Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Nghệ An A 2020-2021

Giới thiệu Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Nghệ An A 2020-2021

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Nghệ An A 2020-2021.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 9 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Nghệ An A 2020-2021

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 9 tại đây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN – BẢNG A Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A  a 2  4a  2021 là một số chính phương b) Cho đa thức P  x  với các hệ số nguyên thỏa mãn P  2019  .P  2020   2021 Chứng minh rằng đa thức P  x   2022 không có nghiệm nguyên Câu 2. (6,5 điểm) a) Giải phương trình x 2  5 x  2  2 x  1  3 x  3  y 2  y  x 2  x  1  x 2  x  b) Giải hệ phương trình :  2 3 2  y  x  1  x  x  2 Câu 3. (1, 5 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1. Tìm giá trị a 2  b2  c2  3 nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  c  abc Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có D, E , F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và K là trung điểm của HC a) Chứng minh rằng 4 điểm E, K , D, F cùng thuộc một đường tròn b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao S MF cho MAP  BAC. Chứng minh rằng AMF  (Trong đó S AMF , S AMP lần lượt S AMP MP là diện tích các tam giác AMF , AMP ) Câu 5. (3,0 điểm) a) Cho hình thoi ABCD có AB  a. Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng R1  R2  a 2 b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu. ĐÁP ÁN Câu 1. a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A  a 2  4a  2021 là một số chính phương 2 Ta có : a 2  4a  2021  y 2   a  2   2017  y 2  2017  y 2   a  2    y  a  2  y  a  2   2017 Do 2017 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau xảy ra  y  a  2  2017  y  1009  y  a  2  2017  y  1009 Th1:   Th 2 :   y  a  2 1 a  1010  y  a  2  1 a  1006 y  a  2 1  y  1009  y  a  2  1  y  1009 Th3:   Th 4 :    y  a  2  2017 a  1006  y  a  2  2017 a  1010 Vậy có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán là a  1010; a  1006 b) Cho đa thức P  x  với các hệ số nguyên thỏa mãn P  2019  .P  2020   2021. 2 Chứng minh rằng đa thức P  x   2022 không có nghiệm nguyên Giả sử đa thức P  x   2022 có nghiệm nguyên x  a, khi đó P  x   2022   x  a  Q  x   P  x   2022   x  a  Q  x  (với Q  x  là đa thức hệ số nguyên). Khi đó : P  2019   2022   2019  a  Q  2019  P  2020   2022   2020  a  Q  2020  Mà P  2019  .P  2020   2021   2022   2019  a  Q  2019    2022   2020  a  Q  2020    2021  20222  2022  2019  a  Q  2019    2020  a  Q  2020     2019  a  2020  a  Q  2019  .Q  2020   2021* Do  2019  a  2020  a  là tích hai số tự nhiên liên tiếp, suy ra vế trái của (*) là số chẵn Vậy không tồn tại a để đẳng thức * xảy ra. Hay đa thức P  x   2022 không có nghiệm nguyên. Câu 2. a) Giải phương trình x 2  5 x  2  2 x  1  3 x  3 Điều kiện : x  1. Phương trình đã cho tương đương với x 2  5 x  2  2 x  1  3 x  3  0  x 1    x 1  2   x  5  x  1. x 1  2 3  x  3  2  x2  6x  5  0 x5  3  x  3 2 2 x3 4 3   x  1 x  5   0    1 1 x   x  5    x  1  0  x  1  2 3  x  32  2 3 x  3  4    x  5  x 1 1    x  1  0(VN )  x 1  2 3 x  3 2  2 3 x  3  4    Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S  5  y 2  y  x 2  x  1  x 2  x  b) Giải hệ phương trình :  2 3 2  y  x  1  x  x  2 Ta có : y 2  y  x 2  x  1  x 2  x   y 2  1   x 2  x  1  y  1  0  y  1   y  1  y  x 2  x   0   2 y  x  x +)Với y  1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được :  x  3 3 x  3  x  3 3 . Khi đó hệ có nghiệm   y  1 +) Với y  x 2  x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : x 2  x  x 2  1  x 3  x 2  2  x 4  2 x 3  2 x 2  x  2  0  2 1 5 x  x 1 x   y 1    x  x   x  x  2  0  2   x 2  x  2(VN )   1  5   1  5   ;1 ;  ;1  Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm  x; y    3 3; 1 ;  2 2      2 2 2  Câu 3. Ta có :  )a 2  b 2  c 2  3  a 2  b 2  c 2  3  ab  bc  ca    a  b  b  c    c  a  a  b    b  c  c  a  )a  b  c  abc   a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  b  c  c  a  1 1 1 Khi đó suy ra P    ab bc ca Theo nguyên lý Dirichlet trong ba số thực a, b, c luôn tồn tại hai số  1 hoặc  1 Giả sử hai số đó là a và b. Khi đó 1  a 1  b   0  a  b  ab  1 Lại có ab  bc  ca  1  1  ab  c  a  b   0  ab  1 Từ đó suy ra 0  a  b  ab  1  2 Ta lại có : a2  a  b  1 ab ab )    a  b  c  a  c  a  a  b  a 2  1 a2  1 a a  b a a  b ab 1 2 a a ba  b 1 Hoàn toàn tương tự ta có : ab . Từ đó ta có : bc 2 2 a  b 1 1 1 1      2 a  b  P ab bc ca ab 2 2 1 x 2  4 x 2  x3 Đặt a  b  x, 0  x  2. Khi đó P   2 x   x 2 2x 2 2  x  1  2  x   5 x  5   x  1  2  x   5  2x 2 2x 2 Vậy MinP  5  a  1, b  1, c  0 và các hoán vị  a  b  Câu 4. A P E F H K B M N D C a) Do EK là trung tuyến của tam giác vuông EHC  KE  KC  KEC  ECK  EKF  KCE  KEC  2ECK 1 Do tứ giác HDCE nội tiếp  ECK  EDH Do tứ giác FECB nội tiếp  ECK  FBH Do tứ giác FBDH nội tiếp  FBH  FDH . Từ đó suy ra : FDE  FDH  EDH  2HDE  2ECK  2  Từ (1) và (2)  EKF  FDE  tứ giác FDKE nội tiếp hay 4 điểm F , D, K , E cùng thuộc một đường tròn S MF b) Chứng minh rằng AMF  S AMP MP Gọi N là giao điểm của MK , DE Do MN / / BC  BDN  MNE  4  Do ABDE là tứ giác nội tiếp  BDE  BAE  180  5  Theo bài ra BAC  MAP nên từ (4), (5) suy ra MNP  MAP  180  MNPA là tứ giác nội tiếp  AMP  ANP  6  . Lại có : AMD  AND (c.g .c)  AMD  AND  180  AMD  180  AND  AMF  ANP  7  Từ (6) và (7)  AMP  AMF   Gọi h1 , h2 lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh F , P của các tam giác AMF , AMP . Ta có : 1 1 1 S AMF  h1.MA   MF .sin   .MA; tương tự : S AMP  MA.MP.sin  2 2 2 S MF Từ đó suy ra AMF  S AMP MP Câu 5. a) Chứng minh rằng R1  R2  a 2 B M A C I J D Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Đường trung trực của đoạn AB cắt các đường AC và BD lần lượt tại I và J . Khi đó I , J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD, ABC MA MJ MA MJ Dễ thấy MAI ∽ MJB( g .g )     AI JB R2 R1 MA2 MJ 2 MA2 JB 2  MB 2  2  2  2  R2 R1 R2 R12 MA2 R12  MB 2 MA2 MB 2 a2 a2  2   2  2 1  1 R2 R12 R2 R1 4 R12 4 R22 Khi đó 1  a2 a2 a2 a2 a2 a2   2 .   R R  1 2 4 R12 4 R22 4 R12 4 R22 2 R1R2 2 a2 Do đó R1  R2  2 R1R2  2 a 2 2 Dấu ”  ” xảy ra  R1  R2 hay tứ giác ABCD là hình vuông b) E A B F Đa giác đã cho là đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp đường tròn tâm O. Do 2021 là số lẻ nên tồn tại 2 đỉnh kề nhau tô cùng màu. Giả sử hai đỉnh đó là A, B và cùng tô màu đỏ Cũng do đa giác đã cho đều và có số đinh lẻ nên tồn tại đỉnh M của đa giác nằm trên đường trung trực đoạn AB  MAB cân. Ta xét 2 khả năng xảy ra : +) Khả năng 1: Nếu M tô màu đỏ  dfcm +)Khả năng 2: nếu M tô màu xanh Gọi E , F là các đỉnh kề của A và B, có : EA  AB  BF  EF / / AB  MEF cân tại M.Khi đó, – Nếu E , F màu xanh  MEF cân và thỏa mãn bài toán - Nếu một trong hai đỉnh E, F màu đỏ, giả sử E màu đỏ  EAB thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy luôn tồn tại 3 đỉnh của đa giác đều đã cho lập nên một tam giác cân có các đỉnh cùng màu.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top