Lý thuyết trọng tâm và phương pháp giải các dạng chuyên đề Toán 10 học kì 2

NGUYỄN QUỐC DƯƠNG CÁC DẠNG CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10 LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỌC KÌ II TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC LỤC PHẦN I Đại số CHƯƠNG 4 Bất phương trình 1 Bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai 1 3 3 A Tóm tắt lý thuyết 3 B Các dạng toán và bài tập 4 Dạng 1. Bất phương trình bậc hai 4 Dạng 2. Bất phương trình dạng tích số 7 Dạng 3. Bất phương trình dạng thương 9 Dạng 4. Giải hệ bất phương trình 13 Dạng 5. Bài toán chứa tham số 16 Dạng 6. Ứng dụng dấu của tam thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 32 2 Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai A Các dạng toán và bài tập 33 Dạng 1. Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối 33 Dạng 2. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản 45 Dạng 3. Phương trình và bất phương trình căn thức nâng cao 51 CHƯƠNG 5 Công thức lượng giác 1 33 Giá trị lượng giác của một cung 63 63 A Tóm tắt lý thuyết 63 B Các dạng toán và bài tập 65 Dạng 1. Cho một giá trị lượng giác của góc, tính các giá trị còn lại hay một biểu thức 65 lượng giác Dạng 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác 78 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Dạng 3. Cung góc liên kết 2 93 Công thức lượng giác 105 Dạng 1. Công thức cộng 105 Dạng 2. Công thức nhân – Công thức hạ bậc 126 Dạng 3. Công thức biến đổi 144 PHẦN II Hình học CHƯƠNG 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1 2 3 Phương trình đường thẳng 165 167 167 A Tóm tắt lý thuyết 167 B Các dạng toán 169 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng 169 Dạng 2. Vị trí tương đối và bài toán tìm điểm 181 Dạng 3. Giải tam giác và một số bài toán thường gặp 189 Khoảng cách và góc 204 A Tóm tắt lý thuyết 204 B Các dạng toán và bài tập 204 Dạng 1. Khoảng cách từ một diểm đến đường thẳng 204 Dạng 2. Bài toán tìm điểm liên quan đến khoảng cách 206 Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách 208 Đường tròn 221 A Tóm tắt lý thuyết 221 B Các dạng toán và bài tập 223 Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của đường tròn 223 Dạng 2. Viết phương trình đường tròn 227 Dạng 3. Tiếp tuyến với đường tròn và một số bài toán về vị trí tương đối 237 Trang Chuyên đề Toán 10 HKII 4 Nguyễn Quốc Dương Đường Elip 244 A Tóm tắt lý thuyết 244 B Các dạng toán và bài tập 245 Dạng 1. Xác định các đại lượng cơ bản của Elip 245 Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của Elip 247 Dạng 3. Bài toán tìm điểm và một số bài toán khác 252 Trang Phần I Đại số 1 CHƯƠNG BÀI A. 1. 4 �. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dấu của nhị thức bậc nhất – Bất phương trình bậc nhất a Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: • �� + � > 0 • �� + � < 0 • �� + � ≥ 0 • �� + � ≤ 0 �� + � > 0. (1) Å ã � � • Nếu � > 0 thì (1) ⇔ �� > −� ⇔ � > − � S = − ; +∞ . � � Å ã � � . • Nếu � < 0 thì (1) ⇔ �� > −� ⇔ � < − � S = −∞; − � � • Nếu � = 0 thì (1) ⇔ 0 · � > −�. Khi đó, xét: b Giải và biện luận bất phương trình dạng: + Nếu −� ≥ 0 � S = ∅. với �, � ∈ R. + Nếu −� < 0 � S = R. c Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức f(�) = �� + �, (� �= 0). � f(�) = �� + � −∞ Trái dấu với � d Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn: 2. • Giải từng bất phương trình trong hệ. � � 0 − Cùng dấu với a +∞ • Lấy giao nghiệm Dấu của tam thức bậc hai - Bất phương trình bậc hai một ẩn Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(�) = �� 2 + �� + �, (� �= 0). • Trường hợp 1. Δ < 0: � f(�) −∞ • Trường hợp 2. Δ = 0: � f(�) −∞ • Trường hợp 2. Δ > 0: Cùng dấu với � Cùng dấu với � 3 �0 0 Cùng dấu với � +∞ +∞ Nguyễn Quốc Dương � f(�) B. Chuyên đề Toán 10 HKII �1 −∞ �2 +∞ Cùng dấu với � 0 Trái dấu với � 0 Cùng dấu với � Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f(�) = �� 2 + �� + �, (� �= 0). ® ® � > 0 �>0 • �� 2 + �� + � > 0, ∀� ∈ R ⇔ • �� 2 + �� + � ≥ 0, ∀� ∈ R ⇔ Δ<0 Δ≤0 ® ® �<0 �<0 2 2 • �� + �� + � < 0, ∀� ∈ R ⇔ • �� + �� + � ≤ 0, ∀� ∈ R ⇔ Δ<0 Δ≤0 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP � DẠNG 1. Bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai: f(�) = �� 2 + �� + � > 0, (hay < 0; ≤ 0; ≥ 0). Phương pháp: • Bước 1: Xét f(�) = 0, tìm nghiệm �1 , �2 (nếu có): – Nếu f(�) = 0 vô nghiệm (Δ < 0), suy ra f(�) cùng dấu với hệ số �. – Nếu f(�) = 0 có nghiệm kép (Δ = 0), suy ra f(�) cùng dấu với hệ số �. – Nếu f(�) = 0 có hai nghiệm phân biệt �1 , �2 thì sang bước 2. • Bước 2: Lập bảng xét dấu, dựa vào dấu của tam thức: “trong trái - ngoài cùng”. ! • Bước 3: Từ bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình. Lưu ý một số trường hợp sau: • (� − �)2 < 0 ⇔ � ∈ ∅. • (� − �)2 ≤ 0 ⇔ � = �. • (� − �)2 > 0 ⇔ � �= �. • (� − �)2 ≥ 0 ⇔ � ∈ R. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Giải bất phương trình � 2 − 4� + 3 ≥ 0. � Lời giải • Đặt f(�) = � 2 − 4� + 3. ĐS: S = (−∞; 1] ∪ [3; +∞) • f(�) = 0 ⇔ � = 1 hoặc � = 3. • Bảng xét dấu: � f(�) −∞ + Suy ra S = (−∞; 1] ∪ [3; +∞]. 1 − 0 Bài 2. Giải bất phương trình −2� 2 + 5� − 3 ≥ 0. � Lời giải Trang 4 3 0 + +∞ � ï ò 3 ĐS: S = 1; 2 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Å ã 3 ĐS: S = − ; 1 7 Bài 3. Giải bất phương trình 7� 2 − 4� − 3 < 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ò Å 6 ĐS: S = −∞; − ∪ [2; +∞] 5 Bài 4. Giải bất phương trình −5� 2 + 4� + 12 ≤ 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 5. Giải bất phương trình � 2 − � − 6 ≤ 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 6. Giải bất phương trình � Lời giải −� 2 + 7� − 10 > 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. Giải bất phương trình −� 2 + 6� − 9 > 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = [−2; 3] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (2; 5) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 5 � ĐS: S = ∅ Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. Giải bất phương trình 2� 2 + 4� + 2 > 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = R {−1} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ß ™ 3 ĐS: S = 4 Bài 9. Giải bất phương trình 16� 2 − 24� + 9 ≤ 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ß ™ 4 ĐS: S = R 3 Bài 10. Giải bất phương trình 9� 2 − 24� + 16 > 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 11. Giải bất phương trình � Lời giải �2 − 12� + 36 ≥ 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 12. Giải bất phương trình −� 2 + 6� − 9 ≤ 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = R …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 6 � ĐS: S = {3} Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � DẠNG 2. Bất phương trình dạng tích số Giải bất phương trình: f(�) · �(�) > 0 (hoặc f(�) · �(�) ≥ 0 hoặc f(�) · �(�) ≤ 0� � � �). Phương pháp: • Bước 1: Xét f(�) = 0, �(�) = 0, tìm nghiệm �1 , �2 ,…, �� . • Bước 2: Sắp xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần, xét dấu f(�), �(�) �� dấu f(�) · �(�). • Bước 3: Kết luận tập nghiệm S. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� � � Bài 1. Giải bất phương trình (� − 2) � 2 − 5� + 4 < 0. � Lời giải � � Đặt f(�) = (� − 2) � 2 − 5� + 4 . ĐS: S = (−∞; 1) ∪ (2; 4) • � − 2 = 0 ⇔ � = 2. • � 2 − 5� + 4 = 0 ⇔ � = 1 hoặc � = 4. Bảng xét dấu: � �−2 −∞ � 2 − 5� + 4 f(�) Suy ra S = (−∞; 1) ∪ (2; 4). 1 − + − 0 + 0 − 0 − 2 0 � � Bài 2. Giải bất phương trình (2� − 4) −� 2 + 5� > 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � + − − 4 0 0 + +∞ + + � ĐS: S = (−∞; 0) ∪ (2; 5) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải bất phương trình (� + 2) � 2 + 2� − 3 ≤ 0. � Lời giải Trang 7 � ĐS: S = (−∞; −3] ∪ [−2; 1] Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải bất phương trình (3� − 15) � Lời giải � �2 Bài 5. Giải bất phương trình 4 − � � Lời giải �� 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � − 5� − 6 > 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Chuyên đề Toán 10 HKII ĐS: S = (−1; 5) ∪ (6; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � � 2 − 6� + 8 ≤ 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−∞; −2] ∪ [4; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 6. Giải bất phương trình (� − 2) −� 2 − � + 2 > 0. � Lời giải ĐS: S = (−∞; −2) ∪ (1; 2) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 7. Giải bất phương trình � 2 − 5� + 6 � Lời giải � Bài 8. Giải bất phương trình � 2 − 4� + 3 � Lời giải �� �� � � � 2 − 10� + 21 ≥ 0. ĐS: S = (−∞; 2] ∪ [7; +∞) ∪ {3} � � 2 − 8� + 7 ≤ 0. Trang 8 � ĐS: S = [3; 7] ∪ {1} Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 9. Giải bất phương trình −� 2 + 2� + 3 � Lời giải �� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � 2 − 1 ≥ 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 ĐS: S = [1; 3] ∪ {−1} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 2 Bài 10. Giải bất phương trình (� − 2) > (2� − 1) . � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−1; 1) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � DẠNG 3. Bất phương trình dạng thương Å ã f(�) f(�) f(�) f(�) Giải bất phương trình: > 0 hoặc ≥ 0 hoặc ≤ 0 hoặc <0 . �(�) �(�) �(�) �(�) Phương pháp: • Bước 1: Xét f(�) = 0, �(�) = 0, tìm nghiệm �1 , �2 , ..., �� . • Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, xét dấu f(�), �(�) �� dấu • Bước 3: Kết luận tập nghiệm S. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� 3−� Bài 1. Giải bất phương trình 2 ≤ 0. � − 3� − 4 � Lời giải 3−� Đặt f(�) = 2 . � − 3� − 4 • 3 − � = 0 ⇔ � = 3. • � 2 − 3� − 4 = 0 ⇔ � = −1 hoặc � = 4. Bảng xét dấu: Trang 9 f(�) . �(�) ĐS: S = [−1; 3) ∪ [4; +∞] Nguyễn Quốc Dương � 3−� Chuyên đề Toán 10 HKII −∞ + + � 2 − 3� − 4 + f(�) Suy ra S = [−1; 3) ∪ [4; +∞) Bài 2. Giải bất phương trình � Lời giải �2 −1 � Lời giải + 4� − 5 > 0. �+2 −� 2 + 3� ≤ 0. 6 − 3� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải bất phương trình � Lời giải � 2 + 4� − 5 ≥ 0. � 2 − 4� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 5. Giải bất phương trình � Lời giải 3� 2 �2 + 0 − 0 − 0 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải bất phương trình 3 − 12 > 0. − � − 12 − − + 4 0 − +∞ + − � ĐS: S = (−5; −2) ∪ (1; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−∞; 0] ∪ (2; 3] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−∞; −5] ∪ (0; 1] ∪ (4; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 10 � ĐS: S = (−∞; −3) ∪ (−2; 2) ∪ (4; +∞) Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. Giải bất phương trình � Lời giải � �2 � − 4 (� − 1) ≥ 0. 3−� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = [−2; 1] ∪ [2; 3) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � (3 − �) 2� 2 − 5� + 2 ≤ 0. Bài 7. Giải bất phương trình �+3 � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. Giải bất phương trình � Lời giải � �2 � � Lời giải �2 − 5� < 1. � 2 − 4� + 3 � ò 1 ; 2 ∪ [3; +∞) 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. − 5� + 6 (2� − 1) ≥ 0. 4 − 3� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 9. Giải bất phương trình ĐS: S = (−∞; −3) ∪ ï ĐS: S = ï 1 4 ; 2 3 ã � ∪ [2; 3] ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = (−3; 1) ∪ (3; +∞) � � � 2 − 5� − � 2 − 4� + 3 � 2 − 5� Bất phương trình ⇔ 2 −1<0⇔ <0 � − 4� + 3 � 2 − 4� + 3 −� − 3 ⇔ 2 < 0� � − 4� + 3 −� − 3 . Đặt f(�) = 2 � − 4� + 3 Trang 11 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII • −� − 3 = 0 ⇔ � = −3. • � 2 − 4� + 3 = 0 ⇔ � = 1 hoặc � = 3. Bảng xét dấu: � −� − 3 −∞ + + � 2 − 4� + 3 + f(�) Suy ra S = (−3; 1) ∪ (3; +∞). Bài 10. Giải bất phương trình � Lời giải −3 − 0 + ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. Giải bất phương trình � Lời giải �2 +�+1 ≥ 2. +�−6 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 12. Giải bất phương trình � Lời giải −2� 2 �2 � Lời giải −� 2 �2 − − + 3 0 − +∞ + − � ĐS: S = (1; 2) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = (−∞; −3) ∪ (2; 13] ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. + 7� + 7 ≤ −1. − 3� − 10 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 13. Giải bất phương trình 0 − 0 � 2 − 3� − 4 ≥ 1. � 2 − 3� + 2 2� 2 1 � ĐS: S = (−∞; −2) ∪ [1; 3] ∪ (5; +∞) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. + 3� − 4 > −1. −�−2 Trang 12 � ĐS: S = (−1; 2) ∪ (3; +∞) Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4 � < . Bài 14. Giải bất phương trình �−1 �+3 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = (−3; 1) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3 7 2 − ≥ 2 . Bài 15. Giải bất phương trình �−1 1+� � −1 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 16. Giải bất phương trình � Lời giải �2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 2� − 5 . ≤ �+3 − 6� − 7 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = (−∞; −2] ∪ (−1; 1) � ĐS: S = (−∞; −8] ∪ (−3; −1) ∪ [1; 7) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � DẠNG 4. Giải hệ bất phương trình Phương pháp: • Giải từng bất phương trình trong hệ ta được S1 , S2 . • Giao tập nghiệm lại ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = S1 ∩ S2 . ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Trang 13 � Nguyễn Quốc Dương Bài 1. Giải hệ bất phương trình � Lời giải • Giải 2� 2 + 7� + 3 ≥ 0. ® 2 2� + 7� + 3 ≥ 0 3� − 3 ≥ 12� − 7  1 �=−  2 Xét + 7� + 3 = 0 ⇔ � = −3� Bảng xét dấu: 2� 2 � �2 + 7� + 3 −∞ − + Chuyên đề Toán 10 HKII . 1 2 −3 − 0 Å ò 1 Suy ra S1 = −∞; − ∪ [−3; +∞). 2 ĐS: S = [1; +∞) 0 + +∞ • Giải 3� − 3 ≥ 12� − 7 ⇔ −2� + 2 ≥ 0 ⇔ � ≥ 1. Suy ra S2 = [1; +∞). • Kết luận: S = S1 ∩ S2 = [1; +∞) Bài 2. Giải hệ bất phương trình � Lời giải ® 3� + 1 ≥ 0 � 2 − 4� + 3 ≤ 0 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 3. Giải hệ bất phương trình � Lời giải � . ĐS: S = [1; 3] ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ® 2� − 5 ≥ 3(2� − 1) (� − 1)2 ≤ (� − 6)2 + 3� − 1 . � Å ò 1 ĐS: S = −∞; − 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Giải hệ bất phương trình . � Lời giải ® 2 � − 6� − 7 ≤ 0 5 − 2� ≥ 0 Trang 14 ï ĐS: S = −1; 5 2 � ò Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 5. Giải hệ bất phương trình � Lời giải ® 2 � − 7� + 6 ≤ 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � 2 − 8� + 15 > 0 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. Giải hệ bất phương trình Nguyễn Quốc Dương � 2 + 2� − 15 ≥ 0 � . ĐS: S = (−∞; −5] ∪ [5; +∞) ∪ {3} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ………………………………………….  ä Ä  (3 − 2�) � 2 + 2� − 15 > 0 Bài 7. Giải hệ bất phương trình 2� + 3 . −3   ≥ �−6 �+6 � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = [1; 3) ∪ (5; 6] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ® 2 � − 8� + 15 ≥ 0 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. . � ĐS: S = (−∞; −9] ∪ (−6; −5) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ………………………………………….  2  2� + 7� + 5 > 0 . Bài 8. Giải hệ bất phương trình �−1  2 � − 8� + 12 ≤ 0 � Lời giải Trang 15 � ĐS: S = [2; 6] Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � DẠNG 5. Bài toán chứa tham số a Dấu tam thức bậc hai f(�) = �� 2 + �� + � (tam thức luôn dương hoặc luôn âm,…) • f(�) > 0� ∀� ∈ R ⇔ • f(�) < 0� ∀� ∈ R ⇔ ! ® �>0 Δ<0 ® �<0 Δ<0 . • f(�) ≥ 0� ∀� ∈ R ⇔ . • f(�) ≤ 0� ∀� ∈ R ⇔ Nếu � chứa tham số � ta chia ra hai trường hơp: ® �>0 Δ≤0 ® �<0 Δ≤0 . . • � = 0 � � = � � � và thế vào f(�) kiểm tra xem đúng hay sai? • � �= 0� sử dụng dấu tam thức như trên. Kết luận: Hợp hai trường hợp sẽ tìm được giá trị � cần tìm. b Điều kiện của bất phương trình bậc hai vô nghiệm với f(�) = �� 2 + �� + � = 0. • f(�) > 0 vô nghiệm ⇔ f(�) ≤ 0� ∀� ∈ R ⇔ • f(�) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(�) < 0� ∀� ∈ R ⇔ • f(�) < 0 vô nghiệm ⇔ f(�) ≥ 0� ∀� ∈ R ⇔ • f(�) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(�) > 0� ∀� ∈ R ⇔ ® �<0 Δ≤0 ® �<0 Δ<0 ® �>0 Δ≤0 ® �<0 Δ<0 . . . . c Điều kiện của bất phương trình bậc hai có nghiệm với f(�) = �� 2 + �� + �: • Xét bất phương trình bậc hai vô nghiệm (như mục 2 ). • Lấy phủ định kết quả được kết quả có nghiệm. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài tập 1. Tìm các giá trị của tham số � để các bất phương trình sau luôn đúng. Bài 1. � 2 − 2�� + 4�2 − 3 ≥ 0� ∀� ∈ R. � Lời giải Δ = 4�2 − 4(4�2 − 3) = −12�2 + 12� Để bất phương trình luôn đúng với � ∈ R ĐS: � ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Trang 16 Chuyên đề Toán 10 HKII ⇔ ® 1>0 ≤0 (luôn đúng) Nguyễn Quốc Dương ⇔ −12�2 + 12 ≤ 0 ⇔ � ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞]. Bài 2. � 2 − 2(� + 1)� + 4(� + 1) > 0� � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. −� 2 − 6� + � − 3 ≤ 0� Bài 3. � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �2 + (� − 1)� + 2� + 3 > 0� Bài 4. � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 5. 3� 2 + 2�� + 4� − 9 ≥ 0� � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. � 2 − 2�� + � + 6 > 0� � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. � 2 + 2(� + 2)� − 2� − 1 > 0� � Lời giải ∀� ∈ R. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−1; 3) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−∞; −6] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−1; 11) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ [3; 9] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−2; 3) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−5; −1) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 17 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Bài 8. � 2 + 2(� + 2)� + 2�2 + 10� + 12 ≥ 0� � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 9. 3(�2 − 1)� 2 + 2(� − 1)� − 1 ≤ 0� � Lời giải ∀� ∈ R. ĐS: � ∈ (−∞; −4] ∪ [−2; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ò 1 ĐS: � ∈ − ; 1 2 ï ∀� ∈ R. • Nếu � = 0 �= �2 − 1 = 0 ⇔ � = ±1. + Với � = 1 thì bất phương trình thành: −1 ≤ 0 (đúng) � Nhận � = 1. + Với � = −1 thì bất phương trình thành: −4� − 1 ≤ 0� ∀� ∈ R (sai) � Loại � = −1� • Nếu � �= 0 � �2 − 1 �= 0 ⇔ � �= ±1. Để bất phương trình luôn đúng với � ∈ R ⇔ ⇔ ⇔ ï ò 1 Vậy � ∈ − ; 1 . 2 ® 3(�2 − 1) < 0 Δ≤0 ® 2 (� − 1) < 0 4(� − 1)2 + 12(�2 − 1) ≤ 0 ® 2 (� − 1) < 0 16�2 − 8� − 8 ≤ 0  −1<� <1 ⇔ − 1 ≤� ≤1 2 1 ⇔ − ≤ � < 1� 2 � Bài 10. (� + 1)� 2 − 2(� + 1)� + 3� − 3 < 0� ∀� ∈ R. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � ĐS: � ∈ (−∞; −1] ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. �2 − � − 6 � 2 − 2(� + 2)� − 4 < 0� ∀� ∈ R. � Lời giải Trang 18 � ĐS: � ∈ [−2; 2) Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 12. �� 2 − 2(� − 2)� + � − 3 > 0� ∀� ∈ R. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 13. �2 + 2 � 2 − 2(� − 2)� + 2 ≥ 0� ∀� ∈ R. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (4; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−∞; −4] ∪ [0; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 14. (� + 2)� 2 − 2(� + 2)� + 3� + 4 < 0� ∀� ∈ R. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 15. 2�2 − 3� − 2 � 2 + 2(� − 2)� − 1 ≤ 0� ∀� ∈ R. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ï 1 ĐS: � ∈ − ; 2 3 � ò ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 16. (� + 1)� 2 − 2(� + 1)� + 2 − � > 0� ∀� ∈ R. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: � ∈ (−∞; −2] � ï ã 1 ĐS: � ∈ −1; 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 19 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Bài tập 2. Tìm các giá trị của tham số � để các bất phương trình sau vô nghiệm. (Cần nhớ: Lấy phủ định của luôn đúng ∀� ∈ R) Bài 1. (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3 < 0 vô nghiệm. � Lời giải • � = 0 � � − 1 = 0 ⇔ � = 1. Bất phương trình trở thành: 3 < 0 : vô nghiệm � nhận � = 1. ĐS: � ∈ [1; +∞) • � �= 0 � � − 1 �= 0 ⇔ � �= 1. (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3 < 0 : vô nghiệm Vậy � ∈ [1; +∞). �2 ⇔ (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3 ≥ 0� ∀� ∈ R ® �>0 ⇔ Δ≤0 ® �−1>0 ⇔ 4(� − 1)2 − 4 · (� − 1)(2� + 3) ≤ 0 ® �>1 ⇔ − 4�2 − 12� + 16 ≤ 0 ® �>1 ⇔ −4≤� ≤1 ⇔ � > 1� Bài 2. + 6� + � + 7 ≤ 0 vô nghiệm. � Lời giải � ĐS: � ∈ (2; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �2 Bài 3. + 2(� + 2)� − � − 2 ≤ 0 vô nghiệm. � Lời giải Bài 4. (� + 2)� 2 − 2(� − 1)� + 4 ≤ 0 vô nghiệm. � Lời giải Bài 5. �� 2 + 2(� + 1)� + � − 2 > 0 vô nghiệm. � ĐS: � ∈ (−3; −2) � � Lời giải Trang 20 ĐS: � ∈ (−1; 7) � Å ò 1 ĐS: � ∈ −∞; 4 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. �� 2 + (2� − 1)� + � + 1 < 0 vô nghiệm. ĐS: � ∈ � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Lời giải ï 5 3 ĐS: � ∈ − ; 6 2 � ò ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 8. �2 − 3� − 4 � 2 − 2(� − 4)� + 3 < 0 vô nghiệm. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 ; +∞ 8 � ã ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 7. 2�2 + � − 6 � 2 + (2� − 3)� − 1 > 0 vô nghiệm. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ï � Å ã 7 ĐS: � ∈ −∞; − ∪ [4; +∞) 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài tập 3. Tìm các giá trị của tham số � để các bất phương trình sau có nghiệm. (Cần nhớ: xét trường hợp vô nghiệm trước, sau đó lấy phủ định kết quả được có nghiệm). Bài 1. (� + 1)� 2 − 2(� − 1)� + 3� − 3 ≥ 0 có nghiệm. � Lời giải Đặt f(�) = (� + 1)� 2 − 2(� − 1)� + 3� − 3. Có f(�) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(�) < 0� ∀� ∈ R. • � = 0 � � + 1 = 0 ⇔ � = −1 lúc đó 3 f(�) = 4� − 6 < 0 ⇔ � < (không thỏa) nên loại � = −1. 2 Trang 21 ĐS: � ∈ [−2; +∞) Nguyễn Quốc Dương • � �= 0 � � + 1 �= 0 ⇔ � �= −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chuyên đề Toán 10 HKII f(�) < 0� ∀� ∈ R ® �<0 Δ� < 0 ® �+1<0 (� − 1)2 − (� + 1)(3� − 3) < 0 ® � < −1 − 2�2 − 2� + 4 < 0 ® � < −1 � < −2; � > 1 ⇔ � < −2� Do đó f(�) ≥ 0 vô nghiệm khi � < −2. Suy ra f(�) ≥ 0 có nghiệm khi � ≥ −2. Bài 2. (� + � Lời giải 1)� 2 − 2(� + 1)� + 3� − 3 < 0 có nghiệm. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. �2 + 2(� + 2)� − 2� − 1 > 0 có nghiệm. Bài 3. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: � ∈ (−∞; −1] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−5; −1) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 4. (� − 1)� 2 − 2(� + 1)� + 3� − 6 ≤ 0 có nghiệm. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (−∞; 0� 5] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài tập 4. Tìm � để các hàm số sau xác định với mọi � ∈ R (tập xác định D = R). � Bài 1. � = (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3. � Lời giải Hàm số xác đinh khi: (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3 ≥ 0. Để hàm số xác định ∀� ∈ R thì (� − 1)� 2 − 2(� − 1)� + 2� + 3 ≥ 0� ∀� ∈ R. Trang 22 ĐS: � ∈ [1; +∞) Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 2. � = (� − 1)� 2 − 2(� + 1)� + 3� − 6. � Lời giải � Bài 3. � = � 2 − (2� + 1)� + 2�. � Lời giải � Bài 4. � = (� + 1)� 2 − 2(� − 1)� + 3� − 3. � Lời giải 2018 − 2019� Bài 5. f(�) = √ . �� 2 + 4� + � � Lời giải �2 + 4� + 3 Bài 6. f(�) = � 2 �� − 2(� − 1)� + 4� − 4 � Lời giải Bài 7. � = � Lời giải (� − 2)� 2 ĐS: � ∈ [5; +∞) � ĐS: � = 0� 5 � ĐS: � ∈ [1; +∞) � ĐS: � ∈ (2; +∞) � ĐS: � ∈ (1; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �2 � + 2� + 4 . + 2(2� − 3)� + 5� − 6 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 23 � ĐS: � ∈ (3; +∞) Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. f(�) = � Lời giải �2 �2 �2 + 2�� + +1 . 2 − 2�� + � + 2� − 6 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: � ∈ (3; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài tập 5. Tìm tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Cần nhớ: Cho phương trình bậc hai f(�) = �� 2 + �� + � = 0. ® � �= 0 • f(�) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ . Δ>0 • f(�) = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ��� < 0. • f(�) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ ® Δ>0 P>0   Δ > 0 • f(�) = 0 có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ S > 0 .   P>0   Δ > 0 • f(�) = 0 có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ P > 0 .   S<0 . ! Lưu ý: Nếu không có chữ “phân biệt” thì Δ ≥ 0. Định lí Viét:  �  S = � 1 + �2 = − �. • Nếu �1 � �2 là hai nghiệm của f(�) = 0 thì  P = �1 �2 = � � • Ngược lại, nếu hai số � và � có tổng � + � = S và tích �� = P thì �� � là hai nghiệm của phương trình: � 2 − S� + P = 0. Một số biến đổi thường gặp: • �12 + �22 = S 2 − 2P� (�1 − �2 )2 = S 2 − 4P� �13 + �23 = S 3 − 3PS� · · · • |�1 − �2 | = � > 0 ⇔ (�1 − �2 )2 = �2 ⇔ S 2 − 4P = �2 . Nếu đề bài yêu cầu sao sánh hai nghiệm �1 � �2 với số α, thường có hai cách làm sau: • Đặt ẩn phụ � = � − α để đưa về so sánh hai nghiệm �1 � �2 với số 0 như trên. Trang 24 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương • Biến đổi, ví dụ như: ® �1 − α < 0 ⇔ (�1 − α)(�2 − α) < 0. ◦ �1 < α < �2 ⇔ �2 − α > 0 ® ® ® ® �1 − α > 0 (�1 − α)(�2 − α) > 0 (�1 − α)(�2 − α) > 0 �1 > α ⇔ ⇔ ⇔ . ◦ α < �1 < �2 ⇔ �2 > α �2 − α > 0 �1 − α + � 2 − α > 0 �1 + �2 − 2α > 0 Nếu phương trình bậc ba, sẽ chia Hoocne đưa về bậc nhất, bậc hai như HK1. Bài 1. Tìm � để phương trình (�2 − � − 6)� 2 − 2(� + 2)� − 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ĐS: � ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) {3} � Lời giải ® 2 ® � − � − 6 �= 0 � �= 0 ⇔ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ� > 0 (� + 2)2 + 4(�2 − � − 6) > 0     � �= 2 � �= 2 ⇔ � �= 3 ⇔ � �= 3 ⇔ � ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) {3} �     2 � < −2 ∨ 2 < � 5� − 20 > 0 Bài 2. Tìm � để phương trình (� − 1)� 2 + 2(1 − �)� + 4� = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ĐS: � ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 3. Tìm � để phương trình � 2 + 2(� − 1)� + 3 − � = 0 có 2 nghiệm phân biệt. � ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 4.Å Tìmã� để phương trình (� − 2)� 2 + 2(2� − 3)� + 5� − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ĐS: 6 ;2 �∈ 5 � Lời giải Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ��� < 0 ⇔ (� − 2)(5� − 6) < 0 ⇔ 5�2 − 16� + 12 < 0 ⇔ 6 < � < 2. � 5 Bài 5. Tìm � để phương trình � 2 − 2�� + �2 − 3� + 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ĐS: � ∈ (1; 2) � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 25 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 6. Tìm � để phương trình (� − 2)� 2 + (2�2 − 1)� + �2 − 4� − 5 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ĐS: � ∈ (−∞; −1) ∪ (2; 5) � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 7.Å Tìmã� Å để phương trình � 2 − 2� + 2�2 − 3� + 1 = 0 ã 1 3 � ∈ 0; ∪ 1; 2 2 � Lời giải  �  Δ > 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.  2  1 − (2� − 3� + 1) > 0 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S > 0 ⇔ 2 > 0     P>0 2�2 − 3� + 1 > 0   3 1 ®  0 < � < 0<�< − 2�2 + 3� > 0  2 2 ⇔ ⇔ ⇔ . 3  2�2 − 3� + 1 > 0 � < 1 ∨ 1 < � 1<�< 2 2 2 Bài 8. Tìm � để phương trình −� + (� + 2)� − 4 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. � ∈ (2; +∞) � Lời giải ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 9. Tìm � để phương trình � 2 − 2(1 − 2�)� + 2�2 − 7� + 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. ĐS: � < −2 � Lời giải � Bài 10. Tìm � để phương trình � 2 − 2(� + 1)� + 4� + 1 = 0 có 2 nghiệm �1 � �2 thỏa mãn �12 + �22 + 14 < 4�1 �2 . ĐS: 2 ≤ � < 3 � Lời giải Trang 26 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � Bài 11. Tìm � để phương trình � 2 − 2(� + 1)� + 2�2 + 3� − 5 = 0 có 2 nghiệm �1 � �2 thỏa mãn ĐS: � = −1� 5 hoặc � = 1 �12 + �22 − �1 �2 = 16. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 12. Cho phương trình � 2 − 2�� + �2 − � + 1 = 0 (∗). a Tìm � để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt � ∈ [1; +∞). b Tìm � để phương trình (∗) có nghiệm � ≤ 1. c Tìm � để phương trình (∗) có nghiệm �1 < 1 < �2 . ĐS: a) 2 ≤ � b) 1 ≤ � ≤ 2 c) 1 < � < 2 � Lời giải a Đặt � = � − 1 � � = � + 1. Khi đó (∗) trở thành (� + 1)2 − 2�(� + 1) + �2 − � + 1 = 0. ⇔ � 2 + 2� + 1 − 2�� − 2� + �2 − � + 1 = 0 ⇔ � 2 + 2(1 − �)� + �2 − 3� + 2 = 0 (∗∗). Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt � ∈ [1; +∞) ⇔ phương trình (∗∗) có hai nghiệm phân � ∈ [0;  biệt +∞) 2 2 �   (1 − �) − (� − 3� + 2) > 0 Δ > 0 ⇔   S>0 ⇔   − 2(1 − �) > 0 . 2 P≥0 � − 3� + 2 ≥ 0     � − 1 > 0 � > 1 ⇔ �>1 ⇔ �>1 ⇔ 2 ≤ �.     � ≤1∨2≤� � ≤1∨2≤� ! Lưu ý: Học sinh có thể giải theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai sẽ nhanh hơn. Cụ thể: Cho f(�) = �� 2 + �� + � và f(�) = 0 có hai nghiệm �1 � �2 phân biệt và số xét số α.   � �= 0� Δ > 0   S • �1 < �2 < α ⇔ • �1 < α < �2 ⇔ � · f(α) < 0.  2   � · f(α) > 0� b Tìm � để phương trình (∗) có nghiệm � ≤ 1. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. Trang 27 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII c Tìm � để phương trình (∗) có nghiệm �1 < 1 < �2 . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài tập 6. Tìm các giá trị của tham số � để các bất phương trình sau luôn đúng. � 2 − 5� + � Bài 1. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình −1 ≤ < 7 luôn đúng 2� 2 + 3� + 2 ∀� ∈ R. � Lời giải ® �=2>0 2 Ta có 2� + 3� + 2 > 0� ∀� ∈ R vì . Δ = −7 < 0 Khi đó ta có � 2 − 5� + � −1 ≤ <7 2 ä2 Ä ä Ä 2� + 3� + ⇔ − 2� 2 + 3� + 2 ≤ � 2 − 5� + � < 7 2� 2 + 3� + 2  Ä ä  − 2� 2 + 3� + 2 ≤ � 2 − 5� + � Ä ä ⇔ � 2 − 5� + � < 7 2� 2 + 3� + 2 ® 2 (1) 3� − 2� + � + 2 ≥ 0 ⇔ 2 13� + 26� − � + 14 > 0 (2) ® �=3>0 5 ⇔�≥− � 3 Δ = 1 − (3� + 2) ≤ 0 ® � = 13 > 0 2 • Xét bất phương trình (2) : 13� + 26� − � + 14 > 0� ∀� ∈ R ⇔ ⇔ Δ = 132 − 13 (14 − �) < 0 � < 1�  � ≥ − 5 5 3 ⇔ − ≤ � < 1. Vậy ta có �  3 �<1 • Xét bất phương trình (1) : 3� 2 −2�+�+2 ≥ 0� ∀� ∈ R ⇔ � Bài 2. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình −9 < ∀� ∈ R. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 3� 2 + �� − 6 < 6 luôn đúng �2 − � + 1 ĐS: −3 < � < 6. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 28 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. Bài 3. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình 1 ≤ ∀� ∈ R. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 3� 2 � − �� + 5 ≤ 6 luôn đúng 3� 2 − � + 1 ĐS: � = 1. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 4. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình � � Lời giải � � + � �� � ≤ 1 luôn đúng ∀� ∈ R. �2 + � + 1 ĐS: 0 ≤ � ≤ 1. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � � � � 2 + �� + 1 � � � Bài 5. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình � � ≤ 2 luôn đúng ∀� ∈ R. � � �2 + 1 ĐS: −2 ≤ � ≤ 2. � Lời giải Trang 29 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � � � � �2 + � + 4 � � � Bài 6. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình � 2 � ≤ 2 luôn đúng ∀� ∈ R. � � − �� + 4 � 3 5 ĐS: − ≤ � ≤ . 2 2 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài tập 7. Tìm các giá trị của tham số � để các bất phương trình sau luôn đúng ∀� ∈ (�; �). Bài 1. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình � 2 − (2� + 1)� + �2 + � > 0 luôn đúng ∀� > 2. � Lời giải Đặt f(�) = � 2 − (2� + 1)� + �2 + �. ñ �1 = � với �1 < �2 . Ta có � 2 − (2� + 1)� + �2 + � = 0 ⇔ �2 = � + 1 • TH1. Nếu �1 < �2 ≤ 2 � � < � + 1 ≤ 2 � � ≤ 1 thì Bảng xét dấu � f(�) −∞ + �1 0 − �2 0 + 2 + +∞ Dựa vào bảng xét dấu ta có f(�) > 0� ∀� > 2. Do đó � ≤ 1 nhận. ® �<2 ⇔ 1 < � < 2 thì • TH2. Nếu �1 < 2 < �2 ⇔ � < 2 < � + 1 ⇔ 2<�+1 Bảng xét dấu � f(�) −∞ + �1 0 − 2 − �2 0 + +∞ Dựa vào bảng xét dấu ta có f(�) > 0� ∀� > 2 không thỏa. Do đó 1 < � < 2 loại. • TH3. Nếu 2 ≤ �1 < �2 ⇔ 2 ≤ � < � + 1 ⇔ 2 ≤ � thì Bảng xét dấu Trang 30 Chuyên đề Toán 10 HKII � f(�) Nguyễn Quốc Dương −∞ + 2 �1 + 0 − �2 0 + +∞ Dựa vào bảng xét dấu ta có f(�) > 0� ∀� > 2 không thỏa. Do đó 2 ≤ � loại. Vậy � ≤ 1 là giá trị cần tìm. � Bài 2. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình −� 2 + 2�� − (�2 − 1) < 0 luôn đúng ∀� > 1. ĐS: � ≤ 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 3. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình đúng ∀� < 2. � Lời giải �2 − 2(� − 1)� + �2 − 2� > 0 luôn ĐS: � ≥ 4. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 4. Tìm các giá trị của tham số � để bất phương trình � 2 − 2(� + 1)� + �2 + 2� < 0 luôn đúng ∀� ∈ (0; 1). ĐS: −1 ≤ � ≤ 0. � Lời giải Trang 31 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. � � DẠNG 6. Ứng dụng dấu của tam thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phương pháp: a Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng sau và chứng minh • • �� 2 �� 2 + �� + � > 0� ∀� ∈ R ⇔ + �� + � ≥ 0� ∀� ∈ R ⇔ ® �>0 Δ<0 ® �>0 Δ≤0 . . • • �� 2 �� 2 + �� + � < 0� ∀� ∈ R ⇔ + �� + � ≤ 0� ∀� ∈ R ⇔ ® �<0 Δ<0 ® �<0 Δ≤0 . . b Nếu bất đẳng thức cần chứng minh có dạng A2 ≤ 4BC (hoặc A2 ≤ BC) thì ta có thể chứng minh tam thức f(�) = B� 2 + A� + C ( hoặc f(�) = B� 2 + 2A� + C) luôn cùng dấu với B. Khi đó Δ ≤ 0. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Cho hai số thực �� �. Chứng minh 3� 2 + 5� 2 − 2� − 2�� + 1 > 0. � Lời giải Viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng 3� 2 − 2(� + 1)� + 5� 2 + 1 > 0. Đặt f(�) = 3� 2 − 2(� + 1)� + 5� 2 + 1 xem®� là tham số. ® �� = 3 > 0 �� = 3 > 0 ⇔ . Khi đó f(�) là tam thức bậc hai ẩn � có � 2 2 Δ� = (� + 1) − 3(5� + 1) Δ�� = −14� 2 + 2� − 2 ® �� = −14 < 0 2 Xét tam thức �(�) = −14� + 2� − 2 có � �(�) < 0� Δ�� = 1 − 28 = −27 < 0 ® �� = 3 > 0 Do đó, ta có nên f(�) > 0 với mọi số thực � và �. Δ�� = −14� 2 + 2� − 2 < 0 Hay 3� 2 + 5� 2 − 2� − 2�� + 1 > 0. � Bài 2. Cho hai số thực �� �. Chứng minh 3� 2 − 8�� + 9� 2 − 4� − 2� + 5 ≥ 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 3. Cho ba số thực �� �� z. Chứng minh � 2 + � 2 + z2 + � 2 � 2 z2 − 4��z + � 2 z2 ≥ 2�z − 1. � Lời giải Trang 32 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 4. Cho hai số thực �� � thỏa mãn � 2 + � 2 = 4� − 3�. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2� + 3�. √ √ −1 − 5 13 −1 + 5 13 ĐS: ≤P≤ . 2 2 � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI A. �. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP � DẠNG 1. Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối  ≥0  B ñ a |A| = B ⇔ A=B   A = −B� b |A| = |B| ⇔ ñ A=B A = −B� c |A| > |B| ⇔ A2 > B2 ⇔ A2 − B2 > 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0 (tương tự ≥, <, ≤) d |A| < B ⇔   B > 0 ⇔ A > −B  −B0 ñ e |A| ≥ B ⇔ A≥B A ≤ −B� Nhóm 1. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Bài 1. Giải phương trình: |� 2 ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� + 3� − 3| = � 2 + 8� + 12. Trang 33 ĐS: S = {−1} Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Lời giải Kết luận: S = {−1}. Bài 2. Giải phương trình: � Lời giải |2� 3 |� 2 + 3� − 3| = � 2 + 8� + 12  2  �ñ + 8� + 12 ≥ 0 ⇔ � 2 + 3� − 3 = � 2 + 8� + 12   2 � + 3� + 3 = −(� 2 + 8� + 12)   � ≤ −6 ∨ � ≥ −2    � = −3 ⇔ ⇔ � = −1�    9   � = −1 ∨ � = − 2 − 6� − 4| = ⇔ Kết luận: S = {−3; 0; 2}. ⇔ |� 3 − �2 − 4|. |2� 3 − 6� − 4| = |� 3 − � 2 − 4| ñ 2 � + 3� − 3 = � 2 + 8� + 12 � 2 + 3� + 3 = −(� 2 + 8� + 12) ñ � = 0 ∨ � = −3 ∨ � = 2 � = 2� � � Bài 3. Giải phương trình: �� 2 + 5� + 4� = � 2 − 5� − 6. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải phương trình: |� 2 − 2� + 3| = |� + 1|. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = {−3; 0; 2} � ĐS: S = {−1} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = {1; 2} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 5. Giải phương trình: �� 2 + � − 3� = � 2 + 3� + 5. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � ĐS: S = {−4; −1} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 34 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. Giải phương trình: |� 2 − 4� − 5| + 4� = 24. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. Giải phương trình: � 2 − 5|� − 1| − 1 = 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = {−6; 2; 6} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = {−6; 1; 4} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. Giải phương trình: |� − 1| = � 3 − � 2 − � + 1. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � � � � 3� � � 2� − 6 � �−� � = 2. Bài 9. Giải phương trình: �� 2� − 6 � � � � Bài 10. Giải phương trình: � Lời giải �2 �2 � 2} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = {2; 6} � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = {0; 1; √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. − 4� + 4 |2� − 4| = 3. + |� − 1| − 2� + 1 Trang 35 � ß ™ 3 ĐS: S = 2 Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Nhóm 2. Phương trình chứa nhiều dấu trị tuyệt đối • Bước 1: Xét dấu biểu thức ở trong dấu trị tuyệt đối. • Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu, phân chia các trường hợp để khử dấu trị tuyệt đối • Bước 3: Kết luận nghiệm cần tìm là hợp các nghiệm tìm được. ® A khi A ≥ 0 Cần nhớ: Định nghĩa trị tuyệt đối |A| = − A khi A < 0� ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Giải phương trình: |� + 1| + |2� + 4| − |� + 4| = 3� (∗) � Lời giải Ta có • � + 1 = 0 ⇔ � = −1 Bảng xét dấu: � � +1 −∞ 2� + 4 � +4 • 2� + 4 = 0 ⇔ � = −2 − − − ⇔ Kết luận: S = {−3; 0; 2}. ⇔ −4 − −2 − + 0 0 |2� 3 − 6� − 4| = |� 3 − � 2 − 4| ñ 2 � + 3� − 3 = � 2 + 8� + 12 ĐS: S = {−3; 0; 2} • � + 4 = 0 ⇔ � = −4 − + + −1 0 + +∞ + + � 2 + 3� + 3 = −(� 2 + 8� + 12) ñ � = 0 ∨ � = −3 ∨ � = 2 �=2 � Bài 2. Giải phương trình: |8 − 4�| − |�| = |2 + 2�| + � − 2. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = {1} ................................................. ................................................. ................................................. Trang 36 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. � � Bài 3. Giải phương trình: �� 2 − 1� + |� − 2| = � + |� − 1|. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Giải phương trình: � Lời giải � � 2 �� − 1� + |� + 1| |�|(� − 2) � ĐS: S = {5}. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Giải phương trình: |� − 1| − 2|� − 2| + 3|� − 3| = 4. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 6. Giải phương trình: �� 2 −� � − ||1 = � + 1. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = {1; 2}. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. = 2. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = [1; 2] ∪ {5} ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = {0; 2} ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 37 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � ß ™ 5 ĐS: S = ±1; ± 3 � � � � Bài 7. Giải phương trình: �� 2 − 5� �| + 4| = �2� 2 − 3� �| + 1|. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 8. Giải phương trình: � Lời giải � � 2 �� − 1 � |� − 2| ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. = � + |� − 2| − 2. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = {±1; 4 + 7} ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 9. Giải phương trình: |� 2 − 4�| + |� − 6| = |� 2 − 3� − 6|. � Lời giải ! √ � ĐS: S = [0; 4] ∪ [6; +∞). Cần nhớ hai bất đẳng thức trị tuyệt đối thường gặp: • |A| + |B| ≥ |A + B| và dấu bằng xảy ra khi A · B ≥ 0. • |A| + |B| ≥ |A − B| và dấu bằng xảy ra khi A · B ≤ 0. Ta có: Vế trái = |� 2 − 4�| + |� − 6 ≥ |(� 2 − 4�) + (� − 6)| = |� 2 − 3� − 6| = vế phải. Dấu bằng xảy ra khi (� 2 − 4�)(� − 6) ≥ 0. Đặt f(�) = (� 2 − 4�)(� − 6). • � 2 − 4� = 0 ⇔ � = 0 hoặc � = 4. • � − 6 = 0 ⇔ � = 6. Bảng xét dấu � f(�) −∞ − 0 0 + 4 0 − Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 4] ∪ [6; +∞). Bài 10. Giải phương trình: 2|� + 1| = | − � 2 + 2� + 3| + |� 2 − 1|. � Lời giải Trang 38 6 0 + +∞ � ĐS: S = [1; 3] ∪ {−1}. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • |A| > |B| ⇔ (A − B)(A + B) > 0. ® A −B ñ A < −B • |A| > B ⇔ . A>B ! • |A| < |B| ⇔ (A − B)(A + B) < 0. ® A≤B • |A| ≤ B ⇔ −B ≤ A ≤ B ⇔ . A ≤ −B ñ A ≤ −B • |A| ≥ B ⇔ . A≥B Đối với bài toán chứa nhiều dấu trị tuyệt đối, ta làm các bước sau: • Bước 1. Xét dấu biểu thức ở trong trị tuyệt đối. • Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu, chia các trường hợp để khử dấu trị tuyệt đối. • Bước 3. Giải bất phương trình trong từng trường hợp. • Bước 4. Hợp các tập nghiệm ở những trường hợp lại với nhau được tập nghiệm. ® Cần nhớ: Định nghĩa trị tuyệt đối |A| = A khi A ≥ 0 −A khi A < 0 . ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Giải bất phương trình: |� 2 − � + 1| < |4� + 1|. � Lời giải |� 2 − � + 1| < |4� + 1| ĐS: S = (−2; −1) ∪ (0; 5). ⇔ (� 2 − � + 1)2 < (4� + 1)2 ⇔ (� 2 − � + 1)2 − (4� + 1)2 < 0 ⇔ (� 2 − � + 1 − 4� − 1)(� 2 − � + 1 + 4� + 1) < 0 ⇔ (� 2 − 5�)(� 2 + 3� + 2) < 0 • � 2 − 5� = 0 ⇔ �1 = 0 hoặc �2 = 5. � 2 + 3� + 2 = 0 ⇔ � = −1 hoặc � = −2. • Bảng xét dấu: � f(�) −∞ + • Vậy S = (−2; −1) ∪ (0; 5). −2 0 − −1 0 Trang 39 + 0 0 − 5 0 + +∞ Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Bài 2. Giải bất phương trình: |� 2 + 5� + 1| > |2� + 5|. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải bất phương trình: � Lời giải |� 2 + 4� + 3| > |� 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = (−∞; −6) ∪ (−4; −1) ∪ (1; +∞). …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � − 4� − 5|. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải bất phương trình: |� 2 + 2� − 1| − |2� + 4| < 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ĐS: S = (−3; − 5) ∪ (−1; √ � 5). ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 5. Giải bất phương trình: |� 2 − � − 2| < |� 2 − 2� − 3|. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = (1; +∞). � Å ã 5 ĐS: S = (−∞; −1) ∪ −1; . 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 6. Giải bất phương trình: |� 2 + 6�| − |2� 2 + 4�| ≥ 0. � Lời giải Trang 40 � ò ï 10 ĐS: S = − ; 2 . 3 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 7. Giải bất phương trình: �� 2 − 2� − 3� ≥ 3� − 3. � Lời giải ñ A≥B Áp dụng công thức |A| ≥ B ⇔ A ≤ −B� � � � � Bất phương trình �� 2 − 2� − 3� ≥ 3� − 3 ñ 2 � − 2� − 3 ≥ 3� − 3 ⇔ 2 � − 2� − 3 ≤ −3� + 3 ñ 2 � − 5� ≥ 0 ⇔ 2 � +�−6≤0 ñ � ≤0∨� ≥5 ⇔ −3≤� ≤2 � ⇔ � ≤ 2 ∨ � ≥ 5� Kết luận: S = (−∞; 2] ∪ [5; +∞). � � � Bài 8. Giải bất phương trình: �� 2 + 2� + 2� ≤ 6� − 1. � Lời giải ® A≤B Áp dụng công thức |A| ≤ B ⇔ A ≥ −B � � � 2 � Bất phương trình �� + 2� + 2� ≤ 6� − 1 ® 2 � + 2� + 2 ≤ 6� − 1 ⇔ � 2 + 2� + 2 ≥ −6� + 1 ® 2 � − 4� + 3 ≤ 0 ⇔ � 2 + 8� + 1 ≥ 0 ® 1≤�≤3 √ √ ⇔ � ≤ −4 − 15 ∨ � ≥ −4 + 15 Kết luận: S = [1; 3]. ⇔1 ≤ � ≤ 3� � � Bài 9. Giải bất phương trình: �2� 2 + 8� − 15� < 4� + 1. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: S = (1; 2) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 41 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � � Bài 10. Giải bất phương trình: �� 2 − 5� + 4� ≥ 2� − 2. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = (−∞; 2] ∪ [2; +∞) ĐS: S = (−∞; 0] ∪ [3; +∞) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = � Lời giải ï 1 ;2 2 � ò ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 14. Giải bất phương trình: 2 + �� 2 − 5� + 4� > �. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � � � Bài 13. Giải bất phương trình: �� 2 − 3� + 2� ≤ 2� − � 2 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 12. Giải bất phương trình: |2� − 3| ≤ 4� 2 − 12� + 3. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = (−∞; 2] ∪ [6; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 11. Giải bất phương trình: �� 2 − � − 1� ≥ � − 1. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−∞; 2 + √ 2] ∪ [3 + √ � 3; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 42 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. � Å ã 1 ĐS: S = −∞; ∪ (2; +∞) 2 � � Bài 15. Giải bất phương trình: �� 2 − 3� + 2� + � 2 > 2�. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 16. Giải bất phương trình: �−� 2 + 6� − 5� ≤ 4� 2 − 32� + 64. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ï 23 ĐS: S = (−∞; 3] ∪ ; +∞ 5 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � Bài 17. Giải bất phương trình: �−2� 2 + 4� − 1� < � − 1. ĐS: S = � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Å 3 ;2 2 � ã ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � Bài 18. Giải bất phương trình: �� 2 + 3� − 4� > 2(� 2 − 5� + 1). � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ã Ç ĐS: S = 7− √ 6 73 13 + ; √ 2 145 � å …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nhóm 4. Bất phương trình trị tuyệt đối không mẫu mực hoặc chứa nhiều dấu trị tuyệt đối Trang 43 � Nguyễn Quốc Dương ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� (� − 4) |� − 2| Bài 1. Giải bất phương trình: ≤ 2. � 2 − 5� + 4 � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII • Trường hợp 1: Khi � − 2 ≥ 0 ⇔ � ≥ 2. (� − 4) |� − 2| ≤2 � 2 − 5� + 4 (� − 4)(� − 2) ≤2 ⇔ 2 � − 5� + 4 � 2 − 6� + 8 − 2(� 2 − 5� + 4) ≤0 ⇔ � 2 − 5� + 4 −� 2 + 4� ⇔ 2 ≤ 0� � − 5� + 4 Bất phương trình Cho −� 2 + 4� = 0 ⇔ � = 0 ∨ � = 4. Cho � 2 − 5� + 4 = 0 ⇔ � = 1 ∨ � = 4. Bảng xét dấu: …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Suy ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . So với � > 2 � S1 = [2; +∞) {4}. • Trường hợp 2: Khi � − 2 < 0 ⇔ � < 2. (� − 4) |� − 2| ≤2 � 2 − 5� + 4 (� − 4)(−� + 2) ≤2 ⇔ � 2 − 5� + 4 −3� 2 + 16� − 16 ⇔ ≤ 0� � 2 − 5� + 4 Bất phương trình Cho −3� 2 + 16� − 16 = 0 ⇔ � = 4 ∨ � = Cho � 2 − 5� + 4 = 0 ⇔ � = 1 ∨ � = 4. Bảng xét dấu: 4 . 3 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Suy ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ï. . . . . ã .......................................................... 4 So với � < 2 � S2 = (−∞; 1) ∪ ; 2 . 3 ã ï 4 � S = S1 ∪ S2 = (−∞; 1) ∪ ; +∞ {4}. 3 Bài 2. Giải bất phương trình: � Lời giải |� − 3| ≥ 2. � 2 − 5� + 6 Trang 44 ĐS: S = ï 3 ;2 2 � ã Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 3. Giải bất phương trình: � Lời giải −� 2 |� 2 + � − 20 > 0. − �| − � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải bất phương trình: � Lời giải � � 2 �� − 4� � + 3 � 2 + |� − 5| Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (0; 2) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ò ï ò Å 1 2 ĐS: S = −∞; − ∪ ; 2 3 2 ≥ 1. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � DẠNG 2. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản Nhóm 1. Phương trình chứa dấu căn ® √ √ A ≥ 0 (��� B ≥ 0) • A= B⇔ A=B Bài 1. Giải phương trình: � Lời giải √ • √ A=B⇔ ® B≥0 ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� √ � 2 − 3� − 2 = � − 3. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Bài 2. Giải phương trình: 3 � − 1 = � Lời giải √ �2 A = B2 � ĐS: � = 2 + √ 3 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. + 8� − 11. Trang 45 � ĐS: � = 2 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải phương trình: � Lời giải √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � 2 − 3� + 3 = 3� − 2. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải phương trình: � Lời giải √ 3� + 1 = 8 − √ √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � + 1. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: � = 1 ĐS: � = 8 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 5. Giải phương trình: 4� 2 + � + 4 4� 2 + � − 4 − 9 = 0. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. Giải phương trình: � Lời giải √ � + 1 + 1 = 4� 2 + √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ß ™ 5 ĐS: S = − ; 1 4 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3�. � ß ™ 1 ĐS: S = 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 46 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nhóm 2. Bất phương trình chứa dấu căn ® √ √ B≥0 • A> B⇔ A > B�   B > 0 √ AB⇔  ®B ≥ 0  A > B2 � Nguyễn Quốc Dương • √ A≥ √ B⇔ ® B≥0 A ≥ B�   B ≥ 0 √ A≤B⇔ A≥0 •   A ≤ B2 � ® B≤0  √  A≥0 • A≥B⇔  ®B ≥ 0  A ≥ B2 � √���BÀI TẬP√VẬN DỤNG��� Bài 1. Giải bất phương trình: � 2 − 4� + 5 ≥ � − 1. � Lời ® ® giải �∈R � 2 − 4� + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ � ≥ 1. ĐK: �≥1 �−1≥0 � √ Bất phương trình � 2 − 4� + 5 ≥ � − 1 ⇔� 2 − 4� + 5 ≥ � − 1 ⇔� 2 − 5� + 6 ≥ 0 ⇔� ≤ 2 ∨ � ≥ 3� Giao với điều kiện � S = [1; 2] ∪ [3; +∞). √ √ Bài 2. Giải bất phương trình: � 2 − 3� − 3 ≥ � + 2. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 4. Giải bất phương trình: � Lời giải √ −� 2 + � + 12 ≤ ĐS: S = [−2; −1] ∪ [5; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ √ Bài 3. Giải bất phương trình: −� 2 + � + 6 ≤ 8 − � 2 . � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � √ � ĐS: S = [−2; 2] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 15 − � 2 . Trang 47 ĐS: S = [−3; 3] Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 5. Giải bất phương trình: � Lời giải √ Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � 2 − 4� − 12 ≤ � − 4.   B ≥ 0 √ Áp dụng công thức A ≤ B ⇔ A ≥ 0   A ≤ B2 � Kết luận: S = [6; 7]. � Bất phương trình � 2 − 4� − 12 ≤ � − 4  2  � − 4� − 12 ≥ 0 ⇔ �−4≥0   2 � − 4� − 12 ≤ (� − 4)2  2  � − 4� − 12 ≥ 0 ⇔ �−4≥0   4� − 28 ≤ 0   � ∈ (−∞; −2] ∪ [6; +∞) ⇔ � ∈ [4; +∞)   � ∈ (−∞; 7] Bài 6. Giải bất phương trình: � Lời giải √ ⇔� ∈ [6; 7]� � � 2 − 13� + 30 > � − 7. ® B<0  √  A≥0 Áp dụng công thức A > B ⇔   ®B ≥ 0  A > B2 � Bất phương trình � 2 − 13� + 30 > � − 7 ® �−7<0   � 2 − 13� + 30 ≥ 0 ⇔  ®� − 7 ≥ 0  � 2 − 13� + 30 > (� − 7)2 ® �<7   � ≤ 3 ∨ � ≥ 10 ⇔  ®� ≥ 7  � > 19 ñ �≤3 ⇔ � > 19� Kết luận: S = (−∞; 3] ∪ (19; +∞). √ Bài 7. Giải bất phương trình: � 2 − 14� + 49 ≤ 2� − 5. � Lời giải Trang 48 � ĐS: S = [4; +∞) Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. Giải bất phương trình: � Lời giải √ Bài 9. Giải bất phương trình: � Lời giải � √ � 2 + � − 12 > �. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 12. Giải bất phương trình: � Lời giải √ ĐS: S = [0; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ĐS: S = (−∞; 4] ∪ (12; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Bài 11. Giải bất phương trình: 3� 2 + 4� + 1 ≥ 2� + 2. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = (−∞; 2] ∪ [14; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 2 + 5� + 4 ≤ 3� + 2. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 10. Giải bất phương trình: � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 2 − 3� − 10 > � − 2. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Nguyễn Quốc Dương � ĐS: S = (−∞; −1] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4� 2 + � − 18 > 2� + 3. Trang 49 � ĐS: S = [2; +∞) Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 13. Giải bất phương trình 2(� 2 − 1) ≤ � + 1. � Lời giải Bài 14. Giải bất phương trình � Lời giải Bài 15. Giải bất phương trình � Lời giải Bài 16. Giải bất phương trình � Lời giải √ √ √ 3� 2 � ĐS: S = [1; 3] ∪ {−1} � + 10� + 8 ≥ 2� + 4. � � 2 + � − 6 − 2 ≥ �. Bài 17. Giải bất phương trình � + 2 − � Lời giải Bài 18. Giải bất phương trình 2� + � Lời giải √ ĐS: S = [4; +∞) ∪ {1} � � 2 − 5� + 4 ≥ 0. −� 2 ĐS: S = (−∞; −3] � � 2 − 5� + 4 ≤ 2� − 2. √ ĐS: S = (−∞; −2] + 6� − 5 > 8. Trang 50 ĐS: S = [0; 1; ] ∪ [4; +∞) � ĐS: S = (3; 5] Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 19. Giải bất phương trình � Lời giải √ Bài 20. Giải bất phương trình � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 21 − 4� − � 2 ≤ � + 3. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Nguyễn Quốc Dương ĐS: S = [1; 3] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � 4 − 2� 2 + 1 + � > 1. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = (−∞; −2) ∪ (0; +∞) {1} …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � DẠNG 3. Phương trình và bất phương trình căn thức nâng cao Nhóm 1. Có ba căn thức � � � � � � f(�) − �(�) ≥ �(�) hay f(�) − �(�) = �(�). • Bước 1: Đặt điều kiện. • Bước 2: Chuyển√vế sao cho √ hai vế đều √ không âm và bình phương hai vế để chuyển về dạng cơ bản A ≤ B; A ≥ B hay A = B. • Bước 3: giải và giao kết quả vừa có được với điều kiện ban đầu, suy ra tập nghiệm cần tìm. √ ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� √ √ � + 14 − 2� + 5 ≥ � − 1. Bài 1. Giải bất phương trình � Lời giải   � + 14 ≥ 0 Điều kiện 2� + 5 ≥ 0 ⇔ � ≥ 1�   �−1≥0 Trang 51 Nguyễn Quốc Dương Khi đó bất phương trình tương đương với √ √ √ � − 1 + 2� + 5 ≤ � + 14 » ⇔ 3� + 4 + 2 (� − 1)(2� + 5) ≤ � + 14 � 2� 2 + 3� − 5 ≤ 5 − � ⇔  5−� ≥0   2� 2 + 3� − 5 ≥ 0 ⇔   2 2� + 3� − 5 ≤ (5 − �)2  �≤5    ò Å  5 � ∈ −∞; − ∪ [1; +∞) ⇔  2    2 � + 13� − 30 ≤ 0 ò Å  � ∈ −∞; − 5 ∪ [1; 5] 2 ⇔  � ∈ [−15; 2] ò ï 5 ⇔ � ∈ −15; − ∪ [1; 2] 2 So với điều kiện ban đầu ta được � ∈ [1; 2] � Vậy S = [1; 2] � Bài 2. Giải bất phương trình � Lời giải √ �+3≤ √ 2� + 8 − …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải bất phương trình � Lời giải √ �+7≥2+ √ √ � 7 − �. � Lời giải Bài 5. Giải bất phương trình � Lời giải √ �+3− √ �−1> ĐS: S = ï 3 ;2 2 � ò …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ � � Bài 4. Giải bất phương trình �(� − 1) = 2 � 2 − �(� + 2). …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = [5; 7] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2� − 3. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Chuyên đề Toán 10 HKII � ß ™ 9 ĐS: S = 0; 8 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ 2� − 1. Trang 52 � ï ã 3 ĐS: S = 1; 2 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. Giải bất phương trình � Lời giải √ �+2− √ �−1≥ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. Giải bất phương trình � Lời giải √ 5� − 1 − √ � Lời giải √ �+2− √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ 2� − 3. �+1< ï 3 ĐS: S = ;2 2 � ò ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ 4� − 1 ≤ 3 �. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 8. Giải bất phương trình Nguyễn Quốc Dương ĐS: S = ï 1 ; +∞ 4 � ã ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ � å Ç √ 2 3−3 ; +∞ ĐS: S = 3 �. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 9. Giải phương trình � Lời giải √ Bài 10. Giải phương trình � Lời giải 2� 2 + 10� + 8 + √ �+3+ √ √ � � 2 − 1 = 2� + 2. √ 3� + 1 = 2 � + ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ĐS: S = {−1} � 2� + 2. ĐS: S = {1} ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 53 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Nhóm 2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ ���BÀI TẬP√VẬN DỤNG��� Bài 1. Giải bất phương trình 2� 2 + � − 19 ≥ 3 2� 2 + � − 15. � Lời giải √ Đặt � = 2� 2 + � − 15 ⇔ 2� 2 + � = � 2 + 15 (với � ≥ 0). Khi đó bất phương trình trở thành � 2 − 4 ≥ 3� √ ⇔ � 2 − 3� − 4 ≥ 0 ⇔ � ≤ −1 hay � ≥ 4� 2� 2 √ −1 − 249 + � − 31 ≥ 0 ⇔ � ≤ hay � ≥ 4 Mà � ≥ 0 nên � ≥ 4 ⇔ + � − 15 ≥ 4 ⇔ √ −1 + 249 � 4 Ç ô ñ å √ √ −1 + 249 −1 − 249 Vậy S = −∞; ∪ ; +∞ . � 4 4 � Bài 2. Giải bất phương trình (� + 4)(� − 3) + 3 (� − 1)(� + 2) > 0. ĐS: S = (−∞; −3) ∪ (2; +∞) � Lời giải 2� 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 3. Giải bất phương trình � 2 + 3� ≥ 2 + � Lời giải √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 5� 2 + 15� + 14. ĐS: S = (−∞; −5] ∪ [2; +∞) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Bài 4. Giải bất phương trình �(� − 4) −� 2 + 4� + (� − 2)2 < 2. � Lời giải � Bài 5. Giải bất phương trình (� − 3)(8 − �) + 26 > −� 2 + 11�. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Ä √ √ ä ĐS: S = 2 − 3; 2 + 3 � ĐS: S = [3; 4) ∪ (7; 8] …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 54 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � √ Bài 6. Giải bất phương trình 2� 2 + 4� + 3 3 − 2� − � 2 > 1. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. Giải bất phương trình � Lời giải �−1 −2 � … … Bài 8. Giải bất phương trình � Lời giải �−1 +4 2� + 3 … Bài 9. Giải bất phương trình � + 1 + � Lời giải √ � Å ã 49 ĐS: S = −4; − 31 ï ĐS: S = 0; ò � 1 ∪ [4; +∞) 4 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 3 2 Bài 10. trình ñ Giải bất ô ñ å 76� � + 1 ≥ 58� + 29�. √ phương √ 8� + 3−2 2 3+2 2 S = 0; ∪ ; +∞ 2 2 � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 ĐS: S = − ; 0 8 � ã …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ � 2 − 4� + 1 ≥ 3 �. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ï …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2� + 3 < 5. �−1 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. �−1 ≥ 3. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: S = [−3; 1] ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 11. Giải bất phương trình: � 3 − 3� 2 + 2 (� + 3)3 − 9� ≥ 0. � Lời giải Trang 55 � ĐS: S = [−2; +∞). Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 12. Giải bất phương trình: � 3 − 3� 2 + 2 (� + 2)3 ≤ 6�. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ � ĐS: S = [−2; 2 − 2 3] ∪ {2}. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 3. Giải phương trình & bất phương trình tích số (hoặc liên hợp) ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� √ Bài 1. Giải bất phương trình: (� − 1) 2� − 1 ≤ 3(� − 1). � Lời giải √ √ √ Ta có ® (� − 1) 2� − 1 ≤ 3(� ® − 1). ⇔ (� − 1) 2� ® − 1 − 3(� − 1)®≤ 0 ⇔ (� − 1)( 2� − 1 − 3) ≤ 0. �−1≥0 �≥1 �≥1 �≥1 TH1: √ ⇔ √ ⇔ ⇔ ⇔ 1 ≤ � ≤ 5 �S1 = [1; 5]. 2� − 1 ≤ 9 �≤5 2� − 1 − 3 ≤ 0 2� − 1 ≤ 3 ® ® ® ® �−1≤0 �≤1 �≤1 �≤1 TH2: √ ⇔ √ ⇔ ⇔ � S2 = ∅. 2� − 1 ≥ 9 �≥5 2� − 1 − 3 ≥ 0 2� − 1 ≥ 3 � Hợp tập nghiệm � S = S1 ∪ S2 = [1; 5] √ ĐS: S = [1; 2] ∪ [3; +∞). Bài 2. Giải bất phương trình: (� − 3) � − 1 ≥ � − 3. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Giải bất phương trình: (� − 2) � + 1 > � 2 + � − 6. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐS: S = [−1; 2) . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 56 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � √ Bài 4. Giải bất phương trình: (1 − �) � + 2 < −� 2 − � + 2. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ĐS: S = (−1; 1) . ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Giải bất phương trình: (� 2 − 4�) 2� 2 − 3� − 2 ≥ 0. � Lời giải  B=0 √ ® 2� Áp dụng công thức: A · B ≥ 0 ⇔  B > 0 A≥0  1  � =− ∨� =2 2� − 3� − 2 = 0  2 �=2 √  ®  1 ⇔ Ta có (� 2 −4�)· 2� 2 − 3� − 2 ≥ 0 ⇔  2� 2 − 3� − 2 > 0 ⇔   1  � <− ∨� >2 � ≤ − ∨ � ≥ 4�  2 2 2 � − 4� ≥ 0  � ≤0∨� ≥4 Å ò 1 Kết luận: S = −∞; − ∪ {2} ∪ [4; +∞). � 2 ï ã ã Å 1 5 2� + 4 √ 2 10� − 3� − 3 ≥ 0. ĐS: S = ; ∪ {3}. Bài 6. Giải bất phương trình: � − 2� − 5 3 2 � Lời giải  2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Å ò 1 Bài 7. Giải bất phương trình: (� 2 − 3�) 2� 2 − 3� − 2 ≥ 0. ĐS: S = −∞; − ∪ {2} ∪ [3; +∞) . 2 � Lời giải √ Trang 57 Nguyễn Quốc Dương Bài 8. Giải bất phương trình: � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII √ 6 + � − �2 ≥ 2� + 5 √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 9. Giải bất phương trình: � Lời giải 3−2 √ �2 √ �2 � 6 + � − �2 ·. �+4 + 3� + 2 1−2 −�+1 ñ � ≤ −2 ĐS: S = [−2; −1] ∪ {3} . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � > 1 (1) Điều kiện � 2 + 3� + 2 ≥ 0 ⇔ � ≥ −1 √ � √ 2 Có 1 − 2 � − � + 1 = 1 − (2� − 1)2 + 3 ≤ 1 − 3 < 0� ∀� ∈ R. � � � � � (1) ⇔ 3 − 2 � 2 + 3� + 2 < 1 − 2 � 2 − � + 1 ⇔ 1 + � 2 − � + 1 < � 2 + 3� + 2 ⇔ � 2 − � + 1 < 2�  �>0 ® √   �>0 −1 + 13 2 � −�+1≥0 ⇔ ⇔ ⇔�> � 2  6 3� + � − 1 > 0  2 � − � + 1 < 4� 2 Ç√ å 13 − 1 ; +∞ · So điều kiện � S = 6 � �(� + 2) Bài 10. Giải bất phương trình: � √ ≥ 1. (� + 1)3 − � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. Giải bất phương trình: � Lời giải √ ĐS: � = √ 5−1 . 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. �− � � ≥ 1. 1 − 2(� 2 − � + 1) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: � = √ � 3− 5 . 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 58 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 12. Giải bất phương trình: � Lời giải √ 1 − �2) √ ≥ 1. � � + 1 − �2 − �3 √ �(� + √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ Bài 13. Giải phương trình: � + 1 + 1 = 4� 2 + � Lời giải ® ® �+1≥0 � ≥ −1 Điều kiện ⇔ ⇔ � ≥ 0. 3� ≥ 0 �≥0 ĐS: � = √ � 5−1 . 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ � 3�. √ √ 2� − 1 √ Bpt ⇔ (4� 2 − 1) + ( 3� − � + 1) = 0 ⇔ (2� − 1)(2� + 1) + √ =0 3� + � + 1 Å ã 1 1 1 √ √ ⇔ (2� − 1) 2� + 1 + √ = 0 ⇔ 2� − 1 = 0 ⇔ � = ( Do 2� + 1 + √ > 0� ∀� 2 3� + � + 1 3� + � + 1 1 � 2 √ √ Bài 14. Giải phương trình: 3�(2 + � − 2) = 2� + � + 6 So với điều kiện, nghiệm là � = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 15. Giải phương trình: � Lời giải √ 2� 2 + 3� + 5 + √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 16. Giải phương trình: � Lời giải √ 2� 2 + � + 9 + √ � √ 11 − 3 5 ĐS: � = 3� � = . 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 2� 2 − 3� + 5 = 3�. ĐS: � = 4 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2� 2 − � + 1 = � + 4. Trang 59 � ĐS: � = 0� � = 8 . 7 Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ Bài 17. Giải phương trình: 3� + 1 − � Lời giải ® 3� + 1 ≥ 0 1 Điều kiện ⇔ − ≤ � ≤ 6. 3 6−� ≥0 Bpt ⇔ √  ⇔  3� + 1 − 4 + 1 − �=5 √ √ √ Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 6 − � + 3� 2 − 14� − 8 = 0. 6 − � + 3� 2 − 14� = 5 ⇔ √ 1 3 √ + + 3� + 1 = 0� 3� + 1 + 4 1 + 6 − � 1 3 √ + + 3� + 1 > 0. 3� + 1 + 4 1 + 6 − � So điều kiện, nghiệm là � = 5 √ √ Bài 18. Giải phương trình: � + 2 + 2� − 10 = 2� − 3. � Lời giải mà √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ √ ĐS: � = 5. � ĐS: � = 8 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 20. Giải phương trình: (� − 1) � 2 + 5 + � = � 2 + 1. � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 19. Giải phương trình: (� − 4)( � + 1 + 1)2 = � 2 . � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �−5 3(� − 5) √ + + (3� + 1)(� − 5) = 0 3� + 1 + 4 1 + 6 − � ĐS: � = 2 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 60 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 21. Giải phương trình: � 2 − � + √ Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 2� 2 − � + 3 = Suy luận Sử dụng casio, tìm được nghiệm � = 1� � = 2. √ 21� − 17. Khi đó  ghép (�� + �) để liên hợp.  � �    khi � = 1 � 2� 2 − � + 3 = 2 · 12 − 1 + 3 = 2 = �� + � = � + �   � = 1 Tức là � � �      khi � = 2 � 2� 2 − � + 3 = 2 · 22 − 2 + 3 = 3 = �� + � = 2� + � � = 1� √ 2 Suy ra 2�   − � + 3 − (� + 1) để liên hợp. √ √     � = 3 khi � = 1 � 21� − 17 = 21 · 1 − 17 = 2 = �� + � = � + � � Tương tự √ √     � = −1� khi � = 2 � 21� − 17 = 21 · 2 − 17 = 5 = �� + � = 2� + � √ Suy ra (3� − 1) − 21� − 17 để liên hợp. � Lời giải Điều kiện 21� − 17 ≥ 0 ⇔ � ≥ Phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ �� 17 . 21 � î ó √ 2� 2 − � + 3 − (� + 1) + (3� − 1) − 21� − 17 + (� 2 − 3� + 2) = 0 9(� 2 − 3� + 2) √ + (� 2 − 3� + 2) = 0 2� 2 − � + 3 + � + 1 3� − 1 + 21� − 17 ã Å 1 9 2 √ + 1 = 0 ⇔ � 2 − 3� + 2 = 0 + (� − 3� + 2) √ 2� 2 − � + 3 + � + 1 3� − 1 + 21� − 17  √ � 2 − 3� + 2 + � = 1  thỏa mãn điều kiện.  �=2 √ √ � Bài 22. Giải phương trình: 2 3� + 4 + 3 5� + 9 = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 23. Giải bất phương trình: � Lời giải 6� 2 �2 ĐS: � = −1� � = 0. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √ > 2� + ( 2� + 1 + 1)2 …………………………………………. …………………………………………. + 6� + 13. √ � − 1 − 1. √ � ĐS: � ∈ (10 + 4 5; +∞) . …………………………………………. …………………………………………. Trang 61 Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 24. Giải bất phương trình: � Lời giải �2 (� + 1 − √ � + 1)2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 25. Giải bất phương trình: � Lời giải √ Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. < �2 + 3� + 18 . (� + 1)2 � ĐS: � ∈ (−1; 3) {0}� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 + 35 < 5� − 4 + √ � � 2 + 24. ĐS: � ∈ (1; +∞) . ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ √ � Bài 26. Giải bất phương trình: 4 � + 1 + 2 2� + 3 ≤ (� − 1)(� 2 − 2). ĐS: S = [3; +∞) ∪ {−1}. � Lời giải Trang 62 � CHƯƠNG BÀI A. �. 5 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT 63 Nguyễn Quốc Dương 1. Công thức lượng giác cơ bản • tan α = 2. Chuyên đề Toán 10 HKII sin α cos α • sin2 α + cos2 α = 1 • cot α = cos α sin α • 1 + tan2 α = Dấu của các giá trị lượng giác sin � 1 −1 π ⊕ (II) (I) (III) O 3π 2 −1 3. π 2 (IV ) � 1 cos2 α • tan α · cot α = 1 • 1 + cot2 α = 1 sin2 α Cung phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − 0 cos � cos α + − − + 2π 1 tan α + − + − cot α + − + − (Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos) Cung góc liên kết Cung đối • ï Cung bù nhau Cung � π phụ � nhau cos(−�) = cos � sin(π − �) = sin � sin − � = cos � �2π � sin(−�) = − sin � cos(π − �) = − cos � cos − � = sin � � π2 � tan(−�) = − tan � tan(π − �) = − tan � tan − � = cot � 2 �π � cot(−�) = − cot � cot(π − �) = − cot � cot − � = tan � 2 π Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 �π � sin(π + �) = − sin � sin + � = cos � � π2 � cos(π + �) = − cos � cos + � = − sin � � π2 � tan(π + �) = tan � tan + � = − cot � 2 � �π + � = − tan � cot(π + �) = cot � cot 2 sin (�2π + �) = sin �� sin [(�2π + 1) + �] = − sin � (bỏ chẵn pi cộng, bỏ lẻ trừ). cos (�2π + �) = cos �� cos [(�2π + 1) + �] = − cos � • tan (�π + �) = tan �� cot (�π + �) = cot � (tan và cot bỏ pi chẵn, lẻ đều cộng). Trang 64 Chuyên đề Toán 10 HKII B. Nguyễn Quốc Dương CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP � DẠNG 1. Cho một giá trị lượng giác của góc, tính các giá trị còn lại hay một biểu thức lượng giác Dựa vào các công thức cơ bản và dấu của các giá trị lượng giác. • tan α = sin α cos α • sin2 α + cos2 α = 1 • cot α = cos α sin α • 1 + tan2 α = 1 cos2 α • tan α · cot α = 1 • 1 + cot2 α = Nhớ: "Nhất cả - nhì sin- tam tan - tứ cos để biết dấu của các giá trị lượng giác. 1 sin2 α ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� 3 Bài 1. Cho cos � = − và 180◦ < � < 270◦ . Tính sin �� tan �� cot �. 5 4 4 3 ĐS: sin � = − � tan � = � cot � = 5 3 4 � Lời giải   sin � < 0 tan � > 0 • Vì 180◦ < � < 270◦ �  cot � > 0� Å ã 3 2 16 = . • Ta có sin2 α + cos2 α = 1 � sin2 � = 1 − cos2 � = 1 − − 5 25 4 � sin � = − . 5 4 4 1 3 � tan � = = , cot � = = . 3 3 tan � 4 � 1 Bài 2. Cho sin � = − và 90◦ < � < 180◦ . Tính cos �� tan �� cot �. 3 √ √ √ 2 2 3 ĐS: cos � = − � tan � = − � cot � = −2 2 3 4 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 3. Cho sin α = � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. π 4 và 0 < α < . Tính cos α� tan α� cot α. 5 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: cos α = 3 4 3 � tan α = � cot α = 5 3 4 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 65 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. Å ã 3π 5 và α ∈ π; . Tính sin α� tan α� cot α. Bài 4. Cho cos α = − 13 2 ĐS: sin α = − � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 5. Cho tan α = − � Lời giải 15 và α ∈ 7 �π 2   sin α > 0 π cos α < 0 • Vì <α<π�  2 cot α < 0� • Ta có cot α = � � 12 12 5 � tan α = � cot α = 13 5 12 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ; π . Tính sin α� cos α� cot α. 15 7 7 ĐS: sin α = √ � cos α = − √ � cot α = − 15 274 274 7 1 == − . tan α 15 1 • Ta lại có: 1 + tan2 α = cos2 α � 1 49 1 ���2 α = = . Å ã2 = 2 274 1 + tan α 15 1+ − 7 7 � cos α = − √ . 274 sin α � sin α = tan α · cos α cos αÅ ã 7 15 15 � sin α = − · − √ =√ . 7 274 274 • Mà tan α = π 13 và 0 < � < . Tính sin �� cos �� cot �. Bài 6. Cho tan � = 3 2 8 13 8 ĐS: cos � = √ � sin � = √ � cot � = 13 233 233 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 66 Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 7. Cho cot α = − � Lời giải Nguyễn Quốc Dương 19 π và < α < π. Tính sin α� cos α� tan α. 7 2 7 19 7 ĐS: sin α = √ � cos α = − √ � tan α = − 19 410 410 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 3π < α < 2π. Tính sin α� cos α� tan α. Bài 8. Cho cot α = −3 và 2 √ � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � √ √ 21 21 2 21 � tan α = � cot α = ĐS: cos α = − 5 21 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. π 4 và 0 < � < . Tính sin �� tan �� cot �. Bài 10. Cho cos � = 13 2 � Lời giải � √ 10 3 10 1 ĐS: sin α = − � cos α = � tan α = − 10 10 3 3π 1 Bài 9. Cho sin α = − và π < α < . Tính cos α� tan α� cot α. 5 2 √ � Lời giải � √ √ 3 17 13 3 17 � tan � = � cot � = ĐS: sin � = 13 4 4 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 67 Nguyễn Quốc Dương Bài 11. Cho tan α = � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII 3π 15 và π < α < . Tính sin α� cos α� cot α. 8 2 15 8 8 ĐS: sin α = − � cos α = − � cot α = 17 17 15 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 12. Cho cot 15◦ = 2 + � Lời giải √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3. Tính sin 15◦ � cos 15◦ � tan 15◦ . ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: sin 15◦ � √ 2− 3 = � cos 15◦ > 0 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 13. Cho tan α = 2 và 180◦ < α < 360◦ . Tính sin α� cos α� cot α. √ √ 5 2 5 ĐS: sin α = − � cos α = − 5 5 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ Bài 14. Cho tan � = −2 2 và 0 < � < π. Tính sin �� cos �� cot �. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: sin � = √ � 2 2 1 � cos � = − 3 3 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 68 � Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 15. Cho sin α = � Lời giải 1 và tan α + cot α < 0. Tính cos α� tan α� cot α. 5 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 16. Cho cos � = � Lời giải √ √ 2 6 ĐS: cos α = − � cot α = −2 6 5 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 4 và tan � + cot � > 0. Tính sin �� tan �� cot �. 5 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 17. Cho tan � = 2. Tính giá trị biểu thức: Nguyễn Quốc Dương � √ 6 6 � tan � = ĐS: sin � = 15 12 √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � sin2 � − 3 sin � cos � . cos2 � + 3 sin2 � Vì tan � = 2 nên cos � �= 0 và chia tử, mẫu của A cho cos2 � (bậc cao của A), ta được: a A= sin2 � 3 sin � cos � − 2 tan2 � − 3 tan � 2 22 − 3 · 2 cos2 � = =− � = A = cos �2 2 2 2 13 1+3·2 cos � 1 + 3 tan � sin � +3 2 2 cos � cos � sin � + 5 cos � . sin3 � − 2 cos3 � Vì tan � = 2 nên cos � �= 0 và chia tử, mẫu của B cho cos3 � (bậc cao của B), ta được: b B= Ä ä Ä ä sin � cos � 1 1 2 2 + 5 · · tan � 1 + tan � + 5 1 + tan � 2 35 cos � cos2 � = ä Ä B = cos � cos3 � = � 3 6 6 sin � cos � tan � − 2 −2 cos3 � cos3 � Nhận xét: Đề cho tan �, cần tính biểu thức chứa sin �� cos �, ta cần chia cos � bậc cao. Bài 18. Cho cot α = 5. Tính giá trị biểu thức: ĐS: a) A = − 2 35 , b) B = 13 6 sin α + 2 cos3 α . cos α + 2 sin3 α Vì cot α = 5 nên sin α �= 0 và chia tử, mẫu của A cho sin3 α (bậc cao của A), ta được: a A= sin α cos3 α 1 +2 · 2 2 23 α + 2 cot3 α sin α sin α sin3 α = 1 + cot Ä ä = � A= 3 2 11 cos α sin α 1 cot α 1 + cot α + 2 +2 3 · sin α sin2 α sin α Trang 69 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII b B = 2 cos2 α + 5 sin α · cos α + 1. Vì cot α = 5 nên sin α �= 0 và hai vế cho sin2 α (bậc cao của B), ta được: B cos2 α sin α · cos α 1 = 2 +5 + 2 2 2 sin α sin αä sin α sin2 α Ä 101 ⇔ B 1 + cot2 α = 2 cot2 α + 5 cot α + 1 + cot2 α ⇔ 26B = 101 ⇔ B = � 26 Nhận xét: Đề cho cot �, cần tính biểu thức chứa sin �� cos �, ta cần chia sin � bậc cao. Bài 19. Cho tan � = 3. Tính giá trị biểu thức: A = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 20. Cho tan α = 3. Tính giá trị biểu thức: A = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 sin � + cos � � cos � − 3 sin � ĐS: a) A = 101 23 , b) B = 11 26 7 ĐS: A = − 8 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 cos2 � 2 sin � − 5 sin � cos � + � 3 sin2 � + sin � cos � − 7 cos2 � ĐS: A = 4 23 � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3 � � Lời giải 8 cos3 α …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 21. Cho tan α = 2. Tính giá trị biểu thức: P = Bài 22. Cho cot α = −3. Tính giá trị biểu thức: P = � Lời giải − 2 sin α + cos α � 2 cos α − sin3 α 2 ĐS: P = − cos2 α 3 2 2 sin α + 2 sin α cos α − � 2 sin2 α − 3 sin α cos α + 4 cos2 α 23 ĐS: P = − 47 Trang 70 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 23. Cho tan α = 3. Tính giá trị biểu thức: P = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 24. Cho cot α = 3. Tính giá trị biểu thức: P = � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 25. Cho sin α = � Lời giải � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 sin α + 3 cos α � 4 sin α − 5 cos α 3 sin α − 2 cos α � 5 sin3 α − 4 cos3 α 9 7 ĐS: P = − 30 113 � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 1 8 tan α + 3 cot α − 1 và 90◦ < α < 180◦ . Tính: P = � 3 tan α + cot α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: P = � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. π cot α + tan α 3 và 0 < α < . Tính: P = � 5 2 cot α − tan α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 26. Cho sin α = Nguyễn Quốc Dương � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 71 Nguyễn Quốc Dương Bài 27. Cho cos α = � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII √ √ 3 π và − < α < 0. Tính: P = 5 + 3 tan α + 6 − 4 cot α� 5 2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � π 3 Bài 28. Cho cos α = và − < α < 0. Tính: P = tan2 α − 2 tan α + 1 + |4 cot α + 1|� 5 2 � Lời giải � � Bài 29. Cho sin � + cos � = �. Tính theo � giá trị của các biểu thức: a A = sin � cos �. b B = | sin � − cos �|. e E = sin3 � + cos3 �. f F = sin6 � + cos6 �. c C = sin4 � + cos4 �. � Lời giải d D = tan2 � + cot2 �. a Tính A = sin � cos � theo � (luôn tính sin � cos � theo � nếu đề cho sin � ± cos � = �). Ta có: (sin � + cos �)2 = sin2 � + cos2 � + 2 sin � cos � = 1 + 2 sin � cos � �2 − 1 (sin � + cos �)2 − 1 � A = sin � cos � = = . 2 2 b Tính B = | sin � − cos �| theo �. Ta có: (sin � cos �)2 = sin2 � + cos2 � − 2 sin � cos � = 1 − 2 √ � | sin � − cos �| = 2 − �2 . �2 − 1 = 2 − �2 . 2 2 Nhận xét. Lập luận này cũng √ chứng tỏ rằng: nếu sin � + cos � = � thì 2 − � ≥ 0, tức là ta luôn có | sin � + cos �| ≤ 2. Còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều cách khác, chẳng hạn: theo Bunhiaxcopki, ta có �� ä √ � Ä 12 + 12 · sin2 � + cos2 � = 2. |1 · sin � + 1 · cos �| ≤ c Tính C = sin4 � + cos4 � theo �. �Ä � ä2 � �2 sin2 � + cos2 � + 2 sin2 � cos2 � − 2 sin2 � cos2 � Ç å2 ä2 Ä �2 − 1 1 + 2�2 − �4 2 2 2 = . = sin � + cos � − 2 (sin � cos �) = 1 − 2 2 2 Ta có C = sin4 � + cos4 � = Trang 72 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương d Tính D = tan2 � + cot2 � theo Ä �. ä Ta có D = tan2 � + cot2 � = tan2 � + cot2 � + 2 tan � cot � − 2 tan � cot � Ç 2 å2 Å ã sin � sin � + cos2 � 4 cos � 2 2 −2= −2= − 2. + = (tan � + cot �) − 2 = cos � sin � sin � cos � (� − 1)2 e Tính E = sin3 � + cos3 � theo �. Ta có E = sin3 � + cos3 � = (sin � + cos �)3 − 3 sin � cos � (sin � + cos �) (�2 − 1)� 2�3 − 3�3 + 3� −�3 + 3� = �3 − 3 = = . 2 2 2 f Tính F = sin6 � + cos6 � theo �. Ä ä3 � ä3 Ä ä �3 Ä Ta có F = sin6 �+cos6 � = sin2 � + cos2 � = sin2 � + cos2 � −3 sin2 � cos2 � sin2 � + cos2 � Ç å2 �2 − 1 �4 − 2�2 + 1 −3�4 + 6�2 + 1 =1−3 =1−3 = . 2 4 4 Bài 30. Cho sin � + cos � = a Tính A = sin � cos �. 5 . Tính giá trị của các biểu thức: 4 � .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. b Tính B = | sin � − cos �|. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Tính C = sin4 � + cos4 �. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. d Tính D = tan2 � + cot2 �. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Trang 73 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. e Tính C = sin3 � + cos3 �. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. f Tính C = sin6 � + cos6 �. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. π 1 < � < π� Tính sin �� cos �� tan �� cot �. Bài 31. Cho sin � + cos � = và 5 2 3 4 3 4 sin � = ; cos � = − ; tan � = − ; cot � = − 5 5 3 4 � Lời giải Ä ä • Ta có (sin � + cos �)2 = sin2 � + cos2 � + 2 sin � cos � = 1 + 2 sin � cos � 1 −1 (sin � + cos �)2 − 1 12 � sin � cos � = = 25 =− . 2 2 25 1 12 Do đó, ta có tổng S = sin � + cos � = và tích P = sin � cos � = − 5 25 ĐS: • Theo Viét thì sin �� cos � là hai nghiệm của phương trình bậc hai X 2 − SX + P = 0� 1 12 4 3 3 4 tức X 2 − X − = 0 � sin � = � cos � = − hoặc sin � = − � cos � = . 5 25 5 5 5 5 ß �π � 4 3 sin � > 0 nên chọn sin � = và cos � = − . ;π � • Do � ∈ cos � < 0 2 5 5 • Suy ra tan � = 4 1 3 sin � = − và cot � = =− . cos � 3 tan � 4 Bài 32. Cho sin � + cos � = tan � = cot � = 1 � Lời giải √ 2. Tính sin �� cos �� tan �� cot � Trang 74 ĐS: sin � = cos � = √ � 2 và 2 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3π 1 < � < 2π. Tính sin �� cos �� tan �� cot � Bài 33. Cho sin � + cos � = và 2 2 √ √ √ √ 1− 7 −4 + 7 4+ 7 1+ 7 � sin � = � tan � = � cot � = − cos � = 4 4 3 3 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 34. Cho tan � + cot � = �. Tính giá trị của biểu thức: a A = tan2 � + cot2 � � Lời giải b B = | tan � − cot �| c C = tan3 � + cot3 � ĐS: A = �2 − 2; B = a A = tan2 � Ä + cot2 � ĐS: √ �2 − 4; C = �3 − 3� ä Ta có A = tan2 � + cot2 � + 2 tan � cot � − 2 tan � cot � = (tan � + cot �)2 − 2 = �2 − 2. b B = | tan � − cot �| 2 2 2 2 2 Ta có (tan √ � − cot �) = tan + cot � − 2 tan � cot � = � − 2 − 2 = � − 4. � B = | tan � − cot �| = �2 − 4. c C = tan3 � + cot3 � Ta có C = tan3 � + cot3 � = (tan � + cot �)3 − 3 tan � cot �(tan � + cot �) = �3 − 3� ! Đối với bài toán cụ thể, ta có thể giải phương trình bậc hai theo tan � 2 2 � 4 4 Bài 35. Cho tan Tính I = tan � + cot �� J = tan � + cot �� K = tan � − cot �. ĐS: √ � − cot � = 3� √ A = 11� B = ± 13� C = ±33 13 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3π . Tính giá trị của biểu thức A = sin � + cos �. ĐS: Bài 36. Cho tan � − 6 cot � = 5 và π < � < 2 √ 7 37 A=− 37 � Lời giải Trang 75 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3π · Tính sin �� cos �� tan �. 2 √ 3+2 3 1 cos � = − � √ � sin � = − � √ 22 + 12 3 22 + 12 3 Bài 37. Cho tan � − 3 cot � = 6 và π < � < √ tan � = 3 + 2 3� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 38. Cho 3 sin4 � − cos4 � = Tính A = 2 sin4 � − cos4 � � Lời giải 1 . 2 ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: A = − 1 Ta có: 3 sin4 � − cos4 � = � �2 2 ⇔ 6 sin4 � − 2 cos2 � = 1 Ä ä2 ⇔ 6 sin4 � − 2 1 − sin2 � − 1 = 0 Ä ä ⇔ 6 sin4 � − 2 1 − 2 sin2 � + sin4 � − 1 = 0 ⇔ 4 sin4 � + 4 sin2 � − 3 = 0 1 3 ⇔ sin2 � = (nhận) hoặc sin2 � = − (loại ). 2 2 1 3 2 2 � cos � = 1 − sin � = 1 − = 4 4 1 9 4 4 � sin � = và cos � = 4 16 1 9 1 4 4 � A = 2 sin � − cos � = 2� − =− . 4 16 16 3 Bài 39. Cho 3 sin4 � + cos4 � = 4 Tính A = sin4 � + 3 cos4 �. 1 16 � ĐS: A = 7 4 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 76 Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 40. Cho 5 sin4 � + cos4 � = Tính A = 9 sin4 � + 4 cos4 � Nguyễn Quốc Dương � 8 3 ĐS: A = 40 9 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � 7 Bài 41. Cho 4 sin4 � + 3 cos4 � = 4 7 57 4 4 Tính A = 3 sin � + 4 cos � ĐS: A = hoặc A = 4 28 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � 7 Bài 42. Cho 4 sin4 � + 3 cos4 � = 4 7 57 4 4 Tính A = 3 sin � + 4 cos � ĐS: A = hoặc A = 4 28 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Trang 77 Nguyễn Quốc Dương � DẠNG 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác Chuyên đề Toán 10 HKII Phương pháp: • Cách 1. Thông thường biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách phép biến đổi đại số và công thức lượng giác. • Cách 2. Dùng biến đổi tương đương. Lưu ý: • Các hằng đẳng thức �2 + �2 = (� + �)2 − 2�� �3 + �3 = (� + �)3 − 3��(� + �) �2 − �2 = (� − �)(� + �) �4 − �4 = (�2 − �2 )(�2 + �2 ) sin α cos α cos α cot α = sin α tan α · cot α = 1 sin2 α + cos α2 = 1 1 1 + tan2 α = cos2 α 1 1 + cot2 α = sin2 α • Các công thức lượng giác cơ bản tan α = Nhóm 1. Sử dụng sin2 � + cos2 � = 1 và đưa về hằng đẳng thức Bài 1. Chứng minh rằng: � Lời giải ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� − sin2 � = 1 − 2 sin2 � cos2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 Bài 2. Chứng minh rằng: 2 cos2 � − 1 = 1 − 2 sin � � Lời giải ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Chứng minh rằng: 3 − 4 sin2 � = 4 cos2 � − 1 � Lời giải Bài 4. Chứng minh rằng: � Lời giải 4 cos2 � − 3 = (1 − 2 sin �)(1 + 2 sin �) Trang 78 ĐS: � ĐS: Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Chứng minh rằng: cos4 � − sin4 � = 2 cos2 � − 1 = 1 − 2 sin2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 6. Chứng minh rằng: sin4 � − cos4 � = 1 − 2 cos2 � = 2 sin2 � − 1 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ä �Ä Bài 10. Chứng minh rằng: sin6 � − cos6 � = 1 − 2 cos2 � 1 − sin2 � cos2 � � Lời giải � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 9. Chứng minh rằng: sin6 � + cos6 � = 1 − 3 sin2 � cos2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 8. Chứng minh rằng: sin3 � cos � + sin � cos3 � = sin � cos � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 7. Chứng minh rằng: sin4 � + cos4 � = 1 − 2 sin2 � cos2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: Trang 79 � ĐS: Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Ä ä2 Bài 11. Chứng minh rằng: sin8 � + cos8 � = 1 − 2 sin2 � cos2 � − 2 sin4 � cos4 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 13. Chứng minh rằng: 2 ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Ä äÄ ä Bài 12. Chứng minh rằng: sin8 � − cos8 � = 2 sin2 � − 1 1 − 2 sin2 � cos2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 + sin � = 1 + 2 tan2 � 1 − sin2 � � ĐS: � Lời giải 1 1 + sin2 � 1 + sin2 � VT = = = + tan2 � = 1 + tan2 � + tan2 � = 1 + 2 tan2 � = V P (đpcm) 2 2 cos � cos2 � 1 − sin � � 1 + cos2 � Bài 14. Chứng minh rằng: ĐS: = 1 + 2 cot2 � 1 − cos2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin � 1 − cos � = Bài 15. Chứng minh rằng: sin � 1 + cos � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 + sin � cos � Bài 16. Chứng minh rằng: = cos � 1 − sin � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 80 � ĐS: Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nhóm 2. Sử dụng tan � = Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � sin � cos � � cot � = quy đồng và thu gọn khi gặp tan� cot cos � sin � ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Chứng minh rằng: cot � − cos2 � = cot2 � · cos2 � � Lời giải 2 cos2 � cos2 � V T = cot2 � − cos2 � = − cos2 � = 2 sin � ä cos2 � Ä 2 = · 1 − sin � = cot2 � · cos2 � (đpcm) sin2 � cos2 � sin2 � − sin2 � Bài 2. Chứng minh rằng: tan2 � − sin2 � = tan2 � · sin2 � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Chứng minh rằng: � Lời giải 1 = tan2 � + cot2 � + 2 sin � cos2 � ĐS: � ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cos � 1 Bài 5. Chứng minh rằng: tan � + = 1 + sin � cos � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 Bài 3. Chứng minh rằng: tan � + cot � = sin � cos � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. = Ä ä cos2 � · 1 − sin2 � ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 81 Nguyễn Quốc Dương Bài 6. Chứng minh rằng: cot � + � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII � sin � 1 = 1 + cos � sin � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. tan � + tan � Bài 7. Chứng minh rằng: tan � tan � = cot � + cot � � Lời giải tan � + tan � 1 tan � + tan � tan � + tan � = = = tan � tan � = V T VP = = 1 tan � + tan � 1 1 cot � + cot � + tan � tan � tan � tan � tan � tan � tan � − tan � Bài 8. Chứng minh rằng: tan � · tan � = cot � − cot � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Ä ä V T = (1 − sin �) 1 + tan2 � = (1 − sin �) = 1 = V P (đpcm) 1 + sin � ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 1 + sin � 1 1 − sin � 1 − sin � = = 2 2 (1 − sin �)(1 + sin �) cos � 1 − sin � Ä ä Bài 12. Chứng minh rằng: (1 − cos �) 1 + cot2 � = � Lời giải ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ä Ä Bài 11. Chứng minh rằng: (1 − sin �) 1 + tan2 � = � Lời giải � � 3 18 3 + = . Bài 10. Chứng minh rằng nếu sin � cos � = 0� 5 thì 2 + tan � 2 + cot � 7 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 1 + =1 Bài 9. Chứng minh rằng: 1 + tan � 1 + cot � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 1 1 + cos � Trang 82 � ĐS: � ĐS: Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Å Bài 13. Chứng minh rằng: 1 − � Lời giải 1 cos � ãÅ 1+ � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 cos � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Å Bài 14. Chứng minh rằng: 1 − Nguyễn Quốc Dương ã � + tan2 � = 0 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ãÅ ã 1 1 1+ + cot2 � = 0 sin � sin � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 16. Chứng minh rằng: 1 + cot � + cot2 � + cot3 � = � Lời giải Bài 17. Chứng minh rằng: � Lời giải 2 cos2 α Bài 18. Chứng minh rằng: � Lời giải ĐS: sin � + cos � sin3 � � ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. tan α − 1 sin α − = 1 + 2 sin α cos α tan α + 1 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin α + cos α Bài 15. Chứng minh rằng: 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = cos3 α � Lời giải 1 sin α + cos α sin α cos α sin α 1 · VP = = + = + 3α 3α 3α 2α 2α cos α cos cos cos cos cos Ä ä = tan α� 1 + tan2 α + 1 + tan2 α = 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = V T ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. tan2 α − sin2 α = tan6 α 2 2 cot α − cos α Trang 83 � ĐS: Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 19. Chứng minh rằng: � Lời giải cos2 α 1 − tan α + 2 � Lời giải � Lời giải � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � sin2 � − sin2 � tan2 � − tan2 � = tan2 � tan2 � sin2 � sin2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 21. Chứng minh rằng: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin α = 1 − sin α cos α 1 − cot α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 20. Chứng minh rằng: Chuyên đề Toán 10 HKII ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 3 tan � 1 − tan2 � = +1 cos2 � cos2 � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 22. Chứng minh rằng: − 1 = 2 cot � ñ � Lời giải cos �)2 1 − cos � (1 + sin � sin2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 23. Chứng minh rằng: � Lời giải � ô ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 2 cos α 1 + cot α sin α − = sin α + cos α cos α − sin α 1 − cot2 α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 84 Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 24. Chứng minh rằng: � Lời giải Nguyễn Quốc Dương 2 2 tan α 1 + cot α 1 + tan α · = 2 2 1 + tan α cot α tan2 α + cot2 α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Ç… Bài 25. Chứng minh rằng: 4 1 + sin α − 1 − sin α … å2 � = 4 tan2 α � Lời giải Ç… å2 … 1 + sin α 1 − sin α 1 + sin α 1 − sin α VT = = − −2+ 1 − sin α 1 + sin α 1 − sin α 1 + sin α Ä ä 2 + 2 sin2 α − 2 1 − sin2 α (1 + sin α)2 − 2(1 − sin α)(1 + sin α) + (1 − sin α)2 = = (1 − sin α)(1 + sin α) 1 − sin2 α 2 4 sin � = = 4 tan2 � = V P cos2 � Ç… å2 … 1 + cos α 1 − cos α Bài 26. Chứng minh rằng: = 4 cot2 α − 1 − cos α 1 + cos α � Lời giải ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 27. Chứng minh rằng: sin2 � tan2 � + 4 sin2 � − tan2 � + 3 cos2 � = 3 � Lời giải 2 2 2 V TÄ = sin2 � tan2 � + 4 sin ä � −Ä tan � + 3 cos ä� 2 2 2 2 2 = sin � tan � − tan � + 3 sin � + cos � + sin2 � Ä ä = tan2 � · sin2 � − 1 + 3 + sin2 � � sin2 � � 2 � + 3 + sin2 � = · − cos cos2 � = − sin2 � + 3 + sin2 � = 3 (đpcm) Bài 28. Chứng minh rằng: (1 + tan �)(1 + cot �) sin � cos � = 1 + 2 sin � cos � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 − sin α 1 + sin α ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 29. Chứng minh rằng: sin2 � tan � + cos2 � cot � + 2 sin � cos � = tan � + cot � � Lời giải Trang 85 � ĐS: Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 30. Chứng minh rằng: 1 + sin � + cos � + tan � = (1 + cos �)(1 + tan �) � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 31. Chứng minh rằng 1 − cot4 � = � Lời giải ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 2 1 − . 2 sin � sin4 � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 4 cot � 1 + cos � 1 − cos � − = . Câu 32. Chứng minh rằng 1 − cos � 1 + cos � sin � � Lời giải Câu 33. Chứng minh (sử dụng tương đương) � Lời giải 1 + cos � 2 sin � + = . 1 + cos � sin � sin � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 34. Chứng minh (sử dụng tương đương) � Lời giải � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cos � sin � + cos � − 1 = . sin � − cos � + 1 1 + sin � ................................................. ................................................. ................................................. � � ................................................. ................................................. ................................................. Trang 86 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. Câu 35. Chứng minh (sử dụng tương đương) � Lời giải � Lời giải Câu 37. Chứng minh rằng ∀� ∈ N, ta có 2 ã� sin� � + cot� � = 1 + sin� � tan� � � Lời giải è� Ö Å ã� sin � + cot � sin � + cot � VT = = 1 1 + sin � tan � 1 + sin � · cot � Ö è� ã Å (sin � + cot �) cot � � sin � + cot � = = = cot� � = V P� cot � + sin � sin � + cot � cot � Å ã sin � + cot � 2019 sin2019 � + cot2019 � Câu 38. Chứng minh rằng = 1 + sin � tan � 1 + sin2019 � tan2019 � � Lời giải Câu 39. Cho Cho a b 8 sin � + �3 cos8 �3 4 sin � + � � = cos4 � � 1 (� + �)3 sin10 � cos10 � 1 + = 4 4 � � (� + �)4 � Lời giải = � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin � + cot � 1 + sin � tan � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 2 cos � sin � + cos � − 1 = . 1 − cos � sin � − cos � + 1 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Å ................................................. ................................................. cos � sin � + 2 cos � − 1 = . 1 + cos � 2 + cos � − cos2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 36. Chứng minh (sử dụng tương đương) Nguyễn Quốc Dương � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 . Chứng minh rằng �+� � (HK2 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) (HK2 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) Trang 87 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 3. Rút gọn biểu thức Phương pháp: Dùng các biến đổi đại số, các hằng đẳng thức và các công thức lượng giác để thu gọn biểu thức đã cho. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� 2 cos2 � − 1 Câu 1. Rút gọn biểu thức A = + sin �. ĐS: A = cos � sin � + cos � � Lời giải Ä ä 2 cos2 � − sin2 � + cos2 � 2 cos2 � − 1 cos2 � − sin2 � A= + sin � = + sin � = + sin � � sin � + cos � sin � + cos � sin � + cos � (cos � − sin �)(cos � + sin �) = + sin � = cos � − sin � + sin � = cos �� sin � + cos � ĐS: A = 4 Câu 2. Rút gọn biểu thức A = (tan � + cot �)2 − (tan � − cot �)2 . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ä Ä Câu 3. Rút gọn biểu thức A = 1 − sin2 � cot2 � + 1 − cot2 �. � Lời giải Câu 4. Rút gọn biểu thức A = � Lời giải cos4 � + sin 2 ĐS: A = sin2 � � � cos2 � cos � Câu 5. Rút gọn biểu thức A = tan � + 1 + sin � � Lời giải � 2 + sin �. Trang 88 ĐS: A = 1 1 ĐS: A = cos � � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. » Câu 6. Rút gọn biểu thức A = (1 + tan �) cos2 � + (1 + cot �) sin2 �. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. … Câu 7. Rút gọn biểu thức A = � Lời giải 1 + sin � − 1 − sin � … ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 8. Rút gọn biểu thức A = � Lời giải 1 − sin � . 1 + sin � Å ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 10. Rút gọn biểu thức A = � Lời giải cos2 � 2 ĐS: A = 2 sin � |cos �| � ĐS: A = sin � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: A = 2 tan � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. − sin � + cos4 �. cot � − tan2 � 2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ã ô 1 − sin � 2 1 + sin � . · 1− Câu 9. Rút gọn biểu thức A = cos � cos � � Lời giải ñ ĐS: A = |sin � + cos �| ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cos � tan � − cot � cos �. sin2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Trang 89 � ĐS: A = cos2 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 4. Chứng minh một biểu thức độc lập với biến Phương pháp: Để chứng minh một biểu thức độc lập với biến nào đó, ta rút gọn biểu thức đó để được một kết quả là một hằng số. Học sinh có thể kiểm tra đáp án bằng casio. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� cos2 � − sin2 � Câu 1. Chứng minh biểu thức B = − cot2 � · cot2 � độc lập với biến. 2 2 sin � sin � � Lời giải cos2 � − sin2 � cos2 � − sin2 � cos2 � cos2 � 2 2 B= � · cot � = − cot − · sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � � � cos2 � 1 − cos2 � − sin2 � cos2 � − sin2 � − cos2 � cos2 � = = sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � � � − sin2 � · 1 − cos2 � cos2 � sin2 � − sin2 � − sin2 � sin2 � = = = = −1� sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � � Câu 2. Chứng minh biểu thức B = cos4 � − sin4 � + 2 sin2 � độc lập với biến. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 4 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 Câu 3. Chứng minh biểu thức B = sin � + sin � cos2 � + cos2 � độc lập với biến. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 4. Chứng minh biểu thức B = � Lời giải cos4 � + sin ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 � cos2 � 2 + sin � độc lập với biến. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 90 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � Câu 5. Chứng minh biểu thức B = sin6 � + cos6 � − 2 sin4 � − cos4 � + sin2 � độc lập với biến. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Câu 6. Chứng minh biểu thức B = cos2 � cot2 � + 5 cos2 � − cot2 � + 4 sin2 � độc lập với biến. � Lời giải � Câu 7. Chứng minh biểu thức B = (1 + cot �) sin3 � + (1 + tan �) cos3 � − sin � − cos � độc lập với biến. � Lời giải äÄ ä Ä Câu 8. Chứng minh biểu thức B = sin4 � + cos4 � − 1 tan2 � + cot2 � + 2 độc lập với biến. � Lời giải � � Câu 9. Chứng minh biểu thức B = sin4 � + 4 cos2 � + cos4 � + 4 sin2 � độc lập với biến. � Lời giải Trang 91 � � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII … Câu 10. Chứng minh biểu thức B = sin � · biến. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 11. Chứng minh biểu thức B = � Lời giải � Lời giải π� 1 1 + � 0<�< 1 + cos � 1 − cos � 4 � độc lập với ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cot � + 1 2 + độc lập với biến. tan � − 1 cot � − 1 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 12. Chứng minh biểu thức B = � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ä2 Ä 1 − tan2 � 2 4 tan � � � − 1 độc lập với biến. 4 sin � cos2 � 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. äÄ ä 1 − tan � Ä − 1 + tan2 � 1 + cot2 � độc lập với biến. Câu 13. Chứng minh biểu thức B = tan � � Lời giải 2 Câu 14. Chứng minh biểu thức B = � Lời giải 6 2 1 − sin � 3 tan � − độc lập với biến. cos6 � cos2 � Trang 92 � � Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 15. Chứng minh biểu thức B = � Lời giải � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � tan2 � − cos2 � cot2 � − sin2 � + độc lập với biến. cos2 � sin2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Câu 16. Chứng minh biểu thức B = Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � cot2 � − cos2 � sin � cos � + độc lập với biến. cot � cot2 � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � DẠNG 3. Cung góc liên kết Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau sin(−α) = − sin α cos(π − α) = − cos α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α cos(−α) = cos α tan(−α) = − tan α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α Trang 93 Cung (góc) phụ nhau sin �π cos tan cot 2 �π 2 �π 2 �π 2 � − α = cos α � − α = sin α � − α = cot α � − α = tan α Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Cung (góc) hơn kém π Cung (góc) hơn kém cos(π + α) = − cos α sin sin(π + α) = − sin α cos cot(π + α) = cot α cot tan(π + α) = tan α ñ • sin(�2π + �) = sin �� cos(�2π + �) = cos �� • tan(�π + �) = tan �� tan �π 2 �π 2 �π 2 �π 2 � + α = cos α � + α = − sin α � + α = − cot α � + α = − tan α sin[(2� + 1)π + �] = − sin � cos[(2� + 1)π + �] = − cos � cot(�π + �) = cot � π 2 (bỏ chẵn pi cộng, bỏ lẻ trừ). (tan và cot bỏ pi chẵn, lẻ đều cộng). ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), tính • • • • • • • • • • • • • • sin 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 11π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan 10π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11π =................................. 3 Å ã 31π sin − =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 cos • • • • • • • • • • • • • • cos 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 13π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7π =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Å ã 16π cos − =............................ 3 Å ã 19π cot − =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 cot Bài 2. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc �. Å ã � �π �� �π � 5π • sin − � = sin 2π + −� = sin − � = cos �. 2 2 2 • cot(� − π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • sin(π + �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 94 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương • tan(2π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot(3π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • sin(� − 7π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • tan(� − 5π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å ã 5π • sin +� ................................................................................ 2 Å ã 3π • cos +� ............................................................................... 2 ã Å 3π ............................................................................... • cot � − 2 Å ã 5π • cos � − ............................................................................... 2 Å ã 11π • tan +� .............................................................................. 2 • sin2 (π + �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos9 (π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot11 (� − 3π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos4 (� + 3π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot2 (� − 5π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos6 (� − π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �π � −� ................................................................................ • cos5 2 ã Å 3π 8 • cos � − .............................................................................. 2 � π� • sin2012 � − ............................................................................. 2 ã Å 9π • tan2 � − .............................................................................. 2 ã Å 7π 2019 • cos ........................................................................... �+ 2 ã Å 5π • sin2019 −� ............................................................................ 2 ã Å 11π 2015 • cos .......................................................................... �− 2 � π� • cot2 � − ................................................................................ 2 Bài 3. Rút gọn biểu thức � π� + sin(� − π). • A = cos � − 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Trang 95 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII �π � �π � �π � �π � − � + sin − � − cos + � − sin +� . 2 2 2 2 .............................................................................................. • B = cos .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã Å ã 7π 3π • C = 2 cos � + 3 cos(π − �) − sin − � + tan −� . 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã �π � �π � 3π • D = 2 sin + � + sin(5π − �) + sin + � + cos +� . 2 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã Å ã 7π 3π • E = 2 cos � − 3 cos(π − �) + 5 sin − � + cot −� . 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã � 3π π� + cot(3π − �) + tan −� . • F = sin(5π + �) + cos � − 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 4. Rút gọn biểu thức Å ã Å ã � �π 11π 3π + � cot −� . a G = cos(15π − �) + sin � − − tan 2 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã �π � 3π b H = sin(π + �) − cos − � + cot(2π − �) + tan −� . 2 2 .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Å .............................................. .............................................. ã Å ã 3π 3π c I = cos(5π − �) − sin + � + tan − � + cot(3π − �). 2 2 Trang 96 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. d J = cos (270◦ − �) − 2 sin (� − 450◦ ) + cos (� + 900◦ ) + 2 sin (270◦ − �). .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. �π � −� . e K = cos2013 � + cos2013 (π + �) · sin2012 (π + �) − sin2011 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Å ã � π� 3π 6 4 4 6 . f L = sin (π + �) + cos (� − π) − 2 sin (� + 2π) − sin � − + cos2 � − 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. ã Å 19π − � · cos(36π − �) · sin(� − 5π) tan 2 Å ã g M= . 9π sin − � · cos(� − 99π) 2 .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Å ã ã Å 85π 3π 2 2 h P = sin � + + cos(207π + �) + sin (33π + �) + sin � − . 2 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 5. Không dùng máy tính, rút gọn và tính giá trị của biểu thức a A = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 160◦ + cos 180◦ . Trang 97 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. b B = cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + · · · + cos 160◦ + cos 180◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c C = cos 10◦ + cos 40◦ + cos 70◦ + · · · + cos 140◦ + cos 170◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. d D = tan 20◦ + tan 40◦ + tan 60◦ + · · · + tan 160◦ + tan 180◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. e E = cot 15◦ + cot 30◦ + cot 45◦ + · · · + cot 150◦ + cot 165◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. f F = sin 5◦ + sin 10◦ + sin 15◦ + · · · + sin 155◦ + sin 360◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. g G = cot 195◦ + cot 210◦ + cot 225◦ + · · · + cot 345◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Trang 98 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương h H = cot 15◦ · cot 35◦ · cot 55◦ · cot 75◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. i I = tan 10◦ · tan 20◦ · tan 30◦ · · · tan 80◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. J = tan 1◦ · tan 2◦ · tan 3◦ · · · tan 89◦ . .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Bài 6. .............................................. .............................................. .............................................. j .............................................. .............................................. .............................................. • K = sin2 28◦ + sin2 36◦ + sin2 54◦ + cos2 152◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • L = cos2 2◦ + cos2 4◦ + cos2 6◦ + · · · + cos2 88◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • M = sin2 10◦ + sin2 20◦ + sin2 30◦ + · · · + sin2 90◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • N = cos2 10◦ + cos2 20◦ + cos2 30◦ + · · · + cos2 180◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • O = sin 20◦ + sin 40◦ + sin 60◦ + · · · + sin 340◦ + sin 360◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 7. Không dùng máy tính bỏ túi, rút gọn và tính giá trị biểu thức: Trang 99 Nguyễn Quốc Dương VÍ DỤ 1. Tính V1 = � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII 1 2 sin 2550◦ · cos (−188◦ ) + tan 368◦ 2 cos 638◦ + cos 98◦ 1 2 sin (14�180◦ + 30◦ ) · cos [− (180◦ + 8◦ )] + tan (2�180◦ + 8◦ ) 2 cos (4�180◦ − 82◦ ) + cos (90◦ + 8◦ ) 2 · 21 · cos 8◦ 1 2 sin 30◦ · (− cos 8◦ ) 1 = + = − tan 8◦ 2 cos (−82◦ ) − sin 8◦ tan 8◦ 2 cos (90 − 8◦ ) − sin 8◦ ◦ 1 cos 8 cos 8◦ ◦ = − = cot 8 − = cot δ ◦ − cot δ ◦ = 0� tan 8◦ 2 sin δ ◦ − sin 8◦ sin 8◦ V1 = � • A = cos (−315◦ ) · sin 765◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • B = sin 32◦ · sin 148◦ − sin 302◦ · sin 122◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • C = sin 810◦ · cos 540◦ + tan 135◦ · cot 585◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • D = sin 825◦ · cos (−15◦ ) + cos 75◦ · sin (−555◦ ) .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • E = 2 tan 540◦ + 2 cos 1170◦ + 4 sin 990◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. sin (−234◦ ) − cos 216◦ · tan 36◦ sin 144◦ − cos 126◦ .............................................................................................. • F= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Trang 100 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương sin (−324◦ ) + cos 666◦ · cot 36◦ sin 1206◦ + cos 36◦ .............................................................................................. • G= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. sin (−328◦ ) · sin 958◦ cos (−508◦ ) · cos (−1022◦ ) − cot 572◦ tan (−212◦ ) .............................................................................................. • H= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 8. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức. cos (−288◦ ) · cot 72◦ − tan 18◦ tan (−142◦ ) · sin 108◦ .............................................................................................. • I= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. • J = 2 sin (790◦ + �) + cos (1260◦ − �) + tan (630◦ + �) · tan (1260◦ − �) .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 2 sin 2550◦ · cos (−188◦ ) 1 + tan 368◦ 2 cos 638◦ + cos 98◦ .............................................................................................. • K= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Trang 101 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. (cos 44◦ + tan 226◦ ) · cos 406◦ − cos 72◦ · cot 18◦ cos 316◦ .............................................................................................. • L= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. tan 46◦ · sin 44◦ + cot (−136◦ ) · sin 404◦ − tan 36◦ · tan 54◦ cos 316◦ .............................................................................................. • M= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. sin (−328◦ ) · sin 958◦ cot (−508◦ ) · cos (−1022◦ ) − cos 572◦ tan (−212◦ ) .............................................................................................. • N= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 4π 17π + cos 3 Å 6 ã • O= 23π 10π sin + cos − 6 3 .............................................................................................. sin .............................................................................................. Trang 102 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. sin (−4� 8π) · sin (−5� 7π) cos (−6� 7π) · cos (−5� 8π) + cot (−5� 2π) tan (−6� 2π) .............................................................................................. • P= .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Bài 9. Chứng minh: sin B = sin(A + C). � Lời giải Ta có: A, B, C là ba góc của tam giác nên: A + B + C = 180◦ � A + C = 180◦ − B � sin(A + C) = sin(180◦ − B) � sin(A + C) = sin B� � Bài 10. Chứng minh: cos(A + B) = − cos C� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... C A+B = cos � Bài 11. Chứng minh: sin 2 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 103 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII A+C B Bài 12. Chứng minh: sin = cos � 2 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 13. Chứng minh rằng: cos(A + B − C) = − cos 2C� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 14. Chứng minh rằng: cos(B − C) = − cos(A + 2C). .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 15. Chứng minh sin(A + 2B + C) = − sin B. .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 16. Chứng minh cot(A − B + C) = − cot 2B. .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... A + B + 3C = cos C. Bài 17. Chứng minh sin 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... 3C A + B − 2C = cot . Bài 18. Chứng minh tan 2 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 104 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương A + 3B + C Bài 19. Chứng minh cos = − sin B. 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... 3B A − 2B + C = tan . Bài 20. Chứng minh cot 2 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... BÀI �. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC � DẠNG 1. Công thức cộng • sin(� + �) = sin � · cos � + cos � · sin �. • cos(� + �) = cos � · cos � − sin � · sin �. • tan(� + �) = tan � + tan � . 1 − tan � · tan � Hệ quả 1. �π � 1 + tan α a tan +α = . 4 1 − tan α Nhóm 1. Tính giá trị của biểu thức Bài 2. Cho sin α = 3 π và 0 < α < . 3 2 • cos(� − �) = cos � · cos � + sin � · sin �. • tan(� − �) = b tan 3π 12 và π < � < . Bài 1. Cho cos � = − 2 �13 �π −� . Tính D = sin 3 � Lời giải 3π Vì π < � < nên sin � < 0. 2 Có sin2 � + cos2 � = 1 suy ra Å ã 12 2 25 5 2 2 sin � = 1 − cos � = 1 − − = =− . 13 169 13 Do đó � �π −� D = sin 3 π π = sin · cos � − cos · sin � 3 3 √ Å ã Å ã 3 12 1 5 = · − − · − 2 13 2 13 √ 5 − 12 3 = � 26 √ • sin(� − �) = sin � · cos � − cos � · sin �. �π tan � − tan � . 1 + tan � · tan � � 1 − tan α −α = . 4 1 + tan α � π� . Tính D = cos α + 3 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3π 12 và < � < 2π. Bài 3. Cho sin � = − 13 2 � �π −� . Tính D = cos 3 � � Lời giải ................................................. Trang 105 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. π 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 7. Cho sin�� = 5 �và 2 < � < π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính D = tan � + π . 3 ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. π 1 ................................................. < � < π. Bài 4. Cho cos � = − và 2 �3 �π ................................................. −� . Tính D = sin ................................................. 6 ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. 3π 4 và π < � < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 8. Cho sin�� = − � 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính D = cot � − π . 4 ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. √ ◦ ◦ ................................................. Bài 5. Cho tan � = 2 và 0 < � < 90 . ◦ ................................................. Tính D = cos(� − 30 ). ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ã Å ................................................. 5π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 9. Cho cot 2 − � = 2. � � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính D = tan � + π . 4 ................................................. � Lời giải ................................................. � ................................................. √ Bài 6. Cho cot � = − 2 và 90◦ < � < 180◦ . ................................................. Tính D = sin(60◦ − �). ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. π 1 < α < π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 10. Cho cos α = − và 3 2 Trang 106 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � π� Tính D = tan α − . 4 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. Cho sin � = a) A = cos(� + �). ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 4 với 0◦ < � < 90◦ và sin � = với 90◦ < � < 180◦ . Hãy tính 5 3 ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... b) B = sin(� − �). ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Bài 12. Cho sin � = a) A = sin(� − �). ............................................... ............................................... ............................................... 5 8 , tan � = và �, � là các góc nhọn. Hãy tính 17 12 ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... b) B = cos(� + �). ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... c) C = tan(� + �). ............................................... ............................................... ............................................... Trang 107 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Å ã 5π 3 2 − � = và �, � là các góc nhọn. Hãy tính Bài 13. Cho sin � = , tan 3 2 4 a) A = sin(� + �). ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... b) B = cos(� − �). ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Bài 14. Cho 0 < α, β < ............................................... ............................................... √ π π , α+β = và tan α · tan β = 3 − 2 2. 2 4 a) Tính giá trị của A = tan(α + β). ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... b) Tính giá trị của B = tan α + tan β. ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... c) Tính tan α và tan β. Suy ra α và β. ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Trang 108 Chuyên đề Toán 10 HKII ............................................... ............................................... Bài 15. Cho α − β = Nguyễn Quốc Dương ............................................... ............................................... π . Tính giá trị của các biểu thức sau 3 a) A = (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 . ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... b) B = (cos α + sin β)2 + (cos β − sin α)2 . ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Bài 16. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức D = sin 36◦ cos 6◦ −sin 126◦ cos 84◦ . � Lời giải Ta có D = sin 36◦ cos 6◦ −sin(90◦ +36◦ ) cos(90◦ −6◦ )= sin 36◦ cos 6◦ −cos 36◦ sin 6◦ = sin(36◦ −6◦ ) = 1 sin 30◦ = . � 2 Bài 17. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức sau a) A = sin 12◦ · cos 48◦ + cos 12◦ · sin 48◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. b) B = cos 38◦ · cos 22◦ − sin 38◦ · sin 22◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. c) C = sin 10◦ · cos 55◦ − cos 10◦ · sin 55◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. d) D = sin 36◦ · cos 6◦ − sin 126◦ · cos 84◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. Trang 109 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII e) E = cos 112◦ · cos 23◦ − sin 112◦ · sin 23◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. f) F = sin 200◦ · sin 310◦ + cos 340◦ · cos 50◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. g) G = cos 11◦ · cos 21◦ + cos 69◦ · cos 79◦ − cos 10◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. h) H = cos 68◦ · cos 78◦ + cos 22◦ · cos 12◦ − sin 100◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. i) I = cos(−53◦ ) · sin(−337◦ ) + sin 307◦ · sin 113◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. Bài 18. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức D = cos 75◦ = cos(30◦ + 45◦ ). � Lời giải √ √ √ √ √ 2 3 2 1 2( 3 − 1) ◦ ◦ ◦ ◦ Ta có D = cos 45 cos 30 − sin 45 sin 30 = · − · = . 2 2 2 2 4 Bài 19. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức sau � a) A = sin 75◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. b) B = cos 15◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. Trang 110 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương c) C = sin 15◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. d) D = sin 105◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. e) E = cos 105◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. 1 + tan 15◦ . 1 − tan 15◦ ................................................................................................. f) F = ................................................................................................. ................................................................................................. tan 25◦ + tan 20◦ . 1 − tan 25◦ tan 20◦ ................................................................................................. g) G = ................................................................................................. ................................................................................................. sin 10◦ cos 20◦ + sin 20◦ cos 10◦ . cos 17◦ cos 13◦ − sin 17◦ sin 13◦ ................................................................................................. h) H = ................................................................................................. ................................................................................................. tan 225◦ − cot 81◦ cot 69◦ . cot 261◦ + tan 201◦ ................................................................................................. i) I = ................................................................................................. ................................................................................................. sin 73◦ cos 3◦ − sin 87◦ cos 17◦ . cos 132◦ cos 62◦ + cos 42◦ cos 28◦ ................................................................................................. j) J = ................................................................................................. ................................................................................................. k) K = cos2 75◦ − sin2 75◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. l) L = sin2 20◦ + sin2 100◦ + sin2 140◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. Trang 111 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII m) M = cos2 10◦ + cos 110◦ + cos2 130◦ . ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. Nhóm 2. Chứng minh đẳng thức ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Chứng minh sin 2� = 2 sin � cos �. � Lời giải Ta có = cos 2� cos � − sin 2� sin � = (cos2 � − sin2 �) cos � − 2 sin � cos � sin � = [cos2 � − (1 − cos2 �)] cos � − 2 sin2 � cos � = (2 cos2 � − 1) cos � − 2(1 − cos2 �) cos � V T = sin 2� = sin(� + �) = 4 cos3 � − 3 cos � = sin � cos � + cos � sin � = VP = 2 sin � cos � = VP (đpcm)� (đpcm)� � 5. Chứng minh cos � + sin � � Bài � √ π� 2 cos � − . Bài 2. Chứng minh cos 2� = cos2 � − sin2 �. 4 � Lời giải � Lời giải Ta có ................................................. V T = sin � + cos � ã ................................................. √ Å 1 1 ................................................. 2 √ sin � + √ cos � = 2 2 ................................................. √ � π π� = 2 cos � cos + sin � sin ................................................. 4 4 � ................................................. √ π� 2 cos � − = ................................................. 4 ................................................. = V P (đpcm)� ................................................. ................................................. � Bài 6. Chứng minh cos � + sin � � √ π� Bài 3. Chứng minh sin 3� = 3 sin � − 4 sin3 �. 2 sin � + . 4 � Lời giải � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 4. Chứng minh cos 3� = 4 cos3 � − 3 cos �. � Lời giải Ta có V T = cos 3� = cos(2� + �) = � = ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 7. Chứng minh � √ π� 2 cos � + . 4 � Lời giải Trang 112 cos � − sin � = Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. Bài 11. Chứng minh ................................................. cos(� + �) cos(� − �) = cos2 � − sin2 �. ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. Bài 8. Chứng minh cos � − sin � = ................................................. � √ π� ................................................. . − 2 sin � − 4 ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 12. Chứng minh � � � � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin π + � − sin π − � = √2 sin �. 4 4 ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. Bài 9. Chứng minh ................................................. sin(� + �) sin(� − �) = sin2 � − sin2 �. ................................................. � Lời giải ................................................. Ta có ................................................. ................................................. V T = sin(� + �) sin(� − �) ................................................. = (sin � cos � + cos � sin �)(sin � cos � − cos.�. .sin . . . �) ........................................... 2 2 = (sin � cos �) − (cos � sin �) � = sin2 � cos2 � − cos2 � sin2 � Bài 13. minh � � Chứng π� π� = sin2 �(1 − sin2 �) − (1 − sin2 �) sin2 � sin � − = 4 sin2 � − 3. 4 sin � + 3 3 2 2 2 2 2 2 = sin � − sin � sin � − sin � + sin � sin � � Lời giải = sin2 � − sin2 � ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. Bài 10. Chứng minh 2 2 ................................................. sin(� + �) sin(� − �) = cos � − cos �. ................................................. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. 2 tan � . Bài 14. Chứng minh tan 2� = ................................................. 1 − tan2 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � Lời giải = VP (đpcm)� Trang 113 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 2 1 − tan � . Bài 15. Chứng minh cot 2� = 2 tan � � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 16. Chứng minh sin � sin(� − z) + sin � sin(z − �) + sin z sin(� − �) = 0. � Lời giải Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 [cos(� − �) − cos(� + �)] 2 sin � sin � = ta được • sin � sin(� − z) = 1 [cos(� − � + z) − cos(� + � − z)]. 2 • sin z sin(� − �) = 1 [cos(z − � + �) − cos(z + � − �)]. 2 • sin � sin(z − �) = 1 [cos(� − z + �) − cos(� + z − �)]. 2 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được sin � sin(� − z) + sin � sin(z − �) + sin z sin(� − �) = 0� � Bài 17. Chứng minh rằng cos � sin(� − z) + cos � sin(z − �) + cos z sin(� − �) = 0. � Lời giải Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được sin � cos � = • cos � sin(� − z) = sin(� − z) cos � = • cos � sin(z − �) = sin(z − �) cos � = sin(� − z + �)]� • cos z sin(� − �) = sin(� − �) cos z = sin(z − � + �)]. 1 [sin(� − �) + sin(� + �)] 2 1 [sin(� − z + �) + sin(� − z − �)]� 2 1 1 [sin(z − � + �) + sin(z − � − �)] = [sin(z − � + �) − 2 2 1 1 [sin(� − � + z) + sin(� − � − z)] = [− sin(� − z − �) − 2 2 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được cos � sin(� − z) + cos � sin(z − �) + cos z sin(� − �) = 0� Trang 114 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 18. Chứng minh rằng tan(� + �) − tan � − tan � = tan(� + �) tan � tan �. � Lời giải  π  �� � �= + �π   2   π Điều kiện � + � �= + �π (� ∈ Z)  2    � − � �= π + �π 2 tan � + tan � Với điều kiện trên, áp dụng công thức tan(� + �) = và áp dụng phương pháp chứng 1 − tan � tan � minh bằng phép biến đổi tương được ta có tan(� + �) − tan � − tan � = tan(� + �) tan � tan � ⇔ tan(� + �)(1 − tan � tan �) = tan � + tan � tan � + tan � ⇔ (1 − tan � tan �) = tan � + tan � 1 − tan � tan � ⇔ tan � + tan � = tan � + tan �� Vậy đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng. � � �π � �π � �π � �π − � + tan 2� tan − � + tan − � tan −� = Bài 19. Chứng minh rằng tan 2� tan 6 3 3 6 1. � Lời giải  �π π   � �= +    4 2  π Điều kiện � �= − + �π(� ∈ Z) �  3    π  � �= − + �π 6 2� + � �π � π −� + −� = 6 3 2 �π �π � π �π � � 2� + −� = − −� 2�� 3 � �� � 6 �π π �π −� = tan − −� � tan 2� + 6� 2 3 � π � �π −� tan 2� + tan �6π � = cot −� ⇔ 3 1 − tan 2� tan −� 6 �π � tan 2� + tan −� 1 �6π �π �= � ⇔ 1 − tan 2� tan tan −� −� 3� �π �π � �π � �π 6 � − � + tan − � tan − � = 1 − tan 2� tan −� ⇔ tan 2� tan 3 3 6 � �π � �π � �π 6 � �π − � + tan − � tan − � + tan 2� tan −� =1 ⇔ tan 2� tan 3 3 6 6 � Å ã Å ã 2π 2π Bài 20. Chứng minh tan �� tan � + +tan � + � tan � + +tan � + tan � = −3. 3 3 3 3 � Lời giải  π  � �= + �π   2   π Điêu kiện � �= + �π(� ∈ Z)  3    � �= π + �π� 6 Đặt P là vế trái của đẳng thức cần chứng minh. Với điều kiện trên, áp dụng công thức cộng của tang, ta được � π� � π� Trang 115 Nguyễn Quốc Dương π √ tan � + tan tan(tan � + 3) π� 3 • tan � · tan � + = tan � π = 1 − √3 tan � � 3 1 − tan � · tan 3 Chuyên đề Toán 10 HKII � π 2π √ √ Å ã tan � + tan tan � + tan 3 3 tan � + π� 2π tan � − 3 · 3 = √ √ • tan � + ·tan � + = · = π 2π 3 3 1 − 3 tan � 1 + 3 tan � 1 − tan � tan 1 − tan � tan � 3 3 2 tan � − 3 1 − 3 tan2 � � 2π √ √ Å ã tan � + tan tan � − 3 2π tan2 � − 3 tan � 3 √ √ · tan � = • tan � + tan � = · tan � = � 2π 3 1 + 3 tan � 1 + 3 tan � 1 − tan � tan 3 Suy ra √ √ tan2 � − 3 tan � tan2 � − 3 3 tan2 � − 9 tan(tan � + 3) √ √ + = −3� + = P= 1 − 3 tan2 � 1 − 3 tan2 � 1 − 3 tan � 1 + 3 tan � � Bài 21. Chứng minh cos � − π� 3 � � cos � + π� Å ã √ √ 2 3π + cos � + � cos � + = (1 − 3). 6 4 4 � π� � 4 � Lời giải Vì Å ã Å Å ãã � �π � � π � �π � π 3π π� 3π cos � − = cos − � cos � + = sin − +� = sin − − � = − sin +� � 3 3 4 2 4 4 4 nên Å ã � � � �π � � �π � π� π� π� 3π π� cos � − · cos � + + cos � + · cos � + = cos − � · cos � + − sin − � · sin 3 4 6 4 3 4 3 � � �� π π �� −� + �+ = cos 4 � π3 π � + = cos 3 4 π π π π = cos cos − sin sin 3 4 3 4 √ √ 2− 6 = � 4 Bài 22. Chứng minh rằng � Lời giải cos(� − �) cot � cot � + 1 = . cos(� + �) cot � cot � − 1 �  � �= �π    � �= �π Điều kiện (� ∈ Z)�  � + � �= �π    � − � �= �π Với điều kiện trên ta có cos � · cos � +1 cos � · cos � + sin � · sin � cos(� − �) cot � cot � + 1 = = sin � · sin � = � cos � · cos � cot � cot � − 1 cos � · cos � − sin � · sin � cos(� + �) −1 sin � · sin � Trang 116 � Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 23. Chứng minh rằng sin(� − �) sin(� − �) sin(� − �) + + = 0. cos � cos � cos � cos � cos � cos � Nguyễn Quốc Dương � Lời giải  π  �= + �π   2   π Điều kiện � �= + �π(� ∈ Z) �  2    � �= π + �π 2 Với điều kiện trên ta có • sin(� − �) sin � · cos � − cos � · sin � = = tan � − tan � cos � cos � cos � cos � • sin(� − �) sin � · cos � − cos � · sin � = = tan � − tan �� cos � cos � cos � cos � • sin(� − �) sin � · cos � − cos � · sin � = = tan � − tan � cos � · cos � cos � · cos � sin(� − �) sin(� − �) sin(� − �) + + = tan � − tan � + tan � − tan � + tan � − tan � = 0� cos � cos � cos � cos � cos � cos � sin(� + �) sin(� − �) Bài 24. Chứng minh = tan2 � − tan2 �� cos2 �cos2 � � Lời giải  π  � �= + �π 2 (� ∈ Z)� Điều kiện π  � �= + �π 2 Với điều kiện trên ta có Vậy sin(� + �) sin(� − �) cos2 � cos2 � Bài 25. Chứng minh (sin � · cos � + cos � · sin �) · (sin � · cos � − cos � · sin �) cos2 � cos2 � 2 2 2 sin � · cos � − cos � · sin2 � = cos2 � cos2 � 2 = tan � − tan2 �� � = cos(� + �) cos(� − �) = 1 − tan2 �tan2 �. 2 2 cos �cos � � � Lời giải  π  � �= + �π 2 (� ∈ Z)� Điều kiện π  � �= + �π 2 Với điều kiện trên ta có cos(� + �) cos(� − �) cos2 � cos2 � (cos � · cos � − sin � · sin �) · (cos � · cos � + sin � · sin �) cos2 � cos2 � 2 2 2 cos � · cos � − sin � · sin2 � = cos2 � cos2 � 2 = 1 − tan � · tan2 �� = Bài 26. Rút gọn biểu thức D = � sin � + � cos �. � Lời giải ã Å √ � � • D = � sin � + � cos � = �2 + �2 √ sin � + √ cos � � �2 + �2 �2 + �2 Trang 117 � Nguyễn Quốc Dương Å Chuyên đề Toán 10 HKII ã2 Å ã2 � � � • Vì √ + √ = 1 nên tồn tại α ∈ R sao cho √ = cos α� √ = �2 + �2 �2 + �2 �2 + �2 �2 + �2 sin α� √ √ • Khi đó, D = �2 + �2 (sin � cos α + cos � sin α) = �2 + �2 sin(� + α)� � � √ Bài 27. Rút gọn biểu thức D = sin � − 3 cos �. � Lời giải Ç å √ � � � √ 1 3 π π π� D = sin � − 3 cos � = 2 sin � − cos � = 2 cos sin � − sin cos � = 2 sin � − � 2 2 3 3 3 � √ Bài 28. Rút gọn D = 3 cos 2� − sin 2� � Lời giải Ç√ å � � �π � √ 3 1 π π D = 3 cos 2�−sin 2� = 2 cos 2� − sin 2� = 2 cos cos 2� − sin sin 2� = 2 cos + 2� � 2 2 6 6 6 � √ Bài 29. Rút gọn biểu thức D = 3 sin 3� + cos 3� � Lời Ç giải å √ � � � 3 1 π π π� D=2 sin 3� + cos 3� = 2 cos sin 3� + sin cos 3� = 2 sin 3� + . � 2 2 6 6 6 � � √ π� π� Bài 30. Rút gọn biểu thức D = 3 sin � − + sin � + . 3 6 � Lời giải � �π �π � � � π� √ π� √ D = sin � + − 3 sin −� = sin � + − 3 cos +� 6 3 6 ñ √ 6 � � �ô 3 π� π 1 sin � + − cos +� = 2 2 6 2 6 � � �π �� π π� π = 2 cos sin � + − sin cos +� 6 3 6 �3 π π� = 2 sin � + + 6 3 � π� � = 2 sin � − 6 Bài 31. Rút gọn D = � Lời giải √ � π� 3 cos 2� + sin 2� + 2 sin 2� − ·. 6 D = = = = = = � Ç√ å � 3 1 π� 2 cos 2� + sin 2� + 2 sin 2� − 2 2 6 � � � π π� π 2 cos cos 2� + sin sin 2� + 2 sin 2� − 6� 6 �6 π� π� + 2 sin 2� − 2 cos 2� − 6 � 6 � � � π �� π + sin 2� − 2 cos 2� − 6 6 � √ π π� 2 2 sin 2� − + 6 � 4 � √ π � 2 2 sin 2� + 12 Bài 32. Rút gọn biểu thức D = cos 7� cos 5� − � Lời giải √ 3 sin 2� + sin 7� sin 5�. Trang 118 � Chuyên đề Toán 10 HKII D = cos 7� cos 5� − √ Nguyễn Quốc Dương √ 3 sin 2� + sin 7� sin 5� = cos(7� − 5�) − 3 sin 2� Ç å √ 3 1 = 2 cos 2� − sin 2� 2 2 � � π π = 2 cos cos 2� − sin sin 2� 3 �3 π� � = 2 cos 2� + 3 √ Bài 33. Rút gọn biểu thức D = sin 5� cos � + 3 cos 4� − cos 5� sin �. � Lời giải � √ √ π� D = (sin 5� cos � − cos 5� sin �) + 3 cos 4� = sin 4� + 3 cos 4� = 2 sin 4� + . 3 Bài 34. Rút gọn D = sin 4� cot 2� − cos 4�. � Lời giải π Điều kiện 2� �= �π� � ∈ Z ⇔ � �= + �π� � ∈ Z� 2 Với điều kiện trên ta có ä cos 2� Ä D = sin 4� cot 2� − cos 4� = 2 sin 2� · cos 2� · − 2 cos2 2� − 1 sin 2� ä Ä 2 = 2 cos 2� − 2 cos2 2� − 1 = 1� Bài 35. Rút gọn D = cos 6� tan 3� − sin 6�. � Lời giải π �π Điều kiện: � �= + � � ∈ Z. 6 3 Với điều kiện trên ta có sin 3� − sin 6� cos 3� cos 6� · sin 3� − sin 6� · cos 3� cos 3� sin(−3�) = − tan 3�� cos 3� � � � D = cos 6� tan 3� − sin 6� = cos 6� = = Bài 36. Rút gọn biểu thức D = � Lời giải   �= �      Điều kiện � �=      � = � tan 3� − tan � · 1 + tan � tan 3� π + �π  2  � = � �π π + �� ∈ Z ⇔  6 3 � = � π �π + 4 2 Với điều kiện trên ta có tan 3� − tan � = D= 1 + tan � tan 3� �π π + 6 3 � � ∈ Z� �π π + 4 2 sin 3� sin � − cos 3� cos � sin � sin 3� 1+ · cos � cos 3� Trang 119 = = sin 3� · cos � − sin � · cos 3� cos � · cos 3� cos � · cos 3� + sin � · sin 3� cos � · cos 3� sin 2� = tan 2�� cos 2� � � Nguyễn Quốc Dương Bài 37. Rút gọn D = Chuyên đề Toán 10 HKII tan 2� + 1 . 1 − tan 2� � Lời giải   π   � = 2� �= + �π � 2 (� ∈ Z) ⇔ Điều kiện: π   � = 2� �= + �π � 4 Với điều kiện trên ta có �π π + 4 2 (� ∈ Z). �π π + 8 2 sin 2� + cos 2� sin 2� +1 tan 2� + 1 cos 2� = = cos 2� D= cos 2� − sin 2� sin 2� 1 − tan 2� 1− cos 2� cos 2� Bài 38. Rút gọn biểu thức D = � Lời giải  2� �= 90◦ + �180◦     90◦ + � �= �180◦   ◦ √ � π� � � 2 sin 2� + 4 � = cot 2� + π � � √ π 4 2 cos 2� + 4 = cot(90◦ tan 2� + + �) · ◦ 1 + cot(90 − 2�) tan � ◦ 90 − 2� �= �180 (� ∈ Z) ⇔   ◦ ◦  � �= 90 + �180     1 + cot(90◦ − 2�) tan � Với điều kiện trên ta có Điều kiện sin 2� + cos 2� cos 2� − sin 2� = ® � �= 45◦ + �90◦ � �= 90◦ + �180◦ tan 2� + cot (90◦ + �) tan 2� − tan � D= = 1 + cot (90◦ − 2�) tan � 1 + tan 2� · tan � = = = Bài 39. Rút gọn D = 2 = 2 tan 2� − tan � · 1 − tan2 2�tan2 � � Lời giải  π  2� �= + �π   2  Điều kiện � �= π + �π  2    1 − tan2 2� tan2 � �= 0 Với điều kiện trên ta có D=  π  � �= + 4 (� ∈ Z) ⇔ π  � �= + 6 tan2 2� − tan2 � 1 − tan2 2� tan2 � � (� ∈ Z). sin 2� sin � − cos 2� cos � sin � sin 2� 1+ · cos � cos 2� sin 2� · cos � − sin � · cos 2� cos � · cos 2� cos � · cos 2� + sin � · sin 2� cos � · cos 2� sin � = tan �� cos � � �π 2 (� ∈ Z)� �π 3 tan 2� − tan � tan 2� + tan � · 1 + tan 2� tan � 1 − tan 2� tan � = tan(2� − �) · tan(2� + �) = = tan � tan 3�� Trang 120 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 40. Chứng minh rằng nếu cos(� + �) = 0 thì sin(2� + �) = sin �. � Lời giải Ta có cos(� + �) = 0 ⇔ cos � cos � − sin � sin � = 0 ⇔ cos � cos � = sin � sin � Khi đó sin(2� + �) = sin[(� + �) + �] = sin(� + �) cos � + cos(� + �) sin � = sin(� + �) cos � (�� cos(� + �) = 0) = (sin � cos � + cos � sin �) cos � = sin � cos2 � + cos � cos � · sin � = sin � cos2 � + sin � sin � · sin � = sin � cos2 � + sin � · sin2 � Ä ä = sin � · cos2 � + sin2 � = sin �� � Bài 41. Chứng minh nếu sin(2� + �) = 3 sin � thì tan(� + �) = 2 tan �. � Lời giải Ta có cos(� + �) = 0 ⇔ cos � cos � − sin � sin � = 0 ⇔ cos � cos � = sin � sin �� Khi đó sin(2� + �) = sin(2� + �) = sin [(� + �) + �] = sin(� + �) cos � + cos(� + �) sin � = sin(� + �) cos � (D� cos(� + �) = 0) = (sin � cos � + cos � sin �) cos � = sin �cos2 � + cos � cos � · sin � = sin �cos2 � + sin � sin � · sin � = sin �cos2 � + sin ��sin2 � = sin � · (cos2 � + sin2 �) = sin �� � Bài 42. Chứng minh rằng nếu tan � = 2 tan � thì sin(� + �) = 3 sin(� − �). � Lời giải  π  � �= + �π 2 (� ∈ Z)� Điều kiện π  � �= + �π 2 Theo giả thiết ta có tan � = 2 tan � ⇔ tan � − tan � = tan � sin � sin � sin � ⇔ − = cos � cos � cos � sin � sin � · cos � − cos � · sin � = ⇔ cos � · cos � cos � ⇔ sin � · cos � − cos � · sin � = cos � · sin � ⇔ sin � · cos � = 2 cos � · sin �� Đẳng thức cần chưng minh tương đương với (1) sin � · cos � + cos � · sin � = 3(sin � · cos � − cos � · sin �) Trang 121 Nguyễn Quốc Dương ⇔ 4 cos � · sin � = 2 sin � · cos � ⇔ sin � · cos � = 2 cos � · sin �� Chuyên đề Toán 10 HKII (2) Từ (1) ta thấy (2) hiển nhiên đúng. Vậy đẳng thức sin(2� + �) = sin � được chứng minh. � Bài 43. Chứng minh nếu sin � = sin � cos(� + �) thì 2 tan � = tan(� + �). � Lời giải π  � �= + �π 2 (� ∈ Z)� Diều kiện: π  � + � �= + �π 2 Với điều kiện trên ta có 2 tan � = tan(� + �) ⇔ tan(� + �) − tan a = tana sin � sin(� + � − �) = ⇔ cos(� + �) cos � cos � ⇔ sin � = sin � cos(� + �) (3)� Theo thiết đẳng thức (3) hiển nhiên đúng. Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh. � Bài 44. Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng tan A+tan B+tan C = tan A tan B tan C� � Lời giải Ta có ABC không vuông nên các góc A� B� C� A + B� 180◦ − C đều khác 90◦ . Do đó, tan A, tan B, tan C, tan(A + B), tan(180◦ − C) xác định. Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ − C � tan(A + B) = tan(180◦ − C) tan A + tan B ⇔ = − tan C 1 − tan A� tan B ⇔ tan A + tan B = − tan C(1 − tan A tan B) ⇔ tan A + tan B = − tan C + tan A tan B tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C� Bài 45. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có a) sin C = sin A cos B + sin B cos A. b) sin A = sin B cos C + sin C cos B. c) cos A = sin B sin C − cos B cos C. d) sin e) cos A B C B C = cos cos − sin sin · 2 2 2 2 2 A B C B C = sin cos + cos sin · 2 2 2 2 2 � Lời giải a) Chứng minh sin C = sin A cos B + sin B cos A� Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ C = 180◦ − (A + B) ï ò � sin C = sin 180◦ − (A + B) = sin(A + B) = sin A · cos B + cos A · sin B� Trang 122 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương b) Chứng minh sin A = sin B cos C + sin C cos B. Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A = 180◦ − (B + C) ï ò � sin A = sin 180◦ − (B + C) = sin(B + C) = sin B · cos C + cos B · sin C� c) Chứng minh cos A = sin B sin C − cos B cos C. Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A = 180◦ − (B + C) ï ò � cos A = cos 180◦ − (B + C) = − cos(B + C) = − (cos B · cos C − sin B · sin C) � cos A = sin B sin C − cos B cos C� A B C B C d) Chứng minh sin = cos cos − sin sin · 2 2 2 2 2 Ta có e) Chứng minh cos Ta có A B+C A + B + C = 180◦ ⇔ = 90◦ − 2 Å ã2 B C B C B C A + = cos cos − sin sin � � sin = cos 2 2 2 2 2 2 2 B C B C A = sin cos + cos sin · 2 2 2 2 2 A B+C A + B + C = 180◦ ⇔ = 90◦ − 2 Å ã2 B C B C B C A + = sin cos + cos sin � � cos = sin 2 2 2 2 2 2 2 Bài 46. Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng � Lời giải  π  A �= + �π 2 (� ∈ Z). Điều kiện π  B �= + �π 2 Với điều kiện trên ta có sin C = tan A + tan B. cos A� cos B � sin C = tan A + tan B ⇔ cos A cos B sin C sin A sin B = + cos A · cos B cos A cos B sin C sin A · cos B + cos A · sin B ⇔ = cos A · cos B cos A cos B ⇔ sin C = sin A · cos B + cos A · sin B ⇔ sin C = sin(A + B)� Bài 47. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có tan � Lời giải Ta có A+B+C =π ⇔ A+B π C = − 2 2 2 Trang 123 � A B B C C A tan +tan tan +tan tan = 1. 2 2 2 2 2 2 Nguyễn Quốc Dương ⇔ ⇔ ⇔ Å ã Å ã A B π C + = tan − 2 2 2 2 A B tan + tan 2 2 = cot C A B 2 1 − tan · tan 2 2 B A tan + tan 2 2 = 1 A C B 1 − tan · tan tan 2 2 2 C B C A B A tan · tan + tan · tan = 1 − tan · tan 2 2 2 2 2 2 A C B C A B tan · tan + tan · tan + tan · tan = 1� 2 2 2 2 2 2 � tan ⇔ Chuyên đề Toán 10 HKII √ � Bài 48. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng tan A + tan B + tan C ≥ 3 3. � Lời giải Ta có ABC không vuông nên các góc A� B� C� A + B� 180◦ − C đều khác 90◦ . Do đó, tan A, tan B, tan C, tan(A + B), tan(180◦ − C) xác định. Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ − C � tan(A + B) = tan(180◦ − C) tan A + tan B ⇔ = − tan C 1 − tan A� tan B ⇔ tan A + tan B = − tan C(1 − tan A tan B) ⇔ tan A + tan B = − tan C + tan A tan B tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C� Mặt khác, tam giác ABC nhọn nên tan A, tan B, tan C là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta được √ 3 tan A + tan B + tan C ≥ 3 tan A · tan B · tan C √ 3 ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3 tan A + tan B + tan C ⇔ (tan A + tan B + tan C)3 ≥ 27 (tan A + tan B + tan C) √ ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3� Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tan A = tan B = tan C > 0 ⇔ ΔABC đều. 2 2 � 2 Bài 49. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có tan A + tan B + tan C ≥ 9. � Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được Ä ä äÄ (tan A + tan B + tan C)2 = (1 · tan A + 1 · tan B + 1 · tan C)2 ≤ 12 + 12 + 12 tan2 A + tan2 B + tan2 C √ 1 1 � tan2 A + tan2 B + tan2 C ≥ (tan A + tan B + tan C)2 ≥ · (3 3)2 = 9� 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tan A = tan B = tan C > 0 ⇔ ΔABC đều. Bài 50. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có � Lời giải tan2 A B C + tan2 + tan2 ≥ 1� 2 2 2 Trang 124 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Với mọi tam giác ABC ta luôn có π C A+B = − 2Å 2 ã 2 Å ã A B π C + − tan = tan 2 2 2 2 A B tan + tan 2 2 = cot C A B 2 1 − tan · tan 2 2 B A tan + tan 2 2 = 1 A C B 1 − tan · tan tan 2 2 2 C B C A B A tan · tan + tan · tan = 1 − tan · tan 2 2 2 2 2 2 A C B C A B tan · tan + tan · tan + tan · tan = 1� 2 2 2 2 2 2 A+B+C =π ⇔ � ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Mặt khác, với mọi �� �� � ta luôn có bất đẳng thức �2 + �2 + �2 ≥ �� + �� + ��� Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi � = � = �. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được A B C A C B C A B + tan2 + tan2 ≥ tan · tan + tan · tan + tan · tan = 1� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A 2 B 2 C + tan + tan ≥ 1� � tan 2 2 2 tan2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tan A B C = tan = tan ⇔ ΔABC đều. 2 2 2 Bài 51. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng tan � Lời giải Với mọi tam giác ABC ta có • tan B C √ A + tan + tan ≥ 3. 2 2 2 A C B C A B · tan + tan · tan + tan · tan = 1� 2 2 2 2 2 2 • tan2 Suy ra � A B C + tan2 + tan2 ≥ 1� 2 2 2 ã Å A B C 2 A = tan2 + tan2 tan + tan + tan 2 2 2 2 A = tan2 + tan2 2 ≥ 1 + 2�1 = 3� Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tan Å ã B A C B C A B 2 C + tan + 2 tan · tan + tan · tan + tan · tan 2 2 2 2 2 2 2 2 B C + tan2 + 2�1 2 2 A B C = tan = tan ⇔ ΔABC đều. 2 2 2 Trang 125 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � DẠNG 2. Công thức nhân – Công thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức nhân ba • sin 2α = 2 sin α cos α  cos2 α − sin2 α  • cos 2α = 2cos2 α − 1 • tan 2α = • cos 3α = 4cos3 α − 3 cos α� • tan 3α = 1 − 2sin2 α� 2 tan α · 1 − tan2 α Công thức hạ bậc • cos2 � = • sin 3α = 3 sin α − 4sin3 α� 1 + cos 2� . 2 Công thức tính theo tan Đặt � = tan � , ta có 2 • sin � = 2� · 1 + �2 • tan � = 2� · 1 − �2 • sin2 � = 1 − cos 2� . 2 • cos � = • cos3 � = 1 3 cos 3a + cos �. 4 4 • cot � = • tan2 � = • sin3 � = 3 tan α − tan3 α � 1 − 3tan2 α 1 − cos 2� . 1 + cos 2� 3 1 sin � − sin 3�. 4 4 � 2 1 − �2 · 1 + �2 1 − �2 · 2� Nhóm 1. Tính giá trị biểu thức ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� 3 π Bài 1. Cho sin � = và < � < π. Tính sin 2�, cos 2� và tan 2�. 5 2 � Lời giải Å ã2 3 7 2 • cos 2� = 1 − 2 sin � = 1 − 2 = . 5 25 π < � < π � cos � < 0. 2 9 16 4 cos2 � = 1 − sin2 � = 1 − = � cos � = − . 25 25 5 Å ã 4 3 24 • sin 2� = 2 sin � cos � = 2 · − · =− 5 5 25 • • tan 2� = 24 sin 2� =− . cos 2� 7 5 3π Bài 2. Cho cos � = − và π < � < . Tính sin 2�, cos 2� và tan 2�. 13 2 � Lời giải Trang 126 � Chuyên đề Toán 10 HKII Å ã 5 2 119 −1=2 − −1=− . 13 169 • cos 2� = 2 cos2 � • tan 2� = sin 2� 120 =− � cos 2� 119 Nguyễn Quốc Dương 144 25 • sin2 � = 1 − cos2 � = 1 − = . 169 169 12 3π � sin � < 0 � sin � = − . π<�< 2 13 Å ã Å ã 12 5 120 • sin 2� = 2 sin � cos � = 2 · − · − = � 13 13 169 Bài 3. Cho tan � = 2 − � Lời giải √ �π � π � 3 và 0 < � < . Tìm sin � sin 2�, tan 2� và cos −� . 2 2 3 �  cos � > 0     � √  0 < � < π  tan � = 2 − √3 2 + 3 2 √ � . • � √ � cos � =   2  1 2 + 3 tan � = 2 − 3   =  cos � = 2 1 + tan2 � Õ � √  π 2 + 3  » 0 < � < 1− � √ 1 � 2 2 • 2 − 2 + 3� = � sin =  2 2 2  sin2 � = 1 − cos � 2 2 �� √ �2 √ 2 + 3 1 • sin 2� = 2 sin � · cos � = 2 · tan � · cos2 � = 2 · (2 − 3) · = . 2 2 • tan � = 2 − √ √ √ 3 4−2 3 2 tan � √ = . 3 �= ±1 � tan 2� = = 2 3 1 − tan � 1 − (2 − 3)2  π  0 < � < 2 √ ��= π. •  12  tan 2� = 3 3 √ √ 3 2 tan � 4−2 3 √ = = • tan � = 2 − 3 �= ±1 � tan 2� = . 2 2 3 1 − tan � 1 − (2 − 3) √ �π � �π 2 π� π • cos − � = cos − = cos = . 3 3 12 4 2 √ √ � �π � 3π π� � Bài 4. Cho tan � = 2 2 và π < � < · Tìm cos �, sin � + , cos và tan −� . 2 3 2 4 � Lời giải  cos � < 0     3π  π < � <  tan � = 2√2 1 2 � • � cos � = − . √   3  1 1  tan � = 2 2  √ =−  cos � = − 3 1 + (2 2)2 √ Å ã √ 1 2 2 • sin � = tan � · cos � = 2 2 · − =− . 3 3 Trang 127 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII √ √ √ Å ã √ 3 2 3 π� π 2 2 1 1 π • sin � + = sin � · cos + cos � · sin = − · + − · =− − . 3 3 3 3 2 3 2 3 6   � 3π π � 3π π    < <   < < √   2 2 4   2 2 4 à � 2 6 1 1 � cos = − • � � cos � = −   1+ 2 6 3   �   3   cos = −  cos2 � = 1 − cos � 2 2 2 2 π √ √ �π � tan − tan � 3π 1−2 2 π 4 2 9 4 √ = • π<�< = � � �= � tan −� = − . π 2 2 4 7 7 1+2 2 1 + tan · tan � 4 � Bài 5. Cho cos 2� = � Lời giải � π� � π� 4 π π và < � < . Tìm sin �� cos �� sin � + � cos 2� − . 5 4 2 3 4 4 1+ 1 + cos 2� 5 = 9. • cos2 � = = 2 2 10 9 1 • sin2 � = 1 − cos2 � = 1 − = . 10 10 √ √ 10 π π 3 10 • < � < � sin � > 0, cos � > 0 � sin � = , cos � = . 4 2 10 10 3 • sin 2� = 2 sin � · cos � = . 5 √ √ √ √ √ � 10 1 3 3 10 π� π π (3 3 + 1) 10 • sin � + = sin � · cos + sin · cos � = · + · = . 3 3 3 10 2 2 10 20 √ √ √ � 2 2 3 π� π π 4 7 2 • cos 2� − = cos 2� · cos + sin · sin 2� = · + · = . 4 4 4 5 2 2 5 10 Bài 6. Cho cos 2� = � Lời giải 3π • <�<π� 4 � π� 3 3π và < � < π Tìm: sin �� cos �� tan � − · 5 4 5 ® sin � > 0 � � cos � < 0� 3 √ 1+ 1 + cos 2� 4 2 5 5 2 • cos � = = = � cos � = − . 2 2 5 5 √ 5 4 1 2 2 • sin � = 1 − cos � = 1 − = � sin � = . 5 5 5 √ 5 sin � 5√ = − 1 . • tan � = = cos � 2 2 5 − 5 1 √ π � � − 3 − tan � − tan π 3 = 2 √ = −8 − 5√3. = • tan � − π 3 3 1 + tan � · tan 1− 3 2 Bài 7. Cho sin � + cos � = � Lời giải √ 2� Tính: sin 2� và cos 2�� Trang 128 � Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 8. Cho tan � = 2� Tính: cos 2�� sin 2�� tan 2�� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 9. Cho tan � + cot � = 3� Tính D = cos 4�� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 10. Cho cot(45◦ + �) = 2� Tính D = cos(270◦ + 4�)� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. Cho sin �� cos � = � Lời giải √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 3 π tan � − cot � và 0 < � < � Tính D = � 4 4 tan � + cot � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 3 + cos 4� π � Tính giá trị của biểu thức: D = + sin3 �� cos � − cos3 �� sin �� Bài 12. Cho � = 48 4 � Lời giải Trang 129 � � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 13. Tính giá trị của biểu thức: D = sin 6◦ � cos 12◦ � cos 24◦ � cos 48◦ � � Lời giải Phân tích: Nhận thấy các cung gấp đôi lần nhau nên gợi ta sử dụng công thức nhân đôi theo sin 2α = 2 sin α cos α� Nhưng thiếu 2 cos 6◦ � nên gợi ta nhân thêm 2 cos 6◦ và có lời giải sau: (2 cos 6◦ � sin 6◦ )� cos 12◦ � cos 24◦ � cos 48◦ 2 cos 6◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ sin 12 � cos 12 � cos 24 � cos 48 (2 sin 12 � cos 12◦ )� cos 24◦ � cos 48◦ = 2 cos 6◦ 4 cos 6◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ sin 24 � cos 24 � cos 48 (2 sin 24 � cos 24 )� cos 48◦ = 4 cos 6◦ 8 cos 6◦ sin 48◦ � cos 48◦ 2 sin 48◦ � cos 48◦ = 8 cos 6◦ 16 cos 6◦ ◦ ◦ sin 96 sin(90 + 6◦ ) = 16 cos 6◦ 16 cos 6◦ ◦ cos 6 1 = � ◦ 16 cos 6 16 D = sin 6◦ � cos 12◦ � cos 24◦ � cos 48◦ = = = = = = � Bài 14. Tính giá trị của biểu thức: D = 8 tan 18◦ cos 18◦ cos 36◦ cos 72◦ cos 144◦ � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � sin 6◦ sin 42◦ sin 66◦ sin 78◦ � Bài 15. Tính giá trị của biểu thức: D = � Lời giải D = sin 6◦ sin 42◦ sin 66◦ sin 78◦ = sin 6◦ sin(90◦ − 48◦ ) sin(90◦ − 24◦ ) sin(90◦ − 12◦ ) = � Bài 16. Tính giá trị của biểu thức: D = sin 10◦ sin 50◦ sin 70◦ � � Lời giải � sin 20◦ sin 40◦ sin 80◦ � Bài 17. Tính giá trị của biểu thức: D = � Lời giải Trước hết, ta cần chứng minh: sin 3α = 4 sin α sin(60◦ − α) sin(60◦ + α)� ◦ ◦ VP = 4 sin α sin(60 − α) sin(60 + α) = 4 sin α Ç√ 3 1 cos α − sin α 2 2 Trang 130 å Ç√ 3 1 cos α − sin α 2 2 å Chuyên đề Toán 10 HKII = 4 sin α Å ã 3 1 cos2 α − sin2 α = sin α(3cos2 α − sin2 α) 4 4 Nguyễn Quốc Dương = sin α[3(1 − sin2 α) − sin2 α] = sin α(3 − 4 sin2 α) = 3 sin α − 4sin3 α = sin 3α = VP (đpcm). Áp dụng công thức: sin 3α = 4 sin α sin(60◦ − α) sin(60◦ + α)� Ta có: D = sin 20◦ sin 40◦ sin 80◦ = ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Lưu ý: Có thể áp dụng trực tiếp công thức tích thành tổng (học phần sau) để tính D� � Bài 18. Tính giá trị của biểu thức: D = cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦ � � Lời giải Trước hết, ta cần chứng minh: cos 3α = 4 cos α cos(60◦ − α) cos(60◦ + α)� VT = 4 cos α cos(60◦ − α) cos(60◦ + α)� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Áp dụng công thức: cos 3α = 4 cos α cos(60◦ − α) cos(60◦ + α)� Ta có: D = cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦ = Lưu ý: Có thể áp dụng trực tiếp công thức tích thành tổng (học phần sau) để tính D� Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: D = cos � Lời giải 2π 3π 4π 5π 6π 7π π cos cos cos cos cos cos � 15 15 15 15 15 15 15 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 20. Tính giá trị của: D = � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � sin 2◦ sin 18◦ sin 22◦ sin 38◦ sin 42◦ sin 58◦ sin 62◦ sin 78◦ sin 82◦ � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 131 Nguyễn Quốc Dương Bài 21. Tính: D = � Lời giải 3 1 − � sin 10◦ cos 10◦ = = � Lời giải � √ D = Bài 22. Tính: D = Chuyên đề Toán 10 HKII √ √ 3 1 cos 10◦ − 3 sin 10◦ − = ◦ ◦ sin cos 10√ sinå10◦ cos 10◦ Ç10 1 3 4 cos 10◦ − sin 10◦ 2 2 4(sin 30◦ cos 10◦ − cos 30◦ sin 10◦ ) = 2 sin 10◦ cos 10◦ sin 20◦ ◦ ◦ ◦ 4 sin(30 − 10 ) 4 sin 20 = = 4� ◦ sin 20 sin 20◦ √ 3 1 − � sin 20◦ cos 20◦ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 23. Tính: D = tan2 15◦ + tan2 75◦ � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � D = tan2 15◦ + tan2 (90◦ − 15◦ ) = tan2 15◦ + cot2 15◦ Å ã sin 15◦ cos 15◦ 2 = (tan 15◦ + cot 15◦ )2 − 2 tan 15◦ cot 15◦ = + −2 cos 15◦ sin 15◦ Ç 2 å2 sin 15◦ + cos2 15◦ 1 = −2= −2 ◦ ◦ ◦ sin 15 cos 15 (sin 15 cos 15◦ )2 4 4 4 = −2= − 2 = − 2 = 16 − 2 = 14� 2 2 1 ◦ ◦ ◦ (2 sin 15 cos 15 ) (sin 30 ) 4 Bài 24. Tính: D = tan � Lời giải 2 (22� 5◦ ) + tan 2 (67� 5◦ )� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 25. Tính: D = cos2 (7� 5◦ ) − cos4 (7� 5◦ )� � Lời giải D = cos2 (7� 5◦ ) − cos4 (7� 5◦ ) = cos2 (7� 5◦ )�[1 − cos2 (7� 5◦ )] = cos2 (7� 5◦ )� sin2 (7� 5◦ ) = .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 132 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Bài 26. Tính: D = cos 36◦ − cos 72◦ � � Lời giải (cos 36◦ − cos 72◦ )(cos 36◦ + cos 72◦ ) cos2 36◦ − cos2 72◦ D= = cos 36◦ + cos 72◦ cos 36◦ + cos 72◦ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 27. Không sử dụng máy tính, hãy tính: sin 18◦ và cos 18◦ � � Lời giải Ta có: 90◦ = 54◦ + 36◦ ⇔ 90◦ = 3�18◦ + 2�18◦ ⇔ 2�18◦ = 90◦ − 3�18◦ (lấy cos hai vế) � cos(2�18◦ ) = cos(90◦ − 3�18◦ ) ⇔ 1 − 2 sin2 18◦ = 3 sin 18◦ − 4sin3 18◦ ⇔ 4sin3 18◦ − 2 sin2 18◦ − 3 sin 18◦ + 1 = 0 và đặt � = sin 18◦ > 0 thì phương trình trở thành √ −1 ± 5 4� 3 − 2� 2 − 3� + 1 = 0 ⇔ (� − 1)(4� 2 + 2� − 1) = 0 ⇔ � = 1 hoặc � = � √ 4 √ 5+ 5 −1 + 5 Do 1 �= � = sin 18◦ > 0� nên � = sin 18◦ = � cos 18◦ = � 4 8 Nhận xét. Ta có thể sử dụng kết quả này để tính sin 36◦ và cos 36◦ �. Bài 28. Tính: D = sin 36◦ � � Lời giải � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 29. Tính: D = cos 36◦ � � Lời giải � Nhóm 2. Chứng minh đẳng thức cos4 � Bài 1. � Lời giải 4 − sin � = cos 2�� ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Trang 133 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 2. sin 4� = 4 sin � cos �(1 − 2 sin2 �)� � Lời giải 2 Bài 3. cos2 2� − sin � = cos � cos 3�� � Lời giải Bài 4. cos 4� = 8cos4 � − 8cos2 � + 1� � Lời giải 4 Bài 5. 8sin � = 3 − 4 cos 2� + cos 4�� � Lời giải � � � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. sin4 + cos4 � − 6cos2 � sin2 � = cos 4�� � Lời giải � Trang 134 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. Bài 7. sin4 + cos4 � = � Lời giải 3 1 + cos 4�� 4 4 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 8. sin6 � + cos6 � = � Lời giải 5 3 + cos 4�� 8 8 Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 15 1 cos 2� + cos 6�� Bài 9. sin6 � − cos6 � = 16 16 � Lời giải � � 1 Bài 10. sin6 − cos6 = cos �(sin2 � − 4)� 2 2 4 � Lời giải Bài 11. cos8 � − sin8 � = � Lời giải 7 1 cos 2� + cos 6�� 8 8 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 135 Nguyễn Quốc Dương Bài 12. cos3 � cos 3� − sin3 � sin 3� = � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII 3 (3 + cos 4�) − 2� 4 � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 · Bài 13. tan � + cot � = sin 2� � Lời giải 2 · Bài 14. cot α − tan α = tan 2α � Lời giải Bài 15. cot � − tan � = 2 cot 2�� � Lời giải Bài 16. (tan 2� − tan �) cos 2� = tan �� � Lời giải �π �� cos � = cot − Bài 17. 1 − sin � 4 2 � Lời giải � � � � Trang 136 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � 1 + cos � �tan2 = 1� 1 − cos � 2 � Lời giải Bài 18. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �π π� �� 2 + + cot + = Bài 19. tan 4 2 4 2 cos � � Lời giải �π Bài 20. tan � Lời giải �π 4 � + � − tan �π 4 � − � = 2 tan 2�� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 21. cos3 � sin � − sin3 � cos � = � Lời giải 1 sin 4�� 4 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3 Bài 22. cos 3�sin3 � + sin 3�cos3 � = sin 4�� 4 � Lời giải � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 137 � Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 23. tan � tan � Lời giải �π 3 � − � tan �π 3 � + � = tan 3�� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 24. tan � + tan � + � Lời giải π� 3 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 2π + tan � + = 3 tan 3�� 3 � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �π �� 1 + sin � = cot − � Bài 25. cos � 4 2 � Lời giải Bài 26. tan 2� + � Lời giải 2 1 − 2 sin � 1 = � cos 2� 1 − sin 2� …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 sin 2� + sin 4� = tan 2� cos �. 2(cos � + cos 3�) � Lời giải � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 27. Trang 138 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 + 2 cos 4� = tan2 � + cot2 �. 1 − cos 4� � Lời giải Bài 28. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 1 − 2 sin � 1 − tan � = . 1 + sin 2� 1 + tan � � Lời giải Bài 29. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 � + 1 tan = tan �. cos � 2 � Lời giải Bài 30. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. �π � 1 + sin 2� = tan +� . Bài 31. cos 2� 4 � Lời giải � 2 sin � − sin 2� = tan2 . Bài 32. 2 sin � + sin 2� 2 � Lời giải � � Trang 139 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII 1 − 2 sin2 � �π � � = 1. 2 tan + � cos2 +� 4 4 � Lời giải Bài 33. �π …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � sin � + sin � 2 Bài 34. � = tan 2 . 1 + cos � + cos 2 � Lời giải 1 − cos � + cos 2� = cot �. sin 2� − ���� � Lời giải Bài 35. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 1 + cos 4� = sin 4�. cot � − tan � 2 � Lời giải Bài 36. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � sin 2� cos � = tan . (1 + cos 2�)(1 + cos �) 2 � Lời giải � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 37. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 + 2 cos 4� . Bài 38. cot2 � + tan2 � = 1 − cos 4� � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 140 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 cot 2� − 1 − cos 8� cot 4� = sin 8�. 2 cot 2� � Lời giải Bài 39. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 40. tan 2� + � Lời giải 2 1 1 − 2 sin � = . cos 2� 1 − sin 2� Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. sin 2� − cos 2� 1 = . Bài 41. tan 4� − cos 4� sin 2� + cos 2� � Lời giải cos � + sin � cos � − sin � − = 2 tan 2�. cos � − sin � cos � + sin � � Lời giải Bài 42. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4 sin � + sin 2� − tan 2� − 1 � Lời giải Bài 43. cos4 � = cos 2�. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 141 � Nguyễn Quốc Dương Bài 44. Å 1 + tan � + � Lời giải 1 cos � ãÅ 1 + tan � − 1 cos � ã …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. = sin 2� . cos2 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Nhóm 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� sin 2� − 2 sin � � Bài 1. A = + tan2 . sin 2� + 2 sin � 2 � Lời giải …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 2. B = � Lời giải cos3 � 3 − cos 3� sin � + sin 3� + . cos � sin � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 Bài 3. C = 4 sin4 � + 2 cos 2� − cos 4�. 2 � Lời giải Bài 4. D = � Lời giải 2 � tan � − 1 cot � + cos 4� cot 2� + sin 4�. 2 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 5. E = 3 cos 2� + 5 sin4 � + 4 sin2 � cos2 � − cos4 �. � Lời giải Trang 142 � Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài 6. F = sin4 � + sin4 � Lời giải � Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã Å π� 3π �+ . + sin4 � + sin4 � + 4 4 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Nhóm 4. Biến đổi thành tích số ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. D = (2 sin � − 1)(2 cos � + sin �) − sin 2� + cos �. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Bài 2. D = (2 sin � − 1)(2 cos 2� + 2 sin � + 3) − 4 sin2 � + 1. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Bài 3. D = (2 sin � + 1)(3 cos 4� + 2 sin � − 4) + 4 cos2 � − 3. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Bài 4. D = 1 + sin � + cos � + sin 2� + cos 2�. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ä Ä Bài 5. D = 1 + sin2 � cos � − sin 2� + (1 + cos2 �) sin � − 1. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Bài 6. D = cos3 � + cos2 � + 2 sin � − 2. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Trang 143 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. Bài 7. D = cos 2� − sin 2� + 3 sin � + cos � − 2. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. � DẠNG 3. Công thức biến đổi Công thức biến đổi tổng thành tích • cos � + cos � = 2 cos �+� �−� · cos . 2 2 • cos � − cos � = −2 sin • sin � + sin � = 2 sin • sin � − sin � = 2 cos Hệ quả √ �−� �+� · sin . 2 2 �+� �−� · cos . 2 2 �−� �+� · sin . 2 2 • tan � + tan � = sin(� + �) . cos � · cos � • cot � + cot � = sin(� + �) . sin � · sin � • tan � − tan � = • cot � − cot � = � � π� √ π� 2 sin α + = 2 cos α − . 4 4 � � √ √ π� π� • sin α − cos α = 2 sin α − = − 2 cos α + . 4 4 • sin α + cos α = Công thức biến đổi tích thành tổng 1 [cos(� − �) + cos(� + �)]. 2 1 • sin � sin � = [cos(� − �) − cos(� + �)]. 2 • cos � cos � = • sin � cos � = sin(� − �) . cos � · cos � sin(� − �) . sin � · sin � 1 [sin(� − �) + sin(� + �)]. 2 Nhóm 1. Biến đổi và rút gọn cơ bản ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Biến đổi thành tích các biểu thức sau • D = cos 3� + cos � …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = cos 4� − cos � …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin 3� + sin 2� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 144 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương • D = sin 5� − sin � …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin(� + �) − sin(� − �) …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = cos � + sin 2� − cos 3� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin 3� − sin � + sin 2� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin � + sin 2� + sin 3� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = cos � + cos 2� + cos 3� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. √ • D = 2 sin 2� + cos 5� − cos 9� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin 3� − 2 sin 2� + sin � …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = cos2 � + cos2 2� + cos2 3� − 1 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 145 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII 3 2 …………………………………………………………………………………. • D = sin2 � + sin2 2� + sin2 3� − …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin2 3� − sin2 2� − sin2 � …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin2 � − cos2 2� − cos2 3� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin2 � − 2 sin2 2� + sin2 3� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Å ã 21π 2 2 + 10π • D = sin 4� − cos 6� − sin 2 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. • D = sin2 3� − cos2 4� − sin2 5� + cos2 6� …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. 3 2 …………………………………………………………………………………. • D = cos2 � + cos2 2� + cos2 3� + cos2 4� − …………………………………………………………………………………. Trang 146 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ã Å π 9� 5π • D = cos 3� + sin 7� − 2 sin2 + + 2 cos2 4 2 2 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau sin 5� − sin 3� 2 cos 4� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. cos 4� − cos 2� sin 4� + sin 2� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin(� + �) sin � + sin � …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin � + sin � cos � + cos � …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. cos � + sin � cos � − sin � …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 147 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII sin2 4� − sin2 2� cos2 � − cos2 2� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin2 4� 2 cos � + cos 3� + cos 5� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin 2� tan � + cot 2� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. tan 3� + tan 5� cot 3� + cot 5� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. tan 2� + cot 2� 1 + tan 2� · tan 4� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. 1 + sin 2� + cos 2� 1 + sin 2� − cos 2� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 148 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương 1 + sin 4� − cos 4� 1 + cos 4� + sin 4� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin 2� + 2 sin 3� + sin 4� cos 3� + 2 cos 4� + cos 5� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin � + sin 4� + sin 7� cos � + cos 4� + cos 7� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. cos 2� − sin 4� − cos 6� cos 2� + sin 4� − cos 6� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin 4� + sin 5� + sin 6� cos 4� + cos 5� + cos 6� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. cos 7� − cos 8� − cos 9� + cos 10� sin 7� − sin 8� − sin 9� + sin 10� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 149 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII 1 + cos � + cos 2� + cos 3� 2 cos2 � + cos � − 1 …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. 2(sin 2� + 2 cos2 � − 1) cos � − sin � − cos 3� + sin 3� …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. sin(� + �) − sin � cos(� + �) + cos � − sin(� + �) + sin � cos(� − �) − cos � …………………………………………………………………………………. • D= …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Bài 3. Biến đổi thành tổng 2π π sin 5 5 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin 5� cos 3� ……………………………………. ……………………………………. • D = sin(� + �) cos(� − �) ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. π 3π cos 4 6 ……………………………………. • D = sin ……………………………………. ……………………………………. • D = sin(� + 30◦ ) cos(� − 30◦ ) ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. 7π π cos • D = sin 12 12 ……………………………………. ……………………………………. • D = 2 sin � sin 2� sin 3� Trang 150 ……………………………………. ……………………………………. Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = 8 cos � sin 2� sin 3� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • 4 cos(� − �) cos(� − �) cos(� − �) ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. � � π� π� sin � − cos 2� • D = sin � + 6 6 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: ……………………………………. • D = cos 11� cos 3� − cos 17� cos 9� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin � sin(60◦ − �) sin(60◦ + �) ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin 18� cos 13� − sin 9� cos 4� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = 8 cos � cos(60◦ − �) cos(60◦ + �) + 1 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin � sin 3� + sin 4� sin 8� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. 1 sin 12� 4 ……………………………………. • D = cos � cos 2� sin 3� − ……………………………………. • D = sin 2� sin 6� − cos � cos 3� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = 4 sin 2� sin 5� sin 7� − sin 4� • D = cos 3� cos 6� − cos 4� cos 7� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. Trang 151 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. Nguyễn Quốc Dương 1 cos 12� 4 ……………………………………. • D = sin 2� sin 6� cos 4� + ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. 1 • D = sin � sin 2� sin 3� − sin 4� 4 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. �π � �π � • D = 4 cos � sin + � sin −� − 6 6 cos 2� Chuyên đề Toán 10 HKII ……………………………………. ……………………………………. � 3� • D = cos cos − sin � sin 3� − 2 2 sin 2� sin 3� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. 3� � 5� 7� cos + sin cos + • D = sin 2 2 2 2 sin 2� cos 7� ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = cos 2� + cos 4� + cos 6� − 4 cos � cos 2� cos 3� − 2 ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. • D = sin 4� sin 10� − sin 11� sin 3� − sin 7� sin � ……………………………………. ……………………………………. Nhóm 2. Tính giá trị của biểu thức ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� cos 7� + cos 4� + cos � 1 1 Bài 1. Cho = . Tính giá trị của biểu thức D = cos 8�. sin 7� + sin 4� + sin � 2 23 � Lời giải Ta có cos 7� + cos 4� + cos � 1 1 (cos 7� + cos �) + cos 4� = ⇔ = sin 7� + sin 4� + sin � 2 2 (sin 7� + sin �) + sin 4� 2 cos 4� · cos 3� + cos 4� 1 ⇔ = 2 sin 4� · ���3� + sin 4� 2 cos 4� (2 cos 3� + 1) 1 ⇔ = sin 4� (2 cos 3� + 1) 2 1 ⇔ cot 4� = 2 1 1 ⇔ = tan 4� 2 ⇔ tan 4� = 2� 1 1 1 1 = . Mà 1 + ���2 4� = � cos2 4� = = 2 2 2 5 cos 4� 1 + ��� 4� 1+2 23 1 1 2 �D= cos 8� = − . Mà cos 8� = 2 cos 4� − 1 = − 25 23 25 Trang 152 � Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 2. Cho sin 2� = � Lời giải Nguyễn Quốc Dương 1 π π sin � + sin 2� + sin 3� và < � < . Tính giá trị của biểu thức D = . 3 4 2 cos � + cos 2� + cos 3� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. √ ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � π� � 3 và 0 < � < π . Tính giá trị của biểu thức D = 2 sin � + − 2 6 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 1 + sin 4� − cos 4� = Bài 3. Cho 1 + sin 4� + cos 4� cos �. � Lời giải � 1 1 1 1 + + + = 7. Tính giá trị của biểu thức D = cot 4�. Bài 4. Cho tan2 � cot2 � sin2 � cos2 � � Lời giải Ta có 1 1 1 1 1 1 ���2 � + 1 2 2 � + tan � + + + + + + = 7 ⇔ cot = 7 ⇔ cos2 � cos2 � tan2 � cot2 � sin2 � sin2 � sin2 � sin2 � + 1 =7 cos2 � Trang 153 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Không sử dụng máy tính. Hãy tính D = sin 20◦ sin 40◦ sin 80◦ . � Lời giải D = sin 20◦ sin 40◦ sin 80◦ 1 = (cos 20◦ − cos 60◦ ) · sin 80◦ 2 1 1 1 = · (sin 100◦ + sin 60◦ ) − sin 80◦ 2 2 √ 4 3 1 = (sin 100◦ − sin 80◦ ) + 4 √8 3 1 = (cos 90◦ · sin 10◦ ) + 2 8 √ 3 = � 8 Bài 6. Không sử dụng máy tính. Hãy tính D = � Lời giải ◦ ◦ ◦ � cos 10◦ cos 30◦ cos 50◦ cos 70◦ . ◦ D = cos 10 cos 30 cos 50 cos 70 = √ 3 cos 10◦ · (cos 70◦ · cos 50◦ ) 2 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � 1 − 4 sin 70◦ . Bài 7. Không sử dụng máy tính. Hãy tính D = sin 10◦ � Lời giải Trang 154 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � 4π 6π 8π 2π + cos + cos + cos . Bài 8. Không sử dụng máy tính. Hãy tính D = cos 5 5 5 5 � Lời giải Ta có π 2π π 4π π 6π π 8π π sin · D = cos sin + cos sin + cos sin + cos sin 5 5 5 5 5 5 5 5 5 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � 2π 3π π + cos . Bài 9. Không sử dụng máy tính. Hãy tính D = cos − cos 7 7 7 � Lời giải Ta có π 2 sin · D = 7 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � π 3π 5π Bài 10. Rút gọn D = 2 sin � (cos � + cos 3� + cos 5�). Tính A = cos + cos + cos . 7 7 7 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 155 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .................................................................................................... .................................................................................................... � π 3π 5π 1 − cos 2� . Tính B = tan2 + tan2 + tan2 . Bài 11. Chứng minh tan � = sin 2� 12 12 12 � Lời giải .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Nhóm 3. Chứng minh đẳng thức ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� sin � − sin 3� + sin 5� Bài 1. Chứng minh rằng: = tan 3� cos � − cos 3� + cos 5� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 2� + sin 4� + sin 6� = tan 4� Bài 2. Chứng minh rằng: cos 2� + cos 4� + cos 6� � Lời giải Bài 3. Chứng minh rằng: � Lời giải cos � + cos 4� + cos 7� = cot 4� sin � + sin 4� + sin 7� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Chứng minh rằng: � Lời giải � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 5� − sin � = 2 sin 4� cos 4� + cos 2� Trang 156 � Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 5. Chứng minh rằng: � Lời giải Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 3� sin 2� + 2 sin 3� + sin 4� = cos 3� + 2 cos 4� + cos 5� cos 4� � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin � + ���3� + sin 5� + sin 7� = tan 4� Bài 6. Chứng minh rằng: cos � + ���3� + cos 5� + cos 7� � Lời giải cos 7� − cos 8� − cos 9� + cos 10� 17� Bài 7. Chứng minh rằng: = cot . sin 7� − sin 8� − sin 9� + sin 10� 2 � Lời giải Bài 8. Chứng minh rằng: � Lời giải sin � + sin 2� = tan � 1 + cos � + ���2� � � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 2� − cos � = cot � Bài 9. Chứng minh rằng: 1 − sin � − cos 2� � Lời giải 1 + sin 2� + cos 2� · tan � = 1 Bài 10. Chứng minh rằng: 1 + sin 2� − cos 2� � Lời giải Trang 157 � � Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. Chứng minh rằng: � Lời giải Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 3� + sin � · (tan � + cot �) = 4 cos � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cos 3� + sin 2� − cos � Bài 12. Chứng minh rằng: = −2 cos � 2 − 2 cos2 � − sin � � Lời giải 1 + cos � + cos 2� + cos 3� = 2 cos � Bài 13. Chứng minh rằng: 2 cos2 � + cos � − 1 � Lời giải Bài 14. Chứng minh rằng: � Lời giải 2 cos2 � − 1) 2(sin 2� + 1 = cos � − sin � − cos 3� + sin 3� sin � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 15. Chứng minh rằng: � Lời giải 2 � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 4� = 4 sin2 � cos � 2 cos � + cos 3� + cos 5� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 158 � Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 16. Chứng minh rằng: � Lời giải sin2 4� − sin2 2� = −4 cos 3� cos � cos2 � − cos2 2� Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. sin 2� Bài 17. Chứng minh rằng: · (tan � + cot �) = 2 sin 2� tan � + cot 2� � Lời giải Bài 18. Chứng minh rằng: � Lời giải 2 sin 2� − 1 cos 2� − sin 4� − cos 6� = cos 2� + sin 4� − cos 6� 2 sin 2� + 1 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 19. Chứng minh rằng: � Lời giải � Lời giải � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 1 sin 2� · sin � + cos 5� · cos 2� = � sin 11� + sin 5� 4 sin 4� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 20. Chứng minh rằng: � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � 1 + cos 2� + cos 4� + cos 6� = 2 cot 2�� sin 2�(1 + cos 2� − 2 sin2 2�) ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 159 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Bài 21. Chứng minh rằng: � Lời giải 8 sin � · cos � · cos(30◦ + 2�) · cos(30◦ − 2�) = sin 6�� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 22. Chứng minh rằng: � Lời giải � Lời giải � Lời giải sin2 � + sin2 � Lời giải � 1 1 cos 4� − � 2 4 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � �π � �π � 3 − � + sin � · sin −� = � 3 3 4 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 25. Chứng minh rằng: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. cos(2� + 60◦ ) · cos(2� − 60◦ ) = ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 24. Chứng minh rằng: � 2 sin 2�(cos � + cos 3�) − sin 5� = sin 3�� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 23. Chứng minh rằng: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. (sin � + cos �)2 − cos 4� = 4 sin 2� · sin(� + 15◦ ) · cos(� − 15◦ )� Trang 160 � Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 26. Chứng minh rằng: sin � sin(� − �) + sin � sin(� − �) + sin � sin(� − �) = 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 27. Chứng minh rằng: cos2 � − 2 cos � cos � cos(� + �) + cos2 (� + �) = sin2 �. � Lời giải Bài 28. Chứng minh rằng: sin8 � − cos8 � = � Lời giải 7 1 cos 2� + cos 6�. 8 8 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Các bài tập sau đều có giả thiết: Tam giác ABC có ba góc đều nhọn: Bài 1. Chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C = 4 cos � Lời giải A B C cos cos . 2 2 2 A+B A−B C C cos + 2 sin cos 2 2 2 2 C A−B C C = 2 cos cos + 2 sin cos 2 Å 2 2 2 ã C A−B A+B = 2 cos cos + cos 2 2 2 A B C = 4 cos cos cos = V P� 2 2 2 V T = (sin A + sin B) sin C = 2 sin Bài 2. Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. � Lời giải Trang 161 � Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 3. Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin � Lời giải V T = (cos A + cos B) + cos C = 2 cos B C A sin sin . 2 2 2 � C A+B A−B cos + 1 − 2 sin2 2 2 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 4. Chứng minh cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C. � Lời giải VT = cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 cos(A + B) cos(A − B) + 2 cos2 C − 1. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Chứng minh sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C. � Lời giải VT = sin2 A + sin2 B + sin2 C = 1 − cos 2A 1 − cos 2B + + 1 − cos2 C. 2 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 6. Chứng minh cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C. � Lời giải 1 + cos 2A 1 + cos 2B VT = cos2 A + cos2 B + cos2 C = + + cos2 C. 2 2 Bài 7. Chứng minh sin2 A B C A B C + sin2 + sin2 = 1 − 2 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 � Lời giải A B C C 1 − cos A 1 − cos B VT = sin2 + sin2 + sin2 = + + sin2 . 2 2 2 2 2 2 Trang 162 � Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 8. Chứng minh cos2 � Lời giải Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. A B C A B C + cos2 + cos2 = 2 + 2 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 � A B C C 1 + cos A 1 + cos B + cos2 + cos2 = + + cos2 . 2 2 2 2 2 2 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. VT = cos2 � Bài 9. Chứng minh tan �A + tan �B + tan �C = tan �A tan �B tan �C. � Lời giải Ta có A+B+C =π ⇔ �A + �B + �C = �π ⇔ �A + �B = �π − � � tan(�A + �B) = ���(�π − �C)� ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 10. Chứng minh tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C. � Lời giải B C A B C A Bài 11. Chứng minh cot + cot + cot = cot cot cot . 2 2 2 2 2 2 � Lời giải Ta có ⇔ � ⇔ ⇔ A+B=π−C π C A B + = − 2 Å2 2ã 2 Å ã π A B C + = tan − tan 2 2 2 2 Å ã A B C + tan = cot 2 2 2 A B tan + tan 2 2 = cot C � A B 2 1 − tan tan 2 2 Trang 163 � Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. B B C C A A tan + tan tan + tan tan = 1. 2 2 2 2 2 2 � Lời giải Å ã Å ã A B A B π C C π Ta có + = − � tan + = tan − . 2 2 2 2 2 2 2 2 � Bài 12. Chứng minh tan ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 164 � Phần II Hình học 165 CHƯƠNG BÀI A. 1. 3 �. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vecto chỉ phương (VTCP) - Vecto pháp tuyến (VTPT) • Véctơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng � là véctơ có giá song song hoặc trùng với # ». đường thẳng �, kí hiệu là � � # » là một VTCP của � thì � · � # » cũng là một VTCP của �. Nếu � � � • Véctơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng � là véctơ có giá vuông góc với đường # ». thẳng �, kí hiệu là � � # » # » cũng là một VTPT của �. Nếu �� là một VTPT của � thì � · � � #» ⇔ � #» · � # » = 0. Do đó, nếu có � # » = (�; �) � � # » = (�; −�). #» ⊥ � Ta luôn có � � � � � � � #» � � 2. d Phương trình đường thẳng tổng quát d #» � � Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng � : �� + �� + � = 0, (�2 + �2 �= 0). # » = (�; �) và một VTCP � # » = (�; −�). Nếu � : �� + �� + � = 0 thì sẽ có một VTPT là � � � 3. Viết phương trình đường thẳng Để viết phương trình đường thẳng �, ta cần xác định một điểm đi qua và một vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương a Phương trình tổng quát: ® Qua M (�0 ; �0 ) Nếu (�) : # » = (�; �) thì (�) : �(� − �0 ) + �(� − �0 ) = 0� VTPT � � b Phương trình tham số và chính tắc:  ® � = � 0 + �1 � (�2 + �2 �= 0)� ® : Dạng tham số. (�) : � = � + � � (� ∈ R) Qua M (�0 ; �0 ) 0 2  Nếu (�) : thì # » = (� ; � )  VTCP � � − �0 � − �0 � 1 2 = � (�1 �2 �= 0) : Dạng chính tắc. (�) : �1 �2 c Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng � cắt hai trục tọa độ O�, O� lần lượt tại hai điểm A(�; 0) và B(0; �) sẽ có dạng �: � � + = 1 (được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.) � � d Hệ số góc của đường thẳng: 167 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � � Xét � : �� + �� + � = 0 và nếu � �= 0 thì phương trình được viết lại � = − � − . � � � � Đặt � = − và � = − thì đường thẳng sẽ có dạng � : � = �� + �. � � Khi đó � được gọi là hệ số góc của đường thẳng �. • Ý nghĩa hình học: Với � = 0, gọi M = � ∩ O� và M� là tia của � nằm trên O�. Khi đó đặt góc (M�� M�) = α thì � = tan α. 4. � � � • Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và hệ số góc: Đường thẳng � đi qua điểm M(�0 ; �0 ) và có hệ số góc � có dạng � : � = �(� − �0 ) + �0 . O α M Vị trí tương đối của hai đường thẳng � Cho hai đường thẳng �1 : �� + �1 � + �1 = 0, �2 : �2 � + �2 � + �2 = 0 và hai điểm A, B. a Vị trí tương đối của hai đường thẳng. �1 �1 �1 = �= thì �1 � �2 . �2 �2 �2 ® �� + �1 � + �1 = 0 �1 �1 • Nếu . �= thì �1 cắt �2 tại M. Để tìm tọa độ M, ta giải hệ �2 �2 �2 � + �2 � + �2 = 0 • Nếu �1 �1 �1 = = thì �1 ≡ �2 . �2 �2 �2 • Nếu b Vị trí của hai điểm A, B so với đường thẳng �. Xét tích T = (�1 �A + �1 �A + �1 ) · (�1 �B + �1 �B + �1 ). • Nếu T > 0 thì hai điểm A và B nằm cùng phía (cùng bên) so với đường thẳng �1 . 5. • Nếu T < 0 thì hai điểm A và B nằm khác phía (hai bên) so với đường thẳng �1 Một số vấn đề cần lưu ý • Nếu � � O� hoặc � ≡ O� thì � sẽ có dạng �� + � = 0. • Nếu � � O� hoặc � ≡ O� thì � sẽ có dạng �� + � = 0. • nếu � đi qua gốc tọa độ thì � sẽ có dạng �� + �� = 0. • Nếu hai đường thẳng song song nhau thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia và VTPT của đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. • Nếu hai đường thẳng vuông góc nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại. ñ# » �� = (�; �) • Nếu � : �� + �� + � = 0 thì sẽ suy ra được một VTCP, một VTPT là # » � = (�; −�) � Trang 168 Chuyên đề Toán 10 HKII B. Nguyễn Quốc Dương CÁC DẠNG TOÁN � DẠNG 1. Viết phương trình đường thẳng Nhóm 1. Viết phương trình đường thẳng dạng cơ bản ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Viết phương trình đường thẳng � dạng tổng quát và dạng tham số trong các trường hợp: # » = (3; −4). Bài 1. � qua M(2; −3), có VTPT � � � Lời giải Phương trình tổng quát � : 3(� − 2) − 4(� + 3) = 0 � � : 3� − 4� − 15 = 0� Phương trình tham số: # » = (3; −4) � � # » = (4; 3). Ta có � � � # » = (4; 3) nên có dạng Nên � qua M(2; −3), có V TCP � � # » = (5; 1). Bài 2. � qua M(−2; 3), có VTPT � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. # » = (1; 2). Bài 3. � qua M(4; 0), có VTPT � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. # » = (3; 2). Bài 4. � qua M(1; 7), có VTPT � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ® � = 2 + 4� � = −3 + 3� (� ∈ R). � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 169 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII # » = (−3; 4). Bài 5. � qua M(1; 2), có VTCP � � � Lời giải #» = (−3; 4) � � #» = (4; 3). Ta có � � � • Phương trình tổng quát: � : 4 · (� − 1) + 3 · (� − 2) = 0 � � : 4� + 3� − 10 = 0� • Phương trình tham số: � : ® � = 1 − 3� � = 2 + 4� (� ∈ R). # » = (3; −1). Bài 6. � qua M(2; 3), có VTCP � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. # » = (1; −2). Bài 7. � qua M(4; 1), có VTCP � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. # » = (4; 2). Bài 8. � qua M(2; 6), có VTCP � � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 9. � đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). � Lời giải # » # » = (1; −1). • Đường thẳng � qua điểm A(1; 2), có VTCP AB = (2; 2) = 2(1; 1), suy ra VTPT � � • Phương trình tổng quát � : 1 · (� − 1) − 1 · (� − 2) = 0 � � : � − � + 1 = 0� Trang 170 � Chuyên đề Toán 10 HKII • Phương trình tham số � : ® � =1+� � =1+� Nguyễn Quốc Dương (� ∈ R). Bài 10. � đi qua hai điểm A(2; −1) và B(3; −5). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 11. � qua điểm M(2; −1) và song song O�. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 12. � qua điểm M(1; 3) và song song O�. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 13. � đi qua M(1; 2) và � vuông góc với đường thẳng AB với A(−2; 1), B(1; 3) � Lời giải # » # » = AB # » = (2; −3). Vì � ⊥ AB nên � có một VTPT là � = (3; 2) � � � � • Phương trình tổng quát: � : 3 · (� − 1) + 2 · (� − 2) = 0 � � : 3� + 2� − 7 = 0� • Phương trình tham số � : ® � = 1 + 2� � = 2 − 3� (� ∈ R). Bài 14. � đi qua gốc tọa độ và � vuông góc với đường thẳng AB với A(2; −3), B(1; 1). � Lời giải Trang 171 � Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 15. � vuông góc với đường thẳng AB với A(4; 1), B(1; 5). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 16. � đi qua điểm M(1; 2) và vuông góc với đường thẳng AB với trục tung O�. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 17. � vuông góc với đường thẳng AB tại trung điểm của AB với A(2; −3), B(1; 1). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 18. � là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; 5) và B(3; 1). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 172 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 19. � đi qua điểm M(2; 4) và vuông góc với đường thẳng �� : � − � + 2 = 0. � Lời giải �� Cách 1. #» Ta có �� : � − � + 2 = 0 � � �� = (1; −1) và do #» = (1; −1) � � #» = (1; 1)� � ⊥ �� � � � � #» � � • Phương trình tổng quát � : 1 · (� − 2) + 1 · (� − 4) = 0 � � : � + � − 6 = 0 • Phương trình tham số � : ® � =2+� � =4−� � (� ∈ R) hai đường thẳng vuông góc nhau thì VTPT của đường thẳng này là VTCP của đường ! Nếu thẳng kia và ngược lại. Cách 2. Do � ⊥ �� : � − � + 2 = 0 � � : � + � + � = 0 (*) Ta có M(2; 4) ∈ � : � + � + � = 0 ⇔ 2 + 4 + � = 0 ⇔ � = −6. Thế vào (∗), suy ra �� : � + � − 6 = 0. ! Cần nhớ: Cho đường thẳng �� : �� + �� + � = 0. • Nếu � � �� � � : �� + �� + � = 0� (� �= 0). ñ � : �� − �� + � = 0 � • Nếu ⊥ � � . � : −�� + �� + � = 0 � Bài 20. � đi qua điểm A(−1; 2) và vuông góc với đường thẳng �� : � − 4� + 1 = 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ! ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nếu đề bài không nói viết phương trình đường thẳng dạng tham số hay chính tắc, ta nên viết theo cách 2 ( lời giải 2). Nó sẽ thuận lợi cho những bài học phía sau và tránh hs nhầm lẫn. � Bài 21. � đi qua điểm M(−5; 2) và vuông góc với đường thẳng �� : � = � (phân giác góc phần tư thứ I, thứ III). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 173 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Bài 22. � đi qua điểm M(2; 4) và vuông góc với đường thẳng �� : � = −� (phân giác góc phần tư thứ II, thứ IV). � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 23. � đi qua điểm M(−3; 4) và song song với đường thẳng � Lời giải Cách 1. #» � = (1; 3) và do � � �� � Ta có �� : � + 3� + 1 = 0 � � � #» = (1; 3) � � #» = (3; −1) � � � Sau đó, viết phương trình tổng quát, phương trình tham số. �� : � + 3� + 1 = 0. #» ��� �� M � hai đường thẳng song song nhau thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của ! Nếu đường thẳng kia và VTPT của đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Cách 2. Ta có � � �� : � + 3� + 1 = 0 � � : � + 3� + � = 0� (� �= 1) (*) Do M(−3; 4) ∈ � : � + 3� + � = 0 ⇔ −3 + 3�4 + � = 0 ⇔ 9 + � = 0 ⇔ � = −9 (thỏa mãn). Thế vào (∗) � � : � + 3� − 9 = 0. Bài 24. � đi qua điểm M(1; 1) và song song với đường thẳng �� : � − 3� + 7 = 0. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 25. � đi qua điểm M(2; 4) và song song với đường thẳng �� : � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ® � = 1 + 2� � = −3 − � . ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 174 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � Viết phương trình đường thẳng � dạng tổng quát và dạng tham số trong các trường hợp sau: Bài 26. � đi qua M(1; 4) và có hệ số góc � = 3. � Lời giải Phương trình đường thẳng � qua M có hệ số góc � có dạng � : � = �(� − �M ) + �M � � : � = 3(� − 1) + 4 � � : � = 3� + 1 � � : 3� − � + 1 = 0. #» = (1; 3). #» = (3; −1) � � Ta có � � � ® � =1+� Phương trình tham số � : (� ∈ R). � = 4 + 3� � Bài 27. � đi qua M(−3; 2) và có hệ số góc � = −2. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 28. � đi qua điểm A(1; −5) và � tạo với chiều dương trục O� một góc 45◦ . � Lời giải Ta có hệ số góc của � là � = tan 45◦ = 1. Đường thẳng � đi qua điểm A(1; −5) và có hệ số góc � = 1 có dạng � : � = 1 · (� − 1) − 5 � � : �−�−6=0 � Bài 29. � đi qua điểm A(−1; 2) và � tạo với chiều dương trục O� một góc 60◦ . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 30. � đi qua điểm A(1; 2) và � cắt trục O�, O� tại hai điểm A, B sao cho OB = 2OA. � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nhóm 2. Viết phương trình đường thẳng đoạn chắn. Phương pháp: Trang 175 � Nguyễn Quốc Dương � Đường thẳng � cắt hai trục tọa độ O�� O� lần lượt tại hai điểm A(�; 0) và B(0; �) sẽ có dạng � : và được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. 1 • OA = |�| � OB = |�| � S�OAB = |OA| · |OB| = 2 1 |�| |�|. 2 • 1 1 1 = + . 2 2 OH OA OB2 Chuyên đề Toán 10 HKII B(0; �) O H A(�; 0) � � � + =1 � � • Nếu M cố định (cho trước) và M ∈ � (thay đổi) thì # » #» = OM OHmax ⇔ H ≡ M ⇔ OM ⊥ � tại M � � � ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Viết phương trình đường thẳng � cắt tia O� tại A� cắt tia O� tại B và thỏa mãn: a � qua điểm M(1; 2) thỏa OA = 2OB. � Lời giải � � Gọi A(�; 0) ∈ tia O�� B(0; �) ∈ tia O� với �� � > 0 Khi đó � có dạng � : + = 1 � � � � 1 2 Vì M(1; 2) ∈ � : + = 1 ⇔ + = 1 ⇔ � + 2� = �� � � � � Ta có OA = |�| = � > 0� OB = 2|�| = 2� > 0 và do OA = 2OB � � = 2� 5 Thế (2) vào (1) � � + 2 · 2� = 2� · � ⇔ 2�2 − 5� = 0 ⇔ � = 0 (loại) hoặc � = 2 5 5 Với � = thế vào (2) � � = 2 · = 5 2 2 � 2� Suy ra � : + = 1 � � : � + 2� − 5 = 0 5 5 b � qua điểm M(2; −3) thỏa 2OA = OB. � Lời giải (1) (2) � ĐS: � + � − 1 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � c � đi qua điểm M(2; 1) thỏa OA = OB. ĐS: � + � − 3 = 0 � Lời giải …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 176 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � d � qua điểm A(1; 2) thỏa OA + OB = 6. � Lời giải ĐS: 2� + � − 4 = 0 hoặc � + � − 3 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � e G(1; 2) là trọng tâm tam giác OAB. ĐS: 2� + � − 6 = 0 � Lời giải …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � f G(3; 3) là trọng tâm tam giác OAB. ĐS: � + � − 9 = 0 � Lời giải …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � Trang 177 Nguyễn Quốc Dương g � qua M(1; 4) và diện tích tam giác OAB bằng 9. Chuyên đề Toán 10 HKII � Lời giải � � Gọi A(�; 0) ∈ tia O�� B(0; �) ∈ tia O� với �� � > 0 Khi đó � có dạng � : + = 1 � � � � 1 4 Vì M(1; 4) ∈ � : + = 1 ⇔ + = 1 ⇔ 4� + � = �� � � � � 1 1 Ta lại có S�OAB = 9 ⇔ OA�OB = 9 ⇔ �� = 9 ⇔ �� = 18 2 2 Từ (1) và (2) � � : 2� + � − 6 = 0 hoặc � : 6� + � − 12 = 0 h � qua M(1; 2) và diện tích tam giác OAB bằng 4. � Lời giải (1) (2) � ĐS: � : 2� + � − 4 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � i � qua M(2; 5) và diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất. � Lời giải j � � Gọi A(�; 0) ∈ tia O�� B(0; �) ∈ tia O� với �� � > 0 Khi đó � có dạng � : + = 1 � � � � 2 5 Vì M(2; 5) ∈ � : + = 1 ⇔ + = 1 � � … � � … 2 5 10 2 5 Cauchy 40 1 Hay 1 = + ≥ 2· · ⇔1≥2 ⇔1≥ ⇔ �� ≥ 40 ⇔ �� ≥ 20 � � � � �� �� 2 1 1 1 1 Mà S�OAB = OA�OB = |�||�| = �� nên S�OAB = �� ≥ 20 � min S�OAB = 20 2 2 2 2 ® �=4 5 2 5 2 2 4 2 Dấu �� =�� xảy ra khi = và + = 1 � + = 1 � = 1 � � � � � � � � � = 10 � � � �: + = 1 � � : 5� + 2� − 20 = 0 4 10 � qua M(2; 6) và diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất. � Lời giải � ĐS: 3� + � − 12 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 178 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………………………………………………. � k � qua M(1; 4) và diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất. � Lời giải ĐS: 4� + � − 8 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � l � qua M(3; 2) và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng � là lớn nhất. � Lời giải Gọi H là hình chiếu của O lên � Do đó khoảng cách từ O đến � là �(O� �) = OH� Vì � thay đổi và luôn đi qua M(3; 2) nên �(O� �) = OH ≤ OM� � max �(O� �) = max OH = OM ⇔ H ≡ M # » Do đó đường thẳng � qua điểm M(3; 2) và nhận OM = (3; 2) là một VTPT nên phương trình có dạng � : 3� + 2� − 13 = 0. � m � qua M(1; 2) và � Lời giải 1 1 + nhỏ nhất. 2 OA OB2 ĐS: � : � + 2� − 5 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. n � đi qua điểm M(2; 1) và OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất. � Lời giải ĐS: � : � + √ 2� − √ � 2−2=0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. Trang 179 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � o � đi qua M(9; 1) và độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất. � Lời giải ĐS: � : � + 2� − 10 = 0 …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. � Bài 2 (HK2 – THPT Nguyễn Thượng Hiền – Tp. Hồ Chí Minh). Cho điểm A(4; 1) Viết phương trình đường thẳng � cắt hai trục O�� O� lần lượt tại hai điểm M� N sao cho tứ giác AMON là hình chữ nhật. � Lời giải ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. � Bài 3. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm M(2; 1) và cắt hai trục tọa độ tại A� B sao cho tam giác OAB vuông cân. � Lời giải ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. � Trang 180 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 4. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm M(−4; 10) và cắt hai trục tọa độ tại A� B sao cho tam giác OAB cân. � Lời giải ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. � � DẠNG 2. Vị trí tương đối và bài toán tìm điểm Nhóm 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng �1 : �1 � + �1 � + �1 = 0; �2 : �2 � + �2 � + �2 = 0 và hai điểm A, B. a Vị trí tương đối của hai đường thẳng: �1 �1 = = �2 �2 �1 �1 • Nếu = � = �2 �2 • Nếu �1 � �1 ≡ �2 . �2 �1 � �1 � �2 . �2 �1 �1 �= � �1 cắt �2 tại M� Để tìm tọa độ M� ta giải hệ • Nếu �2 �2 b Vị trí của hai điểm A và B so với đường thẳng �: Xét tích tố T = (�1 �A + �1 �A + �1 ) · (�1 �B + �1 �B + �1 ): ® �1 � + �1 � + �1 = 0 �2 � + �2 � + �2 = 0� • Nếu T > 0 thì A và B nằm cùng phía (cùng bên) so với đường thẳng �1 . • Nếu T < 0 thì A và B nằm khác phía (hai bên) so với đường thẳng �1 . ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Xét vị trí tương đối của của hai đường thẳng (nếu cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm): a � : � + 3� + 5 = 0 và Δ : � − 3� − 3 = 0. � Lời giải 1 3 Ta có: �= � � và Δ cắt nhau. Gọi I là giao điểm của � và Δ Khi đó tọa độ I thỏa hệ 1 −3  ® Å ã � = −1 � + 3� = −5 4 ⇔ � I −1; − � = − 4 3 � − 3� = 3 3 � b � : � + 3� + 2 = 0 và Δ : − 2� − 6� + 1 = 0. � Lời giải Trang 181 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c � : 0�5� + 12� − 3 = 0 và Δ : � + 24� − 6 = 0. .............................................. .............................................. � � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 2. Tìm � để đường thẳng �1 : (� − 3)� + 2� + �2 − 1 = 0 và �2 : − � + �� + (� − 1)2 = 0 song song nhau? � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Cho hai đường thẳng �1 : 2� − � − 2 = 0� �2 : � + 6� + 3 = 0 và M(3; 0) Viết phương trình đường thẳng � đi qua M và cắt �1 � �2 lần lượt tại hai điểm A� B sao cho M là trung điểm của AB� � Lời giải • Gọi A(�; 2� − 2) ∈ �1 : 2� − � − 2 = 0 và B(−6� − 3; �) ∈ �2 : � + 6� + 3 = 0 ® ® ® �A + �B = 2�M � − 3 − 6� = 6 � − 6� = 9 • Theo đề bài có M là trung điểm AB � ⇔ ⇔ �A + �B = 2�M 2� − 2 + � = 0 2� + � = 2 Å ã Å ã 21 16 57 16 16 21 và � = − � A ; và B ;− ��= 13 13 13 13 13 13 Å ã 36 32 4 # » • Đường thẳng � qua điểm M(3; 0) và có một VTCP là AB = ;− = (9; −8) 13 13 13 #» = (9; 8) � � : 9(� − 3) + 8(� − 0) = 0 � � : 9� + 8� − 27 = 0 � Một VTPT của � là � � � Bài 4. Cho hai đường thẳng �1 : � − � + 1 = 0� �2 : 2� + � − 1 = 0 và điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng � đi qua M và cắt �1 � �2 lần lượt tại hai điểm A� B sao cho M là trung điểm của AB� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 182 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. � Bài 5. Cho hai đường thẳng �1 : � + � + 1 = 0� �2 : 2� − � − 1 = 0 và điểm M(2; −4) Viết phương trình đường thẳng � đi qua M và cắt �1 � �2 lần lượt tại hai điểm A� B sao cho M là trung điểm của AB� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 2. Hình chiếu và điểm đối xứng Bài toán 1. Cho đường thẳng � : �� + �� + � = 0 và điểm M ∈/ �. a) Tìm H là hình chiếu của M lên �. Trang 183 b) Tìm N là điểm đối xứng của M qua �. Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII M � M #» � � � H • Bước 1. Viết phương trình đường thẳng MH đi qua M và vuông góc với �. Vì MH ⊥ � � MH : �� − �� + � = 0. Do M ∈ MH � � =? Suy ra MH : �� − �� + � � � = 0 • Bước 2. Hình chiếu H là tọa độ giao điểm của đường thẳng � và MH. ® ® �� + �� + � = 0 � = ��� � � H (� � � ; � � �) �� − �� + � � � = 0 � = ��� Cách khác: • Bước 1. Chuyển � về dạng tham số. Gọi # » # » và tính MH� M(�) ∈ �� Tìm VTCP � � # » # » ⊥ MH • Bước 2. Do MH ⊥ � nên có � � # » # » · MH = 0 � � � H� � � H N • Bước 1. Tìm H là hình chiếu M lên �. ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ • Bước 2. Do N là điểm đối xứng của M qua � nên H là trung điểm của MN.  �M + � N ®  �H = �N = 2�H − �M 2 � + � � N  �N = 2�H − �M � �H = M 2 ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Cho M (3; −1) và � : 3� − 4� + 12 = 0� Tìm hình chiếu H của điểm M lên � và N là điểm đối xứng của M qua �� � Lời giải • Phương trình đường thẳng MH qua M và vuông góc với � : 3� − 4� + 12 = 0 có dạng MH : 4� + 3� + � = 0� Vì M (3; −1) ∈ MH � 4 × 3 + 3 × (−1) + � = 0 ⇔ � = −9� Suy ra MH : 4� + 3� − 9 = 0� • Do®N là điểm đối xứng của M qua � nên H là trung điểm MN �N = 2�H − �M = 2�0 − 3 = −3 � N (−3; 7) � � �N = 2�H − �M = 2�3 − (−1) = 7 � Bài 2. Cho M (−5; 13) và � : 2� − 3� − 3 = 0� Tìm hình chiếu H của điểm M lên � và N là điểm đối xứng của M qua �� ĐS: H (3; 1) � N (11; −11) � � Lời giải Trang 184 Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Cho M (7; 4) và � : 3� + 4� − 12 = 0� Tìm hình chiếu H của điểm M lên � và N là điểm đối xứng của M qua �� ĐS: H (4; 0) � N (1; −4) � � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Cho M (0; 3) và � : của M qua �� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � �+1 = � Tìm hình chiếu H của điểm M lên � và N là điểm đối xứng 2 1 ĐS: H (1; 1) � N (2; −1) � ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài toán 2. Cho điểm M và đường thẳng � : �� + �� + � = 0� Viết phương trình đường thẳng Δ đối xứng với � qua M. Phương pháp: • Vì Δ đối xứng với � qua M nên: A Δ � � : �� + �� + � = 0 � Δ : �� + �� + � = 0� (� �= �) M • Chọn ® A ∈ � và gọi B ∈ Δ thì M là trung điểm AB� �B = 2�M − �A B � tọa độ B và do B ∈ Δ � � � �B = 2�M − �A � phương trình đường thẳng Δ. ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Cho M (1; 1) và � : � − 2� + 2 = 0� Lập phương trình Δ đối xứng với � qua M� � Lời giải Vì Δ đối xứng với � qua điểm M nên: • Δ � � � Δ : � − 2� + � = 0� � �= 2� • Chọn ® A (0; 1) ∈ � : � − 2� + 2 = 0 thì M là trung điểm của AB với B ∈ Δ. �B = 2�M − �A = 2�1 − 0 = 2 � B(2; 1)� � �B = 2�M − �A = 2�1 − 1 = 1 Mà B (2; 1) ∈ Δ : � − 2� + � = 0 ⇔ 2 − 2�1 + � = 0 ⇔ � = 0 � Δ : � − 2� = 0 là đường thẳng cần tìm. � Trang 185 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 2. Cho M (1; 3) và � : � − 2� + 1 = 0� Lập phương trình Δ đối xứng với � qua M� Δ : � − 2� + 9 = 0� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Cho M (−3; 1) và � : 2� + � − 3 = 0� Lập phương trình Δ đối xứng với � qua M� Δ : 2� + � + 13 = 0� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài toán 3. Cho hai đường thẳng �1 � �2 � Lập đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 . Phương pháp: a) Nếu đề cho �1 � �2 (cần chứng minh) ĐS: ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Bài 4. Cho � : 3� + 4� − 12 = 0� Lập phương trình Δ đối xứng với � qua gốc tọa độ. Δ : 3� + 4� + 12 = 0� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐS: b) Nếu �1 cắt �2 (cần chứng minh) Trang 186 Chuyên đề Toán 10 HKII A Nguyễn Quốc Dương �1 M �2 �3 I B A �1 �2 �3 B H • Do �1 � �2 và � đối xứng với �1 qua �2 nên có � � �1 � �2 • Tìm I là giao điểm của �1 và �2 � • Chọn A ∈ �1 � M ∈ �2 và có B ∈ � thì M là trung điểm của AB� ® �B = 2�M − �A � � B(� � � ; � � �)� �B = 2�M − �A Mà B(� � � ; � � �) ∈ � � � � �� • Suy ra điểm đối xứng của B là A qua �2 � (H là trung điểm AB). � � : �� + �� + � = 0� (� �= �)� • Chọn A ∈ �. • Tìm hình chiếu H của A trên �2 � (Viết phương trình AH � H = AH ∩ �2 �) • Viết phương trình đường thẳng � đi qua hai điểm I và B� ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Cho đường thẳng �1 : 2� − 3� + 1 = 0 và �2 : 2� − 3� − 1 = 0� Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 � � Lời giải 2 −3 1 Ta có = �= nên �1 � �2 và đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 nên � � �1 � 2 −3 −1 � � : 2� + 3� + � = 0 với � �= ±1� Chọn A(1; 1) ∈ �1 � M(−1; −1) ∈ �2 và B ∈ �� Vì � đối®xứng với �1 qua �2 nên M là trung điểm của AB� �B = 2�M − �A = 2�(−1) − 1 = −3 Suy ra � B(−3; −3) �B = 2�M − �A = 2�(−1) − 1 = −3 Mà B(−3; −3) ∈ � : 2� + 3� + � = 0 ⇔ 2�(−3) + 3�(−3) + � = 0 ⇔ � = −15� Suy ra: � : 2� + 3� + 15 = 0� � Bài 2. Cho đường thẳng �1 : � + � − 1 = 0 và �2 : � − 3� + 3 = 0� Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 � � Lời giải ® ® �+� =1 �=0 Xét hệ: ⇔ � � − 3� = −3 �=1 Do đó �1 cắt �2 tại I (0; 1) � Chọn A (1; 0) ∈ �1 � Ta có AH ⊥ �2 � AH : 3� + � + � = 0� Do A (1; 0) ∈ AH � 3 + � = 0 � � = −3� Suy ra AH : 3� + � − 3 = 0� Do đó, hình chiếu của A lên �2 là H có tọa độ thỏa mãn ® �B = 2�H − �A Có H là trung điểm AB � �B = 2�H − �A Å ã Å ã 1 12 1 7 1 #» �B ; ∈ � và có IB = ; = (1; 7). 5 5 5 5 5 � � : 7(� − 0) − 1(� − 1) = 0 Trang 187 ® 3� + � = 3 � − 3� = −3 �H Å ã 3 6 ; � 5 5 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � � : 7� − � + 1 = 0� � Bài 3. Cho đường thẳng �1 : 2� + 3� − 5 = 0 và �2 : 2� + 3� + 1 = 0� Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 � ĐS: � : 2� + 3� + 7 = 0� � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 4. Cho đường thẳng �1 : � − � + 2 = 0 và �2 : � + 2� = 0� Lập phương trình đường thẳng � đối ĐS: � : 7� − � + 10 = 0� xứng với �1 qua �2 � � Lời giải � Bài 5. Cho đường thẳng �1 : 3� − 4� − 7 = 0 và �2 : 3� − 4� + 8 = 0� Lập phương trình đường ĐS: � : 3� − 4� + 23 = 0� thẳng � đối xứng với �1 qua �2 � � Lời giải � Bài 6. Cho đường thẳng �1 : � − 2� + 4 = 0 và �2 : 2� + � − 2 = 0� Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với �1 qua �2 � � Lời giải Bài 7. Cho hai điểm A(1; 1)� B(2; 1) và đường thẳng � : � − 2� + 2 = 0� Trang 188 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương a Chứng tỏ rằng hai điểm A và B nằm cùng một phía so với �� b Tìm tọa độ điểm M ∈ � sao cho (MA + MB) nhỏ nhất. ĐS: M � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ã 23 16 ; 15 13 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 8. Cho hai điểm A(2; 4)� B(3; 1)� C(1; 4) và đường thẳng � : � − � − 1 = 0� a Tìm tọa độ điểm M ∈ � sao cho (MA + MB) nhỏ nhất. b Tìm tọa độ điểm N ∈ � sao cho (AN + CN) nhỏ nhất. ĐS: M � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Å Å 11 7 ; 4 4 ã và N Å ã 23 16 ; . 7 7 ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � � DẠNG 3. Giải tam giác và một số bài toán thường gặp ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Cho tam giác ABC có A(−2; 1), B(2; 3), C(1; −5). a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. � Lời giải .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... � ĐS: BC : 8� − � − 13 = 0. b Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. � Lời giải Trang 189 B(2; 3) A(−2; 1) H M C(1; −5) ĐS: AH : � + 8� − 6 = 0. Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. � Lời giải ĐS: AM : 4� + 7� + 1 = 0. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. d Tìm hình chiếu K của điểm B xuống AC. .............................................. .............................................. � � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 2. Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(−2; 5), C(−4; −7). a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AC. � Lời giải ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... � A(3; 1) M B(−2; 5) H N C(−4; −7) b Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao BH. Tìm B� đối xứng của B qua AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến CM. � Lời giải Trang 190 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Lập phương trình đường thẳng �1 là đường trung trực của đoạn thẳng BC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � e Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung bình MN với N ∈ AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 3. Cho tam giác ABC có trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M(−1; 0), N(4; 1), P(2; 4). a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, BC. � Lời giải ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. � b Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. H P(2; 4) B A N(4; 1) K M(−1; 0) C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AK. � Lời giải Trang 191 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Tìm tọa độ C � là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng AB. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � e Lập phương trình đường thẳng � qua B và song song với AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 4. Cho tam giác ABC có trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M(−1; 1), N(1; 9), P(9; 1). a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, AC. � Lời giải .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... � A P(9; 1) B b Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. K H M(−1; 1) � N(1; 9) C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. � Lời giải Trang 192 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Tìm tọa độ B� là điểm đối xứng của điểm B qua đường thẳng AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � e Lập phương trình đường thẳng � qua A và song song với BC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh AB : � + 3� − 6 = 0, AD : 2� − 5� − 1 = 0. Biết tâm I(3; 5). Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành ABCD. ĐS: BC : 2� − 5� + 39 = 0, CD : � + 3� − 30 = 0. � Lời giải A B Ta ® có AB ∩ AD = � � ® Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình � + 3� − 6 = 0 �=3 ⇔ � A(3; 1). 2� − 5� − 1 = 0 �=1 I(3; 5) DoI là trung điểm của AC nên �A + �C ®   �I = �C = 2�I − �A = 6 − 3 = 3 2 � � C(3; 9). � D C + � � C  �C = 2�I − �A = 10 − 1 = 9  �I = A 2 Đường thẳng BC � AD : 2� −5� −1 = 0 � BC : 2� −5� +� = 0� (� �= −1). Mà C(3; 9) ∈ BC : 2� − 5� + � = 0 ⇔ .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. � Bài 6. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình � − 3� = 0, 2� + 5� + 6 = 0. Biết đỉnh C(4; −1). Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại và dường chéo AC. ĐS: BC : 2� + 5� + 3 = 0, CD : � − 3� − 7 = 0, AC : 5� + 62� + 42 = 0. � Lời giải Trang 193 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII A Thế tọa độ C(4; −1) vào hai phương trình � −3� = 0 và 2� +5� +6 = 0 thấy không thỏa nên hai cạnh đề bài cho không đi qua C. Đặt AB : � − 3� = 0 và AD : 2� + 5� + 6 = 0. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. D B C(4; −1) � Bài 7. Cho tam giác ABC có phương trình chứa cạnh BC : 7� + 5� − 8 = 0 và phương trình hai đường cao BB� : 9� − 3� − 4 = 0, CC � : � + � − 2 = 0. a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AB. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � b Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến BN. A B H C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Tìm tọa độ B� là điểm đối xứng của điểm B qua đường thẳng AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. e Lập phương trình đường thẳng � qua A và song song với BC. � Lời giải Trang 194 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 8. Cho tam giác ABC có A(3; 0) và hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh của tam giác có phương trình �1 : 2� + 2� − 9 = 0, �2 : 3� − 12� − 1 = 0. a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � C� A(3; 0) B b Tìm tọa độ điểm D là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng BC. B� C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến BM. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung bình MN với N ∈ BC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 9. Cho tam giác ABC có A(5; 5) và đường cao CC � : � + 3� − 8 = 0 và đường trung tuyến CM : � + 5� − 14 = 0. Trang 195 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AC. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � b Lập phương trình đường cao AA� và tìm tọa độ trực tâm H. A(5; 5) M C� B A� H C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến BN. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Tìm hình chiếu của điểm B lên đường thẳng AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � e Lập phương trình đường thẳng � qua A và song song với BC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. Trang 196 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 10. Cho tam giác ABC có C(−1; −2) phương trình chứa cạnh BC : 7� + 5� − 8 = 0 và phương trình hai đường cao BB� : 9� − 3� − 4 = 0, CC � : � + � − 2 = 0. a Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AB. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. C(−1; −2) .............................. .............................. .............................. .............................. B� � b Lập phương trình đường cao CC � và tìm tọa độ trực tâm H. M A B � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Lập phương trình đường trung tuyến CN. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Viết phương trình đường thẳng � qua trọng tâm G của �ABC và song song với AC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 11. Cho tam giác ABC có phương trình AB : 2� − � − 2 = 0, AC : � + � + 3 = 0 và trung điểm cạnh BC là M(3; 0). a Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC và lập phương trình đường thẳng AB. Trang 197 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � b Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. A B C M(3; 0) � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Lập phương trình đường trung tuyến BN. .............................................. .............................................. � � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với AC qua B. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 12. Cho tam giác ABC có A(1; 3) và hai trung tuyến là BM : � − 2� + 1 = 0 và CN : � − 1 = 0. a Tìm tọa độ đỉnh B, C của tam giác ABC và lập phương trình đường thẳng BC. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � b Viết phương trình đường đường trung bình MP với P ∈ BC. � Lời giải Trang 198 A(1; 3) N B M C Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � c Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với đường thẳng CN qua đường thẳng BC. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Bài 13. Cho tam giác ABC có AB : � − 2� + 7 = 0 và phương trình hai đường trung tuyến là AM : � + � − 5 = 0 và BN : 2� + � − 11 = 0. a Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC. Lập phương trình đường thẳng AC. � Lời giải .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. � b Viết phương trình đường đường trung bình MP với P ∈ AB. A N B M C � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. c Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH. � Lời giải Trang 199 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � d Lập phương trình đường thẳng � đối xứng với đường thẳng MN qua đường thẳng AB. � Lời giải .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. .............................................. � Nhóm 3. Cho phương trình đường phân giác. Lấy đối xứng điểm qua phân giác ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. (HK2-THPT Trung Phú-Tp.Hồ Chí Minh) Trong hệ trục tọa độ 0��, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; 2), phương trình đường cao CH:2� + � − 14 = 0, phương trình đường phân giác BD: � + � − 7 = 0. a Viết phương trình cạnh AB. � Lời giải a b Tìm tọa độ đỉnh B và C . A • Vì AB ⊥ CH : 2�+� −14 = 0 � AB : �−2� +� = 0 • A(−1; 2) ∈ AB : � − 2� + � = 0 ⇔ −1 − 2�2 + � = 0 ⇔ � = 5. • Suy ra AB : � − 2� + 5 = 0. b Tìm tọa độ đỉnh B: Ta có B = AB ∩ BD. Khi đó tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình ® ® − � + 2� = 5 �=3 ⇔ �+� =7 �=4 B H I A� Vậy tọa độ điểm B(3; 4). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với đường phân giác BD. #» = (1; 1) nên VTPT của Δ là � #» = (−1; 1). Ta có VTCP của Δ là � Suy ra (Δ) : − 1 · (� + 1) + 1 · (� − 2) = 0 ⇔ (Δ) : − � + � − 3 = 0. ® ® −�+� =3 �=2 Vì I = Δ ∩ BD nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình ⇔ . �+� =7 �=5 Vậy tọa độ điểm I(2; 5). Điểm A� đối xứng của A qua đường thẳng BD. Khi đó I là trung điểm của AA� � A� (5; 8). # » Đường thẳng BA� đi qua B và có VTCP là BA� = (2; 4). Suy ra BA� : − 2 · (� − 3) + (� − 4) = 0 ⇔ BA� : − 2� + � + 2 = 0. Trang 200 C Chuyên đề Toán 10 HKII Vì điểm C = BA� ∩CH Nguyễn Quốc Dương nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình Vậy tọa độ điểm C(4; 6)� ® 2� + � = 14 1 − 2� + � = −2 ⇔ ® �=4 . �=6 � Bài 2. Cho DABC có đường phân giác trong góc A có phương trình �:� − � + 2 = 0, đường cao hạ từ điểm B có phương trình �:4� + 3� − 1 = 0. Biết hình chiếu của điểm C lên AB là điểm H(−1; −1). Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. � Lời giải Phân tích hướng giải. ’ là đường �:�− • Đề cho đường phân giác góc BAC � + 2 = 0 nên theo phản xạ, ta sẽ lấy đối xứng điểm H qua đường phân giác sẽ tìm được điểm K (Viết phương trình đường HK qua H và vuông góc với �. Tìm tọa độ giao điểm I = � ∩ HK. Do tính chất đối xứng nên I là trung điểm của HK, suy ra K). H(−1; −1) d� : 4x + 3y − 1 = 0 I K d :x−y+2 =0 • Viết đường AC và tìm A = � ∩ AC. • Viết đường AB(qua A, H) nên B=� ∩ AB, tìm được B. • Viết đường CH (qua H, vuông góc AB) nên C = CH ∩ AC, nên tìm được tọa độ điểm C. .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Bài 3. Cho �ABC có C(4; 3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác lần lượt có phương trình AD:� + 2� − 5 = 0, AM:4� + 13� − 10 = 0. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của DABC. � Lời giải Trang 201 Nguyễn Quốc Dương A Phân tích hướng giải • Tìm tọa độ A = AD ∩ AM. Từ đó suy ra được phương trình đường AC đi qua điểm A và C. • Lấy đối xứng điểm C qua đường phân giác AD, tìm được điểm C ∈ AB. Suy ra phương trình đường thẳng AB qua A,C. • Viết phương trình đường thẳng MH đi qua điểm H và song song với AB(đường trung bình DAC). • Tìm được điểm M = AM ∩ HM. Chuyên đề Toán 10 HKII B C� D M H C(4; 3) AM : 4� + 13� − 1 = 0 AD : � + 2� − 5 = 0 • Viết được phương trình đường thẳng BC . . . . . .qua . . . . hai . . . . điểm . . . . . .M . . . và . . . C. .......................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có D(−6; −6), đường trung trực DC là �: 2� + 3� + 17 = 0 và ’ là �:5� + � − 3 = 0. Tìm tọa độ của A, B, C. đường phân giác góc BAC � Lời giải A Phân tích hướng giải D(−6; −6) 2� + 17 I • Tham số hoá I(�; 3 − )∈ � : 2� + 3� + 17 = 0 3 � : 2� + 3� + 17 = 0. B C # » #» • Do DI ⊥ �� w � DI · � � � � � J I � C. • Tìm C � là điểm đối xứng của C qua �� . • Viết đường AB qua C � và � DC. C� • Tìm được A = AB ∩ �� . �� : 5� + � − 3 = 0 • Do ABCD là hình bình hành # » # » nên ta sẽ cóAB = DC � tọa độ . . . . . .điểm . . . . . .B. ........................................................................................ .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 202 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Bài 5. Cho hình thang cân ABCD với đáy AD và BC, B(2; 3), AC:� − � − 1 = 0, AB = BC và M(−2; −2) nằm trên đương thẳng AD. Viết phương trình đường CD. � Lời giải � Phân tích hướng giải • Do ABCD là hình thang cân nên nội tiếp đường tròn và dễ dàng chứng minh được ’ do BC = CD nên số AC là phân giác DAB � � � BAC ’ = CAD. ’ đo cung sdBC=sd DC B(2; 3) • Tìm B� là điểm đối xứng của B qua AC. • Viết đường AB qua M và B� . C N �−�−1=0 H � là hình bình hành nên ta sẽ có: • Do ABCB # » # »� BC = AB � tọa độ điểm CD. D I A M(−2; 2) • Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC là d. Suy ra AD ∩ � = I là . . . . . .trung . . . . . . điểm . . . . . . AD . . . .� . . . D. ........................................................................... B� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � Bài 6. Cho hình vuông ABCD có đường chéo AC có phương trình � + � − 10 = 0. Tọa độ điểm B, biết rằng M(6; 2) thuộc đường thăng CD và N(5; 8) thuộc đường AB. � Lời giải AC : � + � − 10 = 0 Phân tích hướng giải N(5; 8) B A • Lấy đối xứng điểm M qua AC, tìm được M � . # » = (�; �) là VTPT của đường AB. Khi đó, góc giữa • Gọi � AB #» | #» · � |� AB AC AB và AC bằng 45◦ nên có: cos 45◦ = #» . #» | � AB | · | � AC | • Khi � = 0 � phương trình đường AB, AC. • Khi � = 0 � phương trình đường AB, AC. D H M(6; 2) M’ C . . . •. . .Từ . . . đó . . . .tìm . . . .được . . . . . .tọa . . . độ . . . .điểm . . . . . .B. ................................................................ .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 203 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � BÀI A. �. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khoảng cách Cho điểm M(�M ; �M ) và đường thẳng � : �� + �� + � = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng � được tính bằng công thức: d(M� �) = |��M + ��M + �| √ �2 + �2 cách giữa hai đường thẳng � và � song song là khoảng cách từ một điểm ! Khoảng trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. Tức d(� � � ) = d(M� � ) với M ∈ � . 2. 1 2 Góc 1 2 2 1 Cho hai đường thẳng �1 : �1 � + �1 � + �1 = 0 và �2 : �2 � + �2 � + �2 = 0. Góc giữa hai đường thẳng �1 và �2 được xác định bởi công thức B. #» | #» � � |� |�1 �2 + �1 �2 | � � » cos(�1 � �2 ) = #» 1 #»2 = » | � �1 | � | � �2 | �12 + �12 � �22 + �22 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP � DẠNG 1. Khoảng cách từ một diểm đến đường thẳng ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: a A(3; 5), � : 4� + 3� + 1 = 0 � Khoảng cách d(A� �) = 28 |4�3 + 3�5 + 1| √ . = 2 2 5 3 +4 b B(1; −2), �1 : 3� − 4� − 26 = 0 � Khoảng cách d(B� �1 ) = ĐS: d(B� �1 ) = 3 c C(2; 3), Δ : 6� + 8� + 3 = 0 � Khoảng cách d(C� Δ) = ĐS: d(C� Δ) = e A(2; −3)� Δ : 3� + 4� − 21 = 0 � Khoảng cách d(A� Δ) =. ĐS: d(A� Δ) = d A(5; 2), Δ : 4� − 3� − 24 = 0 � Khoảng cách d(A� Δ) = f A(0; −4)� Δ : 5� − 12� + 5 = 0 � Khoảng cách d(A� Δ) = Trang 204 39 10 ĐS: d(A� Δ) = 2 ĐS: d(A� Δ) = 27 5 53 13 Chuyên đề Toán 10 HKII ® � = 6 − 5� Nguyễn Quốc Dương 118 13 � = 7 + 12� .............................................................................................. g A(2; −7)� Δ : � Khoảng cách d(A� Δ) = ĐS: d(A� Δ) = .............................................................................................. ® � = 6 − 3� 22 h A(−1; 5)� Δ : � Khoảng cách d(A� Δ) = ĐS: d(A� Δ) = 5 � = 7 − 4� .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng �1 và �2 trong các trường hợp sau: a �1 : � + � − 2 = 0, �2 : � + � + 1 = 0� √ 3 3 2 |1 + 1 + 1| Ta có: M(1; 1) ∈ �1 � d(�1 � �2 ) = d(M� �2 ) = √ =√ = · 2 2 12 + 1 2 b �1 : 3� + 4� − 5 = 0� �2 : 3� + 4� + 5 = 0� ĐS: d(�1 � �2 ) = 2 .............................................................................................. .............................................................................................. √ 4 13 c �1 : 2� − 3� + 5 = 0� �2 : 2� − 3� + 1 = 0� ĐS: d(�1 � �2 ) = 13 .............................................................................................. .............................................................................................. Bài 3. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau: a �1 : 2� − � + 3 = 0 và �2 : � − 3� + 1 = 0� � Lời giải #» = (2; −1) và � có VTPT là � #» = (1; −3)� Gọi α là góc giữa � và � � �1 có VTPT là � �1 2 �2 1 2 √ #» #» 2 |�� ��� | |2�1 + (−1)�(−3)| � Khi đó cos α = #» 1 #»2 = � = � α = 45◦ � 2 | � �1 | � | � �2 | 22 + (−1)2 � 12 + (−3)2 b �1 : � − 2� − 1 = 0 và �2 : � + 3� − 11 = 0� � ĐS: 45◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c �1 : 2� − � + 5 = 0 và �2 : 3� + � − 6 = 0� ĐS: 45◦ .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. d �1 : 2� + 5� + 5 = 0 và �2 : � − 7� − 6 = 0� ĐS: 150◦ 4� .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. e �1 : 3� + 4� + 5 = 0 và �2 : 5� − 12� − 6 = 0� ĐS: 120◦ 30� .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Trang 205 Nguyễn Quốc Dương Bài 4. Tìm tham số � để góc của hai đường thẳng: Chuyên đề Toán 10 HKII a � : 2�� + (� − 5)� + 4� − 1 = 0 và Δ : (� − 1)� + (� + 2)� + � − 2 = 0 bằng 45◦ � .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. b � : (� + 3)� − (� − 1)� + � − 3 = 0 và Δ : (� − 2)� + (� + 1)� − � − 1 = 0 bằng 90◦ � ĐS: �=5 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. √ √ 3 c �1 : 3� − � + 7 = 0 và �2 : �� + � + 1 = 0 bằng 30◦ � ĐS: � = − 3 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. � DẠNG 2. Bài toán tìm điểm liên quan đến khoảng cách Bài 1. Cho đường thẳng � : ® � = 2 + 2� ® � = 4� . Tìm Bài 2. Cho đường thẳng � : . Tìm � =3+� � = −3 + 3� điểm M thuộc � và cách điểm A(0; 1) một điểm M thuộc � và cách gốc tọa độ ã Å một khoảng 28 96 khoảng bằng 5� . bằng 4. ĐS: M(4; 0) hoặc M − ; − 25 25 � Lời giải ................................................. Ta � có: M(2 + 2�; 3 + �) ∈ � và AM = 5 ................................................. ⇔ (2 + 2�)2 + (3 + � − 1)2 = 5 ................................................. ⇔ (2 + 2�)2 + (2 + �)2 = 25 ................................................. ⇔ 4 + 8� + 4� 2 + 4 + 4� + � 2 = 25 ................................................. ⇔ 5� 2 + 12� − 17 = 0 ................................................. 17 ⇔ � = 1 hoặc � = − ................................................. 5 ã Å 24 2 � Có 2 điểm là M(4; 4) hoặc M − ; − . 5 5 Trang 206 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 3. Cho đường thẳng � : � + � − 3 = 0 và hai điểm A(1; 1)� B(−3; 4)� Tìm điểm M ∈ � sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng 1. ĐS: M(0; 3) hoặc M(10; −7)� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 4. Cho đường thẳng � : 3� + 4� + 24 = 0 và hai điểm A(−1; 1)� B(2; 5)� Tìm điểm M ∈ � sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng 10. ĐS: M (−12; 3) hoặc M(4; −9). .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 5. Tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng � : � − 2� + 3 = 0� ĐS: A(2; 0)� B(0; 4)� .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... √ ĐS: BàiÅ6. TìmãM ∈ (�) : 3� Å −�− ã 2 = 0 để khoảng cách từ M đến (Δ) : � + 2� = 3 bằng 5� 12 22 2 8 ; ;− . M hoặc M 7 7 7 7 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... √ BàiÅ7. TìmãM ∈ (�) : 2� − � − 3 = 0 để khoảng cách từ M đến (Δ) : � + � − 5 = 0 bằng 2� ĐS: 10 11 M ; hoặc M (2; 1). 3 3 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 8. Tìm tọa độ điểm E ∈ (�) : � − � = 0 để khoảng cách từ E đến (� Å 1 ) : 2� + �ã+ 5 = 0 bằng 2 11 11 hoặc E (1; 1). lần khoảng cách từ E đến BC� Biết: B(0; 3)� C(−1; 1). ĐS: E − ; − 5 5 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Trang 207 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII .................................................................................................... .................................................................................................... BàiÅ9. Tìm ã điểm M ∈ (�) : 3� − 4� − 12 = 0 và cách đều hai điểm A(5; 0)� B(3; −2). ĐS: 24 −3 ; . M 7 7 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... �# » # »�� � Bài 10. Tìm điểm M ∈ (�) : � − 2� − 2 = 0 để �MA + 2�MB� là nhỏ nhất, với A(0; 1)� B(3; 4). ĐS: ã Å 16 3 ; . M 5 5 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... �# » # » # »�� � Bài 11. Tìm điểm D ∈ O� để �AD + BD − 3CD� là nhỏ nhất, với A(−1; 1)� B(1; 2)� C(3; 2). ĐS: D (0; 9). .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Bài 12. Cho điểm A(2; 2) và hai đường thẳng: (�1 ) : � + � − 2 = 0� (�2 ) : � + � − 8 = 0� Tìm tọa độ ĐS: điểm B và C lần lượt thuộc (�1 ) và (�2 ) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. B (−1; 3) � C (3� 5) hoặc B (3; −1) � C (5� 3). .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... � DẠNG 3. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách Nhóm 1. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Viết phương trình đường thẳng � đi qua A(2; 1) và � tạo với �� : 2� + 3� + 4 = 0 một góc bằng 45◦ . � Lời giải #» = (�; �) với �2 + �2 �= 0 là một VTPT của đường thẳng �. Gọi � � #» = (�; �) có dạng � : �(� − 2) + �(� − 1) = 0 (1). Khi đó � qua A(2; 1) có VTPT � � Trang 208 Chuyên đề Toán 10 HKII #» = (�; �), � #» � = (2; 3) và góc giữa � và �� bằng 45◦ nên Ta có � � � Nguyễn Quốc Dương 1 ((2� + 3�)) √ cos 45◦ = √ = √ 2 2 2 + 32 · � 2 + � 2 � √ √ ⇔ 13 · �2 + �2 = 2|2� + 3�| ⇔ 13(�2 + �2 ) = 2(4�2 + 12�� + 9�2 ) ⇔ 5�2 − 24�� − 5�2 = 0 � � �2 � ⇔ 5 − 24 − 5 = 0 � � � = 5 � � = 5� � ⇔  � 1 = − � � = −5�� � 5 • Với � = 5� và chọn � = 1 � � = 5 thì (1) � � : 5(� − 2) + 1(� − 1) = 0 � � : 5� + � − 11 = 0. • Với � = −5� và chọn � = 1 � � = −5 thì (1) � � : 1(� − 2) − 5(� − 1) = 0 � � : � − 5� + 3 = 0. Kết luận: có hai đường thẳng thỏa bài toán là 5� + � − 11 = 0 hoặc � − 5� + 3 = 0. Nhận xét. • Cần nhớ cách giải của phương trình đẳng cấp bậc hai dạng α�2 +β��+γ�2 = 0. • Vì có vô số VTPT cùng phương với � nên sau khi tìm được mối liên hệ � = ��, ta có thể chọn � rồi suy ra � và thế vào phương trình �. � Bài 2. Viết phương trình đường thẳng � đi qua M(2; 1) và � tạo với �� : 3� − 2� + 1 = 0 một góc ĐS: � − 5� + 9 = 0 hoặc 5� + � − 7 = 0. bằng 45◦ . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 3. Viết phương trình đường thẳng � đi qua A(5; 1) và � tạo với Δ : 2� + � − 4 = 0 một góc bằng ĐS: 3� − � − 14 = 0 hoặc � + 3� − 8 = 0. 45◦ . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 209 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 4. Viết phương trình đường thẳng � đi qua M(4; O� một góc √ 1) và �√tạo với trục tung √ √ bằng ◦ ĐS: � + � 3 − 4 − 3 = 0 hoặc � − � 3 − 4 + 3 = 0. 60 . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Viết phương trình đường thẳng√� đi qua A(1; 3)√và � tạo với Δ : � −√ � = 0 một góc bằng 30◦ . √ ĐS: (−2 − 3)� + � − 5 − 3 = 0 hoặc (−2 + 3)� + � − 5 + 3 = 0. � Lời giải Trang 210 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương � Bài 6. Viết phương trình đường thẳng � đi qua A(−1; 2) và � tạo với Δ : 2� + 3� − 4 = 0 một góc ĐS: −5� + � − 7 = 0 hoặc � + 5� + 9 = 0. bằng 45◦ . � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Nhóm 2. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách ���BÀI TẬP VẬN DỤNG��� Bài 1. Viết phương trình đường thẳng � song song với Δ : 4� − 3� + 12 = 0 và � cách Δ một khoảng bằng 5. � Lời giải Vì � � Δ : 4� − 3� + 12 = 0 nên � có dạng � : 4� − 3� + � = 0� (� �= 12). Chọn M(0; 4) ∈ Δ : 4� − 3� + 12 = 0� Khi đó |4�0 − 3�4 + �| � =5 42 + (−3)2 ⇔ |12 − �| = 25 ñ 12 − � = 25 ⇔ 12 − � = −25 ñ � = −13 (N) ⇔ � � = 27 (N) d(�� Δ) = d(M� �) = 5 ⇔ � � : 4� − 3� − 13 = 0 hoặc � : 4� − 3� + 27 = 0 � Bài 2. Viết phương trình đường thẳng � song song với Δ : 3� − 4� + 1 = 0 ñvà � cách Δ một 3� − 4� − 4 = 0 khoảng bằng 1. ĐS: � : 3� − 4� + 6 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 211 Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Bài 3. Viết phương trình đường thẳng � song song với Δ : 2� − � + 3 = 0 và � cách ñ Δ một khoảng √ 2� − � − 2 = 0 bằng 5. ĐS: � : 2� − � + 8 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 4. Viết phương trình đường thẳng � song song với Δ : 2� + 5� − � cách Δ một � 1 = 0 và √ √ 2� + 5� + 329 − 1 = 0 ĐS: � : khoảng bằng 11. √ 2� + 5� − 329 − 1 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 5. Cho đường thẳng � : � − 3� + 4 = 0 và điểm √ A(−2; 4). Viết phương trình đường thẳng Δ song song với � và Δ cách A một khoảng bằng 10. � Lời giải Vì Δ � � : � − 3� + 4 = 0 � Δ : � − 3� + � = 0� (� �= 4). Theo đề bài, ta có: d(A� Δ) = √ |−2 − 3�4 + �| √ � = 10 12 + (−3)2 ⇔ |−14 + �| = 10 ñ − 14 + � = 10 ⇔ − 14 + � = −10 ñ � = −24 ⇔ � = 4 (L) 10 ⇔ Với � = −24� suy ra: Δ : � − 3� − 24 = 0. � Bài 6. Cho đường thẳng � : 3� − 4� + 12 = 0 và điểm A(2; 3). Viết phương trình ñ đường thẳng Δ 3� − 4� + 16 = 0 song song với � và Δ cách A một khoảng bằng 2. ĐS: � : 3� − 4� − 4 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 212 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 7. Cho đường thẳng � : � + 4� − 2 = 0 và điểm A(−2; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ √ � � + 4� + 3 17 − 10 = 0 song song với � và Δ cách A một khoảng bằng 3. ĐS: � : √ � + 4� − 3 17 − 10 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 8. Cho đường thẳng � : 3� − 4� − 2 = 0 và điểm A(3; 5). Viết phương trình ñ đường thẳng Δ 3� − 4� + 51 = 0 song song với � và Δ cách A một khoảng bằng 8. ĐS: � : 3� − 4� − 29 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 9. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm A(2; −2) và � cách điểm B(3; 1) một khoảng bằng 3. ĐS: � Lời giải #» = (�; �)� (�2 + �2 �= 0) có dạng: Đường thẳng � đi qua điểm A(2; −2) và có VTPT � � � : �(� − 2) + �(� + 2) = 0 � � : �� + �� − 2� + 2� = 0 Theo đề bài, ta có: |��3 + ��1 − 2� + 2�| √ =3 �2 + �2 |� + 3�| ⇔ √ =3 �2 + �2 ⇔ 8�2 − 6�� = 0 3 ⇔ � = 0 hoặc � = �� 4 (1) d(B� �) = 3 ⇔ • Với � = 0 thì (1) � � : �� + 2� = 0 � � : �(� + 2) = 0 � � : � + 2 = 0. • Với � = 3 � và chọn � = 4 � � = 3 thì từ (1) � � : 3� + 4� + 2 = 0. 4 � Bài 10. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm A(−1; 3) và � cách điểm ñ B(4; 2) một khoảng 12� − 5� + 27 = 0 bằng 5. ĐS: � : �+1=0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Trang 213 Nguyễn Quốc Dương ................................................. ................................................. ................................................. Chuyên đề Toán 10 HKII ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 11. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm A(1; 1) và � cách điểmñ B(3; 6) một khoảng �−1=0 bằng 2. ĐS: � : 21� − 20� − 1 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 12. Viết phương trình đường thẳng � đi qua điểm A(4; 1) và � cách điểm B(−2; 3) một khoảng ñ �−4=0 bằng 6. ĐS: � : 4� − 3� − 13 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 13. Cho ba điểm A(3; 0)� B(−5; 4)� M(10; 2). Viết phương trình đường thẳng � đi qua M, đồng thời � cách đều A và B. � Lời giải #» = (�; �) với �2 + �2 �= 0 là một VTPT của đường thẳng �. Gọi � � #» = (�; �) có dạng � : �(� − 10) + �(� − 2) = 0 � � : �� + �� − Khi đó � qua A(10; 2), có VTPT � � 10� − 2� = 0 (1) Vì � cách đều hai điểm A(3; 0) và B(−5; 4) nên |−15� + 2�| |��3 + ��0 − 10� − 2�| √ = √ 2 2 � +� �2 + �2 ⇔ |−7� − 2�| = |−15� + 2�| ñ − 7� − 2� = −15� + 2� ⇔ − 7� − 2� = −(−15� + 2�) ñ � = 2� ⇔ � �=0 d(A; �) = d(B; �) ⇔ • Với � = 2� và chọn � = 1 � � = 2 thì (1) � � : � + � − 14 = 0. • Với � = 0 thì (1) � � : �� − 2� = 0 � � : �(� − 2) = 0 � � : � − 2 = 0. Trang 214 � Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương Bài 14. Cho ba điểm A(−2; 2)� B(2; −1)� M(3; 2). Viết phương trình đường thẳng ñ � đi qua M, đồng � : � + 2� − 7 = 0 thời � cách đều A và B. ĐS: � : � − 4� + 5 = 0 � Lời giải ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. � Bài 15. Cho ba điểm A(−1; 0)� B(2; 1)� M(−2; 3). Viết phương trình đường thẳng � đi qua M, đồng thời � cách đều A và B. ĐS: � − 3� + 11 = 0� � + � − 1 = 0 � Lời giải � Bài 16. Cho ba điểm A(5; −1)� B(3; 7)� M(−2; 3). Viết phương trình đường thẳng � đi qua M, đồng thời � cách đều A và B. ĐS: 4� + � + 5 = 0� � − 3 = 0 � Lời giải � Bài 17. Cho ΔABC có AB : 3� − � − 10 = 0� AC : � − 3� + 10 = 0. Biết B(3; −1)� C(−1; 3). Viết ’ phương trình đường thẳng � chứa đường phân giác trong của góc BAC. � Lời giải Cách giải 1. Sử dụng khoảng cách: � Gọi K(�; �) thuộc đường phân giác trong của góc A. � Ta có |� − 3� + 10| |3� − � − 10| = � d(K� AB) = d(K� AC) ⇔ � 32 + (−1)2 12 + (−3)2 ⇔ |3� − � − 10| = |� − 3� + 10| ñ 3� − � − 10 = � − 3� + 10 ⇔ 3� − � − 10 = −� + 3� − 10 ñ � + � − 10 = 0 (�1 ) � ⇔ �−� =0 (�2 ) Trang 215 A �1 B �2 C Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Xét đường thẳng �1 : � + � − 10 = 0 và đặt T = � + � − 10. � Thay B(3; −1) vào T suy ra TB = 3 − 1 − 10 = −8 � Thay C(−1; 3) vào T suy ra TC = −1 + 3 − 10 = −8 � Suy ra TB �TC = 64 > 0 � Hai điểm B� C nằm cùng một bên so với �1 � �1 là đường phân giác góc ngoài � �2 : � − � = 0 là đường phân giác góc trong. Cách giải 2. Sử dụng góc: ® 3� − � = 10 � Ta có A = AB ∩ AC � Tọa độ A thỏa hệ phương trình � A(5; 5). � − 3� = −10 #» = (�; �) là một VTPT của đường phân giác � và � đi qua điểm A(5; 5) � Gọi � � � � : �(� − 5) + �(� − 5) = 0 � � : �� + �� − 5� − 5� = 0 (1) � Ta có |� − 3�| |3� − �| √ √ � =� 2 2 2 2 2 3 + (−1) � � + � 1 + (−3)2 � �2 + �2 ⇔ |3� − �| = |� − 3�| ñ 3� − � = � − 3� ⇔ 3� − � = −� + 3� ñ � = −� ⇔ � �=� cos(AB; �) = cos(AC; �) ⇔ � Với � = � thế vào (1) � �1 : �� + �� − 10� = 0 � �1 : � + � − 10 = 0. � Với � = −� thế vào (1) � �2 : �� − �� − 5� + 5� = 0 � �2 : � − � = 0. Xét đường thẳng �1 : � + � − 10 = 0 và đặt T = � + � − 10. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ! Ta có thể sử dụng tính chất đường phân giác để tìm chân đường phân giác. Bài 18. Cho ba đường thẳng �1 : � − 2� + 3 = 0� �2 : 4� + 2� − 5 = 0 và �3 : � + 2� − 1 = 0. a Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi �1 và �2 . 2� + 6� − 11 = 0� 6� − 2� + 1 = 0 � ĐS: ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. Trang 216 Chuyên đề Toán 10 HKII ………………………………………. ………………………………………. Nguyễn Quốc Dương ………………………………………. ………………………………………. b Phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi �1 và �3 . ĐS: � − 1 = 0 ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. � Lời giải ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. � Bài 19. Cho hai đường thẳng �1 : 2� − � + 1 = 0� �2 : � + 2� − 7 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng � đi qua gốc tọa độ O sao cho � cắt �1 � �2 tại A� B và ΔABI cân tại I, với I là giao điểm của ĐS: � : 3� + � = 0 hoặc � : � − 3� = 0 �1 và �2 . � Lời giải I �1 A �2 B O(0; 0) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 217 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII Bài 20. Cho tam giác ABC cân tại A� biết AB : � + � + 1 = 0 và BC : 2� − 3� − 5 = 0� Lập phương trình cạnh AC biết điểm M(1; 1) thuộc AC. ĐS: AC : 17� + 7� − 24 = 0 � Lời giải A M B …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. C …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 21. Cho hình vuông đỉnh A(−4; 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7� − � + 8 = 0. Lập phương trình đường thẳng AB và AD. ĐS: AB : 3� − 4� + 32 = 0� AD : 4� + 3� + 1 = 0 hoặc ngược lại � Lời giải A D I B …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. C …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 218 Chuyên đề Toán 10 HKII …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 22. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các đường thẳng AB� BC� CD� DA lần lượt đi qua M(4; 5), N(6; 5), P(5; 2), Q(2; 1). Viết phương trình đường thẳng AB. ĐS: AB : 3� − 4� + 32 = 0� AD : 4� + 3� + 1 = 0 hoặc ngược lại � Lời giải M(4; 5) A D N(6; 5) Q(2; 1) P(5; 2) …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. B C …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � BàiÅ23. Cho ã hình chữ nhật ABCD có điểm H(1; 2) là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Điểm 9 ; 3 là trung điểm cạnh BC� phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là M 2 4� + � − 4 = 0� Viết phương trình cạnh BC� ĐS: BC : 2� + � − 12 = 0 � Lời giải Trang 219 Nguyễn Quốc Dương B M H C Chuyên đề Toán 10 HKII N A …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. D …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � Bài 24. Cho hình vuông ABCD. Điểm E(2; 3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm H(−2; 3) và K(2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ độ các đỉnh A� B� C� D của hình vuông ABCD. ĐS: A(−2; 4), B(−2; −1), C(3; −1), D(3; 4) � Lời giải A H B K D E …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. C …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Trang 220 Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. � ã Å 1 Bài 25. Cho hình thang ABCD với AB � CD có diện tích bằng 14� điểm H − ; 0 là trung điểm 2 Å ã 1 1 của cạnh BC và I ; là trung điểm của AH� Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D 4 2 có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng � : 5� − � + 1 = 0� ĐS: AB : 3� − � − 2 = 0 � Lời giải A I / // B // / H D …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI A. 1. �. C M …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ĐƯỜNG TRÒN TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình đường tròn Cho �đường tròn (C) có tâm I(�; �) và bán kính R. Điểm M(�; �) ∈ (C) ⇔ IM = R ⇔ (� − �)2 + (� − �)2 = R ⇔ (� − �)2 + (� − �)2 = R2 (∗) gọi là phương trình (C). 2 + � 2 − 2�� − 2�� + � 2 + �2 − R2 = 0. Từ (∗) ⇔ � 2 + � 2 − 2�� − 2�� + �2 + �2 = R2 ⇔ � √ Đặt � = �2 + �2 − R2 ⇔ R2 = �2 + �2 − � � R = �2 + �2 − � > 0. Khi đó (C) trở thành (C) : � 2 + � 2 − 2�� − 2�� + � = 0 gọi là phương trình (C) dạng 2. Trang 221 � Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII � Tóm lại: Để viết được phương trình đường tròn, ta cần tìm tâm I®và bán kính R • Tâm I(�� �) (C) : � (C) : (� − �)2 + (� − �)2 = R2 • Bán kính R √ � (C) : � 2 + � 2 − 2�� − 2�� + � = 0, với R = �2 + �2 − � > 0. 2.