Chuyên đề tứ giác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: Cho HBH ABCD có AB và BD cắt nhau tại O, Gọi d là đường thẳng đi qua A và không cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ là khoảng cách từ B, C, D đến đường thẳng d, ( B’, C’, D’ nằm trên d) CMR: BB’ + DD’ = CC’ B’ HD: Vẽ OO’ ⊥ d (O’  d) Khi đó ta có: BB’D’D là hình thang B A O’ C’ có OO’ là đường trung bình nên: 2.OO’= BB’ + DD’ (1) Tương tự  ACC’ có OO’ là đường trung bình nên: 2.OO’ = CC’ (2) Từ (1) và (2) => BB’ + DD’ = CC’ o D’ C D d Bài 2: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên đường thẳng d BB ‘+ CC ‘ CMR: AA ‘ = 2 A HD: Gọi H, K lần lượt là giao của d với AB và AC B’ d C’ M’ A’ I Lấy N là hình chiếu của M trên đường thẳng d =>  AA’I =  MNI ( cạnh huyền- góc nhọn) B C M => AA’ = MN Hình thang BB’C’C có MN là đường trung bình nên: BB ‘+ CC ‘ MN = AA ‘ = 2 Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BH, CK, Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng HK, CMR: DK = EH. A HD: Gọi M, M’ lầ lượt là trung điểm của BC và DE, Xét  BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên: 1 HM = BC (1) 2  BKC vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên: 1 KM = BC (2) 2 Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’ E H M’ K D B M C 1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 4: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d, AA ‘+ BB ‘+ CC ‘ CMR: GG ‘ = A 3 D HD: M Gọi M là trung điểm của AC, và D đối xứng với G qua M, M’ là hình chiếu của M trên d, Khi đó ta có : BG GM = DM = 2 => G là trung điểm của BD => GG’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D => MM’ là đường trung bình của hình thang GG’D’D BB ‘+ DD ‘ Nên: GG ‘ = (1) 2 AA ‘+ CC’ DD ‘+ GG ‘ MM ‘ = ; MM ‘ = 2 2 => DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ – GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ – GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM G C B B’ A’ G’ M’ D’ C’ Bài 5: Cho HBH ABCD và đường thẳng d nằm bên ngoài HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D trên d, CMR: AA’+ CC’ = BB’ + DD’ B A HD: Vì ABCD là hình bình hành O nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD O’ là hình chiếu của O xuống d C D Khi đó ta có: OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C nên: 2OO’ = AA’ + CC’ (1) d Tương tự OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B A’ D’ O’ B’ C’ nên: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2) Từ (1) và (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ( G nằm bên trong tam giác), Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của A, B, C trên (d), Khi đó AA’, BB’, CC’ có mỗi quan hệ gì? HD: Gọi I trên AG sao cho AI = IG Kẻ MM’ ⊥ (d) Khi đó ta có: A  GII’ =  GMM’ (cạnh huyền = góc nhọn) 1 => II’ = MM’ mà II’ = AA’ => AA’ = 2. MM’ 2 I C’ Hình thang BB’C’C có MM’ là đường trung bình nên ta có: 2. MM’ = BB’ + CC’ G M’ B’ Nên ta có : AA’ = BB’ + CC’ B A’ I’ M C 2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 7: Cho tam giác ABC, Gọi D là trung điểm cạnh AB, trên BC lấy các điểm E, F sao cho BE = EF = FC, trên tia đối của tia BA lấy điểm G sao cho BG = BD CMR: AF, CD, GE đồng quy A HD: Gọi I là giao điểm của CD và GE D => E là trọng tâm của  DGC => DI = IC I  DEC có IF là đường trung bình nên IF // DE B C F E Lại có: DE là đường trung bình  ABF => DE // AF Khi đó A, I, F thẳng hàng hay AF có đi qua I G Bài 8: Cho hình thang ABCD có A = B = 1v, BC = 2 AB = 2 AD , Gọi M là 1 điểm nằm trên đáy nhỏ AD, kẻ Mx vuông góc với BM và Mx cắt CD tại N CMR: MB = MN M HD: D A 1 Kẻ DK //AB, chứng minh  BDC vuông tại D => ADC = 900 + 450 = 1350 , Gọi H là trung điểm của BN, Chứng minh MH ⊥ BN vì  BMN vuông 1 1 MH = BN , DH = BN = MH = DH 2 2 2 2 1 N 1 2 H 3 B A C K HMD = HDM mà HDM = ABH = DMN + MBH (1) Và HMD = HMN + DMN (2) Từ (1) và (2) => MBH = HMN Mà: MBH + MNH = 900 = HMN + MNH = 900 Vậy HM ⊥ BN =>  BMN có MH vừa là đường cao vừa là trung tuyên nên MB = MN Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A tù, AC > AB, H là chân đường cao hạ từ A, về phía trong góc BAC , dựng D và E sao cho AD vuông góc với AB, AD = AB, AE vuông góc với AC và AE = AC, M là trung điểm DE CMR: A, H, M thẳng hàng A HD: Dựng HBH DAEF => M là trung điểm AF => AE = DF Mà AE ⊥ AC => DF ⊥ AC ta có: DAE + BAC = DAE + BAD + DAC = 900 + 900 = 1800 Mà: DAE + ADF = 1800 = BAC = ADF  ADF =  ABC (c.g.c) => B = DAF và C = F Gọi FD cắt BC tại I, cắt AC tại N và AF cắt BC tại H’ 2   H ‘ IF = NIC ( d ) = IH ‘ F = N = 900 , =>   C = F Hay AF ⊥ BC tại H => A, F, H thẳng hàng => A, H, M thẳng hàng N I B C D M E F 3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 10: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD, CMR: a, BMC = 900 b, BC = AB + CD HD: A E B 2 a, Giả sử MC cắt AB tại E Khi đó CMD = EMA ( g.c.g ) => CM = EM và CD = AE 2 Xét  BEC có: E = C2 = C1 =>  BEC cân Mà BM là đường trung tuyến => BM là đường cao Vậy BM ⊥ EC b, Vi  BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB M 1 1 2 C D Bài 11: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có C = 600 , DB là phân giác của góc D , Biết chu vi của hình thang là 20cm, Tính mỗi cạnh của hình thang E HD: Đặt BC= a, ta có ngay:AD = AB = BC = a Mà: C = 600 = D2 = 300 = DBC = 900 A B 1 Xét  BDC có D2 = 30 , C = 60 = DC = 2a Mà Chu vi hình thang là 20 cm nên a + a + a + 2a = 20 => a = 4 0 0 a 1 1 2 C D Bài 12: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d, ( AB > BC), Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, vẽ các ADB, BEC đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là Trung điểm của các đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE a, CMR: 3 điểm I, M, N thẳng hàng b, CMR: 3 điểm I, Q, P thẳng hàng 1 c, CMR: MNPQ là thình thang cân d, NQ = DE 2 HD: D a, Dễ thấy AD // BE IN là đường trung bình  ADE => IN // AD IM là đường trung bình  DBE => IM // BE // AD => 3 điểm I, M, N thẳng hàng b, Chứng minh tương tự c, Trong  AEB có NP là đường trung bình => NP // (d) Tương tự MQ // (d) => MQ // NP  N1 = A1 = N = A = 600 , =>   N 2 = A2 I E Q M N 1 1 2 2 1 1 2 A B P 2 C  D1 = B1 = QPN = 1800 − 600 − 600 = 600 Chứng minh tương tự ta có:   P2 = B2 d, Vì MNPQ thang cân => NQ = MP, Mà MP là đường trung bình  BED nên: 1 1 MP = DE = NQ = MP = DE 2 2 4 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 13: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là E trung điểm của AE, BE, AC, BD, CMR: MNPQ là hình thang N M HD: Dễ dạng chứng minh được MN // AB Gọi R là trung điểm của AD khi đó ta có: RQ // AB RP // DC // AB Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB Vậy MNPQ là hình thang B A Q P C D Bài 14: Cho tứ giác ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự là trung điểm của AD và BC AB + CD a, CMR: PQ  2 AB + CD b, Tứ giác ABCD là hình thang khi và chỉ khi PQ = 2 HD: A a, Tự chứng minh B Q P AB + CD b, Ta chứng minh ABCD là hình thang => PQ = 2 D 1 Thật vậy :  ADC có pR là đường trung bình => PR = DC (1) 2 1 RQ là đường trung bình  ABC => RQ = AB (2) 2 AB + CD Cộng theo vế (1) và (2) ta được : PQ + RQ = 2 AB + CD Ta chứng minh nếu PQ + RQ = thì ABCD là hình thang 2 AB + CD = PQ = PR + RQ => 3 điểm P, Q, R thẳng hàng, Thật vậy PQ = 2 Mà : PQ // DC và RQ // AB => AB // CD => ABCD là hình thang R C Bài 15: Cho ABC đều, Trên tia đối của tian AB, lấy D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của BE, AD, AC, AB, CMR: a, Tứ giác BCDE là hình thang cân b, Tứ giác CNEQ là hình thang E c, MNP là tam giác đều D HD: N a,  AED đều => D = 600 = B = ED / / BC Lại có 2 đường chéo bằng nhau => là hình thang cân b,  ABC đều => CQ ⊥ AD  AED đều => EN ⊥ AD => CQ // En => là hình thang 1 c, Ta có: NP là đường trung bình => NP = DC 2 1 1 BE = DC 2 2 1 1 Xét  ENB có N = 900 và MN là đường trung tuyên => MN = BE = DC 2 2 Vậy  NMP có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều A 1 M Q P Xét  BEP có P = 900 , MP là đường trung tuyến => MP = B C 5 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 16 : Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác, Đường thẳng qua M và // với BC cắt AB ở D, đường thẳng qua M và // với AC cắt BC tại E,đường thẳng qua M và // với AB cắt AC ở F, CMR : a, Tứ giác : ADMF, BDMF, CFME là các hình thang cân b, MB − MC  MA  MB + MC A HD: F a, Vì  ABC đều => A = B = C = 60 0 1 D và D1 = B ( đồng vị) => hình thang ADMF có hai góc ở đáy bằng nhau Nên ADMF là hình thang cân B Các hình thang còn lại CMTT b, Ta có: MA=DF. MB=DE, MC=EF Xét  DEF => DE − EF  DF  DE + EF ( Bất đẳng thức trong tam giác) M C E Bài 17 : Cho tứ giác ABCD, có : A + C = 1800 , AB = BC = AD CMR : ABCD là hình thang cân HD: M Vẽ BM ⊥ AB, BN ⊥ CD =>  ABM =  CBN ( cạnh huyền- góc nhọn) => BM =BN 1 A B => BD là tia phân giác góc D  A1 = D D C N Mà  ABD cân => AB// DC=>  => D = C  A1 = C Vậy ABCD là hình thang cân Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ AH vuông góc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH CH, CMR : MN vuông góc với AB và BM vuông góc với AN A HD: Vì MN là đường trung bình => MN//AC mà AC ⊥ AB => MN ⊥ AB=> M là trực tâm của  ABN  ABN có M là trực tâm => BM ⊥ AN M B C N H Bài 19 : Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của các cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : AEM = MFB HD : E Gọi I là trung điểm của BD Ta có: MI, NI lần lượt là đường trung bình AD BC = = IN =>  IMN cân => MI = 2 2 ? F ? A => M = E ( đồng vị ) và N = F ( so le trong) Vậy E = F B M I D N C 6 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 20 : Cho hình thang ABCD, (AB MN = M B 1 AD, MN / / AD 2 P N 1 PQ là đường trung bình => PQ = AD, PQ / / AD 2 Chứng minh tương tự => MNPQ là hình bìn hành E D C Q Bài 21: Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE, lấy các điểm M, N trên các cạnh BC sao cho BM=MN=NC, GỌi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE, Tính IK HD: Vì DN là đường trung bình của  ACM => DN // AM  BM = MN => I là trung điểm của BD  BDN có:   AM / / DN Chứng minh tương tự=> K là trung điểm của EC A Kéo dài IK cắt AB và AC lần lượt tại G và H Khi đó  BED có GI đi qua trung điểm I của BD và // ED D E G B K H I M N C nên GE=GB  CED có KH đi qua trung điểm K của EC và // ED nên HD=HC 1 1 1 1 Khi đó ta có: GI = ED = a, KH = ED = a 2 4 2 4 1 3a 3a = GH = Còn 2GH = a + a = 2 2 4 3a 1 1 a Nên IK= GH – GI- HK= − a − a = 4 4 4 4 a Vậy IK = 4 Bài 22: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F a, Trên Tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC, CMR E là trực tâm của tam giác DBH b, CMR: HE=HF HD: A a, Ta có MH là đường trung bình  BCD => MH// BD, K D Mà EF // MH => EF ⊥ BD F Ta lại có: BA ⊥ DH =>  BDH có E là trực tâm H b, Gọi G là giao điểm của DE và BH => K là giao điểm BH và AC E G =>  DHG =  CHK ( cạnh huyền – góc nhọn) => HG =HK C B M =>  HGE =  HKF ( c. g. c) => HE= HF Bài 23: Cho hình thang ABCD, có A = B = 1v và BC=2AB=2AD, gọi M là 1 điểm trên dây nhỏ AD, Kẻ Mx vuông góc với BM và Mx cắt CD tại N, CMR: MB =MN 7 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức HD: Kẻ DK // AB, CMR  BDC vuông tại D => ADC = 900 + 450 = 1350 Gọi H là trung điểm của BN, => MH ⊥ BN vì  BMN vuông 1 MH = BN 2 => => MH= DH 1 DH = BN 2 K HMD = HDM , Mà HDM = ABH = DMN + MBH và HMD = HMN + DMN => MBH = HMN Mà: MBH + MNH = 900 = HMN + MNH = 900 Vậy HM ⊥ BN Bài 24: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao BD và CE, gọi I và K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng ED, CMR: IE=DK A HD: Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN ⊥ ED K D Tứ giác BIKC là hình thang => NI= NK (1) N 1  BEC vuông có EM = . BC E 2 I 1 => EM =DM  BDC vuông có DM = . BC 2 C B M =>  EDM cân có MN đường cao và là trung tuyến => NE = ND (2) Từ (1) và (2) => IE= DK Bài 25: Cho hình thang ABCD (AB//CD), Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của BD và AC, Vẽ đường thẳng đi qua E và vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC, cắt nhau tại I, CMR: IC=ID HD: Gọi N là trung điểm của DC => FN là đường trung bình của  ADC  FN / / AD = PE ⊥ FN = EI ⊥ FN =>   PE ⊥ AD Chứng minh tương tự: FQ ⊥ EN = FI ⊥ EN => I là trực tâm => IN ⊥ EF, mà EF // DC => IN ⊥ DC  IDC có IN vừa trung tuyến vừa đường cao =>  IDC cân => ID=IC I 8 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 26: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó, trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB, Một góc vuông đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D a, AC+BD=CD b, CO là tia phân giác của ACD HD D a, Gọi I là trung điểm của CD AC// BD => OI là trung bình của hình thang ABCD AC + BD => OI = 2 => AC + BD = 2.OI Lại có  COD vuông => OI là đường trung tuyến => OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD b, ta có  OCD vuông tại O có OI là đường trung tuyến nên OI = IC =>  IOC cân tại I=> C2 = O1 Mà: O1 = C1 Nên => C1 = C2 vậy OC là tia phân giác góc ACD Bài 27: Cho  ABC nhọn, trong đó A = 600 , Lấy D là điểm bất kì trên BC, gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua cạnh AB, AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N a, CMR: AE=AF và Tính EAF b, CMR: AD là tia phân giác  DMN HD: A a, Ta có: D và E đối xứng với nhau qua AB nên AB là đường trung trực của ED=> AE=AD N Tương tự AD= AF M E EAD = 2.MAD khi đó AE=AF, Ta có: DAF = 2.DAM ( ) => EAF = 2 MAD + DAM = 2. A = 1200 B D F C b, Do đối xứng nên ta có: AEM = ADM và  AEF cân tại A nên AEM = AFN = ADM = ADN AFN = ADN Vậy AD là phân giác góc MDN Bài 28: Cho tứ giác ABCD, có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, và AD vuông góc AC, BD vuông góc với CB, Gọi E là giao điểm của AD và BC, d là đường thẳng đi qua các trung điểm của EO và CD a, CMR: A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d E b, Tứ giác ABCD sẽ như thế nào nếu D trùng EO HD: B I a, Ta có: Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OE và BC A Ta có:  AOE vuông tại A có Ai là trung tuyến O nên AI= IE=IO (1)  BOE vuông tại B có BI là đường trung tuyến nên BI=EI=IO (2) C D K Từ (1) và (2) ta có: IA = IB Tương tự  ADC vuông tại A có AK là đường trung tuyến => AK = DK=CK  BDC có BK là đường trung tuyến của tam giác vuông nên BK = KD= KC Nên KA= KB hay K nằm trên đường trung trực AB Vậy IK là trung trực của AB hay A và B đối cứng với nhau qua (d) b, Ta thấy EO là đường thẳng chứa đường cao của  EDC Nếu d trùng với Eo thì d vừa là đường trung trực AB và CD nên ABCD là hình thang cân 9 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 29: Cho HBH ABCD, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, đường chéo AC cắt BE, DF lần lượt tại P và Q, gọi R là trung điểm của đoạn thẳng BP, CMR: a, AP=PQ=QC b, Tứ giác ARQE là hình bình hành HD: a, Trong  BDC có CO và DF là hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm 1 1 => OQ = QC = OC 2 3 Tương tự  ABD có P là trọng tâm 1 1 => OP = AP = AO 2 3 Từ (1) và (2) ta có AP= QC Ta lại có : 2 AC 2 PQ = AC − AP − QC = AC − ( 2 AP ) = AC − AO = AC − = AC = AP 3 3 3 vậy AP= PQ= QC 1 b, Vì P là trọng tâm  ABD nên EP = PB = PR 2 Tứ giác ARQE có hai đường chéo cắt nhau tịa trung điểm mỗi đường nên là HBH F Bài 30: Cho tam giác ABC, ba điểm N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC, và I, J, K lần lượt là TĐ của các đoạn thẳng NP, BP, NC. CMR: IJKQ là hình bình hành A HD: Ta có:  NPB có IP =IN ( gt) và JP =JN (gt) Q N 1 Nên Ị là đường trung bình => IJ // NB và IJ = NB 2 1 1 Tương tự ta có: QK // AN và QK = . AN= NB 2 2 Từ đó ta có: IJKQ là hình bình hành I K B J C P Bài 31: Cho tam giác ABC (AB FD= FE Ta chứng minh AD IF =ID, CF= CD Do đó: CI là đường trung trực của DF Vậy D, F đối xứng với nhau qua CI ( C F ) Bài 33: Cho hình thang vuông ABCD A = D = 900 , có CD= 2AB, gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC, CMR: BMD = 900 HD: B A Gọi N là trung điểm của HD, ta có: MN là đường trung bình 1 => MN = DC , MN / / DC 2 1 Mà: AB / / DC , AB = DC 2 nên AB// MN và AB= MN => ABMN là hình bình hành => AN//BM H M N C D  ADM có DH ⊥ AM, MN ⊥ AD, AN ⊥ DM Khi đó BMD = 900 Bài 34: Cho  ABC cân tại A, lấy điểm D trên AB, E trên AC sao cho AD=CE, gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm AI và BC CMR: ADKF là HBH A HD: Kẻ DM, IN // BC, Hãy chứng minh AM = CE M D Vì MN =NE=> N là trung điểm AC N I => I là trung điểm AK E Tứ giác ADKE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là HBH B K C 11 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 35: Cho tam giác ABC đều, một đường thẳng // với BC cắt AB, AC ở D và E, Gọi D là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD, Tính số đo các góc của tam giác GIB HD: A Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE tại K G Ta có: BDKC là hình bình hành=> B, I, K thẳng hàng Chứng minh  GDB=  GEK (c.g.c) D K E 0 Để  GBK cân tại G có BGK = 120 , do đó các góc của  GBI lần lượt là 900 ,600 ,300 I C B Bài 36: Cho  ABC, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là các điểm đối xứng với H qua AB và AC, đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N a, CMR:  DAE cân b, CMR: HA là phân giác MHN c, CME : 3 đường thẳng BN, CM, AH thẳng hàng d, CMR : BN, CM là các đường cao của  ABC E HD: A a, Ta có: AD= AH, AE = AH => AD = AE K b, Do Tính chất đối xứng ta => AB là phân giác DMH  AI ⊥ HM = AI = AJ Kẻ  (1)  AJ ⊥ DM I J N M D AC là phân giác ENH , Kẻ AK ⊥ HN=> AK= AJ (2) Từ (1) và (2) ta có: AI = AK B H Vậy A cách đều 2 cạnh góc MHN => HA là phân giác góc MHN c, Chứng minh tương tự ta cũng có: CM là tia phân giác HMN BN là tia phân giác góc MNH Trong  MHN các đường phân giác trong HA, MC, NB cùng đồng quy tại 1 điểm C d, AB là phân giác góc DMH MC là phân giác góc MHN , mà 2 góc DMH ,MHN kề bù => MC ⊥ AB => MC là đường cao  ABC Chứng minh tương tự BN là đường cao của  ABC Bài 37: Cho hình thang vuông ABCD, (AB//CD), gọi E , F theo thứ tự là các điểm đối xứng của B và điểm A qua đường thẳng DC, G, H theo thứ tự là các điểm đối xứng của C và E qua AD a, CMR: D là trung điểm của BH b, CMR: AH// BF, CH// BG HD: B A a, Gọi I là giao BE và DC, do tính chất đối xứng ta có: 1 1 BI =IE, Mà DF =AD và AD=BI=> DF =BI Ta cũng có: DI= HF D 2 Hai tam giác vuông  BID và  DFH bằng nhau 1 G 1 I 1 3 cho ta DB= DH (1) Và B1 = D1 = D1 + D2 + D3 = D1 + B1 + 900 = 900 + 900 = 1800 => H, B, D thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) => D là trung điểm BH C 1 H F E b, Dễ dạng chứng minh được  ADH =  FDB => A1 = F1 = AH / / BF 12 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Dễ chứng minh được  BDG =  HDC => C1 = G1 = CH / /GB Bài 38: Cho  ABC, Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của DF, BF, CD a, CMR: Tứ giác IJFK và IEKJ là hình bình hành A b, 3 điểm E, K, F thẳng hàng HD:  IJ = BD, IJ / / BD = IJFK là hình bình hành a, Ta có:  E D  KF = BD, KF / / BD I Chứng minh tương tự cho tứ giác IEKJ K b, DE// FC và DE =FC => DECF là hình bình hành C B J F => EF đi qua trung điểm K của DC Vậy E, K, F thẳng hàng Bài 39: Cho HBH ABCD có A = 1200 , Tia phân giác góc D đi qua trung điểm I của AB, Kẻ AH vuông góc với DC, CMR: a, AB=2AD b, DI=2AH c, AC vuông góc AD HD: a,  DAI cân đỉnh A H C D 1 => AD = AI= AB 2 M b, Kẻ AH ⊥ DC, AM ⊥ DI 1 =>  ADM =  ADH => AH= DM = DI 2 0 B A I c,  ADC có D = 60 = CD = 2.AD = ADC vuông tại A Bài 40: Cho HBH ABCD, lấy hai điểm E, F trên BD sao cho BE = DF  BD 2 a, CMR: AECF là HBH b, Gọi K là giao điểm của CE và AB, I là trung điểm của AK, Xác định vị trí E sao cho AI=IK=KB HD: a, Xét  ABE và  CDF ta có: AB= CD, B1 = D1 và BE= CF =>  ABE=  CDF (c. g.c) => AE= CF Chứng minh tương tự AF = CE=> AECF là hình bình hành b, Ta có: OA = OC = OI / /CK Khi đó:   AI = KI I A K B 1 E O 1 F D C  BK = IK => E là trung điểm OB   KE / / IO Bài 41: Cho  ABC, kẻ các đường cao BD và CJ, Gọi H là trực tâm của  , E là trung điểm của AH, D là trung điểm của BC, CMR: I và J đối xứng với nhau qua ED HD: A  BIC vuông tại I có ID là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC BC I => ID = E 2 J BC = ID = JD Chứng minh tương tự: JD = H 2 Chứng minh tương tự: JE= EI GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức B D C 13 => ED là đường trung trực của IJ => IJ đối xứng nhau qua ED Bài 42: Cho  ABC, Về phía ngoài tam giác vẽ các  ABD vuông cân tại B,  ACE vuông cân tại C, Gọi M là trung điểm của DE, CMR:  MBC vuông cân HD: K Trên nửa mặt phẳng bờ BC, Vẽ  BCN vuông cân tại C =>  ABC =  ENC (c.g.c) => BAC = NEC = KAC + NEC = 1800 => AKE = 900 (K là giao điểm cảu EN và AB) N A E M D Ta lại có : BD=NE (= AB) => BD// NE ( Cùng vuông góc với AB) => BDNE là hình bình hành => M là trung điểm BN Mà  CBN vuông cân tại C =>  MBC vuông cân tại M 2 1 B C Bài 43: Cho  ABC có ba góc nhọn (AB Chứng minh ACD = 900 , ta có: DC ⊥ AC, BH ⊥ AC ( H là trực tâm của  ABC) => BH // DC Chứng minh tương tự ta cũng có: CH// DB Vậy BHCD là Hình bình hành H O B C M D b, M là trung điểm của BC => M là trung điểm của HD Mà O là trung điểm của AD => OM là đường trung bình của  AHD 1 => OM = AH => AH= 2OM 2 Bài 44: Cho  ABC cân tại A, từ 1 điểm D bất kỳ trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB, AC ở E và F, Vẽ các HCN BDEH, CDFK CMR:A là trung điểm của HK HD: Gọi I và O là tâm của HCN BDEH và CDFK, Ta có: B1 = D1 , C1 = D2 Mà B1 = C1 ( gt ) = B1 = D1 = C1 = D2 => BE// DK, DH// CA => AIDO là hình bình hành nên AO = ID mà HI = ID, Nên AO = HI Ta lại có: AO // HI nên AOIH là hình bình hành Do đó: AH // IO, AH= IO (1) Chứng minh tương tự ta có: AIOK là hình bình hành => AK// IO và AK=IO Từ (1) và (2) ta có: H, A, K thẳng hàng và AH= AK E H A I F K O (2) 1 B 1 2 D 1 C 14 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 15 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 45: Cho HBH ABCD, Các đường cao AE và AF, biết AC =25cm, EF=24cm, Tính khoẳng cachs từ A đến trực tâm H của  AEF HD: N A B Kẻ CN vuông góc với AB, Tứ giác EHFC có EH // CF, HF// FC nên EHFC là hình binh hành => AN = HF ( = EC) Tứ giác ANFH có AN = HF, AN// HF nên là hình bình hành => AH + NF, AH// NF Lại có AH ⊥ EF nên NF ⊥ EF D  EFN vuông tại F có EF =24cm, NE = AC= 25cm nên NF 2 = NE 2 − EF 2 = 252 − 242 = 49 = NF = 7 = AH = 7cm F H C E Bài 46: Cho  ABC, Trực tâm H, I là giao điểm các đường trung trực, Gọi E là điểm đối xứng với A qua I, CMR: BHCE là hình bình hành HD: A Gọi I là giao của 3 đường trung trực => IA = IB = IC Lại có: IA = IE nên IA= IB= IE= IC Chứng minh AC ⊥ CE để suy ra BH// EC tương tự CH// BE H I C B E Bài 47: Cho H là hình chiếu của B trên đường chéo AC của HCN ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD 1 a, Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC, CMR: MO = IC 2 b, Tính số đo BMK ? HD: I A Ta có: BIKC là Hình chữ nhật nên O là trung điểm của IC và BK 1 Xét  IMC vuông, Ta có : MO= DC 2 1 1 b,  MBK có MD = IC= BK, Nên BMK = 900 2 2 B M O H D C K Bài 48: Cho  ABC vuông cân tại A có AH là đường cao, Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên cạnh BC, I và K là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC, CMR:  IHK vuông cân HD: A Chứng minh AIMK là hình chữ nhật Vì  ABC vuông cân tại A => AK= IM = BI mà BH = HA => HBI = HAK = 450 =>  BHI =  AHK (c. g. c) => IH = HK K I 1 B 3 M 2 H C Mà H3 + H 2 = 900 = H1 + H 2 = 900 16 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 49: Cho HCN ABCD, Kẻ BH vuông góc với AC, Gọi M và K lầ lượt là trung điểm của HC và AD, CMR: BK vuông góc với KM I A B HD:  AKB, kẻ đường cao KI cắt BH tại E => E là trực tâm của  AKB=> AE ⊥ BK Ta có : KI// AD và KI //BC => KE // MA và KE =MA => Tứ giác AMKE là hình bình hành => AE//MK mà AE ⊥ BK=> MK ⊥ BK E M H K D C Bài 50: Cho  ABC nhọn, Trực tâm H, giao điểm của các đường trung trực là O, Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, AC a, CMR: OPQN là HBH b,  ABC cần có điều kiện gì để OPQN là HCN HD: a, Gọi O là giao của 3 đường trung trực nên OP ⊥ AB, ON ⊥ AC Trong  AHC, QN là đường trung bình nên QN// HC Và PO //HC ( cùng vuông góc với AB) Chứng minh tương tự ta có: OPQN là hình bình hành b, ta có: tứ giác BCQN là hình chữ nhật có 2 đường chéo là NC và BQ => NC = BQ 1 1 => MP = NC = BQ , 2 2 1 Xét  MQB có MP là đường trung tuyến nên MP = BQ 2 nên  MBQ vuông tại M => MB ⊥ MQ A Q N D O H C B Bài 51: Cho  ABC cân tại A, từ 1 điểm D bất kỳ trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB, AC ở E và F, Vẽ các HCN BDEH, CDFK, Gọi I, J lần lượt là tâm các HCN BDEH và CDFK, M là trung điểm của AD a, CMR: Trung điểm HK là 1 điểm có định không phụ thuộc vào vị trí của D trên BC b, CMR: 3 điểm I, J, M thẳng hàng và 3 đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy HD: E H a, Ta có: B1 = D1 mà B1 = C1 = D1 = C1 = ID / / AC Chứng minh tương tự ta có: JD// AB Khi đó AIDJ là hình bình hành=> AJ // ID, AJ = ID => Chứng minh AHIJ là hình bình hành => IJ // AH và IJ = AH và IJ //AK và IJ =AK Khi đó 3 điểm A, H, K thẳng hàng và A là trung điểm của HK A I F b, Tứ giác AIDJ là hình bình hành => M là trung điểm của AD, thì M nằm trên đường chéo của HBH K M J 1 B 1 2 1 D C 17 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 52: Cho HCN ABCD và 1 điểm M thuộc miền trong của HCN a, Gọi E, F, G, H là các điểm đối xứng của M theo thứ tự qua các trục AB, BC, CD, DA, CMR: E, F đối xứng với nhau qua điểm B. E và H đối xứng với nhau qua A. G và H đối xứng với nhau qua D. F và G đối xứng với nhau qua C b, Chọn M sao cho EFGH là HBH, khi đó EFGH là hình gì? E HD: A 1 2 a, Do tính chất của đối xứng trục nên B1 = B2 , B3 = B4 H B 3 4 F M O => B1 + B2 + B3 + B4 = EBF = 1800 D C => 3 điểm E, B, F thẳng hàng Mà BE = BM = BF G => E, F đối xứng với nhau qua B Các điểm khác chứng minh tương tự b, Để EFGH là hình bình hành thì EF// HG//AO, Khi đó M trùng với O, Tâm của HCN => EFGH là hình thoi Bài 53: Cho  ABC có trực tâm H, Gọi M là trung điểm của BC, Gọi D là điểm đối xứng với H qua M, Gọi I là trung điểm của AD, CMR: IM vuông góc BC A HD: Vì IM là đường trung bình của  AHD  IM / / AH = IM ⊥ BC =>   AH ⊥ BC E F H I B C M D Bài 54: Cho  ABC, kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HC và CE, các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K a, CMR: Tứ giác AHCE là HCN b, CMR : HG=GK=KE HD; A E a, Tự chứng minh E b, G là trọng tâm  AHC => HG = 2 GI I G Chứng minh tương tự ta có: KE= 2. KI mà IH = IE=> IG= IK => GK =2.GI=2.IK=> ĐPCM B H M C 18 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 19 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 55: Cho HBH ABCD có AB=2AD, Góc D = 700 vẽ BH vuông góc với AD, H  AD . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB a, CMR: ANMD là hình thoi H b, Tính HMC 1 2 3 HD: a, Tự chứng minh 70 N B A b, Ta có: M1 = D = 700 , Tính M 2 Ta có: M 2 = H1 ( So le trong) 2 Mà : M 2 = H3 = H1 = H3 1 D C M Xét  HAN cân tại N => H1 + H3 = A = 70 0 => H1 = 350 = M 2 = 350 , Vậy HMC = 350 + 700 = 1050 Bài 56: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC ,CMR: a, AH= DE b, HAB = MAC c, AM ⊥ DE d, DI//EK, với I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC HD: a, Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên là HCN => AH= DE b,  ABC vuông tại A, Có AM là đường trung tuyến => AM= MB= MC =>  AMC cân tại M => MAC = C Mặt khác HAB = C , B ( ) Vì cùng phụ với HAC = HAB = MAC = C I D H 1 c, Chứng minh AM ⊥ DE , Ta có: A1 + E2 = 900 , ta có: M K O E2 + A1 = E2 + A3 = E2 + E1 = 900 d, Ta có:  HEC có EK = KH = KC =>  EKC cân tại K 32 1 2 1 3 => E3 = C = A1 C A E => EK //AM => KE ⊥ DE, Chứng minh tương tự => DI ⊥ DE = DI / / EK Bài 57: Cho  ABC, Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD=CE=BC, Gọi M là giao điểm của BE và CD, đường thẳng song song với tia phân giác của góc BAC cắt AC ở F, CMR:AB=CF HD: Vẽ Hình bình hành ABNC => AB = NC A => CB= CE=>  BCE cân F 1 1 => CBE = CBN = ACB 2 2 => BM là tia phân giác góc CBN , CM là tia phân giác C => NM // phân giác góc A => 3 điểm F, M, N thằng hàng 1 1 => CNF = BNC = BAC = F 2 2 =>  NFC cân tại C => NC = CF mà NC = AB => AB= CF ? ? C B M N E D 20 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 58: Cho HCN ABCD, M là điểm bất kỳ nằm trong HCN, vẽ ME ⊥ AB tại E, MF ⊥ AD tại F, CK ⊥ AM tại K, CMR: a, ME 2 + MF 2 = MA2 b, MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 c, BKD = 900 HD E A a, Tứ giác AEMF là hình chữ nhật M => MA= EF => ME 2 + MF 2 = EF 2 = AM 2 F b, Gọi G là giao điểm của EM và CD, H là giao điểm của FM và BC O => Tứ giác DFMG, GMHC, EBHM là hình chữ nhật, 2 2 2 Do vậy MC = MH + MG MB2 = ME 2 + MH 2 D G MD 2 = MG 2 + MF 2 => ĐPCM c, Gọi O là giao của 2 đường chéo AC và BD AC BD = = BK ⊥ DK = BKD = 900 => KO = 2 2 Bài 59: Cho  ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH, trên HC lấy HD=HA, đường AC tại E a, CMR: AE =AB b, M là TĐ của BE, Tính AHM HD: a, Chứng minh AE=AB Kẻ EF ⊥ AH => tứ giác HDEF là hình chữ nhật =>  HBA=  FAE (g.c.g) => AB=AE BE b,  ABE vuông cân tại A=> AM = 2 BE  BDE vuông cân tại D=> MD = B 2 Từ đó ta có: AM=MD B H K C ⊥ BC tại D cắt A E F M H C D Xét  AHM =  DHM (c. c. c)=> H1 = H 2 = 450 Bài 60: Cho  ABC, D trên AB, E trên AC sao cho BD=CE, Gọi M, N là trung điểm của BC, DE, Vẽ các hình bình hành BDNI và CENK a, CMR: I, M, K thẳng hàng P b, MN cắt AC tại Q, cắt BA tại P, CMR:  APQ cân A HD: 1 Q 2 BI / / DN  = BI / / DE a, Tứ giác BDNI là hình bình hành =>   BI = DN D  KC / / NE = KC / / DE Tứ giác NECK là hình bình hành =>   KC = NE B Từ đó ta có KC//DE và BI= KC => Tứ giác BICK là hình bình hành có M là trung điểm của BC => M đi qua trung điểm IK => I, K, M thẳng hàng b, Ta có: NI=DB, NK= CE mà BD = CE => NI = NK =>  NIK cân tại N Mà MN là đường trung tuyến => NM là phân giác => N1 = N2 N E 1 2 K I M C Lại có : NK // QC=> N2 = Q2 ( đồng vị) và NI// BD=> N1 = P ( đồng vị ) => Q2 = P = Q1 = Q2 ( đối đỉnh) => P = Q1 Vậy  APQ cân tại A 21 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 61: Cho HCN ABCD, qua E trên đường chéo AC, kẻ đường // với BD cắt AD và phần kéo dài của CD ở M và N, Vẽ HCN DMFN, CMR: a, FD//AC b, E là trung điểm của FB HD: A B a, Chứng minh FD// AC E Tứ giác ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại O => OC= OD => D1 = C1 , F M Mà EN // BD => N1 = D1 = C1 Mà  IND cân 1 I O 1 2 1 N C => N1 = D2 = D1 = C1 => FD//AC D b, Chứng minh DIEO là hình bình hành => DI//EO và DI =EO => FI//EO và FI =EO => FIOE là hình bình hành => IO //EF và IO =EF (1) Mặt khác IO là đường trung bình của  DFB => OI =EB (2) Từ (1) và (2) => EB= EF Bài 62: Cho  ABC nhọn, vẽ các đường cao AD và BE, Tia phân giác Ax của DAC cắt BE và BC lần lượt ở M và N, Tia phân giác By của EBC cắt AD và AC lần lượt tại P và Q, CMR: a, AN ⊥ BQ b, Tứ giác MPNQ là hình thoi A HD: 1 2 E a, Ta có: EBC = DAC ( cùng phụ góc C) => A1 = A2 = B1 = B2 M Q  EBQ vuông => B1 + BQE = 900 = A2 + BQE = 900 O P => AOQ = 90 = AN ⊥ BQ 1 2 b,  APQ có AO vừa là đường phân giác vừa là đường cao C B D N => AO là đường trung trực => MP= MQ, NP= NQ  BMN có BO vừa là đường phân giác vừa là đường cao=> là đường trung trực => ĐPCM Bài 63: Cho hình vuông ABCD, Từ điểm M tùy ý trên đường chéo BD, kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và AD, CMR: a, CF=DE, CF ⊥ DE b, CM=EF, OM ⊥ EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xác định M để diện tích AEMF lớn nhất HD: E A B a, BD là đường chéo của hình vuông ABCD => BD là phân giác góc D => ADB = 450 = DFM cân tại F=> DF=FM=AE 0  CDF=  DAE (c.g.c) => CF = DE và C1 = D1 Mà C1 + F1 = 900 = D1 + F1 = 900 = FOD = 900 b, AM =EF, BD là đường trung trực của AC => MA =MC=> MC= EF H 2 F 1 O M N 1 1 1 D C Kéo dài FM cắt BC tại N => Tứ giác BEMN là hình vuông, => MN= ME =>  EMF=  MNC(c. g. c) => M1 = MEF , Mà M1 + M 2 = 900 = MEF + M 2 = 900 => EHM = 900 => ĐPCM c,  EFC có CH ⊥ EF=> CM trùng CH là đường cao ứng với cạnh EF Lại có ED ⊥ CF tại O=> ED là đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự câu a=> CE ⊥ BF=> BF là đường cao ứng với cạnh CE => 3 đường CM, BF, DE đồng quy 22 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 64: Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC, lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=BC=CE, Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC ở H, qua E kẻ đường thẳng // với AC cắt AB ở k, chúng cắt nhau ở I a, Tứ giác BHKC là hình gì? b, Tia IA cắt BC tại M, CMR : MB=MC c, Tìm điều kiện của  ABC để tứ giác DHKE là hình thang cân HD: I a, Tứ giác BHKC là hình bình hành vì có 2 đường chéo BK và HC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường K H b, Tứ giác AHIK cũng là hình bình hành, nên AK// IH và AK= IH AB//IH và AB=IH => ABHI là hình bình hành => IA// HB=> AM là đường trung bình của ⊥ HBC D => BM = MC c, Tứ giác DHKE là hình thang vì HK //DE, A B M E C để là hình thang cân => D = E Hay B = C = ABC cân tại A Bài 65: Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900 , CD=2AB=2AD, Gọi H là hình chiếu của D lên AC. Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD a, CMR: Tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BDC là tam giác vuông cân b, CMR: DMPQ là hình bình hành c, CMR: AQ vuông góc với DP B A H HD: a, Chứng minh tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau, lại có A = 900 nên ABMD là hình vuông  BCD có MB= MC=MD nên là tam giác vuông , lại có BDC = 450 Do đó:  BDC là tam giác vuông cân ở B P Q D C M b, Tứ giác DMPQ là hình bình hành vì có PQ// DM và PQ = DM c, Chứng minh Q là trực tâm của  ADP Bài 66: Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác vẽ hai hình vuong ABEF và ACGH, CMR: các đường BG và CE cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường cao AD của tam giác ABC HD: K Trên tia đối của tia AD lấy điểm K sao cho AK= B => FAK = ABC ( cùng phụ BAD ) =>  EBC =  BAK (c.g.c) => BCE = BKD , Mà BKD + KBC = 900 => BCE + CBK = 900 = BNC = 900 hay BK ⊥ EC Chứng minh tương tự => CK ⊥ BG=> AD, BG, CE là ba đường cao  BCK F H 1 E A 1 G N 2 1 B D C 23 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 67: Cho hình vuông ABCD, các điểm E, F lần lượt trên các cạnh BC, CD sao cho EAF = 450 , Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho DM =BE, CMR: a, ABE = ADM , MAF = 450 b, Chu vu tam giác CEF bằng 1 nửa chu vi tứ giác ABCD A B HD: 1 45 a,  ABE =  ADN ( 2 cạnh góc vuông) => A1 = A2 2 E => MAE = 900 = MAF = 900 − 450 = 45 b,  AEF =  AMF (c.g.c) M C D F => EF = MF, EF = MD+DF=BE+DF Chu vi  CEF = CE+EF+CF 1 = CK+BE+DF+CF= BC+CD= chu vi ABCD 2 Bài 68: Cho  ABC đều, đường cao AD, M là điểm nằm giữa B và D, gọi N là Trung điểm của AM, vẽ ME vuông góc AB tại E, MF vuông góc AC tại F CMR: DENF là hình thoi A HD:  1  Ta có: MN = EN = DF= FN  = AM   2  => END = ENM + MND = 2.EAM + 2MAD = 2.DAE = 600 => DNF = MNF − MND => DNF = 2.MAC − 2.MAD = 2.DAC = 600 =>  NED Đều,  NDF đều vậy DENF là hình thoi N F E B M D C Bài 69: Cho hình vuông ABCD và 1 điểm E bắt kỳ nằm giữa 2 điểm A và B, trên tia đối của tia CB lấy 1 điểm F sao cho CF =AE a, Tính EDF b, Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của EF, tứ giác DEGF là hình gì? c, CMR: AC, DG, EF đồng quy HD: E A a,  AED =  CFD (c.g.c) => ADE = CDF = EDF = EDC + CDF = EDC + ADE => EDF = ADC = 900 b, Tứ giác DEGF có I là trung điểm của EF (gt) I là trung điểm của DG I Do đó: DEGF là hình bình hành lại có: EDF = 900 => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE= DF D => Là hình vuông c, Ta có: EF 1 DI = , BI = EF = DI = BI => I nằm trên đường trung trực cảu BD 2 2 Mà AC cũng là đường trung trực của BD, ( Tứ giác ABCD là hình vuông) => I  AC => 3 đường AC, DG, EF đồng quy tại I B G C F 24 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 70: Cho HBH ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O, gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các  OAB,  OBC,  OCD,  OAD CMR: EFGH là hình thoi D C HD: 1 G Vì OH , OF là hai tia phân giác của các góc đối đỉnh nên H, O, F thẳng hàng H 2 F 1O Tương tự ta có: G, O, E thẳng hàng E 1 A B Lại có OH ⊥ OG ( Hai tia phân giác của hai góc kề bù) Xét  OAE =  OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF => EFGH là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau => là hình thoi Bài 71: Cho hình vuông ABCD, Gọi E, F theo thứ tự là TĐ của AB, BC a, CMR: CE vuông góc với DF b, Gọi M là giao điểm của CE và DF, CMR : AM=AB HD: E A a, Tự chứng minh b, Gọi N là trung điểm của DC, Tứ giác AECN có AE //NC và AE=NC=> Là hình bình hành => AN // EC=> AN ⊥ DF  DN = NC D = DH = HM Trong  DMC có:  HN / / MC  =>  ADM có AH là đường cao lại là đường trung tuyến nên AD= AM= AB B F M H C N Bài 72: Cho  ABC, trên tia AB ta lấy 1 điểm D, trên tia AC lấy 1 điểm E sao cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB a, CMR: MNPQ là hình thoi b, CMR: các đường chéo của hình thoi MNPQ // với các phân giác trong và ngoài của góc A HD: a, Tự chứng minh y A b, Vì MNPQ là hình thoi, MP và NQ là hai đường chéo => MP ⊥ NQ Gọi I, J lầ lượt là giao NQ với AB và AC => PQ//AD=> I1 = Q1 ( so le) Tương tự: N1 = Q1 =>  IAJ cân tại A => Phân giác Ax là đường cao => Ax ⊥ IJ, Mà MP ⊥ IJ => Ax //MP Dễ dàng chứng minh được NQ// Ay M B C Q J N I E P D x 25 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 73: Cho hình thoi ABCD, trên tia đối của tia BA, ta lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy N, trên tia đối tia DC lấy P, trên tia đối tia AD lấy Q sao cho BM=CN=DP=AQ a, CMR: MNPQ là hình bình hành b, CMR : MNPQ là hình thoi và ABCD có cùng tâm đối xứng M c, Hình thoi ABCD phải có ĐK gì để MNPQ là hình vuông B HD: a,  AQM =  NCP => QM= PN  MBN=  PDQ => QP= MN Q 1 A C O N 2 b,  OBM=  ODN=> O1 = O2 => POM = POB + O1 = POB + O2 = BOD = 1800 => P, O, M thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ có tâm O D P c, Để MNPQ là hình thoi thì Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau: QM= QD Thật vậy:  QAM=  MBN => MBN = QAM = QAM = BAD , Mà QAM = BAD và QAM + BAD = 1800 = BAD = 900 Hình thoi ABCD có 1 góc vuông => là hình vuông Bài 74: Cho tam giác đều ABC, trực tâm H, kẻ đường cao AD, một điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC, Gọi I là trung điểm của AM, CMR: a, DEIF là hình thoi b, Đường thẳng HM đi qua tâm đối xứng của hình thoi DEIF A HD: 1 2 1 a,  ADM vuông có DI = AM , 2 1 Tương tự EI = AM = DI = EI = EID cân 2 N I 1 EI = AI = AIE cân có I1 = 2 A1 2 H F O tương tự : I 2 = 2. A2 = EID = I1 + I 2 = 60 E 0 =>  EID đều => EI=ED= IP B M D C Chứng minh tương tự: IF=FD=ID => EIFD là hình thoi b, Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi DEIF và N là trung điểm AH, Ta có:  AMH có IN là đường trung bình => IN//MH  IDN có OH là đường trung bình => OH//IN Như vậy O, H, M thẳng hàng => MH đi qua giao điểm O của ID và EF 26 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 75: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC tại D, Từ D kẻ DE vuông góc với BA và DF vuông góc với AC a, CMR: AD là phân giác HAM b, 3 điểm E, M, F thẳng hàng c, Tam giác BDC là tam giác vuông cân HD: A 2 1 4 3 F a, Ta có: C1 = A1 ( cùng phụ góc B) 1 Mà AM= BC=> AM= MC=> A2 = C1 = A1 = A2 , A3 = A4 2 => AD là tia phân giác B M 1 C H E 1 2 3 D b, AH // DM => D1 = A4 ,mà A4 = A3 = D1 = A3 = ADM cân => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF là hình vuông => EA= ED => FA=FD Ta có: M, E, F đều nằm trên đường trung trực của AD=> Thẳng hàng c,  BED =  CFD => D2 = D3 BDC = BDF + D3 = BDF + D2 = EDF = 900 =>  BDC vuông cân Bài 76: Cho tam giác ABC vuông tại A, và AB AB => B  C Mà: B = HAC = HAC  C => HC>AH=> AH= HD => HC>HD=> D nằm giữa H,C F M B H D C b, ta có: G A1 + A2 = 900 , A2 + A3 = 900 = A1 = A3 kết hợp với AE= AH =>  AEF =  AHB => AB= AF Tứ giác ABGF là hìn bình hành có 1 góc vuông => HCN có AB = AF => là hình vuông c, Gọi M là giao điểm BF, AG, Khi đó  BDF có DM = 1 1 BF, tương tự AM= BF 2 2 => M nằm trên đường trung trực AD, Ta lại có: AE= ED, HA= HD => E, H cũng nèm trên đường trung trực của AD hay H, M, E thẳng hàng 27 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 77: Cho HCN ABCD và E là điểm nằm trên đường chéo AC, trên tia đối của tia EB lấy F sao cho EF =BE, Gọi M, N là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng AD, DC, CMR: a, DF//AC và MN//BD A B b, 3 điểm E, M, N thẳng hàng 1 HD: a, Dễ thấy OE là đường trung bình của  BDF => DF// OE=> DF // AC O E => A1 = D1 ( Đồng vị ) 2 N D C 1 =>  OAD cân => A = D = D 1 2 1 =>  IDm cân => D1 = M1 I 1 1 M => D2 = M1 ( đồng vị) => MN// DB F b, I là trung điểm DF => IE là trung bình => IE // DB mà MN // BD vậy M, N, E thẳng hàng Bài 78: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên AB lấy AM = 2a 2a , trên BC lấy BN sao cho BN = 3 3 a, CMR: AN vuông góc DM b, Gọi I và J lần lượt là trung điểm của NM, DN và K là giao AN và DN, Tính IK , KJ và IJ HD : a, Ta chứng minh  ABN =  DAM => D1 = A1 , Mà : D1 + M1 = 900 M A => A1 + M1 = 90 = K = 90 0 0 1 1 K a 2 4a 2 a + = 5 b, Ta có : MN = 9 9 3 1 a KI = MN = 5 2 6 a 10 a Tương tự ta có : DN = = KJ = 10 3 6 a a 13 = IJ = 13 Tương tự DM = 3 6 B I N 1 J D C Bài 79 : A K D M O H B GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức T E F C 28 Bài 80: Cho  ABC đều có cạnh bằng 4cm, M và N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM= CN a) Tính diện tích  ABC b) Xác định vị trí của M, và N để độ dài MN nhỏ nhất, Tìm độ dài nhỏ nhất đó? HD: a) Tính được độ dài đường cao: h = 1 2 1 2 a 3 4 3 = = 2 3 ( cm ) 2 2 Suy ra diện tích: SABC = a.h = 4.2 3 = 4 3(cm 2 ) b) Gọi P và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB 1 2 Ta có:  ANQ vuông ở Q, có: A = 600 = AQ = AN 1 2 Tương tự đối với  MPB có : PB = BM 1 2 1 2 Cộng theo vế ta được : AQ + PB = AN + BM = Kẻ MH ⊥ QN , 1 1 AN + NC ) = AC ( 2 2 Tứ giác MPQH là hình chữ nhật 1 2 1 2 Ta có: MN  MH = PQ = AB − ( AQ + BP ) = AB − AC = AB 1 2 Như vậy khi M, N di chuyển ta luôn có: MN  AB 1 2 Và MN = AB , Khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC Suy ra vị trí của M,N cần xác định lần lượt là trung điểm BC và AC, 1 2 Khi đó độ dài nhỏ nhất của MN là : MN = AB = 2cm Bài 81: Cho  ABC vuông cân tại A, Gọi M là 1 điểm nằm giữa A và B, trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI=AM a) Chứng minh rằng : CM ⊥ BI b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP = 2CP , trên nửa mp bờ BC có chứa điểm A, vẽ Px sao cho xPB = 600 , Tia Px cắt tia CA tại D, Tính số đo CBD HD: a) Tia IM cắt BC tại H  ABC vuông cân tại A nên C = 450  IAM vuông cân tại A nên I = 450  IHC có C + I = 900 = H = 900 = IH ⊥ BC , Chứng minh được M là trực tâm  IBC=> CM ⊥ BI b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD => EP = PB = 2PC =>  BPE cân tại P nên đường trung trực PD cũng là tia phân giác góc P = BPD = DPE = 600 = EPC = 600 Ta chứng minh được  EPC vuông tại C và CD là phân giác của  PCE Đồng thời ED là phân giác ngoài tai đỉnh E của  PCE Mặt khác: yEP = 1500 , DEP = 750 , nên ta tính được: PBD = 750 hay CBD = 750 29 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 82: Cho  ABC có ba góc nhọn, Vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên ED, CMR: a) EH = DK b) SBEC + SBDC = SBHKC HD: a) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, ED Chứng minh được  MED cân tại M=> MI ⊥ ED Hình thàng BHKC có: BM=MC, MI//BH//CK nên IH=IK ,mà ID=IE=>EH=DK b) Vẽ EE’, II’, DD’ vuông góc với BC, Ta chứng minh được II’ là đường trung bình của Hình thang EE’D’D nên II ‘ = 1 1 1 1 EE ‘+ DD’ ) = SBEC + SBDC = BC.EE ‘+ BC.DD ‘ = ( EE ‘+ DD ‘ ) = BC.II ‘ (1) ( 2 2 2 2 Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK tại P và Q Chứng minh được: BPQC là hình thang nên SBPQC = BC.II ‘ (2) Chứng minh được:  PIH =  QIK=> SBPQC = SBHCK (3) Từ (1), (2), (3) => SBEC + SBDC = SBHKC Bài 83: Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC, trong nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vuông AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, Cắt DC ở F a) CMR: BM=ND b) CMR: N, D, C thẳng hàng c) EMFN là hình gì? d) Chứng minh DF + BM = FM và chu vi  MFC không đổi khi M thay đổi trên BC HD : a) Tứ giác ABCD là hình vuông=> A1 + MAD = 900 (1) Vì AMHN là hình vuông (2) = A2 + MAD = 900 Từ (1) và (2) ta có : A1 = A2 Ta có :  AND=  AMB (c.g.c) B A 1 2 E d 3 = B = D1 = 900 , BM = ND 1 b) ABCD là hình vuông = D2 = 900 = D1 + D2 = NDC = 1800 , nên N, D, C thẳng hàng M 2 1 N c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN => O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN => AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E, F  AH => EN=Em và FM=FN (3) = O1 = O2 = EM = NF (4) Từ (3) và (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF là hình thoi O 2 C F D H (5) 30 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức d) Từ (5) suy ra FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi của  MCF là P và cạnh hình vuông ABCD là a Ta có : P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF , Vì ( MF=DF+MB) = ( MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Hình vuông ABCD cho trước => a không đổi=> P không đổi Bài 84: Gọi M là điểm nằm trong xOy = m0 ,(0  m  90) , và P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM, PQ a) CMR: HK ⊥ PQ b) Tính số đo HPQ theo m HD: 1 2 a)  MPO vuông tại P=> đường trung tuyến PH = OM  MQO vuông tại Q=> đường trung tuyến QH = 1 .OM 2 1 2 Do đó: PH = QH = OM =>  HPQ cân tại H, K là trung điểm của PQ=> HK vuông góc với PQ b) MHQ = 2.MOQ, MHP = 2.MOP, PHQ = 2.POQ = 2.m0 => PHK = m0 = HPQ = 900 − m0 Bài 85: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P a) chứng minh Am song song với BD b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB. Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của P HD: a) Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật) P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P) Nên Op là đường trung bình của  ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD b) Vì OP là đường trunh bình của  ACM nên OP//AM và OP= 1 AM 2 Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1) Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có: KAE = EAM = KDA ( ) Nên AE là phân giác KAM . Mặt khác: AE ⊥ KM = AKM cân E là trung điểm của KM, do đó EI là đường trung bình của  AMK=> EI//OA=>EI//AC Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng. (2) Bài 86: Cho  ABC, đường vuông góc với AB tại A và đường vuông góc với BC tại C cắt nhau tại D, gọi H là trục tâm của  ABC 31 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a) Chứng minh DH đi qua trung điểmt M của AC b)  ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để B, H, D thẳng hàng HD: a) Chứng minh được tứ giác AHCD là hình bình hành Hai đường chéo AC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b) Để B, H, D thẳng hàng thì: HD ⊥ AC = AHCD là hình thoi = HA = HC =  ABC cân ở B Bài 87: Cho  ABC vuông tại A( AC>AB) , đường cao AH, trên HC lấy HD=HA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) CMR: AE=AB b) Gọi M là trung điểm của BE, TÍnh AHM HD: a) Chứng minh AE =AB Kẻ EF ⊥ AH Tứ giác HDEF là hình chữ nhật, => EF=HD mà HD=AH=> EF=AH Xét  HBA và  FAE có: H = F = 900 AH=EF FEA = BAH cùng phụ với FAE , Do đó:  HBA=  FAE (g.c.g) => AE=AB b) Tính AHM = ? Ta có:  BAE vuông tại A => AM = 1  BDE vuông tại D => DM= BE 2 1 BE 2 Do đó: AM=DM Xét  AHM và  DHM có: AM=MD, AH=HD và HM là cạnh chung =>  AHM=  DHM (c.c.c) => AHM = MHD = AHD 900 = = 450 2 2 Bài 88: Cho hình vuông ABCD, Gọi E là 1 điểm bất kỳ trên cạnh BC ( E khác B và C), Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F, trung tuyến AI của  AEF cắt CD ở K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G a) Chứng minh AE=AF và tứ giác EGFK là hình thoi b) Chứng minh  AKF đồng dạng với  CAF và AF 2 = FK .FC c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi của  EKC không đổi HD: 32 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a) Xét  ABE vuông tại B và  ADF vuông tại D có: AB=AD, BAE = CAF =>  ABE=  ADF B A G E => AE=AF Vì AE=AF và AI là đường trung tuyến  AEF => AI ⊥ EF I Hai  IEG vuông tại I và  IFK vuông tại I có: IE=IF, C F D IEG = IFK , K Nên  IEG=  IFK x => EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành. Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi b) Xét  AKF và  CAF có: AFK = CFA , KAF = ACF = 450 AF FK = = AF 2 = FK .FC FC AF c) Theo câu a ta có:  ABE =  ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK= = AKF CAF (g.g) = KF Do đó chu vi  EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD ( Không đổi) Bài 89: Cho  ABC vuông tại A( AB