Chuyên đề ƯCLN và BCNN bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Giới thiệu Chuyên đề ƯCLN và BCNN bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 Toán 6

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề ƯCLN và BCNN bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề ƯCLN và BCNN bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Text Chuyên đề ƯCLN và BCNN bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
CHUYÊN ĐỀ UCLN VÀ BCNN DẠNG 1: Tìm tập hợp BC Bài 1: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN (60;280) b, BCNN(84;108) c, BCNN(13;15) d, BCNN(10;12;15) Bài 2: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(8;9;11) b, BCNN(24;40;168) c, BCNN(40;52) d, BCNN(42;70;180) Bài 3: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(770;220) b, BCNN(154;220) c, BCNN(12;36) d, BCNN(28;56;560) Bài 4: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng: a, BCNN(25;39) b, BCNN(100;120;140) Bài 5: Tìm BCNN cuûa: a, 51 ; 102 và 153; b, 15 ; 18 và 120; c, 600 ; 840 và 37800; d, 72 ; 1260 và 2520. Bài 6: Cho a = 15, b = 25. Haõy tìm: a, BCNN của (a; b); b, BC (a; b) nhỏ hơn 300 Bài 7: Cho các số tự nhiên 16 , 25 và 32. So sánh a, BCNN (16; 25) và BCNN (16; 32); b, BCNN (16; 25) và BCNN (25; 32); c, BCNN (16; 32) và BCNN (25; 32). Bài 8: Trong các số sau đây, BCNN gấp mấy lần UCLN a, 42; 63 và 105; b, 80; 120 và 1000? Bài 9: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a 18 Bài 10: Tìm các BC nhỏ hơn 200 của 30 và 45 Bài 11: Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x 21 và x 28 và 150 x  B(10) x 12 => x  B(12) x 18 => x  B(18) => x  BC( 10 ;12 ; 18) = { 0 ;180 ;360 ;540 :…} Vì số sách trong khoẳng từ 200 đến 500 nên x = 360 Vậy số sách ban đầu là 360 Bài 2: Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ 8 ngày đến thư viện một lần, Hải 10 ngày một lần,Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào 1 ngày.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện? HD : Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỏ nhất Khi đó ta có : x 8 => x  B(8) x 10 => x  B(10) => x  BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; …) Vì x là nhỏ nhất khác không nên x = 40 Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày Bài 3: Học sinh lớp 6A khi xếp hàng 2, 3, 4, 8 đều vừa đủ, biết số học sinh lớp trong khoảng từ 35 đến 60, Tính số học sinh? HD: Gọi x ( học sinh) là số học sinh lớp 6A :=> x > 0 và 35 < x < 60 Khi đó ta có : x 2 => x  B(2) x 3 => x  B(3) x 4 => x  B(4) x 8 => x  B(8) => x  BC( 2 ;3 ;4 ;8) = { 0; 24; 48 ; 72 ; …) Vì x trong khoẳng từ 35 đến 60 nên x = 48 Vậy lớp 6A có 48 học sinh Bài 4: Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ 10 ngày lại trực nhật còn Bách 12 ngày lại trực nhật. Hỏi sau bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? HD: Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỉ nhất Khi đó ta có : x 8 => x  B(8) x 10 => x  B(10) => x  BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; …) Vì x là nhỏ nhất khác không nên x = 40 Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày Bài 5: Số học sinh của 1 trường là số có 3 chữa số và lớn hơn 900, mỗi lần xếp hàng 3, 4, 5 đều đủ. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh? HD : Gọi số học sinh của trường là x( học sinh) => x  N ,900  x  1000 Theo bài ra ta có : x 3, x 4, x 5 => x  BC(3 ;4 ;5) = B(60) B(60) = {0 ; 60 ; …. ; 600 ; 660 ;…840 ; 900 ; 960 ;1020 ;…} Vì 900 < x < 1000 nên x = 960. Vậy số học sinh của trường là x = 960 học sinh GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 Bài 6: Ba bạn An Bảo Ngọc học cùng 1 trường nhưng ở 3 lớp khác nhau, An cứ 5 ngày trực nhật 1 lần, Bảo thì 10 ngày trực nhật 1 lần và Ngọc 8 ngày trực nhật 1 lần, Lần đầu ba bạn cùng trực nhật vào 1 ngày, Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa ba bạn lại cùng trực nhật, lúc đó mỗi bạn trực nhật bao nhiêu lần HD : Gọi x ( ngày) là số ngày ba bạn An , Bảo và Ngọc lại cùng trực nhật vào lần sau => x>0 và x nhỏ nhất Khi đó ta có : x 5 => x  B(5) x 10 => x  B(10) x 8 => x  B(8) => x  BC( 8; 10 ;5 ) = { 0; 40; 80; 120; …) Vì x là nhỏ nhất khác không nên x = 40 Vậy sau 40 ngày thì ba bạn lại cùng trực nhật vào 1 ngày Bài 7: Một trường THCS xếp hàng 20,25,30 đều dư 15 học sinh, nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ, Tính số học sinh của trường đó biết rằng số học sinh của trường đó chưa đến 1000. HD : Gọi số học sinh của trường là x=> (0 x – 15  B(20) x – 15 25 => x – 15  B(25) x – 15 30 => x – 15  B(30) => x – 15  BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; …) => x  { 15; 315; 615;915; 1215; …) Thêm nữa, khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên x 41, Trong các số trên < 1000 chỉ có số 615 là chia hết cho 41 Vậy số học sinh của trường là 615 học sinh Bài 8: Một trường THCS xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 13 học sinh nhưng xếp hàng 45 thì còn dư 28 học sinh, Tính số học sinh của trường đó biết số hs chưa đến 1000. HD: Gọi số học sinh của trường là x => (0 < x < 1000, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x - 13 20 => x – 13  B(20) x – 13 25 => x – 13  B(25) x – 13 30 => x – 13  B(30) => x – 13  BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; …) => x  { 13; 313; 613; 913; 1213; …) Thêm nữa, khi xếp hàng 45 thì còn dư 28 học sinh nên x – 28 phải chia hết cho 45, Trong các giá trị trên từ 13 đên 913 thì chỉ có: 613 là chia cho 45 dư 28 học sinh Vậy số học sinh của trường là 613 học sinh Bài 9: Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, 3, 4, 5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong khoảng 100 đến 150? HD: Gọi số thiếu niên của đội là x => (100 < x < 150, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x - 1 2 => x – 1  B(2) x – 1 3 => x – 1  B(3) x – 1 4 => x – 1  B(4) x – 1 5 => x – 1  B(5) => x – 1  BC ( 2; 3; 4; 5 ) = { 0; 60; 120; 180; …) => x  { 1; 61; 121; 181; …) Vì 100 < x < 150 nên x = 121 Vậy số đội viên của đội là 121 đội viên GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 Bài 10: Một khối hs khi xếp hàng 2, 3, 4, 5, 6 đều thiếu 1 người nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ, biết số hs chưa đến 300, Tính số học sinh ? HD: Gọi số học sinh là x => (0 < x < 300, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x + 1 2 => x + 1  B(2) x + 1 3 => x + 1  B(3) x + 1 4 => x + 1  B(4) x + 1 5 => x + 1  B(5) x + 1 6 => x + 1  B(6) => x + 1  BC( 2; 3; 4; 5;6 ) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; …) => x  {-1; 59; 119; 179; 239; 299; 359; …) Bên cạnh đó khi xếp hàng 7 vừa đủ nên x chia hết cho 7 Và 0 < x < 300 nên chỉ có số 119, Vậy số học sinh của khối là 119 học sinh Bài 11: Số học sinh khối 6 của 1 trường trong khoảng từ 200 - 400, khi xếp hàng 12 và 15, 18 đều thừa 5 học sinh, Tính số hs HD: Gọi số học sinh của trường là x => (200 < x < 400, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x - 5 12 => x – 5  B(12) x – 5 15 => x – 5  B(15) x – 5 18 => x – 5  B(18) => x – 5  BC( 12; 15; 18) = { 0; 180; 360; 540; …) => x  {5; 185; 365; 545; …) Và 200 < x < 400 nên chỉ có số 365 là thỏa mãn Vậy số học sinh khối 6 của trường là 365 học sinh Bài 12: Hai dội công nhân, Trồng 1 số cây như nhau, mỗi công nhân đội I phải trồng 8 cây, đội II phải trồng 9 cây, Tính số cây mỗi đội phải trồng biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 - 200 HD: Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên Theo bài ra ta có: x 8 => x  B(8) x 9 => x  B(9) => x  BC( 8; 9 ) = { 0; 72; 144; 216; …) Vì 100 < x < 200 nên x = 144 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 144 cây Bài 13: Một bộ phận của máy có hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, bánh xe 1 có 18 răng cưa, bánh xe 2 có 12 răng cưa, Hỏi mỗi bánh xe phải quay bao nhiêu vòng để 2 răng cưa đã khớp với nhau lần đầu sẽ khớp với nhau lần 2 HD: Để hai răng của hai bánh xe đã khớp với nhau lần đầu lại khớp với nhau lần 2 thì số răng cưa ở mỗi bánh xe đã quay được là x : Khi đó x = BCNN(12;18)=36 Bánh xe 1 quay là 36:18=2 vòng. Bánh xe 2 quay 36:12 = 3 vòng Bài 14: Số học sinh của 1 trường THCS là 1 số có ba chữ số và lớn hơn 800, mỗi lần xếp hàng 5, 6, 7, 8 đều vừa đủ, hỏi trường đó có bao nhiêu hs? HD : Gọi x ( học sinh) là số học sinh của 1 trường => 800 < x < 1000 Theo bài ra ta có : x 5 => x  B(5) x 6 => x  B(6) x 7 => x  B(7) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 4 x 8 => x  B(8) => x  BC( 5; 6 ;7; 8 ) = { 0; 840; 1680; …… ) Vì 800 < x < 1000 nên x = 840 Vậy số học sinh của trường là 840 học sinh Bài 15: Ba đội công nhân cùng trồng 1 số cây như nhau, tính ra mỗi công nhân đội 1 trồng 7 cây, đội 2 trồng 8 cây, đội 3 trồng 6 cây, Tính số công nhân mỗi đội, biết số cây mỗi đội trong khoảng từ 100-200 HD: Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên Theo bài ra ta có: x 7 => x  B(7) x 8 => x  B(8) x 6 => x  B(6) => x  BC( 7 ; 8; 6 ) = { 0 ; 168 ; 336 ; …) Vì 100 < x < 200 nên x = 168 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 168 cây Bài 16: Một công ty vận tải hàng hóa dùng ba ca nô để chở hàng, ca nô thứ nhất 7 ngày cập bến 1 lần, ca nô thứ hai 6 ngày cập bến 1 lần, ca nô thứ ba 8 ngày cập bến 1 lần. Hỏi nếu ba ca nô cùng đang cập bến, thì ít nhất sau bao nhiêu ngày sau : a, Ca nô thứ nhất và ca nô thứ hai cùng cập bến ? b, Ca nô thứ nhất và ca nô thứ ba lại cùng cập bến ? c, Ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến ? d, Cả ba ca nô cùng cập bến ? HD : a, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ nhất và ca nô thứ hai lại cùng cập bến Khi đó ta có : x 7 => x  B(7) x 6 => x  B(6) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN( 6; 7) = 42 => Vậy sau 42 ngày thì ca nô 1 và ca nô 2 giặp nhau tại bến b, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ nhất và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : x 7 => x  B(7) x 8 => x  B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 7) = 56 => Vậy sau 56 ngày thì ca nô 1 và ca nô 3 giặp nhau tại bến c, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : x 6 => x  B(7) x 8 => x  B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6) = 24 . Vậy sau 24 ngày thì ca nô 2 và ca nô 3 giặp nhau tại bến d, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : x 6 => x  B(6) x 7 => x  B(7) x 8 => x  B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6 ; 7) = 168. Vậy sau 168 ngày thì cả ba ca nô giặp nhau tại bến Bài 17: Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan, Tính số học sinh biết nếu xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ HD : Gọi số học sinh của trường đi tham quan là x=> 800< x< 900 và x là số tự nhiên theo bài ra ta có : x 35 => x  B(35) x 40 => x  B(40) => x  BC(35 ; 40) = {0 ; 280 ; 560 ; 840 ; 1120 ; …} Mà 800 < x < 900 nên x = 840 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 Vậy số học sinh đi tham quan của trường là 840 học sinh Bài 18: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000? HD : Gọi số bộ đội của đơn vị đó là x => (x < 1000, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x - 15 20 => x – 15  B(20) x – 15 25 => x – 15  B(25) x – 15 30 => x – 15  B(30) => x – 15  BC( 20; 25; 30) = { 0; 300; 600; 900;1200; …) => x  {15; 315; 615; 915; 1215;……) Mặt khác khi xếp hàng 41 thì vừa đủ và x < 1000 nên trong các số trên có 615 là thỏa mãn Vậy số bộ đội là 615 người Bài 19: Trên đoạn đường dài 4800m, có các cột điện trồng cách nhau 60m, nay trồng lại cách nhau 80m, Hỏi có bao nhiêu cột điện không phải trồng lại, biết rằng ở cả hai đầu đoạn đường đều có cột điện? HD: Khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp không phải trồng lại (tính bằng m) là: BCNN(60;80)=240, Số cột không phải trồng lại là: (4800:240)+1=21 cột Bài 20: Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ nhất quay về bến sau 1h5 phút và sau 10’ lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56’ và lại đi sau 4 phút, xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ? HD: Gọi x là thời gian 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai tại bến, Theo bài ra ta có : Xe thứ nhất sau 1h 5 phút về đến nơi và thêm 10 phút sau mới đi, nên xe thứ nhất mất 75 phút để có thể đi tiếp chuyến thứ hai, do đó : x 75 => x  B(75) Tương tự ta cũng có với các xe thứ hai và xe thứ ba x 60 => x  B(60) x 50 => x  B(50) Và x phải nhỏ nhất nên x = BCNN (75; 60; 50) =300 phút =5h Vậy sau 5h thì ba xe lại lại cùng xuất phát Bài 21: Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho xếp 5,6,8 hàng thì thấy lẻ 1 người, Khi cho đoàn xếp hàng 13 thì vừa vặn không thừa người nào. Hỏi số người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ? HD : Gọi số người tham gia tập diễn là x => ( 350 < x < 500, x là số tự nhiên ) Theo yêu cầu bài toán thì ta có : x - 1 5 => x – 1  B(5) x – 1 6 => x – 1  B(6) x – 1 8 => x – 1  B(8) => x – 1  BC( 5; 6; 8) = { 0; 120; 240; 360; 480; 600; …) => x  {1; 121;241; 361; 481; 601; ……) Mặt khác khi xếp hàng 13 thì vừa đủ và 350 < x < 500 nên trong các số trên có 481 là thỏa mãn Vậy số người tham gia tập diễn là 481 người Bài 22: Số học sinh tham gia nghi thức đội là 1 số có ba chữ số lớn hơn 800 , Nếu xếp hàng 20 thì dư 7 em, nếu xếp hàng 25 thì dư 18 em, và xếp hàng 15 thì thiếu 8 em, hỏi có tất cả bao nhiêu hs dự thi? Bài 23: Hai lớp 6A và 6B cùng thu nhặt 1 số giấy vụn bằng nhau, Trong lớp 6A, một bạn thu được 26kg, còn lại mỗi bạn thu được 11 kg, Trong lớp 6B 1 bạn thu được 25kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg, Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200-300kg HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 6 Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg):  x − 26 11 Khi đó:  = x − 15  BC (10;11) Ngoài ra 200  x  300 = x = 235  x − 25 10 Bài 24: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11; 26 đều được dư là 1 Bài 25: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4; 6; 7 đều được dư là 3 Bài 26: Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số sao cho chia nó cho 3; 4; 5; 6; 7 được các số dư theo thứ tự là 1; 2; 3; 4; 5 Bài 27: Nhân ngày 1- 6, Chị phụ trách chia kẹo như sau, Nếu chia mỗi gói 10 cái thì một gói chỉ có 9 cái, nếu chia mỗi gói 9 cái thì 1 gói 8 cái, nếu chia mỗi gói 7 cái thì 1 gói có 6 cái, nếu chia mỗi gói 2 cái thì thừa 1 cái, biết số kẹo từ 2000 – 3000 cái, Hỏi có bao nhiêu kẹo? GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7 DẠNG 3: Bài toán BC có dư Bài 1: Bạn Nam nghĩ 1 số có 3 chữa số, nếu bớt số đó đi 8 thì được 1 số 7, nếu bớt số đó đi 9 thì được 1 số 8, nếu bớt số đó đi 10 thì được 1 số 9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? HD: Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, ĐK: 99 2a = 106 => a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a = 5m + 3 2a = 10m + 6  2a − 1 5    Theo bài ra ta có: a = 7n + 4 ( m, n, p  N ) = 2a = 14n + 8 = 2a − 1 7 = 2a − 1 BC (9;5;7) a = 9 p + 5 2a = 18 p + 10 2a − 1 9    Vì a nhỏ nhất nên 2a – 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a – 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 có số dư là 1, 3, 1 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a = 3m + 1  2a = 6m + 2  2a − 2 3    Theo bài ra ta có: a = 4n + 3 ( m, n, p  N ) = 2a = 8n + 6 = 2a − 2 4 = 2a − 2  BC (3; 4;5) a = 5 p + 1 2a = 10 p + 2 2a − 2 5    Vì a nhỏ nhất nên 2a – 2 nhỏ nhất khác 0 hay 2a – 2 = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 31 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 5 sao cho khi chia số đó cho 70, 140, 350 và 700 có cùng số dư là 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5 a − 5 70 a − 5 140  = a − 5  BC ( 70;140;350;700 ) Theo bài ra ta có:  a − 5 350 a − 5 700 Vì a nhỏ nhất nên a – 5 nhỏ nhất hay a – 5 = BCNN(70; 140; 350; 700) = 700 => a = 705, Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 705 Bài 6: Một số tự nhiên khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1, nhưng khi chia cho 7 thì không có dư, tìm số a nhỏ nhất có tính chất trên HD : Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 8 a − 1 2 a − 1 3  Theo bài ra ta có: a − 1 4 = a − 1 BC ( 2;3; 4;5;6 ) = B(60) a − 1 5  a − 1 6 a – 1  BCNN(2;3;4;5;6) = B(60) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; ….} => a  {1; 61; 121; 181; 241; 301;….} và a còn chi hét cho 7 và a nhỏ nhất nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301 Bài 7: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 4, 5, 6 đều dư 1, tìm số đó biết rằng số đó chia hết cho 7 và nhỏ hơn 400 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a − 1 4  Theo bài ra ta có: a − 1 5 = a − 1 BC ( 4;5;6 ) = B ( 60 ) = 0;60;120;180; 240;300;360; 420;… a − 1 6  => a 1;61;121;181;241;301;361;421;… Vì a còn chia hết cho 7 và a nhỏ hơn 400 nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia nó cho 6, 7, 9 được các số dư lần lượt là : 2; 3; 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a − 2 6 a − 2 + 6 6 a + 4 6    Theo bài ra ta có: a − 3 7 = a − 3 + 7 7 = a + 4 7 = a + 4  BC ( 6;7;9 ) a − 5 9 a − 5 + 9 9 a + 4 9    Vì a nhỏ nhất nên a + 4 nhỏ nhất Hay a + 4= BCNN (6;7;9) = 126 => a = 122 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là a = 122 Bài 9: Tìm số tự nhiên a sao cho số đó chia cho 17, 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 HD: a − 8 17 a − 8 + 17 17 a + 9 17 =  =  = a + 9  BC (17; 25) Theo bài ra ta có:  a − 16 25 a − 16 + 25 25 a + 9 25 => a + 9  B ( 425) = 0;425;850;1275;….. = a 416;841;1266;…. Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 416;841;1266;…. Bài 10: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: ĐK : a < 500 a − 8 15 a − 8 + 30 15 a + 22 15 =  =  = a + 22  BC (15;35) Theo bài ra ta có:  a − 13 35 a − 13 + 35 35 a + 22 35 => a + 22  B (105) = 0;105;210;315;420;525….. = a 83;188;293;398;…. Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 83;188;293;398;…. Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là x: Theo bài ra ta có: x = 29a + 5 và x = 31b + 28 => 29a + 5 = 31b + 28 => 29a – 29b = 2b + 23 => 29(a – b) = 2b + 23 Vì VT 29 nên VP 29 => 2b + 23 29, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đó b = 3 Thay b = 3 vào ta được x =31.3 + 28 = 121 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 121 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 9 Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 31 dư 15 và chi cho 35 dư 1 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là x: Theo bài ra ta có: x = 31a + 15 và x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a – 31b = 4b + 3 => 31(a-b) = 4b + 3 Vì VT 31 nên VP 31 => 4b + 3 31, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đó b = 7 Thay b =7 vào ta được x =35.7 + 18 = 263 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 263 Bài 13: Tìm dạng chung cả các số tự nhiên a chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chi 6 thì dư 5 và chia hết cho 3 HD: a − 3 4 a − 3 + 4 4 a + 1 4    Theo bài ra ta có: a − 4 5 = a − 4 + 5 5 = a + 1 5 = a + 1 BC ( 6;5; 4 ) = a + 1 60 a − 5 6 a − 5 + 6 6 a + 1 6    Và a + 1 – 300 60 và a 13=> a – 13.23 13 => a – 299 13 => a – 299 BCNN (60; 13) =780 => a = 780k +299 Vậy dạng chung của số tự nhiên trên là a = 780k + 299 Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28 HD: n − 7 8 n − 7 + 72 8 n + 65 8 =  =  = n + 65  BC (8;31) Theo bài ra ta có:  n − 28 31 n − 28 + 93 31 n + 65 31 n + 65  B ( 248) = 0;248;496;744;992;…. = n 183;431;679;927;… Vì n là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên n = 927 Vậy số cần tìm là 927 Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n +3 7 Bài 16: Một số tự nhiên a khi chia cho 7 dư 4, chia cho 9 dư 6, tìm số dư khi chia a cho 63 HD : a − 4 7 a − 3 + 7 7 a + 3 7 =  =  = a + 3 63 Vì UCLN( 7;9) =1 Theo bài ra ta có:  a − 6 9 a − 6 + 9 9 a + 3 9 Vậy a chia cho 63 dư 60 Bài 17: Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi a, Chia a+b cho 7 b, Chia a+b+c cho 7 HD: Theo bài ra ta có: a = 7k + 5, b = 7h + 3 và c = 7m + 2, với k, h, m là các số tự nhiên Khi đó a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + 8 chia 7 dư 1 Vậy a + b chia 7 dư 1 b, Ta có: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho 7 dư 3 Vậy a + b + c chia 7 dư 3 Bài 18: Số nguyên lớn nhất mà khi chia 13511, 13903, 14589 ta được cùng 1 số dư, Tìm số nguyên đó? HD: Gọi x là số tự nhiên cần tìm, r là số dư , 13903 − 13511 = x ( b − a ) = 392 13511 = x.a + r   Ta có: 13903 = x.b+ r = 14589 − 13903 = x ( c − b ) = 686 = x UC ( 392;686;1078) 14589 = x.c+ r   14589 − 13511 = x ( c − a ) = 1078 với a, b, c là thương của các phép chia Vì x là số lớn nhất nên x = UCLN(392; 686; 1078) = 98 Bài 19: Tìm số bé nhất , mà khi chia số đó cho 3 dư 2, chia 4 dư 3, chi 5 dư 4, chia 6 dư 5 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a − 2 3 a − 2 + 3 3 a − 3 4 a − 3 + 4 4   =  = a + 1 BC ( 3; 4;5;6 ) Theo bài ra ta có:  a − 4 5 a − 4 + 5 5   a − 5 6 a − 5 + 6 6 Vì a nhỏ nhất nên a + 1 nhỏ nhất hay a + 1 = BCNN(3;4; 5; 6) = 60 => a= 59 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 59 Bài 20: Tìm số có ba chữ số, biết khi chia số đó cho 5 dư 3, chia 2 dư 1, chia 3 vừa đủ và chữ số hàng trăm của nó là số chẵn lớn nhất HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là abc Do abc chia 2 dư 1 nên abc là 1 số lẻ, mà abc chia 5 dư 3 nên c = 3 hoặc c = 5, mà c lẻ nên c = 3 Khi đó ta có: ab3 mà số hàng trăm là số chẵn lớn nhất => a = 8 Ta được số 8b3 lại chia hết cho 3 nên b = 1 hoặc b = 4 hoặc b = 7 Vậy ta có 3 số thỏa mãn đầu bài: 813 hoặc 843 hoặc 873 Bài 21: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1. HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a − 1 2 a − 1 5  = a − 1 BC ( 2;11;5; 26 ) Vì a nhỏ nhất nên a – 1 nhỏ nhất hay Theo bài ra ta có:  a − 1 11  a − 1 26 a – 1 = BCNN(2; 11; 5; 26 ) = 1430 => a = 1431 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 1431 Bài 22: Tìm các số tự nhiên a, b biết: ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105 Bài 23: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và cxhia hết co 23. HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: a − 6 8 a − 6 + 8 8   a − 10 12 = a − 10 + 12 12 = a + 2  BC ( 8;12;15) = B (120 ) = 0;120; 240;360; 480;600;720;…. a − 13 15 a − 13 + 15 15   => a 118;238;358;478;598;718;…. Vì a chia hết 23 và a nhỏ nhất nên a = 598 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 598 Bài 24: Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thương của số lớn chia cho số nhỏ là bội của 6. Bài 25: Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b? Bài 26: Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư 1. Tìm A biết A < 400. HD:  A −1 4 == A − 1 BC ( 4;6 ) = B (12 ) = 0;12; 24;36; 48;60;72;84;.... Theo bài ra ta có:   A −1 6 => A1;13;25;37;49;61;73;85;…. , Mặt khác a chia hết cho 7 và A < 400, nên A = 49, 133, ... Vậy số tự nhiên cần tìm là 49, 133,... Bài 27: Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của khối 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 11 HD: Gọi số học sinh khối 6 cần tìm là a: => 235 < a < 250 Theo bài ra ta có: a − 2 3 a − 2 + 3 3 a − 3 4 a − 3 + 4 4   a − 4 5 = a − 4 + 5 5 = a + 1 BC ( 3; 4;5;6;10 ) = B ( 60 ) = 0;60;120;180; 240;300;.... a − 5 6 a − 5 + 6 6   a − 9 10 a − 9 + 10 10 => a 59;119;179;239;299;…. Vì 235 < a < 250 => a = 239 Vậy số học sinh khối 6 của trường là 239 học sinh Bài 28: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1 còn chia cho 7 thì dư 5. HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: a = 5n + 1 = 7m + 5 = 5n − 5m = 2m + 4 = 5 ( n − m) = 2m + 4 5 => 2m + 4  B ( 5) = 0;5;10;15;… = 2m 1;6;11;… = m 3;….. , Vì a nhỏ nhất nên m nhỏ nhất khi đó m = 3 => a = 7.3 + 5 = 26 Bài 29: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 còn chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 HD : Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a − 6 11 a − 6 + 33 11   Theo bài ra ta có: a − 1 4 = a − 1 + 28 4 = a + 27  BC (11; 4;19 ) a − 11 19 a − 11 + 38 19   Vì a nhỏ nhất, nên a + 27 = BCNN(11;4;19) = 836 => a = 809 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 809 Bài 30: Số học sinh tham gia nghi thức đội là 1 số có ba chữ số lớn hơn 800 , Nếu xếp hàng 20 thì dư 7 em, nếu xếp hàng 25 thì dư 18 em, và xếp hàng 15 thì thiếu 8 em, hỏi có tất cả bao nhiêu hs dự thi? Bài 31: Số học sinh tham quan của 1 trường khoảng từ 1200 đến 1500 em, Nếu thuê xe 30 chỗ thì thừa 21 ghế, nếu thuê xe 35 chỗ thì thừa 26 chỗ, nếu thuê xe 45 chỗ thì thiếu 9 ghế, Hỏi có tất cả bao nhiêu hs đi tham quan? HD: Gọi số học sinh đi tham quan là a: ta có : 1200 < a < 1500 và a là số tự nhiên a + 21 30 a + 21 − 30 30 a − 9 30    Theo bài ra ta có: a + 26 35 = a + 26 − 35 35 = a − 9 35 = a − 9  BC ( 30;35; 45 ) a − 9 45 a − 9 45 a − 9 45    => a − 9  B ( 630) = 0;630;1260;1890;…. = a 9;639;1269;1899;… Vì 1200 < a < 1500 nên a = 1269 Vậy số học sinh đi tham quan là 1269 học sinh Bài 32: Cho a chia cho 13 dư 3, a chia 19 dư 7, a chia 247 dư bao nhiêu? HD: Theo bài ra ta có: a = 13k + 3, và a = 19h + 7, => a + 88 = 13k + 91 = 13(k + 7) Và a + 88 = 19h + 7 + 88 = 19h + 95 = 19(k + 5), Như vậy a + 88 chia hết cho 13 và 19, Vì UCLN(13 ;19) =1 Nên a + 88 chia hết cho 13.19 = 247 Vậy a chia cho 247 dư 159 Bài 33: Tìm số tự nhiên a lớn nhất có ba chữ số sao cho khi chia a cho 5 dư 2, chia 7 dư 4 và chia 9 dư 6 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 12 a − 2 5 a − 2 + 5 5 a + 3 5    Theo bài ra ta có: 99 < a < 1000 và a − 4 7 = a − 4 + 7 7 = a + 3 7 = a + 3  BC ( 5;7;9 ) a − 6 9 a − 6 + 9 9 a + 3 9    => a + 3  B ( 315) = 0;315;630;945;1260…. = a 312;627;942;1257;… Vì 99 < a < 1000 và a là số lớn nhất nhỏ hoen 1000 nên a = 942 Vậy số tự nhiên cần tìm là a = 942 Bài 34: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 5 thì dư 3, chia a cho 7 dư 4 HD : Ta có: a = 5q + 3 và a = 7p + 4 Xét a + 17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a + 17 chia hết cho cả 5 và 7 hay a + 17 là bội chung của 5 và 7 => a + 17  B ( 35) = 0;35;70;105;… = a 18;53;88;…. vi a nhỏ nhất nên a = 18 Vậy số tự nhiên cần tìm là 18 Bài 35: Tìm 1 số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 25, 28, 35 thì được các số dư lần lượt là 5, 8, 15 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a, và 99 < a < 1000 a − 5 25 a − 5 + 25 25 a + 20 25    Từ giả thiết ta có : a − 8 28 = a − 8 + 28 28 = a + 20 28 = a + 20  BC ( 25; 28;35) a − 15 35 a − 15 + 35 35 a + 20 35    => a + 20  B ( 700) = 0;700;1400;…. = a 680;1380;…. Vì a nhỏ hơn 1000 nên a = 680 Vậy số tự nhiên cần tìm là a = 680 Bài 36: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có ba chữ số biết rằng khi chia a cho 7 thì dư 3, khi chia a cho 11 thì dư 8, HD: a − 3 7 a − 3 + 28 7 a + 25 7 =  =  a + 25  BC (11;7 ) Theo bài ra ta có: 99 < a < 1000 và  a − 8 11 a − 8 + 33 11 a + 25 11 Ta có: a + 25  B ( 77 ) = 0;77;154;231;308;..... = a 52;129;206;... Vì a nhỏ nhất có ba chữ số nên a = 129, Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 129 Bài 37: Tìm số lớn nhất có 3 chữ số n biết n chia 8 dư 7 chia 31 dư 28 Bài 38: Khi một số tự nhiên a khi chia 4 dư 3, khi chia cho 17 thì dư 9 còn khi chia cho 19 thì dư 13. khi đó số a chia 1292 có số dư là ? HD: Theo bài ra ta có: a = 4x + 3, a = 17y + 9 và a = 19z + 13 Hay a + 25 = 4(x + 7) = 17(y + 2) = 19(z + 2) Như vậy a + 25 đồng thời chia hết cho 4 ; 17 ; 19, hay a + 25 1292 => a chia cho 1292 dư 1267 Bài 39: Một số tự nhiên khi chia 3 dư 1, chia 4 dư 2, chia 5 dư 3, chia 6 dư 4 và chi hết cho 13 a, Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên b, Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên HD: a, Gọi số tự nhiên cần tìm là a Khi đó ta có : a + 2 3;4;5;6 và a 13 Nên a + 2  BCNN ( 3;4;5;6) = 60 = a + 2 = 60n = a = 60n − 2 ( n = 1;2;3;… ) và a 13 a + 2 60 (1) b, Số phải tìm thỏa mãn 2 điều kiện :  a 13 ( 2 ) Từ (1) = x + 182 60 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 13 Từ ( 2 ) = x + 182 13 vi ( 60;13) = 1 = x + 182 = 780k = x = 780k − 182 ( k = 1;2;3;…) Bài 40: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 ; 10 ; 15 ; 20 được các số dư theo thứ tự : 5 ; 7 ; 12 ; 17 Bài 41: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia 12 dư 10, chia 15 dư 13 và chia hết cho 23 HD : Gọi số tự nhiên cần tìm là a Ta có : a + 2 8;12;15 và a 23 Bài 42: Tổng số học sinh khối 6 của 1 trường trong khoảng 235 đến 250 em, Biết rằng nếu lấy số học sinh đem chia cho 3 dư 2 mà chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 6 dư 5 và chia 10 dư 9, Tìm số học sinh của khối 6 Bài 43: Tìm số bé nhất mà khi chia số đó cho 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4 và chia 6 dư 5 Bài 44: Tìm 1 số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia 135 dư 88 và số đó là số bé nhất Bài 45: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5 ; 8 ; 12 được các số dư lần lượt là 2 : 5 : 9 Bài 46: Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số biết chia 9 dư 5, chia 25 dư 19 Bài 47: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, biết nó chia cho 10 dư 3, chia 12 dư 5, chia 15 dư 8 và 19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 14 DẠNG 4: Tìm tập hợp Ước chung Bài 1: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (12;30) b, UCLN (8;9) c, UCLN (8;12;15) d,UCLN (24;16;8 ) Bài 2: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (56;140) b, UCLN (24;84;180) c, UCLN (60;180) d,UCLN (15;19) Bài 3: Tìm các tập hợp sau: a, UCLN (16;80;176) b, UCLN (18;30;77) c, UCLN (180;234) d, UCLN (60;90;135) Bài 4: Tìm các tập hợp sau: a, UC(8;12) b, UC(40;60) c, UC(28;39;25) d, UC(36;60;72) Bài 5: Tìm số tự nhiên a lớn nhất sao cho 420 a và 700 a Bài 6: Tìm các ước lớn hơn 20 của 144 và 192 Bài 7: Tìm số tự nhiên x biết rằng 112 x , 140 x và 1020 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 15 DẠNG 5: Bài toán về UC Bài 1: Lan có một tấm bìa HCN, kích thước 75cm và 105cm,Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông? HD: Gọi độ dài cạnh các mảnh của hình vuông là a (cm) ĐK: a  N , a  75 Theo bài ta ta có: 75 a và 105 a và a phải là số lớn nhất Nên a = UCLN(75 ; 105) Bài 2: Hùng muốn cắt một tấm bìa HCN có kích thước 60 và 96cm, thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ dài lớn nhất cạnh của hình vuông? HD : Gọi độ dài cạnh các mảnh của hình vuông là a (cm) ĐK: a  N , a  60 Theo bài ta ta có: 60 a và 96 a và a phải là số lớn nhất Nên a = UCLN(60 ; 196) Bài 3: Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về 1 hyện để biểu diễn, đội đã chia các tổ gồm cả nam và nữ, biết số nam, số nữ được chia đều vào các tổ vậy có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ, mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữa? HD : Gọi số tổ có thể chia được nhiều nhất là a ( tổ) ĐK : a  N , a  48 Theo bài ra ta có: 48 a và 72 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN( 48 ; 72) Sau khi tìm được a, ta lấy 48 :a là ra số nam trong tổ, và 72 : a là ra số nữ trong mỗi tổ Bài 4: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá,có thể chia đội y tế đó thành nhiều nhất mấy tổ để các bác sĩ,y ts được chia đều vào các tổ HD : Gọi số tổ có thể chia được nhiều nhất là a ( tổ) ĐK : a  N , a  24 Theo bài ra ta có: 24 a và 108 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN( 24 ; 108 ) Bài 5: Trong một buổi liên hoan ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo và 36 cái bánh và được chia đều ra các đĩa gồm cả kẹo và bánh, có thể chia được nhiều nhất bào nhiêu đĩa, mỗi đĩa có bao nhiêu bánh bao nhiêu kẹo? HD : Gọi a ( chiếc ) là số đĩa có thể chia được ĐK : a  N , a  36 Theo bài ra ta có: 96 a và 36 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN(96 ; 36) Sau khi tìm được a, ta lấy 96 :a là ra số kẹo trong mỗi đĩa, và 36 : a là ra số bánh trong mỗi đĩa Bài 6: Lớp 6A có 54 học sinh, 6B có 42 và 6C có 48 học sinh, trong ngày khai giảng ba lớp cùng xếp thành 1 số hàng dọc như nhau, mà không có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể sếp được? HD : Gọi a là số hàng dọc có thể xếp được ĐK : a  N , a  42 Theo bài ra ta có : 54 a và 42 a và 48 a đồng thời a là số lớn nhất Khi đó a = UCLN(54 ; 42 ; 48) Bài 7: Có 48 bút chì, 64 quyển vở, cô giáo muốn chia số bút và số vở thành 1 số phần thưởng như nhau,có thể chia được nhiều nhất bào nhiêu phần thưởng,số bút số vở ở mỗi phần thưởng? HD : Gọi a là số phần thưởng có thể chia theo yêu cầu đầu bài ĐK : a  N , a  48 Theo bài ra ta có : 48 a và 64 a đồng thời a là số lớn nhất Khi đó a = UCLN(48 ; 64) Sau khi tìm được a ta lấy 48 chia a là ra số bút chì trong mỗi phần thưởng Và lấy 64 chia cho a là ra số quyển vở trong mỗi phần thưởng GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 16 Bài 8: Một khu đất HCN có chiều dài 60m rộng 24 m, người ta muốn chia thành những khu đất hình vuông bằng nhau để trồng hoa có thể chia được bao nhiêu mảnh đất hình vuông để diện tích là lớn nhất? HD : Gọi a(m) là cạnh những khu đất hình vuông cần phải chia ĐK : a  N , a  24 Theo bài ra ta có : 60 a và 24 a, đồng thời để hình vuông có diện tích lớn nhất thì a phải lớn nhất Hay a = UCLN( 60 ; 24) Bài 9: Bạn Lan có 48 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh, 66 bi vàng, Lan muốn chia đều số bi vào các túi sao cho mỗi túi đều có 3 loại bi, Hỏi Lan có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu túi, mỗi túi có bao nhiêu viên bi đỏ? HD : Gọi a là số túi mà Lan có thể chia ĐK : a  N , a  30 Theo yêu cầu bài toán thì 48 a, và 30 a và 66 a, Đồng thời a là số lớn nhất nên a = UCLN(48; 30; 66) Sau khi tìm được a thì lấy 48 : a sẽ tìm ra được số bi đỏ trong mỗi túi Bài 10: Linh và Mai cùng mua một số hộp bút chì màu, số bút đựng trong mỗi hộp bằng nhau và lớn hơn 1. Kết quả Linh có 15 bút chì màu và Mai có 18 bút chì màu hỏi mỗi hộp có bao nhiêu chiếc bút? HD: Gọi số bút trong mỗi hộp là a ĐK : a  N , a  15 và a>1 Theo bài ra ta có : 15 a và 18 a, Nên a là 1 ước chung của 15 và 18 Và a phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn 15 => kết quả được a=3 Bài 11: Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào tết trồng cây, mỗi em tròng 1 số cây như nhau, kết quả lớp 6A trồng được 132 cây vag 6B được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. HD: Gọi số cây mỗi em trồng được là a, ĐK : a  N , a  132, a  1 và a>1 Theo bài ra ta có: 132 a và 135 a khi đó ta thấy a UC(132;135) = 1;3 Vậy a = 3, Khi đó lớp 6A có 132 : 3 = 44 học sinh và lớp 6B có 135 : 3 = 45 học sinh Bài 12: Trong cuộc thi HSG cấp tỉnh coa ba môn Toán Văn Anh ,số học sinh tham gia như sau:Văn có 96 học sinh, Toán có 120 học sinh và Anh có 72 học sinh.Trong buổi tổng kết các bạn được tham gia phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng nhau.Hỏi có thể phân học sinh đứng thành ít nhất bao nhiêu hàng? HD : Gọi số hs đứng ở mỗi hàng là a, ĐK : a  N , a  72 và a>1 Vì mỗi hàng có số học sinh mỗi môn bằng nhau nên ta có: 96 a ;120 a và 72 a , Để có ít nhất bao nhiêu hàng thì số học sinh phải là lớn nhất hay a lớn nhất Hay a = UCLN ( 96 ; 120 ; 72) = 24, Vậy số hàng cần tìm là : (96 + 120 + 72) : 24 = 12 hàng Bài 13: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 120m, chiều rộng 36m, người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có 1 cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu cây? HD: Muốn số cây phải trồng ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây phải lớn nhất, Gọi khoảng cách này là a ĐK : a  N , a  36 Khi đó 120 a và 36 a và a là lớn nhất nên a = UCLN( 120 ; 36) => a = 12, Chu vi của vườn là P = 312 nên số cây cần ít nhất là 312: 12 = 26 cây Bài 14: Moät lôùp coù 28 HS nam vaø 24 HS nöõ . Khi phaân toå, GVCN muoán phaân chia sao cho soá HS nam vaø soá HS nữ ở moãi toå ñeàu baèng nhau . Hỏi coù bao nhieâu caùch chia toå , caùch chia naøo ñeå moãi toå coù soá HS ít nhaát HD : Gọi a là sô tổ có thể chia theo yêu cầu bài toán ĐK : a  N , a  24 và a>1 Theo bài ra ta có : 28 a và 24 a Khi đó  UC(28 ; 24) ={ 1 ; 2 ; 4 ) Như vậy ta có hai cách chia GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 17 Cách 1 là chia làm 2 tổ khi đó mỗi tổ sẽ có : ( 28+24) : 2 =26 học sinh Cách 2 chi làm 4 tổ, khi đó mỗi tổ sé có 13 học sinh Để số học sinh trong tổ ít nhất thì ta chia theo cách thứ hai, chia làm 4 tổ Bài 15: Ba khối 6- 7- 8 theo thứ tự có 300, 276, 252 học sinh xếp hàng dọc để diễu hành, sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau, Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng, Khi đó ở mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang HD : Gọi x là số hàng dọc có thể xếp được nhiều nhất Khi đó : x UCLN ( 300;276;252 ) , Tìm x suy ra số hàng ngang Bài 16: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành 1 số phần qua như nhau, Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng Bài 17: Có 760 quả Cam, Táo, Chuối. Biết số Chuối nhiều hơn số Táo là 80 quả, Táo nhiều hơn Cam là 40 quả, Người ta muốn chia số Cam, Táo, Chuối vào các đĩa sao cho mỗi đĩa đều bằng nhau, Hỏi có bao nhiêu cách chia ? HD : Theo đề bài Chuối hơn Táo 80 quả nên số chuối nhiều hơn Cam là 80+40=120 quả : Số chuối và số Táo hơn Cam là : 40+120 =160 quả Như vậy 3 lần số Cam sẽ là : 760- 160=600 => Số Cam là 200, Táo là 240, Chuối là 320 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 18 DẠNG 3: Bài toán UC có dư Bài 1: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 24 cho a thì dư 3,và khi chia 38 cho a cũng dư 3 HD : Vì 24 chia a mà dư 3 thì 24 – 3 = 21 chia hết cho a => a  U(21) và a > 3 Tương tự 38 chia a cũng dư 3 nên 38 – 3 = 35 chia hết cho a => a  U(35) và a > 3 Như vậy a  UC(21 ;35) và a > 3 Bài 2: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia a dư 12 và 280 chia a dư 10 HD: Vì 156 : a dư 12 nên 156-12=144 chia hết cho a và a > 12 Và 280 chia a dư 10 nên 280 – 10 = 270 chia hết cho a và a > 10 Như vậy a  UC(144 ; 270) đồng thời a > 12 Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14 HD: Vì 288 : a dư 38 nên 288 – 38 = 250 chia hết cho a và a > 38 Và 414 chia a dư 14 nên 414 – 14 = 400 chia hết cho a và a > 14 Như vậy a  UC(38 ;400) đồng thời a > 38 Bài 4: Tìm số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn 543, 4539, 3567 đều chia cho a dư 3 HD: Vì 543 chia a dư 3 nên 543 – 3 = 540 chia hết cho a hay a  U(540) Tương tự thì a  U(4536) và a  U(3564), và vì a là số tự nhiên lớn nhất nên: a = UCLN( 540 ; 4536 ; 3564) Bài 5: Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia a dư 38, 450 chia a dư 18 HD: Vì 398 chia a dư 38 nên 398 – 38 = 360 chia hết cho a hay a  U(360) và a > 38 Tương tự thì a  U(432) và a > 18, do đó a  UC( 360; 432) và a > 38 Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia a dư 38 và 320 chia a dư 26 HD: Vì 350 chia a dư 38 nên 350 – 38= 312 chia hết cho a hay a  U(312) và a > 38 Tương tự thì a  U(304) và a > 18, do đó a  UC( 312; 304) và a > 38 Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 HD: Vì 264 chia a dư 24 nên 264 – 24 =240 chia hết cho a hay a  U(240) và a > 24 Tương tự thì a  U(320) và a > 43, do đó a  UC( 240; 320 ) và a > 43 Bài 8: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20 HD: Vì 111 chia a dư 15 nên 111 – 15 = 96 chia hết cho a hay a  U(96) và a > 15 Tương tự thì a  U(160 ) và a > 20, do đó a  UC( 96; 160 ) và a > 20 Bài 9: Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng 1 số thì sẽ được số dư tương ứng là 4 và 42. Hỏi số chia là bao nhiêu? HD: Gọi số chia cần tìm là a, Ta có số chia là ước của (3972 – 4) và (170 – 42) a = 64 Hay a UC ( 3968;128) , đồng thời 42  a  170 =  a = 128 Bài 10: Tìm số tự nhiên a biết rằng: 398 : 9 thì dư 38, còn 450 chia cho a thì dư 18 HD: Vì 147 chia a dư 17 nên 147 – 17 = 130 chia hết cho a hay a  U(130) và a > 17 Tương tự thì a  U(182 ) và a > 11, do đó a  UC( 130; 182 ) và a > 17 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 19 Bài 11: Tìm 1 số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17 và 11 Bài 12: Tìm số tự nhiên a biết rằng, 350 chia cho a dư 14, còn 320 chia cho a dư 26 Bài 13: Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng 1 số thì sẽ được số dư tương tứng là 4 và 42, Hỏi số chia là bao nhiêu? Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho khi chia 364, 414, 539 cho n ta được 3 số dư bằng nhau HD: Ta có: Vì 3 số 364, 414, 539 chia n có cùng số dư, nên hiệu 2 số chia hết cho số đó: 414 − 364 n  = 539 − 414 n = n UCLN (125;50;175) 539 − 364 n  Bài 15: Tìm số tự nhiên a biết 1960, 2002 chia a có cùng số dư là 28 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 20 DẠNG 4. Tìm hai số khi biết tổng và UCLN Bài 1: Tìm hai số tự nhiên a và b biết rằng a+b=48 và UCLN (a;b)=6 HD:  a = 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 6b1 a + b = 48 = 6a1 + 6b1 = 48 = 6 ( a1 + b1 ) = 48 Nên a1 + b1 = 8 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: a1 1 3 5 7 a 6 7 18 5 30 3 42 1 42 30 18 6 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 42), (18 ; 30), (30 ; 18), và (42 ; 6) Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a và b có tổng bằng 224, biết rằng UCLN của chúng bằng 28 HD:  a = 28a1 Vì UCLN( a; b) = 28 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 28b1 a + b = 224 = 28a1 + 28b1 = 224 = 28 ( a1 + b1 ) = 224 Nên a1 + b1 = 8 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: a1 1 3 5 7 a b1 28 7 84 5 140 3 196 1 b 196 140 84 28 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (28 ; 196), (84 ; 140), (140 ; 84), và (196 ; 28) Bài 3: Tìm hai số tự nhiên biết rằng UCLN của chúng bằng 36 và tổng của chúng bằng 432 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta có:  a = 36a1 Vì UCLN( a; b) = 36 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 36b1 a + b = 432 = 36a1 + 36b1 = 432 = 36 ( a1 + b1 ) = 432 Nên a1 + b1 = 12 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: a1 1 5 7 11 a 36 11 180 7 252 5 396 1 396 252 180 36 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (36 ; 396), (180 ; 252), (252 ; 180), và (396 ; 36) Bài 4: Tìm hai số tự nhiên biết rằng UCLN của chúng bằng 6 và tổng bằng 66,đồng thời có 1 số chia hết cho 5 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta có:  a = 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 6b1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 21 a + b = 66 = 6a1 + 6b1 = 66 = 6 ( a1 + b1 ) = 66 Nên a1 + b1 = 11 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a 6 10 12 9 18 8 24 7 30 6 36 5 42 4 48 3 54 2 60 1 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 b1 b Tuy nhien vì 1 trong hai số chia hết cho 5 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 60), (30; 36), (36; 30), và (60; 6) Bài 5: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng bằng 864 và UCLN của nó là 6 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta có:  a = 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 6b1 a.b = 864 = 6a1.6b1 = 864 = 36.a1.b1 = 864 Nên a1.b1 = 24 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: a1 1 3 8 24 a 6 24 18 8 48 3 144 1 144 48 18 6 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 144), (18 ; 48), (48 ; 18), và (144 ; 6) Bài 6: Tìm hai số tự nhiên a,b (a>b)có tích bằng 1994 và UCLN của chúng bằng 18 HD : a = 18a1 Vì UCLN( a; b) = 18 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 18b1 a.b = 1944 = 18a1.18b1 = 1944 = 324a1.b1 = 1944 Nên a1.b1 = 6 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1  b1 Do đó ta có bẳng sau: a1 6 3 a b1 108 1 54 2 b 18 36 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (108 ; 18), (54; 36) Bài 7: Tìm hai số tự nhiên khác 0 biết rằng a+b=224 và UCLN (a;b) =56 HD :  a = 56a1 Vì UCLN( a; b) = 56 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 56b1 a + b = 224 = 56a1 + 56b1 = 224 = 56 ( a1 + b1 ) = 224 Nên a1 + b1 = 4 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: 1 3 a1 a b1 b 56 3 168 1 168 56 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 22 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (56 ; 168), (168; 56) Bài 8: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b= 6144 và UCLN (a;b)=32 HD:  a = 32a1 Vì UCLN( a; b) = 32 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 32b1 a.b = 6144 = 32a1.32b1 = 6144 = a1.b1 = 6 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1  b1 Do đó ta có bẳng sau: a1 1 2 3 6 a 32 6 64 3 96 2 192 1 192 96 64 32 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (32; 192), (64; 96), (96 ; 64), (192 ; 32) Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =72 và UCLN (a;b)=6 HD :  a = 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 6b1 a.b = 72 = 6a1.6b1 = 72 = a1.b1 = 2 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên a1  b1 Do đó ta có bẳng sau: a1 1 2 a 6 2 12 1 12 6 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 12), (12 ; 6) Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =3750 và UCLN (a;b)=25 HD:  a = 25a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 25b1 a.b = 3750 = 25a1.25b1 = 3750 = a1.b1 = 6 Mà ( a1:b1) = 1 Do đó ta có bẳng sau: a1 1 2 3 6 a 25 6 50 3 75 2 150 1 650 75 50 25 b1 b Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (25 ;650) ,(50 ; 75), ( 75 ; 50), (150 ;25) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b bằng 24300 và UCLN (a;b)=45 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 23  a = 45a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 45b1 a.b = 24300 = 45a1.45b1 = 24300 = a1.b1 = 12 Mà ( a1:b1) = 1 Do đó ta có bẳng sau: a1 a b1 b 1 45 12 540 3 135 4 180 4 180 3 135 12 540 1 45 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (45 ; 540) ,(135; 180), ( 180 ; 135), (540 ;45) Bài 12: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng hiệu của chúng bằng 84 và UCLN của chúng là 12 HD: a = 12a1 Vì UCLN( a; b) = 12 nên  và ( a1:b1) = 1, Giả sử a > b=> a1 > b1 b = 12b1 Mà: a − b = 84 = 12a1 −12b1 = 84 = a1 − b1 = 7 Vì a1  b1 , Nên có vô số a, b thỏa mãn đầu bài sao cho: a1 = b1 + 7 Vậy hai số đó có dạng (12b1 + 84;12b1 ) Với ( a1:b1) = 1 Bài 13: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: a , a+b=120, UCLN (a;b)=12 b , a.b=6936, UCLN (a;b) = 34 c , a.b=6936, BCNN (a;b)=204 HD : a = 12a1 a, Vì UCLN( a; b) = 12 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 12b1 a + b = 120 = 12a1 + 12b1 = 120 = 12 ( a1 + b1 ) = 120 Nên a1 + b1 = 10 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau: 1 3 a1 a 7 9 b1 12 9 36 7 84 3 108 1 b 108 84 36 12 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (12 ; 108), (36; 84), (84 ; 36), (108 ; 12)  a = 34a1 b, Vì UCLN( a; b) = 34 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 34b1 a.b = 6936 = 34a1.34b1 = 6936 = a1.b1 = 6 Mà ( a1:b1) = 1 Do đó ta có bẳng sau: a1 a b1 b 1 34 6 204 2 68 3 102 3 102 2 68 6 204 1 34 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (34 ; 204), (68 ; 102), (102 ; 68), (204 ; 34) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 24 Bài 14: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn: 10  x; y  30 và x = UCLN (2 y + 5;3 y + 2) HD : Vì UCLN(2y+5 ;3y+2)=x nên ta có : 2 y + 5 x = 3 ( 2 y + 5) − 2 ( 3 y + 2 ) x = 11 x = x U (11) = 1;11  3 y + 2 x Vì x>10 nên x=11, Với x=11 và ta lại có y<30 => 2y+5<65, và 2y+5 11, Những số <65 và 11 là 22 ;33 ;44 ;55 Và 3y+2 cũng chia hết cho 11 TH1: Với 2y+5=11=> y=3=> 3y+2=11 11, Thỏa mãn TH2 : Với 2y+5=22=> 2y=17=> (Loại) TH3 : Với 2y+5=33=> y=14=> 3y+2=44 11,Thỏa mãn TH4 : Với 2y+5=44=> 2y=39=> (Loại) TH5 : Với 2y+5=55=> y=25=> 3y+2=77 11, Thỏa mãn Vậy x=11 và y  {3 ;14 ;25} Bài 15: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 84 và UCLN của chúng là 28, các số đó trong khoảng 300 đến 440 HD : Gọi 2 số cần tìm là a,b và a > b, a = 28a1 = a1 − b1 = 3 Theo bài ra ta có : a − b = 84,UCLN ( a; b ) = 28 =  b = 28b1 Mà 300  a  440 = 28.10  28a1  28.16 = a1 11;12;13;14;15 TH1 : a1 = 11 = b1 = 8 = a = 308, b = 224 ( l ) TH2 : a1 = 12 = b1 = 9 ( l ) , Vì ( a1, b1 ) = 1 TH3 : a1 = 13 = b1 = 10 = a = 364, b = 280 ( l ) Vì 280 < 300 TH4 : a1 = 14 = b1 = 11 = a = 392, b = 308 ( t / m ) TH5 : a1 = 15 = b1 = 12 ( l ) Bài 16: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng: a − b = 48 và UCLC(a;b)=12 HD: a = 12a1 Từ UCLN ( a; b ) = 12 =  ( a1; b1 = 1) = a − b = 48 = a1 − b1 = 4 = a1 = 4 + b1 b = 12b1 Vậy 2 số đó có dạng: (12a1;12b1 ) , a1 = 4 + b1 và ( a1; b1 ) = 1 Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng: a + b = 84,UCLN ( a; b ) = 6 Bài 18: Tìm 2 số tự nhiên a,b>0, biết a.b = 216,UCLN ( a; b ) = 6 Bài 19: Tìm 2 số tự nhiên a,b>0 biết a + b = 128,UCLN ( a; b ) = 16 Bài 20: Tìm 2 số tự nhiên a,b>0 biết: a + b = 128,UCLN ( a; b ) = 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống nhau Bài 21: Tìm 2 số tụ nhiên a,b biết a + b = 288,UCLN ( a; b ) = 24 Bài 22: Tìm 2 số tự nhiên a,b biết rằng a + b = 192,UCLN ( a; b ) = 18 Bài 23: Tìm 2 số tự nhiên a,b nhỏ hơn 56, biết hiệu của chúng là 28 và UCLN(a; b) = 14 Bài 24: Giả sử 2 số tự nhiên có hiệu 84, UCLN của chúng là 12, Tìm 2 số đó, biết 2 số đó nhỏ hơn 200 Bài 25: Cho 2 số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng là 90, và UCLN chủa chúng là 15, tìm 2 số đó Bài 26: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 180 và UCLN củ chúng là 3 Bài 27: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 8748 và UCLN của chúng là 27 Bài 28: UCLN của 2 số là 45, Số lớn là 270, Tìm số nhỏ? HD: Gọi số cần tìm là a (a < 270) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 a = 45.a1 Ta có : UCLN ( a;270 ) = 45 =  ( a1;6 ) = 1 , Mà 270 = 45.6 a  270 = 45a1  270 = a1  6 = a1 = 1;5, vậy số bé là 45.1=45 hoặc 45.5 Bài 29: Cho UCLN của 2 số là 4, số nhỏ là 8, tìm số lớn HD: a = 4a1 Gọi số lớn là a, khi đó (a>8) và UCLN ( a;8 ) = 4 =  , mà a1  2, ( a1;2 ) = 1 8 = 4.2 = a1 = 2k + 1 Vậy số cần tìm có dạng : 4 ( 2k + 1) , k  N * Bài 30: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 272 và UCLN là 34 Bài 31: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết : a, a + b = 72,UCLN ( a; b ) = 8 b, a.b = 448,UCLN ( a; b ) = 4 c, a − b = 96,UCLN ( a; b ) = 16 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức d, a − b = 30,UCLN ( a; b ) = 15 26 DẠNG 5. Chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau Bài 1: Chứng minh rằng 2 số n+1 và 3n+4 (n  N) là hai số nguyên tố cùng nhau HD: Gọi d = UCLN(n+1;3n+4) => d  N*, nên ta có  n +1 d 3n + 3 d nên (3n+4)-(3n+3) d => 1 d →  3n + 4 d 3n + 4 d Vậy hai số : n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (n  N) Bài 2: Cho n  N, Chứng minh rằng UCLN (n;n+1)=1 HD : Gọi d=UCLN(n ; n+1),=> d  N* Khi đó ta có : n d = (n + 1) − n d = 1 d  n + 1 d Vậy hai số n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 3: Chứng minh rằng 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 2n+3)=> d  N*  2n + 1 d Khi đó ta có :  = ( 2n + 3) − ( 2n + 1) d = 2 d = d U ( 2 ) = 1; 2  2n + 3 d Mà ta lại có 2n+1 d mà 2n+1 là số lẻ nên d=2( loại), do đó d=1 Vậy hai số 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 4: Chứng minh rằng 14n+3 và 21n +4 (n  N )là hai số nguyên tố cùng nhau HD : Gọi d=UCLN( 14n+3 ; 21n+4),=> d  N* Khi đó ta có :  14n + 3 d 42n + 9 d 3 (14n + 3) d => ( 42n + 9) − ( 42n + 8) d = 1 d = =    42 n + 8 d 2 21 n + 4 d ( ) 21n + 4 d    Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 5: Chứng minh rằng 2n+1 và 6n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 6n+5), => d  N* Khi đó ta có :  2n + 1 d 6n + 3 d 3( 2n + 1) d =  =  = ( 6n + 5) − ( 6n + 3) d => 2 d = d U ( 2) = 1;2   6n + 5 d 6n + 5 d 6n + 5 d Do 2n+1 d, mà 2n+1 lại là số lẻ nên d=2 loại, do đó d=1 Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 6: Tìm UC của 2n+1 và 3n+1 với n  N HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 3n+1),=> d  N* Khi đó ta có :  2n + 1 d 6n + 3 d 3 ( 2n + 1) d =  =  = ( 6n + 4 ) − ( 6n + 3) d = 1 d = d U (1) = 1; −1  3n + 2 d 6n + 4 d  2 ( 3n + 2 ) d Do đó UC( 2n+1 ; 3n+1) là ước của d, hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp Vậy UC( 2n+1 ; 3n+1) = U(1) = { 1 ; -1) Bài 7: Tìm UCLN của 9n +24 và 3n +4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 27 HD : Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, => d  N* Khi đó ta có : 9n + 24 d 9n + 24 d =  = ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d = 12 d  3n + 4 d 9n + 12 d => d U (12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 Do 3n+ 4 d, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do đó d = 1; 2; 4 Để d=2 thì n phải chẵn Để d=4 thì n phải chia hết cho 4 Để d =1 thì là số lẻ, Vậy với n =4k+2 ( k  N ) thì UCLN(9n+24 ; 3n+4) =2 Với n=4k ( k  N ) thì UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =4 Với n =2k+1 với ( k  N ) thì UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =1 Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n  N thì các số sau ngyên tố cùng nhau a , 7n +10 và 5n +7 b , 2n +3 và 4n +8 HD : a, Gọi d= UCLN(7n+10 ; 5n+7), => d  N*  7n + 10 d 35n + 50 d 5 ( 7n + 10 ) d Khi dó ta có :  =  =  = ( 35n + 50 ) − ( 35n + 49 ) d = 1 d 5n + 7 d 35n + 49 d  7 ( 5n + 7 ) d Do đó d=1 Vậy hai số 7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau b, Gọi d=UCLN(2n+3 ; 4n+8), => d  N*  2n + 3 d 4n + 6 d 2 ( 2n + 3) d Khi đó ta có:  =  =  = ( 4n + 8) − ( 4n + 6 ) d = 2 d = d 1;2 4 n + 8 d 4 n + 8 d 4 n + 8 d     Vì 2n+3 d, mà 2n+3 là 1 só lẻ nên d=2 (loại) Khi đó d=1, Vậy hai số 2n+3 và 4n+8 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 9: Cho UCLN(a;b)=1 Chứng minh rằng UCLN(a; a+b)=1 HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) =>d  N* a + b d → a + b − a d → b d mà a d nên d  UC(a;b) hay d  U(1)=>d=1   a d Bài 10: Cho 2 số 3n+1 và 5n+4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d =>7 d => d=7 hoặc d=1 Mà d#1 nên d=7 Bài 11: Tìm UCLN của 2n-1 và 9n +4 với n  N HD : Gọi d=UCLN( 2n-1 ; 9n+4),=> d  N* Khi đó ta có :   2n − 1 d 18n − 9 d 9 ( 2n − 1) d =  =  = (18n + 8) − (18n − 9 ) d = 17 d  18 n + 8 d 2 9 n + 4 d ( ) 9n + 4 d    = d U (17 ) = 1; 17 Do đó UCLN là các số dương nên ta có : d=1 hoặc d=17 Vậy UCLN( 2n-1 ; 9n+4) =1 hoặc 17 Bài 12: Tìm ƯC (2n+1;3n+1) Bài 13: Tìm ƯCLN (9n+4; 2n-1) Bài 14: Tìm UC của n+3 và 2n+5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 28 HD : Gọi d=UCLN( n+3 ; 2n+5), => d  N* Khi đó ta có :  n + 3 d 2n + 6 d  2 ( n + 3) d =  =  = ( 2n + 6) − ( 2n + 5) d = 1 d   2n + 5 d 2n + 5 d 2n + 5 d = d U (1) = 1 Khi đó UC( n+3 ; 2n+5) =U(1) ={1 ; -1} Vậy UC ( n+3 ; 2n+5) ={1; -1} Bài 15: Số 4 có phải là UC của n+1 và 2n +5 hay không? Bài 16: Tìm số chia và thương của 1 phép chia, có số bị chia là 145, số dư là 12 biết rằng thương khác 1 HD: Gọi x là số chia, a là thương, ta có: 145 =a.x+12(x>12) =>145-12 =133=a.x =>x là U(133) Lại có 133=7.19 =>x  U(133) = 1;7;19;133 mà x>12 =>x=19 hoặc 133 Nếu số chia =19 =>thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Bài 17: Tìm các số x,y sao cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) e, x-3=y(x+2) Bài 18: Thay các chữ số thích hợp ab.cb = ddd HD: Ta có: ab.cb = ddd = d .111 = d .3.37 mà hai số ab,cb có tích chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn Tại 1 số 31. Giả sử ab 37 thì ab 37;74 Nếu ab =37 => ab . cd =37. c 7 =999 => c 7 =999:37 = 27 =>c=2 Nếu ab =74 thì 74. c 4 =666 khi đó c 4 =666:74=9(loại) Vậy 37.27=999 Bài 19: Cho UCLN(a;b)=1,Tìm UCLN (11a+2b;18a+5b) HD: 11a + 2b d 18(11a + 2b) d → Gọi d =UCLN (11a+2b; 18a+5b) nên  =>11(18a+5b)-18(11a+2b) d 11(18a + 5b) d 18a + 5b d =>19b d Và 5(11a+2b)-2(18a+5b) d => 19a d =>d=1 hoặc d=19 Bài 20: Tìm UCLN của hai số TN a và a+2 HD : Gọi d=UCLN( a ; a + 2), => d  N* Khi đó ta có : a d = ( a + 2 ) − a d = 2 d = d U ( 2 ) = 1; 2  a + 2 d Vì d là UCLN nên d=1 hoặc d=2 Vậy UCLN ( a; a+2) =1 hoặc 2 Bài 21: Cho n là số tự nhiên, Tìm UCLN của a, 21n+5 và 14n+3 b, 18n+2 và 30n+3 c, 24n+7 và 18n+5 HD: a, Gọi d=UCLN( 21n+5; 14n+3),=> d  N*  14n + 3 d 42n + 9 d 3 (14n + 3) d Khi đó ta có:  => ( 42n + 9) − ( 42n + 8) d = 1 d =  =  42 n + 8 d 2 21 n + 4 d ( ) 21n + 4 d    Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 b, Gọi UCLN( 18n+2; 30n+3), => d  N* GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 29  18n + 2 d 90n + 10 d 5 (18n + 2 ) d Khi đó ta có:  =  =  = 1 d 90 n + 9 d 3 30 n + 3 d ( ) 30n + 3 d    Vậy UCLN( 18n+2; 30n+3) =1 c, Gọi d=UCLN( 24n+7; 18n+5), => d  N*  24n + 7 d 72n + 21 d 3 ( 24n + 7 ) d Khi đó ta có:  =  =  = 1 d => d=1 18n + 5 d 72n + 20 d  4 (18n + 5) d Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 Bài 22: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên, CMR: m và m.n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau HD: Giả sử: m vaø (m.n + 4) cuøng chia heát cho soá tự nhieân d, khi đó ta có: m d m.n d =  = 4 d = d  2;4;1 , Do m d và m lẻ => d= 2 hoặc d= 4 loại  m.n + 4 d m.n + 4 d Vậy d=1 Khi đó m và m.n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 272 và UCLN của chúng là 34 Bài 24: Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n – 1) với (n  N*). Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. HD: Gọi d=UCLN( 7n+3; 8n-1),=> d  N*  7n + 3 d 56n + 24 d 8 ( 7n + 3) d Khi đó ta có:  =  =  = 31 d => d=1 hoặc d=31 8n − 1 d 56n − 7 d  7 (8n − 1) d Để d=1 thì d khác 31 hay 7n+3  31 =>7n+3-31  31=>7n-28  31=>7(n-4)  31=>n-4  31 Hay n-4  31k=>n  31k+4 (k là số tự nhiên) Vậy để 7n+3 và 8n-1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n  31k+4 ( k là số tự nhiên) Bài 25: Cho (a,b) = 1. Chứng tỏ rằng: (8a + 3) và (5b + 1) là nguyên tố cùng nhau HD: Gọi UCLN( 8a+3; 5b+1) =d, => d  N* 8a + 3b d 5(8a + 3b) d 40a + 15b d → =  =>7b d   8(5a + b) d 40a + 8b d  5a + b d  8a + 3b d 8a + 3b d và  =  = (15a + 3b ) − (8a + 3b ) d = 7a d  15a + 3b d 3( 5a + b ) d Vì (a; b) =1 Nên d=1 hoặc d=7 Bài 26: Tìm số n nhỏ nhất để: n + 1; n + 3; n + 7 đều là nguyên tố. Bài 27: Biết (a,b) = 95. Tìm (a + b, a – b). HD: Gọi UCLN( a+b; a – b) =d, => d  N* a + b d = 2b d => d  U(2) hoặc d  U (b)  a − b d a + b d = 2a d => d  U(2) hoặc d  U(a) và  a − b d mà UCLN( a ;b) =95, nên d=95 hoặc d=2 Vậy UCLN (a+b; a-b) =2 hoặc 95 Bài 28: Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n  N). HD: Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, Khi đó ta có : 9n + 24 d 9n + 24 d =  = ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d = 12 d  3n + 4 d 9n + 12 d => d U (12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 30 Do 3n+ 4 d, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do đó d = 1; 2; 4 Để d=2 thì n phải chẵn Để d=4 thì n phải chia hết cho 4 Để d =1 thì n là số lẻ, Vậy đẻ 9n+24 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n lẻ Bài 29: Tìm n để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. HD : Gọi UCLN( 18n+3 ; 21n+7)=d, => d  N*  18n + 3 d 7 (18n + 3) d Khi đó ta có :  =  = (126n + 42 ) − (126n + 21) d = 21 d 21n + 7 d  6 ( 21n + 7 ) d => d U ( 21) = 1; 3; 7; 21 Do 21n+7 d, Mà 21n+7 không chia hết cho 3, nên d= 1 hoặc d=7 Để hai số 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyen tố thì d khác 7 hay 18n+3  7 =>18n+3-21  7=>18n-18  7=>18( n-1)  7=>n-1  7=>n-1  7k=>n  7k+1 Vậy n  7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyên tố Bài 30: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: a. 4n + 3 và 2n + 3 b. 7n + 13 và 2n + 4 c. 9n + 24 và 3n + 4 d. 18n + 3 và 21n + 7 HD: a, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d  N*  4n + 3 d  4n + 3 d → = ( 4n + 6 ) − ( 4n + 3) d = 3 d = d  1;3   4n + 6 d  2n + 3 d Để 4n+3 và 2n+3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay 2n + 3  3 = 2n  3 = n  3 = n  3k (k  N ) Vậy n  3k (k  N ) thì 4n+3 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau b, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d  N*  4n + 3 d  4n + 3 d → = ( 4n + 6 ) − ( 4n + 3) d = 3 d = d  1;3   4n + 6 d  2n + 3 d Để 4n+3 và 2n+3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay 2n + 3  3 = 2n  3 = n  3 = n  3k (k  N ) Vậy n  3k (k  N ) thì 4n+3 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau 9n + 24 d = 12 d = d  1; 2; 3; 4; 6; 12 c, Gọi d = UCLN ( 9n + 24;3n + 4 ) =  3n + 4 d Nếu d 2; 4; 6; 12 = 9n + 24 chẵn và, 3n + 4 chẵn => d 2; 4; 6; 12 loại Nếu d = 3 = 3n + 4 3 Vô lý=> d=3(loại) Nếu d=1=> 9n + 24,3n + 4 là số lẻ => 9n+24 lẻ=> n lẻ và 3n+4 lẻ => n lẻ Vậy n lẻ Bài 31: Cho (a, b) = 1. Tìm: a. (a + b, a – b) b.(7a + 9b, 3a + 8b) HD : b, Gọi d =UCLN (7a+9b; 3a+8b)=> d  N* 7a + 9b d 3(7a + 9b) d 21a + 27b d → =  = 29b d = d=1 hoặc d=29 Nên:  7(3a + 8b) d 21a + 56b d  3a + 8b d Tương tự: 7a + 9b d 8(7a + 9b) d 56a + 72b d → =  = 291 d = d=1 hoặc d=29  9(3a + 8b) d 27a + 72b d  3a + 8b d Vì UCLN(a; b) =1 nên UCLN( 7a+9b; 3a+8b)=1 hoặc 29 Vậy d=1 hoặc d=19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 31 Bài 32: Tìm n để 18n+3 và 21n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau: HD: 18n + 3 d Gọi d = UCLN (18n + 3;21n + 7 ) =  = 21 d = d U ( 21) = 1;3;7;21 21n + 7 d Nếu d = 3 = 21n + 7 3 (Vô lý) Nếu d 1;7 , để 2 số trên là nguyên tố thì d  7 = 18n + 3  7 = 18n + 3 − 21  7 = n − 1  7 = n  7k + 1 Vậy với n  7k + 1( k  N ) thì 2 số trên nguyên tố cùng nhau Bài 33: Tìm số tự nhiên n để 4n + 3,2n + 3 nguyên tố cùng nhau HD: Giả sử: 4n + 3 và 2n + 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d, thì 2 ( 2n + 3) − ( 4n + 3) d = 3 d = d 1;3 Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì d  3 = 4n + 3  3 = 4n  3 = n  3 = n  3k ( k  N ) Bài 34: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n + 13 và 2n + 4 HD: Giả sử: 7n + 3 và 2n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d, Ta có: 7 ( 2n + 4) − 2 ( 7n + 13) d = 2 d = d 1;2 Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì d  2 = 7n + 12  2 = n là số chẵn Bài 35: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau HD: Gọi d UC ( n + 15; n + 72) = 57 d , Do n + 15 d ,57 d , Nên tồn tại n sao cho n + 15 = 57k + 1 thì d = 1, Với k=1; 2; 3;… Vậy có vô số n Bài 36: CMR: UCLN (12n + 1;30n + 1) = 1 với mọi số tự nhiên n HD : Gọi UCLN ( 12n+1 ; 30n+1)= d, => d  N* khi đó ta có :  12n + 1 d 60n + 5 d 5 (12n + 1) d =  =  = 3 d = d  1;3  30n + 1 d 60n + 2 d  2 ( 30n + 1) d Vì 12n+1 là 1 số không chia hết cho 3 nên d=3 loại Vậy d=1, khi đó UCLN( 12n+1 ; 30n+1) =1 Bài 37: Cho m,n là hai số tự nhiên, Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n, B là tập hợp các ước số chung của 11m + 5n và 9m + 4n , CMR: A=B HD : Gọi d=UCLN( 11m+5n ;9m+4n) =>d  N*  11m + 5n d 99m + 45n d 9 (11m + 5n ) d Khi đó ta có :  (1) =  =  = n d 99 m + 44 n d 11 9 m + 4 n d ( ) 9m + 4n d     11m + 5n d 44m + 20n d 4 (11m + 5n ) d Tương tự ta có :  =  =  = m d 9m + 4n d 45m + 20n d  5 ( 9m + 4n ) d Từ (1) và (2) ta có : d UC (m; n) => d  U(A) và B  U(d)=U(A), Vậy A=B Bài 38: Cho n là số tự nhiên, Tìm UCLN và BCNN của: n và n+2 HD : Gọi d=UCLN( n ; n+2) =>d  N* n d = ( n + 2 ) − n d = 2 d =>d=1 hoặc d=2  n + 2 d (2) Để d=2 thì n 2=> n chẵn, d=1 thì n lẻ GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 32 Ta có : UCLN(a ;b).BCNN(a ;b) = a.b TH1 : Nếu d=1 thì BCNN( n ;n+2) =n(n+2) TH2: Nếu d=2 thì BCNN( n; n+2) = n ( n + 2) 2 Bài 39: Cho UCLN (a;b) = 1 Chứng minh rằng UCLN (a; a+b) = 1 HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) => d  N* a + b d → a + b − a d → b d mà a d nên d  UC(a;b) hay d  U(1)=>d=1   a d Vậy UCLN(a; a+b) =1 Bài 40: Tìm số chia và thương của 1 phép chia, có số bị chia là 145, số dư là 12 biết rằng thương khác 1 HD: Gọi x là số chia, a là thương, Ta có: 145 = a.x + 12 (x > 12) => 145 – 12 = 133 = a.x => x là U(133) Lại có 133 = 7.19 => x  U(133) = 1;7;19;133 mà x > 12 => x = 19 hoặc 133 Nếu số chia =19 => thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Vậy số chia cần tìm là 19, thương là 7 Bài 41: Cho 2 số 3n+1 và 5n+4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d => d  N* 5 ( 3n + 1) d 3n + 1 d 15n + 5 d  =  =  = (15n + 12 ) − (15n + 5) d => 7 d=> d=1 hoặc d= 7  15 n + 12 d 3 5 n + 4 d ( ) 5n + 4 d    Vì 3n+1 và 5n+4 là hai số không nguyên tố cùng nhau nên UCLN của chúng là 7 Vậy UCLN( 3n+1; 5n+4) =7 Bài 42: Số 4 có phải là UC của n+1 và 2n +5 hay không? HD: Gọi UCLN (n+1; 2n+5) = d => d  N*  n + 1 d 2n + 2 d 2 ( n + 1) d =  =  = ( 2n + 5) − ( 2n + 2 ) d => 3 d=> d=1 hoặc d= 3   2n + 5 d 2n + 5 d 2n + 5 d Vì 4 không là ước của n+1 và 2n+5 Bài 43: Cho a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau, CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a, a và a+b b, a 2 và a+b c, ab và a+b HD: b, Giả sử a 2 và a+b cùng chia hết cho số nguyên tố d Khi đó a d, do đó b d => a, b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a;b)=1 Vậy a 2 và a+b là 2 số nguyên tố cùng nhau c, Giả sử a.b và a+b cùng chia hết cho số nguyên tố d => Tồn tại 1 trong 2 số a hoặc b chia hết cho d Khi a d => b d, Hoặc b d=>a d a và b cùng chia hết cho d, trái với (a; b) =1 Vậy a.b và a+b nguyên tố cùng nhau Bài 44: Cho a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng các số sau cũng là 2 số nguyên tố cùng nhau : a, b và a – b (a > b) b, a 2 + b2 và a.b HD: b d a d =  = d UC ( a; b ) , Mà ( a; b ) = 1 = d = 1 a, Gọi d UC ( b; a − b ) =  a − b d b d b, Giả sử a 2 + b2 và ab cùng chia hết cho số nguyên tố d, Chứng minh điều này vô lý Bài 45: Tìm UCLN (7n+3; 8n – 1) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 33 HD: 8n − 1 d 56n + 24 d Gọi d = UCLN (8n − 1;7n + 3) =  =  = 31 d = d  1;31  7n + 3 d 56n − 7 d Nếu d = 31 = 8n − 1 31 = 8n − 1 − 31 31 = 8 ( n − 4 ) 31 = n = 31k + 4 ( k  N ) Thử lại Với n = 31k + 4 = 8n − 1 31 và 7n + 3 = 931k + 31 31 = UCLN (7n + 3;8n − 1) = 31 Nếu n  31k + 4 = 8n − 1  31 = d = 1 Bài 46: Tìm UCLN ( 9n + 13;3n + 4 ) , ( n  N ) Bài 47: Tìm UCLN ( 2n + 1;2n + 3) Bài 48: Cho UCLN ( a; b ) = 95, Tìm UCLN ( a + b; a − b ) Bài 49: Tìm UCLN ( 4n + 3;5n + 4 ) , ( n  N ) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 34 CHUYÊN ĐỀ VỀ UCLN VÀ BCNN Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 900 và UCLN(a; b) = 10 HD : Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 10a1 Vì UCLN(a; b) =10=>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 10b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 900.10 = 10a1.10b1 = a1.b1 = 90 Ta có bảng sau: 90 45 18 10 a1 a b1 b 900 1 450 2 180 5 100 9 10 20 50 90 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 10), (450; 20), (180; 50), (100; 90) và (10; 900), (20; 450), (50; 180), (90; 100) Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 240 và UCLN(a; b)= 16 HD: Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 16a1 Vì UCLN(a; b) =16 =>  ( a1b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 16b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 240.16 = 16a1.16b1 = a1.b1 = 15 Ta có bảng sau: 15 5 a1 a b1 b 240 1 80 3 16 48 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (240; 16), (80; 48) và (16; 240), (48; 80) Bài 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a.b = 4320 và BCNN(a; b)= 360 HD: Từ UCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b => UCLN ( a; b ) = a.b = 4320 : 360 = 12 BCNN (a; b) Khi đó ta có: Giả sử a  b a = 12a1 UCLN(a; b) = 12 =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 12.360 = 12a1.12b1 = a1.b1 = 30 Ta có bảng sau: 30 15 10 6 a1 a b1 b 360 1 180 2 120 3 72 5 12 24 36 60 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (360; 12), (180; 24), (120; 36), (72; 60) và đảo ngược Bài 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a = 2, 6 và UCLN(a; b)= 5 b 35 HD: Từ đầu bài ta có: a > b a = 5a1 Từ UCLN( a; b) =5 =>  ( a1 , b1 ) = 1, ( a1  b1 ) b = 5b1 a = 13 a 13 a 13 mà = 2, 6 = = 1 = =  1 ( a1; b1 ) = 1 b 5 b1 5 b1 = 5 Nên a = 65 và b = 25 Bài 5: Tìm a,b biết a+ b= 42 bà BCNN(a; b)= 72 HD: a = d .a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d =  ( a1; b1 ) = 1 b = d .b1 Giả sử: a  b = a1  b1 = a + b = 42 = d ( a1 + b1 ) = 42 = d U ( 42) (1) Ta lại có: BCNN(a; b). UCLN(a; b) = a.b => 72.d = a.b = a1.d .b1d = a1.b1.d = 72 = d U ( 72) (2) Từ (1) và (2) => d UC(42;72) = 1;2;3;6 a + b = 42 TH1 : d = 1=>  1 1 (loại) a1.b1 = 72 a + b = 14 TH3: d = 3 =  1 1 (loại) a1.b1 = 24 a + b = 21 TH2 : d = 2 =  1 1 (loại) a1.b1 = 36 a + b = 7 a = 3 = a = 18 d = 6 =  1 1 =  1 a1.b1 = 12 b1 = 4 = b = 24 Vậy a = 18, b = 24 hoặc a=24 và b=18 Bài 6: Tìm a,b biết a – b =7 và BCNN(a; b)= 140 HD: a = d .a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d =  ( a1; b1 ) = 1 b = d .b1 = a − b = 7 = d ( a1 − b1 ) = 7 = d U ( 7 ) Ta lại có: BCNN(a; b). UCLN(a; b) = a.b => 140.d = a.b = a1.d .b1d = a1.b1.d = 140 = d U (140) (1) (2) Từ (1) và (2) => d UC(7;140) = 1;7 a − b = 7 a − b = 1 a1 = 5 = a = 35 =  TH1 : d = 1=>  1 1 (loại) TH2 : d = 7 =  1 1 a1.b1 = 20 b1 = 4 = b = 28 a1.b1 = 140 Vậy a = 35, b = 28 Bài 7: Tìm hai số nguyên dương biết a+ 2b= 48 và UCLN(a; b)+3.BCNN(a; b)= 114 HD: a = d .a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d =  ( a1; b1 ) = 1 b = d .b1 Mà : a + 2b = 48 = da1 + 2db1 = 48 = d ( a1 + 2b1 ) = 48 = d U ( 48) (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + UCLN(a; b) = 114 => d + 3.a1.b1.d = 114 = d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = d U (114) (2) Từ (1) và (2) => d UC(48;114) = 1;2;3;6 Mà : d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = 3.38 = d 3 = d = 3 hoặc d = 6 a1 + 2b1 = 16 a + 2b1 = 16 =  1 TH1 : d = 3=>  (loại) 1 + 3a1.b1 = 38 3a1.b1 = 37 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 36 a + 2b1 = 8 a + 2b1 = 8 a = 2 = a = 12 =  1 =  1 TH2 : d = 6 =  1 1 + 3a1.b1 = 19 a1.b1 = 6 b1 = 3 = b = 18 Vậy a = 12 và b = 18 Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết :a.b= 180 và BCNN(a; b)= 60 HD: Từ UCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 180: 60 = 3 a = 3a1 Giả sử a  b. Vì UCLN(a; b) = 3 =>  ( a1; b1 ) = 1, ( a1  b1 ) b = 3b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.60 = 3a1.3b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 5 a1 a b1 b 60 1 15 4 3 12 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (60;1), (15; 12) ,( 1; 60), (12; 15) Bài 9: Tìm hai số a, b biết 7a=11b và UCLN(a; b)= 45 HD: Từ giả thiết => a > b a = 45a1 Từ UCLN(a; b) = 45=>  ( a1; b1 ) = 1, ( a1  b1 ) b = 45b1 Mà: a = 11 a 11 a 11 = = 1 = =  1 vì ( a1; b1 ) = 1 => b 7 b1 7 b1 = 7 a = 45.11 = 495  b = 45.7 = 315 Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 và b = 315 Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng BCNN(a; b)= 300 và UCLN(a; b)= 15 HD : Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 15a1 Vì UCLN(a; b) = 15=>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 15b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 300.15 = 15a1.15b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 5 a1 a b1 b 300 1 75 4 15 60 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là:( 300; 15), (75; 60), (15; 300), (60; 75) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng BCNN(a; b)= 72 và UCLN(a; b)= 12 HD: Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 12a1 Vì UCLN(a; b) =12 =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 72.12 = 12a1.12b1 = a1.b1 = 6 Ta có bảng sau: a1 6 3 a 72 36 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 37 b1 b 1 2 12 24 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là:( 72; 12), (36; 24), (12; 72), (24; 36) Bài 12: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng a.b= 2940 và BCNN(a; b)= 210 HD: Từ UCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) =2940: 210 = 14 a = 14a1 Giả sử a  b. Vì UCLN(a; b) = 14=>  ( a1; b1 ) = 1, ( a1  b1 ) b = 14b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 14.210 = 14a1.14b1 = a1.b1 = 15 Ta có bảng sau: a1 15 5 a 210 1 70 3 14 42 b1 b Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (210; 14), (70; 42) ,( 14; 210), (42; 70) Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng a.b= 2700 và BCNN(a; b)= 900 HD: Từ UCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 2700: 900 = 3 a = 3a1 Giả sử a  b. Vì UCLN(a; b) = 3 =>  ( a1; b1 ) = 1, ( a1  b1 ) b = 3b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.900 = 3a1.3b1 = a1.b1 = 300 Ta có bảng sau: 300 150 100 74 25 a1 a b1 b 900 1 450 2 300 3 222 4 75 12 3 6 9 12 36 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 3), (450; 6) , ( 300; 9), (222; 12), (75; 36) và ngược lại Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng UCLN(a; b)= 15 và BCNN(a; b)=300 và a+15= b HD: Do a + 15 = b => a < b a = 15a1 Vì UCLN(a; b) = 15 =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 15b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 300.15 = 15a1.15b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 5 b1 b a1 300 1 75 4 a 15 60 Do đó các cặp số (a; b) cần tìm là: (15; 300), (60; 75), Ngoài ra a + 15 = b => a = 60 còn b = 75 Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng của UCLN và BCNN là 15 HD: Giả sử a < b GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 38 a = d .a1 Gọi d=UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , và d<15 b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 15 = d (1 + a1.b1 ) = 15 = d U (15) = 1;3;5;15 , Mà d < 15, Nên a = 1 = a = 1 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 14 =  1 b1 = 14 = b = 14 a = 1 = a = 3 TH2 : d = 3 = a1.b1 = 4 =  1 b1 = 4 = b = 12  a = 2 = a = 2 hoặc  1 b1 = 7 = b = 7 a = 1 = a = 5 TH3 : d = 5 = a1.b1 = 2 =  1 b1 = 2 = b = 10 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại Bài 16: Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng UCLN và BCNN là 55 HD: Giả sử a < b a = d .a1 Gọi d=UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , và d < 55 b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 55 = d (1 + a1.b1 ) = 55 = d U (55) = 1;5;11;55 , Mà d < 55, Nên a = 1 = a = 1 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 54 =  1 b1 = 54 = b = 54 a = 1 = a = 5 TH2 : d = 5 = a1.b1 = 10 =  1 b1 = 10 = b = 50 a = 2 = a = 2 hoặc  1 b1 = 27 = b = 27 a = 2 = a = 10 hoặc  1 b1 = 5 = b = 25 a = 1 = a = 11 TH3 : d = 11 = a1.b1 = 4 =  1 b1 = 4 = b = 44 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;54), (2 ; 27), (5 ; 50),( 10 ; 25), (11;44) và đảo ngược lại Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho hiệu của BCNN và UCLN là 35 HD: Giả sử a < b a = d .a1 Gọi d=UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: a1.b1d − d = 35 = d ( a1.b1 −1) = 35 = d U (35) = 1;5;7;35 , a1 = 1 = a = 1 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 36 =  b1 = 36 = b = 36 a1 = 1 = a = 5 TH2 : d = 5 = a1.b1 = 8 =  b1 = 8 = b = 40  a1 = 4 = a = 4 hoặc  b1 = 9 = b = 9 a1 = 2 = a = 14 a1 = 1 = a = 7 TH3 : d = 7 = a1.b1 = 6 =  hoặc  b1 = 6 = b = 42 b1 = 3 = b = 21 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;36), (4 ; 9), (5 ; 40),( 7 ; 42), (14: 21) và đảo ngược lại Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho a+ b= 30 và BCNN(a; b)=6.UCLN(a; b) HD: Giải sử a < b GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 39 a = d .a1 Gọi UCLN(a; b) =d=>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 => BCNN(a; b) = a1.b1.d b = d .b1 Mà a+b=30=> ( a1 + b1 ) d = 30 , và a1.b1.d = 6.d = a1.b1 = 6, Vì ( a1; b1 ) = 1 , nên ta có các TH sau: a = 1 = a1 + b1 = 7 = 7.d = 30 ( Loại) TH1:  1 b1 = 6 a = 2 a = 12 = a1 + b1 = 5 = 5.d = 30 = d = 6 =  TH2:  1 b = 18 b1 = 3 Vậy hai số a b cần tìm là: a = 12, b = 18 hoặc a = 18 thì b = 12 a 4 Bài 19: Tìm a,b biết = và BCNN(a; b)= 140 b 5 HD: Theo giả thiết ta có: a < b a = a1.d (a1 ; b1 ) = 1, ( a1  b1 ) Gọi d=UCLN(a; b)=d=>  b = b1.d Ta có: a = 4 a 4 = =  1 , Mà: BCNN ( a; b ) = 140 = a1.b1.d = 20d = 140 = d = 7 b 5 b1 = 5 => a = 28, b = 35 Vậy hai số cần tìm là a=28 thì b=35 Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng UCLN(a; b)= 5 và BCNN(a; b)= 105 HD: Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 5a1 Vì UCLN(a; b) = 5=>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 5b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b)= a.b => 5.105 = 5a1.5b1 = a1.b1 = 21 Ta có bảng sau: 21 7 a1 a b1 105 1 35 3 b 5 15 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là:( 105; 5), (35; 15), (5; 105), (15; 35) Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)- UCLN(a; b)= 5 HD: Giả sử a < b a = d .a1 Gọi d = UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: a1.b1d − d = 5 = d ( a1.b1 −1) = 5 = d U (5) = 1;5 , a1 = 1 = a = 1 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 6 =  hoặc b1 = 6 = b = 6 a = 1 = a = 5 TH2 : d = 5 = a1.b1 = 2 =  1 b1 = 2 = b = 10  a1 = 2 = a = 2  b1 = 3 = b = 3 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;6), (2 ; 3), (5 ; 10),( 6 ; 1), (3: 2), (10 ; 5) Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= 12 và BCNN(a; b)= 240 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 40 HD : Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 12a1 Vì UCLN(a; b) = 12=>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 12.240 = 12a1.12b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 5 a1 a b1 b 240 1 60 4 12 48 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là:( 240; 12), (60; 48), (12;240), (48; 60) Bài 23: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng BCNN(a; b)+ UCLN(a; b)= 19 HD: Giả sử a < b a = d .a1 Gọi d = UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , và d < 19 b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 19 = d (1 + a1.b1 ) = 19 = d U (19) = 1;19 , Mà d < 19, Nên a = 1 = a = 1  a = 2 = a = 2 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 18 =  1 hoặc  1 b1 = 18 = b = 18 b1 = 9 = b = 9 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;18), (2 ; 9), (18 ; 1),( 9 ; 2), Bài 24: Tìm a, b biết UCLN(a; b)= 10 và BCNN(a; b)= 120 HD: Do a và b có vai trò như nhau, Giả sử a  b a = 10a1 Vì UCLN(a; b) = 10 =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 b = 10b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 10.120 = 10a1.10b1 = a1.b1 = 12 Ta có bảng sau: 12 4 a1 a b1 120 1 40 3 b 10 30 Vậy các cặp số (a; b) cần tìm là:( 120; 10), (40; 30), (10; 120), (30; 40) Bài 25: Tìm a, b biết BCNN(a; b) + UCLN(a; b)= 3 HD: Giả sử a < b a = d .a1 Gọi d=UCLN( a; b) =>  ( a1  b1 ) , ( a1; b1 ) = 1 , và d < 3 b = d .b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 3 = d (1 + a1.b1 ) = 3 = d U (3) = 1;3 , Mà d < 3, Nên a1 = 1 = a = 1 TH1 : d = 1 = a1.b1 = 2 =  b1 = 2 = b = 2 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;2), (2 ; 1) Bài 26: Cho BCNN(a;b)=60 và a=12 Tìm b GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 41 Bài 27: Tìm các số tự nhiên x,y biết: x.y=5880 và BCNN(x;y)=420 Bài 28: Tìm 2 số nguyên dương a, b biết ( a; b ) = 16 và tổng của chúng bằng 448 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top