Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Phú Yên 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/03/2021 Câu 1. (5,00 điểm) a) Chứng minh rằng 3 5  2 13  3 5  2 13  1 b) Biết đa thức x 4  4 x3  6 px 2  4qx  r chia hết cho đa thức x 3  3 x 2  9 x  3. Tính giá trị biểu thức  p  q  r 5  xy   2 2 x  y  xy  5 Câu 2. (3,50 điểm) Giải hệ phương trình :  2 x  y  xy  10  4  xy Câu 3. (2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 x 2  5 y 2  13 Câu 4. (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E , F lần lượt là giao điểm của DA với BC , H là giao điểm của OD với BC a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A . Chứng minh rằng E , H , K thẳng hàng Câu 5. (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  x 2  y 2 với x  0, y  0, 1 1 1 1 1 1       xy  x y  x 2 xy y 2 Câu 6. (3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm,  I  là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E , F lần lượt là tiếp điểm của  I  với BC , CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF a) Chứng minh rằng FKB  EKC b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF . Chứng minh đẳng thức EK .FP  FK .EQ c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI ĐÁP ÁN Câu 1. a) Chứng minh rằng Ta thấy A3  10  9  3 3 5  2 13  3 5  2 13  1  5  2 13  3 5  2 13  10  9 A A 1   A  1  A2  A  10   0   2  A  A  10  0(VN ) Vậy A  1 b) Biết đa thức x 4  4 x3  6 px 2  4qx  r chia hết cho đa thức x 3  3 x 2  9 x  3. Tính giá trị biểu thức  p  q  r Giả sử x 4  4 x 3  6 px 2  4qx  r   x  a   x 3  3 x 2  9 x  3  x 4   a  3  x 3   3a  9  x 2  (9a  3) x  3a 4  a  3 a  1 6 p  3a  9  p  2   Đồng nhất thức các hệ số cùng bậ hai vế, ta được :    4q  9a  3 q  3  r  3a  r  3 Suy ra  p  q  .r  15 5  xy  2  2 x  y  xy  5 Câu 2. Giải hệ phương trình :  2 x  y  xy  10  4  xy Điều kiện : xy  0,2 x  y  xy  0 Đặt u  xy , v  2 x  y  xy  u , v  0  , hệ phương trình đã cho trở thành : u 5  2  v  5 1  v  10  4  2   u 10 4u  10 . Thay vào (1) ta được : Từ (2) v  4   v  u u u 5u   5  u 2  10u  25  0  u  5  v  2 . Ta được hệ phương trình : 2 4u  10 x 7  2x   5  xy  5  xy  5    2 x  y  xy  2  2 x  y  7 2 x  y  7  x  1  y  5 2  2 x  7 x  5  0    5  x   y  7  2x 2     y  2   5  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   1;5  ,  ;2    2   Câu 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 x 2  5 y 2  13 (*) Ta có : *  2  x 2  1  5  3  y 2  Do  2,5   1 nên  x 2  1⋮5 và  3  y 2 ⋮ 2 Đặt x 2  1  5k ,3  y 2  2l , ta có: 10k  10l  k  l  k , l  ℤ  1  k   x  5k  1  0  5 Do đó  2   k  l  1  x  2; y  1  y  3  2l  0 l  3  2 Phương trình có các nghiệm nguyên  x; y   2; 1 ;  2;1 ;  2; 1 ;  2;1 2 Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E , F lần lượt là giao điểm của DA với BC , H là giao điểm của OD với BC K A O C B H F E D a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA Theo tính chất tiếp tuyến thì BC  OD Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD, với CH là đường cao ta có : OA OD OC 2  OH .OD  OA2  OH .OD    OAH ∽ ODA(c.g .c) OH OA b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A . Chứng minh rằng E , H , K thẳng hàng Từ câu a) ta có OAH ∽ ODA  OHA  OAD  OEA 1  OAEH là tứ giác nội tiếp  EHD  EAO  OAD  2  Từ (1) và (2)  EHD  OHA  3 Dễ thấy ABH  KCH (c.g .c)  HA  HK hay AKH cân tại H (4) Vì OH  BC , AK / / BC  OH  AK  5  Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác AHK  OHA  OHK  6  Từ (3) và (6)  OHK  EHD Suy ra EHO  OHK  EHO  EHD  180, hay 3 điểm E , H , K thẳng hàng Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 1 1 1 1  2    2  xy  x y  x xy y 1 1 1 1 1 1 Giả thiết  2  x  y  x 2  xy  y 2  x  0, y  0     2  xy  x y  x xy y P  x 2  y 2 với x  0, y  0,   Do đó P  x 3  y 3   x  y  x 2  xy  y 2   x  y  Để ý rằng : x  y  x  xy  y   x  y   3 xy và 2 2 2 2  x  y xy  4 3 2  x  y    x  y   x  y   4  0 4 2 Hay 0  x  y  4  0   x  y   16 Vậy Max P  16  x  y  2 Suy ra x  y   x  y   2 2 Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm,  I  là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E , F lần lượt là tiếp điểm của  I  với BC , CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF A F M E P K Q N I H B D C a) Chứng minh rằng FKB  EKC Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của B, C lên EF . Khi đó : BFM  AFE  AEF  CEN  BFM ∽ CEN BM BF BD    CN CE CD Mặt khác, BM / / DK / / CN , theo định lý Ta – let ta có : BD MK BM MK     BMK ∽ CNK (c.g .c)  FKB  EKC CD NK CN NK b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF . Chứng minh đẳng thức EK .FP  FK .EQ Dễ chứng minh được BFP  CEQ, FBP  ECQ (cùng phụ BAC ) FB FP  1 EC EQ Theo a) FKB  EKC . Kết hợp với BFK  CEK  BFK ∽ CEK ( g .g ) Do đó BFP ∽ CEQ( g.g )  FB FK   2 EC EK FP FK   EK .FP  FK .EQ(dfcm) Từ (1) và (2)  EQ EK c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI Suy ra Theo b) FP FK FP  FK KP EK FK EK  FK EF         3 EQ EK EQ  EK KQ QK PK QK  PK QP Hơn nữa, do IE / / HP, IF / / HQ, IE  IF  IEF  HPQ  IFE  HQP Do đó IEF ∽ HQP ( g .g ). Ta có: IEF ∽ HQP  Từ (3) và (4) ta có : IE EF   4 HQ QP EK IE   IKE ∽ HKQ(c.g.c)  IKE  HKQ QK HQ Suy ra IKD  90  IKE  90  HKQ  HKD Hay KD là phân giác IKH