Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 1)

Giới thiệu Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 1)

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 1).

Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 1)

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Đề cương học tập môn Toán lớp 10 – Lê Văn Đoàn (Tập 1)

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

Ths. Lê Lê Văn Đoàn WWW.TOANMATH.COM MỤC LỤC Trang PHẦN I – ĐẠI SỐ CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP ——————————————————————– 1 A – MỆNH ĐỀ ——————————————————————————————— 1 B – TẬP HỢP ———————————————————————————————- 6 CHƯƠNG II – HÀM SỐ BẬC NHẤT & BẬC HAI —————————————————– 12 A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ———————————————————————— 12 Dạng toán 1. Tìm tập xác định của hàm số —————————————————— 13 Dạng toán 2. Tính đơn điệu của hàm số ——————————————————— 16 Dạng toán 3. Xét tính chẳn lẻ của hàm số ——————————————————- 18 B – HÀM SỐ BẬC NHẤT ——————————————————————————- 20 C – HÀM SỐ BẬC HAI ———————————————————————————- 25 CHƯƠNG III – PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH —————————————- 36 A – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ————————————————————- 36 B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ——————————————————————- 38 C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ———————————————————————- 43 Dạng toán 1. Giải và biện luận phương trình bậc hai —————————————— 43 Dạng toán 2. Dấu của số nghiệm phương trình bậc hai —————————————- 44 Dạng toán 3. Những bài toán liên quan đến định lí Viét ————————————— 47 Dạng toán 4. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai —————————– 52 Dạng toán 5. Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối ———————————— 57 Dạng toán 6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ———————————————- 59 D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ———————————————– 73 E – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN SỐ ————————————————– 80 CHƯƠNG IV – BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ————————————- 106 A – BẤT ĐẲNG THỨC ——————————————————————————— 106 Dạng toán 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất —————————- 108 Dạng toán 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy —————————————- 113 Dạng toán 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki ——————————– 122 Dạng toán 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz —————————– 125 Dạng toán 5. Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ ———————— 126 Dạng toán 6. Ứng dụng BĐT để giải phương trình ——————————————— 127 PHẦN II – HÌNH HỌC CHƯƠNG I – VÉCTƠ & PHÉP TOÁN ——————————————————————- 141 A – VÉCTƠ & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ ————————————————- 141 Dạng toán 1. Đại cương về véctơ —————————————————————- 143 Dạng toán 2. Chứng minh một đẳng thức véctơ ————————————————-147 Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa đẳng thức véctơ ——————————————— 156 Dạng toán 4. Phân tích véctơ – Chứng minh thẳng hàng – Song song ———————- 164 Dạng toán 5. Tìm môđun – Quỹ tích điểm – Điểm cố định ———————————– 177 B – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ——————————————————————————— 180 Dạng toán 1. Tọa độ véctơ – Biểu diễn véctơ ————————————————— 181 Dạng toán 2. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ———————————– 183 Dạng toán 3. Véctơ cùng phương và ứng dụng ————————————————- 185 CHƯƠNG II – TÍCH VÔ HƯỚNG & ỨNG DỤNG —————————————————- 190 A – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG GÓC BẤT KÌ ——————————— 190 B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ———————————————————- 194 Dạng toán 1. Tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh và thiết lập vuông góc ———– 195 Dạng toán 2. Chứng minh đẳng thức – Bài toán cực trị ————————————— 201 C – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ——————————————————- 207 PHẦN I ĐẠI SỐ Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Chương 1 Ths. Lê Văn Đoàn MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP  A – MỆNH ĐỀ  Mệnh đề  Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.  Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.  Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P.  Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .  Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.  Mệnh đề kéo theo Cho mệnh đề P và Q.  Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P ⇒ Q.  Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.  Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó:  P là giả thiết, Q là kết luận.  P là điều kiện đủ để có Q.  Q là điều kiện cần để có P.  Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.  Mệnh đề tương đương Cho mệnh đề P và Q.  Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.  Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.  Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. Kí hiệu ∀ và ∃  “∀x ∈ X, P(x)”.  “∃x ∈ X, P(x)”.  Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, P(x) “.  Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, P(x) “. Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B  Cách 1. Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.  Cách 2. (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 1 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ? a/ Số 11 là số chẵn. c/ Huế là một thành phố của Việt Nam. b/ Bạn có chăm học không ? d/ 2x + 3 là một số nguyên dương. e/ 2 − 5 < 0 . g/ Hãy trả lời câu hỏi này !. f/ 4 + x = 3 . h/ Paris là thủ đô nước Ý. i/ Phương trình x2 − x + 1 = 0 có nghiệm. k/ 13 là một số nguyên tố. Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a/ c/ e/ g/ Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. 5 > 3 hoặc 5 < 3. b/ d/ f/ h/ Nếu a ≥ b thì a 2 ≥ b2 . Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. 81 là một số chính phương. Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c/ Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 600. d/ Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại. e/ Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. f/ Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. g/ Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h/ Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời ? a/ ∀x ∈ , x2 > 0 . b/ ∃x ∈ , x > x 2 . c/ ∃x ∈ , 4x 2 − 1 = 0 . d/ ∀n ∈ , n2 > n . e) ∀x ∈ , x 2 − x = 1 > 0 . f/ ∀x ∈ , x 2 > 9 ⇒ x > 3 . g/ ∀x ∈ , x > 3 ⇒ x 2 > 9 . h/ ∀x ∈ , x 2 < 5 ⇒ x < 5 . i/ ∃x ∈ , 5x − 3x 2 ≤ 1 . k/ ∃x ∈ , x2 + 2x + 5 là hợp số. l/ ∀n ∈ , n2 + 1 không chia hết cho 3. m/ ∀n ∈ *, n(n + 1) là số lẻ. n/ ∀n ∈ *, n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6. o/ ∀n ∈  *, n 3 + 11n chia hết cho 6. Bài 5. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng ? a/ π < 4............π > 5 . b/ ab = 0 khi a = 0…………b = 0 . c/ ab ≠ 0 khi a ≠ 0…………b ≠ 0 . d/ ab > 0 khi a > 0………… b > 0…………a < 0............b < 0 . e/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 ……… cho 3. f/ Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 ……… bằng 5. Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) , với x ∈  . Tìm x để P ( x ) là mệnh đề đúng ? a/ P ( x ) : " x 2 − 5 x + 4 = 0 " . Page - 2 - b/ P ( x ) : " x 2 − 5x + 6 = 0 " . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn c/ P (x ) : " x 2 − 3x > 0 ” . d/ P (x ) : ” x ≥ x ” . e/ P (x ) : ” 2x + 3 ≤ 7 ” . f/ P (x ) : ” x 2 + x + 1 > 0 ” . Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a/ b/ c/ d/ Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a/ ∀x ∈  : x2 > 0 b/ ∃x ∈  : x > x2 . c/ ∃x ∈  : 4×2 − 1 = 0 . d/ ∀x ∈  : x2 − x + 7 > 0 . e/ ∀x ∈  : x2 − x − 2 < 0 . g/ ∀n ∈ , n2 + 1 không chia hết cho 3. f/ ∃x ∈  : x2 = 3 . h/ ∀n ∈ , n2 + 2n + 5 là số nguyên tố. i/ ∀n ∈ , n2 + n chia hết cho 2. k/ ∀n ∈ , n2 − 1 là số lẻ. Bài 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a/ b/ c/ d/ e/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Nếu a = b thì a 2 = b2 . Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. Bài 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”: a/ Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c/ Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. d/ Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. e/ Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. Bài 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”: a/ b/ c/ d/ e/ Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. Bài 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600. Nếu x ≠ 1 và y ≠ 1 thì x + y + xy ≠ 1 . Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. Nếu 1 tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác nội tiếp được đường tròn. Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 3 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 13. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì nó là mệnh đề đúng hay sai ? a/ b/ c/ d/ Các em có vui không ? Cấm học sinh nói chuyện trong giờ học ! Phương trình x 2 + x = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. 25 − 1 là một số nguyên tố. e/ 2 là một số vô tỉ. f/ Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam. g/ Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 4 thì số đó chia hết cho 8. h/ Nếu 22003 − 1 là số nguyên tố thì 16 là số chính phương. Bài 14. Viết mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai ? a/ π < 3,15 . b/ −125 ≤ 0 . c/ 3 là số nguyên tố. e/ π là số hữu tỉ. d/ 7 không chia hết cho 5. f/ 1794 chia hết cho 3. g/ 2 là số hữu tỉ. h/ Tổng 2 cạnh 1 ∆ lớn hơn cạnh thứ 3. Bài 15. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các mệnh đề đó: a/ ∀x ∈ , x2 > 0 . c/ ∃n ∈ , n ≤ 2n . b/ ∃n ∈ , n2 = n . d/ ∃x ∈ , x < 0 . e/ ∀x ∈ , 1,2 < x < 2,1 . f/ ∀n ∈ , n2 + 1 chia hết cho 3. Bài 16. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ? Giải thích ? Viết mệnh đề phủ định của chúng ? a/ ∃n ∈ , n2 = 2 . b/ ∀x ∈ , x > x2 . c/ ∃x ∈ , x > x2 . d/ ∀n ∈ , n2 ≥ n . e/ ∃n ∈ , n2 ≥ n . f/ ∀x ∈ , x2 − x + 1 > 0 . g/ ∃x ∈ , x2 − x + 1 > 0 h/ ∀n ∈ , n2 + 1 không chia hết cho 3. i/ ∃n ∈ , n2 + 1 không chia hết cho 3. j/ ∃n ∈ , n2 + 1 chia hết cho 4. Bài 17. Cho mệnh đề chứa biến P (x ) : ” x 2 = x ” . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: P (0); P (−1); P (1); ” ∃x ∈ , P (x ) “; ” ∀x ∈ , P (x ) ” . Bài 18. Cho mệnh đề chứa biến P (x ) : ” x 3 − 2x = 0 ” . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: P (0); P (2); P ( 2 ); ” ∃x ∈ , P(x) “; ” ∀x ∈ , P(x) ” . Bài 19. Các mệnh đề sau đúng hay sai ? Nếu sai hãy sửa lại để có một mệnh đề đúng ? a/ x = 1 ⇔ x 2 = 1 . c/ ∀x ∈ , x2 > x . e/ b/ c/ d/ e/ Page – 4 – b/ 2001 là số nguyên tố. d/ ∀x ∈ , x2 + y2 ≤ 2xy . f/ ∃n ∈ , n2 + n + 1  7 ∃x ∈ , x2 ≤ x . ABCD là hình vuông ⇒ ABCD là hình bình hành. ABCD là hình thoi ⇒ ABCD là hình chữ nhật. Tứ giác MNPQ là hình vuông ⇔ Hai đường chéo MP và NQ bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau ⇔ Chúng có diện tích bằng nhau. “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 20. Dùng bảng chân trị hãy chứng minh: ( ) c/ (A ⇒ B) = (A ∨ B) = (B ⇒ A) . e/ (A ∨ B) = (A ∧ B) . b/ (A ⇒ B) ∧ A = A .   d/ (A ⇒ B) ⇒ B = (A ∨ B) .   i/ A ⇒ (B ∧ C) = (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C) .     j/ a/ (A ⇒ B) = A ∨ B . ( ) ( )   (A ∧ B) ⇒ C = (A ∨ B ∨ C) .   f/ A ∧ B = A ∨ B . Bài 21. Với n là số tự nhiên lẻ, xét định lí: ” Nếu n là số tự nhiên lẻ thì n 2 − 1 chia hết cho 8″. Định lí trên được viết dưới dạng P (n ) ⇒ Q (n) . a/ Hãy xác định mệnh đề P (n ) và Q (n ) . b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” và ” điều kiện cần”. Bài 22. Cho định lí: ” Nếu n là số tự nhiên thì n 3 − n chia hết cho 3″. Định lí trên được viết dưới dạng P (n ) ⇒ Q ( n ) . a/ Hãy xác định mệnh đề P (n ) và Q (n ) . b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” và ” điều kiện cần”. c/ Chứng minh định lí trên. Bài 23. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau: a/ Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b/ Nếu một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông. c/ Nếu ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có b2 − 4ac > 0 thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt. d/ Nếu x > 2 thì x 2 > 4 . Bài 24. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau: a/ b/ c/ d/ Nếu x > 5 thì x 2 > 25 . Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau. Nếu a là số tự nhiên và a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3. Bài 25. Cho hai mệnh đề, mệnh đề A: “a và b là hai số tự nhiên lẻ” và mệnh đề B: ” a + b là số chẵn”. a/ Phát biểu mệnh đề A ⇒ B . Mệnh đề này đúng hay sai ? b/ Phát biểu mệnh đề B ⇒ A . Mệnh đề này đúng hay sai ? Bài 26. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng. a/ Nếu tổng của 99 số bằng 100 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. b/ Nếu a và b là các số tự nhiên với tích a.b lẻ thì a và b là các số tự nhiên lẻ. c/ Cho a, b, c ∈  . Có ít nhất một trong ba đẳng thức sau là đúng: a 2 + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ac; c2 + a 2 ≥ 2ab . d/ Với các số tự nhiên a và b, nếu a 2 + b 2 chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ. e/ Nếu nhốt 25 con thỏ vào trong 6 cái chuồng thì có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Bài 27. Cho định lí: ” Nếu a và b là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho 3 thì a 2 + b 2 cũng chia hết cho 3″. Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên (nếu có), rồi dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để gộp cả hai định lí thuận và đảo. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 5 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số B – TẬP HỢP  Tập hợp  Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.  Cách xác định tập hợp. + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. + Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.  Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.  Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau  Tập hợp con: A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) . + A ⊂ A, ∀A . B A + ∅ ⊂ A, ∀A . + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C . A ⊂ B . Nếu tập hợp có n phần tử ⇒ 2 n tập hợp con. B ⊂ A  Một số tập hợp con của tập hợp số thực   Tập hợp bằng nhau: A = B ⇔    Tập hợp con của  : * ⊂  ⊂  ⊂  ⊂  .  Khoảng: a – ∞ + (a; b ) = {x ∈  / a < x < b} ////////// ( (a; +∞) = {x ∈  / a < x} + (−∞; b) = {x ∈  / x < b} Đoạn: a; b  = {x ∈  / a ≤ x ≤ b}   +   Nửa khoảng: + a; b) = {x ∈  / a ≤ x < b}  + + + (a; b = {x ∈  / a < x ≤ b} a; +∞) = {x ∈  / a ≤ x }  (−∞; b = {x ∈  / x ≤ b} b ) ////////// – ∞ ////////// ( +∞ +∞ –∞ ) ////////// +∞ – ∞ //////////    //////////  +∞ a – ∞ //////////   – ∞ ////////// ( b – ∞ ////////// [ ) ////////// +∞  //////////  +∞ +∞ ] ////////// –∞ +∞  Các phép toán tập hợp  Giao của hai tập hợp: A ∩ B ⇔ { x x ∈ A và x ∈ B }. A B  Hợp của hai tập hợp: A ∪ B ⇔ { x x ∈ A hoặc x ∈ B }.  Hiệu của hai tập hợp: A \ B ⇔ { x x ∈ A và x ∉ B }. D A B  Phần bù: Cho B ⊂ A thì CA B = A \B . A Page - 6 - B "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 28. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó. )( ) } { ( b/ B = {x ∈  ( x − 10x + 21)( x − x) = 0} . c/ C = {x ∈  (6x − 7x + 1)( x − 5x + 6) = 0} . a/ A = x ∈  2x2 − 5x + 3 x2 − 4x + 3 = 0 . 2 3 2 2 { } d/ D = x ∈  2x 2 − 5x + 3 = 0 . { F = {x ∈  x + 2 ≤ 1} . } e/ E = x ∈  x + 3 < 4 + 2x ; 5x − 3 < 4x − 1 . f/ { } g/ G = x ∈  x < 5 . { } h/ H = x ∈  x 2 + x + 3 = 0 .   1 1 i/ K =  x ∈ Q x = a ≤ , a ∈ N .   32 2   Bài 29. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: a/ A = {0; 1; 2; 3; 4} . b/ B = {0; 4; 8; 12; 16} . c/ C = {−3 ; 9; −27; 81} . d/ D = {9; 36; 81; 144} . e/ E = {2; 3; 5; 7; 11} . f/ F = {3; 6; 9; 12; 15} .  1 1 1 1 1  h/ H = 1; ; ; ; ; .  3 9 27 81 234   2 3 4 5 6  j/ J =  ; ; ; ;  .  3 8 15 24 35  g/ G = {0; 3; 8;15;24; 35; 48;63} .  1 1 1 1 1  i/ I =  ; ; ; ;  .  2 6 12 20 30  k/ K = {−4; −3; −2; −1; 0;1;2; 3; 4;5} . l/ L = {3, 8,15,24, 35, 48, 63} .  2 3 4 5 6 7 8  m/ M = 1, , , , , , ,  .  3 5 7 9 11 13 15  n/ N = {3, 4, 7,12,19, 28, 39, 52} .  1 2 3 4 5 6 7 8 9  p/ P = 0, , , , , , , , ,  .  2 3 4 5 6 7 8 9 10  q/ Q = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. r/ R = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5. Bài 30. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng ? { } o/ O = 0, 3,2 2, 15,2 6, 35, 4 3, 63 . { C = {x ∈  x E = {x ∈  x } a/ A = x ∈  x < 1 . c/ e/ 2 2 } + 7x + 12 = 0} . − 4x + 2 = 0 . { D = {x ∈  x F = {x ∈  x } b/ B = x ∈  x2 − x + 1 = 0 . d/ f/ } 2 −2 = 0 . 2 − 4x + 2 = 0 . } Bài 31. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau: a/ A = {1;2} . b/ B = {1; 2; 3} . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số { } { c/ C = x ∈  2x 2 − 5x + 2 = 0 . } d/ D = x ∈  x 2 − 4x + 2 = 0 . Bài 32. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào ? { { } } a/ A = {1; 2; 3}, B = x ∈  x < 4 , C = (0; +∞), D = x ∈  2x 2 − 7x + 3 = 0 . b/ A = Tập các ước số tự nhiên của 6; B = Tập các ước số tự nhiên của 12. c/ A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật; C = Tập các hình thoi; D = Tập các hình vuông. d/ A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều; C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân. Bài 33. Tìm A ∩ B; A ∪ B; A \ B; B \ A với: a/ A = {2, 4, 7, 8, 9,12} ; B = {2, 8, 9,12} . b/ A = {2, 4, 6, 9}; B = {1, 2, 3, 4} . { { } } c/ A = x ∈  2x2 − 3x + 1 = 0 ; B = x ∈  2x − 1 = 1 . d/ A = Tập các ước số của 12 ; B = Tập các ước số của 18. { ( ) } e/ A = x ∈  (x + 1)(x − 2) x2 − 8x + 15 = 0 ; B = Tập các số nguyên tố có 1 chữ số. { } { ( )( ) } f/ A = x ∈  x2 < 4 ; B = x ∈  5x − 3x2 x2 − 2x − 3 = 0 . { ( )( ) } g/ A = x ∈  x2 − 9 x2 − 5x − 6 = 0 ; B = { x ∈  /x là số nguyên tố, x ≤ 5}. Bài 34. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho: a/ {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} . b/ {1,2} ∪ X = {1, 2, 3, 4} . c/ X ⊂ {1,2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} . Bài 35. Xác định các tập hợp A, B sao cho: a/ A ∩ B = {0,1, 2, 3, 4} ; A \ B = {− 3, −2} ; B \ A = {6, 9,10} . b/ A ∩ B = {1, 2, 3} ; A \ B = {4, 5} ; B \ A = {6, 9} . Bài 36. Xác định A ∩ B; A ∪ B; A \ B; B \ A và biểu diễn chúng trên trục số, với: a/ A = −4; 4  , B = 1; 7  . b/ A = −4; −2 , B = (3; 7  .            d/ A = (−∞; − 2 , B =  3; +∞) . c/ A = −4; −2 , B = (3; 7 ) .     e/ A =  3; +∞ ), B = (0; 4 ) . f/ A = (1; 4 ), B = (2; 6) .  Bài 37. Xác định A ∪ B ∪ C; A ∩ B ∩ C và biểu diễn chúng trên trục số, với: a/ A = 1; 4  , B = (2; 6), C = (1;2) . b/ A = (−∞; −2 , B = 3; +∞), C = (0;4) .     c/ A =  0; 4  , B = (1, 5), C = (−3;1 . d/ A = (−∞; −2 , B = 2; +∞), C = (0; 3) .         e/ A = (−5;1 , B =  3; +∞), C = (−∞; −2) . f/ A = (−2; 5 , B = (0; 9), C = −∞; 6) .     Bài 38. Chứng minh rằng: a/ Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A . c/ Nếu A ∪ B = A ∩ B thì A = B . b/ Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì (A ∪ B) ⊂ C . d/ Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ (B ∩ C) . Bài 39. Mỗi học sinh lớp 10A1 đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, Page - 8 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh ? Bài 40. Trong một trường THPT, khối 10 có: 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 tham gia câu lạc bộ Tin, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi khối 10 có bao nhiêu học sinh ? Bài 41. Một lớp có 40 HS, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao ? Bài 42. Cho các tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, d, e} ; C = {a, b, e} . Chứng minh các hệ thức a/ A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) . b/ A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) . Bài 43. Tìm các tập hợp A và B. Biết rằng: A \ B = {1, 5, 7, 8} ; A ∩ B = {3, 6, 9} và { } A ∪ B = x ∈  0 < x ≤ 10 . Bài 44. Cho các tập hợp: A = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; B = {1, 2, 3, 4} ; C = {2, 4, 6, 8} . Hãy xác định: CA B, CAC, CA (B ∪ C) . { và D = {x ∈  x ≥ 5} . } { } { } Bài 45. Cho các tập hợp A = x ∈  −3 ≤ x ≤ 2 , B = x ∈  0 < x ≤ 7 , C = x ∈  x < −1 a/ Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C và D trên trục số. Chỉ rõ nó thuộc phần nào trên trục số. Bài 46. Xác định mỗi tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số a/ (−5; 3) ∩ (0;7 ) . b/ (−1;5) ∪ (3;7 ) . c/  \ (0; +∞) . d/  \  0;1 .   f/ (−1; 3) ∪ 0; 5 .   e/ (−∞; 3) ∩ (−2; +∞) . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 47. Viết các tập hợp sau bằng phương pháp liệt kê { ( ) } )( a/ A = x ∈  / 2x − x2 2x2 − 3x − 2 = 0 { } c/ C = x ∈  / x 4 − 5x 2 + 6 = 0 . { D = {n ∈  / 0 < n } < 30} . b/ B = n ∈  / 3 < n2 < 30 . d/ 2 Bài 48. Viết các tập sau bằng phương pháp nêu ra tính chất đặc trưng a/ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . b/ A = {0,2, 4, 6, 8,10} . c/ A = {− 3, −2, −1, 0,1, 2, 3} . d/ A = {1, 4, 7,10,13,16,19} . e/ A = {1,2, 4, 8,16, 32, 64,128,256, 512} . f/ Tập hợp các số chẵn. g/ Tập hợp các số lẻ. i/ Đường tròn tâm I, bán kính R. k/ A = {−2,1, 6,13, 22, 33, 46, 61} .  h/ Đường phân giác trong của ABC . j/ Đường tròn đường kính AB. l/ A = {3, 8,24, 35, 48, 63, 80, 99} .  1 2 3 4 5 6  m/ A = 0, , , , , ,  .  3 9 19 33 73 99  Bài 49. Cho tập hợp A = {1,2, 3, 4} . "Cần cù bù thông minh…………"  2 10 17 26 37 10  n/ A =  ,1, , , , ,  .  3 7 9 11 13 3  Page - 9 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a/ Liệt kê tất cả các tập hợp con có 3 phần tử của A. b/ Liệt kê tất cả tập con có 2 phần tử của A. c/ Liệt kê tất cả các tập con của A. Bài 50. Biểu diễn các tập hợp sau thành các khoảng { } { a/ A = x ∈  / 2 < x < 3 . } b/ B = x ∈  / x ≥ 4 .   2   c/ C = x ∈  / ≥ 3 .   x +1   Bài 51. Xét các quan hệ " ⊂ " giữa các tập hợp sau   5   d/ D = x ∈  / ≤ 4 .   x+7   { } A = {x ∈  / (x − x − 2)( x − 1) = 0} và B = {x ∈  / x a/ A = {1,2, 3, 4, 5} và B = n ∈  / 0 ≤ n ≤ 5 . b/ 2 2 } + x −2 = 0 . c/ A = {x ∈  / −2 < x < 4} và B = {x ∈  / −4 < x < 3} . Bài 52. Cho A = {1,2, 3, 4, 5} và B = {1, 3, 5, 7, 9,11} . Hãy tìm: a/ C = A ∪ B . c/ C = (A ∪ B) \ (A ∩ B) . b/ C = A ∩ B . d/ C = (A \ B) ∪ (B \ A ) . Bài 53. Cho A = {x ∈  / −1 < x ≤ 5} và B = {x ∈  / 0 ≤ x < 7 } . Hãy tìm tìm hợp C thỏa: a/ C = A ∪ B . c/ C = (A ∪ B) \ (A ∩ B) . b/ C = A ∩ B . d/ C = (A \ B) ∪ (B \ A ) . Bài 54. Cho A = {x ∈  / −3 < x < 3} , B = {x ∈  / −2 < x ≤ 3} và C = {x ∈  / 0 ≤ x ≤ 4} . Hãy tìm tập hợp D thỏa: a/ D = (A ∪ B) ∪ C . b/ D = (A ∪ B) ∩ C . c/ D = (A ∩ B) ∩ C . d/ D = (A ∩ B) ∪ C . e/ D = (A ∩ B) \ C . f/ D = (A \ B) ∪ (A \ C) . g/ D = (B \ A ) ∪ (C \ A ) . h/ D = (B \ A ) \ C . i/ D = (B \ A ) ∪ C . j/ D = (B ∪ C) \ A . Bài 55. Cho A = {x ∈  / −5 ≤ x hay x ≥ 5} , B = {x ∈  / −10 < x < 4} và C = {x ∈  / 1 < x ≤ 9} . Hãy tìm tập hợp D thỏa: a/ D = (A ∪ B) ∪ C . b/ D = (A ∪ B) ∩ C . c/ D = (A ∩ B) ∩ C . d/ D = (A ∩ B) ∪ C . e/ D = (A ∩ B) \ C . f/ D = (A \ B) ∪ (A \ C) . g/ D = (B \ A ) ∪ (C \ A ) . h/ D = (B \ A ) \ C . i/ D = (B \ A ) ∪ C . j/ D = (B ∪ C) \ A .   1   Bài 56. Cho A = x ∈  / > 2 và B = x ∈  / x − 1 < 1 . Hãy tìm các tập hợp:   x −2   A ∪ B, A ∩ B, (A \ B) ∪ (B \ A ) . { Page - 10 - } "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 57. Chứng minh rằng a/ A ⊂ B ∪ C . c/ A ∪ B = B ∪ A . b/ B ⊂ A ∪ C . d/ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) . e/ A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B . g/ A ∩ B ⊂ B . i/ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) . f/ A ∩ B ⊂ A . h/ A ∩ B = B ∩ A . j/ A ∩ B = B ⇔ B ⊂ A . k/ A \ B ⊂ A . l/ B \ A ⊂ B . m/ A ∩ B ⊂ A ∪ B . n/ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . o/ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) . p/ A \ B = A \ (A ∩ B) . r/ A \ B = ∅ ⇔ A ⊂ B . s/ Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A . Bài 58. Xác định mỗi tập hợp số sau và biểu diễn chúng trên trục số a/ (−3; 3) ∪ (−1; 0) . b/ (−∞; 0) ∩ (0;1) . c/ (−2;2 ∩ 1; 3) .   d/ (−3; 3) \ (0; 5) . e/ (−5;5) \ (−3; 3) . f/ { } (−2; 3) \ (−3; 3) . { g/ A = x ∈  x > 3 . } h/ B = x ∈  x < 5 . Bài 59. Xác định các tạp hợp A ∪ B, A ∩ B và biểu diễn chúng trên trục số a/ A = 1;5 , B = (−3;2) ∪ (3; 7 ) .   { } { b/ A = (−5; 0) ∪ (3;5), B = (−1;2) ∪ (4;6) . } c/ A = x ∈  x − 1 < 2 , B = x ∈  x + 1 < 3 . Bài 60. Cho hai tập hợp A và B. Biết tập hợp B khác rỗng, số phần tử của tập B gấp đôi số phần tử của tập A ∩ B và A ∪ B có 10 phần tử. Hỏi tập A và B có bao nhiêu phần tử. Hãy xét các trường hợp xảy ra và dùng biểu đồ Ven minh họa. Bài 61. Trong 100 học sinh lớp 10, có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được hai tiếng Anh và Pháp. Bài 62. Tìm phần bù của tập hợp các số tự nhiên trong tập hợp các số nguyên ? "Cần cù bù thông minh…………" Page - 11 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương Phần Đại Số HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 2  A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  Định nghĩa  Cho D ⊂ , D ≠ ∅ . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số y ∈  . ( )  x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f x .  D được gọi là tập xác định của hàm số. { } ( )  T = y = f x x ∈ D được gọi là tập giá trị của hàm số.  Cách cho hàm số  Cho bằng bảng.  Cho bằng biểu đồ.  Cho bằng công thức y = f (x ) .  Tập xác định của hàm số y = f (x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f (x ) có nghĩa.  Đồ thị của hàm s ( ( )) trên ( )  Đồ thị của hàm số y = f x xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x; f x mặt phẳng toạ độ với mọi x ∈ D .  Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f ( x ) là một đường. Khi đó ta nói y = f ( x ) là phương trình của đường đó.  Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f (x ) có tập xác định D. ( ) ( ) Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x ) = −f ( x ) .  Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f −x = f x .   Lưu ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số. DẠNG 2. Xét tính đơn điệu của hàm số. DẠNG 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số. Page - 12 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 1. Tìm tập xác định của hàm số  Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: D = { x ∈  f (x ) } có nghĩa.  Ba trường hợp thường gặp khi tìm tập xác định + Hàm số y = P (x ) Q (x ) → Điều kiện xác định Q (x ) ≠ 0 . + Hàm số y = P (x ) → Điều kiện xác định P (x ) ≥ 0 . P (x ) + Hàm số y = Q (x ) → Điều kiện xác định Q (x ) > 0 .  Lưu ý + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A ⊂ D . A ≠ 0 B ≠ 0 + A.B ≠ 0 ⇔   BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 64. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra a/ f (x ) = − 5x . Tính f (0), f (2), f (−2), f (3) . b/ f (x ) = x −1 . Tính f (−2), f (0), f (2), f (3), f 2x − 3x + 1 2 ( 2) . 1 c/ f (x ) = 2 x − 1 + 3 x − 2 . Tính f (−2), f (0), f (2), f (3), f  , f  2   2  khi x < 0  x − 1 d/ f ( x ) =   x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2 . Tính f (−2), f (0), f (2), f (3), f  2 x − 1 khi x > 2 Bài 65. ( 2) . Tìm tập xác định của các hàm số sau a/ y = 2 − 4x . b/ y = x 2 + 4x + 15 . 2x + 1 . 3x + 2 x . g/ y = 2 x − 3x + 2 x −1 j/ y = 3 . x +1 x−3 . 5 − 2x x −1 h/ y = 2 . 2x − 5x + 2 2x + 1 k/ y = . (x − 2)(x2 − 4x + 3) d/ y = Bài 66. ( 3 ), f (1 + 2 ) . e/ y = 2x 3 − 3x + 1 . 2013 4 f/ y = . x+4 3x i/ y = 2 . x + x +1 1 l/ y = 4 . x + 2×2 − 3 c/ y = Tìm tập xác định của các hàm số sau “Cần cù bù thông minh…………” Page – 13 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a/ y = 2x − 3 . d/ y = x − 1 + g/ y = Bài 67. b/ y = 1 . x−3 5 − 2x ( x − 2) e/ y = . 2x − 3 . c/ y = 4 − x + x + 1 . 1 ( x + 2) x − 1 h/ y = 2x − 1 + x −1 . 1 . 3−x f/ y = x + 3−2 x +2 . i/ y = x+3 + 1 . x −4 2 Tìm tham số m để hàm số xác định trên tập D đã được chỉ ra 2x + 1 , trên D =  . x − 6x + m − 2 3x + 1 , trên D =  . b/ y = 2 x − 2mx + 4 a/ y = c/ y = 2 x − m + 2x − m − 1, trên D = (0; +∞) . d/ y = 2x − 3m + 4 + x−m , trên D = (0; +∞) . x + m −1 x + 2m , trên D = (−1; 0) . x −m +1 1 f/ y = + −x + 2m + 6, trên D = (−1; 0) . x−m 1 , trên D = (1; +∞) . g/ y = 2x + m + 1 + x−m e/ y = BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 68. Tìm tập xác định của các hàm số sau a/ y = x + 3 . b/ y = −x 2 − 4 . c/ y = x 3 + 3x 2 + 4x + 5 . d/ y = −x 2 + 3x − 6 . −2 g/ y = 9x − 40 + 23x − 13 . e/ y = Bài 69. 2×2 − 3x + 1 . 5 f/ y = −x + 11 . h/ y = x − 1 + x − 3 + 100 − 41x . Tìm tập xác định của các hàm số sau x2 + x + 1 a/ y = . x 3x + 5 . d/ y = −3x + 2 g/ y = Page – 14 – x−3 . x+7 x +2 . x −1 x −1 e/ y = . 2x − 1 x+ 3 . x +1 1 f/ y = . 2x + 2 b/ y = h/ y = x − 2 + c/ y = 2 . x −9 i/ y = x + 1 + 3 . x −1 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn x 2 + 3x − 1 1 x . k/ y = + . 2x + 11 1 − x 2x − 1 2x 10 11 m/ y = − . n/ y = . 13 − 9x 6x + 7 (2 + x)(3 + x) j/ y = −3 . 14x − 49 − x 2 x u/ y = . 2 −x − 4x + 5 3x 2 − 1 y/ y = 4 . x − 9x 2 + 8 1 1 5 . . q/ y = 2 . 32x + 0,25 25 − 0,5x x − 6x + 25 x −2 x + 2012 . t/ y = 2 . s/ y = 2 x − 2x − 3 2x − 6x + 4 3×2 + x + 1 2x −1 . x/ y = 4 . v/ y = 2 2 x − x − 6 x − 1 2x − 3x + 1 ( ) r/ y = p/ y = ( Bài 70. 1 1 + . 2x + 1 6x + 2 2x 2 + 4x − 7 o/ y = . (2 − 3x)(2 − 4x) l/ y = ) Tìm tập xác định của các hàm số sau x2 . a/ y = x . b/ y = d/ y = 4 + 3x . e/ y = −x + 10 . f/ y = −2x − 9 . g/ y = 3 0,1x + 5 . h/ y = 3 −2, 6x − 3,14 . i/ y = 3 −x + 2 . j/ y = 1 − x + 1 + x . k/ y = 2x − 1 + 1 − 2x . l/ y = 15x − 3 . m/ y = 3x −25 + −x +1 . n/ y = 13 − 4x + −7x −22 . o/ y = 3 −x + 3 −x 2 . p/ y = 3 1 − x2 + 3 −x − x3 . q/ y = 1 − 2x s/ y = . t/ y = 1 c/ y = . r/ y = x x 1 − . u/ y = x −1 . 3x x −1 4x . − x . −4x − 8 3x − 10 10 − 3x 7x − 1 3 4 − 28x 0,2x 25 1 2 1 1 . w/ y = − . x/ y = . v/ y = + + 3 3 2−x 3x − 18 0,7x −0,7 8 +0,8x x −1 x2 y/ y = Bài 71. −x 3 x2 − 1 − 10x 3 x2 − 4 . z/ y = 1 x2 + x + 1 . α/ y = 2x 4×2 + 8x + 120 . Giải các phương trình và các bất phương trình sau a/ x2 − 6x + 8 = 0 . b/ x2 − x + 1 = 0 . c/ −x2 + 5x + 14 ≠ 0 . d/ −3×2 + 4x − 1 ≠ 0 . 2 2 e/ (3x − 2) ≠ 5 . f/ (−0, 5x + 1) ≠ 1 . g/ x − 1 + 2 − 2x = 0 . h/ 1 − x + 2x − 2 ≠ 0 . i/ j/ x + 3 + 2x + 1 = 0 . (2 − 6x)(3x − 5) + 3x − 1 = 0 . k/ −4×2 + 11x − 7 + −19x + 36×2 − 77 ≠ 0 . l/ 9×2 − 6x + 1 + 4 − 10x + 25×2 ≠ 0 . m/ x + 3 + 2x − 1 ≠ 0 . x + −x ≠ 0 . o/ x2 + x (2 − 1x ) ≠ 0 . 3 q/ −x 6 − x 3 − 11x 2 ≠ 0 . “Cần cù bù thông minh…………” n/ p/ x 4 + −3x 2 + x ≠ 0 . r/ x2 + 1 ≠ x . Page – 15 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Dạng toán 2. Xét chiều biến thiên của hàm số (Tính đơn điệu hàm số) Cho hàm số f (x ) xác định trên K. ( ) ( ) ( ) f (x ) − f (x )  Hàm số y = f x đồng biến trên K ⇔ ∀x1, x 2 ∈ K : x1 < x 2 ⇒ f x1 < f x 2 ⇔ ∀ x 1, x 2 ∈ K : x 1 ≠ x 2 ⇒ ( ) 2 1 x 2 − x1 ( ) > 0. ( )  Hàm số y = f x nghịch biến trên K ⇔ ∀x1, x 2 ∈ K : x1 < x 2 ⇒ f x1 > f x 2 ⇔ ∀x 1 , x 2 ∈ K : x 1 ≠ x 2 ⇒  Lưu ý: Một số trường hợp, ta có thể lập tỉ số f ( x1 ) f (x2 ) f (x 2 ) − f (x1 ) x 2 − x1 < 0. để so sánh với số 1, nhằm đưa về kết quả f (x1 ) < f (x 2 ) hay f (x 2 ) < f (x1 ) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 72. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra a/ y = 2x + 3 trên  . b/ y = −x + 5 trên  . c/ y = x + 10x + 9 trên (−5; +∞) . d/ y = −x 2 + 2x + 1 trên (1; +∞) . e/ y = x 2 − 4x trên (−∞;2), (2; +∞) . f/ y = −x2 + 6x + 8 trên (−10; −2), (3;5) . 2 4 trên (−∞; −1), (−1; +∞) . x +1 1+ x trên (−∞;1) . j/ y = 1− x g/ y = 2x 2 + 4x + 1 trên (−∞;1), (1; +∞) . h/ y = 3 trên (−∞;2), (2; +∞) . 2−x x trên (−∞;7 ), (7; +∞) . k/ y = x−7 m/ y = x − 3 trên Df . l/ y = o/ y = p/ y = i/ y = Bài 73. 2 − x + 1 trên Df . x − 1 trên Df . n/ y = x − 3 trên Df . x trên (0;1), (1; +∞) . x +1 2 Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) a/ y = (m − 2) x + 5 . c/ y = Page - 16 - m . x −2 b/ y = (m + 1) x + m − 2 . d/ y = m +1 . x "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 74. Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên từng khoảng tương ứng a/ y = x + 2013 trên  . b/ y = −2x + 3 trên  . c/ y = x 2 + 4x − 2 trên (−2; +∞ ) . d/ y = − 2x 2 + 4x + 1 trên (−∞;1) . x2 − x + 1 trên (1; +∞) . 2 g/ y = 5 + x 2 − 6x trên (−∞; 3) . h/ y = x 2 trên  +,  − . i/ y = −x 2 trên  +,  − . j/ y = 2x 2 trên  . k/ y = −x2 + 4x + 1 trên  . l/ y = − e/ y = 2 1− x 1 o/ y = x −2 x −1 q/ y = x +1 2x s/ y = 2 x +1 m/ y = Bài 75. f/ y = − 4x + x 2 + 3 trên (2; +∞ ) . trên (1; +∞) . n/ trên (2; +∞) . p/ trên (−∞; −1), (−1; +∞) . r/ trên (0;1), (1; +∞) . t/ 1 trên (−3; −2), (2; 3) . x +1 1 y= trên (3; +∞) . x−3 5x y= trên (2; +∞) . x −2 2x + 1 y= trên (−∞; 3), (3; +∞) . x−3 1 y =2− trên (−2; +∞) . x +2 u/ y = 5 − x trên Dy . v/ y = x − 2 trên Dy . w/ y = x x trên (0; +∞) . x/ y = y/ y = x − 3 trên D y . z/ y = 2x − 5 trên D y . α/ y = 2 + x + 3 trên Dy . β/ y = 3 x trên Dy . x + 3 + 2 x + 2 trên Dy . Cho hàm số y = f ( x ) = 2 − x + 2 1 − x . a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ Xét tính đơn điệu của hàm số.  1 1 c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  ;  .  4 2   Bài 76. Cho hàm số y = f ( x ) = 5 + x + 2 x + 4 . a/ b/ c/ d/ Bài 77. Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính đơn điệu của hàm số. Lập bảng biến thiên của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số. 1 Cho hàm số y = f (x ) = . x −1 a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ Chứng minh hàm số giảm trên từng khoảng xác định của nó. c/ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 17 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Dạng toán 3. Xét tính chẳn lẻ của hàm số Để xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = f (x ) , ta tiến hành làm các bước sau  Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. ( ) () Nếu f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ D thì hàm số y = f (x ) là hàm số chẳn. Nếu f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ D thì hàm số y = f (x ) là hàm số lẻ.  Bước 2. Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f −x với f x (x bất kì thuộc D). + + Lưu ý  Tập đối xứng là tập thỏa mãn điều kiện: ∀x ∈ D thì −x ∈ D .  Nếu ∃x ∈ D mà f (−x ) ≠ ±f (x ) thì y = f (x ) là hàm số không chẵn, không lẻ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 78. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 2014 a/ y = 3x2 − 1 . b/ y = 6x 3 . c/ y = (2x − 2) d/ y = x 4 − 4x 2 + 2 . e/ y = −2x 3 + 3x . f/ y = (x − 1) . g/ y = x 2 + x . h/ y = j/ y = −4x 2 + 5 x − 3 . k/ y = −5x 4 − 3 x + 8 . m/ y = 2x + 1 + 2x − 1 . n/ y = p/ y = 2x + 9 . q/ y = 2 + x − 2 − x . x . x +1 i/ y = x + 2 − x − 2 . x +1 + x −1 x + 1 − x −1 l/ y = . 1 2−x x2 + 4 . x4 o/ y = 2x 2 − x . . r/ y = 25 − 4x 2 . v/ y = x +2 + x −2 x . Bài 79. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = f (x ) = x (x 3 − 2) + 2m + 1 là hàm số lẻ. Bài 80. Tìm tham số m để hàm số y = f (x ) = x 4 − m (m − 1) x 3 + x2 + mx + m 2 là hàm số chẵn. Page - 18 - . 2 2 s/ y = x2 + x + x2 − x . t/ y = x + 2 + 2014 + (2x + 2) "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 81. Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau a/ y = 7x2 − 1 . b/ y = 4x − x 3 . d/ y = x 4 − 2x2 + 1 . e/ y = (x −1) 2012 2012 + (x + 1) . x2 . 3x 3 − x f/ y = x2 + 2 . x i/ y = x 3 − 3x . 2x g/ y = 5x . 2 x −1 h/ y = j/ y = −x 4 + x2 + 1 . x k/ y = 3x + 1 . l/ y = x + 3 − 3 − x . n/ y = x 2 − x − x 2 + x . o/ y = x2 +1 + x +1 + 1 − x . m/ y = 4 − x 2 . 1 p/ y = x + 1 + . q/ y = 1− x Bài 82. c/ y = −x 4 + 3x − 2 . 1+ x + 1− x . x2 3x 3 r/ y = . 4−x − 4+x s/ y = 3x − 2 + 3x + 2 . t/ y = x − 2 − x + 2 . u/ y = 4x − 3 − 4x + 3 . v/ y = −3x2 + 2 x + 11 . x/ y = x 4 + 2 x + 5 . z/ y = x +1 + x −1 2013x . Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau a/ y = f (x ) = c/ y = f ( x ) = x −1 − x + 1 x −1 + x +1 3x2 2− x . d/ y = f (x ) = . x + 2  e/ y = f (x ) = 0  x − 2 "Cần cù bù thông minh…………" b/ y = f ( x ) = khi x ≤ −1 khi − 1 < x < 1 . khi x ≥ 1 3x 4 − x2 + 5 x −1 x2 x − 2 2 . . ( x − 2) x 3 + 1 khi x ≤ −1  f/ y = f (x ) = 0 khi − 1 < x < 1 .  3 x + 1 khi x ≥ 1 Page - 19 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số B – HÀM SỐ BẬC NHẤT  Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a ≠ 0) .  Tập xác định: D =  .  Sự biến thiên:  Khi a > 0 : hàm số đồng biến (tăng) trên  .  Khi a < 0 : hàm số nghịch biến (giảm) trên  .  Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B (0; b) . Lưu ý rằng: Cho hai đường thẳng d : y = ax + b và d ' : y = a ' x + b ' .  d song song với d' ⇔ a = a ' và b ≠ b ' .  d trùng với d' ⇔ a = a ' và b = b ' .  d cắt d' ⇔ a ≠ a ' .  Hàm số y = ax + b , (a ≠ 0) .  ax + b y = ax + b =   −(ax + b)  b a b khi x < − a Lưu ý rằng: Để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , (a ≠ 0) ta có thể vẽ hai đường khi x ≥ − thẳng y = ax + b và y = −ax − b , rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 83. Vẽ đồ thị của các hàm số sau a/ y = 2x − 7 . b/ y = −3x + 5 . x−3 . 2 −x khi x ≤ −1   khi − 1 < x < 2 . e/ y = 1  x − 1 khi x ≥ 2  g/ y = 3x + 5 . c/ y = 1 5 i/ y = − 2x + 3 + . 2 2 k/ y = x − x − 1 . Bài 84. 5−x . 3 −2x − 2  f/ y =  0  x −2  h/ y = −2 x − 1 . d/ y = khi x < −1 khi − 1 ≤ x ≤ 2 . khi x ≥ 2 j/ y = x − 2 + 1 − x . l/ y = x + x − 1 + x + 1 . Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau bằng phương pháp đồ thị và bằng phép tính a/ y = 3x − 2; y = 2x + 3 . b/ y = −3x + 2; y = 4 (x − 3) . c/ y = 2x; y = −x − 3 . d/ y = e/ y = x + 3; y = −5x + 3 . Page - 20 - x−3 5−x ; y= . 2 3 f/ x + y = −1; x − 2y + 4 = 0 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Bài 85. Bài 86. Ths. Lê Văn Đoàn Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = −2x + m (x + 1) : a/ Đi qua gốc tọa độ O. b/ Đi qua điểm M (−2; 3) . c/ Song song với đường thẳng y = 2.x . d/ Vuông góc với đường thẳng y = −x . Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b : a/ Đi qua hai điểm A (−1; −20) và B (3; 8) . b/ Đi qua hai điểm A (−1; 3) và B (1;2) . 2  c/ Đi qua hai điểm A  ; −2 và B (0;1) .  3 d/ Đi qua hai điểm A (4;2) và B (1;1) . e/ Đi qua điểm A (1; −1) và song song với đường thẳng y = 2x + 7 . f/ Đi qua điểm A (3; 4) và song song với đường thẳng x − y + 5 = 0 . 2 g/ Đi qua điểm M (4; −3) và song song với đường thẳng d : y = − x + 1 . 3 h/ Đi qua điểm điểm M (3; −5) và điểm N là giao điểm của hai đường thẳng d1 : y = 2x và đường thẳng d2 : y = −x − 3 . i/ Cắt đường thẳng d1 : y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2 : y = –3x + 4 tại điểm có tung độ bằng –2. j/ Song song với đường thẳng y = 1 x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2 1 y = − x + 1 và y = 3x + 5 . 2 k/ Qua điểm H (1; −3) và cắt trục hoành tại điểm K có hoành độ là 4. l/ Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 2 và song song với đường thẳng 3x − 4y = 36 . m/ Đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng y = x . n/ Đi qua điểm A (1;1) và vuông góc với đường thẳng y = −x + 1 . Bài 87. Bài 88. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của tham số m sao cho ba đường thẳng sau đây phân biệt (không có điểm chung) và đồng qui. a/ y = 2x; y = −x − 3; y = mx + 5 . b/ y = –5 (x + 1); y = mx + 3; y = 3x + m . c/ y = 2x − 1; y = 8 − x; y = (3 − 2m ) x + 2 . d/ y = (5 − 3m ) x + m − 2; y = −x + 11; y = x +3. e/ y = −x + 5; y = 2x − 7; y = ( m − 2) x + m 2 + 4 . Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào (điểm cố định đồ thị) a/ y = 2mx + 1 − m . b/ y = mx − 3 − x . c/ y = (2m + 5) x + m + 3 . d/ y = m (x + 2) . e/ y = (2m − 3) x + 2 . f/ y = (m − 1) x − 2m . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 21 - Ths. Lê Văn Đoàn Bài 89. Bài 90. Phần Đại Số Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến ? nghịch biến ? a/ y = (2m + 3) x − m + 1 . b/ y = (2m + 5) x + m + 3 . c/ y = mx − 3 − x . d/ y = m (x + 2) . Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây ? d1 : 3y − 6x + 1 = 0 . d2 : y = −0, 5x − 4 . x . 2 d5 : 2x − y = 1 . d4 : 2y + x = 6 . d3 : y = 3 + Bài 91. d6 : y = 0, 5x + 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau a/ y = (3m − 1) x + m + 3; y = 2x − 1 . b/ y = m (x + 2); y = (2m + 3) x − m + 1 . c/ y = Bài 92. Bài 93. 2 (m + 2) m 3m 5m + 4 . x+ ; y= x− 1− m m −1 3m + 1 3m + 1 Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) của các điểm sau a/ M (m − 1;2m + 1) . b/ M (3 − 2m; 4m 2 − 1) . c/ M (m + 2; m 2 + 4) . d/ M (3 − m; 4m 2 + 2m + 1) . Định tham số m để hai đường thẳng cắt nhau. Khi đó, tìm quĩ tích giao điểm của hai đồ thị. a/ d1 : y = 2x + m và d2 : y = 1 . Bài 94. b/ d1 : y = −x + 2m và d2 : y = −1 . Định tham số m để diện tích tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước (O là gốc tọa độ) a/ A (0; −m 2 ), B (1; 0), S∆OAB = 9 . b/ A (0;2), B (3m 2 ; 0), S∆OAB = 18 . c/ A (0; m ), B (m; 0), S∆OAB = 8 . d/ A (0;2m 2 + 1), B m + 2; 0 , S∆OAB = 2 . ( ) Bài 95. Định tham số m để đường thẳng d chắn trên hai trục tọa độ tam giác có diện tích cho trước. 2 a/ d : y = x + 2m, S∆ = 1 . b/ d : y = − x − m2, S∆ = 25 . 3 Bài 96. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị Bài 97. y = 2x + 3 a/   4x − 2y = 4 3 − y = 0 b/   3x + 2y − 3 = 0 y = −3x + 5 c/   2x + y = 1 2x − y − 2 = 0 d/   6x − 3y − 6 = 0 Cho đồ thị hàm số y = 3 − 2x . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b/ Xác định các giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng y = Page - 22 - 1 x +1. 2 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 98. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau a/ y = −2x + 3 . b/ y = 2x + 7 . 4 x − 1. 3 g/ y = 2 . j/ y = −x . x −1 . 4 h/ y = −3 . k/ y = 2x . d/ y = Bài 99. c/ y = 6 − x . 3 − 2x . 5 i/ y = x . l/ y = −2x . e/ y = f/ y = x + 2 khi x > 2 a/ y =  .  khi x ≤ 2 1 2x − 1 khi x ≥ 1  b/ y =  1  x + 1 khi x < 1  2 c/ y = 2x − 3 . 3 d/ y = − x + 1 . 4 e/ y = −x − 2 . f/ y = x + 2x . g/ y = −2x − 2x . h/ y = x + 2 + 1 . i/ y = −x − 3 + 2x + 1 . j/ y = x − 1 − 5 − x . k/ y = x −2 − 3x −4 + 6x + 4 . l/ y = 11x −8 + 2 +9x − 2x −9 . Vẽ đồ thị của các hàm số sau Bài 100. Xác định tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau bằng đồ thị và bằng phép tính. a/ d1 : y = 2 − 3x và d2 : y = 4x − 12 . c/ d1 : y = −5x + 2 và d2 : y = b/ d1 : y = 3x − 2 và d2 : y = 5 . 4 3  3  −1 + x  . d/ d1 : y = −x + 3 và d2 : y = x − 1 . 2  4  Bài 101. Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b : a/ Đi qua hai điểm A (−1; −2), B (99; −2) . b/ Đi qua hai điểm A (1; 3), B (2; 4) . c/ Đi qua hai điểm A (−3;2), B (5;2) . d/ Đi qua hai điểm A (−100;1), B (50;1) . e/ Đi qua hai điểm A (1; −3), B (1; 4) . f/ Đi qua A (−3; 4) và có hệ số góc là 2. g/ Song song với đường thẳng d : y = 3x − 2 và đi qua điểm M (2; 3) . h/ Song song với đường thẳng y = −7x + 2013 và đi qua điểm N (−1;2) . i/ Đi qua điểm A (1; 3) và vuông góc với đường thẳng d : 2x − y + 1 = 0 . j/ Đi qua điểm A (2; −1) và vuông góc với đường thẳng d : y = 1 . k/ Đi qua điểm M (−1; 4 ) và cắt trục tung tại điểm N có tung độ bằng −2 . l/ Cắt trục tung tại điểm E có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại F có hoành độ là 1. 1 x. 2 n/ Đi qua điểm A (2; −30) và điểm B là giao điểm của hai đường thẳng 14x + y + 2 = 0 và m/ Cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng −3 và vuông góc với đường thẳng d : y = "Cần cù bù thông minh…………" Page - 23 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số y = −2x − 26 . Bài 102. Chứng minh rằng bộ ba đường thẳng trong các trường hợp sau đồng qui. a/ d1 : y = x + 2 . d2 : y = 2x + 1 . d3 : y = 3x . b/ d1 : y = x + 1 . d2 : y = 2 . d3 : y = 3 − x . c/ d1 : 3x − y − 7 = 0 . d2 : 3x − 2y − 8 = 0 . d3 : y = −2x + 3 . d/ d1 : 5x + 4y − 6 = 0 . d2 : y = −2x + 3 . d3 : 2y − 3x + 4 = 0 . Bài 103. Tìm tham số m để bộ ba đường thẳng sau đồng qui. a/ d1 : y = x + 1 . d2 : y = −x + m . d3 : y = 3x . b/ d1 : y = 2x . d2 : y = −x − 3 . d3 : y = mx + 5 . c/ d1 : y = 2x + 3 . d2 : y = −x + 5 . d3 : y = (1 − m ) x + 2 . Bài 104. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số a/ y = mx − 3 . b/ y = 2mx + 1 − m . c/ y = (m − 1) x + 6m − 2014 . d/ y = mx − 5m + 2 . e/ (4 − 5m ) x + (3m − 2) y + 3m − 4 = 0 . f/ mx − y + 3m + 7 = 0 . g/ (m + 2) x + (m − 3) y − m + 8 = 0 . h/ y = (m 2 − 1) x − 2m 2 + 3 . Bài 105. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) của các điểm sau a/ M (2m − 1; 2m + 7 ) . b/ M (m + 5; 4m − 3) . c/ M (2m − 7; m 3 − 3m 2 + 6m − 1) . d/ M (2; m 2 − m) . e/ M (3m 3 ; − 3) . f/ M (−5 − 5m; − 3m 2 − 10) . Bài 106. Định tham số m để hai đường thẳng cắt nhau. Khi đó, tìm quĩ tích giao điểm của hai đồ thị a/ d1 : y = (m + 1) x − 3 . d2 : y = m . b/ d1 : y = mx + 2m + 4 . d2 : y = −3x + 2m . Bài 107. Định tham số m để diện tích tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước (O là gốc tọa độ) a/ A (0;2m ), B (−m; 0), S∆OAB = 5 . ( ) b/ A(0;−3m2 − 2), B 2 m + 1;0 , S∆OAB = 15 . Bài 108. Định tham số m để đường thẳng d chắn trên hai trục tọa độ tam giác có diện tích cho trước. a/ d : y = −2x + m, S∆ = 10 . b/ d : y = (m − 1) x + 2, S∆ = 16 . Bài 109. Cho hàm số y = 2x − 3 có đồ thị là đường thẳng d. a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b/ Xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua trục tung. Bài 110. Cho hàm số y = 2 − x + 2x + 1 . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b/ Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 − x + 2x + 1 = m . Page - 24 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn C – HÀM SỐ BẬC HAI  Dạng hàm số: y = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) .  Tập xác định: D =  .  Sự biến thiên: Khi a > 0 x − −∞ b 2a +∞ Khi a < 0 +∞ x b 2a ∆ − 4a − −∞ +∞ y y − ∆ 4a +∞ −∞ −∞  b b ∆  Đồ thị: là một parabol có đỉnh I − ; −  , nhận đường thẳng x = − làm trục đối xứng,  2a 4a  2a hướng bề lõm lên trên khi a > 0 , xuống dưới khi a < 0 .  Các bước vẽ parabol (P) : y = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) .  b ∆  Bước 1. Xác định toạ độ đỉnh I − ; −  .  2a 4a  b và hướng bề lõm của parabol. 2a  Bước 3. Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).  Bước 4. Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.  Bước 2. Xác định trục đối xứng x = − Hình dáng parabol (P) : y = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) . Trục đối xứng y y  b ∆ Đỉnh I − ;−   2a 4a  − O − ∆ 4a b 2a x − b 2a − ∆ 4a O x  b ∆ I − ; −  : Đỉnh  2a 4a  Khi a > 0 “Cần cù bù thông minh…………” Khi a < 0 Page - 25 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = f (x ) và y = g (x ) . Xét phương trình hoành độ giao điểm f (x ) = g (x ) (∗) .  Nếu phương trình (∗) có n nghiệm (n ≠ 1) thì đồ thị y = f (x ) và y = g (x ) cắt nhau tại n điểm phân biệt.  Nếu phương trình (∗) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y = f (x ) tiếp xúc (có một điểm chung) với đồ thị y = g (x ) .  Nếu phương trình (∗) vô nghiệm, thì đồ thị y = f (x ) và y = g (x ) không có điểm chung (không cắt nhau). Để tìm tọa độ giao điểm, ta thay nghiệm x vào y = f (x ) hoặc y = g (x ) để được hoành độ y Bài toán 2. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm ) : y = f (x, m ) khi m thay đổi  Gọi M (x o ; y o ) ∈ (Cm ), ∀m ⇔ y o = f (x o , m ), ∀m (1) .  Biến đổi (1) về một trong hai dạng A = 0 Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m ⇔   (2a) . B = 0  A = 0  2 Dạng 2: (1) ⇔ Am + Bm + c = 0, ∀m ⇔ B = 0 (2b) .  C = 0  Giải hệ (2a ) hoặc (2b) ta tìm được tọa độ (x o ; yo ) của điểm cố định. Bài toán 3. Quỹ tích điểm M (tập hợp điểm) thỏa tính chất  Bước 1. Tìm điều kiện nếu có của tham số m để tồn tại điểm M.  Bước 2. Tính tọa độ điểm M theo tham số m. Có các trường hợp sau xảy ra: x = f (m )  • Trường hợp 1. M  y = g (m ) Khử tham số m giữa x và y, ta có hệ thức giữa x và y độc lập với m có dạng: F (x, y) = 0 , được gọi là phương trình quỹ tích. x = a • Trường hợp 2. M  với a là hằng số.  y = g (m )  Khi đó, điểm M nằm trên đường thẳng x = a . x = f (m ) với b là hằng số. • Trường hợp 3. M   y = b Khi đó, điểm M nằm trên đường thẳng y = b . Page - 26 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn  Bước 3. Tìm giới hạn quỹ tích. Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M (x; y) . Đó là giới hạn của quỹ tích.  Bước 4. Kết luận Tập hợp điểm M có phương trình F (x, y) = 0 (hoặc x = a hoặc y = b ) với điều kiện của x, y nếu có (ở bước 3). Bài toán 4. Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối  Vẽ hàm đồ thị hàm số y = f (x ) = ax 2 + bx + c , (a ≠ 0) . • Bước 1. Vẽ Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c . • Bước 2. Suy ra đồ thị hàm số y = f (x ) = ax 2 + bx + c , (a ≠ 0) , như sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (P) ở phía trên trục hoành Ox. o Lấy đối xứng phần đồ thị (P) ở phía dưới trục Ox qua trục Ox. o Đồ thị cần tìm là hợp hai phần trên. (thí dụ hình 1) y 2 y= 4 2 2 8 x − x +2 3 3 2 3 1 1 − y = x2 − 2 x + 1 2 x 3 O 1 –1 3 x 2 3 Hình 2 Hình 1 ( )  Vẽ hàm đồ thị hàm số y = f x = ax 2 + b x + c, (a ≠ 0) . • Bước 1. Vẽ Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c . ( ) • Bước 2. Suy ra đồ thị hàm số y = f x = ax 2 + b x + c, (a ≠ 0) , như sau: o Giữ nguyên phần (P) ở bên phải trục tung Oy, bỏ phần bên trái trục tung. o Lấy đối xứng phần bên phải trục tung ở trên qua trục tung Oy. o Đồ thị cần tìm là hợp của hai phần trên (thí dụ hình 2). Lưu ý: Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c , ta cần nhớ: Đỉnh  b b ∆ I − ; −  , trục đối xứng x = − . 2a 4a   2a "Cần cù bù thông minh…………" Page - 27 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 111. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a/ y = 2x2 + 6x + 3 . b/ y = x2 − 2x . 1 2 x − 2x + 6 . 5 g/ y = x 2 − 4x + 4 . d/ y = c/ y = −x2 + 2x + 3 . e/ y = −x2 + 2x − 2 . h/ y = −x 2 − 4x + 1 . 2 2 l/ y = (x + 3) . k/ y = x2 . 1 f/ y = − x2 + 2x − 2 . 2 i/ y = −x 2 − 2 . m/ y = (x − 1) . Bài 112. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau a/ y = x − 1; y = x 2 − 2x − 1 . b/ y = −x + 3; y = −x 2 − 4x + 1 . c/ y = 2x − 5; y = x2 − 4x + 4 . d/ y = x 2 − 2x − 1; y = x 2 − 4x + 4 . e/ y = 3x 2 − 4x + 1; y = −3x 2 + 2x − 1 . f/ y = 2x 2 + x + 1; y = −x 2 + x − 1 . Bài 113. Xác định parabol (P) biết 3 . 2 b/ (P) : y = ax 2 − 4x + c có trục đối xứng là là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại a/ (P) : y = ax2 + bx + 2 đi qua điểm A (1; 0) và có trục đối xứng x = điểm M (3; 0) . c/ (P) : y = ax2 + bx + 3 đi qua điểm A (−1;9) và có trục đối xứng x = −2 . d/ (P) : y = 2x2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm M (0; 4) . e/ (P) : y = ax 2 − 4x + c đi qua hai điểm A (1; −2), B (2; 3) . (P) : y = ax − 4x + c có đỉnh là I (−2; −1) . g/ (P) : y = ax − 4x + c có hoành độ đỉnh là −3 và đi qua điểm A (−2;1) . h/ (P) : y = ax + bx + c đi qua điểm A (0;5) và có đỉnh I (3; −4) . i/ (P) : y = ax + bx + c đi qua điểm A (2; −3) và có đỉnh I (1; −4) . j/ (P) : y = ax + bx + c đi qua điểm A (1;1) và có đỉnh I (−1; 5) . k/ (P) : y = ax + bx + c đi qua các điểm A (1;1), B (−1; 3), O (0; 0) . l/ (P) : y = ax + bx + c đi qua các điểm A (0; −1), B (1; −1), C (−1;1) . m/ (P) : y = ax + bx + c đi qua các điểm A (−1; −1), B (0;2), C (1; −1) . n/ (P) : y = x + bx + c đi qua điểm A (1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1. o/ (P) : y = ax + bx + c có đỉnh là I (3; −1) và cắt Ox tại điểm có hoành độ là 1. f/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 114. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau a/ y = x 2 − 2 x + 1 . ( ) c/ y = x x − 2 . Page - 28 - b/ y = −3x 2 − 6 x + 4 . d/ y = x 2 − 2 x − 1 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I −x 2 − 2 khi x < 1  e/ y =  2 . 2x − 2x − 3 khi x ≥ 1  2x khi x < 0 g/ y =  .  2 x − x khi x ≥ 0 2 8 i/ y = x 2 − x + 2 . 3 3 Ths. Lê Văn Đoàn −2x + 1 khi x ≥ 0 f/ y =  .  2 x + 4x + 1 khi x < 0  h/ y = −2x 2 − 2x . j/ y = 1 2 x +2 x +1 . 2 Bài 115. Lập bảng biến thiên, rồi tìm giá trị lớn nhất (GTLN – max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN – min) của hàm số trên miền xác định được chỉ ra. a/ y = x 2 − x trên −1; 3 .   2  c/ y = 3x − 6x trên −5; −2 .   2  e/ y = −x + 5x + 3 trên 1; 3 .   2 g/ y = x − 5x trên (−∞; 3 .  b/ y = 2x2 − 3x trên 4;6 .   2 d/ y = −x + 5x − 4 trên 1;2 .   2  f/ y = 3x − 6x trên  3; +∞) .  2 h/ y = −2x + 2.x trên (−∞;−1 ∪ 1; +∞) .   Bài 116. Vẽ đồ thị của hàm số y = −x2 + 5x + 6 . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m, số điểm chung của parabol y = −x2 + 5x + 6 và đường thẳng y = m . Bài 117. Cho Parabol (P) : y = x2 − 2x + 3 . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị của parabol trên. b/ Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của của phương trình x 2 − 2x − m = 0 . c/ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2x + 1 và đi qua đỉnh của parabol (P) . Bài 118. Cho Parabol (P) : y = x2 − x + 2 . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (P) . b/ Tìm tham số m để phương trình x2 − x − m 2 = 0 có duy nhất 1 nghiệm. Bài 119. Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt. a/ (P1 ) : y = x2 − 2x + 4 và (P2 ) : y = −x2 + 2x + m . b/ (P1 ) : y = mx 2 − mx + m và (P2 ) : y = x 2 + (2 − m ) x + 3 . Bài 120. Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung) 1 a/ (P1 ) : y = − x2 + x + 1 và (P2 ) : y = x 2 − x + m . 2 b/ (P1 ) : y = x2 + mx − m2 và (P2 ) : y = x2 − 5mx − 6 . Bài 121. Cho Parabol (P) : y = x2 − 3x + 2 và đường thẳng d : y = mx + 2 . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) . b/ Tìm tham số m để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung), cắt nhau tại hai điểm phân biệt. c/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − 3x + 3 − 2m = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 29 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Bài 122. Tìm điểm cố định của họ đồ thị các hàm số a/ y = (m − 1) x 2 + 2mx − 3m + 1 . b/ y = (m − 2) x2 − (m − 1) x + 3m − 4 . c/ y = mx 2 − 2mx + 1 . d/ y = m2 x 2 + 2 (m − 1) x + m2 − 1 . e/ y = (m − 1) x 3 − m + 2 . f/ y = mx 3 − mx + 2 . Bài 123. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định. m2 −1. b/ y = x 2 − 2mx + m2 − 1 . a/ y = x2 − mx + 4 Bài 124. Tìm quỹ tích đỉnh của các Parabol sau b/ y = mx2 − 2m2x + m3 − 2m2 + 3, (m ≠ 0) . a/ y = x 2 + mx + 1 . Bài 125. Định tham số m để cặp đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Khi đó, tìm quỹ tích trung điểm của giao điểm của hai đồ thị a/ (P) : y = x (x + 2), d : y = m. b/ (P) : y = −x 2 + 2mx + m, d : y = 3−x. Bài 126. Vẽ đồ thị hàm số và dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình a/ y = 2x 2 − 10x + 12 , 2x 2 − 10x + 12 = m . b/ y = x 2 + 4 x + 3, x2 + 4 x + 3 = m . c/ y = −x 2 + 3 x − 8 , −x 2 + 3 x − 8 = m . 1 2 8 d/ y = − x 2 + x + , 3 3 3 1 2 8 − x2 + x + = m . 3 3 3 Bài 127. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình a/ x2 + x x + 2 = m . ( b/ −x 2 + 3x − 2 = m . ) c/ (x + 2) x − 1 − m = 0 . d/ x 2 − 2 x − 3 − m = 0 . e/ x x − 3 − 4 − m 2 = 0 . f/ g/ (x + 1)(1 − x ) − 2m = 0 . x 2 + 3x − x − 2 − m 3 + 5 = 0 . h/ 2x 2 − 3 x + 1 − m = 0 . Bài 128. Tìm tham số m để phương trình sau có k nghiệm phân biệt a/ (m − x 2 − x − 1)(m − x 2 + x ) = 0, b/ (x 2 )( k = 4. ) k = 4. − 2x − m x 2 + 4x + 2 − m = 0, c/ x 4 − 2x 3 − (2m − 1) x 2 + 2 (m + 1) x + m2 + m = 0, k = 4 . Bài 129. Định tham số m để bất phương trình sau có nghiệm a/ x 2 − 3x + m > (x − 1)(x − 2) . c/ −x 2 + 6x − 5 < m . Page - 30 - b/ 2x + m > 5 − x . d/ 2x − 4 > 3 x − m . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 130. Cho hàm số (P) : y = (2 − m ) x2 + (3m + 1) x − 2m, (Cm ) . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) khi m = 1 , gọi là (C1 ) . b/ Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm ) luôn đi qua điểm cố định. c/ Định tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) nhận đường thẳng y = 2x + 1 làm tiếp tuyến. d/ Dựa vào đồ thị (C1 ) , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2 − 2x + 3 − 2 (m + 1) = 0 . Bài 131. Cho Parabol (P) : y = x 2 − 1 . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (P) . b/ Xác định điểm M trên (P) để đoạn OM là ngắn nhất. c/ Chứng minh rằng khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M c ủa ( P ) . Bài 132. Cho đường thẳng d : y = 2x + 1 − 2m và Parabol (P) đi qua điểm A (1; 0) và có đỉnh S (3; −4 ) . a/ Lập phương trình và vẽ Parabol (P) . b/ Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định. c/ Chứng minh rằng d luôn căt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 133. Cho Parabol (P) : y = f (x ) = x 2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = g (x ) = mx + 1 . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) . b/ Định m để (P) và d tiếp xúc nhau. c/ Cho m tùy ý. Chứng minh: f (x ) − g (x ) ≥ −m2 − 8m − 8 , ∀x ∈  . 4 Bài 134. Cho (Pm ) : y = x2 − 3mx + 5 . a/ Tìm tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4. b/ Tìm quỹ tích đỉnh của (Pm ) . c/ Tìm m để (Pm ) có duy nhất một điểm chung với Ox. d/ Khi m = 1 , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1. e/ Định tham số m để đường thẳng d : y = −x − 2 cắt (Pm ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. Tính diện tích tam giác OAB. Bài 135. Cho (Pm ) : y = x 2 − (m + 1) x + m − 6 . a/ Định m để Parabol đi qua điểm A (−1;2) . b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi m = 3 . c/ Chứng minh (Pm ) luôn đi qua một điểm cố định. d/ Chứng minh: ∀x ∈  thì khoảng cách từ đỉnh của (Pm ) đến Ox không nhỏ hơn 6. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 31 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 136. Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, các giao điểm với trục tung và trục hoành của parabol a/ y = 2×2 − x − 2 . d/ y = 1 2 x − 2x + 6 . 5 b/ y = −3×2 − 6x + 4 . c/ y = −2×2 − x + 2 . 1 e/ y = − x2 + 2x − 1 . 2 f/ y = −2x 2 − 2 . Bài 137. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a/ y = x 2 . b/ y = x 2 − 1 . 2 c/ y = x2 + 1 . 2 d/ y = (x − 1) . e/ y = (x + 1) . f/ y = −x2 + 2x − 2 . g/ y = 2x 2 + 6x + 3 . h/ y = 4x 2 − 2x − 6 . i/ y = −3x 2 − 6x + 4 . l/ y = −2x 2 − 2 . m/ y = −x 2 + 3x . b/ y = y = x 2 − 2 x + 1 . c/ y = x 2 + 4 x + 3 . e/ y = 2x 2 − 10x + 12 . f/ k/ y = 1 2 x + 2x + 1 . 2 Bài 138. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số a/ y = x 2 − 2x + 1 . d/ y = 1 2 x +2 x +1 . 2 1 21 y = − x2 − 5x − . 2 2 Bài 139. Lập bảng biến thiên, rồi tìm giá trị lớn nhất (GTLN – max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN – min) của hàm số trên miền xác định được chỉ ra. a/ y = −x2 + 6x − 1 trên −2; 7  .   2   c/ y = −x + 5x − 4 trên 1;2 .   e/ y = 2×2 + x + 5 trên (−∞; −3 ∪ 4; +∞) .   2  g/ y = 2x + 3 trên (−∞; −6 ∪ 5; +∞) .   b/ y = −6x 2 + 3x + 4 trên 1;2 .   2  d/ y = x + 3x − 5 trên −3; −2 .   2  f/ y = 3x − 4x trên 1; +∞) .  2 h/ y = 3x − 6x trên (−∞;2 .  Bài 140. Xác định Parabol (P) : y = f (x ) = ax2 + bx + c trong các trường hợp sau, biết: a/ Qua điểm A (8; 0) và có đỉnh I (5;12) . b/ Qua điểm A (3;6) và có đỉnh I (1; 4 ) . 4 25  c/ Qua điểm A (1; −2) và có đỉnh I  ; −  . 8   7 d/ Qua điểm A (2; 3) và có đỉnh I (1; −4) . e/ Có đỉnh I (3; 6) và đi qua điểm M (1; −10) . f/ Qua ba điểm A (0; −1), B (1; −1), C (−1;1) .  3  7 g/ Qua ba điểm A 1; , B −1; , C (2;2) .  2   2  h/ Qua ba điểm A (0; 3), B (1;2), C (−1;16) . i/ Qua ba điểm A (−2;7 ), B (−1; −2), C (3;2) . j/ Qua điểm A (1;16) và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành đồ là −1 và 5. Page – 32 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 4 làm trục đối xứng và đi qua hai điểm A (0; −2), B (1; −7 ) . 3 l/ Có trục đối xứng là x = −2 , đi qua điểm A (1; 4) và có đỉnh thuộc đường thẳng y = 2x − 1 k/ Đồ thị nhận đường thẳng x = − m/ Có trục đối xứng là x = 1 , cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và chỉ có một giao điểm với trục hoành. Bài 141. Tìm Parabol (P) : y = ax 2 + bx + 2 trong các trường hợp sau: a/ Parabol (P) đi qua M (1;5) và N (−2; 8) . 3 b/ Parabol (P) đi qua A (3; 4) và có trục đối xứng là x = − . 2 c/ Parabol (P) có đỉnh là I (2; −2) . 1 d/ Parabol (P) đi qua B (−1;6) và có tung độ đỉnh là − . 4 Bài 142. Tìm điểm cố định của họ đồ thị a/ y = mx 2 + 2mx − 3m . b/ y = m2 x 2 + 2 (m − 1) x + m 2 . c/ y = (m − 1) x2 + 2x − 3m . d/ y = mx 2 − 2x + m . e/ y = (m − 2) x 3 − m + 2 . f/ y = mx 3 − 2mx2 + x + (2 − x ) m . Bài 143. Tìm tọa độ giao điểm của các đường sau: a/ d : y = x − 2 c/ d : y = −x + 1 e/ d : 2x − y − 11 = 0 b/ (P) : y = −x . d/ (P) : y = 2x . (P) : y − x + 6x − 5 = 0 . f/ 2 2 2 d : y = 2x + 3 ( P) : y = x 2 . d : x + y −1 = 0, (P) : y − x + 4x − 3 = 0 . 2 d : x + 2 − y = 0, (P) : 2y − x2 + 2x − 8 = 0 . Bài 144. Xác định hàm số y = ax2 + bx + c trong các trường hợp sau a/ Đi qua điểm A (0;1) và tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1 tại điểm M (1; 0) . b/ Đi qua điểm A (0;1) và tiếp xúc với hai đường y = x − 1 và đường y = −2x + 1 . c/ Đi qua điểm A (2; −3) và tiếp xúc với hai đường y = 2x − 7 và đường y = −4x − 4 . d/ Đia qua hai điểm A (0;2), B (−2; 8) và tiếp xúc với trục hoành Ox. e/ Hàm số đạt cực tiểu bằng 2 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −2x + 6 tại hai điểm có tung độ tương ứng bằng 2 và 10. Bài 145. Cho các hàm số (P1 ) : y = 2x (x + 2) và (P2 ) : y = (x + 1)(x + 2) . a/ Vẽ các đồ thị hàm số (P1 ) và (P2 ) trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm giao điểm của chúng. b/ Định a, b, c để hàm số y = ax2 + bx + c có cực đại bằng 8 và đồ thị của nó qua giao điểm của (P1 ) và (P2 ) . Bài 146. Cho Parabol (P) : y = x2 − 6x + 5 và đường thẳng d : y = ax + 1 − 2a . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ. b/ Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm cố định. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 33 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số c/ Bằng đồ thị và phép toán. Chứng minh x 2 − 6x + 5 = ax + 1 − 2a luôn có nghiệm. Bài 147. Cho (P1 ) : y = x2 − 4x + 3 và (P2 ) : y = x 2 + 2x + 3 . a/ Vẽ (P1 ) và (P2 ) trên cùng một hệ trục tọa độ. b/ Tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng đồ thị và phép tính. c/ Định m để đường thẳng d : y = m cắt mỗi đồ thị tại hai điểm phân biệt. d/ Giả sử d cắt (P1 ) tại hai điểm phân biệt A, B và d cắt (P2 ) tại hai điểm C, D. Tính độ dài đoạn AB, CD theo m. e/ Tìm m để AB = CD . Bài 148. Cho (P1 ) : y = x2 − 4x + 2 và (P2 ) : y = −x2 . a/ Vẽ (P1 ) và (P2 ) trên cùng một hệ trục tọa độ. b/ Bằng phép tính, chứng minh rằng hai Parabol trên tiếp xúc nhau. c/ Gọi A là tiếp điểm. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với đường thẳng ∆ : y = 2x + 2013 . d/ Đường thẳng d cắt (P1 ) tại M và cắt (P2 ) tại N. Tìm tọa điểm M và N. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. e/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P1 ) : y = x 2 − 4x + 2 và (P3 ) : y = x2 − x − 1 . Bài 149. Cho Parabol (P) : y = x2 − 6x + 5 . a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (P) . b/ Gọi A và B là giao điểm của (P) và Ox (x A < x B ) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc bằng 1, đường thẳng ∆ qua B và vuông góc với d. c/ Gọi C là giao điểm của d và ∆ . Chứng minh rằng ∆ABC vuông cân. Bài 150. Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau, cắt nhau tại hai điểm phân biệt a/ (P1 ) : y = 2x2 + 3x − 5 và (P2 ) : y = −6x 2 + 9x − 2m . b/ (P1 ) : y = −x 2 + 3mx − 5m và (P2 ) : y = 3x2 + 5x − m . Bài 151. Định tham số m để các cặp đồ thị sau tiếp xúc nhau (có một điểm chung duy nhất) 1 a/ (P1 ) : y = − x2 + x + 1 và (P2 ) : y = x 2 − x + m . 2 1 2 b/ (P1 ) : y = − x2 + x + 4 và (P2 ) : y = x2 − x + m . 3 3 2 2 c/ (P1 ) : y = −x + x + 3 và (P2 ) : y = x − x − 2m . 1 2 x − x +1. 2 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) . Bài 152. Cho (P) : y = b/ Viết phương tình đường thẳng d đi qua A (2; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (P) . c/ Một đường thẳng ∆ đi qua B (2; 0) và cắt (P) theo một dây cung nhận B làm trung điểm. Tìm phương trình đường thẳng ∆ . Page - 34 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 153. Cho (P) : y = x2 − x + 2 . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) . 1 b/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; −1) có hệ số góc − . Tìm tọa độ giao 2 điểm A, B của d và (P) .  c/ Cho điểm E (0; −2) . Chứng minh rằng AEB = 900 . Bài 154. Định tham số m để hai đường thẳng cắt nhau. Khi đó tìm quỹ tích giao điểm của hai đồ thị. a/ (P) : y = x 2 − 5x + 6 d : y = 2m − 1 . b/ (P) : y = mx 2 + 3x − 2m d : y = mx + 2 . Bài 155. Cho (P) : y = x (4 − x ) − 2 . a/ Biện luận theo m số giao điểm của (P) và d : x + y − m = 0 . b/ Trong trường hợp d cắt (P) tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Bài 156. Cho (P) : y = ax 2 + bx + c . a/ Xác định hàm số của (P) qua điểm A (0; −3) và tiếp xúc với đường thẳng y = − (3x + 1) tại điểm B và có hoành độ bằng 1. b/ Cho đường thẳng d đi qua điểm C (0; −2) và hệ số góc là m. Biện luận theo m số giao điểm của d và (P) . c/ Trong trường hợp d cắt (P) tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN. Bài 157. Cho (P) : y = −x 2 + 2x + 3 . a/ Chứng minh rằng đường thẳng d : y = mx luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn MN. b/ Với giá trị nào của m thì hai tiếp tuyến của (P) tại M, N vuông góc nhau. Bài 158. Định tham số m để các bất phương trình sau có nghiệm a/ 2 x + m > x + 1 . Bài 159. Cho hàm số y = ax2 + bx + c b/ 2 x − m < 2mx − x 2 − 2 . ( P) . • Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra. • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được. ( ) • Tìm m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung điểm I của đoạn AB. 1 3 a/ (P) có đỉnh S  ;  và đi qua điểm A (1;1); 2 4  b/ (P) có đỉnh S (1;1) và đi qua điểm A (0;2); "Cần cù bù thông minh…………" d : y = mx . d : y = 2x + m . Page - 35 - Ths. Lê Văn Đoàn Chương 3 Phần Đại Số PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  A – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH  Phương trình một ẩn f (x ) = g (x ),  xo (1) . là một nghiệm của (1) nếu " f (x ) = g (x ) " là một mệnh đề đúng. o o  Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Lưu ý  Khi tìm điều kiện xác định (TXĐ) của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau o Nếu trong phương trình có chứa biểu thức o Nếu trong phương trình có chứa biểu thức o Nếu trong phương trình có chứa biểu thức () 1 thì cần điều kiện P (x ) ≠ 0 . P ( x) P (x ) thì cần điều kiện P (x ) ≥ 0 . 1 P (x ) thì cần điều kiện P (x ) > 0 . ( )  Các nghiệm của phương trình f x = g x là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f (x ) và y = g (x ) .  Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1 ( x ) = g1 (x ) (1) có tập nghiệm S1 và f (x ) = g (x) (2) 2 2  (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S1 = S2 .  (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S1 ⊂ S2 .  Phép biến đổi tương đương  Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau + Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. + Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.  Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 160. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó 2x − 3 4x + 3 . = 2 2 1 1 = 15 + c/ 5x + . x+3 x+3 2 2 e/ 3x + . = 15 + x −5 x −5 a/ Page – 36 – 5 5 . = 12 + x−4 x−4 1 1 d/ x 2 − . = 9− x −1 x −1 x +1 x −1 3 − 2 = f/ 2 . x + x + 1 x − x + 1 x x4 + x2 + 1 b/ 3x + ( ) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 9 − x 11 − x 15 − x 17 − x 19 − x h/ + = 2. + + = 3. 2009 2011 2010 2012 2014 x − 2014 x − 2012 x − 2010 x − 2007 x − 2009 x − 2011 i/ . + + = + + 2007 2009 2011 2014 2012 2010 Bài 161. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó g/ a/ c/ x +1 + x = 3 + x +1. 2x + 1 = x +2 x−3 . b/ d/ x−3 x −5 −x = 2 + x −5 . 2x 2 8 = x +1 . x +1 e/ 1 + 1 − x = x − 2 . 1 g/ 2x + 1 = . x f/ x + 1 = x + 1. j/ x −1 = 1− x . l/ x +1 i/ h/ 2 k/ 2x + 3 + m/ x 4 x +3 = . x −1 x −1 2 = x −1 . x+3 o/ x − 3 − x = x − 3 + 3 . q/ x 2 + −x − 1 = 4 + −x − 1 . s/ x2 + 3x + 4 = 3×2 + x + 1 . 2 2x + 1 2x + 3 = x +1. n/ 2 x −4 p/ x 2 − 2 − x = 3 + x − 4 . 3x 2 + 1 4 = r/ . x −1 x −1 c/ ( ) x − 3 x2 − 3x + 2 = 0 . x = 1 − x−2 . t/ 3x 2 − x − 2 = 3x − 2 . x+4 3x − 2 Bài 162. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó a/ = x+4. x +1 = 2− x . x 3 . = x −1 x −1 b/ d/ ( ) x + 1 x2 − x − 2 = 0 . x2 − 4 = x+3 + x +1 . x −2 x −2 x +1 x +1 Bài 163. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó a/ x − 2 = x + 1 . b/ x + 1 = x − 2 . c/ 2 x − 1 = x + 2 . d/ x − 2 = 2x − 1 . Bài 164. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó x x −2 x x−2 a/ = . b/ = . x −1 x −1 x −1 x −1 c/ x = x . d/ x −1 = 1− x . 2−x 2−x x −2 x −2 Bài 165. Tìm các tham số m để các cặp phương trình sau đây tương đương nhau 2 a/ (x + 1) = 0 và mx 2 − (2m + 1) x + m = 0 . mx + 3m − 1 = 0 . x+3 c/ x 2 − 9 = 0 và 2×2 + (m − 5) x − 3 (m + 1) = 0 . b/ x + 2 = 0 và d/ (3x − 2) = 0 và (m + 3) x − m + 4 = 0 . “Cần cù bù thông minh…………” ( ) 2 +2 = 0. e/ x + 2 = 0 và m x2 +3x +2 +mx Page – 37 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax = b  Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0 Hệ số Kết luận a≠0 b≠0 a=0 (1) b=0 (1) có nghiệm duy nhất x = − ba (1) vô nghiệm (1) nghiệm đúng với mọi x Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 166. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a/ mx = 5 . b/ (m − 1) x = m − 1 . c/ (2m − 1) x = m + 3 . d/ (m + 1) x = 2m + 2 . e/ m (x − 2) = 3x + 1 . f/ g/ (m + 1)(x − 2) = 3m − 1 . h/ (m − 1)(x + 1) = m2 − 1 . i/ (m − 3) x = m (m − 1) − 6 . j/ (m − 1) x = 2x + m − 3 . (2m − 3) x = m (2m − 5) + 3 . Bài 167. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a/ 2mx = 2x + m + 4 . b/ m (x − 4) = 5x − 2 . c/ m (x + 3) = x − m . d/ (m + 1)(x − 2) = 3m − 1 . Bài 168. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m ( a/ m (m − 2) x = m − 2 . ( ) d/ m2 (x − 1) = mx − 1 . c/ m2 − 3m + 2 x = m − 2 . ( ) ( ) ) f/ m m2 − 1 x = m (m + 1) . e/ m2 − m x = 2x + m2 − 1 . ( ) b/ m2 − 3m x = m2 − 9 . g/ m2 − 1 x = m (m + 1)(m + 2) . h/ m (x − m + 3) = m (x − 2) + 6 . Bài 169. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a/ x m − 1 = m − 1 . c/ x−m x −1 Page – 38 – = 1 . x −1 b/ (m − 1) x = m − 1 . d/ x−m 3x − 2 + 3x − 2 = mx . 3x − 2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 170. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a/ mx −2 . = m−4 m−4 b/ mx − (m + 1) m2 x = c/ . 2m − 5 2m − 5 (m − 2 ) x 2m − 3 = m2 − 4 . m −1 m2 x 2mx − m2 + 1 + = 1. d/ m−5 m −5 e/ x + ab x + bc x + b2 + + = 3b,(a,b,c ≠ −1) . a +1 c +1 b +1 g/ x − b − c x − c −a x −a − b + + = 3,(a,b,c ≠ 0) . h/ (ab + 2) x + a = 2b + (b + 2a ) x . a b c f/ x−a x−b −b = −a a b (a, b ≠ 0) . Bài 171. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a/ 3 = m. x −1 b/ c/ mx − 2m = −2 . x −2 d/ e/ (m 2 ) +3 x+6 x −1 = m. f/ 2m − 1 = m −3. x −2 (m + 1) x + m − 2 x+3 = m. m2 x − m2 = m. x −1 Bài 172. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a/ x − m = 2x . b/ 3x + m = x − m + 2 . c/ 2mx + 3 = 5 . d/ mx − 2 = x + m . ( ) Bài 173. Cho phương trình: m2 − 1 (x + 2) + 1 = m (∗) . a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất x = 3 . c/ Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình (∗) . ( ) Bài 174. Cho phương trình m2 − m x = 2x + m2 − 1 (∗) . a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất x = 0 . c/ Tìm m để x = 1 là một nghiệm của phương trình (∗) . Bài 175. Tìm tham số m để các phương trình sau đây vô nghiệm. a/ (m + 1) x − (x + 2) = 0 . c/ x −m x−2 + = 2. x −2 x “Cần cù bù thông minh…………” b/ m2 (x − 1) = 2 (2x − m − 4) . d/ x +1 x = m −1 . x Page – 39 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Bài 176. Định tham số để tập nghiệm của các phương trình sau là  . a/ (m − 2) x = m − 1 . b/ mx + 3 = 3x + m . c/ 3mx − 1 = x − 9m2 . d/ m 2 (x − 1) = 2 (mx − 2) . ( ) f/ m 2 (mx − 1) = 2m (2x + 1) . e/ m2 + 2m − 3 x = m − 1 . ( ) ( ) g/ (mx + 2)( x + 1) = mx + m2 x . h/ (mx + 2)( x + 1) = mx + m2 x . j/ 2ax − b + 4 = bx + 5x + a . l/ 2 (m + 1) x = (2m + 5) x + 2 + m . Bài 177. Tìm tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm a/ m 2 (x − 1) = x − m . ( b/ m 2 (x − m ) = x − m2 . ) c/ m2 + 2 x − 2m = x − 3 . d/ m (x − m ) = x + m − 2 . e/ m2 (x − 1) + m = x (3m − 2) . f/ g/ m2 (x − 1) = 4x + 5m + 4 với x > 0 . h/ (m ) 2 − m x = 2x + m2 − 1 . ( m − 3) x + 2 x −2 = m + 1. Bài 178. Tìm tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm duy nhất a/ m (m − 1) x = m 2 − 1 . b/ m 2 (mx − 1) = 2m (2x + 1) . x +2 x +3 − = 0. x −m x +1 e/ 2x − m = x − 1 . d/ x −m x−2 + = 2. x −2 x f/ mx − 2 = x + 4 . c/ Bài 179. *** Định các tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm ( a/ x − 1 + 2x − 3 = m . c/ e/ mx 2 x −1 − m x = 2m + 1 . 3x − m + x +1 = x +1 g/ ) b/ 2 x + m − 1 = x − m + 3 . d/ 2x + 5m + 3 . f/ x +1 2mx − 1 −2 x −1 = m +1 x −1 (2m + 1) x + 3 = (2m + 3) x + m − 2 4 − x2 4 − x2 x+m x+3 i/ . = x −1 x −2 (m + 1) x + m − 2 k/ = m. x+3 a − x x −1 2a − = 2 , (x ≥ 0) . a −1 a +1 a −1 . . x −1 h/ x x + 1 − x 2 + x + 2m = m x +1. x +1 j/ l/ x−m x −1 + = 2. x −1 x−m x x+m = x . x +1 Bài 180. Tìm m ∈  để phương trình có nghiệm nguyên a/ (m − 2) x = m − 1 . b/ (m − 1) x = 2x + m − 3 . b/ m (x + 3) = x − m . d/ (m + 1)(x − 2) = 3m − 1 c/ (2m − 3) x = m (2m − 5) + 3 . d/ (3m − 2) x − m = 4mx + 2m − 5 . Page – 40 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 181. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m a/ mx = m + 1 . b/ (m − 1) x = 2m − 1 . c/ (m − 3) x = 2m − 4 . d/ (m + 1) x = 2m + 2 . e/ m (x + 1) = 3m + 2 . f/ m ( x − 4) = 5x − 2 . g/ (3m − 1) x + m = 2x + 1 . h/ (m − 1)(x − 4) = 2x − 3 . i/ (m − 1) x = m 2 − 3m + 2 . j/ (2m − 3) x = m (2m − 5) + 3 . Bài 182. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m a/ mx + 3 = 3x + m . b/ (m − 1) x = 2x + m − 3 . c/ (3m − 1) x + m = 2x + 1 . d/ (m − 1)(x + 1) = m2 − 1 . e/ m (m − 1) x = m 2 − 1 . f/ g/ m2 x − 3 = 9x + m . h/ i/ m (mx − 1) = (4m − 3) x − 3 . j/ m2 x + 4m − 3 = x + m 2 . 2 (2m + m − 3) x = m − 1 . (m + 2) x − 2m = x − 3 . 2 2 k/ (m + 1) x − m = (2m + 5) x + 2 . l/ m 3 x + 1 = m2 (x + 1) . m/ 3 (m + 1) x + 4 = 2x + 5 (m + 1) . n/ 2 (m − 1) x − m (x − 1) = 2m + 3 . o/ m (4x − m + 3) = (4mx − 2m ) + 6 . p/ m (x + m ) − (4 + m ) x = m 2 − 4x . q/ x − mx − 1 m + 1 = − 2x . 2 3 2 r/ (m − 1) x − mx − 1 mx + 1 = − 2x . 3 2 s/ (m − 2) x = m (1 − 4x ) + 2 + 8x . t/ m 2 x + m (5x − 2) = 6 (1 − x ) . u/ m2 (x − 1) + m = x (3m − 2) . v/ m2 x + 4m − 3 = m 2 + 6mx − 5x . w/ (x − 1) m2 − (2x + 1) m + x + 2 = 0 . x/ m2 (x − 1) + 3mx = m2 + 3 x − 1 . y/ a (ax + b) = 4ax + b2 − 5 . z/ a (2 − ax ) = 2b − ax . ( ) α/ a ax + 2b2 − a 3 = b2 (x + a ) . ( ) β/ a 2 x + 2ab = b2 x + a 2 + b2 . Bài 183. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m a/ x 2m − 1 = 2m − 1 . b/ x +1 = x c/ x−m 2x − 1 = m + 2x − 1 . 2x − 1 e/ (mx + 1) x − 1 = 0 . 2mx − (m + 1) mx = . 3m − 1 3m − 1 m−x x −1 2a i/ . − = 2 m −1 m +1 a −1 g/ “Cần cù bù thông minh…………” m . x d/ (x + 2m) x − 4 = 0 . f/ h/ (m − 1) x 2m − 3 (m − 1) x = 2m + 1 . 2m − 3 = 3mx . m +1 m 2m − 3 j/ −m + 4 = 0. x+3 Page – 41 – Ths. Lê Văn Đoàn k/ m/ o/ q/ s/ u/ x/ Phần Đại Số mx − (m + 2) = −4 . l/ 2x − 1 x +2 x +1 . = x−m x −1 3mx − 2 5m =m+ . x −2 x−2 5x − m 4x − 3 − = 1. x −2 x 5m − 2 = −3 . mx − 1 x −2 3 − = −2 . x + m x +1 ax + b x−b = . x−a x+a n/ p/ r/ t/ v/ y/ (m 2 ) + 1 x − 10 x −2 = m + 1. m = 2. mx + 3 x + m x −2 + = 2. x +1 x 5x − m 4x − 3 − = −3 . 2x − 1 x x −2 x = . x−3 x +m 5 3 . = 2x − m 4 − mx x−a x−b x−c + + = 3. b+c c+a a +b Bài 184. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a/ x − 2m = x + 1 . b/ m − 4x = x − 3m . c/ mx + 2x − 1 = x . d/ mx − 3x = x − m . e/ 3x + m = 2x − 2m . f/ g/ mx − 2 = x + 4 . h/ mx − x + 1 = x + 2 . i/ j/ mx + 1 = 2x + m − 3 . 3m − x = 5x − 4m . ax + b = bx + a . Bài 185. Định tham số m để các phương trình sau vô nghiệm ( 2 ) b/ (m + 1) x − 2 = (4m + 9) x + m . a/ 4m2 − 2 x = 1 + 2m − x . x −2 x = . x−3 x +m x + m x −2 + = 2. e/ x +1 x x+m 2 − = 1. m +1 x x +1 x = f/ . x −m +1 x + m +2 c/ d/ Bài 186. Định tham số để phương trình sau có tập nghiệm là  . a/ m2 x + m + 2 = m 2 + 4x . b/ m2 (x − 1) = 9x + m − 6 . c/ m2 x + 4m − 3 = x + m 2 . e/ ax − b = 6x − 2bx + a . d/ m 3 x = mx + m2 − m . f/ a (x − 1) + b (2x + 1) = x + 2 . Bài 187. Định tham số m để phương trình sau có nghiệm a/ m2 x = 4x + m 2 + m − 2 . b/ m2 (x − m ) = x − m . c/ m2 (x − 1) = 4x − 3m + 2, (x > 0) d/ 2x + m x + m − 1 − = 1. x −1 x Bài 188. Định tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất a/ Page – 42 – x +2 x +1 . = x−m x −1 b/ m = 2. mx + 3 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0 )   Cách giải ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) Kết luận ∆ = b2 − 4ac ∆>0 (∗) (∗) có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 ∆=0 (∗) có nghiệm kép x = − 2ab . ∆<0 (∗) vô nghiệm = −b ± ∆ . 2a Nhẩm nghiệm ()  Nếu a + b + c = 0 thì ∗ có hai nghiệm là x = 1 và x = () c . a  Nếu a − b + c = 0 thì ∗ có hai nghiệm là x = −1 và x = −  Định lí Viét c . a Hai số x1, x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức S = x1 + x 2 = − b c và P = x1 x 2 = . a a Dạng toán 1. Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 Để giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:  Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bậc nhất bx + c = 0 .  Nếu a ≠ 0 thì ta xét các trường hợp của biệt số ∆ như trên. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 189. Giải và biện luận phương trình bậc hai a/ x 2 + 2 (m − 1) x − 2m + 5 = 0 . b/ 2x 2 + 12x − 15m = 0 . c/ (m − 1) x 2 + (2 − m ) x − 1 = 0 . d/ mx 2 − 2 (m + 3) x + m + 1 = 0 . e/ (2m − 1)(m + 2) x 2 − (5m + 4) x + 3 = 0 . f/ "Cần cù bù thông minh…………" (2m 2 ) − 5m + 2 x 2 + 2mx + 2 = 0 . Page - 43 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số g/ (m + 3) x 2 − x + 2m − 1 = 0 . h/ (m − 1)(m + 2) x2 − (2m + 3) x − 1 = 0 . Bài 190. Định tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm c/ x 2 − 2 (m − 2) x + 2m 2 − 4m − 5 = 0 . d/ mx 2 + x − 1 = 0 . g/ x 2 − (2m + 1) x + m (m + 1) = 0 . h/ x 2 − (m − 2) x + 1 − m = 0 . k/ 3mx 2 + (4 − 6m ) x + 3 (m − 1) = 0 . l/ o/ (mx − 2)(2mx − x + 1) = 0 . p/ (x − 1) (m + 1) x − 2 = 0 . mx − (1 − 2m ) x + m + 4 = 0 . 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 191. Giải và biện luận phương trình bậc hai a/ 4x 2 + 2 (m + 3) x + 3 = 0 . b/ (m − 1) x 2 + (2 − m ) x − 1 = 0 . c/ (2m − 1)(m + 2) x 2 − (5m + 4) x + 3 = 0 . d/ (m + 3) x 2 − x + 2m − 1 = 0 . e/ x 2 + 5x + 3m − 1 = 0 . f/ g/ (m − 1) x 2 + 2x + 1 = 0 . h/ (m + 1) x (m − 2) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 . 2 + (m − 1) x − m = 0 . Bài 192. Định tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm b/ (m − 1) x 2 + 2 (m + 1) x − m = 0 . a/ 2x 2 + 3x + m − 1 = 0 . ( ) c/ x 2 − m2 − 1 x + m2 − 2 = 0 . d/ (m + 1) x 2 − (2m + 1) x + m − 2 = 0 . e/ (m − 2) x 2 + 2 (m − 3) x + m − 5 = 0 . f/ g/ m (m + 1) x 2 − (2m + 1) x + 1 = 0 . h/ mx 2 − 2 (m + 3) x + m + 1 = 0 . ( ) i/ m2 − 5x − 36 x2 − 2 (m + 4) x + 1 = 0 . j/ (m 2 ) + 1 x2 − 2 (m + 3) x + 1 = 0 . (mx − 3) (m + 1) x − 3 = 0 . Dạng toán 2. Dấu của nghiệm số của phương trình ax 2 + bx + c = 0,(a ≠ 0 ) (1) (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 . ∆ ≥ 0  (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > 0 . S > 0  ∆ ≥ 0 (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 .  ∆ ≥ 0  (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > 0 . S < 0   Lưu ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0. Page – 44 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 193. Tìm tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu a/ x 2 + 5x + 3m − 1 = 0 . c/ x 2 − 4x + m + 1 = 0 . b/ 2x 2 + 12x − 15m = 0 . d/ mx 2 + mx − m − 2 = 0 . 2 ( ) e/ (m − 2) x 2 − x + m + 3 = 0 . f/ 2m2 − m − 1 x2 + 2x − m = 0 . g/ (m − 1) x2 + (2 − m ) x − 1 = 0 . h/ (m + 1) x2 + 2 (m + 4) x + m + 1 = 0 . Bài 194. Định tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt ( ) a/ mx2 − m2 − 2m − 2 x + m2 − 5m + 6 = 0 . b/ mx2 + (2 − 3m ) x − 6 = 0 . ( ) c/ (m − 1) x2 − 2m2 − 2m − 1 x − 2m = 0 . d/ x 2 + (2m − 1) x − m = 0 . e/ (m + 1) x2 − 2mx + m = 0 . f/ (m 2 ) − 1 x 2 + mx + 1 = 0 . Bài 195. Định tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt a/ x 2 − (3m + 2) x + 2m2 + 3m + 1 = 0 . b/ m2 x 2 − mx − 6 = 0 . c/ x 2 − 2mx − 4m − 1 = 0 . d/ x 2 + (1 − m ) x + 2 − m = 0 . e/ (m − 1) x 2 − 2 (m + 2) x + m + 2 = 0 . f/ Bài 196. Cho phương trình: mx 2 − 2mx + m − 1 = 0 (2m − 1) x 2 + 2x + 1 = 0 . (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) có duy nhất một nghiệm âm. b/ Phương trình (∗) có hai nghiệm âm phân biệt. Bài 197. Cho phương trình: (m − 1) x 2 + 2 (m − 3) x + m = 0 (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) có duy nhất một nghiệm dương. b/ Phương trình (∗) có hai nghiệm dương phân biệt. 2 Bài 198. Cho phương trình: (m − 2) x2 − (m − 1) x + m = 0 (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) vô nghiệm b/ Phương trình (∗) không có nghiệm dương. ( ) Bài 199. Cho phương trình: (m − 1) x 2 − m2 + 1 x + 2m + 2 = 0 (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Phương trình (∗) không có nghiệm âm. Bài 200. Cho phương trình: (x + 2)  mx 2 + (m + 3) x − m − 3 = 0 (∗) . Tìm tham số m để   a/ Phương trình (∗) có hai nghiệm duy nhất và hai nghiệm đó âm. b/ Phương trình (∗) có ít nhất một nghiệm dương. Bài 201. Cho phương trình: ( ) x − 1 x 2 − 4x + 1 − m = 0 (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) có nghiệm. b/ Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. (HD: đặt t = x − 1 ). “Cần cù bù thông minh…………” Page – 45 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Bài 202. Biện luận theo m số nghiệm âm, số nghiệm dương của các phương trình sau ( ) mx 2 + m2 − 3m + 1 x − 2m2 + 3m − 1 = 0 . Bài 203. Định m để phương trình có nghiệm x1, x 2 thỏa: a/ x 2 + 2mx − m2 = 0 x1 < x2 < −1 . b/ x 2 − 2 (m + 1) x + m2 − 1 = 0 2 < x1 < x 2 . c/ x 2 + (m − 2) x − m − 1 = 0 x1 < 3 < x 2 . d/ x + (2m + 3) x + 3m − 1 = 0 x 1 ≤ −1 ≤ x 2 . e/ mx2 + 2mx + m − 3 = 0 x1 ≤ x 2 ≤ 4 . 2 f/ (m − 1) x 2 − 3 ≤ x1 ≤ x 2 . + 2mx + m = 0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 204. Tìm tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu a/ x 2 + 2x − m = 0 . b/ x 2 − 2 (m − 1) x + m 2 = 0 . c/ mx 2 − (m + 1) x + m − 1 = 0 . d/ mx 2 − 2 (m + 3) x + m + 1 = 0 . e/ x 2 + x − m 2 + 1 = 0 . g/ (m + 2) x 2 + 2x − m + 2 = 0 . f/ x 2 − 2mx − m 2 + 2m = 0 . h/ (m + 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 . Bài 205. Định tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a/ x 2 + (1 − 3m ) x + 2m 2 − 2m = 0 . b/ x 2 + (5 − 2m ) x + m2 − 5m + 6 = 0 . c/ x 2 + (2m + 3) x − m + 3 = 0 . d/ x 2 − 4mx + 3m2 = 0 . e/ x 2 − 3x + m − 1 = 0 . f/ mx 2 + 2 (m + 1) x + m − 2 = 0 . Bài 206. Định tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt ( ) a/ x 2 − (3m − 1) x + 2m2 − m = 0 . b/ mx 2 − 2m2 + m + 1 x + 2m + 1 = 0 . c/ x 2 − 2 (m + 1) x + 3m − 1 = 0 . d/ x 2 + (1 − 4m ) x + 3m2 − m = 0 . e/ mx 2 − (4m + 1) x + 4m + 2 = 0 . f/ mx 2 − x + m + 1 = 0 . ( ) Bài 207. Cho phương trình: m2 − 4 x 2 + 2 (m + 1) x − 1 = 0 (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) có ít nhất một nghiệm âm. b/ Phương trình (∗) có hai nghiệm trái dấu. c/ Phương trình (∗) có duy nhất một nghiệm dương. Bài 208. Cho phương trình: (x − 1) (m − 1) x2 + (m − 1) x − 4 = 0   (∗) . Tìm tham số m để a/ Phương trình (∗) có ba nghiệm dương phân biệt. b/ Phương trình (∗) có hai nghiệm dương phân biệt. Bài 209. Biện luận theo m số nghiệm âm, số nghiệm dương của các phương trình sau Page - 46 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I ( Ths. Lê Văn Đoàn ) mx 2 − m2 + m − 1 x + m2 − m = 0 . Bài 210. Định m để phương trình có nghiệm x1, x 2 thỏa: a/ x 2 − 2x − m2 − 2m = 0 x1 < 2 < x 2 . b/ 2x 2 − (m + 3) x − m 2 + 3m − 2 = 0 x1 < x 2 < 0 . c/ 2x 2 + (m − 6) x − m 2 − 3m = 0 1 ≤ x1 ≤ x 2 . ( ) d/ mx2 + 2m2 − m − 1 x − 2m + 1 = 0 ( x1 ≤ x 2 ≤ 5 . ) e/ (m − 1) x2 + m2 − m + 1 x + m2 − m = 0 f/ (m 2 ) ( 4 < x1 ≤ x 2 . ) − 2m x2 + 2 m2 − m − 1 x + m2 − 1 = 0 x 1 ≤ −2 ≤ x 2 . Dạng toán 3. Những bài toán liên quan đến định lí Viét  Biểu thức đối xứng của các nghiệm s b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x 2 = − ; P = x1 x2 = để biểu diễn các biểu thức đối xứng a a của các nghiệm x1, x2 theo S và P. Chẳng hạn như: 2 2  2 (x1 − x2 ) = (x1 + x 2 ) − 4x1x 2 = S − 4P   x2 + x 2 = (x + x )2 − 2x x = S2 − 2P 2 1 2 1 2  1  3 2  3  x + x = (x + x ) (x + x ) − 3x x  = S S2 − 3P 1 2 1 2 1 2 1 2   ........................  ( )  Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm b c (S, P có chứa tham số m). S = x1 + x 2 = − ; P = x1x 2 = a a Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.  Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: S = u + v x 2 − Sx + P = 0 , trong đó   P = uv BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 211. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính A = x12 + x 22 , B = x13 + x 23 , C = x14 + x 24 , D = x1 − x 2 , E = (2x1 + x 2 )(2x 2 + x1 ) . a/ x 2 − x − 5 = 0 . "Cần cù bù thông minh…………" b/ 2x 2 − 3x − 7 = 0 . Page - 47 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số c/ 3x 2 + 10x + 3 = 0 . d/ x 2 − 2x − 15 = 0 . e/ 2x 2 − 5x + 2 = 0 . f/ 3x2 + 5x − 2 = 0 . Bài 212. Định tham số m để phương trình có một nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại a/ 2x 2 − (m + 3) x + m − 1 = 0, x1 = 3 . b/ mx2 − (m + 2) x + m − 1 = 0 x1 = 2 . c/ (m + 3) x2 + 2 (3m + 1) x + m + 3 = 0 x1 = 2 . d/ (4 − m ) x 2 + mx + 1 − m = 0 x1 = 1 . Bài 213. Tìm hai số có b/ Tổng là 5 và tích là −24 . d/ Tổng là 12 và tích là 32. a/ Tổng là 19 và tích là 84. c/ Tổng là −10 và tích là 16. Bài 214. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình phương số tuổi của em cách đây 5 năm. Bài 215. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. Bài 216. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu ? Bài 217. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m ? Bài 218. Định m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thỏa đẳng thức theo sau a/ x 2 + mx + 7 = 0 x12 + x22 = 10 . b/ x 2 − 2x + m + 2 = 0 x 2 − x1 = 2 . c/ x + (m − 1) x + m + 6 = 0 x12 + x 22 = 10 . d/ (m + 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 4 (x1 + x 2 ) = 7x1x 2 . e/ x 2 − 4x + m + 3 = 0 x1 − x 2 = 2 . f/ x 2 − (m + 3) x + 2 (m + 2) = 0 x1 = 2x 2 . g/ x 2 − (m + 5) x − m + 6 = 0 2x1 + 3x 2 = 13 . h/ 4x 2 − (m + 3) x − 24 = 0 x1 + 2x 2 = −1 . i/ x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 2x1 − 3x2 = 1 . j/ x − 2 (m + 1) x + m − 2m + 4 = 0 x1 = 2x 2 . 2 2 2 Bài 219. Cho phương trình: x 2 + (2m − 3) x + m2 − 2m = 0 (∗) . a/ Xác định tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. b/ Với giá trị nào của m thì phương trình (∗) có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8. Tìm các nghiệm trong trường hợp đó. ( ) Bài 220. Cho phương trình: mx 2 + m2 − 3 x + m = 0 (∗) . a/ Xác định tham số m để phương trình (∗) có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. Page - 48 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn b/ Với giá trị nào của m thì phương trình (∗) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 + x 2 = ( ) Bài 221. Cho phương trình: 9x2 + 2 m2 − 1 x + 1 = 0 13 . 4 (∗) . a/ Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt âm. b/ Xác định m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 + x 2 = −4 . Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Bài 222. Cho phương trình: (m + 1) x 2 + (3m − 1) x + 2m − 2 = 0 . Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 mà x1 + x 2 = 3 . Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Bài 223. Cho phương trình: (m + 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 (∗) . Xác định m để a/ Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. b/ Phương trình (∗) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c/ Phương trình (∗) có tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 224. Cho phương trình: x 2 − 2 (m − 1) x + m 2 − 3m = 0 (∗) . a/ Tìm m để phương trình (∗) có nghiệm x = 0 . Tính nghiệm còn lại. b/ Khi phương trình (∗) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c/ Tìm m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x 22 = 8 . ( ) Bài 225. Cho phương trình: x 2 − m2 − 3m x + m 3 = 0 (∗) . a/ Tìm m để phương trình (∗) có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b/ Tìm m để phương trình (∗) có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. Bài 226. Cho phương trình: x 2 − (m + 5) x − m − 6 = 0 . Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa: a/ Nghiệm này hơn nghiệm kia một đơn vị. b/ 2×1 + 3x 2 = 13 . c/ Có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Bài 227. Cho phương trình: x 2 − 2 (m + 1) x + 2m + 10 = 0 (∗) . a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm thỏa: α/ x1 x2 + x2 x2 = 2. γ/ x 1 x 2 − 2 ( x 1 + x 2 ) ≤ 5 . Bài 228. Cho phương trình: x 2 − 2 (m − 1) x + m − 3 = 0 “Cần cù bù thông minh…………” β/ 2x 2 − x1 = 8 . δ/ P = 10x1x 2 + x12 + x22 nhỏ nhất. (∗) . Page – 49 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ∈  . b/ Tìm m để phương trình (∗) có hai nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Bài 229. Tìm tham số m để phương trình: x 2 − 15 x + m = 0 có hai nghiệm sau cho nghiệm này bằng 4 bình phương nghiệm kia ? Bài 230. Tìm các giá trị dương của m sao cho phương trình: 2x 2 − (m + 2) x + 7 = m2 có hai nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau. Bài 231. Cho phương trình: 2x 2 + 2x sin α = 2x + cos2 α (∗) (α là tham số). a/ Chứng minh phương trình (∗) có nghiệm với mọi α. b/ Tìm α để tổng bình phương (∗) các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Bài 232. Tìm m để phương trình: x2 − 2 (2m + 1) x + 3m 2 + 6m x −2 = 0 có hai nghiệm thỏa x1 + 2×2 = 16 . Bài 233. Cho hai phương trình: x 2 − 8x + 4m = 0 (1) và x 2 + x − 4m = 0 (2) . Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm gấp đôi nghiệm của phương trình (2) . Bài 234. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm x1 và x2. Tìm hệ thức của x1 và x2 độc lập với tham số m. a/ mx2 − (m − 3) x + 2m + 1 = 0 . b/ (m − 4) x 2 − 2 (m − 2) x + m − 1 = 0 . c/ (m − 2) x 2 − (m + 4) x + 2 − m = 0 . d/ (m + 1) x2 − 2 (m + 2) x + m − 3 = 0 . e/ x 2 − (m + 1) x + m 2 + 4 = 0 . f/ mx 2 − 2 (m + 1) x + m + 3 = 0 . g/ x 2 − (2m − 3) x + m 2 − 4 = 0 . h/ mx2 − (2m + 3) x + m − 4 = 0 . Bài 235. Cho phương trình: mx2 − 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 . Tìm tham số m để phương trình: b/ Có nghiệm số thỏa mãn: x1 < 1 < x2 . a/ Có ít nhất một nghiệm dương. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 236. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính A = x12 + x 22 , B = x13 + x 23 , C = x14 + x24 , D = x1 − x 2 , E = (2x1 + x 2 )(2x2 + x1 ) . a/ x 2 − 5x + 3 = 0 . b/ 2x 2 − 8x − 7 = 0 . c/ −8x 2 + 7x + 3 = 0 . e/ −3x2 + 2x + 3 = 0 . Bài 237. Định tham số m để phương trình có một nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại a/ (2m − 1) x 2 − 4x + 4m − 3 = 0 x 1 = −1 . b/ (m − 4) x 2 + x + m2 − 4m + 1 = 0 x 1 = −1 . c/ (m + 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 x1 = 2 . Page - 50 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I d/ x 2 − 2 (m − 1) x + m2 − 3m = 0 Ths. Lê Văn Đoàn x1 = 0 . Bài 238. Định m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thỏa đẳng thức theo sau a/ x 2 − (2m + x ) x + m2 + 3 = 0 x 12 + x 22 = 25 . b/ (m + 1) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 x12 + x 22 = 2 . c/ x 2 − 2 (m − 1) x + m2 − 3m + 4 = 0 x12 + x 22 = 20 . d/ 2x 2 − (m + 3) x + m − 1 = 0 1 1 + = 3. x1 x 2 e/ x 2 − mx + m − 1 = 0 f/ x − (m − 2) x + m (m − 3) = 0 2 x1 + x2 x2 x1 = 8 . 5 x1 + 2x1 = 1 c/ x 2 + 2x + m = 0 x1 = 3x 2 . d/ x + 2 (m − 1) x − 2m + 5 = 0 2x1 + 3x 2 = 1 . 2 Bài 239. Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2. Khi đó hãy tìm hệ thức giữa chúng độc lập với tham số m. a/ mx 2 − (2m − 1) x + m + 2 = 0 . b/ (m + 2) x2 − 2 (4m − 1) x − 2m + 5 = 0 . 3m = 0. 4 e/ mx 2 + (m + 4) x + m − 1 = 0 . d/ 3 (m − 1) x2 − 4mx − 2m + 1 = 0 . c/ (m + 2) x 2 − (2m + 1) x + f/ Bài 240. Cho phương trình: (m + 2) x 2 + (2m + 1) x + 2 = 0 (m − 1) x 2 + 2 ( m + 2) x + m − 4 = 0 . (∗) . a/ Xác định tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm này bằng −3 . b/ Với giá trị nào của m thì phương trình (∗) có nghiệm kép ? Tìm nghiệm kép đó ? Bài 241. Cho phương trình: x 2 − 2 (2m + 1) x + 3 + 4m = 0 (∗) . a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1,x2. b/ Tìm hệ thức x1 và x2 độc lập với tham số m. c/ Tính theo m giá trị của biểu thức A = x13 + x 23 . d/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e/ Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12, x 22 . Bài 242. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay ? Bài 243. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài hai đường chéo ? Bài 244. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của miếng đất lúc đầu ? Bài 245. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam giác lần lượt bằng 120m và 480m2. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 51 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Dạng toán 4. Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0, (a ≠ 0 ) Phương trình quy về phương trình bậc hai   Cách giải phương trình trùng phương: ax 4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) . 2  t = x , t ≥ 0 1 ⇔ ( ) at2 + bt + c = 0   Số nghiệm của phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (2) Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của phương trình (2) và dấu của chúng ( 2 ) voâ nghieäm  Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ( 2 ) coù nghieäm keùp aâm ( 2 ) coù 2 nghieäm aâm  ( 2 ) coù nghieäm keùp baèng 0 Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔  ( 2 ) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi aâm ( 2 ) coù nghieäm keùp döông Phương trình (1) có 2 nghiệm ⇔  ( 2 ) coù 1 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm Phương trình (1) có 3 nghiệm (2) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương. Phương trình (1) có 4 nghiệm (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.  Phương trình quy về phương trình bậc hai Dạng 1. (x + a )(x + b)(x + c)(x + d) = K ( )( ) ( )( với a + b = c + d . )  Đặt t = x + a x + b ⇒ x + c x + d = t − ab + cd .  Phương trình trở thành: t2 + (cd − ab) t − K = 0 mà đã biết cách giải. Dạng 2. 4 (x + a ) 4 + ( x + b) = K . a+b a−b b−a . ⇒ x+a = t+ , x+b = t+ 2 2 2 a−b  Phương trình trở thành: 2t4 + 12α 2 t2 + 2α 4 − K = 0 với α = . 2  Đặt t = x + Dạng 3. ax 4 + bx 3 + cx2 ± bx + a = 0 (a ≠ 0) (phương trình đối xứng).  Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:   1 1 a x 2 + 2  + b x ±  + c = 0 (∗) .   x x  1  1  Đặt t = x + hay t = x −  với t ≥ 2 . x  x  Phương trình (∗) trở thành: at2 + bt + c − 2a = 0, Page - 52 - ( t ≥ 2) "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn ( )  Giải phương trình ∗ ∗ tìm các nghiệm còn lại (nếu có) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 246. Giải phương trình sau a/ x 4 − 3x 2 − 4 = 0 . c/ x 4 + 5x 2 + 6 = 0 . e/ x 4 + x 2 − 30 = 0 . b/ x 4 − 5x 2 + 4 = 0 . d/ 3x 4 + 5x 2 − 2 = 0 . f/ x 4 + 7x 2 − 8 = 0 . Bài 247. Giải các phương trình sau a/ 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0 . c/ 2x 3 + 7x 2 − 28x + 12 = 0 . e/ x 3 + x 2 + 4 = 0 . b/ x 3 + x 2 − x + 2 = 4x − 1 . d/ 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4 = 0 . f/ 2x 3 − 5x 2 + 1 = 0 . Bài 248. Giải các phương trình sau a/ x (x − 1)(x + 1)(x + 2) = 3 . b/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 . c/ (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7 ) = 297 . d/ (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) + 36 = 0 . e/ (4x + 1)(12x − 1)(3x + 2)(x + 1) = 28 . f/ 2 (x + 1) (2x + 1)(2x + 3) − 18 = 0 Bài 249. Giải các phương trình sau 4 a/ x 4 + (x − 1) = 97 . 4 4 c/ (x + 4) + (x + 6) = 2 . 4 4 4 4 b/ (x + 3) + (x + 5) = 2 . d/ (x + 3) + (x + 5) = 16 . Bài 250. Giải các phương trình sau a/ x 4 + x 3 − 4x 2 + x + 1 = 0 . c/ x 4 + x 3 + 4x 2 + 5x + 25 = 0 . e/ 2x 4 − 21x 3 + 74x 2 − 105x + 50 = 0 . b/ x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 1 = 0 . d/ x 4 + 2x 3 − x 2 − 2x + 1 = 0 . f/ 6x 4 − 35x 3 + 62x 2 − 35x + 6 = 0 . Bài 251. Giải các phương trình sau a/ x 4 − 5x 3 + x 2 + 21x − 18 = 0 . c/ x 4 + 2x 3 − 4x 2 − 5x − 6 = 0 . b/ x 4 + x 3 − 7x 2 − x + 6 = 0 . d/ 3x 4 − 2x 3 − 6x 2 + x + 2 = 0 . Bài 252. Giải các phương trình sau "Cần cù bù thông minh…………" Page - 53 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 3 2 a/ (x + x ) + 4 (x + x) − 12 = 0 .  x − 1   x − 1  x −1  +   + +1 = 0. b/   x + 1  x + 1 x +1 c/ x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 . d/ x 6 + x 5 − 13x 4 − 14x 3 + x + 1 = 0 . 2 2 2 2 e/ (x2 + 1) + 3x (x 2 + 1) + 2x 2 = 0 . 2 g/ (x2 + 4x + 8) + 3x (x2 + 4x + 8) + 2x2 = 0 . f/ (x 2 2 ) + 3x + 6 + 2x 3 + 3x2 + 12x = 0 . 2 ( ) 2 h/ x 2 (x − 1) + x x 2 − 1 = 2 (x + 1) . Bài 253. Tìm tham số m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt a/ x 3 − 3x 2 + 2 = mx + m − 2 . b/ x 3 − (2m + 1) x 2 + mx + m = 0 . c/ x3 − 2 (m + 1) x2 + (7m − 2) x + 4 − 6m = 0 . d/ mx 3 − (m − 4 ) x 2 + (4 + m ) x − m = 0 . e/ x 3 + (1 − m ) x 2 − 3mx + 2m2 = 0 . f/ x 3 − 2mx2 + 4 − 3m2 x + 4m = 0 . ( Bài 254. Cho phương trình: x 4 + (1 + 2m ) x 2 + m 2 − 1 = 0 ) (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có bốn nghiệm phân biệt. Bài 255. Cho phương trình: mx 4 − 2 (m + 1) x 2 + m − 2 = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. d/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. e/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có bốn nghiệm phân biệt. 4 Bài 256. Cho phương trình: (x + 2) + x 4 = 82 − m (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. d/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. e/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có bốn nghiệm phân biệt. Bài 257. Cho phương trình: x (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 − m = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. d/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. e/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có bốn nghiệm phân biệt. Page - 54 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 258. Cho phương trình: x 3 − 2mx 2 + 2mx − 1 = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm. d/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. e/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ít nhất hai nghiệm. Bài 259. Tìm tham số m để phương trình x 3 + 3mx 2 − 3x − 3m + 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x 3 sao cho biểu thức P = x12 + x 22 + x23 đạt giá trị nhỏ nhất. ( )( ) Bài 260. Cho phương trình: x2 + 2mx − 3m2 x2 − 1 = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) chỉ có đúng hai nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 261. Giải các phương trình sau a/ x 4 − 15x 2 − 16 = 0 . b/ x 4 − 26x 2 + 25 = 0 . c/ 2x 4 − 452x 2 + 450 = 0 . d/ x 4 − x 2 − 6 = 0 . e/ x 4 + x 2 − 20 = 0 . f/ x 4 + 80x 2 − 81 = 0 . Bài 262. Giải các phương trình sau a/ (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 . b/ (x − 7 )(x − 5)(x − 4)(x − 2) = 72 . 2 c/ (x + 2011)(x + 2013)(x + 2015)(x + 2017) = 4020 . d/ (6x + 5) (3x + 2)(x + 1) − 35 = 0 . e/ (2x − 1)(x − 1)(x − 3)(2x + 3) + 9 = 0 . f/ 2 (6x + 7) (3x + 1)(x + 1) − 6 = 0 . Bài 263. Giải các phương trình sau a/ x 4 − 4x 3 − 6x 2 − 4x + 1 = 0 . b/ x 4 + 2x 3 − 7x 2 − 4x + 4 = 0 . c/ x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 3x + 1 = 0 . d/ x 4 + 3x 2 − 14x 2 − 6x + 4 = 0 . Bài 264. Giải các phương trình sau a/ x 3 − 8x 2 − 8x + 1 = 0 . b/ x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = 0 . c/ x 3 + 2x − 5x − 6 = 0 . d/ 2x 3 − 5x 2 + 1 = 0 . 3 3 3 e/ (x − 1) + x 3 + (x + 1) = (x + 2) . 4 g/ 2x 4 + (1 − 2x ) = 1 . 27 "Cần cù bù thông minh…………" f/ 4 ( x + 6) 4 + (x + 4) = 82 . h/ 3x 4 + 10x 3 − 3x 2 − 10x + 3 = 0 . Page - 55 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Bài 265. Giải các phương trình sau 4 2 2 a/ (x2 − x + 1) − 10x2 (x2 − x + 1) + 9x4 = 0 . 2 2 b/ 3 (x 2 − x + 1) − 2 (x + 1) = 5 (x 3 + 1) . 2 2 c/ 2 (x 2 + x + 1) − 7 (x − 1) = 13 (x 3 − 1) . ( ) 2 d/ x 2 (x − 1) + x x 2 − 1 = 2 (x + 1) . Bài 266. Tìm tham số m để phương trình: x 4 − (3m + 14) x2 + (4m + 12)(2 − m ) = 0 có bốn nghiệm phân biệt. Bài 267. Tìm tham số m để phương trình: (m − 1) x 4 − mx 2 + m 2 − 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ( ) (∗) Bài 268. Cho phương trình: x 4 − 2 m 2 − 2 x 2 + m 4 − 4m2 = 0 a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ba nghiệm phân biệt. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Bài 269. Cho phương trình: x 4 − 2x 3 + x − m = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có bốn nghiệm phân biệt. Bài 270. Định tham số m để phương trình: (1 − m ) x 3 + 2mx2 − mx − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm. ( ) Bài 271. Định tham số m để phương trình: x 3 − 2mx 2 + 4 − 3m 2 x + 4m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x 2, x 3 , đồng thời ba nghiệm này thỏa mãn đẳng thức: x 2 − x1 = x 3 − x 2 . ( )( ) Bài 272. Định tham số m để phương trình: x 2 + 2x − m x2 − 3x + 4m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 273. Cho phương trình: 3x2 − mx + 2 =0 x−m (∗) a/ Tìm tham số m để phương trình (∗) vô nghiệm. b/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có ít nhất một nghiệm. c/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. Page - 56 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 5. Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối   Định nghĩa và tính chất A ● A =  −A khi A ≥ 0 ● A ≥ 0, ∀A . khi A < 0 2 ● A.B = A . B . ● A = A2 . ● A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0 . ● A − B = A + B ⇔ A.B ≤ 0 . ● A + B = A − B ⇔ A.B ≤ 0 . ● A − B = A − B ⇔ A.B ≥ 0 .  Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:  Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.  Bình phương hai vế.  Đặt ẩn phụ. f x ≥ 0  ( ) g (x ) ≥ 0  C1  C2  f x g x = ( )   ( ) ⇔  f ( x ) = g (x ) Dạng 1. f (x ) = g (x ) ⇔  f (x ) < 0  f x = −g x  () −f (x ) = g (x )  ( )  C1 C  2 2 2 f (x ) = g (x ) Dạng 2. f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g (x ) ⇔       f (x ) = −g (x ) Dạng 3. a f (x ) + b g (x ) = h (x ) : dùng phương pháp chia khoảng để giải. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 274. Giải các phương trình sau a/ 2x − 1 = x + 3 . b/ 4x + 7 = 2x + 5 . c/ 4x + 7 = 4x + 7 d/ 2x2 − 3x − 5 = 5x + 5 . e/ x 2 − 4x − 5 = 4x − 17 . f/ 4x − 17 = x 2 − 4x − 5 . Bài 275. Giải các phương trình sau a/ x2 + 6x + 9 = 2x − 1 . b/ 5x + 1 = 2x − 3 . c/ 3x − 4 = x − 2 . d/ 3x 2 − 2x = 6 − x 2 . e/ x 2 − 2x = 2x 2 − x − 2 . f/ x 2 − 4x − 5 = 2x 2 − 3x − 5 . Bài 276. Giải các phương trình sau "Cần cù bù thông minh…………" Page - 57 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a/ x 2 − 3 x + 2 = 0 . b/ x 2 − 2x + x − 1 − 1 = 0 . c/ x 2 − 2x − 5 x − 1 − 5 = 0 . d/ 4x 2 − 4x − 2x − 1 − 1 = 0 . e/ 1 − 2x − x + 1 = x + 2 . f/ x − 2 + x − 3 = 4 . g/ x + 3 + 7 − x = 10 . h/ 2x − 5 + 2x 2 − 7x + 5 = 0 . Bài 277. Giải các phương trình sau a/ x − 1 + 2x + 1 = 3x . b/ x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14 . c/ x − 1 − x + 2x + 3 = 2x + 4 . d/ 2x − 3 = e/ 3 = x+3 . x − 4 −1 f/ 1 . x 3x x −2 = . x x −1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 278. Giải các phương trình sau a/ x − 2 = x + 1 . b/ 2 x − 1 = x + 2 . b/ 2x − 3 = x − 5 . b/ x + 3 = x 2 − 4x + 3 . c/ x − 2 = 3x2 − x − 2 . d/ 4x + 1 = x2 + 2x − 4 . e/ 3x − 5 = 2x 2 + x − 3 . f/ g/ x2 − 4x + 5 = 4x − 17 . h/ x 2 + 4x + 2 = x 2 − 5x + 4 = x + 4 . 5x + 16 . 3 Bài 279. Giải các phương trình sau a/ 4x2 − 12x + 9 = 3x − 2 . b/ 3x + 1 = 2x + 3 . c/ x + 3 = 2x + 1 . d/ x 2 − x − 2 = x2 + 2x . e/ x 2 − 2x = x 2 − 5x − 6 . f/ x 2 − x − 2 = 2x 2 − 3x − 5 . Bài 280. Giải các phương trình sau a/ x 2 − x − 2 − 8 = 0 . b/ x 2 + 6x + x + 3 + 10 = 0 . c/ x 2 + 4x + 3 x + 2 = 0 . d/ x 2 − 2x − 5 x − 1 + 7 = 0 . e/ x − 1 + 2 − x = 2 x . f/ x 2 − 2x − 3 = x 2 + 2x + 3 . g/ 2x2 − 3x − 3 + 2x2 + 8x + 3 = 0 . h/ x + 1 + x − 2 = 3 . Bài 281. Giải các phương trình sau a/ x +2 = 2. x −2 b/ x 2 + c/ 2x − 4 x2 − 4x + 4 + −3 = 0. x −1 x2 − 2x + 1 d/ Page - 58 - 1 1 − 10 = 2 x − . 2 x x x −1 1 2x − 1 − = 2 . x x +x x +1 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn  Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:  Nâng lũy thừa hai vế.  Đặt ẩn phụ. Lưu ý rằng: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định g (x ) ≥ 0  Dạng 1. f (x ) = g (x ) ⇔  2 f (x ) =  g (x )     f (x ) ≥ 0 hay g (x ) ≥ 0 Dạng 2. f (x ) = g (x ) ⇔  f (x ) = g (x )   t = f ( x ) , t ≥ 0 Dạng 3. af (x ) + b (x ) + c = 0 ⇔  2 at + bt + c = 0  ( ) f (x ) + g (x ) = h ( x ) . Dạng 4. ● Đặt u = f (x ), v = g (x ) với u, v ≥ 0 . ● Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. f (x ) + g (x ) + f (x ).g (x ) = h (x ) . Dạng 5. Đặt t = f (x ) + g (x ), t ≥ 0 Dạng 6. 3 A+3B= 3C Ta có (∗) ⇔ Thay Dạng 7. 3 ( 3 (∗) A+3B 3 3 ) ( ) = 3 C ⇔ A + B + 3 3 AB ( 3 ) A+3B =C (∗ ∗) A + 3 B = 3 C vào (∗ ∗) , ta được: (∗ ∗) ⇔ A + B + 3 3 ABC = C . f (x ) + h (x ) = g (x ) + k (x ) f (x ) + g (x ) = h (x ) + k (x ) với  f (x ).h (x ) = g (x ).k (x ) ● Biến đổi về dạng: f (x) − h (x) = k (x) − g (x) . ● Bình phương, giải phương trình hệ quả. Dạng 8. Nhân thêm lượng liên hiệp ● Dự đoán nghiệm và dùng nhân lượng liên hiệp để xuất hiện nhân tử chung. ● Các công thức thường dùng: Biểu thức Biểu thức liên hiệp A± B A∓ B Tích A−B 3 A+3B 3 A2 − 3 AB + 3 B A+B 3 A−3B 3 A2 + 3 AB + 3 B A−B "Cần cù bù thông minh…………" Page - 59 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 282. Giải các phương trình sau a/ 2x − 3 = x − 3 . b/ 5x + 10 = 8 − x . c/ x − 2x − 5 = 4 . d/ x 2 + x − 12 = 8 − x . e/ x2 + 2x + 4 = 2 − x . f/ 3x2 − 9x + 1 = x − 2 . g/ 3x2 − 9x + 1 = x − 2 . h/ x2 − 3x − 10 = x − 2 . j/ −x2 + 4x − 3 = 2x + 5 . a/ x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 − 6x + 6 . b/ (x − 3)(8 − x) + 26 = −x c/ (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 . d/ (x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3x . e/ x 2 + x2 + 11 = 31 . f/ x 2 − 2x + 8 − 4 i/ ( x − 3) x2 + 4 = x2 − 9 . Bài 283. Giải các phương trình sau 2 + 11x . (4 − x)(x + 2) = 0 . Bài 284. Giải các phương trình sau a/ x + 1 − x −1 = 1. b/ 3x + 7 − x + 1 = 2 . c/ x2 + 9 − x2 − 7 = 2 . d/ 3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1 . x2 + x − 5 + x2 + 8x − 4 = 5 . e/ 3 1+ x + 1− x = 2. 3 f/ g/ 3 5x + 7 − 3 5x − 13 = 1 . h/ 3 9− x +1 + 3 7 + x +1 = 4 . Bài 285. Giải các phương trình sau b/ 2x +3 + x +1 = 3x +2 (2x +3)(x +1) −16. (x − 1)(3 − x) = 1 . d/ 7−x + 2+x − (x + 1)(4 − x) = 5 . f/ 3x −2 + x −1 = 4x −9 + 2 3x2 −5x + 2 . a/ x +3 + 6−x = 3+ c/ x −1 + 3 − x − e/ x +1 + 4−x + g/ 1 + (x + 3)(6 − x) . 2 x − x2 = x + 1 − x . 3 h/ (7 − x)(2 + x) = 3 . x + 9 − x = −x 2 + 9x + 9 . Bài 286. Giải các phương trình sau a/ x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = −2 . b/ x −1−2 x −2 − x + 2 + 4 x −2 + 3 = 0 c/ 2x − 4 + 2 2x − 5 + 2x + 4 + 6 2x − 5 = 14 . Page - 60 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn d/ x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1. e/ 2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4 . Bài 287. Giải các phương trình a/ 3 x +1 + 3 x +2 + 3 x + 3 = 0. b/ 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x − 2 . c/ 3 x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11 . d/ 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 . Bài 288. Giải các phương trình a/ x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 1 . b/ x 2 − 3x + 2 + x + 3 = 6x − 2 + x 2 + 2x − 3 . c/ x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 . x+3 d/ 2x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2x 2 + 2x + 3 + x 2 − x + 2 . Bài 289. Giải các phương trình a/ x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 . b/ 3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3 x 2 − x − 1 − x 2 − 3x + 4 . c/ x + 2 + 4 − x = 2x 2 − 5x − 1 . d/ 1− x 2x + x2 . = x 1 + x2 e/ ( 3 ) x + 2 + 3 x + 1 = 3 2x 2 + 3 2x2 + 1 . f/ x 2 + x − 1 = (x + 2) x2 − 2x + 2 . g/ 3 x + 24 + 12 − x = 6 . 2 ( ) h/ x 2 = (x − 4) 1 + 1 + x . Bài 290. Giải các phương trình sau ( ) a/ x 2 + 3 − x 2 + 2 x = 1 + 2 x 2 + 2 . b/ (4x − 1) x 3 + 1 = 2x 3 + 2x + 1 . c/ x 2 − 1 = 2x x 2 − 2x . d/ (x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1 . e/ 4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 . f/ 2 2x + 4 + 4 2 − x = 9x2 + 16 . g/ x 2 − 1 = 2x x 2 + 2x . h/ x 2 + 4x = (x + 2) x 2 − 2x + 4 . Bài 291. Định tham số m để phương trình 2x 2 − 6x + m = x − 1 có hai nghiệm phân biệt. Bài 292. Định tham số m để phương trình x 2 − x + m = x − 3 có hai nghiệm phân biệt. Bài 293. Định tham số m để phương trình (2x 2 2 ) +1 = x 2 − 2 (m − 1) x + m2 − 3m có nghiệm duy nhất. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 61 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 294. Giải các phương trình sau (đưa về dạng cơ bản) a/ x −1 = x − 3. b/ x −2 = 4−x. c/ 2x − 2x − 1 = 7 . d/ 3 − x = 3x − 5 . e/ x − 4x − 3 = 2 . f/ x2 − x = x . g/ h/ 5 − x2 = x − 1 . x2 − 1 = x − 1 . i/ x − 2 = x2 − 4x + 3 . j/ x + 1 − x2 = 1 . k/ x + 4 − x2 = 2 . l/ 16x + 17 = 8x − 23 . m/ −x2 + 4x = 2x − 2 . n/ x2 − 3x + 2 = 2x − 1 . o/ −x2 + 4x − 3 = 2x − 5 . p/ 3x2 + 5x + 1 + 1 = 4x . q/ x 2 − 2x + 1 = x2 − 2x + 1 . r/ 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 . s/ 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 . t/ x 2 − 3x − 2 = x − 3 . Bài 295. Giải các phương trình sau (dùng hằng đẳng thức) a/ x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1. b/ x +8 −6 x −1 − x +3 +4 x −1 +5 = 0. c/ 2x−4−2 2x−5 − 2x +4 +6 2x−5 +4 =0. d/ 2x −2 +2 2x −3 = 4 + 2x −6 −6 2x −3 . e/ x + 2 x −1 + x −2 x −1 = x+3 . 2 f/ 21x − 63 + 7 10 − 4 3x − 9 = 0 . Bài 296. Giải các phương trình sau (bình phương hai vế) a/ 2x + 3 + 2x + 2 = 1 . b/ x + 4 − 2x − 6 = 1 . c/ 3x + 7 − x + 1 = 2 . d/ 11 − x − x − 1 = 2 . e/ x 2 + 9 − x2 + 7 = 2 . f/ x + x−5 = 5 . g/ 3x − 5 + 2x + 3 = x + 2 . h/ x − 2 + x − 1 = 2x − 3 . i/ x + 3 − 7 − x = 2x − 8 . j/ 2 − x = 7 − x − −3 − 2x . k/ 5x − 1 = 3x − 2 − 2x − 1 . l/ 5x − 1 − x − 1 = 2x − 4 . m/ x + 2 − 2x − 3 = 3x − 5 . n/ x + 4 − 1 − x = 1 − 2x . o/ 3x + 4 − 2x + 1 = x + 3 . p/ x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2 . Bài 297. Giải các phương trình sau (đưa về tích) Page - 62 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I x2 a/ Ths. Lê Văn Đoàn − 3x − 2 = 1 − x . b/ x + x + 1 − x2 + x = x . 3x − 2 c/ x2 + 10x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6 . d/ x2 − x − 2 − 2 x − 2 + 2 = x + 1 . e/ x2 −3x +2 + x + 3 = x −2 + x2 +2x −3 . f/ x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x 2 . g/ x2 − 8x +15 + x2 +2x −15 = x2 −9x +18 . h/ i/ 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x2 + 3x + 2 . j/ x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x 2 + 4x + 3 . l/ k/ 2x2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2 . 3 3 x + 1 + x2 = 3 x + 3 x2 + x . Chia x. 4x x+3+ = 4 x chia x + 3 . x+3 Bài 298. Giải các phương trình sau a/ 3 c/ 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1 . 3 3 3 1 + x + 1− x = 2 24 + x − 5 + x =1. b/ 3 2 + x + x2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4 . d/ 4 18 − x + 4 x − 1 = 3 . e/ 2x + 4 x − 1 = 0 . f/ x + 2 x − 1 = 0 . g/ −5x + 2 x + 3 = 0 . h/ i/ 6x + 3 − 3 2 2x + 1 − 5 = 0 . j/ 25x − 5 + 5 1 − 5x − 3 = 0 . 2 x −1 − 3 − x +1 = 0. Bài 299. Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ) 3x − 1 x = + 1. x 3x − 1 a/ x 2 + x 2 + 11 = 31 . b/ 2 c/ x + 7 − x = 1. d/ 3 x + 3 − 3 x = 1. f/ (x + 5)(2 − x) = 3 (x + 4)(x + 1) = 3 3 e/ g/ 2 (1 − x ) x 2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1 . h/ i/ 3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1 . j/ k/ 3x2 + 6x +16 + x2 +2x = 2 x2 +2x + 4 . m/ 3 2x 1 1 +3 + =2. x +1 2 2x o/ (x − 3)(x + 1) + 4 (x − 3) q/ x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x2 . x 2 + 3x . x 2 + 5x + 6 + 4 . x2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 . 2 l/ 1 + x − x2 = x + 1 − x . 3 n/ x +1 = −3 . x−3 2 − x = 1− x −1 . 3+x = 3x 1 1 4 2 + + 2 . 9 x 9 x p/ (x − 1)(x + 2) + 2 (x − 1) x +2 = 8. x −1 r/ x + 17 − x2 + x 17 − x 2 = 9 . s/ x −1 + x + 3 + 2 (x −1)(x + 3) = 4 − 2x . t/ x + 4 + x − 4 = 2x − 12 + 2 x2 − 16 . u/ 2x +3 + x +1 = 3x +2 2x2 +5x +3 −16. 3x −2 + x −1 = 4x −9 +2 3x2 −5x + 2 . v/ Bài 300. Giải phương trình (nhân lượng liên hiệp) a/ 4x + 1 − 3x − 2 = "Cần cù bù thông minh…………" x+3 . 5 b/ 4 x + x2 + x − 1 x − x2 + x = 3 . x Page - 63 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 1 c/ − 1 = 1− 1− x 1+ 1− x 5 . x2 + 1 − x = 2 x2 + 1 e/ 3 . x 2 ) g/ 4 (x + 1) = (2x + 10) 1 − 3 + 2x . i/ x + x 2 + 16 = 40 . 4 x + x2 + x 1 . − 1 x − x2 + x = 3 . x 2 ( ) h/ 2x 2 = (x + 9) 2 − 9 + 2x . 3x j/ x 2 + 16 3x − 2 . 2x + 4 − 2 2 − x = 3 k/ x + x +1 = x f/ ( 2 d/ = 3x + 1 − 1 . 3x + 10 l/ ( )( 1+ x −1 ) 1 − x + 1 = 2x . Bài 301. Giải các phương trình sau (bình phương hai vế) a/ x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0. b/ 2x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2x 2 + 2x + 3 + x 2 − x + 2 . c/ x2 + 2 + x2 + 7 = x2 + x + 3 + x2 + x + 8 . d/ 3x 2 − 7x + 3 − x2 − 2 = 3x 2 − 5x − 1 − x 2 − 3x + 4 . Bài 302. Giải các phương trình sau (không mẫu mực) a/ 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 . c/ x + x + e/ b/ 1 1 + x + = 2. 2 4 d/ 3 2 − x = 1− x −1 . 2 f/ x − 1 − 3 + x = 2 (x − 3) + 2 (x − 1) . h/ x2 + 2x + 2x − 1 = 3x 2 + 4x + 1 .  3 3 1 + 1− x2  (1 + x) − (1− x)  = 2 + 1− x2 . j/   x + 1 − x −2 x(1 − x) +1 = 24 x(1 − x) . 3 x +1 + 3 x +2 + 3 x + 3 = 0. g/ x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x2 − x = 0 . i/ x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11 . Bài 303. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 + 3x + 13 x + 2 − 36 = 0 . x + 1 − x + 2m x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = m 3 có nghiệm duy nhất. Bài 304. Định m để Bài 305. Định tham số m để các phương trình sau có nghiệm (7 − x)(x + 2) = m . (1 + x)(8 − x ) = m . (x − 1)(3 − x) = m . a/ 7−x + 2+x − b/ 1+x + 8−x + c/ x −1 + 3 − x − d/ 5 − x + x − 1 + −x 2 + 6x − 5 = m . e/ Page - 64 - 3 2 (2 − x) 2 + 3 (7 + x ) − 3 (7 + x)(2 − x) = m . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 306. Cao đẳng Hải Quan năm 1996 Giải phương trình: ĐS: x = 3 2x − 1 + 3 x − 1 + 3 3x − 2 = 0 . 2 . 3 Bài 307. Cao đẳng Hải Quan Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Cho phương trình: x +4 x−4 +x+ x−4 = m (∗) . 1/ Giải phương trình (∗) khi m = 6 . 2/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. ĐS: 1/ x = 4 . 2 / m ≥ 6 . Áp dụng phương pháp hàm số. Bài 308. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW1 năm 2000 Giải phương trình: 1 + x − 1 = 6 − x . Bài 309. Cao đẳng Kiểm Sát phía Bắc năm 2000 Giải phương trình: 3 7−x − 3 x−5 3 7−x + 3 x−5 = 6− x. Bài 310. Cao đẳng Giao Thông năm 2000 Giải phương trình: 4 8 − x + 4 89 + x = 5 . Bài 311. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2001 x − 2 − x + 2 = 2 x 2 − 4 − 2x + 2 . Giải phương trình: Bài 312. Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001 Giải phương trình: x 2 + x + 7 = 7 . Bài 313. Cao đẳng Sư Phạm Thể Dục TWII năm 2002 Cho phương trình: x 2 − 4 − x2 + m = 0 (∗) . 1/ Giải phương trình (∗) khi m = 2 . 2/ Định m để phương trình (∗) có nghiệm. Bài 314. Cao đẳng Xây dựng số 3 năm 2002 Giải phương trình: 3 x + 3 = 1+ x . Bài 315. Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 Giải phương trình: x+2 + 5−x + (x + 2)(5 − x) = 4 . Bài 316. Cao đẳng Sư Phạm Bến Tre khối A năm 2002 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 65 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Giải phương trình: 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0 . Bài 317. Cao đẳng Giao Thông năm 2003 Giải phương trình: 3 2x + 1 + 3 2x + 2 + 3 2x + 3 = 0 . Bài 318. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2003 Giải phương trình: x + x +1 = x +2 . Bài 319. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2004 Giải phương trình: x + 2 x −1 + ( x − 2) x −1 = x+3 . 2 Bài 320. Cao đẳng Sư Phạm Mẫu Giáo TW1 năm 2004 Giải phương trình: −x2 + 4x − 3 = 2x − 5 . Bài 321. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005 Giải phương trình: x2 − 4x + 5 + x2 − 4x + 8 = 4x − x2 − 1 . Bài 322. Cao đẳng Sư Phạm Quảng Nam năm 2005 Giải phương trình: (x + 2) x2 + 3 = x2 + 2x + 3 . Bài 323. Cao đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm 2005 Giải phương trình: (x − 3) x 2 − 5x + 4 = 2x − 6 . Bài 324. Cao đẳng Xây Dựng số 3 – Cao đẳng Cộng đồng Vĩnh Long khối A, B năm 2005 Giải phương trình: 3x + 1 = 8 − x + 1 . Bài 325. Đại học khối D năm 2005 Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 . Bài 326. Dự bị 2 khối D Đại học năm 2002 Giải phương trình: x + 4 + x − 4 = 2x − 12 + 2 x 2 − 16 . Bài 327. Dự bị 1 Đại học khối B năm 2005 Giải phương trình: 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4 . Bài 328. Dự bị 1 Đại học khối D năm 2004  5 Cho phương trình: x 2 + m2 −  x2 + 4 + 2 − m 3 = 0 . Chứng minh rằng với mọi m ≥ 0 3   thì phương trình đã cho có nghiệm. Bài 329. Cao đẳng Truyền Hình Tp. Hồ Chí Minh năm 2007 Giải phương trình: 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 . ĐS: x = −1 . Page - 66 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 330. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Xác định tham số m để phương trình: x 2 − 6x + m + (x − 5)(1 − x) = 0 có nghiệm. Bài 331. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997 – 1998 Giải phương trình: 16x + 17 = 8x − 23 . ĐS: x = 4 . Bài 332. Học Viện Ngân Hàng năm 1999 – 2000 Giải phương trình: −x 2 + 4x + 2 = 2x . ĐS: x = 2 . Bài 333. Đại học Dược Hà Nội năm 1999 – 2000 Giải phương trình: (x + 3) 10 − x2 = x 2 − x − 12 . ĐS: x = − 3 . Bài 334. Đại học Y Dược Tp. HCM hệ trung cấp năm 1999 – 2000 Giải phương trình: 2 x − 1 − 3 + x = 2 (x − 3) + 2 (x − 1) . ĐS: x = 5 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki. Bài 335. Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1999 – 2000 Giải phương trình: 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 . ĐS: x = 2 . (Có thể giải theo phương pháp hàm số). Bài 336. Đại học Ngoại Thương Hà Nội năm 1999 – 2000 Giải phương trình: ĐS: x = 3 − x + x 2 − 2 + x − x2 = 1 . 1± 5 . Đặt t = x2 − x . 2 Bài 337. Đại học Nông Nghiệp I năm 1999 – 2000 Giải phương trình: x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 . ĐS: x = 1 . VT ≥ 2 nên dấu " = " xảy ra khi x = 1 . Bài 338. Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001 ( ) Giải phương trình: 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6 . Bài 339. Đại học Xây Dựng năm 2001 Giải phương trình: x2 − 6x + 6 = 2x − 1 . Bài 340. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001 Giải phương trình: x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 . Bài 341. Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 2001 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 67 - Ths. Lê Văn Đoàn Giải phương trình: Phần Đại Số 4x + 1 − 3x − 2 = x+3 . 5 Bài 342. Đại học Ngân Hàng khối D – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D năm 2001 Giải phương trình: 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 . Bài 343. Học Viện Ngân Hàng khối A – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 2001 Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1 . Bài 344. Đại học Ngoại Ngữ năm 2001 Giải phương trình: (x − 1)(4 − x ) = 5 . x +1 + 4−x + Bài 345. Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin học Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Giải phương trình: (x + 3)(1 − x ) = −5 x 2 + 2x − 7 . Bài 346. Đại học Bách Khoa Hà Nội khối A, D năm 2001 Giải phương trình: 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2 . Bài 347. Đại học Thủy Sản Hà Nội năm 2001 Giải phương trình: x +2 +2 x +1 + x +2−2 x +1 = x+5 . 2 Bài 348. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 1998 – 1999 Giải phương trình: x + 9 = 5 − 2x + 4 . ĐS: x = 0 . Bài 349. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1998 – 1999 Giải và biện luận phương trình: x +1 + 1− x = m.  1  2 ≤ m ≤ 2 → x = ± 4m2 − m 4  ĐS:  2  m < 2 ∨ m > 2 → VN  Bài 350. Đại học Huế khối A, V năm 1998 – 1999 Giải phương trình: x2 − 1 = x + 1 . ĐS: x = −1 ∨ x = 1+ 5 . 2 Bài 351. Đại học Huế khối D năm 1998 – 1999 Giải phương trình: 4 − x2 = x + 2 . ĐS: x = −2 ∨ x = 0 . Bài 352. Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 – 1999 Cho phương trình 1 + x + 8 − x = Page – 68 – (1 + x)(1 − 8) = m (∗) . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 1/ Giải phương trình (∗) khi m = 3 . 2/ Tìm tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. ĐS: 1/ x = −1 ∨ x = 8 2/ 3 ≤ m ≤ 9 +3 2. 2 Bài 353. Đại học Thương Mại năm 1998 – 1999 Giải phương trình: x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . Bài 354. Đại học Ngoại Thương năm 1998 – 1999 Với giá trị nào của m thì phương trình: 3 1− x + 3 1 + x = m. ĐS: 0 < m ≤ 2 . Bài 355. Đại học Dân lập Tôn Đức Thắng năm 1998 – 1999 Giải phương trình: x2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x2 + 3x + 19 . ĐS: x = −2 ∨ x = 1 . Đặt t = x2 + x + 2 . Bài 356. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1998 – 1999 Giải và biện luận phương trình: x − a + x + a = a (với a là tham số). Bài 357. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A đợt 2 năm 1997 – 1998 Với giá trị nào của m thì phương trình ĐS: 3+x + 6−x − (3 + x)(6 − x) = m có nghiệm ? 6 2 −9 ≤ m ≤ 3 . Dùng phương pháp hàm số. 2 Bài 358. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998 Giải phương trình: x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 . ĐS: x = 1 . Phương pháp hàm số. Bài 359. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998 Cho phương trình: (∗) . x + 9 − x = −x2 + 9x + m 1/ Giải phương trình (∗) khi m = 9 . 2/ Xác định tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. ĐS: 1/ x = 0 ∨ x = 9 ∨ x = 9 ± 65 2 2/ − 9 ≤ m ≤ 10 . 4 Bài 360. Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1997 – 1998 Cho phương trình: x + 1 − x + 2m x (1 − x ) − 2 4 x (1 − x ) = m 3 "Cần cù bù thông minh…………" (∗) . Page - 69 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 1/ Giải phương trình (∗) khi m = − 1 . 2/ Tìm giá trị của tham số m để phương trình (∗) có một nghiệm duy nhất. 1 2 ĐS: 1/ x = 2 / m = −1 ∨ m = 0 . Bài 361. Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1991 – 1992 Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4 (x − 3) x +1 =m x−3 (∗) 1/ Giải phương trình m = − 3 . 2/ Với giá trị nào của m thì phương trình (∗) có nghiệm ? ĐS: t = (x − 3) x +1 , x−3 1/ x = 1 − 5 ∨ x = 1 − 33 2 / m ≥ −4 . Bài 362. Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1991 – 1992 Giải phương trình: 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1 . ĐS: x = −61 ∨ x = 30 . Bài 363. Đại học khối B năm 2004 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m ĐS: ( 1+x 2 ) − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2 . 2 − 1 ≤ m ≤ 1 (giải bằng phương pháp hàm số). Bài 364. Đại học khối D năm 2005 Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 . ĐS: x = 3 . Bài 365. Đại học khối B năm 2006 Tìm tham số m để phương trình: ĐS: m ≥ x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt. 9 . 2 Bài 366. Đại học khối D năm 2006 Giải phương trình: 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 . ĐS: x = 1; x = 2 − 2 . Bài 367. Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006 Giải phương trình: 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 . ĐS: x = 2 . Page - 70 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 368. Dự bị 2 Đại học khối D năm 2006 Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x 2 + 8x − 7 + 1 . ĐS: x = 5, x = 4 . Đưa về PT tích ( x −1 −2 )( ) x −1 − 7 − x = 0 . Bài 369. Đại học khối A năm 2007 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1 . ĐS: −1 < m ≤ 1 . Đặt t = 3 4 x −1 , 0 ≤ t < 1 . PT ⇔ −3t2 + 2t = m . Dùng PP hàm số. x +1 Bài 370. Đại học khối B năm 2007 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x − 8 = m (x − 2) . x ≥ 2  ĐS: PT ⇔  . Dùng phương pháp hàm số. 3 2 (x − 2) x + 6x − 32 − m = 0 ( ) Bài 371. Dự bị 2 Đại học khối B năm 2007 Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm: ĐS: m = − 4 x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0 . 3 ∨ m > 12 . Dùng phương pháp hàm số. 2 Bài 372. Dự bị 1 Đại học khối D năm 2007 Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: x −3−2 x −4 + x −6 x −4 + 5 = m. ĐS: 2 < m ≤ 4 . Đặt t = x − 4 ≥ 0 . Bài 373. Đại học khối A năm 2008 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m . ĐS: 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6 . Dùng phương pháp hàm số. Bài 374. Đại học khối A năm 2009 Giải phương trình: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0 . ĐS: x = − 2 . Bài 375. Đại học khối B năm 2010 Giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0 . ĐS: x = 5 . Bài 376. Toán Học Tuổi Trẻ – Tháng 3 năm 2005 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 71 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  2 Giải phương trình: x = 2004 + x 1 − 1 − x  .   ( ) ĐS: x = 0 ← Đặt y = 1 − x . Bài 377. Toán Học Tuổi Trẻ – Tháng 9 năm 2007 Giải phương trình: x − x 2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 . Bài 378. Tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình 21/12/2004 Giải phương trình: 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5 . Bài 379. Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Đại học Sư Phạm Hà Nội I năm 1997 – 1998 Giải phương trình: x + 1 + 2 (x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2 . HD: Đưa phương trình về hệ có một phương trình tích số: u + 2u2 = −v2 + v + 3uv ⇔ u − v + v2 − 3uv + 2v2 = 0 ⇔ u − v + (v − u)(v − 2u ) = 0 . Page - 72 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN  a x + b y = c 1 1  Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  1 a 2 x + b2 y = c2  Tính các định thức: D = a1 b1 a2 b2 = a1b2 − a2b1, Dx = (a 2 1 c1 b1 c2 b2 ) + b12 ≠ 0, a 22 + b22 ≠ 0 = c1b2 − c2b1, Dy = a1 c1 a2 c2 = a1c2 − a2c1 . Xét D Kết quả D≠0  D  D  Hệ có nghiệm duy nhất x = x ; y = y  .  D D Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 Hệ vô nghiệm Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm D=0 Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.  Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 380. Giải các hệ phương trình sau bằng cách dùng định thức 5x − 4y = 3 2x + y = 11 a/  b/    7x − 9y = 8 5x − 4y = 8     2 + 1 x + y = 2 − 1 3x − y = 1 c/  d/  2x − 2 − 1 y = 2 2 6x − 2y = 5   3  x + 2 y = 16   3x − y = 1  4 3 e/  f/   5 5 x + 2y = 3 3 x − y = 11   2 5 Bài 381. Giải các hệ phương trình sau  1 8  10 1  − = 18  + =1  x y  x − 1 y + 2 a/  b/   5 4  25 3 + = 51 + =2    x y  x − 1 y + 2 ( ) ( "Cần cù bù thông minh…………" ) Page - 73 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  27 32  + =7  2x − y x + 3y c/   45 48 − = −1   2x − y x + 3y 2 x + y − x − y = 9 e/  3 x + y + 2 x − y = 17  2 x − 6 + 3 y + 1 = 5 d/  5 x − 6 − 4 y + 1 = 1 4 x + y + 3 x − y = 8 f/  3 x + y − 5 x − y = 6 Bài 382. Giải các hệ phương trình sau a/ c/ e/ g/ 2x − 3y + 2z = 4  −4x + 2y + 5z = −6   2x + 5y + 3z = 8  x − 2y + z = 12  2x − y + 3z = 18   −3x + 3y + 2z = −9  3x + y − z = 1  2x − y + 2z = 5  x − 2y − 3z = 0  x − y + z = 0  3x + 2y + 4z = 17   5x + y + 7z = 22  b/ d/ f/ h/ −3x + 2y − z = −2  5x − 3y + 2z = 10   2x − 2y − 3z = −9  x + y + z = 7  3x − 2y + 2z = 5   4x − y + 3z = 10  x + 3y + 2z = 8  2x + y + z = 6  3x + y + z = 6  2x + y + z = 3  x + 2y + z = 6   x + y + 2z = 7  Bài 383. Giải và biện luận các hệ phương trình sau mx + (m − 1)y = m + 1 a/   2x + my = 2 (m − 1) x + 2y = 3m − 1 c/  (m + 2) x − y = 1 − m (m + 1) x − 2y = m − 1 e/  2 2 m x − y = m + 2m Bài 384. Trong các hệ phương trình sau hãy ● Giải và biện luận. mx + (m − 2) y = 5 b/  (m + 2) x + (m + 1) y = 2 (m + 4) x − (m + 2) y = 4 d/  (2m − 1) x + (m − 4) y = m mx + 2y = m + 1 f/   2x + my = 2m + 5 ● Tìm m ∈  để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. (m + 1)x − 2y = m − 1 a/   2 2 m x − y = m + 2m mx + y − 3 = 3 c/  x + my − 2m + 1 = 0  mx − y = 1 b/   x + 4(m + 1)y = 4m x + my = 1 d/  x + y = m Bài 385. Trong các hệ phương trình sau hãy ● Giải và biện luận. ● Khi hệ có nghiệm (x, y ) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m Page - 74 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I mx + 2y = m + 1 a/   2x + my = 2m + 5 mx + (m − 1) y = m + 1 c/  2x + my = 2 Ths. Lê Văn Đoàn 6mx + (2 − m ) y = 3 b/  (m − 1) x − my = 2 −x + my = −3 d/  mx − 4y = m + 4  Bài 386. Giải và biện luận các hệ phương trình sau ax + y = b a/   3x + 2y = −5 ax + y = a + b c/   x + 2y = a ax + by = a 2 + b2 e/  bx + ay = 2ab  y − ax = b b/   2x − 3y = 4 (a + b) x + (a − b) y = a d/  (2a − b) x + (2a + b) y = b  ax − by = a 2 − b f/  2 bx − b y = 4b Bài 387. Định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất mx + y = m a/   2 x + my = m 6mx + (2 − m ) y = 3 b/  (m − 1) x − my = 2 Bài 388. Định tham số để hệ phương trình sau có vô số nghiệm −4x + my = m + 1 b/   (m + 6) x + 2y = 3 + m a 2 x − by = a 2 − b d/  2 bx − b y = 2 + 4b x − y = 1 a/   4x − 4y = m + 1 ax + y = a + b c/   x + 2y = a Bài 389. Định tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm x + my = 1 a/  mx − 3my = 2m + 3  mx + y = 1 b/  x + my = −1  Bài 390. Định tham số để hệ phương trình sau có nghiệm mx + 2y = m a/   (m − 1) x + (m − 1) y = 1 m (m − 1) x + m (m + 1) y = m 3 + 2  c/  2  m − 1 x + m3 + 1 y = m4 − 1  ( ) ( ) mx + my = m − 1 b/   (m − 1) x + 2my = m + 1 (a + b) x + (a − b) y = 2a  d/  2  a + b2 x + a 2 − b2 y = 2a 2  ( ) ( ) Bài 391. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình a/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và số dư bằng 2. b/ Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80 người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp ? c/ Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại. "Cần cù bù thông minh…………" Page - 75 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số d/ Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc ? BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 392. Dùng định thức để giải các hệ phương trình sau 2x − y = 3 a/   3x + y = 7 4y − 2x − 1 = 0 c/   x − 2y = 6 2x − y + 1 = 0 e/   2y − 4x − 2 = 0 7x − y = 4 b/   3x + 2y = 1 2x + y = 5 d/   y − x + 1 = 0  5x + y − 6 = 0  f/  x − 5y = −6  Bài 393. Giải các hệ phương trình sau a/ c/ e/ g/ 3x + 4y − 5z = 12  −4x + 2y + 7z = 7   5x + 6y − 4z = 12  x + 2x − 3x = 2  1 2 3 2x + 7x + x = 5  1 2 3  −3x1 + 3x 2 − 2x 3 = −7  2x + 3y + z = −4  3x − 2y − 3z = 9   4x − 5y − 8z = 15   x − 2y + 3z = 4   3x − y + 3z = 7   x + 3y − 3z = −3  b/ d/ f/ h/ 0, 3x − 4, 7x + 2, 3x = 4, 9  1 2 3 −2,1x + 3,2x + 4, 5x = 7, 6  1 2 3  4,2x1 − 2, 7x 2 + 3, 7x 3 = 5, 7  −x − 3y + 4z = 3  3x + 4y − 2z = 5   2x + y + 2z = 4  2x + y − 2z = −4  4x + 3y + 3z = 4   6x + 5y + 4z = 4   x + 2y + z = 2   3x − y + z = 6   x + 3y + 3z = 2  Bài 394. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số x + my = 1 a/  x + y = m 2x + my = m2 c/   x + y − 2 = 0  x + my = 1 e/   2 mx + y = m (m − 1) x − y = m + 2 g/  (m + 1) x + 2y = m − 5  Page - 76 - ax + y − 3 = 0 b/  x + ay = 3a mx − y + 1 = 0 d/   x + my + 2 = 0 my − x + 3 = 0 f/   mx − 4y = m + 4 (2a − 1) x − y = 1 h/  x + (a + 1) y + 1 = 0  "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn mx + my = m − 1 i/   (m − 1) x + 2my = m + 1 2m 2 x + 3 (m + 1) y = 3 j/  m (x + y ) − 2y = 2 Bài 395. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số ax − y = b a/   bx + y = a m m −1 x + m2 + 2m − 2 y = m2 + 2m − 3 ( ) c/  (m −1) x + (m −1) y = m −1  ( ) (a + b) x + (a − b) y = a b/  (2a − b) x + (2a + b) y = b  m (m − 1) x + m (m + 1) y = m 3 + 2  d/  2  m − 1 x + m3 + 1 y = m4 − 1  ( ) ( ) Bài 396. Định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất  (m + 1) x + 8y − 4m = 0 a/  mx + (m + 3) y + 1 − 3m = 0  m x + (m − 1)(y − 2) = m − 1 c/  (m − 3) x + 2 (y − 2) = 2m − 4 x + my = 1 e/    mx + y = 2m  (m + 5) x + (2m + 3) y = 3m + 2 b/  (3m + 10) x + (5m + 6) y = 2m + 4  x − 2y = m d/    mx − my = m − 1 mx 2 − 2y = m f/  2 x + (m − 3) y = m − 1  Bài 397. Định tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm hệ thức độc lập giữa x và y mx + y = 3 a/   x + my = 2m + 1 mx + y = 2m c/   x + my = m + 1 mx − y = 1 b/   x + 4 (m + 1) y = 4m 6mx + (2 − m ) y = 3  d/  (m − 1) x − my = 2 Bài 398. Định tham số để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm mx + 4y = 2m + 3 a/   (m + 1) x = 6y 2 2 2 2  2  a + b x + a − b y = a b/  (a + b) x + (a − b) y = a + 1  ( ) ( ) Bài 399. Định tham số m để các hệ phương trình sau vô nghiệm 4x + 2y = 5 a/   2x + y = m − 1 m 2 x + (2 − m ) y = 4 + m 3  b/  mx + (2m − 1) y = m 5 − 2  Bài 400. Định tham số m để các hệ phương trình sau có nghiệm (2m − 1) x − y = 1  a/  x + (m + 1) y + 1 = 0  (m + 3) x + (m − 3) y = 2m b/  2  m + 9 x + m 2 − 9 y = 2m2  ( ) ( ) x + (m + 2) y = 2m + 2 Bài 401. Tìm tham số m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất thỏa x ≥ y . 2 mx + 2y = m + 2 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 77 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số mx + 4y = m 2 + 4 Bài 402. Cho hệ phương trình  x + (m + 3) y = 2m + 3 (∗) a/ Tìm tham số m để hệ phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. b/ Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x, y ) thì x ≥ y khi m bằng mấy ? x = 5 − 4t c/ Định tham số m để nghiệm của hệ (∗) có dạng   y = t (t ∈  ) . Bài 403. Định tham số m để các hệ phương trình sau có nghiệm (x, y ) sao cho biểu thức P = x 2 + y2 có giá trị nhỏ nhất 2x + y = 5 a/   2y − x = m x − 2y = 4 − m b/   2x + y = 3m + 3 Bài 404. Định tham số m nguyên (m ∈ ) để các hệ sau có nghiệm nguyên 2mx + 3y = m a/  x + y = m + 1  mx + y = 2m c/   x + my = m + 1 mx − y = 1 e/   x + 4 (m + 1) y = 4m mx − 2y = m − 2  g/  2  m − 1) x − y = m 2 − 1 ( mx + y = 3 b/  x + my = 2m + 1 mx + 2y = m d/   (m − 1) x + (m − 1) y = 1 mx + 2y + 3 = 0 f/   3mx + y − 4m = 0 (m + 1) x + (3m + 1) y = 2 − m h/  2x + (m + 2) y − 4 = 0  Bài 405. Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên dương (m + 1) x − 2y = m − 1 mx + y − 3 = 0  a/  b/  2 2 x + my − 2m − 1 = 0 m x − y = m + 2m   ax + by = 3  Bài 406. Cho hệ phương trình  . Tìm tất cả các giá trị của a và b sao cho hệ phương ax + by = ab + 3 trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (1,1) . ax + y = 3b Bài 407. Định b để hệ phương trình có nghiệm ∀a ∈  :   2 x + ay = b + b ax + by = c  3 3 3 Bài 408. Giả sử hệ  bx + cy = a có nghiệm. Chứng minh rằng: a + b + c = 3abc .  cx + ay = b Bài 409. Tìm một số có hai chữ số, biết hiệu của hai chữ số đó bằng 3. Nếu viết các chữ số theo thứ tự 4 ngược lại thì được một số bằng số ban đầu trừ đi 10. 5 Page - 78 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 410. Ba cô Lan, Hương và Thúy cùng thêu một loại áo giống nhau. Số áo của Lan thêu trong 1 giờ ít hơn tổng áo của Hương và Thúy thêu trong 1 giờ là 5 áo. Tổng số áo của Lan thêu trong 4 giờ và Hương thêu trong 3 giờ nhiều hơn số áo của Thúy thêu trong 5 giờ là 30 áo. Số áo của Lan thêu trong 2 giờ cộng với số áo của Hương thêu trong 5 giờ và số áo của Thúy thêu trong 3 giờ tất cả được 76 áo. Hỏi trong một giờ mỗi cô thêu được mấy áo ? Bài 411. Một công ty có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chỏ một lần được 445 khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại ? Bài 412. Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1 500 000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu để trả lại cho người mua. Ông ta đổi được tất cả 1450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng. Biết rằng số tiền xu loại 1000 đồng bằng hai lần hiệu của số tiền xu loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng tiền xu ? Bài 413. Một gia đình có bốn người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng. Một gia đình khác có hai người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200 000 đồng. Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ em là bao nhiêu ? Bài 414. Nếu lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 12 và dư là 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho. Hãy tìm số đó ? Bài 415. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? "Cần cù bù thông minh…………" Page - 79 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số E – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN SỐ   Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.  Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.  Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. f ( x, y) = 0  Hệ đối xứng loại 1 (I)  với f (x, y) = f (y, x ) và g (x, y) = g (y, x ) . g (x, y ) = 0  Nhận dạng: khi ta hoán vị (đổi chỗ) x và y thì f (x, y) và g (x, y) không thay đổi. Phương pháp giải:  Đặt S = x + y và P = xy .  Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn S và P.  Giải hệ (II) ta tìm được S và P.  Tìm nghiệm (x, y ) bằng cách giải phương trình X 2 − SX + P = 0 . f ( x, y) = 0 (1)  I ( ) f y, x = 0 2 ()  ( ) Nhận dạng: khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại.  Hệ đối xứng loại 2 Phương pháp giải: f (x, y ) − f (y, x ) = 0  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) ⇔  f (x, y ) = 0  (3) (1) x = y  Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x − y).g (x, y) = 0 ⇔   g (x, y) = 0 f x, y = 0  ( )  x = y  Lúc đó: (I) ⇔  f ( x, y) = 0  g (x, y) = 0   Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I) . a x 2 + b xy + c y2 = d  1 1 1  Hệ đẳng cấp (I)  1 2 a 2 x + b2 xy + c2 y2 = d2   Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0 ). ()  Khi x ≠ 0 , đặt y = tx . Thế vào hệ I ta được hệ theo t và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được (x, y ) . Lưu ý: Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp bất đẳng thức, phương pháp hàm số, lượng giác hóa (học ở lớp 11 và 12). Page - 80 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 416. Giải các hệ phương trình sau x 2 + 4y2 = 8 a/  x + 2y = 4 2  (x − y) = 49 c/  3x + 4y = 84  3x − 4y + 1 = 0 e/   xy = 3 (x + y) − 9 y + x2 = 4x g/   2x + y − 5 = 0 2x − y = 5 i/   2 2 x + xy + y = 7  x2 − xy = 24 b/  2x − 3y = 1  x2 − 3xy + y2 + 2x + 3y − 6 = 0 d/   2x − y = 3 2x + 3y = 2 f/   xy + x + y + 6 = 0 2x + 3y = 5 h/   2 2 3x − y + 2y = 4 4x 2 − 3xy + y2 = 1 j/   2x − y + 1 = 0 Bài 417. Giải các hệ phương trình sau x + xy + y = 11 a/   2 2 x + y − xy − 2 (x + y) = −31 xy + x + y = 5 c/   2 2 x + y + x + y = 8 x 3 + x 3 y3 + y3 = 17 e/  x + y + xy = 5 x + y = 4 b/   2 2 x + xy + y = 13  x y 13  + = d/  y x 6  + = x y 6  x 4 + x 2 y2 + y 4 = 481 f/  2 x + xy + y2 = 37  Bài 418. Giải các hệ phương trình sau x 2 = 3x + 2y a/  2 y = 3y + 2x  x 3 = 2x + y c/  3 y = 2y + x 2  3y = y + 2  x2 e/  2 x +2  3x = y2  Bài 419. Giải các hệ phương trình sau 2x 2 − 4xy + y 2 = −1 a/  2 2 3x + 2xy + 2y = 7 3x 2 + 5xy − 4y2 = 38 c/  2 5x − 9xy − 3y2 = 15  "Cần cù bù thông minh…………" x 2 − 2y2 = 2x + y b/  2 2 y − 2x = 2y + x  x − 3y = 4 y  x d/  x  y − 3x = 4 y   2 2x = y + 1  y f/   2 1 2y = x + x  y 2 − 3xy = 4 b/  2 2 x − 4xy + y = 1 x 2 − 2xy + 3y2 = 9 d/  2 2 x − 4xy + 5y = 5 Page - 81 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 3x 2 − 8xy + 4y 2 = 0 e/  2 2 5x − 7xy − 6y = 0 x 2 − 3xy + y2 = −1 f/  2 2 3x − xy + 3y = 13 Bài 420. Giải và biện luận các hệ phương trình sau x + y = 6 a/   2 2 x + y = m 3x − 2y = 1 c/   2 2 x + y = m x + y = m b/   2 2 x − y + 2x = 2 4x 2 − 3xy + y2 = 1 d/   2x − y + m + 1 Bài 421. Giải và biện luận các hệ phương trình sau x + y + xy = m a/  2 2 x + y = 3 − 2m (x + 1)(y + 1) = m + 5 c/  xy (x + y ) = 4m x + y = m + 1 b/  2 2 2 x y + xy = 2m − m − 3 x 2 + y2 + xy = 4 d/   x + y + xy = m Bài 422. Giải và biện luận các hệ phương trình sau x 3 − 4y2 = m 3 − 4m2  b/  y 3 − 4x2 = m 3 − 4m2  2x 2 − y 2 = 3x − m d/  2 2 2y − x = 3y − m ( ( x 2 = 3x + my a/  2 y = 3y + mx  xy + x 2 = m (y − 1)  c/  2 xy + y = m (x − 1) ) ) ( ( ) ) Bài 423. Giải và biện luận các hệ phương trình sau x 2 + mxy + y 2 = m a/  2 2 x + (m − 1) xy + my = m x 2 − 4xy + y2 = m c/  2 y − 3xy = 4 xy − y2 = 12 b/  2 x − xy = m + 26  2x 2 − 3xy + 2y 2 = 4 d/  2 2 x + 5xy − 3y = m BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 424. Giải các hệ phương trình sau 4x 2 − 3xy + y2 = 1 a/  2x − y + 1 = 0  x 2 + 2xy + y2 − x − y = 6 c/  x − 2y = 3  x 2 + y2 + 6x + 2y = 0 b/  x + y + 8 = 0  4x 2 − 3xy + y2 = 1  d/  2 4x + 4x − y2 = −1  Bài 425. Giải các hệ phương trình sau x 2 + y2 + xy = 4 a/  x + y + xy = 2  Page - 82 - x 2 + y2 = 2 (xy + 2) b/  x + y = 6  "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I x 2 + xy + y2 = 3 c/  x + xy + y + 1 = 0 x + y = 1 e/  3 3 x + y = 17  1 1  + = 5 x y g/    1 1  2 + 2 = 13 y  x  x + y = 2 i/  x + y − xy = 1   x + 1 + y = 4  k/  x + y = 7 Ths. Lê Văn Đoàn x + y + xy = 3 d/  2 2 x y + y x = 2  x y 13  + = f/  y x 6  + = x y 5   x2 y2  + = 18 h/  x y  x + y = 12    x + y = 4 j/  x + y − xy = 4   x + y − 1 = 1  l/   x − y + 2 = 2y − 2  Bài 426. Giải các hệ phương trình sau a/ c/ e/ g/ i/ x 2 = 3x + 2y   2 y = 3y + 2x xy + x 2 = 1 + y   2 xy + y = 1 + x 2x = y2 − 4y + 5   2 2y = x − 5x + 5 2x + y − 1 = 2   2y + x − 1 = 2   x + 1 + y − 1 = 4    y +1 + x −y = 4  b/ d/ f/ h/ j/ x 2 = 13x + 4y   2 y = 13y + 4x 2x 2 − y2 = 3x − 2   2 2 2y − x = 3y − 2 x 2 − 2y2 = 2x + y   2 2 y − 2x = 2y + x  x + 1 + y = 1    x + y +1 = 1   x + 1 + y − 2 = 3    y +1 + x −2 = 3  Bài 427. Giải các hệ phương trình sau a/ c/ e/ g/ 3x 2 + 2xy + y2 = 11   2 2 x + 2xy + 3y = 17 y2 − 3xy − 4 = 0   2 2 x − 4xy + y = 1 3x 2 − 8xy + 4y2 = 0   2 2 5x − 7xy − 6y = 0 x2 + 2xy − 3y2 = 0   x x + y y = −2 b/ d/ f/ h/ 2x 2 − 4xy + y2 + 1 = 0   2 2 3x + 2xy + 2y = 7 x2 − 2xy + 3y2 = 9   2 2 x − 4xy + 5y = 5 2x 2 − 3xy + 2y2 − 4 = 0   2 2 x + 5xy − 3y + 1 = 0 x 2 + xy + y2 = 7   4 2 2 4 x + x y + y = 21 Bài 428. Định tham số m để hệ sau có nghiệm "Cần cù bù thông minh…………" Page - 83 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số x 2 + y2 = m a/  xy = 1 x + y = 1 c/  3 3 x + y = 1 − 3m x 2 + y2 − 2x − 2y = 11  e/  xy (x − 2)(y − 2) = m x 2 + y2 = m b/  x + y = 2  x + y = 1  d/  x x + y y = 1 − 3m  xy (x + 4)(y + 4) = m  f/  2 2 x + y + 4 (x + y) = 5 Bài 429. Định tham số m để hệ có nghiệm duy nhất a/ c/ e/ g/  x y  + = m y x  x+y =1   x + y + 1 + 1 = 2m − 4 x y   2 1 1 2 x + y + 2 + 2 = m x y  2 2 x + xy + y = m + 6  2x + xy + 2y = m xy + x 2 = m (y − 1)   2 xy + y = m (x − 1) x + y + xy = 3 b/  2 2 x + y = m x + y + 2 = 2 ( x + 1)(y + 1) d/  x + y + xy = m x + xy + y = m f/  2 2 x y + y x = m − 1 x + xy + y = m h/  2 2 x + y + xy = 1 − 2m Bài 430. Giải các hệ phương trình sau x 2 + xy + y2 = 3  a/  x + xy + y + 1 = 0  x + y + xy = 11 c/  2 2 x + y + 3 ( x + y ) = 28 3  3 x − y = 2 e/  xy (x − y) + 2 = 0  x 3 + y 3 + x 3 y 3 = 17 g/  x + y + xy = 5   x 2 + y2 xy = 78  i/  4 4 x + y = 97 x 2 + 2x + y2 + 2y = 11  k/  xy (x + 2)(y + 2) = 24 x 3 + 2x = y  m/  3 y + 2y = x ( Page - 84 - ) b/ d/ f/ h/ j/ l/ n/ 2x 2 y + xy2 = 15   3 3 8x + y = 35 xy − x + y + 3 = 0   2 2 x + y − x + y + xy = 6 x 3 + y3 = 7   xy (x + y) + 2 = 0 x 3 + y 3 = 2   xy (x + y) = 2 x2 + y2 + x + y = 8   x (x + 1) y (y + 1) = 12 2 2  (x − 1) + (y + 2) = 9  xy x − 2)(y + 4) + 5 = 0  ( x 3 = 2x + y   3 y = 2y + x "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 2  3y = y + 3  x2 o/  2 x +2  3x = y2   2x + y =  q/   2y + x =  3 x2 3 y2 Bài 431. Giải các hệ phương trình sau  x + 1 − y + 2 = 1  a/  x + y = 10  x − 4 + y − 1 = 4  c/  x + y = 15 x − y + 3 = 0  b/  x + y + xy = 7 x + y + 3 = 4  d/  y + x + 2 = 3   2x 2y  + =3 f/  y x  x − y + xy = 3  2x + y − 2 + 4 = 0  e/  2y + x + 2 = 4  Bài 432. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ đối xứng loại 2 a/ 2 − x = 2 − x2 . b/ 4 − 4 + x = x. c/ x 3 − 4 = 3 x2 + 4 . d/ x 3 + 2 = 3 3 3x − 2 . e/ 5− 5+x = x. f/ x 3 + 1 = 2 3 2x − 1 . h/ x 3 = 4 3 4x − 3 − 3 . g/ x2 − 2x = 2 2x − 1 x + y + xy = m Bài 433. Cho hệ phương trình  2 2 x y + y x = 3m − 8 (∗) 7 . 2 b/ Tìm m để hệ (∗) có nghiệm. a/ Giải hệ (∗) khi m = x + xy + y = m có đúng hai nghiệm. Bài 434. Tìm tham số m để hệ phương trình  2 2 x + y + xy = 1 − 2m x + my − m = 0 Bài 435. Cho hệ phương trình  2 2 x + y − x = 0 (∗) a/ Tìm tham số m để hệ phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b/ Gọi (x1; y1 ), (x 2 ; y2 ) là các nghiệm của hệ. Chứng minh: (x 2 − x1 ) + (y2 − y1 ) ≤ 1 . Bài 436. Giải các hệ phương trình sau  x + y + 2x + y + 2 = 7  a/  3x + 2y = 23  2x + y + 1 − x + y = 1  c/  3x + 2y = 4 "Cần cù bù thông minh…………" x + y + x + y = 2  b/  2 x + y2 = 25  x y + y x = 6  d/  2 x y + y2 x = 20  Page - 85 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  x + 2 − y = 2  e/   y − 2−x = 2   3 x − y = x − y  g/  x + y = x + y + 2  f/ h/  2 2  x + y + 2xy = 8 2 i/   x+ y =4  j/ 2 2  xy + x + y = x − 2y k/  x 2y − y x − 1 = 2x − 2y  l/  x + y − xy = 3   x + 1 + y + 1 = 4  x y + y x = 30   x x + y y = 35   x y 7  +1  y + x =  xy  x xy + y xy = 78  2 (x + y) = 3 3 x2 y + 3 xy2   3 x + 3 y = 6  ( ) Bài 437. Giải các hệ phương trình sau  x + y = 8 a/   2  x + 9 + y2 + 9 = 10   x + 1 + 2 − y = 2 − x + y + 1  c/  x + y = 2   x + 1 + x + y − 3 = 3  y e/    1 2x + y + = 8 y   2 2  x + x + y +1 + x + y + x + y +1 + y = 18 g/   x2 + x + y +1 − x + y2 + x + y +1 − y = 2  b/ d/ f/ h/  x + 1 + y + 1 = 3   (x + 1) y + 1 + (y + 1) x + 1 = 6  x + 4 − y − 1 = y − 3 − x + 2   2 x + y2 − xy = 2y − x + 12   2xy x + = x2 + y  2 3 x − 2x + 9  2xy  = y2 + x y + 3 2 y − 2y + 9     ( x + y )1 + 1  = 5   xy     2 1  2  x + y 1 + 2 2  = 49 x y    ( ) Bài 438. Giải các hệ phương trình sau a/ c/ e/ g/ xy − 3x − 2y = 16   2 2 x + y − 2x − 4y = 33 x2 + xy + x + y = 4   x + y + xy (x + y) = 4 x 2 (y + 1)(x + y + 1) = 3x 2 − 4x + 1  2 xy + x + 1 = x  x − 1 = y − 1  x y  2 2x − xy − 1 = 0  2 2  (x − y) x + y = 13 i/  (x + y) x 2 − y2 = 25  ( ( Page - 86 - ) ) b/ d/ f/ h/ x 2 + y2 + x + y = 4   x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 x 4 − x 3 y + x 2 y2 = 1   3 2 x y − x + xy = 1 x 2 + xy + 2x + 2y − 16 = 0   (x + y)(4 + xy) = 32  x − 1 = y − 1  x y  3 2y = x + 1  x 2 − xy + y2 = 3 (x − y )  j/  2 3 x + xy + y2 = 7 (x − y )  "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I  2 x + y + x 3 y + xy2 + xy = − 5 4 k/   4 5 2 x + y + xy (1 + 2x ) = − 4  y2 = (5x + 4)(4 − x )  m/  2 y − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0  Ths. Lê Văn Đoàn x 3 − 8x = y 3 + 2y  l/  2 x − 3 = 3 y2 + 1  ( ) x 4 + 2x 3 y + x 2 y2 = 2x + 9 n/   2 x + 2xy = 6x + 6  Bài 439. Giải các hệ phương trình sau x 3 (2 + 3y) = 8 a/   3 xy − 2x − 6 = 0   x + y + 1 + 1 = 4  x y c/    2 1 1 2 x + y + 2 + 2 = 4 x y   3 4xy + 4 x2 + y2 + =7 2  (x + y) e/    2x + 1 = 3  x+y ( ) x 3 + y2 = 2 b/   2 x + xy + y2 − y = 0   x2 + 1 + y (y + x ) = 4y  d/   2  x + 1 (y + x − 2) = y  ( ( ) )  2 x + y2 = 1 f/  2  3 2 4x x − x + x − 1 = y2 + 2xy − 2  ( ) Bài 440. Định tham số m để hệ sau có nghiệm  x + y = m  a/  x + y − xy = m   x + 1 + y + 1 = 5  x y b/    3 1 1 2 x + 3 + y + 2 = 15m − 10 x y  x 2 + y + x 3 y + xy2 + xy = m  c/  4 x + y2 + xy (1 + 2x ) = m   x + y = 1  d/  x x + y y = 1 − 3m  x2 + y2 = 2 (1 + m )  Bài 441. Cho hệ phương trình  (∗) 2 (x + y) = 4  a/ Chứng minh rằng nếu (x o , y o ) là một nghiệm của hệ phương trình (∗) thì (−x o , −y o ) cùng là nghiệm. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. b/ Thử lại các giá trị của m tìm ở câu a để có kết luận cuối cùng. Bài 442. Trong các hệ phương trình sau ● Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ● Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. mx + 2y = m + 1 a/   2x + my = 2a − 1 x − 2y = 4 − m c/   2x + y = 3m + 3 "Cần cù bù thông minh…………" mx + y = 3m b/   x + my = 2m + 1 2x + y = 5 d/   2y − x = 10m + 5 Page - 87 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 443. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1998  x + y = m  Cho hệ phương trình:  x + y − xy = m  (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 4 . 2/ Tìm tham số m để hệ phương trình (∗) có nghiệm. Bài 444. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí minh năm 1999 – Cao đẳng Sư Phạm Vinh năm 2001 x + y = 1 Cho hệ phương trình:  3 3 x − y = m (x − y) (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 1 . 2/ Tìm tham số m để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt. Bài 445. Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 x x + y y = 6  Giải hệ phương trình:  2 x y + y2 x = 20  Bài 446. Cao đẳng Y Tế Nam Định – Hệ Cao đẳng Điều Dưỡng chính qui năm 2000 x 2 + xy + y2 = 4 Giải hệ phương trình:  x + xy + y = 2 Bài 447. Cao đẳng Kiểm Sát phía Nam năm 2000 x + y = 2 Giải hệ phương trình:  2 2 x + y = 10 Bài 448. Cao đẳng Giao Thông năm 2000 x 3 y = 9 Giải hệ phương trình:  3x + y = 6 Bài 449. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2001  xy − 10 = 20 − x 2 Giải hệ phương trình:   2 xy = 5 + y Bài 450. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW1 năm 2001  x + y + xy = 5 4 Giải hệ phương trình:   2 1 2 x y + xy =  4 Bài 451. Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2002 Page - 88 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn x + y = 2m − 1 Giả sử (x, y ) là các nghiệm của hệ phương trình:  2 2 2 x + y = m + 2m − 3 Xác định tham số m để biểu thức P = xy đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 452. Cao đẳng Xây Dựng số 3 năm 2002 – Học Viện Hàng Không năm 1997 – 1998  x − y x2 − y2 = 3 ) ( Giải hệ phương trình:  (x + y) x2 + y2 = 15  ( ( ) ) Bài 453. Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002 x 3 − y3 = 7 (x − y)  Giải hệ phương trình:  2 2 x + y = x + y + 2 Bài 454. Cao đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm 2002 2x 2 − y2 = 3x + 4  Giải hệ phương trình:  2 2 2y − x = 3y + 4 Bài 455. Cao đẳng Kỹ Thuật Hà Tây 2002 – Học Viện Ngân Hàng Phân Viện TP.HCM năm 2001 x2 − 2xy + 3y2 = 9  Giải hệ phương trình:  2 2 2x − 13xy + 15y = 0 Bài 456. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2002 x + y = 2 Giải hệ phương trình:  3 3 x + y = 26 Bài 457. Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2002 xy + x 2 = a (y − 1) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:   2 xy + y = a (x − 1) Bài 458. Cao đẳng khối A, D năm 2003 x2 + x = y2 + y  Giải hệ phương trình:  2 2 x + y = 3 (x + y) Bài 459. Cao đẳng khối M, T năm 2003  x2 + 2x 3x + y = 18 ( )  Giải hệ phương trình:  2 x + 5x + y − 9 = 0  ( ) Bài 460. Cao đẳng Nông Lâm năm 2003 2x2 + 3y2 − 4xy = 3 Giải hệ phương trình:   2 2 2x − y = 7 Bài 461. Cao đẳng khối A năm 2004 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 89 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 2x2 y + xy2 = 15 Giải hệ phương trình:   3 3 8x + y = 35 Bài 462. Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2004 xy − x + y = −3 Giải hệ phương trình:  2 2 x + y − x + y + xy = 6 Bài 463. Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2005  x + 1 + y − 1 = 4  Giải hệ phương trình:  x + y = 8 Bài 464. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam năm 2005 – Đại học Ngoại Ngữ năm 2001 x2 + y2 = 1  Giải hệ phương trình:  3 3 x + y = 1 Bài 465. Cao đẳng Sư Phạm Sóc Trăng năm 2005 x 3 − y3 = 2  Giải hệ phương trình:  xy (x − y) = −2 Bài 466. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005 x + y + xy = 3 Giải hệ phương trình:  2 2 x y + y x = 2 Bài 467. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật I năm 2005 xy + x 2 = 1 + y  Giải hệ phương trình:  2 xy + y = 1 + x Bài 468. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 x2 + (m + 2) x = my  Xác định tham số m để hệ phương trình:  2 có đúng hai nghiệm phân biệt y + (m + 2) y = mx Bài 469. Đại học Đà Nẵng năm 2001 x − xy − y = 1 Giải hệ phương trình:  2 2 x − xy = 6 Bài 470. Đại học Thái Nguyên năm 2001 x 3 + 1 = 2y Giải hệ phương trình:   3 y + 1 = 2x Bài 471. Đại học Y Hải Phòng năm 2001 Page - 90 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn x2 + y2 − x − y = 4 Giải hệ phương trình:   xy (x − 1)(y − 1) = 4 Bài 472. Học Viện Quân Y năm 2001  x + y − x − y = 2  Giải hệ phương trình:   x 2 + y2 + x 2 − y2 = 4  Bài 473. Học Viện Hành Chính Quốc Gia – Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001 x 3 + y 3 = 8  Giải hệ phương trình:  x + y + 2xy = 2  Bài 474. Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 2001 2  ( x − y) y = 2 Giải hệ phương trình:  3 x − y3 = 19  Bài 475. Đại học Cần Thơ khối A năm 2001  2  x + 3 + y = a Tìm giá trị của a để hệ  có đúng một nghiệm.  y2 + 5 + x = x2 + 5 + 3 − a  Bài 476. Đại học Văn Hóa khối D năm 2001 – Đại học Dân lập Đông Đô năm 1997 – 1998  x + 1 + 7 − y = 4  Giải hệ phương trình:   y +1 + 7 − x = 4  ĐS: x = y = 8 . Bài 477. Phân Viện Báo Chí và Tuyên Truyền năm 2001  2 2x = y +  Giải hệ phương trình:   2 2y = x +  1 y 1 x Bài 478. Đại học Thủy Lợi năm 2001  2x + y =  Giải hệ phương trình:   2y + x =  3 x2 3 y2 Bài 479. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 2001 x + y = 4 Giải hệ phương trình:   2 2 3 3  x + y x + y = 280 ( )( ) Bài 480. Đại học Hàng Hải năm 2001 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 91 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 2  2 x + xy + y2 = 19 (x − y) Giải hệ phương trình:  2 x − xy + y2 = 7 (x − y)  Bài 481. Đại học Thương Mại năm 2001 1 + x 3 y3 = 19x 3 Giải hệ phương trình:   2 2 x + xy = −6x Bài 482. Đại học Ngoại Thương năm 2001 x 3 − 3x = y 3 − 3y Giải hệ phương trình:   6 6 x + y = 1 Bài 483. Đại học Sư Phạm Tp. HCM khối A, B – Đại học Luật Tp. HCM khối A năm 2001 2  (x + 1) = y + a Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:  2  (y + 1) = x + a Bài 484. Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối D, M, T năm 2001  x + 1 + y − 2 = m  Cho hệ phương trình:  (với m là tham số).  y + 1 + x − 2 = m  1/ Giải hệ phương trình khi m = 0 . 2/ Xác định tham số m để hệ phương trình có nghiệm. Bài 485. Trung Tâm Bồi Dưỡng Cán Bộ Y Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 x 3 = 2y + x + m  Cho hệ phương trình:  y3 = 2x + y + m  (∗) với m là tham số. 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 2 . 2/ Xác định các giá trị của tham số m để hệ (∗) có nghiệm duy nhất. Bài 486. Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 xy − y2 = 12  Cho hệ phương trình:  2 x − xy = 26 + m (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 2 . 2/ Với những giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm. Bài 487. Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 x − y = 6 Giải hệ phương trình:  3 3 x − y = 126 Bài 488. Đại học Dân lập Ngoại Ngữ – Tin học Tp. Hồ Chí Minh năm 2001 Page - 92 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn x2 + 2xy + 2y2 = 5 Giải hệ phương trình:   2 2 3x − xy + y = 3 Bài 489. Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2001 x 4 + y4 = 1 Giải hệ phương trình:   6 6 x + y = 1 Bài 490. Đại học Mở Hà Nội năm 2001  2x 2y  + =3  Giải hệ phương trình:  y x  x − y + xy = 3  Bài 491. Trường Sĩ Quan Lục Quân 2 – Cấp phân đội năm 1999 – 2000 x 2 + xy + y2 = m + 6 Cho hệ phương trình:  2x + xy + 2y = m (∗) với m là tham số. 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = −3 . 2/ Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình (∗) có nghiệm duy nhất. ĐS: a / S = {( )( ) } 3, − 3 , − 3, 3 , (−1, −1) b / m = 21 . Bài 492. Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1999 – 2000 xy − 3x − 2y = 16 Giải hệ phương trình:  2 2 x + y − 2x − 4y = 33 ĐS: S = {(−3 + )( )} 3, −2 − 3 , −3 − 3, −2 + 3 . Bài 493. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 – 2000 hệ trung cấp x + y = m Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  2 2 x − y + 2x = 2 Bài 494. Đại học An Ninh khối D, G năm 1999 – 2000  x + y + 1 + 1 = 4  x y Giải hệ phương trình:   1 1  2 2 x + y + 2 + 2 = 4 x y  { } ĐS: S = (1,1) . Có thể giải theo BĐT Bunhiacôpxki. Bài 495. Đại học Hàng Hải năm 1999 – 2000 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 93 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  x y 7  + = +1  x Giải hệ phương trình:  y xy  x xy + y xy = 78 ĐS: S = (x > 0, y > 0) . {(4, 9), (9, 4)} . Bài 496. Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1999 – 2000   1 ( x + y)1 +  = 5  xy  Giải hệ phương trình:    2 1  2  x + y 1 + 2 2  = 49  x y   ( )     7 ± 45 7 ± 45   ĐS: S =  , −1, −1,  .  2 2     Bài 497. Đại học Hà Nội khối A, B năm 1999 – 2000  2x +  Giải hệ phương trình:   2y +  ĐS: S = {(1,1), ( )( 1 3 = y x 1 3 = x y 2, − 2 , − 2, 2 )} . Bài 498. Đại học Sư Phạm Qui Nhơn năm 1999 – 2000 x + y = m + 1 Cho hệ phương trình:  2 2 2 x y + y x = 2m − m − 3 (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 3 . 2/ Chứng minh rằng với mọi m thì hệ phương trình (∗) luôn có nghiệm. { } ĐS: S = (1, 3), (3,1) . Bài 499. Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 năm 1999 – 2000 x2 + y2 − 3x + 4y = 1  Giải hệ phương trình:  2 2 3x − 2y − 9x − 8y = 3     3 ± 3   3 ± 3   ĐS: S =  , 0,  , −4 .  2    2   Bài 500. Đại học Sư Phạm Vinh năm 1999 – 2000 Page – 94 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn x 3 = y2 + 7x 2 − mx Tìm tham số m để hệ  có nghiệm duy nhất.  3 y = x2 + 7y2 − my  ĐS: m > 16 . Bài 501. Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 2 năm 1998 – 1999 3×2 + 2xy + y2 = 11  Cho hệ phương trình:  x2 + 2xy + 3y2 = 17 + m  (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) với m = 0 . 2/ Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình (∗) có nghiệm.  4  5   ĐS: 1/ S =  ,∓ (±1, ±2), ±     3 3   2 / 5 − 11 3 ≤ m ≤ 5 + 11 3 . Bài 502. Đại học Đà Nẵng năm 1998 – 1999 x − y = 3m  Giải và biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình:  2y − xy = 0 ĐS: {(3m, 0)}, ∀m ∈  y = m ⇒ x = 4m → S = {(4m, m )}, ∀m ≤ 0 y = 0 ⇒ x = 3m → S = Bài 503. Đại học Kiến Trúc năm 1998 – 1999 y3 − x 3 = 7  Giải hệ phương trình:  2 2 2x y + 3xy = 16 { } ĐS: S = (1,2) . Bài 504. Đại học Thái Nguyên khối D năm 1998 – 1999 x y + y x = 30  Giải hệ phương trình:  x x + y y = 35  ĐS: S = {(4, 9), (9, 4)} . Bài 505. Đại học Thủy Sản năm 1998 – 1999  x + y + z = 6 2 2 2 Giải hệ phương trình:  + + = 3  x y z xy + yz + zx = 12  ĐS: x = y = z = 2 . Nhân hai vế của (2) cho xyz…. Bài 506. Đại học Hàng Hải năm 1998 – 1999 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 95 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 3 x + 5y + 9 = 0 Giải hệ phương trình:  .  2x − y − 7 = 0   44 39   ĐS: S =   , −  . Chia 4 trường hợp giải.   7 7    Bài 507. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1998 – 1999 x2 y + y2 x = 30 Giải hệ phương trình:   3 3 x + y = 35 ĐS: S = {(2, 3), (3,2)} . Bài 508. Đại học Mỹ Thuật năm 1998 – 1999 x 2 = 3x − y  Giải hệ phương trình:  2 y = 3y − x ĐS: S = {(0, 0), (2,2)} . Bài 509. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998 x + y = m Cho hệ phương trình:  2 (x + 1) y + xy = m (y + 2) (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) khi m = 4 . 2/ Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình (∗) có nhiều hơn 2 nghiệm. ĐS: 1/ S = {(2,2), (3 ∓ 5,1 ± 5 )} 2/ m > 3 6 . 2 Bài 510. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998  x + y + 1 + 1 = 5  x y Giải hệ phương trình:   1 1  2 2 x + y + 2 + 2 = 9 x y   3 ± 5   3 ± 5  ,  ĐS: S = 1, ,1 .   2   2   Bài 511. Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1997 – 1998 2 2  2y x − y = 3x Giải hệ phương trình:  x x2 + y2 = 10y  ( ( Page – 96 – ) ) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn      5 15 3 15   . ĐS: S = (0, 0), (±2, ±1), ± ,±  2 2      Bài 512. Đại học Ngoại Thương Hà Nội năm 1997 – 1998 x + y + x2 + y2 = 8  Cho hệ phương trình:  xy (x + 1)(y + 1) = m (∗) 1/ Giải hệ phương trình (∗) với m = 12 . 2/ Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình (∗) đã cho có nghiệm. { } ĐS: 1/ S = (1, 2), (2,1), (1, −3), (−3,1), (−2,2), (2, −2), (−2, −3), (−3, −2)  33  2 / m ∈ − ,16  16    Bài 513. Đại học Xây Dựng năm 1997 – 1998 2 2  (2x + y) − 5 4×2 − y2 + 6 (2x − y) = 0 Giải hệ phương trình:   2x + y + 1 = 3 2x − y  ( )  3 1   3 1  2 ĐS: S =   , ,  ,  . Chia hai vế PT (1) cho (2x − y ) .   8 4   4 2  Bài 514. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1997 – 1998  x y  + = a Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình:  y x  x+y=8  Bài 515. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 1997 – 1998  x − 3y =  Giải hệ phương trình:   y − 3x =  4y x 4x y ĐS: x = y = −2 . Bài 516. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997 – 1998 x 3 − y 3 = 7  Giải hệ phương trình:  xy (x − y) = 2 { } ĐS: S = (−1, −2), (2,1) . Cách 1. Hệ đẳng cấp. Cách 2. Đặt ẩn phụ x − y = a, xy = b . Bài 517. Đại học Thủy Lợi năm 1997 – 1998 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 97 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  x + y = 4  Giải hệ phương trình:  x + y − xy = 4  { } ĐS: S = (1, 9), (9,1) . Bài 518. Đại học Tổng Hợp năm 1991 – 1992 x + y + xy = m Cho hệ phương trình:  2 2 x + y = m (∗) 1/ Giải hệ phương trình khi m = 5 . 2/ Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình (∗) có nghiệm. ĐS: 1/ S = {(2,1), (1,2)} 2/ m ∈ 0; 8 . Bài 519. Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 – 1995 x + y + xy = m Cho hệ phương trình:  2 2 x y + xy = 3m − 8 1/ Giải hệ phương trình khi m = (∗) 7 . 2 2/ Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình (∗) có nghiệm.  1   1    ĐS: 1/ S =  2, ,  ,2    2 2       2/ m ≤ 13 + 3 33 ∨ m ≥ 8. 8 Bài 520. Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh năm 1994 – 1995  2 2  x + y + 2xy = 8 2 Giải hệ phương trình:   x + y = 4  ĐS: x = y = 4 . Bài 521. Đại học Dân lập Văn Hiến năm 1995 – 1996  2 (x + y) = 3 3 x2 y + 3 xy2 Giải hệ phương trình:  3 3  x + y = 6 ( ĐS: S = ) {(8,64), (64, 8)} . Bài 522. Đại học khối B năm 2002  3 x − y = x − y  Giải hệ phương trình:  x + y = x + y + 2    3 1  ĐS: S =  (1;1),  ;  .  2 2     Page – 98 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 523. Đại học khối A năm 2003  x − 1 = y − 1 Giải hệ phương trình:  x y   3 = + 2y x 1   −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5    ,   . ĐS: S = (1;1),  ; ;         2 2 2 2   Bài 524. Đại học khối B năm 2003 2  3y = y + 2  x2 Giải hệ phương trình:   2  x +2 3x = y2  { } ĐS: S = (1;1) . Bài 525. Đại học khối D năm 2004  x + y = 1  Tìm tham số m để hệ phương trình  có nghiệm. x x + y y = 1 − 3m  ĐS: 0 ≤ m ≤ 1 . 4 Bài 526. Dự bị 1 Đại học khối A năm 2005 x 2 + y2 + x + y = 4  Giải hệ phương trình:  x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 ĐS: S = {( )( ) } 2; − 2 , − 2; 2 , (1; −2), (−2;1) . Bài 527. Dự bị 2 Đại học khối A năm 2005  2x + y + 1 − x + y = 1  Giải hệ phương trình:  3x + 2y = 4 ĐS: S = {(2; −1)} . Bài 528. Đại học khối A năm 2006  x + y − xy = 3 Giải hệ phương trình:   x + 1 + y + 1 = 4  ĐS: S = {(3; 3)} . Bài 529. Dự bị 1 Đại học khối A năm 2006 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 99 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số x2 + 1 + y (y + x ) = 4y  Giải hệ phương trình:  2  x + 1 ( y + x − 2) = y  ( { ) } ĐS: S = (1;2), (−2;5) . Bài 530. Dự bị 2 Đại học khối A năm 2006 x 3 − 8x = y 3 + 2y  Giải hệ phương trình:  2 x − 3 = 3 y2 + 1  ( )    6 6   6 6    ĐS: S = (±3; ±1), −4 ; ;−  , 4  .   13 13   13 13    ( ) ( ) Sử dụng: 3 x 3 − y3 = 6 (4x + y) = x2 − 3y2 (4x + y) . Bài 531. Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006  x − y x2 + y2 = 13 ) ( Giải hệ phương trình:  (x + y) x2 − y2 = 25  ( ( ) ) x 3 − y 3 = 19  ĐS: S = (3;2), (−2; −3) . HPT ⇔  xy (x − y) = 6 { } Bài 532. Dự bị 1 Đại học khối D năm 2006 x2 − xy + y2 = 3 (x − y)  Giải hệ phương trình:  2 x + xy + y2 = 7 (x − y)3  ĐS: S = {(2;1), (−1; −2)} . Đặt u = x − y; v = xy . Bài 533. Đại học khối D năm 2007 Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x + 1 + y + 1 = 5  x y  1 1  3 3 x + 3 + y + 3 = 15m − 10 x y  ĐS: 1 1 7 ≤ m ≤ 2 ∨ m ≥ 22 . Đặt v = y + , u = x + , 4 y x ( u ≥ 2, ) v ≥ 2 . Dùng PP hàm số. Bài 534. Dự bị 2 Đại học khối A năm 2007 x 4 − x 3 y + x 2 y2 = 1  Giải hệ phương trình:  3 2 x y − x + xy = 1 { } ĐS: S = (1;1), (−1; −1) . Đặt u = x2 + xy, v = x 3 y . Page – 100 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 535. Dự bị 2 Đại học khối B năm 2007  2xy x + = x2 + y  3 2 x − 2x + 9 Giải hệ phương trình:   2xy  = y2 + x y + 3 2 y − 2y + 9  ĐS: S = {(0; 0), (1;1)} . Cộng 2 PT vế theo vế, ta được:  1 + VT = 2xy   3 x − 1 2 + 8 )  (   = x2 + y2 = VP 2  3 (y − 1) + 8  1 x = y = 0 . Mà VT ≤ 2 xy ≤ x 2 + y2 = VP . Dấu ” = ” xảy ra ⇔  x = y = 1  Bài 536. Dự bị 2 Đại học khối D năm 2007 2x − y − m = 0  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  x + xy = 1 x ≤ 1 ĐS: m > 2. PT ⇔  2 . Dùng tam thức bậc hai. x + (2 − m ) x − 1 = 0 Bài 537. Đại học khối A năm 2008  2 x + y + x 3 y + xy2 + xy = − 5 4 Giải hệ phương trình:   4 5 x + y2 + xy (1 + 2x ) = −  4    3   3 5 3 25   2  ĐS: S =  ; − , 1; −  . Đặt u = x + y; v = xy .    4  16  2    Bài 538. Đại học khối B năm 2008 x 4 + 2x 3 y + x 2 y2 = 2x + 9  Giải hệ phương trình:  2 x + 2xy = 6x + 6   −4; 17  . HPT ⇒ x (x + 4)3 = 0 ⇒ x = −4 (x ≠ 0) . ĐS: S =     4   Bài 539. Đại học khối D năm 2008 xy + x + y = x2 − 2y2  Giải hệ phương trình:  x 2y − y x − 1 = 2x − 2y  ĐS: S = (x + y)(x − 2y − 1) = 0  . Lưu ý rằng: x + y > 0 . 5;2 . HPT ⇔ ( )  x 2y − y x − 1 = 2x − 2y  { } “Cần cù bù thông minh…………” Page – 101 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Bài 540. Đại học khối B năm 2009 xy + x + 1 = 7y Giải hệ phương trình:  2 2 2 x y + xy + 1 = 13y   1  1 x ĐS: S =  1; , (3;1) . Đặt u = x + , v = .  3   y y   Bài 541. Đại học khối D năm 2009 x (x + y + 1) − 3 = 0  Giải hệ phương trình:  2 5 (x + y) − 2 + 1 = 0 x   x + y + 1 − 3 = 0    3 1  x ĐS: S = (1;1), 2; −  . Đặt u = x + y; v = .  . HPT ⇔  2   5  2  x  (x + y) − 2 + 1 = 0 x  Bài 542. Đại học khối A năm 2010  4×2 + 1 x + y − 3 5 − 2y = 0 ( )  Giải hệ phương trình:  2 2 4x + y + 2 3 − 4x = 7  ( ) 5 2  1  2 2   ĐS: S =  ;2 . HPT ⇒ 4x +  − 2x  + 2 3 − 4x − 7 = 0 . Dùng PP hàm số. 2   2    Bài 543. Đại học khối A năm 2011 5x 2 y − 4xy2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0  Giải hệ phương trình:  2 xy x 2 + y2 + 2 = (x + y)  ( )   2 2  2   ĐS: S = (1;1), (−1; −1), ± ,±  .  5 5    Bài 544. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379 tháng 1 năm 2009 x 2 (y + 1)(x + y + 1) = 3x 2 − 4x + 1 Giải hệ phương trình:   2 xy + x + 1 = x   5  ĐS: S =  (1; −1), −2; −  . Chia hai vế của (2) cho x, thay vào (1) .  2    Bài 545. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379 tháng 1 năm 2009 xy + x + y = x2 − 2y2  Giải hệ phương trình:  x 2y − y x − 1 = 2x − 2y  ĐS: S = Page – 102 – {(5;2)} . Từ PT (1) ⇔ x 2 − xy − 2y2 − (x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x − 2y − 1) = 0 . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 546. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379 tháng 1 năm 2009 y2 = (5x + 4)(4 − x ) Giải hệ phương trình:   2 2 y − 5x − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0 (1) . (2)  4   2 2  ĐS: S =  − ; 0, (0; 4) . PT (2) ⇔ y − (4x + 8) y − 5x + 16x + 16 = 0 . Xem như    5     phương trình bậc hai với ẩn y. Bài 547. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379 tháng 1 năm 2009 x2 + 1 + y (y + x ) = 4y  Giải hệ phương trình:  2 .  x + 1 (y + x − 2) = y ( { ) } ĐS: S = (1;2), (−2;5) . Chia hai vế cho y, đặt u = x2 + 1 , v = y + x −2. y Bài 548. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 379 tháng 1 năm 2009  3 4xy + 4 x 2 + y2 + =7 2  + x y  ( ) Giải hệ phương trình:   2x + 1 = 3 x+y  ( ĐS: S = ) {(0;1)} . Biến đổi và đặt u = x + y + x +1 y ( u ≥ 2), v = x − y . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 103 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 3 Bài 549. Giải và biện luận các phương trình sau a/ m2 x + 4m − 3 = x + m 2 . b/ a 2 x + 2ab = b2 x + a 2 + b2 . 2 c/ (a + b) x + 2a2 = 2a (a + b) + (a 2 + b2 ) x . d/ a (ax + b) = 4ax + b2 − 5 . Bài 550. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a/ 2x + m x + m − 1 − = 1. x −1 x c/ 2mx − 1 −2 x −1 = x −1 m +1 b/ . m2 x x −1 − m x = 2m + 1 . d/ x − 1 + 2x − 3 = m . x −1 Bài 551. Giải và biện luận các phương trình sau a/ 2x 2 + 12x − 15m = 0 . b/ x 2 − 2 (m − 1) x + m 2 = 0 . c/ x 2 − mx + m − 1 = 0 . d/ x 2 − 2 (m − 2) x + m (m − 3) = 0 . Bài 552. Tìm m để phương trình có một nghiệm xo. Tính nghiệm còn lại 3 a/ x 2 − mx + m + 1 = 0; x o = − . 2 b/ 2×2 − 3m2 x + m = 0; x o = 1 . Bài 553. Trong các phương trình sau, tìm m để ● Phương trình có hai nghiệm trái dấu ● Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ● Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ● Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thoả: x13 + x 23 = 0, x12 + x 22 = 3 . a/ x 2 − 2 (m − 2) x + m (m − 3) = 0 . b/ x 2 + 2 (m − 1) x + m 2 = 0 . c/ x 2 − 2 (m + 1) x + m2 − 2 = 0 . d/ (m + 2) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 . e/ (m + 1) x2 + 2 (m + 4) x + m + 1 = 0 . f/ x 2 − 4x + m + 1 = 0 . Bài 554. Trong các phương trình sau, hãy ● Giải và biện luận phương trình ● Khi phương trình có hai nghiệm x1, x 2 , tìm hệ thức giữa x1, x 2 độc lập với m a/ x 2 + (m − 1) x − m = 0 . b/ x 2 − 2 (m − 2) x + m (m − 3) = 0 . c/ (m + 2) x 2 − 2 (m − 1) x + m − 2 = 0 . d/ x 2 − 2 (m + 1) x + m2 − 2 = 0 . Bài 555. Giải các phương trình sau a/ x 2 + x2 − 6 = 12 . Page – 104 – b/ x 2 + x2 + 11 = 31 . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn c/ 16x + 17 = 8x − 23 . d/ x2 − 2x − 8 = 3 (x − 4) . e/ 3×2 − 9x + 1 + x − 2 = 0 . f/ 51 − 2x − x 2 = 1 − x . h/ x + 3 + 1 = 3x − 1 . g/ ( x − 3) x2 − 4 = x2 − 9 . Bài 556. Giải các phương trình sau a/ 4 − 3 10 − 3x = x − 2 . b/ x +1 −1 = x − x + 8 c/ x − 5 + x + 3 = 2x + 4 . d/ 3x + 4 − 2x − 1 = x + 3 . e/ x2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 . f/ x + 2 − 2x − 3 = 3x − 5 . g/ 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4 . h/ 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 . Bài 557. Giải các phương trình sau a/ x + 2 x −1 − x −2 x −1 = 2 . c/ x + 2 x −1 + x −2 x −1 = x+3 . 2 b/ 4 x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 . d/ x 2 − x − x2 − x + 13 = 7 . e/ x 2 + 2 x 2 − 3x + 1 = 3x + 4 . f/ 2x 2 + 3 2×2 + x + 1 = 9 − x . g/ x 2 − x 2 − 2x + 4 = 2x − 2 . h/ 2x 2 + 5 x 2 + 3x + 5 = 23 − 6x . Bài 558. Giải các hệ phương trình sau x + xy + y = −1 a/   2 2 x y + y x = −6 x 2 + y2 = 5  b/  4 2 2 x 2 y + y2 x = 30  c/  3 3 x + y = 35 x 3 + y 3 = 1  d/  5 5 2 2 x + y = x + y x 2 + y2 + xy = 7  e/  4 4 2 2 x + y + x y = 21 x + y + xy = 11 f/   2 2 x + y + 3 (x + y ) = 28 4 x − x y + y = 13 Bài 559. Giải các hệ phương trình sau   1 (x + y)1 +  = 5  xy  a/     2 1  2  x + y 1 + 2 2  = 49  x y   2 2  y x + 1 = 2x y + 1   b/   2  x + y2 1 + 1  = 24  x 2 y2    x + y + 1 + 1 = 4  x y c/    2 1 1 2 x + y + 2 + 2 = 4 x y   x y 2  + 2 = 2 x + 1 y + 1 3 d/     1   (x + y)1 +  = 6 xy    ( ) “Cần cù bù thông minh…………” ( ( ) ) ( ) Page – 105 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương Phần Đại Số 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH  A – BẤT ĐẲNG THỨC  Tính chất Điều kiện Nội dung a 0 (một số dương) a < b ⇔ ac < bc (2a ) c < 0 (một số âm) a < b ⇔ ac > bc (2b ) Cộng hai vế với số bất kì Nhân hai vế Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương a > 0, c > 0 a < b và c < d ⇔ a + c < b + d (3 ) a < b và c < d ⇔ ac < bd (4 ) Mũ lẻ a < b ⇔ a 2n+1 < b2n+1 (5a ) Mũ chẵn 0 < a < b ⇔ a 2n < b2n (5b ) a>0 a 0 a>b⇔ 1 1 < a b (7a) Nếu a, b trái dấu: ab < 0 a>b⇔ 1 1 > a b (7b) Nâng lũy thừa với n ∈  + Lấy căn hai vế Nghịch đảo Cộng hai vế BĐT cùng chiều a > b   c > d a+c>b+d (8a) Nhân hai vế BĐT cùng chiều khi biết chúng dương a > b > 0   c > d > 0 ac > bd (8b) Lưu ý  Không và không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều.  Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.  Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi. Page – 106 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn  Một số bất đẳng thức thông dụng a/ Số chính phương: a2 ≥ 0, ∀a ∈  a 2 + b2 ≥ 2ab . b/ Bất đẳng thức Cauchy (Arithmetic Means − Geometric Means) x + y ≥ 2 xy   2 x + y2 ≥ 2xy    2 xy ≤  x + y   2   Với x, y ∈  thì    2 (x + y ) ≥ 4xy   Với x, y ≥ 0 thì (1) . (2) Dấu ” = ” xảy ra khi x = y . (3 ) . Dấu ” = ” xảy ra khi x = y . (4)  x + y + z ≥ 3. 3 xyz  3  Với x, y, z ≥ 0 thì    xyz ≤  x + y + z     3   (5) ( 6) . Dấu ” = ” xảy ra khi x = y = z .  Mở rộng cho n số a 1, a 2 , a 3 ,…, a n không âm ta có: a1 + a 2 + … + a n ≥ n.n a1.a 2 …a n . Dấu ” = ” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = … = a n .  Hệ quả + Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y . + Nếu x, y > 0 có P = xy không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y . c/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Điều kiện x∈ Nội dung x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ −x x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a x>0 a, b ∈   x ≤ −a x ≥ a ⇔   x ≥ a a − b ≤ a+b ≥ a + b d/ Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có ● a, b, c > 0 . ● a − b < c < a + b. ● b − c < a < b + c. ● c−a < b < c+a. e/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (B.C.S) . 2  (a.x + b.y) ≤ a 2 + b2 x 2 + y2  Với x, y bất kỳ, ta luôn có:   a.x + b.y ≤ a 2 + b2 x 2 + y2  ( ( "Cần cù bù thông minh…………" )( )( ) (7) ) (8 ) Page - 107 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a b x y = hay = . x y a b  Với x, y, z bất kỳ, ta luôn có:  a.x + b.y + c.z 2 ≤ a 2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2 ) (   a.x + b.y + c.z ≤ a 2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2  a b c x y z Dấu " = " xảy ra khi = = hay = = . x y z a b c Dấu " = " xảy ra khi ( ( )( )( ) (9) ) (10) f/ Bất đẳng thức cộng mẫu số Bất đẳng thức cộng mẫu số (BĐT Cauchy Schwarz) là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức BCS. 2 a 2 b2 (a + b) + ≥ x y x+y  Với a, b ∈  và x, y > 0 , ta luôn có: (11) . 2 a 2 b 2 c 2 (a + b + c ) + + ≥  Với a, b, c ∈  và x, y, z > 0 , ta luôn có: x y z x+y+z Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (12) . a b c = = . x y z Dạng toán 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất   Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau  Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.  Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng ● A2 ≥ 0 . ● A2 + B2 ≥ 0 . ● A.B ≥ 0 với A, B ≥ 0 ● A2 + B2 ≥ 2AB .  Lưu ý  Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.  Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 605. Cho a, b, c, d, e ∈  . Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a 2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca . c/ a 2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b + c) . b/ a 2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b . d/ a 2 + b2 + c2 ≥ 2 (ab + bc − ca ) . e/ a 4 + b 4 + c2 + 1 ≥ 2a (ab2 − a + c + 1) . f/ Page – 108 – a2 + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc . 4 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn g/ a2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ≥ 6abc . h/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a (b + c + d + e) . i/ 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + , (a,b,c > 0) . j/ a + b + c ≥ ab + bc + ca, (a, b, c ≥ 0) . a b c ab bc ca Bài 606. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh các bất đẳng thức sau 3 a 3 + b3  a + b   , (a, b ≥ 0) . ≥  a/ 2  2  b/ a 4 + b4 ≥ a 3b + ab3 . c/ a 4 + 3 ≥ 4a . d/ a 3 + b 3 + c3 ≥ 3abc, (a, b, c ≥ 0) . e/ a 4 + b4 ≤ g/ a2 + 3 2 a 6 b6 + , (a, b ≠ 0) . b2 a 2 f/ 1 1 2 + ≥ , (ab > 1) . 2 2 1 + ab 1+a 1+ b h/ (a5 + b5 ) (a + b) ≥ (a4 + b4 )(a2 + b2 ),(ab > 0) . > 2. a +2 Bài 607. Cho a, b, c, d, e ∈  . Chứng minh rằng a2 + b2 ≥ 2ab (1) . Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau a/ (a 2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc . b/ (a 2 + 4)(b2 + 4)(c2 + 4)(d2 + 4) ≥ 256abcd . c/ a 4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd . Bài 608. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (2) . Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau 2 2 ( ) a/ (a + b + c) ≤ 3 a + b + c . 2 2 2 2 c/ (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca ) . e/ a+b+c ≥ 3 a 2 + b2 + c2  a + b + c   . b/ ≥    3 3 d/ a 4 + b 4 + c4 ≥ abc (a + b + c) . ab + bc + ca , (a, b, c > 0) . f/ a 4 + b4 + c4 ≥ abc, (a + b + c = 1) . 3 Bài 609. Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng nếu a a+c a < < 1 thì b b+c b (∗) . Áp dụng (∗) chứng minh các bất đẳng thức sau a b c + + < 2. a +b b+c c+a a b c d + + + <2 b/ 1 < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b a+b b+c c+d d+a + + + < 3. c/ 2 < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b a/ Bài 610. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a 3 + b3 ≥ a 2b + b2a = ab (a + b) (3) . Áp dụng bất đẳng thức (3) để chứng minh các bất đẳng thức sau "Cần cù bù thông minh…………" Page - 109 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số a/ a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 + + ≥ 2 (a + b + c) . ab bc ca b/ 1 1 1 1 với a, b, c > 0 . + 3 + 3 ≤ 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc c/ 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1 . 3 3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 d/ 1 1 1 + + ≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1 . a + b +1 b + c +1 c +a +1 e/ 3 f/ a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ với a, b, c > 0 . 2 2 2 2 2 2 3 a + ab + b b + bc + c c + ac + a g/ 1 1 1 1 + 3 + 2 ≤ với a, b, c > 0 . 3 3 2 abc a + abc + b b + abc + c a + abc + c h/ 5b3 − a 3 5c2 − b 3 5a 2 − c3 + + ≤ a + b + c với a, b, c > 0 . ab + 3b2 cb + 3c2 ac + 3a 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 4 a 3 + b3 + 3 4 b3 + c3 + 3 4 c3 + a 3 ≥ 2 (a + b + c) với a, b, c ≥ 0 . 3 Bài 611. Cho a, b, x, y ∈  . Chứng minh bất đẳng thức sau (Min − côp − xki) a 2 + x 2 + b2 + y2 ≥ 2 (a + b) 2 + (x + y) (4 ) Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: a/ Cho a, b ≥ 0 thoả a + b = 1 . Chứng minh: b/ Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + 1 + a 2 + 1 + b2 ≥ 5 . 1 1 + b2 + 2 . 2 b a c/ Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1 . Chứng minh: x2 + 1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 82 . 2 x y z d/ Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của biểu thức: P = 223 + x 2 + 223 + y 2 + 223 + z2 . Bài 612. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a/ ab + bc + ca ≤ a 2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca ) . b/ abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(a + c − b) . c/ 2a 2 b 2 + 2b 2 c2 + 2c 2 a 2 − a 4 − b 4 − c 4 > 0 . ( d/ a b − c Page – 110 – 2 ) 2 2 + b (c − a ) + c (a + b) > a 3 + b3 + c3 . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 613. Chứng minh các bất đẳng thức sau 2 ( ( ) ( 2 ) c/ 2 a 4 + b4 ≥ a 2 + b2 . e/ a + 1 ≥ a. 4 g/ a + b + c + 2 ) b/ 2 a 2 + b2 ≥ (a + b) . a/ (a + b) ≥ 4ab . d/ a 4 + 4 ≥ 4a 2 . f/ a + b + 3 ≥ a + b + c. 4 3 1 ≥ a + b. 2 h/ a 2 + b2 + c2 + 12 ≥ 4 (a + b + c) . ( 2 ) i/ (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca ) . j/ 3 a 2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) . k/ 2a 2 + b2 + c2 ≥ 2a (b + c) . l/ a 4 + b4 + c4 ≥ a 2b2 + b2 c2 + c2a 2 . m/ a 4 + b 4 + c2 ≥ a 2 b2 + c (b2 + a 2 ) . n/ a 6 + b6 + c2 ≥ a 3 b 3 + c (a 3 + b 3 ) . o/ a 2b2 + b2c2 + c2a 2 ≥ a 2bc + b2ca + c2ab . q/ (ab + bc + ca ) ≥ 3abc (a + b + c) . 2 Bài 614. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a 3 + b3 ≥ a 2 b + ab2 ; (a, b ≥ 0) . b/ a 5 + b5 ≥ a 3 b2 + a 2 b3 ; (a, b ≥ 0) . c/ a 5 + b5 ≥ a 4 b + ab 4 ; (a, b ≥ 0) . d/ a 6 + b6 ≥ a 5b + ab5 . e/ a 6 + b6 ≥ a 4 b2 + a 2b4 . f/ a 4 + a + 1 > 0 . Bài 615. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a 2 + a + 1 > 0 . b/ a 2 − a + 1 > 0 . c/ a 4 − a + 1 > 0 . d/ a2 − a + 1 1 ≥ . a2 + a + 1 3 e/ a2 + a + 1 1 ≥ . a2 − a + 1 3 f/ a2 − a + 1 ≤ 3. a2 + a + 1 g/ a2 + a + 1 ≤ 3. a2 − a + 1 h/ a 2 − ab + b2 ≥ 0 . i/ a 2 + ab + b2 ≥ 0 . k/ a 2 + ab + b2 1 ≥ . 2 2 3 a − ab + b j/ a 2 − ab + b2 1 ≥ . 2 2 3 a + ab + b l/ a3 2a − b ; (a, b > 0) . ≥ 2 2 3 a + ab + b Bài 616. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x ≥ 2 x − 1; ( x ≥ 1) . “Cần cù bù thông minh…………” b/ x − 2 ≥ 2 x − 3; (x ≥ 3) . Page – 111 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số c/ x − 5 ≥ 2 x − 6; (x ≥ 6) . d/ x2 + 2 2 ≥2. x +1 Bài 617. Cho các số thực a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 . Chứng minh rằng 2 2 a/ a 2 − b2 + c2 ≥ (a − b + c) . b/ a 2 − b2 + c2 − d2 ≥ (a − b + c − d) . Bài 618. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x2 + 4 y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z . b/ a + b b ≥ a + b; (a, b > 0) . a c/ a (1 − b) + b (1 − c) + c (1 − a ) < 1; a, b, c ∈ (0;1) .   e/ a < 2 1 1 + a b < ab < a+b < b; 2 (0 < a < b) . f/ b c a a b c + + ≥ + + ; a b c b c a g/ ac + bd a + b c + d ≥ . ; (a ≥ b, c ≥ d hay a ≤ b, c ≤ d) : BÐT Trê − bu − sep . 2 2 2 h/ ac + bd a + b c + d ≤ . ; (a ≥ b, c ≤ d hay a ≤ b, c ≥ d) : BÐT Trê − bu − sep . 2 2 2 i/ a2 b2 a b + ≥ + ; 2 2 b a b a 2 ( (a ≥ b ≥ c > 0) . (a ≠ 0, b ≠ 0) . )( ) j/ (ab + cd) ≤ a 2 + c2 b2 + d2 ; (a, b, c, d ∈  ) : BÐT Bunhiacôpxki . 1 1 2 k/ (a 3 + b3 ) +  ≥ (a + b) ; (a, b > 0) .  a b  l/ a+b ≤ 2 3 a 3 + b3 ; (a, b > 0) . 2 2 m/ (ax + by )(ay + bx ) ≥ (a + b) xy; (a, b, x, y ∈ ; a.b > 0) . n/ a 4 + b 4 + c2 + 1 ≥ 2a (ab2 − a + c + 1) + a 2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc . o/ a 2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a (b + c + d + e); (a, b, c, d, e ∈  ) . 2 p/ (ab + bc + ca ) ≥ 3abc (a + b + c); (a, b, c, d ∈  ) . Page – 112 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM – GM)   Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) x + y ≥ 2 xy   2 x + y2 ≥ 2xy  2   x + y    xy ≤    Với x, y ∈  thì   2    2 (x + y ) ≥ 4xy   Với x, y ≥ 0 thì (1) . (2) Dấu ” = ” xảy ra khi x = y . (3 ) . Dấu ” = ” xảy ra khi x = y . ( 4)  x + y + z ≥ 3. 3 xyz  3  Với x, y, z ≥ 0 thì    xyz ≤  x + y + z     3   (5) ( 6) . Dấu ” = ” xảy ra khi x = y = z .  Mở rộng cho n số a 1, a 2 , a 3 ,…, a n không âm ta có: a1 + a 2 + … + a n ≥ n.n a1.a 2 …a n . Dấu ” = ” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = … = a n .  Hệ quả  Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y .  Nếu x, y > 0 có P = xy không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y .  Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (biểu thức) Xét hàm số y = f (x ) với tập xác định D f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D  ∃x o ∈ D, f (x o ) = M  M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f x ⇔   () f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D  ∃x o ∈ D, f (x o ) = m  m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x ⇔   () BÀI TẬP ÁP DỤNG Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại Bài 619. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau 2 ( ) 2 a/ (a + b) ≥ 4ab . b/ 2 a 2 + b2 ≥ (a + b) . c/ a 2 + b2 ≥ 2ab . d/ 1 1 e/ (a + b) +  ≥ 4 .  a b  f/ (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab . “Cần cù bù thông minh…………” 1 1 4 + ≥ . a b a+b Page – 113 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  1 1 1 g/ (a + b + c) + +  ≥ 9 .  a b c   h/ 1 +  a   1 + b  b  c  1 +  ≥ 8 .  c  a  (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc . j/ (a k/ (a + b + c)(a 2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc . l/ (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab . i/ 8 m/ ( o/ 1 1 1 1 16 + + + ≥ . a b c d a+b+c+d a+ b x+4 r/ x+3 ( ) 2 ≥ 64ab (a + b) . )( )( )( )( ) + b2 b2 + c2 c2 + a 2 ≥ 8a 2 b2 c2 . n/ 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab2 (Cao đẳng SP Quãng Bình). p/ ( 2 a+ b ) ≥ 2 2 (a + b) ab .  a, b, c ≥ 0     . s/ b + c ≥ 16abc;  ∀   a + b + c = 1  ≥ 2; ( ∀x > −3) . )( 2 ) t/ abc + 2 bc + 2 a + d d + 1 ≥ 32abcd . u/ a + bc4 ≥ ab . 2c2 Bài 620. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a + b + c ≥ ab + bc + ca . b/ ab + bc + ca ≥ abc ( a/ ab bc ca + + ≥ a + b + c. c a b b/ a b c 1 1 1 + + ≥ + + . bc ca ab a b c c/ ab + d/ ) a+ b+ c . b a + ≥ a + b + 1. a b a2 b2 c2 + + ≥a +b+c. b c a x x x 12  15   20  e/   +   +   ≥ 3x + 4 x + 5x , ∀x ∈  (Đại học khối B – 2005).  5   4   3  f/ 1 1 1 9 với x, y, z ≠ 0 (Cao đẳng Sư phạm Nhà trẻ TW1 – 2000). + 2 + 2 ≥ 2 2 x y z x + y 2 + z2 g/ a b − 1 + b a − 1 ≤ ab với a ≥ 1, b ≥ 1 (Đại học Thái Nguyên D – 2001). h/ 2 2 2 1 1 1 (Cao đẳng Kinh tế Tp. HCM – 2007). + 2 + 2 ≤ + + a + bc b + ca c + ab bc ca ab i/ a 3 b3 c 3 + + ≥ ab + bc + ca (Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2006). b c a Page – 114 – 2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Tách cặp nghịch đảo để áp dụng được Bất đẳng thức Cauchy  Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số phải triệt tiêu chỉ còn lại là hằng số (hoặc biến gần giống biến bên vế phải). Để thực hiện công việc đó, ta thường thêm bớt hằng số hoặc thêm bớt biến số.  Trong kĩ thuật này, đôi khi ta cần kết hợp với kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình a1 + a 2 + … + a n ; ( ∀a1, a 2,…,a n ≥ 0) . Khi kết hợp kĩ thuật n này, ta cần lưu ý: “Chỉ số căn là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì phải nhân thêm hay cộng vào (hằng số) để số các số hạng bằng số ab , ∀a, b ≥ 1 . Ta biến đổi: căn”. Chẳng hạn như: CM : a b − 1 ≤ 2 (b − 1) + 1 ab ⇒ a b − 1 = a (b − 1).1 ≤ a. = . 2 2 cộng (Cauchy ngược): n a1a 2 …a n ≤ Bài 621. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a b + ≥ 2, ( ∀ : a, b > 0) . b a c/ x + 2y + e/ x 16 + ≥ 3; ( ∀x > 2) . 2 x −2 g/ a + i/ k/ 1 9 ≥ ; ( ∀a ≥ 2) . 2 4 a   a 2 + b2  a > b  ≥ 2 2;  ∀  .  ab = 1 a −b  x+8 x −1 m/ 25 27 + 2 ≥ 19, ( ∀x, y > 0) . x y ≥ 6, ( ∀x > 1) . 2a 3 + 1 4b (a − b) ≥ 3;    ∀a ≥ 1 ; a > 1 .  2 b   b/ x 18 + ≥ 6, ( ∀ : x > 0) . 2 x d/ x + f/ a + h/ 1 1 10 ≥ ; ( ∀a ≥ 3) . a 3 a2 + 2 ≥ 2; ( ∀a ∈  ) . a2 + 1 j/ a + l/ a + n/ x + ≥ 3, ( ∀x > y > 0) . ( x − y) y 1 ( ∀a > b > 0) . ≥ 3; b (a − b) 4 2 b (a − b) ≥ 2 2; 4 2 (x − y)(y + 1) ( ∀a > b > 0) . ≥ 3; ( ∀x > y ≥ 0) . Bài 622. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x3 y3 z3 + + ≥ x + y + z. yz xz xy b/ a + 1 17 ≥ , ( ∀ : a ≥ 4) . a 4 c/ 2a 4 + 1 ≥ 3a 2 − 1 . 2 1+a d/ a b − 1 + b a − 1 ≤ ab, ( ∀ : a > 1, b > 1) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 115 – Ths. Lê Văn Đoàn 4 e/ a + ≥ 3; ( ∀a > b ≥ 0) (Vô địch Nam Tư năm 1979). 2 (a − b)(b + 1) f/ a + g/ a + Phần Đại Số 1 c (a − b)(b − c) 27 3 2 (a − 1)(a + 1) ≥ 4, ( ∀a, b, c > 0) . 5 ≥ , ( ∀ : a > 1) . 2 1 g/ 2a + ≥ 4, ( ∀ : a > b > c > 0) . 3 (a − b)(b − c)(a + 1) i/ x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . x+y y+z z+x 2 j/ (a k/ 4 1 + ≥ 5, x 4y l/ a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ 9, ( ∀a, b, c > 0) (Cao đẳng Kinh tế KTCN 1 – 06). a b c m/ xy z − 4 + yz x − 2 + zx y − 3 1  1 1 1  , ( ∀x ≥ 2; y ≥ 3;z ≥ 4) (CĐ – 05). ≤  + + xyz 2  2 2 3  n/ 3  1 1 1 2 + b3 + c3  + +  ≥ (a + b + c) , ( ∀a, b, c > 0) . a b c )  5  ∀x, y > 0; x + y =  (Cao đẳng SP TP.HCM năm 2006). 4   x, y, z ≥ 0 x2 y2 z2 3 (Dự bị 2 Đại học D – 2005). + + ≥ , ∀  1+ y 1+ z 1+ x 2 xyz = 1  o/ (1 + x )1 +  p/ q/ r/ 2 y   9   1 +  ≥ 256, ( ∀x, y > 0) (Dự bị 2 Đại học A – 2005). x  y  x, y, z ∈  (Dự bị 1 Đại học A – 2005). 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6, ∀  x + y + z = 0 x, y, z > 0 x3 y3 z3 3 . + + ≥ , ∀ :  (1 + y)(1 + z) (1 + x)(1 + z) (1 + x )(1 + y) 4 xyz = 1 a3 b (c + a ) + b3 c (a + b) + c3 a (b + c ) ≥ a+b+c , ( ∀ : a, b, c > 0) . 2  x + y + z = 3 s/ P = x + 3y + y + 3z + z + 3x ≤ 3, ∀  4 (Dự bị Đại học B – 2005). x, y, z > 0  3 Page – 116 – 3 3 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Sử dụng BĐT bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM – GM) 1 1 1 1 4 + ≥ x y x+y ● (x + y) x + y  ≥ 4 hay ● (x + y + z) x + y + z  ≥ 9 hay   1  1 1  (I) . Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y . 1 1 1 9 + + ≥ x y z x+y+z (II) . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = y = z . Rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm GTLN và GTNN của hàm số quy về hai bất đẳng thức cơ bản nói trên. Vì thế, có thể xem cách sử dụng hai bất đẳng thức này là một trong những cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM (Cauchy) trong các bài toán cụ thể. Khi sử dụng, ta phải chứng minh lại, việc này xem như chứng minh BĐT bổ đề cho bài toán. Bài 623. Cho a, b > 0 . Chứng minh 1 1 4 + ≥ a b a+b (I) . Áp dụng bất đẳng thức (I) để chứng minh các bất đẳng thức sau a/  1 1 1 1 1 1  , ( ∀ : a, b, c > 0) . + + ≥ 2  + +  a + b b + c c + a  a b c b/  1 1 1 1 1 1 , ∀ : a, b, c > 0 . + + ≥ 2  + + ( )  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  a+b b+c c+a  1 1 1  + + =4 1 1 1 (Đại học A – 2005). c/ + + ≤ 1, ∀  a b c a, b, c > 0 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  d/ ab bc ca a+b+c + + ≤ , ( ∀ : a, b, c > 0) . a+b b+c c+a 2 e/ x + 2y + 4z = 12 2xy 8yz 4xz . + + ≤ 6, ∀  x + 2y 2y + 4z 4z + x x, y, z > 0 g/ Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC , ta luôn có:  1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2  + +  . p−a p−b p−c  a b c  Trong đó: a = BC, b = AC, c = AB là độ dài ba cạnh và p = a+b+c là nửa chu vi. 2 (Đại học Ngân Hàng Tp. HCM khối A năm 2001) h/ P = x −t t−y y−z z−x + + + ≥ 0, ∀ : x, y, z, t > 0 . t+y y+z z+x x+t 1 1 1 9 + + ≥ a b c a+b+c chứng minh các bất đẳng thức sau Bài 624. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh a/ (II) . Áp dụng bất đẳng thức (II) để 2 2 2 9 + + ≥ , ∀ : a, b, c > 0 . x+y y+z z+x x+y+z “Cần cù bù thông minh…………” Page – 117 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số  1 1 1  3  ≥ (a + b + c), ∀ : a, b, c > 0 . b/ a 2 + b2 + c2  + +  a + b b + c c + a  2 ( ) c/ x > y > z > 0 x y z 3 . + + ≤ , ∀ :  x +1 y +1 z +1 4 x + y + z = 1 d/ 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 9, ∀ : a, b, c > 0 . a + 2bc b + 2ac c + 2ab e/ 1 1 1 1 + + + ≥ 30, ∀ : a, b, c > 0 . 2 2 ab bc ca a +b +c f/ y+z z+x x+y + + ≥ 6, ∀ : x, y, z > 6 . x y z 2 2 g/ P = a b c 3 + + ≥ , ∀ : a, b, c > 0 . b+c c+a a+b 2 h/ P = x > 0, y > 0 x2 y2 1 5 . + + + x + y ≤ , ∀ :  1− x 1− y x + y 2 x + y < 1 a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀ : a, b, c > 0 . b+c c+a a+b 2 i/  x + y + z ≤ 3 1 1 1 15 j/ P = x + y + z + + + ≤ , ∀ :  2. x, y, z > 0 x y z 2  Kỹ thuật đổi biến (đặt ẩn phụ) để áp dụng được BĐT Cauchy Mục đích chính của việc đổi biến là chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại số (biến cũ) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hơn (biến mới). Thông thường, với bài toán biến mới là những bài toán quen thuộc. Do đó, cần phải nắm vững các kĩ thuật biến đổi cũng như việc sử dụng thành thạo các BĐT thông dụng và cần nhớ rằng, nếu bài toán có điều kiện ràng buộc thì khi đổi biến cần chú ý điều kiện biến mới sao cho khi đặt ẩn thì điều kiện ban đầu và cuối cùng được đảm bảo, chẳng hạn như: Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTLN – GTNN của biểu thức P = ……….. Từ điều kiện, ta có thể đặt a= x y z x y z , b = , c = nhằm đảm bảo điều kiện ban đầu: abc = . . = 1 . y z x y z x Chứng minh các bất đẳng thức sau b + c = x > 0  a b c 3 Bài 625. + + ≥ , ∀ : a, b, c > 0 (BÐT : Nesbitt) HD : c + a = y > 0 .  b+c c+a a+b 2 a + b = z > 0 Bài 626. a = x − 2011 ≥ 0  x − 2011 x − 2012 1 1 + ≤ + , ( ∀ : x > 2012) HD :  . b = x − 2012 ≥ 0 x +2 x 2 2013 2 2012  Page – 118 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn a = 2x + y + z > 0  x y z 3 + + ≤ , ( ∀ : x, y, z > 0) HD : b = 2y + z + x > 0 . Bài 627.  2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y 4 c = 2z + x + y > 0 a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c, ∀ : a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC. Bài 628. b+c−a c+a −b a +b−c b + c − a = x > 0  HD : c + a − b = y > 0 .  a + b − c = z > 0 Bài 629. Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC, ta luôn có: abc ≥ (b + a − c)(a + c − b)(b + c − a ) với a,b,c là ba cạnh của tam giác ∆ABC. x = b + a − c  HD : y = a + c − b .  z = b + c − a a, b, c > 0  1  1  1 Bài 630. a − 1 +  b − 1 +  c − 1 +  ≤ 1, ∀ :  (IMO – 2000) .  b  c  a  abc = 1 x y z HD : a = , b = , c = . y z x Bài 631.  x = 1  a 2 2 2 2 2 2    a, b, c > 0 b + 2a c + 2b a + 2c 1   HD : y = . + + ≥ 3, ∀ :    ab bc ca abc + + = ab cb ac b   1 z = c   x = 1  a  x, y, z > 0 1 1 1 3 1 Bài 632. HD : y = . (IMO – 1995). + 3 + 3 ≥ , ∀ : 3 xyz = 1  b x ( y + z) y ( x + z) z ( y + x ) 2   1 z = c   x = 1  a x, y,z > 0  1   Bài 633. x + yz + y + xz + z + yx ≥ xyz + x + y + z, ∀ :  1 1 1 HD : y = .  + + = 1  b  1  x y z z = c  x, y, z > 0 3 1 1 1 xyz, ∀ :  HD : = a, = b, = c.  xyz = x + y + z + 2 2 1+ x 1+ y 1+z  x, y, z > 0 1 4 9 a b c Bài 635. . + + ≥ 36, ∀ :  HD : x = ,y = ,z = x y z a+b+c a+b+c a+b+c x + y + z = 1 Bài 634. x+ y+ z≤ “Cần cù bù thông minh…………” Page – 119 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Sử dụng công thức diện tích tam giác để áp dụng BĐT Cauchy Trong nhiều bài toán BĐT tam giác thì diện tích tam giác là chiếu cầu nối các mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Do đó, ta cần nắm vững các công thức tính diện tích tam giác, đồng thời kết hợp thành thạo với 4 kĩ thuật áp dụng BĐT Cauchy đã trình bày ở trên. a.ha b.h b c.hc ab sin C bc sin A ca sin B abc = = = = = = = p (p − a )(p − b)(p − c) = pr . S= 2 2 2 2 2 2 4R Trong đó + a,b,c lần lượt là độ dài của ba cạnh BC, AC, AB trong ∆ABC . + ha , h b , hc là các chiều cao xuất phất lần lượt từ các đỉnh A, B, C . + R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. + p= a+b+c là nửa chu vi ∆ABC . 2 Bài 636. Trong ∆ABC cho bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R, r . Chứng minh: R ≥ 2r . Bài 637. Cho ∆ABC có diện tích bằng 3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và 2 ha , hb , h c là các chiều cao xuất phất lần lượt từ các đỉnh A, B,C . Chứng minh rằng:  1 1 1  1 1 1  +  ≥ 3 . (Dự bị 6 – Đại học 2002).  + +  +  a b c  ha hb h c  Bài 638. Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và S là diện tích. Chứng minh rằng: a 2 + b2 + c2 ≥ 4 3S . Bài 639. Cho ∆ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và S là diện tích. Các trung tuyến và đường cao lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B,C là ma , m b , m c và ha , h b , hc . Chứng minh rằng: ( )( ) m 2a + m 2b + m 2c ≥ 3 3S và m 2a + m 2b + m 2c h a2 + h 2b + h 2c ≥ 27S2 . Bài 640. Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và S là diện tích. Chứng minh rằng: 1 1 1 3. 4 3 + + ≥ . a +b−c b+c−a c +a −b 2 S Bài 641. Cho ∆ABC . Chứng minh rằng: 1 2 (p − a ) + 1 2 (p − b ) + 1 2 (p − c ) ≥ 1 . Trong đó: a, b, c lần r2 lượt là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB; p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC . Bài 642. Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a/ y = Page – 120 – x 18 + , ( ∀ : x > 0) . 2 x b/ y = x 2 + , ( ∀ : x > 1) . 2 x −1 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn   ∀ : x >  c/ y = 3x 1 + , ( ∀ : x > −1) . 2 x +1 d/ y = x 5 + , 3 2x − 1 e/ y = x 5 + , ( ∀ : 0 < x < 1) . 1− x x f/ y = x3 + 1 , ( ∀ : x > 0) . x2 1  . 2  Bài 643. Áp dụng Bất đẳng Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau a/ y = (x + 3)(5 − x ), ( ∀ : −3 ≤ x ≤ 5) . b/ y = x (6 − x ), ( ∀ : 0 ≤ x ≤ 6) .  5 c/ y = (x + 3)(5 − 2x ),  ∀ : −3 ≤ x ≤  . 2     5 d/ y = (2x + 5)(5 − x ),  ∀ : − ≤ x ≤ 5 . 2    1 5 e/ y = (6x + 3)(5 − 2x ),  ∀ : − ≤ x ≤  . f/ y = x2 9 − x2 , ( ∀ : −3 ≤ x ≤ 3) .  2 2  g/ y = x , ( ∀ : x > 0) . 2 x +2 h/ y = x2 ( 3 ) x2 + 2 . Bài 644. Cho hai số thực dương không âm x, y thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x ) + 25xy . (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009) Bài 645. Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy ≠ 0 và xy (x + y) = x2 − xy + y2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 1 1 + 3. 3 x y (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006) a, b, c, d > 0  . Tìm giá trị lớn nhất của P = abcd . Bài 646. Cho  1 1 1 1 + + + ≥3  1 + a 1 + b 1 + c 1 + d Bài 647. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ab bc ca + + . c a b (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sài Gòn khối A,B – 2007) Bài 648. Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z 1 1 1 P = x  +  + y  +  + z  +  .  2 yz   2 zx   2 xy  (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2007) “Cần cù bù thông minh…………” Page – 121 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Dạng toán 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacopxki (B.C.S)  Cho a, b, c, m, n, p ∈  Cho a, b, c, d ∈  ( 2  a +b 2 )(c 2 2 ) + d ≥ (a.c + b.d) 2 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi  (a 2 )(  (a 2 a b = . c d ) + b2 c2 + d2 ≥ a.c + b.d Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi )( ( ) 2 ) Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (a  a b = . c d + b2 c2 + d2 ≥ a.c + b.d )(  a2 + b2 + c2 m2 + n2 + p2 ≥ (a.m + b.n + c.p) 2 )( ) + b2 + c2 m2 + n2 + p2 ≥ a.m + b.n + c.p Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (a  Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi 2 )( a b c = = . m n p ) + b2 + c2 m2 + n2 + p2 ≥ a.m + b.n + c.p Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a b = ≥ 0. c d a b c = = . m n p a b c = = ≥ 0. m n p Bài 649. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ Nếu 2x + 3y = 4 thì 2×2 + 3y2 ≥ c/ Nếu 3x + 4y = 7 thì x2 + y2 ≥ 16 . 5 49 . 25 b/ Nếu 6x + y = 5 thì 9×2 + y2 ≥ 5 . d/ Nếu 6x + 12y = 5 thì 4×2 + 9y2 ≥ 1 . e/ Nếu 3x + 4y = 10 thì x2 + y2 ≥ 4 . f/ Nếu x + 7y = 10 thì x2 + y2 ≥ 2 . g/ Nếu 3a + 4b = 7 thì 3a2 + 4b2 ≥ 7 . h/ Nếu 2a − 3b = 7 thì 3a 2 + 5b2 ≥ i/ Nếu 3a − 5b = 8 thì 7a 2 + 11b2 ≥ 735 . 47 2464 4 . j/ Nếu a + 2b = 2 thì a 2 + b2 ≥ . 137 5 k/ Nếu 2a + 3b = 5 thì 2a 2 + 3b2 ≥ 5 . l/ 2 2 (x − 2y + 1) + (2x − 4y + 5) ≥ 9 . 5 Bài 650. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ Nếu x2 + y2 = 1 thì 3x + 4y ≤ 5 . c/ Nếu x2 + 4y2 = 1 thì x − y ≤ 5 . 2 b/ Nếu x2 + 2y2 = 8 thì 2x + 3y ≤ 2 17 . d/ Nếu 36×2 + 16y2 = 9 thì y − 2x ≤ 5 . 4 e/ Nếu x2 + y2 = u2 + v2 = 1 thì x (u + v) + y (u − v) ≤ 2 . 2 2 f/ Nếu 4 (a − 1) + 9 (b − 2) = 5 thì 2a + 6b − 20 ≤ 5 . Page – 122 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 651. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ Nếu x ∈ 1; 3 thì A = 6 x − 1 + 8 3 − x ≤ 10 2 .   b/ Nếu x ∈ 1; 5 thì B = 3 x − 1 + 4 5 − x ≤ 10 .   c/ Nếu x ∈ −2;1 thì C = 1 − x + 2 + x ≤ 6 .   d/ Nếu x ∈  4;13 thì D = 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5 . e/ Nếu x ∈ −5;20 thì E = 3 x + 5 + 2 20 − a ≤ 13 .   f/ Nếu x ∈ −9;20 thì F = 5 x + 9 + 2 20 − x ≤ 29 .   Bài 652. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ Nếu x, y, z > 0 và x + y + z = 1 thì 1 − x + 1 − y + 1 − z ≤ 6 . ( 2 ) b/ Nếu a, b, c ∈  thì 3 a 2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) . c/ Nếu a 2 + b2 + c2 = 1 thì a + 3b + 5c ≤ 35 . d/ Nếu a 2 + b2 + c2 = 1 thì a + 2b + 2 5c ≤ 5 . e/ Nếu a > c > 0 và b > c > 0 thì f/ Nếu 4a + 9b + 16c = 49 thì g/ Nếu a + b + c = 1 thì h/ Nếu a + b + c = 12 thì i/ Nếu a + b + c = 4 thì c (a − c) + c (b − c) ≤ ab . 1 25 64 + + ≥ 49 . a b c a +1 + b +1 + c +1 ≤ 2 3 . a + 3 + b +2 + c +1 ≤ 3 6 . a+b + b+c + c+a ≤2 6. j/ Nếu a, b, c là ba số thực thay đổi thỏa a + b + c = 6 thì a 2 + b2 + c2 ≥ 12 . Bài 653. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ Nếu a + b ≥ 1 thì a 2 + b2 ≥ 1 . 2 b/ Nếu a + b ≥ 1 thì a 3 + b3 ≥ 1 . 4 c/ Nếu a + b ≥ 1 thì a 4 + b4 ≥ 1 . 8 d/ Nếu a + b = 2 thì a 4 + b4 ≥ 2 . 1 1 2 e/ Nếu a, b > c ≥ 0 thì (a + b) ≤ (a 3 + b3 )  +  .  a b  f/ Nếu 1 + x + 1 + y = 2 1 + z thì x + y ≥ 2z . g/ Nếu a (a − 1) + b (b − 1) + c (c − 1) ≤ “Cần cù bù thông minh…………” 4 thì a + b + c ≤ 4 . 3 Page – 123 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số x, y, z > 0 h/ Nếu  thì x + y + z ≤ 1 x2 + 1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 82 (Đại học A – 2003). 2 x y z i/ Nếu a, b, c ≥ 0 thì a 3 + b3 + c3 ≥ a 2 bc + b2 ca + c2 ab . j/ Nếu x, y, z > 0 thì x y z + + ≥ 1. y + 2z z + 2x x + 2y Bài 654. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a/ A = 7 − x + 2 + x , với −2 ≤ x ≤ 7 . b/ B = 6 x − 1 + 8 3 − x với x ∈ 1; 3 .   c/ C = y − 2x + 5 với 36×2 + 16y2 = 9 . d/ D = 2x − y − 2 với e/ E = x − 1 + 3 − x . f/ F = 3 − x + x + 5 . g/ G = 2 x − 4 + 8 − x . h/ H = 5 x + 1 + 3 6 − x . i/ I = 4 x + 3 + 5 4 − x . j/ J = 1 − 2x + x + 8 . x 2 y2 + = 1. 4 9 Bài 655. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có) a/ Cho x, y ∈  và x2 + y2 = 5 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = 2x + y . b/ Cho x, y ∈  và 2×2 + 3y2 = 6 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 4x + 2y . c/ Cho x, y ∈  và x2 + 4y2 = 10 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức C = 3x + 5y . d/ Cho x, y, z ∈  và xy + yz + zx = 1 . Tìm GTNN của biểu thức D = x 4 + y4 + z4 . e/ Cho x, y ∈  và x2 + y2 = 1 . Tìm GTLN của biểu thức E = x 1 + y + y 1 + x . f/ Cho a ≥ 1 . Tìm GTLN của biểu thức F = a + sin x + a + sin x . g/ Cho x, y > 0 và x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức G = 4 1 + . x 4y h/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 . Tìm GTLN của H = 1 − x + 1 − y + 1 − z . i/ Cho x ∈ −2;2 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức I = x + 4 − x 2 (Đại học B – 2003).   Page – 124 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz  Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacôpxki mà ở đây để dễ hình dung, tôi gọi tắt là bất đẳng thức cộng mẫu số.  a b    ; x, y , ta được: ,  Cho a, b ∈  và x, y > 0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho:   x y  ( 2 2  a  2 2 a + b) b   ⇔ a + b ≥ ( + . x . y ≥  x  x y x+y y    Cho a, b, c ∈  và x, y, z > 0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho bộ 3 số:  a b c   , ,  ; x, y, z , ta được:   x y z   a 2 b2   +  x + y ) (  x y   Bunhiacôpxki ( ) ( I) ) 2 2  a2  + b + c  x + y + z ) (  x y z   Bunhiacôpxki ≥ 2  a  b b  . x+ . y+ . z    x y z  2 a 2 b2 c2 (a + b + c) ⇔ + + ≥ x y z x+y+z (II) 2 (a + b + c) a2 b2 c2 + + ≥ . Bài 656. Cho ba số thực dương a, b, c > 0 . Chứng minh: b+c c+a a +b 2 Bài 657. Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥a +b+c. b + c−a c +a −b a + b−c Bài 658. Cho ba số a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a +b 2 Bài 659. Cho ba số thực a, b, c bất kỳ. Chứng minh: Bài 660. Cho ba số a, b, c > 0 . Chứng minh: a3 b3 c3 a 2 + b 2 + c2 + + ≥ . b+c c+a a+b 2 a 2 (b + c ) + b 2 (c + a ) + c 2 (a + b) ≥ 9 . 4 (a + b + c) Bài 661. Cho a, b, c > 0 thỏa điều kiện a + b + c = 3 . a2 b2 c2 + + ≥ 1. a + 2b2 b + 2c2 c + 2a 2 Bài 662. (IMO − Shortlist − 1993) . Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: a b c d 2 + + + ≥ . b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c 3 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 125 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Dạng toán 5. Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ  Trong một số bài toán, ta có thể đưa về tọa độ để tìm GTLN và GTNN. Do đó, ta cần nắm vững một số kiến thức cơ bản về tọa độ trong mặt phẳng Oxy.    a = (x, y) ⇒ a = x2 + y2 .  A (x A , yA ), B (x B , yB ),C (xC , yC ) ⇒ AB = (x 2 B 2 − x A ) + (yB − yA ) và AB + AC ≥ BC .          u − v ≤ u + v ≤ u + v ⇒ Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng.           u + v + w ≤ u + v + w . Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi u, v, w cùng hướng.     u.v ≤ u . v . Bài 663. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: 2 (a + c) + b2 + 2 (a − c) + b2 ≥ 2 a 2 + b2 .   HD: u = (a + c;b), v = (a − c; b) . Bài 664. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + 4b2 + 6a + 9 + a 2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ 5 .   HD: u = (a + 3;2b); v = (1 − a;3 − 2b) . Bài 665. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + ab + b2 + a 2 + ac + c2 ≥ b2 + bc + c2 .   b 3     c  3   b, v = −a + ; c . HD: Cách 1. u = a + ; 2 2  2  2      b 3   3 3   b c   c, B 0; b+ c, C  − ; 0 Cách 2. A a + ; 2 2   2 2   2 2   (Dự bị Cao đẳng Giao Thông II – 2003) Bài 666. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: 4 cos2 a cos2 b + sin2 (a − b) + 4 sin2 a sin2 b + sin2 (a − b) ≥ 2 .   HD: u = 2 cos a cos b; sin (a − b) , v = 2 sin a sin b; sin (a − b) . ( ) ( ) x 2 + xy + y2 = 3  Bài 667. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:  2 . 2 y + yz + z = 16 Chứng minh: xy + yz + zx ≤ 8 . Page – 126 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn   x 3x    3x z   = + , v ; y HD: u = y + ;  .   2 2  2   2 Bài 668. Tìm GTNN của P = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1 , x ∈  .  1  1 3   1 3  3    1 3    HD: Cách 1. u  − x; , C (x, 0) . , v x + ;  . Cách 2. A − ; − , B  ;  2 2   3 2  2   2 2   2 Bài 669. Cho x, y, z và x + 3y + 5z ≤ 3 . Chứng minh: 3xy 625z 4 + 4 + 15yz x 4 + 4 + 5zx 81y2 + 4 ≥ 45 5xyz .   2   2   2 HD: u =  x; , v = 3y; , w = 5z +  .  3y   5z   x  Bài 670. Cho x, y ∈  . Chứng minh: x 2 + 4 + x 2 − 2x + y 2 + 1 + y2 − 6y + 10 ≥ 5 .    HD: u = (x;2), v = (1 − x; y), w = (−1; 3 − y) . 1 (x + y)(1 − xy) 1 Bài 671. Cho x, y ∈  . Chứng minh: − ≤ ≤ . 2 2 1 + x 2 1 + y2 ( )( )   HD: u = (2x;1 − x 2 ), v = (1 − y2 ;2y) . x, y, z > 0 Bài 672. Nếu  thì x + y + z ≤ 1  x2 + 1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 82 (Đại học A – 2003). 2 x y z  1   1   1  HD: u =  − x; 2 , v =  − y; 2 , w =  − 2; 2  .  x      y z Dạng toán 6. Ứng dụng BĐT để giải phương trình  f (x ) = 0 2 2  Loại 1. Tổng hai số không âm: f (x ) +  g (x ) = 0 ⇔      g (x ) = 0 Loại 2. Phương pháp đối lập • Giải phương trình: f (x ) = g (x ) (∗) f (x ) ≥ M f (x ) = M ∗ ⇔ • Nếu chứng minh được  thì  ( ) g x = M g (x ) ≤ M  ( )  Bài 673. Giải các phương trình sau a/ x − 4 + 6 − x = x2 − 10x + 27 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 127 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số b/ x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11 . c/ x − 6 + x − 2 = x2 − 6x + 13 . d/ 2x − 3 + 5 − 2x = 3×2 − 12x + 4 . e/ 2x − 1 + 19x − 2x = 6 . −x + 10x − 24 2 g/ x 2 − 2x + 3 = 2x 2 − x + −3x 2 + 3x + 1 . h/ i/ j/ x 2 + x − 1 + x2 − x + 1 = x 2 − x + 2 . 4 1 − x2 + 4 1 + x + 4 1 − x = 3 . ( ) 25x 2×2 + 9 = 4x + 3 . x Bài 674. Giải các phương trình sau a/ x 2 − 2x + 5 + x − 1 = 1 − x 2 + 2x . b/ 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x2 . c/ 3×2 + 6x + 7 + 2x 2 + 4x + 3 = 2 − 2x − x2 . d/ 3×2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 24 − 2x − x 2 . e/ 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 2 + 2x − x 2 . BÀI TẬP RÈN LUYỆN BĐT & GTLN (max) – GTNN (min) Bài 675. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a 2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a (b + c + d + e), ( ∀ : a, b, c, d, e ∈  ) . b/ a b + b a ≥ a + b, ( ∀ : a > 0, b > 0) . c/ a (1 − b) + b (1 − c) + c (1 − a ) < 1, ( ∀ : 0 < a, b, c < 1) . d/ a 4 + b 4 + c2 + 1 ≥ 2a (ab2 − a + c + 1) a 2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc . Bài 676. Tìm GTNN (min) của của hàm số a/ y = x 2 + , ( ∀ : x > 1) . 2 x −1 c/ y = x + 1 + e/ y = Page – 128 – b/ y = x + 4 , ( ∀ : x > 3) . x−3 x+3 16 + , ( ∀ : x > −1) . 4 x +1 d/ y = f/ y = 4 , ( ∀ : x > 1) . x −1 x 5 + , ( ∀ : 0 < x < 1) . 1− x x (4 + x)(x + 2) x , ( ∀ : x > 0) . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I g/ y = 3x + Ths. Lê Văn Đoàn 1 , ( ∀ : x > 0) . x3 h/ y = x2 + 4x + 4 , ( ∀ : x > 0) . x b/ y = x4 + 1 , ( ∀ : x ≠ 0) . x2 Bài 677. Tìm GTNN (min) của của hàm số a/ y = c/ y = x2 , ( ∀ : x > 1) . x −1 x2 + x + 2 x2 + x + 1 2 , (∀ : x ∈  ).  x2  d/ y = (x + 1) +  + 2 , ( ∀ : x ≠ −1) .   x + 1 2 Bài 678. Tìm GTNN (min) của các biểu thức sau a/ P = x + 1 , ( ∀ : x > 0) . 4x c/ P = x − 1 + 2 , ( ∀ : x > 1) . x −1 e/ P = 3 (x − 1) + g/ P = x + i/ P = 1 , ( ∀ : x > 1) . 12 (x − 1) 1 4 (x + 2) , ( ∀ : x > −2) . x2 , ( ∀ : x > 1) . x −1 b/ P = 4x + 1 , ( ∀ : x > 0) . x d/ P = x + 2 + 3 , ( ∀ : x > −2) . x +2 f/ P = 4 (x + 3) + 1 , ( ∀ : x > −3) . 4 (x + 3) x 2 + , ( ∀ : x > 2) . 2 x −2 h/ P = j/ P = 5x + 1 , ( ∀ : x > 1) . 20 (x − 1) Bài 679. Tìm GTNN (min) của các biểu thức sau a/ P = 5x + c/ P = e/ P = g/ P = 180 , ( ∀ : x > 1) . x −1 x2 + 2x + 3 , ( ∀ : x > 0) . x (2x + 5)(5x + 14) x , ( ∀ : x > 0) . x2 − x + 9 , ( ∀ : x > 2) . x −2 x2 + 5x + 4 , ( ∀ : x > 0) . x b/ P = (x + 1)(x + 9) d/ P = x , ( ∀ : x > 0) . f/ P = x2 + x + 4 , ( ∀ : x > −1) . x +1 h/ P = 1 + x2 , ( ∀ : x > −2) . x +2 Bài 680. Chứng minh các bất đẳng thức 1 ≥ a, ( ∀ : a > 0) . 4 a/ a + 1 ≥ 2a, ( ∀ : a > 0) . b/ a + c/ a 2 + 2 ≥ 2a 2, ( ∀ : a ∈  ) . d/ b ≥ 2 b − 1, ( ∀ : b ≥ 1) . e/ b ≥ 4 b − 4, ( ∀ : b ≥ 4 ) . f/ b ≥ 6 b − 9, ( ∀ : b ≥ 9) . g/ b ≥ 2 3 b − 3, ( ∀ : b ≥ 3) . g/ ab ≥ 2a 2 b − 2, ( ∀ : a ≥ 0, b ≥ 2) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 129 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số h/ ab ≥ 8 b − 16, ( ∀ : a ≥ 0, b ≥ 16) . i/ a + 1 (a − b) b ≥ 3, (∀ : a > b > 0) . Bài 681. Tìm GTNN (min) của các biểu thức sau x +1 4x + 1 , ( ∀ : x > 0) . b/ P = c/ P = x2 , ( ∀ : x > 1) . x −1 d/ P = x2 , ( ∀ : x > 4) . x−4 e/ P = x2 , ( ∀ : x > 5) . x−5 f/ P = x2 , ( ∀ : x > 9) . x2 − 9 a/ P = x x , ( ∀ : x > 0) . Bài 682. Tìm GTNN (min) của các biểu thức sau a/ P = x x −1 c/ P = e/ P = , ( ∀ : x > 1) . b/ P = xy d/ P = (x − 1)(y − 1) xy (x − 9)(y − 9) x x−3 , ( ∀ : x, y > 1) . , ( ∀ : x, y > 9) . f/ , ( ∀ : x > 3) . xy (x − 4)(y − 1) (x P= 3 , ( ∀ : x > 4, y > 1) . ) ( + y 3 − x 2 + y2 (x − 1)(y − 1) ), (x, y > 1) . Bài 683. Tìm GTLN (max) của các biểu thức sau a/ P = x −1 , ( ∀ : x > 1) . x b/ P = x −2 , ( ∀ : x > 2) . x c/ P = x−3 , ( ∀ : x > 3) . x −1 d/ P = x −2 , ( ∀ : x > 2) . x −1 e/ P = (x − 1)(y − 1) xy , ( ∀ : x, y > 1) . f/ P = (x − 1)(y − 4) xy , ( ∀ : x > 1, y > 4 ) . Bài 684. Tìm GTLN (max) và GTNN (min) của các biểu thức sau a/ P = 5 − 3x + x + 6 . b/ P = 7 − 2x + 3x + 4 . c/ P = 11 − 4x + 2x + 5 . d/ P = 14 − 3x + x + 5 . e/ P = 2 3 − 4x + 4 + x . f/ P = 3 2x + 1 + 2 8 − 3x . Bài 685. Tìm GTLN (max) và GTNN (min) của các biểu thức sau a/ P = 4 3x + 2 + 9 − x . b/ P = 2x + 7y, ( ∀ : 3x 2 + 8y2 = 1) . c/ P = 2x + y, ( ∀ : 2x 2 + 5y2 = 8) . d/ P = x + 3y, ( ∀ : 4x 2 + 3y2 = 7 ) . 6 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau Bài 686. a/ (1 + x )(1 + y) ≥ 4, ( ∀ : x, y ≥ 0; xy = 1) . Page – 130 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn b/ (1 + x )(1 + y)(1 + z) ≥ 8, ( ∀ : z, y, z ≥ 0; xyz = 1) . c/ (x + y)(y + z)(z + x ) ≥ 8xyz, ( ∀ : z, y, z ≥ 0) .  x  d/ 1 +  1 +  y  y   1 + z  z   ≥ 8, ( ∀ : x, y, z > 0) . x  Bài 687. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ 8 (p − a )(p − b)(p − c) ≤ abc với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC và p là nửa chu vi. b/ abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC. c/ d/ 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC. a + b−c b + c−a c +a −b a b c a b + a +b−c c + b+c−a ≥ 3 với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC. c+a−b Bài 688. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ (x + y)(x + y + 8) ≥ 8 xy b/ 2 ( x + y) ( ) x + y , ( ∀ : x, y ≥ 0) . + 18 (x + y) ≥ 12 xy ( ) x + y , ( ∀ : x, y ≥ 0) . 2 c/ (x + y ) + 4 (x + y ) ≥ 4x 2y + 4y 2x, ( ∀ : x, y ≥ 0) . d/ 2 (x + y ) 2 + x + y ≥ 2x 2y + 2y 2x, ( ∀ : x, y ≥ 0) . e/ (x + y) + x+y ≥ 2x y + 2y x, ( ∀ : x, y ≥ 0) . 2 Bài 689. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x y − 1 + y x − 1 ≤ xy, ( ∀ : x, y ≥ 1) . b/ x y − 4 + y x − 4 ≤ xy , ( ∀ : x, y ≥ 1) . 2 c/ xy z − 1 + yz x − 1 + zx y − 1 ≤ 3xyz , ( ∀ : x, y, z ≥ 1) . 2 d/ xy z − 1 + yz x − 4 + zx y − 9 ≤ 11xyz , ( ∀ : x ≥ 4, y ≥ 9, z ≥ 1) . 12 e/ x 2 + y2 ≥ 2 2, ( ∀ : x, y ∈ , xy = 1, x > y ) . x−y Bài 690. Cho ba số thực x, y, z > 0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x + y + 1 ≥ xy + x + y . “Cần cù bù thông minh…………” b/ x + y + 4 ≥ xy + 2 ( ) x+ y . Page – 131 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số c/ xy + yz + zx ≥ x yz + y zx + z xy . d/ x 2 + y2 + z2 ≥ x yz + y zx + z xy . e/ x 4 + y 4 + z4 ≥ xyz (x + y + z) . f/ x 8 + y 8 + z8 1 1 1 ≥ + + . 3 3 3 x y z xyz Bài 691. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ x+y y+z z+x + + ≥ 6, ( ∀ : x, y, z > 0) . z x y b/ 2008 − x 2008 − y 2008 − z + + ≥ 6, ( ∀ : x + y + z = 2008) . x y z c/ x3 y3 z3 + + ≥ x 2 + y2 + z2 , ( ∀ : x, y, z > 0) . y z x d/ x3 y3 z3 + + ≥ xy + yz + zx, ( ∀ : x, y, z > 0) . y z x e/ x4 y4 z4 + + ≥ xy + yz + zx, ( ∀ : x, y, z > 0) . y2 z2 x2 f/ x 2 + y 2 y 2 + z 2 z2 + x 2 + + ≥ 2 (x + y + z), ( ∀ : x, y, z > 0) . z x y2 g/ h/ i/ x y 2 x y 3 + + y z 2 y z 3 + + z x 2 z x 3 ≥ ≥ 1 1 1 + + , ( ∀ : x, y, z > 0) . x y z 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z2 , ( ∀ : x, y, z > 0) . x2 y2 4z2 + + ≥ x + 3y, ( ∀ : x, y, z > 0) . y z x Bài 692. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ 2 x 2 y 2 z 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 2 + 2 + 2 , ( ∀ : x, y, z > 0) . 2 2 2 x +y y +z z +x x y z b/ xy yz zx x+y+z + + ≤ , ( ∀ : x, y, z > 0) . x+y y+z z+x 2 c/ x2 y2 z2 x+y+z + + ≤ , ( ∀ : x, y, z > 0) . y+z z+x x+y 2 d/ x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . y + 2z z + 2x x + 2y 3 e/ x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . 3y + 2z 3z + 2x 3x + 2y 5 Page – 132 – 3 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn f/ x2 y2 16z2 1 + + ≥ (64z − x − y), ( ∀ : x, y, z > 0) . y+z z+x x+y 9 g/ x3 y3 z3 x 2 + y 2 + z2 + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . y+z z+x x+y 2 h/ x3 y3 z3 x 2 + y 2 + z2 + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . 2y + z 2z + x 2x + y 3 i/ x3 y3 z3 x 2 + y 2 + z2 + + ≥ , ( ∀ : x, y, z > 0) . 2y + 3z 2z + 3x 2x + 3y 5 Bài 693. Chứng minh các bất đẳng thức sau a/ a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a +b 2 b/ a b c + + ≥ 1. b + 2c c + 2a a + 2b c/ a b c 3 + + ≥ . b + 3c c + 3a a + 3b 4 d/ 2a 2b 2c 3 + + ≥ . 3b + 5c 3c + 5a 3a + 5b 4 e/ a b c 1 + + ≥ . 2b + 4c 2c + 4a 2a + 4b 2 f/ a b c 1 + + ≤ . b + 2c + 3a c + 2a + 3b a + 2b + 3c 2 Bài 694. Cho a, b, c > 0 và a 3 + b 3 + c 3 = 3 . Chứng minh rằng: a/ a + b + c ≤ 3 . b/ a 2 + b2 + c2 ≤ 3 . c/ a 4 + b4 + c4 ≥ 3 . d/ a 5 + b5 + c5 ≥ 3 . e/ a 6 + b6 + c6 ≥ 3 . f/ a 7 + b7 + c7 ≥ 3 . Bài 695. Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng: a/ 1 ≥ xy c/ e/ 1 2 ≥ 4 . 2 xy x + y4 2 1 + xy g/ 1 ≥ xz 1 1− x i/ 2 . x+y 2 1 2 − x2 2 . b/ 1 2 ≥ 2 . xy x + y2 d/ 1 1 2 + ≥ 2 . xy xz x + yz f/ x + yz ≥ 2x, ( ∀ : 0 ≤ x < 1) . h/ ≥ x, ( ∀ : 0 ≤ x < 1) . j/ 1 3 − x2 1 4−x 2 1 x+y ≥ 2x , ( ∀ : 0 ≤ x < 2) . 3 ≥ x , ( ∀ : 0 ≤ x < 2) . 2 ≥ 2 . 1+ x + y Bài 696. Tìm GTLN (max) của các biểu thức a/ P = x (4 − x ) . b/ P = x (9 − x ) . c/ P = ( x + 2)(4 − x ) . d/ P = (x + 5)(3 − x ) . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 133 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số e/ P = x 1 − x2 . f/ P = x 4 − x2 . Bài 697. Tìm GTLN (max) của các biểu thức a/ P = x y −1 + y x −1 . xy b/ P = x y−4 +y x−4 . xy c/ P = x y − 25 + y x − 25 . xy d/ P = x y − 4 + y x −1 . xy e/ P = x y−2 + y x −3 . xy f/ P = x y−5 + y x −2 . xy Bài tập qua các kì thi Bài 698. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 1996 0 ≤ x ≤ 3 Cho x, y thỏa mãn điều kiện  . 0 ≤ x ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (3 − x )(4 − y)(2x + 3y) . Bài 699. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW 1 năm 2000 Cho x, y, z ≠ 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 9 . + 2 + 2 ≥ 2 2 x y z x + y 2 + z2 Bài 700. Cao đẳng Kiểm Sát năm 2000 1/ Cho a, b ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a 4 b4  a 2 b2  a b + −  +  + + . b4 a 4  b2 a 2  b a 2/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC. Chứng minh rằng: (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc . Bài 701. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương khối A năm 2002 Cho hai số thực x, y thỏa hệ thức x + y = 1 . Chứng minh: x 4 + y 4 ≥ 1 . 8 Bài 702. Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2004 a 3 > 36 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca . Cho a, b, c là ba số thực thỏa  . Chứng minh: abc = 1 2  Bài 703. Cao đẳng Sư Phạm Sóc Trăng khối A năm 2005 Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a + b > −1 . Chứng minh: a 3 + b 3 + 1 > 3ab . Bài 704. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005 Cho ba số x, y, z > 0 . Chứng minh: Page – 134 – x3 y3 z3 x2 y2 z2 + + ≥ + + . y3 z3 x3 y2 z2 x2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 705. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ năm 2005 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 1 a + 1 + 1 b = 1 . Chứng minh: ab + bc + ca ≥ c abc . 3 Khi nào đẳng thức xảy ra ? Bài 706. Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2005 Cho hai số a,b thỏa a ≥ 4, b ≥ 4 . Chứng minh rằng: a + b ≤ a 2 + ab + b2 . 6 Bài 707. Dự bị Cao đẳng Giao Thông II năm 2003 Cho 3 số bất kì x, y, z. Chứng minh: x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z2 ≥ y 2 + yz + z2 . Bài 708. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 . Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z . Bài 709. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ khối A năm 2006 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x+y+z+ 1 1 1 + + . x y z Bài 710. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ khối B năm 2006 Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh: a b c d + + + <2. a +b+c b+c+d c+d+a d+a +b Bài 711. Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng khối A năm 2006  2 1 2 Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)  2 + + 1 ≥ 16 .  x  x Bài 712. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp 1 khối A năm 2006 Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh: a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ 9. a b c Bài 713. Cao đẳng Y Tế 1 năm 2006 y ≤ 0 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện:  2 . x + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + x + 2y + 17 . Bài 714. Cao đẳng Bán công Hoa Sen khối D năm 2006 x, y, z > 0 Cho  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xyz . x + y + z = xyz Bài 715. Học Viện Hàng Không Việt Nam năm 1999 – 2000 Cho a, b, c, u, v ≥ 0 . Đặt A = “Cần cù bù thông minh…………” a2 b2 c2 b2 c2 a2 + + , B= + + . a+b b+c c+a a+b b+c c+a Page – 135 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số 1/ Chứng minh: u 2 + v2 u+v ≥ và A = B . u+v 2 2/ Chứng minh: A ≥ a+b+c . Khi nào dấu ” = ” xảy ra ? 2 Bài 716. Đại học An Ninh khối D, G năm 1999 – 2000 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn 0;1 .   ( ) ( ) Chứng minh rằng: 2 x 3 + y 3 + z3 − x 2 y + y2 z + z2 x ≤ 3 . Bài 717. Đại học Hàng Hải năm 1999 – 2000 Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 . + + ≤ ≤ + + 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z Bài 718. Đại học Nông nghiệp I khối A năm 1999 – 2000 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= bc ca ab + 2 + 2 . 2 2 a b + a c b c + b a c a + c2 b 2 Bài 719. Đại học Nông Nghiệp I khối D năm 1999 – 2000 Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: a+b 1+ a +b ≤ a +b 1+ a + b . Bài 720. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1999 – 2000 Cho các số x, y thỏa x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ĐS: max P = 1 khi (x, y) = {(0,1), (1, 0)}; min P = x y . + y +1 x +1 2 1 khi x = y = . PP hàm số. 3 2 Bài 721. Đại học Đà Nẵng năm 1999 – 2000 ( )( ) ( ) Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 0 thì (a + b) a 2 + b2 a 3 + b 3 ≤ 4 a 6 + b6 . Bài 722. Đại học Huế khối A, V năm 1999 – 2000 Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a ≥ −1, b ≥ −4, c ≥ 2, d ≥ 3 . 4 Chứng minh: (a + 1)(b + 4)(c − 2)(d − 3) a+b+c+d ≤ 1 . 4 Bài 723. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999 – 2000 Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: b2 + 2a 2 c2 + 2b2 a 2 + 2c2 + + ≥ 3. ab bc ca Page – 136 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 724. Đại học Bách khoa Hà Nội khối A năm 1999 – 2000 3 a 3 + b3  a + b   . ≥ Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng: 2  2  Bài 725. Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối D, E năm 1999 – 2000 Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 2 b/ (ab + bc + ca ) ≥ 3abc (a + b + c) . a/ a 2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca . Bài 726. Đại học Thủy Lợi II năm 1999 – 2000 3 ( ) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 1 + 3 abc . Bài 727. Đại học Y Hà Nội năm 1999 – 2000 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3 + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. x y Bài 728. Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 1999 – 2000 CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 18xyz . 2 + xyz Bài 729. Đại học An Ninh Nhân Dân năm 1999 – 2000 Cho x ∈  0;1 . Chứng minh rằng:   x + 1− x + 4 x + 4 1− x ≤ 2 + 2 2 . Khi nào dấu ” = ” xảy ra. HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki. Dấu ” = ” xảy ra khi x = 1 . 2 Bài 730. Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh đợt 2 khối D năm 1999 – 2000 3 4t + 2 > t + 3 − t, ∀t ∈  0; 3 . 2t + 1 HD: Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: Bài 731. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1998 – 1999 a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + . 2 2 2 b c a b c a Bài 732. Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998 Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: Chứng minh trong ∆ABC, ta có: p < p − a + p − b + p − c ≤ 3p . Trong đó: p là nửa chu vi của tam giác. Bài 733. Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998 Giả sử x,y,z là những số dương thay đổi thỏa điều kiện x + y + z ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + z + "Cần cù bù thông minh…………" 3 . 2 1 1 1 + + . x y z Page - 137 - Ths. Lê Văn Đoàn HD: min P = Phần Đại Số 15 1 khi x = y = z = . 2 2 Bài 734. Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối A năm 1997 – 1998 x, y, z > 0 x5 y5 z5 Cho  . Chứng minh: 4 + 4 + 4 ≥ 1 . y z x x + y + z = 1 HD: Sử dụng Cauchy xoay vòng: x5 y5 z5 + + ≥ …… ≥ x + y + z ≥ 1 . y4 z4 x4 Bài 735. Đại học Ngoại Thương Hà Nội năm 1997 – 1998 1/ Cho a, b, c > 0 . Chứng minh: a b c + + < a+b b+c c+a a + b+c 2/ Giả sử x, y, z > 0 và x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P = HD: 1/ Sử dụng BĐT bổ đề: “nếu 2/ Biến đổi P = b c . + c+a a+b x y z + + . x +1 y +1 z +1 x x x +α < 1 thì < ; ( ∀ : x, y, α > 0) “. y y y +α  1 x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 1   . + + = 3 −  + + x +1 y +1 z +1  x + 1 y + 1 z + 1  Bài 736. Đại học Thủy Lợi năm 1997 – 1998 Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh: HD: Tách cặp nghịch đảo a2 b2 c2 d2 1 1 1 1 + + + ≥ 3 + 3 + 3 + 3. 5 5 5 5 b c d a a b c d a2 a2 a2 1 1 , , , , . Tương tự đối với cặp còn lại. b5 b5 b5 a 3 a 3 Bài 737. Đại học Đà Nẵng khối A năm 2001 đợt 2 Cho a + b + c > 0 thỏa: a 2 + b2 + c2 = 1 . Chứng minh: a b c 3 3 . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 b +c c +a a +b 2 Bài 738. Học viện Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh khối năm A năm 2000 – 2001 Cho ∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:  1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2  + +  . p−a p−b p−c  a b c  Bài 739. Đại học Nông nghiệp I Hà Nội khối A năm 2000 – 2001 Cho 3 số x, y, z > 0 . Chứng minh rằng: 2 y 2 x 2 z 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 2 + 2 + 2. 2 2 2 x +y y +z z +x x y z 3 Bài 740. Đại học Quốc gia Hà Nội khối D năm 2000 – 2001 Chứng minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α − 1 ≥ αx . Page – 138 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: a3 + b3 b3 c3 a b c + ≥ + + 3 3 b c a c a Bài 741. Đại học Vinh khối A, B năm 2000 – 2001 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a 2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 . Bài 742. Đại học năm 2002 dự bị 1 Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ∆ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: x+ y+ z≤ a 2 + b2 + c 2 (a, b, c là các cạnh của 2R ∆ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào ? Bài 743. Đại học năm 2002 dự bị 6 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và 2 ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:     1 + 1 + 1  1 + 1 + 1  ≥ 3 .   a b c  h hb h c  a Bài 744. Đại học khối D năm 2005 Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 1 + x 3 + y3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 + + ≥ 3 3 . Khi nào đẳng thức xảy ra ? xy yz zx Bài 745. Đại học khối B năm 2005 dự bị 1 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: 3 3 . 4 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 . Khi nào đẳng thức xảy ra ? Bài 746. Đại học khối B năm 2005 dự bị 2 Chứng minh rằng: nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ 1 . Đẳng thức xảy ra khi nào ? 4 Bài 747. Đại học khối D năm 2005 dự bị 2 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 . Chứng minh: x2 y2 z2 3 + + ≥ . 1+ y 1+ z 1+ x 2 Bài 748. Đại học khối A năm 2006 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y) xy = x2 + y2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = “Cần cù bù thông minh…………” 1 1 + 3 3 x y Page – 139 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số Phần II HÌNH HỌC Page – 140 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Chương Ths. Lê Văn Đoàn 1 VÉCTƠ VÀ PHÉP TOÁN TOÁN  A – VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ  Các khái niệm mở đầu  •  •  Véctơ là một đoạn thẳng có hướng  •    A Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn. Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ. Độ dài của véctơ là độ dài đoạn thẳng xác định bởi điểm đầu và điểm cuối của véctơ. BO     Véctơ có gốc A, ngọn B được ký hiệu là AB và độ dài của véctơ AB được kí hiệu là AB là khoảng giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ. Ngoài ra, véctơ còn được kí hiệu bởi một       chữ cài in thường phía trên có mũi tên như a , b , v , u , …. độ dài của a kí hiệu là a .   Véctơ không, kí hiệu 0 là véctơ có  • Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.  • Độ dài bằng 0.   • Hướng bất kỳ.   Hai véctơ cùng phương khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai   đường thẳng song song. Hai véctơ AB và CD được gọi là cùng phương A   AB // CD D B A AB // CD ⇔  C D : thẳng hàng A, B,C, D A B  Hướng của hai véctơ : Hai véctơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ta chỉ xét hướng của véctơ khi chúng cùng phương   + Hai véctơ AB và CD gọi là cùng hướng: A B    AB // CD   : AB ↑↑ CD ⇔  C  Hai tia AB, CD cùng hướng.   + Hai véctơ AB và CD gọi là ngược hướng: A B    AB // CD  AB ↑↓ CD ⇔  D C  Hai tia AB, CD ngược hướng.    Góc của hai véctơ AB và CD là góc tạo bởi hai tia Ox, Oy, lần lượt cùng hướng với hai tia    = 00   xOy AB và CD. Nghĩa là : xOy = AB,CD . A B   C D  ≤ 1800 . + Khi AB và CD không cùng hướng thì 00 ≤ xOy    = 00 . y Khi AB và CD cùng hướng thì xOy  = 1800 x B D xOy y  0 0 0 xOy ≤ 180 A B C O D A C ( “Cần cù bù thông minh…………” ) Page – 141 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học  Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.   A B   và cùng hướng. AB CD      AB = CD ⇔   AB = CD hay AB = CD D C   Hai véctơ đối nhau khi và chỉ chúng ngược hướng và cùng độ dài.   A B AB và CD ngược hướng.      AB = −CD ⇔   AB = CD hay AB = CD D C   Cách phép toán trên véctơ a/ Tổng của hai véctơ Qui tắc ba điểm (Qui tắc tam giác hay qui tắc Chasles)     Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: AB = AC + CB (Xen điểm C vào giữa AB).  Qui tắc 3 điểm còn được gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng các véctơ liên tiếp, có thể mở rộng cho trường hợp nhiều véctơ như sau: C D      A 1A n = A 1A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 4 + … + A n−1A n . A Qui tắc hình bình hành B         AC = AB + AD AB = DC      Cho ABCD là hình bình hành thì  và    DB = DA + DC AD = BC    Qui tác hình bình hành dùng để cộng các véctơ chung gốc.                ● a +b +c = a + b+c ● a +0 = 0+a = a. Tính chất: ● a + b = b + a ( ) ( ) b/ Hiệu của hai véctơ   a+b Véctơ đối  b    Véctơ đối của véctơ a , kí hiệu là −a .      Tổng của hai véctơ đối là véctơ 0 : a + −a = 0 . ( ) Qui tắc tam giác đối với hiệu véctơ  b  a  a Minh họa hệ thức Chasles    Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có : AB = CB − CA . c/ Tích của một số đối với một véctơ   Định nghĩa: Cho một số thực k ≠ 0 và một véctơ a ≠ 0 .  Tích k.a là một véctơ có Tính chất     ● k a + b = k.a + k.b .   ● k. h.a = (kh ).a . ( ) ( ) Page – 142 –    k.a cùng hướng với a nếu k > 0      k.a ngược hướng với a nếu k < 0    ● (k + h).a = k.a + h.a .   ● (−1).a = −a .   ● 1.a = a .   ● 0.a = 0 . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Điều kiện để hai véctơ cùng phương       Điều kiện cần và đủ để 2 véctơ a ; b b ≠ 0 cùng phương là tồn tại một số k để a = k.b . ( ) d/ Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác      1     I là trung điểm của AB ⇔ IA + IB = 0 hay IA = IB = AB hay IA = −IB . 2 M     I là trung điểm AB và M là điểm bất kì 2MI = MA + MB .     I B A  G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 .      G là trọng tâm ∆ABC và M bất kỳ ⇔ 3MG = MA + MB + MC Dạng toán 1. Đại cương về véctơ  Bài 1. a/ b/ c/ d/ Bài 2. Hai véctơ bằng nhau. Hai véctơ đối nhau. Hai véctơ không cùng phương. Hai véctơ cùng phương không bằng nhau cũng không đối nhau. F A D B C Cho 4 điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Có 5 hệ thức véctơ và 5 mệnh đề được đặt ở hai cột tương ứng, hãy nối chúng lại với nhau để tạo thành một suy luận đúng ? Cột II Cột I 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ Bài 3. E Cho hình vẽ bên cạnh, biết EF // AB // DC. Hãy tìm   AD = DB   AB = −3AC   AB = CD    DC = DA + DB   AD = BC A : "ABCD là hình bình hành" B: "ABDC là hình bình hành" C: "ACBD là hình bình hành" D: "D là trung điểm AB" E: " C ∈ AB "  Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các véctơ (≠ 0) có điểm đầu và điểm cuối là một trong bốn điểm ABCD. Trong số các véctơ trên, hãy chỉ ra a/ Các véctơ cùng phương. b/ Các cặp véctơ cùng phương nhưng ngược hướng. c/ Các cặp véctơ bằng nhau. Bài 4. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.   a/ Tìm các véctơ khác các véctơ không (≠ 0) và cùng phương với AO .   b/ Tìm các véctơ bằng với các véctơ AB và CD . "Cần cù bù thông minh…………" Page - 143 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học  c/ Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB và có điểm đầu là O, D, C.  d/ Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB và có điểm gốc là O, D, C. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.  a/ Tìm các véctơ bằng với véctơ AB .  b/ Tìm các véctơ bằng với véctơ OA .  c/ Vẽ các véctơ bằng với OA và có điểm ngọn là A, B, C, D. Bài 6. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó ? Bài 7. Cho 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó ? Bài 8. Cho ∆ABC có A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.    a/ Chứng minh: BC ' = C ' A = A ' B ' .   b/ Tìm các véctơ bằng với B ' C ', C ' A ' .    Cho véctơ AB và một điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho AB = CD . Bài 9. Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC.     Chứng minh: MP = QN, MQ = PN . Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:      a/ AC − BA = AD, AB + AD = AC .     b/ Nếu AB + AD = CB − CD thì ABCD là hình chữ nhật.     Bài 12. Cho ∆ABC đều có cạnh là a. Tính độ dài các véctơ AB + BC, AB − BC .    Bài 13. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Tính AB + AC + AD .     Bài 14. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véctơ AB, BC, CD, DA theo hai véctơ   AO, BO .    Bài 15. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC . Bài 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ       AB + AD, AB + AC, AB − AD . Bài 17. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của ∆ABC, B' là điểm đối xứng với B   qua O. Chứng minh rằng AH = B' C .   Bài 18. Tứ giác ABCD là hình gì nếu có AB = CD và AB = CD .     Bài 19. Cho a + b = 0 . So sánh về độ dài, phương và hướng của hai véctơ a và b .   Bài 20. Cho hai véctơ a và b là hai véctơ khác véctơ không. Khi nào có đẳng thức xảy ra ?         a/ a + b = a + b . b/ a + b = a − b . Bài 21. Cho ∆ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của ∆ABC với trung tuyến DN của ∆DEF. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh: Page - 144 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I   a/ AM = NM . Ths. Lê Văn Đoàn   b/ MK = NI . Bài 22. Cho ∆ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N   đối xứng với Q qua F. Chứng minh rằng MA = NA .   Bài 23. Cho hai ∆ABC và ∆AEF có cùng trọng tâm G. Chứng minh: BE = FC . Bài 24. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. E, F lần lượt là giao   điểm của AM, AN với BD. Chứng minh rằng: BE = FD . Bài 25. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH ⊥ BD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Kẻ   BK ⊥ AM và cắt AH tại E. Chứng minh rằng: MN = EB . Bài 26. Cho ∆ABC có G là trọng tâm.    a/ Hãy phân tích AG theo hai véctơ AB và AC .     b/ Gọi E, F là hai điểm xác định bởi các điều kiện: EA = 2EB, 3FA + 2FC = 0 . Hãy phân    tích véctơ EF theo AB, AC . Bài tập trắc nghiệm Bài 27. Véctơ có điểm đầu là D điểm cuối là E được kí hiệu là   A. DE . B. DE . C. ED .  D. DE .  Bài 28. Với véctơ ED (khác véctơ không) thì độ dài đoạn thẳng ED được gọi là:  A. Phương của véctơ ED .  C. Giá của véctơ ED .  B. Hướng của véctơ ED .  D. Độ dài của véctơ ED . Bài 29. Hai véctơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Bài 30. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ? A. Hai véctơ đối nhau thì cùng phương. B. Hai véctơ bằng nhau thì cùng phương. C. Hai véctơ cùng phương thì đối nhau. D. Hai véctơ cùng phương thì bằng nhau. E. Hai véctơ bằng nhau thì cùng độ dài. F. Hai véctơ có cùng độ dài thì bằng nhau. Bài 31. Phát biểu nào sau đây là đúng ? A. Hai véctơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau. B. Hiệu của hai véctơ có độ dài bằng nhau là véctơ – không. C. Tổng của hai véctơ khác véctơ – không là một véctơ khác véctơ – không.  D. Hai véctơ cùng phương với 1 véctơ (≠ 0) thì hai véctơ đó cùng phương với nhau. Bài 32. Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng ?       A. AB = DC . B. AD = BC . C. CA = DB . Bài 33. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào là đúng ?     A. OA = OB = OC = OD .      C. OA + OB + OC + OD = 0 . "Cần cù bù thông minh…………"   B. AC = BD .    D. AC − AD = AB . Page - 145 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 34. Với ba điểm phân biệt G, H và K thì số véctơ mà điểm đầu và điểm cuối lấy trong số các điểm đã cho là: A. 3. B. 6. C. 9. D. Vô số. Bài 35. Cho tứ giác ABCD, số véctơ (khác véctơ không) mà điểm đầu và điểm cuối lấy trong số các điểm là đỉnh của tứ giác đã cho là: A. 6. B. 12. C. 18. D. 24.   Bài 36. Cho trước véctơ MN ≠ 0 thì số véctơ cùng phương với véctơ đã cho là: A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.  Bài 37. Cho trước véctơ MN khác véctơ không thì số véctơ cùng hướng với véctơ đã cho là: A. 1. B. 2. A. 3. A. Vô số.  Bài 38. Cho trước véctơ MN khác véctơ không thì số véctơ bằng véctơ đã cho là: A. 1. A. 2. C. 3. D. Vô số. Bài 39. Hai véctơ ngược hướng thì phải: A. Bằng nhau. B. Cùng phương. C. Cùng độ dài. D. Cùng điểm đầu.   Bài 40. Cho tứ giác ABCD có AD = BC . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai ? A. ABCD là hình bình hành. B. BDCA là hình bình hành.   C. AC = BD .   D. AB = DC . Bài 41. Nếu hai véctơ cùng ngược hướng với một véctơ thứ ba (và cả véctơ đều khác véctơ không) thì hai véctơ đó: A. Bằng nhau. B. Cùng độ dài. C. Cùng hướng. D. Ngược hướng.   Bài 42. Nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì các véctơ AB và AC chỉ có thể xảy ra khả năng: A. Bằng nhau. C. Cùng hướng. B. Cùng phương. D. Cùng độ dài.   Bài 43. Nếu có AB = AC thì: A. Tam giác ABC là tam giác cân. C. A là trung điểm của đoạn BC. B. Tam giác ABC là tam giác đều. D. Điểm B trùng với điểm C.   Bài 44. Cho hình bình hành ABCD. Khi đó AB − AC bằng:   A. BD . B. CB .  C. 0 . D. Một kết quả khác. Bài 45. Cho lục giác đều ABCDEF, gọi O là giao điểm các đường chéo, khi đó cặp véctơ bằng véctơ  AB là:   A. OC và DE .   B. FO và CO . Bài 46. Cho hình bình hành MNPQ, khi đó:     A. MN = PQ và NP = MQ .     C. MN = QP và NP = QM .   C. OF và ED .   D. OC và ED .     B. MN = PQ và NP = QM .     D. MN = QP và NP = MQ .  Bài 47. Cho tam giác MNP vuông tại M và MN = 3cm, MP = 4cm . Khi đó độ dài của véctơ NP là: A. 3cm. B. 4cm. C. 5cm. A. 6cm. Bài 48. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC. Khi đó:      A. DF = BE = CE . B. AF = FD .     C. EF = AD = DB .   D. DE = AF = FC . Bài 49. Cho tứ giác ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), các điểm M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Khi đó:   A. MN = EF . Page - 146 -   B. NE = FM .   C. MN = −EF .   D. ME = FN . "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 2. Chứng minh một đẳng thức véctơ  Phương pháp giải M Sử dụng D C  Qui tắc 3 điểm:    A AB = AC + CB , xen điểm C.    AB = CB − CA , hiệu hai véctơ cùng gốc. B I A  B    Quy tắc hình bình hành : Với hình bình hành ABCD là luôn có AC = AB + AD .  Qui tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và I là trung điểm của AB ta luôn có:          1    2MI = MA + MB hay IA + IB = 0 hay IA = IB = AB hay IA = −IB 2   ⇒ Kết hợp với các tính chất phép cộng, trừ véctơ và phép nhân một số với một véctơ để thực hiện phép biến đổi tương đương cho biểu thức cần chứng minh. Về mặc thực hành, ta có thể lựa chọn một trong các trường hợp biến đổi sau:  Hướng 1. Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT). Khi đó : + Nếu xuất phát từ vế phức tạp, ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. + Nếu xuất phát từ vế đơn giản, ta cần thực hiện việc phân tích véctơ.  Hướng 2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về 1 đẳng thức đã biết là luôn đúng.  Hướng 3. Biến đổi đẳng thức véctơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần CM.  Hướng 4. Tạo dựng hình phụ, dựa vào tính chất của hình để biến đổi,… MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU     Bài tập 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng : AB + CD = AD + CB . Bài giải tham khảo  Cách giải 1. Thực hiện phép biến đổi VT           ● Ta có: VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD (   = AD + CB = VP ) ( xen D ) xen B ( )  0 (đpcm) . Lời bình 1. Để thực hiện việc biến đổi VT ⇒ VP, ta ý thức được rằng cần tạo ra sự xuất hiện của các    véctơ AD và CB , do đó trong lời giải trên với véctơ AB ta xen vào điểm D, còn véctơ  CD ta xen vào điểm B. Với tư tưởng này, ta tiến hành phép biến đổi VP ⇒ VT, thông qua cách giải 2, cụ thể như sau:  Cách giải 2. Thực hiện phép biến đổi VP "Cần cù bù thông minh…………" Page - 147 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học           ● Ta có: VP = AD + CB = AB + BD + CD + DB = AB + CD + BD + DB ( ) ( ) xen B ( xen D   = AB + CD = VT (đpcm ) . ) 0  Cách giải 3. Thực hiện phép biến đổi biểu thức           ● Ta có: AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB (luôn đúng) Qui tắc trừ ⇒ VT = VP (ðpcm ) . Bài tập 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD      a/ Chứng minh rằng: AC + BD = AD + BC = 2EF .      b/ Gọi G là trung điểm của EF. Chứng minh rằng GA + GB + GC + GD = 2EF . Bài giải tham khảo D      A a/ Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2EF . G     E F  Chứng minh: AC + BD = AD + BC .       B C ● Ta có : AC + BD = AD + DC + BC + CD           = AD + BC + DC + CD = AD + BC ⇒ AC + BD = AD + BC (1)     Chứng minh: AD + BC = 2EF .    ● Ta có: F là trung điểm của DC và E là điểm bất kỳ ⇒ 2EF = ED + EC (2) ( ) ( )    ● Ta lại có: E là trung điểm của AB và F là điểm bất kỳ ⇒ 2FE = FA + FB .       ⇒ −2EF = FA + FB ⇒ 2EF = −FA − FB (3) ● Cộng vế theo vế của (2 ) cho (3 ) ta được:              4EF = ED + EC − FA − FB = EA + AD + EB + BC − FD + DA − FC + CB           = AD − DA + BC − CB + EA + EB − FD + FC = 2AD + 2BC . ( ( ) (   ) (  AD+AD ) ( ) (  ) ( ) 0 BC+BC    )  ) 0         Hay 4EF = 2AD + 2BC = 2 AD + BC ⇒ AD + BC = 2EF      ● Từ (1), (4) ⇒ AC + BD = AD + BC = 2EF (ðpcm) . ( ) ( (4 )  b/ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 2EF    (5).    ● Ta lại có: F là trung điểm của BC và G là điểm bất kỳ ⇒ 2GF = GC + GD (6) .      ● Lấy (5) + (6) ⇔ 4GF = GA + GB + GC + GD (7 ) . ● Ta có: E là trung điểm của AB và G là điểm bất kỳ ⇒ 2GE = GA + GB Page - 148 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn  1  EF (8) 2          1  ● Thay (8 ) vào (7 ) ⇒ 4. EF = GA + GB + GC + GD ⇒ GA + GB + GC + GD = 2EF (ðpcm) . 2 ● Do G là trung điểm của EF nên: GF = Bài tập 3. Cho ∆ABC . Gọi G là trọng tâm của tam giác và M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:       Bài giải tham khảo a/ Chứng minh:  A     GA + GB + GC = 0 G ● Gọi A1 là trung điểm của BC. ● Ta có A1 là trung điểm của BC và G là điểm bất kỳ    ⇒ GB + GC = 2GA1  b/ MA + MB + MC = 3MG a/ GA + GB + GC = 0 (1)  B C A1  (2) (G chia đoạn AA1 ra 3 đoạn bằng nhau)        ● Từ (1), (2) ⇒ GB + GC = −GA ⇒ GA + GB + GC = 0 (đpcm). ● Theo tính chất trọng tâm thì: 2GA1 = −GA     b/ Chứng minh: MA + MB + MC = 3MG          ● Ta có: MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC G G      = + + + = 3MG GA GB GC 3MG G (ðpcm) . 0     Lời bình 2. Thông qua kết quả câu b/, ta có thể khẳng định được rằng nếu MA + MB + MC = 0 thì M là trọng tâm của ∆ABC (dùng để chứng minh 1 điểm là trọng tâm ∆), thật vậy:       MA + MB + MC = 0 ⇔ 3MG = 0 ⇔ M ≡ G . Bài tập 4. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm (giao điểm của 3 đường cao), O là tâm đường tròn ngoại tiếp (giao điểm của 3 đường trung trực cạnh, đặc biệt đối với tam giác vuông thì tâm ngoại là trung điểm cạnh huyền) của tam giác.   a/ Chứng minh: AH = 2OM .   a/ Chứng minh: AH = 2OM   B' ● Gọi A' là điểm đối xứng của A qua O thì AA' là đường kính của đường tròn tâm (O) .  Nên ABA' = 90o hay A ' B ⊥ AB CC ' ⊥ AB ⇒ A'B // CH (1)  Và ACA ' = 90o hay A ' C ⊥ CA ⇒ A'C // BH (2) BB ' ⊥ CA "Cần cù bù thông minh…………"  A Bài giải tham khảo ● Từ (1), (2) ⇒ A ' BHC là hình bình hành.  b/ Chứng minh: HA + HB + HC = 2HO . C' H B O C M A' Page - 149 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học ⇒ M là trung điểm đường chéo HA. ● Do O là trung điểm AA' nên OM là đường trung bình ∆AHA'.   1 ⇒ OM // AH và OM = AH ⇒ AH = 2OM (đpcm ) . 2     b/ Chứng minh: HA + HB + HC = 2HO .    ● Do O là trung điểm của AA' và H là điểm bất kì ⇒ 2HO = HA + HA '    ● Mà HBA'C là hình bình hành nên ⇒ HA ' = HB + HC (4)     ● Thay (4 ) vào (3 ) ⇒ HA + HB + HC = 2HO (ðpcm) . (3 ) . Bài tập 5. Cho ∆ABC. Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao điểm của 3 đường     phân giác trong). Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0 . Bài giải tham khảo ● Dựng hình bình hành AB2IC2 có AB2 // CC1 và AC2 // BB1.    Ta được: IA = IB2 + IC2 A (1) ● Do IC1 // B2A, áp dụng định lý Thales ta có: C2 B C  IB 2 1  2 = C1A = b  b  B1  IB C B a ⇔ IB2 = − IB (2)   1  I a IB2 ↑↓ IB C  IC  2 = B1A = c   c B1C a ⇔ IC2 = − IC (3) ● Tương tự:   IC   a IC2 ↑↓ IC      b  c  ● Thay (2), (3) vào (1) ta được: IA = − IB − IC ⇔ a.IA + b.IB + c.IC = 0 (ðpcm) . a a  Bài tập 6. Cho ∆ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC. Chứng minh: AM = B MC  MB  .AB + .AC . BC BC Bài giải tham khảo  Cách giải 1. ● Kẻ MN // AC A (N ∈ AB) . N ● Áp dụng định lý Thales ta có : AN AB MC = ⇒ AN = .AB  MC  MC BC BC ⇒ = AN .AB (1) .   MC BC  AN ↑↑ AB, >0 B BC  NM MB MB = ⇒ NM = .AC AC BC BC ● Và   MB  NM ↑↑ AC ; >0 BC  Page – 150 –  MB  ⇒ NM = .AC BC M C (2) . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I  Ths. Lê Văn Đoàn   ● Lấy (1) + (2) ⇒ AN + NM = AM = MC  MB  .AB + .AC BC BC (ðpcm) .  Cách giải 2.          = + MC.AM MC. AB BM AM = AB + BM    ⇒    ● Ta có:    AM = AC + CM MB.AM = MB. AC + CM   ( ( ) ) (3) (4 ) ● Cộng từng vế của hai đẳng thức (3 ) và (4 ) , ta được:       MC.AM + MB.AM = MC. AB + BM + MB. AC + CM      ⇒ AM. (MB + MC) = MC.AB + MB.AC + MC.BM + MB.CM ( ) ( ) ( ) BC 0   ● Do hai véctơ MC.BM và MB.CM là hai véctơ đối nhau (ngược hướng và cùng độ dài), nên      MC.BM + MB.CM = 0 và MB + MC = BC ⇒ BC.AM = MC.AB + MB.AC  MC  MB  ⇒ AM = .AB + .AC (ðpcm) . BC BC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 50. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.          Chứng minh rằng: DA − DB + DC = 0 và OA + OB + OC + OD = 0 . Bài 51. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng:     a/ AB + CD = AD + CB .     c/ AB − CD = AC − BD .     b/ AC + BD = AD + BC . Bài 52. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng:       a/ AB + CD + EA = CB + ED .    b/ CD + EA = CA + ED . Bài 53. Cho 6 điểm: A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:     a/ AB + CD = AD + CB .       c/ AD + BE + CF = AE + BF + CD .     b/ AB − CD = AC + DB .     d/ Nếu AC = BD thì AB = CD . Bài 54. Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F, G. Chứng minh rằng:      a/ AB + CD + EA = CB + ED .        b/ AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF .        c/ AB − AF + CD − CB + EF − ED = 0 . Bài 55. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H         Chứng minh rằng: AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 151 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 56. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ.           Chứng minh rằng : AM + BN + CP = 0 và OA + OB + OC = OM + ON + OP . Bài 57. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng:      a/ MC + MA = MB + MD .      b/ MC − MD = AB .   c/ BD − BA = OC − OB .    d/ BC − BD + BA = 0 . Bài 58. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm tương ứng là G và G’.     Chứng minh rằng: AA ‘ + BB ‘ + CC ‘ = 3GG ‘ . Bài 59. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh     BC sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng: AB + AC = AM + AN .       Bài 60. Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm là O. Chứng minh rằng: OA + OB + OC + OD + OE = O . Bài 61. Cho ∆ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C.       Chứng minh rằng: OA + OB + OC = OA ‘ + OB’ + OC’ (với O là điểm bất kỳ). Bài 62. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Chứng minh rằng: với M là điểm tùy ý thì ta luôn có:        a/ OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 .        c/ AB + AO + AF = AD .   b/ OA + OC + OE = 0 .      d/ MA + MC + ME = MB + MD + MF . Bài 63. Cho ∆ABC, vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS.     Chứng minh rằng: RF + IQ + PS = 0 . Bài 64. Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có trực tâm H, kẻ đường kính AD.    a/ Chứng mình rằng: HB + HC = HD .     b/ Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng: HA + HB + HC = HH ‘ . Bài 65. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC . Chứng minh rằng:    a/ AB + 2AC = 3AM .     b/ MA + MB + MC = 3MG . Bài 66. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng:     a/ AD + BC = 2IJ .       b/ OA + OB + OC + OD = 0 .    c/ MA + MB + MC + MD = 4MO . Bài 67. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và G là trung điểm của FH, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:       a/ AF + BG + CH + DE = 0 .        b/ AB + AC + AD = 4AG .     c/ MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH . Bài 68. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: Page – 152 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I    Ths. Lê Văn Đoàn    a/ OA + OB + OC + OD = 0 .       b/ EA + EB + 2EC = 3AB .  c/ EB + 2EA + 4ED = EC . Bài 69. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của đoạn thẳng BC, CD.     3  Chứng minh rằng: AB + AM + NA + DA = .DB . 2 Bài 70. Cho ∆ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E, F sao cho: BD = DE = EF = FC .       Chứng minh rằng: AB + AD + AE + AF + AC = 5AE . Bài 71. Cho tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt theo thứ từ là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, DB.  1    1   a/ Chứng minh rằng: MN = AB + DC và PQ = AB − DC . 2 2 ( ) ( ) b/ Chứng minh các điểm M, N, P, Q là 4 đỉnh của một hình bình hành. c/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và O là điểm bất kỳ.           IA + IB + IC + ID = 0 OA + OB + OC + OD = 4OI Chứng minh rằng: và . Bài 72. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DC. Chứng minh rằng:  1       a/ OA + OM + ON = 0 . b/ AM = AD + 2AB . 2   3  c/ AM + AN = AC . 2 ( ) Bài 73. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. D là điểm đối xứng với A qua O.   a/ Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành. Từ đó hãy tính tổng HB + HC .         b/ Chứng minh rằng: HA + HB + HC = 2HO và OA + OB + OC = OH . c/ Có nhận xét gì về 3 điểm O, G, H ? Bài 74. Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K, D lần lượt là trung điểm của MN và BC. Chứng minh rằng:  1  1  = AB + AC . AK a/ 4 6  1  1  = AB + AC . KD b/ 4 3 Bài 75. Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.    Chứng minh rằng: AB + CD = 2IJ . Bài 76. Cho đều ∆ABC có tâm là O. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác và D, E, F lần lượt là    3  hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO . 2 Bài 77. Cho ∆ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác.     Chứng minh rằng: tan A.HA + tan B.HB + tan C.HC = 0 . Bài 78. Cho ∆ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 153 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học     Chứng minh rằng: sin A.IA + sin B.IB + sin C.IC = 0 . Bài 79. Cho ∆ABC. Lấy điểm M tùy ý thuộc miền trong tam giác.     Chứng minh rằng: S∆MBC .MA + S∆MAC .MB + S∆MAB .MC = 0 . Kết quả trên còn đúng khi M ở ngoài tam giác không ?  A’C  A’B  .MB + .MC . HD: Gọi A’ là giao điểm của đường thẳng MA với BC. Ta có: MA ‘ = BC BC S S S + S∆MA ‘C A ‘ C S∆MA ‘C MA ‘ S∆MA ‘ B = = ∆MAC , = = ∆MA ‘C = ∆MA ‘ B Và . BC S∆MA ‘ B S∆MAB MA S∆MAB S∆MAC S∆MAB + S∆MAC MA NB m = = . Bài 80. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho: MD NC n    n.AB + m.DC Chứng minh rằng: MN = . m+n CA m = và S là điểm bất kì. CB n  .SB . Bài 81. Cho đoạn AB. Trên đoạn AB lấy điểm C sao cho  Chứng minh rằng: SC =  n n .SA + m+n m+n Bài 82. Cho hình chữ nhật có tâm là O và S là điểm bất kỳ. 2  2 2 2 2 2 Chứng minh rằng: SA + SC = SB + SD HD: SA = SO + OA . ( ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 83. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng       a/ DO + AO = AB . b/ CO − OB = BA .        c/ AB − BC = DB . d/ DA − DB = OD − OC .           f/ OA + OB + OC + OD = 0 . e/ MA + MC = MB + MD = 2MO . Bài 84. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:         a/ AB + BC + CA = 0 . b/ MN + NP + PM = 0 .         d/ AP + BM + MP = 0 . c/ AN + CM − PB = 0 .   1  e/ AP + BM = AC . 2     g/ AM + BN + CP = 0 .  1   f/ AM = AB + AC . 2      h/ AP + BM + AN + BP = PC . ( ) Bài 85. Cho hình thang OABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:  1    1    1   a/ AM = OB − OA . b/ BN = OC − OB . c/ MN = OC − OB . 2 2 2 ( ) Bài 86. Cho ∆ABC có G là trọng tâm tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Page – 154 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I    a/ 2AC − AB = 3AI .    b/ 2AB + 3AC = 6IC . Ths. Lê Văn Đoàn    c/ AC − 5AB = 6MI . Bài 87. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC   sao cho CN = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:  1  1  a/ AK = AB + AC . 4 6  1  1  b/ KD = AB + AC . 4 3 Bài 88. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.     a/ Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 .     b/ Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI . Bài 89. Cho ∆ABC với M là điểm tùy ý.     a/ Chứng minh rằng a = MA + 2MB − MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.      b/ Dựng điểm D sao cho CD = a . CD cắt AB tại K. Chứng minh: KA + KB = 0 và   CD = 3CK . Bài 90. Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong ∆ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi a, b, c lần lượt theo thứ tự là độ dài của các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC.     Chứng minh: a.IM + b.IN + c.IP = 0 . Bài 91. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF.    1       a/ Chứng minh: IM + IN + IP = IA + IB + IC + ID + IE + IF với I bất kì. 2        b/ Hãy tìm điểm G sao cho GA + GB + GC + GD + GE + GF = 0 . ( ) c/ Gọi G1, G2 ,G3 , G4 , G5, G6 tương ứng là trọng tâm của ∆ABC, ∆DEF, ∆BCD, ∆EFA, ∆CDE, ∆FAB. Chứng minh rằng: G1G2, G3G4 , G5G6 cùng đồng qui tại một điểm. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 155 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ – Cm đường qua điểm cố định  Phương pháp giải Bài toán. Xác định điểm M thỏa một đẳng thức véctơ cho trước ?  Bước 1. Ta biến đổi đẳng thức đã cho (bằng xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình   bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, … ) về dạng: OM = v . Trong đó  điểm O đã biết trước và véctơ v đã biết.   Bước 2. Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy điểm O làm gốc, dựng 1 véctơ bằng 1 véctơ v , khi đó điểm ngọn của véctơ này chính là điểm M. Lưu ý    Lưu ý 1. Thông thường, biểu thức OM = v là những biểu thức đặc biệt (trung điểm, trọng   tâm, điểm chia đoạn theo tỉ lệ a = k.b , hình bình hành,… Ta dựa vào biểu thức này để dựng hình.  Lưu ý 2. Một số cách chứng minh thường dùng  Để chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:    IA = BI .     IA + IB = 0 .    2IA = AB .     2OI = OA + OB (O bất kỳ).  Để chứng minh điểm G là trọng tâm của ∆ABC, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:      GA + GB + GC = 0 .  2   Với I là trung điểm của cạnh BC thì AG = AI . 3     Với O là điểm bất kì trong mặt phẳng thì: 3OG = OA + OB + OC .    = AB DC    Để chứng minh ABCD là hình bình hành ⇔    AD = BC   Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau ta có thể chứng minh 1 trong các hệ thức:    A 1A 2 = 0 .    OA1 = OA 2 với O là điểm bất kỳ.     Điều kiện cần và đủ để ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm là: AA’ + BB’ + CC’ = 0 .      AB − k.AC  Nếu MB = k.MC (k ≠ 1) thì AM = 1−k (hay điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠ 1) . Page – 156 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU    Bài tập 7. Cho điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2MA − 3MB = 0 . Bài giải tham khảo             ● Ta có: 2MA − 3MB = 0 ⇔ 2MA − 3 MA + AB = 0 ⇔ −MA − 3AB = 0 ⇔ AM = 3AB . ( ) ● Do đó, M được xác định như sau:    M nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn AB, gần B. Hai véctơ AM , AB cùng hướng.  Độ dài AM = 3AB , nghĩa là điểm B chia AM ra 3 đoạn bằng nhau. A B M Bài tập 8. Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC, sao cho NC = 2NA . Hãy xác định K và D khi         b/ 3AB + 4AC − 12KD = 0 . a/ 3AB + 2AC − 12AK = 0 . Bài giải tham khảo     a/ Xác định điểm K thỏa: 3AB + 2AC − 12AK = 0 (1) C AB = 2AM     ⇔ AB = 2AM (2) ● Theo giả thiết thì:   D  AB ↑↑ AM N  K AC = 3AN   M A    ⇔ AC = 3AN (3)   AC ↑↑ AN       1   ● Thay (2) và (3 ) vào (1) ta được: 6AM + 6AN − 12AK = 0 ⇔ AK = AM + AN . 2 ⇒ K là trung điểm của MN.     b/ Xác định điểm D thỏa: 3AB + 4AC − 12KD = 0 (4) ( B )  1  1  ⇒ = AB + AC (6) AK . Mà theo 5 4 () () 4 3 Xen A−   1  1  ● Thay (6 ) vào (5 ) ta được: KD = AD − AB − AC (7) 4 3    1     1  1   ● Thay (7 ) vào (4 ) : 3AB + 4AC − 12 AD − AB − AC = 0 ⇔ AD = AB + AC .  4 3 2  ⇒ D là trung điểm của BC.    ● Ta có KD = AD − AK ( ) Bài tập 9. Cho hình bình hành ABCD, hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn:     a/ MA − MB − MC = AD .   c/ Chứng minh rằng: MN = BA .       b/ NC + ND − NA = AB + AD − AC . Bài giải tham khảo “Cần cù bù thông minh…………” Page – 157 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học     a/ Dựng điểm M thỏa: MA − MB − MC = AD        ● Ta có: MA − MB − MC = AD ⇔ BA − MC = AD B A  BA      ⇔ CM = AD − BA = AD + AB C D ● Do ABCD là hình bình hành nên:      N AD + AB = AC ⇒ CM = AC ⇒ C là trung điểm của CM.       b/ Dựng điểm N thỏa: NC + ND − NA = AB + AD − AC             ● Ta có: NC + ND − NA = AB + AD − AC ⇔ NC − NA + ND = AB + AD − AC ( )  AC ( M )  AC       ⇔ AC + ND = AC − AC ⇔ DN = AC ⇒ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành DACN.   c/ Chứng minh: MN = BA ● Ta có DACN là hình bình hành (câu b) nên NC = DA ● Mà ABCD là hình bình hành (giả thiết) nên DA = BC ⇒ NC = NB ⇒ C là trung điểm BN. ⇒ Tứ giác ABMN là hình bình hành (do có 2 đường chéo NB và AM cắt nhau tại trung điểm của   mỗi đường) ⇒ MN = BA (đpcm). Bài tập 10. Cho trước 2 điểm A, B và hai số thực α, β thỏa mãn: α + β ≠ 0    a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn: α.IA + β.IB = 0 .    b/ Từ đó suy ra với điểm M bất kỳ, ta luôn có: α.MA + β.MB = (α + β).MI . Bài giải tham khảo    a/ Chứng minh: tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn: α.IA + β.IB = 0 .           ● Ta có: α.IA + β.IB = 0 ⇔ α.IA + β. IA + AB = 0 ⇔ (α + β).IA + β.AB = 0 ( )    ⇔ (α + β).AI = β.AB ⇒ AI =  β .AB . α+β  β .AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa đề bài. α+β    b/ Chứng minh: ∀M : α.MA + β.MB = (α + β).MI . ● Vì A, B cố định nên véctơ           ● Ta có: α.MA + β.MB = α. MI + IA + β. MI + IB = (α + β).MI + α.IA + β.IB = (α + β).MI . ( ) (    ● Vậy α.MA + β.MB = (α + β).MI, ∀ : M (đpcm). Page – 158 – ) 0 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Lời bình 3  Nếu α = β = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.  Bài toán trên được mở rộng cho ba điểm A, B, C và bộ 3 số thực α, β, γ cho trước thỏa mãn: α + β + γ ≠ 0 , nghĩa là:     + Tồn tại điểm I duy nhất thỏa mãn: α.IA + β.IB + γ.IC = 0     + Từ đó suy ra với điểm M bất kỳ, ta luôn có: α.IA + β.IB + γ.IC = (α + β + γ ).MI . Và khi: α = β = γ = 1 thì I là trọng tâm của ∆ABC. ( ( ) )  Bài toán trên vẫn đúng với n điểm A1 i = 1, n và bộ số thực αi i = 1, n thỏa mãn n ∑α i ≠0 i=1  Kết quả trên dùng để giải bài toán: “Cho n điểm Ai , i = 1, n và bộ số thực αi, i = 1, n thỏa mãn   n n ∑ α i ≠ 0 . Tìm số thực k và điểm cố định I sao cho đẳng thức véctơ: ∑ α i .MAi = k.MI i=1 i=1 thỏa mãn với mọi điểm M”. Bài tập 11. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho đẳng thức véctơ sau thỏa mãn với mọi điểm M.    a/ 2.MA + MB = k.MI     b/ MA + MB + 2.MC = k.MJ      c/ MA + MB + MC + 3.MD = k.MK Bài giải tham khảo    a/ Tìm k thỏa: 2.MA + MB = k.MI .    ● Vì 2.MA + MB = k.MI (1) thỏa với mọi M, do đó nó cũng đúng với M ≡ I.          1  ● Khi đó: 2.IA + IB = k.II = 0 (2) ⇔ 2.IA + IA + AB = 0 ⇔ IA = − .AB ⇒ I được xác 3   ( ) định. Nó nằm trên đường thẳng AB, ngoài đoạn AB, véctơ IA ngược chiều với véctơ AB và có độ 1 lớn IA = AB 3     ● Từ (2) ta có: 2.MA + MB = (2 + 1) MI = 3MI (3) (áp dụng lời bình 3 và M ≡ I)   ● Từ (1), (3 ) ⇒ 3MI = k.MI ⇒ k = 3 .     b/ Tìm k thỏa: MA + MB + 2.MC = k.MJ .     ● Vì MA + MB + 2.MC = k.MJ (4) thỏa mãn với mọi M nên nó đúng với M ≡ J.      ● Khi đó: JA + JB + 2.JC = k.JJ = 0 (5)       ● Gọi E là trung điểm của AB, từ (5) ⇒ 2.JE + 2.JC = 0 ⇒ JE + JC = 0 ⇒ J là trung điểm của CE.      ● Từ (5) , ta được: MA + MB + 2.MC = (1 + 1 + 2).MJ = 4.MJ (6) “Cần cù bù thông minh…………” Page – 159 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học   ● Từ (4 ), (6 ) ⇒ k.MJ = 4.MJ ⇒ k = 4 .      c/ Tìm k thỏa: MA + MB + MC + 3.MD = k.MK .      ● Vì MA + MB + MC + 3.MD = k.MK (7 ) thỏa mãn ∀ : M nên nó đúng với M ≡ K.       ● Khi đó: KA + KB + KC + 3.KD = k.KK = 0 (8)      ● Gọi G là trọng tâm ∆ABC, từ (8) ⇒ 3.KG + 3.KD = 0 ⇔ KG = KD ⇒ K là trung điểm của GD.       ● Từ (8 ) , ta được: MA + MB + MC + 3.MD = (1 + 1 + 1 + 3).MK = 6.MK (9) .   ● Từ (7 ), (9) ⇒ k.MK = 6.MK ⇒ k = 6 . Bài tập 12. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh ∆ANP và ∆CMQ có cùng trọng tâm. Bài giải tham khảo Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của ∆ANP và ∆CMQ , O là một điểm tùy ý. B M     A  OA + ON + OP = 3OG1    (1) ● Ta có:   Q N OC + OM + OQ = 3OG 2  P D C ● Mặt khác:     1       1    1  OA + ON + OP = OA + OB + OC + OC + OD = OA + OC + OB + OD   2 2 2     1       1    (2) 1  OC + OM + OQ = OC + OA + OB + OA + OD = OA + OC + OB + OD  2 2 2    ● Từ (1), (2) ⇒ OG1 = OG2 ⇒ G1 ≡ G2 ⇒ ∆ANP và ∆CMQ có cùng trọng tâm (đpcm). ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 93. Cho ∆ABC. Hãy dựng hình và   IA + 2IB = 0 .    b/ Tìm điểm K sao cho: KA + 2KB = CB .     c/ Tìm điểm M sao cho: MA + MB + 2MC = 0 .   d/ Tìm điểm N sao cho: NA − 2NB = 0 .     e/ Tìm điểm P sao cho: PA − PB − 2PC = 0 .     f/ Tìm điểm Q sao cho: QA + QB + QC = BC .      g/ Tìm điểm L sao cho: 2LA − LB + 3LC = AB + AC .    h/ Tìm điểm H sao cho: 2HA − 3HB = 3BC .     2RA + RB = 2BC + CA . i/ Tìm điểm R sao cho: a/ Tìm điểm I sao cho: Page – 160 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn     SA + SB − SC = BC .      TA + TB + TC = AB + AC .     3UA + UB + UC = 0 .     3XA − 2.XB + XC = 0 . j/ Tìm điểm S sao cho: k/ Tìm điểm T sao cho: l/ Tìm điểm U sao cho: m/ Tìm điểm X sao cho: Bài 94. Cho hình bình hành ABCD và ACEF.     a/ Dựng các điểm M, N sao cho EM = BD , FN = BD .   b/ Chứng minh CD = MN . Bài 95. Cho ∆ABC, hai điểm D và E.     1/ Chứng minh rằng nếu OA + OB + OC = 0 thì O là trọng tâm ∆ABC. 2/ Xác định điểm M thỏa: (+ dựng hình)     a/ MA + 2MB = 0 .       b/ MA + MB + 2MC = 0 .    c/ MA + MB + MD = MD − ME .    d/ 2MA + 3MB − MC = 0 3/ Xác định điểm N thỏa: (+ dựng hình)     a/ NA − 3NB = 0 .     b/ NA + NB + NC = AB + AC .       d/ NA + NB + NC + 3 ND + NE = 0 .     c/ 2NA − 3NB + 4NC = 0 . (    )  4/ Gọi P là điểm xác định bởi 5PA − 7PB − PI = 0 và G là trọng tâm của ∆ABC.   a/ Chứng minh: GP = 2AB . QA . QP 5/ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C và C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh rằng hai tam giác ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm J. b/ Với AP ∩ BG = Q . Hãy tính tỉ số Bài 96. Cho ∆ABC.       a/ Xác định các điểm D và E sao cho: AD = AB + AC và BE = BA + BC . b/ Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng ED. Bài 97. Cho hình bình ABCD.     a/ Hãy xác định các điểm M, P sao cho AM = DB , MP = AB . b/ Chứng minh rằng P là trung điểm của đoạn thẳng DP.   Bài 98. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB = CD ⇔ AB và CD có cùng trung điểm.       Bài 99. Cho O, A, B, C là 4 điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Đặt OA = u , OB = v , OC = w . a/ Hãy dựng các điểm D, E, F sao cho:             OD = u + v − w , OE = u − v + w , OF = u + v + w . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 161 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học b/ Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE và C là trung điểm của đoạn FD.       c/ Chứng minh hệ thức: OD + OE + OF = OA + OB + OC . Bài 100. Cho hai điểm A và B.  2   3  a/ Dựng các điểm E, F sao cho AE = AB , AF = AB . 5 5 b/ Chứng minh hai đoạn thẳng AB và EF có cùng trung điểm. Bài 101. Cho ∆ABC.      a/ Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta luôn có: MA + 2MB − 3MC = CA + 2CB .      b/ Hãy dựng điểm D sao cho: DA + 2DB − 3DC = CA + 2CB . Bài 102. Cho ∆ABC.     a/ Dựng điểm P sao cho 3PA − 2PB + PC = 0 .     b/ Chứng minh rằng véctơ v = 3MA − 5MB + 2MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Bài 103. Cho ∆ABC có trọng tâm là G và ∆A’B’C’ có trọng tâm là G’.     a/ Chứng minh hệ thức: AA ‘ + BB ‘ + CC’ = 3GG ‘ . b/ Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 104. Cho hai tam giác ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Gọi G1, G2, G3 theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác: ∆BCA’ , ∆CAB’, ∆ABC’. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của ∆G1G2G3. Bài 105. Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh rằng hai tam giác ∆ABC và ∆A’B’C’ có chung trọng tâm. Bài 106. Cho hình bình hành ABCD và một điểm E thuộc miền trong của hình bình hành. Chứng minh rằng hai ∆ACE và ∆BDE có cùng trọng tâm. Điều đó còn đúng khi E nằm ở ngoài hình bình hành không ? Bài 107. Cho ∆ABC, các đường cao AA’, BB’, CC’.     Chứng minh rằng nếu AA ‘ + BB ‘ + CC ‘ = 0 thì ∆ABC là tam giác đều. Bài 108. Cho ∆ABC và D là điểm bất kỳ. DA, DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’.        Chứng minh rằng nếu ta có: BA ‘ − A ‘ C + CB ‘ − B ‘ A + AC ‘ − C ‘ B = 0 thì D là trọng tâm ∆ABC. Bài 109. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.     Bài 110. Cho ∆ABC và số thực k. Gọi A’, B’, C’ lần lượt được xác định bởi AA ‘ = kAB; BB ‘ = kBC   và CC ‘ = k.CA . Chứng minh: ∆ABC và ∆A’B’Cv có cùng trọng tâm.     HD: Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ GA + GB + GC = 0 Page – 162 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn        AA ‘ = k.AB ⇔ GA ‘ − GA = k. GB − GA             BB ‘ = k.BC ⇔ GB ‘ − GB = k. GC − GB + ⇒ GA ‘ + GB ‘ + GC ‘ = 0 ⇒ G ≡ G ‘          CC ‘ = k.CA ⇔ GC ‘ − GC = k. GA − GC  ( ( ( ) ) ) Bài 111. Cho tứ giác ABCD. 1/ Tìm điểm cố định I để các hệ thức sau thỏa mãn.         b/ 2MA + 3MB − MD = k.MI . a/ MA + MB + 2MC = k.MI .          c/ MA − MB − 2MC = k.MI . d/ MA + 2MB + 3MC − 4MD = k.MI .      2/ Nếu tồn tại OA + OB + OC + OD = 0 . Chứng minh O xác định duy nhất. 3/ Nếu ABCD là hình bình hành. Với mọi M, hãy tìm k và điểm cố định I thỏa:       a/ MA + MB + MC + 3MD = k.MI .      b/ MA + 2MB = k.MI .  c/ 2MA + MB − MC = k.MI .      4/ Xác định điểm S để: SA + SB + SC + SD = 0 .     Bài 112. Cho ∆ABC, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức: MN = MA + 5MB − MC . a/ Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. b/ Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh: MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.    1    HD: a/ MN = (1 + 5 − 1) MI . b/ MP = MA + 5MB = 3MJ . 2      Bài 113. Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa: MN = MA + 2MB − 3MC + 4MD . ( ) a/ Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. b/ Gọi P là trọng tâm ∆ABN. Chứng minh: MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi. Bài 114. Cho ∆ABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng ∆ABC và ∆MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: BM CN AP = = . MC NA PB Bài 115. Cho ∆ABC, M là một điểm trong tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi:     a 2 .MH + b2 .MI + c2 .MK = 0 với a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, AC, AB. Bài 116. Cho ∆ABC. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác.     Chứng minh rằng: OH = OA + OB + OC Bài 117. Cho lục giác ABCDEF có AB ⊥ EF và hai tam giác ACE và ∆BDF có cùng trọng tâm. 2 2 2 Chứng minh rằng: AB + EF = CD . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 163 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Dạng toán 4. Phân tích (tính) véctơ – Chứng minh 3 điểm thẳng hàng – Song song   Tính 1 véctơ theo các véctơ không cùng phương (biểu diễn véctơ).  Đặt vấn đề. Trong dạng toán này chúng ta giải quyết đòi hỏi ” Biểu diễn véctơ thành tổ hợp      véctơ ” dựa vào định lý: “Cho trước 2 véctơ a , b a, b ≠ 0 và không cùng ( )  phương. Với mọi véctơ c bao giờ cũng tìm được 1 cặp số thực α, β duy nhất, sao    cho: c = α.a + β.b “.  Phương pháp giải. Ta có thể chọn 1 trong 2 hướng giải sau:  Hướng 1. Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triễn véctơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, …  Hướng 2. Từ giả thiết lập được mối quan hệ véctơ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triễn biểu thức này bằng phương pháp xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm, …  Lưu ý     Lưu ý 1. Ta dùng xen điểm, hiệu véctơ cùng gốc, … vào véctơ c dựa vào véctơ a và b .  Lưu ý 2. Nếu véctơ cần biến đổi (hay tính) có thể biến đổi bằng nhiều cách khác nhau. Lúc đó ta để ý đến việc cộng (trừ, lập tỉ số,…) vế theo vế.  Chứng minh ba điểm thẳng hàng   AB = k.AC Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: (1) Để nhận được (1) , ta lựa chọn một trong hai hướng sau:  Sử dụng các qui tắc biến đổi véctơ.    Xác định (tính) véctơ AB và AC thông qua một tổ hợp trung gian.  Lưu ý  Dựa vào lời bình 3, ta có thể suy luận được phát biểu sau: ” Cho ba điểm A, B, C. Điều    kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là: MC = α.MA + (1 − α ).MB với điểm M tùy ý và số thực α bất kỳ”. Đặc biệt khi: 0 ≤ α ≤ 1 thì C ∈ AB . Kết quả trên còn được sử dụng để tìm điều kiện của tham số k (hoặc m) cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng.    Nếu không dễ nhận thấy k trong biểu thức AB = k.AC , ta nên quy đồng   biểu thức phân tích véctơ AB và AC để tìm ra số k.    Để chứng minh AB // DC ta cần chứng minh AB = k.DC . Page – 164 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU Bài tập 13. Cho ∆ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy biểu diễn các véctơ (tính)        a/ CB1 và AB 1 theo AB, AC . b/ MB1 theo AB, AC . Bài giải tham khảo B Theo giả thiết thì AB1CG là hình bình hành.     a/ Tính véctơ CB1 và AB 1 theo AB, AC . M    2  ● Ta có CB1 = GA = −AG = − AM (1) 3  1   ● Mà M là trung điểm của đoạn BC nên: AM = AB + AC 2 ( G ) A C    1 ● Thay vào (1) ta được: CB1 = − . AB + AC . 3      2   2 1   = = − = − = − + AB GC AC AG AC .AM AC . AB AC ● Ta lại có: . 1 3 3 2  1  2  ⇒ AB1 = − AB + .AC . 3 3    b/ Tính véctơ MB1 theo AB , AC . ( ) ( ● Ta có: MB1 = AB1 − AM = B1 )   1  2  1 5  1  AB + AC − AB + AC ⇒ MB1 = − AB + AC . 3 3 2 6 6 ( ) Bài tập 14. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC . Gọi G là trọng tâm ∆ABC.      a/ Tính Tính AI , AJ theo AB và AC .   b/ Tính AG theo AI và AJ . Bài giải tham khảo Từ giả thiết ta được: A 2CI = 3BI 5JB = 2JC          ⇔ 2IC = −3IB (1) &   ⇔ 5JB = 2JC (2) IC ↑↓ IB JB ↑↑ JC       a/ Tính các véctơ AI , AJ theo AB và AC .    ● Tính AI theo véctơ AB và AC . J       Từ (1) ta được : 2IC = −3IB ⇔ 2 AC − AI = −3 AB − AI (   ) ( G B I M C )     3  2  ⇔ 5AI = 3AB + 2AC ⇔ AI = AB + AC 5 5 ( 3)  ● Tính AJ theo véctơ AB và AC . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 165 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học       Từ (2 ) ta được: 5JB = 2JC ⇔ 5 AI − AJ = 2 AC − AJ (  ) ( )     5  2  ⇔ 3AJ = 5AB − 2AC ⇒ AJ = AB − AC 3 3  (4 )  b/ Tính các véctơ AG theo AI và AJ  2  2 1    1  ● Gọi M là trung điểm của BC, ta có: AG = AM = . AB + AC = AB + AC 3 3 2 3  AB = 5 AI + 3 AJ  8 8 ● Mặt khác từ hệ tạo bởi (3), (4) , ta nhận được:  (6)  25 9 AC = AI − AJ  16 16  35  1  ● Thay (6) vào (5) ta nhận được: AG = AI − AJ . 48 16 ( ) ( ) (5) . Bài tập 15. Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD  1  và P là điểm thỏa mãn hệ thức: OP = − OA .   3 a/ Chứng minh hệ thức: 3AP − 2AC = 0 . b/ Chứng minh 3 điểm B, P, N thẳng hàng. c/ Chứng minh 3 đường AC, BD và MN đồng quy. Bài giải tham khảo   a/ Chứng minh: 3AP − 2AC = 0 .          1  ● Ta có: OP = − OA ⇔ 3OP = −OA ⇔ 3 OA + AP = −OA ⇒ 4OA + 3AP = 0 (1) 3  A 1  M B ● Do O là trung điểm của AC nên: OA = − AC . 2 (   ● Thay vào (1) ⇒ 3AP − 2AC = 0 ) (đpcm) . O P b/ Chứng minh: B, P, N thẳng hàng.    ● Tính BP theo BA, BC . D N C  2    2     Ta có: BP = BA + AP , mà AP = AC ⇒ BP = BA + AC (2) 3 3      Do ABCD là hình bình hành nên AC = AB + AD = AB + BC , thay vào (2) , ta được:   2  2  1  2     BP = BA + AB + BC = BA + BC ⇒ 3BP = BA + 2BC (3) 3 3 3 3    ● Tính BN theo BA, BC .  1     1  1  1  1  1  Ta có: BN = BD + BC = BD + BC = BA + BC + BC = BC + BA 2 2 2 2 2 2    ⇒ 2BN = BA + 2BC (4) . ( Page – 166 – ) ( ) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn    2  ● So sánh: từ (3), (4) ⇒ 3PB = 2BN ⇒ PB = BN ⇒ P, B, N thẳng hàng (đpcm). 3 c/ Chứng minh: AC, BD và MN đồng quy (nghĩa là cm AC ∩ BD = O ∈ MN ← M, O, N thẳng hàng)  1  ● Do MO là đường trung bình ∆ABD ⇒ OM = DA    2 ⇒ OM + ON = 0  1  1  ● ON là đường trung binh ∆ACB ⇒ ON = BC = − DA 2 2 Hay O là trung điểm của MN ⇒ O cùng thuộc 3 đường AC, BD, MN hay AC, BD và MN đồng quy Bài tập 16. Cho ∆ABC, trọng tâm G. Gọi M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của hai đoạn        thẳng AB và BC. Lấy 2 điểm I, J sao cho: 2IA + 3IC = 0, 2JA + 5JB + 3JC = 0 . a/ Chứng minh rằng: M, N, J thẳng hàng. b/ Chứng minh J là trung điểm của BI.   c/ Gọi E ∈ AB thỏa AE = k.AB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. B Bài giải tham khảo a/ Chứng minh M, N, J thẳng hàng.          ● Ta có: 2JA + 5JB + 3JC = 0 ⇔ 2JA + 2JB + 2JB + 3JC = 0      ⇔ 2 JA + JB + 3 JB + JC = 0 (1) ( ) ( E N ) M J    C I ● Do M là trung điểm của AB và J là điểm bất kỳ nên: 2JM = JA + JB    (2) N là trung điểm của BC và J là điểm bất kỳ nên: 2JN = JB + JC    3  ● Thay (2) vào (1) ta được: 4JM + 6JN = 0 ⇒ JM = − JN ⇒ J, M, N thẳng hàng (đpcm) 2 A b/ Chứng minh J là trung điểm của BI.            ● Ta có: 2JA + 5JB + 3JC = 0 ⇔ 2 IA − IJ + 5 IB − IJ + 3 IC − IJ = 0      ⇔ 2IA + 3IC + 5IB − 10IJ = 0 (2) ( ( ) ( )   ) ( )    ● Mà 2IA + 3IC = 0 , thay vào (3 ) ta được: IC = 2.IJ ⇒ J là trung điểm của BI (đpcm).     c/ Tìm k thỏa AE = k.AB để C, E, J thẳng hàng. (nghĩa là tính AE theo AB và so sánh ⇒ k).  ● Do I là trung điểm của BI và C là điểm bất kỳ ⇒ CJ =     1  CB + CI 2 ( ) ( 4)  ● Mà theo giả thiết: 2IA + 3IC = 0 ⇒ I chia CA ra làm 5 đoạn và I gần C ⇒ CI =  1   2   1  1  CB + CA = CB + CA .  2 2  5 5    1 1 ⇒ CJ cắt AB tại điểm E thỏa EB + EA = 0 2 5     1 1 5  5 ⇔ EA + AB + EA = 0 ⇔ AE = AB ⇒ k = . 2 5 7 7 2  CA 5 (5) Thay (5 ) vào (4 ) ta được: CJ = ( ) “Cần cù bù thông minh…………” Page – 167 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học    Lời bình 5. Trong lời giải ở câu c/ chúng ta đã sử dụng kết quả: “Nếu MN = α.MA + β.MB thì    đường thẳng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm I thỏa mãn α.IA + β.IB = 0 “. Bài tập 17. Cho hình bình hành ABCD, có tâm là O và E, F được xác định bởi các hệ thức  1   1  AE = AB ; CF = CD, (k ≠ 0) . k k  a/ Chứng minh rằng OE ; OF là 2 véctơ đối nhau. Chứng minh O, E, F thẳng hàng và O là trung điểm của EF. b/ Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành. Bài giải tham khảo   a/ Chứng minh rằng OE, OF là 2 véctơ đối nhau           1  AE = AB ⇔ AO + OE = 1 AB ⇔ OE = 1 AB − AO = 1 AB + OA  k k k k ● Ta có:     1   1    1  1  CF = CD ⇔ CO + OF = CD ⇔ OF = CD − CO = CD + OC  k k k k     AB = −CD  (2) ● Do ABCD là hình bình hành nên    OA = −OC      (1) ● Từ (1), (2) ⇒ OE = −OF ⇒ OE, OF là 2 véctơ đối nhau.    ⇒ OE + OF = 0 ⇒ O là trung điểm EF (đpcm). b/ Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành  ● Từ AE =  1      1  AB; CF = CD; AB = DC ta suy ra AE = FC ⇒ AECF là hình bình hành. k k    1  Bài tập 18. Cho ∆ABC và hai điểm D, E thỏa mãn hệ thức: DB = k.DC, EB = EC, (k ≠ 1) k      a/ Biểu diễn các véctơ AD; AE; DE theo các véctơ AB; AC . b/ Chứng minh ∆ABC và ∆ADE có cùng trọng tâm         c/ Điểm F, I thỏa FA = k.FB; IC = k.IA . Chứng minh: AD + BI + CF = 0 . Bài giải tham khảo      a/ Biểu diễn các véctơ AD; AE; DE theo các véctơ AB; AC .    ● Tính AD theo AB; AC .    DB = AB − AD           k 1 DC = AC − AD ⇒ AB − AD = k AC − AD ⇒ AD = AC + AB   k −1 k −1 DB = k.DC ( Page – 168 – ) (1) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn    ● Tính AE theo AB; AC     EB = AB − AE            1 k  EC = AC − AE ⇒ AB − AE = k AC − AE ⇒ AE = AC + AB (2)  k −1 k −1  1   EB = EC  k    ● Tính DE theo AB; AC (    Ta có DE = AE − AD ) ( 3)  Thay (1), (2) vào (3 ) và rút gọn, ta được: DE =  k +1  AB − AC . k −1 ( ) b/ Chứng minh ∆ABC và ∆ADE có cùng trọng tâm     k .BC    1− k ⇒ EC + DB = 0  1    k .CB ● Từ EB = .EC ta biến đổi được: EC = k 1 − k       ● Ta có: GB = GD + DG ; GC = GE + EC         ⇒ GA + GB + GC = GA + GD + GE + EC + DB            ● Vì GA + GB + GC = 0 và EC + DB = 0 ⇒ GA + GD + GE = 0 ● Từ DB = k.DC ta biến đổi được: DB = ⇒ G là trọng tâm của ∆ADE (Ðpcm ) .         c/ Điểm F, I thỏa mãn hệ thức: FA = k.FB ; IC = k.IA . Chứng minh: AD + BI + CF = 0     1 .AC ● Ta có: IC = k.IA ⇒ AI = − k −1       1 .AC − AB Mà BI = BA + AI ⇒ BI = − k −1        k k .AB và ta tính ra CF = .AB − AC ● Từ giả thiết: FA = k.FB ⇒ AF = k −1 k −1          k −1 k −1 AC + AC − AC + .AB + AB − AB ● Nên AD + BI + CF = k −1 k −1 k −1    k − 1 ⇒ AD + BI + CF = 0 “Cần cù bù thông minh…………” (Ðpcm) . Page – 169 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học BÀI TẬP ÁP DỤNG Biểu diễn véctơ – Chứng minh 3 điểm thẳng hàng – Đồng qui – Đường qua điểm Bài 118. Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho      1  AN = .NC . Gọi K là trung điểm của MN. Hãy tính các véctơ AK , KD theo AB , AC . 2  1  1   1  1  HD : AK = .AB + .AC ; KD = .AB + .AC . 4 6 4 3     Bài 119. Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = 2DB ; CE = 3EA .     Gọi M, I lần lượt là trung điểm của DE và BC. Hãy tính véctơ AM ; MI theo AB , AC .   1  3  1  1  .AB + .AC ; MI = .AB + .AC . 3 8 6 8    Bài 120. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa: 2AB + 3AC = 5AD . Chứng minh: B, C, D thẳng hàng.     HD: Tính BC ; BD theo AB , AC . HD : AM =         Bài 121. Cho ∆ABC, lấy điểm M, N, P sao cho MB = 3MC ; NA + 3NC = 0 ; PA + PB = 0 .     a/ Tính PM ; PN theo AB ; AC . b/ Chứng minh ba điểm: M, N, P thẳng hàng.    Bài 122. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BN, CP. Hãy biểu thị các véctơ AB ; BC ; CA theo các   véctơ BN ; CP .  2 3  2 3   HD: BC = − .CP + .BN ; CA =  4  2  2  4  .BN + .CP ; AB = .BN + .CP . 3 3 3 3 Bài 123. Cho ∆ABC. Gọi I, J nằm trên cạnh BC và BC kéo dài sao cho 2CI = 3BI , 5JB = 2JC . Gọi G là trọng tâm của tam giác.        a/ Tính AI ; AJ theo AB ; AC . b/ Tính AG theo AB ; AC .  HD: AI =  5  2  3  2  .AB + .AC ; AJ = .AB − .AC . 5 5 3 3 Bài 124. Cho ∆ABC có G là trọng tâm tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm của      BC. Hãy tính AI ; CI ; MI theo AB ; AC .  1 3  2 3   1 3  1 2   5 6  1 6  HD: AI = − .AB + .AC ; CI = − .AB − .AC ; MI = − .AB + .AC . Bài 125. Cho ∆ABC có trọng tâm là G và các đường trung tuyến AM, BP. Gọi G’ là điểm đối xứng với điểm G qua P.     a/ Hãy biểu diễn các véctơ AG’ ; CG’ theo AB ; AC .    b/ Chứng minh hệ thức: 5AC − 6AB = 6MG’ . Page – 170 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I  HD: AG ‘ = Ths. Lê Văn Đoàn     2  1  1  1  .AC − .AB ; CG ‘ = − .AB − AC . Tính MG’ theo AB ; AC . 3 3 3 3 Bài 126. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CD. Hãy     biểu diễn các véctơ BC ; CD theo các véctơ AM ; AN .  2 3  HD: BC = − AM +  4  4  2  AN ; CD = − AM + AN . 3 3 3 Bài 127. Cho tứ giác ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD, BC. Hãy biểu diễn      véctơ MN theo AB ; DC và theo AC ; DB .  HD: MN =  1  1  1  1  AB + DC và MN = AC + DB . 2 2 2 2 Bài 128. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B.     a/ Chứng minh: IA − 5IB + IC = 0 .         b/ Đặt AG = a ; AI = b . Tính AB ; AC theo a ; b .  HD: AB =  5 1 1   a + b và AC = a − b . 2 2 2 ( )    Bài 129. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính các véctơ AB, BC,CA   theo các véctơ BN,CP . Bài 130. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB = 3IC .    a/ Tính AI theo AB ; AC . b/ Gọi J và K lần lượt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA = 2JC và KB = 3KA .    Tính JK theo AB ; AC .    c/ Tính BC theo AI và JK .   Bài 131. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Hãy tính các véctơ sau theo véctơ AB và AD .   a/ AI với I là trung điểm của BO .  b/ BG với G là trọng tâm ∆OCD.     Bài 132. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véctơ AC ; AD ; AF ; EF theo các véctơ     v = AB ; u = AE .    Bài 133. Cho ∆ABC và điểm D thỏa hệ thức 3DB − 2DC = 0 .    a/ Hãy biểu diễn véctơ AD theo các véctơ AB ; AC rồi nêu cách dựng D.     b/ Xác định điểm E thỏa mãn hệ thức EA + 3EB − 2AC = 0 .    HD: AD = 3AB − 2AC , E nằm trên đường thẳng BC và có EM = BC .     Bài 134. Cho ∆ABC. Các điểm D, E, G được xác định bởi hệ thức: 2AD = AB , AE = 2CE ,   2GD = GC . a/ Chứng minh BE // CD. b/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: A, G, M thẳng hàng. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 171 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học     HD: a/ Tính BE; CD theo BA , AC  b/ GA = 2  MA . 3       Bài 135. Cho hình bình hành ABCD và 2 điểm E, F thỏa các hệ thức: 2CE + EB = 0 , 3DF + BD = 0 . a/ Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.    b/ Xác định vị trí điểm M để hệ thức sau được thỏa mãn: 2AM − 3AF = 0 . Bài 136. Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và P, Q là hai điểm được xác định bởi hệ thức:       BP = BC − 2AB , CQ = k.AC − BC , trong đó k là một số thực.     a/ Biểu diễn các véctơ AP , AQ theo các véctơ AB ; AC . b/ Xác định giá trị của k để A, P, Q thẳng hàng. c/ Tính giá trị của k để đường thẳng PQ đi qua điểm M.       1 2 HD: AP = −2AB + AC , AQ = k.AC + AB , k = − , k = . 2 5 Bài 137. Cho ∆ABC.        a/ Dựng các điểm E, F, G thỏa các hệ thức: BE = −3AB, BF = 3AC, BG = BE + BF . b/ Chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng BC.   HD: BG = 3BC ⇒ B,G,C thẳng hàng. Bài 138. Cho ∆ABC.  a/ Dựng các điểm E, F, M, N sao cho các đẳng thức sau được thỏa: AE =      1  BF = AB , EM = 2BC , FN = 4BC . 3 2  AB , 3 b/ Các điểm A, M, N có thẳng hàng không ? Tại sao ?  HD: AM = 1  AN → thẳng hàng. 2      Bài 139. Cho ∆ABC và hai điểm I, F được xác định bởi: IA + 3IC = 0 , FA + 2FB + 3FC = 0 . Chứng minh rằng ba điểm I, F, B thẳng hàng.  1  2 HD: FB = − FI → I, F, B thẳng hàng. Bài 140. Cho ∆ABC.       a/ Dựng các điểm E và D sao cho: BE = 2AB + 2AC , 5AD = 3AB + 2AC . b/ Chứng minh các điểm A, D, E thẳng hàng.   HD: 5AD = AE → A, D, E thẳng hàng. Bài 141. Cho ∆EDF.    a/ Dựng điểm H sao cho EH = 4ED − 3EF . b/ Chứng minh điểm H nằm trên DF.   HD: DH = 3FD → D, H, F thẳng hàng → H nằm trên DF hay H ∈ DF .   Bài 142. Cho ∆ABC có I là trung điểm của trung tuyến AM và D là điểm thỏa hệ thức: 3AD = AC .     a/ Biểu diễn véctơ BD , BI theo AB ; AC . b/ Chứng minh ba điểm B, I, D thẳng hàng. Page – 172 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I  HD: BD = Ths. Lê Văn Đoàn   1  3   3  1  AC − AB , BI = AC − AB , BI = BD → B, I, D thẳng hàng. 3 4 4 4 Bài 143. Cho hình bình hành ABCD.     a/ Dựng các điểm E, F sao cho: BE = 2AB , AF = 3AD . b/ Dựng điểm G sao cho tứ giác AEGF là hình bình hành. c/ Chứng tỏ 3 điểm A, C, G thẳng hàng.   HD: AG = 3AC → A,C,G thẳng hàng.   Bài 144. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB và I là điểm thỏa hệ thức: 3IE = ID . Chứng minh ba điểm A, C, E thẳng hàng.   HD: AC = 3AE → A,C, E thẳng hàng. Bài 145. Cho ∆ABC.      a/ Dựng các điểm K, L sao cho: KA + 2KB + 2KC = 0 , 2LB + 3LC = 0 . b/ Chứng minh ba điểm A, K, L thẳng hàng.     HD: Biểu diễn AK , AL theo AB ; AC rồi so sánh. Bài 146. Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, N và P là hai điểm thỏa mãn hệ thức:       NA + 2NC = 0 , PB − 2PC = 0 . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.     HD: Tính MN , MP theo AB ; AC rồi so sánh.       Bài 147. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA + 4MB = 0 , NB − 3NC = 0 . Chứng minh MN đi qua trọng tâm ∆ABC.    2  HD: Tính GM , GN → GM = − GN → G, M, N thẳng hàng → đpcm. 7 Bài 148. Cho ∆ABC.  a/ Dựng các điểm D, E thỏa các hệ thức: AD = b/ Chứng minh ba điểm A, C, E thẳng hàng.  HD: AE =  3  3  AB , DE = BC . 2 2 3  AC → A,C, E thẳng hàng. 2 Bài 149. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm xác định bởi  2  AE = AC . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng. 3     HD: Tính DE và DI theo DA , DC . Bài 150. Cho ∆ABC có trung tuyến AD và M là trung điểm AD. Điểm N được lấy trên AC sao cho   3AN = AC . Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.     HD: Tính BM và BN theo AB ; AC rồi so sánh. Bài 151. Cho ∆ABC có M là trung điểm BC và O là trung điểm của AM. Trên BC lấy điểm I sao cho  2   2  AI = AB , AJ = AC . Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng. 3   5   HD: Tính IJ , IO theo theo AB ; AC rồi so sánh. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 173 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 152. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là hai điểm di động trên AB, CD sao cho lượt là trung điểm của AD, BC.   MA ND = và I, J lần MB NC  a/ Tính IJ theo AB và DC . b/ Chứng minh trung điểm P của MN nằm trên đường thẳng IJ.       Bài 153. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P là các điểm thỏa: MA = −MB , BC = 3BN , 4AP = 3AC .     a/ Tính AN , MP theo AB và DC .   b/ Chứng minh rằng M, I, P thẳng hàng với điểm I thỏa: 16AI = 9AN .       Bài 154. Cho ∆ABC với I, J, K được xác định bởi: IB = m.IC , JC = n.JA , KA = p.KB .     a/ Tính IJ và IK theo m, n, p, AB và AC . b/ Tìm mối liên hệ giữa m, n, p để I, J, K thẳng hàng. Bài 155. Cho tứ giác ABCD với I, J là trung điểm của AB và CD. Gọi điểm M, N thỏa mãn các hệ thức:       MA + k.MC = 0 , NB + k.ND = 0 (k ≠ − 1) và O là trung điểm của MN. a/ Chứng minh O, I, J thẳng hàng b/ Chứng minh O cũng là trung điểm của RS với R và S được xác định bởi các hệ thức:     RA = −RD , SB = −k.SC .    Bài 156. Cho ∆ABC có J chia BC theo tỉ số bằng – 3, N chia AC theo tỉ số bằng – 1, K chia BA theo tỉ số bằng 3. a/ Chứng minh rằng: K, N, J thẳng hàng. b/ Tính tỉ số IB AJ , với I = AJ ∩ BN . IN AI Bài 157. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. M, N trên cạnh AB, CD thỏa 3AM = AB, 2CN = CD .    a/ Tính AN theo AB và AC .  11  1  = − AG BA + BC . b/ Gọi G là trọng tâm ∆BMN. Chứng minh rằng 8 3   c/ Gọi I thỏa mãn đẳng thức 11BI = 6BC . Chứng minh rằng A, I, G thẳng hàng.      d/ Tìm điểm M thỏa: MA + MB + MC + MD = 4AB .     Bài 158. Cho ∆ABC. Lấy điểm I thỏa 3AI = AB , 4AJ = 3AC và M là giao điểm của đường thẳng IJ   và BC. Đặt BM = m.MC .    a/ Chứng minh rằng: 12IJ = 9BC − 6BA .    b/ Tính IM theo BA , BC . c/ Tìm giá trị m ?   Bài 159. Cho ∆ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm thỏa các đẳng thức: 3PB + 4PC = 0 ,     AQ = 2QC , k.RA = RB với (k ≠ 1) .    a/ Chứng minh rằng: 21PQ = 2BC + 7BA .  b/ Chứng minh rằng: RP =  4  k BA + BC . 1− k 7 c/ Tìm k sao cho P, Q, R thẳng hàng. Page – 174 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 160. Cho hình bình hành ABCD.       a/ Gọi I, F, K lần lượt là các điểm thỏa các hệ thức AI = α.AB , AF = β.AC , AK = γ.AD . Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng hàng là 1 1 1 = + β α γ b/ Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho     (α, β, γ ≠ 0) . AM 1 CN 1 = , = . Gọi G là AB 3 CD 2 trọng tâm của ∆BMN. Tính AN , AG theo AB và AC . Gọi H là điểm xác định bởi      BH = k.BC . Tính AH theo AB , AC và k. Tìm k để đường thẳng AH qua điểm G.   Bài 161. Cho tứ giác ABCD. Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AM = k.AB và   DN = k.DC .    a/ Chứng minh rằng: MN = (1 − k) AD + k.BC .     b/ Gọi E, F, I lần lượt theo thứ tự thuộc các AD, BC và MN sao cho AE = l.AD , BF = l.BC   và MI = l.MN . Chứng minh rằng: E, F, I thẳng hàng. Bài 162. Cho ∆ABC. Gọi O, G, H lần lượt theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: O, H, G thẳng hàng. Chứng minh song song Bài 163. Cho hình thang ABCD, đáy AB. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của AD, BC.  a/ Chứng minh: MN =  1  AB + AC . 2 ( b/ Chứng minh: MN // DC. )    HD: b/ Vì AB // DC ⇒ AB = k.DC  → MN = k  DC . 2 Bài 164. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và I là điểm thỏa mãn hệ thức Bài 165. Bài 166. Bài 167.    4CI + AC = 0 . Chứng minh: MP // BG.  3  HD: Hãy chứng minh MI = MG . 4 Cho tứ giác ABCD. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của ∆ABD và BCD. Chứng minh: EF // AC.  1  HD: Gọi I là trung điểm BD, hãy chứng minh EF = CA . 3 Cho ∆ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức     BD = 4BA , AE = 3AC . Chứng minh: DE // AM.  1  HD: Hãy chứng minh AM = DE . 6  2   2  Cho ∆ABC. Dựng các điểm M, N sao cho: AM = AB , AN = AC . 3 3 Chứng minh: MN // BC.  2  HD: Hãy chứng minh MN = BC . 3 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 175 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học  Bài 168. Cho ∆ABC. Dựng các điểm I, J sao cho: AI =   1  AB , AJ = 3AC . Chứng minh: IC // BJ. 3  1  = − CI BJ . HD: Hãy chứng minh 3 Bài 169. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Dựng các điểm E, F   1  1  DI , BF = BJ . Chứng minh: EF // CE. 4 4      AF = AB + BF     ⇒ AF = −CE . HD: Hãy chứng minh CE = CD + BE  thỏa mãn: DE = Bài 170. Cho tứ giác ABCD. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, đường này cắt đường chéo BD tại điểm E. Đường thẳng qua B song song với cạnh AD, cắt đường chéo AC tại điểm F. Chứng minh rằng: EF // CD.     HD: Hai véctơ OC,OA → OC = m.OA .        Tương tự OD = n.OB → DC = OC − OD = m.OA − n.OB . ( )     1  OB OC 1    = = m ⇒ OE = OB , tương tự: OF = OA . Vì AE // BC nên m n OE OA      1  1  1 nOB − nOA . Ta có: FE = OE − OF = OB − OA = m n m+n      1 1 ⇒ FE = − mOA − nOB ⇒ FE = − DC ⇒ FE // DC . m.n m.n     Bài 171. Cho ∆ABC. Các điểm D, E, G được xác định bởi hệ thức: 2AD = AB , AE = 2CE ,   2GD = GC . ( ( ) ) a/ Chứng minh BE // CD. b/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: A, G, M thẳng hàng. Bài 172. Cho ∆ABC, M là trung điểm của cạnh AB và D, E, F theo thứ tự được xác định bởi các hệ           thức: 3DB − 2DC = 0 ; EA + 3EB − 2EC = 0 ; 5AF − 2AC = 0 . a/ Chứng minh rằng: EM // BC. b/ Chứng minh rằng: ba điểm A, D, E thẳng hàng. c/ Chứng minh rằng: ba đường thẳng AD, BC, MF đồng qui tại một điểm. Page – 176 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 5. Tìm môđun (độ dài) của véctơ – Quỹ tích điểm và Điểm cố định       Tìm môđun (độ dài) của véctơ: u ± v ± w ± α        Bước 1. Ta biến đổi (rút gọn) biểu thức u ± v ± w ± α  = β bằng các phương pháp đã  học sao cho véctơ β đơn giản nhất.   Bước 2. Tính độ dài (môđun) của β dựa vào tính chất của hình đã cho, …  Quĩ tích điểm:  Đặt bài toán: Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện Ω cho trước ? Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp biến đổi để đưa về các trường hợp sau   M  Trường hợp 1: Nếu MA = MB với A, B cho trước (cố định) thì điểm  M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.    Trường hợp 2: Nếu MC = k. AB với A, B, C cho trước (cố định) A thì điểm M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k.AB.    Trường hợp 3: Nếu MA = k.BC với A, B, C cho trước (cố định) thì: B C k.A M + Với k ∈  thì điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. A M B C + Với k ∈  + thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song BC theo hướng BC. A M B C + Nếu k ∈  thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song BC ngược hướng BC. A M − B C Tìm môđun (độ dài)   Bài 173. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC = 2 (cm ) . Tính AB + AC ? Bài 174. Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Hãy tính     a/ AB − AC . b/ AB + AC .   c/ GB + GC .    Bài 175. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 (cm ), BC = 10 (cm ) . Tính AB + AC + AD ?        Bài 176. Cho ∆ABC vuông tại A có B = 600 , BC = 2 (cm ) . Tìm AB , AC , AB + AC , AC − AB ? “Cần cù bù thông minh…………” Page – 177 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học   = 300 , AB = a . Gọi I là trung điểm của AC. Hãy tính Bài 177. Cho ∆ABC vuông tại B có A      AC , AI , AB + AC , BC ?    = 450 . Tính CD , BD ? Bài 178. Cho hình thang vuông tại A và D có AB = AD = a, C     Bài 179. Cho ∆ABC vuông tại A có BC = 15 (cm ), AC = 5 (cm ) . Tính CA + BC , BC − BA ?  = 450 . Tính Bài 180. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AD và đường cao cùng bằng 2 (cm ) và B         AD + DB , CB − AD + AC , AB − AD − CB ? Bài 181. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh:    a/ AC − BA = AD .   b/ AB + AD = AC .     c/ Nếu AB + AD = OB + CD thì ABCD là hình chữ nhật. Bài 182. Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M tùy ý. Chứng minh các véctơ sau đây không đổi và tính độ dài của chúng ?           a/ u = 3MA − MB − MC − MD . b/ v = 4MA − 3MB + MC − 2MD .          d/ y = 3MA − MB − 2MC . c/ x = 2MA + MB − MC − 2MD . Quĩ tích điểm Bài 183. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:         a/ MA + MB = MA − MB . b/ 2MA + MB = MA + 2MB . HD: a/ Đường tròn đường kính AB b/ Trung trực của AB. Bài 184. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:          3 a/ MA + MB + MC = MB + MC . b/ MA + BC = MA − MB . 2           d/ 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC . c/ 2MA + MB = 4MB − MC HD: a/ Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC). b/ Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. Bài 185. Cho ∆ABC.     a/ Xác định điểm I sao cho: 3IA − 2IB + IC = 0 . b/ Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:     MN = 2MA − 2MB + MC luôn đi qua một điểm cố định.      c/ Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA − 2HB + HC = HA − HB .      d/ Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC . Bài 186. Cho ∆ABC.     a/ Xác định điểm I sao cho: IA + 3IB − 2IC = 0 .    b/ Xác định điểm D sao cho: 3DB − 2DC = 0 . c/ Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. Page – 178 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn       d/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC . Bài 187. Đại học Mỏ Địa Chất năm 1999 – 2000 Cho ∆ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng.     a/ Chứng minh: v = 3MA − 5MB + 2MC không đổi.      b/ Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC .    HD: a/ Chứng minh: v = 3BA + 2BC . b/ M thuộc đường tròn tâm I, bán kính 1 BC . 3 Bài 188. Cho ∆ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:        a/ kMA + MB = kMC, (k ∈  ) . b/ MA + (1 − k) MB − kMC = 0 . HD: a/ Đường thẳng qua B, // AC. b/ Đường trung bình // AC. AM CN Bài 189. Cho ∆ABC. Lấy hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho . Dựng = AB CA hình bình MNCP. Tìm tập hợp những điểm P. MB NC PA Bài 190. Cho ∆ABC, các điểm M, N, P di động trên các tia BC, CA và AB sao cho . = = MC NA PB Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp điểm Q.     Bài 191. Cho ∆ABC. Hai điểm M và N thay đổi sao cho MN = 2MA + 3MB − MC .     a/ Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: 2IA + 3IB − IC = 0 . b/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 192. Cho ∆ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho     a/ u = 2MA + MB + MC có độ dài nhỏ nhất.     b/ v = MA + 3MB + 2MC có độ dài nhỏ nhất.     c/ x = MA − MB + MC có độ dài nhỏ nhất.     d/ y = 5MA − 2MB − MC có độ dài nhỏ nhất. Bài 193. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, hai điểm M, N di động sao cho      MN = MA + MB + MC + MD . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 194. Cho hình bình hành ABCD có các điểm M, I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho 1 1 AM = AB, BI = k.BC, CN = CD . Gọi G là trọng tâm của ∆BMN. Định k để AI qua G. 3 2 Bài 195. Cho ∆ABC có I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Một đường thẳng d luôn thay đổi đi qua I lần lượt cắt CA, CB tại A’, B’. Chứng minh giao điểm của AB’ và A’B nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 196. Cho ∆ABC đều, tâm O, M là điểm di động trên đường tròn cố định (O, b) (nằm trong ∆). Gọi A ‘, B ‘,C ‘ tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh BC, CA, AB của tam giác và G’ là trong tâm của ∆A’B’C’.    3  a/ Chứng minh rằng: MA ‘ + MB ‘ + MC ‘ = MO . 2 b/ Chứng minh rằng G’ di động trên một đường tròn cố định. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 179 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học B – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ   Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn   vị e . Kí hiệu O; e .     Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a ) ⇔ u = a.e .    Toạ độ của điểm trên trục: M (k) ⇔ OM = k.e . ( )    Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB = a ⇔ AB = a.e .  Lưu ý   Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB .   Nếu AB ngược hướng với e thì AB = −AB . Nếu A (a ), B (b) thì AB = b − a . Hệ thức Saclơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC .  Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là   i, j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.      Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = (x; y) ⇔ u = x.i + y. j .     Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M (x; y ) ⇔ OM = x.i + y. j .    Tính chất: a = (x; y), b = (x ‘; y ‘), k ∈ , A (x A ; yA ), B (x B ; y B ), C (x C ; yC ) . x = x ‘   ● a=b⇔  y = y ‘   ● a ± b = ( x ± x ‘; y ± y ‘) .  ● ka = (kx; ky) x ‘ = kx    x’ y’ ● b ↑↑ a ≠ 0 ⇔ ∃k ∈  :  ⇔ = .  y ‘ = ky x y   ● AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB = (x 2 B 2 − x A ) + (y B − y A ) . xA + xB y + yB ; yI = A . 2 2 x + x B + xC y + y B + yC ● Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x G = A ; yG = A . 3 3 x − kx B y − ky B ● Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x M = A ; yM = A . 1− k 1−k   ( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = kMB ). ● Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: x I = ● Để ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ Page – 180 – xB − xA y − yA = B xC − x A yC − y A “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng toán 1. Tọa độ véctơ – Biểu diễn véctơ   Tọa độ véctơ Ta cần nhớ các kết quả sau   AB = ( x B − x A , y B − y A )   Với hai điểm A (x A , y A ), B (x B , y B ) , ta có:   AB = AB = ( x − x )2 + (y − y )2 B A B A      a = x1.i + y1.j        x1 = x2 a = (x1, y1 )  Với hai véctơ  , ta có:  a = b ⇔    y = y2 b = (x , y ) 2 2   2    α.a + β.b = (αx + βx , αy + βy ) 1 2 1 2   Biểu diễn véctơ    Bài toán: Hãy biểu diễn véctơ c = (c1, c2 ) theo các véctơ a = (a 1,a 2 ), b = (b1, b2 ) .    Bước 1. Giả sử c = α.a + β.b (1) .   Bước 2. Ta có: α.a + β.b = α (a1,a 2 ) + β (b1, b2 ) = (α.a1 + β.b1, α.a 2 + β.b2 ) . c = α.a + β.b 1 1 1 Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi:   (∗) c2 = α.a 2 + β.b2  Giải hệ (∗) , ta tìm được (α, β) . Thay vào (1) , ta được kết quả bài toán. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 197. Viết tọa độ của các vectơ sau    1       a/ a = 2 i + 3 j, b = i − 5 j, c = 3 i, d = −2 j . 3     3      1   b/ a = i − 3 j, b = i + j, c = − i + j, d = −4 j, e = 3 i . 2     2     c/ a = 5i, b = −3j, c = 3i − 4j, d = 0, 3i + 2.j .     Bài 198. Viết dưới dạng u = x i + yj khi biết toạ độ của vectơ u là     a/ u = (2; −3), u = (−1; 4 ), u = (2; 0), u = (0; −1) .     b/ u = (1; 3), u = (4; −1), u = (1; 0), u = (0; 0) .     c/ u = (1, −1), u = (5, 0), u = (0, −2), u = (7, 7) .   Bài 199. Cho a = (1; −2), b = (0; 3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau “Cần cù bù thông minh…………” Page – 181 – Ths. Lê Văn Đoàn  Phần Hình học          a/ x = a + b; y = a − b; z = 2a − 3b .        b/ u = 3a − 2b; v = 2 + b; w = 4a − 0,5b .    1  Bài 200. Cho a = (2; 0), b = −1; , c = (4; −6) .  2     a/ Tìm toạ độ của vectơ d = 2a − 3b + 5c .     b/ Tìm 2 số m, n sao cho: ma + b − nc = 0 .      Bài 201. Cho a = (1;2), b = (−1;4), c = (0; 4) . Tìm tọa độ và độ dài của các véctơ u, v biết:           a/ u = 2a − 4b + c + 5j . b/ v = a + b − 3c + 2i .    Bài 202. Biễu diễn véctơ c theo các véctơ a, b biết       a/ a = (2; −1), b = (−3; 4) và c = (−4;7 ) . b/ a = (1;1), b = (2; −3) và c = (−1; 3) .       c/ a = (−4;3), b = (−2; −1) và c = (0;5) . d/ a = (4;2), b = (5;3) và c = (2; 0) .       e/ a = (2; −2), b = (1;4) và c = (5;0) . f/ a = (1;3), b = (1;1) và c = (4;3) .    Bài 203. Cho u = (2; −5), v = (3; 4), w = (−5;7 ) .     a/ Tìm tọa độ của véctơ a = u + 3v − 5w .       b/ Tìm tọa độ của véctơ x sao cho u + 2v − 3w + x = 0 .    c/ Phân tích véctơ b = (7;2) theo hai véctơ u và v .   d/ Tìm m biết rằng c = (6;m ) cùng phương với w .    Bài 204. Cho a = (2;1), b = (3;4), c = (−7;2) .     a/ Tìm tọa độ của véctơ u = 3a + 2b − 4c .      b/ Tìm tọa độ của véctơ x sao cho x + a = b − c .    c/ Tìm các số k, l để c = ka + lb .  Bài 205. Cho bốn điểm A (1;1), B (2; −1),C (4; 3) và D (16; 3) . Hãy biểu diễn véctơ AD theo các véctơ   AB và AC .  Bài 206. Cho bốn điểm A (0;1), B (2; 0),C (−1;2), D (6; −4 ) . Hãy biểu diễn véctơ AD theo các véctơ   AB và AC .    Bài 207. Cho ba véctơ a = (2;1), b = (3; −4), c = (−7;2) .    a/ Tìm tọa độ véctơ 2a + 4b − 5c .      b/ Tìm tọa độ của véctơ x sao cho x + 2a = 5b − c .    c/ Hãy phân tích véctơ c theo véctơ a và b . Bài 208. Cho hai điểm A (−1;1), B (1; 3) .  a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho BM = (3; 0) . Page – 182 –  b/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA = (1;1) . “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 2. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước  Bài toán: Xác định điểm M thỏa mãn một đẳng thức véctơ hay độ dài Bước 1. Gọi M (x, y) thỏa yêu cầu bài toán. Bước 2. Tọa độ hóa các véctơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm, để chuyển biểu thức về biểu thức đại số. Bước 3. Giải phương trình hoặc hệ trên, ta nhận được tọa độ điểm M. Bài 209. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (x, y) . a/ Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox. b/ Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy. c/ Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua O. Bài 210. Cho hai điểm A (3; −5), B (1; 0) .   a/ Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = −3AB . b/ Tìm điểm D đối xứng của A qua C. c/ Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = −3 . Bài 211. Cho hình bình hành ABCD có A (−1; −2), B (3;2),C (4; −1) . Tìm tọa độ đỉnh D. Bài 212. Cho hai điểm A (1; −1), B (4; 3) .  a/ Tìm tọa độ và môđun của véctơ AB . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB. c/ Tìm điểm M chia đoạn thẳng theo tỉ số k = 2 .   d/ Tìm điểm C sao cho AB = OC . Bài 213. Cho ba điểm A (1; −2), B (0; 4), C (3; 2) .    a/ Tìm toạ độ các vectơ AB, AC, BC . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.    c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2AB − 3AC .     d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2BN − 4CN = 0 . Bài 214. Cho ba điểm A (1; –2), B (2; 3), C ( –1; –2) . a/ Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. b/ Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c/ Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 183 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 215. Cho ba điểm A (−2;1), B (3; −2),C (0; 3) .     a/ Tìm tọa độ của u = AB + 3BC − 2CA . b/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tìm trọng tâm G của ∆ABC.    c/ Tìm tọa độ điểm D sao cho CD = 2AB + 3BC . d/ Tìm điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm tâm của hình bình hành đó. Bài 216. Cho ba điểm A (2; 3), B (−1;1),C (6; 0) .     a/ Tìm tọa độ của véctơ u = 4AB + 3AC − 2BC . b/ Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng và tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Tìm tâm của hình bình hành đó. Bài 217. Trong mặt phẳng Oxy cho A (3; 0), B (−3; 0) . Xác định tọa độ điểm C và D sao cho       a/ CA + 3CB = 0 . b/ DA − 3DB = 0 . Bài 218. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−3;6), B (1; −2),C (6; 3) . a/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.    b/ Tìm tọa độ điểm E thỏa biểu thức véctơ CE = 2AB − 3AC .     c/ Tìm tọa độ điểm F thỏa biểu thức véctơ AF + 2BF − 4CF = 0 .     d/ Tìm điểm K thỏa biểu thức véctơ 4KA − 3BK + CK = 0 .  e/ Tìm véctơ trung tuyến AA 4 (làm theo ba cách). f/ Tìm tâm I và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. g/ Tìm các điểm A1, A2 , A 3 sao cho ∆ABC nhận các điểm đó làm trung điểm các cạnh. h/ Tìm các điểm M, N, P sao cho ∆MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm các cạnh. i/ Tìm hai điểm chia đoạn AC làm ba phần bằng nhau. j/ Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB k/ Tìm diện tích của ∆ABC và diện tích đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Bài 219. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (0;2), B (6; 4), C (1; −1) . Câu hỏi tương tự bài 218. Bài 220. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−1; 3), B (2; 4), C (0;1) . Câu hỏi tương tự bài 218. Bài 221. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (2;2), B (−5;1), C (3;5) . Câu hỏi tương tự bài 218. Bài 222. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (1;6), B (4; −4 ), C (4; 0) . Câu hỏi tương tự bài 218. Bài 223. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A ( –1;1), B (1; 3), C ( –2; 0) . Câu hỏi tương tự bài 218. Bài 224. Tìm điểm M sao cho x 2M + y2M nhỏ nhất khi biết tọa độ M có dạng a/ M (1 + 2t;1 + 3t) . b/ M (1 − 2t;1 + t) . Bài 225. Cho hai điểm A (4; 4), B (0;1) . Tìm điểm C trên Oy sao cho trung trực của đoạn AC đi qua B. Bài 226. Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A (−1;1), B (5; 3), đỉnh C nằm trên trục tung Oy và trọng tâm G của ∆ thuộc trục hoành Ox. Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích ∆ABC.   Bài 227. Tìm hai điểm M, N ∈ (P) : y2 = x . Biết rằng IM = 4IN và I (0;2) . Page – 184 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 3. Véctơ cùng phương và Ứng dụng   Cần nhớ các kết quả sau     a a  Với hai véctơ a = (a1;a 2 ), b = (b1; b2 ) . Để hai véctơ a, b cùng phương ⇔ 1 = 2 . b1 b2  Với ba điểm A (x A ; y A ), B (x B ; y B ), C (x C ; yC ) . Để A, B, C thẳng hàng thì   x − xA x − xA AC ↑↑ AB ⇔ B = C . yB − yA yC − y A  Với ∆ABC bất kỳ thì CA + CB ≥ AB . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ A, B,C thẳng hàng.          u − v ≤ u + v ≤ u + v ⇒ Dấu ” = ” xảy ra ⇔ u, v cùng phương và hướng.           u + v + w ≤ u + v + w . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ u, v, w cùng phương và hướng.  Lưu ý     a = (x, y) ⇒ a = x2 + y2 và AB = AB = (x 2 B 2 − x A ) + (yB − yA ) .  Nắm vững công thức tính diện tích ∆, các bất đẳng thức cơ bản (Cauchy, B.C.S).  Để chứng minh ba điểm là ba đỉnh ∆, ta chứng minh ba điểm đó không thẳng hàng.  1       Bài 228. Cho a = i − 5j, b = ki − 4j . Tìm giá trị của k để hai véctơ a, b cùng phương. 2   ( ) Bài 229. Trong mặt phẳng Oxy cho a = x 2 + 1; 3x − 2 , b = (2;1) và điểm A (0;1) .   a/ Tìm x để véctơ a cùng phương với véctơ b .   b/ Tìm tọa độ điểm M để véctơ AM cùng phương với b và có độ dài bằng 5 .   Bài 230. Cho ba điểm A (−1;1), B (1; −2),C (−2; 0) . Chứng minh hai véctơ AB và AC cùng phương, từ đó suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài 231. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm sau và chứng minh chúng thẳng hàng a/ A (−1; 4), B (−1;6),C (−1; −2) . b/ A (6;2), B (−2;2),C (0;2) . c/ A (1; 3), B (2;5),C (4;9) . d/ A (0; 4), B (3;2),C (−9;10) . Bài 232. Cho ba điểm A (x; 3), B (−4;2),C (3;5) . Tìm x để A, B, C thẳng hàng. Bài 233. Cho ba điểm A (4; y), B (2; −3),C (6; 3) . Tìm y để A, B, C thẳng hàng. Bài 234. Cho ba điểm A (1;1), B (−2;1),C (m + 1;2m + 3) . Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng.  1 1  Bài 235. Trong Oxy cho bốn điểm A (−1;5), B 2; , C (3; −1), D  ; 3 . Chứng minh rằng:  2   3  a/ D nằm trên đường thẳng AB. b/ B ∈ đoạn AC. Bài 236. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−3; 4), B (1;1), C (9; −5) . a/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 185 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học c/ Tìm tọa độ điểm E trên trục hoành Ox sao cho A, B, E thẳng hàng. Bài 237. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−1; 4), B (−3; −2), C (2; 3) . a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tìm các véctơ trung tuyến tương ứng. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c/ Tìm điểm E trên trục tung Oy sao cho ba điểm A, C, E thẳng hàng. Bài 238. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−1; 4), B (−3; −2), C (−4; −2) . a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. c/ Tìm tọa độ điểm E (x;6) sao cho A, B, E thẳng hàng. Bài 239. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (−6;2), B (2;6), C (7; −8) . a/ Chứng minh rằng ba điểm đó không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. c/ Tìm tọa điểm H sao cho ABGH là hình bình hành. Bài 240. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (2;5), B (1;2), C (4; −7 ) . a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.     b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho AM = 2AB − 3BC + 5i . c/ Tìm điểm N trên trục hoành Ox sao cho A, B, N thẳng hàng. Bài 241. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (0; 4), B (3;2), D (3; 0) . a/ Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng, biết rằng C (−6 − 3t; 8 + 2t), ∀t ∈  . b/ Chứng minh rằng A, B, D không thẳng hàng. Từ đó tính chu vi của ∆ABD.   b/ 2p = 7 + 13 . ĐS: a/ AC = −(2 + t) AB . Bài 242. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (2;1), B (6; −1) . a/ Tìm điểm M ∈ Ox sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. b/ Tìm điểm N ∈ Oy sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c/ Tìm điểm P khác B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA = 2 5 . ĐS: M (4; 0), N (0;2), P (−2; 3) . Bài 243. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−1; −4), B (3; 4) . a/ Tìm điểm M ∈ Ox sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. b/ Tìm điểm N ∈ Oy sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c/ Tìm điểm P khác B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA = 3 5 . ĐS: M (1; 0), N (0; −2), P1 (2;2) ∨ P2 (−4; −10) . Bài 244. Đại học Nông Nghiệp năm 1996 – 1997 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (1;1), B (3; 3), C (2; 0) . a/ Tính diện tích ∆ABC.  b/ Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục hoành Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất. ĐS: S∆ABC = 2 (đ.v.d.t) và M ≡ O . Bài 245. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A (1; 3), B (3;1), C (2; 4) . a/ Tính diện tích ∆ABC. Page – 186 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn  b/ Tìm tất cả các điểm M ∈ Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất. Bài 246. Trích bộ đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng – Đề 97 – câu Va. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến các điểm A và B là nhỏ ( nhất hay (PA + PB) min ) . Biết rằng: a/ A (1;1), B (2; −4 ) . b/ A (1;2), B (3; 4 ) . 6  HD: a/ A, B khác phía Ox ⇒ Po ( x; 0) = Ox ∩ AB . A, Po, B thẳng hàng ⇒ Po  ;0 ≡ P .  5  5  b/ A, B cùng phía Ox. Lấy A1 đối xứng với A qua Ox ⇒ A1 (1; −2) ⇒ P ≡ Po  ; 0 .  3  Bài 247. Tìm trên đường thẳng d : x + y = 0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau a/ A (1;1), B (−2; −4) . b/ A (1;1), B (3; −2) . Bài 248. Cho điểm M (4;1) và hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a, b > 0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho a/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất (S∆OAB min ) . b/ OA + OA nhỏ nhất. c/ 1 1 + nhỏ nhất. 2 OA OB2 HD: A, B, M thẳng hàng ⇒ a/ (∗) ⇔ 1 = b/ (∗) ⇔ a = 4 1 + a b 4 1 + = 1 (∗) . a b Cauchy ≥ 4 ab ⇒ ab ≥ 16 ⇔ S ≥ 8 . Vậy A (8; 0), B (0;2) . Cauchy 4b 4 ⇒ OA + OB = + b − 1 + 5 ≥ 9 . Vậy A (6; 0), B (0; 3) . b −1 b −1 2 17  1 1  B.C.S  4 1  1 1 1  c/ 4 + 1  2 + 2  ≥  +  = 1 ⇒ 2 + 2 ≥ . Vậy A  ;0, B (0;17 ) .  a b  17 b  a b  4   a ( 2 2 ) Bài 249. Cho điểm M (2;1) và hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a, b > 0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho a/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất (S∆OAB min ) . b/ OA + OA nhỏ nhất. c/ 1 1 + nhỏ nhất. 2 OA OB2 “Cần cù bù thông minh…………” Page – 187 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học x 2 − 2ax + 2a 2 + x2 − 2bx + 2b2 với a, b là Bài 250. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = các hằng số thỏa điều kiện a < 0, b > 0 . ĐS: y min = 2 (b − a ) khi A, B, M thẳng hàng ⇔ M ≡ O . Bài 251. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + x + 1 + x2 − x + 1 . Bài 252. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 4x + 8 + x2 − 2x + 2 . Bài 253. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 2ax + 2a 2 + x 2 − 2bx + 2b2 với a, b ∈  . Bài 254. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + y2 + 2x − 4y + 5 + x 2 + y2 − 6x − 4y + 13 . −1 ≤ x ≤ 3 ĐS: Pmin = 4 ⇔  .  y = 2 Bài 255. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2 α − 2 cos α + 2 + cos2 α + 6 cos α + 13 . Bài 256. Cho ba điểm A (0;6), B (2;5), M (2t − 2; t) . Tìm tọa độ điểm M sao cho a/ (MA + MB) min . b/ MA − MB max . Bài 257. Cho ba điểm A (1;2), B (2;5), M (2t + 2; t) . Tìm tọa độ điểm M sao cho a/ (MA + MB) min c/ MA − MB max   b/ MA + MB . . Bài 258. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: . max d/ MA − MB 2 (a + c) + b2 + 2 (a − c) m im . + b2 ≥ 2 a 2 + b2 .   HD: u = (a + c; b), v = (a − c; b) . Bài 259. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + 4b2 + 6a + 9 + a 2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ 5 .   HD: u = (a + 3;2b); v = (1 − a; 3 − 2b) . Bài 260. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: a 2 + ab + b2 + a 2 + ac + c2 ≥ b2 + bc + c2 .   b 3     c  3   b, v = −a +  ; c . HD: Cách 1. u = a + ; 2 2  2  2      b 3   3 3   b c   c, B 0; b+ c, C  − ; 0 Cách 2. A a + ; 2 2   2 2   2 2   Page – 188 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn (Dự bị Cao đẳng Giao Thông II – 2003) Bài 261. Cho a, b, c ∈  . Chứng minh: 4 cos2 a cos2 b + sin2 (a − b) + 4 sin2 a sin2 b + sin2 (a − b) ≥ 2 .   HD: u = 2 cos a cos b; sin (a − b) , v = 2 sin a sin b; sin (a − b) . ( ) ( ) x2 + xy + y2 = 3 Bài 262. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:  .  2 2 y + yz + z = 16 Chứng minh: xy + yz + zx ≤ 8 .   x 3x    3x z   ; y +  . HD: u = y + ; , v =   2 2 2  2   Bài 263. Tìm GTNN của P = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1 , x ∈  .  1  1 3   1 3  3    1 3    HD: Cách 1. u  − x; , v x + ;  . Cách 2. A − ; − , B  ; , C (x, 0) . 2   3 2  2   2 2   2  2 Bài 264. Cho x, y, z và x + 3y + 5z ≤ 3 . Chứng minh: 3xy 625z 4 + 4 + 15yz x 4 + 4 + 5zx 81y2 + 4 ≥ 45 5xyz .   2   2   2 HD: u = x; , v = 3y; , w = 5z +  .  3y   5z   x  Bài 265. Cho x, y ∈  . Chứng minh: x 2 + 4 + x 2 − 2x + y2 + 1 + y2 − 6y + 10 ≥ 5 .    HD: u = (x;2), v = (1 − x; y), w = (−1; 3 − y) . 1 (x + y)(1 − xy) 1 ≤ . Bài 266. Cho x, y ∈  . Chứng minh: − ≤ 2 2 1 + x 2 1 + y2 ( )( )   HD: u = (2x;1 − x 2 ), v = (1 − y2 ;2y) . x, y, z > 0 Bài 267. Nếu  thì x + y + z ≤ 1  x2 + 1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ 82 (Đại học A – 2003). 2 x y z  1   1   1  HD: u =  − x; 2 , v =  − y; 2 , w =  − 2; 2  .    x y z “Cần cù bù thông minh…………” Page – 189 – Ths. Lê Văn Đoàn Chương Phần Hình học 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG  A – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ  Định nghĩa  . Giả sử M x; y . Khi đó Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn xOM ( ) y ● sin α = y (tung độ). ● cos α = x (hoành độ). y  Tung độ  M  , ( x ≠ 0) . ● tan α = ,  y x  Hoành độ  ● cot α = x , y  Hoành độ    ,  Tung độ  α ( y ≠ 0) . −1 x 1 O x  Lưu ý  Nếu α tù thì cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0 .  tanα chỉ xác định khi α ≠ 900, cotα chỉ xác định khi α ≠ 00 và α ≠ 1800. "cos "cos đối – sin bù – phụ chéo"  Tính chất sin 900 − α   0 cos 90 − α ● Góc phụ nhau  tan 900 − α  cot 900 − α  ( ( ( ( sin 1800 − α   0 cos 180 − α ● Góc bù nhau  tan 1800 − α  cot 1800 − α  ) = cos α ) = sin α ) = cot α ) = tan α ( ( ( ( ) = sin α ) = − cos α ) = − tan α ) = − cot α  Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 sinα α 0 1 2 2 2 1 0 cosα α 1 3 2 2 2 3 2 1 2 0 –1 tanα α 0 3 3 1 3 || 0 cotα α || 3 1 3 3 0 ||  Các hệ thức cơ bản (cần nhớ: 0 ≤ sin α ≤ 1 và −1 ≤ cos α ≤ 1 ) sin α cos α , (cos α ≠ 0) . , (sin α ≠ 0) . ● tan α = ● cot α = cos α sin α ● tan α.cot α = 1, (sin α.cos α ≠ 0) . ● sin2 α + cos2 α = 1 . ● 1 + tan2 α = Page - 190 - 1 , (cos α ≠ 0) . cos2 α ● 1 + cot2 α = 1 , (sin α ≠ 0) . sin2 α "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn . Bài 268. Trong mặt phẳng Oxy cho M (3; 4) . Hãy tìm sinx, cosx, tanx, cotx với x = xOM  = 1200 . Hãy tìm x. Bài 269. Trong mặt phẳng Oxy cho M (x; 4 ) và xOM  . Hãy cho biết dấu của x và y khi nhọn, Bài 270. Trong mặt phẳng Oxy cho M (x; y) và α = xOM α α = 1200 , α tù. Bài 271. Tính giá trị các biểu thức sau a/ A = a sin 00 + b cos 00 + c sin 900 . b/ B = a cos 900 + b sin 90 0 + c sin 1800 . c/ C = a 2 sin 900 + b2 cos 90 0 + c2 cos 1800 . d/ D = 3 − sin2 900 + 2 cos2 600 − 3 tan2 450 . ( e/ E = 4a 2 sin2 450 − 3 a tan 450 2 2 ) + (2a cos 45 ) . 0 Bài 272. Tính giá trị của các biểu thức sau: a/ sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600. b/ 2 sin x + cos 2x khi x bằng 450; 300. Bài 273. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: a/ sin β = 1 , β nhọn. 4 1 . 3 5 d/ cos α = − , (900 < α < 1800 ) . 13 1 f/ cot α = − , (00 < α < 900 ) . 2 b/ cos α = − c/ tan x = 2 2 . e/ sin α = 4 , 0 < α < 1800 . 5 ( Bài 274. Biết sin150 = ) 6− 2 . Tính cos150 , tan150 , cot150 , cos 750, cos1050 . 4 Bài 275. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: a/ Biết sin x = 1 tan x + 3 cot x + 1 . , 900 < x < 1800 . Tính A = tan x + cot x 3 b/ Biết tan α = 2 . Tính B = sin α − cos α . sin α + 3 cos3 α + 2 sin α c/ Biết tan α = 2 . Tính C = 3 sin α − cos α . sin α + cos α d/ Biết sin α = 3 3 cot α − tan α . Tính D = . 2 cot α + tan α e/ Biết cot x = −3 . Tính E = sin2 x + 2 sin x cos x − 2 cos2 x . 2 sin2 x − 3 sin x cos x + 4 cos2 x Bài 276. Cho biết 0 0 < α < 90 0 . a/ Chứng minh rằng: sin α + cos α > 1 . b/ Đặt sin α + cos α = m . Hãy tính ● A = sin α.cos α . ● C = sin 4 α − cos4 α . “Cần cù bù thông minh…………” ● B = sin 4 α + cos 4 α . ● D = sin6 α + cos6 α . Page – 191 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 277. Cho sin α + cos α = 4 . Hãy tìm 3 a/ A = sin α cos α . b/ B = sin 3 α + cos 3 α . c/ C = sin 4 α + cos4 α . d/ D = sin6 α + cos6 α . f/ F = sin 8 α + cos 8 α . g/ G = cos2 α − cot2 α . sin2 α − tan2 α Bài 278. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ (sin x + cos x ) = 1 + 2 sin x.cos x . b/ sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x. cos2 x . c/ tan2 x − sin 2 x = tan2 x.sin2 x . d/ sin 6 x + cos6 x = 1 − 3 sin2 x.cos2 x . e/ 1 − sin x cos x = . cos x 1 + sin x g/ sin2 x sin x + cos x − = sin x + cos x . sin x − cos x tan2 x − 1 f/ cos2 x − cot2 x = cot2 x . 2 2 sin x − tan x h/ sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = 1 + 2 sin x. cos x .   1 1 1  i/ sin x  + − sin x  = , biết 00 < x < 1800 . 2  2 + 2 cos x 2 − 2 cos x  1 + tan x Bài 279. Đơn giản (rút gọn) các biểu thức sau b/ B = sin α 1 + tan2 α . a/ A = 1 + cos x. 1 − cos x . c/ C = 1 − cos2 x + tan x.cot x . 1 − sin2 x ( ) d/ D = ( ) 1 − 4 sin2 x.cos2 x 2 (sin x + cos x) ( . ) e/ E = sin 900 − x + cos 1800 − x + sin2 x 1 + tan2 x − tan2 x . f/ F = g/ G = i/ I = ( ) ( ) ( 2 cos 1800 − x − cos 900 − x + cot 1800 − x ( sin x − 4 cos 900 − x 1 + sin2 x  − cos x . h/ H = cot x    cos x cos 360 − sin 234 0 .cos 540 . sin 144 0 − cos1260 ( sin (180 ) ( + x) cos (270 ) ) ). ( ). − x) tan (x − 90 ) cos 900 + x cos 2700 + x tan x + 1800 0 0 0  3π   3π    7π  7π  j/ J = cos  − x − sin  − x + cos x −  − sin x −  .   2  2  2 2   ( ) k/ K = sin x − cot2 x − cos2 x, 1800 < x < 2700 . Page - 192 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn 1 + sin x 1 − sin x + , 00 < x < 900 . 1 − sin x 1 + sin x 1 m/ M = , 900 < x < 1800 . 2 sin x + cot x − cos x ( l/ L = ) ( ) n/ N = cos100 + cos 200 + cos 300 + ... + cos1600 + cos1700 + cos 1800 . o/ O = cos2 120 + cos2 78 0 + cos2 10 + cos2 890 . p/ P = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 87 0 . Bài 280. Cho A, B, C lần lượt là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a/ sin (B + C) = sin A . b/ cos (B + C) = − cos A . c/ sin (A + B) = sin C . d/ cos (A + B) = − cos C . e/ sin A+B C = cos . 2 2 f/ tan A + B−C = cotC . 2 A+B C = cot . 2 2 h/ cos B+C A = sin . 2 2 j/ sin A + B + 3C = cos C . 2 l/ sin A + B − 2C 3C = cos . 2 2 n/ tan B + C − 2A 3A = cot . 2 2 g/ tan i/ tan (A + B) = − tan C . k/ tan A + B − 2C 3C = cot . 2 2 m/ cos (A − B + C) = − cos 2B . Bài 281. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (hay biểu thức độc lập với biến số) a/ A = 2 cos4 x − sin 4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x . b/ B = cos6 x + 2 sin 4 x cos2 x + 3 sin 2 x cos 4 x + sin 4 x . 2 2 c/ C = (cot x + tan x ) − (cot x − tan x ) . ( ) ( ) ( ) ( ) d/ D = cos x − 600 cos x − 450 + cos x + 300 + cos 1350 + x . e/ E = sin 4 x + 4 cos2 x + cos4 x + 4 sin2 x . f/ F = 2 cot x + 1 + . tan x − 1 cot x − 1 g/ G = cot2 x − cos2 x sin x cos x + . cos x cot2 x "Cần cù bù thông minh…………" Page - 193 - Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ   Góc giữa hai véctơ        Cho a, b ≠ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a, OB = b .     với 00 ≤ AOB ≤ 1800 . Khi đó a, b = AOB ( )  Lưu ý     ● a, b = 900 ⇔ a ⊥ b .     ● a, b = 1800 ⇔ a, b ngược hướng.     ● a, b = 00 ⇔ a, b cùng hướng.     ● a, b = b, a . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  Tích vô hướng của hai véctơ       Định nghĩa: a.b = a . b .cos a, b . Đặc biệt:     Tính chất: với a, b, c bất kỳ và ∀k ∈  , ta có:   ● a.b = b.a . ● ( )      ● ka .b = k a.b = a. kb . 2 2      a b + c = a.b + a.c . ( ) 2 2   ● a ≥ 0; a = 0 ⇔ a = 0 . ( ) ( ) ( )      ● (a + b) = a + 2a.b + b .       ● a − b = (a − b)(a + b) .    ● a.b < 0 ⇔ (a, b) là góc tù. 2   2 2 a.a = a = a .   2 2   2 ● a − b = a − 2a.b + b . 2 ( )  ● a.b > 0 ⇔  ● a.b = 0 ⇔ 2   a, b là góc nhọn.   a, b là góc vuông. ( ) ( )  Biểu thức tọa độ của tích vô hướng        Cho a = (a1;a 2 ), b = (b1; b2 ) . Khi đó: a.b = a1b1 + a 2 b2 = a . b .cos a, b . ( ) (Hoành nhân hoành + Tung nhân tung = hằng số)    a1b1 + a 2 b2 a.b ● cos a, b =   = . 2 a1 + a 22 . b12 + b22 a.b ( )      ● a ⊥ b ⇔ cos a, b = 0 ⇔ a.b = 0 ⇔ a 1b1 + a 2 b2 = 0 . ( )   a a ● Để chứng minh a và b không cùng phương, ta chứng minh 1 ≠ 2 hay a1b2 ≠ a 2 b1 . b1 b2 (Dùng để chứng minh ba đỉnh của một tam giác) ● Với A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) ⇒ AB = (x 2 B 2 − x A ) + (y B − y A ) . ● Khi tính tích vô hướng 2 véctơ, ta nên để ý đến chiều nhằm xác định đúng góc. Page – 194 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 1. Tính tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh & thiết lập vuông góc   Tính tích vô hướng Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau đây    Hướng 1. Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa hai véctơ a và b về cùng gốc để xác định chính      xác góc α = a, b , từ đó: a.b = a . b .cos α . ( )  Hướng 2. Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai véctơ.     Hướng 3. Nếu đề bài cho dạng tọa độ a = (a 1;a 2 ), b = (b1; b2 ) ⇒ a.b = a1b1 + a 2 b2 .    a.b  Tính góc: cos a, b =   = a.b ( ) a1b1 + a 2 b2 2 1 a + a 22 . b12 + b22 .  Chứng minh vuông góc Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau đây  Hướng 1. Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vô hướng. Đặc biệt:  a = 0         a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a . b .cos a, b = 0 ⇔  b = 0     cos a, b = 0     Hướng 2. Nếu đề bài cho dạng tọa độ a = (a1 ;a 2 ), b = (b1 ; b2 ) thì    a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a 1b1 + a 2 b2 = 0 . ( ) ( ) Bài 282. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a . Tính các tích vô hướng       a/ AB.AC . b/ AC.CB . c/ AB.BC . Bài 283. Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng     a/ AB.AC . b/ AC.CB .   c/ AB.BC . Bài 284. Cho ∆ABC vuông cân có AB = AC = a có AH là đường cao. Tính các tích vô hướng sau         a/ AB.AC . b/ AH.BC . c/ AC.CB và AB.BC .     Bài 285. Cho ∆ABC vuông tại A, có AB.CB = 4 và AC.BC = 9 . a/ Tính các cạnh của ∆ABC.        b/ Gọi I, J là các điểm thỏa các đẳng thức véctơ IA + 2IB = 0, 2JB − JC = 0 . Tính IJ theo   hai véctơ BA, BC . Bài 286. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 .       a/ Tính các tích vô hướng: AB.BC, BC.CA, CA.AB . b/ Nếu BC = 5 (cm ), CA = 7 (cm ), AB = 8 (cm ) . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 195 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học  (  )   Tính BC, BA và B . ( ( )   )  Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3 cm . Hãy tính AD, AC .   a2 . Bài 287. Cho ∆ABC vuông tại A có BC = a 3, M là trung điểm của BC. Biết rằng AM.BC = 2 Hãy tính AB, AC . Bài 288. Cho ∆ABC đều cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác. Tính các tích vô hướng sau       a/ AC. 2AB − 3AC . b/ AC. AC − AB .       d/ AB − AC . AB + AC . c/ AM.AB .           e/ CA + BC . CA + CB . f/ m = AB.BC + BC.CA + CA.AB . ( ) ( ) ( ( )( )( ) ) Bài 289. Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c . Tính các tích vô hướng sau theo a, b, c       a/ BA.BC . b/ CB.CA . c/ AC.AB .    Bài 290. Cho ∆ABC có AB = 3a, AC = a, A = 600 . Tính AB.AC . Suy ra độ dài cạnh BC và độ dài đường trung tuyến AM. Bài 291. Cho ∆ABC có  = 600 . Hãy tính độ dài cạnh BC. a/ AB = 2, AC = 3, A  = 450 . Hãy tính độ dài cạnh AC. b/ AB = 3, BC = 4, B  = 1200 . Hãy tính độ dài cạnh AB. c/ CA = 5, BC = 6, C Bài 292. Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh rằng: (1) : a (2) : b (3 ) : c 2 = b2 + c2 − 2bc cos A 2 = a 2 + c2 − 2ac cos B 2 2 (Định lý hàm cos) 2 = a + b − 2ab cos C Bài 293. Cho ∆ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 9 . a/ Tính cosA, cosB, cosC.       b/ Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB . c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC. Bài 294. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8 .   a/ Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A.   b/ Tính CA.CB .   c/ Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3 . Tính CD.CB . Bài 295. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau      a/ AB.AC . b/ AC AB + AD .       d/ AB + AD BD + BC . c/ AB.BD .          e/ AC − AB 2AD − AB . f/ AB + AC BC + BD + BA . ( ( Page – 196 – )( ) ( ( ) )( )( ) ) “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn   h/ OA.AB .       g/ AB + AC + AD DA + DB + DC . ( )( ) Bài 296. Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, AB = a . Gọi G là trọng tâm và D, E, F lần lượt là chân đường phân giác trong của góc A, B, C. Tính       a/ Tích vô hướng của các véctơ: AG.BC, BG.AC, CG.AB . b/ Độ dài các cạnh AG, BG, CG .       c/ Tính giá trị của S = GB.GC + GC.GA + GA.GB . Bài 297. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3 .       a/ Tính AB.AC, BC.BA, CA.CB , rồi suy ra cosA, cosB, cosC.   b/ Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG.BC .       c/ Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA .     d/ Gọi AD là phân giác trong của góc BAC, . Tính theo AD AB, AC , suy ra AD. ∈ D BC ( )     5 3 1 29 b/ AG.BC = c/ S = − . HD: a/ AB.AC = − , cos A = − 2 4 3 6  AB   3  2  54 d/ Đường phân giác DB = . .DC ⇒ AD = AB + AC , AD = 5 AC 5 5 Bài 298. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 . Gọi M là trung điểm của BC. a/ Tính BC, AM.      b/ Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA + IB = 0, JB = 2JC . 2 7 133 . . b/ IJ = 2 3 Bài 299. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a .       a/ Tính các tích vô hướng: AB.CD, BD.BC, AC.BD .     b/ Gọi I là trung điểm của CD, tính AI.BD . Suy ra góc của hai véctơ AI và BD . HD: a/ BC = 19, AM = Bài 300. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = a 3 , canh đáy AD = a, BC = 2a .   a/ Tính AC.BD . Suy ra góc nhọn tạo bởi hai đường AC và BD.   b/ Gọi G là trọng tâm của ∆BCD và tính AG.AB . Bài 301. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b . Tính theo a, b các tích vô hướng         a/ AB.AC, BD.AC, AC − AB AC + AD .     b/ MA.MC + MB.MD với M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. ( )( ) Bài 302. Cho tam giác ABC có A (1;2), B (−2;6), C (9; 8) .   a/ Tính AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c/ Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e/ Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. f/ Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 197 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học g/ Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. h/ Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.     i/ Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB − 3TC = 0 . k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC. Bài 303. Cho tam giác ABC có A (0;2), B (6;9), C (4;1) . Câu hỏi tương tự như bài 302. Bài 304. Xác định hình dạng của tam giác ABC khi biết a/ A (1; 0), B (5; 0), C (3; 4) . b/ A (1;2), B (−2;6), C (9; 8) . ( ) c/ A (−1; 0), B (3; 0), C 1;2 2 . d/ A (5;7 ), B (8; −5), C (0; −7 ) . Bài 305. Xác định hình dạng của tứ giác khi biết a/ A (2;6), B (3; 3), C (−3;1), D (−4; 4) . b/ A (−2; −2), B (−1; 3), C (3;2), D (2; −2) . c/ A (−2; −6), B(4; −4), C(2; −2), D(−1; −3) . d/ A (2;1), B (3;6), C (−2; 5), D (−3; 0) .    Bài 306. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a = (1; 3), b = (6; −2), c = (x;1) .     a/ Chứng minh a ⊥ b . b/ Tìm x để a ⊥ c .       c/ Tìm x để a cùng phương với c . d/ Tìm tọa độ véctơ d để a ⊥ d và b.d = 20  Bài 307. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 4), B (−3;2) và véctơ v = (2m + 1; 3 − 4m ) .     a/ Tìm m để v cùng phương với AB . b/ Tìm m để v ⊥ AB . Bài 308. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: A (2; 3), B (9; 4),C (5; y), D (x; −2) . a/ Tìm y để ∆ABC vuông tại C. b/ Tìm x để 3 điểm A, B, D thẳng hàng. Bài 309. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A (−3; 3), B (4; 4) .  a/ Tìm M ∈ Oy để AMB = 900 . b/ Tìm N ∈ Ox để A, B, N thẳng hàng.   Bài 310. Tính góc giữa hai véctơ a và b trong các trường hợp sau     a/ a = (4; 3), b = (1;7 ) . b/ a = (2;5), b = (3; −7 ) .     c/ a = (6; −8), b = (12;9) . d/ a = (2; −6), b = (−3;9) . Bài 311. Cho ∆ABC với A (1; 6), B (2;6),C (1;1) . a/ Tìm tọa độ trực tâm H. b/ Vẽ AK ⊥ BC . Xác định tọa độ điểm K. Bài 312. Cho tam giác ABC có A (1; –1), B (5; –3), C (2; 0) . a/ Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.    b/ Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2AB − 3AC . c/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 313. Cho ∆ABC cso A (4; 3), B (0; −5),C (−6; −2) . a/ Chứng minh ∆ABC vuông tại B. b/ Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c/ Tìm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Page – 198 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 314. Cho ∆ABC biết A (1;2), B (−3; −4) . a/ Tìm tọa độ hình chiếu của A lên BC. b/ Tìm diện tích tam giác ABC. Bài 315. Cho ba điểm A (7; 4), B (0; 3),C (4; 0) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC. Từ đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC. Bài 316. Cho ∆ABC, biết A (1;2), B (−1;1), C (5; −1) .   a/ Tính AB.AC . c/ Tìm tọa độ chân đường cao A1 của ∆ABC. e/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. g/ Chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng. b/ Tính cos và sin góc A. d/ Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC. f/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆. Bài 317. Cho A (0;2), B (6;9),C (4;1), D (2;10) . a/ Chứng minh: ∆ABC vuông. b/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật.   c/ Gọi C’ thỏa CC ‘ = AB . Tìm C’, suy ra D đối xứng với C’ qua B. Bài 318. Cho ∆ABC có AB = a, AC = 2a . Gọi D là trung điểm cạnh AC, M là điểm thỏa  1  BM = BC . Chứng minh BD vuông góc với AM. 3 Bài 319. Cho ∆ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài ∆ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ∆ABD, ∆ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM ⊥ DE . Nếu góc A tù hoặc vuông thì kết quả trên còn đúng không ? Tại sao ? Bài 320. Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM ⊥ BD . Bài 321. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.       a/ Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 . b/ Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao trong tam giác đồng qui”. Bài 322. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.       Chứng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = 0 .     Bài 323. Cho ∆ABC đều, trên BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F thỏa 3DB = BC, 3CE = 2CA và   15AF = 4AB . Chứng minh: AD ⊥ EF . Bài 324. Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC. Kẻ đường PP’ qua M và vuông góc với OA, đường QQ’ qua M và vuông góc với OB. a/ Chứng minh: AM = PQ . b/ Chứng minh: AM ⊥ PQ . Bài 325. Cho ba điểm A, B, M. Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: 4OM2 = AB2 ⇔ MA ⊥ MB . Bài 326. Cho ∆ABC có AB = c, BC = a, AC = b . Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc nhau là b2 + c2 = 5a 2 .   Bài 327. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là BA.BC = AB2 .     Bài 328. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) . Gọi H là điểm xác định bởi OH = OA + OB + OC .   a/ Tính AG.BC . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC. b/ Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh tam giác ABC là a, b, c sao cho AH ⊥ AM với M là trung điểm của BC. “Cần cù bù thông minh…………” Page – 199 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 329. Cho hình vuông ABCD. a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BN . 1 1 b/ Gọi P, Q tương ứng trên BC, CD sao cho BP = BC, CQ = CD . 4 4 Chứng minh AP ⊥ BQ . Bài 330. Cho hình chữ nhật ABCD có a/ AB = a, AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh: BK ⊥ AC . b/ AB = a, AD = b . Gọi K là trung điểm của AD và L trên tia DC sao cho DL = Chứng minh: BK ⊥ AL . b2 . 2a Bài 331. Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD tại M. Gọi P là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:     MP ⊥ BC ⇔ MA.MC = MB.MD . AC . Gọi N là trung điểm của Bài 332. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên AC sao cho AM = 4 DC. Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân. Bài 333. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = h , cạnh đáy AD = a, BC = b . Tìm điều kiện giữa a, b, h để:  a/ AC ⊥ BD . b/ AIB = 900 với I là trung điểm của CD. Bài 334. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a .   a/ Tính AC.BD . Suy ra góc giữa AC và BD. b/ Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Dùng tích vô hướng để tính BJ sao cho AJ và BI vuông góc. Bài 335. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b , đường cao AB = h . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để a/ BD ⊥ CI với I là trung điểm của AB. b/ AC ⊥ DI . c/ BM ⊥ CN với M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AC và BD. ĐS: a/ h2 = 2ab . b/ h2 = 2ab . c/ h2 = 2b2 − ab . Bài 336. Cho tứ giác ABCD.   a/ Chứng minh: AB2 − BC2 + CD2 − DA2 = 2AC.DB . b/ Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB2 + CD2 = BC2 + DA2 Bài 337. Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao cho AB.AB1 = AC.AC1 . Chứng minh: AM ⊥ B1C1 . Bài 338. Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung điểm của AB, E là trọng tâm của ∆ACM. Chứng minh: OE ⊥ CM . Bài 339. Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 và CC1 là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh: OA ⊥ B1C1 . Bài 340. Cho đường tròn tâm O và một điểm P thuộc miền trong của đường tròn. Qua P, kẻ hai dây AB, CD vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm của dây BD. Chứng minh: PM ⊥ AC . Page – 200 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 2. Chứng minh đẳng thức và tìm quỹ tích điểm thỏa biểu thức về tích vô hướng hay độ dài. Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị.   Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay độ dài  Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tích chất của tích vô hướng. Cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véctơ để biến đổi (quy tắc ba điểm +, − , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, …). 2    Với các công thức về độ dài, ta thường sử dụng: AB2 = AB = AB.AB . Cần nắm vững các hình tính của những hình cơ bản.  Xác định điểm, quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài  Bài toán: Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức f Ω, Ω về tích vô hướng hay độ dài. ( ) ⇒ Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau: Dạng 1. AM2 = k > 0 , thì điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kinh R = k .   Dạng 2. MA.MB = k với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:  Gọi I là trung điểm của AB, ta được:           k = MA.MB = MI + IA MI + IB = MI + IA MI − IA = MI2 − IA2 . ( IM2 = k + IA2 = k +  Khi đó: )( ) ( )( ) AB2 AB2 đặt = IM2 = k + IA2 = k + = l. 4 4 ● Nếu l < 0 thì M không tồn tại. ● Nếu l = 0 thì M ≡ I : là trung điểm của AB. ● Nếu l > 0 thì M thuộc đường tròn tâm I bán kính R = l .   Dạng 3. MA.MB = k với A, B cố định. Khi đó:  Gọi Mo , Ao theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A len BC, ta được:   k k = MA.MB = Mo A o .BC ⇔ Mo Ao = , có giá trị không đổi và do Ao cố BC định nên Mo cố định.  Vậy điểm M thuộc đường vuông góc với BC tại Mo. Đặc biệt, khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC.  Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, chẳng hạn như: S = MI2 + c với c là hằng số và I cố định. Smin = c đạt được khi MI = 0 ⇔ M ≡ I .  Lưu ý: Cần nắm vững cách tìm cực trị ở phần đại số (BĐT Cauchy, BCS,…) “Cần cù bù thông minh…………” Page – 201 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay về độ dài Bài 341. Cho hai điểm A và B. Gọi O là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng:   MA.MB = OM2 − OA2 .   Bài 342. Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AB.AC = MA2 − MB2 .       Bài 343. Cho ∆ABC đều, cạnh a, có đường cao AH và trọng tâm G. Tính GB.GC, AB.GC, GC.BH .       Bài 344. Cho ∆ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh: AB.CM + BC.AM + CA.BM = 0 . Bài 345. Chứng minh rằng:       a/ MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 với mọi điểm M, A, B, C. (gọi là hệ thức Euler).   1 b/ AB.AC = AB2 + AC2 − BC2 với mọi điểm A, B, C. 2   1 c/ MN.PQ = MQ2 + NP2 − MP2 − NQ2 với mọi điểm M, N, P, Q. 2 ( ) ( ) Bài 346. Cho ∆ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF.       Chứng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = 0 . Bài 347. Cho I là trung điểm của đoạn AB, M là một điểm tùy ý. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB. Chứng minh rằng:   1 a/ MI.AB = MB2 − MA2 . 2   1 b/ MA.MB = MI2 − AB2 . 4 1 c/ MA2 + MB2 = 2MI2 + AB2 . 2 d/ MA2 − MB2 = 2IH.AB . ( ) Bài 348. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh:     a/ MA.MC = MB.MD . b/ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 . Bài 349. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.         a/ Chứng minh: AM.AI = AB.AI, BN.BI = BA.BI .     b/ Tính AM.AI + BN.BI theo R.   1 Bài 350. Cho ∆ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH.MA = BC2 . 4 Bài 351. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:     a/ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 b/ MA.MC = MB.MD     c/ MA2 + MB.MD = 2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật). Page – 202 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn Bài 352. Cho ∆ABC có AA ‘, BB ‘, CC ‘ là các trung tuyến, G là trọng tâm, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:       a/ AA ‘.BC + BB ‘.CA + CC ‘.AB = 0 .       b/ MA ‘.BC + MB ‘.CA + MC ‘.AB = 0 .       1 c/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA2 + MB2 + MC2 − AB2 + BC2 + CA2 . 2       1 d/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA ‘2 + MB ‘2 + MC ‘2 − AB2 + BC2 + CA2 . 4 e/ MA2 + MB2 + MC2 = MA ‘2 + MB ‘2 + MC ‘2 + ( ) ( ) 1 AB2 + BC2 + CA2 . 4 ( ) Bài 353. Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: a/ GA2 + GB2 + GC2 = 1 AB2 + BC2 + CA2 . 3 ( b/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + ) 1 AB2 + BC2 + CA2 . 3 ( ) c/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 (đẳng thức Leibnizt). Bài 354. Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: 2MA2 + MB2 + MC2 = 4MI2 + 2IA2 + IB2 + IC2 . Bài 355. Cho ∆ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC, I là trung điểm AM. Chứng minh rằng:   1 a/ MH.MA = BC2 . 4 1 b/ MH2 + MA2 = AH2 + BC2 . 2 Bài 356. Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn tam O bán kính R, M ∈ (O) . Chứng minh rằng: a/ MA2 + MB2 + MC2 = 6R 2 .   b/ MA2 + 2MB.MC = 3R 2 . c/ MA = MB + MC (M thuộc cung nhỏ BC). Bài 357. Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng d ở M và một điểm C trên d (C khác M). Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) khi và chỉ khi MC2 = MA.MB .   Bài 358. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 2AC.BD . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau. Bài 359. Cho ∆ABC và hai điểm M, M ‘ bất kỳ. Gọi I và I’, Hvà H’, K và K’ theo thứ tự là hình chiếu của       M và M’ lên BC, CA, AB. Chứng minh: BC.II ‘ + CA.HH ‘ + AB.KK ‘ = 0 . Bài 360. Cho hình thoi ABCD có cạnh a và góc A = 600 . Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA2 − MB2 + MC2 − MD2 = a 2 . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 203 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học Bài 361. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) , H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: ( ) OH2 = 9R 2 − a 2 + b2 + c2 với a, b, c là độ dài tương ứng của ∆ABC. Bài 362. Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R và A là một điểm cố định, đặt OA = d . Giả sử AM cắt (O) tại N.   a/ Chứng minh rằng tích vô hướng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc vào điểm M.   b/ Chứng minh rằng tích vô hướng AM.AN có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Bài 363. Cho nửa đường tròn đường kính AB, có AC, BD là hai dây cung thuộc nửa đường tròn, cắt     nhau tại E. Chứng minh: AE.AC + BE.BD = AB2 . Bài 364. Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: MA 4 + MB4 + MC4 = 2a 4 . Tập hợp điểm và cực trị Bài 365. Cho ∆ABC có AB = 3 . Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện     a/ MA.MB = 6 . b/ AM.AB = 8 . Bài 366. Cho AB = a có trung điểm I. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện a/ 2MA2 + MB2 = a 2 . b/ 2MA2 − MB2 = k (k cho trước).   d/ MA.MB = k .   e/ 2MA2 − MA.MB = k (k cho trước) c/ MA2 − 3MB2 = a 2 .   d/ MA2 + MA.MB = 0 . Bài 367. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp điểm M sao cho     a/ MA.MC + MB.MD = a 2 . b/ MA2 − MB2 + MC2 = a 2 .          c/ MA + 2MB + MC MA − MC = 2a 2 . d/ MA.MB + MC.MD = k (k cho trước). ( )(    )  e/ MA.MB + MC.MD = 5a 2 .      g/ MA + MB + MC MC − MB = 3a 2 . ( )( f/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MD2 . ) Bài 368. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện a/ MA2 − MB2 + CA2 − CB2 = 0 .   c/ 2MB2 + MB.MC = BC2 .     e/ MA + MB MC − MB = 0 . b/ 3MA2 − 2MB2 − MC2 = 0 .   d/ AM.BC = k (k cho trước).     f/ MA.MB − MA.MC = MC2 − MB2 + BC2 .     g/ MA.MB = AB.MC .   h/ MA2 = MB.MC .     k/ 2MA2 = MA.MB + MA.MC . ( )( ) i/ MA2 + MB2 + MC2 = AB2 + AC2 . Page – 204 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I     l/ MA − MB 2MB − MC = 0 . ( )( ) Ths. Lê Văn Đoàn     m/ 2MA2 + MA.MB = MA.MC . Bài 369. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:     1 MA.MB + MC.MD = IJ2 . 2 Bài 370. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tìm tập điểm M thỏa điều kiện a/ MA2 + MB2 + MC2 = 2a 2 .     b/ MA.MC = MC.MB .     c/ MA2 + MA.MB + MA.MC = 0 .   a2 d/ MB.MC = MA2 + . 2       5a 2 e/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = . 2 f/ MA2 − 3MB2 + 2MC2 = 0 . g/ 2MA2 + MB2 − MC2 = a 2 .       a2 h/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = . 4 Bài 371. Cho hình bình hành ABCD. Biện luận theo k tập hợp những điểm thỏa mãn: MA 2 + MB2 + MC2 + MD2 = k . Bài 372. Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.       a/ Chứng minh rằng: MA.MB + MB.CA + MC.AB = 0 . b/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2 . Từ đó suy ra vị trí của điểm M để MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: M ≡ G . Bài 373. Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm bất kỳ. ( ) a/ Chứng minh rằng: MA2 − MB2 + MC2 = MD2 − 2 OB2 − OA2 . b/ Giả sử M di động trên đường tròn (D) , tìm các vị trí của M để MA2 − MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: M là hình chiếu vuông góc của D lên (D) . Bài 374. Cho ∆ABC đều, cạnh bằng 6 (cm ) . Lấy M là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Đặt S = MA2 − MB2 − MC2 . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ? ĐS: Smin = −a 2, Smax = 2a 2 . 3 Bài 375. Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.     a/ Chứng minh rằng véctơ v = MA + MB − 2MC không phụ thuộc vào vị trí M. b/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng:  MA2 + MB2 − 2MC2 = 2MO.v . “Cần cù bù thông minh…………” Page – 205 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học c/ Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Tìm vị trí của điểm M để MA 2 + MB2 − 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Bài 376. Cho ∆ABC nhọn. Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.  = 1200 . Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 377. Cho ∆ABC có A Bài 378. Cho ∆ABC nhọn. Tìm trên các đường thẳng BC, CA, AB các điểm X, Y, Z sao cho chu vi ∆XYZ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 379. Cho ∆ABC có M là điểm tùy ý. Tìm vị trí M trong các trường hợp sau a/ MA2 + MB2 − MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. b/ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và MA2 + 3MB2 − MC2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 380. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. a/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = a 2 ⇔ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.      b/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 − 3MD2 = 2MO MA + MB + MC − 3MD . ( ) c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của MA2 + MB2 + MC2 − 3MD2 khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Page – 206 – “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn C – HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC  Cho ∆ABC có: — Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c . — Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc — Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc — Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r — Nửa chu vi tam giác: p — Diện tích tam giác: S 2 2  2 a = b + c − 2bc. cos A 1. Định lí côsin: b2 = c2 + a 2 − 2ca. cos B .  2 c = a 2 + b2 − 2ab.cos C  2. Định lí sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 2 2 2  2 m = 2(b + c ) − a  a 4  2 + 2(a c 2 ) − b2 3. Độ dài trung tuyến: m2b =  4  2 2(a 2 + b2 ) − c2 m c = 4   =   = 4. Diện tích tam giác: S =   =   = 1 1 1 aha = bh b = ch c 2 2 2 1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc = pr 4R p(p − a)(p − b)(p − c) Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước. 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao. A • BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pi–ta–go) • AB2 = BC.BH , 2 • AH = BH.CH , 1 1 1 = + 2 2 AH AB AC2 B H AC2 = BC.CH C • AH.BC = AB.AC • b = a.sin B = a.cos C = c tan B = c cotC ; c = a.sin C = a.cos B = b tan C = b cotC “Cần cù bù thông minh…………” Page – 207 – Ths. Lê Văn Đoàn Phần Hình học 6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) T B Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. A • Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.     PM/(O) = MA.MB = MC.MD = MO2 − R 2 O M R C D • Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. PM/(O) = MT2 = MO2 − R 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; b) sin A = sin B cos C + sin C cos B a) a = b.cos C + c.cos B 3 c) ha = 2R sin B sin C d) m2a + m2b + m2c = (a 2 + b2 + c2 ) 4  2 1 e) S∆ABC = AB2 .AC2 − (AB.AC) 2 Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 1 1 b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C = sin2 A, h b h c = h2a a) Nếu b + c = 2a thì = + ha hb hc Baøi 1. c) A vuông ⇔ m2b + m2c = 5m2a Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. 1 a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S = AC.BD.sin α . 2 b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Baøi 4. Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH. a) Chứng minh AH = a.sin B.cos B, BH = a.cos2 B, CH = a.sin 2 B . Baøi 3. b) Từ đó suy ra AB2 = BC.BH, AH2 = BH.HC .  Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH = α . a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α. b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α. c) Từ đó tính sin 2α, cos 2α, tan 2α theo sin α, cos α, tan α . Baøi 5. Giải tam giác ABC, biết:   a) c = 14; A = 600 ; B = 400   b) b = 4, 5; A = 300 ; C = 750   c) c = 35; A = 400 ; C = 1200   d) a = 137, 5; B = 830 ; C = 57 0 Giải tam giác ABC, biết:  a) a = 6, 3; b = 6, 3; C = 540  b) b = 32; c = 45; A = 87 0  c) a = 7; b = 23; C = 1300  d) b = 14; c = 10; A = 1450 Baøi 6. Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết: a) a = 14; b = 18; c = 20 Baøi 8. c) a = 4; b = 5; c = 7 Page – 208 – b) a = 6; b = 7, 3; c = 4, 8 d) a = 2 3; b = 2 2; c = 6 − 2 “All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top