Hình học không gian – Đặng Thành Nam

Giới thiệu Hình học không gian – Đặng Thành Nam

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Hình học không gian – Đặng Thành Nam CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Hình học không gian – Đặng Thành Nam

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Hình học không gian – Đặng Thành Nam

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Hình học không gian – Đặng Thành Nam
Chuyên đề 8: Hình học không gian Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : [email protected] Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 554 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Chuyên đề 8: Hình học không gian 555 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : [email protected] Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 Các yếu tố trong tam giác cần nắm vững + Với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH khi đó BC 2  AB 2  AC 2 ; AB 2  BH .BC; AC 2  CH .BC ; 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 + Với tam giác ABC có các cạnh là a, b, c độ dài các trung tuyến ma , mb , mc và có bán kính đường tròn ngoại tiếp R , bán kính đường tròn nội tiếp r , nửa chu vi là p khi đó Định lý cosin: cos A  b2  c2  a 2 c 2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 , cos B  , cos C  . 2bc 2ca 2ab Từ đó tính được: sin A  1  cos 2 A ,sin B, sin C. Định lý hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài đường trung tuyến: 2 ma  2  b2  c 2   a 2 4 2 ; mb  2  c2  a 2   b2 4 2 ; mc  2  a 2  b2   c2 4 . Diện tích tam giác: S 1 1 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 2 2 S 1 1 1 ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 2 2 S abc  pr  4R p  p  a  p  b  p  c  Với tam giác đều cạnh a thì có diện tích là S  Diện tích hình thang S  a2 3 4 1  a  b  .h ( a, b là hai cạnh đáy và h là chiều cao). 2 556 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau S ABCD  1 AC.BD 2 Các công thức tính thể tích + V (khối hộp chữ nhật)  abc ( với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật). 1 + V (khối chóp)  dt (đáy) .chiều cao 3 + V (khối lăng trụ)  dt (đáy).chiều cao 4 + V (khối cầu)   R3 3 Phương pháp xác định chiều cao của khối chóp Loại 1: Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy đó chính là chiều cao của khối chóp. Loại 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ đỉnh khối chóp đến giao tuyến của mặt bên đó với đáy khối chóp. Loại 3: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó. Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh khối chóp đến tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. Loại 5: Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh đến tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Loại 6: Khối chóp có hai mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao khối chóp hạ từ đỉnh sẽ nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai cạnh nằm trên mặt đáy của hai mặt bên. Chẳng hạn khối chóp S . ABCD có hai mặt bên  SAC  và  SAB  cùng tạo với đáy góc  khi đó chân đường cao của khối chóp hạ từ đỉnh S nằm trên đường phân giác của góc BAC . Loại 7: Khối chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh khối chóp nằm trên đường trung trực nối giữa hai giao điểm của hai cạnh bên với đáy. Chẳng hạn khối chóp S . ABCD có cạnh SB  SD khi đó chân đường cao của khối chóp hạ từ đỉnh S nằm trên đường trung trực của BD . Việc xác định chân đường cao của khối chóp giúp ta giải quyết bài toán 557 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 + Tính thể tích khối chóp thông qua công thức V (khối chóp)  dt (đáy) .chiều cao. 3 + Tính góc tạo bởi đường thẳng hoặc mặt phẳng bên với đáy hoặc tính góc giữa hai mặt bên khối chóp(góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy chính là góc tạo bởi cạnh bên và đường thẳng nối chân đường cao khối chóp và giao điểm của cạnh bên với đáy). Chẳng hạn khối chóp SABCD có chân đường cao hạ từ đỉnh S của khối chóp là H khi đó góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy chính là góc giữa hai đường thẳng SA và AH . + Tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng: h  3V . Sd Phương pháp tính thể tích khối đa diện + Khi xác định được chiều cao khối chóp thì áp dụng cách tính trực tiếp thể tích khối chóp nhờ 1 công thức V (khối chóp)  dt (đáy) .chiều cao. 3 + Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện hơn và dễ tính thể tích hơn. + Dùng tỷ số thể tích: Cho ba đường thẳng không đồng đồng phẳng SA, SB, SC các điểm A ‘  SA; B ‘  SB; C ‘  SC khi đó ta có tỷ số thể tích V  SA ‘ B ‘ C ‘ SA ‘.SB ‘.SC ‘  V  SABC  SA.SB.SC V  A ‘ ABC  A ‘ A  V  SABC  SA Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng – Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  thì khoảng cách từ mọi điểm trên d đến  P  là như nhau. – Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  tại điểm M và có hai điểm A, B trên d sao cho AM  kBM thì d  A;  P    k .d  B;  P   . Áp dụng khi tính khoảng cách trực tiếp từ một điểm đến mặt phẳng khó khăn. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Giả sử I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện S . A1 A2 … An khi đó 558 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN + I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. + I cách đều tất cả các điểm S , A1 , A2 ,…, An nên I phải nằm trên mặt phẳng trung trực của SAi . Để chứng minh các điểm đều thuộc một mặt cầu + Chứng minh các điểm cùng nhìn một cạnh dưới một góc 900 . + Chứng minh chúng cách đều một điểm nào đó. Dưới đây trình bày 4 bài toán cơ bản nhất, các em nên nắm vững để áp dụng vào bài thi Bài toán cơ bản 1: Cho khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao khối chóp h khi đó thể tích 1 khối chóp được xác định theo công thức V  S .h . 3 Bài toán cơ bản 2: Cho khối chóp S . ABC trên các cạnh SA; SB; SC lần lượt lấy các điểm A ‘; B ‘; C ‘ . Khi đó ta có VS . ABC SA SB SC  . . VS . A1 B1C1 SA1 SB1 SC1 Bài toán cơ bản 3: Cho tứ diện ABCD , có d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD và  là góc giữa hai đường thẳng đó. Khi đó thể tích tứ diện ABCD được xác định theo công thức VABCD  1 AB.CD.d .sin  6 Chứng minh: 559 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A E B D C   Dựng hình bình hành ABCE , khi đó ECD Ta có VABCD  VE. BCD  VB.CED ( do AE song song với mặt phẳng BCD ) Do AB song song với mặt phẳng CED nên khoảng cách giữa AB; CD cũng chính là khoảng cách từ B đến mặt phẳng CED Vậy VABCD  VB.CED 1 1 1  d  B;  CED   . CE.CD.sin   AB.CD.d .sin  3 2 6 Bài toán cơ bản 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau AB  CD  a; AC  BD  b; AD  BC  c . Lời giải: Dựng tứ diện APQR sao cho B; C ; D lần lượt là trung điểm của QR; RP; PQ 560 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 Ta có AB  CD  QR , mà B 2 A lại là trung điểm của QR suy ra tam giác AQR vuông tại A  AQ  AR Một cách tương tự, ta cũng có AP  AQ; AR  AP Q P D B Do S BCD  1 S PQR 4 1 1 1  VABCD  VAPQR  . AQ. AR. AP 4 4 6 C R Ta xác định AQ; AP; AR : Theo định lý pitago ta có:  AQ 2  AR 2  QR 2   2CD 2  4 a 2  2  2 2 2 2  AQ  AP  QP   2 BC   4c  2 2 2 2 2  AP  AR  PR   2 BD   4b Từ đây suy ra: AQ  2  a 2  b 2  c 2  ; AP  2   a 2  b 2  c 2  ; AR  2  a 2  b 2  c 2  Vậy VABCD  2 12 a 2  b2  c2  c 2  b2  a2  c 2  b2  a2  1.1. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC TRỰC TIẾP – Với những khối chóp ta xác định được đường cao một cách tương đối dễ thì nên áp dụng cách này. Đây cũng là cách thông dụng nhất để giải các bài toán thi đại học, vì mức độ yêu cầu học sinh nắm chắc cách vận dụng kiến thức. 561 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB  a; AD  2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM  a 3 ; mặt phẳng  BCM  cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối 3 chóp S .BCNM . Lời giải: Do AD song song với BC nên S giao tuyến  BCM  với của mặt mặt phẳng phẳng  SAD  là đường thẳng MN song song với N H AD D M A C Lại có  BC  AB  BC   SAB   BC  BM   BC  SA vậy thiết diện là hình thang vuông B BCNM Có AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  SAB  chính là góc  ABCD  nên góc giữa cạnh SB và mặt phẳng   600 SBA Suy ra SA  AB tan 600  a 3 Xét tam giác SAD có: MN SM SA  AM SA  AM    MN  . AD  AD SA SA SA 562 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam a 3 3 .2 a  4 a 3 a 3 a 3 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Và BM  AB 2  AM 2  2a 3 3 Diện tích hình thang BCNM là S BCNM  1 1 4a 2a 3 10a 2 3   AB  MN  BM   2 a   . 2 2 3  3 9 Hạ SH  BM , thì do BC   SAB   SH  BC  SH   BCNM  Vậy SH chính là đường cao của khối chóp S .BCNM tan  ABH  AM 3   300  SH  1 SB  a   ABH  300  SBH AB 3 2 1 1 10a 2 3 10a 3 3 Vậy VS .BCNM  S BCNM .SH  . .a  3 3 9 27 Cách khác: Sử dụng tỷ số thể tích; tính thể tích khối chóp S .BCNM theo tổng thể tích của khối chóp SBMN và SBCN – VS . BMN SM SN  . VS . BAD SA SD – VS .BCN SN  VS . BCD SD ( chi tiết xem phương pháp tỷ số thể tích). Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với B ‘ C chia khối lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ thành hai khối đa diện; một khối C A chứa đỉnh C , một khối chưa đỉnh B ‘ . Tính thể tích của khối chứa đỉnh B ‘ . M Lời giải: B N Gọi M là trung điểm của BC ; kẻ MN song song với BC ‘  N  CC ‘ Khi đó MN  B ‘ C 563 C’ Dang A’ Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam B’ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  AM  BC Và   AM   BCC ‘ B ‘  AM  B ‘ C vì vậy tam giác AMN chính là thiết diện của  AM  BB ‘ lăng trụ cắt bởi mặt phẳng  P  Ta có VABC . A’ B ‘ C ‘  AA ‘.S ABC  a. VA.CMN  a 2 3 a3 3  4 4 1 1 a 3 1 a a a3 3 AM .SCMN  . . . .  Vậy 3 3 2 2 2 2 48 VAA ‘ BMNC ‘ B ‘  VABC. A ‘ B ‘ C ‘  VA.CMN 11a 3 3  (dvtt) 48 Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD ; SD vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  AD  2a; AB  CD; SD  a   600 . Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  tại A; B; C lần lượt lấy các BAD điểm A ‘; B ‘; C ‘ ( A ‘; B ‘; C ‘ cùng phía với S ). Tính thể tích khối chóp S . ABCD và chứng minh rằng VS . ABC  VD. A ‘ B ‘C ‘ . Lời giải: A’ D’ Gọi I là trung điểm của AD Do AB  CD nên BC song song với AD , suy O’ ra tứ giác ABCD là hình thang cân C’ B’   600 Lại có BAD Suy ra tam giác IAB đều, cũng có ICD đều; và IBC đều cạnh a A D I B O C Vậy S ABCD  3S IAB  3. 564 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam a 2 3 3a 2 3  4 4 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chứng minh: VS . ABC  VD. A ‘ B ‘C ‘ 1 1 3a 2 3 a 3 3 Suy ra VS . ABCD  SD.S ABCD  .a.  (dvtt) 3 3 4 4 Gọi AC  BD  O ; A ‘ C ‘ B ‘ S  O ‘ Do OO ‘ song song với SD nên ta có: d  D;  A ‘ B ‘ C ‘  d  O;  A ‘ B ‘ C ‘    d  S ;  ABC   SD SD ;  OO ‘ d  O ‘;  ABC   OO ‘ Từ đó suy ra VS . ABC  SD SD VO ‘. ABC ; VD. A ‘ B ‘ C ‘  VO. A’ B ‘ C ‘ OO ‘ OO ‘ Ta chỉ cần chứng minh: VO ‘. ABC  VO. A’ B ‘C ‘ Thật vậy: – 1 1 VO. A ‘ B ‘C ‘  VB ‘.OA’ C ‘  d  B ‘;  ACC ‘ A ‘   .SOA’ C ‘  d  BB ‘;  ACC ‘ A ‘  .SOA ‘C ‘ 3 3 – 1 1 VO ‘. ABC  VB.O ‘ AC  d  B;  ACC ‘ A ‘  .SO ‘ AC  d  BB ‘;  ACC ‘ A ‘  .SO ‘ AC 3 3 Mặt khác SOA’ C ‘  SO ‘ AC ; từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt đáy  ABCD  . Mặt bên  SAD  cân tại S và tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD . Lời giải: 565 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN S Gọi O là tâm mặt đáy ABCD Do  SAC    ABCD    SO   ABCD   SBD    ABCD    SAC    SBD   SO Gọi M là trung điểm của AD Thì do tam giác SAD cân tại S nên D C M Lại có SO  AD Từ đây suy ra AD   SMO  O A SM  AD Vậy nên góc giữa mặt bên  SAD  B và mặt đáy  ABCD  chính là góc   600 SMO Mặt khác AD  MO , tam giác vuông AOD có OM vừa là trung tuyến lại vừa là đường cao nên nó là tam giác cân; hay OD  OA  ABCD là hình vuông Vậy SO  OM tan 600  a 3 2 1 1 a 3 a3 3 Vậy VS . ABCD  S ABCD .SO  a2 .  (đvtt) 3 3 2 6 Bài 5. Trên mặt phẳng  P  chứa tam giác đều ABC cạnh a, D là điểm đối xứng của A qua trung điểm I của BC . Lấy điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng SD   P  tại D , biết a 6 . Gọi H là hình chiếu của I trên SA . Chứng minh mặt phẳng  SAB  vuông góc với 2 mặt phẳng  SAC  . Tính thể tích khối chóp H . ABC . 566 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lời giải: Ta có ABCD là hình thoi( có tất cả các cạnh S đều bằng a) Suy ra BC  AD Lại H có BC  SD , từ đó suy ra BC   SAD   BC  SA C A Mặt khác lại có HI  SA Vậy SA   HBC  ; suy ra góc giữa hai mặt I  phẳng  SAB  và  SAC  chính là góc BHC : Ta tính góc BHC D B Tam giác AHI ~ ADS ( g .g )  AI AS a BC   HI   . Tam giác HBC có trung tuyến bằng HI DS 2 2 1   900 cạnh đối diện nên nó là hình vuông. Vậy BHC 2 Từ đó suy ra  SAB    SAC  . Ta có VH . ABC  1 1 1 a a a3 2 AH . HI .BC  . . .a  (đvtt) 3 2 6 2 2 24 Bài 6. Cho lăng trụ đứng có đáy ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , góc   600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng a và khoảng cách giữa hai đường BAC  a 3 3 thẳng A ‘ B và AC bằng 4  . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ . Lời giải: 567 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1. Cho hình lập phương ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh A ‘ B ‘; B ‘ C ‘ . Tính theo a thể tích khối tứ diện AD ‘ MN và khoảng cách từ A đến D ‘ N . 1.2. Cho hình chóp đều S . ABC cạnh đáy bằng a, đường cao hình chóp bằng a 3 . Mặt phẳng P qua cạnh BC và vuông góc với SA . Hỏi mặt phẳng  P  chia khối chóp thành hai phần có tỷ số thể tích bằng bao nhiêu?. 1.3. 1.2. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH Nội dung: Xem bài toán cơ bản 2 BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD . Xét mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A; B và trung điểm M của cạnh SC . Tính tỷ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Lời giải: S Kẻ MN song song với SD  N  SD  Khi đó hình thang ABMN là thiết diện N cắt bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp. M I VS . ABMN  VS . ABN  VS . ABM D A 568 O Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam C B HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Áp dụng tỷ số thể tích cho hai khối chóp S . ABD; S .BCD ta được: – VS . ABN SN SM 1 1 1     VS . ABN  VS . ABD  VS . ABCD VS . ABD SD SD 2 2 4 – VS .BMN SM SN 1 1 1 1  .  .  VS . BMN  VS .BCD  VS . ABCD VS . BDC SD SD 2 2 4 8 3 Từ đó suy ra: VS . ABMN  VS . ABN  VS . ABM  VS . ABCD 8 Suy ra: VS . ABMN 3/8 3   . V . ABCDNM 1  3 / 8 5 Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh a , mặt bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A; B và trọng tâm G của tam giác SCD cắt các cạnh SC; SD lần lượt tại E và F . Tính thể tíchkhối chóp S . ABEF Lời giải: Gọi M là trung điểm của CD; O là S tâm hình vuông ABCD Ta G E SO  CD   600  SO  CD   SMO   SMO  OM  CD F I Kẻ EF qua G và song song với D A M có CD  E  SC ; F  SD  ; khi dó thiết diện là hình thang cân ABEF . O C Áp dụng tỷ số thể tích ta được: B – 569 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam VS . ABF SF SG 2 2     VS . ABF  VS . ABD VS . ABD SD SM 3 3 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VS . BEF SE SF 2 2 4 4 1 2  .  .  VS . ABF  VS . BCD  . VS . ABCD  VS . ABCD VS .BCD SC SD 3 3 9 9 2 9 – Từ đó suy ra: 1 2 5 5 1 a 3 5a3 3 VS . ABEF  VS . ABF  VS . BEF  VS . ABCD  VS . ABCD  VS . ABCD  . .a2 .  3 9 9 9 3 2 54 Bài 3. Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của khối chóp S . ABC sao cho SM 1 SN  ;  2 . Mặt phẳng ( ) qua MN và song song với SC , chia khối chóp thành hai phần. MA 2 NB Tìm tỷ số thể tích hai phần đó. Lời giải: Kéo dài MN cắt AB tại I S Kẻ MD song song với SC ; DI cắt J M BC tại E Khi đó tứ giác MNED là thiết diện N A E của khối chóp cắt bởi mặt phẳng I B ( ) Trước hết ta tính thể tích khối chóp D AMNED theo thể tích khối chóp C A.SBC 1 Kẻ MJ song song với AB suy ra SJ  SB  J là trung điểm của SN . Từ đây suy ra 3 IB  MJ  1 AB 3 Theo công thức tỷ số thể tích ta có – VA. MDI AM AD AI 2 2 4 16 16 16  . .  . .   VA. MDI  VA.SCB  VS . ABC VA.SCB AS AC AB 3 3 3 27 27 27 570 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI . BNE IB IN IE 1 1 1 1 1 1 16 1  . .  . .   VI . BNE  VI . AMD  . VS . ABC  VS . ABC VI . AMD IA IM ID 4 2 2 16 16 16 27 27 – Suy ra VADMNE  VA. MDI  VI . BNE  15 VS . ABC 27 Vậy gọi V1 ;V2 lần lượt là thể tích phần dưới; phần trên do mặt phẳng ( ) tạo ra với khối chóp S . ABC thì V1 15 / 27 5   V2 1  15 / 27 4 Bài 4. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B ‘; D ‘ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; SD . Mặt phẳng  AB ‘ D ‘  cắt cạnh SC tại C ‘ . Tìm tỷ số thể tích của hai khối chóp S . AB ‘ C ‘ D ‘ và S . ABCD . Lời giải: S C’ l B’ D’ C” B A O D C Gọi O là tâm mặt đáy ABCD; B ‘ D ‘ SO   I  ; AI  SC  C ‘ Kẻ OC ” song song với AC ‘  C ”  SC  Do B ‘ D ‘ là đường trung bình của tam giác SBD nên I là trung điểm của SO Và O là trung điểm của AC . Từ đó suy ra 571 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SC ‘  C ‘ C ”; C ‘ C ”  C ” C  SC ‘ 1  SC 3 Theo công thức tỷ số thể tích ta có – VS . AD ‘ C ‘ SD ‘ SC ‘ 1 1 1 1 1  .  .   VS . AD ‘ C ‘  VS . ADC  VS . ABCD VS . ADC SD SC 2 3 6 6 12 – VS . AB ‘ C ‘ SB ‘ SC ‘ 1 1 1 1 1  .  .   VS . AB ‘ C ‘  VS . ABC  VS . ABCD VS . ABC SB SC 2 3 6 6 12 1 V 1 Vậy VS . AB ‘ D ‘  VS . AD ‘C ‘  VS . AB ‘ C ‘  VS . ABCD  S . AB ‘ D ‘  6 VS . ABCD 6 Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cạnh SA vuông góc với đáy; SA  2 a . Gọi B ‘; D ‘ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB; SD . Mặt phẳng  AB ‘ D ‘  cắt cạnh SC tại C ‘ . Chứng minh rằng năm điểm S ; A; B ‘; C ‘; D ‘ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối chóp S . AB ‘ C ‘ D ‘ . Lời giải: Để S C’ năm điểm I ta chỉ cần chứng minh AC ‘  SC . Vì khi đó chúng cùng C thuộc mặt cầu đường kính SA D A O B minh S ; A; B ‘; C ‘; D ‘ cùng thuộc một mặt cầu B’ chứng C 572 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CD  AD Ta có:   CD   SAD   CD  AD ‘ CD  SA ( gt ) Mặt khác AD ‘  SD  AD ‘   SCD   AD ‘  SC Tương tự ta cũng có: AB ‘  SC . Từ đó suy ra  SC    AB ‘ D ‘  SC ‘  SC ( ta có đpcm). Dễ thấy VS . AB ‘ C ‘ D ‘  2VS . AB ‘ C ‘ ( tính chất đối xứng xứng của hình chóp) Theo công thức tỷ số thể tích, ta có: VS . AB ‘ C ‘ SB ‘ SC ‘ SB.SB ‘ SC .SC ‘ SA2 SA2 4a 2 4a 2 8  .  .  2. 2  2. 2  VS . ABC SB SC SB 2 SC 2 SB SC 5 a 6 a 15 Từ đó suy ra VS . AB ‘ C ‘  8 8 1 1 8a 3 16 3 VS . ABC  . .SA. AB.BC   VS . AB ‘ C ‘ D ‘  2VS . AB ‘ C ‘  a 15 15 3 2 45 45 Bài 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm các cạnh AB; AD; SC . Chứng minh rằng mặt phẳng  MNP  chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Lời giải: MN cắt BC tại I , cắt CD tại K S Cắt AC tại L ; gọi O là tâm hình bình hành ABCD IP cắt cạnh SB tại E; KP cắt cạnh SD tại P F F Khi đó thiết diện của khối chóp cắt bởi K D N L A mặt phẳng  MNP  là ngũ giác MNFPE E C O B M 573 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam I Theo tính chất song song ta có HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CK CI CL 3 3 3     CK  CD; CI  CB Do CD CB CO 2 2 2 d  P;  ABCD    trung điểm của cạnh SC nên 1 d  S ;  ABCD   2 1 1 1 VP.CIK  . d  S ;  ABCD   . CK .CI .sin  ICK 3 2 2 –  P là 1 3 3  9V d  S ;  ABCD   . CD. CB.sin DCB S . ABCD 12 2 2 16 Bây giờ ta tính thể tích hai khối tứ diện I .MBE; K .END theo thể tích khối tứ diện S . ABCD Vì tính chất đối xứng suy ra VI . BME  VK . END Theo tỷ số thể tích ta có: VI . BME IB IM IE 1 1 1 1 1 1  . .  . .   VI . BME  VI .CKP  VS . ABCD VI .CKP IC IK IP 3 3 2 18 18 32 Gọi V1 là thể tích phần phía dưới tạo bởi mặt phẳng  MNP  và khối chóp Ta có 1  1 9 V1  VP.CIK  2VI . BME    2.  VS . ABCD  VS . ABCD Từ 32  2  16 đây ta có đpcm. Bài 7. Cho hình lập phương ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ . Gọi E ; F lần lượt là trung điểm các cạnh C ‘ B ‘; C ‘ D ‘ . Tính tỷ số thể tích hai phần khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng  AEF  . Lời giải: A EF cắt A ‘ B ‘ tại M ; MA cắt BB ‘ tại Q D EF cắt A ‘ D ‘ tại N ; PN cắt DD ‘ tại P C B Gọi O là tâm hình vuông A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ và K là giao điểm của A ‘ C ‘ và EF P Khi đó thiết diện của hình lập phương cắt bởi A’ Q O B’ E D’ K N Theo tính chất song song ta có F C’ mặt phẳng  AEF  là ngũ giác APFEQ 574 Dang M Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A’M A ‘ N AK 3    A ‘ B ‘ A ‘ D ‘ AO 2 Ta có VA. A ‘ MN  1 1 3a 3a 3a 3 AA ‘. A ‘ M . A ‘ N  .a. .  6 6 2 2 8 VP. D ‘ NF  VQ. B ‘ ME ( do tính chất đối xứng)  1 1 a a a a3 PD ‘.D ‘ F .D ‘ N  . .  6 6 2 2 3 72 Gọi V1 là phần thể tích phía dưới cắt bởi mặt phẳng  AEF  ; V2 là phần thể tích phía trên Ta có V1  VA. A ‘ MN  VP .D ‘ NF  VQ.B ‘ ME  Suy ra 3a 3 a 3 25  2.  a3 8 72 72 V1 25 / 72 25   V2 1  25 / 72 47 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB, SC theo thứ tự tại M , N . Gọi V1 là thể tích tứ diện SAMN ; V là thể tích tứ diện SABC . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1.2. V1 . V Cho hình lập phương ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có độ dài các cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC ‘ sao cho CK  2a . Mặt phẳng  P  đi qua A, K và song song với BD chia hình lập 3 phương thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó. BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP ĐA DIỆN BÀI TẬP MẪU 575 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hình chóp AB  BC  A. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và có 1 AD  a; SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD 2 cắt SB tại H . Chứng minh rằng AH  BS và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  . Lời giải: S Do AB  BC  1 AD 2 nên CD2  BC 2  AB 2  2a2 I AC 2  AB 2  BC 2  2a 2 Suy ra AC 2  CD2  AD 2  4a 2 H D A Vậy tam giác ACD vuông cân tại tại C Vì thế gọi I là trung điểm của SD thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD B Do C H cũng thuộc mặt cầu nên   900 hay SH  HD (1) SHD SA   ABCD  Lại có   AD   SAB   AD  SH (2)  AD  AB Từ (1) và (2) ta suy ra SB   AHD   AH  SB BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB  BC  a; AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SA  a . Gọi E là trung điểm của AD . Tính thể tích khối chóp S .CDE và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. 576 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB  a AD  a 2 . Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD  bằng 600 . Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên  SAB  vuông góc với đáy và là tam giác cân đỉnh S . Tính thể tích khối chóp S . ABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . AHC . Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA  DB  a 3 và CD vuông góc 3 với AD . Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho tam giác AEB vuông tại E . Tính góc tạo bởi mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng  ABD  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE . Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh S trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên  SAB  tạo với đáy một góc 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABD . Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của A ‘ A, AB và BC . Biết góc tạo bởi mặt phẳng  C ‘ AI  và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp N . AC ‘ I và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp C ‘. AIB . Bài 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có đường cao là SH trong   đó H là điểm thỏa mãn HN  3 HM ( M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD ). Mặt phẳng  SAB  tạo với mặt phẳng đáy  ABCD  một góc 600 . Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SAC  và xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Bài 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB  BC  a; AD  2a, SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với mặt phẳng  SAC  góc 600 . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử mặt phẳng  P  qua O và song song với SC cắt SA tại M . Tính thể tích khối chop MBCD và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chop SACD . 577 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AB  2a; CB  CD  a và AB vuông góc với mặt phẳng  BCD  . Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ACD  và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Bài 9. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC , lấy điểm D đối xứng với A qua M . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng SD   ABCD  tại D lấy điểm S sao cho a 6 . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên SA . Tính khoảng cách từ M đến mặt 2 phẳng  SAC  . Chứng minh mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng  SAB  và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp NBCD . Bài 10. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA  DB  a 3 , CD vuông góc 3 AD . Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm S sao cho  ASB  900 . Tính góc tạo bởi mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng  ABD  . Xác định tâm và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE . Bài 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Mặt bên vuông góc với đáy. Biết SA  a 3; SB  a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD và O là giao điểm của AC và BD . Tính theo a thể tích khối chóp SAMBN và xác định tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMON . Bài 12. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a 2 . Lấy điểm H trên đoạn AC sao cho AH  a 2  . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  tại H lấy điểm S sao cho AS C  450 . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD . Bài 13. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  a, BC  b . Hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  vuông góc với nhau và tam giác BCD vuông tại D . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b .   600 ; BSC   900 CSA   1200 . Xác định Bài 14. Cho hình chóp SABC có SA  SB  SC  a; ASB tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC . 578 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 15. Cho tam giác ABC vuông cân tại B có AB  a . Từ trung điểm M của AB ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  , trên đó lấy điểm S sao cho tam giác SAB đều. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC . Bài 16. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB  AC  a . BB ‘, CC ‘ là hai đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  và cùng phía với mặt phẳng  ABC  biết BB ‘  CC ‘  a . Tính thể tích khối chóp ABCC ‘ B ‘ và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCC ‘ B ‘ . Bài 17. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA ‘ B ‘ C ‘ có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của A ‘ A, AB, BC biết mặt phẳng  MNP  tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 . Tính thể tích khối chóp MNPC ‘ và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABPC ‘ . Bài 18. Cho hình chóp SABCD . Hai mặt bên  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy. Biết đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD biết SA  h . Bài 19. Cho hình cầu  S  có đường kính AB  2 R , lấy điểm H trên AB sao cho AH  x(0  x  2 R) . Mặt phẳng  P  vuông góc với AB tại H cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  . MNPQ là hình vuông nội tiếp trong đường tròn  C  1. Tính bán kính đường tròn  C  và độ dài AC , MN . 2. Tính thể tích khối đa diện tạo bởi hai khối chóp AMNPQ và BMNPQ . Bài 20. Cho hình chóp tứ giác giác đều SABCD cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O , chiều cao SH  a . 2 1. Chứng minh rằng có mặt cầu  S  tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp SABCD . Xác định tâm và bán kính R của mặt cầu đó. 2. Gọi  P  là mặt phẳng song song và cách mặt phẳng  ABCD  một khoảng bằng x(0  x  R) . Gọi S là phần diện tích tạo bởi  P  và hình chóp( bỏ đi phần diện tích nằm trong mặt cầu  S  ). Xác định x để S   R 2 . 579 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 21. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao và cạnh đáy cùng bằng a . Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC .Tính diện tích xung quanh, thể tích của mặt cầu  S  ngoại tiếp khối chóp SEBK . Bài 22. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Bài 23. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , các cạnh bên tạo với đáy góc 300 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD . Bài 24. Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r . Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ. Bài 25. Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a . Các mặt bên hợp với đáy góc  . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC . BÀI TẬP VỀ HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NÓN Bài 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O, O ‘ . Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm B lấy điểm B sao cho AB  2 a . 1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ. 2. Tính thể tích tứ diện OABO ‘ . Bài 2. Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD có cạnh bằng a , có hai đỉnh A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai. Biết mặt phẳng  ABCD  tạo với đáy hình trụ một góc 450 . Tính diện tích xung quanh và diện tích của hình trụ. Bài 3. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , SA, SB là hai đường sinh. Biết SO  3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  bằng a , diện tích tam giác SAB bằng 18a2 . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón. 580 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI TẬP TỔNG HỢP 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu của S lên mặt đáy trùng với điểm H là trung điểm của đoạn AO. Mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc 600 và AB=a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 1.2. Cho hình lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ‘ trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chop A.BCC ‘ B ‘ theo a. 1.3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SA . Chứng minh rằng  SIJ    ABCD  và tính thể tích khối chóp K .IBCD . 1.4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B có đáy nhỏ BC . Biết tam giác SAB đều độ dài cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đọ dài SC  a 5 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SHC  bằng 2a 2 , với H là trung điểm của AB. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a. 1.5. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S . ABCD , qua A dựng mặt phẳng  P  vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P  và hình chóp SABCD . 1.6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tâm giác vuông cân tại A, AB  a 2 . Gọi I là trung điểm cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng  ABC  thỏa mãn   IA  2 IH . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng  SAH  . 581 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, trọng tâm là G có SG   ABC  , SB  a 14 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng 2 cách từ B đến mặt phẳng  SAC  . 1.8. (TSĐH Khối D 2011) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA  3a BC  4a; mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết   300 . Tính thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm B đến SB  2a 3 và SBC mặt phẳng  SAC  theo a . 1.9. (TSĐH Khối B 2011) Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB  a, AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng  ADD1 A1  và  ABCD  bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1 BD  theo a. 1.10. (TSĐH Khối A 2011) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B AB  BC  2 a . Hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với mặt đáy  ABC  . Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S .BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . 1.11. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , CA  a, CB  b . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc phẳng nhị diện cạnh BC của hình chóp S . ABC bằng  . Gọi D là trung điểm cạnh AB . – Tính thể tích khối chóp S . ABC – Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD – Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD . 582 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.12. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy  ABC  và tam giác ABC cân tại A ; cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 300 , 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a . Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a . 1.13. Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 600 . Khoảng cách giữa mặt bên và đỉnh đối diện bằng 6. Tính thể tích của khối chóp đã cho. 1.14. (TSĐH Khối A 2010) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S .CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 1.15. (TSĐH Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có AB  a , góc giữa 0 hai mặt phẳng  A ‘ BC  và  ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác A ‘ BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 1.16. (TSĐH Khối D 2010) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA  a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc đoạn AC , AH  AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là 4 trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . 1.17.   600 . SA vuông góc Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD với mặt phẳng đáy  ABCD  , SA  a . Gọi C ‘ là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P  đi qua AC và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B ‘, D ‘ . Tính thể tích khối chóp S . AB ‘ C ‘ D ‘ . 1.18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB  a, AD  2a . cạnh SA 0 vuông góc với đáy  ABCD  , cạnh SB hợp với đáy một góc 60 . Trên SA lấy điểm M sao cho AM  a 3 . Mặt phẳng 3  BCM  cắt S .BCMN . 583 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam SD tại N . Tính thể tích khối chóp HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Chân đường vuông góc hạ từ S trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên  SAB  tạo với mặt phẳng đáy  ABCD  góc 600 . Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAD  . 1.20. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là   1200 . Biết góc giữa đường thẳng AC ‘ và mặt phẳng AB  a 3, BAD hình thoi,  ADD ‘ A ‘ bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a và khoảng cách từ trung điểm N của BB ‘ đến mặt phẳng  C ‘ MA  . Biết M là trung điểm của A ‘ D ‘ . 0 1.21. Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 60 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng  SAC  . 1.22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA  a và SB  a 3 . Mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt đáy  ABCD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính côsin góc tạo bởi DN và SM . 1.23. (TSĐH Khối A 2009) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D AB  AD  2a, CD  a ; góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng  SBI  và  SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a . 1.24. (TSĐH Khối B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có BB ‘  a , góc giữa đường thẳng BB ‘ và mặt phẳng  ABCD  bằng 600 , tam giác ABC vuông tại C và   600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ‘ lên mặt phẳng BAC  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ‘. ABC theo a . 1.25. (TSĐH Khối D 2009) Cho lăng trụ đứng ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a, A ‘ A  2a, A ‘ C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ‘ C ‘ , I là giao 584 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN điểm của AM và A ‘ C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC  . 1.26. (TSĐH Khối A 2008) Cho lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ‘ trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A ‘. ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A ‘ A và B ‘ C ‘ . 1.27. (TSĐH Khối B 2008) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA  a, SB  a 3 và mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM , DN . 1.28. (TSĐH Khối D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông AB  BC  a , cạnh bên A ‘ A  a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ‘ C . 1.29. (TSĐH Khối A 2007) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên  SAD  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP . 1.30. (TSĐH Khối B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN , AC .   900 , 1.31. (TSĐH Khối D 2007) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang,  ABC  BAD BA  BC  a, AD  2a . Cạnh bên SA  a 2 và vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  . 585 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.32. (TSĐH Khối B 2006) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2, SA  a và SA vuông góc với  ABCD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SC , I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng  SMB  . Tính thể tích khối tứ diện 1.33. (TSĐH Khối D 2006) ANIB . Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC . Tính thể tích khối chóp A.BCMN . 1.34. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng  SBC  . 1.35. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình lập phương ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ . Tính số đo góc phẳng nhị diện  B, A ‘ C , D  . 1.36. (TSĐH Khối B 2002) Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 cạnh bằng a . 1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D . 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB1 , CD, A1 D1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N . 1.37. (TSĐH Khối D 2003) Cho 2 mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm A, B với AB  a . Trong mặt phẳng  P  lấy điểm C , trong mặt phẳng  Q  lấy điểm D sao cho AC , BD cùng vuông góc với  và AC  BD  AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  theo a . 1.38. (TSĐH Khối B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là một   600 . Gọi M là trung điểm cạnh A ‘ A và N là trung điểm hình thoi cạnh a , góc BAD cạnh CC ‘ . Chứng minh bốn điểm B ‘, M , D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh A ‘ A theo a để tứ giác B ‘ MDN là hình vuông. 586 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.39. (TSĐH Khối B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng   00    900  . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  theo  . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a và  . 1.40. Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P  đi qua AM , song song với BD chia khối chóp làm hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó. 1.41. Khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , SA  2a . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD ; I là giao điểm của SC và mặt phẳng  AEF  . Tính thể tích khối chóp S . AEIF . 1.42. Cho lăng trụ đứng ABC . A1 B1C1 có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng  A1 BC  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 300 và tam giác A1 BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 1.43. Cho lăng trụ ABC . A1 B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB  2 . Mặt phẳng  A1 AB  vuông góc với mặt phẳng  ABC  , AA1  3 , góc  A1 AB nhọn , mặt phẳng  A1 AC  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. 1.44. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1 D bằng 2, độ dài đường chéo mặt bên bằng 5 . Hạ AK vuông góc với A1 D tại K . Chứng minh rằng AK  2 và tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 1.45. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  và AC  AD  4; AB  3; BC  3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  . 1.46. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh bên SB, SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng  SBC  . 1.47. Cho hình chóp S . ABC có SA  3a và vuông góc với mặt đáy  ABC  . Tam giác ABC có AB  BC  2a,  ABC  1200 . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . 587 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.48. Cho hình chóp tam giác S . ABC có các cạnh bên SA  SB  SC  a , góc    600 , CSA   900 . Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích AS B  1200 , BSC khối chóp đã cho. 1.49. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  . Tính thể tích khối chóp đã cho theo a,  . Xác định  để thể tích đó là nhỏ nhất. 1.50. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB  a, AD  a 2 và SA  a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, SC và I là giao điểm của BM , AC . Chứng minh rằng mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng  SMB  và tính thể tích khối chóp ANIB . 1.51. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, AA ‘  2a, A ‘ C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn A ‘ C ‘ và I là giao điểm của AM và A ‘ C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  IBC  . 1.52. Cho hình chóp tam giác đều SABC có SC  a 7 . Góc tạo bởi mặt phẳng  SAB  và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a . ABC  600 , SO  a 3 1.53. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc  2 và vuông góc với mặt phẳng đáy( O là tâm mặt đáy), M là trung điểm của AD . Gọi  P  là mặt phẳng qua BM và song song với SA , cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp KABCD . 1.54. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng  SAC  vuông  góc với đáy, góc AS C  900 và SA tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp đã cho. 588 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.55. Cho hình lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  P  chứa BC và vuông góc với AA ‘ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng a2 3 . 8 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 1.56. Cho hình chóp SABC có AB  AC  a, BC  a   SAC   300 . Tính ; SA  a 3 , góc SAB 2 theo a thể tích khối chóp S . ABC . 1.57. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , khoảng cách từ G đến mặt bên  SCD  bằng a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp 6 S . ABCD và khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên  SCD  .   1200 . Gọi 1.58. Cho lăng trụ đứng ABC . A1 B1C1 có AB  a, AC  2a, AA1  2a 5 và góc BAC M là trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh rằng MB vuông góc với MB1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A1MB  . 1.59. Cho hình chóp S . ABC có góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600 . Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  . 1.60. Trong mặt phẳng  P  cho nửa đường tròn đường kính AB  2 R , gọi S là điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P  tại trung điểm của AB và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  bằng 600 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC . Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính theo R thể tích khối chóp S . ABC . 1.61. Cho lăng trụ đứng ABC . A1 B1C1 có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AA1 . Chứng minh rằng BM vuông góc với B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 589 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top