Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 huyện Nho Quan 2020-2021

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 (5,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A  8  2 15  8  2 15 x 1 x x 1 ;Q   (với 0  x  1) x 1 x 1 x 1 a) Tính giá trị của P tại x  6  2 5 b) Chứng minh tích P.Q không phụ thuộc vào x c) Tìm x để P  Q  2 Câu 2. (4,0 điểm) 2 1  m  1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d  : y  x m  2 , m2 m2 m là tham số). Giả sử  d  cắt hai trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại A và B a) Khi m  3, tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc tọa độ) Câu 3. (2, 5 điểm) Giải các phương trình sau : 2) Cho biểu thức P  a)  x  1 2  5  4x  1 b)4 x x  3  2 2 x  1  4 x 2  3x  3 Câu 4. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn 2 x 2  3 y 2  4 x  19 Câu 5. (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH . Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với đường tròn tâm A (điểm I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau), tiếp tuyến BI cắt đường thẳng AC tại D a) Chứng minh bốn điểm A, H , B, I cùng thuộc một đường tròn b) Cho AB  4cm, AC  3cm. Tính số đo góc ABI (làm tròn đến phút) c) Gọi HK là đường kính của đường tròn tâm A. Chứng minh IAD  KAD và BC  BI  DK Câu 6. (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x4 y 4 của biểu thức S   y x   x 1  y  1  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất ĐÁP ÁN Câu 1. 1) A  8  2 15  8  2 15   5 3  b)Q  5 3  2   5 3  2  5  3  2 3 2) a) Ta có : x  6  2 5  Suy ra : P     2 5 1  x  5 1 x 1 5 11 5  2 52 5    5 x 1 5 11 5 x x 1   x 1 x 1 x 1   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 . 1 x 1 x 1 Vậy tích P.Q không phụ thuộc vào x Xét P.Q  2c ) P  Q  x 1  x 1 x 1  x 1    2 x 1  x 1  x 1 2  2. 2  x 1   2 1   x 1 x 1  2  2  P  Q  2  2 1   2   0  x 1  0  x  1  x 1 x 1  Kết hợp với điều kiện 0  x  1 là các giá trị cần tìm. Câu 2. a) Khi m  3, tìm tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB Với m  3 có phương trình  d  : y  4 x  1 1  A  ;0  ; x  0  y  1  B  0;1 4  1 1 1 1 AOB vuông tại O, nên S AOB  OA.OB  . .1   dvdt  2 2 4 8 b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho tam giác OAB cân tại O AOB cân tại O, do đó OA  OB. Nếu m  1   d  : y  1không cắt trục Ox suy ra Cho y  0  x  1  4 m 1 Cho x  0  y  1 1    B  0;  m2  m2 Cho y  0  x  OA  OB    1 1  A ;0  2  m  1  2  m  1   m  2  2 m  1 1 1   m  2 2  m  1 m  1;2   m  2  2  m  1 m  0    m  2  2  m  1   4  m   3   m  1;2 Vậy có 2 giá trị m  0 hoặc m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 Câu 3. a) Giải phương trình :  x  1 2  5  4x 1 1  4 x  1  0 x  4  x  1  5  4 x  1   2 2   2  x  2 x  6   4 x  1  15 x  10 x  5  0 1  x  1 4   x   4   x  1  x  1  x  1 3 x  1  0   1   x   3  Vậy x  1 là nghiệm của phương trình . 2 b) Giải phương trình 4 x x  3  2 2 x  1  4 x 2  3x  3 1 ĐKXĐ: x  . Phương trình đã cho viết lại thành : 2 2 4 x  4 x x  3   x  3  2 x  1  2 2 x  1  1  0 2 x  x  3  0 2 2x  1  1  0    2 x  1  1  0  x  1(tm) 2 *)2 x  x  3  0  4 x  x  3  0   3  x   (ktm)  4   2x  x  3   2  *) 2 x  1  1  0  x  1(tm)  Vậy x  1 là nghiệm của phương trình Câu 4.Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 2 x 2  3 y 2  4 x  19 1 1  2  x  1 2  3 7  y 2   2 Để phương trình có nghiệm thì 7  y 2  0  0  y 2  7  y 2  0;1;4 Từ (2) ta có : 3  7  y 2 ⋮ 2  7  y 2 ⋮ 2  y là số nguyên lẻ  y 2  1  y  1 Với y 2  1thay vào (2) ta được x  2 hoặc x  4 Do đó ta được các cặp số nguyên  x; y  là  2;1 ,  2; 1 ,  4;1 ,  4; 1 Câu 5. K D A I C H B a) Chứng minh bốn điểm A, H , B, I cùng thuộc một đường tròn Do BI là tiếp tuyến của  A   BI  AI  AIB  90  I thuộc đường tròn đường kính AB 1  AHB  90  AH  BC   H thuộc đường tròn đường kính AB  2  Từ (1) và (2)  4 điểm A, H , B, I cùng thuộc một đường tròn đường kính AB b) Cho AB  4cm, AC  3cm. Tính số đo góc ABI (làm tròn đến phút) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC , đường cao AH ta có : 1 1 1 1 1 25 144 12    2 2  AH    cm  2 2 2 AH AB AC 4 3 144 25 5 12  AI  AH  (vì cùng bằng bán kính đường tròn tâm A) 5 3  sin ABI   ABI  3652′ 5 c) Gọi HK là đường kính của  A  . Chứng minh IAD  KAD và BC  BI  DK  BI  BH 1 +)Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :  BAI  BAH  BAI  BAH  90  BAI  90  BAH  IAD  HAC Mà HAC  KAD  IAD  KAD +)Xét ADI và ADK có : AD chung , IAD  KAD (cmt ); AI  AK   R   ADI  AKI (c.g .c)  AKD  AID  90 (hai góc tương ứng)  AKD vuông tại K Xét AKD vuông và tam giác AHC vuông có : AK  AH   R  , KAD  HAC (đối đỉnh)  AKD  AHC (cgv  gn)  DK  HC  2  (hai cạnh tương ứng) Từ (1) và (2) suy ra BC  BH  HC  BI  DK (dfcm) Câu 6. Từ giả thiết   x 1  y  1  4  xy  x  y  3 Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có : x  y x 1 y 1 3  xy  x  y     x  y 1 x  y  2 2 2 2 4 Mà S  4 x y  y x x    y   x   y2  2 2 2 2 2 y x x y 2 2   x  y 2    4 3 2 x  y x  y          2 x y 4 x  y  4 Đẳng thức xảy ra khi x  y  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi x  y  1