Kiến thức trọng tâm môn Toán 12

1 2021 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP NGUYỄN THÁI HOÀNG DỰ ÁN LATEX TÀI LIỆU ÔN THI 29 6 30 50 2 26 32 19 3 38 20 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 10 25 MÔN TOÁN TOÁN 12 12 MÔN 12 17 46 47 7 43 5 23 4 35 42 9 39 24 14 15 11 16 31 33 8 21 44 49 18 FULL CÔNG CÔNG THỨC THỨC VÀ VÀ DẠNG TOÁN TOÁN FULL DẠNG 13 40 34 37 27 22 48 36 28 π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 41 45 MỤC LỤC I II ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH A | | B | | | | C | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Lớp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Xét dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . Lớp 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 5. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 6. Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . Lớp 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 7. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số . . . . . Dạng 8. Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 9. Cực trị hàm bậc 3 – Trùng phương . . . . . Dạng 10. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . Dạng 11. Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . Dạng 12. Đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 13. Tịnh tiến đồ thị và phép suy đồ thị . . . . Dạng 14. Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 15. Lũy thừa (a>0) . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 16. Lôgarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1) . . . . . . . . Dạng 17. Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R . . . . . . . Dạng 18. Hàm số mũ y = a x (a > 0) . . . . . . . . . Dạng 19. Hàm số Lôgarit y = loga x . . . . . . . . Dạng 20. Phương trình, bất phương trình mũ . . . Dạng 21. Phương trình và bất phương trình logarit Dạng 22. Lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . Dạng 23. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 24. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 25. Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . Dạng 26. Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . Dạng 27. Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . Dạng 28. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Dạng 29. Một số công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3 4 4 4 4 5 7 7 8 8 9 9 9 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 16 18 19 SỔ TAY TOÁN HỌC | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Ô 038.333.8353 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . Khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt bên . Khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp . . . Hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diện tích đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tỉ số thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . Tỉ số thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . Khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thiết diện khối nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . Thiết diện không đi qua trục . . . . . . . . . . . . . . Bán kính đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện . . . . . . . Mặt cầu nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng tích có hướng của hai vec-tơ . . . . . . . . Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số yếu tố trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tọa độ hình chiếu và đối xứng của một điểm qua mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 26 26 27 27 28 28 30 30 30 31 31 32 32 33 34 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1 SỔ TAY TOÁN HỌC A Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! LỚP 10 Xét dấu 1. Dấu nhị thức bậc nhất • Dạng f ( x) = ax + b (a 6= 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm của phương trình ax + b = 0. • Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a 6= 0): x −∞ − trái dấu với a ax + b b a 0 +∞ cùng dấu với a 2. Dấu tam thức bậc hai • Dạng f ( x) = ax2 + bx + c (a 6= 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0. • Tính ∆ = b2 − 4ac. • Nếu ∆ < 0 thì phương trình f ( x) = 0 vô nghiệm và x −∞ +∞ cùng dấu với a ax2 + bx + c • Nếu ∆ = 0 thì phương trình f ( x) = 0 có nghiệm kép x = − x −∞ ax2 + bx + c − cùng dấu với a b và 2a b 2a 0 +∞ cùng dấu với a • Nếu ∆ = 0 f ( x) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) và x ax2 + bx + c x1 −∞ x2 +∞ cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆0 theo hệ số b chẵn . 3. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai ¡ ¢ Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (∗) ∆ = b2 − 4ac • Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ( x1 < 0 < x2 ) khi và chỉ khi P = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 2 c < 0. a GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! • Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt ( x1 < x2 < 0) khi và chỉ khi  a = 6 0       ∆>0   c P = >0 .   a     b  S = − < 0 a • Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi và chỉ khi  a = 6 0       ∆>0   c P = >0 .   a     b  S = − > 0 a 4. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) ” • f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a>0 ” • ∆≤0 f ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a<0 ∆≤0 Phương trình cơ bản 1. Điều kiện xác định f ( x) có nghĩa là f ( x) ≥ 0; a) Điều kiện để biểu thức p b) Điều kiện để biểu thức 1 có nghĩa là f ( x) 6= 0; f ( x) c) Điều kiện để biểu thức p 1 f ( x) có nghĩa là f ( x) > 0. 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn a) p A= p ( B⇔ B≥0 b) A = B. p ( A=B⇔ B≥0 A = B2 . 3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Với f ( x), g( x) là các hàm số. Khi đó    g ( x) ≥ 0  ” | f ( x )| = g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)    f ( x) = − g ( x) ” f ( x) = g ( x) | f ( x)| = | g( x)| ⇔ f ( x) = − g ( x) | f ( x)| + | g( x)| = | f ( x) + g( x)| ⇔ f ( x).g( x) ≥ 0 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 3 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC B Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! LỚP 11 Cấp số cộng • ( u n ) là cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d • Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2 b • Số hạng TQ: u n = u 1 + ( n − 1) d . • Tổng n số hạng đầu CSC: S n = n( n − 1) n( u 1 + u n ) = nu 1 + d 2 2 Cấp số nhân • ( u n ) là cấp số nhân ⇔ n ≥ 2, u n = u n−1 · q. • Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a · c = b2 . • Số hạng TQ: u n = u 1 · q n−1 , n ≥ 2. • Tổng n số hạng đầu CSN: S n = u 1 · ! Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S n = 1 − q n u 1 − u n+1 = . 1− q 1− q u1 . 1− q Đạo hàm 1. Các quy tắc Giả sử u = u( x), v = v( x), w = w( x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó: ! • ( u + v − w)0 = u0 + v0 − w0 • ³ u ´0 = u 0 v − v0 u v2 v µ ¶0 1 v0 • =− 2 v v • ( uv)0 = u0 v + v0 u • ( ku)0 = ku0 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (C )0 = 0 ( x n )0 = n.x n−1 ( n ∈ R, x > 0) ( u n )0 = n.u n−1 ( n ∈ R, u > 0) ¡p ¢0 1 x = p 2 x ¡p ¢0 u0 u = p ( u > 0) 2 u ( x > 0) µ ¶0 1 1 = − 2 ( x 6= 0) x x TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP µ ¶0 1 u0 = − 2 ( u 6= 0) u u 4 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 . cos u (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = − u0 . sin u ³ ´ 1 π x 6= + kπ , k ∈ Z (tan x) = 2 cos2 x ³ ´ u0 π u 6= + kπ , k ∈ Z (tan u) = 2 cos2 u 0 (cot x) = − 0 ¡ ¢0 loga x = (ln a)0 = 1 sin2 x 0 ( x 6= kπ) , k ∈ Z (tan u) = − 0 1 x. ln a ¡ ¢0 loga u = 1 x (ln u)0 = (a x )0 = a x . ln a u0 ( u 6= kπ) , k ∈ Z sin2 u u0 u. ln a u0 u (a u )0 = u0 .a u ln a 3. Phương trình tiếp tuyến ! • Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) là f 0 ( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 , y0 ) có dạng y − y0 = f 0 ( x0 )( x − x0 ) . Công thức lượng giác 1. Công thức lượng giác cơ bản • sin2 x + cos2 x = 1 ! • tan x. cot x = 1 1 π , x = 6 + kπ 2 cos2 x • tan x = sin x π , x 6= + kπ cos x 2 • 1 + tan2 x = • cot x = cos x , x 6= kπ sin x • 1 + cot2 x = − cos − đối, sin − bù, phụ – chéo, hơn kém π tan cot, hơn kém 1 sin2 x π 2 , x 6= + kπ chéo sin. 2. Công thức cộng • sin (a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a • tan (a + b) = tan a + tan b 1 − tan a. tan b • tan (a − b) = tan a − tan b 1 − + tana. tan b • sin (a − b) = sin a. cos b − sin b. cos a • cos (a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b • cos (a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b 3. Công thức nhân đôi, hạ bậc TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 5 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 • cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a • cos 3a = 3 cos3 a − 3 cos a • sin 2a = 2 sin a. cos a • tan 2a = NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! 2 tan a 1 − tan2 a • sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a • sin2 a = 1 − cos 2a 2 • cos2 a = 1 + cos 2a 2 • tan2 a = 1 − cos 2a 1 + cos 2a 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 [cos (a + b) + cos (a − b)] 2 1 sin a sin b = − [cos (a + b) − cos (a − b)] 2 1 sin a cos b = [sin (a + b) + sin (a − b)] 2 cos a cos b = 5. Công thức biến tổng thành tích a+b a−b . cos 2 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin . sin 2 2 a−b a+b . cos sin a + sin b = 2 sin 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos . sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos 6. Phương trình lượng giác cơ bản sin x = a và cos x = a Trường hợp |a| > 1 phương trình vô nghiệm. Trường hợp |a| < 1, khi đó sin x = a Đặc biệt   sin x = 0 ⇔ x = kπ     π sin x = 1 ⇔ x = + k2π 2   π    sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 2  π    cos x = 0 ⇔ x = 2 + kπ cos x = 1 ⇔ x = k2π    cos x = −1 ⇔ x = π + k2π ∃ a sao cho sin x = a ∃a sao cho cos x = a " Nếu a (chẵn số) cos x = a sin x = sin a ⇔ TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP x = a + k 2π " x = π − a + k 2π 6 cos x = cos a ⇔ x = a + k2π x = − a + k 2π GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! " Nếu a (lẻ số) sin x = a " x = arcsin (a) + k2π ⇔ cos x = a ⇔ x = arccos (a) + k2π x = − arccos (a) + k2π x = π − arcsin (a) + k2π " Nếu a (theo đơn vị độ) sin x = " x = a o + k360 o sin a o ⇔ cos x = cos a ⇔ o x = a o + k360 o x = −a o + k360 o x = π − a o + k360 o 7. Phương trình lượng giác cơ bản tan x = a và cot x = a tan x = a ( x 6= 2 + k π) cot x = a ( x 6= kπ)   tan x = 0 ⇔ x = kπ     π tan x = 1 ⇔ x = + kπ 4    π   tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4  π   cot x = 0 ⇔ x = + kπ   2   π cot x = 1 ⇔ x = + kπ  4    π   cot x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 ∃ a sao cho tan x = a ∃a sao cho cot x = a Nếu a (chẵn số) tan x = tan a ⇔ x = a + kπ cot x = cot a ⇔ x = a + π Nếu a (lẻ số) tan x = a ⇔ x = arctan (a) + kπ cot x = a ⇔ x = arccot(a) + kπ Nếu a ( theo đơn vị độ) tan x = tan a o ⇔ x = a o + k180 o cot x = cot a o ⇔ x = a o + k180 o Đặc biệt C π LỚP 12 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số • Nếu f 0 ( x) ≥ 0 và f 0 ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì HSĐB trên K . • Nếu f 0 ( x) ≤ 0 và f 0 ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì HSNB trên K . TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 7 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! ! Hàm y = cx + d không xét dấu bằng. ax + b Quy tắc: a) Tìm tập xác định. b) Tính đạo hàm f 0 ( x). Tìm nghiệm f 0 ( x) = 0 x i ∈ R hoặc f 0 ( x) = 0 không xác định. c) Lập BBT. d) Kết luận. Cực trị hàm số Hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f 0 ( x0 ) = 0. Quy tắc 1. • Tìm tập xác định. • TÍnh f 0 ( x). Tìm các điểm tại đó f 0 ( x) bằng 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. • Từ bảng biến thiên suy ra cực trị. Nếu f 0 ( x) đổi dấu khi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Quy tắc 2. • Tìm tập xác định. • Tính f 0 ( x). Giải phương trình f 0 ( x) = 0 và kí hiệu x i ( i = 1, 2, 3, . . . , n) là các nghiệm của nó. • Tính f 00 ( x) và f 00 ( x i ), ( i = 1, 2, 3, . . . , n). • Dựa vào dấu của f 00 ( x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x i . +o Nếu f 00 ( x i ) > 0 thì x i là điểm cực tiểu. +o Nếu f 00 ( x i ) < 0 thì x i là điểm cực đại. Cực trị hàm bậc 3 - Trùng phương • Hàm số bậc 3 có cực trị khi: ∆ y0 > 0. Không có cực trị khi: ∆ y0 ≤ 0. • Hàm số trùng phương có 3 cực trị khi: ab < 0. Có 1 cực trị khi: ab ≥ 0. +o 3 điểm cực trị hàm trùng phương luôn tạo thành tam giác cân. b3 + 8a b3 − 8a s b5 +o S4 ABC = − 32a3 ƒ= +o cos BAC TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 8 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Quy tắc 1. Tìm các điểm x1 ; x2 ; ...; xn trên khoảng (a; b) tại đó f 0 ( x) = 0 hoặc f 0 ( x) KXĐ. 2. Tính f (a) ; f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ...; f ( xn ) ; f (b) . 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Sử dụng máy tính FX-580VNX Bước 1. w 8 (TABLE). Bước 2. NHẬP F(X) =. Bước 3. START = a, END = b, STEP = b−a . Chú ý: −∞ = −10, +∞ = 10. 29 Đường tiệm cận • lim f ( x) = y0 ; lim f ( x) = y0 ( y0 = const) ⇒ TCN: y = y0 . x→+∞ x→−∞ • TCĐ: x = x0 nếu x0 = const là nghiệm mẫu và không là nghiệm tử. • Giao điểm của TCĐ và TCN là tâm đối xứng của đồ thị. Đồ thị hàm số 1. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d a>0 a<0 y ∆ y0 > 0 y x O y ∆ y0 = 0 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP x O y x O 9 O x GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! y ∆ y0 < 0 y x O x O 2. Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c. a>0 a<0 y y a·b <0 x O x O y y a·b ≥0 x O 2. Đồ thị hàm số y = ax + b . cx + d ad − bc < 0 ad − bc > 0 y y O x O TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP x O 10 x GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! Tịnh tiến đồ thị và phép suy đồ thị Tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f ( x) và p > 0, ta có: • Tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị tì được đồ thị y = f ( x) + p. • Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị tì được đồ thị y = f ( x) − p. • Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị tì được đồ thị y = f ( x + p). • Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị tì được đồ thị y = f ( x − p). Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f ( x) suy ra đồ thị (C’): y = f (| x|) Ta có: y = f (| x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C’) nhận O y làm trục đối xứng Cách vẽ (C’) từ (C): • Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị (C): y = f ( x). • Bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. Dạng 2: Từ đồ thị (C): y = f ( x) suy ra đồ thị (C’): y = | f ( x)| Cách vẽ (C’) từ (C): • Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox của đồ thị (C): y = f ( x). • Bỏ phần đồ thị bên dưới trục Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Sự tương giao Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ). • Khi đó số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) chính bằng số nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) và hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình đó. Phương trình f ( x) = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục ! hoành Ox 1 • Cô lập m: ! • Nếu g( m) ≤ f ( x) thì g( m) ≤ min f ( x) • Nếu g( m) ≥ f ( x) thì g( m) ≥ max f ( x) Lũy thừa (a>0) • a m · a n = a m+ n • (a · b)n = a n · b n p k • ak = a 2 • • • ³ a ´n b p n = an bn k ak = a n • a− n = • p m p n 1 an k a k = a m· n m a = a m− n an TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP • ( a m ) n = a m· n 11 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! Lôgarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1) • loga 1 = 0 1 loga x • log x a = • loga ( x · y) = loga x + loga y • loga a = 1 µ ¶ x • loga = loga x − loga y y 1 loga x m • logam x = • loga x = loga b · logb x • loga a = α α logb x logb a • loga x = • loga xα = α loga x Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R Tập xác định α>1 y a) D = R khi α nguyên dương. α=1 b) D = R {0} khi α nguyên âm. 0<α<1 c) D = (0; +∞) khi α không nguyên. α=0 1 α<0 1 O x Hàm số mũ y = a x (a > 0) • Tập xác định D = R. y y • y0 = a x ln a, ∀ x ∈ R • HSĐB trên R khi và chỉ khi a > 1, HSNB trên R khi và chỉ khi a < 1. O • TCN: y = 0. a>1 1 1 x O x 0 1, HSNB trên (0; +∞) khi và chỉ khi 0 < a < 1. • TCĐ: x = 0. TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP O 1 a>1 12 x O 1 x 01 0 a g(x) ⇔ f ( x) > g( x) a f (x) > a g(x) ⇔ f ( x) < g( x) Phương trình và bất phương trình logarit Khi giải phương trình bất phương trình logarit: Đặt điều kiện loga x = b ⇔ x = a b loga f ( x) = loga g( x) ⇔ f ( x) = g( x) a>1 0 loga g( x) ⇔ f ( x) > g( x) loga f ( x) > loga g( x) ⇔ f ( x) < g( x) Lãi suất ngân hàng 1. Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r %/ kỳ hạn thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là !S n = A + n · A · r = A (1 + nr ) 2. Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r %/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn n ∈ N∗ là !S n = A (1 + r )n TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 13 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Nguyên hàm 1. Kí hiệu Z f ( x) d x = F ( x) + C . 2. Tính chất • Z • Z • Z f 0 ( x) d x = f ( x) + C . k f ( x) d x = k Z f ( x) d x với k 6= 0. [ f ( x) ± g( x)] d x = Z f ( x) d x ± Z g ( x) d x. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 1 Nguyên hàm Z 0d x = C xα+1 + C ,α 6= −1 α+1 Z 1 1 3 d x = − +C 2 x x Z ax x a dx = +C 4 ln a Z 5 exdx = ex + C Z 1 d x = ln | x| + C 6 Z x cos x d x = sin x + C 7 Z sin x d x = − cos x + C 8 Z 1 9 d x = tan x + C 2 Z cos x 1 10 d x = − cot x + C sin2 x 2 Z xα d x = Nguyên hàm mở rộng Z kd x = k · x + C Z (ax + b)α d x = Z Z Z Z Z Z Z Z 1 (ax + b)α+1 · + C ,α 6= −1 a α+1 1 1 dx = − . +C a ax + b (ax + b)2 1 a mx+n mx+ n a dx = · +C m ln a 1 e ax+b d x = e ax+b + C a 1 1 d x = . ln |ax + b| + C ax + b a 1 cos (ax + b) d x = · sin (ax + b) + C a 1 sin (ax + b) d x = − cos (ax + b) + C a 1 1 d x = tan (ax + b) + C a cos2 (ax + b) 1 1 d x = − cot (ax + b) + C 2 a sin (ax + b) ý sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong thì cần phải trả lại biến cũ ban ! Lưu đầu. Tích phân 1. Kí hiêu Zb ¯b ¯ f ( x) d x = F ( x)¯ = F ( b) − F (a). a a 2. Tính chất • Za f ( x ) d x = 0. a TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP Zb • a f ( x) d x = − Za f ( x) d x. b 14 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC • Zb Ô 038.333.8353 k f ( x) d x = k a • Zb • f ( x) d x ( k ∈ R). a f ( x) d x = a Zb Zb NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Zc f ( x) d x + a [ f ( x) ± g( x)] d x = a Zb f ( x ) d x ( a < c < b ). c Zb f ( x) d x ± a Zb g ( x) d x. a Za • Nếu y = f ( x) là hàm lẻ, liên tục trên đoạn [−a; a] thì f ( x) d x = 0. −a • Nếu y = f ( x) là hàm chẵn, liên tục trên đoạn [−a; a] thì Za f ( x) d x = 2 Za f ( x) d x. 0 −a Diện tích hình phẳng  y = f ( x)     Zb y = 0 (H ) = ⇒ S = | f ( x)|d x.  x=a   a   x=b  y = f ( x)     Zb  y = g ( x) (H ) = ⇒ S = | f ( x) − g( x)|d x.  x=a   a   x=b Thể tích khối tròn xoay • Loại 1 Vật thể tròn xoay sinh ra khi quanh quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = 0, x = a, x = b với f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Áp dụng công thức: V = π Zb f 2 ( x) d x y y = f ( x) O a b x a • Loại 2 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 15 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 Vật thể tròn xoay sinh ra khi quanh quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f ( x), y = g( x), x = a, x = b với f ( x), g( x) liên tục trên đoạn [a; b] và 0 ≤ g( x) ≤ f ( x) ∀ x ∈ [a; b]. Áp dụng công thức: Zb V =π £ NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! y y = f ( x) y = g ( x) O a b x ¤ f 2 ( x) − g 2 ( x) d x a • Nhiều bài tập chưa cho x = a, x = b thì ta GPT f ( x) = g( x) để tìm a, b. ! • Nếu xác định được vị trí hàm số f ( x) và g( x) thì ta có thể mở giấu GTTĐ như sau: +o ĐTHS f ( x) nằm trên ĐTHS g( x) trên [a, b] thì f ( x) > g( x), ∀ x ∈ [a, b]. +o ĐTHS f ( x) nằm dưới ĐTHS g( x) trên [a, b] thì f ( x) < g( x), ∀ x ∈ [a, b]. Thể tích vật thể Cắt vật thể V bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b(a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích S ( x). Với S ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. a x b x Thể tích của vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q ) tính bởi công thức Zb V= S ( x) d x. a Số phức 1. Định nghĩa và tính chất • z = a + bi , i 2 = −1 là số phức TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 16 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! +o Phần thực: a +o Phần ảo: b • Cho z = a + bi và z0 = a0 + b0 i thì +o z + z0 = (a + a0 ) + (b + b0 ) i +o z − z0 = (a − a0 ) + (b − b0 ) i +o z · z0 = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b) i +o z aa0 + bb0 a0 b − a − b0 = 02 + z0 a + b02 a02 + b02 2. Số phức liên hợp • Cho z = a + bi thì z = a − bi là số phức liên hơp của z • Tính chất: +o z · z = a2 + b2 ; +o µ z1 z1 = ; z2 z2 ¶ z1 + z2 = z1 + z2 ; z + z = 2 a; z1 · z2 = z1 · z2 z − z = 2 bi 3. Môđun của số phức • Cho a = z + bi thì | z| = p a2 + b 2 • | z | = | z |; | z 1 · z 2 | = | z 1 | · | z 2 | ¯ ¯ ¯ z1 ¯ | z1 | • ¯¯ ¯¯ = ; | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 |; z2 | z2 | | z1 − z2 | ≥ | z1 | − | z2 | 4. Biểu diễn hình học số phức • z = a + bi ⇒ M (a; b) y • | z| = OM M b O a x 5. Phương trình bậc hai • ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0), ∆ = b2 − 4ac. p −b ± ∆ • ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực: x1,2 = 2a p − b ± |∆| i • ∆ < 0 Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 = 2a TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 17 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG PHẦN II HÌNH HỌC 18 SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Một số công thức cần nhớ Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau: • Định lý hàm số cô-sin trong tam giác 4 ABC : C ƒ •BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB · AC · BAC 2 2 2 ƒ = AB + AC − BC • cos BAC 2 · AB · AC # » # » ƒ = 1 ( AB2 + AC 2 − BC 2 ). • AB · AC = AB · AC · cos BAC 2 B A # » # » • Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai véc-tơ AB và CD dựa vào công thức ¯ # » # »¯ ¯ ¯ ³ # » # »´ ¯ AB · CD ¯ AB · CD cos AB; CD = ¯ # »¯ ¯ # »¯ ⇒ cos( AB; CD ) = ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ AB¯ · ¯CD ¯ ¯ AB¯ · ¯CD ¯ # » # » từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Xác định giao điểm O của d và (α). d A • Lấy một điểm A tùy ý trên d khác với O . • Xác định hình chiếu H của A lên mp (α). ƒ. • ϕ là góc giữa d và (α) thì ϕ = AOH d0 H α O Góc giữa hai mặt phẳng • Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β). β • Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc ³ ´ với ³ giao ´ tuyến c tại một d à điểm trên c. Khi đó: (α), (β) = a, b . b c • Hay ta xác định mặt phẳng phụ (γ) vuông góc ³ với giao ´ tuyến c mà (α) ∩ (γ) = a, (β) ∩ (γ) = b. Suy ra (à α), (β) = ³ ´ db . a, TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 19 α a GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt bên Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có S A ⊥ ( ABC ). Xác định khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SBC ). ( Dựng Ta có: AK ⊥ BC, (K ∈ BC ) S AH ⊥ SK, ( H ∈ SK ) . ( BC ⊥ AK BC ⊥ S A ( do S A ⊥ ( ABCD )) ⇒ BC ⊥ AH. ( AH ⊥ BC Do đó, ta có ⇒ AH ⊥ (SBC ) AH ⊥ SK ⇒ d ( A, (SBC )) = AH. ⇒ BC ⊥ (S AK ) . H A C K B  Các phương pháp đưa về khoảng cách từ chân đường vuông góc a) Sử dụng song song của đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng d qua M , qua chân đường vuông góc A và d ∥ (P ). Khi đó d ( M, (P )) = d ( A, (P )) . d ∥ (P ) P M A I H b) Sử dụng tỷ số khoảng cách d A M A K O P H P H K O M Nếu H là hình chiếu vuông góc của A trên (P ), đường thẳng d qua hai điểm M , A và cắt (P ) tại O . Khi đó: d ( M, (P )) = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP OM · d ( A, (P )) (Sử dụng định lý Talet để chứng minh). OA 20 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Khối đa diện đều Khối đa diện đều Số Số Số Loại đỉnh cạnh mặt Hình V R S 4 6 4 {3; 3} p 3 2a V= 12 8 12 6 {4; 3} V = a3 p a 3 R= 2 6 12 8 {3; 4} p 3 2a V= 3 p a 2 R= 2 Mười hai mặt đều (15) 20 30 12 {5; 3} p p p 15 + 7 5 3 3 + 15 a R= a 4 4 Hai mươi mặt đều (15) 12 30 20 {3; 5} p p p 15 + 5 5 3 10 + 20 a R= a 12 4 Tứ diện đều (6) C A G p a 6 R= 4 M B A0 Khối lập phương (9) B D0 0 C0 A D B C M Bát diện đều (9) B C A D N Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp • Hình hộp chữ nhật có 3 kích thức khác nhau: có 3 mặt phẳng đối xứng. • Hình lăng trụ tam giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng. • Hình chóp tam giác đều: có 3 mặt phẳng đối xứng. TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 21 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! ! Khối chóp không có tâm đối xứng Hình học phẳng • 4 ABC vuông tại A : BC 2 = AB2 + AC 2 . • B 1 1 1 = + . AH 2 AB2 AC 2 • Diện tích S 4 ABC = 1 AB · AC 2 H • 4 ABC vuông tại cân tại A BC 2 4 p +o BC = AB 2 +o S4 ABC = A C Định lý Thales  AM AN MN   = = =k   MN ∥ BC ⇒ AB AC BC µ ¶2  AM S    ∆ AMN = = k2 S ∆ ABC AB A N C M B Diện tích đa giác Diện tích tam giác Đối với các tam giác thường ta sử dụng một trong các công thức tính diện tích sau đây: ! p 1 1 abc S ∆ ABC = a · h a = a · b · sin C = = pr = p( p − a)( p − b)( p − c) 2 2 4R 1 AB · AC . 2 p a2 3 • Tam giác ABC đều cạnh a: S ∆ ABC = . 4 p a 3 • Tam giác ABC đều cạnh a có đường cao h = . 2 • Tam giác ABC vuông tại A : S ∆ ABC = ! TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 22 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Diện tích tứ giác Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp trong các bài toán: 1 2 a) Hình vuông ABCD cạnh a: S ABCD = a2 = AC · BD . b) Hình chữ nhật ABCD : S ABCD = AB · AD . 1 2 c) Hình thoi: S ABCD = AC · BD = AB · AD · sin A . d) Hình bình hành ABCD : S ABCD = AB · AD · sin A. e) Hình thang ABCD : S ABCD = (a + b) · h . 2 Thể tích khối đa diện • Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V =B·h • Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V= 1 ·B·h 3 • Nếu ( H ) là khối lập phương có cạnh bằng a thì V(H) = a3 . • Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó a · b · c. • Nếu hai khối đa diện ( H1 ) và ( H2 ) bằng nhau thì V(H1 ) = V(H2 ) . • Nếu khối đa diện ( H ) được phân chia thành hai khối đa diện ( H1 ) và ( H2 ) thì: V(H) = V(H1 ) + V(H2 ) Hình chóp đều a) Đáy là đa giác đều (hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông). b) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác đều có chân đường cao trùng với trọng tâm G, hình chóp tứ giác đều có chân đường cao trùng với tâm O của hình vuông). c) Các mặt bên là những tam giác cân và bằng nhau. d) Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau. e) Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau. TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 23 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 G óc ữa và cạ nh bê n m ặt G óc G óc M y đá G gi ữa C A gi m ặt và ặt m và cạ n ên h bê b ặt n m a S ữa m gi đá y ặt đá y c Gó S gi ữ NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! M và m ặt D đá y A O B B bê n C ! Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Tỉ số thể tích khối chóp Các kết quả thường dùng Kết quả 1: Cho tam giác O AB, trên cạnh O A chọn A 0 , trên cạnh OB chọn B0 . Khi đó: S O A 0 B0 O A 0 OB0 = · S O AB O A OB Kết quả 2: Cho hình chóp S.ABC , trên cạnh S A chọn A 0 , trên cạnh SB chọn B0 trên cạnh SC chọn C 0 . Khi đó: VS.A 0 B0 C 0 S A 0 SB0 SC 0 = · · VS.ABC S A SB SC Kết quả 3: Cho hình chóp S.ABCD , trên cạnh S A chọn A 0 , trên cạnh SB chọn B0 trên cạnh SC chọn C 0 trên cạnh SD chọn D 0 . Khi đó: ! S A0 C0 B0 VS.A 0 B0 C 0 a + b + c + d = VS.ABC 4 · abcd A Trong đó: a= D0 SA SB SC SD ,b = ,c= ,d = . 0 0 0 SA SB SC SD 0 D O B C Tỉ số thể tích khối lăng trụ Các kết quả thường dùng Kết quả 1: TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 24 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 ! NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! VA 0 B0 C 0 .MNP a + b + c = VA 0 B0 C 0 .ABC 3 Trong đó: a= C0 A0 B0 B0 N C0 P A0 M , b = , c = . A A0 BB0 CC 0 P M A C N B Kết quả 2: !V VABCD.MNPQ ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 = a+b+c+d 4 A0 Trong đó: a= AM BN CP DQ ,b = ,c= ,d = . 0 0 0 AA BB CC DD 0 D0 B0 C0 M N Q P A D B C Khối tròn xoay TRỤ CẦU NÓN A O0 D C α O KHỐI TRÒN XOAY d H R r P h h l l M A O r B C I r B d 2 + r2 = R 2 h=` DIỆN * S = 4π R 2 TÍCH *S xq = 2π rh *S tp = S xq + 2Sđáy = 2π rl + 2π r 2 . THẾ 4 V = πR 3 TÍCH 3 V = πr2 h TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 25 r 2 + h 2 = `2 *S xq = π rl ( l đường sinh, r bkính) *S tp = S xq + Sđáy = π rl + π r 2 . 1 V = πr2 h 3 ( h: đường cao) GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC ! Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S ) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d ( I ; ∆) = R . Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d( I ; (P )) = R . Thiết diện khối nón và trụ • Thiết diện qua trục OO 0 của hình trụ luôn là một hình chữ nhật A 0 B0 BA . A0 O0 B0 A O B +o Chiều rộng: AB = 2R +o Chiều dài: A A 0 = h = ` +o Diện tích: S A 0 B0 BA = AB.A A 0 = 2 · R · ` • Thiết diện qua trục của hình nón đỉnh S luôn là một tam giác cân đỉnh S . S +o Cạnh bên: S A = SB = ` +o Chiều dài: AB = 2R +o Diện tích: S S AB = R · h A O B Thiết diện không đi qua trục 1. Khối nón Gọi H là trung điểm AB. S • Tam giác SAB là tam giác cân. • d (O, (S AB)) = OK . á ƒ. • (S AB ), (đáy) = SHO K á ƒ • (SO ), (SAB) = OSH • R 2 = OH 2 + AH 2 O ! H là trung điểm AB. TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP A 26 H B GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! 1. Khối trụ B • ABCD là hình chữ nhật. O 0 • d (O, ( ABCD )) = OH . C • R 2 = OH 2 + HD 2 A ! H là trung điểm AD. H O D Bán kính đường tròn ngoại tiếp Hình Tính bán kính ngoại tiếp đáy Tam giác đều cạnh a p 3 a R đáy = 3 Tam giác vuông R đáy = Hình vuông cạnh a p 2 R đáy = a 2 Hình chữ nhật cạnh a, b R đáy = 1p 2 a + b2 2 Hình thang nửa lục giác đều R đáy = 1 · đáy lớn 2 Tam giác thường 3 cạnh a, b, c R đáy = abc 4S đáy 1 · cạnh huyển 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện s • Khối đa diện có cạnh bên vuông góc mặt đáy R = R 2d + µ ¶2 h . 2 +o Hình hộp chữ nhật + Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông p R= TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 27 a2 + b 2 + c 2 . 2 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! p a 3 . +o Hình lập phương R = 2 s • Chóp có mặt bên vuông góc mặt đáy R = R 2b + R 2d − d2 . 4 • Hình chóp đều: Gọi h là độ cao của hình chóp và k là chiều dài cạnh bên. Khi đó k2 . R= 2h • Gọi d là độ dài đoạn thẳng mà tất cả các đỉnh còn lại nhìn nó dưới một góc d vuông. Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = . 2 Mặt cầu nội tiếp Gọi V là thể tích khối đa diện và S tp là diện tích toàn phần của đa diện. Khi đó, bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện là r = 3V . S tp Tọa độ trong không gian 1. Tọa độ véctơ #» #» #» • Vec-tơ đơn vị: i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k (0; 0; 1) ← − #» #» • Vec-tơ #» a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇒ #» a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) #» • Tính chất: Cho hai véc tơ #» a = (a 1 ; a 2 a 3 ), b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) #» +o Tổng hiệu: #» a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 ) +o Tích một số với một vec tơ: k #» a = ( ka 1 ; ka 2 ; ka 3 ) +o Độ dài vec tơ: | #» a|= q a21 + a22 + a23  a 1 = b 1 #»  #» +o Hai vec tơ bằng nhau: a = b ⇒ a 2 = b2   a3 = b3 #» a 1 a 2 a 3 +o Hai vec tơ cùng phương: #» a =kb ⇒ = = =k b1 b2 b3 #» +o Tích vô hướng của hai vec tơ: #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 #» #» +o Vec tơ #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 28 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 #»i a, b = +o Tích có hướng của hai vec tơ: #» h = (a 2 b 3 − a 3 b 2 ; a 3 b 1 − a 1 b 3 ; a 1 b 2 − a 2 b 1 ) NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¶ µ¯ ¯a 2 a 3 ¯ ¯a 3 a 1 ¯ ¯a 1 a 2 ¯ ¯ ¯;¯ ¯;¯ ¯ ¯b2 b3 ¯ ¯b3 b1 ¯ ¯b1 b2 ¯ +o Góc giữa hai vec tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦ ³ #»´ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a, b = q cos α = cos #» q a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 2. Tọa độ điểm # » #» #» #» • A ( x; y; z) ⇔ O A = x · i + y · j + z · k • Cho M ( x; y; z) khi đó +o Hình chiếu của M lên Ox là M1 ( x; 0; 0) +o Hình chiếu của M lên O y là M2 (0; y; 0) +o Hình chiếu của M lên Oz là M3 (0; 0; z) +o Hình chiếu của M lên Ox y là M4 ( x; y; 0) +o Hình chiếu của M lên Oxz là M5 ( x; 0; z) +o Hình chiếu của M lên O yz là M6 (0; y; z) • Tính chất Cho các điểm A ( x A ; yA ; z A ), B ( xB ; yB ; zB ), C ( xC ; yC ; zC ) +o Độ dài đoạn thẳng AB: AB = q ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 +o Tọa  độ trung điểm I của đoạn thẳng AB x A + xB  xI =    2   yA + yB yI =  2    z + zB  A  zI = 2 # » # » +o Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k · MB x A − k · xB ; 1−k z A − k · zB zM = 1−k  x A + xb + x c  xG =    3   yA + yb + yc +o Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC yG =  3    z + z  A b + zc  zG = 3 xM = yM = yA − k · yB ; 1−k # » # » = DC . ! Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 29 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Ứng dụng tích có hướng của hai vec-tơ h #»i #» #» • #» a và b cùng phương: #» a, b = 0 h #»i #» #» • #» a , b , #» c đồng phẳng: #» a , b · #» c=0 • Diện tích 4 ABC S 4 ABC = 1 ¯¯h # » # »i¯¯ ¯ AB, AC ¯ 2 ¯h # » # »i¯ ¯ ¯ • Diện tích tình bình hành ABCD : S ABCD = ¯ AB, AC ¯ 1 ¯¯h # » # »i # »¯¯ • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = ¯ AB, AC · AD ¯ 6 ¯h # » # »i # »¯ ¯ ¯ • Thể tích hình hộp: ABCD.A B C D : VABCD.A 0 B0 C 0 D 0 = ¯ AB, AC · A A 0 ¯ 0 ! 0 0 0 ←→ ←→ • Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác khi AB không cùng phương AC # » # » ←→ ← → • Bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh tứ diện khi [ AB; AC ] · AD 6= 0 . Phương trình mặt cầu Trong không gian Ox yz, phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a; b; c) bán kính R là: ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2 b y − 2 cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), có bán kính là p R = a2 + b 2 + c 2 − d . Một số yếu tố trong tam giác Xét tam giác ABC , ta có: • H là chân đường cao hạ từ A của ∆ ABC ⇔ (# » # » AH ⊥BC # ». # » BH = k BC # » • AD là đường phân giác trong của ∆ ABC ⇔ DB = − # » • AE là đường phân giác ngoài của ∆ ABC ⇔ EB = AB # » .DC . AC AB # » EC . AC # » # »  AH ⊥BC   # » # » • H là trực tâm của ∆ ABC ⇔ BH ⊥ AC .  h # » # »i # »    AB, AC . AH = 0 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 30 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!!  ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯ ¯ ¯ ¯   ¯ I A ¯ = ¯ IB¯    ¯ # »¯ ¯ # »¯ ¯ ¯ ¯ ¯ • I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ ¯ I A ¯ = ¯ IC ¯ .   h i  # » # » #»   AB, AC . AI = 0 Phương trình tổng quát của mặt phẳng ! #»n 6= 0 là VTPT nếu giá của #»n vuông góc với (P ) • PTTQ (P ): Ax + B y + Cz + D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #» n = ( A ; B ; C ). ( Đi qua M ( x0 , y0 , z0 ) • Mặt phẳng (P ) : #» V TPT #» n = [ #» a, b] A ( x − x0 ) + B y − y0 + C ( z − z0 ) = 0 • Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB và có vectơ # » pháp tuyến #» n = AB. ← → #» → • Mặt phẳng (P ) có cặp vec-to chỉ phương ← a và b thì VTPT của (P) là #» n = [ #» a, b] #»=n #» • Nếu ( p) ∥ (Q ) thì n P Q h # » # »i • Mặt phẳng đi qua A, B, C phân biệt không thẳng hàng có VTPT #» n = AB, AC . # » • Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng AB có #» n = AB. • Cho mặt cầu (S ) có tâm I . #» Khi đó mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) tại điểm H có #» n = I H. +o Mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ tại A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) ⇒ (P ) : ! x y z + + = 1. a b c +o Các mặt phẳng đặc biệt * (O yz) : x = 0 * (Oxz) : y = 0 * (O yz) : z = 0 +o Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì mặt phẳng (α) sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng. Chứa khi D = 0. Phương trình đường thẳng ! #»u 6= 0 là VTCP nếu giá của #»u song song hoặc trùng với d • Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một véc-tơ chỉ phương là #» u = (a; b; c). TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 31 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!!    x = x0 + at +o Phương trình tham số ∆ : y = y0 + bt ( t ∈ R)   z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 +o Phương trình chính tắc ∆ : = = nếu (abc 6= 0). a b c # » # » • Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B thì #» u = AB hoặc #» u = BA . • Nếu #» u là một véc-tơ chỉ phương của ∆ thì k #» u ( k 6= 0) cũng là một véc-tơ chỉ phương của ∆, do đó một đường thẳng có vô số véc-tơ chỉ phương. h #»i #» • Nếu #» a , b là cặp véc-tơ không cũng phương thì #» u = #» a, b . Góc • Góc giữa hai mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến #» n 1 , (Q ) có véc-tơ pháp tuyến #» n2 ¯ #» #» ¯ ¯ n 1 · n 2¯ Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q ). Ta có: cos ϕ = ¯¯ #» ¯¯ ¯¯ #» ¯¯ n1 · n2 • Góc giữa hai đường thẳng ∆1 có véc-tơ chỉ phương #» a 1 , ∆2 có véc-tơ chỉ phương #» a2 ¯ #» #» ¯ ¯ a 1 · a 2¯ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . Ta có: cos ϕ = ¯¯ #» ¯¯ ¯¯ #» ¯¯ a1 · a2 • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ∆ có véc-tơ chỉ phương #» a ∆ , (α) có véc-tơ pháp tuyến #» nα ¯ #» #» ¯ ¯ a ∆ · n α¯ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và (α). Ta có sin ϕ = ¯¯ #» ¯¯ ¯¯ #» ¯¯ a∆ · nα Khoảng cách • Khoảng cách từ A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến (P ) : Ax + b y + Cz + D = 0: | Ax0 + B y0 + Cz0 + D | d ( A, (P )) = p A 2 + B2 + C 2 • Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ∆ đi qua điểm M0 và có véc-tơ chỉ phương #» a∆ ¯h i¯ ¯ #» # » ¯ ¯ a ∆ , M0 M ¯ ¯ #» ¯ d ( M, ∆) = ¯ a ∆¯ • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 đi qua điểm M và có véc-tơ chỉ phương #» a 1 , ∆2 đi qua điểm N và có véc-tơ chỉ #» phương a 2 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 32 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 – HAPPY NEW YEAR!!! ¯£ ¯ ¯ #» #» ¤ # »¯ ¯ a 1 , a 2 · MN ¯ ¯£ #» #» ¤¯ d (∆1 , ∆2 ) = ¯ a 1, a 2 ¯ Vị trí tương đối • Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P1 ) A 1 x + B1 y + C1 z + D 1 = 0 và (P2 ) A 2 x + B2 y + C2 z + D 2 = 0. Khi đó ta có ba trường hợp A 1 B1 C 1 D 1 = = = · A 2 B2 C 2 D 2 A 1 B1 C 1 D 1 2. (P1 ) ∥ (P2 ) ⇔ = = 6= · A 2 B2 C 2 D 2 1. (P1 ) ≡ (P2 ) ⇔ 3. (P1 ) cắt (P2 ) ⇔ A 1 : B1 : C1 6= A 2 : B2 : C2 . Lưu ý: A 1 .A 2 + B1 .B2 + C1 .C2 = 0 ⇔ (P1 ) ⊥ (P2 ). • Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng    x = x0 + at Cho (∆) : y = y0 + bt và (P ) : Ax + B y + Cz + D = 0.   z = z0 + ct Thế (∆) vào (P ) ta được: A ( x0 + at) + B( y0 + bt) + C ( z + ct) + D = 0 ⇔ A 0 t + B0 = 0 (1) +o Nếu (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì (∆) cắt (P ) tại điểm M0 ( x0 + at 0 ; y0 + bt 0 ; z0 + zt 0 ) +o Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P ) +o Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) ∈ (P ) • Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu (S ) = ( I ; R ) và mặt phẳng (P ) +o Nếu d ( I, (P )) = R thì (P ) tiếp xúc (S ). +o Nếu d ( I, (P )) > R thì (P ) không cắt (S ). +o Nếu d ( I, (P )) < R thì (P ) cắt (S ) theo một đường tròn (C ) = (O ; r ). Khi đó d 2 + r 2 = R 2 . • Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu    x = x0 + at Cho (∆) : y = y0 + bt và (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = 0   z = z0 + ct Thế (∆) vào (S ) ta được phương trình bậc hai: A 0 t2 + B0 t + C 0 = 0 (2) +o Nếu ∆ > 0 thì d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt. +o Nếu ∆ = 0 thì d tiếp xúc với (S ) và d ( I, (∆) = R ). +o Nếu ∆ < 0 thì d không cắt (S ). TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 33 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC Ô 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! • Vị trí tương đối giữa hai ( đường thẳng ( đi qua M đi qua N Cho d1 : và d2 : # » #» V TCP = u 1 V TCP = u 2 # », u # » #» +o [u 1 2 ] = 0 thì d 1 song song hoặc trùng d 2 . Lấy M ∈ d 1 bất kì. * Nếu M ∈ d 2 thì d 1 trùng d 2 * Nếu M ∉ d 2 thì d 1 song song d 2 # », u # » #» +o [u 1 2 ] 6= 0 thì d 1 cắt hoặc chéo d 2 . Khi đó # » # » # » #» * [ u 1 , u 2 ] · MN = 0 thì d 1 cắt d 2 . # » # » # » #» * [ u 1 , u 2 ] · MN 6= 0 thì d 1 chéo d 2 . • Vị trí tương đối giữa một điểm và một mặt cầu Cho điểm A và mặt cầu (S ) = ( I ; R ) khi đó +o I A > R thì A nằm ngoài (S ) +o I A = R thì A nằm trên (S ) +o I A < R thì A nằm trong (S ) Tọa độ hình chiếu và đối xứng của một điểm qua mặt phẳng Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng (P ) : Ax + B y + Cz + D = 0. Xét T = Ax0 + B y0 + Cz0 + D . Khi đó A 2 + B2 + C 2    x = x0 − AT • Tọa độ hình chiếu của M lên (P ) là H : y = y0 − BT   z = z0 − CT    x = x0 − 2 AT • Tọa độ điểm đối xứng của M qua (P ) là M 0 : y = y0 − 2BT   z = z0 − 2CT TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 34 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG