Hình học tọa độ Oxyz (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình học tọa độ Oxyz Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1.1. Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục Ox, Oy , Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy , trục cao Oz , các mặt tọa độ  Oxy  ,  Oyz  ,  Ozx  . 1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2  2  2 i  j k 1 2  2 a  a Chú ý:    i j  ik  jk  0       1.3. Tọa độ véc tơ u  (x ; y; z )  u (x ; y ; z )  u  xi  y j  zk     1.4. Tọa độ điểm M (x ; y; z )  OM  xi  y j  zk 1.5. Cáccông thức tọađộ cần nhớ Cho u  (a ;b; c), v  (a ;b ;c ) a  a ‘     u  v  b  b ‘  c  c ‘    u  v  a  a ; b  b ; c  c     ku  (ka ; kb; kc)       u .v  u . v .cos(u,v )  aa   bb   cc    u.v aa   bb  cc    cos(u,v)     u .v u .v   u     u v   AB  2 u  a 2  b2  c2   u.v  0 x B  x A; y B  yA; z B  z A   AB  AB  x B  xA  2   y B  yA 2   z B  zA 2  1.6. Chú ý   Góc của 2 véc tơ u, v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;   là:     sin u, v  1  cos2 u, v  0       1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng   M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA  kMB ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  x A  kx B x M  1k  y A  kyB  Công thức tọa độ của M là : yM  1k  z z  A  kz B  M 1k  1.8. Công thức trung điểm  xA  xB x M  2     yA  yB  Nếu M là trung điểm AB thì MA  MB  0  yM  2  z  z  A z B  M 2  1.9. Công thức trọng tâm tam giác  x A  x B  xC xG  3      y  y  yC  B Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0  yG  A 3  z  z  zC z  A B G 3  1.10. Công thức trọng tâm tứ diện Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì  x A  x B  xC  x D xG  4       y  y  yC  yD B GA  GB  GC  GD  0  yG  A 4  z  z  zC  z D z  A B G 4  1.11. Tích có hướng 2 véc tơ   Cho 2 véc tơ u  (a;b;c ) và v  (a ;b ;c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí     hiệu u, v  hay u  v có toạ độ:     b c c a a b  u, v      bc   b c; ca   ac ;ab   ba  ; ;    b c c a  a  b    1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ      u , v  vuông góc với u và v        u , v   u . v sin u , v        u , v   0  u , v cùng phương   1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ    Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB, AD    ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1    Diện tích ABC : S  . AB, AC   2         Ba véc tơ u, v, w đồng phẳng: u, v  .w  0       Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’ : V  AB, AD  .AA        1  Thể tích khối tứ diện S . ABC : V  . AB, AC  .SA  6  2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp 2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. 2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.  Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.  Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB  k AC  AB, AC   0    ABCD là hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của  AB   AB  ABC trên BC . Ta có: EB   .EC , FB  .FC AC AC        A, B, C , D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng  AB , AC  .AD  0 B – BÀI TẬP      Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u  3i  2 j  2k . Tìm tọa độ của u .  A. u   2;3; 2  .    B. u   3;2; 2  . C. u   3; 2;2  . D. u   2;3;2  .       Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 1;2; 1 , b  3; 4;3 . Tìm tọa độ của x biết x  b  a .  A. x  2;2; 4 .    B. x  2; 2; 4 . C. x  2; 2; 4  . D. x 1;1;2  .    Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a  1;  1; 2 , b   3;0;  1 và c   2;5;1 . Toạ độ của     vectơ u  a  b  c là:     A. u   6;  6;0  B. u   6;0;  6  C. u   0;6;  6  D. u   6;6;0   Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  1;  2;1 và v   2;1;1 , góc giữa hai vectơ đã cho bằng  2  5 . B. . C. . D. . 6 3 3 6    Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a   1;1;0  , b  1;1;0  , c  1;1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   A. b  a. Hình học tọa độ Oxyz    C. b  c. D. a  2.   Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u  2;3; 1 và v  5; 4; m . Tìm m để   u  v.  B. c  3. A. m  0 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 .   Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 vectơ a   1;1;0 ; b  1;1;0 . Trong các kết luận :   I  . a  b ;   II  . b  a ;   III  . a  b ;   IV  . a  b , có bao nhiêu kết luận sai ? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 .         Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ O; i ; j ; k , cho hai vectơ a   2; 1;4  và b  i  3k . Tính a.b .       A. a.b  5 . B. a.b  10 . C. a.b  11 . D. a.b  13 .   Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a   2; 4;  2  và b  1;  2; 3 . Tích vô hướng của hai   vectơ a và b bằng A. 12 . B. 30 . C. 6 . D. 22 .   Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u  1;1; 2  , v  1;0;m  . Tìm m để góc giữa   hai vectơ u , v bằng 45 . A. m  2 . B. m  2  6 . C. m  2  6 . D. m  2  6 . Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2;1 , B  1; 0; 5 . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB . A. I (2; 2; 6) . B. I ( 1;  1; 1) . C. I (2; 1; 3) . D. I (1; 1; 3) . Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 và B  5; 2;0  . Khi đó:  A. AB  61 .  B. AB  3 .  C. AB  5 .  D. AB  2 3 . Câu 13: Cho ba điểm A  2; 1;5 , B  5; 5; 7  và M  x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì ba điểm A,B,M thẳng hàng ? A. x  4 và y  7 . B. x  4 và y  7 . C. x  4 và y  7 . D. x  4 và x  7 . Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 và B  2;1; 2  . Tìm tọa độ điểm M thỏa   MB  2MA .  1 3 5 D. M   ; ;  .  2 2 2 Câu 15: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A 1;2; 1 và điểm B  2;1; 2  . A. M  4;3;1 . B. M  4;3; 4  . C. M  1;3;5  . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  3  2  1  A. M  ; 0; 0  . B. M  ; 0; 0  . C. M  ; 0; 0  . D. M  ; 0; 0  . 2  2  3  3  Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 4;1) và B (1; 2;1) là A. M (0;5;0). B. M (0; 5;0). C. M (0; 4; 0). D. M (5;0;0).   Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ a 1;  2;0  và b  2;3;1 . Khẳng định nào sau đây là sai?  A. b  14 .  B. a.b  8 .   D. a  b   1;1;  1 .  C. 2a   2;  4;0  . Câu 18: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ? A. M 1; 0; 0 . B. M  0; 0; 3 . C. M  0; 2; 0  . D. M  1; 0; 2  . Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  Oyz  là điểm M . Tọa độ của điểm M là A. M 1; 2;0  . B. M  0; 2;3 . C. M 1;0;0 . D. M 1;0;3 .   Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM  1;5;2  , ON   3;7; 4  . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . A. P  2;6; 1 . B. P  5;9; 10 . C. P  7;9; 10 . D. P  5;9; 3 . Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm K  2;4;6  , gọi K  là hình chiếu vuông góc của K lên Oz , khi đó trung điểm của OK  có tọa độ là: A.  0;0;3 . B. 1;0;0 . C. 1;2;3 . D.  0;2;0 . Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng  Oxy  ? A. N 1; 0; 2  . B. P  0;1; 2  . C. Q  0;0; 2  . D. M 1; 2; 0  . Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  và B  3;2;2  . Toạ độ của  AB là A.  2;4; 2  . B.  4;0;6  . C.  4;0; 6  . D.  1; 2; 1 .      Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a  2i  k  3 j . Tọa độ  của vectơ a là A. 1;  3; 2  . B. 1; 2;  3 . C.  2;  3;1 . D.  2;1;  3 . Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1;2;4  , B  2;4; 1 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB . A. G 1;2;1 . B. G  2;1;1 . C. G  2;1;1 . D. G  6;3;3 . Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;4;2  , B  1; 2;2  và G 1;1;3 là trọng tâm của tam giác ABC . Tọa độ điểm C là ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. C  0;1;2 . B. C  0;0;2  . C. C 1;1;5 . D. C 1;3;2 . Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;  1 , B  2;  1; 3 , C  3; 5;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D  2; 8;  3 . B. D  2; 2; 5  . C. D  4; 8;  5 . D. D  4; 8;  3 . Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;  4; 2  , B  4; 2;  3 , C  3;1;5  . Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD . A. D  6;  5  10  . B. D  0;7;0  . C. D  6;  5;10  . D. G  2;  1;3  . Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;1;  2  . Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxz  là A. A  4;  1;2  . B. A  4;  1; 2  . C. A  4;  1;  2  . D. A  4;1; 2  . Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 4; 5  , B   1; 0;1 . Tìm tọa độ điểm M    thõa mãn MA  MB  0 . B. M 1; 2; 3  . C. M   4;  4; 4  . D. M  2; 4; 6  . A. M  4; 4; 4  . Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 và B  5; 2; 0  . Khi đó:  A. AB  3 .    B. AB  2 3 . C. AB  61 . D. AB  5 .  Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho a   3; 2;1 và điểm A  4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn   AB  a . A.  7; 4;4  . B.  1; 8;2 . C.  7;4; 4  . D. 1;8; 2 . Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  2;0;0  , B  0;2;0 , C  0;0;2  và D  2;2;2  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của MN là: 1 1  C. I  ; ;1 . D. I 1;1;1 . 2 2  Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm A  3; 4;0 ; B  0;2;4 ; C  4;2;1 . Tọa độ diểm D trên A. I 1; 1;2 . B. I 1;1;0 . trục Ox sao cho AD  BC là: A. D  0;0;0   D  0;0; 6  . B. D  0;0; 3  D  0;0;3 . C. D  0;0;0   D  6;0;0  . D. D  0;0; 2  D  0;0;8  . Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  0;  2;  1 và A 1;  1; 2  . Tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2MB là 2 4  1 3 1 A. M  ;  ; 1 . B. M  ;  ;  . C. M  2; 0; 5  . D. M  1; 3; 4  . 2 2 2 3 3  Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;  1 , B  2;  1;3 , C  4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là A.  2;11;1 .  11  B.  ;  2;1 . 3   2 11 1  C.  ; ;  .  3 3 3 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  2 11  D.   ; ;1 .  3 3  Trang 7 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a   0;3;1 , b   3;0;  1 . Tính   cos a, b .       1 1 A. cos a, b   . B. cos a, b  . 10 10     1 1 C. cos a, b   . D. cos a, b  . 100 100 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  3; 2;3 , I 1;0;4  . Tìm tọa độ điểm N         sao cho I là trung điểm của đoạn MN . 7  C. N  2; 1;  D. N  1; 2;5  . 2  Câu 39: Trong không gian Oxyz cho điểm A  3; 4;3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng A. N  5; 4; 2  . B. N  0;1;2 . 34 . B. 10  3 2 . C. 34 . D. 10 . 2      Câu 40: Cho các vectơ u  1; 2;3 , v   1; 2; 3  . Tính độ dài của vectơ w  u  2v A.  A. w  85 .  B. w  185 .  C. w  26 .  D. w  126 . Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho E  5; 2;3 , F là điểm đối xứng với E qua trục Oy . Độ dài EF là. A. 2 34 . B. 2 13 . C. 2 29 . D. 14 . Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  0; 0; 3 , B  0; 0;  1 , C 1; 0;  1 , D  0; 1;  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. AB  BD . B. AB  BC . C. AB  AC . D. AB  CD . Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho A  1;2;4 , B  1;1;4  , C  0;0;4  . Tìm số đo của góc  ABC . A. 60 O . B. 135 . C. 120 O . D. 45O . Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết A  2;4;0 , B  4;0;0 , C  1;4;  7  và D  6;8;10  . Tọa độ điểm B  là A. B  8;4;10  . B. B  6;12;0  . C. B 10;8;6  . D. B 13;0;17  . Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B  2;1; 2  , D 1;  1;1 , C   4;5;  5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp. A. A  3;4;  6  . B. A  4;6;  5  . C. A  2;0;2  . D. A  3;5;  6  . Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D có A  0;0;0 , B  3;0;0 , D  0;3;0  và D  0;3; 3 . Tọa độ trọng tâm của tam giác A B C là. A. 1;2; 1 . B.  2;1; 2 . C.  2;1; 1 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1;1; 2 . Trang 8 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai vector a   a1 , a2 , a3  , b   b1 , b2 , b3  khác 0 . Tích có hướng của    a và b và c . Câu nào sau đây đúng?   A. c   a1b3  a3b1 , a2b2  a1b2 , a3b2  a2b3  . B. c   a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 , a2b3  a3b1  .   C. c   a2b3  a3b2 , a3b1  a1bb , a1b2  a2b1  . D. c   a1b3  a2b1 , a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3  .   Câu 48: Cho a   2 ;0; 1 , b  1; 3;  2  . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?     a, b    3;  3;  6  .  a, B.   A.  .    C.  a, b   1; 1;  2  . D.  a,     Câu 49: Cho a  1;0; 3 ; b   2;1;2  . Khi đó a; b  có giá trị là A. 8 . B. 3 . C.  b    3; 3;  6  .  b    1;  1; 2  . 74 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 . Trang 9 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Phương trình mặt cầu 1.1. Phương trình chính tắc Phương trình của mặt cầu S tâm I a ;b; c , bán kính R là:      (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R 2 1  Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z 2  R 2 1.2. Phương trình tổng quát Phương trình : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình của mặt     cầu S có tâm I a ;b; c , bán kính R  a 2  b 2  c 2  d . 2. Một số bài toán liên quan 2.1. Dạng 1: S  có tâm I a;b; c  và bán kính R thì S : (x  a )2  (y  b )2  (z  c)2  R 2   2.2. Dạng 2: S có tâm I a;b; c và đi qua điểm A thì bán kính R  IA .     2.3. Dạng 3: S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x  xB y  yB z  zB AB : x I  A ; yI  A ; zI  A 2 2 2 AB  Bán kính R  IA  . 2 2.4. Dạng 4: S đi qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)      Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng:  x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 * .   Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C , D vào * , ta được 4 phương trình. THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG 2.5. Dạng 5: S đi qua ba điểm A, B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P cho trước thì giải tương tự     dạng 4 6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước thì bán    kính mặt cầu R  d I ; P 2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .  Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S   r 2 hoặc chu vi đường tròn P  2 r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .     Tính d  d I , P  Tính bán kính mặt cầu R  d 2  r 2 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Kết luận phương trình mặt cầu. B – BÀI TẬP 2 2 Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  1  z 2  4 có tâm I và bán kính R lần lượt là A. I  2; 1;0  , R  4 . B. I  2; 1;0  , R  2 . C. I  2;1;0  , R  2 . D. I  2;1;0  , R  4 . Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  :  x  1 2 2  y 2   z  1  4 . A. I  1;0;1 , R  2 . B. I 1;0; 1 , R  4 . C. I 1;0; 1 , R  2 . D. I  1;0;1 , R  4 . 2 2 2 Câu 3: Trong không gian Oxyz , mặt cầu  x  1   y  2    z  3  4 có tâm và bán kính lần lượt là A. I 1; 2; 3 ; R  2 . B. I 1; 2; 3 ; R  4 . C. I  1; 2;3 ; R  4 . D. I  1; 2;3 ; R  2 . Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm I 1;2;  3 bán kính R  2 là: 2 2 2 B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0 . 2 2 2 D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0 . A.  x  1   y  2    z  3  22 . C.  x  1   y  2    z  3  2 . Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình: 2 2  x  1   y  2    z  3 2  4 . Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của  S  . A. I (  1; 2;  3) và R  4 . C. I (  1; 2;  3) và R  2 . B. I (1; 2; 3) và R  2 . D. I (1; 2; 3) và R  4 . Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M  6;2; 5 , N  4;0;7  . Viết phương trình mặt cầu đường kính MN ? 2 2 2 B.  x  5    y  1   z  6   62 . 2 2 2 D.  x  5    y  1   z  6   62 . A.  x  1   y  1   z  1  62 . C.  x  1   y  1   z  1  62 . 2 2 2 2 2 2 Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  x  2 y  1  0 . Tâm I và bán kính R của  S  là 1 1  1  1  A. I  ;1; 0  và R  B. I  ; 1; 0  và R  2 2  2  2  1 1 1   1  C. I  ; 1; 0  và R  D. I   ;1; 0  và R  2 4 2   2  2 2 2 Câu 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2x  4 y  2z  0 , toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  là. A. I 1; 2;1 , R  6 . B. I 1; 2;1 , R  6 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A D. I  1;2; 1 , R  6 . C. I  1;2; 1 , R  6 . Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  4x  2 y  6z  5  0 . Mặt cầu  S  có bán kính là A. 3 . B. 5 . C. 2 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình D. 7 . x 2  y 2  z 2  2 x  6 y  1  0 . Tính tọa độ tâm I , bán kính R của mặt cầu  S  .  I 1; 3; 0  D.  .  R  10 Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 . Tìm  I  1;3;0  A.  .  R  3  I 1; 3;0  B.  .  R  3  I  1;3;0  C.  .  R  9 toạ độ tâm I và tính bán kính R của  S  . A. I  2;1;3 , R  4 . B. I  2; 1; 3 , R  4 . C. I  2;1;3 , R  2 3 . D. I  2; 1; 3  , R  12 . Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  8x  4 y  2z  4  0 có bán kính R là A. R  5 . B. R  25 . C. R  2 . D. R  5 . Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I  2;1;3 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  10  0 . Tính bán kính r của mặt cầu  S  , biết rằng  S  có tâm I và nó cắt  P  theo một đường tròn  T  có chu vi bằng 10 . A. r  5 B. r  34 C. r  5 D. r  34 Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1; 3), B( 1; 3; 2), C( 1; 2; 3) . Mặt cầu tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 3 3 . B. R  3 . C. R  . D. R  3 . 2 2 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A  3; 4; 2 , B  5; 6; 2 , C  10; 17; 7  . Viết phương A. R  trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 2 2 2 2 2 A.  x  10    y  17    z  7   8 . 2 C.  x  10    y  17    z  7   8 . 2 2 2 2 2 2 B.  x  10    y  17    z  7   8 . D.  x  10    y  17    z  7   8 . Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 và B  1;4;1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 2 2 A. x 2   y  3   z  2   12 . 2 2 2 C.  x  1   y  4    z  1  12 . 2 2 2 B.  x  1   y  2    z  3  12 . 2 2 D. x 2   y  3   z  2   3 . Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I 1;2;  4 và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 2 B.  x  1   y  2    z  4   9. . 2 2 2 D.  x  1   y  2    z  4   9. . A.  x  1   y  2    z  4   3. C.  x  1   y  2    z  4   9. . 2 2 2 2 2 2 Câu 18: Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x – 2 y – 2 z – 8  0 có phương trình là 2 2 2 A.  x  1   y – 2    z  1  3 . 2 2 2 C.  x  1   y – 2    z  1  9 . 2 2 2 2 2 2 B.  x  1   y – 2    z  1  9 . D.  x  1   y – 2    z  1  3 . 2 2 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình  x  1   y  3  z 2  9 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I  1;3;0 ; R  3 . B. I 1; 3;0 ; R  9 . C. I 1; 3;0 ; R  3 . D. I  1;3;0 ; R  9 . Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I  2; 1;3 tiếp xúc với mặt phẳng  Oxy  có phương trình là 2 2 2 B.  x  2   y  1   z  3  4 . 2 2 2 D.  x  2   y  1   z  3  9 . A.  x  2   y  1   z  3  3 . C.  x  2   y  1   z  3  2 . 2 2 2 2 2 2 Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1;3; 2  và mặt phẳng  P  : 3x  6 y  2 z  4  0. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng  P  là 1 . 49  1. 2 2 2 B.  x  1   y  3   z  2   2 2 2 D.  x  1   y  3   z  2  A.  x  1   y  3   z  2   49 . C.  x  1   y  3   z  2   7 . 2 2 2 2 2 2 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm I 1;2  3 . Mặt cầu  S  tâm I và tiếp xúc mp  P  có phương trình: A. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 C. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 B. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  2 . D. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  16 ; Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;4;2 và tiếp xúc mặt phẳng  P  : 2x  2 y  z  15  0 . Khi đó phương trình của mặt cầu  S  là 2 2 2 B.  x  1   y  4    z  2   81 . 2 2 2 D.  x  1   y  4    z  2   81 . A.  x  1   y  4    z  2   9 . C.  x  1   y  4    z  2   9 . 2 2 2 2 2 2 Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  2;1;  4  và mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 . Biết rằng mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu  S  . 2 2 2 B.  S  :  x  2    y  1   z  4   13 . 2 2 2 D.  S  :  x  2    y  1   z  4   13 . A.  S  :  x  2    y  1   z  4   25 . C.  S  :  x  2    y  1   z  4   25 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 2 2 2 2 2 Trang 13 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT) A – LÝ THUYẾT CHUNG 1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến   n khác 0 và có giá vuông góc mp  P được gọi là véc tơ pháp tuyến của  P. 1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến   Nếu n là véc tơ pháp tuyến của  P  thì kn , (k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của  P. 2.1 Phương trình tổng quát của mp  P  Phương trình tổng quát của mp  P qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có véc tơ pháp tuyến n  (A; B;C ) là A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C (z  z 0 )  0 2.2. Khai triển của phương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) 2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát   P  qua gốc tọa độ  D  0        P P P P P P P song song hoặc trùng Oxy  A  B  0 song song hoặc trùng Oyz   B  C  0 song song hoặc trùng Ozx  A  C  0 song song hoặc chứa Ox  A  0 song song hoặc chứa Oy  B  0 song song hoặc chứa Oz  C  0 cắt Ox tại A a;0;0 , cắt Oy tại B 0; b;0 và cắt Oz tại C 0;0; c   P có phương trình x y z    1 a, b, c  0 a b c 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  P  : Ax  By  C z  D  0.   Khi đó:   P  cắt  P   A : B : C  A  : B  : C . A B C D    . A B C  D A B C D    .   P    P   A B C  D       P    P    n P   n P  n P  .n P  0  AA  BB  CC  0.   P  //  P  4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng   Cho M x 0 ; y 0 ; z 0 và (P ) : Ax  By  Cz  D  0 ; d(M ,(P ))  Ax 0  By0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  MH , n cung phuong Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P   . H  (P ) 5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng   Điểm M ‘ đối xứng với điểm M qua P   MM   2MH   6. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,    có phương   : A x  B y  C z  D  0 Góc giữa   ,    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT 2 2 Chú ý: 2    : A x  B y  C z  D trình: 1 1 1 1 0 2   n1, n2 .   n1.n2 A1A2  B1B2  C1C 2 cos ( ),( )     n1 . n2 A12  B12  C 12 . A22  B22  C 22  00     ,    900 ; ( )  ( )  A1A2  B1B2  C 1C 2  0 7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng  : Ax  By Cz  D  0 và mặt cầu S : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm I        và S  không có điểm chung  d (I ,( ))  R   tiếp xúc với S   d (I ,( ))  R với   là tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .            Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . H là tiếp điểm của S với  .    cắt S  theo một đường tròn  d (I ,( ))  R Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .          Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của S với   .  Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R2  IH 2 8. Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó.  8.1. Dạng 1:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có VTPT n   A; B ;C  thì:           : A  x  x   B y  y   C  z  z   0 0 0 0      có cặp VTCP a , b thì n  a ,b  là một VTPT của      8.3. Dạng 3:   đi qua điểm M  x ; y ; z  và song song với   : Ax  By  Cz  0 thì   : A  x  x   B y  y   C  z  z   0 8.2. Dạng 2:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 0 0 0 0   0 0 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A     8.4. Dạng 4:  đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của     là: n  AB, AC  THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG 8.5. Dạng 5:  đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M :   Trên d lấy điểm A và VTCP u .     Một VTPT của  là: n  AM , u   8.6. Dạng 6:  đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP u của đường thẳng d             là một VTPT của  .   8.7. Dạng 7:  chứa đường thẳng cắt nhau d1, d 2 :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .      Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M   .   8.8. Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 ( d1 , d 2 chéo nhau ) :    Xác định các VTCP a ,b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .      Lấy một điểm M thuộc d1  M   .   8.9. Dạng 9:  đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .       8.10. Dạng 10:  chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :    Xác định VTCP u của d và VTPT n  của  .     Một VTPT của  là: n  u , n   .        Lấy một điểm M thuộc d  M   .       8.11. Dạng 11:  đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  :    Xác định các VTPT n  , n của  và  .     Một VTPT của  là: n  u  , n  .         8.12. Dạng 12:  chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:    Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0 A2  B 2  C 2  0 .     Lấy 2 điểm A, B  d  A, B   ( ta được hai phương trình 1 , 2 )   Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( ))  k , ta được phương trình 3 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Giải hệ phương trình 1 ,  2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).    8.13. Dạng 13:  là tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm H :     Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.    Một VTPT của  là: n  IH B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z  1  0. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của  P  ?   A. n   2; 1; 1 . B. n   2; 1; 1 .  C. n   1; 1; 1 .  D. n   2; 1; 1 . Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng  P  :2 x  3 y  4 z  5  0 . Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  .    A. n   2;3; 4  . B. n   2;3; 4  . C. n   2;3;5  .  D. n   4;3;2  . 1 2 Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?   A. n2  1; 2;1 . B. n3  1; 4; 2  .  C. n1   2; 2;1 .  D. n4   2;1;5  . Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua điểm M  2; 3;4  và nhận  n   2; 4;1 làm vectơ pháp tuyến A. 2 x  4 y  z  11  0 . C. 2 x  4 y  z  12  0 . B. 2 x  4 y  z  12  0 . D. 2 x  4 y  z  10  0 . Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0 , N  0; 2;0 và P  0;0;1 . Mặt phẳng  MNP  có phương trình là A. x y z    1. 3 2 1 B. x y z    1. 3 2 1 C. x y z    1. 3 2 1 D. x y z    1 3 2 1 . Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;3;4 . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC  . x y z x y z x y z x y z B.    1 C.    1 D.    1   1 4 4 3 3 4 2 3 2 4 2 3 4 Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(8, 0, 0); B (0,  2, 0); C (0, 0, 4) . Phương trình của mặt phẳng (P) là: A. x y z    1. 4 1 2 C. x  4 y  2 z  0 . A. B. x y z    0. 8 2 4 D. x  4 y  2 z  8  0 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 12;8;6 . Viết phương trình mặt phẳng   đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. A. 2 x  3 y  4 z  24  0. B. x y z    1. 12 8 6 x y z    1. D. x  y  z  26  0. 6 4 3 Câu 9: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B  2; 1;0  , C 1;1;3 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C . C. A. 7 x  2 y  z 10  0 . B. x  y  z  4  0 . C. 4x  y  z  7  0 . D. 7 x  2 y  z 12  0 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A   4; 0;1 và B   2; 2;3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ? A. 6 x  2 y  2 z  1  0 . C. 3 x  y  z  6  0 . B. 3x  y  z  0 . D. 3 x  y  z  1  0 . Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;2;  3 , B  3;2;9 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là: A. x  3z  10  0 . B. 4 x  12 z  10  0 . C. x  3 z  1  0 . D. x  3z  10  0 . Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 1;3; 2 , N 5;2;4 , P  2; 6; 1 có dạng Ax  By  Cz  D  0 . Tính tổng S  A  B  C  D . A. S  3 . B. S  1 . C. S  6 . D. S  5 . Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 , B  0; 2;0  . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng  OAB  ? A. z  0 . B.  x 1   y  2   0 . x y x y   1. D.   z  0. 1 2 1 2 Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3;2;1 và mặt phẳng  P : x  3 y  2 z 2  0 .Phương C. trình mặt phẳng Q  đi qua A và song song mặt phẳng  P  là: A.  Q :3x  y  2 z  9  0 . B.  Q  : x  3 y  2z  1  0 . C.  Q  : x  3 y  2 z  4  0 . D.  Q  : x  3 y  2z 1  0 . Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A  0;1;2 , B  2;  2;1 , C  2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A.  y  2 z  3  0 . B. 2 x  y  1  0 . C. y  2 z  5  0 . D. 2 x  y  1  0 . Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;  1;  2  và mặt phẳng   : 3x  y  2 z  4  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M song song với   ? ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay và Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz A. 3 x  y  2 z  6  0 . B. 3x  y  2 z  14  0 . C. 3 x  y  2 z  6  0 . D. 3 x  y  2 z  6  0 . Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A( 0;1;1) , B (1; 0;1) , C ( 0; 0;1) , và I (1;1;1) . Mặt phẳng qua I , song song với mặt phẳng  ABC  có phương trình là: A. z  1  0 B. y  1  0 C. x  y  z  3  0 Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox ? A. 2 x  y  1  0 . B. 3 x  1  0 . C. y  2 z  1  0 . D. x  1  0 D. 2 y  z  0 . Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng chứa 2 điểm A(1; 0;1) và B  1;2;2 và song song với trục Ox có phương trình là A. x  y  z  0 . B. 2 y  z  1  0 . C. y  2 z  2  0 . D. x  2 z  3  0 . Câu 20: Gọi   là mặt phẳng đi qua M 1; 1;2  và chứa trục Ox . Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng   ? A. P  2; 2; 4  . B. Q  0;4; 2  . C. M  0;4; 2  . D. N  2;2; 4  . Câu 21: Phương trình của mặt phẳng   qua A  2; 1; 4  , B  3; 2; 1 và vuông góc với mặt phẳng   : x  y  2z  3  0 là A. 11 x  7 y  2 z  21  0. B. 11 x  7 y  2 z  21  0. C. 11 x  7 y  2 z  21  0. D. 11 x  7 y  2 z  21  0. Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2; 1 ; B 1;0;1 và mặt phẳng (P) : x  2 y  z 1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A ; B và vuông góc với ( P) A. (Q) : 2x  y  3  0 . C. (Q) : x  y  z  0 . B. (Q) : x  z  0 . D. (Q) :3x  y  z  0 . Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2;4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng  P : x  3 y  2 z  5  0 . Một mặt phẳng Q  đi qua hai điểm A , B và vuông góc với  P  có dạng: ax  by  cz 11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  b  c . B. a  b  c  5 . C. a   b; c  . D. a  b  c . Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2; 3 . Mặt phẳng  P  đi qua điểm H , cắt Ox, Oy , Oz tại A, B , C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng  P  là A. ( P ) : 3 x  y  2 z  11  0. B. ( P ) : 3 x  2 y  z  10  0. C. ( P ) : x  3 y  2 z  13  0. D. ( P ) : x  2 y  3 z  14  0. Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  đi qua điểm   M  0; –1; 4 và nhận u  (3,2,1) , v  (3,0,1) làm vectơ chỉ phương là: A. x  y  z – 3  0 C. x – 3 y  3 z – 15  0 B. x – y – z – 12  0 D. 3 x  3 y – z  0 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  1  0 ,  Q  : y  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  cả hai mặt phẳng  P  và  Q  . A. 3 x  2 z  1  0 . C. 3 x  2 z  0 . chứa A , vuông góc với B. 3 x  y  2 z  2  0 . D. 3 x  y  2 z  4  0 . Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  và  Q  lần lượt có phương trình là x  y  z  0 , x  2 y  3 z  4 và điểm M 1;  2;5  . Tìm phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  P  ,  Q  . A. x  4 y  3 z  6  0 . C. 5 x  2 y  z  14  0 . B. 5 x  2 y  z  4  0 . D. x  4 y  3 z  6  0 . 2 2 2 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  5   9 . Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm A  2; 4;3 có phương trình là A. x  6 y  8z  50  0 . C. x  2 y  2z  4  0 . B. 3x  6 y  8z  54  0 . D. x  2 y  2z  4  0 . Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  0 . Mặt phẳng tiếp xúc với  S  tại điểm A  3; 4;3 có phương trình. A. 2 x  2 y  z  17  0 . B. 4 x  4 y  2 z  17  0 . C. x  y  z  17  0 . D. 2 x  4 y  z  17  0 . Câu 30: Cho mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z2  2 x  4 y  6 z  2  0 và mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  12 z  10  0 . Mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với ( ) có phương trình là: A. 4 x  3 y  12 z  78  0 . 4 x  3 y  12 z  26  0 . C. 4 x  3 y  12 z  26  0 . 4 x  3 y  12 z  26  0 . B. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc D. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc x y z   1  a  0  cắt ba a 2a 3a trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba điểm A, B , C . Tính thể tích V của khối tứ diện OABC . Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  :  A. V  4 a 3 . B. V  a 3 . C. V  3a 3 . D. V  3a 3 . Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oy và đi qua điểm M (1; 1;1) là: A. x  y  0 . B. x  y  0 . C. x  z  0 . D. x  z  0 . Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  : x  y  z  1  0 và    : 2x  my  2z  2  0 . Tìm m A. m  2 . C. Không tồn tại m . để   song song với    . B. m  5 . D. m  2 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  2x  4 y  6z  5  0. Tiếp diện của  S  tại điểm M  1;2;0 có phương trình là A. z  0. B. x  0. C. 2 x  y  0. D. y  0.  x  2  2t  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1  t . Mặt phẳng đi qua A  2; 1;1 và vuông   z  4  t góc với đường thẳng d có phương trình là: A. x  3 y  2 z  5  0 . B. 2 x  y  z  2  0 . C. x  3 y  2 z  3  0 . D. x  3 y  2 z  3  0 . Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm H  2;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . x y z   1 2 1 1 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  1  0 và hai điểm A 1; 2;3 , A. x  y  z  0 B. 2 x  y  z  6  0 C. 2 x  y  z  6  0 D. B  3;2; 1 . Phương trình mặt phẳng  Q  qua A, B và vuông góc với  P  là A.  Q  : 2 x  2 y  3z  7  0 . B.  Q  : 2 x  2 y  3z  7  0 . C.  Q  : 2 x  2 y  3z  9  0 . D.  Q  : x  2 y  3z  7  0 . Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm A 1;1;1 và B  0;2;2  đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM  2ON . A.  P  : 2 x  3 y  z  4  0 . B.  P  : 2 x  y  z  4  0 . C.  P  : x  2 y  z  2  0 . D.  P  : 3x  y  2 z  6  0 . Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2;3 là trực tâm của ABC với A, B, C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là A. 3x  y  2 z  9  0 C. 3x  2 y  z  10  0 B. x  2 y  3z  14  0 x y z D.    1 1 2 3 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT x 1 y  2 z 1 . Trong các mặt phẳng dưới đây,   2 1 1 tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : A. 2 x  2 y  2 z  4  0 . B. 4 x  2 y  2 z  4  0 . C. 4 x  2 y  2 z  4  0 . D. 4 x  2 y  2 z  4  0 . Câu 2: Mặt phẳng  P  đi qua điểm A 1;2;0  và vuông góc với đường thẳng d : x  1 y z 1 có   2 1 1 phương trình là : A. 2 x  y  z  4  0 . B. 2 x  y  z  4  0 . C. x  2 y  z  4  0 . D. 2 x  y  z  4  0 .  x  1  3t  Câu 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d  có phương trình  y  2  t ; t   . Mặt phẳng  P  đi  z  3  2t  qua A( 1; 2;1) và  P  vuông góc với đường thẳng  d  thì  P  có phương trình là: A.  P  : 3x  y  2 z  3  0 . B.  P  : x  2 y  3z  2  0 . C.  P  : 3x  y  2 z  3  0 . D.  P  : x  2 y  3z  2  0 . Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : song song với đường thẳng d  : A. x  y  2 z  2  0 x  3 y  2 z 1   và 1 1 2 x 3 y 3 z   là 1 3 2 B. 2 x  z  6  0 C. x y z   1 1 1 2 D. 2 x  z  7  0 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y 1 z  1 :   ,  2 :  y  3  2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của  P  ? 2 3 4  z  1 t      A. n   5; 6;7  B. n   5;6;7  C. n   5;6; 7  D. n   5; 6;7  Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng x  1 y  1 z 1 và đi qua điểm A ‘(0; 2; 2). . d:   1 2 1 A. 5x  2 y  z  2  0. . B. 5x  2 y  z  2  0. C. 5x  5z  2  0. . D. x  z  2  0. Câu 7: Phương trình mặt phẳng  P  đi qua M 1 ; 2 ; 3 và chứa đường thẳng ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x  2 y 1 z  4 là.   1 3 4 Trang 22 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. x  11 y  8 z  1  0 . B. x – 11 y  8 z – 45  0 . C. x  11 y  8 z  45  0 . D. x – 11 y – 8 z – 3  0 . x y 1 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng d :   z 3. 3 4 Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là. A. 23 x  17 y  z  60  0 . B. 23 x  17 y  z  14  0 . C. 23 x  17 y  z  14  0 . D. 23 x  17 y  z  14  0 . Câu 9: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A 1; 2; 0  , B  2; 3; 1 và song song với trục Oz có phương trình là. A. x  y  3  0 . B. x  y  1  0 . C. x  y  3  0 . D. x  z  3  0 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 4; 7  và chứa trục Oz . A.  P  : 3x  4 y  0 . B.  P  : 4 y  3z  0 . C.  P  : 3x  4 z  0 . D.  P  : 4x  3y  0 .  P  : x  y  2z  5  0 và các điểm A1;2;3 , B  1;1;  2 C  3;3;2 M  x0 ; y0 ; z0   P sao cho MA  MB  MC . , . Gọi là điểm thuộc Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Tính x0  y0  z0 . A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  7  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  6 z 11  0 . Mặt phẳng song song với  P  và cắt  S  theo một đường tròn có chu vi bằng 6 có phương trình là A.  P  : 2 x  2 y  z  19  0 B.  P  : 2x  2 y  z  17  0 C.  P  : 2 x  2 y  z  17  0 D.  P  : 2 x  2 y  z  7  0 Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau x 1 y  2 z  4   và 2 1 3 x 1 y z  2   có phương trình là 1 1 3 A. 2 x  y  z  0 C. 6 x  9 y  z  8  0 B. 6 x  9 y  z  8  0 D. 2 x  y  9 z  36  0 x 1 y z  1 Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d :   và vuông góc với mặt 2 1 3 phẳng  Q  : 2 x  y  z  0 . A. x  2 y  1  0 . B. x  2 y  z  0 . C. x  2 y  1  0 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. x  2 y  z  0 . Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x  2 y z 3   và điểm 2 1 3 B(  1; 0; 2) . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua B và vuông góc đường thẳng  d  . Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  d  : A. 2 x  y  3 z  8  0 . B. 2 x  y  3 z  4  0 . C. 2 x  y  3 z  8  0 . D. 2 x  y  3 z  4  0 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 1.1. Ðịnh nghĩa    Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì a được  gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a  (a1;a2 ; a 3 ) 1.2. Chú ý    a là VTCP của d thì k .a (k  0) cũng là VTCP của d   Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d    Trục Ox có vectơ chỉ phương a  i  (1; 0; 0)    Trục Oy có vectơ chỉ phương a  j  (0;1;0)    Trục Oz có vectơ chỉ phương a  k  (0; 0;1) 1.3. Phương trình tham số của đường thẳng  Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận a  (a1 ; a 2 ;a 3 ) làm VTCP là : z  a x  x  ta 0 1  () : y  y 0  ta2 z  z  ta 0 3  () M0 M ( x, y, z ) y t    O x 1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng  Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận a  (a1 ;a 2 ; a 3 ) làm VTCP là () : x  x 0 y  y0 z  z 0   a1, a2, a 3  0 a1 a2 a3   2. Vị trí tương đối 2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 2.1.1. Phương pháp hình học Định lý Trong không gian Oxyz  cho đường thẳng có VTCP và qua và mặt phẳng có VTPT Khi đó :       a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0   Aa  Ba2  Ca3  0 a.n  0   / /      1 M 0   P  Ax0  By0  Cz0  0   Aa  Ba2  Ca3  0 a.n  0          1 M 0   P  Ax0  By0  Cz0  0 Đặc biệt và cùng phương 2.1.2. Phương pháp đại số Muốn tìm giao điểm M của và ta giải hệ phương trình: tìm Suy ra: . Thế vào phương trình và rút gọn dưa về dạng:  d cắt mp  P tại một điểm  pt * có một nghiệm t .  d song song với  P  pt * vô nghiệm.  nằm trong có vô số nghiệm .  vuông góc và cùng phương 2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 2.2.1. Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: đi qua M và có một vectơ chỉ phương ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz đi qua N và có một vectơ chỉ phương    cắt  và chéo nhau 2.2.2. Phương pháp đại số Muốn tìm giao điểm M của ta giải hệ phương trình : tìm Suy ra: 2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Cho đường thẳng d : và mặt cầu có tâm , bán kính 2.3.1. Phương pháp đại số Thế vào phương trình và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo  Nếu phương trình * vô nghiệm thì không cắt  S   Nếu phương trình có một nghiệm thì tiếp xúc  Nếu phương trình có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt Chú ý: Ðể tìm tọa độ ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng 3. Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó. 3.1. Dạng 1 đi qua điểm và có VTCP là. 3.2. Dạng 2 đi qua hai điểm Một VTCP của là . 3.3. Dạng 3 đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của cũng là VTCP của . 3.4. Dạng 4 đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên VTPT của cũng là VTCP của . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.5. Dạng 5 là giao tuyến của hai mặt phẳng  P , Q :  Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.  Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)  Tìm một VTCP của  Cách 2: Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.6. Dạng 6 đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng Vì nên một VTCP của là: 3.7. Dạng 7 đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .  Cách 1: Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi qua  Cách 2: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và chứa Khi đó 3.8. Dạng 8 đi qua điểm và cắt hai đường thẳng  Cách 1: Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó suy ra phương trình đường thẳng .  Cách 2: Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP củacó thể chọn là . 3.9. Dạng 9 nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng Tìm các giao điểm Khi đó chính là đường thẳng 3.10. Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và Khi đó ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.11. Dạng 11 là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1: Gọi Từ điều kiện , ta tìm được Khi đó, là đường thẳng  Cách 2:  Vì và nên một VTCP của có thể là: .  Lập phương trình mặt phẳng chứavà bằng cách:  Lấy một điểm trên  Một VTPT của có thể là: .  Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứavà Khi đó 3.12. Dạng 12 là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng  P  thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng bằng cách:  Lấy .  Vì chứa và vuông góc với nên .  Khi đó 3.13. Dạng 13 đi qua điểm M , vuông góc với và cắt  Cách 1: Gọi là giao điểm củavà Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là đường thẳng  Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với  Viết phương trình mặt phẳng chứa và  Khi đó B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 1; 2; 3 , B 1; 0; 2  . Phát biểu nào sau đây là đúng?  A. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  B. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  C. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  D. u   2; 2; 5  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;2  , B  3; 2;0 . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:     A. u   2; 4; 2  B. u  1; 2; 1 C. u   2; 4; 2  D. u   1;2;1 Câu 3: Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A  4; 2; 0  , B  2;3;1 . A. x  2 y  3 z 1   . 2 1 1 B.  x  1  2t  C.  y  4  t . z  2  t  x y4 z2   . 2 1 1  x  4  2t  D.  y  2  t . z  t  x4 y 5 z 7   . 7 4 5   C. u   7;4; 5 . D. u   5; 4; 7  . Câu 4: Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :  A. u   4;5; 7  .  B. u   7; 4; 5 . Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ  phương u   2; 1;6  là A. x  2 y 1 z  6   . 1 2 3 B. x  2 y 1 z  6   . 1 2 3 C. x 1 y  2 z  3   . 2 1 6 D. x 1 y  2 z  3   . 2 1 6  x  1  2t Câu 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  t . Viết phương trình chính tắc của đường  z  3  t  thẳng d . A. d : x 1 y  2 z  3   . 2 1 1 B. d : x 1 y  2 z  3   . 2 1 1 C. d : x 1 y  2 z  3   . 2 1 1 D. d : x 1 y  2 z  3   . 2 1 1 Câu 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x  2 y 1 z  3   . Điểm nào sau đây không thuộc 3 1 2 đường thẳng d ? A. N  2; 1; 3 B. P  5; 2; 1 C. Q  1;0; 5 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. M  2;1;3 Trang 30 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x  2  2t  Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng  có phương trình y  1  3t . Một z  4  3t  trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C , D dưới đây nằm trên đường thẳng  . Đó là điểm nào?  Q 2; 7;10 A.    B. M 0; 4; 7 . .   C. N 0; 4; 7 .   D. P 4;2;1 .  x  1  2t  Câu 9: . Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3 . Trong các vecto sau, vecto nào là một  z  5  3t  vecto chỉ phương của đường thẳng d .   A. a1   2;3;3 . B. a3   2;0;3 .  C. a1   2;3;3 .  D. a1  1;3;5 . Câu 10: Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x  0  A.  y  1 z  t  x  0  B.  y  t z  0  x  t  C.  y  0 z  0  Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x  0  D.  y  0 z  t  x 1 y  2 z   , vectơ nào dưới 1 3 2 đây là vtcp của đường thẳng d ?  A. u   1;3; 2  .  B. u  1;3;2 .  C. u  1; 3; 2  .  D. u   1; 3;2  . A 1; 4; 7  Câu 12: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm  và vuông góc với mặt phẳng x  2 y  2 z  3  0 có phương trình là A. x 1 y  4 z  7   . 1 4 7 B. x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 C. x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 D. x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 Câu 13: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng 4 x  3 y  3z  1  0 có phương trình là.  x  1  4t  A.  y  2  3t . z  3  t   x  1  4t  B.  y  2  3t .  z  3  3t   x  1  4t  C.  y  2  3t .  z  3  3t   x  1  4t  D.  y  2  3t .  z  3  3t  Câu 14: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A  3; 1;2 và vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  3z  5  0 có phương trình là: ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. d : x  3 y 1 z  2   . 1 1 3 B. d : x  3 y 1 z  2   . 1 1 3 C. d : x 1 y 1 z  3   . 3 1 2 D. d : x 1 y 1 z  3   . 3 1 2 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình x 1 y  2 z  3   . 3 2 4 Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. P  7;2;1 . B. Q  2; 4;7  . C. N  4;0; 1 . D. M 1; 2;3 .  x  2t  Câu 16: Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng  :  y  1  t là z  1      A. v   2; 1;0  . B. u   2;1;1 . C. m   2; 1;1 . D. n   2; 1;0  . Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  2  0 . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  có một vectơ chỉ phương là  A. u4  1; 2;3  B. u3  1; 3; 2   C. u1  1; 2; 2  Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  D. u2  1; 2; 3 x  3 y  2 z 1   . Điểm nào sau 2 1 4 đây không thuộc đường thẳng d ? A. P 1; 1; 5 . B. Q  5; 3;3 . C. M 1; 1; 3 . D. N  3; 2; 1 .  x  4  3t  Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  0; 2; 0  và đường thẳng d :  y  2  t .  z  1  t  Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là x 1 y 1 z x y z 1   D.   1 1 2 1 1 2 x2 y2 z Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :   đi qua những điểm nào 1 2 3 sau đây? A. x y2 z   1 1 2 A. B  2;2;0  B. x 1 y z   1 1 2 B. C  3;0;3 C. C. D  3;0;3 D. A  2;2;0  Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  3 y  2z  2  0 và  Q  : x  3 y  2z  1  0 . Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  là A. x y z   . 9 12 2 B. x y z   . 12 2 9 C. x y z   . 9 12 2 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. x y z   . 12 2 9 Trang 32 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3;1; 5 , hai mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0 và  Q  : 2 x  y  z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời  song song với hai mặt phẳng  P  và  Q  . x  3 y 1 z  5 x  3 y 1 z  5   . B.  :   . 2 1 3 2 1 3 x  3 y 1 z  5 x  3 y 1 z  5 C.  :   . D.  :   . 2 1 3 2 1 3 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;  1 , đường thẳng d có phương trình A.  : x3 y 3 z   và mặt phẳng  α  có phương trình x  y  z  3  0 . Đường thẳng  đi qua 1 3 2 điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng  α  có phương trình là A. x 1 y  2 z 1   1 2 1 B. x 1 y  2 z 1   1 2 1 C. x 1 y  2 z 1   1 2 1 D. x 1 y  2 z 1   1 2 1 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  5  0 và đường thẳng x 1 y  1 z   . Đường thẳng  nằm trên mặt phẳng  P  , đồng thời vuông góc và cắt 2 2 1 đường thẳng d có phương trình là d: A. x 1 y 1 z 1   2 3 2 B. x  1 y 1 z  1   . 2 3 2 C. x 1 y 1 z 1   . 2 3 2 D. x 1 y 1 z 1   . 2 3 2 x  1 y  2 z 1   và 3 1 2 x  3 x 1 y z  1  2 :   . Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1  t và cắt hai đường 1 2 3 z  4  t  Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : thẳng 1;  2 là  x  2  A.  y  3  t .  z  3  t  x  2  B.  y  3  t . z  3  t  x  2  C.  y  3  t . z  3  t   x  2  D.  y  3  t .  z  3  t  Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 0; 2  và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z  1   . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 A.  : x 1 y z  2   . 1 1 1 B.  : x 1 y z  2   . 2 1 1 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.  : x 1 y z  2   . 1 3 1 D.  : x 1 y z  2   . 1 1 1 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm M 1; 2;13 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   . A. d  M ,     5 . 3 B. d  M ,     4 . C. d  M ,     4 . 3 D. d  M ,     2 . 3 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  5  0 và điểm A  1;3; 2 . Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P  bằng A. d  1 . B. d  2 . 3 C. d  3 14 . 14 D. d  14 . 7 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  3  0 và  Q  : x  2 y  2z 1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là A. 4 . 3 B. 2 . 3 C. 4 . D. 4 . 9 Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : 2x  3 y  z  4  0 ;  Q  :5x  3y  2z  7  0 Vị trí tương đối của  P  &  Q  là A. Vuông góc. B. Trùng nhau. C. Song song. D. Cắt nhưng không vuông góc. Câu 5: Khoảng cách từ điểm M  2; 4;3 đến mặt phẳng  P  có phương trình 2 x  y  2 z  3  0 là: B. 1. A. 3 . C. 2 . D. Đáp án khác. Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của M trên  Oxz  là điểm nào sau đây. A. K  0; 2;3 . B. H 1; 2; 0  . C. F  0; 2;0  . D. E 1; 0;3 . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2; 1;1 , tìm tọa độ M  là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  Oxy  . A. M   2;1; 1 . B. M   0;0;1 . C. M   2; 1;0  . D. M   2;1;0  . Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  4  0 và điểm A (  1; 2;  2) . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  P  . A. d  4 . 3 B. d  8 . 9 C. d  2 . 3 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. d  5 . 9 Trang 35 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 3x  4 y  2 z  4  0 và điểm A 1; –2;3 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P  . A. d 5 B. d  . 9 5 . 3 C. d  5 . 29 D. d  5 . 29 Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A  2; 3;5 B. A  2; 3; 5 C. A  2;3;5 D. A  2; 3; 5  Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  5; 7; 13 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  Oyz  . Tọa độ điểm H là? A. H  5; 0; 13 B. H  0; 7; 13 C. H  5; 7; 0  D. H  0; 7;13 Câu 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A  1;2;1 , hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng tọa độ  Oxy  là A. P  0;2;1 B. N  1;0;1 C. Q  0;2;0  D. M  1;2;0 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  3 y  6z  19  0 và điểm A  2;4;3 . Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  . Khi đó d bằng B. 2 . A. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  0, 1, 2  và mặt phẳng   có phương trình 4 x  y  2 z  3  0 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng   . A. d  8 . 21 B. d  8 21 d  . C. 7 21 . D. d  8 . 21 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M 1; 2; 3 đến mặt phẳng  P : x  2 y  2z  2  0 . A. 3 . B. 11 . 3 C. 1 . 3 D. 1. Câu 16: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng  P  :8x  4 y  8z  11  0 ; Q  : A. 2x  2 y  7  0 .  . 6 B.  . 3 C.  . 4 D.  . 2 Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  4z  12  0 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  0; 4; 0 B.  0; 6; 0  C.  0; 3; 0 D.  0;  4; 0  Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc M ‘ của điềm M (1;1;2) trên Oy có tọa độ là A. ( 0;0;2 ) . B. ( 0;1;0 ) . C. ( 0;1;0 ) . D. (1;0;0 ) . Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 3; 5 trên mặt phẳng  Oyz  có tọa độ là A.  0; 3; 0  . B.  0; 3; 5 . C.  0; 3;5 . Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : d2 : D. 1; 3;0  . x  3 y 1 z  2   và 2 1 3 x 1 y  5 z 1   . Xét vị trí tương đối giữa d1 và d 2 . 4 2 6 A. d1 chéo d 2 . B. d1 cắt d 2 . C. d1 song song với d 2 . D. d1 trùng d 2 . Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  1;2;1 , B  4;2; 2 , C  1; 1; 2 , D  5; 5;2 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ABC  A. d  3 3 . B. d  4 3 . C. d  3 . x 1 Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  d2 : D. d  2 3 . y 1 z 1  và 1 2 x 1 y z  3   . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng 1 1 1 A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  2z  3  0 . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu  S  ? A. 3  : x  2 y  2 z  3  0 . B. 4  : 2 x  2 y  z  10  0 . C. 1  : x  2 y  2 z 1  0 . D.  2  : 2 x  y  2 z  4  0 . Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  2 y  z  8  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  6x  4 y  2 z  2  0 . Gọi I  a, b, c  là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu  S  với mặt phẳng  P  . Giá trị của tổng S  a  b  c bằng A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2 . Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  2 y  3z  6  0 và đường thẳng : x 1 y 1 z  3   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  cắt và không vuông góc với   . B.     . C.  //   . D.     . Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;0;1 , B 1;2; 3 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng tọa độ  Oyz  tại điểm M  xM ; yM ; zM  . Giá trị của biểu thức T  xM  yM  z M là B. 4 . A. 0 . D. 4 . C. 2 .  x  3  t  Câu 27: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  3 z  1  0 và đường thẳng d :  y  2  2t . z  1  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d cắt  P  . B. d //  P  . C. d   P  . D. d   P  . Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho A 1;3;  2 , B  3;5; 12 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại N . Tính tỉ số A. BN  2. AN BN . AN B. BN  5. AN C. BN  3. AN D. BN  4. AN Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và  Q  : x  2 y  2 z  1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  A. 4 . 9 B. 2 . 3 C. và  Q  là: 4 . 3 4 D.  . 3 Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  2 z  5  0 và đường thẳng x 1 y  2 z   . Gọi A là giao điểm của  và  P  ; và M là điểm thuộc đường thẳng  2 1 3 sao cho AM  84 . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  . : A. 3 B. 5 D. 14 x 1 y 1 z 1 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 2 3 2 x 1 y  2 z  3 d :   . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  . 2 1 1 A. h  10 21 . 21 B. h  C. 4 21 . 21 6 C. h  22 21 . 21 D. h  8 21 . 21 Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 1;1 , B  4;2; 3 . Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  Oxy  và B là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng  Oyz  . Độ dài đoạn thẳng AB bằng ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz A. 2 . B. 3 . C. 2 3 . D. 3 3 . Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng   : x  2 y  z  1  0 và    : 2 x  4 y  mz  2  0 . Tìm m để   và    song song với nhau. A. m  1 . B. m  2 . C. m  2 . D. Không tồn tại m . Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : 2x  4 y  3z  5  0 và  Q  : mx  ny  6z  2  0 . Giá trị của m , n sao cho  P  song song với  Q  là: A. m  4 ; n  8 B. m  n  4 C. m  4 ; n  8 D. m  n  4 Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A  4;3;2 đến trục Ox là A. h  13 . B. h  3 . C. h  2 5 . D. h  4 . 1 3  Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 . Đường 2 2  thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB . A. S  2 7. B. S  2 2. C. S  7. D. S  4. Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  2x  2 y  2z  0 và đường  x  mt  thẳng d :  y  m 2 t với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d  z  mt  tiếp xúc với mặt cầu  S  . A. m  2 .  m  2 B.  . m  0 C. m  0 . D. m  1 . Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A  0; 1; 2  và B 1;0; 2  lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm I (a; b; c) trên  : A. 0. x y 1 z  2   và  P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Tính S  a  b  c . 4 1 1 B. 4  3 . C. 3  2 . D. 5  3 . x  2 y 1 z   và điểm 2 2 1 I  2;1; 1 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  cắt trục Ox tại hai điểm A , B . Tính độ dài đoạn AB . Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : A. AB  6 . B. AB  24 . C. AB  4 . D. AB  2 6 . Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  9  0 , mặt cầu  S  tâm O tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại H  a; b; c  . Tổng a  b  c bằng A. 1. B. 1. C. 2 . ĐT liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 . Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1.1. Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục Ox, Oy , Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy , trục cao Oz , các mặt tọa độ  Oxy  ,  Oyz  ,  Ozx  . 1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2  2  2 i  j k 1 2  2 a  a Chú ý:    i j  ik  jk  0       1.3. Tọa độ véc tơ u  (x ; y; z )  u (x ; y ; z )  u  xi  y j  zk     1.4. Tọa độ điểm M (x ; y; z )  OM  xi  y j  zk 1.5. Cáccông thức tọađộ cần nhớ Cho u  (a ;b; c), v  (a ;b ;c ) a  a ‘     u  v  b  b ‘  c  c ‘    u  v  a  a ; b  b ; c  c     ku  (ka ; kb; kc)       u .v  u . v .cos(u,v )  aa   bb   cc    u.v aa   bb  cc    cos(u,v)     u .v u .v   u     u v   AB  2 u  a 2  b2  c2   u.v  0 x B  x A; y B  yA; z B  z A   AB  AB  x B  xA  2   y B  yA 2   z B  zA 2  1.6. Chú ý   Góc của 2 véc tơ u, v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;   là:     sin u, v  1  cos2 u, v  0       1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng   M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA  kMB File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  x A  kx B x M  1k  y A  kyB  Công thức tọa độ của M là : yM  1k  z z  A  kz B  M 1k  1.8. Công thức trung điểm  xA  xB x M  2     yA  yB  Nếu M là trung điểm AB thì MA  MB  0  yM  2  z  z  A z B  M 2  1.9. Công thức trọng tâm tam giác  x A  x B  xC xG  3      y  y  yC  B Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0  yG  A 3  z  z  zC z  A B G 3  1.10. Công thức trọng tâm tứ diện Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì  x A  x B  xC  x D xG  4       y  y  yC  yD B GA  GB  GC  GD  0  yG  A 4  z  z  zC  z D z  A B G 4  1.11. Tích có hướng 2 véc tơ   Cho 2 véc tơ u  (a;b;c ) và v  (a ;b ;c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí     hiệu u, v  hay u  v có toạ độ:     b c c a a b  u, v      bc   b c; ca   ac ;ab   ba  ; ;    b c c a  a  b    1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ      u , v  vuông góc với u và v        u , v   u . v sin u , v        u , v   0  u , v cùng phương   1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ    Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB, AD    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1    Diện tích ABC : S  . AB, AC   2         Ba véc tơ u, v, w đồng phẳng: u, v  .w  0       Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’ : V  AB, AD  .AA        1  Thể tích khối tứ diện S . ABC : V  . AB, AC  .SA  6  2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp 2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. 2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.  Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.  Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB  k AC  AB, AC   0    ABCD là hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của  AB   AB  ABC trên BC . Ta có: EB   .EC , FB  .FC AC AC        A, B, C , D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng  AB , AC  .AD  0 B – BÀI TẬP      Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u  3i  2 j  2k . Tìm tọa độ của u .  A. u   2;3; 2  .  B. u   3;2; 2  .  C. u   3; 2;2  .  D. u   2;3;2  . Hướng dẫn giải Chọn C      Ta có: u  3i  2 j  2k  u   3; 2;2  .       Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 1;2; 1 , b  3; 4;3 . Tìm tọa độ của x biết x  b  a .     A. x  2;2; 4 . B. x  2; 2; 4 . C. x  2; 2; 4  . D. x 1;1;2  . Hướng dẫn giải Chọn A    Ta có x  b  a   3  1;4  2;3  1   2;2; 4 .    Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a  1;  1; 2 , b   3;0;  1 và c   2;5;1 . Toạ độ của     vectơ u  a  b  c là:     A. u   6;  6;0  B. u   6;0;  6  C. u   0;6;  6  D. u   6;6;0 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn A     u  a  b  c  1  3  2;  1  0  5;2  1  1   6;  6;0 .   Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  1;  2;1 và v   2;1;1 , góc giữa hai vectơ đã cho bằng A.  . 6 B. 2 . 3  . 3 Hướng dẫn giải C. D. 5 . 6 Chọn B.      u.v 3 1 2 cos u; v        u; v  . 2 3 6. 6 u.v        Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a   1;1;0  , b  1;1;0  , c  1;1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?   A. b  a.   C. b  c.  B. c  3.  D. a  2. Hướng dẫn giải Chọn C    Ta có b.c  1.1  1.1  0.1  2  0  b không vuông góc với c .   Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u  2;3; 1 và v  5; 4; m . Tìm m để   u  v. A. m  0 . B. m  2 . C. m  4 . Hướng dẫn giải D. m  2 . Chọn D    Ta có u  v  u.v  0  10  12  m  0  2  m  0  m  2 .   Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 vectơ a   1;1;0 ; b  1;1;0 . Trong các kết luận :   I  . a  b ;   II  . b  a ;   III  . a  b ;   IV  . a  b , có bao nhiêu kết luận sai ? A. 2 . B. 4 . C. 1. Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn A   Ta có a   1;1;0    1; 1;0   b . Do đó  I  ;  III  sai.   Ta có a  2  b . Do đó  II  đúng.    Ta có a.b   1 .1  1.1  0 . Do đó a  b hay  IV  đúng. Vậy có 2 kết luận sai.         Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ O; i ; j ; k , cho hai vectơ a   2; 1;4  và b  i  3k . Tính a.b .   A. a.b  5 .   B. a.b  10 .  C. a.b  11 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  D. a.b  13 . Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn B   Ta có b  1;0; 3 nên a.b  2  12  10 .   Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a   2; 4;  2  và b  1;  2; 3 . Tích vô hướng của hai   vectơ a và b bằng B. 30 . A. 12 . C. 6 . Hướng dẫn giải D. 22 . Chọn A  Ta có: a.b  2.1  4.  2  2.3  12 .   Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u  1;1; 2  , v  1;0;m  . Tìm m để góc giữa   hai vectơ u , v bằng 45 . B. m  2  6 . C. m  2  6 . Hướng dẫn giải A. m  2 . D. m  2  6 . Chọn B  1  2m  u.v 1  2m 2  Ta có: cos u ,v       2 2 u.v 2 6. 1  m 12  12   2  . 12  m2    1  2 m  3 1  m2  4 m 2  4 m  1  3  3m 2 (điều kiện m  1 ). 2 m  2  6 . Đối chiếu đk ta có m  2  6 .  m2  4m  2  0    m  2  6 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2;1 , B  1; 0; 5 . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB . A. I (2; 2; 6) . B. I ( 1;  1; 1) . C. I (2; 1; 3) . Hướng dẫn giải D. I (1; 1; 3) . Chọn D Dựa vào công thức trung điểm I ( xI ; y I ; z I ) của đoạn AB . x A  xB   xI  2  y A  yB   I (1;1; 3) .  yI  2  z A  zB   zI  2  Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 và B  5; 2;0  . Khi đó:  A. AB  61 .  B. AB  3 .  C. AB  5 .  D. AB  2 3 . Hướng dẫn giải Chọn C   2 Ta có: AB   4;0; 3 . Suy ra: AB  42  0 2   3  5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 13: Cho ba điểm A  2; 1;5 , B  5; 5; 7  và M  x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì ba điểm A,B,M thẳng hàng ? A. x  4 và y  7 . C. x  4 và y  7 . B. x  4 và y  7 . D. x  4 và x  7 . Hướng dẫn giải Chọn C   Ta có AB   3; 4; 2  , AM   x  2; y  1; 4 . Để ba điểm A,B,M thẳng hàng thì x  2 y  1 4  x  4    . 3 4 2 y  7 Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 và B  2;1; 2  . Tìm tọa độ điểm M thỏa   MB  2MA . A. M  4;3;1 . B. M  4;3; 4  . C. M  1;3;5  .  1 3 5 D. M   ; ;  .  2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2  x  2 1  x  x  4     Gọi M  x; y; z  , MB  2MA  1  y  2  2  y    y  3  M  4;3; 4  .  z  4  2  z  2  3  z  Câu 15: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A 1;2; 1 và điểm B  2;1; 2  . 1  A. M  ; 0; 0  . 2  3  2  B. M  ; 0; 0  . C. M  ; 0; 0  . 2  3  Hướng dẫn giải 1  D. M  ; 0; 0  . 3  Chọn B Gọi M  x;0;0   Ox . 3 3   M  ;0; 0  . 2 2  Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 4;1) và B (1; 2;1) là 2 2 Ta có: MA  MB  MA2  MB 2  1  x   4  1   2  x   1  4  x  A. M (0;5;0). B. M (0; 5;0). C. M (0; 4; 0). Hướng dẫn giải D. M (5;0;0). Chọn A Gọi M  0; b;0   Oy . 2 2 Theo đề: MA  MB  10   4  b   2   2  b   4b  20  b  5. Vậy M  0;5;0 .   Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ a 1;  2;0  và b  2;3;1 . Khẳng định nào sau đây là sai?  A. b  14 .  B. a.b  8 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   D. a  b   1;1;  1 .  C. 2a   2;  4;0  . Hướng dẫn giải Chọn D   a  b   1;1;1 . Câu 18: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ? A. M 1; 0; 0 . B. M  0; 0; 3 . C. M  0; 2; 0  . D. M  1; 0; 2  . Hướng dẫn giải Chọn C Điểm M  xM ; yM ; zM   Oy  xM  zM  0 . Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  Oyz  là điểm M . Tọa độ của điểm M là A. M 1; 2;0  . B. M  0; 2;3 . C. M 1;0;0 . D. M 1;0;3 . Hướng dẫn giải Chọn B Điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  Oyz  , khi đó hoành độ điểm A : xA  0 Do đó tọa độ điểm M  0; 2;3 .   Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM  1;5;2  , ON   3;7; 4  . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . A. P  2;6; 1 . B. P  5;9; 10 . C. P  7;9; 10 . D. P  5;9; 3 . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: OM  1;5;2   M 1;5;2  , ON   3;7; 4   N  3;7; 4  . Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được  xP  2 xN  xM  5   y P  2 y N  yM  9  P  5;9; 10   z  2 z  z  10 N M  P Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm K  2;4;6  , gọi K  là hình chiếu vuông góc của K lên Oz , khi đó trung điểm của OK  có tọa độ là: A.  0;0;3 . B. 1;0;0 . C. 1;2;3 . D.  0;2;0 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I là trung điểm của OK ‘ . Ta có K ‘  0;0;6 là hình chiếu vuông góc của K lên Oz  I  0;0;3 . Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng  Oxy  ? A. N 1; 0; 2  . B. P  0;1; 2  . C. Q  0;0; 2  . Hướng dẫn giải D. M 1; 2; 0  . Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng  Oxy  : z  0 . Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy D   Oxy  . Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  và B  3;2;2  . Toạ độ của  AB là A.  2;4; 2  . B.  4;0;6  . C.  4;0; 6  . D.  1; 2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có AB   4;0;6 .      Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a  2i  k  3 j . Tọa độ  của vectơ a là A. 1;  3; 2  . B. 1; 2;  3 . C.  2;  3;1 . Hướng dẫn giải D.  2;1;  3 . Chọn C         a  2i  k  3 j  2i  3 j  k nên a   2; 3;1 . Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1;2;4  , B  2;4; 1 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB . A. G 1;2;1 . B. G  2;1;1 . C. G  2;1;1 . D. G  6;3;3 . Hướng dẫn giải Chọn A x A  xB  xO   xG  3  xG  1  y A  y B  yO   Gọi G là trọng tâm của tam giác theo công thức ta có  yG    yG  2 . 3  z  1  G z A  z B  zO  z   G 3  Vậy G 1;2;1 . Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;4;2  , B  1; 2;2  và G 1;1;3 là trọng tâm của tam giác ABC . Tọa độ điểm C là A. C  0;1;2 . B. C  0;0;2  . C. C 1;1;5 . D. C 1;3;2 . Hướng dẫn giải Chọn C Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có x A  xB  xC   xG  3  xC  3xG  x A  xB  1  y A  yB  yC     yC  3 yG  y A  y B  1  C 1;1;5  .  yG  3   z  3z  z  z  5  C G A B z A  z B  zC  z   G 3  Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;  1 , B  2;  1; 3 , C  3; 5;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. D  2; 8;  3 . B. D  2; 2; 5  . C. D  4; 8;  5 . Hướng dẫn giải D. D  4; 8;  3 . Chọn D.  xD  1  5    Ta có: AD  BC   xD  1; yD  2; zD  1   5;6; 2    yD  2  6  D  4;8; 3 .  z  1  2  D Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;  4; 2  , B  4; 2;  3 , C  3;1;5  . Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD . A. D  6;  5  10  . B. D  0;7;0  . C. D  6;  5;10  . D. G  2;  1;3  . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D  x; y; z  .  3  x  3  x  6     ABCD là hình bình hành  AB  DC  1  y  6   y  5  D  6;  5;10  . 5  z  5  z  10   Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;1;  2  . Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxz  là A. A  4;  1;2  . B. A  4;  1; 2  . C. A  4;  1;  2  . D. A  4;1; 2  . Hướng dẫn giải Chọn C Hình chiếu của A lên mặt phẳng  Oxz  là H  4;0; 2  .  tọa độ điểm đối xứng là A  4; 1; 2  . Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 4; 5  , B   1; 0;1 . Tìm tọa độ điểm M    thõa mãn MA  MB  0 . A. M  4; 4; 4  . B. M 1; 2; 3  . C. M   4;  4; 4  . Hướng dẫn giải D. M  2; 4; 6  . Chọn B Gọi tọa độ điểm M là : M  x; y ; z    Vậy  MA   3  x; 4  y;5  z  và MB   1  x;0  y;1  z  x  1     Vậy MA  MB   2  2 x; 4  2 y; 6  2 z   0   y  2 . z  3  Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 và B  5; 2; 0  . Khi đó:  A. AB  3 .  B. AB  2 3 .  C. AB  61 .  D. AB  5 . Hướng dẫn giải Chọn D   2 Ta có: AB   4;0; 3 . Suy ra: AB  42  02   3  5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho a   3; 2;1 và điểm A  4;6; 3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn   AB  a . A.  7; 4;4  . B.  1; 8;2 . C.  7;4; 4  . D. 1;8; 2 . Hướng dẫn giải Chọn D  Giả sử B  a; b; c  khi đó AB   a  4; b  6; c  3 .  a  4  3 a  1     Khi đó AB  a  b  6  2  b  8  B 1;8; 2  . c  3  1 c  2   Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  2;0;0  , B  0;2;0 , C  0;0;2  và D  2;2;2  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của MN là: A. I 1; 1;2 . B. I 1;1;0 . 1 1  C. I  ; ;1 . 2 2  Hướng dẫn giải D. I 1;1;1 . Chọn D Cách 1: Ta có M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên M 1;1;0 , N 1;1;2  , từ đó suy ra trung điểm của MN là I 1;1;1 . Cách 2: Từ giả thiết suy ra I là trọng tâm tứ diện.Vậy I 1;1;1 . Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm A  3; 4;0 ; B  0;2;4 ; C  4;2;1 . Tọa độ diểm D trên trục Ox sao cho AD  BC là: A. D  0;0;0   D  0;0; 6  . B. D  0;0; 3  D  0;0;3 . C. D  0;0;0   D  6;0;0  . D. D  0;0; 2  D  0;0;8  . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D  x;0;0  .    2 2 2  AD  x  3;4;0  x  0  AD   x  3  4  0 Ta có:  .     x  6  BC  4;0; 3  BC  5  Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  0;  2;  1 và A 1;  1; 2  . Tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2MB là 2 4 A. M  ;  ; 3 3  1 .  1 3 1 B. M  ;  ;  . C. M  2; 0; 5  . 2 2 2 Hướng dẫn giải D. M  1; 3; 4  . Chọn A   Ta có: AM  2 MB  xM  x A  2( xB  xM )    yM  y A  2( y B  yM )  z  z  2( z  z )  M A B M File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2  x  M  3 3 xM  2 xB  x A  4   3 yM  2 yB  y A   yM   . 3 3 z  2 z  z   M B A z  1  M Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;  1 , B  2;  1;3 , C  4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là  11   2 11 1  B.  ;  2;1 . C.  ; ;  . 3   3 3 3 Hướng dẫn giải A.  2;11;1 .  2 11  D.   ; ;1 .  3 3  Chọn D     Ta có: BA   1;  3;4   BA  26; BC   6;8;2   BC  2 26 . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC   DA BA  2 11  Suy ra :   DC  2 DA  D   ; ;1 . DC BC  3 3    Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a   0;3;1 , b   3;0;  1 . Tính   cos a, b .     1 A. cos a, b   . 10   1 C. cos a, b   . 100   1 B. cos a, b  . 10   1 D. cos a, b  . 100 Hướng dẫn giải     Chọn A          0.3  3.0  1.  1 1 a.b Ta có cos a, b      cos a, b   . 2 10 a.b 02  32  12 . 32  02   1     Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  3; 2;3 , I 1;0;4  . Tìm tọa độ điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn MN . A. N  5; 4; 2  . B. N  0;1;2 . 7  C. N  2; 1;  2  Hướng dẫn giải D. N  1; 2;5  . Chọn D Giả sử N ( x; y ; z ) . Do I là trung điểm của MN nên xM  xN   xI  2  xN  2 xI  xM  xN  1  yM  y N      yN  2 yI  yM   yN  2  M (1; 2;5) .  yI  2  z  2z  z z  5  N I M  N zM  z N  z   I 2  Câu 39: Trong không gian Oxyz cho điểm A  3; 4;3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 34 . 2 B. 10  3 2 . C. 34 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn B Hình chiếu của A lên trục Ox là A1  3;0;0 nên d  A, Ox   AA1  5 . Hình chiếu của A lên trục Oy là A2  0; 4;0 nên d  A, Oy   AA2  3 2 . Hình chiếu của A lên trục Oz là A3  0;0;3 nên d  A, Oz   AA3  5 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng 10  3 2 .      Câu 40: Cho các vectơ u  1; 2;3 , v   1; 2; 3  . Tính độ dài của vectơ w  u  2v  A. w  85 .  B. w  185 .  C. w  26 .  D. w  126 . Hướng dẫn giải Chọn D     2 Ta có w  u  2v   3; 6;9   w  32   6   92  126 . Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho E  5; 2;3 , F là điểm đối xứng với E qua trục Oy . Độ dài EF là. A. 2 34 . B. 2 13 . C. 2 29 . Hướng dẫn giải D. 14 . Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên Oy  H  0;2;0  . F là điểm đối xứng với E qua trục Oy nên H là trung điểm EF . Suy ra F  2 xH  xE ;2 yH  yE ; 2 zH  zE    5; 2; 3 .   Ta có : EF  10;0; 6  . EF  EF  2 34 . Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  0; 0; 3 , B  0; 0;  1 , C 1; 0;  1 , D  0; 1;  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. AB  BD . B. AB  BC . C. AB  AC . Hướng dẫn giải D. AB  CD . Chọn C     Ta có AB   0; 0;  4  , AC  1; 0;  4   AB. AC  16  0  AB và AC không vuông góc. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho A  1;2;4 , B  1;1;4  , C  0;0;4  . Tìm số đo của góc  ABC . A. 60 O . B. 135 . C. 120 O . Hướng dẫn giải D. 45O . Chọn B     BA.BC 1  Ta có: BA   0;1;0  , BC  1; 1;0   cos ABC    ABC  135O . BA.BC 2 Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết A  2;4;0 , B  4;0;0 , C  1;4;  7  và D  6;8;10  . Tọa độ điểm B  là A. B  8;4;10  . B. B  6;12;0  . C. B 10;8;6  . D. B 13;0;17  . Hướng dẫn giải Chọn D A’ B’ C’ D'(6; 8; 10) A(2; 4; 0) B(4; 0; 0) O D C(-1; 4;-7) Giả sử D  a; b; c  , B  a; b; c  a  3 7   1 Gọi O  AC  BD  O  ; 4;   b  8 . 2   2 c  7     Vậy DD   9;0;17  , BB   a  4; b; c  . Do ABCD. ABCD là hình hộp nên DD   BB   a  13   b  0 . Vậy B 13;0;17  . c  17  Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B  2;1; 2  , D 1;  1;1 , C   4;5;  5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp. A. A  3;4;  6  . B. A  4;6;  5  . C. A  2;0;2  . D. A  3;5;  6  . Hướng dẫn giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A     Theo quy tắc hình hộp ta có: AB  AD  AA  AC  .     Suy ra AA  AC   AB  AD .    Lại có: AC    3;5;  6  , AB  1;1;1 , AD   0;  1;0  .  Do đó: AA   2;5;  7  . Suy ra A  3;5;  6  . Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D có A  0;0;0 , B  3;0;0 , D  0;3;0 và D  0;3; 3 . Tọa độ trọng tâm của tam giác AB C là. A. 1;2; 1 . B.  2;1; 2 .  2;1; 1 . C. Hướng dẫn giải D. 1;1; 2 . Chọn B . Gọi A  a1; a2 ; a3  , B  b1; b2 ; b3  , C  c1; c2 ; c3  . Do tính chất hình hộp ta có: a1  0    AA  DD  a2  0  A  0;0;  3 . a  3  3 b1  3  0 b1  3     BB  DD  b2  0  b2  0  B  3;0;  3  . b  3 b  3  3  3 c1  3 c1  3     DC  AB  c2  3  0  c2  3  C  3;3;0  . c  0 c  0  3  3 Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C là: G  2;1;  2 .    Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai vector a   a1 , a2 , a3  , b   b1 , b2 , b3  khác 0 . Tích có hướng của    a và b và c . Câu nào sau đây đúng?  A. c   a1b3  a3b1 , a2b2  a1b2 , a3b2  a2b3  .  C. c   a2b3  a3b2 , a3b1  a1bb , a1b2  a2b1  .  B. c   a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 , a2b3  a3b1  .  D. c   a1b3  a2b1 , a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3  . Hướng dẫn giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    a2 a3 a3 a1 a1 a2  ; ; Ta có:  a; b       a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1  . b b b b b b 2 3 3 1 1 2     Câu 48: Cho a   2 ;0; 1 , b  1; 3;  2  . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?   a, A.   C.  a,  b    3;  3;  6  . .  b  1; 1;  2  .  B.  a,  D.  a, Hướng dẫn giải  b    3; 3;  6  .  b    1;  1; 2  . Chọn A   Với các vectơ a   2;0;1 , b  1;3; 2 .    0 1 1 2 2 0  *  a, b    ; ;    3; 3; 6  .  3 2 2 1 1 3    Vậy  a, b    3; 3; 6  .     Câu 49: Cho a  1;0; 3 ; b   2;1;2  . Khi đó a; b  có giá trị là A. 8 . B. 3 . C. 74 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C     2 Ta có  a; b    3; 8;1 nên  a; b   32   8   12  74 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Phương trình mặt cầu 1.1. Phương trình chính tắc Phương trình của mặt cầu S tâm I a ;b; c , bán kính R là:      (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R 2 1  Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z 2  R 2 1.2. Phương trình tổng quát Phương trình : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình của mặt     cầu S có tâm I a ;b; c , bán kính R  a 2  b 2  c 2  d . 2. Một số bài toán liên quan 2.1. Dạng 1: S  có tâm I a;b; c  và bán kính R thì S : (x  a )2  (y  b )2  (z  c)2  R 2   2.2. Dạng 2: S có tâm I a;b; c và đi qua điểm A thì bán kính R  IA.     2.3. Dạng 3: S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x  xB y  yB z  zB AB : x I  A ; yI  A ; zI  A 2 2 2 AB  Bán kính R  IA  . 2 2.4. Dạng 4: S đi qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)      Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng:  x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 * .   Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C , D vào * , ta được 4 phương trình. THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG 2.5. Dạng 5: S đi qua ba điểm A, B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P cho trước thì giải tương tự     dạng 4 6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước thì bán    kính mặt cầu R  d I ; P 2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .  Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S   r 2 hoặc chu vi đường tròn P  2 r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .     Tính d  d I , P  Tính bán kính mặt cầu R  d 2  r 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Kết luận phương trình mặt cầu. B – BÀI TẬP 2 2 Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  1  z 2  4 có tâm I và bán kính R lần lượt là A. I  2; 1;0  , R  4 . B. I  2; 1;0  , R  2 . C. I  2;1;0  , R  2 . D. I  2;1;0  , R  4 . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  :  x  1 2 2  y 2   z  1  4 . A. I  1;0;1 , R  2 . B. I 1;0; 1 , R  4 . C. I 1;0; 1 , R  2 . D. I  1;0;1 , R  4 . Hướng dẫn giải Chọn C Tọa độ tâm I 1;0; 1 và bán kính R  2 . 2 2 2 Câu 3: Trong không gian Oxyz , mặt cầu  x  1   y  2    z  3  4 có tâm và bán kính lần lượt là A. I 1; 2; 3 ; R  2 . B. I 1; 2; 3 ; R  4 . C. I  1; 2;3 ; R  4 . D. I  1; 2;3 ; R  2 . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm I 1;2;  3 bán kính R  2 là: 2 2 2 B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0 . 2 2 2 D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0 . Hướng dẫn giải A.  x  1   y  2    z  3  22 . C.  x  1   y  2    z  3  2 . Chọn A  R  a 2  b2  c 2  d  4 ; I 1;2; 2  . Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình: 2 2  x  1   y  2    z  3 2  4 . Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của  S  . A. I (  1; 2;  3) và R  4 . C. I (  1; 2;  3) và R  2 . B. I (1; 2; 3) và R  2 . D. I (1; 2; 3) và R  4 . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M  6;2; 5 , N  4;0;7  . Viết phương trình mặt cầu đường kính MN ? 2 2 2 B.  x  5    y  1   z  6   62 . 2 2 2 D.  x  5    y  1   z  6   62 . A.  x  1   y  1   z  1  62 . C.  x  1   y  1   z  1  62 . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn C Tâm của mặt cầu là trung điểm của MN , ta có. Bán kính mặt cầu: r  IM  62 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu là  x  1   y  1   z  1  62 . Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  x  2 y  1  0 . Tâm I và bán kính R của  S  là 1  1  A. I  ;1; 0  và R  2  2  1 1  C. I  ; 1; 0  và R  2 2  1 1  B. I  ; 1; 0  và R  2 2  1  1  D. I   ;1; 0  và R  4  2  Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình mặt cầu  S  có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với 1  2a  1 a   2 2b  2    b  1 .  2c  0 c  0 d  1  d  1 2  1  1  1 Do đó  S  có tâm I  ;1; 0  và bán kính R  a 2  b2  c2  d      12  1  . 2  2   2 Câu 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  2z  0 , toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  là. B. I 1; 2;1 , R  6 . A. I 1; 2;1 , R  6 . D. I  1;2; 1 , R  6 . Hướng dẫn giải C. I  1;2; 1 , R  6 . Chọn C 2 2 2 Ta có x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  0   x  1   y  2    z  1  6 Do đó mặt cầu  S  có tâm I  1;2; 1 và bán kính R  6 . Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  4x  2 y  6z  5  0 . Mặt cầu  S  có bán kính là A. 3 . B. 5 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 7 . Chọn A Mặt cầu  S  có tâm I  2;1;  3 và bán kính R   2  2 2  12   3  5  3 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2 x  6 y  1  0 . Tính tọa độ tâm I , bán kính R của mặt cầu  S  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  I  1;3;0  A.  .  R  3  I 1; 3;0   I  1;3;0  B.  . C.  .  R  3  R  9 Hướng dẫn giải  I 1; 3; 0  D.  .  R  10 Chọn A Từ phương trình mặt cầu  S  suy ra tâm I  1;3;0 và bán kính R  a 2  b2  c 2  d  3 . Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 . Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính R của  S  . A. I  2;1;3 , R  4 . B. I  2; 1; 3 , R  4 . C. I  2;1;3 , R  2 3 . D. I  2; 1; 3  , R  12 . Hướng dẫn giải Chọn B Mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (với a  2; b  1; c  3, d  2 ) có tâm I  ( a; b; c )  (2; 1; 3) , bán kính R  a 2  b 2  c 2  d  4 . Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  8x  4 y  2z  4  0 có bán kính R là B. R  25 . A. R  5 . C. R  2 . Hướng dẫn giải D. R  5 . Chọn D 2 2 Bán kính mặt cầu là R  42   2    1   4   5 . Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I  2;1;3 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  10  0 . Tính bán kính r của mặt cầu  S  , biết rằng  S  có tâm I và nó cắt  P  theo một đường tròn  T  có chu vi bằng 10 . B. r  34 A. r  5 C. r  5 Hướng dẫn giải D. r  34 Chọn D Đường tròn  T  có bán kính R  5 . d  I ,  P   3 Mặt cầu  S  cắt mặt phẳng  P  theo một đường tròn  T  nên có bán kính:  r  R2  d  I ,  P   2  34 . Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1; 3), B( 1; 3; 2), C( 1; 2; 3) . Mặt cầu tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D A. R   B. R  3 . C. R  3 . 2 D. R  3 .  Ta có: AB  2;2; 1 , AC  2;1;0  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    Mặt phẳng  ABC  qua A 1;1;3 và có vecto pháp tuyến là n   AB, AC   1; 2; 2  .   Phương trình mặt phẳng  ABC  là:  x  1  2  y  1  2  z  3  0  x  2 y  2 z  9  0 . Vậy R  d O,  ABC   9  3. 3 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A  3; 4; 2 , B  5; 6; 2 , C  10; 17; 7  . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 2 2 2 2 2 A.  x  10    y  17    z  7   8 . 2 C.  x  10    y  17    z  7   8 . 2 2 2 2 2 2 B.  x  10    y  17    z  7   8 . D.  x  10    y  17    z  7   8 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có AB  2 2 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB :  x  10    y  17    z  7   8 . Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 và B  1;4;1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 2 2 2 A. x 2   y  3   z  2   12 . 2 2 2 2 B.  x  1   y  2    z  3  12 . 2 2 2 D. x 2   y  3   z  2   3 . C.  x  1   y  4    z  1  12 . Hướng dẫn giải Chọn D Trung điểm của AB là: I  0;3;2 , mặt khác R 2  IA 2  1  1  1  3 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 2   y  3   z  2   3 . Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I 1;2;  4 và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36 . 2 2 2 B.  x  1   y  2    z  4   9. . 2 2 2 D.  x  1   y  2    z  4   9. . A.  x  1   y  2    z  4   3. C.  x  1   y  2    z  4   9. . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 4 Ta có V   R3  36  R  3. 3 2 2 2 Phương trình mặt cầu tâm I 1;2;  4 và bán kính R  3 là :  x  1   y  2    z  4   9. . Câu 18: Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x – 2 y – 2 z – 8  0 có phương trình là 2 2 2 A.  x  1   y – 2    z  1  3 . 2 2 2 C.  x  1   y – 2    z  1  9 . 2 2 2 2 2 2 B.  x  1   y – 2    z  1  9 . D.  x  1   y – 2    z  1  3 . Hướng dẫn giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do mặt cầu  S  tiếp xúc với mặt phẳng  P  nên d  I ;  P    R  R  2 2 1 4  2  8  3. 1 4  4 2 Phương trình mặt cầu  S  :  x  1   y – 2    z  1  9 . 2 2 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình  x  1   y  3  z 2  9 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I  1;3;0 ; R  3 . B. I 1; 3;0 ; R  9 . C. I 1; 3;0 ; R  3 . D. I  1;3;0 ; R  9 . Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu đã cho có tâm I 1; 3;0 và bán kính R  3 . Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I  2; 1;3 tiếp xúc với mặt phẳng  Oxy  có phương trình là 2 2 2 B.  x  2   y  1   z  3  4 . 2 2 2 D.  x  2   y  1   z  3  9 . Hướng dẫn giải A.  x  2   y  1   z  3  3 . C.  x  2   y  1   z  3  2 . 2 2 2 2 2 2 Chọn D Ta có mặt phẳng  Oxy  có phương trình z  0 nên d  I ;  Oxy    3 2 2 2  phương trình mặt cầu là  x  2   y  1   z  3  9 . Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1;3; 2  và mặt phẳng  P  : 3x  6 y  2 z  4  0. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng  P  là 1 . 49  1. 2 2 2 B.  x  1   y  3   z  2   2 2 2 D.  x  1   y  3   z  2  A.  x  1   y  3   z  2   49 . C.  x  1   y  3   z  2   7 . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Bán kính mặt cầu cần tìm: d  A,  P    2 2 3  18  4  4 32  62   2  2 1 2 Do đó,  S  :  x  1   y  3   z  2   1 . Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm I 1;2  3 . Mặt cầu  S  tâm I và tiếp xúc mp  P  có phương trình: A. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 C. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 B. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  2 . D. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  16 ; Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( S ) là mặt cầu có tâm I 1; 2; 3 và bán kính R . Vì ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 nên ta có R  d  I ;  P   2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 . Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;4;2 và tiếp xúc mặt phẳng  P  : 2x  2 y  z  15  0 . Khi đó phương trình của mặt cầu  S  là 2 2 2 B.  x  1   y  4    z  2   81 . 2 2 2 D.  x  1   y  4    z  2   81 . A.  x  1   y  4    z  2   9 . C.  x  1   y  4    z  2   9 . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có r  d  I ,  P    2.  1  2.4  2  15 2 2 2 2  2 1  27 9. 3 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu  S  là  x  1   y  4    z  2   81 . Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  2;1;  4  và mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 . Biết rằng mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu  S  . 2 2 2 2 2 2 A.  S  :  x  2    y  1   z  4   25 . 2 2 2 2 2 2 B.  S  :  x  2    y  1   z  4   13 . C.  S  :  x  2    y  1   z  4   25 . D.  S  :  x  2    y  1   z  4   13 . Hướng dẫn giải Chọn C 2  1  2.  4   1 h  d  I ,  P   2 6 . Bán kính mặt cầu: R  h 2  r 2  5 . 2 2 2 1 1  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT) A – LÝ THUYẾT CHUNG 1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến   n khác 0 và có giá vuông góc mp  P được gọi là véc tơ pháp tuyến của  P. 1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến   Nếu n là véc tơ pháp tuyến của  P  thì kn , (k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của  P. 2.1 Phương trình tổng quát của mp  P  Phương trình tổng quát của mp  P qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có véc tơ pháp tuyến n  (A; B;C ) là A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C (z  z 0 )  0 2.2. Khai triển của phương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) 2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát   P  qua gốc tọa độ  D  0        P P P P P P P song song hoặc trùng Oxy  A  B  0 song song hoặc trùng Oyz   B  C  0 song song hoặc trùng Ozx  A  C  0 song song hoặc chứa Ox  A  0 song song hoặc chứa Oy  B  0 song song hoặc chứa Oz  C  0 cắt Ox tại A a;0;0 , cắt Oy tại B 0; b;0 và cắt Oz tại C 0;0; c   P có phương trình x y z    1 a, b, c  0 a b c 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  P  : Ax  By  C z  D  0.   Khi đó:   P  cắt  P   A : B : C  A  : B  : C . A B C D    . A B C  D A B C D    .   P    P   A B C  D       P    P    n P   n P  n P  .n P  0  AA  BB  CC  0.   P  //  P  4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng   Cho M x 0 ; y 0 ; z 0 và (P ) : Ax  By  Cz  D  0 ; d(M ,(P ))  Ax 0  By0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  MH , n cung phuong Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P   . H  (P ) 5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng   Điểm M ‘ đối xứng với điểm M qua P   MM   2MH   6. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,    có phương   : A x  B y  C z  D  0 Góc giữa   ,    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT 2 2 Chú ý: 2    : A x  B y  C z  D trình: 1 1 1 1 0 2   n1, n2 .   n1.n2 A1A2  B1B2  C1C 2 cos ( ),( )     n1 . n2 A12  B12  C 12 . A22  B22  C 22  00     ,    900 ; ( )  ( )  A1A2  B1B2  C 1C 2  0 7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng  : Ax  By Cz  D  0 và mặt cầu S : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm I        và S  không có điểm chung  d (I ,( ))  R   tiếp xúc với S   d (I ,( ))  R với   là tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .            Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . H là tiếp điểm của S với  .    cắt S  theo một đường tròn  d (I ,( ))  R Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .          Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của S với   .  Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R2  IH 2 8. Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó.  8.1. Dạng 1:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có VTPT n   A; B ;C  thì:           : A  x  x   B y  y   C  z  z   0 0 0 0      có cặp VTCP a , b thì n  a ,b  là một VTPT của      8.3. Dạng 3:   đi qua điểm M  x ; y ; z  và song song với   : Ax  By  Cz  0 thì   : A  x  x   B y  y   C  z  z   0 8.2. Dạng 2:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 0 0 0 0   0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A     8.4. Dạng 4:  đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của     là: n  AB, AC  THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG 8.5. Dạng 5:  đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M :   Trên d lấy điểm A và VTCP u .     Một VTPT của  là: n  AM , u   8.6. Dạng 6:  đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP u của đường thẳng d             là một VTPT của  .   8.7. Dạng 7:  chứa đường thẳng cắt nhau d1, d 2 :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .      Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M   .   8.8. Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d 2 ( d1 , d 2 chéo nhau ) :    Xác định các VTCP a ,b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .      Lấy một điểm M thuộc d1  M   .   8.9. Dạng 9:  đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a ,b  .       8.10. Dạng 10:  chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :    Xác định VTCP u của d và VTPT n  của  .     Một VTPT của  là: n  u , n   .        Lấy một điểm M thuộc d  M   .       8.11. Dạng 11:  đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  :    Xác định các VTPT n  , n của  và  .     Một VTPT của  là: n  u  , n  .         8.12. Dạng 12:  chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:    Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0 A2  B 2  C 2  0 .     Lấy 2 điểm A, B  d  A, B   ( ta được hai phương trình 1 , 2 )   Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( ))  k , ta được phương trình 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  Giải hệ phương trình 1 ,  2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).    8.13. Dạng 13:  là tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm H :     Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.    Một VTPT của  là: n  IH B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z  1  0. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của  P  ?   A. n   2; 1; 1 . B. n   2; 1; 1 .  C. n   1; 1; 1 . Hướng dẫn giải Chọn A  P  : 2x  y  z 1  0 . Vec tơ pháp tuyến của  P   D. n   2; 1; 1 .  là n   2; 1;1 . Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng  P  :2 x  3 y  4 z  5  0 . Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  .    A. n   2;3; 4  . B. n   2;3; 4  . C. n   2;3;5  .  D. n   4;3;2  . Hướng dẫn giải: Chọn A  Từ phương trình  P  :2 x  3 y  4 z  5  0 ta có VTPT là n   2;3; 4  1 2 Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?   A. n2  1; 2;1 . B. n3  1; 4; 2  .  C. n1   2; 2;1 .  D. n4   2;1;5  . Hướng dẫn giải Chọn B  1  Từ phương trình của  P  suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n   ; 2;1 . 2      1  Mặt khác n3  1; 4; 2   2  ; 2;1  2n nên n3  1; 4; 2  cũng là một vectơ pháp tuyến của 2  mặt phẳng  P  . Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua điểm M  2; 3;4  và nhận  n   2; 4;1 làm vectơ pháp tuyến A. 2 x  4 y  z  11  0 . C. 2 x  4 y  z  12  0 . B. 2 x  4 y  z  12  0 . D. 2 x  4 y  z  10  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Mặt phẳng có phương trình là:  P  : 2  x  2   4  y  3  1.  z  4  0  2x  4 y  z  12  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0 , N  0; 2;0 và P  0;0;1 . Mặt phẳng  MNP  có phương trình là A. x y z    1. 3 2 1 B. x y z    1. 3 2 1 C. x y z    1. 3 2 1 D. x y z    1 3 2 1 . Hướng dẫn giải Chọn B x y z    1. 3 2 1 Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;3;4 . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng  MNP  : M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC  . A. x y z   1 4 4 3 B. x y z x y z C.    1   1 3 4 2 3 2 4 Hướng dẫn giải D. x y z   1 2 3 4 Chọn D Ta có: A  2;0;0 , B  0;3;0 , C  0;0;4 . x y z Vậy  ABC  :    1 . 2 3 4 Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(8, 0, 0); B (0,  2, 0); C (0, 0, 4) . Phương trình của mặt phẳng (P) là: x y z    1. 4 1 2 C. x  4 y  2 z  0 . A. B. x y z    0. 8 2 4 D. x  4 y  2 z  8  0 . Hướng dẫn giải Chọn D Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 12;8;6 . Viết phương trình mặt phẳng   đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. A. 2 x  3 y  4 z  24  0. B. x y z    1. 12 8 6 x y z    1. D. x  y  z  26  0. 6 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A Mặt phẳng   cắt các trục tại các điểm A 12;0;0  , B  0;8;0 , C  0;0;6 nên phương trình   là C. x y z    1  2 x  3 y  4 z  24  0 . 12 8 6 Câu 9: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B  2; 1;0  , C 1;1;3 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C . A. 7 x  2 y  z 10  0 . C. 4x  y  z  7  0 . B. x  y  z  4  0 . D. 7 x  2 y  z 12  0 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn D   Ta có AB  1; 3; 1 , AC   0; 1;2  suy ra    AB , AC    7; 2; 1  1 7; 2;1 .    Mặt phẳng  ABC  đi qua điểm A 1;2;1 có véc tơ pháp tuyến n   7;2;1 có phương trình là 7 x  2 y  z 12  0 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A   4; 0;1 và B   2; 2;3 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ? A. 6 x  2 y  2 z  1  0 . C. 3 x  y  z  6  0 . B. 3x  y  z  0 . D. 3 x  y  z  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi  P  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .   Véc tơ pháp tuyến của  P  là n P   AB   6; 2; 2  P đi qua trung điểm M của AB . Tọa độ trung điểm M 1;1; 2  Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng AB là:  P  : 3x  y  z  0 . Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;2;  3 , B  3;2;9 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là: A. x  3z  10  0 . C. x  3 z  1  0 . B. 4 x  12 z  10  0 . D. x  3z  10  0 . Hướng dẫn giải Chọn A Trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1;2;3 .  Ngoài ra AB   4;0;12 .  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I  1;2;3 , nhận n 1;0;  3 làm vecto pháp tuyến nên có phương trình 1 x  1  3  z  3  0  x  3z  10  0 . Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 1;3; 2 , N 5;2;4 , P  2; 6; 1 có dạng Ax  By  Cz  D  0 . Tính tổng S  A  B  C  D . A. S  3 . B. S  1 . C. S  6 . Hướng dẫn giải D. S  5 . Chọn  B  MN   4; 1;2 ; MP  1; 9; 3    MN , MP    21;14; 35  n  3; 2; 5 là vectơ pháp tuyến của  MNP    Phương trình  MNP  : 3x  2 y  5 z 1  0  A B C  D 1. Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 , B  0; 2;0  . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng  OAB  ? A. z  0 . B.  x 1   y  2   0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. x y   1. 1 2 Hình học tọa độ Oxyz x y   z  0. 1 2 Hướng dẫn giải D. Chọn A Nhận thấy các điểm A 1;0;0 , B  0; 2;0 và O  0;0;0  đều thuộc mặt phẳng  Oxy  , nên mặt phẳng  OAB  trùng với mặt phẳng  Oxy  : z  0 . Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3;2;1 và mặt phẳng  P : x  3 y  2 z 2  0 .Phương trình mặt phẳng Q  đi qua A và song song mặt phẳng  P  là: A.  Q :3x  y  2 z  9  0 . B.  Q  : x  3 y  2z  1  0 . C.  Q  : x  3 y  2 z  4  0 . D.  Q  : x  3 y  2z 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn B Vì mặt phẳng  Q  song song  P  : x  3 y  2 z  2  0 nên phương trình  Q  có dạng  Q : x  3 y  2z  m  0  m  2  Q đi qua A 3;2;1 nên thay tọa độ vào ta có m  1 . Vậy phương trình  Q  : x  3 y  2 z  1  0 Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A  0;1;2 , B  2;  2;1 , C  2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A.  y  2 z  3  0 . B. 2 x  y  1  0 . C. y  2 z  5  0 . Hướng dẫn giải D. 2 x  y  1  0 . Chọn B  Ta có: n  BC   2;1;0 . Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có dạng: 2  x  0   1 y  1  0  2 x  y  1  0  2 x  y  1  0 . Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;  1;  2  và mặt phẳng   : 3x  y  2 z  4  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M song song với   ? A. 3 x  y  2 z  6  0 . C. 3 x  y  2 z  6  0 . và B. 3x  y  2 z  14  0 . D. 3 x  y  2 z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng qua M song song với   có phương trình là: 3  x  3   y  1  2  z  2   0 hay 3 x  y  2 z  6  0 . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3 x  y  2 z  6  0 . Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A( 0;1;1) , B (1; 0;1) , C ( 0; 0;1) , và I (1;1;1) . Mặt phẳng qua I , song song với mặt phẳng  ABC  có phương trình là: A. z  1  0 B. y  1  0 C. x  y  z  3  0 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. x  1  0 Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn A   Ta có AB  1; 1;0  và AC   0; 1;0  nên mặt phẳng  ABC  có vectơ pháp tuyến là    n   AB, AC    0; 0; 1 . Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng  ABC  nên có phương trình là z  1  0 . Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox ? A. 2 x  y  1  0 . B. 3 x  1  0 . C. y  2 z  1  0 . Hướng dẫn giải D. 2 y  z  0 . Chọn C  Trục Ox có một véc tơ chỉ phương là i  1;0;0 và đi qua điểm O  0;0;0  .  Mặt phẳng y  2 z  1  0 có một vectơ pháp tuyến là n   0;1; 2  .  Do n.i  1.0  0.1  0  2   0 và điểm O  0;0;0  không thuộc mặt phẳng y  2 z  1  0 nên mặt phẳng y  2 z  1  0 song song với trục Ox . Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng chứa 2 điểm A(1; 0;1) và B  1;2;2 và song song với trục Ox có phương trình là A. x  y  z  0 . B. 2 y  z  1  0 . C. y  2 z  2  0 . Hướng dẫn giải D. x  2 z  3  0 . Chọn C  Gọi  P  : y  2 z  2  0 Mặt phẳng  P  có một VTPT n   0;1; 2  .   n  i   Trục Ox có một VTCP i 1;0;0  . Mà: O  0;0;0   Ox  Ox / /  P   O  0;0;0    P  Lại có 2 điểm A (1; 0;1) và B  1;2;2 cùng thuộc mặt phẳng  P  . Vậy mặt phẳng  P  : y  2 z  2  0 chứa 2 điểm A (1; 0;1) và B  1;2;2 và song song với trục Ox .   Cách 2: Mặt phẳng cần tìm qua A (1; 0;1) nhận  AB, i    0;1; 2  làm vectơ pháp tuyến, suy ra mp cần tìm  P  : y  2 z  2  0 . Câu 20: Gọi   là mặt phẳng đi qua M 1; 1;2  và chứa trục Ox . Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng   ? A. P  2; 2; 4  . B. Q  0;4; 2  . C. M  0;4; 2  . Hướng dẫn giải D. N  2;2; 4  . Chọn D      Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   khi đó ta có n  OM , i  . Với OM  1; 1; 2    , i  1;0;0   n   0; 2;1 .  Phương trình mặt phẳng   đi qua điểm O  0;0;0  và có một véc tơ pháp tuyến n   0; 2;1 là 2y  z  0 . Do 2.2   4   0 nên điểm N  2;2; 4  thuộc mặt phẳng   . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 21: Phương trình của mặt phẳng   qua A  2; 1; 4  , B  3; 2; 1 và vuông góc với mặt phẳng   : x  y  2z  3  0 là A. 11 x  7 y  2 z  21  0. B. 11 x  7 y  2 z  21  0. C. 11 x  7 y  2 z  21  0. D. 11 x  7 y  2 z  21  0. Hướng dẫn giải Chọn A    Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến là: n   AB, n   11; 7; 2  Vậy   :11x  7 y  2 z  21  0 Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2; 1 ; B 1;0;1 và mặt phẳng (P) : x  2 y  z 1  0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A ; B và vuông góc với ( P) A. (Q) : 2x  y  3  0 . C. (Q) : x  y  z  0 . B. (Q) : x  z  0 . D. (Q) :3x  y  z  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có AB  2; 2; 2  ( P) có VTPT n  1; 2; 1 Vì (Q) qua A ; B và vuông góc với ( P) nên    VTPT của (Q) là n1   AB; n  2;0; 2  2 1;0;1 .    Phương trình mặt phẳng (Q) qua B 1;0;1 và có VTPT n1  1; 0;1 là: 1 x 1 1 z 1  0  x  z  0 . Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2;4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng  P : x  3 y  2 z  5  0 . Một mặt phẳng Q  đi qua hai điểm A , B và vuông góc với  P  có dạng: ax  by  cz 11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  b  c . B. a  b  c  5 . C. a   b; c  . D. a  b  c . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: A 2;4;1 , B 1;1;3  AB  3; 3; 2 .  Véc tơ pháp tuyến của  P  là: n  1; 3; 2 .   Do mặt phẳng Q  đi qua AB và vuông góc với  P  nên Q  nhận véc tơ  AB, n  0; 8; 12   Q 2 y  4 làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của   sẽ là:    3 z 1  0  2 y  3 z 11  0 . Suy ra a  0 , b  2 , c  3  a  b  c  5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2; 3 . Mặt phẳng  P  đi qua điểm H , cắt Ox, Oy , Oz tại A, B , C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng  P  là A. ( P ) : 3 x  y  2 z  11  0. B. ( P ) : 3 x  2 y  z  10  0. C. ( P ) : x  3 y  2 z  13  0. D. ( P ) : x  2 y  3 z  14  0. Hướng dẫn giải Chọn D Do tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB , OC đôi một vuông góc nên nếu H là trực tâm của tam giác ABC dễ dàng chứng minh được OH   ABC  hay OH   P  .  Vậy mặt phẳng  P  đi qua điểm H 1; 2; 3 và có VTPT OH 1;2;3 nên phương trình  P  là  x  1  2  y  2   3  z  3  0  x  2 y  3 z  14  0. Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  đi qua điểm   M  0; –1; 4 và nhận u  (3,2,1) , v  (3,0,1) làm vectơ chỉ phương là: A. x  y  z – 3  0 C. x – 3 y  3 z – 15  0 B. x – y – z – 12  0 D. 3 x  3 y – z  0 Hướng dẫn giải Chọn C      P có vectơ pháp tuyến n  u    , v   2 1; -3; 3 và đi qua M nên có phương trình x – 3 y  3 z – 15  0 . Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  1  0 ,  Q  : y  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  cả hai mặt phẳng  P  và  Q  . A. 3 x  2 z  1  0 . C. 3 x  2 z  0 . Chọn A chứa A , vuông góc với B. 3 x  y  2 z  2  0 . D. 3 x  y  2 z  4  0 . Hướng dẫn giải   P  : 2 x  y  3z  1  0 có véctơ pháp tuyến n P    2;  1;3 .   Q  : y  0 có véctơ pháp tuyến nQ    0;1;0  . Do mặt phẳng  R  vuông góc với cả hai mặt phẳng  P  và  Q  nên có véctơ pháp tuyến     n R    n P  , n Q   .  n R    3;0; 2  .   Vậy phương trình mặt phẳng  R  là: 3 x  2 z  1  0  3x  2 z  1  0 . Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  và  Q  lần lượt có phương trình là x  y  z  0 , x  2 y  3 z  4 và điểm M 1;  2;5  . Tìm phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  P  ,  Q  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. x  4 y  3 z  6  0 . C. 5 x  2 y  z  14  0 . B. 5 x  2 y  z  4  0 . D. x  4 y  3 z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn D  Vectơ pháp tuyến của  P  là n1  1;1;  1 .  Vectơ pháp tuyến của  Q  là n2  1;  2;3 .    n   n1 ; n2   1;  4;  3  Vì   vuông góc với  P  và  Q  nên   có vectơ pháp tuyến là n . Mặt phẳng   có phương trình là 1 x  1  4  y  2   3  z  5   0 hay x  4 y  3 z  6  0 . 2 2 2 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  5   9 . Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm A  2; 4;3 có phương trình là A. x  6 y  8z  50  0 . C. x  2 y  2z  4  0 . B. 3x  6 y  8z  54  0 . D. x  2 y  2z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;5 .  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là IA  1; 2; 2  và đi qua điểm A  2; 4;3 nên có phương trinh: 1.  x  2  2  y  4  2  z  3  0  x  2 y  2z  4  0 . Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  0 . Mặt phẳng tiếp xúc với  S  tại điểm A  3; 4;3 có phương trình. A. 2 x  2 y  z  17  0 . B. 4 x  4 y  2 z  17  0 . C. x  y  z  17  0 . D. 2 x  4 y  z  17  0 . Hướng dẫn giải Chọn A  Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;2  , vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là IA   2;2;1 nên phương trình của  P  là 2 x  2 y  z  17  0. . Câu 30: Cho mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z2  2 x  4 y  6 z  2  0 và mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  12 z  10  0 . Mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với ( ) có phương trình là: A. 4 x  3 y  12 z  78  0 . 4 x  3 y  12 z  26  0 . C. 4 x  3 y  12 z  26  0 . 4 x  3 y  12 z  26  0 . B. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc D. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc Hướng dẫn giải Chọn D Gọi    là mặt phẳng thỏa đề phương trình có dạng    : 4 x  3 y  12 z  D  0  D  10 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt cầu  S  có tâm I 1;2;3 và bán kính là : r  1  4  9  2  4 26  D  D  26 4 13 16  9  144  D  78 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc 4 x  3 y  12 z  26  0 x y z Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  :    1  a  0  cắt ba a 2a 3a trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba điểm A, B , C . Tính thể tích V của khối tứ diện OABC .    tiếp xúc  S  khi d  I ,      r  A. V  4 a 3 . B. V  a 3 . 4 x0  3 y0  12 z0  D 4 C. V  3a 3 . Hướng dẫn giải D. V  3a 3 . Chọn B Ta có: A  a;0;0  , B  0;2a;0 , C  0;0;3a   OA  a , OB  2 a , OC  3a . 1 1 1 Vậy V  SOBC  OA    OB.OC.OA  a 3 . 3 3 2 Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oy và đi qua điểm M (1; 1;1) là: A. x  y  0 . Hướng dẫn giải Chọn C C. x  z  0 . B. x  y  0 . D. x  z  0 .    qua O và có VTPT là n   j ; OM   1; 0; 1 .   Vậy phương trình  P  là x  z  0 .  P Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  : x  y  z  1  0 và    : 2x  my  2z  2  0 . Tìm m để   song song với    . A. m  2 . C. Không tồn tại m . B. m  5 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn C  Mặt phẳng   có VTPT là n1  1;1; 1 và A  0;0;1     Mặt phẳng    có VTPT là n2   2; m;2 .  2 m 2 2       Để   //    thì n1 , n2 cùng phương và A       1 1 1 1  không tồn tại m . 2  0 Vậy không tồn tại m để   //    . Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  2x  4 y  6z  5  0. Tiếp diện của  S  tại điểm M  1;2;0 có phương trình là A. z  0. B. x  0. C. 2 x  y  0. Hướng dẫn giải D. y  0. Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A I M P  S   I  1;2; 3 ; R  3 Gọi  P  là mặt phẳng tiếp diện của  S  tại M  Ta có IM   P   IM  0;0;3  3  0, 0,1 là VTPT của mặt phẳng  P  Phương trình mặt phẳng  P  : z  0  x  2  2t  Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1  t . Mặt phẳng đi qua A  2; 1;1 và vuông   z  4  t góc với đường thẳng d có phương trình là: A. x  3 y  2 z  5  0 . C. x  3 y  2 z  3  0 . B. 2 x  y  z  2  0 . D. x  3 y  2 z  3  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A  2; 1;1 và vuông góc với đường thẳng d ; nP là vectơ pháp tuyến của  P  .  d có véctơ chỉ phương là u d   2;1; 1 .    Vì d vuông góc với mặt phẳng  P  nên nP  u d , suy ra nP   2;1; 1 . Mặt phẳng  P  đi qua A nên  P  : 2 x  y  z  2  0 . Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm H  2;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . A. x  y  z  0 B. 2 x  y  z  6  0 C. 2 x  y  z  6  0 D. x y z   1 2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B Vì tứ diện OABC đôi một vuông góc tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên OH   ABC  .  Do đó OH   2;1;1 là một vectơ pháp tuyến của  ABC  và H thuộc  ABC  . Vậy  ABC  : 2  x  2    y  1   z  1  0  2 x  y  z  6  0 . Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  1  0 và hai điểm A 1; 2;3 , B  3;2; 1 . Phương trình mặt phẳng  Q  qua A, B và vuông góc với  P  là A.  Q  : 2 x  2 y  3z  7  0 . B.  Q  : 2 x  2 y  3z  7  0 . C.  Q  : 2 x  2 y  3z  9  0 . D.  Q  : x  2 y  3z  7  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn  A  AB   2; 4; 4  ; VTPT của  P  là n  2;1; 2     VTPT của  Q  là nQ   AB; n    2; 2;3 . Phương trình của mặt phẳng  Q  : 2 x  2 y  3 z  7  0 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm A 1;1;1 và B  0;2;2  đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM  2ON . A.  P  : 2 x  3 y  z  4  0 . B.  P  : 2 x  y  z  4  0 . C.  P  : x  2 y  z  2  0 . D.  P  : 3x  y  2 z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M  m;0;0 , N  0; n;0  , P  0;0; p  lần lượt là giao điểm của  P  và trục Ox , Oy , Oz . M , N lần lượt thuộc tia Ox , Oy nên m  0 , n  0 . x y z Phương trình mặt phẳng  P  :    1 . m n p Ta có: OM  2ON  m  2n 1 1 1 0 2 2 A P     1 , B  P     1 m n p m n p Suy ra: m  2 , n  1 , p   2   P  : x  2 y  z  2  0 . Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2;3 là trực tâm của ABC với A, B, C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là A. 3x  y  2 z  9  0 B. x  2 y  3z  14  0 x y z D.    1 1 2 3 C. 3x  2 y  z  10  0 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử A  a;0;0 , B  0; b;0  , C  0;0;c       AH 1  a; 2;3 ; BH 1; 2  b;3 ; BC  0;  b; c  ; AC   a; 0; c     AH .BC  0  2b  3c  0 Do H là trực tâm nên ta có:       a  3c  0  BH . AC  0 Phương trình mặt phẳng  ABC  : Vì H   ABC   x y z    1. a b c 1 2 3    1. a b c File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz     a  2b 2b  3c  0 a  14    2b  Do đó ta có hệ phương trình:  a  3c  0  c   b  7 . 3 1 2 3   14    1  1 2 9 c  3 a b c  2b  b  2b  1  x y 3z Vậy phương trình mặt phẳng  ABC  :    1  x  2 y  3 z  14  0. 14 7 14 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT x 1 y  2 z 1   . Trong các mặt phẳng dưới đây, 2 1 1 tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d A. 2 x  2 y  2 z  4  0 . B. 4 x  2 y  2 z  4  0 . C. 4 x  2 y  2 z  4  0 . D. 4 x  2 y  2 z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C  Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u   2;  1;1 .  Mặt phẳng 4 x  2 y  2 z  4  0 có vectơ pháp tuyến n   4;  2;2  . Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : 2 1 1     nên u cùng phương với n do đó đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng 4 2 2 4x  2 y  2z  4  0 . x 1 y z 1 Câu 2: Mặt phẳng  P  đi qua điểm A 1; 2;0  và vuông góc với đường thẳng d :   có 2 1 1 phương trình là : A. 2 x  y  z  4  0 . B. 2 x  y  z  4  0 . C. x  2 y  z  4  0 . D. 2 x  y  z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn A  Đường thẳng d có một VTCP là u   2;1; 1 .  Ta có  P   d   P  nhận u   2;1; 1 là một VTPT. Ta có Kết hợp với  P  qua A 1; 2;0    P  : 2  x  1  1.  y  2   1.  z  0   0  2 x  y  z  4  0 .  x  1  3t  Câu 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d  có phương trình  y  2  t ; t   . Mặt phẳng  P  đi  z  3  2t  qua A( 1; 2;1) và  P  vuông góc với đường thẳng  d  thì  P  có phương trình là: A.  P  : 3x  y  2z  3  0 . B.  P  : x  2 y  3z  2  0 . C.  P  : 3x  y  2z  3  0 . D.  P  : x  2 y  3z  2  0 . Hướng dẫn giải Chọn C  Đường thẳng  d  có véc tơ chỉ phương là u  (3;1;2) .  Vì  P  vuông góc với đường thẳng  d  nên  P  nhận véc tơ chỉ phương của  d  là u  (3;1;2) làm véc tơ pháp tuyến.    P  đi qua A(1; 2;1) , véc tơ pháp tuyến là n  u  (3;1;2) nên  P  có phương trình là  P  : 3( x  1)  1( y  2)  2( z  1)  0   P  : 3x  y  2z  3  0 . Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : song song với đường thẳng d  : A. x  y  2 z  2  0 x  3 y  2 z 1   và 1 1 2 x 3 y 3 z   là 1 3 2 B. 2 x  z  6  0 C. x y z   1 1 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 x  z  7  0 Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn D  Đường thẳng d đi qua điểm M  3; 2;1 có VTCP ud  1;  1;2   Đường thẳng d  có VTCP ud   1;3; 2  .   Vì mp  P  chứa d và song song với d  nên VTPT của  P  là ud , ud    4  2; 0;  1 .  Khi đó mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 2;1  d nhận n   2;0;  1 là VTPT nên có phương trình 2 x  z  7  0 . Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y 1 z  1 :   ,  2 :  y  3  2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của  P  ? 2 3 4 z  1 t      A. n   5; 6; 7  B. n   5; 6; 7  C. n   5; 6; 7  D. n   5; 6; 7  Hướng dẫn giải Chọn B     2  3 4  Vì  P  song song với hai đường thẳng 1 và  2 nên n P   u1 , u2       5;6;7  .  1 2  1 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng x  1 y  1 z 1 d:   và đi qua điểm A ‘(0; 2; 2). . 1 2 1 A. 5x  2 y  z  2  0. . B. 5x  2 y  z  2  0. C. 5x  5z  2  0. . D. x  z  2  0. Hướng dẫn giải Chọn D   ud  (1;2; 1) . Gọi M (1; 1;1)  d  AM  (1; 3; 1). .    d  ( P) Vì  nên n(P)  ud ; AM   (5; 0; 5). .  A  (P)  n( P )  (5; 0; 5) ( P) :   ( P) : 5( x  0)  5(z  2)  0  x  z  2  0. .  A(0; 2; 2)  ( P ) x  2 y 1 z  4 Câu 7: Phương trình mặt phẳng  P  đi qua M 1 ; 2 ; 3 và chứa đường thẳng   là. 1 3 4 A. x  11 y  8 z  1  0 . B. x – 11 y  8 z – 45  0 . C. x  11 y  8 z  45  0 . D. x – 11y – 8 z – 3  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1:  Lấy điểm N  2;1; 4   d  MN   3; 1; 1 .  d có vectơ chỉ phương u  1;3; 4  .     P  có vectơ pháp tuyến n   MN , u    1;11; 8    1; 11;8 . . Khi đó,  P  :1 x  1  11  y  2   8  z  3   0  x  11 y  8 z  45  0 . Cách 2: VTCP của d vuông góc với VTPT của  P   loại C, File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz D. M   P   Chọn C x y 1 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d :   z 3. 3 4 Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là. A. 23x  17 y  z  60  0 . B. 23 x  17 y  z  14  0 . C. 23 x  17 y  z  14  0 . D. 23 x  17 y  z  14  0 . Hướng dẫn giải Chọn C    Đường thẳng d qua điểm I  0;1; 3 . Vec tơ pháp tuyến của  P  là n  ud ; IA   23; 17; 1 . Phương trình của  P  là 23x  17 y  z  14  0. . Câu 9: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A 1; 2; 0  , B  2; 3; 1 và song song với trục Oz có phương trình là. A. x  y  3  0 . B. x  y  1  0 . C. x  y  3  0 . D. x  z  3  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  P  // Oz   P  : ax  by  d  0 . a  2b  d  0 a  2b  d  0 A, B   P     . 2a  3b  d  0 a  b  0 Chọn b  1 ta suy ra a  1 , d  1 . Vậy  P  : x  y  1  0 . Cách 2 Thay tọa độ các điểm A , B vào các phương án đã cho. Chỉ có phương án A thỏa mãn. Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 4; 7  và chứa trục Oz . A.  P  : 3 x  4 y  0 . B.  P  : 4 y  3 z  0 . C.  P  : 3 x  4 z  0 . D.  P  : 4x  3y  0 . Hướng dẫn giải Chọn D   Ta có OM   3; 4;7  , vecto chỉ phương của trục Oz là k   0;0;1    Mặt phẳng  P  qua M  3; 4; 7  có vectơ pháp tuyến n   k , OM    4;3; 0  Phương trình mặt phẳng  P  : 4 x  3 y  0  P  : x  y  2 z  5  0 và các điểm A1;2;3 , B  1;1;  2  C  3;3;2  M  x0 ; y0 ; z0   P  sao cho MA  MB  MC . , . Gọi là điểm thuộc Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Tính x0  y0  z0 . A. 4 B. 7 C. 5 Hướng dẫn giải D. 6 Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz M   P   x0  y0  2 z0  5  0  x0  9     MA  MB  4 x0  2 y0  10 z0  8  0   y0  14  x0  y0  z0  9  14  0  5 .  MA  MC 4 x  2 y  2 z  8  0 z  0 0 0  0  0  Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  7  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6z  11  0 . Mặt phẳng song song với  P  và cắt  S  theo một đường tròn có chu vi bằng 6 có phương trình là A.  P  : 2 x  2 y  z  19  0 B.  P  : 2 x  2 y  z  17  0 C.  P  : 2 x  2 y  z  17  0 D.  P  : 2 x  2 y  z  7  0 Hướng dẫn giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm I 1;  2;3 , bán kính R  5 ; bán kính đường tròn giao tuyến là r  3 . Mặt phẳng Q song song với mặt phẳng  P  : 2x  2 y  z  7  0 có phương trình là 2 x  2 y  z  m  0  m  7  . 2  4 3 m  m  17  25  9  m  5  12   . 3  m  7 Do m  7 nên m  17 . Vậy phương trình mặt phẳng  Q  : 2 x  2 y  z  17  0 . Ta có d  I ;  Q    R2  r 2  Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau x 1 y z  2   có phương trình là 1 1 3 A. 2x  y  z  0 C. 6 x  9 y  z  8  0 x 1 y  2 z  4   và 2 1 3 B. 6 x  9 y  z  8  0 D. 2 x  y  9 z  36  0 Hướng dẫn giải Chọn B  x 1 y  2 z  4   đi qua điểm M 1; 2;4  , có một VTCP là u1   2;1;3 . 2 1 3  x 1 y z  2   Đường thẳng d 2 : có một VTCP là u2  1; 1;3 . 1 1 3 Mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d 2   P  qua điểm M 1; 2;4  , có một    VTPT là n  u1 , u2    6;9;1 . Phương trình mặt phẳng  P  là :  P  : 6  x 1  9  y  2   z  4  0  6x  9 y  z  8  0 . Đường thẳng d1 : Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d : x 1 y z  1   và vuông góc với mặt 2 1 3 phẳng  Q  : 2 x  y  z  0 . A. x  2 y  1  0 . B. x  2 y  z  0 . C. x  2 y  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn A   n P  u d    Ta có    và  n Q  ; u d    4;  8; 0  . Nên chọn n P   1; 2;0  . n P  n Q  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. x  2 y  z  0 . Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Vì mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;0; 1 nên phương trình mặt phẳng  P  là x  2 y  1  0 x  2 y z 3   và điểm 2 1 3 B(  1; 0; 2) . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua B và vuông góc đường thẳng  d  . A. 2 x  y  3 z  8  0 . B. 2 x  y  3 z  4  0 . C. 2 x  y  3 z  8  0 . D. 2 x  y  3 z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  d  :  d có VTCP là u  2; 1; 3 .  P  đi qua B( 1; 0; 2) và vuông góc đường thẳng  d  nên có VTPT là u  2; 1; 3 . Vậy phương trình  P  là: 2  x  1 1 y  0  3  z  2  0  2 x  y  3z  8  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 1.1. Ðịnh nghĩa    Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì a được  gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a  (a1; a2 ;a 3 ) 1.2. Chú ý    a là VTCP của d thì k .a (k  0) cũng là VTCP của d   Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d    Trục Ox có vectơ chỉ phương a  i  (1;0;0)    Trục Oy có vectơ chỉ phương a  j  (0;1; 0)    Trục Oz có vectơ chỉ phương a  k  (0; 0;1) 1.3. Phương trình tham số của đường thẳng  Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận a  (a1 ;a 2 ; a 3 ) làm VTCP là : z  a () M0 M ( x, y, z ) y x  x  ta 0 1  () : y  y 0  ta2 z  z  ta 0 3  t    O x 1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng  Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận a  (a1 ;a 2 ; a 3 ) làm VTCP là () : x  x 0 y  y0 z  z 0   a1, a2, a 3  0 a1 a2 a3   2. Vị trí tương đối 2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng  M a  ( ) a n  n a M a ( )  n a M  a ( ) 2.1.1. Phương pháp hình học Định lý x  x  a t (1) 0 1   Trong không gian Oxyz  cho đường thẳng () : y  y 0  a2t (2) có VTCP a  (a1 ; a 2 ;a 3 ) và z  z  a t (3) 0 3   qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n  (A; B;C ) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Khi đó :       a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0  a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0   / /       M 0   P   Ax0  By0  Cz0  0   a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0          M 0   P   Ax0  By0  Cz0  0  Đặc biệt   (  )  (  )  a và n cùng phương   a  n a a1 : a 2 : a 3  A : B : C 2.1.2. Phương pháp đại số pt() Muốn tìm giao điểm M của    và   ta giải hệ phương trình:  tìm x, y, z. Suy ra: M x , y, z  . pt (  )  Thế 1 ,  2  ,  3  vào phương trình mp P  và rút gọn dưa về dạng: at  b  0 (*)  d cắt mp  P tại một điểm  pt * có một nghiệm t .  d song song với  P  pt * vô nghiệm.  d nằm trong P   Pt  *  có vô số nghiệm t .    d vuông góc  P   a và n cùng phương 2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng M ‘ 0 1  a  b  u M0 2  u’ 1 2 ‘ 1 M0 M 0  u  u’ M 0′ M0 2.2.1. Phương pháp hình học  Cho hai đường thẳng: 1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương u1 .  u M0 2 M ‘ 0 1  u’ 2   2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u2 .  1  2        u1 , u2    u1 , MN   0.     u , u   0  1 2  .  1 // 2      u1 , MN   0   u , u   0  1 2 .  1 cắt  2       u , u  . MN  0   1 2      1 và  2 chéo nhau  u1 , u2  .MN  0. 2.2.2. Phương pháp đại số pt(1 ) Muốn tìm giao điểm M của (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x, y, z. Suy ra: pt( 2 ) M  x , y, z  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x  x  a t (1) 0 1  Cho đường thẳng d : y  y0  a2t (2) và mặt cầu S  : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm z  z  a t (3) 0 3  I (a ;b; c) , bán kính R. 2.3.1. Phương pháp đại số Thế 1 ,  2  ,  3  vào phương trình S  và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t *   Nếu phương trình * vô nghiệm thì d không cắt  S   Nếu phương trình  *  có một nghiệm thì d tiếp xúc S   Nếu phương trình  *  có hai nghiệm thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d 3. Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.1. Dạng 1 x  x  a t o 1   (t  R). d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và có VTCP a  (a1;a2 ; a 3 ) là (d) : y  yo  a2t z  z  a t o 3  3.2. Dạng 2  A , B : d đi qua hai điểm Một VTCP của d là AB . 3.3. Dạng 3 d đi qua điểm M 0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP của  cũng là VTCP của d . 3.4. Dạng 4 d đi qua điểm M 0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d  P nên VTPT của     P  cũng là VTCP của d . 3.5. Dạng 5 d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P , Q  :  Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. (P )  Tìm toạ độ một điểm A  d : bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho (Q ) một ẩn)     Tìm một VTCP của d : a  nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.6. Dạng 6 d đi qua điểm M 0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 :    Vì d  d1, d  d2 nên một VTCP của d là: a  ad , ad   1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.7. Dạng 7 d đi qua điểm M 0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng  .  Cách 1: H   Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng  . Thì   . Khi đó đường M 0H  u  thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .  Cách 2: Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi   đó d  P   Q    3.8. Dạng 8 d đi qua điểm M 0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M 1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện M , M 1, M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1, M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d .  Cách 2: Gọi P  (M 0 , d1 ) , Q  (M 0 , d2 ) . Khi đó d  P  Q . Do đó, một VTCP của d có thể chọn    là a  n P , nQ  . 3.9. Dạng 9 d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 :               Tìm các giao điểm A  d1  P , B  d2  P . Khi đó d chính là đường thẳng AB. 3.10. Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng P chứa  và d1, mặt phẳng Q chứa  và d2.         Khi đó d  P  Q . 3.11. Dạng 11 d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: MN  d1 Gọi M 1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N . Khi đó, d là đường MN  d2 thẳng MN.  Cách 2:     Vì d  d1 và d  d2 nên một VTCP của d có thể là: a  ad , ad  .  1 2  Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d và d1, bằng cách:  Lấy một điểm A trên d1.     Một VTPT của  P  có thể là: n P  a , ad  .  1   Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d và d2 . Khi đó d   P   Q  . 3.12. Dạng 12 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng  P  thì ta Lập phương trình mặt phẳng Q  chứa  và vuông góc với mặt phẳng  P  bằng cách:  Lấy M   .     Vì Q  chứa  và vuông góc với  P  nên nQ  a  , nP  .  Khi đó d   P   Q  . 3.13. Dạng 13 d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d2 :  Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều kiện MN  d1, ta tìm được N . Khi đó, d là đường thẳng MN.  Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vuông góc với d1.     Viết phương trình mặt phẳng Q  chứa M Khi đó d   P   Q  . và d2. B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 1; 2; 3 , B 1; 0; 2  . Phát biểu nào sau đây là đúng?  A. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  B. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  C. u   0; 2; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.  D. u   2; 2; 5  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Hướng dẫn giải ChọnA  Có: AB   0; 2; 1    Vậy: u   0; 2;1   AB . Vậy u   0;2;1 cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 2  , B  3; 2;0  . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:     A. u   2; 4; 2  B. u  1; 2; 1 C. u   2; 4; 2  D. u   1; 2;1 Hướng dẫn giải Chọn D  Ta có: AB   2; 4; 2   2  1; 2;1 . Câu 3: Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A  4; 2; 0  , B  2;3;1 . x  2 y  3 z 1   . 2 1 1  x  1  2t  C.  y  4  t . z  2  t  A. x y4 z2   . 2 1 1  x  4  2t  D.  y  2  t . z  t  B. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn C  Vectơ chỉ phương của AB là AB  2;1;1 . x  2 y  3 z 1   . 2 1 1 Xét đáp án C ta có: M 1; 4; 2  không nằm trên đường thẳng AB . Phương trình của đường thẳng AB có dạng : Câu 4: Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :    A. u   4;5; 7  . B. u   7; 4; 5 . C. u   7;4; 5 . x4 y 5 z 7   . 7 4 5  D. u   5; 4; 7  . Hướng dẫn giải Chọn C  x4 y 5 z 7   có một vectơ chỉ phương là u   7;4; 5 . 7 4 5 Oxyz Câu 5: Trong không gian , phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3  và có vectơ chỉ  phương u   2; 1;6  là d: x  2 y 1   1 2 x 1 y  2   C. 2 1 A. z6 . 3 z 3 . 6 x  2 y 1 z  6   . 1 2 3 x 1 y  2 z  3   D. . 2 1 6 Hướng dẫn giải B. Chọn C Ta có phương trình chính tắc đường thẳng đi qua A 1; 2;3  và có vectơ chỉ phương  x 1 y  2 z  3   u   2; 1;6  là: . 2 1 6  x  1  2t Câu 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  t . Viết phương trình chính tắc của đường  z  3  t  thẳng d . x1 y 2 z 3   . A. d : 2 1 1 x 1 y  2 z  3   . C. d : 2 1 1 x 1  2 x 1  D. d : 2 Hướng dẫn giải B. d : y2 z3  . 1 1 y2 z3  . 1 1 Chọn D Từ phương trình tham số ta thấy đường thẳng d đi qua điểm tọa độ  1; 2; 3  và có VTCP  u   2; 1; 1 . x 1 y  2 z  3   . 2 1 1 x  2 y 1 z  3   Câu 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : . Điểm nào sau đây không thuộc 3 1 2 đường thẳng d ? A. N  2; 1; 3 B. P  5; 2; 1 C. Q  1;0; 5 D. M  2;1;3 Suy ra phương trình chính tắc của d là: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn D Nhận xét N , P, Q thuộc đường thẳng d . Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d .  x  2  2t  Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng  có phương trình y  1  3t . Một z  4  3t  A , B , C , D trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án dưới đây nằm trên đường thẳng  . Đó là điểm nào? Q 2; 7;10 A. .     B. M 0; 4; 7 .   C. N 0; 4; 7 .   D. P 4;2;1 . Hướng dẫn giải Chọn B  x  1  2t  Câu 9: . Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3 . Trong các vecto sau, vecto nào là một  z  5  3t  vecto chỉ phương của đường thẳng d .   A. a1   2;3;3 . B. a3   2;0;3 .  C. a1   2;3;3 .  D. a1  1;3;5 . Hướng dẫn giải Chọn B   Ta dễ thấy ud  a3   2;0;3 . Câu 10: Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x  0  A.  y  1 z  t  x  0  B.  y  t z  0  x  t  C.  y  0 z  0  x  0  D.  y  0 z  t  Hướng dẫn giải Chọn B x  0   Trục Oy qua O  0; 0; 0  và có vectơ chỉ phương j   0;1;0  nên có phương trình  y  t . z  0  Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : đây là vtcp của đường thẳng d ?   A. u   1;3; 2  . B. u  1;3; 2 . x 1 y  2 z   , vectơ nào dưới 1 3 2  C. u  1; 3; 2  .  D. u   1; 3;2  . Hướng dẫn giải Chọn D  d có vtcp u   1; 3;2  . Câu 12: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm x  2 y  2 z  3  0 có phương trình là A. x 1 y  4 z  7   . 1 4 7 A 1; 4; 7  B. và vuông góc với mặt phẳng x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 Hình học tọa độ Oxyz x 1 y  4 z  7   . 1 2 2 Hướng dẫn giải D. Chọn C A 1; 4; 7  và vuông góc với mặt phẳng x  2 y  2 z  3  0 nên có  x 1 y  4 z  7 u  1;2; 2    . một vectơ chỉ phương có phương trình là: 1 2 2 Câu 13: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng Đường thẳng đi qua điểm 4 x  3 y  3z  1  0 có phương trình là.  x  1  4t  A.  y  2  3t . z  3  t   x  1  4t  C.  y  2  3t .  z  3  3t  Hướng dẫn giải  x  1  4t  B.  y  2  3t .  z  3  3t   x  1  4t  D.  y  2  3t .  z  3  3t  Chọn C  Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có vectơ chỉ phương của d là u   4;3; 3 .  x  1  4t  Phương trình đường thẳng d là:  y  2  3t .  z  3  3t  Câu 14: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A  3; 1; 2 và vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  3z  5  0 có phương trình là: x  3 y 1 z  2   . 1 1 3 x 1 y 1 z  3   C. d : . 3 1 2 A. d : x 3  1 x 1  D. d : 3 Hướng dẫn giải B. d : y 1 z  2  . 1 3 y 1 z  3  . 1 2 Chọn B  Đường thẳng d đi qua điểm A  3; 1; 2 nhận vectơ pháp tuyến nP  1;1; 3 là vectơ chỉ phương nên d : x  3 y 1 z  2   . 1 1 3 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. P  7;2;1 . B. Q  2; 4;7  . C. N  4;0; 1 . Hướng dẫn giải x 1 y  2 z  3   . 3 2 4 D. M 1; 2;3 . Chọn A Thế tọa độ M vào phương trình đường thẳng d ta được 1  1  1 (đúng), loại A Thế tọa độ N vào phương trình đường thẳng d ta được 0  0  0 (đúng), loại B 1 Thế tọa độ P vào phương trình đường thẳng d ta được 2  2  ! , nhận C 2 Thế tọa độ Q vào phương trình đường thẳng d ta được 1  1  1 (đúng), loại D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  x  2t  Câu 16: Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng  :  y  1  t là z  1      A. v   2; 1;0  . B. u   2;1;1 . C. m   2; 1;1 . D. n   2; 1;0  . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào hệ số trước t trong phương trình tham số của đường thẳng  ta có một vectơ chỉ    phương là a   2;1;0  nên ta chọn đáp án B vì vectơ n   2; 1;0  cùng phương với a . Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3 z  2  0 . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  có một vectơ chỉ phương là     A. u4  1;2;3 B. u3  1; 3; 2  C. u1  1; 2; 2  D. u2  1; 2; 3 Hướng dẫn giải Chọn D  Ta có  P  : x  2 y  3 z  2  0 , suy ra một VTPT của  P  là u2  1; 2; 3 . Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : đây không thuộc đường thẳng d ? A. P 1; 1; 5 . B. Q  5; 3;3 . x  3 y  2 z 1   . Điểm nào sau 2 1 4 C. M 1; 1; 3 . D. N  3; 2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được 2 1 2   (vô lí). Vậy điểm 2 1 4 M không thuộc đường thẳng d .  x  4  3t  Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  0; 2; 0 và đường thẳng d :  y  2  t .  z  1  t  Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là x y2 z x 1 y z x 1 y 1 z       A. B. C. 1 1 2 1 1 2 1 1 2 Hướng dẫn giải Chọn A qua N  4; 2; 1 Ta có : d :   vtcp ud   3;1;1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên D. x y z 1   1 1 2  MH  d d  H  d  x  4  3t   y  2t  MH .ud  0   H 1;1;  2  .    H  d  z  1  t 3 x  y  2  z  0  Đường thẳng  đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là MH  1;  1;  2  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x y2 z   . 1 1 2 x2 y2 z   đi qua những điểm nào Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : 1 2 3 sau đây? A. B  2; 2;0  B. C  3;0;3 C. D  3;0;3 D. A  2;2;0  Phương trình  : Hướng dẫn giải Chọn C 32 0 2 3    1 nên đường thẳng d đi qua điểm D . 1 2 3 Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  2z  2  0 và  Q  : x  3 y  2z  1  0 . Ta có Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  là A. x y z   . 9 12 2 B. x y z x y z    . C.  . 12 2 9 9 12 2 Hướng dẫn giải D. x y z   . 12 2 9 Chọn C    P  có VTPT n   2;3;2 ,  Q  có VTPT n  1; 3;2 . Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  nên đường    thẳng có VTCP u   n, n  12; 2; 9  . x y z   . 12 2 9 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3;1; 5  , hai mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0 và  Q  : 2 x  y  z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời  song song với hai Vậy phương trình đường thẳng là mặt phẳng  P  và  Q  . x3  2 x3 C.  :  2 A.  : y 1  1 y 1  1 z5 . 3 z5 . 3 x3  2 x3 D.  :  2 Hướng dẫn giải B.  : y 1 z  5  . 1 3 y 1 z  5  . 1 3 Chọn A  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n1  1; 1;1 .  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q  là n1   2;1;1 .   1 1 1   n1 và n2 không cùng phương.   2 1 1   P  và  Q  cắt nhau. Mặt khác: A   P  , A   Q  .   Ta có:  n1 , n2    2;1;3 .  Đường thẳng  đi qua A  3;1; 5  và nhận vectơ n   2; 1; 3 làm vectơ chỉ phương. Phương trình chính tắc của đường thẳng  là: x  3 y 1 z  5   . 2 1 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;  1 , đường thẳng d có phương trình x3 y 3 z   và mặt phẳng  α  có phương trình x  y  z  3  0 . Đường thẳng  đi qua 1 3 2 điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng  α  có phương trình là x 1 y  2 z 1   1 2 1 x 1 y  2 z 1   C. 1 2 1 A. x 1  1 x 1  D. 1 Hướng dẫn giải B. y  2 z 1  2 1 y  2 z 1  2 1 Chọn D  Gọi B  3  t ; 3  3t; 2t  là giao điểm của d và  . Đường thẳng  nhận AB  2  t; 1  3t ; 2 t  1 làm vec tơ chỉ phương.   Vì €  α  nên AB.nα  0 . Suy ra  2  t   1  3t    2t  1  0  2  2t  0  t  1 . Suy ra B  2; 0;  2  .  Vec tơ chỉ phương của đường thẳng  : AB  1;  2;  1 x 1 y  2 z 1   . 1 2 1 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và đường thẳng Phương trình đường thẳng  : x 1 y  1 z   . Đường thẳng  nằm trên mặt phẳng  P  , đồng thời vuông góc và cắt 2 2 1 đường thẳng d có phương trình là x 1 y 1 z 1 x 1 y  1 z  1     A. B. . 2 3 2 2 3 2 x 1 y  1 z  1 x 1 y 1 z 1     C. . D. . 2 3 2 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A  Vectơ pháp tuyến của  P  là n   3; 2; 1 .  Vectơ chỉ phương của d là u   2; 2; 1 .   u , n    2;  3; 2  là vectơ chỉ phương của  .   Mặt khác, do  cắt d nên  đi qua giao điểm M của d và mặt phẳng  P  . d: Tọa độ giao điểm M của d và  P  là nghiệm hệ phương trình sau:  x  1  2t t  1  y  1  2t  x  1    M  1; 1; 1 .   z  t  y  1  x  2 y  2 z  5  0  z  1 Vậy phương trình đường thẳng  là x 1 y 1 z 1   . 2 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x  1 y  2 z 1   và 3 1 2 x  3 x 1 y z  1  2 :   . Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1  t và cắt hai đường 1 2 3 z  4  t  Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : thẳng 1 ;  2 là  x  2  A.  y  3  t .  z  3  t  x  2  B.  y  3  t . z  3  t  x  2  C.  y  3  t . z  3  t   x  2  D.  y  3  t .  z  3  t  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi  là đường thẳng cần tìm. Gọi A    1 , B     2 A  1  A  1  3a; 2  a;1  2a  B   2  B 1  b;2b; 1  3b   AB   3a  b  2; a  2b  2; 2a  3b  2   d có vectơ chỉ phương ad   0;1;1    / / d  AB , ad cùng phương  3a  b  2  0  3a  b  2 a  1       có một số k thỏa AB  k ad   a  2b  2  k   a  2b  k  2  b  1  2a  3b  2  k  2a  3b  k  2  k  1    Ta có A  2;3;3  ; B  2; 2; 2    đi qua điểm A  2;3;3  và có vectơ chỉ phương AB   0; 1; 1 x  2  Vậy phương trình của  là  y  3  t . z  3  t  Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 0; 2  và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1   . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z  2 x 1 y z  2     A.  : . B.  : . 1 1 1 2 1 1 x 1 y z  2 x 1 y z  2     C.  : . D.  : . 1 3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A B   Do  cắt d nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi B    d   B  d x  t  1  Phương trình tham số của d :  y  t , t   . Do B  d , suy ra z  t 1    B  t  1; t ; t  1  AB   t ; t ; 2t  3  . Do A, B  nên AB là vectơ chỉ phương của  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz     Theo đề bài,  vuông góc d nên AB  u ,  u  1;1; 2   ( u  (1; 1; 2) là vector chỉ phương của    x 1 y z  2   d ). Suy ra AB.u  0 . Giải được t  1  AB  1;1;  1 . Vậy  : 1 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm M 1; 2;13 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   . 5 4 2 A. d  M ,     . B. d  M ,     4 . C. d  M ,     . D. d  M ,     . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2.1  2.  2   13  3 4 Ta có d  M ,      . 3 4  4 1 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và điểm A  1;3; 2 . Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P  bằng A. d  1 . B. d  2 . 3 C. d  3 14 . 14 D. d  14 . 7 Hướng dẫn giải Chọn B Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  là: d  1  2.3  2.  2   5 2 12   2    2  2  2 . 3 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và  Q  : x  2 y  2z  1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là A. 4 . 3 B. 2 . 3 C. 4 . D. 4 . 9 Hướng dẫn giải Chọn A Lấy A 1;1;3   P  .Do  P  song song với  Q  nên Ta có d   P  ,  Q    d  A,  Q    1  2.1  2.3  1 12  22   2  2  4 3 Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  4  0 ;  Q  : 5x  3 y  2 z  7  0 Vị trí tương đối của  P  &  Q  là A. Vuông góc. C. Song song. B. Trùng nhau. D. Cắt nhưng không vuông góc. Hướng dẫn giải Chọn D     n P    2; 3;1 ; n Q    5; 3; 2   n P  k .nQ   k  0  .   n P .n Q  0 . Vậy vị trí tương đối của  P  &  Q là cắt nhưng không vuông góc. Câu 5: Khoảng cách từ điểm M  2; 4;3 đến mặt phẳng  P  có phương trình 2 x  y  2 z  3  0 là: A. 3 . B. 1. C. 2 . D. Đáp án khác. Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3  . Hình chiếu vuông góc của M trên  Oxz  là điểm nào sau đây. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. K  0; 2;3  . B. H 1; 2;0  . Hình học tọa độ Oxyz C. F  0; 2;0  . Hướng dẫn giải D. E 1; 0;3  . Chọn D Hình chiếu vuông góc của M 1; 2;3  trên  Oxz  là điểm E 1; 0;3  . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2; 1;1 , tìm tọa độ M  là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  Oxy  . A. M   2;1; 1 . B. M   0;0;1 . C. M   2; 1;0  . D. M   2;1;0  . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  4  0 và điểm A( 1; 2; 2) . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  P  . A. d  4 . 3 B. d  8 . 9 C. d  2 . 3 D. d  5 . 9 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có d  A,  P    2  2  4  4  4 . 3 4 1 4 Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 3x  4 y  2 z  4  0 và điểm A 1; –2;3  . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P  . A. d 5 B. d  . 9 5 . 3 C. d  5 . 29 D. d  5 . 29 Hướng dẫn giải Chọn D d  A;  P    3.1  4.  2   2.3  4  5 . 29 32  42  22 Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A  2; 3;5 B. A  2; 3; 5 C. A  2;3;5 D. A  2; 3; 5  Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H là hình chiếu vuông góc của A  2; 3;5 lên Oy . Suy ra H  0; 3;0  Khi đó H là trung điểm đoạn AA .  x A  2 xH  x A  2   y A  2 y H  y A  3  A  2; 3; 5 .  z  2 z  z  5 H A  A Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  5; 7; 13  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  Oyz  . Tọa độ điểm H là? A. H  5; 0; 13  B. H  0; 7; 13  C. H  5; 7; 0  Hướng dẫn giải D. H  0; 7;13  Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Do H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng tọa độ  Oyz  nên H  0; 7; 13  . Câu 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A  1;2;1 , hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng tọa độ  Oxy  là A. P  0;2;1 B. N  1;0;1 C. Q  0; 2;0 D. M  1;2;0 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng  Oxy  .  x  1  Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:  y  2 . z  1 t  Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  Oxy  . Ta có  A  d   Oxy  .  x  1  x  1 y  2 y  2   Vậy tọa độ của A là nghiệm của phương trình  .  z  1 t z  0  z  0 t  1 Vậy hình chiếu vuông góc của A  1;2;1 lên mặt phẳng tọa độ  Oxy  là M  1;2;0 . Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  6 z  19  0 và điểm A  2;4;3 . Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  . Khi đó d bằng B. 2 . A. 3 . C. 1. Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn A 4  12  18  19 21 d   3. 7 22  32  62 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  0, 1,2  và mặt phẳng   có phương trình 4 x  y  2 z  3  0 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng   . 8 . 21 A. d  B. d  8 21 d  . C. 7 21 . D. d  8 . 21 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M 1; 2; 3 đến mặt phẳng  P : x  2 y  2z  2  0 . A. 3 . B. 11 . 3 1 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 1. Chọn A Ta có d  M ,  P    1 4  6  2  3. 1 4  4 Câu 16: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng  P  : 8x  4 y  8 z  11  0 ; Q  : 2x  2 y  7  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  . 6 Chọn C   n P    8; 4; 8 ; n Q   B.   . 3 Hình học tọa độ Oxyz  . 4 Hướng dẫn giải C. D.  . 2  2;  2; 0 .   n P .n Q  12 2 2  Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  &  Q  ta có cos      . 24 2 n P  . n Q   . 4 Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  4 z  12  0 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là A.  0; 4; 0 B.  0; 6; 0  C.  0; 3; 0 D.  0;  4; 0 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M  Oy   P   M  0; b; 0 . M   P   3b  12  0  b  4 . Vậy M  0; 4; 0 . Vậy   Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc M ‘ của điềm M (1;1;2) trên Oy có tọa độ là A. ( 0;0;2 ) . B. ( 0;1;0 ) . C. ( 0;1;0 ) . Hướng dẫn giải D. (1;0;0 ) . Chọn B Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 3; 5 trên mặt phẳng  Oyz  có tọa độ là A.  0; 3; 0  . B.  0; 3; 5 . C.  0; 3;5 . D. 1; 3;0  . Hướng dẫn giải Chọn B x  3 y 1 z  2   Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và 2 1 3 x 1 y  5 z 1 d2 :   . Xét vị trí tương đối giữa d1 và d 2 . 4 2 6 A. d1 chéo d 2 . B. d1 cắt d 2 . C. d1 song song với d 2 . D. d1 trùng d 2 . Hướng dẫn giải Chọn C  d1 qua M 1  3;1; 2  và có VTCP u1   2;1;3  d 2 qua M 2  1; 5;1 và có VTCP u2   4;2;6    Dễ thấy u1 cùng phương với u 2 và M 1  d 2 nên suy ra d1 song song với d 2 . Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  1;2;1 , B  4;2; 2 , C  1; 1; 2  , D  5; 5; 2 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ABC  A. d  3 3 . B. d  4 3 . C. d  3 . Hướng dẫn giải D. d  2 3 . Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz      Ta có AB   3;0; 3 , AC   0; 3; 3  n   AB; AC    9; 9;9   Phương trình mặt phẳng  ABC  là: x  y  z  0  d  D;  ABC    5  5  2 12  12   1 2 4 3. x 1 Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y 1 z 1  và 1 2 x 1 y z  3   . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng 1 1 1 A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Hướng dẫn giải Chọn D  Đường thẳng d1 có véctơ chỉ phương u1  1; 1; 2 .  Đường thẳng d 2 có véctơ chỉ phương u2   1;1;1 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng trên,ta có: 1. 1   1 .1  2.1    0  d Khi đó cos  cos  u1; u2   1 ; d 2  90 . 2 2 2 2 2 2 1   1  2 .  1  1  1 d2 :   Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu  S  ? A. 3  : x  2 y  2 z  3  0 . C. 1  : x  2 y  2 z 1  0 . B.  4  : 2 x  2 y  z  10  0 . D.  2  : 2 x  y  2 z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn D  S  có tâm I 1; 2;1 và bán kính R  3 . Lần lượt tính khoảng cách từ I đến i   i  1,2,3,4  và so sánh với R . Ta có i  và  S  không có điểm chung khi và chỉ khi d  I , i    R . 10 R. 3 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  8  0 và mặt cầu Ta có d  I ,  2     S  : x2  y 2  z 2  6x  4 y  2 z  2  0 . Gọi I  a, b, c  là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu  S  với mặt phẳng  P  . Giá trị của tổng S  a  b  c bằng A. 1. Chọn C B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 .   P  có một véc tơ pháp tuyến là n   2; 2; 1 . Mặt phẳng  S  : x2  y 2  z 2  6x  4 y  2 z  2  0   x  32   y  2 2   z  12  16 có Mặt cầu I   3; 2;1 và bán kính R  4 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 61 tâm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có d  I ,  P    2.3  2  2   1  8 22  22   1 2 Hình học tọa độ Oxyz  3  R nên mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  . I   3; 2;1  P  khi đó  có một véc Gọi  là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng  x  3  2t   tơ chỉ phương là u   2; 2; 1 , phương trình đường thẳng  :  y  2  2t . z  1 t  Gọi I là tâm đường tròn giao tuyến khi đó I  d   P  . Thay phương trình đường thẳng  vào phương trình mặt phẳng  P  ta được: 2  3  2t   2  2  2t   1  t   8  0  t  1 . Với t  1 thì I 1; 4;2   S  a  b  c  1  4  2  1 . Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  2 y  3z  6  0 và đường thẳng x 1 y 1 z  3   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 A.  cắt và không vuông góc với   . B.     . : C.  //   . D.     . Hướng dẫn giải Chọn B  Đường thẳng  qua A  1; 1;3 và có vectơ chỉ phương u   1; 1;1 .  Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến là n  1;2;3 .  Nhận thấy: u.n  0 và A    nên     . Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;0;1 , B 1; 2; 3 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng tọa độ  Oyz  tại điểm M  xM ; yM ; zM  . Giá trị của biểu thức T  xM  yM  z M là A. 0 . B. 4 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn A  Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB   2; 2; 4  .  x   1  2t  Phương trình AB :  y  2t .  z  1  4t  Tọa độ giao điểm M  xM ; yM ; zM  của đường thẳng AB và mặt phẳng tọa độ  Oyz  thỏa hệ  x  1  2t x  0  y  2t    y 1 .   z  1  4t  z  1   x  0 Vậy M  0;1; 1 , do đó giá trị của biểu thức T  xM  yM  z M  0 .  x  3  t Câu 27: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  3 z  1  0 và đường thẳng d :  y  2  2t . z  1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d cắt  P  . B. d //  P  . C. d   P  . D. d   P  . Hướng dẫn giải Chọn C  Mp  P  có VTPT n   2; 1; 3 , đường thẳng d đi qua điểm M  3; 2; 1 và có VTCP  a  1;  2;0  .  Ta xét: n.a  0 và điểm M   P  nên d  (P) . Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho A 1;3;  2  , B  3;5;  12 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại N . Tính tỉ số A. BN  2. AN BN . AN B. BN 5. AN BN  3. AN Hướng dẫn giải C. D. BN  4. AN Chọn D x  1 t qua A 1;3; 2   Đường thẳng AB :    AB :  y  3  t VTCP AB   2; 2;  10   2 1;1; 5   z  2  5t  N  AB   Oyz  . N   AB   N 1  t;3  t;  2  5t  , N   Oyz   1  t  0  t  1  N  0; 2;3 BN  3. AN Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và  AN  3 3, BN  9 3   Q  : x  2 y  2 z  1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  A. 4 . 9 B. 2 . 3 và  Q  là: 4 . 3 Hướng dẫn giải C. 4 D.  . 3 Chọn C 3  Ta có:  P  //  Q  nên chọn điểm A  0; 0;    P  . 2  3 0  2.0  2.  1 4 2 Khi đó: d   P  ;  Q    d  A;  Q     . 2 3 12  22   2  Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  2 z  5  0 và đường thẳng x 1 y  2 z   . Gọi A là giao điểm của  và  P  ; và M là điểm thuộc đường thẳng  2 1 3 sao cho AM  84 . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  . : A. 3 B. 5 C. 6 Hướng dẫn giải D. 14 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   u .nP 3 21 Ta có: sin  ,  P        . 14 6. 14 u  . nP Gọi H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng. Khi đó ta có tam giác AMH là tam giác   MH  MH  3 . vuông tại H nên sin  ,  P    sin MAH MA x 1 y 1 z 1   Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 2 3 2 x 1 y  2 z  3 d :   . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  . 2 1 1 10 21 4 21 22 21 8 21 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  . 21 21 21 21 Hướng dẫn giải Chọn D  d có vectơ chỉ phương u   2;3; 2  , đi qua M  1; 1;1 .  d  có vectơ chỉ phương u   2;1;1 , đi qua M  1; 2;3 .       Ta có: u , u   1; 2; 4  , MM    2; 1; 2   u, u  .MM   1.2  2.  1   4  .2  8  0  d , d  chéo nhau.    u, u  .MM  8 8 21   Khi đó: khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  là: h    .   21 21 u , u    Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 1;1 , B  4;2; 3 . Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  Oxy  và B là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng  Oyz  . Độ dài đoạn thẳng A. 2 . AB bằng B. 3 . C. 2 3 . Hướng dẫn giải D. 3 3 . Chọn D Do A là hình chiếu vuông góc của A  3; 1;1 trên mặt phẳng  Oxy  nên A  3; 1;0 . B  4;2; 3 Do B là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng  Oyz  nên B  0;2; 3   2 2 Ta có AB   3;3; 3  AB   3  32   3  3 3 . Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng   : x  2 y  z  1  0 và    : 2 x  4 y  mz  2  0 . Tìm m để   và    song song với nhau. A. m  1 . B. m  2 . C. m  2 . D. Không tồn tại m . Hướng dẫn giải Chọn D  Mặt phẳng   có một VTPT là n1  1; 2; 1 .  Mặt phẳng    có một VTPT là n2   2; 4; m  . Ta có   //     2 4 m 2     m  . 1 2 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.bacgiang[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : 2x  4 y  3z  5  0 và  Q  : mx  ny  6 z  2  0 . Giá trị của A. m  4 ; n  8 B. m  n  4 m , n sao cho  P  song song với  Q  là: C. m  4 ; n  8 Hướng dẫn giải D. m  n  4 Chọn C m n 6 2    . 2 4 3 5 m  2  2  m  4  Do đó:  . n  8   n  2  4 Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A  4;3; 2 đến trục Ox là  P song song với  Q  khi và chỉ khi: B. h  3 . A. h  13 . C. h  2 5 . Hướng dẫn giải D. h  4 . Chọn A Điểm H  4;0;0 là hình chiếu của A lên trục Ox nên h  AH  13 . 1 3  Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 . Đường 2 2  thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB . A. S  2 7. B. S  2 2. C. S  7. D. S  4. Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Mặt cầu  S  có tâm O  0;0;0 và bán kính R  2 2 . 2 2 1  3 Có OM        1 nên M nằm trong mặt cầu  2  2  Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM ⊥ AB. Khi đó AB  2 R 2  OM 2  2 7 và 1 S AOB  OM . AB  7 2 Cách 2: gọi H là hình chiếu của O xuống đường thẳng d, đặt OH  x  0  x  1 Khi đó 1 AB  2 R 2  OH 2  2 8  x 2 và S AOB  OH . AB  x 8  x 2 . 2 Khảo sát hàm số f  x   x 8  x 2 trên  0;1 thu được giá trị lớn nhất của hàm số là 7 Đạt được tại x  1 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  0 và đường  x  mt  thẳng d :  y  m 2 t với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d  z  mt  tiếp xúc với mặt cầu  S  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. m  2 .  m  2 B.  . m  0 Hình học tọa độ Oxyz C. m  0 . D. m  1 . Hướng dẫn giải Chọn A  S  : x2  y2  z 2  2x  2 y  2 z  0   x  12   y  12   z  12  3 . Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta thấy vectơ chỉ phương của d là  u   m; m 2 ; m  và đi qua điểm O  0;0;0 . Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S   d I ;d   R với I 1;1;1 và R  3 là tâm và bán   kính mặt cầu  S  . Ta có OI , u    m 2  m;0; m  m 2  .   2 2 2 OI , u  2  m2  m   m2  m    m  m2      3  3  R  m 4  2m 2 u m2  m4  m2 m  0  2m4  4m3  2m2  3m4  6m2  m4  4m3  4m2  0   . m  2  Loại đáp án m  0 vì khi m  0 thì u   0;0;0  không thể là vectơ chỉ phương của d . Vậy m  2 . Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A  0; 1; 2  và B 1; 0; 2  lần lượt là hình chiếu vuông góc x y 1 z  2   và  P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Tính S  a  b  c . 4 1 1 B. 4  3 . C. 3  2 . D. 5  3 . Hướng dẫn giải của điểm I (a; b; c) trên  : A. 0. Chọn A  x y 1 z  2    a   4;1; 1 4 1 1   P  : 2 x  y  2 z  6  0  n   2; 1; 2  Ta có  : Gọi d là đường thẳng đi qua B 1; 0; 2  và vuông góc với mp(P), phương trình tham số của d là:  x  1  2t   y  t  z  2  2 t  Vì B là hình chiếu của I trên (P) nên I  d  I 1  2t ; t; 2  2t    AI  1  2t ;1  t ; 4  2t  Vì A là hình chiếu của I trên  nên      AI  a  AI .a  0  4 1  2t   1  t   4  2t   0  t  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Do đó I 1  2t ; t; 2  2t    1;1; 0   a  1; b  1; c  0 Vậy a  b  c  0 . x  2 y 1 z   và điểm 2 2 1 I  2;1; 1 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  cắt trục Ox tại hai điểm A , B . Tính độ dài đoạn AB . A. AB  6 . B. AB  24 . C. AB  4 . D. AB  2 6 . Hướng dẫn giải Chọn D  x  2 y 1 z :   qua A  2;1;0  và có một véctơ chỉ phương là n   2;2; 1 . 2 2 1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  nên bán kính của mặt cầu là    AI , n    R  d  I,   2 2. n Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : 2 2 2 Phương trình mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  1  8 .     Mặt cầu  S  cắt trục Ox tại A 2  6;0;0 và B 2  6;0;0 . Suy ra độ dài đoạn AB  2 6 . Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  9  0 , mặt cầu  S  tâm O tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại H  a; b; c  . Tổng a  b  c bằng A. 1. B. 1. C.  2 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn B Tiếp điểm H  a; b; c  là hình chiếu vuông góc của O lên mp  P  . x  t  Đường thẳng  qua O và    P  có phương trình  :  y  2t  z  2t  x  t  y  2t t  1   H     P  , giải hệ phương trình  được   x  1; y  2; z  2  z  2t  x  2 y  2 z  9  0 Vậy H  1; 2;  2  nên a  b  c  1  2  2   1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67