Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Giới thiệu Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 9 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 9 tại đây

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 03 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 Ngày thi: 06/3/2021 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Mã đề thi 101 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm). 1 1 1  1 1 1 1  1 Câu 1: Nghiệm của phương trình  + + + … + + + + …. + x = 10.60  1.11 2.12 3.13 50.60  1.51 2.52 3.53 là A. x = 5 . B. x = 4 . C. x = 7 . D. x = 9 . 2 a − 16 a + 4 2 a +1 . S là tập hợp các giá trị nguyên của a để M nhận − − a −6 a +8 a −2 4− a giá trị nguyên. Tập S có tất cả bao nhiêu tập con ? A. 3. B. 8 . C. 4 . D. 2. Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A sao cho OA = 3R . Đường thẳng qua A và cắt đường tròn tại hai điểm B, C. Tính AB. AC . B. AB. AC = 2 R 2 . C. AB. AC = 8 R 2 . D. AB. AC = 3R 2 . A. AB. AC = 5 R 2 . Câu 2: Cho = M Câu 4: Có bao nhiêu cặp số ( x; y ) với x > 0, y > 0 thỏa mãn phương trình 4 x 2 + 9 y + 1 = 3 x + 6 xy ? B. 2 . C. 0 . D. 4 . A. 1 . Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H ∈ BC ) ;= AB 2,= AC 3CH . Diện tích tam giác ABC bằng 2 3 3 A. 3 3 . B. 2 2 . C. . D. . 2 2 2x + 3 nhận giá trị nguyên ? Câu 6: Có bao nhiêu giá trị x nguyên để biểu thức A = x+2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 7: Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng y = m là tham số). Giá trị lớn nhất của OM bằng A. 5 2 . B. 3 2 . Câu 8: Cho biểu thức f ( x ) = ( x3 + 6 x − 7 ) A. 1 . B. −2 . 2021 C. 4 5 . ( m + 2 ) x + m − 5 (với D. 2 5 . . Biết a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 , giá trị của f ( a ) là C. 0 . D. −1 . Câu 9: Biết điểm M ( x0 ; y0 ) là điểm mà đường thẳng y =(1 − m ) x + 2m − 6 luôn đi qua với mọi m . Giá trị của biểu thức A = x02 + y02 là A. -2. B. 20. C. 6. D. 4. Câu 10: Cho hai hàm số y = ( m 2 + 1) x + 2 và y = 2 x + m + 1 . Tìm tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. A. m = ±1 . B. m = 1 . C. m = 2 . D. m = −1 . Câu 11: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D thuộc BC) sao cho BD = a; CD = b; a > b. Tiếp tuyến tại A của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C cắt BC tại M. Độ dài MA được tính theo công thức nào sau đây ? 2ab 2ab ab 2ab A. MA = . B. MA = . C. MA = . D. MA = . a −b a −b a+b 2a − b Trang 1/3 – Mã đề thi 101 4 2 x + y = Câu 12: Tìm hai tham số m, n để hệ phương trình  có vô số nghiệm. mx − y = n − 2 B. = C. m = D. m = A. m = 2; n = −2 . m 2;= n 6. 2. −2; n = −2 . −2; n = Câu 13: Cho ba số x, y, z sao cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 . Giá trị lớn nhất của yz x − 1 + xz y − 2 + xy z − 3 1 1 1 là + + , ( a, b, c ∈  ) . Tổng a + b + c bằng a xyz b c A. 22 . B. 18 . C. 20 . D. 19. P= ( m + 1) x + my = 2m − 1 Câu 14: Cho hệ phương trình  ( với m là tham số) có nghiệm ( x0 ; y0 ) . Giá trị 2 mx − y = m − 2 lớn nhất của x0 y0 là 1 1 3 9 A. . B. . C. − . D. . 4 4 2 4 1 13  4 −  x + 2y − x − 2y = 3  có nghiệm ( x0 ; y0 ) . Tính y0 − x0 . Câu 15: Cho hệ phương trình   1 + 6 = 1  x + 2 y x − 2 y 4. A. y0 − x0 = 2. B. y0 − x0 = −2 . C. y0 − x0 = 3. D. y0 − x0 = sử AB 6= Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Giả = cm, BH 4cm . Tính BC. A. 10cm. B. BC = 9cm . C. BC = 10,5cm . D. BC = 8 2cm . x có bao nhiêu nghiệm ? Câu 17: Phương trình 2 x − 5 + 3 = A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 18: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2 R . R Điểm C nằm trên đoạn thẳng AO sao cho OC = và điểm M thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ 2 nhất của MA+2MB bằng A. BC . B. 4BC . C. 3BC . D. 2BC . Câu 19: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R , dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M của đoạn thẳng OA , kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B , tiếp tuyến đó cắt OA tại E . Độ dài đoạn thẳng BE là R 3 A. 3R . B. R 2 . C. R 3 . . D. 2 Câu 20: Cho các hàm số= y 0,5 x + 3 , y= 6 − x , y = mx có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d1 , d 2 , ∆ m . Với những giá trị nào của tham số m thì ∆ m cắt d1 , d 2 tại hai điểm A, B sao cho A có hoành độ âm, B có hoành độ dương ? A. −0,5 < m < 1. B. −1 < m < 0,5; m ≠ 0. D. −0,5 < m < 1; m ≠ 0. C. −1 < m < 0,5. II. TỰ LUẬN Câu 1. (5,5 điểm) 3x + 9 x − 3 x +1 x +2 − + , ( x ≥ 0, x ≠ 1) . x+ x −2 x + 2 1− x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 1. Cho biểu = thức A Trang 2/3 - Mã đề thi 101 ax + b, ( a ≠ 0 ) đi qua M (1; 4 ) và cắt Ox tại điểm A có hoành độ dương, 2. Cho đường thẳng d : y = cắt Oy tại B có tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của = P OA + OB . Câu 2. (3,5 điểm) 1. Giải phương trình 7 x 2 − 5 x + 6= (11x − 1) x2 + 3 . 2. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a – b là số nguyên tố và 3c 2 = ab + bc + ca . Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương. Câu 3. ( 4 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < BC < CA ) ngoại tiếp đường tròn tâm I . Lấy E và F lần = CE = BF đồng thời chúng nằm về cùng phía lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB với A so với đường thẳng BC . Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G . a) Chứng minh rằng bốn điểm C , E , I và G cùng nằm trên một đường tròn. b) Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG = AF đồng thời H nằm  = 1 CAB . khác phía với C so với đường thẳng BG . Chứng minh rằng EHG 2 Câu 4. ( 1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng 1 + xy + x + y 1 1 + ≥ 3. yz + y + z zx + z + x ------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ....................................Số báo danh:.......................... Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và ký)............................................................ Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và ký)............................................................ Trang 3/3 - Mã đề thi 101 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 Ngày thi: 06/3/2021 (Bản hướng dẫn chấm gồm 05 trang) HDC I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án đúng được 0,3 điểm) Mã đề 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A B C A D B A D B D C C A A B B D D C C Mã đề 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án D B C D A C A A B A C B D D B C B C D A II. PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Câu Câu 1 ( 5,5 điểm) 1. a) ( 3,5 điểm) 2 điểm Hướng dẫn giải A= A= )( x + 1) − ( ( x + 2)( x − 1) 3x + 3 x − 3 − ( ( A= ( ( x− x −6 )( x + 2 )( x + 2 )( x +2 x −1 ) x − 3) x − 1) x −1 x +2 Điểm ) 2 0,5 0,5 0,5 A= b) 1,5 điểm x −3 x −1 0,25 0,25 Kết luận A= 1 − 2 x −1 0,25 Với x ∈ , Để A∈  ⇒ 2. ( 2 điểm) 0,25 x − 1 là ước của 2 ⇒ x − 1 ∈ {±2; ±1} 0,5 Đáp số= x 0,= x 4,= x 9 0,5 M ∈d ⇒ a +b = 4 ⇒ b = 4− a 0,5  b  +) d ∩ Ox = A  − ;0  , d ∩ Oy = B ( 0; b ) ( b > 0, a < 0 )  a  b 4−a + OA + OB =− + b =− +4−a a a  4 =  −  + ( −a ) + 5 ≥ 9  a 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =a ⇒ a =−2 ( a < 0 ) ⇒ b =6 (tm) a Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu 2 ( 5 điểm) 1. ( 2 điểm) (11x − 1) x 2 + 3 ⇔ 7 x 2 − 5 x + 6 − (11x − 1) x 2 + 3 = 0 7 x 2 − 5 x + 6= ( ) ( 0,25 ) 0 ⇔ 5 x 2 − 5 x − 10 x x 2 + 3 + 2 x 2 + 6 − ( x − 1) x 2 + 3 = ( ) ( ) ⇔ 5 x. x − 1 − 2 x 2 + 3 + x 2 + 3. 2 x 2 + 3 − x + 1 =0 ( )( ) ⇔ x − 1 − 2 x 2 + 3 5 x − x 2 + 3 =0 2 x2 + 3 = x − 1 ⇔  x 2 + 3 = 5x +) x ≥ 0  x + 3 = 5x ⇔  2 1 ⇔ x =  x = 8 0,25 0,25 0,25 x ≥ 1 ⇒ x ∈∅ +) 2 x 2 + 3= x − 1 ⇔  2 0 3 x + 2 x + 11 = 2 0,25 2 . 4 0,25 0,25 Kết luận 2. ( 1,5 điểm) ( c + a )( c + b ) d =( c + a, c + b ) , ( c + a ) – ( c + b ) =a − b  d ⇒ d = 1 hoặc 2 0,25 2 bc + ca Ta có 4c= c + ab += Gọi 0,25 d = a–b (Do a − b là số nguyên tố) TH1: d = 1 ⇒ c + a và c + b nguyên tố cùng nhau nên c += a x2 , c += b y 2 (x và y nguyên dương) Nên a – b = x 2 − y 2 = ( x − y )( x + y ) là số nguyên tố nên x – y =1⇒ x =1 + y 4c 2 = ( c + a )( c + b ) = x 2 y 2 ⇒ 2c = xy =(1 + y ) y = y 2 + y ( 2 y + 1) là số chính phương. ( a − b ) x; c + b = ( a − b ) y, với x, y nguyên 2 ⇒ 8c + 1= 4 y 2 + 4 y + 1= TH2: d = a – b ⇒ c + a = dương và nguyên tố cùng nhau ⇒ a – b = ( c + a ) – ( c + b ) = ( a − b ) x – ( a − b ) y ⇒1 = x – y ⇒ x = y + 1 Ta có = 4c 2 = ( c + a )( c + b ) (a − b) 2 0,25 0,25 0,25 0,25 .xy ⇒ xy = y ( y + 1) là số chính phương Mà y và y + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên y = 0 (vô lý do y nguyên dương). Kết luận. Câu 3 (4 d) H F G A E N M I C B 1800 Bổ đề: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng thì nội tiếp một đường tròn. (Nếu học sinh không chứng minh bổ đề mà sử dụng thì vẫn cho điểm tối đa) 0,25 a)Gọi BI ∩ CF = { N } ; CI ∩ BE = {M } . ∆IBE cân tại I =  (1). ⇒ IEB I BM 0,5 0,25  + BIM = IBM 900    ICN (2).  ⇒ IBM =  + CIN = ICN 900  0,75  = ICN  Từ (1) và (2) suy ra IEB =  + GEI ⇒ ICG 1800 0,25 ⇒ tứ giác CIEG là tứ giác nội tiếp. 0,5 0,25 b) Chứng minh được tứ giác AFCI nội tiếp 0,25  + BCA  180 −  ABC BAC  + ICA  = 1800 −  (vì  = = IAC AFC = AIC ) 2 2 0 Chứng minh được tứ giác AEIB nội tiếp 0,25 )    (vì EAI = IFC = ICF = IBE   Do tứ giác CIEGvà AFCI nội tiếp, nên EGI = ECI =  AFI  = FAI  suy ra ∆GEI đồng dạng với  = IEB  nên GEI Hơn nữa, do IAB ∆FAI . Suy ra Câu 4 EG EG AF HG AF AI = = ⇒ = = BI EI AI GE GE BI 0,25 0,25  Nhưng HGE =  AEB =  AIB suy ra ∆HGE đồng dạng ∆AIB 0,25  CAB   = BAI = Từ đó EHG 2 0,25 Ta chứng minh ( x + y + 1) ≥ 3 ( xy + x + y ) , với ∀ x, y. Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 ( x 2 + y 2 + 1 + 2 xy + 2 y + 2 x ) ≥ 6 ( xy + x + y ) 2 ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 0 Dấu “=”xảy ra ⇔ x = y =1 . 2 2 2 0,25 1 3 , với ∀x, y > 0 . Dấu “=” xảy ra ≥ xy + x + y x + y + 1 ⇔ x = y =1 . Tương tự ta suy ra 1 1 1 3 3 3 + + ≥ + + xy + x + y yz + y + z zx + z + x x + y + 1 y + z + 1 z + x + 1 (1) Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y =z =1 . Do đó 1 1 1 9 + + ≥ , ∀ m, n, p > 0 m n p m+n+ p Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với n p m p m n 1+ + + +1+ + + +1 ≥ 9 m m n n p p 0,25 Ta chứng minh:  n m  p m  p n  ⇔  + + + + +  ≥ 6 m n  m p  n p Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng. Dấu “=”xảy ra ⇔ m =n =p. Do đó 3 3 3 9 3 (2) + + 3 ≥ = x + y +1 y + z +1 z + x +1 2( x + y + z ) + 3 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=”xảy ra ⇔ x = y =z =1 0,25 0,25
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top