Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu

Giới thiệu Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu
PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 KĨ THUẬT THẾ HẰNG SỐ TRONG TOÁN PHỨC Vũ Quốc Triệu , Hà Nội tháng 6.2021 A. KIẾN THỨC SỬ DỤNG 1. Cho số phứ z  a  bi  a, b  VŨ QUỐC TRIỆU Trong Toán học nói chung và toán Phức nói riêng, ngoài các phép toán thông thường ta còn có một phép toán ‘ thế hằng số’, nghĩa là thay một hằng số bởi một biểu thức chứa biến. Phép toán này giúp giảm sự phức tạp trong tính toán, rút gọn các biểu thức số phức bậc cao hoặc đôi khi nó còn là điểm mấu chốt để giải quyết vấn đề. Một hằng số nếu chỉ nhìn nó ở góc độ số học thì đó là điều rất bình thường, thế nhưng khi thay thế nó bởi một biểu thức chứa biến phù hợp lại tạo ra điều bất ngờ trong việc giải quyết bài toán.  .Khi đó : 2 +) z.z  z  z  a 2  b 2 . 2     z.z  +) k  z  k 2n  z 2 n n   zn. z n  k  0 . 2. Với hai số phức bất kì z và w ,ta luôn có : +) z.w  z . w ; z n  z . n +) z z  w w  w  0 . +) z  w  z  w ; z  w  z  w  z  w . VŨ QUỐC TRIỆU 3. Bất đẳng thức môđun +) z  w  z  w . Dấu bằng xảy ra   k  , k  0 sao cho z  k.w . +) z  w  z  w . Dấu bằng xảy ra   k  , k  0 sao cho z  k.w . B. ÁP DỤNG BÀI TOÁN 1 ( Trích đề thi thử THPT QG – SGD Thái Bình 2021 ) : Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thoả mãn z1  4 ; z2  5 ; z3  2 và 4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 . Giá trị của biểu thức P  z1  z2  z3 bằng C. 1 . B. 2 . A. 8 . D. 6 . Nhận xét : Quan sát các hệ số trong giả thiết 4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 ta thấy 16  42  z1  z1.z1 ; 25  52  z2  z2 .z2 ; 4  22  z3  z3 .z3 . 2 2 2 Lời giải Chọn B. Từ giả thiết z1  4 , z2  5 , z3  2 ta có, z3 .z3  4 ; z1.z1  16 ; z2 .z2  25 . https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 1 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 Thay các hệ số 4; 16 và 25 bởi các biểu thức tương ứng ở trên vào giả thiết 4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 , ta được : 3 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 3 2 3 2 1 3 1 2 3  80 VŨ QUỐC TRIỆU  z . z  z z   z .z  z z   z .z  z z   z z z   z  z  z   80  z z z z1  z2  z3  80  z1 . z2 . z3 . z1  z2  z3  80  4.5.2. z1  z2  z3  80  z1  z2  z3  2 . BÀI TOÁN 2 ( Trích đề thi thử THPT QG – THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định 2021 ) : Cho các số phức z; w thoả mãn z  4 , iw  5  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  wz  16 bằng B. 14 . A. 16 . C. 18 . D. 17 . Lời giải Chọn B. Ta có : *) iw  5  2i  1  w  5i  2  1  tập hợp điểm biểu diễn tất cả các số phức w là đường tròn  C  :  x  2    y  5 2 2 1 *) P  z 2  wz  z.z  z . z  w  z  4 z  z  w .  . Vì VŨ QUỐC TRIỆU Đặt z  a  bi  a; b  z  4  a 2  b2  16 . Khi đó : P  4 2a  w . Gọi M  w   M   C  . Chọn điểm E  2a;0  thì P  4ME . Vì a 2  b2  16  a 2  16  4  a  4  8  2a  8 . Chọn A  8;0  ; B 8;0  thì điểm E thuộc đoạn thẳng AB . Từ hình vẽ suy ra ME  MH  JQ  IQ  IJ  5  1  4  P  4ME  16 . https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 2 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 Vậy Pmin  16 . Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết bài toán là ta nhận ra: 16  42  z  z.z . 2 của biểu thức P  w.z 2  38  i bằng C. 19 5 . B. 19 2 . A. 19 . D. 19 3 . Nhận xét: Ta có 9  32  z  z.z; 16  42  w  w.w .Từ đó ta nghĩ đến 36  z.w.z.w . 2 2 VŨ QUỐC TRIỆU BÀI TOÁN 3: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  3 , w  2 và z  w.z  3 5 . Giá trị lớn nhất Lời giải Chọn B. Giả thiết  P  w.z 2  38  i  w.z 2  36   2  i  . Áp dụng bất đẳng thức môđun : z1  z2  z1  z2 , ta có : P  w.z 2  36   2  i   w.z 2  36  2  i . Vì : * 2i  5 .   * w.z 2  36  w.z 2  9.4  w.z 2  z z.ww  wz z  z.w  w . z . z  z.w  3.2.3 5 . Suy ra P  18 5  5  P  19 5 . Vậy M ax P  19 5 . BÀI TOÁN 4 ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho số phức z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 biểu thức P  z 5  z  6 z  2 z 4  1 . Khi đó M  m bằng A. M  m  1 . C. M  m  6 . B. M  m  3 .   Nhận xét: Ta có: 1  12  z  z.z ; 1  12   z 2 2 2 2 2  D. M  m  7 . 2  z 2. z . Lời giải Chọn A. P  z 5  z 312  6 z  2 z 4  12   z 5  z 3 .z.z  6 z  2 z 4   z.z  2 2  z . z4  z 4  6  2 z2 . z2  z 2  z4  z 4  6  2 z2  z 2   z 2  z 2   2 z 2 .z 2  6  2 z 2  z 2   z 2  z 2   4  2 z 2  z 2 2 https://www.facebook.com/bank.trieu 2 Trang 3 VŨ QUỐC TRIỆU Dễ thấy khi z  3i; w  2i ( thỏa mãn các giả thiết ) thì P  19 5 . PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 Đặt z  x  yi,  x; y  . +) z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 .   2  2 VŨ QUỐC TRIỆU +) P  4  x 2  y 2   4  2 2  x 2  y 2   4  x 2  y 2   1  4  x 2  y 2   2 = 4  2 x 2  1  1  4 2 x 2  1 .      t   0;1 . Lại đặt t  2 x 2  1  2 x 2 1 1;1 x 2  0;1 Khi đó: P  f  t   4  t 2  1  4t  4t 2  4  4t  4  t 2  t  1 . Từ bảng biến thiên suy ra M ax P  4; M in P  3 . Vậy M  m  1 . BÀI TOÁN 5: Cho số phức z thay đổi, thoả mãn z  2  i  z 1  i  và z  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  z  1  z 2  z  1 . Tổng M  m bằng C. 1 . B. 6 . D. 4 . VŨ QUỐC TRIỆU A. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: z  z  z i  2  i  z   z  2    z  1 i . Lấy môdun hai vế ta được: z  Đặt t  z  z  2   z  1 2 2 . t  0 Suy ra t   t  2   t  1 2 2 t  1 nhaä n .  t 2  t 2  4t  4  t 2  2t  1  t 2  6t  5  0   t  5 loaïi  Vậy z  1 . Lại có: P  z 2  z  z.z  z 2  z  z.z  z . z  1  z  z . z  1  z  z  1  z  z  1  z . Đặt z  x  yi  x; y    x 2  y 2  1  .  P  2 x  1  2 x  1 Vì x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 và x 2   0;1 . https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 4 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 Ta có: P 2  8 x 2  2  2 4 x 2  1 Đặt u  x 2  u   0;1 . VŨ QUỐC TRIỆU  1  16u ; u   4 ;1    Suy ra P 2  8u  2  2 4u  1  f  u    . 1   4 ; u  0;  4   Từ đồ thị hàm số f  u   f  u    4;16  P 2   4;16  P   2; 4 . Vậy M ax P  4; M in P  2 . Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết nhanh việc rút gọn biểu thức là sử dụng: 1  12  z  z.z . 2 biểu thức P  9 z1 z2  z2 z3  4 z3 z1 bằng B. 31 . A. 27 . C. 35 . D. 24 . BÀI TẬP 2: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  z 4  1  1 . B. 1 . A. 0 . C. 4 . D. 8 . BÀI TẬP 3: Cho số phức z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 4  1  z 4  1 . Tích M .m bằng B. 4 . A. 2 . C. 2. D. 4 2 . BÀI TẬP 4 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  1 và z1  2 z2  2 . Giá trị của biểu thức T  2 A. 3 z2 bằng z1 3 10 . 2 B. https://www.facebook.com/bank.trieu 8 . 3 C. 19 . 2 D. 37 . 2 Trang 5 VŨ QUỐC TRIỆU C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI TẬP 1: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn z1  1 , z2  2 , z3  3 và z1  z2  z3  4 . Giá trị của PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 BÀI TẬP 5: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  1 , w  2 và w.z  w.z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  w2 .z 2  1  3i bằng BÀI TẬP 6: ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thoả mãn z1  z2  z3  k  0 và z1  z2  z3  0 . Giá trị của biểu thức P z1 z2  z2 z3  z3 z1 bằng z1  z2  z3 B. k 2 . A. k . VŨ QUỐC TRIỆU D. 7 2  7 . C. 2 7  2 . B. 5 . A. 3 . D. k 3 . C. 1 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1.D 2.D 3.B 4.A 5.C 6.A BÀI TẬP 1: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn z1  1 , z2  2 , z3  3 và z1  z2  z3  4 . Giá trị của biểu thức P  9 z1 z2  z2 z3  4 z3 z1 bằng D. 24 . C. 35 . B. 31 . A. 27 . Lời giải Chọn D.  = z1.z2 .z3 . z3  z1  z2  = z1 . z2 . z3 . z3  z1  z2  z1 . z2 z3 . z1  z2  z3  z1 . z2 z3 . z1  z2  z3  24 BÀI TẬP 2: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  z 4  1  1 . A. 0 . B. 1 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D. Đặt z  x  yi,  x; y  . Ta có: +) z  1  a 2  b 2  1  a 2  1  b 2 . +) z 4  1  1  z 4  12   1  z 4  z 2 .z  1  z 2 . z 2  z  1 2 https://www.facebook.com/bank.trieu 2 2 Trang 6 VŨ QUỐC TRIỆU Ta có : P = z1.z2 .z3 .z3  z1.z1.z2 .z3  z2 .z2 .z3 .z1 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021  2 2 1 a  b  2 .  z 2  z  1  2 a 2  b2  1   a 2  b2   1  2 2 VŨ QUỐC TRIỆU   2 3 3  2 2 1 a  a   a  b     4 2  có 4 số phức thỏa mãn.  Trường hợp 1:  2 a 2  b 2  1 b 2  1 b   1    4 2 1   2 1 a 1  2 2 a    a  b   2    4  Trường hợp 2:   có 4 số phức thỏa mãn. 2 a 2  b 2  1 b 2  3 b 2   3    4 2 Vậy có tất cả 8 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.   Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết nhanh việc rút gọn là sử dụng: 1  12   z 2 2 2  2  z2. z . BÀI TẬP 3: Cho số phức z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 4  1  z 4  1 . Tích M .m bằng A. 2 . B. 4 2 . D. 4 . 2. C. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2  z 2 .z .  2 Khi đó: P  z 4  z 2 .z  z 4  z 2 .z  z 2 z 2  z 2 2 VŨ QUỐC TRIỆU     z.z  Ta có: 1  12  z 2 2   z z  z  2 2 2 2  z2 z2  z  z2 z2  z  z2  z  z2  z . Đặt z  x  yi,  x; y  . +) z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 . +) P  2 x 2  y 2  4 xy Bình phương hai vế, ta được P 2  4  x 2  y 2   16 x 2 y 2  16 xy x 2  y 2 2  4 x  y 2  x  y 2  16 x 2 y 2  16 xy  4 1  2 xy 1  2 xy   16 x 2 y 2  16 xy  x  y  . x  y  2 2 1  2 xy 1  2 xy   4  16 xy 1  4 x 2 y 2 . https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 7 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 Đặt t  xy .Vì 0  xy  x2  y 2 1  1   t  0;  2 2  2 Suy ra: P 2  4  16t 1  4t 2  f  t  . 1  4t 2 ; f  t   0  t  1 Mà f  0   4; f    4; f 2 VŨ QUỐC TRIỆU Ta có f   t   16 1  8t 2   1  0;  . 2 2  2 1  1     8 . Từ đó M ax f  t   8; M in f  t   4 . 2 2 Vậy M  2 2;m  2 . BÀI TẬP 4 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  1 và z1  2 z2  2 . Giá trị của biểu thức T  2 A. 3 z2 bằng z1 37 . 2 8 . 3 B. C. 19 . 2 D. 3 10 . 2 Lời giải Chọn A.    Ta có 4  z1  2 z2   z1  2 z2  z1  2 z2   z1  2 z2  z1  2 z2 2       z1  4 z2  2 z1.z2  z1.z2  8  2 z1.z2  z1.z2 . 2 2 VŨ QUỐC TRIỆU Suy ra z1.z2  z1.z2  2 Lại có T  2  2 z  3 z2 2 z  3 z2 3 z2  1  1 z1 z1 2  Suy ra 4T 2  2 z1  3z2   2 z1  3z2  2 z1  3z2 2          2 z1  3z2  2 z1  3 z2  4 z1  9 z2  6 z1.z2  z1.z2  25  6 z1.z2  z1.z2  37 Vậy T  2 2 37 . 2 BÀI TẬP 5: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  1 , w  2 và w.z  w.z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  w2 .z 2  1  3i bằng A. 3 . C. 2 7  2 . B. 5 . D. 7 2  7 . Nhận xét: Ta có 1  12  z  z.z; 4  22  w  w.w .Từ đó ta nghĩ đến 4  1.4  z.w.z.w . 2 2 Lời giải Chọn C. https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 8 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021   Giả thiết  P  w2 .z 2  1  3i  w2 .z 2  4  5  3i . Áp dụng bất đẳng thức môđun : z1  z2  z1  z2 , ta có :  Vì : *) 5  3i  2 7 .   *) w2 .z 2  4  w2 .z 2  1.4  w2 .z 2  z.z.w.w  w.z. wz  z.w  w . z . w.z  z.w  2.1.1  2 . VŨ QUỐC TRIỆU  P  w2 .z 2  4  5  3i  w2 .z 2  4  5  3i . Suy ra P  2 7  2 . Dễ thấy khi z  3 1  i; w  2i ( thỏa mãn các giả thiết ) thì P  2 7  2 . 2 2 Vậy M ax P  2 7  2 . BÀI TẬP 6 ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thoả mãn z1  z2  z3  k  0 và z1  z2  z3  0 . Giá trị của biểu thức P z1 z2  z2 z3  z3 z1 bằng z1  z2  z3 B. k 2 . A. k . C. 1 . D. k 3 . Nhận xét : k 2  z1  z2  z3  z1.z1  z2 .z2  z3 .z3 . 2 2 2 VŨ QUỐC TRIỆU Lời giải Chọn A. Từ giả thiết suy ra k 2  z1  z2  z3  z1.z1  z2 .z2  z3 .z3 . 2 Ta có P  2 2 z1 z2  z2 z3  z3 z1 1 z1 z2 .k 2  z2 z3 .k 2  z3 z1.k 2 = 2 k z1  z2  z3 z1  z2  z3 https://www.facebook.com/bank.trieu = 1 z1 z2 .z3 .z3  z2 z3 .z1.z1  z3 z1 z2 .z2 k2 z1  z2  z3 = z z z 1 zz z . 3 1 2 2  1 2 3 k z1  z2  z3 = z3  z1  z2 z3  z1  z2 1 1 z z z .  z . z . z . 1 2 3 1 1 1 k2 z1  z2  z3 k 2 z1  z2  z3 = z1  z2  z3 z z z 1 1 z . z . z .  2 z1 . z1 . z1 . 1 2 3 1 1 1 2 k z1  z2  z3 k z1  z2  z3 Trang 9 PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021 = 1 1 z1 . z1 . z1  2 .k .k .k  k . 2 k k Lưu ý : Cách trắc nghiệm nhanh, có thể chọn z1  z2  z3  k  P  …………………………………………………HẾT………………………………………………… VŨ QUỐC TRIỆU k2  k2  k2 k . k k k VŨ QUỐC TRIỆU https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 10
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top