Chuyên đề ước chung và ước chung lớn nhất Toán 6

BÀI 9: ƯỚC CHUNG – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm ước chung, ước chung lớn nhất, và khái niệm các số nguyên tố cùng nhau.
+ Nhận biết được giao của hai tập hợp.
+ Nhận biết được quan hệ giữa ước chung và ước chung lớn nhất.
 Kĩ năng
+ Xác định được ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn 1.
+ Biết cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
+ Tìm được tập hợp các ước chung của các số đã cho thông qua tìm ước chung lớn nhất của
chúng.
+ Vận dụng giải các dạng toán tìm ước chung và ước chung lớn nhất.
+ Chứng minh được hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Ước chung

Ví dụ.

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả

Ö  8  1;2; 4;8

các số đó.

Ö 12   1;2;3; 4;6;12

x  ÖC  a, b  nếu a  x và b  x
x  ÖC  a, b, c  nếu a  x , b  x và c  x

Chú ý:

Các số 1; 2 và 4 vừa là ước của 8, vừa là ước của
12 nên chúng được gọi là ước chung của 8 và 12.

ÖC  8,12   Ö  8  Ö 12  .

Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần
tử chung của hai tập hợp đó.
Kí hiệu giao của hai tập hợp A và B là A  B .
2. Ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn
nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Nhận xét: ÖCLN  a, b   ÖC  a, b 
Chú ý: Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số
tự nhiên a và b, ta có:

Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và
12 là 4.
Suy ra ÖCLN  8;12   4
ÖC  8,12  đều là ước của 4.
ÖCLN  7;1  1; ÖCLN 15;20;1  1

ÖCLN  a;1  1; ÖCLN  a; b;1  1

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích
các số ra thừa số nguyên tố

Ví dụ. Tìm ÖCLN  8;12 

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số

8  23 ;12  22.3

Trang 1

lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Thừa số nguyên tố chung là: 2, với số mũ nhỏ nhất

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

là 2.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

ÖCLN  8;12   22  4

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số

ÖCLN  8;9   1 nên 8 và 9 là hai số nguyên tố

lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ước

cùng nhau.

chung lớn nhất phải tìm.

ÖCLN  4;8;12   4 vì 8 4,12 4

Chú ý:
+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố
chung thì ƯCLN của chung bằng 1. Hai hay nhiều
số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng
nhau.
+ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của

các số còn lại thì ƯCLN của chúng chính là số nhỏ Ví dụ. Tìm ước chung của 12 và 18.
nhất ấy.
ÖCLN 12;18   6
4. Cách tìm ước chung thông qua tìm ƯCLN
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm Ö  6   1;2;3;6
các ước của ƯCLN của các số đó.

 ÖC 12;18  Ö  6   1;2;3;6 .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm ước chung
Phương pháp giải
Tìm ước chung của hai số a và b:
+ Bước 1. Ö  a   ….

Ví dụ: Ö  4   1;2; 4

Ö  b   ….

Ö  6   1;2;3;6

+ Bước 2. ÖC  a, b   Ö  a   Ö  b 

 ÖC  4,6   1;2 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
a) Số 15 có là ước chung của 45 và 60 không? Vì sao?
b) Số 24 có là ước chung của 48 và 140 không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) 15 là ước chung của 45 và 60 vì 45 và 60 cùng chia hết cho 15.
Trang 3

b) 24 không là ước chung của 48 và 140 vì 140  24 .
Ví dụ 2. Viết các tập hợp:
a) Ö  8 ,Ö 12  ,ÖC  8,12  ;
b) Ö  24  ,Ö  30  ,ÖC  24,30  ;
c) ÖC  9;15;21 ;
d) ÖC  4;16; 24  .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: Ö  8  1;2; 4;8 ;Ö 12   1;2;3; 4;6;12 .
Vậy ÖC  8,12   1;2; 4 .
b) Ta có: Ö  24   1;2;3; 4;6;8;12;24 ; Ö  30   1;2;3;5;6;10;15;30 .
Vậy ÖC  24,30   1; 2;3;6 .
c) Ta có: Ö  9   1;3;9 ; Ö 15   1;3; 5;15 ;Ö  21  1;3; 7; 21 .
Vậy ÖC  9;15;21  1;3 .
d) Ta có: Ö  4   1;2; 4 ;Ö 16   1;2; 4;8;16 ; Ö  24   1;2;3; 4;6;8;12;24 .
Vậy ÖC  4;16;24   1; 2; 4 .
Ví dụ 3. Có 48 chiếc bút và 64 quyển vở. Cô giáo muốn chia số bút và số vở thành một số phần thưởng
như nhau (gồm cả bút và vở). Trong các cách chia sau, cách nào thực hiện được? Hãy điền vào chỗ trống
(…) những trường hợp chia được.
Số bút ở mỗi phần

Số vở ở mỗi phần

thưởng

thưởng

8

……………………

………………….

Thứ hai

12

…………………….

…………………..

Thứ ba

16

…………………….

…………………..

Cách chia

Số phần thưởng

Thứ nhất

Hướng dẫn giải
Số phần thưởng như nhau (gồm cả bút và vở) phải là ước chung của 48 và 64. Trong ba số 8; 12; 16 thì
chỉ có 8 và 16 là ước chung của 48 và 64.
Vậy cách chia thứ nhất và thứ ba thực hiện được.
Cách thứ nhất:
Chia 48 chiếc bút thành 8 phần thưởng như nhau, thì số bút ở mỗi phần thưởng là: 48 : 8  6 (chiếc).
Chia 64 quyển vở thành 8 phần thưởng như nhau, thì số vở ở mỗi phần thưởng là: 64 : 8  8 (quyển).
Tương tự với cách thứ ba, ta có bảng:
Trang 4

Số bút ở mỗi phần

Số vở ở mỗi phần

thưởng

thưởng

8

6

8

Thứ hai

12

……………….

…………………

Thứ ba

16

3

4

Cách chia

Số phần thưởng

Thứ nhất

Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1.
a) Số 12 có là ước chung của 24 và 30 không? Vì sao?
b) Số 14 có là ước chung của 28; 56 và 84 không? Vì sao?
Câu 2. Viết các tập hợp sau:
a) Ö  30  ,Ö  42  ,ÖC  30, 42  ;

b) Ö  27  ,Ö  54  ,ÖC  27,54  ;

c) ÖC 12,20,32  ;

d) ÖC 14, 28,56  .

Câu 3. Viết các tập hợp sau:
a) Ö  6  ,Ö 16  ,ÖC  6,16  ;

b) Ö  9  ,Ö 18 , Ö  27  ,ÖC 18,27  ;

c) Ö 14  ,Ö  42  ,ÖC 14,42  .
Câu 4. Có 32 học sinh nam và học sinh 40 nữ. Người ta muốn chia đều số học sinh nam và nữ vào các
nhóm. Trong các cách chia sau, cách nào thực hiện được? Điền vào chỗ trống (…) các trường hợp chia
được.
Cách chia

Số nhóm

Số nam trong mỗi nhóm

Số nữ trong mỗi nhóm

Thứ nhất

4

………………….

……………………..

Thứ hai

6

………………….

……………………

Thứ ba

8

…………………..

……………………..

Câu 5. Lớp 6A có 24 học sinh nam và 36 học sinh nữ. Thầy giáo cần chia cả lớp thành các hàng dọc để
tập thể dục, sao cho số nam và số nữ ở mỗi hàng bằng nhau. Trong các cách xếp sau, cách nào thực hiện
được? Điền vào chỗ trống (…) những trường hợp chia được.
Cách chia

Số hàng dọc

Số nam ở mỗi hàng

Số nữ ở mỗi hàng

Thứ nhất

4

…………………..

………………….

Thứ hai

6

……………………

………………….

Thứ ba

8

……………………..

…………………..

Thứ tư

12

……………………

………………….

Bài tập nâng cao
Trang 5

Câu 6. Tìm ước chung của hai số n  3 và 2n  5 với n   .

Câu 7. Số 4 có thể là ước chung của hai số n  1 và 2n  5 ( n   ) không?
ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) 12 không là ước chung của 24 và 30 vì 30  12
b) Vì 2814, 5614 và 8414 nên 14 là ước chung của 28; 56 và 84.
Câu 2.
a) Ö  30   1;2;3;5;6;10;15;30 ;

b) Ö  27   1;3;9;27 ;

Ö  42   1;2;3;6; 7;14;21;42

Ö  54   1;2;3;6;9;18;27;54

 ÖC  30, 42   1;2;3;6 .

 ÖC  27,54   1;3; 9;27 .

c) Ö 12   1;2;3; 4;6;12 ;

d) Ö 14   1;2; 7;14 ;

Ö  20   1;2; 4;5;10;20 ;

Ö  28  1;2; 4; 7;14;28 ;

Ö  32   1;2; 4;8;16;32 ;

Ö  56   1;2; 4; 7;8;14;28;56

 ÖC 12,20,32   1;2; 4 .

 ÖC 14,28,56   1;2; 7;14 .

Câu 3.
a) Ta có: Ö  6   1;2;3;6 ;

b) Ta có: Ö  9   1;3;9 ;

Ö 16   1;2; 4;8;16 ;

Ö 18  1;2;3;6;9;18 ;

Vậy ÖC  6,16   1;2 .

Ö  27   1;3;9;27 ;

Vậy ÖC  9,18,27   1;3;9 .

c) Ta có: Ö 14   1;2; 7;14 ;

Ö  42   1;2;3;6; 7;14;21;42 ;
Vậy ÖC 14,42   1;2; 7;14 .
Câu 4.
Số nhóm chia được là ước chung của 32 và 40 nên cách thứ nhất và cách thứ ba thực hiện được. Cách thứ
nhất:
+ Số nam trong mỗi nhóm là: 32 : 4  8 (người).
+ Số nữ trong mỗi nhóm là: 40 : 4  10 (người).
Tương tự với cách thứ ba, ta có bảng:
Cách chia

Số nhóm

Số nam trong mỗi nhóm

Số nữ trong mỗi nhóm

Thứ nhất

4

8

10

Thứ hai

6

………………….

……………………

Thứ ba

8

4

5
Trang 6

Câu 5.
Số hàng dọc chia được là ước chung của 24 và 36.
Trong bốn số 4, 6, 8, 12 chỉ có 8 không là ước chung của 12 nên cách thứ ba không thực hiện được. Cách
thứ nhất:
Số nam ở mỗi hàng là: 24 : 4  6 (học sinh).
Số nữ ở mỗi hàng là: 36 : 4  9 (học sinh).
Tương tự với các cách thứ hai và thứ tư, ta có bảng:
Cách chia

Số hàng dọc

Số nam ở mỗi hàng

Số nữ ở mỗi hàng

Thứ nhất

4

6

9

Thứ hai

6

4

6

Thứ ba

8

………………….

……………………..

Thứ tư

12

2

3

Bài tập nâng cao
Câu 6.
Gọi d là ước chung của n  3 và 2n  5 với n   .
Ta có:  n  3 d và  2n  5  d .

Suy ra 2  n  3   2n  5  d  1 d .
Vậy d  1 .
Câu 7.
Giả sử 4 là ước chung của n  1 và 2n  5  n    .
Ta có:  n  1 4 và  2n  5  4 .
Suy ra  2n  5   2  n  1 4  3 4 (vô lí).
Vậy số 4 không thể là ước chung của n  1 và 2n  5  n    .
Dạng 2: Tìm ước chung lớn nhất
Phương pháp giải
+ Tìm ước chung lớn nhất của hai số a và b:
Cách 1. Tìm ÖC  a, b  , chọn số lớn nhất trong tập
hợp đó.
Cách 2.

Ví dụ. ÖC  4,6   1;2 .
Cách 1. 2 là số lớn nhất trong tập ÖC  4,6  . Vậy

ÖC  4,6   2 .

2
Bước 1. Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố. Cách 2. 4  2 ;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

6  2.3 .

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số Thừa số chung là: 2 với số mũ nhỏ nhất là 1.
lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

 ÖCLN  4,6   21  2

Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Ví dụ. ÖCLN 12,30   6
Trang 7

+ Tìm ÖC  a, b  thông qua ước chung lớn nhất: Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6.
 ÖC 12,30   1;2;3;6 .

Bước 1. Tìm ÖCLN  a, b  .
Bước 2. Liệt kê các ước của ƯCLN.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm ước chung lớn nhất của:
a) 9 và 14;

b) 5; 15 và 30;

c) 12; 28 và 32.

d) 24; 84 và 180.

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 9  32 ;
14  2.7 .

Ta thấy 9 và 14 không có thừa số chung nên ÖCLN  9,14   1 .
b) Ta có: 5  1.5 ;

15  3.5 ;
30  2.3.5 .

Thừa số chung là 5, với số mũ nhỏ nhất là 1.
Vậy ÖCLN  5,15,30   51  5 .
c) Ta có: 12  22.3 ;
28  22.7 ;
32  25 .

Thừa số chung là 2, với số mũ nhỏ nhất là 2.
Vậy ÖCLN 12,28,32   22  54 .
d) Ta có: 24  23.3 ;
84  2 2.3.7 ;
180  22.32.5 .

Thừa số chung là: 2 (số mũ nhỏ nhất là 2) và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1).
Vậy ÖCLN  24,84,180   22.3  12 .
Ví dụ 2. Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của:
a) 18 và 24;

b) 36; 54 và 81;

c) 48; 60 và 120;

d) 30; 75 và 135.

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 18  2.32 ;

24  23.3 .
Thừa số chung là: 2 (số mũ nhỏ nhất là 1)
Trang 8

và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1).
 ÖCLN 18,24   21.31  6 .

Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6.
Vậy ÖC 18,24   1;2;3;6 .
b) Ta có: 36  2 2.32 ;

54  2.33 ;
81  34 .

Thừa số chung là: 3 (số mũ nhỏ nhất là 2).
 ÖCLN  36,54,81  32  9

Các ước của 9 là: 1; 3; 9.
Vậy ÖC  36,54,81  1;3;9 .
c) Ta có: 48  24.3 ;
60  2 2.3.5 ;
120  23.3.5 .

Thừa số chung là: 2 (số mũ nhỏ nhất là 2)
và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1).

 ÖCLN  48,60,120   22.31  12 .
Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 6; 12.
Vậy ÖC  48,60,120   1;2;3;6;12 .
d) Ta có: 30  2.3.5 ;
75  3.52 ;
135  33.5 .

Thừa số chung là: 3 (số mũ nhỏ nhất là 1) và 5 (số mũ nhỏ nhất là 1).
 ÖCLN  30, 75,135  31.51  15 .

Các ước của 15 là: 1; 3; 5; 15.
Vậy ÖC  30,75,135   1;3;5;15 .
Ví dụ 3. Minh có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 60 cm và 84 cm. Minh muốn cắt tấm bìa thành
các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau, sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ
dài lớn nhất của cạnh hình vuông (biết số đo của cạnh hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị
xentimet).
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh các mảnh hình vuông là a (cm).
Trang 9

Ta phải có 60 a , 84 a và a là lớn nhất. Suy ra a  ÖCLN  60,84  .
Ta có: 60  22.3.5 ;
84  2 2.3.7

 ÖCLN  60,84   22.3.  12
Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là 12cm.
Ví du 4. Tìm hai số tự nhiên a và b  a  b  , biết rằng chúng có tổng bằng 224 và ước chung lớn nhất
bằng 28.
Hướng dẫn giải
Vì ÖCLN  a, b   28 nên giả sử a  28a ‘; b  28b ‘ trong đó ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b .
Ta có: a  b  224
28a  28b  224

28  a  b   224
 a   b  8

Do ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b nên ta có bảng:
Suy ra
a

196

140

a

7

5

b

28

84

b

1

3

Vậy hai số cần tìm là 196 và 28 hoặc 140 và 84.
Ví du 5. Tìm số tự nhiên a , biết rằng 130 chia cho a dư 10 và 172 chia cho a dư 12.
Hướng dẫn giải
Vì 130 chia cho a dư 10 nên 120 a và a  10 .
172 chia cho a dư 12 nên 160 a và a  12 .
 a  ÖCLN 120,160  và a  12 .

Ta có: 120  23.3.5;160  25.5

 ÖCLN 120,160   23.5  40
Mà Ö  40   1;2;4;5;8;10;20;40 và a  12 nên a  20 hoặc a  40 .
Vậy số cần tìm là 20 hoặc 40.
Chú ý: m chia cho a dư r thì  m  r  a .
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Trang 10

Câu 1. Tìm ước chung lớn nhất của:
a) 18 và 30;

b) 36; 48 và 72;

c) 27; 45 và 81.

d) 54; 135 và 162;

c) 48; 60 và 120;

d) 30; 75 và 135.

Câu 2. Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của:
a) 40 và 60;

b) 28; 39 và 35;

Câu 3. Tìm số tự nhiên x , biết 126 x, 210 x và 15  x  30 .
Câu 4. Tìm số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn:
a) 320 a và 480 a ;

b) 360 a và 600 a .

Câu 5. Tìm số tự nhiên a lớn hơn 25, biết rằng các số 525; 875 và 280 đều chia hết cho a.
Câu 6. Một đội y tế gồm có 36 bác sĩ và 120 y tá. Có thể chia đội y tế đó thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để
các bác sĩ và các y tá được chia đều vào mỗi tổ?
Câu 7. Một nhóm thanh niên tình nguyện gồm 48 nam và 54 nữ. Có thể thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để
đi tham gia tình nguyện ở các địa phương? Biết rằng số nam và số nữ được chia đều vào mỗi tổ.
Câu 8. Đào và Mai mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có nhiều hơn hai bút và số bút
ở mỗi hộp bằng nhau. Biết rằng Đào mua được 28 bút và Mai mua được 36 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu
có bao nhiêu chiếc?
Câu 9. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 132 m và chiều rộng 72 m. Người ta muốn trồng cây
xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có mỗi cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau.Tính
khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp có thể trồng được (khoảng cách là số tự nhiên đơn vị là m).
Khi đó tổng số cây là bao nhiêu?
Bài tập nâng cao
Câu 10. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Người ta muốn trồng cây
xung quanh vườn, sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi
số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu?
Câu 11. Tìm số tự nhiên a , biết rằng 130 chia cho a dư 10 và 172 chia cho a dư 12.
Câu 12. Tìm số tự nhiên a , biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia cho a dư 10.
Câu 13. Tìm hai số tự nhiên a và b  a  b  , biết rằng:
a) a  b  84 ; ÖCLN  a, b   14 .
c) a.b  96 ;

b) a  b  135 ; ÖCLN  a, b   27 .

ÖCLN  a, b   4 .

Câu 14. Tìm hai số tự nhiên a và b  a  b  , biết rằng tổng của chúng bằng 128 và ước chung lớn nhất là
32.
ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) 18  2.32 ;

b) 36  2 2.32 ;

30  2.3.5 .

48  24.3 ;

 ÖCLN 18,30   2.3  6 .

c) 27  33 ;
45  32.5 ;

72  23.32 .

 ÖCLN  36, 48,72   22.3  12 .

d) 54  2.33 ;
Trang 11

81  34

135  33.5 ;

 ÖCLN  27, 45,81  32  9 .

162  2.34 .

 ÖCLN  54,135,162   33  27 .
Câu 2.
a) 40  23.5 ;

b) 28  22.7 ;

60  22.3.5 .

39  3.13 ;

 ÖCLN  40, 60   22.5  20 .

35  5.7 .

Ö  20   1;2; 4;5;10;20 .
 ÖC  40,60   1; 2;4;5;10;20 .

c) 48  24.3 ;

 ÖCLN  28,39,35   1 .
 ÖC  28,39,35   1

d) 30  2.3.5 ;

75  3.52 ;

60  2 .3.5 ;
2

135  33.5 .

120  2 .3.5
3

 ÖCLN  48,60,120   22.3  12 .

Ö 12   1;2;3;4;6;12 .
 ÖC  48,60,120   1;2;3; 4; 6;12 .

 ÖCLN  30, 75,135   3.5  15 .
Ö 15  1;3;5;15 .
 ÖC  30,75,135   1;3;5;15 .

Câu 3.
Vì 126 x, 210 x nên x  ÖC 126,210 
Ta có: 126  2.32.7
210  2.3.5.7 .

Thừa số chung là: 2 (số mũ nhỏ nhất là 1)
3 (số mũ nhỏ nhất là 1)
và 7 (số mũ nhỏ nhất là 1)
 ÖCLN 126,210   21.31.71  42

Các ước của 42 là: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42.
 ÖC 126,210   1;2;3;6; 7;14;21; 42

Mà 15  x  30 , suy ra x  21; 42
Vậy x  21 hoặc x  42 .
Câu 4.
a) a  ÖCLN  320, 480 

b) a  ÖCLN  360,600 

Ta có: 320  26.5

Ta có: 360  23.32.5
Trang 12

480  25.3.5

 ÖCLN  320, 480   2 5.5  160 .

600  23.3.52

 ÖCLN  360,600   23.3.5  120 .

Câu 5.

a  ÖC  525;875;280  và a  25 .
Ta có: 525  3.52.7 ;

875  53.7
280  23.5.7

 ÖCLN  525;875;280   5.7  35 .

Suy ra a là ước của 35 và a  25 . Vậy a  35 .
Câu 6.
Số đội nhiều nhất chia được là ước chung lớn nhất của 36 và 120.
Ta có: 36  22.32 ;

120  23.3.5 .
 ÖCLN  36,120   22.3  12 .
Vậy đội y tế đó có thể chia được thành nhiều nhất 12 tổ.
Câu 7.
Số tổ nhiều nhất có thể chia được là ước chung lớn nhất của 48 và 54.
Ta có: 48  24.3 ;
54  2.33 .

 ÖCLN  48,54   2.3  6 .

Vậy có thể chia nhóm thanh niên thành nhiều nhất 6 tổ.
Câu 8.
Gọi a là số bút chì màu trong mỗi hộp. Ta phải có: 28 a và 36 a (với a  2 ).
Do đó a  ÖCLN  28,36  và a  2 .
Ta tìm được ÖCLN  28,36   4 , suy ra ÖC  28,36   1;2; 4 .
Mà a  2 nên a  4 .
Vậy mỗi hộp có 4 bút.
Câu 9.
Gọi khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là x (m).
Theo đề bài, ta có: 132 x, 72 x và x là số lớn nhất.
Suy ra x  ÖCLN 132,72 
Tacó: 132  2 2.3.11
Trang 13

72  23.32

 ÖCLN 132, 72   22.3  12 .

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp là 12m.
Chu vi mảnh vườn là: 132  72  .2  408  m  .
Tổng số cây trồng được là: 408 :12  34 (cây).
Bài tập nâng cao
Câu 10.
Gọi khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là x (m).
Theo đề bài, ta có: 120 x và 80 x
Để số cây trồng được là ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây liên tiếp phải lớn nhất.
Suy ra x  ÖCLN 120,80 
Tacó: 120  23.3.5
80  24.5

 ÖCLN 120,80   23.5  40 .

Do đó, khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp là 40m.
Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là: 120  80  .2  400 .
Số cây ít nhất phải trồng là: 400 : 40  10 (cây).
Cây 11.
Vì 130 chia cho a dư 10 nên 120 a và a  10 .
172 chia cho a dư 12 nên 160 a và a  12 .
 a  ÖCLN 120,160  và a  12 .

Tacó: 120  23.3.5;160  25.5
 ÖCLN 120,160   23.5  40

Mà Ö  40   1;2; 4;5;8;10;20;40 và a  12 nên a  20 hoặc a  40 .
Vậy số cần tìm là 20 hoặc 40.
Câu 12.
Vì 156 chia cho a dư 12 nên a  12 và a là ước của 156  12  144 .
Vì 280 chia cho a dư 10 nên a  10 và a là ước của 280  10  270 .
Vậy a là ước chung của 144 và 270 và a  10 .
Ta tìm được a  18 .
Câu 13.
a) Vì ÖCLN  a, b   14 nên giả sử a  14a; b  14b trong đó ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b .
Trang 14

Ta có: a  b  84

14a  14b  84

14  a  b   84
 a   b  6

Do ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b nên a  5; b  1 .
Suy ra a  70; b  14 .
Vậy hai số cần tìm là 70 và 14.
b) Đáp số: 135 và 27 hoặc 81 và 54.
c) Vì ÖCLN  a, b   4 nên giả sử a  4a; b  4b trong đó ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b .
Ta có: a.b  96

 4.a .  4.b  96
 a.b  6
Do ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b nên a  6; b  1 hoặc a  3; b  2 .
Suy ra a  24; b  4 hoặc a  12; b  8 .
Câu 14.
Vì ÖCLN  a, b   32 nên giả sử a  32a; b  32b , trong đó
ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b .

Ta có: a  b  128

32a  32b  128

32.  a  b  128
a  b  128 : 32
a   b  4

Do ÖCLN  a ‘, b ‘   1 và a  b nên ta được a  3; b  1 .
Suy ra a  32.3  96; b  32.1  32 .
Dạng 3: Bài toán về tập hợp
Phương pháp giải
Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm Ví dụ. A  a; b; c; 2 ; B  1; 2; a
các phần tử chung của hai tập đó.
Kí hiệu: A  B .
Nhận xét:

 A  B  2; a .
Ví dụ.

+ A  B   nếu chúng không có phần tử chung.

+ A  1; 2;3 ; B  4;5

+ A  B thì A  B  A .

 A B  

Trang 15

+ A  2; 4 ; B  0; 2; 4;8

 A  B  2; 4  A .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giao của hai tập hợp A và B, biết rằng:

A  baøn, gheá, baûng, buùt ; B  buùt, thöôùc, vôû, baûng .
A là tập hợp các số chia hết cho 2, B là tập hợp các số chia hết cho 4.
A là tập hợp các số chẵn, B là tập hợp các số lẻ.
Hướng dẫn giải

A  B  baûng, buùt
Vì số chia hết cho 4 thì cũng chia hết cho 2 nên B  A . Do đó A  B  B .
A  B   (vì tập hợp số chẵn và số lẻ không có phần tử chung).

Ví dụ 2. Viết tập hợp A gồm các ước nhỏ hơn 10 của 30.
Viết tập hợp B gồm các ước của 12.
Gọi M là giao của hai tập hợp A và B.
Liệt kê các phần tử của tập hợp M.
Dùng kí hiệu  để thể hiện quan hệ giữa tập M với mỗi tập hợp A và B.
Hướng dẫn giải





Ta có: A  x  Ö  30  x  10  1;2;3;5;6

B  Ö 12   1;2;3;4;6;12

 M  A  B  1; 2;3;6
M  A, M  B .

Ví dụ 3. Lớp 6A có 25 học sinh chỉ giỏi Toán, 17 học sinh chỉ giỏi Văn và 10 học sinh giỏi cả Toán và
Văn. Hỏi:
Lớp 6A có bao nhiêu học sinh giỏi Toán? Bao nhiêu học sinh giỏi Văn?
Lớp 6A có tất cả bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn giải
Lớp 6A có số học sinh giỏi Toán là: 25  10  35 (học sinh).
Lớp 6A có số học sinh giỏi Văn là: 17  10  27 (học sinh).
Lớp 6A có tất cả số học sinh là: 25  17  10  52 (học sinh).
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1. Tìm giao của hai tập hợp A và B, biết rằng:
a) A  ñaøo, cam, chanh ; B  taùo, leâ, cam
Trang 16

b) A là tập hợp các số chia hết cho 3, B là tập hợp các số chia hết cho 6.
c) A là tập hợp các số nguyên tố, B là tập hợp các số là hợp số.
Câu 2. Gọi M là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp 6A.
N là tập hợp các học sinh giỏi Văn của lớp 6A.
Hỏi M  N biểu thị tập hợp nào?
Câu 3. Viết tập hợp A gồm các ước nhỏ hơn 30 của 50.
Viết tập hợp B gồm các ước của 20.
Gọi M là giao của hai tập hợp A và B.
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp M.
b) Dùng kí hiệu  để thể hiện quan hệ giữa tập M với mỗi tập hợp A và B.
Câu 4. Lớp 6A có 20 học sinh chỉ giỏi Tiếng Anh, 5 học sinh chỉ giỏi Tiếng Pháp và 12 học sinh giỏi cả
Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi:
a) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh giỏi Tiếng Anh? Bao nhiêu học sinh giỏi Tiếng Pháp?
b) Lớp 6A có tất cả bao nhiêu học sinh?
ĐÁP ÁN
Bài tập cơ bản
Câu 1.
a) A  B  cam
b) Vì số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3 nên B  A . Do đó A  B  B .
c) A  B   (vì tập hợp số nguyên tố và hợp số không có phần tử chung).
Câu 2.
M  N biểu thị tập hợp các học sinh giỏi cả Toán và Văn của lớp 6A.

Câu 3.





a) Ta có: A  x  Ö  50  x  30  1;2;5;10;25
B  Ö  20   1;2; 4;5;10;20

 M  A  B  1; 2;5;10
b) M  A, M  B .
Câu 4.
a) Lớp 6A có số học sinh giỏi Tiếng Anh là:
20  12  32 (học sinh).

Lớp 6A có số học sinh giỏỉ Tiếng Pháp là:
5  12  17 (học sinh).

b) Lớp 6A có tất cả số học sinh là:

20  5  12  37 (học sinh).
Dạng 4: Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau
Trang 17

Phương pháp giải
Chứng minh a và b là hai số nguyên tố cùng nhau:
+ Bước 1. Giả sử d  ÖC  a, b  . Suy ra a  d và b  d .
+ Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) để chứng minh d  1 .
 ÖCLN  a, b   1

Kết luận, a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hướng dẫn giải
Hai số lẻ liên tiếp có dạng là 2n  1 và 2n  3  n    .
Gọi d là ước chung của 2n  1 và 2n  3 .
Ta có: d   2n  1 và d   2n  3 .
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu:  2n  3   2n  1 d hay 2 d .
Suy ra d  1 hoặc d  2 .
Mà 2n  1 và 2n  3 là hai số lẻ nên ước chung của chúng không thể bằng 2.
Do đó d  1 . Suy ra ÖCLN  2n  1,2n  3   1
Vậy 2n  1 và 2n  3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Chú ý: Với mọi n   thì 2n  3  2n  1 nên ta xét hiệu  2n  3   2n  1 .
Do vậy cần so sánh xem số nào lớn hơn trước khi xét hiệu.
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng n  1 và 3n  4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi d là ước chung của n  1 và 3n  4 .
Ta có:  n  1 d suy ra 3.  n  1 d ; và  3n  4  d
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu:  3n  4    3n  3  d hay 1 d .
Suy ra d  1 .
Do đó ÖCLN  n  1,3n  4   1
Vậy n  1 và 3n  4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Chú ý: Nếu xét hiệu  3n  4    n  1 d   2n  3 d
Suy ra ở d là ước của 2n  3 .
Ta không tìm được ước của 2n  3 , do đó không tìm được d .
Vì vậy ta cần khử được n bằng cách nhân 3 vào n  1 để cân bằng hệ số ở n  1 và 3n  4 .
Ví dụ 3. Chứng minh rằng 2n  1 và 3n  1 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi n   * .
Trang 18

Hướng dẫn giải
Gọi d là ước chung của 2n  1 và 3n  1 .
Khi đó:  2n  1 d suy ra 3.  2n  1 d ;
và  3n  1 d suy ra 2.  3n  1 d .
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu ta được:

3.  2n  1  2.  3n  1 d  1 d .
Suy ra d  1 . Do đó ÖCLN  2n  1,3n  1  1
Vậy 2n  1 và 3n  1 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi n   * .
Chú ý: Vì bội chung của 2 và 3 là 6 nên để cân bằng hệ số của n ở 2n  1 và 3n  1 ta cần nhân chúng
lần lượt với 3 và 2.
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập nâng cao
Câu 1. Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi n   thì 2n  1 và 4n  3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 3. Chứng minh các cặp số sau đây là hai số nguyên tố cùng nhau:
a) n  5 và 2n  9 .

b) n  2 và 3n  7 .

Câu 4. Chứng minh n  3 và 3n  10 là hai số nguyên tố cùng nhau.
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng là n và n  1  n   * .
Gọi d là ước chung của n và n  1 .
Ta có: n  d và  n  1 d .
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu:  n  1  n d  1 d .
Suy ra d  1 . Do đó ÖCLN  n, n  1  1
Vậy n và n  1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 2.
Gọi d là ước chung của 2n  1 và 4n  3 .
Khi đó:  2n  1 d suy ra 2.  2n  1 d ;
và  4n  3 d .
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta được:  4n  3  2.  2n  1 d  1 d .
Suy ra d  1 . Do đó ÖCLN  2n  1,4n  3  1
Trang 19

Vậy với mọi n   thì 2n  1 và 4n  3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 3.
a) Gọi ÖC  n  5;2n  9   d .
Ta có:  n  5  d suy ra 2.  n  5 d ;
và  2n  9  d .
Theo tính chất chia hết của một hiệu: 2.  n  5    2n  9  d hay 1 d .
Suy ra d  1
Vậy n  5 và 2n  9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi ÖC  n  2;3 n  7   d .
Ta có:  n  2  d suy ra 3.  n  2  d ;
và  3n  7  d .
Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có:  3n  7   3.  n  2  d hay 1 d .
Suy ra d  1
Vậy n  2 và 3n  7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 4.
Gọi d là ước chung của n  3 và 3n  10 .
Ta có:  n  3 d và  3n  10  d .
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta có:

 3n  10    3n  9  d  1 d .
Suy ra d  1 , suy ra ÖCLN  n  1,3n  10   1
Vậy n  3 và 3n  10 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Trang 20