Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Trà Vinh 2020-2021

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TRÀ VINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 – 2021 . MÔN TOÁN 9 Câu 1. (4 điểm)  2 x Cho biểu thức M    x  3  x 3x  3   2 x  2    : 1   x 3 x9   x 3  1) Rút gọn M 2) Tìm x để M  1 2 Câu 2. (2 điểm) Cho a  b  c  0. Tính giá trị của biểu thức N  a 3  b3  c  a 2  b 2   abc x  4 y  5 Câu 3. (3 điểm) Giải hệ phương trình  2 x  2 y  x  y  1  7 Câu 4. (3 điểm) Giải phương trình  x  4  x  1  3 x 2  5 x  2  6 Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1    2. Tìm giá 1 x 1 y 1 z trị lớn nhất của biểu thức P  xyz Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi I , K theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Đặt AB  c, AC  b 1) Tính AH , AI , AK theo b, c BI c3 2) Chứng minh  CK b3 Câu 7. (2 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN  2ON . AM Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số AO ĐÁP ÁN Câu 1. 1) Điều kiện x  0, x  9   2 x x  3  M   x9   x 3   3x  3  :  x 3 2 x 2    x 9 x9   x 3 x 3   2 x  6 x  x  3 x  3x  3   x  1   :  x9 x  3   x 3 x  3 x  3 3  . x  9  x 1 x 3 1 3 1   2) Để M  thì 2 x 3 2   6 x 3 2  x 3     0  3  x  0 do 2 Vậy x  9 thì M  3 1  0 x 3 2   x 3 0  x9 1 2 Câu 2. Vì a  b  c  0  c  a  b . Ta có : N  a 3  b3  c  a 2  b 2   abc  a 3  b3    a  b   a 2  b 2   abc  a 3  b3  a 3  ab 2  a 2b  b3  abc   ab  a  b  c   ab.0  0  x  4 y  5 1 Câu 3.Giải hệ phương trình :  2 x  2 y  x  y  1  7  2  Từ (1): x  4 y  5 , thế vào (2): 2 4 y  5  2 y  4 y  5  y 1  7  2 2 y  5  3y  4  7 5 Với y    2  2 y  5  3 y  4  7  y  3  x  7 2 5 4 Với   y    2  2 y  5   3 y  4  7  y  1  x  9 2 3 4 Với y    2  2 y  5   3 y  4  7  y  1  x  1 3 Vậy  x; y   7; 3 ;  9;1 ; 1; 1 Câu 4.Giải phương trình :  x  4  x  1  3 x 2  5 x  2  6 Điều kiện : x 2  5 x  2  0 x 2  5 x  4  3 x 2  5 x  2  6 1 Đặt x 2  5 x  2  t  t  0  thì phương trình (1) trở thành : t  4(tm) t 2  2  3t  6  0  t 2  3t  4  0   t  1(ktm) x  2 t  4  x 2  5 x  2  16    x  7 Vậy nghiệm của phương trình là x  2 hoặc x  7 Câu 5. 1 1 1 1 1 1   2 1 1 Ta có : 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z  y z  2 1 y 1 z  1 2 1 x Tương tự : yz (bất đẳng thức Cô si cho x, y, z là số dương) 1  y 1  z  yz 1  y 1  z  1 2 1 y xz ; 1  x 1  z  1 2 1 z yz 1  y 1  x  Nhân vế với vế ta được : 1 1 1 8 xyz 1 . .   1  8 xyz  xyz  1  x 1  y 1  z 1  x 1  y 1  z  8 Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 1 1 x yz 8 2 Câu 6. B b’ I H c’ A K C 1) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH : 1 1 1 1    AH  2 2 2 AH AB AC 1 1  b2 c 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H, đường cao HI : 1 1 AI . AB  AH 2  AI .c   AI  1 1 c 1  2  2 b c b2 c Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHC vuông tại H, đường cao HK : 1 1 AK . AC  AH 2  AK .b   AK  1 1 c b   b2 c2 b c2 BI IH BI AB c 2) Xét tam giác BAC có HI / / AC      AB AC IH AC b CK HK HK AB c Xét tam giác BAC có HK / / AB      AC AB CK AC b Xét HIK và ABC có : IHK  BAC  90; HIK  ABC  HAK HI AB c  HIK ∽ ABC ( g .g )    HK AC b c3 c c c BI HK HI BI Do đó : 3  . .  . .  b b b b IH CK HK CK BI c3 Vậy  CK b3 Câu 7. B K N O M A C Gọi K là trung điểm BN . Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CN  MN  MC Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (Do AB, AC là hai tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt nhau tại A)  MB  MC Xét tam giác MBN có MB  MN   MC   MBN cân tại M  MK vừa là trung tuyến vừa là đường cao của MBN  MK  OB AM BK 1 Mà AB  OB  AB / / MK    OA OB 3 AM 1 Vậy  AO 3