Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

Giới thiệu Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt
TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” TÍCH PHÂN HÀM ẨN ……………………………………………………………………………………………………………….1 https://luyenthitracnghiem.vn MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ……………………………………..1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN …………………………10 DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PP ĐỔI BIẾN ………………………………………………………………..12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ………………………………..12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ……………………………………….18 CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ………………………………………………………………….20 CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ………………….22 CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ………………………………………………………………………………………23 CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. ……………………………………………………………………………………..26 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN……………………………………………………………………………31 BÀI TẬP …………………………………………………………………………………………………………………………………..46 THẦY VIỆT  0905.193.688 0 https://www.facebook.com/vietgold MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN ……………………………………20 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 1: Cho 5 2 2 5  f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng D. 32 . C. 40 . B. 36 . A. 34 . Lời giải Chọn A Tacó 2 2 2 5 5 5 5  2  4 f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2x 2  4 f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên 5 2 và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết 9  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . A. F  9   6 . C. F  9   12 . B. F  9   6 . D. F  9   12 . Lời giải Chọn C 9 https://www.facebook.com/vietgold Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 . 9 0 0 Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn 2 6 0 4 6 4 0 2  f  x  dx  10 và  f  x  dx  6 . Tính giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . C. P  8 . B. P  16 . A. P  4 .` D. P  10 . Lời giải Chọn A Ta có 1 6 2 4 6 0 0 2 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 6 6 4 0 4 0 2  P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  6  4 . 0 , thỏa mãn f   x   Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định trên f  2   b . Tính f  1  f  2  . A. f  1  f  2   a  b . 1 , f  1  a và x  x5 3 https://luyenthitracnghiem.vn B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Lời giải Chọn C Ta có f    x   Do đó 1  x    x  3 5  1   f   x  nên f   x  là hàm số lẻ. x  x5 3 2 1 2 2 2 1  f   x  dx  0   f   x  dx   f   x  dx . Suy ra f  1  f  2    f  2   f 1  f  1  f  2   f  2   f 1  a  b . Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa x2 0 A. f  4   123 . B. f  4   2 . 3 C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 Lời giải Chọn D Ta có: F  t    f  t  dt  F ‘  t   f  t  Đặt G  x   x2  f  t  dt  F  x   F  0  2 0      G ‘  x    F x2   2x. f x 2 (Tính chất đạo hàm hợp: f ‘ u  x   f ‘  u .u ‘  x  )   / Mặt khác, từ gt: G  x   x2  f t  dt  x.cos  x 0  G ‘  x    x.cos  x  ‘  x sin  x  cos  x THẦY VIỆT  0905.193.688 2 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình    2x. f x2  x sin  x  cos  x (1) Tính f  4   ứng với x  2 https://luyenthitracnghiem.vn Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4   1 4   Ví dụ 6: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G ‘   . 2 0 x   A. G ‘    1 . 2   B. G ‘    1 . 2   C. G ‘    0 . 2   D. G ‘    2 . 2 Lời giải: Chọn B Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F ‘  t   t.cos  x  t  x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x  F  0  0 / /    G ‘  x    F  x   F  0   F ‘  x   F ‘  0    x cos  x  x   0   x ‘  1  G ‘    1 2 https://www.facebook.com/vietgold x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt . Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn 0 v   sin  x  t  x x 0 0  G  x   t.sin  x  t    sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t   cos 0  cos x  1  cos x x 0 x 0     G ‘  x   sin x  G ‘    sin  1 2 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên thỏa  f  0   f   0   1; . Tính   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  . A. 1 . 2 1 B.  . 4 C. 1 . 4 1  f  x  1dx . 0 D. 7 . 4 Lời giải Chọn C 3 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3×2  6xy , x  . Cho y  0  f   x   f   0   3×2  f   x   1  3×2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x3  x  1 .  f  x  1dx   f  x dx    0 1 1 DẠNG SAU: f ‘( x)  g( x), f ‘( x)  f ( x) n 0  x4 x2  1 1 1 x  x  1 dx     x      1  . 4 2 4  4 2  1  3  g( x) (Trong đó g( x) là hàm số đã biết, n là số dương). Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  xác định trên 1 thỏa mãn f   x   f  2   2018 . Tính S  f  3   f  1 . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . Lời giải 1 , f  0   2017 , x 1 D. S  4 . https://luyenthitracnghiem.vn 0 0 1 Chọn A  f  x  dx   x  1 dx  ln  x  1   C .  f  x   ln  x  1   2017  Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên   f  x   ln  x  1   2018 Do đó S  f  3   f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . 1 Cách 1: Ta có khi x  1 khi x  1 . 0 0  dx 1  ln x  1 |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f ‘( x)dx   x 1 2  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (2)  f ‘( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2) 2 2 2 x  1   Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 . Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định trên 2 1 3   thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1 3 3 Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 4 https://www.facebook.com/vietgold Cách 2: “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   1 ln 3x  1  C1 khi x   ;  3 3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   . 3x  1 3x  1 ln 3x  1  C khi x   1 ;   3  1    https://luyenthitracnghiem.vn   1  f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;  3 0  C1  1 C  1     f  x   Ta có:   2  .   1 0  C  2 C  2  1  f  2  2  2   3 ln 3x  1  2 khi x   ;       3  Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  0 1 0   f   x  dx  1 3 3 3 3 0 3  3x  1 dx  ln 3x  1 1 0 1  ln 3 3 2 3 f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3x  1 2  ln 8 3 3 3 2 2 3x  1 1 4  1 2 2 Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 . 3 Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  xác định trên 1 2   thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị 2x  1 2 https://www.facebook.com/vietgold của biểu thức f  1  f  3  bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Lời giải Chọn C 1 2. d  2 x  1 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2  ln 2x  1  c . 2x  1 2x  1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3   2  ln15 .   f  3   ln 5  1 Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) xác định trên 1 2   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  1 và f (1)  2 . 2x  1 2 Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Lời giải 5 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C 1  2 Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)   dx  ln(2 x  1)  C1 . 2x  1 2  Lại có f (1)  2  C1  2.  1 2 • Trên khoảng  ;  : f ( x)   dx  ln(1  2 x)  C2 . 2 2x  1  https://luyenthitracnghiem.vn Lại có f (0)  1  C2  1.  1 ln(2 x  1)  2 khi x    2. Vậy f ( x)   1 ln(1  2 x)  1 khi x    2 Suy ra f (1)  f (3)  3  ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1  ln 2 x  1 |01  ln (1)  f (0)  f ( 1)   f ‘( x)dx   2x  1 3  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (1)  f ‘( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2) 1 1 1 2x  1   Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)  3  ln15 . Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định trên 1 3   thỏa mãn f   x   , f  0   1 và 3x  1 3 2 f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng 3 B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . https://www.facebook.com/vietgold A. 3  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Lời giải Chọn A   1 ln 3x  1  C1 khi x   ;  3 3 3    f  x   dx=  Cách 1: Từ f   x   . 3x  1 3x  1  1  ln 3x  1  C khi x  ;  3  1      1  f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;  3 0  C1  1 C  1     f  x   Ta có:   2  .   1 0  C  2 C  2  1  f  2  2  2 ln 3x  1  2 khi x  ;   3 3        Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 . THẦY VIỆT  0905.193.688 6 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình https://luyenthitracnghiem.vn   f 0   Cách 2: Ta có   f  3    f  1  f  x  0 1 0   f   x  dx  1 3 3 3 3 0 0 3 1 dx  ln 3 x  1  ln 1 3x  1 1 4 3 3 2 3 f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3x  1 2  ln 8 3 3 3 2 2 3x  1  1 2 2 Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 . 3 Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định trên 2; 2 và thỏa mãn f   x   f  0   1 và f  3   2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f  4  . A. P  3  ln 3 . 25 B. P  3  ln 3 . 5 C. P  2  ln . 3 Lời giải 4 ; f  3   0 ; x 4 2 5 D. P  2  ln . 3 Chọn B Từ f   x   4dx 4dx 4   f  x   2 x 4 x 4  x  2  x  2  2  ln    ln   ln  x2  C1 khi x   ; 2  x2 x2  C2 khi x   2; 2  x2 x2  C3 khi x   2;   x2 https://www.facebook.com/vietgold   f  3   0 ln 5  C1  0 C1   ln 5    Ta có  f  0   1  0  C2  1  C2  1  1  C  2  ln 5  3  f  2   2 ln  C3  2  5  ln    f  x   ln   ln  x2 -ln5 x2 khi x   ; 2  x2 1 x2 khi x   2; 2  . x2  2  ln 5 khi x   2;   x2 1 Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3 Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học. 7 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn   1;1 , thỏa mãn f  x   0, x  và f ‘  x   2 f  x   0 . Biết f  1  1 , tính f  1 . A. f  1  e 2 . C. f  1  e 4 . B. f  1  e 3 . D. f  1  3 . Lời giải Chọn C f ‘  x f ‘  x  2 f  x  0  ln f  1 f  1  4  f  x f  1 f  1  2  1  1 1 1 f ‘  x df  x  dx   2dx    4  ln f  x  f  x f x   1 1 1 1  4  e 4  f  1  f  1 .e 4  e 4 . Ví dụ 15: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2x  3  f 2  x  và 1 a f  0    . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3   …  f  2017   f  2018   với 2 b a a  , b   và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? b  A.  a  1 . b B. a  1. b C. a  b  1010 . https://luyenthitracnghiem.vn Biến đổi: D. b  a  3029 . Lời giải Ta có f   x    2x  3  f 2  x    f  x f 2 f  x f 2  x dx    2 x  3  dx    x https://www.facebook.com/vietgold Chọn D  2x  3 1  x 2  3x  C . f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 Vậy f  x    1  x  1 x  2   1 1  . x 2 x1 Do đó f  1  f  2   f  3   …  f  2017   f  2018   1 1 1009 .   2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . THẦY VIỆT  0905.193.688 8 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x g  x   1  2018  f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 https://luyenthitracnghiem.vn A. 1011 . 2 B. 1009 . 2 1  g  x dx . 0 C. 2019 . 2 D. 505 . Lời giải Chọn A x Ta có g  x   1  2018  f  t  dt  g  x   2018 f  x   2018 g  x  0 g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x 0 t dx  2018  dx  2 0  g  x  t 0 t  2018 x 0  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1  https://www.facebook.com/vietgold 0 1  1009 2  1011 . g  t dt   t t  2  2 0 Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 2 A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . Lời giải Chọn C   Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9 f   x   1    f   x   x    2 Lấy nguyên hàm hai vế   Do f   0   9 nên C  f   x   1 2  f   x   x  2  1 . 9 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f  x  x 9  f ‘  x   x  2 9 9 1 suy ra f   x   x   f  x  x x1 x1 9 1  x2   9  1  x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . Vậy T  f  1  f  0     2 0 x1 2   0 1 9 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng. DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết Ví dụ 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên 9  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . C. F  9   12 . B. F  9   6 . https://luyenthitracnghiem.vn A. F  9   6 . D. F  9   12 . Lời giải Chọn C 9 Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 . 9 0 0 2 2 0 0 Ví dụ 19: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng: C. 8 . B. 6 . A. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B 2 2 2 0 0 0 Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3x 0  6 .  f  x  dx  10 và 2 4 4 2 2  g  x  dx  5 . Tính I   3 f  x   5g  x  dx C. I  5 . Lời giải B. I  15 . A. I  5 . https://www.facebook.com/vietgold 4 Ví dụ 20: Cho 2 D. I  10 . Chọn A 4 4 4 2 2 2 Có: I    3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 . Ví dụ 21: Cho 5 2 2 5  f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng: D. 32 . C. 40 . B. 36 . A. 34 . Lời giải Chọn A 2 2 2 5 5 5 5 Tacó   2  4 f  x  dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . THẦY VIỆT  0905.193.688 5 2 10 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;10  và 10  f  x  dx  7 và 0 2 10 0 6 6  f  x  dx  3 . Tính 2 https://luyenthitracnghiem.vn P   f  x  dx   f  x  dx . D. P  10 . C. P  4 . B. P  4 . A. P  7 . Lời giải Chọn C Ta có 10 2 6 10 0 0 2 6  f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7 2 10 0 6   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . Vậy P  4 . Ví dụ 23: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2  và 2 2 2 0 0  0 g  x  . f   x  dx  2 ,  g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . https://www.facebook.com/vietgold C. I  5 . Lời giải B. I  6 . A. I  1 . D. I  1 . Chọn C 2 2 0 0  Xét tích phân I    f  x  .g  x  dx    f   x  .g  x   f  x  .g  x  dx 2 2 0 0   g  x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 . 2 2 1 1 Ví dụ 24: Cho   3 f  x   2 g  x   dx  1 ,   2 f  x   g  x   dx  3 . Khi đó, A. 11 . 7 5 B.  . 7 C. 6 . 7 2  f  x  dx bằng 1 D. 16 . 7 Lời giải Chọn B  5 a   7  3a  2b  1 Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , ta có hệ phương trình   2 a  b   3  1 1 b  11  7 2 11 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 Vậy  f  x  dx   7 . 5 1 DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại b Cho  u ‘( x). f u( x) .dx , tính b b b a a a  f ( x).dx . Hoặc cho  f ( x).dx , tính  u ‘( x). f u( x).dx . a https://luyenthitracnghiem.vn Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u( x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. 4 Ví dụ 25: Cho  2  f  2x  dx f  x  dx  16 . Tính 0 0 A. 16 . C. 32 . Lời giải B. 4 . D. 8 . Chọn D 2 Xét tích phân  f  2x  dx 0 ta có 1 Đặt 2x  t  dx  dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 2 Do đó  f  2 x  dx  0 6 Ví dụ 26: Nếu  4 4 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .16  8 .  20 20 2 f  x  dx  12 thì 0 2  f  3x  dx bằng B. 36 . A. 6 . C. 2 . https://www.facebook.com/vietgold 0 D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t  3x  dt  3dx . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  6 2 Khi đó:  f  3x  dx  0 2 Ví dụ 27: Cho   1 6 1 1 f  t  dt  .12  4 .  30 3 5  f x 2  1 xdx  2 . Khi đó I   f  x dx bằng: A. 2 . 2 B. 1 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t  x2  1  dt  2xdx . Đổi cận: x  1  t  2 , x  2  t  5 . THẦY VIỆT  0905.193.688 12 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 2   Khi đó:  f x2  1 xdx  1 5 5 2   1 f  t  dt   f  t dt  2  f x 2  1 xdx  4 .  22 2 1 5 5 2 2 https://luyenthitracnghiem.vn Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I   f  x dx   f  t dt  4 . 1 Ví dụ 28: Cho hàm số f  x  liên tục trên và thỏa mãn  f  x  dx  9 . 2   f 1  3x   9 dx . 0 A. 27 . D. 75 . C. 15 . B. 21 . Lời giải Chọn B Đặt t  1  3x  dt  3dx . Với x  0  t  1 và x  2  t  5 . 2 2 5 2 dt  9x Ta có   f  1  3x   9  dx   f  1  3x  dx   9dx    f  t   3 0  https://www.facebook.com/vietgold Tính tích phân 5 0 0 2 0 1 1 1 1  f  x  dx  18  .9  18  21 .  3 5 3 Ví dụ 29: Cho hàm số f  x  liên tục trên 2 A.  0 x 5 f   dx  . 2 2 2 B.  0 thỏa 1 2 0 0 x  f  x  dx  10 . Tính  f  2  dx . x f   dx  20 . 2 2 C.  0 x f   dx  10 . 2 2 D. x  f  2  dx  5 . 0 Lời giải Chọn B Đặt t  1 x  dt  dx . 2 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  1 . 2 Ta có:  0 x f   dx  2. f  t  dt  2.10  20 . 2 0 1 Ví dụ 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và 3  0 f   2 x  1 dx  8 . Tích phân I   xf  x  dx 1 bằng: A. I  16 . 13 B. I  2 . C. I  8 . D. I  4 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Lời giải Chọn D 3 I f   x  1 dx  8 . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx ; 0 đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 . 2 2 1 1 1 https://luyenthitracnghiem.vn 2 Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy I   xf  x  dx  4 . 2 4 1 1 Ví dụ 31: Cho  f  x  dx  2 . Tính I   f  x  dx bằng x D. I  C. I  4 . B. I  2 . A. I  1 . 1 . 2 Lời giải Chọn C Đặt t  x  dt  f 4 I  x  dx  x 1 1 2 x dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2 2 2 1 1  f t  2dt  2 f t  dt  2.2  4 .  thỏa mãn f  x  dx  6 và x 1  https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên 16 2  f  sin x  cos xdx  3 . 0 4 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 C. I  9 . B. I  6 . A. I  2 . D. I  2 . Lời giải Chọn B Xét I  16  f  x  dx  6 , đặt 1 x x t dx 2 x  dt 4 4 1 1 Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 nên I  2  f  t  dt  6   f  t  dt  6  3. 2  2  J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 14 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Đổi cận: x  0  u  0 ; x   2 1  u  1  J   f  u  du  3 0 4 1 4 0 0 1 https://luyenthitracnghiem.vn Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 . Ví dụ 33: Cho hàm số f  x  liên tục trên thỏa 1 2 0 0  f  2x  dx  2 và  f  6x  dx  14 . Tính 2  f  5 x  2  dx . 2 D. 36 . C. 34 . B. 32 . A. 30 . Lời giải Chọn B 1 + Xét  f  2x  dx  2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 0 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6x  dx  14 . Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . https://www.facebook.com/vietgold 0 12 12 2 1 Nên 14   f  6 x  dx   f  v  dv   f  v  dv  84 . 60 0 0 2 + Xét    f 5 x  2 dx  2 * Tính I1  0   2  2   f 5 x  2 dx   f 5 x  2 dx . 0 0  f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . I1  12 2 2  1 1 1  f t d t  f t d t f t d t           84  4   16 . 0 5 12 5  0  5 2   * Tính I1   f 5 x  2 dx . 0 Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 15 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 12  1 1 1 f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .  50 52 0  5 12 I2  2 2 Vậy  f  5 x  2  dx  32 . 2 Hoặc: Do  f 5 x 2 hàm 2 0 2 2  là hàm số chẵn nên  f  x  dx  18 . Tính I   x  2  f  3x 11 Ví dụ 34: Biết 2 1 2 https://luyenthitracnghiem.vn  f  5 x  2  dx  2  f  5 x  2  dx  2.16  32 .   1 dx . 0 A. I  5 . D. I  10 . C. I  8 B. I  7 . Lời giải Chọn B Đặt t  3×2  1  dt  6xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  2  t  11 2    2 2 0 0   I   x 2  f 3x 2  1 dx   2 xdx   xf 3x 2  1 dx  4  0 Ví dụ 35: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 1 và  f  2 x  dx  8 . Tính I   xf  x  dx 2 D. 32 . C. 8 . Lời giải Chọn C Đặt x2  2t  2xdx  2dt  xdx  dt . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  1 . 1 Ta có: I   f  2t  dt  8 . 0 Ví dụ 36: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết 3  xf  x  dx  5 . 1 3 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  5 . 2 B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  11 . 2 Lời giải Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 16 https://www.facebook.com/vietgold B. 16 . 2 0 0 A. 4 . 11 1 1 f  t  dt  4  .18  7  6 1 6 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn điều kiện b f  a  b  x   f  x  , x a; b . Khi đó  xf  x  dx  https://luyenthitracnghiem.vn a ab f  x  dx 2 a b Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b Ta có b b a a a b  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f t  dt b b b b b a a a a a    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx b b a a b  2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx   xf  x  dx  a ab f  x  dx . 2 a b Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 . f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  . 3 Khi đó  xf  x  dx  https://www.facebook.com/vietgold 1 1 3 5 f  x  dx   f  x  dx  .  4 1 2 1 3 3 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t  4  x , với x  1; 3 . Ta có 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f t  dt  4 f t  dt   t. f t  dt 3 3 1 1  5  4  f  t  dt  5   f  t  dt  5 . 2 Ví dụ 37: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 3  thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1; 3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx bằng A. 2 . B. 1 . 1 1 C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn B 3 Xét I   xf ( x)dx (1). 1 17 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3 1 1 1 Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x)dx (2). 3 3 1 1 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x)dx  I  1 . 2 b Tính  f  x  dx , biết hàm f  x số thỏa mãn : a A. f  x  B. u. f  u  C. f  a  b  x  g x . Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : + Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . + Nếu f  x  liên tục trên  a; b  thì u  a   a + Với  thì u  b   b u  a   b + Với  thì u  b   a b b b a a  f  a  b  x  dx   f  x  dx b  1 f  x  dx  g  x  dx . A  B  C a b 1 f  x  dx  g  x  dx . A  B  C a a  a https://luyenthitracnghiem.vn TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng b + Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. 6 3x  1 https://www.facebook.com/vietgold   Ví dụ 38: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 thỏa mãn f  x   6 x 2 f x 3  . Tính 1  f  x  dx 0 A. 2 . C. 1 . B. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức)   Biến đổi f  x   6 x 2 f x 3  6 3x  1    f  x   2.3x 2 . f x 3   6 3x  1 với A  1 , B  2 . 1 Áp dụng công thức ta có:  0 1 6 f  x  dx  dx  4 .  1   2  0 3x  1 1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) THẦY VIỆT  0905.193.688 18 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   Từ f  x   6 x 2 f x 3  1 1 1     f  x  dx  2  3x 2 f x 3 dx  6  6 3x  1 0 0 1 3x  1 0 dx Đặt u  x3  du  3x2dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1 . https://luyenthitracnghiem.vn 1 Khi đó   0 1  0 1 1 0 0 2 3  3x f x dx   f u du   f  x  dx thay vào  *  , ta được: 1 1 f  x  dx  2  f  x  dx  6  0 1 3x  1 0 1 dx   f  x  dx  6  1 0 0 1 3x  1 dx  4 . Ví dụ 39: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   f  2  x   2x . Tính 2 giá trị của tích phân I   f  x  dx . 0 4 C. I  . 3 Lời giải 1 B. I  . 2 A. I  4 . D. I  2 . Chọn D Cách 1:(Dùng công thức) f  x   f  2  x   2x Với 2 ta có B  1, A  1; suy ra: 2 2 https://www.facebook.com/vietgold 1 x2 2 x dx I   f  x  dx    2. 1  1 0 2 0 0 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 0 0 0 Từ f  x   f  2  x   2x   f  x  dx   f  2  x  dx   2xdx  4 (*) Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 . 2 Suy ra  f  2  x  dx 0  2 2 0 0  f  u du   f  x  dx . 2 2 0 0 Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 .   2 3 Ví dụ 40: Xét hàm số f  x  liên tục trên   1; 2  và thỏa mãn f  x   2xf x  2  3 f 1  x   4x . Tính giá trị của tích phân I  2  f  x  dx . 1 A. I  5 . B. I  5 . 2 C. I  3 . D. I  15 . Lời giải 19 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)   Với: f  x    2x  f x2  2  3 f 1  x   4×3 . Ta có: u  1  1 A  1; B  1; C  3 và u  x2  2 thỏa mãn  . Khi đó áp dụng công thức có: u 2  2    https://luyenthitracnghiem.vn 2 2 2 1 x4 3 I   f  x  4 x dx  1  1  3 1 5 1 3. 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)   Từ f  x   2xf x2  2  3 f 1  x   4×3 . 2 2 1 1   2 2 1 1   f  x  dx   2 x. f x2  2 dx  3  f 1  x  dx   4 x3dx *  +) Đặt u  x2  2  du  2xdx ; với x  1  u  1 và x  2  u  2 . 2 Khi đó   2  2x. f x  2 dx  1 2  f  u  du  1 2  f  x  dx 1 1 +) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  1  t  2 và x  2  t  1 . 2 2 1 1 1  f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2  2 2 1 1 https://www.facebook.com/vietgold Khi đó 2 Thay  1 ,  2  vào  *  ta được: 5  f  x  dx  15   f  x  dx  3 . MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ Nếu hàm f  x  CHẴN thì a a a 0  f  x  dx  2 f  x  dx 2. Nếu hàm f  x  LẺ thì a  f  x  dx  0 a 0 Ví dụ 41: Cho hàm số y  f  x 1  f  x  dx  2 2 và 4 2  f  2x  dx  4 4; 4  là hàm lẻ và liên tục trên  biết . Tính A. I  10 . I   f  x  dx 0 B. I  6 . . C. I  6 . Lời giải D. I  10 . Chọn B THẦY VIỆT  0905.193.688 20 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình x2 x 1 2 f  ax  b  dx   f  ax  dx a x1  Cách1: Sử dụng công thức: x1 a; a  f  x với là hàm số lẻ trên đoạn  . Áp dụng, ta có: 2 https://luyenthitracnghiem.vn  4   f  2 x  dx   2   2 và tính chất  f  x  dx  0 a 2 1 4 1 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8 .  4 2 2 2 4 1 0 a f   x  dx    f  x    f  x    f  x   2 0 2 2 2 0 0 Suy ra: 0   f  x  dx   4  0 8  4 2 2 4 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4 2 0 f  x  dx   f  x  dx  I  0  8   0  2   I  I  6 . 2 2 0 0 0  f  x  dx  2 2 Cách2:Xét tích phân . Đặt x  t  dx  dt .Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó 0  2 0 2 2 2 2 0 0 0 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 Do hàm số Do đó y  f  x là hàm số lẻ nên 2 2 2 1 1 1 f  2x    f  2x   f  2x  dx   f  2x  dx   f  2x  dx  4 . . . https://www.facebook.com/vietgold 2 Xét  f  2x  dx 1 . 1  dx  dt 2 .Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó Đặt 2x  t 2  f  2 x  dx  1 Do 4 4 4 1 f  t  dt  4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 2 2 2 2 . 4 2 4 0 0 2 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên  2  8  6 . 1 và f  2x   1 2 1 B. 4 . A. 2 . C. 8 . x dx  8 . Tính 2  f  x  dx . 0 D. 16 . Lời giải Chọn D 1 Ta có  1 2 1 21 f  2x  x dx  8  2 f  x 2 1 2  x dx  16 . THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Đặt t  x  dt  dx , khi đó 16  I   2 Suy ra 2 I  2 f  x 2 1 2  2 f  x f  x 2 1 2 x 2 dx   x 1 2 2 x dx  2  2 x dx    2 1 2 t t dt   1 2 2 2 0 t dt . 2  f  x  dx  16 . 0 1  f  x  dx  2 . Kết quả https://luyenthitracnghiem.vn f  x  1  e dx bằng 2 f t  2 f  x  dx  2  f  x  dx . Vậy Ví dụ 43: Cho f  x  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn   1; 1 và I f  t  2 1 1 x 1 A. I  1 . D. I  4 . C. I  2 . B. I  3 . Lời giải Chọn A I 1 f  x  1 e 1 dx  x 0 f  x  1 e 1 1 dx   x 0 f  x 1  ex dx  I1  I 2 f  x dx. Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  1 1  ex 1 0 Xét I1   0 I1   1 f  x 1  e t 1  dt    et . f  x  0 1 dt . Lại có 1  et 0 I f  x  1 e 1 x 1 dx   0 et . f  t  1  et 1 dt   0 f t  1  et 1  et 1 dt   ex . f  x  1  ex 0 dx . 1  e  . f t  dt  f t  dt  1 f t  dt  1 . dx    2 1 e 1 t 1 1 0 1 t 0 CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn g  f  x   x và g  t  là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên . Hãy tính tích phân I   f  x  dx . b a Cách giải: Đặt y  f  x   x  g  y   dx  g  y  dy  b  x  a  g  y   a  y   Đổi cận  Suy ra I   f  x  dx   yg  y dy a   x  b  g  y   b  y   Ví dụ 44: Cho hàm số f  x  liên tục trên thỏa mãn f 3  x   f  x   x , x  . Tính I   f  x  dx 2 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 22 https://www.facebook.com/vietgold Suy ra: 1  et . f  t  “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình A. I  2 . B. I  3 . 2 C. I  1 . 2 D. I  5 . 4 Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn D  3  x  0  y  y  0  y  0  3  x  2  y  y  2  y  1 1 1 5 f  x  dx   y 3y 2  1 dy   3y 3  y dy  . 0 0 4 Đổi I 2 0  y  f  x   x  y 3  y  dx  3y 2  1 dy Đặt cận    Khi đó  thỏa mãn 2 f 3  x   3 f 2  x   6 f  x   x , x  . Tính Ví dụ 45: Cho hàm số f  x  liên tục trên 5 tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  5 . 4 B. I  5 . 2 C. I  5 . 12 D. I  5 . 3 Lời giải Chọn B   Đặt y  f  x   x  2 y 3  3y 2  6 y  dx  6 y 2  y  1 dy . https://www.facebook.com/vietgold Đổi cận: với x  0  2 y 3  3y 2  6 y  0  y  0 và x  5  2 y 3  3y 2  6 y  5  y  1 . 1 1 0 0  1    Khi đó I   f  x  dx   y.6 y 2  y  1 dy  6  y 3  y 2  y dy  0 thỏa mãn x  f 3  x   2 f  x   1 , x  R . Tính Ví dụ 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên I 5 . 2 1  f  x  dx . 2 A. I  7 . 4 B. I  7 . 2 C. I  7 . 3 D. I  5 . 4 Lời giải Chọn A   Đặt y  f  x   x  y 3  2 y  1  dx  3y 2  2 dy . Đổi cận: Với x  2   y 3  2 y  1  2  y  1 ; x  1   y 3  2 y  1  1  y  0 . 0   Khi đó: I   y 3 y 2  2 dy  1 7 . 4 CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: 23 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình b Bài toán: Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 , khi đó I   a dx ba  2k k  f  x Chứng minh: b Khi đó I   a b 2I   a b dx  k  f  x  a b dx 1 f  x  dx .  k a k  f  x  k2 k f t  b b ba 1 dx 1 f  x  dx 1 .     dx   b  a   I  k 2k k  f  x k a k  f  x k a Ví dụ 47: Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1 với 1 dx 0 1  f  x x  0;1 . Tính giá trí I   A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. 1 . https://luyenthitracnghiem.vn dt  dx  Đặt t  a  b  x   k 2 và x  a  t  b ; x  b  t  a . f x     f t   D. 2 . Lời giải Chọn B f  x 1  f  x  https://www.facebook.com/vietgold Ta có: 1  f  x   f  x  f 1  x   f  x   1 f 1  x   1 1 dx . 1  f x   0 Xét I   Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 1 1 1 f  x  dx dt dt dx Khi đó I       1 1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x 0 1 1 f  x  dx 1 1  f  x  1 dx   d x  0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t) 0 dx  1 hay 2I  1 . Vậy I  2 . 1 Mặt khác Ví dụ 48: Cho hàm số f  x  liên tục trên tích phân I  2018  0 A. I  2018 . THẦY VIỆT  0905.193.688 , ta có f  x   0 và f  0  . f  2018  x   1 . Giá trị của dx 1  f  x B. I  0 C. I  1009 D. 4016 24 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Lời giải Chọn C 1 2018  0 dx   1009 . 2.1 1  f  x 2018  ta có I  https://luyenthitracnghiem.vn 0 Ví dụ 49: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục trên và f  x   0 khi x  0; 5 Biết . 5 dx . f  x  . f  5  x   1 tính tích phân I   0 1 f x ,   A. I  5 . 4 B. I  5 . 3 C. I  5 . 2 D. I  10 . Lời giải Chọn C Đặt x  5  t  dx  dt x  0 t  5; x  5 t  0 I   0 5 5 f  t  dt 1 dt (do f  5  t   )  0 f t  1 f 5  t 1  f t  5  2 I   dt  5  I  0 5 . 2 Ví dụ 50: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết 3  xf  x  dx  5 . 1 3  f  x  dx . https://www.facebook.com/vietgold Tính tích phân 1 A. 5 . 2 B. 7 . 2 9 . 2 Lời giải C. D. 11 . 2 Chọn A Đặt t  4  x  dt  dx và x  1  t  3 ; x  3  t  1 . 3 3 3 3 1 1 1 1 Khi đó: 5   xf  x  dx    4  t  f  4  t  dt    4  x  f  4  x  dx    4  x  f  x  dx . 3 3 3 1 1 1 Suy ra: 10   xf  x  dx    4  x  f  x  dx  4  f  x  dx  25 5 . 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. Ví dụ 51: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4  , đồng biến trên đoạn 1; 4  2 3 và thỏa mãn đẳng thức x  2x. f  x    f   x  , x  1; 4  . Biết rằng f  1  , tính 2 4 I   f  x  dx ? 1 1186 . 45 B. I  1174 . 45 C. I  1222 . 45 D. I  1201 . 45 Lời giải Chọn A Ta có x  2x. f  x    f   x   x . 1  2 f  x   f   x   2 Suy ra f  x  dx   xdx  C   1  2 f  x df  x  1  2 f  x f  x  x , x  1; 4  . 1  2 f  x dx   xdx  C https://luyenthitracnghiem.vn A. I  2  2 23 4   x   1 3 3 2 23 3 4  1  2 f  x   x  C . Mà f  1   C  . Vậy f  x    . 3 2 3 2 4 1186 . 45 1 Ví dụ 52: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên f  0   1 . Tích phân 2x f 3 x  x 2 1  2  0 và thỏa mãn 3 f   x  .e   f  x 7  x. f  x  dx bằng 0 A. 2 7 . 3 B. 45 . 8 Lời giải 15 . 4 C. D. 5 7 . 4 Chọn C 2 2x f 3 x  x 2 1 f3 x  2  0  3 f 2  x  . f   x  .e    2 x.e x 1 Ta có 3 f   x  .e   f  x 2 f3 x Suy ra e    e x 1  C . Mặt khác, vì f  0   1 nên C  0 . 2 f3 x Do đó e    e x 1  f 3  x   x2  1  f  x   3 x2  1 . 7 Vậy  x. f  x  dx  0 THẦY VIỆT  0905.193.688 7  0 x. 3 x 2  1 dx  1 2 7  0 3   x2  1 d x2  1    3 2 x 1 8  3 7 45 x2  1   . 0 8 26 https://www.facebook.com/vietgold Vậy I   f  x  dx  “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 Ví dụ 53: Cho hàm số f  x   x4  4×3  3×2  x  1 , x  . Tính I   f 2  x  . f   x  dx . 0 https://luyenthitracnghiem.vn 7 C.  . 3 B. 2 . A. 2 . D. 7 . 3 Lời giải Chọn D Đặt t  f  x   dt  f   x  dx . Đổi cận: x  0  t  f  0   1 , x  1  t  f 1  2 . 2 t3 Khi đó I   t dt  3 1 2  2 1 8 1 7   . 3 3 3 Ví dụ 54: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;1 và f  x   0 , x   0;1 . Biết 1 f    a, 2 rằng  3 f  b và x  xf   x   2 f  x   4 , x   0;1 . Tính tích phân  2     3 I  sin 2 x.cos x  2 sin 2 x dx theo a và b . f 2  sin x  6 A. I  3a  b . 4ab B. I  3b  a . 4ab C. I  3b  a . 4ab D. I  3a  b . 4ab https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn D x   0;1 ta có: x  xf   x   2 f  x   4  x  4  2 f  x   xf   x   x2  4x  2xf  x   x2 f   x   2 x2  4x  x2  x 2  4 x 2 xf  x   x f   x   2   2  . f  x   f  x   f  x f 2  x  3 Tính I    6  3 sin x.cos x  2 sin 2 x sin 2 x.cos x  4 sin x.cos x d x  dx  f 2  sin x  f 2  sin x   2 6 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x  27  6 t  1  3 , x t  . 2 3 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 Ta có I  3 2  1 2 t 2  4t t2 dt  f t  f 2 t  3 2 1 2  3   2      3 f  2    2 1    2   3  1  3a  b . 4ab  1  4b 4 a f  2 Ví dụ 55: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x2  1  2x f  x   1 . Tính  3. A. 0 . B. 3 . C. 7 . https://luyenthitracnghiem.vn f D. 9 . Lời giải Chọn B Ta có f   x  x2  1  2 x f  x   1   f   x 3  f  x  1 0  f dx  3  0  31  2x x2  1 f  3 2x x2  1 3  x2  1 0  0 3 f  x  1 1 0  31  2  f  3  3 . f  x  liên tục trên Ví dụ 56: Cho hàm số f  x  1 f  x  1 dx  f 0  1  1  f   x 5 và  f  x  dx  4 , f  5   3 , f  2   2 . Tính 2 2   I   x 3 f  x 2  1 dx 1 https://www.facebook.com/vietgold C. 1 . B. 4 . A. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn A Đặt t  x2  1  dt  2xdx . 5 1 x  1  t  2 ; x  2  t  5 . Khi đó I    t  1 f   t  dt . 22 Đặt u  t  1  du  dt ; dv  f   t  dt , chọn v  f  t  . 5 5   1 1 1 I   t  1 f  t    f  t  dt  4 f  5   f  2   2  3 . 2 22 2 2 Ví dụ 57: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn f  x      ln x . Tính f 2 x 1 x x 4 tích phân I   f  x  dx . 3 THẦY VIỆT  0905.193.688 28 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình A. I  3  2 ln2 2 . B. I  2 ln2 2 . D. I  2ln 2 . C. I  ln2 2 . Lời giải Chọn B Ta có 4  1 https://luyenthitracnghiem.vn      f 2 x 1  4 f 2 x 1 4 ln x ln x   f  x  dx   dx   dx .  dx    x x  x x 1 1 1   4 4 Xét K     dx . f 2 x 1 x 1 t 1 dx   dt . 2 x Đặt 2 x  1  t  x  3 3 1 1  K   f  t  dt   f  x  dx . 4 4 4 ln x ln 2 x dx   ln xd  ln x   Xét M    2 ln 2 2 . x 2 1 1 1 4 Do đó 3  f  x  dx   f  x  dx  2 ln 1 1 4 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 3  https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 58: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1 Tính tích phân  1 8 f  4x  x và thỏa mãn   cot x. f sin x dx   2 16  f  x  dx  1 . x 1 4 dx . B. I  A. I  3 .  2 3 . 2 C. I  2 . D. I  5 . 2 Lời giải Chọn D   2  Đặt I1   cot x. f sin 2 x dx  1 , I 2   16  1 f  x  dx  1 . x 4 Đặt t  sin2 x  dt  2sin x.cos xdx  2sin2 x.cot xdx  2t.cot xdx .  4 1 2 x t  2   1 I1   cot x. f sin 2 x dx   f  t  .  4 29 1 2  2 1 1 1 4 1 4 2 8 8 1 f  4x  1 f  4x  1 1 f t  d  4x    dx . dt   dt   2 1 4x 21 x 2t 21 t THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 4  Suy ra f  4x  x 1 8 dx  2 I1  2 Đặt t  x  2tdt  dx . x 1 1 Suy ra  f t  4  t2 1 f  4x  x 1 4 dx  16 1 1 4 f t  4 2tdt  2  t 1 f  4x  1 dt  2  4x 1 4 1 d  4x   2 f  4x  x 1 4 dx . 1 1 I2  2 2 Khi đó, ta có: 1  f  4x  x dx   Xét hàm 1 8 Ví dụ 59: 1 4 1 8 f  4x  1 x dx   số f  x f  4x  x 1 4 liên dx  2  tục 1 5  . 2 2 trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 1   4 x. f x  3 f 1  x   1  x . Tích phân I   f  x  dx bằng: 2 https://luyenthitracnghiem.vn  I2   x  dx  f 16 x t 2 0 A. I   4 B. I  .  6 C. I  .  20 D. I  .  16 . Lời giải   Vì f  x  liên tục trên 0;1 và 4 x. f x2  3 f 1  x   1  x2 nên ta có 1 1   2 2  4x. f x  3 f 1  x  dx   1  x dx 0 0 1   1 1 0 0   4 x. f x 2 dx   3 f 1  x  dx   1  x 2 dx 0  1 . 1   1 0 0 1 1 0 0 1      2 f t  dt  2I Mà  4 x. f x dx  2  f x d x 2 2 t  x2 2 0 1  3 f  u  du  3I và  3 f  1  x  dx  3 f  1  x  d  1  x   1 Đồng thời  0 0905.193.688 0   2 2 0 0 x  sin t   1  sin 2 t .cos td t   cos 2 tdt  1  x 2 dx  Do đó,  1  2 I  3I  THẦY VIỆT  u 1 x  4 hay I   20  12  1  cos 2t  dt  .   20 4 . 30 https://www.facebook.com/vietgold Chọn C “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 60: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  1 , 1 2 9    f x   0   dx  5 và https://luyenthitracnghiem.vn A. I  f  1 0 3 . 5 1 2 x dx  . Tính tích phân I   f  x  dx . 5 0 B. I  1 . 4 C. I  3 . 4 D. I  1 . 5 Lời giải Chọn B Đặt t  x  t 2  x  dx  2tdt . Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  1 1 Suy ra  f   1 1 0 0 x dx  2  t. f  t  dt   t. f  t  dt  0 1 1 1 1 1 . Do đó   x. f  x  dx  5 5 0 1 1 1 x2 x2 x2 Mặt khác  x. f  x  dx  f   x  dx . f  x   f   x  dx    2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 x2 1 1 3 3   x 2 f   x  dx  f   x  dx    Suy ra  2 2 5 10 5 0 0 1 Ta tính được 9   3x  dx  5 . 2 2 0 https://www.facebook.com/vietgold 1 Do đó 1 1 2 0 0 0 1   dx  0    f   x   3x    f   x  dx  2 3x f   x  dx   3x 2 2 2 2 2 dx  0 0  f   x   3x 2  0  f   x   3x 2  f  x   x 3  C . Vì f  1  1 nên f  x   x3 1 1 0 0 Vậy I   f  x  dx   x 3dx  1 . 4 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau b  u( x). f ‘( x).dx a 31 b hoặc  u ‘( x). f ( x).dx a . THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 61: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên 0; 2  và f  2   3 , 2  f  x  dx  3 . 0 2 Tính  x. f   x  dx . 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 6 . Chọn B Ta có 2 2 0 0   2 2 0 0  x. f   x  dx   xd f  x   x. f  x    f  x  dx  2 f  2   3  3 . Ví dụ 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f ‘  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và f  1  2 . Biết 1  0 1 f  x  dx  1 , tính tích phân I   x. f ‘  x  dx . 0 B. I  1 . A. I  1 . D. I  3 . C. I  3 . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải 1 Ta có: I   x. f ‘  x  dx 0 Đặt u  x  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v   f ‘  x  dx  f  x  1 0 0 0 Chọn A Ví dụ 63: Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 B. I  8 . A. I  8 . D. I  4 . C. I  4 . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold 1  I  x. f  x    f  x  dx  1. f 1  0. f  0    f  x  dx  2  1  1 1 1 A    x  1 f ‘  x  dx Đặt u  x  1  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v  f  x  0 1 1 1 1 0 0 0 0  A   x  1 . f  x    f  x  dx  2 f (1)  f (0)   f  x  dx  2   f  x  dx  10   f  x  dx  8 1 0 Chọn B THẦY VIỆT  0905.193.688 32 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 64: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 2  và thỏa mãn f  2   16 , 2  0 1 f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 https://luyenthitracnghiem.vn A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . D. I  20 . Lời giải Chọn B du  dx u  x   Đặt  f  2x  .  dv  f  2 x  dx v   2 1 1 x. f  2 x  f  2 1 2 1 16 1   f  2 x  dx    f  t  dt   .4  7 . Khi đó: I  2 20 2 40 2 4 0 và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và Ví dụ 65: Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g  x  dx ? 0 A. 4 . B. e  2 . D. 2  e . C. 4 . Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/vietgold Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 0 0  I   f  x  .g  x  dx   f  x  dg  x   f  x  .g  x  2   2 0 2   g  x  . f   x  dx 0     x 2  2 x e xdx  4 . 0 Ví dụ 66: Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . D. I  4 . Lời giải Chọn B 1 A    x  1 f ‘  x  dx Đặt u  x  1  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v  f  x  0 33 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 1 0 0 0 0  A   x  1 . f  x    f  x  dx  2 f (1)  f (0)   f  x  dx  2   f  x  dx  10   f  x  dx  8 1 0  5  Ví dụ 67: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f x  3x  1  3x  2, x  . Tính I   x. f   x  dx . 3 1 5 . 4 B. 33 . 4 Lời giải 17 . 4 D. 1761 . C. https://luyenthitracnghiem.vn A. Chọn C 5  5 u  x du  dx Đặt    I  xf  x    f  x  dx . 1  1 dv  f   x  dx  v  f  x  5   f  5   5  x  1 Từ f x  3x  1  3x  2   , suy ra I  23   f  x  dx. 1   f  1  2  x  0    3   2  dt  3x  3 dx Đặt t  x 3  3x  1     f  t   3x  2 Đổi cận: Với t  1  1  x3  3x  1  x  0 và t  5  x3  3x  1  5  x  1 . 5 1 1 0   Casio Khi đó I  23   f  x  dx  23    3x  2  3x 2  3 dx  33 4 Chọn C  1 f  x x dx  1 , f  e   1 . Khi đó e I   f   x  .ln xdx bằng 1 A. I  4 . C. I  1 . Lời giải B. I  3 . D. I  0 . Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x   f  x  . dx  f  e   1  1  1  0 . 1 x 1 1  dx u  ln x du   Cách 2: Đặt  x . dv  f   x  dx v  f  x   e e Suy ra I   f   x  .ln xdx  f  x  ln x   1 THẦY VIỆT  0905.193.688 e 1 1 f  x x dx  f  e   1  1  1  0 . 34 https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ 68: Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1; e  , biết e “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ví dụ 69: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn π  f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x  2  và f  0   0 . Giá trị của tích phân π . 4 1 D.  . 4 π 2 https://luyenthitracnghiem.vn  x. f   x  dx bằng 0 π A.  . 4 B. 1 . 4 C. Lời giải Chọn D π  Theo giả thiết, f  0   0 và f  x   f   x   sin x.cos x nên 2  π π f 0  f    0  f    0 . 2 2 Ta có: π 2 π 2 0 0 π 2 π 2 I   x. f   x  dx   xd  f  x     xf  x     f  x  dx 0 0 π 2 https://www.facebook.com/vietgold Suy ra: I    f  x  dx . 0 Mặt khác, ta có: π  f  x   f   x   sin x.cos x  2  Suy ra:   2 0   2 0     1 f  x  dx   2 f   x  dx   2 sin x.cos x dx  0 0 2 2   0   1 1 f  x  dx   f   x  dx    2 f  x  dx  0 2 4 2  2 π 2 1 Vậy I    f  x  dx   . 4 0 Ví dụ 70: Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết 1 e x  f  x   f ‘  x  dx  ae  b . Tính biểu 0 thức Q  a A. Q  8 . 2018 b 2018 . B. Q  6 . C. Q  4 . D. Q  2 . Lời giải 35 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 0 0 1 A   e x  f  x   f ‘  x   dx   e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx 0 A1 A2 1 A1   e x f  x  dx 0 1 x x 1 0 0 A2 Vậy A  e x f  x   A2  A2  e x f  x   e. f 1  f  0   e  1 1 1 0 0 a  1   a2018  b2018  1  1  2 b  1 Chọn D Ví dụ 71: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên mọi x  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.×2017 .e2018 x với và f  0   2018. Tính giá trị f  1 . https://luyenthitracnghiem.vn Đặt u  f  x   du  f ‘  x  dx , dv  e dx chọn v  e  A1  e . f  x    e x f ‘  x  dx x B. f 1  2018.e2018 . C. f 1  2018.e 2018 . D. f 1  2017.e 2018 . A. f 1  2019e 2018 . Lời giải Chọn A 1  f   x   2018. f  x  e 2018 x 0 1 Xets I   e 2018 x  2018.×2017 1 dx   2018.×2017 dx  1 0 f   x   2018. f  x  0 f   x   2018. f  x  https://www.facebook.com/vietgold Ta có: f   x   2018 f  x   2018.×2017 .e2018 x  e 2018 x 1 1 0 0 dx   f   x  .e 2018 xdx   2018. f  x  .e 2018 xdx   u  f  x  du  f   x  dx Xét I1   2018. f  x  .e 2018 xdx . Đặt  .   2018 x 2018 x d v  2018.e d x v   e   0   1  Do đó I1  f  x  . e 2018 x 1    f   x  .e 1 0 2018 x dx  I  f 1 .e 2018 x  2018 0 Khi đó  1  f 1 .e2018 x  2018  x2018 1 0  f 1  2019.e2018 . 1 Ví dụ 72: Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 36 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Q  a2017  b2017 . A. Q  22017  1 . D. Q  22017  1 . C. Q  0 . B. Q  2 . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn C   u  f  x  du  f   x  dx Đặt  .   x x  dv  e dx  v  e 1 1 1 0 0 x x x x  e  f  x   f   x  dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f  0   e  1 . 2 1 0 Do đó a  1 , b  1 . Suy ra Q  a2017  b2017  12017   1 Ví dụ 73: Cho hàm số 5 y  f  x  xf   x  dx  30 . Tính 0 2017  0 . Vậy Q  0 . có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 5  và f  5   10 , 5  f  x  dx . 0 C. 20 . B. 30 . A. 20 . D. 70 . https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn A  u  x  du  dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x  5   x. f   x  dx  x. f  x  0 5    f  x  dx 5 0 0 5  30  5 f  5    f  x  dx 0 5   f  x  dx  5 f  5   30  20 . 0 Ví dụ 74: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1; 2  . Biết rằng F  1  1 , F  2   4 , G  1  3 , G  2   2 và 2 2  f  x  G  x  dx  12 . 67 Tính 1 2  F  x  g  x  dx 1 A. 11 . 12 B.  145 . 12 C.  11 . 12 D. 145 . 12 Lời giải 37 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn A u  F  x   du  f  x  dx Đặt   dv  g  x  dx  v  G  x  2 2  F  x  g  x  dx   F  x  G  x    f  x  G  x  dx 2 1 1 1 2 1 3 67 11 .  4.2  1.   2 12 12 Ví dụ 75: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1  x  f   x   2 dx  f 1 . 0 1 Giá trị của I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . C. 1 . B. 2 . D. 1 . https://luyenthitracnghiem.vn  F  2  G  2   F 1 G 1   f  x  G  x  dx Lời giải Chọn C 1 Ta có 1 1  x  f   x   2 dx   x. f   x  dx   2xdx 0 0 1 0 0 1 1 0 0  x. f  x    f  x  dx  1  f 1  I  1 . 0 1 Theo đề bài  x  f   x   2 dx  f 1  I  1 . 0 Ví dụ 76: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 2  và   x  1 f   x  dx  a . Tính 1 theo a và b  f  2  . 2  f  x  dx 1 D. a  b . C. a  b . Lời giải B. a  b . A. b  a . 2 Chọn A Đặt u  x  1  du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  . 2 2 b 2 1 a 1   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx  f  2    f  x  dx  b   f  x  . 2 1 1 Ta có THẦY VIỆT  2 2 2 1 1 1   x  1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a . 0905.193.688 38 https://www.facebook.com/vietgold   xd  f  x   x 2 1 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình và f  2   16 , Ví dụ 77: Cho hàm số f  x  liên tục trên 2  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 B. I  12 . https://luyenthitracnghiem.vn A. I  13 . D. I  7 . C. I  20 . Lời giải Chọn D du  dx  u  x  Đặt  .  1  d v  f 2 x d x v  f 2 x         2 1 Khi đó, I  x. 1 1 1 1 1 1 1 1 f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t  2x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 https://www.facebook.com/vietgold 1 Suy ra I  8   f  t  dt  8  1  7 . 40   2 2 0 0 Ví dụ 78: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . A. I  1 . D. 2 . C. I  2 . B. I  0 . Lời giải Chọn C  u  f  x   du  f ( x)dx Đặt   dv  sin xdx  v   cos x   2   sin x. f  x  dx   cos x. f  x  0   2 2 0 0   2 0  2   cos x. f   x  dx . 0   I   cos x. f   x  dx   sin x. f  x  dx  cos x. f  x  2  1  1  0 . Ví dụ 79: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0 và thỏa mãn điều kiện f  1  1 và 2 f  x  2 f  x  1  f  2   4 . Tính J      dx . 2   x x 1  39 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 C. J  ln 2  . 2 B. J  4  ln 2 . A. J  1  ln 4 . D. J  1  ln 4 . 2 Lời giải Chọn D https://luyenthitracnghiem.vn 2 2 2 2 f  x f  x f  x  2 f  x  1  2 1  Cách 1: Ta có J     d x  d x   d x   x  2  dx .    2 2   x x x x x   1 1 1 1   1  1 u  du   2 dx  Đặt  x x dv  f   x  dx v  f  x    2 2 2 2  f  x  2 f  x  1  f  x f  x 1 2 1   . f x  d x  d x  J    d x     x  2  dx    2 2 2   x x x x x  x 1 1 1 1 1  2 2 1  1 1  f  2   f  1   2 ln x     ln 4 . 2 x1 2  2  f  x  2 f  x  1  xf   x   f  x  2 1  Cách 2: J     d x    2  dx   1   x x x  x 2  x2 1  2  f  x 1 1  2 ln x     ln 4 . 1    x  x 2  1 2  a  3  f  1  1  Chọn hàm số f  x   ax  b . Vì  , suy ra f  x   3x  2 . b   2 f 2  4      2  5 3x  1   1 1 Vậy J     2  dx   2 ln x    ln 4  . x x 1 2 x   1 2 Ví dụ 80: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2  . Biết f 0  1 2 I x 3 và   3x 2 f   x  f  x 0 A. I   f  x  . f  2  x   e2 x 16 . 3 2 4 x , với mọi x  0; 2  . Tính tích phân dx . B. I   16 . 5 C. I   14 . 3 D. I   32 . 5 Lời giải Chọn B THẦY VIỆT  0905.193.688 40 https://www.facebook.com/vietgold Cách 3: ( Trắc nghiệm) “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  . f  2  x   e 2 x ln  f  x  . f  2  x   ln e 2 x 2 4 x 2 và f  x  nhận giá trị dương nên 4 x  ln f  x   ln f  2  x   2×2  4x . https://luyenthitracnghiem.vn Mặt khác, với x  0 , ta có f  0  . f  2   1 và f  0   1 nên f  2   1 . 2 Xét I   x   3x 2 f   x  3 f  x 0 2  f  x  f  x  dx dx , ta có I   x 3  3x 2 . 0 u  x 3  3x 2 2   du  3x  6 x dx f  x Đặt   d v  d x   v  ln f  x  f  x      2  2    Suy ra I   x 3  3x 2 ln f  x    3x 2  6x .ln f  x  dx    3x 2  6 x .ln f  x  dx  1 .  0 2 0 0 Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0  2    Ta có I    3t 2  6t .ln f  2  t  dt     3t 2  6t .ln f  2  t  dt 2 0 2   Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    3×2  6 x .ln f  2  x  dx  2  . 0 2   https://www.facebook.com/vietgold Từ  1 và  2  ta cộng vế theo vế, ta được 2 I    3x 2  6 x . ln f  x   ln f  2  x  dx 0 2    16 1 Hay I    3×2  6 x . 2 x2  4 x dx   . 20 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f  x   e x 2 I x 3   3×2 .e x e 0 2 2 x 2 2 x , khi đó: .  2x  2  x2  2 x 2   dx   x 3  3x 2 .  2 x  2  dx  0 16 . 5 Ví dụ 81: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  0 và e2  1    f x d x  x  1 e f x d x  . Tính tích phân I   f  x  dx .       0  0  4 0 1 2 A. I  2  e . 1 1 x B. I  e  2 . C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 Lời giải 41 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn B 1   u  f  x  du  f   x  dx Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt    x x 0  v  xe dv   x  1 e dx  1 1 1 Suy ra A  xe f  x    xe f   x  dx    xe f   x  dx   xe x f   x  dx  1 x x 0 x 0 0 0 1  e2 4 https://luyenthitracnghiem.vn 1 1 2 1 1 e2  1 Xét  x e dx  e  x  x    . 2 40 4 2 0 1 2 2x 2x 1 Ta có 1 1 1 0 0 0  x 2 2x x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0   f   x   xe 2 0  Suy ra f   x   xe x  0 x  0;1 (do f   x   xe x  2  2 dx  0  0 x  0;1 )  f   x   xe x  f  x   1  x  e x  C Do f  1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 0 0 Vậy I   f  x  dx    1  x  e xdx   2  x  e x  e  2 . Ví dụ 82: Cho hàm số 2 1 0 f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 2 2 1 2 1 A. I  7 B. I   . 5 7 . 5 thỏa mãn 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . https://www.facebook.com/vietgold 1   x  1 f  x  dx   3 , f  2   0 và   f   x  1; 2  1 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Lời giải Chọn B Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2 2 1 Ta có     x  1 f  x  dx  3 1 2  x  1 3 3 2  x  1 dx  v  3 2 2 . f  x   1 2 3 1  x  1 3 3 f   x  dx 2 3 3 3 1 1       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1    2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 THẦY VIỆT  0905.193.688 42 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 2 Tính được  49  x  1 dx  7 6 1 2 2 2    f   x  dx   2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 2 1 1 https://luyenthitracnghiem.vn 3 6 1 7  x  1 3 3   7  x  1  f   x  dx  0  f   x   7  x  1  f  x   C .   4 1 2 4 2 Do f  2   0  f  x   7  x  1 4  4 7 . 4  7  x  14 7  7 Vậy I   f  x  dx      dx   . 5 4 4 1 1   2 2 Ví dụ 83: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  1 , 1 1 1 0  f   x  dx  9 và 0 x f  x  dx  2 . Tích phân A. 2 3 2 . 3 B. 5 . 2 C. 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 D. 6 . 5 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B 1 Ta có:   f   x  2 dx  9  1 0 1 – Tính 1  x f  x  dx  2 . 3 0 du  f   x  dx   u  f  x   Đặt  x4 3 d v  x .d x v      4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3    x f  x  dx   . f  x     x . f   x  dx    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1 0 0   x 4 . f   x  dx  1  18  x4 . f   x  dx  18  2  1 x9 – Lại có:  x dx  9 0 1  8 43 0 1 1  81 x8dx  9  3  9 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình – Cộng vế với vế các đẳng thức  1 ,  2  và  3  ta được: 1 1 2 4 8 4  0   f   x   18x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9x  dx  0 1   .  f   x   9 x4  dx  0 0 y  f   x   9×4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9×4  0  f   x   9×4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 Lại do f  1  1  C  9 14 14  f  x    x5  5 5 5 1  9 14   3 14  5   f  x  dx     x 5   dx    x6  x   . 5 5  5 0 2  10 0 0 1 1 https://luyenthitracnghiem.vn Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số     Ví dụ 84: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 . Biết 4  4 4     f 2  x  dx  0  8 4 ,  f   x  sin 2xdx   0 B. I  8 4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 1 . 2 C. I  2 . D. I  1 . 4 https://www.facebook.com/vietgold A. I  1 .  Lời giải Chọn D   4 Tính  f   x  sin 2xdx   4 0  sin 2 x  u 2 cos 2 xdx  du . Đặt  , khi đó    f   x  dx  dv   f  x  v  4  0   4 f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x  4  2  f  x  cos2xdx 0 0    4    sin . f    sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx  2  f  x  cos2xdx . 2 4 0 0 4   4 Theo đề bài ta có  f   x  sin 2xdx   0  4  4   f  x  cos2xdx  8 . 0  4 Mặt khác ta lại có  cos 0 THẦY VIỆT  0905.193.688 2 2 xdx   8 . 44 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình   4      Do   f  x   cos2x  dx    f 2  x   2f  x  .cos2x  cos 2 2x  dx    2    0 nên 8 8 8 0 0 4 2 f  x   cos 2x .   8 https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn 8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 45 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình BÀI TẬP Câu 1: Cho hàm số y  f  x  xác định trên thỏa mãn f  x   0, x  và f   x   2 f  x   0. Biết f 1  1, tính f (1). B. e2 . A. 3. D. e3 . C. e 4 . Lời giải Chọn C f  x f  x  2   1 1 f  x f  x https://luyenthitracnghiem.vn Ta có 1 dx   2dx  4. 1 Suy ra ln  f 1   ln  f  1   4  f  1  e4 . Câu 2:  2  Cho hàm số y  f  x    x  1  2 x  1 A. 6  ln 4 . khi 0  x  1 3 . Tính tích phân khi 1  x  3 0 C. 6  ln 2 . B. 4  ln 4 .  f  x  dx . D. 2  2ln 2 . Lời giải Chọn A 3 Ta có:  0 1 3 1 3 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   dx    2 x  1 dx x 1 0 0 1 1  2ln x  1 0   x 2  x   ln 4  6 . 3 1 1 https://www.facebook.com/vietgold m Câu 3: Xác định số thực dương m để tích phân   x  x  dx có giá trị lớn nhất. 2 0 B. m  2 . A. m  1 . C. m  3 . D. m  4 Lời giải Chọn A m  x 2 x3  m 2 m3  P    x  x  dx      . 2 3  2 3 0 0 m 2 Đặt f  m   m 2 m3  f   m   m  m2  f   m   0  m  0 hoặc m  1  2 3 Lập bảng biến thiên THẦY VIỆT  0905.193.688 46 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Vậy f  m  đạt GTLN tại m  1 . Câu 4: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho f ( x) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x  0; a  , ta có f ( x)  0 và f  x  f  a  x   1. Tính a dx  1  f ( x) được kết quả bằng: https://luyenthitracnghiem.vn 0 A. a . 3 D. a . 2 Lời giải Chọn D dx f (a  x)  dx . 1 f ( a  x )  1 0 1 0 f (a  x) a a Ta có: I   Đặt: a  x  t thì dx  dt . Đổi cận 0 Ta được: I    a a f (t ) f ( x) dt   dx . f (t)  1 f ( x)  1 0 a a f ( x)dx dx + = 1 1   f f ( ( x x ) ) 0 0 Do đó: I  I   https://www.facebook.com/vietgold C. a ln  a  1 . B. 2a . Câu 5: a  0 1  f ( x)  dx 1  f ( x) a =  dx  a . Vậy: I  0 [KHTN Hà Nội, Lần 3, Năm 2018] Cho hàm số a . 2 f  x  liên tục trên và  3 f   x   2 f  x   tan x . Tính 2 4  f  x  dx .  A. 1   . 2 B. 4  1 . 2 C. 1   . 4 D. 2   . 2 Lời giải Chọn D 3 f   x   2 f  x   tan 2 x 1 Thay x   x . 1  3 f  x   2 f   x   tan 2   x   tan 2 x  2  1 .2   2  .3  5 tan 2 x  5 f  x   f  x   tan 2 x 47 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình  4  I   4 f  x  dx    4  tan 2 x dx  2  tan 2 x dx  2  1+tan 2 x   1 dx 4 4 0 0 4  I  2  tan x  x  04  2  Câu 6:   2 . Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  . f  x   x 4  x 2 . Biết f  0   2 Tính f 2  2  . B. f 2  2   332 . 15 C. f 2  2   324 . 15 D. f 2  2   323 . 15 Lời giải Chọn B Ta có 2 2 1 2 2 0  x  x  dx 0 f   x  . f  x  dx  0 f  x  d  f  x   2  f  2  f  0  2 4 2 Suy ra f 2  2   2  x 4  x 2  dx  f 2  0   2 0 Câu 7: 332 . 15 (Chu Văn An 2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện https://luyenthitracnghiem.vn 313 . 15 A. f 2  2   1 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 . Tích phân I   f  x  dx bằng: 0 A. I   . 20 B. I   . 16 C. I   . 6 D. I   . 4 Lời giải Vì f  x  liên tục trên 0;1 và 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 nên ta có 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2  4 x. f  x   3 f 1  x  dx   1  x dx   4 x. f  x  dx   3 f 1  x  dx   1  x dx 1 . 1 1 1 tx Mà  4 x. f  x 2  dx  2  f  x 2  d  x 2    2  f  t  dt  2I 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 u 1 x và  3 f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x    3 f  u  du  3I  1 Đồng thời  1  x dx   x sin t 2 0 0 Do đó, 1  2 I  3I  THẦY VIỆT  2 0905.193.688  4 hay I    2  12 1  sin t .cos tdt   cos td t   1  cos2 t  d t  . 20 4 0 2 2  . 20 48 https://www.facebook.com/vietgold Chọn A “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0; 1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln 2 và x  x  1 f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , a, b  A. 25 . 4 B. 9 . 2 C. .Tính a 2  b2 . 5 . 2 D. 13 . 4 https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn B Ta có x  x  1 f   x   f  x   x 2  x  x x 1 x  x  .  f x  f  x  f x      2   x 1 x 1  x 1  x 1  x  1 Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được 2 2 2 x x  x  1  x  1 f  x  dx  1 x  1 dx  x  1 f  x  1   x  ln x  1  1 2 1 3 3 2  f  2   f 1   2  ln 3  1  ln 2   f  2   ln 2  1  ln 3  ln 2  f  2    ln 3 . 3 2 2 2 3 3 3 Suy ra a  và b   . 2 2 2 2 2 9 3  3 Vậy a 2  b2         . 2 2  2 Câu 9: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x , x  0;1 . Tính tích 1 https://www.facebook.com/vietgold phân I   f 1  x 2  dx . 0 A. I   4 . 15 C. I   B. I  1 . 2 . 15 D. I  2 . 15 Lời giải Chọn C Đặt t  1  x , x  0;1 thì t   0;1 . Ta có f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x  f  x   2 f 1  x   3  x  1  3 2  f 1  t   2 f  t   3t 2  3  2 f  x   f 1  x   3x 2  3 . 2 2    f  x   2 f 1  x   3x  6 x  f  x   2 f 1  x   3x  6 x  Xét hệ phương trình:  2 2   4 f  x   2 f 1  x   6 x  6 2 f  x   f 1  x   3x  3  3 f  x   3x 2  6 x  6  f  x    x  1  3 , x  0;1 . 2 Khi đó f 1  x 2    2  x 2   3  x4  4 x2  1 . 2 1  x5 4 x3  2  x   . Suy ra I   f 1  x  dx    x  4 x  1 dx    3 15  5 0 0 0 1 1 2 49 4 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Phân tích: + Bước 1: Từ f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f  x  . + Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f 1  x 1 2  rồi tính I   f 1  x  dx . 2 0 Câu 10: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y  f  x  liên tục A. I  4e  1. e 1  f  x  dx . 2 D. I  e  3 . C. I  4e  2 . B. I  e  2 . https://luyenthitracnghiem.vn  x 1  với mọi x  1 thỏa mãn f    x  3, x  1. Tính I   x 1  Lời giải Chọn C t 1 2 x 1 t 1 , suy ra f  t   hay 3 4  xt  t  x  1  x  t 1 t 1 x 1 t 1 2 f ( x)  4  x 1 Đặt t  e 1 Ta có I   2    4  x  1  dx   4 x  2ln x 1  e 1 2  4e  2 . 2 Câu 11: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số y  f  x  liên tục 2 f  x 1 với mọi x  0 thỏa mãn f  x   2 f    3x, x  0 . Tính I   dx . x  x 1 A. I  9 B. I  . 2 3 . 2 C. I  1 . 2 D. I  4 . 3 Lời giải Chọn A Tương tự ta xác định được f  x    x  2 Suy ra I   1 2 2 . x 2 f  x 2 2 3   dx    1  2  dx    x    . x x  x 1 2  1 2 2 2 Câu 12: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 – Năm 2017 – 2018] Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng  2;3 . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên khoảng  2;3 . Tính 2 I    f  x   2 x  dx , biết F  1  1 và F  2   4 . 1 A. I  6 . x Câu 13: Nếu  a THẦY VIỆT  B. I  10 . C. I  3 . D. I  9 . f (t )dt  6  2 x với x  0 thì hệ số a bằng t2 0905.193.688 50 https://www.facebook.com/vietgold 2 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình A. 9 . B. 19 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A https://luyenthitracnghiem.vn Gọi F (t ) là một nguyên hàm của x Ta có f (t )dt  6  2 x  F (t ) |ax 6  2 x  F ( x)  F (a)  6  2 x 2 t  a  F ‘( x)  2. x  a f (t ) f (t ) , suy ra F ‘(t )  2 . 2 t t 1  2 x x f ( x) 1   f ( x)  x x 2 x x x f (t )dt t t 1   2 dt   dt  2 t |ax  2 x  2 a  2 x  6 (gt) 2 t t t a a a  3 a  9. Vậy Câu 14: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 – Câu 39] Cho hàm số y  f  x  liên tục và 1  1 thoả mãn f  x   2 f    3x với x   ; 2  . Tính  x 2  A. 3 . 2 3 B.  . 2 https://www.facebook.com/vietgold Chọn A 2 Đặt I   1 2 2  1 2 f  x dx . x 9 . 2 Lời giải C. 9 D.  . 2 f  x dx x 1 f  f  x x 1  1 2   3. Với x   ; 2  , f  x   2 f    3x  x x  x 2  2  1 2 2 f  x dx  2 x 1 Đặt t  1 f  2  x  dx  3dx (1) 1 x 2 2 1 1 1 1  dt   2 dx   dt  dx . x x t x 1 f  2 f t  x 2   dx  2 dt  2 I . x t 1 1 2 2 2 2 1  3I   3dx  I  1 2 51 3 . 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 15: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính tích phân I  3 2   f  x  dx . 3 2 B. I  4 . A. I  3 . D. I  8 . C. I  6 . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn C Ta có I  3 2  3 2 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 3 2  3 2 0 3 3  f  x  dx Đặt t  x  dt  dx ; Đổi cận: x   2  t  2 ; x  0  t  0 . 0 Xét  3 2 Suy ra  0 0 3 2 3 2 3 2 3 2 0 0  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . Theo giả thiết f  x   f   x   2  2cos 2 x  3 2 3 2 0 0 0 3 2 3 2 0 0   f  x   f   x   dx   có: 2  2cos xdx  f  x  dx   f   x  dx  2  sin x dx  3 2 0  3 2 3 2 0 0 3 2  f  x  dx   f  x  dx  2 sin x dx  2  sin x dx   f  x  dx  6 .  0   3 2 Câu 16: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  thỏa 1 1 0 0 mãn   2 x  1 f   x  dx  10, f 1  f  0   8 . Tính I   f  x  dx . A. I  2 . B. I  1 . C. I  1 . D. I  2 . Lời giải Chọn C 1 Xét   2 x  1 f   x  dx . 0  u   2 x  1  du  2dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x  THẦY VIỆT  0905.193.688 52 https://www.facebook.com/vietgold 3 2 ta “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 ta có 10    2 x  1 f   x  dx   2 x  1 f  x    2 f  x  dx 0 0 0 1 1 1 0 0 0 https://luyenthitracnghiem.vn  10  f 1  f  0    2 f  x  dx  10  8   2 f  x  dx .   2 f  x  dx  2 1   f  x  dx  1 . 0 Câu 17: Cho hàm 1 x 2 f  x số có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn 1   x f   x  dx  10, f 1  f  0   8 . Tính I   f  x  dx . 0 0 C. I  3 . B. I  3 . A. I  9 . D. I  9 . Lời giải Chọn D 1 Xét x 2   x f   x  dx . 0   u  x1  x  du   2 x  1 dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f   x  1     1 1 1 https://www.facebook.com/vietgold ta có 10   x  x f   x  dx  x  x f   x     2 x  1 f   x  dx     2 x  1 f   x  dx . 0 0 0 0 2 2  u1   2 x  1  du1  2dx Đặt   dv1  f   x  dx  v1  f  x  1 1 1 ta có 10    2 x  1 f   x  dx   2 x  1 f  x    2 f  x  dx 0 0 0 1  10  f 1  f  0    2 f  x  dx . 0 1 1 0 0  10  8   2 f  x  dx   f  x  dx  9 . Câu 18: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  thỏa mãn 1   2  f  x 2  x dx  10, f  5  f 1  8 . Tính I   f  x  dx . 0 A. I  2 . 0 B. I  1 . C. I  1 . D. I  2 . Lời giải 53 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn C 1  f  x Xét 2   x dx . 0 Đặt t  x2  x  dt   2 x  1 dx 1  2 0 0 0  u   2 x  1  du  2dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x  2 2 2 ta có 10    2 x  1 f   x  dx   2 x  1 f  x    2 f  x  dx 0 0 0 2 2 1 0 0 0  10  f  5  f 1   2 f  x  dx  10  8   2 f  x  dx   2 f  x  dx  1 . Câu 19: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f  x  liên tục trên 1;2018 và: 2017 2017  f (2018  x)  f ( x) x  [1; 2018] , f ( x)dx  10 . Tính I   x. f ( x)dx . 1 1 C. I  20180. B. I  20170. A. I  10100. https://luyenthitracnghiem.vn  2   f  x  x dx    2t  1 f   t  dt    2 x  1 f   x  dx  10 . 2 D. I  10090. Lời giải Chọn D x  1  t  2017, x  2017  t  1 I  1  (2018  t )f (2018  t )dt  2017   (2018  t )f (t )dt 1 2017  2018 2017 f (x )dx  1 2017  xf (x )dx 1  I  2018.10  I  I  10090. Câu 20: Hàm số f  x  liên tục trên a; b  và: f (a  b  x)  f ( x) x [a; b] ; b  f ( x)dx  a  b Tính a b I   x. f ( x)dx . a A.  a  b . I 2 B.  a  b I 4 2 . C.  a  b . I 4 D.  a  b I 2 2 . Lời giải Chọn D THẦY VIỆT  0905.193.688 54 https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  2018  x  dt  dx . “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Đặt t  a  b  x  dt  dx . x  a  t  b , x  b  t  a. a I    (a  b  t )f (a  b  t )dt b https://luyenthitracnghiem.vn b   (a  b  t )f (t )dt a b b a a  (a  b ) f (x )dx   xf (x )dx a  b   I  (a  b ).(a  b )  I  I  2 2 . Câu 21: Giả sử hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn: f  3  2 2 và  f   x    x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây 3 đúng? A. 2613  f 2 8  2614 . B. 2614  f 2 8  2615 . C. 2618  f 2 8  2619 . D. 2616  f 2 8  2617 . Lời giải Chọn A Vì y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;    và  f   x    x  1 . f  x  https://www.facebook.com/vietgold 2  f  x   f  x    f  x     f  x  x  1 . f  x   1 3  x  1 3  x  1 f  x   C . Vì f  3   x  1   f  x 2 f  x dx   1 x  1dx 2 2 8 6 8 2   C  C 3 3 3 3 2  6 8    f 2  8   19  6   2613, 261 .  3   3    3 4 Vậy 2613  f 2  8  2614 . Câu 22: [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f  x  liên tục trên  2 mãn   16  cot x. f sin x dx    2 1 f  x  dx  1 . Tính tích phân I  x 3 B. I  . 2  1 8 4 A. I  3. 1 C. I  2 . và thỏa f  4x dx. x 5 D. I  . 2 Lời giải Chọn D 55 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  dt  cot xdx 2t  2 1  1 2 1   cot x. f  sin 2 x  dx   f  t  4 1 1 f  x dt 1 f  x    dx   dx  2 2t 2 1 x x 1 2 2 16 1  1 f  x  dx  x 4  1 4 4 f t  f  x f  x 1 2td t  2 d x  dx  2   t x x 2 1 1 Đặt t  4 x  dt  4dx 1 I  1 8 4 1 4 f  4x f  t  dt 4 f  x  f  x f  x 5 dx    dx   dx   dx  t 4 1 x x x x 2 1 1 1 2 2 2 4 Phân tích: Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f  x  nào đó không biết, nhưng https://luyenthitracnghiem.vn 2tdt  dx Đặt t  x   2 x  t sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết. Câu 23: Cho hàm số f  x  liên tục trên e2 và thỏa mãn  e Tính  1 2  3  f  cos x  tan xdx  2 . 0 f  x dx. x A. 3 . B. 5 . 2 C. 2 . https://www.facebook.com/vietgold 2 f  ln x  dx  1 và x ln x D. 1 . Lời giải Chọn A Đặt t  ln x  dt  dx x e2 1  e 2 2 f  ln x  f t  f  x dx   dt   dx x ln x t x 1 1 Đặt t  cos x  dt   sin xdx  3 2   f  cos x  0 1 2 1 f t  f  x sin x dx    dt   dx cos x t x 1 1 2 Do đó THẦY VIỆT  0905.193.688 56 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 2  1 2 1 2 f  x f  x f  x dx   dx   dx  3 x x x 1 1 2  https://luyenthitracnghiem.vn   Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;  và f  0   0 ,  2  2   f   x  2 dx  0  4 ,  2  sin x. f  x  dx  0  2 . Tính I   f  x  dx ? 4 0 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B   2 Ta có  2 0  f   x  dx  0 f   x  d  f  x    4 . 2   2 2 0 0   2  sin x. f  x  dx    f  x  d  cos x    cos x. f  x  02   f   x  cos x dx  0  4   2 1  cos 2 x 1 sin 2 x  2  dx   x    2 2 2  0 4 0  2 Mặt khác ta tính được:  cos 2 xdx   0     4 2 2 2 0 0 0 Vậy   f ‘( x) dx  2  cos x. f ( x)dx   cos 2 xdx    f ‘( x)  cos x  dx  0 2 https://www.facebook.com/vietgold 0 2 Suy ra f   x   cos x  f  x   sin x  C . Do f  0   0  C  0 .   2 2 0 0  Vậy I   f  x  dx   sin xdx   cos x 02  1 . Câu 25: Cho hàm số f ( x)  a  x  1 3  bxe x . Tìm a và b biết rằng f ‘(0)  22 1 và  f ( x)dx  5 . 0 A. a  2, b  8 . B. a  2, b  8 . C. a  8, b  2 . D. a  8, b  2 Lời giải Chọn C Ta có f ‘( x)   3a  x  1 4  b( x  1)e x Suy ra f ‘(0)  22  3a  b  22 (1) 57 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1     a a 3 x x f ( x)dx     bxe dx    b ( x  1) e     a b. 3 2   2  x  1  0 8 0    x  1 1 Ta có  0 1 Theo bài ra 3  f ( x)dx  5  8 a  b  5 (2). 0 Câu 26: Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên   4; 4  , biết 0  f   x  dx  2 và 2 2 4 1 0  f   2 x  dx  4. Tính I   f  x  dx. A. I  10 . B. I   6 . D. I  10 . C. I  6 . Lời giải Chọn B Vì f  x  là hàm lẻ nên ta có f   x    f  x  . 0 0 2 2 2 2 0 0 https://luyenthitracnghiem.vn 3a  b  22 a  8  Từ (1) và (2) ta có hệ  3 .  ab  5 b  2  8 t  x Ta có:  f   x  dx  2    f  t  dt  2   f  t  dt  2   f  x  dx . 2  1 2 4 4 4 1 f  2 x  dx    f  2 x  dx    f  u  du  4   f  u  du  8   f  x  dx  8 . 22 1 2 2  2 4 0 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6. 0 1 Câu 27: Cho hàm số  f  x  dx  4 , trong đó hàm số y  f  x  là hàm số chẵn trên  1;1 . Tính 1 1 f  x dx . x 1 2 1 A. 2 . B. 16 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn A Cách 1. Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận x  1  t  1 ; x  1  t  1 . 1 Ta được: I  THẦY VIỆT  1 1 1 1 1 2t 2x f x d x   f  t d t  f t d t  1 1  2x   1 1  2t   1 1  2t   1 1  2x f  x  dx . 0905.193.688 58 https://www.facebook.com/vietgold 4 Do đó: u 2 x “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 Do đó: 2 I  1 1 1 2x 1 1  2x f  x  dx  1 1  2x f  x  dx  1 f  x  dx  4  I  2 . https://luyenthitracnghiem.vn Cách 2. Chọn h  x   x 2 là hàm số chẵn. Ta có: 1 2  x dx  1 2 4 . Do đó: f  x   h  x   6 x 2 . 2 3 3 1 f  x 6 x2 Khi đó:  x dx   x dx  2 . 2 1 2 1 1 1 1 Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y  f  x  khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số h  x   1 cho đơn giản. Câu 28: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn Giá trị   x  3 f   x  dx  25 và 33 f 8 18 f 3  83 . 8 3  f  x  dx là: 8 3 8 . 3 C. I  B. I  38 . A. I  83 . D. 3 . 8 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn C Ta có   x  3 f   x  dx  25 . 8 3   u  x  3 du  dx Đặt    dv  f   x  dx  v  f  x   A   x  3 f  x  3   f  x  dx  11 f 8  6 f  3   f  x  dx 8 8 8 3 3 Ta có 33. f 8  18 f  3  83  11 f 8  6 f  3  Suy ra A  83 . 3 8 83 8 83 8   f  x  dx . Mà A  25   f  x  dx   25  . 3 3 3 3 3 Câu 29: Cho hàm số y  f  x  dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; f   x   f  x  x 2  1  0 và f A. 2 3 .  3   e . Tính I   B. 3 3  3 0 7 3. 3 3  biết rằng ln  f  x   dx C. 3 3  7 3. D. 3 3  2 . Lời giải Chọn B 59 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình f  x  x2  1 f  x Ta có f   x   x 2  1 f  x   0  f ‘  x  u  ln  f  x   dx du  f  x  Đặt  dv  dx v  x  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được  ln  f  x  dx  x ln  f  x  3 3 0   0 0  x ln  f  x    x ln  f  x   3 3 3 0 3 0 1  2  3 xf ‘  x  dx  x ln  f  x   f  x 3 3 0  x x 2  1 dx 0 x 2  1 d  x 2  1  0 1 2  x  1 x 2  1 3 3 0 7 3 Câu 30: [THPT QUỲNH LƯU 2_NGHỆ AN_LẦN 1] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên thỏa mãn f 3  x   f  x   x x  và https://luyenthitracnghiem.vn 3 I 2 . Tính I   f  x  dx . 0 A. 5 . 4 B. 4 . 5 5 C.  . 4 Lời giải 4 D.  . 5 Đặt t  f  x   t 3  t  x  dx   3t 2  1 dt x 0 2 t 0 1 1 Suy ra I   t  3t 2  1 dt  0 5 . 4 Câu 31: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn f ‘  x   2 xf  x   2 x.e x và f  0   1 . Tính f 1 . 2 A. e . B. 1 . e C. 2 D.  . e 2 . e Lời giải Chọn C   f ‘  x   2 xf  x   2 x.e x  e x . f ‘  x   2 x.e x . f  x   2 x  e x . f  x  ‘  2 x . 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 2 2 2 60 https://www.facebook.com/vietgold Chọn A “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Lấy tích phân cả hai vế ta được:  1 0  2 1 2 0  e. f 1  2  f 1  https://luyenthitracnghiem.vn 1 1 0 0 e x . f  x  ‘ dx   2 xdx  e x . f  x   x 2  e. f 1  f  0   1 2 . e Câu 32: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tực trên đoạn 0;1 thỏa mãn 3 f  x   x. f ‘  x   x 2018 với mọi x   0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1  f  x  dx bằng: 0 A. 1 . 2019.2021 B. 1 . 2018.2021 C. 1 . 2018.2019 D. 1 . 2021.2022 Lời giải Chọn A Ta có: 3 f  x   x. f ‘  x   x 2018 với mọi x   0;1 . Nhân thêm cả 2 vế cho x 2 để đưa về dạng  f  x  .g  x  ‘ . Ta được: 3×2 f  x   x3 f ‘  x   x 2020 1 1 0 0   3x 2 f  x   x3 f ‘  x   dx   x 2020 dx 1 1 0 0 https://www.facebook.com/vietgold 1    x3 . f  x   ‘ dx   x 2020 dx  f 1  . 2021 Mặt khác: 3 f  x   x. f ‘  x   x 2018 1 1 1 0 0 0  3 f  x  dx   xf ‘  x  dx   x 2018dx 1 1 1 1  3 f  x  dx   x. f  x    f  x  dx   x 2018dx 0 0 0 0 1 1 1  1  1 1   f  x  dx    f 1     .  2  2019  2  2019 2021  2019.2021 0 1 Câu 33: (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH – PHÚ YÊN – 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm không âm trên đoạn 0;1 thỏa  f ( x)   f ( x)  4 2 x 2  1  1   f ( x)  và 3 f ( x)  0, x  0;1 . Biết f (0)  2 , hãy chọn khẳng định đúng trong những khẳng định dưới đây. A. 2  f (1)  5 . 2 B. 5  f (1)  3 . 2 C. 3  f (1)  2 . 2 D. 3  f (1)  7 . 2 Lời giải 61 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn B Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân. Phân tích: Từ giả 2 f 2 ( x) f ‘( x)  1  f ( x) 3 0 1 Ta có:  0  1  1  x2 0 dx   0 1 1  x2 x 1 x2  1 2  1  1   f ( x) 3 và . Lấy tích phân hai vế dx. 3 1 1 d 1  f ( x)  dx   3 0 1  f 3 ( x) 1  f 3 ( x) f 2 ( x) f ‘( x)  23   2 2 1  f 3 ( x) |10  3 3 1 1 2 1  f 3 (1)  1  f 3 (0)   dx  ln x  1  x 2  1 0   1  f 3 (1)  3 .   ln 1  2 . Từ đó  f (1)  2.6  5  f (1)  3 . 2  1 Câu 34: Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục và có đạo hàm không âm trên 0;  thỏa mãn  2 2 2 2  1 f ( x)  0, x  0;  ;  f ( x)   f ( x)  1  x 2    f ( x)   1 và f (0)  1 . Chọn khẳng định  2 đúng bằng: 1 5 A. 2  f ( )  . 2 2 B. 5 1  f ( )  3. 2 2 C. 3 1  f ( )  2. 2 2 1 7 D. 3  f ( )  . 2 2 Chọn C  f ( x)   f ( x)  2  f ( x)  f ( x)   2 1   f ( x)  1 2  0 f ( x) f ‘( x) 1  f 2 ( x) 2 1  x    f ( x) 2 2  1  1 và f ( x)  0; f ( x)  0, x  0;  suy ra:  2  1 . Lấy tích phân hai vế trên 0;  ta được:  2 1 x 1 2 1 2 dx   0 1 1  x2 dx Ta có: 1 2  2    1 d 1  f ( x)   1 1 dx     1  f 2 ( )  1  f 2 (0)    1  f 2 ( )  2  . 2 0 1  f 2 ( x) 2 2 1  f 2 ( x)     1 2 f ( x) f ‘( x) 0  1 2 6  1 3 1 dx   dt  . ( x  sint ) . Từ đó  f ( )  1.66   f ( )  2 . 6 2 2 2 1  x2 0 1  0 Câu 35: Cho hàm số x THẦY VIỆT  2 f ( x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn  1 f ( x)  2 xf ( x)  xe x và f (0)  1 . Giá trị f (1) bằng: 0905.193.688 62 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Từ giả thiết https://luyenthitracnghiem.vn 1 4  f ( x)   f ( x)   3 1   f ( x)  f ( x)  0; f ( x)  0, x  0;1 suy ra: trên  0;1 ta được:  f ( x)   f ( x)  thiết “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình A. e . B. 1 . C. ln 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B   https://luyenthitracnghiem.vn  Từ giả thiết  x 2  1 f ( x)  2 xf ( x)  xe x   x 2  1 f ( x)  xe x Suy ra  1   x2  1 f ( x)  dx   xe x dx . 1 0  0  x 2  1 f ( x)  1 0 1 1   xde x  2 f (1)  f (0)  xe x   e x dx 1 0 0  2 f (1)  f (0)  e  e 0 x 1 0  f (1)  1. Câu 36: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: f  x   x  sin x  f   x    cos x và 3 2  f  x  sin xdx  4 . Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A.  6;7  . C. 12;13 . B.  5;6  . D. 11;12  . Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/vietgold Từ giả thiết: f  x   x  sin x  f   x    cos x  f  x   x sinx  x f   x   cos x  f   x  .x  x. f  x    x sin x  cos x  f   x  .x  x. f  x   ( cos x) x  x cos x (*). Vì x   0;   , ta chia 2 vế của (*) cho x 2 ta được  f   x  .x  x. f  x  ( cos x) x  x cos x f  x  cos x  f  x    cos x    c       2 2 x x x x  x   x   f  x   cos x  cx . 3 2 Mặt khác lại có  f  x  sin xdx  4 .  2 3 2 Xét 3 2  f  x  sin xdx    cos x sin x  c x sin x  dx  2 2 3 2 3 2   2 2    cos x d  cos x   c  x sin x dx 3 2 3  cos 2 x  2    c x cos x  sin x     2c .  2   2 2 63 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 3 2  f  x  sin xdx  4 Mà  2c  4  c  2  f  x   cos x  2 x .  2 Ta có: f    1  2  5, 28 . Tổng quát: Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng a  x  . f  x   b  x  . f   x   g  x  1 u( x) a  x  , kết hợp với giả thiết ta tìm được u ( x) suy ra biểu thức nhân thêm là  u ( x) b  x  Với u  x . Khi có  2  ta sẽ tìm được f  x  . b  x Câu 37: (Đề HK2 Sở GD Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên       đoạn 0;  và f    0 . Biết  4 4 4  f 2  x  dx  0  8  4 ,  f   x  sin 2 xdx   4 . Tính tích phân 0  8 I   f  2 x  dx . https://luyenthitracnghiem.vn Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa 1 về dạng u  x  . f  x   u  x  . f   x   h  x   2  0 A. I  1 . 2 B. I  1 . 4 C. I  2 . D. I  1 Lời giải Chọn B  4 4    https://www.facebook.com/vietgold Ta có  4 f   x  sin 2 xdx   sin 2 xdf  x    f  x  sin 2 x  4   f  x  d sin 2 x 0 0 0 0        f   sin  2.   f  0  sin  2.0   2  f  x  cos 2 xdx 4  4 0 4      f    2  f  x  cos 2 xdx  2  f  x  cos 2 xdx . 4 0 0 4 4  4 Do đó 2  f  x  cos 2 xdx  0   4 .   1 14 1 4  Mặt khác:  cos 2 2 xdx   1  cos 4 x  dx   x  sin 4 x   . 8 20 2 0 8 0 4 Bởi vậy:    4 4 4 0 0  f 2  x  dx  2  f  x  cos 2 xdx   cos 2 2 xdx  0 THẦY VIỆT  0905.193.688  8   4   8 64 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình  4    f 2  x   2 f  x  cos 2 x  cos 2 2 x  dx  0 0  4    f  x   cos 2 x  dx  0  f  x   cos 2 x . 2 https://luyenthitracnghiem.vn 0   8 8 Nên: I   0  8 1 1 f  2 x  dx   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 38: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 – Năm 2017 – 2018] Cho hàm số y  f  x   xác định trên   0; 2       f  x   2 2 thỏa mãn 2 0   2   . Tính 2. f  x  sin  x    dx  4  2   2  f  x  dx . 0 A.  . 4 B. 0 . C. 1 . D.  . 2 Lời giải Chọn B         1    2   2   +) Ta có 2  sin 2  x   dx   1  cos  2 x    dx   x  sin  2 x     . 4 2  2  2  0 2    0 0  2 2 +) Từ đó https://www.facebook.com/vietgold     f  x   2 2 2 0   2   . 2. f  x  .sin  x    dx  4  2    2     2    2      f 2  x   2 2. f  x  .sin  x    dx   2sin 2  x   dx   4  4 2 2   0  0 2  2        f  x   2 sin  x    dx  0. 4   0  2  2       Do  f  x   2 sin  x     0, x  0;  nên 4    2  2     0  f  x   2 sin  x  4  dx  0 . 2   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x   2 sin  x   . 4   2 +) Vậy  0    2   f  x  dx  2  sin  x   dx   2 cos  x    0 . 4 4 0   0 2 Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y  f  x  liên tục trên   0; 2  ” ở đề bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.   65 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 Câu 39: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn   f 2  x   6. f  x  .e x  dx  9 1  e2  0 2 . 1   x  1 f  x  dx . Tính 0 A. e  1 . B. 2e  5 . 1   f  x   6. f  x  .e 2 x  dx  0 1    f 2  x   6. f  x  .e 0 9 1  e2  2 1 x  dx   9e dx  2x 9 1  e2  1   9e 2 x dx 2 0 1 D. 3e . https://luyenthitracnghiem.vn Chọn D +) Ta có C. e . Lời giải 0    f  x   3e x   0 2 0  f  x   3e x . +) Vậy 1 1 0 0 x x   x  1 f  x  dx   3  x  1 e dx  3xe 0  3e . Câu 40: Cho hàm 1 y  f  x số liên tục 1 2 1 2 trên  1 1   2 ; 2  thỏa mãn   109   f  x   2. f  x  .  3  x  dx   12 . Tính  x  1 dx . 2 f x 2  1 2 0 5 B. ln . 9 2 . 9 C. ln https://www.facebook.com/vietgold A. ln 8 D. ln . 9 7 . 9 Lời giải Chọn A +) Ta có 1 2 109   f  x   2. f  x  .  3  x  dx   12 2  1 2  1 2 1 2   f  x   2. f  x  .  3  x  dx    3  x  2 1  2  2 dx   1  2 1 2   f  x    3  x  2 109  12 1 2  3  x  2 dx 1  2 dx  0  f  x   3  x. 1  2 1 2 +) Vậy THẦY VIỆT  1 2 1 2 1 f  x 3 x 2  2  1 2 d x  d x   dx  ln x  1  2ln x  1  ln .   0 x2  1 0 x2  1 0  x  1 x  1  0 9 0905.193.688 66 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 41: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm dương liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  f  0   1 1 và https://luyenthitracnghiem.vn A. 1  f   x   f 2  x   1 dx  2 0 0 3 . 2 B. f   x  f  x  dx . Tính 1   f  x  3 dx . 0 5 33  27 . 18 5 33 . 18 Lời giải C. D. 5 33  54 . 18 Chọn C 1 Ta có 1  f   x   f  x   1 dx   f   x  f  x  dx   f   x  dx 0 1  0 0 1 1 1 0 0 0 f   x  f 2  x  dx  f 1  f  0    f   x  f 2  x  dx   dx    f   x  f 2  x   1 dx . 0 1 1 2 2 1  f   x   f 2  x   1 dx  2 0 0 1 1 1 0 0 f   x  f  x  dx    f   x  f 2  x   1 dx  2 2    f   x  f  x   1 dx  0    f  x f  x  1  f  x f 2  x  1  0 f   x  f  x  dx  0 1 3 f  x  x  C 3  f 3  x   3x  C  f  x   3 3x  C và f  x   0, x  0;1  C  3 . https://www.facebook.com/vietgold Mà f 1  f  0   1  3 C  3  3 C  1  3  3 3 C  3. 3 C  3 C 33 C   3  C  3  3 C 1 2 8 27  5 33 C 3 27  5 33 .  C 2  3C  0C   C  3 27 18 18 1 1  3 27  5 33  5 33 Suy ra   f  x   dx    3x  .  dx  18 18 0 0  Câu 42: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên x 0;1 . Đặt g  x   1  2 f  t  dt . Biết g  x    f  x   với mọi x   0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của 3 0 1  3  g  x   dx . 2 0 A. 2 . B. 7 . 3 2 . 3 Lời giải. C. D. 5 . 3 Chọn D Cách 1. 67 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình   g  0  1 Ta có g  x   1  2 f  t  dt   .  g x  2 f x      0  x g  x  g  x   2. Do g  x    f  x    g  x     3 g  x  2  3 3 t  0  g  x 3 t g  x dx   2dx  0 t 2 2 2 33 3 t  g  x    2 x 0   3  g  t   3  g  0    2t 2 2  0 1 1 2 2 2 33 4 3 5 4   g  t    2t   3  g  t    t  1   3  g  x   dx    x  1dx  . 2 3 2 3 3  0 0 Cách 2. Gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  thỏa F  0   0 . Ta có F   x   f  x  . x Ta có g  x   1  2 f  t  dt  1  2 F  x   f 3  x  , với mọi x   0;1 . 0  1  2F  x    F   x   , x  0;1  F x 3 3 1  2F  x   1  0 , x  0;1 t  F x  2 2 3 3 3 3 t    1 dx  h  t    1  2 F  x     x 0  3 1  2 F  t    t  Đặt h  t    3  4 4 4 0 0  1  2F  x   F  t  1  0 . là hàm số nghịch biến trên  0;1 , vì h  t   3 1  2F t  https://luyenthitracnghiem.vn t   0;1 ta có t 2 33 3 1  2 F  x    x  , x  0;1 . 4 4 1 1 2 4 5 4  3   g  x    x  1 , x  0;1    g  x   dx    x  1 dx  . 3 3 3  0 0 3 2   Câu 43: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;  . Biết  6 f   x  cos x  f  x  sinx  1 ,    x  0;  và f  0   1 . Tính I   f  x  dx .  6 0 6 A. 2 3   . 2 6 B. 3 3 . 2 C. 2 3 . 2 D. 3 1 . 2 Lời giải Chọn B Từ giả thiết: f   x  cos x  f  x  sinx  1  THẦY VIỆT  0905.193.688 f   x  f  x  s inx 1   2 cos x cos x cos 2 x 68 https://www.facebook.com/vietgold  h  x   h  0  , x  0;1  “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình  f  x    f  x   1 1    dx  dx     2 cos 2 x  cos x  cos x  cos x  f  x =tanx  C  f  x   sinx  C.cos x . cos x Do f  0   1  C  1  f  x   sinx  cos x . https://luyenthitracnghiem.vn  Vậy   6 6 0 0  Câu 44: Cho hàm 0 số   f ( x) 2 0  1 , 30 11 . 30 đạo hàm 1  (2 x 1) f ( x)dx   0 B. liên tục thỏa mãn 1 1 . Tính tích phân  f ( x)dx bằng: 30 0 11 . 4 Lời giải 1 . 30 0;1 trên C. D. 11 . 12 Chọn D 1 Ta có 1  (2 x  1) f ( x)dx   f ( x)d  x 0  f ( x)  x 2  x dx  0 1 Mà 2  x    x  x  f ( x)  1 2 0 0 1  https://www.facebook.com/vietgold có f ( x) 1 f (0)  1, A. 3 1 3 3 .  1  2 2 2  f  x  dx=   s inx  cos x  dx=   cos x  s inx  6   2   x  x  dx  2 0 1 1 nên suy ra 30   f ( x) 1 2 0 2 0 2 Vì f (0)  1  C  1  f ( x)  0  x  f ( x)dx  2 1 . 30   2 f ( x)  x 2  x    x 2  x  dx  0 0 1 x 1 . 30    f ( x)   x 2  x   dx  0  f ( x)  x 2  x  f ( x)  Vậy  f ( x)dx  1 x3 x 2  C 3 2 x3 x 2  1. 3 2 11 . Chọn D 12 Câu 45: Cho hàm số y  f  x   0 xác định và có đạo hàm trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn 1 x các điều kiện sau: g  x   1  2018 f  t dt ; g  x   f 2  x  . Tính  A. 1011 . 2 B. 1009 . 2 g  x dx . 0 0 C. 2019 . 2 D. 505 . Lời giải Chọn A 69 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Theo giả thiết ta có g ‘  x   2018 f  x   2 f ‘  x  . f  x  . Vì f  x   0 trên đoạn [0;1]  f ‘  x   1009  f  x   1009 x  C và g  x   1009 x  C  . 2 Mặt khác g  0   1 và f  x   0 trên đoạn [0;1] suy ra C  1 . 1 Vậy  1 g  x dx   1009 x  1 dx  0 0 1011 . 2  1 A. 1 .  B. 0 . t 2  12  4  https://luyenthitracnghiem.vn Câu 46: Số điểm cực trị của hàm số f  x   x3 1 2017 dt là: C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Giả sử là một nguyên hàm của g  t    t 2  12  4  2017  F  t   g t  .  Khi đó f  x   F  x3  1  F 1  f   x    F  x3  1  3x 2 g  x3  1   f   x   3x   2  x  1  12  4  3 2 2017 x  0 f  x  0   2   x3  1  12  4  https://www.facebook.com/vietgold  x3  1  2 x  1 2 2 3 3 . x  1  12  4  x  1  4        3 3 x   3 x  1   2   Bảng xét dấu: Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 47: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên f  0   f   0   1 , f  x   2 f   x   f   x   x3  2 x 2 với x  và thỏa mãn 1 . Tích phân  f ( x)dx bằng. 0 A. 107 21  . 12 e B. 107 12  . 21 e 107 21  . 12 e Lời giải C. D. 107 12  . 21 e Chọn A THẦY VIỆT  0905.193.688 70 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Ta có:  e x . f  x    e x . f   x   e x . f  x   e . f  x   2e . f   x   e . f   x   e . f  x   e  f  x   2 f   x   f   x    e  x  2 x  x x x x https://luyenthitracnghiem.vn x x 3 2 Lại có:  e x . f  x      x3  2 x 2 e x dx=  x3  x 2  2 x  2  e x  C1    e x . f  x     x3  x 2  2 x  2  e x  C1 dx  e x . f  x    x3  4 x 2  10 x  12  e x  C1 x  C2 (*) 1  12  C2 C  4 f   0  f  0  1    1 2  12  10  C1 C2  13 4 x  13  f  x   x3  4 x 2  10 x  12  ex Bấm máy ta có kết quả là A Câu 48: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 – Câu 49] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên   tục trên [0;  2 ] thỏa mãn f (0)  0 , 2 2  [f ‘( x)] dx  0   2  sin x. f ( x)dx  4 . và 4 Tích phân 0  2  f ( x)dx bằng: 0 https://www.facebook.com/vietgold A.  . 4 B. 1 . C. 2 . D.  . 2 Lời giải Chọn B     2  Ta có  sin x. f ( x)dx   cos x. f ( x) 2   cos x. f ‘( x)dx   cos x. f ‘(x)dx  , ta tính được 4 0 0 0 0 2  2 2  cos xdx  0  4 2    2 2 2 0 0 0 . Do đó  [f ‘( x)]2 dx  2. cos x. f ‘( x)dx   cos 2 xdx  0  2   [f ‘( x)  cos x]2 dx  0  f ‘( x)  cos x f ( x)  sin x  C vì f (0)  0 nên C  0 . Vậy 0   2 2 0 0 f ( x)  sin x suy ra  f ( x)dx   sin xdx  1 . Câu 49: [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh – Lần 1 – 2 1 0 0 năm 2018] Cho  1  2 x  f’  x  dx  3 f  2   f  0   2016 . Tích phân I   f  2 x  dx bằng A. 4032 . B. 1008 . C. 0 . D. 2016 . Lời giải 71 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Chọn B Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: 2  1  2 x  f’  x  dx  1  2 x  . f  x  2 0 0 2 2 0 0  2 f  x  dx  3 f  2   f  0   2 f  x  dx . 2  1  2 x  f’  x  dx  2016 và 3 f  2  f  0  2016 nên Mà 0 2 0 0 2 f  x  dx  2  2016   f  x  dx  2016 . 1 Mặt khác I   f  2 x  dx  0 2 1 2 1 1 f 2 x d 2 x  f  t  dt (Ở đây đổi biến t  2 x ).     2 0 2 0 2 1 1 1 Vậy I   f  t  dt   f  x  dx   2016  1008 . 20 20 2 Câu 50: [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn A. I  1 1 1 1 2 2 2 0 x f ( x)dx   3 , f (1)  1, 0  f ‘( x) dx  28. Tính I  0  f ( x) dx. 37 . 9 B. I   37 . 9 9 D. I  . 5 9 C. I   . 5 Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn 2 Chọn A 1  x  . f ( x)  1 x 3 f ‘ x dx   1  x 3 f ‘ x dx  2 (1) 1 Từ  x 2 f ( x)dx            3 3 3 1 3 1 0 3 1 2 2 2 1 1 1 3  1 2 1 6 3 Ta có    x  f ‘  x  dx     x  dx.  f ‘  x  dx  .28  4  2    x  f ‘  x  dx  2. 7 0 0 0  0 Do đó từ (1) suy ra dấu đẳng thức xảy ra  f ‘  x   k.  x  . Thay vào (1) tính được 3 k  14. Từ đó f ( x)  1 Vậy  0 7 5 7 5 4  x   C. Mà f 1  1 C    f  x   x 4  . 2 4 2 2 2 5 37 7 f  x  dx    x 4   dx  . 2 2 9 0 1 2 Câu 51: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 1  xf  x  dx  0 0 1 và max f  x   1 . Tích phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các [0; 1] 0 khoảng sau đây? THẦY VIỆT  0905.193.688 72 https://www.facebook.com/vietgold 0 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 5  A.  ;   . 4  3  B.  ; e  1 . 2   5 3 C.   ;  .  4 2 D.  e  1;    . Lời giải Chọn B https://luyenthitracnghiem.vn Chú ý rằng e x  1  x với x  0 . Thật vậy, xét hàm số f  x   e x  x  1 với x  0 , ta có f   x   e x  1  0 nên hàm đồng biến, do đó f  x   f  0   0 , suy ra e x  1  x . Vì max f ( x)  1 nên suy ra f  x   1  0 và f  x   1  0 . [0; 1] Ta có   e  x  1  f  x   1  0 suy ra x 1 e x f  x   e x  x  xf  x   f  x   1  e x  x  xf  x    I   e x f ( x)dx   e x  x  xf  x  dx    e x  x  dx  e  1 0 0   e x  x  1  f  x   1  0 suy ra 1 1 0 , do đó 3  1, 21828 . 2 e x f  x   x  e x  xf  x   f  x   1  x  e x  xf  x    I   e x f ( x)dx    x  e x  xf  x   dx   x  e x dx  1 1 0 0 0 , do đó 3  e  1, 21828 . 2 Câu 52: [Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM – năm 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên thỏa  x  2 f  x    x  1 f ‘  x   e x và f  0   https://www.facebook.com/vietgold e A. f  2   . 3 B. f  2   e . 6 1 . Tính f  2  ? 2 C. f  2   e2 . 3 D. f  2   e2 . 6 Lời giải Chọn D Ta có f  x  x  2  f ‘  x  x  1  e x  e x f  x  x  2   e x f ‘  x  x  1   e x  2 2   f  x  x  1 e x    e x  . 2 2 2 0 0 0 2 2 Do đó   f  x  x  1 e x  dx    e x  dx  f  x  x  1 e x   e2 x dx 0  3e2 f  2   f  0   e4  1 e2  f  2  . 6 2 Câu 53: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên thỏa  2 x  1 .ln 2  2 f  x    2 x  1 f ‘  x   2 x và f  0   1. Tính f  3 ? A. f  3  73 9 . 14 B. f  3  30 . ln 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình C. f  3  15 15 3 1 .   . D. f  3  28ln 2 28 56ln 2 56 Lời giải Chọn D Ta có:  2 x  1 .ln 2  2 f  x    2 x  1 f ‘  x   2 x 2   f  x  2 x  1 2 x   22 x Do đó: 3 3 3 1 1 1 x  2x x 3 2x   f  x  2 x  1 2  dx   2 dx  f  x  2x  1 2 1   2 dx 22.3  22.1 15 3  56 f  3  6 f 1   f  3   . 2ln 2 28ln 2 28 Câu 54: Cho hàm y  f  x số liên x  x  1 f   x   f  x   x 2  x, x  0; 1 f  2   a  b ln 3  a, b  A. 3 . 4  . Tính B. tục và 0; 1 trên f 1  2ln 2. thỏa: Biết a 2  b2  ? 13 . 4 1 . 2 Lời giải C. D. 9 . 2 https://www.facebook.com/vietgold Chọn D Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  1  f  x  f  x f  x x x  1  f  x   2 x  x  1 x  1  x  1 x 1 x  x    f  x.   x 1  x 1  2 2 2 x  x  x   Do đó   f  x  . dx   f  x  .    x  ln x  1  1  dx   x 1  1 x 1  x 1  1 1 2 2 1 2 2 1 2  f  2  .  f 1 .  1  ln   a  b ln 3   2ln 2   1  ln 3 2 3 3 2 3 3  a  2 2  2  a 2  b2  9 .  a  b ln 3  1  ln 3   3 3 2 b   3   2 THẦY VIỆT  0905.193.688 https://luyenthitracnghiem.vn  2x  2 x  1 .ln 2  2 f  x   2 x  2 x  1 f ‘  x    2 x  74 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình     Câu 55: Cho hàm số y  f  x  có đạo làm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 . Biết  4 4 4  f 2  x  dx  0 A. I  https://luyenthitracnghiem.vn     8 4 , f   x  sin2xdx    0 1 . 2 B. I   4 8 . Tính I   f  2 x  dx . 0 1 . 4 C. I  2 . D. I  1 . Lời giải Chọn B Cách 1 : Ta thấy:  4   f   x  sin2x dx   0    4    4   sin2x d  f  x   sin 2 x. f  x  4   f  x  2cos2x dx    0 4 4 0 0      sin . f    0   f  x  2cos2x dx     f  x  cos2x dx  . 2 4 4 8 0 0 4 4   4 Do  cos  2 x  dx  8 2 nên:    4 4 4  f  x  dx  2 f  x  .cos  2 x  dx   cos  2 x  dx  0 . 2 2 0 0 0 0  4 https://www.facebook.com/vietgold    f  x   cos  2 x   dx  0  f  x   cos 2 x  C . 2 0   Do f    0  C  0 , nên f  x   cos 2 x . 4   8 8 0 0 Vậy I   f  2 x  dx  I   cos  4 x  dx  1 . 4 Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Holder.  b a f  x  .g  x  dx   2 b a f 2  x  dx. g 2  x  dx . b a Dấu bằng xảy ra  f  x   k.g  x  , k  .  4 Theo cách thứ nhất, ta đã có:   f  x  cos  2x  dx  8 . 0 2    4    2 2 2 4 4 .  0 f  x  .cos  2 x  dx   0 f  x  dx.0 cos  2 x  dx  .  8 8 64   75 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Dấu bằng xảy ra  f  x   k.cos 2 x , k  Với f  x   k .cos 2 x , k    k  4  cos 2 x  dx  2 0  8 .   0 8   4  k .cos 2 x.cos 2 x  dx   k  1  f  x   cos 2 x .  8 8 0 0 Vậy I   f  2 x  dx  I   cos  4 x  dx  1 . 4 Câu 56: (PTNK-HCM LẦN 1) Cho hai hàm f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1;4 và 4  f 1  g 1  4 thỏa mãn hệ thức  . Tính I    f  x   g  x   dx .  g  x    x. f ‘  x  ; f  x    x.g ‘  x  1 A. 8ln 2 B. 3ln 2 C. 6ln 2 D. 4ln 2 Lời giải Chọn A Ta có f ( x)  g ( x)   x  f ‘( x)  g ‘( x)    f ( x)  g ( x) dx    x  f ‘( x)  g ‘( x) dx .   x  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)dx   x  f ( x)  g ( x)  C  f ( x)  g ( x)   https://luyenthitracnghiem.vn  C x Vì f (1)  g (1)  C  C  4 4 4 Câu 57: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 1 , 2 1  f   x  cos  x  dx  0 A.  . B. 1   2 1 . Tính  f  x  dx . 0 . C. 2  Lời giải . D. 3 . 2 Chọn C 1 Ta có  0 1 1 1  f  x  cos  x  dx   cos  x  df  x   f  x  cos  x     f  x  sin  x  dx 0 0 0 1 1 0 0   f 1  f  0     f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx   2 1   f  x  sin  x  dx  0 1 . 2 2 b b  b 2 Áp dụng bất đẳng thức   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g 2  x  dx ta có: a a  a 2 1 1 1  1 1  1 1  cos 2 x 1  x sin 2 x  1 1    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx   dx     0 4 0 2 2 2 2 4 4   0 0  0 . THẦY VIỆT  0905.193.688 76 https://www.facebook.com/vietgold 4  I    f ( x)  g ( x) dx   dx=8ln2 . x 1 1 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f  x   k sin  x . Từ đó ta có: 1 1  cos 2 x k sin 2 x  1 k   f  x  sin  xdx   k sin 2  x  dx  k  dx   x     k  1. 2 0 2 2 2 0 2 0 0 1 1 1 https://luyenthitracnghiem.vn Suy ra f  x   sin  x . Do đó 1 1 0 0  f  x  dx   sin  xdx   cos  x 1 2  .  0  Câu 58: [Thi thử THPT Gia Bình – Bắc Ninh] Gọi trình a3  x  1  a 2 nguyên dương và A. 46 .  x  1 2  4 a3 sin x 2 m là giá trị lớn nhất của a để bất phương n có ít nhất một nghiệm, ở đó m, n là những số m là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P  22m  n . n B. 38 . C. 24 . D. 35 . Lời giải Chọn B Điều kiện: x  1 . Biến đổi tương đương bất phương trình ta được a 3  x  1  4 a 3 sin 4 x 2  x  1 2  a 0 2 https://www.facebook.com/vietgold  1 x  1 2 x    4 a 3  x  1  sin  a  sin 2  0  2 2  4  2   1 x  a  sin 2    0, x nên bất phương trình vô nghiệm. 4  2  Nếu a  1 thì 16 Nếu a  1 thì bất phương trình trở thành 16  2x sin 2  1 1 1 x  1 2 2x  x  3, x  1  8  x  1  2 sin 2   4 1  sin 2   0   1       x  12  1 sin  x  8 2 2 2 Vậy a  1 là giá trị lớn nhất để bất phương trình có nghiệm. 16 Suy ra m  1; n  16  P  22m  n  22.1  16  38 . Câu 59: (THPT Quảng Xương – Thanh Hoá – Lần 2 – Năm 2018) Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: 77 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình x g  x   1  2018 f  t dt , g  x   f 2  x  . Tính  g  x dx. 0 0 A. 1 1011 2 B. 1009 2 2019 2 C. D. 505 Lời giải Chọn A x g  x   1  2018 f  t dt 0  g ‘  x   2018 f  x   2018 g  x   2  g ‘ x g  x  t  2018   0 1 g  t   1  2018t  g  t   1009t  1   g  t dt  0 Câu 60: Cho hàm số y  f  x  xác định trên   2   2   0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4  dx  2 . Tích phân 2 2  . 4 B. 0 . g  x t dx  2018 dx. 0 1011 . 2 đoạn  A. g ‘ x   0; 2  thỏa mãn https://luyenthitracnghiem.vn Ta có g  0   1  f  x  dx bằng 0 C. 1 . D.  . 2 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B  2     +) Đặt I    f 2  x   2 2 f  x  sin  x    dx . Ta có 4   0    2         I    f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    dx   2sin 2  x   dx 4 4 4     0 0  2   2 2       I    f  x   2 sin  x    dx   2sin 2  x   dx 4 4    0  0 2     2     1    2  2 2 2sin x  d x   1  sin 2 x d x 1  c os 2 x  d x +) Có      x  cos2 x |0         2 4 2 2         0 0 0 2 2  2  +) Mà I  suy ra 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 2     0  f  x   2 sin  x  4  dx  0 (1). 2 78 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình +) Áp dụng kết quả: Nếu f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì b  f  x  dx  0 . a https://luyenthitracnghiem.vn Dấu ”  ” xảy ra khi f  x   0 với mọi x   a; b  .     Từ (1) suy ra f  x   2 sin  x    0 hay f  x   2 sin  x   . 4 4     2 +) Do đó  f  x  dx  2  0 0      2 sin  x   dx   2cos  x  | 2  0 . Chọn B 4 4 0   Câu 61: (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1   f   x  dx  7 và 2  x f  x  dx  0 0 2 1 . Tích phân 3 1  f  x  dx 0 bằng A. 7 . 5 7 . 4 Lời giải B. 1 . C. D. 4 . Chọn A 1 1 u  f  x   1 du  f   x  dx 2 3 +) Đặt  , khi đó 3 x f x d x  x . f x  x3 f   x  dx         3 2 0 dv  3x dx  0 0 v  x 1 https://www.facebook.com/vietgold +) Ta có 1  f 1   x3 f   x  dx suy ra 1 x 3 f   x  dx  1 . 0 0 2 b b  b +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx . Dấu a a  a ”  ” xảy ra khi f  x   kg  x  với k là hằng số. 2 Ta có b 3  b 6 b 2 x7   1    x f  x  dx    x dx.  f  x   dx  7  1 . Dấu 7 0 a a  a f   x   kx3 với k là hằng số. Mà 1 1 1 0 0 “” xảy ra khi 3 6  x f   x  dx  1 hay  kx dx  1 suy ra k  7 . 7 7 +) Vậy f   x   7 x3 nên f  x    x 4  c mà f 1  0 nên f  x   1  x 4  suy ra 4 4 1 7  f  x  dx  5 . Chọn A 0 79 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 0;1 Câu 62: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 2 0 A. 1  f   x  f  x  dx  3  f   x  f 2  x    dx . Tích phân 9 0 1 5 . 4 B. thỏa mãn f  0   1 và 1  f  x  dx 3 bằng 0 8 . 5 Lời giải 3 . 2 C. D. 7 . 6 b +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân  a 2 b  f  x  dx. g  x  dx    f  x  g  x  dx  . Dấu a a  b 2 2 ”  ” xảy ra khi f  x   kg  x  với k là hằng số. 2 1 +) Ta có  dx. f   x  f  x  dx    0 0 0 1  f   x  f  x  dx  (1) nên từ giả thiết suy ra  1 2 1 2 0 2 1 1 f   x  f  x  dx  3  f   x  f  x   dx   3   3 0 0  1 f   x  f  x  dx    3 1 2 2 1 hay 3   0 1 f   x  f  x  dx    0  3 1  f   x  f  x  dx  0 https://luyenthitracnghiem.vn Chọn D 1 và dấu ”  ” ở (1) xảy ra, tức là ta 3  1   f   x  f  x  dx  3  k  1 . Từ đó tính được f  x   có  0 3   f x f x  k      1 x3 7 suy ra  f 3  x  dx  . 3 6 0 1 3 y  f  x  có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn Câu 63: Cho hàm số 1 4 0 [ f ‘( x )] dx  11 và 2 A. 1 1 7 0 x f  x  dx  11 . Giá trị của  f  x  dx là 4 35 . 11 B. 65 . 21 C. f 1  3 , 0 23 . 7 D. 9 . 4 Lời giải Chọn C 1 Cách1: Xét A   x f ( x)dx , Đặt 4 0 A 1 1 5 x f ( x) 0 5 1 Lại có x 10 0 THẦY VIỆT  dx  1 5 1 x5 f ‘( x)dx 0 u du f ( x) dv x 4 dx 7 11 3 5 1 5 v f ‘( x) dx 1 5 x 5 1 x5 f ‘( x)dx 0 7 11 1 x5 f ‘( x)dx 0 2 11 1 nên: 11 0905.193.688 80 https://www.facebook.com/vietgold Chọn D “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 0 0 5 10   f ‘( x) dx  4 x f ‘( x)dx  4 x dx  0 2 0 1    f ‘( x)  2 x5  2 dx  0  f ‘( x)  2 x5 https://luyenthitracnghiem.vn 0  f ( x)   x6 10  C  C  (do f (1)  0) 3 3 1   x6 10  23  I     dx  3 3 7 0 Cách 2: Trắc nghiệm 1 4 11 2 f ‘( x) dx Từ 0 1 0 2x f ‘( x) f ‘( x) 2 11 x5 f ‘( x)dx Chọn f ‘( x) 1 5 2 x5 dx 0. 0 x6 3 f ( x) 10 3 I 23 . 7 3x 4  x 2  1 2 1 . f  x  và f 1   . Cho biết giá trị của 2 x 3 b 1b  8 f 1  f  2   f  3  …  f  2017     1 , với là phân số tối giản. Tính a  b . a 2 a  https://www.facebook.com/vietgold Câu 64: Cho f  x   0 biết A. 4070307 . f  x  B. 4070308 . C. 4066273 . D. 40662241 . Lời giải Chọn B Có f  x   f  x f  x 3x 4  x 2  1 2 1  1  . f  x  2 dx    3x 2  1  2  dx  3x 2  1  2   2 2 x f  x f  x x  x  1 1  x3  x   C . f  x x 1 1 x4  x2  1 1  x3  x   f 1    C  0   f  x x x 3        2 2 1 x  x 1  x  x 1 1 2x x  . .  .  f  x   4 x  x2  1 2 x2  1 2  x2 2 x2  x  1 . x2  x  1    1 1 1  f  x      2  x  x  1  1 x  x  1  1  81 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 1 1 1 1  S   f  x       …    2  1.2  1 0.1  1 2.3  1 1.2  1 2017.2018  1 2016.2017  1  x 1 1 1 b  1   1     1   2 2017.2018  1  2  a 2017  a  2017.2018  1, b  1  a  b  4070308 . Câu 65: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên thỏa mãn f  ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 .e2018 x với A. f (1)  2019e2018 . B. f (1)  2019e2018 . C. f (1)  2018e2018 . https://luyenthitracnghiem.vn và f (0)  2018 . Tính giá trị f (1) . mọi x  D. f (1)  2017.e2018 Lời giải Chọn A Ta có f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 .e2018 x  1  0 f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x f ( x)  2018 f ( x) dx   2018.x 2017dx (1). e2018 x 0 1 1 Xét I   0 f ( x)  2018 f ( x) dx   f ( x).e2018 x dx   2018. f ( x).e 2018 xdx 2018 x e 0 0 1 1 u  f ( x) du  f ( x)dx  Xét I1   2018. f ( x).e2018 xdx . Đặt   2018 x dx v  e2018 x dv  2018.e 0 1 Do đó I1  f ( x).(e 2018 x 1 )   f ( x).e2018 x dx  I  f (1).e2018  2018. 1 0 0 1 Khi đó từ (1) suy ra I  f (1).e2018  2018  x 2018  f (1)  2019.e2018 . 0 2 1  3  f   x   f  x     dx  2 f   x  f  x  dx . Tính tích phân 9 0 0 1 A. 1 3 . 2 B. 5 . 4 1   f  x  dx . 3 0 5 . 6 Lời giải C. D. 7 . 6 Chọn D Áp dụng BĐT Holder ta có: 2 2 1 1  1  1  2 9    f ( x)  f ( x)  dx   4   f ( x) f ( x)dx   4 f ( x) f 2 ( x)dx 9  0 0  0  2 1 1  1   9    f ( x) f 2 ( x)  dx   4 f ( x) f 2 ( x)dx  0 9  0 0  2 1 1 1 f 3 ( x) 1  9   f ( x) f 2 ( x)dx    0  f ( x) f 2 ( x)    xC 9 9 3 9 0  THẦY VIỆT  0905.193.688 82 https://www.facebook.com/vietgold Câu 66: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f (0)  1 và “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 Vì f (0)  1 nên C  . Khi đó f 3 ( x)  x  1. 3 3 1 Vậy 1 0 https://luyenthitracnghiem.vn 1  7   f ( x) dx    3 x  1dx  6 . 3 0 Câu 67: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49] Cho hàm số f ( x) dương và có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa f  0   4 f 1  mãn 1 1 1  f  x   0  x  1 . f   x  dx= 8 , 0  f   x  2 dx= 64 . Tính tích phân   1 1 1 A. . B. . C. . 32 24 8 Lời giải 3 1 3 1 , 16 f   x   0x  0; 1 và 1  f  x dx . 0 D. 1 . 4 Chọn B Ta có: 1   x  1 3 1 1 f ( x)dx=  x  1 f  x    3  x  1 f  x  dx 3 0 0 mà f  0   4 f 1  2 0 1 1 3 ,   x  1 . f   x  dx= 8 16 0 1 1 https://www.facebook.com/vietgold Nên 1   x  1 f  x  dx= 16 . 2 0  f  x    0 ;   x  1 f   x   0 x  0; 1 Vì f  x   0 , f   x   0x  0; 1 nên  2  f   x   3 1 1 f  x 1 2    x  1 f  x  dx     2 16 0 0  3  f   x        x  1 2 . 3  f ‘ x  2  dx             f  x   1  3 3  3 dx.  x  1 f x dx       2 0  f x    0      3 1 2 2 1 3 1 1  .    64  8  16 3 Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  f  x   f  x 1 1 1 3  k  x  1 f   x    ln  f  x    3 ln  x  1  C 3 2 f  x k x 1 k  f   x   3 1 1 1 1 1 1 1 Do f  0   , f 1  nên C  ln , 3  2  f  x   .   f  x  dx  2 32 4 16 4 k  x  1 0 83 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 68: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa mãn f 1  1, f   x   0x 0; 1 và 1 1 2 9 0  f   x  dx= 5 , 0 f  x dx= 52 . Tính 1 tích phân I   f  x dx . 0 A. I  3 . 5 B. I  1 . 4 C. I  3 . 4 D. I  1 . 5 trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x  1;4  f 1  2 g 1  2 4  1 1 2 1 . Tính I    f ( x).g ( x) dx .  . ; g ‘ x   . 1  f ‘ x  x x g ( x) x x f ( x)  A. 4ln 2 . B. 4 . C. 2ln 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có f ‘( x).g ( x)  1 x x và g ‘( x). f ( x)   2 x x 1 1  , hay  f ( x).g ( x)   . f ‘( x).g ( x)  g ‘( x). f ( x)   x x x x Do đó f  x  .g  x     1 x x 4 1 1  I    f ( x).g ( x) dx   2  C . Lại có f 1 .g 1  2.1  2 nên C  0 . x 2 dx=4 . x Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  2 0 0 A. I  2  e . 0;1 thỏa mãn f 1  0 và e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 B. I  e  2 . 1 C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 Lời giải Chọn B 1 Xét A    x  1 e x f  x  dx 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt    x x  dv   x  1 e dx v  xe THẦY VIỆT  0905.193.688 84 https://www.facebook.com/vietgold 4 dx  , suy ra https://luyenthitracnghiem.vn Câu 69: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lần 1 – 2018) Cho hai hàm f  x  và g  x  có đạo hàm “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình 1 1 1 0 0 0 Suy ra A  xe x f  x    xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  1 0 1  e2 4 1 1 1 e2  1 1 Xét  x e dx  e  x 2  x    2 40 4 2 0 1 2x https://luyenthitracnghiem.vn 2 2x 1 Ta có : 1 1 1 0 0 0 x x 2 2x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe  dx  0 2 0 2 Suy ra f   x   xe x  0, x  0;1 (do  f   x   xe x   0, x  0;1 ) 2  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 0 0 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 . 1 0 Câu 71: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo 1 và f (0)  0, f ‘(1)  hàm đến cấp 2 trên 1 39 9 5 ,  [f ‘( x)]2 dx  ,  ( x 2  x) f “( x)dx  . Tính 2 4 0 2 0 2 tích phân I   f ( x)dx . 0 https://www.facebook.com/vietgold A. 14 . 3 7 . 3 Lời giải B. 14. C. D. 7. Chọn D Chọn f ( x)  ax 2  bx, f (0)  0; f ‘( x)  2ax  b, f ‘(1)  1 [ f ‘( x)]2  (ax  b) 2   (ax  b) 2 dx  0 9 9  2a  b  (1) 2 2 4 2 39 a  2ab  b 2  (2) 3 4 1 1 0 0 Lại có: f “( x)  2a   ( x 2  x) f “( x)dx  2a  ( x 2  x)dx  Thay (3) vào (1) ta được b  5a 5a 5 3    a  (3) 3 3 2 2 9 Từ đây thay a, b vào (2) kiểm chứng (2) đúng. 2 2 2 3 3 Vậy ta tìm được f ( x)  ( x 2  x) . Vậy I   f ( x)dx   (x 2  x)dx  7 20 2 0 85 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình Câu 72: Cho hàm số f  x  liên tục trên  1 thỏa mãn f   x   x  , x  x  và f 1  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của f  2  . A. 3. 5  ln 2. 2 Lời giải B. 2. C. D. 4. 1 Theo giả thiết f   x   x  , x  x  nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta 1 3  được:  f   x  dx    x   dx   ln 2. x 2 1 1 2 2 2 Mà  f   x  dx  f  x  2 1  f  2   f 1  f  2   1 nên f  2   1  1 Suy ra f  2   3  ln 2. 2 5  ln 2. 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f   x   x  , x  0. x x2 1  ln x  C , mà f 1  1 nên C  . 2 2 Do đó f  x   x2 1  ln x  . 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của f  2   https://www.facebook.com/vietgold Suy ra f  x   5 x2 1  ln 2 khi f  x    ln x  . 2 2 2  f  1  g 1  1; f  2  g  2   f 1  Câu 73: Cho hàm số f  x  và g  x  thỏa mãn  1   1  f   x  g   x   g  x  .  f   x   x f   x      x  0 2 Tính tích phân I   f  x  g   x  1 A. I  3 1  ln 2 . 4 2 3 1 3 1 B. I    ln 2 . C. I   ln 2 . 4 2 4 2 Lời giải 3 1 D. I    ln 2 . 4 2 Chọn D 1   1  f   x  g   x   g  x  .  f   x   f   x  x    x  xf   x  g   x   g  x  .  xf   x   f   x  THẦY VIỆT  0905.193.688 https://luyenthitracnghiem.vn Chọn C 86 “Thành công là nói không với lười biếng”  Ba Đồn – Quảng Bình  g  x   xf   x   xf   x  g   x   x https://luyenthitracnghiem.vn   xf   x  g  x   x x2  xf   x  g  x    C 2 Do f  1  g 1  1 nên xf   x  g  x   x2 1 x 1  hay f   x  g  x    2 2 2 2x Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 ta được 3 1 x 1   ln 2     dx   f   x  g  x  dx  f  x  g  x   I 4 2 2 2x  1 1 2 2 3 1  I    ln 2 . 4 2 1  Câu 74: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  ; 2  và thỏa mãn 2 f  x   2  2 x  * . Tính tích phân I   1 2 A. I  3 . 2 B. I  1 3 f   ,  x x f  x dx . x 5 . 2 C. I  4ln 2  15 . 8 D. I  4ln 2  15 . 8 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn A Đặt: t  1 1 1  x   dx   2 dt x t t Đổi cận: 2 I  1 2 1 f  2 2  t  1 dt  1 f  1  dt  1 f  1  dx 1 t  t  1 x  x  1 t2 2 2 t 2  3I  2  1 2 87 2 2 f  x 1 1 1 dx   f   dx    2 f  x   x x 1 x 1 x  2 2 1 3 3  1  f    dx   . dx   2 dx  x  1 x x 1 x 2 2 2 2 THẦY VIỆT  0905.193.688 TÍCH PHÂN HÀM ẨN  Ba Đồn – Quảng Bình 2 I  1 2 2 3 1  1 dx      . 2 x  x1 2 2 Câu 75: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 , 1 x  0;1 . Tính I   f  x  dx . 0 1 . 2019.2021 B. I  1 . 2018.2019 C. I  1 . 2018.2020 D. I  1 2019.2020 . https://luyenthitracnghiem.vn A. I  Lời giải Chọn A Nhân x 2 vào hai vế của giả thiết ta được 3x 2 f  x   x3 f ‘  x   x 2020   x3 . f  x   x 2010 . ‘ x 2021 x 2018 c Suy ra   x3 . f  x  dx   x 2010dx  x3 f  x    c  f  x   . 2021 2021 x3 Chọn f  x   1  0 x 2018 ta có 2021 1 1 x 2018 x 2019 1 f  x  dx   dx   . 2021 2019.2021 0 2019.2021 0 https://www.facebook.com/vietgold THẦY VIỆT  0905.193.688 88
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top