Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT thị xã Hoài Nhơn – Bình Định

Giới thiệu Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT thị xã Hoài Nhơn – Bình Định

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT thị xã Hoài Nhơn – Bình Định.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 9 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT thị xã Hoài Nhơn – Bình Định

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 9 tại đây

: 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HOÀI NHƠN Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học: 2020 – 2021 Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) A  5  3  29 12 5 . b) B  3 70  4901  3 70  4901 . 1 1 1 1 c) C     …  . 2  2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99  99 100 Bài 2. (4.5 điểm) a2  b2 a) Cho a , b   . Tính giá trị của biểu thức: A  , biết A có giá trị nguyên. ab b) Cho ba số nguyên a , b , c và M  a  b b  c c  a   abc . Chứng minh rằng: * ” Nếu a  b  c   4 thì M  4 “. c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc  bda  650 . Bài 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy . b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2  1  1 A   x     y   .  x   y  2 Bài 4. (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng. CD 2 b) Chứng minh AC .BD  . 4 Bài 5. (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD  a và CD  b (với a  b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC tại M . Tính MA theo a và b . b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  2 R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O  tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O  lần lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM . ———-  HẾT  ———- GV: Lê Hồng Quốc ” Cần cù bù thông minh ” Trang 1 : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021 Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) A  5  3  29 12 5 . b) B  3 70  4901  3 70  4901 . 1 1 1 1 c) C     …  . 2  2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99  99 100 a) Ta có: A   5  3  29 12 5  5   5 1  2  2 5  3  5 3 2  5  32 5  3 5  5 1  1 .   b) Ta có: B 3  140  3 3 70  4901 70  4901 . 3 70  4901  3 70  4901   B 3  3B 140  0  B 3 125  3 B 15  0   B  5 B 2  5B  28  0 B  5  B  5  0 2  2   . 5  87  B  5B  28  0  B     0 v« nghiÖm    2 4  Vậy B  5 . 1 1 n 1  n 1 1 c) Ta có:     . n. n 1 n n 1 n  1 n  n n  1 n. n 1 n  n 1  Áp dụng ta được: C   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9       …      . 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 10 Bài 2. (4.5 điểm) a2  b2 , biết A có giá trị nguyên. ab b) Cho ba số nguyên a , b , c và M  a  b b  c c  a   abc . Chứng minh rằng: a) Cho a , b   * . Tính giá trị của biểu thức: A  ” Nếu a  b  c   4 thì M  4 “. c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc  bda  650 . a  d .m a) Đặt d ­cln a , b  , suy ra:  ; với m , n   1 và m , n , d   * . b  d .n d 2 .m 2  d 2 .n 2 m 2  n 2  . d 2 .m.n m.n Vì A có giá trị nguyên nên m 2  n 2  m  n 2  m m  n  m  n . m , n  1 , mà  m 2  n 2  m.n    2    m  n 2  n  m 2  n n  m  2 2 2 m n 2m Vậy A   2 2. m.n m b) Ta có: M  a  b b  c c  a   abc Khi đó A   a  b  c  c ab  bc  ca  c 2   abc GV: Lê Hồng Quốc ” Cần cù bù thông minh ” Trang 2 : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021  a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  c 2  ab  bc  ca  c 2  c  abc  a  b  c ab  bc  ca   2abc . Vì a  b  c   4 nên trong ba số a , b , c phải có ít nhất một số chẵn   2abc  4 . Vậy M  4 . c) Vì abc  bda  650 mà 650 là số tròn chục nên c  a . Suy ra ab  bd  65  10a  b 10b  d  65  10a  65  9b  d  74 (do b  1 ). Lại có 10a  90   a  8; 9 . b  1  Với a  8  9b  d  15    . Khi đó abcd  8186  3 . Do đó trường hợp này loại. d  6 b  2  Với a  9  9b  d  15    . Khi đó abcd  9 297  3 . Do đó trường hợp này thỏa. d  7 Vậy số cần tìm là: 9 297 . Bài 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy . b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2    1 1  A   x     y   .  x   y  2 a) Điều kiện xy  0 . 1  Trường hợp 1: x  0 , ta được phương trình: 9 y  1  0  y   . 9  1 Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:  x ; y   0 ;  .  9  3 7  Trường hợp 2: y  0 , ta được phương trình: 4 x 2  1  3 x  2 x     0 (vô nghiệm).  4 4 2 Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.  Trường hợp 3: x  0 , y  0 . Khi đó  4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy  4 x 2  4 x  1  9 y  6 xy  x  0  2 x 1  3 y  x 2  2 0 2 x 12  0  2 x 1  0 1 1 Vì      x  và y  . 2  3 y  x  0 3 y  x  0 18 2     1 1  Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:  x ; y    ;  .  2 18   Trường hợp 4: x  0 , y  0 . Khi đó  4 x 2  9 y  1  3 x  6 xy  4 x 2  4 x  1  9 y  6 xy  x  0  2 x 1  3  y  x 2  2 0 2 x 12  0  2 x 1  0 Vì  hệ này vô nghiệm.    2  3  y  x  0 3  y  x  0   Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm. 1 1   1  Vậy nghiệm của phương trình là:  x ; y    ; , 0 ;  .  2 18   9  GV: Lê Hồng Quốc  ” Cần cù bù thông minh ” Trang 3 : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 b) Với x , y dương và x  y  1 , ta có: P  x 2  y 2  x  y 2  Ta có: x  y  2 2 2 x  y 1   x 2  y 2   Lại có: 1   x  y   4 xy , suy ra 2  1 1 1   2  4   x 2  y 2 .1  2 2   4 . 2  x y x y  1 . 2 1 1  4   2 2  16 . xy x y 1 25 1 Do đó P  .1  16  4  , đẳng thức xảy ra  x  y  . 2 2 2 25 1  Vậy Pmin  , xảy ra khi và chỉ khi x  y  . 2 2 Bài 4. (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng. b) Chứng minh AC .BD  CD 2 . 4 a)  Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên IB   I  I . là tia phân giác của HID 1 2  Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên IA là   I  I . tia phân giác của CIH 3 4  Vì AIB có AB là đường kính của đường tròn O  và I   90  I  I  90 . nằm trên đường tròn O    AIB 2 3 Do đó I1  I2  I3  I4  180   C , I , D thẳng hàng. b)  Tam giác AIB vuông tại I có IH là đường cao nên IH 2  HA.HB .  Vì C , I , D thẳng hàng mà I là tâm của đường tròn nên CD là đường kính  IH  CD . 2  Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên HB  BD .  Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn  I  nên HA  AC . CD  CD 2  AC . BD  AC . BD   Do đó IH  HA.HB   .   2  4 2 2 Bài 5. (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD  a và CD  b (với a  b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC tại M . Tính MA theo a và b . b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  2 R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O  tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O  lần lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM . GV: Lê Hồng Quốc ” Cần cù bù thông minh ” Trang 4 : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung a)  Ta có: MAC  là góc nội tiếp cùng chắn một cung  MAC   ABC . và ABC AC DC b   .  Vì AD là đường phân giác của ABC  AB DB a  Xét MAC và MBA , ta có:   ABC  (chứng minh trên) MAC  chung. AMB Do đó MAC  MBA (g – g) MA MC AC b MC MC MA b 2       .  MB MA AB a MB MA MB a 2  b 2  b2 b2 b2 b2   MC  MB. 2   MC  a  b . 2  MC 1  2   a  b . 2  MC  .  a  a a a a b MC b a.MC ab    MA   Ta có: . MA a b a b b) Ta có: CA  CM và DB  DM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).  CD  AC  BD . Ta có: CD  CM  MD  Kẻ MH  AB ( H  AB ), khi đó MH  MO  R . Suy ra Tứ ABDC là hình thang vuông nên CD  AB  2 R .  AC  BD .AB CD.AB AB 2 Ta có: S ABDC     2R2 . 2 2 2 MH .AB MO.AB SMAB    R2 . 2 2 Do đó SCAM  SDBM  S ABCD  SMAB  2 R 2  R 2  R 2 . Dấu ”  ” xảy ra khi H  O  M là điểm chính giữa cung AB . Vậy SCAM  SDBM đạt giá trị nhỏ nhất bằng R 2 khi M là điểm chính giữa cung AB . ———-  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ———- GV: Lê Hồng Quốc ” Cần cù bù thông minh ” Trang 5
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top