Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 2)

Giới thiệu Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 2)

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 2).

Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 2)

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 2)

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

Ths. Lê Văn Đoàn WWW.TOANMATH.COM MỤC LỤC Trang PHẦN I – ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV – BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ————————————- 1 B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH —————————————————————————– 1 I – Bất phương trình & Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ——————————— 1 Dạng toán 1. Giải phương bất trình bậc nhất – Hai phương trình tương đương —— 2 Dạng toán 2. Bất phương trình qui về bậc nhất – Hệ bất phương trình —————- 4 Dạng toán 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số ————————– 10 II – Dấu của tam thức bậc hai & Bất phương trình bậc hai ———————————— 15 Dạng toán 1. Xét dấu & Giải bất phương trình bậc hai ———————————– 15 Dạng toán 2. Phương trình & Bất phương trình chứa căn, trị tuyệt đối —————- 20 Dạng toán 3. Bài toán chứa tham số trong phương trình & bất phương trình ——— 35 CHƯƠNG V – GÓC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ———————————————- 47 A – HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ————————————————————- 47 B – CUNG LIÊN KẾT ———————————————————————————— 52 C – CÔNG THỨC CỘNG CUNG ———————————————————————- 62 D – CÔNG THỨC NHÂN ——————————————————————————- 69 E – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ————————————————————————— 77 PHẦN II – HÌNH HỌC CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ——————————- 89 A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM ———————————————————— 89 B – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ———————————————————— 97 Dạng toán 1. Lập phương trình đường thẳng & Bài toán liên quan ————————– 100 Dạng toán 2. Các bài toán dựng tam giác – Sự tương giao – Khoảng cách – Góc ——— 105 C – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ————————————————————— 133 D – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELÍP —————————————————————- 177 E – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPERBOL ——————————————————- 197 F – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL ——————————————————— 211 G – BA ĐƯỜNG CONIC ——————————————————————————– 224 H – ỨNG DỤNG TỌA ĐỘ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH ——————————— 234 Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH  I – Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn  Điều kiện của bất phương trình Điều kiện của bất phương trình là điều kiện mà ẩn số phải thõa mãn để các biểu thức ở hai vế của bất phương trình có nghĩa. Cụ thể, ta có ba trường hợp: + Dạng Điều kiện có nghĩa: . + Dạng Điều kiện có nghĩa: . + Dạng Điều kiện có nghĩa: .  Hai bất phương trình tương đương Hai bất phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.  Phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn a/ Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn  Phương pháp:  Bước 1. Đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có)  Bước 2. Chuyển vế và giải.  Bước 3. Giao nghiệm với điều kiện được tập nghiệm S. b/ Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn  Phương pháp:  Bước 1. Đặt điều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có).  Bước 2. Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.  Bước 3. Giao nghiệm với điều kiện được tập nghiệm S.  Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất dạng: Điều kiện . Kết quả tập nghiệm  Lưu ý: Ta có thể giải tương tự cho các trường hợp: “Cần cù bù thông minh…………” Page – 1 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất – Hai phương trình tương đương  BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 1. Tìm điều kiện có nghĩa của các phương trình sau 1/ 1 1 <1− . x x +1 3/ 3x + 5/ 3 x −2 x +1 (x − 2) 2 x−3 4/ x − x−3 < x +1. 6/ 3 1+ x − 2x2 ≤ 1 . x − 3x + 2 9/ x +2 4 ≥1+ . 2 2 1+x (x − 2) 10/ x + x +1 + 1 (x − 3)(x + 4) ≤ 3 6−x . 12/ ≥ 16 − 2x . 2 8/ 2−x +x <2+ x . x −1 x−3 2 > 2− 2x − 3 x −1 − x + 2 x−4 . ≤ 3 − 4x + 1 x+6 . Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ 11/ Page – 2 – x . x−3 x + x −4 <1+ x −4 . x −1 Bài 3. >2+ 2x . x +1 2 x −1 + 3 x −1 ≤ 7/ 11/ Bài 2. 2/ x2 + x + 8 ≤ −3 . 3 − x + x − 5 ≥ −10 . (x − 3) ( ) −x − 10 > x + 1 x2 − x + 1 + ( 4 1 x − x +1 2 x−5 . < 2. ) 2 4x 6 + 3 > x 4 + 2 . 4x 2 + 4x + 2 + x2 − 6x + 10 < 2 . 2/ x − 6 + 3 − x ≥ −4 . 4/ 1 + x 2 − 2 + x2 > 1 . 5−x 6/ x − 10 ( ) x +2 < 4 − x2 (x − 4)(x + 5) . 8/ x2 + 1 + x 4 − x 2 + 1 < 2 4 x 6 + 1 . 10/ x2 + 1 + 4 x +1 2 < 4. 12/ x + 2 x − 2 + x2 + 1 − 1 ≤ 0 . Xét sự tương đương của các cặp bất phương trình sau 1/ −4x + 1 > 0 2/ 3x + 1 1 ≥3+ . x−3 x−3 & 4x − 1 < 0 . & 3x − 3 ≥ 0 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 3/ x −1 ≥ x. & (2x + 1) 4/ 3x − 5 >7. x2 + 1 & 3x − 5 > 7 x2 + 1 . 5/ 2x − 3 − & 2x − 3 < x − 4 . 6/ x +3− 7/ 4x + 8 < 1 − x . & (18 + x − 2x )(4x + 8) < (18 + x − 2x )(1 − x) . 8/ 3x + 1 < x + 3 . & (3x + 1) 9/ x+5 < 0. x −1 & (x + 5)(x − 1) < 0 . 10/ x2 ≥ x . & x ≥1. 11/ x 4 ≥ x2 . & x2 ≥ 1 . 1 < x−4. x−5 1 1 <2− . & x+7 x+7 x − 1 ≥ x (2x + 1) . ( 2 2 2 & x ≥1. 13/ 1− x ≤ x. & 1 − x ≤ x2 . 14/ (x + 1)(x − 2) ≥ x . & 2 2 & 2 < (x + 3) . 1 ≤ 1. x (2 − x) (x + 1) > 2 (2 − x) . ) x + 3 < 2. 12/ 15/ Bài 4. Ths. Lê Văn Đoàn x +1 x −2 ≥ x . x +1> 2. Giải các bất phương trình sau 3 3 (2x − 7) > . 5 3 1/ −2x + 3/ 5 (x − 1) 6 −1 < 2 (x + 1) 3 . 2/ 3− 4/ 2+ 2x + 1 3 >x+ . 5 4 3 (x + 1) 8 < 3− x −1 . 4 5/ 3x + 1 x − 2 1 − 2x − < . 2 3 4 6/ x +1 x +2 x − <2+ . 2 3 6 7/ 10 − 3x 2x − 7 +9> − 2x . 2 4 8/ (x + 2) 9/ x+ x < 2 x +3 10/ ( ( )( ) x −1 . 3 ≥ (x − 1) + 4 . 2 )( 11/ (x − 4) (x + 1) > 0 . 12/ (x + 2) (x − 3) > 0 . 13/ x−3 ≥ 3−x . 14/ x −1 < 3 + x −1 . 2 "Cần cù bù thông minh…………" ) 1− x + 3 2 1− x − 5 > 1− x − 3. 2 Page – 3 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình x −2 15/ x−4 ≤ 4 x−4 . 16/ (10 − x) x−4 x−4 ≥ 0. 18/ x−3 ≤ 0. 1 − 2x x −2 ≥ 0. 20/ (4 − x ) 17/ (x − 1)(x + 1) 19/ (x − 3) 2 > 4. 5 − x ≤ 0. Dạng 2. Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn   Dấu của nhị thức bậc nhất a/ Sử dụng bảng xét dấu (trái trái – phải cùng: với hệ số a) b/ Sử dụng trục số ● Nếu thì : ● Nếu thì :  Bất phương trình tích số  Dạng: Trong đó: là các nhị thức bậc nhất.  Phương pháp: Lập bảng xét dấu . Từ đó suy ra tập nghiệm của .  Bất phương trình chứa ẩn số ở mẫu  Dạng: Trong đó:  Phương pháp: Lập bảng xét dấu là các nhị thức bậc nhất. . Từ đó suy ra tập nghiệm của .  Lưu ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. Page – 4 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn  Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối  Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối. .  Dạng 1. : có nghĩa .  Dạng 2. , ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta  Lưu ý: Với , ta luôn có xét dấu của qui tắc . và BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 5. Lập bảng xét dấu của các hàm số sau 1/ f (x ) = x + 1 . 2/ f (x) = 2x + 1 . 3/ f (x ) = 2 − x . 4/ f (x) = 2 2 + x . 5/ f (x) = 3 − 3x . 6/ f (x ) = m 2 + 1 x − 1 . 7/ f (x) = 4m − 1 − m2 − 2m + 2 x . 8/ f (x) = 4m2 + 2m + 1 x − 3m . 9/ f (x ) = m 3 + m − 3 m 2 + 1 x . ( 11/ f (x) = 13/ f (x) = ) ( 5x − 3 (x − 3)(2x − 1) ) . 1 1 − 2 . x −1 x −1 ( ) ( ) 10/ f (x) = 3x (3x − 1) . 12/ f (x) = x (x + 1) x−2 . 14/ f (x) = (2x − 5) . 2 15/ f (x) = (3 − 7x) . 16/ f (x) = −(3x + 1) . 17/ f (x) = (2x − 7) . 18/ f (x) = 3 − x 2 . 19/ f (x) = (5x + 2) . 20/ f (x) = x (8 − 3x ) . 21/ f (x) = (4x − 1)(x − 1) . 22/ f (x) = (3x + 7)(5 − 2x ) . 23/ f (x) = (2x + 5)(3x + 7) . 24/ f (x) = x 3 (x − 3) . 4 3 5 “Cần cù bù thông minh…………” 2 ( ) 7 Page – 5 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 25/ f (x) = x (2 − 7x) . 26/ f (x) = (x + 1) (4 − x) . 3 3 ( )( 27/ f (x) = x 3 − 1 ) 5 2−x . 3 30/ f (x) = (4 − x)(x + 1)(5x − 2) . 31/ f (x) = 3x (2x + 7)(9 − 3x) . 32/ f (x) = (1 − 3x) (x − 1) . 33/ f (x) = (4 − x) (5x − 2) . 34/ f (x) = x2 (2x − 3) . 3 2 Giải các bất phương trình sau 1/ (x + 1)(x − 1)(3x − 6) > 0 . 2/ 3/ x 2 − x − 20 > 2 (x − 11) . 4/ 3x (2x + 7)(9 − 3x) ≥ 0 . 5/ 2 > 0. x−3 6/ −3 > 0. 2 − 3x 7/ 1 ≤ 2. x −1 8/ x 1 ≥ . x−5 2 9/ x ≥ 0. x −x 10/ 4x + 3 ≤ 6. 2x − 5 2 (2x − 7)(4 − 5x) ≥ 0 . 11/ x −2 < 0. x2 − 4 12/ 1− x < 0. x 13/ 5x − 6 ≤ 1. x+6 14/ x+9 ≤ 0. x −1 16/ 5 − 6x ≥ −1 . 4x + 1 18/ x−3 x +5 > . x +1 x −2 15/ 17/ x −1 ≥ 2. x−3 (2x − 5)(x + 2) > 0 . −4x + 3 19/ 2x + 3 2 ≥ . 3x + 7 3 20/ 7x − 5 ≥ 4. 8x + 3 21/ x − 3 1 − 2x < . x+5 x−3 22/ 3x − 4 > 1. x −2 23/ x2 + 2x ≤ 0. x2 − 4 24/ x −2 ≥ 0. x2 − 4 25/ (4x + 3) (2x − 5) 26/ 3 − 2x > 0. x2 2 Page – 6 – 5 29/ f (x) = (2x − 4)(x + 1)(6 − 2x) . 2 Bài 6. 28/ f (x) = (2 − x) (2x + 5) . 5 ≤ 0. “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 27/ 2x − 5 ≥ −1 . 2−x 28/ 2x − 5 3x + 2 < . 3x + 2 2x − 5 29/ −4 3 < . 3x + 1 2 − x 30/ 2x 2 + x ≥ 1− x 1 − 2x 33/ 35/ x+9 32/ < 0. (x − 1) 2 (x + 9) 4 x2 31/ ≥ 0. 3x − 8 34/ (3x + 1)(x − 3) ≤ 0. 5 − 2x 36/ ≥ 0. x −1 x2 + 6x + 9 > 0. 2x 2 − x − 1 (x − 3)(x + 2) < 1 . x2 − 1 37/ 2 5 ≤ . x − 1 2x − 1 38/ x + 1 > 39/ 1 2 < . x − 1 x − x2 40/ 1 2 3 + > . x +1 x +2 x + 3 41/ (5 − 6x) (4x + 1) 42/ −1 3 < . x − 2 3x − 4 44/ x +2 x −2 > . 3x + 1 2x − 1 46/ x2 + 3x − 1 ≥ −x . 2−x 48/ (x + 2) (x + 6) . ≥0 x − 7 x − 2 ( )( ) 50/ (x − 1) (x + 2) x (x − 7) 6 ≤ 0. 3 x 2 − (2x − 6) 2 43/ (1 − x)(x + 4) 45/ (x − 1)(x + 2) 47/ (x + 9) ≤ 0. 2 −1 − x ≤ 0. 4 4 < 0. x −1 4 . x +1 3 2 3 7 9 + +1< 0. 49/ (x − 2)(x − 3) x − 3 51/ x2 − 3x + 24 < 4. x2 − 3x + 3 5 ≥ 0. 52/ x 3 − 6x 2 + 11x − 6 ≥ 0 . 53/ x 3 + 8x 2 + 17x + 10 < 0 . 54/ x 3 + 6x 2 + 11x + 6 > 0 . 55/ 2x 3 − 5x 2 − 2x + 2 < 0 . 56/ (x 58/ 5x − 7 x 3x <4− + 2 ≤ 4. x−5 5 − x x − 25 57/ 1 < Bài 7. 2 4 3x 2 − 7x + 8 x +1 2 ≤ 2. 2 ) − 2x − 3 ≥ (3x − 3) . 2 2 Giải các hệ bất phương trình sau "Cần cù bù thông minh…………" Page - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn Page - 8 - 1/  8x − 5 > 15x − 8  2 .   3 2 2x − 3) > 5x −  ( 4 3/  4  − 12x ≤ x + 1  3 2.  4x − 3 2 − x <  2 3 5/  11 − x ≥ 2x − 5  2 .   x−8 2 3x 1 + ≥ ) 2  ( Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 2/  4x − 5  2x − 5   4 4/  x  ≤ x + 4  2 3 .  2x − 9 19 + x <  3 2 6/  15x − 2 > 2x + 1  3 .   3x − 14 2 x − 4) <  ( 2 7/  2x − 3 3x + 1  <  4 5 .   5 x 3x + < 8 −  2 3 8/  5 − 3x  3x − 1 3 (x − 2) − −1 >  8 2 .  4  4x − 1 x − 1 4 − 5x > − 3 − 18 12 9  9/ 3x + 1 ≥ 2x + 7  .  4x + 3 > 2x + 19  9x − 12 ≥ 4x + 15 10/  .  19 − 3x < 7 + 5x    5x + 7 ≥ 3 − x 11/  3 . 1 − 5x < 3x + 4  13  5x − 3 ≥ 2x + 1 2 6 . 12/  2  2 x x 2 < + ( )  x + 3 ≤ 4 + 2x . 13/   5x − 3 < 4x − 1  x + 3  ≥ 3−x 14/  7 . 1 − 5x < 4x + 2  2 5x − 2 < 4x + 5  15/  2 . 2 x < (x + 2)  7x − 5 < 0 16/  . (2x + 3)(x − 1) ≥ 0 2  (1 + x) < x 2 − 3x + 5 17/  . x 3 − 6x 2 − 7x − 5 < x − 2 3 ( )  (x − 2)(6 − x) ≥ 0  18/  4x − 3 .  0  x − 2  >7 20/  x − 3 .  2x − 3 x + 3 ≥ 0 ( )( )   2x + 3  ≥1  . 21/  x − 1 (x + 2)(2x − 4) ≤0  x −1   x + 1 x−4  > 22/ 1 − 2x 3 − 2x .  2 <1  x + 1 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 8. (x + 1)(x + 4) < 0  23/  2 . 1  >  2x + 1 x − 3 x − 1 ≤ 2x − 3   5 − 3x 24/  ≤ x−3.  2 3x < x + 5   2 1  ≤ 25/  2x − 1 3 − x .   x < 1   5x − 4 < 6 26/  3 4 .  ≥ 1 − x x + 1 4x 2 − 1 ≥ 0  . 27/ x (x − 2) ≤ 0  2 2x − 5x + 2 ≤ 0  2  ≥ x − 1  x  x 28/  >4+x .  x + 1  x + 2 2 − x  < x +1  1 − x Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau 1/ Bài 9. Ths. Lê Văn Đoàn  6x + 5 > 4x + 7  7 .  8x + 3 < 2x + 25   2 2/  15x − 2 > 2x + 1  3 .  3x − 14 2 (x − 4) < 2  Giải các bất phương trình sau 1/ 4 − 3x ≤ 8 . 2/ 2x + 1 ≥ 3 . 3/ 2x − 4 ≤ x + 12 . 4/ x −2 < x −1. 5/ x − 3 < 3x + 15 . 6/ 3x − 2 > 7 . 7/ 5x − 12 < 3 . 8/ 1 − 4x < 2x + 1 . 9/ 2x − 8 ≤ 7 . 10/ 3x + 15 ≥ 3 . 11/ x −1 > x +1 . 2 12/ x < 13/ x −2 < x . 2 14/ 2x − 5 ≤ x + 1 . 15/ 2x + 1 ≤ x . 16/ x − 2 > x + 1. 17/ 2 > 1. x−4 18/ 2x − 1 >2. x −1 19/ 2 8 > . x − 13 9 20/ x < 2 x −4 +2. 21/ −1 2 ≥ . x +2 x −1 22/ "Cần cù bù thông minh…………" 4 . x x −1 x +1 < 1. Page - 9 - Ths. Lê Văn Đoàn 23/ Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình x +2 −x x 25/ 27/ < 2. 1 − 3x − 2x − 1 4x − x + 1 24/ > 1. 2x + 2 + x + 2 < −3x − 2 . x+3 +x x +2 > 1. 26/ x − 1 + −2x + 6 ≥ x − 5 . 28/ x − 1 + 2x − 4 − 4 − x < 2 . Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số   Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất dạng Điều kiện Kết quả tập nghiệm  Giải và biện luận bất phương trình dạng : . Tính  Đặt hoặc .  Lập bảng xét dấu chung: .  Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta xét dấu của hoặc nhờ qui tắc đan dấu.  Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất chứa tham số:  Giải tìm tập nghiệm tương ứng  Hệ có nghiệm khi .  Hệ vô nghiệm khi .  Hệ có nghiệm duy nhất khi hệ có dạng Tập nghiệm hệ: . .  Lưu ý: Cần nắm vững các phép toán trên tập hợp ở phần chương I. Page - 10 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 10. Bài 11. Tìm tham số m để bất phương trình sau đây vô nghiệm 1/ m2 x + 4m − 3 < x + m2 . 2/ m2 x + 1 ≥ m + (3m − 2) x . 3/ mx − m2 > mx − 4 . 4/ 3 − mx < 2 (x − m) − (m + 1) . 2 Giải và biện luận các bất phương trình sau 1/ m (x − m) ≤ x − 1 . 2/ mx + 6 > 2x + 3m . 3/ (m + 1) x + m < 3m + 4 . 4/ mx + 1 > m 2 + x . 6/ 3 − mx < 2 (x − m) − (m + 1) . x + 2m > 2 + mx . 5/ m (x − 2) 6 + x −m x +1 > . 3 2 2 7/ mx − m 2 > 2x − 4 . 8/ 9/ m2 x − 1 ≤ x + m . 10/ 2x + m2 ≥ mx + 3m − 2 . 11/ m (x − 2) ≤ 2mx + m − 1 . 12/ 25m2 − x < m2 x − 5 . 13/ 2 (x − m) − (m + 1) ≥ 3 − mx . 14/ 3 2 −4. 15/ (m 2 − 3m + 2 x ≤ m − 1 . 17/ (m 2 + 2m x + 8 < 4mx + m 3 . 19/ (m + 1)(mx − 1) > 2 . 20/ 21/ (m 22/ x (x − m) ≤ 0 . 23/ (x − 1)(x + m) ≥ 0 . 24/ (x − 3)(6m − 12 − x) ≤ 0 . 25/ (2x − 6)(x − m + 1) ≥ 0 . 26/ x− 3 > 0. x + 2m + 1 27/ x − 4m > 0. 2−x 28/ x − 4m ≤ 0. 4−x 29/ (x + m)(x + 1 − m) > 0 . 30/ (2x − m)(x + 2 − m) ≤ 0 . 31/ m−x ≤ 0. m+2+x 32/ x + 4m > 0. 2x − m + 4 34/ 2x + m − 1 > 0. x +1 2 ) (m + 1)(m − 2) x ≤ m ) ) − 3m + 2 x ≤ m − 1 . 33/ m2 (x − 1) < m − 4mx − 3x . 35/ mx − m + 1 < 0. x −1 "Cần cù bù thông minh…………" 16/ x + 25m2 ≥ 5mx + 1 . 18/ m (x + 1) > 1 . 36/ (m 2 ) − 3m + 2 (mx − 1) ≤ m 2 − 1 . x − 1 (x − m + 2) > 0 . Page – 11 – Ths. Lê Văn Đoàn Bài 12. Bài 13. Bài 14. Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Giải và biện luận hệ bất phương trình 1/ 2x + 1 ≤ 0  .  3x + 1 ≥ m 2/ 4x − 1 ≥ 0  .  x + 3m ≥ 0 3/ (x − 1)(4 − x) > 0  .  x − m + 1 ≤ 0 4/  7 −x ≥0  x − 5 .  x − m − 1 ≤ 0  5/  3 4  > 1 − x x + 1 .  x − m − 1 ≥ 0 6/  2 5  > 1 − x 1 − 2x .  x − m − 1 ≥ 0 7/   x − 2 < 4x − 8  2 .  2 2  (x − m + 1) > (x − m − 1) 8/ x + 1 > 0  .  mx − 2 < 0  9/  x − 2 ≤ 0 . (m + 1) x − 1 > 0  x + m ≥ 1 10/  .  mx + 2 ≥ m ( )( ) Tìm tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 1/ 4x − 5 > −3x + 2  .  3x + 2m + 2 < 0 2/ 3x − 2 > −4x + 5  .  3x + m + 2 < 0 3/ 4 (x − 3) + 1 ≤ 3 (x − 3)  .  x + m > 1 4/  1  >2 . x + 1  x − m ≤ 2  5/  1  ≥2 . x + m  x − 1 ≥ 2 6/  2  ≥1 . m − x x ≤ 3  7/ x − 7 ≤ 0  .  mx ≥ m + 12 8/ 2x − 1 > 0  .  (3m − 2) x − m > 0 9/  2x − 1 < x + 2 .  m (m + 1) x + 1 > (m − 2) x + 3m + 7  3x + 3 > 2x 10/  . x − 1 ≤ 2m (x − 2m)   x + m − 1 > 0 11/  .  3m − 2 − x > 0 mx − 1 > 0 12/  . (3m − 2) x − m > 0  x + 4m2 ≤ 2mx + 1 . 13/   3x + 2 > 2x − 1  7x − 2 ≥ −4x + 19 14/  .  2x − 3m + 2 < 0  Tìm tham số m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm Page - 12 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 15. 1/ 2x + 7 < 8x − 1  .  m + 5 < 2x 2/ 2  2 (x − 3) ≥ x + 7x + 1 . 2m ≤ 8 + 5x  3/  x − m + 3 > 2m .  −1 < 2 (x − 2)  4/ 4x + 5 > 11 − x  .  2 m − mx > 3 (3 − x) 5/  8  >1 . 3 − x x > 3 − mx  6/ x − 7 ≤ 0  .  mx ≥ m + 12 7/ (x − 1)(x − 2) < 0  .  mx + 1 < 2x + m 8/  2x  ≤1 . x − 1 2x − m + 2 > 0  9/ 3x + 5 ≥ x − 1  2 2  . (x + 2) ≤ (x − 1) + 9  2 m x + 1 > (3m − 2) x + m   1 1  <  10/  x − 1 x + 2 .  2 2 x x − 3m < x (m − 3)  ( ) Tìm tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là D cho trước 1/ x +m ≥1 có tập nghiệm là D = −2; +∞) .  2/ 2x − m < 3 (x − 1) có tập nghiệm là D = (4; +∞) . 3/ mx − 16 ≥ 2 x − m 3 4/ Bài 16. Ths. Lê Văn Đoàn ( ( ) ) 4 − x  m2 + 1 x − 5m ≥ 0   có tập nghiệm là D = −38; +∞) . có tập nghiệm là D = 2; 4 .   5/ m 3 (x + 2) ≤ m2 (x − 1) có tập nghiệm là D =  . 6/ m (x + mx ) ≤ 1 có tập nghiệm là D = ∅ . 7/ m2 (x − 1) ≥ 9x + 3m có tập nghiệm là D =  . 8/ m2 (x − 1) < m − 4mx − 3x có tập nghiệm là D = ∅ . Tìm tham số m để bất phương trình thỏa ∀x ∈ D cho trước 1/ x≥m ∀x ∈ D = 0;2 .   2/ 2x + m ≤ 2 ∀x ∈ D = −1; 4 .   3/ m2 − x < 1 ∀x ∈ D = (3; 4) . 4/ x − 1 > 4m ∀x ∈ D = −2; 4 .   5/ (m ∀x ∈ D = −1;2 .   2 ) +1 x < 4 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 13 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 6/ 5x − m ≤ 2 ∀x ∈ D = (0; 4) . 7/ m − 3x ≤ 2 ∀x ∈ D = (3;1) . 8/ 3x − 1 < 2 (x + 1) ∀x ∈ D = (m − 1; 4 .  9/ x − 2m ≤ 1 ∀x ∈ D = (−∞;2 − m) . 10/ 1 − 2x ≤ 0 ∀x ∈ D = m − 1;2 − m  .   11/ x − 2m + 1 > 0 ∀x ∈ D = (m + 1;2m − 3) . 12/ (x − 1)(x + 3) < 0 ∀x ∈ D =  m;1 − m) .  13/ (2x − 1)(x + 4) > 0 ∀x ∈ D = (2m − 1; m + 3 .  14/ (m ∀x ∈ D = −1;2 .   2 ) + 1 x − m (x + 3) + 1 > 0 15/ mx + 2 ≥ x + m ∀x ∈ D = 0;2 .   16/ 2 (m − 1) x + m > 0 ∀x ∈ D = (1; 3) . 17/ (m + 1) x − 3m ≤ 0 ∀x ∈ D = −1;2 .   ∀x ∈ D = (0; +∞) . 18/ mx − 3m + 2 > 0 Bài 17. Tìm tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất 1/ x ≤ m  .  2x + 1 ≥ 0 2/ 2x − m ≥ 0  .  2 (x − 1) ≤ 3 3/ (x + 1)(x − 2) ≤ 0  .  x − 2m ≥ 2 4/ (x − 2)(x − 4) ≤ 0  .  x ≤ 2m + 1 5/ 2  (x − 3) ≥ x 2 + 7x + 1 .  2m ≤ 8 + 5x  6/ x − y ≤ 0  .  mx ≥ m + 12 7/  x2 + 3 ≥ x +1  .  x  m (x − 1) ≥ 2 8/  x2 − x + 3 ≥x  .  x  m (x − 1) ≥ 2 9/  x 2 − 1 x − 2 ≥ 0 ( )  .  2 x + (m − 1)(2m − 1) ≤ (3m − 2) x  Page – 14 – ( ) 2m (x + 1) ≥ x + 3 10/  . 4mx + 3 ≥ 4x  “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn II – Dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai  Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai – Giải bất phương trình bậc hai  Dấu của tam thức bậc hai : cùng dấu với a. : cùng dấu với a. : Trong trái. : Ngoài cùng.  Giải bất phương trình bậc hai  Bước 1. Cho tìm nghiệm  Bước 2. Lập bảng xét dấu của (nếu có). dựa vào dấu của tam thức bậc hai.  Bước 3. Từ bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình.  Giải bất phương trình bậc hai dạng:  Bước 1. Tìm điều kiện xác định  Bước 2. Cho hoặc nếu có. . tìm nghiệm  Bước 3. Lập bảng xét dấu  Bước 4. Từ bảng xét dấu Dấu của và . . tập nghiệm S1. Vậy tập nghiệm bất phương trình:  Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn dạng:  Bước 1. Giải được tập nghiệm tương ứng là  Bước 2. Nghiệm của hệ là . .  Lưu ý  Hai bất phương trình và được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu .  Cần sử dụng thành thạo các phép toán trên tập hợp. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 15 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 18. Lập bảng xét dấu của các hàm số sau 1/ f (x) = x2 − 3x + 2 . 2/ f (x) = 3×2 − 2x + 1 . 3/ f (x) = −x2 + 4x + 5 . 4/ f (x) = x2 − x − 12 . 5/ f (x) = −2×2 + 5x − 2 . 6/ f (x) = −4×2 + 12x − 9 . 7/ f (x) = 2×2 − 6x + 8/ f (x) = x 2 + x + 1 . 9/ f (x) = −2×2 + 7x − 8 . 9 . 2 10/ f (x) = 3x 2 − 2x − 8 . 11/ f (x) = −x2 + 2x − 1 . 12/ f (x) = 2x 2 − 7x + 5 . 13/ f (x) = −3×2 + 2x − 5 . 14/ f (x) = −x2 − 5x − 6 . 15/ f (x) = −3×2 + 2x − 1 . 3 ( 16/ f (x) = −2×2 + 6x − ) 9 . 2 ( ) 17/ f (x) = 2×2 + 2 1 − 2 + 6 x + 2 − 6 . 18/ f (x ) = −6x 2 + 2 3 + 3 2 x − 6 . 19/ f (x) = 3×2 + 8 2x + 16 2 . ( )( 2 ) 21/ f (x) = x2 − 5x x2 − 5x + 10 + 24 . ( ) ( ) )( ) 24/ f (x) = 3x 2 − 4x 2x 2 − x − 1 . 2x 2 − x − 3 25/ f (x) = . 4x − x 2 26/ f (x) (3x = 2 )( − x 3 − x2 4×2 + x − 3 ). x +1 1 − 2 . x −1 x −1 28/ f (x) = mx 2 + (1 − 2m) x − 2 . ( 30/ f (x) = mx2 − m2 + 1 x + m . ) 29/ f (x) = m2 + 1 x2 − 2 (m − 1) x + 4 . Bài 19. ) 22/ f (x) = (4 − 2x) x2 − 5x + 4 . ( 23/ f (x) = 3x 2 − 10x + 3 (4x − 5) . 27/ f (x) = ( 20/ f (x) = (x + 4) x2 + 8x + 11 + 4 . ( ) Giải các bất phương trình sau 1/ x2 − 4x + 3 ≥ 0 . 2/ −2x 2 + 5x − 3 ≥ 0 . 3/ 7x 2 − 4x − 3 < 0 . 4/ −x 2 + 6x − 9 > 0 . 5/ 3×2 + x + 1 ≥ 0 . 6/ −x2 + 7x − 10 ≤ 0 . 7/ 2x 2 + 4x + 3 < 0 . 8/ 2x2 − 5x + 2 ≤ 0 . 9/ −5x 2 + 4x + 12 < 0 . 10/ 16x 2 + 40x + 25 > 0 . 11/ −2×2 + 3x − 7 ≥ 0 . Page – 16 – 12/ 3×2 − 4x + 4 ≥ 0 . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 13/ x2 − x − 6 ≤ 0 . 14/ −3×2 − x + 4 > 0. x2 + 3x + 5 15/ 4×2 + 3x − 1 > 0. x 2 + 5x + 7 16/ 5×2 + 3x − 8 < 0. x2 − 7x + 6 17/ x2 + 4x + 4 < 0. 2x2 − x − 1 18/ x 4 + x2 + 1 ≤ 0. x 2 − 4x − 5 x2 − 7x + 12 19/ > 0. 2x 2 + 4x + 5 (2 − x )(x 2 20/ 2 ) > 0. − 2x + 1 −x + 3x + 4 2 21/ x 4 − 4x 3 + 2x 2 > 0. x2 − x − 30 22/ x2 + 6x − 7 < 0. x+7 23/ x2 − 1 ≥ 0. x2 + 1 24/ x2 − 7x + 10 ≤ 0. −x2 + 6x − 9 25/ 3x 4 − x 3 + 4x2 − x + 3 ≥ 0 . 26/ (1 − 2x)(x x2 + 4x − 5 27/ > 0. x +1 x2 − 3x − 4 28/ ≤0. 1 − 2x 29/ Bài 20. Ths. Lê Văn Đoàn x2 + 1 < 0. x 2 + 3x − 10 2 ) + x − 30 < 0 . 30/ x 2 − 3x + 2 > 0. x2 − 4x + 3 Giải các bất phương trình sau 1/ 5x − 1 < 1. x2 + 3 2/ 3 > 1. x − 8x + 15 3/ 4 − 3×2 > 1. x2 + x + 1 4/ x −1 ≤5+x. x +1 5/ x −2 1 <− . 2 2 x +1 6/ x2 + 6x − 7 ≤ 2. x2 + 1 8/ x −1 < x. x +1 10/ 1 3 < . x +2 x−3 7/ x +1 (x − 1) 2 < 1. 6 . x−5 2 9/ x≤ 11/ 14x 9x − 30 < . x +1 x−4 12/ 13/ 1 1 1 + > . x −2 x −1 x 14/ 1 2 3 + < . x +1 x + 3 x +2 15/ 1 1 2 − ≤ . x −2 x x +2 16/ x −1 x +1 − < 2. x x −1 "Cần cù bù thông minh…………" 2 (x − 4) (x − 1)(x − 7) ≥ 1 . x −2 Page - 17 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 21. 17/ (x − 2)(x − 4)(x − 7) > 1 . (x + 2)(x + 4)(x + 7) 19/ (x 2 ) − 2x (2x − 2) − 18x − 18 ≤ 0. x2 − 2x 18/ (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 1 . (x + 1)(x + 2)(x + 3) 20/ (x 2 ) + 3x (2x + 3) − 32x + 48 ≥ 0. x 2 + 3x Giải các bất phương trình sau 1/ x 4 − 5×2 + 4 < 0 . 2/ x 4 − 2x 2 − 63 ≤ 0 . 3/ x 4 − 3x 2 + 2 > 0 . 4/ x 6 + 19x 3 − 216 ≥ 0 . 5/ (x 6/ (x 7/ x 2 + (x + 1) ≤ 8/ 1+ 10/ 3x − 2/ x2 + x + 5 < 0  .  2 x − 6x + 1 > 0 4/ 5×2 + 7x − 6 ≥ 0  .  2 5x − 13x + 6 > 0 9/ Bài 22. Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 2 )( ) + 3x + 1 x2 + 3x − 3 ≥ 5 . 2 1 x −3 < 15 . x + x +1 2 1 . 2 2 )( ) − x − 1 x2 − x − 7 < −5 . 12 7 < . x x2 1 < 2. x Giải các hệ bất phương trình sau 1/ x − 2 > 0  .  2 −3x + 6x +9 ≤ 0 3/ 3×2 + 8x − 3 ≤ 0  .  2 −6x + 17x − 7 ≥ 0 5/ (x − 1)(2x − 3) ≥ 0  .  x − 1 ≥ 0 6/ x 2 − 4x + 3 ≤ 0  .  2 x − 6x + 8 < 0 7/ 2x2 − 7x − 4 ≤ 0  .  2 2x − 15x + 22 > 0 8/ x2 − x − 3 − 3 > 0  .  2 x − 2x − 2 − 2 2 ≥ 0 9/  2 2x − 2 3 − 1 x + 3 − 1 ≤ 0 .  2 5x − 8x + 3 < 0  ( ) 2x2 + 9x + 7 > 0 10/  .  2 x + x − 6 < 0  2x2 + x − 6 > 0 11/  .  2 3x − 10x + 3 ≥ 0 −2×2 − 5x + 4 < 0 12/  .  2 −x − 3x + 10 > 0 −x2 + 4x − 7 < 0 13/  .  2 x − 2x − 1 ≥ 0  x2 + x + 5 < 0 14/  .  2 x − 6x + 1 > 0  x2 − 4x − 5 > 0  . 15/  2 x + x − 20 < 0 x2 − 2x + 1 > 0  16/  2 . −x + 2x + 3 > 0 Page – 18 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn  2 4x + 4x + 1 ≤ 0 17/  2 . 3x − 9 − 2 x − 3 2 ≤ 0  2×2 + 9x + 7 > 0  18/  2 . 2  x + x − 6 x − 2x + 2 < 0 4x 2 − 5x − 6 ≤ 0  19/  . 2 2  1 − x 4x − 12x + 5 > 0 x 2 − 4x + 3 ≥ 0  20/  . 2 (2x − 1) < 4x (x + 1) x (x + 5) ≤ 4x + 2  . 21/  (2x − 1)(x + 3) ≥ 4x 22/ −4 ≤ x 2 − 2x − 7 ≤ 1. x2 + 1 1 x2 − 2x − 2 ≤ 2 ≤ 1. 13 x − 5x + 7 24/ −1 < 10x 2 − 3x − 2 <1. −x2 + 3x − 2 3x2 − 7x + 8 ≤ 2. x2 + 1 26/ −3 ≤ x2 − 3x − 1 < 3. x2 + x + 1 ( ( 23/ 25/ 1 < ) )( ) ( )( ) x2 − x − 2 ≥ 2  27/ 2x2 − 11x + 9 < 0 .  3 2 x − x + 2x − 2 > 0 x2 + 4x + 3 ≥ 0  28/ 2×2 − x − 10 ≤ 0 .  2 2x − 5x + 3 > 0   1 − 2x ≤ 0 29/  3x − 2 .  2 x + x − 6 ≤ 0   3 x − 4x ≥ 0 30/  x 2 + x + 1 .  ≥0 2  x − 2x − 3  2  3x − 4x − 11 ≤ 1 . 31/   x2 − x − 6  2 3 − 2x) x − 4x + 3 > 0 (  1 2 2x + 3  + 2 ≥ 3 32/  x + 1 x − x + 1 x + 1 .  2x + 3)(4x − 2) > 0 ( ( “Cần cù bù thông minh…………” ) Page – 19 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Dạng 2. Phương trình – Bất phương trình chứa căn, chứa dấu trị tuyệt đối   Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối  Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.  Xem lại cách giải phương trình trị tuyệt đối (Chương 3. Phương trình và hệ phương trình). a/ Dạng 1. b/ Dạng 2. c/ Dạng 3.  Lưu ý .   Với   , ta có: và . . .  .  Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn  Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.  Xem lại cách giải phương trình có dấu căn (Chương 3. Phương trình và hệ phương trình). a/ Dạng 1. b/ Dạng 2.  Lưu ý: Đối với các phương trình, bất phương trình, không có dạng chuẩn như lí thuyết, ta thực hiện:  Bước 1. Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.  Bước 2. Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm.  Bước 3. Bình phương 2 vế để khử căn. c/ Dạng 3. Page – 20 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 23. Giải các bất phương trình sau 1/ x − 1 ≥ 1. 2/ 2x − 1 ≥ 2 . 3/ 4x + 2 ≥ 3 . 4/ x − 3 ≤1. 5/ x −2 ≤ x −4. 6/ 2x + 1 ≥ 1 − 3x . 7/ 2x − 1 ≤ x . 8/ 5 5x − 2 ≥ x + 4 . 9/ 2×2 + x + 6 ≤ 2 (x + 2) . 10/ x2 − x + 2 ≥ x − 3 . 12/ x 2 − 1 ≥ 2x 2 + 2x . 11/ 2 x2 + x − 2 ≤ 1 + 2x . Bài 24. 13/ x + 2 ≤ 3×2 − x + 1 . 14/ 2x − 1 ≥ x + 3 . 15/ x2 − x − 2 ≤ −x 2 + 2x + 3 . 16/ 4x 2 − 3 ≥ 2x 2 − 2x + 1 . Giải các bất phương trình sau 1/ x −1 > x − 3. 2/ 3/ x − 3 − 2x < 0 . 4/ 5 − x ≤ 2x − 7 . 5/ x + 1 < 2x − 1 . 6/ x −2 x − 3 ≤ 3. 7/ −3x + 2 + 1 < x . 8/ 7x + 11 + x + 1 ≥ 0 . 9/ 2x − 5 − x + 1 ≤ 0 . 10/ x2 − 2x ≥ x + 1 . 12/ x2 − 4x > x − 3 . 11/ x + 8 − x2 ≥ 4 . x < 5x − 4 . 13/ x2 − 4x + 3 < x + 1 . 14/ x2 − 3x + 2 < 2x − 1 . 15/ x2 + x − 6 ≥ x + 2 . 16/ 2x 2 − 3x − 5 < x − 1 . 17/ −x2 + 7x − 6 < 3 + 2x . 18/ −x2 + 6x − 5 > 8 − 2x . 19/ 3×2 + 13 + 2x < 1 . 20/ x2 − 4x + 5 + 2x ≥ 3 . 21/ x 2 + 6x − 3 < x + 1 . 22/ 2x2 − 6x + 1 − x + 2 > 0 . 24/ 3x − 5×2 ≤ 5x − 2 . 23/ 2x + 4x − 1 > 0 . 25/ x 2 − x − 12 < 7 − x . 26/ 1 − x + 2x2 − 3x − 5 ≤ 0 . 27/ x2 − 3x − 10 < x − 2 . 28/ 3 −x2 + x + 6 > 2 (1 − 2x) . 29/ 3×2 + 13x + 4 + 2 − x < 0 . 30/ 2 3x + x2 ≤ 2x − 1 . 31/ 2x2 − 6x − 20 + 2 − x > 0 . 32/ “Cần cù bù thông minh…………” x2 − 2x − 15 ≤ x − 3 . Page – 21 – Ths. Lê Văn Đoàn Bài 25. Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 33/ x +2 ≤ x . 34/ x2 + x − 6 < x − 1 . 35/ 2x − 1 ≤ 2x − 3 . 36/ x2 + 8x ≤ 2 (x + 1) . 37/ x2 + 9x > x + 4 . 38/ 2×2 − 1 > 1 − x . 39/ x 2 − 4x − 12 > x − 4 . 40/ x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1 . Giải các phương trình sau 1/ x 4 − 4x 2 + 3 = 0 . 2/ −x 4 + 10x 2 − 9 = 0 . 3/ x 4 − 3×2 − 4 = 0 . 4/ x 4 − x 2 − 12 = 0 . 5/ x4 − x2 + 3 = 0 . 6/ (1 − x )(1 + x ) + 3 = 0 . 2 2 7/ 3x − 2 = 2x − 1 . 8/ 2x − 3 = x − 3 . 9/ 4 − 6x − x 2 = 4 + x . 10/ 5x + 10 = 8 − x . 12/ 3x 2 − 9x + 1 = x − 2 . 11/ x − 2x − 5 = 4 . 13/ 3×2 − 9x + 1 = x − 2 . 14/ x 2 − 3x − 2 = 2 (x − 1) . 15/ 3x + 7 − x + 1 = 2 . 16/ x2 + 2x + 4 = 2 − x . 17/ x2 + 9 − x2 − 7 = 2 . 18/ x2 − 3x + 2 = x2 − 3x − 4 . 19/ x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 − 6x + 6 . 20/ x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 . (3 + x)(6 − x) + 3 . 21/ 3+x + 6−x = 27/ x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1. 28/ 22/ (x + 1)(x + 4) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 . (x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x − 4 . 29/ x − 2 + 2x − 5 + x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2 . 30/ x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1. 31/ 2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4 . x 2 + 4356 + x − x x2 + 4356 − x 2 = 5 . x 32/ 21 + x + 21 − x 33/ 35/ 37/ Page – 22 – 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11 . x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 . 36/ 3 1+ x + 1− x = 2. x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0. 38/ 21 + x − 21 − x 3 3 21 . x 34/ = 3 2×2 − 1 > 1 − x . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 39/ Bài 26. 40/ 3×2 + 5x + 8 − 3×2 + 5x + 1 = 1 . 3 5x + 7 − 3 5x − 13 = 1 . 42/ 3 9− x +1 + 3 7 + x +1 = 4. 43/ 3 24 + x − 3 5 + x = 1 . 44/ 4 47 − 2x + 4 35 + 2x = 4 . Giải các bất phương trình sau 1/ 1− x +1 ≥ 2. x 2/ 3/ 1 − 1 − 4×2 < 3. x 4/ −3x2 + 16x − 5 ≤2. x −1 5/ 2 + −3x2 + x + 4 < 2. x 6/ 1 − 21 − 4x − x2 1 < . x+4 2 x3 + 8 > x −2. x 8/ 9/ (x − 3) x 2 − 4 ≤ x2 − 9 . 10/ 11/ (x + 2) x 2 − 3x − 4 ≤ x 2 − 4 . 12/ 13/ 1 − 4x ≥ 2x + 1 . 1 − 8x − 3 ≥ 4. 4x 6 + x − x2 ≥ 2x + 5 (2x + 1) 6 + x − x2 . x+4 x + 1 < 4x2 − 1 . 2x + 1 − x − 8 > 3 . 14/ x − 1 − x < 0 . Giải các phương trình sau 1/ x2 − 2 = 2. x −1 2/ x2 − 5x + 4 = x + 4 . 3/ x2 − 8x + 12 = x2 − 8x + 12 . 4/ x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5 . 5/ x 2 − 1 = x2 − 2x + 8 . 6/ 2x 2 − 5x − 2 = 0 . 7/ x2 − 1 + x = 1 . 8/ 2 − 3x2 − 6 − x2 = 0 . 9/ x2 − 2x + 3 = x + 1 . 10/ 2 x − x − 3 = 3 . 11/ x2 − 4 + 2x = x + 2 + 1 . 13/ 14/ Bài 28. x 2 − 4x − 12 = x − 4 . 41/ 7/ Bài 27. Ths. Lê Văn Đoàn x + 3 − 4 x −1 + x + 8 −6 x −1 = 1. 2 2 x −1 −1 = 3. 12/ 14/ x2 − 1 + x + 1 x (x − 2) = 2. x + 14x − 49 + x − 14x − 49 = 14 . ( ) 16/ x + 1 − x 2 = − 2 2x2 − 1 . 2/ 2x − 4 ≤ x + 12 . Giải các bất phương trính sau 1/ 4 − 3x ≤ 8 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 23 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 3/ x < 4 . x 4/ x2 − 4x < 5 . 5/ x2 − 2x < x . 6/ x2 − 2x − 3 < 3x − 3 . 7/ x2 − 3x + x − 2 < 0 . 8/ x2 − 4 + 2x < 4 . 9/ −x2 − x − 1 ≤ 2x + 5 . 10/ x2 − 5x + 4 ≤ 1. x2 − 4 11/ x2 − 4 ≤ 1. x2 + x + 2 12/ x2 − x ≤ x2 − 1 . 13/ x − 6 > x2 − 5x + 9 . 14/ x2 + 4x + 3 > x2 − 4x − 5 . 15/ x − 3 − x +1 < 2. 16/ 3x − 2 ≥ 7 . 17/ x − 3 > 3x + 15 . 18/ 2x 2 − 5x − 3 < 0 . 19/ x2 − 2x − 8 > 2x . 20/ 21/ 1 − 4x > 2x + 1 . 22/ 3 x − 1 + x 2 − 7 > 0 . 23/ x2 + 3x + 2 + x2 + 2x ≥ 0 . 24/ x − 8 > x2 + 3x − 4 . 25/ x −1 + x + 2 < 3. 26/ 2 x − 3 − 3x + 1 ≤ x + 5 . 27/ x 2 − 1 − 2x < 0 . 28/ x 2 − 5x − 3 − x < 2 . 29/ x 2 − 7x + 12 > x − 4 . 31/ 4x 3 − 3x ≤ 1 . 33/ x2 − 2x − 3 − 2 > 2x − 1 . 30/ x3 − 1 ≥ 1 − x . 32/ x − 6 > x2 − 5x + 9 . 34/ 2 x + 1 < x − 2 + 3x + 1 . 35/ 2 > 1. x−4 36/ 37/ x2 − 4x ≤ 1. x2 + x + 2 38/ 39/ 41/ Bài 29. x2 − 2x − 3 ≤ 3x − 3 . x −2 ≥ 3. 40/ x2 − 5x + 4 ≤ 1. x2 − 4 42/ x2 − 5x + 6 2x − 1 >2. x −1 2x − 5 x−3 + 1 > 0. x2 + 3x + 2 ≥ 1. x2 − 3x + 2 2x − 1 x − 3x − 4 2 < 1 . 2 Giải các bất phương trình sau Page - 24 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 1/ 3/ 5/ 7/ x+2 < 1. x+3 +x x +2 2/ > 1. x−3 x − 5x + 6 2 4/ ≥ 2. (2x − 3)(2 x − 1 + 2) x −1 −2 6/ ≤ 0. 8/ x +2 −x x 2x − 1 x2 + x − 2 < 2. ≥ 3. 2x − 1 (x + 1)(x − 2) ≤ 1 − 3x − 2x − 1 4x − x + 1 1 . 2 > 1. 9/ x − 2 + 2 x + 1 ≤ x2 . 10/ x − 1 + −2x + 6 ≥ x − 5 . 11/ 2x + 2 + x + 2 < −3x − 2 . 12/ x − 1 + 2x − 4 − 4 − x < 2 . 13/ ( x − 1 − 3)( x + 2 − 5) < 0 . 14/ 15/ x 2 − 2x − 3 < 3x − 3 . 16/ x 2 − 5x − 3 − x < 2 . x −1 + 3 5−x +x < 4. 17/ 3x 2 − x − 3 > 9x − 2 . 18/ x − 4 + 7x ≥ x 2 + 12 . x + 6 ≤ x2 + 6x − 7 . 20/ x2 + 3x − 4 − 2 x + 3 + 2 > 0 . 19/ 21/ x − 1 + 2x − 4 − 3x + 2 ≥ 3 . 22/ 23/ x2 − 5x + 4 ≤ 1. x2 − 4 24/ 25/ Bài 30. x −1 Ths. Lê Văn Đoàn x2 + 2x + 3 x2 + x − 2 ≥ 1. 26/ 4×2 − 1 2x − 1 < x2 + x − 1 . x +2 + x x−3 +x x2 − x − 6 x2 − 4 < 2. ≥ x. Giải các bất phương trình 1/ 1− x + 4 + x ≤ 3. 2/ x + 2 − x − 6 > 2. 3/ 22 − x − 10 − x < 2 . 4/ x2 + 9 − x2 + 7 ≥ 2 . 5/ x +2 − x +1 ≤ x . 6/ 2x + 1 ≤ 2 x − x − 3 . 7/ x + 3 − x −1 < x −2 . 8/ x + 3 − 7 − x ≥ 2x − 8 . 9/ x + 3 − x −1 < x −2 . 10/ x + 2 − 2x − 3 ≤ 4x − 7 . 11/ x + 11 ≥ x − 4 + 2x − 1 . 12/ x +3 + 2−x ≥ 3. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 25 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 31. Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 13/ x + 4 − 5 − 4x ≥ 1 . 14/ 2x − 1 + 5 − x > 3 2 − x . 15/ 2x + 3 − x + 1 > 1 . 16/ 1− x + 4 + x > 1. 17/ 1− x + 4 + x > 3. 18/ x + 4 − 2x − 6 ≤ 1 . 19/ 3x + 7 − 1 + x > 2 . 20/ 5 − x2 + 5×2 − 1 > 4x . Giải các bất phương trình sau 1/ 5×2 + 10x + 1 ≥ 7 − 2x − x2 . 2/ (x + 1)(x + 4) < 5 3/ (4 + x)(6 − x) ≤ x 4/ −4 5/ x (x + 3) ≤ −x 2 − 3x + 6 . 6/ (x + 1)(x + 2) < x 7/ x2 + 2x > −2×2 − 4x + 3 . 8/ x x +1 − 2. > 3. x +1 x 9/ 2. − 2x − 12 . 3x − 1 x ≥ + 1. x 3x − 1 2x − 1 x 3x +1+ > . x 2x − 1 2x − 1 11/ 13/ 3. 2x x − 1 3x − 3 + 4. ≥ + 10 . x −1 2x 2x 15/ 5 x + 5 1 +4. 2x < 2x + 2 x Bài 32. 2 x2 + 5x + 28 . (4 − x)(x + 2) ≤ x 2 2 − 2x − 12 . + 3x − 4 . 10/ 2. 6x − 1 2x < + 1. x 6x − 1 12/ 2. x x − 1 2 (x − 1) − ≤ + 3. x −1 x x x 3 − 2x 12 − 8x + 5. > + 5. 3 − 2x x x 14/ 16/ 1 3x > − 1. 2 1− x 1 − x2 2/ x−4 < Giải các bất phương trính sau (nhân liên hiệp) 1/ 3/ ( ) 2 4 (x + 1) < (2x + 10) 1 − 3 + 2x . 2 2x 2 (3 − 9 + 2x ) 2 < x + 4. (3x + 2) 4/ 7/ 9/ Page - 26 - ( 4x + 1 + x − 1 ( x +4 + x +5 16x 2 ( ) 4x + 1 − 1 2 )( ) 2 < x +2. 6/ ) x − 1 − x − 4 > 3 . 8/ ≥ 4 (3x − 2) . 10/ (1 + 1+ x 9x 2 ( 2 5/ x2 ) 1 + 3x − 1 2 ) 2 > 2x + 1 . 25×2 ( 6x + 3 + x + 3 ( x +1 − x −2 )( ) 2 ≥ x. ) x + 6 + x − 3 < 3. 9x 2 ( . 5x − 1 − 2x − 1 ) 2 ≤ 4x + 5 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn (x + 2) 2 11/ Bài 33. ( 3x + 1 − 2x − 1 ) 2 ≤ x +8. 13/ x+8 ( x + 3 − x ≥ 3. ) 15/ x −2 ( 3x − 5 − 2x + 3 ≤ x − 8 . 17/ 2x − 8 ( x + 3 + 7 − x > 2x − 4 . 19/ 5x − 1 ( 3x − 2 + 2x − 3 > 1 + x . 21/ 3x − 5 ( x + 2 + 2x − 3 < 5 − x . 23/ ( 3x +6 + ) ) ) ) )( 3x +1 − 3x − 3 12/ 3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 ≥ 1 . 14/ x −1 16/ 2x − 3 18/ x+3 20/ 2x − 4 ( 5x − 1 + x − 1 < 4x . 22/ 1 − 2x ( x + 4 + 1 − x < 2x + 3 . ) 3x −2 ≤ 3. 24/ ( ( ) x − 3 − 8 − x ≥ 2x − 11 . ( ( ) x −1 − x − 2 ≤ 1. ) 2x − 8 − 7 − x > 3 (x − 5) . ) ) x + 12 + x − 6 )( ) x +2 − x −4 ≥ 6. Giải các bất phương trình sau 1/ 3/ 5/ ( 2 x2 − 16 x−3 (x 2 − 3x ) ) _ x−3 > 7−x x−3 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0 . . 6 + x − x2 −x2 + x + 6 ≥ . 2x + 5 x+4 2/ 13 − x 4/ x − 1 + x − 3 ≥ 2 (x − 3) + 2x − 2 . 6/ 2 4 x −2 −x 3 3 x+ 2 x 7/ x3 + 8 > x −2. x 9/ x +1 + 3− x + 11/ 1 − x − x2 + 1 < x . 13/ x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≤ x − 4x − 4 . 14/ x2 − 8x + 15 + x2 + 2x − 15 ≤ 4x 2 − 18x + 18 . 15/ 7x + 7 + 7x − 6 + 2 49x2 + 7x − 42 < 181 − 14x . "Cần cù bù thông minh…………" < 2x + 1 −7. 2x x +1 + x −1 ≤ 2 − 8/ (x − 1)(3 − x) ≤ 2 . 10/ ≥ x − 2 + 9. x2 . 4 x (x + 4) −x 2 + 4x + (x − 2) < 2 . 12/ 2 x2 + 2x + x2 − x ≥ x 2 + 7x . Page - 27 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Bài tập qua các kì thi Bài 34. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Giải BPT: Bài 35. Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006 Giải BPT: Bài 36. ĐS: x ∈ (−∞; −3 .  x2 + x − 6 ≥ x + 2 . x + 3 − 2 − x > 1. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối D, M, T năm 2006 Giải BPT: Bài 42. x −1 > x − 3. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 x2 + 2x + 5 ≤ 4 2×2 + 4x + 3 . Bài 43. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Yên Bái khối B, D1, M năm 2006 Giải BPT: 2x − 2 − x − 1 ≥ 0 . Bài 44. ĐS: x2 − 4x + 3 − 2×2 − 3x + 1 ≥ x − 1 . ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Cần Thơ khối A năm 2006 Giải BPT: Page – 28 – 5 − 2x − 2 − x ≥ 2x + 5 . Cao đẳng Giao Thông Vận Tải năm 2006 Giải BPT: Bài 46. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Lào Cai khối A năm 2006 Giải BPT: Bài 45. ĐS: x ∈ 4; 5 .   Cao đẳng Tài Chính – Quản Trị Kinh Doanh khối A năm 2006 Giải BPT: Bài 41. x + 11 ≥ x − 4 + 2x − 1 . Hệ Cao đẳng khối T, M năm 2004 trường Đại học Hùng Vương Giải BPT: Bài 40.  3 ĐS: x ∈ 0;  .  4  1− x +1 ≥ 2. x Cao đẳng Điều Dưỡng – Hệ chính quy năm 2004 Giải BPT: Bài 39. 1  ĐS: x ∈  ;1 ∪ 3; +∞) .  3  x2 − 4x + 3 < x + 1 . Cao đẳng Sư Phạm Điện Biên khối A, B năm 2005 Giải BPT: Bài 38.  2 ĐS: x ∈ −∞;  . 3   x2 − 4x + 5 + 2x ≥ 3 . Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Giải BPT: Bài 37. 9  ĐS: x ∈ (−∞; 0) ∪  ; +∞ .   2 x2 − 4x > x − 3 . (x + 5)(3x + 4) > 4 (x − 1) . ĐS: “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 47. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004 ( x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4 . ĐS: x = 1 ∨ x ≥ 4 . Cao đẳng A, B – 2009 x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1 ( ) 2 − 2x − 8 . x + 6 > x + 1 + 2x − 5 . x 2 + 2x − 15 < x − 2 . −x2 + 6x − 5 > 8 − 2x . ĐS: ĐS: ĐS: 3 < x ≤ 5 . Đại học Dân Lập Phương Đông khối A năm 2000 Giải BPT: 2x2 + 4x + 3 3 − 2x − x2 > 1 . Bài 57. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Long khối A, B năm 2005 Giải BPT: Bài 56. (4 − x)(2 + x) ≤ x Cao đẳng Giao Thông Vận Tải năm 2005 Giải BPT: Bài 55. ĐS: Cao đẳng Sư Phạm Kinh Tế năm 2002 Giải BPT: Bài 54. 2x 2 − 1 < 0 . Cao đẳng Nông Lâm 2000 Giải BPT: −4 Bài 53. ĐS: 2 ≤ x ≤ 3 . Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TWI năm 2000 Giải BPT: x 2 + x − 2 Bài 52. ĐS: x ∈ −1;1 .   Cao đẳng Hải Quan năm 1999 – Hệ phân ban Giải BPT: Bài 51. x2 . 4 1+ x + 1− x ≤ 2 − Giải BPT: Bài 50. ĐS: x = −1 ∨ x ∈ (1; 3) . Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Giải BPT: Bài 49. ) 2 x2 − 1 ≤ x + 1 . Giải BPT: Bài 48. Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x ∈ −3;1 .   Đại học Dân Lập Duy Tân khối D năm 2000 Giải BPT: 1/ x2 − 3x + 2 x2 + 3x + 2 ≥ 1. ( ĐS: ) 2/ x + 1 ≥ 2 x2 − 1 . Bài 58. Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh (Hutech) năm2000 Giải BPT: Bài 59. x + 6 > x + 1 + 2x − 5 . ĐS: Học Viện Chính Trị Quốc Gia – Phân Viện Báo Chí Tuyên Truyền năm 2000 Giải BPT: x + x2 + 4x > 1 . Bài 60. ĐS: ĐS: Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 29 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Giải BPT: x (x − 4) −x 2 + 4x + (x − 2) < 2 . 2 Bài 61. x2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 ≤ 2x2 + 9x + 7 . Đại học Thái Nguyên năm 2000 Giải BPT: 3 x + 3 < 2x + 2 x Bài 63. 2 < 2x + x x + 2 − 3 − x < 5 − 2x . 7x + 7 + 7x − 6 + 2 49x2 + 7x − 42 < 181 − 14x . 6 ≤ x < 6. 7  7 ĐS: x ∈ −1;  .  2   (x + 1)(4 − x) > x − 2 . Đại học Dân Lập Hồng Bàng năm 1999 Giải BPT: x + 3 − x − 1 > 2x − 1 ĐS: 1 ≤ x ≤ 3 . 2 Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ (HuTech) khối A, B năm 1999 Giải BPT: Page – 30 – ĐS: Đại học Mỏ – Địa Chất Hà Nội năm 2000 Giải BPT: Bài 72. ĐS: x ∈ (−9; 4) . Đại học Anh Ninh khối A năm 2000 HD: t = 7x + 7 + 7x − 6 ≥ 0 …… ⇒ . Bài 71. ĐS: x < 0 ∨ x > 5 . x2 − 8x + 15 + x2 + 2x − 15 ≤ 4x 2 − 18x + 18 . Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 2000 Giải BPT: Bài 70. ĐS: x2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 ≤ 2×2 + 9x + 7 . Giải BPT: (x + 1)(x + 4) < 5 x2 + 5x + 28 . Bài 69. ĐS: x ∈ −4;5) ∪ (6;7  .   Đại học Dược Hà Nội năm 2000 Giải BPT: Bài 68. x + 3 − 7 − x ≥ 2x − 8 . Đại học Bách Khoa Hà Nội khối D năm 2000 Giải BPT: Bài 67. ĐS: Đại học Thủy Lợi Hà Nội – Đại học Thăng Long năm 2000 Giải BPT: Bài 66. 1 +2. 2x Đại học Ngoại Thương khối D năm 2000 Giải BPT: Bài 65. 1 −7. 2x  0 < x < 4 − 3 7  2 . ĐS:   3 7 x > 4 + 2  Đại học Thủy Lợi năm 2000 Giải BPT: 4 x + Bài 64. ) Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Giải BPT: Bài 62. ( ĐS: x ∈ 2 − 3; 2 + 3 . 2x + 3 ≥ x − 2 .  3  ĐS: x ∈ − ; 3 + 2 2  .  2    “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 73. Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ (HuTech) khối D năm 1999 Giải BPT: Bài 74. 2x − 1 ≤ 8 − x . ĐS: 1  ĐS: x ∈  ; +∞ .   4 5x − 1 − 4x − 1 ≤ 3 x . 2×2 (3 − 9 + 2x ) 2  9 7 ĐS: x ∈ − ;  \ {0} .  2 2   < x + 21 . x + 2 x −1 + x −2 x −1 > 3 . 2 ĐS: x ∈ 1; +∞) .  Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999 Giải BPT: Bài 83. ĐS: x ∈ −2; 4 ∨ x = −3 .   Học Viện Ngân Hàng năm 1999 Giải BPT: Bài 82. 12 + x − x2 12 + x − x2 . ≥ x − 11 2x − 9 Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Giải BPT: Bài 81. ĐS: x ∈ −2; −1 ∨ x = 3 .   Đại học An Ninh Hà Nội khối D năm 1999 Giải BPT: Bài 80. 6 + x − x2 . x+4 Đại học Tài Chính Kế Toán Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Giải BPT: Bài 79. 6 + x − x2 ≥ 2x + 5 Đại học Huế khối D, R, T hệ phân ban năm 1999 Giải BPT: Bài 78. 3  ĐS: x ∈  ;2 . 2    x + 2 − x − 1 ≥ 2x − 3 . Đại học Huế khối D, R hệ chưa phân ban năm 1999 Giải BPT: Bài 77.  1  ĐS: x ∈ − ; 0 .  12  x −1 x −1 −2 ≥ 3. x x Đại học Thủy Sản năm 1999 Giải BPT: Bài 76. 1  ĐS: x ∈  ;5 . 2    2x − 1 ≤ 8 − x . Đại học Mở Hà Nội khối A, B, R, V và D4 năm 1999 Giải BPT: Bài 75. Ths. Lê Văn Đoàn x +1 > 3− x + 4 . ĐS: x > 0 . Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt I khối D – Học Viện Ngân Hàng năm 1999 ( Giải BPT: x (x − 4) −x2 + 4x + (x − 2) < 2 . 2 Bài 84. ) ĐS: x ∈ 2 − 3; 2 + 3 . Đề thi chuyên Toán – Tin Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1988 Giải BPT: ( ) x4 + x2 + 1 + x x2 − x + 1 ≤ "Cần cù bù thông minh…………" (x 2 ) +1 x 3 . ĐS: x > 0 . Page – 31 – Ths. Lê Văn Đoàn Bài 85. Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 3×2 + 6x + 4 < 2 − 2x − x 2 Giải BPT: Bài 86. Đại học Nông Nghiệp năm 1998 Giải BPT: Bài 87. 1 − 1 − 4x 2 < 3. x Đại học Tài Chính Kế Toán năm 1998 51 − 2x − x2 < 1. 1− x −3x2 + x + 4 + 2 < 2. x Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 2 − x + 4x − 3 ≥2. x x2 + x − 2 + x 2 + 2x − 3 ≤ x 2 + 4x − 5 . ĐS: Đại học Sư Phạm Qui Nhơn năm 1998 9x2 − 4 Giải BPT: Bài 94. 5x 2 − 1 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4 . ( ) 2 x2 − 16 x−3 ( 7−x x−3 ĐS: x > 10 − 34 . ) 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0 . ĐS: x ≤ − 1 hoặc x ≥ 3 . 2 Đại học Ngoại Thương năm 2001 Giải BPT: Page – 32 – + x−3 > Đại học D – 2002 Giải BPT: x 2 − 3x Bài 97. ĐS: 2 ≤ x ≤ 10 . Đại học A – 2004 Giải BPT: Bài 96.  2 1   1 5  ; . ĐS: − ; −  ∪  5   5 2   3 ≤ 3x − 2 Đại học A – 2005 Giải BPT: Bài 95. ĐS: Đại học An Ninh năm 1998 Giải BPT: Bài 93.  1 1 ĐS: − ;  \ {0} .    2 2 1 − 1 − 4x 2 < 3. x Giải BPT: Bài 92. ĐS: Đại học Ngoại Ngữ năm 1998 Giải BPT: Bài 91. ĐS: Đại học Xây Dựng năm 1998 Giải BPT: Bài 90. ĐS: (−∞; −2) ∪ (0; +∞) \ {1} . x 4 − 2x 2 + 1 > 1 − x . Giải BPT: Bài 89. 1 1 ĐS: − ≤ x ≤ . 2 2 Đại học Luật năm 1998 Giải BPT: Bài 88. ĐS: −2 < x < 0 . 1 + x − 1− x ≥ x . HD: Liên hiệp 0 ≤ x ≤ 1. "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 98. Đại học Dân Lập Phương Đông năm 2001 Giải BPT: Bài 99. Ths. Lê Văn Đoàn 7x − 13 − 3x − 9 ≤ 5x − 27 x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4 x2 (1 + 1+ x ) 2 > x−4 8x 2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0 . 2x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 . ĐS: x ≤ −1 ∨ x ≥ 0 . (x + 5)(3x + 4) > 4 (x − 1) .  4  ĐS: x ∈ (−∞; −5 ∪ − ; 4 .   3  x +1 x +1 −2 −3 ≥ 0. x −1 x −1 ĐS: Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 2001 Giải BPT: Bài 110. ĐS: Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2001 Giải BPT: Bài 109. 1  1 ∨ x ∈  ; +∞ .   4 2 Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 2001 Giải BPT: Bài 108. ĐS: x = Đại học Cần Thơ khối D năm 2001 Giải BPT: x (x + 1) − x 2 + x + 4 + 2 ≥ 0 . Bài 107. ĐS: x ≤ −2 ∨ x ≥ 0 . Dự bị Đại học khối B năm 2005 Giải BPT: Bài 106. 13 . 6 Dự bị Đại học khối D năm 2005 Giải BPT: Bài 105. ĐS: x ≥ 3 ∨ x ≤ − Dự bị Đại học khối D năm 2004 Giải BPT: x 2 + 2x 2 + 4x + 3 ≥ 6 − 2x . Bài 104. ĐS: −1 ≤ x < 8 . Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm 1997 Giải BPT: (x − 3) x 2 − 4 ≤ x2 − 9 Bài 103. ĐS: x = 1 ∨ x ≥ 4 . Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Giải BPT: Bài 102.   x > 5 + 53  2 ĐS:  .  − 5 53 x < 2  Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Giải BPT: Bài 101. 299 + 26304 ≤ x ≤ 23 . 59 Đại học Y Hà Nội năm 2001 Giải BPT: 2x 2 + x 2 − 5x − 6 > 10x + 15 Bài 100. ĐS: x2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 . ĐS: x = 1 hay x ≤ 1 . 2 Đại học khối A năm 2010 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 33 – Ths. Lê Văn Đoàn Giải BPT: Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình x− x ( ) 1 − 2 x2 − x + 1 ≥ 1. HD: Mẫu số < 0 , chuyển vế, áp dụng đk dấu " = " của BĐT B.C.S Bài 111. 2x2 − 6x + 1 − x + 2 ≥ 0 . x + 3 − x −1 < x −2 . ĐS: x = 1 ∨ x ≥ 4 . ĐS: x ≤ − 5 ∨ x ≥ 3. 6 Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 (  ĐS: S =  0;  ) 2 Giải BPT: x 2 + 1 ≤ x x 2 + 2 + 1 .  2 − 1 .  Đại học Luật Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 Giải BPT: 5 x + 5 2 x Page - 34 - 28 . 3 Đại học Dân Lập Văn Lang năm khối B, D năm 1997 Giải BPT: (x − 3) x 2 + 4 ≤ x2 − 9 . Bài 116. ĐS: x > x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4 . HD: Sử dụng miền nghiệm của điều kiện. Bài 115. 3− 7 ∨ x > 3. 2 Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 Giải BPT: Bài 114. ĐS: x ≤ Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Giải BPT: Bài 113. 3− 5 . 2 Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 Giải BPT: Bài 112. x= < 2x + 1 +4. 2x  3 −2  ĐS: 0;  2  2 3 +2 2 ; ∪ +∞   .   2  "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 3. Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có chứa tham số   Tam thức không đổi dấu trên Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra kết quả sau: Cho (Điều kiện để bất phương trình có nghiệm ) a/ b/ Từ đó, ta có thể suy ra điều kiện vô nghiệm của bất phương trình như sau: c/ Để bất phương trình vô nghiệm . d/ Để bất phương trình vô nghiệm . e/ Để bất phương trình vô nghiệm . f/ Để bất phương trình vô nghiệm .  Lưu ý  Nếu có chứa tham số. Để . ● Trường hợp 1.  Nếu . . ● Trường hợp 2. có chứa tham số. Để ● Trường hợp 1. , ta cần xét: , ta cần xét: ● Trường hợp 2. .  Giải và biện luận bất phương trình bậc hai  Bước 1. Xét  Bước 2. Lập là  Bước 3.  Bước 4. nếu hệ số a có tham số. và tìm nghiệm (nếu có nghiệm, thì lúc này nghiệm ). Lập bảng xét dấu a và trên cùng một bảng xét dấu (biến số là m). Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của bất phương trình. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 35 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 117. Định m để biểu thức f (x) sau luôn dương với mọi x 1/ f (x) = x2 − (m + 2) x + 8m + 1 . 2/ f (x) = mx 2 − 2 (m − 1) x + 4m . 3/ f (x) = (m − 1) x2 − (m − 5) x + m − 1 . 4/ f (x) = m2 + 1 x2 + 2 (m + 3) x + 1 . ( ) 5/ f (x) = (3m + 1) x2 − (3m + 1) x + m + 4 . 6/ f (x) = (m + 1) x2 − 2 (m − 1) x + 3m − 3 . Bài 118. Định m để biểu thức f (x) sau luôn không dương với mọi x (luôn luôn âm) 1/ f (x) = −2x2 + 2 (m − 2) x + m − 2 . 2/ f (x) = (m + 4) x 2 − (m − 1) x − 1 − 2m 3/ f (x) = (m − 1) x2 + 2 (m + 2) x + m − 6 . 4/ f (x) = (m − 2) x2 + 2 (m − 2) x + 2 . ( ) 5/ f (x) = m2 + 4m − 5 x2 − 2 (m − 1) x + 2 . 6/ f (x) = (m − 4) x2 + (m + 1) x + 2m − 1 . Bài 119. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m ∈  1/ 4x2 + 4 (m + 2) x + 3m + 2 = 0 . 3/ (3 − 2m) x 2 2/ mx2 + (5m + 6) x + m − 1 = 0 . + (3m − 2) x + m − 1 = 0 . 4/ (3m − 1) x + 3 (m + 1) x + 1 = 0 . 2 Bài 120. Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm ( ) ( ) ) (m + 1) x 1/ x 2 + 1 + m 3 x + m 2 + m 3 + 2 = 0 . 2/ x 2 + 1 − m 3 x + m 2 − m 3 + 2 = 0 3/ (2m 2 − 7m + 10 x2 + 2 (m − 3) x + 1 = 0 . 4/ + mx + 7m = 0 . 2 Bài 121. Tìm tham số m để các bất phương trình sau có vô số nghiệm (BPT thỏa ∀x ∈  ) 1/ x2 − mx + m + 3 ≥ 0 . 2/ 3x2 + 2 (m − 1) x + m + 4 > 0 . 3/ x 2 − (3m − 2) x + 2m 2 − 5m − 2 ≥ 0 . 4/ x 2 + (m + 1) x + 2m + 7 > 0 . 5/ −x2 + 2 (1 − m) x − 9 ≤ 0 . 6/ x 2 − (m − 2) x + 8m + 1 > 0 . 7/ 2x 2 + (m − 2) x − m + 4 > 0 . 8/ mx2 + (m − 1) x + m − 1 < 0 . 9/ mx2 − 4 (m + 1) x + m − 5 > 0 . 10/ mx 2 − mx − 5 < 0 . 11/ 5x2 − 4mx + m ≥ 0 . 12/ mx 2 + 2mx − 1 < 0 . 13/ 4x 2 − 2 (m + 1) x + m > 0 . 14/ (1 − 3m) x 15/ 1 2 x + 2 (m − 2) x + m2 > 0 . m 16/ (1 − m ) x 17/ (m 18/ (m + 1) x 19/ ( m + 4) x 20/ (m − 1) x Page – 36 – 2 ) + 3 x2 + 2 (m + 1) x + 1 > 0 . 2 − (m − 1) x − 1 − 2m < 0 . 2 2 − 2mx + 1 − m ≥ 0 . 2 − 3 m2 − 1 x + 1 ≥ 0 . ( ) 2 − 2 (m + 1) x − m + 2 > 0 . 2 + 2 (m − 1) x − 4m < 0 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 21/ 23/ (2m − 1) x 2 Ths. Lê Văn Đoàn − (m + 1) x + m ≥ 0 . x 2 − 8x + 20 mx2 + 2 (m + 1) x + 9m + 4 < 0. 25/ x 2 + mx − 1 < 1. 2x 2 − 2x + 3 27/ 3(m + 6) x − 3(m + 3) x + 2m − 3 > 3 . 29/ x 2 − 3x + 2 ≤ 3. x 2 + mx + 1 2 22/ 24/ (m − 2) x 2 (m − 4) x 26/ −4 < + 4mx + m − 1 ≤ 0 . 3x 2 − 5x + 4 2 + (1 + m) x + 2m − 1 2x2 + mx − 4 < 6. −x 2 + x − 1 x 2 + (m − 1) x + 3 28/ > 0. x2 + x + 1 ≤ 2. 3×2 − 4x ≥ 2. x 2 + 2mx + 3m 30/ Bài 122. Tìm tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm 1/ x2 + 6x + m + 7 ≤ 0 . 2/ −x2 + 2 (m − 1) x + 1 ≥ 0 . 3/ (m − 2) x 4/ mx 2 + 4x + m < 0 . 5/ mx 2 + 2 (m − 1) x + 4 ≥ 0 . 6/ mx2 − 4 (m + 1) x + m − 5 < 0 . 7/ mx2 + 6mx + 8m − 10 ≥ 0 . 8/ (m + 1) x 9/ (m − 1) x + 2 (m − 1) x + 3m − 2 > 0 . 10/ (m + 2) x 11/ (m − 2) x 2 + (m − 2) x + m ≤ 0 . 12/ (m − 2) x 13/ (m − 3) x 2 + (m + 2) x − 4 > 0 . 14/ (m + 3) x 2 + 2 (m − 1) x + 4m < 0 . 15/ (m − 4 ) x 2 + (m + 1) x + 2m − 1 ≥ 0 . 16/ ( m + 4) x 2 − (m − 4) x − 2m + 1 < 0 . 17/ (3 − m ) x 2 − 2 (2m − 5) x − 2m + 5 > 0 . 18/ 2 2 + 2x − 4 ≥ 0 . 19/ m (m + 8) x 2 − 2 (m + 8) + 8m + 1 ≥ 0 . 20/ 2 2 − 2 (m − 1) x + 4 < 0 . 2 + 2 (m − 2) + m + 4 ≤ 0 . (3m + 1) x (m 2 − 2 (m − 1) x + 3m − 3 > 0 . 2 − (3m + 1) x + m + 4 ≤ 0 . ) + 2m − 3 x2 + 2 (m − 1) x + 1 < 0 . Bài 123. Tìm tham số m để các bất phương trình sau có nghiệm 1/ mx2 + 2 (m + 1) x + m − 2 ≤ 0 . 2/ (m + 2) x 3/ (m − 2) x + 2 (m − 2) x + 2 ≤ 0 . 4/ (m − 1) x 5/ −2x 2 + 2 (m − 2) x + m − 2 < 0 . 6/ −x 2 + 3x − m + 1 < 0 . 7/ x 2 + (m − 2) x − 8m + 1 ≥ 0 . 8/ (m 9/ (m − 2) x 11/ (3 − m ) x 2 2 2 2 2 + 2 (m + 2) x + m + 4 ≥ 0 . 2 + 2 (m + 2) x + m − 6 ≤ 0 . ) + 1 x2 + 2 (m + 3) x + 1 ≥ 0 . + 2 (2m − 3) x + 5m − 6 = 0 . 10/ (m − 5) x 2 − 4mx + m − 2 = 0 . − 2 (m + 3) x + m + 2 = 0 . (1 + m) x 2 − 2mx + 2m = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" 12/ Page - 37 - Ths. Lê Văn Đoàn 13/ Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình (2m − 3 − m ) x 2 2 + 2 (2 − 3m) x = 3 . 14/ (m − 2) x 2 − 4mx + 2m − 6 = 0 . 2 − 2mx + 2m ≤ 0 . Bài 124. Giải và biện luận các bất phương trình sau 1/ x 2 − mx + m + 3 > 0 . 2/ (1 + m) x 3/ mx2 − 2x + 4 > 0 . 4/ x2 − 2 (m + 3) x + m2 + 4m + 1 > 0 . 5/ x2 − 2 (m + 3) x + m2 + 4m + 1 < 0 . 6/ 3mx2 − mx + 1 ≥ 0 . 7/ (m − 1) x 8/ mx2 + (m − 3) x + m − 3 ≤ 0 . 9/ mx2 + 4mx + m + 6 ≥ 0 . 10/ (m + 1) x 11/ (1 − m) x + 2mx + m + 1 ≤ 0 . 12/ 2x 2 − 2 (m + 1) x + 1 ≥ 0 . 13/ (m − 3) x − 4 (m − 3) x + m ≥ 0 . 14/ x2 − 2x + 2m − m2 ≥ 0 . 2 2 2 − 4mx + 4 < 0 . 15/ x2 − 2mx + 3m < 0 . 16/ (m − 1) x 17/ x2 − 2mx + m2 − 1 ≤ 0 . 18/ (m + 1) x 19/ (m 2 ) + 1 x2 + 2 (m + 3) x + 1 ≥ 0 . 20/ x + 2 2 2 − 2 (m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0 . + 3 (m − 1) x + 5 ≥ 0 . − 2mx + 4m > 0 . 1 1− m 1+ m ≤ + . x 1+ m 1− m Bài 125. Tìm tham số m để bất phương trình sau thỏa điều kiện x cho trước 1/ x 2 + 2 (m + 1) x − m + 3 ≥ 0 ∀x ≥ 0 . 2/ x 2 + 2 (m + 1) x − m + 3 ≥ 0 ∀x ≤ 0 . 3/ x 2 − (m + 1) x + 1 > 0 ∀x > 0 . 4/ (3 − m ) x ∀x < 0 . 5/ x 2 − 2 (m − 2) x + m − 2 ≤ 0 ∀x ∈ 0;1 .   6/ (m − 2) x ∀x ∈ 0;1 .   7/ x 2 − 2mx + 3m − 2 > 0 ∀x ∈ (1;2) . 8/ (m + 1) x ∀x ∈ (−1;1) . 9/ (x − m + 1)(x − m + 3) < 0 ∀x ∈ (1;2) . 10/ (x + 3 − 2m)(x + 3m − 2) < 0 ∀x ∈ 2; 3 .   11/ (x − 2m)(x + m − 1) > 0 ∀x ∈ 3; +∞) .  12/ Page – 38 – 2 2 2 − 2 (m + 1) x + 1 > 0 − 2 (m − 2) x + 1 ≤ 0 − 2 (2m − 1) x < 3 (1 − 2m) x 2 + 2x + 4 x 2 − (m + 1) x + 4 <2 ∀x ∈  . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 126. Tìm miền xác định của hàm số tùy theo giá trị của m 1/ y = f (x ) = 2x − 3 + (m − 1) x 2/ y = f (x ) = 4x + 5 3/ y = f (x) = 3x 2 + mx − 7 − 4/ y = f (x ) = 5x 2 + 2m − 5/ y = f (x) = (2 − 3m) x 2 2 + 3 (m − 1) x + m . + 2mx + m − 1 + x −2. 3x 2 − 4x −2 . x 2 + mx + m (m + 1) x mx2 + (m + 2) x + 2 x −1 2 − 2 (m − 1) x + 2 − 2m . + m2 − 3m + 1 . Bài 127. Tìm tham số m để hai bất phương trình sau đây tương đương nhau 1/ 4x 2 − 8x + 3 > 0 & x2 − 2x + 1 − m4 ≥ 0 . 2/ x 2 + 8x + 7 > 0 & mx 2 − 2x + 4 > 0 . 3/ 2x 2 + 5x + 3 < 0 & −x 2 + 3x − m + 1 < 0 . 4/ x2 − x − 20 ≥ 0 & −x 2 + 2 (m − 1) x + 1 ≥ 0 . Bài 128. Tìm tham số m để bất phương trình: (1 − m) x 2 + 2mx + m − 6 ≥ 0 1/ Có nghiệm. 2/ Có duy nhất một nghiệm. 3/ Có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. Bài 129. Tìm tham số m để bất phương trình: mx 2 − 2 (m − 1) x − m − 5 ≤ 0 1/ Có nghiệm. 2/ Có duy nhất một nghiệm. 3/ Có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2. Bài 130. Tìm tham số m để nghiệm các hệ sau thỏa yêu cầu bài toán 1/ x2 − 6x + 5 < 0   2 2 x − 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 Có nghiệm. 2/ 2  3 x − 2x − 5x + 6 < 0  2 x − m2 − 1 x + 3m − 1 = 0  Có một nghiệm âm và một nghiệm dương. 3/ x2 + 7x − 8 < 0   2 x − (3m + 1) x + m (2m + 1) = 0 Vô nghiệm. ( ) "Cần cù bù thông minh…………" Page - 39 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 4/ x2 − 2mx + 2m2 + m − 2 = 0   2 x − 2mx + 2m > 0 Có nghiệm duy nhất. 5/ x2 + m2 = 4   2 2 x + (5m + 2) x + 4m + 2m < 0 Có nghiệm. 6/ x2 − (m + 3) x + 3m < 0   2 x + (m + 9) x + 9m < 0 Có nghiệm. 7/ x2 − 2mx + 4m ≤ 0   2 x − mx + 8m ≤ 0 Có nghiệm duy nhất. 8/ x2 + (m + 1) x + 1 ≤ 0   2 (m + 1) x + x + 1 ≥ 0 Có nghiệm duy nhất. 9/ 2x2 − 3x − 2 ≤ 0   2 mx + 2mx + 1 ≤ 0 Vô nghiệm. x2 − 5x + 4 > 0  10/  2 2 x − 4 (m + 1) x + 4m + 8m + 3 ≤ 0 Có nghiệm. 2  (2m + 1) x + 3 > (x − 3) m 11/  (m − 2) x2 − 4x − 1 > 0  Có nghiệm. m2 (x − 2) + (m + 1) x > 2 + mx  12/  2 (m + 1) x + x + 2 > 0 Có nghiệm. x2 − (2m + 1) x − 4m ≥ 0  13/  2 x − 2mx + 3 − 2m ≤ 0 Có nghiệm duy nhất. x2 − 4 (m + 1) x + 4m2 + 8m + 3 ≤ 0 14/   2 x − 5x + 4 > 0 Có nghiệm. x2 + (m + 1) x + 1 ≤ 0 15/   2 (m + 1) x + x + 1 ≥ 0 Có nghiệm duy nhất. 2×2 − 3x − 2 ≤ 0 16/   2 mx + 2mx + 1 ≤ 0 Vô nghiệm. Bài 131. Tìm tham số m để các hệ sau có tập nghiệm là  1/ 6< 3x 2 − mx − 6 x2 + x + 1 < 9. 2/ 1≤ 3x 2 − mx + 5 2x 2 − x + 1 <6. Bài 132. Tìm tham số m để các hệ phương trình có nghiệm thỏa yêu theo sau của bài toán Page - 40 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 1/ x 3 − 3x 2 − 10x + 24 > 0   2 x + 2 m2 − 1 x − 2m + 1 = 0  Có hai nghiệm âm. 2/ x 3 − 3x 2 − 10x + 24 > 0   2 2 x + 2 m − 1 x − 2m + 1 = 0 Có nghiệm duy nhất. 3/ x2 + (2m + 1) x + m2 + m − 2 = 0   4 2 x − 4x + 4 < 0 Có nghiệm duy nhất. 4/ x2 − 2 (m + 3) x + m2 + 6m + 5 = 0   4 2 x − 10x + 9 < 0 Có nghiệm duy nhất. 5/ x2 − 2x + m = 0   4 3 2 x − 4x + 4x + m − 10 < 0 Có nghiệm duy nhất. 6/ x2 − 2x − 4 + m ≤ 0   4 2 x − 6x − 8x + 20 − m ≤ 0 Có nghiệm. ( ( ) ) x2 − 4x + 3 ≤ 0  . Tìm tham số m để: Bài 133. Cho hệ bất phương trình:  2 x − 8x + 14 + m ≤ 0 1/ Hệ vô nghiệm. 2/ Hệ có nghiệm duy nhất. 3/ Hệ có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. x2 − 3x + 4 ≤ 0  Bài 134. Cho hệ bất phương trình:  2 2 3x − 2 (m + 1) x − m + 2m − 3 ≤ 0 1/ Tìm m để hệ vô nghiệm. 2/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. x2 − (3m − 1) x + 5m + 6 = 0  Bài 135. Cho hệ bất phương trình:  2 x − 2x < 0 1/ Tìm m để hệ có đúng một nghiệm. 2/ Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt. x2 − (3m − 1) x + 2m2 − m < 0  Bài 136. Cho hệ bất phương trình:  2 2 x + m = 4 1/ Tìm m để hệ có nghiệm. 2/ Tìm m để hệ có đúng một nghiệm. 3/ Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 41 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình x2 − 2x − 4m ≤ 0  Bài 137. Cho hệ bất phương trình:  2 x − 4x + m ≤ 0 1/ Tìm m để hệ có nghiệm. 2/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. (m − 1) x 2 + (m − 1) x + m − 1 ≥ 0  Bài 138. Cho hệ bất phương trình:  2 mx − 2x + 2m + 1 ≤ 0 1/ Tìm m để hệ có nghiệm. 2/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 139. Xác định m để hệ sau có nghiệm thỏa yêu bài toán 1/ x2 − 2mx ≤ 0    x − 1 + m ≤ 2m Có nghiệm duy nhất. 2/ x2 − 3x − 4 ≤ 0   3 2 x − 3x x − m − 15m ≥ 0 Có nghiệm. Bài 140. Giải và biện luận hệ bất phương trình sau 1/ mx + 1 ≥ 0  .  2 x − 3x − 10 ≤ 0 2/ x2 − x − 6 ≤ 0  .  2 x − (m + 1) x + m > 0 3/ (x − 1)(x − 2m) ≤ 0  .  (x + 2)(x + m) ≤ 0 4/ x2 + 2x − 8 ≥ 0  .  2 x + (1 − m) x − 2 (m + 1) < 0 5/ x2 − 6x + 8 ≤ 0  .  2 2 x − 2 (m + 1) x + m + 2m > 0 6/ x2 + (1 − 3m) x − m (1 − 2m) ≤ 0  .  2 x + (m − 4) x − 2 (m − 2) ≤ 0 Bài 141. Tìm tham số m để các hệ sau có nghiệm thỏa yêu cầu của bài toán 1/ 2 2  (x − 1) + (y − 3) ≤ 4   x − m 2 + y − 3 2 ≤ 1 ) ( ) ( Có nghiệm. 2/ 2 2  (x − 1) + (y + 1) ≤ m   x + 1 2 + 3 − y 2 ≤ m ) ( ) ( Có nghiệm duy nhất. 3/ 2  2 x + (y − m + 1) ≤ 4  2 2 2  (x + m) + (y + 1) ≥ (m − 2) Có nghiệm. 4/ 2 2  (x − 1) + (y − 1) ≤ 2 x − y + m = 0  Nghiệm đúng x ∈ 0;2 .   Page – 42 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn x2 − 2 (m + 3) x + m2 + 6m + 5 ≤ y Bài 142. Cho hệ bất phương trình:   (x − y − m − 2)(x − y − m − 5) ≤ 0 1/ Giải hệ bất phương trình khi m = 1 . 2/ Tìm tham số m để tập nghiệm của hệ chứa đoạn 2; 4  .   2  y − x − x − 1 ≥ 0 Bài 143. Cho hệ bất phương trình:   y − 2 + x + 1 − 1 ≤ 0  1/ Giải hệ khi y = 2 . 2/ Tìm các nghiệm của hệ. Bài 144. Cho bất phương trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 (∗) 1 . 2 1/ Giải bất phương trình (∗) khi m = 2/ Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm. (m + 2) x − m ≥ x + 1 Bài 145. Cho bất phương trình: (∗) 1/ Giải bất phương trình (∗) khi m = 1 . 2/ Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình (∗) có nghiệm x thỏa: 0 ≤ x ≤ 2 . Bài 146. Tìm tham số m > 0 để bất phương trình: Bài 147. Tìm tham số m để: x − x − 1 > m có nghiệm. (1 + 2x)(3 − x) > m + (2x 2  1  − 5x + 3 thỏa ∀x ∈ − ; 3 .  2    ) Bài 148. Tìm nghiệm của bất phương trình: x + 1 − x2 < x 1 − x 2 trên đoạn  0;1 .   ( ) 2 Bài 149. Cho bất phương trình: x 2 + 1 + m ≤ x x 2 + 2 + 4 (∗) 1/ Giải bất phương trình (∗) khi m = 3 . 2/ Tìm tham số m để bất phương trình (∗) được thỏa ∀x ∈ 0;1 .   Bài 150. Cho bất phương trình: x − 2 x − 1 ≤ m + 1 (∗) 1/ Giải bất phương trình (∗) khi m = 0 . 2/ Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình (∗) có nghiệm. Bài 151. Cho x ∈  0;1 . Chứng minh rằng: x + 1 − x + 4 x + 4 1 − x ≤ 2 + 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 152. Giải bất phương trình: 2x + a 2 − x2 > 0 với a là số cho trước. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 43 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình Bài 153. Tìm m để bất phương trình: x − m x − 1 > m + 1 có nghiệm. Bài 154. Giải bất phương trình: 1 − x − x 2 + 1 > 0 . Suy ra bảng xét dấu của hàm số f (x) = 1 − x − x2 + 1 . Giải bất phương trình: 1 − x − x2 + 1 < x . Bài 155. Cho đa thức: P (x) = 2x 3 + mx2 + nx + p Trong đó m, n, p là hằng số. 1/ Xác định m, n, p để P (x) chia hết cho đa thức Q (x) = 2x 3 + 3x2 − 1 . 2/ Với các giá trị tìm được của m, n, p , giải bất phương trình: P x − 1 > 0 . ( ) Bài 156. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình: x 2 + 2 x − m x + m2 + x − 1 ≤ 0 có nghiệm. Bài 157. Tìm tham số m để bất phương trình: x 2 + x − m < 3 có nghiệm âm. Bài 158. Cho bất phương trình: x (2 − x ) + m + 1 ≥ x 2 − 2x + 3 (∗) 1/ Tìm m để bất phương trình (∗) có nghiệm. 2/ Tìm m để độ dài miền nghiệm của bất phương trình (∗) bằng 2. Bài 159. Cho bất phương trình: x (6 − x ) ≥ x 2 − 6x + m + 2 (∗) 1/ Tìm tham số m để bất phương trình (∗) có nghiệm. 2/ Tìm tham số m để miền nghiệm của bất phương trình (∗) thuộc đoạn 2; 4 .   Bài 160. Tìm các giá trị của m sao cho bất phương trình: x x − 3 < m được thỏa ∀x ∈ 1; 4 .   Bài 161. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm ( ) 1/ x2 − (m + 2) x + 2m < 0  .  2 x + (m + 7) x + 7m < 0 2/ x2 + 2 − 3m 2 x − 6m 2 < 0  .  2 2 x − (2m + 5) x + m + 5m + 6 ≥ 0 3/  2 x − 2x − m + 1 ≤ 0 . x2 − (2m + 1) x + m2 + m ≤ 0  4/  2  x + x − 2 + x < 1 .  2 x − 2 (m + 2) x + 1 > 0 x 4 − 4x 3 + 4×2 − 4x + 3 < 0  Bài 162. Cho hệ bất phương trình:  2 x − mx -3 ≤ 0  1/ Giải hệ (∗) khi m = 2 . 2/ Tìm tham số m để hệ (∗) có nghiệm. Page - 44 - (∗) "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn x 4 − 5x2 + 4 < 0 Bài 163. Cho hệ bất phương trình:   2 2 x + (2m + 1) x + m + m − 2 = 0 1/ Giải hệ (∗) với m = 1 . 2/ Tìm tham số m để hệ (∗) có nghiệm. 3/ Tìm tham số m để hệ (∗) có nghiệm duy nhất. (∗) x 4 + 8x2 + 16x + 16m 2 + 32m + 16 = 0  4x 2 Bài 164. Cho hệ bất phương trình:  2 ≥5 x + 2  x + 2) (  1/ Giải hệ (∗) với m = 2 . 2/ Tìm tham số m để hệ (∗) có nghiệm. (∗) 2  2 x + (y + 1) ≤ m Bài 165. Tìm tham số m để hệ:  có nghiệm duy nhất.  x + 1 2 + y2 ≤ m ( )  x + y = 1 Bài 166. Giải và biện luận hệ:  .  2 2 x + y ≤ a 2  x + 3y ≥ (x + y) + m Bài 167. Tìm tham số m để hệ:  có nghiệm duy nhất.  x − y 2 ≤ 3y − x − m ) ( Bài tập qua các kì thi Bài 168. Cao đẳng Giao Thông năm 2003 3x2 + 2x − 1 < 0  Giải hệ bất phương trình:  3 . x − 3x + 1 > 0 Bài 169. Cao đẳng Khí Tượng Thủy Văn khối A năm 2003 x2 − 2x ≤ 0 Giải hệ bất phương trình:  .  4 2 x − 5x + 4 ≤ 0 Bài 170. Đại học kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 Cho bất phương trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 . 1/ Giải bất phương trình với m = “Cần cù bù thông minh…………” 1 . 2 Page – 45 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương 4. Bất đẳng thức và Bất phương trình 2/ Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm ? ĐS: 1/ 3 ≤ x ≤ 7 . Bài 171. 2/ m ≤ 1+ 3 . 4 Đại học Tài Chính Kế Toán Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 y − x 2 − x − 1 ≥ 0  Cho hệ phương trình:  .  y − 2 + x + 1 − 1 ≤ 0 1/ Giải hệ bất phương trình khi y = 2 . 2/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ. ĐS: 1/ Bài 172. 1− 5 ≤ x ≤ 0. 2 2/ S = {(0;2), (−1;3)} . Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 Tìm a để bất phương trình x − x − 1 ≥ a có nghiệm với a là tham số dương. ĐS: 0 < a < 1 . Bài 173. Đại học Ngoại Thương Cơ Sở 2 năm 1999 x2 − 8x + 7 ≤ 0 Với giá trị nào của m thì hệ bất phương trình  có nghiệm ?  2 2 x − (2m + 1) x + m + m ≤ 0 Xác định m để hệ bất phương trình có một nghiệm duy nhất ? Bài 174. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1997 x2 − (m + 2) x + 2m < 0 Tìm m để hệ  có nghiệm  2 x + (m + 7) x + 7m < 0 Bài 175. ĐS: m < 0 . Đại học Thương Mại năm 1997 x2 − 2x + 1 − m ≤ 0  Tìm m để hệ  2 có nghiệm 2 x − (2m + 1) x + m + m ≤ 0 Bài 176. Đại học Thủy Lợi năm 1998 x2 − 2mx < 0 Tìm m để hệ  có nghiệm   x − 1 + m ≤ 2m Bài 177. Đại học Thương Mại năm 1998 x2 − 3x + 4 ≤ 0  Tìm m để hệ  3 có nghiệm 2 x − 3x x − m − 15m ≥ 0 Bài 178. Đại học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội năm 1999 x2 + 5x + 4 < 0  .  3 2 x + 3x − 9x − 10 > 0 Page – 46 – ĐS: −4 < x < −1 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 5 Ths. Lê Văn Đoàn GÓC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Chương  A – HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Hệ thức lượng giác cơ bản .  .  .  ..  . . BÀ NG TÂP ÁAP DỤ DUNG BAI TẬ Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau 1/ cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x . 2/ 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x . 3/ 3 − 4 sin2 x = 4 cos2 x − 1 . 4/ sin x cot x + cos x tan x = sin x + cos x . 5/ sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x . 6/ cos 4 x − sin 4 x = cos2 x − sin2 x . 7/ 4 cos2 x − 3 = (1 − 2 sin x)(1 + 2 sin x) . 8/ 9/ sin4 x − cos4 x = 1 − 2cos2 x = 2sin2 x −1 . 10/ sin 3 x cos x + sin x cos3 x = sin x cos x . 11/ tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x . Bài 2. (1 + cos x)(sin 2 ) x − cos x + cos2 x = sin2 x . 12/ cot2 x − cos2 x = cot2 x cos2 x . Chứng minh các đẳng thức sau 2/ 1 − cos x sin x = . sin x 1 + cos x 1 1 + = 1. 1 + tan x 1 + cot x 4/    1 − 1  1 + 1  + tan2 x = 0 .    cos x  cos x  5/ 1 + sin2 x = 1 + 2 tan2 x . 1 − sin2 x 6/ tan x tan y = 7/ 1 − cot4 x = 8/ tan x + 9/ (1 − cos x)(1 + cot x) = 1 + cos x . 10/ 1 + cos x 1 − cos x 4 cot x − = . 1 − cos x 1 + cos x sin x 11/ sin x 1 + cos x 2 + = . 1 + cos x sin x sin x 12/ sin x + cos x − 1 cos x = . sin x − cos x + 1 1 + sin x 13/ sin2 x + 2 cos x − 1 cos x = . 2 1 + cos x 2 + cos x − cos x 14/ sin x + cos x − 1 2 cos x = . 1 − cos x sin x − cos x + 1 1/ tan x + cot x = 3/ 1 . sin x cos x 2 1 − . 2 sin x sin 4 x 2 "Cần cù bù thông minh…………" 1 tan x + tan y . cot x + cot y cos x 1 = . 1 + sin x cos x Page - 47 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 3. Bài 4. Bài 5. Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác Chứng minh các đẳng thức sau 1/ sin 6 x + cos6 x = 1 − 3 sin2 x cos2 x . 2/ sin6 x − cos6 x = sin2 x − cos2 x 1 − sin2 x cos2 x . 3/ sin 8 x + cos8 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x − 2 sin 4 x cos 4 x . 4/ sin 8 x − cos8 x = sin2 x − cos2 x 1 − 2 sin2 x cos2 x . ( )( ( ) ) 2 ( )( ) Chứng minh các đẳng thức sau 1/ 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x) . 2/ (1 + tan x)(1 + cot x) sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x . 3/ (1 + tan x) cos 4/ sin 2 x tan x + cos2 x cot x + 2 sin x cos x = tan x + cot x . 5/ sin2 x tan2 x + 4 sin2 x − tan2 x + 3 cos2 x = 3 . 2 x + (1 + cot x ) sin2 x = (sin x + cos x ) . 2 Chứng minh các đẳng thức sau 1/ sin2 α − cos2 α tan α − 1 = . 1 + 2 sin α cos α tan α + 1 2/ tan2 α − sin2 α = tan 6 α . cot2 α − cos2 α 3/ cos2 α sin2 α + = 1 − sin α cos α . 1 − tan α 1 − cot α 4/ tan α − sin α 1 = . 3 sin α cos α (1 + cos α ) 5/ 1 = tan2 α + cot2 α + 2 . 2 sin α cos2 α 6/ 1 3 tan2 α 2 − tan α = + 1. cos2 α cos2 α 7/ tan2 α − tan2 β sin2 α − sin2 β = . tan2 α tan2 β sin2 α sin2 β 8/ 2    1 − cos α  (1 + cos α )  − 1 = 2 cot α .  sin α  sin2 α   9/ (1 − cos α)(1 + cot α) = 1 + cos α . 10/ 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = 11/ sinα cos α 1 + cot2 α − = . sin α + cos α cos α − sin α 1 − cot2 α 12/ 1 2 2  1 + sin α 1 − sin α   2 13/  −  = 4 tan α . 1 + sin α   1 − sin α Bài 6. sin α + cos α . cos3 α tan2 α 1 + cot2 α 1 + tan4 α . = . 1 + tan2 α cot2 α tan2 α + cot2 α 2  1 + cos α 1 − cos α   2 14/  −  = 4 cot α . 1 + cos α   1 − cos α Rút gọn các biểu thức sau 1/ P1 = sin 4 α + sin2 α cos2 α . 2/ P2 = sin 4 α − cos 4 α + cos2 α . 3/ P3 = sin2 α + sin2 α cot2 α . 4/ P4 = cos2 α + cos2 α cot2 α . ( ) 5/ P5 = 1 − sin2 α cot2 α + 1 − cot2 α . Page - 48 - 6/ P6 = sin2 α tan α + cos2 α cotα + 2sin α cos α . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 7/ P7 = 2 cos2 α − 1 . sin α + cos α 8/ 9/ P9 = cot α + cot β . tan α + tan β 10/ P10 = tan α + sin x + tan x − sin x cot x . tan x 11/ P11 = cos2 x − cot2 x 13/ P13 = 2 2 sin x − tan x 19/ P19 = 21/ P21 = sin2 x + sin2 x tan2 x 2 cos2 x − sin2 y 2 2 sin x sin y 12/ P12 = cos α . 1 + sin α cos x tan x sin2 x − cot x cos x . 1 − sin2 x cos2 x 2 cos x 2 16/ P16 − cos2 x . −1 tan x − sin x cos x 20/ P20 = 1 − cos x 1 − sin x + + tan x + cotx . sin x cos x 1 . 1 + cos α (sin x + cos x) = − cot2 x cot2 y . 23/ P23 = (1 + tanx) cos2 x +(1 + cotx) sin2 x . Bài 7. sin α 18/ P18 = 2 − 2 . cos x + cos x tan x 2 1 − cos α 14/ P14 = . sin3 x + sin x cos2 x − cos x 15/ P15 = . 1 − 2 sin x cos x 17/ P17 = P8 = cot2 x − cos2 x 2 cot x . + 1 − cos2 x . 1 sin x cos x cot x − − . sin x 1 + cot x 1 + tan x  1  1  1 + cotx − . 22/ P22 = 1 + cotx + sinx  sinx   24/ P24 = 1 sinx − cot2 x − cos2 x ,   0 < x < π.  2  Biến đổi các biểu thức sau thành tích số 1/ A = 2 cos2 x − 1 . 2/ B = 3 − 4 sin2 x . 3/ C = sin x cos x + cos2 x − 1 . 4/ D = sin2 x + sin x cos x − 1 . 5/ E = 1 + sin x + cos x + tan x . 6/ F = tan x − cot x + sin x + cos x . 7/ G = cos x tan2 x − (1 + cos x) . 8/ H = 3 − 4 cos2 x − sin x (2 sin x + 1) . 9/ I = sin2 x − 3 cos2 x + 6 cos x − 2 sin x . ( ) 10/ J = cos3 x − sin3 x + sin x + cos x . 11/ K = cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 . 12/ L = cos2 x + sin3 x + cos x . 13/ M = 1 + cos x + cos2 x − sin x (1 + cos x) . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 49 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác 14/ N = 2 cos3 x + 2 cos2 x + sin x − 1 . 15/ O = cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x − 1 . 16/ P = (2 sin x − 1)(2 cos x + 2 sin x + 1) − 3 + 4 cos2 x . 17/ Q = (2 cos x − 1)(sin x + cos x) − 1 . 18/ R = 4 sin3 x + 3 cos3 x − 3 sin x − sin2 x cos x . 19/ S = (1 + sin x) tan2 x − (1 + cos x) . 20/ T = 2 − 5 sin x + 3 (1 − sin x) tan2 x . 21/ U = 2 sin x cos x − 2 sin2 x + 3 sin x − cos x − 1 . ( ) 22/ V = tan x − 3 cot x − 4 sin x + 3 cos x . 23/ X = 3 sin x + 2 cos x − 3 tan x − 2 . 24/ Y = 2 (tan x − sin x) + 3 (cot x − cos x) + 5 . 25/ Z = 3 (cot x − cos x) − 5 (tan x − sin x) − 2 . Bài 8. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 1/ A = cos4 x − sin4 x + 2 sin2 x . 2/ B = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x . 3/ C = cos4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x . 4/ D = cos4 x 2 cos2 x − 3 + sin 4 x 2 sin2 x − 3 . 5/ E = sin6 x + cos6 x − 2 sin4 x − cos4 x + sin2 x . 6/ F = sin x. 7/ G = sin 4 x + 4 cos2 x + cos4 x + 4 sin2 x . 8/ H = cos2 x cot2 x + 5 cos2 x − cot2 x + 4 sin2 x . 9/ I = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x − cos x . ( ) ( 1 1 + , 1 + cos x 1 − cos x ( )  0 < x <  )( π  . 4  ) 10/ J = sin 4 x + cos4 x − 1 tan2 x + cot2 x + 2 . ( ) ( ) 11/ K = 3 sin 8 x − cos8 x + 4 cos6 x − 2 sin 6 x + 6 sin 4 x . ( ) ( ) 12/ L = sin 4 x 1 + sin2 x + cos4 x 1 + cos2 x + 5 sin2 x cos2 x + 1 . ( ) ( 2 ) 13/ M = 2 sin 4 x + cos4 x + sin2 x cos2 x − sin 8 x + cos8 x . Page - 50 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 2 cot x + 1 . + tan x − 1 cot x − 1 1/ A= 2/ (1 − tan x) B= 3/ C= 4/ (1 − cot x) D= 5/ E= 6/ F= 7/ G= 8/ H= 2 2 1 − 2 4 tan x 2 4 sin x cos2 x . 1 − tan2 x − 1 + tan2 x 1 + cot2 x . tan x ( − 2 cot x 1 − sin6 x cos6 x )( ) 2 2 Bài 10. Ths. Lê Văn Đoàn − 1 2 sin x cos2 x 3 tan2 x . cos2 x tan2 x − cos2 x + sin2 x cot2 x − cos2 x 2 cot x + . cot2 x − sin2 x cos2 x . sin x cos x . cot x sin 4 x + cos4 x − 1 sin 6 x + cos6 . Cho f (x ) = 2 (1 − cos x ), g (x) = 2 + cos x − 3. sin x, h (x) = 2 + cos x + 3. sin x . Chứng minh các đại lượng sau không phụ thuộc vào biến: A = f 2 (x) + g2 (x) + h2 (x), B = f 4 (x) + g 4 (x) + h 4 (x), C = f 2 (x) .g2 (x) + g2 (x) .h2 (x) + h2 (x) .f 2 (x) . Bài 11. Cho a sin x sin y − b cos x cos y = 0 . Chứng minh rằng biểu thức Q= Bài 12. 1 + a sin x + b cos x 2 2 1 a sin y + b cos2 y 2 ( không phụ thuộc vào biến. ) Cho Q = sin 6 x + cos6 x − m sin 4 x + cos4 x . Tìm tham số m để biểu thức Q không phụ thuộc vào x và tính giá trị của Q với m vừa tìm được (nếu có). (HKII – Chuyên Trần Đại Nghĩa – năm 1998) Bài 13. Cho 1/ 2/ sin 4 x cos4 x 1 + = . Chứng minh rằng: a b a+b sin 8 x a 3 sin10 x a4 + + cos8 x b 3 = cos10 x b4 "Cần cù bù thông minh…………" 1 (HKII – Chuyên Lê Hồng Phong – năm 2001) (a + b) = 3 1 (a + b) 4 (HKII – Hà Nội Amsterdam – năm 2007) Page - 51 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác B – ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC – CUNG GÓC LƯỢNG GIÁC CUNG LIÊN KẾT  Cho . Giả sử ● . ● . sin 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác tang I – Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác . T cotang S B K M cosin α H O A . ● . ●  Nhận xét ● . ● tanα xác định khi .. . ● . . ● . ● ● cotα xác định khi . ● 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 3. Một số lưu ý  Quan hệ giữa độ và rađian:  Với . và thì . và ngược lại  Độ dài l của cung tròn có số đo bán kính R là .  Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối là B là .  Mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại. Page - 52 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn II – Cung góc liên kết Góc đối nhau Góc bù nhau Góc hơn kém rad 0 độ 00 300 450 600 Góc phụ nhau Góc hơn kém 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin cos tan cot  Cần nắm vứng hệ thức cơ bản ● ● . ● . "Cần cù bù thông minh…………" ● . . Page - 53 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN 2π 3π 5π 9π 7π 13π 3π 15π π , , , , , , − , 2, , . 3 4 9 5 3 3 4 7 15 Bài 14. Đổi số đo các cung sau ra độ, phút, giây: Bài 15. Đổi số đo các góc sau ra radian (rad) : 900 , 360 , 150 , −720, 2700, 2400 , 5400 , −7500 , 210 . Bài 16. Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo radian (chính xác đến phần nghìn): 21030 ', 75054 ', 120 36 ' , 15030 ', − 1050 45 ' 30 '', 27 0 38 ' 49 '' . Bài 17. Đổ số đo radian của các cung tròn sau ra số đo độ (chính xác đến phút): Bài 18. Điền các giá trị thích hợp vào ô trống 2 (rad) và 2, 5π . π 00 150 300 450 600 750 900 1200 1500 1800 π 16 π 8 π 6 5π 12 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 4π 3 7π 4 Radian π 12 − Độ 5π 6 π 2 2π 3 3π 4 1350 −500 8100 TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Bài 19. Một đường tròn có bán kính 10 (cm) . Tính độ dài các cung có số đo là 2π π 3π 7π 13π 3π 3 , , , , , − 2π, , 450 , (rad), 750 . 3 18 5 3 6 4 2 Bài 20. Kim giờ của đồng hồ dài 7 (cm) , kim phút dài 10 (cm) . Tính quãng đường kim phút, kim gi đi được trong 30 phút. Bài 21. Bánh xe có đường kính (tính cả lốp) là 55 (cm) . Nếu xe chạy với vận tốc 40 (km /h) thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiều vòng ? Bài 22. Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu Điện Hà Nội theo thứ tự dài 1, 75 (m) và 1,26 (m ) . Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút và mũi kim giờ vạch trên cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu mét ? BIỂU DIỄN NGỌN CUNG LƯỢNG GIÁC Page - 54 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 23. Ths. Lê Văn Đoàn Biểu diễn các góc sau lên đường tròn lượng giác gốc A: 300, − 450 , 1200, − 1200 , 3300, 6300, 7500 , − 12500, 7π 4π 15π 2010π . , − , − 7500, 11250, , 4 3 2 4 Bài 24. π π π Xác định điểm cuối của cung có số đo: k2π, kπ, k , k , k , (k ∈ ) . 2 3 4 Bài 25. Xác định điểm ngọn của các họ nghiệm sau đây trên đường tròn lượng giác với k ∈  . 1/ x = kπ . 2/ x = π + k2π . 2 3/ x = 4kπ . 4/ x = π + kπ . 3 5/ x = − Bài 26. π + k2π . 6 6/ x = − 7/ x = kπ . 3 8/ x = π k2π . + 3 3 9/ x = π k3π . + 4 4 10/ x = π kπ . + 6 3 π   = kπ với k ∈  . Tìm k ∈  để: Cho hai điểm M và N sao cho sđ AM = và sđ AN 6 798 1/ M trùng với N. Bài 27. π + kπ . 4 2/ M đối xứng với N qua tâm O. Hai góc lượng giác có số đo radian tia cuối hay không ? 35π mπ và với m là số nguyên có thể có cùng tia đầu và 3 5 GÍA TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG (GÓC) Bài 28. Bài 29. Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức 3π . 2 1/ sin x, cos x, tan x, cot x với π < x < 2/   3π    π π π π sin x + , cos  − x, tan x − , cot x +  với 0 < x < .      4 2 2 2 2    3/ A = sin 400.cos −2900 . 5/ C = sin 2250. tan1300.cot −1750 . 7/ E = sin 500.cos −3000 . 9/ G = cot ( ) ( ( )  2π  3π .sin −  .  3 5 ) ( ) 4/ B = sin −250 .cos1700 . 6/ D = cos1950. tan 2690.cot −980 . 8/ F = sin 2150. tan ( 10/ H = cos ) 21π . 7 4π π 4π 9π . . sin . tan .cot 5 3 3 5 Tính giá trị còn lại của góc x, biết 1/ sin x = 1 với 900 < x < 1800 . 2 "Cần cù bù thông minh…………" 2/ sin x = − 4 với 2700 < x < 3600 . 5 Page - 55 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác 3/ sin x = − 5/ cos x = 7/ cos x = 3 3π với π < x < . 5 2 3 với 0 < x < 900 . 5 2 với − 5 9/ sin x = π < x < 0. 2 5 π với < x < π. 13 2 11/ tan x = 3 với π < x < 13/ tan x = − cos x = 6/ cos x = − 8/ cos x = 3π . 2 5 với 1800 < x < 2700 . 13 4 với 2700 < x < 3600 . 5 10/ sin x = − 1 với 1800 < x < 2700 . 3 12/ tan x = −2 với 1 π với < x < π . 2 2 π < x < π. 2 14/ cot x = 3 với π < x < 3π . 2 15/ tan x = 3 3π với π < x < . 4 2 16/ tan x = − 2 với π < x < π. 2 17/ cot x = 2 π với 0 < x < . 3 2 18/ cot x = − 3 với π < x < π. 2 19/ cot x = −3 với Bài 30. 1 π với 0 < x < . 4 2 4/ 3π < x < 2π . 2 20/ cot150 = 2 + 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau 1/ Cho tan x = −2 . Tính: A1 = 5 cot x + 4 tan x 2 sin x + cos x . , A2 = 5 cot x − 4 tan x cos x − 3 sin x 2/ Cho cot x = 2 . Tính: B1 = 3 sin x − cos x sin x − 3 cos x , B2 = . sin x + cos x sin x + 3 cos x 3/ Cho cot x = 2 . Tính: C1 = 2 sin x + 3 cos x 2 , C2 = . 2 3 sin x − 2 cos x cos x − sin x cos x 4/ Cho tan x = 2 . Tính: D1 = 3 sin x − 2 cos x 2 sin x + 3 cos x , , D2 = 4 sin x − 5 cos x 5 sin 3 x + 4 cos3 x D3 = sin 3 x − cos 3 x sin x + 5 cos x 8 cos3 x − 2 sin 3 x + cos x = = , D , D , 4 5 sin x + sin2 x cos x sin 3 x − 2 cos3 x 2 cos x − sin 3 x D6 = sin 3 x − 2 cos 3 x + 2 sin x + 3 cos x . sin 3 x − cos2 x + 5 sin x 5/ Cho sin x = 3 π cot x + tan x . , 0 < x < . Tính E = 5 2 cot x − tan x 6/ Cho sin x = 8 tan2 x + 3 cot x − 1 1 . , 900 < x < 1800 . Tính F = 3 tan x + cot x cot x + 3 tan x 2 7/ Cho cos x = − . Tính G = . 2 cot x + tan x 3 Page - 56 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 8/ Cho sin x = Ths. Lê Văn Đoàn tan x − cos x tan x cos x 2 − cos x cot x . , H2 = , 0 < x < 900 . Tính H1 = 3 cot x sin2 x cot x + tan x sin x 4 π , I2 = cot x + 9/ Cho cos x = − , . < x < π . Tính I1 = cot x − tan x 1 + cos x 5 2 Bài 31. Bài 32. Bài 33. Bài 34. Cho sin x + cos x = 5 . Hãy tính giá trị của biểu thức sau 4 1/ A = sin x.cos x . ĐS: A = 2/ B = sin x − cos x . ĐS: B = ± 7 . 4 3/ C = sin 3 x − cos3 x . ĐS: C = ± 41 7 . 128 9 . 32 Cho tan x − cot x = 3 . Hãy tính giá trị của biểu thức sau 1/ A = tan2 x + cot2 x . ĐS: A = 11 . 2/ B = tan x + cot x . ĐS: B = ± 13 . 3/ C = tan4 x − cot4 x . ĐS: C = ±33 13 . Cho sin x + cos x = m . Hãy tính theo m giá trị các biểu thức 1/ A = sin x cos x . 2/ B = sin 3 x + cos3 x . 3/ C = sin 4 x + cos4 x . 4/ D = sin x − cos x . 5/ E = tan2 x + cot2 x . 6/ F = sin6 x + cos6 x . Tính sin x, cos x, tan x, cot x . Biết rằng 1/ sin x + cos x = 2 . 2/ sin x − cos x = 2 . 3/ sin x + cos x = 1 . 2 (HKII, Nguyễn Thượng Hiền – năm 2005) 4/ sin x + cos x = 1 . 5 ĐS: 5/ tan x + cot x = 4 . ĐS: 4 3 4 3 ;− ;− ;− . 5 5 3 4 1 2 2− 3 Bài 35. Bài 36. ; 2− 3 ; 2 + 3; 2 − 3 . 2 Cho tan x − 2 cot x = −1 . Hãy tính 1/ A = tan2 x − cot2 x . 2/ B = tan 3 x + cot3 x . 3/ C = tan 4 x + 2 cot4 x . 4/ D = tan 5 x − 3 cot5 x . Tính giá trị của các biểu thức sau đây khi 1/ Cho 3 sin 4 x + cos4 x = "Cần cù bù thông minh…………" 3 . Tính A = sin 4 x + 3 cos 4 x . 4 ĐS: A = 7 . 4 Page - 57 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác 2/ Cho 3 sin 4 x − cos4 x = 1 . Tính B = sin 4 x + 3 cos4 x . 2 3/ Cho 4 sin 4 x + 3 cos4 x = ĐS: B = 1 . 7 7 57 . . Tính C = 3 sin 4 x + 4 cos 4 x . ĐS: C = ∨ C = 4 4 28 CUNG GÓC LIÊN KẾT Bài 37. Biểu diễn các số đo của cung dưới dạng α + k2π với k ∈  . 3π 5π 11π 14π 21π . , , , , − 2 4 3 5 6 Bài 38. Biểu diễn các số đo của cung dưới dạng α + k3600 với k ∈  . 3700 , 5120, 7650 , − 10000 , 12340 . Bài 39. Biễu diễn các số đo của cung dưới dạng α + k2π với k ∈  . 8π 11π 7π 18π 27π 25π . , , , , − ,− 3 5 2 7 10 4 Bài 40. Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau 1/ sin 1500 . 2/ cot1350 . 3/ cos 2250 . 4/ tan 2100 . 5/ cot 2250 . 6/ sin 2400 . 7/ cos 3150 . 8/ tan 3000 . 9/ cot −13800 . ( ) Bài 42. 11/ sin13π . 12/ tan10π . 13/ cot 7π . 6 14/ cos 11π . 3 15/ cot 17/ cos 29π . 6 18/ tan 45π . 4  16π   . 19/ cos −  3   31π   . 20/ sin −  2   159π  . 23/ tan − 4    115π  . 24/ sin − 6    19π   . 21/ cot −  4  Bài 41. 10/ cos11π .  26π   . 22/ cos −  3  25π . 4 16/ sin 17π . 3 Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x ( ) 1/ sin x − 900 . 5/ cos x + 5400 . 9/ cos 4500 + x . ( ) sin 2700 − x . 4/ ( ) sin x − 5400 . 8/ 2/ cos 1800 + x . 3/ cot 1800 + x . 7/ ( ) sin x − 1800 . ( ) ( ) tan 3600 − x . ( ) ( ) ( ) 6/ ( ) 10/ sin2 2700 + x . 11/ cos3 900 + x . 12/ cot5 1800 − x . ( ) ( ) Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x 1/ cot (x − π) . 2/ sin (π + x) . 3/ tan (2π − x) . 4/ cot (3π − x) . 5/ sin (x − 7π) . 6/ tan (x − 5π) . 7/  5π  sin  + x .  2 8/  3π  cos  + x .  2 9/  3π  cot x −  . 2    5π  10/ cos x −  . 2   Page - 58 - 11π   7π  11/ tan  + x . 12/ sin x +  .  2   2  "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 43. Ths. Lê Văn Đoàn 13/ sin2 (π + x) . 14/ cos9 (π − x) . 15/ cot11 (x − 3π) . 16/ cos 4 (x + 3π) . 17/ cot2 (x − 5π) . 18/ cos6 (x − π) .  π  3π  19/ cos 8 x −  . 20/ cos5  − x .  2   2  π 21/ sin2012 x −  . 2      5π  9π  7π 22/ tan2 x −  . 23/ cos2013 x +  . 24/ sin1991  − x .  2  2     2  11π  . 25/ cos2015 x − 2    11π 9π   . 28/ cos x − 2012π . 26/ cot2 x −  . 27/ tan11  + x ( )  2    2  Rút gọn (đơn giản) các biểu thức 1/  π A = cos x −  + sin (x − π) . 2   2/ π  π  π  π  B = cos  − x + sin  − x − cos  + x − sin  + x .     2 2 2 2 3/  7π   3π  C = 2 cos x + 3 cos (π − x) − sin  − x + tan  − x .    2  2 4/ π   3π  π  D = 2 sin  + x + sin(5π − x) + sin  + x + cos  + x . 2  2  2  5/  7π   3π  E = 2 cos x − 3 cos(π − x) + 5 sin  − x + cot  − x . 2  2  6/   3π  π F = sin (5π + x) + cos x −  + cot (3π − x) + tan  − x .  2   2 7/  π  11π  3π  − x . G = cos (15π − x) + sin x −  − tan  + x cot    2  2   2 8/ π   3π  H = sin (π + x) − cos  − x + cot (2π − x) + tan  − x .    2  2 9/  3π   3π  I = cos (5π − x) − sin  + x + tan  − x + cot (3π − x) . 2  2  ( ) ( ) ( ) ( ) 10/ J = cos 2700 − x − 2 sin x − 4500 + cos x + 9000 + 2 sin 2700 − x .    3π  π π 11/ K = sin2 x +  + sin2 x +  + sin2 x +  + sin2 (x + π) . 4  2  4     12/ L = sin2 π π π 2π 5π 7π . + sin2 + sin2 + sin2 + sin2 + sin2 3 6 9 9 8 8 π  13/ M = cos2013 x + cos2013 (π + x) .sin2012 (π + x) − sin2011  − x .  2 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 59 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác   3π  π 14/ N = sin 6 (π + x) + cos6 (x − π) − 2 sin 4 (x + 2π) − sin 4 x −  + cos2 x −  .  2  2   19π  tan  − x .cos (36π − x) .sin (x − 5π)  2  15/ O = .  9π   sin  − x .cos (x − 99π)  2    85π  3π   + cos (207π + x) + sin2 (33π + x) + sin2 x −  . 16/ P = sin x + 2  2    Bài 44. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) 1/ A = cos 00 + cos 200 + cos 400 + ...... + cos1800 . 2/ B = cos 200 + cos 40 0 + cos 600 + ...... + cos1800 . 3/ C = cos100 + cos 400 + cos 700 + ...... + cos 1700 . 4/ D = tan 200 + tan 400 + tan 600 + ...... + tan 1800 . 5/ E = cot15 0 + cot 300 + cot 450 + ...... + cot165 0 . 6/ F = sin 50 + sin 100 + sin 150 + ...... + sin 3600 . 7/ G = cot1950 + cot210 0 + cot 2250 + ...... + cot 3450 . 8/ H = cot150.cot 350.cot 550.cot 750 . 9/ I = tan 100. tan 200. tan 300...... tan 800 . 10/ J = tan 10. tan 20. tan 30...... tan 890 . 11/ K = sin2 28 0 + sin2 360 + sin 2 54 0 + cos2 1520 . 12/ L = cos2 20 + cos2 40 + cos2 60 + ...... + cos2 880 . 13/ M = sin2 100 + sin2 200 + sin 2 300 + ...... + sin2 900 . 14/ N = cos2 100 + cos2 200 + cos2 300 + ... + cos2 1800 . 15/ O = sin 20 0 + sin 400 + sin 600 + ... + sin 3400 + sin 3600 . Bài 45. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) ( ) 1/ A = cos −3150 .sin 7650 . 2/ B = sin 320.sin 148 0 − sin 3020.sin 1220 . 3/ C = sin 8100.cos 5400 + tan 1350. cot 5850 . 4/ D = sin 8250.cos −150 + cos 750. sin −5550 . 5/ E = 2 tan 5400 + 2 cos 11700 + 4 sin 9900 . 6/ Page - 60 - ( F= ( ) ( ) sin −2340 − cos 2160 sin 144 − cos126 0 0 ) . tan 360 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 7/ 8/ 9/ ( ) sin −324 0 + cos 6660 G= sin 1206 + cos 36 0 ( ) − cot 5720 ( ) tan (−142 ) .sin 108 cos −288 0 .cot 720 0 ( .cot 360 . 0 sin −328 0 .sin 958 0 H= I= Ths. Lê Văn Đoàn 0 ) ( ) ( tan (−212 ) cos −508 0 . cos −10220 0 ). − tan 18 0 . ( ) ( ) ( ) 10/ J = 2 sin 7900 + x + cos 12600 − x + tan 6300 + x . tan 12600 − x . ( ) 2 sin 25500. cos −1880 1 + . 11/ K = tan 3680 2 cos 6380 + cos 980 12/ (cos 44 L= 13/ M = 14/ N = 0 ) + tan 2260 .cos 4060 cos 316 0 ( − cos 720.cot18 0 . ) tan 460.sin 440 + cot −1360 .sin 4040 cos 316 ( ) sin −328 0 .sin 958 0 cos 572 0 0 − ( − tan 360. tan 54 0 . ) ( tan (−212 ) cos −508 0 . cos −10220 0 ). 4π 17π + cos 3 6 . 15/ O =   23π 10 π   sin + cos − 6  3  sin 16/ P = Bài 46. sin (−4, 8π). sin (−5, 7π) cot (−5,2π) + cos (−6, 7π). cos (−5, 8π) tan (−6,2π) . Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba góc của một tam giác thì 1/ sin B = sin (A + C) . 2/ cos (A + B) = − cos C . 3/ sin A+B C = cos . 2 2 4/ cos (B − C) = − cos (A + 2C) . 5/ cos (A + B − C) = − cos 2C . 6/ sin (A + 2B + C) = − sin B . 7/ cot (A − B + C) = − cot 2B . 8/ cos 9/ sin 11/ cos −3A + B + C = − sin 2A . 2 A + B + 3C = cos C . 2 10/ tan A + B − 2C 3C . = cot 2 2 A + 3B + C = − sin B . 2 12/ cot A − 2B + C 3B . = tan 2 2 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 61 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác C – CÔNG THỨC CỘNG    .   . . . Hệ quả: .  .  BÀ NG TÂP ÁAP DỤ DUNG BAI TẬ Bài 47. Không dùng máy tính. Hãy tính giá trị của các biểu thức 1/ A = sin120.cos 480 + cos120.sin 480 . 2/ B = cos 38 0.cos 220 − sin 38 0.sin 220 . 3/ C = sin 100.cos 550 − cos 100.sin 550 . 4/ D = sin 360.cos 60 − sin 1260. cos 84 0 . 5/ E = cos 1120.cos 230 − sin 1120.sin 230 . 6/ F = sin 2000. sin 3100 + cos 3400.cos 500 . 7/ G = cos110.cos 210 + cos 690. cos 790 − cos100 . 8/ H = cos 680. cos 780 + cos 220. cos120 − sin1000 . ( ) ( ) 9/ I = cos −530 . sin −337 0 + sin 307 0.sin 1130 . Bài 48. Tính giá trị lượng giác của các cung góc sau 1/ 150 . 5/ Bài 49. 19π . 12 2/ 750 . 3/ 1050 . 6/ 5π . 12 7/ 7π . 12 2/ B= 4/ D= 6/ F= 4/ 2850 . 8/ 13π . 12 Tính giá trị của các biểu thức sau 1/ A= 3/ C= 5/ E= Page - 62 - 1 + tan 150 1 − tan 150 . sin100 cos 200 + sin 200 cos100 cos17 0 cos130 − sin17 0 sin 130 . sin 730 cos 30 − sin 87 0 cos17 0 cos1320 cos 620 + cos 420 cos 28 0 . tan 250 + tan 200 1 − tan 250 tan 200 . tan 2250 − cot 810 cot 690 . cot 2610 + tan 2010 cot 2250 − cot 79o0 ot 710 cot2590 + cot 2510 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 7/ G = cos2 750 − sin2 750 . 9/ I = cos2 100 + cos1100 + cos2 1300 . 8/ H = sin2 200 + sin2 1000 + sin2 1400 . 10/ J = tan 200. tan 800 + tan 800. tan1400 + tan1400. tan 200 . 11/ K = tan100. tan 700 + tan 700. tan1300 + tan1300. tan1900 . 12/ L = sin1600 cos1100 + sin 2500 cos 3400 + tan1100 tan 3400 . ( )( ) ( )( ) 13/ M = cos 700 + cos 500 cos 3100 + cos2900 + cos 400 + cos1600 cos 3200 − cos 3800 . Bài 50. Tính giá trị của các biểu thức sau 1/  π 1 π và 0 < x < . A = cos x x +  biết sin x = 3  2  3 2/ π  12 3π và π < x < . B = sin  − x biết cos x = −   3 13 2 3/ C = cos x − 300 biết tan x = 2 và 0 < x < 900 . 4/  3 π π D = tan x +  biết sin x = và < x < π .   3 5 2 5/ π  12 3π < x < 2π . và E = cos  − x biết sin x = − 3  13 2 6/  4 3π π F = cot x −  biết sin x = − và π < x < .  4 5 2  7/   5π  π G = tan x +  biết cot  − x = 2 . 4   2  8/  2 7π  H = sin 2x +  biết cot x = . 4  3  9/ I = cos (a + b) .cos (a − b) biết cos a = ( ) ( ) 1 1 và cos b = . 3 4 ( ) 4 8 , 00 < α < 900 và sin β = , 900 < β < 1800 . Hãy tính giá trị của biểu 5 17 thức A = cos (α + β) và B = sin (α − β) . Bài 51. Biết sin α = Bài 52. Biết sin α = Bài 53. Cho 0 < α, β < 8 5 , tan b = và α, β là các góc nhọn. Hãy tính giá trị của các biểu thức 17 12 A = sin (α − β), B = cos (α + β) và C = tan (α + β) . π π , α + β = và tan α. tan β = 3 − 2 2 . 2 4 1/ Hãy tính tan (α + β); tan α + tan β . "Cần cù bù thông minh…………" 2/ Tính tan α; tan β . Suy ra α và β . Page - 63 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 54. Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác Cho α − β = π . Tính giá trị của các biểu thức 3 1/ A = (cos α + cos β) + (sin α + sin β) . 2 Bài 55. 2 2/ B = (cos α + sin β) + (cos β − sin α ) . 2 2 Rút gọn các biểu thức 1/ A = sin x − 3 cos x . 2/ B = 3 sin 7x − cos 7x . ( ) 3/ C = a sin x + b cos x, a 2 + b2 ≠ 0 .   π π 4/ D = 3 sin x −  + sin x +  . 3  6     π 5/ E = cos7x.cos5x − 3 sin2x + sin7x.sin5x . 6/ F = 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x −  . 6    π 7/ G = 2 sin 2x −  + 4 sin x + 1 . 6   Bài 56.  π 8/ H = sin2x + 2 2 cos x + 2sin x +  + 3 . 4   Rút gọn các biểu thức 1/ A = sin x cos 5x − cos x sin 5x . 2/ B = sin 4x cot 2x − cos 4x . 3/ C = cos 6x tan 3x − sin 6x . 4/ D = sin (x + y) cos (x − y) + sin (x − y) cos (x + y) . 5/ 6/ 7/ ( ) ( ) ( ) ( ) F = sin (14 + 2x) cos (16 − 2x) + cos (14 + 2x) sin (16 − 2x) . G = sin (x + 10 ) cos (2x − 80 ) + sin (x + 100 ) cos (2x + 10 ) . E = cos 400 − x cos x + 200 − sin 400 − x sin x + 200 . 0 0 0 0 0 0 0 0 8/  π  π   π π H = sin x −  cos  − x + sin  − x cos x −  .   4  3  3    4  9/     π π π 3π  I = cos x −  cos x +  + cos x +  cos x +  . 3  4  6  4        9π   5π   5π  π 10/ J = sin x −  cos  − x − sin  − x cos  + x .     4  3 3    4     π π π π 11/ K = cos x −  cos x −  + cos x +  cos x +  .   3  4  6  4        π 13π  13π  3π   + cos x +  cos x +  . 12/ L = cos x −  cos x +   3  4  6  4    Bài 57. Rút gọn các biểu thức sau 1/ Page - 64 - A= tan 3x − tan x . 1 + tan x tan 3x 2/ B= tan 2x + 1 . 1 − tan 2x "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 3/ Bài 58. Bài 59. Bài 60. Bài 61. C= Ths. Lê Văn Đoàn ( tan 2x + cot 900 + x ( ) ). 4/ 1 + cot 900 − 2x tan x D= tan2 2x − tan2 x 1 − tan2 2x tan2 x . Rút gọn các biểu thức sau 1/ π  A = sin (a + b) + sin  − a  sin (−b) . 2  2/ π  π  B = cos  − a  cos  − b − cos (a − b) . 2  2  3/ π  π  1 C = cos  + a  cos  − a  + sin2 a .  4   4  2 4/ D = sin2 a sin2 b − cos2 a cos2 b . 5/ E= 2 sin (a + b) cos (a + b) + cos (a − b) − tan b . Rút gọn các biểu thức sau 1/ A = cos2 x − 3 sin 2x − sin2 x . 3/ C = sin x + 450 + cos x + 450 . 5/ E = tan 2x + cot x − 8 cos2 x . ( ) ( ) 2/ B = 4 sin 3 x − 3 sin x + 3 cos 3x . 4/ D = tan 3x − tan x − sin 2x . Chứng minh các đẳng thức sau 1/ sin 2x = 2 sin x cos x . 2/ cos 2x = cos2 x − sin2 x . 3/ tan 2x = 4/ sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x . 5/ cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x . 6/   π π cos x + sin x = 2 cos x −  = 2 sin  x +  . 4  4    7/   π π cos x − sin x = 2 cos  x +  = − 2 sin x −  . 4  4    8/ sin (x + y) sin (x − y) = sin2 x − sin2 y = cos2 y − cos2 x . 9/ cos (x + y) cos (x − y) = cos2 x − sin2 y = cos2 y − sin2 x . 2 tan x 1 − tan2 x . Chứng minh các đẳng thức sau 1/ π  π  sin  + x − sin  − x = 2 sin x .  4  4  "Cần cù bù thông minh…………" Page - 65 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 62. 2/  π  π 4 sin x +  sin x −  = 4 sin2 x − 3 . 3   3   3/ sin x sin (y − z) + sin y sin (z − x) + sin z sin (x − y) = 0 . 4/ cos x sin (y − z) + cos y sin (z − x) + cos z sin (x − y) = 0 . 5/ tan (x + y) − tan x − tan y = tan (x + y) tan x tan y . 6/ π  π  π  π  tan 2x tan  − x + tan 2x tan  − x + tan  − x tan  − x = 1 .  6 3  3  6  7/     2π  2π  π π tan x. tan x +  + tan x +  . tan x +  + tan x +  . tan x = − 3 .     3 3 3 3 8/     π π π 3π  2 cos x − . cos x +  + cos x +  .cos x +  = 1− 3 .         3 4 6 4 4 9/ (cos 70 ( o )( ) ( )( ) ) + cos 50o cos230o + cos290o + cos 40o + cos160o cos 320o + cos 380o = 0 . Chứng minh các đẳng thức sau 1/ 2/ 3/ 4/ Bài 63. Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác cos (a − b) cos (a + b) sin (a − b) cos a cos b = + cot a cot b + 1 . cot a cot b − 1 sin (b − c) cos b cos c sin (a + b) sin (a − b) 2 2 cos a cos b cos (a + b) cos (a − b) 2 2 cos a cos b + sin (c − a ) cos c cos a = 0. = tan2 a − tan2 b . = 1 − tan2 a tan2 b . Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước 1/ Nếu cos (a + b) = 0 thì sin (a + 2b) = sin a . 2/ Nếu sin (2a + b) = 3 sin b thì tan (a + b) = 2 tan a . 3/ Nếu tan a = 2 tan b thì sin (a + b) = 3 sin (a − b) . 4/ Nếu tan a. tan b = − 5/ Nếu 5 sin b = sin (2a + b) thì tan (a + b) = 6/ Nếu sin b = sin a cos (a + b) thì 2 tan a = tan (a + b) . Page - 66 - 1 thì cos (a + b) = 2 cos (a − b) . 3 b = (a + b) − a HD:  . 2a + b = (a + b) + a HD: Khai triễn giả thiết. 3 tan a . 2 HD: b = (a + b) − a . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 64. Ths. Lê Văn Đoàn 7/ Nếu cos (2a + b) = 1 thì tan (a + b) − tan a = 2 tan 8/ Nếu cos (a + b) = k cos (a − b) thì tan a tan b = b . 2 a + 2b = (a + b) + b 1− k  . HD:  . 1+ k a = (a + b) − b Chứng minh các đẳng thức sau sin (a + b + c) 1/ tan a + tan b + tan c − tan a tan b tan c = 2/ cos2 x + cos2 (x + y) + cos2 y − 2 cos x cos y cos (x + y) = 1 . cos a cos b cos c . (Thi học kì II trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Tp. HCM năm 2007) Bài 65. Bài 66. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x 1/ π  π  A = sin2 x + cos  − x cos  + x .  3  3   2/ π  π  B = cos2 x + cos2  + x + cos2  − x .  3   3  3/  2π   2π  C = sin2 x + sin2  + x  + sin2  − x  . 3  3  4/   2π  2π  D = cos2 x + cos2 x +  + cos2 x −  . 3  3    5/ F= a cos3 x − cos 3x a sin 3 x + sin 3x + , a = const . cos x sin x π  π  Chứng minh rằng: tan x tan  − x tan  + x = tan 3x . Từ đó tính giá trị của biểu thức  3   3  P = tan 100 tan 500 tan 1100 . Bài 67. Cho tam giác ABC với A, B,C lần lượt là ba góc của tam giác. Chứng minh 1/ sin C = sin A.cos B + sin B.cos A . 2/ sin A = sin B cos C + sin C cos B . 3/ cos A = sin B sin C − cos B cos C . 4/ sin C = tan A + tan B, cos A. cos B 5/ tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C, 6/ cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 . 7/ sin A B C B C = cos cos − sin sin . 2 2 2 2 2 8/ cos A B C B C = sin cos − cos sin . 2 2 2 2 2 "Cần cù bù thông minh…………" (A, B ≠ 90 ) . 0 (A, B,C ≠ 90 ) . 0 Page - 67 - Ths. Lê Văn Đoàn 9/ Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác A B B C C A . tan + tan . tan + tan . tan = 1 . 2 2 2 2 2 2 tan 10/ cot A B C A B C + cot + cot = cot .cot . cot . 2 2 2 2 2 2 11/ cot B + 12/ cos cos C cos B = cotC + , sin B.cos A sin C.cos A (A ≠ 90 ) . 0 A B C A B C A B C A B C . cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + sin2 + sin2 = 1 + 2 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 13/ sin2 14/ sin A cos B cos C + sin B cos C cos A + sin C cos A cos B = sin A sin B sin C . Bài 68. Cho tam giác ABC với A, B,C lần lượt là ba góc của tam giác. Chứng minh 1/ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3, ∀ A, B,C nhọn. 2/ tan2 A + tan2 B + tan2 C ≥ 9, ∀ A, B,C nhọn. 3/ tan6 A + tan6 B + tan 6 C ≥ 81, ∀ A, B,C nhọn. 4/ tan2 5/ tan A B C + tan2 + tan2 ≥ 1 . 2 2 2 A B C + tan + tan ≥ 3 . 2 2 2 HD: 1/, 2/, 3/, sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C và bất đẳng thức Cauchy. 4 / sử dụng bất đẳng thức bổ đề a 2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca và tan A B B C C A . tan + tan . tan + tan . tan = 1 . 2 2 2 2 2 2 2  A B C   5 / khai triễn tan + tan + tan  và sử dụng câu 3 / .  2 2 2 Page - 68 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn D – CÔNG THỨC NHÂN  Công thức nhân đôi .  .  .  .  Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (mở rộng)  .  .  .  .  .  . BÀ NG TÂP ÁAP DỤ DUNG BAI TẬ RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 69. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) 1/ A = cos2 3/ 5/ 7/ π π − sin2 . 8 8 2/ B = 3 cos100 − 4 cos3 100 . C = sin 200 1 − 4 cos2 200 . ) 4/ D = 4 sin3 400 + 3 sin1300 . E = 4 sin3 500 + 3 cos1400 . 6/ F= 8/ H= ( G= tan 7π 8 π 1 − tan 8 . 2 9/ I= 1 sin100 − 4 sin 700 . 11/ K = tan2 360 tan2 720 . tan150 1 − tan2 150 1 sin10 10/ J = tan2 0 − . 3 cos100 . π 5π + tan2 . 12 12 12/ L = cos2 700 + sin2 400 sin1000 . 13/ M = cos2 200 + 2 sin2 550 − 2 sin 650 . 14/ N = sin 60.sin 420.sin 660.sin 78 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 69 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 70. Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) 1/ A = cos 360 cos 720 . 2/ B = cos π 2π . cos 5 5 3/ π π π C = sin . cos cos . 8 8 4 4/ D = sin π π π . cos .cos . 16 16 8 5/ E = sin100 sin 500 sin 700 . 6/ F = cos π 2π 4π cos cos . 7 7 7 7/ G = cos 8/ H = sin 60 cos120 cos 24 0 cos 48 0 . 9/ I = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 . π 4π 5π . cos cos 7 7 7 10/ J = sin50.sin150.sin250.... sin750.sin850 . 11/ K = cos100.cos 200.cos 300...cos 700.cos 800 . 12/ L = 8 tan180 cos180 cos 360 cos 720 . 13/ M = cos 200 cos 400 cos 600 cos 800 . 14/ N = cos π 2π 3π 4π cos cos cos . 9 9 9 9 15/ O = 96 3 sin Bài 71. π π π π π cos cos cos cos . 48 48 24 12 6 16/ P = cos 2π 4π 8π 16π 32π .cos .cos .cos .cos . 31 31 31 31 31 17/ Q = cos π 2π 4π 8π 16π cos cos cos cos . 33 33 33 33 33 18/ R = cos π 2π 3π 4π 5π 6π 7π .cos .cos . cos .cos .cos .cos . 15 15 15 15 15 15 15 Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) cos 800 + cos 200 1/ A= 2/ B = 3 sin 150 cos150 − 3/ C = tan 90 − tan 27 0 − tan 630 + tan 810 . 4/ D = 4 tan cos 350 cos150 − sin 350 sin 150 . sin 600 sin 4 150 − cos4 150 . π π π π + 2 tan + tan − cot . 8 16 32 32 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000 5/ Bài 72. E= ( ) cos2 6960 + tan −2600 tan 5300 − cos2 1560 tan 252 + cot2 3420 2 0 . Rút gọn các biểu thức Page - 70 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 73. Ths. Lê Văn Đoàn 1/ A = (sin x + cos x) . 2/ B = 1 − 4 sin2 x cos2 x . 3/ C = sin x cos x cos 2x . 4/ D = cos4 2x − sin 4 2x . 5/   π π E = cos2 x +  − sin2 x +  . 2  2    6/ F = sin x cos x cos 2x . 7/  G = 4 sin x sin x +  8/ π x  π H = sin2  +  − sin2  −  8 2  8 9/ I = sin 8x + 2 cos2 450 + 4x . 2 π    sin 2x + 2   ( π  . 2  ) x  . 2  10/ J = sin2x + cos2x −2cosx(sinx + cosx) +1. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) 1/ A= 2 3/ C = 5/ 2 cos2 x − 1 . sin x + cos x (1 − tan x)(1 + cot x) E= . sin 2x cos 2x − . sin x cos x  3π  1 + sin  − x   2 7/ G = . π    1 + sin  + x   2 9/ I= sin 4x cos 2x . . 1 + cos 4x 1 + cos 2x B= 4/ D = 1 − tan2 x cot x . 6/ F= 8/ H= ( 10/ J = π  1 + cos  + x π x    2 11/ K = tan  + . . π   4 2    sin  + x   2 1 − cos 2x + sin 2x .cot x . 13/ M = 1 + cos 2x + sin 2x 1 − 2 sin2 2x . cos 2x − sin 2x 2/ ) cot x − tan x . cos 2x sin2 2x − 4 sin2 x sin2 2x + 4 sin2 x − 4 sin 3x − cos 3x . sin x + cos x 12/ L = cot2x + 14/ N = . ( 1 + tan x . 2 sin 2x ) 2 sin 2x + 2 cos2 x − 1 cos x − sin x − cos 3x + sin 3x .  1 1 1 π + + + cot 8x . 15/ O = 1 + sin x + 1 − sin x, 0 < x <  . 16/ P = 4  sin 2x sin 4x sin 8x   π 17/ O = 1 − sin 2x + 1 + sin 2x, − < x <  4 Bài 74. π  . 4  Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết 3 π , < x <π. 5 2 1/ sin 2x, cos 2x khi sin x = 2/ sin 2x, cos 2x khi sin x + cos x = 2 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 71 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 75. Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác 5 3π ,π 1 . 2/ cos 360 > tan 360 . Bài 129. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ 2/ sin 3x cos x − cos 3x sin x − cos 2x ≤ 2 . 3 sin 3x + cos 2x cos x − sin 2x sin x ≤ 2 . ( ) ( ) 1 . 4 3/ sin x sin x + 600 sin x − 600 ≤ 4/ cos x cos 3x − sin 2x sin 4x ≤ 1 . 5/ cos 2x cos x + sin x sin 3x − sin2 x cos 3x ≤ 1 . 6/ 2 sin x (cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x + cos 9x) ≤ 1 . Bài 130. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 1/ y = 3 sin x + cos x + 2 . 2/ y = cos x + 3/ y = sin x cos x cos 2x cos 4x . 4/  y = sin 4 x + cos4 x, 0 ≤ x ≤  5/ y = sin x + 2 − sin2 x . 6/ y = cos 4 x + sin 4 x + cos2 x sin2 x . 7/ y = sin 4 4x − cos2 x + 8/ y = 2 sin6 x + 2 cos6 x − sin4 x − cos4 x + cos 2x . 1 , cos x “Cần cù bù thông minh…………”  π  − < x < π  . 2   2 π  . 2  5 cos 2x . 4 Page - 87 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 5. Cung góc lượng giác – Công thức lượng giác PHẦN II HÌNH HỌC Page - 88 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Chương 3 Ths. Lê Văn Đoàn PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG & ỨNG DỤNG  A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM  Tọa độ Oxy Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm và hai véctơ . Khi đó: .  Véctơ .  Độ dài đoạn .  Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lúc đó:  Gọi là trọng tâm ∆ABC, lúc này:  Gọi chia đoạn AB theo tỉ số (hoành   với  . . . . Khi đó: hoành tung tung) một véctơ. . (hoành nhân hoành  Để tung nhân tung) một số. . cùng phương  Điều kiện để vuông góc nhau  Điều kiện để bằng nhau . (hoành  Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì  Góc giữa hai véctơ :  Cho điểm thì tọa độ của điểm đối xứng với M qua trục hoành • đối xứng với M qua trục tung • đối xứng với M qua gốc tọa độ • "Cần cù bù thông minh…………" tung) với . . • • hoành, tung . . . . và . Page - 89 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học  Một số dạng toán cơ bản a/ Dạng toán 1. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véctơ hay độ dài  Bước 1. Giả sử .  Bước 2. Tọa độ hóa các véctơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số.  Bước 3. Giải phương trình hoặc hệ trên, ta nhận được tọa độ điểm M.  Lưu ý D A  Để D là đỉnh thứ tư của hình bình hành .  Để xác định tâm I và bán kính đường tròn R ngoại tiếp ∆ABC + Tâm I thỏa B . . Giải hệ tìm . A + Bán kính I C  Tọa độ chân đường phân giác + Để D là chân đường phân giác trong của ∆ABC . (theo vòng tròn) B + Để E là chân đường phân giác ngoài của ∆ABC D . C B A B E b/ Dạng toán 2. Véctơ cùng phương (thẳng hàng) – Tìm điểm  Để C A . để thẳng hàng C cùng phương .  Tìm điểm để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. Đây là bài toán bất đẳng thức tam giác, cần phân biệt hai trường hợp: + Trường hợp 1. Hai điểm A, B nằm khác bên so với đường thẳng d. • Cách 1. Sử dụng véctơ cùng phương ∗ Gọi . ∗ Để tổng thẳng hàng . A M Mo • Cách 2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác B ∗ Trong ∆ABM, ta có . ∗ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A và B. ∗ . Page - 90 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn + Trường hợp 2. Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d A • Dựng A' đối xứng với A qua d . • Trong ∆AMB, ta có: . • Do đó, B M I Mo .  Lưu ý A' nằm cùng bên hay nằm hai bên so với đường Để xét xem hai điểm thẳng Nếu Nếu . thì ta cần tính: A Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d. Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d.  Tìm điểm để B . + Trường hợp 1. Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d M Mo A + Trường hợp 2. Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d thẳng hàng Dựng A' là điểm đối xứng của điểm A qua d, khi đó: M . Mo B . c/ Dạng toán 3. Tìm hình chiếu vuông góc của Gọi lên BC với A' . là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Tọa độ điểm H thỏa hệ phương trình: B A A' Để tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua BC là trung điểm AA'. H d/ Dạng toán 4. Phương pháp tọa độ hóa C Phương pháp tọa độ hóa thường được sử dụng phổ biến trong hai loại toán: thẳng hàng cùng phương  Loại 1. Ta thực hiện phép tọa độ hóa các điểm trong hình và đưa bài toán hình học về dạng giải tích.  Loại 2. Lực chọn các điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số về dạng độ dài hình học. Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số.  Lưu ý Dấu • . Dấu • • . Dấu "Cần cù bù thông minh…………" xảy ra xảy ra xảy ra cùng phương và hướng. cùng phương. cùng phương và hướng. Page - 91 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học e/ Dạng toán 5. Tìm quỹ tích một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy.  Bước 1. Gọi là điểm cần tìm quỹ tích và dựa vào giả thiết và rằng buộc điều kiện để tìm quan hệ: với  Bước 2. Khử m ở hệ phương trình của xo hoặc yo ở hệ  Bước 3. Kết luận: từ : tập chứa điều kiện . . Giới hạn khoảng chạy ta được . và điều kiện ta có quỹ tích của điểm M là + Cả đường cong nếu + Một phần đường cong là tập . trên D nếu  Lưu ý : . là . BÀI TẬ NG BA TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết A (1; 0), B (−3; −5), C (0; 3) .   1/ Xác định tọa độ điểm E sao cho AE = 2BC . 2/ Xác định tọa độ điểm F sao cho AF = CF = 5 .      3/ Tìm tập hợp điểm M sao cho 2 MA + MB − 3MC = MB − MC . ( Bài 2. ) Tâm I (−4; −19)  . ĐS: 1/ E (7;16) . 2/ F (−4; 0) ∨ F (5; 3) . 3/ là đường tròn  Bk : R = 73  Trong mặt phẳng vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A (−4;1), B (2; 4),C (2; −2) . 1/ Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng (tạo thành một tam giác).  2/ Tính cos CBA . 3/ Tính chu vi và diện tích ∆ABC. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.     4/ Tìm điểm M sao cho: 2MA + 3MB − MC = 0 . Bài 3. ( ) 5 6 . 2/ Chu vi = 6 5 + 1 ; S∆ABC = . 3/ M (−1; 4) . 5 5 +1 Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004 (câu III – 2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ba điểm A (−2; −3), B (2;1),  ĐS: 1/ cos CBA = C (2; −1) . Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS: D (−2; −5) . Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (4; 3), B (2; 7), C (−3; −8) . Page - 92 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm giao điểm I của hai đường thẳng OA và BC. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm ∆ABC. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.  4 1  2 ĐS: 1/ D (−1; −12) . 2/ I − ; −  . 3/ G 1; , H (13; 0) .  3  3   9 1/ 2/ 3/ 4/ Bài 5. 4/ J (−5;1) . Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (1;5), B (−4; −5), C (4; −1) . Tìm tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. ĐS: I (1; 0) . Bài 6. Bài 7. Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. Hồ Chí Minh – Đề 2 năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, tìm tọa độ trực tâm của ∆ABC, biết tọa độ các đỉnh A (−1;2), B (5;7), C (4; −3) .  1 21  ĐS: H − ;  .  11 11  Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (−1;2), B (2; 0), C (−3;1) . 1/ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 2/ Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích ∆ABM bằng Bài 8. Bài 9. 1 diện tích ∆ABC. 3  11 13  1 1  11 1  2/ M  ;  ∨ M  ; −  . ĐS: 1/ I − ; −  . 4  3   14  3 3  3 Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có ba đỉnh thuộc đồ 1 thị (C) của hàm số y = . Chứng minh trực tâm H của ∆ABC cũng thuộc (C) . x     1   1   1   1  AH ⊥ BC  ; −abc ⇒ H ∈ (C) . HD: Gọi A a; , B b; ,C c;  ∈ (C) . Từ     ⇒ H −  BH ⊥ AC  abc  a   b   c   Cao đẳng Sư Phạm KomTum năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A (−1;2), B (3; 4) . Tìm điểm C trên đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 sao cho ∆ABC vuông tại C. 3 4 ĐS: C (3;2) ∨ C  ;  .  5 5  Bài 10. Cao đẳng Công Nghiệp IV năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông tại A với B (−3; 0), C (7; 0), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r = 2 10 − 5 . Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, biết điểm I có tung độ dương. ( ) ĐS: I 2 + 10; 2 20 − 5 ( ) ∨ I 2 − 10; 2 10 − 5 . Bài 11. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001 (Câu IV – 2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, cho A (10;5), B (15; −5), C (−20; 0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD. Tìm tọa độ điểm C, biết rằng AB // CD. ĐS: C (−7; −26) . Bài 12. Đại học Luật Hà Nội năm 1998 (Câu IV – 2) "Cần cù bù thông minh…………" Page - 93 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y + 2 = 0 sao cho ∆ABC vuông tại C với A (1; −2), B (−3; 3) .  7 3 ĐS: C (1; 3) ∨ C − ; −  .  2 2  Bài 13. Đại học Nông Nghiệp I đề 1 năm 1995 Cho điểm A (1;1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành sao cho ∆ABC là tam giác đều.   4   5  4   5   ∨ B 1 + , C 1 +  . ;3, C 1 − ; 3 ĐS: B 1 −            3 3 3 3  Bài 14. Đại học Tổng Hợp năm 1976 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (−1; 0), B (1; 0) và lấy MA2 MA = k, (k > 0) . và tìm M sao cho 2 MB MB  2  MA2 x2 + 2x + 2  k + 1 ± −k4 + 6k2 − 1  = M ;1 ĐS: và  ∈ d . 1;2   k2 − 1 MB2 x2 − 2x + 2   điểm di động trên đường thẳng d : y = 1 . Hãy tính Bài 15. Đại học Ngoại Thương năm 1993 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (3 cos t; 0) và    B (0; 2 sin t) . Tìm tập hợp các điểm M (x o ; y o ) sao cho: 2AM + 5MB = 0 khi t thay đổi. ĐS: Tập hợp điểm M là elip (E) : x2 9y2 + = 1. 4 100 Bài 16. Đại học Mỏ Địa Chất năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC và điểm M bất kỳ.     1/ Chứng minh rằng: u = 3MA − 5MB + 2MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.      2/ Tìm tập hợp điểm M trên mặt phẳng sao cho: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC .    ĐS: 1/ u = 2AC − 5AB . 2/ Đường tròn tâm (C) tâm I, bán kính R = CB . 3 Bài 17. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh C (−2; −4) và trọng tâm G (0; 4) . 1/ Giả sử M (2; 0) là trung điểm của cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh A, B. 2/ Giả sử M di động trên đường thẳng d : x + y + 2 = 0 . Hãy tìm quỹ tích điểm B. Xác định M để độ dài cạnh AB là ngắn nhất.  1 9 ĐS: 1/ B (6; 4), A (−4;12) . 2/ Quỹ tích là d : x + y − 2 = 0 . 2/ M − ;  .  4 4  Bài 18. Đại học Ngoại Thương năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng d : y = mx + 1 . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng luôn luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy tìm quỹ tích tâm vòng tròn ngoại tiếp ∆OAB khi m thay đổi với O là gốc tọa độ. ĐS: A (x1; mx1 + 1), B (x2 ; mx2 + 1) và quỹ tích tâm là Parabol (P ‘) : y = 2x 2 + 1 . Page – 94 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 19. Đại Học Nông Nghiệp năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (1;1), B (3; 3), C (2; 0) . 1/ Tính diện tích ∆ABC.  2/ Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục hoành Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất. ĐS: S∆ABC = 2 (đ.v.d.t) và M ≡ O . Bài 20. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (1; 3), B (3;1), C (2; 4 ) . a/ Tính diện tích ∆ABC.  b/ Tìm tất cả các điểm M ∈ Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất. Bài 21. Trích bộ đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng – Đề 97 – câu Va Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến các điểm A và B là nhỏ ( ( ) ) . Biết rằng: nhất hay PA + PB min 1/ A (1;1), B (2; −4) . 2/ A (1;2), B (3; 4 ) . 6  ĐS: 1/ P ≡ Po  ; 0 .  5  5  2 / P ≡ Po  ; 0 .  3  Bài 22. Tìm trên đường thẳng d : x + y = 0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau 1/ A (1;1), B (−2; −4) . 2/ A (1;1), B (3; −2) . Bài 23. Cho điểm M (4;1) và hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a, b > 0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho 1/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất (S∆OAB min ) . 2/ OA + OB nhỏ nhất. 1 1 3/ + nhỏ nhất. 2 OA OB2 ĐS: 1/ A (8; 0), B (0;2) . 2/ A (6; 0), B (0; 3) . 17  ;0, B (0;17) .  4  3/ A   Bài 24. Cho điểm M (2;1) và hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a, b > 0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho: 1/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất (S∆OAB min ) . 2/ OA + OB nhỏ nhất. 1 1 3/ + nhỏ nhất. 2 OA OB2 ĐS: 1/ A (4; 0), B (0;2) . Bài 25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (1; −2), B (3; 4) . 1/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A, B là ngắn nhất. 2/ Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA − NB là dài nhất. 3/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho (IA + IB) min “Cần cù bù thông minh…………” . Page – 95 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học   4/ Tìm điểm J trên trục tung sao cho JA + JB ngắn nhất. 5  ĐS: 1/ M  ; 0 .  3  2/ NA − NB 3/ (IA + IB) min  1 = 2 13 khi I 0; −  . 2   max   4/ JA + JB min = 2 2 khi N (−1; 0) . = 4 khi J (0;1) . Bài 26. Cho ba điểm A (0;6), B (2;5), M (2t − 2; t) . Tìm tọa độ điểm M sao cho 2/ MA − MB . (MA + MB) . Cho ba điểm A (1;2), B (2;5), M (2t + 2; t) . Tìm tọa độ điểm M sao cho   2/ MA + MB . 1/ (MA + MB) . 1/ Bài 27. 3/ MA − MB min max min max max . 4/ MA − MB min . Bài 28. Học Viện Kỹ Thuật Mật Mã năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, tìm quỹ tích điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A (1;2) và khoảng cách từ M đến Ox luôn bằng nhau. Bài 29. Cao đẳng khối M, T năm 2003 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (1;2), B (3; 4) . Tìm trên tia Ox một điểm P sao cho AP + PB là nhỏ nhất. 5  ĐS: P  ; 0 .  3  Bài 30. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 (câu IVa – 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (0;2), Parabol (P) : y = x 2 . Xác định điểm M trên (P) sao cho AM min .  6 3   ĐS: M1;2 ± ;  .  2 2  Page – 96 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn B – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG   Vectơ chỉ phương của đường thẳng  Vectơ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. Kí hiệu . ∆  Nhận xét + Nếu là một VTCP của ∆ thì cũng là một VTCP của ∆. + Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.  Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  Vectơ được gọi là véctơ pháp tuyến vuông góc với ∆. Kí hiệu của đường thẳng ∆ nếu giá của nó .  Nhận xét + Nếu là một VTPT của ∆ thì cũng là một VTPT của ∆. ∆ + Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. + Nếu là một VTCP và là một VTPT của ∆ thì .  Phương trình tham số của đường thẳng  Cho đường thẳng ∆ đi qua ( và có . Phương trình tham số của . là tham số) và  Nhận xét hay + . + Gọi k là hệ số góc của ∆ thì ● ● . với với . O  Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆  Cho đường thẳng ∆ đi qua và có A α O α A ∆ . Phương trình chính tắc của .  Trong trường hợp hoặc thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 97 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Phương trình tổng quát của đường thẳng  Phương trình: với phương trình tổng quát của đường thẳng.  Nhận xét + Nếu ∆ có phương trình: + Nếu ∆ đi qua (a, b không đồn thời thì ∆ có và có ) được gọi là . thì phương trình của ∆ là . + Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm . Phương trình của . Được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. + Đường thẳng ∆ đi qua điểm và có hệ số góc k. Phương trình của . Được gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số góc k. + Một số trường hợp đặt biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ ∆ đi qua gốc toạ độ O ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy Vị trí tương đối của hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng và .  Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình Đặt + cắt hệ có một nghiệm + hệ vô nghiệm + hệ vô số nghiệm  Lưu ý: Trong các biểu thức tỉ số: . . và . thì . Page – 98 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Góc giữa hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng có VTPT có VTPT và đường thẳng . Lúc đó: và ∆1 .  Lưu ý ∆2 . + Nếu + Nếu thì và Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng  Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng và .  Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng: Cho đường thẳng và hai điểm . + M, N nằm cùng phía đối với . + M, N nằm khác phía đối với .  Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng và cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: . Ta có thể phân biệt đường phân giác trong hoặc ngoài dựa vào dấu của tích Dấu của tích Trong đó: “Cần cù bù thông minh…………” Phương trình góc nhọn như sau: Phương trình góc tù . Page – 99 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Dạng toán 1. Lập phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan   Lập phương trình đường thẳng Lập phương trình đường thẳng d  Một số lưu ý:  Đường thẳng ∆ qua điểm  Đường thẳng ∆ qua . và có hệ số góc k .  Đường thẳng có phương trình: .  Đường thẳng có phương trình: .  Trong nhiều trường hợp đặc thù, để xác định phương trình đường thẳng chúng ta còn sử dụng: + Phương trình chùm đường thẳng. + Phương trình quỹ tích.  Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của 1 đường thẳng.  Để là một phương trình đường thẳng thì .  Một số bài toán thường gặp khác a/ Tìm điểm cố định của họ đường cong (thẳng) .  Bước 1. Gọi  Bước 2. Biến đổi . về một trong các dạng (biến số là m).  Bước 3. Tọa độ điểm cố định: Page – 100 – + Nếu được biến đổi về thì tọa độ thỏa + Nếu được biến đổi về thì tọa độ thỏa . . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn b/ Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số m có phương trình đường cong cố định luôn tiếp xúc với họ . Hãy tìm . Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng theo hai phương pháp  Phương pháp 1. Thực hiện theo hai bước: .  Bước 1. Định dạng cho đồ thị cố định, chẳng hạn như parabol  Bước 2. Sử đụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị với mọi giá trị của tham số, ta xác định được là đường cong cố định tiếp xúc với họ cần tìm.  Phương pháp 2. Thực hiện theo hai bước:  Bước 1. Tìm tập hợp các điểm mà họ không đi qua. Tập hợp đó được xác định bởi . bất phương trình có dạng  Bước 2. Ta đi chứng minh họ luôn tiếp xúc với đường cong có phương trình . c/ Tìm điểm M′′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng theo hai phương pháp  Phương pháp 1  Bước 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d.  Bước 2. Xác định (H là hình chiếu của M trên d).  Bước 3. Xác định sao cho H là trung điểm của . M  Phương pháp 2  Bước 1. Gọi H là trung điểm của .  Bước 2. M′ đối xứng của M qua (sử dụng tọa độ). H M’ d/ Lập phương trình đường thẳng d′′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ Để giải bài toán này, trước tiên ta nên xem xét chúng cắt nhau hay song song.  Nếu d // ∆  Bước 1. Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua ∆.  Bước 2. Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. I  Nếu d ∩ ∆  Bước 1. Lấy A ∈ d (A ≠ I). Xác định A′ đối xứng với A qua ∆.  Bước 2. Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I. A A H A’ “Cần cù bù thông minh…………” I H A’ Page – 101 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học e/ Lập phương trình đường thẳng d′′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I  Bước 1. Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua I.  Bước 2. Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 31. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của  đường thẳng đi qua điểm A và có véctơ chỉ phương u :   1/ A ≡ O (0; 0), u = (1; −3) . 2/ A (−2; 3), u = (5; −1) .   3/ A (3; −1), u = (−2; −5) . 4/ A (2; 0), u = (3; 4) .   5/ A (−1;2), u = (−4;6) . 6/ A (1;1), u = (1; 5) .   8/ A (−3; 5), u = (0; −2) . 7/ A (2; −3), u = (4; −1) .   9/ A (7; −3), u = (0; 3) . 10/ A (1;2), u = (5; 0) . Bài 32. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của  đường thẳng đi qua điểm A và có véctơ chỉ phương n :   1/ A (0;1), n = (1;2) . 2/ A (−2; 3), n = (5; −1) .   3/ A (3; 4), n = (4; −3) . 4/ A (−1;2), n = (−2; 3) .   6/ A (3; −1), n = (−2; −5) . 5/ A (1; 3), n = (3; −4) .   7/ A (2; 0), n = (−1; −1) . 8/ A (1;2), n = (5; 0) .   9/ A (7; −3), n = (0; 3) . 10/ A ≡ O (0; 0), n = (2;5) . Bài 33. Cho đường thẳng có phương trình d : 2x − 3y + 1 = 0 . 1/ Hãy tìm véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương của đường thẳng d. 2/ Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. Bài 34. Bài 35. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k 1/ A (2; 4), k = 2 . 2/ A (−3;1), k = −2 . 3/ A (−5; −8), k = −3 . 4/ A (−3; 4), k = 3 . 5/ A (5;2), k = 1 . 6/ A (−3; −5), k = −1 . 7/ A (2; −4), k = 0 . 8/ A (−4; 0), k = −9 . 9/ A ≡ O (0; 0), k = 4 . 10/ A (0; 30), k = −7 . Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B Page – 102 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 36. 1/ A (2; 1), B (−4; 5) . 2/ A ( –2; 4), B (1; 0) . 3/ A (5; 3), B ( –2; −7) . 4/ A (3; 5), B (3; 8) . 5/ A (3; 5), B (6; 2) . 6/ A (4; 0), B (3; 0) . 7/ A (0; 3), B (0; −2) . 8/ A (3; 0), B (0; 5) . 9/ A (0; 4), B ( –3; 0) . 10/ A ( –2; 0), B (0; −6) . Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ 1/ A (2; 3), ∆ : 4x − 10y + 1 = 0 . 2/ A (5; 7), ∆ : x − 2y + 6 = 0 . 3/ A (−1; 2), ∆ : 5x + 1 = 0 . 4/ A (−1; −7), ∆ : y − 2 = 0 . x = 1 − 2t 5/ A (2; 3), ∆ :  .  y = 3 + 4t x = −1 − 3t 6/ A (−5; 3), ∆ :  .  y = −3 + 5t 7/ A (0; 3), ∆ : x −1 y + 4 = . 3 −2 9/ A (−1; 2), ∆ ≡ Ox . Bài 37. Bài 39. 8/ A (5; 2), ∆ : x +2 y −2 = . 1 −2 10/ A (4; 3), ∆ ≡ Oy . Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆ 1/ A (4; −1), ∆ : 3x − 5y + 2013 = 0 . 2/ A (2; −3), ∆ : x + 3y − 7 = 0 . 3/ A (4;5), ∆ : − x + 5y − 4 = 0 . 4/ A (5;5), ∆ ≡ Ox . 5/ A (−4; −1), ∆ ≡ Oy . 6/ A (−7;2012), ∆ : 2012x − 3y + 11 = 0 . 7/ A (1; −4), ∆ : Bài 38. Ths. Lê Văn Đoàn x −1 y + 3 = . −1 2 8/ A (4; −6), ∆ : x +2 y−3 = . 3 −10 x = 2t x = −2 + t 9/ A (1; 0), ∆ :  . 10/ A (0;7), ∆ :  .   y = 1 − 4t y = −t Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarters vuông góc Oxy, cho ∆ABC có các đỉnh tương ứng sau. Hãy lập: a/ Phương trình ba cạnh ∆ABC. b/ Phương trình các đường cao. Từ đó suy ra trực tâm của ∆ABC. c/ Phương trình các đường trung tuyến. Suy ra trọng tâm của ∆ABC. d/ Phương trình các đường trung bình trong ∆ABC. e/ Phương trình các đường trung trực. Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. 1/ A (1; −1), B (−2;1), C (3;5) . 2/ A (2; 0), B (2; –3), C (0; –1) . 3/ A (−4;5), B (−1;1), C (6; −1) . 4/ A (1; 4), B (3; –1), C (6;2) . 5/ A ( –1; –1), B (1;9), C (9;1) . 6/ A (4; –1), B ( –3;2), C (1;6) . Cho ∆ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao AA ‘, BB ‘, CC ‘ của tam giác, với 1/ AB : 2x − 3y − 1 = 0, BC : x + 3y + 7 = 0, CA : 5x − 2y + 1 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 103 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 2/ AB : 2x + y + 2 = 0, BC : 4x + 5y − 8 = 0, CA : 4x − y − 8 = 0 . Bài 40. Bài 41. Bài 42. Bài 43. Bài 44. Bài 45. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với 1/ M (1;1), N (5;7), P (−1; 4) . 2/ M (2;1), N (5; 3), P (3; −4) .   3 1 3/ M 2; − , N 1; − , P (1; −2) .   2 2 3  7  4/ M  ;2, N  ; 3, P (1; 4) . 2  2  3 5 5 7  6/ M ( –1; –1), N (1;9), P (9;1) . 5/ M  ; − , N  ; − , P (2; −4) 2 2 2 2  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau (tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân) với 1/ M (−4;10) . 2/ M (2;1) . 3/ M (−3; −2) . 4/ M (2; −1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với 1/ M ( –4;10), S = 2 . 2/ M (2;1), S = 4 . 3/ M ( –3; –2), S = 3 . 4/ M (2; –1), S = 4 . Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với 1/ M (2;1), d : 2x + y − 3 = 0 . 2/ M (3; −1), d : 2x + 5y − 30 = 0 . 3/ M (4;1), d : x − 2y + 4 = 0 . 4/ M (−5;13), d : 2x − 3y − 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với 1/ d : 2x − y + 1 = 0, ∆ : 3x − 4y + 2 = 0 . 2/ d : x − 2y + 4 = 0, ∆ : 2x + y − 2 = 0 . 3/ d : x + y − 1 = 0, ∆ : x − 3y + 3 = 0 . 4/ d : 2x − 3y + 1 = 0, ∆ : 2x − 3y − 1 = 0 . Cho phương trình: mx + (m − 2) y − m = 0 (1) . 1/ Chứng minh: ∀m phương trình (1) là phương trình của một đường thẳngm gọi là họ (dm ) . 2/ Tìm điểm cố định mà họ (dm ) luôn đi qua. ĐS: 2/ M (1; 0) . Bài 46. Cho họ đường thẳng có phương trình: (dm ) : (2m + 1) x − y − m2 = 0 . Chứng minh rằng họ đường thẳng (dm ) luôn tiếp xúc với một parabol cố định. ĐS: Tiếp xúc với parabol (P) : y = x2 + x . Bài 47. Cho hai điểm A (0;2), B (m; −2) . 1/ Hãy viết phương trình đường trung trực d của AB. 2/ Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định khi m thay đổi. ĐS: Tiếp xúc với parabol (P) : x = Page – 104 – 1 2 y . 4 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 2. Các bài toán dựng tam giác – Sự tương giao – Khoảng cách – Góc   Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. Ta thường gặp một số loại cơ bản sau đây a/ Loại 1. Dựng ∆ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB′′, CC′′. A  Xác định tọa độ các điểm . B’  Dựng AB qua B và vuông góc với CC′. C’  Dựng AC qua C và vuông góc với BB′.  Xác định tọa độ . B C b/ Loại 2. Dựng ∆ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′′, CC′′.  Dựng AB qua A và vuông góc với CC′.  Dựng AC qua A và vuông góc với BB′.  Xác định . c/ Loại 3. Dựng ∆ABC, khi biết đỉnh A, 2 đường thẳng chứa 2 đường trung tuyến BM, CN.      A Xác định trọng tâm . Xác định A′ đối xứng với A qua G ( BA′ // CN, CA′ // BM). Dựng dB qua A′ và song song với CN. Dựng dC qua A′ và song song với BM. B Xác định . N M G C d/ Loại 4. Dựng ∆ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC vàA’ trung điểm M của cạnh BC     Xác định . Dựng d1 qua M và song song với AB. Dựng d2 qua M và song song với AC. Xác định trung điểm I của A .  Xác định trung điểm J của  Xác định B, C sao cho . J I . B Mđiểm C sao choC Ngoài cách giải trên, ta có thể dựng theo: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy .  Vị trí tương đối – Khoảng cách – Góc  Xem lại lí thuyết.  Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau + Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng. + Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 105 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG CÁC BÀI TOÁN DỰNG TAM GIÁC Bài 48. Bài 49. Bài 50. Bài 51. Bài 52. Bài 53. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại, với 1/ BC : 4x + y − 12 = 0, BB ‘ : 5x − 4y − 15 = 0, CC ‘ : 2x + 2y − 9 = 0 . 2/ BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB ‘ : 4x − 3y + 1 = 0, CC ‘ : 7x + 2y − 22 = 0 . 3/ BC : x − y + 2 = 0, BB ‘ : 2x − 7y − 6 = 0, CC ‘ : 7x − 2y − 1 = 0 . 4/ BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB ‘ : 2x − y − 1 = 0, CC ‘ : x + 3y − 1 = 0 . Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với 1/ A (3; 0), BB ‘ : 2x + 2y − 9 = 0, CC ‘ : 3x − 12y − 1 = 0 . 2/ A (1; 0), BB ‘ : x − 2y + 1 = 0, CC ‘ : 3x + y − 1 = 0 . Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với 1/ A (1; 3), BM : x − 2y + 1 = 0, CN : y − 1 = 0 . 2/ A (3;9), BM : 3x − 4y + 9 = 0, CN : y − 6 = 0 . Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với 1/ AB : x − 2y + 7 = 0, AM : x + y − 5 = 0, BN : 2x + y − 11 = 0 . 2/ AB : x − y + 1 = 0, AM : 2x + 3y = 0, BN : 2x + 6y + 3 = 0 . Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết phương trình của cạnh thứ ba, với 1/ AB : 2x + y − 2 = 0, AC : x + 3y − 3 = 0, M (−1;1) . 2/ AB : 2x − y − 2 = 0, AC : x + y + 3 = 0, M (3; 0) . 3/ AB : x − y + 1 = 0, AC : 2x + y − 1 = 0, M (2;1) . 4/ AB : x + y − 2 = 0, AC : 2x + 6y + 3 = 0, M (−1;1) . Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với 1/ A (4; −1), BH : 2x − 3y + 12 = 0, BM : 2x + 3y = 0 . 2/ A (2; −7), BH : 3x + y + 11 = 0, CN : x + 2y + 7 = 0 . 3/ A (0; −2), BH : x − 2y + 1 = 0, CN : 2x − y + 2 = 0 . 4/ A (−1;2), BH : 5x − 2y − 4 = 0, CN : 5x + 7y − 20 = 0 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Page – 106 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 54. Ths. Lê Văn Đoàn Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của chúng 1/ d1 : 2x + 3y + 1 = 0 & d2 : 4x + 5y − 6 = 0 . 2/ d1 : 4x − y + 2 = 0 & d2 : −8x + 2y + 1 = 0 . x = 5 + t 3/ d1 :   y = −3 + 2t x = 1 − t 4/ d1 :   y = −2 + 2t x = 5 + t 5/ d1 :   y = −1 & 6/ d1 : x = 2 Bài 55. Bài 57. Bài 58. d2 : x + y − 5 = 0 . & d2 : x + 2y − 4 = 0 . & c/ Trùng nhau. ∆ : 2x + y − 3 = 0 . 2/ d : 2mx + (m − 1) y − 2 = 0 & ∆ : (m + 2) x + (2m + 1) y − (m + 2) = 0 3/ d : (m − 2) x + (m − 6) y + m − 1 = 0 & ∆ : (m − 4) x + (2m − 3) y + m − 5 = 0 . 4/ d : (m + 3) x + 2y + 6 = 0 & ∆ : mx + y + 2 − m = 0 . b/ Song song. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui 1/ d1 : y = 2x − 1 d2 : 3x + 5y = 8 d3 : (m + 8) x − 2my = 3m . 2/ d1 : y = 2x − m d2 : y = −x + 2m d3 : mx − (m − 1) y = 2m − 1 . 3/ d1 : 5x + 11y = 8 d2 : 10x − 7y = 74 d3 : 4mx + (2m − 1) y + m + 2 . 4/ d1 : 3x − 4y + 15 = 0 d2 : 5x + 2y − 1 = 0 d3 : mx − (2m − 1) y + 9m − 13 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và 1/ d1 : 3x − 2y + 10 = 0 d2 : 4x + 3y − 7 = 0 d qua A (2;1) . 2/ d1 : 3x − 5y + 2 = 0 d2 : 5x − 2y + 4 = 0 d song song d3 : 2x − y + 4 = 0 . 3/ d1 : 3x − 2y + 5 = 0 d2 : 2x + 4y − 7 = 0 d vuông d3 : 4x − 3y + 5 = 0 . Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m 1/ (m − 2) x − y + 3 = 0 . 3/ mx − y − 2m − 1 = 0 . Bài 59. & Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để hai đường thẳng a/ Cắt nhau. 1/ d : mx − 5y + 1 = 0 Bài 56. x = 4 + 2t d2 :  . y = −7 + 3t  x = 2 + 3t d2 :  . y = −4 − 6t & 2/ mx − y + (2m + 1) = 0 . 4/ (m + 2) x − y + 1 = 0 . Cho tam giác ABC với A (0; –1), B (2; –3), C (2; 0) . 1/ Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 107 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 2/ Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui. Bài 60. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình x − 3y = 0, 2x + 5y + 6 = 0 , đỉnh C (4; −1) . Viết phương trình hai cạnh còn lại. Bài 61. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với 1/ M (2; 5), P ( –1; 2), Q (5; 4) . 2/ M (1; 5), P ( –2; 9), Q (3; – 2) . KHOẢNG CÁCH – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Bài 62. Bài 63. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với 1/ M (4; −5), d : 3x − 4y + 8 = 0 . 2/ M (3;5), d : x + y + 1 = 0 . x = 2t . 3/ M (4; −5), d :   y = 2 + 3t 4/ M (3;5), d : x −2 y +1 = . 2 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy: 1/ Cho đường thẳng ∆ : 2x − y + 3 = 0 . Tính bán kính đường tròn tâm I (−5;3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ . 2/ Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2x − 3y + 5 = 0, 3x + 2y − 7 = 0 và đỉnh A (2; −3) . Tính diện tích hình chữ nhật đó. 3/ Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3x − 4y + 6 = 0 và d2 : 6x − 8y − 13 = 0 . Bài 64. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với 1/ A ( –1; –1), B (2; –4), C (4; 3) . Bài 65. 2/ A ( –2;14), B (4; –2), C (5; –4) . Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng h, với x = 3t 2/ ∆ :  , h = 3.  y = 2 + 4t 4/ ∆ : x − 2 = 0, h = 4 . 1/ ∆ : 2x − y + 3 = 0, h = 5 . 3/ ∆ : y − 3 = 0, h = 5 . Bài 66. Bài 67. Bài 68. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A một khoảng bằng h, với 1/ ∆ : 3x − 4y + 12 = 0, A (2; 3), h = 2 . 2/ ∆ : x + 4y − 2 = 0, A (−2; 3), h = 3 . 3/ ∆ : y − 3 = 0, A (3; −5), h = 5 . 4/ ∆ : x − 2 = 0, A (3;1), h = 4 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng h, với 1/ A ( –1; 2), B (3; 5), d = 3 . 2/ A ( –1; 3), B (4; 2), d = 5 . 3/ A (5; 1), B (2; – 3), d = 5 . 4/ A (3; 0), B (0; 4), d = 4 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với 1/ M (2; 5), P ( –1; 2), Q (5; 4) . Page – 108 – 2/ M (1; 2), P (2; 3), Q (4; –5) . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 3/ M (10; 2), P (3; 0), Q ( –5; 4) . Bài 69. 4/ M (2; 3), P (3; –1), Q (3; 5) . Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một khoảng bằng k, với 1/ A (1; 1), B (2; 3), h = 2, k = 4 . Bài 70. 2/ A (2; 5), B ( –1; 2), h = 1, k = 3 . Cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 và các điểm O (0; 0), A (2; 0), B ( –2; 2) . 1/ 2/ 3/ 4/ Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng ∆. Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. Bài 71. Cho hai điểm A (2; 2), B (5; 1) . Tìm điểm C trên đường thẳng ∆ : x − 2y + 8 = 0 sao cho Bài 72. diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt).  76 18  ĐS: C (12;10), C − ; −  .  5 5 Tìm tập hợp điểm 1/ Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆ : −2x + 5y − 1 = 0 một khoảng bằng 3. 2/ Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 đường thẳng d : 5x + 3y − 3 = 0, ∆ : 5x + 3y + 7 = 0 . 3/ Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 4x − 3y + 2 = 0, ∆ : y − 3 = 0 . 4/ Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng d : 5x − 12y + 4 = 0 và ∆ : 4x − 3y − 10 = 0 . Bài 73. Bài 74. 5 : 13 Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1/ 3x − 4y + 12 = 0, 12x + 5y − 20 = 0 . 2/ 3x − 4y − 9 = 0, 8x − 6y + 1 = 0 . 3/ x + 3y − 6 = 0, 3x + y + 2 = 0 . 4/ x + 2y − 11 = 0, 3x − 6y − 5 = 0 . Cho tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với 1/ A ( –3; –5), B (4; –6), C (3; 1) . 2/ A (1; 2), B (5; 2), C (1; –3) . 3/ AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0, CA : 3x − 2y − 6 = 0 . 4/ AB : 4x + 3y + 12 = 0, BC : 3x − 4y − 24 = 0, CA : 3x + 4y − 6 = 0 . GÓC Bài 75. Bài 76. Tính góc giữa hai đường thẳng 1/ x − 2y − 1 = 0, x + 3y − 11 = 0 . 2/ 2x − y + 5 = 0, 3x + y − 6 = 0 . 3/ 3x − 7y + 26 = 0, 2x + 5y − 13 = 0 . 4/ 3x + 4y − 5 = 0, 4x − 3y + 11 = 0 . Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với 1/ A ( –3; –5), B (4; –6), C (3; 1) . 2/ A (1; 2), B (5; 2), C (1; –3) . 3/ AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0, CA : 3x − 2y − 6 = 0 . 4/ AB : 4x + 3y + 12 = 0, BC : 3x − 4y − 24 = 0, CA : 3x + 4y − 6 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 109 – Ths. Lê Văn Đoàn Bài 77. Phần hình học Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng α, với 1/ d : 2mx + (m − 3) y + 4m − 1 = 0, ∆ : (m − 1) x + (m + 2) y + m − 2 = 0, α = 450 . 2/ d : (m + 3) x − (m − 1) y + m − 3 = 0, ∆ : (m − 2) x + (m + 1) y − m − 1 = 0, α = 900 . Bài 78. Bài 79. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng ∆ một góc α, với 1/ A (6;2), ∆ : 3x + 2y − 6 = 0, α = 450 . 2/ A (−2; 0), ∆ : x + 3y − 3 = 0, α = 450 . 3/ A (2;5), ∆ : x + 3y + 6 = 0, α = 600 . 4/ A (1; 3), ∆ : x − y = 0, α = 300 . Cho hình vuông ABCD có tâm I (4; –1) và phương trình một cạnh là 3x − y + 5 = 0 . 1/ Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. 2/ Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông. BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 80. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW1 năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (∆) : 2x − 3y + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M (−5;13) và vuông góc với đường thẳng (∆) . ĐS: d : 3x + 2y − 11 = 0 . Bài 81. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC với A (1; −1), B (−2;1), C (3;5) . 1/ Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của ∆ABC. 2/ Tính diện tích ∆ABK. ĐS: 1/ AH : 4x + y − 3 = 0 . Bài 82. 2/ S∆ABK = 11 (đvdt) . Cao đẳng Kỹ Nghệ Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: (∆1 ) : 4x − 3y − 12 = 0 và (∆ ) : 4x + 3y − 12 = 0 . 2 1/ Xác định đỉnh của tam giác có ba cạnh thuộc (∆1 ), (∆2 ) và trục Oy . 2/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác nói trên.     Tâm I  4 ; 0 A (0; −4) = ∆1 ∩ Oy    3  ĐS: 1/ B (0; 4) = ∆2 ∩ Oy . 2/  .   4 Bk : R = d (I; AB) = C (3; 0) = ∆1 ∩ ∆2  3  Bài 83. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối A năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC, cạnh BC, các đường cao BI, CK có phương trình lần lượt là 7x + 5y − 8 = 0, 9x − 3y − 4 = 0, x + y − 2 = 0 . Viết phương trình các cạnh AB, AC và đường cao AH. ĐS: AB : x − y = 0, AC : x + 3y − 8 = 0, AH : 5x − 7y + 4 = 0 . Bài 84. Cao đẳng Công Nghiệp Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Page – 110 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có các đường cao (BH) : x + y − 1 = 0 , (CK) : −3x + y + 1 = 0 và cạnh (BC) : 5x − y − 5 = 0 . Viết phương trình của các cạnh còn lại của tam giác và đường cao AL ? ĐS: AB : x + 3y − 1 = 0, AC : x − y + 3 = 0, AL : x + 5y − 3 = 0 . Bài 85. Cao đẳng Kiểm Sát Phía Bắc năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (1; 3) và hai trung tuyến là x − 2y + 1 = 0 và y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ? ĐS: AB : x − y + 2 = 0, AC : x + 2y − 3 = 0, BC : x − 4y + 1 = 0 . Bài 86. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TWI năm 2001 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A (1;2), B (−1;2) và đương thẳng d có phương trình (d) : x − 2y + 1 = 0 . Hãy tìm tọa độ của điểm C thuộc đường thẳng d sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác và thỏa mãn một trong các điều kiện sau 1/ CA = CB . 2/ AB = AC .  1  1 2 ĐS: 1/ C 0;  . 2/ C (3;2) ∨ C − ;  .  2   5 5  Bài 87. Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2002 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC và điểm M (−1;1) là trung điểm của AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đường thẳng 2x + y − 2 = 0 và x + 3y − 3 = 0 . 1/ Xác định tọa độ ba đỉnh A, B, C của ∆ABC và viết phương trình đường cao CH. 2/ Tính diện tích ∆ABC. 3 4 ĐS: 1/ A (1;0), B (−3;2), C  ;  và CH : 10x − 5y − 2 = 0 . 5 5  Bài 88.  2/ S∆ABC = 6 (đvdt) . 5 Cao đẳng Nông Lâm năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng x + y − 1 = 0 và 3x − y + 5 = 0 . Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I (3; 3) . ĐS: SABCD = 55 (đvdt) . Bài 89. Cao đẳng Sư Phạm Phú Thọ khối A năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (2; −3), B (3; −2) và diện tích tam giác ABC bằng d : 3x − y − 8 = 0 . Tìm tọa độ điểm C. 3 . Biết trọng tâm G của ∆ABC thuộc đường thẳng 2 ĐS: C (1; −1) ∨ C (4; 8) . Bài 90. Cao đẳng khối D, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết đỉnh A (3;9) và phương trình các đường trung tuyến BM, CN lần lượt là 3x − 4y + 9 = 0, y − 6 = 0 . Viết phương trình đường trung tuyến AD của tam giác đã cho. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 111 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ĐS: AD : 3x + 2y − 27 = 0 . Bài 91. Cao đẳng Điều Dưỡng chính quy năm 2004 – Đại học Điều dưỡng Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A (0;1) và hai đường thẳng chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là 2x − y − 1 = 0 và x + 3y − 1 = 0 . Tính diện tích ∆ABC. ĐS: S∆ABC = 14 (đvdt) . Bài 92. Cao đẳng khối A năm 2004 Cho tam giác ABC có A (−6; −3), B (−4; 3), C (9;2) . 1/ Viết phương trình các cạnh của ∆ABC. 2/ Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. 3/ Tìm điểm M trên cạnh AB và tìm điểm N trên cạnh AC sao cho MN // BC và AM = CN .  AB : 3x − y + 15 = 0  32 9   33 4  ĐS: 1/  AC : x − 3y − 3 = 0 . 2/ d A : y = x + 3 . 3/ M − ; , N  ;  .   7 7  7 7 BC : x + 13y − 35 = 0 Bài 93. Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + 1 = 0, ∆2 : 2x + y − 1 = 0 và điểm P (2;1) . 1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P và giao điểm I của hai đường thẳng ∆1 và ∆2. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P và cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho P là trung điểm AB. 2/ d ≡ AB : 4x − y − 7 = 0 (có thể giải theo 3 cách). ĐS: 1/ y − 1 = 0 . Bài 94. Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (−1;2) và B (3; 4) . Tìm điểm C trên đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 sao cho ∆ABC vuông ở C. 3 4 ĐS: C (3;2) ∨ C  ;  . 5 5  Bài 95.  Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối B năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x + 3y + 1 = 0 và điểm M (1;1) . Viết phương trình của các đường thẳng đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45 0 . ĐS: x − 5y + 4 = 0 . Có thể giải theo hai cách. Bài 96. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (3; −1) và B (3;5) . Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (−2; 3) và cách đều hai điểm A, B. ĐS: x + 2 = 0 ∨ x + 5y − 13 = 0 . Bài 97. Cao đẳng Mẫu Giáo TW 1 năm 2004 Page – 112 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Decac Oxy, xét ∆ABC với AB : x − 2y + 7 = 0 , các đường trung tuyến kẻ từ A, B lần lượt có phương trình x + y − 5 = 0 và 2x + y − 11 = 0 . Hãy tính diện tích của ∆ABC và lập phương trình hai đường thẳng AC và BC. ĐS: S∆ABC = Bài 98. 45 (đvdt) và AC : 16x + 13y − 68 = 0, 2 BC : 17x + 11y − 106 = 0 . Cao đẳng khối T – M trường Đại học Hùng Vương năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết đỉnh A (3;9) và phương trình các đường trung tuyến BM, CN lần lượt là : 3x − 4y + 9 = 0 và y − 6 = 0 . Viết phương trình đường trung tuyến AD. ĐS: AD : 3x + 2y − 27 = 0 . Bài 99. Cao đẳng Công Nghiệp IV năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông tại A với B (−3; 0), C (7; 0), bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 10 − 5 . Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC, biết điểm I có hoành độ dương. ( ĐS: I 2 + 10; 2 10 − 5 ) ( ) ∨ I 2 − 10; 2 10 − 5 . Bài 100. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A (2;1), B (−2; 3), C (4;5) . Hãy viết phương trình các đường thẳng cách đều ba điểm A, B, C. MN : x − 3y + 6 = 0  ĐS: Là các đường trung bình ∆ABC  NP : x + 2y − 9 = 0 .  MP : 2x − y + 2 = 0 Bài 101. Cao đẳng khối A, B năm 2005 Một hình thoi có: một đường chéo phương trình là x + 2y − 7 = 0 , một cạnh có phương trình là x + 3y − 3 = 0 , một đỉnh là (0;1) . Tìm phương trình các cạnh của hình thoi. Bài 102. Cao đẳng Sư Phạm KomTum năm 2005 5  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M  ;2 và hai đường thẳng  2  (∆ ) : x − 2y = 0 , (∆ ) : 2x − y = 0 . Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (∆ ), (∆ ) 1 2 1 2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Bài 103. Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Long khối A, B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (1; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình: x − 2y + 1 = 0 và y − 1 = 0 . Hãy lập phương trình các cạnh của ∆ABC. ĐS: AB : x − y + 2 = 0, BC : x − 4y + 1 = 0, CA : x + 2y − 7 = 0 . Bài 104. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 113 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có điểm A (1;2) , đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x + y + 1 = 0 , x + y − 1 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng BC. ĐS: BC : 4x + 3y + 4 = 0 . Bài 105. Cao đẳng Bến Tre năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh của ∆ABC biết đỉnh A (4; −1), phương trình một đường cao và một đường trung tuyến vẽ cùng một đỉnh lần lượt là d1 : 2x − 3y + 12 = 0 và d2 : 2x + 3y = 0 . ĐS: AB : 3x + 7y − 5 = 0, AC : 3x + 2y − 10 = 0, BC : 9x + 11y + 5 = 0 . Bài 106. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A (1; 3), phương trình đường cao BH : 2x − 3y − 10 = 0 và phương trình đường thẳng BC : 5x − 3y − 34 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C. ĐS: B (8;2), C (5; −3) . Bài 107. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối H năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (1;2), B (−5; 4) và   đường thẳng ∆ : x + 3y − 2 = 0 . Tìm điểm M trên đường thẳng ∆ sao cho MA + MB ngắn nhất.  5 3 ĐS: M − ;  .  2 2  Bài 108. Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ninh khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có điểm A (2; −1) và hai đường phân giác trong của hai góc B, C lần lượt có phương trình (∆B ) : x − 2y + 1 = 0, (∆C ) : x + y + 3 = 0 . Viết phương trình cạnh BC. ĐS: BC : 4x − y + 3 = 0 . Bài 109. Cao đẳng Sư Phạm Điện Biên khối A, B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông ở A. Biết tọa độ A (3;5), B (7;1) và đường thẳng BC đi qua điểm M (2; 0) . Tìm tọa độ đỉnh C. ĐS: C (−3; −1) . Bài 110. Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (1;1), B (2;1) và đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 . 1/ Chứng tỏ rằng hai điểm A, B ở về cùng một phía của d. 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tổng khoảng cách (MA + MB) bé nhất. Page – 114 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn  23 16  ĐS: M  ;  .  15 13  Bài 111. Cao đẳng Truyền Hình khối A năm 2005  = 900 . Biết Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có AB = AC, BAC 2  M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và G  ; 0 là trọng tâm của ∆ABC. Tìm tọa độ đỉnh A, B, C.  3  Bài 112. Cao đẳng Cộng Đồng Vĩnh Long khối A, B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A (3; 0) và phương trình hai đường cao (BB ‘) : 2x + 2y − 9 = 0 và (CC ‘) : 3x − 12y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 113. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối D1, T năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A (2; −4), B (0;2) và điểm C thuộc đường thẳng: 3x − y + 1 = 0, diện tích ∆ABC bằng 1 (đơn vị diện tích). Hãy tìm tọa độ điểm C.  1 1 ĐS: C − ; −  ∨ C (−1; −2) .  2 2  Bài 114. Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ba điểm A (1;2), B (3;1), C (4; 3) . Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác cân. Viết phương trình các đường cao của tam giác đó. ĐS: AH : x + 2y − 5 = 0, BI : 3x + y − 10 = 0, CK : 2x − y − 5 = 0 . Bài 115. Cao đẳng Xây Dựng số 2 khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho một tam giác có một đỉnh là A (4; 3), một đường cao và một đường trung tuyến đi qua hai đỉnh khác nhau có phương trình lần lượt là 3x − y + 11 = 0 và x + y − 1 = 0 . Hãy viết phương trình các cạnh tam giác. ĐS: AC : x + 3y − 13 = 0, AB : x − 2y + 2 = 0, BC : 7x + y + 29 = 0 . Bài 116. Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh và một đường chéo là AB : 7x − 11y + 83 = 0, CD : 7x − 11y − 53 = 0, BD : 5x − 3y + 1 = 0 . Tìm tọa độ B và D. Viết phương trình đường chéo AC, rồi suy ra tọa độ của A và C. ĐS: AC : 3x + 5y − 13 = 0 ⇒ A (−4;5), C (6; −1) . Bài 117. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : 2x − 3y + 1 = 0, d2 : 4x + y − 5 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ∆ABC có trọng tâm là điểm G (3;5) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 115 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học  61 43   5 55  ; , C − ;  .  7 7   7 7  ĐS: A (1;1), B   Bài 118. Cao đẳng Kinh Tế Kĩ Thuật Cần Thơ khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC với A (2;1), B (4; −3) và C (m; −2) . Định m để ∆ABC vuông tại C. ĐS: m = 1 ∨ m = 5 . Bài 119. Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y − 3 = 0 và hai điểm A (1;1), B (−3; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. ĐS: M (0; 3) ∨ M (10; −7 ) . Bài 120. Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông cân tại A (4;1) và cạnh huyền BC có phương trình: 3x − y + 5 = 0 . Viết phương trình hai cạnh góc vuông AC và AB. ĐS: AC : x − 2y − 2 = 0 và AB : 2x + y − 9 = 0 . Bài 121. Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (−1;1), B (−4; 3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x + 2y + 1 = 0 sao cho khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB bằng 6.  43 27  ĐS: C  ; −  ∨ C (−7; 3) .  11 11  Bài 122. Cao đẳng Sư Phạm Trà Vinh khối M năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết C (−2; −4), trong tâm G (0; 4 ) và M (2; 0) là trung điểm cạnh BC. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB. ĐS: AB : 4x + 5y − 44 = 0 . Bài 123. Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x − 4y + 1 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng song song với d và có khoảng cách đến d bằng 1. ĐS: ∆1 : 3x − 4y − 4 = 0 ∨ ∆2 : 3x − 4y + 6 = 0 . Bài 124. Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : 2x − y − 1 = 0 và điểm M (2; −4) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B mà I là trung điểm của AB. ĐS: ∆ ≡ AB : x + 4y − 14 = 0 . Page – 116 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 125. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 2007 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC. Biết điểm B (4; −1), đường cao AH có phương trình là : 2x − 3y + 12 = 0, đường trung tuyến AM có phương trình : 2x + 3y = 0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC. ĐS: A (−3;2), B (4;1), C (8; −7) . Bài 126. Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2007 Viết phương trình các cạnh của ∆ABC biết đỉnh A (1;1), đường trung tuyến và đường cao đi qua đỉnh B lần lượt có phương trình: 3x + 4y − 27 = 0, 2x + y − 8 = 0 . ĐS: AB : x = 1, AC : x − 2y + 1 = 0, BC : x + 8y − 49 = 0 . Bài 127. Cao đẳng Công Nghiệp Thực Phẩm năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A (2; −7 ), trung tuyến CM, đường cao BK có phương trình lần lượt là x + 2y + 7 = 0 và 3x + y + 11 = 0 . Viết phương trình các đường thẳng AC và BC. ĐS: AC : x − 3y − 23 = 0 và BC : 7x + 9y + 19 = 0 . Bài 128. Cao đẳng khối A, B, D năm 2008 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x − 2y + 3 = 0 . ĐS: A (2; 0), B (0; 4) . Bài 129. Cao đẳng A, B, D năm 2011 (Chương Trình Cơ Bản) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45 0 . ĐS: ∆1 : y + 4 = 0 ∨ ∆2 : x − 2 = 0 . Bài 130. Cao đẳng A, B, D năm 2011 (Chương Trình Nâng Cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là AB : x + 3y − 7 = 0, BC : 4x + 5y − 7 = 0, CA : 3x + 2y − 7 = 0 . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. ĐS: AH : 5x − 4y + 3 = 0 . Bài 131. Đại học Sư Phạm–Kinh tế–Tài Chính–Nông Nghiệp Tp. Hồ Chí Minh năm 1977 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng : 3x − 5y + 2 = 0, 5x − 2y + 4 = 0 và song song với đường thẳng 2x − y + 4 = 0 . ĐS: d : 38x − 19y + 30 = 0 . Bài 132. Đại học Thể Dục Thể Thao Tp. Hồ Chí Minh năm 1977 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng ∆1 : 3x − 4y + 12 = 0, ∆2 : 12x + 3y − 7 = 0 . ( ) ( ) ĐS: d : 60 − 9 17 x + 15 − 12 17 y − 35 + 36 17 = 0 . Bài 133. Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh khối B năm 1978 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 117 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1 : x + y = 1, d2 : x − 3y + 3 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d2 qua đường thẳng d1. ĐS: d : 3x − y + 1 = 0 . Bài 134. Đại học Thể Dục Thể Thao Tp. Hồ Chí Minh năm 1978 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác cân PRQ, biết phương trình cạnh đáy PQ : 2x − 3y + 5 = 0, cạnh bên PR : x + y + 1 = 0 . Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi qua điểm D (1;1) . ĐS: RQ : 17x + 7y − 24 = 0 . Bài 135. Đại học Bách Khoa – Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1979 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho đường cong (C) : y = x 2 + 9 và đường thẳng d : ax − 5y − 32 = 0 . 1/ Vẽ đường cong đã cho. 2/ Tính khoảng cách z từ một điểm M tùy ý của đường cong đến đường thẳng d theo hoành độ x của M. 3/ Tính khoảng cách ngắn nhất giữa đường cong và đường thẳng. x 2 y2 ĐS: 1/ Vẽ (H) : 2 − 2 = −1 ở trên Ox. 2/ z = 3 3 4x − 5 x2 + 9 − 32 41  16  . 3/ M 4; −  . 5   Bài 136. Đại học Y – Nha – Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1980 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1;2) mà khoảng cách từ điểm M (2; 3) và điểm N (4; −5) đến đường thẳng ấy bằng nhau. ĐS: d : 3x + 2y − 7 = 0 ∨ d : 4x + y − 6 = 0 . Bài 137. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 1991 Trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc, cho ∆ABC có đỉnh A (2;2) . Lập phương trình các cạnh của ∆ABC. Biết rằng các đường thẳng 9x − 3y − 4 = 0 và x + y − 2 = 0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ B và C. ĐS: AC : x + 3y − 8 = 0, AB : x − y = 0, BC : 7x + 5y − 8 = 0 . Bài 138. Đại học Cần Thơ 1993 – Đại học Hàng Hải 1995 – Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – Học Viện Hàng Không 2001 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết B (2; −1), đường cao qua A và đường phân giác trong góc C có phương trình lần lượt là 3x − 4y + 27 = 0; x + 2y − 5 = 0 . ĐS: AB : 4x + 7y − 1 = 0, BC : 4x + 3y − 5 = 0, AC : y = 3 . Lời bình Phương trình đường thẳng x + 2y − 5 = 0 là phương trình đường phân giác ngoài của góc C, không phải là phương trình đường phân giác trong góc C. Đề ra thiếu chính xác. Một số trường Đại học đã ra đề này để tuyển sinh mà không phát hiện ra, … Ở đây, tôi đã đổi lại đường phân giác ngoài góc C là x + 2y − 5 = 0 và giải ra kết quả như trên. Bài 139. Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1993 Page – 118 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm P (2;5) và Q (5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P cách Q một đoạn có độ dài bằng 3 . ĐS: d : x − 2 = 0 ∨ d : 7x + 24y − 134 = 0 . Bài 140. Đại học Pháp Lí Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 3x + 4y − 6 = 0, d2 : 4x + 3y − 1 = 0, d3 : y = 0 . Gọi A = d1 ∩ d2 , B = d2 ∩ d3 , C = d3 ∩ d1 . 1/ Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC. 2/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC. ĐS: 1/ dA : x + y − 1 = 0 và S∆ABC = 21 (đvdt) . 4   73 − 1 73 − 9   1 − 73     . 2/ x −  + y −  =   8 8     8  2 2 2 Bài 141. Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh khối A, B năm 1994 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1 : kx − y + k = 0, d2 : 1 − k2 x + 2ky − 1 + k2 = 0 . ( ) ( ) 1/ Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định. 2/ Với mỗi giá trị k, hãy xác định giao điểm của d1 và d2. 3/ Tìm quỹ tích của giao điểm đó khi k thay đổi. ĐS: 1/ M o (−1; 0) .  1 − k2 2k2   ; 2/ M  2 2 1 + k 1 + k  3/ Đương tròn: x2 + y2 = 1 loại M o (−1; 0) . Bài 142. Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1994 Phương trình hai cạnh một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là: 5x − 2y + 6 = 0; 4x + 7y − 21 = 0 . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác, biết trực tâm H trùng với gốc tọa độ. ĐS: BC : y + 7 = 0 . Bài 143. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1995 Lập phương trình các cạnh ∆ABC nếu biết A (1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x − 2y + 1 = 0 và y − 1 = 0 . ĐS: AB : x + 2y − 7 = 0, AC : x − y + 2 = 0, BC : x − 4y − 1 = 0 . Bài 144. Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 Trên mặt phẳng tọa độ trực chuẩn đã cho các điểm P (2; 3), Q (4; −1), R (−3; 5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác. Hãy lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. ĐS: BC : 6x − 7y − 3 = 0, AB : 2x + y + 1 = 0, AC : 2x + 5y − 3 = 0 . Bài 145. Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 – Khối A và Đại học Sư Phạm Quy Nhơn năm 1995 Lập phương trình các cạnh của ∆ABC trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, nếu cho C (−4; −5) và hai đường cao có phương trình 5x + 3y − 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 119 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ĐS: BC : 3x − 5y − 13 = 0, AC : 8x − 3y + 17 = 0, AB : 5x + 2y − 1 = 0 . Bài 146. Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1995 Lập phương trình các cạnh của hình vuông biết rằng hình vuông đó có đỉnh là (−4; 8) và một đường chéo có phương trình : 7x − y + 8 = 0 . ĐS: AB : 3x − 4y + 32 = 0, AD : 4x + 3y + 1 = 0, BC : 4x + 3y − 24 = 0, CD : 3x − 4y + 7 = 0 . Bài 147. Đại học Y Khoa Hà Nội năm 1995 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1 : (a − b) x + y = 1 và d2 : a 2 − b2 x + ay = b với a 2 + b2 > 0 . Xác định giao điểm của ( ) d1 và d2, biện luận theo a, b số giao điểm ấy. b = 0 (a ≠ b) d // d 1 2 ĐS: TH1.  . = ≡ b a d d  1 2 1 a TH2. a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ⇒ d1 ∩ d2 = A  ;  .  b b  Bài 148. Đại học Cần Thơ năm 1995 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho A (2; −3), B (3; −2) . Trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng d : 3x − y − 8 = 0, diện tích ∆ABC bằng 3 . Tìm tọa độ điểm C. 2 ĐS: C (1; −1) ∨ C (−2; −10) . Bài 149. Đại học Tài Chính Hà Nội năm 1996 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có M (−2;2) là trung điểm của BC, cạnh AB có phương trình: x − 2y − 2 = 0, cạnh AC có phương trình: 2x + 5y + 3 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC. 4 7  40 11  76 25  ĐS: A  ; − , B  ;  , C − ;  . 9   9  9 9   9 9  Bài 150. Đại học Văn Lang đợt 1 khối B, D năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x + 4y − 12 = 0 . 1/ Xác định tọa độ qua các giao điểm A, B của d lần lượt với trục Ox, Oy. 2/ Tính tọa độ hình chiếu H của gốc O trên đường thẳng d. 3/ Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua O.  36 48  ĐS: 1/ A (4; 0), B (0; 3) . 2/ H  ;  . 3/ d ‘ : 3x + 4y + 12 = 0 .  25 25  Bài 151. Đại học An Ninh đề 2 khối D năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A (0;2) và điểm B (m; −2) . Hãy viết phương trình đường thẳng trung trực d của AB. Chứng minh răng d luôn tiếp xúc với đường cong (C) cố định khi m thay đổi. ĐS: d : y = m m2 1 x− , luôn tiếp xúc với parabol (P) : y = x2 . 4 8 8 Bài 152. Đại học Huế khối D năm 1997 Page – 120 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : 4x − 3y − 12 = 0, ∆2 : 4x + 3y − 12 = 0 . 1/ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường thẳng ∆1, ∆2 và trục tung. 2/ Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác nói trên. 4  4 2/ E  ; 0, r = . ĐS: 1/ A (0; −4), B (0; 4), C (3; 0) . 3  3  Bài 153. Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2;1), B (0;1), C (3;5), D (−3; −1) . 1/ Tính diện tích tứ giác ABCD. 2/ Viết phương trình các cạnh của hình vuông có hai cạnh song song đi qua A và C và hai cạnh còn lại đi qua B và D. MN : 7x + y − 15 = 0 MN : x − 3y + 1 = 0   PQ : 7x + y − 26 = 0 PQ : x − 3y + 12 = 0 ĐS: 1/ SABCD = 6 (đvdt) . 2/  . ∨  NP : x − 7y + 7 = 0 NP : 3x + y − 1 = 0   MQ : x − 7y − 4 = 0 MQ : 3x + y + 10 = 0   Bài 154. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh hệ Cử nhân năm 1997 Cho ∆ABC, cạnh BC có trung điểm M (0; 4), còn hai cạnh kia có phương trình là 2x + y − 11 = 0 và x + 4y − 2 = 0 . 1/ Xác định đỉnh A. 2/ Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng x − 4y − 2 = 0 và N là trung điểm AC. Tìm tọa điểm N rồi tính tọa độ B, C. ĐS: 1/ A (6; −1) . 2/ C (−2;1), B (2;7) . Bài 155. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A – Đại học Luật năm 1997 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y − 4 = 0 và hai điểm M (3; 3), N (−5; −19) . Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm đối xứng của M qua d. 1/ Tìm tọa độ điểm K và P. 2/ Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. ĐS: 1/ K (1;2), P (−1;1) . 2/ A (−3;10) ⇒ (AM + AN) min = 2 85 . Bài 156. Đại học Đà Lạt năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : (a + 1) x − 2y − a − 1 = 0 và d2 : x + (a − 1) y − a 2 = 0 . 1/ Tìm giao điểm I của d1 và d2. 2/ Tìm a để đường thẳng qua M (0;a ), N (a; 0) cũng đi qua điểm I. 2  2   3a − 1 (a + 1) (a − 1)  . ĐS: 1/ I  2 ; 2   a + 1 a +1   “Cần cù bù thông minh…………” 1 2/ a = 1 ∨ a = − . 2 Page – 121 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 157. Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối B, D năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (2;2) , biết tam giác có hai đường cao là: 9x − 3y − 4 = 0 và x + y − 2 = 0 . 1/ Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC. 2/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và xác định tọa độ trọng tâm ∆ABC. d : 3x + 3y − 8 = 0  AB ĐS: 1/ dAC : 9x − 3y + 3 = 0 .  dBC : 15x − 21y + 41 = 0  2 2   5 17  5   9  185  2/ (C) : x −  + y −  = và G  ;  . 12   4  72   9 9  Bài 158. Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. Hồ Chí Minh đề 1 năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−1;2) và B (3; 4) . Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng: x − 2y + 1 = 0 sao cho ∆ABC vuông ở C. 3 4 ĐS: C (3;2) ∨ C  ;  .  5 5  Bài 159. Đại học Đà Nẵng khối A năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm P (3; 0) và hai đường thẳng: d1 : 2x − y − 2 = 0 và d2 : x + y + 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1, d2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình của d biết rằng PA = PB . ĐS: d : 4x − 5y − 12 = 0 ∨ d : 8x − y − 24 = 0 . Bài 160. Đại học Văn Lang khối B, D năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh B (3;5), đường cao kẻ từ A có phương trình: 2x − 5y + 3 = 0 và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình: x + y − 5 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình các cạnh của tam giác. ĐS: A (1;1), BC : 5x + 2y − 25 = 0, AB : 2x − y − 1 = 0, AC : x + 4y − 5 = 0 . Bài 161. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 3 năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có trọng tâm G (−2; −1) và các cạnh AB : 4x + y + 15 = 0 và AC : 2x + 5y + 3 = 0 . 1/ Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC. 2/ Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. ĐS: 1/ A (−4;1), M (−1;2) . 2/ B (−3; −3), BC : x − 2y − 3 = 0 . Bài 162. Đại học Hàng Hải năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho A (1;1), B (−1; 3) và đường thẳng d có phương trình d : x + y + 4 = 0 . 1/ Tìm trên d điểm C cách đều hai điểm A, B. 2/ Với C vừa tìm được, tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành. ĐS: 1/ C (−3; −1) . 2/ D (−1; −3) và SABCD = 12 (đvdt) . Bài 163. Đại học Cần Thơ năm 1998 Page – 122 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A (−1; −3) . 1/ Biết đường cao BH : 5x + 3y − 25 = 0, đường cao CK : 3x + 8y − 12 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh B, C. 2/ Biết đường trung trực của AB là ∆ : 3x + 2y − 4 = 0 và trong tâm G (4; −2) . Tìm tọa độ đỉnh B, C. ĐS: 1/ B (2; 5), C (4; 0) . 2/ B (5;1), C (8; −4) . Bài 164. Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết đỉnh C (4; −1) và đường cao, đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là 2x − 3x + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 . Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC. ĐS: AC : 3x + 7y − 5 = 0, BC : 3x + 2y − 10 = 0, AB : 9x + 11y + 5 = 0 . Bài 165. Đại học Huế khối D năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng song song với d : 3x − 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến đường đường thẳng d bằng 1 . ĐS: ∆ : 3x − 4y − 4 = 0 ∨ ∆ : 3x − 4y + 6 = 0 . Bài 166. Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ba điểm A (2; 4), B (3;1), C (1; 4) và đường thẳng d có phương trình: d : x − y − 1 = 0 . 1/ Tìm M ∈ d sao cho AM + MB nhỏ nhất. 2/ Tìm N ∈ d sao cho AN + CN nhỏ nhất.  11 7  ĐS: 1/ M  ;  ⇔ (AM + BM) = 10 . min  4 4   23 16  2/ N  ;  ⇔ (AN + CN) = 5 . min  7 7  Bài 167. Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ khối D năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm M (−2; 3) . Tìm phương trình đường thẳng d qua M và cách đều hai điểm A (−1; 0), B (2;1) . ĐS: d : x − 3y + 11 = 0 ∨ d : x + y − 1 = 0 . Bài 168. Đại học Cần Thơ khối A năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ba điểm A (−3; 4), B (−5; −1), C (4; 3) . 1/ Tính độ dài AB, BC, AC . Hãy cho biết tính chất (nhọn, tù, vuông) của các góc trong ∆ABC. 2/ Tính độ dài đường cao AH của ∆ABC và viết phương trình đường thẳng AH. ĐS: 1/ AB = 29, AC = 50, BC = 97 2/ AH = 37 nhọn. , AH : 9x + 4y + 11 = 0 . 97 Bài 169. Đại học Mỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 1999 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 123 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là: d1 : x − y − 1 = 0, d2 : 3x − y + 1 = 0 và điểm M (1;2) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, cắt d1 và d2 lần lượt tại M1, M2 và thỏa một trong các điều kiện sau: 1/ MM1 = MM2 . 2/ MM1 = 2MM2 . ĐS: 1/ d ≡ MM2 : x − 1 = 0 . 2/ d ≡ MM2 : x + y − 3 = 0 . Bài 170. Đại học Dược Hà Nội năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : (a − b) x + y = 1 và ( ) d2 : a 2 − b2 x + ay = b với b2 = 4a 2 + 1 . 1/ Xác định giao điểm của d1 và d2. 2/ Tìm tập hợp (E) các giao điểm của d1 và d2 khi a, b thay đổi.  1 a ĐS: 1/ M − ;  .  b b  x2 y2 = 1. 2/ Ellipse (E) : 2 + 1  1 2     2  Bài 171. Đại học Đà Nẵng khối A – Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y − 2 = 0 và d2 : 2x + 4y − 7 = 0 . 1/ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2. 2/ Viết phương trình đường thẳng qua điểm P (3;1) cùng với d1, d2 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao của d1 và d2. d : 2x − 6y + 3 = 0 . ĐS: 1/  d : 6x + 2y − 11 = 0 ∆ : 3x + y − 10 = 0 2/  . ∆ : x − 3y = 0 Bài 172. Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC với các đỉnh A (−6; −3), B (−4; 3) và C (9;2) . 1/ Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A của ∆ABC. 2/ Tìm điểm P trên đường thẳng d sao cho tứ giác ABCP là hình thang. ĐS: 1/ d : x − y + 3 = 0 . 2/ P (14;17) ∨ P (2;5) . Bài 173. Đại học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội năm 1999 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (0;1) và tạo với đường thẳng x + 2y + 3 = 0 một góc bằng 45 0 . ĐS: d : 3x + y − 1 = 0 ∨ d : x − 3y + 1 = 0 . Bài 174. Đại học Hàng Hải năm 1999 Cho ∆ABC có A (2; −1) và phương trình các đường cao là 2x − y + 1 = 0, 3x + y + 2 = 0 . Lập phương trình đường trung tuyến của tam giác qua đỉnh A. Page – 124 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: AM : x + 32y + 30 = 0 . Bài 175. Đại học Mở Bán Công Tp. Hồ Chí Minh khối A, B năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm M (1;6) và d : 2x − 3y + 3 = 0 . 1/ Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua M và song song với d. 2/ Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua M, vuông góc với d và xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. ĐS: 1/ d1 : 2x − 3y + 16 = 0 . 2/ d2 : 3x + 2y − 15 = 0 và H (3; 3) . Bài 176. Đại học Tây Nguyên khối D năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I (−2; 3) và cách đều hai điểm A (5; −1) và B (3;7) . ĐS: d : 4x + y + 5 = 0 ∨ d : y − 3 = 0 . Bài 177. Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 khối A năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC và đỉnh A (1;1) . Các đường cao hạ từ B và C lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 và d2 theo thứ tự có phương trình −2x + y − 8 = 0 và 2x + 3y − 6 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ đỉnh A và xác định tọa độ đỉnh B, C của ∆ABC.  9 7 ĐS: I − ;  = d1 ∩ d2 , AI : 10x + 13y − 23 = 0, B (−17; −26), C (3; 0) .  4 2  Bài 178. Đại học Thương Mại năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A (2; −1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt có phương trình: dB : x − 2y + 1 = 0 và dC : x + y + 3 = 0 . Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. ĐS: BC : 4x − y + 3 = 0 . Bài 179. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh C (−2; −4) và trọng tâm G (0; 4) . 1/ Giả sử M (2; 0) là trung điểm của cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh A và B. 2/ Giả sử M di động trên đường thẳng (D) : x + y − 2 = 0, tìm quỹ tích điểm B. Hãy xác định M để độ dài cạnh AB là ngắn nhất.    MA = 3MG A (−4;12)  ⇒  ĐS: 1/   . CB = 2CM B (6; 4)    1 9 2/ Quỹ tích là d : x + y − 10 = 0 và M − ;  .  4 4  Bài 180. Đại học Giao Thông Vận Tải khối A năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích bằng 4. Biết tọa độ các đỉnh A (1; 0), B (2; 0) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x . Hãy tìm tọa độ các đỉnh C và D. ĐS: C (3; 4), D (2; 4) ∨ C (−5; −4), D (−6; −4) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 125 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 181. Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + 3y + 1 = 0 . Cạnh bên AB có phương trình x − y + 5 = 0 . Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M (−4;1) . Tìm tọa độ đỉnh C. ĐS: Ba cạnh ∆ABC đồng quy tại M cầu bài toán. Vô lí Bài toán không xác định ∃ C thỏa yêu Bài 182. Đại học Nông Nghiệp I năm 2001 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (1;1) và đường thẳng d có phương trình: 4x + 3y = 12 . 1/ Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d với các trục Ox và Oy. Xác định tọa độ trực tâm của ∆ABC. 2/ Điểm M chạy trên đường thẳng d. Trên nửa đường thẳng đi qua hai điểm A và M, lấy điểm   N sao cho AM.AN = 4 . Điểm N chạy trên đường cong nào ? Viết phương trình đường cong đó. ĐS: 1/ H (−3; −2) . 2 2  13   11 2/ N chạy trên đường tròn (C) : x −  + y −  = 4 . 5   5   Bài 183. Đại học Hàng Hải năm 2001 5  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M  ;2 và hai đường thẳng có phương  2  x ; y − 2x = 0 . Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng nói 2 trên tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. ĐS: y = 2 . trình y = Bài 184. Đại học Huế khối A,B,V năm 2001 Viết phương trình ba cạnh của ∆ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho biết đỉnh C (4; 3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là x + 2y − 5 = 0 và 4x + 13y − 10 = 0 . ĐS: AC : x + y − 7 = 0, AB : x + 7y + 5 = 0, BC : x − 8y + 20 = 0 . Bài 185. Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, hãy lập phương trình các cạnh của ∆ABC nếu cho B (−4;5) và hai đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại của tam giác lần lượt có phương trình: 5x + 3y − 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 . ĐS: BC : 3x − 5y + 37 = 0, AB : 8x − 3y − 47 = 0, AC : 2535x − 3016y + 29033 = 0 . Bài 186. Đại học khối A năm 2002 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.  7 + 4 3 6 + 3     , G  −4 3 − 1 ; −6 − 2 3  . ; ĐS: G1    3 3  2  3 3   Bài 187. Đại học khối B năm 2002 Page – 126 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1  I  ; 0 , phương trình đường thẳng AB là x − 2y + 2 = 0 và AB = 2AD . Tìm tọa độ các  2  đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: A (−2; 0), B (2;2), C (3; 0), D (−1; −2) . Bài 188. Đại học khối B năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy , cho tam giác ABC có AB = AC,  = 900 . Biết M 1; −1 là trung điểm cạnh BC và G  2 ; 0 là trọng tâm tam giác ABC. BAC  ( )   3  Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A (0;2), B (4; 0), C (−2 − 2) . Bài 189. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x − 2y + 1 = 0, 3x + y − 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: B (−5; −2), C (−1; 4) S∆ABC = 14 . Bài 190. Đại học khối A năm 2004 ( ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (0;2) và B − 3; − 1 . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. ĐS: H ( ) ( ) 3; −1 , I − 3;1 . Bài 191. Đại học khối B năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1), B (4; −3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.  43 27  ĐS: C1 (7; 3), C2 − ; −  .  11 11  Bài 192. Đại học khối D năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC có các đỉnh A (−1; 0), B (4; 0), C (0; m) với m ≠ 0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.  m ĐS: G 1; , m = ±3 6 .  3 Bài 193. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A (0;2) và đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . 2 6 ĐS: B  ;  .  5 5  Bài 194. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2004 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 127 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm I (−2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2   lần lượt tại A, B sao cho IA = 2IB . ĐS: d : 7x − 3y + 6 = 0 . Bài 195. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A (−1; 4), B (4; −1), 7  đường thẳng BC đi qua điểm K  ;2 . Tìm toạ độ đỉnh C. 3   69 1579  . ĐS: C − ; − 250   50 Bài 196. Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2; 3) và hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 . Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G (2; 0) . Bài 197. Đại học khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. ĐS: A (1;1), B (0, 0),C (1; −1), D (2; 0) hoặc A (1;1), B (2, 0),C (1; −1), D (0; 0) . Bài 198. Dự bị 1 – Đại học khối A năm 2005 4 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G  ;  ,  3 3 phương trình đường thẳng BC là x − 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG là 7x − 4y − 8 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A (0; 3), B (0; –2), C (4; 0) . Bài 199. Đại học khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng lần lượt có phương trình: d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0 . Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M (−22; −11) ∨ M (2;1) . Bài 200. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0 , cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao (BH) : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M (1;1) . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.  2 2 8 8 ĐS: A − ; − , B (−4;1), C  ;  .  3 3 3 3 Page – 128 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 201. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, với A (1; −1), B (3;5) . Điểm B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0 . Viết phương trình các đường thẳng AB, BC. ĐS: (AB) : 23x − y − 24 = 0 và (BC) : 19x − 13y + 8 = 0 . Bài 202. Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (2;1) , đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. ĐS: B (−2; −3), C (4; −5) . Bài 203. Đại học khối B năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;2) và các đường thẳng: d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0 . Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. ĐS: B (−1; 3), C (3;5) ∨ B (3; −1), C (5; 3) . Bài 204. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (−2; 0), phương trình các cạnh AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y − 2 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A (−4;2), B (−3; −2), C (1; 0) . Bài 205. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;1) . Trên trục Ox, lấy điểm B có hoành độ x B ≥ 0 , trên trục Oy, lấy điểm C có tung độ yC ≥ 0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. ĐS: B (0; 0), C (0;5) . Bài 206. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A (0;1), B (2; −1) và các đường thẳng d1 : (m − 1) x + (m − 2) y + 2 − m = 0, d2 : (2 − m) x + (m − 1) y + 3m − 5 = 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. ( ) ĐS: Chú ý: (PA + PB) ≤ 2 PA2 + PB2 = 2AB2 = 16 . Do đó (PA + PB) 2 max = 4 khi P là trung điểm của cung AB. Khi đó P (2;1) hay P (0; −1) ⇒ m = 1 ∨ m = 2 . Bài 207. Đại học khối B năm 2008 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H (−1; −1), đường phân giác trong góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0 .  10 3  ĐS: C − ;  .  3 4 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 129 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 208. Đại học khối A năm 2009 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AB. y − 5 = 0 ĐS: AB :  .  x − 4y + 19 = 0 Bài 209. Đại học khối B năm 2009 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 11 3   3 5   3 5  11 3  ĐS: B  ; , C  ; −  ∨ B  ; − , C  ;  .  2 2  2 2 2 2  2 2 Bài 210. Đại học khối D năm 2009 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0, 6x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: (AC) : 3x − 4y + 5 = 0 . Bài 211. Đại học khối A năm 2010 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6) ; đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ĐS: B (0; −4),C (−4; 0) ∨ B (−6;2), C (2; −6) . Bài 212. Đại học khối B năm 2010 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. ĐS: BC : 3x − 4y + 16 = 0 . Bài 213. Đại học khối D năm 2010 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. ĐS: ∆12 : ( ) 5 −1 x ± 2 5 − 2.y = 0 . Bài 214. Đại học khối B năm 2011 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8 . Page – 130 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 6 2 ĐS: N (0; −2) ∨ N  ;  .  5 5  Bài 215. Đại học khối D năm 2011 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4;1), trọng tâm G (1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. ĐS: A (4; 3), C (3; −1) . Bài 216. Đại học khối A năm 2012 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh  11 1  BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có  2 2  phương trình 2x − y − 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm A. ĐS: A (1; −1) ∨ A (4; 5) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 131 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học C – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN   Xác định tâm và bán kính đường tròn  Nếu phương trình đường tròn có dạng thì có tâm là và bán kính bằng R. thì tâm I được xác  Nếu phương trình đường tròn có dạng định . và bán kính  Lưu ý  Nếu là phương trình đường tròn nếu thỏa mãn điều kiện: .  Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng ∆ là .  Lập phương trình đường tròn ta thường cần phải xác định tâm Để lập phương trình đường tròn . Khi đó phương trình đường tròn a/ Dạng 1. có tâm • Tâm . và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ∆ . R I . có đường kính AB I A . • Bán kính R đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆ • Bán kính Page – 132 – . . R B ∆ • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB thoả mãn: ∆ I đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆ • Tâm I của B A • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. • Xác định tâm . • Bán kính . e/ Dạng 5. A . • Tâm I là trung điểm AB. d/ Dạng 4. R I • Bán kính c/ Dạng 3. . . có tâm • Tâm là và đi qua điểm • Bán kính b/ Dạng 2. và bán kính R của A R I B “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II f/ Dạng 6. đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B • • • • g/ Dạng 7. Ths. Lê Văn Đoàn Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và ∆. Xác định tâm . Bán kính . B I A đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 • Tâm I của thoả mãn: . I • Bán kính . Lưu ý o Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong A , ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 và ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2. o Nếu ∆1 // ∆2, ta tính h/ Dạng 8. , và . tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d • Tâm I của thoả mãn: . • Bán kính i/ Dạng 9. được thay thế bới I . đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1 • Phương trình của có dạng: . • Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào ta được hệ • Giải hệ phương trình này ta tìm được phương trình phương trình của ẩn . . Cách 2 • Tâm I của thoả mãn: . • Bán kính j/ Dạng 10. . B I nội tiếp tam giác ABC B • Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc A trong tam giác. • Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. • Bán kính . A F I B “Cần cù bù thông minh…………” E C Page – 133 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học  Tập hợp các tâm đường tròn (quỹ tích tâm I của đường tròn) Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn ta có thể làm theo các bước sau  Bước 1. Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.  Bước 2. Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I .  Bước 3. Khử m giữa x và y ta được phương trình .  Bước 4. Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của x hoặc y.  Bước 5. Phương trình tập hợp điểm là cùng với phần giới hạn ở bước 4.  Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm là đường tròn, ta cũng thực hiện tương tự như các bước trên.  Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng và đường tròn ta có thể thực hiện như sau  Phương pháp 1. So sánh khoảng cách từ tâm I đến  Xác định tâm I và bán kính R của  Tính khoảng cách từ I đến + cắt với bán kính R. . tại hai điểm phân biệt. + tiếp xúc với + và I . R không có điểm chung.  Phương pháp 2. Toạ độ giao điểm (nếu có) của + Hệ có 2 nghiệm cắt + Hệ có 1 nghiệm tiếp xúc với + Hệ vô nghiệm và Vị trí tương đối của hai đường tròn và là nghiệm của hệ phương trình: tại hai điểm phân biệt. . I R không có điểm chung. và Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn và , ta có thể thực hiện theo hai phương pháp  Phương pháp 1. So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. cắt  tại hai điểm.  tiếp xúc ngoài với .  tiếp xúc trong với .  và ở ngoài nhau.  và ở trong nhau. Page – 134 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn  Phương pháp 2. Phương pháp đại số: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của và là nghiệm của hệ phương trình  Hệ có hai nghiệm ⇔  Hệ có một nghiệm ⇔  Hệ vô nghiệm ⇔ cắt tại 2 điểm. tiếp xúc với và . không có điểm chung. Tiếp tuyến của đường tròn  Cho đường tròn có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆.  ∆ tiếp xúc với . a/ Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm  Phương pháp 1. Tiếp tuyến . đi qua và có VTPT .  Phương pháp 2. Phân đôi tọa độ: . Phương trình tiếp tuyến có dạng : b/ Dạng 2. Tiếp tuyến có phương cho trước.  Bước 1. Viết phương trình của ∆ có phương cho trước :  Bước 2. Dựa vào điều kiện tiếp xúc để tìm thành phần còn lại. Từ đó suy ra phương trình của ∆. Lưu ý : Các dạng phương cho trước thường gặp là Tiếp tuyến Tiếp tuyến Tiếp tuyến Tiếp tuyến Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k Tiếp tuyến  ● ● ● . ● Tiếp tuyến tạo với đường thẳng . . một góc α. Khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức . hoặc c/ Dạng 3. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm ở ngoài đường tròn .  Viết phương trình của ∆ đi qua A (chứa 2 tham số).  Dựa vào điều kiện: ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của ∆. d/ Dạng 4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn  Bước 1. Giả sử tiếp tuyến là  Bước 2. Theo điều kiện tiếp xúc của “Cần cù bù thông minh…………” . với với và . và : . Page – 135 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học  Bước 3. Kết luận về tiếp tuyến chung của e/ Họ tiếp tuyến của đường tròn  Cho đường tròn . . có phương trình :  Tiếp tuyến với tại có dạng : .  Vì . Do đó có thể đặt : .  Khi đó, mọi tiếp tuyến của  Ta gọi các tiếp tuyến của với . có dạng : với tham số t là họ tiếp tuyến của . Tọa độ tiếp điểm . là BÀI TẬ NG TÂP ÁAP DỤ DUNG BA XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 217. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó 1/ x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 . 2/ x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 . 3/ x2 + y2 + 2x − 8y + 1 = 0 . 4/ x2 + y2 − 6x + 5 = 0 . 5/ 16×2 + 16y2 + 16x − 8y = 11 . 6/ 7×2 + 7y2 − 4x + 6y − 1 = 0 . 7/ 2×2 + 2y2 − 4x + 12y + 11 = 0 . 8/ 4×2 + 4y2 + 4x − 5y + 10 = 0 . Bài 218. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn 1/ x2 + y2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 . 2/ x2 + y2 − 2 (m + 1) x + 2my + 3m2 − 2 = 0 . 3/ x2 + y2 − 2 (m − 3) x + 4my − m2 + 5m + 4 = 0 . ( ) 4/ x2 + y2 − 2mx − 2 m 2 − 1 y + m 4 − 2m 4 − 2m 2 − 4m + 1 = 0 . 5/ x2 + y2 − 6x + 2y ln m + 3 ln m + 7 = 0 6/ x2 + y2 − 2x + 4y + ln (m − 2) + 4 = 0 7/ x2 + y2 − 2e2m x + 2em y + 6e2m − 4 = 0 Page – 136 – ( ). ( ). ( ). “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 8/ x 2 + y2 − 2x cos m + 4y + cos2 m − 2 sin m + 5 = 0 9/ x2 + y2 − 4x cos m + 2y sin m − 4 = 0 ( ). ( ). LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 219. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với 1/ I (2; 4), A ( –1; 3) . 2/ I ( –3; 2), A (1; –1) . 3/ I ( –1; 0), A (3; –11) . 4/ I (1; 2), A (5; 2) . 5/ I (3; 5), A (7; 2) . 6/ I (0; 0), A (4; 4) . Bài 220. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với 1/ I (3; 4), ∆ : 4x − 3y + 15 = 0 . 2/ I (2; 3), ∆ : 5x − 12y − 7 = 0 . 3/ I (−3;2), ∆ ≡ Ox . 4/ I (−3; −5), ∆ ≡ Oy . 5/ I (−1;2), ∆ : x − 2y + 7 = 0 . 6/ I (0; 0), ∆ : y − 2x = 0 . Bài 221. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với 1/ A ( –2; 3), B (6; 5) . 2/ A (0; 1), C (5; 1) . 3/ A ( –3; 4), B (7; 2) . 4/ A (5; 2), B (3; 6) . 5/ A (1; 1), B (7; 5) . 6/ A (1; 5), B (−1; 1) . Bài 222. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆, với 1/ A (2;3), B (−1;1), ∆ : x − 3y − 11 = 0 . 2/ A (0; 4), B (2;6), ∆ : x − 2y + 5 = 0 . 3/ A (2;2), B (8;6), ∆ : 5x − 3y + 6 = 0 . 4/ A (−1; 0), B (1;2), ∆ : x − y − 1 = 0 . 5/ A (−1;2), B (3; 0), ∆ : 7x + y − 6 = 0 . 6/ A (0; 0), B (1;2), ∆ : x − y = 0 . Bài 223. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với 1/ A (1;2), B (3;4), ∆ : 3x + y − 3 = 0 . 2/ A (6;3), B (3;2), ∆ : x + 2y − 2 = 0 . 3/ A (−1; −2), B (2;1), ∆ : 2x − y + 2 = 0 . 4/ A (2; 0), B (4;2), ∆ ≡ Oy . Bài 224. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B, với 1/ A (−2;6), ∆ : 3x − 4y = 15, B (1; −3) . 2/ A (−2;1), ∆ : 3x − 2y = 6, B (4; 3) . 3/ A (6; −2), ∆ ≡ Ox, B (6; 0) . 4/ A (4; −3), ∆ : x + 2y − 3 = 0, B (3; 0) . Bài 225. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2, với 1/ A (2; 3), ∆1 : 3x − 4y + 1 = 0, ∆2 : 4x + 3y − 7 = 0 . 2/ A (1; 3), ∆1 : x + 2y + 2 = 0, ∆2 : 2x − y + 9 = 0 . 3/ A ≡ O (0; 0), ∆1 : x + y − 4 = 0, ∆2 : x + y + 4 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 137 – Ths. Lê Văn Đoàn 4/ A (3; −6), Phần hình học ∆1 ≡ Ox, ∆2 ≡ Oy . Bài 226. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với 1/ ∆1 : 3x + 2y + 3 = 0, ∆2 : 2x − 3y + 15 = 0, d : x − y = 0. 2/ ∆1 : x + y + 4 = 0, ∆2 : 7x − y + 4 = 0, d : 4x + 3y − 2 = 0 . 3/ ∆1 : 4x − 3y − 16 = 0, ∆2 : 3x + 4y + 3 = 0, d : 2x − y + 3 = 0 . 4/ ∆1 : 4x + y − 2 = 0, ∆2 : x + 4y + 17 = 0, d : x − y + 5 = 0. Bài 227. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với 1/ A (2; 0), B (0; –3), C (5; –3) . 2/ A (5; 3), B (6; 2), C (3; –1) . 3/ A (1; 2), B (3; 1), C ( –3; –1) . 4/ A ( –1; –7), B ( –4; –3), C ≡ O (0; 0) . 5/ AB : x − y + 2 = 0, BC : 2x + 3y − 1 = 0, CA : 4x + y − 17 = 0 . 6/ AB : x + 2y − 5 = 0, BC : 2x + y − 7 = 0, CA : x − y + 1 = 0 . Bài 228. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với 1/ A (2; 6), B ( –3; –4), C (5; 0) . 2/ A (2; 0), B (0; –3), C (5; –3) . 3/ AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 3x − 2y − 6 = 0, CA : 2x + 3y + 9 = 0 . 4/ AB : 7x − y + 11 = 0, BC : x + y − 15, CA : 7x + 17y + 65 = 0 . Bài 229. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau (C) đi qua ba điểm: O (0; 0), M (1;2), N (−2; 4) . 2/ (C) đi qua ba điểm: A (1;2), B (5;2), C (1; −3) . 3/ (C) đi qua ba điểm: A (4;5), B (3; −2), C (1; 4) . 4/ (C) đi qua ba điểm: A (1; 3), B (5; 6), C (7; 0) . 5/ (C) đi qua ba điểm: A (2;1), B (2; 5), C (−2;1) . 6/ (C) đi qua ba điểm: A (−2; 4), B (5;5), C (6; −2) . 7/ (C) có tâm I (2; −5) và tiếp xúc với Ox . 8/ (C) có tâm I (1; 3) và tiếp xúc với Oy . 9/ (C) qua A (9;9) và tiép với trục Ox tại điểm M (6; 0) . 10/ (C) tiếp xúc với trục Ox tại điểm A (2; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến B (6; 4) 1/ bằng 5. 11/ (C) tiếp xúc với cả hai trục tọa độ và qua M (2;1) . 12/ (C) tiếp xúc với cả hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x − 2y − 8 = 0 . 13/ (C) qua hai điểm A (2; 3), B (−2;1) và có tâm nằm trên trục hoành. 14/ (C) qua hai điểm A (2; 0), B (3;1) và bán kính R = 5 . 15/ (C) qua hai điểm A (−1;1), B (0;2) và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2x + 3y = 0 . Page – 138 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 16/ (C) tiếp xúc với đường thẳng d1 : x − 2y + 3 = 0 tại M (1;2) và có tâm thuộc đường thẳng d2 : x − 5y − 5 = 0 . 17/ (C) tiếp xúc với đường thẳng d1 : 3x − 4y − 31 = 0 tại điểm M (1; −7) và có bán kính R = 5. 18/ (C) tiếp xúc với đường tròn (C ‘) : x 2 + y2 − 2x = 0 tại điểm A (2; 0) và R = 5 . 19/ (C) qua A (5; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d : x + 3y + 2 = 0 tại M (1; −1) . 20/ (C) qua các giao điểm của (C1 ) : x2 + y2 − 9 = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 − 2x − 2y = 14 và có tâm nằm trên đường thẳng d : x + 6y − 6 = 0 . 21/ (C) đối xứng với đường tròn (C ‘) : (x − 1) + (y − 2) = 4 qua d : x − y − 1 = 0 . 2 2 22/ (C) đối xứng với đường tròn (C ‘) : (x − 2) + (y − 3) = 3 qua d : x + y − 1 = 0 . 2 2 23/ (C) đối xứng với đường tròn (C ‘) : x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0 qua d : x − 2 = 0 . TẬP HỢP ĐIỂM (Quĩ tích tâm đường tròn) Bài 230. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (m và t là tham số) 1/ x2 + y2 − 2 (m − 1) x − 4my + 3m + 11 = 0 . 2/ x 2 + y2 − 2mx − 4 (m + 1) y + 3m + 14 = 0 . 3/ x2 + y2 − 2mx − 2m2 y + 2 = 0 . 4/ x 2 + y2 + mx − m (m + 2) y − 2m 2 − 4 = 0 . 5/ x 2 + y2 − 2 (cos 2t + 4) x − 2y sin 2t + 6 cos 2t − 3 = 0 6/ x 2 + y2 − 4x sin t + 4 (cos 2t − sin t) y − 2 cos2 t = 0 ( ) ( ) 7/ x 2 + y2 − 2 2 − e t x + 4 e2t − 1 y − e t − 3 = 0 8/ (t 2 )( ) ( ) ( ( ). ( ). ( ). ) + 1 x2 + y2 + 8 t2 − 1 x − 4 t2 + 4t + 1 y − 3t2 − 3 = 0 ( ). Bài 231. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) , biết 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (C) tiếp xúc với đường thẳng d : 6x − 8y + 15 = 0 và có bán kính R = 3 . (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0, d : x + 2y + 6 = 0 . (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d : 2x + 3y − 6 = 0, d : 3x − 2y + 9 = 0 . (C) tiếp xúc với đường tròn (C ‘) : x + y − 4x + 6y − 3 = 0 và có bán kính R = 2 . (C) đi qua điểm A (2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d : y − 5 = 0 . 1 2 1 2 2 2 Bài 232. Cho (Cm ) : x 2 + y2 − 2mx − 4 (m − 2) y + 6 − m = 0 . 1/ Tìm điều kiện của m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn (Cm ) khi m thay đổi. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 139 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 233. Cho (Cm ) : x 2 + y2 + (m + 2) x − (m + 4) y + 1 = 0 . 1/ Chứng minh (Cm ) là họ đường tròn. 2/ Chứng minh rằng trong các đường tròn của (Cm ) có một đường tròn qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường tròn đó. Bài 234. Cho (Cm ) : x2 + y2 − 2 (m + 1) x + 4my + 17 = 0 . 1/ Tìm điều kiện m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Với giá trị nào của m thì đường tròn (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng d : x + y − 1 = 0 . 3/ Tìm tập hợp tâm của họ (Cm ) khi m thay đổi. Bài 235. Cho (Cm ) : x2 + y2 − 4mx − 2 (m + 1) y − 1 = 0 . 1/ Tìm điều kiện m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm điểm cố định của họ (Cm ) khi m thay đổi. 3/ Tìm tập hợp tâm của họ (Cm ) khi m thay đổi. Bài 236. Cho (Cm ) : x2 + y2 + (m + 3) x − (m + 2) y + m − 13 = 0 . 1/ Chứng minh (Cm ) là họ đường tròn. 2/ Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định. Bài 237. Cho (Cm ) : x2 + y2 + (m + 2) x − (m + 4) y + m + 1 = 0 . 1/ Định m để (Cm ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. 2/ Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn (Cm ) . 3/ Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định. Bài 238. Cho (Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 4 (2m − 1) y + 5 = 0 . 1/ Tìm điều kiện của m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm m để đường tròn (Cm ) cắt trục hoành tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 . Bài 239. Cho (Cm ) : x2 + y2 − 2mx + 2my + m2 − 2m + 3 = 0 . 1/ Định m để (Cm ) là đường tròn. Khi đó tìm tọa độ tâm và bán kính. 2/ Định m để (Cm ) tiếp xúc với hai trục tọa độ. 3/ Định m để (Cm ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 . Bài 240. Cho hai điểm A (2; –4), B ( –6; 2) . Tìm tập hợp các điểm M (x; y) sao cho 2/ MA = 3MB . 1/ AM 2 + BM 2 = 100 . 3/ AM + BM = k , 2 2 2 (k > 0) . 4/ 2MA2 − 3MB2 = OM2 . Bài 241. Cho hai điểm A (2; 3), B ( –2;1) . Tìm tập hợp các điểm M (x; y) sao cho     1/ AM.BM = 0 . 2/ AM.BM = 4 . Bài 242. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến hai đường thẳng d và d′ bằng k, với d : x − y + 3 = 0, d ‘ : x + y = 1 = 0, k = 9 . Page – 140 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 243. Cho bốn điểm A (4; 4), B ( –6; 4), C ( –6; –2), D (4; –2) . 1/ Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. 2/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các cạnh của hình chữ nhật bằng 100 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Bài 244. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) trong các trường hợp 1/ d : x + y − 2 = 0 & (C) : x 2 + y2 − 2x + 6y − 6 = 0 . x = t 2/ d :   y = 5 − 2t & (C) : x 2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 . Bài 245. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 6y + 3 = 0 và đường thẳng ∆ : 3x − y + m = 0 . Tìm các giá trị của m để 1/ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) . 2/ Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) . 3/ Đường thẳng ∆ và đường tròn (C) không có điểm chung. Bài 246. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với 1/ d : mx − y − 3m − 2 = 0 & 2/ d : 2x − y + m = 0 & 3/ d : x + y − 1 = 0 & 4/ d : mx + y − 4m = 0 & 5/ d : x − my + 2m + 3 = 0 & 6/ d : mx − y + 2 = 0 & 7/ d : mx − y + 7 − 4m = 0 & 8/ mx − y + 3m − 1 = 0 & (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x 2 + y2 − 4x − 2y = 0 . 2 + y2 − 6x + 2y + 5 = 0 . 2 + y2 − 2 (2m + 1) x − 4y + 4 − m = 0 . 2 + y2 − 2x − 4y − 4 = 0 . 2 + y2 + x − 2y − 2 = 0 . 2 + y2 + 2x − 4y + 4 = 0 . 2 + y2 + 2x − 4y = 0 . 2 + y2 − 4x − 3y = 0 . Bài 247. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm A (−1; 0) và có hệ số góc k 1/ Viết phương trình đường thẳng d. 2/ Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C) . 3/ Suy ra phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. Bài 248. Cho đường thẳng d và đường tròn (C) a/ Chứng tỏ d cắt (C) . b/ Tìm toạ độ các giao điểm của d và (C) . 1 1/ d đi qua M (−1; 5) và có hệ số góc k = − , 3 “Cần cù bù thông minh…………” (C) : x 2 + y2 − 6x − 4y + 8 = 0 . Page – 141 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học (C) : x 2/ d : 3x − y − 10 = 0, 2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0 . Bài 249. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (4;2) . Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. Bài 250. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y − 1 = 0 và đường thẳng d : y = x . 1/ Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Tính độ dài đoạn AB. Bài 251. Viết phương trình đường thẳng qua A (2; 3) và cắt đường tròn (C) : (x + 1) + y2 = 9 tại hai 2 điểm M và N sao cho MN = 6 . Bài 252. Cho đường tròn (C) : (x − 1) + (y + 2) = 4 và đường thẳng ∆ : 3x − 4y + 5 = 0 . Viết 2 2 phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho AB có độ dài lớn nhất. Bài 253. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4x − 6y + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (3;2) và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài 1/ Lớn nhất. 2/ Nhỏ nhất. Bài 254. Cho đường tròn (C) : (x + 1) + (y + 2) = 2 và đường thẳng d : 3x − 2y − 1 = 0 . 2 2 1/ Xác định vị trí tương đối của d và (C) . ( ) 2/ Tìm trên đường thẳng d điểm M (x o ; yo ) sao cho x2o + y2o đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 255. Tìm trên đường tròn (C) : x + y − 2x + 2y − 23 = 0 điểm M có khoảng cách đến đường 2 2 thẳng ∆ : 3x − 4y + 23 = 0 1/ Nhỏ nhất. 2/ Lớn nhất. Bài 256. Cho đường tròn (Cm ) : x + y − 2mx + 2y + m + 7 = 0 có tâm là I. Xác định m để đường 2 2 thẳng d : x + y + 1 = 0 cắt (Cm ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho ∆IAB đều. Bài 257. Cho (Cm ) : x2 + y2 + (m + 2) x − (m + 4) y + m + 1 = 0 . Chứng minh rằng (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định. Suy ra giá trị của m để (Cm ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Bài 258. Cho đường tròn (C) : (x − 2) + (y − 3) = 2 và đường thẳng ∆ : x − y − 2 = 0 . Tìm tọa độ 2 2 điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến ∆ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Bài 259. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ), tìm toạ độ giao điểm (nếu có) với 1/ 2/ 3/ 4/ Page – 142 – (C ) : x (C ) : x 2 1 2 1 (C ) : x (C ) : x 2 1 1 2 + y2 + 6x − 10y + 24 = 0 + y2 − 4x − 6y + 4 = 0 + y2 − 6 x − 3y = 0 + y2 + 2x − 4y − 5 = 0 (C ) : x (C ) : x 2 + y2 − 6x − 4y − 12 = 0 . 2 + y2 − 10x − 14y + 70 = 0 . 2 2  5 (C ) có tâm I 5; 2  và bán kính R (C ) : x + y − x − 5y + 4 = 0 . 2 2 2 2 = 5 . 2 2 2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 260. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ), với (C ) : x 2 + y2 − 6x − 2my + m2 + 4 = 0  1/  1 . 2 2 2 (C2 ) : x + y − 2mx − 2 (m + 1) y + m + 4 = 0 (C ) : x 2 + y2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 2/  1 . 2 2 (C2 ) : x + y + 4 (m + 1) x − 2my + 6m − 1 = 0 Bài 261. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 7x − 7 = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 − x − 7y − 18 = 0 . 1/ Chứng tỏ (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại hai điểm A và B. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Bài 262. Cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y2 − 1 = 0 và (Cm ) : x2 + y2 − 2 (m + 1) x + 4my − 5 = 0 . Tìm m để (C1 ) và (Cm ) tiếp xúc với nhau. Bài 263. Cho họ đường tròn (Cm ) : x 2 + y2 − 2mx + 4my + 5m2 − 1 = 0 . 1/ Tìm m để (Cm ) cắt đường tròn (C1 ) : x2 + y2 = 1 tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Tìm m để (Cm ) và (C2 ) : x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 tiếp xúc trong với nhau. Bài 264. Cho hai đường tròn (C1 ) : (x + 2) + (y − 2) = 2 và (C2 ) : (x − 3) + (y − 2) = 1 . 2 2 2 2 1/ Chứng minh rằng (C1 ) và (C2 ) nằm ngoài nhau. 2/ Cho M (1;2) . Hãy tìm hai điểm A ∈ (C1 ), B ∈ (C2 ) sao cho M là trung điểm của AB. Bài 265. Cho hai điểm A (8; 0), B (0; 6) . 1/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. 2/ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. 3/ Chứng minh rằng hai đường tròn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 266. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 . Đường tròn (C ‘) có tâm I (2;2) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 . Hãy viết phương trình đường thẳng AB. 2  2 1 Bài 267. Cho ∆ABC có A (1; 0), B (0;2) và đường tròn (C) : (x − 1) + y −  = 1 . Viết phương 2   trình đường thẳng đi qua các giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn ngoại tiếp ∆ABO. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài 268. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M ∈ (C) 1/ 2/ 3/ 4/ (C) : x (C) : x 2 + y2 = 25 & M (3; 4) . 2 + y2 = 50 & M (5; −5) . & M (8; −16) . & M (1;2) . (C) : (x − 3) + (y + 4) = 169 (C) : x + y + 4x − 9 = 0 2 2 2 “Cần cù bù thông minh…………” 2 Page – 143 – Ths. Lê Văn Đoàn 5/ 6/ (C) : x (C) : x Phần hình học 2 + y2 + 4x + 4y + 3 = 0 & M (−3; 0) . 2 + y2 − 2x − 8y − 8 = 0 & M (4; 0) . Bài 269. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4x − 2y = 0 . 1/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 0 . 2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) các giao điểm của nó với trục tung Oy . 3/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d : x + y = 0 . Bài 270. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 8x − 6y + 17 = 0 . 1/ Chứng tỏ M (6; 5) nằm trên đường tròn (C) . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) qua M 2/ Chứng tỏ N (0; −1) nằm ngoài đường tròn (C) . Viết phương trình tiếp tuyến d’ của (C) qua điểm N. Bài 271. Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ một điểm cho trước 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x (C) : x 2 + y2 − 4x + 2y + 2 = 0 & A (3;1) . 2 + y2 + 4x − 4y − 1 = 0 & A (0; −1) . 2 + y2 + 2x − 4y + 4 = 0 & A (3;5) . 2 + y2 − 2x − 8y − 8 = 0 & A (−4; −6) . 2 + y2 + 2x − 8y + 13 = 0 & A (1;1) . 2 + y2 − 6x − 4y + 8 = 0 & A (8;7) . & A (2; 3) . 7/ (C) : (x − 3) + (y − 1) = 5 . 2 2 Bài 272. Cho đường tròn (C) : (x − 2) + (y − 1) = 25 . 2 2 1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (5; 3) . 3/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d1 : 5x − 12y + 2 = 0 . 4/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d2 : 3x + 4y − 7 = 0 . 5/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (3;6) . Bài 273. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 6x + 2y + 5 = 0 . 1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) . 2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d1 : 4x + 2y − 1 = 0 . 3/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d2 : 2x − y + 7 = 0 . Bài 274. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. a/ Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C) . b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. Page – 144 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. d/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. 1/ 2/ (C) : x (C) : x 2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 A (−7;7) d : 3x + 4y − 6 = 0 . 2 + y2 + 4x − 8y + 10 = 0 A (2;2) d : x + 2y − 6 = 0 . Bài 275. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. a/ Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. c/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. 1/ 2/ 3/ (C) : x + y − 6x − 2y + 5 = 0 (C) : x + y − 4x − 6y = 0 (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 9 = 0 2 2 & d : 2x − y + 3 = 0 . 2 2 & d : 2x − 3y + 1 = 0 . & d : 3x − 4y + 12 = 0 . Bài 276. Cho đường tròn (C) . Hãy lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc α trong các trường hợp sau: 1/ (C) : (x − 1) + (y + 1) = 10 α = 45 0 & d : 2x + y − 4 = 0 . 2/ (C) : x 2 + y2 + 4x − 8y + 10 = 0 α = 600 & d : 2x − 3y + 1 = 0 . 2 2 Bài 277. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 = 9 và (C2 ) : x2 + y2 − 2x − 3 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ) . 2/ Xét vị trí tương đối của (C1 ) và (C2 ) . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . Bài 278. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 − 8x − 4y + 16 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ) . 2/ Xét vị trí tương đối của (C1 ) và (C2 ) . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . Bài 279. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 − 8x − 4y + 16 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ) . 2/ Xét vị trí tương đối của (C1 ) và (C2 ) . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . Bài 280. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 10x = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ) . 2/ Xét vị trí tương đối của (C1 ) và (C2 ) . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 145 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 281. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 4x − 5 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 − 6x + 8y + 16 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ) . 2/ Xét vị trí tương đối của (C1 ) và (C2 ) . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . Bài 282. Lập phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1 ) và (C2 ) sau: & (C ) : x + y = 1 (C ) : (x − 8) + (y − 6) = 16 . 2/ (C ) : (x − 1) + (y − 1) = 1 & (C ) : (x − 2) + (y + 1) = 4 . 3/ (C ) : (x − 1) + (y + 3) = 25 & (C ) : (x + 1) + (y − 3) = 9 . 4/ (C ) : x + y − 4x − 2y + 4 = 0 & (C ) : x + y + 4x + 2y − 4 = 0 . 5/ (C ) : x + y − 2x + 4y − 4 = 0 & (C ) : x + y + 4x − 4y − 56 = 0 . 6/ (C ) : x + y − 10x = 0 & (C ) : x + y + 4x − 2y − 2 = 0 . 7/ (C ) : x + y − 10x + 24y − 56 = 0 & (C ) : x + y − 2x − 4y − 20 = 0 . 8/ (C ) : x + y + 2x − 6y + 6 = 0 & (C ) : x + y − 4x + 2y − 4 = 0 . 9/ (C1 ) : x2 + y2 − 8x − 4y − 29 = 0 & (C2 ) : x2 + y2 − 2x − 12y + 33 = 0 . 10/ (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 3 = 0 & (C2 ) : x2 + y2 − 8x − 8y + 28 = 0 . 11/ (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 & (C2 ) : x2 + y2 − 6x − 4y + 19 = 0 . 12/ (C1 ) : x2 + y2 − 6x + 5 = 0 & (C2 ) : x2 + y2 − 12x − 6y + 44 = 0 . Cho hai điểm A (1; 2), B (3; 4) và đường thẳng d : 3x + y + 3 = 0 . 1/ 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 Bài 283. 2 2 1 2 1/ Viết phương trình các đường tròn (C1 ) và (C2 ) qua A, B và tiếp xúc với d. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó. Bài 284. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 6x − 4y + 4 = 0 và điểm A (8; −1) . 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. 2/ Gọi M và N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C) . Viết phương trình đường thẳng MN và tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 285. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y + 4 = 0 và điểm A (3;5) . 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. 2/ Gọi E và F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C) . Viết phương trình đường thẳng EF và tính độ dài đoạn thẳng EF. Bài 286. Cho đường tròn (C) : (x − 2) + (y − 4) = 4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2 biết rằng tiếp tuyến: 1/ Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. 2/ Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . Bài 287. Cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 6x − 2my + m2 + 4 = 0 . 1/ Tìm m để từ A (2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) . Page – 146 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6 . Bài 288. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y = 0 và đường thẳng d : x − y + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc d mà từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A và  B sao cho AMB = 600 . Bài 289. Cho đường tròn (C) : (x − 1) + (y + 2) = 9 và đường th d : 3x − 4y + m = 0 . Tìm m để 2 2 trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn sao cho ∆PAB đều. ( ) Bài 290. Cho (Cα ) : x2 + y2 sin α = 2 (x cos α + y sin α − cos α ), ∀α ≠ kπ . 1/ Chứng minh rằng (Cα ) luôn là đường tròn ∀α . Định tâm và bán kính đường tròn (Cα ) . 2/ Chứng minh rằng (Cα ) luôn có một tiếp tuyến cố định và xác định tiếp tuyến đó. Bài 291. Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 4y − 4 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 + 6x − 2y + 1 = 0 . 1/ Chứng minh (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại hai điểm A và B. 2/ Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và điểm C (3; −1) . 3/ Cho điểm M (4;1) . Chứng minh qua M có hai tiếp tuyến đến (C) . Gọi E, F là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (C) . Hãy lập phương trình đường tròn (C ‘) ngoại tiếp ∆MEF. Bài 292. Lập phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với đường thẳng d : 3x + 4y + 20 = 0 và đường tròn (C ‘) : (x − 1) + (y + 2) = 1 . 2 2 Bài 293. Tìm trên đường thẳng d : 3x + 4y + 20 = 0 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đường tròn Bài 294. (C) : x2 + y2 = 1 những tiếp tuyến có độ dài nhỏ nhất. Cho (C1 ) : x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 − 10x − 6y + 30 = 0 có tâm lần lượt là I và J. 1/ Chứng minh rằng (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ngoài nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm H. 2/ Gọi d là tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) không đi qua H. Tìm giao điểm K của d và IJ. 3/ Viết phương trình đường tròn (C ‘) đi qua K và tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) tại H. XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH mx + (m + 1) y = 2 . Bài 295. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm   2 2 x + y = 4 x + my − m = 0  Bài 296. Định m để hệ phương trình sau có gnhiệm  2 . 2 x + y − x = 0 x2 + y2 + 2x − 4y + 4 = 0  Bài 297. Định m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm  . mx − y + 2 = 0 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 147 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 + y2 = 2 1 + m ( )  Bài 298. Định m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm  .  2 (x + y) = 4  x2 + y2 = 9  . Bài 299. Cho hệ phương trình  (2m + 1) x + my + m − 1 = 0 Xác định tham số m để hệ phương trình có hai nghiệm (x1; y1 ), (x2 ; y2 ) sao cho biểu thức A = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) đạt giá trị lớn nhất. 2 2  x − 1 + y + 1 = 1 . Định m để hệ có nghiệm nhiều nhất. Bài 300. Cho hệ phương trình   2 2 x + y = m Bài 301. Định m để phương trình sau có nghiệm: x + y + 2x (y − 1) + m = 2 . x2 + y2 + 4x + 6y − 12 ≤ 0  Bài 302. Cho hệ bất phương trình  . x − y + m ≥ 0 1/ Giải hệ khi m = 1 . 2/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất. 2 2  (x − 1) + (y + 1) ≤ m . Bài 303. Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất   x + 1 2 + y − 1 2 ≤ m ( ) ( )  Page – 148 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 304. Các Trường Cao Đẳng năm 1984 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A (a; 0) và B (0;a) . m 2 (m là tham số). 2 Viết phương trình đường tròn này. Tìm tọa độ giao điểm P của (C) và đường thẳng AB. 1/ Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và tâm C có tung độ là 2/ Viết phương trìn đường tròn (C ‘) đi qua P và tiếp xúc với Oy tại B. Hai đường tròn (C) và (C ‘) cắt nhau tại P và Q. Viết phương trình đường thẳng PQ. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.  m 2   ;a  . ĐS: 1/ P a − 2   (   2 m 2  m 2    2/ (C ‘) : x − a +  + (y − a ) = a −  , 2  2    2 2 ) PQ : m 2y − 2a − m 2 y = 0 và PQ luôn đi qua gốc tọa độ O khi m thay đổi. Bài 305. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C) : x 2 + y2 − 1 = 0 và (C ) : x m 2 + y2 − 2 (m + 1) x + 4my − 5 = 0 . 1/ Tìm quỹ tích tâm (Cm ) khi m thay đổi. 2/ Chứng minh rằng: có hai đường tròn (Cm ) tiếp xúc với (C) ứng với hai giá trị của m. ĐS: 1/ Quỹ tích tâm I (m + 1; −2m ) là d : 2x + y − 2 = 0 . 2/ m = −1; m = 3 . 5 Bài 306. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ (Cm ) : x2 + y2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 . 1/ Xác định m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm ) . Bài 307. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 1999 – Hệ chưa phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong (Cm ) : x2 + y2 − 2x − 2y + m = 0 với m là tham số. 1/ Với điều kiện nào của m thì (Cm ) là đường tròn ? Xác định tâm và bán kính của (Cm ) trong trường hợp này. 2/ Định m để (Cm ) là đường tròn có bán kính bằng 1. Gọi đường tròn này là (C) . Viết phương  2 2   ;1 − trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A 1 + . 2 2   3/ Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến với đường tròn (C) biết chúng vuông góc đường thẳng d. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 149 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ĐS: 1/ m < 2, I (1;1), R = 2 − m . 2/ m = 1, d : x − y − 2 = 0 . Bài 308. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (2; 6), B (−3; −4), C (5; 0) . 1/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC. 2/ Tìm tọa độ điểm D đối xứng với B qua AC. Bài 309. Cao đẳng Nông Lâm năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 0), B (2;1) và đường thẳng d có phương trình (d) : 2x − y + 3 = 0 . 1/ Tìm phương trình đường tròn có tâm tại A, tiếp xúc với đường thẳng d. Hãy xét xem điểm B nằm phía trong hay phía ngoài đường tròn đã tìm ? 2/ Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng (MA + MB) là nhỏ nhất so với mọi điểm còn lại trên đường thẳng d. Viết tọa độ điểm M ? ĐS: 1/ (x − 1) + y2 = 5 và điểm B nằm trong đường tròn. 2  8 17  2/ M − ;  .  11 11  Bài 310. Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn: (C) : x 2 + y2 − 6x − 2y + 8 = 0 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k = − 1 . Bài 311. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, họ đường cong (Cm ) : x 2 + y2 − 2x − 2y + m = 0 . 1/ Với điều kiện nào của m thì (Cm ) là đường tròn ? Xác định tâm và bán kính của (Cm ) trong trường hợp này ? 2/ Định m để (Cm ) là đường tròn có bán kính bằng 1. Gọi đường tròn này là (C) . Viết phương  2 2   trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A 1 + ;1 − . 2 2   3/ Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến với đường tròn (C) biết chúng vuông góc với đường thẳng d.   m ≤ 2 m = 1 d : x − y − 2 = 0    2 2 ĐS: 1/ Tâm I (1;1) . 2/ (C) : x + y − 2x − 2y − 1 = 0 . 3/  1 .    d2 : x − y + 2 = 0 R = 2 − m TT d : x − y − 2    Bài 312. Cao đẳng Y Tế Nam Định năm 2000 (Hệ Cao đẳng Điều Dưỡng Chính Qui) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: 1/ Viết phương trình đường tròn tâm Q (−1;2), bán kính R = 13 , gọi đó là đường tròn (Q) . Page - 150 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn (Q) với đường thẳng ∆ có phương trình (∆) : x − 5y − 2 = 0 , gọi các giao điểm đó là A, B. Tìm tọa độ điểm C soa cho ∆ABC là tam giác vuông và nội tiếp trong đường tròn (Q) . ĐS: 1/ (Q) : (x + 1) + (y − 2) = 13 . 2 2 2/ A (2; 0), B (−3; −1) . Nếu BC: đường kính thì C (1; 5) . Nếu AC: đường kính thì C (−4; 4) . Bài 313. Cao đẳng Lao Động – Xã Hội năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (3; −7), B (9; −5), C (−5;9) . 1/ Viết phương trình đường phân giác góc lớn nhất của ∆ABC. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M (−2; −7) đến đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC. Tìm tọa độ tiếp điểm ? Bài 314. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2002 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 9 và điểm A (1;2) . Hãy lập phương trình của đường thẳng chứa dây cung của (C) đi qua A sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất ? Bài 315. Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (2; 4) . 1/ Chứng tỏ rằng điểm M nằm trong đường tròn. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 3/ Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn đã cho qua AB. ĐS: 1/ Chứng minh IM < IR . 2/ x + y − 6 = 0 . 2/ (x − 3) + (y − 5) = 4 . 2 2 Bài 316. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 3) 2 + (y − 1) = 4 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến này đi 2 qua điểm Mo (6; 3) . Bài 317. Cao đẳng Mẫu Giáo TW3 năm 2003 Cho tam giác ABC có A (−1;5) và phương trình đường thẳng BC : x − 2y − 5 = 0 với x B < x C và I (0;1) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1/ Viết phương trình các cạnh AB, AC của ∆ABC. 2/ Gọi A1, B1,C1 lần lượt là chân đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Tìm tọa độ các điểm A1, B1,C1 . 3/ Gọi E là tâm đường tròn nội tiếp ∆A1B1C1 . Tìm tọa điểm E. Bài 318. Cao đẳng Lương Thực Thực Phẩm năm 2004 (Đại học Lương Thực Thực Phẩm) "Cần cù bù thông minh…………" Page - 151 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho điểm A (2; 4) . Viết phương trình đường thẳng trung trực d của đoạn OA. Từ đó suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm I ở trên Ox và đi qua hai điểm O và A với O là gốc tọa độ. ĐS: d : x + 2y − 5 = 0, (C) : (x − 5) + y2 = 25 . 2 Bài 319. Cao đẳng Sư Phạm Mẫu Giáo TW3 năm 2004 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y = 0 và đường thẳng d : x − y +1 = 0. 1/ Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc với đường tròn. 2/ Viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN = 2 . 3/ Tìm tọa độ điểm T trên d sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai  điểm A, B và ATB = 600 . x − y + 3 + 2 2 = 0  ĐS: x + y − 1 + 10 = 0,  , T (3; 4) ∨ T (−3; −2) . x − y + 3 − 2 2 = 0  Bài 320. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ∆ABC, AB : x + y − 2 = 0, AC : 2x + 6y + 3 = 0, cạnh BC có trung điểm M (−1;1) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.   1 3 85 . ĐS: (C) : x −  + y +  =     2 2 8  2 2 Bài 321. Cao đẳng Giao Thông Vận Tải II năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: (C1 ) : x2 + y2 + 6x − 8y = 0 và (C2 ) : x2 + y2 + 6x − 4y − 4 = 0 . Chứng minh rằng hai đường tròn đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Hãy viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn đó. x = 1 + 8t ĐS: (C1 ) ∩ (C2 ) = A (−7;1), B (1;1) ⇒ Trục đẳng phương ≡ AB :   (t ∈  ) . y = 1 { } Bài 322. Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong (Cm ) : x2 + y2 − 4mx + 2 (m + 2) y + 6m2 − 1 = 0 . 1/ Xác định m để (Cm ) là đường tròn. Khi đó, tính theo m tọa độ tâm I và bán kính R của (C ) . m 2/ Tìm m để (Cm ) là đường tròn có tâm nằm trên đường cong (P) : y = x 2 − 7 . ĐS: 1/ −1 < m < 5 và I (2m; −m − 2), R = −m2 + 4m + 5 . 2/ m = − Page - 152 - 5 ∨ m = 1. 4 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 323. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (1;2), B (2; 4), C (3;1) . 1/ Lập phương trình đường tròn qua A, B, C. 2/ Tìm tọa độ điểm M trên cạnh BC sao cho diện tích ∆ABM bằng   5 5 5 ĐS: 1/ (C) : x −  + y −  = .  2  2  2  2 2 1 diện tích ∆ABC. 3 7   3  2/ M  ;3 . Bài 324. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC, biết các cạnh AB, BC, CA lần lượt có phương trình: 2x + y − 5 = 0, x + 2y + 2 = 0, 2x − y + 9 = 0 . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. ĐS: I (−1;2) . Bài 325. Cao đẳng Kinh Tế – Kĩ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ba điểm A (−1;2), B (2; 3), C (2; −1) . Tìm tọa độ tâm I của đường tròn qua ba điểm A, B, C. ĐS: I (1;1) . Bài 326. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (5; 0), B (1; 4) và đường thẳng d : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d. ĐS: (C) : (x − 2) + (y − 1) = 10 . 2 2 Bài 327. Cao đẳng Sư Phạm Sơn La khối A, B, T, M năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng ∆ : 2x + y + 3 = 0 và hai điểm A (−5;1), B (−2; 4) . 1/ Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm I ∈ ∆ . 2/ Viết phương trình đường tiếp tuyến tại A với đường tròn (C) . 3/ Viết phương trình các tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua D (1;2) . Tìm tọa độ tiếp điểm. ĐS: 1/ (C) : (x + 2) + (y − 1) = 9 . 2 2   x − 1 = 0 ⇒ M (1;1)  2 14  . 2/ x + 5 = 0 . 3/   4x + 3y − 10 = 0 ⇒ M  ;  5 5   Bài 328. Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (−2; −1) và đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 153 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 1/ Chứng minh rằng A là một điểm nằm ngoài đường tròn. 2/ Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn (C) . ĐS: x ± 16 + 5 7 34 ± 5 7 y+ = 0. 9 9 Bài 329. Cao đẳng Sư Phạm Trà Vinh khối B, M năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết A (4; −2), B (−2;2), C (−4; −1) . Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC và phương trình tiếp tuyến với (C) tại B. 2  3  65   ĐS: (C) : x + y +  = và 4x − 7y + 22 = 0 .  2 4  2 Bài 330. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm : A (2; −2), B (0; 4), C (−2;2) . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Bài 331. Cao đẳng Sư Phạm Sóc Trăng năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A (4;2), B (1; −1) . Viết phương trình đường tròn qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng 2x − y = 0 . Bài 332. Cao đẳng Y Tế Thanh Hóa năm 2005 Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0 và (C ) : x 2 2 + y2 + 4x + 2y − 4 = 0 trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy. Bài 333. Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y2 + 2x − 4y − 20 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: x + y = 0. Bài 334. Cao đẳng Sư Phạm Quãng Bình năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm M1 (2; 3), M2 (4;5), M3 (4;1) . Chứng tỏ điểm K (5;2) thuộc miền trong đường tròn (C) . Viết phương trình đường thẳng d qua K sao cho d cắt (C) theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. Qua K    . ĐS: (C) : x 2 + y2 − 8x − 6y + 21 = 0, ρK(5;2)/(C) = −2 < 0, d :  VTPT n = IK d  Bài 335. Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp II khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C ') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d : x − 2 = 0 . Page - 154 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: (C ') : ( x − 3) + ( y − 2) = 2 . 2 2 Bài 336. Cao đẳng Xây Dựng số 3 khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua F (0; 3) . ĐS: d : x = 0 và d : 3x + 4y − 12 = 0 . Bài 337. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0 . Tìm tất cả các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x + 4y = 0 . ĐS: d : 3x + 4y + 27 = 0 ∨ d : 3x + 4y − 23 = 0 . Bài 338. Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối B năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, tìm độ dài dây cung xác định bởi đường thẳng 4x + 3y − 8 = 0 và đường tròn tâm I (2;1) tiếp xúc với đường thẳng 5x − 12y + 15 = 0 . ĐS: (C) : ( x − 2) + (y − 1) = 1 và độ dài dây cung AB = 2 2 8 . 5 Bài 339. Cao đẳng Sư Phạm Mẫu Giáo TW 3 năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : x − y + 2 = 0, d 2 : 2x + y − 5 = 0 và điểm M (−1; 4) . 1/ Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. 2/ Viết phương trình đường tròn (C) qua M và tiếp xúc với đường thẳng d1 tại giao điểm của d1 với trục tung.   5 17  25 2/ (C) : x +  + y −  = .     6 6 18  2 ĐS: 1/ AB : x + 1 = 0 . 2 Bài 340. Cao đẳng Sư Phạm Trung Ương năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 và điểm A (0; 3) . Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) kẻ từ A. ĐS: Tâm I (2; −1) và bán kính R = 2 . Có hai tiếp tuyến: x = 0 ∨ 3x + 4y − 12 = 0 . Bài 341. Dự bị khối A – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy. 1/ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A (2; 4) và tiếp xúc với đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 155 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 1   4  2/ Cho điểm A (−2;3), B  ;0, C (2; 0) . Xác định tọa độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp  tam giác ABC. ĐS: 1/ x − 2 = 0 ∨ y = 3 5 x+ . 4 2 1 1 2/ I  ;  . 2 2    Bài 342. Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình d1 : 2x + y + 2 = 0, d 2 : 2x + y − 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục Ox, đồng thời tiếp xúc với d1 và d2.  ĐS: (C) : x +  1  9  + y2 = . 4  20 2 Bài 343. Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A (−4; 3) . ĐS: 3x + y + 9 = 0 ∨ x + 3y − 5 = 0 . Bài 344. Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y2 − 4x + 8y − 5 = 0 . 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết các tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0 . 2/ Tìm điều kiện của m để đường thẳng x + (m − 1) y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn. ĐS: 1/ d : 2x − y − 8 + 5 5 = 0 ∨ d : 2x − y − 8 − 5 5 = 0 . 2/ d (I, ∆) = R ⇔ 8m2 − 7m + 7 = 0 vô nghiệm nên không có m thỏa YCBT. Bài 345. Cao đẳng Kĩ Thuật Tp. Hồ Chí Minh khóa II năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho điểm I (−2;1) và đường thẳng d : 3x − 4y = 0 . 1/ Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với d. 2/ Viết phương trình tập hợp các điểm mà qua các điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến vuông góc nhau. ĐS: 1/ (C) : (x + 2) + (y − 1) = 4 . 2 2 2/ Tập hợp là (C) : (x + 2) + (y − 1) = 8 . 2 2 Bài 346. Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm A (3; 0) và đường thẳng d có phương trình: 3x − 4y + 16 = 0 . Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d. Page - 156 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: (C) : (x − 3) + y2 = 25 . 2 Bài 347. Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn có phương trình (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm M (−4; 3) . ĐS: ∆1 : 3x + y + 9 = 0 ∨ ∆2 : x + 3y − 5 = 0 . Bài 348. Cao đẳng Sư Phạm TW Tp. Hồ Chí Minh năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A (2;2), B (8;6), C (1; −1) . 1/ Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC. 2/ Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d : 5x − 3y + 6 = 0 . 3/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm B một khoảng bằng 6 . ĐS: 1/ H (3;1) . 2/ (C) : (x − 3) + (y − 7) = 26 . 2 2 3/ x − 2 = 0 ∨ 5x + 12y − 34 = 0 . Bài 349. Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 − 6x − 4y − 28 = 0 . Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C), biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 5x + 4y = 0 . ĐS: d1 : 5x + 4y + 18 = 0 ∨ d2 : 5x + 4y − 6 = 0 . Bài 350. Cao đẳng A, A1, B, D năm 2012 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Oxy tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2 . ĐS: (C) : (x + 3) + (y + 3) = 10 . 2 2 Bài 351. Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1976 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho bốn điểm: A (1; −1), B (4;2), C (1; 5) và D (−2;2) .       1/ Tính môđun của AB, AD, CD, CB . Chứng minh rằng AB và AD vuông góc. Từ đó suy ra tứ giác ABCD là hình gì ? 2/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.     2 2 ĐS: 1/ AB = AD = CD = CB = 3 2; Hình vuông. 2/ (C) : (x − 1) + (y − 2) = 3 . Bài 352. Đại học Giáo Dục Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1976 Người ta cho hai trục tọa độ trực chuẩn x'x và y'y và một số dương α . Vòng tròn (C) với phương trình: x2 + y2 − α2 = 0 cắt nửa trục Ox ở A và nửa trục Ox' ở A'. 1/ Viết phương trình vòng tròn đường kính OA'. Ta gọi ω là tâm của vòng tròn đó. 2/ Gọi Az là nửa tiếp tuyến ở bên trong góc xOy của vòng tròn (C) . Viết phương trình của vòng tròn tiếp xúc với y'y, x'x và Az. Gọi γ là tâm của vòng tròn đó. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 157 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 3/ Tìm phương trình của những tiếp tuyến chung cho các vòng tròn tâm ω và γ . 2   α 2 α  2  ĐS: 1/ (Cω ) : x +  + y =   . 2    2  3/ d1 : x = 0 ∨ d23 : y = 2 2    α 2 α  α    2/ C γ : x −  + y −  =   . 2  2     2  ( ) 1 1± 5 3 α x+ ∨ d4 : y = − x + . 2 4 4 4 Bài 353. Đại học Y – Nha – Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1977 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho các đường tròn (C) : x2 + y2 − x − y = 0 và (C ') : x2 + y2 − x + y = 0 . 1/ Xác định tọa độ tâm của (C) và (C ') . Tính bán kính của từng đường tròn nói trên. 2/ Một đường thẳng d có phương trình y = mx cắt vòng tròn (C) tại hai điểm O và M, đồng thời cắt đường tròn (C ') tại hai điểm O và M'. Tính tọa độ điểm M và M' theo m. 1 1 1 1 2 2 và I2  ; − , R2 = . ĐS: 1/ I1  ; , R1 =   2 2   2 2 2 2   m − 1 m (m − 1)  M  ;   m2 + 1 m2 − 1    2/  .     1 − m m (1 − m)  M '  ;   m2 + 1 m2 − 1     Bài 354. Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh năm 1978 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 + 2x − 4y = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ điểm M (4;7) . ĐS: d1 : y = 2x − 1 ∨ d2 : y = x +5. 2 Bài 355. Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1978 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 + 2x − 4y = 0 . Đường tròn này cắt Ox tại A và O, cắt Oy tại B và O. 1/ Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) tại O, A, B. 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) xuất phát từ M (4;7) . t : x − 2y = 0  O ĐS: 1/ tA : x + 2y + 2 = 0 .  tB : x + 2y − 8 = 0 2/ d1 : y = 2x − 1 ∨ d2 : y = x +5. 2 Bài 356. Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1978 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường tròn qua hai  1 3   3 1   , B  ;  và tiếp xúc với đường thẳng: ∆ : x − 3y − 2 = 0 . điểm: A − ;  2 2   2 2  ĐS: (C1 ) : x 2 + y2 = 1 ∨ Page - 158 - (C ) : (x − 2 2 ) ( 2 ) 2 3 + 2 + y − 2 3 − 1 = 25 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 357. Đại học Nông Nghiệp – Tổng Hợp – Sư Phạm – Kỹ Thuật năm 1980 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường tròn tâm A (2; −1), tiếp xúc với đường thẳng 4y − 3x = 5 và xác định tiếp điểm với đường đó.  29 53  2 2 ĐS: (C) : (x − 2) + (y + 1) = 9 và H  ;  .  25 25  Bài 358. Đại học Kinh Tế–Sư Phạm–Nông Nghiệp–Bách Khoa–Tổng Hợp–Y–Nha–Dược năm 1982 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (8; 0), B (0;6) . 1/ Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ∆OAB. 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) và qua S (14; 8) . 3/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB. ĐS: 1/ (C) : x2 + y2 − 8x − 6y = 0 . 2/ T1 : y − 8 = 0 ∨ T2 : 4x − 3y + 4 = 0 . 3/ (C ') : (x − 2) + (y − 2) = 4 . 2 2 Bài 359. Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh năm 1986 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A (−1;1) và B (1; −3) có tâm nằm trên đường thẳng có phương trình: 2x − y + 1 = 0 . 2 2  4   5  65    ĐS: x +  + y +  = .    3  3 9 Bài 360. Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh 1991 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong (Cm ) có phương trình: (Cm ) : x2 + y2 − (m − 2) x + 2my − 1 = 0 . 1/ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm ) . 2/ Chứng tỏ rằng các đường tròn này đều qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 3/ Cho m = −2 và điểm A (0; −1) . Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C−2 ) vẽ từ điểm A. ĐS: 1/ Quỹ tích tâm I là d : 2x + y + 2 = 0 . 3/ Có hai tiếp tuyến: (T1 ) : y + 1 = 0 ∨ 2 1 2/ Hai điểm cố định A (−2; −1), B  ;  .  5 5  (T ) : 12x − 5y = 0 . 2 Bài 361. Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (a; 0) và B (0;a) với a > 0 . Cho tham số thực m ≠ 0 và m ≠ a . 1/ Hãy viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và có tâm thỏa y1 = m (y1 là tung độ của I). 2/ (C) cắt đường thẳng AB tại A và P. Hãy tìm tọa độ của điểm P. Từ đó hãy viết phương trình đường tròn (E) đi qua P và tiếp xúc với trục tung tại B. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 159 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 3/ (C) và (E) cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định. ĐS: 1/ (C) : (x − a ) + (y − m ) = m 2 . 2 2 2/ P (a − m; m ) và (E) : (x − a + m) + (y − a ) = (a − m) . 2 2 2 3/ PQ luôn đi qua điểm cố định O (0; 0) . Bài 362. Đại học Công Đoàn năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α : (x − 1) cos α + (y − 1) sin α − 1 = 0 . 1/ Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ. 2/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định. ĐS: 1/ Tập hợp các điểm mà (Cα ) không thể đi qua là miền trong của hình tròn (C) có phương trình: (C) : (x − 1) + (y − 1) < 1 . 2 2 2/ Tiếp xúc với đường tròn (C) : (x − 1) + (y − 1) = 1 . 2 2 Bài 363. Đại học Dân Lập Duy Tân năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn (Cm ) có phương trình là (Cm ) : x2 − 2mx + y2 + 2 (m + 1) y − 12 = 0 . 1/ Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn trên. 2/ Với giá trị nào của m thì bán kính của họ đường tròn đã cho là nhỏ nhất ? 3/ Với m = 2 . a/ Vẽ đường tròn (C2 ) . b/ Cho đường thẳng d có phương trình là d : 3x − 3y + 12 = 0 . Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa d và (C2 ) . ĐS: 1/ Quỹ tích tâm là d : x + y + 1 = 0 . 2/ R min = 5 2 1 ⇔m= . 2 2 3/ d  d; (C2 ) = 1 .   Bài 364. Đại học Dân Lập Hùng Vương năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường tròn có phương trình lần lượt là (C) : x2 + y2 = 1 và (C ') : x 2 + y2 − 6x + 6y + 17 = 0 . 1/ Tìm tâm và bán kính của (C) và (C ') . 2/ Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên. ĐS: 1/ (C) có tâm O (0; 0), R1 = 1 và (C ') có tâm I (3; −3), R 2 = 1 . 2/ ∆1,2 : −x − y ± 2 = 0 . Bài 365. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Page - 160 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, xét hai điểm A (a; 0) và B (0; b) với ab ≠ 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và có tâm C với tung độ yC = m, trong đó m là tham số , m ≠ 0 và m ≠ a 2 + b2 . ab 1/ Đường thẳng AB cắt đường tròn (C) tại giao điểm thứ hai là P. Hãy xác định tọa độ điểm P. 2/ Xác định tâm K của đường tròn (K) tiếp xúc với trục Oy tại B và đi qua P. 3/ Các đường tròn (C) và (K) cắt nhau tại P và Q. Chứng tỏ khi m thay đổi đường thẳn PQ luôn đi qua một điểm cố định.   a2 + b2 − 2bm   a 3 − ab2 ba 2 − b3  2abm 2b2m   . 2/ K   . 3/ Mo  . ; ; 2 ; b ĐS: 1/ P a − 2 2 2    2  2a a + b2 a 2 + b2     a + b a + b  Bài 366. Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm (0;1) . Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó. ( ) ĐS: (C) : x2 + y2 − 2ax − a 2 + 1 y + a 2 = 0 và quỹ tích là Parabol (P) : y = x2 + 1 . 2 Bài 367. Đại học Ngoại Thương năm 1996 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A (1;1), B (−1;2), C (0; −1) . ĐS: (C) : x2 + y2 + x − y − 2 = 0 . Bài 368. Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, lập phương trình đường tròn x 2 ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng: d1 : y = − , d2 : y = x + 2, 5 5 d3 : y = 8 − x . ĐS: (C) : (x − 2) + y2 = 26 . 2 Bài 369. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – Hệ chưa phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho họ đường tròn có phương trình: (Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 2 (1 − m) y + 2m2 − 2m − 3 = 0 . Cho m = 2 và điểm A (0; 3) . Hãy viết phương trình các tiếp tuyến của (C2 ) kẻ từ A. ĐS: d1 ≡ Oy : x = 0 ∨ d2 : 3x + 4y − 12 = 0 . Bài 370. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A, D năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn: (C) : x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 và điểm A (3;5) . Hãy tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M và N, tìm dộ dài MN . ĐS: d1 : y − 5 = 0 ∨ d2 : 24x − 7y − 37 = 0 . Bài 371. Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 1997 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 161 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn: (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điẻm M (2; 4) . 1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = − 1 . 2/ ∆1 : x + y + 2 2 + 4 = 0 ∨ ∆2 : x + y − 2 2 − 4 = 0 . ĐS: 1/ d : x + y − 6 = 0 . Bài 372. Đại học Văn Lang khối A năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong (Cm ) : x2 + y2 − (m − 2) x + 2my − 1 = 0 . 1/ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm ) . 2/ Tìm các điểm cố định mà (Cm ) luôn đi qua khi m thay đổi. m − 2  2 1 ĐS: 1/ I  ; −m ⇒ tập hợp tâm là d : 2x + y + 2 = 0 . 2/ A (2; −1), B  ;  .   2  5 5  Bài 373. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 (chưa phân ban) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn: (Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 2 (1 − m) y + 2m2 − 2m − 3 = 0 . Tìm quỹ tích tâm của đường tròn. Cho m = 2 và điểm A (0; 3) . Viết các phương trình tiếp tuyến của (C2 ) kẻ từ A. ĐS: Quỹ tích là d : y = −x + 1 . Các tiếp tuyến: x = 0 ∨ 3x + 4y − 12 = 0 . Bài 374. Đại học An Ninh (đề 1) khối A năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: (C1 ) : x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 + 2x − 2y − 14 = 0 . 1/ Xác định các giao điểm của (C1 ) và (C2 ) . 2/ Viết phương trình đường tròn đi qua hai giao điểm đó và A (0;1) .  7 − 18 3 −17 − 12 3   7 + 18 3 −17 + 12 3   , C   . B ; ; ĐS: 1/      13 13 13 13    2/ (C) : 16x 2 + 16y2 − 28x + 58y − 74 = 0 . Bài 375. Đại học Bách Khoa Hà Nội – Đại học Luật Hà Nội năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (2; −1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox và Oy. ĐS: (C) : (x − 1) + (y + 1) = 1 ∨ 2 2 (C) : (x − 5) 2 + (y + 5) = 25 . 2 Bài 376. Đại học Thủy Sản năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (−1; 3), B (1;1), M (2; 4) và đường thẳng d : y = 2x . 1/ Tìm tọa độ điểm C ∈ d sao cho ∆ABC cân. 2/ Viết phương trình đường tròn (ABM) . Page - 162 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn  5 ± 15 10 ± 2 15      ∨ C  3 ± 39 ; 6 ± 2 39  . ; ĐS: 1/ Có 4 điểm thỏa yêu cầu: C     5 5 5 5     2/ (CABM ) : x 2 + y2 − 3 11 x − y +5 = 0. 2 2 Bài 377. Đại học Thái Nguyên khối A, B năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho học đường tròn (C) : x2 + y2 − 2my = 0 và họ đường thẳng d : y = −mx + m . 1/ Chứng minh rằng d luôn đi qua tâm của đường tròn (C) và họ đường thẳng d qua một điểm cố định. 2/ Tìm quỹ tích giao điểm của họ đường tròn (C) và họ đường thẳng d. ĐS: 1/ Điểm cố định M o (1; 0) . 2/ Quỹ tích điểm là đường cong y = 2 x 2 (1 − x ) 1+ x . Bài 378. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 1998 – hệ phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong có phương trình: (Cm ) : x2 + y2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 . 1/ Định m để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm ) . 5 ĐS: 1/ m < − ∨ m > 1 . 3  x + 2y = 0 2/ Là một phần đường thẳng d :  . y < − 5 ∨ y > 1 3  Bài 379. Đại học Thủy Sản năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, hãy lập phương trình đường tròn qua A (3; 3), B (1;1), C (5;1) . ĐS: (ABC) : x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0 . Bài 380. Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (3;1), B (0;7), C (5;2) . 1/ Chứng minh ∆ABC vuông và tính diện tích của nó. 2/ Giả sử M là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh khi đó trọng tâm G của ∆MBC chạy trên một đường tròn. Viết phương trình chính tắc đường tròn đó. ĐS: 1/ S∆ABC 15 = (đvdt) . 2 2 2   5  9  25     2/ (C) : x −  + y −  = .    2 2 18  Bài 381. Đại học Thái Nguyên khối D năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (0;6), B (4; 0), C (3; 0) . Đường thẳng (∆) : x = m (m thay đổi) cắt AB và AC tại M và N. Gọi hình chiếu của M, N trên trục hoành là P và Q. Gọi H và E lần lượt là trung điểm AO và BC. Gọi I là tâm hình chữ nhật MNQP. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 163 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 1/ Chứng minh ba điểm H, E, I thẳng hàng. 2/ Tìm tâm đường tròn (ABC) . 3/ Tìm điểm T ∈ AC sao cho OT ⊥ BT . 7   18 6  ĐS: 2/ J  ; 4 . 3/ T (2;2) ∨ T  ; −  . 5   2  5 Bài 382. Đại học Mỹ Thuật Công Nghiệp năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (8; 0), B (0;6) . 1/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆OAB. 2/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB. ĐS: 1/ (C) ≡ (ABC) : x2 + y2 − 8x − 6y = 0 . 2/ (C ‘) : (x − 2) + (y − 2) = 4 . 2 2 Bài 383. Đại học An Ninh năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (4; 0), B (0; 3) . 1/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆OAB. 2/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆OABC. 2  2 3 25 ĐS: 1/ (C) : (x − 2) + x −  = .   2 4 2/ (C ‘) : (x − 1) + (y − 1) = 1 . 2 2 Bài 384. Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn có phương trình: (C) : x2 + y2 + 2x − 4y − 20 = 0 và điểm A (3; 0) . Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của đường tròn qua A khi: 1/ Dây cung có độ dài là lớn nhất. 2/ Dây cung có độ dài là nhỏ nhất. 2/ d : 2x − y − 6 = 0 . ĐS: 1/ ∆ : x + 2y − 3 = 0 . Bài 385. Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy: 1/ Cho điểm A (3; −2) và đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x − 2y = 0 . Viết phương trình những tiếp tuyến với (C) vẽ từ A và tìm tọa độ các tiếp điểm. 2/ Lập phương trình đường tròn tâm I (4; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d : x + 2y − 5 = 0 . d : y = 2x − 8  1 ĐS: 1/  1 1  d2 : y = − 2 x − 2 và M (4; 0), N (1; −1) . 2/ (C ‘) : (x − 4) + (y − 3) = 5 . 2 2 Bài 386. Học Viện Bưu Chính Viễn Thông – Hệ Trung Cấp năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x − 4y − 1 = 0 và điểm M (0; −1) . Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) xuất phát từ M. ĐS: d1 : y + 1 = 0 ∨ d2 : 12x − 5y − 5 = 0 . Page – 164 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 387. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 1998 – Hệ phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 6x + 2y + 5 = 0 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là − 2 . ĐS: d1 : 2x + y = 0 ∨ d2 : 2x + y − 10 = 0 . Bài 388. Đại học Xây Dựng Hà Nội năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường tròn tâm A (1; 0), bán kính R A = 4 và tâm B (−1; 0), bán kính R B = 2 . Tìm tập hợp tâm I (x; y) của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn trên. TH2. I ∈ (E) : ĐS: TH1. I ∈ (x ‘ Ox) ⊃ AB : y = 0 . x 2 y2 + = 1. 9 8 Bài 389. Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1998 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng: d1 : 3x + 4y + 5 = 0, d2 : 4x − 3y − 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2. 2 2  10   70  49  ĐS: (C1 ) : (x − 10) + y = 49 ∨ (C2 ) : x −  + y +  = . 43   43  1849  2 2 Bài 390. Đại học Đà Lạt khối B năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường cong (Cm ) có phương trình: x 2 + y2 − 2 (a + 1) x − 4 (a − 1) y + 5 − a = 0 . 1/ Tìm điều kiện của a để (Cm ) là đường tròn. 2/ Tìm a để đường tròn (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng y = x . ĐS: 1/ a ≤ 0 ∨ a ≥ 1 . 2/ a = 2 ± 85 . 2 Bài 391. Đại học Ngoại Thương khối D năm 1999 x2 + y2 = 1 . 9 1/ Chứng minh rằng parabol và elip cắt nhau tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D. 2/ Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. Cho Parabol y = x2 − 2x và elíp ĐS: 1/ PTHĐGĐ: 9x 4 − 36x 3 + 37x 2 − 9 = 0 . 8 4 161 2/ Tâm I  ; , R = . 9  9 9  Bài 392. Đại học Ngoại Thương khối A năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ vòng tròn (Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 2 (m + 1) y + 2m − 1 = 0 . 1/ Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ vòng tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố định. 2/ Chứng minh rằng với mọi m, họ vòng tròn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt. ĐS: 1/ A (−1;2), B (1; 0) . 2/ Hai điểm A và B luôn nằm về hai phía trục tung đpcm. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 165 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 393. Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội khối D năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, lập phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) : (x − 1) + (y + 3) = 25 thành một dây cung có độ dài = 8 . 2 ĐS: d : y = 0 ∨ d : y = 2 3 x. 4 Bài 394. Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ khối A, B năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 và đường thẳng d : Ax + By + 1 = 0 . 1/ Tìm điều kiện của A, B để d tiếp xúc với (C) . 2/ Giả sử d tiếp xúc với (C) và M, N là hai điểm thuộc (C) sao cho x M = −1, y N = 1 . Hãy tính A, B để tổng khoảng cách từ M và N đến d là nhỏ nhất. A = cos x ĐS: 1/ A 2 + B2 = 1 . 2/ Đặt   B = sin x  Smin  A = 2  7π 2 . = 2 − 2 khi x = ⇔   4 2 B = − 2  Bài 395. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho phương trình các đường tròn: (C) : x2 + y2 − 1 = 0 và (Cm ) : x2 + y2 − 2 (m + 1) x + 4my − 5 = 0 . 1/ Chứng minh rằng: có hai đường tròn thuộc họ (Cm ) tiếp xúc với (C) . 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn vừa tìm được ở câu 1/. (C ) : Tâm I (0;2), R1 = 3  −1 1  8 6 . 2/ d1,2 : 2x + y − 2 ± 3 5 = 0 . ĐS: 1/   C3/5 : Tâm I2  ; − , R 2 = 3  5 5   ( ) Bài 396. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 1999 – Hệ chưa phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn có phương trình: x2 + y2 − 2 (m + 1) x − 2 (m + 2) y + 6m + 7 = 0 với m là tham số. 1/ Tìm quỹ tích tâm các đường tròn đó có họ đó. 2/ Xác định tọa độ tâm của đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với trục Oy. I (m + 1; m + 2)  m ĐS: 1/  Quỹ tích tâm là một phần của đường thẳng ∆ : y = x + 1 với R = 2 m2 − 1  x < 0  . 2/ Tâm I3 (4;5) tiếp xúc với trục tung Oy.   x > 2 ( ) Bài 397. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 1 khối A năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường tròn có phương trình: (C1 ) : x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 − 10x − 6y + 30 = 0 có tâm lần lượt là I và J. 1/ Chứng minh rằng (C1 ) tiếp xúc ngoài với (C2 ) và tìm tọa độ tiếp điểm H. Page – 166 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Gọi d là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1 ) và (C2 ) . Tìm tọa độ giao điểm K của d và đường thẳng IJ. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) tại H.  19 7  HI 3 ĐS: 1/  = − ⇒ H  ;  . 2  5 5  HJ 2 2  37   31    2/ K (11;11) và (C) : x −  + y −  = 36 .  5   5  Bài 398. Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội năm 2000 Trong mặt phẳng cho ba điểm: A (−1;7), B (4; −3), C (−4;1) . Hãy viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC. ĐS: (C) : (x + 1) + (y − 2) = 5 . 2 2 Bài 399. Đại học Dân Lập Hùng Vương – Ban B năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai điểm A (3; 0), B (0; 4) . 1/ Hãy viết phương trình đường cao của ∆OAB hạ từ đỉnh O và đường phân giác của góc . OAB 2/ Hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của ∆OAB. 2   2  3  25   C : x − + (y − 2) = ( )    2 4 . ĐS: 1/ OH : 3x − 4y = 0, At : x + 2y − 3 = 0 . 2/    2 2 (C ‘) : (x − 1) + (y − 1) = 1  Bài 400. Đại học Dân Lập Hùng Vương ban C năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn (Cm ) : x2 − y2 − 2 (1 + m) x + 2m2 y + m4 = 0, (m ≠ 1) . 1/ Hãy tìm quỹ tích của tâm họ đường tròn này khi tham số thực m biến thiên. 2/ Hãy chứng tỏ rằng các đường tròn trong họ đó luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Hãy tìm đường thẳng cố định đó ? ( ) ĐS: 1/ Quỹ tích tâm I 1 − m; m 2 là đường Parabol y = x2 − 2x + 1, x ≠ 0 . 2/ Oy. Bài 401. Đại học Hàng Hải năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 6x + 2y − 6 = 0 và điểm A (1; 3) . 1/ Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và chứng tỏ A nằm ngoài (C) . 2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. ĐS: 1/ I (3; −1) ; R = 2; IA = 20 > 2 . 3 15 2/ x = 1 ∨ y = − x + . 4 4 Bài 402. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 2 năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường cong (Cm ) có phương trình: x2 + y2 + 2 (m − 1) x − 2 (m − 2) y + m2 − 8m + 13 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 167 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 1/ Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm ) là đường tròn. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn (Cm ) khi m thay đổi. 2/ Cho m = 4 . Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A (1; 5) đến đường tròn (C4 ) . x > 5 ĐS: 1/ m < −4 ∨ m > 2 và quỹ tích tâm I là hai tia nằm trên d : y = −x − 1 với  .  x < −1 2/ d1 : 7x + 24y − 127 = 0 ∨ d2 : x − 1 = 0 . Bài 403. Đại học Thủy Sản Nha Trang năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn (Cm ) có phương trình: x 2 + y2 − (m − 2) x + 2my − 1 = 0 . 1/ Chứng minh rằng họ đường tròn (Cm ) đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 2/ Cho m = −2 và điểm A (0; −1) . Viết phương trình các tiếp tuyến của (C−2 ) kẻ từ A. 2 1 ĐS: 1/ M1 (−2; − 1), M2  ;  .  5 5  2/ d1 : y + 1 = 0 ∨ d2 : 12x − 5y − 5 = 0 . Bài 404. Đại học Dược Hà Nội năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho các đường tròn: (C) : x2 + y2 = 1 và (Cm ) : x2 + y2 − 2 (m + 1) x + 4my = 5 . ( ) ( ) tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với hai 1/ Chứng minh rằng có hai đường tròn Cm , Cm 1 2 giá trị m1 và m2 của m. ( ) ( ) 2/ Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn Cm , Cm . 1 ĐS: 1/ m = −1 ∧ m = 3 . 5 2 d : 2x + y + 3 5 − 2 = 0  2/  1 . d2 : 2x + y − 3 5 − 2 = 0  Bài 405. Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) có phương trình: (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 9y − 2 = 0 và (C2 ) : x 2 + y2 − 8x − 9y + 16 = 0 . 1/ Chứng minh rằng hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với nhau. 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . ĐS: 1/ Tiếp xúc ngoài tại T (3;1) .  d1 : x − 3 = 0  2/ d2 : x − 2 2y + 2 2 − 7 = 0 .   d3 : x + 2 2y − 2 2 − 7 = 0 Bài 406. Đại học Dân Lập Hùng Vương – Ban C năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn: (Cm ) : x2 + y2 − 2 (1 − m) x − 2my + 4 = 0, (m ≠ 1) . 1/ Hãy tìm quỹ tích tâm họ đường tròn này khi tham số thực m biến thiên. Page - 168 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Hãy chứng tỏ rằng các đường tròn trong họ luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Hãy tìm đường thẳng cố định đó. ĐS: 1/ Quỹ tích tâm Im là parabol (P) : y = x2 − 2x + 1 trừ đi điểm M (0;1) ∈ (P) . 2/ (Cm ) luôn tiếp xúc với trục tung Oy : x = 0 . Bài 407. Đại học Cần Thơ năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn có phương trình: (Cm ) : x2 + y2 − (2m + 5) x + (4m − 1) y − 2m + 4 = 0 . 1/ Chứng minh rằng (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định ∀m ∈  . 2/ Xác định tất cả các giá trị của m để (Cm ) tiếp xúc với trục tung. ĐS: 1/ A (1;1), B (3;2) . 2/ m = ± 15 . 4 Bài 408. Đại học Ngoại Thương cơ sở II khối A năm 2000 Cho Parabol y = x2 và đường thẳng y = mx + 1 . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng luôn luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy tìm quỹ tích tâm vòng tròn ngọai tiếp ∆OAB khi m thay đổi với O là gốc tọa độ. ĐS: PTHÐG Đ : x 2 − mx − 1 = 0 ⇒ ∆ = m 2 + 4 > 0 . Tập hợp tâm I là (P) : y = 2×2 + 1 . Bài 409. Đại học Quân Sự Bộ Quốc Phòng năm 2001 4 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (2; −4), B  ; , C (6; 0) . Tìm tâm  3 3  và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. Bài 410. Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết A (−1;2), B (2; 0), C (−3;1) . 1/ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 2/ Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích ∆ABM bằng 1 diện tích ∆ABC. 3  11 13  1 1  11 1  ĐS: 1/ I  ;  . 2/ M  ;  ∨ M  ; −  .  3 3   14 14   3 3  Bài 411. Đại học Mở Bán Công năm 2001 Trong Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A (1;2), B (0;1), C (−2;1) . 1/ Viết phương trình đường thẳng AB. 2/ Viết phương trình đường cao CH của ∆ABC. 3/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Bài 412. Đại học Dân Lập Văn Lang năm 2001  3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho M 2;  .  2  1/ Viết phương trình đường tròn (C) đường kính OM. 2/ Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy tại A và B sao cho diện tích ∆OAB bằng 6. 3/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp ∆OAB và viết phương trình đường tròn đó. Bài 413. Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2001 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 169 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ đường tròn (Cm ) : x2 + y2 + 2mx − 6y + 4 − m = 0 . 1/ Chứng minh rằng (Cm ) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn (C ) khi m thay đổi. m 2/ Với m = 4 . Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ : 3x − 4y + 10 = 0 và cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho AB = 6 . ĐS: 1/ I (−m; 3) ⇒ Quỹ tích tâm là đường y = 3 . d : 4x + 3y + 27 = 0 2/  1 . d2 : 4x + 3y − 13 = 0 Bài 414. Đại học Y Hà Nội năm 2001 Cho đường tròn có phương trình: x2 + y2 + 8x − 4y − 5 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm A (0; −1) . ĐS: 4x − 3y − 3 = 0 . Bài 415. Đại học Y Thái Bình – Hệ dài hạn Cho M (4; 3) là một điểm trên Parabol (P) : y = x2 − 4x + 3 . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với với (P) tại M và có tâm nằm trên trục hoành. ĐS: (C) : (x − 16) + y2 = 153 . 2 Bài 416. Đại học Thể Dục Thể Thao I năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 . Qua điểm A (1; 0), hãy viết phương trình hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó. Bài 417. Đại học Mỏ – Địa Chất khối A năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB : y − x − 2 = 0, phương trình đường thẳng BC : 5y − x + 2 = 0 và phương trình đường thẳng AC là y + x − 8 = 0 . Tâm là trung điểm BC ⇒ (C) : (x − 2) + y 2 = 26 . 2 ĐS: Nhận thấy AB ⊥ AC Bài 418. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + my + 1 − 2 = 0 và hai đường tròn: (C1 ) : x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 + 4x − 4y − 56 = 0 . 1/ Gọi I là tâm đường tròn (C1 ) . Tìm m sao cho d cắt (C1 ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích ∆IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. 2/ Chứng minh rằng (C1 ) tiếp xúc với (C2 ) . Viết phương trình tổng quát của tất cả các tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) . ĐS: 1/ ∀m ∈ , (S∆IAB ) max = 9 ⇔ m = −4 . 2 2/ Tiếp xúc trong và ∆ : 3x − 4y − 26 = 0 . Bài 419. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 2001 Page – 170 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho đường tròn có phương trình + (y − b) = R 2 . Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn tại điểm (x o ; yo ) (C) : (x − a) 2 2 có phương trình: (x o − a )(x − a ) + (yo − b)(y − b) = R 2 .    HD: Gọi E (a; b) là tâm, F (x o ; y o ) ∈ (C) và M (x; y) ∈ tt ⇒ FM ⊥ EF ⇔ FM.EF = 0 . Bài 420. Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 1/ cho đường tròn có phương trình (C) : (x − a ) + (y − b) = R 2 . Chứng minh rằng tiếp 2 2 tuyến của đường tròn tại điểm (x o ; yo ) có phương trình: (x o − a )(x − a ) + (yo − b)(y − b) = R 2 . 2/ Chứng minh rằng tích các khoảng từ một điểm bất kỳ của Hyperbol: tiệm cận của nó là một hằng số không đổi. ĐS: 1/ Xem Học Viện Ngân Hàng 2001. x 2 y2 − = 1 đến các a 2 b2 2/ d (Mo ; ∆1 ).d (Mo ; ∆2 ) = a2b2 . a2 + b2 Bài 421. Dự bị 1 – Đại học khối A năm 2002 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và đường tròn (C) : x 2 + y2 + 2x − 4y = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được  hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho AMB = 600 . ĐS: M1 (3;4), M2 (−3; −2) . Bài 422. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2002 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 4y − 5 = 0 và (C ) : x + y − 6x + 8y + 16 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C ) và (C ) . 2 2 2 1 2 ĐS: (∆12 ) : 2x + y ± 3 5 − 2 = 0; 4 (∆ ) : y = −1; (∆ ) : y = 3 x − 3 . 3 4 Bài 423. Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2002 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 10x = 0 và (C ) : x 2 2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0 . 1/ Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1 ), (C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng d : x + 6y − 6 = 0 . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1 ), (C2 ) . ĐS: 1/ (x − 12) 2 + (y + 1) = 125. 2 2 / x + 7y − 5 ± 25 2 = 0 . Bài 424. Đại học khối D năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy , cho đường tròn (C) : (x − 1) 2 + (y − 2) = 4 và đường thẳng (d) : x − y − 1 = 0 . Viết phương trình đường “Cần cù bù thông minh…………” 2 Page – 171 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học tròn (C ‘) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C ‘) . ĐS: (C ‘) : (x − 3) + y2 = 4, A (1; 0), B (3;2) . 2 Bài 425. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − 7y + 10 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A (4;2) . ĐS: (C) : (x − 6) + (y + 12) = 200 . 2 2 Bài 426. Dự bị 1 – Đại học khối A năm 2004 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A (−1;1) và đường thẳng d : x − y + 1 − 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. ĐS: (C) : x 2 + ( y − 1) = 1 ∨ 2 (C) : (x + 1) 2 + y2 = 1 . Bài 427. Đại học khối B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2; 0), B (6; 4) . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. ĐS: (C1 ) : (x − 2) + (y − 1) = 1, (C2 ) : (x − 2) + (y − 7) = 49 . 2 2 2 2 Bài 428. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 12x − 4y + 36 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C1 ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) . 2 2  (C1 ) : (x − 2) + (y − 2) = 4  2 2 ĐS: (C2 ) : (x − 18) + (y − 18) = 18 .  2 2 (C3 ) : (x − 6) + (y + 6) = 36  Bài 429. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn lần lượt có phương trình: (C1 ) : x 2 + y2 = 9 và (C2 ) : x2 + y2 − 2x − 2y − 23 = 0 . Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C1 ) và (C2 ) . Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của (C1 ) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (C2 ) . ĐS: d : x + y + 7 = 0 . Xét OK 2 − IK 2 = − 16 < 0 OK < IK . Bài 430. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2005 Page - 172 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: (C) : x 2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình: 2x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C) .  24 63  ĐS: M (−4; −5) ∨ M  ;  . 5 5 Bài 431. Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (0;5), B (2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 . ĐS: (C) : (x + 1) + (y − 2) = 10 ∨ 2 (C) : (x − 3) 2 2 + (y − 6) = 10 . 2 Bài 432. Đại học khối B năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3;1) . Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) . Viết phương trình đường thẳng T1T2. ĐS: Chứng tỏ tọa độ (x o ; yo ) của T1, T2 thỏa phương trình: 2x + y − 3 = 0 . Bài 433. Đại học khối D năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng d lần lượt có phương trình: (C) : x 2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0, d : x − y + 3 = 0 . Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) , tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) . ĐS: M (1; 4) ∨ M (−2;1) . Bài 434. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (−1;1) và đường thẳng d : x − y + 1 − 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. ĐS: (C ) : x 1 2 + y2 − 2y = 0, (C ) : x 2 2 + y2 + 2x = 0 . Bài 435. Đại học khối A năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (0;2), B (−2; −2), C (4; −2) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: H (1;1) và (C) : x2 + y2 − x + y − 2 = 0 . Bài 436. Đại học khối D năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng d có phương trình: (C) : (x − 1) 2 + (y + 2) = 9 và d : 3x − 4y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm "Cần cù bù thông minh…………" 2 Page - 173 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. ĐS: m = 19 ∨ m = −41 . Bài 437. Dự bị 1 – Đại học khối A năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y2 = 1 . Đường tròn (C ') tâm I (2;2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB. ĐS: Chú ý AB ⊥ OI. Phương trình AB : y = −x ± 1 . Bài 438. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng d lần lượt có phương trình: (C) : x2 + y2 − 8x + 6y + 21 = 0, d : x + y − 1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d. ĐS: A (2; −1), B (2; −5), C (6; −5), D (6; −1) ∨ A (6; −5), B (6; −1), C (2; −1), D (2; −5) . Bài 439. Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (C) : x + y − 2x + 4y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C ') có tâm M (5;1) và (C ') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 . 2 ĐS: 2 (C ) : (x − 5) + (y − 1) 2 ' 1 2 ( ) = 13 ∨ C1' : (x − 5) + (y − 1) = 43 . 2 2 Bài 440. Đại học Sài Gòn khối B năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho điểm A (2;1) và hai đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0, d2 : x − 2y − 6 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d1 tại A và có tâm thuộc d2. ĐS: (C) : (x − 4) + (y + 1) = 8 . 2 2 Bài 441. Đại học khối A năm 2009 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) . Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất. ĐS: m = 0 ∨ m = 8 . 15 Bài 442. Đại học khối B năm 2009 (Chương trình cơ bản) 4 và hai đường 5 thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ( x − 2) + y2 = 2 tròn (C1 ) ; biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K ∈ (C) . Page - 174 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 8 4 2 5 ĐS: K  ; , R = . 5 5 5 Bài 443. Đại học khối D năm 2009 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + y2 = 1 . Gọi I là tâm của 2  O = 30 (C) . Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho IM 0 . 3 3   ĐS: M  ; ± . 2 2  Bài 444. Đại học khối A năm 2010 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng có hoành độ dương. 3 và điểm A 2   1  3  + y +  = 1 . ĐS: (T) :  x +   2 2 3  2 2 Bài 445. Đại học khối D năm 2010 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7 ), trực tâm là H (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 0) . Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. ( ) ĐS: C −2 + 65; 3 . Bài 446. Đại học khối A năm 2011 (Chương trình cơ bản) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4x − 2y = 0 . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. ĐS: M (2; −4) ∨ M (−3;1) . Bài 447. Đại học khối B năm 2011 (Chương trình nâng cao) 1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp tam  2  giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D (3;1) và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.  13  ĐS: A 3;  .  3  Bài 448. Đại học khối D năm 2011 (Chương trình nâng cao) "Cần cù bù thông minh…………" Page - 175 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm M và N sao cho ∆AMN vuông cân tại A. ĐS: ∆ : y = 1 ∨ ∆ : y = −3 . Bài 449. Đại học khối B năm 2012 1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x2 + y2 = 4 , (C ) : x 2 2 + y2 − 12x + 8 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d và cắt (C1 ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. 2/ Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4 . Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi, biết A ∈ Ox . ĐS: 1/ (C) : (x − 3) + (y − 3) = 8. 2 Page - 176 - 2 2 / ( E) : x 2 y2 + = 1. 20 5 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn D – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELLIPSE   Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa Cho cố định với và một độ dài điểm M sao cho không đổi . Tập hợp các được gọi là một elip. . Hai tiêu điểm của elip Trong đó: . Tiêu cự của elip Bán kính qua tiêu điểm của M. b/ Phương trình chính tắc, phương trình tham số của elíp  Phương trình chính tắc: . Trong đó: .  Tọa độ các tiêu điểm: : Bán kính qua tiêu điểm bên trái.  : Bán kính qua tiêu điểm bên phải. .  Phương trình tham số: c/ Hình dạng của elip  Elip nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.  Toạ độ các đỉnh:  Độ dài các trục:  Tâm sai của . Trục lớn Trục nhỏ . M .  Hình chữ nhật cơ sở tạo bởi các đường thẳng A1 Q  Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là: ta có: "Cần cù bù thông minh…………" F1 F2 A2 O . d/ Đường chuẩn của elip  Với N B2 B1 P . . Page - 177 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học (E) x2 (E ) : (E ) a2 + y2 b2 =1 a>b (E) Ox, 2a F1 (−c; 0), F2 (c; 0) (E) A1 2b c e= a Oy, A2 F2 O B1 P c2 = b2 − a 2 Ox e= N 2b F1 (0; −c), F2 (0; c) (E) F1 Q a < b, (E) B2 M c2 = a 2 − b2 2a c b O (x − α ) 2 (E ) :  OI X = x − α x = X + α   ⇔   Y = y − β y = Y + β   IX Y (E ) a2 (y − β) 2 + b2 =1 I (α; β) (E ) : X2 a2 + Y2 b2 =1 (E ) (E ) (E ) : a, b a, b x2 a2 + y2 b2 =1 a2, b2 a2, b2 M (x; y) ∈ (E)  Bước 2. Chuyển thành biểu thức giải tích nhờ . Page - 178 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II MF1 − MF2 = Ths. Lê Văn Đoàn MF12 − MF22 MF1 + MF2 (x = (1) + (4) 2 1 ) ( ) − x22 + y12 − y22 − 2x (x1 − x2 ) − 2y (y1 − y2 ) 2a (2) MF1, ( 4) (E) c a A1 (−a;0),A2 (a;0),B1 (0;−b),B2 (0;b) e= b2 = a 2 − c2 F1 (−c;0), F2 (c; 0) (E) M (x o ; y o ) ∈ (E) ⇔ x 2o a2 + y2o b2 =1 x o , yo M ∈ (E) ⇔ M (a sin t; b cos t)  x = a sin t , t ∈  0;2π E : ( ) y = b cos t )   x o , yo  F M = a + cx o  1 a   cx o F2M = a − a  MF1 = a + c c x, MF2 = a − x a a M (x; y) Dạng 1. ⇒ Tập hợp là elip Dạng 2. ⇒ Tập hợp là elip có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a. có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 179 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 2 2 (E ) : x2 + y2 a ∆: xox a 2 + yo y b2 b M (x o ; y o ) ∈ (E) =1 =1 ∆ : Ax + By = 0 a 2 A2 + b2 B2 = C2 Elip (E) : M (x M ; yM ) (E ) x2 a2 + y2 b2 PM/(E) = =1 x 2M a2 + y2M b2 PM/(E) < 1 ⇔ PM/(E) = 1 ⇔ PM/(E) > 1 ⇔ (E ) (E ) (E ) (E) (E ) (E) (E ) (E) (E ) (E1 ) : x2 a12 + y2 b12 =1 (E 2 ) : x2 a 22 + y2 b22 (E1 ) ∩ (E2 ) = {A, B,C, D} =1  ABCD là hình chữ nhật.  Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường tròn tâm O bán kính có phương trình . Page – 180 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG TÌM CÁC THUỘC TÍNH VÀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ELÍP Bài 450. Vẽ đồ thị các elíp (E) sau 1/ ( E) : x 2 y2 + = 1. 9 4 2/ x2 (E) : 25 + y2 = 1. 9 Bài 451. Cho elip (E) . Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình x 2 y2 + = 1. 9 4 1/ ( E) : 3/ (E) : 25 + x2 y2 = 1. 9 (E) : 16x + 25y = 400 . 7/ (E) : 4x + 9y = 5 . 9/ (E) : x2 + 4y2 = 4 . 11/ (E) : 9×2 + 16y2 = 144 . 5/ 2 2 2/ ( E) : x 2 y2 + = 1. 16 9 4/ ( E) : x 2 y2 + = 1. 4 1 (E) : x + 4y = 1 . 8/ (E) : 9x + 25y = 1 . 10/ (E) : 6×2 + 9×2 = 54 . 12/ (E) : 4×2 + 9y2 = 1 . 6/ 2 2 2 2 2 2 Bài 452. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết 1/ 2/ 3/ 4/ Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. Có độ dài trục nhỏ và trục lớn lần lượt là 8 và 6. Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. 5/ Một tiêu điểm F1 (1; 0) và độ dài trục lớn bằng 2. 6/ Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M 7/ Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M −2 5; 2 . 8/ Một tiêu điểm là F1 (−2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10. 9/  3    . Một tiêu điểm là F1 − 3; 0 và đi qua điểm M 1;  2  ( ) 15; −1 . ( ( ) )  3   ;1 . 10/ Đi qua hai điểm M (1; 0), N   2  ( ) ( ) 11/ Đi qua hai điểm M 4; − 3 , N 2 2; 3 .  12  12/ Đi qua hai điểm M (0; 3), N 3; −  . 5   “Cần cù bù thông minh…………” Page – 181 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 3 . 5 12/ Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 13/ Một tiêu điểm là F1 (−8; 0) và tâm sai bằng 4 . 5 14/ Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7 ± 16 = 0 . 15/ Một đỉnh là A1 (−8; 0) , tâm sai bằng 3 . 4  5 2 16/ Đi qua điểm M 2; −  và có tâm sai bằng .  3 3 17/ Có tiêu cự bằng 4 và tỉ số độ dài hai trục bằng 5 . 3 18/ Đi qua điểm M (8;12) và có bán kính qua tiêu điểm bên trái của M bằng 20. ( ) 19/ Đi qua điểm M 3; 2 3 và có bán kính qua tiêu điểm bên trái của M bằng 4 3 . 20/ Có phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là x = ±9, y = ±3 .  3 4  21/ Đi qua điểm M  ;  và ∆MF1F2 vuông tại M.  5 5  22/ Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng x − 2 = 0 và có độ dài đường chéo bằng 6. 23/ Có đỉnh là A1 (−5; 0) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có dạng là x 2 + y2 = 34 . 24/ Có đỉnh là B1 (0;6) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có dạng là x2 + y2 = 61 . 25/ Có độ dài trục lớn bằng 4 2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn. TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 453. Tìm những điểm trên elip (E) : 5 x2 y2 + = 1 có bán kính qua tiêu điểm bằng . 16 7 2 Bài 454. Tìm những điểm M trên elip (E) : bằng x2 y2 + = 1 sao cho hiệu số hai bán kính qua tiêu điểm 25 9 32 . 5 Bài 455. Cho elíp (E) : 1/ 90 0 . x2 y2  MF2 là + = 1 . Tìm những điểm M nằm trên (E) sao cho số đo F 1 25 4 2/ 120 0 . 3/ 30 0 .  MF2 là Bài 456. Cho elíp (E) : 4×2 + 9y2 = 36 . Tìm những điểm M nằm trên (E) sao cho số đo F 1 1/ 90 0 . Page – 182 – 2/ 60 0 . 3/ 30 0 . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 457. Cho elip (E) . Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc 300, 450, 600, 1200 . 1/ 2/ 3/ (E ) : (E ) : (E ) : 9x 2 + 25y2 = 225 . 9x 2 + 16y2 = 144 . 7x 2 + 16y2 = 112 . x2 y2 + = 1 . Tìm điểm M nằm trên (E) sao cho 100 36 1/ MF2 = 4MF1 . 2/ Nhìn F1 và F2 dưới một góc vuông. Bài 459. Cho elip (E) . Tìm những điểm M ∈ (E) sao cho Bài 458. Cho elíp (E) : a/ MF1 = MF2 . 1/ 2/ 3/ (E ) : (E ) : (E ) : b/ MF2 = 3MF1 . c/ MF1 = 4MF2 . 9x 2 + 25y2 = 225 . 9x 2 + 16y2 = 144 . 7x 2 + 16y2 = 112 . Bài 460. Cho elíp (E) : x2 + 9y2 = 9 . 1/ Tìm M trên (E) sao cho MF1 = 2MF2 . 2/ Tìm M trên (E) sao cho 3MF1 = MF2 . 3/ Tìm M trên (E) sao cho 1 1 6 + = . MF1 MF2 F1F2 Bài 461. Cho elip (E) . Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với 1/ 2/ 3/ (E ) : (E ) : (E ) : 9x 2 + 25y2 = 225 . 9x 2 + 16y2 = 144 . 7x 2 + 16y2 = 112 . Bài 462. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N. a/ Tìm toạ độ các điểm M, N. 1/ 3/ (E ) : (E ) : b/ Tính MF1, MF2, MN . 9x 2 + 25y2 = 1 . 2/ 9x 2 + 16y2 = 144 . 4/ (E ) : (E ) : 9x 2 + 25y2 = 225 . 7x 2 + 16y2 = 112 . Bài 463. Tìm trên đường thẳng d : x + 5 = 0 điểm M cách đều tiêu điểm trái và đỉnh trên của elíp x2 y2 = 1. 9 x2 y2 + = 1. Bài 464. Cho elíp (E) : 25 16 1/ Biết M ∈ (E) sao cho MF1 = 3 . Tìm MF2 và tìm tọa độ điểm M. (E) : 25 + “Cần cù bù thông minh…………” Page – 183 – Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Phần hình học Dây cung AB thay đổi đi qua tiêu điểm F1 nhưng không đi qua tiêu điểm F2 của (E) . Chứng minh rằng chu vi tam giác ABF2 không đổi. x 2 y2 + = 1 và đường thẳng d : x − 2y + 12 = 0 . Tìm trên (E) điểm M sao 25 9 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 465. Cho elíp (E) : Bài 466. Cho elíp (E) : x2 + 4y2 = 25 và đường thẳng d : 3x + 4y − 30 = 0 . Tìm trên (E) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất. x 2 y2 + = 1 và đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 . Đường thẳng d cắt (E) tại 8 4 hai điểm B, C. Tìm tọa độ điểm A trên (E) sao cho ∆ABC có diện tích lớn nhất. Bài 467. Cho elíp (E) : Bài 468. Cho elíp (E) : x2 + 2y2 = 2 và đường thẳng d : 3x − 2y − 3 = 0 . Đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm B, C. Tìm tọa độ điểm A trên (E) sao cho ∆ABC có diện tích lớn nhất. x2 + y2 = 1 và điểm C (2; 0) . 4 Tìm điểm M thuộc elíp (E) sao cho có bán kính qua tiêu điểm này bằng 7 lần bán kính qua Bài 469. Cho elíp (E) : 1/ tiêu điểm kia. 2/ M nhình hai tiêu điểm dưới một góc 600, 900 . 3/ Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) sao cho ∆ABC là tam giác đều. Bài 470. Cho elíp (E) : 13×2 + 16y2 = 208 . Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) sao cho ∆ABF1 là tam giác đều. 1/ x2 y2 + = 1 . Tìm các điểm M thuộc elíp (E) sao cho 2 8 Có tọa độ nguyên thuộc (E) . 2/ Có tổng hai tạo độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 471. Cho elíp (E) : 1/ x2 y2 + = 1 và đường thẳng d : 3x + 4y − 12 = 0 . 16 9 Chứng minh rằng d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn AB. 2/ Tìm tọa độ điểm C ∈ (E) sao cho Bài 472. Cho elíp (E) : a/ ∆ABC có diện tích bằng 6. b/ ∆ABC có diện tích lớn nhất. c/ ∆ABC vuông. TIẾP TUYẾN – TƯƠNG GIAO Bài 473. Cho elíp (E) : x2 + y2 = 1 và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 . Chứng minh rằng điều a2 b2 kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với elíp (E) là a 2A2 + b2B2 = C2 . Bài 474. Cho điểm M (1;2) . Lập phương trình tiếp tuyến của elíp (E) : x2 y2 + = 1 đi qua M. 2 8 x2 y2 + = 1. 9 4 Chứng minh rằng qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đên (E) . Bài 475. Cho điểm M (3; −4) và elíp (E) : 1/ Page – 184 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 2/ Ths. Lê Văn Đoàn Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên. Bài 476. Cho elíp (E) : 4×2 + 9y2 = 36 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) . Biết tiếp tuyến 1/ Tiếp xúc với (E) tại điểm M (0; 4) . 2/ Đi qua điểm A (3; 0) . 3/ Đi qua điểm B (2; 3) . 4/ Song song với đường thẳng d1 : x − 2y + 6 = 0 . 5/ Vuông góc với đường thẳng d2 : x − y = 0 . 6/ Tạo với đường thẳng d3 : 2x − y = 0 một góc bằng 60 0 . x 2 y2 x2 y2 Bài 477. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp (E1 ) : + = 1 và (E2 ) : + = 1. 9 4 4 9 Bài 478. Viết phương trình chính tắc của elíp, biết rằng elíp (E) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y − 5 = 0 và d2 : x − 4y − 10 = 0 . x2 y2 + = 1 . Xét hình vuông ngoại tiếp elíp (E) . Viết phương trình các đường 24 12 thẳng chứa các cạnh của hình vuông đó. Bài 480. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ hai tiêu điểm của elíp đến một tiếp tuyến bất kỳ của elíp là một đại lượng không đổi. Bài 479. Cho elíp (E) : x 2 y2 + = 1 và điểm M (1;1) . 9 4 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân biệt. Bài 481. Cho elíp (E) : 1/ 2/ Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt elíp tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn MA = MB . x2 y2 Bài 482. Cho elíp (E) : + = 1 . Xét vị trí tương đối của elíp (E) trong các trường hợp 16 9 1/ M (4; 0) . 2/ M (3; 3) . Bài 483. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và elíp (E) , biết: x 2 y2 + = 1. 4 9 x2 y2 2/ d : 2x − y = 0 và (E) : + = 1. 2 8 x2 y2 2 2 Bài 484. Cho hai elíp (E1 ) : + y = 1 và (E2 ) : x + = 1. 4 9 1/ Chứng minh rằng (E1 ) ∩ (E2 ) = {A, B,C, D} và ABCD là hình chữ nhật. 1/ d : 2x + y − 5 = 0 và (E) : 2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. 1/ x2 y2 x2 y2 + = 1 và (E2 ) : + = 1. 9 4 16 1 Chứng minh rằng (E1 ) ∩ (E2 ) = {A, B,C, D} và ABCD là hình chữ nhật. 2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Bài 485. Cho hai elíp (E1 ) : “Cần cù bù thông minh…………” Page – 185 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 486. Cho elip (E) : tại A và B. 1/ x2 a2 + y2 b2 Chứng minh rằng = 1 . Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt 1 + 1 không đổi. OA OB2 2/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C) . 2 TÍNH CHẤT VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Bài 487. Tính độ dài dây cung của elíp (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với Ox trong các trường hợp sau 1/ 2/ (E) : 9×2 + 25y2 = 225 . 4/ x2 y2 = 4. 9 x2 y2 (E) : 25 + (E) : 24 + 12 = 1 . Trong mặt phẳng Oxy, gọi M là điểm bất kỳ trên elíp (E) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 3/ Bài 488. x2 y2 + = 1. 9 4 (E ) : nhất của OM trong các trường hợp sau 1/ 3/ x2 y2 = 1. 9 (E) : 9×2 + 16y2 = 144 . (E) : 36 + 2/ 4/ (E) : x2 + 4y2 = 4 . (E) : 8×2 + 16y2 = 32 . Bài 489. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau x2 y2 + = 1. 25 4 x x2 + y2 = 1 . 2/ B = + 3y biết 2 4 Bài 490. Cho elíp (E) : 9×2 + 25y2 = 225 . 1/ A = x + 2y biết 1/ Tìm tọa độ tiêu điểm, tâm sai và độ dài các trục của (E) . 2/ Đường thẳng d qua tiêu điểm F1, vuông góc với Ox và cắt (E) tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 3/ Lấy P, Q thuộc elíp (E) sao cho PF1 + QF2 = 6 . Tính tổng S = QF1 + PF2 . 4/ Cho R ∈ (E) tính giá trị của biểu thức W = RF1.RF2 + OR 2 . Bài 491. Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau: 1/ 2/ 3/ 4/ Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60 0 . Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1) . 5/ Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự. Bài 492. Cho elip (E) : x2 y2 = 1 . Gọi F1, F2 là 2 tiêu điểm, A1, A2 là 2 đỉnh trên trục lớn, M là 1 a2 b2 điểm tuỳ ý thuộc (E) và P là hình chiếu của M trên trục lớn. 1/ Page – 186 – + Chứng minh: b ≤ OM ≤ a . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Chứng minh: MF1.MF2 + OM2 = a 2 + b2 . 3/ Chứng minh: (MF1 − MF2 ) 4/ Chứng minh: MP2 b2 = 2. A1P.A2 P a 2 ( ) = 4 OM2 − b2 . Bài 493. Cho elíp (E) : 9×2 + 16y2 = 144 . 1/ Tìm tâm sai của (E) . 2/ Gọi M là điểm di động trên (E) . Chứng minh OM2 + MF1.MF2 là một hằng số. 3/ Tìm điểm N ∈ (E) sao cho ∆NF1F2 vuông tại N. 4/ Cho A, B là hai điểm nằm trên (E) với AF1 + BF2 = 8 . Tính AF2 + BF1 . QUỸ TÍCH – TẬP HỢP ĐIỂM Bài 494. Tìm tập hợp những điểm M (x; y) trong mặt phẳng tọa độ sao cho: x = 4 sin t, y = 3 cos t .    Bài 495. Cho điểm A (3 cos t; 0) và B (0; sin t) . Tìm tập hợp điểm M (x; y) sao cho 2AM + 5MB = 0 khi t thay đổi. Bài 496. Cho đường tròn (C): (C) : x2 + y2 − 6x − 55 = 0 và điểm F1 (−3; 0) : 1/ Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C ‘) di động luôn đi qua F1 và tiếp xúc với (C) . 2/ Viết phương trình của tập hợp trên. 1/ Chứng minh (C) và (C ‘) tiếp xúc nhau. 2/ Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) di động và tiếp xúc với hai đường tròn trên. Bài 497. Cho hai đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x − 32 = 0 và (C ‘) : x2 + y2 − 4x = 0 : 3/ Viết phương trình của tập hợp đó. Bài 498. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường thẳng ∆ bằng e, với: 1 1 2/ F (2; 0), ∆ : x − 8 = 0, e = . 1/ F (3; 0), ∆ : x − 12 = 0, e = . 2 2 4 3 3/ F (−4; 0), ∆ : 4x + 25 = 0, e = . 4/ F (3; 0), ∆ : 3x − 25 = 0, e = . 5 5 Bài 499. Cho hai điểm A, B lần lượt chạy trên hai trục Ox và Oy sao cho AB = 12 . 1/ Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn AB. 1 2/ Tìm tập hợp các điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − . 2 Bài 500. Cho elíp (E) di động có tâm là gốc tọa độ và độ dài trục lớn bằng 16 . Biết rằng (E) luôn đi qua điểm M (4; 0) . Chứng minh rằng hai tiêu điểm F1 và F2 của (E) luôn di động trên một elíp cố định. Bài 501. Cho điểm A di động trên trục hoành và điểm B di động trên trục tung sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2MA . Bài 502. Cho hai điểm A và B cố định. Xác định hình thang ABCD có đáy lớn AB sao cho AB . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn CD. AD + BC = AB và CD = 3 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 187 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 y2 + = 1 và (E2 ) : x2 + 4y = 4 . Các giao điểm này có 6 3 cùng nằm trên một đường tròn hay không ? Nếu có thì viết phương trình đường tròn đó ? Bài 503. Tìm giao điểm của hai elíp (E1 ) : Bài 504. Cho hai elíp (E1 ) : 4×2 + 9y2 = 36 và (E2 ) : x2 + 16y2 = 16 . Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E1 ) và (E2 ) . BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 505. Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại năm 1997 Cho elíp (E) : 4×2 + y2 = 36 . 1/ Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ các tiêu điểm và phương trình các đường chuẩn. 2/ Lập phương trình tiếp tuyến với (E) song song với đường phân giác góc phần tư thứ II. 3/ Lập phương trình parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm là tiêu điểm phía trên của elip (E) . ( ) 2/ x + y ± 3 5 = 0 . ĐS: 1/ F1,2 0; ±3 3 , y = ±4 3 . 3/ (P) : y = x2 3 . 36 Bài 506. Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường elíp có phương trình lần lượt là x 2 y2 x 2 y2 (E1 ) : 3 + 2 = 1 và (E2 ) : 2 + 3 = 1 . 1/ Viết phương tình của đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp. 2/ Viết phương trình của các tiếp tuyến chung của hai elíp. ĐS: 1/ x 2 + y2 = 12 . 5 2/ x + y ± 5 = 0 ∨ x − y ± 5 = 0 . Bài 507. Cao đẳng Sư Phạm Thể Dục TWII năm 2002 ( ) ( Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elíp (E) có hai tiêu điểm là F1 − 3; 0 , F2 đường chuẩn có phương trình x = 4 ) 3; 0 , một . 3 1/ Viết phương trình chính tắc của elíp (E) . 2/ Gọi M ∈ (E) . Tính giá trị của biểu thức P = F1M 2 + F2 M 2 − 3O M 2 − F1M.F2 M . 3/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho OA ⊥ OB . Bài 508. Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của elip (E) : thẳng d : x + 2y − 2 = 0 . x 2 y2 + = 1 , biết rằng ∆ song song với đường 32 8 ĐS: ∆1,2 : x + 2y ± 8 = 0 . Bài 509. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004 Page – 188 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ( ) ( ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 4; − 3 , B 2 2;3 . 1/ Viết phương trình chính tắc elíp đi qua hai điểm A và B. 2/ Xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip trên. ĐS: 1/ (E) : ( x 2 y2 + = 1. 20 15 ) ( 2/ F1 − 5;0 , F2 ) 1 5;0 , 2c = 2 5, e = . 2 Bài 510. Cao đẳng Hóa Chất năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho elip (E) : x2 + y2 = 1 . 9 1/ Xác định tâm sai của (E) . 2/ Qua điểm M (1;1) kẻ các tiếp tuyến MT, MT ‘ với T, T ‘ là các tiếp điểm với (E) . Hãy xác định tọa độ T, T ‘ . ĐS: 1/ e = c 2 2 = . a 3 9 4 2/ T (0;1), T ‘  ;  . 5 5   Bài 511. Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004 x2 y2 x2 y2 + = 1 và + = 1. 4 5 5 4 ĐS: Có bốn tiếp tuyến: x + y ± 3 = 0 ∨ x − y ± 3 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elip: Bài 512. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2005 x 2 y2 + = 1 . Chứng minh tích các 25 16 khoảng cách từ các tiêu điểm của elip (E) đến một tiếp tuyến bất kì của nó là một hằng số. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) : Bài 513. Cao đẳng Sư Phạm Quảng Nam năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 và elip (E) : x2 + y2 = 1 . Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C) và (E) . 4 Bài 514. Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2005 x2 + y2 = 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (E) song song với đường thẳng 4 d có phương trình x + 2y − 8 = 0 . Cho elip (E) : Bài 515. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, viết phương trình các tiếp tuyến x 2 y2 + = 1 , biết rằng tiếp tuyến đi qua A (4; −3) . của elip (E) : 16 9 ĐS: x − 4 = 0 ∨ y + 3 = 0 . Bài 516. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 189 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho elip (E) : ( ) x 2 y2 + = 1. 16 9 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0; 3 3 và tiếp xúc với elip (E) . ĐS: 3x ± 2 2y ∓ 6 6 = 0 . Bài 517. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho elip (E) : x 2 y2 + = 1. 9 4 1/ Xác định tiêu cự, tâm sai, tiêu điểm, đường chuẩn của elip (E) . 2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (E) , biết tiếp tuyến đi qua điểm M (4;1) . ĐS: 1/ Tiêu cự 2c = 2 5, tâm sai e = ( ) 5 ±3 . , tiêu điểm F1,2 ± 5; 0 , đường chuẩn x = 3 5 2/ Có hai phương trình tiếp tuyến: ∆1;2 : y = 4 ± 37 4 ∓ 37 x +1− . 7 7 Bài 518. Cao đẳng Sư Phạm Trà Vinh khối A, B năm 2006 x 2 y2 + = 1 . Viết phương trình tiếp 9 4 tuyến với (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6; 0) . Tìm tọa độ tiếp điểm. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elíp (E) : ĐS: d1;2 : x ± 3  3 3 y − 6 = 0 . A  ; ± 3  .  2  2 Bài 519. Cao đẳng Nguyễn Tất Thành khối A, D năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) : 4x 2 + 9y2 = 36 . 1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) . 2/ Tìm điểm M trên (E) nhìn các tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông. ( ) ĐS: 1/ F1,2 ± 5; 0 .  3  3 4  4  , M3,4 −  . ; ± 2/ Có bốn điểm: M1,2  ; ±   5 5  5 5  Bài 520. Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp năm 1980 1/ Viết phương trình chính tắc của Ellipse (E) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e = điểm nằm trên trục hoành. 4 và các tiêu 5  45  2/ Viết phương trình các tiếp tuyến với Ellipse (E) xuất phát từ điểm A 0;  .  12  3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Ellipse và các tiếp tuyến nên trên. ĐS: 1/ (E) : x 2 y2 + = 1. 25 9 2/ d1,2 : 9x ± 20y ∓ 75 = 0 . 3/ Shp = 15π (đvdt) . Bài 521. Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh năm 1988 – Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1991 Page – 190 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn x2 y2 + = 1, (a > 0, b > 0) và điểm M (x o ; y o ) ∈ (E) với −a < x o < a . a2 b2 Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A (−a; 0) và A ' (a; 0) lần lượt tại T và T'. Cho Ellipse (E) : 1/ Chứng minh rằng tích số P = AT.AT ' không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 2/ Tìm các điểm M sao cho tứ giác ATT'A' có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó. 3/ Gọi N (x; y) là giao điểm của AT' và A'T. Tìm quỹ tích các giao điểm N khi M chạy trên Ellipse (E) . ĐS: 1/ P = b . 2/ Smin 2 = 2ab ⇔ M ≡ B (0; −b) ≡ B ' (0; b) . 3/ (E ') : x2 y2 + = 1. a 2  b 2     2  Bài 522. Đại học Bách Khoa–Kinh Tế–Tổng Hợp–Sư Phạm–Nông Nghiệp–Y–Nha–Dược 1983 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ Ellipse (E m ) có phương x2 với m là tham số và 0 < m < 1 . m 1/ Bằng phép tịnh tiến trục tung, hãy đưa phương trình trên về dạng chính tắc. Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh trên elip. Tìm quỹ tích của các đỉnh ấy. trình (Em ) : y2 = 2x − 2/ Tìm tọa độ các tiêu điểm của (Em ) và xác định quỹ tích các tiêu điểm khi m thay đổi (0 < m < 1) . (x − m) 2 ĐS: 1/ (E m ) : + y2 X2 (E ) : m =1 Y2 + (E ) có tâm I (m; 0) . =1 ( ) ( ) Đỉnh trên trục lớn: A (m; m ), A (m; − m ) . Quỹ tích các đỉnh A , A m2 2 m m 2 2 2 m m 1 1 2 là một Parabol (P) : y2 = x, (0 < x < 1) . ( 2/ Tiêu điểm F1,2 m; m − m 2  1 1 Quỹ tích là đường tròn (C) : x −  + y2 = có 2  4  2 ) 1  1 tâm H  ; 0, bán kính R = , bỏ đi hai điểm O (0; 0), G (0;1) . 2  2  Bài 523. Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1993 Chứng minh đường thẳng d : Ax + By + C = 0, tiếp xúc x2 (E ) : a 2 + y2 = 1 ⇔ a 2 A2 + b2 B2 = C2 . b2 TH : B ≠ 0 HD:  1 TH2 : B = 0  ( ) ( ) PTHÐGĐ : a 2A2 + b2B2 x2 + 2a 2 ACx + a C2 − b2 B2 = 0 : ∆ = 0 PTTÐGĐ : a A .y = a b A − b C : T /x ⇔ a b A − b2C2 = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 524. Đại học Kiến Trúc năm 1994 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 191 - . Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x 2 y2 + = 1 . Xét một hình vuông ngoại tiếp Ellipse (tức là 6 3 các cạnh của hình vuông đều tiép xúc với Ellipse. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông đó. ĐS: x + y + 3 = 0, x − y + 3 = 0, x + y − 3 = 0, x − y − 3 = 0 . Cho Ellipse có phương trình (E) : Bài 525. Đại học Xây Dựng năm 1996 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarters vuông góc Oxy, cho Ellipse x2 y2 (E) : a2 + b2 = 1, (a > b > 0) . 1/ Gọi E là điểm tùy ý trên Ellipse, chứng tỏ rằng b ≤ OE ≤ a . 2/ Gọi A, B là hai điểm thuộc Ellipse sao cho OA vuông góc với OB. Hãy xác định vị trí của A, B trên Ellipse để tam giác OAB có diện tích lớn nhất và nhỏ nhất. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đó. ĐS: 1/ Chứng minh theo 2 cách. 2/ (S∆OAB ) max (S ) ∆OAB min ab ⇔ A, B là các đỉnh của (E) . 2  ab a 2 b2 ab   ab ab    = 2 ⇔ A ; , B − ; −    .  a + b2  a 2 + b2 a 2 + b2   a 2 + b2 a 2 + b2  = Bài 526. Đại học Ngoại Thương khối D năm 1997 x 2 y2 + =1 8 4 và đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 . Đường thẳng d cắt Ellipse tại hai điểm B và C. Tìm tọa độ điểm A trên Ellipse sao cho ∆ABC có diện tích lớn nhất. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho Ellipse (E) : ( ) ĐS: A 2; − 2 . Bài 527. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1997 x2 + y2 = 1 và điểm A (−2; 0) . Giả sử M là điểm di động trên Ellipse. Gọi 4 H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên Ellipse thì P luôn luôn chạy trên một đường cong (C) cố định. Vẽ đồ thị đường Cho Ellipse (E) : cong (C) . ĐS: P chạy trên Parabol (P) : y2 = x + 1 bỏ qua điểm (−1; 0) . Bài 528. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 Cho phương trình (E) : 4×2 + 9y2 = 36 và điểm M (1;1) . Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại M1 và M2 sao cho MM1 = MM2 . ĐS: 4x + 9y − 13 = 0 . Bài 529. Đại học Mở Hà Nội khối D năm 1997 x 2 y2 x2 + = 1 và (E2 ) : + y2 = 1 . Viết phương trình đường tròn đi 6 3 4 qua giao điểm của hai Ellipse. Cho hai Ellipse (E1 ) : Page – 192 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: Không có đường tròn thỏa yêu cầu bài toán do hệ vô nghiệm. Bài 530. Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 x2 y2 + = 1 với tiêu điểm F (−c; 0) . Tìm điểm M trên Ellipse (E) sao cho a2 b2 độ dài FM nhỏ nhất. Cho Ellipse (E) : ĐS: FMmin ⇔ A1 ≡ M (−a; 0) ∈ (E) . Bài 531. Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 2000 x 2 y2 + = 1 . Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 9 4 x2 E ‘ : + y2 = 1 . Ellipse đã cho với Ellipse ( ) 16 Cho Ellipse (E) : ĐS: (C) : x 2 + y2 = 92 . 11 Bài 532. Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2000 x2 y2 + = 1 . Hãy chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của elíp 9 4 đến một tiếp tuyến bất kỳ của nó là một hằng số. 2/ Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của elip đã cho với elip x2 + y2 = 1 . 16 1/ Cho elíp x.x o y.yo + = 1 là tiếp tuyến bất kì tại (x o ; yo ) . ĐS: d F1, (d) .d  F2 ; (d) = 4 = const với d :     9 4 Bài 533. Đại học Thái Nguyên khối A, B đợt 1 năm 2000 x 2 y2 + = 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho elip (E) : 25 16 1/ Tìm mối liên hệ giữa k và m để đường thẳng d : y = kx + m, (k ∈  ) tiếp xúc với (E) . 2/ Khi d là tiếp tuyến của (E), gọi giao điểm của d với các đường thẳng x = 5 và x = −5 là M và N. Tính diện tích ∆FMN theo k, trong đó F là tiêu điểm của (E) có hoành độ dương. 3/ Xác định k để tam giác FMN có diện tích bé nhất. ĐS: 1/ ∆ ‘ = 0 ⇔ m 2 − 25k 2 = 16 . 2 2 1   1 4 + (m + 5k) 64 + (m − 5k) 2/3/ S = FM . FN = 2 2 B.C.S ≥ 16 3 k=± . 5 Bài 534. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 x2 y2 + = 1 nhận các đường thẳng 3x − 2y − 20 = 0 và x + 6y = 20 làm a2 b2 tiếp tuyến. Hãy tính a 2 và b2 . 1/ Nếu elip (E) : “Cần cù bù thông minh…………” Page – 193 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 y2 + = 1 . Hãy tìm mối liên hệ giữa a, b, k, m để (E) tiếp xúc với đường a2 b2 thẳng d : y = kx + m, (k ∈  ) . 2/ Cho elip (E) : ĐS: a2 = 40, b2 = 10, k2a2 + b2 = m2 . Bài 535. Đại học Ngoại Thương khối A năm 2001 Cho họ đường cong (Cm ) có phương trình m ≠ 0, m ≠ ±5 . x2 y2 + = 1 , trong đó m là tham số và m2 m2 − 25 1/ Tùy theo giá trị của m, hãy xác định khi nào thì (Cm ) là elíp và khi nào thì (Cm ) là hyperbol. 2/ Giả sử A là một điểm tùy ý trên đường thẳng x = 1 và A không thuộc trục hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn luôn có bốn đường cong của họ (Cm ) đi qua A. Hỏi trong số bốn đường cong (Cm ) đó, có bao nhiêu elíp và bao nhiêu hyperbol ? (C ) ≡ Elip ⇔ m2 − 25 > 0 ⇔ m > 5 2 : Ellipse   . 2/ Ứ ng có . ĐS: 1/  m A 1;a  ( ) (Cm ) ≡ Hyperbol ⇔ m2 − 25 < 0 ⇔ m < 5 2 : Hyperbol    Bài 536. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 x 2 y2 + = 1 và 9 4 hai đường thẳng (D) : ax − by = 0 và (D ') : bx + ay = 0 với a 2 + b2 > 0 . Gọi M, N là các Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho elip (E) : giao điểm của (D) với (E) và P, Q là các giao điểm của (D ‘) và (E) . 1/ Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và b. 2/ Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhất. ĐS: 1/ SMPNQ = ( 72 a 2 + b2 (9a 2 ) )( + 4b2 9b2 + 4a 2 ) . 2/ (SMPNQ ) min = 144 ⇔ a 2 = b2 . 13 Bài 537. Đại học khối D năm 2002 x 2 y2 + = 1 . Xét điểm M chuyển động 16 9 trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E) : Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất. ( ) ( ) ĐS: M 2 7; 0 , N 0; 21 , MN min = 7 . Bài 538. Dự bị 1 – Đại học khối D năm 2002 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E) : x 2 y2 + = 1 và đường thẳng 9 4 dm : mx − y − 1 = 0 . 1/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt. Page – 194 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N (1; −3) . ĐS: 2/ 5x − 4y − 17 = 0; x + 2y + 5 = 0 . Bài 539. Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2003 x 2 y2 + = 1 và các điểm 4 1 M (−2; 3), N (5; n) . Viết phương trình các đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc với (E) . Tìm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E) : n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2. ĐS: d1 : x = −2; d2 : 2x + 3y − 5 = 0; n = −5 . Bài 540. Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2004 x 2 y2 + = 1 . Viết phương trình các tiếp 8 4 tuyến của (E) song song với đường thẳng d : x + 2y − 1 = 0 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip (E) : Bài 541. Đại học khối D năm 2005 x 2 y2 + = 1 . Tìm toạ độ các 4 1 điểm A, B thuộc (E) , biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C (2; 0) và elip (E) : là tam giác đều.  2 4 3   2       , B  ; − 4 3  hoặc A  2 ; − 4 3 , B  2 ; 4 3  . ĐS: A  ;   7 7   7  7 7  7   7 7  Bài 542. Dự bị 1 – Đại học khối B năm 2005 x 2 y2 + = 1 . Viết phương trình tiếp tuyến 64 9 d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : ĐS: Bốn tiếp tuyến thỏa yêu cầu bì toán: x + 2y ± 10 = 0, x − 2y ± 10 = 0 . Bài 543. Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2006 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn. ĐS: (E) : x 2 y2 + = 1. 8 4 Bài 544. Đại học khối A năm 2008 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng ĐS: (E) : 5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 3 x 2 y2 + = 1. 9 4 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 195 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 545. Đại học khối B năm 2010 (Chương trình nâng cao) ( ) x 2 y2 + = 1 . Gọi F1 và F2 là 3 2 các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2; 3 và elip (E) : AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF2. 2  2 3  4  ĐS: (x − 1) + y −  = .   3 3 2 Bài 546. Đại học khối A năm 2011 (Chương trình nâng cao) x 2 y2 + = 1 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc 4 1 (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :   2   2  2   2    ĐS: 1/ M (2; −4) ∨ M (−3;1) . 2/ A  2; , B  2; −  ∨ A  2; − , B  2;  . 2   2  2   2    Bài 547. Đại học khối A năm 2012 (Chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 8 . Viết phương trình chính tắc của elíp (E) , biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của hình vuông. ĐS: (E) : Page – 196 – x2 3y2 + = 1. 16 16 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn E – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPERBOL   Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa  Cho cố định với . Tập hợp điểm M sao cho với a là một số không đổi và . được gọi là một Hyperbol  Vậy . Trong đó: gọi là hai tiêu điểm của Hyperbol. + Hai điểm gọi là tiêu cự của Hyperbol. + Khoảng cách + Trung điểm I của + Với điểm gọi là tâm của Hyperbol. thì các khoảng cách và gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M. b/ Phương trình chính tắc và tham số của Hyperbol  Phương trình chính tắc của Hyperbol với . + Tọa độ các tiêu điểm: + Với và . Trong đó: . là các bán kính qua tiêu điểm M thì  Phương trình tham số dạng lượng giác: . c/ Hình dạng của hypebol  nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.  Toạ độ các đỉnh:  Độ dài các trục: trục thực: Q . trục ảo: . O R  Tâm sai của “Cần cù bù thông minh…………” S .  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng:  Phương trình các đường tiệm cận: P . . Page – 197 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x± MF1 M ∈ (H) d (M, ∆1 ) MF2 = d (M, ∆2 ) a =0 e =e (H ) ( H) (H ) : ( H) (H ) 2a, 2 x2 − a2 y2 2b 2 Q 2 c =a +b F1 (−c; 0), F2 (c;0) 2c =1 b2 P A1 (−a;0), A2 (a;0) e= O R c a y=± x± b x a a =0 e (x − α ) 2 ( H) :  OI (y − β) 2 + a2 I (α; β) X = x − α x = X + α  ⇔   Y = y − β y = Y + β   IXY (H ) S b2 =1 IXY (H ) : X2 a2 − Y2 b2 =1 (H ) Oxy (H ) (H ) (H ) a 2 , b2 a, b (H ) e= b2 = c2 − a 2 A1 (−a; 0), A2 (a;0) c a c/ Dạng toán 3. Vị trí tương đối đường thẳng và Hyperbol Bằng cách xét hệ phương trình tạo bởi Page – 198 – . và đường thẳng nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của và F1 (−c;0), F2 (c; 0) . Khi đó, số . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn (H ) : (H ) x 2o M ( x o ; y o ) ∈ (H ) a2 − y2o b2 x2 a2 − y2 b2 =1 =1 x o , yo M ( x o ; yo ) (H )  x = a  π 3π  H : ( )  cos t , t ∈ 0;2π) \  2 ; 2  y = b tan t     a  M ∈ (H) ⇒ M  ; b tan t  cos t  M M (x; y) ∈ (H) cx +a a cx MF1 = − − a a MF1 = cx M∈ −a x>0 a cx MF2 = − + a x<0 M∈ a MF2 = ( H) M (x; y) ( H) MF1 − MF2 = 2a x2 a2 − y2 b2 (H) =1 d : Ax + By + C = 0 (H ) : x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 a2A2 − b2B2 = C2 a2A2 + b2B2 > 0 (H )  Phương trình tiếp tuyến của Hyperbol là “Cần cù bù thông minh…………” tại điểm (phương pháp phân đôi tọa độ). Page – 199 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học TÌM CÁC THUỘC TÍNH VÀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL (H) Bài 548. Vẽ đồ thị các hypebol (H) sau x 2 y2 − = 1. 9 4 3/ (H) : 25×2 − 16y2 = 400 . 1/ (H) : 2/ 4/ x2 y2 = 1. 9 (H) : x2 − 4y2 = 1 . (H) : 16 − Bài 549. Xác định các tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục thực, độ dài trục ảo, tiêu cự, tâm sai và viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) . 1/ 3/ 5/ 7/ x 2 y2 − = 1. 16 9 (H) : 4×2 − y2 = 4 . (H ) : 2/ 4/ (H) : 25×2 − 16y2 = 400 . (H) : 9×2 − 16y2 = 144 . 6/ 8/ x 2 y2 − = 1. 9 16 11/ (H) : x2 − 4y2 = 1 . 9/ x 2 y2 − = 1. 16 4 (H) : x2 − y2 = 1 . (H ) : (H) : 16×2 − 9y2 = 16 . (H) : mx2 − ny2 = mn, (m, n > 0) . 10/ (H) : 4×2 − 9y2 = 5 . (H) : 12/ (H) : 9×2 − 25y2 = 1 . Bài 550. Lập phương trình chính tắc và tham số của hypebol (H) . Biết rằng 1/ 2/ 3/ Độ dài trục thực bằng 10, trục ảo bằng 6. Độ dài trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10. Có một tiêu điểm F2 (5; 0) và đỉnh A1 (−4; 0) . 4/ Độ dài trục thực bằng 48, tâm sai bằng 5/ Độ dài trục ảo bằng 6, tâm sai bằng 6/ Có đỉnh A2 (2; 0) và tâm sai e = 7/ Có độ dài trục thực bằng 8 và tâm sai e = 13 . 12 5 . 4 3 . 2 5 . 4 5 . 4 3 9/ Tiêu điểm F1 (−6; 0) và tâm sai e = . 2 4 10/ Có tiêu cự bằng 16 và tâm sai e = . 3 11/ Một đỉnh là A (5; 0) , một tiêu điểm là F (6; 0) . 8/ Độ dài trục ảo bằng 12, tâm sai bằng 12/ Một tiêu điểm là F (−7; 0) và tâm sai e = 2 . 13/ Qua A ( ) 10; 6 và có tâm sai e = 5 . 14/ Qua A (−5; 3) và có tâm sai e = 2 . 15/ Qua A (−2;12) và có tiêu điểm F1 (7; 0) . Page – 200 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn ( ) ( 6; −1) . Đi qua hai điểm M (2; 6 ), N (−3; 4) . Đi qua hai điểm M (6; −1), N (−8;2 2 ) . 16/ Đi qua hai điểm M 4; 6 , N 17/ 18/ 19/ Có độ dài trục thực bằng 8 và một tiệm cận là 5x − 4y = 0 . 4 20/ Có tiêu cự bằng 2 13 và một tiệm cận là y = − x . 3 21/ Qua A ( ) 2;2 và có hai tiệm cận là y = ±2x . 22/ Một đỉnh là A (−3; 0) và một tiệm cận là d : 2x + 3y = 0 . 23/ Hai tiệm cận là d : 2x ± y = 0 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 24/ Tiêu cự bằng 8 và hai tiệm cận vuông góc với nhau. 25/ Qua A (6; 3) và góc giữa hai tiệm cận là 60 0 . 2 5 . 5 26/ Hai tiệm cận là d : 3x ± 4y = 0 và hai đường chuẩn là ∆ : 5x ± 16 = 0 . 27/ Có cùng tiêu điểm với elip (E) : 10×2 + 36y2 − 360 = 0 , tâm sai bằng  34 9   ;  và ∆MF1F2 vuông tại M. 28/ Qua A   5 5  5 . 3 29/ Có đỉnh A2 (3; 0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là (C) : x2 + y2 = 16 . 30/ Có cùng hình chữ nhật cơ sở với elíp (E) : x2 y2 + = 1. 9 4 5 và diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 (đ.v.d.t) . 3 32/ Có hai tiệm cận là y = ±x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elíp 31/ Có tâm sai e = x2 y2 = 1. 2 Bài 551. Tìm tâm sai của Hyperbol biết góc hợp bởi tiệm cận và trục hoành bằng 1/ 30 0 . 2/ 60 0 . 3/ 45 0 . Bài 552. Tính tâm sai của Hyperbol (H) biết: (E) : 12 + 1/ Hai tiệm cận vuông góc nhau. 2/ Góc giữa hai tiệm cận bằng  π Bài 553. Tính góc α, 0 < α ≤  hợp bởi hai tiệm cận của Hyperbol có 2   1/ Tâm sai e = 2 . 2/ Tiêu cự bằng bốn lần khoảng cách từ một tiêu điểm đến một tiệm cận. Bài 554. Cho Hyperbol (H) : 1/ x2 − π . 3 y2 = 1. a 2 b2 Lập công thức tính góc φ tạo bởi hai đường tiệm cận của (H) theo a, b . Áp dụng tính φ khi biết tâm sai của (H) bằng 3 . 2/ Tìm tâm sai của (H) khi biết góc giữa hai tiệm cận của (H) bằng 30 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 201 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học TÌM ĐIỂM TRÊN HYPERBOL (H)THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – SỰ TƯƠNG GIAO 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ y2 = 1 . Tìm những điểm M trên (H) sao cho 9 M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 0 . M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 45 0 . M có tọa độ nguyên. M thuộc nhánh phải và MF1 nhỏ nhất (ngắn nhất). 6/ M thuộc nhánh phải và MF1 lớn nhất (dài nhất). 7/ Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x − y + 3 = 0 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 555. Cho Hyperbol (H) : x 2 − Bài 556. Cho Hyperbol (H) : 4x2 − y2 = 4 . Tìm những điểm M trên (H) sao cho 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 1200 . M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 30 0 . M có tọa độ nguyên. M thuộc nhánh phải và MF1 nhỏ nhất (ngắn nhất). 6/ M thuộc nhánh phải và MF1 lớn nhất (dài nhất). 7/ Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ x2 − y2 = 1 . Tìm những điểm M trên (H) sao cho 4 M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 1200 . M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 0 . M có tọa độ nguyên. M thuộc nhánh phải và MF1 nhỏ nhất (ngắn nhất). 6/ 7/ 8/ M thuộc nhánh phải và MF1 lớn nhất (dài nhất). Có bán kính qua tiêu điểm này bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm kia. Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : y = x + 1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 557. Cho Hyperbol (H) : Bài 558. Cho hypebol (H) và đường thẳng d vuông góc với trục thực tại tiêu điểm bên trái F1 cắt (H) tại hai điểm M, N. a/ Tìm toạ độ các điểm M, N. b/ Tính MF1, MF2, MN . 2/ (H) : 12x2 − 4y2 = 48 . (H) : 16x2 − 9y2 = 144 . 3/ (H) : 10x2 + 36y2 − 360 = 0 . 4/ (H) : x2 − 4y2 = 4 . Cho hypebol (H) . Tìm những điểm M ∈ (H) sao cho: 1/ Bài 559. a/ MF2 = 3MF1 . b/ MF1 = 3MF2 . c/ MF1 = 2MF2 . e/ MF1 = 4MF2 . 1/ (H ) : x 2 y2 − = 1. 9 16 2/ (H ) : x 2 y2 − = 1. 4 12 3/ (H) : x 2 y2 − = 1. 4 5 4/ (H) : x2 − y2 = 1 . 4 Page - 202 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 560. Cho hypebol (H) . Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: 1/ (H ) : x2 − y2 = 1 . 4 2/ (H) : x 2 y2 − = 1. 9 4 x 2 y2 x 2 y2 4/ (H) : − = 1. − = 1. 4 12 9 16 Bài 561. Cho hypebol (H) . Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc α, với: 3/ (H) : 1/ (H ) : 3/ (H) : 16 − x 2 y2 − = 1, α = 1200 . 4 5 x2 y2 = 1, α = 600 . 9 x 2 y2 − = 1, α = 1200 . 36 13 2/ (H) : 4/ (H) : 16x2 − 9y2 = 144, α = 450 . x 2 y2 − = 1 . Tìm điểm M trên hyperbol (H) sao cho 16 9 M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Bài 562. Cho hyperbol (H) : 1/ 24 2 . 5 Bài 563. Cho hyperbol (H) : 3x2 − 4y2 = 12 có hai tiêu điểm là F1, F2 . 2/ Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 1/ Biết M là điểm trên (H) có MF1 = 3 . Hãy tính MF2 và tìm tọa độ điểm M. 2/ Tìm trên một nhánh của (H) hai điểm P, Q sao cho ∆OPQ là tam giác đều. 1/ x 2 y2 − = 1 và đường thẳng d : x 2 − y − 2 = 0 . 4 8 Chứng minh rằng d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B . Tính độ dài đoạn AB. 2/ Tìm tọa độ điểm C ∈ (H) sao cho Bài 564. Cho hyperbol (H) : a/ ∆ABC có diện tích bằng 5. b/ ∆ABC cân. c/ ∆ABC vuông. 1/ x 2 y2 − = 1 và đường thẳng d : 2x + 15y − 10 = 0 . 25 4 Chứng minh rằng d luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B với x A > 0 . Tính độ dài AB. 2/ Tìm tọa độ điểm C ∈ (H) sao cho ∆ABC cân tại A. Bài 565. Cho hyperbol (H) : TÍNH CHẤT CỦA HYPERBOL (H) VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 1/ x2 − y2 = 1 . 4 Xác định tiêu điểm và hai tiệm cận của (H) . 2/ Lấy tùy ý M (x o ; yo ) ∈ (H) . Tính các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) . Bài 566. Cho hyperbol (H) : Bài 567. Cho hyperbol (H) : 1/ x2 − y2 = 1. a 2 b2 Gọi M là điểm tuỳ ý trên (H) . Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng một số không đổi và bằng “Cần cù bù thông minh…………” a 2 b2 a 2 + b2 . Page – 203 – Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Phần hình học Từ một điểm N bất kì trên (H), dựng hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận, cùng với hai đường tiệm cận tạo thành một hình bình hành. Chứng minh diện tích hình 1 bình hành đó bằng ab . 2 2 x y2 Bài 568. Cho hyperbol (H) : − = 1 có hai tiêu điểm F1, F2 . Hãy tính: 25 16 1/ H = OM2 − MF1.MF2 . Bài 569. Cho hyperbol (H) : x2 S = (MF1 + MF2 ) − 4OM2 . 2 y2 = 1 có hai tiêu điểm F1, F2 và hai đỉnh A1, A2 . Điểm M di động a 2 b2 trên (H) và có hình chiếu xuống trục hoành Ox là P. Chứng minh rằng 1/ − 2/ OM2 − MF1.MF2 = a 2 − b2 . 2/ (MF1 + MF2 ) 2 ( ) = 4 OM2 + b2 . b2 3/ PM2 = 1/ Viết phương trình các đường chuẩn của (H) . 2/ Viết phương trình các đường tiệm cận của (H) . 3/ Gọi M là một điểm bất kì trên (H) . Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến hai đường .PA1.PA2 . a2 Bài 570. Cho hypebol (H) : 9×2 − 16y2 − 144 = 0 . tiệm cận bằng một số không đổi. 4/ Tìm điểm M trên (H) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng 2 lần bán kính qua tiêu điểm bên phải của M. 5/  NF2 = 900 . Tìm điểm N trên (H) sao cho F 1 6/ Chứng minh rằng nếu một đường thẳng d cắt (H) tại P, Q và cắt hai đường tiệm cận tại P ‘, Q ‘ thì PP ‘ = QQ ‘ . x 2 y2 − = 1 . Chứng tỏ rằng d cắt (H) 9 16 tại hai điểm phân biệt và xác định tọa độ các giao điểm. Tính độ dài đoạn nối hai giao điểm. Bài 571. Cho đường thẳng d : x + y − 3 = 0 và hyperbol (H) : 1/ x 2 y2 − = 1 và đường thẳng d : x − y + m = 0 . 4 5 Chứng minh: d luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau với x M < x N . 2/ Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) . Tìm m để NF2 = 2MF1 . Bài 572. Cho hyperbol (H) : Bài 573. Cho hyperbol (H) : 8x2 − y2 = 8 và đường thẳng d : 2x − y + m = 0 . 1/ Chứng minh: d luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau với x M < x N . 2/ Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (H) . Tìm m để NF2 = 2MF1 . x2 − y2 = 1 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M (0;2) cắt (H) tại 4 hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm của AB. Bài 574. Cho hyperbol (H) : Page - 204 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn x2 − y2 = 1 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M (0;2) cắt (H) tại 4    hai điểm phân biệt A, B sao cho 3MA − 5MB = 0 . Bài 575. Cho hyperbol (H) : x 2 y2 x2 y2 − = 1 và elíp (E) : + = 1 . Chứng minh rằng các 16 9 25 9 tiếp điểm này cùng nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn này. Bài 576. Tìm tọa độ giao điểm của (H) : x 2 y2 − = 1 . Gọi d là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k và d ' 4 9 là đường thẳng cũng đi qua O nhưng vuông góc với d. 1/ Tìm điều kiện của k để d và d ' đều cắt hyperbol (H) . Bài 577. Cho hyperbol (H) : 2/ Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của d, d ' và (H) . 3/ Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất. Bài 578. Lập phương trình đường tròn đi qua giao điểm của (E) : (x − 1) : x2 y2 y2 + = 1 và (H) : x 2 − = 1. 9 4 4 2 Bài 579. Cho elíp có phương trình (E) thuộc vào elíp (E) . 1/ 5 + (y + 2) = 1 và điểm A có x A = − 2 3 và yA > 0 2 Lập phương trình chính tắc của Hyperbol (H) có một tiêu điểm F1 (−1; −2), tâm I (1; −2) và đi qua điểm A. 2/ Xác định tọa độ giao điểm của (H) và (E) . QUỸ TÍCH ĐIỂM – TẬP HỢP ĐIỂM (H)  3  Bài 580. Cho M  ; cot α  với α ≠ kπ . Tìm tập hợp điểm M.   sin α  a  π Bài 581. Cho M  ; b tan α  với α ≠ (2k + 1) . Tìm tập hợp điểm M.   cos α 2 3 . Tìm tập hợp điểm M thỏa: 3.PF = 3.d (M, ∆) . 2 Bài 583. Cho điểm F (−3; 0) và ∆ : 3x + 4 = 0 . Tìm tập hợp điểm M sao cho 2MF = 3.d (M, ∆) . Bài 582. Cho điểm F (2; 0) và ∆ : x = 1 = 0. 4 1/ Tìm tập hợp điểm M sao cho MB = 2MH với H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆. 2/ Tìm tập hợp điểm N sao cho các đường thẳng AN, BN không song song với Oy và có tích các hệ số góc bằng 4. Bài 585. Cho hai đường tròn (C1 ) có tâm là F1 và bán kính R1, (C2 ) có tâm là F2 và bán kính R2 Bài 584. Cho hai điểm A (−1; 0), B (1; 0) và đường thẳng ∆ : x − (R1 ≠ R 2 ) . Gọi M là tâm đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) . Tìm tập hợp điểm M. Bài 586. Cho điểm M di động trên hyperbol (H) : x 2 y2 − = 25 . Tìm tập hợp trung điẻm của đoạn 16 9 MF1 và MF2 với x F < x F . 1 "Cần cù bù thông minh…………" 2 Page - 205 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 587. Cho hyperbol (H) : x2 − y2 = 1 và đường thẳng d : 5x − 3y − 1 = 0 . Tìm điểm M ∈ (H) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất. Bài 588. Cho hai đường tròn (C1 ) : (x − 3) + y2 = 9 và (C2 ) : (x + 3) + y2 = 4 . Tìm tập hợp tâm M 2 2 của đường tròn tiếp xúc đồng thời với hai đường tròn nói trên. Bài 589. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x = 0 và điểm F2 (2; 0) . 1/ Tìm toạ độ tâm F1 và bán kính R của (C) . 2/ Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C ') di động luôn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) . 3/ Viết phương trình của tập hợp trên. 1/ Xác định tâm và tính bán kính của (C) và (C ') . 2/ Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) tiếp xúc với (C) và (C ') . Bài 590. Cho hai đường tròn (C) : x2 + y2 + 10x + 9 = 0 và (C ') : x2 + y2 − 10x + 21 = 0 . 3/ Viết phương trình của tập hợp đó trên. Bài 591. Cho hai đường thẳng ∆ : 5x − 2y = 0 và ∆ ' : 5x + 2y = 0 . 100 . 29 1/ Tìm tập hợp (H) các điểm M có tích các khoảng cách từ M đến ∆ và ∆ ' bằng 2/ Viết phương trình các đường tiệm cận của (H) . 3/ Gọi N là một điểm bất kì trên (H) . Chứng minh tích các khoảng cách từ N đến các đường tiệm cận của (H) bằng một số không đổi. Bài 592. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường thẳng ∆ bằng e, với: 1/ F (4; 0), ∆ : x − 1 = 0, e = 2 . 2/ F (6; 0), ∆ : 3x − 8 = 0, e = Page - 206 - 3 . 2 2/ 2/ ( ) 3 2 3 2 ,e= . 2 3 3 F (3; 0), ∆ : 3x − 4 = 0, e = . 2 F 3 2; 0 , ∆ : x − "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 593. Cao đẳng Marketing Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 Cho hyperbol (H) : x 2 y2 − = 1. 16 9 1/ Tìm độ dài trục ảo, trục thực, tâm sai, tiêu điểm F1, F2 của (H) . 2/ Tìm trên (H) những điểm sao cho MF1 ⊥ MF2 . 5 . 4 ĐS: 1/ 2a = 8, 2b = 6, F1,2 (∓5; 0), e =  4 34  9  9    4 34 ; ± , M3,4 − ; ±  . 2/ M1,2   5  5 5   5 Bài 594. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2003 x 2 y2 − = 1. 16 9 Lập phương trình elip (E) , biết rằng (E) có các tiêu điểm của (H) và (E) ngoại tiếp hình chữ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hypebol (H) : nhật cơ sở của (H) . Bài 595. Cao đẳng Kinh Tế Tài Chính năm 2005 x 2 y2 − = 1 . Viết phương trình Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hyperbol (H) : 25 9 tiếp tuyến với hyperbol (H), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A (10;6) . Bài 596. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2007 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hypebol (H) có phương x 2 y2 − = 1 và điểm M (2;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng 2 3 đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB. trình: ĐS: d : 3x − y − 5 = 0 . Bài 597. Đại học Kinh Tế–Đại học Sư Phạm–Đại học Kiến Trúc–Đại học Nông Nghiệp năm 1981 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho họ hyperbol có phương trình (Cm ) : m2 − 4 x2 − 4y2 = 4 m2 − 4 với m là tham số. ( ) ( ) 1/ Tùy theo m, hãy chỉ rõ bản chất (Cm ) và cho biết tâm, đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận nếu có. ( 2/ Vẽ (C0 ) và C2 ĐS: m = ±2 2 ) trên cùng một hình. (C ) : y m 2 = 0, x2 m ∈ (−2;2) ⇒ (Cm ) : 2 + 2 (C ) : x m=0 m y2 ( 4−m ) 2 = 1; 2 + y2 = 4,   m < −2 m > 2  x2 (Cm ) : 22 − ( y2 4 − m2 ) = 1. Bài 598. Đại học Dân Lập Hùng Vương năm 1996 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 207 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 − y2 = 1 . 4 1/ Xác định tiêu điểm. Viết phương trình các tiệm cận. Cho hyperbol (H) : 2/ Cho M (x o ; yo ) ∈ (H) . Tính tích số từ M đến hai tiệm cận. ( ) ( ĐS: 1/ F1 − 5; 0 , F2 ) 1 5; 0 , d1,2 : y = ± x . 2 2/ d (M, d1 ).d (M, d2 ) = 4 . 5 Bài 599. Đại học Dân Lập Thăng Long năm 1996 Với mỗi t mà − π π < t < , xét M (t) có tọa độ 2 2   x = 1 ; y = 3 tan t . Chứng minh:  cos t   1/ Khi t thay đổi, điểm M (t) vạch nên một nhánh của hyperbol. Xác định tọa độ các tiêu điẻm của hyperbol đó. 2/ Chứng minh điều kiện cần và đủ để đường thẳng nối hai điểm phân biệt M (t1 ), M (t2 ) đi qua một tiêu điểm của (H) là tan ĐS: 1/ Nhánh phải (H) : x2 − t1 2 .tan t2 1 =− . 2 3 2 y = 1, (x > 0) có F (2; 0) . 3  u = tan t1  2 . 2/ Đặt   t2 v = tan 2  Bài 600. Đại học Nông Nghiệp I năm 1997 – hệ chưa phân ban Cho elip (E) : 4x 2 + 16y2 = 64 . 1/ Xác định các tiêu điểm F1, F2, tâm sai và vẽ (E) . 2/ M là một điểm bất kỳ trên elip. Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm phải F2 8 và tới đường thẳng x = có giá trị không đổi. 3 3/ Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4 3x − 4 = 0 . Xét đường tròn (C ‘) di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm phải F2 và tiếp xúc với đường tròn (C) . Chứng tỏ rằng tâm N của đường tròn (C ‘) nằm trên một hyperbol cố định. Viết phương trình của hyperbol đó. ĐS: 1/ F1;2 ( ) 3 . ∓2 3; 0 , e = 2 MF 3 2/ . = MH 2 x 2 y2 − = 1, 3/ (H) : 4 8  2 3   . x ≥ 3   Bài 601. Đại học Giao Thông Vận Tải đề 2 năm 1997 Cho hyperbol (H) : x2 − y2 = 8 . Viết phương trình chính tắc của Elip (E) đi qua điểm A (4;6) và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hyperbol đã cho. ĐS: (E) : x2 y2 + = 1. 64 48 Bài 602. Đại học Kiến Trúc Hà Nội (Cơ Sở Thủ Đức – Tp. Hồ Chí Minh) năm 1997 Page – 208 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn x 2 y2 − = 1. Cho hyperbol (H) : 16 4 1/ Viết phương trình đường thẳng d là tiếp tuyến của (H) và đi qua điểm A (2; −1) .  M1F2 (F1, F2 là tiêu 2/ Gọi M1 là tiếp điểm của (H) và d. Chứng minh d là phân giác góc F 1 điểm của hyperbol). 3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay do quay miền phẳng giới hạn bởi (H), d, trục Ox quanh Oy.    d ∩ (H) = M 5; 3   1  MF BF1 21π  2  với  . 3/ V = . ĐS: 1/ d : 5x − 6y − 16 = 0 . 2/ CM: 1 1 =    75 16  M1F2 BF2  d ∩ Ox = B  ; 0  5   Bài 603. Đại học Dược Hà Nội năm 1997 – hệ chưa phân ban x 2 y2 − = 1. a 2 b2 1/ Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến với (H) và tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Cho hyperbol (H) : 2/ M là điểm bất kỳ trên (H) . Gọi ∆1, ∆2 là hai đường thẳng đi qua M và tương ứng song song với hai đường tiệm cận của (H) . Chứng minh rằng diện tích hình bình hành được giới hạn bởi ∆1, ∆2 và hai đường tiệm cận là một số không đổi.  b ĐS: 1/ x 2 + y2 = a 2 − b2 ,  y ≠ ±  . a   2/ S = (a a 2 b2 2 ) + b sin φ 2  với φ = (∆1, ∆2 ) . Bài 604. Đại học Đà Nẵng khối B năm 1997 – hệ chưa phân ban Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) với Ox là trục thực, tổng hai bán trục a + b = 7, 3 phương trình hai tiệm cận: y = ± x . 4 1/ Tính độ dài các bán trục, vẽ hyperbol (H) 2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d : 5x − 4y + 10 = 0 . ĐS: 1/ (H) : x 2 y2 − = 1. 4 2 32 2/ 5x − 4y + 4 = 0, 5x − 5y − 4 = 0 . Bài 605. Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Hai đường cong được gọi là trực giao nhau tại giao điểm của chúng khi và chỉ khi tại đó hai tiếp tuyến tương ứng của hai đường cong vuông góc với nhau. Chứng minh hai đường cong sau b đây trực giao nhau tại giao điểm của chúng: x2 − y2 = a và y = với a, b = const . x HD: ● Tìm tọa độ giao điểm của (H) : x2 − y2 = a và d : y = b . x ● Gọi A (x o ; y o ) là một trong các giao điểm đó. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 209 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ● Xác định hệ số góc k1 của tiếp tuyến d1 của (H) tại A. ● Xác định hệ số góc k2 của tiếp tuyến d2 của (H) tại A. ● Chứng tỏ k1k2 = −1 . Bài 606. Đại học Luật Hà Nội năm 2000 Tìm tập hợp điểm M (x; y) trong hệ tọa độ Oxy sao cho khoảng cách từ M đến điểm F (0; 4) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng y = 1 . Tập hợp đó là đường gì ? ĐS: Tập hợp điểm M (x; y) là hyperbol (H) : y2 x 2 − = 1. 4 12 Bài 607. Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm A (−2; 0), B (2; 0), M (x; y) .  1/ Xác định tọa độ điểm M, biết rằng M nằm phía trên trục hoành, so đo góc AMB = 900 và  số đo góc MAB = 300 .  2/ Khi M chuyển động trong mặt phẳng tọa độ sao cho ∆AMB có số đo góc MBA gấp hai lần  số đo góc MAB . Chứng minh rằng M chạy trên một nhánh của đường hyperbol. Xác định tọa độ tiêu điểm của nhánh hyperbol đó. ( ) ĐS: 1/ M 1; 3 .  2 x + 2 = X, y = Y 9  2  3y2 3 = 1 . Đặt  2/ (H) : x +  − 16 16  3  16 2 16 = b2  = a , 3  9 (H ) : X2 Y2 − 2 = 1. a2 b Bài 608. Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh khối V năm 2001 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbol (H) : đến các tiệm cận của nó là một số không đổi. ĐS: d1.d2 = x 2 y2 − =1 a 2 b2 a 2 b2 = hằng số. a 2 + b2 Bài 609. Dự bị 1 – Đại học khối A năm 2006 x 2 y2 + = 1 . Viết phương trình hypebol 12 2 (H) có hai đường tiệm cận là y = ±2x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip (E) . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : ĐS: (H) : Page – 210 – x 2 y2 − = 1. 2 8 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn F – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL   Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy cho điểm cố định F và đường thẳng cố định ∆. Parabol là tập hợp những điểm M của mặt phẳng cách đều một đường thẳng ∆ cố định và một điểm F cố định không thuộc ∆. với H là hình chiếu của M lên ∆ và ● Điểm F được gọi là tiêu điểm. ● Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn. ● ∆ ● S (trung điểm của FL) gọi là đỉnh của . ● Đường thẳng FL được gọi là trục đối xứng của M H . gọi là tham số tiêu của L S F . b/ Phương trình chính tắc của parabol Cho parabol có tiêu điểm và đường chuẩn . với . ● Tọa độ tiêu điểm . ● Phương trình đường chuẩn ● Với có phương trình . thì bán kính qua tiêu điểm của M là c/ Hình dạng của parabol ● nằm về phía bên phải của trục tung. ● nhận trục hoành làm trục đối xứng. ● Toạ độ đỉnh: . ● Tâm sai: ∆ O . Ngoài dạng chính tắc người ta cũng xem các dạng phương trình sau là phương trình chính tắc của parabol: hay . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 211 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học TÌM CÁC THUỘC TÍNH PARABOL – LẬP PHƯƠNG TRÌNH PARABOL Bài 610. Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn và bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm M ∈ (P) có x M = 2 của các parabol (P) sau 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ (P) : y2 = x . (P) : y2 = 4x . (P) : y2 = 8x . (P) : y2 + 6x = 0 . (P) : 3y2 + 12x = 0 . (P) : y2 = 2x . 4/ (P) : y2 = 6x . 6/ (P) : y2 = 16x . 8/ (P) : 3×2 + 12y = 0 . 10/ (P) : 3×2 − 12y = 0 . 2/ Bài 611. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ (P) có tiêu điểm F (2; 0) . (P) có tiêu điểm F (3; 0) . (P) có tiêu điểm F (4; 0) . (P) đi qua điểm M (6; −2) . (P) đi qua điểm M (1; −4) . (P) đi qua điểm M (1; −2) . (P) có đường chuẩn x = −3 . (P) có đường chuẩn x + 2 = 0 . (P) có đỉnh A (1; 3) và đường chuẩn d : x − 2y = 0 . (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 2. (P) có khoảng cách giữa đỉnh và tiêu điểm bằng 3. (P) có khoảng cách từ đỉnh đến đường chuẩn bằng 2. (P) có tham số tiêu bằng 5. 5 . 2 15/ (P) có tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E) : 5×2 + 9y2 = 45 . 14/ 16/ 17/ 18/ (P) qua điểm M với x M = 2 và khoảng từ M đến tiêu điểm là (P) có tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của hypebol (H) : 16×2 − 9y2 = 144 . (P) có tiêu điểm F trùng với tâm của đường tròn (C) : x2 − 6x + y2 + 5 = 0 . (P) cắt đường thẳng d : x + 2y = 0 tại hai điểm M, N và MN = 4 5 . 19/ Độ dài dây cung vuông góc với Ox là 8 và khoảng cách từ dây cung đó đến đỉnh là 4. 20/ Một dây cung của (P) vuông góc với Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của 21/ 22/ (P) đến dây cung này bằng 1. (P) cắt đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại hai điểm A, B và AB = 5 2 . (P) có đỉnh A (1; −2) và (P) chắn trên đường thẳng d : y = x + 1 một dây cung MN = 34 . Page – 212 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn TÌM ĐIỂM THUỘC PARABOL THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – TƯƠNG GIAO Bài 612. Cho parabol (P) : y2 = 4x và điểm M (x o ; yo ) ∈ (P) . 1/ 2/ 3/ Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm F. Tìm tọa độ của điểm M biết MF = 2 . Đường thẳng d qua F cắt (P) tại hai điểm A và B. Chứng minh: AB = x A + x B + 2 . Bài 613. Tốt nghiệp THPT năm 2005 Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x . 1/ Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P) . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4. 3/ Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 . Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4 . Bài 614. Cho parabol (P) : y2 = 12x . 1/ Đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng của parabol (P) tại tiêu điểm F và cắt (P) 2/ tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn MN. Đường thẳng d qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng tích số y A .y B là hằng số. Bài 615. Cho parabol (P) và đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm F cắt (P) tại hai điểm M, N. a/ Tìm toạ độ các điểm M, N. (P) : y2 = 6x . 3/ (P) : y2 = 16x . Cho parabol (P) . 2/ 1/ Bài 616. b/ 4/ Tính MF, MN . (P) : y2 = 2x . (P) : y2 = x . a/ Tìm những điểm M ∈ (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng k. b/ Chọn M có tung độ dương. Tìm điểm A ∈ (P) sao cho ∆AFM vuông tại F. 2/ (P) : y2 = 2x, k = 5 . (P) : y2 = 8x, k = 10 . 3/ (P) : y2 = 16x, k = 4 . 4/ (P) : y2 = 4x, k = 9 . Cho parabol (P) và đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại 1/ Bài 617. Bài 618. hai điểm M, N. a/ Chứng minh x M .x N không đổi. b/ Tính MF, NF, MN theo m. 1/ 2/ (P) : y2 = 2x . (P) : y2 = x . (P) : y2 = 4x . 3/ (P) : y2 = 16x . Cho parabol (P) : y2 = 4x 4/ và đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 . Tìm các điểm M ∈ d để từ đó 1/ Không kẻ được tiếp tuyến nào đến đến (P) . 2/ Kẻ được một tiếp tuyến đến (P) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 213 – Ths. Lê Văn Đoàn 3/ Phần hình học Kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) . Bài 619. Cho parabol (P) : y2 = x và đường thẳng d : x − y − 2 = 0 . 1/ Xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P) . 2/ Tìm tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho 3/ a/ ∆ABC có diện tích bằng 6. b/ ∆ABC đều. Tìm điểm M trên cung AB của parabol (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây cung MA, MB là nhỏ nhất. Bài 620. Cho parabol (P) : y2 = 4x và đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 . 1/ Xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P) . 2/ Tìm điểm X trên (P) sao cho XF = 5 . 3/ Tìm tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho 4/ a/ ∆ABC có diện tích bằng 3 10 . b/ ∆ABC đều. c/ ∆ABC vuông. Tìm điểm M trên cung AB của parabol (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây cung MA, MB là nhỏ nhất. 5/ Tìm điểm N trên (P) có bán kính qua tiêu điểm bằng 10 và tung độ dương. 6/ Tìm điểm Q trên (P) sao cho ∆ONQ vuông tại O. TẬP HỢP ĐIỂM – QUỸ TÍCH Bài 621. Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C) di động luôn đi qua điểm F và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: 1/ F (2; 0), ∆ : x + 2 = 0 . 3/ 2/ F (3; 0), ∆ : x + 3 = 0 . F (1; 0), ∆ : x + 1 = 0 . Bài 622. Cho parabol (P) . Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) tại điểm thứ hai là A. Tìm tập hợp của    a/ Trung điểm M của đoạn OA. b/ Điểm N sao cho NA + 2NO = 0 . 1/ 3/ (P) : y2 = 16x . (P) : y2 = 2x . 2/ 4/ (P) : y2 = 4x . (P) : y2 = x . BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 623. Cao đẳng Báo Chí Marketting khối A năm 2000 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x . 1/ Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn parabol (P) . 2/ Cho điểm A (0;2) . Viết phương trình tiếp tuyến với parabol (P) , biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A. Page – 214 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 624. Cao đẳng Cộng Đồng Tiền Giang năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác Oxy, cho parabol (P) : y = 4×2 . Từ điểm M bất kỳ trên đường chuẩn của Parabol vẽ hai tiếp tuyến đến (P) , gọi T1, T2 là các tiếp điểm. Chứng minh rằng T1, T2 và tiêu điểm F của (P) thẳng hàng. Bài 625. Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2004 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, hãy viết phương trình của Parabol có tiêu điểm F (−2;2) và đường chuẩn ∆ : y = 4 . ĐS: (P) : y = − 21 x 2 −x +2. Bài 626. Cao đẳng Sư Phạm Trà Vinh khối A năm 2005 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = x và điểm M (1;1) thuộc (P) . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d : 2x − y = 0 và tiếp xúc với tiếp tuyến của (P) tại M. 2 2   3  3  5   ĐS: (C) : x −  + y −  = . 4  2  16   Bài 627. Đại học Kinh Tế – Đại học Tài Chính – Đại học Sư Phạm năm 1980 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 − 4y − 8x = 4 . 1/ Xác định tiêu điểm và vẽ parabol (P) . 2/ Viết phương trình đường thẳng chứa dây AB của (P) sao cho điểm M (0; 4) là trung điểm của đoạn AB. 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và dây AB. ĐS: 1/ (P) : (y − 2) = 8 (x + 1) có đỉnh S (−1;2) và tiêu điểm F (1;2) . 2 2/ AB : y = 2x + 4 . 3/ S = 8  1 2   ∫ 2 (y − 4) − 8 (y − 2) 1 2   − 8  .dy .   Bài 628. Đại học Y – Nha – Dược năm 1981 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = 2x . Gọi  t2  F là tiêu điểm của (P), M là điểm có tọa độ  ; t, (t ≠ 0) và N là giao điểm của đường MF  2  với (P), (N ≠ M) . 1/ Tính theo t các tọa độ trung điểm của I của đoạn MN. 2/ Tìm quỹ tích I khi t thay đổi (t ≠ 0) .  t4 + 1 t2 − 1   , (t ≠ 0 ∧ t ≠ ±1) . 2/ Parabol (P ‘) : y2 = x − 1 bỏ điểm F  1 ; 0 . ; ĐS: 1/ I  2 2  2 2t   2   4t “Cần cù bù thông minh…………” Page – 215 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học Bài 629. Đại học Bách Khoa – Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1982 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho A (2; 0) và điểm M di chuyển trên đường tròn (C) tâm O bán kính bằng 2, còn điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên trục tung.   1/ Tính tọa độ của giao điểm P của các đường thẳng OM và AH theo góc α = OA, OM . ( ) 2/ Xác định và vẽ quỹ tích của P khi M chạy trên (C) . Cho biết các đặc điểm của quỹ tích này.  2 cos α 2 sin α  ∀α ≠ π + k2π ,  ; . ĐS: 1/ P  1 + cos α 1 + cos α  k ∈  2/ (P) : y2 = 4 (x − 1) trừ đỉnh S (0;1) . Bài 630. Đại học Bách Khoa – Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1992 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho điểm F (3; 0) và đường thẳng d có phương trình: 3x − 4y + 16 = 0 . 1/ Tính khoảng cách từ F đến d. Từ đó suy ra phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với d. 2/ Viết phương trình parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ O. Chứng minh rằng parabol tiếp xúc với d. Tìm tọa độ tiếp điểm. ĐS: 1/ d (F, d) = 5, (x − 3) 2 + y2 = 25 .  16  2/ (P) : y2 = 12x, tiếp xúc tại A  ; 8 .  3  Bài 631. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, xét hình bị chắn phía dưới bởi parabol (P) : y = x 2, bị chắn phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm M (1; 4) và có hệ số góc k. Xác định k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất và khi đó tìm tọad độ giao điểm của đường thẳng và parabol. ĐS: Smin = ( ) ( 13 12 ⇔ k = 2 khi A 1 + 3; 4 + 2 3 , B 1 − 3; 4 − 2 3 6 ) Bài 632. Đại học Nông Lâm năm 1994 Cho parabol (P) : y = x2 và hai điểm A, B di động trên (P) sao cho AB = 2a với a là số nguyên dương cho trước. Xác định vị trí của A, B để diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường thẳng AB và (P) đạt giá trị lớn nhất. ( ) ( ) ( ) ĐS: A −a; a 2 , B a;a 2 , a ∈ + . Bài 633. Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 – Đại học Mỏ Địa Chất năm 1998 Cho M là một điểm thuộc Parabol (P) : y2 = 64x và N là một điểm thuộc đường thẳng d : 4x + 3y + 46 = 0 . 1/ Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất. 2/ Với kết quả đã tìm được ở câu 1/, chứng tỏ rằng khi đó MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của Parabol (P) .  37 126  . ĐS: 1/ M (9; −24), N  ; − 5   5 Page – 216 – 2/ Hiển nhiên MN ⊥ d . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 634. Đại học Huế năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y = đường thẳng d : 2mx − 2y + 1 = 0 . 1 2 x và 2 1/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d luôn đi qua tiêu điểm của (P) và cắt 2/ (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến M, N của parabol (P) . 1 ĐS: 1/ Quỹ tích là parabol (P ‘) : y = x2 + . 2 2/ (T1, T2 ) = π (hai tiếp tuyến vuông góc). 2 Bài 635. Đại học Đà Nẵng năm 1995 Cho Parabol (P) : y2 = 2x . 1/ Xác định đường chuẩn, tiêu điểm của (P) và vẽ (P) . 2/ Cho đường thẳng ∆ : x − 2y + 6 = 0 . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa ∆ và (P) . 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), trục Ox và tiếp tuyến tại A (2;2) . ĐS: 2/ dmin = ( ) 4 5 = d A; (P) . 5 2/ 1 (tt) : y = 2 x + 1, Shp = 4 (đvdt) . 3 Bài 636. Đại học Kiến Trúc Hà Nội khối A năm 1995 Hai đường cong gọi là trực giao tại A nếu chúng cắt nhau tại A và tại đó hai tiếp tuyến của hai x2 y2 đường cong vuông góc với nhau. Tìm mối liên hệ giữa a và b để elip (E) : 2 + 2 = 1 và a b 2 parabol (P) : y = 2x trực giao với nhau tại giao điểm của chúng. ĐS: a 2 = 2b2 . Bài 637. Đại học Luật Tp. Hồ Chí Minh năm 1995 Cho parabol (P) : y2 = 16x . Viết phương trình tiếp tuyến của parabol 1/ Đi qua điểm A (1; −4) . 2/ Vuông góc với đường thẳng : 2x − y + 5 = 0 . ĐS: 1/ 2x + y + 2 = 0 . 2/ x + 2y + 16 = 0 . Bài 638. Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho hai đường parabol y = 8 − 3x − 2×2 và y = 2 + 9x − 2×2 . 1/ Hãy xác định các giá trị của a và b sao cho đường thẳng y = ax + b đồng thời là tiếp tuyến của hai parabol và xác định tọa độ các tiếp điểm. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến được xác định ở trên. ĐS: 1/ a = 1; b = 10 “Cần cù bù thông minh…………” M1 (−1; 9), M2 (2;12) . Page – 217 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 1 2 2/ Shp = ∫ (x + 10 + 2x −1 2 ) 2 ( ) + 3x − 8 dx +∫ x + 10 + 2×2 − 9x − 2 dx = 1 2 9 (đvdt) . 2 Bài 639. Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 1996 Cho phương trình đường tròn (Cm ) : x 2 + y2 − 4mx − 2 (m + 1) y = 1 . 1/ Chứng minh rằng ∀m, (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định. 2/ Tìm quỹ tích tâm các đường tròn (Cm ) . Chứng minh rằng quỹ tích đó tiếp xúc với parabol (P) : y 2 = 2x . 1 2 ĐS: 1/ M1 (−1;2), M2  ; −  .  5 5  2/ d : x − 2y + 2 = 0 . Điểm chung duy nhất H (2;2) . Bài 640. Đại học Đại Cương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1996 Cho parabol (P) : y = x 2 − 2x + 3 và d là đường thẳng cùng phương với đường thẳng y = 2x sao cho d cắt (P) tại hai điểm A và B. 1/ Viết phương trình của d khi hai tiếp tuyến với (P) tại A và B vuông góc với nhau. 2/ Viết phương trình của d khi độ dài của đoạn thẳng AB bằng 10. ĐS: 1/ d : 8x − 4y + 1 = 0 . 2/ d : 2x − y + 4 = 0 . Bài 641. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho điểm A (0;2) và parabol (P) : y = x 2 . Xác định các điểm M trên (P) sao cho AM ngắn nhất. Chứng tỏ rằng AM vuông góc với tiếp tuyến của parabol (P) tại M.  6 3   6 3     ;  hoặc M − ;  . PTTT: d : 2x o x − y − y o = 0 ⇒ AM ⊥ d tại M. ĐS: M   2 2   2 2  Bài 642. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A, B năm 1997 Cho parabol (P) : y =  15 27  x2 và điểm A  ;  . 2  8 8   1 1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M1 − 1;  và vuông góc với tiếp tuyến của 2   (P) tại M. 2/ Tìm tất cả các điểm M ở trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M. ĐS: 1/ 2x − 2y + 3 = 0 .   5 25   3 9 1 2/ M1 −1; , M2  ; , M3 − ;  . 2    2 8   2 8  Bài 643. Đại học Đà Nẵng khối A năm 1997 Cho parabol (P) : y2 = 16x . Page – 218 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn 1/ Lập phương trình tiếp tuyến với (P) sao cho nó vuông góc với đường thẳng ∆ có phương trình là : 3x − 2y + 6 = 0 . 2/ Lập phương trình tiếp tuyến với (P) qua điểm M (−1; 0) . ĐS: 1/ (T) : 2x + 3y + 18 = 0 . 2/ 2x ± y + 2 = 0 . Bài 644. Đại học Đà Nẵng khối A năm 1998 – hệ chưa phân ban Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = 2x và đường thẳng d : 2x − 2my − 1 = 0 . 1/ Xác định tiêu điểm F và viết phương trình đường chuẩn của parabol (P) . 2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. 3/ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi. 1  1 1 ĐS: 1/ F  ; 0, x = − . 2/ ∆ ‘ = m 2 + 1 > 0 d ∩ (P) = {M; N} . 3/ (P ‘) : y2 = x − .  2 2 2  Bài 645. Đại học Dược Hà Nội năm 1998 Lập phương trình các tiếp tuyến chung của elip (E) : ĐS: d1 : 3x + 2 3y + 12 = 0, x 2 y2 + = 1 và parabol (P) : y2 = 12x . 8 6 d2 : 3x − 2 3y + 12 = 0 . Bài 646. Học Viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Cho parabol (P) : y2 = x và gọi F là tiêu điểm của (P) . Giả sử đường thẳng d đi qua F, cắt (P) tại hai điểm M1 và M2. 1/ Tính M1M2 khi d song song với trục Oy. 2/ Giả sử d không song song với Oy. Gọi k là hệ số góc của d. Tính M1M2 theo k. Xác định các điểm M1, M2 sao cho M1M2 ngắn nhất.  1 1 ĐS: 1/ M1M2 = 1 . 2/ d : y = k  x − , k ≠ 0 M1M2 = 2 + 1 > 1 . 4  k  Do đó, (M1M2 ) min 1 1 1 1 = 1 ⇔ d // Oy và M1  ; − , M2  ;  .  4 2   4 2  Bài 647. Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội năm 1998 Cho parabol (P) : y2 = 4x . 1/ Chứng minh rằng từ điểm N tùy ý thuộc đường chuẩn của parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. 2/ Gọi T1 và T2 là tiếp điểm. Chứng minh rằng đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định khi N chạy trên đường chuẩn của parabol. 3/ Cho M là một điểm thuộc parabol (M khác đỉnh của parabol). Tiếp tuyến tại M của parabol cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M chạy trên parabol đã cho. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 219 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ĐS: 1/ Chứng minh theo hai cách. 2/ Luôn qua F (1; 0) . 1 3/ y2 = − x, (x < 0) . 2 Bài 648. Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1999 Cho parabol (P) : y2 = 4x . Một đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của parabol đã cho và cắt parabol đó tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của parabol là một đại lượng không đổi HD: Tiêu điểm F (1; 0) . Gọi d là đường thẳng qua F. Tính tung độ y A , y B và y A .y B = 4 ??? Bài 649. Đại học Anh Ninh Hà Nội khối D năm 1999 – hệ phân ban Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol: y = x2 + x − 2 và y = −x2 + 7x − 11 . ĐS: d1 : y = x − 2 ∨ d2 : y = 7x − 11 . Bài 650. Đại học Nông Nghiệp khối B năm 1999 hệ chưa phân ban Cho parabol (P) : y2 = x và hai điểm A (4; −2), B (1;1) thuộc parabol. Hãy tìm điểm M nằm trên cung của parabol giới hạn bởi A và B sao cho diện tích tam giác AMB lớn nhất. 1 AB.d (M, d) 2  1 1 5 2 = ⇔ M  ; −  . 8  4 2  ĐS: d ≡ AB : x + y − 2 = 0 và S∆AMB = ⇔ (S∆AMB ) max khi d (M, d) max Bài 651. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 2 khối A, B năm 1999 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = 4x và hai đường thẳng: (D) : m 2 x + my + 1 = 0 và (L) : x − my + m2 = 0 với m ≠ 0 . 1/ Chứng minh (D) ⊥ (L) và giao điểm M của (D) và (L ) di động trên một đường thẳng cố định khi m thay đổi. 2/ Chứng minh (D) và (L ) luôn tiếp xúc với (P) . Gọi A và B lần lượt là các tiếp điểm của (D) và (L) với (P) . Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.   ĐS: 1/ n(D).n(L) = 0 và quỹ tích là đường x = − 1 . 2/ AB qua điểm cố định F (1; 0) . Bài 652. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 x2 + y2 = 1 . 9 1/ Chứng minh rằng parabol và elip cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D. 2/ Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó. Cho parabol (P) : y = x2 − 2x và elip (E) : ĐS: 1/ 9x 4 − 36x 3 + 37x 2 − 9 = 0 . Xét f (x) = 9x 4 − 36x 3 + 37x2 − 9 liên tục trên  và f (x ) = 0 có 1 nghiệm x1 trong khoảng (−1; 0), f (x ) = 0 có 1 nghiệm x2 trong (0;1), f (x) = 0 có 1 nghiệm x3 trong (1;2) và f (x) = 0 có 1 nghiệm x4 trong (2; 3) . Page - 220 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 2/ (C) : x 2 + y2 − Ths. Lê Văn Đoàn 16 8 x − y − 1 = 0 có tâm 9 9 8 4 161 . I  ;  và bán kính R = 9  9 9  Bài 653. Đại học Thăng Long khối A năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y = 2x2 và đường thẳng ∆ : y = 2 (x + 2) . 1/ Tìm điểm M ∈ (P) sao cho tiếp tuyến của (P) tại M song song với ∆ . 2/ Tính khoảng cách d từ M đến ∆ . 3/ Gọi A, B là hai giao điểm của (P) với ∆ . Chứng minh rằng diện tích của miền giới hạn bởi (P) và ∆ bằng 2 tích của d với độ dài đoạn AB. 3 1 ĐS: dm : y = 2x − . 4 Bài 654. Đại học Ngoại Thương Hà Nội khối D năm 2000 Cho parabol y2 = 8x và điểm I (2; 4) nằm trên parabol. Xét góc vuông thay đổi quanh điểm I và hai cạnh của góc vuông cắt parabol tại M và N (khác điểm I). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.   2  M  m ; m    8          n2  IM.IN =0  mn + 4 (m + n) + 80 = 0   ⇒ ∀m, n ⇔  A (10; −4) . ĐS: N  ; n   8  A ∈ MN 8x o − (m + n) yo + mn = 0     A (x o ; y o ) ∈ MN   Bài 655. Đại học Hàng Hải năm 2000 Cho Parabol (P) có tiêu điểm F (2; 0), đường chuẩn Oy, trục đối xứng Ox. 1/ Lập phương trình của parabol (P) . 2/ Chứng minh rằng từ điểm A bất kỳ trên trục Oy ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến đến parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc nhau. ĐS: 1/ (P) : y2 = 4x − 4 . 2/ Phương trình d đi qua A (0; a ) ∈ Oy : y = kx + a, (k ≠ 0) . y2 + 4 + a ⇔ ky2 − 4y + 4k + 4a = 0 . Phương trình tung độ giao điểm y = k. 4 Bài 656. Đại học Đà Nẵng đợt 1 khối A năm 2000  5 3 Cho parabol (P) có tiêu điểm F 2; −  và đường chuẩn d : y = − .   4 4 1/ Lập phương trình của parabol (P) . 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và trục Ox. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) song song với trục Ox. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 221 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học ĐS: 1/ (P) : y = x − 4x + 3 . 2/ S = 2 3 ∫ (−x 2 ) 4 . 3/ (tt) // Ox : y = 1 . 3 + 4x − 3 dx = 1 Bài 657. Học Viện Quân Y Hà Nội năm 2000 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = 64x và đường thẳng ∆ : 4x − 3y + 46 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆, tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất. 2 2  37   126     = 4. ĐS: (C) : x −  + y − 5   5   Bài 658. Đại học Ngoại Thương Hà Nội khối A, D năm 2000 Cho parabol (P) : y2 = 8x và điểm I (2; 4) nằm trên parabol. Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và hai cạnh của góc vuông cắt parabol tại hai điểm M và N (khác với điểm I). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định. HD: Nhận xét rằng I khong thể có hai đường thẳng song song với các trục tọa độ thỏa YCBT. Do đó, phương trình hai đường d1 và d2 qua I và vuông góc với nhau là d : y = k (x − 2) + 4 M = (P) ∩ d  1  (k ≠ 0) và N = P ∩ d 1 d : y = − 1 (x − 2) + 4 ( ) 2   2 k MN : (y + 4) k2 + (y + x − 6) k + (y + 4) = 0 và MN qua điểm cố định A (10; −4) . Bài 659. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2000 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng y = mx + 1 . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng luôn luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt A và B. Hãy tìm quỹ tích tâm vòng tròn ngoại tiếp ∆OAB khi m thay đổi với O là gốc tọa độ. ĐS: Tâm I nằm trên parabol (P ') : y = 2x 2 + 1 . Bài 660. Trung Tâm Đạo Tào Bồi Dưỡng Cán Bộ Y Tế Tp. Hồ Chí Minh 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho parabol (P) : y2 = 4x và M là điểm thay đổi trên đường thẳng (∆) : x = −1 . 1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm, đường chuẩn của (P) . Hãy vẽ (P) . 2/ Chứng minh rằng từ M luôn luôn kẻ được hai tiếp tuyến (d1 ), (d2 ) đến (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc nhau. 3/ Gọi M1, M2 lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến của (d1 ), (d2 ) ở câu 2 với (P) . Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2 . ĐS: 1/ F (1; 0), (∆) : x = −1 . 2/ ∆ ' = m 2 + 4 > 0 và kd .k d = 1 2 3/ Quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2 là parabol (P ‘) : x = 2 2 4 . = = −1 . y1 y 2 −4 1 2 y +1. 2 Bài 661. Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 2001 Page – 222 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P) có đỉnh tại gốc tọa độ và đi qua điểm 5  A 2; 2 2 . Đường thẳng d đi qua điểm I  ;1 cắt (P) tại hai điểm M, N sao cho MI = IN .  2  Tính độ dài đoạn MN. ( ) ĐS: MN = 3 5 . Bài 662. Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol với phương trình y2 = 8x . 1/ Tìm tọa độ tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. 2/ Qua tiêu điểm kẻ đường thẳng bất kì cắt parabol tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng các tiếp tuyến với parabol tại A và B vuông góc nhau. 3/ Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với parabol, sao cho chúng vuông góc nhau. ĐS: 1/ F (2; 0), x = −2 . 2/ k1.k2 = 4 4 . = −1 . y1 y2 3/ Đường thẳng x + 2 = 0 . Bài 663. Dự bị 2 – Đại học khối A năm 2003 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y2 = x và điểm I (0;2) . Tìm toạ độ hai   điểm M, N thuộc (P) sao cho IM = 4IN . ĐS: M (4; −2), N (1;1) hoặc M (36;6), N (9; 3) . Bài 664. Đại học khối D năm 2008 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A (1; 4) . Hai điểm  phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC = 900 . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. ĐS: Viết phương trình đường thẳng BC “Cần cù bù thông minh…………” BC đi qua điểm cố định I (17; −4) . Page – 223 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học G – BA ĐƯỜNG CONIC   Định nghĩa  Đường côníc là tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đường thẳng cố định không đi qua điểm cố định ấy, bằng một hằng số dương e.  Hằng số dương e chính là tâm sai của đường côníc . + Nếu là elíp. + Nếu là parabol. + Nếu là hyperbol.  Các dạng toán thường gặp a/ Dạng toán 1. Chứng minh đường cong là một côníc  Phương pháp  Bước 1. Biến đổi . về dạng  Bước 2. Biện luận theo ta được dạng của đường cong. b/ Dạng toán 2. Lập phương trình của một côníc  Phương pháp: Nếu biết tâm sai e, một tiêu điểm và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó . thì ta sử dụng tính chất: c/ Dạng toán 3. Tiếp tuyến của đường côníc  Trong mặt phẳng tọa độ cho đường côníc Điều kiện cần và đủ để d tiếp xúc với và đường thẳng . là Điều kiện cần và đủ để d tiếp xúc với Phương trình của Elíp Hyperbol Parabol  Trong mặt phẳng tọa độ với trình Page – 224 – tại điểm cho đường côníc thuộc . Phương trình tiếp tuyến tương ứng với các dạng của phương như sau: “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn (ℑ) (ℑ) (E ) : x2 a 2 + (H) : y2 2 b x2 a2 =1 − y2 b2 =1 d: xox d: xox a a 2 2 + yo y − yo y b2 b2 M (x o ; yo ) ∈ (ℑ) =1 =1 d : yo y = p (x + x o ) (P) : y2 = 2px (ℑ) d : Ax + By + C = 0 (ℑ) M (x o ; yo ) ∈ (ℑ) M (x o ; yo ) ∉ (ℑ), d : A ( x − x o ) + B (y − y o ) = 0 ⇔ d : Ax + By − Ax o − Byo = 0 ∆ : Ax + By + C = 0 d : Ax + By + D = 0 ∆ : Ax + By + C = 0 d : Bx − Ay + D = 0 d : y = kx + m ⇔ d : kx − y + m = 0 ∆ : Ax + By + C = 0   u∆ .u d cos α =   u∆ . u d tan α = k∆ − k d 1 + k∆ .kd α   u∆, u d k∆ , k d  Phương pháp 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi tọa độ để giải.  Bước 1. Giả sử điểm là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng độ) và “Cần cù bù thông minh…………” (phân đôi tạo . Page – 225 – Ths. Lê Văn Đoàn Page – 226 – Phần hình học “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn BÀ NG BAI TẬ TÂP ÁAP DỤ DUNG Bài 665. Xác định tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các côníc x 2 y2 x 2 y2 2/ 3/ y2 = 6x . + = 1. − = 1. 8 4 15 20 Bài 666. Viết phương trình côníc trong mỗi trường hợp sau 1/ Tiêu điểm F (3;1), đường chuẩn ∆ : x = 0 và tâm sai e = 1 . 1/ 3/ 1 . 2 Tiêu điểm F (2; −5), đường chuẩn ∆ : y = x và tâm sai e = 2 . 4/ Tiêu điểm F (−3; −2), đường chuẩn ∆ : x − 2y + 1 = 0 và tâm sai e = 3 . 5/ Tiêu điểm F (3; 0), đường chuẩn ∆ : x + 3 = 0 và tâm sai e = 1 . 2/ 6/ 7/ 8/ Tiêu điểm F (−1; 4), đường chuẩn ∆ : y = 0 và tâm sai e = 1 . 2 8 3 Tiêu điểm F (−2; 0), đường chuẩn ∆ : x = − và tâm sai e = . 9 2 Côníc là một elíp (E) có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5 và khoảng cách giữa hai Tiêu điểm F (−2; 0), đường chuẩn ∆ : x = −8 và tâm sai e = tiêu điểm là 4. 9/ Côníc là một elíp (E) có tâm sai e = 3 và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường 4 16 . 3 10/ Côníc là một hyperbol (H) có hai đường tiệm cận là 4x ± 3y = 0 và khoảng cách giữa chuẩn là hai đường chuẩn là 18 . 5 11/ Côníc là một hyperbol (H) có một đường chuẩn x = 16 5 và tâm sai e = . 5 4 1 12/ Côníc có tâm sai e = , một tiêu điểm là F (−3;1) và phương trình đường chuẩn ứng 2 với tiêu điểm đó là ∆ : y + 2 = 0 . 13/ Côníc là một parabol với tiêu điểm F (0;2) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là 3x − 4y − 12 = 0 . ( ) 14/ Côníc là một elíp (E) có tâm là O, tiêu điểm ở trên Ox, đi qua điểm M − 3;1 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 6. 2 15/ Côníc là một elíp (E) có tâm sai e = , một tiêu điểm F (2;1) và phương trình đường 3 chuẩn ứng với tiêu điểm đó là ∆ : 3x − 4y − 12 = 0 . 16/ Côníc là một hyperbol (H) với tiêu điểm F (2; −3) đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là 3x − y + 3 = 0 và tâm sai e = 5 . 17/ Côníc là một hyperbol (H) có tâm sai e = 2 , một tiêu điểm F (1;1) và phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là ∆ : x − y − 2 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 227 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học 18/ Côníc là một parabol (P) có tiêu điểm là O và đường chuẩn x − y − 2 = 0 . Bài 667. Biện luận theo m hình dạng của côníc có phương trình 1/ 2/ (ℑ) : (m − 1) x2 + my2 = m2 − m . (ℑ) : m2 x2 + (m2 − 9) y2 + 18my − 9m2 = 0 với m > 0 . Bài 668. Chứng tỏ rằng phương trình Ax2 + By2 + F = 0 với AF < 0 1/ 2/ 3/ Là phương trình của một đường tròn có tâm O (0; 0) nếu A = B . A ≠ B . Tìm tọa độ các tiêu điểm, Là phương trình của một elíp có đỉnh O (0; 0) nếu   A.B > 0 phương trình đường chuẩn của elíp đó. A ≠ B Là phương trình của một hyperbol có đỉnh O (0; 0) nếu  . Tìm tọa độ các tiêu  A.B < 0 điểm, phương trình đường chuẩn của hyperbol đó. Bài 669. Chứng tỏ rằng phương trình Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 với A.B > 0  C2  D2   1/ Là một phương trình của một elíp nếu A. + − E > 0 . Tìm tọa độ các tiêu điểm,  4A 4C  phương trình đường chuẩn của elíp đó.  C2  D2 2/ Là một phương trình của một hyperbol nếu A. + − E < 0 . Tìm tọa độ các tiêu  4A 4C  điểm, phương trình đường chuẩn của hyperbol đó. C2 D2 + − E = 0. 4A 4C Bài 670. Chứng tỏ rằng phương trình Ax2 + Bx + Cy + D = 0 với A ≠ 0 1/ Là một phương tình của một parabol nếu C ≠ 0 . 2/ Là một phương trình của đường thẳng nếu C = 0 và B2 − 4AD = 0 . 3/ Là phương trình của hai đường thẳng nếu C = 0 và B2 − 4AD > 0 . 3/ Là một điểm nếu 4/ Là tập rỗng nếu C = 0 và B2 − 4AD < 0 . Bài 671. Chứng tỏ rằng phương trình Ay2 + By + Cx + D = 0 với A ≠ 0 1/ Là một phương tình của một parabol nếu C ≠ 0 . 2/ Là một phương trình của đường thẳng nếu C = 0 và B2 − 4AD = 0 . 3/ Là phương trình của hai đường thẳng nếu C = 0 và B2 − 4AD > 0 . 4/ Là tập rỗng nếu C = 0 và B2 − 4AD < 0 . Bài 672. Chứng tỏ rằng phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (∗) 1/ Là phương trình của một elíp nếu B2 − AC < 0 . 2/ 3/ 4/ 5/ Là phương trình của một hyperbol nếu B2 − AC > 0 . Là phhương trình của một parabol nếu B2 − AC = 0 . Là phương trình của một đường tròn nếu B = 0 và A = C ≠ 0 . Là phương trình của một elíp hoặc hyperbol có trục cùng phương với trục tọa độ nếu B = 0 và A.C ≠ 0 và A ≠ C . Là phương trình của 2 đường thẳng nếu (∗) có nghiệm y là phương trình bậc nhất theo x. 6/ Bài 673. Cho elíp (E) : 4×2 + 16y2 = 64 . Page – 228 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II 1/ 2/ Ths. Lê Văn Đoàn Xác định các tiêu điểm F1, F2, tâm sai và vẽ elíp. M là một điểm bất kỳ trên elíp. Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x = 3/ 8 3 có giá trị không đổi. 3 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x 3 − 4 = 0 . Xét đường tròn (C1 ) di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm phải F2 và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) . Chứng tỏ rằng các tâm N của đường tròn (C1 ) nằm trên một hyperbol cố định. Viết phương trình hyperbol. Bài 674. Cho hyperbol (H) có phương trình (H) : 1/ 2/ 3/ x2 y2 = 1. a 2 b2 Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn. Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiệm cận. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm đến các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn. ( − ) Bài 675. Tính góc α, 0 < α ≤ 900 giữa các đường tiệm cận của hyperbol. Biết khoảng cách giữa các tiêu điểm gấp 2 lần khoảng cách giữa các đường chuẩn. Bài 676. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elíp 2 2 (E ) : x2 + y 2 = 1 là a 2A2 + b2B2 = C2 . hyperbol (H) : x2 a b Bài 677. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với 2 − y2 2 = 1 là a 2 A 2 − b 2 B2 = C2 . a b Bài 678. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với parabol (P) : y2 = 2px là B2p = 2AC . Bài 679. Chứng minh rằng phương trình tiếp tuyến với elíp (E) : M (x o ; yo ) ∈ (E) có dạng : xo x a 2 + yo y b2 x2 a2 + xo x a2 − yo y b2 = 1 tại điểm b2 = 1. Bài 680. Chứng minh rằng phương trình tiếp tuyến với hyperbol (H) : M (x o ; yo ) ∈ (H) có dạng : y2 x2 a2 − y2 b2 = 1 tại điểm = 1. Bài 681. Chứng minh rằng phương trình tiếp tuyến với parabol (P) : y2 = 2px tại điểm M (x o ; yo ) ∈ (P) có dạng : y o y = p (x + x o ) . Bài 682. Cho điểm M (1;2) . Lập phương trình tiếp tuyến của côníc (ℑ) đi qua M, biết 1/ (ℑ) : x 2 y2 + = 1. 2 8 2/ (ℑ) : x2 − y2 = 1. 2 x2 y2 + = 1. 9 4 Chứng minh rằng qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến (E) . Bài 683. Cho điểm M (3; −4) và elíp (E) có phương trình (E) : 1/ "Cần cù bù thông minh…………" Page - 229 - Ths. Lê Văn Đoàn 2/ Phần hình học Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm A (3; 0) . 4/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm B (2; 3) . 5/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) , biết tiếp tuyến song song với d1 : x − 2y + 6 = 0 . 6/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x . 7/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến tạo với d3 : 2x − y = 0 một góc bằng 60 0 . 1/ x 2 y2 − = 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (H) . Biết tiếp tuyến 9 16 Đi qua điểm A (3; 0) . 2/ Đi qua điểm B (3;2) . 3/ Song song với đường thẳng d1 : x − y + 1 = 0 . 4/ Vuông góc với đường thẳng d2 : x − 2y + 3 = 0 . 5/ Tạo với đường thẳng d3 : x − 2y − 4 = 0 một góc bằng 45 0 . Bài 684. Cho hyperbol (H) : Bài 685. Cho parabol (P) : y2 = 2x . Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến 6/ Đi qua điểm A (2;2) . 7/ Đi qua điểm B (2; 3) . 8/ Song song với đường thẳng d1 : 3x − 4y + 1 = 0 . 9/ Vuông góc với đường thẳng d2 : 4x − 3y + 7 = 0 . 10/ Tạo với đường thẳng d3 : 2x − y = 0 một góc bằng 60 0 . Bài 686. Cho đường thẳng ∆ : 2x − y − 1 = 0 và parabol (P) : y2 = 2x . 1/ Lập phương trình tiếp tuyến của parabol (P) vuông góc với đường thẳng ∆ . 2/ Gọi M là tiếp điểm của (P) với tiếp tuyến d. Hãy lập phương trình đường tròn tâm M và tiếp xúc với đường thẳng ∆. Bài 687. Cho parabol (P) : y = x2 − 2x + 3 và d1 : y = 2x . Đường thẳng d là đường thẳng cùng phương với đường thẳng d1 sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. 1/ Lập phương trình của d khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau. 2/ Lập phương trình của d khi độ dài AB = 40 . (x − 1) 2 Bài 688. Cho điểm M (−2;9) và hyperbol (H) : của hyperbol (H) đi qua điểm M. 9 (y − 1) 2 − 16 = 1 . Lập phương trình tiếp tuyến Bài 689. Lập phương trình tiếp tuyến chung của 1/ 2/ Page - 230 - x2 y2 + =1 4 9 x2 y2 E : + ( ) 4 9 =1 (E ) : & (C) : x2 + y2 = 5 . & (H ) : x 2 y2 − = 1. 8 27 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II x2 y2 + = 1. 9 4 3/ (E ) : 4/ (E1 ) : 5/ 6/ x2 y2 + = 1. 9 4 x 2 y2 H : ( ) 9 − 4 =1 x 2 y2 H : ( ) 16 − 4 = 1 7/ (C) : (x + 2) 8/ (H1 ) : 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 2 + y2 = 4 x 2 y2 − =1 9 4 x 2 y2 − =1 9 4 x2 y2 E : + ( ) 9 4 =1 x 2 y2 ( H) : 9 − 4 = 1 x2 y2 (E ) : 9 + 4 = 1 (P1 ) : y = x2 + 2x + 2 ( H) : Bài 690. Cho elíp (E) : x2 Ths. Lê Văn Đoàn & (C) : x2 + y2 = 9 . & (E 2 ) : & (C) : x2 + y2 = 4 . & (C) : (x + 2) & (P) : y2 = 12x . & (H 2 ) : & (E ) : & (P) : y2 = 12x . & (P) : y2 = 2x . & & x2 y2 + = 1. 4 9 2 + y2 = 4 . x 2 y2 − = 1. 4 9 x2 y2 + = 1. 4 9 (P) : y2 = 2x . (P2 ) : y = x2 . y2 = 1 , (a > b) . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ các tiêu điểm đến a2 b2 một tiếp tuyến bất kỳ của elíp (E) bằng bình phương độ dài trục nhỏ của elíp. + Bài 691. Cho hyperbol (H) : x2 y2 = 1 . Một tiếp tuyến bất kỳ của (H) là d tiếp xúc với (H) tại điểm a 2 b2 T. Gọi M, N là các giao điểm của tiếp tuyến d với các đường tiệm cận của (H) . − 1/ Chứng minh rằng T là trung điểm của MN. 2/ Chứng minh rằng diện tích ∆OMN không phụ thuộc vào tiếp tuyến d. Bài 692. Cho parabol (P) . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại hai đầu mút của dây cung qua tiêu vuông góc với nhau tại một điểm trên đường chuẩn. Bài 693. Cho elíp (E) : x2 Bài 694. Cho elíp (E) : x2 y2 = 1 và hai điểm M, N trên elíp (E), sao cho mỗ tiêu điểm F1, F2 của a2 b2 (E) nhìn đoạn MN dưới một góc vuông. Hãy xác định vị trí M, N trên tiếp tuyến ấy. + y2 = 1 với 0 < b < a có hai tiêu điểm F1, F2 . Đường thẳng di động d a2 b2 luôn đi qua F2 cắt (E) tại P, Q. 1/ 2/ 3/ + Đặt (Ox, F2P) = α, (0 ≤ α ≤ 2π) . Tính độ dài F2 P, F2Q theo a, b, α . 1 1 + không đổi. F2P F2Q Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn PQ. Chứng minh: "Cần cù bù thông minh…………" Page - 231 - Ths. Lê Văn Đoàn 4/ Phần hình học Đường thẳng F1P cắt elíp (E) tại S ≠ P . Chứng minh Bài 695. Cho điểm F (−1; 0) và đường thẳng ∆ : x + 4 = 0 . F2 P F2Q + F1P F1S không đổi. MF 1 = là một elíp (E) . d (M, ∆) 2 1/ Chứng minh rằng quỹ tích các điểm M sao cho 2/ Từ điểm N tùy ý trên đường thẳng ∆ kẻ được hai tiếp tuyến đến (E) và tiếp xúc với (E) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua F và xác định vị trí của N để độ dài đoạn PQ là nhỏ nhất. Bài 696. Cho hai điểm M (−2; m), N (2; n) và elíp (E) : x2 + 4y2 = 4 . 1/ Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn của elíp. Hãy viết phương trình các đường thẳng A1N và A2M và xác định tọa độ giao điểm I của chúng. 2/ Cho MN thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với elíp (E) . Tìm quỹ tích của điểm I. 1/ 2/ x2 y2 + = 1 và A (−3; 0), M (−3; 0), N (3; 0), N (3; n) . 9 4 Xác định tọa độ giao điểm I của AN và BM. Chứng tỏ rằng để MN tiếp xúc với elíp (E) thì điều kiện cần và đủ là m, n thỏa mãn biểu 3/ thức m.n = 4 . Với m, n thay đổi nhưng MN luôn tiếp xúc với elíp (E) . Tìm quỹ tích của điểm I. Bài 697. Cho elíp (E) : Bài 698. Cho elíp (E) : x2 + y2 = 1 với F1, F2 là các tiêu điểm và A1, A2 là các đỉnh thuộc trục lớn a2 b2 của nó. Lấy M ∈ (E) và H1, H2 lần lượt theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F1, F2 lên tiếp tuyến với (E) tại M. Gọi (C) là đường tròn đường kính A1A2 . 1/ Chứng minh H1, H2 ∈ (C) . 2/ Các đường thẳng H1F2, H2 F2 cắt đường tròn (C) theo thứ tự tại các điểm K1, K2 . Chứng minh rằng H1H2 K2K1 là hình chữ nhật. Bài 699. Cho elíp (E) : x2 Bài 700. Cho elíp (E) : x2 Bài 701. Cho elíp (E) : x2 y2 = 1 với a > b . Tiếp tuyến tại M của elíp (E) cắt đường chuẩn ∆2 tại a2 b2 N. Chứng minh rằng tiêu điểm F2 nhìn MN dưới một góc vuông. + y2 = 1 với a > b . Tiếp tuyến tại M của elíp (E) cắt hai trục tọa độ tại S1 a2 b2 và S2 . Xác định tọa độ của M để ∆OS1S2 có diện tích là nhỏ nhất. + y2 + 2 = 1 với a > b . Từ điểm K tùy ý trên đường chuẩn ∆ kẻ được hai tiếp a2 b tuyến đến (E) và tiếp xúc với (E) tại hai điểm H1, H2 . 1/ Chứng minh rằng đường thẳng H1H2 đi qua tiêu điểm F của elíp (E) . 2/ Xác định vị trí của điểm K để đọa dài H1H2 nhỏ nhất. Page – 232 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Bài 702. Cho elíp (E) : x2 Ths. Lê Văn Đoàn y2 = 1 với a > b . Gọi A2 (a, 0) là đỉnh trên trục lớn của elíp (E) . Góc a2 b2 vuông tA2 z quay quanh A2 cắt (E) tại P, Q không trùng với tâm của elíp. 1/ 2/ + Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định. Tiếp tuyến của (E) tại P, Q cắt nhau tại M. Chứng minh rằng M chạy trên một đường thẳng cố định mà ta cần phải tìm. Bài 703. Cho elíp (E) : x2 y2 = 1 với a > b . Hình chữ nhật Q được gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp a2 b2 elíp (E) nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với (E) . Trong tất cả hình chữ nhật ngoại tiếp (E) . + Hãy xác định: 1/ Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất. 2/ Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. x2 y2 + = 1 . Viết phương trình các cạnh của hình chữ 16 9 nhật ngoại tiếp (E) có diện tích bằng 15. Bài 704. Cho elíp (E) có phương trình (E) : x2 y2 x2 y2 + = 1 và (E2 ) : + = 1. 6 3 4 1 Một tiếp tuyến bất kỳ của (E2 ) cắt (E1 ) tại hai điểm P,Q . Chứng minh rằng các tiếp Bài 705. Cho (E1 ) : 1/ tuyến của (E1 ) tại P,Q vuông góc với nhau. 2/ Từ điểm M ∈ (E1 ) kẻ hai tiếp tuyến Mt1, Mt2 đến (E2 ) . Chứng minh rằng hai góc  t Mt2, F MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E1 ), (E2 ) có chung đường phân giác. 1 1 3/ Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 233 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học H – ỨNG DỤNG TỌA ĐỘ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH   Bất đẳng thức tam giác Cho ∆ABC có các cạnh . Ta luôn có: hay ● . . ● Như vậy, ta chọn có tọa độ thích hợp, dĩ nhiên liên quan đến bất đẳng thức, chứng minh rồi sử dụng một trong hai bất đẳng thức ở trên suy ra kết quả.  Bất đẳng thức véctơ Cho . ● Dấu ● ● . Dấu . Dấu xảy ra xảy ra xảy ra cùng phương . cùng phương. . Do ● . cùng phương nên . Bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức Bunhiacôpxki.  Các ứng dụng 1/ Chứng minh bất đẳng thức. 2/ Giải phương trình. 3/ Giải bất phương trình. 4/ Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. Page – 234 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 706. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: (a + c) + b2 +   HD: Đặt u = (a + c; b), v = (a − c; b) . (a − c) 2 2 + b2 ≥ 2 a 2 + b2 . Bài 707. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + 4b2 + 6a + 9 + a 2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ 5 .   HD: Đặt u = (a + 3;2b); v = (1 − a; 3 − 2b) . Bài 708. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + ab + b2 + a 2 + ac + c2 ≥ b2 + bc + c2 .   b 3     c  3   b, v = −a + ; c . HD: Đặt u = a + ; 2 2  2  2     Bài 709. Chứng minh với mọi số thực a ta luôn có: a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 .   1 3    1 3   , v a; = − HD: Đặt u = a + ;  .   2 2  2   2 Bài 710. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: 4 cos2 a cos2 b + sin2 (a − b) + 4 sin2 a sin2 b + sin2 (a − b) ≥ 2 .   HD: Đặt u = 2 cos a cos b; sin (a − b) , v = 2 sin a sin b; sin (a − b) . ( ) ( ) Bài 711. Đại học An Ninh Nhân Nhân phân hiệu Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 Chứng minh rằng: x + 1 − x + 4 x + 4 1 − x ≤ 2 + 4 8, ∀x ∈  0;1 . Dấu ” = ” xảy ra   khi nào ?    HD: Đặt a = (1;1), b = x; 1 − x , c = 4 x; 4 1 − x . ( ) ( ) Bài 712. Bộ đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng (a + b)(1 − ab) Chứng minh: (1 + a )(1 + b ) 2 2 ≤ 1 với mọi a, b . 2   2a 1 − a 2    1 − b2 2b    HD: Đặt u =  ; , v = ; .   2 2 2 2 1 + a 1 + a  1 + b 1 + b  Bài 713. Cho ba số dương : a, b, c trong đó a > c, b > c . Chứng minh rằng: c (a − c) + c (b − c) ≤ ab . Dấu ” = ” xảy ra khi nào ?   HD: Đặt u = c; b − c , v = a − c; c . ( ) ( ) Bài 714. Cho a, b, c, d ∈  . Chứng minh rằng: ( )( ) 1/ (ad + cd) 2/ a 2 + c2 + b2 + d2 ≥ (a + b) + (c + d) .   HD: Đặt x = (a, c); y = (b; d) . 2 ≤ a2 + c2 b2 + d2 . 2 2 Bài 715. Đại học khối A năm 2003 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z ≤ 1 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 235 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 + Chứng minh rằng: 1 2 + y2 + 1 + z2 + 2 1 x y z2   1    1    1 HD: Đặt a =  x,  ; b = y,  ; c = z,  .  x   y   z  Bài 716. Dự bị Cao đẳng Giao Thông Vận Tải II năm 2003 ≥ 82 . Cho ba số x, y, z bất kì. Chứng minh: x2 + xy + y2 + x2 + xz + z2 ≥ y2 + yz + z2 .  y 3   3 3   y z   z, B 0; y+ z, C  − ; 0 . HD: Đặt A x + ; 2 2   2 2   2 2   Bài 717. Cho a, b, c, d là các số thực bất kì. Chứng minh: a 2 + b2 + c 2 + d2 ≥ (a − c) 2 + ( b − d) . 2 HD: Đặt M (a; b), N (c; d), O (0; 0) . a 2 − a + 1 + a2 − a 3 + 1 ≥ 2 với mọi a.  1 3   3   , B  ; − 1 , C (a; 0) . HD: Đặt A  ;   2   2 2   2 Bài 718. Chứng minh: Bài 719. Cho a − 2b + 2 = 0 . Chứng minh: a 2 + b2 − 6a − 10b + 34 + a 2 + b2 − 10a − 14b + 74 ≥ 6 . HD: Xét d : x − 2y + 2 = 0 và A (3;5), B (5;7),C (a; b) ∈ d . Bài 720. Cho x, y, z là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh: x−y 1 + x 2 . 1 + y2 + y−z 1 + y2 . 1 + z2 > x−z 1 + x2 . 1 + z2 . HD: Đặt A (x; yz), B (y; zx),C (z; xy) . Bài 721. Cho x, y, z là ba số thực bất kì thỏa x + 2y + 3z = 6 . 1 + x2 + 2 1 + y2 + 3 1 + z2 ≥ 2 10 .    + 3z HD: Đặt A (1; x), B (3; x + 2y),C 6; x + 2y   , O (0; 0) và OA + AB + BC ≥ OC .   2 Chứng minh: Bài 722. Cho a, b ∈  . Chứng minh: a 2 + 4 + a 2 − 2ab + b2 + 1 + b2 − 6b + 10 ≥ 5 . HD: Đặt A (0; −1), B (3; 3),C (a;1), D (b;2) và AC + CD + BD ≥ AB . Bài 723. Cho x, y ∈  . Chứng minh: cos4 x + cos4 y + sin2 x + sin2 y ≥ 2 .    HD: Đặt a = cos2 x; cos2 y , b = sin2 x; 0 , c = 0; sin2 y . ( ) ( ) ( ) Bài 724. Cho x ∈  . Chứng minh: cos 4 x + 1 − sin 4 x + 1 ≤ cos 2x .   HD: Đặt a = cos2 x;1 , b = sin2 x;1 . ( ) ( ) Bài 725. Cho ba số thực a, b, c thỏa a + b + c = 1 . a 2 + (b − c) + b2 + (c − a ) + c2 + (a − b) ≥ 1 .    HD: Đặt u = (−a; b − c), v = (−b; c − a ), w = (−c;a − b) . Chứng minh: Page – 236 – 2 2 2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 – Tập II Ths. Lê Văn Đoàn Bài 726. Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc . b2 + 2a 2 c2 + 2b2 a 2 + 2c2 + + ≥ 3. ab bc ca   1 2    1 2    1 2     HD: Đặt u =  ; , v =  ; , w =  ;  .  a b   b c   c a  Bài 727. Cho a + b + c = 2 và ax + by + cz = 6 . Chứng minh: 16a 2 + a 2 x2 + 16b2 + b2 y2 + 16c2 + c2 z2 ≥ 10 .    HD: Đặt u = (4a;ax ), v = (4b; by), w = (4c; cz) . Chứng minh: GIAỈ PHƯƠNG TRÌNH Bài 728. Giải phương trình: x2 − 2x + 5 + x2 + 2x + 10 = 29 .   1 HD: Đặt u = (x − 1;2), v = (−1 − x; 3) và nghiệm x = . 5 Bài 729. Giải phương trình: x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = 2 .   1 3    1 3   HD: Đặt u = x − ; , v = −x − ;  và nghiệm x = 0 .  2 2  2 2   Bài 730. Giải phương trình: x2 − x + 1 + x2 − 2x + 5 = 9×2 − 12x + 13 .   1 HD: u = (2x − 1;1), v = (x − 1;2) và nghiệm x = . 3 Bài 731. Giải phương trình: x2 + 4y2 + 6x + 9 + x2 + 4y2 − 2x − 12y + 10 = 5 .   3 HD: Đặt u = (x + 3;2y), v = (1 − x; 3 − 2y) và nghiệm x = 1, y = . 2 x 2 − 4x + 5 − x 2 − 10x + 50 = 5 . Bài 732. Giải phương trình: HD: Đặt A (2;1), B (5; 5), C (x; 0) và nghiệm x = 5 . 4 GIAỈ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 733. Giải bất phương trình: 2 (x − 3) + 2x − 2 ≤ x − 1 + x − 3 .   HD: Đặt u = x − 3; x − 1 , v = (1;1) và nghiệm x = 5 . 2 ( ) Bài 734. Giải bất phương trình: x2 + x + 1 − x2 − x + 1 ≤ 1 .   1 3    1 3   HD: Đặt u = x + ; , v = x − ;  và nghiệm x ∈  .  2 2  2 2   GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 735. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x2 − 8x + 32 + x2 − 6x + 18 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 237 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần hình học HD: Đặt A (x − 4; −4), B (x − 3; 3),O (0; 0) và min y = 5 2 khi x = 24 . 7 Bài 736. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x2 − 2px + 2p2 + x2 − 2qx + 2q 2 với p, q ≠ 0 .   2pq HD: Đặt u = (x − p; p), v = (q − x; q ) và min y = 2 q 2 + p2 khi x = . p+q Bài 737. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( P = 2x 2 − 2x + 1 + 2×2 + ( ) 3 + 1 x + 1 + 2×2 − ( ) ) 3 −1 x +1 .  3 1   3 1   ; − ,C  ; − , M (x; x) và Pmin = 3 khi x = 0 . HD: Đặt A (1;1), B − 2   2 2   2 Bài 738. Gọi (x; y) là nghiệm của phương trình: 2x + 3y = 1 . Tìm cặp nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = 3×2 + 2y2 nhỏ nhất.   2 3   ; , v = HD: Đặt u =   3 2  ( ) 3x; 2y và Pmin = 4 9 6 khi (x; y) =  ;  . 35  35 35  Bài 739. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = cos2 x − 2 cos x + 2 + cos2 x + 6 cos x + 13 .   HD: Đặt u = (1 − cos x;1), v = (cos x + 3;2) và min y = 5 . Bài 740. Cho x2 + y2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 1 + y + y 1 + x .   HD: Đặt u = (x; y), v = 1 + y; 1 + x và Pmax = 2 + 2 khi x = y = ( ) 2 . 2 Bài 741. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + cos x + a + sin x với x ∈ , a ≥ 1 .   u = (1;1) π HD:   và Pmax = 2 2a + 2 khi x = + k2π, (k ∈ ) . v = a + cos x; a + sin x 4  ( Page – 238 – ) ( ) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top