Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh Hải

NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Lêi nãi ®Çu Mét trong nh÷ng ph­¬ng ph¸p rÊt m¹nh trong to¸n häc dïng nghiªn cøu vµ chøng minh c¸c gi¶ thiÕt lµ nguyªn lý quy n¹p to¸n häc. Ph­¬ng ph¸p quy n¹p ®­îc ¸p dông s©u réng vµo hÇu hÕt c¸c d¹ng to¸n: Sè häc, D·y sè, H×nh häc, B§T, Tæ hîp,…Trong b¸o c¸o nµy t«i chØ ®Ò cËp ®Õn ¸p dông cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p vµo mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè. Trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng th× to¸n vÒ d·y sè ®­îc ph©n phèi thêi l­îng kh«ng nhiÒu, ®Æc biÖt trong ch­¬ng tr×nh to¸n ph©n ban hiÖn nay ®· l­îc bá nhiÒu ®Þnh lý quan träng.Trong phÇn lín c¸c kú thi th× d¹ng to¸n nµy hÇu nh­ kh«ng cã. To¸n vÒ d·y sè th­êng chØ giµnh cho nh÷ng häc sinh kh¸ giái trong c¸c kú thi cÊp TØnh vµ Quèc gia, do vËy nã cµng Ýt ®­îc häc sinh vµ c¶ gi¸o viªn quan t©m ®Õn. PhÇn v× d¹ng to¸n nµy còng t­¬ng ®èi khã vµ trõu t­îng ®èi víi häc sinh, häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n vµ rÊt ng¹i khi gÆp d¹ng to¸n nµy. Trong thêi gian võa qua t«i ®· thu thËp, tÝch lòy vµ hÖ thèng ®­îc mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè nh»m phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y, båi d­ìng häc sinh giái cña m×nh. Víi môc ®Ých gióp häc sinh tiÕp cËn mét sè d¹ng to¸n ®Æc tr­ng vÒ d·y sè do ®ã t«i lùa chän ®Ò tµi nµy. C¸c bµi to¸n ®­îc lùa chän chñ yÕu cho nh÷ng häc sinh kh¸, giái. Sù ph©n chia thµnh c¸c d¹ng to¸n vµ nh÷ng ®¸nh gi¸ cña t«i lµ theo quan ®iÓm chñ quan cña m×nh, do ®ã kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. KÝnh mong c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®äc vµ cho ý kiÕn gãp ý ®Ó tµi liÖu nµy ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ch©n thµnh c¸m ¬n ! VÜnh T­êng 5 . 2009 T¸c gi¶: NguyÔn Minh H¶i VT. 05 – 2009 1 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Môc lôc TT PhÇn 1 Néi dung Trang Lêi nãi ®Çu 1 Mét sè vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt I Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc 3 II Mét sè vÊn ®Ò vÒ d·y sè 5 III Mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè th­êng gÆp 6 PhÇn 2 ¸p dông gi¶i to¸n I Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m vµ bÞ chÆn 8 II C«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè 10 III T×m giíi h¹n cña d·y sè 12 IV Mét sè d¹ng to¸n kh¸c 18 PhÇn 3 Bµi tËp tổng hîp 21 Tµi liÖu tham kh¶o VT. 05 – 2009 2 23 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc PhÇn 1. Mét sè vÊn ®Ò vÒ nguyªn lý Quy n¹p to¸n häc vµ D·y sè. I.Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc Sau ®©y lµ ba d¹ng cña nguyªn lÝ quy n¹p to¸n häc th­êng ®­îc dïng trong nh÷ng bµi to¸n ë THPT. 1. §Þnh lÝ 1. Cho n0 lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ P(n) lµ mÖnh ®Ò cã nghÜa víi mäi sè tù nhiªn n  n0 . NÕu: 10. P(n0) lµ mÖnh ®Ò ®óng 20. NÕu P(k) ®óng th× P(k+1) còng ®óng víi mçi sè tù nhiªn k  n0 . Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè tù nhiªn n  n0 . VÝ dô 1. Cho d·y sè (un) x¸c ®inh bëi: un = n2. CMR tång cña n phÇn tö ®Çu tiªn cña d·y ®­îc tÝnh: S n  n(n  1)(2n  1) . 6 Chøng minh. Víi n = 1. §¼ng thøc ®óng. Gi¶ sö §T ®óng víi n = k ( k ≥ 1), tøc lµ cã: S k  k (k  1)(2k  1) . 6 Ta chøng minh §T ®óng víi n = k+1, tøc CM: S k 1  ThËt vËy. Ta cã S k 1  S k  (k  1)2  (k  1)( k  2)(2k  3) . 6 (k  1)( k  2)(2k  3) k (k  1)(2k  1)  (k  1) 2  . 6 6 VËy §T ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng. 2. §Þnh lÝ 2. Cho p lµ sè nguyªn d­¬ng vµ d·y c¸c mÖnh ®Ò: P(1), P(2), …, P(n),… NÕu: 10. P(1), P(2), …, P(p) lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng 20. Víi mçi sè tù nhiªn k  p c¸c mÖnh ®Ò P(k  p  1), P(k  p  2), …, P(k ) ®óng, suy ra mÖnh ®Ò P(k+1) còng ®óng. Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. VÝ dô 2. Cho v0  2, v1  3 vµ víi mçi sè tù nhiªn k cã ®¼ng thøc: vk 1  3vk  2vk 1. CMR: vn  2n  1. Chøng minh. – DÔ thÊy mÖnh ®Ò ®óng víi n = 0, 1. VT. 05 – 2009 3 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc – Gi¶ sö víi mçi sè tù nhiªn k  2 m® ®óng víi n = k vµ n = k – 1. Tøc lµ cã: vk  2 k  1, vk 1  2 k 1  1. -Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. TV. Theo CT truy håi vk 1  3vk  2vk 1  3(2k  1)  2(2k 1  1)  2k 1  1. (dpcm) VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh. 3. §Þnh lÝ 3. Cho d·y c¸c mÖnh ®Ò: P(1), P(2), …, P(n),… NÕu: 10. P(1) lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng 20. Víi mçi sè tù nhiªn k  1 c¸c mÖnh ®Ò P(1), P(2), …, P(k ) ®óng, suy ra mÖnh ®Ò P(k+1) còng ®óng. Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. D¹ng quy n¹p nµy m¹nh h¬n d¹ng thø hai ë b­íc quy n¹p. VÝ dô 3. Cho d·y sè (un) x¸c ®inh bëi: U n  x n  1 , n  N * , x  N * . U1  Z . n x CMR (un ) lµ d·y c¸c sè nguyªn. Chøng minh Víi n = 1 mÖnh ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Gi¶ sö víi mäi sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn k, uk lµ sè nguyªn. Ta CM uk+1 còng nguyªn. TV. uk 1  x k 1  1 x k 1 1 1 1  ( x  )( x k  k )  ( x k 1  k 1 )  u1 .uk  uk 1  Z x x x VËy (un) lµ d·y c¸c sè nguyªn. VT. 05 – 2009 4 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc II. Mét sè vÊn ®Ò vÒ d·y sè. 2.1. D·y sè t¨ng, gi¶m (®¬n ®iÖu). §N. D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y t¨ng nÕu víi mäi n  N * ta cã un < un+1. D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y gi¶m nÕu víi mäi n  N * ta cã un > un+1. D·y sè t¨ng vµ d·y gi¶m ®­îc gäi chung lµ d·y ®¬n ®iÖu. 2.2. D·y bÞ chÆn. §N +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn trªn, nÕu tån t¹i mét sè M sao cho un  M , n  N * . +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn d­íi, nÕu tån t¹i mét sè m sao cho un  m, n  N * . +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn d­íi, tøc lµ tån t¹i c¸c sè m, M sao cho m  un  M , n  N * . (  M  0 : un  M , n  N * ) 2.3. Giíi h¹n d·y sè. §N 1. D·y sè (un) cã giíi h¹n 0 nÕu víi mçi sè d­¬ng nhá tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d­¬ng ®ã. Ta viÕt lim(un) = 0 hoÆc limun = 0 hoÆc un 0. C¸ch ph¸t biÓu míi nµy gióp häc sinh h×nh dung ®­îc d·y sè cã giíi h¹n 0 mét c¸ch thuËn lîi h¬n, tuy nhiªn ®Þnh nghÜa nµy khã diÔn ®¹t trong khi chøng minh mét sè ®Þnh lý vÒ giíi h¹n. Do vËy t«i xin trë l¹i ®Þnh nghÜa tr­íc ®©y: §N 2. Ta nãi r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n 0 nÕu víi mçi sè d­¬ng  bÊt kú, tån t¹i mét sè nguyªn d­¬ng N sao cho n  N* , n  N | u n | . Ta viÕt lim(un) = 0 hoÆc limun = 0 hoÆc un 0. §N 3. Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ sè thùc L nÕu lim(un – L) = 0. Ta viÕt lim(un) = L hoÆc limun = L hoÆc un L. §N 4. – Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n + nÕu víi mçi sè d­¬ng tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d­¬ng ®ã. VT. 05 – 2009 5 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc – Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n - nÕu víi mçi sè ©m tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè d­¬ng ®ã. §Þnh lÝ 1. Cho hai d·y sè (un) vµ (vn). NÕu | un|  vn víi mäi n vµ limvn = 0 th× limun = 0. §Þnh lÝ 2. NÕu | q| < 1 th× lim qn = 0. §Þnh lÝ 3. Gi¶ sö lim un = L. Khi ®ã: a) lim | un| = | L | vµ lim 3 u n  3 L. b) NÕu un  0 víi mäi n th× L  0 vµ lim u n  L. §Þnh lÝ 4. Gi¶ sö lim un = L, lim vn = M vµ c lµ mét h»ng sè. Khi ®ã: lim(un  vn )  L  M . lim(un .vn )  L.M lim(c.u n )  c.L lim §Þnh lÝ 5. NÕu lim |un| = + th× lim un L  vn M nÕu M  0. 1  0. un VËn dông c¸c kÕt qu¶ trªn, ta cã thÓ chóng minh ®­îc c¸c ®Þnh lý sau: §Þnh lÝ 6.(§iÒu kiÖn cÇn) Mét d·y sè cã giíi h¹n th× nã bÞ chÆn. §Þnh lÝ 7. (Duy nhÊt) Mét d·y sè cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt. §Þnh lÝ 8. (Giíi h¹n kÑp) Cho ba d·y sè (un), (vn), (wn) tháa m·n: 10. vn  un  wn , n  N * . 20. lim vn  lim wn  A th× lim un = A. Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau ®©y. §Þnh lÝ 9. (§iÒu kiÖn ®ñ- §Þnh lÝ Waiesstras) Mét d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi th× cã giíi h¹n. HiÖn nay bèn §Þnh lý trªn kh«ng ®­îc giíi thiÖu trong ch­¬ng tr×nh, tuy nhiªn cã thÓ chøng minh ®­îc §Þnh lÝ 6, 7, 8 tõ c¸c ®Þnh lý cã s½n. Trong b¸o c¸o nµy t«i vÉn xin ®­îc sö dông ®Ó c¸c d¹ng to¸n ®­îc ®a d¹ng h¬n. VT. 05 - 2009 6 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh T­êng - VÜnh phóc 2.4. CÊp sè céng. §Þnh nghÜa. CÊp sè céng lµ mét d·y sè, trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai mçi sè h¹ng ®Òu lµ tæng cña sè h¹ng liÒn tr­íc víi mét sè kh«ng ®æi gäi lµ c«ng sai. TÝnh chÊt. Cho cÊp sè céng ( un) c«ng sai d, khi ®ã n  N * ta cã: 10. un 1  un  d ; un  u1  (n  1)d . 20. un 1  un  u n  2 . 2 30. Sn  u1  u2  ...  un  n n (u1  un )   2u1  (n  1)d  . 2 2 2.5. CÊp sè nh©n. §Þnh nghÜa. CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè, trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai mçi sè h¹ng ®Òu lµ tÝch cña sè h¹ng liÒn tr­íc víi mét sè kh«ng ®æi gäi lµ c«ng béi. TÝnh chÊt. Cho cÊp sè nh©n ( un) c«ng béi q, ta cã: 10. un 1  un .q; un  u1 .q n 1 . 20. un 1  un .un  2 30. Sn  u1  u2  ...  un  u1. qn  1 ; (q  1) q 1 Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n c«ng béi q (q <1) S  lim Sn  lim u1 . u qn 1  1 . (q  1) q 1 1 q III. Mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè th­êng gÆp. 1. Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m, bÞ chÆn, d·y cã giíi h¹n. 2. Chøng minh d·y sè lËp thµnh cÊp sè céng, cÊp sè nh©n, tÝnh chÊt cña cÊp sè. 3. T×m c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè. 4. Chøng minh d·y sè cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n d·y sè. 5. Mét sè d¹ng kh¸c: B§T vÒ d·y sè, chøng minh tÝnh chÊt chia hÕt, chøng minh d·y sè nguyªn….. VT. 05 - 2009 7 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh T­êng - VÜnh phóc PhÇn 2. ¸p dông trong gi¶i to¸n I. Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m vµ bÞ chÆn. n u1  1, u2  2.  5 CMR: un    , n  N *. Bµi 1.1 Cho d·y (un):  2 un  2un 1  un  2 , n  3. Gi¶i ë bµi to¸n nµy un cho bëi c«ng thøc truy håi, ®­îc tÝnh theo un-1 vµ un-2 do ®ã ta vËn dông nguyªn lÝ quy n¹p thø hai ®Ó chøng minh. - Víi n = 1, n = 2 mÖnh ®Ò ®óng. 5 - Gi¶ sö m® ®óng víi n = k – 1, vµ n = k ( k >1), tøc lµ cã: un1    2 n 1 n 5 , un    .  2 – Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. TV. Ta cã: un  2un1  un 2 5  2.   2 n 1 n 5 5     2 2 n 1 . (®pcm) u1  1.   Bµi 1.2 Cho d·y (un):  n 3(n  2) * un 1  2(n  1) un  2(n  1) , n  N .  a). CM d·y sè bÞ chÆn trªn. b). CM d·y sè t¨ng. Gi¶i §©y lµ bµi to¸n kh«ng khã nÕu dù ®o¸n ®­îc d·y sè bÞ chÆn trªn bëi sè nµo thÝch hîp nhÊt? Ta cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu thø hai cña bµi to¸n: Cã: un1  un  (3  un )( n  2)  0  un  3. n 1 a). Ta CM quy n¹p theo nguyªn lÝ thø nhÊt: un  3, n  N * . – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k khi ®ã cã: uk 1  3k 3(k  2) k 3(k  2) uk     3. 2(k  1) 2(k  1) 2(k  2) 2(k  1) – VËy m® ®óng víi n = k +1. b). Theo phÇn (a) cã: un1  un  (3  un )(n  2)  0. n 1 VËy d·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. VT. 05 – 2009 8 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc 1 n Bµi 1.3 Chøng minh d·y un  (1  )n lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Gi¶i +) Ta chøng minh un  3, n  N * . – Víi n = 1, n = 2. B§T hiÓn nhiªn ®óng. k n 1 n – Víi n ≥ 3, ta chøng minh B§T phô sau ®©y: (1  )k  1   k2 , k :1  k  n. (1) n2 TV. – Víi k = 1, B§T ®óng . 1 n k n – Gi¶ sö (1) ®óng víi k (1  k  n  1 ), tøc : (1  )k  1   1 n 1 n 1 n 1 n k n Khi ®ã: (1  )k 1  (1  )(1  )k  (1  )(1   MÆt kh¸c dÔ dµng CM: k2 . n2 k2 k 1 k 2  k k 2     3. ) 1 n2 n n2 n k 2  k k 2 (k  1) 2 .  3 n2 n n2 1 k 1 k  1 (k  1) 2 . VËy B§T ®óng víi k + 1.  (1  )  1   n n  1 (n  1)2 KL. B§T (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng k, ( 1  k  n ) 1 n n n -) Víi k = n ta cã : (1  )n  1   n2  3. n2 +) Chøng minh d·y t¨ng. ¸p dông B§T Cauchy cho n + 1 sè d­¬ng kh«ng ®ång thêi b»ng nhau, ta ®­îc: 1 1 1 1 1  (1  )  (1  )  …  (1  )  (n  1) n 1 (1  ) n . n n n n  1 1 1 1 n 1 1  n 1 (1  ) n  (1  )  (1  )n  un 1  un , n  N * . n n 1 n n 1 Bµi 1.5 XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn cña c¸c d·y sè sau: u1  2   1.  un  1 * un 1  2 , n  N .  u1  2 20.  * un 1  2  un , n  N . 0 Gi¶i 10. B»ng quy n¹p ta chøng minh (un) lµ d·y gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi bëi 0. 20. B»ng quy n¹p ta chøng minh (un) lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 2. VT. 05 – 2009 9 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc II. C«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè.  Bµi 2.1 Cho d·y (un):  u u1  2, u2  3.  n 1  3un  2un 1 , n  2. CMR un  2n 1  1. Tính Sn. Gi¶i Quy n¹p. Víi n =1; n = 2. §óng. Gi¶ sö m® ®óng víi k-1 vµ k (k > 1), ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy: Cã uk 1  2k  2  1, uk  2k 1  1  uk 1  3(2k 1  1)  2(2k 2  1)  4.2k  2  1  2k  1. MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. Khi ®ã: S n  u1  u2  …  un  1  (1  2)  …  (1  2n 1 )  2n  n  1. Bµi 2.2 Cho d·y (un): u1  2   u  un ,   * n N .  n 1 1  u  n a) CMR: un  0, n  N * . b) §Æt vn  3 un  1 . CMR v n   n, n. un 2 c). T×m CTTQ tÝnh u n ,Sn  u1  u 2  …u n . Gi¶i a). Chøng minh b»ng quy n¹p. – Víi n = 1 m® ®óng. – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k ( k  1), tøc uk  0. Khi ®ã uk  0,1  uk  0  uk 1  uk  0. 1  uk – VËy m® ®óng víi n = k +1. b). Ta cã: un1  un u  1 un  1 un  un 1  un .un 1  un 1  un .  vn 1  vn  n 1    1. un 1 un un .un1 1  un  vn 1  vn  1  (vn ) lµ CSC c«ng sai d = -1, v1   vn  v1  (n  1)d  Tõ vn  1 3  (n  1)( 1)   n. 2 2 un  1 1 2  un   . un vn  1 2n  1 C¸ch 2. CM quy n¹p. VT. 05 – 2009 10 u1  1 2  1 1   . u1 2 2 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc u1  1, u2  2.  Bµi 2.4 Cho d·y (un):  u  n 1  2un  un 1  2, n  2. CMR: un  (n  1)2  1. T×m Sn ? Gi¶i – HiÓn nhiªn c«ng thøc ®óng víi n = 1, n = 2. – Gi¶ sö c«ng thøc ®óng víi n = k – 1, n = k tøc: uk 1  (k  2) 2  1; uk  (k  1) 2  1 Khi ®ã: uk 1  2uk  uk 1  2  2[(k  1) 2  1]  [(k  2) 2  1]  2  k 2  1  [(k  1)  1]2  1 VËy c«ng thøc ®óng víi n = k + 1. Khi ®ã: S n  (n  1)2  (n  2) 2  …  12  n  n(n  1)(2n  1)  n. 6 Chó ý: NÕu bµi to¸n yªu cÇu chøng minh un  1 lµ sè chÝnh ph­¬ng th× c¸ch lµm hoµn toµn vÉn nh­ vËy. u1  3, u2  2.  Bµi 2.5 Cho d·y (un):  u  CMR: un  n 1  3un  2un 1  1, n  2. q n 1  1 v1  n  2  2n  n  4. q 1 TÝnh Sn ? Gi¶i Quy n¹p: Gi¶ sö: uk 1  2k 1  (k  1)  4; uk  2k  k  4  un 1  3un  2un 1  1  3[2k  k  4]  2[2k 1  k  3]  1  8.2k 1  k  5  2k 1  (k  1)  4 Bµi 2.6 Cho d·y (un): un  un 1 1 , n  N *. T×m CTTQ cña un? , u0  2.un 1  1 2n Gi¶i – NÕu u0  0  un  0, n  N . – NÕu u0  0. B»ng quy n¹p ta chøng minh ®­îc un  0, n  N . 1 1 2un 1  1   2 . un 1 un un Khi ®ã: §Æt vn  1 un  vn  2  vn 1   vn  lµ CSC c«ng sai d  2.  vn  v0  nd  VT. 05 – 2009 u0 1 1  2n  un   . u0 vn 2n.u0  1 11 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc III. T×m giíi h¹n cña d·y sè. NÕu d·y sè cho bëi CTTQ th× ta th­êng sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n cña d·y sè ®Ó tÝnh. Trong nhiÒu tr­êng hîp ta ph¶i biÕn ®æi CTTQ ®ã vÒ d¹ng ®¬n gi¶n h¬n tr­íc khi tÝnh giíi h¹n. Mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n cña d·y sè: – Nh©n liªn hîp, ®èi víi giíi h¹n d¹ng  –  – Chia c¶ tö vµ mÉu cho lòy thõa bËc cao nhÊt cña n, ®èi víi giíi h¹n d¹ng – KÕt hîp hai ph­¬ng ph¸p trªn cho giíi h¹n d¹ng  ;     0 ; ; . ;    0 – Sö dông ®Þnh lý giíi h¹n kÑp – Sö dông ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n, thiÕt lËp biÓu thøc vÒ giíi h¹n. KÕt qu¶ giíi h¹n lµ nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh nµo ®ã. Bµi 3.1 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: A  lim( 3 n 2  n3  n) C  lim E  lim B  lim n 2  3 1  n6 n2  1  n 4 D  lim n4  1  n2 4.3n  7 n 1 2.5n  7 n F  lim n3  n  n 3n  2n1 2n  5.3n 4n 2  1  2n  1 n 2  4n  1  n HD. 1 1 1 A  ; B  ; C  0; D  ; E  7; F   . 5 2 3 Bµi 3.2 TÝnh giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau  1 1 1  A  lim    …   n(n  1)   1.2 2.3 C  lim(1  E  lim  1  1 1 B  lim    …   n(n  1)(n  2)   1.2.3 2.3.4 2n  1   1 3 5 D  lim  2  2  2  …  2  n  n n n 1 1 1 )(1  2 )…(1  2 ) 2 2 n 3 1 1 1 1 (   …  ) 3 5 2n  1  2n  1 n 1 3 VT. 05 – 2009 12 {§Ò thi HSG líp 11 n¨m 2007} NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Häc sinh th­êng ¸p dông sai c«ng thøc tÝnh giíi h¹n cña tæng vµ tÝch c¸c d·y sè. Hai c«ng thøc nµy chØ ¸p dông ®èi víi tæng vµ tÝch h÷u h¹n c¸c d·y sè. Häc sinh th­êng ¸p dông cho tæng, tÝch v« h¹n dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. Gi¶i a). NhËn xÐt: 1 n(n  1)   un  (n  1)  n n(n  1)  1 1  , n  N * n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   …   (1  )  (  )  …  (  )  1 1.2 2.3 2 2 3 n 1 n n n(n  1) 1  A  lim un  lim(1  )  1. n b). NhËn xÐt:  un   un  1 (n  2)  n 1 1 1  (   ), n  N * n(n  1)( n  2) 2n(n  1) 2 n(n  1) (n  1)(n  2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )  …  ( )]   …   [(    n(n  1)( n  2) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n  1) (n  1)(n  2) 1.2.3 2.3.4 1 1 1  B . 4 4 2( n  1)( n  2) c). un  1.3 2.4 (n  1)(n  1) 22  1 32  1 n 2  1 . 2 ….. 2  . …. 2 2 n 3 2.2 3.3 n.n d). un  1  3  5  …  (2n  1) n2  n2 n2  n 1 1 C . 2n 2  D  1. 1 2n  1  2n  1 2n  1 2n  1    , n  1. 2 2 2n  1  2n  1 (2n  1)  (2n  1) e). Ta cã:  un   1 1 1 1   …  ) ( 3 5 2n  1  2n  1 n 1 3 1 3 1 5 3 2n1 2n1 1 2n11  )]  . .[(  ) (  ) …( 2 2 2 n 2 2 2 2 n  E  lim un  lim 2n  1  1 2  . 2 2 n Bµi 3.3 TÝnh c¸c giíi h¹n sau 1  22  32  …  n 2 B  lim 4n3  1 1  2  3  …  n A  lim 2n 2  n  3 C  lim VT. 05 – 2009 1  23  33  …  n3 n 4  3n 2  1 C  lim 13 1  32  52  …  (2n  1)2 3n3  n  4 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Gi¶i §Ó ®¬n gi¶n biÓu thøc ta chøng minh quy n¹p c¸c c«ng thøc sau: 10. 1  2  3  …  n  n(n  1) 2 20. 1  2 2  32  …  n 2  30. 1  23  33  …  n3  1  8(n  1)  19 n(n  1)(2n  1) 6 (n  1)( n  2)( n  3)(n  4) (n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)(n  3)  2 4 1 40. 1  32  52  …  (2n  1)3  n(2n  1)(2n  1). 3 – Khi ®ã ta cã ®­îc c¸c kÕt qu¶ sau: 1 A . 4 B 1 . 12 1 C . 4 4 D . 9 Trong nhiÒu bµi to¸n ta kh«ng thÓ ®¬n gi¶n ®­îc CTTQ ®Ó sö dông hai ph­¬ng ph¸p nh©n liªn hîp, hoÆc chia cho lòy thõa cña n. Khi ®ã h·y nghÜ ®Õn §Þnh lÝ giíi h¹n kÑp Bµi 3.4 TÝnh giíi h¹n sau.   1 1 1 A  lim    …   2 n2  2 n2  n   n 1 B  lim 1.3.5.7…..(2n  1) 2.4.6…..(2n) Gi¶i 1 a). Ta cã:  n2  n n  n n b). §Æt un  n2  k  un  2 mµ lim 1 n n2  n  lim 1  n2  1 1 1  2 n 1 n n2  1 , k  N ,1  k  n. 2  …  n 2 1 1 2 mµ lim n2  1 n n ,  lim un  1  A  1. 1.32.52.7 2…..(2n  1) 2 1.3.5.7…..(2n  1)  un2  2.4.6…..(2n) 22.42.62…..(2n)2  0  un2  n   1.3 3.5 (2n  1).(2n  1) 1 . … . 22 4 2 (2n)2 2n  1 1 1  0  un  , 2n  1 2n  1 1  0  B  lim un  0. 2n  1 §èi víi nh÷ng bµi to¸n mµ d·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi, hoÆc cho mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö th× ta tiÕn hµnh nh­ sau: – T×m CTTQ cña d·y sè sau ®ã t×m giíi h¹n. – NÕu kh«ng t×m ®­îc CTTQ th× ta sö dông ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n. VT. 05 – 2009 14 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Chøng minh d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn hoÆc gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi. Sau ®ã ®Æt giíi h¹n vµo c«ng thøc truy håi hoÆc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö ta thu ®­îc mét ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ giíi h¹n cÇn t×m. 1 2 Bµi 3.5 Cho d·y (un): un  (un1  a ), n  2. a  0, u1  a . un 1 CMR (un) cã giíi h¹n. TÝnh giíi h¹n ®ã. Gi¶i – CM quy n¹p un  a , n  N *. 1 2 B§T Cauchy: un  (un1  a un 1 )  1 a .2 un 1 . 2 un 1  a. DÊu b»ng kh«ng x¶y ra.  un  a . – Ta chøng minh (un) lµ d·y gi¶m. u Ta cã: n  un 1 1(un 1  2 un 1 2un 1 )  1 1 1 1  2    1  un  un 1 , n  1  (un ) lµ d·y gi¶m. 2 un 1 2 2 2 L a 1 L  L  a . VËy lim u  a .   L  lim un  0. Ta cã: L  lim un  lim (un 1  ) n 2 un 1 2 Chó ý: ë bµi to¸n trªn, thùc ra chØ cÇn gi¶ thiÕt a  0, u1  0. Khi ®ã viÖc chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù. – NÕu u1  a  un  a , n  N *  lim un  a . – NÕu u1  a  un  a , n  1  un  0, n.  lim un  a . Bµi 3.6 1 3 Cho d·y (un): un  (2un 1  a ), n  2. a  0, u1  3 a . 2 un 1 CMR (un) cã giíi h¹n. TÝnh giíi h¹n ®ã. Gi¶i – T­¬ng tù bµi 4.6 ta CM quy n¹p. un  3 a , n  N * ; (un ) lµ d·y t¨ng. a 2L  2 1 a L  L  3 a. – §Æt   L  lim un  0. Theo gt cã: L  lim un  lim (2un 1  2 )  3 un 1 3 VËy lim un  3 a . VT. 05 – 2009 15 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Chó ý: ë bµi to¸n trªn, thùc ra chØ cÇn gi¶ thiÕt a  0, u1  0. Khi ®ã viÖc chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù. – NÕu u1  3 a  un  3 a , n  N *  lim un  3 a . – NÕu u1  3 a  un  3 a , n  1  un  0, n.  lim un  3 a . 1 4 Bµi 3.7 Cho d·y (un): 0  un  1 vµ un1 (1  un )  . TÝnh limun? Gi¶i – Chøng minh d·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Theo gt hiÓn nhiªn (un) bÞ chÆn trªn. 1 2 ¸p dông B§T Cauchy: un1  (1  un )  2 un 1 (1  un )  2.  1  un 1  un , n  N *. (un) t¨ng VËy (un) cã giíi h¹n, ®Æt a  lim un .  lim[un1 (1  un )]  Bµi 3.8 Cho d·y (un): u1  3, 1 1  a (1  a )  4 4 1 a . 2 un 1  un2  3un  4, n  1. a). CMR (un) lµ d·y ®¬n ®iÖu nh­ng kh«ng bÞ chÆn. b). D·y (vn) x®: vn  1 1 1   …  , n  1. cã giíi h¹n, tÝnh giíi h¹n ®ã. u1  1 u2  1 un  1 Gi¶i a). Quy n¹p. – Ta cã: u2  u12  3u1  4  4  3  u1. – Gi¶ sö un  un1. Ta CM un1  un . (*) TV. (*)  un1  un2  3un  4  un  (un  2) 2  0 (®óng). VËy (un) lµ d·y t¨ng. +) Gi¶ sö (un) lµ d·y bÞ chÆn khi ®ã (un) lµ d·y cã giíi h¹n, ®Æt lim un  a. Khi ®ã -). (un) lµ d·y t¨ng, un  3, n  N  a  lim un  3. -). a  lim un1  lim(un2  3un  4)  a 2  3a  4  a  2. ( V« lý) VËy (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn.  lim un  . b). Tõ un1  un2  3un  4  un1  2  (un  1)(un  2)   1 1 1 .   un  1 un  2 un 1  2 VT. 05 – 2009 16 1 1 1 1    . un 1 (un  1)(un  2) un  2 un  1 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc  vn   1  1 1 1 1 1   1 1  1    …        …     un  1  u1  2 u2  2   u2  2 u3  2  u1  1 u2  1  un  2 un 1  2   1 1  1  0  vn     (vn ) b / c.  u 2  u  2 u  2 n 1 1  1  – V× un  3  (vn ) lµ d·y t¨ng. – lim vn  lim( VT. 05 – 2009 1 1 1  )  1. u1  2 un 1  2 u1  2 17 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc IV.Mét sè d¹ng to¸n kh¸c  un2  un  un 1 Bµi 4.1 Cho d·y (un):  * un  0, n  N . 1 CMR : un  , n  N * . n Gi¶i Chøng minh Quy n¹p. – Víi n = 1, cã: u12  u1  u2  u1  u1 (u1  1)  0  u1  1. (do un  0, n) VËy m® ®óng víi n = 1. – Víi n = 2, cã: u12  u1  u2  u1  u2  u1  u12  1 1 1 1  (u1  )2   . 2 4 2 4 VËy m® ®óng víi n = 2. 1 n 1 2 – Gi¶ sö cã: un  , (n  2) . Hµm sè f ( x)  x  x2 ®ång biÕn trªn ®o¹n [0, ]. 1 n 1 n 1 n Do 0  un   f (un )  f ( )    un 1  f (un )  n 1 1 n 1 1 1 1 1   2    2  2 n n(n  1) n (n  1) n  1 n(n  1) n (n  1) n(n  1) 1 1 1  2  . VËy m® ®óng víi n +1. n  1 n (n  1) n  1 MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. Bµi 4.2 Cho hai d·y (an) vµ (bn) x¸c ®Þnh bëi: an 1  an  bn 1  bn  1 , n  N * . an 1 ; a1 , b1  0. bn CMR : an  bn  2 2n , n  2. Gi¶i Chøng minh b»ng Quy n¹p. – DÔ rµng chøng minh an , bn  0, n  N *. – Víi n = 3 ta cã: a2 .b2  (a1  1 1 1 ).(b1  )  a1.b1   2  4. b1 a1 a1.b1 a3.b3  (a2  1 1 1 1 ).(b2  )  a2 .b2  2  .  4  2  6. b2 a2 a2 b2 VËy m® ®óng víi n = 3.  a3  b3  2 a3 .b3  2 2.3 – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k ( k >2), tøc: ak  bk  2 2k . – Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. VT. 05 – 2009 18 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc TV. Ta cã: ak21  (ak  a b 1 1 1 1 2 )  ak2  2  2 k ; bk21  (bk  )2  bk2  2  2 k . bk bk ak ak ak bk 2ak 1.bk 1  2ak .bk  4  2 ak .bk Cosi  1 1 2   )  4ak .bk   4  (ak  bk )2  4  4  8k  8.  ak bk  Suy ra: (ak 1  bk 1 )2  (ak  bk )2  (  ak  bk  2 2(k  1). VËy m® ®óng víi n = k + 1. KÕt luËn. an  bn  2 2n , n  2. 1 2 1 n Bµi 4.3 Cho d·y(un): uo  , uk  uk 1  .uk21 CMR :1  1  un  1. n Gi¶i 1 n +) Ta cã: uk  uk 1  .uk21 B»ng quy n¹p chøng minh ®­îc uk  uk 1 , k  1.n u u u 1 uk  uk 1  .uk21  k k 1  k 1 uk .uk 1 n.uk n Do uk  uk 1 , k  1.n    1 1 u   k 1 . uk 1 uk n.uk 1 1 1 1 1 1 1 1 1   ;   ;… ;   . u0 u1 n uk 1 uk n uk  2 uk 1 n 1 1 k 1 1 1 1 1 1 1   (  )  (  )  …  (  )   1.  2   1  uk  1. uk u0 uk u0 u1 u1 u2 uk 1 uk n uk 1 1 1 u 1 1     k 1  . 2 uk 1 uk n.uk n.uk 1  uk 1 n  uk 1 n  1 +) L¹i cã:  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ;     ;…;       1 . u0 u1 n  1 u0 uk n  1 n 1 uk 1 uk n  1 uk  2 uk 1 n  1  uk  n 1 1 1  1  1  . VËy m® ®­îc chøng minh. n2 n2 n Bµi 4.4 Cho d·y sè x¸c ®Þnh: un  4n  15n  1; vn  10n  18n  28. CMR : un 9; vn  27, n  N . Gi¶i +) Chøng minh un  9. – DÔ thÊy m® ®óng víi n = 0, n = 1. – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k, cã nghÜa uk 9. Khi ®ã: uk 1  4k 1  15(k  1)  1  4(4k  15k  1)  18  4.uk  18 9 VËy m® ®óng víi n = k+1. Bµi 4.5 Gi¶ sö p/t: ax 2  bx  c  0 (a  0) cã hai nghiÖm x1 , x 2 . §Æt Sn  x1n  x 2n , n  N* . VT. 05 – 2009 19 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc a. CMR: a.Sn  b.Sn 1  c.Sn  2  0, n  N, n  3. b. Gi¶ sö a = c = 1, b = – 4. CMR: Sn kh«ng chi hÕt cho 3. Gi¶i.  ax n  bx n 1  cx n 2  0  ax 2  bx  c  0 1 1 1 1   1n a. Ta cã:  2 n 1 n 2 ax 2  bx 2  c  0 ax 2  bx 2  cx 2  0  a(x1n  x n2 )  b(x1n 1  x n2 1 )  c(x1n  2  x n2  2 )  a.Sn  b.Sn 1  c.Sn  2  0, n  N, n  3. b. Ta cã: S1  x1  x 2  4 . kh«ng chia hÕt cho 3. S2  x12  x 22  (x1  x 2 ) 2  2x1x 2  16  2  14 kh«ng chia hÕt cho 3. Gi¶ sö Sk-1, Sk (k >1)kh«ng chia hÕt cho 3, ta chøng minh Sk+1 còng kh«ng chia hÕt cho 3. ThËt vËy. Theo (a) cã: Sk  4Sk 1  Sk  2 kh«ng chia hÕt cho 3. Bµi 4.6 Gi¶ sö x1 , x 2 . lµ hai nghiÖm cña p/t: x 2  x  5  0. CMR: x12009  x 22009  Z. Gi¶i. Chøng minh quy n¹p: Sn  x1n  x 2n  Z, n  N*. Sử dông kÕt qu¶ bµi 5.9: Sn  Sn 1  5Sn  2  0, n  N, n  3. Trong ®ã: S1=1; S2=11. Bµi 4.7 TÝnh giíi h¹n cña d·y sè 1) un  Gi¶i. 1. 2 2 2 . ….. 2 2 2 2  2  …  2 2  2  …  3 Trong bµi nµy ta thõa nhËn kÕt qu¶: lim x0 2 Quy n¹p CT: 2  2  …  2 1 Khi ®ã: un  cos 2  2 cos VT. 05 – 2009 cos 4  1 ….. 8 cos  2 cos  n 2   3.2n sin sin x  1. x , n.  2n 1  2 n.sin  2 n 1 n 1 2  2  …  2  2.cos 2  2 cos  un  .  2. Quy n¹p CT: 1 1  2  2  …  2 2) un   2 n ;  2n 1  lim u  1 . n  3 sin n 1 3.2 20  lim un   2 sin lim  2n 1   .  2 n 1 2 2  2  …  3  2.cos  3.2n NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc PhÇn 3. Bµi tËp t­¬ng tù Bµi 1. CMR: un  3  33  35  …  32n1 30. vn  122 n 1  11n  2 133 Bµi 2. Cho x1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x 2  27 x  14  0. CMR S n  x1n  x2n , n  N . kh«ng chia hÕt cho 715. Bµi 3. Ký hiÖu Rn  2  2  2  …  2 c©n bËc hai n lÇn. CMR : cos  2 n  1  1 Rn 1 , sin n  2  Rn 2 . 2 2 2 Bµi 4. Cho d·y (an) x¸c ®Þnh : (n  2)( n  1)an  2  n 2 an  0, n  N * , a1  0, a2  1. T×m an ? Bµi 5. Cho d·y (Sn): S n  n 1 22 23 2n    …  ), n  N * . (2 n 1 2 3 2 n CM d·y (Sn) ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi. Bµi 6. Cho c¸c sè nguyªn a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a 2  b  1. D·y sè (un) ®­îc x¸c ®Þnh: u0  0, un 1  aun  b.un2  c 2 , n  N . CMR mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng. Bµi 7. Cho hai d·y sè an  22 n1  2n 1  1; bn  22n 1  2n 1  1, n  N * . CMR víi mçi n chØ cã mét vµ chØ mét trong hai sè an, bn chia hÕt cho 5. Bµi 8. D·y(an) lµ mét CSC, an  0, n  N *. Gi¶ sö: a1  a2  …  an   ; 1 1 1   …    . a1 a2 an Bµi 9. Cho d·y (un): un1  4.un  5; (n  1), u1  1. TÝnh P  a1.a2 …..an theo  ,  . X¸c ®Þnh CTTQ tÝnh un ? Sn ? u  , u  .  2 1 Bµi 10. Cho d·y (un):  a.un 1  (a  b)un  bun 1  c, n  2. T×m CTTQ cña un , Sn ? Bµi 11. Ba sè 2, 3, 5 cã thÓ cïng cã mÆt trong mét CSC hay CSN ®­îc hay kh«ng? Bµi 12. CMR n  N * cã : 1. 1 5 1 1  2  …  2  . 2 1 2 n 3 2. 1 1 1 1   …   2.  2 3 2 4 3 (n  1) n Bµi 13. T×m CTTQ cña c¸c d·y sè sau: u1  u2  1  b).  un  2  un 1  un , n  0. u1  1  a)  un 1  un  n(n  1), n  1. VT. 05 – 2009 21 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc 1  u1  , u2  0  d ).  2 un  un 1  2un 2  1  0, n  2. u1  2, u2  5  c).  un  2  5un 1  6un , n  0. Bµi 14. Cho d·y (un) x®: 1  u1   2  u  2n  3 u , n  1. n 1  n 2n CMR: limS n  1. Bµi 15. §Æt f (n)  (n 2  n  1) 2  1, n  N *. D·y (un) x®: un  f (1). f (3)….. f (2n  1) , n  N * . f (2). f (4)….. f (2n) CMR : lim n un  1 . 2 Bµi 16. Cho d·y sè (un) cã tÝnh chÊt: un1  2un  un 1  K , (Const )n  1. TÝnh giíi h¹n lim un ? n2 0u 2  n Bµi 17. Cho d·y (un):  * un  2.un 1  un  2  0, n  N . CMR : n(un  un 1 )  2, n  N * . u 2  1 Bµi 18. Cho d·y (un):  3 u u  2 n  9n 2  9n  3, n  1.  3.  n n 1 CMR víi p lµ sè nguyªn tè th× S p 1  p. Bµi 19 Cho d·y (an): a1  1, an  2.an21  1, n  N *. 1 3 1 2 Bµi 20 Cho d·y (an): a1  , a2  , an  CMR: an  bn  1  2n  1 . an 1.an  2 1 . CMR: an  n 1 , n  N * . 2 1 3.an 2  2.an 1 u1  1   Bµi 21 Cho d·y (un):  un  8 * un 1  5 , n  N . vµ d·y (vn): vn = un – 2, n  N *. 1 5 CMR: vn  ( ) n Bµi 22 Cã tån t¹i CSN chøa ®ång thêi 3 phÇn tö: 2, 3, 5 kh«ng ? Cã tån t¹i CSC chøa ®ång thêi 3 phÇn tö: 1, 3, 3 kh«ng ? Bµi 23 Cho a1 , a2 ,…, ak  0; k  2 tháa m·n: a1  a2  …  ak  k . §Æt un  a1n  a2n  …  akn , n  N *. VT. 05 – 2009 CMR (un) lµ d·y t¨ng. 22 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Tµi liÖu tham kh¶o 1. SGK §¹i sè líp 11. ( Ch­¬ng tr×nh kh«ng ph©n ban) 2. SGK §¹i sè líp 11. ( Ch­¬ng tr×nh ph©n ban) 3. Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. NguyÔn H÷u §iÓn 4. Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y sè. NguyÔn V¨n MËu 5. C¬ së lý thuyÕt vµ mét sè bµi to¸n vÒ d·y sè. Vâ Giang Giai 6. 10.000 bµi to¸n s¬ cÊp – D·y sè vµ giíi h¹n. Phan Huy Kh¶i 7. BÊt ®¼ng thøc.Phan §øc ChÝnh. 8. N©ng cao gi¶i tÝch 12. Phan Huy Kh¶i. 9. Båi d­ìng ®¹i sè 11. Phan Huy Kh¶i. 10. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn X – 2004. 11. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XI – 2005. 12. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XII – 2006. 13. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XIII – 2007. 14. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XIII – 2008. 15. B¸o To¸n häc vµ tuæi trÎ. VT. 05 – 2009 23