Chuyên đề tự luận và trắc nghiệm tổ hợp và xác suất – Lư Sĩ Pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong ÑAÏI SOÁ VAØ GIAÛI TÍCH 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Nội dung gồm 4 phần Phần 1. Kiến thức cần nắm Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án. Phần 4. Một số đề ôn kiểm tra Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Mọi góp ý xin gọi về số 0939989966 – 0916620899 Email: [email protected] Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp Gv_Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1. QUY TẮT ĐẾM …………………………………………………………………. Trang 1 – 6 §2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP ………………………………….. Trang 7 – 16 §3. NHỊ THỨC NIU-TƠN ………………………………………………………… Trang 17 – 22 §4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ …………………………………………………… Trang 23 – 25 §5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ………………………………………………… Trang 26 – 32 ÔN TẬP CHƯƠNG II ……………………………………………………………… Trang 33 – 45 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II …………………………………………………. Trang 46 – 64 MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA …………………………………………………… Trang 65 – 68 ĐÁP ÁN ………………………………………………………………………………….. Trang 69 – 71 Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT —o0o— §1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Một số kí hiệu Số phần tử của tập hợp hữu hạn A, được kí hiệu là n(A) hoặc A . Chẳng hạn: Nếu A = {a; b; c} thí ta nói số phần tử của tập A là 3, ta viết n( A) = 3 hay A = 3 1. Qui tắc cộng Giả sử công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách chọn phương án A và m cách chọn phương án B ( các cách chọn phương án A không trùng với bất cứ cách chọn nào của phương án B). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách. Tổng quát: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, . . .,Ak. Có n1 thực hiện phương án A1, n2 thực hiện phương án A2,… và nk thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc đó được thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách. Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, không giao nhau. Khi đó: n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) (1) Công thức (1) có thể mở rộng theo hai hướng: a) Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kì thì n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) (2) b) Nếu A1 , A2 ,…, Am là các tập hợp tuỳ ý, đôi một không giao nhau thì n ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am ) = n ( A1 ) + n ( A2 ) + … + n ( Am ) 2. Qui tắc nhân Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn . Công đoạn A1 thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, . . .,công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc đó được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. B. BÀI TẬP Bài 1.1. Trong một lớp có 18 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn a) Một bạn phụ trách lớp trưởng ? b) Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ ? HD Giải a) Theo quy tắc cộng, ta có 18 + 12 = 30 cách chọn một bạn phụ trách lớp trưởng ( hoặc nam hoặc nữ ) b) Muốn có hai bạn gồm một nam và một nữ, ta phải thực hiện hai hành động lựa chọn: Chọn một nam có 18 cách chọn, khi có một bạn nam rồi, có 12 cách chọn một bạn nữ Vậy theo qui tắc nhân, ta có 18.12 = 216 cách chọn thoả ycbt. Bài 1.2. Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn a) Một quyển sách ? b) Ba quyển sách tiếng khác nhau ? c) Hai quyển sách tiếng khác nhau ? HD Giải a) Theo qui tắc cộng, ta có 10 + 8 + 6 = 24 cách chọn một quyển sách Đại số và Giải tích 11 1 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Theo qui tắc nhân, ta có 10.8.6 = 480 cách chọn ba quyển sách tiếng khác nhau c) Theo qui tắc nhân, có 10.8 = 80 cách chọn một quyển sách tiếng Việt và tiếng Anh, có 10.6 = 60 cách chọn một quyển sách tiếng Việt và tiếng Pháp và có 8.6 = 48 cách chọn một quyển sách tiếng Anh và tiếng Pháp. Vậy có 80 + 60 + 48 = 188 cách chọn thoả ycbt. Bài 1.3. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ? HD Giải Kí hiệu A = {2, 4,6,8} là tập các số chẵn và tập B = {2,3,5,7,} là các số nguyên tố Khi đó, số cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố là A ∪ B . Mặt khác, theo đề bài ta có n ( A ) = 4, n ( B ) = 4 và A ∩ B = {2} hay n ( A ∩ B ) = 1 . Theo qui tắc cộng mở rộng, ta có n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) = 4 + 4 − 1 = 7 Vậy có 7 cách chọn một số thoả ycbt. Bài 1.4. Trong một trường THPT, khối 11 có: 260 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 240 học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học, 50 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia câu lạc bô nào trong hai câu lạc bô nêu trên. Hỏi khối 11 của trường đó có bao nhiêu học sinh. HD Giải Gọi tập hợp học sinh khối 11 ở trường THPT tham gia câu lạc bộ Tinh học và câu lạc bộ Toán học lần lượt là A và B. Khi đó tập hợp học sinh khối 11 ở trường đó tham gia câu lạc bộ (Tin học và Toán học) là A ∪ B Theo bài toán, ta có n( A) = 260, n(B ) = 240, n ( A ∩ B ) = 50 Theo qui tắc cộng mở rộng, số học sinh khối 11 tham gia câu lạc bộ (Tin học và Toán học) là n ( A ∪ B ) = n( A) + n( B) − n ( A ∩ B ) = 260 + 240 − 50 = 450 Vậy khối 11 ở trường đó có 450 + 100 = 550 (học sinh) Bài 1.5. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? HD Giải Gọi số tự nhiên có hai chữ số đều chẵn có dạng là ab , với a, b ∈ {0;2; 4; 6;8} và a ≠ 0 . Ta có: SCC a b 4 5 . Vậy có: 4.5 = 20 số thoả ycbt Bài 1.6. Cho tập nền B = {1; 2; 4;5; 7} . Có thể lập được từ B: a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? b) Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? c) Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? HD Giải a) Gọi số gồm 4 chữ số khác nhau là abcd ; khi đó chọn các đối tượng a, b, c, d ∈ B, a ≠ b ≠ c ≠ d a b c d Ta có: . Vậy có: 5.4.3.2 = 120 số. SCC 5 4 3 2 b) Gọi số gồm 4 chữ số khác nhau là abcd ; khi đó chọn các đối tượng a, b, c, d ∈ B, a ≠ b ≠ c ≠ d a b c d Do số cần tìm là số chẵn nên d ∈ {2; 4} . Ta có: SCC 4 3 2 2 Vậy có: 4.3.2.2 = 48 số c) Ta đã có: 120 − 48 = 72 số. Bài 1.7. Cho tập nền B = {0;1;2;3} . Có thể lập được từ B: a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? b) Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? c) Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? HD Giải Đại số và Giải tích 11 2 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Áp dụng cách giải như bài 1.6, nhưng lưu ý : Chọn số cần tìm abcd thì a ≠ 0 a) Đs: 18 số thoả ycbt b) Đs: 10 số thoả ycbt c) Đs: 8 số thoả ycbt Bài 1.8. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) b) Có 4 chữ số khác nhau ? HD Giải Gọi số có bốn chữ số dạng abcd , trong đó a, b, c, d ∈ {1,5,6, 7} a) Số có bốn chữ số không nhất thiết khác nhau a b c d Ta có: . Vậy, theo qui tắc nhân, ta có 4.4.4.4 = 256 (số) SCC 4 4 4 4 b) Số có bốn chữ số khác nhau. Ta có: SCC a 4 b 3 c 2 d . Vậy có 4.3.2.1 = 24 (số) 1 Bài 1.9. Một kết sắt có 5 núm khoá riêng biệt, mỗi núm khoá đều có vòng đánh số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Một dãy 5 chữ số cho một cách mở kết. Có bao nhiêu phương án mở kết khác nhau? HD Giải Đặt B = {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} Gọi abcde là một phương án mở kết tuỳ ý cần tìm. Ta có: a b c d e SCC 10 10 10 10 10 . Vậy có 105 = 100000 phương án mở két. Bài 1.10. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số trong đó chỉ có đúng chữ số 5 ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng abc và a, b, c ∈ {0;1;2;3;4;5;6; 7;8;9} . Để số thoả ycbt có ba khả năng xảy ra: TH1. Các số có dạng 5bc;(b ≠ 5, c ≠ 5) , khi đó ta có 9 cách chọn b và 9 cách chọn b. Vậy có 9.9 = 81 số dạng 5bc TH2. Các số có dạng a5c;(a ≠ {0;5} , c ≠ 5) , khi đó ta có 8 cách chọn a và 9 cách chọn c. Vậy có 8.9 = 72 số dạng a5c TH3. Các số có dạng ab5;(a ≠ {0;5} , b ≠ 5) , khi đó ta có 8 cách chọn a và 9 cách chọn b. Vậy có 8.9 = 72 số dạng ab5 Tóm lại ta có: 81 + 72 + 72 = 225 số thoả ycbt. Bài 1.11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau ? HD Giải Đặt B = {5,6, 7,8,9} . Gọi dạng số cần tìm là abcde , a, b, c, d , e ∈ B Ta có: SCC a b c d e 5 4 3 2 1 . Vậy có: 5.4.3.2.1 = 120 số thoả ycbt Bài 1.12. Cho 8 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 ? HD Giải Đặt B = {0;1;2;3; 4; 5;6; 7} . Gọi 4 số cần tìm có dạng a1a2 a3 a4 , ai ≠ a j ; i ≠ j, a1 ≠ 0, i, j = 1, 4 , ai ∈ B Do bốn số không chia hết cho 10 nên a4 ≠ 0 . Ta có: SCC a1 a2 a3 a4 6 6 5 7 Vậy có : 6.6.5.7 = 1260 cách chọn số thoả ycbt. Đại số và Giải tích 11 3 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 1.13. Từ 5 chữ số 0;1;3;5;7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? HD Giải Gọi 4 số cần tìm có dạng a1a2 a3 a4 , ai ≠ a j ; a1 ≠ 0 .Trong đó a1 , a2 , a3 , a4 ∈ B = {0;1;3;5; 7} và do bốn số không chia hết cho 5 nên a4 ≠ {0;5} . Ta có: SCC a1 a2 a3 a4 3 3 2 3 . Vậy có : 3.3.3.2 = 54 cách chọn số thoả ycbt. Bài 1.14. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ? HD Giải Gọi số có 6 chữ số cần tìm có dạng: a1a2 a3 a4 a5 a6 , ai ≠ a j ; a1 ≠ 0 , trong đó a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈ B = {0;1;2;3; 4;5;6; 7;8; 9} . Do chữ số đầu tiên là số lẻ nên a1 ∈ {1,3,5, 7,9} và vì là số chẵn nên a6 ∈ {0;2; 4;6;8} . Ta có: SCC a1 a2 a3 a4 a5 a6 5 8 7 6 5 5 Vậy ta có: 5.8.7.6.5.5 = 42000 số chọn thoả ycbt. Bài 1.15. Cho 5 chữ số 0;1;2;3;4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho trong mỗi chữ số đó, mỗi chữ số trên có mặt đúng một lần ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng là abcde , a, b, c, d , e ∈ B = {0;1;2;3; 4} ( a ≠ 0 và e là số chẵn nên e ∈ {0;2; 4} . Khi đó ta xét 3 trường hợp của e. TH1. Số có dạng abcd 0 . Chọn a, b, c, d ∈ B = {1;2;3; 4} thì ta có: 4.3.2.1 = 24 số chẵn dạng abcd 0 TH2. Số có dạng abcde , e ∈ {2; 4} có 2 cách chọn, chọn a ∈ B = {1;2;3; 4} {e} có 3 cách chọn, chọn b ∈ B = {0;1;2;3; 4} {e; a} có 3 cách chọn, chọn c ∈ B = {0;1;2;3; 4} {e; a; b} có 2 cách chọn và chọn d ∈ B = {0;1;2;3; 4} {e; a; b; c} có 1 cách chọn. Vậy: 2.3.3.2.1 = 36. Vậy có: 24 + 36 = 60 số thoả ycbt Bài 1.16. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có bốn cặp anh em sinh đôi. Nhà trường cần chọn một nhóm 3 học sinh trong 50 học sinh trên dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? HD Giải Một nhóm 3 học sinh sao cho không có cặp em học sinh sinh đôi nào, nên ta có các TH sau: TH1. Trong nhóm có 3 người có 1 người trong bốn cặp sinh đôi. Chọn 1 người trong bốn cặp sinh đôi có 8 cách chọn người thứ nhất, có 50 – 8 = 42 cách chọn người thứ 2 và có 41 cách chọn người thứ 3. Vậy có 8.42.41 = 13776 cách chọn. TH2. Trong nhóm 3 người không có ai trong bốn cặp sinh đôi. Có 42 cách chọn người thứ nhất, 41 cách chọn người thứ hai và 40 cách chọn người thứ ba. Vậy có 42.41.40 = 68880 cách chọn Tóm lại có: 13776 + 68880 = 82656 cách chọn Bài 1.17. Có 5 con đường nối hai thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đi từ X đến Z qua Y ? Đại số và Giải tích 11 4 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường về không trùng với đường đã đi khác nhau ? HD Giải a) Có 5 cách chọn đường đi từ X đến Y và có 4 cách chọn đường đi từ Y đến Z. Do đó có 4.5 = 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y. b) Khi trở về từ Z đến Y thì còn 3 con đường để chọn: có 3 cách chọn. Từ Y trở về X thì có 4 con đường để chọn: có 4 cách chọn. Do đó có 3.4 = 12 cách chọn đường đi về không qua con đường đã đi. Vậy có tất cả: 20 . 12 = 240 cách chọn đường đi và về trên tuyến đường từ X đến Z qua Y bằng những con đường khác nhau. Bài 1.18. Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D. a) Có bao nhiêu cách đi từ A đấn D mà qua B và C chỉ một lần? b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ? HD Giải a) Từ A đến B có 4 con đường, từ B đến C có 2 con đường, từ C đến D có 3 con đường. Từ A muốn đến bắt buộc phải đi qua B và C. Vậy theo qui tắc nhân, số cách đi từ A đến D là 4.2.3 = 24 ( cách) b) Tương tự, ta có số cách đi từ A đến D rồi trở về A là 4.2.3.3.2.4 = 242 = 576 (cách) Bài 1.19. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau? HD Giải Số có 6 chữ số và chữ số 2 đứng cạnh số 3. Ta xem (23) là số a. Khi đó gọi số cần tìm là abcde (thay vì có 6 chữ số), trong đó a, b, c, d , e ∈ B = {0;1; 2;3; 4;5} . Ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c, có 2 cách chọn d và có 1 cách chọn e, mà chữ số 2, 3 đứng cạch nhau nên nó là hoán vị cho nhau. Vậy có : 4.3.2.1.2 = 192 số thoả ycbt. Bài 1.20. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam, một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? HD Giải a) Nhà trường cần chọn một học sinh nên: Chọn nam có 280 cách chọn và có 325 cách chọn nữ. Vậy có: 280 + 325 = 605 cách chon. b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ, nên có: Chọn nam có 280 cách chọn và ứng với cách chọn nam ta có 325 cách chọn nữ. Vậy có: 280.325 = 91000 cách. Bài 1.21. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7 nếu: a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau ? b) Các chữ số của nó khác nhau ? HD Giải a) Gọi các số như vậy có dạng abcd với a ∈ {5, 7} , còn b, c và d thuộc {1,3,5, 7} . Do đó Số các số cần tìm là 2.4.4.4 = 128 số b) Chữ số a có 2 cách chọn, chữ số b có 3 cách, chọn c có 2 cách và d có 1 cách. Vậy có 2.3.2 = 12 cách chọn số như vậy. Bài 1.22. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu: a) Các chữ số đó không nhất thiết khác nhau ? b) Các chữ số của nó khác nhau? HD Giải a) Các số lẻ trong khoảng (2000; 3000) có dạng 2abc với a, b ∈ {1,2,3,4,5,6} và c ∈ {1,3,5} . Đại số và Giải tích 11 5 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Vậy có 6.6.3 = 108 số b) Chữ số c có 3 cách chọn, b có 4 cách chọn và a có 3 cách chọn. Vậy có 3.4.3 = 36 số. Bài 1.23. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000). HD Giải Gọi số cần tìm có dạng abcd . Số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000) nên a có thể chọn là 2 hoặc 3. Do vậy: Số cách chọn a là 2 cách Số cách chọn b là 9 cách Số cách chọn c là 8 cách Số cách chọn d là 7 cách Vậy: 2.9.8.7 = 1008 (số) C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.24. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không có đường nào được đi hai lần ? Bài 1.25. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khac nhau ? Bài 1.26. Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và bóng chuyền. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ? Bài 1.27. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhieu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5. Bài 1.28. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 1.29. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8 ? Bài 1.30. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? Bài 1.31. Có thể lập ra bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và số đó phải chia hết cho 5, đồng thời số 1 phải xuất hiện ở một trong ba vị trí đầu tiên ? Đại số và Giải tích 11 6 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CẦN NẮM GIAI THỪA Cho n ∈ ℕ* , tích số 1,2,…,n được gọi là n giai thừa. Kí hiệu n!. Vậy n! = 1.2.3…n với n ∈ ℕ* Qui ước: 0! = 1; 1! = 1 Ta suy ra các kết quả sau: n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)! = n.(n – 1)(n – 2)…2.1 n! Nếu n, m ∈ ℕ* và n > m thì: = n(n − 1)(n − 2)…(m + 1) m! Ví dụ: 5! = 5.4.3.2.1 =120; 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 20! = 20.19.18 = 6840 17! I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) . Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A( gọi tắt là hoán vị của A) 2. Số hoán vị của n phần tử: Kí hiệu Pn. Pn = n ! = n.(n − 1).(n − 2) . . .2.1 II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k. Khi lấy ra k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n ) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A(gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A) 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu Ank (n, k ∈ ℕ*) Ank = n! = n(n − 1)…(n − k + 1) ( n − k )! n! n! = = n! = Pn . Vậy một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n 0! 1 phần tử, từ đó suy ra: Ann = Ank . Ann−−kk ;1 ≤ k ≤ n III. TỔ HỢP 1. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A) 2. Số tổ hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n, n ∈ ℕ*) , Nếu k = n thì Ann = k n! n! n(n − 1)(n − 2)…(n − k + 1) An k Hay Cn = C = = = k !(n − k )! k !(n − k )! k! k! 3. Tính chất: a) Cn0 = 1 = Cnn ; Cn1 = n; n ∈ ℕ * k n b) Cnk = Cnn− k ; 0 ≤ k ≤ n c) Cnk+1 = Cnk + Cnk −1; 1 ≤ k < n d) n ∑C k =0 k n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n ; 0 ≤ k ≤ n B. BÀI TẬP Bài 2.1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào ngồi trong một cái bàn dài đủ chỗ ngồi. HD Giải Mỗi cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi là hoán vị của 4 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là: Pn = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách. Đại số và Giải tích 11 7 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào mười ghế kê thành một dãy ? HD Giải Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi của 10 khách theo hàng ngang cho một hoán vị của 10 và ngược lại. Vậy có 10! cách sắp xếp Bài 2.3. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4 ? HD Giải Trên tập nền B = {1;2;3; 4} . Gọi số cần tìm có dạng abcd . Để thành lập số gồm bốn chữ số đó ta cần xếp 4 chữ số của tập nền B vào 4 vị trí hàng nghìn a, hàng trăm b, hàng chục c và hàng đơn vị d. Vậy có tất cả: P4 = 4! = 24 số thoả ycbt. (Dùng quy tắc đếm để giải bài này) Bài 2.4. Có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau từ tập B = {0;1; 2;3; 4} HD Giải Gọi số cần tìm có dạng abcde; a ≠ 0; e ∈ {1;3} . Ta xét hai trường hợp: TH1. Dạng số: abcd1; a ≠ 0 . Chọn a ∈ {2;3; 4} có 3 cách chọn, chọn b, c, d ∈ {0;2;3; 4} {a} thì số cách chọn là số cách sắp xếp ba số tuỳ ý của tập {0;2;3; 4} {a} vào nghìn b, hàng trăm c và hàng chục d. Nên có P3 = 3! = 6 cách. Vậy có :3.6 = 18 số dạng abcd1 TH2, Dạng số abcd 3; a ≠ 0 .Lí luận tương tự ta có 18 số dạng abcd 3 Tóm lại, ta có: 18 + 18 = 36 số thoả ycbt. Bài 2.5. Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? HD Giải Tất cả 8 vận động viên đều về đích nhưng không cùng một lúc( không ai đến đích cùng với một người khác) trên 8 đường bơi, thì cách sắp xếp hạng 8 vận động viên là một hoán vị của 8 phần tử khi sắp xếp vào 8 vị trí ( thứ hạng) phân biệt, không lặp. Nên ta có: P8 = 8! = 40320 kết quả. Bài 2.6. Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền B = {1;2;3; 4} bằng phép hoán vị ? HD Giải Phép hoán vị trên nền B cho ta thành lập các số gồm bốn số khác nhau là: P4 = 4! = 24 số Để ý rằng, tất cả các số đều viết dưới dạng cặp đôi như sau: 1234 1243 1423 1432 4123 2341 3241 3421 3124 2413 4213 4231 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; có tổng  4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314 2134 2431 3142 1342 1324 tất cả 24 số, sắp xếp như trên từng cặp trong 12 cặp có tổng là 5555. Vậy tổng S = 12.5555 = 66660. Bài 2.7. Chứng minh rằng trên tập B = {1;2;3; 4;5;6;7} có thể lập thành được các số gồm bảy chữ số khác nhau mà tổng của chúng thì chia hết cho 720. HD Giải Phép hoán vị P7 = 7! = 5040, cho ta số các số gồm 7 chữ số khác nhau thành lập được từ B. Để ý rằng 5040 trong 5040 số tìm được, ta luôn viết được: = 2520 cặp số có tổng là 8 888 888 2 1234567 2134567 3124567 Như  ; ; ;.... Nên tổng S của chúng là: S = 2520.8888888 7654321 6754321 5764321 2520 : 90 = 28 Mà 720 = 90.8 và  .Vậy S chia hết cho 720 (thoả ycbt) 8888888 : 8 = 1111111 Bài 2.8. Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A,B,C,D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ ngồi Đại số và Giải tích 11 8 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa? b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? HD Giải a) Xếp C ngồi chính giữa có 1(cách), Xếp A, B, D, E vào bốn chỗ còn lại có P4 = 4! = 24 (cách). Vậy có tất cả là 24 cách xếp thoả ycbt. b) Xếp A, E ngồi ở hai đầu ghế có 2! = 2 (cách), xếp B, C, D vào ba chỗ còn lại có 3! = 6 (cách). Vậy có tất cả là 2.6 = 12 cách thoả ycbt. Bài 2.9. Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu: a) Tất cả các học sinh ngồi tuỳ ý ? b) Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn? HD Giải a) Hai cái bàn và 10 ghế, nên khi xếp 10 học sinh ngồi tuỳ ý, đó là hoán vị của 10 học sinh ứng với 10 ghế. Vậy có P10 = 10! = 3 628 800 cách thoả ycbt. b) Ta có: 5 ghế xếp cho 5 học sinh nam có: 5! cách xếp và 5 ghế xếp cho 5 học sinh nữ có : 5! cách xếp. Vậy hai cái bàn có: 2.(5!)(5!) = 28800 cách xếp thoả ycbt. Bài 2.10. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau lấy từ 0; 2;3;6;9? HD Giải Tập nền B = {0;2;3;6;9} . Số chẵn là những số có tận cùng là 0; 2 và 6 từ tập nền B - Nếu môt số có 5 chữ số tận cùng là 0 thì bốn chữ số đầu là hoán vị của 2; 3; 6 ;9. tacó P4 = 4! số như vậy. - Nếu một số có 5 chữ số tận cùng là 2 thì bốn chữ số đầu là hoán vị của 0; 3; 6; 9 trong đó loại bỏ đi các hoán vị đầu là 0. Ta có: P4 = 4! Trong đó P3 = 3! hoán vị bắt đầu là 0. Vậy có 5 chữ số tận cùng là 2 là: P4 – P3 = 4! – 3! - Tương tự cho 5 chữ số tận cùng là 6 là: P4 – P3 = 4! – 3!. Tóm lại có tất cả là: 4! + 4! – 3! + 4! – 3! = 60 thoả ycbt. Bài 2.11. Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ? HD Giải a) Cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là: 10! = 3 628 800 cách b) Giả sử học sinh nam xếp vào vi trị chẵn có: 5! (cách), học sinh nữ xếp váo vị trí lẻ có: 5! (cách). Sau đó đổi chỗ: chẵn cho nữ và lẻ cho nam nên có: 2!(cách) Vậy có: 5!.5!.2! = 28800(cách) Bài 2.12. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng bảy chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau ? HD Giải Các số có 7 chữ số lấy từ tập B = {1; 2;3; 4;5; 7;9} là một hoán vị của 7 phần tử. Vậy số cần tìm là: P7 = 7! (số). Các số có 7 chữ số mà 2 chữ số chẵn 2; 4 đứng kề nhau là: 2!.6! (số). Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số) Bài 2.13. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho: a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau? HD Giải a) Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau, 8 bạn kia được xếp vào 8 chỗ còn lại. Vây có 8! Cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18.8! cách xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. b) Có 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn. Từ đó có 10! – 18.8! = 72.8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau. Bài 2.14. Có 6 học sinh được xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên mặt bàn dài. Đại số và Giải tích 11 9 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn ? b) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh nhau? HD Giải a) Mỗi một cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có ghi số thứ tự là một hoán vị 6 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là: P6 = 6! = 720(cách). b) Mỗi một cách sắp xếp A và B hoặc B và A theo thứ tự đó ngồi cạnh nhau là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy cách xếp A và B ngồi cạnh nhau là: 2.P5 = 2.5!(cách) Vậy số cách sắp xếp cần tìm là: 720 – 2.5! = 480(cách) Bài 2.15. Từ ba đỉnh của tam giác ABC có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ O . HD Giải Hai điểm bất kì phân biệt xác định được hai vectơ khác vectơ O . Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì không có điểm nào thẳng hàng và hai điểm tuỳ ý thì luôn phân biệt nhau. Do đó ta lấy hai điểm tuỳ ý trong ba điểm thì số vectơ lập được là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử 3! Vậy: A32 = = 3.2 = 6 (vectơ) (3 − 2)! Bài 2.16. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ O với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác ? HD Giải Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh , hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng. Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập được là một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần 15! tử. Vậy số vectơ là: A152 = = 15.14 = 210 (vectơ) (15 − 2)! Bài 2.17. Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên làm giám đốc CLB, một thành viên làm phó giám đốc CLB và một thành viên làm kế toán trưởng CLB. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để bầu mà không có ai kiêm nhiệm ? HD Giải Khi bầu chọn 3 thành viên trong 14 thành viên ra làm giám đốc, phó giàm đốc và kế toán trưởng (k < n) thì thứ tự cần đảm bảo. 14! Nên cách số cách chọn để bầu người không kiêm nhiệm là: A143 = = 2184 (cách) (14 − 3)! Bài 2.18. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số khác không và khác nhau đôi một? HD Giải Mỗi số cần tìm có dạng: a1a2 a3 a4 a5 , trong đó ai ≠ a j ; i ≠ j và ai ∈ {1;2;3; 4;5;6; 7;8; 9} , i = 1,...,5 . Như vậy ta có thể coi mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 chữ số. Vậy số cần tìm là: 9! A95 = = 15120 (số) (9 − 5)! Bài 2.19. Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông)? HD Giải Vì bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ cắm hoa khác nhau nên mỗi lần chọn ra ba bông hoa để cắm vào ba lọ, ta có một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy số cách cắm hoa vào ba lọ khác nhau là: 7! A73 = = 210 (cách) (7 − 3)! Bài 2.20. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? HD Giải Mắc nối tiếp 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Vậy số cách 6! mắc là: A64 = = 360 (cách) (6 − 4)! Đại số và Giải tích 11 10 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.21. Từ nền B = {0;1;3; 5; 7} có thể lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: abc; a ≠ 0 và xét hai thường hợp TH1. Chọn a ∈ B {0} ⇒ có 4 cách chọn TH2. Chọn b, c ∈ B {a} tương đương việc sắp xếp 2 chữ số tuỳ ý của b, c ∈ B {a} vào hai vị trí còn lại (k < n và tình thứ tự phải đảm bảo) ⇒ có A42 = 4! = 12 cách chọn (4 − 2)! Vậy số cần tìm là: 4.12 = 48 (số) Cách khác: Số có nghĩa và không có nghĩa gồm ba chữ số lập được từ B là một chinh hợp chập 3 của 5 5! phần tử trong B. A53 = = 60 (số). Số các số nghĩa: 0bc cần loại bỏ đi tương đương việc sắp xếp (5 − 3)! b, c ∈ {1;3;5;7} vào hai vị trí cò lại và tính thứ tự phải bảo đảm. Số đó là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 4! = 12 (số). (4 − 2)! Vậy số cần tìm là: 60 – 12 = 48 số A42 = Bài 2.22. Cho tập nền B = {0;1;2;3; 4;5} . Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ? HD Giải Gọi số cần tìm là: abcde; a ≠ 0; e ∈ {0;2; 4} và a, b, c, d ∈ {0;1; 2;3; 4;5} . Xét các trường hợp: TH1. Dạng số abcd 0; a ≠ 0 , Chọn a, b, c, d ∈ {1;2;3; 4; 5} có A54 = 5! = 120 (số dạng abcd 0 ) (5 − 4)! TH2. Dạng số abcd 2; abcd 4; a ≠ 0 . Chọn a ∈ {1;3; 4; 5} hay a ∈ {1;2;3;5} đều có 4 cách chọn, chọn 4! = 24 số. Vậy số dạng abcd 2; abcd 4; a ≠ 0 có 2.4.24 = 192(số) (4 − 3)! Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số ) a, b, c, d ∈ {1;2;3; 4; 5} có A43 = Bài 2.23. Với tập nền B = {0;1; 2;3; 4;5;6} , ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: abcde; a ≠ 0; a, b, c, d , e ∈ B . Số có 5 chữ số phải có mặt chữ số 5 ta xét các trường hợp: 6! TH1. Dạng 5bcde , chọn b, c, d , e ∈ {0;1;2;3; 4;6} có A64 = = 360 (số) (6 − 4)! ( ) TH2. Dạng các a5cde ab5de; abc5e; abcd 5 ; a ≠ 0 . Chọn a ∈ {1;2;3; 4;6} có 5 cách chọn, chọn 5! = 60 (số). (5 − 3)! Có bốn số dạng trên nên có 4.60 =1200 (số) Vậy có 360 + 1200 = 2560 số thoả ycbt. Bài 2.24. Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? HD Giải Số cần tìm có dạng abcde; a ≠ 0; a, b, c, d , e ∈ B = {0;1;2;3; 4;5;6} và là số chẵn. b, c, d ∈ {0;1;2;3; 4;6} {a} có A53 = TH1. Dạng abcd 0 . Chọn a, b, c, d ∈ {1;2;3;4;5;6} có A64 = Đại số và Giải tích 11 11 6! = 360 số dạng abcd 0 (6 − 4)! Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 ( GV. Lư Sĩ Pháp ) TH2. Dạng các abcd 2 abcd 4; abcd 6 ; a ≠ 0 . Chọn a ∈ {1;3; 4;5;6} {e} có 5 cách chọn, chọn b, c, d ∈ {0;1;3; 4;5;6} {a; e} có A53 = 5! = 60 (số). (5 − 3)! Vậy có 5. 60 = 300 số dạng abcd 2 Có ba số dạng trên nên có: 3.300 = 900 số Tóm lại có: 360 + 900 = 1260 số thoả ycbt. Bài 2.25. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)? HD Giải Số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 có dạng: abcd 0; a ≠ 0 trong đó 9! a, b, c, d ∈ B = {1;2;3; 4;5;6; 7;8;9} do a ≠ 0 , khi đó ta có A94 = = 3024 số thoả ycbt. (9 − 4)! Bài 2.26. Cho 6 chữ số 1;2;3;4;5;6. Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ? HD Giải Số gồm bốn chữ số khác nhau có dạng abcd ; a ≠ 0 trong đó 6! a, b, c, d ∈ B = {1; 2;3; 4;5; 6} nên ta có: A64 = = 360 (số). (6 − 4)! Số abcd ; a ≠ 0 chia hết cho 5 khi d = 5 và chọn a, b, c ∈ {1;2;3; 4;6} có A53 = 5! = 60 (số ) (5 − 3)! Bài 2.27. Từ tập nền B = {0;1; 2;3; 4;5;6} có thể lập được : a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? HD Giải a) Nếu kể cả trường hợp số 0 đứng đầu, thì ta có: A75 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Trong A75 các số đó gồm có A64 số gồm 5 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu. Vậy số gồm 5 chữ số khác nhau lập từ tập nền B là: A75 − A64 = 2160 (số) b) Xem bài 2.22 Bài 2.28. Xét các chữ số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau ? b) Các chữ số được xếp tuỳ ý ? HD Giải a) Gọi nhóm 11111 là số a. Bài toán yêu cầu ta cần sắp xếp năm số : a,2,3,4,5 vào 5 vị trí khác nhau. Số cách sắp xếp là: P5 = 5! = 120 số thoả ycbt. b) Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu, thực chất là việc xếp bốn số 2,3,4,5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí, còn 5 vị trí còn lại thì chữ số 1 lặp 5 lần. 9! Vậy có: A94 = = 3024 số thoả ycbt. (9 − 4)! Bài 2.29. Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ? HD Giải Kết quả của sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 ban. Vậy số cách 10! phân công là: C103 = = 120 ( cách) 3!(10 − 3)! Bài 2.30. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song Đại số và Giải tích 11 12 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho ? HD Giải Gọi A và B lần lượt là tập hợp 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng song song cắt 6 đường thẳng đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là: C62 .C82 = 15.28 = 420 (hình) Bài 2.31. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm nằm trên đường tròn? HD Giải 10! Cứ ba điểm dựng được một tam giác. Vậy có thể dựng được C103 = = 120 tam giác. 3!(10 − 3)! Bài 2.32. Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? HD Giải 2 Số đoạn nối hai đỉnh của đa giác đã cho là C20 , số cạnh của đa giác là 20. Vậy số đường chéo cần tìm là: 2 C20 − 20 = 170 đường chéo Bài 2.33. Một nhóm có 10 học sinh, dự định bầu ra một ban đại diện gồm 3 người. a) Có bao nhiêu cách bầu như dự định ? b) Có bao nhiêu cách bầu như dự định, nhưng bắt buộc trong mỗi cách bầu phải có mặt nhóm trưởng ? HD Giải a) Chọn ra ba học sinh ( k = 3 trong 10 học sinh đại diện n =10) để có được một cách bầu (không tính thứ 10! tự). Nên số cách bầu là: C103 = = 120 (cách). 3!(10 − 3)! b) Để ý mỗi cách bầu 3 đại diện trong đó phải có mặt nhóm trưởng, tương đương việc chọn 2 đại diện 9! trong 9 người ( không có nhóm trưởng). Nên số cách bầu là: C92 = = 36 (cách) 2!(9 − 2)! Bài 2.34. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó ? HD Giải 3 Số cách chọn 3 em biết tiếng Anh là: m1 = C8 = 56 cách Số cách chọn 4 em biết tiếng Pháp là : m2 = C74 = 35 cách Số cách chọn 2 em biết tiếng Đức là : m3 = C52 = 10 cách Vậy số cách lập một nhóm đi thực tế là: M = m1.m2.m3 = 19600(cách) Bài 2.35. Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? HD Giải 2 Có m1 = C6 = 15 cách chọn 2 nữ và có m2 = C83 = 56 cách chọn 3 nam. Vậy có tất cả: M = m1.m2 = 15.56 = 840 cách chọn thoả ycbt. Bài 2.36. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên d1 và d2. HD Giải Trên d1 có 17 điểm phân biệt, như vậy số đoạn thẳng nối hai đầu mút là 2 trong 17 điểm đó là: C172 = 136 ( đoạn thẳng) 2 Tương tự: có C20 = 190 ( đoạn thẳng với đầu mút ) là 2 trong 20 điểm cho trên d2. Xét một điểm đã cho trong 17 điểm trên d1, ứng với mỗi đoạn gồm 2 điểm trong 20 điểm trên d2 ta được một tam giác. Nên có 17.190 = 3230 tam giác với 2 đỉnh trên d2, 1 đỉnh trên d1 Tương tự như vậy có 20 . 136 = 2720 tam giác với 2 đỉnh trên d1, 1 đỉnh trên d2. Vậy có : 3230 + 2720 = 5950 tam giác thoả ycbt. Bài 2.37. Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên Đại số và Giải tích 11 13 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó ? HD Giải Gọi A và B lần lượt là tập hợp 9 đường thẳng song song với nhau và 10 đường thẳng song song cắt 9 đường thẳng đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là: C92 .C102 = 36.46 = 1620 (hình) Bài 2.38. Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? HD Giải Số cách chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh là: C42 .C71 + C41 .C72 + C73 = 161 ( cách) Bài 2.39. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ? HD Giải Để ý giả thiết yều cầu có cả nam và nữ, có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Nên trong đoàn công tác cần phải có 1 nhà Vật lý luôn là Nam và 1 nhà Toán học nữ. Lúc đó người thứ ba có thể là: nhà Toán học nam hoặc nhà Vật lý nam hoặc nhà toán học nữ. Vậy có: C51 .C31 .C41 + C32 .C41 + C31 .C42 = 90 cách chọn thoả ycbt. Bài 2.40. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( chữ số đầu tiên phải khác 0)? HD Giải Số cần tìm có dạng abcdef , với a,b,c,d,e,f thuộc vào một trong hai nhóm . TH1. Nhóm chữ số chẵn và lẻ: {0;2; 4;6;8} ;{1;3;5; 7;9} . Lấy 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ có: C53 = 10 cách. Lấy 3 chữ số chẵn trong 5 chữ số chẵn có: C53 = 10 cách. Do mỗi nhóm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ khác nhau tạo được nên có 6! = 720 số có 6 chữ số ( kể cả a = 0) Vậy có: 10.10.720 = 72000số 6 chữ số khác nhau, trong đó 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (kể cả a = 0) TH2. Khi a = 0. Lấy 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ có: C53 = 10 cách. Lấy 2 chữ số chẵn trong 4 chữ số chẵn có: C42 = 6 cách. Do mỗi nhóm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ khác nhau tạo được nên có 5! = 120 số Vậy có: 10.6.120 = 7200số 6 chữ số khác nhau, trong đó 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn và số đầu tiên bằng 0. Tóm lại có 72000 – 7200 = 64800 số lập được thoả ycbt. Bài 2.41. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng là các đỉnh của thập giác? HD Giải Mỗi tam giác được tạo bởi một tập hợp 3 đỉnh của thập giác và ngược lại. Như vậy, số tam giác bằng số các tổ hợp chập 3 của 10 đỉnh, tức là bằng : C103 = 120 Bài 2.42. Có bao nhiêu đường chéo của thập giác ? HD Giải 2 Từ 10 đỉnh của thập giác có thể kẻ được C10 = 45 đoạn thẳng trong đó có 10 cạnh của thập giác. Vậy ta có: 45 – 10 = 35 (đường chéo) Bài 2.43. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? HD Giải Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C124 = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: - Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C có 1 học sinh. Số cách chọn: C52 .C41 .C31 = 120 - Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A có 1 học sinh. Số cách chọn: C51 .C42 .C31 = 90 - Lớp C có 2 học sinh, các lớp B, A có 1 học sinh. Số cách chọn: C51 .C41 .C32 = 60 Đại số và Giải tích 11 14 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Số cách chọn học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn cần tìm là: 495 – 270 = 225. n +1  1 1  1 Bài 2.44. Chứng minh rằng  k + k +1  = k (n, k là số nguên dương, k ≤ n ) n + 2  Cn +1 Cn +1  Cn HD Giải Ta có n +1  1 1  n + 1 k !(n + 1 − k )!+ (k + 1)!(n − k )! .  k + k +1  = (n + 1)! n + 2  Cn +1 Cn +1  n + 2 1 k !(n − k )! k !(n − k )! 1 = . [(n + 1 − k ) + (k + 1)] = = k n+2 n! n! Cn An4+1 + 3 An3 . Biết rằng Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 (n + 1)! HD Giải n = 5 Điều kiện n ≥ 3, n ∈ ℕ . Ta có Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 ⇔ n 2 + 4n − 5 = 0 ⇔   n = −9 Bài 2.45. Tìm giá trị của biểu thức M = Nhận n = 5 và M = A64 + 3 A53 3 = 6! 4 Bài 2.46. Chứng minh rằng với 4 ≤ k ≤ n, k , n ∈ ℤ + ta có: Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 HD Giải Sử dụng PP nhóm các hạng tử thích hợp và sử dụng hằng đẳng thức Pa-xcan. ( ) ( ) ( = (C ) ( ) + 2 (C VT= Cnk + Cnk −1 + 3 Cnk −1 + Cnk −2 + 3 Cnk −2 + Cnk −3 + Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 ( k n +1 + Cnk+−11 ) ( k −1 n+ = Cnk+ 2 + 2Cnk+−21 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−21 + Cnk+−21 + Cnk+−22 ) ) ) ( + Cnk+−12 + Cnk+−12 + Cnk+−13 ) = Cnk+3 + Cnk+−31 = Cnk+ 4 = VP C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2.47. Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? (Đs: 1260 cách) Bài 2.48. Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ? (Đs: 16 tập con) Bài 2.49. Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh ? (Đs: 35 giao điểm) Bài 2.50. Tìm các số nguyên dương gốm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải của nó.(Đs: 252 số) Bài 2.51. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu: a) Ghế sắp thành hàng ngang ? (Đs: 4!.C74 cách) b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ?(Đs: 5!.A64 cách) Bài 2.52. Tính giá trị của các biểu thức sau: 7!4!  8! 9!  2 a. A = −   (Đs: A = ) 10!  3!5! 2!7!  3 b. B = A52 A105 + (Đs: B = 46) P2 7P5 P P P  P c. C = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 − P1P2 P3 P4 (Đs: C = 2750) d. D =  54 + 43 + 32 + 21  . A52 (Đs: D = 42) A   5 A5 A5 A5  Đại số và Giải tích 11 15 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 e. E = g. G = GV. Lư Sĩ Pháp A64 + A54 A44 (Đs: E = 20) 98 998 C100 + C1000 2 1000 1 2 1 3 1 3 C6 − C8 + C15 1 3 65 f. F = 3 (Đs: F = ) 3 36 P3 A5 2 100 h. H = C53C42 + C42C31 + C31C30 (Đs: H = 81) (Đs: G = 1) C +C Bài 2.53. Chứng minh rằng: a) Pn – Pn – 1 = (n – 1)Pn – 1 b) CMR: với 1 ≤ k ≤ n ta có: Cnk++11 = Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk Bài 2.54. Giải các phương trình sau: ( x, n ∈ ℕ) a) 2 Ax2 + 50 = A22x ; x ∈ ℕ ( Đs: x = 5) x !− ( x − 1)! 1 = (Đs: x = 2 v x = 3) ( x + 1)! 6 1 d) An3 + 3 An2 = Pn +1 (Đs: n = 4) 2 1 1 1 f) x − x = x (ĐK: Cx4 có nghĩa 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = 2 là C4 C5 C6 b) c) Px +3 = 720 Ax5 .Px − 5 (Đs: x = 7) e) Ax2 .C xx −1 = 48 (ĐK: x ≥ 1 , Đs: x = 4) nghiệm) Bài 2.55. Giải các phương trình sau: a) C14k + C14k + 2 = 2C14k +1 (ĐK: 0 ≤ k ≤ 12; k ∈ ℕ , Đs: k = 4 v k = 8) b) Cx1 + 6Cx2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x (ĐK: x ≥ 3, x ∈ ℕ , Đs: x = 7) c) Cxx −1 + Cxx −2 + Cxx −3 + ... + Cxx −10 = 1023 (ĐK: x ≥ 10, x ∈ ℕ , x = 10) d) Cxy+1 : Cxy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2 (Đs: x = 8, y = 3) e) (A y x −1 ) + yAxy−−11 : Axy −1 : Cxy −1 = 10 : 2 :1 (Đs: x = 7, y = 3) Bài 2.56. Chứng minh rằng: a. k (k − 1)Cnk = n(n − 1)Cnk−−22 b. Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 c. 2Cnk + 5Cnk +1 + 4Cnk + 2 + Cnk +3 = Cnk++22 + Cnk++33 d. Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 ;(3 ≤ k ≤ n; n ∈ ℕ* ) e. Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 ;(4 ≤ k ≤ n; n ∈ ℕ* ) (HD: Áp dụng công thức biến đổi Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11; 0 ≤ k ≤ n ) Bài 2.57. Giải các phương trình sau a) 2 Ax2+ 2 − 3Cxx+−11 = 30 b) 3Cx3 − Ax2+1 = 18 c) Cx2 + Cx3 = 4Cx4 c) Cxx+−11 + Ax2+1 = 100 Đại số và Giải tích 11 d) Ax3 + 2Cxx − 2 = 9 x 16 g) Ax2− 2 + Cxx −2 = 101 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §3. NHỊ THỨC NIU-TƠN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Công thức nhị thức Niu-Tơn Với hai số thực a và b tuỳ ý và với mọi số n nguyên dương ta có ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n− 2 b 2 + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn b n (1) n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 (1) gọi là công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. 2. Tính chất của nhị thức Niu-tơn a) Số các số hạng tử của công thức là n + 1 b) Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n đồng thời tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử đều bằng n c) Số hạng tổng quát của công thức có dạng Tk +1 = Cnk a n− k b k ;(k = 0,1,..., n) d) Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau: Cnk = Cnn − k ; 0 ≤ k ≤ n 3. Một số dạng đặc biệt Dạng 1. Thay a = 1 và b = x vào (1), ta được: (1 + x )n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n (2) và cho x = 1 ⇒ Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n Dạng 2. Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được: (1 − x )n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − ... + (−1)k Cnk x k + ... + (−1)n Cnn x n (3) và thay x = 1 ⇒ Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + (−1)n Cnn = 0 4. Tam giác Pascal (PA-XCAN) B. BÀI TẬP Bài 3.1. Khai triển (b + a) thành tổng các đơn thức? HD Giải Theo công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn, ta có: (b + a)6 = C60 a6 + C61a5 b + C62 a 4 b2 + C63 a3 b3 + C64 a2 b 4 + C65 ab5 + C66 b6 6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b 4 + 6ab5 + b6 Bài 3.2. Khai triển ( x − a)5 thành tổng các đơn thức? HD Giải Theo công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có: 5 ( x − a)5 =  x + (− a) = x 5 + 5 x 4 (− a) + 10 x 3 (− a)2 + 10 x 2 (− a)3 + 5 x(− a)4 + (−a)5 = x 5 − 5 x 4 a + 10 x 3 a2 − 10 x 2 a3 + 5 xa 4 − a5 Bài 3.3. Với n là số nguyên dương, chứng minh các hệ thức sau: Đại số và Giải tích 11 17 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) 2 n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn b) C21n + C23n + ... + C22nn −1 = C20n + C22n + ... + C22nn HD Giải a) Ta có (1 + x ) = C + C x + C x + ... + C n 0 n 1 n 2 n 2 n −1 n −1 n x + Cnn x n (1). Chọn x = 1 thay vào (1), ta được: 2 n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn b) Ta có (1 + x ) = C20n + C21n x + C22n x 2 + ... + C22nn−1 x 2 n−1 + C22nn x 2 n (2) 2n Chọn x = -1, thay vào (2), ta được: 0 = C20n − C21n + C22n x 2 + ... − C22nn −1 + C22nn x 2 n Suy ra: C21n + C23n + ... + C22nn −1 = C20n + C22n + ... + C22nn Hoặc ta có thể chứng minh theo nhận xét từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. Bài 3.4. Chứng minh rằng: 4 n Cn0 − 4 n −1 Cn1 + 4n −2 Cn2 − ... + (−1)Cnn = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn HD Giải Ta có: ( a + b ) = C a + C a b + C a n 0 n 1 n −1 n n 2 n n −2 b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn b n 2 Nhận xét VT = 4 n Cn0 − 4 n −1 Cn1 + 4 n −2 Cn2 − ... + (−1)Cnn = (4 − 1)n = 3n Nhận xét VP = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2 n Cnn = (1 + 2)n = 3n Suy ra: 4 n Cn0 − 4 n −1 Cn1 + 4n −2 Cn2 − ... + (−1)Cnn = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn Bài 3.5. Cho tập A là một tập hợp có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A? HD Giải 0 Số tập con của A không có phần tử nào là C20 1 Số tập con của A có một phần tử là C20 2 Số tập con của A có 2 phần tử là C20 …………………………………………………. 20 Số tập con của A có 20 phần tử là C20 0 1 2 20 Suy ra, tổng số tập con của A là: C20 + C20 + C20 + ... + C20 = 220 Bài 3.6. Tính tổng: a) A = C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 b) B = C60 + 3C61 + 32 C62 + 33 C63 + ... + 36 C66 c) C = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn 10 11 d) D = C116 + C117 + C118 + C119 + C11 + C11 HD Giải a) A = C + C + C + C + C + C = (1 + 1) = 2 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 5 b) B = C60 + 3C61 + 32 C62 + 33 C63 + ... + 36 C66 = (1 + 3)6 = 46 c) C = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2 n Cnn = (1 + 2)n = 3n d) Áp dụng công thức Cnk = Cnn − k 10 11 1 Khi đó D = C116 + C117 + C118 + C119 + C11 + C11 = C115 + C114 + C113 + C112 + C11 + C110 1 10 11 Do đó: 2 D = C110 + C11 + C112 + ... + C11 + C11 = (1 + 1)11 = 2048 ⇒ D = 1024 Bài 3.7. Tính giá trị các biểu thức sau: 0 1 2 2009 a) A = C2009 + C2009 + C2009 + ... + C2009 0 1 2 2009 b) B = C2009 − C2009 + C2009 − ... + (−1)2009 C2009 0 1 2 2009 c) C = C2009 + 2C2009 + 22 C2009 + ... + 22009 C2009 0 1 2 2009 d) D = 3C2009 + 32 C2009 + 33 C2009 + ... + 32010 C2009 HD Giải Đại số và Giải tích 11 18 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: (1 + x ) 2009 0 1 2 2009 −1 2009 −1 2009 2009 = C2009 + C2009 x + C2009 x 2 + ... + C2009 x + C2009 x (1) 0 1 2 2009 a) Chọn x = 1 thay vào (1), ta được: A = C2009 + C2009 + C2009 + ... + C2009 = (1 + 1)2009 = 22009 0 1 2 2009 b) Chọn x = -1 thay vào (1), ta được: B = C2009 − C2009 + C2009 − ... + (−1)2009 C2009 = (1 − 1)2009 = 0 0 1 2 2009 + 2C2009 + 22 C2009 + ... + 22009 C2009 = (1 + 2)2009 = 32009 c) Chọn x = 2, thay vào (1), ta được: C = C2009 ( D = 3 (C ) ) = 3(1 + 3) 0 1 2 2009 d) D = 3 C2009 và chọn x = 3 thay vào (1), ta được: + 3C2009 + 32 C2009 + ... + 32009 C2009 0 2009 1 2 2009 + 3C2009 + 32 C2009 + ... + 32009 C2009 2009 = 3.4 2009 Bài 3.8. Tính: a) A = 1 − 10C21n + 102 C22n − 103 C23n + ... − 102 n −1 C22nn−1 + 102 n 1 17 b) B = 317 C170 − 4.316 C17 + 4 2.315 C172 − 43.314 C173 + ... − 417 C17 1 2n 2 2 2n 3 3 2n a) A = 1 − 10C + 10 C − 10 C + ... − 10 2 n −1 HD Giải C22nn −1 + 102 n = C20n − 10C21n + 102 C22n − 103 C23n + ... − 102 n−1 C22nn−1 + C22nn 102 n = (1 − 10)2 n = 81n 1 17 b) B = 317 C170 − 4.316 C17 + 42.315 C172 − 43.314 C173 + ... − 417 C17 = (3 − 4)17 = −1 Bài 3.9. Cho khai triển (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . n Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó, biết rằng a0 + a1 + a2 + ... + an = 729 HD Giải Ta có: (1 + 2 x ) = C + 2C x + 2 C x + ... + 2 Cnn x n n 0 n 1 n 2 2 n 2 n Theo giả thiết, ta có: Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn = 729 ⇔ (1 + 2)n = 729 ⇔ n = 6 Số hạng thứ 5 là: T5 = C65 2 4 x 4 6  1  Bài 3.10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 x − 2  . x   HD Giải Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( 0 ≤ k ≤ 6 ) k  1  Tk +1 = C a b = C (2 x ) .  − 2  = C6k .26− k .(−1)k x 6−3k  x  Số hạng không chứa x là ( ta phải tìm k): 6 – 3k = 0, nhận k = 2. Vậy số hạng cần tìm là: T3 = C62 26− 2 (−1)2 = 240 k n n−k k k 6 6−k 18  1  Bài. 3.11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 + 3  . x   HD Giải k  1  Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( 0 ≤ k ≤ 18 ) Tk +1 = Cnk a n − k b k = C18k ( x 3 )18− k .  3  = C18k .x 54 −6 k x  Nếu Tk +1 không chứ x ( độc lập với x) thì ta có: 54 – 6k = 0, nhận k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = C189 Bài 3.12. Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( 1 + x ) 12? HD Giải Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( 0 ≤ k ≤ 12 ) Tk +1 = C12k (1)12 − k x k = C12k x k . Ta cần hệ số của x5 nên ta có: k = 5. Vậy hệ số cần tìm là: T6 = C125 = 729 Bài 3.13. Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 + 3x)n là 90. Hãy tìm n ? Đại số và Giải tích 11 19 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức : Tk +1 = Cnk (3 x )k .Vậy số hạng chứa x2 là T3 = Cn2 9.x 2 và theo đề bài ta có: Cn2 9 = 90 ⇔ Cn2 = 10 ⇔ n = 5 10  2 Bài 3.14. Tìm số hạng thứ năm trong khai triển  x +  , mà khai triển đó số mũ của x giảm dần. x  HD Giải k Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức : Tk +1 = C x k 10 10 − k 2   .Tìm số hạng thứ năm. Vậy ta có: x 4 4 10 − 4 10 T5 = C x 2 6 16 2   = 210.x . 4 = 3360 x x x Bài 3.15, Trong khai triển của (1 + ax ) ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là n 252x2. Hãy tìm a và n. HD Giải Ta có: (1 + ax ) = 1 + C ax + C a x + ... n 1 n 2 n 2 2  na = 24 Cn1 a = 24  na = 24 a = 3  Theo đề bài cho:  1 2 ⇒  n(n − 1)a 2 ⇒ ⇒ = 252 (n − 1)a = 21  n = 8 Cn a = 252   2 Bài 3.16. Tính hệ số của x12 y13 trong khai triển (x + y)25. HD Giải k 25− k k Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức : Tk +1 = C25 x y . Hệ số x12y13 ứng k = 13. 13 = 5200300 Tức là: C25 ( Bài 3.17. Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x 3 + xy ) 25 HD Giải Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức : Tk +1 = C15k ( x 3 )15− k ( xy)k = C15k x 45− 2 k y k . 10 Hệ số x 25 y10 , ứng k = 10. Tức là: C15 = 3003 n  1  Bài 3.18. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  3 + x 5  , biết rằng x  n +1 n Cn + 4 − Cn +3 = 7(n + 3) 8 Theo hằng đẳng thức Pa-xcan ta có Cnn++41 − Cnn+3 (n + 3)(n + 2) = 14(n + 3) ⇒ n = 12 HD Giải (n + 3)! (n + 3)(n + 2) = Cnn++31 = = . Suy ra (n + 1)!2! 2 5k Số hạng thứ k trong khai triển của biểu thức đã cho là Tk +1 = C12k x −3(12 − k ) .x 2 . Hệ số của số hạng thứ x8, tương ứng −3(12 − k ) + 5k = 8 ⇒ k = 8 . Vậy số hạng cần tìm là : C128 .x 8 2 Bài 3.19. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của: x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) 5 10 HD Giải Hệ số của x trong khai triển của x (1 − 2 x ) là (−2)4 .C54 5 5 Hệ số của x5 trong khai triển của x 2 (1 + 3 x ) là 33.C103 10 Đại số và Giải tích 11 20 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Vậy hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) là (−2)4 .C54 + 33.C103 = 3320 5 10 Bài 3.20. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 2 + x ) , biết: n 3n Cnn − 3n −1 Cnn−1 + 3n −2 Cnn− 2 − 3n−3 Cnn −3 + ... + (−1)n Cnn = 2048 Ta có: 3 C − 3 C n n −1 n n n −1 n +3 n −2 C n−2 n −3 n−3 C n −3 n HD Giải + ... + (−1)n Cnn = (3 − 1)n = 2 n . Nên 2 n = 2048 ⇒ n = 11 . Hệ số của x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn ( 2 + x ) 11 10 1 là C11 2 = 22 18  1  Bài 3.21. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thừc Niu-tơn của  2 x +  5 x  HD Giải ,( x > 0) 18  1  Số hạng tổng quát trong khai triển Niu-tơn của  2 x +  5 x  15 18 Tk +1 = C 18 − (2x ) 18− k là k 6k 18−  1  . = C18k .218− k .x 5 . Số hạng không chứa x ứng với k thảo mãn:  5  x 6k 15 3 = 0 ⇔ k = 15 . Vậy số hạng cần tìm là T16 = C18 .2 = 6528 5 13  1  Bài 3.22. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn sau:  x −  3 x  a) Tìm số hạng thứ 4, thứ 5 của khai triển b) Tìm số hạng chứa với số mũ tự nhiên HD Giải Ta có, số hạng tổng quát thứk + 1 của khai triển Tk +1 = C k 13 Tk +1 = C13k .x (x) 13− k k  1   3  , k ∈ ℕ,0 ≤ k ≤ 13  x 39 − 4 k 3 a) Số hạng thứ 4 của khai triển là: T4 = C133 .x 9 23 Số hạng thứ 5 của khai triển là: T5 = C134 .x 3 b) Để Tk +1 chứa x với số mũ tự nhiên thì: (39 − 4k )⋮ 3 4k ⋮ 3 k ⋮ 3 39 − 4k  ∈ℕ ⇔  ⇔ ⇒ k = 0,3,6,9 39 ⇔  3 0 ≤ k ≤ 9 0 ≤ k ≤ 9 0 ≤ k ≤  4 Do đó các số hạng cần tìm là: T1 = C130 .x13 ; T4 = C133 .x 9 ; T7 = C136 .x 5 ; T10 = C139 .x Bài 3.23. a) Tìm số hạng của khai triển nhị thức Niu-tơn sau: ( 3+ 3 2 ) 9 là một số nguyên n  1 b) Tính A nếu biết số hạng thứ 6 của khai triển  3 x +  không phụ thuộc vào x. x  HD Giải 2 n a) Số hạng thứ k + 1 của khai triển: Tk +1 = C9k Đại số và Giải tích 11 ( ) ( ) 3 9−k 21 3 2 k = C9k .3 9− k 2 k .2 3 , k ∈ ℤ,0 ≤ k ≤ 9 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 Để Tk +1 là số nguyên thì GV. Lư Sĩ Pháp k = 1,3,5, 7,9 . Vậy: k = 3 và k = 9.  k = 0,3,6,9 9−k k ∈ ℤ và ∈ ℤ . Suy ra 2 3 Với k = 3, số hạng cần tìm là T4 = C93 .33.2 = 4536 Với k = 9, số hạng cần tìm là T10 = C99 .30.23 = 8 b) Số hạng thứ 6 của khai triển là: T6 = C 5 n ( x) 3 n−5 5 n − 20 1 5 3   = C9 .x x n − 20 2 = 0 ⇒ n = 20 . Vậy : An2 = A20 = 380 3 Bài 3.24. Cho đa giác đều có 2n cạnh A1 A2 … A2 n ( n ≥ 2 , n nguyên) nội tiếp trong một đường tròn. Biết Vì T6 không phụ thuộc vào x nên rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm A1 , A2 ,…, A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh lấy trong 2n điểm A1 , A2 ,…, A2 n . Tìm n . HD Giải Số tam giác thoả mãn ycbt là C23n tam giác. Số đường chéo qua tâm đường tròn là n, cứ hai đường chéo qua tâm thì có 1 hình chữ nhật. Suy ra, có Cn2 hình chữ nhật Từ đó ta có phương trình C23n = 20. Cn2 . Suy ra n = 8. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.25. Tính hệ số của x101 y 99 trong khai triển ( 2 x − 3y ) 200 101 101 99 . (Đs: −C200 2 3 ) Bài 3.26. Tính hệ số của x 5 y 8 trong khai triển ( x + y ) . (Đs: 1287) 13 Bài 3.27. Tính hệ số của x 7 trong khai triển (1 + x ) . (Đs: 330 ) 11 Bài 3.28. Tính hệ số của x 9 trong khai triển ( 2 − x ) . (Đs: – 94 595072 ) 9 Bài 3.29. Tính hệ số của x 7 trong khai triển ( 3 − 2x ) . (Đs: −C157 3827 ) 15 Bài 3.30. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển (1 − 2 x ) ? (Đs: 8064) 10 11 Bài 3.31. Tìm hệ số của x 3  1 trong khai triển  x +  ? (Đs: 330) x  n Bài 3.32. Biết rằng hệ số của x n−2  1 trong khai triển  x −  bằng 31. Tìm n.(Đs: n = 32) 4  Bài 3.33. Tính hệ số của x 8 y 9 trong khai triển ( 3 x + 2 y ) . (Đs: C178 3829 ) 17 3n  1  Bài 3.34. Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức  x + 2  là 64. Tìm số hạng của khai triển không x   2 chứa x. ( ĐS: n = 2, k = 2; T3 = C6 ) n 3  x Bài 3.35. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức  x 2 x +  bằng 36. Tính số  x   6   3  3  x 6 2 3  hạng thứ 7. ÑS : n = 9, T7 = C9 x x .   = 84 x x   x        ( Đại số và Giải tích 11 ) 22 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Biến cố a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: – Kết quả của nó không đoán được – Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xãy ra của phép thử đó – Phép thử thường được kí hiệu bởi T Tập hợp tất cả các kết quả có thể xãy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô-mê-ga). Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu Ω là tập hữu hạn. b. Biến cố – Với tập con A của Ω được gọi là một biến cố. – Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A – Tập hợp các kết qủa thuận lợi cho A được kí hiệu là Ω A . Khi đó ta nói biến cố A được mô tả bởi tập Ω A . Tập O được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không). Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. 2. Xác suất của biến cố. a. Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là tập hữu hạn và các kết qủa của T là đồng khả năng xảy ra. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và Ω A là tập các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất – của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức P( A) = ΩA Ω – 0 ≤ P ( A) ≤ 1 – P(Ω) = 1, P( O ) = 0 b. Định nghĩa thống kê của xác suất. – Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tận số của A trong N lần thực hiện phép thử T – Tỉ số giữa tận số của A với số N được gọi là tần xuất của A trong N lần thực hiện phép thử T Phương pháp tính xác suất Bước 1. Mô tả không gian mẫu. Kiểm tra tính hữu hạn của Ω , tính đồng khả năng của các kết quả Bước 2. Đặt tên cho các biến cố bằng các chữ cái A, B,… Bước 3. Xác định các tập con A, B,… của không gian mẫu. Tính n ( A ) , n ( B ) ,… Bước 4. Tính P ( A ) = n ( A) n (Ω) , P (B) = n(B) n (Ω) ,… B. BÀI TẬP Bài 4.1. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn b) Chia hết cho 3 c) Lẻ và chia hết cho 3 HD Giải Không gian mẫu Ω = {1,2,3,…,20} , n(Ω) = 20 . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với câu a), b), c) a) A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} , n( A) = 10 ⇒ P( A) = b) B = {3,6,9,12,15,18} , n(B ) = 6 ⇒ P(B ) = Đại số và Giải tích 11 1 2 3 10 23 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 20 Bài 4.2. Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo hai lần. Tính xác suất sao cho: a) A: “Tổng số chấm của hai lần gieo là 6” b) B: “Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm” c) C: “Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau” d) D: “Tồng số chấm của hai lần gieo là 8” e) E: “Tổng số chấm của hai lần gieo là chẵn” HD Giải Không gian mẫu: Ω = {(i; j ) / 1 ≤ i; j ≤ 6} , n(Ω) = 36 c) C = {3,9,15} , n(C ) = 3 ⇒ P(C ) = a) A = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} , n( A) = 5 ⇒ P ( A) = 5 36 b) B = {(1,1),(1,2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} , n( B) = 11 ⇒ P( B) = c) C = {(1,1),(2,2),(3,3),(4, 4),(5,5),(6,6)} , n(C ) = 6 ⇒ P(C ) = d) D = {(2,6),(3,5),(4, 4),(5,3),(6,2)} , n( D ) = 5 ⇒ P(D ) = 11 36 1 6 5 36 e) (1,1),(2,2),(3,3),(4, 4),(5,5),(6,6),(1,3),(3,1),(1,5),(2, 4),(4,2),(5,1),(2,6),(3,5), E=  (5,3),(6,2),(4,6),(6, 4)  1 2 Bài 4.3. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh có tên trong danh sách được đánh số thứ tự từ 001 đến 199. Tính xác suất để 5 học sinh này có số thứ tự: a) Từ 001 đến 099. b) Từ 150 đến 199. HD Giải 5 Ta có: n(Ω) = C199 a) Gọi A là biến cố: ”Chọn 5 học sinh có số thứ tự 001 đến 099” C5 5 Suy ra n( A) = C99 . Vậy P( A) = 599 ≈ 0,029 C199 b) Gọi B là biến cố: “Chọn 5 học sinh có số thứ tự 150 đến 199” C5 5 Suy ra n(B ) = C50 . Vậy P(B ) = 550 ≈ 0,0009 C199 n( E ) = 18 ⇒ P( E ) = Bài 4.4. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. a) Mô tả không gian mẫu; b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A; c) Tính xác suất của A; d) Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4. HD Giải a) Không gian mẫu Ω = {1,2,3,…,50} b) Ω A = {2,3,5, 7,11,13,17,19,23,29,31,37, 41,43, 47} c) P( A) = 15 = 0,3 50 d) Gọi B là biến cố “ số được chọn nhỏ hơn 4”. Ta có P(B ) = Đại số và Giải tích 11 24 3 = 0, 06 50 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 4.5. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để: a) Số được chọn là số nguyên tố; b) Số được chọn chia hết cho 3; HD Giải a) Gọi A là biến số “ số được chọn là số nguyên tố”. Ta có Ω A = {2,3,5, 7} và P( A) = 4 = 0,5 8 2 = 0,25 8 Bài 4.6. Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 ( chính xác đến hàng phần nghìn). HD Giải Gọi A là biến cố “5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10” 5 Không gian mẫu Ω = C20 . Kết quả thuận lợi của biến cố A là Ω A = C105 b) Gọi B là biến cố “ số được chọn chia hết cho 3”. Ta có Ω B = {3,6} và P(B ) = Vậ y P ( A ) = C105 5 C20 ≈ 0, 016 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4.7. Danh sách lớp của Nguyên được đánh số từ 1 đến 30. Nguyên có số thứ tực là 12. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. a) Tính xác suất để Nguyên được chọn b) Tính xác suất để Nguyên kkhông được chọn c) Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Nguyên được chọn Bài 4.8. Gieo hai con súc sắc cân đối a) Mô tả không gian mẫu b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiên của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi của A. Tính P(A). c) Cũng hỏi như trên cho các biến cố B: “có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C: “ có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Bài 4.9. Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2. Bài 4.10. Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong bốn quả cầu đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. Đại số và Giải tích 11 25 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Quy tắc cộng xác suất a. Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, . . ., Ak. Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, . . ., Ak xảy ra”, kí hiệu là A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak được gọi là hợp của k biến cố đó. b. Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. c. Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến A và B xung khắc thì xác suất của A hoặc của B xảy ra là P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, . . ., Ak đôi một xung khắc. Khi đó P ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + … + P ( Ak ) d. Biến cố đối Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố không xảy ra A, kí hiệu A gọi là biến cố đối của A ( ) Xác suất của biến cố đối A là P A = 1 − P( A) . Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau. 2. Quy tắc nhân xác suất a. Biến cố giao Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B. Nếu Ω A và Ω B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là Ω A ∩ Ω B b. Biến cố độc lập Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xãy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độc lập với nhau. c. Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P( A.B) = P( A).P (B) Nếu P ( AB ) ≠ P ( A)P (B) thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau. B. BÀI TẬP Bài 5.1. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định các biến cố sau: A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm” B: “ Xuất hiện mặt lẻ chấm” C: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3” c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc. HD Giải a) Không gian mẫu Ω = {1,2,3, 4,5,6} b) Ta có A = {2,4,6} ; B = {1,3,5} ; C = {3, 4,5,6} c) Các biến cố A và B là xung khắc, vì A ∩ B = O Bài 5.2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm, Đại số và Giải tích 11 26 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 được thay vào phương trình bậc hai: x + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho: a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình vô nghiệm c) Phương trình có nghiệm nguyên HD Giải Không gian mẫu Ω = {1,2,3, 4,5,6} , n(Ω) = 6 Kí hiệu A, B, C lần lượt là các biến cố tương ứng với các câu a), b), c). Ta thấy phương trình bậc hai x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b 2 − 8 ≥ 0 . Do đó: 2 a) A = b ∈ Ω / b2 − 8 ≥ 0 = {3, 4,5,6} , n( A) = 4 ⇒ P( A) = 3 1 b) Vì B = A nên P(B ) = P ( A) = 1 − P ( A) = 3 1 c) C = {3} , n(C ) = 1 ⇒ P(C ) = 6 Bài 5.3. Kết quả (b, c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: x2 + bx + c = 0. Tính xác suất để: a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có nghiệm kép c) Phương trình có nghiệm HD Giải Không gian mẫu: Ω = {(b; c) / 1 ≤ b; c ≤ 6} , n(Ω) = 36 . Kí hiệu A, B, C là các biến cố cần tìm xác suất ứng { } với các câu a), b), c). Ta có: ∆ = b2 − 4c { } { } a) A = (b, c) ∈ Ω / b 2 − 4c < 0 = {(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,2),...,(2,6),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)} b) B = (b, c) ∈ Ω / b2 − 4c = 0 = {(2,1),(4, 4)} , n(B) = 2 ⇒ P (B) = n( A) = 17 ⇒ P( A) = 17 36 1 18 17 19 = 36 36 Bài 5.4. Một hộp đựng 10 quả cầu đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu A là biến cố:”Quả lấy ra màu đỏ”, B là biến cố: “Quả lấy ra ghi số chẵn”. Hỏi A và B có độc lập không ? HD Giải Kí hiệu A là biến cố :”Quả lấy ra màu đỏ”, B là biến cố: “Quả lấy ra ghi số chẵn” Khômg gian mẫu: Ω = {1,2,3, 4,5,6, 7,8,9,10} , n(Ω) = 10 c) Ta có C = A ⇒ P (C ) = P( A) = 1 − 3 1 , B = {2, 4,6,8,10} , n(B ) = 5 ⇒ P(B ) = 5 2 3 A ∩ B = {2, 4,6} , n( A ∩ B) = 3 ⇒ P( A ∩ B) = 10 3 3 1 Mặt khác: P( AB) = = . = P( A).P (B) . Vậy A, B độc lập với nhau. 10 5 2 Bài 5.5 Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫy nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho: a) Cả hai quả đều đỏ b) Hai quả cùng màu c) Hai quả khác màu HD Giải Kí hiệu A: “Quả lấy từ hộp thứ nhất màu đỏ” A = {1,2,3, 4,5,6} , n( A) = 6 ⇒ P( A) = Đại số và Giải tích 11 27 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Kí hiệu B: “Quả lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” Kí hiệu C: “Hai quả lấy ra cùng màu” Kí hiệu D: “Hai quả lấy ra khác màu” Không gian mẫu là kết quả của hai hành đồng lấy quả từ hai hộp liên tiếp. Theo qui tắc nhân: n(Ω) = 50 và A, B độc lập nhau Ta có: A ∩ B : “Quả lấy ra từ hai hộp cùng màu đỏ” và A ∩ B : “Quả lấy ra từ hai hộp cùng màu xanh” 3 4 a) Cần tính P( A ∩ B) = P( A).P( B) = . = 0,24 5 10 n( A ∩ B) 12 (Cách khác: Theo qui tắc nhân ta có: n( A ∩ B ) = 3.4 =12 ⇒ P( A ∩ B ) = = = 0,24 ) n(Ω) 50 b) Từ trên suy ra: C = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) , n( A ∩ B) = 12 ( ) P(C ) = P ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) = n( A ∩ B) n( A ∩ B ) 12 12 + = + = 0, 48 n(Ω) n(Ω) 50 50 c) Dễ thấy D và C là hai biến cố đối nhau, nghĩa là D = C ⇒ P(D ) = P(C ) = 1 − 0,48 = 0,52 Bài 5.6. Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất sao cho: a) Hai bi lấy ra cùng màu b) Hai bi lấy ra khác màu HD Giải Kí hiệu A: “Bi lấy ra từ túi phải có màu đỏ”, B: “Bi lấy ra từ túi trái có màu đỏ”, C: “Hai bi lấy ra cùng màu” và D: “Hai bi lấy ra khác màu” Không gian mẫu là kết quả của hai hành đồng lấy quả từ hai hộp liên tiếp. Theo qui tắc nhân: n(Ω) = 5.9 = 45 và A, B độc lập nhau Ta có: A ∩ B : “Bi lấy ra từ hai túi phải và túi trái cùng màu đỏ” và A ∩ B : “ Bi lấy ra từ hai túi phải và túi trái cùng màu xanh” a) C = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) , Hiển nhiên ( A ∩ B) ∩ ( A ∩ B ) = O và n( A ∩ B ) = 3.4 =12 , ( ) n( A ∩ B ) n( A ∩ B) 12 10 22 + = + = n(Ω) n(Ω) 45 45 45 22 23 b) Dễ thấy D và C là hai biến cố đối nhau, nghĩa là D = C ⇒ P(D ) = P(C ) = 1 − = 45 45 Bài 5.7. Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào ngồi 4 ghế sắp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho: a) Các bạn lớp A ngồi cạnh nhau b) Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau HD Giải Giả sử hai bạn lớp A được đánh số 1, 2 và hai bạn lớp B được đánh số 3, 4. Kết quả xếp chỗ tương ứng với một hoán vị của tập B = {1,2,3, 4} . Như vậy số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = P4 = 4! = 24 n( A ∩ B) = 2.5 = 10 . P(C ) = P ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) = Kí hiệu: C là biến cố: “Hai bạn lớp A ngồi cạnh nhau” D là biến cố: “Hai bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau” a) Đầu tiên xếp hai bạn lớp A ngồi vào hai ghế liền nhau, có 2.3 = 6 cách , sau đó xếp hai bạn lớp B vào 2 ghế còn lại có 2 cách. Theo qui tắc nhân ta có n(C) = 6.2 = 12 và P(C) = 0,5 b) Đầu tiên xếp bạn A ngồi ở vị trí thứ nhất, chẳng hạn từ bên trái: có 2!.2! cách xếp bốn bạn ngồi xen kẽ. Sau đó xếp bạn lớp B ngồi vị trí thứ nhất. Ta cũng có 2!.2! cách ngồi xen kẽ. Vậy n(D) = 2. 2!.2! = 8 do 1 đó: P(D) = 3 Bài 5.8. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho: a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán c) Ít nhất một quyển sách Toán Đại số và Giải tích 11 28 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải Không gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 9 quyển sách nên n(Ω) = C93 = 84 . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng câu a), b), c) a) Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại sách một quyển). Vậy n(A) = 2 4.3.2 = 24 và P( A) = 7 1 b) Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên n( B) = C43 ⇒ P( B) = 21 c) Gọi C là biến cố: “Trong ba quyển không có quyển sách Toán nào”, ta có: n(C ) = C53 = 10 và 10 37 = 84 42 Bài 5.9. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn. HD Giải Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là: C = A ∪ B . Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P(C ) = P( A ∪ B) = P( A) + P(B) . Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta P(C ) = 1 − P(C ) = 1 − có: P( A) = C51C41 C92 = C2 20 6 20 6 13 ; P (B ) = 42 = . Vậy P(C ) = P ( A ∪ B ) = + = 36 36 36 18 C9 36 Bài 5.10. Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. a) Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu b) Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu. HD Giải a) Gọi A là biến cố: “Chọn được hai viên bi xanh”, B là biến cố “Chọn được hai viên bi đỏ” và C là biến cố: “Chọn được 2 viên bi vàng”. D là biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” Theo đề bài, ta có D = A ∪ B ∪ C và các biến cố A, B, C đôi một xung khắc. Vậy P(D ) = P( A ∪ B ∪ D ) = P ( A) + P( B) + P(C ) Mặt khác, ta có: P( A) = C42 C92 = C2 C2 6 3 1 ; P( B) = 32 = ; P(C ) = 22 = 36 C9 36 C9 36 Vậy: P(D ) = P( A ∪ B ∪ D ) = P ( A) + P( B) + P (C ) = 6 3 1 5 + + = 36 36 36 18 5 13 = 18 18 Bài 5.11. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tìm xác suất để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu ? HD Giải Gọi A là biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B là biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”, C là biến cố: “ Một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu”. b) Biến cố: “Chọn được hai viên bi khác màu” chính là biến cố D . Vậy P(D ) = 1 − P (D ) = 1 − Khi đó ta có: C = AB ∪ AB và hai viên đạn bắn độc lập nhau. Vậy : P(C ) = P( AB ∪ AB) = P ( A).P(B ) + P(B ).P( A) = 0,6.0, 4 + 0, 4.0,6 = 0, 48 Bài 5.12. Ba người đi săn A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5. a) Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ kia bắn trượt. b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng HD Giải a) Gọi H là biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ kia bắn trượt”. Ta có P(H ) = P( A)P( B)P(C ) = (0, 7)(0, 4)(0,5) = 0,14 Đại số và Giải tích 11 29 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Gọi K là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng”. Ta có: P(K ) = P( A)P (B)P(C ) = (0,3)(0,4)(0,5) = 0, 06 Vậy xác suất cần tìm là : P(K ) = 1 − P(K ) = 0,94 Bài 5.13. Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. HD Giải 4 Ta có: n( Ω )= C10 = 210 Số cách chọn 4 quả cầu toàn đỏ là 1. Số cách chọn 4 quả cầu toàn xanh là C64 = 15. Gọi A là biến cố: ”Chọn 4 quả cầu có cả quả màu đỏ và xanh” 194 Suy ra: n( A) = 210 – 15 – 1 = 194. Vậy P( A) = 210 Bài 5.14. Xác suất để làm thí nghiệm thành công là 0,4. Một nhóm 5 học sinh, mỗi học sinh độc lập với nhau tiến hành cùng thí nghiệm trên. a) Tính xác suất để cả nhóm không có ai làm thí nghiệm thành công. b) Tính xác suất để ít nhất có một học sinh trong nhóm làm thí nghiệm thành công (tính chính xác đến hàng phần trăm). HD Giải a) Xác suất để một học sinh trong nhóm làm thí nghiệm không thành công là 1 – 0,4 = 0,6. Theo qui tắc nhân xác suất, xác suất để cả nhóm (5 HS) không có ai làm thí nghiệm thành công là : ( 0,6 ) ≈ 0, 08 5 b) Xác suất cần tìm là 1 − ( 0,6 ) ≈ 0,92 5 Bài 5.15. Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Tính xác suất để có đúng hai lần xuất. hiện mặt 6 chấm. HD Giải Gọi A là biến cố “lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”, C là biến cố “ lầm gieo thứ ba xuất hiện mặt 6 chấm” H là biến có “ có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm” ( ) () ( ) 1 5 15 Ta có: P( A) = P(B) = P(C ) = ; P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = . Vậy P(H ) = 6 6 216 Khi đó: P(H ) = P ( A ) P ( B ) P C + P ( A ) P B P ( C ) + P A P ( B ) P ( C ) Bài 5.16. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất để số trên vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5. HD Giải Gọi A là biến cố “ không có chữ số 1”; B là biến cố “ không có chữ số 5” Ta có P( A) = P(B ) = (0,9)5 và P( AB) = (0,8)5 Từ đó P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B) − P( AB) = 2.(0,9)5 − (0,8)5 = 0,8533 Bài 5.17. Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi i) Tính xác suất được hai viên bị đen ii) Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng b) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi trong túi i) Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ ii)Tính xác suất để được 3 viên bi với ba màu khác nhau HD Giải 2 a) Số trường hợp có thể xảy ra là: C16 i) Số trường hợp rút được hai viên bi đen là C62 . Vậy xác suất rút được hai viên bi đen là Đại số và Giải tích 11 30 C62 2 16 C = 1 8 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 7 1 6 ii) Số trường hợp rút được 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen là C .C = 42 . Vậy xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng là 42 7 = 2 C12 20 b) Số trường hợp có thể xảy ra là C163 1 1 = 3 C16 560 ii) Theo qui tắc nhân, ta có 7.6.3 = 126 cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau. Vậy xác suất rút được 3 126 9 viên bi có 3 màu khác nhau là 3 = C16 40 i) Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ là C33 = 1 . Vậy xác suất rút được 3 viên bi đỏ là Bài 5.18. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ năm thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Kí hiệu: A là biến cố “ Thẻ ghi số bé hơn 3 được chọn” B là biến cố “ thẻ ghi số chẵn chọn được” a) Mô tả không gian mẫu b) Liệt kê các phần tử của tập A và B c) Vì sao A và B không xung khắc d) Tính P( A), P( B), P( A ∩ B), P( A ∪ B) HD Giải a) Ω = {1,2,3, 4,5} b) A = {1,2} , B = {2, 4} c) A ∩ B = {2} nên A và B không xung khắc 2 1 3 = P(B ); P ( A ∩ B ) = , A ∪ B = {1;2; 4} , P ( A ∪ B ) = 5 5 5 Bài 5.19. Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9. HD Giải Giả sử T là phép thử “Gieo ba con súc sắc”. Kết quả của T là một bộ ba số (x; y; z) tương ứng là kết quả của việc giao com súc sắc thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Không gian mẫu của T có 6.6.6 = 216 phần tử. Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc là 9”. Ta có tập hợp các kết quả d) P( A) = { thuận lợi cho A là: Ω A = ( x; y; z) / x + y + z = 9,1 ≤ x , y, z ≤ 6, x , y, z ∈ ℕ * } Nhận xét: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3 Các tập {1; 2;6} ;{1;3;5} ;{2;3; 4} mỗi tập có 6 phần tử của Ω A , tập {1; 4; 4} ;{2;2;5} mỗi tập có 3 phần tử của Ω A và tập {3;3;3} có duy nhất một phần tử của Ω A Vậy Ω A = 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25 . Vậy P( A) = 25 216 Bài 5.20. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập {1,2,...,11} a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 b) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ HD Giải 3 Không gian mẫu Ω = C11 = 165 a) Gọi A là biến cố “tổng ba số được chọn là 12”. Khi đó, các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là 7 (1,2,9), (1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) và (3,4,5). Vậy P( A) = 165 b) Gọi B là biến cố “tổng ba số được chọn là số lẻ”. Tổng a + b + c lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc ba số có một số lẻ và hai số chẵn Ta có C63 = 20 cách chọn số lẻ từ tập số lẻ {1,3,5, 7,9,11} và có C61 .C52 = 60 cách chọn một số lẻ và Đại số và Giải tích 11 31 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 hai số chẵn. Vậy P(B ) = GV. Lư Sĩ Pháp 20 + 60 16 = 165 33 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5.21. Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi trong túi. Tính xác suất để: i) Lấy được viên bi đỏ ii) Lấy được cả ba viên bi không đỏ iii) Lấy được một viên bi trắng, một viên bi đỏ, một viên bi đen b) Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi trong túi. Tính xác suất để: i) Lấy được đúng một viên bi trắng ii) Lấy được đúng hai viên bi trắng c) Lấy ngẫu nhiên mười viên bi. Tính xác suất rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. Bài 5.22. Một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1,2, . . ., 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để: a) Tích nhận được là số lẻ. b) Tích nhận được là số chẵn. Bài 5.23. Một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1,2, . . ., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính xác suất để: a) Các thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút. b) Có đúng một trong ba thể ghi các số 1, 2, 3 được rút. c) Không thể nào trong ba thẻ ghi các số 1, 2, 3 được rút. Đại số và Giải tích 11 32 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào hai dãy ghế sao cho ghế đầu có 4 người và dãy sau có 3 người. HD Giải 4 Chọn 4 người để xếp vào 4 ghế ở đầu: có A7 cách. Còn 3 người xếp vào 3 ghế ở dãy sau: có 3! Cách Vậy có tấ cả A74 .3! = 5040 cách xếp Bài 2. Một câu lạc bộ có 30 thành viên a) Có bao nhiêu cách chọn 5 thành viên vào Uỷ ban thương trực ? b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ ? HD Giải 5 a) Số cách chọn 5 người vào Uỷ ban thường trực là C30 = 142506 b) Cần chọn 3 người giữ các chức vụ Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ. Số cách chọn là 3 A30 = 24360 Bài 3. Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập hợp đã cho ? HD Giải Cứ 4 điểm không đồng phẳng cho ta được một tứ diện. Vậy số tứ diện cần tìm C94 = 126 (tứ diện) 1  −1 − Bài 4. Trong khai triển của  a 6 b + b 6 3   21  a  , xác định số hạng mà luỹ thừa của a và b giống nhau.  HD Giải k − k k 2 Ta có số hạng tổng quát trong khai triển là Tk +1 = C21 b .a 6 .a Theo đề bài, ta có 42 − 3k = 4k − 21 . Suy ra k = 9 Bài 5. a) Giải bất phương trình 2C x2+1 + 3 Ax2 < 30 21− k 3 .b k − 21 6 k = C21 a 42 −3 k 6 .b 4 k − 21 6 b) Giải phương trình Ax10 + Ax9 = 9 Ax8 a) Điều kiện x ∈ ℕ, x ≥ 2 HD Giải 5 Ta có 2C x2+1 + 3 Ax2 < 30 ⇔ ( x + 1) x + 3 x( x − 1) < 30 ⇔ 4 x 2 − 2 x − 30 < 0 ⇔ − < x < 3 2 So với điều kiện, suy ra x = 2 b) Điều kiện x ∈ ℕ, x ≥ 10 . Ta có  x = 11 x! x! x! + = 9. ⇔ ( x − 9)( x − 8) + x − 8 = 9 ⇔ x 2 − 16 x + 55 = 0 ⇔  ( x − 10)! ( x − 9)! ( x − 8)! x = 5 So với điều kiện, suy ra x = 11 Bài 6. Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia nhẫu nhiên cho bạn Nguyên có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép. HD Giải 13 13 Số cách rút ra 13 con bài là C52 . Như vậy n ( Ω ) = C52 Ax10 + Ax9 = 9 Ax8 ⇔ Kí hiệu A: “Trong 13 con bài có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép”. 13! 13! Ta có n( A) = C134 .C93 .C63 = . Vậy P( A) = ≈ 0, 000002 2 13 4!(3!) 4!(3!)2 .C52 Bài 7. Chọn ngẫu nhiện một số tự nhiện bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó: a) Chia hết cho 3 b) Chia hết cho 5 HD Giải a) Các số chia hết cho 3 có dạng là 3k (k ∈ ℕ) . Ta phải có 3k ≤ 999 nên k ≤ 333 Đại số và Giải tích 11 33 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 334 = 0,334 1000 b) Các số chi hết cho 5 có dạng 5k (k ∈ ℕ ) . Ta phải có 5k < 1000 nên k < 200 Vậy có 334 số chi hết cho 3 bé hơn 1000. Suy ra P = 200 = 0,2 1000 Bài 8. Ba người đi săn A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là: 0,4; 0,3; 0,2. a) Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ kia bắn trượt. b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng HD Giải a) Gọi H là biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ kia bắn trượt”. Ta có Vậy có 200 số chia hết cho 5 bé hơn 1000. Suy ra P = P(H ) = P( A)P( B)P(C ) = (0, 4)(0, 7)(0,8) = 0,224 b) Gọi K là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng”. Ta có: P(K ) = P( A)P( B)P(C ) = (0,6)(0, 7)(0,8) = 0,336 Vậy xác suất cần tìm là : P(K ) = 1 − P( K ) = 0,664 Bài 9. Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C và D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của 1 2 4 5 các khẩu pháo trên tương ứng là: P( A) = , P( B) = , P(C ) = , P( D ) = . Tính xác suất để mục tiêu bị 2 3 5 7 trúng đạn. HD Giải Gọi H: “Các khẩu pháo bắn trượt mục tiêu”. Ta tính xác suất để mục tiêu không bị trúng đạn tức là khi cả 1 1 1 2 1 4 khẩu pháo đều bắn trượt. Ta có P(H ) = . . . = 2 3 5 7 105 1 104 Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là P H = 1 − P(H ) = 1 − = 105 105 Bài 10. Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. a) Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu b) Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu. HD Giải a) Không gian mẫu Ω có số phần tử là n(Ω) = C122 = 66 Gọi A là biến cố: “Chọn được hai viên cùng màu”. n( A) 19 = Ta có: n( A) = C52 + C42 + C32 = 19 . Vậy P ( A) = n(Ω) 66 ( ) b) Biến cố: “Chọn được hai viên bi khác màu” chính là biến cố A . 19 47 Vậ y P ( A ) = 1 − P ( D ) = 1 − = 66 66 Bài 11. Có ba hòm, mỗi hòm chứa 5 thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiện từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để: a) Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không lớn hơn 4? b) Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 6 ? HD Giải Không gian mẫu Ω = ( x , y, z) / 1 ≤ x ≤ 5,1 ≤ y ≤ 5,1 ≤ z ≤ 5; x , y, z ∈ ℕ* trong đó x , y , z theo thứ tự là số { } ghi trên thẻ rút ở hòm thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Ta có n ( Ω ) = 5.5.5 = 125 . a) Gọi A là biến cố “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không lớn hơn 4”. Khi đó A là biến cố “ Tổng ( ) số ghi trên ba tấm thẻ được chọn nhiều nhất là 3”. Khi đó Ω A = {(1,1,1)} nên n Ω A = 1 Đại số và Giải tích 11 34 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ( ) 1 = 0,992 125 b) Gọi B là biến cố “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 6” Vậy P( A) = 1 − P A = 1 − { Khi đó Ω B = ( x , y, z) / x + y + z = 6,1 ≤ x ≤ 5,1 ≤ y ≤ 5,1 ≤ z ≤ 5; x , y, z ∈ ℕ * } Ta có 6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 1 + 4 = 2 + 2 + 2 Tập {1,2,3} cho ta 6 phần tử của Ω B , tập {1,1, 4} cho ta 3 phần tử của Ω B , tập {2,2,2} chỉ cho duy 10 = 0, 08 125 Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5a6 , a1 ≠ 0, ai ≠ a j , i ≠ j; i, j = 1,6 và a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈ B = {0,1,...,9} nhất 1 phần tử của Ω B . Vậy n ( Ω B ) = 6 + 3 + 1 = 10 . Do đó P(B ) = Chọn một chữ số trong các chữ số {a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } để cho bằng 0 có 5 cách chọn Chọn 5 chữ số còn lại từ B {0,1} có A85 cách chọn Vậy số thoả mãn yêu cầu là: 5 A85 = 33600 (số). Bài 13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5a6 a7 , a1 ≠ 0, và a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ∈ B = {0,1,...,9} Xét trường hợp a1 tuỳ ý (có thể bằng 0) Chọn 2 vị trí xếp hai chữ số 2: có C72 cách chọn Chọn 3 vị trí xếp ba chữ số 3: có C53 cách chọn Còn hai vị trí, chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí này: có 2!.C82 Do đó, ta có C72 .C53 .2!C82 = 11760 (số) Xét trường hợp a1 = 0 Chọn 2 vị trí xếp hai chữ số 2: có C62 cách chọn Chọn 3 vị trí xếp ba chữ số 3: có C43 cách chọn Chọn một số xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách chọn Do đó có: C62 .C43 .7 = 420 (số) Vậy số thoả ycbt: 11760 – 420 = 11340(số). Bài 14. Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8, lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng n = a1a2 a3 ; ai ≠ a j ; i ≠ j; i, j = 1,3; a1 , a2 , a3 ∈ B = {1,2,5, 7,8} và n < 276 a = 1 , khi đó b, c lấy trong B {a} . Do đó có A42 = 12 (số) a = 2, b < 7 ⇒ b ∈ {1,5} và c ∈ B {a, b} . Do đó có 2. A31 = 6 (số) a = 2, b = 7 ⇒ c ∈ {1,5} . Do đó có 2 (số) Vậy số các số n thoả ycbt: 12 + 6 + 2 = 20(số) Bài 15. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số gỗm 4 chữ số khác nhau ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng n = a1a2 a3 a4 ; ai ≠ a j ; i ≠ j; i, j = 1,4; a1 , a2 , a3 , a4 ∈ B = {0,1,2, 4,...,9} Số cách chọn a4 có 2 cách chọn Đại số và Giải tích 11 35 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 9 Số cách chọn a1, a2 , a3 có A cách chọn Vậy có 2A93 số có 4 chữ số chia hết cho 5 (kể cả trường hợp a1 = 0 ) Số trường hợp a1 = 0 là A92 Vậy số cần tìm thoả yêu cầu bài toán là: 2 A93 − A92 = 952 (số) Cách khác: Giải theo quy tắc đếm. Bài 16. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điểu kiện: Sáu chữ số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ? HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5a6 ; ai ≠ a j ; i ≠ j; i, j = 1,6; ai ∈ B = {1,2,3, 4,5,6} Điều kiện: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 − 1 . Vì 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Vậy suy ra a1 + a2 + a3 = 10 hiển nhiên a4 + a5 + a6 = 11 Ta có các trường hợp sau xảy ra: {1,3,6} vaø {2,4,5} . Ta coù : 3!.3! = 36 soá {1, 4,5} vaø {2,3,6} . Ta coù : 3!.3! = 36 soá {2,3,5} vaø {1, 4,6} . Ta coù : 3!.3! = 36 soá Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 + 36 = 108 số cần tìm. Bài 17. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. HD Giải Gọi số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5a6 ; ai ≠ a j ; i ≠ j; i, j = 1,6; ai ∈ B = {1,2,3, 4,5,6, 7,8,9} Theo đề bài, ta có a3 + a4 + a5 = 8 , suy ra a3 , a4 , a5 ∈ {1,2,5} hay a3 , a4 , a5 ∈ {1,3,4} Trường hợp: a3 , a4 , a5 ∈ {1,2,5} Số cách chọn a3 , a4 , a5 có 3! = 6 cách chọn Số cách chọn a1 , a2 , a6 có A63 cách chọn Vậy có 6. A63 = 720 (số) Trường hợp: a3 , a4 , a5 ∈ {1,3, 4} , thực hiện giải tương tự, ta có 720 (số) Vậy có 720 + 720 = 1440 số cần tìm. Bài 18. Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em học sinh được chọn ? HD Giải Số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là C188 = 43758 cách Trong 43758 cách chọn bất kì trên bao gồm: Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 11 là C138 Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 10 là C128 Số cách chọn 8 học sinh từ khối 10 và 11 là C118 ( ) Vậy số cách chọn thoả yêu cầu bài toán là: C188 − C138 + C128 + C118 = 41811 (cách chọn) Bài 19. Giả sử có khai triển (1 − x ) + x (1 + x ) n n −1 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n Biết a0 + a1 + a2 + ... + an = 512 . Hãy tính hệ số a3 HD Giải Đại số và Giải tích 11 36 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Từ giả thiết chọn x = 1 ⇒ 2 Với n = 10 , ta có (1 − x ) 10 n −1 = a0 + a1 + a2 + ... + an = 512 ⇒ n = 10 1 10 + x (1 + x ) = C100 − C10 x + C102 x 2 − C103 x 3 ... + C10 + C90 x + C91 x 2 + C92 x 3 + ... + C99 x10 9 Từ đó suy ra a3 = −C103 + C92 = −84 Bài 20. Gọi a1 , a2 ,..., a11 là các hệ số trong khai triển sau: ( x + 1) 10 ( x + 2) = x 11 + a1 x10 + a2 x 9 + ... + a11 . Hãy tính hệ số a5 HD Giải 10 Ta có ( x + 1) = C x + C x + C x + C x + C104 x 6 + C105 x 5 + ... + C109 x + C10 10 Suy ra ( x + 1) 10 0 10 10 1 10 9 2 10 ( x + 2 ) = ... + C 5 10 8 3 10 7 + 2C104  x 6 + ... Vậy a5 = C105 + 2C104 = 672 n Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa x 26  1  trong khai triển  4 + x 7  , biết rằng x  C21n +1 + C22n+1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 0 2 n +1 Từ giả thiết, ta có C +C 1 2 n +1 2 2 n +1 +C HD Giải + ... + C = 220 n 2 n +1 (1) Vì C2kn +1 = C22nn++11− k , ∀k , 0 ≤ k ≤ 2n , nên C20n +1 + C21n+1 + C22n +1 + ... + C2nn+1 = 1 0 C2 n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 2 ( Từ khai triển nhị thức Niu-tơn của (1 + 1) ) (2) 2 n +1 suy ra C20n +1 + C21n+1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 = 22 n+1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 22 n = 220 ⇔ n = 10 10 n n k 10 − k  1  Ta có  4 + x 7  = ∑ C10k x −4 x 7 = ∑ C10k x11k − 40 k =0 k =0 x  26 k Hệ số của x là C10 thoả mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 ( ) ( ) Vậy hệ số của x 26 là : C106 = 210 Bài 22. Cho khai triển nhị thức: n n n −1 n −1 n x  x2−1  − 3x   x2−1   x2−1   − 3x   x2−1   − 3x  −  0 1 n −1 n 3 2 + 2 = C 2 + C 2 2 + ... + C 2 2 + C           n  n n n     2                3 1 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn = 5Cn và số hạng thứ tư bằng 20 n . Tìm x , n HD Giải n ∈ ℤ + , n ≥ 3 +  n ℤ , n 3 ∈ ≥   Ta có Cn3 = 5Cn1 ⇔  ⇔ n = 7 ⇔n=7 (n − 2)(n − 1) = 30   n = −4   x −1  Và T4 = C  2 2    Vậy n = 7, x = 4 3 7 4  − 3x   x2−1  3 2 = 20 n ⇔ C   7   2      4  − 3x  x −2  2  = 140 ⇔ 2 = 4 ⇔ x = 4   Bài 23. Tìm số nguyên dương n : Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2 n Cnn = 243 HD Giải Đại số và Giải tích 11 37 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Từ khai triển: (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n .Ta chọn x = 2 ta được n (1 + 2 ) n = 3n = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2 n Cnn . Do đó Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2 n Cnn = 243 ⇔ 3n = 35 ⇔ n = 5 Vậ y n = 5 Bài 24. Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn −2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 Điêu kiện n ≥ 3 và n ∈ ℕ . Ta có HD Giải ( ) Cn2Cnn −2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 ⇔ Cn2 ⇔ Cn2 + Cn3 = 10 ⇔ Vậ y n = 4 2 ( ) + 2Cn2Cn3 + Cn3 2 ( = 100 ⇔ Cn2 + Cn3 ) 2 = 100 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) + = 10 ⇔ (n − 1)n(n + 1) = 3.4.5 ⇒ n = 4 2 6 Bài 25. Với n là số nguyên dương, gọi a3n −3 là hệ số của x 3n −3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 ) ( x + 2) +1 n n . Tìm n để a3 n −3 = 26n HD Giải ( ) ( x + 2) = ∑ C x Ta có x 2 + 1 n n n k =0 k n 2 n −2 k n ∑C h=0 h n n n x n− h 2 h = ∑∑ Cnk Cnh 2h x 3n −(2 k + h ) k =0 h=0  k = 1, h = 1 Từ giả thiết, ta suy ra 2k + h = 3 ⇔   k = 0, h = 3 1 1 3 0 3 Từ đó suy ra: a3 n−3 = 2CnCn + 2 Cn Cn = 26n ⇒ n = 5 Vậ y n = 5 Bài 26. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của 1 + x 2 (1 − x )  HD Giải Ta có 1 + x 2 (1 − x )  = C80 + C81 x 2 (1 − x ) + C82 x 4 (1 − x ) + C83 x 6 (1 − x )   8 2 + C84 x 8 (1 − x ) + ... + C88 x 16 (1 − x ) 4 8 3 8 Số hạng chứa x 8 trong khai triển trên chỉ có trong C83 x 6 (1 − x ) và C84 x 8 (1 − x ) 3 4 Suy ra hệ số của x 8 là 3C83 + C84 = 238 Bài 27. Tìm n là số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3 + 2Cnn −2 ≤ 9 n HD Giải Bất phương trình An3 + 2Cnn −2 ≤ 9 n , có điều kiện n ≥ 3, n ∈ ℕ (*) An3 + 2Cnn −2 ≤ 9n ⇔ n! 2.n ! + ≤ 9n ⇔ n(n − 1)(n − 2) + n(n − 1) ≤ 9n (n − 3)! (n − 2)!2! ⇔ n 2 − 2 n − 8 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ n ≤ 4 Từ (*), suy ra n = 3, n = 4 Bài 28. Giả sử n là số nguyên dương và (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ... + an x n . Biết rằng tồn tại n số k nguyên( n ≤ k ≤ n − 1 ) sao cho : ak −1 ak ak +1 . Hãy tính n = = 2 9 24 HD Giải Ta có (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ... + an x n n Và Đại số và Giải tích 11 38 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp k −1 n C C =  ak −1 ak ak +1 C C C  9 = = ⇔ = = ⇔  2k k +1 2 9 24 2 9 24  Cn = Cn  9 24  2n + 2 k = 11 2(n − k + 1) = 9k ⇔ ⇔ ⇔ 3n − 8 = 2 n + 2 ⇔ n = 10 3(n − k ) = 8(k + 1) k = 3n − 8  11 k −1 n k +1 n k n k n Bài 29. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển đa thức ( 2 − 3 x ) , trong đó n nguyên dương thoả mãn: 2n C21n +1 + C23n+1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024 2 n +1 Ta có (1 + x ) 0 2 n +1 =C +C 1 2 n +1 HD Giải x + ... + C22nn++11 x 2 n +1 2 2 2 n +1 x +C Chọn x = 1 ta được: (1 + 1)2 n +1 = 22 n+1 = C20n +1 + C21n+1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 (1) Chọn x = −1 ta được: (1 − 1)2 n +1 = 0 = C20n+1 − C21n+1 + C22n +1 − ... − C22nn++11 (2) ( Lấy (1) – (2) ⇒ 22 n +1 = 2 C21n+1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 ) Suy ra: 22 n = 210 ⇔ 2n = 10 Ta có: ( 2 − 3x ) có số hạng khai triển tổng quát: Tk +1 = C10k (−1)k 210− k ( 3 x ) 10 k Hệ số của x 7 ứng với k = 7. Vậy hệ số của x 7 là −C107 37 23 = −2099520 Bài 30. Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ) . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1;2;3;...; n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. HD Giải Theo bài toán, ta có: n! n! Cn4 = 20Cn2 ⇔ = 20 ⇔ (n − 3)(n − 2) = 20.12 ⇒ n = 18 (Vì n ≥ 4 ) 4!(n − 4)! 2!(n − 2)! C18k ≥ C18k +1 k C18 lớn nhất ⇔  k ⇒ k = 9 . Vậy: k = 9 k −1 C18 ≥ C18 Bài 31. Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn −1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức n  nx 2 1  Niu-tơn  −  ,x ≠ 0.  14 x  HD Giải Ta có: 5Cnn−1 = Cn3 ⇔ 5n = n n(n − 1)(n − 2) ⇔ n = 7 (vì n nguyên dương) 6 7 7− k k 7 7  nx 2 1   nx 2 1   x2   1  (−1)k C7k 14 −3 k Khi đó:  −  = −  = ∑ C7k    −  = ∑ x 7− k  14 x   14 x  k = 0  2   x  k = 0 2 Số hạng chứa x 5 tương ứng với 14 − 3k = 5 ⇔ k = 3 (−1)3 C73 5 35 Vậy số hạng cần tìm là x = − x5 4 16 2 Bài 32. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. HD Giải Đại số và Giải tích 11 39 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 7 Số phần tử của S là n(S ) = A = 210 . Gọi A là biến cố: “Chọn được từ S số được chọn là số chẵn” Ta có n(A) = 3.6.5 = 90 (cách) n( A) 90 3 Xác suất cần tìm là: P( A) = = = n(S ) 210 7 Bài 33. Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra cùng màu. HD Giải Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là: 7.6 = 42 Số cách chọn 2 vuên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 = 8 Số cách chọn 2 vuên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4 = 12 8 + 12 10 Xác suất lấy ra được hai viên bi cùng màu là: P = = 42 21 Bài 34. Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều đánh số chẵn. HD Giải Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C164 = 1820 Gọi biến cố A : “Chọn được 4 thẻ đều đánh số chẵn” Kết quả thuận lợi cho biến có A là n ( A ) = C84 = 70 Xác suất của biến cố A là P ( A ) = n ( A) n (Ω) = 70 1 = 1820 26 Bài 35. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã giử đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. HD Giải 3 Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C12 = 220 Gọi biến cố A : “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại” Kết quả thuận lợi cho biến có A là n ( A ) = C51 .C41 .C31 = 60 Xác suất của biến cố A là P ( A ) = n ( A) n (Ω) = 60 3 = 220 11 Bài 36. Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ ℕ và n ≥ 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo. HD Giải n ( n − 3) Số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là Cn2 − n = 2 n ( n − 3) Theo giả thiết, ta có: = 27 ⇔ n = 9 hoặc n = −6 2 Do n ∈ ℕ và n ≥ 3 nên giá trị n cần tìm là n = 9 Bài 37. Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn. HD Giải 3 Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = C25 = 2300 Gọi A là biến cố “ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn” 3 3 Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) = C20 C51 + C20 = 2090 n( A) 209 Vậy: P( A) = = n(Ω) 230 Đại số và Giải tích 11 40 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 38. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. HD Giải Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = ( C103 ) = 14400 2 Gọi A là biến cố “3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau” Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) = C103 .1 = 120 (vì với mỗi cách chọn 3 câu hỏi của A, B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A) n( A) 120 1 = = n(Ω) 14400 120 Bài 39. Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tọa thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều kiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó. HD Giải 3 Không gian mẫu Ω có số phần tử là n(Ω) = A10 = 720 Gọi E là biến cố: “B mở được cửa phòng học”. Ta có: E = {(0;1;9), (0; 2;8), (0;3; 7), (0; 4; 6), (1; 2;7), (1;3;6), (1; 4;5);(2;3;5)} . Do đó n( E ) = 8 Vậy: P( A) = n( E ) 1 = n(Ω) 90 Bài 40. Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tính xác suất để giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm. HD Giải 5 Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = C8 = 56 Gọi A là biến cố “Giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm” Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) = C42 .C43 + C43 .C42 + C44 .C41 = 52 n( A) 52 13 Vậy: P ( A) = = = n(Ω) 56 14 Bài 41. Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. HD Giải Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C153 = 455 . Vậy: P ( E ) = Gọi A là biến cố: “ lấy được 3 quả cầu màu xanh”. Khi đó, n ( A ) = C43 = 4 . Xác suất P ( A) = n ( A) 4 . = n ( Ω ) 455 Bài 42. Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x(2 x − 1)6 + (3 x − 1)8 . HD Giải 6 Ta có: x ( 2 x − 1) + ( 3 x − 1) = x ∑ C6k . ( 2 x ) . ( −1) 6 8 k 6−k k =0 8 + ∑ C8h . ( 3 x ) . ( −1) Đại số và Giải tích 11 8− h h =0 Suy ra hệ số của x trong khai triển nhị thức là: C . ( 2 ) . ( −1) 5 h 4 6 41 4 6−4 + C85 . ( 3) . ( −1) 5 6 −5 = −13368 . Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 43. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17]. Tìm xác suất P để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3. HD Giải Không gian mẫu có số phần tử là 173 = 4913 . Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau: Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập {3;6;9;12;15} . Số chia cho 3 dư 1 : có 6 số thuộc tập {1;4;7;10;13;16} . Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập {2;5;8;11;14;17} . Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17 ] thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau: TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 53 + 63 + 63 = 557 cách. TH2: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 có 5.6.6.3! = 1080 cách. 557 + 1080 1637 Vậy xác suất cần tìm là P = = . 4913 4913 Bài 44. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n ≥ 3, n ∈ ℕ ) , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n ? HD Giải Xem 3 điểm trong 2n điểm đã cho lập nên một mặt phẳng, thế thì ta có C23n mặt phẳng. Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng. Vậy số mặt phẳng có được là ( C23n − Cn3 + 1) . Theo đề bài ta có: C23n − Cn3 + 1 = 505 ⇔ ( 2n )! − n ! = 504 3!( 2n − 3) ! 3!( n − 3) ! ⇔ 2n ( 2n − 1)( 2n − 2 ) − n ( n − 1)( n − 2 ) = 3024 ⇔ 7 n3 − 9n 2 + 2n − 3024 = 0 ⇔ n = 8 . Bài 45. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1; 2;3;...;9} . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. HD Giải Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có 6 chữ số từ tập A , do đó nΩ = 9.105 . Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875 = 32.53.7 . 60 1 Số phần tử của B là C62 .C43 = 60 . Suy ra xác suất P ( B ) = . = 5 9.10 15000 1 1 1 1 1 Bài 46. Tìm giá trị của A = + + + ... + + . 1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010! HD Giải k 1 2 2 1009 C 1 C C C3 C1009 C 1 + C2019 + ... + C2019 Ta có = n . Do đó A = 2019 + 2019 + 2019 + ... + 2019 = 2019 k !( n − k ) ! n ! 2019! 2019! 2019! 2019! 2019! 0 1 2 1009 C2019 + C2019 + C2019 + ... + C2019 − 1 2 2018 − 1 . = 2019! 2019! Bài 47. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng được 1, 0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. = Đại số và Giải tích 11 42 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8, 0 trở lên. HD Giải Số phân tử không gian mẫu n ( Ω ) = 410 . Gọi A là biến cố “thí sinh đạt từ 8, 0 trở lên”. Ta có các trường hợp: + Thí sinh đúng 8 câu, sai 2 câu có C108 .32 = 405 (cách). + Thí sinh đúng 9 câu, sai 1 câu có C109 .31 = 30 (cách). + Thí sinh đúng cả 10 câu có C1010 = 1 (cách). Do đó n ( A ) = 405 + 30 + 1 = 436 . Vậy xác suất của biến cố A là P = n ( A ) 436 . = n ( Ω ) 410 Bài 48. Số tự nhiên n thỏa 1.C1n + 2.C2n + ... + n.C nn = 1024 . Tìm n. HD Giải Xét khai triển: (1 + x ) = C0n + C1n x + C2n x 2 + ... + Cnn x n . n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n (1 + x ) n −1 = C1n + 2Cn2 x + ... + nCnn x n −1 . Cho x = 1 ta được: n.2n −1 = C1n + 2C 2n + ... + nC nn mà 1.C1n + 2.C2n + ... + n.C nn = 1024 . Suy ra: n.2n −1 = 1024 ⇔ n.2n −1 − 1024 = 0 . Xét phương trình g ( n ) = n.2n −1 − 1024 , n ≥ 1. Có g ′ ( n ) = 2n −1 + n.2n −1.ln 2 > 0 , ∀n ≥ 1 nên g ( n ) đồng biến [1; +∞ ) . Do đó phương trình g ( n ) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm. Mà g ( 8) = 1024 nên n = 8 . Bài 49. Lớp 11A có 40 học sinh trong đó có 12 học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và 13 học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là 0,5 . Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí là bao nhiêu ? HD Giải Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”. B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”. A ∪ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”. A ∩ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí”. Ta có: n ( A ∪ B ) = 0,5.40 = 20 . Mặt khác: n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A.B ) ⇒ n ( A.B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∪ B ) = 12 + 13 − 20 = 5 . Bài 50. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) . 10 HD Giải Ta có: (1 + x + x 2 + x 3 ) = (1 + x 2 ) 10 10 (1 + x ) 10 10 10 10 10 k =0 i =0 k = 0 i =0 = ∑ C10k .x 2 k .∑ C10i .x i = ∑∑ C10k .C10i .x 2 k + i Hệ số của số hạng chứa x nên 2k + i = 5 . Trường hợp 1: k = 0 , i = 5 nên hệ số chứa x 5 là C100 .C105 . 5 Trường hợp 2: k = 1 , i = 3 nên hệ số chứa x 5 là C101 .C103 . Đại số và Giải tích 11 43 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Trường hợp 3: k = 2 , i = 1 nên hệ số chứa x là C .C . 5 2 10 1 10 Vậy hệ số của số hạng chứa x 5 là C100 .C105 + C101 .C103 + C102 .C101 = 1902 . Bài 51, Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n ≥ 3, n ∈ ℕ ) , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n ? HD Giải Xem 3 điểm trong 2n điểm đã cho lập nên một mặt phẳng, thế thì ta có C23n mặt phẳng. Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng. Vậy số mặt phẳng có được là ( C23n − Cn3 + 1) . ( 2n )! − n ! = 504 3!( 2n − 3) ! 3!( n − 3) ! ⇔ 2n ( 2n − 1)( 2n − 2 ) − n ( n − 1)( n − 2 ) = 3024 ⇔ 7 n3 − 9n 2 + 2n − 3024 = 0 ⇔ n = 8 . Theo đề bài ta có: C23n − Cn3 + 1 = 505 ⇔ Bài 52. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1; 2;3;…;9} . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. HD Giải Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có 6 chữ số từ tập A , do đó nΩ = 9.105 . Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875 = 32.53.7 . 60 1 Số phần tử của B là C62 .C43 = 60 . Suy ra xác suất P ( B ) = = . 5 9.10 15000 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 41. Giải các bất phương trình 5 a) Cx4−1 − Cx3−1 − Ax2−2 < 0 b) Cnn+−12 − Cnn+−11 ≤ 100 4 4 A 1 6 d) A22x − Ax2 ≤ Cx3 + 10 c) nn+−13 < 14 P3 2 x Cn −1 Bài 42. a) Định x và y sao cho : Cxy+1 : Cxy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2 ( ) b) Định x và y sao cho: Axy−1 + yAxy−−11 : Axy −1 : C xy −1 = 10 : 2 :1 Bài 43. Một tổ có 7 học sinh nữ, 5 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 44. Một đôi văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người trong đó phải có ít nhất 3 nữ. Bài 45. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5 ? Bài 46. Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? Bài 47. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? 19 1  Bài 48. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn  + x  x  Đại số và Giải tích 11 44 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 10  1  Bài 49. Tìm số hạng không chứa a trong khai triển nhị thức Niu-tơn  3 + a 2  a  n  1  Bài 50. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn  3 + x 5  . Biết rằng x  n +1 n Cn+ 4 − Cn+3 = 7(n + 3) . 8 Bài 51. Tính giá trị của biểu thức M = 2 An4+ 2 + 3 An3 biết rằng Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 (n + 1)! ( ) n Bài 52. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển x 2 + 2 , biết rằng An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 .  2 Bài 53. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  3 x 2 −  x  30 n  1 Bài 54. Trong khai triển nhị thức  x +  , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là x  35. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nói trên. Bài 55.Giải các phương trình 5 a) Px . Ax2 + 72 = 6 Ax2 + 2 Px b). Cn4−1 − Cn3−1 − An2−2 = 0 4 10 9 8 2 c) Ax + Ax = 9 Ax d) 2 P3 + 6 An − Pn An2 = 12 Bài 56. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho: a) Bốn quả cầu lấy ra cùng màu b) Có ít nhất một quả cầu trắng. Bài 57. Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm: a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ? b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ? Bài 58. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao: a) Cả ba học sinh đều là nam b) Có ít nhất một nam ( Đại số và Giải tích 11 ) 45 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT PHẦN TRẮC NGHIỆM ----------o0o---------Câu 1: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ? A. 10. B. 15. C. 5. D. 20. Câu 2: Số 6000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 40. B. 32. C. 24. D. 42. Câu 3: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tìm xác suất P để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn. 209 1 209 19 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 230 115 230 46 Câu 4: Hỏi có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ? A. 30. B. 90000. C. 17280. D. 28560. Câu 5: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tìm xác suất P để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu. A. P = 0,56. B. P = 0,84. C. P = 0,98. D. P = 0, 48. Câu 6: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. 6 9 7 8 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 36 36 36 36 Câu 7: Cho tập nền B = {1;2; 4;5; 7} . Có thể lập được từ B bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ? A. 120. B. 72. C. 48. D. 60. Câu 8: Tính hệ số của x12 y13 trong khai triển ( x + y ) . 25 13 A. C25 . 12 B. C13 . 12 C. C25 . 13 D. 2.C25 . 1 17 + 42.315 C172 − 43.314 C173 + ... − 417 C17 . Câu 9: Tìm giá trị của biểu thức J = 317 C170 − 4.316 C17 A. J = 7n. B. J = 17. C. J = −1. D. J = 12n. Câu 10: Trong khai triển của ( 3 x + 2 y ) . Tìm hệ số của x 8 y 9 . 17 A. 2839 C179 . B. 2939 C178 . C. 2938 C178 . D. 2839 C178 . Câu 11: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho có ít nhất một quả cầu trắng. 200 1 2 209 A. P = . B. P = . C. P = D. P = . . 210 105 210 7 Câu 12: Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau có kết quả nhận được là một số chẵn. 7 1 13 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 18 6 18 9 Câu 13: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả cùng màu. 13 24 12 A. P = . B. P = 1. C. P = . D. P = . 25 25 25 Đại số và Giải tích 11 46 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 14: Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó ? A. 90. B. 1630. C. 1620. D. 180. Câu 15: Giả sử có khai triển (1 − x ) n + x (1 + x ) n −1 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Biết a0 + a1 + a2 + ... + an = 512 . Hãy tất cả giá trị thực của n. A. n = 10. B. n = 100. C. n = 7. D. n = 10 và n = 9. Câu 16: An có 12 cuốn sách tham khảo khác nhau, trong đó có 6 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật lí và 2 cuốn sách hóa học. An muốn xếp chúng vào 3 ngăn A, B, C trên giá sách sao cho mỗi ngăn chứa một loại sách. Hỏi An có bao nhiêu cách xếp? A. 220. B. 1320. C. 207360. D. 34560. Câu 17: Cho tập A là một tập hợp có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A ? A. 20. B. 2020. C. 220. D. 220−1. Câu 18: Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 + 3 x ) là 90. Hãy tìm n. n A. n = 5. B. n = 9. C. n = 10. D. n = 7. Câu 19: Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho ? A. 320. B. 96. C. 420. D. 48. Câu 20: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra khác màu. 22 12 13 23 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 45 45 45 45 Câu 21: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau? A. 10! – 8!. B. 8. 8!. C. 72. 8!. D. 2!.5!.5!. Câu 22: Một hộp đựng 11 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Tìm xác suất P để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. (lưu ý: Tổng là số lẻ: hoặc là l lẻ và 5 chẵn hoặc là 3 lẻ và 3 chẵn hoặc là 5 lẻ và 1 chẵn) 100 1 115 118 A. P = . B. P = . C. P = D. P = . . 231 2 231 231 Câu 23: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? A. 18. B. 1630. C. 1260. D. 9. Câu 24: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3. 1 1 2 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 360 3 3 15 Câu 25: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tìm xác suất P để 3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. 1 1 1 A. P = . B. P = 1. C. P = . D. P = . 2 6 120 Câu 26: Chọn ngẫu nhiên 6 số dương trong tập {1; 2;3;...;10} và sắp xếp theo thứ tự tăng dần (từ thấp lên cao). Tìm xác suất P để số 3 được chọn xếp ở vị trí thứ hai. Đại số và Giải tích 11 47 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 6 2 60 3 Câu 27: Có ba chiếc hộp A, B, C, mỗi hộp chứa ba chiếc thẻ được đánh số từ 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Tìm xác suất P để tổng số ghi trên ba tấm thẻ bằng 6. 6 1 1 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 27 27 27 3 Câu 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, biết rằng hai số đúng kề nhau phải khác nhau ? A. 59049. B. 27216. C. 81000. D. 90000. Câu 29: Số 80041500 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 342. B. 243. C. 423. D. 432. Câu 30: Một người đi qu lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp quả và 3 hộp sữa. Do trời mưa nên các hộp bị mất nhãn. Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất P để trong đó có một hộp thịt, một hộp sữa và một hộp quả. 1 1 1 9 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 18 3 7 28 Câu 31: Kết quả (b, c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: x 2 + bx + c = 0 . Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm kép. 17 17 19 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 18 36 36 18 Câu 32: Có bao nhiêu đường chéo của thập giác ? A. 30. B. 10. C. 35. D. 45. Câu 33: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để có đúng một trong ba thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút. 2 4 5 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 15 21 14 42 Câu 34: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 3. 333 331 335 334 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 1000 1000 1000 1000 Câu 35: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên d1 và d 2 . A. 5950. B. 2720. C. 3230. D. 340. Câu 36: Tổ của An và Bình có 7 học sinh. Tìm số cách sắp xếp 7 học sinh ấy theo một hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng. A. 240. B. 5040. C. 216. D. 120. 0 1 2 2009 + 32 C2009 + 33 C2009 + ... + 32010 C2009 . là Câu 37: Tìm giá trị của biểu thức N = 3C2009 A. N = 32010. B. N = 3.42009. C. N = 42010. D. N = 52009. 6  1  Câu 38: Gọi Tk là số hạng không chứa x trong khai triển  2 x − 2  , x ≠ 0 . Tìm số hạng Tk . x   A. T4 = 240. B. T3 = 420. C. T6 = 240. D. T3 = 240. Câu 39: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để các thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút. 1 5 7 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 21 42 42 14 Câu 40: Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất P để 4 thẻ được chọn đều đánh số chẵn. Đại số và Giải tích 11 48 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 A. P = GV. Lư Sĩ Pháp 1 . 26 B. P = 25 . 26 1 D. P = . 2 C. P = 1. Câu 41: Giải phương trình 2Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12. A. n = 2; n = 3. B. n = 2; n = 4. C. n = 4; n = 6. D. n = 3; n = 4. Câu 42: Với bốn chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt ? A. 24. B. 32. C. 16. D. 64. Câu 43: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ? A. 10! – 5!. B. 5!.5!. C. 2!.5!.5!. D. 10!. Câu 44: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn−2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100. A. n = 9. B. n = 4. C. n = 2. D. n = 6. n  1 Câu 45: Tính An2 nếu biết số hạng thứ 6 của khai triển  3 x +  không phụ thuộc vào x. x  2 2 2 A. An = 420. B. An = 380. C. An = 3003. D. An2 = 480. 0 1 2 2009 + 2C2009 + 22 C2009 + ... + 22009 C2009 . là Câu 46: Tìm giá trị của biểu thức M = C2009 A. M = 2009. B. M = 32009. C. M = 3. D. M = 2010. Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất P để số được chọn là số chẵn. 2 3 1 91 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 7 7 3 210 Câu 48: Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2. . .A2n ( n ≥ 2 , n nguyên) nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh lấy trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n . A. n = 8. B. n = 6. C. n = 4. D. n = 12. Câu 49: Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh ? A. 27. B. 35. C. 840. D. 28. Câu 50: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình Cx1 + 6Cx2 + 6Cx3 = 9 x 2 − 14 x. A. x = 3 và x = 8. B. x = 7. C. x = 7 và x = 9. D. x = 8. Câu 51: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? A. 42000. B. 43020. C. 42300. D. 40320. Câu 52: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tìm xác suất P để giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm. 13 2 1 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 14 7 4 5 Câu 53: Ta xếp 5 quả cầu trắng khác nhau và 5 quả cầu đỏ khác nhau vào 10 vị trí theo một dãy, sao cho quả cầu cùng màu không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy ? A. 28800. B. 14000. C. 156. D. 240. Câu 54: Cho khai triển (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó, biết n rằng a0 + a1 + a2 + ... + an = 729. A. T5 = C65 23 x 4 . B. T5 = C65 22 x 4 . C. T5 = C65 25 x 4 . D. T5 = C65 24 x 4 . Câu 55: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ? Đại số và Giải tích 11 49 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. 43200. B. 35684. C. 55012. D. 94536. Câu 56: Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền B = {1; 2;3;4} bằng phép hoán vị ? A. S = 7 777 777. B. S = 66660. C. S = 5 555 555. D. S = 88880. Câu 57: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn0 − 2Cn1 + 4Cn2 = 97 . Gọi Tk là số hạng chứa x 2 n  2  trong khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn của biểu thức P ( x ) =  x + 2  , x ≠ 0 . Tìm số hạng Tk . x   A. T3 = 211x 2 . B. T3 = 112 x 2 . C. T2 = 121x 2 . D. T2 = 112 x 2 . Câu 58: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? A. 42030. B. 40320. C. 40312. D. 40230. Câu 59: Số 337211875 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 140. B. 210. C. 120. D. 240. Câu 60: Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất P để 2 viên bi được lấy ra cùng màu. 13 4 10 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 42 21 21 7 Câu 61: Tim hệ số của x 9 sau khi khai triển và rút gọn đa thức (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) . 9 10 14 A. 3001. B. 3003. C. 2901. D. 3010. Câu 62: Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? A. 108. B. 246. C. 462. D. 642. Câu 63: Giải phương trình x 2 − 8x + n = 0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 − 2Cn3−1 + Cn3+2 = 466. A. x = 7. B. x = 4. C. x = 5. D. x = 3. Câu 64: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là 0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi cả hai môn toán và văn. A. 0,5. B. 0,8096. C. 0,9904. D. 0,0096. Câu 65: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000 ? A. 30360. B. 393600. C. 39360. D. 33960. Câu 66: Số 2389976875 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 420. B. 360. C. 120. D. 240. Câu 67: Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 28. B. 161. C. 990. D. 165. Câu 68: Số 653672250 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 360. B. 260. C. 240. D. 144. Câu 69: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: A. n = 6. B. n = 2. 1 1 1 + n −1 + 2 = 1. n −1 An Cn +1 An +1 C. n = 9. Câu 70: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5C A. n = 5. B. n = 7. n −1 n D. n = 3. 3 n = C . Tìm tất cả các giá trị của n. C. n = 4 và n = 2. D. n = 7 và n = 9. Câu 71: Từ ba đỉnh của tam giác ABC có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ O . A. 12(vectơ). B. 6(vectơ). C. 9(vectơ). D. 3(vectơ). Câu 72: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: Cn2+1 + 2Cn2+2 + 3Cn2+3 = 45. Đại số và Giải tích 11 50 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 A. n = 3 và n = 2. GV. Lư Sĩ Pháp B. n = 4 và n = 1. C. n = 2. D. n = 3. Câu 73: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn3+1 − Cnn −2 = Cnn −1.Cn1+ 4 . A. n = 12. B. n = 7. C. n = 2. Câu 74: Số 3969000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 40. B. 240. C. 120. Câu 75: Tất cả các nghiệm của phương trình A. ( −∞;1) . B. ( 2; +∞ ) . D. n = 11. D. 432. 1 1 1 − x = x thuộc khoảng nào ? x C 4 C5 C6 C. ( 3; 7 ) . D. ( 0; 4 ) . Câu 76: Tìm tất cả giá trị n là số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3 + 2Cnn−2 ≤ 9n. A. n = 4. B. n = 3. C. n = 3, n = 5. D. n = 3, n = 4. Câu 77: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều số đứng chính giữa thì giống nhau ? A. 920. B. 1000. C. 720. D. 900. Câu 78: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? A. 1260. B. 2400. C. 1280. D. 4200. Câu 79: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu. 47 6 12 19 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 66 66 66 66 Câu 80: Trên tập B = {1;2;3; 4;5;6;7} có thể lập thành được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau. A. 5400. B. 4500. C. 4050. D. 5040. Câu 81: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình Ax10 + Ax9 = 9 Ax8 . A. x = 11 và x = 5. B. x = 11. C. x = 11 và x = 10. D, x = 5. Câu 82: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu. 9 2 13 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 13 9 18 18 Câu 83: Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Hỏi có bao nhiêu phương án chọn trả lời ? A. 410. B. 104. C. 4. D. 40. Câu 84: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000). A. 1006. B. 1012. C. 1016. D. 1008. 0 1 2 2009 − C2009 + C2009 − ... + (−1)2009 C2009 . Câu 85: Tìm giá trị của biểu thức K = C2009 A. K = 2009. B. K = 2010. C. K = 22009. D. K = 0. Câu 86: Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ O với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác ? A. 225(vectơ). B. 30(vectơ). C. 105(vectơ). D. 210(vectơ). ( ) Câu 87: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2+1 . An2 − A21n A. n = 9. Đại số và Giải tích 11 B. n = 16. 2 = 4n 3 . C. n = 12. 51 D. n = 5. Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n  1  Câu 88: Gọi Tk là số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  x 2 + 3  , x ≠ 0 , biết rằng: x   1 3 Cn + Cn = 13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0). Tìm số hạng Tk . A. T7 = 210. B. T6 = 310. C. T5 = 120. D. T5 = 210. Câu 89: Kết quả (b, c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: x 2 + bx + c = 0 . Tìm xác suất P để phương trình vô nghiệm. 17 17 19 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 36 18 36 18 Câu 90: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ? A. 124. B. 3024. C. 126. D. 120. Câu 91: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (2 + x) n , biết: 3n Cnn − 3n −1 Cnn −1 + 3n − 2 Cnn − 2 − 3n −3 Cnn −3 + ... + ( −1) n Cnn = 2048. A. 11. B. 23. C. 24. D. 22. Câu 92: Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh ? A. 7893600. B. 56780. C. 120. D. 65780. Câu 93: Trong khai triển của (1 + ax ) n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x 2 . Hãy tìm a và n . a = 3 a = 3 a = 8 a = 2 . . . . A.  B.  C.  D.  n = 4 n = 8 n = 3 n = 8 Câu 94: Trong một trò chơi điên tử, xác suất để An thắng một trân là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trân để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95? A. 9 trận. B. 5 trận. C. 7 trận. D. 6 trận. Câu 95: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ? A. 80640. B. 5040. C. 2520. D. 3024. Câu 96: Trong khai triển của (1 − 2 x ) . Tìm hệ số của x 2 . 8 A. 212. B. 112. C. 122. D. 121. 0 1 2 2009 + C2009 + C2009 + ... + C2009 . Câu 97: Tìm giá trị của biểu thức H = C2009 A. H = 2009. B. H = 0. C. H = 22009. D. H = 2. 18  1  Câu 98: Gọi Tk là số hạng không chứa x trong khai triển của  x 3 + 3  , x ≠ 0. Tìm số hạng Tk . x   A. T10 = 48620. B. T9 = 48620. C. T10 = 48820. D. T11 = 43758. Câu 99: Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ? A. 2652. B. 1326. C. 450. D. 104. Câu 100: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Gọi P là xác suất trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. Khi đó: 9 97 1 194 A. P = B. P = C. P = D. P = 210 105 15 220 Câu 101: Một hộp chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tìm xác suất P để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. 27 35 11 45 A. P = . B. P = C. P = . D. P = . . 65 5040 3003 286 Đại số và Giải tích 11 52 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 102: Kết quả (b, c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: x 2 + bx + c = 0 . Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm. 1 17 19 17 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 18 36 36 18 Câu 103: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình vào 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? A. 10!. B. 9!. C. 18. 8!. D. 2.10!. Câu 104: Số 283618125 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 120. B. 240. C. 220. D. 420. Câu 105: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7. 1 1 7 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 2 6 36 9 Câu 106: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt ? A. 2700. B. 7216. C. 26216. D. 27216. Câu 107: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để không thẻ nào trong ba thẻ các ghi số 1, 2, 3 được rút. 1 5 5 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 21 14 9 25 Câu 108: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? A. 180. B. 380. C. 170. D. 190. Câu 109: Tìm giá trị của biểu thức H = C53C42 + C42C31 + C31C30 . A. H = 210. B. H = 9. C. H = 81. D. H = 18. 1000 1000 Câu 110: Khai triển đa thức P ( x ) = ( 2 x − 1) ta được P ( x ) = a1000 x + a999 x 999 + ... + a1 x + a0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a1000 + a999 + ... + a1 = 2n . B. a1000 + a999 + ... + a1 = 2 n − 1 . C. a1000 + a999 + ... + a1 = 1 . D. a1000 + a999 + ... + a1 = 0 . Câu 111: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu. 5 5 5 13 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 9 18 16 18 Câu 112: Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên làm giám đốc CLB, một thành viên làm phó giám đốc CLB và một thành viên làm kế toán trưởng CLB. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để bầu mà không có ai kiêm nhiệm ? A. 2184. B. 364. C. 42. D. 14!. Câu 113: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó không nhất thiết khác nhau. A. 108. B. 36. C. 48. D. 72. Câu 114: Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Cần chọn một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 240240. B. 840. C. 120. D. 2002. Câu 115: Số 2025000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 240. B. 120. C. 221. D. 210. Câu 116: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi bao nhiêu là số chẵn ? A. 120. B. 100. C. 60. D. 90. Đại số và Giải tích 11 53 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 117: Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ ℕ và n ≥ 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo. A. n = 9. B. n = 10. C. n = 12. D. n = 7. Câu 118: Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ) . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm n. A. n = 9. B. n = 18. C. n = 20. D. n = 8. Câu 119: Giải phương trình Cn2+1 + 2Cn2+2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149. A. n = 4. B. n = 5 và n = −9. C. n = 5. D. n = 9. Câu 120: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ? A. 504. B. 576. C. 192. D. 675. Câu 121: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ? A. 120. B. 360. C. 720. D. 30. Câu 122: Cho khai triển (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Biết rằng a0 + a1 + a2 + ... + an = 729 . Tìm n n. A. n = 9. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 7. Câu 123: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra cùng màu. 13 23 22 12 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 45 45 45 45 Câu 124: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? A. 2.5!. B. 9!. C. 5!.5!. D. 10!. Câu 125: Hỏi từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau ? A. 192. B. 72. C. 48. D. 24. Câu 126: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ? A. 16. B. 4. C. 12. D. 18. Câu 127: Giải phương trình x 2 − 2nx − 5 = 0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cnn −1 + C5n = 9. A. x = 2 ± 5. B. x = 4 ± 21. C. x = ±4. D. x = 4 ± 2. Câu 128: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Tìm xác suất P để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp. 6 1 2 4 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 16 16 16 16 Câu 129: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông) ? A. 210. B. 105. C. 21. D. 120. Câu 130: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay ? A. 216. B. 234. C. 78. D. 185. Câu 131: Có 5 người đến buổi hòa nhạc. Tìm số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế. A. 10. B. 5. C. 125. D. 120. Câu 132: Trong các số tự nhiên từ 100 đến 999 có bao nhiêu số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần ? A. 204. B. 120. C. 168. D. 312. Câu 133: Tìm giá trị của biểu thức F = 1 − 10C21n + 102 C22n − 103 C23n + ... − 102 n −1C22nn −1 + 102 n. A. F = 812 n. Đại số và Giải tích 11 B. F = 10n. C. F = 102 n. 54 D. F = 81n. Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 134: Tìm số nguyên dương n : Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243. A. n = 5. B. n = 7. C. n = 9 và n = 7. D. n = 4 và n = 5. Câu 135: Viết ngẫu nhiên một số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và 5 chữ số đó không có chữ số 0. Tìm xác suất P để viết được ít nhất 2 chữ số là số chẵn. 1 1 10 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 126 6 63 6 Câu 136: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 5. A. P = 0,4. B. P = 0, 7. C. P = 0,5. D. P = 0,2. Câu 137: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ? A. 1320. B. 90. C. 32. D. 220. Câu 138: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả khác màu. 3 12 24 13 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 25 25 25 Câu 139: Có bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số 2 ? A. 13 640 319. B. 10 640 319. C. 9 920 232. D. 3 720 087. Câu 140: Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? A. 2520. B. 21. C. 1260. D. 5040. Câu 141: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là 0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi ít nhất một môn. A. 0,9904. B. 0,5. C. 0,8096. D. 0,0096. n  2 Câu 142: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 3 x 2 −  với x ≠ 0 , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai  x triển bằng 1080. A. −810. B. 10. C. −1800. D. 1034. Câu 143: Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ ghi số 10. Chọn ngẫu nhiên 6 thẻ. Tìm xác suất P để các số được chọn có tổng các số không nhỏ hơn 50. 132 37 127 99 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 924 924 924 924 Câu 144: Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Tìm xác suất P để có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm. 15 5 5 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 216 216 6 216 Câu 145: Hỏi có bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ? A. 40000. B. 24000. C. 48000. D. 42000. Câu 146: Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều kiển. Tìm xác suất P để B mở được cửa phòng học đó. 2 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 45 45 90 9 Câu 147: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? A. 10. B. 16. C. 20. D. 25. Câu 148: Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa tỉnh Bình Thuận có xác suất khoan trúng túi dầu là P. Tìm P biết rằng trong hai lần khoan độc lập, xác suất để chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là 0,36. Đại số và Giải tích 11 55 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 A. P = . 5 5 B. P = . 9 1 C. P = . 2 1 D. P = . 5 Câu 149: Giải bất phương trình 2Cx2+1 + 3 Ax2 < 30. 5 A. − < x < 3. B. x = 3. C. x = 2. D. 0 < x ≤ 3. 2 Câu 150: Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 5 1 5 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 36 12 6 21 Câu 151: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Tìm xác suất P để lấy được hai quả cầu trắng . 12 9 10 6 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 30 30 30 30 Câu 152: Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngổi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tìm xác suất P để cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. 2880 2880 2990 3880 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 482880 362880 362990 363880 Câu 153: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã giử đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất P để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. 5 3 3 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 11 11 5 5 Câu 154: Gieo ba con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để số chấm xuất hiện trên ba con của ba con súc sắc nhu nhau. 1 1 12 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 36 216 216 216 Câu 155: Gieo một con súc sắc cân đối hai lần. Tìm xác suất P để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm. 2 12 1 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 9 36 6 36 Câu 156: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A, B, C , D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ ngồi sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ? A. 9. B. 12. C. 16. D. 24. Câu 157: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ? A. 20. B. 925. C. 952. D. 120. Câu 158: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất P sao cho bốn quả cầu lấy ra cùng màu. 1 7 1 8 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 14 120 210 105 Câu 159: Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên một thẻ. Tìm xác suất P để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12. 11 1 121 23 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 12 144 144 144 Câu 160: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức n  nx 2 1  Niu-tơn  −  , x ≠ 0.  14 x  Đại số và Giải tích 11 56 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 A. −35 x 5 . GV. Lư Sĩ Pháp B. − 35 5 x . 14 C. − 35 5 x . 16 D. − 37 5 x . 16 Câu 161: Cho tập nền B = {0;1;2;3; 4; 5} . Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ? A. 213. B. 30. C. 312. D. 120. Câu 162: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó khác nhau. A. 36. B. 60. C. 120. D. 108. Câu 163: Giải phương trình Ax2 .Cxx −1 = 48. A. x = 4. B. x = 5. C. x = 2. D. x = 1 và x = 3. Câu 164: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D . Có bao nhiêu cách đi từ A đấn D mà qua B và C chỉ một lần ? A. 8. B. 42. C. 24. D. 12. Câu 165: Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9. 5 5 9 25 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 216 216 216 216 Câu 166: Tìm hệ số của x5 trong khai triển (1 + x ) . 12 A. 297. B. 792. C. 729. D. 972. Câu 167: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2. 1 2 5 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 12 9 36 9 Câu 168: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu. 19 47 12 6 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 66 66 66 66 Câu 169: Cho đa giác đều n đỉnh ( n ∈ ℕ, n ≥ 3 ). Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n = 27. B. n = 18. C. n = 21. D. n = 15. Câu 170: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A, B, C , D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ ngồi sao cho bạn C ngồi chính giữa? A. 16. B. 24. C. 12. D. 42. Câu 171: Một con súc sắc cân đối được gieo ba lần. Tìm xác suất P để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba. 10 16 12 15 A. P = . B. P = . C. P = D. P = . . 216 216 216 216 Câu 172: Trên tập B = {1; 2;3;4;5;6;7} có thể lập thành được bao số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau. A. 4050. B. 4500. C. 5400. D. 5040. Câu 173: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình Cxx −1 + Cxx −2 + Cxx −3 + ... + Cxx −10 = 1023. A. x = 10. B. x = 11 và x = 8. C. x = 11. D. x = 10 và x = 9. n  1  Câu 174: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  3 + x 5  , biết rằng x  n +1 n Cn+ 4 − Cn+3 = 7(n + 3). A. C128 .x 8 . Đại số và Giải tích 11 B. C124 .x 8 . C. C82 .x 8 . 57 D. C108 .x 8 . Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 175: Số 31752000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 420 B. 120 C. 240 D. 128 Câu 176: Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử ? A. 2100 − 5051. B. 2100 + 5051. C. 2100. D. 5051. Câu 177: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000 ? A. 1008. B. 24000. C. 3003. D. 1800. Câu 178: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ? A. 9. B. 3. C. 7. D. 5. Câu 179: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn. A. 2900. B. 2300. C. 2090. D. 9020. An4+ 4 15 < . Câu 180: Giải bất phương trình sau: Pn+ 2 Pn −1 A. n = 4, n = 5, n = 6. B. n = 2, n = 3, n = 4. C. n = 3, n = 2, n = 5. D. n = 3, n = 4, n = 5. Câu 181: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tìm xác suất P để tích nhận được là số lẻ. 5 2 13 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 18 9 18 6 Câu 182: Số 360 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 24. B. 36. C. 12. D. 42. Câu 183: Giải phương trình C21n+1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1. A. n = 10 và n = 11. B. n = 10. C. n = 11. D. n = 11 và n = 7. ÔN TẬP THI THPT Câu 1: Với n là số nguyên dương thỏa mãn An2 − Cnn+−11 = 54 , hệ số của số hạng chứa x 20 trong khai triển n  5 2  x + 3  bằng ? x   A. 25344 x 20 . B. 25344. C. 25342. D. 25342x 20 Câu 2: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển P ( x ) = (1 − x − 3 x 3 ) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức n Cnn − 2 + 6 n + 5 = An2+1 . A. 480. B. 310. C. 480 x 4 . D. 310 x 4 . Câu 3: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19]. Tìm xác suất P để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3. 1072 2287 2539 109 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 6859 6859 6859 323 Câu 4: Một tổ gồm 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 học sinh. Tìm xác suất P để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ. 11 10 17 25 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 21 21 42 42 Câu 5: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức P ( x) = ( x + 1) 6 + ( x + 1)7 + ... + ( x + 1)12 . A. 1711. B. 1715. C. 1287. D. 1800. Đại số và Giải tích 11 58 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp n 1  Câu 6: Cho tổng các hệ số của khai triển của nhị thức  x +  , n ∈ N * bằng 64. Tìm số hạng không x  chứa x trong khai triển đó. A. T3 = 15. B. T2 = 15. C. T4 = −10. D. T5 = 20. Câu 7: Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn3 = 13n . Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai n 1  triển của biểu thức  x 2 + 3  , x ≠ 0. x   A. 101. B. 120. C. 210. D. 240. Câu 8: Với năm chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 ? A. 48. B. 120. C. 24. D. 12. Câu 9: Từ 15 học sinh gồm 6 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 4 học sinh trung bình, giáo viên muốn lập thành 5 nhóm làm 5 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 216 108 216 72 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 7007 7007 35035 7007 Câu 10: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1;2;3;...;9} . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tìm xác suất P để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. 3 1 1 1 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 50000 15000 450000 5000 Câu 11: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tìm xác xuất P để số được chọn chia hết cho 3 . 1 3 2 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 10 5 5 15 Câu 12: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển biểu thức f ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) . A. 3003. B. 2901. C. 3001. D. 1008. Câu 13: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 38 học sinh ? A. A382 . B. 238. C. C382 . D. 382. 9 10 14 1 1 Câu 14: Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Biết P ( A) = , P ( B ) = . Tính P ( A ∪ B ). 3 4 1 1 7 1 A. P ( A ∪ B ) = . B. P ( A ∪ B ) = . C. P ( A ∪ B ) = . D. P ( A ∪ B ) = . 12 7 12 2 Câu 15: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt 12 động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ của lớp. 29 A. 15. B. 14. C. 17. D. 16. Câu 16: Số các tổ hợp chập k của n (0 ≤ k ≤ n) phần tử là: n! n! n! n! A. Ank = . B. Ank = . C. Cnk = . D. Cnk = . (n − k )! k !(n − k )! (n − k )! k !(n − k )! 1  Câu 17: Tìm hệ số của x 6 trong khai triển  + x3  x  2 2 3Cn +1 + nP2 = 4 An . 3 n +1 với x ≠ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn A. 210 x 6 . B. 252 x 6 . C. 210. D. 252. Câu 18: Danh sách lớp của bạn Phúc đánh số từ 1 đến 45 . Phúc có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất P để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Phúc. Đại số và Giải tích 11 59 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 21 24 A. P = . B. P = . C. P = . 5 45 45 Câu 19: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau ? A. 720. B. 3003. C. 540. 1 D. P = . 9 D. 328. Câu 20: Tính tổng S của các hệ số trong khai triển biểu thức (1 − 2 x) 2018 . A. S = 2018. B. S = 1. C. S = −1. D. S = 2019. Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức x( x − 2) + (3x − 1) . A. 13668. B. −13668. C. −13548. D. 13548. 6 5 8 n 3  Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2 x 2 −  ( x ≠ 0 ) , biết rằng x  1 2 3 n k 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + ... + n.Cn = 256n ( Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. 4889888. B. 49888. C. 48988. D. 489888. Câu 23: Từ một hộp chứa 9 quả cầu màu đỏ và 6 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 12 4 24 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 65 91 91 21 Câu 24: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn1 − Cn2 = 5 . Tìm hệ số a của x 4 trong khai triển của n 1   biểu thức  2 x + 2  . x   A. a = 3360. Câu 25: Tìm hệ số của x A. 101. B. a = 256. 10 C. a = 45. D. a = 11520. trong khai triển biểu thức (1 + x + x + x 2 B. 109. ) 3 5 . C. 210. D. 420. Câu 26: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức P ( x ) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + ... + 8 (1 + x ) . A. 256. B. 720. C. 190. D. 636. 2 8 Câu 27: Biết hệ số của x 2 trong khai triển biểu thức (14 + x) n là 3040. Số nguyên dương n bằng bao nhiêu? A. n = 22. B. n = 19. C. n = 21. D. n = 20. Câu 28: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x(2 x − 1) 6 + ( x − 3)8 . A. −1272. B. −1752. C. 1272. D. 1752. n 2  Câu 29: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức  3 x 2 −  với x ≠ 0 , biết hệ số của số hạng thứ ba x  trong khai triển bằng 1080. A. −810. B. 1800. C. −180. D. 1080. Câu 30: Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 24 12 2 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 91 91 91 12 Câu 31: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;14]. Tìm xác suất P để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3. 31 457 307 207 A. P = . B. P = C. P = D. P = . . . 91 1372 1372 1372 Câu 32: Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P ( A ) + P ( B ) < 1 . B. P ( A ) + P ( B ) = 1 Đại số và Giải tích 11 60 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp C. Hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. D. Hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra.. Câu 33: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau? A. 5!.6!.8!. B. 3.5!.6!.8!. C. 1440. D. 6.5!.6!.8!. 1 2 3 2018 Câu 34: Tính tổng S = C2018 − 2.5C2018 + 3.52 C2018 − ... − 2018.52017 C2018 . A. S = 1009.2 4035. B. S = −1009.2 4034. C. S = −1009.2 4035. D. S = 1009.2 4034. Câu 35: Cho khai triển (1 − 2x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + a20 x20 . Tìm S = a0 + a1 + a2 + ⋯ + a20 . 20 A. S = 2 20. B. S = −1. C. S = 1. D. S = 320. Câu 36: Số tự nhiên n thỏa Cn1 + 2.Cn2 + ... + n.Cnn = 11264 . Tìm n. A. n = 9. B. n = 12. C. n = 11. D. n = 10. n  1  Câu 37: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển  3 + x 5  biết n là số nguyên dương thỏa x  n +1 n mãn Cn +4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) . A. 313. B. 495. C. 1303. D. 13129. Câu 38: Tìm số cách chọn ra một nhóm 5 người trong 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau. A. 1860480. B. 1140. C. 15504. D. 310080. Câu 39: Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau biết P ( A) = 0, 4; P ( B ) = 0,3. Tính P ( AB ). A. P ( AB ) = 0, 7. B. P ( AB ) = 0,12. C. P ( AB ) = 0, 58. D. P ( AB ) = 0,1. n n n−k  2  2 k  Câu 40: Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển  x 2 −  = ∑ Cnk ( −1) ( x 2 ) .   x  x k =0 3 bằng 49 . Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển đó. A. −160. B. −170. C. 120. D. 220. Câu 41: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau ? A. 28. B. A82 . C. C82 . D. 82. k Câu 42: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x(2 x − 1) 6 + (3 x − 1)8 . A. −13848. B. 13848. C. 13368. D. −13368. Câu 43: Có 11 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 11 , người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Tìm xác suất P để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn. 8 9 2 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 11 11 11 11 Câu 44: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;16]. Tìm xác suất P để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3. 77 19 1457 683 A. P = B. P = . C. P = D. P = . . . 512 56 4096 2048 Câu 45: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17]. Tìm xác suất P để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3. 23 1637 1728 1079 A. P = . B. P = C. P = D. P = . . . 68 4913 4913 4913 Câu 46: Lớp 11A có 40 học sinh trong đó có 12 học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và 13 học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là 0,5 . Tìm số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí. A. 5. B. 7. C. 9. D. 3. Đại số và Giải tích 11 61 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 47: Lớp 11A có 44 học sinh trong đó có 14 học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và 15 học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lý loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lý loại giỏi có xác suất là 0,5 . Tìm số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lý. A. 5. B. 7. C. 6. D. 8. Câu 48: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB , BC , CD , DA lần lượt cho 1, 2 , 3 và n điểm phân biệt ( n ≥ 3, n ∈ ℕ ) khác A , B , C , D . Lấy ngẫu nhiên 3 điểm từ n + 6 điểm đã cho. Biết xác suất 439 . Tìm n . 560 A. n = 10. B. n = 21. C. n = 7. D. n = 12. Câu 49: Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0, 2 điểm. An trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại An chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của An không dưới 9,5 điểm. 3 13 53 7 A. P = . B. P = C. P = D. P = . . . 4 1024 512 1024 Câu 50: Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi trong hộp? A. 10 . B. 20 . C. 5 . D. 6 . Câu 51: Một đề kiểm tra 15 phút có 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng được 1, 0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tìm xác suất P để thí sinh đó đạt từ 8, 0 trở lên. 436 65 101 56 A. P = 10 . B. P = 10 . C. P = 10 . D. P = 10 . 4 4 4 4 Câu 52: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh ? A. 34 2. B. A342 . C. C342 . D. 234. lấy được 1 tam giác là Câu 53: Cho số nguyên dương n thỏa mãn C21n + C23n + ⋯ + C22nn −1 = 512 . Tính tổng S = 2 2 Cn2 − 32 Cn3 + ⋯ + ( −1) .n 2 .Cnn . n A. S = 7. B. S = 9. C. S = −1. D. S = 5. Câu 54: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau ? A. 7 2. B. C72 . C. A72 . D. 27. Câu 55: Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm số tam giác có đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho. A. A153 . B. A153 − 15. C. C153 . D. C153 − 15. Câu 56: Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu? A. 20. B. 170. C. 360. D. 190. Câu 57: Cho các số nguyên dương k , n ( k < n ) . Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Cnk + Cnk +1 = Cnk++11. B. Ank = k !.C nk . C. Cnn − k = Cnk . D. Cnk = n! . ( n − k )! Câu 58: Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 4 học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tìm xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng. 1 1 1 1 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 260 780 390 130 Câu 59: Cho khai triển (1 − 4 x ) = a0 + a1 x + ...a 18 x18 . Tìm a3 . 18 A. a3 = −52224. Đại số và Giải tích 11 B. a3 = 2448. C. a3 = 52224. 62 D. a3 = −2448. Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 60: Trong một chiếc hộp có 7 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ và 10 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất của biến cố A: “ 6 viên bi lấy ra cùng một màu”. 17 7 73 27 A. P ( A ) = B. P ( A ) = C. P ( A ) = D. P ( A ) = . . . . 5060 5060 5060 5060 Câu 61: Một đề thi môn Toán có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng. Học sinh chọn đúng đáp án được 0, 2 điểm, chọn sai đáp án không được điểm. Một học sinh làm đề thi đó, chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời của tất cả 50 câu hỏi. Tìm xác suất P để học sinh đó được 5, 0 điểm. 1 A. P = . 2 B. P = 325. A5025 . 450 C. P = 325.C5025 . 450 D. P = C5025 . 450 Câu 62: Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n ≥ 3, n ∈ ℕ ) , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n ? A. n = 8. B. n = 9. C. n = 12. D. n = 22. Câu 63: Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 4 4 24 33 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 165 455 455 91 Câu 64: Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) . 10 A. 1340. B. 1001. C. 1902. D. 252. Câu 65: Cho số tự nhiên n thỏa mãn A + 2C = 22 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển của 2 n n n biểu thức ( 3 x − 4 ) . n B. 1080. C. −1440. D. 4320. 1 1 1 1 1 Câu 66: Tìm giá trị của H = + + + ... + + . 1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010! 22017 − 1 22018 22018 − 1 2 2017 A. H = . B. H = . C. H = . D. H = . 2018! 2019! 2019! 2018! Câu 67: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tìm xác suất P để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 18 72 36 21 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 385 385 385 385 Câu 68: Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 5 1 7 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 12 22 44 7 Câu 69: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tìm xác suất P để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. 5 5 1 5 A. P = B. P = C. P = . D. P = . . . 120 1008 42 42 Câu 70: Có bao nhiêu kết quả xảy ra khi bỏ phiếu bầu 1 bí thư, 2 phó bí thư và 1 ủy viên từ 30 đoàn viên thanh niên của một lớp học? A. 164430. B. 4060. C. 24360. D. 328860. Câu 71: Cho A là tập hợp gồm 20 điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có hai đầu mút phân biệt thuộc tập A là bao nhiêu? A. 380. B. 190. C. 120. D. 240. A. 4200. Đại số và Giải tích 11 63 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 72: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ A . Tìm xác suất P để được một số chia hết cho 5 . 1 5 1 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 30 6 6 3 Câu 73: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn0 + 2Cn1 + 2 2 Cn2 + ... + 2 n Cnn = 14348907 . Tìm hệ số của số n 1   hạng chứa x trong khai triển của biểu thức  x 2 − 3  , ( x ≠ 0 ) . x   A. 2310. B. 32760. C. 1324. D. 1365. Câu 74: Một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó có 2 học sinh nam ? A. C62 .C94 . B. A62 . A94 . C. C62 + C94 . D. A62 + A94 . 10 Câu 75: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tìm xác xuất P để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . 3 3 5 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 14 34 25 Câu 76: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x(3 x − 1) 6 + (2 x − 1)8 . A. 3007. B. −3007. C. −577. D. 577. Câu 77: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức P ( x ) = x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) . 5 10 A. 3320. B. 510. C. 2230. D. 1232. Câu 78: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 . 1 13 43 11 A. P = . B. P = C. P = D. P = . . . 27 324 324 324 Câu 79: Số tự nhiên n thỏa mãn 1.C1n + 2.C 2n + ... + n.C nn = 1024 . Tìm n. A. n = 10. B. n = 9. C. n = 8. D. n = 7. Câu 80: Một hộp chứa 11 quả cầu trong đó có 5 quả màu xanh và 6 quả đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu từ hộp đó. Tìm xác suất P để 2 lần đều lấy được quả màu xanh. 2 4 9 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 22 11 55 220 Đại số và Giải tích 11 64 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN KIỂM TRA CHƯƠNG II ĐỀ 01 Câu 1: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tìm xác suất P để giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm. 2 13 2 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 7 14 5 4 Câu 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất P để số được chọn là số chẵn. 1 2 91 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 7 210 7 Câu 3: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả khác màu. 24 13 12 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 25 25 5 Câu 4: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ? A. 220. B. 90. C. 1320. D. 32. Câu 5: Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập hợp đã cho ? A. 94. B. 36. C. 126. D. 3024. Câu 6: Tìm số nghiệm của phương trình 2Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12. A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 7: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ? A. 720. B. 360. C. 30. D. 120. Câu 8: Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau có kết quả nhận được là một số chẵn. 1 5 13 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 6 9 18 18 Câu 9: Tổ của An và Bình có 7 học sinh. Sắp xếp 7 học sinh ấy theo một hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy ? A. 120. B. 5040. C. 216. D. 240. Câu 10: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu. 5 5 13 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 9 18 18 16 Câu 11: Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 + 3 x ) là 90. Hãy tìm n. n A. n = 5. B. n = 10. C. n = 9. D. n = 7. Câu 12: Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau biết P ( A) = 0, 4; P ( B ) = 0,3. Tính P ( AB ). A. P ( AB ) = 0,1. B. P ( AB ) = 0, 7. C. P ( AB ) = 0, 58. D. P ( AB ) = 0,12. Câu 13: Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho ? A. 96. B. 420. C. 320. D. 48. Đại số và Giải tích 11 65 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 14: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức n  nx 2 1  −  , x ≠ 0. Niu-tơn   14 x  37 35 A. − x 5 . B. − x 5 . 16 14 C. − 35 5 x . 16 D. −35 x 5 . Câu 15: Giải phương trình x 2 − 2nx − 5 = 0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cnn −1 + C5n = 9. A. x = ±4. B. x = 2 ± 5. C. x = 4 ± 21. D. x = 4 ± 2. Câu 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau ? A. 7 2. B. C72 . C. A72 . D. 27. Câu 17: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất P để số được chọn là số chẵn. 91 1 2 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 210 3 7 7 Câu 18: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tìm xác suất P để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu. A. P = 0,48. B. P = 0,56. C. P = 0,84. D. P = 0,98. Câu 19: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ? A. 3. B. 9. C. 5. D. 7. Câu 20: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh ? A. C342 . B. 34 2. C. A342 . D. 234. Câu 21: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã giử đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất P để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. 3 1 5 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 5 11 11 Câu 22: Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 24 4 4 33 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 455 455 165 91 Câu 23: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x(2 x − 1) 6 + (3 x − 1)8 . A. −13368. B. 13368. C. −13848. Câu 24: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? A. 190. B. 180. C. 170. 1 2n 2 2 2n 3 3 2n Câu 25: Tìm giá trị của biểu thức F = 1 − 10C + 10 C − 10 C + ... − 10 A. F = 81n. Đại số và Giải tích 11 B. F = 812 n. C. F = 10n. 66 D. 13848. D. 380. 2 n −1 C22nn −1 + 102 n. D. F = 102 n. Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 2 Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 38 học sinh ? A. 382. B. A382 . C. C382 . D. 238. Câu 2: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ? A. 20. B. 10. C. 15. D. 5. Câu 3: Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 2. B. 192. C. 252. D. 196. Câu 4: Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 28. B. 161. C. 990. D. 165. 6  1  Câu 5: Gọi Tk là số hạng không chứa x trong khai triển  2 x − 2  , x ≠ 0 . Tìm số hạng Tk . x   A. T4 = 240. B. T3 = 420. C. T3 = 240. D. T6 = 240. Câu 6: Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất P để lấy được 3 quả cầu màu xanh. 1 5 7 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 22 12 44 7 1 1 Câu 7: Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Biết P ( A) = , P ( B ) = . Tính P ( A ∪ B ). 3 4 7 1 1 1 A. P ( A ∪ B ) = . B. P ( A ∪ B ) = . C. P ( A ∪ B ) = . D. P ( A ∪ B ) = . 12 12 2 7 Câu 8: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả cùng màu. 12 13 24 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = 1. 25 25 25 Câu 9: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 21. B. 231. C. 126. D. 105. Câu 10: Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Hỏi có bao nhiêu phương án chọn trả lời ? A. 410. B. 4. C. 104. D. 40. Câu 11: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau ? A. C82 . B. 28. C. A82 . D. 82. Câu 12: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tìm xác suất P để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn. 209 209 1 19 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . 230 230 115 46 Câu 13: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000 ? A. 24000. B. 1008. C. 1800. D. 3003. Câu 14: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Đại số và Giải tích 11 67 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu. 2 9 5 A. P = . B. P = . C. P = . 9 13 18 D. P = 13 . 18 1 17 + 42.315 C172 − 43.314 C173 + ... − 417 C17 . Câu 15: Tìm giá trị của biểu thức J = 317 C170 − 4.316 C17 A. J = −1. B. J = 7n. C. J = 12n. D. J = 17. Câu 16: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000). A. 1012. B. 1008. C. 1016. D. 1006. Câu 17: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên d1 và d 2 . A. 2720. B. 3230. C. 340. D. 5950. Câu 18: Tìm tất cả giá trị n là số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3 + 2Cnn−2 ≤ 9n. A. n = 3, n = 5. B. n = 4. C. n = 3, n = 4. D. n = 3. Câu 19: Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ ℕ và n ≥ 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo. A. n = 10. B. n = 7. C. n = 12. D. n = 9. Câu 20: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn0 − 2Cn1 + 4Cn2 = 97 . Gọi Tk là số hạng chứa x 2 n  2  trong khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn của biểu thức P( x ) =  x + 2  , x ≠ 0 . Tìm số hạng Tk . x   2 2 2 A. T2 = 121x . B. T3 = 211x . C. T2 = 112 x . D. T3 = 112 x 2 . Câu 21: Giải bất phương trình − x 2 − 2 x + 8 − n ≥ 0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn3 − Ann+−12 + 90 = 0. A. x ≥ 2. B. −3 ≤ x ≤ 1. C. x ≤ −3. D. −3 ≤ x < 2. Câu 22: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3. 2 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 3 360 15 Câu 23: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x(2 x − 1) 6 + ( x − 3)8 . A. 1272. B. −1272. C. −1752. Câu 24: Trong khai triển của (1 + ax ) n D. 1752. ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x 2 . Hãy tìm a và n . a = 8 a = 3 a = 2 a = 3 . . . . A.  B.  C.  D.  n = 3 n = 4 n = 8 n = 8 Câu 25: Cho tập A là một tập hợp có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A ? A. 220. B. 20. C. 220−1. D. 2020. Đại số và Giải tích 11 68 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 11 0 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 0 12 1 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6 12 7 12 8 12 9 13 0 13 1 13 2 13 3 13 4 13 5 13 6 13 7 13 8 13 9 14 0 A B C D A B C D Đại số và Giải tích 11 69 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 14 1 14 2 14 3 14 4 14 5 14 6 14 7 14 8 14 9 15 0 15 1 15 2 15 3 15 4 15 5 15 6 15 7 15 8 15 9 16 0 16 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 7 16 8 16 9 17 0 17 1 17 2 17 3 17 4 17 5 17 6 17 7 17 8 17 9 18 0 A B C D A B C D 181 182 183 A B C D ÔN THI THPT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A B C D A B C D A B C D A B C D Đại số và Giải tích 11 70 Chương II. Tổ hợp – Xác suất Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN KIỂM TRA CHƯƠNG II ĐỀ 1 1 2 3 4 5 21 22 23 24 25 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D A B C D ĐỀ 2 1 2 3 4 5 21 22 23 24 25 6 7 8 9 10 A B C D A B C D Đại số và Giải tích 11 71 Chương II. Tổ hợp – Xác suất