Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc

Giới thiệu Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 7 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 7 tại đây

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu1. (2,0 điểm) a) Tìm x biết: 3x  3  2 x  (1) 2016  3x  2017 0 b) Cho B = 1+ 1 1 1 1 (1  2)  (1  2  3)  (1  2  3  4)  ….  (1  2  3  …  x) 2 3 4 x Tìm số nguyên dương x để B = 115. Câu 2. (2,0 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn y  z 1 x  z  2 x  y  3 1 .    x y z x yz Tính giá trị của biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017. b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z và x  2 y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của 3x – 2z. Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = 2016 x  2016 có giá trị nhỏ nhất. 3x  2 b) Cho đa thức f(x) = 2016.x4 – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c). Tính hiệu của a – c. Câu 4. (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng   450 , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho CBx BM và BA tỉ lệ với 1 và 2 . Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) DN vuông góc với AC. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM. c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p  p 2 là số nguyên tố. b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau. --------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ....................................................SBD:..............Phòng thi................. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN 7 Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 4 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 5 câu và không làm tròn Câu Nội dung cần đạt a) Điểm 3 x  3  2 x  ( 1) 2016  3 x  2017 0 3 x  3  2 x  1  3 x  1 (*) Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là 3x  1  0  x  1 nên (*) trở thành  2x 1  0 2 3 x  3  2 x  1  3 x  1  3 x  3  x (điều kiện x  0 ) 1 3 Khi đó x  3 (thỏa mãn) 2 3 Nếu 0  x  1 ta có 3 - 3x = x nên x = (thỏa mãn) 4 3 3 Vậy x   ;  2 4 Nếu x  1 ta có 3x – 3 = x nên x = 0,25 0,25 0,25 1 (2đ) 0,25 b) B = 1+ = 1+ = 1  2.3  1  3.4  1  4.5  1  x( x  1)         ....   = 2 2  3 2  4 2  x 2  3 4 x 1 1   ...    2  3  4  ...  ( x  1)   2 2 2 2 1  x( x  3)    2 2  1 x ( x  3)  Từ đó B = 115 khi    115  x( x  3)  460 2 2  Mà x là số nguyên dương nên x và x + 3 là ước dương của 460 nên x = 20. Vậy x = 20 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1 y  z 1 x  z  2 x  y  3 = = = =2 x y z x y z 0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3  x+y+z = 0,5  =2   x y z 1 5 5 x= ;y= ;z=2 6 6 1 Khi đó ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016. +0 = 1008 2 Vậy với x,y,z là các số thực thỏa mãn 2 x 2y x  2y , 3y = 5z.   3 4 1 (2đ) 0,25 0,25 0,25 Nếu x-2y = 5  x= -15, y = -10, z = -6. Khi đó 3x - 2z = -45 + 12 = -33 0,25 Nếu x-2y = -5  x= 15, y = 10, z = 6 Khi đó 3x - 2z = 45 - 12 = 33 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của 3x – 2z là 33 0,25 2016 x  2016 672(3 x  2)  2016  1344 3360   672  3x  2 3x  2 3x  2 3360 M nhỏ nhất  lớn nhất 3x  2 3360  Xét 3 x  2  0 thì (1) 0 3x  2 3360  Xét 3 x  2  0 thì 0 3x  2 3360 lớn nhất khi 3x+2 nhỏ nhất 3x  2 Mà x nguyên, 3x+2 dương và 3x+2 chia 3 dư 2 nên 3x+2 = 2 nên x  0 3360 3360 Khi đó: =  1680 (2) 3x  2 3.0  2 3360 So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 1680 3x  2 a) M  3 0,25 y  z 1 x  z  2 x  y  3 1    x y z x yz thì giá trị của biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 là 1008 (2đ) b) Ta có 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy M min  1008  x  0 0,25 b) Ta thấy đa thức f(x) nếu có nghiệm x = a ( a khác 0) thì x = -a cũng là một nghiệm của f(x), nên đa thức f(x) có 2m nghiệm Mà đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ 0,25 B H D M I N A C bằng 0. Thay x = 0 vào đa thức đã cho ta được: k2 – 100 = 0 nên k = 10 (vì k dương). Với k = 10 ta có f(x) = 2016.x4 – 8064. x2 = 2016x2. (x2 – 4) Từ đó f(x) sẽ có 3 nghiệm phân biệt là a = -2; b = 0 và c = 2 nên a – c = - 4 0,25 0,25 0,25 a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’ . Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên MB: BA’ = 1: 2 Suy ra A  A ' nên AM vuông góc với BC Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác ADC 0,75 Suy ra DN vuông góc với AC b) Ta có AMB = AMC (c- g- c) nên AB = AC và góc ACB = 450 4 (2,5) 0,25 Tam giác ABC vuông cân tại A và có BAH  ACI  900  CAH H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H = I = 900 0,25 Suy ra AIC = BHA (c.h – g.n)  BH = AI BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (không đổi) . 0,25 c) BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA mà  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900  HMI vuông cân  HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là tia phân giác HIC. Vậy tia phân giác của HIC luôn đi qua điểm cố định M. 0,5 0,5 Với p = 2 thì 2 p  p 2 = 4+4 = 8 không là số nguyên tố 5 Với p = 3 thì 2 p  p 2 = 8+9 = 17 là số nguyên tố 0,25 (1,5) Với p > 3 thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2 p  22 k 1  2(mod 3) 0,25 và p 2  1(mod 3) nên 2 p  p 2 3 Mà 2 p  p 2 > 3 nên 2 p  p 2 là hợp số. 0,25 Vậy với p = 3 thì 2 p  p 2 là số nguyên tố Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng. 0,25 Mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá trị từ -5 đến 5. Ta có 11 số nguyên từ -5 đến 5 là -5; -4; …; 0; 1; …;5. 0,25 Vậy theo nguyên lí Dirichle phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau (đpcm). Chú ý: – Học sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. – Câu 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình phần nào thì không chấm phần đó. 0,25
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top