Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh Hải

Giới thiệu Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh Hải

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh HảiChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh Hải
NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Lêi nãi ®Çu Mét trong nh÷ng ph­¬ng ph¸p rÊt m¹nh trong to¸n häc dïng nghiªn cøu vµ chøng minh c¸c gi¶ thiÕt lµ nguyªn lý quy n¹p to¸n häc. Ph­¬ng ph¸p quy n¹p ®­îc ¸p dông s©u réng vµo hÇu hÕt c¸c d¹ng to¸n: Sè häc, D·y sè, H×nh häc, B§T, Tæ hîp,…Trong b¸o c¸o nµy t«i chØ ®Ò cËp ®Õn ¸p dông cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p vµo mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè. Trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng th× to¸n vÒ d·y sè ®­îc ph©n phèi thêi l­îng kh«ng nhiÒu, ®Æc biÖt trong ch­¬ng tr×nh to¸n ph©n ban hiÖn nay ®· l­îc bá nhiÒu ®Þnh lý quan träng.Trong phÇn lín c¸c kú thi th× d¹ng to¸n nµy hÇu nh­ kh«ng cã. To¸n vÒ d·y sè th­êng chØ giµnh cho nh÷ng häc sinh kh¸ giái trong c¸c kú thi cÊp TØnh vµ Quèc gia, do vËy nã cµng Ýt ®­îc häc sinh vµ c¶ gi¸o viªn quan t©m ®Õn. PhÇn v× d¹ng to¸n nµy còng t­¬ng ®èi khã vµ trõu t­îng ®èi víi häc sinh, häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n vµ rÊt ng¹i khi gÆp d¹ng to¸n nµy. Trong thêi gian võa qua t«i ®· thu thËp, tÝch lòy vµ hÖ thèng ®­îc mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè nh»m phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y, båi d­ìng häc sinh giái cña m×nh. Víi môc ®Ých gióp häc sinh tiÕp cËn mét sè d¹ng to¸n ®Æc tr­ng vÒ d·y sè do ®ã t«i lùa chän ®Ò tµi nµy. C¸c bµi to¸n ®­îc lùa chän chñ yÕu cho nh÷ng häc sinh kh¸, giái. Sù ph©n chia thµnh c¸c d¹ng to¸n vµ nh÷ng ®¸nh gi¸ cña t«i lµ theo quan ®iÓm chñ quan cña m×nh, do ®ã kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. KÝnh mong c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®äc vµ cho ý kiÕn gãp ý ®Ó tµi liÖu nµy ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ch©n thµnh c¸m ¬n ! VÜnh T­êng 5 . 2009 T¸c gi¶: NguyÔn Minh H¶i VT. 05 – 2009 1 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Môc lôc TT PhÇn 1 Néi dung Trang Lêi nãi ®Çu 1 Mét sè vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt I Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc 3 II Mét sè vÊn ®Ò vÒ d·y sè 5 III Mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè th­êng gÆp 6 PhÇn 2 ¸p dông gi¶i to¸n I Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m vµ bÞ chÆn 8 II C«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè 10 III T×m giíi h¹n cña d·y sè 12 IV Mét sè d¹ng to¸n kh¸c 18 PhÇn 3 Bµi tËp tổng hîp 21 Tµi liÖu tham kh¶o VT. 05 – 2009 2 23 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc PhÇn 1. Mét sè vÊn ®Ò vÒ nguyªn lý Quy n¹p to¸n häc vµ D·y sè. I.Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc Sau ®©y lµ ba d¹ng cña nguyªn lÝ quy n¹p to¸n häc th­êng ®­îc dïng trong nh÷ng bµi to¸n ë THPT. 1. §Þnh lÝ 1. Cho n0 lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ P(n) lµ mÖnh ®Ò cã nghÜa víi mäi sè tù nhiªn n  n0 . NÕu: 10. P(n0) lµ mÖnh ®Ò ®óng 20. NÕu P(k) ®óng th× P(k+1) còng ®óng víi mçi sè tù nhiªn k  n0 . Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè tù nhiªn n  n0 . VÝ dô 1. Cho d·y sè (un) x¸c ®inh bëi: un = n2. CMR tång cña n phÇn tö ®Çu tiªn cña d·y ®­îc tÝnh: S n  n(n  1)(2n  1) . 6 Chøng minh. Víi n = 1. §¼ng thøc ®óng. Gi¶ sö §T ®óng víi n = k ( k ≥ 1), tøc lµ cã: S k  k (k  1)(2k  1) . 6 Ta chøng minh §T ®óng víi n = k+1, tøc CM: S k 1  ThËt vËy. Ta cã S k 1  S k  (k  1)2  (k  1)( k  2)(2k  3) . 6 (k  1)( k  2)(2k  3) k (k  1)(2k  1)  (k  1) 2  . 6 6 VËy §T ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng. 2. §Þnh lÝ 2. Cho p lµ sè nguyªn d­¬ng vµ d·y c¸c mÖnh ®Ò: P(1), P(2), …, P(n),… NÕu: 10. P(1), P(2), …, P(p) lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng 20. Víi mçi sè tù nhiªn k  p c¸c mÖnh ®Ò P(k  p  1), P(k  p  2), …, P(k ) ®óng, suy ra mÖnh ®Ò P(k+1) còng ®óng. Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. VÝ dô 2. Cho v0  2, v1  3 vµ víi mçi sè tù nhiªn k cã ®¼ng thøc: vk 1  3vk  2vk 1. CMR: vn  2n  1. Chøng minh. – DÔ thÊy mÖnh ®Ò ®óng víi n = 0, 1. VT. 05 – 2009 3 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc – Gi¶ sö víi mçi sè tù nhiªn k  2 m® ®óng víi n = k vµ n = k – 1. Tøc lµ cã: vk  2 k  1, vk 1  2 k 1  1. -Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. TV. Theo CT truy håi vk 1  3vk  2vk 1  3(2k  1)  2(2k 1  1)  2k 1  1. (dpcm) VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh. 3. §Þnh lÝ 3. Cho d·y c¸c mÖnh ®Ò: P(1), P(2), …, P(n),… NÕu: 10. P(1) lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng 20. Víi mçi sè tù nhiªn k  1 c¸c mÖnh ®Ò P(1), P(2), …, P(k ) ®óng, suy ra mÖnh ®Ò P(k+1) còng ®óng. Khi ®ã mÖnh ®Ó P(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. D¹ng quy n¹p nµy m¹nh h¬n d¹ng thø hai ë b­íc quy n¹p. VÝ dô 3. Cho d·y sè (un) x¸c ®inh bëi: U n  x n  1 , n  N * , x  N * . U1  Z . n x CMR (un ) lµ d·y c¸c sè nguyªn. Chøng minh Víi n = 1 mÖnh ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Gi¶ sö víi mäi sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn k, uk lµ sè nguyªn. Ta CM uk+1 còng nguyªn. TV. uk 1  x k 1  1 x k 1 1 1 1  ( x  )( x k  k )  ( x k 1  k 1 )  u1 .uk  uk 1  Z x x x VËy (un) lµ d·y c¸c sè nguyªn. VT. 05 – 2009 4 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc II. Mét sè vÊn ®Ò vÒ d·y sè. 2.1. D·y sè t¨ng, gi¶m (®¬n ®iÖu). §N. D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y t¨ng nÕu víi mäi n  N * ta cã un < un+1. D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y gi¶m nÕu víi mäi n  N * ta cã un > un+1. D·y sè t¨ng vµ d·y gi¶m ®­îc gäi chung lµ d·y ®¬n ®iÖu. 2.2. D·y bÞ chÆn. §N +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn trªn, nÕu tån t¹i mét sè M sao cho un  M , n  N * . +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn d­íi, nÕu tån t¹i mét sè m sao cho un  m, n  N * . +) D·y sè (un) ®­îc gäi lµ d·y bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn d­íi, tøc lµ tån t¹i c¸c sè m, M sao cho m  un  M , n  N * . (  M  0 : un  M , n  N * ) 2.3. Giíi h¹n d·y sè. §N 1. D·y sè (un) cã giíi h¹n 0 nÕu víi mçi sè d­¬ng nhá tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d­¬ng ®ã. Ta viÕt lim(un) = 0 hoÆc limun = 0 hoÆc un 0. C¸ch ph¸t biÓu míi nµy gióp häc sinh h×nh dung ®­îc d·y sè cã giíi h¹n 0 mét c¸ch thuËn lîi h¬n, tuy nhiªn ®Þnh nghÜa nµy khã diÔn ®¹t trong khi chøng minh mét sè ®Þnh lý vÒ giíi h¹n. Do vËy t«i xin trë l¹i ®Þnh nghÜa tr­íc ®©y: §N 2. Ta nãi r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n 0 nÕu víi mçi sè d­¬ng  bÊt kú, tån t¹i mét sè nguyªn d­¬ng N sao cho n  N* , n  N | u n | . Ta viÕt lim(un) = 0 hoÆc limun = 0 hoÆc un 0. §N 3. Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ sè thùc L nÕu lim(un – L) = 0. Ta viÕt lim(un) = L hoÆc limun = L hoÆc un L. §N 4. – Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n + nÕu víi mçi sè d­¬ng tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d­¬ng ®ã. VT. 05 – 2009 5 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc – Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n - nÕu víi mçi sè ©m tuú ý cho tr­íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè d­¬ng ®ã. §Þnh lÝ 1. Cho hai d·y sè (un) vµ (vn). NÕu | un|  vn víi mäi n vµ limvn = 0 th× limun = 0. §Þnh lÝ 2. NÕu | q| < 1 th× lim qn = 0. §Þnh lÝ 3. Gi¶ sö lim un = L. Khi ®ã: a) lim | un| = | L | vµ lim 3 u n  3 L. b) NÕu un  0 víi mäi n th× L  0 vµ lim u n  L. §Þnh lÝ 4. Gi¶ sö lim un = L, lim vn = M vµ c lµ mét h»ng sè. Khi ®ã: lim(un  vn )  L  M . lim(un .vn )  L.M lim(c.u n )  c.L lim §Þnh lÝ 5. NÕu lim |un| = + th× lim un L  vn M nÕu M  0. 1  0. un VËn dông c¸c kÕt qu¶ trªn, ta cã thÓ chóng minh ®­îc c¸c ®Þnh lý sau: §Þnh lÝ 6.(§iÒu kiÖn cÇn) Mét d·y sè cã giíi h¹n th× nã bÞ chÆn. §Þnh lÝ 7. (Duy nhÊt) Mét d·y sè cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt. §Þnh lÝ 8. (Giíi h¹n kÑp) Cho ba d·y sè (un), (vn), (wn) tháa m·n: 10. vn  un  wn , n  N * . 20. lim vn  lim wn  A th× lim un = A. Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau ®©y. §Þnh lÝ 9. (§iÒu kiÖn ®ñ- §Þnh lÝ Waiesstras) Mét d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi th× cã giíi h¹n. HiÖn nay bèn §Þnh lý trªn kh«ng ®­îc giíi thiÖu trong ch­¬ng tr×nh, tuy nhiªn cã thÓ chøng minh ®­îc §Þnh lÝ 6, 7, 8 tõ c¸c ®Þnh lý cã s½n. Trong b¸o c¸o nµy t«i vÉn xin ®­îc sö dông ®Ó c¸c d¹ng to¸n ®­îc ®a d¹ng h¬n. VT. 05 - 2009 6 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh T­êng - VÜnh phóc 2.4. CÊp sè céng. §Þnh nghÜa. CÊp sè céng lµ mét d·y sè, trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai mçi sè h¹ng ®Òu lµ tæng cña sè h¹ng liÒn tr­íc víi mét sè kh«ng ®æi gäi lµ c«ng sai. TÝnh chÊt. Cho cÊp sè céng ( un) c«ng sai d, khi ®ã n  N * ta cã: 10. un 1  un  d ; un  u1  (n  1)d . 20. un 1  un  u n  2 . 2 30. Sn  u1  u2  ...  un  n n (u1  un )   2u1  (n  1)d  . 2 2 2.5. CÊp sè nh©n. §Þnh nghÜa. CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè, trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai mçi sè h¹ng ®Òu lµ tÝch cña sè h¹ng liÒn tr­íc víi mét sè kh«ng ®æi gäi lµ c«ng béi. TÝnh chÊt. Cho cÊp sè nh©n ( un) c«ng béi q, ta cã: 10. un 1  un .q; un  u1 .q n 1 . 20. un 1  un .un  2 30. Sn  u1  u2  ...  un  u1. qn  1 ; (q  1) q 1 Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n c«ng béi q (q <1) S  lim Sn  lim u1 . u qn 1  1 . (q  1) q 1 1 q III. Mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè th­êng gÆp. 1. Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m, bÞ chÆn, d·y cã giíi h¹n. 2. Chøng minh d·y sè lËp thµnh cÊp sè céng, cÊp sè nh©n, tÝnh chÊt cña cÊp sè. 3. T×m c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè. 4. Chøng minh d·y sè cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n d·y sè. 5. Mét sè d¹ng kh¸c: B§T vÒ d·y sè, chøng minh tÝnh chÊt chia hÕt, chøng minh d·y sè nguyªn….. VT. 05 - 2009 7 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh T­êng - VÜnh phóc PhÇn 2. ¸p dông trong gi¶i to¸n I. Chøng minh d·y sè t¨ng, gi¶m vµ bÞ chÆn. n u1  1, u2  2.  5 CMR: un    , n  N *. Bµi 1.1 Cho d·y (un):  2 un  2un 1  un  2 , n  3. Gi¶i ë bµi to¸n nµy un cho bëi c«ng thøc truy håi, ®­îc tÝnh theo un-1 vµ un-2 do ®ã ta vËn dông nguyªn lÝ quy n¹p thø hai ®Ó chøng minh. - Víi n = 1, n = 2 mÖnh ®Ò ®óng. 5 - Gi¶ sö m® ®óng víi n = k – 1, vµ n = k ( k >1), tøc lµ cã: un1    2 n 1 n 5 , un    .  2 – Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. TV. Ta cã: un  2un1  un 2 5  2.   2 n 1 n 5 5     2 2 n 1 . (®pcm) u1  1.   Bµi 1.2 Cho d·y (un):  n 3(n  2) * un 1  2(n  1) un  2(n  1) , n  N .  a). CM d·y sè bÞ chÆn trªn. b). CM d·y sè t¨ng. Gi¶i §©y lµ bµi to¸n kh«ng khã nÕu dù ®o¸n ®­îc d·y sè bÞ chÆn trªn bëi sè nµo thÝch hîp nhÊt? Ta cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu thø hai cña bµi to¸n: Cã: un1  un  (3  un )( n  2)  0  un  3. n 1 a). Ta CM quy n¹p theo nguyªn lÝ thø nhÊt: un  3, n  N * . – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k khi ®ã cã: uk 1  3k 3(k  2) k 3(k  2) uk     3. 2(k  1) 2(k  1) 2(k  2) 2(k  1) – VËy m® ®óng víi n = k +1. b). Theo phÇn (a) cã: un1  un  (3  un )(n  2)  0. n 1 VËy d·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. VT. 05 – 2009 8 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc 1 n Bµi 1.3 Chøng minh d·y un  (1  )n lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Gi¶i +) Ta chøng minh un  3, n  N * . – Víi n = 1, n = 2. B§T hiÓn nhiªn ®óng. k n 1 n – Víi n ≥ 3, ta chøng minh B§T phô sau ®©y: (1  )k  1   k2 , k :1  k  n. (1) n2 TV. – Víi k = 1, B§T ®óng . 1 n k n – Gi¶ sö (1) ®óng víi k (1  k  n  1 ), tøc : (1  )k  1   1 n 1 n 1 n 1 n k n Khi ®ã: (1  )k 1  (1  )(1  )k  (1  )(1   MÆt kh¸c dÔ dµng CM: k2 . n2 k2 k 1 k 2  k k 2     3. ) 1 n2 n n2 n k 2  k k 2 (k  1) 2 .  3 n2 n n2 1 k 1 k  1 (k  1) 2 . VËy B§T ®óng víi k + 1.  (1  )  1   n n  1 (n  1)2 KL. B§T (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng k, ( 1  k  n ) 1 n n n -) Víi k = n ta cã : (1  )n  1   n2  3. n2 +) Chøng minh d·y t¨ng. ¸p dông B§T Cauchy cho n + 1 sè d­¬ng kh«ng ®ång thêi b»ng nhau, ta ®­îc: 1 1 1 1 1  (1  )  (1  )  …  (1  )  (n  1) n 1 (1  ) n . n n n n  1 1 1 1 n 1 1  n 1 (1  ) n  (1  )  (1  )n  un 1  un , n  N * . n n 1 n n 1 Bµi 1.5 XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn cña c¸c d·y sè sau: u1  2   1.  un  1 * un 1  2 , n  N .  u1  2 20.  * un 1  2  un , n  N . 0 Gi¶i 10. B»ng quy n¹p ta chøng minh (un) lµ d·y gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi bëi 0. 20. B»ng quy n¹p ta chøng minh (un) lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 2. VT. 05 – 2009 9 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc II. C«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè.  Bµi 2.1 Cho d·y (un):  u u1  2, u2  3.  n 1  3un  2un 1 , n  2. CMR un  2n 1  1. Tính Sn. Gi¶i Quy n¹p. Víi n =1; n = 2. §óng. Gi¶ sö m® ®óng víi k-1 vµ k (k > 1), ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy: Cã uk 1  2k  2  1, uk  2k 1  1  uk 1  3(2k 1  1)  2(2k 2  1)  4.2k  2  1  2k  1. MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. Khi ®ã: S n  u1  u2  …  un  1  (1  2)  …  (1  2n 1 )  2n  n  1. Bµi 2.2 Cho d·y (un): u1  2   u  un ,   * n N .  n 1 1  u  n a) CMR: un  0, n  N * . b) §Æt vn  3 un  1 . CMR v n   n, n. un 2 c). T×m CTTQ tÝnh u n ,Sn  u1  u 2  …u n . Gi¶i a). Chøng minh b»ng quy n¹p. – Víi n = 1 m® ®óng. – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k ( k  1), tøc uk  0. Khi ®ã uk  0,1  uk  0  uk 1  uk  0. 1  uk – VËy m® ®óng víi n = k +1. b). Ta cã: un1  un u  1 un  1 un  un 1  un .un 1  un 1  un .  vn 1  vn  n 1    1. un 1 un un .un1 1  un  vn 1  vn  1  (vn ) lµ CSC c«ng sai d = -1, v1   vn  v1  (n  1)d  Tõ vn  1 3  (n  1)( 1)   n. 2 2 un  1 1 2  un   . un vn  1 2n  1 C¸ch 2. CM quy n¹p. VT. 05 – 2009 10 u1  1 2  1 1   . u1 2 2 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc u1  1, u2  2.  Bµi 2.4 Cho d·y (un):  u  n 1  2un  un 1  2, n  2. CMR: un  (n  1)2  1. T×m Sn ? Gi¶i – HiÓn nhiªn c«ng thøc ®óng víi n = 1, n = 2. – Gi¶ sö c«ng thøc ®óng víi n = k – 1, n = k tøc: uk 1  (k  2) 2  1; uk  (k  1) 2  1 Khi ®ã: uk 1  2uk  uk 1  2  2[(k  1) 2  1]  [(k  2) 2  1]  2  k 2  1  [(k  1)  1]2  1 VËy c«ng thøc ®óng víi n = k + 1. Khi ®ã: S n  (n  1)2  (n  2) 2  …  12  n  n(n  1)(2n  1)  n. 6 Chó ý: NÕu bµi to¸n yªu cÇu chøng minh un  1 lµ sè chÝnh ph­¬ng th× c¸ch lµm hoµn toµn vÉn nh­ vËy. u1  3, u2  2.  Bµi 2.5 Cho d·y (un):  u  CMR: un  n 1  3un  2un 1  1, n  2. q n 1  1 v1  n  2  2n  n  4. q 1 TÝnh Sn ? Gi¶i Quy n¹p: Gi¶ sö: uk 1  2k 1  (k  1)  4; uk  2k  k  4  un 1  3un  2un 1  1  3[2k  k  4]  2[2k 1  k  3]  1  8.2k 1  k  5  2k 1  (k  1)  4 Bµi 2.6 Cho d·y (un): un  un 1 1 , n  N *. T×m CTTQ cña un? , u0  2.un 1  1 2n Gi¶i – NÕu u0  0  un  0, n  N . – NÕu u0  0. B»ng quy n¹p ta chøng minh ®­îc un  0, n  N . 1 1 2un 1  1   2 . un 1 un un Khi ®ã: §Æt vn  1 un  vn  2  vn 1   vn  lµ CSC c«ng sai d  2.  vn  v0  nd  VT. 05 – 2009 u0 1 1  2n  un   . u0 vn 2n.u0  1 11 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc III. T×m giíi h¹n cña d·y sè. NÕu d·y sè cho bëi CTTQ th× ta th­êng sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n cña d·y sè ®Ó tÝnh. Trong nhiÒu tr­êng hîp ta ph¶i biÕn ®æi CTTQ ®ã vÒ d¹ng ®¬n gi¶n h¬n tr­íc khi tÝnh giíi h¹n. Mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n cña d·y sè: – Nh©n liªn hîp, ®èi víi giíi h¹n d¹ng  –  – Chia c¶ tö vµ mÉu cho lòy thõa bËc cao nhÊt cña n, ®èi víi giíi h¹n d¹ng – KÕt hîp hai ph­¬ng ph¸p trªn cho giíi h¹n d¹ng  ;     0 ; ; . ;    0 – Sö dông ®Þnh lý giíi h¹n kÑp – Sö dông ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n, thiÕt lËp biÓu thøc vÒ giíi h¹n. KÕt qu¶ giíi h¹n lµ nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh nµo ®ã. Bµi 3.1 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: A  lim( 3 n 2  n3  n) C  lim E  lim B  lim n 2  3 1  n6 n2  1  n 4 D  lim n4  1  n2 4.3n  7 n 1 2.5n  7 n F  lim n3  n  n 3n  2n1 2n  5.3n 4n 2  1  2n  1 n 2  4n  1  n HD. 1 1 1 A  ; B  ; C  0; D  ; E  7; F   . 5 2 3 Bµi 3.2 TÝnh giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau  1 1 1  A  lim    …   n(n  1)   1.2 2.3 C  lim(1  E  lim  1  1 1 B  lim    …   n(n  1)(n  2)   1.2.3 2.3.4 2n  1   1 3 5 D  lim  2  2  2  …  2  n  n n n 1 1 1 )(1  2 )…(1  2 ) 2 2 n 3 1 1 1 1 (   …  ) 3 5 2n  1  2n  1 n 1 3 VT. 05 – 2009 12 {§Ò thi HSG líp 11 n¨m 2007} NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Häc sinh th­êng ¸p dông sai c«ng thøc tÝnh giíi h¹n cña tæng vµ tÝch c¸c d·y sè. Hai c«ng thøc nµy chØ ¸p dông ®èi víi tæng vµ tÝch h÷u h¹n c¸c d·y sè. Häc sinh th­êng ¸p dông cho tæng, tÝch v« h¹n dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. Gi¶i a). NhËn xÐt: 1 n(n  1)   un  (n  1)  n n(n  1)  1 1  , n  N * n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   …   (1  )  (  )  …  (  )  1 1.2 2.3 2 2 3 n 1 n n n(n  1) 1  A  lim un  lim(1  )  1. n b). NhËn xÐt:  un   un  1 (n  2)  n 1 1 1  (   ), n  N * n(n  1)( n  2) 2n(n  1) 2 n(n  1) (n  1)(n  2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )  …  ( )]   …   [(    n(n  1)( n  2) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n  1) (n  1)(n  2) 1.2.3 2.3.4 1 1 1  B . 4 4 2( n  1)( n  2) c). un  1.3 2.4 (n  1)(n  1) 22  1 32  1 n 2  1 . 2 ….. 2  . …. 2 2 n 3 2.2 3.3 n.n d). un  1  3  5  …  (2n  1) n2  n2 n2  n 1 1 C . 2n 2  D  1. 1 2n  1  2n  1 2n  1 2n  1    , n  1. 2 2 2n  1  2n  1 (2n  1)  (2n  1) e). Ta cã:  un   1 1 1 1   …  ) ( 3 5 2n  1  2n  1 n 1 3 1 3 1 5 3 2n1 2n1 1 2n11  )]  . .[(  ) (  ) …( 2 2 2 n 2 2 2 2 n  E  lim un  lim 2n  1  1 2  . 2 2 n Bµi 3.3 TÝnh c¸c giíi h¹n sau 1  22  32  …  n 2 B  lim 4n3  1 1  2  3  …  n A  lim 2n 2  n  3 C  lim VT. 05 – 2009 1  23  33  …  n3 n 4  3n 2  1 C  lim 13 1  32  52  …  (2n  1)2 3n3  n  4 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Gi¶i §Ó ®¬n gi¶n biÓu thøc ta chøng minh quy n¹p c¸c c«ng thøc sau: 10. 1  2  3  …  n  n(n  1) 2 20. 1  2 2  32  …  n 2  30. 1  23  33  …  n3  1  8(n  1)  19 n(n  1)(2n  1) 6 (n  1)( n  2)( n  3)(n  4) (n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)(n  3)  2 4 1 40. 1  32  52  …  (2n  1)3  n(2n  1)(2n  1). 3 – Khi ®ã ta cã ®­îc c¸c kÕt qu¶ sau: 1 A . 4 B 1 . 12 1 C . 4 4 D . 9 Trong nhiÒu bµi to¸n ta kh«ng thÓ ®¬n gi¶n ®­îc CTTQ ®Ó sö dông hai ph­¬ng ph¸p nh©n liªn hîp, hoÆc chia cho lòy thõa cña n. Khi ®ã h·y nghÜ ®Õn §Þnh lÝ giíi h¹n kÑp Bµi 3.4 TÝnh giíi h¹n sau.   1 1 1 A  lim    …   2 n2  2 n2  n   n 1 B  lim 1.3.5.7…..(2n  1) 2.4.6…..(2n) Gi¶i 1 a). Ta cã:  n2  n n  n n b). §Æt un  n2  k  un  2 mµ lim 1 n n2  n  lim 1  n2  1 1 1  2 n 1 n n2  1 , k  N ,1  k  n. 2  …  n 2 1 1 2 mµ lim n2  1 n n ,  lim un  1  A  1. 1.32.52.7 2…..(2n  1) 2 1.3.5.7…..(2n  1)  un2  2.4.6…..(2n) 22.42.62…..(2n)2  0  un2  n   1.3 3.5 (2n  1).(2n  1) 1 . … . 22 4 2 (2n)2 2n  1 1 1  0  un  , 2n  1 2n  1 1  0  B  lim un  0. 2n  1 §èi víi nh÷ng bµi to¸n mµ d·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi, hoÆc cho mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö th× ta tiÕn hµnh nh­ sau: – T×m CTTQ cña d·y sè sau ®ã t×m giíi h¹n. – NÕu kh«ng t×m ®­îc CTTQ th× ta sö dông ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n. VT. 05 – 2009 14 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Chøng minh d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn hoÆc gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi. Sau ®ã ®Æt giíi h¹n vµo c«ng thøc truy håi hoÆc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö ta thu ®­îc mét ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ giíi h¹n cÇn t×m. 1 2 Bµi 3.5 Cho d·y (un): un  (un1  a ), n  2. a  0, u1  a . un 1 CMR (un) cã giíi h¹n. TÝnh giíi h¹n ®ã. Gi¶i – CM quy n¹p un  a , n  N *. 1 2 B§T Cauchy: un  (un1  a un 1 )  1 a .2 un 1 . 2 un 1  a. DÊu b»ng kh«ng x¶y ra.  un  a . – Ta chøng minh (un) lµ d·y gi¶m. u Ta cã: n  un 1 1(un 1  2 un 1 2un 1 )  1 1 1 1  2    1  un  un 1 , n  1  (un ) lµ d·y gi¶m. 2 un 1 2 2 2 L a 1 L  L  a . VËy lim u  a .   L  lim un  0. Ta cã: L  lim un  lim (un 1  ) n 2 un 1 2 Chó ý: ë bµi to¸n trªn, thùc ra chØ cÇn gi¶ thiÕt a  0, u1  0. Khi ®ã viÖc chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù. – NÕu u1  a  un  a , n  N *  lim un  a . – NÕu u1  a  un  a , n  1  un  0, n.  lim un  a . Bµi 3.6 1 3 Cho d·y (un): un  (2un 1  a ), n  2. a  0, u1  3 a . 2 un 1 CMR (un) cã giíi h¹n. TÝnh giíi h¹n ®ã. Gi¶i – T­¬ng tù bµi 4.6 ta CM quy n¹p. un  3 a , n  N * ; (un ) lµ d·y t¨ng. a 2L  2 1 a L  L  3 a. – §Æt   L  lim un  0. Theo gt cã: L  lim un  lim (2un 1  2 )  3 un 1 3 VËy lim un  3 a . VT. 05 – 2009 15 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Chó ý: ë bµi to¸n trªn, thùc ra chØ cÇn gi¶ thiÕt a  0, u1  0. Khi ®ã viÖc chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù. – NÕu u1  3 a  un  3 a , n  N *  lim un  3 a . – NÕu u1  3 a  un  3 a , n  1  un  0, n.  lim un  3 a . 1 4 Bµi 3.7 Cho d·y (un): 0  un  1 vµ un1 (1  un )  . TÝnh limun? Gi¶i – Chøng minh d·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Theo gt hiÓn nhiªn (un) bÞ chÆn trªn. 1 2 ¸p dông B§T Cauchy: un1  (1  un )  2 un 1 (1  un )  2.  1  un 1  un , n  N *. (un) t¨ng VËy (un) cã giíi h¹n, ®Æt a  lim un .  lim[un1 (1  un )]  Bµi 3.8 Cho d·y (un): u1  3, 1 1  a (1  a )  4 4 1 a . 2 un 1  un2  3un  4, n  1. a). CMR (un) lµ d·y ®¬n ®iÖu nh­ng kh«ng bÞ chÆn. b). D·y (vn) x®: vn  1 1 1   …  , n  1. cã giíi h¹n, tÝnh giíi h¹n ®ã. u1  1 u2  1 un  1 Gi¶i a). Quy n¹p. – Ta cã: u2  u12  3u1  4  4  3  u1. – Gi¶ sö un  un1. Ta CM un1  un . (*) TV. (*)  un1  un2  3un  4  un  (un  2) 2  0 (®óng). VËy (un) lµ d·y t¨ng. +) Gi¶ sö (un) lµ d·y bÞ chÆn khi ®ã (un) lµ d·y cã giíi h¹n, ®Æt lim un  a. Khi ®ã -). (un) lµ d·y t¨ng, un  3, n  N  a  lim un  3. -). a  lim un1  lim(un2  3un  4)  a 2  3a  4  a  2. ( V« lý) VËy (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn.  lim un  . b). Tõ un1  un2  3un  4  un1  2  (un  1)(un  2)   1 1 1 .   un  1 un  2 un 1  2 VT. 05 – 2009 16 1 1 1 1    . un 1 (un  1)(un  2) un  2 un  1 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc  vn   1  1 1 1 1 1   1 1  1    …        …     un  1  u1  2 u2  2   u2  2 u3  2  u1  1 u2  1  un  2 un 1  2   1 1  1  0  vn     (vn ) b / c.  u 2  u  2 u  2 n 1 1  1  – V× un  3  (vn ) lµ d·y t¨ng. – lim vn  lim( VT. 05 – 2009 1 1 1  )  1. u1  2 un 1  2 u1  2 17 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc IV.Mét sè d¹ng to¸n kh¸c  un2  un  un 1 Bµi 4.1 Cho d·y (un):  * un  0, n  N . 1 CMR : un  , n  N * . n Gi¶i Chøng minh Quy n¹p. – Víi n = 1, cã: u12  u1  u2  u1  u1 (u1  1)  0  u1  1. (do un  0, n) VËy m® ®óng víi n = 1. – Víi n = 2, cã: u12  u1  u2  u1  u2  u1  u12  1 1 1 1  (u1  )2   . 2 4 2 4 VËy m® ®óng víi n = 2. 1 n 1 2 – Gi¶ sö cã: un  , (n  2) . Hµm sè f ( x)  x  x2 ®ång biÕn trªn ®o¹n [0, ]. 1 n 1 n 1 n Do 0  un   f (un )  f ( )    un 1  f (un )  n 1 1 n 1 1 1 1 1   2    2  2 n n(n  1) n (n  1) n  1 n(n  1) n (n  1) n(n  1) 1 1 1  2  . VËy m® ®óng víi n +1. n  1 n (n  1) n  1 MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. Bµi 4.2 Cho hai d·y (an) vµ (bn) x¸c ®Þnh bëi: an 1  an  bn 1  bn  1 , n  N * . an 1 ; a1 , b1  0. bn CMR : an  bn  2 2n , n  2. Gi¶i Chøng minh b»ng Quy n¹p. – DÔ rµng chøng minh an , bn  0, n  N *. – Víi n = 3 ta cã: a2 .b2  (a1  1 1 1 ).(b1  )  a1.b1   2  4. b1 a1 a1.b1 a3.b3  (a2  1 1 1 1 ).(b2  )  a2 .b2  2  .  4  2  6. b2 a2 a2 b2 VËy m® ®óng víi n = 3.  a3  b3  2 a3 .b3  2 2.3 – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k ( k >2), tøc: ak  bk  2 2k . – Ta chøng minh m® ®óng víi n = k + 1. VT. 05 – 2009 18 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc TV. Ta cã: ak21  (ak  a b 1 1 1 1 2 )  ak2  2  2 k ; bk21  (bk  )2  bk2  2  2 k . bk bk ak ak ak bk 2ak 1.bk 1  2ak .bk  4  2 ak .bk Cosi  1 1 2   )  4ak .bk   4  (ak  bk )2  4  4  8k  8.  ak bk  Suy ra: (ak 1  bk 1 )2  (ak  bk )2  (  ak  bk  2 2(k  1). VËy m® ®óng víi n = k + 1. KÕt luËn. an  bn  2 2n , n  2. 1 2 1 n Bµi 4.3 Cho d·y(un): uo  , uk  uk 1  .uk21 CMR :1  1  un  1. n Gi¶i 1 n +) Ta cã: uk  uk 1  .uk21 B»ng quy n¹p chøng minh ®­îc uk  uk 1 , k  1.n u u u 1 uk  uk 1  .uk21  k k 1  k 1 uk .uk 1 n.uk n Do uk  uk 1 , k  1.n    1 1 u   k 1 . uk 1 uk n.uk 1 1 1 1 1 1 1 1 1   ;   ;… ;   . u0 u1 n uk 1 uk n uk  2 uk 1 n 1 1 k 1 1 1 1 1 1 1   (  )  (  )  …  (  )   1.  2   1  uk  1. uk u0 uk u0 u1 u1 u2 uk 1 uk n uk 1 1 1 u 1 1     k 1  . 2 uk 1 uk n.uk n.uk 1  uk 1 n  uk 1 n  1 +) L¹i cã:  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ;     ;…;       1 . u0 u1 n  1 u0 uk n  1 n 1 uk 1 uk n  1 uk  2 uk 1 n  1  uk  n 1 1 1  1  1  . VËy m® ®­îc chøng minh. n2 n2 n Bµi 4.4 Cho d·y sè x¸c ®Þnh: un  4n  15n  1; vn  10n  18n  28. CMR : un 9; vn  27, n  N . Gi¶i +) Chøng minh un  9. – DÔ thÊy m® ®óng víi n = 0, n = 1. – Gi¶ sö m® ®óng víi n = k, cã nghÜa uk 9. Khi ®ã: uk 1  4k 1  15(k  1)  1  4(4k  15k  1)  18  4.uk  18 9 VËy m® ®óng víi n = k+1. Bµi 4.5 Gi¶ sö p/t: ax 2  bx  c  0 (a  0) cã hai nghiÖm x1 , x 2 . §Æt Sn  x1n  x 2n , n  N* . VT. 05 – 2009 19 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc a. CMR: a.Sn  b.Sn 1  c.Sn  2  0, n  N, n  3. b. Gi¶ sö a = c = 1, b = – 4. CMR: Sn kh«ng chi hÕt cho 3. Gi¶i.  ax n  bx n 1  cx n 2  0  ax 2  bx  c  0 1 1 1 1   1n a. Ta cã:  2 n 1 n 2 ax 2  bx 2  c  0 ax 2  bx 2  cx 2  0  a(x1n  x n2 )  b(x1n 1  x n2 1 )  c(x1n  2  x n2  2 )  a.Sn  b.Sn 1  c.Sn  2  0, n  N, n  3. b. Ta cã: S1  x1  x 2  4 . kh«ng chia hÕt cho 3. S2  x12  x 22  (x1  x 2 ) 2  2x1x 2  16  2  14 kh«ng chia hÕt cho 3. Gi¶ sö Sk-1, Sk (k >1)kh«ng chia hÕt cho 3, ta chøng minh Sk+1 còng kh«ng chia hÕt cho 3. ThËt vËy. Theo (a) cã: Sk  4Sk 1  Sk  2 kh«ng chia hÕt cho 3. Bµi 4.6 Gi¶ sö x1 , x 2 . lµ hai nghiÖm cña p/t: x 2  x  5  0. CMR: x12009  x 22009  Z. Gi¶i. Chøng minh quy n¹p: Sn  x1n  x 2n  Z, n  N*. Sử dông kÕt qu¶ bµi 5.9: Sn  Sn 1  5Sn  2  0, n  N, n  3. Trong ®ã: S1=1; S2=11. Bµi 4.7 TÝnh giíi h¹n cña d·y sè 1) un  Gi¶i. 1. 2 2 2 . ….. 2 2 2 2  2  …  2 2  2  …  3 Trong bµi nµy ta thõa nhËn kÕt qu¶: lim x0 2 Quy n¹p CT: 2  2  …  2 1 Khi ®ã: un  cos 2  2 cos VT. 05 – 2009 cos 4  1 ….. 8 cos  2 cos  n 2   3.2n sin sin x  1. x , n.  2n 1  2 n.sin  2 n 1 n 1 2  2  …  2  2.cos 2  2 cos  un  .  2. Quy n¹p CT: 1 1  2  2  …  2 2) un   2 n ;  2n 1  lim u  1 . n  3 sin n 1 3.2 20  lim un   2 sin lim  2n 1   .  2 n 1 2 2  2  …  3  2.cos  3.2n NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc PhÇn 3. Bµi tËp t­¬ng tù Bµi 1. CMR: un  3  33  35  …  32n1 30. vn  122 n 1  11n  2 133 Bµi 2. Cho x1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x 2  27 x  14  0. CMR S n  x1n  x2n , n  N . kh«ng chia hÕt cho 715. Bµi 3. Ký hiÖu Rn  2  2  2  …  2 c©n bËc hai n lÇn. CMR : cos  2 n  1  1 Rn 1 , sin n  2  Rn 2 . 2 2 2 Bµi 4. Cho d·y (an) x¸c ®Þnh : (n  2)( n  1)an  2  n 2 an  0, n  N * , a1  0, a2  1. T×m an ? Bµi 5. Cho d·y (Sn): S n  n 1 22 23 2n    …  ), n  N * . (2 n 1 2 3 2 n CM d·y (Sn) ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi. Bµi 6. Cho c¸c sè nguyªn a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a 2  b  1. D·y sè (un) ®­îc x¸c ®Þnh: u0  0, un 1  aun  b.un2  c 2 , n  N . CMR mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng. Bµi 7. Cho hai d·y sè an  22 n1  2n 1  1; bn  22n 1  2n 1  1, n  N * . CMR víi mçi n chØ cã mét vµ chØ mét trong hai sè an, bn chia hÕt cho 5. Bµi 8. D·y(an) lµ mét CSC, an  0, n  N *. Gi¶ sö: a1  a2  …  an   ; 1 1 1   …    . a1 a2 an Bµi 9. Cho d·y (un): un1  4.un  5; (n  1), u1  1. TÝnh P  a1.a2 …..an theo  ,  . X¸c ®Þnh CTTQ tÝnh un ? Sn ? u  , u  .  2 1 Bµi 10. Cho d·y (un):  a.un 1  (a  b)un  bun 1  c, n  2. T×m CTTQ cña un , Sn ? Bµi 11. Ba sè 2, 3, 5 cã thÓ cïng cã mÆt trong mét CSC hay CSN ®­îc hay kh«ng? Bµi 12. CMR n  N * cã : 1. 1 5 1 1  2  …  2  . 2 1 2 n 3 2. 1 1 1 1   …   2.  2 3 2 4 3 (n  1) n Bµi 13. T×m CTTQ cña c¸c d·y sè sau: u1  u2  1  b).  un  2  un 1  un , n  0. u1  1  a)  un 1  un  n(n  1), n  1. VT. 05 – 2009 21 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc 1  u1  , u2  0  d ).  2 un  un 1  2un 2  1  0, n  2. u1  2, u2  5  c).  un  2  5un 1  6un , n  0. Bµi 14. Cho d·y (un) x®: 1  u1   2  u  2n  3 u , n  1. n 1  n 2n CMR: limS n  1. Bµi 15. §Æt f (n)  (n 2  n  1) 2  1, n  N *. D·y (un) x®: un  f (1). f (3)….. f (2n  1) , n  N * . f (2). f (4)….. f (2n) CMR : lim n un  1 . 2 Bµi 16. Cho d·y sè (un) cã tÝnh chÊt: un1  2un  un 1  K , (Const )n  1. TÝnh giíi h¹n lim un ? n2 0u 2  n Bµi 17. Cho d·y (un):  * un  2.un 1  un  2  0, n  N . CMR : n(un  un 1 )  2, n  N * . u 2  1 Bµi 18. Cho d·y (un):  3 u u  2 n  9n 2  9n  3, n  1.  3.  n n 1 CMR víi p lµ sè nguyªn tè th× S p 1  p. Bµi 19 Cho d·y (an): a1  1, an  2.an21  1, n  N *. 1 3 1 2 Bµi 20 Cho d·y (an): a1  , a2  , an  CMR: an  bn  1  2n  1 . an 1.an  2 1 . CMR: an  n 1 , n  N * . 2 1 3.an 2  2.an 1 u1  1   Bµi 21 Cho d·y (un):  un  8 * un 1  5 , n  N . vµ d·y (vn): vn = un – 2, n  N *. 1 5 CMR: vn  ( ) n Bµi 22 Cã tån t¹i CSN chøa ®ång thêi 3 phÇn tö: 2, 3, 5 kh«ng ? Cã tån t¹i CSC chøa ®ång thêi 3 phÇn tö: 1, 3, 3 kh«ng ? Bµi 23 Cho a1 , a2 ,…, ak  0; k  2 tháa m·n: a1  a2  …  ak  k . §Æt un  a1n  a2n  …  akn , n  N *. VT. 05 – 2009 CMR (un) lµ d·y t¨ng. 22 NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay – VÜnh T­êng – VÜnh phóc Tµi liÖu tham kh¶o 1. SGK §¹i sè líp 11. ( Ch­¬ng tr×nh kh«ng ph©n ban) 2. SGK §¹i sè líp 11. ( Ch­¬ng tr×nh ph©n ban) 3. Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. NguyÔn H÷u §iÓn 4. Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y sè. NguyÔn V¨n MËu 5. C¬ së lý thuyÕt vµ mét sè bµi to¸n vÒ d·y sè. Vâ Giang Giai 6. 10.000 bµi to¸n s¬ cÊp – D·y sè vµ giíi h¹n. Phan Huy Kh¶i 7. BÊt ®¼ng thøc.Phan §øc ChÝnh. 8. N©ng cao gi¶i tÝch 12. Phan Huy Kh¶i. 9. Båi d­ìng ®¹i sè 11. Phan Huy Kh¶i. 10. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn X – 2004. 11. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XI – 2005. 12. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XII – 2006. 13. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XIII – 2007. 14. TuyÓn tËp ®Ò thi OLIMPIC 30-4, lÇn XIII – 2008. 15. B¸o To¸n häc vµ tuæi trÎ. VT. 05 – 2009 23
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top