Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Quảng Nam 2020-2021

Giới thiệu Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Quảng Nam 2020-2021

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Quảng Nam 2020-2021.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 9 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Quảng Nam 2020-2021

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 9 tại đây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút Ngày thi: 10/4/2021 Câu 1. (4,0 điểm) a) Rút gọn các biểu thức sau : 3 A  13  30 4  9  4 2 ; B  2 3  12   4 4 3 27  3 3  2 3  12   4 4 3  2 27 2 2 b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình  x  1 2 x  1  mx  m  0 có hai nghiệm phân biệt Câu 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 4 3  2 x  3x  1  4 4  x  x 2  y 2  xy  4 y  1  0 b) Giải hệ phương trình :  2 2 3 x  y  x  y   10 y  3  0 Câu 3. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 6cm, điểm M nằm trên cạnh BC a) Khi BM  2cm, hạ OK vuông góc với AM tại K . Tính độ dài đoạn thẳng OK b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng B và C ), điểm N thay đổi trên cạnh CD sao cho MAN  45, E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Câu 4. (4,5 điểm) Cho hai đường tròn  O; R  và  O ‘; r  tiếp xúc ngoài tại A  R  r  Dựng lần lượt hai tiếp tuyến OB, O ‘ C của hai đường tròn  O ‘; r  ,  O; R  sao cho hai tiếp điểm B, C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO ‘. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OO ‘ cắt O ‘ C tại K, từ C vẽ đường thẳng vuông góc với OO ‘ cắt OB tại H a) Gọi D là giao điểm của OB, O ‘ C. Chứng minh DO.BO ‘  CO.DO ‘ và DA là tia phân giác của ODO ‘ b) Đường thẳng AH cắt đường tròn  O; R  tại E ( E khác A). Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn c) Đường thẳng AK cắt đường tròn  O ‘; r  tại F  F  A  , L là giao điểm của BC và EF . Chứng minh BF / / CE và 3 điểm A, D, L thẳng hàng. Câu 5. (5,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn đẳng thức : x 3  y 3  3 x 2  3 y 2  3 xy  6 x  0 b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 A   x  2 yz y  2 zx z  2 xy ĐÁP ÁN Câu 1. a) Ta có : A  13  30 4  9  4 2  13  30 4   13  30 3  2 2  13  30  5  3 2  3 2  2  2  1  43  30 2 53 2 2 3  12  Đặt a    2 2 1  4 4 3 27 2  3 3 2 3  12  ,b   4 4 3  2 27 2   3  4 4 3   12  12    27 3   4  3   a 3  b3  2 3; ab   4 3 a 3  b3  2 3   a  b   3ab  a  b   2 3 3    a  b  4  3  a  b  2 3 3 3   a  b   4  a  b   3  a  b   2 3  0   a  b  2   a  b  a  b  2   3   0  a  b  2  do a  0, b  0   B  2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 Điều kiện : x  2  x  1 2 x  1  mx  m  0   x  1   x  1(tm) 2x  1  m  0    2x  1  m  m  0  2x  1  m   m2  1 x   2 m  0 m  0  2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt   m  1   1 m  1   2 Câu 2. a) Giải phương trình : 4 3  2 x  3x  1  4 4  x 3  2 x  0 3 Điều kiện :   x4 2 4  x  0 4 3  2 x  3x  1  4 4  x  4 Do 4    3  2 x  4  x  3x  1* 3  2 x  4  x  0 vô nghiệm nên pt (*) tương đương với phương trình : 3  2x  4  x   4  3 x  1   3 x  1  3  2 x  4  x   3 x  1   3  2x  4  x 3 x  1  0 3  2x  4  x    3  2x  4  x  4  1 *)3 x  1  0  x  ™ 3 *) 3  2 x  4  x  4  2  3  2 x  4  x   9  3x x  3  9 x  38 x  33  0   11 ™ x  9  2 1 11 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x  ; x  ; x  3 3 9 2 2  x  y  xy  4 y  1  0 b) Giải hệ phương trình :  2 2 3 x  y  x  y   10 y  3  0  2  x 2  y 2  xy  4 y  1  0  x  1  y  x  y   4 y   *  2 2 2 2 3 x  y  x  y   10 y  3  0 3  x  1  y  x  y   10 y Nhận xét y  0 không thỏa hệ Khi y  0. Hệ phương trình (*) tương đương với hệ :  x2  1  y   x  y   4  **  2   3 x  1   x  y 2  10   y  Đặt x2  1  a; x  y  b; khi đó, hệ (**) trở thành y  a  2  a  3 Giải hệ trên tìm được :  , b  2 b  1  a  b  4  2  2a  b  10   x2  1  2  x  1 a  2   x  3 )   y  hoac  b  2  y  1  y  5 x  y  2    3  17 3  17  x2  1 x x    3  a  3   2 2 )   y  hoac  b  1   x  5  17  y  5  17 x  y  1   2 2 Câu 3. a) Khi BM  2cm, hạ OK  AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK A B O K Q D M P C Gọi Q là giao điểm của AM , BD và P là trung điểm của MC. Suy ra OP / / AM Trong tam giác OBP có MB  MP và MQ / / OP. Suy ra Q là trung điểm của OB BD  6 2  OQ  6 2 3 2 1 1 1 1  ,    4 2 OK 2 OA2 OQ 2 3 2   2  1 3 2     2  2  5 18 3 2 5 b) Chứng minh AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định  OQ  A D E N I F B H M C MAN  MBE  45. Suy ra tứ giác ABME nội tiếp Mà ABM  90 nên AEM  90 . Vậy tam giác AEM vuông cân tại E Gọi F là giao điểm của AM , BD. Tương tự suy ra AFN  90 Gọi I là giao điểm của EM , FN .H là giao điểm của AI và MN . Suy ra AH vuông góc với MN Xét hai tam giác vuông ABM và AHM có : AM chung , AMB  AEB, AEB  AMH (vì tứ giác MNEF nội tiếp) Do đó AMB  AMH Suy ra ABM  AHM  AH  AB  6cm (không đổi) Do đó MN luôn cách A một khoảng cách bằng 6cm Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A, bán kính bằng 6cm Câu 4. E C L B D K H O A F O’ a) Xét hai tam giác ODC và O ‘ DB có : ODC  O ‘ DB Tứ giác OO ‘ BC nội tiếp đường tròn đường kính OO ‘ nên DOC  DO ‘ B Suy ra hai tam giác ODC và O ‘ DB đồng dạng, do đó : DO CO   DO.BO ‘  CO.DO ‘ DO ‘ BO ‘ DO CO AO Ta có :   .Suy ra DA là tia phân giác của ODO ‘ DO ‘ BO ‘ AO ‘ b) Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn OCH  OO ‘ C (cùng phụ O ‘ CH ) , OO ‘ C  OBC (cùng chắn cung OC) Suy ra OCH  OBC. Suy ra OCH ∽ OBC ( g .g ) OC OB OA OB      OHA ∽ OAB OH OC OH OA  OAH  OBAhay OEA  OBA . Vậy tứ giác OABE nội tiếp trong đường tròn c) Chứng minh BF song song với CE và 3 điểm A, D, L thẳng hàng EOB  EAB  180  OAE  O ‘ AB  180  OBA  O ‘ BA  90 Mà OBO ‘  90 nên OE / / O ‘ B . Tương tự O ‘ F / / OC  EOC  BO ‘ F Lại có EOC và BO ‘ F cân  ECO  BFO ‘ Hơn nữa OE / / O ‘ B nên BF / / EC (lưu ý : O ‘ B / / OE ) LC EC OE OA DC     LB BF O ‘ B O ‘ A DB Suy ra DL là tia phân giác của BDC. Suy ra A, D, L thẳng hàng. Câu 5. a) x3  y 3  3x 2  3 y 2  3xy  6 x  0   x3  3x 2  3x  1   y 3  3 y 2  3 y  1  3xy  3x  3 y  0   x  1   y  1  3  x  1 y  1  3  0 3 3 3   x  1   y  1   3  x  1 y  1  x  1   y  1   3 x  1 y  1  3  0 Đặt a   x  y    y  1 , b   x  1 y  1 . Khi đó ta có : a 3  3ab  3b  3  0  a 3  3  3b  a  1 Suy ra a 3  1   a 3  1  4 ⋮ a  1  4⋮ a  1 ia  1  4  a  5  b  32 (ktm) 3 i a  1  1  a  2  b  11 (ktm) 3 1 ia  1  2  a  1  b   (ktm) i a  1  1  a  0, b  1   x; y    0;0  ;  2;2  3 ia  1  4  a  3  b  2   x; y    0;3 ; 1;2  ia  1  2  a  3; b  5(ktm) Vậy  x; y    0;0  ;  2;2  ;  0;3 ; 1;2  1 1 1   x  2 yz y  2 zx z  2 xy 1 1 1 x y z    2  2  2 Ta có: A  x  2 yz y  2 zx z  2 xy x  2 y  2 z  2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x 2  2   x 2  1  1  2 x  1  x x 1 1    1   x  2 2x  1 2  2x  1  2 Tương tự : y 1 1  z 1 1   1   1   , 2 y  2 2  2 y  1  z  2 2  2z  1  Suy ra A  3 1 1 1 1       2 2  2x  1 2 y  1 2z  1  2 a b c Đặt x  , y  , z   a, b, c  0  b c a 1 1 1 b c a      2 x  1 2 y  1 2 z  1 2a  b 2b  c 2c  a a  b  c b2 c2 a2     1 2ab  b 2 2bc  c 2 2ca  a 2 2ab  b 2  2bc  c 2  2ca  a 2 3 1 Suy ra A   .1  1  x  y  z  1 . Vậy Max A  1 2 2 2
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top