Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số GIỚI HẠN 4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀI 1. A. L TH T I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0. 1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau: lim un  0     0, n0 : n  n0  un    . Kí hiệu: lim  un   0 hoặc lim un  0 hoặc un  0 Ví dụ 1. Chứng minh dãy số un  1  n 4n  5 sau đây có giới hạn là 0. Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 2. Nhận xét lim un  0  lim un  0. Nếu  un  có un  0 , n  * thì lim un  lim 0  0 .  un  vn Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu  thì lim un  0 . lim  vn   0 Đây là một nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp). 3. Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp. 1 1 C lim  0 lim   0   0  lim  0 với C là hằng số n n n 1 1 lim q n  0  q  1 . lim k  0  k  2, k   lim k  0  k    n  n n 4. Ví dụ minh họa. Ví dụ 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 a). un  1  n 3n  2 . n sin 2n b). un  3 . n 2 c). un  1  n cos n n . d.) un  3sin n  4 cos n . 2n 2  1 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 1 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1. Định nghĩa. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số thực L nếu lim  un  L   0 . Khi đó ta viết lim  un   L , viết tắt là lim  un   L hoặc lim un  L . n  Nhận xét: Để chứng minh dãy số  un  có giới hạn là số thực L ta chuyển về việc đi chứng minh lim  un  L   0 . lim un  a  un  a nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn. Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.  Ví dụ 2. Chứng minh rằng   n3  a). lim  3   1 .  n 1  n 2  3n  2  1 b). lim   . 2  2n  n  2 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3. Chứng minh rằng  3.3n  s in3n  a). lim    3. 3n   b). lim   n2  n  n  1 . 2 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 2 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 2. Một số định lý. Định lý 1. ( tìm giới hạn của hàm trị tuyệt đối hoặc căn thức) Giả sử lim un  L . Khi đó lim un  L và lim 3 un  3 L . Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L . Định lý 2. Giả sử lim un  L , lim vn  M và C là một hằng số. Khi đó lim  un  vn   L  M . u  L lim  n   với M  0 . v M  n Nhận xét. Cho ba dãy số  un  ,  vn  và lim  un .vn   L.M lim  Cun   CL . limc  c (c là hằng số).  wn  . Nếu un  vn  wn ,  n và lim un  lim wn  a,  a   thì lim vn  a (gọi định lí kẹp). Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.  Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân  un  có công bội q và thỏa q  1 . Khi đó tổng S  u1  u2  u3    un   được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và S  lim S n  lim u1 1  q n  1 q  u1 . 1 q Vậy cấp số nhân  un  có công bội q thỏa mãn q  1 thì S  u1  u2  …  Ví dụ 4. Tính các tổng sau 1 1 1 a). S   2  …  n  … 3 3 3 3 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân 1 1 b). S  1    2 4 Lời giải   1 . n 1  2n u1 . 1 q c). S  16  8  4  2  … Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 5. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số a). A  0,353535… . b). B  5, 231231… . Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Dãy số có giới hạn  Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim  un    hoặc lim un   . Từ định nghĩa, ta có các kết quả lim n  ; lim n  ; lim 3 n   . 2. Dãy số có giới hạn  Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Khi đó ta viết lim  un    hoặc lim un   . Nhận xét. Nếu lim  un    thì lim  un    . 4 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Các dãy số có giới hạn  hoặc  được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. 1 Nếu lim un   thì lim  0 . un 3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực • Quy tắc nhân: lim vn lim un     • Quy tắc chia     lim  un .vn  lim un lim vn  L  0 lim  un .vn               lim un  L  0 có dấu lim vn  0, vn  0 có dấu       lim        4. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 6. Tìm giới hạn của dãy  un  biết:   a). un  3n3  2n2  2 b). un  2n4  3n3  n c). un  d). un  4n  2.  3 e). un  n cos n 2  4n 2 10 f). un  n 1 un vn 4n 4  2n3  1 n2  1 n 4  4n 2  1  2n 2 n3  3n  2n . Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 5 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA. Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn là 0. 1. Phương pháp.  Cách 1: Áp dụng định nghĩa.  Cách 2: Sử dụng các định lí sau: 1 Nếu k là số thực dương thì lim k  0 . n Với hai dãy số  un  và  vn  , nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 . Nếu q  1 thì lim q n  0 . 2. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Chứng minh các dãy số  un  sau đây có giới hạn là 0.  1 1 1  cos n3 b). un  c). un  n 1  n 1 2n  3 2 3 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… cos 4n a). un  n3 n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 6 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Bài tập 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 3n sin 2n  4n a). un  n3  2  n3  1 . b). un  . 2n  4.5n n n  cos n  sin 2n 5 . c). un  . d). un  2 n n n n n Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 7 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài tập 3. Cho dãy số  un  với un  a). Chứng minh rằng Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số n . 3n un 1 2  với mọi n  un 3 * . n 2 b). Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng 0  un    với mọi n  * . 3 c). Dãy  un  có giới hạn 0. Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 3. Câu hỏi trắc nghiệm.  sin 5n   2  bằng: Câu 1. Kết quả của giới hạn lim   3n  A. 2. B. 3. C. 0. D. 5 . 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 8 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số n  2 nk cos Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim A. 0. B. 1. 2n C. 4. 1 n  1. 2 D. Vô số. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 3. Kết quả của giới hạn lim A. 1 . 3sin n  4cos n bằng: n 1 B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n cos 2n   Câu 4. Kết quả của giới hạn lim  5  2  bằng: n 1   1 A. 4 . B. . C. 5 . D. 4. 4 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n    2n3  là: Câu 5. Kết quả của giới hạn lim  n 2 sin 5   A. . B. 2. C. 0 . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n  1    bằng: Câu 6. Giá trị của giới hạn lim  4    n  1   A. 1 . B. 3 . 9 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân C. 4 . D. 2 . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 7. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un bằng: A. 3 . B. 0 .  1  n n 1 2 và vn  C. 2 . 1 . Khi đó lim  un  vn  có giá trị n 2 2 D. 1 . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Dạng 2. Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn L . 1. Phương pháp. Ta biến đổi lim un  L về dạng tìm lim có giới hạn bằng 0 tức là chứng minh lim un  L  0 . Kết luận lim un  L . 2. Bài tập minh họa. Bài tập 4. Chứng minh: 2n  3 1  a). lim 4n  5 2   4.3n  5.2n 2  c). lim n 2  2n  n  1 . n n 6.3  3.2 3 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… b). lim ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 10 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Dạng 3. Tìm giới hạn của dãy  un  có giới hạn hữu hạn bằng quy tắc, định lý. Bài toán 1. Dãy  un  là một phân thức hữu tỉ dạng un  P n Q n (với P  n  , Q  n  là hai đa thức). 1. Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  (hoặc rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn. Nếu k là số thực dương thì lim 1  0. nk Nếu q  1 thì lim q n  0 . 2. Bài tập minh họa. Bài tập 5. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: a). un  2n 2  3n  1 5n 2  3 1 1  2 d). un  2 n  2n 2n  3 b). un  2n3  3n 2  4 n 4  4n 3  n  2n  1  3  4n3  e). un  3 2  4n  2   2  n  c). un  2n 4  3n 2  n  2n  11  3n   2n 2  1 f). un  2n n  1 n  2 n 3 2 2 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 11 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 12 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  Bài tập 6. Tìm các giới hạn sau 4n 2  n  2 a). lim . 2n 2  n  1 3 1 2   2 b). lim  2n  1  2 .  n  2n n  3n  1  Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 8. Giá trị của giới hạn lim 3 A.  . 4 3 là: 4n  2n  1 2 B. . C. 0 . D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 9. Giá trị của giới hạn lim A. 2 . n  2n 2 bằng: n3  3n  1 B. 1 . C. 2 . 3 D. 0 . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 13 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Câu 10. Giá trị của giới hạn lim A. . Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số 3n3  2n  1 là: 4n 4  2n  1 B. 0. C. 2 . 7 D. 3 . 4 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 11. Giá trị của giới hạn lim A. 3 . 2 n n 1 bằng: n  2 B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 1 2 v . Khi đó lim n có giá trị bằng: và vn  un n 1 n2 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 12. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 13. Cho dãy số  un  với un  an  4 trong đó a là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn 5n  3 bằng 2 , giá trị của a là: A. a  10. B. a  8. C. a  6. D. a  4. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 14. Cho dãy số  un  với un  hữu hạn, giá trị của b là: A. b là một số thực tùy ý. C. không tồn tại b. 2n  b trong đó b là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn 5n  3 B. b  2. D. b  5. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 14 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n2  n  5 . 2n 2  1 1 B. L  . 2 Câu 15. Tính giới hạn L  lim 3 A. L  . 2 C. L  2. D. L  1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 4n 2  n  2 . Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: Câu 16. Cho dãy số  un  với un  an 2  5 A. a  4. B. a  4. C. a  3. D. a  2. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n 2  3n3 . 2 n 3  5n  2 1 B. L  . 5 Câu 17. Tính giới hạn L  lim 3 A. L   . 2 1 C. L  . 2 D. L  0. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 5n 2  3an 4  0. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L  lim 1  a  n4  2n  1 A. a  0; a  1. C. a  0; a  1. B. 0  a  1. D. 0  a  1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  2n  n  3n  1 . Câu 19. Tính giới hạn L  lim  2n  1  n  7  3 2 4 15 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam 3 A. L   . 2 Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số B. L  1. C. L  3. D. L  . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 20. Tính giới hạn L  lim A. L  0. n 2  2n  2n3  1  4n  5  n 4  3n  1 3n 2  7  B. L  1. . 8 C. L  . 3 D. L  . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 21. Tính giới hạn L  lim 1 A. L  . 2 3 3 n 1 . n8 B. L  1. 1 C. L  . 8 D. L  . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Bài Toán 2. Dãy un là một phân thức dạng un  P n Q n (với P  n  , Q  n  là các biểu thức chứa căn của n ). 1. Phương pháp.  Bước 1. Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  (hoặc rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn. 16 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số  Bước 2. Khi đó ta có các kết quả sau P n Nếu lim un  lim  C  giới hạn của dãy số là C. Q n  0   P n  Nếu lim un  lim     thì ta nói giới hạn đó có dạng vô định. Q  n      Khi đó để tính tiếp giới hạn ta phải khử dạng vô định bằng các kỹ thuật sau:  Đối với căn thức: nhân lượng liên hợp của bậc hai và bậc ba( thêm đuôi) a b     a b   a b a b    a  b2 a b a b     a b   a b a b    a   a .b  b  a b .  a b    a   a .b  b  a   a .b  b  a  b   a   a .b  b  ab  a b    a   a .b  b  a   a .b  b  a  b  a  a. b   b   a b  a b   a  a. b   b  a  a. b   b   a  b  a  a. b   b   a b  a b   a  a. b   b  a  a. b   b   a  b   a   a . b   b   a b  a b   a   a. b   b   a   a. b   b   a  b   a   a . b   b   ab  a b   a   a. b   b   a   a. b   b  3 3 a b   2 3  a  b2 a b  2 3 3 2 3  3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 . 2 3 3 . 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 2  Đối với hàm đa thức: ta đặt nhân tử chung bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.  Thừa số chung.  Hằng đẳng thức đáng nhớ.  Nhóm, tách và thêm bớt hạng tử.  Nhớ:  Nếu ax2  bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thì ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   Nếu bậc ba ax3  bx 2  cx  d thì ta đoán nghiêm x  x0 rồi chia đa thức để đưa về ax3  bx 2  cx  d   x  x0  f  x  , với f  x  là hàm bậc hai. 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 7. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: 17 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam a). un  c). un  4n 2  n  1  n 9n  3n 2 4n  1  3 8n3  2n 2  3 2 16n 2  4n  4 n 4  1 b). un  d). un  Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số 2n  1  n  3 4n  5 n 2  n  3 n3  3n 16n 4  1 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  Bài tập 8. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: a). un  n 2  3n  5  n b). un  9n 2  3n  4  3n  2 c). un  3 n3  3n 2  n d). un  3 8n3  4n 2  2  2n  3 e). un  4n 2  3n  7  3 8n3  5n 2  1 f). un   n4  n2  1  3 n6  1  Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 18 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 19 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  Bài tập 9. Tìm các giới hạn sau: n2  n  n a). lim  4n 2  3n  2n c). lim 2n  9n 2  n  n 2  2n b). un   d). lim  2n  4n 2  n n  3 4n 2  n 3 n 2  2n  2 3 n 2  8n3  3 n 2  n  Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 20 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 21 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  Bài tập 10. Tìm các giới hạn sau 9n2  2n  3n . 4n  3 a). lim d). lim  3 b). lim  2n  n 3  n  1 . e). lim 3 4 n 5  4n  2 2 n  3n 4 5 n2  3 1  n6 . c). lim f). lim    4n 2  2n  2n . n 2  2n  3  3 n 2  n 3  n 1  n Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 4 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 22 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 5. Câu hỏi trắc nghiệm. 9n 2  n  1 bằng: 4n  2 Câu 22. Kết quả của giới hạn lim A. 2 . 3 B. 3 . 4 C. 0. D. 3. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 23. Kết quả của giới hạn lim 2 A.  . 3 B.  n 2  2n  1 1 . 2 3n 4  2 bằng: C.  3 . 3 1 D.  . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 23 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 2n  3 là: 2n  5 Câu 24. Kết quả của giới hạn lim A. 5 . 2 B. 5 . 7 C. . D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n 1  4 bằng: n 1  n Câu 25. Kết quả của giới hạn lim A. 1. C. 1. B. 0. D. 1 . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 26. Biết rằng lim A. S  1. n  n2  1  a sin n n 2 B. S  8. 2  4  b. Tính S  a 3  b3 . C. S  0. D. S  1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 27. Kết quả của giới hạn lim A. . 10 n  n2  1 4 B. 10. là: C. 0. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 28. Kết quả của giới hạn lim  n  1 A. . 24 B. 1. Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân 2n  2 là: n  n2  1 C. 0. 4 D. . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 3 Câu 29. Biết rằng lim P an3  5n 2  7 3n 2  n  2  b 3  c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức ac . b3 A. P  3. 1 B. P  . 3 C. P  2. 1 D. P  . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 30. Kết quả của giới hạn lim 5 200  3n5  2n2 là: A. . B. 1. C. 0. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 31. Giá trị của giới hạn lim A. 0.   n  5  n  1 bằng: B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 32. Giá trị của giới hạn lim 1 A.  . 2   n 2  n  1  n là: B. 0. C. 1. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 25 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 33. Giá trị của giới hạn lim   n 2  1  3n 2  2 là: C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… A. 2. B. 0. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 34. Giá trị của giới hạn lim   n 2  2n  n 2  2n là: C. 4. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… A. 1. B. 2. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 35. Có bao nhiêu giá trị của a để lim A. 0. B. 2.   n 2  a 2 n  n 2   a  2  n  1  0. C. 1. D. 3. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 36. Giá trị của giới hạn lim A. 0. B.   2n 2  n  1  2n 2  3n  2 là: 2 . 2 C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 26 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 37. Giá trị của giới hạn lim A. 1.   n 2  2n  1  2n 2  n là: C. . B. 1  2. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim A. 0. B. 2.   n 2  8n  n  a 2  0 . C. 1. D. Vô số. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 39. Giá trị của giới hạn lim   n 2  2n  3  n là: A. 1. B. 0. C. 1. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 27 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Câu 40. Cho dãy số  un  với un  n 2  an  5  n 2  1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim un  1. A. 3. C. 2. B. 2. D. 3. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 41. Giá trị của giới hạn lim A. 3.  3  n3  1  3 n3  2 bằng: B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 42. Giá trị của giới hạn lim A. 1 . 3  3  n 2  n3  n là: B. . C. 0. D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 43. Giá trị của giới hạn lim A. 1 . 3  3  n3  2n 2  n bằng: 2 B.  . 3 C. 0. D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 28 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Câu 44. Giá trị của giới hạn lim  n  A. 1. B. . Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số   n  1  n  1  là:  C. 0. D. 1. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 45. Giá trị của giới hạn lim  n  1 A. 0. B. . 2   n  1  n  bằng:  1 1 C. . D. . 4 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 46. Giá trị của giới hạn lim  n  A. 1. B. 2.   n2  1  n 2  3  bằng:  C. 4. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 47. Giá trị của giới hạn lim  n    n2  n  1  n2  n  6  là:  7 A. 7  1. B. 3. C. . D. . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 29 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 1 Câu 48. Giá trị của giới hạn lim n  2  n2  4 là: C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… A. 1. B. 0. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 9n 2  n  n  2 Câu 49. Giá trị của giới hạn lim là: 3n  2 A. 1. B. 0. C. 3. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 50. Giá trị của giới hạn lim A. 2. 1 3 n 1  n 3 B. 0. là: C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 30 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Bài Toán 3. Dãy  un  là một phân thức hữu tỉ dạng un  P n Q n ( trong đó P  n  , Q  n  là các biểu thức chứa hàm mũ a n , b n , c n ,… 1. Phương pháp. Chia cả tử và mẫu cho a n với a là cơ số lớn nhất . Rồi áp dụng kết quả của giới hạn lim q n  0  q  1 . 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 11. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: a). un  d). un  2n  4n 4n  3n 2 n2 1 n 32  2 n 2  3n  4n g). lim n n 1 n 1 2 3 4 b). un  e). un 3.2n  5n 5.4n  6.5n  3   4.5n 1 2.4n  3.5n c). un  4n  2  6n 1 5n 1  2.6n 3 f). un  2n  3n  4.5n  2 2n 1  3n  2  5n 1 n 1  2  22  …  2n h). lim 1  3  32  …  3n Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 31 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 51. Kết quả của giới hạn lim A.  25 . 2 B. 2  5n  2 bằng: 3n  2.5n 5 . 2 C. 1. 5 D.  . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 3n  2.5n 1 Câu 52. Kết quả của giới hạn lim n 1 n bằng: 2 5 A. 15. B. 10. C. 10. D. 15. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 32 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Câu 53. Kết quả của giới hạn lim A. 0. 3n  4.2n 1  3 là: 3.2n  4n B. 1. Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 54. Kết quả của giới hạn lim A. 1. 3n  1 bằng: 2n  2.3n  1 1 B.  . 2 C. 1 . 2 D. 3 . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………   n  5  2n 1  1 2n 2  3  a 5   2 Câu 55. Biết rằng lim  n 1   b  c với a, b, c  . Tính giá trị của biểu  5.2n  5  3 n 1    2 2 2 thức S  a  b  c . A. S  26. B. S  30. C. S  21. D. S  31. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………   ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 56. Kết quả của giới hạn lim A. 1. B.  n  3n  22 n là: 3 n  3n  22 n  2 1 . 3 C. . D. 1 . 4 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 33 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… n Câu 57. Kết quả của giới hạn lim 3n  5  là:   A. 3. B.  5. C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 58. Kết quả của giới hạn lim  34.2n 1  5.3n  là: A. 2 . 3 C. . B. 1. D. 1 . 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 59. Kết quả của giới hạn lim A. 0. 3n  4.2n 1  3 là: 3.2n  4n B. 1. C. . D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 60. Kết quả của giới hạn lim A. . B. 2n 1  3n  10 là: 3n 2  n  2 2 . 3 C. 3 . 2 D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 34 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Câu 61. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc  0; 2018 để lim 4 A. 2007. B. 2008. C. 2017. 4n  2n 1 1  . n na 3 4 1024 D. 2016. Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  n 2  2n  1n  Câu 62. Kết quả của giới hạn lim   n  bằng:  3n  1 3   2 1 1 A. B. 1. C. . D.  . . 3 3 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  3n   1n cos 3n  Câu 63. Kết quả của giới hạn lim   bằng:   n  1   3 . A. B. 3. C. 5. D. 1. 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 64. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc  0; 20  sao cho lim 3  nguyên. A. 1. 35 B. 3. Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân C. 2. an 2  1 1  là một số 3  n 2 2n D. 4. Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 65. Kết quả của giới hạn lim 2.3n  n  2 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Dạng 4. Tính giới hạn mà dãy  un  cho dưới dạng công thức truy hồi. 1. Phương pháp. Đưa dãy số  un  về dạng tổng quát rồi làm giống như ba dạng trên. Từ dãy cho dưới dạng truy hồi ta công thức tuy hồi ta đưa về công thức tổng quát. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn. 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 12. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: 1 1 1     1.2 2.3 n(n  1) 1 1 1 1     c). un  1.4 4.7 7.10 (3n  2)(3n  1) a). un  1  1  1   e). un  1  2   1  2  …  1  2   2  3   n   1  1 1     g). lim   n(n  1)(n  2)   1.2.3 2.3.4 12  22  32    n 2 n(n  1)(n  2) 1  3  5    (2n  1) d). un  3n 2  4 b). un  f). lim 13  23    n3 n 4  4n3  1  2.12  3.22    (n  1)n 2  n(n  1) 2  h). lim   n4    1  1 1 k). lim        1.3 3.5  2n  1 2n  1   Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 36 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 37 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… u0  1; u1  6 u  Bài tập 14. Cho dãy số  un  xác định bởi  . Tìm lim n n . 3.2 un  2  3un 1  2un  0, n  Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… u1  1, u2  3 u  Bài tập 15. Cho dãy số  un  được xác định như sau:  . Tính lim n2 . n un  2  2un 1  un  1, n  * 38 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 4. Câu hỏi trắc nghiệm. 1 3 n  1   …  2 2 bằng: Câu 66. Giá trị của giới hạn lim 2 n2  1 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 2 4 8 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 2 n 1   1 Câu 67. Giá trị của giới hạn lim  2  2  …  2  bằng: n n  n 1 1 A. 0 . B. . C. . D. 1 . 2 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  1  3  5    2n  1  Câu 68. Giá trị của giới hạn lim   bằng: 2 3 n  4   1 2 A. 0. B. . C. . 3 3 Lời giải. 39 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân D. 1 . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  1  1 1 Câu 69. Giá trị của giới hạn lim    …   là:  1.2 2.3 n  n  1   1 A. . B. 1. C. 0. D. . 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  1  1 1 Câu 70. Giá trị của giới hạn lim    …   bằng:  1.3 3.5 2 n  1 2 n  1      1 1 A. . B. . C. 1 . D. 2 . 2 4 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………  1  1 1 Câu 71. Giá trị của giới hạn lim    ……   bằng: n  n  3  1.4 2.5 11 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 18 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 40 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Câu 72. Giá trị của giới hạn lim A. 4. 12  22  …  n 2 bằng: n  n 2  1 B. 1 . C. 1 . 2 D. 1 . 3 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 1  un  2 . Tính lim un . Câu 73. Cho dãy số có giới hạn  un  xác định bởi  1 un 1  , n 1 2  un  1 A. lim un  1. B. lim un  0. C. lim un  . D. lim un  1. 2 Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… u1  2  Câu 74. Cho dãy số có giới hạn  un  xác định bởi  . Tính lim un . un  1 u  , n  1  n 1 2 A. lim un  1. B. lim un  0. C. lim un  2. D. lim un  . Lời giải. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Dạng 5. Tính giới hạn dựa vào định lý kẹp. 1. Phương pháp. 41 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số Dựa vào định lí: Cho ba dãy số  un  ,  vn  và  wn  . Nếu un  vn  wn ,  n  và lim un  lim wn  a,  a   thì lim vn  a . 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 16. Tìm giới hạn của dãy  un  biết: 1 3 5 2n  1 a). un     2 4 6 2n b). un  1 n 1 2  1 n 2 2    1 n n 2 1.3.5.7….  2n  1 1  2  3  …  n ,n  *  d). un  2.4.6…2 n n n 1 1 1 e). un      l 4n 2  1 4n 2  2 4n 2  n Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… c). un  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 42 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 43 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV. Giới Hạn Dãy Số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… Dạng 6. Giới hạn có kết quả là vô cực (  hoặc  ) 1. Phương pháp. Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  (hoặc rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các quy tắc nhân và quy tắc chia). Nếu gặp dạng vô định thì ta khử nhé. L Nếu gặp dạng , là bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta tách cùng bậc đưa về tích. 0 Quy tắc nhân: lim un     Quy tắc chia lim vn lim  un .vn  lim un lim vn  L  0 lim  un .vn                      lim un  L  0 có dấu lim vn  0, vn  0 có dấu    lim un vn          2. Bài tập minh họa.  Bài tập 17. Tìm các giới hạn sau n 5  n 4  n 3  2n  3 n6  7n3  5n  8 a). lim . b). c). lim 2n  3  n  1 lim 4n3  6n 2  9 n  12 n 2  1  2n  3  1  d). lim e). lim n 4  1  n  1 . f). lim  n3  2sin 2n  3  . 4 2 3  n  n 1 Lời giải ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………     ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… 44 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………&