Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc

Giới thiệu Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Câu 1. Trang 1 (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa z  i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất T của z  9  5i . A. T  2 13 . B. T  3 13 . C. T  13 . D. T  4 13 . Hướng dẫn giải. Chọn A. 2 Đặt z  x  yi (với x , y   ). Khi đó z  i  13  x2   y  1  13 . Cách 1. Đại số.  x  13 sin t Chọn  .  y  13 cos t  1 2 2 2 Ta có P  z  9  5i   x  9    y  5     13 sin t  9 2   13 cos t  6  2   13 sin 2 t  cos 2 t  18 13 sin t  12 13 cos t  117  130  6 13  3sin t  2 cos t   sin     130  78sin  t     52  P  208 , với  cos    3 13 . 2 13 Vậy T  2 13 . Cách 2. Hình học. 2 2 2 Đặt w  z  9  5i  w  z  9  5i  w   x  9    y  5  suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn  C1  có tâm là A  9; 5 , bán kính R1 . 2 Mà z  i  13  x2   y  1  13 suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn  C2  có tâm là B  0; 1 , bán kính R2  13 . là điểm thuộc đường tròn  C1  , suy AC  w , mà C thuộc  C2  , suy ra  AB  R2  AC  AB  R2 , ta có AB   9; 6   AB  117  3 13 suy ra 2 13  AC  4 13 . Vậy Gọi C T  2 13 . Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình 4 z2  4  m  1 z  m2  3m  0 có hai nghiệm phức thỏa z1  z2  2 . A. 0 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải. D. 4 . Chọn C. Cách 1:  ‘  4m  4 . Trường hợp 1:  ‘  0  m  1 . Khi đó phương trình 4 z2  4  m  1 z  m2  3m  0 có hai nghiệm là z1  a  bi , z2  a  bi với a, b . Ta có z1  z2  2  a2  b2  1  1 . Theo định lí Vi-ét ta có z1 z2  Sưu tầm và biên soạn: m 2  3m 4  2  , từ 1 Lê Hồng Quốc  m  1 và  2  suy ra  . m  4 ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Suy ra m  Trang 2  3 . Trường hợp 2:  ‘  0  m  1 phương trình đã cho có hai nghiệm z1  z2  1 , suy ra z1  z2  2 . Suy ra m  1 thỏa  4  . Trường hợp 3:  ‘  0  m  1 . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực z1 , z2 thảo hệ thức Vi-ét  z1  z2  1  m   m2  3m . z z   1 2  4 Theo đề ta 2 2 2 z1  z2  2  z1  z2  2 z1 z2  4   z1  z2   2 z1 z2  2 z1 z2  4 có  m  12  4 khi m2  3m  0 m2  3m m2  3 m   m  1   4  m3 2 2 khi m2  3m  0  m  3 2  5 . Vậy từ  3  ,  4  ,  5  suy ra m  3 , m  1 thỏa. Cách 2: Phương trình 4 z2  4  m  1 z  m2  3m  0 luôn có hai nghiệm phức z1 , z2 , theo định lí Vi-ét ta có  z1  z2  1  m 2 2   m2  3m . Theo yêu cầu bài toán ta có z1  z2  2  z1  z2  2 z1 z2  4  z1 z2  4  2  z1  z2  z1  z2 2 2 2 2 2  2 z1 z2  4  z1  z2   z1  z2   4 z1 z2  4 z1 z2  8 2 2   m  1   m  1  m2  3m  m2  3m  8   m  1  m  1  m2  3m  8  m  12   m  1  m2  3m  8 khi m  1  2   m  1   m  1  m2  3m  8 khi m   1; 0    3;   2  2  m  1   m  1  m  3m  8 khi 0  m  3        2m 2  6 m  8  0 khi m  1  2   2m  4 m  6  0 khi m   1; 0    3;    m  1  m  3 .  2m  6  0 khi 0  m  3  Vậy m  3 , m  1 thỏa. Câu 3. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z   thỏa mãn  2  i  z  10  1  2i . Biết z tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w   3  4i  z  1  2i là đường tròn tâm I , bán kính R . Khi đó  I  1; 2  A.  .  R  5  I  1; 2  B.  .  R  5  I  1; 2  C.  .  R  5 Hướng dẫn giải  I  1; 2  D.  .  R  5 Chọn 10  1  2i , nên tập hợp điểm z biểu diễn số phức w cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn. Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z   thỏa  2  i  z  Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 3  *  Lời giải sai. 10 10  1  2i  2 z  1  z  2 i  2 z . z z Ta có  2  i  z   Lấy môđun hai vế ta được z  2 2  z  2    2 z  1 2  10 z 2      2 z  1 2 2 2 5 z 5 10 z  10 z 2 (Do z  z ).  z  1  w  1  2i  (3  4i ) . z  5 . 2  I  1; 2  Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn  .  R  5  * *  Lời giải đúng. 10 10  1  2i  2 z  1  z  2 i  2 z . z z Ta có  2  i  z   Lấy môđun hai vế ta được z  2 2  z  2    2 z  1 2  10 z 2      2 z  1 2 2 2 5 z 5 10 z  10 z 2 (Do z  z ).  z  1 . Thay z  1 vào  2  i  z  2 10  1  2i ta được z 10 10 3 10 10 10  9 10 20  13 10  1  2i  z     i , suy ra điểm i suy ra w  10 10 z 1  3i 10 10 biểu diễn của số phức w là 1 điểm. Câu 4. (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z 2  2 z  5   z  1  2i  z  1  3i  . Tìm giá trị nhỏ nhất của w , biết rằng w  z  2  2i . A. w min  3 . 2 B. w min  2 . C. w min  1 . D. w min  1 . 2 Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1: Đại số. 2 z 2  2 z  5   z  1  2i  z  1  3i    z  1  4i 2   z  1  2i  z  1  3i   z  1  2i  0  1 .   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  1  3i     z  1  2i  z  1  3i  2  +)  1  z  1  2i  w  1  w  1  3  . +) Đặt z  a  bi , với a, b   . Khi đó ta có  2    a  1   b  2  i   a  1   b  3  i 2 2 2 2 1   a  1   b  2    a  1   b  3    4 b  4  6 b  9  b   , 2 w  a  2 2  9 3  4 2  4  . Từ  3 ,  4  ta suy ra suy ra 3 w a2 i 2 w min  1 . Cách 2: Hình học. Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 4 2 z  2 z  5   z  1  2i  z  1  3i    z  1  4i   z  1  2i  z  1  3i  2 2  z  1  2i  0  1 .   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  1  3i     z  1  2i  z  1  3i  2  +)  1  z  1  2i  w  1  w  1  3  . +) Đặt z  a  bi , với a, b   . Khi đó ta có  2    a  1   b  2  i   a  1   b  3  i 2 2 2 2 1 3   a  1   b  2    a  1   b  3   4b  4  6b  9  b   , suy ra w  a  2  i , suy ra tập 2 2 3 3 hợp các số phức w nằm trên đường thẳng y     , suy ra w  dO ;    . 2 2 Câu 5. u (Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa z  w  2 z  w . Phần thực z là w 1 A.  . 8 B. 1 . 4 C. 1 . D. 1 . 8 Hướng dẫn giải. Chọn D.  z 1  z 1   1    2 w w 2 u  Ta có z  w  2 z  w     2 , đặt u  a  bi , với a , b   , khi đó  zw  zw 1 u1  1   w 1  w  1  2 2 1 3 a  b  4 ta được hệ phương trình   2 a  1   a  . 8 4  a  12  b2  1  Câu 6. Biết rằng khi m  a , với a và m là các số thực, thì phương trình  1  i  x 2   m  i  x  1  0 không có nghiệm thựC. Chọn mệnh đề đúng. A. a  1;1 . B. a  1; 5  . C. a  3; 6  . D. a  3;1 . Hướng dẫn giải. Chọn D. Giả sử phương trình có nghiệm thực là x  b , khi đó ta có  1  i  b2   m  i  b  1  0 b2  mb  1  0 b  1 ,   b 2  mb  1  b 2  b i  0   2 b  b  0 m  2   suy ra m  2 thì phương trình 1  i  x   m  i  x  1  0 không có nghiệm thực. 2 Câu 7. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức z1 , z2 khác thỏa 0 , z1  z2  0 và z 1 1 2   . Tính giá trị biểu thức 1 . z2 z1  z2 z1 z2 A. 2 . 2 B. 3 . 2 C. 2 3 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải. Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 5 Chọn A. z 1 2 1 1 1  z1 z2   z1  z2  2 z1  z2   2 z12  2 z1 z2  z22  0  1    i   z2 z1  z2 z1 z2 2 2 Theo đề, ta có z1 2 .  z2 2  (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M là điểm biểu diễn số phức Câu 8. zz 1 , trong đó z là số phức thỏa mãn  1  i  z  2i   2  i  3z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng w z2     sao cho Ox , ON  2 , trong đó   Ox , OM là góc tạo thành khi quay tia Ox tứi vị trí của tia OM .     Điểm N nằm ở góc phầ tư nào? A. Góc phần tư thứ nhất. C. góc phần tư thứ ba. B. Góc phần tư thứ tư. D. Góc phần tư thứ hai. Hướng dẫn giải. Chọn B. Theo đề, ta có 11 56  i, 1  i  z  2i   2  i  3z  z  35  65 i  w  15 45 suy ra tan    56 , ta có 33  3696 56 1089 2 sin 2  2 sin  .cos   2 tan  .cos   2. 33 . 4225   4225 .  2 1089 2047 cos 2  2 cos 2   1  1  .2. 4225 tan 2   1 4225  2 2 (THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – L2) Cho số phức z1 thỏa z  2  z  i  1 và số phức Câu 9. z2 thỏa z  4  i  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 ? 2 5 . B. 5 . 5 Hướng dẫn giải. Chọn D. Đặt z1  a  bi , z2  c  di ( a , b , c , d   ). A. Ta có a  2 2 số phức thỏa z1 2 C. 2 5 . 2 z2  zi 1 suy D. 3 5 . 5 ra 2  b2   a2   b  1   1  2a  b  1 , suy ra tập hợp   điểm biểu diễn số phức z1 nằm trên đường thẳng 2 x  y  1   . Lại có 2 số phức z2 thỏa z4i  5 suy ra 2  c  4    b  1  5 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức I  4;1 , bán kính r  5 . 3 5 . 5 (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thảo mãn điều kiện Biểu diễn  C  và    lên mặt phẳng tọa độ, ta suy ra z1  z2 Câu 10. z2 nằm trên đường tròn  C  có tâm min  d I ;     r  z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính A  z12  z22  z32 . A. 1 . Sưu tầm và biên soạn: B. 0 . Lê Hồng Quốc C. 1 . D. 1  i . ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 6 Hướng dẫn giải. Chọn B. 2 A  z12  z22  z32   z1  z2  z3   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1   z 2 z 2 z 2 1 1 1 1 2 3   2 z z z  z  z  z   2 z1 z2 z3      2 z1 z2 z3    1 2 3 1 2 3   z z z z z z 2 3  1 2 3  1   Mà z1  z2  z3  0  z1  z2  z3  0 . Vậy A  0 . Câu 11. (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho z1 , z2 là hai số phức khác 0 thỏa  z12  2 z1 z2  2 z22  0 . Biết z1 , z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M , N . Tính góc OMN A. 30 o . B. 45o . C. 60 o . Hướng dẫn giải. D. 90 o . Chọn B.  z1  1  i  z2 . Vì hai trường hợp này là như nhau nên tối chỉ trình bày một z12  2 z1 z2  2 z22  0    z1  1  i  z2 trường hợp như sau. Với z1   1  i  z2 , đặt z1  a  bi , z2  c  di (với a , b , c , d   ) và z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M  a; b  ,  N  c; d  . Khi z1   1  i  z2  đó z1 ac  bd bc  ad 1 i  2  i  1 i z2 c  d2 c 2  d2   z1 2 ac  bd mà Ta có , . ,   z  2 z 1 i  OM  ; NM   a  c; b  d  . a b 1 ac    bd  z   2 1 2 z2 c 2  d2     cos OM , NM  cos OMN   2 a 2  b2   ac  bd  a  b . a  b  c  d  2  ac  bd  2 2 2 2 2 2 z1  z2  z1 2 2 z1  z2 2  z2 2 2 z 2 z2  1 2   45o . , suy ra OMN (Đề minh họa – L3) Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7 i  6 2 . Gọi m , M lần lượt Câu 12. là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  13  73 . B. P  5 2  2 73 . C. P  5 2  73 . 2 Hướng dẫn giải. D. P  5 2  73 . 2 Chọn B. Cách 1. Đại số. Đặt  z  a  bi , 2  a  2    b  1 với 2  a, b   . 2  a  4  b  7  Khi 2 đó ta có z  2  i  z  4  7i  6 2  6 2 , xét các điểm N  a; b  , A  2;1 , B  4;7  , khi đó ta được NA  NB  6 2  AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng AB : x  y  3  0 , suy ra N  a; a  3  ( 2  a  4 ). Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 2  a  1   b  1 Theo đề z  1  i  f / a  2a  3 2  a  1   a  4   ; f /  a  0  a   a 2  6 a  17 thiên như hình bên. Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m  Trang 7 2 2  2 a 2  6a  17  f  a  . 3 . Ta có bảng biến 2 5 2 , M  73 . 2 5 2  2 73 . 2 Cách 2. Bất đẳng thức. Vậy P  Đặt z  a  bi , 2  a  2    b  1  a, b   . với 2 2  a  4  b  7   2 6 2 đó  1 , 2  a  1   b  1 2a  3 a 2  6 a  17 thiên như hình bên. dấu xảy “” ra .  a   2; 4  , b  1;7    a   2; 4  , b  1;7  f / a  z  2  i  z  4  7i  6 2 có áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có  a  2  4  a   b  1  7  b  6 2 , b  a  3  a  2  7  b    4  a  b  1   Theo đề z  1  i  ta 2 2 VT  1  Khi 2  ; f /  a  0  a   2  a  1   a  4  2  2 a 2  6a  17  f  a  . 3 . Ta có bảng biến 2 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m  5 2 , M  73 . Vậy 2 5 2  2 73 . 2 Cách 3. Hình học. P Đặt  2  a  2    b  1 a, b   . với z  a  bi , 2 2  a  4  b  7   Khi 2 đó ta có z  2  i  z  4  7i  6 2  6 2 , xét các điểm N  a; b  , A  2;1 , B  4;7  , khi đó ta được NA  NB  6 2  AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng AB : x  y  3  0 . Theo đề z  1  i  IN  2  a  1   b  1  2  a  1   b  1 2 , 2 , xét điểm I  1; 1 suy ra khi   min IA; IB;d I ; AB  IN  Max IA; IB;d I ; AB đó   5 2 m  IN min  d I ; AB   2 .  M  IN  IB  73 max  Vậy P  m  M  5 2  2 73 . 2 Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 8 (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z  a  bi ( a , b   ) thỏa mãn z không là số thực và Câu 13. z2  z  1 1  a 4  b4 số thựC. Tính là . M  z2  z  1 1  a 6  b6 1 2 A. . B. . 2 3 4 . 3 Hướng dẫn giải. C. D. 1 . 3 Chọn B. z  a  bi , với a , b   . Vì z không là số thực nên b  0 .     2 2 z 2  z  1 a  b  a  1   2 ab  b  i Ta có w  2 , suy ra phần ảo của số phức w là  2 z z 1 a  b2  a  1   2 ab  b  i 2b  2 a 2 b  2b 3 a 2  2  b2  a  1   2 ab  b  z2  z  1 1  a4  b4 2 2 2 2 số thực suy ra là , ta có b  1  a b  a  2 z2  z  1 1  a 4  b4 1  a4  b4 1  a4  b4 2    . 6 6 2 2 4 4 2 2 3 3 1 a  b 1 a  b a  b  a b 1  a 4  b4 2 (Thầy Trần Trọng Trị – THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện M Câu 14. 2 , mà      2 z1  i  z1  z1  2i và z2  10  i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 ? A. 3 5  1 . B. 101  1 . C. 101  1 . D. 10  1 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Cách 1. Ta có 2 z1  i  z1  z1  2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm trên parabol  P  : y  Và z2  10  i  1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 2 2 2 nằm trên đường tròn 2 C  :  x  10    y  1  1 . Xét đường tròn   :  x  10    y  1  k với k   0;     P  . Giải điều kiện tiếp xúc   và  P    x  10  y’     y  1  k   x  10  k   x  10  Ta có  x  10    y  1  k   .   x  10   1 y   k  x  10    y’   k   x  10     và  P  tiếp xúc nhau khi hệ phương trình sau có nghiệm tiếp xúc với 2 2 2 x2 . 4 2 2 2  2 x2 1  k  x  10    4  x  x  10   TH1:   0  x  4  k  45 . x  10   x  2  x2   1  k   x  10  2 2 4  Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 9 2  2 x 1  k   x  10   4 x  x  10   TH2:   x  10     0  x  4  k  45 . x 2 x2   1  k   x  10 2 2 4  Ta suy ra k  45 . Vậy Min z  z  3 5  1 . 1 2 Cách 2. Ta có 2 z1  i  z1  z1  2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm trên parabol  P  : y  z2  10  i  1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 Và 2 C  :  x  10    y  1 Xét 2 nằm trên đường tròn  1 . Đường tròn  C  có tâm là I  10; 1 bán kính R  1 .  a2  A  a;    P  ,  4 điểm x2 . 4 khi IA 2  f  a   đó a4 a 2   20 a  101 ; 16 2 f /  a  a3  a  20 ; 4 f /  a   0  a  4 , lập BBT suy ra Minf  a   45 suy ra MinIA  3 5 . Vậy Min z  z  3 5  1 . 2 1 3 Cho số phức z thỏa z  2  z  2  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  z Câu 15. A. 3 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải. D. 4 . Chọn A. Đặt z  x  yi , với a , b   . Khi đó ta có z  2  z  2  6   x  2 2 2  y 2  x2   y  2   6 . Xét điểm F1  2; 0  , F2  2; 0  và M  x; y  , suy ra ta có biểu thức MF1  MF2  6  2.3 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường elip có phương trình x2 y 2   1 (với 9 5 a  3, b  5 , c  2 ). Tọa độ các đỉnh trên trục lớn là A1  3; 0  , A2  3; 0  , các đỉnh nằm trên trục bé là     B1 0;  5 , B2 0; 5 . Ta có z  3   x  3 2  y 2  MA1 , z  MO ( O là gốc tọa độ). Suy ra P  MA13  MO . MinMA1  M  A1 MinMA1  0 Lại có  . Vậy Pmin  3 .  MaxMO  OA1  OA2  3 Max MO  M  A1 hay M  A2 Câu 16. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là 2 2 gia trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính modun của số phức w  M  mi A. w  2 314 . B. w  2 309 . C. w  1258 . D. w  3 137 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 Đặt z  x  yi . Ta có P   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3   Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 10 2 2 Mặt khác z  3  4i  5   x  3    y  4   5 , đặt x  3  5 sin t; y  4  5 cos t . Suy ra P  4 5 sin t  2 5 cos t  23 , ta có 10  4 5 sin t  2 5 cos t  10 . Do đó 13  P  33  w  1258 . Câu 17. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết rằng z1  w  2i và z2  2w  4 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 với a,b là các số thựC. Tính T  z1  z2 . A. T  8 10 . 3 B. T  2 3 . 3 C. T  5 . D. T  2 37 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt w  x  yi . Theo Viet ta có: z1  z2  a  3w  2i  4   3x  4    3 y  2  i là số thực nên y  2 . Lại 3  2  4  có z1 z2  b   x  i  2i  2 x  i  4  là số thực. 3 3     4  4 16 4  Suy ra  x  i  2 x  4  i   x  2 x  4   i  x  4   là số thực suy ra x  4 3  3 9 3   4 2 8 10 4 . Do đó z1  4  i  2i  4  i , z2  4  i  T  3 3 3 3 Câu 18. (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp các số phức w   1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1  1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 . B. 2 . C. 3 . Hướng dẫn giải D.  . Chọn B Đặt w  x  yi , với x , y   thì w   1  i  z  1  w   1  i  z  1  i  2  w  i  2   z  1  i  z  1 2 2 2  w  i  2   z  1  i  z  1   x  2    y  1  2  z  1  2 , suy ra tập hợp số phức cần tìm nằm trên hình tròn bán kính R  2 có tính biên.  S   R 2  2 . Câu 19. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có môđun là 3 , biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn thì có bán kính là? A. 3 2 . B. 3 5 . C. 3 3 . D. 3 7 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt w  x  yi , với x , y   thì x  yi  3  2i   2  i  z  z  z x  yi  3  2i 2i i  x  2 y  1  2 x  y  8 2 x  2 yi  6  4i  xi  y  3i  2 z 5 5 2 2 z  3   x  2 y  1   2 x  y  8   25.9  5x 2  5 y 2  30 x  20 y  65  29.5 2 2  x 2  y 2  6 x  4 y  13  45   x  3    y  2   45  R  3 5 . Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 11 (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z  a  bi , với a , b   thỏa mãn Câu 20.  z  1 1  iz   i . Tính z 1 z a2  b2 ? A. 3  2 2 . B. 2  2 2 . C. 3  2 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn A  z  0 . Điều kiện   z  1 Khi  z  1 1  iz   i  z đó z 1 z 1  iz    z  1 i   z  i z 2    z  1 i  z   z  1  z  i 2 1  z 2  0  z 1 z 2  z 2   z  1 2  z  3  2 2 .   2 2   z  2 z 1 0  z 1 z   z  Câu 21. (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho z1 , z2 là 2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức: 2 z1  z2 a 2 2 z1  z2  z1  z2 2 bằng? A. a  2 . B. a  1 . 2 C. a  1 . D. a  3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt z1  a  bi , z2  c  di , với a , b , c , d   . Khi đó 2 z1  z2 a 2 2 z1  z2  z1  z2 2  a 2    b2  c 2  d2 2 2  2  a  c   b  d   a  c  b  d 2  1 2 Cách 2. 2 Ngoài ra ta có thể chọn z1  z2  1  Câu 22. z1  z2 2 2 z1  z2  z1  z2 2  11 2  2  0 2  2 1 . 2 Cho số phức z thỏa z  2  2i  17 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  1999 z  2  i  2017 z  6  3i . Tính M  m . A. M  m  8302 17 . C. M  m  17  B. M  m  4034 17 .  19992  2017 2  1999 . D. M  m  2 17   19992  2017 2  1999 . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. z  2  2i  17 suy ra tập hợp số phức z nằm trên đường tròn tâm I  2; 2  bán kính Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc 17 . ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 12 Xét các điểm A  2;1 , B  6; 3  , C  x; y  . Khi đó P  1999CA  2017CB . Ta có AB là đường kính của đường tròn tâm I nên P  1999 68  CB2  2017CB . Xét hàm f  x   1999 68  x 2  2017 x số Pmax  2 17 1999 2  2017 2 . Vậy M  m  2 17 với  x   0; 2 17    suy Pmin  1999.2 17 , ra  19992  2017 2  1999 . Cách 2. z  2  2i  17  a2  b2  4 a  4b  9 P  1999 z  2  i  2017 z  6  3i  1999 a2  b2  4 a  2b  5  2017 a2  b2  12 a  6b  45  P  1999 8a  2b  14  2017 8 a  2b  54  2 17 1999 2  2017 2 Suy ra Pmax  2 17 1999 2  2017 2 . Pmin  1999.2 17 (sử dụng xét hàm) Vậy M  m  2 17   19992  2017 2  1999 . Chú ý: ở cách hai ta có có thể xét hàm số f  t   1999 14  t  2017 t  54 (với t  8 a  2b và 14  t  54 ). Câu 23. (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z  2  i A. max T  8 2 . B. max T  4 . C. max T  4 2 . Hướng dẫn giải D. max T  8 . Chọn B 2 Đặt z  x  yi . Ta có: z  1  2  x  yi  1  2   x  1  y 2  2 2 Khi đó: T  z  1  z  2  i  x  yi  i  x  yi  2  i  x2   y  1   1 2 2  x  2    y  1 2 2 2 2  12 .  x 2   y  1   x  2    y  1        2    2 2 x 2  4 x  4  2 y 2  2  2 2.  x  1  y 2  4  2.  4  4   4 Vậy max T  4 . Câu 24. (THPT Quốc Học – Huế – L2) Cho số phức z  0 sao cho z không phải là số thực và w  là số thựC. Tính z 1 z A. 2 z 1  z2 . 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2. D. 1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Theo giả thiết ta có w  z là số thực nên ta có thể chọn w là số thực bất kỳ sao cho z không 1  z2 phải là số thực. Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Chọn w  Trang 13 z z 1 i 3 1  z 1  .  1  z2  1  z  z  2 2 2 2 1 z 1 z Cách 2. Ta có w  z 1 1 z2  1 1 là số là số phức liên hợp của z thực suy ra   z  là số thực suy ra 2 w z z z 1 z z 2 1 1 1 suy ra z.z  z  z.  1  z  1    . 2 z 1 1 2  1 z (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, luôn có z  2 . Khi đó tập hợp Câu 25. điểm biểu diễn số phức w   1  2i  z  3i là: 2 B. Đường tròn x 2   y  3   20 . 2 2 D. Đường tròn  x  3   y 2  2 5 . A. Đường tròn x 2   y  3   2 5 . 2 C. Đường tròn x 2   y  3   20 . Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử w  a  bi  a , b     a  bi   1  2i  z  3i z a  b  3 i  a   b  3  i   1  2i  a  2  b  3    2 a  b  3  i    5 5 1  2i 2 2 2 2 1  a  2  b  3     2 a  b  3   2   a  2b  6    2 a  b  3   100  z  z    5 2 2   a  2b    2a  b   12  a  2b   6  2 a  b   55 2  5a 2  5b2  30b  55  a 2  b2  6b  11  a2   b  3   20 . Câu 26. (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình z  P  z 2016  . z A. 0 . 1  1. Tính z 1 2016 B. 1. C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn C 3 Ta có    P  z3 Câu 27. z 672  2 1 1  1 1 1   1   z    1  z3  3  3  z    1  z3  3  2  0  z3  1  0  z3  1 z z z z z    1 z  3 672   1  1  2. (THPT Kim Liên – Hà Nội) Cho hai số thực b và c  c  0  . Ký hiệu A , B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình z 2  2 bz  c  0. Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. b 2  2 c. B. c  2b 2 . C. b  c. Hướng dẫn giải D. b 2  c. Chọn B Theo yêu cầu bài toán suy ra phương trình không có nghiệm thực. Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 14  z  b  i c  b 2 2 z 2  2 bz  c  0   z  b   b 2  c   1 c  b 2 . Khi đó A b; c  b , 2  z  b  i c  b  2   B b;  c  b2 , suy ra OA  b; c  b2 , OB b;  c  b2 . Ta có A , B là hai điểm đối xứng nhua 2 Ta  có:          qua trục Oy . Suy ra tam giác OAB vuông tại O . Theo giả thiết ta có: b 2  b 2  c  0  c  2 b 2 . Câu 28. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện số phức w  z  2  3i   5  i là số thuần ảo. A. Đường tròn x 2  y 2  5. B. Đường thẳng 2 x  3 y  5  0. 2 2 C. Đường tròn  x  3    y  2   5. D. Đường thẳng 3 x  2 y  1  0. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi , với x , y    w   x  yi  2  3i   5  i   2 x  3 y  5    3x  2 y  1 i . 2x  3 y  5  0 W là số thuần ảo khi và chỉ khi   2 x  3 y  5  0  Tập hợp các điểm biểu diễn số 3x  2 y  1  0 phức z là đường thẳng 2 x  3 y  5  0. Câu 29. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z 1  2 z 1 . A. M ax T  2 5. B. M ax T  2 10. C. M ax T  3 5. D. M ax T  3 2. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. T  z 1  2 z 1  1  2   z  1 2 2  z 1  2 2 2  2  2  5.2 z  1  2 5 (BĐT Bunhiacopxki)  Chú ý: z  1  z  1  2 x 2  2 y 2  2  2 z  1 với z  x  yi , x , y   . Cách 2. Đặt z  x  yi , với x , y   ta có: T  x  yi  1  2 x  yi  1   x  1 Lại có x 2  y 2  1  T  2 x  2  2 Ta có f ‘  x   1  2 2  x  1 2 x  2  f  x   y2  2 0x 2  y2 6  Tmax  2 5 . 10 2x  2 2  2x Câu 30. (Sở GD – Đồng Tháp) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện| z  1  2i|| z  i| , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất. 1 3 3 1 2 16 16 2 A. z   i . B. z    i . C. z   i . D. z   i. 5 5 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z  a  bi ,  a, b  R  . Ta có z  1  2i  z  i   a  1   b  2  i  a  b  i  i Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017  2  a  1   b  2  2 Trang 15 2  a2   b  1  a2  2a  1  b2  4b  4  a2  b2  2b  1  2 a  6 b  4  a  3b  2 2 2  3b  2   b2  10b2  12b  4  10  b  35   25  510 .   Do đó z  a2  b 2  1 3 1 3 Dấu ”  ” xảy ra b    a  . Vậy z   i. 5 5 5 5 Câu 31.   (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z thỏa mãn w   z  1 z  2i là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu? 5 5 A. 5 . B. C. D. 25 . . . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  a  bi , với a , b    w   a  1  bi  a  bi  2i   a2  b2  a  2b   2a  b  2  i . 2 2 2 2  5 1 a  b  a  2b  0  a2  b2  a  2b  0   a     b  1  . w là số thuần ảo suy ra  2 4 2a  b  2  0  Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng Câu 32. 5 . 4 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z  x  yi  x , y    . Khi đó phần thực a và phần ảo b của số phức   A. a  zi là: iz  2 x  2 y  1 2  y  2  x x  2 y  1 C. a   y  2  x 2 2 2 , b ,b y 2  y  x2  2  y  2 2  x2 y 2  y  x2  2  y  2 2  x2 . . B. a   x  2 y  1 2  y  2  x  x  2 y  1 D. a   y  2  x 2 2 2 ,b ,b y 2  y  x2  2  y  2 2  x2 . y 2  y  x2  2  y  2 2  x2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:    2 2 x  yi  i x  yi  i  x  yi  i   xi  y  2   x  2xy  i y  y  x  2    2 i  x  yi   2 xi  y  2  xi  y  2   xi  y  2  x2   y  2     x  2 y  1 a  2   x  2 y  1 y 2  y  x 2  2 y  2   x2     i . 2 2 2 2 b  y  y  x  2  y  2   x2 x2   y  2  2  x2   y  2   Câu 31. kiện (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết z thỏa mãn điều 2  3i z  1  1. 3  2i Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 A. 3 . B. 2 . Trang 16 C. 1. Hướng dẫn giải 2. D. Chọn B Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z . 2 2 Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  x  a    y  b   R 2 . Khi đó: z max  OI  R  a2  b2  R , z min  OI  R  a2  b2  R . Áp dụng: Ta có: 2 2  3 i z  x  yi z  1  1  iz  1  1  y  1  x 2  1.  3  2i Khi đó: zmax  OI  R  1  1  2. (THPT Thanh Chương –Nghệ An – L1) Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình Câu 32. 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1. Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  3 . 2 B. P  2. C. P  2 . 2 D. P  3. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. Ta có 2 2 2z  i  2  iz  2 z  i  2  iz  (2 z  i )(2.z  i)  (2  iz)(2  i.z ) 2  4 z.z  2 iz  2 iz  i 2  4  2 iz  2 iz  i 2 z.z  5z.z  5  z.z  1  z  1  z  1  z1  1 và z2  1. 2 Chú ý: a.a  a2  2 z  i  (2 z  i ).(2 z  i )  (2 z  i )(2 z  i ). Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O , R  1. Gọi M1  z1  , M2  z2   OM1  OM2  1.    Ta có z1  z2  OM1  OM 2  M 2 M1  1  OM1 M 2 đều.    Mà z1  z2  OM1  OM 2  OM  OM với M là điểm thỏa mãn OM1 MM2 là hình thoi cạnh 1  OM  3  P  3. Cách 2. Đặt z  x  yi ( x , y   ), ta có 2 z  i  2 x  2( y  1)i và 2  iz  2  y  xi.  z 1  1 . Khi đó 2 z  i  2  iz  4 x 2  (2 y  1)2  ( y  2)2  x 2  x 2  y 2  1  z  1    z 2  1 Sử dụng công thức z 1  z2 2  z 1  z2 2  2  2 z1  z2 2   z z 1 2 2  3  z 1  z2  3. Câu 33. (Sở GD Phú Thọ) Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  3 , z2  4 , z1  z2  37 . Xét số phức z  z1  a  bi . Tìm b . z2 A. b  3 3 . 8 Sưu tầm và biên soạn: B. b  3 39 . C. b  . 8 8 Hướng dẫn giải Lê Hồng Quốc D. b  3 . 8 ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 17 Chọn A. z1  x  yi , Đặt z2  c  di  x , y , c , d    . Ta có: 2 z1  3  x 2  y 2  9 ; z2  4  c 2  d2  16 ; 2 z1  z2  37   x  c    y  d   37  x 2  y 2  c 2  d 2  2 xc  2 yd  37  xc  yd  6 . Lại có: z1 x  yi  x  yi  c  di  xc  yd   yc  xd  i xc  yd yc  xd 3  i  a  bi    bi .    2  2 2 2 2 2 2 2 8 z2 c  di c d c d c d c d 2 z1 3 z 9 9  3  27 3 3   a 2  b2  a 2  b 2   b2       b Mà 1  . 16 16  8  64 8 z2 z2 4 3 3 . 8 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và Vậy b  Câu 34. z là số thựC. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  i là w 2  z2 A. 2 2 . B. 2. C. 2 . Hướng dẫn giải D. 8 . Chọn A. Cách 1. w z z z là số thực w  w    2 z  z.z 2  2 z  zz 2 2 2 2  z2 2z 2z  2  z  z   z.z  z  z   z  z (loại do z không là số thực) hoặc 2  z.z  z  2 . Suy ra: OM  2 với M là điểm biểu diễn của z , M thuộc đường tròn  C  tâm O , R  2 Ta có: P  z  1  i  MA , với A  1;1 . Ta có: A   C  nên MA lớn nhất bằng 2 R  2 2 . Cách 2. Vì z không là số thực nên z  0 . Suy ra w  0 . z 1 Ta có w   w 2  z2  z  z2  z  2  0 *  . 2 w 2z    *  là phương trình bậc hai với hệ số thực  w1    nên có nghiệm 2 phức z , z  1  2 liên hợp của nhau. Theo Viet ta có: z1 .z2  2  z1 .z2  2  z1 z2  2  z1 z1  2  z  2 . Suy ra P  z  1  i  z  1  i  2  2  2 2 . Cách 3. Ta có w  2 z 1 1 2 là số phức liên hợp của z .   z  , mà w   suy ra   , suy ra 2 z w w z 2z Suy ra z.z  2  z  2 . Ta có P  z  1  i  z  1  i  2  2  2 2 . Câu 35. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  1 . Tính z1  z2 A. 3. Sưu tầm và biên soạn: B. 1 . Lê Hồng Quốc C. 2 3. D. 3 . 2 ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 18 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. 2  2 2 Ta có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2  . Khi đó z  z 1 2 2  2  1  1  1  3  z1  z2  3 . Cách 2.  z2  1 Chọn z1  1 từ đó suy ra z2 từ hệ  . Thay vào z1  z2 ta cũng được kết quả z1  z2  3 .  z2  1  1 Câu 36. (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) Gọi  H  là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để 2 z  z  3 số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình  H  . A. 3 . B. 3 . 2 3 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 6 . Chọn B Đặt z  x  yi  x  0  , a, b  2 z  z  3  x  3 yi  3  x 2  9 y 2  9 .  Câu 37. 1 3 1 x2 y2   1 . Do hình  H  là nửa hình Elip có a  3, b  1 . Khi đó S  Selip  .  ab    . 9 1 2 2 2 (THPT Hoằng Hóa 4 – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa điều kiện z  1  z  i . Tìm số phức w  z  2i  3 có môđun nhỏ nhất. 1 3 1 1 1 1 A.    i . B.     i . C.    i . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1. Đại số Đặt z  a  bi với a ,b   . 1 3 D.     i . 2 2 Ta có z  1  z  i  a  bi  1  a  bi  i   a  1  bi  a   b  1 i 2 2   a  1   b 2  a 2   b  1  a  b  0 Khi đó w  a  bi  2i  3   a  3    b  2  i   a  3    a  2  i 2 2 2  w   a  3    a  2  2 25  1   5 1 1  2 a  10 a  13  2  a 2  5a     2  a     4  2 2 2 2   2 5 5 5 5 1 1 2 khi a   b    z   i  w    i . 2 2 2 2 2 2 2 Cách 2. Hình học Đặt z  a  bi với a ,b   .  w min  Ta có z  1  z  i  a  bi  1  a  bi  i   a  1  bi  a   b  1 i 2 2   a  1  b 2  a 2   b  1  a  b  0 , suy ra tập hợp các số phức z nằm trên đường thẳng  : y   x . Xét điểm I  3; 2  . Ta có w  z  2i  3  w  z  2i  3  IM . Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 19  khi M là hình chiếu vuông góc của I trên  , M  m; m suy ra IM   m  2; 3  m  , Ta có IM min   5 1 1 IM.u  0  m  2  m  3  0  m  . Vậy w    i là số phức có môđun nhỏ nhất. 2 2 2 Câu 38. (THPT Đống Đa – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  2  z  1  i . Biểu thức z có giá trị lớn nhất là A. 2 1. B. 2 . C. 2  2 . Hướng dẫn giải. D. 2  1. Chọn A. Cách 1: Đại số.  z  1  i  0  1 2 z 2  2 z  2  z  1  i   z  1  i 2  z  1  i  z  1  i z  1  i  z  1  i   .  z  1  i  1  2  +) 1  z  1  i  z  2  3 . 2  2   a  1   b  1 i  1   a  1    b  1  +) Đặt z  a  bi , với a , b   . Khi đó ta có  2 1   a 2  b 2  2 a  2 b  1 , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2a  2b  1  8 a 2  b 2  1 2  z  2 2 z  1  0  2  1  z  2  1  4 . Từ  3  ,  4  suy ra z max  2  1 . Cách 2: Hình học. 2 z 2  2 z  2  z  1  i   z  1  i 2  z  1  i  z  1  i  0  1  z 1 i z  1 i  z 1 i   .  z  1  i  1  2  +) 1  z  1  i  z  2 +) Đặt z  a  bi , với  3 . a, b   . 2 Khi  2   a  1   b  1 i  1   a  1   b  1 2 đó ta có  1 , suy ra tập hợp các số phức cần tìm nằm trên đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính R  1 . Suy ra OI  R  z  OI  R  2  1  z  2  1 . Vậy z max  2  1 . Câu 39. (Sở GD Bắc Giang – L1) Cho số phức z thay đổi và luôn thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức P  z A. PMax  12 . B. PMax  5 . C. PMax  9 . D. PMax  3 . Hướng dẫn giải Chọn C Cho số phức z thõa mãn z  a  bi  R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn: của số phức 2  x  a   y  b 2  R2 Khi đó z max  OI  R  a2  b2  R , z min  OI  R  a2  b2  R . Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 2 Trang 20 2 Áp dụng: PMax  3  4  4  9 . (Sở GD Quảng Ninh) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  1 . Tính giá trị của Câu 40 2 z  z  biểu thức P   1    2   z2   z1  A. P  1  i . 2 B. P  1  i . C. P  1 . Hướng dẫn giải D. P  1  i . Chọn C Cách 1. z1 Ta có GT  Đặt 1 z2 z1  z2 z2  z1 z  1 1 1 . z2 z2  3 b   2 2 2 2 2  w  1  3  P  w 2  1  1 . a  b  1   a  1  b   2 2 w2 a  1  2 z1  a  bi ta có: z2 Cách 2. 1 i 3 1 i 3   P  1 . ; z2    2 2 2 2 Cách 3. Dùng dạng lượng giác của số phức (đọc thêm).  Gọi A  z1  ; B  z2  ; AB  z1  z2    OAB là tam giác đều cạnh 1 Chọn z1  2 2 2  z   r    r  Khi đó  1    1 1    1  1   2    1  21  22   1120 0  cos120 0  i sin120 0  z2   r2  2   r2    2 z  Tương tự  1   cos 120 0  i sin 1200  P  1 .  z2   Câu 41.    (THPT chuyên Hà Giang – L1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max z  2 2  1 . B. max z  2 2 . C. max z  2 2  2 . D. max z  2 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Đại số Giả sử z  a  bi , với  a, b   . 2 2 Ta có: z  2  2i  1  a  bi  2  2i  1  a  2   b  2  i  1   a  2    b  2   1 .  a  2  sin t . Đặt  b  2  cos t Khi đó: z  a2  b2   2  2  sin t    2  cos t  2  9  4  sin t  cos t    9  4 sin2 t  cos2 t  9  4 2  2 2  1  z max  2 2  1 khi sin t   cos t . Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 21 Cách 2. Hình học Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R tìm mô đun lớn nhất và nhỏ nhất z . Điểm biểu diễn số phức z của số phức 2  x  a   y  b 2 là đường tròn:  R2 Khi đó z max  OI  R  a2  b2  R , z min  OI  R  a2  b2  R . Áp dụng: Pmax  2 2  2 2  1  2 2  1 . Câu 42. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 . Tính giá trị P  z12017  z2 2017 . A. P  1 . B. P  1 . C. P  0 . Hướng dẫn giải D. P  2 . Chọn B Vì z1 là nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 nên ta có z12  z1  1  0  z13  1  0  z13  1  z12016  1  z12017  z1 Chứng minh tương tự: z2 2017  z2 . Vậy P  z1  z2  1 . Câu 43. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  5  3 5 . B. P  2 26 . C. P  4 6 . D. P  34  3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt OA  z1 , OB  z2 ( với O là gốc tọa độ, A , B là điểm biểu diễn của z1 , z2 ). Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có AB  z1  z2  2 , OC  z2  z1  10 , OM  5 . Theo OM 2  định  lý 2 2 đường  2 OA  OB  AB 2 Ta có z1  z2  2 z1  z2 Câu 44. tuyến ta 2 2 có  OA 2  OB2  52  z1  z2  52 4  trung 2 2  2 26 (BĐT Bunhiacopxki). Vậy Pmax  2 26 . (Sở GD Hải Dương) Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 P  | z  3 z  z |  | z  z |. A. 15 . 4 B. 3 . 4 13 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 3 . Chọn B Giả sử z  a  bi  z  a  bi , với  a, b   . z.z  1 suy ra b 2  1  a 2 . Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 P | z 3  3 z  z | | z  z | suy Trang 22 ra  P  a 2 a 2  3b 2  4  2   b2 3a 2  b 2  2  2  4 a2 3  P  f  x   x2  x  1 với x  0; 4  . Lập bảng biến thiên ta suy ra Pmin  . 4 Trong quá trình biên soạn tôi cũng khó có thể tránh khỏi sai sót. Mong nhận được sự góp ý từ các bạn và quí thầy cô. Mọi góp ý xin inbox trực tiếp cho tôi theo địa chỉ https://www.facebook.com/lehong.quoc.12 .Chân thành cảm ơn và chúc các bạn học tốt! Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top