Đề cương Toán 10 học kỳ 1 trường THPT Marie Curie – TP Hồ Chí Minh

Giới thiệu Đề cương Toán 10 học kỳ 1 trường THPT Marie Curie – TP Hồ Chí Minh

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề cương Toán 10 học kỳ 1 trường THPT Marie Curie – TP Hồ Chí Minh.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề cương Toán 10 học kỳ 1 trường THPT Marie Curie – TP Hồ Chí Minh

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ 3 CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 5 1 MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 7 8 9 9 18 2 TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Cách biểu diễn tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Tập con – hai tập bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Tập con của tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 25 26 27 32 37 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 49 1 HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 5. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 50 50 52 57 60 64 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Đồ thị hàm số y = |ax + b| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 85 85 86 87 88 3 HÀM SỐ BẬC HAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 115 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 2 3 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 B Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 C Bài Tập Tự Luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A Các dạng toán thường gặp – Ví dụ – Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Dạng 3. Định lí Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Dạng 4. Phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 HỆ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 A Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 Dạng 1. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Dạng 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 MỆNH A B C 207 ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 PHẦN II CHƯƠNG I VEC-TƠ HÌNH HỌC 219 221 1 VEC-TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 A Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Dạng 2. Tính độ dài của vectơ tổng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 3 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 B Các dạng toán và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Dạng 2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 1 PHẦN I ĐẠI SỐ 3  CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP §1 A 1 MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT MỆNH ĐỀ Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai. # Ví dụ 1. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 2 MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được một mệnh đề. # Ví dụ 1. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 3 PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thỏa mãn tính chất P Đúng Sai P Sai Đúng # Ví dụ 1. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. # Ví dụ 2. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 5 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 6 MỆNH ĐỀ KÉO THEO Mệnh đề “Nếu P thì Q ”gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai. Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Q Sai Đúng Sai Đúng P ⇒Q Sai Đúng Đúng Đúng # Ví dụ 1. ○ Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2 ” là mệnh đề sai. √ ○ Mệnh đề “ 3 < 2 ⇒ 3 < 4” là mệnh đề đúng. Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P ⇒ Q. ! ○ P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q). ○ Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P ). # Ví dụ 2. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 5 MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P . ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ký hiệu P ⇔ Q. Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Cách phát biểu khác: Q Đúng Sai Đúng Sai P ⇒Q Đúng Đúng Sai Sai + P khi và chỉ khi Q. + P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P . # Ví dụ 1. Tam giác ABC cân có một góc 60◦ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. # Ví dụ 2. Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại. # Ví dụ 3. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 4 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 6 7 KÝ HIỆU ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc là với mọi; ký hiệu ∃: đọc là tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc là tồn tại duy nhất. Xét câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0 hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. # Ví dụ 1. Câu Mệnh đề 1 ∀n ∈ N : n2 > 1 Đọc là ∃x ∈ Z : x2 = x Có một số tự nhiên n mà 2n + 1 = 0 4 5 7 Mệnh đề sai Có một số nguyên nhỏ hơn 0 2 3 Mệnh đề đúng ∃!x ∈ Z : |x| < 1 PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỀ VỚI MỌI, TỒN TẠI Mệnh đề P : ∀x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định là ∃x ∈ X, T (x). Mệnh đề P : ∃x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định là ∀x ∈ X, T (x). ○ Phủ định của “a < b” là “a ≥ b”. ! ○ Phủ định của “a = b” là “a 6= b”. ○ Phủ định của “a > b” là “a ≤ b”. ○ Phủ định của “a chia hết cho b” là “a không chỉa hết cho b”. # Ví dụ 1. P : ∃n ∈ Z, n < 0 phủ định của P là P : ∀n ∈ Z, n ≥ 0. # Ví dụ 2. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: ○ P, P không cùng tính đúng sai. ○ P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng, Q sai. ○ P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai. ○ ∀x ∈ X, P (x) đúng khi P (x0 ) đúng với mọi x0 ∈ X. ○ ∃x ∈ X, P (x) đúng khi có x0 ∈ X sao cho P (x0 ) đúng. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 8 1 Số 1 là số nguyên tố. 2 Hà Nội là thủ đô nước nào? 3 Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm. 4 Hình học là môn học khó thật! 5 x + 4 là một số âm. 6 Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4. 7 Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn. 8 n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4. 9 ∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3. 10 ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0. ý Lời giải. a) “Số 1 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai vì số nguyên tố là số lớn hơn 1. b) “Hà Nội là thủ đô nước nào?” không phải là mệnh đề đây là câu hỏi. c) “Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm.” là mệnh đề đúng. d) “Hình học là môn học khó thật!” không phải là mệnh đề vì đây là câu cảm thán. e) “x + 4 là một số âm.” là mệnh đề chứa biến. f) “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4.” là mệnh đề sai vì n = 2 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. g) “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.” là mệnh đề đúng. h) “n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4.” là mệnh đề đúng. i) “∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3.” là mệnh đề sai vì ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3. Å ã 1 2 3 2 2 j) “∀x ∈ R, x − x + 1 > 0.” là mệnh đề đúng vì x − x + 1 = x − + > 0. 2 4 d Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề ○ Mệnh đề phủ định của P là “không phải P ”. ○ Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, P (x)”. ○ Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là “∀x ∈ X, P (x)”. ○ Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. # Ví dụ 1. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. ý Lời giải. Mệnh đề đã cho có dạng P ⇒ Q trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai. # Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai? a) P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0”. b) Q: “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 60◦ ”. ý Lời giải. a) Mệnh đề phủ định của P là P : “∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0”. Đây là mệnh đề sai. b) Mệnh đề phủ định của Q là Q: “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn 60◦ ”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn 60◦ ”. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # Ví dụ 1. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai? h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 9 # Ví dụ 3. Phát biểu thành lời và phủ định các mệnh đề sau. 1 ∀x ∈ R, x2 > 0. 2 ∃!n ∈ N, n2 + n = 0. ý Lời giải. a) Bình phương của một số thực là số dương. Mệnh đề phủ định là “Tồn tại bình phương của một số thực là số không dương”. b) Có một số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó bằng 0. Mệnh đề phủ định là “Với mọi số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó khác 0”. d Dạng 3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ ○ Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)”. Xác định P (x), Q(x). ○ Lấy x ∈ X sao cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. ○ P (x) là điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) là điều kiện cần để có P (x). # Ví dụ 1. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu a + b > 0 thì ít nhất có một số a hay b dương. ý Lời giải. a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiền cần để chúng bằng nhau. b) a + b > 0 là điều kiện đủ để ít nhất có một số a hay b dương. Ít nhất có một số a hay b dương là điều kiện cần để a + b > 0. # Ví dụ 2. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. ý Lời giải. a) Một số có tổng chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 9. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để hình đó là một hình thoi. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương. C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến? a. 2009 + 1 > 2020. b. 2x + 3 = 0. c. x2 + 1 > 0. d. Mọi tam giác đều đều là tam giác cân. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 10 f. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. g. 3 là một số nguyên tố. ý Lời giải. ○ Trong các phát biểu trên, phát biểu a., d., f., g. là mệnh đề ○ Phát biểu b., c. là mệnh đề chứa biến. ○ Phát biểu e. không phải là mệnh đề (câu hỏi) Bài 2. Phát biểu thành lời, xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề dưới đây: a. ∃x ∈ R : x2 = −10. c. ∀x ∈ R : x2 ≤ 0. e. ∃x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. b. ∀x ∈ R : x2 + x + 12 6= −10. d. ∃x ∈ R : x2 ≤ 0. f. ∀x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. ý Lời giải. a. Có một số thực bình phương của nó bằng −10. Đây là mệnh đề sai, vì bình phương của một số thực bất kỳ là một số không âm. Mệnh đề phủ định là: Mọi số thực, bình phương của nó khác −10. Å ã 1 2 47 47 b. Đây là một mệnh đề đúng, vì x2 + x + 12 = x + + ≥ 6= −10 ∀x 2 4 4 Mệnh đề phủ định là: Có một số thực mà tích của số đó với số đó cộng một bằng −22. c. Đây là mệnh đề sai, vì x = 1 thì x2 = 1 > 0. Mệnh đề chứa ký hiệu “với mọi” có 1 phần tử làm cho nó sai thì mệnh đề ấy sai. Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại một số thực mà bình phương của nó là số dương. d. Đây là mệnh đề đúng, vì có phần tử x = 0 làm cho mệnh đề đó đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, bình phương của nó là số dương. e. Đây là mệnh đề đúng. Vì với x = 1 thì 12 + 1 + 5 > 0 là mệnh đề đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. ã Å 19 1 2 19 + ≥ > 0 ∀x f. Đây là mệnh đề đúng. Vì x2 + x + 5 = x + 2 4 4 Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. Bài 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a. 10 < 1. b. 2 + x > x + 1. c. x − y = 1. d. √ 2 là số vô tỉ. ý Lời giải. Câu a. câu d. là mệnh đề. Câu b. câu c. là mệnh đề chứa biến. Bài 4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Không được đi lối này. b. Bây giờ là mấy giờ? ý Lời giải. a. Không được đi lối này. Câu này không phải là mệnh đề vì là câu mệnh lệnh. b. Bây giờ là mấy giờ? Câu này không phải là mệnh đề vì là câu hỏi. c. 7 không là số nguyên tố. d. √ 5 là số vô tỉ. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie e. Số π có lớn hơn 3 hay không? h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 11 c. 7 không là số nguyên tố. Câu này là mệnh đề sai. √ d. 5 là số vô tỉ. Câu này là mệnh đề đúng. Bài 5. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. d. Phương trình x2 + 2020x − 2021 = 0 vô nghiệm. ý Lời giải. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? Đây là câu hỏi không phải mệnh đề. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. Đây là mệnh đề sai, vì “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau” là sai. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. Đây là mệnh đề sai, vì “Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thoi” là sai. d. Phương trình x2 + 2020x − 2021 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai, vì phương trình bậc hai có a, c trái dấu luôn có 2 nghiệm trái dấu. Bài 6. Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a. x2 < x. b. x = 5x. c. x2 > 0. d. x > 1 . x ý Lời giải. a. Với x = 1 thì 2 Å ã2 1 1 < là mệnh đề đúng. Với x = 1 thì 12 < 1 là mệnh đề sai. 2 2 b. Với x = 0 thì 0 = 0 · 5 là mệnh đề đúng. Với x = −1 thì −1 = −1 · 5 là mệnh đề sai. c. Với x = 3 thì 32 > 0 là mệnh đề đúng. Với x = 0 thì 02 > 0 là mệnh đề sai. d. Với x = 2 thì 2 > 1 1 là mệnh đề đúng. Với x = −1 thì −1 > là mệnh đề sai. 2 −3 Bài 7. Cho mệnh đề chứa biến “P (x) : x > x3 ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau Å ã 1 a. P (1). c. ∀x ∈ N, P (x). d. ∃x ∈ N, P (x). b. P . 3 ý Lời giải. a. P (1) : 1 > 13 là mệnh đề sai. Å ã 1 1 1 b. P : > là mệnh đề đúng. 3 3 27 c. ∀x ∈ N, P (x) là mệnh đề sai. d. ∃x ∈ N, P (x) là mệnh đề sai. Bài 8. Dùng các ký hiệu ∀, ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 12 e. x + y > 1. i. (x + y) = x2 + 2xy + y 2 . b. a + 3 = 3 + a. f. (a − b)(a + b) = a2 − b2 . j. (x − 2) = 1. c. 15 là bội của x. g. (a − b) = a2 − b2 . k. x2 − 5x + 6 = 0. h. x2 > 0. l. (x + y)z = xz + yz. 2 2 d. (x − 2) > −1. 2 ý Lời giải. 2 a. ∃x ∈ R : x + 2 > 3. g. ∃a, b ∈ R : (a − b) = a2 − b2 . b. ∀a ∈ R : a + 3 = 3 + a. h. ∃x ∈ R : x2 > 0. c. ∃x ∈ R : 15 là bội của x. i. ∀x, y ∈ R : (x + y) = x2 + 2xy + y 2 . 2 2 2 d. ∀x ∈ R : (x − 2) > −1. j. ∃x ∈ R : (x − 2) = 1. e. ∃x, y ∈ R : x + y > 1. k. ∃x ∈ R : x2 − 5x + 6 = 0. f. ∀a, b ∈ R : (a − b)(a + b) = a2 − b2 . l. ∀x, y, z ∈ R : (x + y)z = xz + yz. Bài 9. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng. 2 a. ∃x ∈ Q : 9×2 − 3 = 0. c. ∀x ∈ R : (x − 1) 6= x − 1. b. ∃n ∈ N : n2 + 1 chia hết cho 8. d. ∀n ∈ N : n > n2 . ý Lời giải. a. Phủ định của mệnh đề là: ∀x ∈ Q : 9×2 − 3 6= 0. Đây là mệnh đề đúng. b. Phủ định của mệnh đề là: ∀n ∈ N : n2 + 1 không chia hết cho 8. Đây là mệnh đề đúng. Vì n = 8k, n = 8k ± 1, n = 8k ± 2, n = 8k ± 3 và n = 8k + 4 với k ∈ N thì n2 + 1 đều không chia hết cho 8. 2 c. Phủ định của mệnh đề là: ∃x ∈ R : (x − 1) = x − 1. 2 Đây là mệnh đề đúng. Vì với x = 1 thì (1 − 1) = 1 − 1 là mệnh đề đúng. d. Phủ định của mệnh đề là: ∃n ∈ N : n ≤ n2 . Đây là mệnh đề đúng. Vì với n = 0 thì 0 ≤ 02 là mệnh đề đúng. Bài 10. Cho số thực x. Xét các mệnh đề P : “x2 = 1 ”và Q : “x = 1 ” a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó. b. Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên. c. Chỉ ra một giá trị của x để mệnh đề P ⇒ Q sai. ý Lời giải. a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q: Nếu bình phương của một số bằng 1 thì số đó bằng 1. Phát biểu mệnh đề Q ⇒ P : Nếu một số bằng 1 thì bình phương số đó bằng 1. b. Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai. Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng. c. Với x = −1 thì mệnh đề P ⇒ Q sai. Bài 11. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a. P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 a. x + 2 > 3. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam b. P : “Bất phương trình √ 13 p x2 − 3x > 1 có nghiệm ”và Q : “ (−1)2 − 3(−1) > 1”. ý Lời giải. a. “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. “Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. Đây là mệnh đề đúng. p √ b. “Bất phương trình √x2 − 3x > 1 có nghiệm khi và chỉ khi p(−1)2 − 3(−1) > 1”. “Bất phương trình x2 − 3x > 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu (−1)2 − 3(−1) > 1”. Đây là mệnh đề sai. Vì với x = 3 thì mệnh đề sai. Bài 12. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng. Biết: P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy”. Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy ”. ý Lời giải. ○ Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu một điểm bất kỳ nằm trên đường phân giác của góc Oxy thì nó cách đều hai cạnh Ox và Oy”. Đây là mệnh đề đúng. ○ Mệnh đề P ⇔ Q là: “Mọi điểm nằm trên đường phân giác của góc Oxy khi và chỉ khi chúng cách đều hai cạnh Ox và Oy”. Đây là mệnh đề đúng. Bài 13. Dùng các ký hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau: a. Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b. Mọi số thực cộng với số 0 bằng chính nó. c. Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. ý Lời giải. . a. ∃x ∈ Z : x 6 .. x. b. ∀x ∈ R : x + 0 = x. c. ∃x ∈ Q : x < 1 . x Bài 14. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” phát biểu các mệnh đề sau: a. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. c. Nếu a = b thì a2 = b2 . d. Nếu a + b > 0 thì trong hai số a và b lớn hơn 0. ý Lời giải. a. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5. Số tự nhiên chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có tận cùng là chữ số 5 c. Bình phương của hai số bằng nhau là điều kiện cần để hai số đó bằng nhau. Hai số bằng nhau là điều kiện đủ để bình phương của chúng bằng nhau. d. Hai số a và b lớn hơn 0 là điều kiện đủ để tổng của chúng lớn hơn 0. Tổng của hai số lớn hơn 0 là điều kiện cần để hai số đó đều lớn hơn 0. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 14 a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật. ý Lời giải. a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện đủ là tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, điều kiện đủ là hình bình hành ABCD có một góc vuông. Bài 16. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: a. ∀x ∈ R : x > −2 ⇒ x2 > 4. c. ∀m, n ∈ N : m và n là các số lẻ ⇔ m2 + n2 là số chẵn. b. ∀x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 > 4. d. ∀x ∈ R : x2 > 4 ⇒ x > 2. ý Lời giải. a. ∀x ∈ R : x > −2 ⇒ x2 > 4. Đây là mệnh đề sai, vì x = −1 thì “−1 > −2 ⇒ (−1)2 > 4” là mệnh đề sai. b. ∀x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 > 4. Đây là mệnh đề đúng, vì với mọi số thực lớn hơn 2 thì bình phương của nó luôn lớn hơn 4. c. ∀m, n ∈ N : m và n là các số lẻ ⇔ m2 + n2 là số chẵn. Đây là mệnh đề sai, vì “m = 2k + 1, n = 2l + 1 với k, l ∈ N thì m2 + n2 là số chẵn” là đúng. Tuy nhiên “m2 + n2 là số chẵn thì m, n là số lẻ” là sai. Do đó mệnh đề tương đương này sai. d. ∀x ∈ R : x2 > 4 ⇒ x > 2. Đây là mệnh đề sai, vì x = −3 thì “(−3)2 > 4 ⇒ −3 > 2” là mệnh đề sai. Bài 17. Xét tính đúng- sai của các mệnh đề sau 1 ∃a ∈ Q, a2 = 2. 2 ∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3. 3 ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x > y ⇔ x3 > y 3 . √ 4 ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x + y ≥ 2 xy. ý Lời giải. 1 Sai. 2 Đúng. 3 Đúng. 4 Sai. Bài 18. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “6 là số nguyên tố ”. √ 2 B : “( 3 − 1)2 là số nguyên ”; 3 C : “∃n ∈ N, n(n + 1) là số chính phương ”; 4 D : “∀n ∈ N, 2n + 1 là số lẻ ”. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Bài 15. Phát biểu một “điều kiện đủ” h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 15 1 A : “6 là hợp số”- Đúng. √ 2 B : “( 3 − 1)2 không phải là số nguyên ”- Đúng; 3 C : “∀n ∈ N, n(n + 1) không phải là số chính phương ”- Sai; 4 D : “∃n ∈ N, 2n + 1 là số chẵn ”- Sai. Bài 19. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. A : “∃x ∈ N, n2 + 3 chia hết cho 4 ”và B : “∃x ∈ N, x chia hết cho x + 1 ”. ý Lời giải. 1 A : “∀x ∈ N, n2 + 3 không chia hết cho 4 ”- Sai. 2 B : “∀x ∈ N, x không chia hết cho x + 1 ”- Sai. Bài 20. Nêu mệnh đề phủ định cúa các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “Phương trình x4 − 2×2 + 2 = 0 có nghiệm”; 2 B : “Bất phương trình x2013 > 2030 vô nghiệm ”; Ä 3 C : “∀x ∈ R, x4 − x2 + 1 = x2 + √ 3x + 1 äÄ ä √ x2 − 3x + 1 ”; 4 D : “∃q ∈ Q, 2q 2 − 1 = 0 ”. ý Lời giải. 1 A : “Phương trình x4 − 2×2 + 2 = 0 vô nghiệm”- Đúng; 2 B : “Bất phương trình x2013 > 2030 có nghiệm ”- Đúng; Ä 3 C : “∃x ∈ R, x4 − x2 + 1 6= x2 + √ 3x + 1 äÄ ä √ x2 − 3x + 1 ”- Sai ; 4 D : “∀q ∈ Q, 2q 2 − 1 6= 0 ”- Đúng. Bài 21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “∀x ∈ R, x3 − x2 + 1 > 0 ”; 2 B : “Tồn tại số thực a sao cho a + 1 ≤ 2 ”. a ý Lời giải. 1 A : “∃x ∈ R, x3 − x2 + 1 ≤ 0 ”- Đúng; 2 B : “Với mọi số thực a sao cho a + 1 > 2 ”- Sai. a Bài 22. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó 1 P (x) : “∃x ∈ Z, x2 = 3 ”. 2 P (n) : “∀n ∈ N∗ : 2n + 3 là một số nguyên tố ”. 3 P (x) : “∀x ∈ R, x2 + 4x + 5 > 0 ”. 4 P (x) : “∀x ∈ R, x4 − x2 + 2x + 2 ≥ 0 ”. ý Lời giải. 1 Sai và P (x) : “∀x ∈ Z, x2 6= 3 ”. 2 Sai và P (n) : “∃n ∈ N∗ : 2n + 3 là một hợp số ”. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 16 4 Đúng và P (x) :: “∃x ∈ R, x4 − x2 + 2x + 2 < 0 ”. Bài 23. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, Q ⇒ P và xét đúng sai của mệnh đề này. 1 Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề P : "Tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180◦ " và Q : " Tứ giác nội tiếp được đường tròn". √ √ √ √ 2 P : ” 2 − 3 > −1″ và Q : ”( 2 − 3)2 > (−1)2 “. ý Lời giải. 1 P ⇒ Q: ” Nếu tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180◦ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn” – Đúng. Q ⇒ P : “Nếu tứ giác không nội tiếp được đường tròn thì tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng 180◦ ” – Sai. √ √ √ √ 2 P ⇒ Q: “Nếu √ 2− √ 3 > −1 thì ( 2 − √ 3)2 √ > (−1)2 ” – Sai. 2 2 Q ⇒ P : “Nếu ( 2 − 3) ≤ (−1) thì 2 − 3 > −1 – Đúng. Bài 24. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần ” đề phát biều các định lí sau 1 Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5. 2 Nếu a = b thì a2 = b2 . 3 Trong mặt phằng, nếu hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5. 2 Điều kiện cần để a = b là a2 = b2 . 3 Trong mặt phằng, điều kiện cần để hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba là hai đường thằng ấy song song với nhau. Bài 25. Dùng khái niệm ” điều kiện cần ” để phát biểu các định lí sau 1 Nếu M A ⊥ M B thì M thuộc đường tròn đường kính AB. 2 a 6= 0 hoặc b 6= 0 là điều kiện đủ để a2 + b2 > 0. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để M A ⊥ M B là M thuộc đường tròn đường kính AB. 2 Điều kiện cần để a2 + b2 > 0 là a 6= 0 hoặc b 6= 0. Bài 26. Sừ dụng khái niệm “điều kiện đủ ” đề phát biểu các định lí sau 1 Nếu a và b là hai số hũu tỉ thì tổng a + b là số hũu tỉ. 2 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 3 Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ý Lời giải. 1 a và b là hai số hũu tỉ là điều kiện đủ để có tổng a + b là số hũu tỉ. 2 Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. 3 Một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 3 Đúng và P (x) : “∃x ∈ R, x2 + 4x + 5 ≤ 0 ”. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 17 Bài 27. Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Đinh lí này được viết dưới dạng P ⇒ Q. 1 Hãy xác định các mệnh đề P và Q. 2 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. 3 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. 4 Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biều gộp cả hai định lí thuận và đảo. ý Lời giải. 1 P : n5 chia hết cho 5 và Q : n chia hết cho 5. 2 Cho số tự nhiên n, điều kiện cần để có n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5 3 Cho số tự nhiên n, n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5 4 Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n5 chia hết cho 5. Cho số tự nhiên n, điều kiện cần và đủ để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5. Bài 28. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”đề phát biều định lí sau 1 Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? 2 Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để một tứ giác là hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau. Điều kiện đủ để tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là tứ giác đó là hình vuông. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. 2 Điều kiện cần để một tứ giác là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc. Điều kiện đủ để một tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tứ giác đó là hình thoi. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. Bài 29. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngũ “điều kiện cần ”, “điều kiện đủ” 1 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 2 Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3. 3 Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 4 Nếu tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao thì AB 2 = BC · BH. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau. Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 2 Điều kiện cần để số nguyên dương chia hết cho 6 là chia hết cho 3. Điều kiện đủ để số nguyên dương chia hết cho 3 là nó chia hết cho 6. 3 Điều kiện cần hình thang có hai đường chéo bằng nhau là nó là hình thang cân. Điều kiện đủ để hình thang là hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. 4 Điều kiện cần để tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao là AB 2 = BC · BH. Điều kiện đủ để tam giác ABC có AB 2 = BC · BH là tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao. Bài 30. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ”để phát biểu các định lí sau 1 Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180◦ . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 18 ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 180◦ . 2 Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là có trung tuyến bằng nhau. Bài 31. Dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ” đề phát biều định lí sau 1 Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau. 2 Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tam giác là tam giác cân là nó có hai góc bằng nhau. 2 Điều kiện cần và đủ để rt giác là hình bình hành là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài 32. Dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ” đề phát biều định lí sau 1 Tam giác ABC vuông khi và chi khi AB 2 + AC 2 = BC 2 . 2 Tứ giác là hình chũ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 3 Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. 4 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là AB 2 + AC 2 = BC 2 . 2 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình chũ nhật là nó có ba góc vuông. 3 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là nó có hai góc đối bù nhau. 4 Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 2 là nó có chữ số tận cùng là số chẵn. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A Số π có phải là số nguyên không?. B Số 4 là một số nguyên tố. C Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60◦ phải không?. D a2 + b2 = c2 . ý Lời giải. “Số 4 là một số nguyên tố” là một mệnh đề. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây sai? A 10 chia hết cho 2. B 2 là một ước số của 10. C 2 chia hết cho 10. D 2 và 10 là hai số chẵn. ý Lời giải. “2 chia hết cho 10” là mệnh đề sai vì 2 chia hết 10. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A 15 là số nguyên tố. B a = b + c. C x2 + x = 0. D 2n + 1 chia hết cho 3. ý Lời giải. “15 là số nguyên tố” là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 19 Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề A 14 là số nguyên tố. B 14 chia hết cho 2. C 14 không phải là hợp số. D 14 chia hết cho 7. ý Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề “14 không phải là hợp số”. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Mênh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A 20 chia hết cho 5. B 5 chia hết cho 20. C 20 là bội số của 5. D 5 chia hết 20. ý Lời giải. “5 chia hết cho 20” là mệnh đề sai vì “5 chia hết 20”. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A 5 + 4 < 10. B 5 + 4 > 10. C 2 − 1 < 0. D 5 + 4 ≥ 10. ý Lời giải. Mệnh đề đúng là “5 + 4 < 10”. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? √ A 5 + 2 = 8. B −2 ≤ 0. C 4 − 17 > 0. D 5 + x = 2. ý Lời giải. “5 + x = 2” không phải là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu “33 là hợp số” thì “15 chia hết cho 25”. B Nếu “7 là số nguyên tố” thì “8 là bội số của 3”. C Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6”. D Nếu “3 + 9 = 12” thì “4 > 7”. ý Lời giải. Mệnh đề A ⇒ B chỉ sai khi A đúng và B sai. Do đó phương án: Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. B Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. D Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. ý Lời giải. Mệnh đề: “Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9” có mệnh đề đảo là “Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3” đúng. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Trong các mệnh đề tương đương sau đây, mệnh đề nào sai? A n là số nguyên lẻ khi và khi n2 là số lẻ. B n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3. C ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD. b = 60◦ . D ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC và A ý Lời giải. Mệnh đề “ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD” sai vì khi AC = BD thì ABCD chưa phải là hình chữ nhật. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A −π < −2 ⇔ π 2 < 4. B π < 4 ⇔ π 2 < 16. √ √ √ √ C 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2 · 5. D 23 < 5 ⇒ (−2) 23 > (−2) · 5. ý Lời giải. Ta có π 2 < 4 ⇔ |π| < 2 ⇔ −2 < π < 2. Vậy phương án −π < −2 ⇔ π 2 < 4 sai. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 20 Câu 13. Với giá trị nào của biến số x sau đây thì mệnh đề chứa biến P (x): “x2 − 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng? A 0. B 1. C −1. D −2. ý Lời giải. Vì x = 1 thì P (1) = 0 nên khi x = 1 thì mệnh đề chứa biến P (x): “x2 − 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Mệnh đề chứa biến: “x3 − 3x2 + 2x = 0” đúng với giá trị nào của x? A x = 0; x = 2. B x = 0; x = 3. C x = 0; x = 2; x = 3. ý Lời giải. Ta có D x = 0; x = 1; x = 2. x3 − 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 − 3x + 2) = 0  x=0  ⇔ x = 1 x = 2. Vậy mệnh đề chứa biến: “x3 − 3x2 + 2x = 0” đúng khi x = 0; x = 1; x = 2. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Cho mệnh đề P : “∀x ∈ R, x2 − 1 6= 0”, Q: “∃n ∈ Z, n = n2 ”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề P, Q. A P đúng và Q sai. B P sai và Q đúng. C P, Q đều đúng. D P, Q đều sai. ý Lời giải. Khi x = 1 thì x2 − 1 = 0, do đó mệnh đề P sai. Khi n = 1 thì n = n2 , do đó mệnh đề Q đúng. Vậy P sai và Q đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Với số thực x bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ x ≤ ±4. B ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4. C ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ x ≤ −4, x ≥ 4. D ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 < x < 4. ý Lời giải. Ta có ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ |x| ≤ 16 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Với số thực x bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ √ A ∀x, x2 > 5 ⇒ x > 5 hoặc x < − 5. B ∀x, x2 > 5 ⇒ − 5 < x < 5. √ √ √ C ∀x, x2 > 5 ⇒ x > ± 5. D ∀x, x2 > 5 ⇒ x ≥ 5 hoặc x ≤ − 5. ý Lời giải. √ √ Ta có ∀x, x2 > 5 ⇒ x > 5 hoặc x < − 5. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A ∀x ∈ R, x ≤ x2 . C ∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3. ý Lời giải. B ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3. D ∃a ∈ Q, a2 = 2. ○ Mệnh đề ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3 sai vì −4 < 3 nhưng | − 4| > 3. ○ Mệnh đề ∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3 sai, vì chẳng hạn chọn n = 1 ∈ N thì 2 không chia hết cho 3. ○ Xét mệnh đề ∃a ∈ Q, a2 = 2. Ta có √ a2 = 2 ⇔ a = ± 2 ∈ I. Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề đúng là ∀x ∈ R, x ≤ x2 . ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 12. Xét câu P (n): “n chia hết cho 12”. Với giá trị nào của n thì P (n) là mệnh đề đúng? A 48. B 4. C 3. D 88. ý Lời giải. Vì 48 ÷ 12 = 4 nên khi n = 48 thì P (n): “n chia hết cho 12” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 21 Câu 19. Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P (x): “2×2 − 1 < 0” là mệnh đề đúng? √ A 0. B 5. C 1. D 2. ý Lời giải. Với x = 0 thì P (x) = −1 < 0, khi đó mệnh đề P (x) đúng ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Cho mệnh đề P (x): “∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0”. Phủ định của mệnh đề P (x) là A ∃x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. B ∀x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. 2 C ∀x ∈ D ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. / R, x − x + 7 > 0. ý Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là P (x) : ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Trong các câu sau, câu nào đúng? A Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q, 4×2 − 1 = 0” là mệnh đề “∀x ∈ Q, 4×2 − 1 > 0”. B Phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4”. C Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 6= x − 1” là mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 = x − 1”. D Phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2 > n” là mệnh đề “∃n ∈ N, n2 < n”. ý Lời giải. ○ Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q, 4x2 − 1 = 0” là mệnh đề “∃x ∈ Q, 4x2 − 1 6= 0”. ○ Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 6= x − 1” là mệnh đề “∃x ∈ R, (x − 1)2 = x − 1”. ○ Phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2 > n” là mệnh đề “∃n ∈ N, n2 ≤ n”. Vậy phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4 ” là khẳng định đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “x2 + 3x + 1 > 0 với mọi x” là A Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 > 0. B Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0. C Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 = 0. D Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 < 0. ý Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là “Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0”. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số nguyên tố” là A ∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. B ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. 2 C ∀x ∈ / R : x + 2x + 5 không là số nguyên tố. D ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số thực. ý Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là ∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “∃x ∈ R : 5x − 3x2 = 1” là A ∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1. B ∀x ∈ R, 5x − 3x2 = 1. C ∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1. D ∃x ∈ R, 5x − 3x2 ≥ 1. ý Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là ∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3. B ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3. C ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9. D ∀x ∈ Z, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12. ý Lời giải. Xét mệnh đề ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9, với x = 3 thì x2 = 32 = 9 chia hết cho 9, nhưng 3 không chia hết cho 9. Do đó mệnh đề ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9 không phải là định lí. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A ∀x ∈ R, x > −2 ⇒ x2 > 4. C ∀x ∈ R, x2 > 4 ⇒ x > 2. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie B ∀x ∈ R, x > 2 ⇒ x2 > 4. D Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3. 22 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ Xét mệnh đề “Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3”, ta chọn a = 5, b = 1 thì a + b = 6 chia hết cho 3 nhưng a và b đều không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề ∀x ∈ R, x > 2 ⇒ x2 > 4 là định lí. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ Xét mệnh đề ∀x ∈ R, x > −2 ⇒ x2 > 4: Với x = 1 > −2 nhưng (−1)2 = 1 < 4. Do đó mệnh đề này sai. √ √ ○ Xét mệnh đề ∀x ∈ R, x2 > 4 ⇒ x > 2, ta có x2 > 4 ⇒ |x| > 2 ⇒ x < − 2 hoặc x > 2. Do đó mệnh đề này sai. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam §2 A 23 TẬP HỢP TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tập hợp (hay còn gọi là 1 tập) là một khái niệm nguyên thuỷ, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ sau # Ví dụ 1. ○ X là tập hợp các chữ cái của chữ MARIE CURIE. ○ Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7. Hai tập hợp X và Y trong ví dụ trên được minh hoạ bởi một đường cong khép kín mà ta gọi là Biểu đồ Venn. (Do nhà toán học Jonh Venn người Anh xây dựng năm 1881) X Y M A R C I 0 E U 2 1 3 5 4 6 Mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó. Phần tử a của tập hợp X được kí hiệu a ∈ X, còn được gọi là a thuộc tập hợp X. Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b ∈ / X, còn được gọi là b không thuộc X. Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận tập hợp không chứa một phần tử nào cả, tập hợp đó được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là ∅. # Ví dụ 2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Cách biểu diễn tập hợp Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp. Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng ở giữa dấu {}. Ví dụ: X = {0; 5; 10; 15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5. Y = {1; 2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0. Z = {0; 1; 2; 3; 4; . . . , 99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó. Chẳng hạn, tập hợp các số tự từ 1 đến 2 là không liệt kê được. (Số thực đứng sau 1 là số nào ? Không biết được). Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấu {}, mà nhờ chúng ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Ví dụ: A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. Chú ý 1. ○ N là tập hợp các số tự nhiên. ! ○ Q là tập hợp các số hữu tỉ. ○ Z là tập hợp các số nguyên. ○ R là tập hợp các số thực. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 24 A = {x ∈ N | (2x + 4)(2×2 − 5x) = 0}. B = {x ∈ Z | 4 < x2 ≤ 25}. C = {x ∈ R | x = 2n2 − n − 3 với n ∈ # Ví dụ 1. N, n < 3}. D = {x ∈ Z | 5 < |x| ≤ 6}. E = {x ∈ R | |x − 1| = 1}. ý Lời giải.  x = −2  x = 0 ; do đó A = {0}. ○ Ta có (2x + 4)(2x2 − 5x) = 0 ⇔   5 x= 2 ○ B = {3; 4; 5}. ○ n là số tự nhiên và n < 3 nên n = 0, n = 1, n = 2, do đó C = {−3; −2; 3}. ○ D = {−6; 6}. ○ |x − 1| = 1 ⇔ ñ x=0 x=2 , do đó E = {0; 2}. # Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc của các phần tử của nó √ trưng √ A = {0; 2; 4; 6; 8}. B = {− 2; 2}. ý Lời giải. A = {x | x = 2n với n ∈ N, n < 5}. B = {x ∈ R | x2 − 2 = 0}. Bài tập rèn luyện Bài 1. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó. E = {x ∈ N | 2x − 1 = 0}. A = {x ∈ N | 2 < x < 15 và x là số chẵn}. B = {x ∈ Z | 3x2 − 10x + 3 = 0}. F = {x ∈ Z | |x| < 4}. C = {x ∈ N | (x2 − 3)(x2 − 5x + 6) = 0}. G = {x ∈ R | x3 − 4x = 0 và x < 1}. 2 H = {x ∈ R | x = 2n2 − 3, x ∈ N và x < 10}. D = {x ∈ Z | (x − 8)(4x − 5) = 0}. ý Lời giải. ○ A = {4; 6; 8; 10; 12; 14}.  x=3 ○ 3x2 − 10x + 3 = 0 ⇔  1 , do đó B = {3}. x= 3 √  x=± 3  ○ (x2 − 3)(x2 − 5x + 6) = 0 ⇔ x = 2 , do đó C = {2; 3}. x=3 √  x = ±2 2 ○ (x2 − 8)(4x − 5) = 0 ⇔  , do đó E = ∅. 5 x= 4 ○ 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 nên E = ∅. 2 ○ F = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ! Chú ý 2. Tập hợp {∅} là tập hợp không rỗng. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 25  x=0  3 ○ x − 4x = 0 ⇔ x = 2 , do đó G = {0; −2}. x = −2 ○ x < 10 ⇔ 2n2 − 3 < 10 ⇔ n = 0; n = 1; n = 2. Khi đó H = {−3; −1; 5}. Bài 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của nó D = {−3; −2; −1; 1; 2; 3}. A = {1; 3; 5; 7; 9}. E=ß ∅. ™ B = {0; 1; 4; 9; 16; 25}. 1 3 5 7 9 C = {1; 7; −3; 6}. F = . ; ; ; ; 2 4 8 16 32 ý Lời giải. ○ A = {x ∈ N | x = 2n + 1 với n ∈ N, n < 5}. ○ B = {x ∈ R | x = n2 với n ∈ N, n <= 5}. ○ C = x ∈ R | (x2 − 8x + 7)(x2 − 3x − 18) = 0. ○ D = {x ∈ Z | 0 < |x| ≤ 3}. ○ E = {x ∈ R | x2 + 1 = 0}. ○ F = {x ∈ Q | x = 2n − 1 với n ∈ N∗ , n < 5}. 2n d Dạng 2. Tập con - hai tập bằng nhau Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B và kí hiệu A ⊂ B. ! A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) B Các cách gọi: ○ A là tập con của tập B. A ○ Tập A bị chứa trong tập B. ○ Tập B chứa tập A và được kí hiệu B ⊃ A. Chú ý 1 ! ○ Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (Tính bắc cầu). ○ Với mọi tập A ta đều có A ⊂ A. ○ Với mọi tập A ta đều có ∅ ⊂ A. ! Chú ý 2. N ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. ∗ Cho hai tập hợp A và B. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta gọi hai tập A và B bằng nhau, kí hiệu A = B. A A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B) Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie B # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 26 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Xác định các tập hợp con của tập hợp A = {x ∈ R| (x2 − 2)(x− x) = 0} ý Lời giải. √  x=± 2  Ta có (x2 − 2)(x2 − x) = 0 ⇔ x = 0 x=1 √ √ Như vậy A = { 2; − 2; 0; 1} √ √ √ √ √ √ √ √ Do√đó các tập con 2}, {− 2} {0; 1}, {0; 2}, {0; − 2}, {1; 2}, {1; − 2}, { 2; − 2}, √ của tập√A là ∅,√{0},{1},{ √ √ {0; 1; 2}, {0; 1; − 2}, {1; 2; − 2},{ 2; − 2; 0; 1}. Bài 2. Cho các tâp hợp A = {x ∈ R| x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z| x2 ≤ 1}, C = {x ∈ N| 2x + 10 < 0}, D = {x ∈ N| x3 = x}. Tập nào là con tập nào ? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. Ta có A = {0; 1; −1}, B = {−1; 0; 1}; C = ∅; D = {0; 1}. Như vậy A = B và C ⊂ D ⊂ A = B. Bài 3. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho {1; 3} ⊂ X và X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}. ý Lời giải. Yêu cầu bài toán cho ta các tập X như sau: X = {1; 3}, X = {1; 2; 3}, X = {1; 3; 4}, X = {1; 3; 5}, X = {1; 2; 3; 4}, X = {1; 2; 3; 5}, X = {1; 3; 4; 5}, X = {1; 2; 3; 4; 5}. Bài 4. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho X ⊂ {−3; −2; 0; 1; 3} và X ⊂ {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. ý Lời giải. Yêu cầu bài toán cho ta các tập X như sau: X = ∅, X = {0}, X = {1}, X = {3}, X = {1; 3}, X = {0; 1}, X = {0; 3}, X = {0; 1; 3}. Bài 5. Cho các tập hợp A = {x ∈ R | x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z | (x2 − x)(x2 − 3x + 2) = 0}, C = {x ∈ R | x2 + 10 = 0}, D = {x ∈ Z| x2 < 5}.Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. Ta có A = {0; 1; −1}, B = {0; 1; 2}, C = ∅, D = {−2; −1; 0; 1; 2}. Như vậy A, B, C là các tập con của D. Không có hai tập nào bằng nhau. Bài 6. Cho ba tập hợp A = {1; 2; −1}, B = {2; −1}, C = {x ∈ R| x2 − 1 = 0} Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. C = {−1; 1}. Do đó các tập B, C là tập con của tập A. Bài 7. Tìm tất cả các tập con của tập A = {x ∈ N| x < 6} mà có hai phần tử. ý Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Do đó các tập con có hai phần tử của tập hợp A là: {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {0; 4}, {0; 5}, {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}. Bài 8. Tìm tất cả các tập con của tập X = {a; b; c; d} thoả a. Có trên hai phần tử b. Có đúng hai phần tử c. Có ít hơn hai phần tử d. Không có phần tử c ý Lời giải. a. Các tập hợp con có trên hai phần tử là {a; b; c}, {a; b; d}, {b; c; d}, {a; b; c; d}. b. Các tập con có đúng hai phần tử là {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}. c. Các tập hợp con có ít hơn hai phần tử là ∅, {a}, {b}, {c}, {d}. d. Các tập hợp con Không có phần tử c là {a}, {b}, {d}, {a; b}, {a; d}, {b; d}, {a; b; d}. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 27 d Dạng 1. Các phép toán trên tập hợp 1 Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Kí hiệu A ∪ B. A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. B A ∪ B là phần gạch chéo 2 Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu A ∩ B. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. A B A ∩ B là phần gạch chéo 3 Phép lấy bù Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong E là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A. Kí hiệu CE A. E A A ⊂ E, x ∈ CE A ⇔ x ∈ E và x ∈ / A. CE A là phần gạch chéo 4 Phép hiệu Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Kí hiệu A B. x ∈ A B ⇔ x ∈ A và x ∈ / B. ! Nếu A ⊂ B thì A B = C B. A B A A B là phần gạch chéo # Ví dụ 1. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A∪B, A∩B, AB và BA với A = {x ∈ N | 3 ≤ x < 7} và B = {x ∈ Z | −1 ≤ x < 5}. ý Lời giải. Ta có A = {3; 4; 5; 6} và B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. Do đó ○ A ∪ B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. ○ A ∩ B = {3; 4}. ○ A B = {5; 6}. ○ B A = {−1; 0; 1; 2}. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 28 ý Lời giải. Ta có A = {−1; 2; 3; 7} và B = {2; 3}. Do đó ○ A ∪ B = {−1; 2; 3; 7}. ○ A ∩ B = {2; 3}. ○ A B = {−1; 7}. ○ B A = ∅. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # Ví dụ 2. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A B và B A với A = {−1; 2; 3; 7} và B = {x ∈ R | (x − 2)(x − 3) = 0}. Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 3; 5} và B = {−1; 0; 2; 3}. Chứng minh (A ∪ B) (A ∩ B) = (A B) ∪ (B A). ý Lời giải. Ta có A ∪ B = {−1; 0; 1; 2; 3; 5} và A ∩ B = {0; 3} nên (A ∪ B) (A ∩ B) = {−1; 1; 2; 5}. Mặt khác, A B = {1; 5} và B A = {−1; 2} nên (A B) ∪ (B A) = {−1; 1; 2; 5}. Vậy (A ∪ B) (A ∩ B) = (A B) ∪ (B A) (điều phải chứng minh).    Bài 2. Cho hai tập hợp A = x ∈ R | x3 − 8 2x2 − x − 3 = 0 và B = {x ∈ Z | 2|x| − 5 ≤ 0}. Tìm tập hợp (A ∪ B) (A ∩ B). ý Lời giải. Ta có  x=2 ñ 3  x − 8 = 0   x = −1 x3 − 8 2x2 − x − 3 = 0 ⇔ ⇔  2 2x − x − 3 = 0 3 x= . 2 ß ™ 3 Cho nên A = −1; ; 2 . 2 Mặt khác 5 5 5 2|x| − 5 ≤ 0 ⇔ 2|x| ≤ 5 ⇔ |x| ≤ ⇔ − ≤ x ≤ . 2 2 2 Cho nên B = {−2; ß −1; 0; 1; 2}. ™ ß ™ 3 3 Khi đó A ∪ B = −2; −1; 0; 1; ; 2 và A ∩ B = {−1; 2}. Do đó (A ∪ B) (A ∩ B) = −2; 0; 1; . 2 2 ß ™   2k + 12 Bài 3. Cho ba tập hợp A = {n ∈ N | n ≥ 2}, B = x ∈ N | (x − 5) x2 + 1 < 0 và C = k ∈ N 2 là số nguyên . k +k Tìm tập hợp A ∩ B ∩ C. ý Lời giải. Ta có A = {2; 3; 4; . . .}. Vì x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ R nên  (x − 5) x2 + 1 < 0 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ x < 5. Suy ra B = {0; 1; 2; 3; 4}. Vì vậy A ∩ B = {2; 3; 4}. Mặt khác, giả sử k ∈ A ∩ B ∩ C thì k ∈ A, k ∈ B và k ∈ C. Do đó, ta thử k = 2, k = 3, k = 4 vào biểu thức ○ Với k = 2 ta được 2 · 2 + 12 8 = không nguyên. 22 + 2 3 ○ Với k = 3 ta được 2 · 3 + 12 3 = không nguyên. 2 3 +3 2 ○ Với k = 4 ta được 2 · 4 + 12 = 1 nguyên. 42 + 4 Vậy A ∩ B ∩ C = {4}. Bài 4. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn {1; 3} ∪ X = {0; 1; 2; 3}. ý Lời giải. Ta có {0; 1; 2; 3} {1; 3} = {0; 2} cho nên tất cả các tập X cần tìm là {0; 2}, {0; 1; 2}, {0; 2; 3}, {0; 1; 2; 3}. 2k + 12 . k2 + k h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 29 Bài 5. Xác định hai tập hợp A và B biết rằng A B = {1; 5; 7; 8}, B A = {2; 10} và A ∩ B = {3; 6; 9}. ý Lời giải. Vì A B = {1; 5; 7; 8} nên {1; 5; 7; 8} ⊂ A và 1 ∈ / B, 5 ∈ / B, 7 ∈ / B, 8 ∈ / B. Vì B A = {2; 10} nên 2 ∈ / A, 10 ∈ / A và {2; 10} ⊂ B. Vì A ∩ B = {3; 6; 9} nên {3; 6; 9} ⊂ A và {3; 6; 9} ⊂ B. Từ (1), (2) và (3) suy ra A = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, B = {2; 3; 6; 9; 10}. Bài 6. Cho tập hợp A = {1; 3; 6}. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn A ∪ X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và A ∩ X = {3}. ý Lời giải. Ta có {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {2; 4; 5}. Vì A ∩ X = {3} nên 3 ∈ X. Vậy tất cả các tập X cần tìm là {2; 3; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}, {2; 3; 4; 5; 6}, {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Bài đọc thêm # Ví dụ 1. Câu lạc bộ ngoại ngữ của trường Marie Curie có 30 học sinh nói được tiếng Anh, 25 học sinh nói được tiếng Pháp, trong đó có 12 học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi câu lạc bộ ngoại ngữ có bao nhiêu học sinh, trong đó có bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Anh, bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Pháp? ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử của A là 30. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 25. Dựa vào bổ đồ Venn ta có 12 Anh-Pháp 30 Anh 25 Pháp A B ○ A ∩ B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Suy ra A ∩ B có 12 phần tử. ○ A B là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy ra A B có 30 − 12 = 18 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Anh). A∩B AB BA Biểu đồ Venn ○ B A là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Suy ra B A có 25 − 12 = 13 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). ○ A ∪ B là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ. Ta có A ∪ B = (A B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B A). Suy ra A ∪ B có 18 + 12 + 13 = 43 phần tử (là số học sinh trong câu lạc bộ). # Ví dụ 2. Lớp 10X có 30 học sinh trong đó có 25 học sinh nói được tiếng Anh và 18 học sinh nói được tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp? ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử của A là 25. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 18. Dựa vào bổ đồ Venn ta có Anh-Pháp 25 Anh 18 Pháp A B ○ A ∪ B là tập hợp các học sinh lớp 10X. Suy ra A ∪ B có 30 phần tử. ○ A B là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Ta có A B = (A ∪ B) B. Suy ra A B có 30 − 18 = 12 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Anh). AB ○ B A là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Ta có B A = (A ∪ B) A. Suy ra B A có 30 − 25 = 5 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie A∩B Biểu đồ Venn BA (1) (2) (3) # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 30 # Ví dụ 3. Có 200 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, trong đó có 60 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 80 học sinh nói được tiếng Pháp và 90 học sinh nói được tiếng Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp và Nhật? Biết trong 200 học sinh đó có 20 học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 80. Gọi C là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật” thì số phần tử của C là 90. A 60 chỉ nói được Anh X Nói được ba thứ tiếng 20 chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp-Nhật Y B C 80 Pháp 90 Nhật Biểu đồ Venn Dựa vào biểu đồ Ven ta có ○ Đặt Ω = A ∪ B ∪ C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra Ω có 200 phần tử. ○ Đặt X = A (B ∪ C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy ra X có 60 phần tử. ○ Đặt Y = (B ∩ C) A là tập hợp các học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. Suy ra Y có 20 phần tử. ○ Ta có B ∪ C = Ω X. Suy ra B ∪ C có 200 − 60 = 140 phần tử. Ta có |B ∪ C| = |B| + |C| − |B ∩ C|. Suy ra B ∩ C có (80 + 90) − 140 = 30 phần tử. ○ Ta có A ∩ B ∩ C = (B ∩ C) Y là tập hợp các học sinh nói được ba thứ tiếng. Suy ra A ∩ B ∩ C có 30 − 20 = 10 phần tử. Vậy số học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật là 10 học sinh. # Ví dụ 4. Có 100 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật. Có 39 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 35 học sinh nói được tiếng Pháp và 8 học sinh nói được cả tiếng Anh và Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Nhật? ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 35. Gọi C là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật”. Vì mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng nên A ∩ B ∩ C = ∅. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ○ A ∩ B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Ta có A ∩ B = (A ∪ B) ((A B) ∪ (B A)). Suy ra A ∩ B có 30 − (12 + 5) = 13 phần tử (là số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp). h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 31 8 nói được hai thứ tiếng Anh-Nhật 39 chỉ nói được Anh Chỉ nói được Nhật X Y A C B 35 Pháp Biểu đồ Venn Dựa vào biểu đồ Venn ta có ○ Đặt Ω = A ∪ B ∪ C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra Ω có 100 phần tử. ○ Đặt X = A (B ∪ C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy ra X có 39 phần tử. ○ Đặt Y = A ∩ C là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Nhật. Suy ra Y có 8 phần tử. ○ Ta có B ∪ C = Ω X. Suy ra B ∪ C có 100 − 39 = 61 phần tử. Ta có C B = (C ∪ B) B. Suy ra C B có 61 − 35 = 26 phần tử. ○ Ta có (C B) Y là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Nhật. Suy ra (C B) Y có 26 − 8 = 18 phần tử. Vậy số học sinh chỉ nói được tiếng Nhật là 18 học sinh. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 32 Tên gọi Tập số thực Kí hiệu (−∞; +∞) Tập hợp Biểu diễn trên trục số (Phần không bị gạch chéo) 0 R a h Đoạn [a; b] ib {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} [a; b] a  Khoảng (a; b) b  {x ∈ R | a < x < b} (a; b) a h Nửa khoảng [a; b) b  {x ∈ R | a ≤ x < b} [a; b) a  Nửa khoảng (a; b] ib {x ∈ R | a < x ≤ b} (a; b] a i Nửa khoảng (−∞; a] {x ∈ R | x ≤ a} (−∞; a] a h Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ R | x ≥ a} [a; +∞) a  Khoảng (−∞; a) {x ∈ R | x < a} (−∞; a) a  Khoảng (a; +∞) {x ∈ R | x > a} (a; +∞) # Ví dụ 1. Các tập sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −6 < x < 7}. 2 B = {x ∈ R | 5x + 1 ≥ 8}. ý Lời giải. 1 Ta có A = (−6; 7). Biểu diễn −6  7  2 Ta có 5x + 1 ≥ 8 ⇔ 5x ≥ 7 ⇔ x ≥ 7 . 5 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie d Dạng 2. Tập con của tập số thực h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam ï Vậy B = 33 ã 7 ; +∞ . Biểu diễn 5 7 5h # Ví dụ 2. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. 2 [1; +∞) = {1; 2; 3; 4; . . .}. 1 {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. ý Lời giải. 1 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì −4 ∈ [−4; 2] và 2 ∈ [−4; 2] nên {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. / {1; 2; 3; 4; . . .} nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 2 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì 1,5 ∈ [1; +∞) nhưng 1,5 ∈ # Ví dụ 3. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 (−2; 7) ∩ (3; +∞). 2 (−3; 4) ∪ {−3; 4}. ý Lời giải. 1 Ta có (−2; 7) ∩ (3; +∞) = (3; 7). Biểu diễn 3  7  −3 h 4i 2 Ta có (−3; 4) ∪ {−3; 4} = [−3; 4]. Biểu diễn # Ví dụ 4. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A B, B A và biểu diễn bằng trục số trong các trường hợp sau. 1 A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {−3; −2; −1; 0; 1}. 2 A = {x ∈ Z | |x| ≤ 3}, B = {x ∈ N | x < 7}. 3 A = (−1; 2018), B = [−2019; 9]. 4 A = {x ∈ R | x ≤ 2018}, B = {x ∈ R | x > 0}. ý Lời giải. 1 Ta có ○ A ∩ B = {1}. ○ A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. ○ A B = {2; 3; 4; 5}. ○ B A = {−3; −2; −1; 0}. 2 Ta có A = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} và B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. ○ A ∩ B = {0; 1; 2; 3}. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 34 ○ A B = {−3; −2; −1}. ○ B A = {4; 5; 6}. 3 Ta có ○ A ∩ B = (−1; 9]. Biểu diễn −1  9i −2019 h 2018  9  2018  −2019 h −1 i 0  2018 i ○ A ∪ B = [−2019; 2018). Biểu diễn ○ A B = (9; 2018). Biểu diễn ○ B A = [−2019; −1]. Biểu diễn 4 Ta có A = (−∞; 2018] và B = (0; +∞). ○ A ∩ B = (0; 2018]. Biểu diễn ○ A ∪ B = (−∞; +∞). Biểu diễn 0 ○ A B = (−∞; 0]. Biểu diễn 0i ○ B A = (2018; +∞). Biểu diễn 2018  # Ví dụ 5. Cho tập hợp M = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. 1 Tìm tất cả tập hợp con có 1 phần tử của tập M . 2 Tìm tất cả tập hợp con có 2 phần tử của tập M . 3 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con? 4 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con có ít nhất 1 phần tử? 5 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con khác M ? ý Lời giải. 1 Tất cả tập con có 1 phần tử của M là {−2}, {−1}, {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 35 2 Tất cả tập con có 2 phần tử của M là {−2; −1}, {−2; 0}, {−2; 1}, {−2; 2}, {−2; 3}, {−2; 4}, {−2; 5}, {−1; 0}, {−1; 1}, {−1; 2}, {−1; 3}, {−1; 4}, {−1; 5}, {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {0; 4}, {0; 5}, {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}. 3 Tập hợp M có 8 phần tử. Số tập hợp con của M là 28 = 256. 4 Tập con không có phần tử của M là ∅. Số tập hợp con có ít nhất 1 phần tử của M là 28 − 1 = 255. 5 Số tập hợp con khác M là 28 − 1 = 255. Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Các tập hợp sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −2 ≤ x + 1 ≤ 3}. 2 B = {x ∈ R | −3 < 3x − 2 ≤ 2}. 3 C = {x ∈ R | 2 < 2x + 3 < 4}. 4 D = {x ∈ R | −4 ≤ 2x < 3}. 5 E = {x ∈ R | 5x − 3 ≤ 0}. 6 H = {x ∈ R | 2x − 7 > 4}. ý Lời giải. 1 Ta có −2 ≤ x + 1 ≤ 3 ⇔ −2 − 1 ≤ x ≤ 3 − 1 ⇔ −3 ≤ x ≤ 2. Vậy A = [−3; 2]. Biểu diễn −3 h 2i 2 Ta có 1 4 −3 < 3x − 2 ≤ 2 ⇔ −3 + 2 < 3x ≤ 2 + 2 ⇔ −1 < 3x ≤ 4 ⇔ − < x ≤ . 3 3 ò Å 1 4 Vậy B = − ; . Biểu diễn 3 3 1 − 3  4 3i 3 Ta có 1 1 2 < 2x + 3 < 4 ⇔ 2 − 3 < 2x < 4 − 3 ⇔ −1 < 2x < 1 ⇔ − < x < . 2 2 Å ã 1 1 Vậy C = − ; . Biểu diễn 2 2 1 − 2  1 2  4 Ta có −4 ≤ 2x < 3 ⇔ −2 ≤ x < ï ã 3 Vậy D = −2; . Biểu diễn 2 −2 h Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 3 2  3 . 2 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 36 5x − 3 ≤ 0 ⇔ 5x ≤ 3 ⇔ x ≤ 3 . 5 Å ò 3 Vậy E = −∞; . Biểu diễn 5 3 5i 6 Ta có 2x − 7 > 4 ⇔ 2x > 4 + 7 ⇔ 2x > 11 ⇔ x > Å Vậy H = 11 . 2 ã 11 ; +∞ . Biểu diễn 2 11 2  Bài 2. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. 1 (−1; 3) = {−1; 0; 1; 2; 3}. 2 (−2; 2] = [−2; 2). 3 N ⊂ [0; +∞). 4 {−3; 1} (−3; 1) = {−3; 1}. ý Lời giải. 1 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì −1 ∈ {−1; 0; 1; 2; 3} nhưng −1 ∈ (−1; 3] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 2 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì −2 ∈ [−2; 2) nhưng −2 ∈ / (−2; 2] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 3 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì N = {0; 1; 2; 3; 4; . . .} và tất cả các phần tử của N đều thuộc tập [0; +∞) nên N ⊂ [0; +∞). 4 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì −3 ∈ / (−3; 1) và 1 ∈ / (−3; 1) nên {−3; 1} (−3; 1) = {−3; 1}. Bài 3. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 [−3; 1) ∪ (0; 4]. 2 (−1; 2] ∪ [−2; 1). ý Lời giải. 1 Ta có [−3; 1) ∪ (0; 4] = [−3; 4]. Biểu diễn −3 h 4i −2 h 2i 2 Ta có (−1; 2] ∪ [−2; 1) = [−2; 2]. Biểu diễn Bài 4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 (−8; 4] ∩ [−1; 4]. 2 (−∞; 3) ∩ [−2; 6). 3 [−3; 5] (−2; 7). 4 [−2; +∞) (−4; 5]. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 5 Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 37 ý Lời giải. 1 Ta có (−8; 4] ∩ [−1; 4] = [−1; 4]. Biểu diễn −1 h 4i −2 h 3  −3 h −2 i 2 Ta có (−∞; 3) ∩ [−2; 6) = [−2; 3). Biểu diễn 3 Ta có [−3; 5] (−2; 7) = [−3; −2]. Biểu diễn 4 Ta có [−2; +∞) (−4; 5] = (5; +∞). Biểu diễn 5  Bài 5. Cho hai tập A = [4; 7] và B = (m; 9). Tìm số thực m sao cho 1 A ∩ B = ∅. 2 A ⊂ B. 3 A B = ∅. ý Lời giải. 1 A ∩ B = ∅ khi m ≥ 7. 2 A ⊂ B khi m < 4. 3 A B = ∅ khi A ⊂ B, tức là m < 4. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A N ⊂ Z. B Q ⊂ N. C R ⊂ Q. D R ⊂ Z. ý Lời giải. Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A ∩ B = C. B A ∪ B = C. C A B = C. D B A = C. ý Lời giải. Ta thấy hình vuông là hình chữ nhật. Hình vuông cũng là hình thoi. Vậy A ∩ B = C. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Cách viết nào sau đây không đúng? A 1 ⊂ N. B 1 ∈ N. C {1} ⊂ N. D 1 ∈ N? . ý Lời giải. Số 1 là một phần tử của tập số tự nhiên, do đó cách viết 1 ⊂ N không đúng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp? A 1. B 2. ý Lời giải. Có hai cách xác định một tập hợp Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie C 3. D 4. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 38 ○ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Có bao nhiêu phép toán trên tập hợp? A 5. B 2. ý Lời giải. Các phép toán trên tập hợp gồm C 3. D 4. ○ Giao của hai tập hợp; ○ Hợp của hai tập hợp; ○ Hiệu và phần bù của hai tập hợp. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Cách viết nào sau đây thể hiện tập hợp A bằng B? A A = B. B A 6= B. C A < B. D A ⊂ B. ý Lời giải. Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Số tập con của tập A = {1; 2; 3} là A 8. B 6. C 5. D 7. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n . Tập A có 3 phần tử, do đó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 8. Viết tập M = {x ∈ N sao cho x là ước của 8} dạng liệt kê các phần tử là A M = {1; 4; 16; 64}. B M = {0; 1; 4; 16; 64}. C M = {1; 2; 4; 8}. D M = {0; 1; 2; 4; 8}. ý Lời giải. Ước tự nhiên của 8 là 1; 2; 4; 8. Do đó √ ○ x = 1 ⇒ x = 1; √ ○ x = 2 ⇒ x = 4; √ ○ x = 4 ⇒ x = 16; √ ○ x = 8 ⇒ x = 64; ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 9. Xác định tập hợp M = {1; 3; 9; 27; 81} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của tập hợp A M = {n ∈ N sao cho 1 ≤ n ≤ 8}. B M = {x sao cho x = 3k ; k ∈ N; 0 ≤ k ≤ 4}. k C M = {n ∈ N sao cho n = 3 }. D M = {Có 5 số lẻ}. ý Lời giải. Ta có M = {x sao cho x = 3k ; k ∈ N; 0 ≤ k ≤ 4} = {1; 3; 9; 27; 81}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Cho tập M = {a; b; c; d; e}. Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau A M có 32 tập hợp con. B M có 25 tập hợp con. C M có 120 tập hợp con. D M có 5 tập hợp con. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n . Tập M có 5 phần tử, do đó M có 25 = 32 tập con. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Cho ba tập hợp M = {n ∈ N | n .. 5}, P = {n ∈ N | n .. 10}, Q = {x ∈ R | x2 + 3x + 5 = 0}. Hãy chọn khẳng định đúng? A Q ⊂ P ⊂ M. B Q ⊂ M ⊂ P. C M ⊂ Q ⊂ P. D M ⊂ P ⊂ Q. ý Lời giải. Ta có M = {5; 10; 15; . . .}, P = {10, 20, 30, . . .}, Q = ∅. Do đó Q ⊂ P ⊂ M . ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ○ Liệt kê các phần tử của nó; h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 39 Câu 12. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau (I) : x ∈ A; (II) : {x} ∈ A; (III) : x ⊂ A; (IV ) : {x} ⊂ A Hỏi trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A (I) và (IV ). B (I) và (III). C (I) và (II). D (II) và (IV ). ý Lời giải. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Khi đó x ∈ A và {x} ⊂ A. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}. A X = {0}. B X = 0. C X = {∅}. D X = ∅. ý Lời giải. Phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm trên R. Vậy X = ∅. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Cho tập X = {2; 3; 4}. Hỏi tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con? A 7. B 6. C 5. D 8. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n . Tập A có 3 phần tử, do đó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Tính số các tập con có 2 phần tử của M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. A 15. B 16. C 18. D 22. ý Lời giải. Số tập con có k phần tử của tập X gồm n phần tử là Ckn . Do đó số các tập con có 2 phần tử của M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} là C26 = 15. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Câu 16. Tìm các phần tử của tập X = {x ß ∈™R | 2x − 5x + 3 = 0}. ß ™ 3 3 A X = {1}. B X= . C X = 1; . D X = {0}. 2 2 ý Lời giải. ß ™ 3 3 2 . Phương trình 2x − 5x + 3 = 0 có hai nghiệm trên R là 1 và . Vậy X = 1; 2 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Hỏi tập hợp nào là tập rỗng trong các tập hợp sau? A A = {x ∈ Z | 6x2 − 7x + 1 = 0}. B B = {x ∈ Q | x2 − 4x + 2 = 0}. C C = {x ∈ Z | |x| < 1}. D D = {x ∈ R | x2 − 4x + 3 = 0}. ý Lời giải. Ta có 1 ○ Phương trình 6x2 − 7x + 1 = 0 có hai nghiệm x = 1 ∈ Z và x = ∈ Q, do đó tập A 6= ∅. 6 √ √ 2 ○ Phương trình x − 4x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2 + 2 ∈ / Q và x = 2 − 2 ∈ / Q, do đó tập B = ∅. ○ Ta có |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1, vì x ∈ Z, suy ra C = {0}, do đó tập C 6= ∅. ○ Phương trình x2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 1 ∈ R và x = 3 ∈ R, do đó tập D 6= ∅. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Cho A là tập tất cả các nghiệm của phương trình x2 − 7x + 6 = 0, B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Hỏi kết quả nào sau đây là đúng? A B A = ∅. B A ∩ B = A ∪ B. C A B = {6}. D A ∪ B = A. ý Lời giải. Ta có phương trình x2 − 7x + 6 = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 6, suy ra A = {1; 6}, B = {x ∈ Z | |x| < 4} = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. Khi đó ○ B A = {−3; −2; −1; 0; 2; 3}, do đó B A 6= ∅; ○ A ∩ B = {1}, A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 6}, do đó A ∩ B 6= A ∪ B; ○ A B = {6}; Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 40 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Tập hợp nào sau đây không phải là tập con của tập A? A {12; 3}. B ∅. C A. D {1; 2; 3}. ý Lời giải. Tập hợp không phải là tập con của A là {12; 3} vì 12 ∈ / A. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập X có bao nhiêu tập con? A 8. B 6. C 3. D 5. ý Lời giải. Tập X có 3 phần tử, do đó nó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Tập X có bao nhiêu phần tử? A 5. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Tập X có 5 phần tử. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A ∩ B là A {5}. B {2}. C {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D {2; 5}. ý Lời giải. Ta có A ∩ B = {2; 5}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A B là A {4; 6; 8}. B {1; 3; 7}. C {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D {2; 5}. ý Lời giải. Tập hợp A B = {1; 3; 7}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Cho A = {x ∈ R | x2 − 4 6= 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R. B {−2; 2}. C R {−2; 2}. D R {2}. ý Lời giải. Ta có A = {x ∈ R | x2 − 4 6= 0} = R {−2; 2}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Cho A = {x ∈ R | x2 + 4 > 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A ∅. B [2; +∞). C R. D [−2; +∞). ý Lời giải. Ta có A = {x ∈ R | x2 + 4 > 0} = R. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Cho tập A = {−2; 1; 2; 3; 4}, B = {x ∈ N | x2 − 4 = 0}. Mệnh đề nào sai? A A ∩ B = {2}. B A ∪ B = {2; −2}. C A B = {1; 3; 4}. D A ∪ B = B. ý Lời giải. Ta có B = {x ∈ N | x2 − 4 = 0} = {2}, do đó A ∩ B = {2}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; x; y}. Xét các mệnh đề sau đây (I) : “3 ∈ A”; (II) : {3; 4} ∈ A; (III) : {x; 3; y} ∈ A. Phát biểu nào sau đây đúng? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Ta có (I) : “3 ∈ A” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 6} = 6 A. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam Câu 28. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau A Q ∪ R = R. B N ∩ Z = N. ý Lời giải. Ta có N? ⊂ N ⊂ Z ⊂ Z ⊂ Q. Do đó 41 C Q ∩ N? = N? . D Q ∪ N? = N ? . ○ Q ∪ R = R đúng; ○ N ∩ Z = N đúng; ○ Q ∩ N? = N? đúng; ○ Q ∪ N? = N? sai. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Chọn kết quả sai trong các kết quả sau A A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. B A ∪ B = A ⇔ A ⊂ B. C A B = A ⇔ A ∩ B = ∅. D B A = B ⇔ A ∩ B = ∅. ý Lời giải. Ta có A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Cho các mệnh đề sau. Chọn khẳng định đúng. (I) : {2; 1; 3} = {1; 2; 3}; (II) : ∅ ⊂ ∅; (III) : ∅ ∈ {∅}. A Chỉ (I) đúng. B Chỉ (I) và (II) đúng. C Chỉ (I) và (III) đúng. D Cả (I), (II) và (III) đều đúng. ý Lời giải. Ta có cả (I), (II) và (III) đều đúng. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Cho X = {7; 2; 8; 4; 9; 12}; Y = {1; 3; 7; 4}. Tập hợp nào sau đây bằng X ∩ Y ? A {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}. B {2; 8; 9; 12}. C {4; 7}. D {1; 3}. ý Lời giải. Ta có X ∩ Y = {4; 7}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 32. Cho hai tập hợp A = {2; 4; 6; 9} và B = {1; 2; 3; 4}. Tập hợp A B bằng tập nào sau đây? A {1; 2; 3; 5}. B {1; 3; 6; 9}. C {6; 9}. D ∅. ý Lời giải. Ta có A B = {6; 9}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 33. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp A B bằng A {0}. B {0; 1}. C {1; 2}. D {1; 5}. ý Lời giải. Ta có A B = {0; 1}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 34. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp B A bằng A {5}. B {0; 1}. C {2; 3; 4}. D {5; 6}. ý Lời giải. Ta có B A = {5; 6}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Cho hai tập hợp A = {1; 5} và B = {1; 3; 5}. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A A ∩ B = {1}. B A ∩ B = {1; 3}. C A ∩ B = {1; 5}. D A ∩ B = {1; 3; 5}. ý Lời giải. Ta có A ∩ B = {1; 5}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 42 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 37. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A A ∈ A. B ∅ ⊂ A. C A ⊂ A. D A 6= {A}. ý Lời giải. Ta có A ∈ A là mệnh đề sai. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 38. Cho tập hợp A = x ∈ R | x2 + x + 1 = 0 . Các phần tử của tập hợp A là A A = 0. B A = {0}. C A = ∅. D A = {∅}. ý Lời giải. Xét phương trình x2 + x + 1 = 0. Ta có ∆ = −3 < 0. Do đó phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm. Vậy A = ∅. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    Câu 39. Cho tập hợp A = x ∈ R | x2 − 1 x2 + 2 = 0 . Các phần tử của tập A là √ A A = {−1; 1}. B A = {−1; 1; 2}. C A = {−1}. D A = {1}. ý Lời giải. ñ 2 x −1=0  2  2 ⇔ x = ±1. Xét phương trình x − 1 x + 2 = 0 ⇔ 2 x + 2 = 0 (vô nghiệm) Vậy A = {−1; 1}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 40. Các phần tử của tập hợp A = x ∈ R | 2x2 − 5x + 3 = 0 là ™ ß ™ ß 3 3 . . A A = {0}. B A = {1}. C A= D A = 1; 2 2 ý Lời giải.  x=1 Xét phương trình 2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 (nhận). x= 2 ™ ß 3 . Vậy A = 1; 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 41. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?   A A = x ∈ N | x2 − 4 = 0 . B B = x ∈ R | x2 + 2x + 3 = 0 .   C C = x ∈ R | x2 − 5 = 0 . D D = x ∈ Q | x2 + x − 12 = 0 . ý Lời giải.  Tập hợp B = x ∈ R | x2 + 2x + 3 = 0 là tập rỗng vì phương trình x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm trên tập số thực R. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 42. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?   A A = x ∈ R | x2 + x + 1 = 0 . B B = x ∈ N | x2 − 2 = 0 .      C C = x ∈ Z | x3 − 3 x2 + 1 = 0 . D D = x ∈ Q | x x2 + 3 = 0 . ý Lời giải.   Xét tập hợp D = x ∈ Q | x x2 + 3 = 0 . Ta xét phương trình x x2 + 3 = 0 ⇔ x = 0 (nhận). Vậy D 6= ∅. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 43. Trong các tập sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A ∅. B {a}. C {∅}. D {a, ∅}. ý Lời giải. Tập rỗng có duy nhất một tập hợp con là ∅. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 44. Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A {x; y}. B {x}. C {∅; x}. ý Lời giải. D {∅; x; y}. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Câu 36. Cho A = {1; 2; 3}. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A ∅ ⊂ A. B 1 ∈ A. C {1; 2} ⊂ A. D 2 = A. ý Lời giải. Ta có 2 = A là khẳng định sai. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 43 Tập hợp {x} có đúng hai tập hợp con là ∅ và {x}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 45. Cho tập hợp A = {2; 5}. Tập hợp A có tất cả bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Tập hợp A có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 46. Cho tập hợp B = x ∈ Z | x2 − 4 = 0 . Chọn kết quả đúng? A B = {2; 4}. B B = {−2; 4}. C B = {−4; 4}. D B = {−2; 2}. ý Lời giải. ñ x=2 2 Xét phương trình x − 4 = 0 ⇔ (nhận). x = −2 Vậy B = {−2; 2}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 47. Cho hai tập hợp A = {0; 2; 3; 5} và B = {2; 7}. Khi đó A ∩ B bằng A A ∩ B{2; 5}. B A ∩ B = {2}. C A ∩ B∅. D A ∩ B = {0; 2; 3; 5; 7}. ý Lời giải. A ∩ B = {2}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 48. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A ∩ B = C. B A ∪ B = C. C A B = C. D B A = C. ý Lời giải. Ta có A ∪ B = C. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 49. Cách viết nào sau đây không đúng? A 1 ⊂ N. B 1 ∈ N. C {1} ⊂ N. D 1 ∈ N∗ . ý Lời giải. Cách viết 1 ⊂ N không đúng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 50. Hỏi tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau?  A A = x ∈ R | 6x2 − 7x + 1 = 0 . B B = {x ∈ Z | |x| < 1}.   2 C C = x ∈ Q | x − 4x + 2 = 0 . D D = x ∈ R | x2 − 4x + 3 = 0 . ý Lời giải.  Xét tập hợp C = x ∈ Q | x2 − 4x + 2 =" 0 . √ x=2+ 2 2 Ta có phương trình x − 4x + 2 = 0 ⇔ √ (loại vì x ∈ Q). x=2− 2 Vậy C = ∅ ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 51. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập hợp X có bao nhiêu tập con? A 8. B 3. C 6. D 5. ý Lời giải. Tập hợp X có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Câu 52. Tập hợp A = x ∈ R | (x − 1)(x − 2) x3 + 4x = 0 có bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. ñ  x=0 3 Xét phương trình (x − 1)(x − 2) x + 4x = 0 ⇔ (nhận). x=2 Vậy tập A có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 53. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Số phần tử của tập X là A 5. B 4. C 3. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie D 2. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 44 Câu 54. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. ý Lời giải. Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 − 10 = 25. Vừa giỏi, vừa tốt 15 HL giỏi 20 HK Tốt ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 55. Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A 5. B 10. C 45. D 35. ý Lời giải. Số học sinh chơi cả hai môn là 35 + 15 − 45 = 5. Vừa chơi bóng đá, vừa chơi bóng chuyền 35 Bóng đá 15 Bóng chuyền ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 56. Cho A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6}. Tập hợp A B là A {1; 3; 7}. B {2; 5}. C {4; 6; 8}. D {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. ý Lời giải. Những phần tử thuộc A mà không thuộc B là 1; 3; 7. Vậy A B = {1; 3; 7}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 57. Cho A = x ∈ R|x2 − 4 6= 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R {2; −2}. B {2; −2}. C R. D R {2}. ý Lời giải. Ta có x2 − 4 6= 0 ⇔ x2 6= 4 ⇔ x 6= ±2. Vậy A = R {2; −2}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 58. Cho A = x ∈ R|x2 + 4 > 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R. B ∅. C [−2; +∞). D [2; +∞). ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Tập X có năm phần tử. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 45 Vì x2 + 4 > 0 ⇔ x2 > −4 (luôn đúng với mọi x ∈ R) ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 59. Lớp 10A có 40 học sinh trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 15 bạn giỏi Lý, và 22 bạn không giỏi môn học nào trong hai môn Toán, Lý. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Lý? A 7. B 25. C 10. D 18. ý Lời giải. Số học sinh giỏi một trong hai môn Toán và Lý là 40 − 22 = 18. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là 10 + 15 − 18 = 7. Giỏi cả 2 môn Lớp 10A có 40 học sinh 10 15 Giỏi Toán Giỏi Lý 22 Không giỏi Toán và Lý ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 60. Một lớp học có 25 học sinh học khá các môn tự nhiên, 24 học sinh học khá các môn xã hội 10 học sinh học khá cả môn tự nhiên lẫn môn xã hội, đặc biệt vẫn còn 3 học sinh chưa học khá cả hai nhóm môn ấy. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội). A 39. B 26. C 29. D 36. ý Lời giải. Số học sinh học khá môn tự nhiên hoặc môn xã hội là 25 + 24 − 10 = 39. Số học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội) là 39 − 10 = 29. Giỏi cả 2 môn 25 Giỏi TN 10 24 Giỏi XH 3 Không giỏi TN và XH ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 61. Cho tập A = −2; 1; 2; 3; 4; B = x ∈ N : x2 − 4 = 0. Mệnh đề nào đúng? A A ∩ B = {2}. B A ∩ B = {−2; 2}. C A {1; 3; 4}. D A ∪ B = B. ý Lời giải. ñ x=2 (nhận) Lấy x ∈ B, ta có x2 − 4 = 0 ⇔ . Do đó B = {2}. Vậy A ∩ B = {2}. Suy ra A đúng. x = −2 (loại) B sai vì A ∩ B = {2}. C sai vì A {−2; 1; 3; 4}. D sai vì A ∪ B = A. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 62. Số tập con của tập hợp có n (n ≥ 1; n ∈ N) phần tử là A 2n . B 2n+1 . C 2n−1 . ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie D 2n+2 . # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 46 Câu 64.ñ Cho hai tập A = [−1; 3); Bñ= [a; a + 3]. Với giá trị nào ñcủa a thì A ∩ B = ∅? ñ a≥3 a>3 a≥3 a>3 A . B . C . D . a < −4 a < −4 a ≤ −4 a ≤ −4 ý Lời giải. ñ ñ a≥3 a≥3 Ta có A ∩ B = ∅ nên ⇔ . a + 3 < −1 a < −4 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 65. Tập hợp (−2; 3] ∩ (3; 4] là tập hợp nào sau đây? A ∅. B {3}. ý Lời giải. Trên trục số ta có (−2; 3], (3; 4] được biểu diễn như sau  −2 3   3 4 C {−2; 3}. D {3; 4}. Do đó (−2; 3] ∩ (3; 4] = ∅. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 66. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A A = (A ∩ B) ∪ (A B). B B = (A ∩ B) ∩ (A B). C B = (A ∩ B) ∪ (A B). D A = (A ∩ B) ∩ (A B). ý Lời giải. Ta có (A ∩ B) ∪ (A B) ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 67. Cho 3 tập hợp. A = [−3; 5); B = [−4; 1]; và C = (−4; −3]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A A ∩ B = [−3; 1]. B (A ∪ B) ∪ C = [−4; 5]. C CB C = [−3; 1). D B A = [−4; −3]. ý Lời giải. A đúng vì A ∩ B = [−3; 1]. B sai vì (A ∪ B) ∪ C = [−4; 5) . C sai vì CB C = C B = (−3; 1]. D sai vì B A = [−4; −3). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 68. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A A ∩ (B A) = ∅. B B ∩ (B A) = ∅. C A ∪ (B A) = ∅. D A ∪ (B A) = B. ý Lời giải. B sai vì B ∩ (B A) = B. C,D sai vì A ∪ (B A) = A ∪ B. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 69. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A M = {x ∈ N|2x − 1 = 0}.  C M = x ∈ R|x2 − 6x + 9 = 0 . ý Lời giải. B M = {x ∈ Q|3x + 2 = 0}.  D M = x ∈ Z|x2 = 0 . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Câu 63. Cho hai tập A = x ∈ Z : (x + 3)(x2 − 3) = 0 ; B = x ∈ R : x2 + 6 = 0 khi đó A B A = B. B A ⊂ B. C A B = B. D A ∩ B = A. ý Lời giải. ñ ñ x = −3 (nhận) x+3=0 2 √ ⇔ Lấy x ∈ A ta có, (x + 3)(x − 3) = 0 ⇔ 2 . Vậy A = {−3}. x −3=0 x=± 3 (loại) Lấy x ∈ B ta có, x2 + 6 = 0 ⇔ x2 = −6 (vô lý). Vậy B = ∅. Khi đó, A đúng vì B A = ∅ A = ∅ = B. B sai vì B ⊂ A. C sai vì A B = A. D sai vì A ∩ B = B. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 47 1 ∈ / N. Do đó M = ∅. 2 ™ ß −3 −2 Đáp án B có 3x + 2 = 0 ⇔ x = . ∈ Q . Do đó M = 2 3 Đáp án C có x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ (x − 3)2 = 0 ⇔ x = 3 ∈ R. Do đó M = {3}. Đáp án D có x2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ Z. Do đó M = {0}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 70. Cho tập hợp A = x ∈ R|x2 + 3x + 4 = 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A Tập hợp A có 1 phần tử. B Tập hợp A có 2 phần tử. C Tập hợp A = ∅. D Tập hợp A có vô số phần tử. ý Lời giải. Å ã2 Å ã 3 3 7 3 2 7 2 2 Ta có x + 3x + 4 = x + 2 · x · + + = x+ + > 0 với mọi x ∈ R. Vậy phương trình x2 + 3x + 4 = 0 2 2 4 2 4 vô nghiệm. Do đó A = ∅. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đáp án A có 2x − 1 = 0 ⇔ x = Câu 71. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. ý Lời giải. Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 − 10 = 25. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 72. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 3] [−2; 1] là hình nào sau đây?  A B C −4  −2  1 3  . −4 −2  1  3 . −4 −2  1  3  . 3 . −4 −2 1 D ý Lời giải. Trên trục số ta có [−4; 3], [−2; 1] được biểu diễn như sau  −4  3   −2 1 Do đó [−4; 3] [−2; 1] được biểu diễn trên trục số là   −4 −2  1 3 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 73. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 1) ∩ (−2; 3] là hình nào sau đây?  A B C D −4  −2  1 3  . −4 −2  1  3 . −4 −2  1  3  . −4 −2 1 3 . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 48 −4 1  −2 3 Do đó [−4; 1) ∩ (−2; 3] được biểu diễn trên trục số là  −4 −2 1 3 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 74. Biểu diễn trên trục số các tập hợp (−4; 1] ∩ [−2; 3] là hình nào sau đây?  A B C −4  −2  1 3  . −4 −2  1  3 . −4 −2  1  3  . 3 . −4 −2 1 D ý Lời giải. Trên trục số ta có (−4; 1], [−2; 3] được biểu diễn như sau  −4 1   −2 3 Do đó (−4; 1] ∩ [−2; 3] được biểu diễn trên trục số là   −4 −2 1 3 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ý Lời giải. Trên trục số ta có [−4; 1), (−2; 3] được biểu diễn như sau   II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI  CHƯƠNG §1 A HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ở lớp dưới ta đã làm quen với khái niệm hàm số. # Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) = x2 + 2x. ○ Với x = 1 thì y = f (1) = 12 + 2 · 1 = 3. ○ Với x = −2 thì y = f (−2) = (−2)2 + 2 · (−2) = 0. ○ Với x = 0 thì y = f (0) = 02 + 2 · 0 = 0. Ä√ ä Ä√ ä2 √ √ √ ○ Với x = 2 thì y = f 2 = 2 + 2 · 2 = 2 + 2 2. f D Tập xác định R f x=1 y=3 x=2 x=0 Biến số (hay đối số) x= √ f f 2 y=0 √ y =2+ 2 Giá trị của hàm số tại x = 1 Giá trị của hàm số tại x = −2 và x = 0 √ Giá trị của hàm số tại x = 2 Kí hiệu f: D x R y = f (x) = x2 + 2x Cho D ⊂ R, D 6= ∅. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số y ∈ R. ○ D được gọi là tập xác định của hàm số. ○ x được gọi là biến số (đối số) của hàm số f . ○ f (x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x. 49 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 50 # Ví dụ 2. x2 − 3x + 1 . x−1 ® 2x − 1 nếu x ≤ 1 • Hàm số y = f (x) = ! • Hàm số y = g(x) = x2 + 2 nếu x > 1. ○ Nếu hàm số y = f (x) không giải thích gì thêm thì tập xác định của nó là tập hợp các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f (x) được xác định. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm Để tính giá trị cùa hàm số y = f (x) tại x = a, ta thế x = a vào biểu thức f (x) và được giá trị f (a). ® # Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) = 4x + 1 2 −x +3 nếu x ≤ 2 nếu x > 2 . Tính f (3), f (2), f (−2), f Ä√ ä Ä √ ä 2 và f 2 2 . ý Lời giải. Ta√có f (3) √ = −32 + 3 = = 4 · 2 + 1 = 9, f (−2) = 4 · (−2) + 1 = −7. √ −6, f (2) √ f ( 2) = 4 2 + 1, f (2 2) = −(2 2)2 + 3 = −5. ® # Ví dụ 2. Cho hàm số y = f (x) = nếu x ≥ −2 8 2 x − 2x nếu x < −2 . Tính f (−3), f (2), f (−2) và f (0). ý Lời giải. Ta có f (−3) = (−3)2 − 2(−3) = 15, f (2) = 8, f (−2) = 8, f (0) = 8. ® # Ví dụ 3. Cho hàm số y = f (x) = 4x + 1 3 −x +3 nếu x ≥ 2 nếu x < 2 . Tính f (2), f Ä√ ä 2 . ý Lời giải. √ √ √ Ta có f (2) = 4 · 2 + 1 = 9, f ( 2) = −( 2)3 + 3 = −2 2 + 3. ® # Ví dụ 4. Cho hàm số y = h(x) = ý Lời giải. Ta có h(1) = −2(12 + 1) = −4, h(2) = √ − 2(x2 + 1) √ x−1 Ç√ å √ 2 . Tính h(1), h(2), h , h( 2). 2 nếu x > 1 nếu x ≤ 1 ! Ç√ å Ç √ å2 Ä√ ä p√ 2 2 2 − 1 = 1, h = −2 + 1 = −3, h 2 = 2 − 1. 2 2 d Dạng 2. Đồ thị hàm số ○ Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x; f (x)) với x ∈ D gọi là đồ thị của hàm số y = f (x). ○ Để biết điểm M (a; b) có thuộc đồ thị hàm số y = f (x) không, ta thế x = a vào biểu thức f (x). h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ Một hàm số được cho bởi một biểu thức hoặc nhiều biểu thức h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam • Nếu f (a) = b thì điểm M (a; b) thuộc đồ thị hàm số y = f (x). • Nếu f (a) 6= b thì điểm M (a; b) không thuộc đồ thị hàm số y = f (x). 1 VÍ DỤ Ä √ ä √ # Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) = x2 + x − 3. Trong các điểm A(2; 8), B(4; 12) và C 5; 25 + 2 , điểm nào thuộc đồ thị của hàm số đã cho? ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Tập xác định: D = [3; +∞). ○ Ta có 2 ∈ / D nên A(2; 8) không thuộc đồ thị của hàm số. √ ○ Ta có f (4) = 42 + 4 − 3 = 17 6= 12 nên B(4; 12) không thuộc đồ thị của hàm số. Ä √ ä √ √ ○ Ta có f (5) = 52 + 5 − 3 = 25 + 2 nên C 5; 25 + 2 thuộc đồ thị của hàm số. # Ví dụ 2. Cho hàm số y = f (x) = 2×2 − 5x + 5 (C). ã Å 1 a) Các điểm A(1; 2), B(−1; 5), C − ; 8 có thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho không? 2 b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. ý Lời giải. Tập xác định: D = R. a) Ta có ○ f (1) = 2 · 12 − 5 · 1 + 5 = 2 nên A(1; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số. ○ f (−1) = 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 5 = 12 6= 5 nên B(−1; 5) không thuộc đồ thị (C) của hàm số. ã Å ã Å ã Å ã Å 1 2 1 1 1 =2· − −5· − + 5 = 8 nên C − ; 8 thuộc đồ thị (C) của hàm số. ○ f − 2 2 2 2  x=1 b) f (x) = 2 ⇔ 2×2 − 5x + 5 = 2 ⇔ 2×2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2 Å ã 3 Vậy có hai điểm cần tìm là M (1; 2) và N ;2 . 2 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN −2x . Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. − 2x − 3 ý Lời giải. √  1 + 13  −2x 2√ Ta có g(x) = 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ −2x = 2(x2 − 2x − 3) ⇔ 2×2 − 2x − 6 = 0 ⇔   x − 2x − 3 1 − 13 . 2 Ç å Ç å √ √ 1 + 13 1 − 13 Vậy có hai điểm cần tìm là M ; 2 và N ;2 . 2 2 ® 2 x −6 nếu x ≤ 1 Bài 2. Cho hàm số y = f (x) = 2 x − 3x nếu x > 1. Bài 1. Cho hàm số y = g(x) = x2 a) Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của hàm số? A(3; 3), B(−1; −5), C(1; −2) và D(3; 0). Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 51 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 52 ý Lời giải. a) Ta có ○ f (3) = 32 − 3 · 3 = 0 6= 3, suy ra A(3; 3) không thuộc đồ thị của hàm số. ○ f (−1) = (−1)2 − 6 = −5, suy ra B(−1; −5) thuộc đồ thị của hàm số. ○ f (1) = 12 − 6 = −5 6= −2, suy ra C(1; −2) không thuộc đồ thị của hàm số. ○ f (3) = 32 − 3 · 3 = 0, suy ra D(3; 0) thuộc đồ thị của hàm số. b) Ta có f (x) = −2. 2 2 ○ Với x ≤ 1, ta có x − 6 = −2 ⇔ x = 4 ⇔ ñ x = −2 (nhận) x = 2 (loại). ñ x = 1 (loại) 2 2 ○ Với x > 1, ta có x − 3x = −2 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 (nhận). Vậy có hai điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng −2 là M (−2; −2) và N (2; −2). d Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức f (x) xác định. A xác định khi và chỉ khi f (x) 6= 0 (A là hằng số). f (x) p ○ Hàm số y = f (x) xác định khi và chỉ khi f (x) ≥ 0. ○ Hàm số y = ! ○ Hàm số y = p ! A xác định khi và chỉ khi f (x) > 0. f (x) ® ○ P (x) · Q(x) 6= 0 ⇔ P (x) 6= 0 Q(x) 6= 0. ○ Nếu a ≤ x ≤ b thì D = [a; b]. ! ○ Nếu x ≤ b thì D = (−∞; b]. ○ Nếu a ≤ x < b thì D = [a; b). ® a a thì D = (a; +∞). 1 VÍ DỤ MINH HỌA # Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = ý Lời giải. ® Hàm số xác định khi và chỉ khi 2×2 − 18 6= 0 3 1 + x 6= 0 Vậy tập xác định D = R {±3; −1}. x+3 5 + − 2x + 1. 2×2 − 18 1 + x3 ® ⇔ x 6= ±3 x 6= −1. √ √ # Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 4 2x + 1 − (x − 4) 3 − x. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng −2. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ý Lời giải. ® Hàm số xác định khi và chỉ khi 53  x ≥ − 1 1 2 ⇔ − ≤ x ≤ 3. ⇔  2 3−x≥0 x≤3 2x + 1 ≥ 0 ò ï 1 Vậy tập xác định D = − ; 3 . 2 √ x3 − 7 − 3x √ . # Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 (x − 4x) 2x + 2 ý Lời giải.  x ≤ 7      7 − 3x ≥ 0 3     −1 0 ⇔ x > −1 ⇔     2  x 6 = 0. x 6 = 0   x − 4x 6= 0   x 6= 4 ò Å 7 {0}. Vậy tập xác định D = −1; 3 # Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số y = √ x3 − 3 √ . x − 2 − 7 − 3x ý Lời giải.    x≥2   7  x − 2 ≥ 0    7   2 ≤ x ≤  2≤x≤ 7 3 3 ⇔ x≤ ⇔ ⇔ Hàm số xác định khi và chỉ khi 7 − 3x ≥ 0 9     3 √ √  x 6= .  x − 2 6= 7 − 3x  √x − 2 6= √7 − 3x x − 2 − 7 − 3x 6= 0 4 ï ò ß ™ 7 9 Vậy tập xác định D = 2; . 3 4 # Ví dụ 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 3x + 5 có tập xác định D = R. x2 + 3x + m − 1 ý Lời giải. Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi x2 + 3x + m − 1 6= 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 + 3x + m − 1 = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ = 13 − 4m < 0 13 . ⇔ m> 4 Vậy m > 13 . 4 √ # Ví dụ 6. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 +2 3x − 2m + 1 có tập xác định D = [−1; +∞). ý Lời giải. 2m − 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x − 2m + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3 2m − 1 Vì tập xác định D = [−1; +∞) nên = −1 ⇔ m = −1. 3 Vậy m = −1. 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau 1 y = x2 − 3x + 2. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 y= x2 x−1 + 2x − 3 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 54 5 y= x . x x−1 √ 4 y= x−1 . x2 − 4 6 y= x + x−1 √ x+1 . x ý Lời giải. 1 y = x2 − 3x + 2. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Vậy tập xác định D = R. 2 y= x2 x−1 . + 2x − 3 ® 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 2x − 3 6= 0 ⇔ x 6= 1 x 6= −3. Vậy tập xác định D = R {1; −3}. 3 y= (x2 x2 + 2x − 3 . − 9x)(x2 + x + 1) ® Hàm số xác định khi và chỉ khi Vậy tập xác định D = R {9; 0}. √ x−1 4 y= 2 . x −4 ® x2 − 9x 6= 0 2 x + x + 1 6= 0 ® ⇔ x 6= 0 x 6= 9.  ®  x ≥ 1 x≥1 x = 6 2 ⇔ Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ 2  x 6= 2. x − 4 6= 0  x 6= −2 Vậy tập xác định D = [1; +∞) {2}. x . 5 y= √ x x−1 ® ® x−1>0 x>1 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ ⇔ x > 1. x 6= 0 x 6= 0 Vậy tập xác định D = (1; +∞). √ x x+1 6 y= + . x−1 x     x − 1 6= 0 x 6= 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1     x 6= 0 x 6= 0. Vậy tập xác định D = [−1; +∞) {0; 1}. x−1≥0 Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau √ √ x 2x + 5 − 3 2 − 5x √ 1 y= . 4 x2 + 4 √ 2x − x + 2 3 y= √ . 7 − 2x 2×2 + x − 3 √ . (x2 − 5x) x − 2 √ √ 2x + 4 + 3 4 − x 7 y= . x2 − 3x + 2 5 y= √ 2x − 5 9 − 2x √ 9 y= . 2− x−2 √ √ 3 − 4x + x x 11 y = . |2x − 7| + 2 2 √ 3x + 4 + x2 + 2 2 y= . (x2 + x + 5) (|x| + 1) x2 − 4x + 3 √ . (x2 + 2x + 4) 2×2 + 1 √ 2x − 3 √ 6 y= + 5 − x. 3−x √ 3x + 6 − x √ 8 y= . 1+ x+4 4 y= x2 + 2 2x + 10 √ 10 y = . 1− 3−x √ √ x2 + 10 − 2x + 11 12 y = . |3x − 2| − 4 3x + h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ x2 + 2x − 3 . 3 y= (x2 − 9x)(x2 + x + 1) h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 55 ý Lời giải. 1 y= √ √ x 2x + 5 − 3 2 − 5x √ . 4 x2 + 4   5   2x + 5 ≥ 0 x ≥ − 2 ⇔ −5 ≤ x ≤ 2. Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − 5x ≥ 0 ⇔ 2   2 5  2 x ≤ x +4>0 5 ò ï 5 2 Vậy tập xác định D = − ; . 2 5 ® ® √ x−1>0 x>1 3x + 4 + x2 + 2 2 y= . Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ ⇔ x > 1. (x2 + x + 5) (|x| + 1) x 6= 0 x 6= 0 Vậy tập xác định D = (1; +∞). √ 2x − x + 2 √ 3 y= . 7 − 2x  ® x > −2 x+2≥0 7 ⇔ Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ −2 ≤ x < . x < 7 2 7 − 2x > 0 2 ã ï 7 . Vậy tập xác định D = −2; 2 4 y= x2 − 4x + 3 √ . (x2 + 2x + 4) 2×2 + 1 ® Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 + 2x + 4 6= 0 2×2 + 1 > 0 ⇔ x ∈ R. Vậy tập xác định D = R. 5 y= 2×2 + x − 3 √ . (x2 − 5x) x − 2  ®  x > 2 x−2>0 x>2 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ x 6= 0 ⇔ 2  x 6= 5. x − 5x 6= 0  x 6= 5 Vậy tập xác định D = (2; +∞) {5}. √ 2x − 3 √ 6 y= + 5 − x. 3−x   3   x ≥ 2x − 3 ≥ 0   3 ≤ x ≤ 5 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 − x 6= 0 ⇔ x 6= 3 ⇔ 2      x 6= 3.  5−x≥0 x ≤ 5 ï ò 3 Vậy tập xác định D = ; 5 {3}. 2 √ √ 2x + 4 + 3 4 − x 7 y= . x2 − 3x + 2    x ≥ −2      2x + 4 ≥ 0 x ≤ 4 −2≤x≤4 Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − x ≥ 0 ⇔ ⇔ x 6= 1    x 6= 1  2    x 6= 2.  x − 3x + 2 6= 0 x 6= 2 Vậy tập xác định D = [−2; 4] {1; 2}. √ 3x + 6 − x √ . 8 y= 1+ x+4  ®  6 − x ≥ 0 x≤6 Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 4 ≥ 0 ⇔ ⇔ −4 ≤ x ≤ 6.  x ≥ −4 √  1 + x + 4 6= 0 Vậy tập xác định D = [−4; 6]. ® Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 56   9     9 − 2x ≥ 0    2 ≤ x ≤ 9 2 ≤ x ≤ 9 x ≤ 2 9 x−2≥0 2 ⇔ 2 ⇔2≤x≤ . ⇔ ⇔ x≥2     2 √   x − 2 6= 4 x 6= 6  √x − 2 6= 2 2 − x − 2 6= 0 ò 9 Vậy tập xác định D = 2; . 2 ï x2 + 2 2x + 10 √ . 1− 3−x 3x + 10 y = Hàm số xác định khi và chỉ khi  2 x +2     2x + 10 ≥ 0 3−x≥0    √  1 − 3 − x 6= 0 Vậy tập xác định D = [−5; 3] {2}. √ 11 y =   ®   2x + 10 ≥ 0 x ≥ −5 −5≤x≤3 ⇔ x≤3 ⇔ ⇔ x≤3   x 6= 2. √  3 − x 6= 1 3 − x 6= 1 √ 3 − 4x + x x . |2x − 7| + 2    3 − 4x ≥ 0 x ≤ 3 3 4 ⇔0≤x≤ . Hàm số xác định khi và chỉ khi x ≥ 0 ⇔   4  x≥0 |2x − 7| + 2 6= 0 ò ï 3 Vậy tập xác định D = 0; . 4 √ 12 y = √ x2 + 10 − 2x + 11 . |3x − 2| − 4   11   2 11   x≥−      2 x ≥ − 2 x + 10 ≥ 0  x ≥ − 11 2 ⇔ 3x − 2 6= 4 ⇔ x 6= 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x + 11 ≥ 0 ⇔        |3x − 2| = 6 4   |3x − 2| − 4 6= 0  x 6= − 2 . 3x − 2 6= −4 3 ã ß ™ ï 11 2 Vậy tập xác định D = − ; +∞ − ; 2 . 2 3 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 2 có tập xác định D = R. x2 − 3x + m − 5 ý Lời giải. Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi x2 − 4x + m − 5 6= 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 − 4x + m − 5 = 0 vô nghiệm 0 ⇔ ∆ =9−m<0 ⇔ m > 9. Vậy m > 9. Bài 4. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 2×2 − 5 có tập xác định D = R {2}. 3mx − 4m + 8 ý Lời giải. Vì hàm số có tập xác định D = R {2} nên ta có 3m · 2 − 4m + 8 = 0 ⇔ m = −4. 2×2 − 5 Khi đó hàm số trở thành y = và có tập xác định D = R {2}. −12x + 24 Vậy m = −4. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ 2×2 − 5 9 − 2x √ . 9 y= 2− x−2 Hàm số xác định khi và chỉ khi h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 57 √ Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 − 2mx + m2 − m + 1 có tập xác định D = R. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 − 2mx + m2 − m + 1 ≥ 0 ⇔ (x − m)2 + 1 − m ≥ 0. Tập xác định D = R ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1. Vậy m ≤ 1. d Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số Hàm số f xác định trên khoảng K và x1 , x2 ∈ K. ○ Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). ○ Hàm số f gọi là nghịch biến trên K nếu x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). ○ Hàm số f xác định trên khoảng K. Nếu f (x1 ) = f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ K, nghĩa là f (x) = c (c là hằng số) thì f gọi là hàm số hằng (còn gọi là hàm số không đổi) trên K. ! 1 ○ Hàm số f xác định trên khoảng K. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f nghĩa là xem f đồng biến, hoặc nghịch biến, hoặc không đổi trên các khoảng nào đó trong tập xác định của nó. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG K Cho hàm số y = f (x) và hai số tùy ý x1 , x2 ∈ K. CÁCH 1. Giả sử x1 < x2 . ○ Nếu f (x1 ) − f (x2 ) < 0 thì f đồng biến trên K. ○ Nếu f (x1 ) − f (x2 ) > 0 thì f nghịch biến trên K, CÁCH 2. Giả sử x1 6= x2 . ○ Nếu f (x1 ) − f (x2 ) > 0 thì f đồng biến trên K. x1 − x2 ○ Nếu f (x1 ) − f (x2 ) < 0 thì f nghịch biến trên K. x1 − x2 VÍ DỤ # Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x) = 2x − 7 trên khoảng (−∞; +∞). ý Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; +∞), x1 6= x2 . Ta có: 2x1 − 7 − 2x2 + 7 2(x1 − x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) = = = 2 > 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; +∞). # Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = h(x) = x2 + 2x − 3 trong khoảng (−∞; −1). ý Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; −1), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = = = Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie x21 + 2×1 − 3 − x22 − 2×2 + 3 x1 − x2 x21 − x22 + 2(x1 − x2 ) x1 − x2 (x1 − x2 )(x1 + x2 ) + 2(x1 − x2 ) x1 − x2 (x1 − x2 )(x1 + x2 + 2) = x1 + x2 + 2. x1 − x2 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 58 Vì x1 ∈ (−∞; −1) ® ⇒ x1 < −1 x2 ∈ (−∞; −1) x2 < −1 Vậy hàm số giảm trên (−∞; −1) ⇒ x1 + x2 < −2 ⇒ x1 + x2 + 2 < 0. # Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = g(x) = 4x trên khoảng (1; +∞). x−1 ý Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) = = 4x1 4x2 − x1 − 1 x2 − 1 −4(x1 − x2 ) . (x1 − 1)(x2 − 1) Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 −4(x1 − x2 ) : (x1 − x2 ) (x1 − 1)(x2 − 1) −4 . (x1 − 1)(x2 − 1) = = ® Vì x1 ∈ (1; +∞) ® ⇒ x1 > 1 x2 ∈ (1; +∞) x2 > 1 Vậy hàm số giảm trên (1; +∞) 2 ® ⇒ x1 − 1 > 0 x2 − 1 > 0 ⇒ −4 < 0. (x1 − 1)(x2 − 1) BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a. y = f (x) = (2 − x)2 − (1 − x)2 trong khoảng (−∞; +∞). b. y = f (x) = 2 − x(x − 4) trên khoảng (2; +∞). c. y = f (x) = 1 − d. y = k(x) = e. y = √ f. y = x−5 trên khoảng (3; +∞). x−3 x2 − 4 trên khoảng (−∞; −2). (x + 2)2 x + 1 trên khoảng (−1; +∞). 1 trên khoảng (−∞; −1). x+1 ý Lời giải. a. Ta có: y = f (x) = (2 − x)2 − (1 − x)2 = −2x + 3. Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; +∞), x1 6= x2 thì: f (x1 ) − f (x2 ) −2x1 + 3 + 2x2 − 3 −2(x1 − x2 ) = = = −2 < 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞). b. Ta có: y = f (x) = 2 − x(x − 4) = −x2 + 4x + 2 trên khoảng (2; +∞). Với ∀x1 , x2 ∈ (2; +∞), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = = ® x1 ∈ (2; +∞) ® x1 > 2 ⇒ x1 + x2 > 4 ⇒ x1 + x2 − 4 > 0. x2 ∈ (2; +∞) x2 > 2 Vậy hàm số tăng trên (−∞; −1) Vì ⇒ −x21 + 4×1 + 2 + x22 − 4×2 − 2 x1 − x2 −(x1 − x2 )(x1 + x2 ) + 4(x1 − x2 ) x1 − x2 −(x1 − x2 )(x1 + x2 − 4) = x1 + x2 − 4. x1 − x2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 59 2 x−5 = trên khoảng (3; +∞). x−3 x−3 Với ∀x1 , x2 ∈ (3; +∞), x1 6= x2 . Ta có: c. y = f (x) = 1 − f (x1 ) − f (x2 ) = = 2 2 − x1 − 3 x2 − 3 −2(x1 − x2 ) . (x1 − 3)(x2 − 3) Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = ® x1 ∈ (3; +∞) ® ® x1 > 3 ⇒ ⇒ x2 ∈ (3; +∞) x2 > 3 Vậy hàm số giảm trên (3; +∞) Vì d. y = k(x) = x1 − 3 > 0 x2 − 3 > 0 ⇒ −2(x1 − x2 ) : (x1 − x2 ) (x1 − 3)(x2 − 3) −2 . (x1 − 3)(x2 − 3) −2 < 0. (x1 − 3)(x2 − 3) (x − 2)(x + 2) x−2 x2 − 4 = = trên khoảng (−∞; −2). (x + 2)2 (x + 2)2 x+2 Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; −2), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) = = x1 − 2 x2 − 2 − x1 + 2 x2 + 2 2(x1 − x2 ) . (x1 + 2)(x2 + 2) Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = ® Vì x1 ∈ (−∞; −2) ® ⇒ x1 < −2 ® ⇒ x2 ∈ (−∞; −2) x2 < −2 Vậy hàm số tăng trên (−∞; −2) √ e. y = x + 1 trên khoảng (−1; +∞). x1 + 2 < 0 x2 + 2 < 0 2(x1 − x2 ) : (x1 − x2 ) (x1 + 2)(x2 + 2) 2 . (x1 + 2)(x2 + 2) ⇒ 2 > 0. (x1 + 2)(x2 + 2) Với ∀x1 , x2 ∈ (−1; +∞), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 √ = = = = √ x1 + 1 − x2 + 1 x1 − x2  √  √ √ √ x1 + 1 − x2 + 1 x1 + 1 + x2 + 1  √ √ (x1 − x2 ) x1 + 1 + x2 + 1 x1 − x2  √ √ (x1 − x2 ) x1 + 1 + x2 + 1 1 √ √ > 0, ∀x ∈ (−1; +∞). x1 + 1 + x2 + 1 Vậy hàm số tăng trên (−1; +∞) 1 trên khoảng (−∞; −1). x+1 Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; −1), x1 6= x2 . Ta có: f. y = f (x1 ) − f (x2 ) Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie = 1 1 − x1 + 1 x2 + 1 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 60 Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = ® Vì x1 ∈ (−∞; −1) ® ⇒ x1 < −1 x2 < −1 x2 ∈ (−∞; −1) Vậy hàm số giảm trên (−∞; −1) ® ⇒ x1 + 1 < 0 x2 + 1 < 0 −(x1 − x2 ) : (x1 − x2 ) (x1 + 1)(x2 + 21) −1 . (x1 + 1)(x2 + 1) ⇒ −1 < 0. (x1 + 1)(x2 + 1) d Dạng 5. Hàm số chẵn - Hàm số lẻ 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tập đối xứng. D là tập con của tập số thực R gọi là tập đối xứng nếu thỏa: với mọi x thuộc D thì −x cũng thuộc D. −a ( −x 0 x a ) # Ví dụ 1. ○ R là tập đối xứng vì ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R. ○ R {−1; 1} là tập đối xứng vì ∀x ∈ R {−1; 1} ⇒ −x ∈ R {−1; 1}. ○ {−a; a}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ {−a; a} ⇒ −x ∈ {−a; a}. ○ [−a; a], (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ [−a; a] ⇒ −x ∈ [−a; a]. ○ {−a; a} {0}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ {−a; a} {0} ⇒ −x ∈ {−a; a} {0}. ○ [−a; a] {0}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ [−a; a] {0} ⇒ −x ∈ [−a; a] {0}. # Ví dụ 2. ○ R {2} không là tập đối xứng vì x = −2 ∈ R {2} nhưng −x = 2 ∈ / R {2}. ○ [−4; 4) không là tập đối xứng vì x = −4 ∈ [−4; 4) nhưng −x = 4 ∈ / [−4; 4). ○ [−4; 6] không là tập đối xứng vì x = 5 ∈ [−4; 6] nhưng −x = −5 ∈ / [−4; 6]. ○ [−5; 5] {1} không là tập đối xứng vì x = −1 ∈ [−5; 5] nhưng −x = 1 ∈ / [−5; 5]. 2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên tập đối xứng D. ○ Nếu ∀x ∈ D mà f (−x) = f (x) thì ta nói f là hàm số chẵn trên D. ○ Nếu ∀x ∈ D mà f (−x) = −f (x) thì ta nói f là hàm số lẻ trên D. 3 Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ ○ Đồ thị hàm số hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie −(x1 − x2 ) . (x1 + 1)(x2 + 1) = h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 61 ○ Đồ thị hàm số hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. y y x O x O Đồ thị hàm số chẵn 2 Đồ thị hàm số lẻ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁCH XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ Tìm tập xác định D của hàm số y = f (x). ○ Nếu D không là tập đối xứng thì hàm số f không chẵn và không lẻ trên D. ○ Nếu D là tập đối xứng: Với ∀x ∈ D, tính f (−x). • Nếu f (−x) 6= ±f (x): Chọn một giá trị thích hợp x = a ∈ D để có f (−a) 6= ±f (a). Từ đó kết luận hàm số không chẵn và không lẻ trên D. • Nếu f (−x) = f (x) thì f là hàm số chẵn trên D. • Nếu f (−x) = −f (x) thì f là hàm số lẻ trên D. 3 VÍ DỤ # Ví dụ 1. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = f (x) = √ 2x − 3 ý Lời giải. 3 Hàm số xác định ⇔ 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 2 ï ã 3 ⇒ Tập xác định D = ; +∞ . 2 Với x = 3 ∈ D nhưng x = −3 ∈ / D nên D không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. # Ví dụ 2. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = g(x) = 2x − 1 + ý Lời giải. Hàm số xác định ⇔ ® 3+x≥0 ® ⇔ x ≥ −3 3−x≥0 x≤3 ⇒ Tập xác định D = [−3; 3] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét g(−x) Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ 3+x+ √ 3−x ⇔ −3 ≤ x ≤ 3. » » = 2(−x) − 1 + 3 + (−x) + 3 − (−x) √ √ = −2x − 1 + 3 − x + 3 + x # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 62 Chọn a = 2, ta có g(−2) = −4 + √ 5; g(2) = 4 + √ ® 5⇒ g(−2) 6= g(2) g(−2) 6= −g(2). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. √ # Ví dụ 3. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = f (x) = √ 3+x+ 3−x x2 ý Lời giải.   ®   3 + x ≥ 0 x ≥ −3 −3≤x≤3 Hàm số xác định ⇔ 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ⇔ .   x 6= 0  2  x 6= 0 x 6= 0 ⇒ Tập xác định D = [−3; 3] {0} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét p p 3 + (−x) + 3 − (−x) f (−x) = (−x)2 √ √ 3−x+ 3+x = = f (x). x2 Vậy hàm số chẵn. # Ví dụ 4. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = h(x) = x3 − x + √ 1+x− √ 1−x ý Lời giải. ® Hàm số xác định ⇔ 1+x≥0 ® ⇔ x ≥ −1 1−x≥0 x≤1 ⇒ Tập xác định D = [−1; 1] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét h(−x) = = = ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. » » (−x)3 − (−x) + 1 + (−x) − 1 − (−x) √ √ −x3 + x + 1 − x − 1 + x Ä ä √ √ − x3 − x + 1 + x − 1 − x = −h(x) Vậy hàm số lẻ. 4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Chứng minh đồ thị hàm số y = f (x) = 5x nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. x2 − 4 ý Lời giải. 5x là lẻ. x2 − 4 2 Thật vậy: Hàm số xác định ⇔ x − 4 6= 0 ⇔ x 6= ±2. Suy ra tập xác định D = R {±2} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét Ta cần chứng minh hàm số y = f (x) = f (−x) = = 5(−x) (−x)2 − 4 −5x = −f (x). x2 − 4 Vậy hàm số lẻ. Bài 2. Chứng minh đồ thị hàm số y = g(x) = |2 − x| + |2 + x| nhận trục tung làm trục đối xứng. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Ä ä √ √ − 2x + 1 − 3 − x − 3 + x . = h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 63 Ta cần chứng minh hàm số y = g(x) = |2 − x| + |2 + x| là chẵn. Thật vậy: Hàm số xác định ∀x ∈ R ⇒ Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét = |2 − (−x)| + |2 + (−x)| g(−x) = |2 + x| + |2 − x| = g(x). Vậy hàm số chẵn. Bài 3. Xét tính chẵn-lẻ của các hàm số sau. 2×4 . −9 √ √ 3 y = g(x) = 2 + x + 2 − x. 1 y = f (x) = 2 y = h(x) = x2 − 3x. x2 √ 5 y = u(x) = 4 y = k(x) = √ 5+x+ 5−x . x−1 x3 − 5x . |x − 1| + |x + 1| 6 y = v(x) = √ 2×3 √ . 6 + 3x − 6 − 3x ý Lời giải. 2×4 . x2 − 9 Hàm số xác định ⇔ x2 − 9 6= 0 ⇔ x 6= ±3. ⇒ Tập xác định D = R {−3; 3} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét 1 y = f (x) = f (−x) = = 2(−x)4 (−x)2 − 9 2×4 = f (x). 2 x −9 Vậy hàm số chẵn. 2 y = h(x) = x2 − 3x. Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét h(−x) = (−x)2 − 3(−x) = x2 + 3x. Chọn a = 2, ta có ® h(−2) = 10; h(2) = −2 ⇒ h(−2) 6= h(2) h(−2) 6= −h(2). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. √ √ 3 y = g(x) = 2 + x + ® 2 − x. ® 2+x≥0 x ≥ −2 Hàm số xác định ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ 2. 2−x≥0 x≤2 Suy ra tập xác định D = [−2; 2] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét » » g(−x) = 2 + (−x) + 2 − (−x) √ √ = 2 − x + 2 + x = g(x). Vậy hàm số chẵn. x3 − 5x . |x − 1| + |x + 1| Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét 4 y = k(x) = k(−x) = = = Vậy hàm số lẻ. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie (−x)3 − 5(−x) |(−x) − 1| + |(−x) + 1| −x3 + 5x |x + 1| + |x − 1| x3 − 5x − = −k(x) |x − 1| + |x + 1| # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 64 6 y = v(x) = √ 2×3 √ . 6 + 3x− 6 − 3x  6 + 3x ≥ 0  ®  x ≥ −2 −2≤x≤2 Hàm số xác định ⇔ 6 − 3x ≥ 0 ⇔ x≤2 ⇔ .   x 6= 0 √ √ √ √ 6 + 3x − 6 − 3x 6= 0 6 + 3x 6= 6 − 3x Tập xác định D = [−2; 2] {0} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét v(−x) = = = 2(−x)3 p p 6 + 3(−x) − 6 − 3(−x) −2×3 √ 6 − 3x − 6 + 3x 2×3 √ √ = v(x). 6 + 3x − 6 − 3x √ Vậy hàm số chẵn. C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN √ 2−x+ Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = x A D = [−2; 2]. B D = (−2; 2){0}. ý Lời giải.     2 − x ≥ 0 x ≤ 2 Điều kiện xác định là   √ x+2 . C D = [−2; 2]{0}. D D = R. x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 ⇒ x ∈ [−2; 2]{0}.   x 6= 0 x 6= 0 Vậy D = [−2; 2]{0} ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 2x + 1 √ Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x + . 1+ x−1 A D = (1; +∞). B D = [1; 6]. C D = R. D D = (−∞; −6). ý Lời giải. ® ® 6−x≥0 x≤6 Điều kiện xác định là ⇔ ⇒ x ∈ [1; 6]. x−1≥0 x≥1 Vậy D = [1; 6] ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x+2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 2 x x − 4x + 4 A D = [−2; +∞){0; 2}. B D = R. C D = [−2; +∞). D D = (−2; +∞). ý Lời giải.       x + 2 ≥ 0 x ≥ −2 x ≥ −2 x = 6 0 x = 6 0 Điều kiện xác định là ⇔ ⇔ x 6= 0 ⇒ x ∈ [−2; +∞){0; 2}.     2   x 6= 2 x − 4x + 4 > 0 (x − 2)2 > 0 Vậy D = [−2; +∞){0; 2} ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x √ Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = . x− x−6 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ 5+x+ 5−x . 5 y = u(x) = x− 1    5 + x ≥ 0 x ≥ −5 Hàm số xác định ⇔ 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x ≤ 5 và x 6= 1.     x − 1 6= 0 x 6= 1 Tập xác định D = [−5; 5] {1} không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. √ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam A D = [0; +∞). ý Lời giải. B D = [0; +∞){9}. ® Điều kiện xác định là 65 C D = 9. D D = R.  ≥0 ®  x®√ x≥0 x≥0 x 6= 3 ⇔ ⇒ x ∈ [0; +∞){9}. ⇔ √  x 6= 9 x − x − 6 6= 0  √ x 6= −2 Vậy D = [0; +∞){9} ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ x−1+ 4−x Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 2)(x − 3) A D = [1; 4]. B D = (1; 4){2; 3}. C D = [1; 4]{2; 3}. D D = (−∞; 1] ∪ [4; +∞). ý Lời giải.   x≥1     x − 1 ≥ 0 x ≤ 4 Điều kiện xác định là 4 − x ≥ 0 ⇔ ⇒ x ∈ [1; 4]{2; 3}.   x 6= 2    (x − 2)(x − 3) 6= 0  x 6= 3 Vậy D = [1; 4]{2; 3}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018 √ Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 3 x2 − 3x + 2 − 3 x2 − 7 A D = R{3}. B D = R. C D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). D D = R{0}. ý Lời giải. √ √ Điều kiện xác định là 3 x2 − 3x + 2 − 3 x2 − 7 6= 0 ⇔ x2 − 3x + 2 6= x2 − 7 ⇔ x 6= 3 ⇒ x ∈ R{3}. Vậy D = R{3}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |x| Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = . |x − 2| + |x2 + 2x| A D = R. B D = R{0; −2}. C D = (−2; 0). D D = (2; +∞). ý Lời giải. Điều kiện xác định là |x − 2| + |x2 + 2x| = 6 0.  xñ = 2 2 Ta có: |x − 2| + |x + 2x| = 0 khi và chỉ khi x = 0 ⇒ x ∈ ∅.   x = −2 Do đó mẫu luôn khác không với mọi x. Vậy D = R. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 1 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = p . x|x − 4| A D = R{0; 4}. B D = (0; +∞). C D = [0; +∞){4}. D D = (0; +∞){4}. ý Lời giải. Điều kiện xác định là x|x − 4| > 0 ® x>0 Do |x − 4| ≥ 0 nên x|x − 4| > 0 ⇔ ⇒ x ∈ (0; +∞){4}. x 6= 4 Vậy D = (0; +∞){4}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 5 − 3|x| Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . x + 4x + 3 ï ò Å ã ï ò 5 5 5 5 5 5 {−1}. {−1}. D D = − ; . A D= − ; B D = R. C D= − ; 3 3 3 3 3 3 ý Lời giải.  ò ï  x ∈ − 5 ; 5 ®  ò ï  3 3 5 − 3|x| ≥ 0 5 5 Điều kiện xác định là ⇔ ⇒ x ∈ − ; {−1}. x 6= −1 3 3 x2 + 4x + 3 6= 0    x 6= −3 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 66 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R. A 7. B 5. C 4. D 3. ý Lời giải. Hàm số đồng biến trên R ⇔ ∀x1 ; x2 ∈ R : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Khi đó (m + 1)x1 + m − 2 > (m + 1)x2 + m − 2 ⇔ (m + 1)(x1 − x2 ) > 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1. Suy ra m ∈ {0; 1; 2; 3}. Vậy có 4 giá trị của m. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ. √ A y = x2018 − 2017. B y = 2x + 3. √ √ C y = 3 + x − 3 − x. D y = |x + 3| + |x − 3|. ý Lời giải. √ √ D = [−3; √ 3] là tập đối xứng. y = f (x) = 3 + x − 3 − x có tập xác định√ 3 − x − 3 + x = −f (x). Mặt khác ∀ √ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = √ Suy ra y = 3 + x − 3 − x là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ï ò 5 5 Vậy D = − ; {−1}. 3 3 Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A y = |x + 1| + |x − 1|. B y = |x + 3| + |x − 2|. C y = 2×2 − 3x. D y = 2×4 − 3×2 + x. ý Lời giải. y = f (x) = |x + 1| + |x − 1| có tập xác định D = R là tập đối xứng. Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = | − x + 1| + | − x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = f (x). Suy ra y = |x + 1| + |x − 1| là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ |x + 2015| + |x − 2015| Câu 13. Trong các hàm số y = |x+2|−|x−2|, y = |2x+1|+ 4×2 − 4x + 1, y = x (|x| − 2), y = |x + 2015| − |x − 2015| có bao nhiêu hàm số lẻ? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. • Hàm số y = f (x) = |x + 2| − |x − 2| có tập xác định D = R là tập đối xứng. Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −f (x). Suy ra y = |x + 2| − |x − 2| là hàm số lẻ. √ • Hàm số y = f (x) = |2x + 1| + 4×2 − 4x + 1 = |2x + 1| + |2x − 1| có tập xác định là D = R là tập đối xứng. Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ √ D và f (−x) = | − 2x + 1| + | − 2x − 1| = |2x − 1| + |2x + 1| = f (x). Suy ra hàm số y = |2x + 1| + 4×2 − 4x + 1 là hàm số chẵn. • Hàm số y = f (x) = x (|x| − 2) có tập xác định D = R là tập đối xứng. Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = −x (| − x| − 2) = −x (|x| − 2) = −f (x). Suy ra y = x (|x| − 2) là hàm số lẻ. |x + 2015| + |x − 2015| có tập xác định là D = R{0} là tập đối xứng. |x + 2015| − |x − 2015| | − x + 2015| + | − x − 2015| |x − 2015| + |x + 2015| Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = = = −f (x). | − x + 2015| − | − x − 2015| |x − 2015| − |x + 2015| |x + 2015| + |x − 2015| Suy ra y = là hàm số lẻ. |x + 2015| − |x − 2015| • Hàm số y = f (x) = Vậy có tất cả là 3 hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3 khi x ≤ −2  −x −6 khi − 2 < x < 2 . Khẳng định nào đúng? Câu 14. Cho hàm số f (x) = |x|   3 x −6 khi x ≥ 2 A f (x là hàm số lẻ. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam B f (x) là hàm số chẵn. C Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ý Lời giải. Hàm số f (x) có tập xác định D = R.  3   − (−x) − 6 Khi đó ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = Suy ra ta có: f (−x) =  f (x).3  −x −6 | − x|   (−x)3 − 6 67  3  −x −6 khi − 2 < −x < 2 ⇒ f (−x) = |x|   3 khi − x ≥ 2 x −6 khi − x ≤ −2 khi x ≤ −2 khi − 2 < x < 2 . khi x ≥ 2 khi x ≤ −2 |x| khi − 2 < x < 2 là hàm số chẵn.   3 x −6 khi x ≥ 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vậy hàm số f (x) = Câu 15. Tìm điều kiện của tham số để hàm số f (x) = ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A a tùy ý, b = 0, c = 0. B a tùy ý, b = 0, c tùy ý. C a, b, c tùy ý. D a tùy ý, b tùy ý, c = 0. ý Lời giải. Hàm số f (x) có tập xác định D = R là tập đối xứng. Hàm số f (x) là hàm số chẵn khi ∀x ∈ D; f (−x) = f (x) Khi đó ax2 + bx + c = a(−x)2 + b(−x) + c ⇔ bx = −bx ⇒ b = −b ⇒ b = 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Hàm số y = x+1 xác định trên [0; 1) khi. x − 2m + 1 1 A m< . 2 B m ≥ 1.  1 m<  2. C m≥1 ñ m≥2 D m<1 . ý Lời giải. Hàm số xác định khi x 6= 2m − 1.  ñ 1 2m − 1 < 0 m< 2 Theo yêu cầu của bài toán, ta có ⇔ 2m − 1 ≥ 1 m≥1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x4 − 3x2 + x + 7 − 1 có tập xác định là x4 − 2x2 + 1 A [−2; −1] ∪ (1; 3]. B (−2; −1] ∪ [1; 3). C [−2; 3]{−1; 1}. D [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3]. ý Lời giải. x4 − 3x2 + x + 7 x4 − 3x2 + x + 7 − 1 ≥ 0 ⇔ ≥ 1 (*). Điều kiện xác định là 4 2 x4 − 2x2 + 1 ®x − 2x + 1 x 6= −1 Ta nhận thấy x4 − 2x2 + 1 6= 0 ⇔ (x2 − 1)2 6= 0 ⇔ . x 6= 1 ® x 6= −1 Với , ta có (*) ⇔ x4 − 3x2 + x + 7 ≥ x4 − 2x2 + 1. x 6= 1 ® ® x+2≥0 x ≥ −2  3−x≥0  x≤3   ⇔ −x2 + x + 6 ≥ 0 ⇔ (x + 2)(3 − x) ≥ 0 ⇔  ® ⇔ ® ⇔ x ∈ [−2; 3].  x+2≤0  x ≤ −2 (vô lý) 3−x≤0 x≥3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; 3]{−1; 1} ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Hàm số y = x−2 có tập xác định là. −3+x−2 Ä ä Ä ä √ √ A D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . Ä ä Ä ä ß7™ √ √ C D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . 4 Câu 18. Hàm số y = √ x2 Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ä ä ß7™ √ ó î√ B D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . 4 Å ã Ä ä √ √ 7 D D = −∞; − 3 ∪ 3; . 4 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 68 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ý Lời giải.  Ä ä √ ó î√ x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; +∞ Điều kiện xác định là ⇔ p .  x2 − 3 6= 2 − x x2 − 3 ≥ 0  ® x ≤ 2 √ x≤2 7 ⇔ ⇒x= . Ta xét phương trình x2 − 3 = 2 − x ⇔ x = 7 4 x2 − 3 = x2 − 4x + 4 4ä Ä √ ó î√  3; +∞ x ∈ −∞; − 3 ∪ Ä ä ß7™ √ ó î√ . Khi đó ta suy ra điều kiện xác định của hàm số là ⇒ x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; +∞ x 6= 7 4 4 Ä ä ß7™ √ ó î√ Vậy D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . 4 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (p x2 − 3 6= 2 − x Câu 19. Cho hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2| và g(x) = −x4 + x2 + 1. Khi đó. A f (x) và g(x) cùng chẵn. B f (x) và g(x) cùng lẻ. C f (x) chẵn, g(x) lẻ. D f (x) lẻ, g(x) chẵn. ý Lời giải. Cả hai hàm số f (x) và g(x) đều có tập xác định D = R là tập đối xứng. Khi đó • ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −f (x). Suy ra f (x) là hàm lẻ. • ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và g(−x) = −(−x)4 + (−x)2 + 1 = −x4 + x2 + 1 = g(x). Suy ra g(x) là hàm chẵn. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 có tập xác định là. |x| − 2 A (−2; 0] ∪ (2; +∞). B (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C (−∞; −2) ∪ (0; 2). ý Lời giải. x3 Điều kiện xác định là ≥ 0. Khi đó ta có các trường hợp sau |x| − 2 ® 3 ® x≥0 x ≥0 • Trường hợp 1: ⇔ ⇒ x ∈ (2; +∞). x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) |x| − 2 > 0 ® 3 ® x≤0 x ≤0 • Trường hợp 2: ⇔ ⇒ x ∈ (−2; 0]. x ∈ (−2; 2) |x| − 2 < 0 Câu 20. Hàm số y = D (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Kết hợp cả hai trường hợp, ta suy ra x ∈ (−2; 0] ∪ (2; +∞). Vậy D = (−2; 0] ∪ (2; +∞). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 Câu 21. Hàm số y = xác định trên [0; 1) khi. x − 2m + 1  ñ 1 m≥2 m < 1 2. A m< . B m ≥ 1. C  D . 2 m<1 m≥1 ý Lời giải. Hàm số xác định khi x 6= 2m − 1.  ñ 1 2m − 1 < 0 m< 2. Theo yêu cầu của bài toán, ta có ⇔ 2m − 1 ≥ 1 m≥1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x + 2 là. A −4. B −3. C −2. D −1. ý Lời giải. Tập xác định D = [−2; +∞). 2 √ √ √ Ta có y = x − 2 x + 2 = (x + 2) − 2 x + 2 + 1 − 3 = x + 2 − 1 − 3 ≥ −3. √ Dấu bằng xảy ra khi x + 2 = 1 ⇔ x = −1 (nhận). Vậy min y = −3, xảy ra khi x = −1. x∈D h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 69 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x 2+1 Câu 23. Tìm m để hàm số y = 2 có tập xác định là R. x + 2x − m + 1 A m ≥ 1. B m < 0. C m > 2. D m ≤ 3. ý Lời giải. Yêu cầu bài toán ⇔ x2 + 2x − m + 1 6= 0, ∀x ∈ R. Nghĩa là (x + 1)2 6= m, ∀x ∈ R. Mà (x + 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ R nên ta suy ra m < 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn. x2 + 1 A y= B y = |1 + 2x| + |1 − 2x|. . |2 − x| + |2 + x| √ √ √ √ C y = 3 2 + x + 3 2 − x + 5. D y = 3 2 − x − 3 2 + x. ý Lời giải. Tất cả các hàm số đều có √ tập xác định D = R là tập đối xứng. √ 3 3 2 − x − 2 + x. Lấy −1 ∈ D nên 1 ∈ D. Khi đó Đối với hàm y = f (x) = √ √ 3 3 − 1 và f (1) = 1 − 3. Suy ra f (−1) 6= f (1). f (−1) = 3 √ √ Suy ra y = 3 2 − x − 3 2 + x không là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ. x2 + 1 1 . . A y = |x − 1| + |x + 1|. B y= C y= 4 D y = 1 − 3x + x3 . x x − 2x2 + 3 ý Lời giải. x2 + 1 có tập xác định D = R{0} là tập đối xứng. Hàm số y = f (x) = x (−x)2 + 1 x2 + 1 Mặt khác ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = =− = −f (x). −x x x2 + 1 Suy ra y = là hàm số lẻ. x ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 26. Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là. A (−∞; −4) ∪ (5; 6]. B (−∞; −4) ∪ (5; 6). C (−∞; −4] ∪ [5; 6]. D (−∞; −4) ∪ [5; 6). ý Lời giải. ñ ® 2 ®   x≥5 (x + 4)(x − 5) ≥ 0 x − x − 20 ≥ 0 x ≤ −4 ⇒ x ∈ (−∞; −4] ∪ [5; 6] Điều kiện xác định là ⇔ ⇔  x≤6 6−x≥0  x≤6 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 có tập xác định là. |x| − 2 A (−2; 0] ∪ (2; +∞). B (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C (−∞; −2) ∪ (0; 2). ý Lời giải. x3 Điều kiện xác định là ≥ 0. Khi đó ta có các trường hợp sau |x| − 2 ® 3 ® x≥0 x ≥0 • Trường hợp 1: ⇔ ⇒ x ∈ (2; +∞). x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) |x| − 2 > 0 ® 3 ® x≤0 x ≤0 • Trường hợp 2: ⇔ ⇒ x ∈ (−2; 0]. x ∈ (−2; 2) |x| − 2 < 0 Câu 27. Hàm số y = D (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Kết hợp cả hai trường hợp, ta suy ra x ∈ (−2; 0] ∪ (2; +∞). Vậy D = (−2; 0] ∪ (2; +∞). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Cho hàm số f (x) = |x + 2| + |x − 2| và g(x) = x3 + 5x. Khi đó. A f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C f (x) lẻ, g(x) chẵn. D f (x) chẵn, g(x) lẻ. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 70 • ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = | − x + 2| + | − x − 2| = |x − 2| + |x + 2| = f (x). Suy ra f (x) hàm số chẵn. • ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và g(−x) = (−x)3 + 5(−x) = −x3 − 5x = −g(x). Suy ra g(x) hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn. A y = |x − 5| + |x + 5|. B y = x4 − x2 + 12. C y = |1 − x| + |x + 1|. D y = x2 − 1 + x. ý Lời giải. Các hàm số đã cho đều có tập xác định D = R là tập đối xứng. Xét hàm số y = f (x) = x2 − 1 + x. Ta lấy −1 ∈ D nên 1 ∈ D, khi đó f (−1) = −1 và f (1) = 1. Suy ra f (−1) 6= f (1) nên f (x) không làm hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào giảm trên khoảng (0; 1)? √ 1 A y = x2 . B y = x3 . C y= . D y = x. x ý Lời giải. 1 1 ∀ x1 và x2 thuộc (0; 1), x1 < x2 , ta có: > . x1 x2 1 Suy ra hàm số y = giảm trên khoảng (0; 1). x ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Hàm số y = x (1 − |x|) là hàm số. A Chẵn. B Lẻ. C Không chẵn, không lẻ. D Vừa chẵn, vừa lẻ. ý Lời giải. Hàm số y = f (x) = x (1 − |x|) D = R là tập đối xứng. Khi đó ∀ x ∈ D, ta có −x ∈ D và f (−x) = −x (1 − | − x|) = −x (1 − |x|) = −f (x). Suy ra f (x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1−x Câu 32. Cho hàm số y = f (x) = . Hệ thức nào sai? 1+x Å ã 1 . A f (x) = −f x C f (x + 1) = f (x) + 1. B f [f (f (x))] = f (x). Å ã 1 2 D f =1− . x+1 x+2 ý Lời giải. Cho x = 1. Theo đề f (1) = 0. Å ã 1 ○ Xét f (x) = −f . Ta có f (1) = 0 = −f (1). x ○ Xét f [f (f (x))] = f (x). Ta có f [f (f (1))] = f [f (0)] = f (1). 1 6 f (1) + 1. = 3 Å ã Å ã 1 2 1 1 2 ○ Xét f =1− . Ta có f = =1− . x+1 x+2 2 3 1+2 ○ Xét f (x + 1) = f (x) + 1. Ta có f (2) = − ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 33. Tập xác định của hàm số y = x − 2m − 4 − 2x là [1; 2] khi và chi khi 1 1 1 A m=− . B m = 1. C m= . D m> . 2 2 2 ý Lời giải.® ® x − 2m ≥ 0 x ≥ 2m Điều kiện ⇔ . 4 − 2x ≥ 0 x≤2 1 Do tập xác định của hàm số là [1; 2] nên 2m = 1 ⇔ m = . 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Tập xác định của hai hàm số là D = R là tập đối xứng. Khi đó h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam Câu 34. Tập xác định của hàm số y = A m = 3. ý Lời giải.® x−m≥0 √ x−m− 71 √ B m < 3. ® ⇔ 6 − 2x là một đoạn trên trục số khi và chi khi 1 C m > 3. D m< . 3 x≥m . x≤3 6 − 2x ≥ 0 Do tập xác định của hàm số là một đoạn trên trục số nên m < 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện: Câu 35. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 1 ? x−1 A M1 (2; 1). B M2 (1; 1). C M3 (2; 0). D M4 (0; 1). ý Lời giải. Thay lần lượt tọa độ các điểm M1 ; M2 ; M3 ; M4 vào hàm số ta có điểm M1 (2; 1) thỏa mãn nên điểm M1 thuộc đồ thị hàm số. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x2 − 4x + 4 Câu 36. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y = x ã Å 1 . A A(1; −1). B B(2; 0). C C 3; D D(−1; −3). 3 ý Lời giải. Thay lần lượt tọa độ các điểm A, B, C, D vào hàm số ta có điểm A(1; −1) không thỏa mãn nên điểm A không thuộc đồ thị hàm số. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2  x ∈ (−∞; 0)  x − √ 1 Câu 37. Cho hàm sô f (x) = . Tính f (4).   2x + 1 x ∈ [0; 2] x − 1 x ∈ (2; 5] √ 2 A f (4) = . B f (4) = 15. C f (4) = 5. D f (4) = 0. 3 ý Lời giải. Ta có f (4) = x2 − 1 = 42 − 1 = 15. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  √  2 x+2−3 x ≥ 2 . Tính P = f (2) + f (−2). Câu 38. Cho hàm số f (x) =  2 x−1 x +1 x<2 8 5 A P = . B P = 4. C P = 6. D P = . 3 3 ý Lời giải. √ 2 2+2−3 2 Ta có P = f (2) + f (−2) = + (−2) + 1 = 6. 2−1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 1 Câu 39. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (2x + ß ™1)(x − 3) Å ã 1 1 A D = (3; +∞). B D = R − ; 3 . C D = − ; +∞ . D D = R. 2 2 ý Lời giải.  ® x 6= − 1 2x + 1 6= 0 2. Điều kiện (2x + 1) (x − 3) 6= 0 ⇔ ⇔  x − 3 6= 0 x 6= 3 ß ™ 1 Vậy tập xác định của hàm số là D = R − ; 3 . 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 + 1 . x2 + 3x − 4 B D = R{1; −4}. C D = R {1; 4}. Câu 40. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D = {1; −4}. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie D D = R. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 72 Điều kiện x + 3x − 4 6= 0 ⇔ x 6= 1 . x 6= −4 Vậy tập xác định của hàm số là D = R{1; −4}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 . (x + 1) (x2 + 3x + 4) B D = {−1}. C D = R {−1}. Câu 41. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D = R {1}. ý Lời giải. ® 2  D D = R. x + 1 6= 0 ⇔ x 6= −1. x2 + 3x + 4 6= 0 (Đúng) Vậy tập xác định của hàm số là D = R {−1}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện (x + 1) x + 3x + 4 6= 0 ⇔ 2x + 1 − 3x + 2 B D = R{−2; 1}. Câu 42. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D = R {1}. ý Lời giải. ® 3 Điều kiện x − 3x + 2 6= 0 ⇔ x3 C D = R {−2}. D D = R. x 6= 1 . x 6= −2 Vậy tập xác định của hàm số là D = R{−2; 1}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 43. Tìm tập xác định D của hàm số y = x + 2 − x + 3 A D = [−3; +∞). B D = [−2; +∞). C D = R. D D = [2; +∞). ý Lời giải.® ® x+2≥0 x ≥ −2 Điều kiện ⇔ ⇔ x ≥ −2. x+3≥0 x ≥ −3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; +∞). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 44. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − 3x − x − 1 A D = (1; 2). B D = [1; 2]. C D = [1; 3]. D D = [−1; 2]. ý Lời giải.® ® 6 − 3x ≥ 0 x≤2 Điều kiện ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. x−1≥0 x≥1 Vậy tập xác định của hàm số là D = [1; 2]. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 3x − 2 + 6x √ Câu 45. Tìm tập xác định D của hàm số y = ï ã ï ã 4 − 3x ï ã Å ã 2 4 3 4 2 3 4 A D= ; . B D= ; . C D= ; . D D = −∞; . 3 3 2 3 3 4 3 ý Lời giải.  2 ®  x ≥ 3x − 2 ≥ 0 3 ⇔ 2 ≤ x < 4. Điều kiện ⇔  3 3 4 − 3x > 0 x < 4 3 ï ã 2 4 Vậy tập xác định của hàm số là D = ; . 3 3 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 46. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ x+4 x2 − 16 A D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞). C D = (−∞, −4) ∪ (4; +∞). ý Lời giải. Điều kiện x2 − 16 > 0 ⇔ x2 > 16 ⇔ |x| > 4 ⇔ B D = R. D D = (−4; 4). ñ x < −4 . x>4 Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞, −4) ∪ (4; +∞). ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 73 √ √ Câu 47. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − 2x + 1 + x − 3 A D = (−∞; 3]. B D = [1; 3]. C D = [3; +∞). D D = (3; +∞). ý Lời giải.® ® 2 x2 − 2x + 1 ≥ 0 (x − 1) ≥ 0 (luôn đúng) Điều kiện ⇔ x ≥ 3. ⇔ x−3≥0 x≥3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [3; +∞). ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x+1 Câu 48. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x −x−6 A D = {3}. B D = [−1; +∞) {3}. C D = R. D D = [−1; +∞). ý Lời giải.  ® ®  x ≥ −1 x+1≥0 x ≥ −1 ⇔ x 6= 3 ⇔ . Điều kiện 2  x 6= 3 x − x − 6 6= 0  x 6= −2 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−1; +∞) {3}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 √ Câu 49. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − 3) 2x − 1 Å ã 1 A D = R. B D = − ; +∞ {3}. Å ã ï 2 ã 1 1 C D= ; +∞ {3}. D D= ; +∞ {3}. 2 2 ý Lời giải.  ® x 6= 3 x − 3 6= 0 . Điều kiện ⇔ x > 1 2x − 1 > 0 2 Å ã 1 Vậy tập xác định của hàm số là D = ; +∞ {3}. 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 3 x−1 Câu 50. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x +x+1 A D = (1; +∞). B D = {1}. C D = R. D D = (−1; +∞). ý Lời giải. Điều kiện x2 + x + 1 6= 0 (luôn đúng). Vậy tập xác định của hàm số là D = R. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 51. Xét tính đồng biến,nghịch biến của hàm số f (x) = x2 − 4x + 5 trên khoảng (−∞; 2) và trên khoảng (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞). B Hàm số đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞). C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). D Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). ý Lời giải.  x21 − x22 − 4 (x1 − x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) x21 − 4×1 + 5 − x22 + 4×2 − 5 Xét A = = = = x1 + x2 − 4. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 ® x1 < 2 Với ⇒ x1 + x2 < 4 ⇒ A < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2). ®x2 < 2 x1 > 2 Với ⇒ x1 + x2 > 4 ⇒ A > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). x2 > 2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Câu 52. Xét sự biến thiên của hàm số f (x) = trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? x A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C Hàm số vừa đồng biến và nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 74 Câu 53. Xét sự biến thiên của hảm số f (x) = x + 1 trên khoáng (1; +∞). Khắng định nào sau đây đúng? x A Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). B Hàm só nghịch biến trên khoáng (1; +∞). C Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (1; +∞). ý Lời giải. 1 1 x2 − x1 x1 + − x2 − (x1 − x2 ) + f (x1 ) − f (x2 ) x1 x2 − 1 x1 x2 x1 x2 Xét A = = = = . x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 x1 x2 ® x1 > 1 x1 x2 − 1 Với ⇒ > 0 ⇒ A > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). x1 x2 x2 > 1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 54. Xét tính đồng biến,nghịch biến của hàm số f (x) = x−3 trên khoảng (−∞; −5) và trên khoảng (−5; +∞) . x+5 Khẳng định nào sau đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên (−∞; −5), đồng biến trên (−5; +∞). B Hàm só đồng biến trên (−∞; −5), nghịch biến trên (−5; +∞). C Hàm só nghịch biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). D Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). ý Lời giải. x1 x2 + 5×1 − 3×2 − 15 − x1 x2 − 5×2 + 3×1 + 15 x1 − 3 x2 − 3 − f (x1 ) − f (x2 ) 8 (x1 + 5) (x2 + 5) x + 5 x2 + 5 A= = 1 = = x − x x − x x − x (x + 5) (x2 + 5) 1 2 ® 1 2 1 2 1 ® x1 < −5 x1 + 5 < 0 8 Với > 0 ⇒ A > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −5). ⇒ ⇒ (x1 + 5) (x2 + 5) x < −5 x +5<0 ® 2 ® 2 x1 > −5 x1 + 5 > 0 8 > 0 ⇒ A > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−5; +∞). Với ⇒ ⇒ (x1 + 5) (x2 + 5) x2 > −5 x2 + 5 > 0 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 55. Cho hàm số f (x) = 2x định nào sau đây đúng? Å − 7. Khẳng ã Å ã 7 7 A Hàm số nghịch biến trên ; +∞ . B Hàm số đồng biến trên ; +∞ . 2 2 C Hàm số đồng biến trên R. D Hàm số nghịch biến trên R. ý Lời giải. 7 Điều kiện 2x − 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 2 √ √ 7 Với < x1 < x2 ⇒ 7 < 2x1 < 2x2 ⇒ 0 < 2x1 − 7 < 2x2 − 7 ⇒ 2x1 − 7 < 2x2 − 7 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). 2 Å ã 7 Vậy hàm số đồng biến trên ; +∞ . 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 56. Trong các hàm số y = 2015x, y = 2015x + 2, y = 3x2 − 1, y = 2x3 − 3x có bao nhiêu hàm sô lẻ? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Các hàm số đều có tập xác định là D = R là tập đối xứng. ○ Xét hàm số y = 2015x. Ta có f (−x) = −2015x = −f (x) nên là hàm số lẻ. ○ Xét hàm số y = 2015x + 2. Ta có f (−1) = −2013; f (1) = 2017 nên hàm số không chẵn, không lẻ. 2 ○ Xét hàm số y = 3x2 − 1. Ta có f (−x) = 3 (−x) − 1 = 3x2 − 1 = f (x) nên là hàm số chẵn. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie D Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (0; +∞). ý Lời giải. 3 3 Với 0 < x1 < x2 ⇒ > ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). x1 x2 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 75  3 ○ Xét hàm số y = 2×3 − 3x. Ta có f (−x) = 2 (−x) + 3x = −2×3 + 3x = − 2×3 − 3x = −f (x) nên là hàm số lẻ. Vậy có 2 hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 57. Cho hai hàm số f (x) = −2×3 + 3x và g(x) = x2017 + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số lẻ. B f (x) là hàm sô chẵn; g(x) là hàm số chẵn. C Cả f (x) và g(x) đều là hàm số không chẵn, không lẻ. D f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. ý Lời giải. Các hàm số đều có tập xác định là D = R là tập đối xứng.  3 ○ Xét hàm số f (x) = −2×3 + 3x. Ta có f (−x) = −2 (−x) − 3x = 2×3 − 3x = − −2×3 + 3x = −f (x) nên là hàm số lẻ. ○ Xét hàm số g(x) = x2017 + 3. Ta có g (−1) = 2; g(1) = 4 nên hàm số không chẵn, không lẻ. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 58. Cho hàm số f (x) = x2 − |x|. Khẳng định nào sau đây là đúng? A f (x) là hàm số lẻ. B f (x) là hàm số chẵn. C Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ý Lời giải. ○ Tập xác định D = R là tập đối xứng. 2 ○ ∀x ∈ D, f (−x) = (−x) − |−x| = x2 − |x| = f (x). Vậy y = f (x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 59. Cho hàm số f (x) = |x − 2|. Khẳng đinh nào sau đây là đúng? A f (x) là hàm số lẻ. B f (x) là hàm số chẵn. C f (x) là hàm số vừa chẵn,vừa lẻ. D f (x) là hàm số không chẵn,không lẻ. ý Lời giải. ○ Tập xác định D = R là tập đối xứng. ○ f (−1) = 3; f (1) = 1 nên f (x) là hàm số không chẵn, không lẻ. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 60. Tìm tập xác định của hàm số y = √ x−2+ 2x + 5 . x−4 C D = (−∞; 2]. A D = R{4}. B D = R{2}. D D = [2; +∞){4}. ý Lời giải.® ® x−2≥0 x≥2 Điều kiện ⇔ . x − 4 6= 0 x 6= 4 Vậy tập xác định của hàm số là D = [2; +∞){4}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 61. Tập xác định của hàm số y = A D = R. 2x + 1 là x2 − 4 B D = R{−2; 2}. ß ™ 1 C D =R − . 2 D D = {−2; 2}. ý Lời giải. Điều kiện x2 − 4 6= 0 ⇔ x 6= ±2. Vậy tập xác định của hàm số là D = R{−2; 2}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 76 A −6. B 6. C 5. D −5. ý Lời giải. f (−1) = −2 (−1 − 2) = 6. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 64. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (0; +∞). A y = −2x + 1. B y = x2 − 2x + 1. C y = x. D y = −x. ý Lời giải. Hàm số y = −2x + 1 có hệ số a = −2 < 0 nên hàm số nghịch biến trên R. Hàm số y = x2 − 2x + 1 có hệ số a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). Hàm số y = x có hệ số a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên R do đó hàm số cũng đồng biến trên khoảng (0; +∞). ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p Câu 65.ï Tập hợp ã nào sau đây là tậpÅxác định ã của hàm số y = Å|2x − 3|.ò 3 3 3 A B C −∞; . D R. ; +∞ . ; +∞ . 2 2 2 ý Lời giải. Do |2x − 3| ≥ 0 ∀x ∈ R nên hàm số luôn xác định với mọi x ∈ R. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 66. Trong các hàm số sau đây y = |x|, y = x2 + 4x, y = −x4 + 2×2 có bao nhiêu hàm số chẵn? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ○ Xét hàm số y = |x|. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = | − x| = |x| = f (x) nên hàm số chẵn. ○ Xét hàm số y = x2 + 4x. Ta có f (−1) = −3, f (1) = 5 suy ra f (−1) 6= f (1) nên hàm số không chẵn. ○ Xét hàm số y = −x4 + 2×2 . Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = −(−x)4 + 2(−x)2 = −x4 + 2×2 = f (x) nên hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 67. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? x x A y=− . B y = − + 1. 2 2 ý Lời giải. x ○ Xét hàm số y = − . 2 Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = − C y=− x−1 . 2  x −x =− − = −f (x) nên hàm số lẻ. 2 2 x ○ Xét hàm số y = − + 1. 2 Tập xác định D = R. Ta có f (−2) = 2, f (2) = 0 suy ra f (−2) 6= −f (2) nên hàm số không lẻ. D y=− x + 2. 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ Câu 62. TậpÅxác định ã của hàm số y = ï3 − 2x là ï ã Å ò ã 1 3 3 1 3 3 A D= − ; . B D= C D= − ; . D D = −∞; . ; +∞ . 2 2 2 2 2 2 ý Lời giải. 3 Điều kiện 3 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ . 2 ò Å 3 Vậy tập xác định của hàm số là D = −∞; . 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ß −2(x − 2) khi − 1 ≤ x < 1 Câu 63. Cho hàm số f (x) = √ 2 . Giá trị f (−1) bằng x −1 khi x ≥ 1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 77 x−1 . ○ Xét hàm số y = − 2 Tập xác định D = R. Ta có f (−1) = 1, f (1) = 0 suy ra f (−1) 6= −f (1) nên hàm số không lẻ. x ○ Xét hàm số y = − + 2. 2 Tập xác định D = R. f (−2) = 3, f (2) = 1 suy ra f (−2) 6= −f (2) nên hàm số không lẻ. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 68. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|, g(x) = −|x| A f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. B f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. C f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. D f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. ý Lời giải. ○ Xét hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = − (|x + 2| − |x − 2|) = −f (x) nên f (x) là hàm số lẻ. ○ Xét hàm số g(x) = −|x|. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có g(−x) = −| − x| = −|x| = g(x) nên g(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 69. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số: y = 2x3 + 3x + 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A y là hàm số chẵn. B y là hàm số lẻ. C y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ý Lời giải. Ta có f (−1) = −4 và f (1) = 6 suy ra f (−1) 6= f (1) và f (−1) 6= −f (1) nên hàm số không có tính chẵn lẻ. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 70. Cho hàm số y = 3x4 − 4x2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A y là hàm số chẵn. B y là hàm số lẻ. C y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ý Lời giải. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = 3(−x)4 − 4(−x)2 + 3 = 3x4 − 4x2 + 3 = f (x) nên hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 71. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ? A y = x3 + 1 . B y = x3 − x. C y = x3 + x . ý Lời giải. D y= 1 . x ○ Xét hàm số y = x3 + 1, ta có f (−1) = 0 và f (1) = 2 suy ra f (−1) 6= −f (1) nên hàm số không lẻ. ○ Xét hàm số y = x3 − x. Tập xác định D = R.  ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = − x3 − x = −f (x) nên hàm số lẻ. ○ Xét hàm số y = x3 + x. Tập xác định D = R.  ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 − x = − x3 + x = −f (x) nên hàm số lẻ. 1 . x Tập xác định D = {0}. ○ Xét hàm số y = ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = 1 1 = − = −f (x) nên hàm số lẻ. −x x ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 78 ○ Xét hàm số y = |x + 1| + |1 − x|. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = | − x + 1| + |1 − (−x)| = | − x + 1| + |1 + x| = |x + 1| + |1 − x| = f (x) nên f (x) là hàm số chẵn. ○ Xét hàm số y = |x + 1| − |1 − x|. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = | −x+ 1| −|1−(−x)| = | −x+ 1| −|1 +x| = − (|x + 1| − |1 − x|) = −f (x) nên f (x) là hàm số lẻ. ○ Xét hàm số y = |x2 + 1| + |1 − x2 |. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = |(−x)2 + 1| + |1 − (−x)2 | = |x2 + 1| + |1 − x2 | = f (x) nên f (x) là hàm số chẵn. ○ Xét hàm số y = |x2 + 1| − |1 − x2 |. Tập xác định D = R. ∀x ∈ D thì −x ∈ D ta có f (−x) = |(−x)2 + 1| − |1 − (−x)2 | = |x2 + 1| − |1 − x2 | = f (x) nên f (x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 73. Cho hàm số y = f (x) = |2x − 3|. Tìm x để f (x) = 3 A x = 3. B x = 3 hoặc x = 0. C x = ±3. D x = ±1. ý Lời giải. Ta có f (x) = 3 ⇒ |2x − 3| = 3 ⇒ x = 3 hoặc x = 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 74. Cho hàm số y = f (x) = x3 − 9x. Kết quả nào sau đây đúng? A f (0) = 2, f (−3) = −4 . B f (2) không xác định, f (−3) = −5. √ C f (−1) = 8, f (2) không xác định. D Tất cả các câu trên đều đúng. ý Lời giải. Tập xác định D = [−3; 0] ∪ [3; +∞). √ Ta có f (0) = 0, f (−3) = 0, f (−1) = 8 và f (2) không xác định. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+5 x−1 + là x−1 x+5 B D = R {1}. C D = R {−5}. Câu 75. Tập xác định của hàm số f (x) = A D =R. ý Lời giải. ® Điều kiện xác định x − 1 6= 0 x + 5 6= 0 ® ⇒ D D = R {−5; 1}. x 6= 1 x 6= −5. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 Câu 76. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 3 + √ là 1−x A D = (1; 3]. B D = (−∞; 1) ∪ [3; +∞). C D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞). D D = ∅. ý Lời giải. ß ß x−3≥0 x≥3 Điều kiện xác định ⇒ ⇒ x ∈ ∅. 1−x>0 x<1 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x + 4 √ là (x − 2) x + 4 B D = (−4; +∞) {2}. Câu 77. Tập xác định của hàm số y = A D = R {2}. ý Lời giải. C D = [−4; +∞) {2} . D D = ∅. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Câu 72. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A y = |x + 1| + |1 − x|. B y = |x + 1| − |1 − x|. C y = |x2 + 1| + |1 − x2 |. D y = |x2 + 1| − |1 − x2 |. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 79 ß ß x − 2 6= 0 x 6= 2 ⇒ x+4≥0 x ≥ −4. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 Câu 78. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 3 + là x−3 A D = R {3}. B D = [3; +∞). C D = (3; +∞) . D D = (−∞; 3) . ý Lời giải. ® ® x−3≥0 x≥3 Điều kiện xác định ⇒ ⇒ x > 3. x − 3 6= 0 x 6= 3 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 là Câu 79. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 5 + √ 13 − x A D = [5; 13]. B D = (5; 13). C D = (5; 13]. D D = [5; 13). ý Lời giải. ß ß x≥5 x−5≥0 ⇒ 5 ≤ x < 13. ⇒ Điều kiện xác định x < 13 13 − x > 0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 Câu 80. Tập xác định của hàm số y = x + 1 + là |x| − 2 A D = (−1; +∞) {±2}. B D = [−1; +∞) {2}. C D = [−1; +∞) {−2}. D D = (−1; +∞) {2}. ý Lời giải. ® ® ® x+1≥0 x ≥ −1 x ≥ −1 Điều kiện xác định ⇔ ⇔ . |x| − 2 6= 0 x 6= 2 và x 6= −2 x 6= 2 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [−1; +∞) {2}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện xác định Câu 81. Cho hàm số y = f (x) = 3×4 − 4×2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A y = f (x) là hàm số chẵn. B y = f (x) là hàm số lẻ. C y = f (x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. D y = f (x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ý Lời giải. Tập xác định D = R. Khi đó ∀x ∈ D thì ta có −x ∈ D và f (−x) = 3(−x)4 − 4(−x)2 + 3 = 3×4 − 4×2 + 3 = f (x). Vậy f (x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 82. Cho hai hàm số f (x) = x3 − 3x và g(x) = −x3 + x2 . Khi đó A f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C f (x) chẵn, g(x) lẻ. D f (x) lẻ, g(x) không chẵn không lẻ. ý Lời giải. • Xét hàm số f (x) = x3 − 3x. + Tập xác định D = R. + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = (−x3 ) − 3(−x) = −x3 + 3x = −(x3 − 3x) = −f (x). Suy ra f (x) là hàm số lẻ. • Xét hàm số g(x) = −x3 + x2 . + Tập xác định D = R. ® + Ta có g(1) = 0 và g(−1) = 2 nên suy ra g(−1) 6= g(1) g(−1) 6= −g(1) . Suy ra g(x) là hàm số không chẵn không lẻ. Vậy f (x) là hàm số lẻ và g(x) là hàm số không chẵn không lẻ. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Câu 83. Cho hai hàm số f (x) = và g(x) = −x4 + x2 − 1. Khi đó x A f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 80 1 . x + Tập xác định D = R {0}. D f (x) chẵn, g(x) lẻ. • Xét hàm số f (x) = + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = 1 1 = − = −f (x). −x x Suy ra f (x) là hàm số lẻ. • Xét hàm số g(x) = −x4 + x2 − 1. + Tập xác định D = R. + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và g(−x) = −(−x)4 + (−x)2 − 1 = −x4 + x2 − 1 = f (x). Suy ra g(x) là hàm số chẵn. Vậy f (x) là hàm số lẻ và g(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 84. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn? A y = |x + 1| + |1 − x|. B y = |x + 1| − |1 − x|. |x + 1| + |1 − x| 2 2 C y = |x + 1| + |x − 1|. D y= . x2 + 4 ý Lời giải. • Xét hàm số y = f (x) = |x + 1| + |1 − x|. + Tập xác định D = R. + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = | − x + 1| + |1 − (−x)| = |1 − x| + |1 + x| = f (x). Suy ra y = |x + 1| + |1 − x| là hàm số chẵn. • Xét hàm số y = g(x) = |x + 1| − |1 − x|. + Tập xác định D = R. + Ta có g(1) = 2 và g(−1) = −2 nên suy ra g(1) 6= g(−1). Suy ra y = |x + 1| − |1 − x| không là hàm số chẵn. • Xét hàm số y = h(x) = |x2 + 1| + |x2 − 1|. + Tập xác định D = R. + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và h(−x) = (−x)2 + 1 + (−x)2 − 1 = x2 + 1 + x2 − 1 = h(x). Suy ra y = |x2 + 1| + |x2 − 1| là hàm số chẵn. |x + 1| + |1 − x| . x2 + 4 2 + Vì x + 4 > 0 ∀x ∈ R nên ta có D = R. | − x + 1| + |1 − (−x)| | − x + 1| + |1 + x| + ∀x ∈ D thì −x ∈ D và k(−x) = = = k(x). (−x)2 + 4 x2 + 4 |x + 1| + |1 − x| Suy ra y = là hàm số chẵn. x2 + 4 • Xét hàm số y = k(x) = Vậy hàm số không là hàm số chẵn là y = |x + 1| − |1 − x|. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 85. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng (−1; 0)? 1 A y = x. B y= . C y = |x|. x ý Lời giải. • Xét hàm số y = f (x) = x. Đây là hàm số bậc nhất có a = 1 > 0 nên có đồ thị là đường thẳng hướng lên. Suy ra hàm số tăng trên R nên cũng tăng trên khoảng (−1; 0). 1 • Xét hàm số y = g(x) = . x 1 1 Với x1 = − và x2 = − thuộc khoảng (−1; 0) ta có 2 3 + x1 < x2 . Å ã Å ã 1 1 + g(x1 ) = g − = −2 > g(x2 ) = g − = −3. 2 3 Suy ra g(x) không tăng trên khoảng (−1; 0). D y = x2 . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie C f (x) lẻ, g(x) chẵn. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 81 • Xét hàm số y = h(x) = |x|. 1 1 Với x1 = − và x2 = − thuộc khoảng (−1; 0) ta có 2 3 + x1 < x2 . Å ã Å ã 1 1 1 1 + h(x1 ) = h − = > h(x2 ) = h = . 2 2 3 3 Suy ra h(x) không tăng trên khoảng (−1; 0). • Xét hàm số y = k(x) = x2 . Đây là hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên đồ thị là một parabol có bề lõm hướng lên. Mặt khác đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm đỉnh nên nghịch biến trên (−∞; 0) và đồng biến trến (0; +∞). Suy ra hàm số không tăng trên khoảng (−1; 0). Vậy hàm số tăng trên khoảng (−1; 0) là hàm số y = x. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 86. Câu nào sau đây đúng? A Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0. B Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi b > 0 và nghịch biến khi b < 0. C Với mọi giá trị thực của b, hàm số y = −a2 x + b nghịch biến khi a 6= 0. D Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi b < 0. ý Lời giải. • Xét hàm số y = a2 x + b. + Hàm số đồng biến khi và chỉ khi a2 > 0 ⇔ a 6= 0. + Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi a2 < 0 ⇔ a ∈ ∅. • Xét hàm số y = −a2 x + b. + Hàm số đồng biến khi và chỉ khi −a2 > 0 ⇔ a2 < 0 ⇔ a ∈ ∅. + Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi −a2 < 0 ⇔ a2 > 0 ⇔ a 6= 0. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Câu 87. Xét sự biến thiên của hàm số y = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x A Hàm số đồng biến trên (−∞; 0), nghịch biến trên (0; +∞). B Hàm số đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (−∞; 0). C Hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞). D Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) ∪ (0; +∞). ý Lời giải. 1 Xét hàm số y = f (x) = 2 . x Tập xác định D = R {0} • Với mọi x1 , x2 ∈ (−∞; 0) và x1 < x2 , ta suy ra được x1 < x2 < 0. 1 1 Khi đó x21 > x22 > 0 ⇒ 2 < 2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). Suy ra f (x) đồng biến trên (−∞; 0). x1 x2 • Với mọi x1 , x2 ∈ (0; +∞) và x1 < x2 , ta suy ra được 0 < x1 < x2 . 1 1 Khi đó 0 < x21 < x22 ⇒ 2 > 2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). x1 x2 Suy ra f (x) nghịch biến trên (0; +∞). Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Câu 88. Cho hàm số f (x) = . Khi đó x+1 A f (x) tăng trên khoảng (−∞; −1) và giảm trên khoảng (−1; +∞). B f (x) tăng trên hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C f (x) giảm trên khoảng (−∞; −1) và tăng trên khoảng (−1; +∞). D f (x) giảm trên hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 82 4(x1 − x2 ) 4 4 − f (x2 ) − f (x1 ) 4 (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x1 + 1 K= = 2 = 1 =− . x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 (x1 + 1)(x2 + 1) • ∀x1 , x2 ∈ (−∞; −1) và x1 < x2 , ta suy ra được x1 < −1 và x2 < −1. Khi đó x1 + 1 < 0, x2 + 1 < 0 ⇒ (x1 + 1)(x2 + 1) > 0 ⇒ K = − 4 < 0. (x1 + 1)(x2 + 1) Suy ra f (x) giảm trên (−∞; −1). • ∀x1 , x2 ∈ (−1; +∞) và x1 < x2 , ta suy ra được x1 > −1 và x2 > −1. Khi đó x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ⇒ (x1 + 1)(x2 + 1) > 0 ⇒ K = − 4 < 0. (x1 + 1)(x2 + 1) Suy ra f (x) giảm trên (−1; +∞). Vậy hàm số đã cho giảm trên hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Câu 89. Xét sự biến thiên của hàm số y = . Chọn khẳng định đúng. x−1 A Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C Hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞). D Hàm số đồng biến trên (−∞; 1). ý Lời giải. x Xét hàm số y = f (x) = . x−1 Tập xác định D = R {1}. Với x1 6= x2 ta có x1 − x2 x2 x1 − f (x2 ) − f (x1 ) 1 (x − 1)(x2 − 1) x − 1 x1 − 1 K= = 2 = 1 =− . x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 (x1 − 1)(x2 − 1) • ∀x1 , x2 ∈ (−∞; 1) và x1 < x2 , ta suy ra được x1 < 1 và x2 < 1. Khi đó x1 − 1 < 0, x2 − 1 < 0 ⇒ (x1 − 1)(x2 − 1) > 0 ⇒ K = − 1 < 0. (x1 − 1)(x2 − 1) Suy ra f (x) nghịch biến trên (−∞; 1). • ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞) và x1 < x2 , ta suy ra được x1 > 1 và x2 > 1. Khi đó x1 − 1 > 0, x2 − 1 > 0 ⇒ (x1 − 1)(x2 − 1) > 0 ⇒ K = − 1 < 0. (x1 − 1)(x2 − 1) Suy ra f (x) nghịch biến trên (1; +∞). Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 16 − x2 Câu 90. Cho hàm số y = . Kết quả nào sau đây đúng? √ x+2 15 11 . A f (0) = 2; f (1) = B f (0) = 2; f (−3) = − . 3 √ 24 14 C f (2) = 1; f (−2) không xác định. D f (0) = 2; f (1) = . 3 ý Lời giải. ® ® −4≤x≤4 16 − x2 ≥ 0 Điều kiện xác định ⇔ x 6= −2. x + 2 6= 0 Suy ra tập xác định D = [−4; 4] {−2}. Khi đó ta có √ √ √ 16 − 02 16 − 12 15 • f (0) = = 2. • f (1) = = . 0+2 1+2 3 p √ √ √ 16 − (−3)2 16 − 22 3 • f (−3) = = − 7. • f (2) = = . −3 + 2 2+2 2 • f (−2) không xác định vì −2 ∈ / D. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Tập xác định D = R {−1}. Với x1 6= x2 ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 83 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  x  x + 1 , x ≥ 0 Câu 91. Cho hàm số f (x) = . Giá trị của f (0), f (2), f (−2) là   1 ,x < 0 x−1 2 2 1 A f (0) = 0; f (2) = , f (−2) = 2. B f (0) = 0; f (2) = ; f (−2) = − . 3 3 3 1 C f (0) = 0; f (2) = 1; f (−2) = − . D f (0) = 0; f (2) = 1; f (−2) = 2. 3 ý Lời giải.  0  =0 f (0) =   0+1    2 2 . Ta có f (2) = =  2 + 1 3    1 1  f (−2) = =− −2 − 1 3 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 Câu 92. Cho hàm số f (x) = x − 1 + . Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số f (x)? x−3 A (1; +∞). B [1; +∞]. C [1; 3) ∪ (3; +∞). D [1; +∞) {3}. ý Lời giải. ® ® x−1≥0 x≥1 Điều kiện xác định ⇔ . x − 3 6= 0 x 6= 3 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; +∞) {3}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 93. Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là A (−∞; 4) ∪ (5; 6]. B (−∞; −4) ∪ (5; 6). C (−∞; −4] ∪ [5; 6]. D (−∞; −4) ∪ [5; 6). ý Lời giải. Điều kiện xác định ñ ® 2 ® ®   x≥5 (x − 5)(x + 4) ≥ 0 x ≤ −4 x − x − 20 ≥ 0 x ≤ −4 ⇔ ⇔ ⇔  x≤6 5 ≤ x ≤ 6. 6−x≥0  x≤6 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (−∞; −4] ∪ [5; 6]. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 84 A 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B (A 6= 0) ○ Tập xác định: D = R. ○ Sự biến thiên: • Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên R. • Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Å ã b ○ Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục hoành tại điểm A − ; 0 và cắt trục tung tại a điểm B(0; b). y y B B A A x O O y = ax + b (a > 0) x y = ax + b (a < 0) ○ Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho d : y = ax + b (a 6= 0) và d0 : y = a0 x + b0 (a0 6= 0). ® a = a0 • d k d0 ⇔ b 6= b0 . ® a = a0 • d ≡ d0 ⇔ b = b0 . • d cắt d0 ⇔ a 6= a0 . • d ⊥ d0 ⇔ a · a0 = −1. ® 0 • d cắt d tại một điểm trên trục tung ⇔ 2 a 6= a0 b = b0 . HÀM SỐ HẰNG Y = B Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b. y b O y=b x h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie §2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 3 85 HÀM SỐ Y = |AX + B| (A 6= 0) b a y = |ax + b| =   − (ax + b) nếu x < − b . a   ax + b nếu x ≥ − Để vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b| (a 6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến Muốn xét tính đơn điệu của hàm số bậc nhất, ta cần đưa hàm số về đúng dạng y = a x + b. ○ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên R. ○ Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên R. # Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 1 y = 2x + 1. 2 y = −x + 1. 3 y= 1−x . 2 x 2 4 y=− . ý Lời giải. 1 Hàm số y = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến (tăng) trên R. 2 Hàm số y = −x + 1 có hệ số a = −1 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 3 Hàm số y = 1−x 1 1 1 = − x + có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 2 2 2 2 4 Hàm số y = − 1 1 x = − x có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 2 2 2 # Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 y = (m − 1)x + 1 đồng biến trên R. 2 y = −mx + m + 1 nghịch biến trên R. 3 y = −(m2 + 1)x + m + 1 nghịch biến trên R. 4 y= 1 x + 2 đồng biến trên R. m−1 ý Lời giải. 1 Hàm số y = (m − 1)x + 1 đồng biến trên R ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m > 1. 2 Hàm số y = −mx + m + 1 nghịch biến trên R ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0. Vậy m > 0. 3 Hàm số y = −(m2 + 1)x + m + 1 nghịch biến trên R ⇔ −(m2 + 1) < 0 ⇔ m2 + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m ∈ R). Vậy m ∈ R. 4 Hàm số y = Vậy m > 1. 1 1 x + 2 đồng biến trên R ⇔ > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1. m−1 m−1 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 86 Đưa hàm số về đúng dạng y = a x + b, (a 6= 0). Đồ thị hàm số là một đường thẳng. ○ Nếu a > 0 thì đồ thị “đi lên từ trái sang phải”. ○ Nếu a < 0 thì đồ thị “đi xuống từ trái sang phải”. ○ Xác định giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ rồi nối hai điểm đó lại ta được đường thẳng là đồ thị của hàm số. # Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 y = 2x + 1. 2 y = −x + 1. 3 y= 1−x . 2 4 y=− x + 2. 4 ý Lời giải. 1 y = 2x + 1. Tập xác định D = R. Hàm số y = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến (tăng) Å trênãR. 1 Đồ thị hàm số y = 2x + 1 là một đường thẳng đi qua hai điểm A − ; 0 và 2 B(0; 1). y y = 2x + 1 1 1 − 2 x O 2 y = −x + 1. Tập xác định D = R. Hàm số y = −x + 1 có hệ số a = −1 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Đồ thị hàm số y = −x + 1 là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; 1). y 1 x O 1 y = −x + 1 3 y= 1−x 1 1 =− x+ . 2 2 2 Tập xác định D = R. 1−x 1 Hàm số y = có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) 2 2 trên R. 1−x Đồ thị hàm số y = là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0) và 2 Å ã 1 B 0; . 2 y 1 2 x O 1 y= x + 2. 4 Tập xác định D = R. x 1 Hàm số y = − + 2 có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 4 4 x Đồ thị hàm số y = − + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm A(8; 0) và B(0; 2). 4 4 y=− 1−x 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie d Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax + b h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 87 y 2 x 8 O y=− x +2 4 d Dạng 3. Đồ thị hàm số y = |ax + b| b a ○ y = |ax + b| =   − (ax + b) khi x < − b . a   ax + b khi x ≥ − ○ Để vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b|, (a 6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. # Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị các hàm số sau. 1 y = |x − 1| 2 y = | − x + 1| + 1 3 y = |x + 1| + |x| 4 y = x + |x + 1| ý Lời giải. 1 Ta có ® y = |x − 1| = x−1 khi x ≥ 1 − x + 1 khi x < 1. Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1). y 1 O 1 x 1 x 2 Ta có ® y = | − x + 1| + 1 = −x+2 khi x ≤ 1 x khi x > 1. Hàm số nghịch biến trên (1; +∞) và đồng biến trên (−∞; 1). y 2 1 O 3 Ta có Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 88 y 1 −1 x O 4 Ta có ® y = x + |x + 1| = 2x + 1 khi x ≥ −1 y −1 khi x < −1. Hàm số đồng biến trên (−1; +∞). 1 −1 x O −1 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Tìm m để hàm số y = (2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R. 1 1 1 1 A m> . B m< . C m<− . D m>− . 2 2 2 2 ý Lời giải. 1 Hàm số đồng biến trên R ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > − . 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Tìm m để hàm số y = m(x + 2) − x(2m + 1) nghịch biến trên R. 1 1 A m > −1. B m<− . C m < −1. D m>− . 2 2 ý Lời giải. Ta có y = −(m + 1)x + 2m. Hàm số nghịch biến trên R ⇔ −(m + 1) < 0 ⇔ m > −1. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Tìm m để hàm số y = −(m2 + 1)x + m − 4 nghịch biến trên R. A m > 1. B Với mọi m. C m < −1. D m > −1. ý Lời giải. Hàm số nghịch biến trên R ⇔ −(m2 + 1) < 0 ⇔ m2 + 1 > 0 (luôn đúng ∀m ∈ R). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m − 2)x + 2m đồng biến trên R. A 2014. B 2016. C Vô số. D 2015. ý Lời giải. Hàm số đồng biến trên R ⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2. Vì m nguyên và thuộc đoạn [−2017; 2017] nên m ∈ {3; 4; . . . ; 2017}. Vậy có 2015 số nguyên m thỏa mãn bài. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m2 − 4)x + 2m đồng biến trên R. A 4030. B 4034. C Vô số. D 2015. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie  khi x ≥ 0  2x + 1 khi − 1 < x < 0 y = |x + 1| + |x| = 1   − 2x − 1 khi x ≤ −1. Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (−∞; −1). h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 2 Hàm số đồng biến trên R ⇔ m − 4 > 0 ⇔ 89 ñ m>2 m < −2. Vì m nguyên và thuộc đoạn [−2017; 2017] nên m ∈ {−2017; −2016; . . . ; −4; −3; 3; 4; . . . ; 2017}. Vậy có 4030 số nguyên m thỏa mãn bài. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 6. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y = 2x. √ √ √ 1 A y = 1 − 2x. B y = √ x − 3. C y + 2x = 2. D y − 2x = 5. 2 ý Lời giải.√ √ Ta có y − 2x = 5 ⇔ y = 2x + 5. √ √ Suy ra đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x là y = 2x + 5. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m2 − 3)x + 2m − 3 song song với đường thẳng y = x + 1. A m = 2. B m = ±2. C m = −2. D m = 1. ý Lời giải. ® 2 ® m = ±2 m −3=1 Điều kiện để hai đường thẳng song song là ⇔ ⇔ m = −2. m 6= 2 2m − 3 6= 1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x + 1 song song với đường thẳng y = (m2 − 1)x + m − 1. A m = ±2. B m = 2. C m = −2. D m = 0. ý Lời giải. ® 2 ® m = ±2 m −1=3 Điều kiện để hai đường thẳng song song là ⇔ ⇔ m = −2. m 6= 2 m − 1 6= 1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 9. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4) và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tính tổng S = a + b. A S = 4. B S = 2. C S = 0. D S = −4. ý Lời giải. ®  a + b = 4 a=2 ⇔ Ta có a = 2  b = 2.  b 6= 1 Vậy tổng S = a + b = 4. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm E(2; −1) và song song với đường thẳng ON với O là gốc tọa độ và N (1; 3). Tính giá trị biểu thức S = a2 + b2 . A S = −4. B S = −40. C S = −58. D S = 58. ý Lời giải. Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm E(2; −1) nên 2a + b = −1. (1) Gọi đường thẳng ON có dạng y = mx + n. ® ® n=0 m=3 Suy ra ⇔ ⇒ ON : y = 3x. m+n=3 ® n=0 a=3 Theo giả thiết suy ra . Kết hợp với (1) suy ra b = −7. b 6= 0 Vậy S = 32 + (−7)2 = 58. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (3m + 2)x − 7m − 1 vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2x − 1. 5 5 1 A m = 0. B m=− . C m< . D m>− . 6 6 2 ý Lời giải. 5 d ⊥ ∆ ⇔ (3m + 2) · 2 = −1 ⇔ m = − . 6 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 90 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 13. Tìm a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(−2; 1) và B(1; −2). A a = −2 và b = −1. B a = 2 và b = 1. C a = 1 và b = 1. D a = −1 và b = −1. ý Lời giải. ® ® − 2a + b = 1 a = −1 Ta có hệ ⇔ . a + b = −2 b = −1 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M (−1; 3) và N (1; 2). Tính tổng S = a + b. 1 5 A S=− . B S = 3. C S = 2. D S= . 2 2 ý Lời giải.  1 ®  a = − −a+b=3 2 ⇒ S = − 1 + 5 = 2. Ta có hệ ⇔ 5  2 2 a+b=2 b = 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(−3; 1) và có hệ số góc bằng −2. Tính tích P = ab. A P = −10. B P = 10. C P = −7. D P = −5. ý Lời giải. Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng −2 nên a = −2. Đồ thị hàm số đi qua A(−3; 1) nên 1 = −2 · (−3) + b ⇔ b = −5 ⇒ ab = (−2) · (−5) = 10. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x  1 − 3x Câu 16. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = và y = − + 1 là 4 Å ã 3 1 A (0; −1). B (2; −3). C 0; D (3; −2). . 4 ý Lời giải. x  1 − 3x 1−3·3 Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng là =− + 1 ⇔ x = 3. Suy ra y = = −2. 4 3 4 Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (3; −2). ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 A m = ±2. B m 6= ±2. C m 6= 2. D m 6= −2. ý Lời giải. Đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 ⇔ m2 6= 4 ⇔ m 6= ±2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. A m = 7. B m = 3. C m = −7. D m = ±7. ý Lời giải. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là giao điểm của trục hoành và đồ thị hàm số là (3; 0). Suy ra 0 = 2 · 3 + m + 1 ⇔ m = −7. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2. A m = −3. B m = 3. C m = 0. D m = −1. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 12. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm N (4; −1) và vuông góc với đường thẳng 4x − y + 1 = 0. Tính tích P = ab. 1 1 1 A P = 0. B P =− . C P = . D P =− . 4 4 2 ý Lời giải. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm N (4; −1) nên −1 = 4a + b. Đồ thị hàm số y = ax + b vuông  góc với 4x − y + 1 = 0, tức vuông góc với y = 4x + 1 ⇔ 4a = −1. ® a = − 1 4a + b = −1 4 ⇒ ab = 0. Ta có hệ ⇔  4a = −1 b=0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 91 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2 tức là giao điểm của trục tung và đồ thị hàm số là (0; −2). Suy ra −2 = 2 · 0 + m + 1 ⇔ m = −3. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. A m = −3. B m = 3. C m = ±3. D m = 0. ý Lời giải. Gọi (0;®y0 ) là giao điểm của®d và ∆. y0 = −3 y0 = m · 0 − 3 ⇔ m = −3. ⇔ Ta có y0 = m y0 + 0 = m ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. √ √ √ A m = 3. B m = ± 3. C m = − 3. D m = 3. ý Lời giải. Gọi (x® 0 ; 0) là giao điểm của d và ∆. √ 0 = m · x0 − 3 Ta có ⇔ m2 − 3 = 0 ⇔ m = ± 3. 0 + x0 = m ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5. 1 5 1 5 1 5 1 5 A a= ,b= . B a=− ,b=− . C a= ,b=− . D a=− ,b= . 6 6 6 6 6 6 6 6 ý Lời giải.  1 ®  a = − −a+b=1 6 Gọi d : y = ax + b. Ta có M (−1; 1) ∈ d và d ∩ Ox = (5; 0) nên ⇔ .  5a + b = 0 b = 5 6 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆1 : y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng −2 và cắt đường thẳng ∆2 : y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2. 3 1 3 1 3 1 3 1 A a= ;b= . B a=− ;b= . C a=− ;b=− . D a= ;b=− . 4 2 4 2 4 2 4 2 ý Lời giải. Gọi d : y = ax + b và giao điểm của d với ∆1 và ∆2 lần lượt là A và B. yB − 4 −2 − 4 Ta có A(−2; yA ) với yA = 2 · (−2) + 5 = 1 và B(xB ; −2) với xB = = = 2. −3 −3  3 ®  a = − − 2a + b = 1 4. Có A(−2; 1) ∈ d và B(2; −2) ∈ d nên ⇔  2a + b = −2 b = − 1 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 phân biệt và đồng qui. A m = −7. B m = 5. C m = −5. D m = 7. ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2x và y = −x − 3 là 2x = −x − 3 ⇔ x = −1 ⇒ y = −2. Ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 đồng qui ⇔ (−1; −2) ∈ d3 với d3 : y = mx + 5 ⇔ −m + 5 = −2 ⇔ m = 7. Kiểm tra với m = 7 thì ba đường thẳng trên phân biệt. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = −5(x + 1), y = mx + 3 và y = 3x + m phân biệt và đồng qui. A m 6= 3. B m = 13. C m = −13. D m = 3. ý Lời giải. −m − 5 Phương trình hoành độ giao điểm của y = −5(x + 1) và y = 3x + m là −5(x + 1) = 3x + m ⇔ x = ⇒ 8 Å ã −m − 5 5 y = −5 + 1 = − (−m + 3). 8 8 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 92 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ã 1 5 (−m − 5); − (−m + 3) ∈ d3 với d3 : y = mx+3 8 8 5 1 (−m − 5)m + 3 = − (−m + 3) 8 8 1 5 5 15 − m2 + m + 3 = m − 8 8 8 8 1 2 39 − m + =0 8 8 39 1 2 10 m − m+ =0 8 8 8 ñ m=3 . m = −13 Kiểm tra với m = 3 thì hai đường thẳng y = mx + 3 và y = 3x + m trùng nhau nên loại m = 3. Kiểm tra với m = −13 thì ba đường thẳng trên phân biệt nên nhận m = −13. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị là đường ∆. Đường thẳng ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? 1 3 A S= . B S = 1. C S = 2. D S= . 2 2 ý Lời giải. Có ∆ ∩ Ox = A(x0 ; 0) với x0 = y0 + 1 = 1. Suy ra A(1; 0). ∆ ∩ Oy = A(0; y0 ) với y0 = x0 − 1 = −1. Suy ra B(0; −1). 1 1 Diện tích tam giác tạo thành S = · |1| · | − 1| = . 2 2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(2; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân. A y = x + 5. B y = −x + 5. C y = −x − 5. D y = x − 5. ý Lời giải. Đường thẳng d đi qua điểm I(2; Å ã 3) nên 3 = 2a + b. b d cắt trục Ox tại điểm − , 0 và cắt trục Oy tại điểm (0, b). a b d tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân nên a > 0, b > 0 và − = b. Suy ra b = 0 (loại do b > 0) hoặc a a = −1. ® ® 2a + b = 3 a = −1 Ta có hệ ⇔ . Suy ra y = −x + 5. a = −1 b=5 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 2) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. A y = −2x − 4. B y = −2x + 4. C y = 2x − 4. D y = 2x + 4. ý Lời giải. Å ã b b d cắt trục Ox tại điểm − , 0 và cắt trục Oy tại điểm (0, b). Có b > 0 và − > 0 nên a < 0. a a 1 b Đường thẳng d : y = ax + b tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4 nên − · · b = 4. 2 a  2  b  ® −  a + b = 2 +b=2 b=4 8 2 ⇔ Ta có hệ ⇔ (thỏa b > 0 và a < 0). b 2  a = − a = −2 b   a=− 8 8 Vậy y = −2x + 4. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y Câu 29. Đường thẳng d : + = 1, (a 6= 0, b 6= 0) đi qua điểm M (−1; 6) tạo với các tia Ox, Oy một tam giác có a b diện tích bằng 4. Tìm S = a + 2b. √ 38 −5 + 7 7 A S=− . B S= . C S = 10. D S = 6. 3 3 ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Å Ba đường thẳng y = 2x, y = −x−3 và y = mx+5 đồng qui ⇔ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 93 1 x y Ta có đường thẳng d : + = 1 tạo với hai tia Ox và Oy một tam giác có diện tích bằng 4 nên · ab = 4 ⇔ ab = 8. a b 2    8 ®  b = −12 ab = 8 a =  − b2 + 48 = 8b  b=4 b Ta có hệ ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) ∨ (loại). − 1 + 6 =1  a = 8 a = − 2 a=2 − 8 + 6 =1 a b 3 b b b Vậy a + 2b = 2 + 2 · 4 = 10. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Tìm phương trình đường √ thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 3), cắt hai tia Ox, Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5. B y = −2x − 5. A y = 2x + 5. C y = 2x − 5. D y = −2x + 5. ý Lời giải. Å ã b d cắt trục Ox tại điểm − , 0 và cắt trục Oy tại điểm (0, b). a √ 1 1 1 1 1 a2 Do d cắt hai tia Ox, Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5 nên = 2 + b2 ⇔ = 2 + 2 ⇔ 5(a2 + 1) = b2 . 5 b 5 b b a2 b Có b > 0 và − > 0 nên a < 0 a ® ® ® a=3−b a=3−b a+b=3 ⇔ ⇔ d đi qua điểm I(1; 3) nên ta có hệ 2 2 2 2 5((3 − b) + 1) = b 50 − 30b + 4b2 = 0 5(a + 1) = b  5 ®  a = a = −2 2 ⇔ (loại do a < 0) hoặc (nhận). Suy ra y = −2x + 5 1  b=5 b = 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y = x + 1. B y = −x + 2. C y = 2x + 1. D y = −x + 1. y 1 O 1 x ý Lời giải. ® Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (0, 1) và (1, 0) nên ta có hệ a+b=0 b=1 ® ⇔ a = −1 b=1 . Do đó y = −x + 1. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 32. Hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau? y O y 1x O −1 y 1x O −1 . A B Å C ã 1 , 0 là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x − 1. 2 Ta thấy chỉ có đồ thị sau là phù hợp. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 1x O −1 . ý Lời giải. Ta có (0, −1) và y 1x −1 . D . # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 94 O 1x −1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 33. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b. 3 A a = −2 và b = 3. B a = − và b = 2. 2 3 C a = −3 và b = 3. D a = và b = 3. 2 y 3 −2 x O ý Lời giải.  a = 3 2. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (0, 3) và (−2, 0) nên ta có hệ ⇔  − 2a + b = 0 b=3 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® b=3 Câu 34. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y = |x|. B y = −x. C y = |x| với x < 0. D y = −x với x < 0. y 1 −1 ý Lời giải. ® Với x ≤ 0, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (0, 0) và (−1, 1) nên ta có hệ ® b=0 −a+b=1 x O ⇔ a = −1 b=0 . Suy ra y = −x. Vậy phương án y = |x| với x < 0 phù hợp. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 −1 A y = |x|. ý Lời giải. B y = |x| + 1. C y = 1 − |x|. Với x ≥ 0, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (0, 1) và (1, 0) nên ta có hệ O 1 x D y = |x| − 1. ® a+b=0 ® ⇔ a = −1 . Suy ra b=1 y = −x + 1. ® ® −a+b=0 a = −1 Với x < 0, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (−1, 0) và (0, 1) nên ta có hệ ⇔ . Suy ra b=1 b=1 b=1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie y h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 95 y = x + 1. Vậy đồ thị hàm số trên R là y = |x| + 1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 36. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 3 1 −1 A y = |x| + 1. B y = 2|x| + 1. C y = |2x + 1|. x 1 O D y = |x + 1|. ý Lời giải. ® Với x ≥ 0, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (0, 1) và (1, 3) nên ta có hệ ® b=1 a+b=3 ⇔ a=2 b=1 . Suy ra y = 2x + 1. Với x < 0, đồ thị hàm số y = ax+b đi qua 2 điểm (0, 1) và đối xứng với đồ thị hàm số y = 2x+1. Suy ra y = −2x+1. Vậy đồ thị hàm số trên R là y = 2|x| + 1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 37. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A y = |2x + 3|. B y = |2x + 3| − 1. C y = |x − 2|. D y = |3x + 2| − 1. y 2 3 −2 − 2 O x −1 ý Lời giải.  ® Å ã  − 3 a + b = −1 a=2 3 3 2 Với x ≥ − , đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm − , −1 và (0, 2) nên ta có hệ ⇔ .  2 2 b=2 b=2 Suy ra y = 2x + 2 = (2x + 3) − 1.  Å ã  − 3 a + b = −1 −3 3 2 Với x < , đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm − , −1 và (−2, 0) nên ta có hệ ⇔  2 2 − 2a + b = 0 ® a = −2 . Suy ra y = −2x − 4 = −(2x + 3) − 1. b = −4 Vậy đồ thị hàm số trên R là y = |2x + 3| − 1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 38. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 96 y 1 2 x O −1 −3 ý Lời giải. ® Với x ≥ 1, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (1, −1) và (2, 0) nên ta có hệ a + b = −1 ® ⇔ a=1 . Suy ra 2a + b = 0 b = −2 y = x − 2. ® ® a + b = −1 a=2 Với x < 1, đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm (1, −1) và (0, −3) nên ta có hệ ⇔ . Suy b = −3 b = −3 ra y = 2x − 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 39. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x −∞ 1 2 +∞ +∞ 2 +∞ f (x) 0 A y = 2x − 1. B y = |2x − 1|. C y = 1 − 2x. D y = −|2x − 1|. ý Lời giải. Phương án y = 2x − 1 có 2 > 0 nên luôn đồng biến trên R (loại y = 2x − 1). Phương án y = 1 − 2x có −2 < 0 nên luôn nghịch biến trên R (loại y = 1 − 2x). Phương án y = −|2x − 1| có giá trị trên R luôn âm (loại y = −|2x − 1|). Vậy chỉ còn phương án y = |2x − 1| là phù hợp với bảng biến thiên đã cho. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 40. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x −∞ 4 3 +∞ +∞ 2 +∞ f (x) 0 A y = |4x + 3|. ý Lời giải. B y = |4x − 3|. C y = | − 3x + 4|. D y = |3x + 4|. 4 nên chỉ có phương án y = | − 3x + 4| là phù hợp. 3 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nhận thấy hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới ® đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? ® 2x − 3 khi x ≥ 1 2x − 3 khi x < 1 A f (x) = B f (x) = . . x − 2 khi x ≥ 1 ®x − 2 khi x < 1 3x − 4 khi x ≥ 1 . C f (x) = D y = |x − 2|. − x khi x < 1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam §3 A 1 97 HÀM SỐ BẬC HAI TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c trong đó a, b, c là các hằng số và a 6= 0. Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c được gọi là một Parabol. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số y = ax2 + bx + c a>0 x a<0 −b 2a −∞ +∞ −b 2a −∞ x +∞ +∞ y −∆ 4a fy −∆ 4a +∞ −∞ +∞ Å ã b ○ Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; − . 2a Å ã b ○ Hàm số nghịch biến trên khoảng − ; +∞ . 2a Å ã b ○ Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; − . 2a Å ã b ○ Hàm số đồng biến trên khoảng − ; +∞ . 2a y y − ∆ − 4a b 2a O x − O ∆ 4a Å ã b ∆ ○ Tọa độ đỉnh I − ; − . 2a 4a ○ Trục đối xứng là đường thẳng x = − Đặc biệt ○ Khi a > 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là ymin = − ∆ b tại x = − . 4a 2a ○ Khi a < 0 hàm số đạt giá trị lớn nhất là ymax = − ∆ b tại x = − . 4a 2a Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie b . 2a − b 2a x # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 98 Å ã b ∆ B1. Xác định tọa độ đỉnh I − ; − . 2a 4a B2. Xác định trục đối xứng ∆ : x = − b và hướng bề lõm của parabol. 2a B3. Lập bảng giá trị, xác định các điểm thuộc (P ). B4. Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại. # Ví dụ 1. Cho hàm số y = −x2 + bx + 2 có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnh nằm trên đường thẳng x = −2. ý Lời giải. Vì đỉnh của parabol nằm trên đường thẳng x = −2 nên − b −b = −2 ⇔ = −2 ⇔ b = −4. Khi đó ta có 2a 2 · (−1) (P ) : y = −x2 − 4x + 2. ○ Bảng biến thiên x −∞ −2 +∞ 6 y −∞ +∞ ○ Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (−2; 6). Trục đối xứng ∆ : x = −2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x y -3 5 -2 6 -1 5 Đồ thị hàm số y 6 5 −3 −2 −1 O x # Ví dụ 2. Cho hàm số y = −2x2 + bx + c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) đi qua điểm A(1; −2) và hoành độ của đỉnh là 2. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie CÁC BƯỚC VẼ PARABOL: (P ) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0) h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 99 b b =2⇔− = 2 ⇔ b = 8. Khi đó (P ) : y = −2x2 + 8x + c. 2a 2 · (−2) Mặt khác (P ) đi qua điểm A(1; −2) nên −2 = −2 · (1)2 + 8 · 1 + c ⇔ c = −8. Vậy (P ) : y = −2x2 + 8x − 8. Vì hoành độ đỉnh của parabol là 2 nên − ○ Bảng biến thiên x −∞ +∞ 2 0 y −∞ +∞ ○ Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (2; 0). Trục đối xứng ∆ : x = 2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x y 1 -2 2 0 3 -2 Đồ thị hàm số y 1 2 3 x O −2 # Ví dụ 3. Cho hàm số y = x2 + bx + c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnh I(−1; −2). ý Lời giải.   − b = −1 (1) 2a Vì (P ) có đỉnh là I(−1; −2) nên  A ∈ (P ). (2) b (1) ⇔ − = −1 ⇔ b = 2. 2·1 (2) ⇔ −2 = (−1)2 + 2(−1) + c ⇔ c = −1. Vậy (P ) : y = x2 + 2x − 1. ○ Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ +∞ f (x) −2 ○ Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (−1; −2). Trục đối xứng ∆ : x = −1, bề lõm hướng lên trên. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie +∞ # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 100 -2 -1 -1 -2 0 -1 Đồ thị hàm số y −2 x −1 O −1 −2 ! THIẾU BTTL BỔ SUNG SAU B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN √ 2−x+ x B D = (−2; 2) {0}. Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D = [−2; 2]. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi √ x+2 . C D = [−2; 2] {0}. D D = R.     x ≤ 2 2 − x ≥ 0 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 ⇔ x ∈ [−2; 2] {0}.     x 6= 0 x 6= 0 Vậy D = [−2; 2] {0}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 2x + 1 √ Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x + . 1+ x−1 A D = (1; +∞). B D = [1; 6]. C D = R. D D = (−∞; 6). ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi     6 − x ≥ 0 x ≤ 6 x−1≥0 ⇔ x≥1 ⇔ x ∈ [1; 6].   √ √  1 + x − 1 6= 0 x − 1 6= −1 (luôn đúng ∀x ≥ 1) Vậy D = [1; 6]. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x+2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 2 x x − 4x + 4 A D = [−2; +∞) {0; 2}. B D = R. C D = [−2; +∞). D D = (−2; +∞) {0; 2}. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi     x + 2 ≥ 0 x ≥ −2 x 6= 0 ⇔ x 6= 0 ⇔ x ∈ [−2; +∞) {0; 2}.    2  x 6= 2 x − 4x + 4 > 0 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie x y h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 101 Vậy D = [−2; +∞) {0; 2}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x √ . Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = x− x−6 A D = [0; +∞). B D = [0; +∞) {9}. C D = {9}. D D = R. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi  ≥0 ® ®  x x≥0 √ x≥0 x 6= −2 (luôn đúng) ⇔ ⇔ √  x 6= 9. x − x − 6 6= 0 √ x 6= 3 Vậy D = [0; +∞) {9}. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ x−1+ 4−x Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 2)(x − 3) A D = [1; 4]. B D = (1; 4) {2; 3}. C D = [1; 4] {2; 3}. D D = (−∞; 1] ∪ [4; +∞). ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi   x−1≥0 x≥1       4 − x ≥ 0 x ≤ 4 ⇔ ⇔ x ∈ [1; 4] {2; 3}. x − 2 6= 0 x 6= 2       x − 3 6= 0 x 6= 3 Vậy D = [1; 4] {2; 3}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018 √ Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 3 x2 − 3x + 2 − 3 x2 − 7 A D = R {3}. B D = R. C D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). D D = R {0}. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi p p 3 3 x2 − 3x + 2 − x2 − 7 6= 0 ⇔ x2 − 3x + 2 6= x2 − 7 ⇔ x 6= 3. Vậy D = R {3}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |x| . |x − 2| + |x2 + 2x| B D = R {0; −2}. C D = (−2; 0). Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D = R. ý Lời giải. D D = (2; +∞).   xñ = 2 x−2=0 2 Xét |x − 2| + x + 2x = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ⇔ x ∈ ∅.  x2 + 2x = 0  x = −2 Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi |x − 2| + x2 + 2x 6= 0, suy ra x ∈ R. Vậy D = R. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 1 . Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = p x |x − 4| A D = R {0; 4}. B D = (0; +∞). C D = [0; +∞) {4}. D D = (0; +∞) {4}. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi ® ® x>0 x>0 ⇔ ⇔ x ∈ (0; +∞) {4}. |x − 4| > 0 x 6= 4 ® Vậy D = (0; +∞) {4}. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 102 5 − 3 |x| Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . x + 4x + 3 ï ò 5 5 A D= − ; {−1}. B D = R. ò Å 3 3ã ï 5 5 5 5 {−1}. C D= − ; D D= − ; . 3 3 3 3 ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi   5 5 5   ® |x| ≤   ò ï  − 3 ≤x≤ 3 5 − 3 |x| ≥ 0 3 5 5 ⇔ {−1}. ⇔ ⇔ x ∈ − ; x 6= −1 x 6= −1   3 3 x2 + 4x + 3 6= 0     x 6= −3 x 6= −3 ï ò 5 5 Vậy D = − ; {−1}. 3 3 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R. A 7. B 5. C 4. D 3. ý Lời giải. Để hàm ® số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R thì m + 1 > 0 ⇔ m > −1. m∈Z Do ⇒ m ∈ {0; 1; 2; 3}. m ∈ [−3; 3] Vậy có 4 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ? √ A y = x2018 − 2017. B y = 2x + 3. √ √ C y = 3 + x − 3 − x. D y = |x + 3| + |x − 3|. ý Lời giải. √ √ Từ 4 đáp án trên, ta thấy hàm số y = 3 + x − 3 − x có ○ Tập xác định D = [−3; 3] là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. √ √ ○ Mà y(−x) = 3 − x − 3 + x = −y(x). √ √ Vậy hàm số y = 3 + x − 3 − x là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A y = |x + 1| + |x − 1|. B y = |x + 3| + |x − 2|. C y = 2×3 − 3x. ý Lời giải. Từ 4 đáp án trên, ta thấy hàm số y = |x + 1| + |x − 1| có D y = 2×4 − 3×2 + x. ○ Tập xác định D = R là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. ○ Mà y(−x) = | − x + 1| + | − x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = y(x) ∀x ∈ D. Vậy hàm số y = |x + 1| + |x − 1| là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 13. Trong các hàm số y = |x + 2| − |x − 2|, y = |2x + 1| + 4×2 − 4x + 1, |x + 2015| + |x − 2015| y = x (|x| − 2), y = có bao nhiêu hàm số lẻ? |x + 2015| − |x − 2015| A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. ○ Với hàm số y = |x + 2| − |x − 2| ta có • Tập xác định D = R là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D ∀x ∈ D. • Mà y(−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −y(x) ∀x ∈ D. Vậy hàm số y = |x + 2| − |x − 2| là hàm số lẻ. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie p h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ○ Với hàm số y = |2x + 1| + √ 103 4×2 − 4x + 1 = |2x + 1| + |2x − 1| ta có • Tập xác định D = R là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. • Mà y(−x) = | − 2x + 1| + | − 2x − 1| = |2x − 1| + |2x + 1| = y(x) ∀x ∈ D ∀x ∈ D. √ Vậy hàm số y = |2x + 1| + 4×2 − 4x + 1 là hàm số chẵn. ○ Với hàm số y = x (|x| − 2) ta có • Tập xác định D = R là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. • Mà y(−x) = −x (| − x| − 2) = −x (|x| − 2) = −y(x) ∀x ∈ D ∀x ∈ D. Vậy hàm số y = x (|x| − 2) là hàm số lẻ. ○ Với hàm số y = |x + 2015| + |x − 2015| ta có |x + 2015| − |x − 2015| • Tập xác định D = R {0} là tập đối xứng, vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. | − x + 2015| + | − x − 2015| |x − 2015| + |x + 2015| • Mà y(−x) = = = −y(x) ∀x ∈ D ∀x ∈ D. | − x + 2015| − | − x − 2015| |x − 2015| − |x + 2015| Vậy hàm số y = |x + 2015| + |x − 2015| là hàm số lẻ. |x + 2015| − |x − 2015| Vậy có tất cả là 3 hàm số lẻ trong các hàm số đã cho. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3 ; x ≤ −2  −x −6 ; −2 < x < 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 14. Cho hàm số f (x) = |x|   3 x −6 ;x ≥ 2 A f (x) là hàm số lẻ. B f (x) là hàm số chẵn. C Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ý Lời giải. Tập xác định D  = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.  3 3 ; −x ≤ −2  ;x ≥ 2   − (−x) − 6 x − 6 | − x| ; −2 < −x < 2 = |x| ; −2 < x < 2 = f (x).     3 3 (−x) − 6 ; −x ≥ 2 −x −6 ; x ≤ −2 Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ta có f (−x) = Câu 15. Tìm điều kiện của tham số để các hàm số f (x =)ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A a tùy ý, b = 0, c = 0. B a tùy ý, b = 0, c tùy ý. C a, b, c tùy ý. D a tùy ý, b tùy ý, c = 0. ý Lời giải. Tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Để f (x) là hàm số chẵn thì f (−x) = f (x), ∀x ∈ R ⇔ a(−x)2 + b(−x) + c = ax2 + bx + c, ∀x ∈ R ⇔ 2bx = 0, ∀x ∈ R ⇔ b = 0. Vậy f (x) là hàm số chẵn khi và chỉ khi a tùy ý, b = 0, c tùy ý. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 Câu 16. Hàm số y = xác định trên [0; 1) khi x − 2m + 1 1 1 A m< . B m ≥ 1. C m < hoặc m ≥ 1. D m ≥ 2 hoặc m < 1. 2 2 ý Lời giải. Hàm số xác định khi x − 2m + 1 6= 0 ⇔ x 6= 2m − 1.  ñ 1 2m − 1 < 0 m< 2 Do đó hàm số đã cho xác định trên [0; 1) khi ⇔ 2m − 1 ≥ 1 m ≥ 1. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 104 x4 − 3x2 + x + 7 −x2 + x + 6 − 1 ≥ 0 ⇔ ≥0 2 x4 − 2x2 + 1 (x2 − 1) ® ® − x2 + x + 6 ≥ 0 −2≤x≤3 ⇔ ⇔ 2 x 6= ±1. x − 1 6= 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3]. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x−2 có tập xác định là Câu 18. Hàm số y = √ 2 x −3+x−2 Ä ä Ä ä ß7™ √ ä Ä√ √ ó î√ . A −∞; − 3 ∪ B −∞; − 3 ∪ 3; +∞ 3; +∞ . 4 ß ™ Å ã Ä ä Ä √ ä Ä√ √ ä √ 7 7 3; +∞ . 3; . C −∞; − 3 ∪ D −∞; − 3 ∪ 4 4 ý Lời giải. ( 2 x −3≥0 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi p x2 − 3 + x − 2 6= 0. " √ x≤− 3 Ta có x2 − 3 ≥ 0 ⇔ √ x ≥ 3.  ® x ≤ 2 √ √ 2−x≥0 7 Xét x2 − 3 + x − 2 = 0 ⇔ x2 − 3 = 2 − x ⇔ ⇔x= . ⇔ x = 7 4 x2 − 3 = (2 − x)2 4 √ 7 2 Suy ra x − 3 + x − 2 6= 0 ⇔ x 6= . 4 Ä ä ß7™ √ ó î√ Vậy hàm số có tập xác định D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . 4 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Cho hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2| và g(x) = −x4 + x2 + 1. Khi đó A f (x) và g(x) cùng chẵn. B f (x) và g(x) cùng lẻ. C f (x) chẵn, g(x) lẻ. D f (x) lẻ, g(x) chẵn. ý Lời giải. Hai hàm số f (x), g(x) có cùng tập xác định D = R. ○ Với f (x) = |x + 2| − |x − 2| ta có f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −f (x), ∀x ∈ D. Suy ra f (x) là hàm số lẻ. ○ Với g(x) = −x4 + x2 + 1 ta có g(−x) = −(−x)4 + (−x)2 + 1 = x4 + x2 + 1 = g(x), ∀x ∈ D. Suy a g(x) là hàm số chẵn. Vậy f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Hàm số y = x3 có tập xác định là |x| − 2 A (−2; 0] ∪ (2; +∞). ý Lời giải. B (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C (−∞; −2) ∪ (0; 2). D (−∞; 0) ∪ (2; +∞). h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie x4 − 3x2 + x + 7 − 1 có tập xác định là x4 − 2x2 + 1 A [−2; −1) ∪ (1; 3]. B (−2; 1] ∪ [1; 3). C [−2; 3] {1}. D [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3]. ý Lời giải. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi Câu 17. Hàm số y = h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 105 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ® 3 ® ® x ≥0 x≥0 x≥0 ñ    3 |x| − 2 > 0 |x| > 2 x>2 x    x < −2 ∨ x > 2 ≥ 0 ⇔ ® 3 ⇔ ® ⇔ ® ⇔  x ≤0  x≤0  x≤0 |x| − 2 − 2 < x ≤ 0. |x| < 2 −2 2. D m ≤ 3. ý Lời giải. Hàm số có tập xác định là R khi x2 + 2x − m + 1 6= 0 với mọi x ∈ R. Hay phương trình x2 + 2x − m + 1 = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ = 4 − 4(1 − m) < 0 ⇔ m < 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn ? x2 + 1 . A y= B y = |1 + 2x| + |1 − 2x|. |2 − x| + |2 + x| √ √ √ √ C y = 3 2 + x + 3 2 − x + 5. D y = 3 2 − x − 3 2 + x. ý Lời giải. √ √ Xét hàm số y = f (x) = 3 2 − x − 3 2 + x ta có ○ Tập xác định D = R. ○ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.  √ √ √ √ ○ f (−x) = 3 2 + x − 3 2 − x = − 3 2 − x − 3 2 + x = −f (x). ○ Vậy f (x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ x2 + 1 A y = |x − 1| + |x + 1|. . B y= x ý Lời giải. x2 + 1 Xét hàm số y = f (x) = ta có x Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie C y= 1 . x4 − 2x2 + 3 D y = 1 − 3x + x3 . # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 106 ○ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. ○ f (−x) = (−x)2 + 1 x2 + 1 =− = −f (x), ∀x ∈ D. (−x) x ○ Vậy f (x) là hàm số lẻ. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 26 (0D2B1-2). Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là A (−∞; −4) ∪ (5; 6]. B (−∞; −4) ∪ (5; 6). C (−∞; −4) ∪ [5; 6]. D (−∞; −4) ∪ [5; 6). ý Lời giải. ® 2 ® (x − 5)(x + 4) ≥ 0 x − x − 20 ≥ 0 Hàm số xác định khi ⇔ x≤6 6−x≥0 Xét (x − 5)(x + 4) ≥ 0. ® ® x−5≥0 x≥5 ○ Trường hợp 1: ⇔ ⇔ x ≥ 5. x+4≥0 x ≥ −4 ® ® x−5≤0 x≤5 ○ Trường hợp 2: ⇔ ⇔ x ≤ −4. x+4≤0 x ≤ −4 Kết hợp điều kiện x ≤ 6 ta có tập xác định của hàm số là D = (−∞; −4) ∪ [5; 6]. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 có tập xác định là |x| − 2 A (−2; 0] ∪ (2; +∞). B (−∞; −2) ∪ (0; +∞) . C (−∞; −2) ∪ (0; 2). D (−∞; 0) ∪ (2; +∞). ý Lời giải. x3 Hàm số xác định khi ≥0 |x| − 2  ® 3  xñ ≥ 0 x ≥0 ○ Trường hợp 1: ⇔ x > 2 ⇔ x > 2.  |x| − 2 > 0  x < −2 ® 3 ® x≤0 x ≤0 ○ Trường hợp 2: ⇔ ⇔ −2 < x ≤ 0. −2 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 47. Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng (−1; +∞)? √ √ √ √ A y = 2×2 + 1. B y = − 2×2 + 1. C y = 2(x + 1)2 . D y = − 2(x + 1)2 . ý Lời giải. √ √ 2 √ √ Ta chọn đáp án C√ vì hàm số y = 2(x + 1)2 = 2x + 2 2x + 2 có hoành độ đỉnh là √ b 2 2 x=− ⇔ x = − √ ⇔ x = −1 và a = 2 > 0. 2a 2 2 Nên hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và hàm số đồng biến trên (−1; +∞). ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 48. Cho hàm số y = x2 − 2x + 3. Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A y tăng trên (0; +∞). B y giảm trên (−∞; 1). C Đồ thị y có đỉnh I(1; 0). D y tăng trên (−1; +∞). ý Lời giải. Å ã b ∆ Hàm số y = x2 − 2x + 3 (a = 1, b = −2, c = 3) có Đỉnh là I − ; − ⇒ I(1; −2). 2a 4a Do a = 1 > 0 nên hàm số giảm trên (−∞; 1) và tăng trên (1; +∞). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 49. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 − 2x + 1 là A D = R. B D = R {1}. C D = (−∞; 1). D D = (1; +∞). ý Lời giải. Đây là hàm số bậc hai nên tập xác đỉnh của hàm số là D = R ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 50. Cho (P ) : y = x2 − 2x + 3. Tìm mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến trên (−∞; 1). B Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1). C Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). D Hàm số nghịch biến (−∞; 2). ý Lời giải. Hàm số y = x2 − 2x + 3 (a = 1, b = −2, c = 3) có b Hoành độ đỉnh là x = − ⇔ x = 1 và a = 1 > 0. 2a Nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và đồng biến trên (1; +∞). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 51. Cho hàm số y = 2×2 − x + 3, điểm nào thuộc đồ thị hàm số A M (2; 1). B M (−1; 1). C M (2; 3). D M (0; 3). ý Lời giải. Ta chọn đáp án D vì khi thay hoành độ và tung độ vào công thức hàm số ta có 3 = 2(0)2 − 0 + 3 = 3 thỏa. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 52. Parabol y = x2 − 4x + 4 có đỉnh là A I(1; 1). B I(2; 0). C I(−1; 1). D I(−1; 2). ý Lời giải. Ta có đỉnh của parabol y = x2 − 4x + 4 là I(2; 0). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie x h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 111 Câu 53. Cho (P ) : y = x2 − 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hàm số đồng biến trên (−∞; 4). B Hàm số nghịch biến trên (−∞; 4). C Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). D Hàm số nghịch biến (−∞; 2). ý Lời giải. Hàm số y = x2 − 4x + 3 (a = 1, b = −4, c = 3) có b −4 Hoành độ đỉnh là x = − =− ⇔ x = 2 và a = 1 > 0. 2a 2 Nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞). ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 54. Parabol y = x2 − 3x + 2 có đỉnh I và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M , N . Tính diện tích S của tam giác IM N ? 1 1 1 A S = 1. B S= . C S= . D S= . 5 8 4 ý Lời giải. ã Å ã Å ∆ 3 1 b ⇒I ;− . Hàm số y = x2 − 3x + 2 (a = 1, b = −3, c = 2) có Đỉnh là I − ; − 2a 4a ñ 2 4 x=1 Phương trình hoành độ giáo điểm của (P ) và trục hoành là x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2. √ # » 2 + 02 = 1 . Vậy tọa độ hai điểm là M (1; 0) và N (2; 0) ⇒ M N = (1; 0) ⇒ M N = 1 Å ã 3 Gọi K là trung điểm của M và N , ta có K ;0 . 2 ã Å 1 1 # » #» # » ⇒ IK = và IK · i = 0 ⇒ IK ⊥ Ox. Ta có IK = 0; 4 4 1 1 Do đó diện tích tam giác IM N là S = · IK · M N = . 2 8 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 55. Parabol (P ) : y = ax2 + bx + c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và đồ thị đi qua điểm A(0; 6). Tính giá trị biểu thức P = 2a − b + c. A P = 0. B P = −3. C P = 5. D P = 9. ý Lời giải. Đồ thị hàm số qua A(0; 6) nên c = 6. Hàm số đạt cực tiểu do đó a > 0, giá trị cực tiểu bằng 4 nên ta có ∆ − = 4 ⇒ b2 − 4ac = −16a ⇒ b2 = 8a (1) 4a b và đạt tại x = 2 ⇒ − = 2 ⇒ b = −4a (2). 2a  ® 2 ® 2 a = 1 (do a > 0) b = 8a 16a = 8a 2 Từ (1) và (2) ta có ⇒ ⇒  b = −4a b = −4a b = −2. 1 Vậy P = 2 · − (−2) + 6 = 9. 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 56. Tính khoảng cách d ngắn nhất từ đỉnh I của parabol y = 3×2 − 6mx + 4m2 − 2m + 4 đến trục Ox. A d = 1. B d = 2. C d = 3. D d = 4. ý Lời giải.  Đỉnh của đồ thị hàm số y = 3×2 − 6mx + 4m2 − 2m + 4 là I m; m2 − 2m + 4 . Khoảng cách từ I đến Ox là d (I, Ox) = |yI | = |m2 − 2m + 4| = |(m − 1)2 = 3| ≥ |(m − 1)2 + 3| ≥ |3| = 3. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 57. Tính khoảng cách d ngắn nhất từ đỉnh I của parabol y = x2 − 4mx + 3m2 − 4m − 2 đến trục Ox. A d = 1. B d = 2. C d = 3. D d = 4. ý Lời giải.  Đỉnh của đồ thị hàm số y = x2 − 4mx + 3m2 − 4m − 2 là I 2m; −m2 − 4m − 2 . Khoảng cách từ I đến Ox là d (I, Ox) = |yI | = | − m2 − 4m − 2| = m2 + 4m + 2 ≥ |(m − 1)2 + 3| ≥ |3| = 3. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 112 Câu 59. Tìm m để hàm số y = −x2 − 4mx + 4m − 9 nghịch biến trên khoảng (2; +∞). A m ≤ 2. B m ≥ −1. C m > 1. D m < 1. ý Lời giải. Hàm số y = −x2 − 4mx + 4m − 9 (a = −1, b = −4m, c = 4m − 9) có b −4m Hoành độ đỉnh là x = − =− ⇔ x = −2m và a = −1 < 0. 2a −2 Nên hàm số đồng biến trên (−∞; −2m) và nghịch biến trên (−2m; +∞). Điều kiện để hàm số nghịch biến trên (2; +∞) là (2; +∞) ⊂ (−2m; +∞) nghĩa là −2m ≤ 2 ⇔ m ≥ −1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 60. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = −x2 + 8x + 5m − 24 có giá trị lớn nhất trên đoạn [1; 6] bằng −1 A m = 1,5. B m = 2,5. C m = 1,4. D m = 5. ý Lời giải. Ta có hàm số y = −x2 + 8x + 5m − 24 (a = −1, b = 8, c = 5m − 24) có 8 b =− ⇔ x = 4 và a = −1 < 0. Hoành độ đỉnh là x = − 2a −2 Ta có x = 4 ∈ [1; 6] nên hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 6] đạt tại x = 4. Do giá trị lớn nhất là −1 nên −1 = −(4)2 + 8 · 4 + 5m − 24 ⇔ m = 1,4. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 61. Cho hàm số y = −x2 + 5x − 4. Hàm số có bảng biến thiên nào sau đây? x −∞ 5 2 − y −∞ 5 2 +∞ y +∞ . B x y −∞ +∞ +∞ − +∞ 9 4 5 2 y A −∞ −∞ +∞ 9 4 −∞ x x +∞ 9 4 5 2 . +∞ 9 4 −∞ −∞ . . D C ý Lời giải. Hàm số y = −x2 + 5x − 4 (a = −1, b = 5, c = −4) có b −5 5 9 Hoành độ đỉnh là x = − =− ⇔ x = ⇒ y = và a = −1 < 0. 2a Å −2 ã 2 4 Å ã 5 5 Nên hàm số đồng biến trên −∞; và nghịch biến trên ; +∞ . 2 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 62. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = 4x2 − 4mx + m2 − 2m trên đoạn [−2; 0] bằng 3. Tính tổng T các phần tử của S. 3 1 9 3 A T =− . B T = . C T = . D T = . 2 2 2 2 ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie √ Câu 58. Hàm số y = x2 − 4mx − 2x + 13m + 5 luôn đồng biến trên khoảng nào sau đây? A (m2 + 4m + 4; +∞). B (m2 − 3m + 1; +∞). C (m2 − m + 2; +∞). D (m2 + m + 2; +∞). ý Lời giải. √ √ Hàm số y = x2 − 4mx − 2x + 13m + 5 (a = 1, b = −4m − 2, c = 13m + 5) có b −4m − 2 Hoành độ đỉnh là x = − =− ⇔ x = 2m + 1 và a = 1 > 0. 2a 2 Nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 2m + 1) và đồng biến trên (2m + 1; +∞). Chọn A vì ta thấy với m bất kì thì (m + 1)2 ≥ 0 ⇔ (m + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 ⇔ m2 + 2m + 3 > 0 ⇔ m2 + 4m + 4 > 2m + 1. Do đó (m2 + 4m + 4; +∞) ⊂ (2m + 1; +∞) nên hàm số luôn đồng biến trên (m2 + 4m + 4; +∞). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 113 Ta có hàm số y = 4×2 − 4mx + m2 − 2m (a = 4, b = −4m, c = m2 − 2m) có b −4m m Hoành độ đỉnh là x = − =− ⇔x= và a = 4 > 0. Ta có các trường hợp sau 2a 8 2 m < −2 ⇔ m < −4 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x = −2. 2 Khi đó, ta có 3 = 4(−2)2 − 4 · m · (−2) + m2 − 2m ⇔ 16 + 8m + m2 − 2m = 3 ⇔ m2 + 6m + 13 = 0 (phương trình vô nghiệm). Do đó loại trường hợp này. m m m ∈ [−2; 0] ⇔ −2 ≤ ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x = . ○ Nếu x = 2 2 2  m 2 m 3 Khi đó, ta có 3 = 4 −4·m· + m2 − 2m ⇔ −2m = 3 ⇔ m = − (nhận). 2 2 2 m ○ Nếu > 0 ⇔ m > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x = 0. 2 ñ m = −1 (loại) 2 2 2 2 Khi đó, ta có 3 = 4(0) − 4 · m · 0 + m − 2m ⇔ m − 2m = 3 ⇔ m − 2m − 3 = 0 ⇔ m = 3 (nhận). ○ Nếu 3 3 Vậy T = − + 3 = . 2 2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 63. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình |f (x)| = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. A 0 < m < 1. B m > 3. C m = −1, m = 3. D −1 < m < 0. y 2 O x −1 ý Lời giải. Ta có đồ thị của y = |f (x)| và đường thẳng y = m như sau y m 1 O 2 x Rõ ràng, dựa vào đồ thị ta thấy 0 < m < 1 thì phương trình |f (x)| = m có 4 nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 64. Cho (P ) : y = x2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = mx + 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt (P ) tại 9 hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 A m = 7. B m = −7. C m = 1, m = −7. D m = −1. ý Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và (d) là ñ x=0 2 x − 4x + 3 = mx + 3 ⇔ x = m + 4 (m 6= −4). Suy ra A(0, 3), B(m + 4, m2 + 4m + 3) là tọa độ giao điểm của đồ thị (P ) và (d) . ñ m = −1 9 3 9 # » Suy ra AB = (m + 4, m2 + 4m + 3). Mặt khác S4OAB = ⇔ · |m + 4| = ⇔ 2 2 2 m = −7. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 114 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  CHƯƠNG §1 A 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Khái niệm phương trình thực ra đã có trong chương trình toán bậc THCS, bài này chỉ muốn trình bày lại theo cách nhìn của khái niệm mệnh đề chứa biến. ○ Cho hai biểu thức f (x) và g(x). Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x) gọi là phương trình một ẩn. ○ x gọi là ẩn số (hay gọi tắt là ẩn). ○ f (x) gọi là vế trái, g(x) gọi là vế phải. ○ Nếu có một số thưc x0 sao cho f (x0 ) = g (x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 goi là một nghiệm của phương trình. ○ Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tâp nghiệm của phương trình đó. ○ Giải phương trình là tim tất cả các nghiệm của phương trình đó, nghĩa là tìm tập nghiệm cùa phương trình. ○ Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiêm (hoặc có tập nghiệm là rỗng). # Ví dụ 1. Mênh đề chứa biến x(x − 2) = 2x − 3 là phuong trình một ẩn. ○ Với x = 3 thế vào phương trình ta được 3(3 − 2) = 2.3 − 3 ⇔ 3 = 3 là một mệnh đề đúng, do đó x = 3 là một nghiệm của phương trình. ○ Với x = 4 thế vào phương trình ta được 4(4 − 2) = 2.4 − 3 ⇔ 8 = 5 là một mênh đề sai, nên x = 4 không là nghiệm của phương trình. 2 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Cho hai phương trình f (x) = g(x) (1) có tập nghiệm S1 và h(x) = k(x) (2) có tập nghiệm S2 . ○ Nếu tập nghiệm S1 , S2 bằng nhau thì ta gọi (1) và (2) là hai phương trình tương đương. Kí hiệu f (x) = g(x) ⇔ h(x) = k(x). ○ Nếu S1 ⊂ S2 thì ta gọi (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu f (x) = g(x) ⇒ h(x) = k(x). Ở phương trình hệ quả có thể xuất hiện khả năng có 1 giá trị x0 ∈ S2 nhưng x0 ∈ / S1 (Nghĩa là x0 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1)). Ta gọi x0 là nghiệm ngoại lai. 3 PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiên của nó thì ta được một phương trình mới tương đương (gọi là phép biến đối tương đương). 1 Cộng hay trừ hai vế cùng một số hoặc cùng một biều thức. 2 Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. 115 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 116 PHƯƠNG PHÁP GIẢI ○ Phương trình đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán bậc THPT. Do đó việc nắm vững các phép biến đối là cần thiết. ○ Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. ○ Việc đặt điều kiện để được phép biến đồi tương đương đòi hỏi sự linh hoạt và nắm được bản chất vấn đề "Không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình". ○ Nếu chưa nắm rõ khi nào cần hoặc không cần đặt điều kiện cho phương trình, thì tốt hơn cả là cứ đặt điều kiện đề an tâm. ○ Nếu chưa thực sự biết một phép biến đổi nào đó có tương đương không, thì nên biến đổi thành phương trình hệ quả, sau đó thử các giá trị ẩn số tìm được vào phương trình đã cho để kết luận tập nghiệm của phương trình. ○ Sau cùng, không được sử dụng tùy tiện các kí hiệu " ⇒ " hoặc " ⇔ " hoặc "để trống" trong các phép biến đổi phương trình này thành phương trình kia. # Ví dụ 1. Giải phương trình x2 − x − 4 √ √ = x − 1. x−1 ý Lời giải. Phân tích lời giải Vài cách trình bày cẩu thả 1 Ta có x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ ... Phương trình nào tương đương với x2 − x − 4 = x − 1? x2 − x − 4 √ √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3 hay x = −1. x−1 Sử dụng “⇔”, “⇒” tùy tiện. 2 Ta có 3 Ta có: x2 − x − 4 √ √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 x−1 x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3 Tại sao lại “để trống”? 4 Điều kiện: x − 1 > 0 ⇔ x > 1. ⇔ √ x2 − x − 4 √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 x−1 Quá sai lầm! Cách giải đúng Cách 1: Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệ quả h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie B h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 117 ○ Ta có x2 − x − 4 √ √ = x−1 x−1 ⇒ x2 − x − 4 = x − 1 ⇒ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 hay x = 3. ○ Thử lại • Với x = −1 phương trình đã cho trở thành tại. √ 1+1−4 √ √ = −2 không thỏa vì −2 không tồn −2 √ √ 9−3−4 √ √ = 2 ⇔ 2 = 2 thỏa. 2 • Với x = 3 phương trình đã cho trở thành ○ Vậy phương trình có một nghiệm x = 3. Cách 2: Đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi tương đương. ○ Điều kiện x − 1 > 0 ⇔ x > 1. ○ Ta có x2 − x − 4 √ √ = x−1 x−1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. ○ So với điều kiện x > 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 3. C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải phương trình sau x2 − 5x − 3 √ √ = x−3 x−3 a. 1 x2 − 3x − 3 √ =√ x−1 x−1 b. c. 2x 2x − 5 4 − = 2 x+1 x−1 x −1 d. 1 + 1 − 2x 1 1 = + 2 x +x x+1 x ý Lời giải. a. Điều kiện x − 1 > 0 ⇔ x > 1 Khi đó Ta có x2 − 3x − 3 1 √ =√ x−1 x−1 ⇔ x2 − 3x − 3 = 1 ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. So với điều kiện x > 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 4. b. Điều kiện x − 3 > 0 ⇔ x > 3 Khi đó Ta có x2 − 5x − 3 √ √ = x−3 x−3 ⇔ x2 − 5x − 3 = x − 3 ⇔ x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hay x = 6. So với điều kiện x > 3, phương trình đã cho có một nghiệm x = 6. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 118 2x 2x − 5 4 − = 2 x+1 x−1 x −1 ⇔ 2x (x − 1) − (2x − 5) (x + 1) = 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1. So với điều kiện x 6= ±1, phương trình đã cho vô nghiệm. d. Điều kiện x2 + x 6= 0 ⇔ x 6= 0 và x 6= −1 Khi đó Ta có 1 1 1 − 2x = + x2 + x x+1 x 1+ ⇔ x2 + x + 1 − 2x = x + x + 1 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 hay x = 3. So với điều kiện x 6= 0 và x 6= −1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 3. Bài đọc thêm 1 ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Thực ra, việc tìm điều kiện của một phương trình không đơn giản như tìm tập xác định của hàm số, hoặc tìm điều kiện của ẩn số x để các vế của phương trình có nghĩa, nó còn mang ý nghĩa rộng hơn, đó là tìm điều kiện để trong phương trình dấu “=” có thề xảy ra được, và đôi khi cũng không nhất nhiết phải tìm cho đến điều kiện của ẩn số x, điều này đòi hỏi sự linh hoạt. Ta xem các ví dụ sau # Ví dụ 1. Tìm điều kiện của phương trình x−3 = x + 1. x−2 ý Lời giải. Điều kiện x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2. # Ví dụ 2. Tìm điều kiện của phương trình √ x − 1 = −x3 + x2 − x + 1. ý Lời giải. ○ Biều thức trong căn không âm nên ta có điều kiện của phương trình là x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. (a) ○ Mặt khác, với x ≥ 1 thì vế trái của phương trình không âm, nên để dấu “=” trong phương trình có thể xảy ra, ta có thêm điều kiện vế phải của phương trình cũng không âm, nghĩa là   −x3 + x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ −x3 − x + x2 + 1 ≥ 0 ⇔ −x x2 + 1 + x2 + 1 ≥ 0    ⇔ x2 + 1 (−x + 1) ≥ 0 ⇔ −x + 1 ≥ 0 vì x2 + 1 > 0 ⇔ x ≤ 1. (b) ○ Hai điều kiện (a) và (b) cho điều kiện chung của phương trình là x = 1. (Hơn nữa nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.) # Ví dụ 3. Tìm điều kiện của phương trình ý Lời giải. Lời giải sai: Điều ® kiện:2 (x − 1) (−x − 3) ≥ 0 (∗) ® ⇔ p (x − 1)2 (−x − 3) + − x − 3 ≥ 0 (vì (x − 1)2 ≥ 0) x+2≥0 x+2≥0 (Nghĩa là phương trình vô nghiệm) Nhận xét Sai lầm ở biến đổi điều kiên (*) A.B ≥ 0. ® ⇔ √ x+2= x ≤ −3 x ≥ −2 √ 3. ⇔ x ∈ ∅. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie c. Điều kiện x2 − 1 6= 0 ⇔ x 6= ±1 Khi đó Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 119  ○ Trong Ví dụ 2. A = x2 + 1 > 0 và B = −x + 1 nên  A · B ≥ 0 ⇔ x2 + 1 · (−x + 1) ≥ 0 ⇔ −x + 1 ≥ 0 là ĐÚNG. ○ Trong Ví dụ 3. A = (x − 1)2 ≥ 0 và B = −x − 3 nên A · B ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 · (−x − 3) ≥ 0 ⇔ −x − 3 ≥ 0 là SAI. ® ! 2 A ·B ≥0⇔ A2 = 0 ® B có nghĩa hay B≥0 A có nghĩa. Lời giải đúng. Điều kiện ® (x − 1)2 (−x − 3) ≥ 0 (∗) x+2≥0 ® ⇔ ® x=1 x ≥ −2 hay x ≤ −3 x ≥ −2 ® ⇔ (x − 1)2 = 0 x+2≥0 ® hay −x−3≥0 x+2≥0 ⇔ x = 1. Vậy điều kiện của phương trình là x = 1. (Hơn nữa nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.) # Ví dụ 4. Xét phương trình x3 + 2x − 3 √ = 1. x3 − x + x − 1 ý Lời giải. ® x−1≥0 √ (*) x3 − x + x − 1 6= 0. Việc giải điều kiện (*) còn phức tạp hơn việc giải phương trình đã cho. Do vậy không cần thiết phải giải điều kiện (*), hãy để nguyên điều kiện này và giải phương trình để tìm giá trị của x, sau đó xem những giá trị x nào thỏa điều kiện (*) thì giá trị đó là nghiệm của phương trình. Điều kiện của phương trình là 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi sau là phép biến đổi tương đương. 3 PHÉP CỘNG (TRỪ) HAI VẾ VỚI CÙNG MỘT BIỂU THỨC Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là biểu thức xác định trên D. Khi đó f (x) = g(x) và f (x) + h(x) = g(x) + h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x). Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một biểu thức ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f (x) = g(x) ⇔ f (x) − g(x) = 0. Chuyển g(x) sang vế trái là phép biến đổi tương đương. f (x) = g(x) + h(x) ⇔ f (x) − h(x) = g(x). Chuyển h(x) từ vế này sang vế kia là phép biến đổi tương đương. # Ví dụ 1. Giải phương trình x + Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √  √ x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 120 ⇔ ä Ä √ √ x + x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 (1) √ x2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản cho x x − 1) ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. ⇔ Cách giải này SAI vì tập xác định √của phương trình (1) là [1; +∞), còn tập xác định của phương trình (2) là R. Phép biến đổi đơn giản cho x x − 1 đã làm thay đổi điều kiện x ≥ 1 của phương trình (1) nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng Cách 1. Đặt điều kiện để sử dụng phép biến đổi tương đương. ○ Điều kiện x ≥ 1. ○ Ta có ä Ä √ √ x + x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ ⇔ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. ○ So với điều kiện x ≥ 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 4. Cách 2. Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệ quả. ○ Ta có Ä ä √ √ x + x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ ⇒ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 ⇒ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. √ √ √ ○ Với x = −1 phương trình đã cho trở thành (−1 + −2)(−1) = −3 + 4 − −2 vô nghĩa vì −2 không tồn tại. Suy ra loại x = −1. √ √ ○ Với x = 4 phương trình đã cho trở thành (4 + 3)(4) = 12 + 4 + 4 3 ⇔ 16 = 16 thỏa. Suy ra nhận x = 4. ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 4. Chú thích: x = −1 gọi là nghiệm ngoại lai. Chú ý 1. f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) tập xác định thì đơn giản hai vế cho h(x) là SAI. ! cùng (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) không Ä ä √ √ # Ví dụ 2. Giải phương trình x + x2 + 1 x = 3x + 4 + x x2 + 1. ý Lời giải. Ta có ⇔ Ä ä p p x + x2 + 1 x = 3x + 4 + x x2 + 1 p p x2 + x x2 + 1 = 3x + 4 + x x2 + 1 (1) p x2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản cho x x2 + 1) ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. ⇔ Cách √ giải này ĐÚNG vì tập xác định của phương trình (1) và (2) cùng là R. Phép biến đổi đơn giản cho x x2 + 1 không làm thay đổi điều kiện x ∈ R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương. ý 2. f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) tập xác định thì đơn giản hai vế cho h(x) là ĐÚNG. ! Chú (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) có cùng h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ý Lời giải. Lời giải sai Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 4 121 PHÉP NHÂN (CHIA) HAI VẾ VỚI CÙNG MỘT BIỂU THỨC KHÁC 0. Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là biểu thức xác định trên D, thỏa h(x) 6= 0, ∀x ∈ D. Khi đó f (x) = g(x) và f (x) · h(x) = g(x) · h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f (x) = g(x) ⇔ f (x) · h(x) = g(x) · h(x). Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một biểu thức khác 0 ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f (x) · h(x) = g(x) · h(x) ⇔ f (x) = g(x). (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác định D và h(x) 6= 0, ∀x ∈ D.) Đơn giản hai vế cho h(x) 6= 0 là phép biến đổi tương đương. f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) · h(x). h(x) (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác định D và h(x) 6= 0, ∀x ∈ D.) f (x) = g(x) + h(x) ⇔ f (x) − h(x) = g(x). Nhân hai vế cho h(x) 6= 0 là phép biến đổi tương đương.  √ √ # Ví dụ 1. Giải phương trình x ( x + 1) = ( x + 1) x2 − x − 3 . ý Lời giải. Lời√giải sai √ √ Vì x > 0 nên x + 1 > 1. Do đó x + 1 6= 0. Vậy    √ √ x + 1 x2 − x − 3 (1) x x+1 x= ⇔ x = x2 − x − 3 (2) ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. √ Cách giải này SAI vì mặc dù x + 1 6= 0, ∀x ≥ 0, nhưng tập xác định của phương √ trình (1) là [0; +∞), còn tập xác định của phương trình (2) là R. Do đó phép biến đổi đơn giản cho ( x + 1) đã làm thay đổi điều kiện x ≥ 0 của phương trình (1) nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng √ ○ Điều kiện x ≥ 0, khi đó x + 1 6= 0. ○ Do vậy x √    √ x+1 x= x + 1 x2 − x − 3 ⇔ x = x2 − x − 3 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. ○ So với điều kiện x ≥ 0, phương trình đã cho có một nghiệm x = 3. # Ví dụ 2. Giải phương trình x3 + 2x = (5x + 8)(x2 + 2). ý Lời giải. Ta có x3 + 2x = (5x + 8)(x2 + 2) ⇔ x(x2 + 2) = (5x + 8)(x2 + 2) (1) ⇔ x = 5x + 8 (2) (vì x2 + 2 6= 0, ∀x ∈ R) ⇔ x = −2 là nghiệm của phương trình đã cho. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 122 # Ví dụ 3. Giải phương trình 5×3 − 20x = x4 − 16. ý Lời giải. Lời giải sai Ta có 5×3 − 20x = x4 − 16 ⇔ 5x(x2 − 4) = (x2 − 4)(x2 + 4) ⇔ 5x = x2 + 4 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 4. Cách giải này SAI vì mặc dù các phép biến đổi không làm thay đổi tập xác định R của phương trình ban đầu nhưng biểu thức (x2 − 4) không khác 0 với mọi x ∈ R. Lời giải đúng Ta có 5×3 − 20x = x4 − 16 ⇔ 5x(x2 − 4) = (x2 − 4)(x2 + 4) ⇔ (x2 − 4)(x2 − 5x + 4) = 0 ⇔ x = ±2 hay x = 1 hay x = 4. Chú ý 3. f (x) · h(x) = g(x) · h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) (2). hai phương trình (1) và (2) không cùng tập xác định, hoặc h(x) không khác 0 với mọi x thuộc tập ! Nếu xác định của phương trình (1) thì đơn giản hai vế cho h(x) là SAI. Khi đó ta biến đổi (Đặt h(x) làm nhân tử chung) f (x) · h(x) = g(x) · h(x) ⇔ h(x) [f (x) − g(x)] = 0 là ĐÚNG # Ví dụ 4. Giải phương trình x3 − 3 = x − 2. x2 + 1 ý Lời giải. Vì x2 + 1 6= 0, ∀x ∈ R nên ta có x3 − 3 =x−2 x2 + 1 ⇔ x3 − 3 = (x2 + 1)(x − 2) 1 ⇔ x3 − 3 = x3 − 2×2 + x − 2 ⇔ 2×2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 hay x = − . 2 ! Chú ý 4. Nếu h(x) 6= 0, ∀x ∈ R thì ta có # Ví dụ 5. Giải phương trình f (x) = g(x) ⇔ f (x) = h(x) · g(x). h(x) 2x − 3 = x − 2. x ý Lời giải. Cách 1. Điều kiện x 6= 0. Khi đó Ta có 2x − 3 =x−2 x ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 3 (thỏa) x 6= 0. Cách 2. Ta có 2x − 3 = x − 2 (1) x h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Cách giải này ĐÚNG vì tập xác định của phương trình (1) và (2) cùng là R, đồng thời x2 + 2 6= 0, ∀x ∈ R. Do đó phép biến đổi đơn giản cho (x2 + 2) không làm thay đổi điều kiện x ∈ R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 123 ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) (2) (vì x = 0 không là nghiệm của phương trình) ⇔ 2x − 3 = x2 − 2x ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 3. Nhận xét ○ Phương trình (1) có điều kiện x 6= 0. ○ Thế x = 0 vào phương trình (2) ta được −3 = 0 là mệnh đề sai, nên x = 0 không là nghiệm của (2), nghĩa là phương trình (2) hiển nhiên có x 6= 0. Mà nếu phương trình (2) có x 6= 0 thì 2x − 3 = x − 2 ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) là phép biến đổi tương đương. x ○ Có thể hiểu cách khác x = 0 không thuộc tập nghiệm của (1) và (2), nên (1) và (2) là hai phương 2x − 3 trình tương đương, do đó không cần điều kiện x 6= 0 ta vẫn có phép biến đổi = x−2 ⇔ x 2x − 3 = x(x − 2) là ĐÚNG. ! Chú ý 5. Nếu mọi nghiệm của mẫu số h(x) không là nghiệm của tử số f (x) thì không cần điều kiện h(x) 6= 0 ta vẫn được phép biến đổi tương đương f (x) = g(x) ⇔ f (x) = h(x) · g(x). h(x) # Ví dụ 6. Giải phương trình x3 + 3x = x − 2. − 2x − 3 x2 Nhận xét ○ Cho mẫu số bằng 0: x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. ○ Thế x = −1 vào tử số (−1)3 + 3 · (−1) = −4 6= 0 nên x = −1 không là nghiệm của tử số. ○ Thế x = 3 vào tử số 33 + 3 · 3 = 36 6= 0 nên x = 3 không là nghiệm của tử số. ○ Mọi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử nên không cần điều kiện mẫu khác 0. ý Lời giải. Ta có x3 + 3x =x−2 − 2x − 3 x3 + 3x = (x2 − 2x − 3)(x − 2) x2 ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 2 (Vì x = −1, x = 3 không là nghiệm) 2 x + 3x = x − 2x − 3x − 2x + 4x + 6 3 4×2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 1 hay x = − là nghiệm của phương trình đã cho. 2 # Ví dụ 7. Giải phương trình 2×2 − 3x + 1 = x − 2. x−1 Nhận xét ○ Cho mẫu số bằng 0: x − 1 = 0 ⇔ x = 1. ○ Thế x = 1 vào tử số 2 · 12 − 3 · 1 + 1 = 0 nên x = 1 là nghiệm của tử số. ○ Vậy bài toán này phải có điều kiện mẫu số khác 0. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 124 ○ Ta có 2×2 − 3x + 1 =x−2 x−1 ⇔ 2×2 − 3x + 1 = (x − 1)(x − 2) ⇔ 2×2 − 3x + 1 = x2 − 2x − x + 2 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 1. ○ So với điều kiện x 6= 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = −1. ! Chú ý 6. Nếu có một nghiệm của mẫu số h(x) là nghiệm của tử số f (x) thì phải đặt điều kiện h(x) 6= 0. ® h(x) 6= 0 f (x) = g(x) ⇔ h(x) f (x) = h(x) · g(x). # Ví dụ 8. Giải phương trình 2×3 − x + 14 = x − 7. 2×2 + 3x − 2 Nhận xét ○ Cho mẫu số bằng 0: 2×2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x = −2 hay x = 1 . 2 ○ Thế x = −2 vào tử số 2 · (−2)3 − (−2) + 14 = 0 nên x = −2 là nghiệm của tử số. ○ Có một nghiệm x = −2 của mẫu là nghiệm của tử.nên phải có điều kiện mẫu khác 0. ý Lời giải. ○ Điều kiện 2×2 + 3x − 2 6= 0 ⇔ x 6= −2 và x 6= 1 . Khi đó 2 ○ Ta có ⇔ 2×3 − x + 14 =x−7 2×2 + 3x − 2 2×3 − x + 14 = (2×2 + 3x − 2)(x − 7) ⇔ 11×2 + 22x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −2. ○ So với điều kiện x 6= −2 và x 6= # Ví dụ 9. Giải phương trình √ 1 , phương trình đã cho có một nghiệm x = 0. 2 x − 2(x2 − x − 6) = 0. ý Lời giải. Lời giải sai Ta có √ ⇔ x − 2(x2 − x − 6) = 0 (1)  ñ√ x=2 x−2=0  ⇔ x = 3 x2 − x − 6 = 0 (∗) x = −2. Cách giải này sai vì ○ Phương trình (1) có điều kiện x ≥ 2. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ Điều kiện x 6= 1. Khi đó h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 125 ○ Phương trình (∗) có điều kiện x ∈ R. ○ Phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng ○ Điều kiện x ≥ 2. Khi đó ○ Ta có √ x − 2(x2 − x − 6) = 0  ñ√ x=2 x−2=0  ⇔ ⇔ x = 3 x2 − x − 6 = 0 x = −2. ○ So với điều kiện x ≥ 2, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 3. Chú ý 7. ! D ○ Đặt điều kiện cho phương trình f (x) · g(x) = 0. Khi đó ñ f (x) = 0 ○ f (x) · g(x) = 0 ⇔ g(x) = 0. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1 = x + 3 là x−3 B x 6= 3. Câu 1. Điều kiện của phương trình √ A x = 3. C x > 3. D x ≥ 3. ý Lời giải. Điều kiện của phương trình là x − 3 > 0 ⇔ x > 3. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Trong bốn phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là phép biến đổi tương đương? x(x − 1) A = 1 ⇔ x = 1. B |x| = 2 ⇔ x = 2. x− √1 √ √ √ C x + x − 4 = 3 + x − 4 ⇔ x = 3. D x − x − 5 = 3 ⇔ x − 3 = x − 5. ý Lời giải.√ √ Ta có x − x − 5 = 3 ⇔ x − 3 = x − 5. √ Trong phép biến đổi trên ta cộng hai vế của phương trình đầu với cùng một lượng là −3 + x − 5 và không làm thay đổi điều kiện của phương trình nên nhận được một phương trình mới tương đương. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+2 2x + 3 = là x 2x − 4 3 B x= . 8 ® x 6= 0 Câu 3. Nghiệm của phương trình 3 A x=− . 8 ý Lời giải. Điều kiện của phương trình là C x= 8 . 3 x 6= 2. Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với (x + 2)(2x − 4) − x(2x + 3) =0 x(2x − 4) ⇒ −8 − 3x = 0 8 ⇒ x = − ( thỏa điều kiện). 3 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 8 D x=− . 3 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 126 ○ Nhập vào máy X + 2 2X + 3 − : a[+2R[$pa2[+3R2[p4. X 2X − 4 8 ○ Tính giá trị tại các phương án: Nhấn r=ap8R3= hiện kết quả là 0 nên ta có nghiệm là − . 3 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 5 Câu 4. Tập nghiệm của phương trình − = là x − 2 x + 1 x − 1 ß ß ™ ß ™ ™ 1 1 1 A ; −6 . B − ;6 . C − ;3 . 2 2 4 ý Lời giải. Với điều kiện x 6= ±1, x 6= 2 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình ß D ™ 1 ; −3 . 4 3(x2 − 1) − 2(x − 1)(x − 2) = 5(x + 1)(x − 2) −4×2 + 11x + 3 = 0  1 x=−  4 ⇔ x = 3. ⇔ Cả hai nghiệm trên đều thỏa điều kiện. ™ 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = − ; 3 . 4 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Câu 5. Số nghiệm của phương trình x2 + 1 10×2 − 31x + 24 = 0 là A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Ta có   x2 + 1 10×2 − 31x + 24 = 0 ß ⇔ 10×2 − 31x + 24 = 0  3 x=  2 ⇔  8 x= . 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Câu 6. Tìm điều kiện xác định của phương trình x + = 12 + . x−4 x−4 A x 6= 4. B x ∈ R. C x 6= ±4. D x 6= 4. ý Lời giải. Điều kiện của phương trình là x 6= 4. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 7. Tìm điều kiện xác định của phương trình x + 1 = x + 1. A x ≥ 1. B x ≥ −1. C x ≤ 1. D x ∈ R. ý Lời giải. Điều kiện của phương trình là x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2x −5= 2 . Câu 8. Tìm điều kiện xác định của phương trình 2 x +1 x +1 A x 6= 1. B x 6= −1. C x 6= ±1. D x ∈ R. ý Lời giải. Phương trình đã cho xác định với ∀x ∈ R. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 8 Vậy phương trình có nghiệm là x = − . 3 Giải nhanh bằng Casio: h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam Câu 9. Tìm điều kiện xác định của phương trình A x > 2. ý Lời giải. B x 6= ±2. 127 3 4 1 − = 2 . x+2 x−2 x −4 C x ≥ 2. D x ∈ R.   x 6= 2 Điều kiện của phương trình là x 6= −2 ⇔ x 6= ±2.   2 x 6= 4 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x−2 1 2 Câu 10. Tìm điều kiện xác định của phương trình − = . x+2 x x(x − 2) A x 6= ±2; x 6= 0. B x ≥ 2. C x > 2. D x 6= 2; x 6= 0. ý Lời giải.   x 6= 2 x 6= −2 ⇔ x 6= ±2, x 6= 0. x 6= 0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện của phương trình là   Câu 11. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x + 5 5 = 12 + . x−4 x−4 C x > 4. A x 6= 4. B x ≥ 4. D x ∈ R. ý Lời giải. Điều kiện của phương trình là x − 4 6= 0 ⇔ x 6= 4. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12. Tìm điều kiện xác định của phương trình A x > 3. B x ≥ 3. 2x 1 6 − 5x + = . 3 − x 2x − 1 3x − 2 1 3 C x 6= ; x 6= 3; x 6= . 2 2 D x 6= 1 2 ; x 6= 3; x 6= . 2 3 ý Lời giải.   3 − x 6= 0 2 1 Điều kiện của phương trình là 2x − 1 6= 0 ⇔ x 6= ; x 6= 3; x 6= .  2 3  3x − 2 6= 0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 1 Câu 13. Điều kiện xác định của phương trình √ + x2 − 1 = 0 là x 2 A x ≥ 0. B x > 0 và x − 1 ≥ 0. C x > 0. D x ≥ 0 và x2 − 1 > 0. ý Lời giải. ® x>0 Điều kiện của phương trình là x2 − 1 > 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 14. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x − 2 + 4 − 3x = 1. 4 2 4 2 4 2 4 A x> . B . C x 6= ; x 6= . D ≤x≤ . 3 3 3 3 3 3 3 ý Lời giải. ® 3x − 2 ≥ 0 2 4 Điều kiện của phương trình là ⇔ ≤x≤ . 3 3 4 − 3x ≥ 0 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ √ Câu 15. Tìm điều kiện xác định của phương trình x − 1 + x − 2 = x − 3. A x > 3. B x ≥ 2. C x ≥ 1. D x ≥ 3. ý Lời giải.   x − 1 ≥ 0 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Điều kiện của phương trình là   x−3≥0 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? √ √ A 3x + x − 2 = x2 ⇔ 3x = x2 − x − 2. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ B x − 1 = 3x ⇔ x − 1 = 9×2 . # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 128 Câu 17. Chỉ ra khẳng định sai. √ √ √ A x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0. B x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. x(x − 2) C D |x| = 2 ⇔ x = 2. = 2 ⇒ x = 2. x−2 ý Lời giải. Ta có |x| = 2 ⇔ x = ±2. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Chỉ ra khẳng định sai. √ √ √ √ A x − 1 = 2 1 − x ⇔ x − 1 = 0. B x + x − 2 = 1 + x − 2 ⇔ x = 1. C |x| = 1 ⇔ x = ±1. D |x − 2| = x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (x + 1)2 . ý Lời giải. ® √ √ x≥2 x+ x−2=1+ x−2⇔ ⇔ phương trình vô nghiệm. x=1 √ √ Phương trình x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 là không tương đương vì không cùng tập nghiệm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Chỉ ra khẳng định sai. √ √ √ A x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0. B x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. C |x − 2| = 2x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (2x + 1)2 . D x2 = 1 ⇔ x = ±1. ý Lời giải. Khi bình phương hai vế phải có điều kiện để hai vế không âm. Khẳng định |x − 2| = 2x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (2x + 1)2 là một phép biến đổi sai. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 20. Phương trình x2 + 1 (x − 1)(x + 1) = 0 tương đương với phương trình A x − 1 = 0. B x + 1 = 0. C x2 + 1 = 0. D (x + 1)(x − 1) = 0. ý Lời giải.  Ta có x2 + 1 (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ (x + 1)(x − 1) = 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x + 1 16 = tương đương với phương trình x−5 x−5 √ 16 3x + 1 √ 16 +3= + 3. − 2−x= − 2 − x. B x−5 x−5 x−5 √ √ 16 3x + 1 16 D + 2−x= + 2 − x. · 2x = · 2x. x−5 x−5 x−5 Câu 21. Phương trình 3x + 1 x−5 3x + 1 C x−5 ý Lời giải. Khi cộng hai vế với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì ta nhận được một phương trình mới tương đương. 16 3x + 1 16 3x + 1 = ⇔ +3= + 3. Vậy x−5 x−5 x−5 x−5 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Câu 22. Phương trình (x − 4)2 = x − 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây? √ √ √ √ A x − 4 = x − 2. B x − 2 = x − 4. C x − 4 = x − 2. D x − 4 = x − 2. ý Lời giải. √ Phép bình phương hai vế chỉ là một phép biến đổi hệ quả, nên ta có x − 2 = x − 4 ⇒ (x − 4)2 = x − 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Tìm điều kiện xác định của phương trình B x ≥ 7. A x > 2. ý Lời giải. Điều kiện của phương trình √ √ x2 + 5 x−2+ √ = 0. 7−x C 2 ≤ x < 7. x2 + 5 x−2+ √ = 0 là 7−x ® x−2≥0 7−x>0 ⇔ 2 ≤ x < 7. D 2 ≤ x ≤ 7. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie √ √ C 3x + x − 2 = x2 + x − 2 ⇔ 3x = x2 . D |x| = 2 ⇔ x = 2. ý Lời giải. Khi chuyển vế (cộng hoặc trừ hai vế với cùng một biểu thức) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình ta luôn nhận được một đương. √ phương trình mới tương √ Vì vậy ta có 3x + x − 2 = x2 ⇔ 3x = x2 − x − 2. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 129 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 24. Tập nghiệm T của phương trình x2 − 2x = 2x − x2 là A T = {0}. B T = ∅. C T = {0; 2}. D T = {2}. ý Lời giải. ® 2 x − 2x ≥ 0 Ngay từ điều kiện của phương trình ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ x = 0; x = 2. 2x − x2 ≥ 0 Thay vào phương trình ta thấy cả hai giá trị thỏa mãn phương trình. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T = {0; 2}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x √ Câu 25. Tập nghiệm T của phương trình = −x là x A T = {0}. B T = ∅. C T = {1}. D T = {−1}. ý Lời giải.   x ≥ 0 x 6= 0 Điều kiện của phương trình là ⇔ không có giá trị x thỏa mãn.   −x≥0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, hay tập nghiệm là T = ∅. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Cho phương trình 2x2 − x = 0 (1). Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình (1)? 2 x A 2x − = 0. B 4x3 − x = 0. C 2x2 − x = 0. D x2 − 2x + 1 = 0. 1−x ý Lời giải. 1 Phương trình 2x2 − x = 0 ⇔ x = 0; x = . 2 Ta thấy phương trình x2 − 2x + 1 = 0 chỉ có nghiệm x = 1 nên không thể là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Phương trình x2 = 3x tương đương với phương trình √ √ 1 1 = 3x + . A x2 + x − 2 = 3x + x − 2. B x2 + x − 3 x − 3 √ √ √ √ C x2 x − 3 = 3x x − 3. D x2 + x2 + 1 = 3x + x2 + 1. ý Lời giải. √ √ Ta có x2 + x2 + 1 = 3x + x2 + 1 ⇔ x2 = 3x. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Khẳng định nào sau đây sai? √ A x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. x(x − 1) = 1 ⇔ x = 1. (x − 1) √ √ D x − 3 = 9 − 2x ⇒ 3x − 12 = 0. B C |3x − 2| = x − 3 ⇒ 8x2 − 4x − 5 = 0. ý Lời giải. x(x − 1) Phương trình = 1 chỉ có nghiệm x = 0 nên không tương đương với phương trình x = 1. (x − 1) x(x − 1) Vậy khẳng định = 1 ⇔ x = 1 là một khẳng định sai. (x − 1) ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 29. Khi giải phương trình 3x2 + 1 = 2x + 1 (1), ta tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được 3x2 + 1 = (2x + 1)2 . (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −4. Bước 3: Khi x = 0, ta có 3x2 + 1 > 0. Khi x = −4, ta có 3×2 + 1 > 0. Vậy tập nghiệm của phương trình là {0; −4}. Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A Đúng. B Sai ở bước 1. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 130 Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x2 − 5 = (2 − x)2 . (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9. 9 . 4 9 Vậy phương trình có một nghiệm là x = . 4 Bước 3: (2) ⇔ x = Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A Đúng. B Sai ở bước 1. ý Lời giải. C Sai ở bước 2. D Sai ở bước 3. 9 Cách giải trên là sai ở bước 3. Sau khi giải phương trình hệ quả ta cần thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Giá trị x = 4 hoàn toàn không thỏa mãn phương trình đã cho nên không phải là nghiệm. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Khi giải phương trình |x − 2| = 2x − 3 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x2 − 4x + 4 = 4×2 − 12x + 9. (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 3×2 − 8x + 5 = 0. Bước 3: (2) ⇔ x = 1 hoặc x = 5 . 3 Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 5 . 3 Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ý Lời giải. Cách giải trên là sai ở bước 4 vì ta đã bỏ qua thao tác thử nghiệm để loại nghiệm ngoại lai, dẫn tới việc lấy nhầm nghiệm x = 1. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 32. Khi giải phương trình (x − 3)(x − 4) √ =0 x−2 (1), một học sinh tiến hành các bước sau (x − 3) Bước 1: (1) ⇔ √ (x − 4) = 0. x−2  (x − 3) √ =0 Bước 2: ⇔  x − 2 x−4=0 (2) Bước 3: ⇔ x = 3 hoặc x = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {3; 4}. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ý Lời giải. Cách giải trên là sai từ bước 2 vì khi biến đổi tương đương thì điều kiện x > 0, x 6= 4 là điều kiện chung của cả phương trình. Như vậy từ bước 2 ta không thể nhận được một hệ hoặc tương đương được, từ đó dẫn tới việc nhận nhầm nghiệm x = 4 không thỏa phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Cách giải trên là sai ở bước 3. Khi thử nghiệm, ngoài việc kiểm tra điều kiện thì cần xem vế phải có không âm hay không. Rõ ràng trong các giá trị ở bước 3 thì khi thay x = −4 thì vế phải âm nên x = −4 không thể là nghiệm của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 30. Khi giải phương trình x2 − 5 = 2 − x (1), một học sinh tiến hành các bước sau h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 131 Câu 33. x = 9 là nghiệm của phương trình nào sau đây? √ √ √ 8 2×2 =√ . A 2 − x = x. B √ C 2x + 7 = x − 4. D 14 − 2x = x − 3. x+1 x+1 ý Lời giải. √ Ta thấy x = 9 thỏa mãn phương trình 2x + 7 = x − 4 nên là một nghiệm của nó. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 34. Nghiệm của phương trình x + 3 = 1 (nếu có) là A x = 2. B x = −2. C x = −3. D vô nghiệm. ý Lời√ giải. Ta có x + 3 = 1 ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Khi giải phương trình (x − 5)(x − 4) √ =0 x−3 (1), một học sinh tiến hành các bước sau (x − 5) Bước 1: (1) ⇔ √ (x − 4) = 0. x−3  (x − 5) √ =0  x−3 Bước 2: ⇔ x−4=0 (2) Bước 3: ⇔ x = 5 hoặc x = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {5; 4}. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ý Lời giải. Ta thấy tập nghiệm của phương trình thì không thay đổi. Tuy nhiên, ngay từ bước 2 thì ta chỉ có thể nhận được một hệ điều kiện tương đương. Trong cách giải của học sinh trên vô tình đã loại đi điều kiện chung của phương trình. Các trường hợp khác nói chung là không đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2x + 3 Câu 36. Khi giải phương trình x + =− (1), một học sinh tiến hành các bước sau x+2 x+2 Bước 1: Điều kiện x 6= 2. Bước 2: với điều kiện trên (1) ⇔ x(x + 2) + 1 = −(2x + 3). (2) Bước 3: (2) ⇔ x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ x = −2 Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {−2}. Cách giải trên sai từ bước nào? A Sai ở bước 1. B Sai ở bước 2. C Sai ở bước 3. D Sai ở bước 4. ý Lời giải. Ở bước 3, sau khi ta tìm nghiệm của phương trình hệ quả cần thử lại (với dạng này ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện của phương trình). Ở đây học sinh trên đã bỏ qua thao tác đối chiếu với điều kiện của phương trình dẫn tới kết quả sai. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 37. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x = −x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ý Lời giải. ® x≥0 Điều kiện xác định ⇔ x = 0. −x≥0 Thế x = 0 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 38. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm |x| = −x? A 0. B 1. C 2. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie D vô số. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 132 ñ x=0 ⇔ ⇔ x ≤ 0. − x = −x nếu x < 0 thỏa với mọi x < 0 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 39. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x − 2 = 2 − x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ý Lời giải. ® x−2≥0 Điều kiện xác định ⇔ x = 2. 2−x≥0 Thế x = 2 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 40. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm |x − 2| = 2 − x? A 0. B 1. C 2. D vô số. ý Lời giải. |x − 2| = 2 − x có nghiệm thì điều kiện 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Khi đó, phương trình được viết lại 2 − x = 2 − x thỏa với mọi x ∈ R. So với điều kiện ta suy ra tập nghiệm của phương trình đã cho là S = (−∞; 2]. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 41. Phương trình −x2 + 10x − 25 = 0 A vô nghiệm. B vô số nghiệm. C mọi x đều là nghiệm. D có nghiệm duy nhất. ý Lời giải. p √ −x2 + 10x − 25 = 0 ⇔ −(x − 5)2 = 0 ⇔ x = 5. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 42. Phương trình 2x + 5 = −2x − 5 có nghiệm là 5 5 2 2 A x= . B x=− . C x=− . D x=− . 2 2 5 5 ý Lời giải. ® 2x + 5 ≥ 0 5 Điều kiện xác định ⇔x=− . 2 − 2x − 5 ≥ 0 5 5 Thế x = − vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhất x = − . 2 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 43. Tập nghiệm của phương trình x − x − 3 = 3 − x + 3 là A S = ∅. B S = {3}. C S = [3; +∞). D S = R. ý Lời giải. ® x−3≥0 Điều kiện xác định ⇔ x = 3. 3−x≥0 Thế x = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 44. Tập nghiệm của phương trình x + x = x − 1 là A S = ∅. B S = {−1}. C S = {0}. D S = R. ý Lời giải. Tập xác định của phương trình D = [0; +∞). Khi đó √ √ x + x = x − 1 ⇒ x = −1 loại. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  √ Câu 45. Tập nghiệm của phương trình x − 2 x2 − 3x + 2 = 0 là A S = ∅. B S = {1}. C S = {2}. D S = {1; 2}. ý Lời giải. Tập xác định của phương trình D = [2; +∞). Khi đó  ñ x−2=0 √ x − 2 = 0   x − 2 x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ 2 ⇔ x = 1 loại ⇔ x = 2. x − 3x + 2 = 0 x=2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie |x| = −x ⇔ ñ x = −x nếu x ≥ 0 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 133 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 46. Cho các phương trình x − 1 = 3, (1) và ( x − 1)2 = (−3)2 (2). Chọn khằng định sai? A Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2). B Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). C Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương. D Phương trình (2) vô nghiệm. ý Lời√ giải. √ Ta có x − 1 = 3 ⇔ ( x − 1)2 = 32 vì (−3)2 = 32 nên hai phương trình (1) và (2) tương đương. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 47. Số nghiệm của phương trình x2 + 6 5x = là x−2 x−2 A 3. B 2. C 1. ý Lời giải. Tập xác định của phương trình D = R {2}. Khi đó phương trình D 0. ñ x=3 x2 + 6 5x = ⇒ x2 + 6 = 5x ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x−2 x−2 x = 2 loại. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 48. Tập nghiệm của phương trình 2x − 1 = x − 1 là √ √ √ √ A {2 + 2; 2 − 2}. B {2 − 2}. C {2 + 2}. D ∅. ý Lời giải.  x≥1 ® ®  " √ √ x≥1 x≥1 √ x = 2 + 2 ⇔ x = 2 + 2. 2x − 1 = x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2  2x − 1 = x − 2x + 1 x − 4x + 2 = 0 √  x=2− 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 49. Số nghiệm của phương trình x x − 2 = 2 − x là A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ® x−2≥0 Điều kiện xác định ⇔ x = 2. 2−x≥0 Thế x = 2 vào phương trình, ta thấy thỏa nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 50. Hãy chỉ ra khẳng định sai? √ √ A x − 1 = 2 1 − x ⇔ x − 1 = 0. C |x − 2| = x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (x + 1)2 . ý Lời giải. Ta có √ √ ○ x − 1 = 2 1 − x ⇔ x − 1 = 0 đúng. x−1 = 0. B x2 + 1 = 0 ⇔ √ x−1 D x2 = 1 ⇔ x = 1, x > 0. x−1 ○ x2 + 1 = 0 ⇔ √ = 0 đúng. x−1 ○ |x − 2| = x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (x + 1)2 đúng. ○ x2 = 1 ⇔ x = 1, x > 0 sai vì phương trình đầu có hai nghiệm là ±1. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 4 =√ là x−1 x−1 B S = {−2; 2}. C S = {−2}. Câu 51. Tập nghiệm của phương trình √ A S = {2}. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie D S = ∅. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 134 √ x2 4 =√ ⇒ x2 = 4 ⇔ x = ±2. x−1 x−1 So với điều kiện suy ra tập nghiệm S = {2}. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 52. Tập nghiệm của phương trình 3 − x + x = 3 − x + 4 là A S = {3}. B S = {3; 4}. C S = {4}. D S = ∅. ý Lời giải. Tập xác định của phương trình D = (−∞; 3]. Khi đó phương trình √ √ 3 − x + x = 3 − x + 4 ⇒ x = 4. So với điều kiện suy ra tập nghiệm S = ∅. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 53. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 − 4 = 0?   A (2 + x) −x2 + 2x + 1 = 0. B (x − 2) x2 + 3x + 2 = 0. √ C x2 − 3 = 1. D x2 − 4x + 4 = 0. ý √ Lời giải. x2 − 3 = 1 ⇔ x2 − 3 = 1 ⇔ x − 4 = 0. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 54. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 − 3x = 0? √ √ 1 1 = 3x + . A x2 + x − 2 = 3x + x − 2. B x2 + x−3 x− 3 √ √ √ √ C x2 x − 3 = 3x x − 3. D x2 + x2 + 1 = 3x + x2 + 1. ý Lời giải. ® x=0 2 Ta có x − 3x = 0 ⇔ x = 3. ® x≥2 √ √ 2 ○ x + x − 2 = 3x + x − 2 ⇔ ⇔ x = 3. x2 = 3x ® x 6= 3 1 1 = 3x + ⇔ ○ x2 + ⇔ x = 0. x−3 x−3 x2 = 3x ® x≥3 √ √ 2 ○ x x − 3 = 3x x − 3 ⇔ x2 = 3x. √ √ ○ x2 + x2 + 1 = 3x + x2 + 1 ⇔ x2 = 3x. √ √ Vậy phương trình x2 − 3x = 0 tương đương với x2 + x2 + 1 = 3x + x2 + 1. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Câu 55. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + = 1? x √ √ A x2 + x = −1. B |2x − 1| + 2x + 1 = 0. √ √ C x x − 5 = 0. D 7 + 6x − 1 = −18. ý Lời giải. ® x 6= 0 1 x+ =1⇔ vô nghiệm. x x2 − x + 1 = 0 √ ○ x2 + x = −1 vô nghiệm vì vế trái lớn hơn 0.  1 ®  x = |2x − 1| = 0 √ 2 vô nghiệm. ○ |2x − 1| + 2x + 1 = 0 ⇔ √ ⇔  2x + 1 = 0 x = − 1 2 √ √ ○ 7 + 6x − 1 = −18 vô nghiệm vì 7 + 6x − 1 > 0 và −18 < 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Tập xác định của phương trình D = (1; +∞). Khi đó phương trình h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 135   xñ ≥ 5 √ ○ x x−5=0⇔ x = 0 ⇔ x = 5.   x=5 √ 1 = 1 không tương đương với x x − 5 = 0. x ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vậy x + Câu 56. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau √ √ √ √ A x + x − 1 = 1 + x − 1 và x = 1. B x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. √ √ C x(x + 2) = x và x + 2 = 1. D x(x + 2) = x và x + 2 = 1. ý Lời giải. ® √ √ √ √ x≥2 ○ x+ x−2 = 1+ x−2 ⇔ vô nghiệm nên x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 không tương đương. x=1   x≥0    xñ ≥ 0 ñ √ √ √ √ ○ x(x + 2) = x ⇔ ⇔ x=0 x = 0 ⇔ x = 0 nên x(x + 2) = x và x + 2 = 1 không tương     x+2=1 x = −1 đương. ñ ñ x=0 x=0 ○ x(x + 2) = x ⇔ ⇔ nên x(x + 2) = x và x + 2 = 1 không tương đương. x+2=1 x = −1 ñ √ √ √ √ x≥1 ⇔ x = 1 nên x + x − 1 = 1 + x − 1 và x = 1 tương đương. ○ x+ x−1=1+ x−1⇔ x=1 √ √ Vậy x + x − 1 = 1 + x − 1 và x = 1 là hai phương trình tương đương. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 57. Chọn căp phương trình tương đương trong các cặp phương √ trình sau √ √ x x+1 = 0 và x = 0. A 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2x = 1. B √ x+1 √ √ √ C x + 1 = 2 − x và x + 1 = (2 − x)2 . D x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. ý Lời giải.  x ≥ 3 √ √ √ √ ○ 2x + x − 3 = 1 + x − 3 ⇔ vô nghiệm nên 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2x = 1 không tương 1 x = 2 đương. ® ® √ x≤2 x≤2 √ √ 5 − 13 nên x + 1 = 2 − x và ○ x+1 = 2 − x ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 2 2 x + 1 = (2 − x) x − 5x + 3 = 0 x + 1 = (2 − x)2 không tương đương. ® √ √ √ √ x≥2 ○ x+ x−2 = 1+ x−2 ⇔ vô nghiệm nênx + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 không tương đương. x=1 ® √ √ x > −1 x x+1 x x+1 ○ √ =0⇔ ⇔ x = 0 nên √ = 0 và x = 0 tương đương. x=0 x+1 x+1 √ √ Vậy x + x − 1 = 1 + x − 1 và x = 1 là hai phương trình tương đương. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 58. Chọn căp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau √ √ √ √ A x + 1 = x2 − 2x và x + 2 = (x − 1)2 . B 3x x + 1 = 8 3 − x và 6x x + 1 = 16 3 − x. √ √ √ C x 3 − 2x + x2 = x2 + x và x 3 − 2x = x. D x + 2 = 2x và x + 2 = 4×2 . ý Lời giải. ○ x + 1 = x2 − 2x ⇔ x + 2 = (x − 1)2 nên x + 1 = x2 − 2x và x + 2 = (x − 1)2 tương đương. √ √ √ √ √ √ √ √ ○ 3x x + 1 = 8 3 − x ⇔ 6x x + 1 = 16 3 − x nên 3x x + 1 = 8 3 − x và 6x x + 1 = 16 3 − x tương đương. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 136 Câu 59. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương dương 2×2 + mx − 2 = 0 (1) và 2×3 + (m + 4)x2 + 2(m − 1)x − 4 = 0 (2). 1 A m = 2. B m = 3. C m= . D m = −2. 2 ý Lời giải. ® 2 2x + mx − 2 = 0 3 2 2 2 2x + (m + 4)x + 2(m − 1)x − 4 = 0 ⇔ x(2x + mx − 2) + 4x + 2mx − 4 = 0 ⇔ x = −2. 2 Vậy để (1) tương đương với (2) thì 2x + mx − 2 = 0 có nghiệm x = −2, khi đó 8 − 2m − 2 = 0 ⇔ m = 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương mx2 −2(m−1)x+m−2 = 0 (1) và (m − 2)x2 − 3x + m2 − 15 = 0 (2). A m = −5. B m = −5, m = 4. C m = 4. D m = 5. ý Lời giải. ñ x=1 mx2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 ⇔ (x − 1)(mx − m − 2) = 0 ⇔ mx = m + 2. Khi đó để (1) tương đương với (2) thì điều kiện ñ cần là (2) phải có nghiệm x = 1. m=4 Khi đó (2) suy ra m − 2 − 3 + m2 − 15 = 0 ⇔ m = −5. Khi đó TH 1. Với m = 4 thì (1) ⇒ 4×2 − 6x + 2 = 0 Và (2) ⇒ 2×2 − 3x + 1 = 0 ⇔ (1).  x = 1 TH 2. Với m = −5 thì (1) ⇒ −5×2 + 12x − 7 = 0 ⇔ x = 7 . 5  x=1 (2) ⇒ −7×2 − 3x + 10 = 0 ⇔  10 x=− . 7 Suy ra (1) không tương đương (2). Vậy giá trị m cần tìm là m = 4. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 61. Khẳng định nào sau đây là sai? √ A x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. x(x − 1) = 1 ⇒ x = 1. √x − 1 √ D x − 3 = 9 − 2x ⇒ 3x − 12 = 0. B C |3x − 2| = x − 3 ⇒ 8×2 − 4x − 5 = 0. ý Lời giải. |3x − 2| = x − 3 ⇒ 9×2 − 12x + 4 = x2 − 6x + 9 ⇒ 8×2 − 6x − 5 = 0. Vậy |3x − 2| = x − 3 ⇒ 8×2 − 4x − 5 = 0 sai. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 62. Cho phương trình 2×2 − x = 0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x A 2x − = 0. B 4×3 − x = 0. 1 −x 2 C 2×2 − x + (x − 5)2 = 0. D 2×3 + x2 − x = 0. ý Lời giải. Ta có −2×2 + x x = 0 ⇒ 2x − =0. 1−x 1−x  ○ 2×2 − x = 0 ⇒ 2×2 − x · (2x + 1) = 0 ⇒ 4×3 − x = 0. ○ 2×2 − x = 0 ⇒ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ √ √ √ ○ x 3 − 2x + x2 = x2 + x ⇔ x 3 − 2x = x nên x 3 − 2x + x2 = x2 + x và x 3 − 2x = x tương đương. ® x≥0 √ √ ○ x + 2 = 2x ⇔ nên x + 2 = 2x và x + 2 = 4×2 không tương đương. 2 x + 2 = 4x = 0 √ Vậy x + 2 = 2x và x + 2 = 4×2 không tương đương. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 137  ○ 2×2 − x = 0 ⇒ 2×2 − x · (x − 1) = 0 ⇒ 2×3 + x2 − x = 0. ® 2 2 2x − x = 0 2 2 ○ 2x − x + (x − 5) = 0 ⇒ vô nghiệm. x−5=0 Vậy 2×3 + x2 − x = 0 không phải là hệ quả của phương trình đã cho. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 63. Tập nghiệm của phương trình x2 − 2x = 2x − x2 là A S = {0}. B S = ∅. C S = {0; 2}. D S = {2}. ý Lời giải. ñ √ √ x=0 2 2 2 x − 2x = 2x − x ⇔ 2x − x = 0 ⇔ x = 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 64. Phương trình x x2 − 1 x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải.   x ≥ 1 x ≥ 1   √ ñ ñ 2 x=0 ⇔ x x −1 x−1=0 x=0 ⇒x=1    2  x = ±1 x −1=0 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 65. Phương trình −x2 + 6x − 9 + x3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình −x2 + 6x − 9 ≥ 0 ⇔ −(x − 3)2 ≥ 0 ⇔ x = 3. Thế x = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p √ Câu 66. Phương trình (x − 3)2 (5 − 3x) + 2x = 3x − 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ® 5 − 3x ≥ 0 5 Điều kiện xác định ⇔x= . 3 3x − 5 ≥ 0 5 5 Thế x = vào phương trình, ta thấy 2 · = 4 vô lý. 3 3 Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 67. Phương trình x + x − 1 = 1 − x có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ® 1−x≥0 Điều kiện xác định ⇔ x = 1. x−1≥0 Thế x = 1 vào phương trình, ta thấy 1 = 0 vô lý. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ √ Câu 68. Phương trình 2x + x − 2 = 2 − x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải.   2 − x ≥ 0 x − 2 ≥ 0 ⇔ x = 2 thay vào phương trình, ta thấy không thỏa.   x≥0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện xác định Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 138 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 73. Phương trình x2 − 4x − 2 √ √ = x − 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? x−2 B 2. C 3. A 1. D 5. ý Lời giải. ® ® x>2 x>2 x2 − 4x − 2 √ 5 √ ⇔ ⇔x= . = x−2⇔ 2 2 2 x−2 x − 4x − 2 = x − 2 x − 5x = 0 Vậy phương trình có tất cả là một nghiệm ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ √ Câu 69. Phương trình x3 − 4×2 + 5x − 2 + x = 2 − x có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ® p √ √ √ 2−x≥0 x3 − 4×2 + 5x − 2 + x = 2 − x ⇔ (x − 1)2 (x − 2) + x = 2 − x có điều kiện xác định ⇔ x = 2. x−2≥0 Thay x = 2 vào phương trình, ta thấy 2 = 0 vô lý. Vậy phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2x − 1 Câu 70. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x−1 x−1 A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. ® ® x 6= 1 x 6= 1 1 2x − 1 ⇔ x = 2. x+ ⇔ = ⇔ 2 x−1 x−1 x2 − 3x + 2 = 0 x − x + 1 = 2x − 1 Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 71. Phương trình x2 − 3x + 2 x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải.   xñ ≥ 3 √ 2 x − 3x + 2 x − 3 = 0 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 3.   x−3=0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 72. Phương trình x2 − x − 2 x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải.  ñ  xñ ≥ −1 √ x = −1 2 2 x −x−2 x+1=0⇔ x −x−2=0 ⇔  x = 2.  x+1=0 Phương trình có hai nghiệm x = −1, x = 2. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam §2 139 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP – VÍ DỤ – BÀI TẬP RÈN LUYỆN d Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn Cách giải và biện luận phương trình ax = b. ○ Trường hợp 1: a 6= 0. Phương trình có nghiệm duy nhất x = b . a ○ Trường hợp 2: a = 0. Giải đề tìm tham số, thế tham số vào phương trình ax = b. + Nếu được 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm (tập nghiệm S = R). + Nếu được 0x = b (b 6= 0) thì phương trình vô nghiệm. ! 1 ○ Phương trình ax = b có nghiệm duy nhất ⇔ a 6= 0. ® a=0 ○ Phương trình ax = b vô nghiệm ⇔ b 6= 0. ® a=0 ○ Phương trình ax = b có tập nghiệm là R ⇔ b = 0. VÍ DỤ # Ví dụ 1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình (2m − 4)x = m − 2. ý Lời giải. ○ 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m−2 1 = . 2m − 4 2 ○ 2m − 4 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.  # Ví dụ 2. Giải và biện luận theo tham số m phương trình m2 − 1 x + 1 = m. ý Lời giải.   m2 − 1 x + 1 = m ⇔ m2 − 1 x = m − 1 ® m 6= 1 m−1 1 2 ○ m − 1 6= 0 ⇔ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 = . m −1 m+1 m 6= −1 ñ m=1 2 ○ m −1=0⇔ m = −1. • Với m = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. • Với m = −1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = −2 ⇒ Phương trình vô nghiệm. # Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình m3 x = m2 + 4 + 4m(x − 1). ý Lời giải.  m3 x = m2 + 4 + 4m(x − 1) ⇔ m3 − 4m x = m2 − 4m + 4. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 140  m=0  3 ○ m − 4m = 0 ⇔ m = 2 m = −2. • Với m = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 4 ⇒ Phương trình vô nghiệm. • Với m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình vô số nghiệm. • Với m = −2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 16 ⇒ Phương trình vô nghiệm.  # Ví dụ 4. Giải và biện luận theo tham số a và b phương trình a ax + 2b2 − a3 = b2 (x + a). ý Lời giải.   a ax + 2b2 − a3 = b2 (x + a) ⇔ a2 − b2 x = a3 − ab2 . ® a 6= b a3 − ab2 2 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 ○ a − b 6= 0 ⇔ = a. a − b2 a 6= −b ñ a=b 2 2 ○ a −b =0⇔ a = −b • Với a = b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. • Với a = −b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. # Ví dụ 5. Giải và biện luận theo tham số m phương trình m(x − 1) − 3 = 2. x+1 ý Lời giải. m(x − 1) − 3 =2⇔ x+1 ® m(x − 1) − 3 = 2x + 2 x 6= −1 ® ⇔ (m − 2)x = m + 5 x 6= −1  (m − 2)x = m + 5 ⇔ m 6= −3 . 2   m − 2 6= 0 m 6= 2 m+5 . ○ ⇔ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −3 −3 m 6= m 6= m−2 2 2  m − 2 = 0 ○ ⇔ m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 7 ⇒ Phương trình vô nghiệm. m 6= −3 2 # Ví dụ 6. Tìm tham số m để phương trình m2 x + 2 = x + 2m có nghiệm duy nhất. ý Lời giải.  m2 x + 2 = x + 2m ⇔ m2 − 1 x = 2m − 2 (1) (1) có nghiệm duy nhất ⇔ m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1. # Ví dụ 7. Tìm tham số m để phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m vô nghiệm. ý Lời giải.  m2 x + 6 = 4x + 3m m2 − 4 x = 3m − 6 (1) ® ⇔ m2 − 4 = 0 (1) vô nghiệm ⇔ ⇔ m = −2. 3m − 6 6= 0 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie   m 6= 0 m3 − 4m m(m + 2) 3 ○ m − 4m 6= 0 ⇔ m 6= 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 = .  m − 4m + 4 m−2  m 6= −2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 141 # Ví dụ 8. Tìm tham số m để phương trình m2 (x − 1) + m = x(3m − 2) có tập nghiệm là R. ý Lời giải.  m2 (x − 1) + m = x(3m − 2) ⇔ m2 − 3m + 2 x = m2 − m (1) ® 2 m − 3m + 2 = 0 (1) có tập nghiệm là R ⇔ ⇔ m = 1. m2 − m = 0 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 2 Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m 1 m(x − m) = x + m − 2 2 2(m − 1)x − m(x − 1) = 2m + 3 3 2m2 (x − 1) + 7 = 2(x + 1) + 3m 4  m2 + 3 (x − 1) − m = (3 − 2m)x − 5 ý Lời giải. 1 m(x − m) = x + m − 2 ⇔ (m − 1)x = m2 + m − 2. m2 + m − 2 = m + 2. m−1 ○ m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. ○ m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1 thì phương trình đã cho trở thành x = 2 2(m − 1)x − m(x − 1) = 2m + 3 ⇔ (m − 2)x = m + 3. m+3 . m−2 ○ m − 2 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 5 ⇒ Phương trình vô nghiệm.  3 2m2 (x − 1) + 7 = 2(x + 1) + 3m ⇔ 2m2 − 2 x = 2m2 + 3m − 5. ○ m − 2 6= 0 ⇔ m 6= 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = ® 2 ○ 2m − 2 6= 0 ⇔ m 6= 1 m 6= −1 ñ m=1 ○ 2m2 − 2 = 0 ⇔ . m = −1 4 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2m2 + 3m − 5 2m − 5 = . 2 2m − 2 2m + 2 • Với m = 1, phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có tập nghiệm là R. • Với m = −1, phương trình đã cho trở thành 0x = −6 ⇒ Phương trình vô nghiệm.   m2 + 3 (x − 1) − m = (3 − 2m)x − 5 ⇔ m2 + 2m x = m2 + m − 2. ® m 6= 0 m2 + m − 2 m−1 2 ○ m + 2m 6= 0 ⇔ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = = . 2 m + 2m m m 6= −2 ñ m=0 2 ○ m + 2m = 0 ⇔ . m = −2 • Với m = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = −2 ⇒ Phương trình vô nghiệm. • Với m = −2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có tập nghiệm là R. Bài 2. Giải và biện luận theo tham số a và b các phương trình 1 a2 x = a(x + b) − b 3 2 (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + a2 + b2 x  a(x − 2a) b2 bx − a2 b2 + = + 12 4 12 6 ý Lời giải. 1 a2 x = a(x + b) − b ⇔ a2 − a x = ab − b.  ® 2 ○ a − a 6= 0 ⇔ a 6= 0 a 6= 1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ab − b b = . a2 − a a # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 142 ○ a −a=0⇔ ñ a=0 a=1 . • Với a = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = −b có vô số nghiệm khi b = 0, vô nghiệm khi b 6= 0. • Với a = −1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có tập nghiệm là R.  2 (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + a2 + b2 x ⇔ abx = ab ○ ab 6= 0 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1. ○ ab 6= 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có tập nghiệm là R. 3 a(x − 2a) b2 bx − a2 b2 + = + ⇔ (a − b)x = a2 − b2 . 12 4 12 6 a2 − b2 = a + b. a−b ○ a − b = 0 ⇔ a = b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có tập nghiệm là R. ○ a − b 6= 0 ⇔ a 6= b thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = Bài 3. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình 1 3 =m+1 2x − 2 2 m(x + 4) − 1 =1 x+2 3 m =2 mx + 3 ý Lời giải. 3 =m+1⇔ 1 2x − 2 ® 3 = (2x − 2)(m + 1) x 6= 1 ⇔ 2(m + 1)x = 2m + 5 2m + 5 . 2m + 2 ○ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 5 ⇒ Phương trình vô nghiệm.  ® (m − 1)x = −4m + 3 (∗) m(x + 4) − 1 = x + 2 m(x + 4) − 1 2 =1⇔ ⇔ m 6= 1 . x+2 x 6= −2 2 ○ m + 1 6= 0 ⇔ m 6= −1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −4m + 3 . m−1 ○ m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thì phương trình (∗) trở thành 0x = −1 ⇒ Phương trình vô nghiệm.   m = 3(mx + 3)  ®   x = m − 9 3mx = m − 9 m 3 3m Vậy phương trình đã cho có nghiệm = 2 ⇔ x 6= − ⇔ 3 ⇔   mx + 3 m 6= 0 m  m 6= 0.  m 6= 0 duy nhất khi m 6= 0, vô nghiệm khi m = 0. ○ m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1 thì phương trình (∗) có nghiệm duy nhất x = Bài 4. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 m2 x − m = 4x − 2 có nghiệm duy nhất. 2 m(mx − 1) = 1 + x có tập nghiệm là R. 3 (m + 1)2 x + 1 − m = (7m − 5)x vô nghiệm. ý Lời giải. 1 m2 x − m = 4x − 2 ⇔ m2 − 4 x = m − 2 (∗)  ® 2 (∗) có nghiệm duy nhất ⇔ m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2 m 6= −2.  2 m(mx − 1) = 1 + x ⇔ m2 − 1 x = m + 1 (∗) ® 2 m −1=0 (∗) có tập nghiệm là R ⇔ ⇔ m = −1. m+1=0 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 143 3 (m + 1)2 x + 1 − m = (7m − 5)x ⇔ m2 − 5m + 6 x = m − 1 (∗)  ® (∗) vô nghiệm ⇔ m2 − 5m + 6 = 0 m − 1 6= 0 ⇔ ñ m=2 m = 3. Bài 5. Chứng minh rằng phương trình m(m − 1)x + 2mx = (2m − 1)x + m có nghiệm duy nhất với mọi m ∈ R. ý Lời giải.  m(m − 1)x + 2mx = (2m − 1)x + m ⇔ m2 − m + 1 x = m. ã Å 1 3 1 2 3 + > 0, ∀m ∈ R. Ta có m2 − m + 1 = m2 − m + + = m − 4 4 2 4 Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m ∈ R. d Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn Cách giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0. Trường hợp 1. a = 0, giải tìm tham số. Thế tham số này vào phương trình đã cho để có kết luận. Trường hợp 2. a 6= 0. Tính ∆ = b2 − 4ac. (Nếu b chẵn thì tính ∆0 = b2 − ac với b0 = ® ○ Nếu a 6= 0 ∆<0 ® b ) 2 thì phương trình vô nghiệm. b0 b . (Nếu tính ∆0 thì x = − ). 2a a ∆=0 ® √ a 6= 0 −b ± ∆ . ○ Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a ∆>0 √ −b0 ± ∆0 (Nếu tính ∆0 thì x = ). a ○ Nếu 1 a 6= 0 thì phương trình có nghiệm kép x = − VÍ DỤ # Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (∗) vô nghiệm. ý Lời giải. 1 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m = 0. Thay vào phương trình (∗) ta được −6x + 1 = 0 ⇔ x = . 6 1 Suy ra phương trình có một nghiệm x = nên m = 0 không thỏa mãn. 6 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 0. Ta có ∆0 = (m + 3)2 − m(m + 1) = 5m + 9. Phương trình (∗) vô nghiệm khi và chỉ khi 9 ∆0 < 0 ⇔ 5m + 9 < 0 ⇔ m < − . 5 Vậy m < − 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5 # Ví dụ 2. Tìm tham số m để phương trình (2 − m)x2 − 4x + 3 = 0 (∗) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. ý Lời giải. Ta có ∆0 = (−2)2 − 3(2 − m) = 3m − 2. Phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi  ® ® m 6= 2 a 6= 0 2 − m 6= 0 2 ⇔ ⇔ ⇔m= . 2 0 m = 3 ∆ =0 3m − 2 = 0 3 Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 144 b 2 3 = = . 2a 2−m 2 # Ví dụ 3. Tìm tham số m để phương trình (2m − 1)x2 − 2(m − 1)x − 1 = 0 (∗) có hai nghiệm phân biệt. Tính hai nghiệm này. ý Lời giải. Ta có ∆0 = (m − 1)2 − (2m − 1)(−1) = m2 . Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® a 6= 0 ∆0 > 0 ® ⇔ 2m − 1 6= 0 m2 > 0 Khi đó phương trình (∗) có nghiệm phân biệt là x1,2 −b0 ± = a √  m 6= 1 2 ⇔  m 6= 0. ∆ = (m − 1) ± m 1 ⇔ x1 = 1; x2 = − . 2m − 1 2m − 1 Nhận xét: Ta có thể tính nhanh hai nghiệm bằng cách: phương trình này có các hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 1 c . nên phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm x2 = = − a 2m − 1 # Ví dụ 4. Tìm tham số m để phương trình (m + 2)x2 − 2mx + m − 3 = 0 (∗) có nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. ý Lời giải. Ta có ∆0 = m2 − (m + 2)(m − 3) = m + 6. Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ® a 6= 0 m + 2 6= 0 m 6= −2 ⇔ ⇔ 0 ∆ >0 m+6>0 m > −6. √ √ m± m+6 −b0 ± ∆ = . Khi đó phương trình (∗) có nghiệm phân biệt là x1,2 = a m+2 # Ví dụ 5. Giải và biện luận theo tham số m phương trình (m − 3)x2 − 2(m − 2)x + m = 0 (∗). ý Lời giải. 3 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m − 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay vào phương trình (∗) ta được −2x + 3 = 0 ⇔ x = . 2 3 Suy ra phương trình có một nghiệm x = . 2 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 3. Ta có ∆0 = (m − 2)2 − m(m − 3) = −m + 4. ® ® a 6= 0 m 6= 3 ○ Nếu ⇔ ⇔ m > 4 thì phương trình (∗) vô nghiệm. 0 ∆ <0 −m+4<0 ® ® a 6= 0 m 6= 3 ○ Nếu ⇔ ⇔ m = 4 thì phương trình (∗) có nghiệm kép 0 ∆ =0 −m+4=0 x=− ® ○ Nếu a 6= 0 ∆0 > 0 ® ⇔ ® m 6= 3 m 6= 3 thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt m<4 √ √ −b0 ± ∆ m − 2 ± −m + 4 = = . a m−3 −m+4>0 x1,2 ⇔ b m−2 = = 2. 2a m−3 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Khi đó phương trình (∗) có nghiệm kép là x = − h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 2 145 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Tìm tham số m để phương trình 1 (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 vô nghiệm. 2 mx2 − (2m + 3)x + m = 0 có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. 3 mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. 4 (m − 1)x2 + 7x − 12 = 0 có nghiệm. Tính các nghiệm này. ý Lời giải. 1 (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 (1) vô nghiệm. 1 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m = 1. Thay vào phương trình (1) ta được 3x − 1 = 0 ⇔ x = . 3 1 Suy ra phương trình có một nghiệm x = nên m = 1 không thỏa mãn. 3 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 1. Ta có ∆ = 32 − 4(m − 1)(−1) = −4m + 13. Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ < 0 ⇔ −4m + 13 < 0 ⇔ m > Vậy m > 13 . 4 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 2 mx2 − (2m + 3)x + m = 0 (2) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. Ta có ∆ = (2m + 3)2 − 4m · m = 12m + 9. Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi ® ® a 6= 0 ∆0 = 0 ⇔ m 6= 0 12m + 9 = 0 Khi đó phương trình (2) có nghiệm kép là x = − ⇔  m 6= 0 m = − 3 4 3 ⇔m=− . 4 b 2m + 3 = = −1. 2a 2m 3 mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (3) có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. Ta có ∆0 = (m + 3)2 − m(m + 1) = 5m + 9. Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® a 6= 0 ∆0 > 0 ® ⇔ m 6= 0 m > − 9 . 5 √ √ −b0 ± ∆ m + 3 ± 5m + 9 = = . a m+2 5m + 9 > 0 Khi đó phương trình (3) có nghiệm phân biệt là x1,2 ⇔  m 6= 0 4 (m − 1)x2 + 7x − 12 = 0 (4) có nghiệm. Tính các nghiệm này. 12 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m = 1. Thay vào phương trình (4) ta được 7x − 12 = 0 ⇔ x = . 7 12 Suy ra phương trình có một nghiệm x = . 7 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 1. Ta có ∆ = 72 − 4(m − 1)(−12) = 48m − 1. Phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi  ® ® m 6= 1 a 6= 0 m 6= 1 ⇔ ⇔ m > 1 . ∆>0 48m − 1 > 0 48 Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là √ √ −b ± ∆ −7 ± 48m − 1 x1,2 = = . 2a 2(m − 1) Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 146 1 x2 + 2(m + 1)x + m2 + 7 = 0. 2 (2 − m)x2 − 4x + 3 = 0. ý Lời giải. 1 x2 + 2(m + 1)x + m2 + 7 = 0 (1). Ta có ∆0 = (m + 1)2 − (m2 + 7) = 2m − 6. ○ Nếu ∆0 < 0 ⇔ 2m − 6 < 0 ⇔ m < 3 thì phương trình (1) vô nghiệm. ○ Nếu ∆0 = 0 ⇔ 2m − 6 = 0 ⇔ m = 3 thì phương trình (1) có nghiệm kép x=− b = −(m + 1) = −4. 2a ○ ∆0 > 0 ⇔ 2m − 6 > 0 ⇔ m > 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ −b0 ± ∆ x1,2 = = −m − 1 ± 2m − 6. a 2 (2 − m)x2 − 4x + 3 = 0 (2). 3 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ 2 − m = 0 ⇔ m = 2. Thay vào phương trình (2) ta được −4x + 3 = 0 ⇔ x = . 4 3 Suy ra phương trình có một nghiệm x = . 4 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 3. Ta có ∆0 = 22 − 3(2 − m) = 3m − 2. ® ® a 6= 0 m 6= 2 2 ○ Nếu ⇔ ⇔ m < thì phương trình (2) vô nghiệm. 0 3 ∆ <0 3m − 2 < 0 ® ® a 6= 0 m 6= 2 2 ○ Nếu ⇔ ⇔ m = thì phương trình (2) có nghiệm kép 0 3 ∆ =0 3m − 2 = 0 x=− ® ○ Nếu a 6= 0 ∆0 > 0 ® ⇔ 2 3 b = = . 2a 2−m 2  m 6= 2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 2 3m − 2 > 0 3 √ √ −b0 ± ∆ 2 ± 3m − 2 x1,2 = = . a 2−m m 6= 2 d Dạng 3. Định lí Vi-ét Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì S = x1 + x2 = − 1 Phương trình 7×2 − 2x + 3 = 0 có S = − ! b 2 3 = và P = là SAI vì phương trình này vô nghiệm. a 7 7 2 Phương trình x2 − 2x − 5 = 0 có S = − nghiệm. b c và P = x1 · x2 = . a a b = 2 và P = −5 là ĐÚNG vì phương trình này có a Tìm hiểu thêm về định lí Viete cho phương trình bậc 3 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Bài 2. Giải và biện luận theo tham số m phương trình h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 147 Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 và x3 thì  b  x 1 + x 2 + x 3 = −   a   c x1 · x2 + x2 · x3 + x3 · x1 =  a     x 1 x 2 x 3 = − d . a 1 VÍ DỤ # Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình x2 + mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5. Tính nghiệm còn lại. ý Lời giải. Vì phương trình x2 + mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5 nên ta có 52 + 5m + 15 = 0 ⇔ m = −8. Với m = −8, ta có phương trình 2 x − 8m + 15 = 0 ⇔ ñ x=3 x = 5. Vậy nghiệm còn lại là x = 5. # Ví dụ 2. Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 − mx + 36 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa hệ thức 1 1 5 . + = x1 x2 12 ý Lời giải. 2 2 ñ m ≤ −12 Phương trình x − mx + 36 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 khi và chỉ khi m − 4 · 36 ≥ 0 ⇔ . m ≥ 12 ® x1 + x2 = m Áp dụng định lí Viete, ta có x1 ẋ2 = 36. Khi đó, x1 + x2 m 5 1 5 5 1 ⇔ ⇔ = ⇔ m = 15 (thỏa mãn). + = = x1 x2 12 x1 · x2 12 36 12 Vậy m = 15. # Ví dụ 3. Tìm tham số m để phương trình mx2 + 2(1 − m)x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa hệ thức x1 + 2×2 = 2. ý Lời giải. Phương trình mx2 + 2(1 − m)x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 khi và chỉ khi  ® ® m 6= 0 m 6= 0 m 6= 0 √ √ ⇔ ⇔ 2− 6 2 + 6 2 2  (1 − m) − 3m(m − 2) ≥ 0 − 2m + 4m + 1 ≥ 0 ≤m≤ . 2 2  m−1  x 1 + x 2 = m Áp dụng định lí Viete, ta có  x · x = 3(m − 2) . 1 2 m   2  m − 1 x + x = x 1 = − 1 2 m m , ta có Từ hệ phương trình,   x 2 = m + 1 . x1 + 2×2 = 2 m Suy ra 3(m − 2) 2 m+1 3(m − 2) x1 · x2 = ⇔− · = ⇔ 3m2 − 4m + 2 = 0( vô nghiệm). m m m m Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 148 1 Giải phương trình khi m = 1. 2 Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lịa của phương trình. 3 Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó theo m. ý Lời giải. 1 Với m = 1, ta có phương trình Vậy S = { √ 1± 5 }. 2 √  1− 5 x = 2√ x2 − x − 1 = 0 ⇔   1+ 5 x= . 2 2 Vì phương trình x2 − x + m − 2 = 0 có nghiệm bằng 2 nên ta có 22 − 2 + m − 2 = 0 ⇔ m = 0. Với m = 0, ta có phương trình 2 x −x−2=0⇔ ñ x = −1 x = 2. Nghiệm còn lại của phương trình là x = −1. 3 Phương trình x2 − x + m − 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆ = 0 ⇔ 1 − 4(m − 2) = 0 ⇔ m = 1 đó, nghiệm kép của phương trình là x = − . 2 2 9 . Khi 4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 8. Tìm tham số m để phương trình (m − 1)x2 − 2(m + 1)x − 1 = 0 có một nghiệm là 3. Tính nghiệm còn lại. ý Lời giải. Phương trình (m − 1)x2 − 2(m + 1)x − 1 = 0 có một nghiệm là 3 nên ta có (m − 1)32 − 6(m + 1) − 1 = 0 ⇔ 3m − 16 = 0 ⇔ m = Với m = 16 . 3 16 , ta có phương trình 3  x=3 13 2 38 x − x−1=0⇔ 1 . 3 3 x=− 13 16 . 3 Bài 9. Tìm tham số m để phương trình Vậy m = 1 x2 − 2mx + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x21 + x22 + 3×1 x2 = 5. 2 x2 − (m + 2)x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x2 9 x1 + = . x2 x1 2 3 x2 − 4x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x31 + x32 = 40. 4 x2 − (m + 1)x + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x1 = 3×2 . ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # Ví dụ 4. Tìm tham số m để phương trình x2 − x + m − 2 = 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 149 1 Phương trình x2 − 2mx + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi và chỉ khi 2 m − (3m − 2) > 0 ⇔ ® Áp dụng định lí Viete, ta có x1 + x2 = 2m x1 x2 = 3m − 2 ñ m<1 m > 2. . Khi đó,  m=1 2 x21 + x22 + 3×1 x2 = 5 ⇔ (x1 + x2 ) + x1 x2 = 5 ⇔ 4m2 + 3m − 2 = 5 ⇔  7 m=− 4 7 Vậy m = − . 4 (loại) (thỏa mãn). 2 Phương trình x2 − (m + 2)x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi và chỉ khi √ 2 m < −2 − 2 (m + 2)2 − 8 > 0 ⇔ √ m > −2 + 2 2. ” ® Áp dụng định lí Viete, ta có x1 + x2 = m + 2 x1 x2 = 2 . Khi đó, 2 x1 (x1 + x2 ) − 2×1 x2 x2 9 9 + = ⇔ = x2 x1 2 x1 x2 2 2 9 (m + 2) − 4 = ⇔ (m + 2)2 = 13 ⇔ 2 ” √ 2 m = −2 − 13 (thỏa mãn) ⇔ √ m = −2 + 13 (thỏa mãn). Vậy m = −2 ± √ 13. 3 Phương trình x2 − 4x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi và chỉ khi 4 − (m − 1) > 0 ⇔ m < 5. ® Áp dụng định lí Viete, ta có x1 + x2 = 4 x1 x2 = m − 1 . Khi đó, 3 x31 + x32 = 40 ⇔ (x1 + x2 ) − 3x1 x2 · (x1 + x2 ) = 40 43 − 12(m − 1) = 40 ⇔ m = 3 (thỏa mãn). ⇔ Vậy m = 3. 4 Phương trình x2 − (m + 1)x + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi và chỉ khi √ m < −1 − 2 10 (m + 1) − 40 > 0 ⇔ √ m > −1 + 2 10. ” 2 ® Áp dụng định lí Viete, ta có x1 + x2 = m + 1 .  3m + 3 ®  x1 = x1 + x2 = m + 1 4 Từ hệ phương trình , ta có  x1 = 3×2 x2 = m + 1 . 4 Suy ra x1 x2 = 10 √  −3 + 4 30 m =  3√ x1 x2 = 10 ⇔ 3(m + 1)2 = 160 ⇔ 3m2 + 6m − 157 = 0 ⇔   −3 − 4 30 m= 3 √ −3 ± 4 30 Vậy m = . 3 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie (thỏa mãn) (thỏa mãn) # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 150 √ A=B Phương pháp giải toán √ Biến đổi phương trình về dạng A = B. Cách1. Sử dụng phép ® biến đổi tương đương. √ B≥0 A=B⇔ A = B2. Cách2. Sử dụng phép biến đổi hệ quả. √ • A = B ⇒ A = B2. (1) • Giải phương trình (1) tìm được ẩn số x và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1 VÍ DỤ # Ví dụ 1. Giải phương trình √ 4×2 + 2x + 10 − 3x = 1. ý Lời giải. Ta có p 4×2 + 2x + 10 − 3x = 1 ⇔ p ® 4×2 + 2x + 10 = 3x + 1 ⇔ 3x + 1 ≥ 0 4×2 + 2x + 10 = (3x + 1)2  1    x≥−   3  x ≥ − 1 3 x = 1 (nhận) ⇔ ⇔   2  5x + 4x − 9 = 0    x = − 9 (loại). 5 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. # Ví dụ 2. Giải phương trình p 2x + √ 6×2 + 1 = x + 1. ý Lời giải. Ta có ( x+1≥0 p ⇔ 2x + 6×2 + 1 = (x + 1)2 ® ® ® x ≥ −1 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 4 2 6x + 1 = (x + 1) x − 4x = 0 x2 (x2 − 4) = 0   x ≥ −1     xñ ≥ −1  x = 0 (nhận) x2 = 0 ⇔ ⇔     2   x = 2 (nhận)  x −4=0 x = −2 (loại). » p 2x + 6×2 + 1 = x + 1 ⇔ Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2. √ # Ví dụ 3. Giải phương trình x + 3 x2 − 3 = 7. ý Lời giải. ( x ≥ −1 p 6×2 + 1 = x2 + 1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie d Dạng 4. Phương trình vô tỷ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 151 Ta có  7−x    3 ≥0 p p 7 − x Å ã x + 3 x2 − 3 = 7 ⇔ x2 − 3 = ⇔ 7−x 2  3  x 2 − 3 = 3  x ≤ 7    √   ® ®   −7 + 3 73 x≤7 7−x≥0 (nhận) ⇔ x = ⇔ ⇔ 8√  4×2 + 7x − 38 = 0 9(x2 − 3) = (7 − x)2      x = −7 − 3 73 (nhận).  8 √ √ −7 + 3 73 −7 − 3 73 Vậy nghiệm của phương trình là x = và x = . 8 8 √ x+1 # Ví dụ 4. Giải phương trình = 2. x−2 ý Lời giải.® Điều kiện: x+1≥0 x − 2 6= 0 ® ⇔ x ≥ −1 x 6= 2. Ta có √ ® √ x−2≥0 x+1 = 2 ⇔ x + 1 = 2(x − 2) ⇔ x−2 x + 1 = 4(x − 2)2  x≥2  ®   x≥2 x = 3 (nhận) ⇔ ⇔   4×2 − 17x + 15 = 0   x = 5 (loại). 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. # Ví dụ 5. Giải phương trình ý Lời giải.® Điều kiện: x+1≥0 4−x≥0 ® ⇔ √ x ≥ −1 x+1· √ 4 − x = 2. ⇔ −1 ≤ x ≤ 4. x≤4 Ta có √ ⇔ √ » 4 − x = 2 ⇔ (x + 1) · (4 − x) = 2 ⇔ (x + 1) · (4 − x) = 4 ñ x = 0 (nhận) −x2 + 3x = 0 ⇔ x = 3 (nhận). x+1· Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 3. 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các phương trình sau: √ 1 x + 5x + 10 = 8 2 x− √ 3 2x − 2x + 7 = 4 √ −x2 + 6x − 5 = 6 ý Lời giải. a) Ta có x+ √ 5x + 10 = 8 ⇔ √ ® 5x + 10 = 8 − x ⇔  ®  xñ ≤ 8 x≤8 ⇔ ⇔ x = 3 (nhận)  x2 − 21x + 54 = 0  x = 18 (loại). Vậy nghiệm của phương trình là x = 3. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 8−x≥0 5x + 10 = (8 − x)2 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 152 x− √ 2x + 7 = 4 ⇔ √ ® 2x + 7 = x − 4 ⇔ x−4≥0 2x + 7 = (x − 4)2  ®  xñ ≥ 4 x≥4 ⇔ ⇔ x = 9 (nhận)  x2 − 10x + 9 = 0  x = 1 (loại). Vậy nghiệm của phương trình là x = 9. c) Ta có p p 2x − −x2 + 6x − 5 = 6 ⇔ −x2 + 6x − 5 = 2x − 6 ⇔ ® 2x − 6 ≥ 0 − x2 + 6x − 5 = (2x − 6)2   x ≥ 3  √   ®   15 + 2 5 x≥3 (nhận) ⇔ x = ⇔ 5 √   5×2 − 30x + 41 = 0       x = 15 − 2 5 (loại). 5 √ 15 + 2 5 Vậy nghiệm của phương trình là x = . 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: p √ 2x + 6×2 + 1 = x + 1 1 2 p x+ √ √ 5x + 10 = 2 2 3 p √ x2 + x + 8 − x = 1 ý Lời giải. a) Ta có ⇔ ⇔ ( ( » p x+1≥0 x ≥ −1 2 p 2x + 6x + 1 = x + 1 ⇔ ⇔ p 2 2 2x + 6x + 1 = (x + 1) 6×2 + 1 = x2 + 1 ® ® ® x ≥ −1 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ 2 2 2 4 2 6x + 1 = (x + 1) x − 4x = 0 x2 (x2 − 4) = 0   x ≥ −1   x ≥ −1    x = 0 (nhận) ñ x2 = 0 ⇔    x = 2 (nhận)  2    x −4=0 x = −2 (loại). Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2. b) Ta có √ √ √ 5x + 10 = 2 2 ⇔ x + 5x + 10 = 8 ⇔ 5x + 10 = 8 − x  ® ®  xñ ≤ 8 8−x≥0 x≤8 ⇔ ⇔ ⇔ x = 3 (nhận)  5x + 10 = (8 − x)2 x2 − 21x + 54 = 0  x = 18 (loại). » x+ √ Vậy nghiệm của phương trình là x = 3. c) Ta có ® x+1≥0 √ x2 + x + 8 = (x + 1)2    x ≥ − 1  x ≥ −1   x ≥ −1 ®    2    x ≥ −1 1 x = 1 (nhận) √ ⇔ ⇔ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x≥− ⇔    x + 8 = 2x + 1      2 2   x + 8 = (2x + 1)2  x = − 7 (loại). 4x + 3x − 7 = 0 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. » x2 + √ x+8−x=1⇔ » x2 + √ x+8=x+1⇔ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie b) Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam √ A= √ 153 B Phương pháp giải Cách 1. Sử dụng phép ® biến đổi tương đương. √ √ A ≥ 0 (hoặc B ≥ 0) A= B⇔ A=B Cách 2. Sử dụng phép biến đổi hệ quả. √ √ • A= B⇒A=B (1) • Giải phương trình (1) tìm được ẩn số x và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1 VÍ DỤ # Ví dụ 1. Giải phương trình √ 2×2 − 5x + 2 − √ 6 − 3x = 0. ý Lời giải. Ta có p 2×2 − 5x + 2 − √ p √ 6 − 3x = 0 ⇔ 2×2 − 5x + 2 = 6 − 3x ⇔ ® 6 − 3x ≥ 0 2×2 − 5x + 2 = 6 − 3x  ®  xñ ≤ 2 x≤2 ⇔ ⇔ x = −1 (nhận)  x2 − x − 2 = 0  x = 2 (nhận). Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 và x = 2. # Ví dụ 2. Giải phương trình √ √ x2 + 3x = 2 3x − 2. ý Lời giải.  2   x≥  2   √ 3x − 2 ≥ 0 3 √ x≥ 3 Ta có x2 + 3x = 2 3x − 2 ⇔ ⇔ ⇔ ñx = 1 (nhận) 2   x + 3x = 4(3x − 2)  x2 − 9x + 8 = 0  x = 8 (nhận). Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 8. ® 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các phương trình sau: 1 √ 2x − 1 − √ 1√ x + 3 = 0. 2 2 x2 + 3x = p √ 2(x + 1). 3 2×2 − 3x + 4 = ý Lời giải. a) Ta có √ ® ⇔ 2x − 1 − 1√ 2 x+3=0⇔ x ≥ −3 4(2x − 1) = x + 3 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® ⇔ √ 2x − 1 = x ≥ −3 7x − 7 = 0 ⇔ 1√ 2 ® x+3⇔ x ≥ −3 x = 1.  x + 3 ≥ 0 2x − 1 = 1 (x + 3) 4 3√ x + 5. 2 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 154 » p x2 + 3x = 2(x + 1) ⇔ ® ® 2(x + 1) ≥ 0 x2 + 3x = 2(x + 1) ⇔   xñ ≥ −1 ⇔ x = 1 (nhận)  x2 + x − 2 = 0  x = −2 (loại). x+1≥0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. c) Ta có ⇔  ® x + 5 ≥ 0 p √ x ≥ −5 3 2 ⇔ 2x − 3x + 4 = x+5⇔ 9 2 2x − 3x + 4 = (x + 5) 2 4(2×2 − 3x + 4) = 9(x + 5) 4  x ≥ −5  ®   x ≥ −5 x = −1 (nhận) ⇔   8×2 − 21x − 29 = 0   x = 29 (nhận). 8 Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 và x = Bài 2. Giải các phương trình sau: √ √ 1 2×2 + x − 3 = 0. p 2 2 29 . 8 (x + 1)2 + 7 = p 7(x + 5). 3 p √ (x + 1)(x − 3) − x = 0. ý Lời giải. a) Ta có  x=1 p p √ √ 2×2 + x − 3 = 0 ⇔ 2×2 + x = 3 ⇔ 2×2 + x = 3 ⇔ 2×2 + x − 3 = 0 ⇔  3 x=− . 2 3 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = − . 2 b) Ta có ® ® » » 7(x + 5) ≥ 0 x+5≥0 2 ⇔ 2 (x + 1) + 7 = 7(x + 5) ⇔ 2 4[(x + 1) + 7] = 7(x + 5) 4(x2 + 2x + 8) = 7x + 35  x ≥ −5  ®   x ≥ −5 x = −1 (nhận) ⇔ ⇔   4×2 + x − 3 = 0   x = 3 (nhận). 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 và x = 3 . 4 c) Ta có ® » √ x≥0 (x + 1)(x − 3) − x = 0 ⇔ (x + 1)(x − 3) = x ⇔ (x + 1)(x − 3) = x  x≥0    √   ®   3 + 21 x≥0 (nhận) ⇔ ⇔ x = 2√   x2 − 3x − 3 = 0       x = 3 − 21 (loại). 2 √ 3 + 21 Vậy nghiệm của phương trình là x = . 2 » √ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie b) Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 155 ! Thiếu dạng 3,4,5,6,7,8 NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP (NÂNG CAO) 1 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN # Ví dụ 1. Giải phương trình 3 2 + √  √ x − 2 = 2x + x + 6. ý Lời giải. ® x−2≥0 ⇔ x ≥ 2. x+6≥0  √ √ √ √ ○ Ta có 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6 ⇔ 2 (3 − x) = x + 6 − 3 x − 2. (∗) √ √ ○ Nhân hai vế của phương trình cho x + 6 + 3 x − 2 6= 0 ta được: î√ ó √ (∗) ⇔ 2 (3 − x) x + 6 + 3 x − 2 = (x + 6) − 9(x − 2) ó î√ √ ⇔ 2 (3 − x) x + 6 + 3 x − 2 = 8(3 − x) ñ x=3 ( thỏa x ≥ 2) √ √ ⇔ x + 6 + 3 x − 2 = 4. (1) » (1) ⇔ (x + 6) + 9(x − 2) + 6 (x + 6)(x − 2) = 16 ® p 14 − 5x ≥ 0 2 ⇔ 3 x + 4x − 12 = 14 − 5x ⇔ 9(x2 + 4x − 12) = (14 − 5x)2   14  √  x ≤ 14 x ≤ 11 − 3 5 5 √ 5 ⇔x= ( thỏa x ≥ 2). ⇔ ⇔   2 11 ± 3 5  16×2 − 176x + 304 = 0 x = 2 ○ Điều kiện cho phương trình có nghĩa: √ 11 − 3 5 ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 hay x = . 2 Bài 1. Giải phương trình sau. a. b. √ √ 4x + 1 − √ 3x − 2 = 3×2 − 5x + 1 − √ x+3 5 x2 − 2 = p 3(x2 − x − 1) − √ x2 − 3x + 4. Lời giải: a. √ 4x + 1 − √ 3x − 2 = x+3 5  1  x ≥ − 4x + 1 ≥ 0 2 4 ○ Phương trình xác định khi và chỉ khi ⇔ ⇔x≥ . 2  3 3x − 2 ≥ 0 x ≥ 3 √ √ ○ Nhân hai vế của phương trình cho 4x + 1 + 3x − 2. Ta được ® ä √ x + 3 Ä√ 4x + 1 + 3x − 2 Å5 äã √ 1 Ä√ (x + 3) · 1 − 4x + 1 + 3x − 2 = 0 5 x+3= ⇔ Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 156 Giải (2): √ √ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 p ⇔ 2 12×2 − 5x − 2 = 26 − 7x ® 26 − 7x ≥ 0 ⇔ 4(12×2 − 5x − 2) = 49×2 − 364x + 676  x ≤ 26 7 ⇔  2 x − 344x + 684 = 0  26   x ≤ 7 ñ ⇔ x = 342 (l) ⇔ x = 2.    x=2 (n) b. √ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. p √ √ 3×2 − 5x + 1 − x2 − 2 = 3(x2 − x − 1) − x2 − 3x + 4.  2 3x − 5x + 1 ≥ 0     x 2 − 2 ≥ 0 ○ Phương trình xác định khi và chỉ khi  3(x2 − x − 1) ≥ 0     2 x − 3x + 4) ≥ 0. Để ý rằng: ○ (3×2 − 5x + 1) − 3(x2 − x − 1) = −2(x − 2). ○ (x2 − 2) − (x2 − 3x + 4) = 3(x − 2). Do đó phương trình đã cho được biến đổi như sau: » p p p 3×2 − 5x + 1 − 3(x2 − x − 1) = x2 − 2 − x2 − 3x + 4 Nhân lượng liên hợp cho vế trái và nhân lượng liên hợp cho vế phải. Ta có 3(x − 2) −2(x − 2) p √ =√ 2 2 x − 2 + x2 − 3x + 4 − 5x + 1 + 3(x − x − 1) Ç å −2 3 p √ √ √ ⇔ (x − 2) − =0 x2 − 2 + x2 − 3x + 4 3×2 − 5x + 1 + 3(x2 − x − 1)   (n) x − 2 = 0 ⇔ x = 2 −2 3 ⇔ √ p  −√ = 0 (1) √ 2 2 2 x − 2 + x2 − 3x + 4 3x − 5x + 1 + 3(x − x − 1) √ 3×2 Dễ thấy (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. # Ví dụ 2. Giải phương trình √ x2 + 12 + 5 = 3x + √ x2 + 5. ý Lời giải. Nhận xét ○ Dùng máy tính cầm tay nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có thể phân tích thành (x − 2) · P (x) = 0. Để thực hiện điều đó, ta biến đổi sao cho mỗi biểu thức trong phương trình đều xuất hiện thừa số x − 2 bằng cách: √ √ √ • Thế x = 2 vào biểu thức x2 + 12 ta được: x2 + 12 = 22 + 12 = 4. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ⇔  x = −3 (l) (1)  ä √ 1 Ä√ 1− 4x + 1 + 3x − 2 = 0 (2) 5 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 157 • Thế x = 2 vào biểu thức 3x ta được: 3 · x = 3 · 2 = 6. √ √ √ • Thế x = 2 vào biểu thức x2 + 5 ta được: x2 + 5 = 22 + 5 = 3. Từ đó có hướng biến đổi hằng số 5 trong phương trình thành: Äp ä Äp ä p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ⇔ x2 + 12 − 4 = (3x − 6) + x2 + 5 − 3 . Giải ○ Phương trình đã cho xác định trên R. ○ Ta có: p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 Äp ä Äp ä ⇔ x2 + 12 − 4 = (3x − 6) + x2 + 5 − 3 x2 − 4 x2 − 4 = 3(x − 2) + √ + 12 + 4 x2 + 5 + 3 ã Å x+2 x+2 −√ −3 =0 ⇔ (x − 2) √ x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3  x=2  ⇔ x+2 x+2 √ −√ − 3 = 0. (1) x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 ⇔ √ x2 ○ Từ phương trình đã cho ta lại có: p p p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ⇔ x2 + 12 − x2 + 5 = 3x − 5. √ √ 5 x2 + 5 nên điều kiện để phương trình có nghiệm là 3x − 5 > 0 ⇔ x > . 3 √ √ Suy ra x + 2 > 0 và hiển nhiên x2 + 12 + 4 > x2 + 5 + 3 x+2 x+2 −√ − 3 < 0, nghĩa là phương trình (1) vô nghiệm. Do đó: √ x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 Vì x2 + 12 > ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 3 √ √ 3x + 1 − x+3= √ 6 − x + 3×2 − 14x − 8 = 0. 1 7 x− + 5. 2 2x 2 √ 4 √ 3 1 7 1 2 + = . + 2x 4 x − 1 x2 x+8+ √ x2 + 1 + √ x + x2 = 1 + 2. x+1 ý Lời giải. √ √ 1. 3x + 1 − 6 − x + 3×2 − 14x − 8 = 0. 1 ○ Phương trình đã cho xác định khi − ≤ x ≤ 6. 3   √ √ ○ Phương trình ⇔ 3x + 1 − 4 − 6 − x − 1 + (3×2 − 14x − 5) = 0. ⇔ ⇔ ⇔ 3x − 15 5−x −√ + (x − 5)(3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6−x+1 Å ã 3 1 (x − 5) √ +√ + (3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6−x+1  x−5=0⇔x=5 (n)  3 1 √ +√ + (3x + 1) = 0 (VN do vế trái ≥ 0). 3x + 1 + 4 6−x+1 √ ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 5. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 158 1 2 7 1 + 2+ = . 2x 4 x−1 x ® ○ Phương trình đã cho xác định khi x>1 x 6= 0. 2 ○ Phương trình ⇔ √ 1 3x − 2x − 8 −1= . 4×2 x−1 √ 1− x−1 3×2 − 2x − 8 √ ⇔ = 4×2 x−1 2−x (x − 2)(3x + 4) = √ ⇔ √ 4×2 x−1 1+ x−1 Ç å 3x + 4 1  =0 √ ⇔ (x − 2) +√ 4×2 x−1 1+ x−1  x−2=0⇔x=2 1 ⇔  3x + 4  = 0 (VN do vế trái ≥ 0). √ +√ 2 4x x−1 1+ x−1 ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. 3. √ x+3= 1 7 x− + 5. 2 2x ® ○ Phương trình đã cho xác định khi ○ Phương trình ⇔ √ x ≥ −3 x 6= 0. 1 7 x+3−2= x− + 3. 2 2x x−1 x2 + 6x − 7 ⇔ √ = 2x x+3+2 x−1 (x − 1)(x + 7) ⇔ √ = 2x x+3+2 Å ã 1 x+7 − ⇔ (x − 1) √ =0 2x x+3+2  x−1=0⇔x=1 (n) ⇔  x+7 1 √ − =0 (VN). 2x x+3+2 ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1. √ √ √ 1 4. 3 x + 8 + x2 + 1 + x + x2 = + 2. x+1 ® x≥0 ○ Phương trình đã cho xác định khi x 6= −1. Ä√ ä   √ √ x2 + 1 − 1 + x + x2 = ○ Phương trình ⇔ 3 x + 8 − 2 + 1 − 1. x+1 Ä√ ä Äp ä  √ 1 3 ⇔ x+8−2 + x2 + 1 − 1 + x + x2 = −1 x+1 x x2 x − x2 x √ √ ⇔ + + + =0  √ √ 2 2 2 3 3 x+1 x−x x +1+1 x+8 +2 x+8+4 ! 1 1−x x 1 ⇔ x +√ =0 +√ + 2 √ √ 3 x+1 x − x2 x2 + 1 + 1 x+8 +23x+8+4  x=0  1 x 1−x 1 ⇔  +√ +√ + =0 (VN). 2 √ √ 2 2 3 3 x+1 x−x x +1+1 x+8 +2 x+8+4 ○ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2. √ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam # Ví dụ 3. Giải phương trình √ 3x + 1 + √ 159 5x + 4 = 3×2 − x + 3. ý Lời giải. Nhận xét ○ Dùng máy tính cầm tay nhận thấy x = 0 hay x = 1 là hai nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có thể phân tích thành x · (x − 1) · P (x) = 0. Để thực hiện điều đó, ta biến đổi sao cho mỗi biểu thức trong phương trình đều xuất hiện thừa số x(x − 2) bằng cách: ® ® √ 1=n n=1 ⇔ • Xét 3x + 1 = mx + n. Thế x = 0 và x = 1 ta được 2=m+n m = 1. ® ® √ 2=q q=2 • Xét 5x + 4 = px + q. Thế x = 0 và x = 1 ta được ⇔ 3=p+q p = 1. Giải 1 ○ Phương trình đã cho xác định khi x ≥ − . 3 ○ Ta có: √ √ 3x + 1 + 5x + 4 = 3×2 − x + 3. ó î√ ó î√ 3x + 1 − (x + 1) + 5x + 4 − (x + 2) = (3×2 − x + 3) − (x − 1) − (x − 2) ⇔ (3x + 1) − (x + 1)2 (5x + 4) − (x + 2)2 √ + √ = 3×2 − 3x 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) −x2 + x −x2 + x ⇔ √ +√ = 3(x2 − x) 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) ï ò 1 1 ⇔ (−x2 + x) √ +√ +3 =0 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2)  2 −x +x=0 ⇔  1 1 √ +√ + 3 = 0 ( vô nghiệm vì V T > 0) 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) ñ x=0 ⇔ x = 1. ⇔ ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ñ x=0 x = 1. Bài 3. Giải các phương trình sau: a. √ x2 + 3x − 9 + √ 3x − 5 = x2 − 2x + 2, biết x ≥ 5 . 3 √ √ b. 5 x + 3 + 5 3x − 2 = 5×2 − 31x + 41. √ √ √ c. 4 3x − 2 + 4 10 − x + 4 5x + 4 = 4×2 − 37x + 61. √ √ d. 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x2 + 6x + 13. √ e. (x + 3) x2 + x + 2 = x2 + 3x + 4. ý Lời giải. a. √ x2 + 3x − 9 + √ 3x − 5 = x2 − 2x + 2, biết x ≥ 1 ○ Phương trình đã cho xác định khi x ≥ − . 3 ñ x=2 ○ Nhận thấy là nghiệm x=3 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 5 . 3 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 160 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ î√ ó √  x2 + 3x − 9 − (2x − 3) + 3x − 5 − (x − 1) = x2 − 5x + 6. 3x − 5 − (x − 1)2 x2 + 3x − 9 − (2x − 3)2 √ +√ = x2 − 5x + 6 3x − 5 + (x − 1) x2 + 3x − 9 + (2x − 3) −3×2 + 15x − 18 −x2 + 5x − 6 √ +√ = x2 − 5x + 6 2 3x − 5 + (x − 1) x + 3x − 9 + (2x − 3) å Ç 1 3 2 +1 =0 (x − 5x + 6) √ +√ 3x − 5 + (x − 1) x2 + 3x − 9 + (2x − 3)  2 x − 5x + 6 = 0  3 1 √ +√ + 1 = 0 ( vô nghiệm vì V T > 0)) 2 3x − 5 + (x − 1) x + 3x − 9 + (2x − 3) ñ x = 3 (n) x = 2 (n). ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 hoặc x = 2. √ √ b. 5 x + 3 + 5 3x − 2 = 5×2 − 31x + 41. ñ x=1 ○ Nhận thấy là nghiệm. x=6   √   √ ○ Phương trình ⇔ 5 x + 3 − (x + 9) + 5 3x − 2 − (3x + 2) = 5×2 − 35x + 30. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −x2 + 7x − 6 −9×2 + 63x − 54 √ + √ = 5×2 − 35x + 30 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) − (x − 1) (x − 6) −9 (x − 1) (x − 6) √ + √ = 5 (x − 1) (x − 6) 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) ã Å 9 1 + √ =0 (x − 1) (x − 6) 5 + √ 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2)  x = 1(n) x = 6(n)    1 9 5+ √ + √ =0 (VN). 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 6. √ √ √ c. 4 3x − 2 + 4 10 − x + 4 5x + 4 = 4×2 − 37x + 61. ñ x=1 ○ Nhận thấy là nghiệm x=9 ○ Phương  √ trình   √   √  ⇔ 4 3x − 2 − (2x + 2) + 4 10 − x − (−x + 13) + 4 5x + 4 − (2x + 10) = 4×2 − 40x + 36. −4×2 + 40x − 36 −x2 + 10x − 9 −4×2 + 40x − 36 √ + √ + √ = 4×2 − 40x + 36 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10 Å ã  4 1 4 ⇔ x2 − 10x + 9 4 + √ + √ + √ =0 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10  x=1 (n)  (n) x = 9 ⇔   4 1 4 4+ √ + √ + √ =0 (VN). 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10 ⇔ ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 9. √ √ d. 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x2 + 6x + 13. ñ x=0 ○ Nhận thấy là nghiệm x = −1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ○ Phương trình ⇔ h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 161  √   √  ○ Phương trình ⇔ 2 3x + 4 − (2x + 4) + 3 5x + 9 − (3x + 9) = x2 + x. ⇔ ⇔ ⇔ −4×2 − 4x −9×2 − 9x + √ = x2 + x 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9 Å ã  9 4 x2 + x 1 + √ + √ =0 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9  x=0 (n)  (n) x = −1   4 9 1+ √ + √ = 0 (V N ). 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9 √ ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1 hoặc x = 0. √ e. (x + 3) x2 + x + 2 = x2 + 3x + 4. ñ x=1 ○ Nhận thấy là nghiệm x = −2 ○ Phương trình ⇔ √ x2 + x + 2 = √ x2 + 3x + 4 x2 + 3x + 4 ⇔ x2 + x + 2 − 2 = − 2. x+3 x+3 x2 + x − 2 x2 + x − 2 = x+3 x2 + x + 2 + 2 ã Å  1 1 2 ⇔ x +x−2 √ − =0 x2 + x + 2 + 2 x + 3  x=1  x = −2 ⇔   1 1 √ − = 0 (V N ) x2 + x + 2 + 2 x + 3 ⇔ √ ○ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = −2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ghi chú: Theo công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01/09/2011 của BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO, từ năm® học 2011, phần “Phương trình ® chứa dấu giá trị tuyệt đối” là nội dung “đọc thêm”. A nếu A ≥ 0 B≥0 |A| = . |A| = B ⇔ . |A| = |B| ⇔ A = ±B. − A nếu A < 0 A = ±B B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Phương trình −2x2 − 4x + 3 = m có nghiệm khi A m ≤ 5. B m ≥ 5. C m > 5. D m < 5. ý Lời giải. Ta có −2x2 − 4x + 3 = m ⇔ 2x2 + 4x + m − 3 = 0 Để phương trình có nghiệm thì ∆0 = 4 − 2(m − 3) ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2 (x + m) = x + m có vô số nghiệm ? A m = ±1. B m = 0 hoặc m = −1. C m = 0 hoặc m = 1. D −1 < m < 1, m 6= 0. ý Lời giải. Ta có m2 (x + m) = x + m ⇔ (m2 − 1)(x + m) = 0 Để phương trình trên có vô số nghiệm thì m = ±1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x2 − 2x − 8 = 0 là A 17. B 20. C 12. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie D 10. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 162 x1 + x2 = 2 . Do đó x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 20 x1 .x2 = −8 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theo định lí Viet ta có Câu 4. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình x2 − 2x − 8 = 0 là A 40. B −40. C 52. D 56. ý Lời giải. ® x1 + x2 = 2 Theo định lí Viet ta có . Do đó x31 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = 56 x1 .x2 = −8 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 5. Phương trình x4 + ( 2 − 3)x2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. " x=0 √ 2 √ √ √ 2 2 4 »√ Ta có x + ( 2 − 3)x = 0 ⇔ x [x − ( 3 − 2)] = 0 ⇔ √ x=± 3− 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Phương trình 1, 5x4 − 2, 6x2 − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Đặt t = x2 ≥ 0, khi đó phương trình đã cho được viết lại 1, 5t2 − 2, 6t − 1 = 0. Dễ thấy phương trình trên có hai nghiệm trái dấu, do đó phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. ñVới giá trị nào của m để phương trình x2 − 2(m − 1)x +ñm2 − 3m = 0 có hai nghiệmñthoả x21 + x22 = 8 ? ñ m=2 m = −2 m=2 m = −2 A B C D . . . . m = −1 m = −1 m=1 m=1 ý Lời giải. Để phương trình có nghiệm là ∆0 = (m − 1)2 − (m2 − 3m) = m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1. ® x1 + x2 = 2(m − 1) Theo định lí Viet ta có . x1 x2 = m2 − 3m ñ m = −1 2 2 2 2 2 2 Ta có x1 + x2 = 8 ⇔ (x1 + x2 ) − 2x1 x2 = 8 ⇔ 2[2(m − 1) − (m − 3m)] = 8 ⇔ m − m − 2 = 0 ⇔ m=2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10 50 Câu 8. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 + = − x−2 x®+ 3 (2 − x)(x + 3) ® ® ® x 6= −2 x 6= 2 x 6= −2 x 6= 2 A . B . C . D . x 6= 3 x 6= −3 x 6= −3 x 6= 3 ý Lời giải.  ®  x − 2 6= 0 x 6= 2 Điều kiện xác định x + 3 6= 0 ⇔  x 6= −3  (x − 2)(x + 3) 6= 0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x 5x + 3 Câu 9. Nghiệm của phương trình + = 1 là x−3 x+3 ñ x=0 A . B x = −1. C x = 0. D x = 1. x=1 ý Lời giải. ñ x=0 2x 5x + 3 Ta có + = 1 ⇔ 2x(x + 3) + (x − 3)(5x + 3) = x2 − 9 ⇔ 6x2 − 6x = 0 ⇔ x−3 x+3 x=1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Câu 10. Cho phương trình x2 − (m − 3)x + m2 − 2m + 7 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 4 1 1 1 1 A m≥ . B m<− . C m> . D m< . 2 2 2 2 ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 163 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = (m − 3)2 − (m2 − 2m + 7) > 0 ⇔ −4m + 2 > 0 ⇔ m < 1 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − m = 0. Tất cả các tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ñ thoả mãn x21 + x22 = 3x1 x2 . ® m=0 m=0 A B C m = 0. D m = 5. . . m=5 m=5 ý Lời giải. Để phương trình có hai®nghiệm phân biệt thì ∆0 = m2 − (m2 − m) = m > 0. x1 + x2 = 2m . Khi đó ta có Theo định lí Viet ta có x1 .x2 = m2 − m ñ m = 0 (loại) x21 + x22 = 3×1 x2 ⇔ (x1 + x2 )2 = 5×1 x2 ⇔ 4m2 = 5(m2 − m) ⇔ m=5 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12. Nghiệm của phương trình |3x − 1| = 5 là A x = 2. B x=  x=2 C  1. x= 3 1 . 3  x=2 D  4. x=− 3 ý Lời giải.  x=2 Dễ thấy rằng |3x − 1| = 5 ⇔  4 x=− 3 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m + 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nhiệm phân biệt x1 , x2 thoả x21 + x22 = 20. ñ ñ m = −3 m=3 . . A B m = 4. C m = −3. D m=4 m = −4 ý Lời giải. Để phương trình có hai®nghiệm phân biệt thì ∆0 = (m − 1)2 − (m2 − 3m + 4) = m − 3 > 0 ⇔ m > 3. x1 + x2 = 2(m − 1) Theo định lí Viet ta có . Khi đó x1 .x2 = m2 − 3m + 4 x21 + x22 2 2 = 20 ⇔ (x1 + x2 ) − 2×1 x2 = 20 ⇔ 2m − 2m − 4 = 20 ⇔ ñ m = −3 m=4 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Phương trình x2 − 2x + m = 0 có nghiệm khi A m ≤ 1. B m ≥ 1. C m ≥ −1. D m ≤ −1. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Phương trình x2 − 2x − m = 0 có nghiệm khi A m ≤ 1. B m ≥ 1. C m ≥ −1. D m ≤ −1. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = 1 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ −1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Phương trình 4×2 − 4x + m + 1 = 0 có nghiệm khi A m ≤ 0. B m ≥ 0. C m ≥ 1. D m ≤ −1. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 = −4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 164 Câu 18. Cho phương trình ax + b = 0. Chọn mệnh đề đúng ? A Nếu phương trình có nghiệm thì a 6= 0. B Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0. C Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0. D Nếu phương trình có nghiệm thì b 6= 0. ý Lời giải.  a 6= 0 ® Phương trình ax + b = 0 có nghiệm khi và chỉ khi  a = 0 . b=0 ® Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi a=0 b 6= 0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi®và chỉ khi ® a 6= 0 a=0 A a = 0. B hoặc . ∆=0 b 6= 0 ® a 6= 0 C a = b = 0. D . ∆=0 ý Lời giải. ® a 6= 0  ∆=0  Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  ® .  a=0 b 6= 0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 20. Phương trình x2 − (2 + 3)x + 2 3 = 0 A Có 2 nghiệm trái dấu. B Có hai nghiệm âm phân biệt. C Có hai nghiệm dương phân biệt. D Vô nghiệm. ý Lời giải. √ Dễ thấy rằng phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 2 nên có hai nghiệm dương phân biệt. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Phương trình x2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi A m > 0. B m < 0. C m ≤ 0. D m ≥ 0. ý Lời giải. Ta có x2 + m = 0 ⇔ x2 = −m. Để phương trình này có nghiệm thì −m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (1). Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ? A Nếu P < 0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu. B Nếu P > 0 và S < 0 thì (1) có hai nghiệm. C Nếu P > 0, S < 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm âm. D Nếu P > 0, S > 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm dương. ý Lời giải. Mệnh đề “Nếu P > 0 và S < 0 thì (1) có hai nghiệm" sai vì phương trình x2 + x + 2021 = 0 vô nghiệm thực ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Cho phương trình ax2 + bx+ c = 0 (với a 6= 0). Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ∆ > 0    ∆ > 0 ∆>0 ∆>0 A . B S<0. C S>0. D .   P >0 S<0   P >0 P >0 ý Lời giải. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 17. Phương trình 4×2 − 4x + m + 1 = 0 vô nghiệm khi A m < 0. B m > 0. C m > 1. D m < 1. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 = −4m < 0 ⇔ m > 0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 165 √ √ √ √ Câu 24. Cho phương trình ( 3 + 1)x2 + (2 − 5)x + 2 − 3 = 0. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A Phương trình vô nghiệm. B Phương trình có hai nghiệm dương. C Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D Phương trình có hai nghiệm âm. ý Lời giải. √ √ 2− 3 Ta có P = √ < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. 3+1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 25. Hai số 1 − 2 và 1 + 2 là hai nghiệm của phương trình A x2 − 2x − 1 = 0. B x2 + 2x − 1 = 0. C x2 + 2x + 1 = 0. D x2 − 2x + 1 = 0. ý Lời giải. √ √ √ √ √ √ Ta có (1 + 2)(1 − 2) = 2 và (1 + 2)(1 − 2) = 3 nên phương trình nhận hai số 1 − 2 và 1 + 2 làm hai nghiệm là x2 − 2x + 3 = 0. √ √ Câu 26. 2 và 3 là hai nghiệm của phương trình √ √ √ √ √ √ A x2 − ( 2 − 3)x − 6 = 0. B x2 − ( 2 + 3)x + 6 = 0. √ √ √ √ √ √ C x2 + ( 2 + 3)x + 6 = 0. D x2 + ( 2 − 3)x − 6 = 0. ý Lời giải. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Phương trình (m2 − m)x + m − 3 = 0 là phương trìnhñbậc nhất khi và chỉ khi ® m 6= 1 m 6= 1 A m 6= 0. B m 6= 1. C . D . m 6= 0 m= 6 0 ý Lời giải. ® m 6= 1 Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất thì m2 − m 6= 0 ⇔ m 6= 0 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai 5 A Phương trình 3x + 5 = 0 có nghiệm là x = − . 3 B Phương trình 0x − 7 = 0 vô nghiệm. C Phương trình 0x + 0 = 0 có tập nghiệm là R. D Phương trình m2 x = 1 có nghiệm duy nhất với mọi m ∈ R. ý Lời giải. Phương trình m2 x = 1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 6= 0 và vô nghiệm khi m = 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Phương trình (a − 3)x + b = 0 vô nghiệm với giá trị a, b là A a = 3, b tuỳ ý. B a tuỳ ý, b = 2. C a = 3, b = 2. ý Lời giải. ® a=3 Phương trình (a − 3)x + b = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi . b 6= 0 D a = 3, b 6= 2. Câu 30. Cho phương trình x2 + 7x − 260 = 0 (1). Biết rằng phương trình có nghiệm x1 = 13. Hỏi x2 bằng bao nhiêu A −27. B −20. C 20. D 8. ý Lời giải. Theo định lí viet ta có x1 + x2 = −7 mà x1 = 13 nên x2 = −20 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 31. Phương trình m2 − 4m + 3 x = m2 − 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi A m 6= 1. B m 6= 3. C m 6= 1 và m 6= 3. D m = 1 và m = 3. ý Lời giải. ®  m 6= 1 Phương trình m2 − 4m + 3 x = m2 − 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m2 − 4m + 3 6= 0 ⇔ m 6= 3. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 32. Phương trình m2 − 2m x = m2 − 3m + 2 có nghiệm khi A m = 0. B m = 2. C m 6= 0 và m 6= 2. D m 6= 0. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 166 ñ m=0   ® 2   m − 2m = 0 m=2  ⇔ ® Phương trình m2 − 2m x = m2 − 3m + 2 vô nghiệm khi và chỉ khi ⇔ m = 0. 2  m 6= 1 m − 3m + 2 6= 0    m 6= 2 Do đó phương trình có nghiệm khi m 6= 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 33. Tìm m để phương trình m2 − 4 x = m(m + 2) có tập nghiệm R. A m = 2. B m = −2. C m = 0. D m 6= −2 và m 6= 2. ý Lời giải. ® 2  m −4=0 2 Phương trình m − 4 x = m(m + 2) có tập nghiệm R khi và chỉ khi ⇔ m = −2. m(m + 2) = 0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 34. Phương trình m2 − 3m + 2 x + m2 + 4m + 5 = 0 có tập nghiệm là R khi A m = −2. B m = −5. C m = 1. D Không tồn tại m. ý Lời giải.  Phương trình m2 − 3m + 2 x + m2 + 4m + 5 = 0 có tập nghiệm là R khi và chỉ khi ñ ® 2   m=1 m − 3m + 2 = 0 m = 2 ⇔ m ∈ ∅. ⇔  m2 + 4m + 5 = 0  m∈∅ ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 35. Phương trình m2 − 5m + 6 x = m2 − 2m vô nghiệm khi A m = 1. B m = 6. C m = 2. D m = 3. ý Lời giải.  Phương trình m2 − 5m + 6 x = m2 − 2m vô nghiệm khi và chỉ khi ñ m=2   ® 2   m=3 m − 5m + 6 = 0 ⇔ m = 3. ⇔ ®  m 6= 0 m2 − 2m 6= 0    m 6= 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 36. Phương trình (m + 1)2 x + 1 = (7m − 5)x + m vô nghiệm khi A m = 2 hoặc m = 3. B m = 2. C m = 1. D m = 3. ý Lời giải. Phương trình (m + 1)2 x + 1 = (7m − 5)x ® + m ⇔ (m2 − 5m + 6)x ñ = m − 1 (1). m=2 m2 − 5m + 6 = 0 Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ⇔ m = 3. m − 1 6= 0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 37. Điều kiện để phương trình m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6 vô nghiệm là A m = 2 hoặc m = 3. B m 6= 2 và m 6= 3. C m 6= 2 hoặc m = 3. D m = 2 hoặc m 6= 3. ý Lời giải. Phương trình m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6 ⇔ mx − m2 + 3m®= mx − 2m + 6 ⇔ 0x = m2 − 5m + 6 (1). m 6= 2 Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi m2 − 5m + 6 6= 0 ⇔ m 6= 3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 38. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có nghiệm khi 5 5 5 A m≥− . B m≤− . C m=− . 4 4 4 ý Lời giải. ○ Với m = 1, ta có 3x − 1 = 0 ⇔ x = 1 (nhận). 3 D m= 5 . 4 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 167 ○ Với m 6= 1, ta có phương trình bậc hai (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi 5 ∆ ≥ 0 ⇔ 9 − 4(m − 1)(−1) ≥ 0 ⇔ 4m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ − . 4 5 Vậy phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có nghiệm khi m ≥ − . 4 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 39. Cho phương trình x2 +2(m+2)x−2m−1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm? A m ≤ −5 hoặc m ≥ −1. B m < −5 hoặc m > −1. C −5 ≤ m ≤ −1. D m ≤ 1 hoặc m ≥ 5. ý Lời giải. Phương trình x2 + 2(m + 2)x − 2m − 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ñ m ≤ −5 0 2 2 ∆ ≥ 0 ⇔ (m + 2) − (−2m − 1) ≥ 0 ⇔ m + 6m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 40. Cho phương trình mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0. Khẳng định nào sau đây sai? A Nếu m > 4 thì phương trình vô nghiệm. √ √ m−2− 4−m m−2+ 4−m B Nếu m ≤ 4 và m 6= 0 thì phương trình có nghiệm x = ,x= . m m 3 C Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x = . 4 3 D Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm kép x = . 4 ý Lời giải. ○ Với m = 0, ta có phương trình: 4x − 3 = 0 ⇔ x = 3 . 4 ○ Với m 6= 0, ta có phương trình bậc hai mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có ∆0 = (m − 2)2 − m(m − 3) = −m + 4. • ∆0 < 0 ⇔ m > 4: Phương trình vô nghiệm. m−2 1 = . m 2 √ √ m−2− 4−m m−2+ 4−m • ∆0 ≥ 0 ⇔ m ≤ 4: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ,x= . m m • ∆0 = 0 ⇔ m = 4: Phương trình có nghiệm kép x = ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 41. Với giá trị nào của m thì phương trình mx2 + 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A m ≤ 4. B m < 4. C m < 4 và m 6= 0. D m 6= 0. ý Lời giải. Phương trình mx2 + 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ® m 6= 0 m 6= 0 m 6= 0 ⇔ ⇔ 0 ∆ >0 −m+4>0 m < 4. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 42. Với giá trị nào của m thì phương trình (m + 1)x2 − 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép? 7 6 6 A m= . B m= . C m=− . D m = −1. 6 7 7 ý Lời giải. Phương trình (m + 1)x2 − 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi  m 6= −1  ® ® ®    m = 6 −1 m = 6 −1 m + 1 6= 0 6 6 ⇔ ⇔ ⇔ m=− ⇔m=− .   7 ∆0 = 0 7 9(m + 1)2 − (m + 1)(2m + 3) = 0 7m2 + 13m + 6 = 0   m = −1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 168 ○ Với m = 2, ta có phương trình x + 2 = 0 ⇔ x = −2 (nhận). ○ Với m 6= 2, phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ = 0 ⇔ −8m + 17 = 0 ⇔ m = 17 . 8 17 . 8 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vậy m = 2 hoặc m = Câu 44. Để hai đồ thị y = −x2 − 2x + 3 và y = x2 − m có hai điểm chung thì A m = −3, 5. B m < −3, 5. C m > −3, 5. D m ≥ −3, 5. ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: −x2 − 2x + 3 = x2 − m ⇔ 2×2 + 2x − m − 3 = 0 (1). Để hai đồ thị có hai điểm chung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > 0 ⇔ 2m + 7 > 0 ⇔ m > − 7 = −3, 5. 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 45. Nghiệm của phương trình x2 − 3x + 5 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số A y = x2 và y = −3x + 5. B y = x2 và y = −3x − 5. 2 C y = x và y = 3x − 5. D y = x2 và y = 3x + 5. ý Lời giải. Ta có x2 − 3x + 5 = 0 ⇔ x2 = 3x − 5. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 46. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 3x − 1 = 0. Ta có tổng x21 + x22 bằng A 8. B 9. C 10. D 11. ý Lời giải. Ta có x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2×1 x2 = 32 − 2(−1) = 11. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 47. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 2×2 − 4x − 1 = 0. Khi đó giá trị của T = |x1 − x2 | bằng √ √ A 2. B 2. C 6. D 4. ý Lời giải. Å ã √ 1 2 2 2 2 = 6. Suy ra T = 6. Ta có T = (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4×1 x2 = 2 − 4 − 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 48. Phương trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) có nghiệm duy nhất với giá trị của m bằng 4 3 10 4 A m= . B m=− . C m 6= − . D m 6= . 3 4 3 3 ý Lời giải. Ta có 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) ⇔ (3m + 10)x = 2m − 7. 10 Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m + 10 6= 0 ⇔ m 6= − . 3 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 49. Tìm m để phương trình m2 − 2 (x + 1) = x + 2 vô nghiệm. √ A m = 0. B m = ±1. C m = ±2. D m = ± 3. ý Lời giải.  Ta có m2 − 2 (x + 1) = x + 2 ⇔ (m2 − 3)x = 4 − m2 vô nghiệm khi và chỉ khi ® m2 − 3 = 0 2 4 − m 6= 0 ® ⇔ √ m=± 3 m 6= ±2 √ ⇔ m = ± 3. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie  Câu 43. Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 − 1 = x(mx + 1) có nghiệm duy nhất? 17 17 A m= . B m = 2 hoặc m = . C m = 2. D m = 0. 8 8 ý Lời giải.  Ta có 2 x2 − 1 = x(mx + 1) ⇔ (m − 2)x2 + x + 2 = 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 169  Câu 50. Tập nghiệm của phương trình m2 − 9 x + 6 − 2m =ß0 trong ™ trường hợp m2 − 9 ß 6= 0 là ™ 2 2 . . A R. B ∅. C D m−3 m+3 ý Lời giải. 2m − 6 2 Với m2 − 9 6= 0, ta cóx = 2 = . m −9 m+3 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 51. Hiện tại tuổi cha của An gấp 3 lần tuổi của An, 5 năm trước tuổi cha An gấp 4 lần tuổi An. Hỏi cha An sinh An lúc bao nhiêu tuổi? A 30. B 25. C 35. D 28. ý Lời giải. Gọi x là số tuổi của An hiện tại (x ∈ N). Suy ra số tuổi của cha An hiện tại là 3x. 5 năm trước tuổi cha An gấp 4 lần tuổi An nên ta có phương trình: 3x − 5 = 4(x − 5). Giải phương trình trên ta được x = 15. Suy ra hiện tại An 15 tuổi và cha An 45 tuổi. Như vậy cách đây 15 năm, cha An sinh ra An nên lúc đó ông 30 tuổi. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 52. Tập nghiệm của phương trình x4 − 5×2 + 4 = 0 là A S = {1, 4}. B S = {1, 2, −2}. C S = {−1, 1, 2, −2}. ý Lời giải. ñ 2 ñ x =1 x = ±1 4 2 Ta có x − 5x + 4 = 0 ⇔ 2 ⇔ x = ±2. x =4 D S = {1, 2}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 53. Tìm giá trị của m để phương trình 2×2 − 3x + m = 0 có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. 1 1 1 1 A m = 1 và x2 = . B m = −1 và x2 = . C m = −1 và x2 = − . D m = 1 và x2 = − . 2 2 2 2 ý Lời giải. Thay x = 1 vào phương trình ta được: 2 · 12 − 3 · 1 + m = 0 ⇔ m = 1. x=1 Khi đó ta có phương trình: 2×2 − 3x + 1 = 0 ⇔  1 x= . 2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 54. Tìm giá trị m để phương trình mx2 − 3x − 5 = 0 có một nghiệm bằng −1. A m = 4. B m = −4. C m = 2. D m = −2. ý Lời giải. Thay x = −1 vào phương trình ta được: m(−1)2 − 3(−1) − 5 = 0 ⇔ m = 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 55. Với giá trị nào của m thì phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu? A m > 1. B m < 1. C Với mọi m. D Không tồn tại m. ý Lời giải. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ (m − 1)(−1) < 0 ⇔ m > 1. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −b c Câu 56. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = , P = . Phương trình (1) vô a a nghiệm khi và chỉ khi  ® ®  ∆ ≥ 0 ∆>0 ∆>0 A ∆ < 0. B ∆ < 0 hoặc S < 0 . C . D .  S < 0 P >0  P >0 ý Lời giải. Đặt x2 = t (t ≥ 0). Khi đó (1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2). Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −b c Câu 57. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = , P = . Phương trình (1) có a a 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi       ∆ > 0 ∆ ≥ 0 ∆ > 0 A ∆ > 0. B S>0. C S>0. D S<0.       P >0 P >0 P >0 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 170 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie   ∆ > 0 Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ S > 0   P > 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 58. Để phương trình m2 (x − 1) = 4x + 5m + 4 có nghiệm âm thì giá trị thích hợp cho tham số m là A m < −4 hay m > −2. B −4 < m < −2 hay −1 < m < 2. C m < −2 hay m > 2. D m < −4 hay m > −1. ý Lời giải. Ta có m2 (x − 1) = 4x + 5m + 4 ⇔ (m2 − 4)x = m2 + 5m + 4. m2 + 5m + 4 Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m2 − 4 6= 0 ⇔ m 6= ±2. Khi đó nghiệm của phương trình là x = . m2 − 4 ñ 2 − 4 < m < −2 m + 5m + 4 Để phương trình có nghiệm âm thì <0⇔ m2 − 4 − 1 < m < 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 59. Điều kiện cho tham số m để phương trình (m − 1)x = m − 2 có nghiệm âm là A m < 1. B m = 1. C 1 < m < 2. D m > 2. ý Lời giải. m−2 Phương trình (m − 1)x = m − 2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1. Khi đó nghiệm x = . m−1 ® m−2<0 m−2 <0⇔ ⇔ 1 < m < 2. Để phương trình có nghiệm âm thì m−1 m−1>0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 60. Cho phương trình m3 x = mx+m2 −m. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có vô số nghiệm. A m = 0 hay m = 1. B m = 0 hay m = −1. C m = −1 hay m = 1. D Không có giá trị nào của m. ý Lời giải. 3 2 Ta có m3 x = mx + m2 − m ⇔ (m ® −3 m)x = m −ñm. m −m=0 m=0 Phương trình có vô số nghiệm ⇔ ⇔ 2 m = 1. m −m=0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 61. Cho phương trình bậc hai x2 − 2(m + 6)x + m2 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó? A m = −3, x1 = x2 = 3. B m = −3, x1 = x2 = −3. C m = 3, x1 = x2 = 3. D m = 3, x1 = x2 = −3. ý Lời giải. Phương trình có nghiệm kép khi ∆0 = 0 ⇔ (m + 6)2 − m2 = 0 ⇔ 12m + 36 = 0 ⇔ m = −3. Khi đó phương trình trở thành x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 62. Cho phương trình (m − 1)x2 − 6(m − 1)x + 2m − 3 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 7 6 6 A m= . B m=− . C m= . D m = −1. 6 7 7 ý Lời giải. Phương trình (m − 1)x2 − 6(m − 1)x + 2m − 3 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi  m 6= 1  ® ® ®   m 6= 1 m 6= 1 m − 1 6= 0 6 6 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m= . m= 0 2 2   7 ∆ =0 7 9(m − 1) − (m − 1)(2m − 3) = 0 7m − 13m + 6 = 0   m=1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 63. Để phương trình mx2 + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 vô nghiệm, với giá trị của m là A m > 9. B m ≥ 9. C m < 9. D m < 9 và m 6= 0. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ý Lời giải. Đặt x2 = t (t ≥ 0). Khi đó (1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2). h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 171 5 ○ Với m = 0, phương trình trở thành −6x − 5 = 0 ⇔ x = − . Vậy m = 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán. 6 ○ Phương trình mx2 + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ® ® m 6= 0 m 6= 0 ⇔ m > 9. ⇔ 0 ∆ <0 (m − 3)2 − m(m − 5) < 0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 64. Phương trình b = a có nghiệm duy nhất khi x+1 B a = 0. A a 6= 0. C a 6= 0 và b 6= 0. D a = b = 0. ý Lời giải. Điều kiện x 6= −1. Phương trình đã cho tương đương ax + a − b = 0. Yêu cầu®bài toán tương đương phương trình ax + a − b = 0 có nghiệm đuy nhất khác −1. ® a 6= 0 a 6= 0 ⇔ Suy ra b 6= 0. a(−1) + a − b 6= 0 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 65. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình (x2 − 5x + 4) x − a = 0 có hai nghiệm phân biệt? A a < 1. B 1 ≤ a < 4. C a ≥ 4. D không có a. ý Lời giải. Điều kiện x ≥ a. Ta có  x=1 √  2 (x − 5x + 4) x − a = 0 ⇔ x = 4 x = a. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra 1 ≤ a < 4. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 66. Số nghiệm của phương trình x − 4(x2 − 3x + 2) = 0 là A 0. B 1. C 2. D 3. ý Lời giải. Điều kiện x ≥ 4. Ta có  x=1 √  2 x − 4(x − 3x + 2) = 0 ⇔ x = 2 x = 4. So sánh với điều kiện ta được x = 4 là nghiệm của phương trình. Câu 67. Phương trình (x2 − 3x + m)(x − 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi 9 9 9 A m< . B m ≤ và m 6= 2. C m < và m 6= 2. 4 4 4 ý Lời giải. Ta có ñ 2 x − 3x + m = 0 2 (x − 3x + m)(x − 1) = 0 ⇔ x − 1 = 0. D m≥ 9 . 4 Để phương trình có ba nghiệm phân biệt, suy ra phương trình x2 − 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với  ® ® m < 9 ∆>0 9 − 4m > 0 4 ⇔ ⇔  1 − 3 + m 6= 0 m 6= 2 m 6= 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 68. Phương trình x6 + 2003×3 − 2005 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm? A 0. B 1. C 2. D 6. ý Lời giải. Đặt t = x3 . Khi đó phương trình trở thành t2 + 2003t − 2005 = 0. Ta có ac = −2005 < 0, do đó phương trình có hai nghiệm trái dấu. Suy ra phương trình có một nghiệm âm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 172 S<0. tương đương với ∆ < 0 hoặc   P >0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ √ Câu 70. Phương trình x4 + ( 65 − 3)x2 + 2(8 + 63) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 0. ý Lời giải. √ √ √ Ta có ∆ = ( 65 − 3)2 − 4 · 2(8 + 63) < 0. Do đó phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 71. Phương trình −x4 − 2( 2 − 1)x2 + 2(3 − 2 2) = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 0. ý Lời giải. √ √ √ Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành −t2 − 2( 2 − 1)t + 2(3 − 2 2) = 0 (2). Vì ac = 2 2 − 3 < 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Câu 72. Phương trình −x4 + 2 − 3x2 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A 2. B 3. C 4. D 1. ý Lời giải. √ √ √ Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành −t2 − 3t + 2 = 0 (2). Vì ac = 2 2 − 3 < 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 73. Phương trình x4 − 2005x2 − 13 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm âm? A 2. B 3. C 0. D 1. ý Lời giải. Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành t2 − 2005t − 13 = 0 (2). Vì ac = −13 < 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm gồm 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A m = 1. B m = 2. C m = ±2. D m = −2. ý Lời giải. Phương trình (m2 − 4)x = 3m + 6 vô nghiệm khi và chỉ khi ñ ® 2   m=2 m −4=0 m = −2 ⇔ m = 2. ⇔  3m + 6 6= 0  m 6= −2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 75. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx − m = 0 vô nghiệm. A m ∈ ∅. B m = {0}. C m ∈ R+ . D m ∈ R. ý Lời giải. Phương trình mx − m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ® m=0 ⇔ m ∈ ∅. m 6= 0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie b c Câu 69. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 6= 0). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = − , P = . Phương trình (1) vô a a nghiệm khi và chỉ khi  ® ®  ∆ ≥ 0 ∆>0 ∆>0 A ∆ < 0. B ∆ < 0 hoặc S < 0 . C . D .  S < 0 P <0  P >0 ý Lời giải. Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2). Phương trình (1) vô nghiệm khi  phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có hai nghiệm âm. Điều này ∆ ≥ 0  h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 173 Câu 76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 5m + 6)x = m2 − 3m vô nghiệm. A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 6. ý Lời giải.  Phương trình m2 − 5m + 6 x = m2 − 3m vô nghiệm khi và chỉ khi ñ m=2   ® 2   m=3 m − 5m + 6 = 0 ⇔ ® ⇔ m = 2.  m 6= 0 m2 − 3m 6= 0    m 6= 3 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 77. Cho phương trình (m + 1)2 x + 2 = (7m − 5)x + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm A m = 1. B m = 2; m = 3. C m = 2. D m = 3. ý Lời giải. Phương trình (m + 1)2 x + 2 = (7m − 5)x + m ⇔ (m2 − 5m + 6)x ñ m − 2 (1). = ® 2   m=2 m − 5m + 6 = 0 m = 3 ⇔ m = 3. Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ⇔  m − 2 6= 0  m 6= 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 78. Cho hai hàm số y = (m + 1)x2 + 3m2 x + m và y = (m + 1)x2 + 12x + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A m = 2. B m = ±2. C m = −2. D m = 1. ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1)x2 + 3m2 x + m = (m + 1)x2 + 12x + 2 ⇔ (3m2 − 12)x + m − 2 = 0 Đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm vô ngiệm. Điều này tương đương với ñ ® 2   m=2 3m − 12 = 0 m = −2 ⇔ m = −2. ⇔  m − 2 6= 0  m 6= 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 79. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình (2m − 4)x = m − 2 có nghiệm duy nhất A m = −1. B m = 2. C m =6= −1. D m 6= 2. ý Lời giải. Phương trình (2m − 4)x = m − 2 có nghiệm duy nhất khi 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2. Vậy m 6= 2 là các giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình (m2 − 9)x = 3m(m − 3) có nghiệm duy nhất? A 2. B 19. C 20. D 21. ý Lời giải. Phương trình (m2 − 9)x = 3m(m − 3) có nghiệm duy nhất khi m2 − 9 6= 0 ⇔ m 6= ±3. Vì m ∈ [−10; 10] và m nguyên nên m ∈ {−10; −9; . . . ; −4; −2; −1; 0; 1; 2; 4; . . . ; 10}. Vậy có 19 giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 81. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5; 10] để phương trình (m + 1)x = (3m2 − 1)x + m − 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng A 15. B 16. C 39. D 40. ý Lời giải. 2 2 Phương trình (m + 1)x  = (3m − 1)x + m − 1 ⇔ (3m − m − 2)x + m − 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi m 6= 1 3m2 − m − 2 6= 0 ⇔ m 6= − 2 . 3 Vì m ∈ [−5; 10] và m nguyên nên m ∈ S = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 2; 3; 4; . . . ; 10}. Vậy các phần tử của S bằng −1 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 39. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 174 ○ Với m = 1, phương trình trở thành 2x = 2 ⇔ x = 1 là nghiệm duy nhất, do đó m = 1 thoả mãn. ○ Với m = −1, phương trình trở thành 0x = 0, phương trình vô số nghiệm, do đó m = −1 không thoả mãn. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 83. Cho hai hàm số y = (m + 1)2 x − 2 và y = (3m + 7)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A m 6= 2. B m 6= −3. C m 6= −2, m 6= 3. D m = −2, m = 3. ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1)2 x − 2 = (3m + 7)x + m ⇔ (m2 − m − 6)x = m + 2 Đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có ngiệm duy nhất. Điều này tương đương với ® m 6= −2 2 m − m − 6 6= 0 ⇔ m 6= 3. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 1)x = m − 1 có nghiệm đúng với mọi x ∈ R. A m = 1. B m = ±1. C m = −1. D m = 0. ý Lời giải. Phương trình (m2 − 1)x = m − 1 có nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi ® m2 − 1 = 0 m−1=0 ® ⇔ m = ±1 m=1 ⇔ m = 1. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 85. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A m = 2. B m 6= −2. C m 6= −2, m 6= 2. D m ∈ R. ý Lời giải. Phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m ⇔ (m2 − 4)x = 3m − 6. ñ ® 2   m=2 m −4=0 2 m = −2 ⇔ m = −2. Phương trình (m − 4)x = 3m − 6 vô nghiệm khi và chỉ khi ⇔  3m − 6 6= 0  m 6= 2 Do đó phương trình có nghiệm khi m 6= −2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 86. Cho phương trình (m2 − 3m + 2)x + m2 − 5m + 4 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R. A m = −2. B m = −5. C m = 1. D Không tồn tại. ý Lời giải. Phương trình (m2 − 3m + 2)x + m2 − 5m + 4 = 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi ñ m=1   ® 2   m − 3m + 2 = 0 m=2 ⇔ ñ ⇔ m = 1. 2  m=1 m − 5m + 4 = 0    m=4 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 82. Tím tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 +m)x = m+1 có nghiệm duy nhất x = 1. A m = −1. B m 6= 0. C m 6= −1. D m = 1. ý Lời giải. Phương trình có nghiệm x = 1, suy ra (m2 + m) · 1 = m + 1 ⇒ m = ±1. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 175 Câu 87. Cho phương trình (m2 − m)x = m2 − 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A m = 0. B m = 1. C m 6= 0, m 6= 3. D m 6= 1. ý Lời giải. ñ m=0   ® 2   m=1 m − m = 0  ⇔ ® Phương trình m2 − 2m x = m2 − 3m vô nghiệm khi và chỉ khi ⇔ m = 1.  m 6= 0 m2 − 3m + 2 6= 0    m 6= 3 Do đó phương trình có nghiệm khi m 6= 1. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 88. Cho hai hàm số y = (m + 1)x + 1 và y = (3m2 − 1)x + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 2 A m = 1, m = − . B m 6= 1, m 6= − . C m = 1. D m=− . 3 3 3 ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm (m + 1)x + 1 = (3m2 − 1)x + m ⇔ (3m2 − m − 2)x = −m + 1 Đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có vô số nghiệm. Điều này tương đương với  m=1  ® 2    3m − m − 2 = 0 2 ⇔ m = − ⇔ m = 1.  −m+1=0 3   m=1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 89. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình x2 − x + m = 0 vô nghiệm? A 10. B 9. C 20. D 21. ý Lời giải. 1 Phương trình x2 − x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ < 0 ⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > . Vì m ∈ [−10; 10] và m 4 nguyên nên m ∈ {1; 2; . . . ; 10}. Vậy có 10 giá trị cần tìm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 90. Phương trình 2(x2 − 1) = x(mx + 1) có nghiệm duy nhất khi 17 17 A m= . B m = 2; m = . C m = 2. 8 8 ý Lời giải. Ta có 2(x2 − 1) = x(mx + 1) ⇔ (m − 2)x2 + x + 2 = 0. D m = −1. ○ Với m = 2, phương trình trở thành x + 2 = 0 ⇔ x = −2, phương trình có nghiệm duy nhất. ○ Với m 6= 2, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ∆ = 0 ⇔ 17 − 8m = 0 ⇔ m = 17 . 8 17 là hai giá trị cần tìm. 8 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vậy m = 2; m = Câu 91. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m − 2)x2 − 2x + 1 − 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng 5 7 9 A . B 3. C . D . 2 2 2 ý Lời giải. TH1. m − 2 = 0 ⇔ m = 2. Khi đó phương trình trở thành −2x − 3 = 0. Phương trình này có duy nhất một nghiệm. Vậy nhận m = 2. TH2. m − 2 6= 0 ⇔ m 6= 2. Ta có ∆0 = 1 − (m − 2)(1 − 2m) = 2m2 − 5m + 3. m=1 Phương trình có nghiệm duy nhất khi ∆ = 0 ⇔  3 m= . 2 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 176 Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5; 5] để phương trình mx2 −2(m+2)x+m−1 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A 5. B 6. C 9. D 10. ý Lời giải. TH1. m = 0. Phương trình đã cho trở thành −4x − 1 = 0. Phương trình này có duy nhất một nghiệm. Vậy loại m = 0. TH2. m 6= 0. Ta có ∆0 = (m + 2)2 − m(m − 1) = 5m + 4. 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ −3m + 4 > 0 ⇔ m > − . 5 Vì m ∈ [−5; 5] nên ta nhận m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 93. Phương trình m2 + 2 x2 + (m − 2)x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi A 0 < m < 2. B m > 2. C m ∈ R. D m ≤ 2. ý Lời giải. Ta có m2 + 2 > 0, ∀m ∈ R. Ta tính ∆ = (m − 2)2 − 4(m2 + 2)(−3) = 13m2 − 4m + 28 > −0, ∀m ∈ R. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ R. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 94. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P ) : y = (m − 1)x2 + 2mx + 3m − 1. A m = 1. B m = −1. C m = 0. D m = 2. ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P ) 2x + m = (m − 1)x2 + 2mx + 3m − 1 ⇔ (m − 1)x2 + 2(m − 1)x + 2m − 1 = 0. (*) d tiếp xúc (P ) khi phương trình (∗) có nghiệm kép ® ⇔ m − 1 6= 0 0 ∆ =0 ® ⇔ ® m 6= 1 2 (m − 1) − (m − 1)(2m − 1) = 0 ⇔ m 6= 1 − m2 + m = 0 ⇔ m = 0. Câu 95. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để phương trình x2 − 2mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng A 21. B 18. C 1. D 0. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi 0 2 ∆ ≥ 0 ⇔ m − 144 ≥ 0 ⇔ ñ m ≤ 12 m ≥ 12. Vì m nguyên và m ∈ [−20; 20] nên ta nhận m ∈ {−20; −19; …, −12; 12; 13; …; 20}. Vậy tổng các phần tử trong S bằng 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 96. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = −x2 − 2x + 3 và y = x2 − m có điểm chung. 7 7 7 7 A m=− . B m<− . C m>− . D m≥− . 2 2 2 2 ý Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P ) : − x2 − 2x + 3 = x2 − m ⇔ 2×2 + 2x − m − 3 = 0. (∗) 7 0 2 Hai đồ thị có điểm chung khi phương trình (∗) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 1 − 2(−m − 3) ≥ 0 ⇔ m ≥ − . 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ß ™ 3 9 Vậy S = 2; 1; . Tổng các phần tử trong S bằng . 2 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 177 Câu 97. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình mx2 − mx + 1 = 0 có nghiệm. A 17. B 18. C 20. D 21. ý Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm khi ñ m≤0 2 ∆ ≥ 0 ⇔ m − 4m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4. Vì m ∈ Z và m ∈ [−10; 10] nên m ∈ {−10; −9; …; 0; 4; 5; …; 10}. Vậy có tất cả 18 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3×2 − (m + 2)x + m − 1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm ß còn lại. ß ™ ß ™ ß ™ ™ 1 2 3 5 . A m∈ ;7 . B m ∈ −2; − . C m ∈ 0; D m ∈ − ;1 . 2 2 5 4 ý Lời giải. Gọi x1 , x2 là ® hai nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm ∆>0 (1) còn lại khi x1 = 2×2 (2). (1) ⇔ (m + 2)2 − 4 · 3(m − 1) > 0 ⇔ m 6= 4. m+2  x 1 + x 2 = (3) 3 Với m 6= 4, theo định lý Vi-ét, ta có  x 1 x 2 = m − 1 (4) 3  m + 2  x 2 = 9 Từ (2) và (3) suy ra  x = 2(m + 2) . 1 9 2(m + 2)2 m−1 5 Thay vào (4), ta được = . Giải phương trình này ta được m = hoặc m = 7. 81 3 2 ß ™ 5 Vậy m ∈ ;7 . 2 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3×2 − 2(m + 1)x + 3m − 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A m = 7. B m = 3. C m = 3; m = 7. D m ∈ ∅. ý Lời giải. Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp ba nghiệm ® hai ∆0 > 0 (1) còn lại khi x1 = 3×2 (2). (1) ⇔ (m + 1)2 − 3(3m − 5) > 0 ⇔ m2 − 7m + 16 > 0 (luôn đúng ∀m ∈ R).  2(m + 1)  x1 + x2 = (3) 3 Theo định lí Vi-ét, ta có  x x = 3m − 5 (4) 1 2 3  m+1  x 2 = 6 Từ (2) và (3) suy ra  x 1 = m + 1 . 2 (m + 1)2 3m − 5 Thay vào (4) ta được = . Giải phương trình này ta được m = 3 hoặc m = 7. 12 3 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x − 1) x2 − 4mx − 4 = 0 có ba nghiệm phân biệt? 3 3 A m ∈ R. B m 6= ∅. C m 6= . D m 6= − . 4 4 ý Lời giải. ñ x=1  Phương trình (x − 1) x2 − 4mx − 4 = 0 ⇔ 2 x − 4mx − 4 = 0 (∗) Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 178 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Câu 101. ® Phương trình ax + bx +®c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm®phân biệt cùng dấu khi và chỉ ® khi ∆>0 ∆≥0 ∆>0 ∆>0 A B C D . . . . P >0 P >0 S>0 S<0 ý Lời giải. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 102. Phương trình ax2 + bx + c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ∆ > 0    ∆ > 0 ∆>0 ∆>0 A B P > 0. C P > 0. D . .   P >0 S>0   S>0 S<0 ý Lời giải. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Câu 103. ® Phương trình ax + bx +®c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ∆>0 ∆>0 A . B . C P < 0. S<0 S>0 ý Lời giải. D P > 0. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 104. Phương trình x2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi A m < −2. B m > 2. C m ≥ −2. D m 6= 0. ý Lời giải. Phương trìnhx2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi  2 ® 2 ®   ∆ > 0 (−m) − 4 · 1 · 1 > 0 m < −2 hay m > 2 m −4>0 S<0 ⇔ m<0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −2.   m<0 m<0   P >0 1 > 0 (luôn đúng) ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 105. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−5; 5] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A 5. B 6. C 10. D 11. ý Lời giải. Phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai âm phân biệt khi   nghiệm 2 2 0 2 (2m) − 1 · m > 0 ®    ∆ > 0  3m > 0 m 6= 0 S < 0 ⇔ − 4m < 0 ⇔ m>0 ⇔ ⇔ m > 0.    m>0   2  P >0 m 6= 0 m >0 Vì m ∈ [−5; 5] nên có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 106. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 A m ∈ − ;0 . B m∈ − ; . C m ∈ (0; 2). D m ∈ 0; . 2 2 2 2 ý Lời giải. Phương trìnhmx2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi   m 6= 0  a 6= 0   m 6= 0      1 − 4 · m · m > 0    ∆>0 1 1 1 ⇔ − 0  P >0 1 > 0 (luôn đúng) ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 1  ® 0 (2m)2 + 4 > 0 ∆ >0 3  ⇔ ⇔ ⇔ m 6= − . 3 2 4 1 − 4m − 4 6= 0 m 6= − 4 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 179 Câu 107. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2; 6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng A −3. B 2. C 18. D 21. ý Lời giải. Phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai dương phân biệt khi   nghiệm 2 2 0 2 (2m) − 1 · m > 0 ® ∆ > 0 3m > 0       m 6= 0 S > 0 ⇔ − 4m > 0 ⇔ m<0 ⇔ ⇔ m < 0.    m<0   2  P >0 m = 6 0 m >0 Vì m ∈ [−2; 6] nên S = {−2; −1}. Vậy tổng các phần tử trong S là −3. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 108. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 − 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là Å ã 1 A m ∈ (−1; 1). B m ∈ (1; +∞). C m ∈ − ;0 . D m ∈ (−∞; −1). 2 ý Lời giải. Phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 − 1 = 0có hai nghiệm dương phân biệt khi  2 0 2    ∆ > 0 (m + 1) − 1 · (−1) > 0 (m − 1) + 1 > 0 (luôn đúng) S > 0 ⇔ 2(m − 1) > 0 ⇔ m>1 ⇔ m > 1.      2  P >0 m < −1 hay m > 1 m −1>0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 109. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A m > 1. B m < 1. C m ≥ 1. D m ≤ 1. ý Lời giải. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ⇔ (m − 1)(−1) < 0 ⇔ m > 1. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 110. Giả sử phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1 ; x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3×1 x2 − 5(x1 + x2 ) theo m. A P = 3m2 − 10m + 6. B P = 3m2 + 10m − 5. C P = 3m2 − 10m + 1. D P = 3m2 + 10m + 1. ý Lời giải. ® x1 + x2 = 2m + 1 Theo Vi-ét ta có . x1 x2 = m 2 + 2 Khi đó P = 3×1 x2 − 5(x1 + x2 ) = 3(m2 + 2) − 5(2m + 1) = 3m2 + 6 − 10m − 5 = 3m2 − 10m + 1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 111. Số nghiệm của phương trình 20×3 (1 − x)3 = A 6. B 3. ý Lời giải. Phương trình tương đương với 4 trên khoảng (0; 1) là 25 C 2. D 1. √  5+ 5 Å ã3 x = 10 1 1 1 1 x3 (1 − x)3 = ⇔ [x(1 − x)]3 = ⇔ x(1 − x) = ⇔ −x2 + x − = 0 ⇔  √  125 5 5 5 5− 5 x= . 10 Vậy số nghiệm trên khoảng (0; 1) là 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 112. Giả sử phương trình x2 − 3x − m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1 ; x2 . Tính giá trị của biểu thức P = x21 (1 − x2 ) + x22 (1 − x1 ). A P = −m + 9. B P = 5m + 9. C P = m + 9. D P = −5m + 9. ý Lời giải. ® x1 + x2 = 3 Theo Vi-ét ta có . x1 x2 = −m Ta có P = x21 (1 − x2 ) + x22 (1 − x1 ) = x21 − x21 x2 + x22 − x22 x1 = x21 + x22 − x1 x2 (x1 + x2 ) = (x1 + x2 )2 − 2×1 x2 − x1 x2 (x1 + x2 ) = 32 − 2 · (−m) − (−m) · 3 = 5m + 9 . ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 180 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 114. Cho phương trình x2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng √ √ √ A 4q + 1. B 4q − 1. C − 4q + 1. D q + 1. ý Lời giải. Giả sử hai nghiệm ® của phương trình x1 ; x2 . x1 + x2 = −p The Vi-ét ta có x1 x2 = q. Khi đó ta có |x1 − x2 | = 1 ⇔ (x1 − x2 )2 =√1 ⇔ x21 − 2×1 x2 + x22 = 1 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4×1 x2 = 1 ⇔ (−p)2 − 4q = 1 ⇔ p2 = 4q + 1 ⇔ p = 4q + 1 (vì p > 0, q > 0). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 115. Nếu m 6= 0 và n 6= 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng 1 1 A − . B −1. C . D 1. 2 2 ý Lời giải. ® ® m + n = −m m = 1 (vì n 6= 0) Theo Vi-ét ta có ⇔ . mn = n m + n = −m = −1 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 116. Giá trị nào của m thì phương trình x2 − mx + 1 − 3m = 0 có hai nghiệm trái dấu? 1 1 A m> . B m< . C m > 2. D m < 2. 3 3 ý Lời giải. 1 Phương trình x2 − mx + 1 − 3m = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ⇔ 1 − 3m < 0 ⇔ m > . 3 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 117. Tìm tham số thực m để phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu? A m < 1. B m > 2. C m > 3. D 1 < m < 3. ý Lời giải. Phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ⇔ (m − 1)(m − 3) < 0 ⇔ 1 < m < 3. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 118. Phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi A m < 3. B m < 1. C m = 1. D 1 < m < 3. ý Lời giải. Phương trình®x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0®có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi ® ∆0 > 0 (m − 1)2 − (m − 3) > 0 m2 − 3m + 4 > 0 (luôn đúng) ⇔ ⇔ ⇔ m = 1. S=0 2(m − 1) = 0 m=1 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 119. Phương trình x2 + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 3 1 A m>− . B m<− . C m> . 4 4 4 ý Lời giải. 5 D m>− . 4 1 . 4 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình x2 + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ < 0 ⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 113. Giả sử phương trình 2×2 −4ax−1 = 0 có hai nghiệm là x1 ; x√2 . Tính giá trị của biểu thức √ T = |x1 − x2 |. 2+8 √ 4a2 + 2 a a2 + 8 . . . A T = B T = 4a2 + 2. C T = D T = 3 2 4 ý Lời giải.  x1 + x2 = 2a Theo định lý Viete ta có x1 x2 = −1 . 2 … p √ −1 √ 2 2 2 Ta có T = (x1 − x2 ) = S − 4P = (2a)2 − 4 · = 4a + 2. 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam §3 A 181 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Phương pháp thế 1 VÍ DỤ ® # Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2x − y + 1 = 0 (1) 4×2 − y 2 + 2xy + 5y = 0. (2) ý Lời giải. Từ (1) suy ra y = 2x + 1 thay vào phương trình (2) ta được 4×2 − (2x + 1)2 + 2x(2x + 1) + 5(2x + 1) = 0 ⇔ 4×2 + 8x + 4 = 0 ⇔ x = −1. Với x = −1 ⇒ y = −1. Vậy hệ Phương trình có nghiệm là (−1; −1). ® # Ví dụ 2. Giải hệ phương trình x + y = 1 (1) x3 − y 3 = 3(x − y). (2) ý Lời giải. Từ (1) suy ra y = 1 − x thay vào (2) ta được  x = −1 x = 2 3 3 3 2 x − (1 − x) − 3(x − 1 + x) ⇔ 2x − 3x − 3x + 2 = 0 ⇔   1 x= . 2 Với x = −1 ⇒ y = 2. Với x = 2 ⇒ y = −1. 1 1 Với x = ⇒ y = . 2 2 Å ã 1 1 Vậy phương trình có các nghiệm là (−1; 2), (2; −1), ; . 2 2 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau ® x + 2y = 5 1 2 x + 2y − 2xy = 5. ® 3 x2 + y = 4x 2x + y = 5. ® 5 2 ® 2 2 2 x + 3y = 7. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie x2 − 5xy + y 2 = 7. ® 4 6 x+y+2=0 x2 + y 2 − xy = 13. ® x + 2y = 4 2x + y = 1 x + 2y = 4 x2 + 3y 2 − xy + 2x − 5y = 4. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 182 1 x + 2y = 5 x2 + 2y 2 − 2xy = 5. Ta có x + 2y = 5 ⇒ x = 5 − 2y. (*) Thay (*) vào phương trình còn lại được (5 − 2y)2 + 2y 2 − 2(5 − 2y)y = 5 ⇔ 10y 2 − 30y + 20 = 0 ⇔ ñ y=1 y = 2. Với y = 1 ⇒ x = 3. Với y = 2 ⇒ x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 1), (1; 2). ® 2x + y = 1 2 x2 − 5xy + y 2 = 7. Ta có 2x + y = 1 ⇔ y = 1 − 2x, thay vào phương trình còn lại ta được  x=1 x2 − 5x(1 − 2x) + (1 − 2x)2 = 7 ⇔ 15×2 − 9x − 6 = 0 ⇔  2 x=− . 5 3 Với x = 1 ⇒ y = −1. 2 9 Với x = − ⇒ y = . 5 5 Å ã 2 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; −1), − ; . 5 5 ® 2 x + y = 4x 2x + y = 5. Ta có 2x + y = 5 ⇔ y = 5 − 2x, thay vào phươn trình còn lại của hệ ta được ñ x=1 2 2 x + 5 − 2x = 4x ⇔ x − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 5. Với x = 1 ⇒ y = 3. Với x = 5 ⇒ y = −5. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 3),(5; −5). ® x+y+2=0 4 x2 + y 2 − xy = 13. Ta có x + y + 2 = 0 ⇔ y = −2 − x, thay vào phương trình đã còn lại ta được 2 2 2 x + (−2 − x) − x(−2 − x) = 13 ⇔ 3x + 6x − 9 = 0 ⇔ ñ x=1 Với x = 1 ⇒ y = −3. Với x = −3 ⇒ y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; −3), (−3; 1). ® x + 2y = 4 5 x2 + 3y 2 = 7. Ta có x + 2y = 4 ⇔ x = 4 − 2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được  y=1 (4 − 2y)2 + 3y 2 = 7 ⇔ 7y 2 − 16y + 9 = 0  9 y= . 7 Với y = 1 ⇒ x = 2. 9 10 Với y = ⇒ x = . 7 7 Å ã 10 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 1), ; . 7 7 x = −3. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® 6 183 x + 2y = 4 x2 + 3y 2 − xy + 2x − 5y = 4. Ta có x + 2y = 4 ⇔ x = 4 − 2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được  y=1 (4 − 2y)2 + 3y 2 − (4 − 2y)y + 2(4 − 2y) − 5y = 4 ⇔ 9y 2 − 29y + 20 = 0 ⇔  20 . y= 9 Với y = 1 ⇒ x = 2. 20 4 Với y = ⇒x=− . 9 9 Å ã 4 20 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 1), − ; . 9 9 d Dạng 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ® Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 ® với f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x). Cách®giải: S =x+y Đặt (điều kiện hệ có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Thế S, P vào hệ. Khi đ1o x, y là nghiệm của phương trình X 2 − SX + P = 0. Một số biểu thức đối xứng thường gặp ! 2 ○ x2 + y 2 = (x + y)2 − 2xy = S 2 − 2P .   ○ x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = (x + y) (x + y)2 − 3xy = S(S 2 − 3P ) = S 3 − 3P S. 2 2 ○ x4 + y 4 = x2 + y 2 − 2×2 · y 2 = S 2 − 2P − 2P 2 . VÍ DỤ ® # Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x + y + xy = 5 x2 + y 2 = 5. ý Lời giải. ® x + y + xy = 5 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)2 − 2xy = 5. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ® S+P =5 P =5−S ⇔ 2 S − 2P = 5 S 2 − 2(5 − S) = 5  ®  Pñ = 5 − S P =5−S ⇔ ⇔ S=3  S 2 + 2S − 15 = 0  S = −5 ® S=3  P = 2 (Nhận)  ⇔ ®  S = −5 (Loại) P = 10. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 184 S=3 ñ X=1 2 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ P =2 X = 2. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 2), (2; 1). Với ® # Ví dụ 2. Giải hệ phương trình x + y + xy = 11 x2 y + xy 2 = 30. ý Lời giải. ® x + y + xy = 11 Hệ phương trình đã cho tương đương với xy(x + y) = 30. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® S + P = 11 S · P = 30 ® ⇔ S = 11 − P (11 − P )P = 30  ®  Sñ = 11 − P S = 11 − P ⇔ ⇔ P =6  − P 2 + 11P − 30 = 0  P =5 ® S=5  P = 6 (nhận)  ⇔ ®  S=6 (nhận) P = 5. ® Với S=5 ®P = 6 S=6 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 5X + 6 = 0 ⇔ ñ X=3 ñX = 2. X=1 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 6X + 5 = 0 ⇔ P =5 X = 5. Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (3; 2), (2; 3), (1; 5), (5; 1). Với ® # Ví dụ 3. Giải hệ phương trình x+y =1 x3 + y 3 = x2 + y 2 . ý Lời giải. ® x+y =1 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)3 − 3(x + y)xy = (x + y)2 − 2xy ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ® S=1 3 2 S − 3SP = S − 2P ® ⇔ ® ⇔ S=1 1 − 3P = 1 − 2P S=1 (nhận) P = 0. S=1 2 ñ X=0 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − X = 0 ⇔ P =0 X = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0; 1), (1; 0). Với ® # Ví dụ 4. Giải hệ phương trình ý Lời giải. x2 + y 2 = 5 x4 + y 4 − x2 y 2 = 13. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 185 ( (x + y)2 − 2xy = 5 Hệ phương trình đã cho tương đương với  2 2 2 x + y − 3(xy)2 = 13. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ⇔ ⇔ S 2 − 2P = 5 ® ⇔ S 2 − 2P = 5 52 − 3P 2 = 13 (S 2 − 2P )2 − 3P 2 = 13 ® P =2  2   Sñ = 5 + 2P  S2 = 9 ⇔ P =2  ®P = −2    P = −2 S2 = 1 ® P =2  S=3  ®  P =2    S = −3 ®  P = −2    S=1 ®   P = −2 S = −1. ® S=3 ñ X=1 2 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ P =2 X = 2. ñ S = −3 X = −1 2 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X + 3X + 2 = 0 ⇔ ®P = 2 ñ X = −2. S=1 X = −1 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − X − 2 = 0 ⇔ ®P = −2 ñX = 2. S = −1 X=1 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 + X − 2 = 0 ⇔ P = −2 X = −2. Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1), (−1; 2), (2; −1), (1; −2), (−2; 1). Với ® 3 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau ® xy + x + y = 5 1 2 2 2 x + y + x + y = 8. ® 3 ® x2 + y 2 + 3(x + y) = 28. ® x+y =2 4 x4 + y 4 = 34. x + xy + y = 11 x2 + y 2 = 13 3(x + y) + 2xy + 9 = 0. ý Lời giải. ® xy + x + y = 5 1 x2 + y 2 + x + y = 8. ® xy + x + y = 5 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)2 − 2xy + x + y = 8. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® S+P =5 2 S − 2P + S = 8 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® ⇔ P =5−S S 2 + 3S − 18 = 0 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 186 ® S=3 =3 =2 = −6 = 11. (loại) 2 ñ X=1 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ P =2 X = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 2), (2; 1). ® x + xy + y = 11 Với 2 x2 + y 2 + 3(x + y) = 28. ® x + y + xy = 11 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)2 − 2xy + 3(x + y) = 28. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ® S + P = 11 P = 11 − S ⇔ 2 S − 2P + 3S = 28 S 2 + 5S − 50 = 0 ®   S=5 P = 11 − S  ñ  P =6  ⇔ ⇔ ® S=5  S = −10   S = −10 P = 21. ® ñ S=5 X=3 2 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 5X + 6 = 0 ⇔ X =ñ 2. ®P = 6 S = −10 X = −3 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 + 10X + 21 = 0 ⇔ P = 21 X = −7. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 2),(2; 3), (−3; −7), (−7; −3). ® x+y =2 3 x4 + y 4 = 34. ( 4 x+y =2 Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 x2 + y 2 − 2×2 y 2 = 34. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ( ® S=2 S=2 ⇔ 2 2 2 (4 − 2P )2 − 2P 2 = 34 S − 2P − 2P  ®  Sñ = 2 S=2 ⇔ ⇔ P = −1  2P 2 − 16P − 18 = 0  P =9 ® S=2  P = −1  ⇔ ®  S=2 (loại) P = 9. ” √ ® X =1+ 2 S=2 2 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 2X − 1 = 0 ⇔ Với √ P = −1 X = 1 − 2. √ √ √ √ Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1 − 2; 1 + 2), (1 + 2; 1 − 2). ® 2 x + y 2 = 13 3(x + y) + 2xy + 9 = 0. ® Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)2 − 2xy = 13 3(x + y) + 2xy + 9 = 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ®  S  Pñ = 5 − S  P  ⇔ ⇔ ® S=3  S   S = −6 P h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® 187 S =x+y (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành Đặt ® S 2 − 2P = 13 ® ⇔ S 2 + 3S − 4 = 0 3S + 2P + 9 = 0 − 2P = 9 + 3S ® S=1 ñ S=1   P = −6     S = −4 ⇔ ⇔   S = −4    P = 9 + 3S P = 3 . −2 2 ® ñ S=1 X=3 2 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − X − 6 = 0 ⇔ P = −6 X = −2. √   −4 + 10 S = −4 X =  3 2√ Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 + 4X + = 0 ⇔  3  P = 2 −4 − 10 X= . 2 Ç √ √ å Ç √ √ å2 −4 + 10 −4 − 10 −4 − 10 −4 + 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ; , ; , (3; −2), (−2; 3). 2 2 2 2 ! Thiếu toàn bộ nội dung dạng 3,4 đến hết ví dụ 1 (kể cả bài tập tương tự trang 124) ® # Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x3 − 6×2 y + 9xy 2 − 4y 3 = 0 2 2 x − 5y − x − 7 = 0. (1) (2) ý Lời giải. Nhận xét. Phương trình (1) chứa các biểu thức x3 , 6×2 y, 9xy 2 , 4y 3 là những biểu thức có cùng bậc ba. Ta gọi phương trình dạng này là phương trình đẳng cấp(bậc 3). Nếu y 6= 0, chia hai vế của phương trình (1) cho y 3 (hoặc nếu x 6= 0, chia hai vế cho x3 ). ® ○ Xét y = 0 hệ đã cho trở thành x3 = 0 x2 − x − 7 = 0 vô nghiệm. ○ Xét y 6= 0, chia hai vế cho y 3 ta được x ñ Å ã3 Å ã2 =1 x=y x x x y (1) ⇔ ⇔ −6 + 9 − 4 = 0 ⇔ x y y y x = 4y. =4 y ○ Với x = y thế vào (2) ta được (2) ⇔ y 2 − 5y 2 − y − 7 = 0 ⇔ −4y 2 − y − 7 = 0 vô nghiệm. ○ Với x = 4y thế vào (2) được  y=1⇒x=4 (2) ⇔ 16y 2 − 5y 2 − 4y − 7 = 0 ⇔ 11y 2 − 4y − 7 = 0 ⇔  28 7 y=− ⇒x=− . 11 11 ® Vậy hệ có 2 nghiệm  28  x = − x=4 11 hay  y=1 y = − 7 . 11 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 188 Bài 1. Giải các hệ phương trình ® 1 2 x − 5xy + 6y = 0 (1) 2 4x + 2xy + 6x − 27 = 0. ® 3 2 2y 2 − x2 = 1 3 (2) 2 2x − y = 2y − x. ® 4 (2) 2x + y … 2y =3 x (1)   x − y + xy = 3. (1) 3    (2) x3 − 2y 3 = x + 4y 2 (1) 2 13x − 41xy + 21y = −9. (2) ý Lời giải. 1) Ta xét các trường hợp sau ® ○ Với y = 0 hệ đã cho trở thành x2 = 0 4×2 + 6x + 27 = 0 vô nghiệm. ○ Với y 6= 0. Phương trình (1) là đẳng cấp (bậc 2). Chia hai vế của (1) cho y 2 ta được x ñ Å ã2 Å ã =2 x = 2y x x y (1) ⇔ 2 −5 + 6 = 0 ⇔ x ⇔ y y x = 3y. =3 y • Với x = 2y thế vào phương trình (2) ta được  3 y = − ⇒ x = −3  2 16y 2 + 4y 2 + 12y − 27 = 0 ⇔ 20y 2 + 12y − 27 = 0 ⇔  9 9 y= ⇒x= . 10 5 • Với x = 3y, thay vào phương trình (2) ta có √ √  −3 − 3 15 −9 − 9 15 ⇒x= y = 14 √ 14 √ 36y 2 + 6y 2 + 18y − 27 = 0 ⇔ 42y 2 + 18y − 27 = 0 ⇔   −3 + 3 15 −9 + 9 15 y= ⇒x= . 14 14 Hê phương trình có 4 Ç nghiệm å Ç √ √ √ å √ là Å ã Å ã 9 9 9 3 15 3 9 9 15 3 3 15 3 9 15 ; ; − ; − ; − − ;− − . −3; − ; 2 5 10 14 14 14 14 14 14 14 14 2) Điều kiện xy > 0. (1) ⇔ ⇔ … 2x 2y 2x 2y 2x 2y + +2 =9⇔ + +4=9 y x y x y x 2x 2y + = 5 ⇔ 2×2 − 5xy + 2y 2 = 0 (∗) y x Phương trình (∗) là đẳng cấp (bậc 2). Chia cả hai vế của (∗) cho y 2 6= 0 ta được x 1 ñ Å ã2 = y = 2x x x y 2 2 − 5 + 2 = 0 ⇔ x ⇔ y y x = 2y. =2 y ○ Với y = 2x thế vào phương trình (2) ta được  x = −1 ⇒ y = −2 x − 2x + 2×2 = 3 ⇔ 2×2 − x − 3 = 0 ⇔  3 x = ⇒ y = 3. 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 4 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 189 ○ Với x = 2y, thay vào phương trình (2) ta có  y=1⇒x=2 2y − y + 2y 2 = 3 ⇔ 2y 2 + y − 3 = 0 ⇔  3 y = − ⇒ x = −3. 2 ã Å ã Å 3 3 ; 3 ; (2; 1). Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là −3; − ; (−1; −2); 2 2 Cách khác. Hệ phương trình còn có dạng đối xứng loại 1. 3) Phương trình (1) và (2) không là đẳng cấp, nhưng thế (1) vào (2) ta được:  (2) ⇔ 2×3 − y 3 = (2y − x) 2y 2 − x2 ⇔ x3 + 2×2 y + 2xy 2 − 5y 3 = 0. ® ○ Nếu y = 0 thì hệ đã cho tương đương x2 = −1 2×3 = −x (*) vô nghiệm. ○ Nếu y 6= 0. Phương trình (∗) là đẳng cấp (bậc 3). Chia cả hai vế của (∗) cho y 3 ta được Å ã3 Å ã2 Å ã x x x x +2 +2 −5=0⇔ =1⇔x=y y y y y Thay vào phương trình (1) ta được 2 2 2y − y = 1 ⇔ ñ y=1⇒x=1 y = −1 ⇒ x = −1. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (−1; −1) và (1; 1). 4) Xét các trường hợp sau ® ○ Nếu y = 0 hệ đã cho tương đương x3 − x = 0 13×2 = −9 vô nghiệm. ○ Nếu y 6= 0. Phương trình (1) và (2) không là đẳng cấp. Nhân hai vế của phương trình (1) cho −9 rồi thế (2) vào (1) ta được:   (2) ⇔ −9 x3 − 2y 3 = (x + 4y) 13×2 − 41xy + 21y 2 ⇔ 22×3 + 11×2 y − 143xy 2 + 66y 3 = 0 (∗) Phương trình (∗) là đẳng cấp bậc ba. Chia hai vế của (∗) cho y 3 ta được x = −3  y y = 2x Å ã2 Å ã Å ã3  1 x x x x  + 11 − 143 + 66 = 0 ⇔  = ⇔ x = 2y 22 y 2 y y y x x = −3y. =2 y • Với y = 2x, thay vào phương trình (2) ta được 13×2 − 82×2 + 84×2 = −9 ⇔ 15×2 = −9 vô nghiệm. • Với x = −3y thay vào (2) ta được 117y 2 + 123y 2 + 21y 2 = −9 ⇔ 261y 2 = −9 vô nghiệm. • Với x = 2y thay vào phương trình (2) ta được 2 2 2 2 52y − 82y + 21y = −9 ⇔ y = 1 ⇔ Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (2; 1) và (−2; −1). Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ñ y = −1 ⇒ x = −2 y=1⇒x=2 . # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 190 # Ví dụ 1. Giải hệ phương trình xy + x + 1 = 7y x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 . ý Lời giải. ® ○ Xét y = 0. Hệ trở thành x+1=0 1=0 vô nghiệm. ○ Xét y 6=0. Chia hai vế của phương trình đầu cho y và chia hai vế của phương trình sau cho y 2 ta được hệ tương x + x + 1 = 7   y y (I) đương x 1   x2 + + 2 = 13 y y ○ Đặt ẩn phụ.  1 1   x + x · y + y = 7 Cách 1. Hệ (I) viết lại thành 1 1  2  x + x · + 2 = 13. y y  ® ® u = x u + v + uv = 7 u + uv + v = 7 ○ Đặt ⇔ (a). 1 , hệ (I) trở thành 2 2 v = (u + v)2 − uv = 13 u + uv + v = 13 y Đây là hệ đối ® xứng loại 1. Đặt S = u + v, P = u · v. S+P =7 (1) (a) trở thành . 2 S − P = 13 (2) Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta được ñ S = −5 ⇒ P = 12 S 2 + S = 20 ⇔ S 2 + S − 20 = 0 ⇔ S = 4 ⇒ P = 3. Khi đó u và v là nghiệm của phương trình 2 ñ X=1 2 X + 5X + 12 = 0 (vô nghiệm) hoặc X − 4X + 3 = 0 ⇔ X = 3. ® ® u=1 u=3 Vậy hoặc v=3 v = 1.   x = 1  x = 1  1   = 3  y = 1  y   ⇔ ® Suy ra   3   x = 3   x=3  1  =1 y = 1. y  ® x = 1 x=3 và Vậy hệ có hai nghiệm y = 1 y = 1. 3 ã Å 1 x    x+ y + y =7 Cách 2. Ta có (1) ⇔ Å (∗) ã2    x + 1 − x = 13. y y  1 ®  u = x + u+v =7 (3) y ○ Đặt , (∗) trở thành . 2 x  u − v = 13 (4) v = y ○ Lấy (3) cộng với (4) theo từng vế ta được: 2 2 u + u = 20 ⇔ u + u − 20 = 0 ⇔ ñ u = −5 ⇒ v = 12 u = 4 ⇒ v = 3. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 191  1 ®  x + = −5 xy + 1 = −5y (5) y Trường hợp 1. ⇔ x  x = 12y. (6)  = 12 y Thế x = 12y vào (5) ta được 12y 2 + 1 = −5y ⇔ 12y 2 + 5y + 1 = 0 vô nghiệm.  1 ®  x + = 4 xy + 1 = 4y (7) y Trường hợp 2. ⇔ x  x = 3y. (8)  =3 y  y=1⇒x=3 Thế x = 3y vào phương trình (7) ta được 3y 2 + 1 = 4y ⇔ 3y 2 − 4y + 1 = 0 ⇔  1 y = ⇒ x = 1. 3  ® x = 1 x=3 Vậy hệ có hai nghiệm và 1 y = y = 1. 3 5 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Giải hệ phương trình ® xy + x − 1 = 3y 1 x2 y − x = 2y 2 .  2×2 + x − 1 = 2 y 3  2 y − y x − 2y 2 = −2. ® 2 x2 + y 2 + xy + 1 = 4y y(x + y)2 = 2×2 + 7y + 2.  x(x + y + 1) − 3 = 0 4 (x + y)2 − 5 + 1 = 0. x2 ý Lời giải. 1 Điều kiện y 6= 0. ã  Å x 1 x 1     x + − = 3 x − + =3   y y y y Å ã (I). Hệ phương trình ⇔ ⇔ 2   x 1 x x    −  x − = 2 = 2 y y y y2  1 ®  u = x − u+v =3 y Đặt . Hệ (I) trở thành x  u · v = 2. v = y 2 Nên u và ® v là nghiệm®của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ X = 1, X = 2. u=1 u=2 Suy ra hoặc . v=2 v=1   1 1   x − = 2 x − = 1 y y hoặc x Suy ra x    = 1.  =2 y y ® y=1    1  x=2 ® 1 1  = 1 x −  x − = 1 2y − = 1  2y 2 − y − 1 = 0  y y y Giải hệ x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   y = − 1    x = 2y  =2  x = 2y x = 2y 2 y  x = −1. ( √ y =1− 2   1  √ ® 2  x − = 2 y − 1 = 2  x=1− 2 y − 2y − 1 = 0  y y Giải hệ x ⇔ ⇔ ⇔ ( √  y =1+ 2   x=y  =1  x=y √ y x = 1 + 2.  ( √ ( √ x = −1 ®x = 2 x = 1 − 2 x = 1 + 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm 4 nghiệm là ; ; √ ; √ . y = − 1 y = 1 y = 1 − 2 y = 1 + 2 2 Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 192  2 x +1    y +x+y =4 Hệ phương trình ⇔ 2   (x + y)2 − 2 x + 1 = 7 y  2 x + 1 u = y Đặt  v = x + y. ® u=9 ®  u+v =4  v = −5 Hệ (I) trở thành ⇔ ® 2  u=1 v − 2u = 7 (I) v = 3.   2 ® 2 (−5 − y)2 + 1 x + 1   u=9 y + y + 26 = 0 =9 =9 y y ⇔ ⇔ vô nghiệm. Với ⇔   v = −5 x=9−y x + y = −5 x = −5 − y ® y=2   2 2 ® 2 ® x +1 (3 − y) + 1    u=1 y − 7y + 10 = 0 =1 =1  x=1 y y ⇔ Với ⇔ ⇔ ⇔ ®  y=5   v=3 x=1−y x+y =3 x=3−y x = −2. ® ® x = −2 x=1 và Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là y=5 y = 2. ® 3 Điều kiện y 6= 0.  1 2   2x + x − y − 2 = 0 Hệ phương trình ⇔ 2 1    2 + − x − 2 = 0. y y  u = x Đặt 1 v = . y  u = −1; v = −1 u = 1; v = 1  ® 2  √ √ 2u + u − v − 2 = 0  −1 − 3 3−1 ⇔ Hệ đã cho trở thành  ;v = u = 2v 2 + v − u − 2 = 0 2 2√  √  3−1 −1 − 3 u= ;v = 2 2 √  √ ® ®  3  1 x = 3 − 1  x = −1 x = 1 x = − − Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là ; ; 2 2 ; 2 2.  y = −1 y = 1  y = 1 − √3 y = 1 + √3  3  x + y + 1 − = 0 x 4 Hệ phương trình ⇔  (x + y)2 − 5 + 1 = 0 x2  u = x + y . Hệ (I) trở thành Đặt v = 1 x  ® 1 1 u + 1 − 3v = 0 u = ;v =  2 2 ⇔ u2 − 5v 2 + 1 = 0 u = 2; v = 1.    u = 1 x + y = 1   x = 2 2 ⇔ 2 ⇔ Với .   y = − 3 v = 1 1 = 1 2 2 ® x 2® u=2 x=1 Tương tự với ⇔ v=1 y = 1. (I) h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 2 Điều kiện y 6= 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là B 193  x = 1 x = 2 ; 3 y = 1 y = − . 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác tăng lên 17cm2 . Nếu giảm các cạnh góc vuông đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm đi 11cm2 . Tính diện tích tam giác ban đầu. √ √ A 50cm2 . B 25cm2 . C 50 5cm2 . D 50 2cm2 . ý Lời giải. xy Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là xcm, ycm, x > y (x > 3, y > 1). Diện tích của tam giác là Theo bài ra 2  (x + 2)(y + 2) xy ®   − = 17 x = 10 2 2 ta có hệ phương trình ⇔ .  y = 5.  (x − 3)(y − 1) − xy = −11 2 2 xy = 25cm2 . Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là 5cm và 10cm. Suy ra diện tích của tam giác ban đầu là 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 5 2 lần lượng nước của vòi thứ hai. hỏi vòi thứ hai chảy riêng một mình thì bao lâu sẽ đầy bể? A 12 giờ. B 10 giờ. C 8 giờ. D 3 giờ. ý Lời giải. Gọi thời gian vòi thứ nhất và thứ hai chảy riêng một mình đầy bễ lần lượt là x giờ và y giờ. Mỗi giờ vòi thứ nhất và 1 1 thứ hai chảy được lần lượt là bể và bể. Theo bài ra ta có hệ phương trình x y  1 3 1  ®  x = 2 · y x=8 Å ã ⇔ 1 1 24  y = 12.   + =1 5 x y Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Câu 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng: khi ta tăng mỗi cạnh lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2 ; khi ta giảm chiều dài của cạnh này là 3 cm và cạnh kia 1 cm thì diện tích giảm 11cm2 . A 5 cm và 10 cm. B 4 cm và 7 cm. C 2 cm và 3 cm. D 5 cm và 6 cm. ý Lời giải. xy Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x cm, y cm, x > y (x > 3, y > 1). Diện tích của tam giác là Theo bài ra 2  (x + 2)(y + 2) xy ®   − = 17 x = 10 2 2 ta có hệ phương trình ⇔ .  y = 5.  (x − 3)(y − 1) − xy = −11 2 2 Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là 5 cm và 10 cm. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 ® x + y2 = 1 x+y =S Câu 4. Ta đặt thì hệ phương trình thành xy = P x3 y + xy 3 = 2 ® ® 2 ® 2 ® 2 S+P =1 S − 2P = 1 S + 2P = 1 S − 2P = 1 A . B . C . D . P =2 P =2 P =2 S=2 ý Lời giải. ® 2 ® 2 ® x + y2 = 1 x + y2 = 1 (x + y)2 − 2xy = 1 Viết lại ⇔ ⇔ . xy = 2 x3 y + xy 3 = 2 xy(x2 + y 2 ) = 2 ® ® 2 ® x + y2 = 1 x+y =S S 2 − 2P = 1 Khi đặt thì hệ phương trình thành xy = P P = 2. x3 y + xy 3 = 2 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 194 Câu 5. Cho hệ phương trình x2 + y 2 nhỏ nhất? 4 A m=− . 5 ý Lời giải. ® x + 2y = m − 1 x + 2y = m − 1 2x − y = 3m + 3 3 B m=− . 2 . Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho C m= 1 . 2 D m = −1.  7m + 5  x = 2x + 4y = 2m − 2 5 ⇔ ⇔ . −m −5  2x − y = 3m + 3 2x − y = 3m + 3 y = 5Å ã (7m + 5)2 + (m + 5)2 16 4 2 18 18 2 2 2 x +y = = 2m + m + 2 = 2 m + + ≥ . 25 5 5 25 25 4 Vậy x2 + y 2 nhỏ nhất khi m = − . 5 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x − 4y = 5 Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình là 2x − 5y = 7 ® A (−1; −1). ý Lời giải. B (1; 1). ® Nghiệm của hệ đã cho là C (1; −1). D (−1; 1). x=1 y = −1. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x − 2y = 1 Câu 7. Hệ phương trình vô nghiệm khi 2x + my = −1 1 A không có m. B m = −4. C m=− . D m 6= −4. 4 ý Lời giải. 1 −2 1 Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi = 6= ⇔ m = −4. 2 m −1 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2m 2   x − 1 + y = 3 Câu 8. Nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp m 6= 0 là m y+6    + =5 x−1 y ã Å 1 1 A (1; 0). B (m + 1; 2). C ; . D (3; m). m 2 ý Lời giải.  2m 2   + =3  x−1 y Điều kiện x 6= 1, y 6= 0. Hệ được viết lại (I) 6  m   + = 4. x−1 y 1 1 Đặt u = , v = với u 6= 0, v 6= 0. x®− 1 y 2m · u + 2v = 3 (1) Hệ (I) ⇔ . m · u + 6v = 4 (2) ® x=m+1 1 1 Khi m 6= 0 dùng phương pháp công đại số ta tìm được u = , v = . Suy ra m 2 y = 2. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® mx + y = m − 3 Câu 9. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi 4x + my = −2 ® m 6= 2 A m = ±2. B m = −2. C m = 2. D . m 6= −2 ý Lời giải. m 1 m−3 Hệ có vô số nghiệm ⇔ = = ⇔ m = 2. 4 m −2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® Câu 10. Tìm a để hệ phương trình A a = −1. ý Lời giải. ax + y = a2 x + ay = 1 195 vô nghiệm. B a = 1 hoặc a = −1. C a = 1. D không có a. a 1 a2 = 6= ⇔ a = −1. 1 a 1 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® mx + y + m = 0 vô nghiệm Câu 11. Tìm tham số m để hệ phương trình x + my + m = 0 Hệ vô nghiệm ⇔ A m = −1. ý Lời giải. B m = 1. C m = 0. D m 6= 1. m 1 m = 6= ⇐ m = −1. 1 m m ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2x + 3y + 4 = 0 Câu 12. Hệ phương trình 3x + y − 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi   2mx + 5y − m = 0 10 10 . A m= B m = 10. C m = −10. D m=− . 3 3 ý Lời giải. ® x=1 Từ hai phương trình đầu có chung nghiệm duy nhất là . y = −2 ® x=1 Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình 2mx + 5y − m = 0 phải có nghiệm y = −2 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ ⇔ 2m − 10 − m = 0 ⇔ m = 10. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® xy + x + y = 11 Câu 13. Hệ phương trình x2 y + xy 2 = 30 A có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5). B có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5). C có 1 nghiệm là (5; 6). D có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1). ý Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy với S 2 − 2P ≥ 0. Hệ đã cho trở thành ® S + P = 11 . Vậy S và P là nghiệm của phương trình X 2 − 11X + 30 = 0 ⇔ X = 5; X = 6. S ·®P = 30 ® S=5 S=6 Vậy hoặc . P =6 P =5 ® S=5 ® x+y =5 , nên x, y là nghiệm của phương trình t2 − 5t + 6 = 0 ⇐ t = 2; t = 3. xy = 6 P =6 Suy ra (x; y) = (2; 3) hoặc (x; y) = (3; 2). ® ® S=6 x+y =6 ○ Với ⇒ , nên x, y là nghiệm của phương trình t2 − 6t + 5 = 0 ⇐ t = 1; t = 5. P =5 xy = 5 Suy ra (x; y) = (1; 5) hoặc (x; y) = (5; 1). ○ Với ⇒ Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1). ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x + y2 = 1 Câu 14. Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi y =x+m √ √ A m = 2. B m = − 2. √ √ C m = 2 và m = − 2. D m tùy ý. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 196 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1   = y + 5x x Câu 15. Hệ phương trình 1 có bao nhiêu cặp nghiệm (x, y) mà x 6= y?   = x + 5y y A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải.  1  x =  2   1  1  ® ® ñ ®     y=− = y + 5x x = −y 1 = xy + 5×2 x2 − y 2 = 0  2 x ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ x = y (loại) 1 1   1 = 4×2 1 = xy + 5y 2 1 = xy + 5×2  = x + 5y  x = − y  2  .  y = 1 2 Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 3x − my = 1 Câu 16. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có đúng một nghiệm. − mx + 3y = m − 4 A m 6= 3 hay m 6= −3. B m 6= 3 và m 6= −3. C m 6= 3. D m 6= −3. ý Lời giải. Ta có định thức của hệ phương trình D = 9 − m2 . Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì D 6= 0 ⇔ m 6= ±3. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x · y + x + y = 11 Câu 17. Hệ phương trình x2 y + xy 2 = 30 A có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5). B có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5). C có 1 nghiệm là (5; 6). D có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1). ý Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S 2 ≥ 4P . Khi đó hệ phương trình tương đương ® S=5 ®  S + P = 11  P =6 ⇔ ®  S=6 SP = 30 ® TH 1. P =6 ® TH 2. S=5 S=6 P =5 ® ⇔ xy = 6 ® ⇔ x+y =5 x+y =6 xy = 5 ® ⇔ x(5 − x) = 6 ® ⇔ y =5−x y =6−x x(6 − x) = 5 ⇔ ⇔ P = 5. ñ x = 3, y = 2 x = 2, y = 3. ñ x = 5, y = 1 x = 1, y = 5. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x + y2 = 1 Câu 18. Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi y =x+m √ √ A m = 2. B m = − 2. √ √ C m = 2 và m = − 2. D m tùy ý. ý Lời giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với ® 2 ® y =x+m x + (x + m)2 = 1 ⇔ y =x+m 2×2 + 2mx + m2 − 1 = 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® 2 ® 2 x + (x + m)2 = 1 2x + 2xm + m2 − 1 = 0 x2 + y 2 = 1 ⇔ ⇔ y =x+m y =x+m y = x + m. Để hệ phương trình ban đầu có đúng một nghiệm thì phương trình 2×2 + 2xm + m2 − 1 = 0 có đúng một nghiệm √ ⇔ ∆0 = m2 − 2m2 + 2 = 0 ⇔ m = ± 2. ß h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 197 Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2×2 + 2mx + m2 − 1 = 0 có nghiệm duy nhất ” √ m = 2 ∆0 = 0 ⇔ m2 − 2m2 + 2 = 0 ⇔ √ m = − 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® |x − 1| + y = 0 Câu 19. Hệ phương trình có nghiệm là 2x − y = 5 A x = −3; y = 2. B x = 2; y = −1. C x = 4; y = −3. D x = −4; y = 3. ý Lời giải.  − 2x + 5 ≥ 0     ®   ® y = 2x − 5   − 2x + 5 ≥ 0 ß   y = 2x − 5 ñ |x − 1| + y = 0  ⇔  x − 1 = 2x − 5 ⇔ ⇔ x = 4, y = 3 2x − y = 5   |x − 1| = −2x + 5 ®     y = 2x − 5  x = 2, y = −1.    x − 1 = −2x + 5 Vậy x = 2, y = −1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® mx + 3y = 2m − 1 có nghiệm duy nhất với giá trị của m là Câu 20. Hệ phương trình x + (m + 2)y = m + 3 ñ ® m 6= 1 m 6= 1 . . A m 6= 1. B m 6= −3. C D m 6= −3 m 6= −3 ý Lời giải. Ta có định thức của hệ phương trình D = m(m + 2) − 3. ® m 6= 1 2 Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì D 6= 0 ⇔ m + 2m − 3 6= 0 ⇔ . m 6= −3 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® mx + (m + 4)y = 2 Câu 21. Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình vô nghiệm m(x + y) = 1 − y   ñ 1 m−2 m=1 m=−   2. A m = 0. B C D . 1. m=2 m= m = 3 2 ý Lời giải. ® ß mx + (m + 4)y = 2 mx + (m + 4)y = 2 ⇔ m(x + y) = 1 − y mx + (m + 1)y = 1. Ta có định thức của hệ phương trình D = m(m + 1) − m(m + 4) = −3m, Dx = 2(m + 1) − m − 4 = m − 2, Dy = m − 2m = −m. ® ® D=0 m=0 Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì ⇔ 2 2 Dx + Dy 6= 0 Dx2 + Dy2 6= 0. Vậy m = 0 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2 3    x + y = 13 Câu 22. Hệ phương trình có nghiệm là 3 2    + = 12 x y 1 1 1 1 1 1 A x = ;y = − . B x = ;y = . C x = − ;y = . D vô nghiệm. 2 3 2 3 2 3 ý Lời giải. 1 1 Đặt d = , b = . Khi đó hệ viết lại x y  1 ® ®  x = 2a + 3b = 13 a=2 2 ⇔ ⇔  3a + 2b = 12 b=3 y = 1 . 3 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 198 Câu 23. Tìm a để hệ phương trình ax + y = a2 vô nghiệm. x + ay = 1 B a = 1 hoặc a = −1. C a = −1. A a = 1. D không có a. ý Lời giải. Ta có định thức của hệ phương trình D = ® a2 − 1, Dx = a3 − ® 1, Dy = a − a2 . a=± D=0 ⇔ a = −1. ⇔ Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì 2 2 Dx2 + Dy2 6= 0 Dx + Dy 6= 0 Vậy m = 0 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  x+y+z =9    1 1 1 + + =1 Câu 24. Nghiệm của hệ phương trình là  x y z    xy + yz + zx = 27 A (1; 1; 1). B (1; 2; 1). C (2; 2; 1). D (3; 3; 3). ý Lời giải. Hệ tương đương với     x+y+z =9 x + y + z = 9 xy + yz + zx = xyz ⇔ xy + yz + zx = 27   xy + yz + zx = 27 xyz = 27. Khi đó x, y, z là ba nghiêm của phương trình X 3 − 9X + 27X − 27 = 0 ⇔ X = 3. Khi đó nghiệm của hệ phương trình đã cho là (3; 3; 3). ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7  x + y + xy = 2 có nghiệm là Câu 25. Hệ phương trình  x2 y + xy 2 = 5 2 ã Å ã Å 1 1 A (3; 2); (−2; 1). B (0; 1); (1; 0). C (0; 2); (2; 0). D 2; ; ;2 . 2 2 ý Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S 2 ≥ 4P . Khi đó hệ phương trình tương đương  S = 1  (loại).  7   P = 5 S + P =  2 ⇔  2    S = 5 SP = 5  2 2  P = 1.    1 x + y = 5 y = 5 − x x = ,y = 2  2 2 2 ⇔ Khi đó ⇔ 1   2 xy = 1 2x − 5x + 2 = 0 x = 2y = . 2 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x + y + xy = 5 Câu 26. Hệ phương trình có nghiệm là x2 + y 2 + xy = 7 A (2; 3) hoặc (3; 2). B (1; 2) hoặc (2; 1). C (−2; −3) hoặc (−3; −2). D (−1; −2) hoặc (−2; −1). ý Lời giải. Hệ phương trình tương đương với ß x + y + xy = 5 (x + y)2 − xy = 7  Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S 2 ≥ 4P . Khi đó hệ phương trình tương đương ® P =9 ® ®  S = −4 loại S+P =5 P =5−S  ⇔ ⇔ ®  S=3 S2 − P = 7 S 2 + S − 12 = 0 P = 2. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® ® x+y =3 y =3−x 199 ñ x = 1, y = 2 ⇔ ⇔ xy = 2 x(3 − x) = 2 x = 2, y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2), (2; 1). ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x + y + xy = 11 có nghiệm là Câu 27. Hệ phương trình x2 + y 2 + 3(x + y) = 28 Khi đó A (3; 2); (2; 3). B (−3; −7); (−7; −3). C vô nghiệm. D (3; 2); (2; 3); (−3; −7); (−7; −3). ý Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S 2 ≥ 4P . Khi đó hệ phương trình tương đương ® ® S + P = 11 2 S − 2P + 3S = 28 ⇔ P = 11 − S S 2 + 5S + 50 = 0 vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 3 x = 3x + 8y Câu 28. Hệ phương trình có nghiệm là (x; y) với x 6= 0 và y 6= 0 là y 3 = 3y + 8x √ √ √ √ √ √ A (− 11; − 11); ( 11; 11). B (0; 11); ( 11; 0). √ √ C (− 11; 0). D ( 11; 0). ý Lời giải. ” √ ® 3 ® 3 ® ® x=y x = 3x + 8y x − y 3 = 5(y − x) (x − y)(x2 + y 2 + xy + 5) = 0 x = y = 11 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ x3 = 11x y 3 = 3y + 8x x3 = 3x + 8y x3 = 3x + 8y x = y = − 11. (vì x2 + y 2 + xy + 5 > 0 với mọi x, y) ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x = 5x − 2y Câu 29. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình y 2 = 5y − 2x. A (3; 3). C (1; 1); (2; 2); (3; 3). ý Lời giải. B (2; 2); (3; 1); (−3; 6). D (−2; −2); (1; −2); (−6; 3). ® ® x=y x=y=0  2   x = 3x  x=y=3 x = 5x − 2y x − y = 7(x − y) ⇔ ⇔ ⇔ ®   ®y = 7 − x 2 2 y = 5y − 2x x = 5x − 2y  x+y =7  vô nghiệm. 2 x2 − 7x + 14 = 0 x = 5x − 2(7 − x) Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; 3). ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x +y =6 Câu 30. Hệ phương trình co bao nhiêu nghiệm? y2 + x = 6 ® 2 ® 2 2 A 6. ý Lời giải. B 4. C 2. D 0. ® ® x=y ñ  2  x +x−6=0 x − y − (x − y) = 0 x = y = −3 ⇔ ⇔ ®  2 x = y = 2. x +y =6  y =1−x vô nghiệm 2 x −x+5=0 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x = 3x − y Câu 31. Hệ phương trình có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y)? y 2 = 3y − x A 1. ý Lời giải. B 2. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie C 3. D 4. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 200 x=y ñ  2  x = 2x x = 3x − y x − y = 4(x − y) x=y=2  ⇔ ⇔ ® ⇔ 2 2 x = y = 0. y = 3y − x x = 3x − y  x+y =4 2 x = 3x − (4 − x) Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x+y =4 . Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 32. Cho hệ phương trình x2 + y 2 = m2 ® 2 ® 2 2 A Hệ phương trình có nghiệm với mọi m. √ B Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi |m| ≥ 8. C Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ |m| ≥ 2. D Hệ phương trình luôn vô nghiệm. ý Lời giải. Hệ phương trình tương đương ® y =4−x 2×2 − 8x + 16 − m2 = 0.  có ∆0 = 16 − 2 16 − m2 = 2m2 − 16. √ Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2×2 −8x+16−m2 = 0 có nghiệm 2m2 −16 ≥ 0 ⇔ |m| ≥ 8. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 3x − 4xy + 2y 2 = 17 Câu 33. Cho hệ phương trình . Hệ thức biểu diễn x theo y rút ra từ hệ phương trình là y 2 − x2 = 16 y−2 y+2 y−3 y+3 hay x = . hay x = . A x= B x= 2 2 2 2 y−1 y+1 5 3 C x= hay x = . D x= y hay x = y. 2 2 13 5 ý Lời giải.   Nhân chéo hai phương trình ta được 16 3×2 − 4xy + 2y 2 = 17 y 2 − x2 ⇔ 65×2 − 64xy + 15y 2 = 0. (1) x 2 Vì khi y = 0 không không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chia hai vế (1) cho y và đặt t = ta được y  5 t=  13 65t2 − 64t + 15 = 0 ⇔  3 t= . 5 5 3 y hay x = y. 13 5 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® mx + y = 3 Câu 34. Cho hệ phương trình . Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình có nghiệm x + my = 2m + 1 nguyên 1à A m = 0, m = −2. B m = 1; m = 2; m = 3. C m = 0; m = 2. D m = 1; m = −3; m = 4. ý Lời giải. Ta có định thức của hệ phương trình D = m2 − 1, Dx = 3m − 2m − 1 = m − 1, Dy = 2m2 + m − 3. Để hệ phương trình trên có nghiệm thì D 6= 0 ⇔ m 6= ±1.  D 1 x   = x = D m+1 Khi đó D 2m +3 1  y y =  = =2+ . D m+1 m+1 ñ m+1=1 Khi đó để hệ có nghiệm nguyên thì m + 1 là ước của 1, hay ⇔ m = 0, m = −2. m + 1 = −1 Vậy m = 0, m = −2 thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khi đó x = h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam ® Câu 35. Cho hệ phương trình √ √ A (1; 2), ( 2; 2). 201 2×2 + y 2 + 3xy = 12 2(x + y)2 − y 2 = 14 √ √ B (2; 1), ( 3; 3). . Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là å ã Å ã ã Ç√ Å Å √ 2 2 1 2 √ C ;3 , 3, √ . D ;1 , ; 3 . 3 2 3 3 ý Lời giải. ® 2 ß 2x + y 2 + 3xy = 12 2×2 + y 2 + 3xy = 12 ⇔ 2(x + y)2 − y 2 = 14 2×2 + y®2 + 4xy = 14. ® a + 3b = 12 a=6 Đặt a = 2×2 + y 2 , b = xy, ta được ⇔ ⇔ a + 4b = 14 b = 2. ® 2 ® ® 2 xy = 2 xy = 2 2x + y = 6 x Khi đó ⇔ ⇔ với t = . 2 2 2 y xy = 2 2x + y = 3xy 2t − 3t + 1 = 0  x=y=1  ñ 2 x = y = −1 t=1  x =2 ⇔ Suy ra  1 ⇔ x = √2, y = √2 2 2x = 2 t=  2 √ √ x = − 2, y = − 2. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 3 x − 3x = y 3 − 3y Câu 36. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm? x6 + y 6 = 27 A 5. ý Lời giải. B 2. C 6. D 4. ® ß x3 − 3x = y 3 − 3y ⇔ x6 + y 6 = 27 ® x=y  6  x + x6 = 27 (x − y)(x + y + xy − 3) = 0 ® ⇔  x2 + y 2 + xy = 3 x6 + y 6 = 27  2 2 x6 + y 6 = 27. ® TH 1. 6 … 6 x + x = 27 ® TH 2. x=y ⇔x=y=±6 x2 + y 2 + xy = 3 6 6 x + y = 27 ( ⇔ 27 . 2 x2 + y 2 + xy 6 3 = 27 6 ⇒ x2 + y 2 + xy 3 x + y = 27 = x6 + y 6 . (1) ○ Nếu y = 0 thì hệ trở thành √ 0 = x3 − 3x ⇔ x = ± 3. x6 = 27 Ä√ ä Ä √ ä 3; 0 ; − 3; 0 . Khi đó hệ có hai cặp nghiệm ß ○ Nếu y 6= 0, ta chia hai vế (1) cho y 6 , đặt t = x . Khi đó ta được y  t=0  √  t=0  1 −3 − 6  Å ã ã Å  (loại) t 3t4 + 6t3 + 7t + 6t + 3 = 0 ⇔  ⇔ t + t = 1 1 3√  3 t2 + 2 + 6 t + +7=0  t t 1 −3 + 6 t+ = (loại) t 3 Å ã 1 vì t + ≥2 . t Suy ra t = 0 ⇔ x = 0. Hệ trở thành ß √ 0 = y 3 − 3y ⇔y=± 3 6 y = 27 Ä √ ä Ä √ ä Khi đó hệ có hai cặp nghiệm 0; 3 ; 0; − 3 . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 202 A 1. B vô nghiệm. C 2. D 3. ý Lời giải. Điều kiện xác√định x ≥ 1, y ≥ 1. √ Khi đó 2x + y − 1 ≥ 2 nên phương trình 2x + y − 1 = 1 vô nghiệm. Do đó hệ phương trình vô nghiệm. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x+y =m+1 Câu 38. Cho hệ phương trình và các mệnh đề x2 y + y 2 x = 2m2 − m − 3 (I) Hệ có vô số nghiệm khi m = −1. (II) Hệ có nghiệm khi m > 3 . 2 (III) Hệ có nghiệm với mọi m. Các mệnh đề nào đúng? A Chỉ (I). B Chỉ (II). ý Lời giải. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với ® C Chỉ (III). D Chỉ (I) và (III). x+y =m+1 xy(m + 1) = (2m − 3)(m + 1). ® ○ Khi m = −1 thì hệ trở thành x+y =0 xy · 0 = 0 ⇔ x = −y. Khi đó hệ có vô số nghiệm, với tập nghiệm S = {(x; −x)|x ∈ R}. ○ Khi m 6= −1. Hệ đã cho trở thành ® x+y =m+1 xy = (2m − 3) có nghiệm khi (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (m + 1)2 ≥ 4(2m − 3) ⇔ m2 − 6m + 13 ≥ 0 ⇔ (m − 3)2 + 4 ≥ 0 luôn đúng với mọi m 6= −1. Do đó hệ có nghiệm với mọi m. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x + y = 2a + 1 Câu 39. Cho hệ phương trình . Giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) x2 + y 2 = a2 − 2a + 3 và tích x · y nhỏ nhất là A a = 1. B a = −1. C a = 2. D a = −2. ý Lời giải. Hệ tương đương với  ® x + y = 2a + 1 x + y = 2a + 1 2 ⇔ xy = 3a + 6a − 2 . (x + y)2 − 2xy = a2 − 2a + 3 2 Để hệ phương trình tên có nghiệm thì √ √ −4 − 26 −4 + 26 (x + y) ≥ 4xy ⇔ (2a + 1) ≥ 6a + 12a − 4 ⇔ 2a + 8a − 5 ≤ 0 ⇔ ≤a≤ . 2 2 √ √ 3a2 + 6a − 2 −4 − 26 −4 + 26 Ta có xy = = f (a) với ≤a≤ có bảng biến thiên như sau 2 2 2 2 2 2 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Vậy hệ có 6 cặp nghiệm. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p ® 2x + y − 1 = 1 Câu 37. Hệ phương trình có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y)? √ 2y + x − 1 = 1 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam √ −4 − 26 2 x Ç f 203 √ −4 + 26 2 −1 √ å −4 − 26 2 Ç f √ å −4 + 26 2 y − 5 2 Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất khi a = −1. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2x − y = 2 − a . Tìm tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương Câu 40. Cho hệ phương trình x + 2y = a + 1 trình đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 A a = 1. B a = −1. C a= . D a=− . 2 2 ý Lời giải. ® ® x=1−a 2x − y = 2 − a ⇔ y = a. x + 2y = a + 1 ã Å √ 1 2 1 1 2 2 2 2 2 Khi đó x + y = (1 − a) + a = 2a − 2a + 1 = 2a − √ + ≥ . 2 2 2 √ 1 1 1 2 2 Khi đó x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 2a − √ = 0 ⇔ a = . 2 2 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   mx − (m + 1)y = 3m Câu 41. Tìm tham số m để hệ phương trình x − 2my = m + 2 có nghiệm.   x + 2y = 4 5 5 2 2 A m= . B m=− . C m= . D m=− . 2 2 5 5 ý Lời giải.     mx − (m + 1)y = 3m mx − (m + 1)y = 3m x − 2my = m + 2 ⇔ x = 4 − 2y     x + 2y = 4 (2 + 2m)y = 2 − m. TH 1. Nếu 2 + 2m = 0 thì hệ trở thành    − x = −3 x = 4 − 2y vô nghiệm.   0y = 3. TH 2. 2 + 2m 6= 0 thì hệ trở thành   mx − (m + 1)y = 3m   mx − (m + 1)y = 3m       5m + 2 x = 4 − 2y ⇔ x= m+1   2−m      y= y = 2 − m 2 + 2m 2 + 2m  m=1 5m2 + 2m 2−m suy ra − (m + 1) · = 3m ⇔ 5m2 − 3m − 2 = 0 ⇔  2 m+1 2 + 2m m=− . 5 2 Vậy giá trị m cần tìm là m = 1 và m = − . 5 ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 204 Câu 42. Cho hệ phương trình nguyên là A (2; −2); (3; −3). ý Lời giải. Hệ đã cho tương đương với ß 2×2 + xy − y 2 = 0 x2 − xy − y 2 + 3x + 7y + 3 = 0 B (−2; 2); (−3; 3). x2 − y 2 = −x2 − xy ⇔ −2xy − x2 + 3x + 7y + 3 = 0 . Các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số C (1; −1); (3; −3). ® D (−1; 1); (−4; 4). x2 − y 2 = −x2 − xy (2x − 7)y = −x2 + 3x + 3 (1) Vì x, y ∈ Z nên 2x − 7 6= 0. Khi đó ta suy ra từ (1) y= −x2 + 3x + 3 −4×2 + 12x + 12 5 ⇔ 4y = = −2x − 1 + ∈Z 2x − 7 2x − 7 2x − 7 Do đó 2x − 7 là ước của 5 và 5 có các ước là {±1; ±5} nên ñ y=8 2 thỏa bài toán. TH 1. 2x − 7 = 1 ⇔ x = 4 ⇒ 32 + 4y − y = 0 ⇒ y = −4 ñ y=6 2 TH 2. 2x − 7 = −1 ⇔ x = 3 ⇒ 18 + 3y − y = 0 ⇒ thỏa bài toán. y = −3 ñ y=2 2 TH 3. 2x − 7 = −5 ⇔ x = 1 ⇒ 2 + y − y = 0 ⇒ thỏa bài toán. y = −1 ñ y = 12 2 TH 4. 2x − 7 = 5 ⇔ x = 6 ⇒ 72 + 6y − y = 0 ⇒ thỏa bài toán. y = −6 Vậy hệ phương trình có tập các nghiệm nguyên {(4; −4); (4; 8); (3; −3); (3; 6); (1; −1); (1; 2); (6; −6); (6; 12)}. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® 2 x − 4xy + y 2 = 1 Câu 43. Nếu (x; y) là nghiệm của hệ phương trình . Thì xy bằng bao nhiêu? y − 4xy = 2 A 4. B −4. C 1. D không tồn tại giá trị xy. ý Lời giải. ® ß 2 4xy = y − 2 x − 4xy + y 2 = 1 ⇔ (*) y − 4xy = 2 x2 − 4xy + y 2 = 1. ® TH 1. Nếu y = 0 thì hệ (*) trở thành 0 = −2 x2 = 1 vô nghiệm. TH 2. Nếu y 6= 0 thì (*) trở thành   y−2   y−2  x =  x = y − 2  x= 4y 4y 4y ⇔ ⇔ 2    (y − 2)2 4 3 2   2  16y − 16y + 17y − 4y + 4 = 0 +2−y+y =1 4y 2 − 2y + 12y 2 + (y − 2)2 = 0 16y 2  2  4u − 2y = 0 2 2 2 2 vô nghiệm vì 4y − 2y + 12y + (y − 2) = 0 ⇔ y = 0 không xảy ra.   y=2 Vậy không tồn tại giá trị xy thỏa bài toán. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® x+y =2 Câu 44. Hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x < 0 khi và chỉ khi x − y = 5a − 2 5 5 A a < 0. B a > 0. C a< . D a> . 2 2 ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ® h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 205  5a  x = x+y =2 2 ⇔ x − y = 5a − 2  y = 4 − 5a . 2 Để hệ phương trình có nghiệm x < 0 thì a < 0. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » ( p x 12 − y + y (12 − x2 ) = 12 . Khi đó x + y bằng Câu 45. Cho các số thực x, y thỏa p x3 − 8x − 1 = 2 y − 2 A 2. B 1. C 6. D 0. ý Lời giải.® 2 ≤ y ≤ 12 √ √ Điều kiện − 2 3 ≤ x ≤ 2 3. a2 + b2 ≥ ab (*) Với hai số thực a, b bất kỳ ta có 2 Áp dụng (*) ta được  p x2 − y + 12   x 12 − y ≤ 2 »  12 − x2 + y   y (12 − x2 ) ≤ . 2 ® p x≥0 √ 2 Suy ra x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12, do đó từ phương trình đầu của hệ ta được . Thay vào phương y = 12 − x2 trình dưới của hệ ta được ò ï Ä ä p p 2(x + 3) 3 3 2 2 2 √ = 0. (1) x −8x−1 = 2 10 − x ⇔ x −8x−3+2 1 − 10 − x = 0 ⇔ (x−3) x + 3x + 1 + 1 + 10 − x2 ß Do x ≥ 0 ⇒ x2 + 3x + 1 + 2(x + 3) √ > 0, khi đó 1 + 10 − x2 (1) ⇔ x = 3 ⇒ y = 3 thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (3; 3). Do đó x + y = 6. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 206 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH  CHƯƠNG §1 A MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Một số kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Các mệnh đề a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b được gọi là bất đẳng thức. Tính chất: 1 ∀c ∈ R, ta có: a < b ⇔ a + c < b + c (hoặc a < b ⇔ a − c < b − c). 2 ∀c > 0, ta có a < b ⇔ ac < bc. 3 ∀c < 0, ta có a < b ⇔ ac > bc. ® 4 c 0, ta có a < b ⇔ a2n < b2n (với n nguyên dương). 7 ∀a, b ∈ R, ta có a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1 (với n nguyên dương). √ a < b. √ √ 3 9 ∀a, b ∈ R, ta có a < b ⇔ 3 a < b. 8 ∀a > 0, ta có a < b ⇔ 10 ∀a, b ≥ 0, ta có √ 11 ∀a > 0, ta có a + B √ ab ≤ a+b , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b (bất đẳng thức Cauchy). 2 1 ≥ 2. a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 2(1 − a)2 ≥ 1 − 2a2 , ∀a ∈ R. 2 1 + a2   1 + b2 ≥ (1 + ab)2 , ∀a, b ∈ R. 3 a2 + b(13b + a) ≥ 3b(a + b), ∀a, b ∈ R. 4 2×2 + y 2 + 1 ≥ 2x(1 − y), ∀x, y ∈ R. 5 x2 + 4y 2 + 3z 2 + 14 ≥ 2x + 12y + 6z, ∀x, y, z ∈ R. x y ≥ , ∀x ≥ y ≥ 0. 1+x 1+y   7 (ax + by)2 ≤ a2 + b2 x2 + y 2 , ∀a, b, x, y ∈ R. 6 207 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 208 9 √ √ a b √ + √ ≥ a + b, ∀a, b > 0. a b √ √ 1 < a + 1 − a − 1, ∀a ≥ 1. a 10 √ ý Lời giải. 1 2(1 − a)2 ≥ 1 − 2a2 ⇔ (2a − 1)2 ≥ 0, ∀a ∈ R. 2 1 + a2  1 + b2 ≥ (1 + ab)2 ⇔ 1 + a2 + b2 + a2 b2 ≥ 1 + 2ab + a2 b2 ⇔ (a − b)2 ≥ 0, ∀a, b ∈ R.  3 a2 + b(13b + a) ≥ 3b(a + b) ⇔ a2 − 2ab + 10b2 ≥ 0 ⇔ (a − b)2 + 9b2 ≥ 0, ∀a, b ∈ R. 4 2x2 + y 2 + 1 ≥ 2x(1 − y) ⇔ x2 + y 2 + 2xy + x2 − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x + y)2 + (x − 1)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R.   5 x2 + 4y 2 + 3z 2 + 14 ≥ 2x + 12y + 6z ⇔ (x − 1)2 + (2y − 3)2 + 3(z − 1)2 + 1 ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R. x y ≥ ⇔ x(1 + y) ≥ y(1 + x) ⇔ x ≥ y, ∀x ≥ y ≥ 0. 1+x 1+y   7 (ax + by)2 ≤ a2 + b2 x2 + y 2 ⇔ a2 x2 + 2abxy + b2 y 2 ≤ a2 x2 + a2 y 2 + b2 x2 + b2 y 2 ⇔ a2 y 2 + b2 x2 − 2abxy ≥ 0 ⇔ (ay − bx)2 ≥ 0, ∀a, b, x, y ∈ R. 6 1 = 0, 2. 5 Ä√ √ ä2 Ä√ √ ä2 Å ã Å ã a− b b− a √ √ √ √ √ √ a b a b √ √ ≥ 0. 9 √ + √ ≥ a+ b ⇔ √ − 2 a + b + √ − 2 b + a ≥ 0 ⇔ + a a a b b b 8 Sử dụng câu 7, ta có (4 + 1) 4x2 + y 2 ≥ (4x + y)2 = 1 ⇒ 4x2 + y 2 ≥  √ √ √ √ √ 1 1 2 √ ⇔ a + 1 + a − 1 < 2 a. < a+1− a−1⇔ √ < √ a a a+1+ a−1 Bất đẳng thức trên đúng nhờ áp dụng 7, ta được 10 √ Ä√ a+1+ √ a−1 ä2 ≤ (a + 1 + a − 1)(1 + 1) = 4a ⇒ √ a+1+ √ √ a − 1 ≥ 2 a. Đẳng thức không xảy ra được, ta có điều phải chứng minh. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 a2 b + ab2 ≤ a3 + b3 , ∀a, b ≥ 0. 2 a4 + b4 ≥ ab a2 + b2 , ∀a, b ≥ 0. 3 4 a3 + b3 ≥ (a + b)3 , ∀a, b ≥ 0. 4  Å  5 2 a5 + b5 ≥ a2 + b2   a+b 2 ãÅ a2 + b2 2 ã ≤ a3 + b3 , ∀a, b ≥ 0. 2  a3 + b3 , ∀a, b ≥ 0. ý Lời giải. 1 a2 b + ab2 ≤ a3 + b3 ⇔ ab(a + b) ≤ (a + b) a2 − ab + b2 ⇔ (a + b)(a − b)2 ≥ 0.  2 a4 + b4 ≥ ab a2 + b2 ⇔ a4 − a3 b + b4 − ab3 ≥ 0 ⇔ (a − b)2 (a2 + ab + b2 ) ≥ 0, ∀a, b ∈ R.    Å ã b 2 3b2 2 2 + ≥ 0, ∀a, b ∈ R. Bất đẳng thức trên đúng do a + ab + b = a + 2 4   3 4 a3 + b3 ≥ (a + b)3 ⇔ 4 a3 + b3 ≥ a3 + b63 + 3ab(a + b) ⇔ a3 + b3 ≥ ab(a + b). Đúng theo câu 1. Å ãÅ 2 ã a+b a + b2 a3 + b3 a3 + a2 b + ab2 + b3 a3 + b3 4 ≥ ⇔ ≤ ⇔ a2 b + ab2 ≤ a3 + b3 . 2 2 2 4 2 Đúng theo câu 1.    5 2 a5 + b5 ≥ a2 + b2 a3 + b3 ⇔ a5 + b5 ≥ a3 b2 + a2 b3 ⇔ a3 (a2 − b2 ) − b3 (a2 − b2 ) ≥ 0. Bất đẳng thức trên đúng với mọi a, b ≥ 0 vì a2 − b2 và a3 − b3 cùng dấu. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 8 Cho x, y là hai số thực thỏa 4x + y = 1. Chứng minh rằng 4x2 + y 2 ≥ 0, 2. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 209 Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 a2 + ab + b2 ≥ 0, ∀a, b ∈ R. 2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c ∈ R. 3 a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b, ∀a, b ∈ R. 4 (a + b + c)2 ≤ 3 a2 + b2 + c2 , ∀a, b, c ∈ R. 5 a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2(a + b), ∀a, b ∈ R. 6 a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c), ∀a, b, c ∈ R.  ý Lời giải. Å ã b 2 3b2 a+ + ≥ 0, ∀a, b ∈ R. 2 4  2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ 2 a2 + b2 + c2 ≥ 2 (ab + bc + ca) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0. 1 a2 + ab + b2 ≥ 0 ⇔ 3 Tương tự câu 2 với c = 1. 4 Từ câu 2, ta có  3 a2 + b2 + c2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 . 5 Tương tự câu 2 với c = 2. 6 a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ 0, ∀a, b, c ∈ R. Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 (a + b)(1 + 4ab) ≥ 4ab, ∀a, b ≥ 0. 2 (2a + 1)(6 + ab)(b + 3) ≥ 48ab, ∀a, b ≥ 0. Å ã  a b  c 3 1+ 1+ 1+ ≥ 8, ∀a, b, c > 0. b c a Å ã Å ã a b c a b c 5 + + + + ≥ 8, ∀a, b, c > 0. b c a b c a 4 1 1 4 + ≥ , ∀a, b > 0. a b a+b ý Lời giải. 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có √ √ √ a + b ≥ 2 ab ≥ 0 ; 1 + 4ab ≥ 2 4ab = 4 ab ≥ 0. Nhân hai bất đẳng thức trên theo vế, suy ra √ √ (a + b)(1 + 4ab) ≥ 8 ab ≥ 4 ab. 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có √ √ √ 2a + 1 ≥ 2 2a ≥ 0 ; 6 + ab ≥ 2 6ab ≥ 0 ; b + 3 ≥ 2 3b ≥ 0. Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế ta được √ √ √ (2a + 1)(6 + ab)(b + 3) ≥ 2 2a · 2 6ab · 2 3b = 48ab. 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 1+ … … … a a b b c c ≥2 ≥0 ; 1+ ≥2 ≥0 ; 1+ ≥2 ≥ 0. b b c c a a Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế ta được  4 1+ … … … Å ã a b  c a b c 1+ 1+ ≥2 ·2 ·2 = 8. b c a b c a 1 1 4 + ≥ ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ (a − b)2 ≥ 0. a b a+b 5 Tương tự câu 3. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 210 3 a+b+1≥ 5 √ ab + √ a+ √ 2 a+b+c≥ b, ∀a, b ≥ 0. ab + √ bc + √ ca, ∀a, b, c ≥ 0. a b c 1 1 1 + + ≥ + + , ∀a, b, c > 0. bc ca ab a b c 4 a+b b+c c+a + + ≥ 6, ∀a, b, c > 0. c a b √ 6 Nếu a a+c a < 1 thì < , với a, b, c > 0. b b b+c ý Lời giải. 1 a+b+2≥2 Ä√ a+ Ä√ ä2 √ ä √ 2 b ⇔ ( a − 1) + b − 1 ≥ 0. 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được √ √ √ a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được √ √ √ √ √ √ 2a + 2b + 2c ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca. 3 Áp dụng câu 2 với c = 1. 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có b a + ≥2 bc ca … a b 2 · = ; bc ca c b c + ≥2 ca ab … b c 2 · = ; ca ab a … c a c a 2 + ≥2 · = . ab bc ab bc b Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được 2 5 6 C a b c 2 2 2 a b c 1 1 1 +2 +2 ≥ + + ⇒ + + ≥ + + . bc ca ab a b c bc ca ab a b c Å ã Å ã  a b b c c a a+b b+c c+a + + ≥6⇔ + + + + + ≥ 6. c a b b a c b a c Bất đẳng thức trên đúng do việc cộng ba bất đẳng thức sau … … … a b a b b c b c c a c a + ≥2 · =2 ; + ≥2 · =2 ; + ≥2 · = 2. b a b a c b c b a c a c a a+c a < ⇔ a(b + c) < b(c + a) ⇔ ac < bc ⇔ a < b ⇔ < 1. b b+c b CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. ®Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? a = . c 5 d 0<1<5 ® B D 0 . a b ® a sai khi a = −3, b = 2. a b ○ Mệnh đề a < b ⇒ ac < bc sai khi a = 2, b = 3 và c = −2. ® a 0. c>d ý Lời giải. ® a≤b ○ Mệnh đề ⇒ ac < bd sai khi a = b = 1 và c = d = 2. c≤d ® ® ® ad − c < −d c>d ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì các mệnh đề còn lại là đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Cho ba số a, b, c thỏa mãn đồng thời a + b − c > 0; a + c − b > 0; b + c − a > 0. Để ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm điều kiện gì? A Cần có cả a, b, c ≥ 0. B Cần có cả a, b, c > 0. C Chỉ cần một trong ba số a,b, c dương. D Không cần thêm điều kiện gì. ý Lời giải. Nếu a, b, c > 0 thỏa mãn a + b > c >; a + c > b; b + c > a thì a, b, c là ba cạnh của một tam giác. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A ac > bd. B a − c < b − d. C a + c > b + d. ý Lời giải. D a b > . c d ○ Bất đẳng thức ac > bd sai khi a = 3, b = −2, c = 2 và d = −5. ○ Bất đẳng thức a − c < b − d sai khi a = 5, b = −2, c = 2 và d = −3. ○ Bất đẳng thức a b > sai khi a = 3, b = −5, c = 2 và d = −1. c d ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì mệnh đề còn lại là đúng. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Cho bất đẳng thức |a − b| ≤ |a| + |b|. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi? A a = b. B ab ≤ 0. C ab ≥ 0. D ab = 0. ý Lời giải. Theo tính chất của bất đẳng thức trị tuyệt đối thì dấu “=” xảy ra khi a(−b) ≥ 0 ⇔ ab ≤ 0. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 212 D 3 . 2 x∈R ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 8. Cho biểu thức f (x) = 1 − x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D Hàm số f (x) không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. ý Lời giải. Tập xác định D √ = [−1; 1]. − x2 ≥ 0, ∀x ∈ R và f (x) = 0 ⇔ x = ±1. Ta có f (x) = 1√ Ta lại có f (x) = 1 − x2 ≤ 1 ∀x ∈ R và f (x) = 1 ⇔ x = 0. Vậy min f (x) = 0 và max f (x) = 1. x∈D x∈D ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Câu 9. Cho hàm số f (x) = √ x2 + 1 A Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất bằng 1 và không giá trị nhỏ nhất. C Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. D Hàm số f (x) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. ý Lời√ giải. √ Ta có x2 + 1 ≥ 1, ∀x ∈ R và x2 + 1 = 1 ⇔ x = 0. 1 Do đó f (x) = √ ≤ 1, ∀x ∈ R. Suy ra max f (x) = 1. 2 R x +1 Giả sử tồn tại x0 6= 0 sao cho min f (x) = f (x0 ). R p p TH1. Nếu x0 > 0, xét x1 = x0 + 1 > x0 > 0, ta có x21 + 1 > x20 + 1 nên f (x1 ) < f (x0 ). Điều này vô lý vì min f (x) = f (x0 ). R TH2. Nếu x0 < 0, xét x1 = x0 − 1 < x0 < 0, ta có min f (x) = f (x0 ). p x21 + 1 > p x20 + 1 nên f (x1 ) < f (x0 ). Điều này vô lý vì R Do đó hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3. Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A có giá trị nhỏ nhất là . B có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C có giá trị lớn nhất là . D không có giá trị lớn nhất. 2 ý Lời giải. Å ã a+b 2 9 3 ○ Nếu a > 0 và b > 0 thì theo bất đẳng thức Cô-si ta có ab ≤ = . Dấu “=” xảy ra khi a = b = . 2 4 2 9 Do đó tích ab có giá trị lớn nhất là . 4 ○ Nếu ab ≤ 0 thì tích ab có giá trị lớn nhất là 0 khi a = 0 hoặc b = 0. 9 Vậy tích ab có giá trị lớn nhất là . 4 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A a < b ⇒ ac < bc. C a < b và c < d ⇒ ac < bd. ý Lời giải. 1 1 > . a b D a < b ⇒ ac < bc, (c > 0). B a sai khi a = 0. a b ○ Mệnh đề a < b và c < d ⇒ ac < bd sai khi a = −3, b = 2, c = −4 và d = 1. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì mệnh đề còn lại là đúng. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12.® Mệnh đề nào sau đây đúng? ® a>b a>b>0 A ⇒ ac > bd. B ⇒ ac > bd. c>d c>d>0 ® ® a>b a>b a b C ⇒ a − c > b − d. D ⇒ < . c d c>d c>d ý Lời giải. ® a>b ○ Mệnh đề ⇒ ac > bd sai khi a = 1, b = −1, c = −2, d = −3. c>d ® a>b ⇒ a − c > b − d sai khi a = c = 5 và b = 4 và d = 3. ○ Mệnh đề c>d ® a>b a b ○ Mệnh đề ⇒ < sai khi d = 0. c d c>d ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì mệnh đề còn lại là đúng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13.® Mệnh đề nào sau đây sai? ® a . a a ® a b ⇒ a + c > b + c. 1 1 > sai khi a = −2, b = 2. a b ○ Mệnh đề a < b ⇒ ac < bc sai khi c ≤ 0. ® a b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A a + c > b + d. B a − c > b − d. C ac > bd. ý Lời giải. D a2 > b2 . ○ Mệnh đề a − c > b − d sai khi a = c = 5, b = 4, d = 3. ○ Mệnh đề ac > bd sai khi a = d = 0. ○ Mệnh đề a2 > b2 sai khi a < 0. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì mệnh đề còn lại là đúng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 2 với x 6= 0. x √ √ √ √ A 2 3. B 4 3. C 2 4 3. D 3. ý Lời giải. Áp dụng bất đẳng…thức Cô-si, ta có √ √ 3 3 3 y = x2 + 2 ≥ 2 x2 · 2 = 2 3 với x 6= 0. Dấu “=” xảy ra khi x2 = 2 ⇔ x = ± 4 3. x √ x x Vậy min y = 2 3. x6=0 ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 8 + với x > 0. 2 x C 2. A 4. B 8. ý Lời giải. Áp dụng bất đẳng … thức Cô-si, ta có x 8 x 8 x 8 y= + ≥2 · = 4 với x 6= 0. Dấu “=” xảy ra khi = ⇔ x = 4. 2 x 2 x 2 x Vậy min y = 4. D 16. (0;+∞) ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Cho x và y thỏa mãn x2 + y 2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của T = x + y. √ √ √ √ A −8 và 8. B −2 và 2. C −2 2 và 2 2. D − 2 và 2. ý Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số x2 và 2; y 2 và 2, ta có √ ( 2 √ x + 2 ≥ 2 2×2 = 2 2|x| p √ y 2 + 2 ≥ 2 2y 2 = 2 2|y|. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 15.® Tìm mệnh đề sai? ® a 0). c>d ý Lời giải. ® a≤b ⇒ ac < bd sai khi b = c = 0. ○ Mệnh đề c≤d ® ® ® a≤b a≤b a≤b ○ Ta có ⇔ ⇒ a − c < b − d nên mệnh đề ⇒ a − c < b − d đúng. c>d − c < −d c>d h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 215 √ √ Suy ra 2 2 (|x| + |y|) ≤ x2 + y 2√+ 4 = 8 √ ⇔ |x| + |y| ≤ 2 √2. √ √ Ta lại có |x + y| ≤ |x| + |y| ≤ 2 2 ⇒ −2 2 ≤ x + y ≤ 2 2. Dấu “=” √ xảy ra √ khi x = y = − 2 hoặc x = y = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của T = x + y lần lượt là −2 2 và 2 2. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luông đúng? A ac > bd. B a − c > b − d. C a − d > b − c. ý Lời giải. D −ac > −bd. ○ Bất đẳng thức ac > bd sai khi a = d = 0. ○ Bất đẳng thức a − c > b − d sai khi a = c = 5, b = 4, d = 3. ○ Bất đẳng thức −ac > −bd sai khi a = d = 0. ® a>b ○ Ta có ⇒ a + c > b + d ⇒ a − d > b − c nên mệnh đề a − d > b − c đúng. c>d ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Nếu m > 0 và n < 0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A m > −n. B n − m < 0. C −m > −n. ý Lời giải. D m − n < 0. ○ Bất đẳng thức m > −n sai khi m = 1 và n = −2. ○ Bất đẳng thức −m > −n sai khi m = 1 và n = −2. ○ Bất đẳng thức m − n < 0 sai khi m = 1 và n = −2. ® ® m>0 −m<0 ○ Ta có ⇔ ⇒ n − m < 0 nên mệnh đề n − m < 0 đúng. n<0 n<0 ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Nếu a, b và c là các số bất kỳ và a > b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A ac > bc. B a2 < b2 . C a + c > b + c. ý Lời giải. D c − a > c − b. ○ Bất đẳng thức ac > bc sai khi c = 0. ○ Bất đẳng thức a2 < b2 sai khi a = 3 và b = 2. ○ Bất đẳng thức c − a > c − b sai khi c = 0, a = 3 và b = 2. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì a > b ⇔ a + c > b + c. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? b a A > . B a − c > b − d. C ac > bd. c d ý Lời giải. D a + c > b + d. ○ Bất đẳng thức ac > bd sai khi a = c = −1, b = −2 và d = −3. ○ Bất đẳng thức a − c > b − d sai khi a = c = 1, b = −2 và d = −3. ○ Bất đẳng thức a b > sai khi c = 0. c d ○ Theo tính chất của bất đẳng thức, ta có nếu a > b và c > d thì a + c > b + c. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? A 6a > 3a. B 3a > 6a. C 6 − 3a > 3 − 6a. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie D 6 + a > 3 + a. # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 216 ○ Bất đẳng thức 6a < 3a ⇔ a < 0. ○ Bất đẳng thức 6 − 3a > 3 − 6a ⇔ a > −1. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức, ta có 6 + a > 3 + a ⇔ a ∈ R. Câu 25. Nếu a, b và c là các số bất kỳ và a < b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A ac > bc. B a2 < b2 . C 3a + 2c > 3b + 2c. ý Lời giải. D ac < bc. ○ Bất đẳng thức ac > bc sai khi c = 0. ○ Bất đẳng thức a2 < b2 sai khi a = 3 và b = 2. ○ Bất đẳng thức ac < bc sai khi c = 0. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì a < b ⇔ 3a + 2c < 3b + 2c. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Nếu a > b > 0, c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A ac > bc. B a − c > b − d. C a2 > b2 . ý Lời giải. ○ Bất đẳng thức a − c > b − d sai khi a = c = 3, b = 2, D ac > bd. d = 1. ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì các bất đẳng thức còn lại là đúng. Câu 27. Nếu a > b > 0, c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? b a > . A ac > bd. B a + c > b + d. C c d ý Lời giải. ○ Bất đẳng thức b a > sai khi a = c = 3, b = 2, c d ○ Từ giả thiết, ta có D d a > . b c d = 1. a d > ⇔ ac > bd. b c ○ Theo tính chất của bất đẳng thức thì các bất đẳng thức còn lại là các bất đẳng thức đúng. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ √ √ √ Câu 28. Sắp xếp ba số 6 + 13; 19; 3 + 16 theo thứ tự từ bé đén lớn thì thứ tự đúng là √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ A 19; 3 + 16; 6 + 13. B 3 + 16; 19; 6 + 13 . √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ C 19; 6 + 13; 3 + 16 . D 6 + 13; 3 + 16; 19. ý Lời giải. √ √ √ √ √ Sử dụng máy tính Casio ta có thứ tự là 19; 3 + 16; 6 + 13. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Nếu a + 2c > b + 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A −3a > −3b. B a2 > b2 . C 2a > 2b. ý Lời giải. ○ Ta có a + 2c > b + 2c ⇔ a > b ⇔ 2a > 2b. ○ Thay a = 2, b = 1, c = 0 thì các bất đẳng thức còn lại là các mệnh đề sai. D a < b. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie ○ Bất đẳng thức 6a > 3a ⇔ a > 0. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 217 Å ãÅ ãÅ ã 1 1 1 Câu 30. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Giá trị nhỏ nhất của P = 1 + 1+ 1+ bằng a b c A 64. B 60. C 8. D 16. ý LờiÅ giải. ã Å ãÅ ã 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P = 1+ 1+ 1+ =1+ + + + + + + . a b c a b c ab bc ca abc Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương trên ta có ã 1 1 a+b+c 3 abc ≤ = ⇒ ≥ 27. 3 27 abc √ 3 1 1 1 3 ≥ 3 27 = 9. + + ≥ √ 3 a b c abc √ 1 1 1 3 3 ≥ 3 + + ≥ p 272 = 27. 3 2 ab bc ca (abc) Å Suy ra P ≥ 1 + 9 + 27 + 27 = 64. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 1 . 3 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 218 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie PHẦN II HÌNH HỌC 219  CHƯƠNG I VEC-TƠ §1 VEC-TƠ ! THIẾU NỘI DUNG LÍ THUYẾT ĐẾN HẾT CÂU 10 TỰ LUẬN A BÀI TẬP TỰ LUẬN # » # » # » Bài 11. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Tính AB + AC + AD . ý Lời giải. # » # » # » Theo quy tắc hình bình hành suy ra AB + AD = AC. √ # » # » # » # » Ta có AB + AC + AD = 2AC = 2AC = 2a 2. B C A D # » # » # » # » # » # » Bài 12. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc-tơ AC, BC, CD, DA theo hai véc-tơ AO, BO. ý Lời giải. Ta có ○ ○ ○ ○ B # » # » AC = 2AO. # » # » # » # » # » BC = BO + OC = BO + AO. # » # » # » # » # » CD = CO + OD = −AO + BO. # » # » # » # » # » DA = DO + OA = −AO − BO. C O A D # » # » # » Bài 13. Cho 4ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các véc-tơ HA, HB, HC. ý Lời giải. Vì 4ABC đều cạnh a, trực tâm H nên HA = HB = HC và AH = trung điểm của BC. Xét 4ABM vuông tại M 2 AM với M là 3 √ √ a2 3a2 a 3 a 3 ⇒ AM = AB − BM = a − = ⇒ AM = ⇒ AH = . 4 2 3 √4 a 3 # » # » # » Vậy HA = HB = HC = . 3 2 2 2 A 2 H B M # » # » # » # » # » # » Bài 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các véc-tơ AB + AD, AB + AC, AB − AD. ý Lời giải. 221 C # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 222 B I C O # » # » #» ○ AB + AC = 2 AI = 2AI với I là trung điểm của BC. 5a2 a2 = Vì 4ABI vuông tại B nên AI 2 = AB 2 + BI 2 = a2 + 4 4 √ √ a 5 # » # » ⇒ AI = ⇒ AB + AC = a 5. 2 √ # » # » # » ○ AB − AD = DB = DB = a 2. A D Bài 15. Cho 4ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của 4ABC, B 0 là điểm đối xứng với B qua O. # » # » Chứng minh rằng AH = B 0 C. ý Lời giải. Gọi AM , CN là hai đường cao của tam giác ABC. Ta có AM ⊥ BC và B 0 C ⊥ BC (vì BB 0 là đường kính của đường tròn (O)) ⇒ AM k B 0 C. (1) Tương tự CN ⊥ AC và B 0 A ⊥ BA (vì BB 0 là đường kính của đường tròn (O)) ⇒ CN k B 0 A. (2) Từ (2) và (2) suy ra tứ giác AHCB 0 là hình bình hành # » # » ⇒ AH = B 0 C. A B0 N B O H M C # » # » Bài 16. Tứ giác ABCD là hình gì nếu có AB = DC. ý Lời giải. # » # » Vì AB = DC nên AB, CD là song song và bằng nhau. Khi đó tứ giác ABCD là hình bình hành. B A #» #» Bài 17. Cho #» a + b = 0. So sánh về độ dài, phương và hướng của hai véc-tơ #» a và b . ý Lời giải. #» #» #» Vì #» a + b = 0 nên #» a + b = 0. #» #» Khi đó #» a , b đối nhau hay #» a , b là cùng độ dài và ngược hướng. #» Bài 18. Cho hai véc-tơ #» a và b là hai véc-tơ khác véc-tơ không. Khi nào có đẳng xảy ra? 1 #» #» #» a + b = | #» a| + b . 2 #» #» #» a + b = #» a− b . ý Lời giải. C D h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie √ Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = BD = a 2. Ta có √ # » # » # » ○ AB + AD = AC = AC = a 2. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 223 # » #» # » # » Dựng #» a = AB, b = BC = AD. #» #» # » # » # » # » # » # » Khi đó #» a + b = AB + BC = AC = AC và #» a − b = AB − AD = DB = DB. #» Mặt khác | #» a | = AB, b = BC = AD. 1 2 B #» b C #» a #» #» #» a + b = | #» a | + b ⇔ AC = AB + BC. #» Khi đó A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C nên #» a , b cùng hướng. A D #» #» #» a + b = #» a − b ⇔ AC = BD. #» Khi đó #» a , b có độ dài bằng nhau. Bài 19. Cho 4ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của 4ABC với trung tuyến DN của 4DEF . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh # » # » # » # » 1 AB = N M . 2 M K = N I. ý Lời giải. F 1 Tam  giác CEF có AN là đường trung bình nên AN k CE AN = 1 CE. 2 1 1 Mặt khác BM = BC = CE và BM ≡ CE nên 2 2 AN = BM và AN k BM . Suy ra ABM N là hình bình hành # » # » ⇒ AB = N M . N A I G B M 2 Tam giác ADG có IK là đường trung bình nên 1 IK k AD và IK = AD = AB. 2 Mặt khác ABM N là hình bình hành nên suy ra M N = IK và M N k IK. # » # » Khi đó M N IK là hình bình hành hay M K = N I. E C K D Bài 20. Cho 4ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F . # » # » Chứng minh M A = AN . ý Lời giải. Tứ giác CQBP có hai đường chéo BC, P Q cắt nhau tại trung điểm E nên CQBP là hình bình hành ⇒ BP k CQ và BP = CQ. (1) Tứ giác CQAN có hai đường chéo AC, N Q cắt nhau tại trung điểm F nên CQAN là hình bình hành ⇒ AN k CQ và AN = CQ. (2) Tứ giác AM BP có hai đường chéo AB, M P cắt nhau tại trung điểm D nên AM BP là hình bình hành ⇒ BP k AM và BP = AM . (3) # » # » Từ (1), (2), (3) suy ra M A = AN . M A N B P # » # » Bài 21. Cho hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm G. Chứng minh BE = F C. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie F D Q E C # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 224 A E G B C M F Bài 22. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm # » # » của AM , AN với BD. Chứng minh BE = F D. ý Lời giải. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Tam giác ABC có AM , BO là đường trung tuyến M B C 2 (1) cắt nhau tại F nên F là trọng tâm 4ABC ⇒ BE = BO. 3 E Tam giác ADC có AN , DO là đường trung tuyến cắt nhau tại E nên E là trọng tâm N 2 O 4ADC ⇒ DF = DO. (2) 3 F Vì BO = DO nên từ (1), (2) suy ra BE = F D. # » # » # » # » Mặt khác BE, F D cùng hướng nên BE = F D A D Bài 23. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH ⊥ BD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Kẻ BK ⊥ AM # » # » và cắt AH tại E. Chứng minh rằng M N = EB. ý Lời giải. Tam giác ABM có AE, BE là đường cao nên E là trực tâm tam giác ABM . N B C Suy ra M E ⊥ AB mà BN ⊥ AB nên M E k BN k AD. (1) Khi đó M E là đường trung bình của 4ADH vì M là trung điểm của DH. H 1 Suy ra M E = AD = BN . (2) 2 O E Từ (1), (2) suy ra tứ giác BN M E là hình bình hành. M # » # » Vậy M N = EB. K A B D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1 (0H1Y1-1). Véc-tơ là một đoạn thẳng A Có hướng. B Có hướng dương và hướng âm. C Có hai đầu mút. D Thỏa mãn ba tính chất trên. ý Lời giải. Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2 (0H1Y2-4). Hai véc-tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là A Hai véc-tơ bằng nhau. B Hai véc-tơ đối nhau. C Hai véc-tơ cùng hướng. D Hai véc-tơ cùng phương. ý Lời giải. Hai véc-tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là hai véc-tơ đối nhau. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3 (0H1Y2-4). Hai véc-tơ đối nhau khi và chỉ khi A Cùng hướng và có độ dài bằng nhau. B Song song và có độ dài bằng nhau. C Cùng phương và có độ dài bằng nhau. D Ngược hướng và có độ dài bằng nhau. ý Lời giải. Hai véc-tơ đối nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng và cùng độ dài. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4 (0H1Y1-3). Hai véc-tơ bằng nhau khi và chỉ khi A Cùng hướng và cùng độ dài. C Cùng hướng. B Cùng phương. D Có cùng độ dài. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » # » # » Gọi M là trung điểm của BC ⇒ GB + GC = 2GM . Vì hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm G nên # » # » # » #» # » # » # » #» GA + GB + GC = 0 và GA + GE + GF = 0 . # » # » # » # » # » # » # » Suy ra GB + GC = GE + GF ⇔ 2GM = GE + GF . Do đó M là trung điểm của EF . Vậy tứ giác BECF có hai đường chéo BC, EF cắt nhau tại trung # » # » điểm M nên BECF là hình bình hành hay BE = F C. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 225 ý Lời giải. Hai véc-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5 (0H1B1-2). Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Khi đó khẳng định nào sau đây sai? # » # » A A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương. # » # » B A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và BC cùng phương. # » # » C A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC và BC cùng phương. D A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = BC. ý Lời giải. # » # » # » A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi các véc-tơ AB, AC, BC đôi một cùng phương. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6 (0H1B1-2). Mệnh đề nào sau đây đúng? A Có duy nhất một véc-tơ cùng phương với mọi véc-tơ. B Có ít nhất hai véc-tơ cùng phương với mọi véc-tơ. C Có vô số véc-tơ cùng phương với mọi véc-tơ. D Không có véc-tơ cùng phương với mọi véc-tơ. ý Lời giải. Có vô số véc-tơ cùng phương với mọi véc-tơ một véc-tơ cho trước. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7 (0H1B1-2). Khẳng định nào sau đây đúng? #» #» a , b bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. A Hai véc-tơ #» #» #» B Hai véc-tơ #» a , b bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng phương và cùng độ dài. # » # » C Hai véc-tơ AB, CD bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành. #» D Hai véc-tơ #» a , b bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài. ý Lời giải. #» #» Hai véc-tơ #» a , b bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8 (0H1Y1-3). Phát biểu nào sau đây đúng? A Hai véc-tơ không bằng nhau thì độ dài cùng chúng không bằng nhau. B Hai véc-tơ không bằng nhau thì độ dài cùng chúng không cùng phương. C Hai véc-tơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau. D Hai véc-tơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng. ý Lời giải. Hai véc-tơ bằng nhau thì cùng phương nên chúng có giá trùng nhau hoặc song song nhau. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 9 (0H1B1-2). Khẳng định nào sau đây đúng? A Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ thử ba thì cùng phương. #» B Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ thử ba khác 0 thì cùng phương. C Véc-tơ không là véc-tơ không có giá. D Điều kiện đủ để hai véc-tơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. ý Lời giải. #» Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ thử ba khác 0 thì cùng phương. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» Câu 10 (0H1B1-2). Cho hai véc-tơ không cùng phương #» a và b . Khẳng định nào sau đây đúng? #» A Không có véc-tơ nào cùng phương với cả hai véc-tơ #» a và b . #» B Có vô số véc-tơ nào cùng phương với cả hai véc-tơ #» a và b . #» C Có một véc-tơ nào cùng phương với cả hai véc-tơ #» a và b . #» #» D Có hai véc-tơ nào cùng phương với cả hai véc-tơ a và b . ý Lời giải. #» #» Vì hai véc-tơ không cùng phương #» a và b nên không có véc-tơ nào cùng phương với cả hai véc-tơ #» a và b . ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» Câu 11. Cho vectơ #» a 6= 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 226 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 12. Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương. #» B Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. C Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. D Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. ý Lời giải. #» Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì có thể cùng hướng, có thể ngược hướng. #» Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng hướng. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A Hai vectơ cùng phương thì bằng nhau. B Hai vectơ ngược hướng thì có độ dài không bằng nhau. C Hai vectơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. D Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. ý Lời giải. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Cho hình bình hành ABCD, trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai? # » # » # » # » # » # » # » # » A AD = CB. B AD = CB . C AB = DC. D AB = CD . ý Lời giải. # » # » Do AD và CB ngược hướng nên không bằng nhau. D C A B ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A Vectơ là một đường thẳng có hướng. B Vectơ là một đoạn thẳng. C Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. D Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối. ý Lời giải. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Cho vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Khẳng định nào dưới đây sai? A Được gọi là vectơ suy biến. B Được gọi là vectơ có phương tùy ý. #» C Được gọi là vectơ không, kí hiệu là 0 . D Là vectơ có độ dài không xác định. ý Lời giải. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau có độ dài là 0. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Vectơ có điểm đầu D và điểm cuối E được kí hiệu như thế nào là đúng? # » A DE. B ED. C DE . # » D DE. ý Lời giải. # » Vectơ có điểm đầu D và điểm cuối E được kí hiệu DE. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Cho hình vuông ABCD, khẳng định nào sau đây đúng? # » # » # » # » A AC = BD. B AB = BC . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie A Có vô số vectơ #» u mà #» u = #» a. B Có duy nhất một #» u mà #» u = #» a. #» #» #» #» #» C Có duy nhất một u mà u = − a . D Không có vectơ u nào mà u = #» a. ý Lời giải. Có vô số vectơ #» u mà #» u = #» a. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 227 # » # » # » # » C AB = CD. D AB và AC cùng hướng. ý Lời giải. # » # » Do ABCD là hình vuông nên AB = BC, suy ra AB = BC D C A B Câu 19. Cho tam giác ABC có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C? A 2. B 3. C 4. D 6. ý Lời giải. # » # » Có thể xác định được 6 vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là các vectơ AB, BA, # » # » # » # » AC, CA, BC, CB. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai? # » # » # » # » A AB = BC. B AC 6= BC. # » # » # » # » C AB = BC . D AC không cùng phương BC. ý Lời giải. # » # » # » # » Có AB và BC là 2 vectơ không cùng phương nên AC 6= BC. C A B Câu 21. Khẳng định nào dưới đây đúng? A Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng. B Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương. C Hai vectơ cùng phương thì có giá song song nhau. D Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song nhau. ý Lời giải. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ cùng phương thì có giá song song nhau hoặc trùng nhau. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng? # » # » # » # » # » A ∀M , M A = M B. B ∃M , M A = M B = M C. # » # » # » # » # » C ∀M , M A 6= M B 6= M C. D ∃M , M A = M B. ý Lời giải. # » # » # » Do 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên với M là điểm bất kì ta có M A 6= M B 6= M C. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» Câu 23. Cho hai điểm phân biệt A, B. Số vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B là A 2. B 6. C 13. D 12. ý Lời giải. # » # » Có 2 vectơ có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B là AB và BA. Câu 24. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » A AC = a. B AC = BC. # » # » # » C AB = a. D AB cùng hướng với BC. ý Lời giải. # » Có AB = AB = a. C A Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie B 228 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Câu 25. Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. # » # » # » # » A CA = CB. B AB và AC cùng hướng. # » # » # » # » C AB và CB ngược hướng. D AB = CB. ý Lời giải. # » # » Có AB và AC cùng hướng. A C B ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Khẳng định nào dưới đây đúng? #» #» a và b gọi là bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng phương và cùng độ dài. A Hai vectơ #» # » # » B Hai vectơ AB, CD gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành. # » # » C Hai vectơ AB, CD gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình vuông. #» #» D Hai vectơ #» a và b gọi là bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. ý Lời giải. #» #» Hai vectơ #» a và b gọi là bằng nhau, kí hiệu #» a = b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» Câu 27. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D? A 4. B 8. C 10. D 12. ý Lời giải. # » # » # » #» Có thể xác định được 12 vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D là các vectơ AB, AC, AD, # » # » # » BC, BD, CD và các vectơ đối của chúng. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau A Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng. B Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. C Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. D Cả 3 phương án trên đều đúng. ý Lời giải. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng. Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó # » # » A Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB. # » # » B Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB. # » # » C Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB. # » # » D Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB = AC. ý Lời giải. # » # » Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của AB. Khi đó # » #» #» #» #» #» A BI = AI. B BI cùng hướng AB. C BI = 2 IA . #» #» D BI = IA . ý Lời giải. #» #» Do I là trung điểm AB nên IA = IB, suy ra BI = IA . A I B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề sau đây là sai? # » # » A AC 6= BC. # » # » C AB = BC . ý Lời giải. # » # » B AB = BC. # » # » D AC không cùng phương BC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 229 # » # » # » # » Do AB và AC không cùng phương nên AB 6= BC. C A B ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » Câu 32. Cho hình bình hành ABCD. Các vectơ đối của vectơ AD là # » # » # » # » # » # » # » # » A AD, BC. B BD, AC. C DA, CB. D AB, CB. ý Lời giải. # » # » # » Các vectơ đối của vectơ AD là vectơ DA và vectơ CB. D C A B ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » Câu 33. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng vectơ BA là # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A OF , DE, OC. B CA, OF , DE. C OF , DE, CO. D OF , ED, OC. ý Lời giải. # » # » # » # » Các vectơ bằng vectơ BA là DE, OF , CO. E D O F A C B ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 34. Khẳng định nào dưới đây là sai? A Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. B Độ dài của vectơ #» a được kí hiệu là | #» a |. # » # » C P Q = P Q. # » D AB = AB = BA. ý Lời giải. # » # » P Q khác P Q do vectơ là một đoạn thẳng định hướng còn độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối vectơ đó. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Cho các khẳng định sau # » # » # » # » 1 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = CD. 2 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AD = CB # » # » # » # » 3 Nếu AB = DC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. 4 Nếu AD = CB thì 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự là 4 đỉnh của hình bình hành. Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai? A 1. B 2. ý Lời giải. C 3. # » # » # » # » 1 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC. 2 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AD = BC. # » # » # » # » 3 Nếu AB = DC thì tứ giác ABCD là hình bình hành (đúng). 4 Nếu AD = BC thì 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự là 4 đỉnh của hình bình hành. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie D 4. 230 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 36. Câu nào sai trong các câu sau đây? #» A Vectơ đối của #» a 6= 0 là vectơ ngược hướng với #» a và có cùng độ dài với vectơ #» a. #» #» B Vectơ đối của 0 là vectơ 0 . # » # » # » # » C Nếu M N là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ ta luôn có thể viết M N = OM − ON . D Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai. ý Lời giải. # » # » # » # » Nếu M N là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ ta luôn có thể viết M N = ON − OM . ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 37. Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Khi đó các cặp vectơ nào cùng hướng? # » # » # » # » # » # » # » # » A M P và P N . B M N và P N . C N M và N P . D M N và M P . ý Lời giải. # » # » Cặp vectơ M N và M P là cùng hướng. M N P ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » Câu 38. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Các vectơ đối của vectơ OD là # » # » # » # » # » # » # » # » # » A OA, DO, EF , CB. B OA, DO, EF , OB, DA. # » # » # » # » # » # » # » # » # » C OA, DO, EF , CB, DA. D DO, EF , CB, BC. ý Lời giải. # » # » # » # » # » Các vectơ đối của vectơ OD là DO, OA, CB, EF . E D O F C A B ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 39. Cho hình bình hành ABGE. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » A BA = EG. B AG = BE. C GA = BE. ý Lời giải. # » # » # » # » Do BA và GE cùng hướng và BA = GE nên BA = GE. # » # » D BA = GE. E A G B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» Câu 40. Số vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước (3 điểm bất kì không thẳng hàng) là A 42. B 3. C 9. D 27. ý Lời giải. #» Số vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước (3 điểm bất kì không thẳng hàng) là 2 · C27 = 42 vectơ. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 41. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai? # » # » # » # » # » # » # » # » A M N = QP . B MQ = NP. C PQ = MN . D M N = AC . ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie Vậy khẳng định 1, 2, 4 sai. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 231 Có M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Suy ra M N là đường trung 1 # » # » bình trong 4ABC. Vậy M N = AC hay M N 6= AC . 2 C P D N Q A M B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 232 A 1 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỔNG CỦA HAI VECTƠ # » # » # » • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có CB = CA + AB. • Quy tắc ba điểm còn được gọi là hệ thức Charles dùng để cộng các vectơ liên tiếp, có thể mở rộng cho trường hợp nhiều vectơ như sau: # » # » # » # » A1 A2 = A1 A2 + A2 A3 + · · · + An−1 An . (# » # » AB = DC # » # » # » • Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành thì AC = AB + AD và # » # » . AD = BC B A C D • Chú ý: Quy tắc hình bình hành dùng để cộng các vectơ chung gốc. • Các tính chất: #» #» a + b = b + #» ◦ #» a. 2 ◦ Ä Ä #» ä #»ä #» a + b + #» c = #» a + b + #» c . #» #» ◦ #» a + 0 = 0 + #» a = #» a. HIỆU CỦA HAI VECTƠ • Vectơ đối của vectơ #» a , kí hiệu là − #» a. #» #» • Tổng của vectơ #» a với vectơ đối − #» a là vectơ 0 . Nghĩa là #» a + (− #» a) = 0. # » # » # » • Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có AB = CB − CA. # » # » # » # » # » #» Lưu ý. Vectơ đối của vectơ AB là −AB = BA. Vì AB + BA = 0 . B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ Ta sử dụng các quy tắc sau. # » # » # » ○ Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB, chèn điểm C. # » # » # » ○ Quy tắc ba điểm (phép trừ vectơ): AB = CB − CA, hiệu hai vectơ cùng gốc. # » # » # » ○ Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD, ta luôn có AC = AB + AD. Chú ý: Về mặt thực hành, ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau để thực hiện biến đổi. ○ Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (Vế trái (VT) ⇒ Vế phải (VP) hoặc ngược lại). ◦ Nếu xuất phát từ vế phức tạp, ta cần thực hiện đơn giản biểu thức. ◦ Nếu xuất phát từ vế đơn giản, ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. ○ Hướng 2: Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. ○ Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie §2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 233 # » # » # » # » # Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB + CD = AD + CB. ý Lời giải. Ta có (# » # » # » AB = AD + DB # » # » # ». CD = CB + BD Khi đó # » # » AB + CD # » # » # » # » = AD + CB + DB + BD | {z } = #» 0 # » # » AD + CB. # » # » # » # » Suy ra AB + CD = AD + CB. # » # » # » # » # Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD và điểm M bất kì. Chứng minh M A + M C = M D + M B. ý Lời giải. Ta có (# » # » # » M A = M D + DA # » # » # ». M C = M B + BC B C A D Khi đó # » # » MA + MC = # » # » # » # » M D + M B + DA + BC | {z } = # » # » MD + MB #» 0 (Do ABCD là hình bình hành) . # » # » # » # » Suy ra M A + M C = M D + M B. # Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng. # » # » # » # » a) AB − AD = CB − CD. # » # » # » # » b) AB − DC = AD − BC. ý Lời giải. a) Ta có # » # » # » # » AB − AD = CB − CD # » # » ⇔ DB = DB (luôn đúng) . # » # » # » # » Vậy AB − AD = CB − CD. b) Ta có # » # » # » # » Vậy AB − DC = AD − BC. # » # » # » # » # » # » # » # » AB − DC = AD + DB − DB − BC = AD − BC. # » # » # » # » # Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh DA − DB = OD − OC. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 234 # » # » # »  DA − DB = BA   # » # » # » # » # » # » # » ⇒ DA − DB = OD − OC. OD − OC = CD   # » # » BA = CD (do ABCD là hình bình hành) # » # » # » # » Vậy DA − DB = OD − OC. d Dạng 2. Tính độ dài của vectơ tổng ○ Biến đổi vectơ tổng, hiệu đã cho thành một vectơ duy nhất. Tìm độ dài của vectơ đó. ○ Dùng định nghĩa dựng vectơ tổng bằng hình vẽ. Tính độ dài. # » # » # » # » # Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 10. Tính độ dài các vectơ AB + BC và AB − AC. ý Lời giải. # » # » • Tính độ dài vectơ AB + BC. # » # » # » # » # » # » Ta có AB + BC = AC. Suy ra AB + BC = AC = AC = 10. # » # » • Tính độ dài vectơ AB − AC. # » # » # » # » # » # » Ta có AB − AC = CB. Suy ra AB − AC = CB = CB = 10. # » # » # Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = 5 và AC = 12. Tính độ dài các vectơ AB + AC # » # » và AB − AC. ý Lời giải. # » # » • Tính độ dài vectơ AB − AC. √ # » # » # » # » # » # » Ta có AB − AC = CB. Suy ra AB − AC = CB = CB = AB 2 + AC 2 = 13. # » # » • Tính độ dài AB + AC. Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua BC. Khi đó tứ giác ABDC là hình chữ nhật. # » # » # » Khi đó ta có AB + AC = AD. √ # » # » # » Suy ra AB + AC = AD = AD = BC = AB 2 + AC 2 = 13. M A C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh rằng. # » # » # » #» a) DA − DB + DC = 0 . # » # » # » # » #» b) OA + OB + OC + OD = 0 . ý Lời giải. a) Ta có # » # » # » DA − DB + DC = = D C # » # » BA + CD #» 0 (do ABCD là hình bình hành) . B h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ý Lời giải. Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 235 b) Ta có C D # » # » # » # » OA + OB + OC + OD # » # » # » # » = OA + OC + OB + OD #» = 0 (do ABCD là hình bình hành) . O A Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng. # » # » # » # » a) AB + CD = AD + CB. # » # » # » # » b) AC + BD = AD + BC. # » # » # » # » c) AB − CD = AC − BD. ý Lời giải. a) Ta có (# » # » # » AB = AD + DB # » # » # ». CD = CB + BD Khi đó # » # » AB + CD # » # » # » # » = AD + DB + CB + BD # » # » # » # » = AD + CB + DB + BD Ä # » # » #»ä # » # » = AD + CB Vì DB + BD = 0 . # » # » # » # » Vậy AB + CD = AD + CB. b) Ta có (# » # » # » AC = AD + DC # » # » # ». BD = BC + CD Khi đó # » # » # » # » # » # » AC + BD = AD + DC + BC + CD # » # » # » # » = AD + BC + DC + CD Ä # » # » #»ä # » # » = AD + BC Vì DC + CD = 0 . # » # » # » # » Vậy AC + BD = AD + BC. c) Ta có (# » # » # » AB = AC + CB # » # » # ». CD = CB + BD Khi đó # » # » AB − CD # » # » # » # » = AC + CB − CB − BD # » # » = AC − BD. # » # » # » # » Vậy AB − CD = AC − BD. Bài 3. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng. # » # » # » # » # » a) AB + CD + EA = CB + ED. # » # » # » # » b) CD + EA = CA + ED. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie B # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 236 # » # » # »  AB = AD + DB   # » # » # » CD = CB + BD .   # » # » # » EA = ED + DA Khi đó # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB + CD + EA = AD + DB + CB + BD + ED + DA # » # » # » # » # » # » = CB + ED + AD + DA + DB + BD Ä # » # » #» # » # » # » # » #»ä = CB + ED Vì AD + DA = 0 và DB + BD = 0 . # » # » # » # » # » Vậy AB + CD + EA = CB + ED. b) Ta có (# » # » # » CD = CA + AD # » # » # ». EA = ED + AD Khi đó # » # » # » # » # » # » CD + EA = CA + AD + ED + DA Ä # » # » #»ä # » # » Vì AD + DA = 0 . = CA + ED # » # » # » # » Vậy CD + EA = CA + ED. Bài 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Chứng minh rằng. # » # » # » # » a) AB + CD = AD + CB. # » # » # » # » b) AB − CD = AC + DB. # » # » # » # » # » # » c) AD + BE + CF = AE + BF + CD. # » # » # » # » d) Nếu AC = BD thì AB = CD. ý Lời giải. a) Ta có (# » # » # » AB = AD + DB # » # » # ». CD = CB + BD Khi đó # » # » AB + CD = = = # » # » # » # » AD + DB + CB + BD # » # » # » # » AD + CB + DB + BD Ä # » # » #»ä # » # » AD + CB Vì DB + BD = 0 . # » # » # » # » Vậy AB + CD = AD + CB. b) Ta có # » # » AB − CD # » # » # » = AC + CB − CD # » # » = AC + DB. # » # » # » # » Vậy AB − CD = AC + DB. c) Ta có # » # » # » AD + BE + CF = = = = # » # » # » # » # » # » AE + ED + BF + F E + CD + DF # » # » # » # » # » # » AE + BF + CD + ED + DF + F E # » # » # » # » # » AE + BF + CD + EF + F E Ä # » # » #»ä # » # » # » AE + BF + CD Vì EF + F E = 0 . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie a) Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 237 d) Ta có ⇔ ⇔ # » # » AC = BD # » # » # » # » AB + BC = BC + CD # » # » AB = CD. Suy ra điều phải chứng minh. Bài 5. Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F , G. Chứng minh rằng. # » # » # » # » # » a) AB + CD + EA = CB + ED. # » # » # » # » # » # » # » b) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF . # » # » # » # » # » # » #» c) AB − AF + CD − CB + EF − ED = 0 . ý Lời giải. a) Ta có # » # » # » AB + CD + EA = = = # » # » # » # » # » AC + CB + CE + ED + EA # » # » # » # » # » CB + ED + AC + CE + EA Ä # » # » # » #»ä # » # » Vì AC + CE + EA = 0 . CB + ED # » # » # » # » # » Vậy AB + CD + EA = CB + ED. b) Ta có # » # » # » # » AB + CD + EF + GA = = = = # » # » # » # » # » # » # » AC + CB + CE + ED + EG + GF + GA # » # » # » # » # » # » # » CB + ED + GF + AC + CE + EG + GA # » # » # » # » # » CB + ED + GF + AE + EA Ä # » # » #»ä # » # » # » CB + ED + GF Vì AE + EA = 0 . # » # » # » # » # » # » # » Vậy AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF . c) Ta có # » # » # » # » # » # » AB − AF + CD − CB + EF − ED = = = # » # » # » F B + BD + DF # » # » F D + DF #» 0. # » # » # » # » # » # » #» Vậy AB − AF + CD − CB + EF − ED = 0 . # » # » Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 2 (cm). Tính AB + AC . ý Lời giải. Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua BC. Khi đó tứ giác ABDC là hình vuông. # » # » # » Khi đó ta có AB + AC = AD. √ √ # » # » # » Suy ra AB + AC = AD = AD = BC = AB 2 + AC 2 = 2 2. C M A Câu 1. Cho đều cạnh a, trong tâm G. Tính các giá trị của các biểu thức sau: # » # » a) AB − AC . ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » # » b) AB + AC . D # » # » c) GB + GC . B # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 238 √ # » # » #» b) AB + AC = 2 AI = 2AI = a 3. I a G √ √ 1 a 3 a 3 # » # » #» c) GB + GC = 2 GI = 2GI = 2. . = . 3 2 3 A B # » # » # » Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5(cm), BC = 10(cm). Tính AB + AC + AD ? ý Lời giải. A D B C √ √ √ # » # » # » # » # » # » # » # » AB + AC + AD = AB + AD + AC = AC + AC = 2AC = AB 2 + BC 2 = 125 = 5 5. # » # » # » # » # » # » “ = 600 , BC = 2(cm). Tìm |AB|, Câu 3. Cho vuông tại A có B |AC|, |AB + AC|, |AC − AB|? ý Lời giải. 1 # » AB = AB = BC. cos 600 = 2. = 1 . 2 √ 3 √ # » 0 AC = AC = BC. sin 60 = 2. = 3. 2 # » # » #» AB + AC = 2 AI = 2AI = BC = 2. # » # » # » AC − AB = BC = BC = 2. C I A B # » #» # » # » # » b = 30◦ , AB = a. Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính |AC|, Câu 4. Cho vuông tại B có A |AI|, |AB + AC|, |BC|? ý Lời giải. √ 2a 3 AB # » = . AC = AC = A cos 300 √ 3 1 a 3 #» AI = AI = AC = . 2 3 s I Ç √ å2 √ a √ 2a 39 a 3 # » # » 2 2 2 . AB + AC = 2AM = 2 AB + BM = 2 a + = 6 6 AB # » B C BC = BC = = 2a. M sin 300 # » # » “ = 45◦ . Tính CD Câu 5. Cho hình thang vuông tại A và D có AB = AD = a, C , BD ? ý Lời giải. Gọi I là hình chiếu của B lên CD. Ta có ABID là hình chữ nhật và có 2 cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông. Suy ra DI = BI = AB = AD = a. “ = 45o nên tam giác BIC là tam giác Lại có tam giác BIC là tam giác vuông có góc C vuông cân. Suy ra IC = IB = a. # » CD = CD = 2a. √ # » BD = BD = a 2 đường chéo hình vuông. Câu 6. Cho hình bình hành ABCD và ACEF . # » # » # » # » a) Dựng các điểm M, N sao cho EM = BD, F N = BD. # » # » b) Chứng minh CA = M N . ý Lời giải. A a B a D I C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie C # » # » # » a) AB − AC = CB = CB = a. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam # » # » # » # » a) Dựng các điểm M, N sao cho EM = BD, F N = BD Ta dựng các điểm M sao cho BDM E là hình bình hành. Điểm N sao cho N DBF là hình bình hành. # » # » b) Chứng minh CA = M N . # » # » # » # » # » # » Ta có: EM = BD và F N = BD nên EM = F N . # » # » Suy ra EM N F là hình bình hành. Suy ra M N = EF . # » # » Lại có ACEF là hình bình hành nên CA = EF . # » # » Vậy M N = CA 239 D C M A B N E F Câu 7. Cho tam giác ABC . # » # » # » # » # » # » a. Xác định các điểm D và E sao cho: AD = AB + AC và BE = BA + BC. b. Chứng minh C là trung điểm của đoạn thằng ED. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » a. Xác định các điểm D và E sao cho: AD = AB + AC và BE = BA + BC. Ta dựng các điểm D sao cho ABDC là hình bình hành. Điểm E sao cho BAEC là hình bình hành. C E D A B # » # » b. ABDC là hình bình hành nên AB = CD. # » # » ABCE là hình bình hành nên AB = EC. # » # » Vậy EC = CD nên C là trung điểm ED. Câu 8. Cho hình bình hành ABCD. # » # » # » # » a. Hãy xác định các điểm M, P sao cho AM = DB, M P = AB. b. Chứng minh rằng B là trung điểm của đoạn thẳng DP . ý Lời giải. b) Chứng minh rằng B là trung điểm của đoạn thẳng DP . # » # » AM P B là hình bình hành nên AM = BP . # » # » # » # » Theo đề: AM = DB nên BP = DB. Suy ra B là trung điểm của đoạn thẳng DP . C D # » # » # » # » a) Hãy xác định các điểm M, P sao cho AM = DB, M P = AB. Ta dựng các điểm M, P lần lượt sao cho AM BD, AM P B là hình bình hành. A B M P # » # » Câu 9. Cho 4 điểm A, B, C, D . Chứng minh rằng: AB = CD ⇔ AD và BC có cùng trung điểm. ý Lời giải. # » # » AB = CD ⇔ ABDC là hình bình hành ⇔ AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi C đường. A D B # » Câu 10. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCP Q, CARS. Chứng minh RJ + # » # » #» IQ + P S = 0 ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 240 R C P A J Q B I #» # » #» # » #» # » Câu 11. Cho ba lực F1 = M A, F2 = M B và F3 = M C cùng tác động vào một vật tại điềm M và vật đứng yên. Cho #» #» #» ÷ biết cường độ của F1 , F2 đều là 100 N và AM B = 60◦ . Tìm cường độ và hướng của F 3 . ý Lời giải. Gọi D là điểm sao cho ADBM là hình bình hành. I là trung điểm M D. C # » # » # » #» # » # » #» Vật đứng yên nên M A + M B + M C = 0 ⇔ M D + M C = 0 . Do đó M là trung điểm của CD. √ √ 3 Ta có tam giác AM B đều nên M D = 2M I = 2 · 100 · = 100 3. 2 √ #» #» # » Vậy cường độ của F3 bằng 100 3 và F3 có hướng ngược hướng với M D. M I A B D D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Chọn phát biều sai? # » # » A Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k BC, k 6= 0. # » # » B Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = k BC, k 6= 0. # » # » C Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC, k 6= 0. # » # » D Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC. ý Lời giải. # » # » Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC là đáp án sai trong trường hợp k = 0 tức bài toán chỉ còn hai điểm A, C do A, B trùng nhau. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 2. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạnAB. # » # » # » # » # » # » #» A OA = OB. B OA = OB. C AO = BO. D OA + OB = 0 . ý Lời giải. # » # » #» O là trung điểm của đoạn AB ⇔ OA + OB = 0 . O A B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? # » # » # » # » # » # » # » # » # » A AB + BC = AC. B CA + AB = BC. C BA + AC = BC. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » CA + AB = BC là khẳng định sai do CA + AB = CB. # » # » # » D AB − AC = CB. C A B ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? # » # » #» # » # » # » # » # » # » # » A IA + IC = 0 . B AB = DC. C AC = BD. D AB + AD = AC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie S # » #» # » # » # » #» # » # » # » RJ + IQ + P S = RA + AJ + IB + BQ + P C + CS Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä #» = RA + CS + AJ + IB + BQ + P C = 0 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 241 ý Lời giải. # » # » AC = BD là khẳng định sai do hai vec-tơ này không cùng phương nên không bằng nhau. C D I A B ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 5. Cho tam giác ABC đều có độ dài canh bằng a. Độ dài AB + BC bằng √ √ 3 . A a. B 2a. C a 3. D a 2 ý Lời giải. # » # » # » AB + BC = AC = AC = a. C a A B ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Cho tam giácABC, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng? # » # » # » # » # » # » A AB + BC = |AC|. B |GA| + |GB| + |GC| = 0. # » # » # » # » # » # » C |AB + BC| = AC. D |GA + GB + GC| = 0. ý Lời giải. # » # » # » #» # » # » # » #» GA + GB + GC = 0 ⇒ GA + GB + GC = 0 = 0. C G A B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điềm của đoạn AB . # » # » # » # » # » # » #» A OA = OB. B OA = OB. C AO = BO. D OA + OB = 0 . ý Lời giải. # » # » #» O là trung điểm của đoạn AB ⇔ OA + OB = 0 . O A B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » A AB + AD = CA. B AB + BC = CA. C BA + AD = AC. ý Lời giải. # » # » # » ABCD là hình bình hành khi BC + BA = BD # » # » # » D BC + BA = BD. C D A I B ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3; BC = 5. Tính AB + BC A 3. B 4. ý Lời giải. # » # » # » Ta có AB + BC = AC = AC. C 5. D 6. √ √ Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A, ta được AC = BC 2 − AB 2 = 52 − 32 = 4. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 10. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a. Khi đó AB + BC bằng √ √ 3 A a. B 2a. C a 3. D a . 2 ý Lời giải. # » # » # » Ta có AB + BC = AC = AC = a. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 242 ý Lời giải. # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » #» Ta có AB − DC + BC − AD = AB + BC − AD + DC = AC − AC = 0 . ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 12. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC,BC. Khi đó M P + N P bằng véc-tơ nào sau đây? # » # » # » # » A AM . B P B. C AP . D MN. ý Lời giải. Ta có M P và N P lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABC. Khi đó AM P N là hình bình hành nên suy ra Ä # » # »ä # » # » # » # » M P + N P = − P M + P N = −P A = AP . A M B N C P ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? # » # » # » #» # » # » # » A OA + OC + OE = 0 . B BC + F E = AD. # » # » # » # » # » # » # » #» C OA + OB + OC = EB. D AB + CD + F E = 0 . ý Lời giải. Ta có ABCDEF là lục giác đều nên O là trung điểm của các đường chéo AD,BE,CF B và các tam giác tạo bởi các đường chéo này là các tam giác đều. # » # » # » # » # » #» • ABCO là hình thoi nên OA + OC + OE = OB + OE = 0 . # » # » # » # » # » C • ABCO và F ODE là hình thoi nên BC + F E = AO + OD = AD. O # » # » # » # » # » # » # » • ABCO là hình thoi nên OA + OB + OC = OB + OB = 2OB = EB. • Ta có OBCD là hình thoi, khi đó D A F E # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» AB + CD + F E = AB + BO + AO = AO + AO = 2AO 6= 0 . # » # » # » #» Vậy đẳng thức sai là AB + CD + F E = 0 . ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » # » Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD . √ √ A 2a 2. B 3a. C a 5. D 2a. ý Lời giải. Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên A B D C p √ # » # » # » # » AB + AC + AD = 2AC = 2AC = 2 AB 2 + AC 2 = 2a 2. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 15. Cho 4ABC vuông tại A và có AB = 3, AC = 4. Véc-tơ CB + AB có độ dài bằng √ √ √ √ A 13. B 2 13. C 2 3. D 3. ý Lời giải. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » # » # » # » Câu 11. Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó AB − DC + BC − AD bằng véc-tơ nào sau đây? # » # » # » #» A 0. B BD. C AC. D 2DC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó ta có Ä # » # »ä # » # » # » CB + AB = − BC + BA = −2BM = 2BM. 243 B AC = 2 ta có 2 p p √ BM = AB 2 + AM 2 = 32 + 22 = 13. Xét 4ABM vuông tại A có AM = √ # » # » Vậy CB + AB = 2 13. A M C ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 16. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó AB + AD bằng √ √ a 2 A a 2. B C 2a. . 2 ý Lời giải. √ √ # » # » # » Ta có AB + AD = AC = AC = AB 2 + BC 2 = a 2. D a. A B D C ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 17. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó AB + AC bằng √ √ √ a 3 a 3 a 5 A . B . C . 2 2 3 ý Lời giải. Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta có …  a 2 p √ # » # » # » 2 2 = a 5. AB + AC = 2AM = 2AM = 2 AB + BM = 2 a2 + 2 √ D a 5. A B M D C ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 18. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4a và AD = 3a. Khi đó độ dài của AB + AD bằng √ A 7a. B 6a. C 2a 3. D 5a. ý Lời giải. Ta có A B » p # » # » # » AB + AD = AC = AC = AB 2 + BC 2 = (4a)2 + (3a)2 = 5a. D C ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Phát biểu nào là đúng? # » # » # » # » # » # » A OA = OB = OC = OD. B AC = BD. # » # » # » # » # » # » # » #» C OA + OB + OC + OD = 0 . D AC − AD = AB. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 244 B O • Ta có O là trung điểm của AC và BD nên D # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD = 0 = 0. C # » # » # » # » #» Phương án “ OA + OB + OC + OD = 0 ” là sai vì độ dài là một đại lượng vô hướng, không phải đại lượng véc-tơ. # » # » # » # » • Ta có AC − AD = DC = AB. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Cho 4 điểm bất kì A,B,C,O. Đẳng thức nào sau đây là đúng? # » # » # » # » # » # » #» A OA = CA + CO. B BC − AC + AB = 0 . # » # » # » # » # » # » C BA = OB − OA. D OA = OB − BA. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » # » # » #» Ta có BC − AC + AB = BC + CA + AB = BA + AB = 0 . ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Cho hình bình hành ABCD, giao điểm của hai đường chéo là O. Tìm mệnh đề sai trong cách mệnh đề sau # » # » # » # » # » # » A CO − OB = BA. B AB − BC = DB. # » # » # » # » # » # » # » #» C DA − DB = OD − OC. D DA + DB + DC = 0 . ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » #» Ta có DA + DB + DC = DB + DB = 2DB 6= 0 . # » # » Câu 22. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó OC − OD bằng # » # » # » # » # » # » A OC + OB. B AB. C OA − OB. D CD. ý Lời giải. # » # » # » # » Ta có OC − OD = DC = AB. A B O D Câu 23. Cho tam giác ABC, khẳng định nào sau là đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » A AB + AC = BC. B AB + BC = AC. C AB − AC = BC. ý Lời giải. # » # » # » Áp dụng quy tắc cộng véc-tơ ta có AB + BC = AC. # » # » Câu 24. Cho tam giác đều ABC cạnh √a. Độ dài của AB + AC là √ √ a 3 A a 3. B . C a 6. 3 ý Lời giải. Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM ⊥ BC. Khi đó ta có …  a 2 p √ # » # » # » AB + AC = 2AM = 2AM = 2 AB 2 + AM 2 = 2 a2 + = a 5. 2 C # » # » # » D AB − BC = AC. √ D 2a 3. A B #» #» #» Câu 25. Cho #» a và b là các véc-tơ khác 0 với #» a là véc-tơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai? #» #» A Hai véc-tơ #» a , b cùng phương. B Hai véc-tơ #» a , b ngược hướng. M C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie A # » # » # » # » # »# »# »# » • “OA = OB = OC = OD” là sai vì các véc-tơ OA,OB,OC,OD không cùng phương với nhau. # » # » • “AC = BD” là sai vì chúng không cùng phương với nhau. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 245 #» #» C Hai véc-tơ #» a , b cùng độ dài. D Hai véc-tơ #» a , b chung điểm đầu. ý Lời giải. #» #» Hai véc-tơ #» a và b khác 0 là hai véc-tơ đối nhau khi chúng cùng độ dài và ngược hướng nhau. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đằng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » A CA − BA = BC. B AB + AC = BC. C AB + CA = CB. D AB − BC = CA. ý Lời giải. # » # » # » # » # » ○ Ta có CA − BA = CA + AB = CB. # » # » # » ○ Ta có AB + AC = 2AM với M là trung điểm BC. # » # » # » # » # » ○ Ta có AB + CA = AB − AC = CB Ä # » # »ä # » # » # » # » # » ○ Ta có AB − BC = −BA − BC = − BA − BC = −2BM với M là trung điểm AC. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 27. Cho AB = −CD. Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » # » # » A AB và CD cùng hướng. B AB và CD cùng độ dài. # » # » #» C ABCD là hình bình hành. D AB + DC = 0 . ý Lời giải. # » # » # » # » Ta có AB = −CD ⇔ AB = DC ⇔ ABCD là hình bình hành. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » # » # » # » Câu 28. Tính tổng M N + P Q + RN + N P + QR # » # » # » # » A M R. B MN. C P R. D MP. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có M N + P Q + RN + N P + QR = M N + N P + P Q + QR + RN = M N . ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là #» #» #» #» #» #» A IA = IB. B IA = IB. C IA = −IB. D AI = BI. ý Lời giải. # » # » #» #» #» Điểm I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ IA = −IB. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ đề I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? # » # » #» # » # » #» #» #» A IA = IB. B IA + IB = 0 . C IA − IB = 0 . D IA = IB. ý Lời giải. # » # » #» #» #» Điểm I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ IA = −IB. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Cho 4ABC cân tại A đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » A AB = AC. B HC = −HB. C AB = AC . ý Lời giải. # » # » D BC = 2HC. # » # »  HC = −HB.  # » # » 4ABC cân tại A có đường cao AH ⇒ AB = AC .   # » # » BC = 2HC. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 32. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » # » A OA − OB = CD. B OB − OC = OD − OA. # » # » # » # » # » # » # » C AB − AD = DB. D BC − BA = DC − DA. ý Lời giải. Với O là tâm hình bình hành ABCD ta có: # » # » # » # » ○ OA − OB = BA = CD. # » # » # » # » # » # » ○ OB − OC = CB = DA = OA − OD. # » # » # » ○ AB − AD = DB. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 246 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » Câu 33. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính OB − OC. # » # » # » # » # » A BC. B DA. C OD − OA. D AB. ý Lời giải. # » # » # » # » Với O là tâm hình bình hành ABCD ta có OB − OC = CB = DA. ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 34. Cộng các véc-tơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng? #» A Cộng 5 véc-tơ ta được kết quả là 0 . #» B Cộng 4 véc-tơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0 . #» C Cộng 121 véc-tơ ta được kết quả là 0 . D Cộng 25 véc-tơ ta được véc-tơ có độ dài là là 0. ý Lời giải. #» ○ Các véc-tơ có cùng độ dài 5 và cùng giá có thể cùng hường nên tổng chúng sẽ khác 0 . #» ○ Khi cộng 4 véc-tơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0 . ¤ Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Cho bốn điểm A, B, C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A AB + CD = AD + CB. B AB + BC + CD = DA. # » # » # » # » # » # » # » # » C AB + BC = CD + DA. D AB + AD = CD + CB. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » #» #» #» ○ Ta có AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD + CD − CB = 0 ⇔ DB + BD = 0 ⇔ 0 = 0 . # » # » # » # » # » ○ Ta có AB + BC + CD = AD = −DA. # » # » # » # » # » # » ○ Ta có AB + BC = CD + DA ⇔ AC = CA đẳng thức này sai. # » # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » #» # » #» # » #» ○ Ta có AB + AD = CD + CB ⇔ AB + BC + AD + DC = 0 ⇔ AC + AC = 0 ⇔ 2AC = 0 ⇔ AC = 0 đẳng thức này sai. ¤ Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » Câu 36. Gọi O là tâm cùa hình vuông ABCD. Véc-tơ nào trong các véc-tơ dưới đây bằng CA? # » # » # » # » # » # » # » # » A BC + AB. B −OA + OC. C BA + DA. D DC − CB. ý Lời giải. Với O là tâm cùa hình vuông ABCD ta có: # » # » # » ○ BC + AB = AC. # » # » # » ○ −OA + OC = AC. # » # » # » ○ BA + DA = CA # » # » # » # » # » ○ DC − CB = DC − DA = AC. ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # » # » # » #» Câu 37. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện M A + M B + M C = 0 . Xác định vị trí điểm M A M là đỉnh của hình bình hành ACBM . B M là trung điểm của đọan thẳng AB. C M trùng C. D M là trọng tâm tam giác ABC. ý Lời giải. # » # » # » #» Ta có M A + M B + M C = 0 ⇔ M là trọng tâm tam giác ABC. ¤ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » # » # » # » # » ○ BC − BA = AC = DC − DA. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam # » # » Câu 38. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Giá trị AB − CA bằng bao nhiêu? √ A 2a. B a. C a 3. 247 √ D a 3 . 2 ý Lời giải. Gọi M là trung điểm BC. √ √ a 3 # » # » # » # » # » Ta có AB − CA = AB + AC = 2 AM = 2 · = a 3. 2 ¤ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 248 A 1 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT TÍCH CỦA MỘT SỐ ĐỐI VỚI MỘT VÉC-TƠ #» Định nghĩa. Cho một số thực k 6= 0 và một véc-tơ #» a 6= 0 . #» #» #» #» Tích k · a là một véc-tơ có cùng hướng a và |k a | = k| a | khi k > 0. Tích k · #» a là một véc-tơ có ngược hướng #» a và |k #» a | = |k|| #» a | khi k < 0. Tính chất 1. Ä #»ä #» ○ k #» a + b = k #» a +kb. ○ (k + h) · #» a = k #» a + h #» a. #» #» ○ 1 · a = a. ○ k (h #» a ) = (kh) #» a. ○ (−1) #» a = − #» a. #» ○ 0 · #» a = 0. Định lí 1 (Điều kiện để hai vectơ cùng phương). #» #» Ä #» #»ä a = kb. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ #» a , b b 6= 0 cùng phương là tồn tại một số k để #» 2 TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC # » # » #» #» #» ○ I là trung điểm của AB ⇔ IA + IB = 0 hay IA = −IB. # » # » # » ○ I là trung điểm AB và M là điểm bất kì, ta luôn có 2M I = M A + M B. # » # » # » # » ○ G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm bất kì ⇔ 3M G = M A + M B + M C. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ d Dạng 1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ # » # » # » ○ Quy tắc 3 điểm: AB = AM + M B, chèn điểm M . # » # » # » ○ Quy tắc 3 điểm (phép trừ): AB = CB − CA, hiệu hai vec-tơ cùng gốc. # » # » # » ○ Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có AC = AB + AD. ○ Cách thường dùng: Biến đổi một vế cho đến khi ra vế còn lại. ○ Cách bắc cầu: Biến đổi hai vế cho ra cùng một kết quả. # Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến là AM , BN , CP . Chứng minh # » # » # » #» 1 AM + BN + CP = 0 . # » # » 2 AP + BM = 1# » AC. 2 ý Lời giải. C # » # » # » 1 Ä # » # » # » # » # » # »ä 1 Ta có AM + BN + CP = AB + BA + AC + CA + BC + CB = 2 #» 0. # » # » # » # » 2 Vì P là trung điểm của AB nên AP = P B. Khi đó ta có AP + BM = # » # » # » P B + BM = P M . 1# » # » Mà P M là đường trung bình trong tam giác ABC suy ra P M = AC 2 # » # » 1# » suy ra AP + BM = AC. 2 N A M P B h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie §3 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 249 # » # » #» # Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng AB + CD = 2IJ. ý Lời giải. Ta có D # » # » AB + CD # » # » # » # » = AJ + JB + CJ + JD # » #» # » # » #» # » = AI + IJ + JB + CI + IJ + JD #» = 2IJ. C J I A B d Dạng 2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước # » ○ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng AM = #» v , trong đó A là điểm cố định, #» v là một vectơ cố định. ○ Lấy điểm A là gốc dựng véc-tơ bằng #» v thì điểm ngọn chính là điểm M cần tìm. # » # » # » #» # Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy xác định vị trí điểm M thỏa điều kiện M A + M B + 2M C = 0 . ý Lời giải. Ta có A # » # » # » #» M A + M B + 2M C = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ # » # » # » # » # » #» M C + CA + M C + CB + 2M C = 0 # » # » # » #» 4M C + CA + CB = 0 # » # » #» 4M C + 2CI = 0 (I là trung điểm AB) # » #» 4CM = 2CI # » 1# » CM = CI. 2 M C I d Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng # » # » ○ Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB = k AC (1). Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng sau: • Sử dụng các quy tắc biến đổi véc-tơ. # » # » • Xác định (tính) véc-tơ AB và AC thông qua một tổ hợp trung gian. Chú ý: • Dựa vào lời bình 3, ta có thể suy luận được phát biểu sau: “Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và # » # » # » đủ để A, B, C thẳng hàng là: M C = αM A + (1 − α)M B với điểm M tùy ý và số thực α bất k”. Đặc biệt khi 0 ≤ α ≤ 1 thì C ∈ AB. Kết quả trên còn được sử dụng để tìm điều kiện của tham số k (hoặc m) cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. # » # » • Nếu không dễ nhận thấy k trong biểu thức AB = k AC, ta nên quy đồng biểu thức phân tích véc-tơ # » # » AB và AC để tìm ra số k. # » # » ○ Để chứng minh AB k CD ta cần chứng minh AB = k DC. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie B # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 250 ý Lời giải. Ta có C # » # » # » AM = AB + BM # » 3# » = AB + BC (vì M B = 3M C) 4 # » 3 Ä # » # »ä = AB + BA + AC 4 # » 3# » 3# » = AB − AB + AC 4 4 1# » 3# » = AB + AC. 4 4 M A B 2 # » # Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM = BC. Phân tích AM theo các 3 # » # » véc-tơ AB, AC. ý Lời giải. Ta có C # » AM = = = = # » # » AB + BM # » 2# » AB + BC (vì BM = 3 # » 2 Ä # » # »ä AB + BA + AC 3 # » 2# » 2# » AB + AC − AB = 3 3 2 BC) 3 M 1# » 2# » AB + AC. 3 3 A B #» # » # » #» # Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Đặt AB = #» a , AD = b . Hãy tính các véc-tơ sau theo #» a, b . # » #» 1 DI với I là trung điểm BC. 2 AG với G là trọng tâm tam giác CDI. ý Lời giải. D C G I A B 1# » 1# » 1 #» #» # » #» a) Ta có DI = DC + CI = #» a + CB = #» a − BC = #» a − b. 2 2 2 b) Gọi M là trung điểm DC, ta có # » # » # » #» 3AG = AD + AC + AI # » # » # » # » #» = AD + AD + AB + AB + BI # » # » 1# » = 2AD + 2AB + BC 2 # » # » 1# » = 2AD + 2AB + AD 2 5# » # » = AD + 2AB. 2 h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » # Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho M B = 3M C. Phân tích AM theo các # » # » véc-tơ AB và AC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 251 5 #» # » 2 # » 5# » 2# » a + b. Suy ra AG = AD + AB hay AG = #» 6 3 3 6 # Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD và P là 1# » # » điểm thỏa mãn hệ thức OP = − OA. Chứng minh 3 điểm B, P , N thẳng hàng. 3 ý Lời giải. D N C P O A B 1# » 1# » # » # » Ta có CO là đường trung tuyến của tam giác BCD. Hơn nữa OP = − OA ⇔ OP = OC suy ra P là trọng tâm 3 3 của tam giác BCD. Mặt khác BN cũng là đường trung tuyến trong tam giác BCD nên B, P , N thẳng hàng. C BÀI TẬP TỰ LUẬN 1# » # » Bài 1. Cho tam giác ABC có M , D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm thỏa AN = N C. Gọi K là 2 # » # » # » # » trung điểm của M N . Hãy tính các véc-tơ AK, KD theo AB , AC. ý Lời giải. # » # » # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » Ta có 2AK = AM + AN = AB + AC ⇒ AK = AB + AC. C 2 3 4 6 Ta có # » KD # » # » # » # » = KA + AD = −KA + AD ã Å 1 Ä # » # »ä 1# » 1# » AB + AC + AB + AC = − 4 6 2 1# » 1# » = AB + AC. 4 3 D N K A M B # » # » # » # » Bài 2. Cho 4ABC, trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = 2DB; CE = 3EA. Gọi M , I lần lượt # » # » # » # » là trung điểm của DE và BC. Hãy tính vectơ AM , M I theo AB, AC. ý Lời giải. Ta có A Å ã Ä ä 1 2# » 1# » 1# » 1# » # » 1 # » # » AM = AD + AE = AB + AC = AB + AC. 2 2 3 4 3 6 E Ta có # » # » # » #» M M I = M E + EC + CI và # » # » # » #» M I = M D + DB + BI. D Suy ra # » # » # » # » 1# » 1# » 1# » 3# » 2M I = DB + EC ⇔ M I = DB + EC = AB + AC. 2 2 6 8 C B # » # » # » Bài 3. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa: 2AB + 3AC = 5AD. Chứng minh B, C, D thẳng hàng. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie B # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 252 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ # » # » # » 2AB + 3AC = 5AD # » # » # » #» 2AB + 3AC − 5AD = 0 # » # » # » # » #» 2AB − 2AD + 3AC − 3AD = 0 Ä # » # »ä Ä # » # »ä #» 2 AB − AD + 3 AC − AD = 0 # » # » #» 2DB + 3DC = 0 3# » # » DB = − DC. 2 Suy ra ba điểm B, C, D thẳng hàng. # » # » # » # » #» # » # » #» Bài 4. Cho 4ABC, lấy điểm M , N , P sao cho M B = 3M C, N A + 3N C = 0 , P A + P B = 0 . # » # » # » # » 1 Tính P M , P N theo AB, AC. 2 Chứng minh ba điểm: M , N , P thẳng hàng. ý Lời giải. A P N B C M 1 Ta có: # » # » M B = 3M C ⇔ ⇔ ⇔ # » # » #» N A + 3N C = 0 ⇔ ⇔ ⇔ # » # » #» PA + PB = 0 ⇔ ⇔ ⇔ Ä # » # »ä # » # » AB − AM = 3 AC − AM # » # » # » 2AM = −AB + 3AC 1# » 3# » # » AM = − AB + AC. 2Ä 2 # » # » # »ä #» −AN + 3 AC − AN = 0 # » # » −4AN = −3AC # » 3# » AN = AC. 4 # » # » # » #» −AP + AB − AP = 0 # » # » −2AP = −AB # » 1# » AP = AB. 2 Suy ra # » PM = # » PN = ã Å 1# » 3# » 1# » # » # » # » 3# » AM − AP = − AB + AC − AB = −AB + AC ; 2 2 2 2 # » # » 3# » 1# » AN − AP = AC − AB. 4 2  # » # » 3# »  P M = −AB + AC # » # » 2 2 Ta có ⇒ P M = 2P N . 1 3 # » # » # »  P N = − AB + AC #2 » # 4» Suy ra hai vectơ P M và P N cùng phương, nên ba điểm M , N , P thẳng hàng. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Ta có h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 253 # » # » # » # » Bài 5. Cho 4ABC có hai đường trung tuyến BN , CP . Hãy biểu thị các vector AB, BC, CA theo các vector BN , # » CP . ý Lời giải. Ta có A 1 1 1 1 1 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB = AN + N B = AC − BN = AP + P C − BN = AB − CP − BN . 2 2 2 4 2 Suy ra P 2# » 4# » # » AB = − CP − BN . 3 3 Ta lại có B C Å ã 2# » 4# » 2# » 4# » # » # » # » # » 1# » # » 1 − CP − BN − CP = − BN − CP . AC = AP + P C = AB− CP = 2 2 3 3 3 3 Khi đó Å ã 2# » 4# » 2# » 4# » 2# » 2# » # » # » # » BC = AC − AB = − BN − CP − − CP − BN = BN − CP . 3 3 3 3 3 3 Bài 6 (0H1B3-4). Cho tam giác ABC. Gọi I, J nằm trên cạnh BC và BC kéo dài sao cho 2CI = 3BI, 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. #» # » # » # » 1 Tính AI, AJ theo AB, AC. # » # » # » 2 Tính AG theo AB, AC. ý Lời giải. #» # » # » # » 1 Tính AI, AJ theo AB, AC. A ○ Gọi E, D lần lượt là trung điểm BC và AB. ○ Ta có #» # » #» AI = AB + BI # » 2# » = AB + BC 5 # » 2 Ä # » # »ä = AB + AC − AB 5 3# » 2# » = AB + AC. 5 5 D G J ○ Ta có # » AJ = = = = # » # » # » # » # » AB + BJ # » 2# » AB − BC 3 # » 2 Ä # » # »ä AB − AC − AB 3 5# » 2# » AB − AC. 3 3 2 Tính AG theo AB, AC. Ta có # » AG = = = Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 2# » AE 3 2 1 Ä # » # »ä · AB + AC 3 2 1# » 1# » AB + AC. 6 6 B I E C # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 254 Ta có A #» AI = #» # » # » ○ Tính CI theo AB, AC. Ta có # » # » 2AG − AB 4# » # » AM − AB = 3 4 1 Ä # » # »ä # » AB + AC − AB = · 3 2 1# » 2# » = − AB + AC. 3 3 #» CI = = = # » # » # » ○ Tính M I theo AB, AC. Ta có # » MI #» # » AI − AC 1# » − AB + 3 1# » − AB − 3 I ? B G ? || M || C 2# » # » AC − AC 3 1# » AC. 3 #» # » = AI − AM 1 # » 2 # » 1 Ä # » # »ä AB + AC = − AB + AC − 3 3 2 5# » 1# » = − AB + AC. 6 6 Bài 8 (0H1K3-4). Cho 4ABC có trọng tâm là G và các đường trung tuyến AM , BP . Gọi G0 là điểm đối xứng với # » # » # » # » # » # » # » điểm G qua P . Hãy biểu diễn các véc-tơ AG0 , CG0 theo AB, AC và Chứng minh hệ thức: 5AC − 6AB = 6M G0 ý Lời giải. # » # » # » ○ Biểu diễn các véc-tơ AG0 theo AB, AC. Ta có A # » AG0 # » # » = 2AG − AB 4# » # » = AM − AB 3 4 1 Ä # » # »ä # » = · AB + AC − AB 3 2 1# » 2# » = − AB + AC. B 3 3 # » # » # » ○ Biểu diễn các véc-tơ CG0 theo AB, AC. Ta có # » # » # » CG0 = AG0 − AC 1# » 2# » # » = − AB + AC − AC 3 3 1# » 1# » = − AB − AC. 3 3 # » # » # » ○ Chứng minh hệ thức: 5AC − 6AB = 6M G0 Ta có # » # » # » M G0 = AG0 − AM 1 # » 2 # » 1 Ä # » # »ä = − AB + AC − AB + AC 3 3 2 5# » 1# » = − AB + AC. 6 6 P ? G0 ? G || M || C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Bài 7 (0H1B3-4). Cho 4ABC có G là trọng tâm tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G . M là trung điểm của #» #» # » # » # » BC. Hãy tính AI, CI, M I theo AB, AC. ý Lời giải. #» # » # » ○ Tính AI theo AB, AC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 255 # » # » # » Vậy 5AC − 6AB = 6M G0 . Bài 9 (0H1K3-4). Cho hình bình hành ABCD. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các canh BC, CD. Hãy biểu # » # » # » # » diễn các véc-tơ BC, CD theo các véc-tơ AM , AN . ý Lời giải. # » # » # » ○ biểu diễn các véc-tơ BC theo các véc-tơ AM , AN . 4 Gọi E là trung điểm M N suy ra AC = AE. 3 Ta có N D C # » BC # » # » = AC − AB # » Ä # » # »ä = AC − 2AM − AC # » # » = 2AC − 2AM 4# » # » = 2 · AE − 2AM 3 4 Ä # » # »ä # » = AM + AN − 2AM 3 2# » 4# » = − AM + AN . 3 3 # » # » # » ○ biểu diễn các véc-tơ CD theo các véc-tơ AM , AN . Ta có # » CD E M A B # » = −AB Ä # » # »ä = − 2AM − AC # » 4# » = −2AM + AE 3 # » 2 Ä # » # »ä AM + AN = −2AM + 3 4# » 2# » = − AM + AN . 3 3 Bài 10 (0H1K3-4). Cho tứ giác ABCD có M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD, BC. Hãy biễu diễn # » # » # » # » # » véc-tơ M N theo AB, DC và theo AC, DB. ý Lời giải. # » # » # » ○ Biễu diễn véc-tơ M N theo AB, DC # » # » # » # » Ta có M N = M D + DC + CN (1) D # » # » # » # » Mặt khác M N = M A + AB + BN (2) Từ (1) và (2) ta có Ta có Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä C # » 2M N = M D + M A + DC + AB + CN + BN M #» # » # » #» = 0 + AB + DC + 0 N # » 1# » 1# » Vậy M N = AB + DC. 2 2 A B # » # » # » ○ Biễu diễn véc-tơ M N theo AC, DB. # » # » # » # » Ta có AC = AM + M N + N C (3) # » # » # » # » Mặt khác DB = DM + M N + N B (4) Từ (3) và (4) ta có Ta có Ä # » # »ä # » # » # » Ä # » # »ä AC + DB = AM + DM + 2M N + N B + N C # » #» #» = 0 + 2M N + 0 # » 1# » 1# » Vậy M N = AC + DB. 2 2 Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 256 # » # » # » EH = 4ED − 3EF Ä # » # » # » # » # »ä ⇔ EF + F H = 4 EF + F D − 3EF # » # » ⇔ F H = 4F D H Vậy 3 điểm F , D, H thẳng hàng hay H nằm trên DF . # » # » Từ F H®= 4F D F, D, H thẳng hàng Suy ra F H = 4F D và D nằm giữa H, F D F # » # » Bài 12 (0H1K3-5). Cho 4ABC có I là trung điểm của trung tuyến AM và D là điểm thỏa hệ thức 3AD = AC. Biểu # » #» # » # » diễn véc-tơ BD, BI theo AB, AC và chứmg minh ba điểm B, I, D thằng hàng. ý Lời giải. # » # » # » 1# » # » (1) Ta có BD = AD − AB = AC − AB. A 3 Lại có ? Å Å ã ã D # » 1 # » 1# » # » 1 # » 1# » 1# » BI = BA + BC BA + AC − AB ⇔ BI = 2 2 2 2 2 I # » 1# » 3# » ? (2) ⇔ BI = AC − AB. 4 4 || || B M C # » 3# » Từ (1) và (2) ta có BI = BD, suy ra ba điểm B, I, D thằng hàng. 4 Bài 13 (0H1K3-5). Cho hình bình hành ABCD. # » # » # » # » 1 Dựng các điểm E, F sao cho BE = 2AB, AF = 3AD. 2 Dựng điểm G sao cho tứ giác AEGF là hình bình hành. 3 Chứng minh 3 điểm A, C, G thằng hàng. ý Lời giải. A # » # » # » # » 1 Ta có BE = 2AB ⇔ AE = 3AB. # » # » Lại có AF = 3AD, do đó ta dựng được các điểm E, F như hình vẽ. B D F C 2 Điểm G được xác định như hình vẽ. 3 Do AEGF là hình bình hành nên ta có E G # » # » # » # » # » AG = AE + AF = 3AB + 3AD Ä # » # »ä # » = 3 AB + AD = 3AC (do ABCD là hình bình hành). Suy ra 3 điểm A, C, G thằng hàng. #» #» Bài 14 (0H1K3-5). Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB và E là điềm thoả hệ thức 3IE = ID. Chứmg minh ba điểm A, C, E thằng hàng. ý Lời giải. #» #» # » 3# » Ta có 3IE = ID ⇔ DI = DE. I A B 2 Do ABCD là hình bình hành nên # » AC = = # » # » #» # » AB + AD = 2AI + AD # » #» # » # » # » # » 2AD + 2DI + AD = 3AD + 3DE = 3AE. E Vậy ba điểm A, C, E thằng hàng. D C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » # » # » Bài 11 (0H1K3-5). Cho 4DEF . Dựng điểm H sao cho EH = 4ED − 3EF và chứng minh điểm H nằm trên DF . ý Lời giải. Ta có E Bài 15 (0H1K3-5). Cho 4ABC. # » # » 257 # » #» # » #» 1 Dựng các điểm K, L sao cho KA + 2KB + 3KC = 0 , 2LB + 3LC = 0 2 Chứng minh ba điểm A, K, L thẳng hàng. ý Lời giải. A 1 Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Khi đó # » # » # » #» KA + 2KB + 3KC = 0 Ä # » # »ä #» # » # » ⇔ KA + KC + 2 KB + KC = 0 I # » # » #» # » 2# » ⇔ 2KI + 4KH = 0 ⇔ IK = IH. 3 K B Từ đó dựng các điểm K, L như hình vẽ. H L C 2 Ta có # » AK #» # » 1# » 2# » = AI + IK = AC + IH 2 3 1# » 1# » = AC + AB (do IH là đường trung bình trong 4ABC). 2 3 Lại có # » # » # » # » 3# » AL = AB + BL = AB + BC Å5 ã 2# » 3# » 6 1# » 1# » 6# » = AB + AC = AB + AC = AK. 5 5 5 3 2 5 Vậy ba điểm A, K, L thẳng hàng. # » # » # » # » 1# » M P = M B + BP = AB + 2BC 2 Ä # » # »ä 1# » 3# » # » = AB + 2 AC − AB = − AB + 2AC 2Å 2 ã 1# » 2# » # » = 3 − AB + AC = 3M N . 2 3 || # » Bài 16 (0H1K3-5). Cho 4ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, N và P là hai điểm thỏa mãn hệ thức N A + # » #» # » # » #» 2N C = 0 , P B − 2P C = 0 . Chứng minh ba điểm M , N , P thằng hàng. ý Lời giải. 1# » 2# » # » # » # » Ta có M N = M A + AN = − AB + AC. A 2 3 Lại có M N || h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam B ? ? C P Vậy ba điểm M , N , P thằng hàng. # » # » # » #» # » #» Bài 17 (0H1K3-5). Cho 4ABC. Hai điểm M , N được xác định bởi 3M A + 4M B = 0 , N B − 3N C = 0 . Chứng minh M N đi qua trọng tâm 4ABC. ý Lời giải. Gọi G là trọng tâm của 4ABC. Ta có A # » MG 4# » 2# » # » # » = M A + AG = − AB + AH 3 ã Å 7 5 # » 1# » 4# » 2 1# » 1# » AB + AC = − AB + AC. = − AB + 7 3 2 2 21 3 M G Lại có # » # » # » 3# » 3# » M N = M B + BN = AB + BC 7 2 3 # » 3 Ä # » # »ä 15 # » 3 # » 9 # » = AB + AC − AB = − AB + AC = M G. 7 2 14 2 2 Vậy M , N , G thẳng hàng, hay M N đi qua trọng tâm G của 4ABC. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie B H C N # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 258 # » 1 Dựng các điểm D, E thỏa các hệ thức AD = 3# » # » 3# » AB, DE = BC. 2 2 2 Chứng minh ba điểm A, C, E thằng hàng. ý Lời giải. A 1 Ta dựng các điểm D, E như hình vẽ. 2 Ta có # » AE # » # » 3# » 3# » = AD + DE = AB + BC 2 2 3 Ä # » # »ä 3 # » AB + BC = AC. = 2 2 B C Vậy ba điểm A, C, E thằng hàng. D E # » Bài 19 (0H1K3-5). Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm xác định bởi AE = 2# » AC. Chứng minh ba điểm D, E, I thằng hàng. 3 ý Lời giải. Ta có I C B ä Ä 1 1 1 1 # » # » # » # » # » #» DA + DC + DC DB + DC = DI = 2 2 2 2 E 1# » # » 1# » # » # » = DA + DC = DA + DA + AC 2 2 3# » 3# » 3# » DA + AE = DE. = 2 2 2 D A Vậy ba điểm D, E, I thằng hàng. Bài 20 (0H1K3-5). Cho 4ABC có trung tuyến AD và M là trung điểm AD. Điểm N được lấy trên AC sao cho # » # » 3AN = AC. Chứng minh ba điểm B, M , N thằng hàng. ý Lời giải. Ta có A 1# » 1# » 1# » 1# » # » BA + BD = BA + BC BM = ? 2 2 2 4 N 1# » 1# » 1# » 3# » 1# » = BA + AC − AB = BA + AC M 2Å 4 4 4 ã4 ? Ä ä 3 # » 1# » 3 # » # » 3# » = BA + AC = BA + AN = BN . 4 3 4 4 || || B D C Vậy ba điểm B, M , N thằng hàng. Bài 21. Cho 4ABC có M là trung điểm BC và O là trung điểm của AM . Trên AB lấy điểm I, AC lấy điểm J sao #» 2# » # » 2# » cho AI = AB và AJ = AC. Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng. 3 5 ý Lời giải. #» 2# » # » 1# » # » 3# » Do AI = AB nên IB = AB. Tương tự thì JC = AC. A 3 3 5 Ta có # » # » # » −2 # » # » # » −2 # » 1 # » 1 # » −1 # » 1 # » 2IO = IA+IM = AB+IB+BM = AB+ AB+ BC = AB+ BC. 3 3 3 2 3 2 J Tương tự, O I 3 # » # » 1 # » 1 # » 1 Ä # » # »ä 1 # » 1 # » 2JO = AC + CB = AB + BC − BC = AB − BC. 5 2 5 2 5 10 #» # » # » −5 # » Suy ra 6IO = −10JO hay IO = JO. 3 Vậy ba điểm I, J, O thẳng hàng. B M C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Bài 18 (0H1K3-5). Cho 4ABC. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 259 Bài 22. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là hai điểm di động trên AB, CD sao cho lượt là trung điểm của AD, BC. #» # » MA ND = và hai điểm I, J lần MB NC # » 1 Tính IJ theo AB và DC. 2 Chứng minh trung điểm P của M N nằm trên IJ. ý Lời giải. #» # » # » # » # » # » # » # » # » a) 2IJ = IB + IC = IA + AB + ID + DC = AB + DC. #» 1 # » 1 # » Suy ra IJ = AB + DC. 2 2 # » # » NC # » # » MB b) Từ giải thiết ta có BM = −AM · và CN = −DN · . ND MA Mặt khác B M A #» # » # » #» # » # » # » #» #» # » # » 2IP = IM + IN = IA + AM + ID + DN = IB + IC = AM + DN . D Mà J P I C N MB # » # » 2M B # » # » # » # » # » NC # » MB −DN · =− (AM +DN ) = − ·IP . 2JP = BM +CN = −AM · ND MA MA MA Suy ra I, P , J thẳng hàng hay P của M N nằm trên IJ. #» # » # » # » Bài 23. Cho 4ABC. Lấy điểm I thỏa 3AI = AB, 4AJ = 3AC và M là giao điểm của đường thẳng IJ và BC. Đặt # » # » BM = mM C. #» # » # » 1 Chứng minh rằng 12IJ = 9BC − 5BA. # » # » # » 2 Tính IM theo BA, BC. 3 Tìm giá trị của m. ý Lời giải. a) Ta có #» #» # » # » # » # » # » # » # » # » 12IJ = 12IA + 12AJ = 4BA + 9AC = 4BA + 9(BC − BA) = 9BC − 5BA. m # » # » # » # » b) Do BM = mM C nên m 6= −1 và BM = BC. m+1 m # » # » # » # » −2 # » Suy ra IM = IB + BM = BA + BC. 3# » m # »+ 1 c) Do I, J, M thẳng hàng nên IM Å= k IJ, k 6= 0 ã −2 # » m # » 3# » 5 # » Suy ra BA + BC = k · BC − BA . 3 m + 1 4 12 2 5  k  = 3 12 Do đó . Suy ra m = −6.   m = 3k m+1 4 A I J B Bài 24. Cho 4ABC. Gọi P , Q, R là các điểm thỏa các đẳng thức : # » # » #» # » # » # » # » 3P B + 4P C = 0 , AQ = 2QC, k RA = RB, k 6= 1. # » # » # » 1 Chứng minh rằng: 21P Q = 2BC + 7BA. # » 2 Chứng minh rằng: RP = k # » 4# » BA + BC. 1−k 7 3 Tìm k sao cho P , Q, R thẳng hàng. ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie C M # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 260 A # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » 21P Q = 21P C + 21CQ = 9BC + 7CA = 9BC + 7(CB + BA) = 2BC + 7BA. R # » # » # » b) Từ k RA = RB suy ra RB = k # » BA. 1−k k # » 4# » # » # » # » Do đó RP = RB + BP = BA + BC. 1− # k» #7 » c) Để P , Q, R thẳng hàng thì RP = a · P Q, a 6= ã0. Å k # » 4# » 2 # » 1# » Suy ra BA + BC = a · BC + BA 1−k 7 21 3 2 Suy ra k = . 3 Bài 25. Cho hình bình hành ABCD. #» # » # » Q B # » # » P C # » 1 Gọi I, F , K là các điểm thỏa mãn AI = αAB, AF = β AC, AK = γ AD. Chứng minh điều kiện cần và đủ đề I, F , K thẳng hàng là 1 1 1 = + (α, β, γ 6= 0). β α γ AM 1 CN 1 = , = .Gọi G là trọng tâm 4M N B. AB 2 # » # » # » # » # » # » 3 CD # » # » # » Tính AN , AG theo AB và AC. Gọi H là điểm xác định bởi BH = k · BC. Tính AH theo AB, AC và k. Tìm k để đường thẳng AH đi qua điểm G. 2 Gọi M , N là hai điểm lần lượt trên đoạn AB, CD sao cho ý Lời giải. # » #» # » # » # » a) Do KI = AI − AK = αAB − γ AD và # » # » # » # » # » # » # » # » KF = AF − AK = β AC − γ AD = β(AB + AD) − γ AD. # » # » # » Suy ra KF = β AB + (β − γ)AD. # » # » Mặt khác, I, F, K thẳng hàng khi và chỉ khi KI = k KF , k 6= 0. ® α = kβ 1 1 1 αγ =α+γ ⇔ = + . Hay ⇔ β β α γ γ = −k(β − γ) A B I F K D # » 1# » # » 1 # » −1 # » b) Từ giả thiết suy ra AM = AB và CN = CD = AB. 3 2 2 Ta có # » 1# » # » 1 # » # » • AN = (AD + AC) = AC − AB. 2 2 1 # » 1# » 2# » 2# » # » # » # » # » # » • AG = AN + N G = AN + (N M + N B) = AN + AB + AB = 3 3 9 9 1# » 5 # » AC + AB. 3 # » 18 # » # » # » # » # » # » • AH = AB + BH = AB + k BC = (1 − k)AB + k AC. # » # » Để AH đi qua điểm G khi và chỉ khi AH = t AG. t 6= 0 hay  6 5   Å ã  k = 1 − k = t 1# » 5 # » # » # » 11 18 (1 − k)AB + k AC = t AC + AB ⇔ ⇔   3 18 k = t t = 18 . 3 11 6 Vậy k = . 11 C A B M H G D N C # » # » # » # » Bài 26. Cho tứ giác ABCD . Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AM = k AB và DN = k DC. # » # » # » Chứng minh rằng M N = (1 − k)AD + k BC ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có M N = M A + AD + DN = −k AB + AD + k DC = −k(AD + DB) + B # » # » # » AD + k(DB + BC). # » # » # » M Suy ra M N = (1 − k)AD + k BC. A D N C h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # » 1# » # » # » #» # » # » # » 3# » a) Từ 3P B + 4P C = 0 , AQ = 2QC suy ra P C = BC và CQ = CA. 7 3 Do đó h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 261 Bài 27. Cho 4ABC . Gọi O, H, G lần lượt theo thứ tự là tâm đường tròng ngoại tiếp, trong tâm, trực tâm của 4ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng. ý Lời giải. Gọi P là điểm đối xứng của A qua O và M là trung điểm của BC. Khi đó M là trung điểm của HP (BHCP là hình bình hành). # » # » Mà OM k AH nên AH = 2OM . Suy ra AH = 2OM . # » # » # » # » # » A Ta lại có AH = AG + GH = 2GM + GH # » # » # » # » Mà AH = 2OM = 2OG + 2GM . # » # » Suy ra GH = 2OG. Suy ra H, G, O thẳng hàng. O H G B M C P Bài 28. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là AB. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của AD và BC. # » 1 Chứng minh rằng M N = 1 # » # » (AB + DC). 2 2 Chứng minh M N k DC. ý Lời giải. # » # » # » # » # » # » # » # » # » a) Ta có 2M N = M B + M C = M A + AB + M D + DC = AB + DC. # » 1 Ä # » # »ä Suy ra M N = AB + DC . 2 # » # » b) Do AB k DC nên AB = k DC, k > 0. # » # » # » # » # » # » Suy ra 2M N = AB + DC = k DC + DC = (k + 1)DC, k + 1 > 0. Suy ra M N k DC. D M A C N B # » # » #» Bài 29. Cho 4ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC và I là điểm thỏa mãn hệ thức 4CI + AC = 0 . Chứng minh M I k BG. ý Lời giải. Gọi N là trung điểm của AC. Ta có A # » 2 # » 2 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » # » ä BG = BN = · BA + BC = BA + BC . 3 3 2 3 1# » 1# » 1# » 1 Ä # » # »ä # » # » #» Có M I = M C + CI = BC + CA = BC + CB + BA = N 2 4 2 4 I 1 Ä # » # »ä G BC + BA . 4 B C # » # » M Vậy 3BG = 4M I nên BG và M I cùng phương, suy ra BG k M I. Bài 30. Cho tứ giác ABCD. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của 4ABD và 4BCD. Chứng minh rằng EF k AC. ý Lời giải. Gọi M là trung điểm của BD. D Vì E là trọng tâm của tam giác ABD nên theo tính chất trọng tâm ta có A 1 M E = M A. 3 E Vì F là trọng tâm của tam giác CBD nên theo tính chất trọng tâm ta có M 1 M F = M C. F 3 ME MF 1 Vậy = = nên theo định lý Ta-let đảo ta có EF k AC. B C MA MC 3 # » # » # » Bài 31. Cho 4ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức BD = 4BA, AE = # » 3AC. Chứng minh rằng DE k AM . ý Lời giải. Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 262 D A B C M E # » 2# » # » 2# » Bài 32. Cho 4ABC. Dựng các điểm M , N sao cho AM = AB, AN = AC. Chứng minh rằng M N k BC. 3 3 ý Lời giải. AN 2 AM = = , suy ra M N k BC. Theo định lý Ta-let đảo ta có A AB AC 3 M N B #» 1# » # » # » Bài 33. Cho 4ABC. Dựng các điểm I, J sao cho AI = AB, AJ = 3AC. Chứng minh IC k BJ. 3 ý Lời giải. AI AC 1 Theo định lý Ta-let đảo ta có = = . A AB AJ 3 Suy ra IC k BJ. I B C C J Bài 34. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Dựng các điểm E, F thỏa mãn # » 1# » # » 1# » DE = DI, BF = BJ. Chứng minh AF k CE. 4 4 ý Lời giải. Có BI song song và bằng DJ nên BIDJ là hình bình hành, suy ra DI D A song song và bằng BJ. # » # » # » # » 1# » E Ta có AF = AB + BF = AB + BJ. 4 Å ã # » 1# » # » 1# » # » # » # » J I CE = CD + DE = −AB − ID = − AB + ID . 4 4 F # » # » Vậy AF = −CE nên AF song song với CE. B C # » # » # » # » # » # » Bài 35. Cho 4ABC. Các điểm D, E, G được xác định bởi hệ thức 2AD = AB, AE = 2CE, 2GD = GC. 1 Chứng minh BE k CD. 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh E, G, M thẳng hàng. h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » 1 Ä # » # »ä AB + AC . Theo quy tắc trung điểm ta có AM = # » # » # » # » # 2» # » # » Ta có: DE = DA + AE = 3AB + 3AC = 3(AB + AC). # » # » Vậy DE = 6AM . Suy ra DE k AM . h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie h | Nhóm Toán TH – THCS – THPT Việt Nam 263 ý Lời giải. A AD AC 1 1 Ta có = = , theo định lý Ta-let đảo suy AB AE 2 ra DC k BE. 1 Ä # » # »ä 1# » # » # » 2 Có GM = GB + GC = GB + DC = 2 2 1 # » 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » # » # »ä CB + CA = GB − CB − CA . GB − #2 » #2 » # » # »2 # » # » # » GE = GB + BE = GB + BC + CE = GB − # » # » CB − CA. # » # » Vậy GE = 2GM , suy ra ba điểm E, G, M thẳng hàng. G D B M C E # » Bài 36. Cho 4ABC, M là trung điểm của cạnh AB và D, E, F theo thứ tự được xác định bởi các hệ thức: 3DB − # » #» # » # » # » #» # » # » #» 2DC = 0 , EA + 3EB − 2EC = 0 , 5AF − 2AC = 0 . 1 Chứng minh rằng EM k BC. 2 Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng. 3 Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BC, M F đồng quy tại một điểm. ý Lời giải. A E M D F B C 1 Ta có # » # » # » #» EA + 3EB − 2EC = 0 # » # » # » # » #» ⇔ EA + EB + 2EB − 2EC = 0 # » # » ⇔ 2EM = 2BC # » # » ⇔ EM = BC. Vậy EM//BC. 2 Ta có # » # » # » #» EA + 3EB − 2EC = 0 # » # » # » ⇔ AE = 3EB − 2EC # » # » # » # » # » ⇔ AE = 3EA + 3AB − 2EA − 2AC # » # » # » ⇔ 2AE = 3AB − 2AC. và ⇔ ⇔ # » # » #» 3DB − 2DC = 0 # » # » # » # » 3DA + 3AB − 2DA − 2AC # » # » # » AD = 3AB − 2AC. # » # » Vậy 2AE = AD, suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng. 3 Ta có AD và BC cắt nhau tại D nên để chứng minh ba đường thẳng AD, BC, M F đồng quy tại một điểm ta chỉ cần chứng minh M F cũng đi qua D hay ba điểm M , F , D thẳng hàng. Theo giả thiết ta có # » # » 5AF = 2AC Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie 264 và # » # » # » AD = AM + M D # » # » # » ⇔ M D = AD − AM # » # » # » 1# » ⇔ M D = 3AB − 2AC − AB 2 # » 5# » # » ⇔ M D = AB − 2AC. 2 # » # » Vậy 5M F = M D, suy ra ba điểm M , F , D thẳng hàng. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN h | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM – DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 – Marie Curie # » # » # » ⇔ 5AM + 5M F = 2AC # » # » # » ⇔ 5M F = 2AC − 5AM # » # » 5# » ⇔ 5M F = 2AC − AB. 2
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top