Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín Em

Giới thiệu Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín Em

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín EmChương Giới hạn.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 11 tại đây.

Text Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín Em
MỤC LỤC CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 1 1.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 1 1.2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp 1 2 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 1 2.2 Một số định lí 1 2.3 Tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn 2 3 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 2 3.1 Dãy số có giới hạn +∞ 2 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 2 3.3 Một số kết quả 3 B CÁC DẠNG TOÁN 3 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L 3 Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn 4 Dạng 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 6 Dạng 4. Dãy số có giới hạn vô cực 7 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 9 C ĐÁP ÁN 2 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 50 51 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 51 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 51 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 51 3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn 51 4 Giới hạn một bên 52 5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 52 6 Các dạng vô định 53 B CÁC DẠNG TOÁN 53 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn 53 Dạng 2. Chứng minh rằng lim f (x) không tồn tại 54 Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn 54 Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số 57 Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép 59 Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực 59 x→x0 Dạng 7. Dạng C 3 0 61 0 Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞ , 0 · ∞, ∞0 . 79 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 80 ĐÁP ÁN 136 HÀM SỐ LIÊN TỤC 138 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 138 1 Hàm số liên tục tại một điểm 138 2 Hàm số liên tục trên một khoảng 138 3 Các định lí về hàm số liên tục 139 B CÁC DẠNG TOÁN 139 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm – Dạng I 139 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm – Dạng II 140 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng 141 Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh 143 Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra C Dạng 5. Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số 144 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 144 ĐÁP ÁN 173 CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 1.1 Định nghĩa 1. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 (hay giới hạn là 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó ta viết: lim (un ) = 0 viết tắt là lim (un ) = 0 hoặc un → 0 n→+∞ Nhận xét. 1 Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số (|un |) có giới hạn là 0. 2 Dãy số không đổi (un ) với un = 0 có giới hạn 0. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp 1.2 Từ định nghĩa, ta có kết quả: 1 1 • lim = 0 • lim √ = 0 n n 1 • lim √ =0 3 n Định lí 1. Cho hai dãy số (un ) và (vn ). Nếu |un | 6 vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Định lí 2. Nếu |q| < 1 thì lim q n = 0 2 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa 2. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là số thực L (hay giới hạn là L) nếu lim (un − L) = 0 x→+∞ Khi đó ta viết: lim (un ) = L viết tắt là lim (un ) = L hoặc un → L n→+∞ 2.2 Một số định lí Định lí 3. Giả sử lim un = L. Khi √ đó: √ • lim |un | = |L| và lim 3 un = 3 L √ √ • Nếu un > 0 với mọi n thì L > 0 và lim un = L Định lí 4. Giả sử lim un = L, lim vn = M. Khi đó:  Các dãy số (un + vn ), (un − vn ), (un .vn ) và (c.un ) có giới hạn và: 1 lim (un + vn ) = L + M 2 lim (un − vn ) = L − M 3 lim (un .vn ) = L.M 4 lim (c.un ) = c.L 1 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Å  Nếu M 6= 0 thì dãy số 2.3 un vn ã Chương 4 – Giải tích 11 Å un có giới hạn và lim vn ã = L M Tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn Với cấp số nhân (un ) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 thì: S = u1 + u2 + ... + un + ... = 3 u1 1−q DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 3.1 Dãy số có giới hạn +∞ Định nghĩa 3. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là −∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim (un ) = −∞, viết tắt là lim (un ) = −∞ hoặc lim un = −∞ hoặc un → −∞ n→+∞ Nhận xét. Nếu lim un = −∞ thì lim (−un ) = +∞ 1 Các dãy số có giới hạn +∞ và −∞ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. 2 Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1 Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim (un .vn ) được cho trong bảng sau: lim un +∞ +∞ −∞ −∞ lim vn +∞ −∞ +∞ −∞ lim (un vn ) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2 Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L 6= thì lim (un .vn ) được cho trong bảng sau: lim un +∞ +∞ −∞ −∞ Dấu của L + − + − lim (un vn ) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 3 un được cho trong bảng sau: Nếu lim un = L và lim vn = 0 6= với mọi n thì lim vn Th.s Nguyễn Chín Em Dấu của L Dấu của vn + + − − + − + − 2 un vn +∞ −∞ −∞ +∞ lim https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.3 Chương 4 - Giải tích 11 Một số kết quả Cho hai dãy số (un ) và (vn ). • Nếu un 6 vn với mọi n và lim un = +∞ thì lim vn = +∞. un • Nếu lim un = L ∈ R và lim |vn | = +∞ thì lim =0 vn • Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞) và lim vn = L ∈ R thì lim (un + vn ) = +∞ (hoặc −∞). Ví dụ 1. Chứng minh rằng các dãy số (un ) sau đây có giới hạn 0 . 1 un = 1 n+1 2 un = sin n n+4 Lời giải. 1 a) Ta có : 1 1 1 1 < và lim = 0 ⇒ lim =0. n+1 n n n+1 2 b) Ta có : sin n 1 1 sin n < ⇒ lim =0. < n+4 n+4 n n+4  Nhận xét. Để chứng minh các dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định 1 1 un < và lim = 0 . n n Ví dụ 2. Chứng minh dãy số (un ) với un = √ n+1− √ n có giới hạn 0. Lời giải. √ √ n+1 1 1 1 1 n+1− n= √  √ =√ √ < √ < √ và lim √ = 0 ⇒ lim un = 0 . 2 n n n n+1+ n n+1+ n Nhận xét. Để chứng minh dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định 1 1 un < √ và lim √ = 0 . n n Ví dụ 3. Chứng minh dãy số un với un = cos(nπ) có giới hạn 0 . 4n Lời giải. Å ãn Å ãn 1 cos(nπ) 1 1 < và lim = 0 ⇒ lim un = 0 .  Ta có = n n 4 4 4 4 Nhận xét. Để chứng minh dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < qn và lim qn = 0 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L Phương pháp áp dụng là ta đi chứng minh lim (un − L) = 0 Ví dụ 1. Chứng minh rằng 1 lim 3n − 1 3 = 2n + 1 2 2 lim n2 + n =1 n2 + 1 Lời giải. Å ã Å ã 3n − 1 3 3n − 1 3 −5 3 1 Đặt un = ⇒ lim un − = lim − = lim = 0 ⇒ lim un = . 2n + 1 2 2n + 1 2 2n + 1 2 Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Å 2 ã n2 + n n +n n−1 2 Đặt un = 2 ⇒ lim(un − 1) = lim − 1 = lim 2 = 0 ⇒ lim un = 1 . 2 n +1 n +1 n +1  ï Ví dụ 2. Chứng minh rằng lim ò (−1)n √ + 2 =2 3 n Lời giải. (−1)n (−1)n √ + 2 ⇒ lim (u − 2) = lim = 0 ⇒ lim un = 0 . Đặt un = √ n 3 3 n n  Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn Phương pháp áp dụng là ta đưa dãy số đã cho về dạng tổng hiệu tích thương của những dãy số mà ta đã biết giới hạn. Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 1 lim n−1 n+1 3n − 1 2 lim 2 n −2 Lời giải. 1 1 1+ lim 1 + lim n+1 1 n n 1 Ta có lim = lim = = . 1 1 3n − 1 3 3− lim 3 − lim n n 1 1 1 1 − 2 lim − lim 2 n−1 0 n n n n 2 Ta có lim 2 = lim = = =0. 2 2 n −2 1 1− 2 lim 1 − lim 2 n n  Nhận xét. Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao a nhất của n và sử dụng kết quả lim k = 0 . n Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau √ n2 + 1 1 lim n+1 √ n2 + n 3 n3 + 1 2 lim √ n n2 + 1 + 1 Lời giải. … 1 1+ 2 n2 + 1 n = 1 =1. = lim 1 lim 1 n+1 1 1+ n … 1 √ 1+ 3 1+ 3 n2 + n 3 n3 + 1 n = 1+1 =2 . 2 lim √ = lim … 1+0 1 1 n n2 + 1 + 1 1+ 2 + 2 n n √  Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau … 4n + sin(nπ) 1 lim n … 2 lim 3 8n + cos(nπ) n Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ … 1 lim … 2 lim 3 4n + sin(nπ) = lim n … 8n + cos(nπ) = lim n 4+ … 3 8+ Chương 4 - Giải tích 11 sin(nπ) √ = 4=2 n (vì lim cos(nπ) √ = 38=2 n sin(nπ) = 0). n (vì lim cos(nπ) = 0) . n  Nhận xét. Như vậy để tính các giới hạn trên, chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ. Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 1 lim 3n − 4n+1 1 − 4n 1 + 4n 2 lim n+2 3 + 4n Lời giải. Å ãn 1 −1 0−1 1 − 4n 4 Å ã 1 lim = lim = = −1 . n n 1 1+4 0+1 +1 4 Å ãn 3 −4 3n − 4n+1 0−4 4 = lim Å ãn = −4. 2 lim n+2 = n 3 3 +4 0+1 9· +1 4  Nhận xét. Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho cơ số lớn nhất và sử dụng kết quả lim qn = 0 với |q| < 1 . Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau √ √  1 lim n+1− n 2 lim Ä√ √ 1 √ 3 lim √ 3n + 2 − 2n + 1 4 lim n2 + n − n ä √ n2 + 1 − n + 1 3n + 2 Lời giải. √ √  1 n+1−n n = lim √ √ = lim √ √ = 0. n+1+ n n+1+ n Ä√ ä n 1 1 2 lim n2 + n − n = lim √ = lim … = . 2 2 1 n +n+n 1+ +1 n … … 3 2 2 1 √ √ + 2+ + 2 1 3n + 2 + 2n + 1 0 n n n n √ = = 0. 3 lim √ = lim = lim 1 n + 1 1 3n + 2 − 2n + 1 1+ n √ √ n2 − n n2 + 1 − n + 1 Ä√ ä = lim 4 lim √ 3n + 2 (3n + 2) · n2 + 1 + n + 1 1 1− 1 n å= . = lim Å … ã Ç… 3 2 1 1 1 3+ · 1+ 2 + + 2 n n n n 1 lim n+1− Nhận xét. Như vậy,để tính các giói hạn trên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên lợp để khử dạng ∞ − ∞ k và . ∞−∞  Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 √ n + 3 1 − n3 Ví dụ 6. Tính lim √ . n2 + 1 − n Lời giải. ä  Ä√ √ n3 + 1 − n3 · n2 + 1 + n n + 3 1 − n3 i h » lim √ = lim √ n2 + 1 − n (n2 + 1 − n2 ) · n2 − n 3 1 − n3 + 3 (1 − n3 )2 √ n2 + 1 + n » = lim √ n2 − n 3 1 − n3 + 3 (1 − n3 )2 … 1 1 1 + 4+ 2 0 n n n = lim … Å ã2 = 1 = 0. 1 1 1− 3 3 −1+ 3 −1 n n3 Ta có  Ví dụ 7. Tính L = lim 1 + a + a2 + . . . + an , với |a| < 1, |b| < 1. 1 + b + b2 + . . . + bn Lời giải.  1 + a + a2 + . . . + an (1 − a)(1 − b) L = lim (1 + b + b2 + . . . + bn ) (1 − a)(1 − b)  1 − an+1 (1 − b) = lim (1 − bn+1 ) (1 − a) (1 − a · an )(1 − b) 1−b = lim = . n (1 − b · b )(1 − a) 1−a  Dạng 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp áp dụng: Sử dụng công thức: S = u1 + u2 + · · · = u1 ,với |q| < 1. 1−q Ví dụ 1. Tính các tổng sau: 1 S =1+ 1 1 + + ···. 2 4 2 S = −1 + 1 1 (−1)n − 2 + · · · + n−1 + · · · . 10 10 10 Lời giải. 1 Xét cấp số nhân un có u1 = 1 và công bội q = S= u1 = 1−q 1 1− 1 2 1 < 1, ta được: 2 = 2. 1 1 (−1)n −1 , − 2 , . . . , n−1 , . . . là một cấp số nhân có u1 = −1 và công bội q = 10 10 10 10 u1 −1 −10 Từ đó, suy ra: lim S = = = . 1 1−q 11 1+ 10 2 Dãy số −1,  Th.s Nguyễn Chín Em 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ví dụ 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 1 0,444 . . . 2 0,2121 . . . 3 0,32111 . . . Lời giải. 1 Nhận xét rằng: 4 4 4 + + + ··· 0, 444 . . . = 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . . = 10 100 1000 4 4 4 4 1 trong đó, các số , , ,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và công bội q = . 10 100 1000 10 10 4 u1 4 Từ đó, suy ra: 0, 444 . . . = = 10 = . 1 1−q 9 1− 10 2 Nhận xét rằng: 21 21 0, 2121 . . . = 0, 21 + 0, 0021 + · · · = + + ··· 100 10000 21 21 1 21 , ,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và công bội q = . trong đó, các số 100 10000 100 100 21 u1 21 Từ đó, suy ra: 0, 2121 . . . = = 100 = . 1 1−q 99 1− 100 3 Nhận xét rằng: 1 1 0, 32111 . . . = 0, 32 + 0, 001 + 0, 0001 + · · · = 0, 32 + + + ··· 1000 10000 1 1 1 1 trong đó, các số , ,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và công bội q = . 1000 10000 1000 10 1 u1 32 289 Từ đó, suy ra: 0,32111 . . . = 0,32 + = + 1000 = . 1 1−q 100 900 1− 10  Dạng 4. Dãy số có giới hạn vô cực Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: 1 lim(n2 − n + 1). 2 lim(−n2 + n + 1). Lời giải. ï Å ãò 1 1 2 = +∞. 1 Ta có: − n + 1) = lim n 1 − + 2 n n ãò ï Å 1 1 2 2 = −∞. 2 Ta có: lim(−n + n + 1) = lim −n 1 − − 2 n n lim(n2  Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau: √ 1 lim 2n2 − 3n − 8. 2 lim √ 3 1 + 2n − n3 . Lời giải. 1 Ta có: lim √ 2n2 − 3n − 8 = lim Th.s Nguyễn Chín Em n2 Å ã 3 8 2 − − 2 = +∞. n n 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 Ta có: lim √ 3 1 + 2n − n3 = lim n3 3 Å Chương 4 - Giải tích 11 ã 1 2 + − 1 = −∞. n3 n2  Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau: 1 lim √ √  2n + 1 − n . 2 lim Ä√ n2 + n + 2 − √ ä n+1 . 1 √ . n+2− n+1 3 lim √ Lời giải. 1 Ta thực hiện phép nhân liên hợp: lim Ä√ 2n + 1 − √ ä 2n + 1 − n n+1 n = lim √ √ = lim √ √ 2n + 1 + n 2n + 1 + n 1 1+ n = lim = +∞. 2 1 1 + +√ n n2 n 2 Ta có: lim Äp n2 + n + 2 − √ n+1 ä n2 + 1 √ n2 + n + 2 + n + 1 1 1+ 2 n … = lim … = +∞. 1 1 2 1 1 + + + + n2 n3 n4 n3 n4 = lim √ 3 Ta có: lim √  √ √ 1 √ = lim n + 2 + n + 1 = +∞. n+2− n+1  Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau: Å ã 1 2 2 lim n − 3 sin 2n + 5 . 2 1 lim (2n + cos n). Lời giải. 1 Ta có: 2n + cos n ≥ 2n − 1 và lim(2n − 1) = +∞ từ đó, suy ra: lim (2n + cos n) = +∞. Å ã 1 1 2 1 2 n − 3 sin 2n + 5 ≥ n2 + 2 và lim n + 2 = +∞ 2 2 2 Å ã 1 2 từ đó, suy ra: lim n − 3 sin 2n + 5 = +∞. 2 2 Ta có:  Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu q > 1 thì lim q n = +∞. Áp dụng tìm giới hạn của các dãy số (un ) với: 3n + 1 2 un = 2n − 3n . . 1 un = n 2 −1 Lời giải. 1 Ta có: lim q n = lim Å ãn = +∞. 1 q Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 1+ n 3n + 1 3 1 Ta có: lim un = lim n = lim Å ãn = +∞. 2 1 2 −1 − n 3 3 ïÅ ãn ò 2 n n n 2 Ta có: lim un = lim 2 − 3 = lim 3 − 1 = −∞. 3  π n cos n Ví dụ 6. Cho hai dãy số (un ), (vn ) với un = 2 và vn = 2 n . n +1 n +1 1 Tính lim un . 2 Chứng minh rằng lim vn = 0. Lời giải. n 1 Ta có: lim un = lim 2 = 0. n +1 π n n ≥ n 2 Ta có: và lim 2 = 0, từ đó, suy ra điều cần chứng minh. 2 2 n +1 n +1 n +1 n cos  C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMÅ Câu 1. Kết quả của giới hạn lim A. −2. ã sin 5n − 2 bằng 3n B. 3. C. 0. D. 5 . 3 Lời giải. Å ã 1 sin 5n sin 5n 1 sin 5n 6 , mà lim = 0 nên lim = 0, do đó lim − 2 = −2. Ta có 0 6 3n n n 3n 3n Chọn đáp án A √ 1 n − 2 nk cos n = 1? Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim 2n 2 A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. Lời giải. √ √ n − 2 n sin 2n 1 n sin 2n Ta có = − . 2n 2 n √ 1 nk cos n = 0. Điều kiện bài toán trở thành lim n 1 Ta có lim cos = cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho n √ k nk k lim = lim n 2 −1 = 0 ⇔ − 1 < 0 ⇔ k < 2 mà k ∈ N∗ , k = 3l n 2 nên không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn) Chọn đáp án A 3 sin n + 4 cos n bằng n+1 B. 0. C. 2.   Câu 3. Kết quả của giới hạn lim A. 1. Lời giải. D. 3. 3 sin n + 4 cos n 7 7 3 sin n + 4 cos n 6 6 → 0 ⇒ lim = 0. n+1 n+1 n n+1 Chọn đáp án B Å ã n cos 2n Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 − 2 bằng n +1 1 A. 4. B. . C. 5. 4 Ta có 0 6 Th.s Nguyễn Chín Em 9  D. −4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. ã Å n n cos 2n 1 n cos 2n n cos 2n 6 = 5. 6 → 0 ⇒ lim = 0 ⇒ lim 5 − n2 + 1 n2 + 1 n n2 + 1 n2 + 1 Chọn đáp án C   nπ − 2n3 là Câu 5. Kết quả của giới hạn lim n2 sin 5 A. −∞. B. −2. C. 0. D. +∞. Lời giải. Å ã   nπ 1 sin nπ 2 3 3 Ta có lim n sin − 2n = lim n · −2 . 5 n 5   3 3  lim n = +∞  lim n = +∞ Å ã Vì ⇒ 1 sin nπ 1 1 sin nπ 0 6  lim 6 →0 · · − 2 = −2 < 0 5 nã n 5 Ån 1 sin nπ ⇒ lim n3 · − 2 = −∞. n 5 Chọn đáp án A Å ã (−1)n Câu 6. Giá trị của giới hạn lim 4 + bằng n+1 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. ã Å (−1)n 1 1 (−1)n (−1)n Ta có 0 6 6 = 4. 6 → 0 ⇒ lim = 0 ⇒ lim 4 + n+1 n+1 n n+1 n+1 Chọn đáp án C Ta có 0 6    n Câu 7. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = (−1) 1 và vn = 2 . Khi đó lim (un + vn ) có giá trị bằng 2 n +1 n +2 C. 2. D. 1. A. 3. B. 0. Lời giải.  1 1  6 →0 0 6 |un | 6 2 n +1 n Ta có ⇒ lim un = lim vn = 0 ⇒ lim (un + vn ) = 0. 1 1  0 6 |vn | 6 6 →0 n2 + 2 n Chọn đáp án B −3 là − 2n + 1 B. −∞. Câu 8. Giá trị của giới hạn lim 3 A. − . 4 Lời giải. −3 Ta có lim 2 = lim 4n − 2n + 1  4n2 C. 0. D. −1. −3 0 n2 = = 0. 2 1 4 4− + 2 n n Chọn đáp án C  Câu 9. Giá trị của giới hạn lim A. 2. 2n2 n+ bằng + 3n − 1 n3 B. 1. C. 2 . 3 D. 0. Lời giải. n + 2n2 Ta có lim 3 = lim n + 3n − 1 1 2 + 2 0 n n = = 0. 3 1 1+ 1 n2 − 3 n Chọn đáp án D  3n3 − 2n + 1 là 4n4 + 2n + 1 B. 0. Câu 10. Giá trị của giới hạn lim A. +∞. C. 2 . 7 D. 3 . 4 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 1 3 2 − 2+ 4 0 3n3 − 2n + 1 n n n = = 0. Ta có lim 4 = lim 1 2 4n + 2n + 1 4 4+ 3 + 4 n n Chọn đáp án B √ n n+1 Câu 11. Giá trị của giới hạn lim 2 bằng n +2 3 A. . B. 2. 2 Lời giải. 1 1 √ √ + 2 n n+1 0 n n Ta có lim 2 = lim = = 0. 2 n +2 1 1+ 2 n Chọn đáp án D Câu 12. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = A. 1. Lời giải. B. 2.  C. 1. D. 0.  1 2 vn có giá trị bằng và vn = . Khi đó lim n+1 n+2 un C. 0. D. 3. 1 1+ vn n+1 n = 1 = 1. Ta có lim = lim = lim 2 un n+2 1 1+ n Chọn đáp án A Câu 13. Cho dãy số (un ) với un = giá trị của a là A. a = 10. Lời giải.  an + 4 trong đó a là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn bằng 2, 5n + 3 B. a = 8. C. a = 6. D. a = 4 . 4 a+ an + 4 a a n Ta có lim un = lim = . Khi đó lim un = 2 ⇔ = 2 ⇔ a = 10. = lim 3 5n + 3 5 5 5+ n Chọn đáp án A Câu 14. Cho dãy số (un ) với un =  2n + b trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, 5n + 3 giá trị của b là A. b là một số thực tùy ý. C. không tồn tại b. Lời giải. B. b = 2. D. b = 5. b 2+ 2n + b 2 n Ta có lim un = lim = lim = (∀b ∈ R). 3 5n + 3 5 5+ n Chọn đáp án A n2 + n + 5 . 2n2 + 1 1 B. L = . 2  Câu 15. Tính giới hạn L = lim 3 A. L = . 2 Lời giải. C. L = 2. D. L = 1. 1 5 1+ + 2 n2 + n + 5 1 n n Ta có L = lim = lim = . 1 2n2 + 1 2 2+ 2 n Chọn đáp án B +n+2 . Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là an2 + 5 B. a = 4. C. a = 3. D. a = 2. Câu 16. Cho dãy số (un ) với un = A. a = −4. Th.s Nguyễn Chín Em  4n2 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. 1 2 4+ + 2 4n2 + n + 2 n n = 4 (a 6= 0) ⇔ a = 2. 2 = lim un = lim = lim 2 5 an + 5 a a+ 2 n Chọn đáp án D n2 − 3n3 . 2n3 + 5n − 2 1 B. L = . 5  Câu 17. Tính giới hạn L = lim 3 A. L = − . 2 Lời giải. n2 − 3n3 L = lim 3 = lim 2n + 5n − 2 1 C. L = . 2 D. L = 0. 1 −3 −3 n = . 2 5 2 2+ 2 − 3 n n Chọn đáp án A  5n2 − 3an4 > 0. (1 − a) n4 + 2n + 1 C. a < 0; a > 1. D. 0 6 a < 1. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim A. a 6 0; a > 1. Lời giải. B. 0 < a < 1. 5n2 − 3an4 = lim L = lim (1 − a) n4 + 2n + 1 5 ñ − 3a a<0 −3a n2 >0⇔ = 2 1 (1 − a) a > 1. (1 − a) + 3 + 4 n n Chọn đáp án C   3 Câu 19. Tính giới hạn L = lim 3 A. L = − . 2 Lời giải. 2n − n 3n2 + 1 . (2n − 1) (n4 − 7)  B. L = 1. C. L = 3. D. L = +∞. ã Å Å ãÅ ã ã 2 2 1 2 3+ 1 − 1 · n − 1 3 + 2n − n 3n2 + 1 n2 n2 n2 n2 ã Å ã Å ã Å ã Å = lim L = lim = lim 1 7 1 7 (2n − 1) (n4 − 7) · n4 1 − 4 2− 1− 4 n 2− n n n n −1 · 3 3 = =− . 2·1 2 Chọn đáp án A   n2 + 2n 2n3 + 1 (4n + 5) Câu 20. Tính giới hạn L = lim . (n4 − 3n − 1) (3n2 − 7) 8 A. L = 0. B. L = 1. C. L = . D. L = +∞. 3 Lời giải. Å ãÅ ãÅ ã 2 1 5   1 + 2 + 4 + n2 + 2n 2n3 + 1 (4n + 5) 1·2·4 8 n n3 n Å ãÅ ã = L = lim = lim = . 4 2 3 1 7 (n − 3n − 1) (3n − 7) 1·3 3 1− 3 − 4 3− 2 n n n Chọn đáp án C √ 3 n+1 Câu 21. Tính giới hạn L = lim √ . 3 n+8 1 1 A. L = . B. L = 1. C. L = . D. L = +∞. 2 8 Lời giải. 1 √ 1+ √ 3 3 n+1 1 n L = lim √ = lim … = √ = 1. 3 3 n+8 8 1 3 1+ n Chọn đáp án B  3 Th.s Nguyễn Chín Em  n3 Å 12    https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 22. Kết quả của giới hạn lim 1 A. − . 3 Lời giải. Chương 4 – Giải tích 11 n3 − 2n là 1 − 3n2 C. −∞. B. +∞. D. 2 . 3 ã Å 2 2 1− 2 1− 2 n3 − 2n n n . ã = lim n · lim = lim Å 1 1 1 − 3n2 −3 n2 −3 n2 n2   lim n = +∞  2    1− 2 3 − 2n 2 n n = −∞. 1− 2 Ta có n = − 1 < 0 ⇒ lim 1 − 3n2 = lim n · 1  lim  −3  1 3   n2 − 3 n2 Chọn đáp án C n3 Câu 23. Kết quả của giới hạn lim 3 . 4 Lời giải. 2n + 3n3 là 4n2 + 2n + 1 B. +∞. A.  C. 0. D. 5 . 7 Å ã 2 2 3 n + 3 +3 2 2n + 3n3 n2 ã = lim n · n = lim Å . lim 2 1 2 2 1 4n + 2n + 1 4+ + 2 n2 4 + + 2 n n n n   lim n = +∞  2    +3 3 2 2n + 3n n2 +3 Ta có ⇒ lim = lim n · = +∞. 2 3 2 1  lim n 4n2 + 2n + 1 = >0  4 + +  1 2 4   n n2 4+ + 2 n n Chọn đáp án B Câu 24. Kết quả của giới hạn lim A. 0. 3n − n4 là 4n − 5 C. −∞. B. +∞. D.  3 . 4 Lời giải. ã 3 3 −1 −1 3 3n − n4 n3 n 3 ã = lim n . lim = lim Å . 5 5 4n − 5 4− n 4− n n  3  lim n = +∞  3    −1 4 3 3 3n − n n 3 − 1 Ta có ⇒ lim = lim n · = −∞. 1 n3 5  4n − 5 = − < 0 lim  4−  5 4   n 4− n Chọn đáp án C n4 Å Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 + 2n3 2n2 − 3 2n − 3n3 A. lim 2 . B. lim . C. lim . 2n − 1 −2n3 − 4 −2n2 − 1 Lời giải. 3 + 2n3 lim 2 = +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = 2 · 2 = 4 > 0. 2n − 1 2n2 − 3 lim = 0 : « bậc tử » < « bậc mẫu ». −2n3 − 4 3 2n − 3n = +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và an bk = (−3) · (−2) > 0. lim −2n2 − 1 2n2 − 3n4 −3 3 am −3 3 lim = = : « bậc tử » = « bậc mẫu » và = = . 4 2 −2n + n −2 2 bk −2 2 Th.s Nguyễn Chín Em 13  D. lim 2n2 − 3n4 . −2n4 + n2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Chọn đáp án B  1 Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng − ? 3 n2 − 2n A. un = . 3n2 + 5 n2 − 3n3 C. un = 3 . 9n + n2 − 1 Lời giải. −3 1 n2 − 3n3 = =− . lim un = lim 3 9n + n2 − 1 9 3 Chọn đáp án C −n4 + 2n3 − 1 . 3n3 + 2n2 − 1 −n2 + 2n − 5 D. un = . 3n3 + 4n − 2 B. un =  Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? 1 + n2 n2 − 2n n2 − 2 A. un = . C. u = . . B. un = n 5n + 5 5n + 5n3 5n + 5n2 Lời giải.   lim n = +∞  1    + 1 1 2 1 + n2 +1 lim un = lim = lim n · n = +∞ vì am 1 n2 5  5n + 5 = lim = > 0.  5+  5 b 5  k  n 5+ n Chọn đáp án A D. 1 + 2n . 5n + 5n2  Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞? n3 + 2n − 1 2n2 − 3n4 n2 − 2n 1 + 2n . B. u = . C. u = . D. u = . A. n n n 5n + 5n2 −n + 2n3 n2 + 2n3 5n + 1 Lời giải. 2n2 − 3n4 un = 2 : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = −3.2 = −6 < 0 ⇒ lim un = −∞. n + 2n3 Chọn đáp án C  Câu 29. Tính giới hạn L = lim 3n2 + 5n − 3 . A. L = 3. B. L = −∞. C. L = 5. D. L = +∞. Lời giải.  2 Å ã  lim n = +∞  5 3 Å ã 2 2 L = lim 3n + 5n − 3 = lim n 2 + − 2 = +∞ vì 5 3  lim 2 + − n n = 2 > 0. n n2 Chọn đáp án D    Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để L = lim 5n − 3 a2 − 2 n3 = −∞? A. 19. B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải. Å ã    5 2−2 Ta có lim 5n − 3 a2 − 2 n3 = lim n3 − 3 a = −∞ n2 Å ã √ √  5 ⇔ lim − 3 a2 − 2 = a2 − 2 < 0 ⇔ − 2 < a < 2. 2 n Vì a ∈ Z, a ∈ (−10; 10) nên a = −1; 0; 1. Chọn đáp án B   Câu 31. Tính giới hạn lim 3n4 + 4n2 − n + 1 . A. L = 7. B. L = −∞. C. L = 3. D. L = +∞. Lời giải.  4 Å ã  lim n = +∞  4 1 1 Å ã lim 3n4 + 4n2 − n + 1 = lim n4 3 + 2 − 3 + 4 = +∞ vì 4 1 1  n n n lim 3 + 2 − 3 + 4 = 3 > 0. n n n Chọn đáp án D  Ä√ ä2 Ä√ än √ Câu 32. Cho dãy số (un ) với un = 2 + 2 + ··· + 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?  Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ 2 √ . 1− 2 D. Không tồn tại lim un . A. lim un = −∞. B. lim un = C. lim un = +∞. Lời giải. Ä√ än √ √ Ä√ ä2 2 ,…, 2 lập thành cấp số nhân có u1 = 2 = q nên Vì 2, Ä√ än ( √ Ä ó 2 √ 1− √ ä îÄ√ än a=2− 2>0 √ un = 2 · = 2− 2 2 − 1 ⇒ lim un = +∞ vì √ 1− 2 q = 2 > 1. Chọn đáp án C  1 3 n + 1 + + ··· + 2 2 bằng Câu 33. Giá trị của giới hạn lim 2 n2 + 1 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 8 2 4 Lời giải. 3 n 1 1 n (n + 1) 1 . Do đó Ta có + 1 + + · · · + = (1 + 2 + · · · + n) = · 2 2 2 2 2 2 1 3 n + 1 + + ··· + 2 2 2 = lim n + n = 1 . lim 2 n2 + 1 4n2 + 4 4 Chọn đáp án D ã Å 2 n−1 1 + + ··· + bằng Câu 34. Giá trị của giới hạn lim n2 n2 n2 1 1 C. . D. 1. A. 0. B. . 3 2 Lời giải. 1 2 n−1 1 1 (n − 1) (1 + n − 1) n2 − n Ta có 2 + 2 + · · · + = (1 + 2 + · · · + n − 1) = · = . n Ån n2 n2 ã n2 2 2n2 2 1 2 n−1 n −n 1 Do đó lim + 2 + ··· + = lim = . 2 2 2 n n n 2n 2 Chọn đáp án C Å ã 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) Câu 35. Giá trị của giới hạn lim bằng 3n2 + 4 2 1 C. . D. 1. A. 0. B. . 3 3 Lời giải. n (1 + 2n − 1) Ta có 1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1) = = n2 nên 2 Å ã 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) n2 1 = . lim = lim 2 2 3n + 4 3n + 4 3 Chọn đáp án B Å ã 1 1 1 + + ··· + là Câu 36. Giá trị của giới hạn lim 1·2 2·3 n (n + 1) 1 A. . B. 1. C. 0. D. −∞. 2 LờiÅgiải. ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 1 lim + + ··· + = lim 1 − + − + · · · + − 1Å· 2 2 · 3 ã n (n + 1) 2 2 3 n n+1 1 = lim 1 − = 1. n+1 Chọn đáp án B Å ã 1 1 1 Câu 37. Giá trị của giới hạn lim + + ··· + bằng 1·3 3·5 (2n − 1) (2n + 1) 1 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 4 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 15     https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Å ã 1 1 1 1 Với mọi k ∈ thì , do đó = − (2k − 1) (2k + 1) 2 ã2k − 1 ï2k + 1 ò Å 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = lim 1− + − + lim + + ··· + − 1·3 3·5 (2n − 1) (2n + 1) 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 ï ò 1 1 1 = lim 1− = . 2 2n + 1 2 Chọn đáp án A ï ò 1 1 1 Câu 38. Giá trị của giới hạn lim + + ··· + bằng 1·4 2·5 n (n + 3) 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 Lời giải. Ta có ï ò 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ··· + − + + ··· + = 1·4 2·5 n (n + 3) 3 4 2 5 3 6 n n+3 ïÅ ã Å ãò 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ··· + − = + + + ··· + 3 2 3 n 4 5 6 n+3 Å ã . 1 1 1 1 1 1 = 1+ + − − − 3 2 3 n+1 n+2 n+3 Å ã 1 11 1 1 1 = . − − − 3 6 ãn + 1 nÅ+ 2 n + 3 Å ã 1 1 1 1 11 1 1 1 11 Do đó lim + + ··· + = lim − − − = . 1·4 2·5 n (n + 3) 3 6 n+1 n+2 n+3 8 Chọn đáp án A N∗ Câu 39. Giá trị của giới hạn lim A. 4.   12 + 22 + · · · + n2 bằng n (n2 + 1) B. 1. C. 1 . 2 D. 1 . 3 Lời giải. 2n3 − 3n2 + n n (n − 1) (2n + 1) = thì ta có 6 6 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = (P (2) − P (1)) + (P (3) − P (2)) + · · · + (P (n + 1) − P (n)) . n (n + 1) (2n + 3) = P (n + 1) − P (1) = . 6 n (n + 1) (2n + 3) 2 1 12 + 22 + · · · + n2 Do đó lim = lim = = . 2 2 n (n + 1) 6n (n + 1) 6 3 Chọn đáp án D  1  un = 2 Câu 40. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi . Tính lim un . 1  un+1 = ,n > 1 2 − un 1 A. lim un = −1. B. lim un = 0. C. lim un = . D. lim un = 1. 2 Lời giải. Giả sử lim un = a thì ta có ® ® a 6= 2 a 6= 2 1 1 a = lim un+1 = lim = ⇔ ⇔ ⇔ a = 1. 2 − un 2−a a (2 − a) = 1 a2 − 2a + 1 = 0 Đặt P (n) = Chọn đáp án D Câu 41. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi A. lim un = 1. B. lim un = 0. Lời giải. Giả sử lim un = a thì ta có un + 1 a+1 a = lim un+1 = lim = ⇔ a = 1. 2 2 Th.s Nguyễn Chín Em    u1 = 2 . Tính lim un . un+1 = un + 1 , n > 1 2 C. lim un = 2. D. lim un = +∞. 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Chọn đáp án A  √ Câu 42. Kết quả của giới hạn lim 2 . 3 Lời giải. A. B. 3 . 4 9n2 − n + 1 bằng 4n − 2 C. 0. D. 3. … 1 1 9− + 2 9n2 − n + 1 n n = 3. lim = lim 2 4n − 2 4 4− n Chọn đáp án B √ Câu 43. Kết quả của giới hạn lim 2 A. − . 3 Lời giải.  −n2 + 2n + 1 √ bằng 3n4 + 2 1 B. . 2 C. − 2 1 −1 + + 2 1 −n2 + 2n + 1 = lim … n n = − √ . lim √ 4 2 3 3n + 2 3+ 4 n Chọn đáp án C √ 2n + 3 là: Câu 44. Kết quả của giới hạn lim √ 2n + 5 5 5 A. . B. . 2 7 Lời giải. … 3 √ √ 2+ 2n + 3 2 n = √ = 1. lim √ = lim √ 5 2n + 5 2 2+ √ n Chọn đáp án D √ n+1−4 Câu 45. Kết quả của giới hạn lim √ bằng n+1+n A. 1. √ 3 . 3  C. +∞. D. 1.  C. −1. B. 0. 1 D. − . 2 D. 1 . 2 Lời giải. … 1 1 4 √ + − 2 n+1−4 n = 0 = 0. lim √ = lim …n n 1 n+1+n 1 1 + 2 +1 n n Chọn đáp án B √ n + n2 + 1 π = a sin + b. Tính S = a3 + b3 . Câu 46. Biết rằng lim √ 2 4 n −n−2 A. S = 1. B. S = 8. C. S = 0. D. S = −1. Lời giải. … 1 √ ® √ √ 1+ 1+ 2 √ a=2 2 n + n2 + 1 1+ 1 π n Ta có lim √ = lim … = = 2 2 sin ⇒ ⇒ S = 8. 1 4 1 2 b=0 n2 − n − 2 1− − n n Chọn đáp án B Câu 47. Kết quả của giới hạn lim √ A. +∞. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em   10 là n4 + n2 + 1 B. 10. C. 0. 17 D. −∞. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 10 2 10 0 n lim √ = = 0. = lim … 4 2 1 1 1 n +n +1 1+ 2 + 4 n n Chọn đáp án C  … 2n + 2 Câu 48. Kết quả của giới hạn lim (n + 1) là 4 n + n2 − 1 A. +∞. B. 1. C. 0. D. −∞. Lời giải. … 2n + 2 2(n + 1)3 lim (n + 1) = lim = 0. n4 + n2 − 1 n4 + n2 − 1  Chọn đáp án C √ 3 √ an3 + 5n2 − 7 Câu 49. Biết rằng lim √ = b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức 2 3n − n + 2 a+c P = 3 . b 1 1 C. P = 2. D. P = . A. P = 3. B. P = . 3 2 Lời giải. …  5 7 3 √ √ √ b a + − 3 3 √ 3 3 3 2 √ √ 3 a= an + 5n − 7 b a 1 n n 3 ⇒P = . Ta có lim √ =√ = = lim … 3= b 3 + c ⇒ 2  3 3 1 2 3 3n − n + 2 c=0 3− + 2 n n  Chọn đáp án B √ 5 Câu 50. Kết quả của giới hạn lim 200 − 3n5 + 2n2 là A. +∞. B. 1. C. 0. D. −∞. Lời giải.  å Ç… = +∞   lim n √ Ç å … 2 200 5 5 √ lim 200 − 3n5 + 2n2 = lim n − 3 + 3 = −∞ vì 2 5 5 200  n5 n − 3 + = − 3 < 0.  lim 5 3 n n Chọn đáp án D √ √   Câu 51. Giá trị của giới hạn lim n + 5 − n + 1 bằng A. 0. B. 1. C. 3. Lời giải.  √ √ 4 √ lim n + 5 − n + 1 = lim √ = 0. n+5+ n+1 Chọn đáp án A Ä√ ä Câu 52. Giá trị của giới hạn lim n2 − n + 1 − n là 1 A. − . B. 0. C. 1. 2 Lời giải. D. 5.  D. −∞. 1 −1 + −n + 1 1 n lim n2 − n + 1 − n = lim √ = lim … =− . 2 2 1 1 n −n+1+n 1− + 2 +1 n n Chọn đáp án A Ä√ ä √ Câu 53. Giá trị của giới hạn lim n2 − 1 − 3n2 + 2 là A. −2. B. 0. C. −∞. Lời giải. Ç… å … Ä√ ä √ 1 2 2 2 lim n − 1 − 3n + 2 = lim n 1 − 2 − 3 + 2 = −∞ vì n n Ç… å … √ 1 2 lim n = +∞, lim 1 − 2 − 3 + 2 = 1 − 3 < 0. n n Chọn đáp án C Ä√ ä Th.s Nguyễn Chín Em 18  D. +∞.  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ä√ ä √ Câu 54. Giá trị của giới hạn lim n2 + 2n − n2 − 2n là A. 1. B. 2. C. 4. D. +∞. Lời giải. Ä√ ä √ 4 4n √ … = lim … = 2. lim n2 + 2n − n2 − 2n = lim √ 2 2 2 2 n + 2n + n − 2n 1+ + 1− n n Chọn đáp án B Ä√ ä p Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để lim n2 + a2 n − n2 + (a + 2) n + 1 = 0? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải.  2−a−2 n−1 ä Ä√ p a √ n2 + a2 n − n2 + (a + 2) n + 1 = lim √ Ta có lim n2 + n + n2 + 1 1 ñ a2 − a − 2 − a = −1 a2 − a − 2 n … = = lim … =0⇔ 2 a = 2. 1 1 1+ + 1+ 2 n n Chọn đáp án B Ä√ ä √ Câu 56. Giá trị của giới hạn lim 2n2 − n + 1 − 2n2 − 3n + 2 là √ 2 A. 0. B. . C. −∞. D. +∞. 2 Lời giải. p Äp ä 2n − 1 √ lim 2n2 − n + 1 − 2n2 − 3n + 2 = lim √ 2 2n − n + 1 + 2n2 − 3n + 2 1 2− 1 n … = lim … =√ . 1 2 1 3 2 2− + 2 + 2− + 2 n n n n Chọn đáp án B Ä√ ä √ Câu 57. Giá trị của giới hạn lim n2 + 2n − 1 − 2n2 + n là √ C. −∞. D. +∞. A. −1. B. 1 − 2. Lời giải. å Ç… … Ä√ ä √ 2 1 1 2 2 = −∞ vì n + 2n − 1 − 2n + n = lim n · 1+ − 2 − 2+ lim n n n Ç… å … √ 2 1 1 lim n = +∞, lim 1+ − 2 − 2+ = 1 − 2 < 0. n n n Chọn đáp án C A. 0. Lời giải. Ä√ B. 2.  ä n2 − 8n − n + a2 = 0? C. 1. D. Vô số. Ü Ä√ ä n2 − 8n − n + a2 = lim √ Å −8n + a2 = lim − 8n + n ã n2 = a2 − 4 = 0 ⇔ a = ±2. Chọn đáp án B ê −8 … + a2 8 1− +1 n  Ä√ Câu 59. Giá trị của giới hạn lim A. −1. B. 0. Lời giải. ä n2 − 2n + 3 − n là C. 1. D. +∞. 3 −2 + −2n + 3 n lim n2 − 2n + 3 − n = lim √ = lim … = −1. 2 3 n2 − 2n + 3 + n 1− + 2 +1 n n Chọn đáp án A Ä√   Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim Ta có lim  ä Th.s Nguyễn Chín Em 19  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 √ √ Câu 60. Cho dãy số (un ) với un = n2 + an + 5 − n2 + 1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim un = −1. A. 3. B. 2. C. −2. D. −3. Lời giải. p Äp ä an + 4 √ − 1 = lim un = lim n2 + an + 5 − n2 + 1 = lim √ n2 + an + 5 + n2 + 1 4 a+ a n … = lim … = ⇔ a = −2. 2 a 1 5 1+ + 2 + 1+ 2 n n n  Chọn đáp án C Ä√ ä √ Câu 61. Giá trị của giới hạn lim 3 n3 + 1 − 3 n3 + 2 bằng A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. Ä√ ä √ −1 » = 0. lim 3 n3 + 1 − 3 n3 + 2 = lim » √ √ 3 3 2 (n3 + 1) + n3 + 1 · 3 n3 + 2 + 3 (n3 + 2)2 Chọn đáp án C  Ä√ 3 ä Câu 62. Giá trị của giới hạn lim n2 − n3 + n là 1 A. . B. +∞. C. 0. 3 Lời giải. ä Ä√ n2 = lim lim 3 n2 − n3 + n = lim » √ 3 (n2 − n3 )2 − n 3 n2 − n3 + n2 D. 1. 1 Å ã2 … 1 1 −1 − 3 −1+1 n n 2 2 √ n 1 n Giải nhanh: 3 n2 − n3 + n = » ∼ √ = . √ √ 3 3 6 3 2 3 3 3 n − n −n + n (n2 − n3 )2 − n n2 − n3 + n2 3 Chọn đáp án A  Ä√ 3 ä Câu 63. Giá trị của giới hạn lim n3 − 2n2 − n bằng 1 2 A. . B. − . C. 0. D. 3 3 Lời giải. ä Ä√ −2n2 lim 3 n3 − 2n2 − n = lim » √ 3 (n3 − 2n2 )2 + n · 3 n3 − 2n2 + n2 −2 2 = lim Å =− . ã2 … 3 2 2 3 1− + 3 1− +1 n n Chọn đáp án B √ √  √ Câu 64. Giá trị của giới hạn lim n n + 1 − n − 1 là A. −1. B. +∞. C. 0. D. Lời giải. √  √ √ √ 2 n 2 √ … = lim … = 1. lim n n + 1 − n − 1 = lim √ n+1+ n−1 1 1 1+ + 1− n √ √n  √ √ √ 2 n 2 n √ √ = 1. Giải nhanh: n n + 1 − n − 1 = √ ∼√ n+ n n+1+ n−1 Chọn đáp án D √ √ √  Câu 65. Giá trị của giới hạn lim n n + 1 − n bằng 1 1 A. 0. B. . C. . D. 2 3 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 1 = . 3 20 1.  1.  1 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ √ √  n + 1 − n = lim √ Chương 4 - Giải tích 11 √ 1 n 1 = . √ = lim … 2 n+1+ n 1 1+ +1 √ √n √  √ √ n n 1 √ = . Giải nhanh: n n + 1 − n = √ √ ∼√ 2 n+ n n+1+ n Chọn đáp án B î Ä√ äó √ Câu 66. Giá trị của giới hạn lim n n2 + 1 − n2 − 3 bằng A. −1. B. 2. C. 4. D. +∞. Lời giải. ä Ä√ √ 4n 4 √ … n2 + 1 − n2 − 3 = lim √ = lim … = 2. lim n 1 3 n2 + 1 + n2 − 3 1+ 2 + 1− 2 n n Ä√ ä √ 4n 4n 2 2 √ = 2. √ Giải nhanh: n n +1− n −3 = √ ∼√ n2 + 1 + n2 − 3 n2 + n2 Chọn đáp án B î Ä√ äó √ Câu 67. Giá trị của giới hạn lim n n2 + n + 1 − n2 + n − 6 là √ 7 A. 7 − 1. B. 3. C. . D. +∞. 2 Lời giải. p ä Äp 7n √ lim n n2 + n + 1 − n2 + n − 6 = lim √ n2 + n + 1 + n2 + n − 6 7 7 . … = . = lim … 2 1 1 1 6 1+ + 2 + 1+ − 2 n n n n Ä√ ä √ 7n 7n 7 √ = . √ Giải nhanh : n n2 + n + 1 − n2 + n − 6 = √ ∼√ 2 n2 + n + 1 + n2 + n − 6 n2 + n2 Chọn đáp án C lim n Câu 68. Giá trị của giới hạn lim √ A. 1. Lời giải. B. 0. n2 1 √ là + 2 − n2 + 4 C. −∞. Th.s Nguyễn Chín Em   D. +∞. ñ Ç… åô … ï äò √ 1 Ä√ 2 1 2 4 1 2 √ = lim − n + 2 + n + 4 = lim n · − 1+ 2 + 1+ 2 lim √ 2 2 n n n2 + 2 − n2 + 4 ñ Ç… åô … 1 2 4 = −∞ vì lim n = +∞, lim − 1+ 2 + 1+ 2 = −1 < 0. 2 n n ä √ 1 1 Ä√ 2 1 Ä√ 2 √ 2 ä √ Giải nhanh: √ =− n + 2 + n2 + 4 ∼ − n + n = −n → −∞. 2 2 n2 + 2 − n2 + 4 Chọn đáp án C √ √ 9n2 − n − n + 2 Câu 69. Giá trị của giới hạn lim là: 3n − 2 A. 1. B. 0. C. 3. D. +∞. Lời giải. … … 1 1 2 √ √ √ + 2 9− − 9n2 − n − n + 2 9 n n n lim = lim = = 1. 2 3n − 2 3 3− n Chọn đáp án A Ä√ ä Câu 70. Giá trị của giới hạn lim 3 n3 + 1 − n là A. 2. B. 0. C. −∞. D. +∞. Lời giải. ä Ä√ 1 lim 3 n3 + 1 − n = lim » = 0. √ 3 2 (n3 + 1) + n 3 n3 + 1 + n2 Chọn đáp án B     21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 71. Kết quả của giới hạn lim 25 . 2 Lời giải. A. − B. 5 . 2 Chương 4 - Giải tích 11 2 − 5n+2 bằng 3n + 2 · 5n 5 D. − . 2 C. 1. Å ãn 1 − 25 2 − 5n+2 25 5 lim n =− . = lim Å ãn n 3 3 +2·5 2 +2 5 Chọn đáp án A 2  3n − 2 · 5n+1 bằng 2n+1 + 5n B. −10. C. 10. Câu 72. Kết quả của giới hạn lim A. −15. Lời giải. lim 3n − 2 · 5n+1 2n+1 + 5n D. 15. Å ãn 3 − 10 5 = lim Å ãn = −10. 2 +1 2· 5 Chọn đáp án B  Câu 73. Kết quả của giới hạn lim A. 0. Lời giải. 3n − 4 · 2n+1 − 3 là 3 · 2n + 4 n B. 1. C. −∞. D. +∞. Å ãn Å ãn Å ãn 3 1 1 −8· −3· 0 3n − 4 · 2n+1 − 3 4 2 4 Å ãn = lim = = 0. lim n n 1 3·2 +4 1 3· +1 2 Chọn đáp án A  3n − 1 bằng 2n − 2 · 3n + 1 1 1 3 A. −1. B. − . C. . D. . 2 2 2 Lời giải. Å ãn 1 1− n 3 −1 1 3 Å ãn = − . lim n = lim Å ãn 2 1 2 − 2 · 3n + 1 2 −2+ 3 3  Chọn đáp án B Ñ Ä√ än é √ 5 − 2n+1 + 1 2n2 + 3 a 5 = Câu 75. Biết rằng lim + 2 + c với a, b, c ∈ Z. Tính giá trị của biểu Ä√ än+1 n −1 b 5 · 2n + 5 −3 Câu 74. Kết quả của giới hạn lim thức S = a2 + b2 + c2 . A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31. Lời giải. Å ã Å ã Ü ê Ñ Ä√ än é 2 n 1 n 3 √ √ 1 − 2 · + 2+ 2 5 − 2n+1 + 1 2n2 + 3 n Å ãn 5 Å5 ãn + lim + 2 = lim Ä√ än+1 √ 1 2 1 n − 1 n 5·2 + 5 −3 1− 2 5· √ + 5−3· √ n 5 5 √ 5 1 = √ +2= + 2. 5 5 Vậy S = 12 + 52 + 22 = 30. Chọn đáp án B Câu 76. Kết quả của giới hạn lim A. 1. Th.s Nguyễn Chín Em B. 1 . 3 π n + 3n + 22n là 3π n − 3n + 22n+2 C. +∞. 22 D.  1 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải. Å ãn 3 +1 1 4 4 Å ãn = . = lim  n π 3 4 +4 3· −3· 4 4  π n lim π n + 3n + 22n 3π n − 3n + 22n+2 Chương 4 - Giải tích 11 + Chọn đáp án D î √  nó Câu 77. Kết quả của giới hạn lim 3n − 5 là √ A. 3. B. − 5. Lời giải. Ç Ç √ ån å ó î √ 5 n lim 3n − 5 = lim 3n 1 − = +∞ vì 3 C. −∞. D. +∞.  n   lim 3 =Ç+∞ √ ån 5  = 1 > 0.  lim 1 − 3 Chọn đáp án D   Câu 78. Kết quả của giới hạn lim 34 · 2n+1 − 5 · 3n là √ 2 1 A. . B. −1. C. −∞. D. . 3 3 Lời giải.  n ã Å Å ãn  lim 3 = +∞  2 Å Å ãn ã 4 n+1 n n − 5 = −∞ vì lim 3 · 2 − 5 · 3 = lim 3 162 · 2  lim 162 · 3 − 5 = −5 < 0. 3 Chọn đáp án C  Câu 79. Kết quả của giới hạn lim 3n − 4 · 2n+1 − 3 là 3 · 2n + 4n A. 0. B. 1. C. −∞. D. +∞. Lời giải. Å ãn 3n − 4 · 2n+1 − 3 8 · 3n+1 3 3n − 4 · 2n+1 − 3 06 6 = 24 · → 0 ⇒ lim = 0. 3 · 2n + 4n 4n 4 3 · 2n + 4n Chọn đáp án A Câu 80. Kết quả của giới hạn lim 2 . 3 2n+1 + 3n + 10 là 3n2 − n + 2 3 . D. −∞. 2 Lời giải. n  n  n →0 X n (n − 1) (n − 2) n3 2 k n 3 n Ta có 2 = Cn ⇒ 2 > Cn = ∼ ⇒ 2n . Khi đó:  6 6  → +∞ k=0 n2 2n Å ãn  lim = +∞   n 1  n2  2 + 3 · n + 10 · Å ãn  n n+1 2 + 3n + 10 2 n 1 2 2 lim = lim · = +∞ vì 2 + 3 · + 10 · 2 2 n 1 2  2 3n − n + 2 n 2 2  3− + 2  lim = > 0.   1 2 n n 3  3− + 2 n n Chọn đáp án A A. +∞. B. C. 4 Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để lim A. 2007. Lời giải. B. 2008. œ lim 4 4n + 2n+1 = lim 3n + 4n+a 4 Å ãn 1 … 1+2· 1 2 Å ãn = = 3 4a a +4 4 C. 2017.  4n + 2n+1 1 6 . n n+a 3 +4 1024 D. 2016. 1 1 1 = a 6 ⇔ 2a > 1024 = 210 2 2 1024 (2a ) ⇔ a > 10. Mà a ∈ (0; 2018) và a ∈ Z nên a ∈ {10; 11; . . . ; 2017} ⇒có 2008 giá trị a. Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  23  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ç√ å n2 + 2n (−1)n Câu 82. Kết quả của giới hạn lim + bằng 3n − 1 3n √ 2 1 1 A. . B. −1. C. . D. − . 3 3 3 Lời giải. Ç √ å √ n2 + 2n (−1)n n2 + 2n (−1)n Ta có lim + = lim + lim . Ta có 3n − 1 3n 3n − 1 3n …  2  √  1 +  2  n + 2n  n =1 Ç√ å  = lim  lim n2 + 2n (−1)n 1 1 3n − 1 3 ⇒ lim = . + 3− n  3n − 1 3 3 n  Å ãn  n n  1 (−1) (−1)  0 6  6 → 0 ⇒ lim =0 3n 3 3n Chọn đáp án C Ç√ å 3n + (−1)n cos 3n √ Câu 83. Kết quả của giới hạn lim bằng n−1 √ √ √ 3 . B. 3. C. 5. D. −1. A. 2 LờiÇgiải. å Ç √ å √ 3n + (−1)n cos 3n 3n (−1)n cos 3n √ √ lim = lim √ + . Ta có : n−1 n−1 n  √ √  3n 3 √  Ç√ å  = = 3  lim √ √ 3n + (−1)n cos 3n 1 n−1 √ ⇒ lim = 3. n n  n−1 (−1) cos 3n 1 (−1) cos 3n   √ 6√ → 0 ⇒ lim √ =0 0 6 n−1 n−1 n−1 Chọn đáp án B Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0; 20) sao cho lim 3+ 24  an2 − 1 1 − n là một số 3 + n2 2 nguyên? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải.  1  a− 2 2−1   an  n =a   lim 3 + n2 = lim 3 √ an2 − 1 1 +1 Ta có ⇒ lim 3 + − = 3 + a. 2  3 + n2 2n  Å ãnn     lim 1 = lim 1 =0 2n 2 ® a ∈ (0; 20) , a ∈ Z Ta có √ ⇒ a ∈ {1; 6; 13}. a+3∈Z Chọn đáp án B √ Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2 · 3n − n + 2 là A. 0. B. 2. C. 3. D. +∞. Lời giải. Å ãn √ √ n 1 n n Ta có lim 2 · 3 − n + 2 = lim 3 · 2 − n + 2 · . 3 3  √  lim 3n = +∞   √    n 2 n  lim 3n = +∞ 0 6 n 6 n =    = → 0 ⇒ lim n = 0 n 2 n (n − 1) 3 C n − 1 3 Å ãn √ n Vì ⇒ 1 n   2   lim 2 − n + 2 · = 2 > 0.  Å ã  n 3 3  1   =0  lim 3 √ Do đó lim 2 · 3n − n + 2 = +∞. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em    https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 86. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 9 . Số hạng đầu u1 của cấp số nhân đó là 4 9 A. u1 = 3. B. u1 = 4. C. u1 = . D. u1 = 5. 2 Lời giải. Gọi  uq là công bội của cấp số nhân, ta có:  1  1   = 2   1 − q q = − u1 = 2 (1 − q) 2Å ã ⇔  9 ⇔ 3 3 1 1 − q 9   2 1 − q =   = 3. S3 = u1 · u1 = 2 1 + = 4 2 1−q 4 Chọn đáp án A  1 1 1 Câu 87. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + + + · · · + n−3 + · · · . 3 9 3 27 B. S = 14. C. S = 16. A. S = . 2 Lời giải.  Ta có S = 9 + 3 + 1 + 1 1 + · · · + n−3 3 3 D. S = 15.  Ö è       1 1 27 1 1   = . + · · · = 9 1 + + 2 + · · · + n−1 + · · · = 9 1 | 3 3  3 2 {z }  1−   3 1 CSN: u1 =1, q= 3 Chọn đáp án A  Å ã √ 1 1 1 1 Câu 88. Tính tổng S = 2 1 + + + + · · · + n + · · · . 2 4 8 2 √ √ B. S = 2. C. S = 2 2. A. S = 2 + 1. 1 D. S = . 2 Lời giải.   Ö è       √  √ 1 1 1 1 1  √ = 2 2. Ta có S = 2 1 + + + + · · · + n + · · · = 2 1 | 2 4 8 {z 2 }   1−   2 1 CSN: u1 =1, q= 2 Chọn đáp án C  2n 2 4 Câu 89. Tính tổng S = 1 + + + · · · + n + · · · . 3 9 3 A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 6. Lời giải. Å ã2 Å ãn 2n 2 2 2 1 2 4 Ta có S = 1 + + + · · · + n + · · · = 1 + + + ··· + + ··· = = 3. 2 3 9 3 3 3 3 | {z } 1− 3 2 CSNlvh: u1 =1, q= 3 Chọn đáp án A 1 1 1 (−1)n+1 Câu 90. Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , , . . . , , . . .. bằng 2 6 18 2 · 3n−1 3 8 2 A. . B. . C. . 4 3 3 Lời giải.  n+1 Ta có: S = 1 1 1 (−1) − + + ··· + 2 6 18 2 · 3n−1 Th.s Nguyễn Chín Em D.  3 . 8      n+1   1 1 1 (−1)  + · · · = 1 − + 2 + · · · +  2 | 3 3 {z 3n−1 }     1 CSN: u1 =1, q=− 3 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ è Ö = 1 2 Chương 4 – Giải tích 11 1 1 3 Chọn đáp án D 1+ 3 = . 8  Å Câu 91. Tính tổng S = A. 1. ã Å ã Å 1 1 1 1 1 1 + + ··· + n − n − − 2 3 4 9 2 3 3 2 C. . B. . 3 4 Lời giải. Ta cóÅ ã Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 S= + + ··· + n − n + ··· − − 2 3 4 9 2 3    ã + ···. D. 1 . 2      1 1      1 1   1 1 1 1 1 1     =  + + · · · + n + · · · −  + + · · · + n + · · · = 2 − 3 = 1 − = . 1 1 3 9 |2 4 2 2 {z 2 } {z 3 }   |  1− 1−     2 3 1 1 CSN: u1 =q= CSN: u1 =q= 2 3 Chọn đáp án D 1 + a + a2 + · · · + an (|a| < 1, |b| < 1) bằng 1 + b + b2 + · · · + bn 1−b 1−a B. . C. . 1−a 1−b  Câu 92. Giá trị của giới hạn lim A. 0. D. Không tồn tại. Lời giải. Ta có 1 + a + a2 + · · · + an là tổng n + 1 số hạng của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội  đầu tiên n+1 n+1 1 · 1 − a 1 − a = . là a, nên 1 + a + a2 + · · · + an = 1−a  1−a 1 1 − bn+1 1 − bn+1 Tương tự: 1 + b + b2 + · · · + bn = = . 1−b 1−b n+1 1−a 2 n n+1 1 + a + a + ··· + a 1−b 1 − a = lim 1 − b · 1 − a Do đó lim = lim = (|a| < 1, |b| < 1). n+1 1 + b + b2 + · · · + bn 1 − a 1 − bn+1 1−a 1−b 1−b  Chọn đáp án B Câu 93. Rút gọn S = 1 + cos2 x + cos4 x + cos6 x + · · · + cos2n x + · · · với cos x 6= ±1. 1 1 D. S = A. S = sin2 x. B. S = cos2 x. C. S = . 2 . cos2 x sin x Lời giải. 1 1 6 2n Ta có S = |1 + cos2 x + cos4 x + cos {z x + · · · + cos x + · ·}· = 1 − cos2 x = sin2 x . CSN: u1 =1, q=cos2 x Chọn đáp án C  n Câu 94. Rút gọn S = 1 − sin2 x + sin4 x − sin6 x + · · · + (−1) · sin2n x + · · · với sin x 6= ±1. 1 A. S = sin2 x. B. S = cos2 x. C. S = . D. S = tan2 x. 1 + sin2 x Lời giải. 1 Ta có S = 1 − sin2 x + sin4 x − sin6 x + · · · + (−1)n · sin2n x + · · · = . | {z } 1 + sin2 x CSNlvh: u1 =1, q=−sin2 x Chọn đáp án C  π Câu 95. Thu gọn S = 1 − tan α + tan2 α − tan3 α + · · · với 0 < α < . 4 1 cos α  A. S = . B. S = √ π . 1 − tan α 2 sin α + 4 tan α 2 C. S = . D. S = tan α. 1 + tan α Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải.  π Ta có tan α ∈ (0; 1) với mọi α ∈ 0; , do đó 4 1 cos α cos α 2  S = |1 − tan α + tan{z α − tan3 α + . .}. = = =√ π . 1 + tan α sin α + cos α 2 sin α + CSN: u1 =1, q=− tan α 4 Chọn đáp án B  Câu 96. Cho m, n là các số thực thuộc (−1; 1) và các biểu thức: M = 1 + m + m2 + m3 + · · · N = 1 + n + n2 + n3 + · · · A = 1 + mn + m2 n2 + m3 n3 + · · · Khẳng định nào dưới đây đúng? MN MN A. A = . B. A = . M +N −1 M +N +1 1 1 1 1 1 1 C. A = + − . D. A = + + . M N MN M N MN Lời giải.   1 1   m = 1 − M = 1−m M , khi đó ⇒ Ta có 1 1   n = 1 − N = 1−n N 1 1 MN Å ãÅ ã= A= = . 1 1 1 − mn M +N −1 1− 1− 1− M N Chọn đáp án A  a Câu 97. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 · · · được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính tổng b T = a + b. A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải. Ta có 0,5111 · · · = 0,5 + 10−2 + 10−3 + · · · + 10−n + · · · Dãy số 10−2 ; 10−3 ; . . . ; 10−n ; . . . là một cấp số nhân u1 1 10−2 lùi vô hạn có số hạng đầu bằng u1 = 10−2 , công bội bằng q = 10−1 nên S = = = . Vậy −1 1−q 90 1 − 10 ® a = 23 23 46 = ⇒ ⇒ T = a + b = 68. 0,5111 . . . = 0,5 + S = 90 45 b = 45 Chọn đáp án B  a Câu 98. Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính b T = ab. A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. Lời giải. 35 35 35 Ta có 0,353535 . . . = 0,35 + 0,0035 + · · · = 2 + 4 + · · · + n + · · · 10 10 10 35 35 35 35 Dãy số 2 ; 4 ; . . . ; n ; . . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng u1 = 2 , công bội bằng 10 10 10 10 35 u1 35 102 = = . q = 10−2 nên S = 1 − q ®1 − 10−2 99 a = 35 35 Vậy 0,353535 . . . = ⇒ ⇒ T = ab = 3465. 99 b = 99 Chọn đáp án B  a Câu 99. Số thập phân vô hạn tuần hoàn B = 5,231231 . . .. được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính b T = a − b. A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. Lời giải. Ta có Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 B = 5,231231 . . . = 5 + 0,231 + 0,000231 + · · · 231 ® a = 1742 3 231 231 231 1742 10 =5+ = 5 + 3 + 6 + ··· = 5 + = ⇒ ⇒ T = 1409. 1 999 333 10 10 b = 333 1− 3 10 Chọn đáp án A  Câu 100. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản định nào dưới đây đúng? A. a − b > 215 . B. a − b > 214 . C. a − b > 213 . Lời giải. Ta có ã Å 1 1 1 + + + ··· 0,17232323 . . . = 0,17 + 23 104 106 108 1 17 17 23 1706 853 = + 23 · 10000 = + = = 1 100 100 100 · 99 9900 4950 1− 100 ® a = 853 ⇒ ⇒ 212 < T = 4097 < 213 . b = 4950 Chọn đáp án D Câu 101. lim 2 . 3 Lời giải. 1 + 3 + 5 + · · · + 2n + 1 bằng 3n2 + 4 B. 0. A. C. a . Khẳng b D. a − b > 212 .  1 . 3 D. +∞. (1 + 2n + 1)(n + 1) = (n + 1)2 . 2 1 2 1+ + 2 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) (n + 1)2 n n = 1. lim = lim = lim 2 2 4 3n + 4 3n + 4 3 3+ 2 n Chọn đáp án C Ta có 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =  Câu 102. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng −1? 2n2 − 3 2n3 − 3 2n2 − 3 A. lim . B. lim . C. lim . −2n3 − 4 −2n2 − 1 −2n3 + 2n2 Lời giải. 3 2− 2 2n2 − 3 n Ta có lim = lim = −1. 1 −2n2 − 1 −2 − 2 n Chọn đáp án D Câu 103. lim 2 . 3 Lời giải. 1 + 3 + 5 + · · · + 2n + 1 bằng 3n2 + 4 B. 0. A. C. 1 . 3 D. lim 2n2 − 3 . −2n2 − 1  D. +∞. (1 + 2n + 1)(n + 1) = (n + 1)2 . 2 1 2 1+ + 2 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) (n + 1)2 n n = 1. lim = lim = lim 2 2 4 3n + 4 3n + 4 3 3+ 2 n Chọn đáp án C Ta có 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = 1 + 2n+1 . 1 − 3n  √ √ C. lim n n + 1 − 2n + 1 . Câu 104. Å  ã 1 n B. lim − . n n+1 1 − 3n2 D. lim 3 . 2n + 1 A. lim Th.s Nguyễn Chín Em √ 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. Xét L = lim n √ n+1− √ √ 2n + 1 = lim n n  Ç… å … 1 1 1+ − 2+ có n n √ lim n n = +∞. Ç… å … √ 1 1 lim 1+ − 2+ = 1 − 2 < 0. n n Suy ra L = −∞. Chọn đáp án C  Câu 105. Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai? A. lim un = c (un = c là hằng số). B. lim q n = 0 (|q| > 1). 1 1 D. lim = 0. C. lim k = 0 (k > 1). n n Lời giải. Ta có lim q n = 0 với |q| < 1. Suy ra lim q n = 0 (|q| > 1) là sai. Chọn đáp án B Ä√ ä Câu 106. lim n2 − 3n + 1 − n bằng 3 C. 0. D. +∞. A. −3. B. − . 2 Lời giải. Ta có 1 −3 + Äp ä −3n + 1 3 n lim n2 − 3n + 1 − n = lim √ = lim … =− . 2 2 1 1 n −n+1+n 1− + 2 +1 n n Chọn đáp án B √ n+2 bằng Câu 107. lim n+1 A. 1.  B. +∞. Lời giải.  C. 0. D. 1 . 2 √ n 2 + n+2 n = 0. Ta có lim = lim n 1 n+1 1+ n Chọn đáp án C √  4n2 + 3n + 1 bằng (3n − 1)2 4 B. . 3 Câu 108. Giá trị của B = lim 4 . 9 Lời giải. A. C. 0. D. 4. 3 1 4+ + 2 4n2 + 3n + 1 4n2 + 3n + 1 n n = 4. Ta có lim = lim 2 = lim 2 6 1 (3n − 1) 9n − 6n + 1 9 9− + 2 n n Chọn đáp án A  √ √ 5 3n2 + n a 3 a Câu 109. Giới hạn lim = (với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Tính 2(3n + 2) b b T = a + b. A. T = 21. B. T = 11. C. T = 7. D. T = 9. Lời giải. … 1 √ √ 5 3+ 5 3n2 + n 5 3 n ã= lim = lim Å 2 2(3n + 2) 6 2 3+ n Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Vậy a = 5, b = 6, T = a + b = 11. Chọn đáp án B ò ï 2 3 n 1 Câu 110. Giá trị của lim 2 + 2 + 2 + · · · + 2 bằng n n n n A. 1. B. 0. C.  1 . 3 D. 1 . 2 Lờiïgiải. ã ò ï ò Å 1 2 3 n 1 + 2 + 3 + ··· + n n (n + 1) 1 1 lim 2 + 2 + 2 + · · · + 2 = lim = lim = lim + n n n n n2 2n2 2 2n 1 1 = +0= . 2 2 Chọn đáp án D 2n + 1 . 2 + n − n2 B. L = −2.  Câu 111. Tính giới hạn L = lim A. L = −∞. Lời giải. Ta có: L = lim 2n + 1 = lim 2 + n − n2 2 n 2 n2 + + 1 n 1 n2 −1 C. L = 1. D. L = 0. = 0. Chọn đáp án D  Câu 112. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n2 − 2n 1 − 2n 1 − 2n2 n2 − 2 . B. u = . C. u = . D. u = . A. un = n n n 5n + 3n2 5n + 3n2 5n + 3n2 5n + 3n2 Lời giải. Giới hạn của dãy số có lũy thừa trên tử thức nhỏ hơn lũy thừa dưới mẫu thức thì bằng 0. Do đó, dãy số có 1 − 2n giới hạn bằng 0 là un = . 5n + 3n2 Chọn đáp án C  Câu 113. Tính lim 2n + 1 2 · 2n + 3 A. 2. B. 0. C. 1. D. 1 . 2 Lời giải. 1 1+ n 2n + 1 2 = 1 + 0 = 1. Ta có lim = lim n 3 2·2 +3 2+0 2 2+ n 2 Chọn đáp án D  Câu 114. Cho các dãy số (un ), (vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ thì lim C. −∞. A. 1. B. 0. Lời giải. un Ta có lim un = a, lim vn = +∞ thì lim = 0. vn Chọn đáp án B un bằng vn D. +∞.  3 + 2n là n+1 B. −∞. Câu 115. Giá trị của giới hạn lim A. 3. Lời giải. C. 1. D. 2. 3 +2 3 + 2n n Ta có lim = lim = 2. 1 n+1 1+ n Chọn đáp án D  Câu 116. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? 3n+1 + 2n 3n2 + n A. lim . B. lim 2 . n 5+3 4n − 5 √ √ 2n3 + 3 C. lim n2 + 2n − n2 + 1. D. lim . 1 + 2n2 Th.s Nguyễn Chín Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. ã Å 1 n 2− √ √ 2 n2 + 2n − n2 − 1 n 2 2 å= Ç √ lim n + 2n − n + 1 = lim √ = 1. = lim … … 2 2 1+1 n + 2n + n + 1 2 1 n 1+ + 1+ 2 n n Chọn đáp án C Câu 117. Tính lim 5n + 3 . 2n − 1 A. 1. B. +∞. C. 2. D.  5 . 2 Lời giải. 3 5+ 5n + 3 n = 5. Ta có lim = lim 1 2n − 1 2 2− n Chọn đáp án D Câu 118. Tính giới hạn lim 2 . 3 Lời giải. A.  2n + 1 3n + 2 3 B. . 2 C. 1 . 2 D. 0. Å ã 1 1 n 2+ 2+ 2n + 1 2 n n ã = lim lim = . = lim Å 2 2 3n + 2 3 3+ n 3+ n n  Chọn đáp án A   1  u1 = v1 = u1 3 Câu 119. Dãy số (un ) xác định bởi và dãy số (vn ) xác định bởi u .  vn+1 = vn + n un+1 = n + 1 · un n 3n Tính lim vn . 5 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 6 3 Lời giải. u  un+1 1 un 1 n+1 n · un ⇔ = · nên dãy là cấp số nhân với công bội q = . Từ un+1 = 3n n+1 3 n n 3 un un Lại có vn+1 = vn + ⇔ vn+1 − vn = . n n Suy ra u1 1 u2 v3 − v2 = 2 .. . un vn+1 − vn = . n v2 − v1 = ï u1 un u1 u2 + + ··· + = Cộng vế theo vế ta được vn+1 − v1 = 1 2 n ï Å ãn ò ï Å ãn ò 1 1 1 1 1 Do đó vn+1 = 1− + v1 = 1− + . 2 3 ï ï 3 Å2 ãn ò 3 ò 1 1 1 1 1 5 Từ đó ta được lim vn = lim 1− + = + = . 2 3 3 2 3 6 Chọn đáp án B √ √ 4n2 + 1 − n + 2 Câu 120. Tính giới hạn lim bằng 2n − 3 Th.s Nguyễn Chín Em 31 Å ãn ò 1 1− 3 . 1 1− 3  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. +∞. Chương 4 – Giải tích 11 B. 1. C. 2. D. 3 . 2 Lời giải. … … 1 1 2 √ 4+ 2 − + 2 4n2 + 1 − n + 2 4 n n n = lim = = 1. Ta có lim 3 2n − 3 2 2− n Chọn đáp án B √ Câu 121. √ lim x→22018 2019 2 . A. Lời giải. Ta có lim x→22018 x2 − 42018 bằng x − 22018 B. 22018 . C. 2.  D. +∞. x2 − 42018 (x − 22018 )(x + 22018 ) = lim = lim (x + 22018 ) = 22018 + 22018 = 22019 . x − 22018 x − 22018 x→22018 x→22018 Chọn đáp án A  Câu 122. Tính giới hạn L = lim A. L = +∞. n3 − 2n . 3n2 + n − 2 1 C. L = . 3 B. L = 0. D. L = −∞. Lời giải. Å ã è  Ö 2 3 1− 2 n 1− 2 n3 − 2n n2  n ã = lim  Ta có L = lim 2 = lim Å n ·  = +∞, 2 1 2 1 3n + n − 2 3+ − 2 n2 3 + − 2 n n n n   lim n = +∞     2 1− 2 vì 1−2·0 1 n  lim = = > 0.   1 2 3+0−2·0 3   3+ − 2 n n Chọn đáp án A Câu 123. Tính giới hạn L = lim A. L = +∞.  n3 − 2n . 3n2 + n − 2 1 C. L = . 3 B. L = 0. D. L = −∞. Lời giải. Å ã è  Ö 2 3 1− 2 n 1 − 3 2 n − 2n n  n2 ã = lim  Ta có L = lim 2 = lim Å  = +∞, n · 1 2 1 2 3n + n − 2 3+ − 2 n2 3 + − 2 n n n n   lim n = +∞     2 1− 2 vì 1−2·0 1 n  lim = = > 0.   1 2 3+0−2·0 3   3+ − 2 n n Chọn đáp án A Câu 124. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để lim 1 ? 2187 A. 2018. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em B. 2011. C. 2012. 32  9n + 3n+1 ≤ 5n + 9n+a D. 2019. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Do Chương 4 – Giải tích 11 9n + 3n+1 > 0, ∀n ∈ N∗ nên 5n + 9n+a œ lim 9n + 3n+1 = 5n + 9n+a lim 9n + 3n+1 = 5n + 9n+a Å ãn 1 … 1+3· 1 1 3 lim Å ãn = a. = a 5 9 3 + 9a 9 9n + 3n+1 1 1 1 ≤ ⇔ a ≤ ⇔ 3a ≥ 2187 ⇔ a ≥ 7. 5n + 9n+a 2187 3 2187 Mà a ∈ Z và a ∈ (0; 2019) nên a ∈ {7; 8; 9; . . . ; 2018}. Vậy số giá trị nguyên a là 2018 − 7 + 1 = 2012. Chọn đáp án C Theo đề bài ta có lim 1 Câu 125. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = − 2 2 3 A. S = 1. B. S = . C. S = . D. S = 2. 3 2 Lời giải. u1 2 1 S= = . = 1 1−q 3 1+ 2 Chọn đáp án B n Câu 126. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm L = lim . un 1 1 A. . B. . C. 3. D. 2. 3 2 Lời giải.   Số hạng tổng quát un = u1 + (n − 1)d = 2 + (n − 1)3 = 3n − 1. Ta có L = lim n n = lim = lim un 3n − 1 1 1 3− n 1 = . 3 Chọn đáp án A Å ã 1 2 n Câu 127. lim + + · · · + 2 bằng n2 n 2 n 1 A. 1. B. . 2 Lời giải.  C. n(n + 1) 1 2 n 1 + 2 + ··· + n 2 Ta có 2 + 2 + · · · + 2 = = = n n n n2 n2 Å Å ã n 1+ 1 2 n n+1 Do đó lim + + · · · + = lim = lim n2 n2 n2 2n 2n Chọn đáp án B 1 . 3 D. 0. n+1 . 2n ã 1 1 n = . 2  Câu 128. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm L = lim 1 . 3 Lời giải. B. A. 1 . 2 C. 3. n . un D. 2. Số hạng tổng quát un = u1 + (n − 1)d = 2 + (n − 1)3 = 3n − 1. Ta có L = lim n n = lim = lim un 3n − 1 1 1 3− n 1 = . 3 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Å 1 2 n Câu 129. lim + 2 + ··· + 2 2 n n n 1 A. 1. B. . 2 Lời giải. Chương 4 – Giải tích 11 ã bằng C. n(n + 1) 1 2 n 1 + 2 + ··· + n 2 Ta có 2 + 2 + · · · + 2 = = = n n n n2 n2 Å ã Å n 1+ 2 n n+1 1 + + · · · + = lim Do đó lim = lim n2 n2 n2 2n 2n Chọn đáp án B Câu 130. lim 1 bằng 5n + 3 A. 0. B. 1 . 3 1 . 3 D. 0. n+1 . 2n ã 1 1 n = . 2  C. +∞. D. 1 . 5 Lời giải. 1 = 0. 5n + 3 Chọn đáp án A Ta có lim Câu 131. lim 1 . 5 Lời giải.  1 bằng 5n + 2 B. 0. A. Ta có lim 1 1 = lim n 5n + 2 5+ 2 n C. 1 . 2 D. +∞. = 0. Chọn đáp án B Câu 132. lim 1 . 7 Lời giải.  1 bằng 2n + 7 B. +∞. A. 1 Ta có lim = lim 2n + 7 1 n 7 2+ n = C. 1 . 2 D. 0. 0 = 0. 2 Chọn đáp án D Câu 133. lim 1 . 2 Lời giải.  1 bằng 2n + 5 B. 0. A. 1 Ta có lim = lim 2n + 5 1 n 2+ 5 n C. +∞. D. 1 . 5 = 0. Chọn đáp án B  Câu 134. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un ) có công bội q 6= 0, có tổng S = 12 và u3 = −2u4 . Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân (un ). A. u1 = 18. B. u1 = 8. C. u1 = 24. D. u1 = 6. Lời giải. 1 1 Ta có u3 = −2u4 ⇒ u4 = − u3 ⇒ q = − . 2 2 u1 S = 12 ⇔ = 12 ⇒ u1 = 18. 1 1+ 2 Chọn đáp án A  Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Å ã 1 1 1 Câu 135. lim bằng + + ··· + 5 · 9 9 · 13 (4n + 1)(4n + 5) 1 1 1 A. . B. . C. . 4 5 36 Lời giải. D. 1 . 20 ã 1 1 1 + + ··· + 5 · 9 9 · 13 (4n + 1)(4n + 5) Å ã 1 1 1 1 1 1 1 = lim · − + − + ··· + − 4 5 9 9 13 4n + 1 4n + 5 ã Å 1 1 1 = lim · − 4 5 4n + 5 1 = . 20 Å lim Chọn đáp án D Câu 136. Tính lim  2018n + 1 . n−3 1 A. − . 3 Lời giải. B. 2018. C. +∞. D. 0. 1 2018 + 2018n + 1 n = 2018. Ta có lim = lim 3 n−3 1− n Chọn đáp án B  Câu 137. Xét các khẳng định sau 1 Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn 1 + 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n > 2, 1. 2 2 2 2 2 Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn 1 + 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n = 2. 2 2 2 2 3 Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn 1 + 1 1 1 1 + + + · · · + n > 1, 99999. 2 22 23 2 Số khẳng định đúng là A. 3. B. 1. C. 2. Lời giải. 1 1 1 1 Xét dãy số un = 1 + + 2 + 3 + · · · + n . Khi đó, un là một dãy số tăng. 2 2 2 2 Mặt khác, theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ta có lim un = n→+∞ Do đó, chỉ có mệnh đề “Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn 1 + D. 0. 1 1− 1 2 = 2. 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n > 1, 99999” là đúng. 2 2 2 2 Chọn đáp án B  ® Câu 138. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2, u2 = 4 . Tính lim un+2 = 2un+1 − un + 5 (n ≥ 1) 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 Lời giải. Ta có un+2 = 2un+1 − un + 5 ⇒ un+2 − un+1 = un+1 − un + 5 (n ≥ 1). Đặt vn = un+1 − un ta được vn+1 = vn + 5 (n ≥ 1). Suy ra dãy số (vn ) là cấp số cộng có công sai d = 5 và v1 = u2 − u1 = 4 − 2 = 2. Do đó vn = 2 + (n − 1) · 5 = 5n − 3. Suy ra un+1 − un = 5n − 3 (n ≥ 1). Th.s Nguyễn Chín Em n→+∞ 35 un . n2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Từ đó u2 − u1 = 2 u3 − u2 = 7 u4 − u3 = 12 …… un+1 − un = 5n − 3 n [2 + (5n − 3)] n(5n − 1) = . 2 2 2 n(5n − 1) n(5n − 1) 5n − n + 4 Từ đó ta có un+1 = + u1 = +2= . 2 2 2 2 5n − 11n + 10 Bởi vậy un = . Do đó 2 Å ã 5n2 − 11n + 10 5 11 5 5 un = lim = lim − + = . lim n→+∞ n→+∞ 2 n→+∞ n2 2n2 2n n2 2 Suy ra un+1 − u1 = 2 + 7 + 12 + . . . + (5n − 3) = Chọn đáp án B Câu 139. lim 3 . 2 Lời giải. 2n2 n2  −3 bằng −1 B. 2. A. C. 1. D. 3. 3 2− 2 2n2 − 3 n = 2. Ta có lim 2 = lim 1 n −1 1− 2 n Chọn đáp án B Câu 140. Tính lim  2n + 1 . n+1 A. 2. B. 1. C. 1 . 2 D. +∞. Lời giải. 1 2+ 2n + 1 n = 2. Ta có lim = lim 1 n+1 1+ n Chọn đáp án A Câu 141. lim  1−n bằng 1 − 3n2 A. 1. 1 C. − . 3 B. 0. D. 1 . 3 Lời giải. 1 1 − 2 1−n n n Ta có lim = lim = 0. 1 1 − 3n2 −3 n2 Chọn đáp án B  Câu 142. Dãy số nào dưới đây có giớiåhạn bằng 0 ? Ç√ n 5 n A. (1, 01) . . B. 2 Lời giải. Ta biết rằng nếu |q| < 1 thì lim q n = 0 . Chọn đáp án C 2n + 1 bằng n→+∞ −n + 1 A. −1. B. 1. Câu 143. Å ãn 1 C. . 3 Å ãn 5 D. . 3  lim Th.s Nguyễn Chín Em C. 2. 36 D. −2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. 1 2+ 2n + 1 n = −2. lim = lim 1 n→+∞ −n + 1 n→+∞ −1 + n Chọn đáp án D Câu 144. Cho dãy số (un ) thỏa mãn lim Sn . A. +∞. B.  ® u1 = 2 un = 3un−1 với n ≥ 2 3 . 4 C. . Đặt Sn = 1 1 1 1 + + +...+ . Tìm u1 u2 u3 un 3 . 8 D. −∞. Lời giải. ® Xét dãy (un ) thỏa mãn ® u1 = 2 u1 = 2 là cấp số nhân với q = 3. (với n ≥ 2)  1  v1 = 1 2. Đặt vn = , khi đó dãy (vn ) là cấp số nhân với 1  un q = 3 v1 3 3 Ta có (vn ) là cấp số nhân lùi vô hạn nên Sn = = hay lim Sn = . 1−q 4 4 Chọn đáp án B un = 3un−1  Câu 145. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Nếu lim un = 0 thì lim |un | = 0. B. Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = −∞. C. Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = +∞. D. Nếu lim un = −a thì lim |un | = a. Lời giải. Xét dãy số (un ) cho bởi un = n2 . Ta có lim un = lim |un | = lim n2 = lim n2 = +∞ nên mệnh đề “Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = −∞” sai. Xét dãy số (un ) cho bởi un = −n2 . Ta có lim |un | = lim −n2 = lim n2 = +∞ nhưng lim un = −∞ nên mệnh đề “Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = +∞” sai. n n n = 1 nên mệnh đề “Nếu . Ta có lim = 1 và lim n+1 n+1 n+1 lim un = −a thì lim |un | = a” sai. Xét dãy số (un ) cho bởi un = Chọn đáp án A  3n + 2017 . 2n + 2018 2 B. L = . 3 Câu 146. Tính giới hạn L = lim 3 A. L = . 2 Lời giải. Ta có C. L = 1. D. L = 2017 . 2018 2017 3+ 3n + 2017 n = 3. L = lim = lim 2018 2n + 2018 2 2+ n Chọn đáp án A Câu 147. Cho dãy số (un ) xác định bởi  ® u1 = −5 ∗. Tính I = lim(un + 2 · 5n ). un+1 = 5un − 20, ∀n ∈ N A. I = 100. B. I = −∞. C. I = −100. D. I = 5. Lời giải. Từ un+1 = 5un − 20 ⇔ un+1 − 5 = 5 (un − 5). Đặt vn = un − 5 ta được vn+1 = 5vn . Suy ra (vn ) là cấp số nhân có công bội q = 5 và v1 = u1 − 5 = −5 − 5 = −10. Công thức tổng quát của (vn ) là vn = −10 · 5n−1 hay un = −10 · 5n−1 + 5. Do đó I = lim(un + 2 · 5n ) = lim(−10 · 5n−1 + 5 + 2 · 5n ) = lim 5 = 5. Chọn đáp án D  Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 2n + 3 . n−1 B. L = −3. Câu 148. Tính giới hạn L = lim A. L = 2. Lời giải. ã Å 3 n 2+ 2+ 2n + 3 n ã = lim = lim Å Ta có L = lim 1 n−1 1− n 1− n Chọn đáp án A C. L = −2. D. L = 3. 3 n = 2. 1 n  Câu 149. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 A. lim = +∞. B. lim(−2n + 1) = −∞. n −3 3 2−n = −∞. D. lim = . C. lim 2 3n −2n + 1 2 Lời giải. 1 Ta có: lim = 0. n Å Å ãã 1 lim(−2n + 1) = lim n −2 + = −∞. Å ã n 2 1 2 1 n2 − − 2 2−n n2 n n = 0. lim = lim = lim n 3n2 3n2 3 −3 0 −3 n = = lim = 0. lim 1 −2n + 1 −2 + 0 −2 + n Chọn đáp án B ® u1 = 1 un . Tính giới hạn I = lim n Câu 150. Cho dãy số (un ) xác định bởi . 2 −1 un+1 = 2un + 5 3 1 A. I = . B. I = 1. C. I = 3. D. I = . 2 2 Lời giải. Đặt vn = un + 5. Từ un+1 = 2un + 5 ⇔ un+1 + 5 = 2(un + 5) ⇔ vn+1 = 2vn với v1 = u1 + 5 = 6. Ta có vn = 2n−1 v1 = 3 · 2n ⇒ un = 3 · 2n − 5. 5 3− n un 3 · 2n − 5 2 Do đó I = lim n = n = = 3. 1 2 −1 2 −1 1− n 2 Chọn đáp án C √ + un với mọi n nguyên dương. Tính lim un . Câu 151. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2, un+1 = 2√ A. 2. B. 4. C. 2. D. −1. Lời giải. Ta chứng minh quy nạp rằng un = 2 với mọi n ∈ N∗ .   Với n = 1, ta có u1 = 2. Giả sử un = 2 với mọi n ≤ k. Ta có uk+1 = √ 2 + uk = √ 2 + 2 = 2. Theo nguyên lý quy nạp, ta có un = 2 với mọi n ∈ N∗ . Do đó lim un = 2. Chọn đáp án A √ √ 2 · 4n + 1 − 2n Câu 152. Biết lim √ 2, với a, b ∈ Z. Tính giá trị biểu thức T = a3 + b3 . = a + b n n 2·4 +1+2 A. T = 19. B. T = 35. C. T = 1. D. T = 17. Lời giải. … 1 √ √ 2+ n −1 √ 2 · 4n + 1 − 2n 2−1 4 … √ lim √ = lim = = 3 − 2 2. Suy ra a = 3 và b = −2 . 1 2 · 4n + 1 + 2n 2+1 2+ n +1 4 Khi đó: T = a3 + b3 = 33 + (−2)3 = 19. Th.s Nguyễn Chín Em 38  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Chọn đáp án A  N∗ . u2n Câu 153. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 = 3 và un+1 = − 3un + 4, ∀n ∈ Biết dãy số (un ) tăng và 1 1 1 1 không bị chặn trên. Đặt vn = + + + ··· + , ∀n ∈ N∗ . Tìm lim vn . x→+∞ u1 − 1 u2 − 1 u3 − 1 un − 1 A. −∞. B. +∞. C. 1. D. 0. Lời giải. Ta có un+1 = u2n − 3un + 4 ⇒ un+1 − 2 = u2n − 3un + 2 = (un − 1) · (un − 2) 1 1 1 1 1 ⇔ = ⇔ = − un+1 − 2 (un − 1) · (un − 2) un+1 − 2 nn − 2 un − 1 1 1 1 ⇔ = − . un − 1 nn − 2 un+1 − 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra vn = − + − + ··· + − = − . u1 − 2 u2 Å− 2 u2 − 2 u3 −ã2 un − 2 un+1 − 2 u1 − 2 un+1 − 2 1 1 1 = Do đó lim vn = lim − = 1. x→+∞ x→+∞ u1 − 2 un+1 − 2 u1 − 2  Chọn đáp án C 2n + 1 . n−1 B. 2. Câu 154. Tính giá trị của lim n→∞ A. 1. Lời giải. C. −1. D. −2. 1 2+ 2n + 1 n = lim lim = 2. 1 n→∞ n→∞ n − 1 1− n Chọn đáp án B Câu 155. Tính lim  2n + 1 . n−1 A. +∞. B. 2. C. 1 . 2 D. −1. Lời giải. 1 2+ 2n + 1 n lim = lim = 2. 1 n−1 1− n Chọn đáp án B  2 − 5n+2 là 3n + 2 · 5n 5 B. − . 2 Câu 156. Kết quả đúng của lim A. 1. C. 5 . 2 D. − 25 . 2 Lời giải. 2 − 52 n 2 − 5n+2 25 5 lim n = lim Å ãn =− . 3 3 + 2 · 5n 2 +2 5 Chọn đáp án D  Câu 157. Cho dãy số (un ) thỏa mãn ® u1 = 2 un+1 = un + 2(n + 1) với n = 1, 2, 3, . . . Å ã 1 1 1 Khi đó lim + + ··· + bằng n→+∞ u1 u2 un A. 0. B. +∞. C. 2. D. 1. Lời giải. Ta có Å un = un−1 + 2n = uãn−2 + 2(n Å − 1) + 2n = · · · = u1 + 2 · 2 + 2 ·ã3 + · · · + 2n = n(n + 1), suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 n lim + + ··· + = lim 1 − + − + · · · + − = lim = 1. n→+∞ u1 n→+∞ n→+∞ n + 1 u2 un 2 2 3 n n+1 Chọn đáp án D  Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 158. Biết lim Chương 4 - Giải tích 11 2an3 − 6n2 + 2 = 4 với a là tham số thực. Khi đó, hãy tính giá trị của M = a4 − a. n3 + n B. M = 6. C. M = 12. D. M = 14. A. M = 10. Lời giải.  n3 2a − n6 + n23 2a − n6 + 2an3 − 6n2 + 2  Ta có lim = lim = lim n3 + n n3 1 + n12 1 + n12 Vậy ta có M = a2 − a = 24 − 2 = 14. Chọn đáp án D 2 n3 = 2a, suy ra 2a = 4 ⇔ a = 2. 1 1 1 1 Câu 159. Cho tổng S = 2 + + + + ... + n + .... Tổng S bằng 2 4 8 2 A. ∞ . B. 2. C. 3. Lời giải. Ta có  D. 4. 1 1 1 1 + + + ... + n + ... 2 4 8 2 ã Å 1 1 1 1 = 1 + 1 + + + + ... + n + ... 2 4 8 2 1 = 1+ 1 1− 2 = 3. S = 2+ Chọn đáp án C  Câu 160. Cho dãy số (un ) có lim un = 2. Tính giới hạn lim −1 . B. 5 Lời giải. 3un − 1 3·2−1 Ta có lim = = 2un + 5 2·2+5 Chọn đáp án C A. 3 . 2 C. 3un − 1 . 2un + 5 5 . 9 D. +∞. 5 . 9  1 1 1 (−1)n Câu 161. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: − , , − , ..., , ... là 2 4 8 2n 1 1 1 A. −1. B. . C. − . D. − . 2 4 3 Lời giải. 1 1 u1 1 Cấp số nhân lùi vô có số hạng đầu u1 = − , công bội q = − . Tổng cấp số nhân vô hạn là S = =− . 2 2 1−q 3  Chọn đáp án D Câu 162. Khi biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 0,323232 . . . = 0,(32) dưới dạng phân số tối m giản P = trong đó m, N ∈ N∗ . Tính hiệu H = n − 3m. n A. 0. B. −3. C. 3. D. 67. Lời giải. Ta có Å ã 1 1 1 1 32 100 0,(32) = 32 + + + · · · = 32 · 1 = 99 . 100 1002 1003 1 − 100 Do đó n − 3m = 99 − 3 · 32 = 3. Chọn đáp án C  Câu 163. Cho 4ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB ta được 4A1 B1 C1 . Tương tự 4A2 B2 C2 có các đỉnh là trung điểm của các cạnh B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 . Quá trình lặp lại sau n bước (n ∈ N∗ ) ta được 4An Bn Cn . Gọi S0 , Sn lần lươt là diện tích 4ABC và 4An Bn Cn . Đặt Tn là tổng diện tích các tam giác ABC, A1 B1 C1 ,. . . , An Bn Cn . Hỏi Tn không vượt quá số nào sau đây Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ Chương 4 - Giải tích 11 √ 11 3 B. . 36 3 A. . 4 Lời giải. √ 100 3 C. . 299 √ 19 3 D. . 240 √ a2 3 Ta có tam giác đều cạnh a có diện tích bằng . 4 1 1 Mà An Bn = · An−1 Bn−1 nên Sn = · Sn−1 . 2 4 1 Hay (Sn ) là cấp số nhân công bội q = . 4√ √ √ 3 1 3 100 3 Ta có lim Tn = · < . = 1 4 3 299 1− 4 Chọn đáp án C  Câu 164. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n3 − 3n A. 1 − 4n. B. . n+1 Lời giải. Å ã n+1 1 1 Ta có lim = lim + = 0. n2 n n2 Chọn đáp án C C. n+1 . n2 D. 1 − 2n3 . n3 + 5n  Câu 165. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1 C1 , A2 B2 C2 , A3 B3 C3 , . . . sao cho A1 B1 C1 là một tam giác giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác An Bn Cn là tam giác trung bình của tam giác An−1 Bn−1 Cn−1 . Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn . Tính tổng S = S1 + S2 + · · · + Sn + · · · ? 15π 9π A. S = . B. S = 4π. C. S = . D. S = 5π. 4 2 Lời giải. Ç √ å2 Ç √ å2 3 3 3 3π 1 Ta có: S1 = π · 3 · = 3π; S2 = π · · = = · S1 ; A 3 2 3 4 4 Ç √ å2 3 1 3 3π · = · S2 S3 = π · = 4 3 16 4 C2 A1 C1 Ta có S1 ; S2 ; S3 ;. . . ;Sn ; . . . tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng 1 B2 đầu là S1 = 3π và công bội q = . A2 4 Sn 3π B C Suy ra S = S1 + S2 + · · · + Sn + · · · = = = 4π. 1 B1 1−q 1− 4 Chọn đáp án B  Câu 166. Tính lim A. 0. Lời giải. sin 2018n . n B. 1. C. +∞. sin 2018n 1 1 Ta có −1 6 sin 2018n 6 1 ⇔ − 6 6 . n n n Å ã 1 1 sin 2018n Vì lim − = lim = 0 nên lim = 0. n n n Chọn đáp án A D. 2018.  Câu 167. Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại? 3n − 1 2n2 + 1 3n + 1 n+1 A. lim . B. lim 2 . C. lim . D. lim . 3n + 1 2n − 3 −3n + 1 n−1 Lời giải. 1 1 1 3− 2+ 2 3+ 2+1 3n − 1 2n 3n + 1 n = 1; lim n = 1; lim n = −1; Ta có lim = lim = lim = lim 1 3 1 3n + 1 2n2 − 3 −3n + 1 3+ 2− 2 −3 + n n n Th.s Nguyễn Chín Em 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 1 1+ n+1 n lim = 1. = lim 1 n−1 1− n Chọn đáp án C  √ ∗ Câu 168. √ Nếu lim un = L (với un ≥ −9 với ∀n ∈ N ) thì lim un + 9 có giá trị là bao√nhiêu? B. L + 9. C. L + 3. D. L + 3. A. L + 9. Lời giải. √ √ Theo lý thuyết, lim un + 9 = L + 9. Chọn đáp án A sin n + 1 Câu 169. Giới hạn lim bằng n A. +∞. B. 1. C. −∞. Lời giải. Với mọi n > 0 thì | sin n + 1| ≤ 2. Do đó, với mọi n > 0, ta có 0≤  D. 0. 2 sin n + 1 ≤ . n n Từ đó 0 ≤ lim 2 sin n + 1 sin n + 1 sin n + 1 ≤ lim = 0 ⇒ lim = 0 ⇒ lim = 0. n n n n Chọn đáp án D  … Câu 170. Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = 1; un+1 = u2n − 2n) = b. Giá trị của biểu thức T = ab là A. −2. B. −1. Lời giải. Ta có ∀n…∈ N∗ , 2 2 2 un+1 = un + a ⇒ u2n+1 − 3a = (u2n − 3a). 3 3 2 2 u + a, ∀n ∈ N∗ . Biết rằng lim(u21 + u22 + · · · + 3 n C. 1. D. 2. 2 Đặt vn = u2n − 3a thì (vn ) là cấp số nhân với v1 = 1 − 3a và công bội q = . 3 Å ãn−1 Å ãn−1 2 2 2 Do đó vn = (1 − 3a) ⇒ un = vn + 3a = (1 − 3a) + 3a. 3 Å ã3n 2 ï Å ãn ò 1− 2 3 Suy ra u21 + u22 + · · · + u2n − 2n = (1 − 3a) − 2n + 3na = 3(1 − 3a) 1 − − n(3a − 2). 2 3 1− 3 2 2 2 Vì lim(u1 + u2 + · · · + un − 2n) = b nên  ® ò ï Å Å ãn ã a = 2 3a − 2 = 0 2 3 − n(3a − 2) = b ⇔ ⇔ lim 3(1 − 3a) 1 −  3 b = 3(1 − 3a) b = −3. Suy ra T = ab = −2. Chọn đáp án A √ Câu 171. Giới hạn lim T = a + b. A. T = 7. Lời giải.  √ 5 3n2 + n a 3 a = (với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Tính 2 (3n + 2) b b B. T = 21. C. T = 9. Ç … å 1 ® √ √ n 5 3+ n a=5 5 3n2 + n 5 3 Å ã = lim = lim ⇒ 4 2 (3n + 2) 6 b = 6. n 6+ n Vậy T = a + b = 11. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 42 D. T = 11.  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 172. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2018) để có lim 1 ? 2187 A. 2011. Lời giải. Ta có B. 2016. C. 2019. œ 9n + 3n+1 = lim 5n + 9n+a lim 9n + 3n+1 ≤ 5n + 9n+a D. 2009. Å ãn 3 1 + 3. 1 9 Å ãn = a. 5 3 + 9a 9 Nên: lim 1 9n + 3n+1 ≤ 5n + 9n+a 2187 1 1 ≤ 3a 2187 ⇔ 3a ≥ 2187 ⇔ ⇔ 3a ≥ 37 ⇔ a ≥ 7. Do đó, trên khoảng (0; 2018) có 2011 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn đề bài. Chọn đáp án A Câu 173. lim  3n − 2 bằng n+3 2 A. − . 3 Lời giải. B. 1. D. −2. C. 3. 2 3− 3n − 2 n. Ta có = 3 n+3 1+ Å ãn  2    lim 3 − 2 = 3 3n − 2 Å ã Ta có ⇒ lim = 3.  3 n+3   lim 1 + =1 n Chọn đáp án C  2n + 1 bằng n−2 B. −∞. Câu 174. Giá trị của A = lim A. +∞. Lời giải. C. 2. D. 1. 1 2+ 2n + 1 n A = lim = lim = 2. 2 n−2 1− n Chọn đáp án C  Ö Câu 175. Cho dãy số (un ) xác định bởi A. 20182 . Lời giải. ® u1 = 2018 un+1 . Tính giới hạn L = 2018 lim = un (u2017 + 1), ∀n ∈ N∗ n B. 2018. C. √ Ta có un+1 = un (u2017 + 1) ⇔ u2018 = un+1 − un ⇔ u2017 = n n Th.s Nguyễn Chín Em 43 2018. √ D. 2018 2018. u2017 1 u2 + √ u2 + √ u1 un+1 − un . un https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ u2017 n un+1 √ un+1 + √ un = = = Chương 4 – Giải tích 11 u − un Å n+1 ã un+1 √ un un+1 + √ un √ √ √ √ ( un+1 − un )( un+1 + un ) √ √ √ un+1 un ( un+1 + un ) √ √ un+1 − un 1 1 =√ −√ √ un+1 un un un+1 Giả sử lim un = a > 0 hữu hạn, khi đó ta có un+1 = un (u2017 + 1), ∀n ∈ N∗ nên a = a(a2017 + 1) (vô lý vì n a > 0), vì thế nên lim un = +∞. Ç 1 1 1 1 1 1 L = 2018 lim √ − √ + √ − √ + · · · + √ − √ u1 u2 u2 u3 un un+1 Ç å √ 1 1 1 = 2018 lim √ − √ = 2018 · √ = 2018. u1 un+1 2018 å Chọn đáp án C  1 Câu 176. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = − . 2 3 2 A. S = 2. B. S = . C. S = 1. D. S = . 2 3 Lời giải. u1 1 2 Tổng của cấp số nhân đã cho là S = = = . 1 1−q 3 1+ 2 Chọn đáp án D  Câu 177. Tìm giới hạn I = lim 2 A. I = − . 3 Lời giải. 3n − 2 . n+3 B. I = 1. C. I = 3. D. I = −2. 2 3− 3n − 2 n I = lim = lim = 3. 3 n+3 1+ n Chọn đáp án C Câu 178. Tính L = lim 2 A. L = − . 3 Lời giải.  1 − 2n . 3n + 1 1 B. L = . 3 C. 1. D. 2 . 3 1 −2 1 − 2n 2 Ta có L = lim = lim n =− . 1 3n + 1 3 3+ n Chọn đáp án A Câu 179. Với n là số nguyên lớn hơn 2, đặt Sn = A. 1. B. 3 . 2  1 1 1 1 + + + · · · + 3 . Tính lim Sn . Cn C33 C34 C35 1 C. 3. D. . 3 Lời giải. Ta có C3n = Th.s Nguyễn Chín Em n! n(n − 1)(n − 2) = . (n − 3)! · 3! 6 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Do đó 1 1 1 1 + 3 + 3 + ··· + 3 3 Cn C3 C4 C5 6 6 6 6 = + + + ··· + 3·2·1 4·3·2 5·4·3 n(n − 1)(n − 2) ò ï 2 2 2 2 + + + ··· + = 3 1·2·3 2·3·4 3·4·5 (n − 2)(n − 1)n Sn = Lại có 2 1·2·3 2 2·3·4 2 3·4·5 2 (n − 2)(n − 1)n ã Å 1 1 . Suy ra Sn = 3 − 1 · 2 n(n − 1) 3 Vậy nên lim Sn = . 2 Chọn đáp án B Câu 180. Giới hạn lim A. 0. = = = … = 1 1 − , 1·2 2·3 1 1 − , 2·3 3·4 1 1 − , 3·4 4·5 1 1 − . (n − 2)(n − 1) n(n − 1)  1 − n2 bằng 2n2 + 1 1 B. . 2 C. 1 . 3 1 D. − . 2 Lời giải. 1 −1 2 1 − n2 1 Ta có lim 2 = lim n =− . 1 2n + 1 2 2+ 2 n Chọn đáp án D  Câu 181. Tam giác mà ba đỉnh của nó lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1 C1 , A2 B2 C2 , A3 B3 C3 , . . . sao cho A1 B1 C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác An Bn Cn là tam giác trung bình của tam giác An−1 Bn−1 Cn−1 . Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn . Tính tổng S = S1 + S2 + · · · + Sn + · · · . 15π 9π A. S = . B. S = 4π. C. S = . D. S = 5π. 4 2 Lời giải. Với mọi tam giác đều An Bn Cn có cạnh an trong dãy tam giác đề cho, √ ta có an 3 πa2n Đường tròn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn có bán kính Rn = OAn = và diện tích Sn = . 3 3 √ an 3 Ngoài ra An+1 là trung điểm của cạnh Bn Cn nên OAn+1 = , từ đó 6 Đường tròn ngoại tiếp tam giác√An+1 Bn+1 Cn+1 có A1 an 3 πa2n bán kính Rn+1 = OAn+1 = và diện tích Sn+1 = . 6 12 Dãy (Sn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn có πa21 Sn+1 1 A3 S1 = = 3π và công bội q = = . C2 B2 3 Sn 4 Vậy tổng của dãy là O B3 C3 S1 3π S = S1 + S2 + S3 + · · · + Sn + · · · = = = 4π. 1 1−q 1− B1 C1 4 A2 Th.s Nguyễn Chín Em 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Chọn đáp án B  Câu 182. Tính giới hạn lim A. −∞. Lời giải. 2n − 3 · + 3n + 1 B. 0. 2n2 C. +∞. D. 1. ã 2 3 2 3 − − 2 2n − 3 n n2 ã = lim n n = lim Å = 0. lim 2 3 1 3 1 2n + 3n + 1 2 2+ + 2 n 2+ + 2 n n n n n2 Å Chọn đáp án B  Câu 183. Cho dãy số (un ) với ® u1 = 2 1 1 1 + +···+ . Tính lim Sn . u1 u2 u2 u3 un un+1 1 C. lim Sn = 0. D. lim Sn = . 3 . Gọi Sn = un+1 = un + 3 1 A. lim Sn = . B. lim Sn = 1. 6 Lời giải. Từ giả thiết ta có (un ) là cấp số cộng với (u1 ) = 2, d = 3. Ta có Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 1 = − = − . = un un+1 un (un + d) d un un + d d un un+1 Suy ra Sn = = = = Å ã 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· + − d u1 u2 u2 u3 un un+1 Å ã 1 1 1 un+1 − u1 − = d u1 un+1 du1 un+1 n u1 + nd − u1 = du1 un+1 u1 un+1 n n = . u1 (u1 + nd) 2(2 + 3n) 1 Do đó lim Sn = . 6 Chọn đáp án A  Câu 184. Cho dãy số (un ) với lim Sn . 3 A. lim Sn = . 2 Lời giải. Ta có un+1 = Đặt vn =  u1 = 1 un+1 u3 un u2 Å ã + + ··· + . Tìm . Gọi Sn = u1 + 1 1 2 3 n = 1+ un , ∀ n ≥ 1 3 n 2 B. lim Sn = . 3 5 C. lim Sn = . 2 5 D. lim Sn = . 3 Å ã 1 1 1 un un+1 1+ un ⇔ = · (∗). 3 n n+1 3 n un 1 ta có (∗) trở thành vn+1 = vn . n 3 u1 1 = 1 và công bội q = nên 1 3 Å ãn−1 1 vn = v1 · q n−1 = . 3 Dãy (vn ) là cấp số nhân có số hạng đầu v1 = u2 u3 un + + ··· + = v1 + v2 + v3 + · · · + vn 2 3 n Å ãn 1 Å ãn−1 1 − 1 1 1 3 = 1 + + + ··· + = . 1 3 9 3 1− 3 Do đó Sn = u1 + Th.s Nguyễn Chín Em 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Å ãn 1 1− 3 3 Suy ra lim Sn = lim = . 1 2 1− 3 Chọn đáp án A  Câu 185. Tính I = lim A. I = 2. Lời giải. 8n5 − 2n3 + 1 . 4n5 + 2n2 + 1 B. I = 8. C. I = 1. 2 8− 2 + 8n5 − 2n3 + 1 n Ta có I = lim 5 = lim 2 4n + 2n2 + 1 4+ 3 + n Chọn đáp án A D. I = 4. 1 n5 = 8 = 2. 1 4 n5  2n + 2017 . 3n + 2018 3 B. I = . 2 Câu 186. Tính giới hạn I = lim 2 A. I = . 3 Lời giải. 2+ 3+ Chọn đáp án A Ta có I = lim 2017 n 2018 n C. I = 2017 . 2018 D. I = 1. 2 = . 3  Câu 187. Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 . Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1 , C2 , C3 ,. . . Gọi Si là diện tích của hình vuông Ci (i ∈ {1; 2; 3; . . .}). 32 Đặt S = S1 + S2 + · · · + Sn + · · · . Biết S = , tính a. 3 √ √ 5 C. 2. D. 2 2. A. 2. B. . 2 Lời giải. √ a 10 10a2 Ta có S1 = hình vuông C2 có cạnh bằng + = , do đó S2 = . Bằng quy nạp ta 4 4 16 S2 5 chứng minh được (Sn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = = . Nên S1 8 Å a2 , S= 3a 4 ã2  a 2 a2 8a2 32 = = ⇔ a = 2. 5 3 3 1− 8 Chọn đáp án A  Câu 188. Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại? 3n − 1 2n + 1 4n + 1 n+1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3n + 1 2n − 1 3n − 1 n−1 Lời giải. 4n + 1 4 2n + 1 n+1 3n − 1 Dễ thấy lim = ; lim = lim = lim = 1. 3n − 1 3 2n − 1 n−1 3n + 1 Chọn đáp án C  Câu 189. Tính lim 1 − 2n . 3n + 1 A. −5. 2 C. − . 3 B. 7. D. 1 . 3 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 −2 1 − 2n 2 n lim =− . = lim 1 3n + 1 3 3+ n Chọn đáp án C ïÅ ãÅ ã Å ãò 1 1 1 Câu 190. Giới hạn lim 1 − 2 1 − 2 ··· 1 − 2 là 2 3 n 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 Lời giải. ãÅ ã Å ã Å 1 1 1 1 − 2 ··· 1 − 2 Sn = 1 − 2 2 3 n ãÅ ã Å ãò ïÅ ãÅ ã Å ãò ïÅ 1 1 1 1 1 1 1− ··· 1 − 1+ 1+ ··· 1 + = 1− 2 3 n 2 3 n ãÅ ã Å 3 4 1 2 n−1 n+1 = · ··· · ··· 2 3 n 2 3 n 1 n+1 = · n 2 n+1 = . 2n 1 1+ 1 1 n+1 n = lim = . Vậy lim Sn = lim · n 2 2 2 Chọn đáp án B Câu 191. Tính lim A. 1. Lời giải. 2−n . n+1  C. −1. B. 2. D. 0. 2 n −1 = −1. 1 + n1 Chọn đáp án C Ta có lim   √ 9n2 + n + 1 − n bằng Câu 192. Giá trị của lim 2n 3 9 A. . B. . C. +∞. 2 2 Lời giải. … 1 1 √ 9 + + −1 2 9n + n + 1 − n n n2 Ta có lim = lim = 1. 2n 2 Chọn đáp án D Câu 193. Tìm giới hạn lim A. 0. n2 − n + 3 . 2n2 + n + 1 B. +∞. D. 1.  C. 3. D. 1 . 2 Lời giải. 1 1− + n2 − n + 3 n = lim lim 2 1 2n + n + 1 2+ + n Chọn đáp án D 3 n2 = 1 . 1 2 n2  Câu 194. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi A1 B1 C1 D1 là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích V1 . Gọi A2 B2 C2 D2 là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm các tam giác B1 C1 D1 , C1 D1 A1 , D1 A1 B1 , A1 B1 C1 và có thể tích V2 ,… cứ như vậy cho đến tứ diện An Bn Cn Dn có thể tích Vn với n ∈ N∗ . Tính giá trị của P = lim (V1 + V2 + · · ·Vn ). n→+∞ V A. . 26 Th.s Nguyễn Chín Em V B. . 27 8V C. . 9 48 D. 82V . 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. A C1 D1 B1 N D B A1 M P C Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm CD, DB, BC. Tam giác B1 C1 D1 đồng dạng tam giác M N P tỉ số S4B1 C1 D1 2 4 SB1 C1 D1 1 k = nên = ⇒ = . 3 S4M N P 9 BCD 9 1 Mặt khác lại có d(A1 ; (B1 C1 D1 )) = d(D1 ; (BCD)) = d(A; (BCD)). Từ đây ta có 3 d(A1 ; (B1 C1 D1 )) · S4B1 C1 D1 VA1 B1 C1 D1 1 1 = = ⇒ V1 = · VABCD . VABCD d(A; (ABC)) · SBCD 27 27 1 1 1 V1 , … hay (Vn ) là cấp số nhân với số hạng đầu V1 = V và công bội q = . Do 27 27 27 V V1 = . đó P = lim (V1 + V2 + · · ·Vn ) = 1 n→+∞ 26 1− 27 Chọn đáp án A  Tương tự ta có V2 = Câu 195. Tìm giới hạn lim A. I = 0. Lời giải. 2n + 1 n+1 B. I = 3. Å ã 1 n· 2+ 2+ 2n + 1 n Å ã = lim lim = lim 1 n+1 1+ n· 1+ n Chọn đáp án D Câu 196. Cho dãy số (un ) với un = 1 . 2 Lời giải. A. B. 0. C. I = 1. D. I = 2. 1 n = 2. 1 n  1 1 1 + + ··· + . Tính lim un . 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 1 C. 1. D. . 4 2 (2n + 1) − (2n − 1) 1 1 = = − (2n − 1) · (2n + 1) (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2un = 1 − + − + · · · + − =1− ⇒ un = − ⇒ lim un = . 3 3 5 2n − 1 2n + 1 2n + 1 2 2(2n + 1) 2 Chọn đáp án A Ta có: Th.s Nguyễn Chín Em 49  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 197. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: u1 = 1, u2 = 3, un+2 = 2un+1 − un + 1, n = 1, 2, … Tính un . lim n→+∞ n2 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Lời giải. Ta có un+2 = 2un+1 − un + 1, ∀n ≥ 1 ⇔ un+2 − un+1 = un+1 − un + 1, ∀n ≥ 1 (1). Đặt vn = un+1 − un . Từ (1), suy ra vn+1 = vn + 1, ∀n ≥ 1. Do đó, (vn ) là cấp số cộng với số hạng đầu v1 = 2 và công sai d = 1. Ta có v1 + v2 + · · · + vn−1 = (2 + n)(n − 1) 2 ⇒ (u2 − u1 ) + (u3 − u2 ) + · · · + (un − un−1 ) = (2 + n)(n − 1) 2 (2 + n)(n − 1) 2 n2 + n ⇒ un = . 2 ⇒ un − u1 = 2 n +n un 2 Vậy lim = lim = lim n→+∞ n2 n→+∞ n2 n→+∞ Chọn đáp án C 1 2 1 + 2n 1 = . 1 2  Câu 198. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm L = lim 1 1 A. L = . B. L = . 3 2 Lời giải. Ta có: un = u1 + (n − 1)d = 2 + (n − 1)3 = 3n − 1. n n 1 Do đó : L = lim = lim = . un 3n − 1 3 Chọn đáp án A C. L = 3. n . un D. L = 2.  ĐÁP ÁN 1. 11. 21. 31. 41. 51. 61. 71. 81. 91. 101. 111. 121. 131. 141. 151. 161. 171. 181. 191. A D B D A A C A A D C D A B B A D D B C 2. 12. 22. 32. 42. 52. 62. 72. 82. 92. 102. 112. 122. 132. 142. 152. 162. 172. 182. 192. A A C C B A A B C B D C A D C A C A B D 3. 13. 23. 33. 43. 53. 63. 73. 83. 93. 103. 113. 123. 133. 143. 153. 163. 173. 183. 193. Th.s Nguyễn Chín Em B A B D C C B A B C C D A B D C C C A D 4. 14. 24. 34. 44. 54. 64. 74. 84. 94. 104. 114. 124. 134. 144. 154. 164. 174. 184. 194. C A C C D B D B B C C B C A B B C C A A 5. 15. 25. 35. 45. 55. 65. 75. 85. 95. 105. 115. 125. 135. 145. 155. 165. 175. 185. 195. A B B B B B B B D B B D B D A B B C A D 6. 16. 26. 36. 46. 56. 66. 76. 86. 96. 106. 116. 126. 136. 146. 156. 166. 176. 186. 196. 50 C D C B B B B D A A B C A B A D A D A A 7. 17. 27. 37. 47. 57. 67. 77. 87. 97. 107. 117. 127. 137. 147. 157. 167. 177. 187. 197. B A A A C C C D A B C D B B D D C C A C 8. 18. 28. 38. 48. 58. 68. 78. 88. 98. 108. 118. 128. 138. 148. 158. 168. 178. 188. 198. C C C A C B C C C B A A A B A D A A C A 9. 19. 29. 39. 49. 59. 69. 79. 89. 99. 109. 119. 129. 139. 149. 159. 169. 179. 189. D A D D B A A A A A B B B B B C D B C 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. 120. 130. 140. 150. 160. 170. 180. 190. B C B D D C B A D D D B A A C C A D B https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI A 2. Chương 4 – Giải tích 11 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0 . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; b) {x0 } mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn ) = L Khi đó ta viết: lim f (x) = L hoặc f (x) → L khi x → x0 x→x0 Từ định nghĩa, ta có các kết quả: 1 lim c = c, với c là hằng số. x→x0 2 Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0 . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; b) {x0 } mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn ) = ±∞ Khi đó ta viết: lim f (x) = ±∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0 x→x0 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞ ta đều có lim f (xn ) = L Khi đó ta viết: lim f (x) = L hoặc f (x) → L khi x → +∞ x→+∞ Các giới hạn lim f (x) = L, lim f (x) = ±∞, lim f (x) = ±∞ được định nghĩa tương tự. x→−∞ x→+∞ x→−∞ Ta có các kết quả sau với số nguyên dương k bất kì cho trước: 1 1 =0 x→+∞ xk lim 2 1 =0 x→−∞ xk lim ® 3 3 lim x→+∞ xk = +∞ 4 lim x→−∞ xk = + ∞nếu k chẵn − ∞nếu k lẻ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1. Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M (L, M ∈ R). Khi đó: x→x0 1 x→x0 lim [f (x) ± g(x)] = L ± M x→x0 Th.s Nguyễn Chín Em 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 Chương 4 – Giải tích 11 lim [f (x).g(x)] = L.M Đặc biệt, nếu c là hằng số thì lim [c.f (x)] = c.L x→x0 x→x0 3 Nếu M 6= 0 thì lim x→x0 f (x) L = g(x) M Định lí 2. Giả sử lim f (x) = L ∈ R. Khi đó: x→x0 1 lim |f (x) ± g(x)| = |L| 2 x→x0 lim x→x0 p 3 f (x) = √ 3 L 3 Nếu f (x) > 0 và lim f (x) = L thì x→x0 √ p lim f (x) = L và L > 0 x→x0 Định lí 3. Giả sử f (x), g(x), h(x) là ba hàm số xác định trên một khoảng (a; b) chứa điểm x0 , có thể trừ ở một điểm x0 . Nếu f (x) 6 g(x) 6 h(x) với mọi x ∈ (a; b) {x0 } và lim f (x) = lim h(x) = L x→x0 x→x0 thì lim g(x) = L x→x0 các định lí trên vẫn đúng khi thay x → x0 , x → ±∞. 4 GIỚI HẠN MỘT BÊN Định nghĩa 4. (Giới hạn bên phải): giả sử hàm số f (x) xác định trên một khoảng (x0 ; b) (x0 ∈ R). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong khoảng (x0 ; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f (x) = L Khi đó ta viết: lim f (x) = L hoặc f (x) → L khi x → x+ 0 x→x+ 0 Định nghĩa 5. (Giới hạn bên trái): giả sử hàm số f (x) xác định trên một khoảng (a; x0 ) (x0 ∈ R). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong khoảng (a; x0 ) mà lim xn = x0 ta đều có lim f (x) = L Khi đó ta viết: lim f (x) = L hoặc f (x) → L khi x → x− 0 x→x− 0 Định lí 4. Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là lim f (x) = lim f (x) = L x→x0 x→x− 0 x→x+ 0 1 Các giới hạn lim f (x) = ±∞, lim f (x) = ±∞ được định nghĩa tương tự. x→x− 0 x→x+ 0 2 Định lí vẫn đúng với giới hạn vô cực. 5 MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC Quy tắc 1 Nếu lim f (x) = ±∞ và lim g(x) = L 6= 0 thì lim [f (x).g(x)] = ±∞ được cho trong x→x0 x→x0 x→x0 bảng sau: lim f (x) Dấu của L +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − x→x0 Th.s Nguyễn Chín Em lim [f (x).g(x)] x→x0 +∞ −∞ −∞ +∞ 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Quy tắc 2 Nếu lim f (x) = L 6= 0, lim g(x) = 0 và g(x) 6= 0 với mọi x 6= x0 thì lim x→x0 x→x0 x→x0 f (x) được g(x) cho trong bảng sau: Dấu của L dấu của lim g(x) + + − − + − + − 1 Nếu lim f (x) = 0 và f (x) 6= 0 với x 6= x0 thì lim x→x0 x→x0 2 Nếu lim |f (x)| = +∞ thì lim x→x0 6 x→x0 f (x) g(x) +∞ −∞ −∞ +∞ lim x→x0 x→x0 1 = +∞ . |f (x)| 1 =0 |f (x)| CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH Khi tìm giới hạn của một hàm số, chúng ta có thể gặp các trường hợp sau: 1 lim u(x) với u(x) → 0 và v(x) → 0. v(x) 2 lim u(x) với u(x) → ∞ và v(x) → ∞. v(x) 3 lim [u(x) − v(x)] với u(x) → ∞ và v(x) → ∞. 4 lim [u(x).v(x)] với u(x) → 0 và v(x) → ∞. Ta gọi là các dạng vô định dạng B 0 ∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ 0 ∞ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3. Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: 1 2 . x→+∞ x − 1 lim 2 2 . x→+∞ 3x + 1 lim Lời giải. 2 . x−1 Với mọi dãy số (xn ) mà xn 6= 1 với mọi n và lim xn = +∞, ta có f (xn ) = 1 Đặt f (x) = Do đó: lim x→+∞ 2 2 2 = lim = = 0. x−1 xn − 1 lim xn − 1 2 . xn − 1 2 Tương tự câu a.  Th.s Nguyễn Chín Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Dạng 2. Chứng minh rằng lim f (x) không tồn tại x→x0 Phương pháp áp dụng Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai dãy số xn và yn với n→∞ xn → x0 khi n → ∞, khi đó đánh giá f (xn ) −−−→ L1 . n→∞ yn → x0 khi n → ∞, khi đó đánh giá f (yn ) −−−→ L2 . Bước 2: Nhận xét rằng L1 6= L2 . Bước 3: vậy, giới hạn lim f (x) không tồn tại. x→x0 Ví dụ 1. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại: 1 lim cos x. 2 x→+∞ lim sin x. x→−∞ Lời giải. 1 Đặt f (x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn } và {yn } với: n→∞ xn = 2nπ ⇒ xn → +∞ khi n → ∞ và ta được: f (xn ) = cos (xn ) = cos(2nπ) −−−→ 1 . π π n→∞ yn = + nπ ⇒ yn → +∞ khi n → ∞ và ta được: f (yn ) = cos (yn ) = cos( + nπ) −−−→ 0 . 2 2 vậy, giới hạn lim cos x không tồn tại. x→+∞ 2 Đặt f (x) = sin x. Chọn hai dãy số {xn } và {yn } với: n→∞ xn = −nπ ⇒ xn → −∞ khi n → ∞ và ta được: f (xn ) = sin(xn ) = sin(−nπ) −−−→ 0 . π π n→∞ yn = − 2nπ ⇒ yn → −∞ khi n → ∞ và ta được: f (yn ) = sin(yn ) = sin( − 2nπ) −−−→ 1 . 2 2 vậy, giới hạn lim sin x không tồn tại. x→−∞  Với các hàm số: f (x) = cos ax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn } và {yn } với: xn = 2nπ π nπ và yn = + . a 2a a f (x) = sin ax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn } và {yn } với: xn = nπ π 2nπ và yn = + . a 2a a Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn. Ta có kết quả sau: 1 lim C = C 2 Nếu hàm số y = f (x) xác định tại điểm x0 x→x0 thì lim f (x) = f (x0 ). x→x0 3 5 lim x→+∞ 1 = 0. xk 4 lim xk = +∞. 6 x→+∞ Th.s Nguyễn Chín Em 54 lim x→−∞ 1 = 0. xk ® lim xk = x→−∞ +∞ nếu k chẵn −∞ nếu k lẻ. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn của hàm số lim f (x) hoặc lim f (x). x→x0 x→+∞ ta thực hiện các bước sau : Bước 1: Chọn hai hàm số g(x) , h(x) thỏa mãn : g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) Bước 2: Khẳng định : lim g(x) = lim h(x) = L hoặc lim g(x) = lim h(x) = L x→x0 x→∞ x→x0 x→∞ Bước 3: Kết luận: lim f (x) = L hoặc lim f (x) = L x→x0 x→+∞ Chú ý: Chúng ta còn sử dụng các kết quả sau : 1 Nếu lim |f (x)| = 0 thì lim f (x) = 0 x→x0 x→x0 2 Giử sử f (x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ đi điểm x0 ∈ (a; b). Nếu lim |f (x)| = 0 và |g(x)| ≤ M với x ∈ (a; b) {x0 } (Trong đó M là một hằng số) thì x→x0 lim [f (x) · g(x)] = 0 x→x0 Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: 1 lim (x2 + x). 2 lim x→3 x→1 x . x−1 Lời giải. 1 Ta có : lim (x2 + x) = 32 + 3 = 12. x→3 2 Ta có : 1 x = = +∞. x→1 x − 1 1−1 lim Nhận xét. . • Với hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f (x). f (x) • Với hàm số có f (x0 ) 6= 0 và g(x0 ) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞ g(x) f (x) 0 • Trong trường hợp với hàm số có f (x0 ) = 0 (tức có dạng ) g(x) 0 0 Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng , và thông thường là làm xuất hiện nhân tử 0 chung (x − x0 )  Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau : √ x2 − 1 . x→1 x − 1 1 lim 2 lim x→1 x+8−3 . x2 + 2x − 3 Lời giải. 1 Ta có : x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = 2. x→1 x − 1 x→1 x→1 x−1 lim Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2 Ta có : √ lim x+8−3 + 2x − 3 x→1 x2 x−1 lim √ x→1 ( x + 8 + 3)(x − 1)(x + 3) 1 1 = lim √ = . x→1 ( x + 8 + 3)(x + 3) 24 =  Nhận xét. . Vậy với hàm số f (x) không xác định tại điểm x0 thì chúng ta cần khử dạng vô định đó (nếu có thể),ta thực hiện như sau : • Trong (câu a) , chúng ta sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử ,và khử nhân tử (x − 1) • Trong (câu b) , chúng ta sử dụng phép nhân liên hợp để khử nhân tử (x − 1) Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: Å ã 1 1 lim x 2 − . x→1 x √ x−3 . x→9 9x − x2 2 lim Lời giải. 1 Ta có Å: 1 lim x 2 − x→1 x ã = lim (2x − 1) = −1. x→1 2 Ta có√: √ 1 1 x−3 x−3 lim = lim = − lim √ =− . x→9 9x − x2 x→9 x(9 − x) x→9 x( x − 3) 54  Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 1 x2 + 1 . x→∞ x2 − x − 1 lim 2 3×2 − x + 7 . x→−∞ 2×3 − 1 lim Lời giải. 1 Chia tử cho mẫu cho x2 ,Ta có : x2 + 1 lim 2 = lim x→∞ x − x − 1 x→∞ 1+ 1+− 1 x2 1 1 − 2 x x = 1. 2 Ta có : 3 1 7 − 2+ 3 3×2 − x + 7 x = 0. lim = lim x x 1 x→−∞ x→−∞ 2×3 − 1 2− 3 x  Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: √ x6 + 2 1 lim . x→+∞ 3×2 − 1 √ 2 lim x→−∞ x6 + 2 . 3×2 − 1 Lời giải. 1 Ta có : … 2 1+ 6 x6 + 2 1 x = lim = . 2 1 x→+∞ 3x − 1 3 3− 3 x √ lim x→+∞ Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2 Ta có : … 2 − 1+ 6 x6 + 2 x = −1. = lim 2 1 x→−∞ 3x − 1 3 3− 3 x √ lim x→−∞  Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau: lim (x + x2 + · · · + xn − x→1− n ). 1−x Lời giải. Ta có : n x(1 − xn ) − n lim (x + x + · · · + x − ) = lim = 1−x 1−x x→1− x→1− 2 n lim [x(1 − xn ) − n] x→1− lim (1 − x) = −∞. x→1−  Ví dụ 7. Giả sử hàm số f (x) xác định trên một khoảng chứa điểm x = 0 và thỏa mãn f (x) ≤M x với mọi x 6= 0 . Tính lim f (x). x→0 Áp dụng : 1 lim x sin x→0 2 1 . x x − sin x . x→∞ x + sin x lim Lời giải. f (x) ≤ M với mọi x 6= 0 suy ra : x |f (x)| ≤ M |x| và lim |x| = 0 ⇒ lim f (x) = M · 0 = 0. Từ giả thiết x→0 x→0 1 Với mọi x 6= 0 thuộc lân cận của điểm 0 ta luôn có : 1 1 ≤ |x| ⇔ − |x| ≤ x sin ≤ |x| và lim (− |x|) = lim |x| = 0. x→0 x→0 x x 1 Vậy, ta được lim x sin = 0. x→0 x x · sin 2 Với mọi x 6= 0 thuộc lân cận của điểm 0 ta luôn có : sin x 1 1 sinx 1 ≤ ⇔− ≤ ≤ , ∀x 6= 0 x x |x| |x| |x| 1 1 lim (− ) = lim = 0. x→∞ x→∞ |x| |x| Vậy , ta được : sin x 1− x − sin x x = 1. lim = lim sin x x→∞ x + sin x x→∞ 1+ x  Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số Phương pháp áp dụng Sử dụng các định lí với lưu ý sau: • x → x+ 0 ; được hiểu là x → x0 và x > x0 ( khi đó |x − x0 | = x − x0 ). Th.s Nguyễn Chín Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 • x → x− 0 ; được hiểu là x → x0 và x < x0 ( khi đó |x − x0 | = x0 − x). Ví dụ 1. Áp dụng định nghĩa ,Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau: 1 √ lim x→1+ x − 1. 2 √ lim ( 5 − x + 2x). x→5− Lời giải. 1 a.Ta có √: x − 1 = 0. lim x→1+ 2 Ta có √ : lim ( 5 − x + 2x) = 10. x→5−  Nhận xét. . Vậy, nếu hàm số f (x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0 : Ví dụ 2. Áp dụng định nghĩa ,Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau: 1 lim x→1+ x . x−1 2 lim x→1− x . x−1 Lời giải. 1 a.Ta có : lim x→1+ x = +∞. x−1 2 Ta có : lim x→1− x . = −∞. x−1  Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau ( nếu có): 1 lim x→2+ |3x − 6| . x−2 2 lim x→2− |3x − 6| . x−2 3 lim x→2 |3x − 6| . x−2 Lời giải. 1 Ta có : lim x→2+ |3x − 6| 3x − 6 . = lim = lim 3 = 3. + x−2 x→2 x − 2 x→2+ 2 Ta có : lim x→2− |3x − 6| −3x + 6 . = lim = lim (−3) = −3. − x−2 x−2 x→2 x→2+ 3 Từ câu a và câu b ,Ta thấy : lim x→2+ |3x − 6| |−3x + 6| |−3x + 6| . 6= lim ⇒ lim không tồn tại. x→2 x−2 x−2 x−2 x→2−  Ví dụ 4. Tính giới hạn sau: √ lim x→1− Th.s Nguyễn Chín Em 1−x+x−1 √ . x2 − x3 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. Ta có : √ lim x→1− √ x−1 1−x = lim √ − lim √ − − 2 3 x→1 x→1 x −x x2 − x3 √ 1 1−x = lim √ − lim √ = 1. − − 2 x→1 x→1 x x2 1−x+x−1 √ x2 − x3  Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép Phương pháp chung ® Cho hàm số f (x) = f1 (x) khi x < x0 f2 (x) khi x ≥ x0 Để tính giới hạn hoặc tìm giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn khi x → x0 ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1:: Tính các giới hạn lim f (x) = lim f2 (x) = L2 lim f (x) = lim f1 (x) = L1 ; x→x− 0 x→x− 0 x→x+ 0 x→x+ 0 Bước 2: Khi đó: lim f (x) = lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = L x→x0 x→x− 0 x→x+ 0 Để hàm số có giới hạn khi x → x0 điều kiện là L1 = L2 ⇒ giá trị của tham số Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) = ® −x + 1 khi x < 0 x2 + 1 khi x ≥ 0. Tính lim f (x) và lim f (x) x→0− x→0+ Lời giải.  Ta có : lim f (x) = lim (−x + 1) = 1 và lim f (x) = lim∗ x2 + 1 = 1 x→0− x→0− x→0+ x→0 Vậy ta được : lim f (x) = lim f (x) = 1 ⇒ lim f (x) = 1. x→0−  x→0 x→0+ Ví dụ 2. ® Cho hàm số : x + a khi x < 0 f (x) = . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x → 0 x2 + 1 khi x ≥ 0 Lời giải. Ta có : lim f (x) = lim (x + a) = a và lim∗ f (x) = lim x→0− x→0− x→0 x→0+  x2 + 1 = 1 Để có giới hạn của hàm số khi x → 0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) ⇔ a = 1 x→0− x→0+ Vậy giá trị cần tìm là a = 1.  Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau : 1 lim 3x3 − 5x2 + 7 .  2 x→0 lim x→+∞ √ 2x4 − 3x + 12 Lời giải. 1 Ta có : 2 Ta có : lim x→−∞ lim x→+∞ 3x3 x2 − 5x2 … Th.s Nguyễn Chín Em 2−  + 7 = lim x→−∞ x3 Å ã 5 7 3 − + 3 = (−∞)3 · 3 = −∞. x x √ 3 12 + 4 = (+∞) 2 = +∞. 3 x x 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  Nhận xét. Với hàm số có dạng f (x) = an xn + an−1 − xn−1 1 + · · · + a0  ⇒ lim f (x) = lim a1 xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 x→±∞ x→±∞  an−1 a0  n = lim x a1 + + · · · + n = (±∞)n · an x→±∞ x x Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau: √ x2 − 5 1 lim 2 . x→+∞ x + 1 2 lim x→−∞ x4 − x . 1 − 2x Lời giải. 5 1− 3 x3 − 5 x = +∞ 1 Ta có : lim = lim 1 x→+∞ 1 x→+∞ x2 + 1 + 3 x Åx Å ã ã 5 1 1 1 1 Vì lim 1 − 2 = 1 và lim + 3 = 0 và + 3 > 0 với x > 0. x→+∞ x→+∞ x x x x x s … 1 1 1− √ 1− 3 x2 x4 − x x x Å ã = lim = +∞ 2 Ta có lim = lim 2 x→∞ 1 − 2x x→∞ 1 x→∞ 1 2 − x2 − x2 x x2Å x … ã 1 1 2 2 1 Vì lim 1 − 3 = 1 và lim − = 0 và 2 − > 0 với x < 0. 2 →→∞ x→−∞ x x x x x  Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau: 1 lim x→2+ 2x + 1 . x−2 2 lim x→2− 2x + 1 . x−2 Lời giải. 2x + 1 = +∞ x−2 Vì lim∗ (2x + 1) = 5 và lim∗ (x − 2) = 0 và x − 2 > 0 với x > 2. 1 Ta có lim x→2+ x→2 x→2 2x + 1 = +∞ x−2 Vì lim (2x + 1) = 5 và lim (x − 2) = 0 và x − 2 < 0 với x < 2. 2 Ta có : lim x→2+ x→2− x→2−  Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau: ò ï 2 2x + 1 1 lim · . x→1 (x − 1)2 2x − 3 2 lim x→1 5 . (x − 1) (x2 − 3x + 2) Lời giải. ï ò ï ò 2 2x + 1 2 2+1 · = lim · = +∞.(−3) = −∞. 1 Ta có lim x→1 (x − 1)2 2x − 3 x→1 (1 − 1)2 2 − 3 2 Ta có lim 5 1) (x2 x→1 (x − − 3x + 2) = +∞.(−5) = −∞. 5 5 5 = lim · 2 2 x→1 (x − 1) (x − 2) x→1 (1 − 1) 1−2 = lim  Nhận xét. Trong lời giải của ví dụ trên , trong câu b nếu học sinh không biến đổi hàm số đưa về dạng 5 5 thì không khẳng định được lim = +∞ 2 x→1 (1 − 1)2 (x − 1) (x − 2) Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau: Å ã 1 1 1 lim − 2 . x→0 x x Å 2 lim x→2− ã 1 1 . − x − 2 x2 − 4 Lời giải. 1 1 x−1 − = x x2 x2 Å ã 1 1 Vì lim (x − 1) = −1 và lim x2 = 0và x2 > 0 với x 6= 0 nên lim − 2 = −∞. x→0 x→0 x→0 x x 1 Ta biến đổi 1 1 x+1 − 2 = 2 x−2 x −4 x −4 Å  2 2 Vì lim (x + 1) = 3 , lim x − 4 = 0 và x − 4 < 0 với x < 2 nên lim 2 Ta biến đổi x→2− x→2− x→2− 1 1 − 2 x−2 x −4 ã = −∞.  Dạng 7. Dạng 0 0 Phương pháp chung: Bản chất của việc khử dạng không xác định 0 là làm xuất hiện nhân tử chung để : 0 1 Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định 2 Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản , quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giải  Nếu f (x) = 0 có nghiệm là x0 thì f (x) = (x − x0 )g(x)  Một số dạng liên hợp √ √ 1 a − b là a + b √ √ √ 3 3 3 a − b là a2 + b 3 a + b2 √ √ √ a − b là a + b √ √ √ 3 4 3 a + b là a2 − b 3 a + b2 2 √ Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: x3 − 8 . x→2 x2 − 4 3x2 − 4x + 1 . x→1 x−1 1 lim 2 lim : Lời giải.  (x − 2) x2 + 2x + 4 x3 − 8 x2 + 2x + 4 1 Ta có lim 2 = lim = lim = 3. x→2 x→2 x→2 x − 4 (x − 2)(x + 2) x+2 3x2 − 4x + 1 (3x − 1)(x − 1) = lim = lim (3x − 1) = 2. x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 2 Ta có lim f (x) Nhận xét. Như vậy ,với dạng lim trong đó x = x0 là nghiệm của f (x) và g(x). x→x0 g(x) f (x) (x − x0 ) f1 (x) f1 (x) Ta có lim = lim = lim x→x0 g(x) x→x0 (x − x0 ) g1 (x) x→x0 g1 (x)  Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau: 1 lim x→(−3)− 2x2 + 5x − 3 . (x + 3)2 Th.s Nguyễn Chín Em 2 61 lim x→(−3)+ 2x2 + 5x − 3 . (x + 3)2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. 1 lim x→(−3)− 2 Ta có (2x − 1)(x + 3) 2x − 1 2x2 + 5x − 3 = lim = lim = +∞. 2 2 (x + 3) (x + 3) x→(−3)− x→(−3)− x + 3 lim x→(−3)+ 2x2 + 5x − 3 (2x − 1)(x + 3) 2x − 1 = lim = lim = −∞. 2 + + (x + 3)2 (x + 3) x→(−3) x→(−3) x + 3 Chú ý: Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử chung như trên cho các hàm số khác, cụ thể là hàm số lượng giác. Khi đó ta cần nhớ lại các công thức biến đổi giác  Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim x→0 1 − sin 2x − cos 2x . 1 + sin 2x − cos 2x Lời giải. 1 − sin 2x − cos 2x sin x − cos x (1 − cos 2x) − sin 2x 2 sin2 x − 2 sin x · cos x Ta có = = = 2 1 + sin 2x − cos 2x (1 − cos 2x) + sin 2x sin x + cos x 2 sin x + 2 sin x · cos x sin x − cos x 1 − sin 2x − cos 2x = lim = −1.  Do đó lim x→0 sin x + cos x x→0 1 + sin 2x − cos 2x Nhận xét. Như vậy , để tính giới hạn trên chúng ta cần biến đổi lượng giác để khử nhân tử chung làm mất 0 dạng 0 . Tiếpptheo chúng ta áp dụng cách khử nhân tử chung cho dạng hàm số chứa căn , cụ thể dạng sau : p f (x) − a lim trong đó f (x0 ) = a và g (x0 ) = 0. Khi đó ta thực hiện phép nhân liên hợp như sau : x→x1 p g(x) f (x) − a f (x) − a2 lim = lim p x→x1 x→xi [ f (x) + a]g(x) g(x) (x − x0 ) f1 (x) = lim p x→x1 [ f (x) + a] (x − x0 ) g1 (x) f1 (x) f1 (x0 ) = lim p = x→x0 [ f (x) + a]g1 (x) 2a · g1 (x0 ) Phương pháp này cũng có thể sử dụng cho một số dạng khác được thể hiện trong các ví dụ sau : √ Ví dụ 4. Tính giới hạn sau: lim x+3−2 − 3x + 2 x→1 x2 Lời √ giải. x+3−2 x−1 1 1   = lim √ lim = lim √ =− . x→1 x2 − 3x + 2 x→1 x→1 4 x + 3 + 2 (x − 1) (x − 2) x + 3 + 2 (x − 2)  √ x+1−1 √ . x→0 3 − 2x + 9 Ví dụ 5. Tính giới hạn lim Lời giải. √ √ √ x+1−1 x(3 + 2x + 9) 3 + 2x + 9 3 √ √ √ Ta có lim = lim = lim =− . x→0 3 − 2x + 9 x→0 −2x( x + 1 + 1) x→0 −2( x + 1 + 1) 2 √ √ x + 2 − 2x √ Ví dụ 6. Tính giới hạn lim √ . x→2 x−1− 3−x  Lời giải. √ √ √ √ x + 2 − 2x ( x − 1 + 3 − x)(2 − x) √ √ lim √ = lim √ x→2 x − 1 − 3 − x x→2 ( x + 2 + 2x)(2x − 4) Ta có :  √ √ x−1+ 3−x 1 √ =− = lim √ x→2 −2( x + 2 + 2x) 4 Nhận xét. Như vậy, để tính được các giới hạn có dạng như trên ta cần phải nhận dạng liên hợp của biểu thức chứa căn cho cả tử và mẫu Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ví dụ 7. Tính các giới hạn √ 3 4x − 2 1 lim ; x→2 x − 2 √ √ 3 x−1+ 3x+1 √ 2 lim √ . x→0 2x + 1 − x + 1 Lời giải. 1 Ta có: √ 3 lim x→2 4x − 2 x−2 4x − 8 ó lim î √ √ 3 x→2 ( 4x)2 + 3 4x + 4 (x − 2) = 4 1 √ lim √ = . 3 3 2 3 ( 4x) + 2 4x + 4 = x→2 2 Ta có: √ √ 3 x−1+ 3x+1 √ lim √ x→0 2x + 1 − x + 1 √ √ 2x( 2x + 1 + x + 1) ó = lim î p p p x→0 x 3 (x − 1)2 − 3 (x − 1)(x + 1) + 3 (x + 1)2 √ √ 2( 2x + 1 + x + 1) 4 p p = lim p = . 3 3 3 2 2 x→0 3 (x − 1) − (x − 1)(x + 1) + (x + 1)  Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau: √ √ √ x− a+ x−a √ 1 lim với a > 0; x→2 x2 − a2 2 lim √ x→1 x2 x−1 . + 3 + x3 − 3x Lời giải. 1 Ta có: √ lim x→2 √ √ x− a+ x−a √ x2 − a2 √ √ √ x− a x−a lim √ + lim √ 2 2 x→2 x→2 x −a x2 − a2 1 x−a = lim √ + lim √ √ √ x→a ( x + a) x2 − a2 x→3 x+a √ x−a 1 1 = lim √ +√ =√ . √ √ x→2 ( x + a) x + a 2a 2a = 2 Ta có: lim √ x→1 x−1 x2 + 3 + x3 − 3x = lim √ 1 x2 + 3 − 2 x3 − 3x + 2 + x−1 x−1 1 1 = −2. = lim = lim 2 x + 1 x→1 x→1 x −1 √ + x − 2 Ä√ ä +x−2 x2 + 3 + 2 x2 + 3 + 2 (x − 1) x→1 Nhận xét. Như vậy, để tính được các giới hạn trên chúng ta cần thực hiện phép tách nó thành hai giới hạn 0 nhỏ, từ đó mới có thể khử được dạng . 0 p 3 p f (x) − a Với giới hạn dạng lim , trong đó 3 f (x0 ) = a và g(x0 ) = 0. x→x0 g(x) Th.s Nguyễn Chín Em 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Thực hiện phép nhân liên hợp p 3 f (x) − a lim x→x0 g(x) p 3 f 2 (x) + Chương 4 – Giải tích 11 p 3 f (x) + a2 , ta được f (x) − a3 ó = lim î p p x→x0 3 f 2 (x) + 3 f (x) + a2 g(x) = = (x − x0 ) f1 (x) ó lim î p p 3 3 2 f (x) + f (x) + a2 (x − x0 ) g1 (x) x→x0 f1 (x) f1 (x0 ) ó lim î p = . p 2 x→x0 3 f 2 (x) + 3 f (x) + a2 g (x) (2a + a) · g1 (x0 ) 1 Phương pháp được mở rộng cho giới hạn dạng: p 3 p f (x) + a Với giới hạn lim , trong đó 3 f (x0 ) = −a và g(x0 ) = 0. x→x0 g(x) p p Thực hiện phép nhân liên hợp 3 f 2 (x) − 3 f (x) + a2 . Với giới hạn p 3 p p f (x) ± a 1 lim p , trong đó 3 f (x0 ) = ∓a và 3 g (x0 ) = ∓b. 3 x→x0 g(x) ± b p 3 p p f (x) ± a , trong đó 3 f (x0 ) = ∓a và g (x0 ) = b. 2 lim p x→x0 g(x) − b p p 3 p p p p f1 (x) ± 3 f2 (x) p , trong đó 3 f1 (x0 ) = ∓ 3 f2 (x0 ) và g1 (x0 ) = g2 (x0 ). 3 lim p x→x0 g1 (x) − g2 (x) p p 3 p p p p f1 (x) ± 3 f2 (x) p , trong đó 3 f1 (x0 ) = ∓ 3 f2 (x0 ) và 3 g1 (x0 ) = ∓ 3 g2 (x0 ). 4 lim p x→x0 3 g1 (x) ± 3 g2 (x)  Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau: √ 2x − 1 + x2 − 3x + 1 ; 1 lim √ x→1 3 x − 2 + x2 − x + 1 √ √ 2 1+x− 38−x . 2 lim x→0 x Lời giải. 1 Ta có: √ 2x − 1 + x2 − 3x + 1 √ 2 2x − 1 + x − 3x + 1 x−1 lim √ = lim √ 3 3 x→1 x→1 x − 2 + x2 − x + 1 x − 2 + x2 − x + 1 x−1 √ 2 2x − 2 2x − 1 − 1 x − 3x + 2 √ +x−2 + ( 2x − 1 + 1)(x − 1) x − 1 x − 1 √ = lim = lim 3 x−1 x→1 x→1 x − 2 + 1 x2 − x îp ó +x √ + 3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1 (x − 1) x−1 x−1 2 √ +x−2 2x − 1 + 1 = lim p = 0. √ x→1 3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1 2 Ta có √ √ 2 1+x− 38−x lim x→0 x Th.s Nguyễn Chín Em √ √ 2 1+x−2+2− 38−x = lim x→0 x ñ √ ô √ 2( 1 + x − 1) 2 − 3 8 − x = lim + x→0 x x     13 2x x ó = . √ = lim + î p √ x→0  x( 1 + x + 1) x 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x)2  12 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau: √ 3 2x − 1 − 1 1 lim . x→1 x−1 √ 5 2 lim x→0 5x + 1 − 1 . x Lời giải. 1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1. √ 3 lim x→1 = Cách 2. Đặt t = lim x→1 2 Đặt √ t= 5 √ 3 √ 3 2x − 1 − 1 2x − 1 − 1 ó = lim î p √ 3 x→1 x−1 (2x − 1)2 + 3 2x − 1 + 1 (x − 1) 2 2 lim p = . √ 3 3 2 3 (2x − 1) + 2x − 1 + 1 x→1 2x − 1, ta được 2x − 1 − 1 t−1 2 2 2(t − 1) = lim 3 = lim 2 = . = lim 3 t→1 t + 1 t→1 t + t + 1 t→1 t − 1 x−1 3 −1 2 √ 5 5x + 1, ta được 5x + 1 − 1 t−1 5 = lim 5 = lim 4 = 1. lim 3 t→1 t − 1 t→1 t + t + t2 + t + 1 x→0 x 5 sin x ! Chúng ta đã được biết đến một giới hạn đặc biệt lim = 1. 4 x→0 x Từ đó, ta suy ra: Å ã sin x sin x 1 tan x = lim = lim · lim = 1 · 1 = 1. x→0 x · cos x x→0 x→0 x x cos x tan[f (x)] sin[f (x)] = 1 và lim = 1, với f (x0 ) = 0. Mở rộng: lim x→x f (x) f (x) 0 f (x)→0  Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau: 1 − cos2 2x . x→0 x sin x sin x ; x→0 tan 2x 1 lim 2 lim Lời giải. 1 Ta có: Å ã Å ã sin x sin x x sin x 2x 1 1 lim = lim · = lim · · = . x→0 tan 2x x→0 x→0 x tan 2x x tan 2x 2 2 2 Ta có: Å ã Å ã 1 − cos2 2x sin2 2x sin 2x sin 2x 2 sin 2x = lim = lim · = lim · 2 cos x = 4. x→0 x→0 x sin x x→0 x→0 x sin x x sin x 2x lim Nhận xét. Trong ví dụ trên: Ở câu a) bằng việc thêm vào x chúng ta nhận được hai dạng giới hạn cơ bản và cần lưu ý tan 2x sẽ phải tương ứng với 2x. Ở câu b) chúng ta cần sử dụng một phép biến đổi lượng giác để chuyển 1 − cos2 2x thành sin2 2x. Ngoài ra cũng có thể trình bày như sau: Ç å 1 − cos2 2x sin2 2x sin2 2x 4x lim = lim = lim · = 4. x→0 x→0 x sin x x→0 x sin x (2x)2 sin x  Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ví dụ 12. Tính các giới hạn: tan x − sin x . x→0 x3 sin 2x + tan 3x ; x→0 x 1 lim 2 lim Lời giải. 1 Ta có Å Å ã ã 2 sin 2x 3 tan 3x sin 2x tan 3x sin 2x + tan 3x = lim = 5. = lim + + lim x→0 x→0 x→0 x x x 2x 3x 2 Ta có x 2 sin x · sin2 sin x sin x(1 − cos x) 2. tan x − sin x = − sin x = = cos x cos x cos x Do đó x x 2 sin x · sin2 sin2 2 sin x· tan x − sin x 2 = lim 2 = 1. = lim · ·   lim x 2 x→0 x→0 cos x x→0 x3 x3 cos x x 2 4. 2 Nhận xét. Trong ví dụ trên: Ở câu a) chúng ta thực hiện phép tách để nhận được tổng của hai giới hạn cơ bản. Ở câu b) chúng ta không thể thực hiện phép tách, bởi nếu làm như vậy: Å ã tan x sin x tan x − sin x lim = lim − 3 x→0 x→0 x3 x3 x Å ã tan x sin x 1 = lim − = (1 − 1) · ∞ = 0 · ∞ x→0 x x x2 ã Å tan x 1 sin x 1 Hoặc lim · 2− · 2 = 1 · ∞ − 1 · ∞ = ∞ − ∞. x→0 x x x x cả hai đều là những dạng vô định và chúng ta không thể kết luận được gì.  Ví dụ 13. Tính các giới hạn: cos 4x − cos 3x · cos 5x ; x→0 x2 cos 1 lim 2 lim x→0 π  cos x 2 . x sin2 2 Lời giải. 1 Ta có 1 cos 4x − cos 3x · cos 5x = cos 4x − (cos 8x + cos 2x) 2 1 = (2 cos 4x − cos 8x − cos 2x) 2 1 = [(1 − cos 8x) + (1 − cos 2x) − 2(1 − cos 4x)] 2 = sin2 4x + sin2 x − 2 sin2 2x. Do đó cos 4x − cos 3x cos 5x x→0 x2 lim Th.s Nguyễn Chín Em sin2 4x + sin2 x − 2 sin2 2x x→0 x2 Ç å sin2 4x sin2 x 2 sin2 2x = lim + − x→0 x2 x2 x2 ñ ô 16 sin2 4x sin2 x 8 sin2 2x = lim + − x→0 (4x)2 x2 (2x)2 = 16 + 1 − 8 = 9. = lim 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 π π hπ    i x sin sin (1 − cos x) sin π sin2 cos x − cos x 2 2 2 2 2 . = = =π 2 Ta có 2 x 2 x 2 x 2 x sin sin sin π sin 2 2  2 2    π x cos cos x sin π sin2 2 2 = π. Do đó lim = lim π 2 x 2 x x→0 x→0 sin π sin 2 2 cos π Nhận xét. Trong ví dụ trên: Ở câu a) chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tích thành tổng. Và từ đó, với việc định hướng biến đổi TS thành tổng của các hàm số sin chúng ta đã sử dụng công thức góc nhân đôi của hàm số cos (cụ thể cos 2x = 1 − 2 sin2 x). Ở câu b) các em học sinh cần có kinh nghiệm về hàm số lượng giác lồng nhau.  tan(a + x) · tan(a − x) − tan2 a . x→0 x2 Ví dụ 14. Tính giới hạn L = lim Lời giải. Ta có tan(a + x) tan(a − x) − tan2 a = = = sin2 a sin(a + x) sin(a − x) − cos(a + x) cos(a − x) cos2 a cos 2x − cos 2a 1 − cos 2a −2 cos 2a(1 − cos 2x) − = cos 2x + cos 2a 1 + cos 2a (cos 2x + cos 2a)(1 + cos 2a) 2 −4 cos 2a · sin x −4 cos 2a = · sin2 x. (cos 2x + cos 2a)(1 + cos 2a) (cos 2x + cos 2a)(1 + cos 2a) −4 cos 2a sin2 x −4 cos 2a · = . 2 x→0 (cos 2x + cos 2a)(1 + cos 2a) x (1 + cos 2a)2 Nhận xét. Như vậy, trong thí dụ trên chúng ta đã cần sử dụng những phép biến đổi lượng giác phức tạp hơn rất nhiều. Và câu hỏi thường được đặt ra ở đây là “Định hướng cách thực hiện trên như thế nào?”, để trả lời chúng ta sẽ bắt đầu như sau: Do đó L = lim Không thể thực hiện phép tách, bởi nó không mang lại kết quả gì khi ứng với tan(a + x) cần có a + x và tan(a − x) cần có a − x. Và khi đó, sẽ nhận được dạng vô định. Nếu sử dụng các phép biến đổi thuần tuý với hàm số tang sẽ khó có thể tạo ra được nhân tử chung tan2 x cho TS, bởi sự có mặt của số hạng tự do tan2 a. Từ nhận định trên, chúng ta khẳng định chỉ có thể làm xuất hiện nhân tử chung là sin2 x cho TS. Từ đó, dẫn đến việc biến đổi các hàm số tang về dạng sin và cos.  Ví dụ 15. Tính các giới hạn sau: √ 3 4x − 2 1 lim . x→2 x − 2 √ √ 3 x−1+ 3x+1 √ 2 lim √ . x→0 2x + 1 − x + 1 Lời giải. 1 Ta có: √ 3 lim x→2 4x − 2 4x − 8 i = lim hÄ √ ä2 √ 3 x→2 x−2 4x + 2 3 4x + 4 (x − 2) = lim Ä √ x→2 Th.s Nguyễn Chín Em 3 4 4x ä2 1 = . 3 + 2 4x + 4 √ 3 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2 Ta có:  √ √ √ √ 3 2x 2x + 1 + x + 1 x−1+ 3x+1 i √ » lim √ = lim h » p x→0 2x + 1 − x + 1 x→0 x 3 (x − 1)2 − 3 (x − 1) (x + 1) + 3 (x + 1)2  √ √ 2 2x + 1 + x + 1 4 » = . = lim » p x→0 3 3 (x − 1)2 − 3 (x − 1) (x + 1) + 3 (x + 1)2  Ví dụ 16. Tính các giới hạn sau: √ √ √ x− a+ x−a √ , với a > 0. 1 lim x→a x2 − a2 2 lim √ x→1 x2 x−1 . + 3 + x3 − 3x Lời giải. 1 Ta có: √ lim x→a √ √ √ √ √ x− a+ x−a x− a x−a √ = lim √ + lim √ x→a x2 − a2 x2 − a2 x→a x2 − a2 x−a 1 Ä√ ä + lim √ = lim √ √ x→a ( x + a) x→a x+a x2 − a2 √ x−a 1 1 = lim √ +√ =√ . √ √ x→a ( x + a) x + a 2a 2a 2 Ta có: lim √ x→1 x2 x−1 1 = lim √ 2 2 + 3 + x − 3x x→1 x + 3 − 2 x3 − 3x + 2 + x−1 x−1 1 1 = lim = lim = −2. x+1 x→1 x→1 x2 − 1 √ +x−2 ä Ä√ +x−2 x2 + 3 + 2 x2 + 3 + 2 (x − 1)  Như vậy, để tính được các giới hạn trên chúng ta cần thực hiện phép tách nó thành hai giới hạn nhỏ, 0 từ đó mới có thể khử được dạng . 0 Với giới hạn dang: p 3 p f (x) − a lim , trong đó 3 f (x0 ) = a và g (x0 ) = 0 x→x0 g (x) p p 3 3 Thực p hiện phép nhân liên hợp f 2 (x) + f (x) + a2 , ta được: 3 3 f (x) − a f (x) − a i lim = lim h » p x→x0 x→x0 3 2 g (x) f (x) + a 3 f (x) + a2 g (x) (x − x0 ) f1 (x) ó = lim î p p x→x0 3 f 2 (x) + a 3 f (x) + a2 (x − x ) g (x) 0 1 f1 (x) f1 (x0 ) ó = lim î p = . p 2 + a) g (x ) x→x0 3 f 2 (x) + a 3 f (x) + a2 g (x) (2a 1 0 1 Phương pháp được mở rộng cho giới hạn dạng: 1) Với giới hạn: p 3 p f (x) + a lim , trong đó 3 f (x0 ) = −a và g (x0 ) = 0 x→x0 g (x) p p Thực hiện phép nhân liên hợp 3 f 2 (x) − a. 3 f (x) + a2 . 2) Với các giới hạn: Th.s Nguyễn Chín Em 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ a) b) c) d) Chương 4 – Giải tích 11 p p p [3]f (x) ± a 3 3 , trong đó lim p f (x ) = ∓a và g (x0 ) = ∓b. 0 3 x→x0 g (x) ± b p p p [3]f (x) ± a lim p , trong đó 3 f (x0 ) = ∓a và g (x0 ) = b. x→x0 g (x) − b p p 3 p p p p f1 (x) ± 3 f2 (x) p lim p , trong đó 3 f1 (x0 ) = ∓ 3 f2 (x0 ) và g1 (x0 ) = g2 (x0 ). x→x0 g1 (x) − g2 (x) p p 3 p p p p f1 (x) ± 3 f2 (x) 3 3 3 3 p f (x ) = ∓ f (x ) và g (x ) = ∓ g2 (x0 ). lim p , trong đó 1 0 2 0 1 0 x→x0 3 g1 (x) ± 3 g2 (x) Thực hiện phép nhân liên hợp cho cả tử số và mẫu số. Ví dụ 17. Tính các giới hạn sau: √ 2x − 1 + x2 − 3x + 1 1 lim √ . x→1 3 x − 2 + x2 − x + 1 √ √ 2 1+x− 38−x 2 lim . x→0 x Lời giải. 1 Ta có: √ 2x − 1 + x2 − 3x + 1 √ 2 2x − 1 + x − 3x + 1 x−1 = lim √ lim √ 3 x→1 x→1 3 x − 2 + x2 − x + 1 x − 2 + x2 − x + 1 x−1 √ 2x − 1 − 1 x2 − 3x + 2 + x−1 x−1 √ = lim 3 x→1 x − 2 + 1 x2 − x + x−1 x−1 2x − 2  √ +x−2 2x − 1 + 1 (x − 1) = lim x−1 x→1 h» i +x √ 3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1 (x − 1) 2 +x−2 2x − 1 + 1 = lim = 0. 1 x→1 » + x √ 3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1 √ 2 ta có:√ 2 1+x− lim x→0 x √ 3 8−x √ √ 2 1+x−2+2− 38−x = lim x→0 x  ñ √ ô √ 2 1+x−1 2− 38−x = lim + x→0 x x   2x x 13 +   = . » = lim  √ √ x→0 x 12 1+x+1 x 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x)2  Ví dụ 18. Tính các giới hạn: √ 3 2x − 1 − 1 1 lim . x→1 x−1 √ 5 2 lim x→0 5x + 1 − 1 . x Lời giải. 1 Ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ 3 lim x→1 Chương 4 – Giải tích 11 2x − 1 − 1 2x − 1 − 1 i = lim h » √ x→1 3 x−1 (2x − 1)2 + 3 2x − 1 + 1 (x − 1) 2 2 = . = lim » √ 2 x→1 3 3 3 (2x − 1) + 2x − 1 + 1 √ Cách 2: Đặt t = 3 2x − 1 ta được: √ 3 2x − 1 − 1 t−1 2 2 2 (t − 1) lim = lim 3 = lim 2 = . = lim 3 x→1 t→1 t + 1 t→1 t + t + 1 t→1 t − 1 x−1 3 −1 2 √ 5 t = 5x + 1, ta được: 2 Đặt √ 5 5x + 1 − 1 t−1 5 lim = lim 5 = lim 4 = 1. x→0 t→0 t − 1 t→0 t + t3 + t2 + t + 1 x 5  Chúng ta đã được biết tới một giới hạn đặc biệt: sin x lim =1 x→0 x Từ đó suy ra: Å ã sin x sin x 1 tan x = lim = lim · = 1. lim x→0 x. cos x x→0 x→0 x x cos x Mở rộng: sin [f (x)] tan [f (x)] lim = 1 và lim = 1 với f (x0 ) = 0. x→x0 f (x) f (x) f (x)→0 Tuy nhiên, việc áp dụng chúng để tìm giới hạn của hàm số trong nhiều trưòng hợp cần thực hiện các phép biến đổi phù hợp. Ví dụ 19. Tính các giới hạn sau: 1 − cos2 2x . x→0 x sin x sin x . x→0 tan 2x 1 lim 2 lim Lời giải. 1 Ta có: Å ã ã Å sin x sin x x sin x 2x 1 1 = lim · · · lim = lim = . x→0 tan 2x x→0 x→0 x tan 2x x tan 2x 2 2 2 Ta có: Å ã Å ã 1 − cos2 2x sin2 2x sin 2x sin 2x 2 sin 2x = lim = lim · · 2 cos x = 4. = lim x→0 x→0 x sin x x→0 x→0 x sin x x sin x 2x lim  Trong ví dụ trên: Ở câu a), bằng việc thêm vào x chúng ta nhận được hai dạng giới hạn cơ bản và cần lưu ý tan 2x sẽ phải tương ứng với 2x. Ở câu b), chúng ta cần sử dụng một phép biến đổi lượng giác để chuyển 1 − cos2 2x thành sin2 2x. Ngoài ra, cũng có thể trình bày như Ç sau: å 1 − cos2 2x sin2 2x sin2 2x 4x = lim = lim · lim = 4. x→0 x→0 x sin x x→0 x sin x (2x)2 sin x Ví dụ 20. Tính các giới hạn sau: 1 lim x→0 sin 2x + tan 3x . x Th.s Nguyễn Chín Em 2 lim x→0 70 tan x − sin x . x3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. 1 Ta có: Å Å ã ã 2 sin 2x 3 tan 3x sin 2x tan 3x sin 2x + tan 3x = lim = 5. = lim + + lim x→0 x→0 x→0 x x x 2x 3x 2 Ta có: tan x − sin x = 2 sin x. sin2 sin x sin x (1 − cos x) − sin x = = cos x cos x cos x Do đó: 2 sin x sin2 tan x − sin x lim = lim x→0 x→0 x3 x3 cos x x 2 = lim x→0 x 2 2 sin x sin2 x2 · · 2 cos x x 4 x2 ! 1 = . 2  Trong ví dụ trên: Ở câu a), chúng ta thực hiện phép tách để nhận được tổng của hai giới hạn cơ bản. Ở câu b), chúng ta không ã như vậy: Å thể thực hiệnã phép tách, Å bởi nếu làm tan x − sin x tan x sin x tan x sin x 1 lim = lim − 3 = lim − = (1 − 1) .∞ = 0.∞ x→0 x→0 x→0 x3 x3 x x x x2 HoặcÅ ã tan x 1 sin x 1 · 2− · 2 = 1.∞ − 1.∞ = ∞ − ∞. lim x→0 x x x x Cả hai đều những dạng vô định và chúng ta không thể kết luận được gì. Ví dụ 21. Tính các giới hạn sau: cos 4x − cos 3x. cos 5x . 1 lim x→0 x2 2 lim x→0 cos π 2 cos x sin2 x 2  . Lời giải. 1 Ta có: cos 4x − cos 3x. cos 5x = cos 4x − 1 (cos 8x + cos 2x) 2 1 (2 cos 4x − cos 8x − cos 2x) 2 1 = [(1 − cos 8x) + (1 − cos 2x) − 2 (1 − cos 4x)] 2 = sin2 4x + sin2 x − 2 sin2 2x. = Do đó: cos 4x − cos 3x. cos 5x sin2 4x + sin2 x − 2 sin2 2x lim = lim x→0 x→0 x2 x2 Ç å sin2 4x sin2 x 2 sin2 2x = lim + − x→0 x2 x2 x2 ñ ô 16 sin2 4x sin2 x 8 sin2 2x = lim + − = 16 + 1 − 8 = 9. x→0 x2 (4x)2 (2x)2 2 Ta có:     − π2 cos x sin π2 (1 − cos x) sin π sin2 x2 = = =π . sin2 x2 sin2 x2 sin2 x2 π sin2 x2 Do đó:   cos π2 cos x π sin π sin2 x2 lim = lim = π. x→0 x→0 sin2 x2 π sin2 x2 cos π 2 cos x  sin π 2  Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Trong ví dụ trên: Ở câu a), chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tích thành tổng. Và từ đó, với việc định hướng biến đổi tử số thành tổng của các hàm số sin chúng ta đã sử dụng ccông thức góc nhân đôi của hàm số cos (cụ thể cos 2x = 1 − 2 sin2 x). Ở câu b), các em học sinh cần có kinh nghiệm về hàm số lượng giác lồng nhau. tan (a + x) tan (a − x) − tan2 a . x→0 x2 Ví dụ 22. Tính giới hạn L = lim Lời giải. Ta có: sin (a + x) sin (a − x) sin2 a − cos (a + x) cos (a − x) cos2 a cos 2x − cos 2a 1 − cos 2a = − cos 2x + cos 2a 1 + cos 2a −2 cos 2a (1 − cos 2x) = (cos 2x + cos 2a) (1 + cos 2a) −4 cos 2a · sin2 x. = (cos 2x + cos 2a) (1 + cos 2a) tan (a + x) tan (a − x) − tan2 a = Do đó: sin2 x −4 cos 2a −4 cos 2a · = . 2 x→0 (cos 2x + cos 2a) (1 + cos 2a) x (1 + cos 2a)2 L = lim  Như vậy, trong thí dụ trên chúng ta đã cần sử dụng những phép biến đổi lượng giác phức tạp hơn rất nhiều. Và câu hỏi thường được đặt ra ở đây là “Định hướng cách thực hiện trên như thế nào ?”, để trả lời chúng ta sẽ bắt đầu như sau: Không thể thực hiện phép tách, bởi nó không mang lại kết quả gì khi ứng với tan (a + x) cần có a + x và tan (a − x) cần có a − x. Và khi đó, sẽ nhận được dạng vô định (∞ − ∞). Nếu sử dụng các phép biến đổi thuần tuý với hàm số tan sẽ khó có thể tạo ra được nhân tử chung tan 2x cho tử số, bởi sự có mặt của số hạng tự do tan2 a. Từ nhận định trên, chúng ta khẳng định chỉ có thể làm xuất hiện nhân tử chung là sin2 x cho tử số. Từ đó, dẫn đến việc biến đổi các hàm số tan về dạng sin và cos. Ví dụ 23. Tính các giới hạn Ä√ ä 1 lim 2×2 + 1 + x . 2 x→−∞ lim Ä√ x→−∞ ä x2 + 1 + x − 1 . Lời giải. 1 Ta có: Å ã 1 1+ 2 Ä√ ä x2 + 1 x lim 2×2 + 1 + x = lim √ = lim Å ã 2 x→−∞ x→−∞ 2x + 1 − x x→−∞ 1 x2 2 + 2 − x x Å ã Å ã Å ã 1 1 1 x2 1 + 2 x2 1 + 2 x 1+ 2 x x x … … … = lim = lim = lim = +∞. x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 1 1 |x| 2 + 2 − x −x 2 + 2 − x − 2+ 2 −1 x x x x2 2 Ta có: Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ä√ ä 2x x2 + 1 − (x − 1)2 = lim √ x2 + 1 + x − 1 = lim √ 2 2 x→−∞ x→−∞ x→−∞ x +1−x+1 x +1−x+1 2x 2x 2x … … = lim = lim = lim ã Å x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 1 1 |x| 1 + 2 − x + 1 −x 1 + 2 − x + 1 x2 1 + 2 − x + 1 x x x 2 2x å = lim Ç … … = −1. = lim x→−∞ x→−∞ 1 1 1 1 − 1+ 2 −1+ x − 1+ 2 −1+ x x x x lim  Ví dụ 24. Cho hàm số f (x) = √ x2 + 2x + 4 − √ x2 − 2x + 4. Tính các giới hạn lim f (x) và x→−∞ lim f (x), từ đó nhận xét về sự tồn tại của giới hạn lim f (x) x→∞ x→+∞ Lời giải. Ta có: Ä√ ä √ 4x √ lim y = lim x2 + 2x + 4 − x2 − 2x + 4 = lim √ = −2 2 x→−∞ x→−∞ x→−∞ x + 2x + 4 + x2 − 2x + 4 ä Ä√ √ 4x √ x2 + 2x + 4 − x2 − 2x + 4 = lim √ =2 lim y = lim 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x + 2x + 4 + x2 − 2x + 4 Vậy, ta thấy lim f (x) 6= lim f (x), suy ra lim f (x) không tồn tại. x→−∞ x→∞ x→+∞  Ví dụ 25. Tính các giới hạn sau: √ 3 x−1 1 lim √ . 3 x→1 x−2+1 √ 3 x + x2 + x + 1 2 lim x→−1 x+1 Lời giải. √ 3 [ x−1 1 Ta có: lim √ = lim x→1 3 x − 2 + 1 x→1 » » √ √ 3 3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1](x − 1) (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1 √ √ = lim . √ √ 3 3 x→1 ( x2 + 3 x + 1)(x − 1) x2 + 3 x + 1 2 Ta có: √ 3 lim x→−1 x + x2 + x + 1 x+1 √ 3 x+1 x2 + x + lim x→−1 x + 1 x→−1 x + 1 x+1 = lim √ + lim x √ x→−1 ( 3 x2 − 3 x + 1)(x + 1) x→−1 1 2 = lim √ −1=− . √ x→−1 3 x2 − 3 x + 1 3 = lim  Ví dụ 26. Tính các giới hạn sau: √ √ 4 2x − 1 + 5 x − 2 1 lim ; x→1 x−1 √ x2 + 2004 7 1 − 2x − 2004 2 lim . x→0 x Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 Ta có √ 4 lim x→1 √ 2x − 1 + 5 x − 2 x−1 √ 4 √ 2x − 1 − 1 + 5 x − 2 + 1 = lim x→1 x−1 √ √ 4 5 2x − 1 − 1 x−2+1 = lim + lim . x→1 x→1 x−1 x−1  4 √ ® x − 1 = u − 1 u = 4 2x − 1 ⇔ Đặt √ 2  v = 5x−2 5 x − 1 = v − 1. √ 4 2x − 1 − 1 2(u − 1) 2 Khi đó: = 4 = và x → 1 ⇔ u → 1. x−1 u −1 (u + 1) (u2 + 1) √ 5 v+1 1 x−2+1 = 5 = 4 và x → 1 ⇔ v → −1. 3 x−1 v √ +1 v −√v + v 2 − v + 1 4 2 1 7 2x − 1 + 5 x − 2 Vậy ta được lim = lim + lim 4 = . x→1 u→1 (u + 1) (u2 + 1) v→1 v − v 3 + v 2 − v + 1 x−1 10 √ √ x2 + 2004 7 1 − 2x − 2004 x2 + 2004 7 1 − 2x − x2 − 2004 + x2 2 Ta có: lim = lim x→0 x x ñx→0 ô √ 7  1 − 2x − 1 4008 = lim x2 + 2004 +x =− . x→0 x 7 Nhận xét. Trong ví dụ b) chúng ta đã thêm bớt x2 để làm xuất hiện đa thức P (x) = x2 + 2004 ở tử thức, √ 8 1 + ax − 1 a = . Đây là điểm mấu chốt của lời giải. từ đó làm xuất hiện dạng: lim x→0 x n  … … √ x x √ 1+x· 3 1+ · 4 1+ − 41−x 2 3 Ví dụ 27. Tính giới hạn: lim . √ √ 3√ x→1 4+x− 38−x− 41+x 2 Lời giải. Gọi tử thức là T ta có T √ … … … … x x x x 1+x3 1+ · 4 1+ − 3 1+ · 4 1+ + 2 3 2 3 … … … … √ x x x x + 3 1+ · 4 1+ − 4 1+ + 4 1+ −1+1− 41−x 2 3 3 3 … … … √ x x x = 3 1 + · 4 1 + ( 1 + x − 1) + 4 1 + 2 3 3 Å… ã √ x 4 + 1 + − 1 − ( 4 1 − x − 1). 3 = Gọi mẫu thức là M ta có: … … 3 x x √ ·2· 1+ −23 1− − 41+x M = 2 4 8 Å… ã Å… ã √ x x 3 = 3 1+ −1 −2 1 − − 1 − ( 4 1 + x − 1). 4 8 … … √ x 4 x √ 1 3 1+x· 1+ · 1+ − 41−x T 1 24 2 3 Ta có: lim = lim = lim x = = . √ √ 3√ 5 M x→1 x→1 x→1 M 5 4+x− 38−x− 41+x 2 24 x  Ví dụ 28. Tính các giới hạn: Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x3 + x2 − 2 ; x→1 sin(x − 1) 1 lim x2 − 4x + 3 . x→1 tan(x − 1) 2 lim Lời giải.  (x − 1) x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 x3 + x2 − 2 = lim = lim 1 Ta có lim = 5. x→1 x→1 sin(x − 1) x→1 sin(x − 1) sin(x − 1) x−1 x2 − 4x + 3 (x − 1)(x − 3) x−3 = −2. = lim = lim x→1 tan(x − 1) x→1 tan(x − 1) x→1 tan(x − 1) x−1 2 Ta có lim  98 x→0 83 Ví dụ 29. Tính các giới hạn: L = lim Å ã 1 − cos 3x cos 5x cos 7x . sin2 7x Lời giải. Ta có 1 1 − cos 3x cos 5x cos 7x = 1 − (cos 8x + cos 2x) cos 7x 2 1 = 1 − (cos 8x cos 7x + cos 2x cos 7x) 2 1 = 1 − (cos 15x + cos x + cos 9x + cos 5x) 4 1 = [(1 − cos 15x) + (1 − cos x) + (1 − cos 9x) + (1 − cos 5x)] 4Å ã 1 2 x 2 9x 2 5x 2 15x + 2 sin + 2 sin + 2 sin = 2 sin 4 2 2 2 2 Å ã 1 x 9x 5x 15x = + sin2 + sin2 + sin2 sin2 . 2 2 2 2 2 Do đó: Å ã 1 98 1 2 x 2 9x 2 5x 2 15x L = lim · sin + sin + sin + sin · x→0 83 2 2 2 2 2 sin2 7x  2 15x Å ã2 sin2 x Å ã2  sin 2 15 98 1 1 · lim  +  22 · + = Å ã2 ·  x 83 2 x→0 2 2 15x 2 2  9x Å ã 5x Å ã 2 sin2 sin2 2 9 5 2  · (7x) · 1 + Å ã22 · + Å ã22 · 2 2  sin2 7x (7)2 9x 5x 2 2 ñÅ ã2 Å ã2 Å ã2 Å ã2 ô 15 1 9 5 1 98 1 = · lim + + + · = 1. x→0 83 2 2 2 2 2 (7)2 Nhận xét. Như vậy, trong thí dụ trên thực chất chúng ta chỉ cần sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và công thức góc nhận đôi của cos. Tuy nhiên, các em học sinh cần thận trong trong tính toán.  Ví dụ 30. Tính các giới hạn sau: Th.s Nguyễn Chín Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ 1 − cos x √ ; 1 lim x→0 1 − cos x √ √ 1 + tan x − 1 + sin x 2 lim . x→0 x3 Lời giải. √ 1 − cos x 1 − cos x √ = lim √ √ = lim 1 Ta có: lim x→0 1 − cos x x→0 (1 − cos x)(1 + cos x) x→0 x 2 sin2 2 √ √ x 2 sin2 (1 + cos x) 2  Å √ ã2 x x  sin2  x 2  1 1 1 2   √ · √ · Å √ ã2 · √ = lim   22 · ·  = 0. x→0  x 2 x x 1 + cos x  x sin2 sin2 2 2 2 2 √ √ 1 + tan x − 1 + sin x tan x − sin x √ 2 Ta có lim = lim 3 √ 3 x→0 x→0 x ( 1 + tan x + 1 + sin x) x x 2 tan x · sin2 tan x(1 − cos x) √ √2 = lim 3 √ = lim 3 √ x→0 x ( 1 + tan x + 1 + sin x) x→0 x ( 1 + tan x + 1 + sin x) ñ ô tan x sin2 (x/2) 1 1 √ = 2 lim ·√ = . x→0 x (x/2)2 · 4 4 1 + tan x + 1 + sin x  Nhận xét. Như vậy, trong bài giải của ví dụ trên chúng ta cần thực hiện phép nhân liên hợp trước khi sử f1 (x) − f2 (x) dụng các phép biến đổi lượng giác để chuyển chùng về dạng cơ bản. Với giới hạn dạng: lim , x→x0 g(x) trong đó f1 (x0 ) = f2 (x0 ) = c và g(x0 ) = 0. Ta lựa chọn một trong hai cách: Cách 1. (Chèn hằng số vắng) Ta thực hiện việc thêm hằng số vắng c (với f1 (x0 ) = f2 (x0 ) = c) vào biểu f1 (x) − c + c − f2 (x) f1 (x) − c c − f2 (x) thức của giới hạn, ta được: lim = lim + lim . x→x0 x→x0 x→x0 g(x) g(x) g(x) Cách 2. (Chèn hàm số vắng) Ta thực hiện việc thêm hàm số vắng f (x) (với f (x0 ) = c) vào biểu thức f (x) − f2 (x) f1 (x) − f (x) + lim . của giới hạn, ta được: lim x→x0 x→x0 g(x) g(x)  √ √ 2 1+x− 38−x Ví dụ 31. Tính giới hạn lim . x→0 x Lời giải. Ta có √ √ 2 1+x− 38−x lim x→0 x √ √ 2 1+x−2+2− 38−x = lim x→0 x ñ √ ô √ 2( 1 + x − 1) 2 − 3 8 − x = lim + x→0 x x     13 2x x ó = . √ = lim + î p √ x→0  x( 1 + x + 1) x 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x)2  12  Ví dụ 32. Tính các giới hạn sau: √ x + 3 − 2x ; 1 Ta có lim x→1 tan(x − 1) Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ 2 lim x→0 Chương 4 – Giải tích 11 1 + x2 − cos x . x2 Lời giải. √ 1 lim x→1 −4x − 3 x−1 x + 3 − 2x −4×2 + x + 3 7 = lim √ · = lim √ =− . x→1 x→1 ( x + 3 + 2x) tan(x − 1) tan(x − 1) tan(x − 1) 4 x + 3 + 2x 2 Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1. Ta có: √ lim x→0 1 + x2 − cos2 x x2 + sin2 x ä ä lim Ä√ = lim Ä√ x→0 1 + x2 + cos x x2 x→0 1 + x2 + cos x x2 å Ç 1 sin2 x = 1. = lim √ · 1+ x→0 x2 1 + x2 + cos x 1 + x2 − cos x x2 = Cách 2: Ta có:   å Ç√ √ 2 x 2 x 2 sin 2 sin 2 2 1 + x − cos x 1 + x − 1 1 − cos x  2 + 2 lim = lim + = lim  √  x 2  = 1. 2 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x x x 1+x +1 4 2  Ví dụ 33. Tính các giới hạn sau: … x−1 1 lim (x + 2) ; x→+∞ x3 + x 2 lim x x→−∞ 2×3 + x . x5 − x2 + 3 Lời giải. Õ … 1 Ta có 2 Ta có lim (x + 2) x→+∞ lim x x→−∞ x−1 = lim x3 + x x→+∞ 2×3 + x = − lim x→−∞ x5 − x2 + 3 Å ãÅ ã 1 2 2 1− 1+ (x − 1)(x + 2)2 x x = lim = 1. x→+∞ x3 + x x2 Œ 1  2+ 2 √ x2 2×3 + x x = − lim = − 2. 5 2 1 3 x→−∞ x −x +3 1− 3 + 5 x x  Ví dụ 34. Tính giới hạn limπ x→ 2 π 2  − x · tan x. Lời giải. π π π Đặt t = − x suy ra x = − t. Nhận xét khi x → thì t → 0. 2 2 π  π 2 cos t Vậy, ta được limπ − x · tan x = lim tan − t = lim t · cot t = lim t · = 1. t→0 t→0 t→0 2 sin t x→ 2 2 Å Ví dụ 35. Tính giới hạn L = lim x→∞ x+2 x+1  ã2x+1 . Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 ã ã2x+1 Å x + 2 2x+1 1 1 1 Ta biến đổi: = 1+ , đặt = ⇔ x = t − 1. x+1 x+1 t x+1 Nhận xét khi x → ∞ thì t → ∞. ã ã ã 2t−1 Å Å Å t x + 2 2x+1 1 2(t−1)+1 1 . Vậy, ta được: = 1+ = 1+ x+1 t t Å ã ã 2t−1 Å t x + 2 2x+1 1 = e2 . Do đó: lim = lim 1 + x→∞ x + 1 t→∞ t Å  Ví dụ 36. Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số ® 2 x + x khi x < 1 f (x) = ax + 1 khi x ≥ 1. Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Khi x < 1, ta có f (x) = x2 + x nên hàm số liên tục với x < 1. Khi x > 1, ta có f (x) = ax + 1 nên hàm số liên tục với x > 1. Khi x = 1, ta có: lim f (x) = lim x→1− x→1−  x2 + x = 2; lim f (x) = lim (ax + 1) = a + 1. x→1+ x→1+ f (1) = a + 1. Do đó: – Nếu a = 1 thì lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 2, do đó hàm số liên tục tại x0 = 1. x→1− x→1+ – Nếu a 6= 1 lim f (x) 6= lim f (x) = f (1) = 2, do đó hàm số gián đoạn tại x0 = 1. x→0+ x→0− Kết luận: Nếu a = 1 thì hàm số liên tục trên R. Nếu a 6= 1 hàm số liên tục trên (−∞, 1) ∪ (1, +∞) và gián đoạn tại x0 = 1.  Ví dụ 37. Chứng minh rằng với mọi m phương trình 1 1 − = m. (1) luôn có nghiệm. cos x sin x Lời giải. π Điều kiện: x 6= k , k ∈ Z. 2 Biến đổi phương trình về dạng: sin x − cos x − m sin x · cos x =h 0. i π Xét hàm số f (x) = sin x − cos x − m sin x · cos x liên tục trên 0; . 2 π  π  Ta có f (0) = −1 < 0, f = 1 > 0 ⇒ f (0) · f = −1 < 0. 2 2  π Vậy phương trình f (x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc 0; 2  π ⇔ phương trình (1) luôn có 1 nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 Ví dụ 38. Xét dấu hàm số f (x) = 2 + cos x − 2 tan  x trên (0; π). 2 Lời giải. Hàm số f (x) liên tục trên (0; π). x 1 − t2 Giải phương trình f (x) = 0 với ẩn phụ t = tan , suy ra cos x = , ta có: 2 1 + t2 Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  1 − t2 − 2t = 0 ⇔ 2t3 − t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1) 2t2 + t + 3 = 0 2 1+t x π ⇔ t = 1 ⇔ tan = 1 ⇔ x = . 2 2 π   π và Như vậy trên các khoảng 0; ; π hàm f (x) không triệt tiêu, do đó: 2 2 π   π 1 2 Vì f = 2 + − √ > 0 nên f (x) > 0 với ∀x ∈ 0; . 3 2 2 3 Å ã π  √ 2π 1 Vì f = 2 − − 2 3 < 0 nên f (x) < 0 với ∀x ∈ ;π . 3 2 2 2+  Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞ , 0 · ∞, ∞0 . Phương pháp áp dụng: 1 Đối với dạng 0 · ∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản. Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước: Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thỏa mãn: g(x) 6 f (x) 6 h(x). Bước 2: Khẳng định: lim g(x) = lim h(x) = L. (hoặc lim g(x) = lim h(x) = L). x→x0 x→x0 x→∞ x→∞ Bước 3: Vậy, ta được: lim f (x) = L (hoặc lim f (x) = L). x→x0 2 Đối với dạng 1∞ x→∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau: lim (1 + Ví dụ 1. Tính giới hạn x→0 x3 lim x→(−1)− +1  … x2 1 x) x ã Å 1 x = e, lim 1 + = e. x→∞ x x . −1 Lời giải. Ta có: lim 3 x→(−1)− x +1  … x 2 x −1 = = lim x→(−1)− lim x→(−1)− 2 (x + 1) x − x + 1 x2 − x + 1   … x2 x −1 x(x + 1) = 0. x−1  1 Ví dụ 2. Tính giới hạn L = lim (1 + sin 3x) x . x→0 Lời giải. Ta biến đổi:1 1 sin 3x 1 sin 3x (1 + sin 3x) x = (1 + sin 3x) sin 3x · x = (1 + sin 3x) sin 3x · 3x ·3 . Do đó: 1 1 sin 3x L = lim (1 + sin 3x) x = lim (1 + sin 3x) sin 3x · 3x ·3 = e3 . x→0 Th.s Nguyễn Chín Em x→0 79  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ C Chương 4 - Giải tích 11 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giới hạn lim (−x3 + x2 + 2) bằng x→+∞ B. −∞. A. 0. Lời giải. C. +∞. D. 2. ãò ï Å 1 2 3 + + 2) = lim x −1 + + 3 . x→+∞ x xã Å 1 2 Ta có: lim x3 = +∞ và lim −1 + + 3 = −1. x→+∞ x→+∞ x x  Vậy lim −x3 + x2 + 2 = −∞. lim (−x3 x→+∞ x2 x→+∞ Chọn đáp án B  … Câu 2. Cho lim (x − 2) x→2+ x . Tính giới hạn đó. −4 B. 1. x2 A. +∞. Lời giải. Ta có … lim (x − 2) x→2+ x = lim 2 x − 4 x→2+ D. −∞. C. 0. x(x − 2)2 = lim (x − 2)(x + 2) x→2+ x(x − 2) = 0. x+2 Chọn đáp án C  Câu 3. Cho lim Ä√ x→−∞ ä 9x2 + ax + 3x = −2. Tính giá trị của a. A. −6. Lời giải. Ta có B. 12. lim x→−∞ D. −12. C. 6. ä Äp 9x2 + ax + 3x = lim √ x→−∞ 9x2 ax = lim + ax − 3x x→−∞ ax ã Å … a x − 9+ −3 x a a … = lim =− . x→−∞ a 6 − 9+ −3 x a = −2 ⇒ a = 12. 6 Chọn đáp án B Suy ra −  x2017 − 1 ta được kết quả là x→−∞ x2019 B. 1. C. −1. Câu 4. Tính giới hạn lim x A. −∞. Lời giải. Ta có lim x x→−∞ D. 0. x2017 − 1 = lim x x→−∞ x2019 Å ã 1 1 · 1 − 2017 x2 x Å ã… 1 1 = lim x · − 1 − 2017 x→−∞ x x Ç … å 1 = lim − 1 − 2017 = −1. x→−∞ x Chọn đáp án C √ Câu 5. Giá trị của giới hạn lim x→0 1 A. − . 2 Lời giải. √ Ta có lim x→0 B. 1−x−1 = lim x→0 x √ 1 . 2  1−x−1 bằng x C. +∞.  √  1−x−1 1−x+1 −1 1  √ = lim √ =− . x→0 2 x 1−x+1 1−x+1 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em D. 0.  80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x4 − 16 . x→2 8 − x3 Chương 4 - Giải tích 11 Câu 6. Tính lim A. −2. B. 1 . 3 8 D. − . 3 C. −∞. Lời giải. x4 − 16 (x + 2)(x2 + 4) 8 lim = lim =− . 3 x→2 8 − x x→2 −x2 − 2x − 4 3 Chọn đáp án D Câu 7.  lim (−x3 + x2 + 2) bằng x→+∞ B. −∞. A. 0. Lời giải. C. +∞. D. 2. ï Å ãò 1 2 3 + + 2) = lim x · −1 + + 3 . x→+∞ x ã x Å 1 2 Ta có: lim x3 = +∞ và lim −1 + + 3 = −1. x→+∞ x→+∞ x x Vậy lim (−x3 + x2 + 2) = −∞. lim (−x3 x→+∞ x2 x→+∞ Chọn đáp án B  … Câu 8. lim (x − 2) x→2+ A. +∞. Lời giải. … Ta có lim (x − 2) x→2+ x bằng x2 − 4 B. 1. x = lim 2 x − 4 x→2+ D. −∞. C. 0. x(x − 2)2 = lim x2 − 4 x→2+ … x(x − 2) = 0. x+2 Chọn đáp án C √ Câu 9. lim ( 9x2 + ax + 3x) = −2. Khi đó giá trị của a bằng  x→−∞ A. −6. Lời giải. Ta có B. 12. lim ( x→−∞ D. −12. C. 6. ax + ax − 3x a ã Å… = lim x→−∞ a − 9+ +3 x a = . −6 p 9x2 + ax + 3x) = lim √ x→−∞ 9x2 a = −2 ⇔ a = 12. −6 Chọn đáp án B Suy ra  x2 + bx + c = 8, (b, c ∈ R). Tính P = b + c. x→3 x−3 A. P = 13 . B. P = −11. C. P = −12. Lời giải. x2 + bx + c 3b + c + 9 Ta thấy =x+b+3+ . x − 3 x−3 ® ® 3b + c + 9 = 0 b=2 Ta được ⇔ ⇒ b + c = −13. b+6=8 c = −15 Chọn đáp án D Câu 10. Biết lim Câu 11. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng +∞? 2x2 + x − 1 3x + 5 |1 − x| A. lim . B. lim . C. lim 2 . x→−∞ x→−∞ 1 − 2x x→1 x − 2x + 1 x+1 Lời giải. |1 − x| 1 Ta có lim 2 = lim = +∞. x→1 x − 2x + 1 x→1 |x − 1| Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 81 D. P = −13.  x D. lim √ . x x→0+  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 √ Câu 12. lim x→1 x−1 bằng x−1 A. 1. B. +∞. C. 0. D. 1 . 2 Lời giải. √ x−1 1 1 Ta có lim = lim √ = . x→1 x − 1 x→1 2 x+1 Chọn đáp án D Câu 13. lim  x2 x→2 A. 0. −x−2 bằng x2 − 4 B. 1. C. 3 . 4 3 D. − . 4 Lời giải. x2 − x − 2 (x − 2)(x + 1) x+1 3 = lim = lim = . x→2 x→2 (x − 2)(x + 2) x→2 x + 2 x2 − 4 4 Chọn đáp án C √ x2 + 1 Câu 14. Tính lim . x→−∞ x + 2 A. −∞. B. 0. C. −1. Lời giải. … 1 √ − 1+ 2 x2 + 1 x = −1. Ta có lim = lim 2 x→−∞ x + 2 x→−∞ 1+ x Chọn đáp án C Ta có lim Câu 15. Giới hạn lim x2 x→2 A. +∞. − 3x + 2 bằng 2x − 4 1 B. . 2  D. 1.  1 C. − . 2 D. 3 . 2 Lời giải. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) x−1 1 = lim = lim = . x→2 x→2 x→2 2x − 4 2(x − 2) 2 2 Chọn đáp án B Ta có lim  Câu 16. Giới hạn lim (x3 + 2x) bằng x→+∞ A. +∞. Lời giải. C. −∞. B. 1. D. −1. ï Å ãò 2 3 Ta có + 2x) = lim x 1 + 2 = +∞. x→+∞ Å ã x 2 Vì lim x3 = +∞ và lim 1 + 2 = 1. x→+∞ x→+∞ x Chọn đáp án A lim (x3 x→+∞ Câu 17. Giới hạn lim x→5 A. +∞. x2 − 12x + 35 bằng x−5 2 B. . 5  C. −2. D. 5. Lời giải. x2 − 12x + 35 (x − 5)(x − 7) = lim = lim (x − 7) = −2. x→5 x→5 x→5 x−5 x−5 Chọn đáp án C x+2 Câu 18. Giới hạn lim bằng x→1− x − 1 1 A. − . B. −∞. C. +∞. 2 Lời giải. Ta có lim (x + 2) = 3 > 0; lim (x − 1) = 0 và x − 1 < 0 khi x → 1− . Ta có lim x→1− x+2 Vậy lim = −∞. − x→1 x − 1 Th.s Nguyễn Chín Em  D. 1 . 2 x→1− 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Chọn đáp án B Câu 19. lim x→1+  x+1 bằng x−1 A. +∞. B. 1. C. −∞. D. 0. Lời giải. Đặt f (x) = x + 1, g(x) = x − 1. Ta có lim f (x) = 2; lim g(x) = 0 và g(x) > 0 khi x → 1+ x→1+ x→1+ x+1 = +∞. Vậy lim + x→1 x − 1 Chọn đáp án A Ä√ ä Câu 20. lim 4×2 + 8x + 1 + 2x bằng  x→−∞ A. −2. Lời giải. C. −∞. B. +∞. D. 0. ã 8x + 1 √ lim x→−∞ 4×2 + 8x + 1 − 2x Ü ê 1 8+ x … = lim x→−∞ 8 1 − 4+ + 2 −2 x x = −2 ä Äp 4×2 + 8x + 1 + 2x = lim x→−∞ Å Chọn đáp án A √  √ x2 − x − 4×2 + 1 bằng x→−∞ 2x + 3 1 1 D. . A. 0. B. −∞. C. − . 2 2 Lời giải. … … 1 1 √ √ 1 − 4 + |x| − |x| 2 2 x − x − 4x + 1 x x2 Ta có lim = lim x→−∞ x→−∞ 2x + 3 2x + 3 … … 1 1 − 1− + 4+ 2 x x = −1 + 2 = 1 . = lim 3 x→−∞ 2 2 2+ x Chọn đáp án D √ x + 1 − 5x + 1 a √ Câu 22. Cho giới hạn lim = (phân số tối giản). Giá trị của T = 2a − b là x→3 b x − 4x − 3 1 9 B. T = −1. C. T = 10. D. T = . A. T = . b 8 Lời giải. Ta có Câu 21. Giá trị của giới hạn lim   √ √ (x2 − 3x) x + 4x − 3 x + 1 − 5x + 1  √ √ lim = lim 2 x→3 x→3 (x − 4x + 3) x + 1 + 5x + 1 x − 4x − 3  √ x x + 4x − 3  √ = lim x→3 (x − 1) x + 1 + 5x + 1 3(3 + 3) 9 = = 2(4 + 4) 8 Khi đó a = 9, b = 8. Vậy T = 2a − b = 10. Chọn đáp án C ® 2 x + ax + 1 khi x > 2 có giới hạn tại x = 2. Câu 23. Tìm a để hàm số f (x) = 2×2 − x + 1 khi x ≤ 2 A. 1. B. −1. C. 2. D. −2. Th.s Nguyễn Chín Em 83  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. Ta có lim f (x) = lim (x2 + ax + 1) = 2a + 5; lim f (x) = lim (2×2 − x + 1) = 7. x→2+ x→2− x→2+ x→2− Hàm số có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) ⇔ 2a + 5 = 7 ⇔ a = 1. x→2− x→2+ Chọn đáp án A  Câu 24. Kết quả của lim x→1+ −2x + 1 bằng x−1 B. −∞. A. +∞. C. 2 . 3 D. 1 . 3 Lời giải.  lim (−2x + 1) = −1 < 0    x→1+  −2x + 1 lim (x − 1) = 0 Ta có lim = −∞ vì +  x−1 x→1+ x→1    x → 1+ ⇒ x > 1 ⇒ x − 1 > 0. Chọn đáp án B Câu 25. lim x→−∞ −3 . 2 Lời giải.  −x − 3 bằng x+2 B. −3. A. C. −1. D. 1. 3 −1 − −x − 3 −1 + 0 x = lim = −1. Ta có lim = 2 x→−∞ x→−∞ x + 2 1+0 1+ x Chọn đáp án C Câu 26. Tìm giới hạn lim x→+∞ 3 A. L = − . 2 Lời giải. 3x − 1 . 1 − 2x  3 C. L = . 2 B. L = 3. 1 D. L = − . 2 1 3− 3x − 1 x = −3. Tính lim = lim x→+∞ 1 − 2x x→+∞ 1 2 −2 x Chọn đáp án A  x2 − 3x + 2 a a = trong đó là phân số tối giản. Tính S = a2 + b2 . 2 x→2 x −4 b b B. S = 17. C. S = 10. D. S = 25. Câu 27. Cho giới hạn lim A. S = 20. Lời giải. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) x−1 1 Ta có lim = lim = lim = . Suy ra S = 17. 2 x→2 x→2 (x + 2)(x − 2) x→2 x + 2 x −4 4 Chọn đáp án B 2×2 − 3x + 1 . x→1 1 − x2 1 B. L = − . 2  Câu 28. Tính giới hạn L = lim 1 A. L = . 4 Lời giải. Ta có 1 C. L = − . 4 1 D. L = . 2 2×2 − 3x + 1 x→1 1 − x2 (x − 1)(2x − 1) = lim x→1 (1 − x)(1 + x) 1 −(2x − 1) = lim =− . x→1 1+x 2 L = lim Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em  84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2 − 3x + 2 . x→1 x−1 B. 1. Câu 29. Tính giới hạn lim A. 2. Lời giải. C. −2. D. −1. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) = lim = lim (x − 2) = −1. x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 Chọn đáp án D  √ ax2 + 1 − bx − 2 Câu 30. Cho biết lim (a, b ∈ R) có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức a2 + b2 x→1 x3 − 3x + 2 bằng √ √ 45 9 A. 6 + 5 3. B. . C. . D. 87 − 48 3. 16 4 Lời giải. Ta có √ ax2 + 1 − bx − 2 ax2 + 1 − (bx + 2)2 √ = lim lim x→1 (x3 − 3x + 2)( ax2 + 1 + bx + 2) x→1 x3 − 3x + 2 (a − b2 )x2 − 4bx − 3 √ = lim . x→1 (x − 1)2 (x + 2)( ax2 + 1 + bx + 2) Ta có lim Kết quả giới hạn là một số thực nên phương trình (a − b2 )x2 − 4bx − 3 = 0 có nghiệm kép là x = 1. Khi đó ® 0 ® 2 ® 2 ∆ =0 4b + 3a − 3b2 = 0 b + 3a = 0 ⇔ ⇔ 2 2 a − b − 4b − 3 = 0 a − b − 4b − 3 = 0 a = b2 + 4b + 3  3 ® 2 ® 2  2 b = − b + 3(b + 4b + 3) = 0 4b + 12b + 9 = 0 2 ⇔ ⇔ ⇔  a = b2 + 4b + 3 a = b2 + 4b + 3 a = − 3 . 4 45 . 16 Chọn đáp án B Vậy a2 + b2 =  x2 − 3x + 2 . x→1 x−1 B. −1. Câu 31. Tính giới hạn lim A. 1. Lời giải. D. −2. C. 2. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) = lim = lim (x − 2) = −1. x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 Chọn đáp án B ä Ä√ √ Câu 32. Tìm giới hạn M = lim x2 − 4x − x2 − x . Ta có lim  x→−∞ 3 A. M = − . 2 Lời giải. Ta có 1 B. M = . 2 M = lim x→−∞ 3 C. M = . 2 1 D. M = − . 2 p Äp ä x2 − 4x − x2 − x −3x √ x→−∞ − 4x + x2 − x −3x å Ç… = lim … x→−∞ 4 1 |x| 1− + 1− x x 3 3 … = lim … = . x→−∞ 2 4 1 1− + 1− x x = lim √ x2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em  85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ x + 1 − 5x + 1 a √ Câu 33. Giới hạn lim bằng (phân số tối giản). Giá trị của a − b là x→3 b x − 4x − 3 1 9 A. . B. . C. 1. D. −1. 9 8 Lời giải. √   √ √ (x2 − 3x) x + 4x − 3 x x + 4x − 3 x + 1 − 5x + 1 9  = lim = . √ √ √ lim = lim 2 x→3 x→3 (x − 4x + 3) x + 1 + 5x + 1 x→3 (x − 1) x + 1 + 5x + 1 8 x − 4x − 3 ⇒ a = 9, b = 8 ⇒ a − b = 1. Chọn đáp án C √ x2018 4×2 + 1 Câu 34. Tính giới hạn lim . x→+∞ (2x + 1)2019 1 1 1 A. 0. B. 2018 . C. 2019 . D. 2017 . 2 2 2 Lời giải. … … 1 1 2019 √ x 4+ 4+ x2018 4×2 + 1 x x = 2 = 1 . lim = lim = lim Å Å ã ã 2019 2019 x→+∞ (2x + 1) x→+∞ x→+∞ 22019 22018 1 1 2019 x2019 2 + 2+ x x Chọn đáp án B   √ x + 1 − 5x + 1 a a √ = , với a, b ∈ Z, b > 0 và là phân số tối giản. Giá trị của a − b x→3 b b x − 4x − 3 Câu 35. Giới hạn lim là B. −1. A. 1. C. 9 . 8 D. 1 . 9 Lời giải. Ta có √ x + 1 − 5x + 1 √ x→3 x − 4x − 3 lim (x + 1)2 − (5x + 1) √ x + 1 + 5x + 1 = lim x→3 x2 − (4x − 3) √ x + 4x − 3  √ x + 4x − 3 (x − 3)x  √ = lim x→3 x + 1 + 5x + 1 (x − 3)(x − 1)  √ x x + 4x − 3 9  √ = lim = . x→3 x + 1 + 5x + 1 (x − 1) 8 Vậy a = 9, b = 8, suy ra a − b = 1. Chọn đáp án A  Câu 36. Trong bốn giới hạn sau, giới hạn nào bằng −∞? −3x + 4 −3x + 4 −3x + 4 A. lim . B. lim . C. lim . x→+∞ x − 2 x→2− x − 2 x→2+ x − 2 Lời giải. −3x + 4 −3x + 4 −3x + 4 Ta có lim = −3, lim = +∞, lim = −∞. − + x→±∞ x − 2 x−2 x−2 x→2 x→2 Chọn đáp án C x2 − 2x + 3 bằng x→1 x+1 B. 0. D. −3x + 4 . x→−∞ x − 2 lim  Câu 37. Giới hạn lim A. 1. Lời giải. x2 − 2x + 3 2 Có lim = = 1. x→1 x+1 2 Chọn đáp án A √ Câu 38. Giá trị của lim x→−∞ A. −∞ . Th.s Nguyễn Chín Em C. 3. D. 2.  x2 − 3 bằng x+3 B. −1. C. +∞. 86 D. 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải. Chương 4 – Giải tích 11 √ » − 1 − x32 x2 − 3 = −1. Ta có lim = lim x→−∞ x + 3 x→−∞ 1 + x3 Chọn đáp án B Câu 39. Tính lim x→1 x−1 . x2 − 1 A. 2. B.  −1 . 2 C. 1 . 2 D. 1. Lời giải. x−1 1 1 1 x−1 = lim = lim = = . x2 − 1 x→1 (x − 1)(x + 1) x→1 x + 1 1+1 2 Chọn đáp án C  √ √ 5 − 5 − x2 a Câu 40. Biết lim √ = √ , trong đó a là số nguyên, b là số nguyên tố. Giá trị của biểu thức 2 x→0 x + 16 − 4 b a + 2b bằng A. 3. B. 8. C. 13. D. 14. Lời giải. Ta có Ä√ ä √ √ √ x2 x2 + 16 + 4 5 − 5 − x2 x2 + 16 + 4 8 4 Ä√ ä = lim √ √ lim √ = lim = √ =√ . √ x→0 x→0 x2 x→0 2 5 5 x2 + 16 − 4 5 + 5 − x2 5 + 5 − x2 Ta có lim x→1 Suy ra a = 4, b = 5. Vậy a + 2b = 4 + 2 · 5 = 14. Chọn đáp án D  (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + 2018x) − 1 . x→0 x A. 2018 · 2019. B. 2019. C. 2018. Lời giải. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với mọi n ≥ 1, n ∈ N thì Câu 41. Tính lim D. 1009 · 2019. (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + nx) − 1 n(n + 1) = . (1) x→0 x 2 lim 1(1 + 1) 1+x−1 = lim 1 = 1 và V P = = 1. x→0 x→0 x 2 Vậy V T = V P nên (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n = k, k ≥ 1, k ∈ N, có nghĩa là * Với n = 1 thì V T = lim (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + kx) − 1 k(k + 1) = . x→0 x 2 lim * Xét n = k + 1, ta có (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + kx)(1 + kx + x) − 1 x (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (x + kx) (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + kx) − 1 = lim + lim x→0 x→0 x x k(k + 1) = + lim (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + k) x→0 2 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) = +k+1= = V P. 2 2 V T = lim x→0 Vậy (1) đúng với n = k + 1, k ≥ 1, k ∈ N. Bây giờ ta áp dụng với n = 2018 thì (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) · · · (1 + 2018x) − 1 2018(2018 + 1) = = 1009 · 2019. x→0 x 2 lim Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em  87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 42. Tính lim x→+∞ Chương 4 – Giải tích 11 x + sin x . x 1 . B. +∞. C. 1. 2 Lời giải. x−1 x + sin x x+1 x−1 x+1 Ta có ≤ ≤ và lim = lim = 1. x→+∞ x→+∞ x x x x x x + sin x Suy ra lim = 1. x→+∞ x Chọn đáp án C A. Câu 43. lim x→−1− D. 0.  2x + 3 bằng x+1 A. 1. Lời giải. C. −2. B. +∞. D. −∞.  lim (2x + 3) = 1    x→−1−  2x + 3 lim (x + 1) = 0 Ta có lim = −∞ do  x→−1− x→−1− x + 1    x + 1 < 0 ∀x < −1. Chọn đáp án D  Câu 44. Tìm giới hạn A = lim x→−2 1 A. − . 6 Lời giải. x2 x+1 . +x+4 B. −∞. Ta có A = lim x→−2 x2 C. +∞. D. 1. −2 + 1 1 x+1 = =− . 2 +x+4 (−2) − 2 + 4 6 Chọn đáp án A Câu 45. lim x→3  x−3 bằng x+3 A. −∞. Lời giải. x−3 lim = 0. x→3 x + 3 Chọn đáp án B Câu 46. lim x→+∞ B. 0. C. +∞. D. 1.  2x − 6 bằng x+2 A. 2. Lời giải. B. −2. 2− 2x − 6 = lim x→+∞ x + 2 x→+∞ 1 + Ta có lim 6 x 2 x = C. 3. D. −3. 2−0 = 2. 1+0 Chọn đáp án A Câu 47. lim x→−∞  2x + 1 bằng x−3 1 B. − . 3 A. 2. 2 C. − . 3 D. 1. Lời giải. 1 2+ 2x + 1 x = 2. Ta có lim = lim 3 x→−∞ x − 3 x→−∞ 1− x Chọn đáp án A Câu 48. lim x→+∞  x−2 bằng x+3 2 A. − . 3 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em B. 1. C. 2. 88 D. −3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 2 1− x−2 x Ta có lim = 1. = lim 3 x→+∞ x + 3 x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B Câu 49. lim x→−∞ 2 A. − . 3 Lời giải.  2x + 1 bằng x−3 B. 1. 1 D. − . 3 C. 2. 1 2+ 2x + 1 2 x lim = lim = = 2. 3 x→−∞ x − 3 x→−∞ 1 1− x Chọn đáp án C Câu 50. Giá trị lim  x−3 bằng +3 B. L = 0. x→3 x A. L = −∞. Lời giải. 0 x−3 = = 0. Ta có L = lim x→3 x + 3 6 Chọn đáp án B Câu 51. Giá trị lim C. L = +∞.  x−3 bằng +3 B. L = 0. x→3 x A. L = −∞. Lời giải. x−3 0 Ta có L = lim = = 0. x→3 x + 3 6 Chọn đáp án B Câu 52. Biểu thức limπ x→ 2 A. 0. C. L = +∞. D. L = 1.  sin x bằng x 2 B. . π Lời giải. D. L = 1. C. π . 2 D. 1. π sin sin x 1 2 limπ = π2 = π = . x π x→ 2 2 2 Chọn đáp án B  Câu 53. Giá trị lim x→−1 A. 2. Lời giải. x2 −1 bằng x+1 B. 1. C. 0. D. −2. x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = lim = lim (x − 1) = −2. x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 x+1 Chọn đáp án D Ta có lim x2 + 3x + 5 . x→+∞ 2 − 3x2  Câu 54. Tính lim 1 C. − . 3 1 . B. +∞. 2 Lời giải. 1 + x3 + x52 x2 + 3x + 5 1 lim = lim =− . 2 x→+∞ x→+∞ 2 − 3x2 3 −3 x2 A. 2 D. − . 3 Chọn đáp án C  Câu 55. Tính giới hạn lim x→2 A. 1. Th.s Nguyễn Chín Em x2 −x−2 . x2 − 4 B. 0. 3 C. − . 4 89 D. 3 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. x2 − x − 2 (x + 1)(x − 2) x+1 3 = lim = lim = . x→2 x→2 (x − 2)(x + 2) x→2 x + 2 x2 − 4 4 Chọn đáp án D Ta có lim Câu 56. Tính lim √ x→−∞ A. 0. Lời giải. Ta có 2x − 3 . x2 + 1 − x B. −∞.  C. −1. 2x − 3 lim √ = lim x→−∞ x2 + 1 − x x→−∞ D. 1. 3 x … = −1. 1 − 1+ 2 −1 x 2− Chọn đáp án C  Câu 57. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (2m2 − 7m + 3)x3 + x2 − (m − 1)x + 2 ≤0 (2 − m)x2 + 2x − 3 đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử của S bằng A. 13. B. 19. C. 1. D. 5. Lời giải. Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m = 2 bất phương trình trở thành −3x3 + x2 − x + 2 ≤ 0, bất phương trình không đúng với 2x − 3 x = 1 nên không thỏa mãn ycbt. Với m = 3 bất phương trình trở thành x2 − 2x + 2 ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R nên −x2 + 2x − 3 thỏa mãn ycbt. 1 x2 + x + 2 1 2 Với m = bất phương trình trở thành ≤ 0, bất phương trình không đúng với x = 1 3 2 2 x + 2x − 3 2 nên không thỏa mãn ycbt. Với m 6= 2, m 6= 3 và m 6= 1 (2m2 − 7m + 3)x3 + x2 − (m − 1)x + 2 , đặt f (x) = và đặt A = 2 (2 − m)x2 + 2x − 3 2m2 − 7m + 3 thì A 6= 0. 2−m Theo giả thiết, f (x) ≤ 0 với mọi x thuộc tập xác định của f (x). (1) – Nếu A < 0 thì lim f (x) = +∞ mâu thuẫn với (1). x→−∞ – Nếu A > 0 thì lim f (x) = +∞ mâu thuẫn với (1). x→+∞ Vậy S = {3}, nên số phần tử của S là 1. Chọn đáp án C Câu 58. Tính L = lim A. L = 1. Lời giải.  n−1 . n3 + 3 B. L = 0. C. L = 3. 1 1 − 3 2 n−1 n n Ta có lim 3 = lim = 0. Vậy L = 0. 1 n +3 1+ 3 n Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em D. L = 2.  90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 59. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 3x − 2 A. lim = −∞. − x+1 x→(−1) 3x − 2 C. lim = −∞. + x + 1 x→(−1) Lời giải. √ lim ( x2 − x + 1 + x − 2) = +∞. x→+∞ Ä√ ä 3 D. lim x2 − x + 1 + x − 2 = − . x→−∞ 2 B. Ta có: x2 − x + 1 − (x − 2)2 √ x→−∞ x2 − x + 1 − x + 2 3x − 3 = lim √ 2 x→−∞ x −x+1−x+2 Å ã 3 x 3− x Ç … å = lim x→−∞ 1 1 2 x − x− + 2 −1+ x x x 3 3− 3 x … = lim =− . x→−∞ 2 1 1 2 − x− + 2 −1+ x x x p lim ( x2 − x + 1 + x − 2) = x→−∞ lim 3x − 2 Ta có lim = +∞ − x + 1 x→(−1)  lim (3x − 2) = −5 < 0   x→(−1) − vì −   lim − (x + 1) = 0 và x + 1 < 0 khi x → (−1) . x→(−1) Ta có lim ( x→+∞ √ x2 Ç… å 1 2 1 − x + 1 + x − 2) = lim x 1− + 2 +1− = +∞. x→+∞ x x x 3x − 2 Ta có lim = −∞. + x + 1  x→(−1) lim (3x − 2) = −5 < 0   x→(−1) + vì +   lim (x + 1) = 0 và x + 1 > 0 khix → (−1) . x→(−1)+ 3x − 2 = −∞ là mệnh đề sai. x+1 Chọn đáp án A Vậy lim x→(−1)− Câu 60.  p 3 5f (x) − 16 − 4 f (x) − 16 Cho hàm số f (x) xác định trên R thỏa mãn lim = 12. Tính giới hạn lim . x→2 x→2 x−2 x2 + 2x − 8 5 5 1 B. . C. . D. . 2 12 4 1 . 5 Lời giải. f (x) − 16 Do lim = 12 nên ta có f (2) − 16 = 0 hay f (2) = 16. x→2 x−2 Ta có p 3 5f (x) − 16 − 4 5(f (x) − 16) Äp ä lim = lim p 2 x→2 x→2 (x − 2)(x + 4) 3 (5f (x) − 16)2 + 4 3 5f (x) − 16 + 16 x + 2x − 8 A. f (x) − 16 5 p p · 3 2 x→2 x−2 (x + 4)( (5f (x) − 16) + 4 3 5f (x) − 16 + 16) 5 5 = 12 · = . 6 · 48 24 = lim Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em  91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ Câu 61. Cho biết lim x→ 12 trên R có số phần tử là A. 0. Lời giải. Ta có √ lim x→ 12 Chương 4 – Giải tích 11 1 + ax2 − bx − 2 = c, với a, b, c ∈ R. Tập nghiệm của phương trình ax4 +bx2 +c = 0 4×3 − 3x + 1 B. 2. C. 3. 1 + ax2 − bx − 2 4×3 − 3x + 1 = = D. 4. lim 1 + ax2 − (bx + 2)2 Ä√ ä (4×3 − 3x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 lim (a − b2 )x2 − 4bx − 3 Ä√ ä. (2x − 1)2 (x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 x→ 21 x→ 12 1 Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình (a − b2 )x2 − 4bx − 3 = 0 phải có nghiệm kép x = . Tức là 2  0 ® 2 ® 2 ® 2 ∆ = 0 4b + 3(a − b ) = 0 b + 3b = 0 a = −3 ⇔ ⇔ ⇔ (vì a, b 6= 0) 1 2b 2 2  b = −3. 4b = a − b a = b + 4b. = 2 a−b 2 Khi a = −3, b = −3 thì I = = = lim x→ 12 −12×2 + 12x − 3 Ä√ ä (2x − 1)2 (x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 lim x→ 12 3 2 (x + 1) Ä√ −3 » 1 − 34 − 3 2 −3 1 − 3×2 − 3x + 2 +2 ä  = −2. Do đó, a = −3, b = −3, c = −2 nên phương trình −3×4 − 3×2 − 2 = 0 vô nghiệm. Chọn đáp án A x2 − x − 2 . x→−1 3×2 + 8x + 5 1 B. L = . 2  Câu 62. Tính giới hạn L = lim 3 A. L = − . 2 Lời giải. C. L = −∞. D. L = 0. x2 − x − 2 (x + 1)(x − 2) x−2 3 = lim = lim =− . 2 x→−1 3x + 8x + 5 x→−1 (x + 1)(3x + 5) x→−1 3x + 5 2 Chọn đáp án A Ta có L = lim − 3x − 4 bằng x→4 x−4 A. Không tồn tại. B. 0. Lời giải. x2 − 3x − 4 lim = lim (x + 1) = 5. x→4 x→4 x−4 Chọn đáp án C Câu 63. lim  x2 C. 5. D. 4.  x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 bằng x→1 x2018 − 1 2019 2019 B. . C. . 2018 2 Câu 64. Giá trị của lim A. 2018. D. 2018 . 2 Lời giải. Ta có x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 lim x→1 x2018 − 1 Th.s Nguyễn Chín Em (x − 1) x2017 + 2×2016 + 3×2015 + · · · + 2017x + 2018 = lim x→1 (x − 1) (x2017 + x2016 + · · · + x + 1) x2017 + 2×2016 + 3×2015 + · · · + 2017x + 2018 = lim x→1 x2017 + x2016 + · · · + x + 1 2018 · 2019 2019 2 = = . 2018 2 92  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 2019 = . 2018 x→1 x −1 2 Vậy lim Chọn đáp án C  x2 + 1 . x→1− x − 1 B. L = +∞. Câu 65. Tính giới hạn L = lim A. L = 0. C. L = −∞. D. L = 1. Lời giải.  lim (x2 + 1) = 2 > 0   −  x→1  Ta có lim (x − 1) = 0  x→1−    x − 1 < 0, ∀x < 1. x2 + 1 = −∞. Vậy L = lim x→1− x − 1 Chọn đáp án C  √ x + 1 − 5x + 1 a √ Câu 66. Giới hạn lim bằng (phân số tối giản, a > 0). Giá trị của a − b là x→3 b x − 4x − 3 9 1 C. −1. D. . A. 1. B. . 9 8 Lời giải. √ x + 1 − 5x + 1 √ lim x→3 x − 4x − 3 √ (x2 − 3x)(x + 4x − 3) √ = lim x→3 (x − 1)(x − 3)(x + 1 + 5x + 1) √ x(x + 4x − 3) √ = lim x→3 (x − 1)(x + 1 + 5x + 1) 9 = . 8 Suy ra a = 9, b = 8. Vậy a − b = 1. Chọn đáp án A Câu 67.  2x − 5 bằng x→+∞ −x + 3 lim 5 A. − . 3 Lời giải. B. −1. C. 3. D. −2. 5 2− 2x − 5 x Ta có lim = lim = −2. 3 x→+∞ −x + 3 x→+∞ −1 + x Chọn đáp án D  Câu 68. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 3x − 2 A. lim = −∞. x→(−1)− x + 1 3x − 2 C. lim = −∞. + x + 1 x→(−1) Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em √ lim ( x2 − x + 1 + x − 2) = +∞. x→+∞ Ä√ ä 3 D. lim x2 − x + 1 + x − 2 = − . x→−∞ 2 B. 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ta có: x2 − x + 1 − (x − 2)2 √ x→−∞ x2 − x + 1 − x + 2 3x − 3 = lim √ 2 x→−∞ x −x+1−x+2 Å ã 3 x 3− x Ç … å = lim x→−∞ 1 1 2 x − x− + 2 −1+ x x x 3 3− 3 x … = lim =− . x→−∞ 2 1 1 2 − x− + 2 −1+ x x x p lim ( x2 − x + 1 + x − 2) = x→−∞ lim 3x − 2 Ta có lim = +∞ − x + 1 x→(−1)  lim (3x − 2) = −5 < 0   x→(−1) − vì −   lim (x + 1) = 0 và x + 1 < 0 khi x → (−1) . x→(−1)− Ta có lim ( x→+∞ √ x2 Ç… å 1 1 2 − x + 1 + x − 2) = lim x 1− + 2 +1− = +∞. x→+∞ x x x 3x − 2 Ta có lim = −∞. + x + 1 x→(−1)  lim (3x − 2) = −5 < 0   x→(−1) + vì +   lim + (x + 1) = 0 và x + 1 > 0 khix → (−1) . x→(−1) 3x − 2 = −∞ là mệnh đề sai. x→(−1)− x + 1 Chọn đáp án A Vậy lim Câu 69.  p 3 5f (x) − 16 − 4 f (x) − 16 Cho hàm số f (x) xác định trên R thỏa mãn lim = 12. Tính giới hạn lim . x→2 x→2 x−2 x2 + 2x − 8 5 5 1 B. . C. . D. . 2 12 4 1 . 5 Lời giải. f (x) − 16 Do lim = 12 nên ta có f (2) − 16 = 0 hay f (2) = 16. x→2 x−2 Ta có p 3 5f (x) − 16 − 4 5(f (x) − 16) Äp ä lim = lim p 2 x→2 x→2 (x − 2)(x + 4) 3 (5f (x) − 16)2 + 4 3 5f (x) − 16 + 16 x + 2x − 8 A. f (x) − 16 5 p p · 3 2 x→2 x−2 (x + 4)( (5f (x) − 16) + 4 3 5f (x) − 16 + 16) 5 5 = 12 · = . 6 · 48 24 = lim Chọn đáp án B √ Câu 70. Cho biết lim x→ 21 trên R có số phần tử là A. 0. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em  1 + ax2 − bx − 2 = c, với a, b, c ∈ R. Tập nghiệm của phương trình ax4 +bx2 +c = 0 4×3 − 3x + 1 B. 2. C. 3. 94 D. 4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ta có √ lim x→ 12 1 + ax2 − bx − 2 4×3 − 3x + 1 = = lim 1 + ax2 − (bx + 2)2 Ä√ ä (4×3 − 3x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 lim (a − b2 )x2 − 4bx − 3 Ä√ ä. (2x − 1)2 (x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 x→ 21 x→ 12 1 Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình (a − b2 )x2 − 4bx − 3 = 0 phải có nghiệm kép x = . Tức là 2  0 ® 2 ® 2 ® 2 ∆ = 0 4b + 3(a − b ) = 0 b + 3b = 0 a = −3 ⇔ ⇔ ⇔ (vì a, b 6= 0) 2b 1 2 2  b = −3. 4b = a − b a = b + 4b. = 2 a−b 2 Khi a = −3, b = −3 thì I = = = lim x→ 12 −12×2 + 12x − 3 Ä√ ä (2x − 1)2 (x + 1) 1 + ax2 + bx + 2 lim x→ 12 (x + 1) Ä√ −3 » 3 1 − 34 − 2 3 2 −3 1 − 3×2 − 3x + 2 +2 ä  = −2. Do đó, a = −3, b = −3, c = −2 nên phương trình −3×4 − 3×2 − 2 = 0 vô nghiệm. Chọn đáp án A −x−2 . + 8x + 5 1 B. L = . 2 Câu 71. Tính giới hạn L = lim  x2 x→−1 3×2 3 A. L = − . 2 Lời giải. C. L = −∞. D. L = 0. x2 − x − 2 (x + 1)(x − 2) x−2 3 = lim = lim =− . 2 x→−1 3x + 8x + 5 x→−1 (x + 1)(3x + 5) x→−1 3x + 5 2 Chọn đáp án A Ta có L = lim x2 − 3x − 4 bằng x→4 x−4 A. Không tồn tại. B. 0. Lời giải. x2 − 3x − 4 lim = lim (x + 1) = 5. x→4 x→4 x−4 Chọn đáp án C  Câu 72. lim C. 5. D. 4.  x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 bằng x→1 x2018 − 1 2019 2019 B. . C. . 2018 2 Câu 73. Giá trị của lim A. 2018. D. 2018 . 2 Lời giải. Ta có x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 lim x→1 x2018 − 1 (x − 1) x2017 + 2×2016 + 3×2015 + · · · + 2017x + 2018 = lim x→1 (x − 1) (x2017 + x2016 + · · · + x + 1) 2017 x + 2×2016 + 3×2015 + · · · + 2017x + 2018 = lim x→1 x2017 + x2016 + · · · + x + 1 2018 · 2019 2019 2 = = . 2018 2 x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 2019 = . x→1 x2018 − 1 2 Chọn đáp án C  Vậy lim Th.s Nguyễn Chín Em  95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2 + 1 . x→1− x − 1 B. L = +∞. Câu 74. Tính giới hạn L = lim C. L = −∞. A. L = 0. Lời giải.  lim (x2 + 1) = 2 > 0    x→1−  Ta có lim (x − 1) = 0  x→1−    x − 1 < 0, ∀x < 1. x2 + 1 = −∞. Vậy L = lim x→1− x − 1 Chọn đáp án C Câu 75. Tính lim 2−a A. . 3 Lời giải. Ta có x2 x→1 D. L = 1.  − (a + 2)x + a + 1 x3 − 1 −2 − a B. . 3 C. −a . 3 D. a . 3 x2 − (a + 2)x + a + 1 x→1 x3 − 1 (x − 1)(x − a − 1) = lim x→1 (x − 1)(x2 + x + 1) −a x−a−1 = . = lim 2 x→1 x + x + 1 3 lim Chọn đáp án C  Câu 76. Trong các bộ bộ số (a, b) là các số nguyên dương thỏa mãn p ä Äp 7 3 9x2 + ax + 27x3 + bx2 + 5 = , x→−∞ 27 lim tồn tại bộ số (a, b) thỏa mãn hệ thức nào sau đây? A. a + 2b = 33. B. a + 2b = 34. C. a + 2b = 35. D. a + 2b = 36. Lời giải. Ta có Ä√ ä ä ä Ä√ Ä√ √ 3 lim 9x2 + ax + 3 27x3 + bx2 + 5 = lim 9x2 + ax + 3x + lim 27x3 + bx2 + 5 − 3x . x→−∞ x→−∞ Ä√ ä I1 = lim 9x2 + ax + 3x = lim Ä√ x→−∞ x→−∞ x→−∞ ax 9x2 + ax − 3x ä = − lim x→−∞ a a  =− . p a 6 9+ x +3 Ta có Äp ä 3 I2 = lim 27x3 + bx2 + 5 − 3x x→−∞ bx2 + 5 √ = lim p x→−∞ 3 (27x3 + bx2 + 5)2 + 3x 3 27x3 + bx2 + 5 + 9x2 5 b+ 2 b x = lim Ç … = . å2 … x→−∞ 27 5 5 b b 3 27 + + 3 + 3 · 3 27 + + 3 + 9 x x x x ® a=2 a b 7 + Suy ra − + = . Vì (a, b) ∈ Z nên 6 27 27 b = 16. Do đó a + 2b = 34. Chọn đáp án B  x−2 . x→+∞ x + 3 Câu 77. Tính lim 2 A. − . 3 Th.s Nguyễn Chín Em B. 1. C. 2. 96 D. −3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. 2 1− x−2 x = 1. Ta có lim = lim 3 x→+∞ x + 3 x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B  Câu 78. Trong các bộ bộ số (a, b) là các số nguyên dương thỏa mãn p ä Äp 7 3 9x2 + ax + 27x3 + bx2 + 5 = , x→−∞ 27 lim tồn tại bộ số (a, b) thỏa mãn hệ thức nào sau đây? A. a + 2b = 33. B. a + 2b = 34. C. a + 2b = 35. D. a + 2b = 36. Lời giải. Ta có Ä√ ä Ä√ ä Ä√ ä √ 3 9x2 + ax + 3 27x3 + bx2 + 5 = lim 9x2 + ax + 3x + lim 27x3 + bx2 + 5 − 3x . lim x→−∞ x→−∞ I1 = lim x→−∞ Ä√ ä 9x2 + ax + 3x = lim Ä√ x→−∞ x→−∞ ax 9x2 + ax − 3x ä = − lim x→−∞ a a  =− . p a 6 9+ x +3 Ta có Äp ä 3 I2 = lim 27x3 + bx2 + 5 − 3x x→−∞ bx2 + 5 √ = lim p x→−∞ 3 (27x3 + bx2 + 5)2 + 3x 3 27x3 + bx2 + 5 + 9x2 5 b+ 2 b x = lim Ç … = . å2 … x→−∞ 27 b 5 b 5 3 27 + + 3 + 3 · 3 27 + + 3 + 9 x x x x a b 7 Suy ra − + = . Vì (a, b) ∈ Z+ nên 6 27 27 Do đó a + 2b = 34. Chọn đáp án B Câu 79. Tính lim x→+∞ ® a=2 b = 16.  x−2 . x+3 2 A. − . 3 Lời giải. B. 1. C. 2. 2 1− x−2 x = 1. Ta có lim = lim 3 x→+∞ x + 3 x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B Å ã 1 1 Câu 80. lim − 2 bằng x→0 x x 2 A. − . B. −∞. 3 Lời Ågiải. ã 1 1 x−1 lim − 2 = lim x→0 x x→0 x2 x 1 Ta có lim (x − 1) = −1 < 0, lim 2 = +∞. x→0 x→0 x Å ã 1 1 x−1 Vậy lim = −∞, hay lim − 2 = −∞. x→0 x2 x→0 x x  C. 1. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em D. −3. D. +∞.  97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 81. lim x→+∞ Chương 4 - Giải tích 11 2x − 2 bằng 1 + 2x A. 2. 2 D. − . 3 C. −3. B. 1. Lời giải. 2 2− 2x − 2 x = 1. lim = lim x→+∞ 1 + 2x x→+∞ 1 +2 x Chọn đáp án B  √ Zk (2x − 1) dx = 4 lim Câu 82. Tìm tất cả giá trị thực của tham số k để có x→0 1 ñ k = −1 . k=2 Lời giải. Zk (2x − 1) dx = (x2 − x) A. B. k 1 ñ k=1 k = −2 . C. ñ k=1 k=2 . x+1−1 . x ñ k = −1 D. . k = −2 = k2 − k 1 ñ √ k = −1 x+1−1 4 2 4 lim = 2. Ta có k − k = 2 ⇔ = lim √ x→0 x→0 x x+1+1 k = 2. Chọn đáp án A  x2 + 2x + 1 . x→−1 2x3 + 2 Câu 83. Tính giới hạn lim 1 . 2 Lời giải. Ta có: C. −∞. B. +∞. A. D. 0. x2 + 2x + 1 (x + 1)2 x+1 = lim = lim = 0. 3 2 2 x→−1 x→−1 2(x + 1)(x − x + 1) x→−1 2(x − x + 1) 2x + 2 lim Chọn đáp án D  3x − 1 . x→+∞ 1 − 2x Câu 84. Tìm giới hạn lim 3 A. L = − . 2 Lời giải. 3 C. L = . 2 B. L = 3. 1 D. L = − . 2 1 3− 3x − 1 x = −3. Tính lim = lim 1 x→+∞ 1 − 2x x→+∞ 2 −2 x Chọn đáp án A  2 − 3x bằng x→+∞ x + 4 Câu 85. Giá trị của lim 1 . 2 Lời giải. A. 3 C. − . 4 B. −3. 2 − 3x = −3. x→+∞ x + 4 Chọn đáp án B 2017x − 2 Câu 86. lim bằng x→+∞ 2018x + 5 −2 A. . B. 0. 5 Lời giải. D. 2. Ta có lim  C. 1. D. 2017 . 2018 2 2017 − 2017x − 2 x = 2017 . lim = lim 5 x→+∞ 2018x + 5 x→+∞ 2018 2018 + x Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Chọn đáp án D  Câu 87. Khẳng định nào sau q đây là đúng?q p 3 A. lim f (x) + g(x) = 3 lim f (x) + 3 lim g(x). x→x0 x→x0 x→x0 p p p 3 3 B. lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim 3 g(x). x→x0 x→x0 x→x0 q p C. lim 3 f (x) + g(x) = 3 lim [f (x) + g(x)]. x→x0 x→x0 îp ó p p 3 D. lim f (x) + g(x) = lim 3 f (x) + 3 g(x) . x→x0 x→x0 Lời giải. Câu hỏi lý thuyết. Chọn đáp án C  x2 − 3x + 2 . x→2 x−2 B. l = 3. Câu 88. Tính l = lim A. l = 0. Lời giải. C. l = 1. D. l = 2. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) = lim = lim (x − 1) = 1. x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 Chọn đáp án C Ta có l = lim  x2 + mx + n = 3 thì m · n bằng x→1 x−1 C. 3. D. −2. Câu 89. Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn lim A. −3. B. −1. Lời giải. Xét hàm số f (x) = x2 + mx + n. Ta có f (1) = 0 ⇔ n = −1 − m. Do đó f (x) = (x − 1)(x + 1 + m). (x − 1)(x + 1 + m) x2 + mx + n = lim = lim (x + 1 + m) = 3. lim x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 ⇒ 2 + m = 3 ⇔ m = 1 ⇒ n = −2. Vậy m · n = −2. Chọn đáp án D  (1 − 2x)2 x3 . x→+∞ (x + 3)5 Câu 90. Tính giới hạn lim A. 1. Lời giải. Ta có 2 D. − . 3 C. −2. B. 4. ã2 1 −2 (1 − 2x)2 x3 x lim = lim Å ã = 4. x→+∞ (x + 3)5 x→+∞ 3 5 1+ x Å Chọn đáp án B Câu 91. lim x→+∞ −2 . 5 Lời giải.  2017x − 2 bằng 2018x + 5 A. B. 2017 . 2018 C. 0. D. 1. 2 2017 − 2017x − 2 2017 x lim = lim = . 5 x→+∞ 2018x + 5 x→+∞ 2018 2018 + x Chọn đáp án B Câu 92. lim x→−∞ x2  2x − 1 bằng + 2x + 3 A. 1. Th.s Nguyễn Chín Em C. −3. B. 0. 99 2 D. − . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. 2x − 1 Ta có lim 2 = lim x→−∞ x + 2x + 3 x→−∞ 2 1 − 2 x x = 0. 2 3 1+ + 2 x x Chọn đáp án B  Câu 93. Trong các giới hạn sau giới hạn nào có kết quả bằng 0? √ x−1 x2 − 4 A. lim ( x2 + 1 − x). B. lim 3 . C. lim 2 . x→+∞ x→1 x − 1 x→−2 x + 3x + 2 Lời giải. √ lim ( x2 + 1 − x) = lim √ x→+∞ x→+∞ x2 2x + 5 . x→−2 x + 10 D. lim 1 = 0. +1+x x−1 1 1 = lim 2 = . 3 x→1 x − 1 x→1 x + x + 1 3 lim x2 − 4 x−2 = lim = 4. 2 x→−2 x + 3x + 2 x→−2 x + 1 lim lim x→−2 2x + 5 1 = . x + 10 8 Chọn đáp án A Câu 94. lim x→−∞  3x − 1 bằng x+2 A. 2. Lời giải. C. −1. B. 3. D. 1. 1 3− 3x − 1 x = 3. Ta có lim = lim 2 x→−∞ x + 2 x→−∞ 1+ x Chọn đáp án B  x2 − 3x + 2 . x→+∞ 2x2 + 1 Câu 95. Tính giới hạn lim B. −∞. A. +∞. C. 2. D. 1 . 2 Lời giải. 2 3 1− + 2 x2 − 3x + 2 x x = 1. Ta có lim = lim 2 1 x→+∞ x→+∞ 2x + 1 2 2+ 2 x Chọn đáp án D  x+1 Câu 96. Cho hàm số f (x) = √ . Chọn đáp án đúng. x2 + 1 A. lim f (x) = 1; lim f (x) = −1. B. lim f (x) = lim f (x) = 1. x→+∞ C. x→−∞ x→+∞ lim f (x) = lim f (x) = −1. x→+∞ D. x→−∞ x→−∞ lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞. x→+∞ x→−∞ Lời giải. Ta có: Å ã 1 1 x· 1+ 1+ x+1 x x = 1. … lim f (x) = lim √ = lim … = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 1 x2 + 1 x→+∞ x· 1+ 2 1+ 2 x x Å ã 1 1 x· 1+ 1+ x+1 x … … x lim f (x) = lim √ = lim = lim = −1. x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 1 x2 + 1 x→−∞ −x · 1 + 2 − 1+ 2 x x Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Chọn đáp án A √ Câu 97. Giới hạn lim x→2 A. 1.  x+2−2 có giá trị bằng x−2 1 B. . 4 C. 1 . 2 D. 0. Lời √ giải. x+2−2 x−2 1 1  = lim √ √ lim = lim = . x→2 x→2 (x − 2) x→2 x−2 4 x+2+2 x+2+2 Chọn đáp án B x2 − 2018x + 3 . x→+∞ 2x2 + 2018x 1 B. . 2  Câu 98. Tính giới hạn lim A. 2018. Lời giải. Ta có C. 2. D. 1 . 2018 3 2018 + 2 1− x2 − 2018x + 3 x x = 1. lim = lim 2 2018 x→+∞ 2x + 2018x x→+∞ 2 2+ x Chọn đáp án B  x2 − 4 có giá trị bằng x→2 x − 2 A. 4. B. +∞. C. −∞. Lời giải. (x − 2)(x + 2) x2 − 4 ⇔ lim = lim (x + 2) = 4. Ta có lim x→2 x→2 x→2 x − 2 x−2 Chọn đáp án A Câu 99. lim Câu 100. Tìm giá trị của tham số m để lim x→−∞ B. m = −4. A. m = 4. Lời giải. D. −4.  mx − 2 = 2. 2x + 1 C. m = 2. D. m = −2. mx − 2 m = . x→−∞ 2x + 1 2 Kết quả giới hạn là hữu hạn nên m 6= 0, khi m 6= 0 ta có lim m mx − 2 =2⇒ = 2 ⇔ m = 4. x→−∞ 2x + 1 2 Theo giả thiết ta có lim Chọn đáp án A  Câu 101. Tìm giới hạn lim x→+∞ 2 . 3 Lời giải. A. 2x − 3 . 1 − 3x 2 C. − . 3 B. 2. 3 D. − . 2 3 2− 2x − 3 2 x lim = lim =− . x→+∞ 1 − 3x x→+∞ 1 3 −3 x Chọn đáp án C  p 3 f (x) + 7 − 2 f (x) − 1 Câu 102. Cho hàm số f (x) thỏa mãn lim = 2, hãy tìm I = lim . x→2 x − 2 x→2 x2 − 4 1 1 1 1 A. − . B. − . C. . D. . 24 8 24 8 Lời giải. f (x) − 1 Ta có lim = 2 ⇒ f (2) = 1. x→2 x−2 p 3 f (x) + 7 − 2 f (x) − 1 1 1 1 = . = lim · · » I = lim p 2 3 x→2 x→2 x − 2 x −4 x+2 24 (f (x) + 7)2 + 2 · 3 f (x) + 7 + 4 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em  101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 ® x3 + 1 khi x < 1 . Khi đó, lim f (x) bằng x→1 0 khi x ≥ 1 B. 2. C. 0. Câu 103. Cho hàm số f (x) = A. 1. Lời giải. Ta có lim f (x) = lim (x3 + 1) = 2, x→(1)− Suy ra x→(1)− D. Không tồn tại. lim f (x) = lim 0 = 0. x→(1)+ x→(1)+ lim f (x) 6= lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại. x→(1)− x→1 x→(1)+ Chọn đáp án D  Câu 104. Tính I = lim x→+∞ A. I = 1. Lời giải. x−2 . 1−x B. I = 2. C. I = −2. D. I = −1. ã Å 2 2 x 1− 1− x−2 x x Å ã = lim = lim Ta có I = lim = −1. x→+∞ x→+∞ 1 − x x→+∞ 1 1 −1 x −1 x x Chọn đáp án D |x − 2| . Kết luận nào dưới đây đúng? 2x − 4 1 A. lim f (x) = +∞. B. lim f (x) = −∞. C. lim f (x) = . + x→2 x→2 2 x→2 Lời giải.    lim f (x) = lim x − 2 = 1  2 x→2+ x→2+ 2x − 4 Ta có 1 2 − x    lim f (x) = lim =− . − − 2 x→2 x→2 2x − 4 Do đó không tồn tại lim f (x).  Câu 105. Cho f (x) = 1 D. lim f (x) = . + 2 x→2 x→2 Chọn đáp án D Câu 106. lim x→−2+  2x − 3 bằng 2x + 4 B. 1. A. +∞. C. −2. Lời giải.  lim (2x − 3) = −7 < 0     x→−2+ 2x − 3 lim (2x + 4) = 0 Ta có = −∞. ⇒ lim + +  x→−2 x→−2 2x + 4    2x + 4 > 0 ∀x > −2 Chọn đáp án D D. −∞.  f (x) − 1 f 3 (x) + 2f (x) − 3 = 2. Tính L = lim . x→1 x − 1 x→1 x2 − 3x + 2 A. L = 10. B. L = −10. C. L = 5. Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra lim f (x) = 1. Suy ra Câu 107. Cho lim D. L = −5. x→1   [f (x) − 1] f 2 (x) + f (x) + 3 1+1+3 L = lim =2· = −10. x→1 (x − 1)(x − 2) 1−2 Chọn đáp án B  2018 x2 + x + 1 + (x + 2)2018 − 2 · 32018 Câu 108. Tính lim x→1 (x − 1) (x + 2017) 2017 A. 4 · 3 . B. 32017 . C. 8 · 32017 . Lời giải. 2018 Đặt f (x) = x2 + x + 1 + (x + 2)2018 . Ta có  2018 x2 + x + 1 + (x + 2)2018 − 2 · 32018 f (x) − f (1) f 0 (1) lim = lim = . x→1 x→1 (x − 1) (x + 2017) (x − 1) (x + 2017) 2018 Th.s Nguyễn Chín Em 102 D. 2 · 32017 . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2017 Mà f 0 (x) = 2018 (2x + 1) x2 + x + 1 + 2018 (x + 2)2017 . Nên f 0 (1) = 2018 · 4 · 32017 . Vậy kết quả bằng 4 · 32017 . Chọn đáp án A Câu 109.  lim (x3 − 3×2 + 2x + 2018) bằng x→−∞ A. 2018. Lời giải. B. +∞. lim (x3 −3×2 +2x+2018) = lim x→−∞ ï x→−∞ D. −∞. C. 1. Å ãò Å 3 2 2018 3 2 2 x3 1 − + 2 + 3 = −∞ (do lim x3 = −∞ và lim 1 − + 2 + x→−∞ x→−∞ x x x x x 1). Chọn đáp án D  Å Câu 110. Tính L = lim x→2− A. Không tồn tại L. Lời giải. Dạng vô định ∞ − ∞. 1 1 − 2 x−2 x −4 B. L = +∞. Å L = lim x→2− ã . C. L = −∞. 1 1 − 2 x−2 x −4 ã = lim x→2− D. L = 0. x+1 = −∞. x2 − 4 Chọn đáp án C  x−2 . x→+∞ 2x + 3 Câu 111. Tính M = lim 2 A. M = − . 3 Lời giải. B. M = 0. C. M = +∞. 1 D. M = . 2 1 − x2 x−2 1 = lim = . 3 x→+∞ 2x + 3 x→+∞ 2 + 2 x Chọn đáp án D √ 2− x−3 bằng Câu 112. Giới hạn lim x→7 x2 − 49 13 1 A. 1. B. . C. − . D. −1. 4 56 Lời giải.√ 2− x−3 −1 1 7−x √ √ lim = lim =− . = lim 2 2 x→7 x − 49 x→7 (x + 7)(2 + x − 3) x→7 (x − 49)(2 + x − 3) 56 Chọn đáp án C Ta có M = lim 2x + 2017 bằng x→−∞ x + 2018 2017 . A. 2017. B. 2018 Lời giải. Với mọi x 6= 0, ta có Câu 113.   lim C. 2. D. −2. 2017 2+ 2x + 2017 x . = 2018 x + 2018 1+ x Å ã Å ã 2017 2018 2x + 2017 2 Mà lim 2 + = = 2. = 2 và lim 1 + = 1 ⇒ lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x x x + 2018 1 Chọn đáp án C Câu 114. Tính giới hạn lim x−1 . − 3x + 2 B. 1. x→1 x2 A. 0. C. −1.  1 D. − . 2 Lời giải. x−1 x−1 1 = lim = lim = −1. − 3x + 2 x→1 (x − 1)(x − 2) x→1 x − 2 Chọn đáp án C Ta có lim x→1 x2 Th.s Nguyễn Chín Em 103  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2×2 + x là x→+∞ x2 − 1 B. −1. Câu 115. Giá trị lim A. −2. Lời giải. C. 2. D. 1. 1 2+ 2×2 + x x = 2. Ta có: lim = lim 1 x→+∞ x2 − 1 x→+∞ 1− x Chọn đáp án C √ 4×2 + x + 1 + 4 1 Câu 116. Để lim = thì giá trị m thuộc tập hợp nào? x→−∞ mx − 2 2 A. [3; 6]. B. [−3; 0]. C. [−6; −3]. D. [1; 3]. Lời giải. Do x → −∞ nên coi x < 0. Khi đó: … √ 1 1 4 4x2 + x + 1 4 √ − 4+ + 2 + + 4x2 + x + 1 + 4 −2 x x x x x = lim lim = = lim . 2 2 x→−∞ x→−∞ x→−∞ mx − 2 m m− m− x x Vậy m = −4. Chọn đáp án C   Câu 117. Giới hạn lim x→−2 x+1 bằng (x + 2)2 B. −∞. A. 0. C. 3 . 16 D. +∞. Lời giải. Ta có lim (x + 1) = −1 < 0. x→−2 lim (x + 2)2 = 0. x→−2 (x + 2)2 > 0, ∀x 6= −2. x+1 = −∞. x→−2 (x + 2)2 Chọn đáp án B √ x−1 Câu 118. lim bằng x→1+ x + 1 Vậy lim A. 0. Lời giải. B.  1 . 3 D. −∞. C. +∞. √ x−1 1−1 = = 0. Ta có lim + x+1 1+1 x→1 Chọn đáp án A √  5x + 2 . x→−∞ 2018x − 1 Câu 119. Tính lim 5 . 2018 Lời giải. A. B. −2. 5x + 2 Ta có: lim = lim x→−∞ 2018x − 1 x→−∞ 5+ C. −5. 2 x 2018 − 1 x = D. −∞. 5 . 2018 Chọn đáp án A √ 3 Câu 120. Biết rằng b > 0, a + b = 5 và lim x→0 A. a2 + b2 > 10. Th.s Nguyễn Chín Em ax + 1 − x B. a − b ≥ 0. √  1 − bx = 2. Khẳng định nào dưới đây là sai? C. 1 ≤ a ≤ 3. 104 D. a2 − b2 > 6. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Lời giải. Ta có √ ax + 1 − 1 − bx 2 = lim x→0 x √ √ 3 ax + 1 − 1 1 − bx − 1 = lim − lim x→0 x→0 x x −b a − lim √ = lim √ √ 2 x→0 x→0 3 ax + 1 + 3 ax + 1 + 1 1 − bx + 1 a b = + . 3 2 √ 3 Ngoài ra a + b = 5 nên a = 3 và b = 2. Khi đó a2 − b2 = 5 < 6. Chọn đáp án D √ x+2−2 Câu 121. Tính lim . x→2 x−2 1 1 A. −∞. B. . C. +∞. D. . 4 2 Lời giải. Ta có √ x+2−2 x−2 1 1  = lim √ √ = lim = . lim x→2 (x − 2) x→2 x→2 x−2 4 x+2+2 x+2+2 Chọn đáp án B   2x − 1 Câu 122. Giá trị của lim √ bằng x→−∞ x2 + 1 − 1 A. 0. B. −2. Lời giải. 2x − 1 lim √ = lim x→−∞ x2 + 1 − 1 x→−∞ C. −∞. D. 2. 1 2− 2x − 1 x … … = lim = −2. x→−∞ 1 1 1 −x +1−1 − +1− x2 x2 x Chọn đáp án B √ Câu 123. Cho biết lim x→−∞ A. −3. Lời giải.  2 4x2 − 7x + 12 = . Giá trị của a bằng a |x| − 17 3 B. 3. C. 6. D. −6. … … 7 12 7 12 −x 4 − + 2 4− + 2 4x2 − 7x + 12 x x = 2 = 2 ⇒ a = 3. Å x ãx = lim Ta có lim = lim 17 x→−∞ x→−∞ x→−∞ 17 a |x| − 17 a 3 a+ −x a + x x Chọn đáp án B  2x − 1 bằng x→+∞ x − 1 A. −1. B. 1. Lời giải. 1 2− 2x − 1 x = 2. Ta có lim = lim 1 x→+∞ x − 1 x→+∞ 1− x Chọn đáp án C  √ Câu 124. lim C. 2. x2 + 3x − 4 bằng x→−4 x2 + 4x D. −2. Câu 125. lim A. 1. Th.s Nguyễn Chín Em B. −1. C. 105 5 . 4 5 D. − . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. x2 + 3x − 4 x−1 5 = lim = . 2 x→−4 x→−4 x + 4x x 4 Chọn đáp án C Ta có lim  Câu 126. Xét các giới hạn sau I. lim x→1− x2 − 3x + 2 = 1; |x − 1| II. lim x→1− III. lim x2 − 3x + 2 = −1; |x − 1| IV. lim x2 − 3x + 2 = 1; |x − 1| x→1+ x2 − 3x + 2 = −1; |x − 1| x→1+ Kết quả nào sau đây đúng? A. I và III. B. II và III. Lời giải. x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) lim = lim = 1. − − |x − 1| 1−x x→1 x→1 x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) lim = lim = −1. + + |x − 1| x−1 x→1 x→1 C. II và IV. D. I và IV. Chọn đáp án A  √ Câu 127. Giới hạn lim x→3 A. 0. √ 3 x+1− x+5 bằng x−3 1 B. . 2 C. 1 . 3 D. 1 . 6 Lời giải. √ √ Đặt f (x) = x + 1 − 3 x + 5, khi đó f (3) = 0. Dễ thấy hàm số có đạo hàm trên [−1; +∞) nên tồn tại f 0 (3). Do đó √ √ f (x) − f (3) x+1− 3x+5 0 f (3) = lim = lim x→3 x→3 x−3 x−3 1 1 1 1 1 Mà f 0 (x) = √ − » suy ra f 0 (3) = − = 4 12 6 2 x + 1 3 3 (x + 5)2 Chọn đáp án D  Ä√ Câu 128. Tính lim x→+∞ ä x2 + 3x + 2 − x . 7 A. . 2 Lời giải. 7 B. − . 2 lim x→+∞ 3 C. − . 2 3 . 2 3x + 2 + 3x + 2 + x Å ã 2 x 3+ x … = lim x→+∞ 3 2 |x| 1 + + 2 + x x x Å ã 2 x 3+ x Ç… å = lim x→+∞ 3 2 x 1+ + 2 +1 x x Å ã 2 3+ 3 x å= . = lim Ç… x→+∞ 2 3 2 1+ + 2 +1 x x Äp ä x2 + 3x + 2 − x = lim √ x→+∞ Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em D. x2  106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 3x + 2 . 2x − 4 3 B. L = − . 4 Câu 129. Tính giới hạn L = lim x→+∞ 1 A. L = − . 2 Lời giải. C. L = 1. 3 D. L = . 2 2 3+ 3x + 2 x = 3. Ta có L = lim = lim 4 x→+∞ 2x − 4 x→+∞ 2 2− x Chọn đáp án D  x+1 Câu 130. Giới hạn lim √ bằng x→−∞ x2 − 1 A. −∞. B. 0. Lời giải. 1 1+ x+1 … x Ta có lim √ = −1. = lim x→−∞ 1 x2 − 1 x→−∞ − 1− 2 x Chọn đáp án D D. −1. C. 1.  3x2 − 2x + 1 . Câu 131. Tính giới hạn sau lim √ x→∞ 3 8x6 − 4x3 3 A. . B. 0. C. 1. 2 Lời giải.  x2 3 − x2 + x12 3 − x2 + x12 3x2 − 2x + 1 3 » » Ta có lim √ = lim = lim = . Ä ä 4 4 x→∞ 3 8x6 − 4x3 x→∞ x→∞ 3 3 2 x2 8 − x3 8 − x3 D. +∞. Chọn đáp án A  Câu 132. Tính lim x→−∞ A. −1. 2−x . 3+x B. 2 . 3 2 C. − . 3 D. 1. Lời giải. 2 −1 2−x Ta có lim = lim x = −1. x→−∞ 3 + x x→−∞ 3 +1 x Chọn đáp án A  5x2 + 2x + 3 . x→+∞ x2 + 1 B. 2. Câu 133. Tính giới hạn lim A. 4. Lời giải. C. 3. D. 5. 3 2 5+ + 2 5x2 + 2x + 3 5 x x = lim = = 5. lim 2 1 x→+∞ x→+∞ x +1 1 1+ 2 x Chọn đáp án D  (2 − a)x − 3 √ = +∞ (với a là tham số). Giá trị nhỏ nhất của P = a2 − 2a + 4 là x→+∞ x − x2 + 1 B. 3. C. 5. D. 1. Câu 134. Biết lim A. 4. Lời giải. (2 − a)x − 3 √ = +∞ thì 2 − a < 0 ⇒ a > 2. x − x2 + 1 Xét hàm số f (a) = a2 − 2a + 4 với a > 2. Ta có bảng biến thiên sau Để lim x→+∞ Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ a Chương 4 – Giải tích 11 +∞ 2 +∞ f (a) 4 Suy ra min P = 4. Chọn đáp án A  ax2 + bx − 5 = 7. Tính a2 + b2 + a + b. x→1 x−1 C. 15 . D. 5. Câu 135. Cho a, b là các số nguyên và lim A. 18 . Lời giải. Ta có B. 1 . ax2 + bx − 5 =7 x→1 x−1 (x − 1)(ax + (a + b) − 5 + a + b) ⇔ lim =7 x→1 x−1 ⇔ lim (ax + (a + b) − 5 + a + b) = 7 x→1 ® a(1) + a + b = 7 ⇔ −5+a+b=0 ® 2a + b = 7 ⇔ a+b=5 ® a=2 ⇔ b = 3. lim ⇒ a2 + b2 + a + b = 18. Chọn đáp án A  Câu 136. Tính lim √ x→+∞ 1 A. . 4 Lời giải. x+3 . 4×2 + 1 − 2 1 B. . 2 3 C. − . 2 D. 0. 3 1+ x+3 1 x Ta có lim √ = lim … = . x→+∞ 2 1 2 4×2 + 1 − 2 x→+∞ 4+ 2 − x x Chọn đáp án B x3 − 1 . x→1 1 − x B. −3.  Câu 137. Tính giới hạn lim A. −1. Lời giải. C. 3. D. 1. x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = lim = lim (−x2 − x − 1) = −3. x→1 1 − x x→1 x→1 1−x Chọn đáp án B Ta có lim Câu 138. Giá trị lim x→−∞ A. −2.  (2x + 1)(2 − x) bằng x2 + 3 B. 2. C. 4. D. 2 . 3 Lời giải. 1 2 (2 + )( − 1) (2x + 1)(2 − x) x x lim = lim = −2. 3 x→−∞ x→−∞ x2 + 3 1+ 2 x Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 108  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 139. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn giới hạn I = lim x→+∞ I. 1 √ . a+ b Lời giải. Ta thấy B. a − A. √ I= b. C. lim Ä x→+∞ ax − Ä ä √ ax − bx2 − 2x + 2018 hữu hạn. Tính 1 . a D. 2 . a+b p ä bx2 − 2x + 2018 (a2 − b)x2 + 2x − 2018 √ x→+∞ ax + bx2 − 2x + 2018 2018 (a2 − b)x + 2 − x … I = lim x→+∞ 2 2018 a+ b− + 2 x x I= lim  2 a − b = 0 1 Từ giả thiết, ta được 2 . Do vậy, I = . I = a √ a+ b Chọn đáp án C Câu 140. Tính lim (x2 2)2018  32018 + (x + −2· (x − 1)(x + 2017) B. 32017 . C. 2 · 32017 . +x+ x→1 1)2018 A. 4 · 32017 . Lời giải. Đặt f (x) = (x2 + x + 1)2018 + (x + 2)2018 . Ta có D. 8 · 32017 . (x2 + x + 1)2018 + (x + 2)2018 − 2 · 32018 f (x) − f (1) f 0 (1) = lim = . x→1 x→1 2018 · (x − 1) (x − 1)(x + 2017) 2018 lim Mà f 0 (x) = 2018 · (x2 + x + 1)2017 · (2x + 1) + 2018 · (x + 2)2017 . Nên f 0 (1) = 2018 · 4 · 32017 . Vậy kết quả bằng 4 · 32017 . Chọn đáp án A Câu 141. 2 A. − . 3 Lời giải.  4×2 − 2 bằng x→−∞ 2×2 + 3 lim B. 4. D. −2. C. 2. 2 2 x2 (4 − 2 ) 4− 2 4×2 − 2 x = lim x = 2. lim = lim 3 3 x→−∞ 2×2 + 3 x→−∞ x→−∞ 2 x (2 + 2 ) 2+ 2 x x Chọn đáp án C  Câu 142. Giới hạn lim x3 + 3×2 + 2018 bằng  x→−∞ A. −∞. Lời giải. Ta có lim x→−∞ B. +∞. x3 + 3×2 C. 1. D. 0. ï Å ãò 3 2018 3 + 2018 = lim x 1 + + 3 = −∞. x→−∞ x x  Chọn đáp án A  Câu 143. Giá trị của lim x→+∞ A. 0. Lời giải. x−2 bằng x2 + 1 B. 1. C. 2. D. −2. Å ã 2 2 x 1− x−2 1 1− x x Å ã = lim lim = lim · = 0. 1 x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x2 + 1 1 2 1+ 2 x 1+ 2 x x Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  109 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  Câu 144. Giá trị của giới hạn lim x2 + 1 là x→2 A. 7. Lời giải.  lim x2 + 1 = 22 + 1 = 5. B. 5. C. 6. D. 4. x→2 Chọn đáp án B  √ Câu 145. Biết rằng lim ( x2 + bx + 1 − x) = 2, khi đó b bằng x→+∞ A. 2. B. 3. Lời giải. √ • lim ( x2 + bx + 1 − x) = lim √ x→+∞ x→+∞ D. −4. C. 4. bx + 1 b = . 2 x2 + bx + 1 + x • Vậy b = 4. Chọn đáp án C  x+2 bằng x→2 x B. 2. Câu 146. Giá trị của lim A. 3. Lời giải. C. 0. D. 1. x+2 2+2 = = 2. x→2 x 2 Chọn đáp án B Ta có lim  x2 + ax + b = 3 là x→3 x−3 Câu 147. Cặp (a; b) thỏa mãn lim A. a = −3, b = 0. B. a = 3, b = 0. C. a = 0, b = −9. D. Không tồn tại cặp (a; b) thỏa mãn. Lời giải. Theo đề bài ta có x2 + ax + b = (x − 3)x ⇒ a = −3, b = 0. Chọn đáp án A 5x − 2 . x→−∞ 3x + 1 2 B. I = − . 3  Câu 148. Tính giới hạn I = lim 5 A. I = . 3 Lời giải. Ta có I = lim x→−∞ C. I = 5. D. I = −2. 5 5x − 2 = . 3x + 1 3 Chọn đáp án A  x2 + ax + b = 3 là x→3 x−3 Câu 149. Cặp (a; b) thỏa mãn lim A. a = −3, b = 0. B. a = 3, b = 0. C. a = 0, b = −9. D. Không tồn tại cặp (a; b) thỏa mãn. Lời giải. Theo đề bài ta có x2 + ax + b = (x − 3)x ⇒ a = −3, b = 0. Chọn đáp án A Câu 150. lim x→+∞ A. −2. Lời giải. 2x + 8 bằng x−2 B. 4. 2+ 2x + 8 = lim x→+∞ x − 2 x→+∞ 1 − Ta có lim 8 x 2 x C. −4. D. 2. = 2. Chọn đáp án D  Câu 151. Tính giới hạn lim x→−∞ A. 0. Lời giải. Ta có lim x→−∞ −4×5 − 3×3 + x + 1 .  C. −∞. B. +∞. −4×5  − 3×3  + x + 1 = lim x→−∞ x5 Å ã 3 1 1 −4 − 2 + 4 + 5 = +∞. x x x Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em D. −4.  110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 152. Biết lim x→+∞ Ä√ Chương 4 – Giải tích 11 ä 4×2 − 3x + 1 − (ax + b) = 0. Tính giá trị biểu thức T = a − 4b. A. T = 3. B. T = −2. C. T = −1. D. T = 5. Lời giải. √ Từ giả thiết, đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 4×2 − 3x + 1, khi x → +∞. Từ đó, √ 4×2 − 3x + 1 = 2, x→+∞ Ä√ x ä b = lim 4×2 − 3x + 1 − 2x x→+∞ −3x + 1 = lim √ 2 x→+∞ 4x − 3x + 1 + 2x −3 + x1 3 = lim » =− . x→+∞ 4 4 − 3 + 12 + 2 a = lim x x Suy ra a − 4b = 5. Chọn đáp án D Câu 153. lim x→1+  x2 + 1 có giá trị là bao nhiêu? x−1 B. 2. A. +∞. C. 1. D. −∞. Lời giải. Ta có lim (x2 + 1) = 2 và lim (x − 1) = 0. Mặt khác, khi x → 1+ thì x − 1 > 0. x→1+ x→1+ x2 + 1 Vậy lim = +∞. x→1+ x − 1 Chọn đáp án A x Câu 154. lim 2 bằng x→−∞ x + 1 A. 0. B. 1. C. −∞. D. +∞. Lời giải. 1 x x = lim Ta có lim 2 = 0. 1 x→−∞ x→−∞ x + 1 1+ 2 x Chọn đáp án A √ x − x2 + x Câu 155. Tính giới hạn lim . x→−∞ x+1 A. −2. B. 2. C. 0. D. −∞. Lời giải. … … … 1 1 1 √ x − |x| 1 + x + x 1 + 1 + 1 + 2 x− x +x x = lim x = 2. Å ãx = lim lim = lim 1 x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 x+1 x+1 1+ x 1+ x x Chọn đáp án B x2 − 1 . x→1 x − 1 B. I = 0.    Câu 156. Tính giới hạn I = lim A. I = 1. C. I = 2. Lời giải. x2 − 1 (x − 1)(x + 1) I = lim = lim = lim (x + 1) = 2. x→1 x − 1 x→1 x→1 x−1 D. I = +∞. Chọn đáp án C Câu 157. lim x→−∞  2x − 1 bằng 3−x A. −2. B. 2 . 3 C. 1. D. 2. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 2− 2x − 1 x lim = −2. = lim x→−∞ 3 − x x→−∞ 3 −1 x Chọn đáp án A  Câu 158. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2 1 2 1 A. lim D. lim 3 = +∞. = +∞. B. lim = −∞. C. lim 2 = +∞. x→0+ x x→0+ x x→0+ x x→0+ x Lời giải. 2 2 Xét hàm số y = , ta có lim 2 = 2 > 0 và lim x = 0, x → 0+ suy ra x > 0. Do đó, lim = +∞. Vậy, + + + x x→0 x→0 x→0 x 2 mệnh đề sai là lim = −∞. + x→0 x Chọn đáp án B  Câu 159. Cho giới hạn lim Ä√ x→−∞ A. 3. ax2 + x + 1 − √ ä x2 + bx − 2 = 1. Tính P = a · b. B. −3. D. −5. C. 5. Lời giải. Ta có   2 + x + 1 − x2 + bx − 2 p ä Äp ax √ ax2 + x + 1 − x2 + bx − 2 = lim √ lim x→−∞ x→−∞ ax2 + x + 1 + x2 + bx − 2 (a − 1)x2 + (1 − b) x + 3 √ = lim √ . x→−∞ ax2 + x + 1 + x2 + bx − 2 Vì theo giả thiết dãy số có giới hạn hữu hạn khác 0 nên bậc tử = bậc mẫu. Do đó ta phải khử đi hệ số của bậc hai trên tử ⇔ a − 1 = 0 ⇔ a = 1. Với a = 1, ta có (a − 1)x2 + (1 − b)x + 3 (1 − b) x + 3 √ √ lim √ = lim √ 2 2 2 x→−∞ ax + x + 1 + x + bx − 2 x→−∞ x + x + 1 + x2 + bx − 2 Ü ê 3 (1 − b) + b−1 …x = lim −… . = x→−∞ 1+1 1 1 b 2 1+ + 2 + 1+ − 2 x x x x b−1 Yêu cầu bài toán ⇒ = 2 ⇒ b = 3. 1+1 ® a=1 Vậy ⇒ P = ab = 3. b=3 Chọn đáp án A  Câu 160. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Ä√ ä 3 A. lim x2 − x + 1 + x − 2 = − . B. x→−∞ 2 ä Ä√ C. lim x2 − x + 1 + x − 2 = +∞. D. x→+∞ Lời giải. Ta có lim (3x + 2) = −1 < 0; x→−1− 3x + 2 = −∞. x+1 3x + 2 lim = −∞. + x→−1 x + 1 lim x→−1− lim (x + 1) = 0 và x + 1 < 0 khi x → −1− . x→−1− 3x + 2 = +∞. x+1 Chọn đáp án B Vậy lim x→−1−  √ 4x2 + 1 Câu 161. Tính giới hạn K = lim . x→−∞ x+1 A. K = 0. B. K = 1. C. K = −2. D. K = 4. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ta có … 1 4 + |x| 2 4x + 1 x2 K = lim = lim x→−∞ x→−∞ x+1 x+1 … … 1 1 −x 4 + 2 − 4+ 2 x = lim x = lim 1 x→−∞ x→−∞ x+1 1+ x √ − 4 = −2. = 1 √ Chọn đáp án C  x+1 bằng x→−2 (x + 2)2 3 . B. 16 Câu 162. Giới hạn lim A. −∞. C. 0. D. +∞. Lời giải.  lim (x + 1) = −1 < 0     x→−2 x+1 lim (x + 2)2 = 0 Ta có: = −∞. ⇒ lim x→−2 x→−2 (x + 2)2     (x + 2)2 > 0, x 6= −2 Chọn đáp án A  Äp ä Câu 163. Cho các số thực a, b, c thoả mãn c2 + a = 18 và lim ax2 + bx − cx = −2. Tính giá trị biểu x→+∞ thức P = a + b + 5c. A. P = 18. Lời giải. Ta thấy B. P = 12. C. P = 9. lim x→+∞ ⇔ D. P = 5. ä Äp ax2 + bx − cx = −2 (a − c2 ) · x2 + bx √ = −2 x→+∞ ax2 + bx + cx lim (1) Từ (1), ta thấy a, b, c thỏa mãn hệ sau  a > 0 (vì a ≤ 0 trái giả thiết)     2   a + c = 18 a − c2 = 0     b   = −2 (2) √ a+c   a = 9 ⇒ c = −12   c = 3 (loại c = −3 vì (2)). Vậy P = 12. Chọn đáp án B  2 −5x+2 Câu 164. lim 2x x−2 bằng x→2 A. 2. Lời giải. Ta có lim x→2 B. 1. 2×2 −5x+2 x−2 C. 3. D. 3 2. = lim (2x − 1) = 3. x→2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em  113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 165. Cho lim x→1 A. 10. Chương 4 – Giải tích 11 f (x) − 10 f (x) − 10 Äp ä bằng = 5. Giới hạn lim √ x→1 x−1 ( x − 1) 4f (x) + 9 + 3 5 B. 2. C. . D. 1. 3 Lời giải. Từ giả thiết ta có f (1) = 10. Vậy √ √ f (x) − 10 (f (x) − 10) · ( x + 1) 5 · ( 1 + 1) Äp ä = lim Äp ä=p = 1. lim √ x→1 ( x − 1) x→1 (x − 1) · 4f (1) + 9 + 3 4f (x) + 9 + 3 4f (x) + 9 + 3 Chọn đáp án D  2x − 5 . x→+∞ x + 3 5 B. − . 3 Câu 166. Tìm giới hạn lim 2 . 3 Lời giải. A. C. −5. D. 2. 5 2− 2x − 5 x = 2. Ta có lim = lim 3 x→+∞ x + 3 x→+∞ 1+ x Chọn đáp án D Câu 167. Tính lim x→1+  x2 − 3x + 2 √ . 6 x + 8 − x − 17 A. −∞. B. 0. C. +∞. D. 1 . 6 Lời giải. Ta có x2 − 3x + 2 √ x→1+ 6 x + 8 − x − 17  √ (x2 − 3x + 2) 6 x + 8 + x + 17 = lim −x2 + 2x − 1 x→1+  √ (x − 2) 6 x + 8 + x + 17 . = lim −x + 1 x→1+  √ Vì lim (x − 2) 6 x + 8 + x + 17 = −36 < 0; lim (−x + 1) = 0 và −x + 1 < 0, với mọi x > 1 nên I = +∞. I = lim x→1+ x→1+ Chọn đáp án C Câu 168. lim x→1+  2x + 1 bằng x−1 A. +∞. Lời giải. B. −∞. C. 2. D. 0.   2x + 1 → 3 2x + 1 + = +∞. Khi x → 1 , ta có x − 1 → 0 suy ra lim +  x→1 x − 1  x−1>0 Chọn đáp án A Câu 169. 2x − 1 bằng x→−∞ x + 2  lim A. 2. 1 C. − . 2 B. 1. D. −2. Lời giải. 1 2− 2x − 1 x lim = lim = 2. 2 x→−∞ x + 2 x→−∞ 1+ x Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 2×2 − 8 bằng x→2 x2 + x − 6 Câu 170. lim 8 4 . B. 0. C. . 5 5 Lời giải. 2×2 − 8 2(x − 2)(x + 2) 2(x + 2) 8 lim 2 = lim = lim = . x→2 x + x − 6 x→2 (x − 2)(x + 3) x→2 x + 3 5 Chọn đáp án A Äp ä Câu 171. Tìm giới hạn I = lim x2 + 4x + 1 + x . D. 2. A.  x→−∞ A. I = −2. Lời giải. Ta có B. I = −4. C. I = 1. D. I = −1. ä Ä√ ä x2 + 4x + 1 + x x2 + 4x + 1 − x √ I = x→−∞ x→−∞ x2 + 4x + 1 − x 4x + 1 4x + 1 = lim √ = lim √ 2 2 x→−∞ x + 4x + 1 − x x→−∞ x + 4x + 1 − x 1 4+ 4 x … = lim = −2. = x→−∞ −1 − 1 4 1 − 1+ + 2 −1 x x Ä√ Äp ä lim x2 + 4x + 1 + x = lim Chọn đáp án A  x−2 bằng x→2 x2 − 4 Câu 172. Gới hạn lim A. 2. B. 4. C. 1 . 4 D. 0. Lời giải. 1 1 x−2 = lim = . 2 x→2 x + 2 x→2 x − 4 4 Chọn đáp án C Ta có: lim  x2 − 2x − 15 bằng x→5 2x − 10 A. −1. B. 4. C. −4. Lời giải. x2 − 2x − 15 (x − 5)(x + 3) x+3 lim = lim = lim = 4. x→5 x→5 x→5 2x − 10 2(x − 5) 2 Chọn đáp án B Câu 173. lim Câu 174. lim x→−∞ 3x − 1 bằng x+5 1 C. − . 5 B. −3. A. 3. D. +∞.  D. 5. Lời giải. 1 3− 3x − 1 x = 3. lim = lim 5 x→−∞ x + 5 x→−∞ 1+ x Chọn đáp án A  2x − 1 . x→−∞ x + 2 B. −2. Câu 175. Tính lim A. 2. Lời giải. Å ã 1 x 2− 2− 2x − 1 x Å ã = lim lim = lim x→−∞ x + 2 x→−∞ x→−∞ 2 1+ x 1+ x Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C. −∞. D. +∞. 1 x = 2. 2 x  115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Câu 176. Tính giới hạn lim (x3 − 3×2 + 1). x→1 A. +∞. B. 1. Lời giải. lim (x3 − 3×2 + 1) = 13 − 3 · 12 + 1 = −1. C. Không tồn tại. D. −1. x→1 Chọn đáp án D   2  x + ax + b Câu 177. Gọi a, b là các giá trị để hàm số f (x) = x2 − 4  x+1 dần tới −2. Tính 3a − b. A. 24. B. 8. C. 12. Lời giải. lim f (x) = lim (x + 1) = −1. x→−2+ khi x < −2 có giới hạn hữu hạn khi x khi x ≥ −2 D. 4. x→−2+ Suy ra f (x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới −2 khi và chỉ khi lim f (x) = −1 ⇔ lim x→−2− Do x→−2− x2 + ax + b 2x2 + ax + b − 4 = −1 ⇔ lim = 0 (∗). x2 − 4 x2 − 4 x→−2− lim (x2 − 4) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là x→−2− lim (2x2 + ax + b − 4) = 0 ⇒ 2a − b = 4. x→−2− Ngược lại, với 2a − b = 4 ta có lim x→−2− 2x2 + ax + 2a − 8 2x2 + ax + b − 4 = 0 ⇔ lim =0 x2 − 4 x2 − 4 x→−2− 2x + a − 4 =0 ⇔ lim x−2 x→−2− ⇔ a = 8. Suy ra f (x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới −2 ⇔ ® a=8 b = 12 . Vậy 3a − b = 12. Chọn đáp án C  Câu 178. Tính lim cx2 x→+∞ x2 A. a. +a . +b B. b. C. c. D. a+b . c Lời giải. a c+ 2 cx2 + a x = c = c. Ta có lim = lim b x→+∞ x→+∞ x2 + b 1 1+ 2 x Chọn đáp án C √ 4x + 1 − 1 Câu 179. Tính giới hạn K = lim . x→0 x2 − 3x 2 2 4 A. K = − . B. K = . C. K = . 3 3 3 Lời giải. Ta có  √  √ 4x + 1 − 1 4x + 1 + 1  √ K = lim x→0 (x2 − 3x) 4x + 1 + 1 4x  √ = lim x→0 x (x − 3) 4x + 1 + 1 4 2  =− . √ = lim x→0 (x − 3) 3 4x + 1 + 1 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  D. K = 0.  116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 3x2 − x − 2 . x→1 x2 − 1 Câu 180. Tính lim 5 . 2 Lời giải. B. +∞. A. C. 2. D. 3. (x − 1)(3x + 2) 3x + 2 5 3x2 − x − 2 = lim = lim = . x→1 (x − 1)(x + 1) x→1 x + 1 x→1 x2 − 1 2  Chọn đáp án A √ x+4−2   nếu x > 0 x Câu 181. Cho hàm số f (x) = (với m là tham số). Tìm giá trị của tham số m  mx + m + 1 nếu x ≤ 0 4 để hàm số có giới hạn tại x = 0. 1 1 A. m = 1. B. m = 0. C. m = . D. m = − . 2 2 Lời giải. √ x+4−2 x 1 1  = lim √ √ Ta có lim f (x) = lim = lim = . + + + + x 4 x→0 x→0 x x→0 x+4+2 x+4+2 Åx→0 ã 1 1 =m+ . lim f (x) = lim mx + m + 4 4 x→0− x→0− 1 1 Hàm số có giới hạn tại x = 0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) ⇔ m + = ⇔ m = 0. 4 4 x→0+ x→0−  Chọn đáp án B √ √ 4×2 + x + 1 − x2 − x + 3 Câu 182. Tính giới hạn lim . x→−∞ 3x + 2 1 2 1 2 A. − . B. . C. . D. − . 3 3 3 3 Lời giải. Ta có » » √ √ − 4 + x1 + x12 + 1 − x1 + x32 4×2 + x + 1 − x2 − x + 3 −2 + 1 1 lim = lim = =− . 1 x→−∞ x→−∞ 3x + 2 3 3 3+ x Ta có lim Chọn đáp án A  Câu 183. Tính L = lim x→1 A. L = −5. Lời giải. x2 + 3x − 4 . x−1 B. L = 5. C. L = 0. D. L = −3. x2 + 3x − 4 (x − 1) (x + 4) = lim = lim (x + 4) = 5. x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 Chọn đáp án B Ta có L = lim Câu 184. Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại? x 2x + 1 x A. lim . B. lim 2 . C. lim √ . 2 x→−∞ x + 1 x→−1 (x + 1) x→0 x+1 Lời giải. Ta có x lim = −∞. x→−1 (x + 1)2  D. lim cos x. x→+∞ 2 1 + 2 2x + 1 x x lim = lim = 0. 1 x→−∞ x2 + 1 x→−∞ 1+ 2 x x lim √ = 0. x→0 x+1 lim cos x không xác định. x→+∞ Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Chọn đáp án D Câu 185. lim √ x→+∞ x+1− √   x − 3 bằng A. 0. B. 2. C. −∞. D. +∞. Lời giải.  √ √ x + 1 − (x − 3) 4 Ç… å = 0. √ x + 1 − x − 3 = lim √ lim = lim … x→+∞ x→+∞ x→+∞ x+1+ x−3 √ 1 3 x 1+ + 1− x x Chọn đáp án A 2x + 1 bằng x→−∞ x − 1 A. −1. B. 1. C. 2. D. −2. Lời giải. 2 + x1 2x + 1 = 2. Ta có lim = lim x→−∞ x − 1 x→−∞ 1 − 1 x Chọn đáp án C √ 4x + 1 − 1 Câu 187. Tính giới hạn K = lim . x→0 x2 − 3x 2 2 4 A. K = − . B. K = . C. K = . D. K = 0. 3 3 3 Lời giải. √ 4x + 1 − 1 4x 4 2  = lim  =− . √ √ = lim Ta có K = lim 2 x→0 x(x − 3) x→0 x→0 (x − 3) x − 3x 3 4x + 1 + 1 4x + 1 + 1 Chọn đáp án A Câu 186.  lim   2x + 1 . x→−∞ x + 1 Câu 188. Tính giới hạn lim 1 . 2 Lời giải. 2+ 2x + 1 lim = lim x→−∞ x + 1 x→−∞ 1 + Chọn đáp án C B. 1. A. 1 x 1 x D. −1. C. 2. = 2. √ Câu 189. Cho a, b là các số thực khác 0. Tìm điều kiện a, b để giới hạn lim x→−∞ a−1 a+1 −a − 1 A. = 3. B. = 3. C. = 3. b b b Lời giải. … 3 √ 1 − +a − 2 x − 3x + ax −1 + a x lim = 3 ⇔ lim =3⇔ = 3. 1 x→−∞ x→−∞ bx − 1 b b− x Chọn đáp án A √ Câu 190. Tính lim ( x2 − 4x + 2 − x)  x2 − 3x + ax = 3? bx − 1 a−1 D. = 3. −b  x→+∞ A. −4. Lời giải. B. −2. C. 4. D. 2. √ x2 − 4x + 2 − x2 −4x + 2 lim ( x2 − 4x + 2 − x) = lim √ = lim √ 2 2 x→+∞ x→+∞ x − 4x + 2 + x x→+∞ x − 4x + 2 + x 2 −4 + x = lim … = −2. x→+∞ 4 2 1− + 2 +1 x x Chọn đáp án B  Câu 191. Giá trị của lim 2×2 − 3x + 1 bằng  x→1 A. 2. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em B. 1. C. +∞. 118 D. 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  Ta có lim 2×2 − 3x + 1 = 0 x→1 Chọn đáp án D  3×4 − 2x + 3 . x→+∞ 5×4 + 3x + 1 Câu 192. Tính giới hạn L = lim A. L = 0. 3 C. L = . 5 B. L = 3. D. L = +∞. Lời giải. ã Å 3 2 3− 3 + 4 3− x x ã = lim Å Ta có L = lim x→+∞ x→+∞ 1 3 5+ x4 5 + 3 + 4 x x Chọn đáp án C x4 2 3 + x3 x4 = 3 . 3 1 5 + 4 3 x x  Câu 193. Tìm giới hạn lim (2×3 − x2 + x − 3). x→−∞ A. +∞. Lời giải. C. −∞. B. 2. D. −3. Å ã  1 1 3 2×3 − x2 + x − 3 = lim x3 2 − + 2 − 3 . x→−∞ x→−∞ x x x ã Å 3 1 1 Ta có: lim x3 = −∞; lim 2 − + 2 − 3 = 2 > 0. x→−∞ x→−∞ x x x Do đó lim (2×3 − x2 + x − 3) = −∞. lim x→−∞ Chọn đáp án C  3−x . x→+∞ 2x + 3 Câu 194. Tính L = lim A. L = 0. B. L = −1 . 2 2 C. L = . 3 D. L = −1 . 3 Lời giải. 3 −1 1 3−x x =− . Ta có L = lim = lim 3 x→+∞ 2x + 3 x→+∞ 2 2+ x Chọn đáp án B √ √ 2 1+x− 38−x Câu 195. Cho hàm số y = f (x) = . Tính lim f (x). x→0 x 1 13 . B. . C. +∞. A. 12 12 Lời giải. √ √ √ √ 2 1+x− 38−x 1+x−1 2− 38−x Ta có y = f (x) = =2· + . x x x  D. 10 . 11 √ 1+x−1 x 1 1  = lim √ √ lim = lim = . x→0 x→0 x x→0 x 2 1+x+1 1+x+1 √ x 2− 38−x ä lim = lim Ä p √ 3 x→0 x→0 x x 4 + 2 8 − x + 3 (8 − x)2 1 1 p = lim = . √ x→0 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x)2 12 √ √ 1+x−1 2− 38−x 1 1 13 Vậy lim f (x) = 2 · lim + lim =2· + = . x→0 x→0 x→0 x x 2 12 12 Chọn đáp án B x−3 Câu 196. Tính lim √ . + x→3 x2 − 9 A. −∞. B. 0. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em C. 119 √ 6.  D. +∞. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 p √ (x − 3)2 x−3 x−3 = 0. Ta có lim √ = lim p = lim √ x→3+ x2 − 9 x→3+ (x − 3)(x + 3) x→3+ x + 3 Chọn đáp án B cos x Câu 197. Tìm giới hạn L = limπ π. x→ 2 x − 2 A. L = −1. B. L = 1. C. L = 0. Lời giải. cos x π = limπ x→ 2 x→ 2 x − 2 Chọn đáp án A Ta có L = limπ sin  D. L = π . 2 π   π −x − sin x − 2 2 = −1. = limπ π π x→ x− x− 2 2 2  Câu 198. Cho các giới hạn: lim f (x) = 2, lim g(x) = 3. Tính M = lim [3f (x) − 4g(x)]. x→x0 x→x0 x→x0 A. M = 5. B. M = 2. C. M = −6. Lời giải. Ta có M = lim [3f (x) − 4g(x)] = 3 lim f (x) − 4 lim g(x) = 6 − 12 = −6. x→x0 x→x0 D. M = 3. x→x0 Chọn đáp án C  Câu 199. Mệnh Ä√ Ä√ đề nào dưới ä đây đúng? ä 2 x + x − x = 0. B. lim x2 + x − 2x = +∞. A. lim x→+∞ x→−∞ ä 1 ä Ä√ Ä√ x2 + x − x = . D. lim x2 + x − 2x = −∞. C. lim x→−∞ x→+∞ 2 Lời giải. Tính các Ä√ giới hạn đãä cho ta được lim x2 + x − x = +∞. x→−∞ Ä ä √ lim x2 + x − 2x = −∞. x→+∞ ä 1 Ä√ x2 + x − x = . lim x→+∞ Ä ä 2 √ 2 x + x − 2x = +∞. lim x→−∞ ä 1 Ä√ Từ đó suy ra lim x2 + x − x = là mệnh đề đúng. x→+∞ 2 Chọn đáp án C √ a 2×2 + 3 + 2017 1 Câu 200. Cho số thực a thỏa mãn lim = . Khi đó giá trị của a là x→+∞ 2x + 2018 2 √ √ 2 − 2 1 −1 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có … … 3 3 2017 √ √ ax 2 + 2 + 2017 a 2+ 2 + a 2 a 2×2 + 3 + 2017 x x x Å ã lim = lim = lim = . 2018 x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2018 2x + 2018 2 2+ x 2+ x x √ √ a 2 1 2 Khi đó: = ⇔a= . 2 2 2 Chọn đáp án A √ 4×2 + x + 1 + 4 1 Câu 201. Giá trị của m để lim = thuộc tập hợp nào? x→−∞ mx − 2 2 A. m ∈ [−3; 0]. B. m ∈ [−6; −3]. C. m ∈ [1; 3]. D. m ∈ [3; 6]. Lời giải. Ä» ä −x 4 + x1 + x12 + x4 −2 −2 1 lim = . Theo đề ta phải có = hay m = −4 ∈ [−6; −3]. x→−∞ mx − 2 m m 2 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 120    https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ √ 4×2 − 2x + 1 − 1 − 2x Câu 202. Tính giới hạn lim . x→0 x A. 2. B. −1. C. −2. D. 0. Lời giải. Ta có √ √ 4×2 − 2x + 1 − 1 − 2x 4×2 ä lim = lim Ä√ √ x→0 x→0 x x 4×2 − 2x + 1 + 1 − 2x 4x 0 = lim √ = = 0. √ x→0 1+1 4×2 − 2x + 1 + 1 − 2x Chọn đáp án D  2×2 − 3x + 1 . x→1 1 − x2 1 B. L = . 4 Câu 203. Tính L = lim 1 A. L = . 2 Lời giải. 1 C. L = − . 4 1 D. L = − . 2 2×2 − 3x + 1 1 − 2x 1 = lim =− . 2 x→1 x→1 1 + x 1−x 2 Chọn đáp án D Ta có L = lim  f (x) − 16 = 24. Tính giới hạn sau x→1 x−1 Câu 204. Cho f (x) là một đa thức thỏa mãn lim lim x→1 f (x) − 16 Äp ä (x − 1) 2f (x) + 4 + 6 A. 24. B. +∞. Lời giải. f (x) − 16 Vì lim = 24 nên f (1) = 16. Khi đó x→1 x−1 C. 2. D. 0. f (x) − 16 1 f (x) − 16 Äp ä= · lim = 2. x→1 (x − 1) 12 x→1 x − 1 2f (x) + 4 + 6 lim Chọn đáp án C  √ Câu 205. Tính lim x→0 1 + 2x − x2 √ 3 1 + 3x . B. −∞. A. +∞. C. 0. D. 1 . 2 Lời √ giải. √ √ √ 1 + 2x − 3 1 + 3x 1 + 2x − (x + 1) + (x + 1) − 3 1 + 3x lim = lim . 2 x→0 x→0 x2 √x 1 + 2x − (x + 1) −x2 1  =− . √ Ta có lim = lim 2 2 x→0 x→0 x 2 x 1 + 2x + x + 1 √ (x + 1) − 3 1 + 3x x3 + 3×2 Ä ä = 1. lim = lim p √ x→0 x→0 x2 (x + 1)2 + (x + 1) 3 1 + 3x + 3 (1 + 3x)2 x2 √ √ 1 + 2x − 3 1 + 3x 1 Vậy lim = . x→0 x2 2 Chọn đáp án D  Câu 206. Tính L = lim (x2 − x + 7). x→−1 A. L = 5. B. L = 9. Lời giải. Ta có lim (x2 − x + 7) = 1 + 1 + 7 = 9. C. L = 0. D. L = 7. x→−1 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em  121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 207. Tính giới hạn lim x→(−2)− A. −∞. 3 + 2x . x+2 B. 2. C. +∞. Lời giải. Ta có: lim (3 + 2x) = −1 < 0 và x→(−2)− Suy ra Chương 4 - Giải tích 11 lim x→(−2)− D. 3 . 2 lim (x + 2) = 0; x + 2 < 0 khi x → (−2)− . x→(−2)− 3 + 2x = +∞. x+2 Chọn đáp án C  Câu 208. Tìm lim x→+∞ A. 2. Lời giải. 2x + 1 . x−1 B. 3. C. −1. D. 1. 1 2+ 2x + 1 x Ta có lim = lim = 2. 1 x→+∞ x − 1 x→+∞ 1− x Chọn đáp án A Câu 209. Tìm giới hạn lim (1 + 2x)2 x→0 A. 4. Lời giải. B. 0.  −1 x . C. 2. D. 1. 4x2 + 4x (1 + 2x)2 − 1 = lim = lim (4 + 4x) = 4. x→0 x→0 x→0 x x Chọn đáp án A ä Ä √ Câu 210. Tìm giới hạn I = lim x + 1 − x2 − x − 2 . Ta có: lim  x→+∞ 1 B. I = . 2 3 A. I = . 2 Lời giải. I = lim x→+∞ Ä C. I = 17 . 11 D. I = 46 . 31 äÄ ä Ä √ √ x + 1 − x2 − x − 2 x + 1 + x2 − x − 2 Ä ä √ x→+∞ x + 1 + x2 − x − 2 p ä x + 1 − x2 − x − 2 = lim (x + 1)2 − (x2 − x − 2) ä = lim Ä √ x→+∞ x + 1 + x2 − x − 2 3x + 3 ä = lim Ä √ x→+∞ x + 1 + x2 − x − 2 Å ã 3 x 3+ x Ç å = lim … x→+∞ 1 1 2 x 1+ + 1− − 2 x x x 3 3+ 3 … x = . = lim x→+∞ 2 1 1 2 1+ + 1− − 2 x x x Chọn đáp án A  Câu 211. Cho f (x) là một đa thức thỏa mãn lim x→1 f (x) − 16 = 24. Tính x−1 f (x) − 16 Äp ä. x→1 (x − 1) 2f (x) + 4 + 6 I = lim A. 24. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em B. +∞. C. 2. 122 D. 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 f (x) − 16 = 24 nên lim (f (x) − 16) = 0. x→1 x−1 1 1 ⇒ lim f (x) = 16 ⇒ lim p = . x→1 x→1 12 2f (x) + 4 + 6 f (x) − 16 1 f (x) − 16 Äp ä = lim · lim p = 2. Khi đó lim x→1 x→1 x→1 (x − 1) x−1 2f (x) + 4 + 6 2f (x) + 4 + 6 Vì lim x→1 Chọn đáp án C  Câu 212. Tính L = lim √ x→2 A. L = 6. Lời giải. 2−x . x+7−3 B. L = −4. C. L = 4. D. L = −6.   √ √ (2 − x) x + 7 + 3 (2 − x) x + 7 + 3 2−x Ta có: L = lim √ = lim = lim = −6 x→2 x→2 x+7−9 −(2 − x) x + 7 − 3 x→2 Chọn đáp án D Ä√ ä Câu 213. Tính I = lim 4x2 + 3x + 1 − 2x .  x→+∞ 1 A. I = . 2 Lời giải. Ta có B. I = +∞. lim x→+∞ Ä√ C. I = 0. 4x2 + 3x + 1 − 2x ä 3 D. I = . 4 4x2 + 3x + 1 − 4x2 = lim √ x→+∞ 4x2 + 3x + 1 + 2x 3x + 1 = lim √ 2 x→+∞ 4x + 3x + 1 + 2x 1 3+ x = lim … x→+∞ 3 1 4+ + 2 +2 x x 3 = . 4 Chọn đáp án D  x2 − 4 . x→2 x − 2 B. 4. Câu 214. Tính giới hạn lim A. 0. C. −4. D. 2. Lời giải. x2 − 4 lim = lim (x + 2) = 4. x→2 x − 2 x→2 Chọn đáp án B  √ 3x + 1 − 1 a a Câu 215. Biết lim = , trong đó a, b là hai số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá x→0 x b b trị biểu thức P = a2 + b2 . A. P = 13. B. P = 0. C. P = 5. D. P = 40. Lời √ giải. 3x + 1 − 1 3 3 lim = lim √ = ⇒ a = 3, b = 2 ⇒ P = a2 + b2 = 13. x→0 x→0 x 2 3x + 1 + 1 Chọn đáp án A  2x + 3 Câu 216. Tính L = lim √ . x→−∞ 2x2 − 3 √ 1 A. L = − √ . B. L = 2. 2 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 1 C. L = √ . 2 123 √ D. L = − 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Ta có 2x + 3 L = lim √ = lim x→−∞ 2x2 − 3 x→−∞ 3 2+ √ … x = − 2. 3 − 2− 2 x Chọn đáp án D  x−2 · Mệnh đề nào sau đây đúng? 3−x A. lim f (x) = +∞ và lim f (x) = 1. B. lim f (x) = −∞ và lim f (x) = −1. Câu 217. Cho hàm số f (x) = x→−∞ x→3+ D. lim f (x) = +∞ và lim f (x) = −1. x→−∞ x→3+ x→−∞ x→3+ C. lim f (x) = −∞ và lim f (x) = 1. x→−∞ x→3+ Lời giải. Ta có lim (x − 2) = 1 > 0, lim (3 − x) = 0 và 3 − x < 0 khi x → 3+ ⇒ lim f (x) = −∞. x→3+ x→3+ x→3+ 2 1− x−2 x = −1. lim f (x) = lim = lim x→−∞ x→−∞ 3 − x x→−∞ 3 −1 x Chọn đáp án B  √ x+2−2 . x→2 x−2 1 B. . 4 Câu 218. Tính giới hạn lim 1 . C. 0. 2 Lời giải. √ 1 x+2−2 1 x−2  = lim √ √ = . Ta có lim = lim x→2 x→2 x→2 (x − 2) x−2 4 x+2+2 x+2+2 A. D. 1. Chọn đáp án B  √  x+4−2   ,x > 0 x Câu 219. Cho hàm số f (x) = m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hàm số  mx + m + 1 , x ≤ 0 4 có giới hạn tại x = 0. 21 −1 A. m = 1. B. m = 0. C. m = . D. m = . 2 2 Lời giải. Hàm số có giới hạn tại x = 0 ⇔ lim f (x) = lim f (x). + − √ Å x→0 ãx→0 x+4−2 1 1 1 Vậy lim = lim mx + m + ⇔ = m + ⇔ m = 0. + − x 4 4 4 x→0 x→0 Chọn đáp án B  Câu 220. Xác định lim x→0 |x| . x2 B. −∞. A. 0. Lời giải. C. không xác định. D. +∞. 1 |x| = lim = +∞. 2 x→0 x x→0 |x| Chọn đáp án D Ta có lim  x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 bằng: x→1 x2018 − 1 2019 2019 B. . C. . 2018 2 Câu 221. Giá trị của lim A. 2018. D. 2018 . 2 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2018 + x2017 + · · · + x − 2018 x→1 x2018  −1  2018 x − 1 + x2017 − 1 + · · · + (x − 1) = lim x→1 x2018 − 1   (x − 1) x2017 + x2016 + · · · + x + 1 + (x − 1) x2016 + x2015 + · · · + x + 1 + · · · + (x − 1) · 1 = lim x→1 (x − 1) (x2017 + x2016 + · · · + x + 1) .   x2017 + x2016 + · · · + x + 1 + x2016 + x2015 + · · · + x + 1 + · · · + 1 = lim x→1 (x2017 + x2016 + · · · + x + 1) 2018 + 2017 + · · · + 1 = 2018 2019 = . 2 Chọn đáp án C lim  Câu 222. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? A. 105. B. 210. C. 84. D. 168. Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm là abc trong đó, a, b, c được lấy từ tập hợp ban đầu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, a 6= 0, B(xB ; yB ). Vì a 6= 0 nên a có 6 cách chọn Số b lấy từ tập 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên b có 7 cách chọn. Số tự nhiên cần tìm là số chẵn nên c có 4 cách chọn. Vậy số các số tự nhiên chẵn cần tìm là 6 · 7 · 4 = 168. Chọn đáp án D   Câu 223. Giá trị của giới hạn lim 3×2 + 7x + 11 là x→2 A. 37. B. 38. Lời giải.  lim 3×2 + 7x + 11 = 3 · 22 + 7 · 2 + 11 = 37. C. 39. D. 40. x→2 Chọn đáp án A  Câu 224. Giá trị của giới hạn lim √ x2 − 4 là x→ 3 A. 0. B. 1. Lời giải. Ä√ ä2 2−4 = lim x 3 − 4 = 1. √ C. 2. D. 3. x→ 3 Chọn đáp án B  1 Câu 225. Giá trị của giới hạn lim x2 sin là x→0 2 1 A. sin . B. +∞. 2 Lời giải. 1 1 Ta có lim x2 sin = 0 · sin = 0. x→0 2 2 Chọn đáp án D Câu 226. Giá trị của giới hạn lim x2 x→−1 x3 A. 1. C. −∞. D. 0.  −3 là +2 B. −2. C. 2. 3 D. − . 2 Lời giải. x2 − 3 (−1)2 − 3 lim 3 = = −2. x→−1 x + 2 (−1)3 + 2 Chọn đáp án B  x − x3 là x→1 (2x − 1) (x4 − 3) Câu 227. Giá trị của giới hạn lim A. 1. B. −2. C. 0. 3 D. − . 2 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x − x3 1 − 13 = = 0. x→1 (2x − 1) (x4 − 3) (2 · 1 − 1) (14 − 3) Chọn đáp án C lim  |x − 1| là +x−3 Câu 228. Giá trị của giới hạn lim x→−1 x4 3 A. − . 2 Lời giải. B. 2 . 3 C. 3 . 2 2 D. − . 3 |x − 1| |−1 − 1| 2 = =− . x4 + x − 3 1−1−3 3 Chọn đáp án D √ 3×2 + 1 − x Câu 229. Giá trị của giới hạn lim là x→−1 x−1 3 1 1 A. − . B. . C. − . 2 2 2 Lời giải. √ √ 3×2 + 1 − x 3+1+1 3 Ta có lim = =− . x→−1 x−1 −1 − 1 2 Chọn đáp án A Ta có lim x→−1 x→3 B. 9×2 − x = x→3 (2x − 1) (x4 − 3) Chọn đáp án C lim √ D. 5. 9 · 32 − 3 1 =√ . 4 (2 · 3 − 1) (3 − 3) 5  3 x→2 B. 3 x2 − x + 1 là x2 + 2x 1 . 2 C. 1 . 3 D. 1 . 5 22 − 2 + 1 1 = . 2 2 +2·2 2 √ 3 Câu 232. Giá trị của giới hạn lim x→2  √ 3×2 − 4 − 3x − 2 là x+1 2 B. − . C. 0. 3 √ √ √ 3 0 3×2 − 4 − 3x − 2 12 − 4 − 6 − 2 Ta có: lim = = = 0. x→2 x+1 3 3 Chọn đáp án C 3 A. − . 2 Lời giải. √ 3 Câu 233. Kết quả của giới hạn lim x→2+ A. −∞. 3 . 2  1 C. √ . 5 5. Câu 231. Giá trị của giới hạn lim 1 A. . 4 Lời giải. 2 3 x − x + 1 lim = x→2 x2 + 2x Chọn đáp án B D. 9×2 − x là (2x − 1) (x4 − 3) Câu 230. Giá trị của giới hạn lim 1 A. . 5 Lời giải.  D. +∞.  x − 15 là x−2 C. − B. +∞. 15 . 2 D. 1. Lờigiải.  lim+ (x − 15) = −13 < 0 x − 15 x→2 Vì ⇒ lim = −∞.  lim (x − 2) = 0 & x − 2 > 0, ∀x > 2 x→2+ x − 2 x→2+ Chọn đáp án A  √ x+2 Câu 234. Kết quả của giới hạn lim √ là x→2+ x−2 Th.s Nguyễn Chín Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. −∞. Chương 4 – Giải tích 11 C. − B. +∞. 15 . 2 D. Không xác định. Lời √  giải. √  lim+ x + 2 = 2 > 0 x+2 x→2 ⇒ lim √ = +∞. √ √ +  lim x − 2 = 0 & x − 2 > 0, ∀x > 2 x→2 x−2 x→2+ Chọn đáp án B  Câu 235. Kết quả của giới hạn lim + x→(−2) |3x + 6| là x+2 A. −∞. B. 3. C. +∞. Lời giải. Ta có |x + 2| = x + 2 với mọi x > −2, do đó: |3x + 6| 3 |x + 2| 3 (x + 2) lim = lim = lim = lim 3 = 3. + + + x + 2 x + 2 x+2 x→(−2) x→(−2) x→(−2) x→(−2)+ D. Không xác định. Chọn đáp án B  Câu 236. Kết quả của giới hạn lim x→2− A. −∞. |2 − x| là − 5x + 2 2×2 1 C. − . 3 B. +∞. D. 1 . 3 Lời giải. 2−x 1 1 |2 − x| = lim = lim =− . 2×2 − 5x + 2 x→2− (2 − x) (1 − 2x) x→2− 1 − 2x 3 Chọn đáp án C Ta có lim x→2− Câu 237. Kết quả của giới hạn A. −2. x2 + 13x + 30 lim p là x→−3+ (x + 3) (x2 + 5) B. 2. 2 D. √ . 15 C. 0. Lời giải. Ta có x + 3 > 0 với mọi x > −3, nên: √ x2 + 13x + 30 (x + 3) (x + 10) x + 3 · (x + 10) p p √ lim = lim = lim + + + 2 2 x→−3 x→−3 x→−3 x2 + 5 (x + 3) (x + 5) (x + 3) (x + 5) √ −3 + 3 (−3 + 7) » = = 0. (−3)2 + 5 Chọn đáp án C    √ 2x với x < 1 Câu 238. Cho hàm số f (x) = p1 − x . Khi đó lim f (x) là  x→1+  3x2 + 1 với x > 1 A. +∞. B. 2. C. 4. Lời giải. √ √ lim f (x) = lim 3×2 + 1 = 3 · 12 + 1 = 2. x→1+   D. −∞. x→1+ Chọn đáp án B   2 x + 1 với x < 1 Câu 239. Cho hàm số f (x) = 1 − x . Khi đó lim f (x) là √  x→1− 2x − 2 với x > 1 A. +∞. B. −1. C. 0. Lời giải.   lim x2 + 1 = 2  2 x +1 x→1− lim f (x) = lim = +∞ vì − −  lim (1 − x) = 0 & 1 − x > 0 (∀x < 1) . x→1 x→1 1 − x D. 1. x→1− Chọn đáp án A Câu 240. Cho hàm số f (x) = Th.s Nguyễn Chín Em  ® 2 x − 3 với x > 2 x−1 với x < 2 . Khi đó lim f (x) là x→2 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 A. −1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải.   2  lim+ f (x) = lim+ x − 3 = 1 x→2 x→2 ⇒ lim f (x) = lim f (x) = 1 ⇒ lim f (x) = 1. Ta có x→2  lim f (x) = lim (x − 1) = 1 x→2+ x→2− x→2− x→2− Chọn đáp án C Câu 241. Cho hàm số f (x) = ®√ x − 2 + 3 với x > 2 ax − 1 B. a = 2. với x < 2 A. a = 1. Lời giải.   lim− f (x) = lim− (ax − 1) = 2a − 1 x→2 x→2 Ä√ ä Ta có .  lim f (x) = lim x−2+3 =3 x→2+  . Tìm a để tồn tại lim f (x). x→2 C. a = 3. D. a = 4. x→2+ Khi đó lim f (x) tồn tại ⇔ lim f (x) = lim f (x) ⇔ 2a − 1 = 3 ⇔ a = 2. x→2− x→2 x→2+ Chọn đáp án B   2  x − 2x + 3 với x > 3 Câu 242. Cho hàm số f (x) = 1 với x = 3 . Khẳng định nào dưới đây sai?   3 − 2×2 với x < 3 A. lim f (x) = 6. B. Không tồn tại lim f (x). x→3 x→3+ D. lim f (x) = −15. C. lim f (x) = 6. x→3− x→3− Lời giải.   2  lim+ f (x) = lim+ x − 2x + 3 = 6 x→3 x→3 ⇒ lim f (x) 6= lim f (x) Ta có   lim f (x) = lim 3 − 2x2 = −15 x→3+ x→3− x→3− x→3− ⇒ không tồn tại giới hạn khi x → 3. Vậy chỉ có khẳng định lim f (x) = 6 sai. x→3− Chọn đáp án C  Câu 243. Giá trị của giới hạn lim x→−∞ B. −∞. A. 1. Lời giải. lim x→−∞ x − x3 + 1 là   x − x3 + 1 = lim x3 x→−∞ Å C. 0. 1 1 −1+ 3 x2 x ã D. +∞.  lim x3 = −∞   x→−∞ ã Å = +∞ vì 1 1   lim − 1 + = −1 < 0. x→−∞ x2 x3 Chọn đáp án D  Câu 244. Giá trị của giới hạn lim Ä x→−∞ A. 0. Lời giải. ä |x|3 + 2x2 + 3 |x| là B. +∞. C. 1. D. −∞. Å ã  2 3 3 + − 3x = lim x −1 + − 2 = +∞. x→−∞ x→−∞ x→−∞ x x 3 3 2 Giải nhanh: |x| + 2x + 3 |x| ∼ |x| → +∞ khi x → −∞. Chọn đáp án B Ä√ ä Câu 245. Giá trị của giới hạn lim x2 + 1 + x là x→+∞ √ A. 0. B. +∞. C. 2 − 1. D. −∞. Lời giải. √ √ Giải nhanh: x → +∞ : x2 + 1 + x ∼ x2 + x = 2x → +∞. Đặt x làm nhân tử chung:  lim x = +∞ Ç… å   x→+∞ Ä√ ä 1 … lim x2 + 1 + x = lim x 1 + 2 + 1 = +∞ vì 1 x→+∞ x→+∞  x  lim 1 + 2 + 1 = 2 > 0. + x x→2 Ä ä Ta có lim |x|3 + 2×2 + 3 |x| = lim Th.s Nguyễn Chín Em −x3 2×2 128  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Chọn đáp án B  Ä√ 3 √ ä Câu 246. Giá trị của giới hạn lim 3×3 − 1 + x2 + 2 là x→+∞ √ √ B. +∞. C. 3 3 − 1. D. −∞. A. 3 3 + 1. Lời giải. Ä√ ä √ √ √ √ 3 Giải nhanh: x → +∞ : 3 3×3 − 1 + x2 + 2 ∼ 3×3 + x2 = 3 3 + 1 x → +∞. Đặt x làm nhân tử chung: Ç… å … ä Ä√ √ 1 2 3 3 3 2 3x − 1 + x + 2 = lim x 3 − 3 + 1 + 2 = +∞ vì lim x→+∞ x→+∞ x x   lim x = +∞   x→+∞ Ç… å … √ 1 2 3 3   lim 3 − 3 + 1 + 2 = 3 + 1 > 0.  x→+∞ x x Chọn đáp án B  Ä√ ä Câu 247. Giá trị của giới hạn lim x 4×2 + 7x + 2x là x→+∞ A. 4. B. −∞. C. 6. Lời giải. Ä√ ä Ä√ ä Giải nhanh: x → +∞ : x 4×2 + 7x + 2x ∼ x 4×2 + 2x = 4×2 → +∞. Đặt x2 làm nhân tử chung: å Ç… Ä√ ä 7 lim x 4×2 + 7x + 2x = lim x2 4 + + 2 = +∞ x→+∞ x→+∞ x  2  lim x = +∞   x→+∞ å Ç… vì 7   lim 4 + + 2 = 4 > 0.  x→+∞ x D. +∞. Chọn đáp án D  x3 − 8 là x→2 x2 − 4 B. +∞. Câu 248. Giá trị của giới hạn lim A. 0. Lời giải. C. 3. D. Không xác định. (x − 2)(x2 + 2x + 4) x2 + 2x + 4 12 x3 − 8 = lim = lim = = 3. 2 x→2 x→2 x→2 x − 4 (x − 2)(x + 2) x+2 4 Chọn đáp án C Ta có lim  x5 + 1 là x→−1 x3 + 1 3 B. . 5 Câu 249. Giá trị của giới hạn lim 3 5 5 C. − . D. . A. − . 5 3 3 Lời giải.  (x + 1) x4 − x3 + x2 − x + 1 x5 + 1 x4 − x3 + x2 − x + 1 5 lim 3 = lim = lim = . 2 2 x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 (x + 1) (x − x + 1) x −x+1 3 Chọn đáp án D √ √ 2×3 + 6 3 Câu 250. Biết rằng lim√ = a 3 + b. Tính a2 + b2 . 2 3−x x→− 3 A. 10. B. 25. C. 5. D. 13. Lời giải. Ä ä Ä ä √ äÄ √ √ √ 2 x + 3 x2 − 3x + 3 2 x2 − 3x + 3 2×3 + 3 3 Ä√ ä Ä√ ä √ Ta có lim√ = lim√ = lim√ 3 − x2 3−x x→− 3 x→− 3 x→− 3 3−x 3+x hÄ √ ä2 √ Ä √ ä i ® 2 − 3 − 3· − 3 +3 √ a=3 18 Ä √ ä = = √ =3 3⇒ ⇒ a2 + b2 = 10. √ b=1 2 3 3− − 3 Chọn đáp án A  Câu 251. Giá trị của giới hạn lim x→−3 Th.s Nguyễn Chín Em  −x2 − x + 6 là x2 + 3x 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 2 5 . B. . C. . 3 3 3 Lời giải. (x + 3) (x − 2) x−2 −x2 − x + 6 −3 − 2 5 = lim = lim = = . lim 2 x→−3 x→−3 x→−3 x + 3x x (x + 3) x −3 3 Chọn đáp án C A. Câu 252. Giá trị của giới hạn lim √ x→3− D. 3 . 5  3−x là 27 − x3 1 5 3 A. . B. 0. C. . D. . 3 3 5 Lời giải. Ta có 3 − x > 0 với mọi x < 3, do đó: √ √ 3−x 3−x 3−x 3−3 lim √ = lim p =√ = 0. = lim √ − − − 3 2 2 x→3 x→3 27 − x 9 + 3x + x 9 + 3 · 3 + 32 (3 − x) (9 + 3x + x ) x→3 Chọn đáp án B √ x2 + π 21 7 1 − 2x − π 21 Câu 253. Giá trị của giới hạn lim là x→0 x 2π 21 2π 21 2π 21 1 − 2π 21 A. − . B. − . C. − . D. . 7 9 5 7 Lời giải. √  √  x2 + π 21 7 1 − 2x − π 21 x2 + π 21 7 1 − 2x − 1 2π 21 Ta có lim = lim + lim x = − . x→0 x→0 x→0 x x 7 Chọn đáp án A √ √ x2 + x − x Câu 254. Giá trị của giới hạn lim là x2 x→0+ A. 0. B. −∞. C. 1. D. +∞. Lời giải. √  √ x2 + x − x x2 + x − x 1 Ä√ ä = lim √ Ta có lim = lim √ = +∞ √ 2 x x→0+ x→0+ x2 x→0+ x2 + x + x x2 + x + x Ä√ √ √ ä √ x2 + x + x = 0 và x2 + x + x > 0 với mọi x > 0. vì 1 > 0; lim   x→0+ Chọn đáp án D  Câu 255. Giá trị của giới hạn lim √ 3 x→1 A. −1. Lời giải. √ 3 x−1 là 4x + 4 − 2 B. 0. C. 1. D. +∞.  » √ 3 2 3 (4x + 4) + 2 4x + 4 + 4 x−1 Ä√ ä Ta có lim √ = lim √ 3 x→1 3 4x + 4 − 2 x→1 (4x + 4 − 8) x2 + 3 x + 1 »  √ 3 (4x + 4)2 + 2 3 4x + 4 + 4 12 Ä√ ä = = 1. = lim √ 3 3 x→1 12 4 x2 + x + 1 √ 3 (x − 1) Chọn đáp án C √ √ 2 1+x− 38−x Câu 256. Giá trị của giới hạn lim là x→0 x 5 13 11 A. . B. . C. . 6 12 12 Lời giải. √ Ç √ å √ √ 2 1+x− 38−x 2 1+x−2 2− 38−x Ta có lim = lim + x→0 x→0 x x x Ö è = lim x→0 √ 2 + x+1+1 1 q 4+2 3 » 8 − x + 3 (8 − x)2 =1+ Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em  D. − 13 . 12 1 13 = . 12 12  130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ 3 Câu 257. Biết rằng b > 0, a + b = 5 và lim x→0 Chương 4 – Giải tích 11 √ ax + 1 − 1 − bx = 2. Khẳng định nào dưới đây sai? x C. a2 + b2 > 10. D. a − b < 0. A. 1 < a < 3. B. b > 1. Lời giải. å Ç√ √ √ √ 3 3 ax + 1 − 1 − bx ax + 1 − 1 1 − 1 − bx = lim + Ta có lim x→0 x→0 x x x é Ñ ax bx  » + √ = lim √ x→0 x 1+ 1−x x 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 é Ñ b a b a  = + = 2. + √ = lim  » √ 3 x→0 3 2 1+ 1−x (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1  ® a + b = 5 a+b=5 Vậy ta được: a b ⇔ ⇔ a = 3, b = 2.  + =2 2a + 3b = 12 3 2 Chọn đáp án A 2×2 + 5x − 3 là x→−∞ x2 + 6x + 3 B. +∞. C. 3.  Câu 258. Kết quả của giới hạn lim A. −2. Lời giải. 5 2+ − 2×2 + 5x − 3 x Ta có lim = lim 6 x→−∞ x2 + 6x + 3 x→+∞ 1+ + x 2×2 + 5x − 3 Giải nhanh: khi x → −∞ thì: 2 x + 6x + 3 Chọn đáp án D D. 2. 3 x2 = 2. 3 x2 2×2 ∼ 2 = 2. x  2×3 + 5×2 − 3 là x→−∞ x2 + 6x + 3 B. +∞. C. −∞. Câu 259. Kết quả của giới hạn lim A. −2. Lời giải. D. 2. 5 3 2+ − 3 2×3 + 5×2 − 3 x x Ta có: lim = lim x · = −∞. 6 3 x→−∞ x2 + 6x + 3 x→−∞ 1+ + 2 x x 3 2 2×3 2x + 5x − 3 ∼ 2 = 2x → −∞. Giải nhanh: khi x → −∞ thì: 2 x + 6x + 3 x Chọn đáp án C 2×3 − 7×2 + 11 là x→−∞ 3×6 + 2×5 − 5 B. +∞. C. 0.  Câu 260. Kết quả của giới hạn lim A. −2. Lời giải. D. −∞. 2 7 11 − 4+ 6 3 2×3 − 7×2 + 11 0 x x x Ta có: lim = lim = = 0. 2 5 x→−∞ 3×6 + 2×5 − 5 x→−∞ 3 3+ − 6 x x 3 2 2x − 7x + 11 2×3 2 1 Giải nhanh: khi x → −∞ thì: ∼ = · 3 → 0. 6 5 6 3x + 2x − 5 3x 3 x Chọn đáp án C Câu 261. Kết quả của giới hạn lim √ x→−∞ 2x − 3 là x2 + 1 − x A. −2. B. +∞. C. 3. Lời giải. √ √ √ Khi x → −∞ thì x2 = −x ⇒ x2 + 1 − x ∼ x2 − x = −x − x = −2x 6= 0 ⇒ chia cả tử và mẫu cho x, ta được Th.s Nguyễn Chín Em  131 D. −1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2x − 3 lim √ = lim x→−∞ x2 + 1 − x x→−∞ Chương 4 – Giải tích 11 3 x … = −1. 1 − 1+ 2 −1 x 2− Chọn đáp án D  (2 − a) x − 3 Câu 262. Biết rằng √ có giới hạn là +∞ khi x → +∞ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất x2 + 1 − x của P = a2 − 2a + 4. A. Pmin = 1. B. Pmin = 3. C. Pmin = 4. D. Pmin = 5. Lời giải. √ √ √ Khi x → +∞ thì x2 = x ⇒ x2 + 1 − x ∼ x2 − x = x − x = 0. ⇒ Nhân lượng liên hợp: å ã Ç… Å Ä√ ä (2 − a) x − 3 3 1 2 2 Ta có lim √ = lim ((2 − a) x − 3) x + 1 + x = lim x 2 − a − 1+ 2 +1 . x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x x2 + 1 − x  2  lim x = +∞   x→+∞ (2 − a) x − 3 å Ç… = +∞ Vì ⇒ lim √ 1 x→+∞  x2 + 1 − x  1+ 2 +1 =4>0 lim  x→+∞ x Å ã 3 ⇔ lim 2 − a − = 2 − a > 0 ⇒ a < 2. x→+∞ x ä Ä√ 2x − 3 Giải nhanh: ta có x → +∞ ⇒ √ x2 + 1 + x = ((2 − a) x − 3) x2 + 1 − x Ä√ ä ∼ (2 − a) x · x2 + x = 2 (2 − a) x → +∞ ⇔ a < 2. Khi đó P = a2 − 2a + 4 = (a − 1)2 + 3 > 3, P = 3 ⇔ a = 1 < 2 ⇒ Pmin = 3. Chọn đáp án B  √ 4x2 − x + 1 là Câu 263. Kết quả của giới hạn lim x→−∞ x+1 A. −2. B. −1. C. −2. D. +∞. Lời giải. √ √ −2x 4x2 − x + 1 4x2 Giải nhanh: khi x → −∞ ⇒ ∼ = = −2. x+1 … x x 1 1 √ √ − 4− + 2 − 4 4x2 − x + 1 x x Cụ thể: lim = = lim = −2. 1 x→−∞ x→−∞ x+1 1 1+ x  Chọn đáp án C √ 4x2 − 2x + 1 + 2 − x √ Câu 264. Kết quả của giới hạn lim là x→+∞ 9x2 − 3x + 2x 1 1 B. +∞. C. −∞. D. . A. − . 5 5 Lời giải. √ √ 4x2 − 2x + 1 + 2 − x 4x2 − x 2x − x 1 √ Giải nhanh: khi x → +∞ ⇒ ∼√ = = . 2 2 3x + 2x 5 9x − 3x + 2x 9x + 2x … 2 1 2 √ 4− + 2 + −1 4x2 − 2x + 1 + 2 − x 1 x x x √ … Cụ thể: lim = lim = . 2 x→+∞ x→+∞ 5 3 9x − 3x + 2x 9− +2 x Chọn đáp án D  √ 4x2 − 2x + 1 + 2 − x √ Câu 265. Biết rằng L = lim > 0 là hữu hạn (với a, b là tham số). Khẳng định x→−∞ ax2 − 3x + bx nào dưới đây đúng? 3 3 √ . A. a > 0. B. L = − . C. L = D. b > 0. a+b b− a Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 Ta phải có ax2 − 3x √ > 0 trên (−∞; α) ⇔ a >√0. Ta có x → −∞ ⇒ 4×2 − 2x + 1 + 2 − x ∼ 4×2 − x = −3x 6=√ 0. 4×2 − 2x + 1 + 2 − x √ Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó lim > 0 khi và chỉ khi x→−∞ ax2 − 3x + bx √ ax2 − √ bậc 1. √3x + bx là đa thức √ √ 2 Ta có √ ax − 3x + bx ∼ ax2 + bx = (− a + b) x ⇒ − a + b 6= 0. √ 4×2 − 2x + 1 + 2 − x −3x 3 √ √ > 0 ⇔ b > a. Khi đó ∼ √ = − a+b b− a ax2 − 3x + bx Chọn đáp án C  √ 3 x3 + 2×2 + 1 √ Câu 266. Kết quả của giới hạn lim là x→−∞ 2×2 + 1 √ √ 2 2 A. . B. 0. C. − . D. 1. 2 2 Lời giải. √ √ 3 3 x3 + 2×2 + 1 x3 x 1 √ = √ = −√ . Giải nhanh: x → −∞ ⇒ ∼√ 2 2 − 2x 2 2x + 1 … 2x 2 1 3 √ 1+ + 3 3 x3 + 2×2 + 1 1 … x x = −√ . √ Cụ thể: lim = lim x→−∞ x→−∞ 1 2 2×2 + 1 − 2+ 2 x Chọn đáp án C  ä Ä√ Câu 267. Tìm tất cả các giá trị của a để lim 2×2 + 1 + ax là +∞. x→−∞ √ √ A. a > 2. B. a < 2. C. a > 2. D. a < 2. Lời giải. Ä √ √ √ √ ä Giải nhanh: x → −∞ ⇒ 2x2 + 1 + ax ∼ 2x2 + x = − 2x + ax = a − 2 x → +∞ √ √ ⇔ a − 2 < 0 ⇔ a < 2. Ç … å Ä√ ä 1 Cụ thể: vì lim x = −∞ nên lim 2x2 + 1 + ax = lim x − 2 + 2 + a = +∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ x Ç … å √ √ 1 ⇔ lim − 2 + 2 + a = a − 2 < 0 ⇔ a < 2. x→−∞ x Chọn đáp án B  Câu 268. Giá trị của giới hạn lim x→−∞ 2x3 − x  2 là A. 1. B. +∞. C. −1. D. −∞. Lời giải. Giải nhanh: x → −∞ ⇒ 2x3 − x2 ∼ 2x3 → −∞.  lim x3 = −∞  Å ã  x→−∞  1 Å ã Cụ thể: lim 2x3 − x2 = lim x3 2 − = −∞ vì . 1 x→−∞ x→−∞  x  lim 2 − = 2 > 0. x→−∞ x Chọn đáp án D Å ã 1 1 Câu 269. Giá trị của giới hạn lim − 2 là x −4 x→2− x − 2 A. −∞. B. +∞. C. 0. D. 1. Lời giải. Å ã Å ã Å ã 1 1 x+2−1 x+1 − 2 = lim = lim = −∞. Ta có lim x −4 x2 − 4 x→2− x − 2 x→2− x→2− x2 − 4 Vì lim (x + 1) = 3 > 0; lim x2 − 4 = 0 và x2 − 4 < 0 với mọi x ∈ (−2; 2).  Chọn đáp án A  x→2− x→2− Å Câu 270. Biết rằng a + b = 4 và lim x→1 Th.s Nguyễn Chín Em ã a b − hữu hạn. Tính giới hạn 1 − x 1 − x3 Å ã b a L = lim − . x→1 1 − x3 1−x 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1. Lời giải. Chương 4 - Giải tích 11 B. 2. C. 1. D. −2. ã b a + ax + ax2 − b a + ax + ax2 − b a − = lim = lim . Ta có lim x→1 (1 − x) (1 + x + x2 ) x→1 1 − x 1 − x3 ã x→1 1 − x3 Å a b Khi đó lim − hữu hạn ⇔ 1 + a · 1 + a · 12 − b = 0 ⇔ 2a − b = −1. x→1 1 − x 1 − x3® ® Å ã a+b=4 a=1 a b Vậy ta có ⇔ ⇒ L = − lim − x→1 1 − x 1 − x3 2a − b = −1 b=3 2 x +x−2 − (x + 2) = 1. = − lim = − lim 2 x→1 (1 − x) (1 + x + x ) x→1 1 + x + x2 Chọn đáp án C Ä√ ä Câu 271. Giá trị của giới hạn lim 1 + 2x2 − x là x→+∞ √ A. 0. B. +∞. C. 2 − 1. D. −∞. Lời giải. å Ç… Ä√ ä 1 + 2 − 1 = +∞. Ta có lim 1 + 2x2 − x = lim x x→+∞ x→+∞ x2 Ç… å √ 1 Vì lim x = +∞; lim + 2 − 1 = 2 − 1 > 0. 2 x→+∞ x→+∞ x Ä√ ä √ √ √ Giải nhanh: x → +∞ ⇒ 1 + 2×2 − x ∼ 2×2 − x = 2x − x = 2 − 1 x → +∞. Å Chọn đáp án B   ä Ä√ Câu 272. Giá trị của giới hạn lim x2 + 1 − x là x→+∞ A. 0. B. +∞. C. 1 . 2 D. −∞. Lời giải. √ √ x → +∞ ⇒ x2 + 1 − x ∼ x2 − x = x − x = 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp. √ 1 1 1 Giải nhanh: x → +∞ ⇒ x2 + 1 − x = √ ∼√ → 0. = 2 2 2x x +1+x x +x 1 Ä√ ä 1 0 x Cụ thể: lim x2 + 1 − x = lim √ = lim … = = 0. 2 x→+∞ x→+∞ 2 1 x + 1 + x x→+∞ 1+ 2 +1 x Chọn đáp án A Ä√ √ ä √ 5×2 + 2x + x 5 = a 5 + b. Tính S = 5a + b. Câu 273. Biết rằng lim  x→−∞ A. S = 1. B. S = −1. C. S = 5. D. S = −5. Lời giải. √ √ √ √ √ √ x → −∞ ⇒ 5×2 + 2x + x 5 ∼ 5×2 + x 5 = − 5x + x 5 = 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp: √ √ 2x √ Giải nhanh: x → −∞ ⇒ 5×2 + 2x + x 5 = √ 5×2 + 2x − x 5 2x 2x 1 √ = −√ . ∼√ √ = 2 −2 5x 5 5x − x 5 Ä√ √ ä 2x 2 √ . Cụ thể: Ta có lim 5x + 2x + x 5 = lim √ x→−∞ x→−∞ 5×2 + 2x − x 5 a = − 1 2 2 1 1√ 5 ⇒ S = −1. … √ √ = lim = =− =− 5⇒ x→−∞  5 2 √ −2 5 5 b=0 − 5+ − 5 x Chọn đáp án A Ä√ ä √ Câu 274. Giá trị của giới hạn lim x2 + 3x − x2 + 4x là  x→+∞ 7 A. . 2 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 1 B. − . 2 C. +∞. 134 D. −∞. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ √ √ x2 + 3x − x2 + 4x ∼ x2 − x2 = 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp: √ √ −x √ Giải nhanh: x → +∞ ⇒ x2 + 3x − x2 + 4x = √ 2 x + 3x + x2 + 4x −x 1 −x √ = =− . ∼√ 2 x2 + x2 Ä 2x ä √ √ −x √ x2 + 3x − x2 + 4x = lim √ Cụ thể: lim 2 x→+∞ x→+∞ x + 3x + x2 + 4x 1 −1 … =− . = lim … x→+∞ 2 3 4 1+ + 1+ x x Chọn đáp án B Ä√ ä √ 3 Câu 275. Giá trị của giới hạn lim 3×3 − 1 + x2 + 2 là x→−∞ √ √ 3 B. +∞. C. 3 3 − 1. D. −∞. A. 3 + 1. Lời giải. Ä√ ä √ √ √ √ 3 Giải nhanh: x → −∞ ⇒ 3 3×3 − 1 + x2 + 2 ∼ 3×3 + x2 = 3 3 − 1 x → −∞. Ç… å … Ä√ ä √ 1 2 3 3 3 2 Cụ thể: lim 3x − 1 + x + 2 = lim x 3 − 3 − 1 + 2 = −∞ x→−∞ x→−∞ x x Ç… å … √ 1 2 3 3 − 3 − 1 + 2 = 3 3 − 1 > 0. Vì lim x = −∞, lim x→−∞ x→−∞ x x  Chọn đáp án D  Khi x → +∞ ⇒ √ Ä√ ä √ Câu 276. Giá trị của giới hạn lim x2 + x − 3 x3 − x2 là x→+∞ 5 B. +∞. C. −1. D. −∞. A. . 6 Lời giải. √ √ √ √ 3 Khi x → +∞√⇒ x2 + √ x − 3 x3 − xÄ2√ ∼ x2 − xä3 =Äx − x√= 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp: ä Giải nhanh: x2 + x − 3 x3 − x2 = x2 + x − x + x − 3 x3 − x2 x x2 x x2 » √ √ √ ∼ + =√ + . √ 3 6 x2 + 1 + x x2 + x 3 x3 − 1 + 3 (x3 − 1)2 x2 + x x2 + x x3 + x6 5 1 1 = + = (x → +∞). 2 3 6 Ä√ ä Ä√ ä √ √ Cụ thể: lim x2 + x − 3 x3 − x2 = lim x2 + x − x + x − 3 x3 − x2 x→+∞ x→+∞ Ñ é 2 x x 1 1 5 √ » = lim + = + = . √ 2 3 3 x→+∞ 2 2 3 6 x + 1 + x x2 + x x3 − 1 + (x3 − 1) Chọn đáp án A  Câu 277. Giá trị của giới hạn lim x→+∞  √ √ 3 2x − 1 − 3 2x + 1 là A. 0. B. +∞. C. −1. Lời giải. √ √ √ √ x → +∞ ⇒ 3 2x − 1 − 3 2x + 1 ∼ 3 2x − 3 2x = 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp: √ √ −2 » Giải nhanh: 3 2x − 1 − 3 2x + 1 = » √ 3 3 2 (2x − 1) + 4×2 − 1 − 3 (2x + 1)2 −2 −2 √ √ = √ → 0. ∼ √ 3 3 3 3 4×2 + 4×2√+ 4×2 √3 4×2  3 Cụ thể: lim 2x − 1 − 3 2x + 1 D. −∞. x→+∞ −2 » = lim » = 0. p x→+∞ 3 2 3 (2x − 1) + (2x − 1) (2x + 1) + 3 (2x + 1)2 Chọn đáp án A  ï Å ãò 1 Câu 278. Kết quả của giới hạn lim x 1 − là x→0 x A. +∞. B. −1. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 135 C. 0. D. +∞. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 ï Å ãò 1 Ta có lim x 1 − = lim (x − 1) = 0 − 1 = −1. x→0 x→0 x Chọn đáp án B … x Câu 279. Kết quả của giới hạn lim (x − 2) là 2 + x −4 x→2 A. 1. B. +∞. C. 0. D. −∞. Lời giải. √ √ √ … x x−2· x 0· 2 √ = Ta có lim (x − 2) = lim = 0. x2 − 4 x→2+ 2 x→2+ x+2 Chọn đáp án C … 2x + 1 Câu 280. Kết quả của giới hạn lim x là 3 + x2 + 2 x→+∞ 3x √ 6 2 A. . B. . C. +∞. D. −∞. 3 3 Lời giải. √ √ √ … … 2x + 1 2x 6 6 6 1 1 = Giải nhanh: x → +∞ ⇒ x ∼x· ·x· √ = ·x· = . 2 3×3 + x2 + 2 3×2 3 3 x 3 Œx 1 √ … 2+ 2x + 1 x2 (2x + 1) 6 x Cụ thể: lim x = = lim = lim . 1 2 x→+∞ 3×3 + x2 + 2 x→+∞ 3×3 + x2 + 2 x→+∞ 3 3+ + 3 x x Chọn đáp án B Å ã 1 2 Câu 281. Kết quả của giới hạn lim x sin πx − 2 là x→0 x A. 0. B. −1. C. π. D. +∞. Lời giải. ã Å  1 2 Ta có lim x sin πx − 2 = lim x2 sin πx − 1 = −1. x→0 x→0 x Chọn đáp án B …  x 3 là Câu 282. Kết quả của giới hạn lim x +1 2 + x −1 x→(−1) A. 3. B. +∞. C. 0. D. −∞. Lời giải. x Với x ∈ (−1; 0) thì x + 1 > 0 và > 0. Do đó x − 1 …  … x x 3 2 lim x +1 = lim (x + 1) x − x + 1 2−1 + + x (x − 1) (x + 1) x→(−1) x→(−1) …  √ x = lim x + 1 x2 − x + 1 = 0. + x−1 x→(−1)     Chọn đáp án C  ĐÁP ÁN 1. 11. 21. 31. 41. 51. 61. 71. 81. 91. 101. 111. B C D B D B A A B B C D 2. 12. 22. 32. 42. 52. 62. 72. 82. 92. 102. 112. C D C C C B A C A B C C 3. 13. 23. 33. 43. 53. 63. 73. 83. 93. 103. 113. Th.s Nguyễn Chín Em B C A C D D C C D A D C 4. 14. 24. 34. 44. 54. 64. 74. 84. 94. 104. 114. C C B B A C C C A B D C 5. 15. 25. 35. 45. 55. 65. 75. 85. 95. 105. 115. A B C A B D C C B D D C 6. 16. 26. 36. 46. 56. 66. 76. 86. 96. 106. 116. 136 D A A C A C A B D A D C 7. 17. 27. 37. 47. 57. 67. 77. 87. 97. 107. 117. B C B A A C D B C B B B 8. 18. 28. 38. 48. 58. 68. 78. 88. 98. 108. 118. C B B B B B A B C B A A 9. 19. 29. 39. 49. 59. 69. 79. 89. 99. 109. 119. B A D C C A B B D A D A 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. 120. D A B D B B A B B A C D https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 121. 131. 141. 151. 161. 171. 181. 191. 201. 211. 221. 231. 241. 251. 261. 271. 281. B A C B C A B D B C C B B C D B B 122. 132. 142. 152. 162. 172. 182. 192. 202. 212. 222. 232. 242. 252. 262. 272. 282. B A A D A C A C D D D C C B B A C 123. 133. 143. 153. 163. 173. 183. 193. 203. 213. 223. 233. 243. 253. 263. 273. Th.s Nguyễn Chín Em B D A A B B B C D D A A D A C A 124. 134. 144. 154. 164. 174. 184. 194. 204. 214. 224. 234. 244. 254. 264. 274. C A B A C A D B C B B B B D D B 125. 135. 145. 155. 165. 175. 185. 195. 205. 215. 225. 235. 245. 255. 265. 275. C A C B D A A B D A D B B C C D Chương 4 – Giải tích 11 126. 136. 146. 156. 166. 176. 186. 196. 206. 216. 226. 236. 246. 256. 266. 276. 137 A B B C D D C B B D B C B B C A 127. 137. 147. 157. 167. 177. 187. 197. 207. 217. 227. 237. 247. 257. 267. 277. D B A A C C A A C B C C D A B A 128. 138. 148. 158. 168. 178. 188. 198. 208. 218. 228. 238. 248. 258. 268. 278. D A A B A C C C A B D B C D D B 129. 139. 149. 159. 169. 179. 189. 199. 209. 219. 229. 239. 249. 259. 269. 279. D C A A A A A C A B A A D C A C 130. 140. 150. 160. 170. 180. 190. 200. 210. 220. 230. 240. 250. 260. 270. 280. D A D B A A B A A D C C A C C B https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI 3. Chương 4 – Giải tích 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a; b) nếu: lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Nếu tại điểm x0 hàm số y = f (x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f (x). Nhận xét. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu ba điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: 1 f (x) xác định tại x0 . 2 lim f (x) tồn tại. 3 x→x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Hàm số y = f (x) gián đoạn tại điểm x0 nếu có ít nhất 1 trong 3 điều kiện trên không thỏa mãn. Nếu sử dụng giới hạn một bên thì: 1 Nếu lim f (x) tồn tại và lim f (x) = f (x0 ) thì hàm số được gọi là liên tục trái tại điểm x0 − − x→x0 x→x0 2 Nếu lim f (x) tồn tại và lim f (x) = f (x0 ) thì hàm số được gọi là liên tục phải tại điểm x0 + + x→x0 x→x0 3 Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) x→x+ 0 x→x0 x→x− 0 Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm Cho hàm số y = (x) xác định trên (a; b). Giả sử x0 và x (x 6= x0 ) là hai phần tử của (a; b)  Hiệu x−x0 , ký hiệu: ∆x, được gọi là số gia của đối số tại điểm x0 . Ta có: ∆x = x−x0 ⇔ x = x0 +∆x.  Hiệu y − y0 , ký hiệu: ∆y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm x0 . Ta có: ∆y = y − y0 = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f (x) tại điểm x0 như sau: Định lí 1. Một hàm số y = f (x), xác định trên (a; b), là liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu và chỉ nếu lim ∆y ∆x→0 Chứng minh: Thật vậy, ta có: lim f (x) = f (x0 ) ⇔ lim (f (x) − f (x0 )) = 0 ⇔ lim ∆y = 0. x→x0 2 x→x0 ∆x→0 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2. Ta có: 1 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó. 2 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó: • Liên tục trong khoảng (a; b). • lim f (x) = f (a) (liên tục phải tại điểm a). x→a+ • lim f (x) = f (b) (liên tục trái tại điểm b). x→b− Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 y 3  Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.  Khi ta nói hàm số y = f (x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó. a b x O CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) cuẩ các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó: 1 Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) − g(x) và y = f (x) · g(x) liên tục tại điểm x0 2 Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 nếu g(x0 ) 6= 0. g(x) Định lí 3. Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó. y Định lí 4. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) · f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0. f (b) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a)·f (b), thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoang (a; b) a c O b x f (a) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng I Phương pháp: ® Cho hàm số f (x) = f1 (x) khi x 6= x0 . f2 (x) khi x = x0 Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giới hạn lim f (x) = lim f1 (x) = L. x→x0 x→x0 Bước 2: Tính f (x0 ) = f2 (x0 ). Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương trình L = f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận. Ví dụ 1. 1 Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:  3 x − 8 g(x) = x − 2  5 nếu x 6= 2 nếu x = 2. 2 Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2. Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. x3 − 8 = lim (x2 + 2x + 4) = 12, x→2 x→2 x − 2 x→2 như vậy ta được lim g(x) 6= g(2). 1 Ta có: g(2) = 5; lim g(x) = lim x→2 Vậy hàm số gián đoạn tại điểm x0 = 2. 2 Nếu thay 5 bằng 12 thì hàm số sẽ liên tục tại điểm x0 = 2.  Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1:  2  x − 1 nếu x 6= 1 f (x) = x − 1  x+a nếu x = 1. Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. x2 − 1 = lim (x + 1) = 2, x→1 x→1 x − 1 Ta có: f (1) = a + 1, lim f (x) = lim x→1 Vậy ta có: Nếu 2 = a + 1 ⇔ a = 1 ⇔ f (1) = 2 = lim f (x), thì hàm số liên tục tại điểm x0 = 1. x→1 Nếu 2 6= a + 1 ⇔ a 6= 1 ⇔ f (1) 6= 2 = lim f (x), thì hàm số gián đoạn tại điểm x0 = 1. x→1  Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng II Phương pháp: ® Cho hàm số f (x) = f1 (x) khi x < x0 f2 (x) khi x ≥ x0 . Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính f (x0 ) = f2 (x0 ). Bước 2: (Liên tục trái) Tính: lim f (x) = lim f1 (x) = L1 . x→x− 0 x→x− 0 Đánh giá hoặc giải phương trình L1 = f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận về liên tục trái. Bước 3:(Liên tục phải) Tính: lim f (x) = lim f2 (x) = L2 . x→x+ 0 x→x+ 0 Đánh giá hoặc giải phương trình L2 = f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận về liên tục phải. Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1 = L2 , từ đó đưa ra kết luận. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ® (x + 1)2 với x ≤ 0 gián đoạn tại điểm x = 0. 1 Hàm số: f (x) = x2 + 2 với x > 0  1  với x ≤ 1  √ x−2 liên tục trên tập xác định của nó. 2 Mỗi hàm số g(x) = x − 3 và h(x) =  − 1 với x > 1 x Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 1 Hàm số xác đinh với mọi x ∈ R.  2 Ta có: lim f (x) = lim x→0+ x→0+ x + 2 = 2 và lim f (x) = lim (x + 1)2 = 1. x→0− x→0− ⇒ lim f (x) 6= lim f (x). x→0+ x→0− Tức là, hàm số gián đoạn tại điểm x = 0. 2 Hàm số xác đinh với mọi x ∈ R. Trước tiên ta thấy hàm số liên tục với mọi x 6= 1. Xét tính liên tục của Å hàm ã số tại điểm x0 = 1, ta có: 1 1 lim f (x) = lim − = −1 và lim f (x) = lim = −1, f (1) = −1. + + − − x x − 2 x→1 x→1 x→1 x→1 ⇒ lim f (x) = lim f (x) = f (1) x→1+ x→1− Tức là, hàm số gián đoạn tại điểm x = 1. Vậy, liên tục trên tập xác định của nó.   2   x − 3x + 2 khi x 6= 1 |x − 1| Ví dụ 2. Cho hàm số: f (x) = .  a khi x = 1 1 Tìm a để f (x) liên tục trái tại điểm x = 1. 2 Tìm a để f (x) liên tục phải tại điểm x = 1. 3 Tìm a để f (x) liên tục trên R. Lời giải.   x − 2 x > 1 Ta có: f (x) = a khi x = 1 .   2 − x khi x < 1 1 Để f (x) liên tục trái tại điểm x = 1 ⇔ lim f (x) tồn tại và lim f (x) = f (1). x→1− x→1− Ta có lim f (x) = lim (2 − x) = 1 và f (1) = a. x→1− x→1− Vậy, điều kiện là a = 1. 2 Để f (x) liên tục phải tại điểm x = 1 ⇔ lim f (x) tồn tại và lim f (x) = f (1). x→1+ x→1+ Ta có lim f (x) = lim (x − 2) = −1 và f (1) = a. x→1+ x→1+ Vậy, điều kiện là a = −1. 3 Hàm số liên tục trên R trước hết phải có lim f (x) =⇔ lim ⇔ 1 = −1 (mâu thuẫn). x→1− x→1+ Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên R.  Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng Phương pháp áp dụng Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I, chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn. Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao. Bước 3: Kết luận. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a. Hàm số f (x) = x4 − x2 + 2 liên tục trên R. Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ b. Các hàm số f (x) = x3 − x + 3 và g(x) = Chương 4 - Giải tích 11 x3 − 1 liên tục tại mọi điểm x ∈ R. x2 + 1 Lời giải. a. Hàm số f (x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên R. b. Ta lần lượt có nhận xét: Hàm số f (x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên R. Hàm số g(x) là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định (tức là trên R).  Ví dụ 2. Chứng minh rằng: √ a. Hàm số f (x) = 8 − 2x2 liên tục trên đoạn [−2; 2]. Å ò √ 1 ; +∞ . b. Các hàm số f (x) = 2x − 1 liên tục trên nửa khoảng 2 Lời giải. a. Hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2]. » √ Với x0 ∈ (−2; 2), ta có: lim f (x) = lim 8 − 2x2 = 8 − 2x20 = f (x0 ). x→x0 x→x0 Vậy, hàm số liên tục trên khoảng (−2; 2). Ngoài ra, sử dụng giới hạn một bên ta chứng minh được: Hàm số f (x) liên tục phải tại điểm x0 = −2. Hàm số f (x) liên tục trái tại điểm x0 = 2. Vậy, hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2].Å ò 1 b. Hàm số xác định trên nửa khoảng ; +∞ . 2 Å ã 1 Với xo ∈ ; +∞ , ta có: 2 √ √ lim f (x) = lim 2x − 1 = 2xo − 1 = f (xo ). x→x0 x→x0 Å ã 1 Vậy, hàm số liên tục trên khoảng ; +∞ . 2 Ngoài ra, sử dụng giới hạn một bên, ta chứng minh được: 1 Hàm số f (x) liên tục phải tại điểm xo = . 2 ï ã 1 Vậy, hàm số liên tục trên nửa khoảng ; +∞ . 2  Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng hàm số sau liên tục trên R.  x cos 1 khi x 6= 0 x2 f (x) = .  0 khi x = 0 Lời giải. Hàm số f (x) liên tục với mọi x 6= 0. Xét tính liên tục của f (x) tại điểm x = 0. Ta có: ã Å 1 1 1 1 x cos 2 = |x| · cos 2 ≤ |x| ⇒ − |x| ≤ x cos 2 ≤ |x| ⇒ lim x cos 2 = 0. x→0 x x x x Mặt khác f (0) = 0. Do đó, lim f (x) = f (0) ⇒ hàm số liên tục tại điểm x = 0. x→0 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R.  Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số. ® 2 x + x khi x < 1 . f (x) = ax + 1 khi x ≥ 1 Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R 1. Khi x < 1, ta có f (x) = x2 + x là hàm số đa thức nên liên tục với x < 1. 2. Khi x > 1, ta có f (x) = ax + 1 là hàm số đa thức nên liên tục với x > 1. 3. Khi x = 1, ta có: lim f (x) = lim x→1− x→1−  x2 + x = 2 lim f (x) = lim (ax + 1) = a + 1. x→1+ x→1+ f (1) = a + 1. Do đó: ? Nếu a = 1 thì lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 2, do đó hàm số liên tục tại xo = 1 x→1− x→1+ ? Nếu a 6= 1 thì lim f (x) 6= lim f (x), do đó hàm số gián đoạn tại xo = 1. x→1− x→1+ Kết luận: – Nếu a = 1, hàm số liên tục trên toàn trục số. – Nếu a 6= 1, hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại xo = 1.  Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh Phương pháp áp dụng Cho phương trình f (x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm trong [a, b] , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Chọn các số a < T1 < T2 < ... < Tk−1 < b chia đoạn [a, b] thành k đoạn thõa mãn  :  f (a).f (T1 ) < 0 .....   f (Tk−1 ).f (b) < 0 Bước 2: Kết luận về số nghiệm của phương trình trên [a, b] Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1) Lời giải. Xét hàm số f (x) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta có :f (−1).f (1) = −3.1 = −3 < 0 Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiện trong khoảng (−1; 1)  Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình x2 cos x + x sin x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π). Lời giải. Xét hàm số f (x) = x2 cos x + xsinx + 1 liên tục trên khoảng (0; π) ta có : f (0).f (π) = 1 − π 2 < 0 Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; π)  Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn −1. Lời giải. Xét hàm số f (x) = x3 + x + 1 liên tục trên R .Ta có : f (−1).f (0) = −1.1 = −1 < 0 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1) . Do đó nó có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn −1  √ Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình 2x + 6 3 1 − x = 3 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−7; 9). Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 √ Đặt t = 3 1 − x.Khi đó phương trình có dạng 2t3 − 6t + 1 = 0 Xét hàm số f (t) = 2t3 − 6t + 1 liên tục trên R. Ta có : f (−2) = −3 ; f (0) = 1 ; f (1) = −3 ; f (2) = 5 Ta có : f (−2).f √(0) = −3 < 0 nên phương trình có 1 nghiệm t1 ∈ (−2; 0) Khi đó : t1 = 3 1 − x ⇒ x1 = 1 − t1 3 và t1 ∈ (1; 9) f (0).f (1) = −3 √< 0 nên phương trình có 1 nghiệm t2 ∈ (0; 1) Khi đó : t2 = 3 1 − x ⇒ x2 = 1 − t2 3 và t2 ∈ (0; 1) f (1).f (2) = −√ − 15 < 0 nên phương trình có 1 nghiệm t3 ∈ (−7; 0) 3 Khi đó : t3 = 1 − x ⇒ x3 = 1 − t3 3 và t3 ∈ (−7; 0) Vậy : Phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng (−7; 9)  Dạng 5. Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số Phương pháp áp dụng: Sử dụng kết quả : "Nếu hàm số y = f (x) liên tục và không triệt tiêu trên đoạn [a; b] thì có dấu nhất định trên khoảng (a; b)" Ví dụ 1. Xét dấu hàm số : f (x) = √ x+4− √ 1−x− √ 1 − 2x Lời giải.   1 Hàm số f (x) liên √ đoạn −4;√2 . Giải phương trình f (x) = 0 . Ta có : √ tục trên f (x) = 0 ⇔ 1 − x + 1 − 2x = x + 4   x≤1    1−x≥0     1 ⇔ 1 − 2x ≥ 0 ⇔ x≤ »  » 2  1 − x + 1 − 2x + 2 (1 − x)(1 − 2x) = x + 4    (1 − x)(1 − 2x) = 2x + 1  1     − 1 ≤x≤ 1 x ≤ 2 2 2 ⇔x=0 ⇔ 2x + 1 ≥ 0 ⇔  2   2x + 7x = 0  (1 − x)(1 − 2x) = (2x + 1)2  Như vậy trên các khoảng [−4; 0) và 0; 21 hàm số f (x) không triệt tiêu . Do đó : √ √ √ Vì f (−1) =» 3 −» 2 − 3 < 0 nên f (x) < 0∀x ∈ [−4; 0)  Vì f ( 12 ) = 92 − 12 > 0 nên f (x) > 0∀x ∈ 0; 12 C  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số f (x) = √ 1 liên tục trên: x+4 B. [−4; 3). C. (−4; 3]. 3−x+ √ A. [−4; 3]. D. [−∞; −4] ∪ [3; +∞). Lời giải. ® ® 3−x>0 x > −4 Điều kiện: ⇔ ⇒ TXĐ: D = (−4; 3] ⇒ hàm số liên tục trên (−4; 3). x+4>0 x 6 −3 Xét tại x = 3, ta có Å ã √ 1 1 = √ = f (3) ⇒ Hàm số liên tục trái tại x = 3. lim f (x) = lim 3−x+ √ − − x→3 x→3 x+4 7 Vậy hàm số liên tục trên (−4; 3]. Chọn đáp án C  Câu 2. Hàm số f (x) = A. [−1; 1]. x3 + x cos x + sin x liên tục trên: 2 sin x + 3 Å ã 3 B. [1; 5]. C. − ; +∞ . 2 D. R. Lời giải. Vì 2 sin x + 3 6= 0 với mọi x ∈ R ⇒ TXĐ D = R ⇒ Hàm số liên tục trên R. Chọn đáp án D Câu 3. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R với f (x) = Th.s Nguyễn Chín Em 144  x2 − 3x + 2 với mọi x 6= 1. Tính f (1). x−1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 A. 2. B. 1. C. 0. Lời giải. Vì f (x) liên tục trên R nên suy ra x2 − 3x + 2 f (1) = lim f (x) = lim = lim (x − 2) = −1. x→1 x→1 x→1 x−1 Chọn đáp án D D. −1. √ Câu 4. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên [−3; 3] với f (x) = f (0). x+3− x √ √ 3 2 3 A. . B. . C. 1. 3 3 Lời giải. Vì f (x) liên tục trên [−3; √ ra √ 3] nên suy x+3− 3−x 1 2 √ =√ . f (0) = lim f (x) = lim = lim √ x→0 x→0 x→0 x x+3+ 3−x 3 Chọn đáp án B Câu 5. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên (−4; +∞) với f (x) = √ √  3−x với x 6= 0. Tính D. 0.  x với x 6= 0. Tính x+4−2 f (0). A. 0. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Vì f (x) liên tục trên m < −5 nên suy ra  √ x f (0) = lim f (x) = lim √ = lim x + 4 + 2 = 4. x→0 x→0 x + 4 − 2 x→0 Chọn đáp án C  2  x − x − 2 khi x 6= 2 Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x = 2. x−2  m khi x = 2 A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 3. Lời giải. Tập xác định: D = R, chứa x = 2. Theo giả thiết thì ta phải có x2 − x − 2 m = f (2) = lim f (x) = lim = lim (x + 1) = 3. x→2 x→2 x→2 x−2 Chọn đáp án D  3 2  x − x + 2x − 2 khi x 6= 1 Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục x−1  3x + m khi x = 1 x = 1. A. m = 0. B. m = 2. C. m = 4. D. m = 6. Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Theo giả thiết ta phải có x3 − x2 + 2x − 2 (x − 1)(x2 + 2) 3 + m = f (1) = lim f (x) = lim = lim = lim (x2 + 2) = 3 x→1 x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 ⇔ m = 0. Chọn đáp án A √  x − 1 khi x 6= 1 x−1 Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y = f (x) = liên tục tại x = 1.  k+1 khi x = 1 1 1 A. k = . B. k = 2. C. k = − . D. k = 0. 2 2 Lời giải. Hàm số f (x) có TXĐ: D = [0; √ +∞). Điều kiện bài toán tương đương với x−1 1 1 1 k + 1 = y(1) = lim y = lim = lim √ = ⇔k=− . x→1 x→1 x − 1 x→1 2 2 x+1 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 145   tại   https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  √ 3 − x khi x 6= 3 x+1−2 Câu 9. Biết rằng hàm số f (x) = liên tục tại x = 3 (với m là tham số). Khẳng  m khi x = 3 định nào dưới đây đúng? A. m ∈ (−3; 0). B. m 6 −3. C. m ∈ [0; 5). D. m ∈ [5; +∞). Lời giải. Hàm số f (x) có tập xác định là (−1; +∞). Theo giả thiết  √ ta phải có  √ (3 − x) x + 1 + 2 3−x m = f (3) = lim f (x) = lim √ = lim = − lim x + 1 + 2 = −4. x→3 x→3 x→3 x−3 x + 1 − 2 x→3 Chọn đáp án B   x2 sin 1 khi x 6= 0 x Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x = 0.  m khi x = 0 A. m ∈ (−2; −1). B. m 6 −2. C. m ∈ [−1; 7). D. m ∈ [7; +∞). Lời giải. 1 6 x2 → 0 khi x → 0 ⇒ lim f (x) = 0. Với mọi x 6= 0 ta có 0 6 |f (x)| = x2 sin x→0 x Theo giải thiết ta phải có: m = f (0) = lim f (x) = 0. x→0 Chọn đáp án C    tan x khi x 6= 0 sin x x Câu 11. Biết rằng lim liên tục trên khoảng nào sau đây? = 1. Hàm số f (x) = x→0 x  0 khi x = 0  π  π π A. 0; . B. x = 0 . C. − ; . D. (−∞; +∞). 2 4 4 Lời giải. Å ã nπ o  π π  Å π 3π ã S π 3π Tập xác định: D = R + kπ|k ∈ Z = + kπ; + kπ = · · · ∪ − ; ∪ + ∪ ··· 2 2 2 2 2 2 k∈Z 2 1 1 sin x tan x = lim · =1· = 1 6= 0 = f (0) Ta có lim f (x) = lim x→0 x x→0 x→0 x cos x cos 0 ⇒ f (x) không liên tục tại x = 0. Chọn đáp án A    sin πx khi x 6= 1 sin x = 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = x − 1 Câu 12. Biết rằng lim x→0 x  m khi x = 1 liên tục tại x = 1. A. m = −π. B. m = π. C. m = −1. D. m = 1. Lời giải. Tập xác định D = R. Điều kiện bài toán tương đương với sin πx sin (πx − π + π) m = f (1) = lim f (x) = lim = lim x→1 x→1 x − 1 x→1 x−1 ï ò − sin π (x − 1) sin π(x − 1) = lim = lim (−π) · (∗). x→1 x→1 x−1 π(x − 1) Đặt t = π(x ï − 1) thì òt → 0 khi x → 1. Do đó (∗) trở thành: sin t = −π. m = lim (−π) · t→0 t Chọn đáp án A     1 + cos x khi x 6= π sin x 2 Câu 13. Biết rằng lim = 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = (x − π) x→0 x  m khi x = π liên tục tại x = π. π π 1 1 A. m = . B. m = − . C. m = . D. m = − . 2 2 2 2 Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Điều kiện của bài toán trở thành: Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  x π 2 x 2sin − 1 + cos x 2 = lim 2 2 m = f (π) = lim f (x) = lim = lim x→π x→π (x − π)2 x→π (x − π)2 x→π x − π)2  x π  2  sin − 1 2  (∗) = lim   x 2 π  2 x→π − 2 2 Å ã x π sin t 2 1 2 1 1 Đặt t = − → 0 khi x → 1. Khi đó (∗) trở thành: m = lim = ·1 = . 2 2 2 t→0 t 2 2 Chọn đáp án C  3 khi x = −1     4 x +x Câu 14. Hàm số f (x) = khi x 6= −1, x 6= 0 liên tục tại:   x2 + x   1 khi x = 0 A. mọi điểm trừ x = 0, x = 1. B. mọi điểm x ∈ R. C. mọi điểm trừ x = −1. D. mọi điểm trừ x = 0. Lời giải. Hàm số y = f (x) có TXĐ: D = R. Dễ thấy hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; −1), (−1; 0) và (0; +∞). (i) Xét tại x = −1, ta có 2cos2  x4 + x x(x + 1)(x2 − x + 1) = lim = lim (x2 − x + 1) = 3 = f (−1) x→−1 x2 + x x→−1 x→−1 x(x + 1) lim f (x) = lim x→−1 ⇒ hàm số y = f (x) liên tục tại x = −1. (ii) Xét tại x = 0, ta có  x4 + x x(x + 1)(x2 − x + 1) = lim = lim x2 − x + 1 = 1 = f (0) 2 x→0 x + x x→0 x→0 x(x + 1) lim f (x) = lim x→0 ⇒ hàm số y = f (x) liên tục tại x = 0. Chọn đáp án B   0,5 khi x = −1     x(x + 1) Câu 15. Số điểm gián đoạn của hàm số f (x) = khi x 6= −1, x 6= 1 là 2−1  x    1 khi x = 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Hàm số y = f (x) có tập xác định D = R. x(x + 1) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; −1), (−1; 1) và (1; +∞). Hàm số f (x) = 2 x −1 x(x + 1) x 1 (i) Xét tại x = −1, ta có lim f (x) = lim = lim = = f (−1) 2 x→−1 x→−1 x − 1 x→−1 x − 1 2 ⇒ Hàm số liên tục tại x = −1. x(x + 1) x   = lim = +∞  lim+ f (x) = lim+ 2 + x − 1 x − 1 x→1 x→1 x→1 (ii) Xét tại x = 1, ta có  x(x + 1) x   lim f (x) = lim = lim = −∞ 2 − − − x −1 x→1 x→1 x→1 x − 1 ⇒Hàm số y = f (x) gián đoạn tại x = 1. Chọn đáp án B  ® 2 2 m x khi x 6 2 Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục trên (1 − m)x khi x > 2 R? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 TXĐ: D = R. Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 2); (2; +∞). Khi đó f (x) liên tục trên R ⇔f (x) liên tục tại x = 2. ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (2). (∗) x→2 x→2+ x→2− 2  f (2) = 4m    m = −1  lim f (x) = lim [(1 − m)x] = 2(1 − m) ⇒ (∗) ⇔ 4m2 = 2(1 − m) ⇔  Ta có x→2 + 1 x→2+  m= .  2 2 2   lim f (x) = lim m x = 4m 2 x→2− x→2− Chọn đáp án A  ®√ Câu 17. Biết rằng hàm số f (x) = khi x ∈ [0; 4] x 1 + m khi x ∈ (4; 6] liên tục trên [0; 6]. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m < 2. B. 2 6 m < 3. C. 3 < m < 5. D. m > 5. Lời giải. Dễ thấy f (x) liên tục trên mỗi khoảng (0; 4) và (4; 6). Khi đó hàm số liên tục trên đoạn [0; 6] khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4, x = 0, x = 6. Tức  là ta cần có lim f (x) = f (0)   x→0+   lim f (x) = f (6) . (∗) x→6−     lim f (x) = lim f (x) = f (4) x→4− x→4+  √  lim f (x) = lim x = 0 x→0+ x→0+ ; f (0) = √0 = 0 ( lim f (x) = lim (1 + m) = 1 + m x→6− x→6− ; f (6) = 1 + m  √ lim f (x) = lim x = 2   − −  x→4  x→4 lim f (x) = lim (1 + m) = 1 + m .  x→4+ x→4+    f (4) = 1 + m Khi đó (∗) trở thành 1 + m = 2 ⇔ m = 1 < 2. Chọn đáp án A   2   x − 3x + 2 khi x 6= 1 |x − 1| Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số f (x) = liên tục trên  a khi x = 1 R? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Hàm số f (x) liên tục trên (−∞; 1) và (1; +∞). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có lim f (x) = f (1) ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1).(∗) x→1 x→1+ x→1− Ta có    x − 2 khi x > 1  lim− f (x) = lim− (2 − x) = 1 x→1 x→1 khi x = 1 ⇒ f (x) = a   lim f (x) = lim (x − 2) = −1  2 − x khi x < 1 x→1+ x→1+ ⇒ (∗) không thỏa mãn với mọi a ∈ R. Vậy không tồn tại giá trị thỏa yêu cầu. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 148  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/  x2 − 1  √ x−1 Câu 19. Biết rằng f (x) =  a nào dưới đây về giá trị a là đúng? A. a là một số nguyên. khi x 6= 1 Chương 4 - Giải tích 11 liên tục trên đoạn [0; 1] (với a là tham số). Khẳng định khi x = 1 B. a là một số vô tỉ. C. a > 5. D. a < 0. Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên [0; 1). Khi đó f (x) liên tục trên [0; 1] khi và chỉ khi lim f (x) = f (1).(∗) x→1−   f (1) = a ⇒ (∗) ⇔ a = 4. Ta có   √ x2 − 1  = lim (x + 1) x + 1 = 4  lim− f (x) = lim− √ x − 1 x→1− x→1 x→1 Chọn đáp án A   √ x − 1 2−x−1 Câu 20. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  −2x khi x < 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? khi x > 1 A. f (x) không liên tục trên R. B. f (x) không liên tục trên (0; 2). C. f (x) gián đoạn tại x = 1. D. f (x) liên tục trên R. Lời giải. Dễ thấy hàm số liên tục trên (−∞; 1) và (1; +∞).  f (1) = −2     lim f (x) = lim (−2x) = −2 x→1+ Ta có x→1+ ⇒ f (x) liên tục tại x = 1.  î Ä√ äó  x − 1   lim f (x) = lim √ = lim − 2 − x + 1 = −2 x→1− x→1− 2 − x − 1 x→1− Vậy hàm số f (x) liên tục trên R. Chọn đáp án D  x2 − 5x + 6  √ 4x − 3 − x Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f (x) =  1 − a2 x 2 A. − √ . 3 2 B. √ . 3 khi x > 3  liên tục tại x = 3. khi x 6 3 4 C. − . 3 D. 4 . 3 Lời giải. Điều kiện bài toán trở thành: lim f (x) = lim f (x) = f (3). x→3+ x→3−  2 f (3) = 1 − 3a     √   (x − 2) 4x − 3 + x x2 − 5x + 6 lim f (x) = lim √ = −3 = lim Ta có 1−x x→3+ x→3+ 4x − 3 − x x→3+      lim f (x) = lim (1 − a2 x) = 1 − 3a3 . x→3− x→3− 2 2 ⇒ (∗) ⇔ a = ± √ ⇒ amin = − √ . 3 3 Chọn đáp án A  √ 3  3x + 2 − 2   x−2 Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số f (x) =  1  a2 x + 4 A. amax = 3. B. amax = 0. C. amax = 1. khi x > 2 liên tục tại x = 2. khi x 6 2 D. amax = 2. Lời giải. Ta cần có lim f (x) = lim f (x) = f (2).(∗) x→2+ Th.s Nguyễn Chín Em x→2− 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  7   f (2) = 2a2 −   4  √   3 3x + 2 − 2 1 lim f (x) = lim = Ta có ⇒ (∗) ⇔ a = ±1 ⇒ amax = 1. + +  x − 2 4 x→2 x→2  ã Å    7 1   lim f (x) = lim a2 x + = 2a2 − − − 4 4 x→2 x→2 Chọn đáp án C ® 1 − cos x khi x 6 0 Câu 23. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = √ . Khẳng định nào sau đây đúng? x+1 khi x > 0 A. f (x) liên tục tại x = 0. B. f (x) liên tục trên (−∞; 1). C. f (x) không liên tục trên R. D. f (x) gián đoạn tại x = 1. Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có f (x)liên tục trên (−∞; 0) và (0; +∞).  f (0) = 1    lim f (x) = lim (1 − cos x) = 1 − cos 0 = 0 Mặt khác x→0− ⇒ f (x) gián đoạn tại x = 0. x→0−  √ √    lim f (x) = lim x + 1 = 0 + 1 = 1 x→0+  x→0+ Chọn đáp án C   cos πx 2 Câu 24. Tìm các khoảng liên tục của hàm số f (x) = x − 1 khi |x| 6 1 . Mệnh đề nào sau đây là khi |x| > 1 sai? A. Hàm số liên tục tại x = −1. B. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞, −1); (1; +∞). C. Hàm số liên tục tại x = 1. D. Hàm số liên tục trên khoảng (−1, 1). Lời giải. Ta có f (x) liên tục trên (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞).   π  =0 f (−1) = cos − 2 ⇒ f (x) gián đoạn tại x = −1. Ta có   lim f (x) = lim (x − 1) = −2 x→(−1)− x→(−1)−  π  =0 f (1) = cos   2   lim f (x) = lim (x − 1) = 0 ⇒ f (x) liên tục tại x = 1. Ta có x→1 + x→1+    πx   lim f (x) = lim cos =0 − − 2 x→1 x→1 Chọn đáp án A   x2    khi x < 1, x 6= 0 x Câu 25. Cho hàm số f (x) = . Hàm số f (x) liên tục tại: 0 khi x = 0    √x khi x > 1 A. mọi điểm thuộc R. B. mọi điểm trừ x = 0. C. mọi điểm trừ x = 1. D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1. Lời giải. Hàm số y = f (x) có TXĐ: D = R. Dễ thấy  hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 0), (0; 1) và (1; +∞). f (0) = 0       x2 lim f (x) = lim = lim x = 0 ⇒ f (x) liên tục tại x = 0. Ta có x→0− x→0− x x→0−   2   x   lim f (x) = lim = lim x = 0 + + x→0 x→0 x x→0+ Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  f (1) = 1      x2 = lim x = 1 ⇒ f (x) liên tục tại x = 1. lim f (x) = lim Ta có x→1− x→1− x→1− x   √    lim f (x) = lim x = 1 x→1+ x→1+ Vậy hàm số y = f (x) liên tục trên R. Chọn đáp án A  2 x −1   khi x < 3, x 6= 1   x−1 Câu 26. Cho hàm số f (x) = 4 khi x = 1 . Hàm số liên tục tại:    √  x+1 khi x > 3 A. mọi điểm thuộc R. B. mọi điểm trừ x = 1. C. mọi điểm trừ x = 3. D. mọi điểm trừ x = 1 và x = 3. Lời giải. Hàm số y = f (x) có TXĐ: D = R. Dễ thấy  hàm số y = f (x) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 1), (1; 3) và (3; +∞). f (1) = 4 2 Ta có ⇒ f (x) gián đoạn tại x = 1.  lim f (x) = lim x − 1 = lim (x + 1) = 2 x→1 x − 1 x→1  x→1 f (3) = 2  2 Ta có ⇒ f (x) gián đoạn tại x = 3.  lim f (x) = lim x − 1 = lim (x + 1) = 4 x→3− x→3− x→3− x − 1 Chọn đáp án D  2x khi x < 0   2 Câu 27. Số điểm gián đoạn của hàm số h(x) = x + 1 khi 0 6 x 6 2 là:   3x − 1 khi x > 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. Hàm số y = h(x) có TXĐ: D = R. Dễ thấy ( hàm số y = h(x) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 0), (0; 2) và (2; +∞). h(0) = 1 ⇒ f (x) không liên tục tại x = 0. Ta có lim h(x) = lim 2x = 0 − − x→0  x→0 h(2) = 5      lim h(x) = lim x2 + 1 = 5 ⇒ f (x) liên tục tại x = 2. Ta có x→2 − x→2−     lim h(x) = lim (3x − 1) = 5 x→2+   x→2+ Chọn đáp án A   2 khi x < 1  x + x khi x = 1 liên tục tại Câu 28. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số f (x) = 2   2 m x + 1 khi x > 1 x = 1. A. S = −1. B. S = 0. C. S = 1. D. S = 2. Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Điều kiện bài toán trở thành lim f (x) = lim f (x) = f (1).(∗) x→1+ x→1−  f (1) = 2     lim f (x) = lim (m2 x + 1) = m2 + 1 ⇒ (∗) ⇔ m2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1 ⇒ S = 0. Ta có x→1 + x→1+     lim f (x) = lim (x2 + x) = 2 x→1− x→1− Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em  151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  − x cos x khi x < 0     2 x Câu 29. Cho hàm số f (x) = khi 0 6 x < 1 . Hàm số f (x) liên tục tại  1+x    3 x khi x > 1 A. mọi điểm thuộc x ∈ R.. B. mọi điểm trừ x = 0.. C. mọi điểm trừ x = 1.. D. mọi điểm trừ x = 0; x = 1.. Lời giải. Hàm số y = f (x) có TXĐ: D = R. Dễ thấy  f (x) liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 0), (0; 1) và (1; +∞).  f (0) = 0     lim f (x) = lim (−x cos x) = 0 x→0− Ta có x→0− ⇒ f (x) liên tục tại x = 0.  2  x    lim f (x) = lim =0 x→0+ 1 + x  x→0+ f (1) = 1      1 x2 = ⇒ f (x) không liên tục tại x = 1. lim f (x) = lim Ta có − − 2 x→1 x→1 1 + x      lim f (x) = lim x3 = 1 x→1+ x→1+ Chọn đáp án C  Câu 30. Cho hàm số f (x) = −4×3 + 4x − 1. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số đã cho liên tục trên R. B. Phương trình f (x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (−∞; 1). C. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (−2; 0). ã Å 1 . D. Phương trình f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng −3; 2 Lời giải. (i) Hàm f (x) ® là hàm đa thức nên liên tục trên R. f (−1) = −1 < 0 (ii) Ta có f (−2) = 23 > 0 ⇒ f (x) = 0 có nghiệm trên (−2; −1), mà (−2; −1) ⊂ (−2; 0) ⊂ (−∞; 1). (1)  Å ã f (0) = −1 < 0 1 Å ã ⇒ f (x) = 0 có nghiệm thuộc 0; (iii) Ta có . 1 1 f 2 = >0 2 2 1 Kết hợp với (1) suy ra có các nghiệm thỏa: −3 < x1 < −1 < 0 < x2 < . 2 Chọn đáp án B  Câu 31. Cho phương trình 2x4 − 5x2 + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (−1; 1). B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (−2; 0). C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (−2; 1). D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2). Lời giải. Hàm số f (x) = 2x4 − 5x2 + x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. Ta ® có f (0) = 1 (i) ⇒ f (−1) · f (0) < 0 ⇒ f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0). f (−1) = −3 ® f (0) = 1 (ii) ⇒ f (0) · f (1) < 0 ⇒ f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1). f (1) = −1 ® f (1) = −1 (iii) ⇒ f (1) · f (2) < 0 ⇒ f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2). f (2) = 15 Vậy phương trình f (x) = 0 đã cho có các nghiệmx1 , x2 , x3 thỏa −1 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 Chọn đáp án D  Câu 32. Cho hàm số f (x) = x3 − 3x − 1. Số nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên R là: Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Hàm số f (x) = x3 − 3x − 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (−2; −1), (−1; 0), (0; 2). Ta có ® f (−2) = −3 ⇒ f (−2) · f (−1) < 0 ⇒ (1) có ít nhất một nghiệm thuộc (−2; −1). f (−1) = 1 ® f (−1) = 1 ⇒ f (−1) · f (0) < 0 ⇒ (1) có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0). f (0) = −1 ® f (2) = 1 ⇒ f (2) · f (0) < 0 ⇒ (1) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2). f (0) = −1 Như vậy phương trình (1) có ít nhất ba thuộc khoảng (−2; 2). Tuy nhiên phương trình f (x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f (x) = 0 có đúng nghiệm trên R.  Chọn đáp án D Câu 33. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [−1; 4] sao cho f (−1) = 2, f (4) = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f (x) = 5 trên đoạn [−1; 4]: A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm. Lời giải. Ta ® có f (x) = 5 ⇔ f (x) − 5 = 0. Đặt g(x) = f (x) − 5. Khi đó g(−1) = f (−1) − 5 = 2 − 5 = −3 ⇒ g(−1) · g(4) < 0. g(4) = f (4) − 5 = 7 − 5 = 2 Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f (x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) Chọn đáp án B  Câu 34. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để phương trình x3 − 3x2 + (2m − 2)x + m − 3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < −1 < x2 < x3 ? A. 19. B. 18. C. 4. D. 3. Lời giải. Xét hàm số f (x) = x3 − 3x2 + (2m − 2)x + m − 3 liên tục trên R. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1 < −1 < x2 < x3 . Khi đó f (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ). Ta có f (−1) = (−1 − x1 )(−1 − x2 )(−1 − x3 ) > 0 (do x1 < −1 < x2 < x3 ). Mà f (−1) = −m − 5 nên suy ra −m − 5 > 0 ⇔ m < −5. Thử lại: Với m < −5, ta có lim f (x) = −∞ nên tồn tại a < −1 sao cho f (a) < 0. (1) x→−∞ Do m < −5 nên f (−1) = −m − 5 > 0. (2) f (0) = m − 3 < 0. (3) lim f (x) = +∞ nên tồn tại b > 0 sao cho f (b) > 0. (4) x→+∞ Từ (1) và (2), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−∞; −1); Từ (2) và (3), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−1; 0); Từ (3) và (4), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; +∞). Vậy khi m < −5 thỏa mãn ⇒ [m ∈ (−10; 10)], m ∈ Z, m ∈ {−9; −8; −7; −6}. √  x + 2 − 2 khi x 6= 2 Câu 35. Tìm a để hàm số f (x) = liên tục tại x = 2. x−2  2x + a khi x = 2 15 15 1 A. . B. − . C. . D. 1. 4 4 4 Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 153  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 f (2) = a + 4. √ lim f (x) = lim x→2 x→2 x+2−2 1 (x + 2) − 4 1  = lim √ √ = . = lim x→2 x→2 (x − 2) x−2 4 x+2+2 x+2+2 Hàm số f (x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = f (2) ⇔ x→2 15 1 =a+4⇔a=− . 4 4 Chọn đáp án B √  x+2−2 nếu x 6= 2 Câu 36. Tìm a để hàm số f (x) = liên tục tại x = 2. x−2  2x + a nếu x = 2 15 15 1 A. a = . B. a = − . C. a = . D. a = 1. 4 4 4 Lời giải. Ta có f (2) = a + 4 và √ x+2−2 x−2 1 √ lim f (x) = lim lim = . x→2 x→2 x→2 (x − 2)( x + 2 + 2) x−2 4  Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = f (2) ⇔ a + 4 = x→2 15 1 ⇔a=− . 4 4 Chọn đáp án B  Câu 37. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [a; b] là A. lim f (x) = f (a) và lim f (x) = f (b). B. lim f (x) = f (a) và lim f (x) = f (b). x→a+ x→b+ x→a+ C. lim f (x) = f (a) và lim f (x) = f (b). x→a− x→b− D. lim f (x) = f (a) và lim f (x) = f (b). x→a− x→b+ x→b− Lời giải. Hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [a; b] là lim f (x) = f (a) x→a+ và lim f (x) = f (b). x→b− Chọn đáp án B  √ √  1−x− 1+x   khi x < 0 x Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f (x) = liên tục tại  1−x  m + khi x ≥ 0 1+x x = 0. A. m = −1. B. m = −2. C. m = 1. D. m = 0. Lời giải. √ √ 1−x− 1+x −2x −2 √ √ √ lim f (x) = lim = lim = lim √ = −1. x ã x→0− x( 1 − x + 1 + x) x→0− x→0− x→0− 1−x+ 1+x Å 1−x lim f (x) = lim m + = m + 1 = f (0). 1+x x→0+ x→0+ f (x) liên tục tại x = 0 khi lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ m = −2. x→0− x→0+ Chọn đáp án B   2   x√ − 3x + 2 khi x > 2 x+2−2 Câu 39. Cho hàm số f (x) = , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để  m2 x − 4m + 6 khi x ≤ 2 hàm số đã cho liên tục tại x = 2? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Ta có f (2) = 2m2 − 4m + 6. lim f (x) = lim (m2 x − 4m + 6) = 2m2 − 4m + 6. x→2− x→2− Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2 − 3x + 2 lim f (x) = lim √ x→2+ x→2+ x+2−2 √ (x2 − 3x + 2)( x + 2 + 2) = lim x+2−4 x→2+ √ (x − 2)(x − 1)( x + 2 + 2) = lim x−2 x→2+ î ó √ = lim (x − 1)( x + 2 + 2) x→2+ = 4. Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (2) ⇔ 2m2 − 4m + 6 = 4 ⇔ 2m2 − 4m + 2 = 0 ⇔ m = 1. x→2− x→2+ Vậy m = 1. Chọn đáp án A   2  x − 2x khi x > 2 liên tục tại Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x−2  mx − 4 khi x ≤ 2 x = 2. A. m = 3. B. m = 2. C. m = −2. D. Không tồn tại m. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có f (2) = 2m − 4. lim f (x) = lim x→2+ x→2+ x2 − 2x = lim x = 2. x−2 x→2+ lim f (x) = lim (mx − 4) = 2m − 4. x→2− x→2− Hàm số f (x) liên tục tại x = 2 khi f (2) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ 2m − 4 = 2 ⇔ m = 3. x→2− x→2+ Vậy m = 3 thì hàm số f (x) liên tục tại x = 2. Chọn đáp án A  √ ® 2 x +2 x−2 khi x > 2 Câu 41. Tìm m để hàm số y = f (x) = liên tục trên R? 2 5x − 5m + m khi x < 2 A. m = 2; m = 3. B. m = −2; m = −3. C. m = 1; m = 6. D. m = −1; m = −6. Lời giải. TXĐ D = R. √ + Xét trên (2; +∞) khi đó f√ (x) = x2+ 2 x − √ 2. 2 2 ∀x0 ∈ (2; +∞) : lim x0 + 2 x0 − 2 = x0 + 2 x0 − 2 = f (x0 ) ⇒ hàm số liên tục trên (2; +∞). x→x0 + Xét trên (−∞; 2) khi đó f (x) = 5x − 5m + m2 là hàm đa thức liên tục trên R ⇒ hàm số liên tục trên (−∞; 2). + Xét tại x0 = 2, ta có f (2) √ = 4. 2 lim f (x) = lim x + 2 x − 2 = 4; lim f (x) = lim (5x − 5m + m2 ) = m2 − 5m + 10. x→2+ x→2− x→2+ x→2− Để hàm số đã cho liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x0 = 2 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (2) x→2− x→2+ ⇔ m2 − 5m + 10 = 4 ⇔ m2 − 5m + 6 = 0 ñ m=2 ⇔ m = 3. Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 42. Cho hàm số f (x) =   √ Chương 4 - Giải tích 11 x2016 + x − 2 √ 2018x + 1 − x + 2018  k x = 1. .Tìm k để hàm số f (x) liên tục tại khi x = 1 √ 2017 2018 B. k = . 2 √ A. k = 2 2019. khi x 6= 1 C. k = 1. D. 2016 √ 2019. 2017 Lời giải. x2016 + x − 2 √ x→1 2018x + 1 − x + 2018 √ √ (x2016 − 1 + x − 1)( 2018x + 1 + x + 2018) = lim x→1 2018x + 1 − (x + 2018)  2015  √ √ (x − 1) (x + x2014 + . . . + 1) + 1 ( 2018x + 1 + x + 2018) = lim x→1 2018(x − 1) − (x − 1)  2015  √ √ 2014 (x +x + . . . + 1) + 1 ( 2018x + 1 + x + 2018) = lim x→1 2017 √ √ 2017.2 2019 = = 2 2019. 2017 √ Vậy để hàm số liên tục tại x = 1 thì k = f (1) = lim f (x) = 2 2019. Ta có: lim √ x→1 Chọn đáp án A   2 2x − 2 khi x ≥ 1 Câu 43. Cho hàm số f (x) = 2x + a . Giá trị của a để hàm số liên tục tại x0 = 1 là  khi x < 1 2 x +1 A. 1. B. −2. C. 3. D. 4. Lời giải.  Ta xét lim f (x) = lim 2x2 − 2 = 0 và f (1) = 0 x→1+ x→1+ và lim f (x) = lim x→1− x→1− 2x + a a+2 = . 2 x +1 2 Để hàm số liên tục tại x0 = 1 khi lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ x→1− x→1+ a+2 = 0 ⇔ a = −2. 2 Chọn đáp án B √ 3  4x − 2 khi x 6= 2 . Xác định a để hàm số liên tục trên R. Câu 44. Cho hàm số f (x) = x−2  ax + 3 khi x = 2 1 4 4 A. a = . B. a = −1. C. a = − . D. a = . 6 3 3 Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Với x 6= 2 thì hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (−∞; 2), (2; +∞). Như vậy hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 2. Ta có f (2) = 2a + 3. Mặt khác √ 3 4x − 2 4(x − 2) 4 1 Ä√ ä = lim √ lim f (x) = lim = lim = . √ √ x→2 x→2 x − 2 x→2 (x − 2) 3 16x2 + 2 3 4x + 4 x→2 3 16x2 + 2 3 4x + 4 3 1 4 Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi 2a + 3 = hay a = − . 3 3 4 Vậy với a = − thì hàm số đã cho liên tục trên R. 3 Chọn đáp án C  3  1 − x ,khi x < 1 Câu 45. Cho hàm số y = 1 − x .Hãy chọn kết luận đúng.  1 ,khi x ≥ 1 A. y liên tục phải tại x = 1. B. y liên tục tại x = 1. C. y liên tục trái tại x = 1. D. y liên tục trên R. Th.s Nguyễn Chín Em 156   https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Lời giải. ® Viết lại hàm số y = 1 + x + x2 ,khi x < 1 1 ,khi x ≥ 1. 2 Có lim f (x) = lim (1 + x + x ) = 3; lim f (x) = 1 6= 3. x→1− x→1− x→1+ Vậy y liên tục phải tại x = 1. Chọn đáp án A   2  x − 5x + 6 khi x 6= 3 Câu 46. Tìm giá trị của tham số a để hàm số y = f (x) = liên tục tại x = 3. x−3  a khi x = 3 A. a = 0. B. a = 1. C. a = −1. D. a = 2. Lời giải. x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) Khi x 6= 3 ta có lim f (x) = lim = lim = lim (x − 2) = 1. x→3 x→3 x→3 x→3 x−3 x−3 Khi x = 3 ta có f (3) = a. Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 3 ⇔ lim f (x) = f (3) ⇔ 1 = a . x→3 Chọn đáp án B  √ 3  2 x − x − 1 khi x 6= 1 x−1 Câu 47. Tìm m để hàm số y = liên tục trên R.  mx + 1 khi x = 1 4 1 4 2 A. − . B. − . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải. Ta có Ç å √ √ 2 23x−x−1 2( 3 x − 1) − (x − 1) 1 lim = lim = lim √ −1 =− . √ 3 3 2 x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 3 x + x+1  Dễ thấy hàm số liên tục khi x 6= 1. Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi 1 4 lim f (x) = f (1) ⇔ − = m + 1 ⇔ m = − . x→1 3 3 4 Vậy hàm số liên tục trên R khi m = − . 3 Chọn đáp án A   3 2  x − x + 2x − 2 khi x 6= 1 Câu 48. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x−1  3x + m khi x = 1 x = 1. A. m = 0. B. m = 6. C. m = 4. D. m = 2. Lời giải. Ta có: f (1) = m + 3.   (x − 1) x2 + 2 x3 − x2 + 2x − 2 lim f (x) = lim = lim = lim x2 + 2 = 3. x→1 x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 Hàm số f (x) liên tục tại x = 1 khi lim f (x) = f (1) ⇔ 3 = m + 3 ⇔ m = 0. x→1 Chọn đáp án A √  x2 + 4 − 2   x2 Câu 49. Cho hàm số f (x) =  5  2a − 4 liên tục tại x = 0. 3 4 A. a = − . B. a = . 4 3 Th.s Nguyễn Chín Em  khi x 6= 0 . Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f (x) khi x = 0 4 C. a = − . 3 157 3 D. a = . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải. √ Ta có lim f (x) = lim x→0 x→0 Chương 4 - Giải tích 11 1 x2 + 4 − 2 x2 1 Ä ä = lim √ = . = lim √ 2 2 x→0 x2 x→0 x 4 x +4+2 x2 + 4 + 2 5 Ta lại có f (0) = 2a − . 4 1 5 3 Để hàm số liên tục tại x = 0 thì lim f (x) = f (0) ⇔ = 2a − ⇔ a = . x→0 4 4 4 Chọn đáp án D  √  x2 + 4 − 2   khi x 6= 0 x2 Câu 50. Cho hàm số f (x) = . Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f (x)  5  2a − khi x = 0 4 liên tục tại x = 0. 3 4 4 3 A. a = − . B. a = . C. a = − . D. a = . 4 3 3 4 Lời giải. √ x2 + 4 − 2 x2 1 1 Ä ä = lim √ Ta có lim f (x) = lim = lim = . √ 2 x→0 x→0 x→0 x2 x→0 x 4 x2 + 4 + 2 x2 + 4 + 2 5 Ta lại có f (0) = 2a − . 4 5 3 1 Để hàm số liên tục tại x = 0 thì lim f (x) = f (0) ⇔ = 2a − ⇔ a = . x→0 4 4 4  Chọn đáp án D  2  x + 3x + 2 khi x < −1 Câu 51. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x = −1. x2 − 1  mx + 2 khi x ≥ −1 3 5 3 5 A. m = − . B. m = − . C. m = . D. m = . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có f (−1) = −m + 2. lim f (x) = −m + 2. lim f (x) = x→(−1)+ x→(−1)− lim x→(−1)− x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+2 1 = lim = lim =− . 2 x −1 2 x→(−1)− (x − 1)(x + 1) x→(−1)− x − 1 Hàm số liên tục tại x = −1 ⇔ f (−1) = lim x→(−1)+ f (x) = lim x→(−1)− f (x) ⇔ −m + 2 = −1 5 ⇔m= . 2 2 Chọn đáp án D   2 x − 1 Câu 52. Tìm a để hàm số f (x) = x − 1  a A. a = 0. B. a = −1. Lời giải. Ta có khi x 6= 1 liên tục tại điểm x0 = 1. khi x = 1 C. a = 2. D. a = 1. x2 − 1 = lim (x + 1) = 2; x→1 x − 1 x→1 lim f (x) = lim x→1 f (1) = a. Để hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 thì lim f (x) = f (1) ⇔ a = 2. x→1 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em  158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  2  x − x − 2 nếu x 6= 2 x−2 Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại x = 2.  m nếu x = 2 A. m = 3. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0. Lời giải. x2 − x − 2 Hàm số liên tục tại x = 2 khi m = lim = lim (x + 1) = 3. x→2 x→2 x−2  Chọn đáp án A √  5x − 1 − 2   , nếu x > 1 x−1 Câu 54. Cho hàm số f (x) = , (m là tham số). Giá trị m để hàm số liên tục trên  1  mx + m + , nếu x ≤ 1 4 R là 1 C. m = 2. D. m = 1. A. m = 0. B. m = . 2 Lời giải. Tập xác định D = R. Trên (−∞; 1), (1; +∞) hàm số f (x) liên tục. Xét tính liên tục của f (x) tại x = 1. 1 Ta có f (1) = 2m + . 4 √ 5x − 1 − 2 5 5 = lim √ = . Ta thấy lim f (x) = lim x−1 4 x→1+ x→1+ x→1+ 5x − 1 + 2 1 1 Ta thấy lim f (x) = lim (mx + m + ) = 2m + . 4 4 x→1− x→1− 5 1 1 Ta có f (x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ 2m + = ⇔ m = . + − 4 4 2 x→1 x→1 Chọn đáp án B  Câu 55. Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) và f (a) · f (b) < 0 thì tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho f (x0 ) = 0. 2. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm. 3. Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên [a; b] và f (a) · f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a; b). Trong ba mệnh đề trên A. Có đúng hai mệnh đề sai. B. Cả ba mệnh đề đều đúng. C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có đúng một mệnh đề sai. Lời giải. Theo tính chất hàm số liên tục thì mệnh đề 1 sai, mệnh đề 2, 3 đúng. Chọn đáp án D  ® − 8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 56. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Khi đó số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0 y = x3 + ax2 + bx + c với trục Ox là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c xác định, liên tục trên R. Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c bậc ba nên có đồ thị cắt Ox tại nhiều nhất 3 điểm. (1) Ta có lim y = −∞, suy ra ∃α < −2 sao sao f (α) < 0. x→−∞ Lại có lim y = +∞, suy ra ∃β > 2 sao sao f (β) > 0. x→+∞ Hơn nữa y(−2) = −8 + 4a − 2b + c > 0 và y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0. Từ đó suy ra y(α) · y(−2) < 0, y(−2) · y(2) < 0, y(2) · y(β) < 0. Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất 3 điểm. (2) Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại đúng ba điểm. Chọn đáp án D  Câu 57. Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) và f (a) · f (b) < 0 thì tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho f (x0 ) = 0. Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 2. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm. 3. Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên [a; b] và f (a) · f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a; b). Trong ba mệnh đề trên A. Có đúng hai mệnh đề sai. B. Cả ba mệnh đề đều đúng. C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có đúng một mệnh đề sai. Lời giải. Theo tính chất hàm số liên tục thì mệnh đề 1 sai, mệnh đề 2, 3 đúng. Chọn đáp án D  ® − 8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 58. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Khi đó số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0 y = x3 + ax2 + bx + c với trục Ox là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c xác định, liên tục trên R. Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c bậc ba nên có đồ thị cắt Ox tại nhiều nhất 3 điểm. (1) Ta có lim y = −∞, suy ra ∃α < −2 sao sao f (α) < 0. x→−∞ Lại có lim y = +∞, suy ra ∃β > 2 sao sao f (β) > 0. x→+∞ Hơn nữa y(−2) = −8 + 4a − 2b + c > 0 và y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0. Từ đó suy ra y(α) · y(−2) < 0, y(−2) · y(2) < 0, y(2) · y(β) < 0. Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất 3 điểm. (2) Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại đúng ba điểm. Chọn đáp án D ® 1 − x2 khi x < −2 Câu 59. Cho hàm số f (x) = . Tìm m để tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (x). x→−2 m khi x ≥ −2 A. m = 5. B. m = −1. C. m = −3. D. m = 3. Lời giải.  Ta có lim f (x) = lim m = m và lim f (x) = lim 1 − x2 = −3. x→−2+ x→−2− x→−2+ Để tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (x) thì x→−2  x→−2− lim f (x) = lim f (x) ⇔ m = −3 x→−2− x→−2+ Chọn đáp án C   3−x √ nếu x 6= 3 x+1−2 Câu 60. Cho hàm số y = . Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng  m nếu x = 3 A. m = 1. B. m = −1. C. m = 4. D. m = −4. Lời giải. Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi 3−x =m x+1−2 ⇔ m = −4. lim f (x) = f (3) ⇔ lim √ x→3 x→3 Chọn đáp án D  Câu 61. Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a; b] (a < b). Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số liên tục trên (a; b] khi và chỉ khi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và lim f (x) = f (b). x→b+ B. Hàm số liên tục trên [a; b) khi và chỉ khi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và lim f (x) = f (a). x→a+ C. Cho x0 ∈ (a; b), hàm số liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ). x→x+ 0 x→x− 0 D. Cho x0 ∈ (a; b), hàm số có giới hạn là một số thực L tại x0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = L. x→x+ 0 x→x− 0 Lời giải. Hàm số liên tục trên (a; b] khi và chỉ khi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và lim f (x) = f (b) x→b− Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Câu 62. Hàm®số nào trong các hàm số sau liên tục tại điểm x = 1? x + 1, x ≥ 1 x+3 A. h(x) = . B. f (x) = 2 . x −1 3x − 1, x < 1 ® √ x + 1, x ≥ 1 C. g(x) = . D. k(x) = 1 − 2x. 2x − 3, x < 1 Lời giải. ® x + 1, x ≥ 1 Xét hàm số h(x) = . Ta có 3x − 1, x < 1 h(1) = 2; lim h(x) = lim (x + 1) = 2 và lim h(x) = lim (3x − 1) = 2. x→1+ x→1− x→1+ x→1− Do đó lim h(x) = lim h(x) = h(1) = 2. x→1− x→1+ Vậy h(x) liên tục tại x = 1. Chọn đáp án A   2  x − 3x + 2 Câu 63. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x−1  m A. m = −1. B. m = −2. C. m = 1. Lời giải. Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi khi x 6= 1 liên tục tại x = 1. khi x = 1 D. m = 2. (x − 1)(x − 2) = m ⇔ lim (x − 2) = m ⇔ m = −1. x→1 x→1 x−1 lim f (x) = f (1) ⇔ lim x→1 Chọn đáp án A  Câu 64. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x = 1? x−1 x2 + 2 A. y = 2 . B. y = . x +x+1 x−1 x2 − x + 1 C. y = (x − 1)(x2 + x + 1). D. y = . x+1 Lời giải. x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 = +∞ và lim = −∞ nên hàm số y = gián đoạn tại điểm x = 1. Ta có lim x−1 x→1− x − 1 x→1+ x − 1 Chọn đáp án B  2  x + x − 6 khi x > 2 Câu 65. Cho hàm số f (x) = . x−2  − 2ax + 1 khi x ≤ 2 Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. 1 A. a = 2. B. a = 1. C. a = −1. D. a = . 2 Lời giải. x2 + x − 6 = 5 và lim (−2ax + 1) = −4a + 1. Ta có lim x→2 x→2 x−2 Để hàm số liên tục tại điểm x = 2 thì −4a + 1 = 5 ⇔ a = −1. Chọn đáp án C ® x + 1 khi x > 2 Câu 66. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục x2 + m khi x ≤ 2 tại x = 2. A. m = −1. B. m = 0. C. m = 3. D. m = −6. Lời giải. f (2) = 4 + m, lim f (x) = 3, lim f (x) = 4 + m. Hàm số liên tục tại x = 2 khi x→2+   x→2− 4 + m = 3 ⇔ m = −1. Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em  161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   sin x Câu 67. Cho hàm số f (x) = x a A. 1. B. −1. Lời giải. khi x 6= 0 Chương 4 – Giải tích 11 Tìm a để f (x) liên tục tại x = 0. khi x = 0. C. 2. Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ lim f (x) = f (0) ⇔ lim x→0 x→0 D. 0. sin x = a ⇔ a = 1. x Chọn đáp án A  ® 2 x + m khi x ≥ 2 Câu 68. Cho hàm số f (x) = (m là tham số). Tìm giá trị thực của tham số m để hàm 3x − 1 khi x < 2 số đã cho liên tục tại x0 = 2. A. m = 2. B. m = 1. C. m = 0. D. m = 3. Lời giải. f (2) = 4 + m;  lim f (x) = lim x2 + m = 4 + m. x→2+ x→2+ lim f (x) = lim (3x − 1) = 5. x→2− x→2− Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (2) ⇔ 4 + m = 5 ⇔ m = 1. x→2+ x→2− Chọn đáp án B   2  3x − 7x − 6 khi x > 3 x−3 liên tục với mọi x thuộc Câu 69. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) =  2 x + 5mx + 2 khi x ≤ 3 R. A. m = 7. B. m = 3. C. m = 2. D. m = 0. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Với x > 3 thì f (x) là hàm số phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên khoảng (3; +∞). Với x < 3 thì f (x) là hàm số đa thức nên nó liên tục trên khoảng (−∞; 3). Ta có lim f (x) = f (3) = 32 + 15m + 2 = 15m + 11. x→3− lim f (x) = lim x→3+ x→3+ 3x2 − 7x − 6 (3x + 2)(x − 3) = lim = lim (3x + 2) = 11. x−3 x−3 x→3+ x→3+ Hàm số f (x) liên tục với mọi x thuộc R khi hàm số f (x) liên tục tại x = 3, tức là f (3) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ 15m + 11 = 11 ⇔ m = 0. x→3− x→3+ Vậy hàm số f (x) liên tục với mọi x thuộc R khi m = 0. Chọn đáp án D √ x+4−2   khi x > 0 x Câu 70. Giá trị của tham số m sao cho hàm số f (x) = liên  2m − 5 x khi x 6 0 4 4 1 C. . D. A. 3. B. . 3 8 Lời giải. √ x+4−2 x 1 1  = lim √ √ Có lim f (x) = lim = lim = . x 4 x→0+ x→0+ x→0+ x x→0+ x+4+2 x+4+2 Å ã 5 lim f (x) = lim 2m − x = 2m và f (0) = 2m. 4 x→0− x→0− 1 1 Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ 2m = ⇔ m = . 4 8 x→0+ x→0− Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 162  tục tại x = 0 là 1 . 2  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 √ x−1   nếu x > 1 x−1 Câu 71. Giá trị của tham số a để hàm số f (x) = liên tục tại điểm x = 1 là  ax − 1 nếu x ≤ 1 2 1 1 A. . B. −1. C. 1. D. − . 2 2 Lời giải. 1 Ta có f (1) = a − . 2Å ã 1 1 =a− . lim f (x) = lim ax − − − 2 2 x→1 x→1 √ x−1 1 1 = . lim f (x) = lim = lim √ 2 x+1 x→1+ x→1+ x − 1 x→1+ 1 1 Hàm số liên tục tại x = 1 khi f (1) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ a − = ⇔ a = 1. − + 2 2 x→1 x→1 Chọn đáp án C   2  x − 16 khi x > 4 Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = liên tục trên x−4  mx + 1 khi x ≤ 4 R. 7 7 B. m = 8 hoặc m = − . A. m = −8 hoặc m = . 4 4 7 7 C. m = − . D. m = . 4 4 Lời giải. Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (−∞; 4), (4; +∞). Vậy hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi liên tục tại điểm x = 4. 7 Hàm số liên tục tại điểm x = 4 khi lim f (x) = lim f (x) = f (4) ⇔ 8 = 4m + 1 ⇔ m = . 4 x→4+ x→4− Chọn đáp án D  ® sin x nếu cos x ≥ 0 . Hỏi hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên Câu 73. Cho hàm số f (x) = 1 + cos x nếu cos x < 0 khoảng (0; 2018)? A. 2018. B. 1009. C. 542. D. 321. Lời giải. Do các hàm số y = sin x với chu kỳ 2π. ò và y = cos x tuần hoàn  π i ï 3π   sin x nếu x ∈ 0; ∪ ; 2π  2 2 Å ã Ta xét hàm số f (x) =  π 3π  1 + cos x nếu x ∈ ; 2 2  π . Ta xét lim f (x) = lim (1 + cos x) = 1 = f π+ π+ 2 x→ 2 x→ 2 π  π Tương tự lim f (x) = lim sin x = 1 = f . Do đó hàm số liên tục tại x = . − − π π 2 2 x→ 2 x→ 2 Å ã 3π Mặt khác, ta xét lim f (x) = lim sin x = −1 = f . + + 2 3π 3π x→ 2 x→ 2 Å ã 3π 3π Tương tự lim f (x) = lim (1 + cos x) = 1 6= f . Do đó hàm số gián đoạn tại x = . − − 2 2 3π 3π x→ x→ 2 2 Ta có lim f (x) = lim sin x = 0 = f (2π). x→2π − x→2π − 3π Vậy điểm gián đoạn của hàm số có dạng x = + k2π, với k ∈ Z. 2 Å ã 3π 3 1 3π Để x ∈ (0; 2018) suy ra 0 < + k2π < 2018 ⇔ − < k < 2018 − , vì k ∈ Z suy ra k ∈ 2 4 2π 2 {0,1,2, . . . ,320}. Chọn đáp án D  Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 √ x−1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x−1 (I) Hàm số f (x) gián đoạn tại x = 1. (II) Hàm số f (x) liên tục tại x = 1. 1 (III) lim f (x) = . x→1 2 A. Chỉ (II). B. Chỉ (I) và (III). C. Chỉ (II) và (III). D. Chỉ (I). Lời giải. √ x−1 Hàm số f (x) = có tập xác định [0; +∞) {1}. x−1 Vậy hàm số f (x)√gián đoạn tại x = 1 ⇒ (I) đúng. x−1 1 1 lim f (x) = lim = lim √ = ⇒ (III) đúng. x→1 x→1 x − 1 x→1 2 x+1 Chọn đáp án B   2  x − 1 nếu x 6= 1 x−1 Câu 75. Cho hàm số f (x) = , với m tham số thực. Tìm m để hàm số f (x) liên tục  m nếu x = 1 tại x = 1. A. m = 2. B. m = −2. C. m = 1. D. m = −1. Lời giải. x2 − 1 = lim (x + 1) = 2. Ta có lim f (x) = lim x→1 x→1 x→1 x − 1 Hàm số f (x) liên tục tại x = 1 khi lim f (x) = f (1) ⇔ m = 2. Câu 74. Cho hàm số f (x) = x→1 Chọn đáp án A   2 √   x −√3 khi x 6= 3 Câu 76. Cho hàm số f (x) = x − 3 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: √   √ 2 3 khi x = 3. √ (I). f (x) liên tục tại x = 3.√ (II). f (x) gián đoạn tại x = 3. (III). f (x) liên tục trên R. A. Chỉ I và II. B. Chỉ I và III. C. Cả I, II, III đều đúng. D. Chỉ II và III. Lời giải. Ä ä √ ä Ä√ x2 − 3 x2 − 3 √ = 0 √ = f (x0 ). Suy ra hàm số liên tục với mọi Với x0 ∈ −∞; 3 ∪ 3; +∞ ta có lim x→x0 x − 3 x0 − 3 Ä ä √ ä Ä√ x0 ∈ −∞; 3 ∪ 3; +∞ (1) Ä √ äÄ √ ä Ä x− 3 x+ 3 √ ä √ √ x2 − 3 √ √ = lim = lim Ta có lim 3 = 2 3 = f ( 3) (2) x + √ √ √ x− 3 x→ 3 x→ 3 x→ 3 x − 3 Từ (1) và (2) suy ra hàm số liên tục trên R. Chọn đáp án B   x3 − x    với x < 0, x 6= −1  x+1 Câu 77. Cho hàm số f (x) = 1 với x = −1    √x cos x với x ≥ 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f (x) liên tục trên R. B. f (x) liên tục tại mọi điểm, trừ điểm x = −1. C. f (x) liên tục tại mọi điểm, trừ điểm x = 0. D. f (x) liên tục tại mọi điểm, trừ điểm x = 0 và x = 1. Lời giải. Ta có: √ f (x) = x cos x với x ≥ 0 nên f (x) liên tục trên (0; +∞). x3 − x f (x) = với x < 0, x 6= −1 nên f (x) liên tục trên (−∞; −1) và (−1; 0). x+1 Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 x3 − x x(x − 1)(x + 1) = lim = lim x(x − 1) = 2 6= f (−1), suy ra f (x) gián đoạn tại x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 (x + 1) Mặt khác lim x = −1. x(x − 1)(x + 1) lim f (x) = lim = 0. − − (x + 1) x→0 x→0 √ lim = lim x cos x = 0 = f (0). Vậy f (x) liên tục tại x = 0. x→0+ x→0+ Vậy f (x) liên tục tại mọi x 6= −1. Chọn đáp án B   2  x − 3x + 2 với x 6= 2 x−2 Câu 78. Cho hàm số f (x) = . Với giá trị nào của m sau đây để hàm số f (x)  2m + 1 với x = 2 liên tục tại x = 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. −1. Lời giải. TXĐ: D = R. x = 2 ∈ D, f (2) = 2m + 1. x2 − 3x + 2 lim = lim (x − 1) = 1. x→2 x→2 x−2 Để hàm số liên tục tại x = 2 thì lim f (x) = f (2) ⇔ 1 = 2m + 1 ⇔ m = 0. x→2 Chọn đáp án A  ï Câu 79. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = trên R? A. 0. B. 1. Lời giải. Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ m2 x2 khi x ≤ 2 liên tục (1 − m)x khi x > 2. C. 2. D. 3. lim f (x) = lim f (x) = f (2) x→2+ 2 x→2− ⇔ 4m = 2(1 − m)  m = −1 ⇔  1 m=− . 2 Chọn đáp án C   2 x + x − 6 Câu 80. Cho hàm số f (x) = x−2  − 2ax + 1 1 A. a = 2. B. a = . 2 Lời giải. Ta có khi x > 2 . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. khi x ≤ 2 C. a = 1. D. a = −1. x2 + x − 6 (x − 2)(x + 3) = lim = lim (x + 3) = 2 + 3 = 5. + + + x−2 x−2 x→2 x→2 x→2 x→2+ lim f (x) = lim (−2ax + 1) = −2a · 2 + 1 = −4a + 1. lim f (x) = lim x→2− x→2− f (2) = −4a + 1. Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 2 thì lim f (x) = lim f (x) = f (2) ⇔ 5 = −4a + 1 ⇔ a = −1. x→2+ x→2− Vậy a = −1. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em  165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  3 x − 8 khi x 6= 2 Câu 81. Cho hàm số f (x) = x − 2 . Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.  mx + 1 khi x = 2 17 15 13 11 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = . 2 2 2 2 Lời giải. x3 − 8 lim f (x) = lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12. x→2 x→2 x − 2 x→2 f (2) = 2m + 1 11 Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ m = . x→2 2 Chọn đáp án D   2  x − 4x + 3 , ∀x > 1 liên tục trên R. Câu 82. Tìm P để hàm số y = x−1  6P x − 3, ∀x ≤ 1 5 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 6 2 6 3 Lời giải. /Tập xác định của hàm số : D = R. Với x > 1 và x < 1 hàm số xác định nên liên tục. x2 − 4x + 3 Xét tại x = 1, ta có lim y = 6P − 3 = y(1), lim y = lim = lim (x − 3) = −2. x−1 x→1− x→1+ x→1+ x→1+ 1 Để hàm số liên tục trên R thì lim y = lim y = y(1) ⇔ 6P − 3 = −2 ⇔ P = . 6 x→1− x→1+ Chọn đáp án C   2  x + ax + b , với x 6= 1 x−1 Câu 83. Cho a, b là hai số thực sao cho hàm số f (x) = liên tục trên R. Tính  2ax − 1 , với x = 1 a − b. A. 0. B. −1. C. −5. D. 7. Lời giải. Nếu x = 1 không là nghiệm của x2 + ax + b = 0 thì lim (x) = ∞, nên hàm số f (x) gián đoạn tại x = 1, vô x→1 lý. Vậy x = 1 là nghiệm của x2 + ax + b = 0, hay a + b + 1 = 0 ⇔ b = −a − 1. x2 + ax − a − 1 Khi đó: lim f (x) = lim = lim (x + 1 + a) = 2 + a. x→1 x→1 x→1 x−1 Mà f (1) = 2a − 1, nên để hàm số liên tục trên R thì 2 + a = 2a − 1 ⇔ a = 3, suy ra b = −4. Chọn đáp án D √  3x + 1 − 2 khi x 6= 1 Câu 84. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) = liên tục tại điểm x0 = 1. x−1  m khi x = 1 3 1 A. m = 3. B. m = 1. C. m = . D. m = . 4 2 Lời giải. 3 3 Ta có f (1) = m và lim f (x) = lim √ = . Do đó, hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x0 = 1 x→1 x→1 4 3x + 1 + 2 3 lim f (x) = f (1) ⇔ m = . x→1 4 Chọn đáp án C ®√ x−m khi x ≥ 0 Câu 85. Cho hàm số f (x) = . Tìm tất cả các giá trị thực của m để f (x) liên mx + 1 khi x < 0 trên R. A. m = 1. B. m = 0. C. m = −1. D. m = −2. Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 166  khi  tục https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0. Do đó, lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ lim x→0− x→0+ √  x − m = lim (mx + 1) = −1 ⇔ m = −1. x→0− x→0+ Chọn đáp án C   2 − (a − 2) x − 2   ax √ x+3−2 Câu 86. Cho hàm số f (x) =  8 + a2 hàm số liên tục tại x = 1. A. 1. B. 0. Lời giải. Để hàm số liên tục tại x = 1 khi lim f (x) = f (1). Do x→1 khi x 6= 1 . Có bao nhiêu giá trị của tham số a để khi x = 1 C. 3. D. 2. giả thiết ta có f (1) = 8 + a2 và ò ax2 − (a − 2) x − 2 √ lim x→1 x+3−2 ï ò (ax + 2) · (x − 1) √ lim x→1 x+3−2 ñ ô √ (ax + 2) · (x − 1) x + 3 + 2  √  √ lim x→1 x+3−2 x+3+2 ñ ô √ (ax + 2) · (x − 1) x + 3 + 2 lim x→1 x−1 î Ä√ äó lim (ax + 2) · x+3+2 ï lim f (x) = x→1 = = = = x→1 = 4 (a + 2) = 4a + 8. Suy ra 4a + 8 = 8 + a2 ⇔ a2 − 4a =0⇔ ñ a=0 a=4 . Vậy tồn tại 2 giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 1. Chọn đáp án D  Câu 87. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên R? x . C. y = sin x. A. y = |x|. B. y = x+1 Lời giải. x Hàm số y = có tập xác định D = R {−1} nên không liên tục trên R. x+1 Chọn đáp án B Câu 88. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và f 0 (x) ≥ x4 + D. y = x . |x| + 1  2 − 2x, ∀x > 0 và f (1) = −1. Khẳng x2 định nào sau đây là đúng? A. phương trình f (x) = 0 có đúng 3 nghiệm trên (0; +∞). B. phương trình f (x) = 0 có 1 nghiệm trên (0; 1). C. phương trình f (x) = 0 có 1 nghiệm trên (1; 2). D. phương trình f (x) = 0 có 1 nghiệm trên (2; 5). Lời giải. √ 2 Ta có x4 + 2 − 2x ≥ 2 2×2 − 2x ≥ 0 ∀x > 0, nên f 0 (x) > 0 ∀x > 0, hay hàm số y = f (x) đồng biến trên x (0; +∞). Suy ra f (0) < f (1) = −1 và f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên (0; +∞). Mà Z2 Z2 Å ã 2 16 0 4 f (2) = f (1) + f (x)dx ≥ x + 2 − 2x dx = > 0. x 5 1 1 Suy ra phương trình f (x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 167  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11  2 − (a − 2)x − 2   ax √ nếu x 6= 1 x+3−2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số a Câu 89. Cho hàm số f (x) =   2 8+a nếu x = 1 để hàm số liên tục tại x = 1? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải.  √   √ (x − 1)(ax + 2) x + 3 + 2 Ta có lim f (x) = lim = lim (ax + 2) x + 3 + 2 = 4a + 8. x→1 x→1 x→1 x−1 Lại có f (1) = 8 + a2 . ñ a=0 2 Hàm số f (x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x) = f (1) ⇔ 4a + 8 = 8 + a ⇔ x→1 a = 4. Vậy có 2 giá trị của tham số a thoả mãn yêu cầu của bài toán. Chọn đáp án D  ß sin πx khi |x| ≤ 1 Câu 90. Cho hàm số f (x) = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x + 1 khi |x| > 1 A. Hàm số liên tục trên R. B. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C. Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). D. Hàm số gián đoạn tại x = ±1 . Lời giải. Ta có lim f (x) = lim (x + 1) = 2 và lim f (x) = lim sin πx = sin π = 0. Suy ra hàm số gián đoạn tại x→1+ x→1+ x→1− x = 1. lim f (x) = lim sin πx = sin(−π) = 0 và x→−1+ x→−1+ x→1− lim f (x) = lim (x + 1) = 0; f (−1) = sin(−x) = 0. Suy ra x→−1− x→1− hàm số liên tục tại x = −1. Chọn đáp án C   nếu x ≤ 0 3x + a − 1 √ Câu 91. Cho hàm số f (x) = . Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên  1 + 2x − 1 nếu x > 0 x tục tại điểm x = 0. A. a = 1. B. a = 3. C. a = 2. D. a = 4. Lời giải. Ta có f (0) = a − 1 ; lim f (x) = lim (3x + a − 1) = a − 1. x→0− √ x→0− 1 + 2x − 1 2x 2 √ lim f (x) = lim = lim √ = 1. = lim x x→0+ x→0+ x→0+ x( 1 + 2x + 1) x→0+ 1 + 2x + 1 Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ f (0) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ a − 1 = 1 ⇔ a = 2. x→0− x→0+ Chọn đáp án C   2  x − 16 Câu 92. Tìm m để hàm số f (x) = x−4  mx + 1 A. m = −8. khi x > 4 liên tục tại điểm x = 4. khi x ≤ 4 7 C. m = − . 4 B. m = 8. D. 7 . 4 Lời giải. 7 Hàm số liên tục khi lim f (x) = lim f (x) = f (4) ⇔ 8 = 4m + 1 ⇔ m = . 4 x→4+ x→4− Chọn đáp án D  Câu 93. Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)? A. 2×2 − 3x + 4 = 0. B. (x − 1)5 − x7 − 2 = 0. 4 2 C. 3x − 4x + 5 = 0. D. 3×2017 − 8x + 4 = 0. Lời giải. Xét hàm số f (x) = 3×2017 − 8x + 4 = 0 liên tục trên R. f (0) = 4; f (1) = −1 ⇒ f (0) · f (1) = −4 < 0 suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11 Chọn đáp án D   3  x − 8 khi x 6= 2 Câu 94. Cho hàm số f (x) = . Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x0 = 2. x−2  2m + 1 khi x = 2 3 13 11 1 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = − . 2 2 2 2 Lời giải. x3 − 8 Ta có lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12, f (2) = 2m + 1. Hàm số f (x) liên tục tại x0 = 2 khi x→2 x − 2 x→2 lim f (x) = f (2) ⇔ 12 = 2m + 1 ⇔ m = x→2 11 . 2 Chọn đáp án C   2 khi x ≤ 1 x + mx √ Câu 95. Cho hàm số f (x) = . Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại x = 1.  x+3−2 khi x > 1 x−1 3 1 A. − . B. . C. 0. D. 2. 4 3 Lời giải.  lim f (x) = lim x2 + mx = m + 1 . − − x→1 x→1 √ x+3−2 x−1 1 1  = lim √ = . √ = lim lim f (x) = lim + + + + x − 1 4 x→1 (x − 1) x→1 x→1 x→1 x+3+2 x+3+2 Và f (1) = m + 1. Khi đó hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (1), hay x→1− x→1+ 3 1 m+1= ⇔m=− 4 4 Chọn đáp án A  √  x + 2 − 2 khi x 6= 2 liên tục tai x = 2 là Câu 96. Giá trị của b để hàm số f (x) = x−2  2b + 1 khi x = 2 1 3 3 3 A. – . B. – . C. . D. − . 4 4 4 8 Lời giải. √ x+2−2 x−2 1  = ; và f (2) = 2b + 1. √ = lim Ta có lim f (x) = lim x→2 x→2 x→2 (x − 2) x−2 4 x+2+2 1 3 Hàm số f (x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f (x) = f (2) ⇔ = 2b + 1 ⇔ b = − . x→2 4 8 Chọn đáp án D    1 − cos x khi x 6= 0 x2 Câu 97. Cho hàm số f (x) = . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?  1 khi x = 0 A. f (x) B. f (x) liên tục tại x = 0. √ có đạo hàm tại x = 0. D. f (x) gián đoạn tại x = 0. C. f ( 2) < 0. Lời giải. Ta thấy mệnh đề: f (x) liên tục tại x = 0 và mệnh đề: f (x) gián đoạn tại x = 0 xung khắc nhau, do đó ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục của hàm f (x) tại x= 0.  Ñ x é2 2 x 2 sin sin 1 1 2 = lim  2 Ta có f (0) = 1 và lim f (x) = lim · = .  x x→0 x→0 x→0 x2 2 2 2 Do lim f (x) 6= f (0). Vậy hàm số gián đoạn tại x = 0. x→0 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em  169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  √  4x + 1 − 1  khi x 6= 0 2 Câu 98. Tìm a để các hàm số f (x) = ax + (2a + 1)x liên tục tại x = 0.  3 khi x = 0 1 1 −1 A. . B. . C. . D. 1. 4 2 6 Lời giải. Ta có √ 4x + 1 − 1 4 2 = √ lim f (x) = lim = lim . x→0 x→0 x (ax + 2a + 1) x→0 (ax + 2a + 1) 2a +1 4x + 1 + 1 Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 2 1 =3⇔a=− . 2a + 1 6 Chọn đáp án C √  x + 2 − 2 khi x 6= 2 Câu 99. Tìm a để hàm số y = liên tục tại x0 = 2. x−2  a + 2x khi x = 2 1 15 A. a = . B. a = 1. C. a = − . 4 4 Lời giải. Ta có f (2) = 4 + a và √ x+2−2 1 1 = lim √ = . lim f (x) = lim x→2 x→2 x→2 x−2 4 x+2+2 Do đó hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ a = − x→2  D. a = 4. 15 . 4 Chọn đáp án C  √   2 − x + 3 nếu x 6= 1 Câu 100. Cho hàm số f (x) = . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1. x2 − 1  a nếu x = 1 √ 1 1 a=2− 5 A. a = . B. a = +∞. C. a = − . D. . 8 8 3 Lời giải. Tập xác định: D = [−3; +∞) √ {−1}. 2− x+3 4 − (x + 3) √ Ta có lim f (x) = lim = lim 2 x→1 x→1 x→1 (x − 1)(x + 1)(2 + x + 3) x −1 −1 1 √ = lim =− . x→1 (x + 1)(2 + x + 3) 8 1 Hàm số liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim f (x) = f (1) ⇔ a = − . x→1 8 Chọn đáp án C  √   x+1−1 khi x > 0 Câu 101. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số f (x) = p x liên tục trên   x2 + 1 − m khi x ≤ 0 R. 3 1 1 A. m = . B. m = . C. m = −2. D. m = − . 2 2 2 Lời giải. √ x+1−1 Với x > 0, ta có f (x) = liên tục trên khoảng (0; +∞). √ x Với x < 0, ta có f (x) = x2 + 1 − m liên tục trên khoảng (−∞; 0). Tại x = 0, ta có f (0) = 1 − m. √ 1 x+1−1 1 = lim √ = . + x 2 x→0 x+1+1 Äp ä lim f (x) = lim x2 + 1 − m = 1 − m. lim f (x) = lim x→0+ x→0+ x→0− x→0− Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Suy ra hàm số f (x) liên tục trên R ⇔ 1 − m = Chương 4 - Giải tích 11 1 1 ⇔m= . 2 2 Chọn đáp án B    x2 khi x ≤ 1 liên tục tại x = 1. Câu 102. Tìm a để hàm số f (x) = 2  ax + 1 khi x > 1 1 1 B. a = −1. C. a = − . A. a = . 2 2 Lời giải. x2 1 Ta có lim f (x) = lim (ax + 1) = a + 1, lim f (x) = lim = = f (1). + + + x→1+ 2 x→1 x→1 x→1 2 D. a = 1. Hàm f (x) lên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ a + 1 = x→1− x→1+ 1 1 ⇔a=− . 2 2 Chọn đáp án C  Câu 103. Trong các hàm số f1 (x) = sin x, f2 (x) = √ ® x + 1, f3 (x) = x3 − 3x và f4 (x) = x+ √ 2−x x − 1 khi x > 1 khi x < 1 có tất cả bao nhiêu hàm số liên tục trên R ? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải. √ Hàm số f2 (x) = x + 1 không liên tục trên R vì có tập xác định D = [−1; +∞). Hàm số f1 (x) = sin x, f3 (x) = x3 − 3x liên tục trên R. √ ® x + x − 1 khi x > 1 Ta xét tính liên tục của hàm số f4 (x) = trên R. 2−x khi x < 1 Tập xác định R. Hàm số f4 (x) liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Ta cần xét tính liên tục √ tại x =1. lim f4 (x) = lim x + x − 1 = 1 và lim f4 (x) = lim (2 − x) = 1. x→1+ x→1− x→1+ x→1− Vậy hàm số f4 (x) liên tục tại x = 1 và do đó liên tục trên R . Kết luận: Có tất cả ba hàm số liên tục trên R. Chọn đáp án D  2 − 16  x √ khi x > 4 x−2 Câu 104. Hàm số f (x) = liên tục tại x0 = 4 khi m nhận giá trị là   3x − m khi x ≤ 4 A. 44. B. −20. C. 20. D. −44. Lời giải. Ta có: lim f (x) = lim (3x − m) = 12 − m. x→4− x→4− √ √ x2 − 16 (x − 4)(x + 4)( x + 2) lim f (x) = lim √ = lim = lim (x + 4)( x + 2) = 32. + + + + x−4 x − 2 x→4 x→4 x→4 x→4 Mặt khác: f (4) = 12 − m. Hàm số liên tục tại x0 = 4 ⇔ lim = lim = f (4) ⇔ 12 − m = 32 ⇔ m = −20. x→4+  x→4− Chọn đáp án B  Câu 105. Cho hàm số f (x) = ® 2 x − 1 khi x ≤ 1 x + m khi x > 1 B. m = 2. liên tục tại điểm x0 = 1 khi m nhận giá trị A. m = −2. C. m = 1. D. m = −1. Lời giải. Ta có: lim f (x) = lim (x + m) = 1 + m; lim f (x) = lim (x2 − 1) = f (1) = 0. x→1+ x→1+ x→1− x→1− Để hàm số f (x) liên tục tại x = 1 thì lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = −1. x→1+ x→1− Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em  171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 – Giải tích 11 x2 − 12x + 35 . x→5 25 − 5x 2 B. − . 5 Câu 106. Tính lim 2 . 5 Lời giải. A. C. −∞. x2 − 12x + 35 x→5 25 − 5x lim D. +∞. (x − 5)(x − 7) x→5 5(5 − x) −x + 7 = lim x→5 5 2 = . 5 = lim Chọn đáp án A √ √  2x + 1 − x + 5 Câu 107. Cho hàm số f (x) = x−4  a+2 a để hàm số liên tục tại x0 = 4. 5 11 A. a = . B. a = − . 2 6 Lời giải. Ta có  khi x 6= 4 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số khi x = 4 C. a = 3. D. a = 2. √ √ 2x + 1 − x + 5 lim f (x) = lim x→4 x→4 x−4 1 √ = lim √ x→4 2x + 1 + x + 5 1 = . 6 f (4) = a + 2. Hàm số liên tục tại x0 = 4 khi và chỉ khi lim f (x) = f (4) ⇔ a + 2 = x→4 Chọn đáp án B 11 1 ⇔a=− . 6 6   2 |2x − 7x + 6|    x−2 Câu 108. Cho hàm số f (x) =  1 −x  a + 2+x khi x < 2 . Biết a là giá trị để hàm số f (x) liên tục tại khi x ≥ 2 7 x0 = 2, tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình −x2 + ax + > 0. 4 A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải. Å ã 1−x 1 |2×2 − 7x + 6| Ta có lim f (x) = lim a + = a − = f (2); lim f (x) = lim = lim (−2x + 3) = 2+x 4 x−2 x→2+ x→2+ x→2− x→2− x→2− 3 1 −1. Hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ a − = −1 ⇔ a = − . 4 4 3 7 7 2 −x − x + > 0 ⇔ − < x < 1 suy ra x = −1, x = 0. 4 4 4  Chọn đáp án D  2  x − x − 2 khi x 6= 2 Câu 109. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số f (x) = liên tục tại điểm x−2  m khi x = 2 x = 2. A. m = −3. B. m = 1. C. m = 3. D. m = −1. Lời giải. x2 − x − 2 Ta có lim f (x) = lim = lim (x + 1) = 3. x→2 x→2 x→2 x−2 Để f (x) liên tục tại x = 2 thì lim f (x) = f (2) = m ⇔ m = 3. x→2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em  172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11  2x + 6  , x 6= ±3  2 3x − 27 Câu 110. Cho hàm số f (x) = . Mệnh đề nào sau đây đúng?   −1 , x = ±30 9 A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc khoảng (−3; 3). B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = −3. C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 3. D. Hàm số liên tục trên R. Lời giải. 2x + 6 là hàm phân thức nên liên tục với ∀x 6= ±3. Với x 6= ±3 thì f (x) = 2 3x − 27 2(x + 3) 2x + 6 = lim = ∞ nên hàm số không liên tục tại x = 3. Mặt khác lim 2 x→3 3(x + 3)(x − 3) x→3 3x − 27 2x + 6 2(x + 3) −1 lim = lim = nên hàm số liên tục tại x = −3. x→−3 3x2 − 27 x→−3 3(x + 3)(x − 3) 9 Chọn đáp án C Câu 111. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số f (x) = ® √ 2 x − m với x ≥ 0 mx + 2 với x < 0  liên tục trên R. B. m = ±2. A. m = 2. Lời giải. C. m = −2. D. m = 0. √ Với x > 0 thì f (x) = 2 x − m liên tục. Với x < 0 thì f (x) = mx + 2 liên tục. Tại x = 0, ta có √ lim f (x) = lim (2 x − m) = −m. x→0+ x→0+ lim f (x) = lim (mx + 2) = 2. x→0− x→0− f (0) = −m. Nên, hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ −m = 2 ⇔ m = −2. x→0− x→0+ Vậy, hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi m = −2. Chọn đáp án C  ĐÁP ÁN 1. 11. 21. 31. 42. 52. 62. 72. 82. 92. 102. C A A D A C A D C D C 2. 12. 22. 32. 43. 53. 63. 73. 83. 93. 103. D A C D B A A D D D D 3. 13. 23. 33. 44. 54. 64. 74. 84. 94. 104. Th.s Nguyễn Chín Em D C C B C B B B C C B 4. 14. 24. 35. 45. 55. 65. 75. 85. 95. 105. B B A B A D C A C A D 5. 15. 25. 36. 46. 56. 66. 76. 86. 96. 106. C B A B B D A B D D A 6. 16. 26. 37. 47. 57. 67. 77. 87. 97. 107. 173 D A D B A D A B B D B 7. 17. 27. 38. 48. 58. 68. 78. 88. 98. 108. A A A B A D B A C C D 8. 18. 28. 39. 49. 59. 69. 79. 89. 99. 109. C C B A D C D C D C C 9. 19. 29. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. B A C A D D C D C C C 10. 20. 30. 41. 51. 61. 71. 81. 91. 101. 111. C D B A D A C D C B C https://emncischool.wixsite.com/geogebra
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top