Đề cương Toán 8 HK2 năm 2018 – 2019 trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Hà Nội

1

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
ĐỀ CƯƠNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ- HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2018-2019
NỘI DUNG CHÍNH
1. Bài toán phân thức tổng hợp
2. Giải phương trình
3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
4. Giải bất phương trình
5. Tam giác đồng dạng
6. Bất đẳng thức

Dạng 1: Bài tập tổng hợp về phân thức đại số

 x
x3  8 x 2  2 x  4  4
Bài 1: Cho biểu thức: A= 
 3
.
:
2
 x 2 x 8 4 x
 x2
a. Tìm ĐKXĐ của biểu thức A. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 3
c. Tìm x để A < 1 d. Tính giá trị của A khi x  1 2 3 2  4 x2  1  2 Bài 2: Cho biểu thức: B=    : 2 2  2x  1 1  4x 2x 1  4x 1 a. Rút gọn B. b. Tính giá trị của B khi x  2 . 3 c. Chứng minh B<0 x thỏa mãn ĐKXĐ của B. d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B. Bài 3. Cho biểu thức: C   x 1 x2  x 1 2  x2  :     x2  2x  1  x 1 x x2  x  a. Rút gọn biểu thức b. Tìm x để C  1 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của C khi x  1 Bài 4. Giải các phương trình sau Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 2 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS a.  x  2  x  3  3  4 x  2    x  4  2 b. 2 x  3  4x  5 2x 2  1 7x  2 x 2  1 x  3 c.    8 12 4 6 3 15 7 d.   0 2 4 x  20 50  2 x 6 x  30 e. x 2  x  20  0 f.  x  1 g. x  2 x 1 4   x  3 x  1  x  3 x  1 2  5  3x  x  x  x  2   4 76 2 x  1 3x  1   x  16 x  4 4  x Bài 5. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: h. 5  2 a) (x + 3)2 – 3(2x – 1)  x(x – 4) c) x2 3x 1 3  x 1 x   4 4 3 b) x2 – 3x + 4  0 d) 5 3  3x 1 5  4 x Dạng 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bài 6. Một tổ sản xuất dụ định may 40 chiếc áo trong 1 ngày. Khi thực hiện tổ đã vượt mức dự định 12 chiếc sáo mỗi ngày. Vì vậy không những tổ hoàn thành sớm 2 ngày mà còn may thêm được 4 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ phải may Bài 7. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sauk hi đi 2/3 quãng đường với vận tốc đó, người lái xe giảm tốc độ mỗi giờ 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó đến B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 8. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 5m thì diện tích của khu vườn không thay đổi. Tính chu vi của khu vườn lúc đầu. Bài 9. Hai người được giao làm một công việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu người A làm trong 5 giờ và người B làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người cần bao nhiêu lâu để hoàn thành công việc. Bài 10: Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may đươc 800 cái áo. Tháng Hai, tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ may được bao nhiêu cái áo? Dạng 3: Hình học  cắt nhai tại I. AI Bài 11. Chu vi ABC cân tại A là 80 cm . Đường phân giác của góc  A và B AI 4 cắt BC tại I. Cho  . Tính các cạnh của ABC . ID 3 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 3 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS Bài 12: Cho ABC , lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD 1  . Qua D vẽ đường thẳng song song với AB DC 2 cắt AC tại E, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F. Cho M là trung điểm của AC. a) So sánh BF AE và . AB AC b) Chứng minh EF / / BM. c) Giả sử BD  k , tìm k để EF / / DC. DC Bài 13: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH , AB  5 cm; AC  12 cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB; AC . a. Tính độ dài BC và DE b. Chứng minh ADE ~ ACB c. Đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC tại M và N . Chứng minh rằng M là trung điểm BH , N là trung điểm của CH . d. Chứng minh rằng: BN 2  CN 2  AB 2 . Bài 14.Cho tam giác ABC có góc A tù. Ba đường cao của tam giác AM , BP, CN cắt nhau tại H ( M  BC , N thuộc tia BA , P thuộc tia CA ). a, Chứng minh BM .BC  BP.BH . b, Chứng minh  PAB ~  NAC ,  PAN ~  BAC .  c, Chứng minh NA là tia phân giác của PNM d, Gọi S là diện tích của tam giác BHC . Tính BC . AH  AB.CH  AC .BH theo S . Bài 15: Cho tam giác ABC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a/ BD. AE = AD . CE b/ Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. c/ Các đường thẳng vuông góc với AB tại B và AC tại C cắt nhau ở D’. Chứng minh: BHCD’ là hình bình hành. d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A, H, D’ thẳng hàng. Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a) Chứng minh:  AHB đồng dạng với  BCD. b) Tính độ dài cạnh BD; AH; DH. c) Tính diện tích  AHB. Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 4 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  36cm, AC  48cm . Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt đường thẳng AC , AB theo thứ tự tại D và E . a) b) c) d) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC Tính các cạnh của tam giác MDC Tính độ dài cạnh EC Tính tỉ số diện tích của hai tam giác MDC và ABC . Bài 18: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O,  ABC   ACD . Gọi E là giao điểm của hai đường AD và BC. Chứng minh: a) AOB  DOC b) AOD  BOC c) EA.ED  EB.EC Bài 19: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có O là giao điểm của AC và BD . a) Chứng minh OA.OD  OB.OC b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K . OH AB Chứng minh  OK CD Bài 20. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại F . a) Chứng minh AED ~ BEF , BEF ~ CDF , AED ~ CDF . b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF , BF . Biết DE = 10cm. c) Tính tỉ số hai đường cao, diện tích của hai tam giác AED; BEF . Bài 21. Cho ABC . D trên cạnh AB.Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E, cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. a) Chứng minh AD.GE  DE.CG . b) Nối BG cắt AC tại H. Chứng minh HC 2  HE.HA c) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại I. Chứng minh 1 1 1   . IH AB CG Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 5 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Bài 1: a. ĐKXĐ: x  2  x x3  8 x 2  2x  4  4 A=   3 . : 2  x 2 x 8 4 x  x2  x  x  2  x2  2 x  4 x2  2 x  4  4 : A=   .  x  2  x  2  x2  2 x  4 4  x2  x  2    x  x  2  x2  2 x  4  4 : A=   2  x2  x2 x  2 4  x        x  x  2  x2  2 x  4  4 : A=   2  x2  x2 x  2 x  4        x x2  2 x  4  4 A=   : 2  x2  x  2   x  2   x  x  2   x2  2 x  4   x  2 . A=  2   4 x  2      x 2  2 x  x2  2 x  4   x  2 A=  . 2   4 x  2     1 A= x2 b. Tìm x để A = 3. Khi đó ta có: 1  3 ; ĐKXĐ: x  2 x2  1  3  x  2   3 x  7 7 x (t/m) 3 c. Tìm x để A < 1. Khi đó ta có: 1  1; x2 ĐKXĐ: x  2 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 6 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS 1 x2  x2 x2  1  x  2   x  3 (t/m) Vậy x>-3 và x  2
d. Tính giá trị của A khi x 

1
. ĐK: x  2
2

TH1: x 

1
(TM). Khi đó A có dạng:
2

A=

TH2: x 

1
(TM). Khi đó A có dạng:
2

A=

1
2

1
2 5
2
1
2

1
2 3
2

Bài 2:
a. Rút gọn B
3
2  4×2  1
 2
B= 
 2

. 2
 2x  1 4x 1 2x 1  4x  1

 2  2 x  1  3  2  2 x  1   4 x 2  1
.
B= 
2

 4 x  1
 4 x 2  1
1
B= 2
4x 1

b. Thay x 

2
(TM). Khi đó B có dạng: B=
3

1
2

 2 
4.    1
 3 



9
25

c. Chứng minh B<0 x thỏa mãn ĐKXĐ của B: Vì x 2  0 x ; suy ra: 4 x 2  1  1 x và 1  0 nên B < 0 x   1 2 d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B: Ta có: x 2  0 x nên: 4 x 2  1  1 x Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất B = -1 khi x 2  0 hay x  0 . Bài 3. Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 7 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS a. C   x 1 x2  x 1 2  x2  :     , x  0, x  1 x2  2x  1  x 1 x x2  x  = x( x  1) x 2  1  x  2  x 2 : 2 x( x  1)  x  1 = x2 x 1 b. Để C  1 khi và chỉ khi x2 x2  x  1 1   0 , x  0, x  1 x 1 x 1 2 1 3  Vì x 2  x  1   x     0 mọi x 2 4   C  1  x 1  0  x  1 x2 1 c. C   x 1  2  4 ( áp dụng bđt Côsi) x 1 x 1 1 Dấu bằng xảy ra  x  1   x  2 ( vì x  1 ) x 1 Bài 4. Giải các phương trình sau  x  2  x  3  3  4 x  2    x  4  a. 2  x 2  x  6  12 x  6  x 2  8 x  16 16  3 x  16  x  3 b. 2 x  3  4x  5 – – c. d. 3 thì 2 Pt  2 x  3  4x  5  x  4 ( loại) 3 Nếu 2 x  3  0  x  thì 2 1 Pt  2 x  3  4x  5  x  3 Nếu 2 x  3  0  x  2x 2  1 7x  2 x 2  1 x  3    8 12 4 6 2 2  6 x  3  14 x  4  6 x  4  4 x  12 1  10 x  5  x  2 3 15 7   0 2 4 x  20 50  2 x 6 x  30 ĐK x  5 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 8 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS Pt  3 15 7   0 4  x  5  2  5  x  5  x  6  x  5   9 x  45  90  14 x  70  0  x  5 (loại) x  x  20  0 2 e.  x 2  4 x  5 x  20  0  x  x  4  5  x  4  0   x  5  x  4   0  x  5 hoặc x  4  x  1 f. 2  5  3x  x  x  x  2   4 5 thì 3 Pt  x 2  2 x  1  5  3 x  x  x 2  2 x  4 Nếu 5  3 x  0  x  –  2 x  8  x  4 (loại) 5 thì 3 Pt  x 2  2 x  1  5  3 x  x  x 2  2 x  4 Nếu 5  3 x  0  x  –  4 x  2  x  g. 1 (loại) 2 x  2 x 1 4   x  3 x  1  x  3  x  1 Đk x  3 và x  1 Pt   x  2  x  1   x  1 x  3  4  3x  9  x  3 (loại) 76 2 x  1 3x  1 h. 5  2   x  16 x  4 4  x ĐK x  4 Pt  5 x 2  80  76  2 x 2  9x  4  3 x 2  11x  4  2 x  4  x  2 (thỏa mãn) Bài 5. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) (x + 3)2 – 3(2x – 1)  x(x – 4)  x2 + 6x + 9 – 6x + 3  x2 – 4x  4x + 12  0  x  -3 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 9 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS Biểu diễn tập nghiệm trên trục số: -3 0 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S =  x / x   3 b) x2 – 3x + 4  0 2 3 7    x   0 2 4  Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. c) x2 3x 1 3  x 1 x   4 4 3  3x – 6 – 12 + 12x > 9x – 3 + 12 – 4x
 10x > 27
 x

27
10

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
0

27
10

27 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S =  x / x  
10 


d)

5
3

3x 1 5  4 x

ĐKXĐ: x ≠

1
5
;x≠
3
4

Với mọi x  ĐKXĐ ta có:
5
3

3x 1 5  4 x



5
3

0
3x 1 5  4 x

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

10

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS


28  29 x
 0 (1)
(3x  1)(5  4 x )

Ta lập bảng xét dấu vế trái:
x

1
3

28 – 29x

28
29

+

+

3x – 1

–

0

5 – 4x

+

+

VT

–

+

0

+

5
4

–

–

+

+

+
0

–

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

0

1
3

28
29

5
4

1 28
5

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S =  x / x  ;  x  
3 29
4


Dạng : Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 6.

Giải

Gọi số áo tổ sản xuất phải may theo dự định là x (áo); x  N*
 Số áo tổ sản xuất may thực tế là x + 4 (áo)
Số ngày tổ sản xuất phải may theo dự định là:
Số ngày tổ sản xuất may thực tế là:

x
(ngày)
40

x4
(ngày)
52

Theo đề bài ta có phương trình:
x
x4
=2
40
52

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

0

+

11

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
 13x -10x – 40 = 1040
 3x = 1080
 x = 360 (TMĐK)
Vậy số áo tổ sản xuất phải may theo dự định là 360 áo
Bài 7. Giải
Vận tốc của ô tô sau khi giảm là: 50 – 10 = 40 (km/h)
Gọi quãng đường AB dài là x (km); x > 0
Thời gian dự định ô tô đi hết quãng đường AB là:

x
(giờ)
50

Thời gian ô tô đi

2
2
x
quãng đường AB là: x : 50 =
(giờ)
3
3
75

Thời gian ô tô đi

1
1
x
quãng đường còn lại là: x : 40 =
(giờ)
3
3
120

Theo đề bài ta có phương trình:
x
x
x
1
+
=
75 120 50 2

 8x + 5x – 12x = 300
 x = 300 (TMĐK)
Vậy quãng đường AB dài 300km
Bài 8.
Gọi chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lúc đầu là x (m, x >

5
)
2

Chiều dài của khu vườn lúc đầu là 2 x (m)
Diện tích của khu vườn lúc đầu là 2 x.x = 2x 2 (m2)
Vì chiều rộng của khu vườn sau khi tăng thêm 3m là x + 3 (m),
Chiều dài của khu vườn sau khi giảm đi 5m là 2 x – 5 (m),
Diện tích mới của khu vườn là (x + 3)(2x – 5) (m2)
Vì thay đổi chiều dài và chiều rộng nhưng diện tích khu vườn không thay đổi nên ta có phương
trình là:

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

12

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
2x 2 = (x + 3)(2x – 5)
 2x 2 = 2x 2 – 5x + 6x – 15
 x = 15 (tmđk)
Vậy chu vi khu vườn lúc đầu là 2(x + 2x) = 2(15 + 2.15)= 90 (m)
Bài 9.
Gọi thời gian người A hoàn thành công việc một mình là x (h, x >15 )
Trong 1h người A làm được số phần công việc là

1
5
(công việc), trong 5h người A làm được
x
x

(công việc)
Trong 1h cả hai người làm chung thì làm được số phần công việc là 1: 15 =
Trong 1h người B một mình làm được số phần công việc là

1
(công việc)
15

1 1
 (công việc), trong 3h người B
15 x

 1 1
làm được 3    (công việc)
 15 x 

Nếu người A làm trong 5 giờ và người B làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc nên ta có
phương trình:

5
 1 1
 3     30%
x
 15 x 
5 1 3
3
  

x 5 x
10
2 1

x 5
2

x


x

3
10
3 1 1
  
10 5 10
1
 2 :  20 ™
10


Thời gian để người A hoàn thành công việc một mình là 20h.
Trong 1h người B một mình làm được số phần công việc là
gian để người B hoàn thành công việc một mình là 1:

1 1
1

 (công việc), nên thời
15 20 60

1
 60 (h).
60

Bài 10:
Gọi số áo tổ một may được trong tháng Giêng là x (cái, x  N *, x  800 )
Số áo tổ hai may được trong tháng Giêng là 800 – x (cái)

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

13

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
Trong tháng Hai, tổ một vượt mức 15% nên số áo tổ một may được là
x + 15% x =1,15x (cái)
Trong tháng Hai, tổ hai vượt mức 20% nên số áo tổ hai may được là
(800 – x) + 20%(800 – x) = 1,2(800 – x) (cái)
Vì tháng Hai cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo nên ta có phương trình:
1,15x + 1,2(800 – x) = 945
 1,15x + 960 – 1,2x

= 945

 0,05x

= 15

 x

= 300(tmđk)

Vậy tháng Giêng tổ một may được 300 cái áo, tổ hai may được 800 – 300 = 500 (cái áo).
Dạng 3: Hình học
Bài 11.
A

I

B

D

C

BI là đường phân giác của BAD nên ta có

AI BA

ID BD

CI là đường phân giác của CAD nên ta có

AI CA

ID CD

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

AI BA CA BA  CA BA  CA 4





ID BD CD BD  CD
BC
3

Lại có chu vi ABC bằng 80 cm nên AB +AC+BC = 80  BA  CA  80  BC


80  BC 4
240
  240  3BC  4 BC  BC 
cm
BC
3
7

ABC cân tại A nên AB  AC 

1
 80  BC  
2

1
240  160
cm
 80 

2
7 
7

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

14

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
Vậy BC 

240
160
cm ; AB  AC 
cm
7
7

Bài 12:

B
F

D

A

E

a) So sánh

M

BF
AE
và
.
AB
AC

*Vì DF / / AC (theo giả thiết) nên

Mà

C

BF BD

(theo định lý Talet)
AB BC

BD 1
BD 1
 (vì
 )
BC 3
DC 2

Suy ra

BF BD 1

 (1)
AB BC 3

*Chứng minh tương tự ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

AE BD 1

 (2)
AC BC 3

BF AE

AB AC

b) Chứng minh EF / / BM.
*Ta có

AF 2 BF 1
 (
 )
AB 3 AB 3

Mặt khác

(3)

AE
AE
1
AE 2

 (chứng minh trên) suy ra
 (4)
AC 2 AM 3
AM 3

Từ (3) và (4) suy ra

AF AE 2

 hay EF / / BM (định lý Talet đảo)
AB AM 3

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

15

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
c) Giả sử

BD
 k , tìm k để EF / / DC.
DC
AF AE

AB AC

Để EF / / DC thì

AF AE

Mà AB AM (chứng minh trên)
AE
AE

AC hay M trùng C
Nên AM
AE 2 AF BD
BD
 

2
*Dễ thấy AM 3 AB BC suy ra DC
Vậy k = 2
Bài 13:
a.+ Áp dụng định lí Pitago trong ABC vuông tại A có.

AB 2  AC 2  BC 2  BC 2  52  12 2  169  BC  169  13

E
  90o  ADHE là hình chữ nhât.
+ Xét tứ giác ADHE có 
AD
 AH  DE
+ Ta có: S ABC 

AB. AC AH .BC

2
2

 AH .BC  AB. AC
 AH 

AB. AC 5.12 60


 4, 62  cm 
BC
13
13

b. + Xét AHE và ACH có:

A chung
H
  90o
E
 AHE ~ ACH  g .g 


AH AE

 AH 2  AE. AC 1
AC AH

H
  90o ; A chung
+ Xét ADH và AHB có: D
 ADH ~ AHB  g .g 


AH AD

 AH 2  AD. AB  2 
AB AH

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

16

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
Từ (1) và (2) suy ra:

AE. AC  AD. AB


AE AD

AB AC

AE AD
+ Xét ADE và ACB có: 
A chung;

 cmt 
AB

AC

 ADE ~ ACB  c.g .c 
c. + Gọi AH  DE  O
Vì ADHE là hình chữ nhật  OE  OH

H

 OEH cân tại O  E
1
1
E
H
H
  90o
Mà E
1
2
1
2
H
  HEN cân tại N  NE  NH  3
E
2
2
+ Xét EHC vuông tại E có:

 C
  90o
H
2

E
  90o  HE  AC 
E
2
3
E
  cmt 
H
2
2

E
  NCE cân tại N  NE  NC  4 
C
3
+ Từ (3) và (4)  NC  NH   NE   N là trung điểm HC
+ Chứng minh tương tự ta có M là trung điểm BH .
d. + Ta có N là trung điểm CH  cmt   2 HN  2 NC  HC
+ Xét ABH và CBA có:

 chung; H

B
A  90o
 ABH ~ CBA  g .g  

AB BH

CB BA

 AB 2  BH .CB  BH.  BH  HC   BH .  BH  2 HN 
 AB 2  BH 2  2 BH .HN  HN 2  NC 2  HN 2  NC 2 
 AB 2   BH  HN   NC 2  BN 2  CN 2
2

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

17

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
Vậy BN 2  CN 2  AB 2

Bài 14.

a, Chứng minh: BM.BC = BP.BH

 chung
 B
0
 
 BPC  BMH  90 ( gt )

Có BPC ∽ BMH vì 

=>

BP BM

 BM .BC  BP.BH (đpcm)
BC BH

b, * Chứng minh: PAB ∽ NAC

  NAC

 BAP
0
 
 BPA  ANC  90 ( gt )

Có PAB ∽ NAC vì 

* Chứng minh: PAN ∽ BAC
Có: PAB  NAC 

PA AB

(1)
AN AC

  BAC
 (đối đỉnh)
PAN
Từ (1) và (2) có PAN ∽ BAC

(2)
(c.g.c)

c, Ta có  HPC ∽ HNB  g , g  

HP HC
B
.

nên  HPN ∽ HCB  c.g .c   N
1
HN HB

B
 nên N
N
 , suy ra PNA
  MNA
 hay NA là tia phân giác của
Chứng minh tương tự ta có N
2
1
2

PNM

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

18

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
d, Ta có

HA.BC  HA.  BM  MC 
 HA.BM  HA.MC .
 2  S ABH  S AHC 
Tương tự ta cũng có AC.BH  2  S ABC  S AHC  , AB.HC  2  S ABH  S ABC  .
Do đó BC. AH  AB.CH  AC.BH  4  S AHC  S ABC  S ABH   4 S .

Bài 15:

Giải:
a/ Xét ADB và AEC có:

A chung

ADB  
AEC  900 (CE  AB, BD  AC )
 ADB  AEC ( g .g )
AD DB

AE EC
 AD.EC  AE.DB


b/ Xét AED và ACB có:

AD DB

( cmt)
AE EC

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

19

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
A chung
 AED  ACB ( g .g )
c/ Có :

CH  AB 
  CH / / D ‘ B (Từ vuông góc đến song song)
D ‘ B  AB 
Có

BH  AC 
  BH / / D ‘ C (Từ vuông góc đến song song)
D ‘ C  AC 
Xét tứ giác BHCD ‘ có:
CH / / D ‘ B 
  BHCD ‘ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
BH / / D ‘ C 
d/ Gọi BC  HD ‘  I   I là trung điểm BC

H, A, D’ thẳng hàng  A, I, H, D’ thẳng hàng
 AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến  ABC cân tại A

Vậy để D’H đi qua A thì ABC cân tại A.
Bài 16.
a) Xét  AHB vuông tại H có:


HAB
ABH  90

A

B

  90
Mà 
ABH  DBC
  DBC

 HAB
Xét  AHB và  BCD có:

  DBC
; 
  90
HAB
AHB  BCD

H
D

=>  AHB ~  BCD (g.g)
b) Vì ABCD là hình chữ nhật => AD = BC = 6cm
Xét  ABD vuông tại A có:

AD 2  AB 2  BD 2 (định lý Pytago)
 BD 2  62  82  100
 BD  10cm
Vì  AHB~  BCD nên

AH AB HB
AH 8 HB





BC BD CD
6
10
8

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

C

20

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
 AH  4,8cm; HB  6, 4cm  DH  BD  BH  10  6, 4  3, 6cm
c) S AHB 

1
1
AH .HB  .4,8.6, 4  15, 36cm 2
2
2

Bài 17.
E

A
D

B

a)

C

M

 chung; BAC
  DMC
  900 , suy ra
Xét tam giác ABC và tam giác MDC có: C

ABC ~ MDC  g .g 
b)

Tam giác ABC vuông tại A nên:

BC 2  AB 2  AC 2  362  482  3600  BC  60  cm  .
Do M là trung điểm của BC nên MC 

BC
 30  cm 
2

Do
ABC ∽ MDC  cmt  

MC MD DC
30 MD DC
45
75





 MD   cm  , DC   cm  .
AC
AB BC
48 36
60
2
2

21
 cm 
2
DE DA
DA.DC 35
Mặt khác do DAE ∽ DMC  g .g  

 DE 
  cm 
DC DM
DM
2

c)

Ta có DA  AC  DC 

Suy ra ME  MD  DE  40  cm 
Xét tam giác MCE vuông tại M có EC 2  ME 2  MC 2  402  302  2500  CE  50  cm  .
d)

Do ABC ∽ MDC  cmt  

2

S MDC  DC 
25

  .
S ABC  BC  64

Bài 18:

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

21

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
E

B
A

O

D
C

a)
Xét ∆AOB và ∆DOC có:

 (đối đỉnh)
AOB  DOC


 (giả thiết)
ABO  DCO
 AOB  DOC ( g .g ) (đpcm )

Vì AOB  DOC (theo câu a)
AO OB
AO DO


hay

DO OC
OB OC

b)

Xét ∆AOD và ∆BOC có:


 (đối đỉnh)
AOD  BOC
AO DO

(cmt)
OB OC
 AOD  BOC (c.g .c ) (đpcm )

 hay EDB
  ECA

Vì AOD  BOC (theo câu b) nên 
ADO  BCO

c)

Xét ∆EBD và ∆EAC có:

 chung
E
  ECA

EDB
 EBD  EAC ( g .g )



EB ED

 EA.ED  EB.EC (đpcm)
EA EC

Bài 19:

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

22

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
H

A

B

O

D
a)

C

K

Xét ODC có AB // CD nên theo định lý Ta-Lét ta có:
OA OB AB


 OA.OD  OC.OD
OC OD CD

b)

Xét OKC có AH // KC nên theo định lý Ta-Lét ta có:

OH OA
OH AB



(đpcm)
OK OC
OK CD

Bài 20.

F
A

8cm

B

E
7cm
D

C

12cm

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB / / DC ; AD / / BC (tính chất hình bình hành)



A 
ABF (2 góc so le trong) và C
ABF (2 góc đồng vị)
Xét AED và BEF có:
+ 
A 
ABF (cmt)

 (2 góc đối đỉnh)
+ 
AED  BEF
 AED ~ BEF  g  g 

(1)

Xét BEF và CDF có:

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

23

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS

+C
ABF (cmt)

 chung
+ F
 BEF ~ CDF  g  g 

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AED ~ CDF  ~ BEF 
b) Có AE  EB  AB  EB  AB  AE  12  8  4  cm 
Vì AED ~ BEF (cmt) 

 BF 

AE AD ED
8
7
10


 

BE BF EF
4 BF EF

4.7 7
4.10
 (cm); EF 
 5(cm)
8
2
8

c) AED ~ BEF theo tỉ số đồng dạng k 

AE 8
 2
BE 4

nên tỉ số giữa 2 đường cao của hai tam giác AED; BEF cũng bằng 2; tỉ số diện tích giữa 2 tam giác

AED; BEF là 4.
Bài 21.

A
D

B

G

E

H

I

C

a) Do CG //AB  CG //AD nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
b) Do CG //AB nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
Do EG //BC nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

Từ (1) và (2) ta có:

AD DE

 AD.GE  DE.CG .
CG GE

HC HG

(1).
HA HB

HG HE

(2).
HB HC

HC HE

 HC 2  HE.HA .
HA HC

c) Do IH / / AB nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

IH
IC

(3).
AB BC

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội

24

Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN – THCS
Do IH / / CG nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

Từ (3) và (4) ta có

IH
BI

(4).
CG BC

IH IH
IC BI BC
1
1
1




1


.
AB CG BC BC BC
IH AB CG

Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội