Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Giới thiệu Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức
Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ PHỨC  DẠNG TOÁN 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 và điểm M  . Điểm N   sao cho NM nhỏ nhất  K là hình chiếu của N lên , nghĩa là NM min  NK  d  N ,    M  K . z min  OH  d  N ,    C z  ( x  y i) min  NK  d  N ,    Ax  By  C A2  B 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT  A2  B 2 Khi đó M  H và tọa độ H    (OH ).  Khi đó M  K và tọa độ K    NK . BÀI TẬP TẠI LỚP Câu 1: Cho z  x  yi thỏa z  2  4i  z  2i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3x  2 y bằng A. 2. B. 3. C. 4. Lời giải D. 5. Chọn A LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ta có: z  2  4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i  ( x  2)2  ( y  4)2  x2  ( y  2)2  x  y  4  0 : là đường thẳng d . Khi đó: z  OM  z min  OM min  M  H. Do OH  d : x  y  4  0  OH : x  y  m  0. O(0;0)  OH  m  0  OH : x  y  0. x  y  4 Tọa độ H  d  OH thỏa  x  y  0 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 1  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 x  2   3x  2 y  2. y  2 Cách 2. Từ d : y  4  x  z  x 2  y 2  x 2  (4  x)2  2( x  2)2  8  8  2 2. Suy ra: z min  2 2  x  2  y  2  3x  2 y  2. Cách 3. Sử dụng Cauchy – Schwarz, có Dấu ”  ” khi x  y và x  y  4  x  y  2  3x  2 y  2.  Lưu ý. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính |z|min , thì nó là |z|min  OH  d (O; d ). Câu 2: Cho z A. yi thỏa mãn z 1 5i x 5 12 3 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 3x z 12 5 B. 12 5 Lời giải C. y. NGUYỄN HOÀNG VIỆT x2 y 2 ( x  y )2 42     2 2. 1 1 11 2 z  x2  y 2  5 12 D. Chọn C Ta có z 1 5i x 1 y x 1 2 Ta có z Cho z x x x 5 3 2 3 x 6x 2 y 10 0 x 4 3y 2 y 2 8 5 x yi 3 i y 1i 26 4 4 3y 2 2 2 y 1 y 2 10 y 2 24 y 16 6 5 10 y 2 8 5 8 5 6 5 x 2 5 3x yi thỏa mãn z 3i z 2 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm x 2 y. Suy ra z min Câu 3: 5i yi 1 5i x y A. 1 . B. 12 . 5 y 1 . 5 C. 2 . D. 3 . 5 Lời giải Chọn A Ta có z 3i z 2 i x y x2 3i 3 y x 2y 1 Ta có z x2 y2 2y 1 2 y2 2 x 2 0 x x 5y2 y 1i 2 2y 2 y 1 2 1 4y 1 5 y Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 2 5 2 1 5 1 5  Trang 2  LUYENTHITRACNGHIEM.VN 3y 3 i y 2 x 10 y x z Max – Min Module Số Phức 1 5 Suy ra z min Câu 4: Cho z NĂM HỌC 2019 – 2020 2 5 y 2 i yi thỏa mãn z x A. 1 . B. 1 5 x x 2y 1. z 3i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 4 x 2 y bằng 1 . 2 5 . 2 Lời giải C. D. 3 . 2 Chọn A z 3i 2 x y 1i 2 x Ta có z x Câu 5: y 1 1 2 Suy ra z min Vậy 4 x y 2 2y 2 1 2 y y 1 y 1 x 2 2 x 0 2 y 2 x 2y y x2 y 2 3i 3 y NGUYỄN HOÀNG VIỆT 2 i Ta có z 2 1 2y 1 1 2 2 y 2 1 2 1 2 1 . 2 x 1. Cho số phức z thỏa z z 4i . Giá trị nhỏ nhất của iz 1 bằng 2 2i B. 2 . A. 2 2 . C. 2 . 2 D. 3 2 . 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 2 2i x Câu 6: y (x z 4i 2 x yi. 2) ( y 2)i x ( y 4)i 0 là đường thẳng d . Có iz 1 i z i z i iz 1 min AM min M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: iz 1 min AM min AM với A(0;1). 1 2 d ( A; d ) 2 1 2 2 2 1 Cho z thỏa z 1 2i z 3i 1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2 A. 1 . B. 3 . 2 C. 2i bằng 5 . 2 D. 5. Lời giải Chọn B Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z x yi. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 3  Max – Min Module Số Phức z 1 2i z 2 2i z AM min 2i min Câu 7. Cho số phức z thỏa z M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: 2. d ( A; d ) 2 02 1 3 2 22 z 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của (1 i) z 2i 5 . 41 B. 5 . 34 C. 3 . NGUYỄN HOÀNG VIỆT AM min A. x 1 ( y 3)i AM với A(2; 2). z 2 2i min 2 ( x 1) ( y 2)i 3i 1 0 là đường thẳng d . 2y 1 Có z NĂM HỌC 2019 – 2020 2. D. 5 . Lời giải Chọn B Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 2i 2x x z 1 2i yi. 2)i x 1 ( y 2)i 0 là đường thẳng d . 8y 1 Có (1 i) z (y x 2 AM với 2 (1 i) z 1 i 1 i (1 i) z 2 min AM min M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: (1 i) z 2 min 1 i z 1 i 1 i z 1 i A( 1;1). 2d ( A; d ) 2. 2. 1 2 8.1 1 2 2 8 5 . 34 BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1: Cho z  x  yi thỏa z  i  z  2  3i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3x  y bằng B. 3. A. 2. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B Ta có: z  i  z  2  3i  x   y  1 i   x  2    y  3 i  x 2   y  1   x  2    y  3 2 2 2  x  2y 3  0 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 4  LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2 AM min Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 2 6 9 3 5   z  x  y  (2 y  3)  y  5 y  12 y  9  5  y     5 5 5  2  z min  Câu 2: Cho z A. 2 2 2 2 3 5 6 3  y    x   3x  y  3. 5 5 5 yi thỏa mãn z 1 i x 3 10 B. C. 0. D. 3 5 3 0 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 3 5 1 2i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 5x 10 y. z Lời giải Chọn C Ta có z 1 i x 1 1 2i z y 1i 2 x 1 yi 1 i x x 1 y 1 y 2 i 2 x 1 2x 2 y 2 2x 4x 2 y 3 0 yi 1 2i x 4y 2 2 y 2 5 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 4 x M OM d : 4x O(0; 0) OH Tọa độ H Cho z A. OM min H. Do OH Câu 3: z min LUYENTHITRACNGHIEM.VN Khi đó: z 2y x 2y m 3 OH : 2 x 0 OH : x 2 y 0 d OH thỏa B. 0. m 0. 3 5 3 10 x 4x 2 y 3 x 2y 0 yi thỏa mãn iz 3 2 . 5 4y y 5 x 10 y 0. z 2 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Phần thực của z bằng 1 . 5 2 . 5 C. D. 1 . 5 Lời giải Chọn D Ta có iz 3 z 2 i 3 y xi y 3 x 2y 2 1 x 2 x2 0 y 1i x 2 x 2 y 1 2 2y 1 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 5  Max – Min Module Số Phức Ta có z x 2 y 2 1 5 Suy ra z min Câu 4: NĂM HỌC 2019 – 2020 2y 1 2 5 y A. B. 2 5y 2 4y 1 2 2 5 5 y 1 5 1 5 1 . 5 2 4i 1 là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của z bằng 16 . 5 9 . 6 Lời giải C. D. 7 . 5 Chọn B Gọi z x yi , đk x, y 2 i . Ta có z z x2 2 i Vì z z Ta có z x 2 y 2 16 5 Suy ra z min Câu 5: 4i 1 là số thực nên x 2 y Cho z thỏa z 1 2i 2y 4 2 y 2 5y 2 x y2 y 1 2x 0 x 16 y 16 yi x yi 2 i x 2y 2y 4i 1 4 i 4 5 y 8 5 2 16 5 16 5 16 . 5 2 z min z 2 i . Giá trị nhỏ nhất của z 11 . 10 C. 2 3i bằng D. 121 . 10 LUYENTHITRACNGHIEM.VN B. 10 . A. 10 . 4 4i 1 Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 1 2i x 3y Có z Câu 6: 2 3i x 2 ( y 1)i AM với A( 2;3). 2 3i min AM min z 2 3i min AM min Cho z thỏa z 1 i 7 3 . 26 yi. 0 là đường thẳng d . z A. x x 1 ( y 2)i z 2 i M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: d ( A; d ) 1. 12 2 3.3 3 11 . 10 2 z 1 2i . Giá trị nhỏ nhất của (3 4i) z 5 10i bằng B. NGUYỄN HOÀNG VIỆT 8 . 5 y x 2 i Xét số phức z thỏa z z 2 15 . 2 C. 17 . 2 D. 25 13 . 26 Lời giải Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 6  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Chọn D Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 1 i yi. x 1 ( y 1)i z 1 2i 4x 6 y 3 x x 1 (y 2)i 0 là đường thẳng d . Có (3 4i) z 5 10i 3 4i z 1 2i (3 4i) z (3 4i) 1 2i (3 4i) z 1 2i 5 AM với A( 1; 2). AM min M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: (3 Câu 7: 4i) z 5 10i min 5 AM min Cho các số phức z thỏa z A. 5 . 2 B. 5d ( A; d ) 5. 4. 1 6. 2 42 3 2 6 25 52 25 13 . 26 NGUYỄN HOÀNG VIỆT (3 4i) z 5 10i min z 1 2i . Giá trị nhỏ nhất của (1 2i) z 11 2i là 5 . 2 C. 2 . 5 D. 5 . 2 Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z x z 1 2i 2x 4y 5 x 1 (2 z yi . x y)i 0 là đường thẳng d . Có (1 2i) z 11 2i 1 2i z yi yi 3 4i (1 2i) z 11 2i min (1 2i) z (1 2i) 3 4i (1 2i) z 3 4i 5 AM với A( 3; 4). AM min M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: (1 2i) z 11 2i min 5 AM min 5d ( A; d ) 5. 2. 3 2 4.4 5 2 4 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 2 5 . 2  Trang 7  LUYENTHITRACNGHIEM.VN z x Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 DẠNG 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN Cho tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn các số phức z  x  yi là một đường tròn  C  có tâm I  a; b  và bán kính R . Gọi N là điểm biểu diễn số phức z  . Phương pháp 1. Hình học NGUYỄN HOÀNG VIỆT   z min  OM min  OM 1  OI  R khi M  M 1   . z  OM  OM  OI  R khi M  M  max 2 2  max Khi đó  OI    C   M1; M 2  .   z  z min  MN min  NN1  NI  R khi M  N1  .   z  z max  MN max  NN 2  NI  R khi M  N 2 Khi đó  NI    C   N1; N2  . xét I là trung điểm của M1M 2 suy ra: tổng phần thực 2a , tổng phần ảo 2b. Phương pháp 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: Giả sử tập hợp điểm là đường tròn  C  :  x  a    y  b   R 2 và viết lại: 2 2 C  : x2  y 2  2ax  2by  c  0  x2  y 2  2ax  2by  c .  z  x 2  y 2  z  x 2  y 2  2ax  2by  c  2a  x  a   2b  y  b   2a 2  2b2  c 2 nhằm lợi dụng  x  a    y  b   R 2 trong bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (điểm rơi): 2   4a 2 2   4b2 ( x  a)2  ( y  b) 2   2a.  x  a   2b.  y  b    4a 2   4b 2 ( x  a) 2  ( y  b) 2  R2 Suy ra 2a 2  2b2  c  2R  2a 2  2b2  c  2R R2 a a 2 2   b2  z  2a 2  2b2  c  2R  2  b2  z  2a 2  2b2  c  2R a a 2 2  b2    b2 . Phương pháp 3. Lượng giác Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 8  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với z min , z max thì từ nhận Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 2 2  x a   y b  Giả sử tập hợp điểm là đường tròn  C  :  x  a    y  b   R 2      1,  R   R  2 2 xa  R  sin t  x  a  R sin t 2 2   gợi ta đến công thức sin t  cos t  1 nên đặt  . y  b y  b  R cos t    cos t  R Do đó z  x 2  y 2  z  x 2  y 2   a  R sin t    b  R cos t  . 2 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT  2   z  a 2  b2  R 2 sin 2 t  cos2 t  2aR.sin t  2bR.cos t . 2  z  a 2  b2  R 2  2R a 2  b2 .sin  t    và luôn có 1  sin  t     1 2 nên suy ra:  a 2  b2  2R a 2  b2  z  a 2  b2  2R a 2  b2 . Phương pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z1 Ví dụ minh họa: Xét các số phức z yi thỏa mãn z x max là số phức z Ta có z 2 3i c di. Tìm tổng a (x 1 2) (y b 3)i c z1 3i 2 a) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . Ứng với z z z2 min z2 z1 z2 . 1. là số phức z a bi và ứng với d. (x 1 2)2 (y 3)2 1 ( ) 1. Cách 1. Hình học z z min OM1 OI R 13 1 max OM 2 OI R 13 1. 13 1. Vì I (2;3) là trung điểm M1M 2 nên: xM yM 1 xM 2 2x I a c 4 1 yM 2 2yI b d 6 . Suy ra a b c d 10. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 9  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Do đó tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn (C ) có tâm I (2;3) và bán kính R Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm số phức tương ứng với z min và z max , tức là tìm hai điểm biểu diễn OI và đường tròn (C ). M1, M 2, nó cũng chính là tọa độ giao điểm của đường thẳng d Cách 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 2)2 Ta có: (x Ta lại có: z 2 14 x2 y2 62 ) (x 4x 6y (y 3)2 2)2 2 z 2 13 x2 1 14 y2 4x 6y 12. 12 4.(x 2) 6.(y 4(x 2 13 6(y 2) 13 z 1 3) (42 3) 13 14 62 ) (x 2)2 (y 3)2 1. Cách 3. Lượng giác Đặt z 14 x 2 sin t y 3 cos t 14 42 2 z 2 13 z 2 sin t )2 (2 62 .sin(t 2 14 ) 2 13 cos t )2 (3 2 13 sin(t 14 13 z 1 z2 z1 z2 Ta có z z 2 3i z 3i 2 13 z z 1 2 3i 13 1 z 13 ) và do 13 Cách 4. Sử dụng bất đẳng thức z1 4 sin t 14 6 cos t 1 sin(t ) 1 nên: 1. z1 1 z2 13 . b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x z 1)2 i 1 1) (y i. 1).i Pmin AM1 AI R 13 1 Pmax AM 2 AI R 13 1 13 1 MA với A( 1;1). 1)2 (y Từ hình vẽ, suy ra: Kết luận: Pmin (x z 1 và Pmax 13 . 1. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 10  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Nhận xét. Tùy vào cấu trúc bài toán, yêu cầu câu hỏi và sự thành thạo về kiến thức mà học sinh chọn phương pháp giải cho phù hợp. Ta có: P NGUYỄN HOÀNG VIỆT (42 Mà 3)2 (y Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Ta có: P z i 1 1)2 (x Từ hình vẽ, suy ra: Câu 1: (y 1) 1)2 (y MA với A( 1;1). AM1 AI R 13 1 Pmax AM 2 AI R 13 1 1 và Pmax Cho các số phức z thỏa z 13 . 1. BÀI TẬP TẠI LỚP 4i 4. Giá trị lớn nhất của z bằng 3 B. 5 . A. 9 . i. 1).i Pmin 13 1 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Kết luận: Pmin (x z C. 12 . D. 3 . Lời giải Chọn A Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z z 3 4i (x 4 x (y 3) yi. 4)i 4 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (3; 4) bán kính R z R 9 Xét các số phức z thỏa z A. 1. 4i 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 2: OI max 4 5. Giá trị nhỏ nhất của z bằng B. 2. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z z 2 4i (x 5 x (y 2) yi. 4)i 5 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (2;4) bán kính R z Câu 3: min OI R 5 5 Xét các số phức z thỏa z 2. Gọi z1, z 2 là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. 4i 3 Tổng phần thực của z1, z 2 bằng A. 8. B. 6. C. 8. D. 6. Lời giải Chọn B Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x yi. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 11  Max – Min Module Số Phức z 4i 3 NĂM HỌC 2019 – 2020 (x 2 3) (y 4)i 2 3)2 (x 4)2 (y 4 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn (C ) tâm I ( 3; 4) bán kính R OI : quaO(0; 0) x y OI : u(3; 4) 2 3t 4t Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là nghiệm của hệ phương trình x 3t y 4t (x 3)2 y (y 4)2 x 4 y 9 5 Vậy tổng phần thực của z1, z 2 bằng Câu 4: Xét các số phức z thỏa mãn iz 21 5 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 9 5 12 5 21 5 28 5 x 6 1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 1 nhất của biểu thức P z . Giá trị của biểu thức 2020 A. 2014. B. 2016. M m bằng C. 2018. D. 2022. Lời giải iz 1 1 (1 y) xi x 1 yi. x2 (y 1)2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn C Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z 1 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (0;1) bán kính R 1 Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là (0;0),(0;2) m z Vậy 2020 Câu 5: 0, M min M m z 2 max 2018 Xét các số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  1  i lần lượt là A. 14  2, 14  2 . B. 13  1, 13  1 . C. 13  4, 13  4 . D. 14  1, 14  1 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi với x, y  . Khi đó z  2  3i  1   x  2    y  3  1. 2 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 12  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M   I ;1 với I  2;3 . Có z  1  i   x  1    y  1 2 Gọi A  1;1 suy ra z  1  i  2   x  1   y  1 2  x  1   y  1 2 2 2 .  AM . Dễ thấy AI  13  1 nên A nằm ngoài  I ;1 . NGUYỄN HOÀNG VIỆT M B A C I Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I ;1 tại B, C như hình vẽ.   AM max  AC  AI  IC  13  1 Có AB  AM  AC nên  . AM  AB  AI  IB  13  1  min  Câu 6: Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Số phức w  z  3i có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là m và M . Tổng m  M bằng A. 5 . B. 7 . D. 6 . C. 8. LUYENTHITRACNGHIEM.VN Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi với x, y  . Khi đó z  2  x 2  y 2  4 . Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M   O; 2  . Xét w  z  3i  x 2   y  3 2 Gọi A  0; 3 suy ra w  z  3i  x 2   y  3  AM . 2 Dễ thấy AO  3  2 nên A nằm ngoài  O; 2  . M A B O C Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 13  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn  O; 2  tại B, C như hình vẽ.  AM max  AC  AO  OC  3  2  5  M  5  M m6. Có AB  AM  AC nên  m  1  AM min  AB  AO  OB  3  2  1 Câu 7: 5 và w Xét các số phức z, w thỏamãn z B. 4 5. A. 3 5. 3i)z (4 1 2i. Giá trị nhỏ nhất của w bằng D. 6 5. C. 5 5. NGUYỄN HOÀNG VIỆT Lời giải Chọn B Ta có: w w 5 Lại có: w Vậy w Câu 8: 3i)z (4 2i 1 4 3i 1 2i 2i 1 w w w z 2i 1 3i 4 1 2i 5 5 1 2i 5 5 w z w 2i 1 3i 4 w 5 4 5 4 5. min Cho số phức z thỏa z 2 z2 4 A. 1. 2iz . Tìm giá trị nhỏ nhất của z B. 2. i. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A Giả sử z  x  yi;  x, y  LUYENTHITRACNGHIEM.VN . Ta có: z2 z2 4 Với z Với z thì z 2iz z 2i thì z i z x2 2i x2 i y 2i . z i y 1 2 Cho các số phức thỏa mãn z A. 4 2 2 x2 y2 4 2. 2 x2 2 B. 2 2. z .z z 2i 2i z 2i z . 1. So sánh hai trường hợp ta được z Câu 1: 2i i min y 1. 1 đạt được khi z 2i . BÀI TẬP VỀ NHÀ 2i 1. Giá trị lớn nhất của z bằng C. 2 2 2. 1. D. 3 2 1. Lời giải Chọn C Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z z 2 2i 1. (x 2) (y x 2)i yi. 1 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 14  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (2; 2) bán kính R z Câu 2: OI max R 2 2 1 1. Xét các số phức z thỏa iz 3i 4 1. Giá trị nhỏ nhất của z bằng B. 4. A. 3. D. 6. C. 5. Lời giải iz 3i 4 (y ( y 1 2 2 (x 4) 3) x (x 4) yi. 3)i 1 1 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (4;3) bán kính R z Câu 3: OI min R NGUYỄN HOÀNG VIỆT Chọn B Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z 1 4 Xét các số phức z thỏa z 2. Gọi z1, z 2 là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. 4i 2 Tổng phần ảo của z1, z 2 bằng A. C. 8. B. 4. 8. 4. D. Lời giải Chọn C Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z 2 4i (x 2 2) (y yi. 4)i (x 2 2)2 4)2 (y 4 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn (C ) tâm I (2;4) bán kính R OI : quaO(0; 0) OI : u(2; 4) x y LUYENTHITRACNGHIEM.VN z x 2 2t 4t Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là nghiệm của hệ phương trình x x 2t y 4t (x 2)2 y (y 4)2 4 x y Vậy tổng phần ảo của z1, z 2 bằng Câu 4: 10 2 5 5 20 4 5 5 10 2 5 5 20 4 5 5 20 4 5 5 Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P 20 4 5 8 5 i)z 1 7i z . Giá trị của M 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ m bằng Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 15  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 C. 2. B. 10. A. 4. D. 24. Lời giải Chọn C Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z i)z (1 7i 1 x x2 2 y2 yi. 6x 8y 24 0 Suy ra tập hợp điểm M (x ; y ) là đường tròn tâm I (3;4) bán kính R quaO(0; 0) x y OI : u(3; 4) NGUYỄN HOÀNG VIỆT OI : 1 3t 4t Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là nghiệm của hệ phương trình x x 3t y 4t x2 y2 y 6x 8y 24 x 0 y Câu 5: m z M m 4, M min z 18 5 24 5 12 5 16 5 6 max 2 Cho các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và cho số phức w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị B. 2  130 . A. 16  74 . D. 4  130 . C. 4  74 . Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi với x, y  . Khi đó z  3  4i  2   x  3   y  4   4 . 2 2 Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M   I ; 2  với I  3; 4  . w  2 z  1  i  2 x  1   2 y  1 i  w   2 x  1   2 y  1 2 2 2 2  1  1   4  x     y    . 2  2    2 2  1  1   1 1 Gọi A   ;  suy ra w  4  x     y     2 AM . 2  2    2 2  2 2 1  1 130  Dễ thấy AI   3     4     2 nên A nằm ngoài  I ; 2  . 2  2 2  Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 16  LUYENTHITRACNGHIEM.VN lớn nhất bằng bao nhiêu? Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 M B A C I Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I ; 2  tại B, C như hình vẽ. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi M  C khi đó AC  AI  IC  130 130  4 . 2 2 2 Vậy w max  2 AC  130  4 . Câu 6: NGUYỄN HOÀNG VIỆT Có AM  AC nên AM max  AC . Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà có z  1 nhỏ nhất có dạng z0  a  bi . Giá trị của tổng 2a  3b bằng A. 2 . B. 5 . D. 9 . C. 7 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi với x, y  . Khi đó z  1  3i  2   x  1   y  3  4 . 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2 Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M   I ; 2  với I 1;3 . Có z  1   x  1 2  y2 . Gọi A 1;0  suy ra z  1   x  1 2  y 2  AM . Dễ thấy AI  3  2 nên A nằm ngoài  I ; 2  . M A B I C Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I ; 2  tại B, C như hình vẽ. Có AM  AB  AM min  AB  AI  IB  1. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 17  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 AB 1 AI  AB  AI , với AI  0;3 suy ra AI 3 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi AB  AB  0;1  B 1;1 . a  1  2a  3b  5 . Khi đó z  1  i hay  b  1 Câu 7: Xét các số phức z, w thỏamãn w iz và (1 i)z 2. Giá trị lớn nhất của z 2i 2 w B. 2 3. A. 3. NGUYỄN HOÀNG VIỆT bằng D. 3 3. C. 3 2. Lời giải Chọn C Từ giả thiết: i)z (1 Lại có: z Câu 8: w Vậy: z w Cho z 2 2z A. 2i 2 z 2 2 (1 iz z .1 i i)z 2i 2 2. z 2z 2 z 2 2 3. 3 2. 3 2. max (z 5 2i)(z 1 1 . 2 1) . Giá trị nhỏ nhất của z 3i B. 1. C. 2i bằng 2 3 . 2 D. 2. Lời giải Giả sử z  x  yi;  x, y  . Ta có: z2 2z (z 5 z 1 2i z 1 2i Với z 1 2i thì z Với z 1 2i thì z 2 2i 2i )(z 1 z 3i 1 z x 3i 1 3i 1 2 2 2i . z 1 2i 1 z 2i . z 1 1 3i . 2i 2 z 1) x y So sánh hai trường hợp ta được z 2 1. 1 2 y 2 2 x 2i min 2 2 2 2 x 9 4 1 2 y 3 2 1 . 2 y 3 . 2 1 đạt được khi z 2i . 1 DẠNG TOÁN 3. ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 1: Xét các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  4  1 và iz2  2  1 . Giá trị nhỏ nhất của z1  2 z2 bằng A. 2 5  2 B. 4  2 C. 4 2  3 Lời giải D. 4 2  3 Chọn C Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 18  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn B Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Đặt z3  2 z2 , suy ra P  z1  2 z2  z1  (2 z2 )  z1  z3 . 1 1 Và z2   z3 thế vào iz2  2  1   iz3  2  1  z3  4i  2. 2 2 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z1. z3  4i  2  A thuộc đường tròn tâm I (0;4), R3  2. z1  4  1  B thuộc đường tròn tâm J (4;0), R1  1.   Pmin  IJ  R1  R3  4 2  3  P  z1  z3  AB   . P  IJ  R  R  4 2  3  max 1 3  Câu 2: Xét các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  2iz1  3z2 bằng A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . Lời giải D. 313  2 5 . Chọn A LUYENTHITRACNGHIEM.VN Đặt z3  2iz1 và z4  3z2 suy ra P  2iz1  3z2  z3  (3z2 )  z3  z4 . Và z1  1 1 z3  3i  5  2  z3   6  10i   4. z3 thế vào z1  3i  5  2  2i 2i 1 1 Và z2   z4 thế vào iz2  1  2i  4  iz4  1  2i  4  z4   6  3i   12. 3 3 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z4 . z3   6  10i   4  A thuộc đường tròn tâm I (6; 10), R3  4. z4   6  3i   12  B thuộc đường tròn tâm J (6;3), R4  12.   Pmin  IJ  R3  R4  313  16  P  z4  z3  AB   . P  IJ  R  R  313  16  3 4  max Câu 3: Xét các số phức z, w thỏa z  3 2  2 và w  4 2i  2 2. Biết z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 và w  w0 . Giá trị của 3z0  w0 bằng A. 2 2. B. 6 2. C. 4 2. Lời giải Chọn B Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z, w.  D. 1.   z  3 2  2  A thuộc đường tròn tâm I1 3 2;0 , bán kính R1  2 . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 19  Max – Min Module Số Phức   NĂM HỌC 2019 – 2020  w  4 2i  2 2  B thuộc đường tròn tâm I 2 0; 4 2 , bán kính R2  2 2 . Ta có hình vẽ: NGUYỄN HOÀNG VIỆT Ta có: I1I 2  9  2  16  2  5 2 .   Pmin  I1I 2  R1  R2  2 2  P  z  w  AB   . P  I I  R  R  8 2  1 2 1 2  max   I1I 2  3 2; 4 2 , phương trình đường thẳng I1 I 2 : 4 x  3 y  12 2  0 .   12 2  4 x 18 2 4 2 y 4 x  3 y  12 2  0 y  x    3 5 5 •  .   2 2  x  3 2  y  2 25 50 2 12 2 4 2   2 y x   9 x  3 x  48  0 5 5    LUYENTHITRACNGHIEM.VN  12 2 4 2  ; Điểm A là điểm nằm bên trong I1 I 2 nên có toạ độ là:  . 5   5  28 2 6 2 x 4 x  3 y  12 2  0 y   5 5 •  .  2 2  12 2 6 2  x  y  4 2  8 x y  5 5     6 2 12 2  Điểm B là điểm nằm bên trong I1 I 2 nên có toạ độ là:  ;  . 5 5   Theo đó A, B lần lượt biểu diễn cho z0 , w0 . Suy ra z0  12 2 4 2 12 2 4 2  i.  i , w0  5 5 5 5 Vậy: 3z0  w0  6 2 . Câu 4: Xét các số phức z1 , z2 thỏa z1  12 và z2  3  4i  5. Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 bằng A. 0. B. 2. C. 7. Lời giải D. 17. Chọn B Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z2 . z1  12  A thuộc đường tròn tâm I (0;0), R1  12. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 20  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 z2   3  4i   5  B thuộc đường tròn tâm J (3;4), R2  5. Ta có hình vẽ: NGUYỄN HOÀNG VIỆT   Pmin  R1  2 R2  12  10  2  P  z1  z2  AB   . P  2 R  R  5  12  5  22  1 2  max Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1, số phức w thỏa mãn w  2  3i  2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  w bằng A. 13  3 . B. 17  3 . C. 17  3 . Lời giải D. 13  3 . Chọn B Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và w . +) w  2  3i  2  w   2  3i   2  w   2  3i   2  w   2  3i   2  B thuộc đường tròn tâm J  2;  3 , bán kính R2  2 . Vì IJ  17  3  R1  R2 nên hai đường tròn  I ; R1  và  J ; R2  ngoài nhau.  P  z  w  AB  Pmin  IJ  R1  R2  17  3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z Câu 6: w bằng 17  3 . Cho các số phức z, w thỏa mãn z  5  3i  3 và iw  4  2i  2. Giá trị lớn nhất của biểu thức 3iz  2w bằng A. 554  5 . B. 578  13 . C. 578  5 . Lời giải D. 554  13 . Chọn D  z1  3z  P  3iz  2w  3z  2iw  z1  z2 . Đặt   z2  2iw Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 và z2 . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 21  LUYENTHITRACNGHIEM.VN +) z  1  i  1  A thuộc đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R1  1 . Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 +) z  5  3i  3  3z  15  9i  9  z1  15  9i  9  A thuộc đường tròn tâm I 15;  9  , bán kính R1  9 . +) iw  4  2i  2  2iw  8  4i  4  z2  8  4i  4  B thuộc đường tròn tâm J  8; 4  , bán kính R2  4 . Vì IJ  554  13  R1  R2 nên hai đường tròn  I ; R1  và  J ; R2  ngoài nhau. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3iz  2w bằng 13  554 . Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức z1  z2 bằng A. 3  34 . B. 3  10 . C. 3 . Lời giải D. 6 . NGUYỄN HOÀNG VIỆT  P  z1  z2  AB  Pmax  IJ  R1  R2  13  554 . Chọn A Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 và z2 . +) z1  2  3i  2  A thuộc đường tròn tâm I  2;3 , bán kính R1  2 . +) z2  1  2i  1  z2  1  2i   1  z2  1  2i   1  z2  1  2i   1  B thuộc đường tròn tâm J 1;  2  , bán kính R2  1 .  P  z1  z2  AB  Pmax  IJ  R1  R2  3  34 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 bằng 3  34 . Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m. Tổng các phần tử của S bằng A. 2 . D.  5 . C. 2 . B. 4 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi,  x, y   có điểm biểu diễn là M  x; y   z  x  yi . +) z.z  1  x 2  y 2  1  M thuộc đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R1  1 . +) z  3  i  m  với m  0 thì điểm M thuộc đường tròn tâm I   3;  1 , bán kính R2  m . Tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau. TH1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài  OI  R1  R2  m  1  2  m  1  tm  .  m  3  tm   m  3. TH2: Hai đường tròn tiếp xúc trong  OI  R1  R2  m  1  2    m  1 l  Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 22  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Vì IJ  34  3  R1  R2 nên hai đường tròn  I ; R1  và  J ; R2  ngoài nhau. Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020  S  1;3 . Vậy tổng các phần tử của S bằng 4 . DẠNG TOÁN 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 1: Biết rằng số phức z  x  yi  x, y  2  thỏa mãn đồng thời z  3  4i  5 và biểu thức 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của z bằng A. 33. D. 5 2. C. 10. Lời giải B. 50. Có z  3  4i  5   x  3   y  4   5. 2 2 Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn C tâm I 3; 4 , bán kính R 5. Ta lại có P  z  2  z  i  P   x  2   y 2   x 2   y  1    P 4x 2y 3 4x 2y 3 P 0 là đường thẳng d . 2 2 2 2 Để tồn tại z thì d và C phải có điểm chung d I, d 4.3 R 2.4 3 2 2 4 Dấu “=” xảy ra khi 4x x 23 P 10 2y 3 33 3 2 y 4 13 2 5 P 33 x y max P z 5 P NGUYỄN HOÀNG VIỆT Chọn D Lời giải tham khảo 1 (hình học) 5 2 33. 5 2. Lời giải tham khảo 2 (đại số) LUYENTHITRACNGHIEM.VN Có z  3  4i  5   x  3   y  4   5. 2 2 2 2 2 2 Ta lại có P  z  2  z  i  P   x  2   y 2   x 2   y  1    P 4x 2y Cauchy Schwarz 4 x 3 42 22 3 x 3 2 y 4 y 4 2 23 2 23 33. Dấu “=” xảy ra khi x 3 4 4x 2y Câu 2: y 4 2 3 2x 6 4x 2y 33 4y 16 30 2x 4y 4x 2y 10 30 x y 5 z 5 2. Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  13 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 2 2 nhất của biểu thức P  z  2  z  3i . Tổng m B. 25. A. 10. M bằng C. 34. Lời giải D. 40. Chọn C Đặt z  x  yi  x, y  . Có z  1  3i  13   x  1   y  3  13. 2 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 23  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn C tâm I 1; 3 , bán kính R Ta lại có P  z  2  z  3i  P   x  2   y 2   x 2   y  3    P 4x 6y 5 4x 6y 5 P 0 là đường thẳng 2 Để tồn tại z thì d I, 2 4.1 6.3 5 2 2 Vậy: m M 9, M 9 43 P 6 max P 13 P 17 26 9 P 43. 43. 34. Xét các số phức z  x  yi Câu 3: .  x; y   thỏa mãn 1  i  z  2  i  4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  3 bằng A. 4. C. 4  2 2 . Lời giải B. 4 2 . NGUYỄN HOÀNG VIỆT 4 min P 2 và C phải có điểm chung R m 2 13. D. 8 . Chọn D 2 2 1 3 1 3 1  i  z  2  i  4  z   i  2 2   x     y    8 1 . 2 2 2  2  1 3 1 3 P  x y 3  x  y  4  x  y  4 2 2 2 2  . 3  1 x   y  3   2 2  x  2  .  x  y  3  8 7  1 y  3  x   y   0 2 2 2  Dấu “=” xảy ra khi Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z của biểu thức P z 2 1258. A. 2 B. 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3 4i z i . Môđun của số phức w 2 M C. 2 314. Lời giải 1258. mi bằng D. 2 309. Chọn B Gọi z  x  yi với x, y  . Có z 3 Ta lại có: P (x 2)2 4i 5 z y2 2 (x 2 x2 z (y 3)2 i (y 4)2 5. 2 1)2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 24  LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2 2  1  3  2 2 1  1 x   y     2   2    4  8   Max – Min Module Số Phức 4x 2y NĂM HỌC 2019 – 2020 4(x 3 2(y 3) Ta có: 4( x  3)  2( y  4) 4) Cauchy-Schwarz  23 (42  22 ) ( x  3)2  ( y  4) 2   (42  22 ).5  10.  10  4( x  3)  2( y  4)  10.  13  P  33  m  min P  13, M  max P  33 x P đạt max khi: 2x 6 4x 2y x 2 3 33 16 2x 4y 4x 2y 30 10 30 5. x P đạt min khi: 2x 6 4x 2y y 3 4 4x 2y 4y 16 10 1, y 4 2 3 13 2x 4y 4x 2y 10 10 3. Chọn đáp án B. Câu 5: Xét các số phức z 1 thỏa mãn z1 nhỏ nhất của z1 A. 2 2 z1 i 2 1 và các số phức z 2 thỏa z 2 4 i 5. Giá trị z 2 bằng 2 5 5 Lời giải B. 2 5. 5. C. D. 3 5 5 Chọn D Ta có: z1 2x y 2 2 1 z1 0 i 2 1 (x 2)2 y2 x2 (y 1)2 1 Tập hợp biểu diễn số phức z 1 là đường thẳng d . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 25  LUYENTHITRACNGHIEM.VN x 4 4 4x 2y 4y y y 3 NGUYỄN HOÀNG VIỆT  W  33  13i  W  332  132  1258. Max – Min Module Số Phức Ta lại có: z 2 (x 4 4)2 (y i 5 1)2 5 (x (y 4) 1)i 5 Tập hợp biểu diễn z 2 là đường tròn (C ) có tâm I (4;1), bán kính R 5. Khi đó z1 z 2 là khoảng cách từ 1 điểm thuộc d đến 1 điểm thuộc (C ). MN d I, 8 R 5 Cho hai số phức z, w thỏa mãn z biểu thức z A. 5 2i 3 3 5 Chọn đáp án D. 5 1 và w 1 2i w 2 i . Giá trị nhỏ nhất của w bằng 3 2 2 2 2 B. C. 3 5 1. 2. D. 5 2 2 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Suy ra: Pmin Câu 6: NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải  x  3  z  3  2i  1  2   y  2   1   x  3   y  2   1  tập hợp các số phức z là 2 2 2 đường tròn  C  :  x  3   y  2   1 2 2  w  1  2i  w  2  i   a  1   b  2    a  2    b  1  a  b  0  tập hợp các số 2 2 2 2 phức w là đường thẳng d : x  y  0. Ta có z w x a 2 y b 2 chính là khoảng cách từ một điểm A  a; b    C  đến một điểm B  x; y   d . Do d  I ; d   3 2 2  3 2 5 5 2  1 nên d không cắt  C  , do đó ABmin  d  I ; d   R  1   1. 2 2 2  min z  w  min AB  Câu 7: 5 2 2 . 2 Cho hai số phức z, w thỏa mãn z biểu thức | w A. 2 3 1. 2 4i 1 và w 2 3i w 3 2i . Giá trị nhỏ nhất của z | bằng B. 2 3 1. C. 3 2 Lời giải 1. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng D. 3 2 1.  Trang 26  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn D Đặt z  x  yi, w  a  bi. Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020  x  2  z  2  4i  1  2   y  4   1   x  2    y  4   1  tập hợp các số phức z 2 2 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Chọn C Đặt z  x  yi, w  a  bi. là đường tròn  C  :  x  2    y  4   1 2 2  w  2  3i  w  3  2i .   a  2    b  3   a  3   b  2   a  b  0  tập hợp các 2 2 2 2 số phức w là đường thẳng d : x  y  0. Ta có w z x a 2 y b chính là khoảng cách từ một điểm A  a; b    C  đến một 2 điểm B  x; y   d . Do d  I ; d   2   4  2   4  2  1  3 2  1.  min w  z  min AB  3 2  1. Câu 8: Cho hai số phức z 1, z 2 thỏa mãn z1 thức z1 A. 5 và z 2 5 1 3i z2 3 6i . Giá trị nhỏ nhất của biểu z 2 bằng 5 2 B. 7 2 C. 1 2 D. 3 2 Lời giải Chọn A Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn z1 M x ; y thoả mãn phương trình: x I 5;0 , R 5 2 5 y2 5 là tập hợp các điểm 25 1 là đường tròn tâm 5 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z 2 thỏa mãn z 2 1 3i z2 6y 35 3 6i là tập hợp các điểm N x ; y thỏa mãn phương trình x 1 2 y 3 2 x 3 2 y 6 2 8x Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 0 2  Trang 27  LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2  3 2  1 nên d không cắt  C  , do đó ABmin  d  I ; d   R  Max – Min Module Số Phức Khi đó z1 NĂM HỌC 2019 – 2020 z 2 là khoảng cách từ một điểm thuộc d :8x thuộc đường tròn C : x z1 Câu 9: z2 5 2 y2 MN min d I ,d 75 R 100 34 và z 1 5 . 2 5 mi 1 B. 10 C. z m 2i . Gọi z 1, z 2 là hai z 2 bằng P 2 x y z bằng 130 D. Lời giải Chọn B Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z M x ; y thoả mãn phương trình: x I 1;0 , R 2 1 1 y2 34 là tập hợp các điểm NGUYỄN HOÀNG VIỆT z 2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1 số phức thuộc S sao cho z1 điểm 0 tới một 25 Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa z A. 2 6 y 35 34 1 là đường tròn tâm 34 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình z mi 1 z m 2i . là tập hợp các điểm N x ; y thỏa mãn phương trình x 1 2 y 2 m x 2 m y 2 2 2 2m x 2m 2 y 3 0 2 Tập hợp các số phức z có điểm biểu diễn thỏa mãn hệ phương trình: 2 y2 34 2 2m x Khi đó z1 Để z1 2m 2 y 3 0 z 2 là khoảng cách từ một điểm M thuộc tập S tới một điểm N thuộc tập S . z 2 đạt giá trị lớn nhất khi MN là đường kính của đường tròn C : x 1 2 y2 34 d I, 2 2m 3 0 2 2m 2 1 2 2m x 2 34 2 2 34 2m 2 y 3 0 1 2 m Câu 10: y2 x ; 3 34 2 34 3 34 ; 2 2 z z 2 34 2 2 34 2 x 1 3x y 3 34 i 2 3 34 i 2 2 2 2 y2 2m x 34 3 0 z1 z2 2 y 0 1 3 m 2 y2 1 2 34 3x 2 Xét các số thức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  1 bằng Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 28  LUYENTHITRACNGHIEM.VN x 1 Max – Min Module Số Phức A. 5 2. NĂM HỌC 2019 – 2020 10 . B. 10 C. 1. D. 13 1. Lời giải Chọn D   w  2  2i  w  2  4i   w  1  3i  1 Đặt w  z  2 thì P  w  1 khi ấy giả thiết trở thành  Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn của w thì giải thiết trên trở thành NGUYỄN HOÀNG VIỆT 2 2 2 2  y  3 ( x  2)  ( y  2)  ( x  2)  ( y  4)    2 2 2 2  ( x  1)  ( y  3)  1 ( x  1)  ( y  3)  1 Điểm M ( x; y) thuộc nửa đường tròn (phần không bị gạch)  Pmax  w max  M  B Câu 11: Cho biểu thức P  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i và xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  1  2i . Biết min P  a b với A. 10. B. 11. a là phân số tối giản. Giá trị của a  b bằng b C. 12. D. 12. Lời giải Chọn B Đặt E ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z và A(1;2), B(3;4), C(5;6) . Ta có P  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i  EA  EB  EC Mặt khác các điểm A, B, C thuộc đường thẳng  : x  y  1  0  Pmin  E  : x  y  1  0 . Từ giả thiết z  2  1  2i  ( x  2)  y  5  E thuộc đường tròn tâm I (2;0) bán kính R  5 2 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 29  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Pmax  OB  1  13  1. Vậy chọn D. Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 y 6 C 4 B 2 A N -3 Δ M O 1 3 5 x NGUYỄN HOÀNG VIỆT I -2 Từ đó suy ra Pmin  E  N  E (0;1)  Pmin  2  3 2  5 2  9 2  a  b  11 Vậy chọn B. LUYENTHITRACNGHIEM.VN Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 30  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 DẠNG TOÁN 5. ĐOẠN THẲNG VÀ TIA Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn z và giá trị lớn nhất của T A. 5 2 z 73 i 2 1 B. 5 2 2 z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất i . Giá trị của m M bằng 2 73. 13 C. 73. D. 5 2 2 73 2 Lời giải Chọn D NGUYỄN HOÀNG VIỆT Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x Ta có: z 6 2 2 i z 4 7i yi. MA Trong đó A( 2;1), B(4;7) và có AB MB 6 2 6 2 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Nên MA MB AB. Suy ra điểm M thuộc đoạn AB. Ta có T z 1 i CM với C (1; 1). Dựa vào hình vẽ, ta có: Tmin CM min CB 73 ; CA Suy ra m M 5 2 2 d C , AB 13 73 CM max 5 2 2 2 73 Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn z P z A. 53. 1 CB 73. 5 2 2 1 i z Chọn đáp án D. 8 3i 53. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2i bằng. B. 53. C. 185 . 2 D. 106. Lời giải Chọn D Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 31  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Gọi H (x ; y ) biểu diễn số phức z 1 i z 3i 8 yi. HA 53 Trong đó A(1;1), B(8;3) và có AB Nên HA HB HB NGUYỄN HOÀNG VIỆT Ta có: z x 53 53 AB. Suy ra điểm H thuộc đoạn AB. Ta có P z 2i với C ( 1;2). 1 Dựa vào hình vẽ, ta có: Pmin CH min CB 106 ; CA Suy ra Pmax 13 53 CH max CB 106. 106 Chọn đáp án D giá trị nhỏ nhất của P 2 z B. 1 3i z 6 z 2 2i 3 2 2 i 2 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và i . Giá trị m C. 8 2 2 M bằng 2 5. D. 6 2 2 5 3 Lời giải Chọn A Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x yi. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 32  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 3: Xét các số phức z thỏa z A. 3 2. 17 d C , AB Max – Min Module Số Phức Ta có: z NĂM HỌC 2019 – 2020 3i 2 z i 6 MA 2 17 Trong đó A( 2; 3), B(6;1) và có AB Nên MA MB MB 2 17 2 17 AB. Suy ra điểm M thuộc đoạn AB. Ta có P z 2i 1 z i với C ( 1;2); D 2; 1 . 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Dựa vào hình vẽ, ta có C; D nằm về một phía của đường thẳng AB MC MD CD MC MD 0 Suy ra M Câu 4: 3 2 3 2; m 0 Chọn đáp án A Xét các số phức z thỏa z trị nhỏ nhất của P A. 17 5 C. 26 2 5 z 3 2 2i z z 1 3 3 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá i 3i . Giá trị của m M bằng 3 2. B. 26 2 5 2. D. 17 5 3 2. 2. Lời giải 4 y D 3 2 A 3 -1 10 -3 5 O C x 1 5 10 B 2 Gọi M (x; y), A( 3;2), B(3; 1) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , 4 3 2i, 3 i trong mặt phẳng tọa độ. Ta có: AB  3 5 z 3 2i z 3 i 3 5 Phương trình đường thẳng AB là: MA MB AB  M nằm trên đoạn thẳng AB (1) x3 y 2   x  2 y 1  0 3  3 1  2 Gọi C  2;0  , D 1;3  P  MC  MD Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 33  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn B Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020  xC  2 yC 1 xD  2 yD 1   2  2.0 11  2.3 1  18  0  C , D nằm về hai phía của đường thẳng AB . (2) Ta có: P  MC  MD  CD  3 2 P nhỏ nhất  P  CD  MC  MD  CD  M nằm giữa CD (3) Từ (1) và (3) suy ra: M là điểm chung của hai đoạn thẳng AB và CD . M nằm trên đoạn thẳng AB  M 1  2t; t  , t   0  t  3 M nằm trên đoạn thẳng CD  CM , CD cùng hướng  3  2t t   t  1(tháa )  M  1;1 3 3 Vì xC  xM  xD nên điểm M nằm trên đoạn thẳng CD Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của là m  3 2 . NGUYỄN HOÀNG VIỆT CM   3  2t; t  , CD   3;3 Từ (1) và (2) suy ra: P  MC  MD  Max  AC  AD; BC  BD AC  AD  5  17  BC  BD  26  2 5 Do đó: Giá trị lớn nhất của P là M  26  25  M  m  26  2 5  3 2 . Câu 5: Xét các số phức z thỏa mãn iz P 9 17 2 z 1 3i 34. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2i bằng C. 4 2. . B. 3 2 . . D. LUYENTHITRACNGHIEM.VN A. i)z (1 2i 26 . Lời giải Chọn C Gọi M (x; y), A(2; 2), B( 1;3) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , 2 2i, 1 3i trong mặt phẳng tọa độ. Từ iz z 2i 2 2 2i z 1 3i 34 z 1 3i 34 MA MB 34 AB Suy ra M nằm trên tia đối của BA. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 34  Max – Min Module Số Phức Ta có P 1 Có MC min Câu 6: NĂM HỌC 2019 – 2020 i z M 2i B 2z MC min 2MC với C i 1 CB 4 Xét các số phức z đồng thời thỏa mãn z 4 Pmin 3i 1; 1 . 4 2. . z 4 3i 10 và z 4i nhỏ nhất. 3 Môđun của số phức z bằng C. 6 2 . B. 5 2 . A. 5 . D. 10 . Chọn A NGUYỄN HOÀNG VIỆT Lời giải 6 y 4 M C 3 B 2 4 10 5 O -4 x5 3 10 2 -3 A 4 Gọi M (x; y), A(4; 3), B( 4;3) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , 2 2i, 1 3i trong mặt phẳng tọa độ. AB   8;6   AB  3i 4 MA Ta có z MB 3 z 4 10 AB 4i  62  10 2 3i 10 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Từ z  8 M , A, B thẳng hàng và B nằm giữa A và M MC với C 3; 4 . Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng AB . Đường thẳng CH đi qua C và vuông góc với AB có phương trình là 4 x  3 y  0 Phương trình đường thẳng AB là x4 y 3   3x  4 y  0 4  4 3  3 4 x  3 y  0  x  y  0  H  O  0;0  3x  4 y  0 Tạo độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  Dễ thấy O là trung điểm của đoạn thẳng AB Do đó: z 3 4i MC nhỏ nhất khi và chỉ khi M  B  4;3  z  4  3i  z  Câu 7: Xét các số phức z T z 3 4i a z 1 bi  4 (a, b 2  32  5 . ) thỏa z 1 2i z 3i . Tính P a b khi i đạt giá trị lớn nhất. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 35  Max – Min Module Số Phức A. P NĂM HỌC 2019 – 2020 B. P 2. 6. 26 . 3 C. P D. P 28 . 3 b 0 Lời giải Chọn D z 2i 1 z 3i a 1 2 b Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z a A  3; 4  , B 1; 1  AB   2; 5 ; AB  a2 3 b 2 a 2 bi  M thuộc đường thẳng d : x  y  2  0  2    5 2 2  29 Ta có:  xA  y A  2  xB  yB  2    3  4  2 1  1  2   4  0  A, B nằm về cùng phía với d (1) 1  d  B, d   2 2 (2) 2 d  A, d   T z 3 4i z 1 i MA MB AB NGUYỄN HOÀNG VIỆT Gọi 2 2 29 Do đó: T lớn nhất khi T  29  M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn thẳng AB  MA, MB cùng hướng (3) M  d  b  a  2  M  a; a  2   MA   3  a; 2  a  Từ (1), (2) và (3) suy ra MA, AB cùng hướng  3 a 2 a 11  a 2 5 3 DẠNG TOÁN 6. PARABOL Câu 1. Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 2 z1  i  z1  z1  2i và z2  i  10  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 bằng A. 10  1 . B. 101  1 . C. 101  1 . D. 3 5  1 . Lời giải Chọn D Gọi z1  a  bi  a, b  . Ta có 2 z1  i  z1  z1  2i  b  a2 . 4 Tập hợp điểm M biểu diễn z1 là parabol  P  : y  1 2 x có đỉnh O  0;0  . 4 Ta có: z2  i  10  1  Tập hợp điểm N biễu diễn z2 là đường tròn  C  có tâm I 10;1 , R  1 . Khi đó P  z1  z2  MN là khoảng cách từ một điểm thuộc  P  đến một điểm thuộc  C  . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 36  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  2 5  1  MA   ;    AB ( thỏa) 3 3  3 11 17 28 a  b   ab  3 3 3 Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Ta có: MN  NI  MI  MN  MI  NI  MI 1  MNmin  IM min . 2  x2  Mà IM   x  10     1 .  4  2 2 2  x2  5 2    4    x  4   45  45  IM  45  3 5 .  4  2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Do đó MNmin  3 5  1 . Câu 2. Xét các số phức z  a  bi  a , b   thỏa mãn điều kiện 4  z  z   15i  i  z  z  1 . Tính 2 1 P  a  4b khi z   3i đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. P  4 . B. P  5 . C. P  6 . D. P  7 . Lời giải Chọn D 4  z  z   15i  i  z  z  1  4  a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1 . 2 2 2 2 a2  a  4 . 2 x2  x  4 Suy ra điểm M biểu diễn cho số phức z là Parabol có phương trình y  . 2 1  Gọi N  ;  3  . 2  2 2  1  39  2 2 2  a    1 1   a 2  a  10  1    39 2 4    .  z   3i  MN   a        a     2 2  2 2 2 8        1 39 1 15 khi a  ; b   P  a  4b  7 .  min z   3i  2 8 2 8 Câu 3. Xét các số phức z  a  bi  a , b   6 P  z  i đạt giá trị nhỏ nhất. 7 A. 8a  7b  8 . B. 8a  7b  5 . thỏa 2 z  3i  z  z  2i . Tính 8a  7b khi biểu thức C. 8a  7b  6 . Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng D. 8a  7b  7 .  Trang 37  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  4  2bi   15i  i  2a  1  8b  15   2a  1  b  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải Chọn D Ta có: 2 z  3i  z  z  2i  2 a  bi  3i  a  bi  a  bi  2i  2 a   b  3 i   2b  2  i . 1 2 2  a 2   b  3   b  1  b  a 2  1 . 8 1 Suy ra điểm M biểu diễn cho số phức z là Parabol có phương trình y  x 2  1 . 8 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 6  Gọi N  0;   . 7  2 6 13  13 1  P  z  i  MN  a 2   a 2    . 7 7 7 8  Pmin  13 khi a  0, b  1  8a  7b  7 . 7 DẠNG TOÁN 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn z A. 2 5. 1. Giá trị lớn nhất của T B. 2 10. z 1 2 z 1 bằng D. 3 5. C. 3 2. Lời giải . Theo giả thiết, ta có z  1  x 2  y 2  1. Suy ra 1  x  1. Khi đó, T  1  z  2 z  1   x  1 2  y2  2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: T  1 2  x  1 2  y 2  2x  2  2 2  2x.  22   2 x  2    2  2 x  hay T  2 5 , với mọi 1  x  1 . 4 3 Vậy Pmax  2 5 khi 2 2 x  2  2  2 x  x   , y    5 5 Câu 2: Xét các số phức z thỏa z 1 A. 4. 2. Giá trị lớn nhất của T z C. 8. B. 4 2. i z 2 i bằng D. 8 2. Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi số phức z  x  yi , với x, y  z. . gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức Ta có z  1  2   x  1  y 2  2 . 2 Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 38  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn A Gọi số phức z  x  yi , với x, y  Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm I 1;0  và bán kính R  2. Gọi A  0; 1 , B  2;1 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  i , z2  2  i . Dễ thấy A, B thuộc đường tròn  C  . Vì AB  2 2  2R nên AB là đường kính của đường tròn  C   MA2  MB2  AB2  8 . Từ đó: 1 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT P  z  i  z  2  i  MA  MB   12  MA2  MB 2   4.  MB  MA  MA  2  Dấu ”  ” xảy ra khi  2 . 2  MA  MB  8  MB  2 Vậy max P  4. Cách 2. T  z  i  z  2  i   z  1  1  i    z  1  1  i  . Đặt w  z  1 . Ta có w  2 và T  w  1  i   w  1  i  . Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 . 2 T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i  1. 1 2  2  12   x  1   y  1   x  1   y  1 2 2 2 2   2  2x 2 2  1.  x 1   y 1 2 2  2 y2  4  4 Vậy max T  4 . Câu 3: Xét các số phức z S (5(a A. S  0. b) 2)2018 ) có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị của khi biểu thức P 2 z 3 2 z đạt giá trị lớn nhất. a bi (a, b B. S  1. C. S  22018. D. S  21009. Lời giải Chọn A Gọi số phức z  a  bi , với a, b  . Theo giả thiết, ta có z  2  a 2  b2  4 . Suy ra 2  a  2. Khi đó, P  2  z  3 2  z   a  2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: P   b2  3 1 2 2  a 2  b2  8  4a  3 8  4a  32  8  4a   8  4a  hay T  4 10 , với mọi 2  x  2. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 39  LUYENTHITRACNGHIEM.VN   x  1   y  1 Max – Min Module Số Phức Vậy Pmax S NĂM HỌC 2019 – 2020 6  b  8 5  2 5 khi 3 8  4a  8  4a  a     5  b   6  0 (lo¹i)  5 (5(a b) 2) 2018 8 5 z i 2z 2z 1 z 4 7i . Giá trị M 0. 3i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất m bằng. C. 20  2 5. B. 10  4 5. A. 10  2 5. D. 20  4 5. Lời giải Chọn D Gọi z  x  yi với x, y  , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z . Ta có: 2 z  1  z  3i  2  x  1  yi  x   y  3 i  2  x  1 2  y 2  x 2   y  3 NGUYỄN HOÀNG VIỆT của P 2 5 Câu 4. Xét các số phức z thỏa mãn 2018 6 5 2   x  2    y  3  20 . 2 2 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm I  2;3 và bán kính R  2 5. Gọi A  0; 1 , B  4;7  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  i , z2  4  7i . Dễ thấy A, B thuộc đường tròn  C  . Vì AB  4 5  2R nên AB là đường kính của đường tròn  C  Từ đó: P  z  i  2 z  4  7i  z  i  2 z  4  7i  MA  2MB  1 2  22  MA2  MB 2   10 .  MB  2MA  MA  2  .  MA  MB  20  MB  4 Dấu ”  ” xảy ra khi  2 2 Vậy M  max P  10 .  Ta lại có P  MA  2MB   MA  MB   MB  AB  MB P 4 5 MB P min MB min M Vậy M m 10 4 5. Câu 5. Xét các số phức z thỏa z A. 10 và 4. B 4 m z 4 min P 4 5. 10. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là B. 5 và 4. C. 4 và 3. D. 5 và 3. Lời giải Chọn D Cách 1. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 40  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  MA2  MB2  AB2  20 . Max – Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Gọi z  x  yi với x; y  . Ta có 10  z  4  z  4  z  4  z  4  2 z  z  5 . Do đó max z  5. Mà z  4  z  4  10  x  4  yi  x  4  yi  10   x  4 2  x  4  y2  2  y 2  10. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  x  4 2  x  4  y 2  1. 2  y2  1 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 10  1.  12   x  4   y 2   x  4   y 2    2 2  10  2  2 x 2  2 y 2  32   2  2 x 2  2 y 2  32   100.  x 2  y 2  9  x 2  y 2  3  z  3. Do đó min z  3. Cách 2. Gọi M  x; y  , F1  4;0  , F1  4;0  biểu diễn cho số phức z , 4 , 4. Ta có MF1  MF2  10  M chạy trên Elip có trục lớn 2a  10  a  5. tiêu cự 2c F1F2 8 c 4. LUYENTHITRACNGHIEM.VN trục nhỏ 2b  2 a 2  c2  2.3  6  b  3. Mà z  OM . Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là 5 và 3. Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 41 
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top