khoảng ( −2;0 ) . Câu 41. Cho phương trình 2 x 4 − 5 x 2 + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng ( −2;1) . B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( −1;1) . C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 0; 2 ) . D. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( −2;0 ) . Chương IV. Giới hạn 54 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 42. Hàm số f ( x ) = Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x3 + x cos x + sin x liên tục trên: 2sin x + 3  3  C.  − ; +∞  .  2  1  2  x sin Câu 43. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  x m A. ℝ. A. m ∈ [ 7; +∞ ) . B. [1;5]. D. khi x ≠ 0 liên tục tại x = 0. khi x = 0 C. m ∈ ( −2; −1) . B. m ≤ −2. [ −1;1]. D. m ∈ [ −1; 7 ) . khi x = −1 0, 5   x ( x + 1) Câu 44. Số điểm gián đoạn của hàm số f ( x ) =  2 khi x ≠ −1, x ≠ 1 là  x −1 khi x = 1 1 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.  x −1 khi x < 1  Câu 45. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2 − x − 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?  −2 x khi x ≥ 1  A. f ( x ) không liên tục trên ℝ. B. f ( x ) liên tục trên ℝ. C. f ( x ) không liên tục trên ( 0; 2 ) . D. f ( x ) gián đoạn tại x = 1.  x 2 − 3x + 2 khi x ≠ 1  Câu 46. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số f ( x ) =  x − 1 liên tục trên ℝ. a khi x = 1  A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.  sin π x khi x ≠ 1 sin x  = 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 1 Câu 47. Biết rằng lim x →0 x m khi x = 1 liên tục tại x = 1. A. m = −π . B. m = π . C. m = −1. D. m = 1. 3 Câu 48. Cho hàm số f ( x) = x − 3 x − 1 . Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 trên ℝ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.  x + x khi x < 1  Câu 49. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f ( x ) = 2 khi x = 1 liên tục tại x = 1 . m 2 x + 1 khi x > 1  A. S = 0. B. S = −1. C. S = 1. D. S = 2. 2 Câu 50. Hàm số f ( x ) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? A. B. C. D. Chương IV. Giới hạn x = 0. x = 1. x = 2. x = 3. . 55 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN 1 D 17 B 34 C 2 A 18 D 35 D 3 C 19 B 36 B 4 A 20 A 37 A Chương IV. Giới hạn 5 D 21 B 38 D 6 B 22 D 39 A 7 A 23 C 40 B 8 D 24 C 41 C 9 B 25 C 42 A 56 10 D 26 C 43 D 11 B 27 B 44 D 12 C 28 A 45 B 13 14 B C 29 30 31 D A C 46 47 48 B A D 15 A 32 C 49 A 0916620899 – 0355334679 16 C 33 A 50 B Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2n3 − 2n + 3 a) lim n →+∞ 1 − 4n3  (−1)n  c) lim  3 + n  n →+∞ 3    2n + 1 cos n  b) lim  + n  n →+∞ 4   n HD Giải  2 3 2 3 n3  2 − 2 + 3  2− 2 + 3 3 2n − 2n + 3 n n  n n =−1 a) lim = lim  = lim 3 n →+∞ n →+∞ n →+∞ 1 2  1  1 − 4n −4 n3  3 − 4  3 n n   2n + 1 cos n  2n + 1 cos n b) lim  + n  = lim + lim n n →+∞ n →+∞ 4 4  n→+∞ n  n n n  1 2n + 1 1 cos n 1 1 cos n Ta có lim = lim  2 +  = 2 . ≤ n =   với mọi n và lim   = 0 nên lim n = 0 . n n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n n 4 4 4 4  4  2n + 1 cos n  Vậy lim  + n =2 n →+∞ 4   n n  (−1)n  (−1)n (−1)n  1  c) lim  3 + n  = lim 3 + lim n = 3 (Vì ≤   → 0 khi n → +∞ ) n →+∞ n →+∞ 3 3  n→+∞ 3n 3  Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) lim ( n 2 + 3n + 1 − n 2 + 2n − 1 c) lim 3 n9 + 8n2 − 7 a) lim = lim ( ) n 2 + 3n + 1 − n 2 + 2n − 1 = lim n+2 n 2 + 3n + 1 + n2 + 2n − 1 1+ = lim 1+ 2 n 3 1 2 1 + 2 + 1+ − 2 n n n n n 4 − 2n + 3 b) lim = lim −2n 2 + 3 = ( ) n 2 + 3n + 1 + n 2 + 2n − 1  2 n 1 +   n  3 1 2 1 n  1+ + 2 + 1+ − 2  n n n n      1 2 2 3 2 3 + 4 1− 3 + 4 3 n n = lim n n =−1 3 2  3 −2 + 2 n 2  −2 + 2  n n   n2 1 − c) lim 3 n 9 + 8n 2 − 7 = lim n3 3 1 + Chương IV. Giới hạn = lim ) n 4 − 2n + 3 −2n 2 + 3 5n − 7n d) lim n 3 + 2.7n HD Giải 2 n + 3n + 1 − n2 + 2n − 1 b) lim 8 7 8 7 − 9 = +∞ ( vì lim n = +∞; lim 3 1 + 7 − 9 = 1 > 0 ) 7 n n n n 57 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n 5 5n − 1  7  −1 n n n 5 −7 1 7 d ) lim n = lim n = lim  n =− n 2 3 + 2.7 3 3 +2 + 2 n 7 7   Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 4×5 + 9x + 7 a) lim 6 x →1 3 x + x 3 + 1 b) lim x →2 9 + 5x + 4 x 2 − 3 x d) lim x →0 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x3 − x − 6 3 e) lim x →2 x +1 c) lim x →−1 10 − x − 2 x −2 f) lim x →1 6 x 2 + 3 + 3x x + 8 − 8x + 1 5 − x − 7x − 3 HD Giải a) lim x →1 4 x + 9 x + 7 4.1 + 9.1 + 7 = =4 3x 6 + x3 + 1 3.16 + 13 + 1 5 5 ( ( ) ) ( x − 2) x 2 + 5 x + 1 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 5 x + 1 15 b) lim = lim = lim = x →2 x →2 x →2 x 2 + 2 x + 3 11 x3 − x − 6 ( x − 2) x 2 + 2 x + 3 x +1 c) lim x →−1 6 x 2 + 3 + 3x x →−1 9 + 5x + 4 x 2 − 3 = lim x →0 x x d ) lim x →0 e) lim = lim ( x + 1) ( 3 x →2 10 − x − 2 = lim x →2 x −2 6 x 2 + 3 − 3x 3 − 3x 2 x →2 ( 9 + 5x + 4 x 2 + 3 f) lim x →1 3 (10 − x ) ( x − 2 )  (10 − x ) 3 + 2 3 10 − x + 4 x + 8 − 8x + 1 5 − x − 7x − 3 ) 6 x 2 + 3 − 3x =1 3(1 − x ) 5 + 4x = lim x →0 = 9 + 5x + 4 x 2 + 3 5 6 2− x 1 2 x →−1 5x + 4 x 2  = − lim ) = lim = lim x →1 =− ( 8(1 − x ) ( 7(1 − x ) 2  + 2 3 10 − x + 4   1 12 ) = lim 7 ( 8x + 1) 8( 5 − x + 7x − 3 x +8 + x →1 )= 7 8 x + 1 ) 12 5 − x + 7x − 3 x+8+ Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a) lim x →1 d) lim− x →3 a) lim x →1 b) lim x →7 x +3 −2 x −1 b) lim x →7 x −3 3 − 6x − x x →3 ( x +3 −2 ( x − 1) ( c) lim x →+∞ x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3 e) lim 2 x +3 −2 = lim x →1 x −1 2− x −3 x 2 − 49 f) lim x →2 ( 3x 2 + x + 1 − x 3 ) x+2 −2 x +7 −3 HD Giải )( x +3 +2 x +3 +2 ) ) = lim x →1 x −1 ( x − 1) ( x +3 +2 ) = lim x →1 1 x +3 +2 = 1 4 2− x −3 7− x 1 1 = lim = − lim =− 2 x → 7 x → 7 56 x − 49 ( x − 7)( x + 7) 2 + x − 3 ( x + 7) 2 + x − 3 Chương IV. Giới hạn ( ) ( 58 ) 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập c) lim x →+∞ d) lim− x →3 Toán 11 ) ( x +1 3 x 2 + x + 1 − x 3 = lim x −3 3 − 6x − x2 = lim− x →3 ) ( x →+∞ (3 − 3x + x + 1 + x 3 2 ( ( x − 3) 3 + 6 x − x 2 6x − x2 )(3 + ) 6x − x2 = ) GV. Lư Sĩ Pháp 3 6 = lim− x →3 3 + 6x − x2 x −3 Ta có lim− 3 + 6 x − x 2 = 6 > 0, lim( x − 3) = 0 và x – 3 < 0 với mọi x < 3 − x →3 Do vậy lim− x →3 x −3 3 − 6x − x2 x →3 = −∞ x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 = lim x →3 x2 − 4x + 3 x2 − 4x + 3 e) lim ( x →3 = lim x →3 x +2 −2 f) lim x +7 −3 x →2 = lim x →2 ( ( x − 2) ( ( x − 2) (1 − x ) ( ) = lim x + 2 + 2) x +7 +3 x →2 )( −4 x + 12 x2 − 2x + 6 + x2 + 2x − 6 4 x2 − 2x + 6 + x2 + 2x − 6 x+7 +3 x+2 +2 = ) =− ) 1 3 3 2 Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau: ( x + 3) c) lim x3 + 8 a) lim 2 x →−2 x + 11x + 18 2 x 3 − 5x 2 − 2 x − 3 b) lim 3 x →3 4 x − 13 x 2 + 4 x − 3 x x+2 3x 2 + x 4 d) lim e) lim + 2 x →0 x →( −2) x + 3 x + 2 2x HD Giải 2 ( x + 2) x − 2 x + 4 x3 + 8 x 2 − 2 x + 4 12 a) lim 2 = lim = lim = x →−2 x + 11x + 18 x →−2 x →−2 x+9 ( x + 2)( x + 9) 7 ( x →0 3 − 27 x  1 3  f) lim  −  x →1 1 − x 1 − x3   ) ( ( ) ) ( x − 3) 2 x 2 + x + 1 2 x 3 − 5x 2 − 2 x − 3 2 x 2 + x + 1 11 b) lim 3 = lim = lim = x →3 4 x − 13 x 2 + 4 x − 3 x →3 x →3 4 x 2 − x + 1 17 ( x − 3) 4 x 2 − x + 1 ( x + 3) c) lim x →0 d) Ta có Với x < 0, Với x > 0, 3 − 27 x →0 x ( ) = lim x 2 + 9 x + 27 = 27 x 3 + x2 3x 2 + x 4 = 2x 2x x 3 + x2 2x x 3 + x2 2x = −x 3 + x2 3x 2 + x 4 3 . Do đó lim− =− x → 0 2x 2x 2 = x 3 + x2 3x 2 + x 4 3 . Do đó lim+ = x → 0 2x 2x 2 Từ đó suy ra không tồn tại lim x →0 3x 2 + x 4 2x e) Khi x → (−2)+ thì x + 2 = x + 2 . Do đó lim + x →( −2) Chương IV. Giới hạn x x+2 x + 3x + 2 2 59 = lim + x →( −2) x =2 x +1 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  1 3  −x − 2 f) lim  − = lim 2 = −1  3 x →1 1 − x 1 − x  x →1 x + x + 1  Bài 6. Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) lim x →−3 −x2 − x + 6 x 2 + 3x 9 − x2 2x 2 + 7x + 3 b) lim x →−3 c) lim x →4 3 − x −1 x−2 −2 ( 1+ x − 3 1+ x f) lim x 2 + 1 − 3 x 3 − 1 x →0 x →+∞ x →+∞ x HD Giải 2 −x − x + 6 2 − x −x2 − x + 6 2− x 5 a) Ta có = với mọi và lim = lim =− x ≠ − 3 2 2 x →− x →− 3 3 x 3 x x + 3x x + 3x 2 −x − x + 6 5 5 Do đó lim =− = 2 x →−3 3 3 x + 3x 2x + 1 3 3x + x 2 + 2 d) lim x e) lim 9 − x2 6 = 2 2x + 7x + 3 5 b) lim x →−3 c) Với x > 2, ta có x − 1 = x − 1 và x − 2 = x − 2 . 3 − x −1 Do đó x −2 −2 3 − x −1 Vậy lim = lim(−1) = −1 x−2 −2 x →4 3 − x +1 4 − x = = −1 với x > 2 và x ≠ 4 x−2−2 x −4 = x →4 2+ 2x + 1 2×3 + x2 d) lim x = = lim lim x →+∞ 3 x 3 + x 2 + 2 x →+∞ 3 x 3 + x 2 + 2 x →+∞ x →0 ( = lim = lim x →0 x ( f ) lim x →+∞ )( 1+ x −1 x →0 x →0 1 2 + x x3 = 6 3 3 1+ x − 3 1+ x 1+ x −1+ 1− 3 1+ x 1+ x −1 1+ x −1 = lim = lim − lim x →0 x →0 x →0 x x x x e) lim = lim 3+ 1 x x ( ( ) 1+ x +1 ) 1+ x +1 ( ) − lim x →0 − lim x →0 ( 3 x ( )( 1+ x −1 x →0 1+ x +1 x 1 ) − lim ( 1+ x +1 x ( 3 ) x 3 (1 + x )2 + 3 1 + x + 3 1 (1 + x )2 + 3 1 + x + 3 1 x 2 + 1 − 3 x 3 − 1 = lim x →+∞ ( ) = ( ) 2 ) ) ) 1 6 x2 + 1 − x + x − 3 x3 − 1   1 1 = lim  + x →+∞ 2  x + 1 + x x2 + x 3 x3 − 1 + 3 x3 − 1  Chương IV. Giới hạn (1 + x )2 + 3 1 + x + 3 1 (1 + x )2 + 3 1 + x + 3 1 1 3 3 )   =0   60 0916620899 – 0355334679 ) Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  x 2 − 3x + 2 neáu x < 1  Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : f ( x ) =  x 2 − x liên tục trên ℝ . mx + m + 1 neáu x ≥ 1  HD Giải Ta có f (1) = 2m + 1. lim+ f ( x ) = lim( xm + m + 1) = 2m + 1 = f (1) và + x →1 x →1 x − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x −2 = lim− = lim− = −1 2 1 1 x → x → x ( x − 1) x x − 2x Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi 2m + 1 = −1 ⇔ m = −1 Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 1 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = −1 . lim f ( x ) = lim− x →1− 2 x →1  x2 + x − 2 neáu x ≠ 1  liên tục tại x = 1. Bài 8. Tìm già trị của m để hàm số f ( x ) =  x − 1 m neáu x = 1  HD Giải x + x −2 ( x − 1)( x + 2) Ta có f (1) = m và lim f ( x ) = lim = lim = lim( x + 2) = 3 x →1 x →1 x → 2 x →1 x −1 x −1 Để hàm số f liên tục tại x = khi và chỉ khi f (1) = lim f ( x ) ⇔ m = 3 2 x →1 Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 1. Bài 9. Chứng minh rằng phương trình x 4 − 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). HD Giải 4 2 Xét hàm số f ( x ) = x − 3 x + 5 x − 6 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [1; 2] (1) Mặt khác, ta có f (1) = −3 < 0 ; f (2) = 8 > 0 . Do đó f (1). f (2) < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ta f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 10. Tìm các giới hạn sau: ( a) lim 2 n − 2n + 3 ) b) lim  n2 − n 2 n cos n   c) lim  + n  2n − 1  3   e) lim ( ) (2 + 4 ) f) lim n+2 ) n 4 + 2n 2 − n 2 4n 2 − n + 3 8n3 + n 2 2n + 3 d) lim 22 n+1 3n+ 2 − 5 3n −1 ( 3n.4 n+ 2 + 2 n+ 2 2n −1.6n −2 − 3 Bài 11. Tìm các giới hạn sau: a) lim n b) lim n +1 + n ( d) lim n 2 n − n 2 + 1 ) Bài 12. Tìm các giới hạn sau:  x3 x2  a) lim  2 −  x →+∞ 3 x − 4 3x + 2   Chương IV. Giới hạn ( e) lim b) lim x →+∞ 3 1 + n3 − n ) c) lim ( 3 n +n −n 9 x 2 + 1 − 3x 61 3 n 2 − n3 + n )  1  1 − 4n  f) lim  n −   n  2n 2   n2 + 1 + n 3 ( ) c) lim x →−∞ ( 2 x 2 − 3 − 5x ) 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập d) lim x →2 Toán 11 2x −1 ( ( x − 2) x 2 − x − 2 e) lim ) x →3 GV. Lư Sĩ Pháp x2 − 2x − 4x − 9 ( ( x − 3) x 2 − 2 x − 3 ) f) lim 2x2 + 3 4x + 2 c) lim 1 + 2 x − 3 1 + 3x x2 x →±∞ Bài 13. Tìm các giới hạn sau: a) lim x →1 d) lim x3 − 3x − 2 x −1 2 x + 1. 3 3 x + 1 − 1 x b) lim x →0 x + 1 − 3x − 5   e) lim  x + x + x − x  x →+∞   2x + 3 − x + 6 Bài 14. Tìm các giới hạn sau:  1  a) lim  − x 3 + 5 x 2 − 4 x + 1 x →−∞  3  x →3 e) lim x →−∞ ( 3 8x 3 + x + 1 + 4 x 2 − 3 x + 5  1 1  g) lim−  2 −  x →2  x −4 x−2 k) lim x →2 3 6− x − x +4 x2 − 4 2 3 x3 + 3x 2 − x 2 − 2 x ) 2 x →+∞ 2 x →+∞ b) lim x →−∞ ( 4 x 2 + 3x − 1 + 3x ) ( 36x − 24x − 6x + 2) f) lim ( 9 x − 3 x + 5 + 3 x − 4 )  1  c) lim  − x 4 − 2 x 2 + 3  x →−∞  4  2 4 x + x − 20 e) lim − 3x + 9 x →( −3) Bài 16. Tìm các giới hạn sau: 2 x 2 + x − 20 a) lim − 2x + 4 x →( −2 ) ) ( ) ( d) lim ( 6 x − 5 − 36 x − 4 xx − 5 ) f) lim ( 5 x + 1 − 9 x + 2 x )   2 ( x →+∞ x →−∞ −2 x + 1 x →1 1− x 1  e) lim  x 4 − 2 x 2 + 4  x →−∞ 4   Bài 15. Tìm các giới hạn sau: 2x + 1 a) lim +  1  2x −1 x→ c) lim −2 x 3 + 3 x − 4 f) lim b) lim 2 x − 3 + 4 x 2 + 7 x − 9 c) lim+ x →+∞ x →0 d) lim 2 x →+∞ 2 x →−∞ ( 4 x − 3x + 5 + 2 x − 4 ) d) lim ( 4 x − 36 + 4 x − 12 x ) f) lim ( 9 x − 3 x + 5 + 27 x + x + 1 ) b) lim 2 x →−∞ 2 ) x →−∞ 3 2 3 x →−∞ x3 − 2x + 4 h) lim x →−2 l) lim x →1 3 x +4− x +6 x + 7 − 5 − x2 x −1  x 2 − x + 4 neáu x = 2  Bài 17. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục trên tập xác định của nó. neáu x ≠ 2   x +7 −3 3 Bài 18. Chứng minh rằng phương trình x − 3 x 2 + 5 x + 7 = 0 luôn có nghiệm.  1 3 − neáu x > 1  Bài 19. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x 3 − 1 . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 2 m x + 2mx + 2 neáu x ≤ 1  f ( x ) liên tục tại x = 1. Chương IV. Giới hạn 62 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp m 2 x 2 − mx + 4 neáu x = 2  Bài 20. Cho hàm số f ( x ) =  x − 2 . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số ≠ neá u x 2   x +7 −3 f ( x ) liên tục tại x = 2.  x3 − x2 + x − 1 neáu x > 1  . Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại x = 1. Bài 21. Cho hàm số f ( x ) =  x 2 − 5 x + 4 −2 x + 1 neáu x ≤ 1   x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 neáu x ≠ 2  Bài 22. Cho hàm số f ( x ) =  x 2 − 3 x + 2 . Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại x = 5 x + 5 neáu x = 2  2.  −2 x + 1 khi x ≤ −1  2 Bài 23. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) =  x + 5 x + 4 tại x = −1 > − 1 khi x   x3 + 1 2 x + 5 khi x > −2  4 2 Bài 24. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) =  x − 3 x − 4 tại x = −2 khi x ≤ −2  3  x +8 2 x + 8 khi x ≠ 1  Bài 25. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) =  x 4 + 3 x 2 − 4 tại x = 1 khi x = 1  3  x − 2x + 1  x 2 + 3x + 2 khi x > −1  x+ x+2 Bài 26. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) =  tại x = −1  1 x 3 + x 2 + 2 x − 2 khi x ≤ −1  3 Bài 27. Tìm các giới hạn sau: a) lim 5.2 n − 3.7n 4 n + 2.5n 2x + 2 − 2 x →1 x −1  1 1  g) lim+  2 −  x →4  x − 16 x − 4  Bài 28. Tìm các giới hạn sau: (n + 2)(2 − 3n)2 a). lim n3 + 8 d) lim d) lim x →−1 g) lim x +1 6 x 2 + 3 + 3x 2x + 2x − 5 2 3 8x 3 − x x5 − 5 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 4 j) lim x →1 x3 − x 2 − x + 1 Bài 29. Tìm các giới hạn sau: x →−∞ Chương IV. Giới hạn 9n 2 + 1 + n 2n + 1 b) lim ( h) lim ( e) lim x2 + x + 3 − x x →+∞ x →−∞ ) 3 x 3 − 11x 2 + 7 x − 3 x →3 5 x 3 − 19 x 2 + 14 x − 6 2 n +3 − 22 n +1 4n −2 + 3n e) lim x +9 + x +4 −5 x h) lim ( k) lim ( x →0 x →−∞ x →−∞ 3 ) 2 x 3 − 7 x 2 + 11x − 10 x →2 x 3 − 2 x 2 − 3x + 6 c) lim f) lim x →−1 4 x 2 + 12 x + 3 x − 15 ) x3 − 3x 2 + x 2 − 2 x ) 63 x6 − 2x 3x 2 + 2 f) lim x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3 x →−∞ b) lim c) lim i) lim 2 x 3 − 5x − 3 5x + 6 + x 9 x 2 − 5x + x − 3 2x + 3 − 4×2 − 7 x3 − x − 6 l) lim x → 2 x + 4 − 5 x + 26 x →−∞ 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 ( (  6×2 + 4 b) lim  x →+∞   9×4 − 2  2 x 3 − 3x 2 + 5x − 2 a) lim 1 1 − 8x 3 x→ 2 d) lim x →1 2x −1 + 3 x − 2 x2 −1 ( (  3×3 − 4 h) lim  x →+∞   4×4 − 2  ) ( 5x ) ( 7x 2 e) lim x →0 ) + 2) 4 ) (3x ) (8x 3 2 GV. Lư Sĩ Pháp x +4 − 3 x +8 2×2 + x ( ) ) 4 − 5  2  3 +2   2 ( c) lim x − 2 + x 2 + 3 x x →−∞ ) 3×3 + 2 x 2 − 4 x + 1 1 27 x 3 − 1 x→ g) lim 3 )  2 n 3n −1 − 5.2 n 2 x + 3 − 3 3 x + 18  i) j) lim lim 2 3  x →3 2 x −3 3n−1 2 n + 4   m khi x = 2  Bài 30. Cho hàm số f ( x ) =  2 x 2 − 5 x + 2 . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2   x2 − 4 f ( x ) liên tục tại x = 2 . 2 +1 ( ) m 2 x 2 − mx + 4 khi x = 2  Bài 31. Cho hàm số f ( x ) =  x − 2 . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2   x +7 −3 f ( x ) liên tục tại x = 2 .  1 3 − 3 khi x ≠ 1  . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 . Bài 32. Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 x − 1 m 2 x + 2mx + 2 khi x = 1   4x + 1 − 6x − 3   4 − x2 Bài 33. Cho hàm số f ( x ) =  m 2 x 2 + 1 x − 1  6 4 khi x ≠ 2 . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 2 . khi x = 2  3x + 1 − x + 3 khi x ≠ 1  Bài 34. Cho hàm số f ( x ) =  . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 . x3 − 1 m 2 x 2 − 4 x khi x = 1   x +1 + x + 4 − 3 khi x > 0  x Bài 35. Cho hàm số f ( x ) =  . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại (1 + x )m 2 + (1 − 2 x )m − 5 khi x ≤ 0  4 x = 0.  x +9 + x +4 −5 khi x > 0  x Bài 36. Cho hàm số f ( x ) =  . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại 19 (1 − x )m 2 + (2 x − 1)m − khi x ≤ 0  12 x = 0.  2 x 2 + 3 x − 14 khi x ≠ 2  3 2 x − x − x − 2 Bài 37. Cho hàm số f ( x ) =  . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 2 .  3m − 5 khi x = 2  2 x + 3 Chương IV. Giới hạn 64 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 38. a) Chứng minh rằng phương trình x 5 + x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. b) Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm. c) Chứng minh rằng phương trình 2 x 4 − x 3 + 3x 2 − 3 x − 9 = 0 có ít nhất hai nghiệm. d) Chứng minh rằng phương trình 16 x 4 − 16 x 3 + 19 x 2 − 16 x + 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 1). e) Chứng minh rằng các phương trình: x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . f) Chứng minh rằng các phương trình: sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . g) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. h) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 5 x − 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Bài 39. 2 4 8 2n a) Tính tổng S = 1 + + + + … + n + …. 3 9 27 3 ( −1) 1 1 b) Tính S = − + … + 3 9 3n n +1 + …. ( −1) ,… d) Tính S = 1 +  1 − 1 + … + (−1) n + …  1 1 1 c) Tính tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,…,   2 3 6 12 3.2 n −1 9n −1 9 9  2 4 2n 1 1 1 e) Tính tổng S = + 2 + … + n + … f) Tính S = 1 + + + … + n + … 3 3 3 3 9 3 3 4 8 16 32 1 1 1 1  1 1 g) Tính S =  −  +  −  + … +  n − n  + … h) Tính S = + − + − + … 2 3 9 27 81  2 3  4 9 2 3  n +1 ( −1) ,… 1 1 1 1 1 1 1 k) Tìm tổng cấp số nhân , 2 , 3 ,…, n ,… l) Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,…, 2 2 2 2 2 6 18 2.3n −1 n +1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tính P = lim x →1 1 A. P = . 2 x − 3x + 2 . x − 4×2 + 2x + 1 1 B. P = − . 4 2 3 n 2 + n − 1 − 4n 2 − 2 . n+3 1 B. J = − . 3 Câu 2. Tính J = lim A. J = −2. 1 C. P = . 3 1 D. P = . 6 C. J = 0. D. J = −1. 3x 2 + 2 − 2 − 2 x a 2 a = , ( tối giản). Tính S = a + b. x b b A. S = 5. B. S = −2. C. S = 1. 2 2 n sin n − 3n Câu 4. Tính J = lim . n2 A. J = 0. B. J = 2. C. J = −3. 2 2 x + x + 10 x + 11x + 30 Câu 5. Biết lim = a và lim = b . Tính S = a + b. 3 x →−1 x →− 5 x +6 25 − x 2 1 1 A. S = . B. S = . C. S = 2. 5 10 Câu 3. Biết lim Câu 6. Tính P = lim 3 x →2 Chương IV. Giới hạn D. S = 3. D. J = 3. D. S = 21 . 10 10 − x − 2 . x−2 65 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 1 . 12  1  1 − 4n  Câu 7. Tính H = lim  n −  . n  2n2   1 B. H = − . A. H = −2. 2 A. P = − 1 . 12 B. P = ( −1) Câu 8. Tính E = lim GV. Lư Sĩ Pháp 1 . 24 C. P = 2. D. P = C. H = 2. D. H = +∞. 1 C. E = . 2 1 D. E = − . 2 C. N = 2. D. N = 0. n 2n + 1 . A. E = 1. B. E = 0.  1 1  − Câu 9. Tính N = lim+  2 . x →2  x −4 x −2 1 A. N = . B. N = −∞. 32 x + 4×2 − x + 1 2 x 4 + 5x − 1 và lim = b . Tính P = a.b + 1. = a x →+∞ 1 − x 2 + x 4 x →−∞ 1− 2x Câu 10. Biết lim A. P = −2. B. P = 2. Câu 11. Tính N = lim x →3 B. N = 1. x →2 A. a + b = 5. 1 D. P = . 4 C. N = −3. 1 D. N = − . 3 x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 . x2 − 4x + 3 2 A. N = . 3 Câu 12. Biết lim C. P = 1. x+2 −2 a với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x + 7 −3 b B. 2 a − b = 1. C. ab + 1 = 6. Câu 13. Tính P = lim = D. b − a = 1. x− x . x −1 B. P = 0. C. P = −1. D. P = 1. A. P = −3. Câu 14. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào có giới hạn là +∞ ? n2 − n + 1 n3 + 2n − 1 n 2 − 3n + 2 2n 2 − 3n A. lim B. lim C. lim 3 D. lim . . . . 2n − 1 n − 2n 3 n2 + n n + 3n Câu 15. Cho (un ) và (vn ) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng? u lim un 1 1 A. lim = B. lim n = . . un lim un vn lim vn x →1 C. lim 3 un = 3 lim un . Câu 16. Cho phương trình −4 x 3 + 4 x − 1 = 0 D. lim vn = lim vn . (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ? A. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng ( −2; 0 ) .  1 B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  −3;  2  C. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng ( −∞;1) . D. Hàm số f ( x ) = 4 x 3 + 4 x − 1 liên tục trên ℝ. Câu 17. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi một phân số nào dưới đây? Chương IV. Giới hạn 66 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập A. Toán 11 47 . 90 46 . 90 B. Câu 18. Tính I = lim 2 − n ( −1) 1 + 2n 2 C. GV. Lư Sĩ Pháp 6 . 11 D. 43 . 90 n . 3 A. I = . B. I = −2. C. I = 0. 2 Câu 19. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? 2x + 5 x −1 . A. lim 3 . B. lim C. lim x 2 + 1 − x x →−2 x + 10 x →1 x − 1 x →+∞ ( 1+ x − 3 1+ x . x →0 x A. L = 0. B. L = 2. C. L = 8. Câu 21. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +∞ ? n2 − n + 1 n 2 − 3n + 2 2n 2 − 3n . A. lim B. lim C. . lim . 2n − 1 n2 + n n3 + 3n 1 D. I = . 2 ) D. lim x →1 x2 −1 . x 2 − 3x + 2 Câu 20. Tính L = lim 6 − x − 3 x2 + 4 . x →2 x2 − 4 1 7 7 A. I = − . B. I = − . C. I = . 48 48 48 Câu 23. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Phương trình x 4 − 3x 3 + x − 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;3). B. Hàm số y = x + cos x liên tục trên ℝ. D. L = −3. D. lim n3 + 2n − 1 . n − 2 n3 Câu 22. Tính I = lim D. I = −7. x 2 − 3x + 2 liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) . x −1 D. Hàm số y = cot x liên tục trên ℝ. C. Hàm số y = Câu 24. Tính M = lim ( 3 ) 1 + n3 − n . B. M = 2. C. M = 0. D. M = 3. 2n − 3n3 + 1 Câu 25. Tính L = lim . n3 + n2 1 A. L = − . B. L = 3. C. L = 0. D. L = −3. 3 Câu 26. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? x 2 + 3x + 2 A. Hàm số y = liên tục trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) . x+2 B. Phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( −2;5) . A. M = +∞. C. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ. D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. Câu 27. Biết lim ( ) n2 + n − n2 − 1 = a, a ∈ ℚ. Tính S = a 2 + a + 1. 7 1 3 B. S = . C. S = . D. S = . 4 2 2 Câu 28. Cho phương trình x3 + 3x 2 − 4 x − 7 = 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ? A. Phương trình (1) ít nhất nghiệm trong khoảng (1;3) . A. S = 1. Chương IV. Giới hạn 67 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng ( −4;0 ) . C. Hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 liên tục trên ℝ. D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( −2;0 ) . ( 2 − 3n ) ( n + 1) Câu 29. Tính M = lim 3 2 . bằng. 1 − 4n 5 27 3 27 3 . B. M = − . C. M = . D. M = . 4 4 4 4 Câu 30. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3 hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 4 3 1 3 B. u1 = 3; q = . C. u1 = 1; q = . D. u1 = 3; q = 3. A. u1 = 3; q = . 4 4 4 Câu 31. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại x = 1. 2x − 2 B. f ( x ) = 1 − 2 x . A. f ( x ) = 2 . x − 6x + 5  x 2 − 5x + 4  x 2 − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1   D. f ( x ) =  x − 1 C. f ( x ) =  x − 1 . . 3 x + 1 − x khi x ≤ 1 khi x = 1   A. M = − 2x + 7 − 3 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b x +3 −2 b A. 2a + b = 12. B. 2a − b = 3. C. a + 2b = 10. D. a − 2b = 4. Câu 33. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? Câu 32. Biết lim x →1 ( 2n + 1)( n − 3) A. lim 2 n − 2n3 2n + 3 . C. lim 1 − 2n Câu 34. Tính L = lim n →+∞ A. L = 24. (2 B. lim ( 4n + 2 5 − 32 n −3 2 n +1 )( −1 2 − 9 ) n −2 B. L = 4.  1 1  Câu 35. Tính L = lim+  2 − . x →2  x −4 x −2 A. L = −∞. 2n + 1 . 3.2n − 3n 1 − n3 D. lim 2 . n + 2n . ) . B. L = 2.  4n 2 − n + 3 8n3 + n 2 Câu 36. Tính K = lim   2n + 3  A. K = 1. B. K = 2. Câu 37. Tính K = lim A. K = 2. Chương IV. Giới hạn C. L = 16. D. L = 36. C. L = 0. D. L = C. K = 4. D. K = 3. 1 C. K = . 2 D. K = −1. 1 . 32  .   n−2 n . 2n 1 B. K = − . 2 68 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  3 − 5x −1 khi x > 2  Câu 38. Tìm tham số m để hàm số: y = f ( x) =  2 x 2 − 5 x + 2 liên tục tại x0 = 2 3 ( m − 2) x − mx + 10 khi x ≤ 2  A. m = 5 . 18 B. m = 103 . 108 C. m = − 5 . 18 D. m = − 103 . 108 2 x 3 − 5x 2 − 2 x − 3 ax 2 + bx + 1 , với a, b, c, d ∈ ℤ. Tính P = abcd . = lim 2 x → 3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3 x → 3 cx + dx + 1 A. P = 6. B. P = 4. C. P = −2. D. P = −8.  1 1  a a Câu 40. Biết lim  2 − 3  = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính u10 = a + 9b. x →1 x + x − 2 b x −1 b  Câu 39. Biết lim A. u10 = 162. B. u10 = 27. C. u10 = 20. Câu 41. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? D. u10 = 83. ( 2n + 1)( n − 3) B. lim 1 − x3 A. lim 2 . x →+∞ x + 2 x 2n + 1 C. lim . 3.2 n − 3n n − 2n3 2x + 3 . D. lim− x →1 x − 1 2 .  1 3  − Câu 42. Tính L = lim  . x →1 1 − x 1− x3   A. L = 4. B. L = 0. 1 D. L = − . 2 C. L = −1.  2sin n2  Câu 43. Tính G = lim  10 − . n   A. G = +∞. B. G = 0. C. G = 10. 1 1 1 (−1)n Câu 44. Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn − , , − ,… n ,… 2 4 8 2 1 1 A. S = . B. S = −1. C. S = − . 2 4 x +1 Câu 45. Biết lim = a . Tính H = Pa + Aaa + Caa x →−1 2 6 x + 3 + 3x A. H = 55. B. H = 105. C. H = 3. 2 n +1 n 3 + 2(−5) Câu 46. Tính M = lim . n →+∞ 6n − 2 − 3 A. M = 108. Câu 47. Tính P = lim B. M = 102. ( 1 A. P = . 3 3 D. G = 9. 1 D. S = − . 3 D. H = 9. C. M = 1. 1 D. M = . 6 C. P = 0. D. P = −3. ) n 2 − n3 + n . B. P = 2. ( ) n   n 3  a  1 (−1) 2 2 Câu 48. Biết lim  +  = , với a, b ∈ ℤ. Tính S = a − b . n +1 2 b 3.2     1 A. S = . B. S = −1. C. S = −3. 2 Chương IV. Giới hạn 69 D. S = 3. 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  x 2 + 2 x + a khi x > 2  Câu 49. Cho f ( x) = 2a + 1 khi x = 2 liên tục trên tại x = 2 với a, b ∈ ℚ. Tính S = a + b. bx − 3 khi x < 2  A. S = 17. B. S = 16. C. S = 14. D. S = 15. x +3 −2 a = với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x −1 b A. ab = 4. B. a + b = 7. C. a + 3b = 5. 1 Câu 51. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + ... + n + ... 3 35 27 7 A. S = . B. S = . C. S = . 3 2 2 2 x −1 . Câu 52. Tính N = lim x →1 3 x −1 A. N = 0. B. N = +∞. C. N = 6. 3  ( x + 3 ) − 27  Câu 53. Biết lim  + m  = 27 . Tìm m. x →0   x   A. m = −9. B. m = 1. C. m = 0. 1 1 + − ... Câu 54. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 − 2 2 Câu 50. Biết lim x →1 A. S = 2 2. B. S = Câu 55. Tính I = lim x →1 2 2 +1 . B. I = 2. x →2 A. J = 15. Câu 57. Biết lim A. b − a = 1. 1 D. S = . 2 D. N = 9. D. m = 27. 2 2 C. S = 2 + 1. D. S = 4 C. I = . 3 D. I = 8. 2 +1 . 4x5 + 9x + 7 . 3x 6 + x 3 + 1 A. I = 4. Câu 56. Tính J = lim D. b − 2a = 3. x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 . x3 − x − 6 15 B. J = . 10 C. J = 15 . 11 D. J = 11 . 15 9n 2 − n + 1 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4n − 2 b b B. a + b = 9. C. 2a + b = 12. D. ab + 2 = 10. 4n 2 + 1 + n a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 2n + 1 b b A. ab + 4 = 10. B. 2b − a = −1. C. a + b = 5. D. a − 2b = −1. Câu 59. Hàm số nào sau đây liên tục tại x0 = 1 ? Câu 58. Biết lim A. f ( x) =  x2 − 9 x + 8 khi x ≠ 1  B. f ( x) =  . x −1  −7 khi x = 1  x − 2x − 3 . x −1 2  2 x − 5 khi x ≥ 1 C. f ( x) =  D. f ( x ) = . 3 2  x − 2 x + x − 3 khi x < 1 Chương IV. Giới hạn 70 x − 2. 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 60. Biết lim x →+∞ Toán 11 ( GV. Lư Sĩ Pháp ) a a x 2 − 2 x − 1 − x 2 − 7 x + 3 = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây b b sai ? A. b − a = 2. B. a + b = 7. C. a.b = 10. D. a − b = 3. Câu 61. Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + 4 x4 + 2x2 + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →− 1 x → 2 n−2 x −1 x+2  4n + 1 cos n  x6 + 4x2 + x − 2 1 T = lim N = lim  + n  U = lim 2 x →−∞ x →+∞ 3   n x2 + x + 1 − x x3 + 2 ( ) Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. HUAN . B. TOAN . C. THOA. D. TUAN . 2 x vôùi x < 1, x ≠ 0   x Câu 62. Cho hàm số f ( x ) = 0 vôùi x = 0 . Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?   x vôùi x ≥ 1  A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1. B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0;1]. C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0. D. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc ℝ. Câu 63. Tính K = lim (2 x + 1) x →+∞ A. K = 2 . 2 x +1 . 2x3 + x2 C. K = 3. B. K = 2. D. K = 2. a a b a Câu 64. Biết lim  x + x − x  = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính S = + . x →+∞  b b a  b 2 1 3 5 B. S = . C. S = . D. S = . A. S = . 3 2 2 2 Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ. u1 1 − q n B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1. 1− q u C. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = 1 , q < 1. 1− q ( ) D. lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ). x → x0 x → x0 x → x0 Câu 66. Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ... A. S = 9 . 10 B. S = 9.  x +2 3 −8 ) ( Câu 67. Cho hàm số: y = f ( x ) =  x 2 + x  2  x − 2 x + 12 Chương IV. Giới hạn C. S = 10. D. S = 11. neáu x ≠ 0, x ≠ −1 . Khẳng định nào dưới đây là sai ? neáu x = 0 71 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. f ( 0 ) = lim f ( x ) B. Hàm số gián đoạn tại x = 0 C. Hàm số liên tục tại x = 0 ( x + 2) D. lim x →0 x →0 4 − x 2 + 16 1 A. H = − . 4 = 12 . B. H = 2. C. H = 0.  1 1 1 1 Câu 69. Tính tổng S cấp số nhân 1, − , , − ,...,  −  2 4 8  2 2 A. S = . 3 −8 x +x x →0 x2 + 1 −1 Câu 68. Tính H = lim 2 3 3 B. S = . 2 D. H = −4. n −1 ,... 3 D. S = . 4 5 39 Câu 70. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 3 25 đầu và công bội của cấp số đó. 2 2 5 5     q = q = q = q = B.  C.  D.  A.  5. 2. 5. 2. u1 = 1 u1 = 1 u1 = 2 u1 = 2 ( 3 C. S = . 8 ) Câu 71. Tính Q = lim 5n − cos nπ . B. Q = 1. A. Q = +∞. Câu 72. Biết lim− x →1 A. S = B. S = 3 − x −1 Câu 73. Tính K = lim x −2 −2 x →4 Câu 74. Biết lim x →+∞ D. Q = −1. π x 3 − 3x + 2 = tan α , với 0 < α < . Tính S = sin α + cos α . 2 2 x − 5x + 4 3 . 3 A. K = −1. C. Q = 0. ( 1+ 3 . 2 1 C. S = . 2 D. S = C. K = 0. D. K = 4. 3 . 2 . B. K = 1. ) 5x 2 + 1 − x 5 = a . Tính cos a . 1 A. cos a = . 2 C. cos a = 1. B. cos a = k 2π, k ∈ ℤ. Câu 75. Tính L = lim D. cos a = 0. 1 . n! A. L = 0. B. L = 1. ( C. L = ) 1 . 1000 D. L = 1 . 10 9 Câu 76. Tính Q = lim 2 x + 1 − 9 x 2 + 4 x . x →+∞ A. Q = −1. B. Q = 0. C. Q = −∞. D. Q = +∞. Câu 77. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 278 926 999 278 A. . B. . C. . D. . 333 333 10000 333 Chương IV. Giới hạn 72 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 78. Tính K = lim x →7 2− x −3 . x 2 − 49 B. K = +∞. A. K = 0. Câu 79. Biết lim x →−∞ x6 + 4x2 + x − 2 (x 1 A. S = . 2 GV. Lư Sĩ Pháp 3 +2 ) 2 C. K = − 1 . 56 D. K = −56. x 2 + x − 40 = b . Tính S = a − b. x →+∞ 2 x 5 + 7 x 4 + 21 = a và lim B. S = 10 . 3 C. S = 1. D. S = 0. Câu 80. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1 1   q = q = A.  B.  5. 2. u1 = 5 u1 = 5 1  q = C.  2. u1 = 1 155 . Tìm số 16 1  q = D.  2. u1 = 3 1+ x − 3 1+ x a = với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây sai ? x →0 x b A. 2a + 3b = 5. B. ab + 1 = 7. C. 2a + b = 8. D. b − a = 5.  2 x − 3 + 4 x2 + x  Câu 82. Biết lim  + 2m  = 10 . Tìm m. 3 2 x →−∞  3   8x − 4 x − x + 5  B. m = 1. C. m = 5. D. m = 0. A. m = 10. Câu 81. Biết lim Câu 83. Tìm mối liên hệ giữa các số thực a, b sao cho lim n →+∞ A. a + b = 4. ( ) n 2 + an + 2 − n 2 − bn = 2. B. a + b = 2. C. a − b = 4. D. a − b = 2. n 1 1 (−1) Câu 84. Tính tổng S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ... 10 10 10 11 10 1 10 A. S = − . B. S = . C. S = . D. S = − . 10 11 11 11 Câu 85. Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5301. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N và O với 3n − 1 n −2 3n − 5.4n 2 A = lim ; H = lim n + 2n − n ; N = lim ; O = lim . n+2 3n + 7 1 − 4n Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng. A. HANO. B. OANH . C. NHOA. D. HOAN . 3 3n − 5n + 1 Câu 86. K = lim . n2 + 4 1 A. K = +∞. B. K = 3. C. K = 0. D. K = . 3 1 Câu 87. Biết lim = a . Tính P = C10a + a x →+∞ 2 x + x +1 − x A. P = 47. B. P = 45. C. P = 100. D. P = 2. n 1 1 1 (−1) Câu 88. Cho cấp số nhân vô hạn − , , − ,..., n ,... . Tính tổng S của cấp số đã cho. 2 4 8 2 1 1 1 A. S = − . B. S = . C. S = −1. D. S = − . 4 2 3 ( Chương IV. Giới hạn ) 73 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 89. Tính P = lim− x →3 x −3 3 − 6x − x2 A. P = −∞. GV. Lư Sĩ Pháp . B. P = 0. C. P = 2. D. P = − Câu 90. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là −1? 2n + 3 n3 n2 + n . A. lim B. lim 2 C. lim . . 2 − 3n n +3 −2 n − n 2 Câu 91. Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ... A. S = 9 . 10 B. S = 9. x + x2 −1 −1 Câu 92. Tính M = lim+ x −1 x →1 A. M = 0. C. S = 10. D. lim 6 . 6 n 2 − n3 . 2n3 + 1 D. S = 11. . C. M = +∞. B. M = 2. D. M = 2. 2 Câu 93. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 3 A. un =   2 n −1 2 B. un =   . 3 3 2 x − x + 4x + 5 Câu 94. Tính I = lim . x →+∞ x4 − x + 3 A. I = 0. B. I = 1. Câu 95. Biết lim x →0 n −1 2 C. un =   3 . n +1 . C. I = 3. 3 D. un =   2 n +1 . D. I = −1. x +1 −1 2 1 = a, với a ∈ ℤ. Tính S = a + . a 4 − x + 16 2 1 A. S = − . 4 B. S = 2. Câu 96. Tính J = lim x →+∞ C. S = −4. ) ( 1 B. J = . 6 A. T = 2. 17 . 4 3x 2 + x + 1 − x 3 . A. J = 0. Câu 97. Tính T = lim D. S = − n +1 + n 2 3 n3 + n − n C. J = 1 2 3 . D. J = 3 . 3 . 1 C. T = . 2 B. T = 1. D. T = +∞. x 2 + 2 x − 4 + 3x + 1 a a = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x →+∞ b x2 + 4x − 3 + 2x − 5 b A. a + ab = 12. B. a + b = 7. C. ab − b = 10. D. b − a = 1. n 1 1 1 (−1) Câu 99. Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn − , , − ,... n ,... 2 4 8 2 1 1 1 A. S = − . B. S = . C. S = − . D. S = −1. 4 2 3 Câu 100. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 129 2129 212 219 A. . B. . C. . D. . 999 999 999 999 Câu 98. Biết lim Chương IV. Giới hạn 74 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 x + 8 − 8x + 1 GV. Lư Sĩ Pháp a với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 5 − x − 7x − 3 b A. 2a − b = 2. B. a + b = 20. C. a − 2b = 17. D. a.b = −84. Câu 102. Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + 4 x4 + 2x2 + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →−1 x →2 x + 2 n−2 x −1 6 2  4n + 1 cos n  1 x + 4x + x − 2 N = lim  + n  U = lim T = lim 2 x →+∞ x →−∞ 3   n x2 + x + 1 − x x3 + 2 Câu 101. Biết lim x →1 ( = ) Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. B. TUAN . C. TOAN . D. THOA. A. HUAN .  n2 − n 2 n cos n  . Câu 103. Tính Q = lim  + n  2n − 1  3   1 1 B. Q = − . C. Q = 2. D. Q = 0. A. Q = . 2 2 Câu 104. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là −1 ? x2 −1 x3 − x2 + 3 2x2 + x −1 2x + 3 B. C. D. lim . A. lim . lim . lim . x →+∞ 5 x 2 − x 3 x →+∞ 3 x + x 2 x →−∞ x 2 − 5 x x →−∞ x + 1 5 39 Câu 105. Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 3 25 hạng đầu và công bội của cấp số đó. 5 2 2 B. u1 = 1, q = . C. u1 = 2, q = . D. u1 = 1, q = . A. u1 = 1, q = 2. 2 5 5 Câu 106. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. lim ax k = +∞, a < 0. x →−∞ B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 , q < 1. 1− q C. lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ). x → x0 x → x0 x → x0 D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ. Câu 107. Tính P = lim (0.99)n cos n . ( ) A. P = 0. B. P = x →0 A. M = −4. x →5 A. u10 = 9. C. P = 2 x + 1. 3 3x + 1 − 1 . x B. M = 1. Câu 108. Tính M = lim Câu 109. Biết lim 9 . 10 11 . 10 C. M = 2. D. P = 2 . 2 D. M = +∞. a x−4 − x+4 +2 a tối giản. Tính u10 = a.bb − a . = , với a, b ∈ ℤ và x −5 b b B. u10 = 27. C. u10 = 3. D. u10 = 18. Câu 110. Tính I = lim A. I = 2. Chương IV. Giới hạn 2n n . n + 2n − 1 2 1 B. I = . 2 C. I = 0. 75 D. I = 3. 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 111. Tính K = lim n →+∞ A. K = −42. (2 ( 4 n + 2 5 − 32 n −3 2 n +1 )( ) − 1 2 − 9n − 2 B. K = −24.  1 Câu 112. Tính K = lim  2n +  . n  A. K = 0. B. K = 2. ) GV. Lư Sĩ Pháp . C. K = 42. D. K = 24. C. K = 3. D. K = +∞. 9 + 5x + 4 x 2 − 3 a = , với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x →0 x b A. 2a + 3b = 30. B. a − b = 1. C. ab + 1 = 12. D. 2a + b = 16. a a Câu 114. Biết số thập phân vô hạn tuần hoàn 235, 235235... = , ( tối giản). Tính P = 7a − b 2 + 2b. b b A. P = 649979. B. P = 649996. C. P = 649987. D. P = 648997. n   2  3n  Câu 115. Tính N = lim    + n .  π  4     Câu 113. Biết lim 3 2 B. N = . C. N = 0. D. N = . 4 π x2 − x 4 1+ 2x −1 Câu 116. Cho C = lim ; A = lim ; N = lim x 2 + 4 x − x ; O = lim 4 . x →1 x →−∞ x →0 x →+∞ x x x −1 Tìm từ được mã hóa bởi chuổi số 30213? A. CONAC. B. CANON . C. CONAN . D. CANOC. Câu 117. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ. B. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. A. N = +∞. ( ) x 2 + 3x + 2 liên tục trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) . x+2 D. Phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( −2;5) . C. Hàm số y = Câu 118. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 31 32 100 13 A. . B. . C. . D. . 99 99 99 99 3n − 4 n Câu 119. Tính H = lim . 2.4n + 2 n 1 1 B. H = − . C. H = −1. D. H = . A. H = −2. 2 2 2 −x − x + 6 a Câu 120. Biết lim = với a, b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x →−3 b x 2 + 3x A. ab − 2 = 8. B. a + b = 2. C. 3a + b = 10. D. a − 2b = −1. Câu 121. Tính L = lim n n +1 + n . 1 B. L = . C. L = 1. D. L = 0. 2 2 ax khi x ≤ 2 Câu 122. Cho hàm số y = f ( x) =  2 . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên ℝ.  x + x − 1 khi x > 2 A. L = −2. Chương IV. Giới hạn 76 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 B. a = . C. a = 3. 3 1 7 Câu 123. Giải phương trình + x + x 2 + … + x n + … = , trong đó x < 1 . x 2 1  1 2  A. x ∈   . B. x ∈ {1;2} . C. x ∈  ;  . 3  3 3  A. a = 4. a − x2 . Tính lim f ( x). x →−∞ x B. lim f ( x) = +∞. C. lim f ( x ) = 1. 5 D. a = . 4 2 D. x ∈   . 3 Câu 124. Cho hàm số f ( x) = A. lim f ( x) = +∞. x →−∞ x →−∞ x →−∞ D. lim f ( x ) = −1. x →−∞ 3n + n + 1 a 3 a , ( tối giản). Tính S = b − a. = 12n + 8 b b A. S = 11 + 3. B. S = 12. C. S = 12 + 3. D. S = 11. 2  m( x − 1) khi x = 3  m −1  Câu 126. Cho hàm số f ( x) =  . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 2  x −9 khi x ≠ 3  3 − 2 x + 3 f ( x) liên tục tại x = 3. 9 9 A. m = 18. B. m = . C. m = −18. D. m = − . 13 13 2 Câu 125. Biết g lim Câu 127. Tính H = lim x →+∞ ( ) 3x 2 + x + 1 − x 3 . 1 3 3 B. H = . C. H = . A. H = . 6 6 3 Câu 128. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại ? x x . A. lim cos x. B. lim C. lim . 2 x →0 x →+∞ x →−1 x +1 ( x + 1) Câu 129. Cho phương trình 1 =0 x D. H = 0. 2x +1 . x →−∞ x 2 + 1 D. lim (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ? 1 liên tục trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0; +∞ ) . x B. Phương trình (1) vô nghiệm. C. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng ( −1;1) . A. Hàm số f ( x ) = D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( −1;1) . ( ) a a x 2 + 1 − x = , với a, b ∈ ℤ và tối giản. Tính P = a.b . b b 1 A. P = 3. B. P = . C. P = 1. D. P = 2. 2 1 1 1 1 Câu 131. Tiính tổng S của cấp số nhân , 2 , 3 ,..., n ,... 2 2 2 2 1 1 A. S = 1. B. S = . C. S = n+1 . D. S = 2n. 2 2 x 2 − bx + c Câu 132. Biết lim = 7, (b, cℝ). Tính P = b − c. x →7 x−7 A. P = 3. B. P = 7. C. P = −7. D. P = 14. Câu 130. Biết lim x x →+∞ Chương IV. Giới hạn 77 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 133. Tính F = lim A. F = 1. ( ) GV. Lư Sĩ Pháp n 4 + 2n 2 − n 2 . B. F = −1. C. F = 2. D. F = 0. C. lim un = 0. 1 D. lim un = . 3 1 . Tìm lim un . 3n Câu 134. Biết un − 2 ≤ A. lim un = +∞. B. lim un = 2. 1− x − 3 1− x . x →0 x 2 30 A. Q = 1. B. Q = − . C. Q = . D. Q = 6. 12 36  ( x + 3)3 − 27  + m  = 29 . Tìm m. Câu 136. Biết lim  x →0   x   A. m = −9. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 27.  3− x neáu x ≠ 3  . Tìm tham số m để hàm số đã cho liên tục tại Câu 137. Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 − 2 m neáu x = 3  x = 3. A. m = 1. B. m = 4. C. m = −1. D. m = −4. Câu 135. Tính Q = lim Câu 138. Tính J = lim 5 x − 7 + 3 9 x 3 − 3x 2 + 1 x →−∞ 1 A. J = . 4 2017 − 4 x . 3 9 9 −5 9 +5 C. J = D. J = . . . 4 4 4 2 3 ( x + 2) ax + bx + c x +8 Câu 139. Biết lim 2 , với a, b, c, d ∈ ℤ. Tính S = a + b + c + d . = lim x →−2 x + 11x + 18 x →−2 ( x + 2)( x + d ) B. S = −2. C. S = 12. D. S = 9. A. S = 4. Câu 140. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 96 999 278 926 A. . B. . C. . D. . 33 10000 333 333  x3 + 1  x 2 − x − 2 khi x ≠ −1, x ≠ 2  Câu 141. Cho hàm số y = f ( x) = −1 khi x = −1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 khi x = 2   A. Hàm số liên tục trên ℝ. B. Hàm số gián đoạn tại x = 2. C. Hàm số liên tục trên khoảng ( −2;3) . D. Hàm số gián đoạn tại x = −1; x = 2. B. J = 3 ( ( ) ) Câu 142. Tính L = lim 2 n − 2n + 3 . A. L = −∞. D. L = +∞. 10 (1 − b a ) a 3x − 2 − 4 x − x − 2 a Câu 143. Biết lim = , v ớ i và t ố i gi ả n. Tính S = . a , b ∈ ℤ x →1 b b 1− b x 2 − 3x + 2 A. S = 7. B. S = 10. C. S = −10. D. S = 5. B. L = 2. C. L = 3. 2 Chương IV. Giới hạn 78 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 144. Tính M = lim− x →3 A. M = − x −3 3 − 6x − x2 6 . 6 . B. M = 0. ( GV. Lư Sĩ Pháp ) C. M = 2. D. M = −∞. C. N = 1. D. N = 0. Câu 145. Tính N = lim n2 n − n2 + 1 . A. N = 2. B. N = −∞. ĐÁP ÁN 1 C 21 A 41 C 61 D 81 A 101 A 121 B 141 B 2 D 22 B 42 C 62 D 82 C 102 B 122 D 142 D 3 D 23 D 43 C 63 B 83 A 103 A 123 C 143 B 4 C 24 C 44 D 64 D 84 D 104 A 124 B 144 D 5 D 25 D 45 C 65 B 85 B 105 D 125 D 145 B Chương IV. Giới hạn 6 A 26 C 46 A 66 C 86 A 106 A 126 B 146 7 A 27 B 47 A 67 B 87 A 107 A 127 B 147 8 B 28 D 48 C 68 D 88 D 108 C 128 A 148 9 B 29 C 49 B 69 A 89 A 109 A 129 C 149 10 B 30 A 50 A 70 A 90 C 110 C 130 D 150 11 D 31 D 51 B 71 A 91 C 111 D 131 A 151 79 12 A 32 C 52 C 72 B 92 D 112 D 132 B 152 13 D 33 B 53 C 73 A 93 B 113 D 133 A 153 14 D 34 A 54 D 74 C 94 A 114 D 134 B 154 15 C 35 A 55 A 75 A 95 D 115 C 135 B 155 16 C 36 B 56 C 76 C 96 C 116 A 136 C 156 17 B 37 C 57 A 77 B 97 D 117 A 137 D 157 18 C 38 B 58 B 78 C 98 B 118 A 138 B 158 19 C 39 D 59 B 79 C 99 C 119 B 139 C 159 0916620899 – 0355334679 20 A 40 D 60 A 80 B 100 B 120 D 140 D 160 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ĐỀ 1 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: lim x →+∞ ( ) x + 5 − x − 7 bằng C. −∞. B. +∞. A. 0. Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. lim un là giới hạn của hàm số tại điểm x 0 . n →+∞ C. lim un là giới hạn 1 bên. D. −3. B. lim un là giới hạn của hàm số tại vô cực. n →+∞ D. lim un là giới hạn của dãy số. n →+∞ n →+∞ Câu 3: Khẳng định nào dưới đây sai ? A. lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x). x → x0 x → x0 x → x0 B. lim ax = +∞, a < 0. k x →−∞ C. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ. u D. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = 1 , q < 1. 1− q ( −1) + .... .Khi đó giá trị của S bằng 1 1 Câu 4: Gọi S = − + ... + 3 9 3n 1 1 A. . B. . C. 1. 2 4 n +1 Câu 5: Kết quả của lim 3 . 4 n 3 − 2n bằng 1 − 3n 2 1 D. +∞. − . C. 3 Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại x = 1. 2x − 2 A. f ( x) = 2 . B. f ( x) = 1 − 2 x . x − 6x + 5  x 2 − 3x + 2  x2 − 5x + 4 khi x ≠ 1 khi x > 1   C. f ( x) =  x − 1 D. f ( x) =  x − 1 . . − x  khi x = 1 khi x ≤ 1  3 x + 1 A. 2 . 3 D. B. −∞. 3x 2 + x 4 Câu 7: Tính lim . x →0 2x 3 3 A. − . B. . 2 2 C. Không tồn tại. ( D. 1 . 2 ) Câu 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Tính tổng a + b , biết lim ax + b − x 2 − 6 x + 2 = 5. x →+∞ A. 2. B. 3. C. 7. Câu 9: Tìm từ được mã hóa bởi chuỗi số 4271 biết 7 x3 − 5 x2 − 1 x2 − 3 ; H = lim ; Y = lim x →+∞ x 3 + x x →1 x − 1 x →−∞ 1 − x B. HUYT . C. TUYH . D. −5. T = lim+ ( 7 − 3x ) ;U = lim x →1 A. THUY . Câu 10: lim+ x→0 D. THUC. 2x + x bằng 5x − x Chương IV. Giới hạn 80 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập A. Toán 11 2 . 5 B. + ∞. GV. Lư Sĩ Pháp C. − ∞. D. −1. II. Phần tự luận Bài 1. Tính các giới hạn sau: a ) I = lim 3.5n + 2n +1 2 2 n − 5n c) K = lim x →−∞ x 4 + 3x 2 − 4 x →−1 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6 b) J = lim 16 x 2 + x − 2 1− 3 x 3 d ) H = lim x →0 6x + 1 − 4x + 1 x2  3 − x2 + 5 khi x < −2  . Bài 2. Cho hàm số y= f ( x ) =  x 2 + 2 x m2 x + x − 1 khi x ≥ −2  Tìm tham số m để hàm số trên liên tục tại x0 = −2. ĐỀ 2 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? A. Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 B. lim  f ( x ) .g ( x )  = lim f ( x ) . lim g ( x ) . x → x0 x → x0 x → x0 C. lim x k = −∞ . x →−∞ D. Hàm số hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó. x+3 −2 . x →1 x − 3 x + 2 A. −∞. B. +∞. Câu 3: Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. lim+ f ( x) là giới hạn của dãy số. Câu 2: Tính lim 3 C. Không tồn tại. D. 0. x → x0 B. lim+ f ( x) là giới hạn của hàm số tại vô cực. x → x0 C. lim+ f ( x) là giới hạn bên phải của hàm số tại điểm x 0 . x → x0 D. lim+ f ( x) là giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x 0 . x → x0 Câu 4: Tìm từ được mã hóa bởi chuỗi số 6243, biết 5x + 6 4 x3 − x x 9 x2 + 5 ; N = lim 3 ; I = lim ; H = lim x→6 x →−∞ x − 5 x→0 x →+∞ x −5 x −1 4 + 2x − 2 A. NHIM B. HINH C. MINA D. MINH 3x − 7 Câu 5: lim+ bằng x→2 2 x − 4 A. −1. B. − ∞. C. + ∞. D. 5 M = lim Câu 6: Tính lim x →+∞ A. ( 2 . 3 Câu 7: lim ) x 2 + 3x + 1 − x . B. 1 . 2 C. 1 . 4 D. 3 . 2 2n + 3n9 bằng 4 n 7 + 2n + 1 Chương IV. Giới hạn 81 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 A. +∞. GV. Lư Sĩ Pháp 5 . C. 7 B. −∞. 3 − . D. 4 ( ) Câu 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Tính tích ab , biết lim ax + b − x 2 − 6 x + 2 = 5 x →+∞ A. 2. B. 3. C. 7. D. 5. Câu 9: Hàm số nào sau đây liên tục tại x0 = 1 ? khi x ≥ 1 2 x − 5 B. f ( x) =  3 . 2  x − 2 x + x − 3 khi x < 1  x2 − 9 x + 8 khi x ≠ 1  D. f ( x) =  x − 1 . 7 khi x = 1  A. f ( x) = x − 2. C. f ( x) = x2 − 2x − 3 . x −1 Câu 10: Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9) 2 + (0,9)3 + ... + (0,9) n−1 + ... A. S = 11. B. S = 9. D. S = C. S = 10. 9 . 10 II. Phần tự luận Bài 1. Tính các giới hạn sau: a ) M = lim 2n − 32 n 2.9 n + 6n −1 c) P = lim x →−∞ x4 + 2 x2 − 3 x →−1 x 3 − 4 x 2 + x + 6 b) N = lim 1+ 2 x d ) Q = lim x →0 9 x2 − 5x + 2 6 x + 9 − 3 27 x + 27 x2  4 − x2 + 7 khi x > 3  Bài 2. Cho hàm số y= f ( x ) =  x 2 − 3 x . m2 x − x + 2 khi x ≤ 3  Tìm tham số m để hàm số trên liên tục tại x0 = 3. ĐỀ 3 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + 4 x4 + 2×2 + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →−1 x →2 x + 2 n−2 x −1 6 2  4n + 1 cos n  x + 4x + x − 2 1 T = lim N = lim  + n  U = lim 2 x →−∞ x →+∞ 2 3   n x + x +1 − x x3 + 2 ( ) Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. TUAN . B. TOAN . C. THOA. D. HUAN . Câu 2: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2x + 3 A. lim− . x →1 x −1 1− x3 B. lim 2 . x →+∞ x + 2 x 2n + 1 C. lim . 3.2 n − 3n ( 2n + 1)( n − 3) D. lim 2 n − 2n3 Câu 3: Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + … + (0,9)n −1 + … A. S = 9 . 10 Chương IV. Giới hạn B. S = 10. C. S = 9. 82 D. S = 11. 0916620899 – 0355334679 . Tài liệu học tập Câu 4: lim x →+∞ A. 1 2 3 Câu 5: lim x →0 ( Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ) 3 x 2 + x + 1 − x 3 bằng . 3 . 3 C. 0. D. 1 B. − . 4 C. 0. D. −4. C. −∞. D. B. x2 +1 −1 4 − x 2 + 16 A. 2. 1 . 6 bằng  1 1  Câu 6: lim+  2 −  bằng x →2  x −4 x−2 A. 2. B. 0. 1 . 32 Câu 7: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? x 2 + 3x + 2 A. Hàm số y = liên tục trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) . x+2 B. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ. C. Phương trình x 5 − 3x 4 + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( −2;5) . D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. Câu 8: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780… dưới dạng một phân số. 926 999 278 278 A. B. C. D. . . . . 333 10000 3333 333 Câu 9: Hàm số dưới đây liên tục tại x = 1? 2x − 2 A. f ( x ) = 2 . B. f ( x ) = 1 − 2 x . x − 6x + 5  x 2 − 5x + 4  x 2 − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1   C. f ( x ) =  x − 1 D. f ( x ) =  x − 1 . . 3 x + 1  khi x ≤ 1 khi x = 1  − x Câu 10: Khẳng định nào dưới đây sai? A. lim ax k = +∞, a < 0. x →−∞ B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 , q < 1. 1− q C. lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ). x → x0 x → x0 x → x0 D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ. II. Tự luận . Bài 1. Tìm các giới hạn sau: (2n + 1)(4 − 5n)2 a) lim 8n3 + 8 c) lim x →1 3x + 1 − x + 3 x3 − 1 Chương IV. Giới hạn b) lim ( d) lim x3 − 3x − 2 x −1 x →+∞ x →1 4 x 2 + 5x + 1 − 7 x 83 ) 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  2 x 3 − 5x 2 − 2 x − 3 khi x ≠ 3  3 2 Bài 2. Cho hàm số f ( x ) =  4 x − 13 x + 4 x − 3 . 6 2 2mx + mx − khi x = 3  17 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 3. ĐỀ 4 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ... A. S = 11. B. S = 9. Câu 2: Hàm số nào dưới đây liên tục tại x = 1?  x 2 − 5x + 4 khi x > 1  A. f ( x ) =  x − 1 . 3 x + 1 khi x ≤ 1  C. S = 10. B. f ( x ) = D. S = 9 . 10 2x − 2 . x − 6x + 5 2  x 2 − 3x + 2 khi x ≠ 1  C. f ( x ) = 1 − 2 x . D. f ( x ) =  x − 1 . − x khi x = 1  Câu 3: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + 4 x4 + 2×2 + 3 x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →− 1 x → 2 n−2 x −1 x+2 6 2   x + 4x + x − 2 4n + 1 cos n 1 T = lim N = lim  + n  U = lim 2 x →−∞ x →+∞ 2 3 3   n x + x +1 − x x +2 ( ) Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. TOAN . B. TUAN . C. HUAN . D. THOA. Câu 4: lim x →0 x2 +1 −1 4 − x 2 + 16 bằng 1 B. − . C. −4. 4 Câu 5: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? A. 0. D. 2. ( 2n + 1)( n − 3) . D. lim 2 x + 3 . 2n + 1 1− x3 A. lim B. C. . lim . lim x →+∞ x 2 + 2 x x →1− x − 1 3.2n − 3n n − 2n3 Câu 6: Khẳng định nào dưới đây sai ? x 2 + 3x + 2 A. Hàm số y = liên tục trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) . x+2 B. Hàm số y = tan x liên tục trên ℝ. 2 C. Phương trình x 5 − 3x 4 + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ( −2;5) . D. Hàm số y = x + sin x liên tục trên ℝ. Câu 7: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,780780780… dưới dạng một phân số. 926 999 278 278 A. B. C. D. . . . . 333 10000 3333 333 Chương IV. Giới hạn 84 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 8: lim x →+∞ ( Toán 11 ) 3 x 2 + x + 1 − x 3 bằng. 3 . 3 A. GV. Lư Sĩ Pháp 1 B. C. 0. . 2 3 Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ? A. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = D. 1 . 6 u1 , q < 1. 1− q B. lim ax k = +∞, a < 0. x →−∞ C. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực ℝ. D. lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ). x → x0 x → x0 x → x0  1 1  Câu 10: lim+  2 −  bằng x →2  x −4 x−2 1 A. B. 0. . 32 D. −∞. C. 2. II. Tự luận Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 3n +1 − 2 n −1 a) lim 4 + 3n − 2 ( d) lim ( b) lim 5 x − 1 + 9 x 2 + 2 x x →−∞ ) 2x + 1 − 2x2 + 9x −1 3 3 x + 3x 2 − x 2 − 2 x x →2 x →+∞ x 3 + 3x 2 − 9 x − 2  x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 khi x ≠ 2  3 x x − − 6 Bài 2. Cho hàm số f ( x ) =  . 3mx 2 + mx + 4 khi x = 2  11 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 2. c) lim ) ĐỀ 5 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: lim x →+∞ A. 1 2 3 ( ) 3 x 2 + x + 1 − x 3 bằng. . B. 3 . 3 C. 0. D. 1 . 6 Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn [ a; b ]. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Nếu f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) . B. Nếu hàm số f ( x ) = 0 liên tục trên đoạn [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) . C. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) . D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) . thì hàm số f ( x ) = 0 phải liên tục trên khoảng ( a; b ) . Câu 3: Mệnh đề nào dưới đây đúng? Chương IV. Giới hạn 85 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 A. lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = M , lim+ f ( x) = L. B. x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L. x → x0 x → x0 C. lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = M . x → x0 GV. Lư Sĩ Pháp x → x0 x → x0 D. lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x). x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 1 1 1 (−1) n Câu 4: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn − , , − ,..., n ,... 2 4 8 2 1 1 1 A. – 1. B. − . C. − . D. . 4 3 2 n+2 n +1 7 + 7 +1 a a Câu 5: Biết lim là phân số tối giản). Tính P = a − b. = . (Với n 5.7 − 7 b b A. P = 44. B. P = 7. C. P = 12. D. P = 51. m Câu 6: Cho số thập phân: 0,3211111….. được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản là . Tính m – n. n A. −611. B. 27901. C. 611. D. −27901. x + 1 − x2 + x + 1 bằng x Câu 7: lim x →0 A. −∞. B. 0. 1 D. − . 2 C. –1. Câu 8: Hàm số nào dưới đây liên tục tại x0 = 1? A. f ( x) =  x2 − 5x + 4 khi x > 1  B. f ( x) =  x − 1 . 3 x + 1 khi x ≤ 1  2x . x −1  x2 − 6 x + 5  x 2 +1 khi x ≤ 1 khi x ≠ 1  C. f ( x) =  x − 1 D. f ( x) =  . . 2x khi x > 1  x −1 khi x=1  Câu 9: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 9876 . Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức H, O, A, N, G với: x2 − 1 H = lim ( 6 x + 3) ; A = lim ; N = lim 9 x 2 + 63 x − 9 x 2 − 3 ; x →1 x →1 x − 1 x →+∞ n n +1 5 + 6.17 G = lim n +1 ;O = lim x 2 + 16 x − x . x →+∞ 17 + 10n Tên của học sinh này là: A. OANH . B. HOAN . C. HANG. D. HONG. ( ( ) ) Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho lim x →+∞ A. −2 < m < 2. B. m < −2. ( ) 4 x 2 + 2017 x − 2018 − m 2 .x = +∞. C. m > − 2. D. − 2 < m < 2. II. Phần tự luận Bài 1. Tính các giới hạn sau: a ) A = lim c) C = lim x →3 3n + 2.5n +1 5n − 2 x + 1 − 3x − 5 2x + 3 − x + 6  x2 + 5 − 3  Bài 2. Cho hàm số y= f ( x ) =  x − 2 mx 3 − 6mx + 1  Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0 = 2. Chương IV. Giới hạn b) B = lim x→2 d ) D = lim x→0 khi x > 2 2− x+2 x3 − 3x − 2 1 + 2 x − 3 1 + 3x x2 . khi x ≤ 2 86 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 6 I. Phần trắc nghiệm x 2 + 2 x − 15 bằng x →3 2 x + 3 − 3 Câu 1: Giới hạn lim A. 24. Câu 2: lim x →−∞ A. + ∞ B. 48. ( C. ) 1 . 24 D. 4. x 2 + 4 x − x 2 − 3 − x bằng B. − ∞ n+2 C. 2 D. 0 n +1 − 7 +1 a a là phân số tối giản). Tính P = a − b. = . (Với n 5.7 − 7 b b A. P = 51. B. P = 44. C. P = 37. D. P = 12. Câu 4: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5678. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức H , O, A, N , G với Câu 3: Biết lim 7 3x 2 − 3 ; N = lim x→2 x →1 x − 1 x →+∞ Tên của học sinh này là A. HANG. B. HONG. H = lim ( x + 3) ; O = lim ( ) x 2 + 14 x − x 2 − 3 ; G = lim C. HOAN . 2n + 8.5n +1 ; A = lim x →+∞ 5n +1 + 3n ( 3 D. OANH . x + 7 − 5 x − 3x − 3 −a b . (Với a, b là số nguyên tố) . Tính P = a + b + c. = x2 − 4 c A. P = 31. B. P = 112. C. P = 88. D. P = 43. Câu 6: Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần b biết a = −3.104104104… 104 2893 −3101 −2893 A. . B. . C. . D. . 999 999 999 999 2 2 Câu 5: Biết lim x→2 Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ). f (b) < 0 . Khi đó phương trình f ( x) = 0 có A. Ít nhất 2 nghiệm thuộc ( a; b ) . C. Ít nhất 1 nghiệm thuộc ( a; b ) . B. Ít nhất 1 nghiệm thuộc [ a; b ]. D. Luôn có nghiệm trên ℝ. Câu 8: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào liên tục tại x = 1? 2x − 2 A. f ( x) = 2 B. f ( x) = 1 − 2 x . . x − 6x + 5  x2 − 5x + 4  x 2 − 3x + 2 khi x > 1 khi x ≠ 1   C. f ( x) =  x − 1 D. f ( x) =  x − 1 . . 3 x + 1  khi x ≤ 1 khi x = 1  − x ( −1) ,… là 1 1 1 Câu 9: Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,…, 2 4 8 2.2n −1 3 2 8 A. B. C. 4 3 3 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x). Khẳng định nào dưới đây đúng? n +1 D. 1 3 A. Nếu f ( a ). f (b) > 0 thì hàm số liên tục trên ( a; b ) . B. Nếu f ( a ). f (b) < 0 thì hàm số liên tục trên ( a; b ) . C. Nếu hàm số liên tục trên [ a; b ] thì f ( a ). f (b) < 0. D. Nếu hàm số liên tục trên [ a; b ] và f ( a ). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0 có nghiệm. II. Phần Tự luận Chương IV. Giới hạn 87 ) x3 − 1 − x . 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Bài 1. Tính các giới hạn sau: 3n + 5.7 n a ) A = lim n +1 7 −3 c) C = lim x →−2 3 x − 2x + 4 x+4− x +6  2x −1 −1  Bài 2. Cho hàm số y = f ( x) =  x 2 + x − 2 mx 2 + 2mx − 3  Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0 = 1. Chương IV. Giới hạn Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) B = lim x →1 x3 − 4 x 2 + 3 1− 2 − x d ) D = lim x →−∞ khi x > 1 ( 9 x 2 − 3 x + 5 + 3 27 x 3 + x + 1 ) . khi x ≤ 1 88 0916620899 – 0355334679
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top