Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 huyện Qùy Hợp 2020-2021

Giới thiệu Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 huyện Qùy Hợp 2020-2021

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 huyện Qùy Hợp 2020-2021.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 9 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 huyện Qùy Hợp 2020-2021

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 9 tại đây

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1 NĂM HỌC 2020 – 2021. MÔN TOÁN 9 Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức 1. A  4  10  2 5  4  10  2 5 2 x  4 4  2 x x  13 x  20   3 x 4 x  2 3x  10 x  8 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Câu 2. Giải các phương trình sau : 1 a ) x  5  y  2019  z  2021   x  y  z  2 2. Cho biểu thức P  b) 3 x 2  12 x  21  5 x 2  20 x  24  2 x 2  8 x  3 Câu 3. (6,0 điêm) a) Xác định đa thức bậc bốn f  x  biết f  0   1 và f  x   f  x  1  x  x  1 2 x  1 với x  ℝ b) Tìm x, y nguyên dương  x  y  thỏa mãn x 3  7 y  y 3  7 x c) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3  2  2  2 a b  c  b  c  a  c  a  b  2 Câu 4. 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC , AD là đường phân giác. Gọi HM , HN là đường phân giác của tam giác HAB, HAC a) Chứng minh DM / / AC và AD  MB b) Gọi AP, AQ là đường phân giác của tam giác AHB, AHC. Chứng minh rằng PQ 2  2 PB.CQ 2. Cho tam giác đều ABC , đường cao AH . Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDE lớn nhất Câu 5. (1,0 điểm) Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá ĐÁP ÁN Câu 1. 1. A  4  10  2 5  4  10  2 5 Ta có : A  0  A2  8  2 4   A2  8  2  10  2 5   4   10  2 5  8  2 6  2 5 2 5 1  8  2 5 1  6  2 5    5 1 2  A  5  1(do A  0) 2 x  4 4  2 x x  13 x  20   3 x 4 x  2 3x  10 x  8 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P 2. Cho biểu thức P  x  0 x  0   16 3 x  4  0  Để biểu thức P có nghĩa    x  9  x 20  3 x  10 x  8  0  x  4  Vậy x  0; x  16 , x  4 thì P có nghĩa 9 Rút gọn : P  2 x  4 4  2 x x  13 x  20   3 x 4 x  2 3 x  10 x  8 2 x  8 x  8  6 x  4 x  16  x  13 x  20    3 x  x  4    x  2 3 x  4  x 2 3 x 4   x  2  3   x 1 x  4 2  x x  1 3 x  4 b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Để P nguyên  3 nguyên  3⋮ 2  x , x  ℤ  2  x U (3)  1; 3 2 x  2  x  1; 1; 3 vì 2  x  2  x  1;3;5  x  1;9;25 thỏa mãn Vậy x  1;9;25 thì P nguyên Câu 2. Giải các phương trình sau : a ) x  5  y  2019  z  2021  1  x  y  z 2 b) 3 x 2  12 x  21  5 x 2  20 x  24  2 x 2  8 x  3 a) ĐKXĐ: x  5; y  2019, z  2021 Phương trình  a   2 x  5  2 y  2019  2 z  2021  x  y  z  x  5  2 x  5  1  y  2019  2 y  2019  1  z  2021  2 z  2021  1  0     2 x  5 1     2 y  2019  1  2 z  2021  1  0  x  5 1  0 x  6     y  2019  1  0   y  2020    z  2020  z  2021  1  0 Vậy x  6, y  2020, z  2020 b) Ta có: 3 x 2  12 x  21  3  x  2   9  0 và 5 x 2  20 x  24  5  x  2   4  0 2 2 Đặt a  3 x 2  12 x  21; b  5 x 2  20 x  24, DK : a  0, b  0  a 2  b 2  2 x  8 x  3 Phương trình (2) có dạng a  b  a 2  b 2   a  b  a  b  1  0  a  b  1  0  do a  b  0  Với a  b  1  0  a  b  1 mà a 2  b 2  2 x 2  8 x  3  a  b  2 x 2  8 x  3  a   x2  4 x  1 Ta có phương trình Xét vế trái : 3 x 2  12 x  21   x 2  4 x  1 3 x 2  12 x  21  3  x  2   9  9  3 2 Và vế phải :  x 2  4 x  1    x  2   3  3 2 Dấu ”  ” xảy ra khi x  2  0  x  2 Vậy phương trình (2) có nghiệm x  2 Câu 3. a) Xác định đa thức bậc bốn f  x  biết f  0   1 và f  x   f  x  1  x  x  1 2 x  1 với x  ℝ Gọi đa thức bậc bốn f  x  có dạng : f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a, b, c, d , e  ℝ, a  0  Ta có : f  0   1  e  1 f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e f  x  1  a  x  1  b  x  1  c  x  1  d  x  1  e 4 3 2 f ( x)  f ( x  1)  ax 4  a  x  1  bx3  b  x  1  cx 2  c  x  1  dx  d  x  1 4 3 2 f ( x)  f ( x  1)  4ax 3  3 x 2  2a  b   x  4a  3b  2c   a  b  c  d Mà f  x   f  x  1  x  x  1 2 x  1  2 x 3  3 x 2  x 1  a   4a  2 2   2a  b  1 1 5  b  2  f  x   x 4  2 x3  x2  x  1   2 2  4a  3b  2c  1 c  5  a  b  c  d  0  2 d  1  b) Tìm x, y nguyên dương  x  y  thỏa mãn x 3  7 y  y 3  7 x x3  7 y  y 3  7 x   x  y   x 2  xy  y 2   7  x  y   x  y (ktm)   x  y   x 2  xy  y 2  7   0   2 2  x  xy  y  7  0 Do x, y  ℤ  , x 2  xy  y 2  7  x, y  2  y  1(tm) Nếu x  2  22  2 y  y 2  7  y 2  2 y  3  0    y  3(ktm) Tương tự nếu x  1  y  2 Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn  x; y    2;1 ; 1;2  c) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3  2  2  2 a b  c  b  c  a  c  a  b  2 1 1 1 1  1 . Ta có : Đặt a  , b  , c  , abc  x y z xyz 1 x 1 y 1 z  ;  ;  a 2 b  c  y  z b2  c  a  z  x c2  a  b  x  y 1 1 1 x y z  2  2    a b  c  b  c  a  c  a  b  y  z z  x x  y 2 x y z x yz x yz x yz 1 1 1   yz zx x y yz zx x y x y z x yz x yz x yz      3 yz zx x y yz zx x y  1 x yz x yz x yz 1 1     3   x  y  z    3 yz zx x y  yz zx x y  1  1 1 1  1 1 1     3  x  y  y  z  z  x             y  z z  x x  y   3 2  yz zx x y   Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho cặp số  x  y  ,  y  z  ,  z  x   x  y  z   1 1 1   x  y    y  z    z  x        yz zx x y  3 3  x  y  y  z  z  x  .3. 3 1  x  y  y  z  z  x   1 1 1 1  1 3    3  .9  3   x  y    y  z    z  x     2 2 2  yz zx x y Suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC , AD là đường phân giác. Gọi HM , HN là đường phân giác của tam giác HAB, HAC B H M A D N C a) Chứng minh DM / / AC và AD  MB Áp dụng tính chất tia phân giác AD, HM tương ứng của tam giác ABC , AHB ta có : DB AB MB HB  ,  1 DC AC MC HA BAC  BHA   90  Xét ABC , HBA có :  ABH  ABC DB MB  ABC ∽ HBA( g .g )    2 DC MC DB MB Từ (1) và (2) suy ra  . Theo định lý Ta – let đảo ta có MD / / AC DC MC *Chứng minh AD  MN Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : DN / / AB  MD / / AC Tứ giác AMDN có :   AMDN là hình bình hành  DN / / AB Lại có AD là phân giác MAN nên AMDN là hình thoi. Hơn nữa, MAN  90 , khi đó AMDN là hình vuông. Vậy AD  MN (dfcm) b) Gọi AP, AQ là đường phân giác của tam giác AHB, AHC. Chứng minh rằng PQ 2  2 PB.CQ B P H M D Q A C N Ta có: CAP  PAH  HAC và CPA  PAB  PBA (góc ngoài) Mà PAH  PAB, HAC  PBA , do đó CAP  CPA  CAP cân ở C  CA  CP. Tương tự BA  BQ Khi đó PQ  AB  AC  BC ; BP  BC  AC ; CQ  BC  AB . Suy ra : 2 BP.CQ  2  BC  AC  BC  AB   2 BC 2  2 BC  AB  AC   2 AB. AC  BC 2  AB 2  AC 2  2 BC. AB  AC   2 AB. AC  BC 2  2 BC. AB  AC    AB  AC    AB  AC  BC   PQ 2 2 2 Vậy PQ 2  2 PB.CQ 2. Cho tam giác đều ABC , đường cao AH . Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDE lớn nhất A E D B M H K C Đặt AB  AC  BC  a, AH  h. Nhận xét a, h là các đại lượng không đổi. Ta có : MD. AB ME. AC a 2S S ABC  S ABM  S ACM     MD  ME   ABC 1 2 2 2 a Hơn nữa S ABC  AH .BC ah 2S   h  ABC  2  2 2 a Từ (1) và (2) suy ra MD  ME  h Hạ EK  DM , ta có SMDE  1 DM .EK 2 Mà EK  ME.sin EMK và EMK  CMK  CME  DMB  CME   90  B    90  C   60 1 3 DM .ME Do đó S MDE  DM .ME sin 60  2 4 a  b Áp dụng bất đẳng thức ab  4 Khi đó S MDE  2  DM  ME   DM .ME  2 4 h2  4 3 3 2 .DM .ME  h (không đổi) 4 8 Dấu ”  ” xảy ra  MD  ME  M là trung điểm của BC Vậy giá trị lớn nhất của S MDE là h2 3  dvdt  khi M là trung điểm của BC 8 Câu 5. Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá Gọi ai  ℕ*, i  1,……7 là số con cá mỗi người câu được Giả sử a1  a2  a3  …..  a7 *Trường hợp 1: a4  14 Khi đó a1  a2  a3  a4  14  13  12  11  50  a5  a6  a7  50 * Trường hợp 2: a4  14 , khi đó a5  a6  a7  16  17  18  51 Vậy a5  a6  a7  50
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top