Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định

Giới thiệu Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 8 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 8 tại đây

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀI NHƠN Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Khóa thi: Ngày 23/04/2016 Bài 1 (4.0 điểm): a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n 5 là như nhau. b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p là số nguyên tố. Bài 2 (3.0 điểm): a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1  2  2 2 2 2 2 a b c b c a c  a2  b2 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  2015 ; B x 2  2 x  2016 x2 Bài 3 (3.0 điểm): Cho biểu thức: P  1 1 1 1 1  2  2  2  2 x  x x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 2 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x3 – x2 + 2 = 0 Bài 4 (4.0 điểm): a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0 Bài 5 (4.0 điểm): Cho M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2  2. b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẽ MN  AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2. Bài 6 (2.0 điểm): ˆ  ABC ˆ . Đường Cho tam giác ABC có Aˆ  Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAC ˆ cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác của góc BAH tại F. Chứng minh rằng: CF | | AE. Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:………… HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2015 - 2016 Bài Nội dung +) Với n = 0; n = 1, rõ ràng n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau. +) Với n  2. Ta xét hiệu: P  n5  n  n n 4  1  n  n  1 n  1 n 2  1        n  n  1 n  1 n2  4  5  5n  n  1 n  1   n  2  n  1 n  n  1 n  2  a (2đ) 1 (4đ) b (2đ) Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại số chia hết cho k Do đó: ( n  1) n ( n  1)  2  5n ( n  1)( n  1)  5.2  10  n  2  n  1 n  n  1 n  2  2.5  10 Suy ra: P  n5  n  10  n5  n có chữ số tận cùng là 0  Chữ số tận cùng của hai số n và n5 là như nhau (đpcm) Ta có: x2 + x – p = 0  p = x2 + x  p = x(x + 1) Với x  Z , ta có x và (x + 1) là hai số nguyên liên tiếp  p  x( x  1)  2 Mặt khác p là số nguyên tố  p = 2  x(x + 1) = 2  (x – 1)(x + 2) = 0  x = 1, hoặc x = – 2 Từ a  b  c  0  a  b  c   a  b    c   a 2  b 2  c 2  2ab 2 a (1đ)     0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ   x2 x 2  2  2 x x2  2  x 2  2  2013  0,75đ 2 Tương tự: b 2  c 2  a 2  2bc ; c 2  a 2  b 2  2ca 1 1 1 cab Do đó: P     0 2ab 2bc 2ca 2abc +) Ta có: A  x 4  2 x2  2 x3  4 x  x 2  2  2013  Điểm 0,25đ     Với mọi x, ta có:  x  2  x 1  0  A   x  2  x 1 0,5đ  x 2  2 x2  2 x  1  2013  x2  2  x  1  2013 2 2 2 2 (3đ) b (2đ) 2 2  2013  2013 Đẳng thức A = 2013 xảy ra khi và chỉ khi: x – 1 = 0  x = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: minA = 2013  x = 1 2016 x 2  2 x.2016  2016 2 +) Ta có: B  2016 x 2  x  2016   2  2015 x 2  x  2016   2 2015  2016 2016 x 2 2016 x 2 Với mọi x  0, ta có: 2 2 x  2016   x  2016   0  2015 2015  B   2 2 2016 x 2016 x 2016 2016 2015 Đẳng thức B  xảy ra khi và chỉ khi: x – 2016 = 0  x = 2016 2016 2015 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là: min B   x = 2016 2016 a 3 (3đ) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ a) Tìm điều kiện đúng: x  0; x  1; x  2; x  3; x  4; x  5 0,5đ b) Rút gọn đúng: 1 1 1 1 1     (1,5đ) P  x( x 1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) 0,5đ (0,5đ) b 1   1 1   1 1   1 1   1 1  1 =              x 1 x   x  2 x 1   x  3 x  2   x  4 x  3   x  5 x  4  1 1 5    x  5 x x  x  5 c) Lập luận được: x3  x2  2  0   x  1  x 2  2 x  2  0 c (1,0đ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2   x  1  x  1  1  0  x  1  0  x  1 (thỏa ĐK)   5 5 Tính đúng giá trị: P   1 1  5  6 0,5đ Ta có:  a  b   0  a 2  2ab  b 2  0  a 2  b 2  2ab 2 a Tương tự: b 2  c 2  2bc; c 2  a 2  2ca Do đó, suy ra: 2 a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca (1)   (2,0đ) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 0  a  b  c  a 2  ab  ca ; 0  b  c  a  b 2  bc  ab 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0  c  a  b  c  ca  bc 2 Do đó, suy ra: a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ) (2) Từ (1) và (2)  ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Ta có: 1 0 x 2  50 y 2  42 xy  14 x  6 y  57 < 0 4 (4đ)  9 x  3 x  7 y    x  7    y  3   1  2 2 2 3 x  7 y    x  7    y  3   1  2  42 xy  49 y 2    x 2  14 x  49   2 2 2 y 2 0,5đ  6 y  91  0 0 1,0đ b  3 x  7 y  2  0 2 2 2 (2,0đ) Vì:  2 và x ; y   nên:  3 x  7 y    x  7    y  3  0  x  7   0  2  y  3   0 1,0đ  x  7 2 2 2   3 x  7 y    x  7    y  3  0   y  3 (H1) 5 (H2) ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1  AC 2  BD 2  2 M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD (H1)  MA  MC  AC (4đ) a (2,0đ) 2MA2  2MC 2  MA  MC    MA  MC   MA  MC   2 2 2 2 2 2,0đ 2  MA  MC   2 2  MA  MC   2 2  MA  MC   2 2  AC 2 2  1 2 2 Chứng minh tương tự: MB 2  MD 2  1 Do đó, suy ra: MA2 + MB2 + MC2 + MD2  1 + 1 = 2 (đpcm) Đẳng thức xảy ra  M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Kẽ MH  BC tại H (H2)  MH = NB  ANM vuông cân ở N có O là trung điểm của cạnh huyền AM ON 2 1  MN2 = 2ON2   (1) MN 2 2 MH 2 1 NB 2 1  MHC vuông cân ở H  MC2 = 2MH2     (2) MC 2 2 MC 2 2 ON NB Từ (1) và (2) suy ra:  (3) b MN MC (2,0đ) Hai tam giác ONB và NMC có: ˆ  NMC ˆ (vì cùng bằng 1350) và ON  NB ONB ( theo (3)) MN MC OB ON OB 2 ON 2 Suy ra  ONB  NMC (c-g-c)     (4) NC MN NC 2 MN 2 OB 2 1 Từ (1) và (4) suy ra:   NC2 = 2.OB2 (đpcm) NC 2 2 6 (2đ) ˆ  HAC ˆ  EAH ˆ  CAE ˆ ˆ  Bˆ  BAE Ta có: CEA  CAE cân ở C  CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có: BE MB MA FA    (2) EH KH KH FH BE AB AE là phân giác của  ABH   (3) EH AH AB CA CE  CAH và  CBA đồng dạng    (theo (1)) (4) AH CH CH FA CE AH EH Từ (2), (3), (4)   hay   AE  CF (đpcm) FH CH FH CH Ghi chú: - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. - Mọi cách giải khác (nếu hợp lí và đúng) đều ghi điểm tối đa. 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top