Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt ĐôngChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DÃY SỐ ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT …………………………………………………………………………………………………………. 3 B – BÀI TẬP ………………………………………………………………………………………………………………………………… 3 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ…………………………………………………………………………………………….. 3 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ……………………………………………………………………… 7 C – HƯỚNG DẪN GIẢI………………………………………………………………………………………………………………..13 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ…………………………………………………………………………………………….13 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ……………………………………………………………………..21 CẤP SỐ CỘNG ……………………………………………………………………………………………………………………………34 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT …………………………………………………………………………………………………………34 B – BÀI TẬP ………………………………………………………………………………………………………………………………..34 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG ……………………………34 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ……………………………………….40 C– HƯỚNG DẪN GIẢI…………………………………………………………………………………………………………………42 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG ……………………………42 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ……………………………………….54 CẤP SỐ NHÂN…………………………………………………………………………………………………………………………….59 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT …………………………………………………………………………………………………………59 B – BÀI TẬP ………………………………………………………………………………………………………………………………..59 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN …………………………….59 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN………………………………………..65 C – HƯỚNG DẪN GIẢI………………………………………………………………………………………………………………..66 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN …………………………….66 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN………………………………………..77 ÔN TẬP CHƯƠNG III………………………………………………………………………………………………………………….79 ĐÁP ÁN ………………………………………………………………………………………………………………………………………90 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. 2. Dãy số u : *   Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n  u( n) 3. Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.  un+1 – un > 0 với  n  N*  un1  1 với n  N* ( un > 0). un  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.  un+1 – un< 0 với  n  N*  un1 un  1 với n  N* (un > 0). 4. Dãy số bị chặn  (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. B – BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 Câu 2: Cho dãy số  un  với un  2 an2 (a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây? n 1 2 a.  n  1 a.  n  1 a.n 2  1 an2 A. un1  . D. un1  . . B. un1  . C. un1  n2 n 1 n 1 n2 Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20; 25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. un  7 n  7 . B. un  7.n . C. un  7.n  1 . D. u n : Không viết được dưới dạng công thức. 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n n 1 n 1 n2  n . C. un  A. un  . B. un  . D. un  . n 1 n 1 n n Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0,001;0, 0001;… . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. u n  0 , 00 … 01 . B. u  0 , 00 … 01 . C. u  . D. u  . n n n n  1      10 10 n1 n chöõ soá 0 n1 chöõ soá 0 Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n 1 A. u n  1 . B. u n  1 . C. u n  ( 1) n . D. un   1 . Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. u n  2n . B. u n   2  n . C. u n   2 (n  1) . D. un   2   2  n  1 . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 3 2 33 3 4 35 1 1 1 B. u n  n1 . C. u n  n . D. u n  n1 . 3 3 3 u  5  1 với  .Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới u n1  u n  n Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. u n  1 1 . 3 3 n1 Câu 10: Cho dãy số u n  đây? (n  1)n . 2 (n  1)n . C. u n  5  2 A. u n  (n  1)n . 2 (n  1)(n  2) D. u n  5  . 2 B. u n  5  u1  1 Câu 11: Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1 dưới đây? 2n A. un  1  n . B. un  1  n . C. un  1   1 . D. un  n . u1  1 Câu 12: Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1 dưới đây? A. un  2  n . B. u n không xác định. C. un  1  n . D. un  n với mọi n . u1  1 Câu 13: Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới 2 un 1  un  n đây? Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. un  1  C. un  1  n  n  1 2n  1 6 n  n  1 2n  1 6 . B. un  1  . D. un  1  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n  n  1 2n  2  6 n  n  1 2n  2  6 . . Câu 14: Cho dãy số  un  u1  2 với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 A. un  2   n  1 . B. u n  2  n 2 . 2 C. un  2   n  1 . 2 D. un  2   n  1 . u1  2  Câu 15: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  u n  n 1 n 1 n 1 n . B. un  . C. un   . D. un   . A. un   n n n n 1 1  u1  Câu 16: Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 un 1  un  2 A. un  1  2  n  1 . 2 Câu 17: Cho dãy số  un  n 1 A. un   1 .   . 2 . 1 1 1  2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 u1  1  với  un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u   n 1 2 B. un  1 B. un   1 .    2 n 1 . 1 C. un    2 n 1 . 1 D. un   1 .    2 n 1 u1  2 Câu 18: Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : u  2 u n  1 n  A. u n  n n 1 . B. un  2 n . C. u n  2 n 1 . D. un  2 . 1  u1  Câu19 : Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un 1 1 A. u n   2 n 1 . B. un  n1 . C. un  n . D. u n  2 n  2 . 2 2 2 n  3n  7 Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un  . Viết năm số hạng đầu của dãy; n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ;7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u1  1 Câu 22: Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  . Viết năm số hạng đầu của dãy; un  2un1  3 n  2 A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 u  un2  2vn2 Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  n 1 với n  2 . vn 1  2un .vn Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . n n 2 2  u  2  1  2  1 n  A.  2n 1  vn  2  1  2 1 2 2         1 un  2    C.  v  1  n 3 2    2n   2 1    2n   2 1    2 1 2n 2n        2 1  1 un  4    B.  v  1   n 2   1 un  2    D.  v  1  n 2 2 2n   2n   2 1 2n  2 1    2 1  2n       2 1 2n   2 1 2n    2n  2 1    2 1 2n     2 1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ 2n   Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm 3n2  2n  1 n1 B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai n 3 1 Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n 2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n   1 n n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai 2n  13 Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  3n  2 A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai n2  3n  1 Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  n1 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  1  n  n2 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  n! A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 1 1 Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  1  2  2  …  2 . 2 3 n A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 2n  1 Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới n2  n  1 Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  2 n  n1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n1 Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n2  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1   …  Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  1.3 2.4 n.(n  2) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1 Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un    …  1.3 3.5  2n  1 2n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên  u1  1  Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:  un1  2 , n2 un  u  1 n 1  A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên  u1  1 Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  3 3 un1  un  1, n  1 A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai  u1  2  Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  un2  1 u  n1  n 1  4 A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới Câu 21: dãy số ( un ) xác định bởi un  2010  2010  …  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai u1  1, u2  2 . Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 22: Cho dãy số ( un ) :  un  3 un1  3 un 2 , n  3 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai an  2 Câu 23: Cho dãy số (un ) : un  , n  1 . Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy 2n  1 10 14 18 22 A. u1  2, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 10 14 18 22 , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 1 1 18 22 C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 10 4 8 22 D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a  2 B. a  2 C. a  4 D. a  4 u  2 Câu 25: Cho dãy số (un ) :  1 Viết 6 số hạng đầu của dãy un  3un1  2, n  2, 3.. A. u1  2, u2  5, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 B. u1  2, u2  4, u3  10, u4  18, u5  82, u6  244 B. u1  6, u2  C. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  72, u6  244 D. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 Câu 26: Cho dãy số un  5.2n1  3n  n  2 , n  1, 2,… Viết 5 số hạng đầu của dãy A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170 B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170 C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47 , u5  170 D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178 Câu 27: 1. Cho dãy số ( un ) : un  (1  a)n  (1  a)n ,trong đó a  (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số  u1  2  u1  2   B. A.  n n n n      un1  un  a  1  a    1  a   un1  un  2a  1  a    1  a    u1  2  u1  2   C.  D. n n n n      un1  2un  a  1  a    1  a   un1  un  a  1  a    1  a   b)Xét tính đơn điệu của dãy số A. Dãy ( un ) là dãy số tăng. C. Dãy ( un ) là dãy số không tăng, không giảm B. Dãy ( un ) là dãy số giảm. D. A, B, C đều sai. u1  1  Câu 28: Cho dãy số ( un ) được xác định như sau:  . 1 u  3 u   2, n  2 n n  1  2un1  Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n 3 47 227 , u3  , u4  2 6 34 3 19 227 C. u1  1, u2  , u3  ,u  2 6 4 34 A. u1  1, u2  3 17 227 , u3  , u4  2 6 34 3 17 2127 D. u1  1, u2  , u3  ,u  2 6 4 34 B. u1  1, u2  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u0  2011  Câu 29: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi :  un2 u   n1 u  1 , n  1, 2,…  n a) Khẳng định nào sau đây đúng B. Dãy ( un ) là dãy tăng A. Dãy ( un ) là dãy giảm C. Dãy ( un ) là dãy không tăng, không giảm b) Tìm phần nguyên của un với 0  n  1006 . A. un   2014  n B. un   2011  n D. A, B, C đều sai C. un   2013  n D. un   2012  n u  2, u2  6 Câu 30: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi:  1 un 2  un  2un 1 , n  1, 2,… a) Gọi a , b là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 . Chứng minh rằng: un  an  bn b) Chứng minh rằng: un21  un 2un  ( 1)n 1 .8 . n1 n2 C. Tăng, chặn dưới Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn D. Giảm, chặn trên Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  n3  2n  1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u1  2  Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :  un  1 , n  2 un1   2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u1  2, u2  3 . Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:  un1  un  un1 , n  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên  x0  1  Câu 35: Cho dãy số ( xn ) :  . Xét dãy số y n  xn 1  xn . Khẳng định nào 2 n n 1 x  x , n  2, 3,…  n i  (n  1)2 i 1  đúng về dãy ( y n ) A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên n Câu 36: Cho dãy số Un với Un  .Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 1  2  3  5  5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1  2  3  4  5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M  . 2 D. Không bị chặn. 1 Câu 38: Cho dãy số  un  với un  .Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là :  1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M  1 . C. Bị chặn trên bởi số M  0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1 . Câu 39: Cho dãy số  un  với u n  a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 37: Cho dãy số  un  với un  2 A. Dãy số có un 1  a.3n 1 . C. Với a  0 thì dãy số tăng B. Hiệu số un1  un  3.a . D. Với a  0 thì dãy số giảm. Câu 40: Cho dãy số  un  với un  A. Dãy số có un1  a 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n2 a 1 . n2  1 B. Dãy số có : un 1  C. Là dãy số tăng. a 1 . (n  1) 2 C. Hiệu un 1  un   a  1 .  n  1 2 . D. Là dãy số tăng. Câu 41: Cho dãy số  un  với un  A. un1  a 1 a 1 ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n2 2n  1 B. Hiệu un 1  un  1  a  . . 2  n  1 n 2 2n  1  n  1 2 n2 . D. Dãy số tăng khi a  1 . an2 ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n 1 2 a.  n 2  3n  1 a.  n  1 A. un1  . B. un1  un  . (n  2)(n  1) n2 C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a  0 . k Câu 43: Cho dãy số  un  với un  n ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? 3 k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 . B. Số hạng thứ n của dãy số là n1 . 3 3 C. Là dãy số giảm khi k  0 . D. Là dãy số tăng khi k  0 . n 1 (1) Câu 44: Cho dãy số  un  với un  . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là 10 11 Câu 42: Cho dãy số  un  với un  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ . Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M  1 . * Câu 45: Cho dãy số  un  có un  n  1 với n  N . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2 ; 3 ; 5 . B. Số hạng un1  n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 . 2 Câu 45: Cho dãy số  un  có u n   n  n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 . B. u n 1   n 2  n  2 . C. u n 1  u n  1 . D. Là một dãy số giảm. Câu 46: Cho dãy số  un  với un  A. un 1  1  n  1 2 . 1 1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 2 B. un  un1 . C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.  Câu 47: Cho dãy số  un  với un  sin . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1  A. Số hạng thứ n  1 của dãy: un1  sin B. Dãy số bị chặn. n2 C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 Hướng dẫn giải: Chọn A. Xét dãy (un ) có dạng: u n  an 3  bn 2  cn  d a  b  c  d  1 8a  4b  2c  d  3  Ta có hệ:  27a  9b  3c  d  19 64a  16b  4c  d  53 Giải hệ trên ta tìm được: a  1, b  0, c  3, d  1  u n  n 3  3n  1 là một quy luật. Số hạng thứ 10: u10  971 . Câu 2: Cho dãy số  un  với un  2 an2 (a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây? n 1 2 a.  n  1 a.  n  1 a.n 2  1 an2 . B. un1  . C. un1  . D. un1  . A. un1  n2 n 1 n 1 n2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 a.  n  1 a  n  1 Ta có un 1   .  n  1  1  n  2 2 Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20; 25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 5  5.1 10  5.2 15  5.3 20  5.4 25  5.5 Suy ra số hạng tổng quát un  5n . Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  7 n  7 . B. un  7.n . C. un  7.n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 8  7.1  1 D. u n : Không viết được dưới dạng công thức. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 15  7.2  1 22  7.3  1 29  7.4  1 36  7.5  1 Suy ra số hạng tổng quát un  7 n  1 . 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n 1 n 1 n n2  n . B. un  . D. un  A. un  . C. un  . n n n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 0 0 0 1 1 1  2 11 2 2  3 2 1 3 3  4 3 1 4 4  5 4 1 n Suy ra un  . n 1 Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0,001;0, 0001;… . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. u n  0 ,00 01 . B. u n  0 ,00 01 . C. u n  n1 . D. u n  n1 .  …   …  10 10 n chöõ soá 0 n1 chöõ soá 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0 Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0 Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0 ……………………………. Suy ra un có n chữ số 0 . Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n 1 A. u n  1 . B. u n  1 . C. u n  ( 1) n . D. un   1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1 2 3 4 5 n Các số hạng đầu của dãy là  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;…  un   1 . Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. u n  2n . B. u n   2  n . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. u n   2 (n  1) . D. un   2   2  n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2  nên un   2   2.  n  1 . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 3 2 33 3 4 35 1 1 1 B. u n  n1 . C. u n  n . D. u n  n1 . 3 3 3 Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1 1 . 3 3 n1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 5 số hạng đầu là ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;… nên un  n . 3 31 3 3 3 3 A. u n  u1  5 Câu 10: Cho dãy số u n  với  .Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới u n1  u n  n đây? (n  1)n (n  1)n A. u n  . B. u n  5  . 2 2 (n  1)n (n  1)(n  2) C. u n  5  . D. u n  5  . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. n  n  1 . Ta có un  5  1  2  3  …  n  1  5  2 u1  1 Câu 11: Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1 dưới đây? 2n D. un  n . A. un  1  n . B. un  1  n . C. un  1   1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2n un 1  un   1  un  1  u 2  2; u3  3; u 4  4;… Dễ dàng dự đoán được un  n . Ta có: Thật vậy, ta chứng minh được un  n * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n  1  u1  1 . Vậy * đúng với n  1 + Giả sử * đúng với mọi n  k  k   *  , ta có: uk  k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với n  k  1 , tức là: uk 1  k  1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: uk 1  uk   1  k  1 . Vậy * đúng với mọi n  * . u1  1 Câu 12: Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1 dưới đây? A. un  2  n . B. u n không xác định. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. un  1  n . D. un  n với mọi n . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,.. Dễ dàng dự đoán được un  2  n . u1  1 Câu 13: Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới 2 u  u  n  n 1 n đây? n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  A. un  1  . B. un  1  . 6 6 n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  C. un  1  . D. un  1  . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. u1  1  2 u2  u1  1 n  n  1 2 n  1  2 Ta có: u3  u2  2 2 . Cộng hai vế ta được u n  1  12  2 2  …   n  1  1  6 …  u  u   n  12 n 1  n Câu 14: Cho dãy số  un  u1  2 với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 2 2 B. u n  2  n 2 . C. un  2   n  1 . D. un  2   n  1 . A. un  2   n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. u1  2 u  u  1 1  2 2 Ta có: u3  u2  3 . Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  …   2 n  3   2   n  1 …  un  un 1  2n  3 u1  2  Câu 15: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  u n  n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4 5 n 1 Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;… Dễ dàng dự đoán được un   . 2 3 4 n Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 16: Cho dãy số  un  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1  u1  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 un 1  un  2 1 1 1 B. un   2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 1  2  n  1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  u1  2  u2  u1  2 1 1  Ta có: u3  u2  2 . Cộng hai vế ta được un   2  2…  2   2  n  1 . 2 2 …  un  un 1  2  u1  1  Câu 17: Cho dãy số  un  với  un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2 A. un  n 1 B. un   1 .    2 1 A. un   1 .   . 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: u1  1  u2  u1 2   u2 . u3  2  …  un  un 1  2 n 1 . Nhân 1 C. un    2 hai u .u .u …u 1 1 u1.u2 .u3…un   1 . 1 2 3 n 1  un   1 . n1   1 .   2.2.2…2 2 2    n 1 1 D. un   1 .    2 . vế ta n 1 được n 1 n 1 lan u1  2 Câu 18: Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : un1  2un A. u n  n n 1 . B. un  2 n . C. u n  2 n 1 . D. un  2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u1  2 u  2u 1  2 Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1 .u 2 .u3 …un  2.2 n 1.u1.u2 …u n 1  u n  2 n …  un  2un1 Câu19 : Cho dãy số  un  A. u n   2 n 1 . 1  u1  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un 1 1 B. un  n1 . C. un  n . D. u n  2 n  2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1  u1  2  u2  2u1 1  Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 …un  .2 n1.u1.u2 …un 1  un  2n 2 2 …  un  2un 1  n 2  3n  7 Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un  . Viết năm số hạng đầu của dãy; n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ;7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có năm số hạng đầu của dãy 12  3.1  7 11 17 25 47 u1   , u2  , u3  , u4  7, u5  11 2 3 4 6 Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 5 Ta có: un  n  2  , do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n  1 là ước của 5. Điều đó n 1 n 1 xảy ra khi n  1  5  n  4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4  7 . u1  1 Câu 22: Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  . Viết năm số hạng đầu của dãy; un  2un1  3 n  2 A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1  1; u2  2u1  3  5 ; u3  2u2  3  13; u4  2u3  3  29 u5  2u4  3  61 . 2 2 u  un  2vn Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  n 1 với n  2 . vn 1  2un .vn Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . n       1 un  2    C.  v  1  n 3 2      2 1      2n   1 un  4    B.  v  1   n 2   1 un  2    D.  v  1  n 2 2 n 2 2  un  2  1  2  1 A.  2n 1  vn  2  1  2 1 2 2   2n 2 1 2n           2 1 2n  2n 2 1   2n   2 1 2n   2 1    2n  2 1    2 1  2n   2 1     2 1 2n   2 1 2n 2n     2 1 2n   Hướng dẫn giải: Chọn D. Chứng minh un  2vn    2 1 2n (2)  Ta có: un  2vn  un21  2vn21  2 2un 1vn 1  un 1  2vn 1  Ta có: u1  2v1  3  2 2   Giả sử uk  2vk    2 1   2 1  2 2 nên (2) đúng với n  1 2k , ta có: 2  uk 1  2vk 1  uk  2vk    2k 1 2 1 Vậy (2) đúng với n  1 . Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un  2vn  n                n 2 2  2 u  2  1  2  1  n Do đó ta suy ra  2n 2 2v  2  1  2  1 n  2n 2n   1 u  2  1  2  1  n 2     Hay  . 2n 2n  1  v  2  1  2 1   n 2 2     2n 2 1 2n  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm 3n2  2n  1 n1 B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: un1  un  5n2  10n  2  0 nên dãy ( un ) là dãy tăng  n  1 n  2  Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có: un1  un   0 2 2 n  n  1  n  1   n  1  1 Chọn B. Nên dãy ( un ) giảm. 3n  1 2n B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: un1  un  un1  un  3n  1  0  dãy ( un ) tăng. 2n 1 Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n   1 n n2 B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 u  u1  Dãy số không tăng không giảm. Ta có: u1  0; u2  ; u3    2 2 9 u3  u2 2n  13 3n  2 B. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  A. Dãy số tăng, bị chặn C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn A. 2n  11 2n  13 34    0 với mọi n  1 . 3n  1 3n  2 (3n  1)(3n  2)  un n  1  dãy ( un ) là dãy tăng. Ta có: un1  un  Suy ra un 1 2 35 2   11  un  n  1 3 3(3n  2) 3 Vậy dãy ( un ) là dãy bị chặn. Mặt khác: un  n2  3n  1 Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  n1 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. (n  1)2  3(n  1)  1 n2  3n  1  n 2 n1 2 2 n  5n  5 n  3n  1   n 2 n1 2 (n  5n  5)(n  1)  (n2  3n  1)(n  2)  (n  1)(n  2) Ta có: un1  un  n2  3n  3  0 n  1 (n  1)(n  2)  un 1  un n  1  dãy ( un ) là dãy số tăng.  n2  2n  1 un   n  1  2  dãy ( un ) bị chặn dưới. n1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  A. Dãy số tăng, bị chặn trên C. Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: un  0  n  1 1 1  n  n2 B. Dãy số tăng, bị chặn dưới D. Cả A, B, C đều sai un 1 n2  n  1 n2  n  1    1 n   * un n2  3n  3 (n  1)2  (n  1)  1  un  1  un   1  dãy ( un ) là dãy số giảm. Mặt khác: 0  un  1  dãy ( un ) là dãy bị chặn. 2n n! B. Dãy số tăng, bị chặn dưới D. Cả A, B, C đều sai Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  A. Dãy số tăng, bị chặn trên C. Dãy số giảm, bị chặn trên Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn C. un 1 2 n 1 2 n 2 n1 n ! 2 Ta có:  :  . n   1 n  1 un ( n  1)! n ! ( n  1)! 2 n1 Mà un  0 n  un  1  un n  1  dãy ( un ) là dãy số giảm. Vì 0  un  u1  2  n  1  dãy ( un ) là dãy bị chặn. 1 1 1  2  …  2 . 2 2 3 n B. Dãy số tăng, bị chặn dưới D. Cả A, B, C đều sai Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết: un  1  A. Dãy số tăng, bị chặn C. Dãy số giảm, bị chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. 1  0  dãy ( un ) là dãy số tăng. (n  1)2 1 1 1 1 Do un  1    …   2 1.2 2.3 (n  1)n n  1  un  3 n  1  dãy ( un ) là dãy bị chặn. Ta có: un1  un  2n  1 n2 C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1)n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn B. Không bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 0  un  2 n nên dãy ( un ) bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 1  un  1  (un ) là dãy bị chặn Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Hướng dẫn giải: Ta có: un  2 n  (un ) bị chặn dưới; dãy ( un ) không bị chặn trên. Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn C. 25 3 25 Ta có: un   ( n  )2   (un ) bị chặn trên; dãy ( un ) không bị chặn dưới. 4 2 4 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn B. Không bị chặn Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n2  n  1 n2  n  1 C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 1  un  2 n  (un ) bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn B. Không bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 0  un  2 n  (un ) bị chặn Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn B. Không bị chặn n1 n2  1 C. Bị chặn trên 1 1 1   …  1.3 2.4 n.(n  2) C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 Ta có: 0  un    …   1 1 1.2 2.3 n.(n  1) n1 Dãy ( un ) bị chặn. Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  1 1 1   …  1.3 3.5  2n  1 2n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. n Ta có: un   0  un  1 , dãy ( un ) bị chặn. 2n  1  u1  1  Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:  un1  2 , n2 un  u  1 n 1  A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. Bằng quy nạp ta chứng minh được 1  un  2 nên dãy ( un ) bị chặn. D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới  u1  1 Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  3 3 un1  un  1, n  1 A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn A. Ta có: un1  3 un3  1  un1  3 un3  un n  dãy số tăng  u1  2  Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  un2  1 n1 un 1   4 A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. u 2  4un  1 Ta có: un1  un  n 4 Bằng quy nạp ta chứng minh được 2  3  un  2 n  un 1  un  0 . Dãy ( un ) giảm. Câu 21: dãy số ( un ) xác định bởi un  2010  2010  …  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có un21  2010  un  un1  un  un21  un1  2010 1  8041 n 2 Suy ra un  1  un  0  dãy ( un ) là dãy tăng. Bằng quy nạp ta chứng minh được un  u1  1, u2  2 Câu 22: Cho dãy số ( un ) :  . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 u 3 u u   , n  3  n n1 n 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Chứng minh bằng quy nạp : uk 1  3 uk  3 uk  2  3 uk 1  3 uk 2  uk Ta chứng minh: 0  un  3 . an  2 , n  1 . Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy 2n  1 10 14 18 22 A. u1  2, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 10 14 18 22 B. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 1 1 18 22 C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Câu 23: Cho dãy số (un ) : un  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A D. u1  6, u2  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 10 4 8 22 , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4n  2 . Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là 2n  1 10 14 18 22 u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  . 3 5 7 9 Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a  2 B. a  2 C. a  4 Với a  4 ta có: un  D. a  4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có dãy số ( un ) tăng khi và chỉ khi: un1  un  a  4  0, n   *   a  4  0  a  4 . (2n  1)(2n  1) u  2 Câu 25: Cho dãy số (un ) :  1 Viết 6 số hạng đầu của dãy un  3un1  2, n  2, 3.. A. u1  2, u2  5, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 B. u1  2, u2  4, u3  10, u4  18, u5  82, u6  244 C. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  72, u6  244 D. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 Câu 26: Cho dãy số un  5.2n1  3n  n  2 , n  1, 2,… Viết 5 số hạng đầu của dãy A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170 B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170 C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47 , u5  170 D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170 Câu 27: 1. Cho dãy số ( un ) : un  (1  a)n  (1  a)n ,trong đó a  (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số  u1  2  u1  2   B.  A.  n n n n     un1  un  a  1  a    1  a   un1  un  2a  1  a    1  a   Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  u1  2  C.  n n   un1  2un  a  1  a    1  a   b)Xét tính đơn điệu của dãy số A. Dãy ( un ) là dãy số tăng. C. Dãy ( un ) là dãy số không tăng, không giảm Hướng dẫn giải:  u1  2  a) Ta có:  n n   un1  un  a  1  a    1  a   b) Dãy ( un ) là dãy số tăng. Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11  u1  2  D.  n n   un1  un  a  1  a    1  a   B. Dãy ( un ) là dãy số giảm. D. A, B, C đều sai. u1  1  . Câu 28: Cho dãy số ( un ) được xác định như sau:  1 un  3un1  2u  2, n  2  n1 Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n 3 47 227 , u3  , u4  2 6 34 3 19 227 , u4  C. u1  1, u2  , u3  2 6 34 A. u1  1, u2  3 17 227 , u3  , u4  2 6 34 3 17 2127 D. u1  1, u2  , u3  , u4  2 6 34 B. u1  1, u2  Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 17 227 , u3  , u4  . 2 6 34 Ta chứng minh un  0, n bằng quy nạp. Ta có: u1  1, u2  Giả sử un  0 , khi đó: 2un  1 1  2 2un . 2 2un 2un   1 Nên un1  un   2un   2   un  0 . 2un   u0  2011  Câu 29: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi :  un2 u   n1 u  1 , n  1, 2,…  n a) Khẳng định nào sau đây đúng A. Dãy ( un ) là dãy giảm B. Dãy ( un ) là dãy tăng C. Dãy ( un ) là dãy không tăng, không giảm b) Tìm phần nguyên của un với 0  n  1006 . A. un   2014  n B. un   2011  n D. A, B, C đều sai C. un   2013  n D. un   2012  n Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a) Ta có: un1  un  un  0, n nên dãy ( un ) là dãy giảm un  1 b) Ta có: un  un1  un1  un 1  1  …  u0  n un1  1 Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Suy ra: un 1  u0  ( n  1)  2012  n Mặt khác: un   un  un1   (un1  un 2 )  …  ( u1  u0 )  u0  u  u u  u0   0  1  …  n1  un1  1   u0  1 u1  1  1 1 1   u0  n     …   un1  1   u0  1 u1  1 Mà: 1 1 1 n n 0   …    1 u0  1 u1  1 un1  1 un1  1 2013  n Với mọi n  2,1006 . Suy ra un  u0  n  1  2012  n Do đó: 2011  n  un  2012  n  un   2011  n với n  2,1006 . 20112  2010,000497 2012 nên u0   2011  0, u1   2010  2011  1 Vì u0  2011 và u1  Vậy un   2011  n, n  0,1006 . u  2, u2  6 Câu 30: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi:  1 un 2  un  2un 1 , n  1, 2,… a) Gọi a , b là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 . Chứng minh rằng: un  an  bn b) Chứng minh rằng: un21  un 2un  ( 1)n 1 .8 . Hướng dẫn giải: a) Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp Với n  1  u1  a  b  2 Giả sử un  an  bn , n  k   Khi đó: uk 1  2uk  uk 1  2 a k  b k  a k 1  b k 1    ( a  b) a k  b k  a k 1  b k 1  a k  1  b k  1  ab( a k 1  b k  1 )  a k 1  b k 1  a k  1  b k  1  ( a k 1  b k 1 )  a k 1  b k 1  a k 1  b k 1 . b) Ta có: un21  un 2 un  un2 1   2un1  un  .un Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11   un 1  un1  2un   un2  (un2  un1un1 )  …  ( 1) n1 u22  u3 u1  ( 1) n .8 . n1 n2 C. Tăng, chặn dưới Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. n  2 n  1 (n  2)2  (n  3)(n  1) Ta có un1  un    n 3 n 2 (n  2)(n  3) 1  0, n . (n  2)(n  3) 1 Mặt khác: un  1   0  un  1, n n 2 Vậy dãy ( un ) là dãy tăng và bị chặn.  Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  n3  2n  1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới Hướng dẫn giải: Ta có: un1  un  (n  1)3  2(n  1)  n3  2n D. Giảm, chặn trên  3n2  3n  3  0, n Mặt khác: un  1, n và khi n càng lớn thì un càng lớn. Vậy dãy ( un ) là dãy tăng và bị chặn dưới. u1  2  Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :  un  1 , n  2 un1   2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn B. Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1  un  2, n Điều này đúng với n  1 , giả sử 1  un  2 ta có: un  1  2 nên ta có đpcm. 2 1  un  0, n . Mà un1  un  2 Vậy dãy ( un ) là dãy giảm và bị chặn. 1  un1  u1  2, u2  3 Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:  . un1  un  un1 , n  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Trước hết ta chứng minh 1  un  4,  n Điều này hiển nhiên đúng với n  1 . Giả sử 1  un  4 , ta có: 1  un1  un  un1  4  4  4 Ta chứng minh ( un ) là dãy tăng Ta có: u1  u2 , giả sử un 1  un , n  k . u  uk 1  uk  uk 1  uk 1  uk  2  uk 1  uk Khi đó:  k uk 1  uk 2 Vậy dãy ( un ) là dãy tăng và bị chặn.  x0  1  . Xét dãy số y n  xn 1  xn . Khẳng định nào Câu 35: Cho dãy số ( xn ) :  2 n n 1 x   n (n  1)2  xi , n  2, 3,… i 1  đúng về dãy ( y n ) A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. n1  2(n  1) n 2(n  1)  Ta có: xn1  x  x  x     i n i n2 i 1 n2  i 1  2(n  1)  (n  1)2  (n  1)(n2  1) x  xn   xn .  2n n2  n n3  n2  n  1 xn Do đó: yn  xn1  xn  n3  Ta chứng minh dãy ( y n ) tăng.  Ta có: yn1  yn  (n  1)2  n  2 (n  1)(n2  1) n2  n  1 . x  xn n (n  1)3 n3 n3 (n2  3n  3)(n2  1)  (n2  n  1)(n2  2n  1) xn n3 (n  1)2 2x  3 n 2  0 , n  1, 2,.. n (n  1)  Ta chứng minh dãy ( y n ) bị chặn. Trước hết ta chứng minh: x n  4( n  1) (1) với n  2, 3… * Với n  2 , ta có: x 2  4 x1  4 nên (1) đúng với n  2 * Giả sử (1) đúng với n , tức là: x n  4( n  1) , ta có  (n  1)(n2  1) 4(n4  1) x   4n n n3 n3 Nên (1) đúng với n  1 . Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng n2  n  1 4(n  1)(n2  n  1) 4(n3  1) xn   4 Ta có: yn  n3 n3 n3 Vậy bài toán được chứng minh. xn 1  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n .Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 1  2  3  5  5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1  2  3  4  5 ; ; ; B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2 3 4 5 Thay n lần lượt bằng 1, 2,3, 4,5 ta được 5 số hạng đầu tiên là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 .Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 37: Cho dãy số  un  với un  2 n n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M  . 2 D. Không bị chặn. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 1 1 2 Ta có un 1  un   2     0 với n  1 . 2  n  1   n  1 n  n  n  1 n  2  n  n  1 n  n  1 n  2  Câu 36: Cho dãy số Un với Un  Do đó  un  là dãy giảm. 1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là :  1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M  1 . C. Bị chặn trên bởi số M  0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 Nhận xét : un    1 . n 1 Dãy số  un  bị chặn dưới bởi M  1 . Câu 38: Cho dãy số  un  với un  Câu 39: Cho dãy số  un  với u n  a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? A. Dãy số có un 1  a.3n 1 . C. Với a  0 thì dãy số tăng Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có un1  un  a.3n1  a.3n  a.3n  3  1  2a.3n . B. Hiệu số un1  un  3.a . D. Với a  0 thì dãy số giảm. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 40: Cho dãy số  un  với un  A. Dãy số có un1  a 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n2 a 1 . n2  1 B. Dãy số có : un 1  C. Là dãy số tăng. Hướng dẫn giải: Chọn B. a 1 Ta có un 1  . 2  n  1 a 1 . (n  1) 2 C. Hiệu un 1  un   a  1 . a 1  n  1 2 . D. Là dãy số tăng. Câu 41: Cho dãy số  un  với un  A. un1  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 a 1 ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n2 2n  1 B. Hiệu un 1  un  1  a  . . 2  n  1 n 2 2n  1  n  1 2 n2 . D. Dãy số tăng khi a  1 . Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 1 2 n  1 2n  1 Ta có un 1  un   a  1 .      a  1 . 2  1  a  . 2 . 2 2 2 2   n  n  1 n  n  1   n  1 n  an2 Câu 42: Cho dãy số  un  với un  ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n 1 2 a. n 2  3n  1 a.  n  1 . B. un1  un  . A. un1  (n  2)(n  1) n2 C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a  0 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Chọn a  0 thì un  0 ,dãy  un  không tăng, không giảm.   k ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? 3n k k B. Số hạng thứ n của dãy số là n1 . A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 . 3 3 C. Là dãy số giảm khi k  0 . D. Là dãy số tăng khi k  0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k Số hạng thứ n của dãy là un  n . 3 (1) n1 Câu 44: Cho dãy số  un  với un  . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M  1 . Hướng dẫn giải: Câu 43: Cho dãy số  un  với un  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ . Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn C. Dãy un là một dãy đan dấu. Câu 45: Cho dãy số  un  có un  n  1 với n  N * . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2 ; 3 ; 5 . B. Số hạng un1  n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 . Câu 45: Cho dãy số  un  có u n   n 2  n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 . B. u n 1   n 2  n  2 . C. u n 1  u n  1 . D. Là một dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : 2 un 1  un     n  1  n  1  1   n 2  n  1   n 2  2n  1  n  2  n 2  n  1  2n  0 n  1 Do đó    un  là một dãy giảm. Câu 46: Cho dãy số  un  với un  A. un 1  1 2  n  1  1 1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 2 . C. Đây là một dãy số tăng. Hướng dẫn giải: Chọn B. B. un  un1 . D. Bị chặn dưới.  . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1  A. Số hạng thứ n  1 của dãy: un1  sin B. Dãy số bị chặn. n2 C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm. Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số không tăng không giảm. Câu 47: Cho dãy số  un  với un  sin Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 CẤP SỐ CỘNG A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2 u u 3. Tính chất các số hạng: uk  k 1 k 1 với k  2 2 n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S n  u1  u2  …  un  = 2 2 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  Dãy số (un ) là một cấp số cộng  un1  un  d không phụ thuộc vào n và d là công sai.  Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a  c  2b .  Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d . Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? 1  u1    1 1 3  2. A. Dãy số  ;0; ;1; ;….. là một cấp số cộng:  2 2 2 d  1  2 1  u1   1 1 1  2 B. Dãy số ; 2 ; 3 ;….. là một cấp số cộng:  . 2 2 2 d  1 ; n  3  2 u  2 C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng  1 . d  0 D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;  không phải là một cấp số cộng. 1 1 Câu 2: Cho một cấp số cộng có u1   ; d  . Hãy chọn kết quả đúng 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển :  ; 0;1; ;1…. B. Dạng khai triển :  ;0; ;0; ….. 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ; 2; ;….. D. Dạng khai triển:  ; 0; ;1; ….. 2 2 2 2 2 2 Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1  3; u6  27 . Tìm d ? A. d  5 . B. d  7 . C. d  6 . D. d  8 . 1 Câu 4: Cho một cấp số cộng có u1  ; u8  26 Tìm d ? 3 11 3 10 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 11 3 10 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,1; d  0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1, 6 . B. 6 . C. 0,5 . D. 0, 6 . Câu 6. Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,1; d  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6. C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9. Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . A. 1,5,6,8 B. 2, 4, 6,8 C. 1, 4, 6,9 D. 1, 4, 7,8 u  u  u  10 Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa :  2 3 5  u4  u6  26 1. Xác định công sai và; A. d  2 B. d  4 C. d  3 D. d  5 2. công thức tổng quát của cấp số A. un  3n  2 B. un  3n  4 C. un  3n  3 D. un  3n 1 2. Tính S  u1  u4  u7  …  u2011 . A. S  673015 B. S  6734134 C. S  673044 D. S = 141 u  3u3  u2  21 Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5 . 3u7  2u4  34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100  243 B. u100  295 C. u100  231 D. u100  294 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S15  244 B. S15  274 C. S15  253 D. S15  285 3. Tính S  u4  u5  …  u30 . A. S  1286 B. S  1276 C. S  1242 D. S  1222 u  u  u  10 Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  2 3 5  u4  u6  26 1. Xác định công sai? A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4 2. Tính tổng S  u5  u7  u2011 A. S  3028123 B. S  3021233 D. S  3028332 Câu 11: Cho dãy số  un  với : un  C. S  3028057 1 n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1: un 1  1 n. 2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 . 2 D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S  12 . 5 Câu 12. Cho dãy số  un  với : un  2n  5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2. C. Số hạng thứ n + 1: un1  2n  7 . D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4  40 1 Câu 13. Cho dãy số  un  có: u1  3; d  . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 1 1 A. un  3   n  1 . B. un  3  n  1 . 2 2 1 1   C. un  3   n  1 . D. un  n  3   n  1  . 4 2   1 1 Câu 14. Cho dãy số  un  có: u1  ; d  . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4 5 4 5 4 A. S5  . B. S5  . C. S5   . D. S5   . 4 5 4 5 Câu 15. Cho dãy số  un  có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? C. Hiệu : un 1  un  A. u1  16 B. u1  16 C. u1  1 16 D. u1   1 16 Câu 16. Cho dãy số  un  có d  0,1; S5  0,5. Tính u1 ? A. u1  0,3. 10 10 . C. u1  . D. u1  0,3. 3 3 có u1  1; d  2; Sn  483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? B. u1  Câu 17. Cho dãy số  un  A. n  20 . B. n  21 . C. n  22 . D. n  23 . ( u ) u  1 Câu 18: Cho một cấp số cộng n có 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S   …  u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S  B. S  C. S  123 D. S  246 23 246 Câu 19: Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. un  2n  3 A. d  2 2. un  3n  1 A. d  2 B. d  3 C. d  5 D. d  2 B. d  3 C. d  3 D. d  1 3. un  n2  1 A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 1 2 C. d  3 D. d  1 4. un  2 n A. d   B. d  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. un  3n  1 A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 2. un  4  5n A. d   3. un  B. d  3 C. d  5 D. d  1 2n  3 5 A. d   B. d  2 5 C. d  3 D. d  1 n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 n 2n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 B. d  3 C. d  3 D. d  1 4. un  5. un  6. un  n2  1 A. d   Câu 21: Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,3; u8  8 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4. B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5. C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7. Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 . 1 16 Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Câu 24: Cho dãy số  un  với : un  7  2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 3 số hạng đầu của dãy: u 1  5; u2  3; u3  1. B. Số hạng thứ n + 1: un1  8  2n . C. Là cấp số cộng có d = – 2. D. Số hạng thứ 4: u4  1 . Câu 25: Cho dãy số  un  có u1  2; d  2; S  21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng. Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n  2. ? Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. un  u1  d . B. un  u1   n  1 d Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. un  u1   n  1 d D. un  u1   n  1 d . Câu 27: Cho cấp số cộng  un  có u4  12; u14  18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1  20, d  3 . B. u1  22, d  3 . C. u1  21, d  3 . D. u1  21, d  3 . Câu 28: Cho cấp số cộng  un  có u4  12; u14  18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25. Câu 29: Cho cấp số cộng  un  có u5  15; u20  60 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1  35, d  5 . B. u1  35, d  5 . C. u1  35, d  5 D. u1  35, d  5 . Câu 30: Cho cấp số cộng  un  có u5  15; u20  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S20 = 200 B. S20 = –200 C. S20 = 250 D. S20 = –25 Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u2  u3  20, u5  u7  29 . Tìm u1 , d ? n u  20; d  7 u  A. 1 . B. 1 20,5; d  7 . C. u1  20,5; d  7 . D. u1  20,5; d  7 . Câu 32: Cho cấp số cộng: A. d  3;S20  510 . C. d  3;S20  610 . 2; 5; 8; 11; 14;…….. Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên? B. d  3;S20  610 . D. d  3;S20  610 . 1 1 3 5 ; – ; – ; – ;… Khẳng định nào sau đây sai? 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng. B. có d  1 . C. Số hạng u20  19,5 . D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . 2n  1 Câu 34: Cho dãy số  un  có un  . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 1 2 1 2 A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d   . B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d  . 3 3 3 3 C. (un) không phải là cấp số cộng. D. (un) là dãy số giảm và bị chặn. 1 . Khẳng định nào sau đây sai? Câu 35: Cho dãy số  un  có un  n2 A. Các số hạng của dãy luôn dương. B. là một dãy số giảm dần. 1 C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M = . 2 2 2n  1 Câu 36: Cho dãy số  un  (un) có un  . Khẳng định nào sau đây sai? 3 2(n  1) 2  1 1 2 A. Là cấp số cộng có u1  ; d  ; B. Số hạng thứ n+1: un1  3 3 3 2(2n  1) C. Hiệu un 1  un  D. Không phải là một cấp số cộng. 3 Câu 33: Cho dãy số  un  : Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại? A. 75o ; 120o; 165o. B. 72o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o. Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A. 1; 2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. A. b  15, c  20, d  25, a  12 B. b  16, c  20, d  25, a  12 C. b  15, c  25, d  25, a  12 D. b  16, c  20, d  25, a  18 u  u  8 Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  7 3 . Tìm u1 , d ?  u2 .u7  75 d  2 A.  u1  2, u1  17 d  2 B.  u1  3, u1  7 d  2 d  2 C.  D.  u1  3, u1  17 u1  3, u1  17 u31  u34  11 Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d  0 ;  2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp 2 u31  u34  101 số cộng đó. A. un  3n  9 B. un  3n  2 C. un  3n  92 D. un  3n  66 Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o. Câu 43: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C  5 A . Xác định số đo các góc A, B, C .  A  100  A.  B  1200 C  500   A  150  B.  B  1050 C  600   A  50  C.  B  600 C  250  Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 sin A  sin B  sin C  tính các góc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200  A  200  D.  B  600 C  1000  D. 400 ,600 ,800 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC  a  c  2b Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2  c 2  2ab  2bc . B. a 2  c 2  2ab  2bc . C. a 2  c 2  2ab  2bc . D. a 2  c 2  ab  bc . Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . B. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . C. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . D. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2b2 , a, c 2 . B. 2b, 2a, 2c . C. 2b, a, c . D. 2b,  a,  c . Câu 4: Xác định x để 3 số : 1  x; x2 ;1  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của x . B. x  2 . C. x  1 . D. x  0 . Câu 5: Xác định x để 3 số :1  2 x;2 x 2 1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? B. x   A. x  3 . 3 . 2 3 . D. Không có giá trị nào của x . 4 Câu 6: Xác định a để 3 số : 1  3a; a 2  5;1  a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a . B. a  0 . C. a  1 D. a   2 . Câu 7: Tìm x biết : 1. x 2  1, x  2,1  3x lập thành cấp số cộng ; A. x  4, x  3 B. x  2, x  3 C. x  2, x  5 D. x  2, x  1 C. x   2 2 Câu 8: Cho các số 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y lập thành cấp số cộng ; các số  y  1 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân.Tính x, y 1 4  3 3   10 4   3 3  A. ( x; y )   0;0  ;  ;  ;   ;   B. ( x; y)   0;0  ;  ;  ;   ;    3 3   4 10   3 3   4 10   11 4   3 3   10 4   13 13  C. ( x; y)  1;0  ;  ;  ;   ;   D. ( x; y)   0;1 ;  ;  ;   ;    3 3   4 10   3 3   4 10  Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x  5 y ,5 x  2 y ,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số  y  1 2 2 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân. 3  3  A. ( x; y )    3;  ;  3;  2  2    3  3 C. ( x; y )   3;  ;  3;  2   2    3  3 B. ( x; y )   3;   ;   3;   2   2    3  3 D. ( x; y )    3;   ;  3;  2   2   Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x  6 y, 5 x  2 y,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số 5 x  y , y  1, 2 x  3 y lập thành cấp số nhân. 3 3 1 1 1 A. ( x; y)   3; 1 ;  ;  B. ( x; y)   3; 1 ;  ;  8 8 8 8 3 1  12 1  D. ( x; y )   3; 1 ;  ;  C. ( x; y)   3; 1 ;  ;   8 8 8 8 3 Câu 11: Xác định a, b để phương trình x  ax  b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. b  0, a  0 B. b  0, a  1 C. b  0, a  0 D. b  0, a  0 Câu 12: Tìm m để phương trình: mx 4  2  m  1 x 2  m  1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m   B. m  1 C. m   D. m   16 16 12 Câu 13: Tìm m để phương trình: x 3  3mx 2  4mx  m  2  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 1 10 10    m m m  m  1    A. B. C.  D. 27 7 27    m0  m  0 m  0 m  0 Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình x 3  3x 2  9 x  m  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m  16 B. m  11 C. m  13 D. m  12 2. Phương trình x 4  2  m  1 x 2  2m  1  0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 9 C. m  4 hoặc m  2 A. m  2 hoặc m   4 9 D. m  3 hoặc m  1 B. m  4 hoặc m   Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C– HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  Dãy số (un ) là một cấp số cộng  un1  un  d không phụ thuộc vào n và d là công sai.  Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a  c  2b .  Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d . Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? 1  u1    1 1 3  2. A. Dãy số  ;0; ;1; ;….. là một cấp số cộng:  2 2 2 d  1  2 1  u1   1 1 1  2 B. Dãy số ; 2 ; 3 ;….. là một cấp số cộng:  . 2 2 2 d  1 ; n  3  2 u  2 . C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng  1 d  0 D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;  không phải là một cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  u1   1 1 1  2  u  1. Dãy số ; 2 ; 3 ;….. không phải cấp số cộng do  2 2 2 2 d  1  2 1 1 Câu 2: Cho một cấp số cộng có u1   ; d  . Hãy chọn kết quả đúng 2 2 1 1 1 1 1 B. Dạng khai triển :  ;0; ;0; ….. A. Dạng khai triển :  ; 0;1; ;1…. 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ; 2; ;….. D. Dạng khai triển:  ; 0; ;1; ….. 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1  3; u6  27 . Tìm d ? A. d  5 . B. d  7 . C. d  6 . D. d  8 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: u6  27  u1  5d  27  3  5d  27  d  6 1 Câu 4: Cho một cấp số cộng có u1  ; u8  26 Tìm d ? 3 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 11 . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. A. d  B. d  3 . 11 C. d  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 10 . 3 D. d  3 . 10 1 11  7 d  26  d  3 3 u   0,1; d  0,1 có: 1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: Ta có: u8  26  u1  7d  26  Câu 5: Cho cấp số cộng  un  A. 1, 6 . Hướng dẫn giải: Chọn C. B. 6 . C. 0,5 . D. 0, 6 . Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là: un  u1   n  1 .0,1  u7  0,1   7  1 .0,1  1 2 Câu 6. Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,1; d  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6. C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9. Hướng dẫn giải: Chọn B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là: un  0,1   n  1 .1  n  11 . 10 11 8  0,5  k  (loại). Tương tự số 0,6 10 5 Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . A. 1,5,6,8 B. 2, 4, 6,8 C. 1, 4, 6,9 D. 1, 4, 7,8 Hướng dẫn giải: Giả sử bốn số hạng đó là a  3 x; a  x; a  x; a  3x với công sai là d  2 x .Khi đó, ta có: Giả sử tồn tại k   * sao cho uk  0,5  k    a  3x    a  x    a  x    a  3 x   20  2 2 2 2  a  3x    a  x    a  x    a  3x   120 4a  20   a5  2  2 4a  20 x  120  x  1 Vậy bốn số cần tìm là 2, 4, 6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d  x , là chẵn thì gọi công sai d  2 x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.  a  a  …  an  p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa:  21 22 thì: 2 2  a1  a2  …  an  s 12  ns 2  p 2  n  n  1  1 . a1   p  .d  và d   n 2 n 2  n 2  1  u  u  u  10 Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa :  2 3 5  u4  u6  26 1. Xác định công sai và; Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. d  2 B. d  4 2. công thức tổng quát của cấp số A. un  3n  2 B. un  3n  4 C. d  3 D. d  5 C. un  3n  3 D. un  3n 1 2. Tính S  u1  u4  u7  …  u2011 . A. S  673015 B. S  6734134 C. S  673044 D. S = 141 Hướng dẫn giải: Gọi d là công sai của CSC, ta có: (u1  d )  (u1  2d )  (u1  4d )  10 u  3d  10 u  1  1  1  (u1  3d )  (u1  5d )  26 u1  4d  13  d  3 1. Ta có công sai d  3 và số hạng tổng quát : un  u1  (n 1)d  3n  2 . 2. Ta có các số hạng u1 , u4 , u7 ,…, u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d ‘  3d , nên 670 ta có: S   2u1  669d ‘  673015 2 u  3u3  u2  21 Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5 . 3u7  2u4  34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; D. u100  294 A. u100  243 B. u100  295 C. u100  231 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; B. S15  274 A. S15  244 C. S15  253 D. S15  285 3. Tính S  u4  u5  …  u30 . A. S  1286 B. S  1276 C. S  1242 D. S  1222 Hướng dẫn giải: u  4d  3(u1  2d )  (u1  d )  21 Từ giả thiết bài toán, ta có:  1 3(u1  6d )  2(u1  3d )  34 u  3d  7 u  2 .  1  1  d  3 u1  12d  34 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100  u1  99d  295 15 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15   2u1  14d   285 2 27 3. Ta có: S  u4  u5  …  u30   2u4  26d  2  27  u1  16d   1242 . Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: 3  2u1  2d   1242 . 2 u  u  u  10 Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  2 3 5  u4  u6  26 1. Xác định công sai? S  S30  S3  15  2u1  29d   Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. d=3 B. d=5 2. Tính tổng S  u5  u7  u2011 A. S  3028123 B. S  3021233 Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. d=6 D. d=4 C. S  3028057 D. S  3028332 Hướng dẫn giải: u  d  (u1  2d )  u1  4d  10 u  3d  10 1. Ta có:  1  1 u1  3d  u1  5d  26 u1  4d  13  u1  1, d  3 ; u5  u1  4d  1  12  13 2. Ta có u5 , u7 ,…, u2011 lập thành CSC với công sai d  6 và có 1003 số hạng nên 1003 S  2u5  1002.6   3028057 . 2 Câu 11: Cho dãy số  un  với : un  1 n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. C. Hiệu : un 1  un  1 . 2 B. Số hạng thứ n + 1: un 1  1 n. 2 D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S  12 . 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 Ta có: un 1   n  1  1  n  1   un  n  *  Đáp án C đúng. 2 2 2 2 Câu 12. Cho dãy số  un  với : un  2n  5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2. C. Số hạng thứ n + 1: un1  2n  7 . D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4  40 Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai. Thật vậy un1  2  n  1  5  2n  5  2  un +2 n  *  đáp án A sai. 1 Câu 13. Cho dãy số  un  có: u1  3; d  . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 1 1 A. un  3   n  1 . B. un  3  n  1 . 2 2 1 1   C. un  3   n  1 . D. un  n  3   n  1  . 4 2   Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Sử dụng công thức SHTQ un  u1   n  1 d  n  2  . Ta có: un  3   n  1 2 1 1 Câu 14. Cho dãy số  un  có: u1  ; d  . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4 5 4 5 4 A. S5  . B. S5  . C. S5   . D. S5   . 4 5 4 5 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải:. Chọn C. n  2u1   n  1 d  n  u1  un  Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: S n    , n  * 2 2 5 Tính được: S5   4 Câu 15. Cho dãy số  un  có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? A. u1  16 B. u1  16 C. u1  1 16 D. u1   1 16 Hướng dẫn giải: Chọn A.  n  u1  un   S n  u1  u8  2 S8 : 8 u8  u1  18 2    u1  16.  Ta có:  d  un  u1 u8  u1  7d u8  u1  14 n 1  Câu 16. Cho dãy số  un  có d  0,1; S5  0,5. Tính u1 ? A. u1  0,3. B. u1  10 . 3 C. u1  10 . 3 D. u1  0,3. Hướng dẫn giải: Chọn D. un  u1   n  1 d u5  u1  4.0,1    u1  0,3 . Suy ra chọn đáp án D.   2 S Ta có : u  u  n u5  u1  0, 25  n 1  n Câu 17. Cho dãy số  un  có u1  1; d  2; Sn  483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? A. n  20 . B. n  21 . C. n  22 . D. n  23 . Hướng dẫn giải: Chọn D. n  2u1   n  1 d   n  23 Ta có: S n    2.483  n.  2.  1   n  1 .2   n 2  2n  483  0   2  n  21 Do n  N *  n  23 . Câu 18: Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S   …  u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S  B. S  C. S  123 D. S  246 23 246 Hướng dẫn giải: Gọi d là công sai của cấp số đã cho Ta có: S100  50  2u1  99d   24850  d   5S  497  2u1 5 99 5 5 5   …  u1u2 u2u3 u49u50 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u2  u1 u3  u2 u u   …  50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1      …     u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245      u1 u50 u1 u1  49d 246 49 S . 246 Câu 19: Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:  1. un  2n  3 A. d  2 2. un  3n  1 A. d  2 B. d  3 C. d  5 D. d  2 B. d  3 C. d  3 D. d  1 3. un  n2  1 A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 1 2 C. d  3 D. d  1 4. un  2 n A. d   B. d  Hướng dẫn giải: 1. Ta có: un1  un  2(n  1)  3  (2n  3)  2 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d  2 . 2. Ta có: un1  un  3(n  1)  1  (3n  1)  3 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d  3 . 3. Ta có: un1  un  (n  1) 2  1  (n2  1)  2n  1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 2 2 2   4. Ta có: un1  un  phụ thuộc vào n n  1 n n(n  1) Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng. Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. un  3n  1 A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 2. un  4  5n A. d   3. un  B. d  3 C. d  5 D. d  1 2n  3 5 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. d   B. d  2 5 C. d  3 D. d  1 n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 n 2n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 B. d  3 C. d  3 D. d  1 4. un  5. un  6. un  n2  1 A. d   Hướng dẫn giải: 1. Ta có: un1  un  3(n  1)  1  3n 1  3 Dãy (un ) là CSC có công sai d  3 . 2. Ta có: un1  un  5 Dãy (un ) là CSC có công sai d  5 2 2 3. Ta có: un 1  un  . Dãy (un ) là CSC có công sai d  5 5 1  (un ) không là CSC 4. Ta có: un1  un   n(n  1) 5. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC. Câu 21: Cho cấp số cộng  un  có: u1  0,3; u8  8 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4. B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5. C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7. Hướng dẫn giải: Chọn D. 11 Ta có: u8  8  u1  7 d  8  0,3  7 d  8  d  10 11 Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là: un  0,3   n  1  u7  6,9 10 Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 . Hướng dẫn giải: Chọn A. u 2  2  5  7 u1  2  Khi đó   22  u1  4d  d  5  u3  7  5  12 u5  22 u  12  5  17  4 1 16 Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 4 4 7   u 2   1  ; u3   1  u1  3  16  3 3 3 3 Ta có   u1  5d   d 1  . 3 u  16 u  10 ; u  13 6 4 5 3 3 3   Câu 24: Cho dãy số  un  với : un  7  2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. A. 3 số hạng đầu của dãy: u 1  5; u2  3; u3  1. D. 3 7 11 15 ; ; ; . 4 4 4 4 B. Số hạng thứ n + 1: un1  8  2n . D. Số hạng thứ 4: u4  1 . C. Là cấp số cộng có d = – 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. Thay n  1; 2;3; 4 đáp án A, D đúng un1  7  2  n  1  5  2n  7  2n  (2)  un  (2)n  *. suy ra đáp án B sai Câu 25: Cho dãy số  un  có u1  2; d  2; S  21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Chọn B. n  2u1   n  1 d  n  6 Ta có: S n    2.21 2  n. 2. 2   n  1 . 2  n 2  n  21  0   2  n  7   Do n  N *  n  6 . Suy ra chọn đáp án B. Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n  2. ? A. un  u1  d . B. un  u1   n  1 d C. un  u1   n  1 d D. un  u1   n  1 d . Hướng dẫn giải: Chọn D. Công thức số hạng tổng quát : un  u1   n  1 d , n  2 . Câu 27: Cho cấp số cộng  un  có u4  12; u14  18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1  20, d  3 . B. u1  22, d  3 . C. u1  21, d  3 . D. u1  21, d  3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. u  u1  3d u  3d  12 d  3 Ta có :  4 . Suy ra chọn đáp án C  1  u1  21 u14  u1  13d u1  13d  18 Câu 28: Cho cấp số cộng  un  có u4  12; u14  18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25. Hướng dẫn giải: Chọn A. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n  2u1   n  1 d  16  2.  21  15.3  S16    24 . Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S n   2 2 Câu 29: Cho cấp số cộng  un  có u5  15; u20  60 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1  35, d  5 . B. u1  35, d  5 . C. u1  35, d  5 D. u1  35, d  5 . Hướng dẫn giải: Chọn B. u  u1  4d u  4d  15 d  5 Ta có :  5  1  u1  35 u20  u1  19d u1  19d  60 Câu 30: Cho cấp số cộng  un  có u5  15; u20  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S20 = 200 B. S20 = –200 C. S20 = 250 D. S20 = –25 Hướng dẫn giải: Chọn C. n  2u1   n  1 d  20  2.  35   19.5 Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S n    S 20    250 . 2 2 Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u2  u3  20, u5  u7  29 . Tìm u1 , d ? n A. u1  20; d  7 . B. u1  20,5; d  7 . C. u1  20,5; d  7 . D. u1  20,5; d  7 . Hướng dẫn giải: Chọn C.  2u  3d  20 u  20,5 Áp dụng công thức un  u1  (n 1) d ta có  1 .  1  d  7  2u1  10d  29 Câu 32: Cho cấp số cộng: A. d  3;S20  510 . 2; 5; 8; 11; 14;…….. Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên? B. d  3;S20  610 . C. d  3;S20  610 . D. d  3;S20  610 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 5  2  ( 3); 8  5  ( 3); 11  8  ( 3); 14  11  ( 3);…. nên d  3 . n(n  1) Áp dụng công thức S n  nu1  d , ta có S20  610 . 2 1 1 3 5 Câu 33: Cho dãy số  un  : ; – ; – ; – ;… Khẳng định nào sau đây sai? 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng. B. có d  1 . C. Số hạng u20  19,5 . D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 3 1 5 3 Ta có    (1); –    (1); –    (1);….. . Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai 2 2 2 2 2 2 d  1 . Ta có u20  u1  19d  18,5 . 2n  1 Câu 34: Cho dãy số  un  có un  . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 1 2 1 2 A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d   . B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d  . 3 3 3 3 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. (un) không phải là cấp số cộng. D. (un) là dãy số giảm và bị chặn. Hướng dẫn giải: Chọn B. 2(n  1)  1 2n  1 2 1   và u1  . Ta có un 1  un  3 3 3 3 1 Câu 35: Cho dãy số  un  có un  . Khẳng định nào sau đây sai? n2 A. Các số hạng của dãy luôn dương. B. là một dãy số giảm dần. 1 C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M = . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 Ta có u1  ; u 2  ; u 3  . u2  u1  u3  u2 nên dãy số không phải là cấp số cộng. 3 4 5 2n 2  1 Câu 36: Cho dãy số  un  (un) có un  . Khẳng định nào sau đây sai? 3 2(n  1) 2  1 1 2 A. Là cấp số cộng có u1  ; d  ; B. Số hạng thứ n+1: un1  3 3 3 2(2n  1) C. Hiệu un 1  un  D. Không phải là một cấp số cộng. 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2(n  1) 2  1 2n 2  1 2(2 n  1) Ta có un1  un    . Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng. 3 3 3 Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại? A. 75o ; 120o; 165o. B. 72o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: u1  u2  u3  u4  360  30  30  d  30  2d  30  3d  360  d  40 . Vâỵ u2  70; u3  110; u 4  150 . Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A. 1; 2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi ba số hạng của CSC là a  2 x; a; a  2 x với d  2 x a  3 a  2 x  a  a  2 x  9  Ta có:   1. 2 2 2 (a  2 x)  a  (a  2 x)  29  x   2 Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. A. b  15, c  20, d  25, a  12 B. b  16, c  20, d  25, a  12 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. b  15, c  25, d  25, a  12 Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 D. b  16, c  20, d  25, a  18 Hướng dẫn giải: Chọn B.  a  d  37 a  37  d c  b  36 c  36  b   Gọi bốn số đó là a, b, c, d ta có hệ :   a  c  2 b  d  73  3b bd  c 2 b(73  3b)  (36  b) 2  b  16, c  20, d  25, a  12 . u  u  8 Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  7 3 . Tìm u1 , d ?  u2 .u7  75 d  2 d  2 d  2 A.  B.  C.  u1  2, u1  17 u1  3, u1  7 u1  3, u1  17 d  2 D.  u1  3, u1  17 Hướng dẫn giải: Chọn C. u  6d  u1  2d  8 d  2 Ta có:  1  u1  3, u1  17 (u1  d )(u1  6d )  75 u31  u34  11 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d  0 ;  2 2 u31  u34  101 số cộng đó. A. un  3n  9 B. un  3n  2 C. un  3n  92 D. un  3n  66 Hướng dẫn giải: Chọn C.  2u1  63d  11 u  89 Ta có:   1 2 2 (u1  30d )  (u1  33d )  101  d  3 Vậy un  3(n  1)  89  3n  92 . Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : u1  u2  u3  180  25  25  d  25  2d  180  d  35 . Vâỵ u2  60; u3  90. Câu 43: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C  5 A . Xác định số đo các góc A, B, C .  A  100  A.  B  1200 C  500   A  150  B.  B  1050 C  600   A  50  C.  B  600 C  250   A  200  D.  B  600 C  1000  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :  A  200  A  B  C  1800 C  5 A      B  3 A   B  600 .  A  C  2B  9 A  1800 C  1000  C  5 A  Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 sin A  sin B  sin C  tính các góc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200 D. 400 ,600 ,800 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba góc của tam giác: 300 ,600 ,900 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC  a  c  2b Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2  c 2  2ab  2bc . B. a 2  c 2  2ab  2bc . C. a 2  c 2  2ab  2bc . D. a 2  c 2  ab  bc . Hướng dẫn giải: Chọn B. a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: 2 2 b  a  c  b   b  a    c  b   a 2  c 2  2ab  2bc . Suy ra chọn đáp án B. Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . B. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . C. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . D. a 2  c 2  2ab  2bc  2ac . Hướng dẫn giải: Chọn C. a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 2 b  a  c  b   b  a    c  b   a 2  c 2  2ab  2bc  a 2  c2  2c 2  2ab  2bc  2ab  2c  c  b   2ab  2c  b  a   2ab  2bc  2ac Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2b2 , a, c 2 . B. 2b, 2a, 2c . C. 2b, a, c . D. 2b,  a,  c . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b  2  b  c   2.2a   2b    2c   2  2a   2b, 2a, 2c lập thành một cấp số cộng Câu 4: Xác định x để 3 số : 1  x; x2 ;1  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của x . B. x  2 . C. x  1 . D. x  0 . Hướng dẫn giải: : Chọn C. Ba số : 1  x; x2 ;1  x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x 2  1  x   1  x  x 2  2 x 2  2  x  1 suy ra chọn đáp án C. Câu 5: Xác định x để 3 số :1  2 x;2 x 2 1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. x  3 . 3 . 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. C. x   B. x   3 . 2 D. Không có giá trị nào của x . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Ba số :1  2 x;2 x 2 1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2 x 2  1  1  2 x  2 x  2 x 2  1 3  4×2  3  x   . Suy ra chọn đáp án B. 2 Câu 6: Xác định a để 3 số : 1  3a; a 2  5;1  a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a . B. a  0 . C. a  1 D. a   2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba số : 1  3a; a 2  5;1  a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a 2  5  1  3a   1  a   a 2  5   a 2  3a  4   a 2  a  4  a 2  a  4  0 . PT vô nghiệm Suy ra chọn đáp án A. Câu 7: Tìm x biết : 1. x 2  1, x  2,1  3x lập thành cấp số cộng ; A. x  4, x  3 B. x  2, x  3 C. x  2, x  5 D. x  2, x  1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: x 2  1, x  2,1  3x lập thành cấp số cộng  x2  1  1  3x  2( x  2)  x2  5x  6  0  x  2; x  3 Vậy x  2, x  3 là những giá trị cần tìm. 2 2 Câu 8: Cho các số 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y lập thành cấp số cộng ; các số  y  1 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân.Tính x, y 1 4  3 3   10 4   3 3  A. ( x; y )   0;0  ;  ;  ;   ;   B. ( x; y)   0;0  ;  ;  ;   ;    3 3   4 10   3 3   4 10   11 4   3 3   10 4   13 13  C. ( x; y)  1;0  ;  ;  ;   ;   D. ( x; y)   0;1 ;  ;  ;   ;    3 3   4 10   3 3   4 10  Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có các số 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y lập thành CSC nên suy ra 2  2 x  3 y   5 x  y  x  2 y hay 2 x  5 y (1) 2 2 Các số  y  1 , xy  1,  x  1 lập thành CSN suy ra  xy  1 2 2 2   y  1  x  1   4  2 y  2 x  4 xy  2 x  2 y   0 (2) Thay (1) vào (2) ta được :  4  2 y  5 y  10 y 2  5 y  2 y   0  y  4  3 y 10 y  3  0  y  0, y  4 3 ,y . 3 10  10 4   3 3  Vậy ( x; y)   0;0  ;  ;  ;   ;   .  3 3   4 10  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x  5 y ,5 x  2 y ,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số  y  1 2 2 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân.  3  3 3  3  A. ( x; y )    3;  ;  3; B. ( x; y )   3;  ;   3;      2   2  2   2      3  3 3  3 C. ( x; y )   3; ;  3; D. ( x; y )    3;  ;  3;       2   2  2   2    Hướng dẫn giải: Chọn D. x  5 y  8 x  y  2(5 x  2 y ) giải hệ này ta tìm được Ta có hệ:  2 2 2 ( x  1) ( y  1)  ( xy  1)  3  3 ( x; y)    3;  ;  3;   .    2 2     Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x  6 y, 5 x  2 y,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số 5 x  y , y  1, 2 x  3 y lập thành cấp số nhân. 3 3 1 1 1 A. ( x; y)   3; 1 ;  ;  B. ( x; y)   3; 1 ;  ;  8 8 8 8 3 1  12 1  C. ( x; y)   3; 1 ;  ;  D. ( x; y )   3; 1 ;  ;   8 8 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. x  6 y  8 x  y  2(5 x  2 y )  Ta có hệ:  giải hệ này ta tìm được 5 2 ( x  y )(2 x  3 y )  ( y  1)  3  3 1 ( x; y )   3; 1 ;  ;  . 8 8 Câu 11: Xác định a, b để phương trình x 3  ax  b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. b  0, a  0 B. b  0, a  1 C. b  0, a  0 D. b  0, a  0 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đáp số: b  0, a  0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là x  0, x    a . Câu 12: Tìm m để phương trình: mx 4  2  m  1 x 2  m  1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m   B. m  1 C. m   D. m   16 16 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 9 16 Câu 13: Tìm m để phương trình: x 3  3mx 2  4mx  m  2  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 1 10 10    m m m  m  1    B. C.  D. A. 27 7 27    m0  m  0 m  0 m  0 Đáp số : m   Hướng dẫn giải: Chọn D. Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b, c lập thành CSN abc  2  m Suy ra  2  m  2  b3 thay vào phương trình ta có b  ac 4 10  b m 3  3 27 (3b  4)(b  2)  0   3 b  2  m  0 Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình x 3  3x 2  9 x  m  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m  16 B. m  11 C. m  13 D. m  12 2. Phương trình x 4  2  m  1 x 2  2m  1  0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4 B. m  4 hoặc m   9 9 C. m  4 hoặc m  2 D. m  3 hoặc m  1 Hướng dẫn giải: 1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đó: x1  x3  2 x2 , x1  x2  x3  3  x2  1 Thay vào phương trình ta có : m  11 . Với m  11 ta có phương trình : x 3  3x 2  9 x  11  0   x  1  x 2  2 x  11  0  x1  1  12, x2  1, x3  1  12 A. m  2 hoặc m   Ba nghiệm này lập thành CSC. Vậy m  11 là giá trị cần tìm. 2. Đặt t  x 2 , t  0 . Phương trình trở thành: t 2  2  m  1 t  2 m  1  0 (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t 2  t1  0 . 2  ‘  0  m  1   2m  1  0 1    P  0  2m  1  0  m0 2 S0  2  m  1  0   Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là:  t2 ;  t1 ; t1 ; t 2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :  t2  t1  2 t1  t2  3 t1  t2  9t1    t1  t2  2 t1  m4 t1  t2  2  m  1 t1  9t1  2  m  1 2   9 m  32m  16  0   . Theo định lý viet thì :  m   4 t t  2 m  1 t 9 t  2 m  1  1 2  1 1  9 Vậy m  4 hoặc m   4 là những giá trị cần tìm. 9 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 CẤP SỐ NHÂN A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) 2. Số hạng tổng quát: un  u1.q n 1 với n  2 3. Tính chất các số hạng: u k2  uk 1 .u k 1 với k  2  S n  nu1 4. Tổng n số hạng đầu tiên:  u (1  q n ) Sn  1  1 q vôùi q  1 vôùi q  1 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:  Dãy số (un ) là một cấp số nhân  un 1  q không phụ thuộc vào n và q là công bội. un  Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  ac  b 2 .  Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q . Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát un = 1n =1 C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n. 1 1 1 1 Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ; ; … . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = n 1 . 2 2 1 C. Số hạng tổng quát un = n . D. Dãy số này là dãy số giảm. 2 Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có u1  1; q=1. C. Số hạng tổng quát u n  ( 1) n . D. Là dãy số giảm. 1 1 1 1 Câu 4. Cho dãy số : 1; ;  ; ;  . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81 A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân có u1  1; q=  . 3 1 n C. Số hạng tổng quát. un   1 . n 1 3 D. Là dãy số không tăng, không giảm. 1 Câu 5. Cho cấp số nhân  un  với u1   ; u 7  32 . Tìm q ? 2 1 A. q   . B. q  2 . C. q  4 . 2 D. q  1 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 6. Cho cấp số nhân  un  với u1  2; q=-5 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 10; 50;  250;  2  5  n 1 . C. 10;  50; 250;  2  .5n . B. 10;  50; 250; 2.  5n1 . D. 10;  50; 250;  2  5  n 1 . Câu 7. Cho cấp số nhân  un  với u1  4; q  4 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? n A. 16; 64;  256;   4  . n C. 16; 64;  256; 4  4  . n B. 16; 64;  256;  4  . D. 16; 64;  256; 4n . Câu 8. Cho cấp số nhân  un  với u1  1; q=0,00001 . Tìm q và un ? 1 1 ; u n  n 1 10 10 1 1 C. q  ; u n  n 1 10 10 1 ; u n  10n 1 10 1 ( 1) n D. q  ; u n  n 1 10 10 1 1 Câu 9. Cho cấp số nhân  un  với u1  1; q  . Số 103 là số hạng thứ mấy của  un  ? 10 10 A. Số hạng thứ 103 B. Số hạng thứ 104 C. Số hạng thứ 105 D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 10. Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q=  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của  un  ? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. 1 Câu 11. Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q  . Số 222 là số hạng thứ mấy của  un  ? 2 A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9 D. Không là số hạng của cấp số đã cho  u  u  u  u  15 Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  21 22 32 42 u1  u2  u3  u4  85 A. u1  1, u1  2 B. u1  1, u1  8 C. u1  1, u1  5 D. u1  1, u1  9 A. q  B. q  u1  u2  u3  u4  u5  11  Câu 13: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  82 u1  u5   11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u1  , u1  B. u1  , u1  C. u1  , u1  D. u1  , u1  11 11 12 12 13 13 11 11 Câu 14: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: un  2n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Câu 15: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: u n  4.3n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 16: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 2 un  . n 1 A. q  3 B. q  C. q  4 D. q   2 Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  2n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 3n 1 un   5 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  3n  1 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 2n  1 un  3 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  n3 . A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   n 1 Câu 22: Cho dãy số (un ) với un  3 2 1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 A. q  B. q  3 2 C. q  1 2 D. q  3 2. Tính tổng S  u2  u4  u6  u20 9 9 A. S  (320  1) B. S  (320  1) 2 2 9 C. S  (310  1) 2 7 D. S  (310  1) 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 61 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 23: 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 5 2 2 B. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 7 3 2 2 C. u1  ; u2  ; u3  2; u5  21; u6  54; u7  162 9 3 2 2 D. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 3 2  u4  Câu 24: Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  27 . u3  243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2 A. u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  B. u1  1, u2  , u3  ; u4  , u5  C. 5 9 27 81 3 9 27 81 2 2 2 2 2 2 2 2 u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  D. u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  3 9 27 64 3 9 27 81 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 A. S10  B. S10  12383 19683 2 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 C. S10  1359048 3319683 D. S10  59048 19683 3. Số C. 9 D. 3 Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1   u1  u1  2 A.  2 B.  C. u n  n 2  1 u  u 2 u   2 . u  n1 n  n 1 n Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với n  1  A. un    là dãy số tăng.  4  u  1; u2  2 D.  1 un 1  un 1.un n 1 B. un    là dãy số tăng. 4 n C. u n  4 n là dãy số tăng. D. un   4  là dãy số tăng. Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3 A. un  n là dãy số giảm. B. un  n là dãy số giảm. 10 10 n n C. u n  10 là dãy số giảm. D. un   10  là dãy số giảm. Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 5  1 A. Cấp số nhân: 2;  2,3;  2,9; … có u6   2     .  3 6 B. Cấp số nhân: 2;  6; 18; … có u6  2.  3 . C. Cấp số nhân: 1;  2;  2; … có u6  2 2. D. Cấp số nhân: 1;  2;  2; … có u6  4 2. Câu 29: Cho cấp số nhân  un  có công bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u A. uk  uk 1 .uk  2 B. uk  k 1 k 1 C. u k  u1 .q k 1 . D. 2 uk  u1   k  1 q. u1  2  Câu 30: Cho dãy số  un  xác định bởi :  1 . Chọn hệ thức đúng: un 1  10 .un 1 1 A.  un  là cấp số nhân có công bội q   . B. un  (2) n 1 . 10 10 un 1  un 1 D. un  un 1.un 1  n  2  . C. un   n  2 . 2 Câu 31: Cho dãy số  un  : 1; x; x 2 ; x3 ; … (với x  R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề đúng: A.  un  là cấp số nhân có un  x n . B.  un  là cấp số nhân có u1  1; q  x. C.  un  không phải là cấp số nhân. D.  un  là một dãy số tăng. Câu 32: Cho dãy số  un  : x;  x3 ; x5 ;  x7 ; … (với x  R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề sai: A.  un  là dãy số không tăng, không giảm. x (1  x 2 n 1 ) 1  x2 Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; … C.  un  có tổng S n  B.  un  là cấp số nhân có un   1 n 1 .x 2 n 1 . D.  un  là cấp số nhân có u1  x , q   x2 . B. 2; 22; 222; 2222; … D. 1;  x 2 ; x 4 ;  x6 ; … C. x; 2 x; 3 x; 4 x; … 2 . Chọn kết quả đúng: 3 4 8 16 . A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; 3 3 3 Câu 34: Cho cấp số nhân có u1  3 , q   2 B. un  3.    3 n 1 . n 2 C. S n  9.    9. 3 D.  un  là một dãy số tăng. Câu 35: Cho cấp số nhân có u1  3 , q  A. u5  27 . 16 B. u5  16 . 27 2 . Tính u5 ? 3 C. u5  16 . 27 D. u5  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ 27 . 16 Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 36: Cho cấp số nhân có u1  3 , q  A. Thứ 5. C. Thứ 7. Câu 37: Cho cấp số nhân có u2  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 96 . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 3 243 B. Thứ 6. D. Không phải là số hạng của cấp số. 1 ; u5  16 . Tìm q và u1 . 4 1 1 A. q  ; u1  . 2 2 1 C. q  4; u1  . 16 1 1 B. q   ; u1   . 2 2 1 D. q  4; u1   . 16 u1  u2  u3  u4  u5  11  Câu 38: Cho CSN (un ) thỏa:  82 u1  u5   11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 3n 1 1 81 1 C. Cả A, B đúng A. q  3; un  B. q  ; un  . n 1 3 11 3 11 2. Tính tổng S2011 1 243  1  A. q  ; S 2011   1  2011  3 22  3  C. Cả A, B đúng B. q  3; S2011  D. Cả A, B sai 1 2011  3  1 22 D. Cả A, B sai 1  3. Trên khoảng  ;1 có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN  ac  b 2 . Câu 1: Cho dãy số 1 ; 2 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? b; A. b  1 . C. b  2 . B. b  1 . D. Không có giá trị nào của b. 1 1 ; a; . Giá trị của a là: 5 125 1 1 1 A. a   . B. a   . C. a   . D. a  5. 25 5 5 Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A. Không có giá trị nào của x. B. x  0, 008. C. x  0, 008. D. x  0, 004. Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. un  n  1 D. un  n 2  B. un  n 2 C. un  n 2  4 4 4 4 Câu 5: Xác định x để 3 số 2 x  1; x; 2 x  1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x   . B. x   3. 3 1 C. x   . D. Không có giá trị nào của x . 3 Câu 6: Xác định x để 3 số x  2; x  1; 3  x lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x. B. x  1. C. x  2. D. x  3. 2 2 Câu 7: Tìm x biết : 1, x ,6  x lập thành cấp số nhân. Câu 2: Cho cấp số nhân: A. x  1 B. x   2 C. x  2 Câu 8: Các số x  6 y,5 x  2 y ,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số x  D. x   3 5 y, y  1, 2 x  3 y lập thành 3 cấp số nhân. 3 1 A. ( x; y )   3; 1 ;  ;  8 8 3 1 C. ( x; y )   3;1 ;  ;  8 8 1 1 B. ( x; y )   3; 1 ;  ;  8 8  12 1  D. ( x; y )   3; 1 ;  ;   8 8 Câu 9: Phương trình x 3  2 x 2   m  1 x  2  m  1  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m  1, m  3, m  4 B. m  1, m  13, m  4 C. m  1, m  3, m  4 D. m  1, m  3, m  4 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:  Dãy số (un ) là một cấp số nhân  un 1  q không phụ thuộc vào n và q là công bội. un  Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  ac  b 2 .  Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q . Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát un = 1n =1 C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 1  1(1);  1  1(1) . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u1  1; q=  1 . 1 1 1 1 Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ; ; … . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = n 1 . 2 2 1 C. Số hạng tổng quát un = n . D. Dãy số này là dãy số giảm. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có  1. ;  . ;  . ;  . ;…. Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với u1  1; q= . 2 2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2 n 1 1 1 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có : un  u1q n 1     n 1 . 2 2 Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có u1  1; q=1. C. Số hạng tổng quát u n  ( 1) n . D. Là dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn B. Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với u1  1; q=1. 1 1 1 1 ;  . Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 4. Cho dãy số : 1; ;  ; 3 9 27 81 A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân có u1  1; q=  . 3 1 n C. Số hạng tổng quát. un   1 . n 1 3 D. Là dãy số không tăng, không giảm. Hướng dẫn giải: Chọn A. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 1 1  1 1 1  1  1  1.    ;    .    ;   .    ;……. Vậy dãy số trên là cấp số nhân với 3 9 3  3  27 9  3  3 1 u1  1; q=- . 3 n 1 1 n  1 n 1 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un  u1q  1     1 . n 1 . 3  3 1 Câu 5. Cho cấp số nhân  un  với u1   ; u 7  32 . Tìm q ? 2 1 A. q   . B. q  2 . C. q  4 . D. q  1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. q  2 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un  u1q n 1  u7  u1.q 6  q 6  64    q  2 . Câu 6. Cho cấp số nhân  un  với u1  2; q=-5 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? Ta có: A. 10; 50;  250;  2  5  n 1 B. 10;  50; 250; 2.  5n1 . . n 1 C. 10;  50; 250;  2  .5n . D. 10;  50; 250;  2  5  . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có u2  u1.q   2  .  5   10; u 3  u2 .q  10.  5   50; u 4  u3 .q  50.  5   250 . Số hạng tổng quát un  u1.q n 1   2  .  5  n 1 . Câu 7. Cho cấp số nhân  un  với u1  4; q  4 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? n n A. 16; 64;  256;   4  . B. 16; 64;  256;  4  . n C. 16; 64;  256; 4  4  . D. 16; 64;  256; 4n . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có u2  u1.q  4.  4   16; u 3  u2 .q  16.  4   64; u 4  u3 .q  64.  4   256 . Số hạng tổng quát un  u1.q n 1  4.  4  n 1 . Câu 8. Cho cấp số nhân  un  với u1  1; q=0,00001 . Tìm q và un ? 1 1 ; u n  n 1 10 10 1 1 C. q  ; u n  n 1 10 10 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 ; u n  10n 1 10 1 ( 1) n D. q  ; u n  n 1 10 10 A. q  B. q  Ta có u6  u1 .q5  0, 00001  1.q 5  q   Số hạng tổng quát un  u1.q n 1  1  1.     10  1 . 10 n 1  1  n 10 n1 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 9. Cho cấp số nhân  un  với u1  1; q  A. Số hạng thứ 103 C. Số hạng thứ 105 Hướng dẫn giải: Chọn B. Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 1 . Số 103 là số hạng thứ mấy của  un  ? 10 10 B. Số hạng thứ 104 D. Không là số hạng của cấp số đã cho. n 1 1  1  1.     n  1  103  n  104 . 103 10  10  Câu 10. Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q=  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của  un  ? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1 n 1 Ta có un  u1 .q n 1  192  3.  2    2   64  n  1  6  n  7 . Ta có un  u1 .q n 1  Câu 11. Cho cấp số nhân  un  với u1  3; q  A. Số hạng thứ 11 C. Số hạng thứ 9 Hướng dẫn giải: Chọn D.  1 Ta có un  u1.q n 1  222  3.     2 n 1  1     2 1 . Số 222 là số hạng thứ mấy của  un  ? 2 B. Số hạng thứ 12 D. Không là số hạng của cấp số đã cho n 1  74 . Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.  u  u  u  u  15 Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  21 22 32 42 u1  u2  u3  u4  85 A. u1  1, u1  2 B. u1  1, u1  8 C. u1  1, u1  5 D. u1  1, u1  9 Hướng dẫn giải: Chọn B.  q4  1  15 u1 u1 (1  q  q  q )  15  q 1 Ta có:  2  2 4 6 8 u 1  q  q  q  85   u 2 q  1  85  1  1 q 2  1 2 3 2 q  2  q 4  1   q 2  1  45 (q 4  1)(q  1) 45        8  q  1 (q  1)(q 4  1) 17  q  1   q  1  17  2 Từ đó ta tìm được u1  1, u1  8 . u1  u2  u3  u4  u5  11  Câu 13: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  82 u1  u5   11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u1  , u1  B. u1  , u1  C. u1  , u1  D. u1  , u1  11 11 12 12 13 13 11 11 Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u1 1  q  q 2  q 3  q 4   11 u1q(1  q  q 2 )  39   11 Ta có:    82 4 u1 (1  q )  u (1  q 4 )  82  11  1 11  q4 1 82 1   q  3, q  . 3 2 q  q  q 39 3 Câu 14: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: un  2n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn D. u n 1 Ta có: n 1  phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. un n Câu 15: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: u n  4.3n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn A. un 1 4.3n 1 Ta có:   3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số nhân với công bội q  3 . un 4.3n Câu 16: Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 2 un  . n 1 A. q  3 B. q  C. q  4 D. q   2 Hướng dẫn giải: Chọn D. n u 2 2 Ta có: n 1  phụ thuộc vào n . :  un n 1 n n 1 Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  2n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn B. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 un 1  2  (un ) là CSN với công bội q  2 un Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 3n 1 un   5 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Ta có: Hướng dẫn giải: Chọn A. u Ta có: n 1  3  (un ) là CSN với công bội q  3 un Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  3n  1 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn D. u 3n  2 Ta có: n 1   (un ) không phải là CSN un 3n  1 Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 2n  1 un  3 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn D. u 2n 1  1 Ta có: n 1  n  (un ) không phải là CSN un 2 1 Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. un  n3 . A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   Hướng dẫn giải: Chọn D. un 1 (n  1)3 Ta có:   (un ) không phải là CSN. un n3 n 1 2 Câu 22: Cho dãy số (un ) với un  3 1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 A. q  B. q  3 2 C. q  1 2 D. q  3 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.ba[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2. Tính tổng S  u2  u4  u6  u20 9 9 A. S  (320  1) B. S  (320  1) 2 2 9 C. S  (310  1) 2 7 D. S  (310  1) 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17 Hướng dẫn giải: n 1 1 u 32 1. Ta có: n 1  n  3 , n  N *  Dãy số là cấp số nhân với u1  3 3; q  3 . 1 un 32 2. Ta có u2 ; u4 ; u6 ;; u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2  9; q  3 và có 10 số hạng nên S  u2 . n 1  310 310  1 9 10  9.  (3  1) 1 3 2 2 n  1  9  n  16 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. 1 3. Ta có : un  19683  3 2  39  Câu 23: 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 5 2 2 B. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 7 3 2 2 C. u1  ; u2  ; u3  2; u5  21; u6  54; u7  162 9 3 2 2 D. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi CSN đó là (un), n  1, 7 . Theo đề bài ta có : 2   u1 .q 3  6  u4  6 u1    9  6 u7  243u2 u1.q  243u1.q  q  3 Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là 2 2 u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 3 2  u4  Câu 24: Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  27 . u3  243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 2 2 A. u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  5 9 27 81 2 2 2 2 u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  3 9 27 64 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 B. S10  A. S10  12383 19683 2 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 2 2 2 B. u1  1, u2  , u3  ; u4  , u5  C. 3 9 27 81 2 2 2 2 D. u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  3 9 27 81 C. S10  1359048 3319683 D. S10  59048 19683 3. Số C. 9 D. 3 Hướng dẫn giải: Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:  3 2 1  3 2 uq    u q   1  1 q  27 27   3  u q 2  243.u q 7 q 5  1 u1  2  1 1  243 2 2 2 2 1. Năm số hạng đầu của cấp số là: u1  2, u2  , u3  ; u4  , u5  . 3 9 27 81 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 10 1   1   1 10  59048 q10  1 3  S10  u1  2.  3 1      . 1 q 1 3 19683       1 3 2 2 3. Ta có: un  n 1  un   3n 1  6561  38  n  9 3 6561 2 Vậy là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561 Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1   u1  u1  2 A.  2 B.  C. u n  n 2  1 D. u  u 2 u   2 . u  n1 n  n 1 n Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  un 1 u1  2 Do là một cấp số nhân.   2 ( không đổi) nên dãy số  un  :  un u   2 . u  n 1 n Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với n u1  1; u2  2  un 1  un 1.un n  1  A. un    là dãy số tăng.  4  1 B. un    là dãy số tăng. 4 C. u n  4 n là dãy số tăng. D. un   4  là dãy số tăng. n Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. un 4n  n 1  4  1 nên  un  là dãy số tăng. un 1 4 Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3 A. un  n là dãy số giảm. B. un  n là dãy số giảm. 10 10 n C. u n  10 n là dãy số giảm. D. un   10  là dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn A. un 10n 1 1 Ta có: un  0, với mọi n và    1 nên  un  là dãy số giảm. un 1 10n 10 Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: Ta có: un  0, với mọi n và 5  1 A. Cấp số nhân: 2;  2,3;  2,9; … có u6   2     .  3 6 B. Cấp số nhân: 2;  6; 18; … có u6  2.  3 . C. Cấp số nhân: 1;  2;  2; … có u6  2 2. D. Cấp số nhân: 1;  2;  2; … có u6  4 2. Hướng dẫn giải: Chọn D. Cấp số nhân có u1  1; q  2 nên u6  u1.q 5   1 5  2  4 2 . Câu 29: Cho cấp số nhân  un  có công bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u A. uk  uk 1 .uk  2 B. uk  k 1 k 1 C. u k  u1 .q k 1 . D. 2 uk  u1   k  1 q. Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo tính chất các số hạng của cấp số nhân. u1  2  Câu 30: Cho dãy số  un  xác định bởi :  1 . Chọn hệ thức đúng: un 1  10 .un A.  un  là cấp số nhân có công bội q   1 . 10 B. un  (2) 1 . 10n 1 un 1  un 1 D. un  un 1.un 1  n  2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 u 1 Ta có: n 1   nên  un  là cấp số nhân có công bội q   . 10 un 10 C. un   n  2 . Câu 31: Cho dãy số  un  : 1; x; x 2 ; x3 ; … (với x  R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề đúng: A.  un  là cấp số nhân có un  x n . B.  un  là cấp số nhân có u1  1; q  x. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C.  un  không phải là cấp số nhân. D.  un  là một dãy số tăng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 32: Cho dãy số  un  : x;  x3 ; x5 ;  x7 ; … (với x  R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề sai: A.  un  là dãy số không tăng, không giảm. B.  un  là cấp số nhân có un   1 x (1  x 2 n 1 ) C.  un  có tổng S n  1  x2 Hướng dẫn giải: Chọn C.  un  n 1 .x 2 n 1 . D.  un  là cấp số nhân có u1  x , q   x2 . là cấp số nhân có u1  x , q   x 2 do đó un  x.   x 2  Suy ra A, B, D đúng. Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; … n 1   1 n 1 .x 2 n 2 .x   1 n 1 .x 2n 1. B. 2; 22; 222; 2222; … C. x; 2 x; 3 x; 4 x; … D. 1;  x 2 ; x 4 ;  x6 ; … Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số : 1;  x 2 ; x 4 ;  x6 ; … là cấp số nhân có số hạng đầu u1  1; công bội q   x 2 . 2 Câu 34: Cho cấp số nhân có u1  3 , q  . Chọn kết quả đúng: 3 4 8 16 A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; . 3 3 3 n 1  2 B. un  3.   .  3 n 2 C. S n  9.    9. 3 D.  un  là một dãy số tăng. Hướng dẫn giải: Chọn B. n 1  2 Áp dụng công thức: un  u1.q n 1 ta được: un  3.   .  3 2 Câu 35: Cho cấp số nhân có u1  3 , q  . Tính u5 ? 3 27 16 16 27 A. u5  . B. u5  . C. u5  . D. u5  . 16 27 27 16 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4 16 2 4 Ta có: u5  u1.q   3     . 27 3 2 96 Câu 36: Cho cấp số nhân có u1  3 , q  . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 3 243 A. Thứ 5. B. Thứ 6. C. Thứ 7. D. Không phải là số hạng của cấp số. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. 96 Giả sử số là số hạng thứ n của cấp số này. 243 Ta có: u1.q n 1  96  243 2  3   3 n 1  96  n  6. 243 96 là số hạng thứ 6 của cấp số. 243 1 Câu 37: Cho cấp số nhân có u2  ; u5  16 . Tìm q và u1 . 4 1 1 1 1 A. q  ; u1  . B. q   ; u1   . 2 2 2 2 1 1 D. q  4; u1   . C. q  4; u1  . 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1  u1 .q ; u5  u1 .q 4  16  u1.q 4 Ta có: u2  u1.q  4 1 Suy ra: q3  64  q  4 . Từ đó: u1  . 16 Vậy số u1  u2  u3  u4  u5  11  Câu 38: Cho CSN (un ) thỏa:  82 u1  u5   11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 3n 1 1 81 1 A. q  3; un  C. Cả A, B đúng B. q  ; un  . n 1 11 3 11 3 2. Tính tổng S2011 1 243  1  A. q  ; S 2011   1  2011  3 22  3  C. Cả A, B đúng B. q  3; S2011  D. Cả A, B sai 1 2011  3  1 22 D. Cả A, B sai 1  3. Trên khoảng  ;1 có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có: 39 39   2 3 u2  u3  u4  11 u1  q  q  q   11   u  u  82 u 1  q 4   82 1 5   1 11 11 4 q 1 82 Suy ra: 3   39q 4  82q 3  82q 2  82q  39  0 2 q  q  q 39 Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1  (3q  1)(q  3)(13q 2  16q  13)  0  q  , q  3 3 1 81 81 1  q   u1   un  . n 1 3 11 11 3 1 3n 1  q  3  u1   un  . 11 11 q 2011  1 2. Ta có: S 2011  u1 q 1 1 243  1   q   S 2011  1  2011  3 22  3  1  q  3  S2011   32011  1 22 3n 1  1  3. Với q  3 ta có: un    ;1  n  3 nên có một số hạng của dãy 11  2  1 1 1  Với q  ta có: un    ;1  n  3 nên có một số hạng của dãy. n 5 3 11.3 2  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN  ac  b 2 . Câu 1: Cho dãy số A. b  1 . C. b  2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 ; 2 b; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? B. b  1 . D. Không có giá trị nào của b. b  0  . Vậy không có giá trị nào của b. Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi  1 b   . 2   1  2  1 1 Câu 2: Cho cấp số nhân: ; a; . Giá trị của a là: 5 125 1 1 1 A. a   . B. a   . C. a   . D. a  5. 25 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1  1  1  Ta có: a 2     .   a  25  5   125  625 Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A. Không có giá trị nào của x. B. x  0, 008. C. x  0, 008. D. x  0, 004. Hướng dẫn giải: Chọn A. Dãy số: -1; x; 0,64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân  x2  0,64 ( Phương trình vô nghiệm) Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. un  n  1 B. un  n 2 C. un  n 2  D. un  n 2  4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 1 u 1 Ta có: un  n  2  un 1  n 3 . Suy ra n  ( Không đổi). Vậy  un  : un  n 2 là một cấp số nhân 4 4 4 un 1 4 1 có công bội q  . 4 Câu 5: Xác định x để 3 số 2 x  1; x; 2 x  1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x   . B. x   3. 3 1 C. x   . D. Không có giá trị nào của x . 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Ba số: 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân   2 x  1 2 x  1  x 2  4 x 2  1  x 2 1 .  3x 2  1  x   3 Câu 6: Xác định x để 3 số x  2; x  1; 3  x lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x. B. x  1. C. x  2. D. x  3. Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Ba số x  2; x  1; 3  x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân   x  2  3  x    x  1  2 x 2  3 x  7  0 ( Phương trình vô nghiệm) Câu 7: Tìm x biết : 1, x 2 ,6  x 2 lập thành cấp số nhân. A. x  1 B. x   2 C. x  2 Hướng dẫn giải: Ta có: 1, x 2 ,6  x 2 lập thành cấp số nhân  x4  6  x 2  x   2 . Câu 8: Các số x  6 y,5 x  2 y ,8 x  y lập thành cấp số cộng và các số x  D. x   3 5 y, y  1, 2 x  3 y lập thành 3 cấp số nhân. 3 1 A. ( x; y )   3; 1 ;  ;  8 8 3 1 C. ( x; y )   3;1 ;  ;  8 8 1 1 B. ( x; y )   3; 1 ;  ;  8 8  12 1  D. ( x; y )   3; 1 ;  ;   8 8 Hướng dẫn giải:  x  6 y  8 x  y  2(5 x  2 y )  Ta có hệ:  giải hệ này ta tìm được 5 2 ( x  3 y )(2 x  3 y )  ( y  1) 3 1 ( x; y )   3; 1 ;  ;  . 8 8 Câu 9: Phương trình x 3  2 x 2   m  1 x  2  m  1  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m  1, m  3, m  4 B. m  1, m  13, m  4 C. m  1, m  3, m  4 D. m  1, m  3, m  4 Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :  x1 x3  x22 m 1  x1  x2  x3  2  x2    2 x x  x x  x x  m 1  1 2 2 3 3 1 thay vào phương trình ta có : m  1, m  3, m  4 . Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 ÔN TẬP CHƯƠNG III Câu 1: A. Sn  Câu 2: A. Sn  Câu 3: Gọi S n  1 1 1   …  , n  1, 2,3….. thì kết quả nào sau đây là đúng. 1.2 2.3 n. n  1 n 1 . n Gọi S n  B. Sn  n 1 . n C. Sn  n 1 . n2 D. Sn  n2 . n3 1 1 1   …  , n  1, 2,3….. thì kết quả nào sau đây là đúng. 1.3 3.5  2n  1 .  2n  1 n 1 . 2n  1 B. Sn  n . 2n  1 C. Sn  n 1 . 2n  3 D. Sn  n2 . 2n  5 Kí hiệu n !  n.  n  1 .  n  2  ….3.2.1, n  1, 2, 3……. Với S  1.1! 2.2! 3.3! ………….  2007.2007! thì giá trị của S là bao nhiêu A. S  2.2007! . Câu 4: B. S  2008! 1 . Cho dãy số  un  , với C. S  2008! . D. S  2008! 1 . u1  6 , un  un 1  5 Khi đó, u n có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây. B. un  5  n  1 . A. un  5n  1 . Câu 5: D. un  5 . Cho dãy số  un  , với un  5n 1 Khi đó, u n 1 có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây. n1 A. un 1  5 Câu 6: n1 n C. un  5  1 . n1 n B. un 1  5 . . C. un 1  5.5  n 1    n 1 D. un  . 5n1 . 5 2n3 Cho dãy số  un  , với un   , n  1, 2,3… . Khi đó, u n 1 có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây.  n 1  A. un1     n 1  2 n 1 3  n  C. un1     n2  Câu 7:  n 1  B. un1     n 1  . 2 n 3  n  D. un1     n2  .  n2  n  Cho dãy số  un  , với un   2   n 1  2 n 1 3 . 2 n 5 . 2007 , n  1, 2,3… . Khi đó, với k   ta có: Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   n  1 2   n  1   A. uk 1     n  1 2  1      k  12   k  1   C. uk 1     k  12  1    Câu 8: Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2007 2007 .  k2  k  B. uk 1   2   k 1  .   k  12   k  1   D. uk 1     k  12  1    2007 . 2007 . Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1, u2  3 với mọi n  3 thì u n  5un 1  3u n  2 Khi đó, u n  5 có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây. A. un5  5  n  5 un1  3  n  5 un2 . B. un 5  5un  3un 1 . C. un 5  5un  4  3un 2 . D. un 5  5un  4  3un 3 . Câu 9: Cho dãy số A.tăng. Câu 10:  un  , với u n  2n  1 u  , n  1, 2,3…. . Khi đó, n là dãy số 2n  5 B. giảm. Cho dãy số  un  , với u n  C. không tăng. D. không giảm. 3n  1 u  , n  1, 2,3…. ,. Khi đó, n là dãy số 3n  7 A.bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 11: n un  un   1 , n  1, 2,3….  u  Cho dãy số , với ,. Khi đó, n là dãy số A.tăng. B. giảm. C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 12: n un  un   1 .52 n 5  u  Cho dãy số , với ,. Khi đó, n là dãy số A.bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 13: u  Cho dãy số n , với u n 1   5 2 n 3 ,. Khi đó,  un  là dãy số A.tăng. B. giảm. C. bị chặn trên. D. bị chặn trên và bị chặn dưới. Câu 14: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;1; 6; x . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. x  7 . Câu 15: C. x  11 . D. x  12 . Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; x; 11; y . Khi đó giá trị của x và y là bao nhiêu. A. x  1; y  21 . Câu 16: B. x  10 . Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 B. x  2; y  20 . C. x  3; y  19 . D. x  4; y  18 . Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9; 13; 17;… . Khi đó u n có thể được tính theo biểu thức nào sau đây. A. un  5n  1 . Câu 17: B. un  5n  1 . C. un  4n  1 . D. un  4n  1 . Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 7; 10; 13;… . Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó  n  1 . Khi đó S n có thể được tính theo công thức nào dưới đây. A. S n  3n  1 . Câu 18:  3n  2   .n .  2  D. S n   B. un  7  3n . C. un  7 . 3n D. un  7.3n . Gọi S  1  2  3  4  5  6  …………..   2n  1  2n, n  1 . Khi đó giá trị của S là bao nhiêu. A. S  0 . Câu 20:  3n  1   .n .  2  C. S n   Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng. A. u n  7  3n . Câu 19:  3n   .n .  2  B. S n   B. S  1 . C. S  n . D. S   n . Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của u13 là bao nhiêu. A. u13  40 . Câu 21: B. u13  38 . C. u13  36 . D. u13  20 . Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá trị là bao nhiêu A. d  2 . Câu 22: B. d  3 . C. d  4 . D. d  5 . Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 30, còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó có giá trị là bao nhiêu A. u7  25 . Câu 23: B. u7  30 . C. u7  35 . D. u7  40 . Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 mười hai bằng 23. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu A. d  2 . Câu 24: B. d  3 . C. d  4 . D. d  5 . Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó băng 225, và số hạng thứ mười lăm bằng 29. Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu A. u1  1 . Câu 25: B. u1  2 . C. u1  3 . D. u1  5 . Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số hạng đó bằng 175, và công sai d  3 Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là A. u1  0 . Câu 26: C. u1  4 . D. u1  6 . Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai. A. u1  u20  u 2  u19 . Câu 27: B. u1  2 . B. u1  u20  u5  u16 . C. u1  u20  u8  u13 . D. u1  u20  u9  u11 . Cho một cấp số cộng có n số hạng  n  k  55 . Đẳng thức nào sau đây là sai. A. u1  u n  u 2  u n 1 . B. u1  u n  u5  u n  4 . C. u1  un  u55  un  55 . D. u1  u n  u k  u n  k 1 . Câu 28: Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm 107 ô vuông bằng nhau được xếp theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải (ô 107) của bàn cờ được gọi là đích (như minh họa dưới đây) Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi di chuyển ngựa theo một chiều, từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến 4 ô. Hai người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau đâu A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  4k  2  với  4k  2  với  5k  2  với k  1, 2,….., 21 . B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ k  1, 2,….., 21 . C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ k  1, 2,….., 21 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  5k  2  với k  1, 2,….., 21 . Câu 29: Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm n ô vuông bằng nhau được xếp theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải của bàn cờ được gọi là đích (như minh họa dưới đây) 1 Xuất phát 2 3 …. …. …. …. …. 106 107 Đích Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi được di chuyển ngựa theo một chiều, từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến k ô. Cho rằng n  m  k  1  r , 0  r  k ; r , k , n   . Hai người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau đâu A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ k và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  i.k  r  với i  1, 2,….., m . B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ  r  1 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  i.k  r  với i  1, 2,….., m . C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ r và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ i  k  1  r với i  1, 2,….., m . D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ  r  1 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ i  k  1  r với i  1, 2,….., m . Câu 30: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2;8; x;128 . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu. A. x  14 . Câu 31: C. x  64 . D. x  68 . Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192 . Khi đó giá trị của x và y là bao nhiêu. A. x  1; y  144 . Câu 32: B. x  32 . B. x  2; y  72 . C. x  3; y  48 . D. x  4; y  36 . Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 5; 9; 27; 81;… . Khi đó u n có thể được tính theo biểu thức nào sau đây. A. un  3n1 . Câu 33: B. un  3n . C. un  3n1 . D. un  3  3n . Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;… . Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó  n  1 . Khi đó S n có thể được tính theo công thức nào dưới đây. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 83 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Sn  4n1 . Câu 34:  4n  1  .  4 1  B. S n    4n  1  .  4 1  C. S n   D. S n  4.  Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân. A. u n  7  3n . Câu 35:  1  4n 1   .n .  2  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 B. un  7  3n . Gọi S  2  4  8  16  32  64  …   2  C. un  n 1 7 . 3n n D. un  7.3 . n   2  , n  1, n   . Khi đó giá trị của S là bao nhiêu. A. S  2 n . n B. S  2 . C. S  2 1  2n  1 2 . D.  1   2 n   . S  2   1   2     Câu 36: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội của cấp số nhân đó thì giá trị của q là bao nhiêu A. q  3 . Câu 37: B. q  3 . C. q  2 . D. q  2 . Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó, thì giá trị của S là bao nhiêu A. S  390 . Câu 38: D. S  256 . B. u1 .u n  u5 .u11 . C. u1 .un  u6 .u9 . D. u1 .un  u12 .u 4 . Cho một cấp số nhân có n số hạng  n  k  55 .Đẳng thức nào sau đây là sai. A. u1.un  u2 .un 1 . Câu 40: C. S  256 . Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai. A. u1.u15  u 2 .u14 . Câu 39: B. S  255 . B. u1 .un  u5 .u n  4 . C. u1 .un  u55 .un 55 . D. u1.u n  u k .un  k 1 . Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với công bội là q  2 . Khi đó số đo các góc của tam giác ấy tương ứng là bao nhiêu. A. 30;60;90 . Câu 41: B.  2 4 ; ; . 5 5 5 C.  2 4 ; ; . 6 6 6 D.  2 4 ; ; . 7 7 7 Một tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c lập thành một cấp số cộng (các số hạng được lấy theo thứ tự đó) thì A. sinA , sinB , sinC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 84 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 B. cosA, cosB, cosC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. C. tanA, tanB , tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. D. cotA, cotB , cotC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu 42: Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% . Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10% . Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai lần tăng giá là bao nhiêu A. 120 . Câu 43: B. 121 . C. 122 . D. 200 . Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền người đó có. Hỏi sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền 5 B. 108.  0,07  (đồng). 6 5 D. 108. 1,07  (đồng). A. 108.  0,07  (đồng). 6 C. 108. 1,07  (đồng). Câu 44: Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q  0 và u1  0 . Đẳng thức nào sau đây là đúng 3 A. u7  u4 .q . . Câu 45: 4 B. u7  u4 .q . . 5 C. u7  u4 .q . . 6 D. u7  u4 .q . . Cho cấp số nhân (un ) với công bội q  0 và u1  0 . Với 1  k  m, đẳng thức nào dưới đây là đúng A. um  uk .q k . B. um  uk .q m . m k C. um  uk .q . m k D. um  uk .q . Câu 46: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64 , thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó tính theo công thức nào dưới đây? n 1 A. un  2 . Câu 47: n B. un  2 . n 1 C. un  2 . D. u n  2 n . Một cấp số nhân có ba số hạng a, b, c (theo thứ tự đó), trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q  0 . Khi đó, đẳng thức nào dưới đây đúng? A. 1 1 .  2 bc a B. 1 1 .  2 ac b C. 1 1 .  2 ab c D. 1 1 2   . a b c Câu 48: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông báo giờ (mỗi ngày 24 tiếng) A. 78 . Câu 49: B. 156 . C. 300 . D. 48 . Một tứ giác có số đo các góc tạo thành một cấp số nhân có công bội q  3 . Khi đó số đo của các góc của tứ giác đó là Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 85 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  3 9 27 . ; ; ; 20 20 20 20 B.  3 9 27 . ; ; ; 40 40 40 40 Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. 30 0 , 60 0 , 90 0 ,1800 . D.  3 9 18 ; ; ; 15 15 15 15 . Câu 50: Cho dãy  un  có số hạng tổng quát u n  an  b , với a, b đều khác 0 . Khi đó A.  un  là dãy tăng. B.  un  là dãy giảm. C.  un  là dãy bị chặn. D  un  là cấp số cộng. Câu 51: Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát u n  an  b, trong đó a; b đều khác 0 , Khi đó A.  un  là cấp số cộng với công sai d  b . B.  un  là cấp số cộng với công sai d  a . C.  un  là cấp số nhân với công bội q  b . D.  un  là cấp số nhân với công bội q  a . Câu 52: Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  b.a n , a  1, b  0. Khi đó A.  un  là cấp số cộng với công sai d  b . B.  un  là cấp số cộng với công sai d  a . C.  un  là cấp số nhân với công bội q  b . D.  un  là cấp số nhân với công bội q  a . Câu 53: Cho  un  là cấp số nhân có công bội q1  0, Cấp số nhân  vn  có công bội q2  0 và số hạng đầu v1  0 . Dãy số  wn  có số hạng tổng quát là wn  u n .vn là A. Một cấp số nhận có số hạng đầu u1 .v1 và có công bội q  q1 . B. Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 .v1 và có công bội q  q2 . C. Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 .v1 và có công bội q  q1 .q2 . D. Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 .v1 và có công bội q  q1  q2 . Câu 54: Cho cấp số cộng  un  có công sai d  0 . Khi đó dãy số  5un  A. Không là cấp số cộng. B. Là cấp số cộng với công sai 5d . C. Là cấp số nhận với công bội d . D. Là cấp số nhân với công bội 5d . Câu 55: Cho cấp số cộng u1 , u 2 , u3 …, u n có công sai d  0 . Khi đó dãy số u1 , u3 , u5 … (các số hạng của cấp số đó theo thứ tự có chỉ số lẻ) A. Không là cấp số cộng. B. Là cấp số cộng với công sai 2d . C. Là cấp số nhân với công bội d . D. Là cấp số nhân với công bội 3d . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 86 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 56: Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Cho cấp số cộng u1 , u2 , u3 ,…, u n có công sai d . Các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0 . Khi đó, dãy số 1 1 1 , ,…, là cấp số cộng u1 u2 un A. khi d  1 . Câu 57: B. khi d  0 . C. khi d  1 . D. khi d  0 . Biết rằng các góc của tam giác ABC lập thành cấp số cộng, khi đó tam giác có một góc với số đo là A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Câu 58: Một cấp số cộng có 8 số hạng, số hạng đầu là 5 , số hạng thứ tám là 40 , khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. d  4 . B. d  5 . C. d  6 . D. d  7 . Câu 59: Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4 , tổng của n số hạng đầu là 561 . Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là u n có giá trị bao nhiêu? A. un  57 . B. un  61 . A. S  10 n  1 . 9  10n  1  .  9  B. S  10   10n  1  C. S  10  n.  9   10n  1  D. S  10  n.  9  Gọi S  1  11  111  …  111…1 ( n số 1 ) thì S nhận giá trị nào sau đây Câu 61: 10n  1 . 81  10n  1  .  81  B. 10   10n  1   n.  81  D. C. 10  Câu 62: D. un  69 . Gọi S  9  99  999  999…9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? Câu 60: A. C. un  65 . 1   10n  1   10    n . 9  9   Cho ba số a, b, c theo thứ tự vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi A. a  1, b  2, c  3 . B. a  d , b  2d , c  3d với d  0 cho trước. C. a  q, b  q 2 , c  q 3 với q  0 cho trước. D. a  b  c . Câu 63:   Gọi P  1  1  1   1  1  2  … 1  2  , n  2, n   thì P nhận giá trị nào sau đây 2  2  2   2  Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 87 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. P  n 1 . n Câu 64: B. P  C. P  n 1 . n D. P  n 1 . 2n Gọi S  1  2  3  …  n. . Biết S  2001000 thì giá trị của n tương ứng là bao nhiêu. A. n  1000 . Câu 65: n 1 . 2n Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 B. n  1001 . C. n  2000 . D. n  2001 . Gọi C  2  2  …  2 . 2  2  …  2 ( dấu căn thứ nhất chỉ có một dấu    còn lại     n dau can n dau can là dấu    , căn thứ hai toàn dấu    , các căn liên tiếp đến lớp thứ n ). Giá trị của C là bào nhiêu. A. 0 . Câu 66: B. 1 . C. 2. D. 2 . Gọi T  2  2  2  …  2 (trong căn toàn dấu  , các căn liên tiếp thứ n ). Giá trị của là  n dÊu c¨n bao nhiêu A. T  3 . B. T  5 . M Câu 67: Nếu π 2 n 1 1 1 1 1    …  n  1,2,3… 1.3 3.5 5.7 2n 12n  1 1 A. M  . 2 Câu 68: C. T  cos 1 B. M  . 2 D. T  2 cos . π 2 n1 . thì 1 C. M  . 2 1 D. M  . 2 Cho dãy số un  , với u1  2 và un  2  un1 . Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số đó là A. un  2  2 . B. un  2  n 2 . C. un  n 2  2 . D. un  2  2  2  …  2 .  n dÊu c¨n Câu 69: Cho dãy số un  , với u  1  1  …  1 , n  1,2,3… . Khi đó, un  là dãy số n n 1 n2 nn A. tăng. B. giảm. C. không tăng. D. không tăng, không giảm. Câu 70: Cho dãy số A. chỉ bị chặn trên. un  , với u  1  1  …  n 1.4 2.5 1 u  , n  1,2,3… . Khi đó, n là dãy số n n  3 B. chỉ bị chặn dưới. Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 88 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới. Câu 71: Cho dãy số  un  , với u n  Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. 1 1 1 u   2  …  2 , n  2,3,… . Khi đó, n là dãy số. 2 2 3 n A. Chỉ bị chặn trên. B. Chỉ bị chặn dưới. C. Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. D. Không bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 72: Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu. A. 98 . B. 99 . C. 100 . D. 101 . u1 , u2 , u3 ,…, un có công sai d và tất cả các số hạng đều dương. Gọi 1 1 1 S   …  . Khi đó giá trị của S là bao nhiêu. u1  u2 u 2  u3 un 1  un Câu 73: A. S  Cho cấp số cộng u n  u1 . d Câu 74: un  u1 . d C. S  un  u1 d . un  u1 D. S  d . Gọi P  a.a 2 .a 3 .a 4 ….a 2007 , thì P nhận giá trị nào sau đây. A. P  a 5050 . Câu 75: B. S  B. P  a 500500 . C. P  a 2015028 .  D. P  a 2007  2 . Với giá trị nào của x thì ta có cấp số cộng với ba số hạng là: x 2  5;5 x; x 2  7 (ba số hạng lấy theo thứ tự đó). A. x  1 hoặc x  6 . Câu 76: Gọi A. M  3 . B. x  1 hoặc x  5 . M  6  6  6  …  6 B. M  3 . C. x  2 hoặc x  3 . D. x  3 hoặc x  4 . C. M  3 . D. M  3 . thì Câu 77: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5 , tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5 ,…và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 98 . B. 100 . C. 102 . D. 104 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 89 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 ĐÁP ÁN Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 B B B A B D C D B C Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 C D B C B C D A D B Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 B A B C D C C C B Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 C C D D A B C C D Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 A D A C B B B A D Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 B C B B B C B C C Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70 D D C C D A D A C Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77 C C C C C B B B B D D B Mua file Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – http://www.toanmath.com/ Trang 90
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top