Đề cương HK2 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa

ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 PHẦN 1. ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ I. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b)  F (a ) b được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là  f ( x)dx. a b b Ta dùng kí hiệu F ( x) a  F (b)  F (a ) để chỉ hiệu số F (b)  F (a ) . Vậy b  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) . a 2. Tính chất của tích phân a 1.  a b 3.  a b b f ( x) dx  0 2. c a b c f ( x) dx   f ( x )dx   f ( x)dx ( a  b  c ) b b a a b b 4.  k . f ( x) dx  k . f ( x )dx (k  ) a b  a f ( x ) dx    f ( x)dx a a 5.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx . a II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Phương pháp 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Để tính b  f  x  dx , đôi khi ta chọn hàm số a u  u  x  làm biến số mới, trong đó trên đoạn  a; b , u  x  có đạo hàm liên tục và u  x    ;   . Giả sử có thể viết f  x   g  u  x   u ‘  x  , x   a; b  , với g  u  liên tục trên đoạn  ;   . Khi đó b u b  a u a   f  x  dx   g  u  du . Phương pháp 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Giả sử hàm số x    t  có đạo hàm liên tục trên  * đoạn  ;   sao cho     a,     b và a    t   b với t   ;   . Khi đó b  a  f  x  dx   f   t    ‘  t  dt .  (*) Nếu    thì ta xét đoạn   ;  . 2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên  a; b thì b b  u  x  v ‘  x  dx   u  x  v  x     u ‘  x  v  x  dx b a a a Hay b b  udv  uv a   vdu. b a a II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 1. Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức 1 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f1  x  , y  f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng x  a , x  b được tính bởi công thức  y  f1  x   y  f2  x  H  :  x  a x  b  Chú ý b – Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  a b f ( x) dx   f ( x)dx . a 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a. Thể tích vật thể Cắt một vật thể V  bởi hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a , x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x  a  x  b  cắt V  theo thiết diện có diện tích S ( x) (hình vẽ). Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó, thể tích V của vật thể V  được tính bởi công thức b. Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  0 2 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) 2 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V    f 2 ( x )  g 2 ( x) dx a B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1.  e3 x 1dx bằng 1 1 A.  e5  e2  . 3 5  Câu 2. Biết B. 1 5 2 e e . 3 f  x  dx  4 . Giá trị của 1  0 1 5 2 e  e  . 3  3 f  x  dx bằng 1 A. 7. 6 D. 5 4 B. . 3 Câu 3. Cho C. e5  e 2 . C. 64 . D. 12 . C. I  2 D. I  4 2 f ( x ) dx  12 . Tính I   f (3 x ) dx . 0 A. I  6 B. I  36 3 Câu 4. Biết F  x   x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của A. 23 . 4 B. 7.  C. 9. D. 2   2  f ( x)  dx bằng 1 15 . 4 1   . Giá trị của a.b là a b B. 12 C. 24 Câu 5. Biết  4 (1  x) cos 2 xdx  0 A. 32 D. 2 2ln x Câu 6. Biết  2 dx   a  b.e 1 , với a, b   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 e A. a  b  6 . B. a  b  6 . C. a  b  3 . D. a  b  3 . dx Câu 7. Cho   a ln 2  b ln 5  c ln11 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 16 x x  9 A. a  b   c . B. a  b   c . C. a  b  3c . D. a  b  3c . x Câu 8. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 55 2 2 A. S  π  e2 x dx . B. S   e x dx . 0 0 2 2 C. S  π  e x dx . D. S   e2 x dx . 0 0 Câu 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  1 và x  5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. S   5 1 f  x  dx   f  x  dx . 1 B. S  1 5 1 1 C. S    f  x  dx   f  x  dx .  1 1 5 f  x  dx   f  x  dx . 1 1 5 1 1 D. S    f  x  dx   f  x  dx . Câu 10. Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường x  0, x   , y  0 và y   sin x. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức 3 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12   A. V    sin x dx. Câu 11. Biết  1 A. P   3 x dx x2  1 1  4x D. V       sin x dx . 0 0  a 5  b 2  c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P  a  b  c . B. P  2 C. V   sin 2 xdx. 0 5 . 2 Câu 12. Cho  B. V    sin 2 xdx. 0 2 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 7 . 2 C. P  5 . 2 D. P  2 . 2x 1 1 dx   ln a  ln b   c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b  10c bằng  4x 1 2 B. 15 . C. 14 . D. 9 . 2 1 A. 15 .  2 Câu 13. Cho  f ( x)dx  4 . Tính tích phân I 0 1 3 2 3 A. I  .  0 f (2 tan 3 x) dx. cos 2 3 x 8 3 B. I  . Câu 14. Cho hàm số f  x  thỏa mãn 12 2  ( x  3) f ‘( x)dx  50 0 B. I  8 . A. I  12 . 2 Câu 15. Biết rằng  1 1 0 B. J  1008 . ln 6 Câu 16. Biết I  e ln 3 A. P  10 . x D. I  . 2 và 5 f  2   3 f  0   60 . Tính.  f ( x )dx 0 C. I  10 . f  x dx  2016 . Tính tích phân J   A. J  2016 . 4 3 C. I  . 1 f 3x  1 D. I  12 .   3 x  1 dx C. J  1344 . D. J  3024 . dx  3ln a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P  ab.  2e  x  3 B. P  15 . C. P  20 . D. P  10 . 3 Câu 17. Biết  ln xdx  a ln 3  b ln 2  1; a, b   . Khi đó, giá trị của a  b là 2 A. 5 B. 5 C. 1 D. 6 Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng x  0, x   2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? A. V    1 B. V  (  1) C. V  (  1) D. V    1 Câu 19. Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 2 11 t  t  m/s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ luật v  t   180 18 trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A , nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a  m/s 2  ( a là hằng số) . Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 22  m/s  . B. 15  m/s  . C. 10  m/s  . D. 7  m/s  . 2 2 3 Câu 20. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    , f   x   2 x  f  x   x  R , f 1  . Giá trị f (1) bằng: 9 2 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 Câu 21. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  5   1 và 5  x f   x  dx 2 bằng 0 4 1  xf  5 x  dx  1 , 0 khi đó ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 123 . 5 Câu 22. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, B. 23 . A. 15 . C. D. 25 . A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là 100.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2  8 m , B1B2  6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ  3 m ? A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng. C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng. 3 1 2 Câu 23. Cho đường thẳng y  x và parbol y  x  a ( a là 4 2 tham số thực dương). Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? 1 9  A.  ;  .  4 32   3 C.  0;  .  16   3 7  B.  ;  .  16 32   7 1 D.  ;  .  32 4  1 và 2 g  x   dx 2  ex  1  a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị của hàm số Câu 24. Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 3;  1;1 (tham khảo hình vẽ) . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 9 A. . B. 8 . 2 C. 4 . D. 5 . Câu 25. Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f ( x ) như hình bên. Đặt h( x)  2 f ( x)  x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. h (4)  h( 2)  h(2) B. h(4)  h ( 2)  h (2) C. h (2)  h(4)  h( 2) D. h (2)  h( 2)  h(4) CHỦ ĐỀ II. SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa số phức  Mỗi biểu thức dạng z  a  bi , trong đó a, b  , i 2  1 được gọi là một số phức.  i được gọi là đơn vị ảo. 5 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  Đối với số phức z  a  bi , ta nói a là phần thực và b là phần ảo của z .  Tập hợp các số phức kí hiệu là  . Số phức bằng nhau Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a  c . a  bi  c  di   b  d Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là số phức với phần ảo bằng 0 và viết là a  a  0i. Ta có    .  Số phức 0  bi được gọi là số ảo và viết đơn giản là bi . Biểu diễn hình học số phức Điểm M  a; b  trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  a  bi . Môđun của số phức Giả sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  a; b  trên mặt  phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . a  bi  a 2  b 2 Số phức liên hợp  Cho số phức z  a  bi . Ta gọi a  bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z  a  bi .  Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox .  Nhận xét. z  z , z  z . Phép cộng và phép trừ số phức Phép nhân số phức  a  bi    c  di    a  c    b  d  i ;  a  bi    c  di    a  c    b  d  i .  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i . Tổng và tích của hai số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi . Ta có z  z   a  bi    a  bi   2a. z.z   a  bi  a  bi   a 2  b 2  z . 2 Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực. Phép chia hai số phức a  bi  a  bi  c  di  ac  bd ad  bc    i. c  di  c  di  c  di  c 2  d 2 c 2  d 2 Căn bậc hai của số thực âm Các căn bậc hai của số thực a  0 là i a . 6 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 với a, b, c   , a  0 . Xét biệt số   b 2  4ac của phương trình. Ta thấy  Khi   0 , phương trình có một nghiệm thực x   b ; 2a  Khi   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức x  b   ; 2a  Khi   0 , phương trình không có nghiệm thực. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức x  b  i  2a . Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt). B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM Câu 1. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z  1  2i ? A. N . B. P . C. M . D. Q . Câu 2. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2  3i . B. z  3i . C. z  2 . Câu 3. Cho hai số phức z1  7  4i và z2  2  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  5  i . B. z  9  7i . C. z  5  7i . Câu 4. Cho hai số phức z1  3  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 5  i . B. 5  i . C. 5  i . Câu 5. Số phức liên hợp của số phức 2  5i là A. z  2  5i . B. z  2  5i . C. z  2  5i . Câu 6. Cho số phức z  2  i . Tính z . D. z  3  i . D. z  9  i . D. 5  i . D. z  2  5i . A. z  3 . B. z  5 . C. z  2 . D. z  5 . Câu 7. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B là điểm biểu diễn của số phức z ‘  2  3i . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành. Câu 8. Cho số phức z  1  2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ? A. Q(1;2) . B. N (2;1) . C. M (1; 2) . D. P (2;1) . Câu 9. Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i . A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  5  5i . D. z  1  i . Câu 10. Cho số phức z1  1  2i, z2  3  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z1  z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. N (4; 3) . B. M (2; 5) . C. P(2; 1) . D. Q(1;7) . Câu 11. Cho hai số phức z  2  2i và w  2  i . Mô đun của số phức zw A. 40 . B. 8 . C. 2 2 . D. 2 10 . Câu 12. Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b A. S  7 . 3 B. S  5 . C. S  5 . 7 3 D. S   . Câu 13. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 1  z0 là A. M  2;2  . B. Q  4; 2  . C. N  4;2  . D. P  2; 2  . 7 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 14. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z 2  6 z  10  0 . Giá trị z12  z22 bằng A. 16 . B. 56 . C. 20 . D. 26 . Câu 15. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4  0 . Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. A. T  2 2 . B. T  2 C. T  8 . D. T  4 . 2 Câu 16. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  3 z  5  0 . Giá trị của z1  z2 là A. 2 5 . B. 5. C. 3 . D. 3 . 2 Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3  10i . Tìm số phức w  z  4  3i . A. w  3  8i B. w  1  3i C. w  1  7i D. z  4  8i Câu 18. Xét các số phức z thỏa mãn  z  i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 5 . 2 Câu 19. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  4  i   2i   5  i  z ? A. 1 . B. 5 . 4 C. D. 3 . 2 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 10 . Câu 20. Xét các số phức z thỏa mãn  z  3i   z  3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 9 . 2 B. 3 2 . C. 3 . D. 3 2 . 2 Câu 21. Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số 3  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 2 3. B. 12. phức w  C. 20. D. 2 5. Câu 22. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 z  z  4 và z  1  i  z  3  3i ? 2 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S . A. 2. B. 4. C. 1 . 10  2  i .Mệnh đề nào sau đây đúng? z 3 1 A.  z  2 . B. z  2 . C. z  . 2 2 z Câu 25. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  5 và là số thuần ảo ? z4 A. 0 . B. Vô số. C. 1 . D. 3 . Câu 24.Cho số phức z thỏa (1  2i ) z  D. 1 3  z . 2 2 D. 2 . CHỦ ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tọa độ của điểm và của vectơ a. Tọa độ của một điểm     Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý. Ta có OM  xi  y j  zk , ta gọi  x; y; z  là tọa độ của điểm M và viết M   x; y; z  hoặc M  x; y; z  . b. Tọa độ của vectơ       Trong không gian Oxyz cho vectơ a . Ta có a  a1 i  a2 j  a3 k , ta gọi  a1; a2 ; a3  là tọa độ của vectơ a và   viết a   a1 ; a2 ; a3  hoặc a  a1; a2 ; a3  . 8 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ   Định lý. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1; b2 ; b3  . Ta có    a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  ,   k a  k  a1; a2 ; a3    ka1; ka2 ; ka3  với k là một số thực.    a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  , Hệ quả.  a1  b1       Cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1; b2 ; b3  . Ta có a  b   a2  b2 . a  b  3 3   Vectơ 0 có tọa độ là  0;0;0  .  a1  kb1       Với b  0 thì hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho  a2  kb2 .  a  kb 3  3  Trong không gian Oxyz , nếu cho hai điểm A   x A ; y A ; z A  và B   xB ; yB ; z B  thì  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  z A  . 3. Tích vô hướng a. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:   Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1; b2 ; b3  . Ta có  a.b  a1b1  a2b2  a3b3 . b. Ứng dụng    Độ dài của một vectơ. Cho vectơ a   a1 ; a2 ; a3  . Khi đó a  a12  a22  a32 .  Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz , nếu cho hai điểm A   x A ; y A ; z A  và B   xB ; yB ; z B  thì AB  2 2 2  xB  x A    y B  y A    z B  z A  .  Góc giữa hai vectơ. Trong không gian   cos a, b         Oxyz , cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1; b2 ; b3  . Ta có  a.b a1b1  a2b2  a3b3 .    2 a.b a1  a22  a32 . b12  b22  b32 Đặc biệt, a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 . 4. Phương trình mặt cầu Định lý. Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  và bán kính R có phương trình là  x  a   y  b   z  c 2 2 2  R2 . Nhận xét. Phương trình dạng x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D  0 với điều kiện A2  B 2  C 2  D  0 là phương trình của mặt cầu tâm I   A;  B; C  có bán kính R  A2  B 2  C 2  D . II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    Cho mặt phẳng   . Nếu vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng   thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của   . Chú ý:   ● Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn với k  0 , cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. 2. Tích có hướng của hai vectơ     Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1; b2 ; b3  . Tích có hướng của hai vectơ a và b       , kí hiệu là a  b hoặc  a, b  , là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b , có tọa độ được tính bởi công thức    a, b    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .   3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 9 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Định nghĩa. Phương trình có dạng Ax  By  Cz  D  0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét.  Nếu mặt phẳng    có phương trình tổng quát là Ax  By  Cz  D  0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là  n   A; B; C  .    Phương trình mặt phẳng    đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  nhận vectơ n   A; B; C  khác 0 làm vectơ pháp tuyến là A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 . Các trường hợp riêng. + Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: Ax  By  Cz  0 . + Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox : By  Cz  D  0 . Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy : Ax  Cz  D  0 . Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz : Ax  By  D  0 . + Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng  Oxy  : Cz  D  0 . Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng  Oxz  : By  D  0 . Phương trình mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng  Oyz  : Ax  D  0 . + Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm  a;0;0  ,  0; b;0  ,  0;0;c  (với abc  0 ): x y z   1. a b c 4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1  và  2  có phương trình 1  : A1x  B1 y  C1 z  D1  0 ,  2  : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Khi đó 1  và  2  có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là  n1   A1; B1; C1  ,  n2   A2 ; B2 ; C2  .   n1  k n2  A1; B1; C1   k  A2 ; B2 ; C2    1  //   2    .   D1  kD2  D1  kD2   n  kn2  A1; B1; C1   k  A2 ; B2 ; C2    1     2    1 .   D1  kD2  D1  kD2     1  cắt   2   n1  kn2   A1; B1; C1   k  A2 ; B2 ; C2  .     1     2   n1.n2  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0 . 5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   có phương trình Ax  By  Cz  D  0 và điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  . Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng    , kí hiệu là d  M 0 ,     , được tính bởi công thức d  M 0 ,   Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 . III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tham số của đường thẳng Định nghĩa. Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương  a   a1 ; a2 ; a3  là phương trình có dạng  x  x0  ta1   y  y0  ta2  z  z  ta 0 3  10 1 , ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 trong đó t là tham số. ● Nếu a1 ; a2 ; a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viêt phương trình của đường thẳng  dưới dạng chính tắc như sau x  x0 y  y0 z  z0 .   a1 a2 a3 2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau a. Điều kiện để hai đường thẳng song song   d song song với d ‘ khi và chỉ khi chúng không có điểm chung và hai vectơ a, a ‘ cùng phương   a  k a ‘  Ta có d song song với d ‘ khi và chỉ khi  M  d . M  d ‘    a  k a ‘  Đặc biệt d trùng với d ‘ khi và chỉ khi  M  d . M  d ‘  b. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau Gọi phương trình tham số của hai đường thẳng d vàới d ‘ lần lượt là  x  x0’  t ‘ a1’  x  x0  ta1   d :  y  y0  ta2 và d ‘ :  y  y0’  t ‘ a2’  z  z  ta  ‘ ‘ 0 3   z  z0  t ‘ a3 Hai đường thẳng d và d ‘ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t , t ‘ sau  x0  ta1  x0’  t ‘ a1’  ‘ ‘  y0  ta2  y0  t ‘ a2  I   ‘ ‘  z0  ta3  z0  t ‘ a3 có đúng một nghiệm. Chú ý. Giả sử hệ (I) có nghiệm  t0 ; t0’  , để tìm giao điểm M 0 của d và d ‘ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số d hoặc thay t0’ vào phương trình tham số d ‘. c. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau   Hai đường thẳng d và d ‘ chéo nhau khi và chỉ khi a và a ‘ không cùng phương và hệ phương trình ẩn t , t ‘ sau  x0  ta1  x0’  t ‘ a1’  ‘ ‘  y0  ta2  y0  t ‘ a2  I   ‘ ‘  z0  ta3  z0  t ‘ a3 vô nghiệm ( d và d ‘ có phương trình như ở mục 2). 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.  x  x0  ta1  Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d :  y  y0  ta2 . Xét phương trình A  x0  ta1   B  y0  ta2   C  z0  ta3   D  0 ( t là ẩn). (1)  z  z  ta 0 3  + Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và   không có điểm chung, vậy d //   + Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t  t0 thì d cắt   tại điểm M  x0  t0a1; y0  t0 a2 ; z0  t0 a3  + Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d chứa trong   . 4. Góc a. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 11 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  x  x0’  t ‘ a1’  x  x0  ta1   d :  y  y0  ta2 và d ‘ :  y  y0’  t ‘ a2’  z  z  ta  ‘ ‘ 0 3   z  z0  t ‘ a3   Ta có d có vectơ chỉ phương u   a1; a2 ; a3  , d ‘ có vectơ chỉ phương v   a1′ ; a2′ ; a3′   u.v   a1a1′  a2 a2′  a3a3’ cos  d , d ‘   cos u , v     . u.v a12  a22  a32 . a1’2  a2’2  a3’2   b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  x  x0  ta1  Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d :  y  y0  ta2 .  z  z  ta 0 3     P  có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  , d có vectơ chỉ phương u   a1; a2 ; a3  . Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P  . Khi đó  u.n   a1 A  a2 B  a3C sin   cos u , n     . 2 u.n a1  a22  a32 . A2  B 2  C 2   5. Khoảng cách. a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Cho đường thẳng d đi qua M 0 , có VTCP u và điểm M . Tính khoảng cách từ M đến d .  Cách 1:   Gọi U là điểm sao cho M 0U  u (hình vẽ). Nếu điểm M  d thì diện tích S của hình bình hành có hai cạnh M 0 M và M 0U là     S   M 0 M , M 0U    M 0 M , u  . Vì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là chiều cao của   M 0M , u  hình bình hành nói trên nên ta có d  M , d      u Nếu M  d thì hiển nhiên d  M , d   0 và công thức nói trên đúng.  Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua M vuông góc với d . Tìm giao điểm H của  P  với d . Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm. b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.  Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 , biết d1 đi qua điểm M 1 và có vectơ chỉ phương u1 ; d2 đi qua điểm  M 2 và có vectơ chỉ phương u2 . Tính khoảng cách giữa d1 và d 2 .  Cách 1: 12 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12     Lấy các điểm U1 và U 2 sao cho M1U1  u1 ; M 2U 2  u2 . Xét hình hộp có ba cạnh là M 1U1 , M 2U 2 , M 1M 2 . Ta biết rằng thể tích V của hình hộp đó là       V   M1U1 , M 2U 2  .M1M 2  u1 , u2  .M 1M 2 . Nếu ta xem M 1M 2 là cạnh bên của hình hộp đó thì diện tích   đáy của hình hộp là S  u1, u2  . Khi đó chiều cao của hình hộp chính là khoảng cách giữa d1 và d 2 . Vậy ta có    u1 , u2  .M 1M 2   d  d1 , d 2     u1 , u2    HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm. B. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và B  2;2;7  . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là A. 1;3;2  . B.  2;6;4  . C.  2; 1;5 . D.  4; 2;10  . Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (2;3; 1), N (1;1;1) và P(1; m  1;2) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N. A. m  6 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  2 . 2 2 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y   z  2   16 . Bán kính của mặt cầu  S  bằng A. 4 . B. 32 . C. 16 . D. 8 . Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  7  0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 15 . Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của  P  ?  A. n3  1; 2; 1 .  B. n4  1; 2;3 .  C. n1  1;3; 1 .  D. n2   2;3; 1 . Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua  điểm M (1; 2; 3) và có một vectơ pháp tuyến n  (1; 2;3) ? A. x  2 y  3z  12  0 . B. x  2 y  3z  6  0 . C. x  2 y  3z  12  0 . D. x  2 y  3z  6  0 . Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 0  và B  5;1; 2  . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x  y  z  5  0 . B. 2 x  y  z  5  0 . C. x  y  2 z  3  0 . D. 3 x  2 y  z  14  0 . Câu 8. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  2  0 có phương trình là A. 2 x  y  3z  9  0 . B. 2 x  y  3z  11  0 . C. 2 x  y  3z  11  0 . D. 2 x  y  3z  11  0 . Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M (2;3;3), N (2; 1; 1), P( 2; 1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 2 x  3 y  z  2  0 . A. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  10  0 . B. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 . C. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 . D. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  2  0 . Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2;0;0  , B  0; 1;0  , C  0;0;3 . Mặt phẳng  ABC  có phương trình là x y z    1. A. 2 1 3 B. x y z    1. 2 1 3 C. 13 x y z    1. 2 1 3 D. x y z    1. 2 1 3 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ chỉ phương của d ?  A. u2   4; 2;3 .  B. u4   4;2; 3 . x 4 y  2 z 3   . Vectơ nào dưới đây là một 3 1 2  C. u3   3; 1; 2  .  D. u1   3;1; 2  . Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1; 2) . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?     A. b  (1; 0; 2) . B. c  (1;2; 2) . C. d  (1;1; 2) . D. a  (1;0; 2) . Câu 13. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1;2) trên trục Ox có tọa độ là A. (0;1;0) . B. (8;0;0) . C. (0;1;2) . D. (0;0;2) . Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) . Gọi M1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M1 M 2 ?     A. u2  (1; 2;0) . B. u3  (1;0;0) . C. u4  (1; 2;0) D. u1  (0; 2;0) x  3 y 1 z 1   Câu 15. Trong gian gian Oxyz, cho điểm M  3; 2;2  và đường thẳng d : . Mặt phẳng 1 2 2 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là A. x  2 y  2 z  5  0 . B. 3x  2 y  2 z  17  0 . C. 3x  2 y  2 z  17  0 . D. x  2 y  2 z  5  0 . Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0  , B 1;0;1 , C  3;1;0  . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1 y 1 z   .       . A. B. . C. . D. 2 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1; 2; 0 , B  2;0; 2  , C  2;  1;3 và D 1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình là  x  2  4t  A.  y  2  3t . z  2  t   x  2  4t  B.  y  1  3t . z  3  t   x  2  4t  C.  y  4  3t . z  2  t  Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng d :  x  4  2t  D.  y  3  t .  z  1  3t  x  3 y 1 z  7   . Đường thẳng 2 1 2 đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình là  x  1  2t x  1 t  x  1  2t  x  1  2t     A.  y  2t . B.  y  2  2t . C.  y  2t . D.  y  2  2t .  z  3t  z  3  2t z  t  z  3  3t     Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 1; 2), B(1; 2;3) và đường thẳng x 1 y  2 z 1 . Tìm điểm M (a; b; c) thuộc d sao cho MA2  MB 2  28 biết c  0 . d:   1 1 2 1 7 2  1 7 2 A. M (1;0; 3) . B. M (2;3;3) . C. M  ; ;   . D. M   ;  ;   . 6 6 3  6 6 3 2 2 2 Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  9 và điểm A  2;3; 1 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  . M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 6 x  8 y  11  0 . B. 3x  4 y  2  0 . C. 3x  4 y  2  0 . D. 6 x  8 y  11  0 . Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P  3;0; 3 . B. M  0; 3; 5  . C. N  0;3; 5  . D. Q  0;5; 3 . 14 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z  2  2  3 . Có tất cả bao nhiêu điểm A  a; b; c  ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12 . B. 8 . C. 16 . D. 4 . Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  2;1; 2  và đi qua điểm A 1; 2; 1 . Xét các điểm B, C, D thuộc  S  sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng A. 72 . B. 216 . C. 108 . D. 36 .  x  1  3t  Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1  4t . Gọi  là đường thẳng qua A 1;1;1 và z  1   có vectơ chỉ phương u  (1;  2; 2) . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là  x  1  7t  x  1  2t  x  1  2t  x  1  3t     A.  y  1  t . B.  y  10  11t . C.  y  10  11t . D.  y  1  4t .  z  1  5t  z  6  5t  z  6  5t  z  1  5t     Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0; 0), B (0; 2;0) và C (0;0; 2) . Gọi D là điểm khác 0 sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I ( a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tính S  a  b  c . A. S  4 . B. S  1. C. S  2 . D. S  3 . PHẦN 2. ĐỀ ÔN TẬP THAM KHẢO ĐỀ 1 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2017-2018 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Câu 1. Giả sử hàm số f (x) xác định trên  và có một nguyên hàm là F(x) . Cho các mệnh đề sau :  Nếu  f (x)dx  F ( x )  C thì  f (t )dx  F (t )  C /   f (x)dx   f ( x )     f (x)dx  f ‘( x )  C Trong số các mệnh đề trên , số mệnh đề sai là A.0. B. 1. C. 2. D. 3 . 3  2 x là x x3 4 3 x3 4 3 A. B.  3ln x  x C .  3ln x  x . 3 3 3 3 x3 4 3 x3 4 3 C.  3lnx  D. x C .  3ln x  x C . 3 3 3 3 Câu 3. Hàm số F  x   ln x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ( 0 ; +∞) ? Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  1 1 1 . B. f  x    . C. f  x   x ln x  x  C . D. f  x    2 . x x x 3 2 Câu 4. Giá trị tham số m để hàm số F  x   mx   3m  2  x  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số A. f  x   f  x   3x 2  10 x  4 là A. Không có giá trị m . B. m  0 . C. m  1 . D. m  2 . Câu 5. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x    2 x  3 ln x và F 1  0 . Khi đó phương trình 2 F  x   x 2  6 x  5  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 . B. 4 . C. 3. 15 D. 2. ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 6. Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   A. F    1 . x thỏa F  0   0 . Tính F   . cos2 x B. F    1 . 1 . 2 C. F    0 . D. F    C. J  29 tan a . D. J  29 tan a . C. e 2  1 . D. e2  1 . 2 D. 11 . 2 a 29  π dx theo a . Câu 7. Cho a   0;  . Tính J   cos 2 x  2 0 1 A. J  B. J  29cot a . tan a . 29 1 Câu 8. Tính I   e 2 x dx . 0 A. e  1 . 2 B. e  1 . 2 Câu 9. Tính tích phân I   1 29 A. I  . 2 x2  4x dx . x 29 B. I  . 2 C. I  11 . 2  2 Câu 10. Tính I   sin 6 x cos xdx . 0 A. 1 B. I   . 7 1 . 7 1 C. I   . 6 D. I  1 . 6 e 2 ln x dx   a  b.e 1 , với a, b   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 x 1 A. a  b  3 . B. a  b  6 . C. a  b  3 D. a  b  6 . 5 5 4 4 1 Câu 12. Cho  f (x) dx  5 ,  f (t) dt  2 và  g(u) du  . Tính  ( f (x)  g(x)) dx bằng 3 1 4 1 1 22 8 10 20 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 5 dx Câu 13. Tính tích phân: I   được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là. 1 x 3x  1 A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 14. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  ( liên tục trên  a; b  ) , Câu 11. Biết  trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a , x = b. Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây ? b A. S =  f ( x )dx . a b b B. S =  C. S =  f ( x ) dx . f ( x )dx . a a b D. S =   f 2 ( x) dx . a Câu 15. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Khi cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , y  0 , x   , x  e , quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V. Khi đó V được xác định bằng công thức nào sau đây ?  A. V    f ( x )dx . e  e B. V    f (x)dx . C. V   f (x) dx . 2  e  D. V    f 2 (x) dx . e Câu 16. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  2 x 3  x 2  x  5 và y  x 2  x  5 bằng A. S  0 . C. S   . B. S  1 . 16 D. S  1 . 2 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  hoành, và các đường thẳng x  1 , x  4 quanh Ox . 4 , trục x A. V  ln 256 . B. V  12 . C. V  12 2 . D. V  6 . Câu 18. Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v  t   3t 2  6t ( m/s). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t1  0 đến t2  4 (s). A. 16m. B. 1536 m. 5 C. 96m . D. 24m . Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn (2  i )(1  i )  z  4  2i . Tính mô đun của z A. z  2 2 . B. z 3 2. D. z  10 . C. z  3 . Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 − 2𝑖)𝑧 + 3(1 + 𝑖)𝑧̅ = 2 + 7𝑖. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z. A. Phần thực của z là -3, phần ảo của z là 2 . B. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là -2. C. Phần thực của z là -3, phần ảo của z là -2. D. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 2. Câu 21. Tìm số phức z sao cho |z – 4| = |z| và (𝑧 + 4) (𝑧̅ + 2𝑖) là số thực A. z  2  3i . B. z  2  3i . C. z  2  3i . D. z  2  3i . Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  i   z  11  i  A.  x  2    y  1  4 . B.  x  2    y  1  4 . C.  x  2    y  1  4 . D.  x  2    y  1  4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1 là A.Một đường thẳng . B.Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng . Câu 24. Tìm số phức z biết z  2 5 và phần thực gấp đôi phần ảo A. z1  4  2i; z2  4  2i . B. z1  4  2i; z2  4  2i . C. z1  2  4i; z2  2  4i . D. z1  4  2i; z2  4  2i . D.Một hình vuông. Câu 25. Cho x, y là các số thực. Hai số phức z1  3  i và z  x  2 y  yi bằng nhau khi A. x  5; y  1 . B. x  1; y  1 . C. x  3; y  0 . Câu 26. Cho x, y là các số thực. Số phức z  1  xi  y  2i bằng 0 khi D. x  2; y  1 . A. x  2; y  1 . B. x  2; y  1 . Câu 27. Có bao nhiêu số phức z thỏa z 2  z  0 ? D. x  2; y  1 . C. x  2; y  1 . A.0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  1  i  z  3  2i A. Đường thẳng. B. Elip. C. Đoạn thẳng . D. Đường tròn. Cây 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  13  0 . Diện tích tam giác OAB bằng A.16. B. 8. C. 6. D. 2. 2018 Câu 30. Phần thực và phần ảo của số phức z  1  i  bằng B. Phần thực bằng 0, phần ảo bằng 21009 . D. Phần thực bằng 21009 , phần ảo bằng 0. A.Phần thực bằng 0, phần ảo bằng 21009 . C. Phần thực bằng 21009 , phần ảo bằng 0. 17 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 x  3 y 1 z  2 và điểm   4 3 1 M  0; 0; 2  . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  . Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : A. 4 x  3 y  z  7  0 . B. 4 x  3 y  z  2  0 . C. 3 x  y  2 z  13  0 . D. 3x  y  2 z  4  0 . Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y 1 z  1 :   ,  2 :  y  3  2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của  P  ? 2 3 4 z  1 t   A. n   5;6; 7  .  B. n   5; 6;7  .  C. n   5; 6;7  .  D. n   5;6;7  . Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M  2;1;3 . Gọi M 1 , M 2 , M 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M 1 , M 2 , M 3 có phương trình A.  P  : 3 x  6 y  2 z  0 . B.  P  : 6 x  3 y  2 z  0 . C.  P  : 3 x  6 y  2 z  6 . D.  P  : 6 x  3 y  2 z  6 . Câu 34. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x 1 y 1 z  3 . Vectơ chỉ phương của đường   2 1 2 thẳng d là  A. u  2;1;2  .  C. u  2; 1; 2  .  B. u 1; 1; 3 .  D. u  2;1; 2  . Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A  1;3; 2  , B  2; 0;5  , C  0; 2;1 . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x 1 y  3 z  2 x  2 y  4 z 1 A. AM :   . B. AM :   . 2 4 1 1 1 3 x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 C. AM : . D. AM : .     2 4 1 2 4 1 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d là đường thẳng đi qua A 1; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng  P  : 3 x  4 y  5 z  1  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d . x 1 y  2 z 3 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3   . B.   . C.   . D.   3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng A. x  4 y  2 z 1 x  2 y 1 z 1 , d2 : . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A,     1 4 2 1 1 1 vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 . x 1 y  1 z  3 x 1 y 1 z  3 A. d : . B. d : .     2 1 3 2 2 3 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C. d : . D. d : .     4 1 4 2 1 1 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 và B  0;  1;1 . Viết phương trình d1 : mặt cầu đường kính AB. A.  x  1  y 2   z  1  2 . B.  x  1  y 2   z  1  8 . C.  x  1  y 2   z  1  2 . D.  x  1  y 2   z  1  8 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 . Mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R là. 18 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 A. I ( 2;1;3), R  2 3 . B. I (2; 1; 3), R  12 . C. I (2; 1; 3), R  4 . D. I ( 2;1;3), R  4 . Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 có phương trình A.  x  1   y  2    z  1  3 . B.  x  1   y  2    z  1  9 . C.  x  1   y  2    z  1  3 . D.  x  1   y  2    z  1  9 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2; 1;5 , B  5; 5;7  và M  x ; y ;1  . Với giá trị nào của x, y thì A , B , M thẳng hàng ? A. x  4; y  7 . B. x  4; y  7 . C. x  4; y  7 . D. x  4; y  7 . Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  a;  1; 6  , B 3; 1;  4 , C  5;  1; 0  và D 1; 2; 1 . Nếu bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng thì giá trị của a là. A. a  17 B. a  32 . C. a  1 . D. a  2 .   Câu 43. Tìm giá trị m để góc giữa hai vectơ u  1;log 3 5;log m 2  , v   3;log 5 3;4  là góc nhọn. 1 D. m  1. , m  1. 2  x  2  3t  Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y  3  t và  z  4  2t  x  4 y 1 z . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng  thuộc mặt phẳng chứa d ‘:   3 1 2 d và d ‘ , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. A. 0  m  1 . 2 B. m  1 hoặc 0  m  1 . 2 x3 y 2 z 2 .   3 1 2 x3 y2 z2 C. .   3 1 2 C. m  x3 y2 z2 .   3 1 2 x3 y 2 z 2 D. .   3 1 2 x 1 y  2 z  3 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và   1 2 1  x  1  kt  d2 :  y  t . Tìm giá trị của k để d1 cắt d 2 .  z  1  2t  1 A. k  1 . B. k  1 . C. k   . D. k  0 . 2 Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là 2 x  y  z  2017  0 và x  y  z  5  0. Tính số đo độ góc giữa đường thẳng d và trục Oz. A. B. A. 45O . B. 0O . C. 30O . D. 60O . Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 3x  4 y  2 z  4  0 và hai điểm A 1;  2; 3 , B 1; 1; 2  . Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng  P  . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. d 2  2d1 . B. d 2  3d1 . C. d 2  d1 . 19 D. d 2  4d1 . ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt mặt cầu  S  theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 . A.   : x  3z  0 . B.   : 3x  z  2  0 . C.   : 3x  z  0 . D.   : 3x  z  0 . Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x  2 y  z  4  0 và đường x2 y2 z2 . Tam giác ABC có A(1;2;1) , các điểm B , C nằm trên   và trọng   1 2 1 tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của BC là. thẳng d : A. M (0;1; 2) . B. M (2;1;2) . C. M (1; 1; 4) . D. M (2; 1; 2) . Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng x  2 y  2 z 3   . Một   : x  y  z  3  0 đồng thời đi qua điểm M 1; 2;0  và cắt đường thẳng d : 2 1 1 vectơ chỉ phương của  là  A. u  1; 1; 2  .  B. u  1;0; 1 .  C. u  1; 2;1 .  D. u  1; 2;1 . ĐỀ 2 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2018-2019 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)    Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x  2 và đường thẳng  :   y  1  z  3 2 2 2 9 x 2 y 1 z 2   . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa  tiếp xúc với mặt cầu S  ? 1 2 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x  3y  4z  5  0 và điểm   A 2; 1; 3 . Phương trình mặt phẳng Q  đối xứng với mặt phẳng P  qua điểm A là: A. Q  : x  3y  4z  23  0 . B. Q  : x  3y  4z  23  0 . C. Q  : x  3y  4z  31  0 . D. Q  : x  3y  4z  31  0 .   Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vec tơ a  2;1; 3 và b  3; 2;1 . Góc giữa   các vec tơ a và b bằng A. 600. B. 1200. C. 300. 12 5  Câu 4. Cho các số phức z  4  3i và w  z .   i  13 13  D. 450. 2019 A. w là số thuần ảo. B. w  5 . C. w  D. w là số thực. 5. . Hãy chọn khẳng định đúng  Câu 5. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f x   2x  3 . x 1 x 1 C. F x    . x 1  A. F x  x . x 1 x 2 D. F x   . x 1  B. F x   20 1 ? x  2x  1 2 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x và các đường thẳng y  0 ; x  0 ; x   bằng A. 1. B. 2. C.  . D. 2  . Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua   điểm M cắt các trục toạ độ x’ Ox; y’ Oy; z’ Oz lần lượt tại các điểm A; B;C sao cho M là trực tâm tam giác ABC là: A. ABC : x  2y  3z  12  0 . B. ABC : x  2y  3z  14  0 .   C. ABC  : x  2y  3z  12  0 .   D. ABC  : x  2y  3z  14  0 .   Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 : x 1 y 2 z  3   và 2 3 4 x 4 y 3 z 5   . Toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng đã cho là: 1 2 2 A. M 2; 3; 7 . B. M 3; 5; 7  . C. M 0; 1; 1 . D. M 5;1; 3 .   : 2 2 3 Câu 9. Kết quả của phép tính tích phân I   2 A.  2 . B.  6 3 2 x x 3 . dx bằng C.  4 . D.     3 .    Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A 1; 1; 3 ; B 2; 2;1 và C 1;2;1 .   Mặt phẳng ABC có một vec tơ pháp tuyến là:  A. n  8; 6;1 . B. n  8; 6;1 .  A. z  12  11i . B. z  11  12i .       C. n  8; 6;1 .   D. n  8; 6; 1 . Câu 11. Cho các số phức z 1  3  2i và z 2  6  5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z  2z 1  3z 2 . C. z  11  12i . D. z  12  11i .  1 1      x  1 x  2 dx được viết dưới dạng I  a ln b  ln c 0 với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức S  ab  6c . A. S  1 . B. S  4 . C. S  6 . D. S  3 . Câu 12. Kết quả phép tính tích phân I  Câu 13. Khi tính tích phân I  3 1 A. I   2 0 2  2x 1 B. I  udu . 1 x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 ta được tích phân nào bên dưới? 2  1 C. I  udu . 3  D. I  2 udu . 0 3  0 udu .   I 2; 1;1 . Phương trình mặt cầu S  có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P  là: A. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . B. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . C. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . D. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2x  y  2z  7  0 và điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x  3 y  z  6  0 và mặt phẳng (Q ) : x  y  2 z  4  0 . Phương trình giao tuyến  của hai mặt phẳng đã cho là 21 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 x  1 t  A.  :  y  1  t .  z  1  2t  HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  x  1  2t  B.  :  y  1  3t . z  1 t   x  6  5t  C.  :  y  2  3t .  z  t  Câu 16. Cho các số phức z 1; z 2 thoả z 1  2 ; z 2  7 ; z1  z 2  A. z1  z 2  17 . Câu 17. B. z1  z 2  3 2 . Trong không gian 5 . Tính z1  z 2 C. z1  z 2  19 . với hệ trục toạ độ        MO  5 3i  j  2 3 j  2k  3 k  2i . Toạ độ điểm M là:          D. z1  z 2  2 2 . Oxyz cho vec tơ D. M 14; 1; 7  .    Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các vec tơ AB  3; 2; 5 và AC  1; 4; 1 . A. M 14;1; 7 .   x  6  5t  D.  :  y  2  3t . z  t   B. M 14; 1; 7 . C. M 14; 1; 7 . Độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. AM  3 2 . C. AM  6 . B. AM  6 2 .   Câu 19. Biết rằng f 2  3 ; hàm số f ‘ x liên tục và D. AM  3 . 5  f ‘ x dx  1 thì giá trị của f 5 là: 2 A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 2; 3; 4 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục  toạ độ x ‘Ox có bán kính R bằng A. R  4 . B. R  5 . Câu 21. Số phức z nào thoả phương trình z  A. z  1  i .   B. z  1  i .  C. R  2 . D. R  3 . C. z  1  i . D. z  1  i . z ? z i Câu 22. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường x  3; y  2 ; trục hoành và trục tung. Thể tích   khối tròn xoay sinh bởi H quay quanh trục hoành bằng A. V  12 . B. V  24 . C. V  36 . D. V  18 . Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 2;2;1   và trục hoành. A. P : 2x  y  2z  0   C. P  : y  2z  4  0 . D. P  : y  2z  0 . Câu 24. Kết quả của phép tính tích phân I  1    B. P : x  y  z  1  0 .  5 dx x bằng 0 5 4 . D. I  . ln 5 ln 5 Câu 25. Cho hàm số y  f x  thoả f ‘ x   2  3 sin x và f 0  10 . Hãy chọn khẳng định đúng A. I  4 ln 5 . C. I  B. I  5 ln 5 .  C. f x   2x  3 sin x  7 .  D. f x   2x  3 sin x  11 . A. f x  2x  3 cos x  11 . B. f x  2x  3 cos x  7 . 22  ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021   Câu 26. Cho hàm số liên tục y  f x có đồ thị hàm số y  f ‘ x  như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số y  f ‘ x cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng định đúng    B. f a  f c  f b    D. f c  f b  f a A. f c  f a  f b . C. f a  f b  f c . 3 Câu 27. Biết       10 10  f x dx  6 và  f x dx  10 .Tính I   f x dx 0 A. 6. 0 B. -4.  Câu 28. Cho hàm số y  f x liên tục và A. 24. B. 18.  C. 16.  1  f x dx  12 . Tính I   f 2x dx 0 C. 12.   B. F 4  7 . Câu 30. Cho các số phức z 1  a 1  b1i và z 2  a A. a1b2  b1a2  0 . D. 4. 2 Câu 29. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x  A. F 4  6 . 3 B. a1a 2  b1b2  0 . 0 1   và F 1  5 . Tính F 4 x  C. F 4  8 . 2 D. 6.  D. F 4  5 .  b2i . Số phức z  z 1.z 2 là số thực thì C. a1b2  b1a 2  0 . D. a1a 2  b1b2  0 . Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz phương trình của trục tung y ‘ Oy viết là:   x 0   A.  y  t .   z t    x  t x  0 x  t      B. y  0 . C. y  t . D.  y  t .    z  t z  0 z  0    Câu 32. Cho các số phức z 1  a  3bi và z 2  2b  ai . Tìm a và b sao cho z 1  z 2  6  i a  4  a  4 a  4 a  4 A.  . B.  . C.  . D.  .     b  1  b  1 b  1 b 1      3 Câu 33. Gọi z 1; z 2 ; z 3 là các nghiệm của phương trình z  1  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z 12019  z 22019  z 32019 . A. P  3i . B. P  3 . C. P  3 . D. P  3i . Câu 34. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 6; 3; 4 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt    phẳng toạ độ yOz có bán kính R bằng A. R  5 . B. R  3 . C. R  4 .    D. R  6 . Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x  y  5z  14  0 và điểm M 1; 4; 2 . Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng P  là:   C. H 4; 0;2 . A. H 2;2;2 .   D. H 2; 3; 3 . B. H 1; 6; 12 . 23 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng  có phương trình x 1 y 2 z  3   . Đường thẳng  đi qua điểm M nào bên dưới? 2 3 4 A. M 5; 4; 7 . B. M 5; 7; 12 . :   C. M 5; 4; 7 . 3 Câu 37. Biết    D. M 5;11; 15 . 3 f ( x)dx  8 . Khi đó kết quả của phép tính tích phân I  1   2 f ( x)  3 dx bằng 1 A. 9. B. 13. C. 16.  Câu 38. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x  1 ? 2x  7  1 7 ln x   C . 2 2  7 C . 2  B. F x   D. F x  2 ln x  A. F x  ln 2x  7  C . C. F x  2 ln 2x  7  C . e D. 10. 2e m  1 Câu 39. Gọi m,n là các số nguyên thoả  x . ln xdx  . Hãy chọn kết quả đúng n 1 A. m  n  6 . B. m  n  6 . C. n  m  6 . D. m.n  6 . Câu 40. F x  là Gọi một 2 nguyên hàm của hàm số F 2020  F 2015  ln 6 . Tính S  F 2022  F 2016 . A. S  ln 72 . B. S  ln 24 . C. S  ln 36 . 2 y  f x   1 . x  2018 Biết rằng D. S  ln 48 . Câu 41. Kết quả của phép tính tích phân I   ( x 4  4 x 3 )e x dx bằng 1 A. e(16e  1) . 2 C. e 2  16e . B. 16e  1 . D. 16e  e 2 . Câu 42. Trong mặt phẳng phức gọi A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z 1  3  i 14 ; z 2   7  i 10 và z 3   3  i 14 . Hãy chọn khẳng định đúng A. Tam giác ABC là tam giác đều. B. Tam giác ABC là tam giác vuông tại A . C. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B . D. Tam giác ABC là tam giác vuông tại C .    Câu 43. Cho các số thực x,y thoả x 3  5i  y 2  i  2  4  2i . Tính giá trị biểu thức S  2x  y . A. S  1 . B. S  2 . C. S  2 . D. S  1 . Câu 44. Cho số phức z thoả z  1  i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  4i z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó. A. I 7; 1 . B. I 7;1 . C. I 7;1 .           D. I 7; 1 . Câu 45. Cho các số phức z 1  2  3i và z 2  3  i . Tính môđun của số phức z  z 1  z 2 A. z  29 . B. z  21 . C. z  41 . D. z  23 . Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ . Biết rằng    ; và AB  1; 3; 4 AD  2; 3; 5 AC ‘  1;1;1 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ . 24 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 A. VABCD .A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  6 . HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 B. VABCD .A ‘ B ‘C ‘ D ‘  12 . C. VABCD .A ‘ B ‘C ‘ D ‘  1 . D. VABCD .A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  3 Câu 47. Cho phương trình x 2  y 2  z 2  2mx  2(m  2) y  2m  24  0 (*). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả:  m  5  m  2 A. 2  m  5. B.  C.  D. 5  m  2. . . m  2 m  5   Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  2x  4y  0 và     tiếp xúc với S  tại hai điểm A và B . Phương trình đường thẳng AB là:   mặt phẳng P : 3x  2y  5z  2019  0 . Các tiếp diện với mặt cầu S song song với mặt phẳng P x  A. AB :  y  z  x  C. AB :  y  z  x  1  t   4  2t . B. AB : y  2  2t .   5  5t z  0     3 t x  1  3t     2  2t . D. AB : y  2  2t .   5 z  5t    Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 2; 3;1 . Gọi N ; P ;Q lần lượt là hình  4  3t   chiếu vuông góc của M xuống các trục toạ độ x’ Ox; y’ Oy; z’ Oz . Phương trình mặt phẳng NPQ là:   C. NPQ  : 3x  2y  6z  6  0 .   D. NPQ  : 2x  3y  z  6  0 . A. NPQ : 2x  3y  z  6  0 . B. NPQ : 3x  2y  6z  6  0 . Câu 50. Gọi z 1; z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  6z  21  0 . Tính P  A. P   7 . 2 B. P   2 . 7 C. P  2 . 7 1 1  . z1 z2 D. P  7 . 2 ĐỀ 3 (ĐỀ THI HKII NĂM HỌC 2019-2020 – TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz phương trình của trục tung y ‘ Oy viết là:   x 0   A.  y  t .   z 0    x  t  B.  y  t .  z  0  A. S  2 . B. S  1 .    Câu 2. Cho các số thực x,y thoả x 3  5i  y 2  i 3 Câu 3. Biết  x  0  C.  y  t .  z  t  2  4  2i . Tính giá trị biểu thức S  2x  y . C. S  1 .  f ( x)dx  8 . Khi đó kết quả của phép tính tích phân 1 A. 9. B. 10. x  t  D.  y  0 .  z  t  I   2 f ( x)  3 dx bằng 1 C. 13. Câu 4. Cho các số phức z 1; z 2 thoả z 1  2 ; z 2  7 ; z1  z 2  A. z1  z 2  17 . D. S  2 . 3 B. z1  z 2  3 2 . D. 16. 5 . Tính z1  z 2 C. z1  z 2  19 . D. z1  z 2  2 2 . Câu 5. Cho phương trình x 2  y 2  z 2  2mx  2(m  2) y  2m  24  0 (*). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , (*) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi m thoả: 25 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12  m  2 A.  .. m  5 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  m  5 C.  .. m  2 B. 2  m  5. .  D. 5  m  2. .  Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 2; 3; 4 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục toạ độ x ‘Ox có bán kính R bằng A. R  4 . B. R  5 . C. R  2 .  D. R  3 .  Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 2; 3;1 . Gọi N ; P ;Q lần lượt là hình   chiếu vuông góc của M xuống các trục toạ độ x’ Ox; y’ Oy; z’ Oz . Phương trình mặt phẳng NPQ là:   C. NPQ  : 3x  2y  6z  6  0 .   D. NPQ  : 3x  2y  6z  6  0 . A. NPQ : 2x  3y  z  6  0 . B. NPQ : 2x  3y  z  6  0 .   Câu 8. Cho số phức z thoả z  1  i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  4i z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó. A. I 7;1 . B. I 7; 1 . C. I 7;1 . D. I 7; 1 .       Câu 9. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường x  3; y  2 ; trục hoành và trục tung. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi H  quay quanh trục hoành bằng A. V  18 . B. V  12 . C. V  24 . D. V  36 . Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A 1; 1; 3 ; B 2; 2;1 và C 1;2;1    . Mặt phẳng ABC có một vec tơ pháp tuyến là:  A. n  8; 6; 1 . B. n  8; 6;1 .  A. z  23 . B. z  21 .       C. n  8; 6;1 .       D. n  8; 6;1 . Câu 11. Cho các số phức z 1  2  3i và z 2  3  i . Tính môđun của số phức z  z 1  z 2 C. z  41 .  D. z  29 .     Câu 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng P chứa điểm M 2;2;1 và trục hoành. A. P : 2x  y  2z  0   C. P  : y  2z  4  0 . D. P  : y  2z  0 .   B. P : x  y  z  1  0 . Câu 13. Trong mặt phẳng phức gọi A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z 1  3  i 14 ; z 2   7  i 10 và z 3   3  i 14 . Hãy chọn khẳng định đúng A. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B . B. Tam giác ABC là tam giác vuông tại C . C. Tam giác ABC là tam giác đều. D. Tam giác ABC là tam giác vuông tại A . 3 Câu 14. Biết  0 f x dx  6 và 10  0 f x dx  10 .Tính I  10  f x dx 3 A. 16. B. 6. C. 4. D. -4. Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x  3 y  z  6  0 và mặt phẳng (Q ) : x  y  2 z  4  0 . Phương trình giao tuyến  của hai mặt phẳng đã cho là x  1 t  A.  :  y  1  t .  z  1  2t   x  1  2t  B.  :  y  1  3t . z  1 t   x  6  5t  C.  :  y  2  3t .  z  t  26  x  6  5t  D.  :  y  2  3t . z  t  ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  Câu 16. Cho hàm số y  f x liên tục và A. 24. 2 1 0 0  f x dx  12 . Tính I   f 2x dx B. 18. C. 12. D. 6.   Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các vec tơ AB  3; 2; 5 và AC  1; 4; 1 . Độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC là: A. AM  6 . B. AM  3 . C. AM  3 2 . D. AM  6 2 .   có đồ thị hàm số Câu 18. Cho hàm số liên tục y  f x y  f ‘ x  như hình bên cạnh. Biết rằng đồ thị hàm số y  f ‘ x  cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ theo thứ tự là a,b,c. Hãy chọn khẳng định đúng    B. f a  f c  f b .    D. f c  f b  f a . A. f c  f a  f b . C. f a  f b  f c .          Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x  2 và đường thẳng  : ?   y  1  z  3 2 2 2 9 x 2 y 1 z 2   . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa  tiếp xúc với mặt cầu S  1 2 3 A. 2. B. Vô số. C. 0. e D. 1. 2e m  1 . Hãy chọn kết quả đúng  n 1 A. m  n  6 . B. m  n  6 . C. n  m  6 . D. m.n  6 . Câu 21. Cho các số phức z 1  a 1  b1i và z 2  a 2  b2i . Số phức z  z 1.z 2 là số thực thì Câu 20. Gọi m,n là các số nguyên thoả A. a1b2  b1a2  0 . x 2 . ln xdx  B. a1a 2  b1b2  0 . C. a1b2  b1a 2  0 .  Câu 22. Hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f x   D. a1a 2  b1b2  0 . 1 ? x  2x  1 2 x 2 2x  3 . B. F x   . x 1 x 1 x x 1 C. F x    . D. F x    . x 1 x 1 Câu 23. Gọi z 1; z 2 ; z 3 là các nghiệm của phương trình z 3  1  0 . Tính giá trị của biểu thức  A. F x  P  z 12019  z 22019  z 32019 . A. P  3 . B. P  3i .  C. P  3i .  Câu 24. Biết rằng f 2  3 ; hàm số f ‘ x liên tục và A. 4. B. 5. 5  f ‘ x dx  1 thì giá trị của f 5 là: 2 C. 2. 27 D. P  3 . D. 3. ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 12 5  Câu 25. Cho các số phức z  4  3i và w  z .   i  13 13  2019 A. w là số thực. B. w là số thuần ảo. D. w  C. w  5 . Câu 26. Gọi . Hãy chọn khẳng định đúng F x  là một 5. nguyên hàm của hàm số F 2020  F 2015  ln 6 . Tính S  F 2022  F 2016 . y  f x   1 . x  2018 Biết rằng A. S  ln 36 . B. S  ln 72 . C. S  ln 48 . D. S  ln 24 . Câu 27. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ . Biết rằng    AB  1; 3; 4 ; AD  2; 3; 5 và AC ‘  1;1;1 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ . A. VABCD .A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  6 . C. VABCD .A ‘ B ‘C ‘ D ‘  1 . B. VABCD .A ‘ B ‘C ‘ D ‘  12 . D. VABCD .A ‘ B ‘C ‘ D ‘  3 . Câu 28. Số phức z nào thoả phương trình z  A. z  1  i . B. z  1  i . z ? z i C. z  1  i .  Câu 29. Hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x   1 7 ln x   C . 2 2  7 C . 2 A. F x  C. F x  2 ln x  1 ? 2x  7 D. z  1  i .  B. F x  2 ln 2x  7  C .  D. F x  ln 2x  7  C .   A 2; 1; 3 . Phương trình mặt phẳng Q  đối xứng với mặt phẳng P  qua điểm A là: A. Q  : x  3y  4z  23  0 . B. Q  : x  3y  4z  23  0 . C. Q  : x  3y  4z  31  0 . D. Q  : x  3y  4z  31  0 . Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x  3y  4z  5  0 và điểm Câu 31. Cho các số phức z 1  a  3bi và z 2  2b  ai . Tìm a và b sao cho z 1  z 2  6  i a  4 A.  .  b  1   a  4 B.  .  a  4 C.  .   b 1   b  1  a  4 D.  .  b  1  2 2 Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt cầu S  : x  y  z 2  2x  4y  0 và     tiếp xúc với S  tại hai điểm A và B . Phương trình đường thẳng AB là:   mặt phẳng P : 3x  2y  5z  2019  0 . Các tiếp diện với mặt cầu S song song với mặt phẳng P  x  4  3t x  1  t x  3  t  x  1  3t         A. AB : y  2  2t . B. AB : y  4  2t . C. AB : y  2  2t .D. AB :  y  2  2t .      z  5 t z  5  5 t z  0    z  5      Câu 33. Kết quả của phép tính tích phân I  1  5 dx x 0 28 bằng ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 5 . ln 5 Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x và các đường thẳng y  0 ; x  0 ; x   bằng A. 2  . B. 1. C. 2. D.  . A. I  4 . ln 5 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021 B. I  4 ln 5 . D. I  C. I  5 ln 5 . 2 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân I   ( x 4  4 x 3 )e x dx bằng 1 A. 16e  e 2 . B. 16e 2  1 . D. e(16e  1) . C. e 2  16e .   I 2; 1;1 . Phương trình mặt cầu S  có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P  là: A. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . B. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . C. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . D. S  : x  y  z  4x  2y  2z  2  0 . Câu 37. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P  : x  y  5z  14  0 và điểm M 1; 4; 2 . Toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng P  là: A. H 4; 0;2 . B. H 2;2;2 . C. H 2; 3; 3 . D. H 1; 6; 12. Câu 38. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 6; 3; 4  . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng toạ độ yOz  có bán kính R bằng Câu 36. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2x  y  2z  7  0 và điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. R  5 . B. R  6 . C. R  3 . D. R  4 . Câu 39. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng  có phương trình x 1 y 2 z  3 . Đường thẳng  đi qua điểm M nào bên dưới?   2 3 4 A. M 5; 4; 7  . B. M 5; 4; 7  . C. M 5;11; 15 . : 2 3 Câu 40. Kết quả của phép tính tích phân I   2 A.  2 . B.  4 3 2 x x 3 .   D. M 5; 7; 12 . dx bằng C.  3 . D.   Câu 41. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 :  6 . x 1 y 2 z  3   2 3 4 x 4 y 3 z 5 . Toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng đã cho là:   1 2 2 A. M 3; 5; 7  . B. M 0; 1; 1 . C. M 5;1; 3 . D. M 2; 3; 7  .   và 2 :   Câu 42. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M cắt các trục toạ độ x’ Ox; y’ Oy; z’ Oz lần lượt tại các điểm A; B;C sao cho M là trực tâm tam giác ABC là: A. ABC : x  2y  3z  12  0 . B. ABC : x  2y  3z  14  0 .   C. ABC  : x  2y  3z  14  0 .   D. ABC  : x  2y  3z  12  0 . 29 ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 – 2021  1 1      x  1 x  2 dx được viết dưới dạng I  a ln b  ln c 0 với a,b,c là các số dương. Tính giá trị biểu thức S  ab  6c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  3 . D. S  1 . Câu 44. Cho các số phức z 1  3  2i và z 2  6  5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z  2z 1  3z 2 . 1 Câu 43. Kết quả phép tính tích phân I  A. z  12  11i . Câu 45. Trong B. z  12  11i . C. z  11  12i . không gian với hệ trục toạ độ        MO  5 3i  j  2 3 j  2k  3 k  2i . Toạ độ điểm M là:      A. M 14;1; 7 .       B. M 14; 1; 7 .  C. M 14; 1; 7 . D. z  11  12i . cho vec Oxyz  1 1  . z1 z2 7 2 . D. P   . 2 7   Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vec tơ a  2;1; 3 và b  3; 2;1 . Góc giữa   các vec tơ a và b bằng A. P  7 . 2  D. M 14; 1; 7 . Câu 46. Gọi z 1; z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  6z  21  0 . Tính P  2 . 7 tơ B. P  C. P   A. 1200. B. 300. C. 450. D. 600. Câu 48. Cho hàm số y  f x thoả f ‘ x  2  3 sin x và f 0  10 . Hãy chọn khẳng định đúng    C. f x   2x  3 sin x  11 . A. f x  2x  3 cos x  7 .    D. f x   2x  3 cos x  11 . B. f x  2x  3 sin x  7 .  Câu 49. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x   A. F 4  8 . Câu 50. Khi tính tích phân I  3 1 A. I   2 0 udu .  B. F 4  5 . 2  2x 1 B. I  1 x    và F 1  5 . Tính F 4 C. F 4  6 .  D. F 4  7 . x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 ta được tích phân nào bên dưới? 2  1 C. I  udu . 3  0 ====== Hết ====== 30 udu . D. I  2 3  0 udu .