Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Lê Hải Trung

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. Giới hạn 0 1. Định nghĩa: Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay là: lim un  0 x0 2. Một số giới hạn đặc biệt  lim 1  0 với k   * nk  Nếu q  1 thì lim q n  0 n  II. Giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số (un ) được gọi là có giới hạn a nếu lim  un  a   0 .Khi đó ta viết: lim un  a  lim  un  a   0 , Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Chú ý: Nếu un  c (với c là hằng số) thì lim un  lim c  c n  n  2. Một số định lí về giới hạn Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un  vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn  0 thì lim un  0 . Định lí 2. Cho lim un  a, lim vn  b . Ta có:  lim(un  vn )  a  b  lim(un  vn )  a  b  lim(un .vn )  a.b  lim un a  (b  0) vn b  Nếu un  0 n thì lim un  a Chương IV: Giới hạn Page 1 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 3. Tổng của CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng S  u1  u2  …  un  …. gọi là tổng vô hạn của CSN và S  lim Sn  lim u1 (1  q n ) u  1 . 1 q 1 q III. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số (un ) được gọi là có giới hạn   với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó . Kí hiệu lim un   Chú ý lim un    lim  un    . n  n  4.2. Một số kết quả đặc biệt  lim nk   với mọi k  0  lim q n   với mọi q  1 . 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un lim vn lim(un vn )             Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un Dấu của l lim(un vn )             Chương IV: Giới hạn Page 2 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim un được coi như sau; vn Dấu của l Dấu của vn lim             un vn B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Giới hạn 0 Phương pháp: Dể chứng minh dãy số (un) có lim un  0 ta chỉ ra dãy số (vn) sao un  vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn  0 thì lim un  0 . Chú ý : các dãy có giới hạn không được áp dụng  lim 1  0 với k  * nk  Nếu q  1 thì lim q n  0 n  Ví dụ 1: Chứng minh các dãy sau có giới hạn 0 a) un  n n 1 b) un  cos nx n 1 3 Giải a) Ta có un  1 n n n 1  3  3  2 Mà lim 2  0  lim un  0 n n 1 n 1 n n b) Ta có un  1 cos nx 1 1   mà lim  0  lim un  0 n n 1 n 1 n 3 Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với un  a) Chứng minh Chương IV: Giới hạn n . 3n un 1 2  với mọi n  2 un 3 Page 3 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 b) Chứng minh rằng dãy  un  có giới hạn 0 Giải a) Ta có un1 n  1 3n n  1 n  n 2 u 2  n1 .     n1  un 3 n 3n 3n 3 un 3 2 b) Vì un 2 2 2  2   un  un 1    un  2  …    un1 3 3 3  3 lại có u1  1 2  un    3 3 n 1 1 12 .    3 23 n 1 u1 n n 12 Có lim    0  lim un  0 23 Dang 2: Dạng vô định   Phương pháp  Đối với dãy un  a0 n m  a1n m 1  …  am , a0  0, b0  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân b0 nk  b1nk 1  …  bk thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử nm hoặc mẫu nk , việc này cũng như đặt thừa số chung cho nm hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả: 0 khi m  k  a a lim un   0 khi m  k (dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0 ) b0  b0  khi m  k  Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.  Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó. Ví dụ 3 : Tính giới hạn a) lim c) lim n 1 2n  3 n 2  2n n  3n 2  1 b) lim d) lim n 2  n  3n 1  2n n 2  1  3 3n3  2 4 2n 4  n  2  n Giải Chương IV: Giới hạn Page 4 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736  1 1 n 1   1 n 1 n  n 1 a) lim  lim  lim 3 2 3 2n  3  2 n2   n n  2 b) lim n  n  3n  lim 1  2n 1 1  3n 1  3 1 3 n n  lim  1 1 1  2n 02 2 n n. 1  1 n2  n 1 2 n  2n n  1 n c) Ta có: lim = lim  lim 2 2 1 1 3 n  3n  1 n  3n  1 1 3  2 n n  1 2  n  1 2  3 3  3  n n  1 3 3 n  1  3n  2 d) Ta có: lim = lim  . 4 4   2 1 1 2 2n 4  n  2  n n  4 2  3  4  1 n n   2 3 3 Ví dụ 4 : Tính giới hạn a) A  lim 4n 1  5n 1 . 4 n  5n b) B  lim 4.3n  2  2.7 n 1 4n  7n 1 Giải n 4 4   5 n 5 4 a) Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có: A  lim  n  5 ( do lim    0 ). 5  4   1 5 n 4 2 36    2 7 7 b) Ta có: B  lim  n  . 49 4   7 7 Ví dụ 5 : Tính giới hạn a) A  lim n 1  3  5  …  (2n  1) 2n 2  1 b) B  lim 1  2  …  n  n 3 2 1  22  …  n 2  2n  1  1  1  1  1 1 1  c) C  lim 1  2  1  2  … 1  2   d) D  lim     …  n(n  1)   2   3   n   1.2 2.3 3.4 Giải a) Ta có: 1  3  5  …  2n  1  n2 Chương IV: Giới hạn Page 5 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 n2 1 1  lim  . 2 1 2n  1 2 2 2 n n(n  1) n(n  1)(2n  1) b) Ta có: 1  2  …  n  ; 12  2 2  …  n 2  2 6  1 n 2 1   n(n  1)  n n n 2 2 Suy ra : B  lim  lim  n ( n  1)(2 n  1) 1 1     3 3  2n n 1    2   3 6 n  n   2n 6 Suy ra A  lim 3 1 1 2 1 2 3 1 (k  1)(k  1)  k2 k2 1  1  1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1   1  2 1  2  … 1  2   2 . 2 …  n2 2n  2  3   n  2 3 n 1 1  . Do vậy C  lim 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 d) Ta có       …   1 k (k  1) k k  1 1.2 2.3 3.4 n(n  1) n 1 1   Vậy D  lim  1    1.  n 1  Dạng 3: Dạng vô định a.  a  0  c) Ta có: 1  Phương pháp : Nhóm số mũ to nhất Ví dụ 6 : Tính giới hạn a) lim  n 2  4n  1 b) lim  2n 2  1  n  Giải  4 1  a) lim  n 2  4n  1  lim n 2 1   2   n n  lim n 2    Vì   4 1 lim 1  n  n 2   b) lim  nên lim  n 2  4n  1     1  0    1  2n 2  1  n = lim n  2   1 n    lim n    Vì   nên lim 1  lim  2  n  1  1    Chương IV: Giới hạn   2n 2  1  n =  Page 6 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Dạng 4: Dạng vô đinh 0. Phương pháp  Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: A B= A B2 A B A B A B A B = A B= 3 3 A B2 A B 3 A B A B A B = 3 A B= A B= A B3 3 A2  B.3 A  B 2 A  B3 3 A2  B.3 A  B 2 A B A 3 B = A 3 B = 3 2 3 A  A.B  3 B 2 A B 3 A2  3 A.B  3 B 2  Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn: 3   n3  2  n 2  1  n 2  n  3 2  n3 3   n  n  n  n   n3  2  n  n  n 2  1 ; 3 2 2  n3  Ví dụ7 : Tính giới hạn  c) lim  n 2  3n  n a) lim  n2  7  n2  5  b) lim  d) lim  3 n2 3 n  n 2  3n  n 2  Giải  a) lim  n  3n  n   lim 2  3n  lim  n 2  3n  n 2 n  3n  n  lim  3 n2 1    n  n b) lim  3 3  n  2  n  lim   lim 3 Chương IV: Giới hạn  3 n2  3 n 3 3 3   n n2   n  2 2 3 3 3 n 2  3n  n  3  n  2    lim n  3n  n 3n  3  n  1   1 n    n  2 2 3n 2 2  3 2  3 n  2. 3 n  3 n 2   3 n  2. 3 n  3 n 2 3 n2n  lim 3  n  2. n  n 2 3  n  2 2  3 n  2. 3 n  3 n2 Page 7 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2  lim  n  2 3   d) lim  n 2  3n  n 2 0  3 n  2. 3 n  3 n 2 n2  7  n2  5 n 2  7  n 2  5  lim c) lim 2 n 2  7  n2  5  lim   = lim  n 2  3n  n 2  lim 2 n2  7  n2  5 3n 0 n 2  3n  n 2 3 3  2 3 1  1 n  lim Ví dụ 8 : Tính giới hạn a) lim  n 2  2n  3 n 3  2 n 2  b) lim  4 n 2  1  3 8n 3  n  Giải a) Ta có: lim  n 2  2n  3 n3  2n 2 2n  lim  = lim   n 2  2n  n  lim  3 n 3  2n 2  n  2n 2  lim 3 n 2  2n  n ( n 3  2 n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 2 2 1  lim  lim  . 3 2 2 2 3 (1  ) 2  3 1  1 1 1 n n n b) Ta có: lim Mà: lim lim  3    4n 2  1  3 8n3  n = lim 2  4n 2  1  2n  lim 1  4n 2  1  2n  lim   3 (8n 2  n) 2  2n 3 8n 2  n  4n 2 Vậy lim  3 8n 3  n  2 n  0 4n  1  2 n n 8n 2  n  2n  lim  0  4 n 2  1  3 8n 3  n  0 . Dạng 5: Cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1 .  Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn  un  S  u1  u2  …  un  …  u1 1 q  Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 X  N , a1a2 a3 …an  N  Chương IV: Giới hạn a a1 a2 an  2  33  …  n  … 10 10 10 10 Page 8 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Ví dụ 9. Viết số thập phân m  0, 030303 … (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải 3 3 3 3 3 1 100 m  3   …   3  100  3   3  n 1 100 10000 100 99 33 33 1 100 1 1 Ví dụ 10. Tính tổng S  2  2  1    … 2 2 Giải 1  2 1 1 ,… là cấp số nhân q   ;q  1 2 2 2 2 2 Xét dãy: 2,  2,1,    2 Vậy S  1 1 2  2 2  42 2 2 1 Ví dụ 11 . Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212 … (chu kỳ 12) Giải  1    1134 12 12 12   34,1212…  34    …   34  12  100   2 n 1 100 100 100 33  1   100  C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 1  2n . 5n  3n 2 C. un  Câu 2: lim n 2  2n . 5n  3n2 Câu 4: 2 bằng 5n  2n  1 1 A. . 2 lim 1  2n 2 . 5n  3n 2 D. un  n2  2 . 5n  3n2 3n3  2n  1 bằng 4n 4  2n  1 A.  . Câu 3: B. 2 . 7 B. 0 . C. B. 0 . C.  . D. 3 . 4 D. 2 . 5 4 Tính lim n  2n 2 . Kết quả là n3  3n  1 Chương IV: Giới hạn Page 9 Giới hạn của dãy số A. 2 . Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: B. 1. C. 2 . 3 D. 0 . Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? A. lim 3  2n 3 . 2n 2  1 B. lim 2n 2  3 . 2n3  4 C. lim 2n  3n3 . 2n2  1 D. lim 2n2  3n 4 . 2n3  n 2 3 bằng 4 n  2n  1 3 A.  . 4 lim 2 B.  . C. 0 . D. – 1 . Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. un  n2  2 . 5n  3n2 B. un  n 2  2n . 5n  3n2 C. un  1  2n 2 . 5n  3n2 D. un  1  2n . 5n  3n2 1 (với k nguyên dương) là xk B.  . C. 0 . Kết quả của giới hạn lim x  A.  . Câu 9: Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Tính lim D. x . n  2n3 . Kết quả là 3n3  2n  1 A. 2 . B. 1. C. 2 . 3 D. 0 . Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? A. lim 2n  3 . 1  2n B. lim C. lim 1  n3 . n 2  2n D. lim Câu 11: Kết quả lim A.  2n  1 n  3 n  2n3 2 . 2n  1 . 3.2n  3n 3  2n  4n 2 là 4n 2  5n  3 3 . 4 B. 0 . 4 D.  . 3 C. 1. Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? A. lim 2n 2  3 . 2n3  4 Chương IV: Giới hạn B. lim 2n 2  3 . 2n 2  1 Page 10 Giới hạn của dãy số C. lim Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2n 2  3 . 2 n 3  2 n 2 n3  4n  5 bằng 3n3  n 2  7 1 A. . 3 2n 3  3 . 2n 2  1 D. lim Câu 13: lim B. 1. Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng C. 1 . 4 D. 1 ? 5 A. un  1  2n 2 . 5n  5 B. un  1  2n . 5n  5n 2 C. un  n 2  2n . 5n  5n 2 D. un  1  2n . 5n  5 5n 2  3n4 bằng 4n 4  2n  1 3 A.  . 4 1 . 2 Câu 15: lim 5 . 4 B. C. 3 . 4 D. 0 . Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?  2n  1 n  3 B. lim 2n  3 A. lim . 1  2n C. lim 1  n3 . n 2  2n Câu 17: Cho un  A. 4 . 5 n  2n3 D. lim 1  4n . Khi đó lim un bằng 5n 3 B.  . 5 Câu 18: Cho dãy số (un ) với un  C. 3 . 5 2 . 2n  1 . 3.2n  3n 4 D.  . 5 4n 2  n  2 . Để (un ) có giới hạn bằng 2 , giá trị của an2  5 a là A. 4 . Câu 19: Dãy số  un  A. 3 . 2 B. 2 . C. 4 . n2  n  5 với  un   có giới hạn bằng 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 Câu 20: Cho dãy số  un  với un  D. 3 . D. 1 . 2n  b . Để dãy số  un  có giới hạn hữu hạn thì giá 5n  3 trị của b là A. b là một số thực tùy ý. Chương IV: Giới hạn Page 11 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 B. b nhận một giá trị duy nhất là 2 . C. b nhận một giá trị duy nhất là 3 . D. b nhận một giá trị duy nhất là 5 . 2 n 3  5n  3 là 3n3  n 2 3 A.  . 2 Câu 21: lim Câu 22: Cho un  B. 2 . 3 C. 3 . D.  . 1 2 v và vn  . Khi đó lim n bằng n 1 n2 un A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . 1 Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 A. un  n 4  2n3  1 . 3n3  2n2  1 B. un  2n  n 2 . 3n 2  5 C. un  n2  3n3 . 9n 3  n 2  1 D. un   n 2  2n  5 . 3n3  4n  2 104 n bằng bao nhiêu? 104  2n A.  . B. 1. Câu 24: lim Câu 25: Dãy số  un  với  un   A. 3 . 2 Câu 26: Tính lim A. Câu 27: lim 4 . 3 C. 1000 . n2  n  5 có giới hạn bằng 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 5n  2 ta được kết quả 3n  1 5 B. . 3 D. 5000 . D. 1 . 5 . 9 D. 3 . 5 C. 0 . D. 3 . 11 C. 2n 4  2 n  2 bằng 4n 4  2n  5 A.  . Câu 28: Dãy số  an  với an  A. 0 . Chương IV: Giới hạn B. 1 . 2 2n , n  1, 2,  có giới hạn bằng n2 B. 1. C. 2 . D. 3 . Page 12 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 an  4 , trong đó a là hằng số. Để dãy số  un  có 5n  3 giới hạn bằng 2 , giá trị của a là Câu 29: Cho dãy số  un  với un  A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . 1 Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 A. un  n3  2n  1 . 3n3  2n 2  1 B. un  n 2  3n4 C. un  3 . 9n  n 2  1 Câu 31: lim  n 2  2n  5 D. un  3 . 3n  4n  2 n 2  3n3 bằng 2n3  5n  2 A. 0 . B. Câu 32: Dãy số  un  với un  A. 2n  n 2 . 3n 2  5 3 . 2 1 . 2 C. 1 . 5 3 D.  . 2 n2  n  5 có giới hạn bằng: 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 D. 1 . Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng 1 ? A. lim n 2  n3 . 2n 3  1 B. lim n2  n C. lim . 2n  n2 2n  3 . 2  3n n3 D. lim 2 . n 3 Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n2  3n  2 . n2  n C. lim n3  2n  1 . n  2n 3 D. lim n2  n  1 . 2n  1 Câu 35: Giới hạn của dãy số (un) với un = A.  . B.  . 3n  n 4 có giới hạn bằng 4n  5 C. 0 . D. 3 . 4 Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. lim n4  2   . n3  1 B. lim n2  5   . 2n  1 C. lim 2n 2  n  1   . 3n D. lim 1   . 2  3n Chương IV: Giới hạn Page 13 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? 2n  3n 2 A. lim . 2n 2  1 C. lim 3  2n 3 B. lim 2 . 2n  1 2n 2  3n 4 . 2n3  n 2 n 3  2n bằng 1  3n2 1 A.  . 3 2n 2  3 . n3  4 D. lim Câu 38: lim B.  . 2 . 3 C.  . D. C.  . D. 6 . Câu 39: Kết quả L  lim  5n  3n 3  bằng A. 4 . B.  . Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? A. un  1  2n . 5n  5n 2 B. un  n2  2 . 5n  5n 3 C. un  n 2  2n . 5n  5n 2 D. un  1  n2 . 5n  5 Câu 41: Kết quả L  lim  3n 2  5n  3 là A. 3 . B.  . C.  . D. 5 . Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n C. lim n 3  2n  1 1 n2  n  1   lim . D. . n  2n3 2 2n  1 B. lim n2  3n  2 . n2  n Câu 43: lim  2n  3n 3  là: A. 2 . B.  . C.  . D. 3 . B. 6 . C.  . D.  . B.  . C. 0 . D. . Câu 44: lim  3n3  2n 2  5  bằng A. 3 . 2n  3n3 bằng 4n 2  2n  1 3 A. . 4 Câu 45: lim Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 9n 2  7 n A. un  . n  n2 Chương IV: Giới hạn B. un  2008n  2007 n 2 . Page 14 Giới hạn của dãy số C. un  Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2007  2008n . n 1 D. un  n 2  1 . Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. un  3n 2  n . B. un  n 4  3n3 . C. un  n 2  4n3 . D. un  3n3  2n 4 . Câu 48: lim 100n3  7n  9 là 1000n 2  n  1 A. 9 . B.  . C.  . D. 1 . 10 Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n2  3n  2 . n2  n C. lim n3  2n  1 . n  2n 2 D. lim n2  n  1 . 2n  1 Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. lim 1   . 2  3n C. lim 2n 2  n  1 n4  2   . D. lim 3   . 3n n 1 B. lim n2  5   . 2n  1 BẢNG ĐÁP SỐ 1.A 11.C 21.B 31.D 41.C 2.B 12.B 22.B 32.B 42.D 3.B 13.A 23.C 33.C 43.C Chương IV: Giới hạn 4.D 14.C 24.D 34.D 44.C 5.B 15.A 25.B 35.A 45.B 6.C 16.D 26.B 36.A 46.D 7.D 17.D 27.B 37.C 47.D 8.C 18.B 28.C 38.C 48.B 9.C 19.B 29.A 39.B 49.D 10.D 20.A 30.A 40 50.D Page 15 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 1  2n . 5n  3n 2 C. un  B. n 2  2n . 5n  3n2 1  2n 2 . 5n  3n 2 D. un  n2  2 . 5n  3n2 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 2  2 1  2n n n 0 Ta có lim  lim 5 5n  3n 2 3 n Câu 2: lim 3n3  2n  1 bằng 4n 4  2n  1 A.  . B. 0 . C. 2 . 7 D. 3 . 4 D. 2 . 5 Hướng dẫn giải Chọn B. 3 2 1  3 4 3n3  2n  1 n n n 0 lim 4  lim 2 1 4 n  2n  1 4 3  4 n n Câu 3: 2 bằng 5n  2n  1 1 A. . 2 lim 4 B. 0 . C.  . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 n4 lim 4  lim 0 2 1 5n  2 n  1 5 3  4 n n Câu 4: Tính lim n  2n 2 . Kết quả là n3  3n  1 A. 2 . B. 1. C. 2 . 3 D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn Chương IV: Giới hạn D. Page 16 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 2  2 n  2n 2 lim 3  lim n n  0 3 1 n  3n  1 1 2  3 n n Câu 5: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? A. lim 3  2n 3 . 2n 2  1 B. lim 2n 2  3 . 2n3  4 C. lim 2n  3n3 . 2n2  1 D. lim 2n2  3n 4 . 2n3  n 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 3  2n 2  3 n n3  0 lim  lim 4 2 n 3  4 2  3 n Câu 6: 3 bằng 4 n  2n  1 3 A.  . 4 lim 2 B.  . C. 0 . D. – 1 . Hướng dẫn giải Chọn C. 3 3 n2 lim 2  lim 0 2 1 4 n  2n  1 4  2 n n  Câu 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. un  n2  2 . 5n  3n2 B. un  n 2  2n . 5n  3n2 C. un  1  2n 2 . 5n  3n2 D. un  1  2n . 5n  3n2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 2  1  2n n2 n  0 lim  lim 5 5n  3n 2 3 n Câu 8: 1 (với k nguyên dương) là x  x k B.  . C. 0 . Kết quả của giới hạn lim A.  . Chương IV: Giới hạn D. x . Page 17 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 lim 0 x  x k Câu 9: Tính lim n  2n3 . Kết quả là 3n3  2n  1 A. 2 . B. 1. C. 2 . 3 D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 2 2 n  2n 3 2 2 lim 3  lim n  lim  2 1 3n  2n  1 3 3 3 2  3 n n Câu 10: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? A. lim 2n  3 . 1  2n B. lim C. lim 1  n3 . n 2  2n D. lim  2n  1 n  3 n  2n3 2 . 2n  1 . 3.2n  3n Hướng dẫn giải Chọn D. n n  2 1     2 1 lim n n  lim  3  n 3   0 3.2  3 2 3.    1 3 n Câu 11: Kết quả lim A. 3  2n  4n 2 là 4n 2  5n  3 3 . 4 B. 0 . 4 D.  . 3 C. 1. Hướng dẫn giải Chọn C 3 2  4 2 3  2n  4n 2 n n lim 2  lim 1 5 3 4 n  5n  3 4  2 n n Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? A. lim 2n 2  3 . 2n3  4 Chương IV: Giới hạn B. lim 2n 2  3 . 2n 2  1 Page 18 Giới hạn của dãy số C. lim Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2n 2  3 . 2 n 3  2 n 2 D. lim 2n 3  3 . 2n 2  1 Hướng dẫn giải Chọn B 3 2 2 2n 2  3 n  1 lim  lim 1 2 n 2  1 2  2 n n3  4n  5 bằng 3n3  n 2  7 1 A. . 3 Câu 13: lim B. 1. C. 1 . 4 D. 1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A 4 5 1 2  3 n 3  4n  5 n n 1 lim 3  lim 2 1 7 3n  n  7 3  3 3 n n Câu 14: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ? 5 A. un  1  2n 2 . 5n  5 B. un  1  2n . 5n  5n 2 C. un  n 2  2n . 5n  5n 2 D. un  1  2n . 5n  5 Hướng dẫn giải Chọn C 2 1 n 2  2n n 1 lim  lim 2 5 5n  5n 5 5 n 5n 2  3n4 bằng 4n 4  2n  1 3 A.  . 4 Câu 15: lim B. 5 . 4 C. 3 . 4 D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn A 5 3 4 5n 2  3n 4 3 n lim 4  lim  2 1 4n  2 n  1 4 4 3  4 n n Chương IV: Giới hạn Page 19 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Câu 16: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?  2n  1 n  3 B. lim 2n  3 A. lim . 1  2n n  2n3 . 2n  1 D. lim n n . 3.2  3 Hướng dẫn giải 1  n3 C. lim 2 . n  2n Chọn 2 D. n n 2 1     n 2 1 0 3 3 Vì: lim n n  lim   n   0 3.2  3 1 2 3.    1 3 2 lim 2n  3  2n  1 n  3  1 ; lim 1  n3   ;   1 lim n  2n3 1  2n n 2  2n Câu 17: Cho un  A. 4 . 5 1  4n . Khi đó lim un bằng 5n 3 3 B.  . C. . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn 4 D.  . 5 D. 1 4 1  4n 4 n lim un  lim  lim  . 5n 5 5 Câu 18: Cho dãy số (un ) với un  4n 2  n  2 . Để (un ) có giới hạn bằng 2 , giá trị của an2  5 a là A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 2 4  2 4n 2  n  2 n n  4 2a 2. lim un  lim  lim 2 5 an  5 a a 2 n Câu 19: Dãy số  un  với  un   A. 3 . 2 Chọn Chương IV: Giới hạn n2  n  5 có giới hạn bằng 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 Hướng dẫn giải D. 1 . B. Page 20 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 5 1  2 n2  n  5 n n 1. lim un  lim  lim 2 1 2n  1 2 2 2 n Câu 20: Cho dãy số  un  với un  2n  b . Để dãy số  un  có giới hạn hữu hạn thì giá 5n  3 trị của b là A. b là một số thực tùy ý. B. b nhận một giá trị duy nhất là 2 . C. b nhận một giá trị duy nhất là 3 . D. b nhận một giá trị duy nhất là 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. b 2 2n  b n  2 vì lim b  b lim 1  0, b   lim un  lim  lim x  n x  n x  x  5n  3 x  3 5 5 n 2 n 3  5n  3 là 3n3  n 2 3 A.  . 2 Câu 21: lim B. 2 . 3 C. 3 . D.  . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 n 3  5n  3 lim  lim 3n3  n 2 Câu 22: Cho un  5 3  n 2 n3  2 1 3 3 n 2 1 2 v và vn  . Khi đó lim n bằng n 1 n2 un A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 2 v 2n  2 n 2 lim n  lim n  2  lim  lim 1 2 un n2 1 n 1 n 1 Câu 23: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 Chương IV: Giới hạn Page 21 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 A. un  n 4  2n3  1 . 3n3  2n2  1 B. un  2n  n 2 . 3n 2  5 C. un  n2  3n3 . 9n 3  n 2  1 D. un   n 2  2n  5 . 3n3  4n  2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 3 n 2  3n3 3 1 n lim un  lim 3  lim  lim  2 1 1 9n  n  1 9 3 9  3 n n 104 n bằng bao nhiêu? 104  2n A.  . B. 1. Câu 24: lim C. 1000 . D. 5000 . Hướng dẫn giải Chọn D lim 104 n 104 104  lim   5000 10 4 104  2n 2 2 n Câu 25: Dãy số  un  với  un   A. 3 . 2 n2  n  5 có giới hạn bằng 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn B 1 5 1  2 n2  n  5 n n 1 lim un  lim  lim 2 1 2n  1 2 2 2 n Câu 26: Tính lim A. 4 . 3 5n  2 ta được kết quả 3n  1 5 5 B. . C. . 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D. 3 . 5 B. 2 5 5n  2 n 5 lim  lim 1 3 3n  1 3 n Chương IV: Giới hạn Page 22 Giới hạn của dãy số Câu 27: lim Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2n 4  2 n  2 bằng 4n 4  2n  5 A.  . B. 1 . 2 C. 0 . D. 3 . 11 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 2 3  4 2n 4  2n  2 n n 21 lim 4  lim 2 5 4 n  2n  5 4 3  4 4 2 n n Câu 28: Dãy số  an  với an  A. 0 . 2n , n  1, 2,  có giới hạn bằng n2 B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2n 2 lim an  lim  lim 2 2 n2 1 n an  4 , trong đó a là hằng số. Để dãy số  un  có 5n  3 giới hạn bằng 2 , giá trị của a là Câu 29: Cho dãy số  un  với un  A. 10 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. 4 a an  4 n  a . Để dãy số  u  có giới hạn bằng 2 Ta có lim un  lim  lim n 3 5 5n  3 5 n a thì  2  a  10 5 1 Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 3 A. un  n3  2n  1 . 3n3  2n 2  1 B. un  2n  n 2 . 3n 2  5 C. un  n 2  3n4 . 9n 3  n 2  1 D. un   n 2  2n  5 . 3n3  4n  2 Hướng dẫn giải Chọn Chương IV: Giới hạn A. Page 23 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 1 1  2  3  n 3  2n  1 n n  lim 1   1 lim un  lim 3  lim 2 2 1 3n  2n  1 3 3 3  3 n n Câu 31: lim n 2  3n3 bằng 2n3  5n  2 1 . 2 Hướng dẫn giải A. 0 . B. Chọn C. 1 . 5 3 D.  . 2 D. 1 3 n 2  3n3 3 n Ta có: lim 3  lim  . 5 2 2n  5n  2 2 2 2  3 n n Câu 32: Dãy số  un  với un  A. 3 . 2 Chọn n2  n  5 có giới hạn bằng: 2n 2  1 1 B. . C. 2 . 2 Hướng dẫn giải D. 1 . B. 1 5 1  2 n2  n  5 n n 1. Ta có : lim un  lim  lim 2 1 2n  1 2 2 2 n Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng 1 ? A. lim n 2  n3 . 2n 3  1 B. lim 2n  3 . 2  3n C. lim n2  n . 2n  n2 D. lim n3 . n2  3 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 1 1 2 3 n n 1 Xét A: lim 3  lim n  1 2n  1 2 2 3 n 3 2 2n  3 n 2 Xét B : lim  lim 2 2  3n 3 3 n Chương IV: Giới hạn Page 24 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 1 1 n2  n n  1 . Xét C: lim  lim 2 2n  n 2  1 n Xét D: lim n3 1  lim n.   . 2 3 n 3 1 2 n Câu 34: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n2  3n  2 . n2  n C. lim n3  2n  1 . n  2n 3 D. lim n2  n  1 . 2n  1 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 3  2 2n 2  3n Xét A: lim 3  lim n n  0 3 n  3n 1 2 n 3 2 1  2 n 2  3n  2  lim n n Xét B lim 1 n2  n 1 n 2 1 1 2  3 3 n  2n  1 n n 1.  lim Xét C: lim 3 1 n  2n 2 2 n2 1 1 1  2 n2  n  1  lim n. n n   . Xét D: lim 1 2n  1 2 n Câu 35: Giới hạn của dãy số (un) với un = A.  . B.  . 3n  n 4 có giới hạn bằng 4n  5 C. 0 . D. 3 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 1 3 3n  n 4 Ta có : lim un  lim  lim n3 . n   . 5 4n  5 4 n Chương IV: Giới hạn Page 25 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Câu 36: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? n4  2   . A. lim 3 n 1 C. lim n2  5   . B. lim 2n  1 1 2n 2  n  1   . D. lim   . 2  3n 3n Hướng dẫn giải Chọn A. Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 1 4 n4  2 Xét A : lim 3  lim n. n   1 n 1 1 3 n 5 1 2 n2  5 Xét B : lim  lim n. n   1 2n  1 2 n 1 1 2  2 2 2n  n  1 n n   . Xét C: lim  lim n. 3 3n 1 n 1 1 Xét D: lim  lim n  0 . 2 2  3n 3 n Câu 37: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? A. lim 2n  3n 2 . 2n 2  1 B. lim 3  2n 3 . 2n 2  1 C. lim 2n 2  3n 4 . 2n3  n 2 D. lim 2n 2  3 . n3  4 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 2 3 2 2n  3n 3 n  lim  Xét A: lim 2 1 2n  1 2 2 2 n 3 2 3 3  2n3  lim n. n   Xét B: lim 2 1 2n  1 2 2 n Chương IV: Giới hạn Page 26 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 3 2n 2  3n 4 n2 Xét C: lim  lim n .   . 1 2n3  n 2 2  n 2 3  3 2n 2  3 n n  0. Xét D: lim 3  lim 4 n 4 1 3 n n 3  2n bằng 1  3n2 1 A.  . 3 Câu 38: lim B.  . C.  . D. 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 2 n 3  2n n  lim n.   . Ta có : lim 1 1  3n 2  3 n2 Câu 39: Kết quả L  lim  5n  3n 3  bằng A. 4 . B.  . C.  . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B.  5  Ta có : L  lim  5n  3n3   lim n3  2  3    . n  Câu 40: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào bằng  ? A. un  1  2n . 5n  5n 2 B. un  n2  2 . 5n  5n 3 C. un  n 2  2n . 5n  5n 2 D. un  1  n2 . 5n  5 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta tính giới hạn lần lượt trong bốn phương án trên. 1 2  2 1  2n n n 0 Xét A: lim un  lim  lim 5 5n  5n 2 5 n 1 2  2 n 2 n n3  0 Xét B : lim un  lim  lim 5 5n  5n3 5 n2 Chương IV: Giới hạn Page 27 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 2 1 n 2  2n n  1. Xét C: lim un  lim  lim 2 5 5n  5n 5 5 n 1 1 2 1  n2 n Xét D: lim un  lim  lim n.   . 5 5n  5 5 n Câu 41: Kết quả L  lim  3n 2  5n  3 là A. 3 . B.  . C.  . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C. 5 3  Ta có lim  3n 2  5n  3  lim n 2  3   2   . . n n   lim n 2    Vì   . 5 3  lim 3    3  0    n n2    Câu 42: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n2  3n  2 . n2  n n 3  2n  1 1 n2  n  1 . D. .   lim n  2n3 2 2n  1 Hướng dẫn giải C. lim Chọn D. A sai vì lim 2n 2  3n  0. n3  3n n2  3n  2  1. B sai vì lim n2  n C sai vì lim n3  2n  1 1  . 3 n  2n 2  1 1   1 1  n 2 1   2  n 1   2  n  n 1 2 n  2 n  D đúng lim  lim   lim   . 1 1 2n  1   n2   2  n n   2 Câu 43: lim  2n  3n 3  là: A. 2 . B.  . C.  . D. 3 . Hướng dẫn giải. Chọn Chương IV: Giới hạn C. Page 28 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736  2  Ta có lim  2n  3n3   lim n3  2  3   . . n  lim n3    .   2  lim  n 2  3   3  0    Câu 44: lim  3n3  2n 2  5  bằng A. 3 . B. 6 . C.  . D.  . Hướng dẫn giải. Chọn C. 2 5  Ta có lim  3n3  2n 2  5   lim n3  3   3   . n n   lim n3    Vì   2 5 lim  3  n  n3   3  0    2n  3n3 bằng 4n 2  2n  1 3 A. . 4 Câu 45: lim B.  . C. 0 . D. . Hướng dẫn giải. Chọn B.  2 3 2  2n  3n  lim n  n Ta có lim 2 4 n  2n  1  4  2  12 n n  3 lim n      2 Vì   n 2  3 lim  2 1   4  2 n n       .     3 .  0  4  Câu 46: Dãy số nào sau đây có giới hạn  ? 9n 2  7 n . n  n2 2007  2008n C. un  . n 1 B. un  2008n  2007 n 2 . A. un  D. un  n 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì lim un  lim Chương IV: Giới hạn 9n 2  7 n  9. n  n2 Page 29 Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736 B sai vì lim un  lim(2008n  2007 n 2 )  . C sai vì lim un  lim 2007  2008n  2008. n 1 1   D đúng lim un  un  lim(n 2  1)  lim n 2  1  2   .  n  Câu 47: Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. un  3n 2  n . B. un  n 4  3n3 . C. un   n 2  4n3 . D. un  3n 3  2n 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì lim un  lim(3n 2  n)  . B sai vì lim un  lim(n 4  3n3 )  . C sai vì lim un  lim( n 2  4n3 )  . D đúng lim un  lim(3n 3  2n 4 )  . Câu 48: lim 100n3  7n  9 là 1000n2  n  1 A. 9 . B.  . C.  . D. 1 . 10 Hướng dẫn giải. Chọn B. 7 9   100  n 2  n3 100n3  7n  9  lim n  Ta có lim 1000n 2  n  1  1000  1  12 n n      .   Câu 49: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? A. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n 2  3n  2 . n2  n C. lim n3  2n  1 . n  2n 2 D. lim n2  n  1 . 2n  1 Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì lim 2n2  3n  0. n3  3n B sai vì lim n 2  3n  2  1. n2  n C sai vì lim n3  2n  1  . n  2n 2 Chương IV: Giới hạn Page 30 Giới hạn của dãy số D đúng lim Ths. Lê Hải Trung 0984735736 n2  n  1  . 2n  1 Câu 50: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. lim 1   . 2  3n B. lim n2  5   . 2n  1 2n 2  n  1 n4  2 C. lim   . D. lim 3   . 3n n 1 Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì lim 1  0. 2  3n B sai vì lim n2  5  . 2n  1 C sai vì lim 2n 2  n  1  . ` 3 n Chương IV: Giới hạn Page 31 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Giới hạn hữu hạn: a. Giới hạn hữu hạn: Cho x0   a; b  và f là hàm số xác định trên tập  a; b   x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim f  x   L , khi x dần tới x0 ( hoặc tại điểm x0 ) , x  x0 nếu với mọi dãy số  xn  trong tập  a; b   x0  mà lim xn  x0 . Ta đều có lim f  xn   L . b. Giới hạn vô cực: lim f  x    nếu mọi dãy  xn  trong tập  a; b   x0  mà limx n  x0 x  x0 thì lim f  xn    2. Giới hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a;   . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới  , kí hiệu lim f  x   L , nếu với mọi dãy số x   xn  trong khoảng  a;   mà limx n   , ta đều có lim f  xn   L . 3. Các định lí: a. Định lí 1: Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M x  x0 x  x0  L, M  R  . Khi đó: – lim  f  x   g  x    L  M x  x0 – lim  f  x  .g  x    L.M x  x0 – lim  k . f  x    k .L  k  R  x  x0 – lim Chương V: Giới hạn x  x0 f  x L  g  x M  M  0 Page 1 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 b. Định lí 2: Giả sử lim f  x   L . Khi đó: x  x0 – lim f  x   lim f  x   L x  x0 – lim 3 x  x0 x  x0 f  x  3 L – Nếu f  x   0 với mọi x  J  x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L  0 và lim x  x0 f  x  L c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng nào đó chứa x0 và f , g , h là ba hàm số xác định trên tập hợp J  x0  . Khi đó:   x  J  x0  : g  x   f  x   h  x   lim f  x   L  lim g x  lim h x  L x  x0  x  x0   x  x0   4. Giới hạn một bên a. Định nghĩa: – Giả sử hàm f xác định trên khoảng  x0 ; b  , x0  R . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 , kí hiệu: lim f  x   L , nếu mọi dãy số  xn  x  x0 trong khoảng  x0 ; b  mà limx n  x0 , ta đều có lim f  xn   L – Giả sử hàm f xác định trên khoảng  a; x0  , x0  R . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 , kí hiệu: lim f  x   L , nếu mọi dãy số  xn  x  x0 trong khoảng  a; x0  mà limx n  x0 , ta đều có lim f  xn   L – Các định nghĩa: lim f  x    , lim f  x    , lim f  x    , lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 được phát biểu tương tự như trên. b. Các định lí: – lim f ( x)  lim f ( x)  L  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 – lim f  x     lim x  x0 x  x0 1 0 f  x – Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g ( x)   thì: x  x0 Chương V: Giới hạn x  x0 Page 2 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  neáu L vaø lim g ( x) cuøng daáu x  x0  lim f ( x) g ( x)   x  x0 g ( x) traùi daáu  neáu L vaø xlim  x0 0 neáu lim g ( x)   x  x0 f ( x)  lim   neáu lim g ( x)  0 vaø L.g ( x)  0 x  x0 g ( x ) x  x0  g ( x)  0 vaø L.g ( x)  0  neáu xlim  x0 5. Các giới hạn đặc biệt:  neáu k chaün – lim x k   ; lim x k   x  x   neáu k leû – lim c  c ; x  – lim 1   ; x – lim 1 1  lim   x x 0 x x0 x0 lim c 0 xk lim 1   x x  x  0 Quy tắc về giới hạn vô cực  Quy tắc tìm giới hạn của tích f  x  .g  x  lim f ( x) x  x0 x  x0 x  lim g ( x) x  x0 x  x 0 x  L>0 L<0 lim f ( x).g ( x) x  x0 x  x 0 x  lim f ( x) lim g ( x) x  x0 x  x0 x  + +  +   +   Quy tắc tìm giới hạn của thương * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: x  x0 x  x0 x  L  L>0 0 L<0 0 Dấu của g  x f(x) g(x) lim x  x0 x  x0 x  f ( x) g ( x) Tùy ý 0 + +  +    + 0  , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định. Chương V: Giới hạn Page 3 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 B. DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa Phương pháp: thay trực tiếp x0 và biểu thức f  x  Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau  1 a) lim x  1   . x 0  x b) lim x  2 c) lim x2 x 1 x2  1 x 1 Giải a) lim  3 x 2  x  1  3.42  4  1  45 x 4 b) lim x  2  1  2  3 x 1 c) lim x2 x 2  1 22  1  5 x 1 2 1 DẠNG 2: Dạng vô định 0 0 Phương pháp: Tính L  lim x  x0 P  x Q  x , với P  x0   Q  x0   0 - Trường hợp 1: P  x  , Q  x  là các đa thức: Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Lưu ý: ax 2  bx  c  0  a  0   a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 là nghiệm của pt Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: x3  8 a) lim 2 x 2 x  4 Giải x2  5x  6 b) lim 2 x  2 x  7 x  10 xm 1 c) lim n  m, n   * x 1 x  1  x  2  x2  2 x  4 x3  8 x 2  2 x  4 12  lim  lim  3 a) lim 2 x2 x  4 x2 x2 x2 4  x  2  x  2  b) lim x2  x  2  x  3  lim x  3  1 x2  5x  6  lim 2 x  7 x  10 x 2  x  2  x  5 x 2 x  5 3 x m 1  x m 2  .....  x  1 m  x  1  x m1  x m2  .....  x  1  xm 1 c) lim n  lim  lim  x 1 x  1 x 1 x  1 x n 1  x n  2  .....  x  1    x1  xn1  x n2  .....  x  1 n Chương V: Giới hạn Page 4 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 - Trường hợp 2: P  x  , Q  x  là các biểu thức chứa căn cùng bậc: Nhân liên hợp ở tử và mẫu. Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: A B2 A B  A B=  A B =  A B=  A B = A B A B A B2 A B A B A B  3  3  3  3 A B= A B= A  B3 3 A2  B.3 A  B 2 A B3 3 A 3 B = A 3 B = A2  B.3 A  B 2 A B 3 A  3 A.B  3 B 2 A B 3 A2  2 3 A.B  3 B 2 Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: 2 4 x x 0 x a) lim x 1  3 x  3  5x 1 x2 1 Giải b) lim  c) lim x 1 x7 2 x 1  2 4 x 2 4 x 2 4 x 1 1  lim  lim  x 0 x  0 x  0 x 2 4 x 4 x 2 4 x a) lim  x  3  5x  1  lim x 1 x2  1 b) lim x 1  lim x 1  lim x 1  x  1 x  1  x 2 x  3  5x 1 4  x  1  x  3  5x  1 x7 2  lim c) lim x 1 x 1 x 1 x 1 x  3  5x  1  1   x  3  5x 1 x  3  5x 1   4  x  1 3  lim    3 x7 2  x  1 1  3 2 x  7  23 x  7  4  1 2       3 3 2 x  7  23 x  7  4 2 x  7  23 x  7  4   1 12 - Trường hợp 3: P  x  , Q  x  là các biểu thức chứa căn khác bậc: Giả sử: P  x   m u  x   n v  x  với Ta phân tích P  x    m   m u  x0   n v  x0   a u  x  a  a  n v  x  Ví dụ 4: Tính giới hạn sau : Chương V: Giới hạn Page 5 Giới hạn hàm số 3 lim x 0 Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x 1  1 x x Giải 3 lim x 0  3 x  1 1  1  1  x   3 x 1 1 1 1 x  x 1  1 x  lim   lim     x 0  x 0 x x x x       1 1  11  5  lim  2 x 0  3 3 1 1 x  3 2 6   x  1  x  1  1  DẠNG 3: dạng vô định   P  x với P  x  , Q  x  là các đa thức hoặc các biểu x  Q  x  Phương pháp: Tính L  lim thức chứa căn. - Trường hợp 1: P  x  , Q  x  là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x . - Trường hợp 2: P  x  , Q  x  có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x . Lưu ý:  x khi x   . Khi đó lim x  lim x và lim x   lim x x2  x   x  x  x  x    x khi x   Ví dụ 5 : Tính các giới hạn sau 2 x2  5x  3 a) lim 2 x  x  6 x  3 c) lim x  b) lim x  2x  3  3x 5 d) lim 4 x2  1  x 3 x  1 x  2 x  1 x  2 2  x  1 2  3x  5 2x  3 x2  1  x Giải 5 3  2 2x  5x  3 x x 2 a) lim 2  lim x  x  6 x  3 x  6 3 1  2 x x 2 2 3 2 1  1 1    2   1   2   2 x  1  x 2  x  1 8 x  x x  b) lim  lim   5 2 x  3 x  1 x  3 x  5    x  3  15  1  3  52  3 x  x x   3 Chương V: Giới hạn 2 Page 6 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 2 x  lim  2 c) lim 2 x  2 1 1 4 x  1  x x  4  2 1 x 3 2 2x  3 2 x d) lim  lim   1 2 x  x  1  1 1 x 1  x  1 2 1 x DẠNG 4: Dạng vô định    2 2x  3 Phương pháp : (giới hạn này thường chứa căn): Ta thường sử dụng phương pháp nhân liên hợp của tử và mẫu. Ví dụ 6 : Tính các giới hạn sau: a) lim  1 x  x c) lim  x2  1  x2  x  2 x x  x   16 x  3x  1  4 x  2  d) lim  x  x  1  x  x  1   b) lim 4 4 2 x   3 3 2 2 x  Giải a) lim x   x  4 x   lim x    1 x  x 1 x  x x    lim x  1 0 1 x  x 4 16 x 4  3x  1  4 x 2  2 16 x 4  3x  1  (4 x 2  2)2 16 x 4  3 x  1  4 x 2  2  4 16 x 4  3 x  1  4 x 2  2  16 x 4  3 x  1  4 x 2  2   16 x 4  3 x  1  4 x 2  2  2 x 2  x  1  2 ( x 2  1)( x 2  x) x2  1  x2  x  2 x x  4( x 4  x 3  x 2  x)   2 x 2  x  1  lim x    lim x  x  1 x  x 16 x 2  3 x  3 c) lim  lim  16 x 4  3x  1  (4 x 2  2) b) lim  lim  1  x  x  lim 2  4( x 4  x3  x 2  x)   2 x 2  x  1   x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 2   x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 8 x 3  7 x 2  2 x  1    x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 Chương V: Giới hạn  1 2 Page 7 Giới hạn hàm số d) lim x   3 Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  x 3  x 2  1  x  lim x  x  3 x   3 ( x3  x 2  1) 2  x. 3 x3  x 2  1  x 2 1 x 1 N  lim  lim x2  x  1  x  M  N x2  1 M  lim x     lim 2 x  x  x 1  x  x3  x 2  1  x 2  x  1   1 1 x 1 1  1 x x2  1 3  1 2 1 6 DẠNG 5: Giới hạn 1 bên Phương pháp: Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương Ví dụ 7 : Tính các giới hạn sau  1 2 a) lim  2  3  x0  x x  b) lim x 1 x3  x 2 x 1 1  x c) lim x 3 x 3 x 3 Giải  1 2  x2 a) lim  2  3   lim  3  x0  x x  x 0  x  lim  x  2   2  0 x  0 Khi x  0   x  0  x3  0  x2 Vậy lim  3    . x0  x  b) lim x 1 x 2  x  1 x3  x 2  lim  lim x  1  1  x x 1 x  1   x  1 2 x 1  lim x 1 x 1  x 1  x x 1  x 1 1 x 1   1. x 3  x3  lim 1  x3 x 3 x 3 x  3 x 3 x  3  c)  lim   xlim   3 x  3 x3 x 3 x3 x  3 lim  lim  1  x 3 x  3 x 3 x  3  lim Vậy không tồn tại giới hạn trên. DẠNG 6 : Giới hạn lượng giác – phần nâng cao sin x x Phương pháp : Ta biến đổi về dạng lim  lim 1 x 0 x  0 x sin x tan x x  lim 1 Hệ quả: 1) lim x 0 x 0 tan x x sin u ( x) tan u ( x)  1 và lim  1. 2) Nếu lim u ( x)  0  lim x  x0 x  x0 x  x0 u ( x) u ( x) Chương V: Giới hạn Page 8 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Ví dụ 8 : Tính các giới hạn sau: 1  cos ax a) lim x 0 x2 1  cos x.cos 2 x.cos 3 x c) lim x 0 x2 1  sin mx  cos mx x 0 1  sin nx  cos nx 1  cos 2 x d) lim x 0 3x 2sin 2 Giải b) lim 2 ax ax   sin   a a 2  lim 2  ax   . 2 x  0 x 2 2    2  2sin 2 a) : lim x 0 mx mx mx 2sin 2  2sin cos 1  sin mx  cos mx 2 2 2 b) Ta có:  nx nx nx 1  sin nx  cos nx 2sin 2  2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 . 2 . 2 2  n mx sin nx sin nx  cos nx 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos 1  sin mx  cos mx m 2 .lim 2 .lim 2 2  m.  lim  lim x  0 1  sin nx  cos nx n x0 mx x0 sin nx x0 sin nx  cos nx n 2 2 2 2 1  cos x.cos 2 x.cos 3 x 1  cos x  cos x cos 2 x(1  cos 3x)  cos x(1  cos 2 x)  c) Ta có x2 x2 1  cos x 1  cos 3 x 1  cos 2 x   cos x.cos 2 x  cos x 2 2 x x x2 1  cos x.cos 2 x.cos 3 x 1  cos x 1  cos 3 x 1  cos 2 x  lim  lim  lim cos x.cos 2 x  lim cos x 2 2 2 x0 x0 x 0 x 0 x x x x2 3 3x 1  cos 2 x sin x sin x 2 3 2 0. d) Ta có: lim  lim  lim x( ) . lim x 0 x 0 x  0 3x 3x x0 3 x x 2 2sin sin 2 2 2 2 Chương V: Giới hạn sin Page 9 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 D. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM Câu 1: Giá trị lim x  5 bằng: 3x  2 A. 0 . Câu 2: B. 1. B. 0 . 1 B.  . 2 Cho hàm số f ( x)  5 . 9 1 B.  . 3 C. D.  . 1 . 2 lim x  1  3x 2 x2  3 3 2 . 2 1 . 3 5 . 3 C. 5 . 9 D. 2 . 9 x2  1 . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x  2x4  x2  3 B. 2 . 2 C. 0 . B. 2 . 2 C. D.  . bằng: 3 2 . 2 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim Chương V: Giới hạn D. 2 . 4 x 2  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x2  2 x  1  x3  2  B. Cho hàm số f ( x)  A.  Câu 9: C. 1. 2x2 1 bằng: x  3  x 2 A. Câu 8: B. 0 . 2 là: nx lim A. Câu 7: D.  . x3  2 x 2  1 là: x 1 2 x5  1 1 C. . D. 2 . 2 x 0 A. 2 . Câu 6: x2  2x  1 là: x 1 2 x 3  2 1 C. . 2 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos A. Không tồn tại. Câu 5: D.  . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A. 2 . Câu 4: 5 . 3 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  . Câu 3: C. x  D.  2 . 2 cos 5 x là: 2x Page 10 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 A.  . Câu 10: B. 0 . Giá tri đúng của lim x 3 A. Không tồn tại. Câu 11: C. x 3 x 3 B. 0 . 3x  5sin 2 x  cos 2 x bằng: x  x2  2 A.  . B. 0 . 1 . 2 D.  . C. 1 . D.  . C. 3 . D.  . lim x4  8x là: x  x 3  2 x 2  x  2 24 24 C.  . D. . 5 5 Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  Câu 13: 21 . 5 lim x 1 B. 21 . 5 x3  x 2 bằng: x 1  1 x A. 1 . B. 0 . C. 1. D.  . x2  x  1 bằng: x 1 x2 1 A. –. B. –1. C. 1. D. +. Câu 14: lim Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim  4 x 5  3 x 3  x  1 là: x  A.  . Câu 16: C. 4 . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x  A.  . Câu 17: lim x 1 D.  . x 4  x3  x 2  x là: B. 0 . C. 1 . D.  . 1 . 2 C. 1 . D.  . x2  x  3 bằng: 2 x 1 A. 3 . Câu 18: B. 0 . B. Cho hàm số f  x    x  2  A. 0 . C. 1 . x 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2  1 1 B. . 2 D. Không tồn tại. 4  x 2  3 khi x  2 Câu 19: Cho hàm số f  x    . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x2  x  1 khi x  2 A. 1 . Chương V: Giới hạn B. 0 . Page 11 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. 1. D. Không tồn tại.  1 2 Câu 20: Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x0  x x  A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. Câu 21: Cho hàm số f ( x)  A.  . Câu 22: 1 1  . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 1 x 1 x 1 2 2 B.  . C. . D.  . 3 3 3 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và trên  a; b  nhưng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả  I  và  II  đúng. D. Cả  I  và  II  sai. Câu 23: Cho hàm số f  x   A. . Câu 24: x2  9 . Giá trị đúng của lim f  x  là: x 3 B. 0. C. 6. D. . C. 11 .. 4 D. . 4 x3  1 bằng: x 2 3 x 2  x  2 lim A . Câu 25: x3 B.  11 . 4 x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. Giá trị đúng của lim A. 1. Chương V: Giới hạn C. 7. D. . Page 12 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.B 21.A Câu 1: 2.B 12.C 22.B 3.A 13.C 23.B 4.B 14.D 24.B 5.D 15.A 25.B 6.B 16.D 7.C 17.A 8.A 18.A 9.B 19.C 10.A 20.C 5 bằng: x  3 x  2 Giá trị lim A. 0 . B. 1. C. 5 . 3 D.  . Lời giải Chọn A. 5 5  lim x  0 Cách 1: lim x  3 x  2 x  2 3 x Cách 2: Bấm máy tính như sau: 5 + CACL + x  109 và so đáp án (với máy 3x  2 casio 570 VN Plus) Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 5 và so 3x  2 x  109 đáp án. Câu 2: x2  2x  1 là: x 1 2 x 3  2 1 C. . 2 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  . B. 0 . D.  . Lời giải Chọn B. 2  x  1 x2  2x  1 x 1 Cách 1: lim  lim  lim 0 x 1 2 x 2  x  1 x 1 2 x 3  2 x 1 2 x  1 x 2  x  1      x2  2 x  1 + CACL + x  1  109 và so đáp án. 3 2x  2 lim của máy VNCALL 570ES Plus: Cách 2: Bấm máy tính như sau: Cách 3: Dùng chức 2 lim Câu 3: x  2x 1 và so đáp án. 2 x 3  2 x  1  109 x3  2 x 2  1 là: x 1 2 x5  1 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim Chương V: Giới hạn Page 13 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 B.  . 2 A. 2 . C. 1 . 2 D. 2 . Lời giải Chọn A. 3 2 x3  2 x 2  1  1  2.  1  1   2 5 x 1 2 x5  1 2  1  1 Cách 1: lim Cách 2: Bấm máy tính như sau: x3  2 x 2  1 + CACL + x  1  109 và so đáp 2 x5  1 án. Cách lim Câu 4: 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: x3  2 x 2  1 và so đáp án. 2 x5  1 x  1  109 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos x 0 A. Không tồn tại. B. 0 . 2 là: nx C. 1. D.  . Lời giải Chọn B. Cách 1: 0  cos 2 2  1  0  x 2 cos  x2 nx nx Mà lim x 2  0 nên lim x 2 cos x 0 x 0 2 0 nx Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + x 2 cos 2 + CACL + nx x  109 + n  10 và so đáp án. Câu 5: 2 x2 1 bằng: x  3  x 2 lim 1 B.  . 3 A. 2 . C. 1 . 3 D. 2 . Lời giải Chọn D. 1 2 2 2x2 1 x 2  lim Cách 1: lim x  3  x 2 x  3 1 x2 Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chương V: Giới hạn 2x2 1 + CACL + x  109 và so đáp án. 3  x2 Page 14 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 2x2 1 và so 3  x 2 x  109 đáp án. Câu 6: Cho hàm số f ( x)  A. 5 . 9 4 x 2  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x2  2 x  1  x3  2  B. 5 . 3 C. 5 . 9 D. 2 . 9 Lời giải Chọn B. Cách 1: lim x 2 4 x 2  3x   2 x  1  x3  2  4.22  3.2 5  3  2.2  1  2  2  3 4 x 2  3x + CACL + x  2  109 và so 3  2 x  1  x  2  Cách 2: Bấm máy tính như sau: đáp án. Cách lim Câu 7: 3: Dùng 4 x 2  3x  2 x  1  x3  2  Cho hàm số f ( x)  A. 1 . 2 chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án. x  2  109 x2  1 . Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) : x  2 x4  x2  3 B. 2 . 2 C. 0 . D.  . Lời giải Chọn C. 2 Cách 1: lim x  x 1  lim 2 x  x 2  3 x  4 Cách 2: Bấm máy tính như sau: 1 1  x2 x4  0 1 3 2 2  4 x x x2  1 + CACL + x  109 và so đáp án. 2 x4  x2  3 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim x2  1 2 x4  x2  3 x  109 và so đáp án. Chương V: Giới hạn Page 15 Giới hạn hàm số Câu 8: Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1  3x lim 2 x2  3 x  A.  bằng: 3 2 . 2 B. 2 . 2 C. 3 2 . 2 D.  2 . 2 Lời giải Chọn A. 1 3 2 3 2 x  lim  Cách 1: lim 2 x  x  2 3 2x  3  2 2 x 1  3x Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x  109 và so đáp án. 2 2x  3 1  3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 1  3x 2 x 2  3 x  109 và so đáp án. Câu 9: cos 5 x là: x  2x 1 C. . 2 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  . B. 0 . D.  . Lời giải Chọn B. Cách 1: 0  cos 5 x  1  0  Mà lim x  cos 5 x 1  , x  0 2x 2x cos 5 x 1 0  0 nên lim x  2x 2x Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + cos 5 x + CACL + 2x x  109 và so đáp án. Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + lim Câu 10: cos 5 x và so đáp án. 2 x x  109 Giá tri đúng của lim x 3 A. Không tồn tại. x3 x3 B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn Chương V: Giới hạn A. Page 16 Giới hạn hàm số x3 Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  x 3 1  x3 x 3 x 3 x  3 x 3 x  3   lim   xlim  3 x  3 x 3 x  3 x 3 x  3 lim  lim  1  x 3 x  3 x 3 x3 lim  lim Vậy không tồn tại giới hạn trên. Câu 11: 3x  5sin 2 x  cos 2 x bằng: x  x2  2 A.  . B. 0 . lim C. 3 . D.  . Lời giải Chọn B. 3x  5sin 2 x  cos 2 x 3x 5sin 2 x cos 2 x lim  lim 2  lim 2  lim 2 x  x  x  2 x  x  2 x  x  2 x2  2 3 3x A1  lim 2  lim x  0 x  2 x  1  2 x  x2 5 5sin 2 x 5 lim 2  0  A2  lim 2  lim 2  0  A2  0 x  x  2 x  x  2 x  x  2 0 cos 2 x 1 lim  0  A3  lim 2  lim 2  0  A3  0 x  x 2  2 x  x  2 x  x  2 3x  5sin 2 x  cos 2 x 0. x  x2  2 Vậy lim x4  8x là: x  x 3  2 x 2  x  2 24 24 C.  . D. . 5 5 Câu 12: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  21 . 5 B. 21 . 5 Lời giải Chọn C. x4  8x x 4  8x lim thành x  x 3  2 x 2  x  2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 lim x  x  2  x2  2 x  4 x  x2  2 x  4 x4  8x 24 lim  lim  lim  . 2 2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 x 2 x  2 5  x  2   x  1  x  1 Câu 13: lim x 1 x3  x 2 bằng: x 1  1  x A. 1 . B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn Chương V: Giới hạn C. Page 17 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x3  x2  lim x  1  1  x x 1 lim x 1 x2  x  1 bằng: x 1 x2 1 A. –. x 2  x  1  x  1 x 1  2  lim x 1 x x 1  x 1 1 x 1   lim x 1 x 1  x 1   1. Câu 14: lim B. –1. C. 1. D. +. Lời giải Chọn D. 2 lim x 1 x  x 1   vì lim  x 2  x  1  1  0 và lim  x 2  1  0; x 2  1  0 . x 1 x 1 x2  1 Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim  4 x5  3 x 3  x  1 là: x  A.  . B. 0 . C. 4 . D.  . Lời giải Chọn A. 3 1 1   lim  4 x 5  3 x 3  x  1  lim x 5  4  2  4  5   . . x  x  x x x   Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x  A.  . B. 0 . C. 1. x 4  x3  x 2  x là: D.  . Lời giải Chọn lim x  Câu 17: lim x 1 D.  1 1 1 x 4 1   2  3   . x   x x x 4  x3  x 2  x  lim x  x2  x  3 bằng: 2 x 1 A. 3 . B. 1 . 2 C. 1. D.  . Lời giải Chọn lim x 1 Câu 18: A. x2  x  3  lim x 1 2 x 1 1 3 1 3 1 3 x 1  2 x 1  2 1  2 x x  lim x x  lim x x  3.   x 1 x 1 1 1 2x 1   x2  2  x x   Cho hàm số f  x    x  2  Chương V: Giới hạn x 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2  1 4 Page 18 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 . 2 D. Không tồn tại. A. 0 . B. C. 1. Lời giải Chọn A. lim f  x   lim  x  2  x  x  x 1  lim 4 x  x 2  1 x   x  1 x  2   lim x4  x2  1 x  1 1 2   x2 x3 x4  0 . 1 1 1 2  4 x x  x 2  3 khi x  2 Câu 19: Cho hàm số f  x    . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 2  x  1 khi x  2 A. 1 . B. 0 . C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C. Ta có lim f  x   lim  x 2  3  1 x2 x2 lim f  x   lim  x  1  1 x  2 x 2 Vì lim f  x   lim f  x   1 nên lim f  x   1 . x 2 x 2 x 2  1 2 Câu 20: Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x0  x x  A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C.  1 2  x2 lim  2  3   lim  3  x  0 x  x  x  x  0 lim  x  2   2  0 x  0 Khi x  0  x  0  x3  0  x2 Vậy lim  3    . x0  x  Câu 21: Cho hàm số f ( x)  A.  . Chọn Chương V: Giới hạn 1 1  . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 1 x 1 x 1 2 2 B.  . C. . D.  . 3 3 Lời giải 3 A. Page 19 Giới hạn hàm số Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736   x2  x  lim f  x   lim  3  x 1 x 1  x 1  lim   x 2  x   2 x 1 Khi x  1  x  1  x3  1  0 Vậy lim f  x    . x 1 Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và trên  a; b  nhưng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả  I  và  II  đúng. D. Cả  I  và  II  sai. x3 Câu 23: Cho hàm số f  x   x2  9 A. . . Giá trị đúng của lim f  x  là: x 3 B. 0. C. D. . 6. Lời giải Chọn B lim x3 Câu 24: x 3 x2  9  x  32 .  x  3 x  3  lim x3  lim x 3  x  3  0.  x  3 4 x3  1 bằng: x 2 3 x 2  x  2 lim A . B.  11 . 4 C. 11 .. 4 D. . Lời giải Chọn B 3 lim x 2 Câu 25: 4x 1 11  . 2 3x  x  2 4 x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. Giá trị đúng của lim A. 1. Chọn B lim x Chương V: Giới hạn x4  7 x4  1 1  lim x 1 C. 7. D. . Lời giải 7 x4  1 . 1 x4 Page 20 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hàm số liên tục a) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và x0   a; b  . Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f  x   f  x0  x  x0 Chú ý: Một hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. b) Hàm số y  f  x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. c) Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng  a; b  và lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  xa x b Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục là một “ đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí: a) Định lí 1: - Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R. - Hàm số phân thức hữu tỉ (tức là thương của hai đa thức), hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. b) Định lí 2: Giả sử y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số liên tục tại x0 . Khi đó: - Các hàm số f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x  .g  x  cũng liên tục tại x0 - Hàm số f  x liên tục tại x0 nếu g  x0   0 g  x Page 1 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 c) Định lí 3: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a; b  sao cho f  c   0 . Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a; b  . Mở rộng: Nếu y  f  x  liên tục trên  a; b . Đặt m  min f  x  , M  max f  x  . Khi đó  a ;b   a ;b với mọi T   m; M  luôn tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   T . B. CÁC DẠNG TOÁN Các dạng toán xét tính liên tục của hàm số  f1  x  , khi x  x0 Dạng 1: Cho hàm số f  x     f 2  x  , khi x  x0 - Tìm tập xác định của f  x  và tính f  x0   f 2  x0  - Tính lim f  x   lim f1  x  x  x0 x  x0 - So sánh lim f  x  với f  x0  : x  x0 + Nếu lim f  x  = f  x0  thì hàm số đã cho liên tục tại x0 . x  x0 + Nếu lim f  x   f  x0  thì hàm số đã cho không liên tục tại x0 (hay x  x0 hàm số gián đoạn tại x0 ). Page 2 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  f1  x  , khi x  x0 Dạng 2: Cho hàm số f  x     f 2  x  , khi x  x0 - Tìm tập xác định của f  x  và tính f  x0   f 2  x0  - Tính lim f  x   lim f 2  x  và lim f  x   lim f1  x  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 - So sánh lim f  x  , lim f  x  , f  x0  rồi kết luận. x  x0 x  x0 + Nếu lim f  x  = lim f  x  = f  x0  thì hàm số đã cho liên tục tại x0 . x  x0 x  x0 + Nếu ngược lại, thì hàm số đã cho gián đoạn tại x0 . Dạng 3: Bài toán về số nghiệm của phương trình Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a; b  .  x2  1  x  1  Ví dụ 1: Cho hàm số f  x    x  1 , với a là hằng số. a  x  1  Xét tính liên tục của hàm số tại x  1 . Giải Hàm số xác định với mọi x  R Ta có:  f 1  a  lim  lim f  x   f 1  a  2 x 1  x  1 x  1  lim x  1  2 x2  1  lim   x 1 x  1 x1 x 1 x 1 Nếu a  2 thì hàm số liên tục tại x  1 . Page 3 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Nếu a  2 thì hàm số không liên tục tại x  1 . ax  2 , x  1 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x    2 .  x  x  1, x  1 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Giải:  x  1 , ta có f  x   ax  2 hàm số liên tục trên R.  x  1 , ta có f  x   x 2  x  1 hàm số liên tục trên R.  x  1 , ta có: f 1  a+2 lim f  x   lim  ax  2   a  2 x 1 x 1 lim f  x   lim  x 2  x  1  1 x 1 x 1 lim f  x   lim f  x   a  2  1  a  1 x 1 x 1 Nếu a  1 thì hàm số liên tục tại x  1 Nếu a  1 thì hàm số gián đoạn tại x  1 . Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a  1 . Hàm số liên tục trên  ;1  1;   nếu a  1 Ví dụ 3 : Chứng minh phương trình: 2x 4  4x 2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1;1). Giải: Đặt f ( x )  2x 4  4x 2  x  3  f ( x) liên tục trên R f(–1) = 2, f(0) = –3  f(–1).f(0) < 0  PT f ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (1; 0) f(0) = –3, f(1) = 4  f (0). f (1)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (0;1) Mà c1  c2  PT f ( x)  0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (1;1) . Page 4 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Ví dụ 4 : Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: (9  5m) x 5  (m 2  1) x 4  1  0 Giải: Đặt f ( x)  (9  5m) x 5  (m 2  1) x 4  1  f ( x) liên tục trên R. 2 5 3  f (0)  1, f (1)   m     f (0). f (1)  0 2 4   Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m Page 5 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số f  x   x2  1 và f  2   m2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  x 1 liên tục tại x  2 là: A. Câu 2: 3. B.  3 . C.  3 . D. 3 Cho hàm số f  x   x 2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau: (I) f  x  liên tục tại x  2 . (II) f  x  gián đoạn tại x  2 . (III) f  x  liên tục trên đoạn  2; 2 . Câu 3: A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  . C. Chỉ  II  . D. Chỉ  II  và  III   x2  1  3 Cho hàm số f  x    x  x  6  b  3 x  3; x  2 . x  3; b   Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 . A. Câu 4: 3. B.  3 . Cho hàm số f  x   f  x   III  lim x 1 2 3 . 3 D.  2 3 . 3 x 1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1  I  f  x  gián đoạn tại  II  f  x  liên tục tại C. x  1. x  1. 1 2 A. Chỉ  I  . B. Chỉ  I  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Chỉ  II  và  III  . Page 6 Hàm số liên tục Câu 5: Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  2x  8  2  Cho hàm số f  x    x2 0  x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các x  2 khẳng định sau: f  x  0 .  I  xlim 2   II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại Câu 6: x  2. A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  . D. Chỉ  I   4  x 2 Cho hàm số f  x    1 2 x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các x2 khẳng định sau:.  I  f  x  không xác định tại  II  f  x  liên tục tại x  3. x  2. f  x  2  III  lim x2 Câu 7: A. Chỉ  I  . B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  I  f  x   II  f  x   x2 1 liên tục trên  . sin x có giới hạn khi x  0. x  III  f  x   9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 . Page 7 Hàm số liên tục Câu 8: Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  . C. Chỉ  II  . D. Chỉ  III  .  sin 5 x  Cho hàm số f  x    5 x a  2 A. 1 . Câu 9: x0 . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0. x0 B. 1 . C. 2 . D. 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 .  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và trên b; c  nhưng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả  I  và  II  đúng. D. Cả  I  và  II  sai. Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm. II. f  x  không liên tục trên  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Câu 11: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x  x 1 liên tục với mọi x  1 . x 1  II  . f  x   sin x liên tục trên  . Page 8 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  III  . f  x   x liên tục tại x  1 . x A. Chỉ  I  đúng. B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Chỉ  II  và  III  .  x2  3 ,x 3  Câu 12: Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 2 3 ,x 3  định sau:  I  . f  x liên tục tại x  3 .  II  . f  x   III  . f  x  gián đoạn tại x  3 . liên tục trên  . A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng. Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x 2  1 liên tục trên  II  . f  x    III  . f  x   1 x2  1 . liên tục trên khoảng  –1;1 . x  2 liên tục trên đoạn  2;   . A. Chỉ  I  đúng. B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  II  và  III  . D. Chỉ  I  và  III  . Page 9 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  x  12 , x  1  Câu 14: Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 . k 2 , x 1  A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . D. k  1 . 3  9  x , 0 x9  x  Câu 15: Cho hàm số f  x   m ,x0 . 3  ,x9  x Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   là. A. 1 . 3 Câu 16: Cho hàm số f ( x)  B. 1 . 2 C. 1 . 6 D. 1 . x2 1 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các x 2  5x  6 khoảng nào sau đây? A.  3; 2  . B.  2;   . C.  ;3 . D.  2;3 . Câu 17: Cho hàm số f  x   x 3 –1000 x 2  0, 01. Phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I.  1;0  . II.  0;1 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. III. 1; 2  . C. Chỉ II. D. Chỉ III.   tan x , x  0; x   k ,  k     Câu 18: Cho hàm số f  x    x . 2 0 ,x0 Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây?   A.  0;  .  2   B.  ;  . 4  Page 10 Hàm số liên tục    C.   ;  .  4 4 Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 D.  ;   . a 2 x 2 , x  2, a   Câu 19: Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục 2  2  a  x , x  2 trên  là: A. 1 và 2 . B. 1 và –1 . C. –1 và 2 . D. 1 và –2 .  x2 , x 1  3  2x , 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng Câu 20: Cho hàm số f  x    1  x   x sin x , x  0  định sau: A. f  x  liên tục trên  . B. f  x  liên tục trên  0 . C. f  x  liên tục trên  1 . D. f  x  liên tục trên  0;1 . Page 11 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.D 2.B 12.C 3.D 13.D 4.C 14.A 5.B 15.C 6.B 16.B 7.B 17.B. 8.B 18.A 9.D 19.D 10.A 20.A Hướng dẫn giải Câu 1: Cho hàm số f  x   x2  1 và f  2   m2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên x 1 tục tại x  2 là: A. 3. B.  3 . C.  3 . D. 3 Lời giải Chọn C Hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   f  2  . x 2 Ta có lim x2 x2 1  lim  x  1  1 . x  1 x2 m  3 Vậy m 2  2  1   .  m   3 Câu 2: Cho hàm số f  x   x 2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau: (I) f  x  liên tục tại x  2 . (II) f  x  gián đoạn tại x  2 . (III) f  x  liên tục trên đoạn  2; 2 . A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  . C. Chỉ  II  . D. Chỉ  II  và  III  Lời giải Chọn B. Ta có: D   ; 2   2;   . Page 12 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 lim f  x   lim x 2  4  0 . x 2 x 2 f  2  0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2 . Câu 3:  x2  1  3 Cho hàm số f  x    x  x  6  b  3 A. 3. x  3; x  2 . Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 x  3; b   B.  3 . C. 2 3 . 3 D.  2 3 . 3 Lời giải Chọn D. Hàm số liên tục tại x  3  lim f  x   f  3 . x 3 lim x 3 x2  1 1  . 3 x  x6 3 f  3  b  3 . Vậy: b  3  Câu 4: 1 1 2 . b 3  3 3 3 Cho hàm số f  x   x 1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1  I  f  x  gián đoạn tại  II  f  x  liên tục tại f  x   III  lim x 1 x  1. x  1. 1 2 A. Chỉ  I  . B. Chỉ  I  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Chỉ  II  và  III  . Lời giải Chọn C. D   1 Page 13 Hàm số liên tục lim x 1 Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x 1 1 1  lim  x  1 x 1 x 1 2 Hàm số không xác định tại x  1. Nên hàm số gián đoạn tại x  1. . Câu 5:  2x  8  2  Cho hàm số f  x    x2 0  x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng x  2 định sau: f  x  0 .  I  xlim 2   II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại x  2. A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  . D. Chỉ  I  Lời giải Chọn lim x 2 B. 2x  8  2  lim x 2 x2 2x  8  4  2x  8  2  x2  lim x 2 2 x2  2x  8  2   0. Vậy lim f  x   f  2  nên hàm số liên tục tại x  2. . x 2 Câu 6:  4  x 2 Cho hàm số f  x    1 2 x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng x2 định sau:.  I  f  x  không xác định tại  II  f  x  liên tục tại x  3. x  2. f  x  2  III  lim x 2 A. Chỉ  I  . B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai. Lời giải Page 14 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn B. D   2; 2 f  x  không xác định tại x  3. lim 4  x 2  0 ; f  2   0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2. x 2 lim f  x   lim 4  x 2  0 ; lim f  x   1 . Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số x 2 x2 x2 khi x  2. . Câu 7: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  I  f  x  x2 1  II  f  x   liên tục trên  . sin x có giới hạn khi x  0. x  III  f  x   9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 . A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  . C. Chỉ  II  . D. Chỉ  III  . Lời giải Chọn B. Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết. Hàm số: f  x   9  x 2 liên tục trên khoảng  3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 . Nên f  x   9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 . Câu 8:  sin 5 x  Cho hàm số f  x    5 x a  2 A. 1 . x0 . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0. x0 B. 1 . C. 2 . D. 2. Lời giải Chọn B. Ta có: lim x 0 sin 5 x  1 ; f  0  a  2 . 5x Page 15 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì a  2  1  a  1 . Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 .  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và trên b; c  nhưng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả  I  và  II  đúng. D. Cả  I  và  II  sai. Lời giải Chọn D. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai. Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm. II. f  x  không liên tục trên  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Lời giải Chọn Câu 11: A. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Page 16 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  I  . f  x  x 1 liên tục với mọi x  1 . x 1  II  . f  x   sin x  III  . f  x   liên tục trên  . x liên tục tại x  1 . x A. Chỉ  I  đúng. B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Chỉ  II  và  III  . Lời giải Chọn D. Ta có  II  đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định. x , khi x  0 x  x Ta có  III  đúng vì f  x     . x  x  , khi x  0  x Khi đó lim f  x   lim f  x   f 1  1 . x 1 x 1 Vậy hàm số y  f  x   Câu 12: x x liên tục tại x  1 .  x2  3 ,x 3  Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 2 3 ,x 3  sau:  I  . f  x  II  . f  x  liên tục tại x  3 . gián đoạn tại x  3 . Page 17 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  III  . f  x  liên tục trên  . A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  . C. Chỉ  I  và  III  . D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng. Lời giải Chọn C. Với x  3 ta có hàm số f  x    x2  3 liên tục trên khoảng ; 3 và x 3    3;  , 1 . Với x  3 ta có f   x2  3 2 3 f 3 x 3 3  2 3 và lim f  x   lim x 3 x  3  nên hàm số liên tục tại x  3 ,  2  Từ 1 và  2  ta có hàm số liên tục trên  . Câu 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x 2  1 liên tục trên  .  II  . f  x    III  . f  x   1 x2 1 liên tục trên khoảng  –1;1 . x  2 liên tục trên đoạn  2;   . A. Chỉ  I  đúng. B. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  II  và  III  . D. Chỉ  I  và  III  . Lời giải Chọn D. Page 18 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Ta có  I  đúng vì f  x   x5  x 2  1 là hàm đa thức nên liên tục trên  . Ta có  III  đúng vì f  x   x  2 liên tục trên  2;   và lim f  x   f  2   0 x 2 nên hàm số liên tục trên  2;   . Câu 14:  x  12 , x  1  Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 . k 2 , x 1  A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . D. k  1 . Lời giải Chọn A. TXĐ: D   . Với x  1 ta có f 1  k 2 Với x  1 ta có 2 lim f  x   lim  x 2  3  4 ; lim f  x   lim  x  1  4 suy ra lim f  x   4 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy để hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   k 2  k 2  4  k  2 . x 1 Câu 15: 3  9  x , 0 x9  x  Cho hàm số f  x   m ,x0 . Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   3  ,x9  x là. A. 1 . 3 B. 1 . 2 C. 1 . 6 D. 1 . Lời giải Page 19 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn C. TXĐ: D   0;   . Với x  0 ta có f  0   m . Ta có lim f  x   lim x0 x 0 3 9  x 1 1  .  lim x  0 x 3 9 x 6 Vậy để hàm số liên tục trên  0;   khi lim f  x   m  m  x0 Câu 16: Cho hàm số f ( x)  1 . 6 x2 1 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng x 2  5x  6 nào sau đây? A.  3; 2  . B.  2;   . C.  ;3 . D.  2;3 . Lời giải Chọn B.  x  3 Hàm số có nghĩa khi x 2  5 x  6  0   .  x  2 Vậy theo định lí ta có hàm số f  x    3; 2  Câu 17: x2  1 liên tục trên khoảng  ; 3 ; x2  5x  6 và  2;   . Cho hàm số f  x   x 3 –1000 x 2  0, 01. Phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I.  1;0  . II.  0;1 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. III. 1; 2  . C. Chỉ II. D. Chỉ III. Lời giải Page 20 Hàm số liên tục Chọn Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 B. TXĐ: D   . Hàm số f  x   x 3  1000 x 2  0, 01 liên tục trên  nên liên tục trên  1;0 ,  0;1 và 1; 2 , 1 . Ta có f  1  1000,99 ; f  0   0, 01 suy ra f  1 . f  0   0 ,  2  . Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  1;0  . Ta có f  0   0, 01 ; f 1  999,99 suy ra f  0  . f 1  0 ,  3 . Từ 1 và  3 suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;1 . Ta có f 1  999,99 ; f  2   39991,99 suy ra f 1 . f  2   0 ,  4  . Từ 1 và  4  ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f  x   0 trên khoảng 1; 2  . Câu 18:   tan x , x  0; x   k ,  k     Cho hàm số f  x    x . 2 0 ,x0 Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây?   A.  0;  .  2   B.  ;  . 4     C.   ;  .  4 4 D.  ;   . Lời giải Chọn A. Page 21 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736   TXĐ: D     k , k    . 2   Với x  0 ta có f  0   0 . lim f  x   lim x 0 x 0 tan x sin x 1  lim .lim  1 hay lim f  x   f  0  . x  0 x  0 x 0 x x cos x Vậy hàm số gián đoạn tại x  0 . Câu 19: a 2 x 2 , x  2, a   Cho hàm số f  x    . 2 2  a x , x  2    Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là: A. 1 và 2 . B. 1 và –1 . C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . Lời giải Chọn D. TXĐ: D   . Với x  2 ta có hàm số f  x   a 2 x 2 liên tục trên khoảng   2;  .   Với x  2 ta có hàm số f  x    2  a  x 2 liên tục trên khoảng ; 2 . Với x  2 ta có f  2   2a . 2 lim f  x   lim  2  a  x 2  2  2  a  ; lim f  x   lim a 2 x 2  2a 2 . x 2 x 2 x 2 x 2 Để hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   lim f  x   f x 2 x 2  2 a  1  2a 2  2  2  a   a 2  a  2  0   .  a  2 Page 22 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Vậy a  1 hoặc a  2 thì hàm số liên tục trên  . Câu 20:  x2 , x 1  3  2x Cho hàm số f  x    , 0  x 1. 1  x  x sin x , x  0  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. f  x  liên tục trên  . B. f  x  liên tục trên  0 . C. f  x  liên tục trên  1 . D. f  x  liên tục trên  0;1 . Lời giải Chọn A. TXĐ: TXĐ: D   . Với x  1 ta có hàm số f  x   x 2 liên tục trên khoảng 1;   . 1 Với 0  x  1 ta có hàm số f  x   2 x3 liên tục trên khoảng  0;1 .  2  1 x Với x  0 ta có f  x   x sin x liên tục trên khoảng  ;0  .  3 Với x  1 ta có f 1  1 ; lim f  x   lim x 2  1 ; lim f  x   lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 x3 1 1 x Suy ra lim f  x   1  f 1 . x 1 Vậy hàm số liên tục tại x  1 . Với x  0 ta có f  0   0 ; lim f  x   lim x0  lim x 2 . lim x 0 x 0 x 0 2 x3  0 ; lim f  x   lim  x.sin x  x 0 x 0 1 x sin x  0 suy ra lim f  x   0  f  0  . x 0 x Page 23 Hàm số liên tục Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Vậy hàm số liên tục tại x  0 .  4  Từ 1 ,  2  ,  3 và  4  suy ra hàm số liên tục trên  . Page 24