Chuyên đề tổ hợp và xác suất

MỤC LỤC 1 TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC 1 Các quy tắc đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . A Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc nhân . . . B Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . 3 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . 4 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . B Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . C Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Dạng 0.1. Rút gọn một biểu thức chứa chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp . . . . . . . . . . . Dạng 0.2. Giải phương trình liên quan đến chỉnh hợp – tổ hợp – hoán vị . . . . . . . . . Dạng 0.3. Giải bất phương trình liên quan đến chỉnh hợp-hoán vị- tổ hợp . . . . . . . . Dạng 0.4. Giải hệ phương trình chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 5 – dùng đạo hàm) . . . . . . . . . Dạng 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 6 – dùng tích phân) . . . . . . . . . Dạng 0.6. Tính tổng một biểu thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.7. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (Loại không cho giả thiết) . Dạng 0.8. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.9. Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . 45 . 47 . 52 . 56 . 58 . 61 . 62 . 65 . 69 . 72 . 79 . 88 . 97 . 106 3 CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Dạng 0.10. Đếm số dùng quy tắc nhân và quy tắc cộng . . . . . . . . Dạng 0.11. Bài toán đếm số – Dùng chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.12. Bài toán sắp xếp đồ vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.13. Bài toán sắp xếp người . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.14. Bài toán chọn vật, dùng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.15. Bài toán chọn về người – Dùng tổ hợp . . . . . . . . . . . Dạng 0.16. Bài toán chọn về người – Dùng tổ hợp . . . . . . . . . . . Dạng 0.17. Bài toán phân chia tập hợp – dùng tổ hợp . . . . . . . . Dạng 0.18. Đếm số điểm, số đoạn thẳng, số góc, số đa giác, số miền 1 Bộ đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bộ đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bộ đề số 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bộ đề số 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bộ đề số 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 111 120 134 136 141 148 148 158 160 164 169 174 180 187 . . . . . 193 193 197 199 204 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các bài toán xác suất thi học sinh giỏi Dạng 0.1. Bài toán chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.2. Số lần xuất hiện của chữ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.3. Liên quan đến vị trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 0.4. Các bài toán đếm số phương án, tính xác suất liên quan người, đồ vật Dạng 0.5. Các bài toán đếm số phương án. Tính xác suất liên quan đến đa giác . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 15 21 21 30 31 35 35 36 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỤC LỤC Dạng 0.6. Các bài toán đếm, sắp xếp liên quan đến vị trí, xếp chỗ . . . . . . . . . . . . . . . . 211 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT BÀI 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM Định nghĩa 1. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai công đoạn liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện công đoạn thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai thì có m · n cách hoàn thành công việc. Định lí 1. Giả sử một công việc H được hoàn thành qua k công đoạn liên tiếp Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó Công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó Công đoạn thứ ba có n3 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó … Công đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó để hoàn thành công việc H ta có n1 · n2 · n3 · · · nk cách thực hiện. A. BÀI TẬP MẪU DẠNG 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc nhân Sử dụng quy tắc nhân để giải một số bài đếm. Giả sử một công việc H được hoàn thành qua k công đoạn liên tiếp Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó Công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó Công đoạn thứ ba có n3 cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó … Công đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó để hoàn thành công việc H ta có n1 · n2 · n3 · · · nk cách thực hiện. Bài 1. Bạn Q có 4 áo dài và 3 quần trắng. Khi bạn đến trường bạn Q có bao nhiêu cách trang phục ? ĐS: 12 cách Lời giải. Mỗi cách mặc áo dài sẽ có tương ứng ba cách mặc quần trắng. Suy ra bạn Q có 4 cách chọn áo dài và 3 cách chọn quần trắng. Áp dụng quy tắc nhân ta có 4 · 3 = 12 cách trang phục.  Bài 2. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người dự hội nghị sao cho có một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên toán. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên. ĐS: 216 cách Lời giải. Để có một đoàn đi dự hội nghị phải có đồng thời một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên toán. Mỗi cách chọn một học sinh chuyên tin trong số 12 học sinh chuyên tin sẽ có 18 cách chọn một học sinh chuyên toán trong 18 học sinh chuyên toán. Theo quy tắc nhân ta có 12 · 18 = 216 cách.  3 4 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 3. Cho một tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau ? ĐS: 60 số Lời giải. Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là n = a1 a2 a3 , trong đó: a1 có 5 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. Do đó số các số tự nhiên n cần tìm là 3 · 4 · 5 = 60 số.  Bài 4. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số gồm năm chữ số đôi một khác nhau được tạo từ các chữ số trong tập hợp A ? ĐS: 600 số Lời giải. Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 a5 , trong đó a1 có 5 cách chọn (vì để số n có nghĩa thì a1 6= 0). a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn. a4 có 3 cách chọn. a5 có 2 cách chọn. Do vậy theo quy tắc nhân có 5 · 5 · 4 · 3 · 2 = 600 số n cần tìm.  Bài 5. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}. a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ tập A. b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. ĐS: 5040 số, 360 số Lời giải. a) Gọi số có sáu chữ số đôi một khác nhau cần tìm là: n1 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Với a1 có 7 cách chọn; a2 có 6 cách chọn; a3 có 5 cách chọn; a4 có 4 cách chọn; a5 có 3 cách chọn; a6 có 2 cách chọn. Suy ra có 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 5040 số cần tìm. b) Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau cần tìm là: n2 = a1 a2 a3 a4 a5 . Do n2 chia hết cho 5 nên a5 = 5. Như vậy trong tập A chỉ còn lại 6 phần tử (bỏ số 5 đi). Với a1 có 6 cách chọn; a2 có 5 cách chọn; a3 có 4 cách chọn; a4 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 = 360 số cần tìm.  Bài 6. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được tạo thành từ các chữ số trong tập A. ĐS: 4680 số Lời giải. Gọi số có sáu chữ số đôi một khác nhau cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Do số n chia hết cho 5 nên a6 chỉ có thể là 0 hoặc 5. Xét các trường hợp sau 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 5 a6 = 0, khi đó n1 = a1 a2 a3 a4 a5 0. Trong tập A lúc này còn lại 7 phần tử. Với a1 có 7 cách chọn; a2 có 6 cách chọn; a3 có 5 cách chọn; a4 có 4 cách chọn; a5 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520 số có dạng n1 . a6 = 5, khi đó n2 = a1 a2 a3 a4 a5 5. Trong tập A lúc này còn lại 7 phần tử. Với a1 có 6 cách chọn (a1 6= 0); a2 có 6 cách chọn; a3 có 5 cách chọn; a4 có 4 cách chọn; a5 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 · 6 = 2160 số có dạng n2 . Vậy số các số cần tìm là 2160 + 2520 = 4680.  Bài 7. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa đôi một khác nhau chia hết cho 5 và luôn có chữ số 0? ĐS: 3970 số Lời giải. Gọi số có sáu chữ số có nghĩa là n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Do số n chia hết cho 5 nên a6 = 0 hoặc a6 = 5. Xét các trường hợp. a6 = 0 khi đó số cần tìm có dạng n1 = a1 a2 a3 a4 a5 0. Có 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520 số n1 . a6 = 5 khi đó số cần tìm có dạng n2 = a1 a2 a3 a4 a5 5. Trong đó n2 luôn có mặt chữ số 0 nhưng a1 6= 0, suy ra có 6 cách chọn a1 . Còn lại 4 vị trí, nên có 4 vị trí để xếp chữ số 0. Còn lại 3 vị trí và còn lại 5 chữ số khi đó Vị trí thứ nhất có 5 cách chọn; vị trí thứ hai có 4 cách chọn; vị trí thứ 3 có 3 cách chọn. Vậy số các số n2 là 6 · 4 · 5 · 4 · 3 = 1440 số dạng n2 . Vậy có 1440 + 2520 = 3970 số n cần tìm.  Bài 8. Từ năm chữ số 0; 1; 3; 5; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? ĐS: 54 số Lời giải. Gọi số có 4 chữ số khác nhau cần tìm là a1 a2 a3 a4 . Vì số cần tìm không chia hết cho 5 nên a4 6= {0; 5} ⇒ Vị trí số a4 có 3 cách chọn. Vị trí số a1 có 3 cách chọn (do a1 6= a4 và a1 6= 0). Vị trí số a2 có 3 cách chọn (do a2 6= a4 , a1 ). Vị trí số a3 có 2 cách chọn (do a3 6= a4 , a1 , a2 ). Do đó có 2 · 3 · 3 · 3 = 54 (số cần tìm).  Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên trong đó các chữ số khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4 ? ĐS: 157 số Lời giải. Các số nhỏ hơn 10000 thì phải bắt đầu từ các chữ số 1, 2, 3, 4 và chỉ có bốn, ba, hai, một chữ số. Gọi số đó là n1 = a1 a2 a3 a4 . Với a1 có 4 cách chọn; a2 có 4 cách chọn; a3 có 3 cách chọn; a4 có 2 cách chọn. Do đó, trường hợp này có 2 · 3 · 4 · 4 = 96 số n1 . Số có ba chữ số n2 = a1 a2 a3 . Với a1 có 4 cách chọn; a2 có 4 cách chọn; a3 có 3 cách chọn. Do đó, trường hợp này có 4 · 4 · 3 = 48 số n2 . 6 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số có hai chữ số n3 = a1 a2 . Với a1 có 4 cách chọn; a2 có 4 cách chọn. Do đó, trường hợp này có 4 · 4 = 16 số n3 . Số có một chữ số: 5 số. Vậy tất cả có 96 + 48 + 16 + 5 = 157 số cần tìm.  Bài 10. Có 20 sinh viên Toán và 45 sinh viên Tin học. 1 Có bao nhiêu cách chọn hai sinh viên khác nhau về khoa ? 2 Có bao nhiêu cách chọn một sinh viên hoặc là Toán hoặc là Tin học ? ĐS: 900 ĐS: 65 Lời giải. 1 Để chọn hai sinh viên khác nhau về khoa, ta thực hiện hai công đoạn sau: Chọn một sinh viên Toán có 20 cách chọn. Chọn một sinh viên Tin có 45 cách chọn. Vậy có 20 × 45 = 900 cách chọn. 2 Để chọn một sinh viên hoặc là Toán hoặc là Tin học, ta có hai trường hợp: Chọn một sinh viên Toán có 20 cách chọn. Chọn một sinh viên Tin có 45 cách chọn. Vậy có 20 + 45 = 65 cách chọn.  Bài 11. Một tòa nhà cao ốc có 39 tầng, mỗi tầng có 42 phòng. Hỏi có bao nhiêu phòng tất cả trong tòa nhà này ? ĐS: 1638 Lời giải. Số tầng của tòa nhà là 39. Số phòng mỗi tầng 42. Vậy có 39 × 42 = 1638 phòng.  Bài 12. Một trung tâm Internet có 35 chiếc máy tính. Mỗi máy có 28 cổng kết nối. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau tại trung tâm này ? ĐS: 980 Lời giải. Số máy tính của trung tâm là 35 máy. Số cổng kết nối của mỗi máy tính là 28 cổng kết nối. Vậy có 35 × 28 = 980 cổng kết nối. Bài 13. Có bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển số chứa một dãy ba chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), tiếp sau là bốn chữ số ? ĐS: 175760000 Lời giải. Giả sử mỗi biển số xe là a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 ,trong đó ai là các chữ cái và bi là các số. a1 có 26 cách chọn. a2 có 26 cách chọn.  1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 7 a3 có 26 cách chọn. b1 có 10 cách chọn. b2 có 10 cách chọn. b3 có 10 cách chọn. b4 có 10 cách chọn. Vậy có 263 × 104 = 175760000 biển số.  Bài 14. Một phiếu bài thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 câu trả lời. Có bao nhiêu cách điền một phiếu trắc nghiệm nếu tất cả các câu hỏi đều có trả lời ? ĐS: 16777216 Lời giải. Số cách điền câu hỏi thứ 1 là 4. Số cách điền câu hỏi thứ 2 là 4. ··· Số cách điền câu hỏi thứ 12 là 4. Vậy có 412 = 16777216 cách trả lời trắc nghiệm.  Bài 15. Một mẫu áo sơ mi đặc biệt được thiết kế có kiểu cho nam và có kiểu cho nữ, có 12 màu và 2 cỡ cho mỗi người. Có bao nhiêu loại khác nhau của mẫu áo này sẽ được sản xuất ? ĐS: 576 Lời giải. Ta có số mẫu áo sơ mi là 12 × 2 = 24. Số cách chọn kiểu cho nam là 24. Số cách chọn kiểu cho nữ là 24. Vậy có 24 × 24 = 576 mẫu.  Bài 16. Từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi có 4 con đường và có 6 đường từ Quảng Ngãi đến TPHCM. Có bao nhiêu con đường khác nhau để đi từ Quảng Trị đến TPHCM qua Quảng Ngãi? ĐS: 24 Lời giải. Số cách chọn đường đi từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi là 4. Số cách chọn đường đi từ Quảng Ngãi đến TPHCM là 6. Vậy có 4 × 6 = 24 cách chọn. Bài 17. Có bao nhiêu biển số xe máy được tạo thành nếu mỗi biển số gồm hai chữ số và tiếp theo là bốn chữ cái hoặc hai chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), tiếp theo là bốn chữ số ? ĐS: 457652 × 106 Lời giải. Trường hợp 1: Biển số xe là a1 a2 b1 b2 b3 b4 a3 a4 a5 a6 , trong đó ai là các số và bi là các chữ cái. Số cách chọn a1 là 10. Số cách chọn a2 là 10. Số cách chọn b1 là 26.  8 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số cách chọn b2 là 26. Số cách chọn b3 là 26. Số cách chọn b4 là 26. Số cách chọn a3 là 10. Số cách chọn a4 là 10. Số cách chọn a5 là 10. Số cách chọn a6 là 10. Suy ra có 102 × 264 × 104 = 456976 × 106 biển số. Trường hợp 2: Biển số xe là a1 a2 b1 b2 a3 a4 a5 a6 , trong đó ai là các số và bi là các chữ cái. Số cách chọn a1 là 10. Số cách chọn a2 là 10. Số cách chọn b1 là 26. Số cách chọn b2 là 26. Số cách chọn a3 là 10. Số cách chọn a4 là 10. Số cách chọn a5 là 10. Số cách chọn a6 là 10. Suy ra có 102 × 262 × 104 = 676 × 106 biển số. Vậy có 456976 × 106 + 676 × 106 = 457652 × 106 biển số.  Bài 18. Có bao nhiêu hàm số đơn ánh từ tập có năm phần tử đến tập có số phần tử bằng: 1 4; ĐS: Không có 3 6; ĐS: 720 5; ĐS: 120 4 7. ĐS: 2520 2 Lời giải. Giả sử hàm số f : X −→ Y x ! Hàm số f được gọi là đơn ánh nếu ∀x , x 1 2 7−→ y = f (x) ∈ X; x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). 1 Với Y có 4 phần tử nhỏ hơn số phần tử tập hợp X nên không có hàm số đơn ánh f : X −→ Y . 2 Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có 5 phần tử. Ta có: f (x1 ) có 5 cách chọn. f (x2 ) có 4 cách chọn. f (x3 ) có 3 cách chọn. f (x4 ) có 2 cách chọn. f (x5 ) có 1 cách chọn. Vậy có 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 hàm số. 3 Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có 6 phần tử. Ta có: 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 9 f (x1 ) có 6 cách chọn. f (x2 ) có 5 cách chọn. f (x3 ) có 4 cách chọn. f (x4 ) có 3 cách chọn. f (x5 ) có 2 cách chọn. Vậy có 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720 hàm số. 4 Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có 7 phần tử. Ta có: f (x1 ) có 7 cách chọn. f (x2 ) có 6 cách chọn. f (x3 ) có 5 cách chọn. f (x4 ) có 4 cách chọn. f (x5 ) có 3 cách chọn. Vậy có 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520 hàm số.  Bài 19. Có bao nhiêu hàm số đơn ánh từ tập A = {1, 2, 3, . . . , n} trong đó n là một số nguyên dương, tới tập B = {0, 1} ? ĐS: n(n − 1) Lời giải. Giả sử hàm số f : A −→ B x 7−→ y = f (x) Hàm số số đơn ánh f : A −→ B. Do B = {0, 1} có 2 phần tử nên điều kiện n ≥ 2. Số cách chọn x1 ∈ A sao cho f (x1 ) = 0 ∈ B là n cách. Số cách chọn x2 ∈ A sao cho f (x2 ) = 1 ∈ B là n − 1 cách. Vậy có n × (n − 1) = n(n − 1) hàm số.  Bài 20. Cho tập hợp A gồm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2? 3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số đôi một khác nhau và các số này chia hết cho 5? ĐS: 136080; 275520; 114240 Lời giải. 1 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 6. ◦ a1 có 9 cách chọn. ◦ a2 có 9 cách chọn. ◦ a3 có 8 cách chọn. ◦ a4 có 7 cách chọn. ◦ a5 có 6 cách chọn. ◦ a6 có 5 cách chọn. 10 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vậy có 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136080 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 7. Trường hợp 1. a7 = 0, thì a7 có 1 cách chọn. ◦ a1 có 9 cách chọn. ◦ a2 có 8 cách chọn. ◦ a3 có 7 cách chọn. ◦ a4 có 6 cách chọn. ◦ a5 có 5 cách chọn. ◦ a6 có 4 cách chọn. Vậy có 1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 60480 số. Trường hợp 2. a7 6= 0 thì a7 ∈ {2; 4; 6; 8} nên a7 có 4 cách chọn. ◦ a1 có 8 cách chọn. ◦ a2 có 8 cách chọn. ◦ a3 có 7 cách chọn. ◦ a4 có 6 cách chọn. ◦ a5 có 5 cách chọn. ◦ a6 có 4 cách chọn. Vậy có 4 · 8 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 215040 số. Do đó có tất cả 60 480 + 215 040 = 275520 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 7. Trường hợp 1. a7 = 0, thì a7 có 1 cách chọn. ◦ a1 có 9 cách chọn. ◦ a2 có 8 cách chọn. ◦ a3 có 7 cách chọn. ◦ a4 có 6 cách chọn. ◦ a5 có 5 cách chọn. ◦ a6 có 4 cách chọn. Vậy có 1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 60480 số. Trường hợp 2. a7 = 5 thì a7 có 1 cách chọn. ◦ a1 có 8 cách chọn. ◦ a2 có 8 cách chọn. ◦ a3 có 7 cách chọn. ◦ a4 có 6 cách chọn. ◦ a5 có 5 cách chọn. ◦ a6 có 4 cách chọn. Vậy có 1 · 8 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 53760 số. Do đó có tất cả 60 480 + 53 760 = 114240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 21. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 5 và chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần? 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 11 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3? 3 Tính tổng các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau mà các số này không có chữ số 0. ĐS: 174; 40; 3999960 Lời giải. 1 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 5. Trường hợp 1. a5 = 0. ◦ a5 có 1 cách chọn. ◦ Chữ số 2 có 4 vị trí đặt là a1 hoặc a2 hoặc a3 hoặc a4 . ◦ Ba chữ số còn lại có 4 · 3 · 2 = 24 cách chọn. Vậy có 1 · 4 · 24 = 96 số. Trường hợp 2. a5 = 5, a1 = 2. ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ a1 a5 a2 a3 a4 có có có có có 1 1 4 3 2 cách cách cách cách cách chọn. chọn. chọn. chọn. chọn. Vậy có 1 · 1 · 4 · 3 · 2 = 24 số. Trường hợp 3. a5 = 5, a1 6= 2. ◦ ◦ ◦ ◦ a5 có 1 cách chọn. a1 có 3 cách chọn. Chữ số 2 có 3 vị trí đặt là a2 hoặc a3 hoặc a4 . Hai chữ số còn lại có 3 · 2 = 6 cách chọn. Vậy có 1 · 3 · 3 · 6 = 54 số. Do đó có tất cả 96 + 24 + 54 = 174 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Gọi a1 a2 a3 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 3. Xét các tập con gồm 3 phần tử của tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Ta thấy chỉ có các tập sau thỏa mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là A1 = {0, 1, 2}, A2 = {0, 1, 5}, A3 = {0, 2, 4}, A4 = {0, 4, 5}, A5 = {1, 2, 3}, A6 = {1, 3, 5}, A7 = {2, 3, 4}, A8 = {3, 4, 5}. Khi a, b, c ∈ A1 , A2 , A3 , A4 mỗi trường hợp lập được 4 số thỏa mãn yêu cầu. Khi a, b, c ∈ A5 , A6 , A7 , A8 mỗi trường hợp lập được 6 số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có 4 · 4 + 4 · 6 = 40 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A {0}, i = 1, 5. ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ a1 a2 a3 a4 a5 có có có có có 5 4 3 2 1 cách cách cách cách cách chọn. chọn. chọn. chọn. chọn. Vậy có 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi S là tổng của 120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau vừa tìm được. Mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5 xuất hiện ở hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị là 24 lần. Mà 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 nên
S = 24 · 15 · 104 + 15 · 103 + 15 · 102 + 15 · 10 + 15 = 3999960.  12 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 22. Cho các số nguyên dương có ba chữ số khác nhau. 1 Có bao nhiêu số chia hết cho 7? 2 Có bao nhiêu số chia hết cho 3? 3 Có bao nhiêu số chia hết cho 4? 4 Có bao nhiêu số chia hết cho 3 và 4? 5 Có bao nhiêu số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4? ĐS: 96, 228, 160, 57, 171 Lời giải. 1 Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 7 là 105. Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 7 là 994. 994 − 105 + 1 = 128 số. 7 Số tự nhiên có 3 chữ số giống nhau chia hết cho 7 là 777. Tức là chỉ có 1 số có 3 chữ số giống nhau chia hết cho 7. Ta tính các số có 2 chữ số giống nhau chia hết cho 7. Đặt A = {0; 1; 2; . . . ; 9}. Trường hợp 1. Số cần tìm có dạng aab, trong đó a, b ∈ A {7}, a 6= 0. Vì aab chia hết cho 7 nên Số các số tự nhiên có 3 chữ số bất kỳ chia hết cho 7 là . . . [(3a + a) · 3 + b] .. 7 ⇔ (7a + 5a + b) .. 7 ⇔ (5a + b) .. 7. Ta có các trường hợp sau: ◦ Với a = 1 thì b = 2 hoặc b = 9. ◦ Với a = 2 thì b = 4. ◦ Với a = 3 thì b = 6. ◦ Với a = 4 thì b = 1 hoặc b = 8. ◦ Với a = 5 thì b = 3. ◦ Với a = 6 thì b = 5. ◦ Với a = 8 thì b = 2 hoặc b = 9. ◦ Với a = 9 thì b = 4. Vậy có 11 số trong trường hợp này. Trường hợp 2. Số cần tìm có dạng abb, trong đó a, b ∈ A {7}, a 6= 0. Vì abb chia hết cho 7 nên . . . . [(3a + b) · 3 + b] .. 7 ⇔ (7a + 2a + 4b) .. 7 ⇔ 2(a + 2b) .. 7 ⇔ (a + 2b) .. 7. Ta có các trường hợp sau: ◦ Với a = 1 thì b = 3. ◦ Với a = 2 thì b = 6. ◦ Với a = 3 thì b = 2 hoặc b = 9. ◦ Với a = 4 thì b = 5. ◦ Với a = 5 thì b = 1 hoặc b = 8. ◦ Với a = 6 thì b = 4. ◦ Với a = 8 thì b = 3. ◦ Với a = 9 thì b = 6. 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 13 Vậy có 10 số trong trường hợp này. Trường hợp 3. Số cần tìm có dạng aba, trong đó a, b ∈ A {7}, a 6= 0. Vì aba chia hết cho 7 nên . . . . [(3a + b) · 3 + a] .. 7 ⇔ (7a + 3a + 3b) .. 7 ⇔ 3(a + b) .. 7 ⇔ (a + b) .. 7. Ta có các trường hợp sau: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Với Với Với Với Với Với Với Với a=1 a=2 a=3 a=4 a=5 a=6 a=8 a=9 thì thì thì thì thì thì thì thì b = 6. b = 5. b = 4. b = 3. b = 2 hoặc b = 9. b = 1 hoặc b = 8. b = 6. b = 5. Vậy có 10 số trong trường hợp này. Do đó, số các số nguyên dương có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 7 là 128 − (1 + 11 + 10 + 10) = 96. 2 Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102. Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 999. Hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 cách nhau là 3 đơn vị. 999 − 102 + 1 = 300 số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3. Vậy có 3 Bây giờ ta tính số các số tự nhiên (trong 300 số nói trên) có đúng 2 chữ số giống nhau. – Có đúng 2 chữ số 0 là các số {300; 600; 900}. – Có đúng 1 chữ số 0 (2 chữ số còn lại giống nhau) là các số {303; 330; 606; 660; 909; 990}. – Không có chữ số 0 và có đúng hai chữ số giống nhau. Các số này lập được từ các bộ {1; 4}, {1; 7}, {4; 7}, {2; 5}, {2; 8}, {5; 8}, {3; 6}, {3; 9}, {6; 9}. Mỗi bộ như vậy lập được 6 số chia hết cho 3 (chẳng hạn, với bộ {1; 4} thì ta có các số 114, 141. 411, 144, 414, 441) nên có 6 · 9 = 54 số. Số các số tự nhiên có 3 chữ số giống nhau là 9. Do đó có tất cả 300 − (3 + 6 + 54 + 9) = 228 số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. 3 Các số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4. Ta xét các trường hợp sau: ◦ a20, a40, a60, a80, a04, a08. Mỗi trường hợp nhỏ như vậy có thể lập được 8 số, do đó có 8 · 6 = 48 số. ◦ a12, a32, a52, a72, a92, a24, a64, a84, a16, a36, a56, a76, a96, a28, a48, a68. Mỗi trường hợp nhỏ như vậy có thể lập được 7 số, do đó có 7 · 16 = 112 số. Vậy có tất cả 48 + 112 = 160 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 Trong các số chia hết cho 4 ở trên có các số chia hết cho 3. ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Với a20, a40, a60, a80 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 2, 3. a12, a32, a52, a72, a92 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 1, 3, 3. a04, a24, a64, a84 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 3, 3. a16, a36, a56, a76, a96 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 1, 3, 3, 1. a08, a28, a48, a68 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 1, 3, 3. Vậy có tất cả 17 · 3 + 2 + 4 = 57 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5 Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4 là 228 − 57 = 171.  14 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 23. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; . . . ; 9}. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số không chứa cùng một chữ số ba lần? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 3? 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5? 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ và các chữ số đôi một khác nhau? 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số có đúng hai chữ số 7? ĐS: 891; 300; 180; 360; 29 Lời giải. Gọi a1 a2 a3 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 3. 1 Trước hết ta tính số các số tự nhiên có 3 chữ số bất kỳ. ◦ a1 có 9 cách chọn. ◦ a2 có 10 cách chọn. ◦ a3 có 10 cách chọn. Vậy có 9 · 10 · 10 = 900 số có 3 chữ số bất kỳ. Các số có 3 chữ số giống nhau là {111; 222; 333; . . . ; 999}. Do đó có 900 − 9 = 891 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102. Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 999. Hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 cách nhau là 3 đơn vị. 999 − 102 Vậy có + 1 = 300 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 3 a3 có 2 cách chọn. a1 có 9 cách chọn. a2 có 10 cách chọn. Vậy có 2 · 9 · 10 = 180 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 a1 có 5 cách chọn. a2 có 9 cách chọn. a3 có 8 cách chọn. Vậy có 5 · 9 · 8 = 360 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5 Trường hợp 1. Số cần tìm có dạng 77c. Trường hợp này có 10 số như vậy. Trường hợp 2. Số cần tìm có dạng 7b7. Trường hợp này cũng có 10 số như vậy. Trường hợp 3. Số cần tìm có dạng a77. Trường hợp này có 9 số như vậy. Vậy có 10 + 10 + 9 = 29 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 24. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; . . . ; 9}. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số không chứa cùng một chữ số hai lần? 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số kết thúc bằng chữ số chẵn? 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau, bắt đầu bằng chữ số lẻ, kết thúc bằng chữ số chẵn? ĐS: 1680; 3249; 2916; 840 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 15 Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 4. 1 a4 có 5 cách chọn. a1 có 8 cách chọn. a2 có 7 cách chọn. a3 có 6 cách chọn. Vậy có 5 · 8 · 7 · 6 = 1680 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Trường hợp 1. Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 số. Trường hợp 2. Số có số tự nhiên có 4 chữ số giống nhau là 9 số. Trường hợp 3. Ta tính số các số tự nhiên 3 chữ số giống nhau, đó là các trường hợp aaab, aaba, abaa, baaa (với a 6= b). Mỗi trường hợp nhỏ này đều có 9 · 8 = 72 số. Vậy có 3 · 72 = 216 số trong trường hợp này. Do đó có tất cả 3024 + 9 + 216 = 3249 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 a4 có 4 cách chọn. a1 có 9 cách chọn. a2 có 9 cách chọn. a3 có 9 cách chọn. Vậy có 4 · 9 · 9 · 9 = 2916 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 a1 có 5 cách chọn. a4 có 4 cách chọn. a2 có 7 cách chọn. a3 có 6 cách chọn. Vậy có 5 · 4 · 7 · 6 = 840 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.  QUY TẮC CỘNG Quy tắc. Một công việc H có thể được thực hiện bởi một trong k phương án H1 , H2 , H3 , . . . , Hk với mỗi phương án độc lập nhau, trong đó Phương án H1 có n1 cách thực hiện; Phương án H2 có n2 cách thực hiện; Phương án H3 có n3 cách thực hiện; ……………………………… Phương án Hk có nk cách thực hiện. Khi đó để hoàn thành công việc H ta có n1 + n2 + n3 + · · · + nk cách thực hiện. B. BÀI TẬP MẪU Bài 25. Một học sinh thi cuối kỳ có thể chọn một trong ba loại đề: đề dễ có 48 câu hỏi, đề trung bình có 40 câu hỏi và đề khó có 32 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một câu hỏi từ các đề thi trên? ĐS: 120 Lời giải. Số cách chọn 1 câu Số cách chọn 1 câu Số cách chọn 1 câu Vậy số cách chọn 1 hỏi từ đề dễ là 48 cách. hỏi từ đề trung bình là 40 cách. hỏi từ đề khó là 32 cách. câu hỏi là 48 + 40 + 32 = 120 cách.  16 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 26. Một mạng đường giao thông nối các tỉnh A, B, C, D, E, F và G như hình vẽ, sau đó trong đó chữ số 2 viết trên cạnh AB có nghĩa là có 2 con đường nối A và B, . . . Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến G? B 2 E 3 5 7 D A 8 6 G 3 C 4 F ĐS: 2538 Lời giải. Theo như hình vẽ thì để đi từ A đến G ta có thể thực hiện theo một trong các trường hợp sau sau: ◦ Trường hợp 1. A −→ B −→ D −→ E −→ G. Đi từ A đến B có 2 cách. Đi từ B đến D có 3 cách. Đi từ D đến E có 5 cách. Đi từ E đến G có 7 cách. Vậy đi từ A đến G có 2 · 3 · 5 · 7 = 210 cách. ◦ Trường hợp 2. A −→ B −→ D −→ F −→ G. Số cách đi từ A đến G trong trường hợp này là 2 · 3 · 3 · 4 = 72 cách. ◦ Trường hợp 3. A −→ C −→ D −→ E −→ G. Số cách đi từ A đến G trong trường hợp này là 8 · 6 · 5 · 7 = 1680 cách. ◦ Trường hợp 4. A −→ C −→ D −→ F −→ G. Số cách đi từ A đến G trong trường hợp này là 8 · 6 · 3 · 4 = 576 cách. Vậy số cách đi từ A đến G là 210 + 72 + 1680 + 576 = 2538 cách.  Bài 27. Cho tập hợp A gồm sáu chữ số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? ĐS: 312, 216 Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 5. 1 Trường hợp 1. a5 = 0, thì a5 có 1 cách chọn. a1 có 5 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. Vậy có 1 · 5 · 4 · 3 · 2 = 120 số. Trường hợp 2. a5 6= 0, thì a5 ∈ {2; 4} nên a5 có 2 cách chọn. a1 có 4 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 17 Vậy có 2 · 4 · 4 · 3 · 2 = 192 số. Do đó có tất cả 120 + 192 = 312 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Trường hợp 1. a5 = 0, thì a5 có 1 cách chọn. a1 có 5 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. Vậy có 1 · 5 · 4 · 3 · 2 = 120 số. Trường hợp 2. a5 = 5, thì a5 có 1 cách chọn. a1 có 4 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. Vậy có 1 · 4 · 4 · 3 · 2 = 96 số. Do đó có tất cả 120 + 96 = 216 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 28. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 luôn có mặt và là số lẻ? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số bắt đầu là chữ số lẻ, chữ số kết thúc là chữ số chẵn? ĐS: 204; 720 Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 4. Vì n là số lẻ nên a4 ∈ {1; 3; 5}. Trường hợp 1. a4 = 1, thì a4 có 1 cách chọn. a1 có 5 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn. Vậy có 1 · 5 · 5 · 4 = 100 số. Trường hợp 2. a1 = 1, thì a1 có 1 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn. Vậy có 1 · 2 · 5 · 4 = 40 số. Trường hợp 3. a1 6= 1 và a4 6= 1. a4 có 2 cách chọn. a1 có 4 cách chọn. Chữ số 1 có 2 vị trí đặt là a2 hoặc a3 . Chữ số còn lại (a2 hoặc a3 ) có 4 cách chọn. Vậy có 2 · 4 · 2 · 4 = 64 số. Do đó có tất cả 100 + 40 + 64 = 204 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số tự nhiên cần tìm, trong đó ai ∈ A, i = 1, 5. Vì n có chữ số tận cùng là chữ số chẵn nên a5 ∈ {0; 2; 4; 6}. a1 có 3 cách chọn. a5 có 4 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn. a4 có 3 cách chọn. Vậy có tất cả 3 · 4 · 5 · 4 · 3 = 720 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 18 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 29. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 5? ĐS: 420 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcd. * Trước hết ta đi tìm số các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên. Do a 6= 0 nên a có 6 cách chọn. Ta có, b có 6 cách chọn. c có 5 cách chọn. d có 4 cách chọn. Suy ra có 6 · 6 · 5 · 4 = 720 (số). * Tiếp theo ta đi tìm số các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên, trong đó không có mặt chữ số 5. Tức là ta đi tìm số các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6. Do a 6= 0 nên a có 5 cách chọn. Ta có, b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn. d có 3 cách chọn. Suy ra có 5 · 5 · 4 · 3 = 300 (số). Vậy có 720 − 300 = 420 số cần lập.  Bài 30. Từ sáu chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? ĐS: 192 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcd. . Do n 6 .. 5 nên d 6= 0, d 6= 5. Suy ra d có 4 cách chọn. Khi đó ta có, a có 4 cách chọn. b có 4 cách chọn. c có 3 cách chọn. Vậy có 4 · 4 · 4 · 3 = 192 số cần lập.  Bài 31. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345? ĐS: 50 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abc. Vì n < 345 nên a ≤ 3. TH1. a = 3. Khi đó n = 3bc. Vì n < 345 nên b ≤ 4. +) b = 4. Khi đó n = 34c. Vì n < 345 nên c < 5. Do đó c có 2 cách chọn. +) b < 4. Khi đó b có 2 cách chọn và c có 4 cách chọn. Suy ra có 2 + 2 · 4 = 10 số. TH2. a < 3. Suy ra a có 2 cách chọn. Khi đó ta có b có 5 cách chọn và c có 4 cách chọn. Suy ra có 2 · 5 · 4 = 40 số. Vậy có 10 + 40 = 50 số cần lập. Bài 32. Từ các chữ số 0, 4, 5, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau lớn hơn 5000? ĐS: 240  1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 19 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcd. Do n > 5000 nên a ≥ 5. Suy ra a có 4 cách chọn. Ta có b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn. d có 3 cách chọn. Vậy có 4 · 5 · 4 · 3 = 240 số cần lập.  Bài 33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có tám chữ số, trong đó chữ số 5 lặp lại đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880 Lời giải. Số cần lập có dạng n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . Trước tiên ta coi ba chữ số 5 khác nhau. Do a1 6= 0 nên a1 có 7 cách chọn. Khi đó ta có a2 có 7 cách chọn. a3 có 6 cách chọn. a4 có 5 cách chọn. a5 có 4 cách chọn. a6 có 3 cách chọn. a7 có 2 cách chọn. a8 có 1 cách chọn. Vậy có 7 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 35280 số. Do có ba chữ số 5 nên mỗi số được tính 3 · 2 · 1 = 6 lần nên có 35280 = 5880 số cần lập. 6  Bài 34. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy tính tổng tất cả các số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số trên? ĐS: 3999960 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcde. Ta có a có 5 cách chọn. b có 4 cách chọn. c có 3 cách chọn. d có 2 cách chọn. e có 1 cách chọn. Suy ra có 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 số cần lập. Mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có số lần xuất hiện ở các hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị là như nhau nên tổng các số trên là S=
120 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) · 104 + 103 + 102 + 10 + 1 = 3999960. 5  Bài 35. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau thỏa mãn 1 bắt đầu bằng 123. 2 không bắt đầu bằng 123. ĐS: a) 6, b) 594 Lời giải. 20 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT 1 Số cần lập có dạng n = abcde. Do n bắt đầu bằng 123 nên a = 1, b = 2, c = 3. Khi đó d có 3 cách chọn và e có 2 cách chọn. Suy ra có 3 · 2 = 6 số cần lập. 2 Trước hết ta đi tìm số các số có năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Số cần lập có dạng n = abcde. Ta có a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn. d có 3 cách chọn. e có 2 cách chọn. Suy ra có 5 · 5 · 4 · 3 · 2 = 600 số. Mà có 6 số có năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 bắt đầu bằng 123 nên có 600 − 6 = 594 số cần lập.  Bài 36. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm năm chữ số khác nhau lớn hơn 70000? ĐS: 4368 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcde. Do n > 70000 nên a ≥ 7. TH1. a ∈ {7; 9}. Suy ra a có 2 cách chọn. Do n lẻ nên e ∈ {1; 3; 5; 7; 9}. Mà e 6= a nên suy ra e có 4 cách chọn. Khi đó b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có 2 · 4 · 8 · 7 · 6 = 2688 số. TH2. a = 8. Suy ra a có 1 cách chọn. Do n lẻ nên e ∈ {1; 3; 5; 7; 9}. Suy ra e có 5 cách chọn. Khi đó b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Suy ra có 1 · 5 · 8 · 7 · 6 = 1680 số. Vậy có 2688 + 1680 = 4368 số cần lập.  Bài 37. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có đúng năm chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước? ĐS: 86 Lời giải. Số cần lập có dạng n = abcde. Theo giả thiết ta có 1 ≤ a < b < c < d < e suy ra ta có e ≥ 5. Vì n là số lẻ nên e ∈ {5; 7; 9}. TH1. e = 5. Vì a < b < c < d < e = 5 nên a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Suy ra trường hợp này có 1 số thỏa mãn. TH2. e = 7. Suy ra 1 ≤ a < b < c < d ≤ 6. Trước tiên, ta tìm số các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có dạng n1 = a1 b1 c1 d1 . 2. CHỈNH HỢP 21 Ta có a1 có 6 cách chọn. b1 có 5 cách chọn. c1 có 4 cách chọn. d1 có 3 cách chọn. Suy ra có 6 · 5 · 4 · 3 = 360 số. Với mỗi bộ bốn chữ số khác nhau (trong đó các chữ số đều khác 0), ta lập được 4 · 3 · 2 · 1 = 24 số có bốn chữ khác nhau. 360 Vậy có = 15 bộ có bốn chữ khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. 24 Với mỗi bộ bốn chữ số khác nhau bất kì, ta có một và chỉ một cách xếp sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Suy ra trường hợp này có 15 số. TH3. e = 9. Suy ra 1 ≤ a < b < c < d ≤ 8. Tương tự như TH2, ta có 8 · 7 · 6 · 5 = 1680 số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 1680 = 70 số. Suy ra trường hợp này có 24 Vậy có 1 + 15 + 70 = 86 số cần lập.  BÀI 2. A. CHỈNH HỢP BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau được lấy từ tập hợp A? ĐS: 2520 Lời giải. Sô các số có năm chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A là số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. 7! Suy ra số các số cần tìm là: A57 = = 2520 số. (7 − 5)!  Bài 2. Có tối đa bao nhiêu số điện thoại có bảy chữ số bắt đầu bằng chữ số 8 sao cho: 1 Các chữ số đôi một khác nhau. 2 Các chữ số tùy ý. ĐS: a) 60480 b) 1.000.000 Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 là số cần tìm. Trong các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta chọn các chữ số đôi một khác nhau nên: Vì a1 = 8 nên chọn 6 trong 9 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 9 nên có A69 = 60480 số điện thoại. 2 Các chữ số tùy ý nên a2 a3 a4 a5 a6 a7 có có có có có có 10 10 10 10 10 10 cách cách cách cách cách cách chọn. chọn. chọn. chọn. chọn. chọn. 22 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Suy ra có 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 = 1.000.000 số điện thoại.  Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau? ĐS: 4536 Lời giải. Số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau (tính cả số 0 đứng đầu) bằng số chỉnh hợp chập 4 của 10 là A410 số. Số các số có bốn chữ số khác nhau và có chữ số 0 đứng đầu là một chỉnh hợp chập 3 của 9 bằng A39 số. Số các số cần tìm là: A410 − A39 = 5040 − 504 = 4536 số.  Bài 4. Cho các số 0, 1, 2 ,3, 4, 5. Hãy tìm tất cả các số 1 Có sáu chữ số đôi một khác nhau. 2 Có ba chữ số đôi một khác nhau. ĐS: a) 600 b) 100 Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm. Số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau được chọn trong sáu chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 6 của 6 bằng A66 . Số các số có sáu chữ số khác nhau có chữ số 0 đứng đầu bằng số chỉnh hợp chập 5 của 5 là A55 . Số các số cần tìm là A66 − A55 = 720 − 120 = 600 số. 2 Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. Chọn ba số trong sáu số là một chỉnh hợp chập 3 của 6 nên có A36 số. Số các số có ba chữ số khác nhau có chữ số 0 đứng đầu là một chỉnh hợp chập 2 của 5 bằng A25 . Số các số cần tìm bằng A36 − A25 = 120 − 20 = 100 số.  Bài 5. Từ sáu chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? ĐS: 192 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần tìm. Vì n không chia hết cho 5 ⇒ a4 phải khác 0 và khác 5. Ta có 4 cách chọn a4 (chọn 1, 2, 7, 9), có 4 cách chọn a1 và có A24 cách chọn a2 a3 . Suy ra ta có 4 · 4 · A24 = 192 số thoả mãn yêu cầu bài toán.  Bài 6. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được 1 bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau? 2 bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau? ĐS: a) 420 b) 900 Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Vì n chẵn suy ra a4 phải là 0, 2, 4, 6. Cách 1: a4 có 4 cách chọn. Có A36 cách chọn a1 a2 a3 suy ra có 4 · A36 số chẵn có bốn chữ số khác nhau (tính cả trường hợp a1 = 0). Bây giờ ta phải tìm trong 4 · A36 số đó có bao nhiêu số bắt đầu bằng số 0. Với a1 = 0 thì a4 có 3 cách chọn. Có A25 cách chọn a2 a3 . 2. CHỈNH HỢP 23 Suy ra có 3 · A35 số chẵn có bốn chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 0. Vậy có thể lập được 4 · A36 − 3 · A25 = 480 − 60 = 420 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau. Cách 2: Với a4 = 0, a4 có 1 cách chọn. a1 có 6 cách chọn. Có A25 cách chọn a2 a3 . Suy ra có 1 · 6 · A25 số thoả mãn. Với a4 6= 0, a4 có 3 cách chọn. a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0). Có A25 cách chọn a2 a3 . Vậy có thể lập được 1 · 6 · A25 + 3 · 5 · A25 = 120 + 300 = 420 số thoả mãn yêu cầu. Cách 3: Có A47 số các số có 4 chữ số khác nhau (tính cả số 0 đứng đầu). Có A36 số các số có bốn chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 0. Suy ra có A47 − A36 = 720 số các số có bốn chữ số khác nhau. Bây giờ ta tìm trong 720 số trên có bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số khác nhau. Vì n lẻ suy ra a4 phải là 1, 3 hoặc 5 nên a4 có 3 cách chọn. a1 có 5 cách chọn vì (vì a1 6= 0). Có A25 cách chọn a2 a3 . Suy ra có 3 · 5 · A25 = 300 số lẻ có bốn chữ số khác nhau. Vậy có tất cả 720 − 300 = 420 số chẵn có bốn chữ số khác nhau. 2 Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số cần tìm n lẻ nên a5 phải là 1, 3 hoặc 5 nên a5 có 3 cách chọn. Có A46 cách chọn a1 a2 a3 a4 . Suy ra có 3 · A46 số lẻ có bốn chữ khác nhau(tính cả số 0 đứng đầu). Bây giờ ta phải tìm trong 3 · A46 có bao nhiêu số lẻ có năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng số 0. Ta có a5 có 3 cách chọn. Có A35 cách chọn a2 a3 a4 . Suy ra có 3 · A46 − 3 · A35 = 1080 − 180 = 900 số thoả mãn yêu cầu bài toán.  Bài 7. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345? ĐS: 50 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. Cách 1: n < 345 ⇒ a1 chỉ có thể là 1, 2, 3. + Trường hợp 1: a1 = 1 thì n = 1a2 a3 nên có A25 cách chọn 1a2 a3 . + Trường hợp 2: a1 = 2 thì n = 2a2 a3 nên có A25 cách chọn a2 a3 . + Trường hợp 3: a1 = 3 thì n = 3a2 a3 . Với a2 = 1 hoặc a2 = 2 thì a3 có 4 cách chọn suy ra có 2 · 4 = 8 số n. Với a2 = 4 thì n = 34a3 suy ra a3 có 2 cách chọn là 1 hoặc 2 nên có 2 số n. Vậy có tất cả A25 + A25 + 8 + 2 = 50 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Có A26 số các số có ba chữ số khác nhau. Bây giờ ta phải tìm trong A36 có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau lớn hơn hoặc bằng số 345. + Nếu n = 34a3 , thì a3 có 2 cách chọn là 5 hoặc 6 nên có 2 số cần tìm không nhỏ hơn 345. + Nếu n = 35a3 thì a3 có 4 cách chọn nên có 4 số cần tìm lớn hơn 345. + Nếu n = 36a3 thì a3 có 4 cách chọn nên có 4 số cần tìm lớn hơn 345. + Nếu a1 là 4, 5, 6 thì a1 có 3 cách chọn và có A25 cách chọn a2 a3 nên có 3 · A25 số cần tìm lớn hơn 345. Vậy có A36 − (2 + 4 + 4 + 3 · A25 ) = 120 − 70 = 50 số có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 345.  Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5? ĐS: 952 24 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần tìm. Vì n chia hết cho 5 nên a4 chỉ có thể là 0 hoặc 5. Cách 1: a4 có 2 cách chọn (chọn 0 hoặc 5). Có A39 cách chọn a1 a2 a3 . Suy ra có 2 · A39 số có bốn chữ số chia hết cho 5 (tính cả trường hợp có số 0 đứng đầu). Bây giờ ta phải tìm trong 2 · A39 có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 và có chữ số 0 đứng đầu, lúc này a4 có 1 cách chọn. a1 có 1 cách chọn. Có A28 cách chọn a2 a3 . Vậy có tất cả 2 · A39 − 1 · 1 · A28 = 952 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Có A410 số các số có bốn chữ số khác nhau. Có A39 số các số có bốn chữ số khác nhau bắt đầu bằng số 0. Suy ra có A410 − A39 số có nghĩa có bốn chữ số khác nhau. Bây giờ ta tìm số các số có bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. n không chia hết cho 5 nên a4 phải khác 0 và khác 5 nên a4 có 8 cách chọn. a1 có 8 cách chọn (vì a1 6= 0). Có A28 cách chọn a2 a3 . Suy ra có 8 · 8 · A28 số các số có bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Vậy có tất cả A410 − A39 − 8 · 8 · A28 = 952 số thoả mãn yêu cầu bài toán.  Bài 9. Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ tám chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. ĐS: 1260 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. n không chia hết cho 10 nên a4 phải khác 0. Cách 1: a4 có 7 cách chọn. a1 có 6 cách chọn. Có A26 cách chọn a2 a3 . Suy ra có 6 · 7 · A26 = 1260 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Có A48 số có bốn chữ số khác nhau (tính cả số 0 đứng đầu). Có A37 số có bốn chữ số có chữ số 0 đứng đầu. Có A37 số bốn có chữ số và chia hết cho 10. Vậy có tất cả A48 − A37 − A37 = 1260 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Bài 10. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt các chữ số 0 và 1? ĐS: 42000 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm Cách 1: + Nếu a1 = 1 thì n = 1a2 a3 a4 a5 a6 . Có 5 vị trí cho chữ số 0. Suy ra có 5 · A48 số n thoả mãn yêu cầu. + Nếu a2 = 1 thì n = a1 1a3 a4 a5 a6 . Có 4 vị trí cho chữ số 0 (vì a1 6= 0). Có A48 cách chọn bốn chữ số còn lại. Suy ra có 4 · A48 số n thoả mãn. + Nếu một trong các chữ số a3 , a4 , a5 , a6 bằng 1 thì cũng tương tự như a2 = 1. Vậy có tất cả 5 · A48 + 4 · A48 · 5 = 8400 + 33600 = 42000 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2:  2. CHỈNH HỢP 25 Trong n có A26 vị trí cho hai chữ số 0 và 1 (tính cả trường hợp số 0 đứng đầu). Có A48 cách chọn 4 vị trí còn lại. Suy ra có A26 · A48 số có sáu chữ số khác nhau có chứa hai chữ số 0 và 1. Bây giờ ta tìm trong A26 · A48 có bao nhiêu số có chữ số 0 đứng đầu. Lúc này, số 0 có 1 vị trí. Có A15 vị trí cho chữ số 1. Có A48 cách chọn 4 vị trí còn lại. Có 1 · A15 · A48 số có 6 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 0 và chứa số 1. Vậy có tất cả A26 · A48 − 1 · A15 · A48 = 50400 − 8400 = 4200 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 3: + Có A610 số các số có sáu chữ số khác nhau, trong đó có chứa A59 số bắt đầu bằng chữ số 0. + Có A68 số các số có sáu chữ số khác nhau không chứa chữ số 0 và 1. + Có A58 số có sáu chữ số khác nhau luôn chứa 1 nhưng không chứa chữ số 0. + Có 5 · A68 số có sáu chữ số luôn chứa 0 nhưng không chứa chữ số 1. Do đó có tất cả A610 − A59 − A68 − 6 · A58 − 5 · A58 = 42000 số thoả mãn yêu cầu bài toán.  Bài 11. Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 1 Hỏi có bao nhiêu tập hợp con của E có chữ số 9? 2 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lấy từ E mà chia hết cho 5? ĐS: a) 512 b) 5712 Lời giải. 1 Tập E1 = E {9} = {0; 1; 2; 3; . . . ; 8} có số tập con là 29 . Mỗi tập con đó thêm chữ số 9 trở thành một tập con của E có chứa số 9. Suy ra số tập con của E có chứa 9 chính bằng 29 = 512. 2 Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số cần tìm. Vì n chia hết cho 5 nên a5 chỉ có thể là 0 hoặc 5. + Trường hợp 1: với a5 = 0, ta có A49 số có cách chọn a1 a2 a3 a4 nên có ·A49 số có năm chữ số khác nhau có chữ số 0 ở cuối cùng . + Trường hợp 2: với a5 = 5, khi đó có 8 cách chọn a1 và A38 cách chọn a2 a3 a4 . Suy ra có 8 · A38 số có năm chữ số khác nhau và có chữ số 5 ở cuối cùng. Vậy có tất cả A49 + 8 · A38 = 5712 số thoả mãn yêu cầu bài toán.  Bài 12. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? ĐS: 171 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. Vì n chẵn nên a3 chỉ có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. Vì n không lớn hơn 789 nên a1 chỉ có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6 hoặc 7. Cách 1: + Nếu a1 chẵn thì ta có 3 cách chọn a1 . Có 3 cách chọn a3 . Có 7 cách chọn a2 . Suy ra có 3 · 3 · 7 số thoả mãn. + Nếu a1 lẻ thì ta có 4 cách chọn a1 . Có 4 cách chọn a3 . Có 7 cách chọn a2 . Suy ra có 4 · 4 · 7 số thoả mãn. + Nếu a1 = 7. Khi đó n = 7a2 a3 và n > 789 thì a2 = 9 nên suy ra a3 có 4 cách chọn. 26 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Suy ra có 4 số lớn hơn 789 có 3 chữ số và bắt đầu bằng chữ số 7. Vậy có tất cả 3 · 3 · 7 + 4 · 4 · 7 − 4 = 171 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: + Nếu a1 chẵn suy ra có 3 cách chọn a1 . Có 3 cách chọn a3 . Và có A17 cách chọn a2 . Suy ra có 3 · 3 · A17 số. + Nếu a1 lẻ và a1 6= 7 thì có 3 cách chọn a1 . Có 4 cách chọn a3 . Và có A17 cách chọn a2 . Suy ra có 3 · 4 · A17 số. + Khi a1 = 7, n = 7a2 a3 . Suy ra có 4 cách chọn a3 . Có 6 cách chọn a2 (vì a2 6= 9). Suy ra có 4 · 6 = 24 số. Vậy có tất cả 3 · 3 · A17 + 3 · 4 · A17 + 4 · 6 = 171 số thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 3: Có 4 · A28 số chẵn có ba chữ số khác nhau. Bây giờ ta tìm số chẵn có ba chữ số khác nhau lớn hơn 789. Vì n > 789 nên a1 chỉ có thể là 7, 8 hoặc 9. Vì n chẵn nên a3 chỉ có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. + Trường hợp 1: Nếu a1 = 7 thì n = 7a2 a3 mà n > 789 suy ra a3 có 4 cách chọn nên có 4 số thoả mãn. + Trường hợp 2: Nếu a1 = 8, có 3 cách chọn a3 và có A17 cách chọn a2 nên có 3 · A17 số thoả mãn. + Trường hợp 3: Nếu a1 = 9, có 4 cách chọn a3 và có A17 cách chọn a2 nên có 4 · A17 số thoả mãn. Vậy có 4 + 3 · A17 + 4 · A17 = 53 số chẵn lớn hơn 789. Suy ra có tất cả 4 · A28 − 53 = 224 − 53 = 171 số chẵn có ba chữ số khác nhau không lớn hơn 789. Cách 4: Có A39 số có ba chữ số khác nhau. Có (4 + 3 · A37 + 4 · A17 ) số chẵn có ba chữ số khác nhau lớn hơn 789. Có 5 · A28 số lẻ có ba chữ số khác nhau. Vậy có A39 − (4 + 3 · A17 ) − 5 · A28 = 171 số chẵn có ba chữ số khác nhau không lớn hơn 789.  Bài 13. Có tối đa bao nhiêu số điện thoại có bảy chữ số bắt đầu bằng số 8 sao cho 1 Các chữ số đôi một khác nhau. 2 Các chữ số tùy ý. ĐS: 60480 số ĐS: 106 số Lời giải. Gọi số điện thoại có bảy chữ số là a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 . 1 Các chữ số đôi một khác nhau. a1 = 8 có 1 cách chọn. Chọn sáu số từ chín số còn lại sắp vào 6 vị trí còn lại có A69 = 60480 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có 60480 số. 2 Các chữ số tùy ý. a1 = 8 có 1 cách chọn. Mỗi vị trí còn lại đều có 10 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có 106 = 1000000 số.  Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số khác nhau? Lời giải. Gọi số tự nhiên có tám chữ số khác nhau là a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . ĐS: 1632960 số 2. CHỈNH HỢP 27 a1 6= 0 có 9 cách chọn. Chọn bảy số từ chín số còn lại sắp vào 7 vị trí còn lại có A79 = 181440. Theo quy tắc nhân ta có 9 · 181440 = 1632960 số.  Bài 15. Từ các số 0, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lớn hơn 5000? ĐS: 240 số Lời giải. Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là a1 a2 a3 a4 . Do số tự nhiên này lớn hơn 5000 nên a1 có 4 cách chọn từ tập {5, 7, 8, 9}. Ba chữ số còn lại tùy ý, nên ta cần chọn 3 số từ 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí còn lại có A35 = 60. Theo quy tắc nhân ta có 4 · 60 = 240 số.  Bài 16. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tìm các số có năm chữ số khác nhau thỏa mãn 1 Không bắt đầu bằng 123. 2 Không tận cùng bằng 4. ĐS: 594 số ĐS: 504 số Lời giải. Gọi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau là a1 a2 a3 a4 a5 . 1 Không bắt đầu bằng 123. Số có năm chữ số khác nhau có A56 − A55 = 600 số. Số có năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng 123 có A23 = 6 số. Khi đó số tự có năm chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 123 có 600 − 6 = 594 số. 2 Không tận cùng bằng 4. Số có năm chữ số khác nhau có A56 − A55 = 600 số. Số có năm chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 4 có A45 − A44 = 96 số. Khi đó số tự nhiên có năm chữ số khác nhau không tận cùng bằng 4 có 600 − 96 = 504 số.  Bài 17. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hãy tìm tất cả các số có ba chữ số đôi một khác nhau đồng thời số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600. ĐS: 90 số Lời giải. Gọi số tự nhiên có ba chữ số là a1 a2 a3 . Do số tự nhiên này có ba chữ số khác nhau đôi một khác nhau và số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600. a1 có 3 cách chọn từ tập {3, 4, 5}. Hai chữ số còn lại tùy ý, nên ta cần chọn hai số từ sáu số còn lại sắp vào 2 vị trí còn lại có A26 = 30 số. Theo quy tắc nhân ta có 3 · 30 = 90 số.  28 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 18. Hỏi từ mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt các chữ số 0 và 1. ĐS: 42000 số Lời giải. Giả sử mỗi một chữ số trong số tự nhiên có 6 chữ số là 1 vị trí. Chọn 1 vị trí cho số 0 ta có 5 cách chọn (vì số 0 không thể đứng đầu). Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí còn lại cho chữ số 1 ta có 5 cách chọn. Chọn ngẫu nhiên 4 chữ số và sắp xếp vào 4 vị trí còn lại ta có A48 . Theo quy tắc nhân, ta có 5 × 5 × A48 = 42000. Bài 19. Hãy tìm tất cả những số tự nhiên lẻ gồm năm chữ số khác nhau lớn hơn 70000.  ĐS: 4368 số Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 . Trường hợp 1. Chọn a1 ∈ {7, 9}. Chọn số a1 có 2 cách chọn. Chọn số a5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} {a1 } có 4 cách chọn. Chọn 3 chữ số còn lại từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {a1 , a5 } có A38 cách chọn. Theo quy tắc nhân, ta có 2 × 4 × A49 = 2688 số. Trường hợp 2. Chọn a1 = 8. Chọn chữ số a1 ta có 1 cách chọn. Chọn chữ số a5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách chọn. Chọn 3 chữ số còn lại khác a1 , a5 ta có A38 cách chọn Theo quy tắc nhân, ta có 1 × 5 × A38 = 1680 cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có 2688 + 1680 = 4368 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.  Bài 20. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hãy lập các số có bốn chữ số khác nhau đôi một sao cho 1 Luôn có mặt chữ số 6 và chữ số hàng trăm là 4. ĐS: 52 số Một trong hai số đầu tiên là 3 và nó là số chia hết cho 5. ĐS: 76 số 2 Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 . 1 Ta xét 2 trường hợp sau Trường hợp 1. a1 = 6. Chọn a1 = 6 có 1 cách chọn, chọn chữ số a2 = 4 ta có 1 cách chọn. Chọn 2 chữ số còn lại từ {0, 1, 2, 3, 5} ta có A25 . Do đó, ta có 1 × 1 × A25 = 20. Trường hợp 2. a1 6= 6. Chọn số a1 ∈ {1, 2, 3, 5} có 4 cách chọn, chọn chữ số a2 = 4 ta có 1 cách chọn. Chọn 6 ∈ {a3 , a4 } có 2 cách chọn. Chọn 1 chữ số còn lại từ {0, 1, 2, 3, 5} {a1 } có 4 cách chọn. Do đó: 4 × 1 × 2 × 4 = 32 cách chọn. Vậy có 20 + 32 = 52 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu. 2 Ta xét 3 trường hợp sau Trường hợp 1. a1 = 3 có 1 cách chọn. a4 ∈ {0, 5} có 2 cách chọn. Với chữ số a2 , a3 ta có A25 cách chọn. Theo qui tắc nhân ta có 1 · 2 · A25 = 40 số. 2. CHỈNH HỢP 29 Trường hợp 2. a2 = 3 có 1 cách chọn. a4 = 0 có 1 cách chọn. Với chữ số a1 , a3 ta có A25 cách chọn. Theo qui tắc nhân ta có 1 · 1 · A25 = 20 số. Trường hợp 3. a2 = 3 có 1 cách chọn. a4 = 5 có 1 cách chọn, a1 6= 0 có 4 cách chọn và a3 có 4 cách chọn. Theo qui tắc nhân ta có 1 · 1 · 4 · 4 = 16 số. Theo qui tắc cộng ta có 40 + 20 + 16 = 76 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.  Bài 21. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên phải khác 0. ĐS: 1260 số Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 . 1 Trường hợp 1: a5 = 0. Chọn số a5 có 1 cách chọn. Chọn số a1 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} có 6 cách chọn. Chọn 3 chữ số a2 , a3 , a4 từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {a1 , a5 } có A35 . Do đó có 1 × 6A35 = 360 cách. 2 Trường hợp 2: a5 ∈ {2, 4, 6}. Chọn số a5 có 3 cách chọn. Chọn số a1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {0, a5 } có 5 cách chọn. Chọn 3 chữ số a2 , a3 , a4 từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {a1 , a5 } có A35 . Do đó có 3 × 5 × A35 = 900 cách. Vậy có 360 + 900 = 1260 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.  Bài 22. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau sao cho 1 Nó là số tự nhiên chẵn và chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 2 Trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (chữ số đầu tiên khác 0)? ĐS: 4200 số ĐS: 64800 số Lời giải. 1 Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Chọn số a1 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách chọn. Chọn số a6 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} có 5 cách chọn. Chọn các chữ số a2 , a3 , a4 , a5 từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {a1 , a6 } có A48 = 1680 số. Do đó có 5 × 5 × 1680 = 42000 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Chọn 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn từ tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và sắp xếp lại thành một số có 6 chữ số (chữ số a1 có thể là 0) ta có C35 × C35 × 6! = 72000 số. Ta xét trường hợp a1 = 0 khi đó ta chỉ chọn 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn từ tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và sắp xếp lại thành một số có 5 chữ số (do a1 = 0) ta có C35 × C24 × 5! = 7200 số. Vậy có 72000 − 7200 = 64800 số tự nhiên thỏa yêu cầu.  Bài 23. Cho các chữ số: 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9. 1 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau? ĐS: 180 30 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT 2 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? ĐS: 420 Lời giải. 1 Gọi n = abc là số cần tìm. a có 6 cách chọn do a 6= 0. b có 6 cách chọn. c có 5 cách chọn. Vậy có 6 · 6 · 5 = 180 số n cần tìm. 2 Gọi n = abcd là số cần tìm. TH 1. Chọn a = 5 có 1 cách chọn. b có 6 cách chọn. c có 5 cách chọn. d có 4 cách chọn. Trong trường hợp này có 1 · 6 · 5 · 4 = 120 số n cần tìm. TH 2. Chọn b = 5 có 1 cách chọn. a 6= 5 và a 6= 0 có 5 cách chọn. c có 5 cách chọn. d có 4 cách chọn. Trong trường hợp này có 1 · 5 · 5 · 4 = 100 số n cần tìm. Tương tự mỗi trường hợp c = 5, d = 5 đều có 100 số n cần tìm. Vậy có tất cả 120 + 100 + 100 + 100 = 420 số n cần tìm.  Bài 24. Cho 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ 5 chữ số đó, có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số trên có mặt một lần? ĐS: 60 Lời giải. Gọi n = abcde là số cần tìm. TH 1. Chọn e = 0 có 1 cách chọn. a có 4 cách chọn. b có 3 cách chọn. c có 2 cách chọn. d có 1 cách chọn. Trong trường hợp này có 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 24 số n cần tìm. TH 2. Chọn e = 2 hoặc e = 4 có 2 cách chọn. a 6= 0 và a 6= e có 3 cách chọn. b có 3 cách chọn. c có 2 cách chọn. d có 1 cách chọn. Trong trường hợp này có 2 · 3 · 3 · 2 · 1 = 36 số n cần tìm. Vậy có tất cả 24 + 36 = 60 số n cần tìm. BÀI 3.  HOÁN VỊ Định nghĩa 1. Cho trước một tập hợp có n phần tử. Khi sắp xếp các phần tử của chúng cạnh nhau ta có được một dãy n phần tử của tập hợp đã cho và gọi nó là một hoán vị của n phần tử đã cho. Khi đó: Số các hoán vị khác nhau của một tập hợp n phần tử là Pn = n!. 3. HOÁN VỊ A. 31 BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. ĐS: 120 Lời giải. Số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 chính là số hoán vị khác nhau của 5 phần tử và bằng P5 = 5! = 120.  Bài 2. Cho tập hợp A = {2, 4, 6}. Số các điểm trong không gian (Oxyz) có tọa độ khác nhau thuộc tập A là bao nhiêu? ĐS: 6 Lời giải. Số các điểm trong không gian (Oxyz) có tọa độ khác nhau là số hoán vị của 3 phần tử trong tập A và bằng P3 = 3! = 6.  Bài 3. Tính số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó ba chữ số đầu là ba chữ số lẻ và hai chữ số cuối là hai chữ số chẵn. ĐS: 12 Lời giải. Số cách sắp xếp ba chữ số lẻ 1, 3, 5 là 3! = 6. Số các số chẵn được viết bởi đúng hai chữ số chẵn 2, 4 là 2! = 2. Do đó số các số cần tìm thỏa mãn đề bài là 3! · 2! = 12.  Bài 4. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880 Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . Trong n chữ số 5 có mặt ba lần nên ta ghi thêm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5. Cách 1. a1 có 7 cách chọn (vì a1 6= 0) a2 có 7 cách chọn. a3 có 6 cách chọn. a4 có 5 cách chọn. a5 có 4 cách chọn. a6 có 3 cách chọn. a7 có 2 cách chọn. a8 có 1 cách chọn. ⇒ có 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 7 = 5880 số. Để ý rằng trong n số 5 có mặt đúng ba lần nên mỗi khi ta hoán vị 3 chữ số này thì số n vẫn không đổi. 35820 = 5880 số n. Vậy số các số cần tìm là 3! Cách 2. Chọn tám số vào tám vị trí là một hoán vị của 8 phần tử có 8!. Có 7! số các số bắt đầu bằng chữ số 0. Có 3! lần hoán vị 3 chữ số 5 mà n vẫn không đổi. 8! − 7! Vậy số các số cần tìm là = 5880 số. 3!  Bài 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau. Hỏi trong tất cả các chữ số đã thiết lặp được có bao nhiêu chữ số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Lời giải. Có 6! = 720 số có sáu chữ số khác nhau. Bây giờ ta tìm số các số có hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau. 32 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Hai số 1 và 6 đứng cạnh nhau ta xem như một khối thống nhất. Khối thống nhất này cùng với bốn chữ số còn lại ta có 5! = 120 số. Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số 1 và 6 ta sẽ có 2! số mới. Nên ta có 5! · 2! = 240 số có 6 chữ số khác nhau có hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau. Vậy có 720 − 240 = 480 số cần tìm.  Bài 6. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số khác xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? ĐS: 1800 Lời giải. Vì có một chữ số xuất hiện hai lần nên số các số được lập là một hoán vị có lặp lại của 6 phần tử nên bằng 6! = 360 số. 2! Vì có năm chữ số nên có tất cả là 360 · 5 = 1800 số.  Bài 7. Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. 1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? ĐS: 48 2 ĐS: 24 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt? Lời giải. 1 Trong 5 phiếu thứ tự từ 1 đến 5 có hai phiếu mang số chẵn và ba phiếu mang số lẻ. Hai phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ta xem như một khối thống nhất. Khối thống nhất này cùng với ba phiếu lẻ còn lại ta sẽ có 4! cách sắp xếp. Mỗi lần ta hoán vị 2 phiếu số chẵn ta sẽ có 2! cách sắp xếp mới. Vậy có 4! · 2! = 48 cách sắp xếp. 2 Có 2! cách sắp xếp các phiếu số chẵn. Có 3! cách sắp xếp các phiếu số lẻ. Có 2! cách sắp xếp mỗi khi ta hoán vị 2 nhóm chẵn, lẻ. Vậy có 2! · 3! · 2! = 24 cách sắp xếp.  Bài 8. Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn sắp xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi nếu: 1 Các học sinh ngồi tùy ý. 2 Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS: 3628800 ĐS: 28800 Lời giải. 1 Có 10 học sinh xếp tùy ý vào 10 ghế ta có 10! = 3628800 cách xếp. 2 Các học sinh nam ngồi riêng một bàn ta có 5! cách xếp. Các học sinh nữ ngồi riêng một bàn ta có 5! cách xếp. Mỗi lần ta đổi chỗ 2 nhóm học sinh nam, nữ ta có 2! cách xếp mới. Vậy có tất cả 5! · 5! · 2! = 28800 cách xếp.  Bài 9. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau? 2 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện với nhau thì khác trường nhau? ĐS: 1036800 ĐS: 33177600 3. HOÁN VỊ 33 Lời giải. 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi canh nhau hoặc đối diện với nhau thì khác trường với nhau. Điều này chứng tỏ 6 học sinh trường A được chia ra mỗi dãy ghế có 3 bạn và 6 học sinh trường B cũng được chia ra mồi dãy ghế có 3 bạn. Giả thiết trên cũng cho ta biết rằng nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường A thì cạnh A là học sinh trường B và đối diện A là học sinh trường B. Ngược lại nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường B thì cạnh B là học sinh trường A và đối diện với B là học sinh trưòng A. Ta có 6! cách xếp 6 học sinh trường A vào 6 chổ ngồi, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ ngồi và có 2! cách xếp 2 nhóm học sinh trường A và trường B. Vậy có 6! · 6! · 2! = 1036800 cách xếp. 2 Giả sử học sinh thứ nhất của trường A ngồi trước, có 12 cách chọn chổ ngồi. Sau đó, chọn 1 học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh trường A đã ngồi ta có 6 cách chọn 1 học sinh trường B. Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn nên có 10 cách chọn cho học sinh thứ hai của trường A. Có 5 cách chọn cho học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh của trường A. Tiếp tục lý luận như trên đến học sinh cuối cùng. Như vậy ta có 12 · 6 · 10 · 5 · 8 · 4 · 6 · 3 · 4 · 2 · 2 · 1 = 33177600 cách xếp.  Bài 10. Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số thỏa mãn: 1 Có năm chữ số đôi một khác nhau. ĐS: 120 2 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 3. ĐS: 24 3 Có năm chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1. ĐS: 96 4 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 21. ĐS: 6 Lời giải. 1 Mỗi số cần lập ứng với một hoán vị của 5 phần tử 1, 2, 3, 4, 5. Nên số các số cần lập là 5! = 120 số. 2 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì a = 3 nên a có 1 cách chọn. Ứng với a = 3, mỗi cách chọn b, c, d, e là một hoán vị của 4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọn b, c, d, e. Vậy có thể lập được 1 · 4! = 24 số thỏa mãn. 3 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì a 6= 1 nên a có 4 cách chọn. Ứng với mỗi giá trị của a, mỗi cách chọn b, c, d, e là một hoán vị của 4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọn b, c, d, e. Vậy có thể lập được 4 · 4! = 96 số thỏa mãn. 4 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì ab = 21 nên ab có 1 cách chọn. Ứng với ab = 21, mỗi cách chọn c, d, e là một hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách chọn c, d, e. Vậy có thể lập được 1 · 3! = 6 số thỏa mãn.  Bài 11. Từ các chữ số của tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 6}, có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn: 1 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số lẻ. 2 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 6. 3 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 346. 4 Có năm chữ số đôi một khác nhau và tính tổng các số đó. ĐS: 48 ĐS: 24 ĐS: 2 ĐS: Có 120 số và tổng là 4266624 Lời giải. 1 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì a lẻ nên a có 2 cách chọn. Ứng với mỗi giá trị của a, mỗi cách chọn b, c, d, e là một hoán vị của 4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọn b, c, d, e. Vậy có thể lập được 2 · 4! = 48 số thỏa mãn. 34 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT 2 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì a = 6 nên a có 1 cách chọn. Ứng với a = 6, mỗi cách chọn b, c, d, e là một hoán vị của 4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọn b, c, d, e. Vậy có thể lập được 1 · 4! = 24 số thỏa mãn. 3 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì abc = 346 nên abc có 1 cách chọn. Ứng với abc = 346, mỗi cách chọn d, e là một hoán vị của 2 chữ số còn lại nên có 2! cách chọn d, e. Vậy có thể lập được 1 · 2! = 2 số thỏa mãn. 4 Mỗi số cần lập ứng với một hoán vị của 5 phần tử 1, 2, 3, 4, 6. Nên số các số cần lập là 5! = 120 số. Mỗi chữ số sẽ xuất hiện ở mỗi hàng đúng 4! lần nên tổng các số có năm chữ số đôi một khác nhau là (1 + 2 + 3 + 4 + 6) · 4! · 11111 = 4266624.  Bài 12. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho: 1 Bạn C ngồi chính giữa. 2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. ĐS: 24 ĐS: 12 Lời giải. 1 Có 1 cách chọn vị trí cho bạn C. Mỗi cách xếp 4 bạn còn lại là một hoán vị của 4 bạn A, B, D, E, nên có 1 · 4! = 24 cách xếp thỏa mãn. 2 Mỗi cách xếp 2 bạn A, E là một hoán vị của 2 bạn A, E. Mỗi cách xếp 3 bạn B, C, D vào ba chỗ ở giữa là một hoán vị của 3 bạn B, C, D, nên có 2! · 3! = 12 cách xếp thỏa mãn.  Bài 13. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có hai cuốn sách môn Toán, 4 cuốn sách môn Văn, 6 cuốn sách môn Anh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách trên lên một kệ dài nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau? ĐS: 207360 Lời giải. Có 3! cách Có 2! cách Có 4! cách Có 6! cách Vậy có tất xếp cho ba nhóm các cuốn sách. xếp các cuốn sách Toán. xếp các cuốn sách Văn. xếp các cuốn sách Anh. cả 3! · 2! · 4! · 6! = 207360 cách xếp thỏa mãn.  Bài 14. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau. 2 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện với nhau thì khác trường với nhau. ĐS: 1152 ĐS: 9216 Lời giải. 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện với nhau thì khác trường với nhau. Điều này chứng tỏ 4 học sinh trường A được chia ra mỗi dãy ghế có 2 bạn và 4 học sinh trường B cũng được chia ra mỗi dãy ghế có 2 bạn. Giả thiết trên cũng cho ta biết rằng nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường A thì cạnh học sinh này là học sinh trường B và đối diện là học sinh trường B. Ngược lại nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường B thì cạnh học sinh này là học sinh trường A và đối diện là học sinh trưòng A. Ta có 4! cách xếp 4 học sinh trường A vào 4 chỗ ngồi, 4! cách xếp 4 học sinh trường B vào 4 chỗ ngồi và có 2! cách xếp 2 nhóm học sinh trường A và trường B. Vậy có tất cả 4! · 4! · 2! = 1152 cách xếp. 4. TỔ HỢP 35 2 Giả sử học sinh thứ nhất của trường A ngồi trước, có 8 cách chọn chỗ ngồi. Sau đó, chọn 1 học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh trường A đã ngồi ta có 4 cách chọn 1 học sinh trường B. Học sinh thứ hai của trường A còn 6 chỗ để chọn nên có 6 cách chọn chỗ cho học sinh thứ hai của trường A. Có 3 cách chọn cho học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh của trường A vừa ngồi. Tiếp tục lý luận như trên đến học sinh cuối cùng. Vậy ta có 8 · 4 · 6 · 3 · 4 · 2 · 2 · 1 = 9216 cách xếp.  Bài 15. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: 1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau. 2 ĐS: 120 ĐS: 3024 Các chữ số được xếp tùy ý. Lời giải. 1 Vì 5 chữ số 1 được xếp kề nhau nên ta coi 5 chữ số 1 là một chữ số đặc biệt. Có 5! cách sắp xếp vị trí cho bốn chữ số 2, 3, 4, 5 và chữ số đặc biệt gồm 5 chữ số 1. Vậy có 5! = 120 số thỏa mãn. 2 Mỗi số được lập là một hoán vị lặp của 9 phần tử (mỗi hoán vị lặp 5! lần) nên số các số thỏa mãn là 9! = 3024 số. 5!  Bài 16. Một tổ học sinh có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp thành một hàng dọc. 1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2 ĐS: 3628800 Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh nào cùng giới tính đứng gần nhau? ĐS: 28800 Lời giải. 1 Mỗi cách xếp hàng là một hoán vị của 10 bạn học sinh nên số cách xếp thỏa mãn là 10! = 3628800 cách. 2 Vì không có hai học sinh nào cùng giới tính đứng gần nhau nên các học sinh sẽ đứng nam nữ xen kẽ (các bạn nam đứng ở vị trí chẵn, các bạn nữ đứng ở vị trí lẻ và ngược lại). Có 5! cách xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí, có 5! cách xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí và có 2 cách chọn giới tính cho bạn đứng đầu hàng. Vậy có 5! · 5! · 2 = 28800 cách xếp thỏa mãn.  Bài 17. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần? ĐS: 10080 Lời giải. Mỗi số được lập là một hoán vị lặp của 8 phần tử (mỗi hoán vị lặp 2! · 2! lần, do có 2 chữ số 1 và 2 chữ số 6) 8! nên số các số thỏa mãn là = 10080 số.  2! · 2! BÀI 4. A. TỔ HỢP TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Cho tập hợp A có n phần tử và một số tự nhiên k ≤ n. Một dãy có độ dài k được lấy ra từ n phần tử đôi một khác nhau của tập hợp A gọi là tổ hợp chập k của n phần tử. Kí hiệu : Ckn . n! Công thức: Ckn = . k!(n − k)! 36 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tính chất 1.  C0n = Cnn = 1  Ckn = Cn−k n k  Ckn = Ck−1 n−1 + Cn−1  Ckn = n k−1 C k n−1  Ckn = n − k + 1 k−1 Cn k  C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n . B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Khối 12 của một trường phổ thông trung học có 8 lớp thi đấu bóng đá giao hữu. Hỏi có bao nhiêu trận thi đấu diễn ra nếu mỗi đội đều thi đấu với các đội còn lại? ĐS: 28 Lời giải. Mỗi trận đấu là một tập con gồm 2 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử. Do đó, số trận đấu diễn ra là số tổ hợp chập 2 của 8 phần tử, tức là C28 = 28.  Bài 2. Lớp 12A có 40 học sinh trong đó có 18 nam và 22 nữ. Chọn ra một đội gồm 7 người tình nguyện tham dự mùa hè xanh trong đó phải có 4 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: C418 · C322 = 4712400 Lời giải. + Chọn 4 nam trong 18 nam là số tổ hợp chập 4 của 18 phần tử : C418 . + Chọn 3 nữ trong 22 nữ là số tổ hợp chập 3 của 22 phần tử : C322 . Số cách chọn thỏa mãn đề bài là C418 · C322 = 4712400.  Bài 3. Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 người để làm ban đại diện sao cho 1 Không phân biệt nam nữ? ĐS: 56 2 ĐS: 30 Có đúng ba nam? Lời giải. 1 Vì 5 người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách chọn chính là tổ hợp chập 5 của 8 phần tử, tức là C58 = 56 cách. 2 + Chọn 3 nam trong 5 nam là số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử : C35 . + Chọn 2 nữ trong 3 nữ là số tổ hợp chập 2 của 3 phần tử : C23 . Số cách chọn thỏa mãn đề bài là C35 · C23 = 30.  Bài 4. Có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. 1 Có bao nhiêu cách chọn một tổ hợp gồm có 5 người. ĐS: 252 2 ĐS: 246 Trong đó có nhiều nhất ba người là nữ. Lời giải. 1 Vì 5 người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách chọn chính là tổ hợp chập 5 của 10 phần tử, tức là C510 = 252 cách. 4. TỔ HỢP 37 2 Cách 1: Nam 2 3 4 5 Nữ 3 2 1 0 Số cách C26 · C34 = 60 C36 · C24 = 120 C46 · C14 = 60 C56 · C04 = 6 Tổng số cách: 60 + 120 + 60 + 6 = 246 cách. Cách 2: Có C510 cách chọn 5 người trong 10 người. Trong đó có C44 · C16 cách chọn 5 người có 4 nữ và 1 nam. Vậy có C510 − C44 · C16 = 246 cách.  Bài 5. Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu gồm 5 người (gồm trưởng đoàn, thư kí và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu nói trên? ĐS: 15840 Lời giải. Có C112 cách chọn 1 trưởng đoàn. Có C111 cách chọn 1 thư kí. Có C310 cách chọn 3 thành viên. Có C112 · C111 · C310 = 15840 cách chọn đoàn đại biểu.  Bài 6. Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà lấy phải một bóng bị hỏng? ĐS: 112 Lời giải. Có C14 cách lấy một bóng đèn bị hỏng. Có C28 cách lấy một bóng đèn không bị hỏng. Vậy có C14 · C28 = 112 cách lấy 3 bóng đèn mà có một bóng bị hỏng.  Bài 7. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra bốn viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu? ĐS: 645 Lời giải. Ta đếm số cách chọn 4 viên bi có đủ cả ba màu. Đỏ 1 1 2 Trắng 1 2 1 Vàng 2 1 1 Số cách C14 · C15 · C26 = 300 C14 · C15 · C16 = 240 C24 · C15 · C16 = 180 Số cách chọn để trong 4 viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu là C415 − (300 + 240 + 180) = 645.  Bài 8. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư và dán 3 tem thư đó vào 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán đúng một con tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200 Lời giải. Có C35 cách chọn 3 tem thư. Có C36 cách chọn 3 bì thư. Có 3! cách chọn dán 3 tem thư vào 3 bì thư. Vậy có C35 · C36 · 3! = 1200 cách.  38 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 9. Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào một bình hoa. Bó thứ nhất có 10 bông hồng, bó thứ hai có 6 bông thược dược và bó thứ ba có 4 bông cúc. 1 Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn. 2 ĐS: 38760 Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 4050 Lời giải. 1 Chọn 6 bông bất kì trong 20 bông là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, tức là có C620 = 38760 cách chọn. 2 Muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có C210 · C26 · C24 = 4050 cách.  Bài 10. Một lớp có 20 học ainh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử hai người đi dự đại hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp? ĐS: 324 Lời giải. Cách 1: Có C12 · C218 cách cử ba người có 1 cán bộ lớp. Có C22 · C118 cách cử ba người có 2 cán bộ lớp. Vậy có C12 · C218 + C22 · C218 = 324 cách. Cách 2: Có C320 cách cử ba người bất kì. Có C318 cách cử ba người mà không có cán bộ lớp. Vậy có C320 − C318 = 324 cách cử ba người mà có ít nhất một cán bộ lớp.  Bài 11. Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất là 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu 1 Mọi người đều vui vẻ tham gia. 2 Cậu Thành và cô Nguyệt từ chối tham gia. ĐS: 1650 và 648 Lời giải. 1 • Cách 1: Có C210 · C35 cách chọn có 2 nam và 3 nữ. Có C310 · C25 cách chọn có 3 nam và 2 nữ. Vậy có C210 · C35 + C310 · C25 = 1650 cách chọn 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. • Cách 2: Có C515 cách chọn 5 người trong số 15 người, trong đó: – Có C110 · C45 cách chọn 5 người có 1 nam và 4 nữ. – Có C410 · C15 cách chọn 5 người có 4 nam và 1 nữ. – Có C510 cách chọn chỉ có 5 nam. – Có C55 cách chọn chỉ có 5 nữ.
Vậy có C515 − C110 · C45 + C410 · C15 + C510 + C55 = 1650 cách chọn 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. 2 • Cách 1: Có C29 · C34 cách chọn có 2 nam và 3 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia. Có C39 · C24 cách chọn có 3 nam và 2 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia. Vậy có C29 · C34 + C39 · C24 = 648 cách chọn 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia. 4. TỔ HỢP 39 • Cách 2: Có C513 cách chọn 5 người trong số 13 người (vì cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia), trong đó: – Có C19 · C44 cách chọn 5 người có 1 nam và 4 nữ. – Có C49 · C14 cách chọn 5 người có 4 nam và 1 nữ. – Có C59 cách chọn chỉ có 5 nam.
Vậy có C513 − C19 · C44 + C49 · C14 + C59 = 648 cách chọn 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia.  Bài 12. Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau 1 Nếu phải có ít nhất là 2 nữ. 2 Nếu chọn tuỳ ý. ĐS: 5413695 và 8145060 Lời giải. 1 • Cách 1: Có C215 · C430 cách chọn tốp ca có 2 nữ và 4 nam. Có C315 · C330 cách chọn tốp ca có 3 nữ và 3 nam. Có C415 · C230 cách chọn tốp ca có 4 nữ và 2 nam. Có C515 · C130 cách chọn tốp ca có 5 nữ và 1 nam. Có C615 · C030 cách chọn tốp ca có 6 nữ và 0 nam. Vậy có C215 · C430 + C315 · C330 + C415 · C230 + C515 · C130 + C615 · C030 = 5413695 cách chọn. • Cách 2: Có C645 cách chọn 1 tốp ca tuỳ ý. Có C115 · C530 cách chọn 1 tốp ca có 1 nữ và 5 nam. Có C015 · C630 cách chọn 1 tốp ca có
0 nữ và 6 nam. Vậy có C645 − C115 · C530 + C015 · C630 = 5413695 cách chọn. 2 Nếu chọn tuỳ ý, ta có C645 = 8145060 cách chọn.  Bài 13. Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi 2 ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với 2 vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham gia giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi? ĐS: 13 và 156 Lời giải. Gọi n là số vận động viên nam tham gia giải (n ∈ Z, n ≥ 2). Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là 2 · C2n . Số ván các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là 4n. Theo giả thiết 2 · C2n − 4n = 66 n! ⇔ 2· − 4n = 66 2! · (n − 1)! ⇔ (n − 1)n − 4n = 66 ⇔ ” n2 − 5n − 66 = 0 n = 11 (nhận) ⇔ n = −69 (loại) ⇔ n = 11. 40 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số vận động viên tham gia giải là 11 + 2 = 13 vận động viên. Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là 2 · C211 = 110 ván. Số ván các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là 4 · 11 = 44 ván. Số ván hai vận động viên nữ chơi với nhau là 2 ván. Vậy có tất cả 110 + 44 + 2 = 156 ván.  Bài 14. Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. 1 Có bao nhiêu tập hợp con của A. 2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là chẵn. ĐS: 220 và 524287 Lời giải. 1 Số tập con của A có 0 phần tử (tập rỗng) là C020 . Số tập con của A có 1 phần tử là C120 . Số tập con của A có 2 phần tử là C220 . .. . Số tập con của A có 20 phần tử là C20 20 . 20 tập con. Vậy tổng số tập hợp con của A là C020 + C120 + C220 + · · · + C20 20 = (1 + 1) 2 Số tập(con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là T = C220 + C420 + C620 + · · · + C20 20 . 0 1 2 20 20 C20 + C20 + C20 + · · · + C20 = (1 + 1) (1) Ta có 0 1 2 3 20 20 C20 − C20 + C20 − C20 + · · · + C20 = (1 − 1) . (2) Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta được 20 2 · C220 + 2 · C220 + 2 · C420 + 2 · C620 + · · · + 2 · C20 20 = 2 ⇒ T = 219 − 1 ⇔ T = 524287.  Bài 15. Cho đa giác đều A1 A2 . . . A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , . . . , A2n nhiều gấp hai mươi lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , . . . , A2n . Tìm n. ĐS: 8 Lời giải. Có C32n tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm. Đa giác đều A1 , A2 , . . . , A2n nội tiếp đường tròn tâm (O) có n đường chéo qua tâm. Cứ hai đường chéo bất kỳ qua tâm sẽ tạo thành một hình chữ nhật, số hình chữ nhật là C2n . Từ giả thiết ta có C32n = 20 · C2n 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) ⇔ = 20 · 6 2 2 ⇔ n − 9n + 8 = 0 ” n = 1 (loại) ⇔ n = 8 (nhận) ⇔ n = 8.  C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 4. TỔ HỢP 41 Bài 16. Trong một buổi khiêu vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người ra khiêu vũ? ĐS: 40 Lời giải. Có C240 = 780 cách chọn 2 người từ 40 người ban đầu ra khiêu vũ. Bài 17. Có bao nhiêu cách rút ra ba quân bài từ bộ bài 52 con?  ĐS: 22100 Lời giải. Có C352 = 22100 cách rút 3 quân bài từ bộ bài 52 con.  Bài 18. Trong một uỷ ban có 10 người, cần chọn ba người làm chủ tịch, phó chủ tịch và thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 720 Lời giải. Số cách chọn 3 người từ 10 người vào 3 chức vụ khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 10. Vậy có A310 = 720 cách.  Bài 19. Trước phiên toà các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Có bao nhiêu cách bắt tay nếu có tất cả 8 vị? ĐS: 28 Lời giải. Mỗi cái bắt tay là của hai vị thẩm phán. Do vậy, số cách bắt tay là C28 = 28 cách.  Bài 20. Có 12 công nhân xây dựng. Người đội trưởng bố trí ba người làm ở A, bốn người làm ở B và năm người làm ở C. Có bao nhiêu cách bố trí? ĐS: 27720 Lời giải. Có C312 cách chọn 3 người làm ở A. Có C49 cách chọn 4 người làm ở B. Có C55 cách chọn 5 người làm ở C. Vậy có C312 · C49 · C55 = 27720 cách bố trí.  Bài 21. Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam bằng số ủy viên nữ? ĐS: 54600. Lời giải. Để chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam bằng số ủy viên nữ ta chọn 3 ủy viên là nam và 3 ủy viên là nữ. Số cách chọn là C310 · C315 = 54600.  Bài 22. Một lớp có 45 học sinh trong đó có 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 4 học sinh nếu có ít nhất 1 học sinh nam? ĐS: 136345. Lời giải. Lớp học có 45 − 20 = 25 học sinh nữ. Số cách chọn ban cán sự gồm 4 học sinh là C445 . Số cách chọn ban cán sự gồm 4 học sinh đều là học sinh nữ là C425 . Vậy nên số cách chọn ra một ban cán sự gồm 4 học sinh nếu có ít nhất 1 học sinh nam là C445 − C425 = 136345.  Bài 23. Từ 9 nam và 6 nữ có bao nhiêu cách thành lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ? ĐS: 1980. 42 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Lời giải. Có hai trường hợp lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ là Nhóm có 3 nam và 2 nữ, có C39 · C26 = 1260. Nhóm có 2 nam và 3 nữ, có C29 · C36 = 720. Vậy nên có 1260 + 720 = 1980 cách lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ.  Bài 24. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? ĐS: 1260. Lời giải. Có các trường hợp lập lập một ban đại diện gồm 4 người, trong đó có nhiều nhất là 2 nữ là Ban đại diện có 2 nam và 2 nữ, có C210 · C25 = 450. Ban đại diện có 3 nam và 1 nữ, có C310 · C15 = 600. Ban đại diện có 4 nam, có C410 = 210. Vậy nên có 450 + 600 + 210 = 1260 cách lập một ban đại diện gồm 4 người, trong đó có nhiều nhất là 2 nữ.  Bài 25. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một loại cây được trồng? ĐS: 24. Lời giải. Chọn 3 hố để trồng 3 cây, có C34 = 4 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn hố trồng cây đó, có 3! = 6 cách trồng 3 cây. Vậy có 4 · 6 = 24 cách trồng cây thỏa mãn đề bài.  Bài 26. Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào nữa thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là các điểm đã cho? ĐS: 116. Lời giải. 3 đỉnh không thẳng hàng từ cho ta một tam giác. Do đó từ 10 điểm đã cho, số tam giác được tạo thành là C310 − C34 = 116. Vậy có 116 tam giác có ba đỉnh là các điểm đã cho.  Bài 27. Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cậu B từ chối tham gia? ĐS: 840. Lời giải. Nếu cậu A và cậu B từ chối tham gia ban đại diện thì ban đại diện chọn trong 8 nam còn lại và 5 nữ. Các trường hợp chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ là Ban đại diện có 3 nam và 2 nữ, có C38 · C25 = 560 cách chọn. Ban đại diện có 2 nam và 3 nữ, có C28 · C35 = 280 cách chọn. Vậy nên có 560 + 280 = 840 cách lập một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Bài 28. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy Toán và dạy 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp?  ĐS: 90. Lời giải. Số cách chia 3 thầy giáo dạy Toán và dạy 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp là C26 · C24 · C22 = 90 cách.  4. TỔ HỢP 43 Bài 29. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà bạn D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, C muốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn 2 quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn sách? ĐS: 1680. Lời giải. Để cho các bạn A, B, C mượn sách, bạn D thực hiện các bước sau Cho bạn A mượn 2 quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết nên có C18 · 1 = 8 cách. Cho bạn B mượn 2 quyển sách, có C27 = 21 cách. Cho bạn C mượn 3 quyển sách, có C35 = 10 cách. Vậy D có 8 · 21 · 10 = 1680 cách cho mượn sách  Bài 30. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ hai ta lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? ĐS: 2800. Lời giải. Có C330 cách chọn 3 điểm bất kì từ 30 điểm đã cho. Có C310 + C320 cách chọn 3 thẳng hàng.
Vậy có C330 − C310 + C320 = 2800 tam giác tạo bởi các điểm đã cho.  44 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP DẠNG 0.1. Rút gọn một biểu thức chứa chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp Phương pháp Sử dụng công thức về chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp. Sử dụng các tính chất của tổ hợp. Khai triển và rút gọn. Bài 31. Rút gọn A = Lời giải. Ta có A= n+1 C2 . − 1) n n ĐS: A = (n2 1 2 n! (n − 2)!(n + 1)(n − 1)n 1 1 n+1 · = = = . − 1) n (n − 2)!2! (n − 2)!2!(n − 1)(n + 1)n 2! 2 (n2  11 3 C 4 10 Bài 32. Rút gọn A = . 2C713 + C712 − C512 + C714 2 − C411 + ĐS: A = 1 3432 Lời giải. 11 3 n 14 4 · Ck−1 C10 , C714 = C613 = 2C613 . n−1 suy ra C11 = k 4 7 12−7 = C512 . Mà Ckn = Cn−k ⇒ C712 = C12 n 11 11 2 − C310 + C310 2 1 1 4 4
= 7 = Vậy A = = . 7 7 7 6 6 7 3432 2C13 + C12 − C12 + 2C13 C14 2 C13 + C13 Áp dụng tính chất Ckn = Bài 33. Rút gọn A = C3n C1n (C2n )2 + Pn Pn+1 (n − 1)2 n2 2 4 (C2n · n!) .  ĐS: A = 3n2 + 4n − 11 3(n − 1) Lời giải. Ta có A= = = = = n! n! · n!(n + 1)!(n − 1)2 n2 3!(n − 3)! 1!(n − 1)! + (C2n )2 4 · (C2n )2 · (n!)2 (n − 2)(n − 1)n2 (n + 1)(n − 1)2 n2 + 3 · (C2n )2 4 · (C2n )2 (n − 2)(n − 1)n2 (n + 1)(n − 1)2 n2 · 2! · 2! · (n − 2)!(n − 2)! · 2! · 2! · (n − 2)!(n − 2)! + 3 · n! · n! 4 · n! · n! 4 (n − 2)(n − 1)n2 (n + 1)(n − 1)2 n2 · + 3 (n − 1)2 n2 (n − 1)2 n2
4(n − 2) + 3 n2 − 1 3n2 + 4n − 11 4 n−2 · +n+1= = . 3 n−1 3(n − 1) 3(n − 1)  Bài 34. Rút gọn A = Ckn + 3Ck−1 + 3Cnk−2 + Ck−3 với 3 ≤ k ≤ n. n n 45 ĐS: A = Ckn+3 46 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Lời giải. Áp dụng công thức Ckn + Ck−1 = Ckn+1 ta có n       k−2 k−2 k−3 A = Ckn + Cnk−1 + 2 Ck−1 + C + C + C n n n n k−1 = Ckn+1 + 2Cn+1 + Ck−2 n+1     k−1 k−2 = Ckn+1 + Ck−1 + C + C n+1 n+1 n+1 k = Ckn+2 + Ck−1 n+2 = Cn+3 .  Bài 35. Rút gọn A = Ckn + 5Ck−1 + 10Cnk−2 + 10Ck−3 + 5Ck−4 + Ck−5 n n n n . ĐS: A = Ckn+5 Lời giải. Áp dụng công thức Ckn + Ck−1 = Ckn+1 và tách ghép ta có n           k−2 k−2 k−3 k−3 k−4 k−4 k−5 A = Ckn + Cnk−1 + 4 Ck−1 + C + 6 C + C + 4 C + C + C + C n n n n n n n n k−1 k−3 k−4 = Ckn+1 + 4Cn+1 + 6Ck−2 n+1 + 4Cn+1 + Cn+1         k−1 k−2 k−2 k−3 k−3 k−4 = Ckn+1 + Ck−1 n+1 + 3 Cn+1 + Cn+1 + 3 Cn+1 + Cn+1 + Cn+1 + Cn+1 k−3 k−2 = Ckn+2 + 3Ck−1 n+2 + 3Cn+2 + Cn+2       k−3 k−2 k−2 k−1 + C + C + C + 2 C = Ckn+2 + Ck−1 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 k−2 = Ckn+3 + 2Ck−1 n+3 + Cn+3     k−2 k−1 k−1 k = Cn+3 + Cn+3 + Cn+3 + Cn+3 k = Ckn+4 + Ck−1 n+4 = Cn+5 .  Bài 36. Rút gọn A = C1n + 2 · C2n C3n Cnn + 3 · + · · · + n · . C1n C2n Cn−1 n Lời giải. Ta có C1n = n. n! C2n n! (n − 1)! 2!(n − 2)! 2· 1 =2· =2· · = n − 1. n! Cn 2!(n − 2)! n! (n − 1)! n! 3 C 3!(n − 3)! 3 · n2 = 3 · = n − 2. n! Cn 2!(n − 2)! … n! Ckn k!(n − k)! = n − k + 1. k · k−1 = k · n! Cn (k − 1)!(n − k + 1)! … Cnn 1 n · n−1 =n· = 1. n! Cn (n − 1)!1! ĐS: A = n(n + 1) 2 47 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được A = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + (n − k + 1) + · · · + 1 n(n + 1) = 1 + 2 + 3 + ··· + n = . 2  DẠNG 0.2. Giải phương trình liên quan đến chỉnh hợp – tổ hợp – hoán vị Phương pháp Dùng các công thức 1 Pn = n!. n! (với 0 ≤ k ≤ n). (n − k)! n! 3 Ckn = (với 0 ≤ k ≤ n). (n − k)!k! 2 Akn = Rút gọn, đưa phương trình đã cho về phương trình đại số. Giải phương trình này, tìm nghiệm. Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện 0 ≤ k ≤ n. Bài 37. Giải phương trình C32n = 20C2n . ĐS: n = 8 Lời giải. Điều kiện n ≥ 2, n ∈ Z. Khi đó ta có (2n)! n! = 20 · 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! (2n − 2)(2n − 1) = 5(n − 1) ⇔ 6 ⇔ 4n2 − 6n + 2 = 30n − 30 (vì n ≥ 2) ” n = 8 (nhận) ⇔ 4n2 − 36n + 32 = 0 ⇔ ⇔ n = 8. n=1 (loại) C32n = 20C2n ⇔ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là n = 8. Bài 38. Giải phương trình A4n 24 n−4 = 23 . 3 An+1 − Cn Lời giải. Điều kiện n ≥ 4, n ∈ Z. Khi đó ta có A4n A3n+1 − Cn−4 n n! 24 24 (n − 4)! = ⇔ = (n + 1)! n! 23 23 − (n − 2)! (n − 4)!4! n! 24 ⇔ = (n + 1)! n! 23 − (n − 3)(n − 2) 4! 4!(n − 3)(n − 2)n! 24 ⇔ = 4!(n + 1)! − n!(n − 3)(n − 2) 23 ” n = 5 (nhận) ⇔ n = 5. ⇔ 24n2 − 144n + 120 = 0 ⇔ n=1 (loại)  ĐS: n = 5 48 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Vậy nghiệm của phương trình đã cho là n = 5. Bài 39. Giải phương trình  Px+1 = 720. A5x Px−5 ĐS: x = 7 Lời giải. Điều kiện x ≥ 5, x ∈ Z. Khi đó ta có Px+1 = 720 ⇔ A5x Px−5 (x + 3)! = 720 x! · (x − 5)! (x − 5)! ⇔ (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 720 ⇔ x3 + 6×2 + 11x − 714 = 0 ” ⇔ (x − 7) x2 + 13x + 102 = 0 ⇔
x−7=0 x2 + 13x + 102 = 0 ⇔ x = 7 (thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 7.  Bài 40. Giải phương trình 72A1x − A3x+1 = 72. ĐS: x = 8 Lời giải. Điều kiện x ≥ 2, x ∈ Z. Khi đó ta có x! (x + 1)! − = 72 (x − 1)! (x − 2)! ⇔ 72x − x(x − 1)(x + 1) = 72  x=1  3 ⇔ x − 73x + 72 = 0 ⇔ x = 8 72A1x − A3x+1 = 72 ⇔ 72 · x = −9 (loại) (nhận) ⇔ x = 8. (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 8.  Bài 41. Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình C1x + 6C2x + 6C3x = 9×2 − 14x. ĐS: x = 7 Lời giải. Điều kiện x ≥ 3, x ∈ Z. Khi đó ta có x! x! +6· = 9×2 − 14x 2!(x − 2)! 3!(x − 3)! ⇔ x + 3(x − 1)x + (x − 2)(x − 1)x = 9×2 − 14x  x=0 (loại)
 2 ⇔ x x − 9x + 14 = 0 ⇔ x = 7 (nhận) ⇔ x = 7. C1x + 6C2x + 6C3x = 9×2 − 14x ⇔ x + 6 · x=2 (loại) 
Bài 42. Giải phương trình Px A2x + 72 = 6 A2x + 2Px , trong đó Px là số hoán vị của x phần tử, A2x là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử (x ∈ Z, x ≥ 2). ĐS: x = 3 hoặc x = 4 Lời giải. 49 Ta có Px A2x + 72 = 6 A2x + 2Px
  x! x! ⇔ x! · + 72 = 6 + 2x! (x − 2)! (x − 2)! ⇔ x!(x − 1)x + 72 = 6(x − 1)x + 12x! ⇔ x(x − 1) (x! − 6) = 12 (x! − 6)  x=3
 2 ⇔ (x! − 6) x − x − 12 = 0 ⇔ x = 4 x = −3 (nhận) (nhận) ⇔ (loại) ” x=3 x = 4. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 3, x = 4. Bài 43. Giải phương trình 2 14 5 − x = x (1). x C5 C6 C7  ĐS: x = 3 Lời giải. Điều kiện 0 ≤ x ≤ 5, x ∈ N. Ta có 5 2 14 − = 5! 6! 7! x!(5 − x)! x!(6 − x)! x!(7 − x)! 6−x (6 − x)(7 − x) 1 − = ⇔ 24 360 360 ⇔ 15 − 6 + x = 42 − 13x”+ x2 x = 11 (loại) ⇔ x2 − 14x + 33 = 0 ⇔ x = 3 (nhận). (1) ⇔  5 Bài 44. Hãy tìm số n nguyên dương thỏa mãn đẳng thức C4n−1 − C3n−1 − A2n−2 = 0. 4 ĐS: n = 11 Lời giải. Điều kiện n ∈ Z+ , n ≥ 5. Phương trình đã cho tương đương với (n − 1)! (n − 1)! 5 (n − 2)! − − · =0 4!(n − 5)! 3!(n − 4)! 4 (n − 4)! n−1 n−1 5 1 ⇔ − − · =0 24 6(n − 4) 4 n − 4 ⇔ (n − 1)(n − 4) − 4(n − 1) − 5.6 = 0 ” n = 11 (nhận) ⇔ n2 − 9n − 22 = 0 ⇔ n = −2 (loại).  m−1 m Bài 45. Tìm m, n ∈ Z+ biết Cm+1 n+1 : Cn+1 : Cn+1 = 5 : 5 : 3. Lời giải. Ta có và (n + 1)! n+1−m (m + 1)!(n − m)! = = (n + 1)! m+1 m!(n + 1 − m)! (n + 1)! n−m+2 m!(n + 1 − m)! = = . (n + 1)! m (m − 1)!(n + 2 − m)! Cm+1 n+1 Cm n+1 Cm n+1 Cm−1 n+1 ĐS: m = 3, n = 6 50 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP  n+1−m ( (  =1  n = 2m m=3 m+1 ⇔ ⇔ Từ giả thiết ta có  3n − 8m + 6 = 0 n = 6. n − m + 2 = 5 m 3 Bài 46. Giải phương trình A3x + Cxx−2 = 14x (1).  ĐS: x = 5 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ 3. Ta có x! x! + = 14x (x − 3)! (x − 2)!2! x(x − 1) ⇔ x(x − 1)(x − 2) + = 14x 2 x−1 ⇔ x2 − 3x + 2 + = 14 2  5 x = − (loại) 2 ⇔ 2×2 − 5x − 25 = 0 ⇔  x = 5 (nhận). (1) ⇔  3 Bài 47. Giải phương trình Cx+3 x+8 = 5Ax+6 (1). ĐS: x = 17 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ −3. Ta có (x + 6)! (x + 8)! =5· (x + 3)!5! (x + 3)! ⇔ (x + 8)(x + 7) = 5 · 5! (1) ⇔ ⇔ x2 + 15x + 56 = 600 ” 2 ⇔ x + 15x − 544 = 0 ⇔ x = 17 (nhận) x = −32 (loại).  x−1 = 132Cx2x−2 (1). Bài 48. Giải phương trình 35C2x ĐS: x = 6 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ 2. Ta có (2x)! (2x − 2)! = 132 · (x − 1)!(x + 1)! x!(x − 2)! 2x · (2x − 1) ⇔ 35 · = 132 (x − 1) · (x + 1) ⇔ 70x(2x − 1) = 132(x − 1)(x + 1) (1) ⇔ 35 · ⇔ 140×2 − 70x = 132×2 − 132  x = 6 (nhận) ⇔ 8×2 − 70x + 132 = 0 ⇔  11 x= (loại). 4  Bài 49. Giải phương trình Lời giải. 1 1 1 − x = x (1). x C4 C5 C6 ĐS: x = 2 51 Điều kiện x ∈ Z, 0 ≤ x ≤ 4. Ta có x!(4 − x)! x!(5 − x)! x!(6 − x)! − = 4! 5! 6! (5 − x) (6 − x)(5 − x) ⇔ 1− = 5 5.6
⇔ 30 − 6 · (5 − x) = 30 − 11x + x2 (1) ⇔ 2 ⇔ 30 − 30 + 6x − 30 + 11x ” −x =0 x = 2 (nhận) ⇔ x2 − 17x + 30 = 0 ⇔ x = 15 (loại).  x−4 2 Bài 50. Giải phương trình x2 Cx−4 x−1 + xCx−1 = 4(x + 1)Cx (1). ĐS: x = 6 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ 4. Ta có (x − 1)! (x − 1)! x! +x· = 4(x + 1) · (x − 4)!3! (x − 4)!3! 2!(x − 2)! x 1 4(x + 1) ⇔ + = 3 3 (x − 2)(x − 3) 2 ⇔ x(x − 5x + 6) + (x2 − 5x + 6) = 12(x + 1) ” x = 6 (nhận) 3 2 ⇔ x − 4x − 11x − 6 = 0 ⇔ x = −1 (loại). (1) ⇔ x2 ·  x−1 Bài 51. Giải phương trình 3Cx−1 2x = 2C2x+1 (1). ĐS: x = 4 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ 1. Ta có (2x)! (2x + 1)! =2· (x − 1)!(x + 1)! (x − 1)!(x + 2)! (2x + 1) ⇔ 3=2· x+2 ⇔ 3x + 6 = 4x + 2 (1) ⇔ 3 · ⇔ x = 4.  Bài 52. Giải phương trình A3x + C2x = 14Cx−1 x . ĐS: x = 5 Lời giải. Điều kiện x ∈ Z, x ≥ 3. Ta có x! x! x! + = 14 · (x − 3)! 2!(x − 2)! (x − 1)! 1 14 ⇔ 1+ = 2(x − 2) (x − 1)(x − 2) ⇔ 2(x − 1)(x − 2) + (x − 1) = 14.2  x = 5 (nhận) 2  ⇔ 2x − 5x − 25 = 0 ⇔ 5 x = − (loại). 2 (1) ⇔  52 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP DẠNG 0.3. Giải bất phương trình liên quan đến chỉnh hợp-hoán vị- tổ hợp Phương pháp: 1 Dùng công thức Akn = n! n! ; Pn = n!; Ckn = . (n − k)! k!(n − k)! 2 Đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình đa thức, phân thức hữu tỉ. 3 Giải tìm nghiệm, đem giao với điều kiện 0 ≤ k ≤ n; suy ra nghiệm của bài toán. Bài 53. Giải bất phương trình A4x+4 42 (với x ∈ Z+ ). ≤ (x + 2)! Px (1) ĐS: S = {1; 2; 3} Lời giải. Ta có A4x+4 = (x + 4)! = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) và Px = x!. x! (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 42 ≤ (x + 2)! x! 42 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ≤ ⇔ (x + 2)(x + 1) · x! x! ⇔ (x + 3)(x + 4) − 42 ≤ 0 (do x ∈ Z+ ) (1) ⇔ ⇔ x2 + 7x − 30 ≤ 0 ⇔ −10 ≤ x ≤ 3. Do x ∈ Z+ nên nghiệm của (1) là x ∈ {1; 2; 3}. Bài 54. Giải bất phương trình 2C2x+1 + 3A2x < 30.  (1) ĐS: x = 2 Lời giải. ( x+1≥2 Điều kiện: ⇔ x ≥ 2, x ∈ Z+ . x≥2 (x + 1)! x! +3 < 30 ⇔ x(x + 1) + 3(x − 1)x < 30 2!(x − 1)! (x − 2)! 5 ⇔ 4x2 − 2x − 30 < 0 ⇔ − < x < 3. 2 (1) ⇔ 2 · Kết hợp với điều kiện x ≥ 2, x ∈ Z+ ta có x = 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Bài 55. Giải bất phương trình 1 2 6 A2x − A2x ≤ C3x + 10. 2 x (∗)  ĐS: S = {3; 4} Lời giải.  2x ≥ 2    x ≥ 2 Điều kiện: ⇔ x ≥ 3, x ∈ Z+ .  x ≥ 3    x ∈ Z+ 1 (2x)! x! 6 x! − ≤ + 10 2 (2x − 2)! (x − 2)! x 3!(x − 3)! 1 ⇔ (2x − 1)2x − (x − 1)x ≤ (x − 2)(x − 1) + 10 2 ⇔ 3x − 12 ≤ 0 ⇔ x ≤ 4. (∗) ⇔ Kết hợp với điều kiện x ≥ 3, x ∈ Z+ ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 3 hoặc x = 4.  53 5 Bài 56. Giải bất phương trình C4x−1 − C2x−1 − A2x−2 < 0. 4 (1) ĐS: S = {5; 6; 7; 8; 9; 10} Lời giải. Điều kiện: x ∈ Z + , x ≥ 5. (1) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (x − 1)! (x − 1)! 5 (x − 2)! − − · <0 4!(x − 5)! 3!(x − 4)! 4 (x − 4)! x−1 5 x−1 − − <0 24 6(x − 4) 4(x − 4) (x − 1)(x − 4) − 4(x − 1) − 6.5 < 0 (do x ≥ 5 ⇒ x − 4 > 0) 24(x − 4) x2 − 9x − 22 <0 x−4 x2 − 9x − 22 < 0 (vì x − 4 > 0) ⇔ −2 < x < 11. Kết hợp với điều kiện của đề bài, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là x ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10}. Bài 57. Giải bất phương trình 72A1x − A3x−1 ≤ 72. (1)  ĐS: S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Lời giải. ( ( x+1≥3 x≥2 Điều kiện: ⇔ . + x∈Z x∈Z (x + 1)! x! − ≤ 72 (x − 1)! x(x − 2)! ⇔ 72x − (x − 1)(x + 1)x − 72 ≤ 0 (1) ⇔ 72 · ⇔ x3 − 73x + 72 ≤ 0
⇔ (x − 1) x2 + x − 72 ≤ 0 " x ≤ −9 ⇔ . 1≤x≤8 Giao với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Bài 58. Giải bất phương trình An−2 n+1 ≥ 2Pn , với n ∈ Z+ . C2n−1 (1)  ĐS: S = {1; 2} Lời giải. ( n≥1 Điều kiện: . n ∈ Z+ (∗) (n + 1)! (n − 1)! ≥ 2 · n! 3! 2!(n − 3)! ⇔ n ≥ 6(n − 2)(n − 1) ⇔ 5n2 − 18n + 12 ≤ 0 √ √ 9 − 21 9 + 21 ≤n≤ . ⇔ 5 5 2 (1) ⇔ An−2 n+1 ≥ 2Pn · Cn−1 ⇔ Giao với (∗) ta được n ∈ {1; 2} là nghiệm của bất phương trình (1). Bài 59. Có bao nhiêu số hạng dương của dãy số (xn ) cho bởi: xn = x2 , x3 , x4  A3 195 − n+1 , với n ∈ Z+ . 4Pn Pn+1 ĐS: x1 , 54 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Lời giải. A3 195 195 n! − n+1 > 0 ⇔ − >0 4Pn Pn+1 4n! (n + 1)! 195 (n + 2)(n + 3) ⇔ − > 0 ⇔ 195 − 4(n + 2)(n + 3) > 0 4.n! n! ⇔ 4n2 + 20n − 171 < 0. xn > 0 ⇔ Vì n ∈ Z+ ⇒ n = 1, 2, 3, 4. Vậy tất cả có 4 số hạng dương x1 , x2 , x3 , x4 .  Bài 60. Tìm tất cả các số âm trong dãy số x1 , x2 , x3 , x4 , . . ., xn với xn = A4n+4 143 − < 0, (n = 1, 2, 3, . . .). Pn+2 4Pn Trong đó A4n+4 là chỉnh hợp chập 4 của n + 4 phần tử còn Pn , Pn+2 là hoán vị của tập hợp gồm n và n + 2 phần tử tương ứng. ĐS: x1 , x2 Lời giải. A4n+4 143 − <0 Pn+2 4Pn (n + 4)! 143 143 n! ⇔ − < 0 ⇒ (n + 3)(n + 4) − <0 (n + 2)! 4n! 4 5 19 ⇔ 4n2 + 28n − 95 < 0 ⇔ − < n < . 2 2 xn < 0 ⇔ Vì n ∈ Z+ ⇒ n = 1, n = 2. Vậy các số hạng âm của dãy là x1 , x2 . 11−x Bài 61. Giải bất phương trình Cx13 ≥ C13 .  (1) ĐS: S = {6; 7; 8; 9; 10; 11} Lời giải. ( 1 ≤ x ≤ 11 Điều kiện: . x ∈ Z+ (∗) 13! 13! ≥ ⇔ (x + 2)(x + 1) ≥ (13 − x)(12 − x) x!(13 − x)! (11 − x)!(x + 2)! 11 ⇔ 2x ≥ 11 ⇔ x ≥ . 2 (1) ⇔ Giao với (∗) ta được x ∈ {6; 7; 8; 9; 10; 11} là nghiệm của bất phương trình (1). Bài 62. Giải bất phương trình C3x+1 ≥ 100 + Cx−1 x+1 . (2) Lời giải. ( ( x+1≥3 x≥2 Điều kiện: ⇔ . + x∈Z x ∈ Z+  ĐS: x ≥ 10, x ∈ Z (∗) (x + 1)! (x + 1)! (x + 1)! [(x − 1) − 3] ≥ 100 + ⇔ ≥ 100 3!(x − 2)! (x − 1)!2! 3!(x − 1)! ⇔ x(x + 1)(x − 4) ≥ 600. (2) ⇔ Ta thấy vì x ∈ Z nên khi x = 9 thì x(x + 1)(x − 4) = 450 < 600. Khi x ≥ 10 thì x(x + 1)(x − 4) ≥ 660 ( > 600 nên x ≥ 10 thỏa mãn bất phương trình. x ≥ 10 Kết hợp với điều kiện (∗) ta được là nghiệm của bất phương trình (2). x∈Z  55 Bài 63. Giải bất phương trình A4x+4 143 . ≤ (x + 2)! 4Px (3) ĐS: x ∈ {0; 1; 2} Lời giải. ( x≥0 Điều kiện: . x ∈ Z+ (∗) 4 · x!(x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) ≤ 143 ⇔ 4(x + 4)(x + 3) ≤ 143 (x + 2)! 19 5 ⇔ 4×2 + 28x − 95 ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ . 2 2 (3) ⇔ Giao với (∗) ta được x ∈ {0; 1; 2} là nghiệm của bất phương trình (3). Bài 64. Giải bất phương trình 12C1x + Cx−1 x+1 ≥ 162.  (4) ĐS: x ≥ 9, x ∈ Z Lời giải. ( x≥1 Điều kiện: . x∈Z (∗) x(x + 1) ≤ 162 ⇔ x2 + 25x − 324 ≤ 0 (4) ⇔ 12x + 2! √  −25 + 1921 x ≥ 2√ ⇔  ⇔ x ≥ 9 (do x ∈ Z+ ).  −25 − 1921 x≤ 2 Giao với (∗) ta được ( x≥9 x∈Z là nghiệm của bất phương trình (4). Bài 65. Giải bất phương trình 3C2x+1 + P5 ≤ 4A2x .  (5) ĐS: x ≥ 9, x ∈ Z Lời giải. ( x≥2 Điều kiện: . x∈Z (∗) 3x(x + 1) + 120 ≤ 4x(x − 1) ⇔ 5×2 − 11x − 240 ≥ 0 2 √  11 + 4921 x ≥ 10 ⇔  ⇔ x ≥ 9 (do x ∈ Z+ ). √  11 − 4921 x≤ 10 (5) ⇔ Giao với (∗) ta được ( x≥9 x∈Z là nghiệm của bất phương trình (5). Bài 66. Giải bất phương trình Lời giải. A4x 24 x−4 ≥ 23 . 3 Ax+1 − Cx  (6) ĐS: 5 ≤ x ≤ 24, x ∈ Z 56 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Điều kiện: ( x≥4 (∗) x ∈ Z. (x − 5)(x − 1) A4x 24 ⇔ 2 ≤0 ≥ 23 x − 29x − 18 − C4x √  29 + 913 5 ≤ x < 2 ⇔   29 − √913 7560 nên n ≥ 5 thỏa mãn bất phương trình. ( n≥5 Kết hợp với điều kiện (∗) ta được là nghiệm của bất phương trình (7). n∈Z  DẠNG 0.4. Giải hệ phương trình chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp Dùng các công thức của chỉnh hợp – hoán vị – tổ hợp đưa về hệ đại số. Giải và tìm nghiệm thích hợp. ( 2Ayx + 5Cyx = 90 Bài 68. Giải hệ phương trình 5Ayx − 2Cyx = 80. (trong đó Ckn và Akn lần lượt là tổ hợp và chỉnh hợp chập k của n phần tử). Lời giải. Điều kiện 0 < y ≤ x; x, y ∈ N∗ . ( 2a + 5b = 90 Đặt a = b= Khi đó ta có 5a − 2b = 80 x! x! và b = , suy ra Ta có a = (x − y)! y!(x − y)! Ayx , Cyx . a= Do đó ĐS: x = 5, y = 2 ( a = 20 ⇔ b = 10. x! · y! = b · y! ⇔ 20 = 10 · y! ⇔ y! = 2 ⇔ y = 2. y!(x − y)! " x = 5 (nhận) x! A2x = 20 ⇔ = 20 ⇔ (x − 1)x = 20 ⇔ (x − 2)! x = −4 (loại). Vậy x = 5, y = 2 là nghiệm của hệ phương trình.  57  m+1 Cn+1     Cm = 1 n+1 Bài 69. Giải hệ phương trình  Cm 5 n+1    m−1 = . 3 Cn+1 ĐS: m = 3, n = 6 Lời giải. Điều kiện m, n ∈ N∗ , m ≤ n. Ta có Cm+1 n+1 Cm n+1 Cm n+1 Cm−1 n+1 (n + 1)! n+1−m (m + 1)!(n − m)! = = ; (n + 1)! m+1 m!(n + 1 − m)! (n + 1)! n+2−m m!(n + 1 − m)! = . = (n + 1)! m (m − 1)!(n + 2 − m)!  n+1−m ( (  =1  n = 2m m=3 m + 1 Suy ra ⇔ ⇔ (thỏa mãn).  3n − 8m + 6 = 0 n=6 n + 2 − m = 5 m 3 Vậy m = 3, n = 6 là các giá trị cần tìm. ( Bài 70. Giải hệ phương trình Cxx−1
2 + 2 Cyy−1
2 Cxx−1
3 = Ay−1 + 1. y  = 3Ax−1 · Cy−1 x y ĐS: (x; y) = (1; 1) Lời giải. Điều kiện x, y ∈ N∗ . Ta có Cx−1 = x x! = x, (x − 1)! Cy−1 = y y! = y, (y − 1)! Ax−1 = x x! = x, (x − 1)! Ayy−1 = y! = y. (y − 1)! Hệ đã cho trở thành ( 2 x + 2y 2 = 3xy 2x3 = y + 1 ⇔ ( 2 x + 2y 2 − 3xy = 0 2x3 − y − 1 = 0 "   x=y x = 2y ⇔   3 2x = y + 1. Với x = y ta có 2y 3 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = y = 1. Với x = 2y ta có 16y 3 − y − 1 = 0. Xét hàm f (y) = 16y 3 − y − 1 trên miền [1; +∞) ta có f 0 (y) = 48y 2 − 1 > 0 với y ≥ 1 ⇒ f (y) đồng biến trên [1; +∞). Do đó min f (y) = f (1) = 14 > 0, suy ra phương trình (*) vô nghiệm. (*) [1;+∞) Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 1). Bài 71. Giải hệ phương trình   x−1 y−1   Cx − Ay =    x3 = Lời giải.  1 Cx−1 x − 1 Ay−1 y
4 6Cyy−3 1 x−2 2 · C + + . x 2 (x − 1) (y − 2)(y − 1) 3 ĐS: Hệ vô nghiệm 58 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP   x ≥ 2 Điều kiện y ≥ 3   x, y ∈ N. Ta có x! = x, (x − 1)! x! x(x − 1) = = , 2!(x − 2)! 2 Cx−1 = x Cx−2 x y! = y, (y − 1)! y! y(y − 1)(y − 2) = = . 3!(y − 3)! 6 Ayy−1 = Cyy−3 Hệ đã cho trở thành   1 1 1 1    x − = y − x − y = x − y x y ⇔ 2 x2 4(x − 1) y(y − 1)(y − 2) 1   x3 = x2 + y + 1 .  x3 = +6· + 2 4(x − 1) 6(y − 1)(y − 2) 3 3 1 1 Xét hàm f (t) = t − với t > 1, ta có f 0 (t) = 1 + 2 > 0 với mọi t > 1, do đó f (t) tăng trên miền (1; +∞). t t 1 1 Suy ra x − = y − ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y. Thay vào phương trình còn lại ta được x y x3 = x2 + x + √ 1 1 3 ⇔ 3×3 = 3×2 + 3x + 1 ⇔ 4×3 = (x + 1)3 ⇔ 4x = x + 1 ⇔ x = √ (loại). 3 3 4−1 Vậy hệ đã cho vô nghiệm.  DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp Cách 1: Dùng công thức Ckn = n! và các tính chất của tổ hợp. (n − k)!k! Khai triển và rút gọn. Bài 72. Cho các số nguyên dương k ≤ n. Chứng minh rằng Ckn = n · Ck−1 n−1 . k Lời giải. Ta có Ckn = n n! n (n − 1)! n! và · Ck−1 · = . Suy ra điều phải chứng minh. n−1 = k!(n − k)! k k (k − 1)!(n − k)! k!(n − k)!  m+1 Bài 73. Cho các số tự nhiên m, n (n ≥ 1). Chứng minh rằng nCm m+n = (m + 1)Cm+n . Lời giải. Ta có (m + 1)Cm+1 m+n = (m + 1) · (m + n)! (m + n)! · n (m + n)! = =n· = nCm m+n . (m + 1)!(n − 1)! m!(n − 1)! · n m!n! Suy ra điều phải chứng minh.  Bài 74. Cho các số tự nhiên n, r, k thỏa mãn k ≤ r ≤ n. Chứng minh rằng Crn · Ckn = Ckn · Cr−k n−k . Lời giải. Ta có Ckn · Cr−k n−k = n! (n − k)! n! 1 n! r! · = · = · = Crn · Ckn . k!(n − k)! (n − r)!(r − k)! (n − r)! k!(r − k)! r!(n − r)! k!(r − k)! Suy ra điều phải chứng minh.  59 1 n+1 Bài 75. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng Cn2n + Cn−1 2n = C2n+2 . 2 Lời giải. Ta có n−1 Cn2n + C2n = = (2n)! (2n)!(n + 1)2 + (2n)!n(n + 1) (2n)! + = n!n! (n − 1)!(n + 1)! (n + 1)!(n + 1)! 1 (2n)!(2n + 2)(n + 1) + (2n)!(2n + 2)n 1 (2n + 2)! 1 · = · = Cn+1 . 2 (n + 1)!(n + 1)! 2 (n + 1)!(n + 1)! 2 2n+2 Suy ra điều phải chứng minh.  Bài 76. Cho các số nguyên dương p ≤ n. Chứng minh rằng C1n + 2 · C2n Cnn n(n + 1) C3n Cpn + · · · + n · = + 3 · + · · · + p · . p−1 n−1 1 2 Cn Cn 2 Cn Cn Lời giải. Ta có C1n = n; C2 2 · 1n Cn 3· C3n C2n … p· Cpn Cp−1 n … Cnn n · n−1 Cn n! n! 2!(n − 2)! = 2· = = n − 1; n (n − 2)!n n! (n − 2)! 3!(n − 3)! = 3· = = n − 2; n! (n − 3)! 2!(n − 2)! n! n−p+1 (p − 1)!(n − p + 1)! p!(n − p)! = p· =p· = n − p + 1; =p· n! p!(n − p)! p (p − 1)!(n − p + 1)! = n· 1 = 1. n! 1!(n − 1)! C2n C3n Cpn Cnn n(n + 1) +· · ·+n· +3· +· · ·+p· = n+(n−1)+(n−2)+· · ·+(n−p+1)+· · ·+1 = . p−1 n−1 1 2 Cn Cn 2 Cn Cn Suy ra điều phải chứng minh.  Do đó C1n +2· m+1 Bài 77. Cho các số nguyên dương m, n (m < n). Chứng minh rằng Cm+1 + Cm−1 + 2Cm n n n = Cn+2 . Lời giải. Ta có Cm+1 + Cm−1 + 2Cm = n n n = = = Suy ra điều phải chứng minh. n! n! n! + +2· (m + 1)!(n − m − 1)! (m − 1)!(n − m + 1)! m!(n − m)! n!(n − m)(n − m + 1) + n!m(m + 1) + 2n!(m + 1)(n − m + 1) (m + 1)!(n − m + 1)! n! [(n − m + 1)(n + m + 2) + m(m + 1)] (m + 1)!(n − m + 1)! n!(n + 1)(n + 2) (n + 2)! = = Cm+1 n+2 . (m + 1)!(n − m + 1)! (m + 1)!(n − m + 1)!  60 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 78. Cho các số k, n là số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k < n. Chứng minh rằng C1n − 2C2n + 3C3n − · · · + (−1)n−1 nCnn = n n−1 X (−1)k Ckn−1 . k=0 Lời giải. Ta có kCkn = k · n! (n − 1)!n = = nCk−1 n−1 . Do đó k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! n n n−1 X X X k−1 k k−1 k−1 VT = (−1) kCn = n (−1) Cn−1 = n (−1)k Ckn−1 = V P. k=1 k=1 k=0 Suy ra điều phải chứng minh.  Bài 79. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng C0n C1n C2n Ckn Cnn 1 + + + · · · + + · · · + = . 1 2 3 n+1 k+1 2 Cn+2 Cn+3 Cn+4 C2n+2 Cn+k+2 Lời giải. Ta có Ckn Ck+1 n+k+2 = = = n! (k + 1)!(n + 1)! n!(n + 1)!(k + 1) · = k!(n − k)! (n + k + 2)! (n − k)!(n + k + 2)!   1 n!(n + 1)! n!(n + 1)! − 2 (n − k)!(n + k + 1)! (n − k − 1)!(n + k + 2)!   (2n + 1)! (2n + 1)!  1 n!(n + 1)! n!(n + 1)!   −  (2n + 1)! (2n + 1)! 2 (n − k)!(n + k + 1)! = Với k = 0, ta có 1 · 2 Cn−k 2n+1 n−k−1 C2n+1 − Cn2n+1 (n − k − 1)!(n + k + 2)! . C0n 1 Cn2n+1 − Cn−1 2n+1 = · . 2 Cn2n+1 C1n+2 n−2 1 Cn−1 C1n 2n+1 − C2n+1 = · . Với k = 1, ta có 2 2 Cn2n+1 Cn+3 ... Với k = n − 1, ta có Với k = n, ta có Do đó Cn−1 1 C12n+1 − C02n+1 n = · . Cn2n+1 2 Cn2n+1 Cnn 1 C02n+1 = · . Cn2n+2 2 Cn2n+1 C0n Cnn C1n C2n Ckn 1 + + + · · · + + · · · + = . Suy ra điều phải chứng minh. 1 2 3 n+1 k+1 2 Cn+2 Cn+3 Cn+4 C2n+2 Cn+k+2 r−1 r−1 Bài 80. Cho các số nguyên dương r ≤ n. Chứng minh rằng Crn = Cr−1 n−1 + Cn−2 + · · · + Cr−1 . Lời giải.  61 r−1 r r r Ta có tính chất Crn = Cr−1 n−1 + Cn−1 ⇒ Cn−1 = Cn − Cn−1 . Do đó r r Cr−1 n−1 = Cn − Cn−1 r r Cr−1 n−2 = Cn−1 − Cn−2 r r Cr−1 n−3 = Cn−2 − Cn−3 ... Cr−1 = Crr+1 − Crr . r r−1 r−1 r−1 r r r Do đó Cr−1 n−1 + Cn−2 + · · · + Cr−1 = Cn − Cr + Cr−1 = Cn . Suy ra điều phải chứng minh.  DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 2) Dùng tính chất Ckn + Ck−1 = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n; k, n ∈ N. n Tách - ghép hệ số để sử dụng được tính chất trên. Bài 81. Cho k và n là hai số nguyên sao cho 3 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng Ckn + 3Ck−1 + 3Ck−2 + Ck−3 = Ckn+3 n n n Lời giải. Từ tính chất Ckn + Cnk−1 = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n; k, n ∈ N. Ta có VT = Ckn + 3Ck−1 + 3Ck−2 + Ck−3 n n n       k k−1 k−1 k−2 k−3 = Cn + C n + 2 Cn + Ck−2 + C + C n n n k−2 = Ckn+1 + 2Ck−1 n+1 + Cn+1     k−1 k−2 = Ckn+1 + Ck−1 + C + C n+1 n+1 n+1 = Ckn+2 + Ck−1 n+2 = Ckn+3 = VP (đpcm).  Bài 82. Cho k và n là hai số tự nhiên sao cho k + 3 ≤ n. Chứng minh đẳng thức k+3 2Ckn + 5Ck+1 + 4Ck+2 + Ck+3 = Ck+2 n n n n+2 + Cn+3 Lời giải. Từ tính chất Ckn + Cnk−1 = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n; k, n ∈ N. Ta có + Ck+3 VT = 2Ckn + 5Ck+1 + 4Ck+2 n n n       k k+1 k+1 k+2 k+3 = 2 Cn + Cn + 3 Cn + Ck+2 + C + C n n n k+3 = 2Ck+1 + 3Ck+2 n+1 + Cn+1 n+1    k+2 k+2 k+3 = 2 Ck+1 + C + C + C n+1 n+1 n+1 n+1 k+3 = 2Ck+2 n+2 + Cn+2   k+2 k+3 = Ck+2 + C + C n+2 n+2 n+2 k+3 = Ck+2 n+2 + Cn+3 = VP (đpcm).  62 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 83. Cho k và n là hai số nguyên sao cho 4 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng Ckn + 4Ck−1 + 6Ck−2 + 4Ck−3 + Ck−4 = Ckn+3 n n n n Lời giải. Từ tính chất Ckn + Ck−1 = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n; k, n ∈ N. Ta có n VT = Ckn + 4Ck−1 + 6Ck−2 + 4Cnk−3 + Ck−4 n n    n     k k−1 k−1 k−2 = Cn + C n + 3 Cn + C n + 3 Ck−2 + Ck−3 + Ck−3 + Ck−4 n n n n k−2 k−3 = Ckn+1 + 3Ck−1 n+1 + 3Cn+1 + Cn+1       k−1 k−2 k−2 k−3 = Ckn+1 + Ck−1 + 2 C + C + C + C n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 k−2 = Ckn+2 + 2Ck−1 n+2 + Cn+2     k−1 k−1 k−2 k = Cn+2 + Cn+2 + Cn+2 + Cn+2 k = Ckn+3 + Ck−1 n+3 = Cn+4 = VP (đpcm).  Bài 84. Cho k, n và r là ba số tự nhiên. Chứng minh rằng r X Ckn+k = Crn+r+1 k=0 Lời giải. Từ tính chất Ckn + Ck−1 = Ckn+1 với 1 ≤ k ≤ n; k, n ∈ N suy ra n k−1 k k k Ckn+k+1 = Ck−1 n+k + Cn+k hay Cn+k = Cn+k+1 − Cn+k . Do đó ta có C0n = C0n+1 C1n+1 = C1n+2 − C0n+1 C2n+2 = C2n+3 − C1n+2 C3n+3 = C3n+4 − C2n+3 ... = ... Crn+r = Crn+r+1 − Cr−1 n+r . Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được C0n + C1n+1 + C2n+2 + · · · + Crn+r = Crn+r+1 . r X Hay Ckn+k = Crn+r+1 (đpcm). k=0 DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 3) Dùng khai triển nhị thức Newton theo hai cách khác nhau. Sau đó đồng nhất hệ số hai vế, suy ra điều phải chứng minh. Nhị thức Newton (a + b)n = n X Ckn an−k bk , k=0 (a − b)n = n X k=0 (−1)k Ckn an−k bk .  63 Bài 85. Cho 4 ≤ k ≤ n; k, n ∈ Z. Chứng minh rằng Ckn + 4Ck−1 + 6Ck−2 + 4Ck−3 + Ck−4 = Ckn+4 . n n n n Lời giải. Ta có (1 + x)4 = C04 + C14 x + C24 x2 + C34 x3 + C44 x4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 ; (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Ckn xk + · · · + Cnn xn .

⇒ (1 + x)4 (1 + x)n = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Ckn xk + · · · + Cnn xn . Mặt khác (1) (1 + x)4 (1 + x)n = (1 + x)n+4 n+4 = C0n+4 + C1n+4 x + C2n+4 x2 + · · · + Ckn+4 xk + · · · + Cn+4 . n+4 x (2) Đồng nhất hệ số của hạng tử chứa xk trong vế phải của (1) và (2) ta được Ckn + 4Ck−1 + 6Ck−2 + 4Ck−3 + Cnk−4 = Ckn+4 (đpcm). n n n  Bài 86. Cho k, n, m và p là bốn số tự nhiên. Chứng minh rằng p 2 p−2 p k C0n Cpm + C1n Cp−1 m + Cn Cm + · · · + Cn Cm = Cm+n . Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn ; m (1 + x)m = C0m + C1m x + C2m x2 + · · · + Cm mx . p 0 2 p−2 ⇒ Hệ số của hạng tử chứa xp trong khai triển của tích (1+x)n (1+x)m là C0n Cpm +C1n Cp−1 m +Cn Cm +· · ·+Cn Cm . Mặt khác (1 + x)n (1 + x)m = (1 + x)n+m n+m n+m x . = C0n+m + C1n+m x + C2n+m x2 + · · · + Cpn+m xp + · · · + Cn+m ⇒ Hệ số của hạng tử chứa xp trong khai triển của (1 + x)n+m là Cpn+m . Mà hệ số của hạng tử chứa xn trong tích (1 + x)n (1 + x)n cũng chính là hệ số của hạng tử chứa xn trong khai triển của (1 + x)2n nên p 2 p−2 p k C0n Cpm + C1n Cp−1 m + Cn Cm + · · · + Cn Cm = Cm+n (đpcm).  Bài 87. Cho n và r là hai số tự nhiên sao cho r ≤ n. Chứng minh rằng C0n Crn + C1n Cr+1 + C2n Cr+2 + · · · + Cnn−r Cnn = n n Lời giải. (2n)! . (n − r)! · (n + r)! 64 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Ta có  
n 1 0 11 2 1 C0n + C1n x + · · · + Crn xr + · · · + Cnn xn Cn + C n + C n 2 + · · · + C n n x x x  n 1 1 = 1+ (1 + x)n = n (1 + x)2n x x
1 0 1 2 2 2n 2n . C + C x + C x + · · · + C x = 2n 2n 2n 2n xn Đồng nhất hóa hệ số của hạng tử chứa xr ở hai vế ta được n 2n C0n Crn + C1n Cr+1 + C2n Cr+2 + · · · + Cn−r n n n Cn = Cn+r = (2n)! (đpcm). (n − r)! · (n + r)!  Bài 88. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng C0n
2 + C1n
2 + · · · + (Cnn )2 = Cn2n . Lời giải. Ta có (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn
C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn

C0n xn + C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + Cnn .

2
2 ⇒ Hệ số của hạng tử chứa xn trong khai triển của tích (1 + x)n (1 + x)n là C0n + C1n + · · · + (Cnn )2 . 2n Mặt khác (1 + x)2n = C02n + C12n x + · · · + Cn2n xn + · · · + C2n 2n x . n 2n ⇒ Hệ số của hạng tử chứa x trong khai triển của (1 + x) là Cn2n . Mà hệ số của hạng tử chứa xn trong tích (1 + x)n (1 + x)n cũng chính là hệ số của hạng tử chứa xn trong khai triển của (1 + x)2n nên
2
2 C0n + C1n + · · · + (Cnn )2 = Cn2n (đpcm).  Bài 89. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng Cn2n+1
2 − C12n+1
2 + C22n+1
2 − · · · − C2n+1 2n+1
2 = 0. Lời giải. Ta có 2n+1 2n+1 x ; (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1 x + C22n+1 x2 + · · · + C2n+1 (x − 1)2n+1 = C02n+1 x2n+1 − C12n+1 x2n + C22n+1 x2n−1 − · · · − C2n+1 2n+1 . ⇒ Hệ số của hạng tử chứa x2n+1 trong khai triển của tích (1 + x)2n+1 (x − 1)2n+1 là Cn2n+1
2 − C12n+1
2 + C22n+1
2 2n+1 − · · · − C2n+1
2 . Mặt khác (1 + x)2n+1 (x − 1)2n+1 = (x2 − 1)2n+1 có tất cả các hạng tử đều chứa lũy thừa bậc chẵn của biến x nên hệ số của hạng tử chứa x2n+1 là 0.

2
2
2 2n+1 2 = 0 (đpcm).  Do đó Cn2n+1 − C12n+1 + C22n+1 − · · · − C2n+1 Bài 90. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng C02n
2 − C12n
2 + C22n
2 − · · · + C2n 2n Lời giải. Ta có 2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + · · · + Cn2n xn + · · · + C2n 2n x ; 2n (1 − x)2n = C02n − C12n x + · · · + (−1)n Cn2n xn ± · · · + C2n 2n x .
2 = (−1)n Cn2n . 65 ⇒ Hệ số của hạng tử chứa x2n trong khai triển của tích (1 + x)2n (1 − x)2n là C02n
2 − C12n
2 + · · · + (−1)n (Cn2n )2 ± · · · + C2n 2n
2 . (1) 2 2n Mặt khác (1 + x)2n (1 − x)2n = (1 − x2 )2n = C02n − C12n x2 + · · · + (−1)n Cn2n (x2 )n + · · · + C2n 2n (−x ) . ⇒ Hệ số của hạng tử chứa x2n trong khai triển của (1 − x2 )2n là (−1)n Cn2n . (2) Từ (1) và (2) suy ra C02n
2 − C12n
2 + · · · + (−1)n (Cn2n )2 ± · · · + C2n 2n
2 = (−1)n Cn2n (đpcm).  DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 4) Khai triển nhị thức Newton : (a ± bx)n , (a ± bx)2n . Sau đó chọn a, b, c thích hợp. Bài 91. Chứng minh rằng : 90 C0n + · · · + 91 C1n + · · · + 9n Cnn = 10n Lời giải. Ta có : (1 + x)2 = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Cho x = 9 ta được : (1 + 9)2 = C0n + C1n 9 + · · · + Cnn 9n hay : 90 C0n + 91 C1n + · · · + 9n Cnn = 10n (đpcm).  Bài 92. Chứng minh rằng : C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + (−1)n Cnn = 0 Lời giải. Ta có : (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn . Cho x = 1 ta được (1 − 1)n = C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + (−1)n Cnn hay C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + (−1)n Cnn = 0 (đpcm). Bài 93. Chứng minh : n X  2k−1 · kCkn = n · 3n−1 k=1 Lời giải. Ta có (1 + x)n = n X kCkn xk . k=0 Đạo hàm hai vế, ta có : n · (1 + x)n−1 = Cho x = 2, ta có : n · 3n−1 = n X k=0 n X kCkn xk−1 . k=0 2 k−1 · kCkn = n X 2k−1 · kCkn (đpcm). k=1 Bài 94. Chứng minh rằng :   1 1 1 2 1 k 1 n n 0 3 Cn + Cn + 2 Cn + · · · + k Cn + · · · + n Cn = 4n 3 3 3 3 Lời giải. Cách 1. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn .  66 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Cho x = 1 ta được : 3   1 n 1 1 1 1+ = C0n + C1n + 2 C2n + · · · + n Cnn 3 3 3 3   n  1 1 4 1 2 1 n 0 n n ⇒ 3 · = 3 Cn + Cn + 2 Cn + · · · + n Cn 3 3 3 3   1 1 1 1 hay 3n C0n + C1n + 2 C2n + · · · + k Ckn + · · · + n Cnn = 4n (đpcm). 3 3 3 3 n Cách 2. Nhân 3 vào vế trái và rút gọn vế trái. Ta có (1 + x)n = C0n xn + C1n xn−1 + · · · + Cnn . Cho x = 3 ta có (đpcm).  Bài 95. Chứng tỏ rằng : 1 3 2k+1 C0n + C2n + · · · + C2k + ··· n + · · · = Cn + Cn + · · · + Cn Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Ckn xk + · · · + Cnn xn . Cho x = −1 ta được : 2k+1 0 = C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + C2k + · · · + (−1)n Cnn n − Cn 1 3 2k+1 ⇒ C0n + C2n + · · · + C2k + ··· n + · · · = Cn + Cn + · · · + Cn (đpcm).  Bài 96. Chứng minh rằng : 2n−1 + 102n = (81)n 1 − 10C12n + 102 C22n − 103 C32n + · · · − 102n−1 C2n Lời giải. Ta có : 2n−1 2n−1 2n x + C2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + C32n x3 + · · · + C2n 2n x . Cho x = −10 ta được : + 102n C2n (1 − 10)2n = C02n − 10C12n + 102 C22n − 103 C32n + · · · − 102n−1 C2n−1 2n 2n 2n−1 (−9)2n = C02n − 10C12n + 102 C22n − 103 C32n + · · · − 102n−1 C2n + 102n C2n 2n 2n−1 hay 1 − 10C12n + 102 C22n − 103 C32n + · · · − 102n−1 C2n + 102n = (81)n (đpcm).  Bài 97. Chứng minh rằng : (−1)n C0n + (−1)n−1 2C1n + · · · + (−1)n−k 2k Ckn + · · · + 2n Cnn = 1 Lời giải. Ta có (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 + · · · + (−1)k Ckn xk + · · · + (−1)n Cnn xn . Cho x = 2 ta được : (1 − 2)n = C0n − 2C1n + 22 C2n − 23 C3n + · · · + (−1)k 2k Ckn + · · · + (−1)n 2n Cnn ⇔(−1)n = C0n − 2C1n + 22 C2n − 23 C3n + · · · + (−1)k 2k Ckn + · · · + (−1)n 2n Cnn ⇔(−1)n (−1)n = (−1)n C0n + (−1)−1 (−1)n 2C1n + (−1)−2 (−1)n 22 C2n + · · · + (−1)−k (−1)n 2k Ckn + · · · + (−1)n (−1)n 2n Cnn ⇔1 = (−1)n C0n + (−1)n−1 2C1n + (−1)n−2 22 C2n + (−1)n−3 23 C3n + · · · + +(−1)n−k 2k Ckn + · · · + 2n Cnn (đpcm). 67  Bài 98. Chứng minh : C0n + 6C1n + 62 C2n + 63 C3n + · · · + 6n Cnn = 7n Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Ckn xk + · · · + Cnn xn . Cho x = 6 ta được : (1 + 6)n = C0n + 6C1n + 62 C2n + 63 C3n + · · · + 6k Ckn + · · · + 6n Cnn ⇔ C0n + 6C1n + 62 C2n + 63 C3n + · · · + 6n Cnn = 7n (đpcm).  17 Bài 99. Chứng minh : 317 C017 + 41 · 316 C117 + 42 · 315 C217 + · · · + 417 C17 17 = 7 Lời giải. 17 Ta có (a + b)17 = C017 a17 + C117 a16 b + C217 a15 b2 + · · · + C17 17 b . 17 0 1 16 1 2 15 2 17 (đpcm). Cho a = 3, b = 4 ta có 3 C17 + 4 · 3 C17 + 4 · 3 C17 + · · · + 417 C17 17 = 7  Bài 100. Chứng minh rằng : 4n C0n − 4n−1 C1n + 4n−2 C2n − · · · + (−1)n Cnn = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn Lời giải. Ta có : (x − 1)n = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + (−1)n Cnn . Cho x = 4 ta được 3n = 4n C0n − 4n−2 C1n + 4n−2 C2n − · · · + (−1)n Cnn Mặt khác : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cvn xn . Cho x = 2 ta có 3n = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn Từ (1) và (2)ta có : (1) (2) 4n C0n − 4n−1 C1n + 4n−2 C2n − · · · + (−1)n Cnn = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn .  Bài 101. Chứng minh rằng : 2C0n + 22 C1n 23 C2n 24 C3n 2n+1 Cnn 3n+1 + + + ··· + = −1 2 3 4 n+1 n+1 Lời giải. n+1 . Khai triển : (1x)n+1 = C0n+1 + C1n+1 x + C2n+1 x2 + · · · + Cn+1 n+1 x n+1 k Ta có : Ck+1 C . n+1 = k+1 n   1 1 2 1 2 3 1 n+1 0 0 0 n+1 Vậy (1 + x) = (n + 1) Cn + Cn x + Cn x + Cn x + · · · + C x . 2 3 n+1 n (1 + x)n+1 1 1 1 ⇔ = C0n + C0n x + C1n x2 + C2n x3 + · · · + Cn xn−1 . n+1 2 3 n+1 n Cho x = 2 ta được : 3n+1 22 C1n 23 C2n 24 C3n 2n−1 Cnn 3n+1 = 1 + 2C0n + + + + ··· + = −1 n+1 2 3 4 n+1 n+1 (đpcm).  Bài 102. Tính 11 k S = C611 + C711 + C811 + C911 + C10 11 + C11 trong đó Cn là tổ hợp chập k của n phần tử Lời giải. Áp dụng tính chất : Ckn = Cn−k ta được : n 11 5 4 3 2 1 0 S = C611 + C711 + C811 + C911 + C10 11 + C11 = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 11 1 11 ⇒ 2S = C011 + C111 + C211 + C311 + C411 + C511 + C611 + C711 + C811 + C911 + C10 11 + C11 = (1 + 1) 1 = 2 ⇒ S= 211 = 210 = 1024. 2  68 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 103. Với n là số nguyên dương, chứng minh các hệ thức sau : 1 C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n . 2 C12n + C32n + C52n + · · · + C2n−1 = C02n + C22n + C42n + · · · + C2n 2n . 2n Lời giải. 1 Ta có : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Cho x = 1 ta được : (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn . hay C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n . 2n−1 2n−1 2n 2 Ta có : (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n x + C2n 2n x . Cho x = −1 ta được : 0 = C02n − C12n + C22n − C32n + C42n + · · · + C2n 2n . hay C12n + C32n + C52n + · · · + C2n−1 = C02n + C22n + C42n + · · · + C2n 2n 2n (đpcm).  Bài 104. Kí hiệu Ckn là tổ hợp chập k của n phần tử. Chứng minh đẳng thức : 2n C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · · · + C2n = 22n−1 22n + 1 2n 3
(Đại học Hàng Hải, 2000) Lời giải. 2n−1 + C2n x2n . Ta có : (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n−1 2n 2n x Cho x = 3 ta được : 2n 42n = C02n + C12n 3 + C22n 32 + C32n 33 + C42n 34 + · · · + C2n 2n 3 . (1) Ta lại có : 2n−1 2n−1 2n x + C2n (1 − x)2n = C02n − C12n x + C22n x2 − C32n x3 + C42n x4 + · · · + C2n 2n x . Thay x = 3 ta được : 2n 22n = C02n − C12n · 3 + C22n · 32 − C32n · 33 + C42n · 34 − · · · + C2n 2n · 3 . (2) Lấy(1) cộng (2) vế theo vế ta sẽ được 2n 42n + 22n = 2C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · + C2n 2n · 3 24n + 22n 2n = C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · + C2n 2n · 3 2 2n ⇔ 24n−1 + 22n−1 = C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · · · + C2n 2n · 3
2n = 22n−1 22n + 1 (đpcm). hay C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · · · + C2n 2n 3 ⇔ Bài 105. Chứng minh rằng :
2000 C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + · · · + 32000 C2000 22001 − 1 2001 = 2 (Đại học Vinh, khối D, M, T, 2001) Lời giải. Ta có : 2001 (1 + x)2001 = C02001 + C12001 x + C22001 x2 + C32001 x3 + · · · + C2001 . 2001 x  69 Cho x = 3 ta được : 42001 = C12001 + 3C12001 + 32 C22001 + 33 C32001 + 34 C42001 + · · · + 32001 C2001 2001 . Mặt khác : 2001 (1 − x)2001 = C02001 − C12001 x + C22001 x2 − C32001 x3 + · · · + C2001 . 2001 x (1) Thay x = 3 ta được : (−2)2001 = C02001 − 3C12001 + 32 C22001 − 33 C32001 + · · · − 32001 C2001 2001 . Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta có : (2) 42001 − 22001 = 2C02001 + 2 · 32 C22001 + 2 · 34 C42001 + · · · + 2 · 32000 C2000 2001 22·2001 − 22001 = C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + · · · + 32000 C2000 2001 2 4001 2000 0 2 2 4 4 2000 2000 ⇔ 2 −2 = C2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + · · · + 3 C2001 .
2000 22001 − 1 (đpcm). C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + · · · + 32000 C2000 2001 = 2 ⇔ hay  DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 5 - dùng đạo hàm) Phương pháp: - Dùng khai triển nhị thức Newton : (a ± bx)n . - Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2, . . . và chọn a, b,x thích hợp. Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 1 : - Trong mỗi số hạng có chứa dạng : kCkn hoặc (n − k)Ckn . - Trong tổng không chứa C0n hoặc Cnn . Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 2 : - Trong mỗi số hạng có chứa dạng : k(k − 1)Ckn hoặc (n − k)(n − k − 1)Ckn . - Trong tổng không chứa C0n , Cnn hoặc C1n , Cnn−1 . Bài 106. Chứng minh rằng : C110 + 2C210 + 3C310 + · · · + 10C10 10 = 5120. Lời giải. Khai triển nhị thức ta có : 10 (1 + x)10 = C010 + C110 x + C210 x2 + · · · + C10 10 x . Lấy đạo hàm hai vế ta được : 9 10(1 + x)9 = C110 + 2C210 x + 3C310 x2 + · · · + 10C10 10 x . Cho x = 1 ta suy ra: 10 · 29 = C110 + 2C22 + 3C310 + · · · + 10C10 10 = 5120 (điều phải chứng minh).  Bài 107. Chứng minh rằng 1C1n − 2C2n + 3C3n − · · · + (−1)n−1 nCnn = 0. Lời giải. Ta có : (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn . Đạo hàm hai vế ta được : −n(1 − x)n−1 = −C1n + 2xC2n − 3x2 C3n + · · · + n(−1)n xn−1 Cnn . Cho x = 1 ta được 0 = −C1n + 2C2n − 3C3n + · · · + (−1)n nCnn Hay 1C1n − 2C2n + 3C3n − · · · + (−1)n−1 nCnn = 0 (điều phải chứng minh).  Bài 108. Chứng minh : C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn = n · 2n−1 . Lời giải. Ta có : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Đạo hàm hai vế ta được : n(1 + x)n−1 = C1n + 2xC2n + 3x2 C3n + · · · + nxn−1 Cnn . Cho x = 1 ta được n(1 + 1)n−1 = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn . Hay C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn = n · 2n−1 (điều phải chứng minh).  70 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 109. Chứng minh rằng : nC0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C2n − (n − 3)C3n + · · · + (−1)n−1 Cn−1 = 0. n Lời giải. Ta có : (x − 1)n = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 − C3n xn−3 + · · · + (−1)n−1 Cnn−1 x + (−1)n Cnn . Đạo hàm hai vế ta được : n(x − 1)n−1 = nC0n xn−1 − (n − 1)C1n xn−2 + (n − 2)C2n xn−3 − (n − 3)C1n xn−4 + · · · + (−1)n−1 Cnn−1 . Cho x = 1 ta được n(1 − 1)n−1 = nC0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C2n − (n − 3)C1n + · · · + (−1)n−1 Cn−1 n . 0 1 2 3 n−1 n−1 Hay nCn − (n − 1)Cn + (n − 2)Cn − (n − 3)Cn + · · · + (−1) Cn = 0 (điều phải chứng minh).  Bài 110. Chứng minh rằng : 2 · 1C2n + 3 · 2C3n + 4 · 3C4n + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1) · 2n−2 . Lời giải. Ta có : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm cấp 2 hai vế ta được : n(n − 1)(1 + x)n−2 = 2 · 1C2n + 3 · 2xC3n + · · · + n · (n − 1)xn−2 Cnn . Cho x = 1 ta được n(n − 1)(1 + 1)n−2 = 2 · 1C2n + 3 · 2C3n + 4 · 3C4n + · · · + n(n − 1)Cnn . Hay 2 · 1C2n + 3 · 2C3n + 4 · 3C4n + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1) · 2n−2 (điều phải chứng minh).  Bài 111. Chứng minh rằng : (−1)n−1 C1n +(−1)n−2 2·2C2n +· · ·+(−1)n−k k·2k−1 Ckn +· · ·+n·2n−1 Cnn = n. Lời giải. Ta có : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Đạo hàm hai vế ta được : n(1 + x)n−1 = C1n + 2xC2n + 3x2 C3n + · · · + nxn−1 Cnn . Cho x = −2 ta được n(1 − 2)n−1 = C1n + 2C2n (−2) + 3C3n (−2)2 + · · · + nCnn (−2)n−1 ⇔ n = (−1)n−1 C1n + (−1)n−2 2 · 2C2n + · · · + (−1)n−k .2k−1 kCkn + · · · + (−1)n−1 (−2)n−1 nCnn ⇔ n = (−1)n−1 C1n + (−1)n−2 2 · 2C2n + · · · + (−1)n−k k · 2k−1 Ckn + · · · + n · 2n−1 Cnn (điều phải chứng minh).  Bài 112. Chứng minh rằng : C0n + 2C1n + 3C2n + · · · + (n + 1)Cnn = (n + 2)2n−1 . Lời giải. Ta có : x(1 + x)n = xC0n + x2 C1n + x3 C2n + · · · + xn+1 Cnn . Lấy đạo hàm hai vế ta được : (1 + x)n + x · n(1 + x)n−1 = xC0n + 2xC1n + 3x2 C2n + · · · + (n + 1)xn Cnn . Cho x = 1 ta được : (1 + 1)n + n(1 + 1)n−1 = C0n + 2C1n + 3C2n + . . . + (n + 1)Cnn ⇔ C0n + 2C1n + 3C2n + . . . + (n + 1)Cnn = 2n−1 (21 + n) ⇔ C0n + 2C1n + 3C2n + . . . + (n + 1)Cnn = 2n−1 (2 + n) (điều phải chứng minh).  Bài 113. Chứng minh rằng : n(n − 1)C0n + (n − 1)(n − 2)C1n + · · · + 2Cnn−2 = n(n − 1)2n−2 . Lời giải. 71 Ta có (x + 1)n = C0n xn + C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + Cnn−1 x + Cnn . Đạo hàm hai vế lần thứ nhất : n(x + 1)n−1 = nC0n xn−1 + (n − 1)C1n xn−2 + (n − 2)C2n xn−3 + · · · + 2xCnn−2 + Cnn−1 . Đạo hàm hai vế lần thứ hai : n(n − 1)(x + 1)n−2 = n(n − 1)C0n xn−2 + (n − 1)(n − 2)C1n xn−3 + (n − 2)(n − 3)C2n xn−4 + · · · + 2Cn−2 n . Cho x = 1 ta được : n(n − 1)(1 + 1)n−2 = n(n − 1)C0n + (n − 1)(n − 2)C1n + (n − 2)(n − 3)C2n + · · · + 2Cn−2 n . Hay n(n − 1)2n−2 = n(n − 1)C0n + (n − 1)(n − 2)C1n + (n − 2)(n − 3)C2n + · · · + 2Cnn−2  (điều phải chứng minh). Bài 114. Chứng minh rằng : n4n−1 C0n − (n − 1)4n−2 C1n + (n − 2)4n−3 C2n − · · · + (−1)n−1 Cn−1 = C1n + 4C2n + · · · + n2n−1 Cnn . n Lời giải. Ta có : (x − 1)n = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + (−1)n Cnn . Lấy đạo hàm hai vế : n(x − 1)n−1 = nC0n xn−1 − (n − 1)C1n xn−2 + (n − 2)C2n xn−3 − · · · + (−1)n−1 Cnn−1 . Cho x = 4 ta được n · 3n−1 = n4n−1 C0n − (n − 1)4n−2 C1n + (n − 2)4n−3 C2n − · · · + (−1)n−1 Cnn−1 Mặt khác : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế : n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x1 + · · · + nCnn xn−1 . (1). Cho x = 2 ta được n · 3n = C1n + 4C2n + · · · + n2n−1 Cnn (2). Từ (1) và (2) ta có : = C1n + 4C2n + · · · + n2n−1 Cnn . n4n−1 C0n − (n − 1)4n−2 C1n + (n − 2)4n−3 C2n − · · · + (−1)n−1 Cn−1 n  1 Bài 115. Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh rằng : (C1n )2 + 2(C2n )2 + · · · + n(Cnn )2 = nCn2n . 2 Lời giải. Ta có : (x + 1)n (1 + x)n = (1 + x)2n .  0 Đạo hàm hai vế ta được : 2(x + 1)n [(1 + x)n ]0 = (1 + x)2n (1). n 0 n 1 n−1 2 n−2 n−1 n Vì (x + 1) = Cn x + Cn x + Cn x + · · · + Cn x +
Cn 0 và [(1 + x)n ]0 = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn = C1n + 2C2n x + 3C1n x2 + · · · + nCnn xn−1 . n−1 Hệ số của x trong khai triển ở vế trái của (1) là   2 (C1n )2 + 2(C2n )2 + · · · + n(Cnn )2 .  0
2n 0 = C1 + 2C2 x + 3C3 x2 + · · · + 2nC2n x2n−1 . Mà (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + C32n x3 + · · · + C2n n n n 2n x 2n Hệ số của xn−1 trong khai triển ở vế phải của (1) là nCn2n . Vì hệ số của xn−1 trong khai triển ở vế phải và vế trái của (1) phải bằng nhau nên 1 (C1n )2 + 2(C2n )2 + · · · + n(Cnn )2 = nCn2n . 2  72 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP DẠNG 0.5. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp (Cách 6 - dùng tích phân) Phương pháp: - Dùng khai triển nhị thức Newton : (a ± bx)n . - Lấy tích phân hai vế với cận tích phân thích hợp. - Chọn a, b, x ta sẽ ra điều phải chứng minh. ! Một số bài toán có thể lấy tích phân hai lần. Dấu hiệu để nhận biết dùng tích phân là trong các số hạng có chứa nhân tử dạng : Ckn . k(n − k) C0n + Bài 116. Chứng minh rằng : Ckn hoặc k+1 C1n C2n C3n Cnn 2n+1 − 1 + + + ··· + = . 2 3 4 n+1 n+1 Lời giải. Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Z1 ⇒ Z1 n (1 + x) dx = 0 C0n dx 0 x)n+1 1 Z1 + C1n x dx 0 1 + C2n x2 dx Z1 + ··· + 0 1 1 Cn xn+1 n+1 n (1 + n+1 ⇔ 2n+1 − 1 1 1 1 = Cnn + C1n + C2n + . . . + Cn . n+1 2 3 n+1 n + ··· + 0 Cnn xn dx 0 ⇒ 0 1 = C0n x + C1n x2 2 0 Z1 1 0  1 1 (−1)n n 1 Bài 117. Tính C0n − C1n + C2n − · · · + Cn = . 2 3 n+1 n+1 Lời giải. Ta có : (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn . Z1 ⇒ n Z1 (1 − x) dx = 0
C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn dx 0 1 1 1 1 (1 − x)n+1 1 1 1 = C0n x − C1n x2 + C2n x3 − C3n x4 ⇒ − n+1 2 3 4 0 0 0 0 n 1 1 (−1) n 1 ⇔ C0n − C1n + C2n − · · · + Cn = . 2 3 n+1 n+1 1 + ··· + 0 (−1)n n n+1 C x n+1 n 1 0  Bài 118. Chứng minh rằng : 2C0n + Lời giải. 22 C1n 23 C2n 24 C3n 2n+1 Cnn 3n+1 − 1 + + + ··· + = . 2 3 4 n+1 n+1 73 Khai triển : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Z2 ⇒ (1 + x)n dx = Z2 0 ⇒
C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn dx 0 x)n+1 2 (1 + n+1 ⇔ 2C0n + 2 = C0n x 1 + C1n x2 2 0 + 23 C2n 24 C3n 0 22 C1n 2 + 3 4 2 1 + C2n x3 3 0 + ··· + 2 1 + C3n x4 4 0 2n+1 Cnn n+1 = 2 1 Cnn xn+1 + ··· + n + 1 0 2 0 3n+1 −1 . n+1  30 0 31 1 32 2 36 47 − 37 C6 + C6 + C6 + · · · + C66 = . 7 6 5 1 7 Bài 119. Chứng minh rằng : Lời giải. Ta có : (x + 3)6 = C06 x6 + 3C16 x5 + 32 C26 x4 + 33 C36 x3 + · · · + 36 C66 . Z1 Z1 6 ⇒ (x + 3) dx = 0
C06 x6 + 3C16 x5 + 32 C26 x4 + 33 C36 x3 + · · · + C66 36 dx 0 1 1 0 7 3 1 6 32 2 5 33 3 4 36 C6 x + C6 x + C6 x + C6 x + · · · + C66 x1 7 6 5 4 1 ⇒ (x + 3)7 7 ⇔ 30 0 31 1 32 2 36 47 − 37 C6 + C6 + C6 + · · · + C66 = . 7 6 5 1 7  = 0  1 0  Bài 120. Z1 1 Tính tích phân : I = (x + 2)6 dx. ĐS: S = 37 − 27 . 7 0 2 Tính tổng sau : S = 26 1 C06 + 25 1 24 2 23 3 22 4 2 1 C6 + C6 + C6 + C + C56 + C66 . 2 3 4 5 6 6 7 Lời giải. Z1 1 Ta có : I = 6 Z1 (x + 2) dx = I = 0 (x + 2)6 d(x + 2) = 0 (x + 2)7 7 1 = 0 37 − 27 7 (1). 2 Ta có : (2 + x)6 = C06 26 + C16 25 x + C26 24 x2 + C36 23 x3 + · · · + C66 x6 . Z1 ⇒ (x + 2)6 dx = 0 Z1 ⇒ Z1
C06 26 + C16 25 x + C26 24 x2 + C36 23 x3 + · · · + C66 x6 dx 0   1 1 5 2 1 2 4 3 1 3 3 4 1 6 7 6 0 6 (x + 2) dx = C6 2 x + C6 2 x + C6 2 x + C6 2 x + · · · + C6 x 2 3 4 7 0 Z1 ⇔ (x + 2)6 dx = 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 C + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 1 6 2 3 4 5 6 7 1 0 (2). 0 Từ (1) và (2) suy ra S = 37 − 27 . 7  74 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP 2 3 4 2n 1 1 1 C2n − C22n + C32n − C42n + · · · − C2n . 2n = 2 3 4 5 2n + 1 2n + 1 Bài 121. Chứng minh rằng Lời giải. 2n (1). Ta có : (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n 2n x 2n−1 1 2n−1 (2). Đạo hàm hai vế của (1) ta được: 2n(1 + x) = C2n + 2C22n x + · · · + 2nC2n 2n x 2n (3). Nhân thêm x hai vế của (2) ta được:2nx(1 + x)2n−1 = C12n x + 2C22n x2 + · · · + 2nC2n 2n x Tích phân hai vế của (3) với cận thuộc [−1; 0] ta được: Z0 2n−1 2nx(1 + x) Z0 dx = −1  ⇒ Suy ra:
2n C12n x + 2C22n x2 + · · · + 2nC2n dx 2n x −1 x)2n+1 2n(1 + 2n + 1 2n  0 − (1 + x)  = −1 1 1 2 2 2 3 2n C2n x + C2n x + · · · + C2n x2n+1 2 3 2n + 1 2n 1 1 2 3 4 2n 1 C − C2 + C3 − C4 + · · · − C2n = 2 2n 3 2n 4 2n 5 2n 2n + 1 2n 2n + 1  0 . −1 (điều phải chứng minh).  Bài 122. Z2 1 Tính I = (1 − x)n dx. ĐS: I = 1 + (−1)n n+1 0 2 Chứng minh rằng 2C0n − 1 1 1 1 2 1 · 2 Cn + · 23 C2n − · · · + (−1)n 2n+1 Cn [1 + (−1)n ]. n = 2 3 n+1 n+1 Lời giải. Z2 Z2 n (1 − x) dx = − 1 I= 0 (1 − x)n d(1 − x) = − (1 − x)n+1 n+1 0 2 = 0 1 − (−1)n+1 1 + (−1)n = . n+1 n+1 2 Ta có (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − · · · + (−1)n Cnn xn . Z2 Z2 Z2 Z2 Z2 n 0 1 2 n n Cnn xn ⇒ (1 − x) dx = Cn dx − Cn x dx + Cn x dx − · · · + (−1) 0 0 0 0 2 2 0 2 1 + (−1)n x2 x3 xn+1 ⇔ = C0n x|20 − C1n + C2n − · · · + (−1)n Cnn · n+1 2 0 3 0 n+1 0 1 1 1 1 + (−1)n = 2C0n − · 22 C1n + · 23 C2n − · · · + (−1)n · · 2n+1 Cnn . ⇔ n+1 2 3 n+1 (Điều phải chứng minh)  1 1 1 (−1)n Cnn 1 Bài 123. Chứng minh rằng C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + = . 2 3 4 n+1 n+1 Lời giải. Ta có (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 n 0 1 2 2 3 3 n Cnn xn dx ⇒ (1 − x) dx = Cn dx − Cn x dx + Cn x dx − Cn x dx + · · · + (−1) 0 0 Z1 ⇔− 0 (1 − x)n d(1 − x) = C0n x|10 − C1n 0 0 1 x2 2 0 0 + C2n 1 x3 3 0 − C3n 0 1 x4 4 + · · · + (−1)Cnn 0 1 0 1 x)n+1 (1 − 1 1 1 1 = C0n − C1n + C2n − C1n + · · · + (−1)Cnn n+1 2 3 4 n + 1 0 n Cn 1 1 1 1 (−1) n ⇔ = C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + . (Điều phải chứng minh) n+1 2 3 4 n+1 ⇔− xn+1 n+1  75 Bài 124. Z1 1 − x2 1 Tính In =
n dx. ĐS: In = 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) · 2n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) · (2n + 1) 0 2 Chứng minh rằng 1 − C1n C2 C3 (−1)n Cn 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) · 2n n + n − n + ··· + = . 3 5 7 2n + 1 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) Lời giải. 1 Đặt (
n u = 1 − x2 dv = dx ( ⇒ du = −2n 1 − x2
n−1 x dx v = x. 1 0 2 Z1 In = (1 − x )x + 2n (1 − x2 )n−1 x2 dx 0 Z1 = 2n   (1 − x2 )n−1 1 − (1 − x2 ) dx 0 = 2n (In−1 − In ) ⇒ (2n + 1)In = 2nIn−1 ⇔ In 2n = In−1 2n + 1 (∗). Từ (∗), ta được: In In−1 In−1 I1 2n 2n − 2 In−2 2n − 4 2 ; ; ; ···; = = = = , với I0 = 2n + 1 In−2 2n − 1 In−3 2n − 3 I0 3 Z1 1 dx = x 1 0 = 1. 0 Nhân vế theo vế, ta được: In In−1 2 Ta có 1 − x2 · 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) · 2n In−1 I1 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) · 2n ⇒ In = ··· = In−2 I0 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) · (2n + 1)
n = C0n − C1n x2 + C2n x4 − · · · + (−1)n Cnn x2n . Z1 Z1 2 n (1 − x ) dx = In = (1). 0 0 C0n dx Z1 − C1n x2 dx Z1 + 0 = C0n x|10 − C1n C2n x4 dx 0 1 x3 1 x5 n − · · · + (−1) Z1 Cnn x2n dx 0 1 2n+1 x + C2n − · · · + (−1)n Cnn · 3 0 5 0 2n + 1 1 1 1 · Cnn (2). = 1 − · C1n + · C2n − · · · + (−1)n · 3 5 2n + 1 0 Từ (1) và (2), suy ra 1− C1n C2n C3n (−1)n Cnn 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) · 2n + − + ··· + = . (Điều phải chứng minh) 3 5 7 2n + 1 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)  Bài 125. Z1 1 Tính I = x 1 − x2
n dx. 0 2 Chứng minh rằng Lời giải. 1 0 1 1 (−1)n n 1 C − C1n + C2n − · · · + C = . 2 n 4 6 2n + 2 n 2(n + 1) ĐS: I = 1 2(n + 1) 76 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP 1 1 Đặt t = 1 − x2 ⇒ dt = −2x dx ⇒ − dt = x dx. 2 Đổi cận: x = 1 thì t = 0; x = 0 thì t = 1. Z0 1 1 tn+1 1 1 Suy ra I = − tn dt = · = (1). 2 2 n + 1 0 2(n + 1) 1 2 Ta có x 1 − x2 Z1
n = C0n x − C1n x3 + C2n x5 − · · · + (−1)n Cnn x2n+1 . Z1 2 n x(1 − x ) dx = I= 0 C0n x dx Z1 − 0 = C0n C1n x3 dx Z1 + 0 1 x2 n − · · · + (−1) 0 1 x4 Z1 Cnn x2n+1 dx 0 1 2n+2 x 1 x6 + C2n − · · · + (−1)n Cnn · 4 6 2n + 2 0 0 0 n 1 0 1 1 1 2 (−1) n Cn − Cn + Cn − · · · + C (2). 2 4 6 2n + 2 n = 2 − C1n C2n x5 dx 0 Từ (1) và (2), suy ra 1 0 1 1 1 2 (−1)n n 1 Cn − Cn + Cn − · · · + C = . (Điều phải chứng minh) 2 4 6 2n + 2 n 2(n + 1)  Bài 126. Z1 1 Tính I = (1 + x)n dx. ĐS: I = 2n+1 − 1 n+1 0 2 Tính S = C0n + 1 1 1 1 C + C2n + · · · + Cn . 2 n 3 n+1 n Lời giải. Z1 1 Ta có I = Z1 n (1 + x) dx = 0 (1 + x)n d(x + 1) = (1 + x)n+1 n+1 0 1 = 0 2n+1 − 1 n+1 (1). 2 Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Z1 ⇒ Z1 n (1 + x) dx = 0 C0n dx Z1 + 0 C1n x dx 0 = C0n x|10 − C1n Z1 + C2n x2 dx 0 1 x2 1 x3 Z1 + C3n x3 dx 0 1 4 x Z1 + ··· + Cnn xn dx 0 1 n+1 x + C2n + C3n + · · · + Cnn · 2 0 3 0 4 0 n+1 1 1 1 1 = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cn (2). 2 3 4 n+1 n 0 Từ (1) và (2), suy ra 1 1 1 2n+1 − 1 S = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = . 2 3 n+1 n+1  Bài 127. Z1 1 Tính tích phân I = 0 x (1 − x)19 dx. ĐS: I = 1 420 77 2 Tính S = 1 0 1 1 1 18 1 19 C − C119 + C219 − · · · + C − C . 2 19 3 4 20 19 21 19 Lời giải. 1 Đặt u = 1 − x ⇒ du = − dx và x = 1 − u. Đổi cận: x = 0 thì t = 1; x = 1 thì t = 0. Z0 I = (1 − u)u19 (− du) = 1 Z1 = (1 − u)u19 du 0 u19 du − 0 1 u20 = Z1 20 − 0 Z1 u20 du 0 1 21 u 21 1 1 1 − = 20 21 420 = 0 (1). 19 2 Ta có (1 − x)19 = C019 − C119 x + C219 x2 − C319 x3 + · · · − C19 19 x . 20 Suy ra x(1 − x)19 = C019 x − C119 x2 + C219 x3 − C319 x4 + · · · − C19 19 x . Z1 Z1 19 x (1 − x) dx = 0 C019 x dx Z1 − 0 C119 x2 dx Z1 + 0 = C019 1 x2 0 1 x3 1 x4 Z1 − C319 x4 dx 0 1 5 x Z1 + ··· − = 20 C19 19 x dx 0 1 21 x + C219 − C319 + · · · − C19 19 · 3 4 5 21 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 C − C1 + C2 − C3 + · · · − C19 (2). 2 19 3 19 4 19 5 19 21 19 2 − C119 C219 x3 dx 0 Từ (1) và (2), suy ra 1 1 1 1 1 1 S = C019 − C119 + C219 − C319 + · · · − C19 . 19 = 2 3 4 5 21 420  Bài 128. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2. Zn 1 Tính tích phân In = x2 1 + x3
n dx. ĐS: In = 0 2 Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2n+1 − 1 Cn + C1n + C2n + · · · + Cn . n = 3 6 9 3n + 3 3 (n + 1) Lời giải. Zn 1 In = x2 1 + x3
n dx. 0 Đặt u = 1 + x3 ⇒ du = 3x2 dx ⇒ x2 dx = Đổi cận x y 0 1 Z2 Suy ra In = du . 3 1 2 du 1 u = 3 3 n 1 2n+1 − 1 Vậy In = . 3 (n + 1) Z2 1 1 un+1 u du = · 3 n+1 2 n = 1 1 3  1 2n+1 − n+1 n+1  = 2n+1 − 1 . 3 (n + 1) 2n+1 − 1 3 (n + 1) 78 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP
n 2 Ta có 1 + x3
= C0n + C1n x3 + C2n x6 + · · · + Cnn x3n n ⇒ x2 1 + x3 = C0n x2 + C1n x5 + C2n x8 + · · · + Cnn x3n+2 Z1 ⇒ x 2 1+x
3 n Z1 dx = 0 C0n x2 dx Z1 + 0 x2 1 + x3
n + x3 3 1 + C1n 0 x6 6 1 + C2n 0 x9 9 C2n x8 dx 0 1 Z1 + ··· + Cnn x3n+2 dx 0 + · · · Cnn 0 x3n+3 3n + 3 1 0 1 0 1 1 1 2 1 Cn + Cn + Cn + · · · + Cn . (1) 3 6 9 3n + 3 n = Theo câu trên thì Z1 0 = C0n Z1 C1n x5 dx dx = 2n+1 − 1 . 3 (n + 1) (2) 0 Từ (1) và (2) suy ra: 1 0 1 1 1 2 1 2n+1 − 1 Cn + Cn + Cn + · · · + Cnn = . 3 6 9 3n + 3 3 (n + 1) (Điều phải chứng minh)  Z1 Bài 129. Tính tích phân I = x 1 − x2
n
n ∈ Z+ . dx 0 Từ đó chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 Cn − Cn + Cn − Cn + . . . + Cn = . 2 4 6 8 2 (n + 1) 2 (n + 1) ĐS: I = 1 2 (n + 1) Lời giải. Ta có: Z1
2 n x 1−x I= 1 dx = − 2 0 Z1 1 − x2
n d 1 − x2 0
n+1 1 1 − x2 = − · 2 n+1 Ta có 1 − x
2 n
= C0n − C1n x2 + C2n x
2 2 − C3n x
2 3 1 = 0 1 . (1) 2 (n + 1) + · · · + (−1)n · Cnn x2
n .
n
2
3
n ⇒ x 1 − x2 = xC0n − xC1n x2 + xC2n x2 − xC3n x2 + · · · + (−1)n xCnn x2 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1
n 2 n 0 1 3 2 5 3 7 x 1−x dx = Cn x dx − Cn x dx + Cn x dx − Cn x dx + · · · + (−1) Cnn x2n+1 dx ⇒ 0 0 Z1 ⇒ x 1−x
2 n dx = 0 Z1 ⇒ 0 x 1 − x2
n C0n 0 x2 · 2 1 − 0 C1n 0 x4 · 4 1 + 0 C2n x6 · 6 0 1 − 0 C3n x8 · 8 0 1 n + · · · + (−1) 0 Cnn x2n+2 2n + 2 1 0 1 1 1 1 (−1)n dx = C0n − C1n + C2n − C3n + · · · + . (2) 2 4 6 8 2 (n + 1) Cnn Từ (1) và (2) ta suy ra: 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 Cn − Cn + Cn − Cn + . . . + Cn = . (Điều phải chứng minh) 2 4 6 8 2 (n + 1) 2 (n + 1)  79 DẠNG 0.6. Tính tổng một biểu thức tổ hợp Nhận xét. Tính tổng một biểu thức tổ hợp cũng sử dụng các cách ở dạng 5 nhưng có sự khác nhau giữa việc tính tổng và chứng minh là: chứng minh thì biết trước kết quả còn tính tổng thì chưa biết trước kết quả. 11 k Bài 130. Tính S = C611 + C711 + C811 + C911 + C10 11 + C11 trong đó Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. ĐS: S = 1024. Lời giải. 6 7 8 9 10 11 Áp dụng tính chất Ckn = Cn−k n , ta có S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 5 4 3 2 1 0 0 1 10 11 = 211 . Hay S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 ⇒ 2S = C11 + C11 + · · · + C11 + C11 11 = (1 + 1) Vậy S = 1024.  Bài 131. Tính tổng 1 S = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn . ĐS: S = 2n . 2 S1 = C02n + C22n + · · · + C2n 2n . ĐS: S1 = 22n−1 . 3 . S2 = C12n + C32n + · · · + C2n−1 2n ĐS: S2 = 22n−1 . Lời giải. 1 Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Cho x = 1 ta được (1 + 1)n = C0n + C1n + · · · + Cnn . Vậy S = 2n . 2n−1 + C2n x2n . 2 Ta có (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n−1 2n 2n x 2n−1 2n 2n 2n 0 1 2 2 1 2 (1 − x) = C2n − C2n x + C2n x − C2n x + · · · − C2n x + C2n 2n x . Cho x = 1 ta được 2n−1 + C2n 22n = C02n + C12n + C22n + · · · + C2n 2n 0 = C02n − C12n + C22n − C32n + ··· − 2n−1 C2n (1) + C2n 2n (2) 0 2 2n 2n−1 . Cộng (1) với (2) vế theo vế ta có 22n = 2C02n + 2C22n + · · · + 2C2n 2n ⇒ S1 = C2n + C2n + · · · + C2n = 2 2n−1 1 3 Mặt khác từ (2) ta cũng có C02n + C22n + · · · + C2n 2n = C2n + C2n + · · · + C2n . 3 Vậy S2 = S1 = 22n−1 .  Bài 132. Tính tổng S = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn . ĐS: 3n . Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Cho x = 2 ta được S = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n .  Bài 133. Tính 1 S1 = C05 + C15 + · · · + C55 . ĐS: S1 = 32. S2 = 40 C08 + 41 C18 + · · · + 48 C88 . ĐS: S2 = 390625. 2 Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . 1 Cho x = 1 và n = 5 ta được S1 = C05 + C15 + · · · + C55 = (1 + 1)5 = 25 = 32. 2 Cho x = 4 và n = 8 ta được S2 = 40 C08 + 41 C18 + · · · + 48 C88 = (1 + 4)8 = 58 = 390625.  80 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 134. Tính   1 1 1 1 1 S1 = 3n C0n + C1n + 2 C2n + · · · + k Ckn + · · · + n Cnn . 3 3 3 3 2 ĐS: S1 = 4n . ĐS: S2 = 10n . S2 = 9n C0n + 9n−1 C1n + 9n−2 C2n + · · · + 90 Cn n. Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . 1 Cho x = (∗) 1 ta được 3   1 n 1 1 1 1 1+ = C0n + C1n + 2 C2n + · · · + k Ckn + · · · + n Cnn 3 3 3 3 3  n 1 1 1 1 1 ⇒ 3n 1 + = 3n C0n + C1n + 2 C2n + · · · + k Ckn + · · · + n Cnn 3 3 3 3 3  n 4 ⇒ S1 = 3n = 4n . 3 Ta cũng có thể làm như sau S1 = 3n C0n + 3n−1 C1n + 3n−2 C2n + · · · + 3n−k Ckn + · · · + Cnn . Vì Ckn = Cn−k nên S1 được viết lại S1 = 3n Cnn + 3n−1 Cnn−1 + 3n−2 Cn−2 + · · · + C0n . n n Từ (∗) cho x = 3 ta được (1 + 3)n = 3n C0n + 3n−1 C1n + 3n−2 C2n + · · · + 3n Cnn hay S1 = (1 + 3)n = 4n . nên S2 = 9n Cnn + 9n−1 Cn−1 + 9n−2 Cn−2 + · · · + 90 C0n . 2 Vì Ckn = Cn−k n n n n n Từ (∗) cho x = 9 ta được S2 = (1 + 9) = 10 .  Bài 135. Tính S = C114 − 2C214 + 3C214 − · · · − 14C14 14 . ĐS: S = 0. Lời giải. 14 Ta có (1 + x)14 = C014 + C114 x + C214 x2 + · · · + C14 14 x . 13 1 13 Lấy đạo hàm hai vế, ta được 14(1 + x) = C14 + 2C214 x + 3C314 x2 + · · · + 14C14 14 x . Cho x = −1 ta được 0 = C114 − 2C214 + 3C214 − · · · − 14C14 14 ⇒ S = 0.  Bài 136. Tính tổng 1 S1 = 1C0n + 1C1n + 2C2n + · · · + nCnn . 2 S2 = 1C0n + 2C1n + 3C2n + · · · + (n + 1)Cn n. ĐS: S1 = n2n−1 + 1. ĐS: S2 = 2n−1 (n + 2). Lời giải. 1 Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế, ta được n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + · · · + nCnn xn−1 . Cho x = 1 ta được n(1 + 1)n−1 = C1n + 2C2n + · · · + nCnn . ⇒ S1 = 1C0n + 1C1n + 2C2n + · · · + nCnn = n2n−1 + C0n . ⇒ S1 = n2n−1 + 1. 2 Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn ⇒ x(1 + x)n = C0n x + C1n x2 + C2n x3 + · · · + Cnn xn+1 Lấy đạo hàm hai vế (1 + x)n + x · n(1 + x)n−1 = C0n + 2C1n x + 3C2n x2 + · · · + (n + 1)Cnn xn . Cho x = 1 ta được 2n + n2n−1 = C0n + 2C1n + 3C2n + · · · + (n + 1)Cnn ⇒ S2 = 2n−1 (n + 2).  81 Bài 137. Tính S = 9 · 28 C09 − 8 · 27 C19 + 7 · 26 C29 − · · · + C89 . ĐS: S = 9. Lời giải. Ta có (1 + x)9 = C09 x9 + C19 x8 + C29 x7 + C39 x6 + · · · + C99 . ⇒ 9(1 + x)8 = 9C09 x8 + 8C19 x7 + 7C29 x6 + 6C39 x5 + · · · + C89 . Cho x = −2 ⇒ 9 = 9 · 28 C09 − 8 · 27 C19 + 7 · 26 C29 − · · · + C89 ⇒ S = 9.  Bài 138. Tính S = 2 · 1C911 − 3 · 2 · 21 C811 + 4 · 3 · 22 C811 − · · · − 11 · 10 · 29 C011 . ĐS: S = −110. Lời giải. 11 Ta có (1 + x)11 = C011 x11 + C111 x10 + C211 x9 + · · · + C911 x2 + C10 11 x + C11 . 10 0 10 1 9 2 8 9 10 ⇒ 11(1 + x) = 11C11 x + 10C11 x + 9C11 x + · · · + 2C11 x + C11 ⇒ 11 · 10(1 + x)9 = 11 · 10C011 x9 + 10 · 9C111 x8 + 9 · 8C211 x7 + · · · + 2C911 . Cho x = −2 ⇒ S = 11 · 10 · (−1)9 = −110.  Bài 139. Tính tổng S = C02000 + 2C12000 + 3C22000 + · · · + 2001C2000 2000 . Lời giải. 2000 . Ta có (1 + x)2000 = C02000 + C12000 x + C22000 x2 + · · · + C2000 2000 x 0 1 2 2000 2000 Cho x = 1 ta được C2000 + C2000 + C2000 + · · · + C2000 = 2 . Lấy đạo hàm hai vế của (∗) ĐS: S = 1001 · 22000 . (∗) (1) 1999 2000(1 + x)1999 = C12000 + 2C22000 x + · · · + 2000C2000 . 2000 x 1999 . Cho x = 1 ta được C12000 + 2C22000 + · · · + 2000C2000 2000 = 2000 · 2 Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế (2) 2000 C02000 + 2C12000 + 3C22000 + · · · + 2001C2000 + 2000 · 21999 . 2000 = 2 hay S = 22000 + 1000 · 2 · 21999 = 1001 · 22000 . Ta cũng có thể làm như sau Ta có 2000 (1 + x)2000 = C02000 + C12000 x + C22000 x2 + · · · + C2000 2000 x 2001 ⇒ x(1 + x)2000 = C02000 x + C12000 x2 + C22000 x3 + · · · + C2000 . 2000 x Lấy đạo hàm hai vế 2000 (1 + x)2000 + x · 2000(1 + x)1999 = C02000 + 2C12000 x + 3C22000 x2 + · · · + 2001C2000 . 2000 x Cho x = 1 ta được 2000 C02000 + 2C12000 + 3C22000 + · · · + 2001C2000 + 2000 · 21999 . 2000 = 2 hay S = 22000 + 1000 · 2 · 21999 = 1001 · 22000 . Bài 140. Tính S = 12 C1n + 22 C2n + 32 C1n + · · · + n2 Cnn .  ĐS: S = n(n + 1)2n−2 . Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 3C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 . ⇒ xn(1 + x)n−1 = C1n x + 2C2n x2 + 3C3n x3 + · · · + nCnn xn . Lấy đạo hàm hai vế n[(1 + x)n−1 + x(n − 1)(1 + x)n−2 ] = C1n + 2 · 2 · C2n x + 3 · 3C3n x2 + · · · + n · nCnn xn−1 . Cho x = 1 ta được   n 2n−1 + (n − 1)2n−2 = C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn . 82 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Ta cũng có thể giải bài toán trên như sau: Đặt f (x) = (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn , g(x) = x [(1 + x)n ] = C0n x + C1n x2 + C2n x3 + C3n x4 + · · · + Cnn xn+1 . Ta có f 0 (x) = n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 2C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 ⇒ f 0 (1) = n · 2n−1 = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn . (1) g 0 (x) = (1 + x)n + nx(1 + x)n−1 = C0n + 2C1n x + 3C2n x2 + · · · + (n + 1)Cnn xn , g 00 (x) = n(1 + x)n−1 + n(1 + x)n−1 + nx(n − 1)(1 + x)n−2 = 2C1n + 3 · 2C2n x + 4 · 3C3n x2 + · · · + n(n + 1)Cnn xn−1 . ⇒ g 00 (1) = 2n · 2n−1 + n(n − 1)2n−2 = 2C1n + 3 · 2C2n + 4 · 3C3n + · · · + (n + 1)nCnn . (2) Lấy (2) trừ (1) ta được n · 2n−1 + n(n − 1)2n−2 = C1n + 2 · 2C2n + 3 · 3C3n + · · · + n · nCnn ⇒ n · 2n−2 (n − 1 + 2) = 12 C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn . Vậy S = n(n + 1)2n−2 .  Bài 141. Tính 1 S1 = nC0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C2n − (n − 3)C3n + · · · + (−1)n · Cnn−1 . 2 S2 = n(n − 1)C0n + (n − 1)(n − 2)C1n + · · · + 2Cn−2 . n ĐS: S1 = 0. ĐS: S2 = n(n − 1) · 2n−2 . Lời giải. 1 Ta có (x − 1)n = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 − · · · + (−1)n Cnn . Đạo hàm hai vế n(x − 1)n−1 = nC0n xn−1 − (n − 1)C1n xn−2 + (n − 2)C2n xn−3 − · · · + (−1)n−1 Cnn . Cho x = 1 ta được n(1 − 1)n = nC0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C2n − · · · + (−1)n−1 Cnn−1 . hay S1 = 0. 2 n−1 n 2 Ta có (x + 1)n = C0n xn + C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + Cn−2 n x + Cn x + Cn . Lấy đạo hàm hai vế lần thứ nhất n(x + 1)n−1 = nC0n xn−1 + (n − 1)C1n xn−2 + (n − 2)C2n xn−3 + · · · + 2Cnn−2 x + Cnn−1 . Lấy đạo hàm hai vế lần thứ hai n(n − 1)(x + 1)n−2 = n(n − 1)C0n xn−2 + (n − 1)(n − 2)C1n xn−3 + (n − 2)(n − 3)C2n xn−4 + · · · + 2Cn−2 n . Cho x = 1 ta được n(n − 1)(1 + 1)n−2 = n(n − 1)C0n + (n − 1)(n − 2)C1n + (n − 2)(n − 3)C2n + · · · + 2Cn−2 n . hay S2 = n(n − 1) · 2n−2 .  1 1 1 1 Bài 142. Tính S = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cn . 2 3 4 n+1 n ĐS: S = Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C1n x3 + · · · + Cnn xn Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 n 0 1 2 2 3 3 ⇒ (1 + x) dx = Cn dx + Cn x dx + Cn x dx + Cn x dx + · · · + Cnn xn dx 0 0 0 0 0 0 2n+1 − 1 . n+1 83 1 (1 + x)n+1 1 x3 1 x4 1 xn+1 x2 1 0 2 3 1 ⇒ = Cn x + Cn + Cn + Cn + · · · + Cnn n+1 2 0 3 0 4 0 n+1 0 0 n+1 2 −1 1 1 1 1 ⇒ = C0n = C1n + C2n + C3n + · · · + Cn . n+1 2 3 4 n+1 n 2n+1 − 1 Vậy S = . n+1 1 0  3 7 2n+1 − 1 n Bài 143. Tính: S = C0n + C1n + C2n + · · · + Cn . 2 3 n+1 ĐS: S = 3n+1 − 2n+1 . n+1 Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn Z2 ⇒ Z2 n (1 + x) dx = 1 ⇒ ⇒ Vậy S = C0n dx Z2 + 1 2 x)n+1 (1 + n+1 3n+1 − n+1 Z2 = C0n x + C1n 1 2 x2 2 C2n x2 dx + 1 2 1 2n+1 C1n x dx + C2n 1 1 2 3 x 3 3 7 = C0n + C1n + C2n + · · · + 2 3 Z2 + ··· + + · · · + Cnn 1 2n+1 Cnn xn dx 1 2 n+1 x n+1 1 −1 n Cn . n+1 3n+1 − 2n+1 . n+1  Bài 144. Tính: S = 2C0n + 22 1 23 2 2n+1 n Cn + Cn + · · · + C . 2 3 n+1 n ĐS: S = 3n+1 − 1 . n+1 Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn Z2 ⇒ Z2 n (1 + x) dx = 0 ⇒ C0n dx Z2 + 0 2 x)n+1 (1 + n+1 3n+1 C1n x dx Z2 + 0 2 = C0n x + C1n 0 0 22 2 x2 2 23 0 + C2n 0 2 3 x 3 C2n x2 dx Z2 + ··· + + · · · + Cnn 0 2n+1 Cnn xn dx 0 2 n+1 x n+1 0 −1 ⇒ = 2C0n + C1n + C2n + · · · + Cn . n+1 2 3 n+1 n Vậy S = 3n+1 − 1 . n+1  Bài 145. Tính: S = C1n − 2C2n + 3C3n − 4C4n + · · · + (−1)n−1 nCnn . ĐS: A = 0. Lời giải. Ta có (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − C3n x3 + · · · + (−1)n Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế ta được −n(1 − x)n−1 = −C1n + 2C2n x − 3C3n x2 + · · · + (−1)n nCnn xn−1 . Cho x = 1 − n(1 − 1)n−1 = −C1n + 2C2n − 3C3n + · · · + (−1)n nCnn ⇔ 0 = −C1n + 2C2n − 3C3n + · · · + (−1)n nCnn . Vậy A = 0.  84 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 146. Tính: S = 30 0 31 1 32 2 36 C6 + C6 + C6 + · · · + C66 . 7 6 5 1 ĐS: S = 47 − 37 . 7 Lời giải. Ta có (x + 3)6 = C06 x6 + C16 x5 · 3 + C26 x4 · 32 + · · · + C66 · 36 Z1 ⇒ Z1 6 (x + 3) dx = 0 Z1 1 3)7 = C06 1 x7 0 7 C16 x5 + 0 (x + 7 ⇒ C06 x6 dx + 3C16 0 0 1 6 x 6 Z1 C26 x4 · 3 dx + Z1 2 · 3 dx + · · · + 0 + 32 C26 0 1 x5 5 C66 · 36 dx 0 1 + · · · + 36 C66 x 0 0 47 − 37 1 3 32 ⇒ = C06 + C16 + C26 + · · · + 36 C66 . 7 7 6 5 Vậy S = 47 − 37 . 7  26 2 3n+1 − 1 n Cn + · · · + Cn . 3 n+1 Bài 147. Tính: S = 2C0n + 4C1n + ĐS: S = 2n+1 (2n+1 − 1) . n+1 Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn Z3 ⇒ Z3 n (1 + x) dx = 1 ⇒ ⇒ Vậy S = C0n dx Z3 + 1 3 x)n+1 (1 + n+1 4n+1 − n+1 Z3 + 1 3 = C0n x + C1n 1 2n+1 C1n x dx 1 3 x2 2 + C2n 1 1 3 3 x 3 C2n x2 dx Z3 + ··· + + · · · + Cnn 1 26 = 2C0n + 4C1n + C2n + · · · + 3 Cnn xn dx 1 3 n+1 x n+1 1 3n+1 −1 n Cn . n+1 2n+1 (2n+1 − 1) . n+1  Bài 148. Tính: S = C1n + 3C2n + 7C3n + · · · + (2n − 1)Cnn . ĐS: S = 3n − 2n . Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế ta được n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 3C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 Z2 ⇒ n(1 + x) n−1 Z2 dx = 1 x)n 2 ⇒n (1 + n n n ⇒3 − 2 = Vậy S = 3n − 2n . C1n dx 1 2 = C1n x + 2C2n 1 C1n 1 + 3C2n + 7C3n Z2 + 1 2 x2 2 2C2n x dx Z2 + 3C3n x2 dx Z2 + ··· + 1 + 3C3n 2 x3 1 n + · · · + (2 − 3 + · · · + nCnn 1 nCnn xn−1 dx 1 xn 2 n 1 1)Cnn .  85 Bài 149. Tính: S = (−1)n−1 C1n + (−1)n−2 · 2 · 2 · C2n + · · · + (−1)n−k · k · 2k−1 Ckn + · · · + n · 2n−1 Cnn . ĐS: S = n. Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế ta được n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + · · · + kCkn xk−1 + · · · + nCnn xn−1 . Cho x = −2 ta được n(1 − 2)n−1 = C1n + 2C2n (−2) + · · · + kCkn (−2)k−1 + · · · + nCnn (−2)n−1 ⇒n(−1)n−1 (−1)n−1 = (−1)n−1 C1n + (−1)−1 (−1)n−1 · 2 · 2 · C2n + · · · + (−1)n−1 (−1)k−1 2k−1 · kCkn + · · · + (−1)n−1 (−1)n−1 · 2n−1 nCnn ⇒n = (−1)n−1 C1n + (−1)n−2 · 2 · 2 · C2n + · · · + (−1)n−k · k · 2k−1 Ckn + · · · + n · 2n−1 Cnn . Vậy S = n.  Bài 150. Tính: S = 12 C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn . ĐS: S = n(n + 1)2n−2 . Lời giải. Ta có (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 3C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 ⇒nx(1 + x)n−1 = C1n x + 2C2n x2 + 3C3n x3 + · · · + nCnn xn . Lấy đạo hàm hai vế   n (1 + x)n−1 + x(n − 1)(1 + x)n−2 = C1n + 2 · 2C2n x + 3 · 3C3n x2 + · · · + n · nCnn xn−1 . Cho x = 1 ta được   n 2n−1 + (n − 1)2n−2 = 12 C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn . Vậy S = n · 2n−2 [(n − 1) + 2] = n(n + 1)2n−2 . Ta có thể giải bài toán trên như sau: Đặt f (x) = (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn g(x) = x(1 + x)n = C0n x + C1n x2 + C2n x3 + C3n x4 + · · · + Cnn xn+1 . Ta có f 0 (x) = n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 3C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 ⇒ f 0 (1) = n · 2n−1 = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn (∗) g 0 (x) = (1 + x)n + nx(1 + x)n−1 = C0n + 2C1n x + 3C2n x2 + · · · + (n + 1)Cnn xn ⇒ g 00 (x) = n(1 + x)n−1 + n(1 + x)n−1 + nx(n − 1)(1 + x)n−2 = 2C1n + 3 · 2C2n x + 4 · 3C3n x2 + · · · + (n + 1) · nCnn xn−1 ⇒ g 00 (1) = 2n · 2n−1 + n(n − 1)2n−2 = 2C1n + 3 · 2C2n + 4 · 3C3n + · · · + (n + 1) · nCnn . (∗∗) Lấy (∗∗) trừ (∗) ta được n · 2n−1 + n(n − 1)2n−2 = C1n + 2 · 2C2n + 3 · 3C3n + · · · + n · nCnn ⇔n(n + 1)2n−2 = 12 C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn . Vậy S = n(n + 1)2n−2 .  86 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Z2 1 Tính tích phân I = Bài 151. ĐS: I = 37 − 27 . 7 ĐS: S = 37 − 27 . 7 (x + 2)6 dx. 1 2 Tính tổng sau S = 26 1 C06 + 25 2 C16 + 24 3 C26 + 23 3 22 4 21 5 1 C6 + C6 + C + C66 . 4 5 6 6 7 Lời giải. Z1 1 I= Z1 6 (x + 2) dx = 0 (x + 2)7 (x + 2) d(x + 2) = 7 1 6 0 37 − 27 . 7 = 0 2 Ta có (2 + x)6 = C06 26 + C16 25 x + C26 24 x2 + C36 23 x3 + C46 22 x4 + C56 2x5 + C66 x6 Z1 ⇒ (x + 2)6 dx = 0 Z1 C06 26 dx + 0 Z1 C16 25 x dx + 0 Z1 C26 24 x2 dx + 0 0 Z1 Z1 + C46 22 x4 dx 0 ⇒ (x + 7 1 2)7 1 = C06 26 x + C16 25 0 0 1 x2 2 0 Z1 + C26 24 1 x3 3 + C36 23 0 + C36 23 x3 dx C56 2x5 dx Z1 + 0 1 4 x 4 C66 x6 dx 0 0 1 x5 x6 + C46 22 + C56 2 5 0 6 1 + C66 0 x7 7 1 0 26 25 24 23 22 21 1 37 − 27 = C06 + C16 + C26 + C36 + C46 + C56 + C66 . ⇒ 7 1 2 3 4 5 6 7 Vậy S = 37 − 27 . 7  Bài 152. Tính S= 1 1 1 1 + + + ··· + 1!(n − 1)! 3!(n − 3)! 5!(n − 5)! (n − 1)!1! (với n chẵn). ĐS: S = 2n−1 . n! Lời giải. Ta có n!S = C1n + C3n + C5n + · · · + Cn−1 n . Khai triển n−1 (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cn−1 + Cnn xn . n x Cho x = 1 ta được 2n = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cn−1 + Cnn . n (1) Cho x = −1 ta được 0 = C0n − C1n + C2n − C3n + · · · − Cnn−1 + Cnn . (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 2n = 2C1n + 2C3n + · · · + 2Cnn−1 xn−1 ⇒ n!S = 2n−1 . Vậy S = 2n−1 . n!  87 Bài 153. Cho Sn = 1 + 1 1 1 + + · · · + . Chứng minh rằng 2 3 n Sn − C1n Sn−1 + C2n Sn−2 − · · · + (−1)n−1 Cn−1 n S1 = (−1)n+1 . n Lời giải. Ta có (x − 1)n = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 − · · · + (−1)n Cnn . Cho x = 1 ta được 0 = C0n − C1n + C2n − ··· + (1) (−1)Cnn . (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được (x − 1)n = xn − 1 − C1n (xn−1 − 1) + C2n (xn−2 − 1) − · · · + (−1)n−1 Cn−1 n (x − 1) ⇒ (x − 1)n−1 = (xn−1 + xn−2 + · · · ) − C1n (xn−2 + xn−3 + · · · ) + C2n (xn−3 + xn−4 + · · · ) − · · · + (−1)n−1 Cn−1 n Z1 ⇒ n−1 (x − 1) Z1 dx = 0 (x n−1 +x n−2 Z1 + · · · ) dx − 0 C1n (xn−2 + xn−3 + · · · ) dx 0 Z1 + C2n (xn−3 +x n−4 Z1 + · · · ) dx − · · · + 0 (x − n 1)n 1  xn xn−1 (−1)n−1 Cn−1 dx n 0  1 − C1n xn−1 xn−2  1 + ··· n−2 0 1  n−2 n−3 x x + + ··· − · · · + (−1)n Cnn−1 x + C2n n−2 n−3 0     1 1 1 1 −(−1)n 1 = + + · · · − Cn + + ··· ⇒ n n n−1 n−1 n−2   1 1 2 + Cn + + · · · − · · · + (−1)n−1 Cn−1 n n−2 n−3 (−1)n+1 ⇒ = Sn − C1n Sn−1 + C2n Sn−2 − · · · + (−1)n−1 Cnn−1 S1 (đpcm). n ⇒ 0 = n + n−1 + ···  0 n−1 + 1 0  Bài 154. Tổng S= 1 1 1 1 1 1 + + ··· + + + ··· + + . 1!2001! 3!1999! 1001!1001! 1003!999! 1999!3! 2001!1! ĐS: S = 22001 . 2002! Lời giải. Ta có S · 2002! = 2002! 2002! 2002! 2002! 2002! 2002! + + ··· + + + ··· + + 1!2001! 3!1999! 1001!1001! 1003!999! 1999!3! 2001!1! ⇔ S · 2002! = C12002 + C32002 + · · · + +C2002 2002 . Khai triển 2n−1 2n−1 2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + C32n x3 + · · · + C2n x + C2n 2n x . 2002 Cho x = 1 và n = 1001 ta được 22002 = C02002 + C12002 + C22002 + C32002 + · · · + C2001 2002 + C2002 . 0 1 2 3 2001 2002 Cho x = −1 và n = 1001 ta được 0 = C2002 − C2002 + C2002 − C2002 + · · · − C2002 + C2002 . (1) (2) 88 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Lấy (1) trừ (2) vế theo vế 22002 = 2C12002 + 2C32002 + · · · + 2C2001 2002 ⇒22001 = C12002 + C32002 + · · · + C2001 2002 ⇒S · 2002! = 22001 ⇒S = Vậy S = 22001 . 2002! 22001 . 2002!  DẠNG 0.7. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (Loại không cho giả thiết) Phương pháp 1 Khai triển (a + b)n = (a − b)n = n X n X Ckn an−k bk = k=0 (−1)k Ckn an−k bk = k=0 n X Ckn ak bn−k k=0 n X (−1)k Ckn ak bn−k . k=0 2 Số hạng tổng quát thứ (k + 1) là Tk+1 = Ckn an−k bk Tk+1 = Ckn ak bn−k . 3 Chọn k ứng với số hạng cần tìm. Suy ra số hạng hoặc hệ số của số hạng đó. 1 Nếu biểu thức là một đa thức thì ta đưa về dạng nhị thức (a + b)n ; (a − b)n và khai triển từng phần một. 2 Khai triển theo thứ tự bậc tăng dần hoặc giảm dần. ! 3 Chúng ta lưu ý đến số hạng cần tìm, không cần thiết phải khai triển tất cả các hạng tử. 4 Trong khai triển (a + b)n ; (a − b)n có n + 1 số hạng. 5 Tổng số mũ của a và b luôn bằng n.   1 10 . Bài 155. Tìm hệ số của hạng tử thứ 4 trong khai triển x + x ĐS: 120. Lời giải.     10 10 1 10 X k 10−k 1 k X k 10−2k Ta có x + = C10 x = C10 x . x x k=0 k=0 ⇒ Hệ số của hạng tử thứ 4 là C310 = 120.  Bài 156. Tìm hệ số của x31 trong khai triển   1 40 x+ 2 . x ĐS: 9880. Lời giải.     40 40 1 40 X k 40−k 1 k X k 40−3k Ta có x + 2 = C40 x = C40 x . x x2 k=0 k=0 ⇒ Hệ số của x31 trong khai triển là C340 = 9880.  89   1 n 3 Bài 157. Xác định hệ số thứ nhất, thứ năm, thứ mười trong khai triển x + 2 . x Lời giải. Ta biết rằng trong khai triển (a + b)n ở vế phải có n + 1 hạng tử. Do đó Hệ số thứ nhất là C0n = 1. Hệ số thứ năm là C4n = n! (n − 3)(n − 2)(n − 1)n = . 4!(n − 4)! 24 Hệ số thứ mười là C9n = n! (n − 8)(n − 7) · · · (n − 1)n = . 9!(n − 9)! 362880  Bài 158. Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển √ 3 x−2 + x 7 . ĐS: 35x2 . Lời giải. √ 7−k 2(k−7) 5k−14 3 Hạng tử thứ k + 1 là Tk+1 = Ck7 xk = Ck7 x 3 xk = Ck7 x 3 . x−2 5k − 14 Nếu hạng tử Tk+1 chứa x2 thì = 2 ⇔ k = 4. 3 Vậy hạng tử cần tìm là hạng tử thứ năm T5 = C47 x2 = 35x2 .  Bài 159. Cho khai triển  3√ 2 √ 12 3 2 a + a . Hãy tìm xem hạng tử thứ mấy chứa a7 ? 43 3  ĐS: Hạng tử thứ bảy. Lời giải. Gọi số hạng thứ k + 1 là Tk+1 12−k    12−k  k 24−2k k 2√ k 3 3√ 2 3 2 k 3 a a = C12 a a2 = 43 3 43 3  12−k  k  12−k  k 24−2k k k 3 3 2 2 + k k 2 = C = C12 a 3 a− 6 +8 . 12 3 3 4 3 4 3 Ck12  k Hạng tử Tk+1 chứa a7 nếu − + 8 = 7 ⇔ k = 6. 6  6  6 3 2 6 Vậy hạng tử cần tìm là hạng tử thứ bảy T7 = C12 a7 = 924 · 2−30 a7 . 3 4 3  Bài 160. Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển x2 + 1 x  15 . ĐS: 3003. Lời giải.  k 1 x30−2k Các hạng tử của khai triển có dạng = Ck15 = Ck15 x30−3k . x xk Hạng tử không chứa x khi 30 − 3k = 0 ⇔ k = 10. Vậy hạng tử cần tìm là C10 15 = 3003. Ck15  Bài 161. Trong khai triển x 3 + 3 x
15−k x2  12 , hãy tìm hạng tử độc lập với x. ĐS: 924. Lời giải. Hạng tử thứ k + 1 là Tk+1 = Ck12  x 12−k  3 k = Ck12  x 12−2k 3 x 3 Nếu Tk+1 độc lập đối với x thì 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. Vậy hạng tử độc lập với x là hạng tử thứ bảy C612 = 924. .  90 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP   1 12 2 Bài 162. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của nhị thức x + 4 . x ĐS: 495. Lời giải. Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là Ck12 x2
12−k  1 x4 k = Ck12 x24−2k = Ck12 x24−6k . x4k Số hạng này không chứa x khi 24 − 6k = 0 ⇔ k = 4. Vậy số hạng không chứa x là số hạng thứ năm và có hệ số là C412 = 495.  Bài 163. Tìm hệ số của x12 y 13 trong khai triển của (x + y)25 . ĐS: 5200300. Lời giải. 12 13 Ta có (x + y)25 = C025 x25 + C125 x24 y + · · · + C13 25 x y + · · · . Vậy hệ số của x12 y 13 trong khai triển của (x + y)25 là C13 25 = 5200300.  Bài 164. Tìm hệ số của x12 y 13 trong khai triển của (2x − 3y)25 . ĐS: − Lời giải. 12 13 Ta có (2x − 3y)25 = C025 (2x)25 + C125 (2x)24 (−3y) + · · · + C13 25 (2x) (−3y) + · · · . 25! · 212 · 313 13 12 Vậy hệ số của x12 y 13 trong khai triển của (2x − 3y)25 là C13 =− . 25 2 · (−3) 13! · 12!  10 √ 1 3 Bài 165. Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển √ . + x 5 x 25! · 212 · 313 . 13! · 12!  ĐS: 252 √ 3 x2 . Lời giải. 10 √ 1 3 √ + x có tất cả 11 số hạng. 5 x   √ √ 1 5 √ 5 5 5 1 · x 3 x2 = 252 3 x2 . 3 Số hạng đứng giữa là số hạng thứ 6: C10 √ ( x) = C 10 5 x x  Ta biết rằng trong khai triển Bài 166. Tìm số hạng ở giữa của khai triển
30 60 15 . ĐS: C15 1 x3 + xy 30 x y . 2 x3 − xy
15 .  ĐS: −6435x31 y 7 ; 6435x29 y 8 . Lời giải. 1 Khai triển x3 + xy
30 có 31 số hạng, số hạng ở giữa là số hạng thứ 16 3 T16 = C15 30 x 2 Khai triển x3 − xy
15
15 60 15 (xy)15 = C15 30 x y . có 16 số hạng và có hai số hạng ở giữa là các số hạng thứ tám và thứ chín
8 T8 = C715 x3 (−xy)7 = −6435x31 y 7 .
7 T9 = C815 x3 (−xy)8 = 6435x29 y 8 .  Bài 167. Tìm hạng tử của khai triển √ 3+ √
9 3 2 là một số nguyên. ĐS: Hạng tử thứ tư, thứ mười. Lời giải. √
9−k √
k 9−k k 3 Hạng tử thứ k + 1 của khai triển là Tk+1 = Ck9 3 2 = Ck9 3 2 · 2 3 (0 ≤ k ≤ 9). 9−k k Hạng tử này nguyên khi và chỉ khi và là các số nguyên. 2 3 91 9−k nguyên khi k = 3 hoặc k = 9. 2 k Vì k ∈ N nên nguyên khi k = 3n với n ∈ N. 3 9−k k Vậy và đều nguyên thì chỉ có hai giá trị là k = 3 và k = 9. 2 3 Vì k ∈ N nên Nếu k = 3 thì hạng tử cần tìm là hạng tử thứ tư và có trị số là C39 √
6 √
3 3 3 2 = 4536. Nếu k = 9 thì hạng tử cần tìm là hạng tử thứ mười và có trị số là C99 √
0 √
9 3 3 2 = 8.  Bài 168. Tìm số hạng của khai triển √ 3− √
6 15 là số nguyên. ĐS: Hạng tử thứ nhất, thứ ba, thứ năm, thứ bảy. Lời giải. Hạng tử thứ k + 1 của khai triển là Tk+1 = Ck6 √ 6−k  √ k 6−k k k 3 − 15 = (−1)k Ck6 3 2 · 15 2 = (−1)k Ck6 33 · 5 2 (0 ≤ k ≤ 6). k Tk+1 là một số nguyên khi 5 2 nguyên ⇔ k là bội số của 2. Vì k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 6 nên k ∈ {0, 2, 4, 6}. Với k = 0 ta có T1 = (−1)0 C06 33 · 50 = 27. Với k = 2 ta có T3 = (−1)2 C26 33 · 51 = 2025. Với k = 4 ta có T5 = (−1)4 C46 33 · 52 = 10125. Với k = 6 ta có T7 = (−1)6 C66 33 · 53 = 3375.  Bài 169. Đa thức P (x) = (1 + x) + 2 (1 + x)2 + 3 (1 + x)3 + · · · + 20 (1 + x)20 được viết dưới dạng P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a20 x20 . Tìm a15 . ĐS: 400995. Lời giải.
15 . Ta có 15 (1 + x)15 = 15 C015 + C115 x + · · · + C15 15 x
15 16 16 . 16 (1 + x)16 = 16 C016 + C116 x + · · · + C15 16 x + C16
x 15 17 (1 + x)17 = 17 C017 + C117 x + · · · + C15 17 x + · · ·
. 15 18 (1 + x)18 = 18 C018 + C118 x + · · · + C15 18 x + · · ·
. 19 15 19 (1 + x) = 19 C019 + C119 x + · · · + C15 19 x + · · ·
. 20 0 1 15 15 20 (1 + x) = 20 C20 + C20 x + · · · + C20 x + · · · . 15 15 15 15 15 Vậy a15 = 15C15 15 + 16C16 + 17C17 + 18C18 + 19C19 + 20C20 = 400995.  Bài 170. Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức (1 + x)9 +(1 + x)10 +· · ·+(1 + x)14 ta sẽ được đa thức P (x) = A0 + A1 x + A2 x2 + · · · + A14 x14 . Hãy xác định hệ số A9 . ĐS: 3003. Lời giải. Ta có (1 + x)9 = C09 + C19 x + · · · + C99 x9 . 10 (1 + x)10 = C010 + C110 x + · · · + C910 x9 + C10 10 x . 11 (1 + x) = C011 + C111 x + · · · + C911 x9 + · · · . (1 + x)12 = C012 + C112 x + · · · + C912 x9 + · · · . (1 + x)13 = C013 + C113 x + · · · + C913 x9 + · · · . (1 + x)14 = C014 + C114 x + · · · + C914 x9 + · · · . Vậy hệ số A9 = C99 + C910 + C911 + C912 + C913 + C914 = 3003.  92 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 171. Khai triển (3 + x)50 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a50 x50 . 1 Tính hệ số a46 . ĐS: 18654300. 2 Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + · · · + a50 . ĐS: 450 . Lời giải. 4 46 1 Ta có (3 + x)50 = C050 350 + C150 349 x + · · · + C46 50 3 x + · · · . 4 Vậy hệ số a46 = C46 50 3 = 18654300. 2 Ta có S = f (1) = (3 + 1)50 = a0 + a1 + a2 + · · · + a50 = 450 . Vậy S = 450 .  Bài 172. Cho đa thức P (x) = (1 + x) + 2 (1 + x)2 + 3 (1 + x)3 + · · · + 15 (1 + x)15 được viết dưới dạng P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a15 x15 . Tìm hệ số a10 . ĐS: 63700. Lời giải.
10 . Ta có 10 (1 + x)10 = 10 C010 + C110 x + · · · + C10 10 x
10 11 11 . 11 (1 + x)11 = 11 C011 + C111 x + · · · + C10 11 x + C11
x 10 12 (1 + x)12 = 12 C012 + C112 x + · · · + C10 12 x + · · ·
. 13 0 1 10 10 13 (1 + x) = 13 C13 + C13 x + · · · + C13 x + · · · .
10 14 (1 + x)14 = 14 C014 + C114 x + · · · + C10 14 x + · · ·
. 10 15 (1 + x)15 = 15 C015 + C115 x + · · · + C10 15 x + · · · . 10 10 10 10 10 Vậy hệ số a10 = 10C10 + 11C11 + 12C12 + 13C13 + 14C10 14 + 15C15 = 63700.  Bài 173. Cho đa thức P (x) = (x + 1)10 + (x + 1)11 + (x + 1)12 + (x + 1)13 + (x + 1)14 được viết dưới dạng P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a14 x14 . Tìm hệ số a7 . ĐS: 6390. Lời giải. Ta có (x + 1)10 = (1 + x)10 = C010 + C110 x + · · · + C710 x7 + · · · . (x + 1)11 = (1 + x)11 = C011 + C111 x + · · · + C711 x7 + · · · . (x + 1)12 = (1 + x)12 = C012 + C112 x + · · · + C712 x7 + · · · . (x + 1)13 = (1 + x)13 = C013 + C113 x + · · · + C713 x7 + · · · . (x + 1)14 = (1 + x)14 = C014 + C114 x + · · · + C714 x7 + · · · . Vậy hệ số a7 = C710 + C711 + C712 + C713 + C714 = 6390.  Bài 174. Khai triển: f (x) = (x − 2)80 = a0 + a1 x + a2 x + · · · + a80 x80 . 1 Tính hệ số a78 . 2 ĐS: a78 = C280 · 22 = 12640 Tính S = 1a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 80a80 . Lời giải. 1 Ta có (x − 2)80 = C080 x80 − C180 x79 · 2 + C280 x78 · 22 + · · · Hệ số a78 = C280 · 22 = 12640. 2 Cách 1: Ta chứng minh được k · Ckn = n · Ck−1 n−1 (∗). 80 P Có (x − 2)80 = (2 − x)80 = (−1)k Ck80 · 280−k · xk ⇒ ak = (−1)k Ck80 · 280−k . k=0 Vậy S = 1a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 80a80 80 X = (−1)k · k · Ck80 · 280−k · k=1 ĐS: −80 93 80 X = 80−k (−1) · (−1)k−1 · 80 · Ck−1 , 79 · 2 (theo hệ thức (*)) k=1 = −80(1 − 2)79 = −80. Cách 2 f (x) = (x − 2)80 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a80 x80 . Lấy đạo hàm hai vế ta được f 0 (x) = 80(x − 2)79 = a1 + +2a2 x + · · · + 80a80 x79 . Cho x = 1 ta có f 0 (1) = 1a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 80a80 = 80 · (−1)79 = −80.  Bài 175. Tìm hệ số của một hạng tử chứa x4 trong khai triển 1 + 2x + 3x2
10 . ĐS: 8085 Lời giải. Ta có 1 + 2x + 3x2
10 =  (1 + 2x) + 3x2 10 = C010 (1 + 2x)10 + C110 (1 + 2x)9 · 3x2 + C210 (1 + 2x)8 · 9x4 + · · · Các hạng tử sau không chứa x4 . Ta có + C010 (1 + 2x)10 = C010 (C010 + C19 · 2x + C29 · 4x2 + · · · ) + 3x2 C110 (1 + 2x)9 = 3x2 C110 C09 + C19 · 2x + C29 · 4x2 + · · ·
+ 9x4 C210 (1 + 2x)8 = 9x4 C210 C010 + · · · .
Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là C010 · C410 · 24 + 3C110 · C29 · 4 + 9C210 · C010 = 8085.  Bài 176. Khai triển (1 + x + x2 )1996 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a3992 x3992 . 1 Tính: A = a0 − a1 + a2 − · · · + a3992 . 2 ĐS: 1 Chứng minh rằng: S = a0 + 2a1 + 22 a22 + · · · + 23992 a3992 chia hết cho 2401. Lời giải. 1 Đặt f (x) = (1 + x + x2 )1996 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a3992 x3992 . Ta có f (−1) = (1 − 1 + 1)1996 = a0 − a1 + a2 − · · · + a3992 hay A = a0 − a1 + a2 − · · · + a3992 = 1. 2 Cho x = 2 ta được f (2) = (1 + 2 + 4)1996 = a0 + 2a1 + 22 a22 + · · · + 23992 a3992 = 71996 . Ta lại có 2401 = 74 , do đó 71996 chia hết cho 74 hay S = a0 + 2a1 + 22 a22 + · · · + 23992 a3992 chia hết cho 2401.  94 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Bài 177. Khai triển (1 + x + x2 + x3 )5 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a15 x15 . 1 Tính hệ số a10 . 2 ĐS: 101 Tính tổng • A = a0 + a1 + a2 + · · · + a15 . • B = a0 − a1 + a2 − · · · − a15 . ĐS: A = 1024, B = 0 Lời giải.  2 1 Ta có (1 + x + x2 + x3 )5 = (1 + x) + x2 (1 + x) = (1 + x)5 (1 + x2 )5 . Mà (1 + x)5 = C05 + C15 x + · · · + C55 x5 . (1 + x2 )5 = C05 + C15 x2 + · · · + C55 x10 . Suy ra, hệ số a10 = C05 · C55 + C25 · C45 + C45 · C35 = 101. 2 Vì f (x) = (1 + x + x2 + x3 )5 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a15 x15 nên • A = a0 + a1 +a2 + · · · + a15 = 45 = 1024. 5 • B = f (−1) = 1 − 1 + (−1)2 + (−1)3 = a0 − a1 + a2 − · · · − a15 ⇒ B = 0.  Bài 178. Xác định hệ số của xn trong khai triển (1 + x + 2x2 + 3x3 + · · · + nxn )2 ĐS: 11n + n3 6 Lời giải. Hệ số của xn là 1 · n + 1(n − 1) + 2(n − 2) + · · · + n · 1
= n[2 + (1 + 2 + · · · + n)] − 12 + 22 + · · · + n2   n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 11n + n3 − = . = n 2+ 2 6 6 Lưu ý: cần chứng minh hai công thức sau 1 + 2 + 3 + ··· + n = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1) . (1) 2 n(n + 1)(2n + 1) . (2) 6 Công thức (1) chứng minh dễ dàng. Thậy vậy Đặt S1 = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n, suy ra 2S1 = 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 3 + · · · (n − 1) · 2 + n · 2 ⇒ S1 = 1(2 − 0) + 2(3 − 1) + 3(4 − 2) + · · · + (n − 1)[n − (n − 2)] + n[(n + 1) − (n − 1)] n(n + 1 = . 2 Để chứng minh công thức (2), trước hết ta chứng minh công thức S2 = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2) . 3 95 Ta có n(n + 1)(n + 2) 3 = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 3 + · · · + n · (n + 1) · 3 S2 = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) = ⇒ 3S2 = 1 · 2(3 − 0) + 2 · 3(4 − 1) + · · · + n · (n + 1)[(n + 2) − (n − 1)] = 1 · 2 · 3 − 0 · 1 · 2 + 2 · 3 · 4 − 1 · 2 · 3 + · · · + n(n + 1)(n + 2) − (n − 1)n(n + 1) ⇒ S2 = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = . 3 Bây giờ ta chứng minh công thức (2). Đặt S = 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 . S = 1(2 − 1) + 2(3 − 1) + 3(4 − 1) + · · · + (n − 1)(n − 1) + n[(n + 1) − 1] = [1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + (n − 1)n] − (1 + 2 + 3 + · · · + n) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) − = S2 − S1 = 3  2  n+2 1 n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) = − . 3 2 6 Vậy S = 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2 = n(n + 1)(2n + 1) (đpcm). 6 Bài 179. Tìm hệ số của x2 khi khai triển và rút gọn: 2 + √ x − 3x2 
5 . ĐS: −230 Lời giải. Ta có 2+ √ x − 3x2
5 = = =  2+ 5 X k=0 5 X √ x − 3x2 Ck5 25−k Ck5 25−k · k=0 √
5 x − 3x2 k X Cik
k
i √
k−i x −3x2 i=0 5 X k X k+3i = (−3)i · 25−k · Ck5 · Cik · x 2 . k=0 i=0 (  i=0  i, k ∈ N      i, k ∈ N  k=4 Chọn 0 ≤ i ≤ k ≤ 5 ⇔ 0 ≤ i ≤ k ≤ 5 ⇔  (     k + 3i  i=1  k + 3i = 4 =2 2 k = 1. ( i=0 • Với ta được: (−3)0 · 25−4 · C45 · C04 · x2 = 10x2 . k=4 ( i=1 • Với ta được: (−3)1 · 24 · C15 · C11 · x2 = −240x2 . k=1 Suy ra số hạng chứa x2 là 10x2 − 240x2 = −230x2 . Vậy hệ số của x2 là −230.  Bài 180. Tìm số hạng chứa x và y với số mũ của chúng đều là số nguyên dương khi khai triển p √ 12 3 xy 2 + xy . 96 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP 6 6 ĐS: C012 x4 y 8 ; C612 x5 y 7 ; C12 12 x y Lời giải. Ta có 12 p p 12−k √ X √ 12 3 xy 2 + xy = Ck12 3 xy 2 · ( xy)k = = k=0 12 X k=0 12 X Ck12 xy 2
12−k 3 k · (xy) 2 Ck12 · x 12−k 3 · x2 · y Ck12 · x 24+k 6 ·y k 2(12−k) 3 k · y2 k=0 = 12 X 48−k 6 . k=0 Chọn k thỏa  k∈N       0 ≤ k ≤ 12 k=0    24 + k ∈ Z+ ⇔ k = 6   6  k = 12.     48 − k ∈ Z+ 6 6 6 Vậy các số hạng cần tìm là C012 x4 y 8 ; C612 x5 y 7 ; C12 12 x y . Bài 181. Xác định hệ số của x6 y 2  trong khai triển  √ x xy + y 10 . ĐS: C210 = 45 Lời giải. Ta có  √ x xy + y 10 = = 10 X k=0 10 X Ck10 · (xy) Ck10 · x 10−k 2 10+k 2 ·y  k x · y 10−3k 2 . k=0  0 ≤ k ≤ 10      k∈N   Chọn k sao cho 10 + k = 6 ⇔ k = 2.   2     10  − 3k = 2 2 Vậy hệ số của x6 y 2 là C210 = 45. Bài 182. Trong khai triển √ 3+  √
124 5 có bao nhiêu số hạng là số nguyên? Lời giải. Ta có √ 3+ 124 124 √ 124−k √ k X √ 124 X 124−k k 5 = Ck124 3 5 = Ck124 · 3 2 · 5 2 . k=0 k=0 ĐS: 63 97   k∈N k∈N             0 ≤ k ≤ 124 0 ≤ k ≤ 124      k ∈ N t ∈ N  Chọn k sao cho 124 − k ∈ N ⇔ 62 − k ∈ N ⇔ 0 ≤ k ≤ 124 ⇔ k = 2t         2 2   0 ≤ t ≤ 62.   k chẵn     k k  ∈N  ∈N 2 2 Vậy có 63 số hạng nguyên.  DẠNG 0.8. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng Bài toán thường gặp  β n Cho khai triển (a + , + q , . . . trong đó a, b, c, q là hằng số. x Cho biết một vài số hạng trong tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó. Tìm n, tìm hệ số thứ k nào đó trong khai triển. bx)n  axp Phương pháp giải – Dựa vào đẳng thức đã cho, giải phương trình tìm n. – Dựa vào dạng 7 để tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng.  1 n 1 1 1 Bài 183. Cho khai triển x − = C0n xn − C1n xn−1 + C2n xn−2 − . . . + (−1)n · n Cnn . Tìm số hạng 3 3 8 3 28 đứng chính giữa trong khai triển biết số hạng thứ ba bằng 5. ĐS: − x5  27 Lời giải. Hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển trên là 1 2 C . 9 n " n = 10 n! 1 2 2 = 5 ⇔ n − n − 90 = 0 ⇔ Theo đề cho ta có Cn = 5 ⇔ 9 9 · 2!(n − 2)! n = −9 (loại).  10 1 Khi n = 10 thì khai triển x − có 11 số hạng 3 ⇒ số hạng chính giữa của khai triển trên là số hạng thứ 6  5 1 28 5 5 ⇒ T6 = C10 x − = − x5 . 3 27     n
n
n−1 2 n 2 3 0 3 0 3 n Bài 184. Cho khai triển x + 2 = Cn x + Cn 1 x + . . . + Cn . Biết tổng ba hệ số x x2 của ba số hạng đầu tiên của khai triển trên là 33. Tìm hệ số của x2 . ĐS: 24 Lời giải. Theo giả thiết ta có C0n + 2C1n + 22 C2n = 33 ⇔ 1 + 2n + 2n(n − 1) = 33 ⇔ n2 = 16 ⇔ n = 4 (vì n ∈ N∗ ).     4 4 2 4 X k 3
4−k 2 k X k k 12−5k 3 Với n = 4 thì x + 2 = C4 x = 2 C4 x . x x2 k=0 k=0 Chọn 12 − 5k = 2 ⇔ k = 2. Vậy hệ số của x2 là C24 · 22 = 24. Bài 185. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2 )n là 1024. Tìm hệ số của x12 . Lời giải. Ta có (1 + x2 )n = n X k=0 Ckn x2k . ĐS: 210  98 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Cho x = 1 suy ra tổng các hệ số trong khai triển là n X Ckn = 1024 ⇔ 2n = 1024 ⇔ n = 10. k=0 Khi đó (1 + x2 )10 = 10 X Ck10 x2k . k=0 Chọn 2k = 12 ⇔ k = 6 ⇒ hệ số của x12 là C610 = 210.   Bài 186. Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển x· √ 3 x+ √ 5 n 1 x28 biết Cnn + Cnn−1 + Cn−2 = 79. n ĐS: 792 Lời giải. Ta có Cnn + Cn−1 + Cn−2 n n " n = 12 (thỏa mãn) n(n − 1) = 79 ⇔ 1 + n + = 79 ⇔ n2 + n − 156 = 0 ⇔ 2 n = −13 (loại). Khi đó 12 x   12 X
12−k √ √ 1 1 k 3 3 √ √ = · 5 x· x+ 5 C12 x x x28 x28 k=0 = = 12 X k=0 12 X Ck12 x 4(12−k) 3 Ck12 · x · x− 240−48k 15 28k 5 . k=0 240 − 48k = 0 ⇔ k = 5. 15 Vậy số hạng độc lập với x là C512 = 792. Chọn Bài 187. Tìm hệ số x8   trong khai triển √ 1 + x5 3 x n n biết Cn+1 n+4 − Cn+3 = 7(n + 3). ĐS: 495 Lời giải. Theo giả thiết n Cn+1 n+4 − Cn+3 = 7(n + 3) (n + 4)! (n + 3)! ⇔ − = 7(n + 3) 3!(n + 1)! 3!n! (n + 2)(n + 3)(n + 4) (n + 1)(n + 2)(n + 3) − = 7(n + 3) ⇔ 6 6 ⇔ n = 12. Khi đó  √ 1 + x5 3 x 12 = ⇔ 12 X k=0 12 X Ck12  Ck12 x 1 x3 12−k √  k · x5 11k−72 2 . k=0 11k − 72 = 8 ⇔ k = 8. 2 Vậy hệ số của x8 là C812 = 495. Chọn Bài 188. Cho khai triển nhị thức  x−1   x−1 n  x−1 n−1  x   x−1   x n−1  x n x n −3 n −3 2 2 2 + 2− 3 = C0n 2 2 + C1n 2 2 2− 3 + . . . + Cn−1 2 2 + C n n 2  99 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C3n = 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n. ĐS: n = 7 và x = 4 Lời giải. " n = 7 (thỏa mãn) n! Ta có C3n = 5C1n ⇔ = 5n ⇔ (n − 2)(n − 1) = 30 ⇔ n2 − 3n − 28 = 0 ⇔ 3!(n − 3)! n = −4 (loại).  x−1 4  x 3 · 2− 3 = 20 · 7 ⇔ 35 · 22x−2 · 2−x = 140 ⇔ 2x−2 = 22 ⇔ x = 4. Từ giả thiết suy ra C37 2 2 Vậy n = 7 và x = 4 là giá trị cần tìm.  √ 4 x √ + 2 2−1 4−x 4  Bài 189. Tìm số nguyên x sao cho hạng tử thứ năm của khai triển 6 là 240. ĐS: x=2 Lời giải. Điều kiện 1 ≤ x ≤ 4. Ta có  √ 4 x √ + 2 2−1 4−x 4 6  = 22 2 1 + 2 · 2− x 6 2 4−x  2 1 6 22− 4−x + 21− x  6 2(3−x) x−1 4−x = 2 +2 x . =  Theo giả thiết hạng tử thứ năm của khai triển trên là 240 nên h ⇔ i 2(3−x) 2 4−x 4 h 4(3−x) 4(x−1) x−1 + x · 2( x ) = 240 ⇔ 15 · 2 4−x ·2 3−x x−1 + = 1 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2. 4−x x C46 i = 15 · 24 Vậy x = 2 là số nguyên dương cần tìm.  Bài 190. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ ba của khai triển x + xlog x
5 là 1000000. ĐS: x = 10 √ !5  10  x= 10  Lời giải. Ta có  2 C25 x3 xlog x = 1000000 ⇔ x3+2 log x = 105 ⇔ (3 + 2 log x) · log x = 5 ⇔ 2 log2 x + 3 log x − 5 = 0   x = 10 log x = 1  ⇔  5 5 ⇔ 1  log x = − x = 10− 2 = √ = 2 105 √ 10 10 !5 .  q Bài 191. Tìm số thực x cho biết hạng tử thứ tư trong khai triển x x (log x+1) + √ 12 !6 x là 200. ĐS: 100 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP "x = 10 x = 10−4 = 1 104 Lời giải. Điều kiện x > 0. Hạng tử thứ tư trong khai triển trên là q C36 x 1 (log x+1) !3 · 3  1 √
3 1 2 x · x4 = 20 · x (log x+1) 12   1 3 = 20 · x 2(log x+1) · x 4 h = 20 · x 1 + 2(log3x+1) 4 i . Từ giả thiết suy ra h ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 + 2(log3x+1) 4 i 20 · x =  200  1 3 log x = 1 + 4 2(log x + 1)   log x 3 log x + =1 4 2(log x + 1) ” log x = 1 log2 x + 3 log x − 4 = 0 ⇔ log x = −4  x = 10  1 (thỏa mãn điều kiện). x = 10−4 = 4 10 Vậy phương trình có nghiệm là x = 10 và x = 10−4 = 1 . 104   7 √ 1 x−1 x−1 Bài 192. Tìm giá trị của x cho biết hạng tử thứ 6 của khai triển 2log2 9 +7 + 2− 5 log2 (3 +1) là 84. ĐS: x = 1 hoặc x = 2 Lời giải. Hạng tử thứ sau trong khai triển trên là 2 h 1  i5 √ √ x−1 x−1 x−1 x−1 = C57 · 2log2 9 +7 · 2− log2 (3 +1) C57 · 2log2 9 +7 · 2− 5 log2 (3 +1) log 9x−1 +7 = 21 · 2 2 3x−1 +1 9x−1 + 7 = 21 · x−1 . 3 +1 9x−1 + 7 = 84 ⇔ 9x−1 + 7 = 4 · 3x−1 + 4 ⇔ 32(x−1) − 4 · 3x−1 + 3 = 0 (∗). 3x−1 + 1 Đặt t = 3x−1 (t > 0). ” t=1 2 Phương trình (∗) trở thành t − 4t + 3 = 0 ⇔ (thỏa mãn). t=3 Theo giả thiết suy ra 21 · Với t = 1, ta có 3x−1 = 1 ⇔ x = 1. Với t = 3, ta có 3x−1 = 3 ⇔ x = 2. Vậy x = 1 hoặc x = 2 là các giá trị cần tìm.  101  Bài 193. Tìm giá trị của số thực x sao cho trong khai triển √ 2x +√ 1 m 2x−1 ba và năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22. tổng các hạng tử thứ ĐS: x = 2 hoặc x = −1 Lời giải. Tổng hệ số hạng tử cuối cùng là 22, tức là m−1 Cm + Cm−2 = 22 m + Cm m (m − 1)m = 22 ⇔ 1+m+ 2 ” m = 6 (thỏa mãn) 2 ⇔ m + m − 42 = 0 ⇔ m = −7 (loại). 6 4  √ √
2 1 1 1 4 x x √ 2 +√ 2 Hạng tử thứ ba của khai triển là C6 = 15 · 2x · 2x−2 = 15 · 2−x+2 . x−1 x−1 2 2 2 Theo giả thiết 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135 ⇔ 2x+1 + 2−x+2 = 9 ⇔2x · 2 + 2−x · 22 = 9 (∗). t = 4 (thỏa mãn) 4 x  Đặt t = 2 (t > 0), phương trình (∗) trở thành 2t + − 9 = 0 ⇔ 1 t t = (thỏa mãn). 2 Với t = 4, ta có 2x = 4 ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 2. 1 1 Với t = , ta có x2 = ⇔ 2x = 2−1 ⇔ x = −1. 2 2 Vậy x = 2 hoặc x = −1 là hai giá trị x cần tìm.   m √ a √ 13 51 13 Bài 194. Tìm hạng tử thứ ba của khai triển a+ √ a nếu C3m : C2m = 4 : 1. ĐS: 91 · a−1  Lời giải. Ta có m! C3m m−2 4 3!(m − 3)! =4⇔ = ⇔ = 4 ⇔ m = 14. 2 m! Cm 1 3 2!(m − 2)!  2 √ 12 12 √ a . 13  Vậy T3 = C214 ( 13 a)12 · √ = 91 · a 13 · a3 = 91 · a 13 +3 = 91 · a51 . a−1   1 n Bài 195. Cho biết trong khai triển x2 + , tổng các hệ số của các số hạng thứ nhất, hai và ba là x 46. Tìm hạng tử không chứa x. ĐS: C69 = 84 Lời giải. Theo giả thiết, ta có C0n + C1n + C2n = 16 (n − 1)n ⇔ 1+n+ = 46 2 2 ⇔ n ” + n − 90 = 0 n = 9 (nhận) ⇔ n = −10 (loại).   1 9 2 là Vậy n = 9 và số hạng thứ k + 1 trong khai triển x + x Tk+1 = Ck1 · x
2 9−k  k 1 · = Ck9 · x18−2k · xk = Ck9 · x18−3k . x 102 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Hạng tử này không chứa x nếu 18 − 3k = 0 ⇔ k = 6. Vậy hạng tử không chứa x là hạng tử thứ bảy: T7 = C69 = 84. Bài 196. Tìm A2n  biết hạng tử thứ sáu của khai triển √ 1 3 x+ x  n không phụ thuộc vào x. ĐS: A2n = 380 Lời giải.  Hạng tử thứ sáu của khai triển T6 = √ 3 C5n 1 x+ x n là √
n−5 · 3x ·  5 n−5 n−20 1 = C5n · x 3 · x−5 = C5n · x 3 . x n − 20 = 0 ⇔ n = 20. Lúc đó A2n = A220 = 380.  3   1 n x Bài 197. Trong khai triển 2 + x , tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ ba bằng 36. Cho biết 4 1 thêm hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x. ĐS: x = − Hạng tử này không phụ thuộc vào x nếu 3 Lời giải. 1 Hạng tử thứ hai của khai triển trên là C1n · (2x )n−1 · x , có hệ số là C1n . 4 2 1 n−2 2 x , có hệ số là C2n . Hạng tử thứ ba của khai triển trên là Cn · (2 ) · 4x Theo giả thiết, ta có (n − 1)n ⇔n+ = 36 2 ” n = 8 (nhận) ⇔ n2 + n − 72 = 0 ⇔ n = −9 (loại). C1n + C2n = 36  Vậy n = 8 và ta có khai triển 2x 1 + x 4 8 . Cũng theo giả thiết, ta có 7· C1n 1 · (2 ) · x = C2n · (2x )6 · 4 x 7  1 4x 2 ⇔ 7 · 8 · 27x · 2−2x = 28 · 26x · 2−4x 1 ⇔ 2 · 25x = 22x ⇔ 23x+1 = 1 ⇔ x = − . 3 Vậy x = − 1 là giá trị cần tìm. 3   Bài 198. Cho biết tổng của ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển x2 hạng tử của khai triển chứa x4 . T1 = n là 97. Tìm ĐS: 1120×4 Lời giải. Ba hạng tử đầu tiên là C0n (x2 )n ; T2 2 − x = C1n (x2 )n−1    
2 2 2 2 2 n−2 − ; T3 = Cn x − . x x 103 Theo giả thiết, ta có C0n − 2C1n + 4C2n = 97 (n − 1)n ⇔ 1 − 2n + 4 · = 97 2 ⇔ ” 2n2 − 4n − 96 = 0 n = 8 (nhận) ⇔ n = −6 (loại). Khi đó, hạng tử thứ k + 1 trong khai triển   2 8 là x2 − x   2 k Tk+1 = Ck8 (x2 )8−k − = (−2)k Ck8 x16−3k . x Hạng tử này chứa x4 nếu 16 − 3k = 4 ⇔ k = 4. Vậy hạng tử cần tìm là T5 = 1120×4 .   Bài 199. Tìm giá trị của số thực x sao cho trong khai triển √ 2x +√ 1 m 2x−1 ba và năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22. tổng các hạng tử thứ ĐS: x = 2 và x = −1 Lời giải. Tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22, tức là m−1 Cm + Cm−2 = 22 m + Cm m (m − 1)m ⇔ 1+m+ = 22 2 ” m = 6 (nhận) 2 ⇔ m + m − 42 = 0 ⇔ m = −7 (loại). 6 √ 1 x 2 +√ là Hạng tử thứ ba của khai triển 2x−1  √ 4  1  2 1 2 √ 2x = 15 · 22x · x−1 = 15 · 2x+1 . C6 2 2x−1  Hạng tử thứ năm là C46 √ 2  1 4 1 √ = 15 · 2x · 2x−2 = 15 · 2−x+2 . 2x 2 2x−1 Theo giả thiết, ta có 15 · 2x+1 + 15 · 2−x+2 = 135 ⇔ 2x+1 + 2−x+2 = 9 ⇔ 2 · 22x − 9 · 2x + 4 = 0 ” 2x = 4 x=2 ⇔  x 1 ⇔ x = −1. 2 = 2 Vậy có hai giá trị x cần tìm là x = 2 và x = −1. Bài 200. Tìm !giá trị của x sao cho hiệu số giữa hạng tử thứ tư và hạng tử thứ sáu của khai triển √ √ m 16 32 2x √ √ + 16 bằng 56 và lũy thừa m bằng hệ số của hạng tử thứ ba trừ đi 20. ĐS: x = 0 hoặc x = 1 2x 8  104 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Lời giải. Theo giả thiết, ta có ” m = 8 (nhận) (m − 1)m C2m − 20 = m ⇔ − 20 = m ⇔ 2 m = −5 (loại). Hạng tử thứ tư của khai triển trên là √ !5 32 √ · 2x 16 C38 · x 5 √ !3 2x 2 16 ·5 2 2 ·3 √ = 56 · x · 3 = 56 · 2−x+1 . 16 8 2 2 ·5 2 16 ·3 Hạng tử thứ sáu của khai triển trên là √ !3 32 √ · 2x 16 C38 · x 5 √ !5 2x 2 16 ·3 2 2 ·5 √ = 56 · x · 3 = 56 · 2x . 16 8 2 2 ·3 2 16 ·5 Theo giả thiết ta có hai trường hợp: ” Trường hợp 1. 56 · 2−x+1 − 56 · 2x = 56 ⇔ 22x + 2x − 2 = 0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 0. 2x = −2 ” 2x = −1 −x+1 x 2x x Trường hợp 2. 56 · 2 − 56 · 2 = −56 ⇔ 2 − 2 − 2 = 0 ⇔ x ⇔ x = 1. 2 =2 Vậy x = 0 hoặc x = 1.  Bài 201. Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho trong khai triển (1 + x)n có hai hệ số liên tiếp có tỷ số 7 là . ĐS: n = 21 15 Lời giải. Hệ số của số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 + x)n là Ckn . Theo giả thiết, ta có n! Ckn 7 7 k+1 7 k!(n−k)! = = ⇔ ⇔ = . k+1 n! 15 15 n−k 15 Cn (k+1)!(n−k−1)! (21k + 14) + (k + 1) k+1 22k + 15 = = 3k + 2 + . 7 7 7 Vì n, k ∈ N∗ nên k + 1 là bội số của 7, tức là k + 1 = 7m với m ∈ N∗ . Số n bé nhất khi và chỉ khi k bé nhất, hay m là số nguyên dương bé nhất, suy ra m = 1, lúc đó k = 6 và n = 21. Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm thỏa mãn bài toán là n = 21.  Suy ra n = Bài 202. Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức   1 3m x+ 2 là 64. Tìm hạng tử không x chứa x. ĐS: 15 Lời giải.   1 3m Thay x = 1, ta có tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức x + 2 là 23m = 64 ⇔ m = 2. x  k 1 k 6−k Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là Tk+1 = C6 · x · = Ck6 x6−3k . x2 Theo giả thiết, ta có 6 − 3k = 0 ⇔ k = 2. Vậy hạng tử không chứa x là C26 = 15. Bài 203. Biết rằng ba hạng tử đầu tiên của khai triển  √ x+ 2· 1 √ 4 n x có các hệ số là ba số hạng liên  105 tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử có hệ số là số hữu tỷ trong khai triển đã cho. ĐS: 35 7 7 1 1 ; ; ; ; 8 4 16 16 256 Lời giải. Số hạng thứ nhất của khai triển có hệ số là C0n = 1. 1 n Số hạng thứ hai của khai triển có hệ số là C1n = . 2 2 1 2 (n − 1)n Số hạng thứ ba của khai triển có hệ số là Cn = . 4 8 Theo giả thiết, ta có ” n=1 n (n − 1)n 2 2· =1+ ⇔ n − 9n + 8 = 0 ⇔ 2 8 n = 8. Trường hợp n = 1 bị loại, vì lúc đó khai triển chỉ có hai hạng tử. Trường hợp n = 8, ta có số hạng thứ k + 1 trong khai triển là  k 8−k 3k √ 1 1 1 1 √ Tk+1 = Ck8 ( x)8−k = k Ck8 · x 2 · k = k Ck8 x4− 4 . 4 2 2 2· x x4 Nhận thấy rằng các giá trị k = 0, 1, 2, 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 35 Với k = 4, ta có hệ số là 4 C48 = là số hữu tỷ. 2 8 7 1 Với k = 5, ta có hệ số là 5 C58 = là số hữu tỷ. 2 4 1 6 7 Với k = 6, ta có hệ số là 6 C8 = là số hữu tỷ. 2 16 1 1 là số hữu tỷ. Với k = 7, ta có hệ số là 7 C78 = 2 16 1 8 1 Với k = 8, ta có hệ số là x C8 = là số hữu tỷ. 2 256  √ Bài 204. Tìm hạng tử của khai triển (a + b)50 có giá trị tuyệt đối lớn nhất, biết rằng |a| = |b| 3. ĐS: 16 C18 50 · 3 Lời giải. Gọi Tk+1 là số hạng thứ k + 1 trong khai triển đã cho. Ta có Tk+1 Ck a50−k bk Ck50 |b| = k−150 = k−1 = Tk C50 a50−k−1 bk−1 C50 |a| = 50! k!(50−k)! · |b| 50! (k−1)!(50−k+1)! · |a| 51 − k 1 51 − k |b| 51 − k |b| · = · √ = ·√ . k |a| k k b| 3 3 Tk+1 51 − k 1 >1= · √ > 1 ⇒ k < 18,667. Tk k 3 Vì k ∈ N nên k ≤ 18. (1) Mặt khác Ta có √ Ck50 a50−k bk Ck50 · |a| Tk+1 Ck50 · |b| · 3 = k+1 = = k+1 Tk+2 C50 a50−k−1 bk+1 C50 · |b| Ck+1 50 · |b| √ √ 50! (k + 1) 3 k!(50−k)! · 3 = = . 50! 50 − k (k+1)!(50−k−1)! √ Tk+1 (k + 1) 3 Ta có >1⇔ > 1 ⇒ k > 17,667. Vì k ∈ N nên k ≥ 18. (2) Tk+2 50 − k Từ (1) và (2), suy ra k = 18. Lúc đó  √ 32 50−18 18 18 16 50 |T19 | = C18 |a| · b = C · |b| 3 · b18 = C18 50 50 50 · 3 · b . 16 Vậy hạng tử cần tìm là hạng tử thứ 19 và có hệ số là C18 50 · 3 .  106 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP DẠNG 0.9. Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp Rút gọn bất đẳng thức nếu được rồi biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. Dùng phương pháp quy nạp. Dùng tính tăng giảm của một dãy,. . . Dùng tính bị chặn,. . . Bài 205. Chứng minh rằng 1000 1001 Ck2001 + Ck+1 2001 ≤ C2001 + C2001 , (0 ≤ k ≤ 2000) (1) Lời giải. Cách 1: Do Ck2001 = C2001−k nên ta chỉ cần chứng minh (1) đúng với (0 ≤ k ≤ 1000). 2001 Đặt Uk = Ck2001 (0 ≤ k ≤ 1000). Uk+1 Ck+1 2001! 2001 − k k!(2001 − k)! Uk+1 Suy ra = 2001 = = · hay . k Uk (k + 1)!2000! 2001! U k+1 C2001 k 2001 − k Uk+1 Do đó ≥1⇔ ≥ 1 ⇔ 0 ≤ k ≤ 1000 (luôn đúng). Uk k+1 ⇒ Uk+1 ≥ Uk ∀0 ≤ k ≤ 1000 ⇒ {Uk } là dãy tăng ∀k ∈ [0, 1000] ⇒ ⇒ max Uk = U1000 max Uk = U1000 · M. 0≤k≤1000 0≤k≤2000 1001 Mà U1000 = C1000 2001 = C2001 = U1001 nên đây là hai số lớn nhất của Uk (0 ≤ k ≤ 2000). k+1 1001 k (0 ≤ k ≤ 2000) . Vậy C2001 + C2001 ≤ C1000 2001 + C2001 , Cách 2: k+1 1001 1001 (1)⇔ Ck+1 2002 ≤ C2002 với 0 ≤ k ≤ 2000 ⇔ C2002 ≤ C2002 với 0 ≤ k ≤ 1000. k+1 Đặt Uk = C2001 với 0 ≤ k ≤ 1000. Uk Ck+1 Ta có = 2002 ≥1 Uk−1 Ck2002 2002! (2002 − k)!k! · ≥1 (k + 1)!(2001 − k)! 2002! 2002 − k ⇔ ≥ 1 ⇔ 0 ≤ k ≤ 1000 k+1 ⇒ {Uk } là dãy tăng với 0 ≤ k ≤ 1000 ⇔ ⇒ Uk ≤ U1000 = C1001 2002 1001 ⇒ Ck+1 2002 ≤ C2002 .  Bài 206. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta luôn có 4n Cn2n > √ 2 n Lời giải. 107 Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: √ 42 √ = 4 2. Khi n = 2 ta có: C24 = 6 > 2· 2 4k Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là: Ck2k > √ . 2 k Khi n = k + 1 ta có: (2k + 2)! (k + 1)!(k + 1)! 2(2k + 1) k (2k + 1)(2k + 2)(2k)! = C2k = (k + 1)(k + 1)k!k! k+1 Ck+1 2k+2 = 2(2k + 1) 4k 2(2k + 1)4k · √ =p . k+1 2 k 4k(k + 1)(k + 1) p 2 · 4k 4k+1 √ √ Vì (2k + 1)2 > 4k(k + 1) ⇒ 2k + 1 > 4k(k + 1) nên Ck+1 > = . 2k+2 k+1 2 k+1 Suy ra bất đẳng thức đúng khi n = k + 1. Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2. Suy ra Ck+1 2k+2 >  Bài 207. Chứng minh rằng: C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn < n! ∀n ∈ Z+ , n ≥ 3. n Lời giải. Ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + C3n x3 + · · · + Cnn xn . Lấy đạo hàm hai vế ta được: n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + 3C3n x2 + · · · + nCnn xn−1 . Cho x = 1 ta được: n · 2n−1 = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn Vậy ta cần chứng minh bất đẳng thức 2n−1 < n! (∗). Khi n = 3 ta có 22 < 3! đúng. Giả sử (∗) đúng với n = k, n ∈ Z+ , k > 3 thì 2k−1 < k!. Ta chứng minh (∗) đúng với n = k + 1, tức là 2k < (k + 1)! (2). Vì 2 < 3 < k < k + 1 nên 2k = 2 · 2k−1 < (k + 1) · k! ⇒ 2k < (k + 1)!. Suy ra bất đẳng thức (∗) đã được chứng minh hay C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn < n!. n Bài 208. Chứng minh rằng C2n + 2C3n + · · · + (n − 1)Cnn > (n − 2) · 2n−1 . Lời giải. Ta có: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn (1) n(1 + x)n−1 = C1n + 2C2n x + · · · + nCnn xn−1 (2) Lấy đạo hàm hai vế ta được:  108 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Cho x = 1 ta được: n · 2n−1 = C1n + 2C2n + · · · + nCnn (3) Từ (1) cho x = 1 ta được: 2n = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn (4) Lấy (3) trừ (4) ta được: n · 2n−1 − 2n = −C0n + C2n + 2C3n + · · · + (n − 1)Cnn ⇒ (n − 2) · 2n−1 = −1 + C2n + 2C3n + · · · + (n − 1)Cnn ⇒ C2n + 2C3n + · · · + (n − 1)Cnn = (n − 2) · 2n−1 + 1 > (n − 2) · 2n−1 .  Bài 209 (Đại học Y dược TP HCM – 1999). Cho 0 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng Cn2n+k · Cn2n−k ≤ (Cn2n )2 . Lời giải. Đặt Uk = Cn2n+k · Cn2n−k Ta có: Cn2n−k+1 Cn Uk+1 = 2n+k+1 Uk Cn2n+k · Cn2n−k (2n + k + 1)!(2n − k + 1)! n!(n + k)! n!(n − k)! · · n!(n + k + 1)!n!(n − k + 1)! (2n + k)! (2n − k)! 2n + k + 1 n − k = · n + k + 1 2n − k 2n2 − nk + n − k 2 − k ≤ 1 với ∀n ≥ 1. = 2 2n + nk + 2n − k 2 − k = Suy ra Uk+1 ≤ Uk ⇒ {Uk } là dãy giảm với 0 ≤ k ≤ n. ⇒ Uk ≤ U0 = Cn2n · Cn2n = (Cn2n )2 ⇒ Cn2n+k Cn2n−k ≤ (Cn2n )2 (đpcm).  Bài 210. Chứng minh rằng: 2100 2100 √ < C50 < . 100 10 10 2 Lời giải. Ta có: 1 2100 100! 100! = 50 · 50! · 50! 2 · 50! · 250 · 50! 1 · 2 · 4 · · · 100 = 50 2 (1 · 2 · 3 · · · 50) · 250 (1 · 2 · · · 50) 1 · 2 · 3 · · · 100 = (2 · 4 · 6 · · · 100)(2 · 4 · 6 · · · 100) 1 · 3 · 5 · · · 99 1 3 5 99 = = · · ... =A 2 · 4 · 6 · · · 100 2 4 6 100 C50 100 = 2100 Ta đi chứng minh bài toán tổng quát sau: Tn = 1 3 5 2n − 1 1 · · ... <√ 2 4 6 2n 3n + 1 Bằng phương pháp quy nạp toán học: 1 1 Khi n = 1 ta có T1 = < √ . 2 3.1 + 1 (∗) n ∈ N, n > 1. 109 Giả sử Tn đúng với n = k tức là 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 1 ≤√ . 2 · 4 · 6 · · · 2k 3k + 1 Ta chứng minh Tk+1 cũng đúng tức là 1 1 Tk+1 ≤ p =√ 3k + 4 3(k + 1) + 1 Ta nhân hai vế của (1) cho (1) 2k + 1 ta được 2k + 2 Tk · 2k + 1 1 2k + 1 ≤√ · . 2k + 2 3k + 1 2k + 2 Ta lại có:  2k + 1 √ (2k + 2) 3k + 1 2 = (2k + 1)2 12k 3 + 28k 2 + 19k + 20k + 1 (2k + 1)2 (12k 3 + 28k 2 + 19k + 4) + k (2k + 1)2 1 = < . 2 (2k + 1) (3k + 4) + k 3k + 4 = 1 . 3k + 4 Theo nguyên lý quy nạp ta kết luận Suy ra Tk+1 < √ 1 3 5 2n − 1 1 · · ··· <√ . 2 4 6 2n 3n + 1 1 1 1 1 · 3 · 5 · · · 99 1 <√ <√ = = B. =√ 2 · 4 · 6 · · · 100 10 3 · 50 + 1 151 100 3 · 5 · 7 · · · 99 2 3 4 5 98 99 Ta lại có: 2A = vì < , < , . . . , < . 4 · 6 · 8 · · · 100 3 4 5 6 99 100 1 ⇒ B < 2A ⇒ 2A2 > AB = 100 √ 1 1 ⇒A 2> ⇒A> √ . 10 10 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra √ < A < 10 10 2 1 1 1 50 ⇒ √ < 100 · C100 < 2 100 10 2 100 2 2100 ⇒ √ < C50 . 100 < 10 10 2 Thay n = 50 ta có A = (2) (3)  110 CHƯƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN DẠNG 0.10. Đếm số dùng quy tắc nhân và quy tắc cộng Bài 211. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hãy tìm tất cả các số có bốn chữ số khác nhau. ĐS: 300 số Lời giải. Gọi số cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 . Ta có a1 có 5 cách chọn vì a1 6= 0. a2 có 5 cách chọn. a3 có 4 cách chọn. a4 có 3 cách chọn. Vậy có tất cả 3 · 4 · 5 · 5 = 300 số.  Bài 212. Tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. ĐS: 16080 số Lời giải. Gọi số cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Ta có a1 có 9 cách chọn vì a1 6= 0. a2 có 9 cách chọn (vì a2 có thể là số 0). a3 có 8 cách chọn. a4 có 7 cách chọn. a5 có 6 cách chọn. a6 có 5 cách chọn. Vậy có tất cả 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 9 = 16080 số.  Bài 213. Từ các chữ số 0, 1, 2, 7, 8, 9. 1 Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau? ĐS: 312 số 2 ĐS: 288 số Có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm năm chữ số khác nhau? Lời giải. Gọi số cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 a5 . 1 Vì n chẵn nên a5 chỉ có thể là 0, 2, 8. Nếu a5 = 0 thì n = a1 a2 a3 a4 0. Ta có a1 có 5 cách chọn, a2 có 4 cách chọn, a3 có 3 cách chọn, a4 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 · 5 = 120 số. Nếu a5 ∈ {2, 8} thì a5 có 2 cách chọn. Ta có a1 có 4 cách chọn, a2 có 4 cách chọn, a3 có 3 cách chọn, a4 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 · 4 · 2 = 192 số. Vậy có tất cả 120 + 192 = 312 số chẵn gồm 5 chữ số thỏa mãn. 111 112 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Vì n là số lẻ nên a5 chỉ có thể là 1, 7, 9. Khi đó a5 có 3 cách chọn, a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). a2 có 4 cách chọn, a3 có 3 cách chọn, a4 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 · 4 · 3 = 288 số.  Bài 214. Từ các chữ số 0, 4, 5, 7, 9. 1 Có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau. ĐS: 96 số 2 Có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 5000? ĐS: 72 số 3 Có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 5? ĐS: 42 số Lời giải. 1 Gọi số cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 . a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 · 4 = 96 số. 2 Số lớn hơn 5000 thì chữ số hàng nghìn a1 ≥ 5. Nếu a1 = 5 thì n = 5a2 a3 a4 . Khi đó a2 có 4 cách chọn, a3 có 3 cách chọn, a4 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 = 24 số. Nếu a1 = 7 hoặc a1 = 9 thì cũng giống trường hợp a1 = 5 Suy ra có tất cả 24 · 3 = 72 số lớn hơn 5000. 3 Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên a4 có 2 cách chọn. Cách 1. Nếu a4 = 0 thì n = a1 a2 a3 0. Khi đó a1 có 4 cách chọn, a2 có 3 cách chọn, a3 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 4 = 24 số. Nếu a4 = 5 thì n = a1 a2 a3 5. Khi đó a1 có ba cách chọn (vì a1 6= 0), a2 có 3 cách chọn, a3 có hai cách chọn. Suy ra có 2 · 3 · 3 = 18 số. Vậy có tất cả 24 + 18 = 42 số. Cách 2. Số các số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là 2A34 . Số các số có chữ số 0 đứng đầu là 1A23 . Suy ra số cần tìm là 2A34 − 1A23 = 42 số.  Bài 215. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1 Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau? 2 Có thể lập được bao nhiêu số lẻ có ba chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? Lời giải. ĐS: 1260 số ĐS: 35 số 113 1 Gọi số cần tìm là n = a1 a2 a3 a4 a5 . Vì n chẵn nên a5 ∈ {0, 2, 4, 6}. Nếu a5 = 0 thì a1 có 6 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn, a4 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 = 360 số. Nếu a5 ∈ {2, 4, 6} thì a5 có 3 cách chọn, a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0), a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn, a4 có 3 cách cách chọn. Suy ra có 3 · 3 · 4 · 5 · 5 = 900 số. Vậy có tất cả 360 + 900 = 1260 số. 2 Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. Vì n lẻ nên a3 chỉ có thể là 1, 3, 5. Số n nhỏ hơn 400 nên chữ số hàng trăm a1 chỉ có thể là 1, 2, 3. Khi a1 = 1 thì n = 1a2 a3 . Ta có a3 có hai cách chọn, a2 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 2 = 10 số. Khi a1 = 2 thì n = 2a2 a3 . Ta có a3 có 3 cách chọn, a2 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 3 = 15 số. Khi a1 = 3 thì n = 3a2 a3 . Ta có a3 có hai cách chọn, a2 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 2 = 10 số. Vậy có tất cả 10 + 15 + 10 = 35 số có ba chữ số khác nhau là số lẻ và nhỏ hơn 400.  Bài 216. Từ các chữ số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 hãy tìm tất cả các số chẵn có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 5000. ĐS: 280 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần tìm. Vì n > 5000 nên a1 chỉ có thể là 6, 7, 8, 9 và n chẵn nên a4 chỉ có thể là 0, 2, 6, 8. Nếu a1 = 6 thì n = 6a2 a3 a4 . Khi đó a4 có 3 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn. Suy ra có 5 · 4 · 3 = 60 số. Nếu a1 = 7 thì n = 7a2 a3 a4 . Khi đó a4 có 4 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn. Suy ra có 5 · 4 · 4 = 80 số. Khi a1 = 8 giống như a1 = 6 và a1 = 9 giống a1 = 7. Vậy có tất cả 60 · 2 + 80 · 2 = 280 số.  Bài 217. Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau thỏa mãn 1 Số đó không có tận cùng bằng 6. 2 Số đó chia hết cho 5. ĐS: 620 số ĐS: 220 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 . 1 Khi đó a1 có 6 cách chọn (vì a1 6= 0), a2 có 6 cách chọn, a3 có 5 cách chọn, a4 có 4 cách chọn. Suy ra có 4 · 5 · 6 · 6 = 720 số có bốn chữ số khác nhau lập được. Các chữ số tận cùng bằng 6 có dạng n = a1 a2 a3 6. Khi đó a1 có 5 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn. Suy ra có 4 · 5 · 5 = 100 số có bốn chữ số có tận cùng bằng 6. Vậy số các số cần tìm là 720 − 100 = 620 số. 114 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Số n chia hết cho 5 nên a4 phải là 0 hoặc 5. Nếu a4 = 0 thì a1 có 6 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn. Suy ra có 4 · 5 · 6 = 120 số. Nếu a4 = 5 thì a1 có 5 cách chọn, a2 có 5 cách chọn, a3 có 4 cách chọn. Suy ra có 4 · 5 · 5 = 100 số. Vậy có tất cả 120 + 100 = 220 số.  Bài 218. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 2? ĐS: 750 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 . Nếu a1 = 2 thì a2 có 7 cách chọn, a3 có 6 cách chọn, a4 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 6 · 7 = 210 số. Nếu a1 6= 2 và a2 = 2 thì a1 có 6 cách chọn (vì a1 6= 0), a3 có 6 cách chọn, a4 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 6 · 6 = 180 số. Tương tự đối với các trường hợp a3 , a4 bằng 2 đều giống trường hợp a2 = 2. Suy ra số các số cần tìm là 210 + 180 · 3 = 750 số.  Bài 219. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho 1 Luôn có mặt chữ số 5. 2 Số tạo thành nhỏ hơn 4000. ĐS: 750 số ĐS: 630 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Nếu a1 = 5 thì a2 có 7 cách chọn, a3 có 6 cách chọn, a4 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 6 · 7 = 210 số. 1 Nếu a1 6= 5 và a2 = 5 thì a1 có 6 cách chọn (vì a1 6= 0), a3 có 6 cách chọn, a4 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 6 · 6 = 180 số. Vị trí của số 5 ở a2 giống như vị trí của số 5 ở a3 , a4 . Vậy số các số cần tìm là 210 + 180 · 3 = 750 số. 2 Số tạo thành nhỏ hơn 4000 thì a1 chỉ có thể là 1, 2, 3. Khi đó a1 có 3 cách chọn, a2 có 7 cách chọn, a3 có 6 cách chọn, a4 có 5 cách chọn. Suy ra có 5 · 6 · 7 · 3 = 630 số.  Bài 220. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hãy lập các số có bốn chữ số khác nhau sao cho 1 Chữ số hàng trăm là 2. 2 Luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5. Lời giải. Số có bốn chữ số có dạng n = a1 a2 a3 a4 . 1 Chữ số hàng trăm là 2 nên n = a1 2a2 a4 . a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). a3 có 4 cách chọn. ĐS: 48 số ĐS: 36 số 115 a4 có 3 cách chọn. Vậy có tất cả 3 × 4 × 4 = 48 số. 2 Chữ số hàng nghìn là 5 nên n = 5a2 a3 a4 . Nếu a2 = 4 thì n = 54a3 a4 . Khi đó, • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 × 4 = 12 số. Vị trí của số 4 ở a2 giống như vị trí của số 4 ở a3 , a4 . Vậy có tất cả 3 × 12 = 36 số thỏa mãn bài toán.  Bài 221. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5: 1 Hãy tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300; 500). 2 Hãy tìm tất cả các số có ba chữ số nằm trong khoảng (300; 500) (các chữ số không cần khác nhau). ĐS: 24 số ĐS: 50 số Lời giải. Số có ba chữ số có dạng n = a1 a2 a3 . 1 Ta có 300 < n < 500 nên a1 chỉ có thể là 3 hoặc 4. Nếu a1 = 3 thì n = 3a2 a3 . Khi đó, • a2 có 4 cách chọn. • a3 có 3 cách chọn. Do đó, có 4 × 3 = 12 số. Nếu a1 = 4 thì n = 4a2 a3 . Khi đó, • a2 có 4 cách chọn. • a3 có 3 cách chọn. Do đó, có 4 × 3 = 12 số. Vậy có tất cả 12 + 12 = 24 số. 2 Ta có 300 < n < 500 nên a1 ∈ {3, 4}. Kết hợp với các chữ số không cần khác nhau thì a1 có 2 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 5 cách chọn. Vậy có tất cả 2 × 5 × 5 = 50 số.  Bài 222. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hãy lập một số có năm chữ số khác nhau, trong đó hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau. ĐS: 444 số Lời giải. Đầu tiên ta lập số có năm chữ số khác nhau n = a1 a2 a3 a4 a5 mà không quan tâm hai chữ số 3 và 4 có đứng cạnh nhau hay không. • a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0). • a2 có 5 cách chọn. • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. 116 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN • a5 có 2 cách chọn. Do đó, có 5 × 5 × 4 × 3 × 2 = 600 số. Tiếp đến, ta tìm số các số có năm chữ số khác nhau mà 3 và 4 đứng cạnh nhau. • Trường hợp hai chữ số 3 và 4 chiếm hai vị trí a1 và a2 . Sắp hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau, có 2! cách. a3 có 4 cách chọn. a4 có 3 cách chọn. a5 có 2 cách chọn. Suy ra, có 2! × 4 × 3 × 2 = 48 số. • Trường hợp hai chữ số 3 và 4 chiếm hai vị trí a2 và a3 . Sắp hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau, có 2! cách. a1 có 3 cách chọn (a1 6= 0). a4 có 3 cách chọn. a5 có 2 cách chọn. Suy ra, có 2! × 3 × 3 × 2 = 36 số. • Trường hợp hai chữ số 3 và 4 chiếm hai vị trí a3 , a4 và a4 , a5 làm tương tự sẽ có 2×2!×3×3×2 = 72 số. Như thế, có 48 + 36 + 72 = 156 số có năm chữ số khác nhau mà 3 và 4 đứng cạnh nhau. Vậy có tất cả 600 − 156 = 444 số thỏa mãn bài toán.  Bài 223. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 sao cho a1 +a6 = 10, a2 + a5 = 10, a3 + a4 = 10. ĐS: 36864 số Lời giải. Nhận xét. Chữ số 0 và 5 có mặt trong n không thỏa mãn bài toán. Do đó, chỉ còn tám chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Như thế, • a1 có 8 cách chọn, suy ra a6 có 8 cách chọn. • a2 có 6 cách chọn, suy ra a5 có 6 cách chọn. • a3 có 4 cách chọn, suy ra a4 có 4 cách chọn. Vậy có tất cả 8 × 6 × 4 × 4 × 6 × 8 = 36864 số.  Bài 224. Hãy tính tổng của tất cả các số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. ĐS: 3999960 Lời giải. Có 5! = 120 số có năm chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho. Trong đó, 24 số có dạng n = a1 a2 a3 a4 1. 24 số có dạng n = a1 a2 a3 a4 2. 24 số có dạng n = a1 a2 a3 a4 3. 24 số có dạng n = a1 a2 a3 a4 4. 24 số có dạng n = a1 a2 a3 a4 5. Tổng các số hàng đơn vị là 24 × 1 + 24 × 2 + 24 × 3 + 24 × 4 + 24 × 5 = 360. Tương tự, tổng các số hàng chục là 3600. Tổng các số hàng trăm là 36000. Tổng các số hàng nghìn là 360000. Tổng các số hàng chục nghìn là 3600000. Vậy tổng của 120 số là 360 + 3600 + 36000 + 360000 + 3600000 = 3999960.  117 Bài 225. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hãy lập số có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho 1 Chữ số đầu tiên là 5 và chia hết cho 5. 2 Một trong hai chữ số đầu tiên là 2 và chia hết cho 5. ĐS: 60 số ĐS: 228 số Lời giải. Số có năm chữ số khác nhau có dạng n = a1 a2 a3 a4 a5 . 1 Chữ số đầu tiên là 5 nên a1 = 5 và chia hết cho 5 nên a5 = 0. Do đó, n = 5a2 a3 a4 0. Như thế, • a2 có 5 cách chọn. • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. Vậy có tất cả 5 × 4 × 3 = 60 số. 2 Một trong hai chữ số đầu tiên là 2 nên a1 = 2 hoặc a2 = 2. Tiếp đến, n chia hết cho 5 nên a5 = 5 hoặc a5 = 0. Trường hợp a1 = 2 và a5 = 0 thì n = 2a2 a3 a4 0. Khi đó, • a2 có 5 cách chọn. • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. Suy ra, có 5 × 4 × 3 = 60 số. Trường hợp a1 = 2 và a5 = 5 cũng giống như trên, ta có 60 số. Trường hợp a2 = 2 và a5 = 0 thì n = a1 2a3 a4 0. Khi đó, • a1 có 5 cách chọn. • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. Suy ra, có 5 × 4 × 3 = 60 số. Trường hợp a2 = 2 và a5 = 5 thì n = a1 2a3 a4 5. Khi đó, • a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). • a3 có 4 cách chọn. • a4 có 3 cách chọn. Suy ra, có 4 × 4 × 3 = 48 số. Vậy có tất cả 60 + 60 + 60 + 48 = 228 số.  Bài 226. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên phải là 7? ĐS: 66 số Lời giải. Số có bốn chữ số có dạng n = a1 a2 a3 a4 . Vì n chẵn nên a4 chỉ có thể là 0, 2, 6. Một trong hai chữ số đầu tiên là 7 nên a1 = 7 hoặc a2 = 7. Trường hợp a1 = 7 và a4 = 0 thì n = 7a2 a3 0. Khi đó, • a2 có 4 cách chọn. • a3 có 3 cách chọn. Do đó, có 4 × 3 = 12 số. 118 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Trường hợp a1 = 7 và a4 = 2 hoặc a4 = 6 thì cũng giống như trường hợp a1 = 7 và a4 = 0, ta đều có 12 số. Trường hợp a2 = 7 và a4 = 0 thì n = a1 7a3 0. Khi đó, • a1 có 4 cách chọn. • a3 có 3 cách chọn. Do đó, có 4 × 3 = 12 số. Trường hợp a2 = 7 và a4 = 2 thì n = a1 7a3 2. Khi đó, • a1 có 3 cách chọn (vì a1 6= 0). • a3 có 3 cách chọn. Do đó, có 3 × 3 = 9 số. Trường hợp a2 = 7 và a4 = 6 thì ta cũng có 9 số. Vậy có tất cả 12 + 2 × 12 + 12 + 9 + 9 = 66 số.  Bài 227. Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ tám chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số mỗi số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10? ĐS: 1260 số (Đại học sư phạm Vinh 1999) Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Vì n không chia hết cho 10 nên a4 6= 0. Khi đó, • a4 có 7 cách chọn (vì a4 6= 0). • a1 có 6 cách chọn (vì a1 6= 0 và a1 6= a4 ). • a2 có 6 cách chọn. • a3 có 5 cách chọn. Vậy có tất cả 7 × 6 × 6 × 5 = 1260 số.  Bài 228. Hỏi từ mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1? ĐS: 42000 số (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông 1999) Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm. Trường hợp a1 = 1 thì n = 1a2 a3 a4 a5 a6 . • Có 5 vị trí cho chữ số 0. • Có A48 cách chọn 4 chữ số còn lại. Do đó, có 5 × A48 số. Trường hợp a2 = 1 thì n = a1 1a3 a4 a5 a6 . • Có 4 vị trí cho chữ số 0 (vì a1 6= 0). • Có A48 cách chọn 4 chữ số còn lại. Trường hợp a3 = 1 hoặc a4 = 1 hoặc a5 = 1 hoặc a6 = 1 thì cũng tương tự như a2 = 1. Vậy có tất cả 5 × A48 + 5 × 4 × A48 = 42000 số.  119 Bài 229. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. 1 Có bao nhiêu tập con X của A thỏa điều kiện X chứa 1 và không chứa 2? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập hợp A và không bắt đầu bằng 123? 3348 số ĐS: 64 ĐS: Lời giải. 1 Gọi X1 là một tập con tùy ý của tập hợp {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ta có X1 ⊂ A và {3, 4, 5, 6, 7, 8} có 6 phần tử. Do đó, có tất cả 26 tập con X1 như thế. Suy ra số tập con X của A chứa 1 và không chứa 2 chính là số tập hợp X1 ∪ {1}. Vậy số tập con cần tìm là 26 = 64. 2 Số có năm chữ số có dạng n = a1 a2 a3 a4 a5 . Vì n chẵn nên a5 chỉ có thể là 2, 4, 6, 8. Khi đó, • a5 có 4 cách chọn. • a1 có 7 cách chọn. • a2 có 6 cách chọn. • a3 có 5 cách chọn. • a4 có 4 cách chọn. Do đó, có 4 × 7 × 6 × 5 × 4 = 3360 số. Tiếp đến, ta tìm các số chẵn bắt đầu bằng 123, tức là n = 123a4 a5 . Khi đó, • a5 có 3 cách chọn (vì a5 ∈ {4, 6, 8}). • a4 có 4 cách chọn. Suy ra, có 3 × 4 = 12 số. Vậy có tất cả 3360 − 12 = 3348 số cần tìm.  Bài 230. 1 Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? ĐS: 42000 số 2 Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)? ĐS: 64800 số (Đại học Quốc gia TPHCM, khối A, đợt 1) Lời giải. Số có sáu chữ số có dạng n = 1a2 a3 a4 a5 a6 . 1 Vì n chẵn nên a6 chỉ có thể là 0, 2, 4, 6, 8. Chữ số đầu tiên là chữ số lẻ nên a1 chỉ có thể là 1, 3, 5, 7, 9. Khi đó, • a6 có 5 cách chọn. • a1 có 5 cách chọn. • a2 có 8 cách chọn. • a3 có 7 cách chọn. • a4 có 6 cách chọn. • a5 có 5 cách chọn. Vậy có tất cả 5 × 5 × 8 × 7 × 6 × 5 = 42000 số cần tìm. 120 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Chọn bất kỳ ba số lẻ trong năm số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 nên có C35 cách chọn. Chọn bất kỳ ba số chẵn trong năm số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 nên có C35 cách chọn. Do đó, có C35 × C35 số có sáu chữ số gồm ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Nhưng khi ta hoán vị sáu chữ số này sẽ có 6! số mới. Như thế, có C35 × C35 × 6! số có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Khi ta hoán vị như trên thì có trường hợp chữ số 0 lại nhảy lên đứng đầu. Trong trường hợp này ta có C35 × C24 × 5! số có chữ số 0 đứng đầu. Vậy có tất cả C35 × C35 × 6! − C35 × C24 × 5! = 64800 số.  DẠNG 0.11. Bài toán đếm số - Dùng chỉnh hợp Bài 231. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau? ĐS: 136080 số Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm. Chọn số có sáu số khác nhau trong mười chữ số là một chỉnh hợp chập 6 của 10, suy ra số cách chọn là A610 . Số cách chọn số có 6 chữ số khác nhau mà số 0 đứng đầu là A59 . 10! 9! Suy ra, số các số tự nhiên cần tìm là A610 − A59 = − = 136080 số.  (10 − 6)! (9 − 5)! Bài 232. Từ các chữ số 0, 1, 2, 7, 8, 9. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm năm chữ số khác nhau? ĐS: 312 số, 288 số Lời giải. 1 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số cần tìm. Chọn a5 có 3 cách. Chọn a1 a2 a3 a4 có A45 cách. Suy ra, lập được 3 · A45 số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau bất kỳ. Số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà số 0 đứng đầu là 2 · A34 . Suy ra, số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau là 3 · A45 − 2 · A34 = 360 − 48 = 312. 2 Gọi b1 b2 b3 b4 b5 là số cần tìm. Bước 1. Chọn b5 từ 1, 7, 9 ⇒ b5 có 3 cách chọn. Bước 2. Chọn b1 từ 6 số bỏ đi hai chữ số 0 và số mà b5 đã chọn ⇒ b1 có 4 cách. Bước 3. Chọn b2 b3 b4 có A34 cách. Suy ra, lập được 3 · 4 · A34 = 288 số cần tìm.  Bài 233. Từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hãy lập một số gồm năm chữ số khác nhau sao cho: 1 Có chữ số đầu tiên là 3? 2 Không bắt đầu bằng 13? ĐS: 24 số, 114 số Lời giải. 121 1 Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số cần tìm. Chọn bốn số còn lại vào 4 vị trí a2 a3 a4 a5 là một chỉnh hợp chập 4 chập 4, suy ra có A44 = 4! = 24 số. 2 Số các số có 5 chữ số khác nhau là A55 = 5! = 120. Số các số bắt đầu bằng 13 là A33 = 3! = 6. Suy ra, số các số cần tìm là 120 − 6 = 114 số.  Bài 234. Từ các số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000? ĐS: 168 số Lời giải. Nếu số có bốn chữ số thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 7 nên ta có 2 · A34 = 48 số. Nếu số có năm chữ số thì có A55 = 120 số. Vậy có 48 + 120 = 168 số thỏa đề bài.  Bài 235. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 345? ĐS: 714 số Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số cần lập. Chọn sáu số vào năm vị trí là một chỉnh hợp chập 5 của 6, nên có A56 = 720 số. Nếu ba chữ số đầu là 345, chọn ba chữ số 1, 2, 6 xếp vào hai vị trí còn lại, nên có A23 = 6 số. Vậy có 720 − 6 = 714 số thỏa đề bài.  Bài 236. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho 1 chữ số đầu tiên là 5 và chữ số cuối chia hết cho 5? 2 một trong hai chữ số đầu tiên là 2 và chia hết cho 5? ĐS: 60 số, 228 số Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số cần lập. 1 Theo đề, suy ra a1 = 5 và a5 = 0. Chọn 5 chữ số xếp vào ba vị trí a2 , a3 , a4 nên có A35 cách. Theo quy tắc nhân, có 1 · 1 · A35 = 60 số. 2 Theo đề, a1 = 2 hoặc a2 = 2 và a5 = 0 hoặc a5 = 5. Trường hợp 1. Nếu a1 = 2 thì a5 = 0 hoặc a5 = 5. Chọn ba chữ số trong năm chữ số còn lại xếp vào ba vị trí a2 , a3 , a4 có A35 = 60 cách. Theo quy tắc nhân, trường hợp 1 có 1 · 2 · A35 = 120 số. Trường hợp 2. Nếu a2 = 2 thì a5 có 2 cách chọn, ba vị trí ở giữa có A35 cách. Suy ra, có 2 · A35 số. Tuy nhiên, ta phải trừ đi số các số có chữ số 0 đứng đầu là A24 . Do đó, trường hợp 2 có 2·A35 −A24 = 108 số. Vậy có tất cả 120 + 108 = 228 số.  122 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 237. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau, lớn hơn 70000? ĐS: 4368 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số cần lập. n lẻ ⇒ a5 chỉ có thể là 1, 3, 5, 7, 9. n > 70000 ⇒ a1 chỉ có thể là 7, 8, 9. Do đó, ta xét 3 trường hợp sau: Trường hợp 1. Nếu a1 = 7 hoặc a1 = 9 thì a5 có 4 cách chọn, chọn 3 chữ số trong 8 chữ số xếp vào 3 vị trí giữa có A38 cách. Theo quy tắc nhân, trường hợp 1 có 2 · 4 · A38 số. Trường hợp 2. a1 = 8 thì a5 có 5 cách chọn, chọn 3 chữ số trong 8 chữ số xếp vào 3 vị trí giữa có A38 cách. Theo quy tắc nhân, trường hợp 2 có 5 · A38 số. Theo quy tắc cộng, có 2 · 4 · A38 + 5 · A38 = 4368 số thỏa đề bài.  Bài 238. Cho các số 0, 2, 4, 6, 8, 9. 1 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số, mà trong mỗi số các chữ số khác nhau? 2 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 6? ĐS: 100 số, 204 số Lời giải. 1 Gọi a1 a2 a3 là số cần lập. Có A36 số có ba chữ số khác nhau, trong đó có A25 số có ba chữ số khác nhau và chữ số 0 đứng đầu. Suy ra, có A36 − A25 = 100 số. 2 Gọi b1 b2 b3 b4 là số cần lập. Nếu b1 = 6 thì có A35 số có bốn chữ số khác nhau. Nếu b1 6= 6 và b1 6= 0 thì có 4 · 3A24 số có bốn chữ số khác nhau. Suy ra, theo quy tắc cộng có A35 + 4 · 3A24 = 204 số.  Bài 239. Có 100000 chiếc vé xổ số được đánh số từ 00000 đến 9999. Hỏi số các vé gồm năm chữ số khác nhau là bao nhiêu? ĐS: 30240 vé Lời giải. Mỗi vé có năm chữ số khác nhau ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử từ 0, 1, 2,…, 9. Do đó, số các vé có năm chữ số khác nhau là A510 = 30240 vé.  Bài 240. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 có mặt ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 là số cần lập. Trong n, vì chữ số 5 có mặt ba lần nên ta ghi thêm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5. Có A88 số có tám chữ số trong đó chữ số 5 có mặt ba lần. Có A77 số có tám chữ số trong đó số 0 đứng đầu và chữ số 5 có mặt ba lần. Có 3! lần hoán vị mà n vẫn không đổi. Vậy, lập được A88 − A77 40320 − 4040 = = 5880. 3! 6  123 Bài 241. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau sao cho: 1 chữ số hàng trăm là 2? 2 luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? ĐS: 48 số, 36 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. 1 Chữ số hàng trăm là 2 nên a2 = 2. Chọn 3 số trong 5 số và xếp vào 3 vị trí a1 , a3 , a5 nên có A35 cách. Ta phải trừ đi số các số mà có chữ số 0 đứng đầu là A24 . Vậy lập được A35 − A24 = 60 − 12 = 48 số. 2 Chữ số hàng nghìn là 5 nên a1 = 5. Xếp chữ số 4 vào 3 vị trí, sau đó chọn 2 trong 4 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại. Theo quy tắc nhân, có 3 · A24 = 36 số.  Bài 242. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm năm chữ số khác nhau, trong đó chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? ĐS: 444 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số cần lập. Có A56 − A45 số các số có 5 chữ số mà chữ số đứng đầu khác 0. Chữ số 3, 4 đứng cạnh nhau, ta xem (3, 4) là một chữ số. Suy ra, số các số có 5 chữ số mà 3, 4 luôn đứng cạnh nhau là 2! · A34 + 2! · 3 · A34 . Vậy, lập được A56 − A77 40320 − 4040 = = 5880. 3! 6  Bài 243. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? ĐS: 60 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Vì n chia hết cho 5 nên a4 = 5. Chọn 3 số trong 5 số còn lại xếp vào ba vị trí a1 , a2 , a3 ⇒ có A35 = 60 cách. Theo quy tắc nhân, lập được 1 · 60 = 60 số.  Bài 244. Hỏi từ mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1? ĐS: 42000 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần lập. Có A610 số n có sáu chữ số khác nhau, trong đó có chứa A59 số có chữ số 0 đứng đầu. Có A68 số n có sáu chữ số khác nhau, không chứa hai chữ số 0 và 1. Có 6 · A58 số n có sáu chữ số khác nhau, chứa chữ số 1 và không chứa chữ số 0. Có 5 · A58 số n có sáu chữ số khác nhau, chứa chữ số 0 và không chứa chữ số 1. Vậy có tất cả A610 − A59 − 6 · A58 − 5 · A58 = 42000 số.  124 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 245. Từ tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 10? ĐS: 1260 số Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Vì n không chia hết cho 10 ⇒ a4 phải khác 0. Trong 8 số 0, 1,…, 7 ta chọn ra bốn số có thứ tự là một chỉnh hợp chập 4 của 8 ⇒ có A48 cách. Trong A48 số có A37 số gồm bốn chữ số phân biệt và có số 0 đứng đầu. Mặt khác trong A610 lại chứa A37 số mà có chữ số tận cùng là 0. Vậy có tất cả A48 − A37 − A37 = 1260 số.  Bài 246. 1 Từ năm số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? 2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức  √ 1 4 √ + x3 3 2 x 17 với x > 0. (Đại học Quốc gia Hà Nội, khối B, năm 2000) ĐS: 1 54 số. 2 24310. Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Cách 1. n không chia hết cho 5 nên a4 6= 0 và a4 6= 5. Ta có a4 có 3 cách chọn. a1 có 3 cách chọn (vì a1 6= 0 và a1 6= a4 ). a2 có 3 cách chọn (vì a2 6= a4 và a2 6= a1 ). a3 có 2 cách chọn. Vậy số số n ta có thể lập được là 2 × 3 × 3 × 3 = 54 số. Cách 2. Từ 5 số đã cho ta chọn được A45 bộ 4 chữ số a1 , a2 , a3 , a4 . Trong đó có A34 cách chọn sao cho chữ số 0 đứng đầu. Mà để n chia hết cho 5 thì a4 chỉ có thể là 0 hoặc 5, suy ra a4 có 2 cách chọn. Bộ a1 , a2 , a3 có A34 cách chọn. Suy ra có 2 × A34 số chia hết cho 5 được lập thành từ các chữ số đã cho. Nhưng trong 2 × A34 số đó có A23 số các số chia hết cho 5 và bắt đầu bằng chữ số 0. Vậy có 2 × A34 − A23 số có nghĩa có bốn
chữ số và chia hết cho 5. 4 3 3 2 Như vậy ta có A5 − A4 − 2A4 − A3 = 120 − 24 − (48 − 6) = 54 số có bốn chữ số có nghĩa, các chữ số của nó đôi một khác nhau và số đó không chia hết cho 5 được lập thành từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7. Cách 3. Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Ta có a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). a2 có 4 cách chọn (vì a2 6= a1 ). a3 có 3 cách chọn (vì a3 6= a2 và a3 6= a1 ). a4 có 2 cách chọn (vì a4 6= a3 ; a4 6= a2 và a4 6= a1 ). 125 Suy ra có 2 × 3 × 4 × 4 = 96 cách lập các số có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau từ năm chữ số 0, 1, 3, 5, 7. Tiếp theo ta tìm số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0, 1, 3, 5, 7 sao cho số đó chia hết cho 5. . Để a1 a2 a3 a4 .. 5 thì a4 chỉ có thể là 0 hoặc 5. Nếu a4 = 0 thì – a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0). – a2 có 3 cách chọn. – a3 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 × 3 × 4 = 24 cách. Nếu a4 = 5 thì – a1 có 3 cách chọn (vì a1 6= 0, a1 6= 5). – a2 có 3 cách chọn. – a3 có 2 cách chọn. Suy ra có 2 × 3 × 3 = 18 cách. Vậy số số n không chia hết cho 5 là 96 − 24 − 18 = 54 số.  17 √ 1 4 3 x + là Tk+1 . Ta có 2 Gọi số hạng thứ k + 1 trong khai triển √ 3 x2 17−k  √   k 1 4 k 3 · x Tk+1 = C17 · √ 3 x2 2 3 17 34 = Ck17 · x 3 ·(17−k) · x 4 k = Ck17 · x 2 k− 3 . 17 34 k− = 0 ⇔ k = 8. 12 3 Vậy số hạng không chứa x là số hạng thứ 9 và bằng C817 = 24310. Số hạng thứ k + 1 không chứa x nếu  Bài 247. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta lập được 1 Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một? 2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một? 3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một? ĐS: 1 156. 2 36. 3 16. Lời giải. 1 Gọi n = a1 a2 a3 a4 là số cần lập. Vì n chẵn nên a4 chỉ có thể là 0, 2, 4. Cách 1. Ta xét các trường hợp sau đây. Nếu a4 = 0 thì n = a1 a2 a3 0, ta có a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0). a2 có 4 cách chọn (vì a2 6= a4 và a2 6= a1 ). a3 có 3 cách chọn. 126 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Suy ra có 3 × 4 × 5 = 60 cách. Nếu a4 = 2 thì n = a1 a2 a3 2, ta có a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0 và a1 6= a4 ). a2 có 4 cách chọn (vì a2 6= a4 và a2 6= a1 ). a3 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 × 4 × 4 = 48 cách. 2 a4 = 4 ta có số n = a1 a2 a3 4. Ta có a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0 và a1 6= a4 ). a2 có 4 cách chọn (vì a2 6= a4 và a2 6= a1 ). a3 có 3 cách chọn. Suy ra có 3 × 4 × 4 = 48 cách. Vậy số số n ta có thể lập được là 60 + 48 + 48 = 156 số. Cách 2. Có A46 cách chọn bộ bốn số a1 , a2 , a3 , a4 bất kì. Trong đó có A35 cách chọn bốn số có chữ số a1 = 0. Bây giờ ta tìm xem có bao nhiêu số lẻ. 2 Ta có 3 · A35 số lẻ trong đó
có 3 · A4 số lẻ bắt đầu bằng chữ số 0. 3 2 Suy ra có 3 · A5 − 3 · A4 số lẻ có bốn chữ số. Vậy tất cả có A46 − A35 − (3 · A35 − 3 · A24 ) = 156 số n cần tìm. Cách 3. n chẵn ⇔ a4 có 3 cách chọn. Có A35 cách chọn bộ ba số a1 a2 a3 , suy ra có 3 · A35 số n chẵn. Trong đó có 2 · A24 số bắt đầu bằng chữ số 0. Vậy có tất cả 3 · A35 − 2 · A24 = 180 − 24 = 156 số cần tìm. 3 Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. . n .. 5 nên a = 0 hoặc a = 5. 3 3 Cách 1. Nếu a3 = 0 ta có số n = a1 a2 0. Ta có – a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0). – a2 có 4 cách chọn (vì a2 = 6 a1 và a2 6= a3 ). Suy ra có 5 × 4 = 20 cách. Nếu a3 = 5 ta có số n = a1 a2 5. Ta có – a1 có 4 cách chọn (vì a1 6= 0 và a1 6= a3 ). – a2 có 4 cách chọn (vì a2 = 6 a1 và a2 6= a3 ). Suy ra có 4 × 4 = 16 cách. Vậy số số n ta có thể lập được là 20 + 16 = 36 số. Cách 2. a3 có 2 cách chọn, suy ra có 2A25 số có ba chữ số chia hết cho 5. Trong đó, có 1 · A14 số có ba chữ số chia hết cho 5 bắt đầu bằng chữ số 0. Vậy có 2 · A25 − 1 · A14 = 40 − 4 = 36 số cần tìm. Cách 3. Có A36 cách chọn số có ba chữ số khác nhau đôi một. Có A25 cách chọn số có ba chữ số bắt đầu bằng chữ số 0. Suy ra có A36 − A25 số có ba chữ số có nghĩa. Có 4 · A25 số có ba chữ số không chia hết cho 5. Có 4 · A14 số có ba chữ số không chia hết cho 5 và bắt đầu bằng chữ số 0. 127 Suy ra có 4 · A25 − 4 · A14 số có ba
chữ số có nghĩa và không chia hết cho 5. Vậy có A36 − A25 − 4 · A25 − 4 · A14 = 36 số n cần tìm. 4 Gọi n = a1 a2 a3 là số cần tìm. . . n .. 9 khi và chỉ khi tổng a1 + a2 + a3 .. 9. Suy ra {a1 ; a2 ; a3 } có thể là {1; 3; 5}; {2; 3; 4}; {0; 4; 5}. Khi {a1 ; a2 ; a3 } = {1; 3; 5} thì có 3! = 6 số chia hết cho 9. Khi {a1 ; a2 ; a3 } = {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số chia hết cho 9. Khi {a1 ; a2 ; a3 } = {0; 4; 5} thì có 3! − 2! = 4 số chia hết cho 9. Vậy tất cả có 4 + 6 + 6 = 16 số chia hết cho 9 có ba chữ số khác nhau từng đôi một được lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.  Bài 248. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9? (Đại học Cảnh sát nhân dân khối G – 2000) ĐS: 5000 số. Lời giải. Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là 100017, 100035, 100053, 100071, …, 999999. Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9 lập thành một cấp số cộng có công sai d = 18. Do đó 100017 + (n − 1) · 18 = 999999 ⇔ n = 50000. Vậy có tất cả 50000 số lẻ gồm sáu chữ số chia hết cho 9.  Bài 249. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có ba chữ số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau? (Đại học Lâm nghiệp, 1999) ĐS: 66 số. Lời giải. Gọi n = a1 a2 a3 là số mà các chữ số của nó khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. a1 có 5 cách chọn (vì a1 6= 0). a2 có 5 cách chọn (vì a2 6= a1 ). a3 có 4 cách chọn (vì a3 6= a1 và a3 6= a2 ). Vậy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được 5 × 5 × 4 = 100 số có 3 chữ số mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau. Trong 100 số này có những số chia hết cho 3 và những số không chia hết cho 3. . Số n chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó (a + a + a ) .. 3. 1 2 3 Suy ra ta có các trường hợp sau {a1 , a2 , a3 } = {0, 1, 2} thì ta có 4 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {0, 1, 5} thì ta có 4 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {0, 2, 4} thì ta có 4 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {0, 4, 5} thì ta có 4 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {1, 2, 3} thì ta có 6 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {1, 3, 5} thì ta có 6 số chia hết cho 3. {a1 , a2 , a3 } = {2, 3, 4} thì ta có 6 số chia hết cho 3. Suy ra trong các số n lập được có 4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 = 34 số chia hết cho 3. Vậy số các số có ba chữ số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau được lập bởi các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 là 100 − 34 = 66 số.  128 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 250. Có bao nhiêu số khác nhau gồm bảy chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn? (Đại học sư phạm Vinh, khối A, B, E, 2000) ĐS: 4500000 số. Lời giải. Gọi số có 7 chữ số cần tìm là n = abcdef g. Ta có a có 9 cách chọn. b có 10 cách chọn. c có 10 cách chọn. d có 10 cách chọn. e có 10 cách chọn. f có 10 cách chọn. Suy ra có 9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 900000 cách chọn 6 chữ số đầu của số n. Đến đây có hai trường hợp xảy ra Trường hợp 1. a + b + c + d + e + f là một số chẵn. Khi đó ta có 5 cách chọn g để a + b + c + d + e + f + g là một số chẵn. Như vậy số cách chọn số n sao cho tổng các chữ số của nó là một số chẵn là 900000 × 5 = 4500000 (cách). Trường hợp 2. a + b + c + d + e + f là một số lẻ. Khi đó ta có 5 cách chọn g để a + b + c + d + e + f + g là một số chẵn. Như vậy số cách chọn số n sao cho tổng các chữ số của nó là một số chẵn là 900000 × 5 = 4500000 (cách). Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có 4500000 cách chọn, hay có 4500000 số khác nhau gồm bảy chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.  Bài 251. Có bao nhiêu số gồm năm chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. ĐS: 45000 số. Lời giải. Gọi số có 5 chữ số cần tìm là n = abcde. Ta có a có 9 cách chọn. b có 10 cách chọn. c có 10 cách chọn. d có 10 cách chọn. Suy ra có 9 × 10 × 10 × 10 = 9000 cách chọn 4 chữ số đầu của số n. Đến đây có hai trường hợp xảy ra Trường hợp 1. a + b + c + d là một số chẵn. Khi đó ta có 5 cách chọn e để a + b + c + d + e là một số lẻ. Như vậy số cách chọn số n sao cho tổng các chữ số của nó là một số lẻ là 9000 × 5 = 45000 (cách). 129 Trường hợp 2. a + b + c + d là một số lẻ. Khi đó ta có 5 cách chọn g để a + b + c + d + e là một số lẻ. Như vậy số cách chọn số n sao cho tổng các chữ số của nó là một số lẻ là 9000 × 5 = 45000 (cách). Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có 45000 cách chọn, hay có 45000 số khác nhau gồm năm chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.  Bài 252. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau đôi một. Hỏi 1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2? 2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 1 và 6? (Đại học Cần Thơ, khối D, năm 2000) ĐS: 600 số, 480 số. Lời giải. 1 Gọi n = abcd là số cần tìm. Cách 1. Chữ số 2 có 5 vị trí. Có A45 cách chọn cho 4 số còn lại. Suy ra có 5 · A45 = 600 số n cần tìm. Cách 2. Có A56 số có năm chữ số khác nhau đôi một. Trong đó có A55 số có năm chữ số khác nhau đôi một và không có mặt chữ số 2. Vậy có A56 − A55 = 720 − 120 = 600 số có năm chữ số khác nhau đôi một và luôn có mặt chữ số 2. 2 Có A25 vị trí hai chữ số 1 và 6 trong n. Cách 1. Có A34 vị trí ba chữ số còn lại. Suy ra có A25 · A34 = 480 số cần tìm. Cách 2. Có A56 số có năm chữ số bất kì. Có A55 số có năm chữ số mà trong đó có mặt chữ số 1 và không có mặt chữ số 6. Có A55 số có năm chữ số mà trong đó có mặt chữ số 6 và không có mặt chữ số 1. Vậy có A56 − A55 − A55 = 720 − 120 − 120 = 480 số cần tìm.  Bài 253. Xét biển số xe là dãy gồm hai chữ cái đứng trước và bốn chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,. . . , Z. Các chữ số được lấy từ mười số 0, 1, . . . , 9. 1 Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau? 2 Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau đồng thời có đúng hai chữ số lẻ giống nhau? ĐS: 1. 3402000; 2. 975000 Lời giải. 1 Có 26 cách chọn chữ cái thứ nhất. Có 26 cách chọn chữ cái thứ hai. Do đó, số cách chọn hai chữ cái có ít nhất một chữ cái O là 26 · 26 − 1 = 675 cách. Số cách chọn bốn chữ số đứng sau khác nhau đôi một là A410 = 5040 cách. Vậy số biển số xe cần tìm là 675 · 5040 = 3402000 biển số. 130 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Có A226 cách chọn hai chữ cái khác nhau. Có 5 cách chọn các cặp số lẻ giống nhau. Có A24 vị trí hai chữ số lẻ giống nhau trong một biển số. Có 5 · 5 cách chọn hai chữ số chẵn còn lại. Vậy số biển số xe cần tìm là A226 · 5 · A24 · 5 · 5 = 975000 biển số.  Bài 254. Có tất cả bao nhiêu số lẻ gồm sáu chữ số khác nhau lớn hơn 500000? Lời giải. Cách 1. Gọi n = abcdef là số cần tìm. Do n lẻ nên f ∈ {1; 3; 5; 7; 9} và n > 500000 nên a ∈ {5; 6; 7; 8; 9}. Nếu a = 5 thì n = 5bcdef . Ta có – f có 4 cách chọn. – Có A48 cách chọn bcde Vậy có 4 · A48 = 6720 số n. Nếu a = 6 thì n = 6bcdef . Ta có – f có 5 cách chọn. – Có A48 cách chọn bcde Vậy có 5 · A48 = 8400 số n. Nếu a = 7 hoặc a = 9 thì cũng tương tự như a = 5 ta có 6720 số n. Nếu a = 8 thì cũng tương tự như a = 6 ta có 8400 số n. Vậy có tất cả 3 · 6720 + 2 · 8400 = 36960 số cần tìm. Cách 2. Nếu n lẻ thì f có 5 cách chọn. Có 8 cách chọn a (vì a 6= 0). Có A48 cách chọn bcde Vậy có 5 · 8 · A48 = 67200 số lẻ có sáu chữ số khác nhau. Bây giờ ta tìm trong 67200 số lẻ trên có bao nhiêu số lẻ nhỏ hơn 500000. Nếu n < 500000 thì a ∈ {1; 2; 3; 4} và n lẻ thì f ∈ {1; 3; 5; 7; 9}. Nếu a chẵn, ta có – Có 2 cách chọn a. – Có 5 cách chọn f . – Có A48 cách chọn bcde Vậy có 2 · 5 · A48 = 16800 số n. Nếu a lẻ, ta có – Có 2 cách chọn a. ĐS: 36960 131 – Có 4 cách chọn f . – Có A48 cách chọn bcde Vậy có 2 · 4 · A48 = 13400 số n. Vậy có tất cả 67200 − 16800 − 13400 = 36960 số cần tìm.  Bài 255. Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được tất cả bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4? ĐS: 13320 Lời giải. Cách 1. Gọi n = abcdef là số cần lập. n phải có chữ số 4 nên có 6 vị trí cho chữ số 4. Nếu a = 4 thì n = 4bcdef . Có A57 cách chọn bcdef . Nếu a 6= 4 – a có 6 cách chọn. – Số 4 có 5 vị trí. – Có A46 cách chọn cho bốn số còn lại. Vậy có A57 + 6 · 5 · A46 = 2520 + 10800 = 13320 số n. Cách 2. Có A68 cách lập số có sáu chữ số khác nhau bất kì. Trong đó có A57 số có sáu chữ số khác nhau mà chữ số 0 đứng đầu. Vậy có A68 − A57 = 17640 số có sáu chữ số khác nhau có nghĩa. Có A67 số có sáu chữ số khác nhau mà không có chữ số 4. Có A56 số có sáu chữ số khác nhau mà có chữ số 0 đứng đầu và không có chữ số 4. Khi đó có A67 − A56 = 4320 số có sáu chữ số khác nhau mà không có chữ số 4. Vậy có 17640 − 4320 = 13320 số cần tìm.  Bài 256. Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. ĐS: 37332960 Lời giải. Gọi X là tập tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ sáu chữ số trên. Gọi n = abcde ∈ X. Nếu e = 1 thì có A45 cách chọn abcd. Vậy có A45 phần tử n ∈ X với chữ số hàng đơn vị bằng 1. Tương tự có A45 phần tử n ∈ X với chữ số hàng đơn vị bằng 3, . . . . Khi đó, tổng tất cả các chữ số hàng đơn vị của các phần tử n ∈ X là (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) · A45 = 3360. Lập luận tương tự, tổng tất cả các chữ số hàng chục của các phần tử n ∈ X là (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) · A45 · 10 = 3360 · 10, . . . Vậy tổng tất cả các phần tử n cần tìm là 3360 + 3360 · 10 + 3360 · 100 + 3360 · 1000 + 3360 · 10000 = 37332960.  132 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 257. 1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? 2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345? ĐS: 1. 24; 2. 50 Lời giải. 1 Gọi n = abc là số cần tìm. Do n chẵn nên c chỉ có thể là 2 hoặc 4, c có 2 cách chọn. Có A24 cách chọn ab. Vậy có 2 · A24 = 24 số n cần tìm. 2 Gọi n = abc là số cần tìm. Do n < 345 nên a ∈ {1; 2; 3}. Nếu a = 1 thì n = 1bc. Có A25 cách chọn bc. Nếu a = 2 thì n = 2bc. Có A25 cách chọn bc. Nếu a = 3 thì n = 3bc – Nếu b ∈ {1; 2} thì c có 4 cách chọn. Vậy có 2 · 4 = 8 số n. – Nếu b = 4 thì n = 34c. Khi đó c ∈ {1; 2}, vậy có 2 số n. Vậy có tất cả A25 + A25 + 8 + 2 = 50 số n < 345.  Bài 258. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? ĐS: 171 Lời giải. Gọi n = abc là số cần tìm. Do n chẵn nên c ∈ {2; 4; 6; 8} và n ≤ 789 nên a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Nếu a = 1 thì n = 1bc – c có 4 cách chọn. – b có 7 cách chọn. Vậy có 4 · 7 = 28 số n. Tương tự cho a = 3 hoặc a = 5 ta đều có 4 · 7 = 28 số n. Nếu a = 2 thì n = 2bc – c có 3 cách chọn. – b có 7 cách chọn. Vậy có 3 · 7 = 21 số n. Tương tự cho a = 4 hoặc a = 6 ta đều có 3 · 7 = 21 số n. Nếu a = 7 thì n = 7bc 133 – c có 4 cách chọn. – b có 6 cách chọn. Vậy có 4 · 6 = 24 số n. Vậy có tất cả 3 · 28 + 3 · 21 + 24 = 171 số n < 789.  Bài 259. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 1 Từ tập hợp X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau từng đôi một và có chữ số đứng đầu là số 2? 2 Từ tập hợp X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau từng đôi một, sao cho trong năm chữ số đó có đúng ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? ĐS: 1. 360; 2. 2448 Lời giải. 1 Gọi n = 2bcde là số cần tìm. Do n chẵn suy ra e ∈ {0; 4; 6} nên e có 3 cách chọn. Có A36 cách chọn bcd. Vậy có 3 · A36 = 360 số chẵn có năm chữ số khác nhau từng đôi một và có chữ số đứng đầu là số 2. 2 Gọi n = abcde là số cần tìm. a có 7 cách chọn. Nếu a ∈ {2; 4; 6} thì – – – – Có Có Có Có C23 cách chọn hai chữ số chẵn. C24 cách chọn hai chữ số lẻ. 4! hoán vị bốn số đã chọn. 3 cách chọn a. Vậy có 3 · 4! · C24 · C23 = 1296 số n. Nếu a ∈ {1; 3; 5; 7} thì – – – – Có Có Có Có C34 cách chọn ba chữ số chẵn. C13 cách chọn một chữ số lẻ. 4! hoán vị bốn số đã chọn. 4 cách chọn a. Vậy có 4 · 4! · C13 · C34 = 1152 số có dạng n. Vậy có 1296 + 1152 = 2448 số cần tìm.  Bài 260. 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? ĐS: 1. 33600; 2. 11340 Lời giải. 1 Gọi n = abcde là số cần tìm. Cách 1. Chữ số 0 có 5 vị trí. Có A58 cách chọn 5 số còn lại. 134 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Vậy có 5 · A58 = 33600 số cần tìm. Cách 2. Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 là số cần tìm. Ta có a1 6= 0. (1) ai 6= 1, ∀i = 1, 6. (2) ai = 0 nếu i ∈ [2; 6]. (3) Số có sáu chữ số khác nhau thỏa Số có sáu chữ số khác nhau thỏa Số có sáu chữ số khác nhau thỏa Vậy có A69 − A58 − A68 = 33600 số (2) và (a1 = 0 hoặc a1 6= 0) là A69 . (2) và a1 = 0 là A58 . (1), (2) và a1 6= 0 nếu i ∈ [2; 6] là A68 . cần tìm. 2 Gọi n = a1 a2 . . . a7 là số cần tìm. Xét cả a1 tùy ý. Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2 có C27 cách. Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3 có C35 cách. Chọn hai chữ số để xếp vào 2 vị trí còn lại có 2! · C28 cách. Vậy có C27 · C35 · 2! · C28 = 11760 số. Xét a1 = 0. Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2 có C26 cách. Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3 có C34 cách. Chọn một chữ số để xếp vào vị trí còn lại có 7 cách. Vậy có C26 · C34 · 7 = 420 số. Vậy có 11760 − 420 = 11340 số cần tìm.  DẠNG 0.12. Bài toán sắp xếp đồ vật Bài 1. Có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào một kệ sách sao cho: 1 Chúng nằm tùy ý. 2 Những quyển sách thuộc cùng loại thì ở chung. ĐS: 15! ĐS: 12441600 Lời giải. 1 Xếp 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa tùy ý vào một kệ sách có (5 + 4 + 6)! = 15!. 2 Xếp bất kì 5 quyển sách toán vào một kệ sách, ta có 5! cách. Xếp bất kì 4 quyển sách toán vào một kệ sách, ta có 4! cách. Xếp bất kì 6 quyển sách toán vào một kệ sách, ta có 6! cách. Mỗi lần đổi chỗ ba bộ sách này ta lại được 3! cách. Suy ra, có tất cả 5! · 4! · 6! · 3! = 12441600 cách.  Bài 2. Trong một tủ sách có tất cả 10 quyển sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1 Quyển thứ nhất ở cạnh quyển thứ hai? 2 Quyển thứ nhất không ở cạnh quyển thứ hai? Lời giải. ĐS: 725760 ĐS: 2903040 135 1 Quyển thứ nhất luôn ở cạnh quyển thứ hai nên ta xem đây là một khối thống nhất. Khối thống nhất này cộng với 8 quyển còn lại ta sẽ có 9! cách sắp xếp. Khi ta thay đổi vị trí quyển thứ nhất với vị trí của quyển thứ hai ta được 2! cách. Vậy có tất cả 9! · 2! = 725760 cách. 2 Với 10 quyển sách ta có 10! cách sắp xếp tùy ý. Suy ra có 10! − 9! · 2! = 2903040 cách sắp xếp mà quyển thứ nhất không ở cạnh quyển thứ hai.  Bài 3. Có 12 quyển sách gồm ba loại với số lượng bằng nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào một kệ sách sao cho những sách cùng một loại thì ở cùng một chỗ? ĐS: 82994 Lời giải. Có 12 quyển sách gồm ba loại với số lượng bằng nhau nên mỗi loại có 4 quyển sách. Mỗi lần ta đổi chỗ 4 quyển sách thuộc cùng một loại thì ta được 4! cách sắp xếp. Mỗi lần ta đổi chỗ ba bộ sách thuộc ba loại khác nhau thì ta được 3! cách sắp xếp mới. Vậy có tất cả 4! · 4! · 4! · 3! = 82994 cách. Bài 4. Có bao nhiêu cách xếp 5 cái bánh vào 2 hộp bánh?  ĐS: 32 Lời giải. Nếu xếp 0 cái bánh vào hộp I, ta có C05 . Nếu xếp 1 cái bánh vào hộp I, ta có C15 . Nếu xếp 2 cái bánh vào hộp I, ta có C25 . Nếu xếp 3 cái bánh vào hộp I, ta có C35 . Nếu xếp 4 cái bánh vào hộp I, ta có C45 . Nếu xếp 5 cái bánh vào hộp I, ta có C55 . Vậy có tất cả C05 + C25 + C35 + C45 + C55 = 32 cách sắp xếp.  Bài 5. Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau? ĐS: 28800 Lời giải. Nếu các thẻ trắng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ đen nằm ở vị trí chẵn, ta có 5! · 5! cách xếp khác nhau. Nếu các thẻ trắng nằm ở vị trí chẵn thì các thẻ đen nằm ở vị trí lẻ, ta có 5! · 5! cách xếp khác nhau. Vậy có tất cả 5! · 5! + 5! · 5! = 28800 cách.  Bài 6. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200 Lời giải. Chọn bất kì 3 tem thư trong 5 tem thư là một tổ hợp chập 3 của 5: C36 . Chọn bất kì 3 bì thư trong 6 bì thư là một tổ hợp chập 3 của 6: C36 . Mặt khác, khi 3 tem thư này dán lên 3 bì thư ta sẽ có 3! cách dán tem. Vậy có C35 · C36 · 3! = 1200 cách.  136 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 7. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. 1 Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2 ĐS: 840 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? ĐS: 36 Lời giải. 1 Xếp 3 viên bi đỏ (có bán kính khác nhau) vào 7 ô trống. Ta có A37 cách xếp. Sau đó, xếp 3 viên bi xanh vào 4 còn lại. Ta có C34 cách xếp (vì 3 viên bi xanh giống nhau). Vậy có tất cả A37 · C34 = 840 cách xếp. 2 Để 3 viên bi đỏ đứng cạnh nhau, 3 viên bi xanh đứng cạnh nhau ta có 6 cách xếp. Sau đó, trong mỗi cách xếp trên ta lại hoán vị các bi đỏ với nhau và các bi xanh với nhau Ta có 3! cách hoán vị các bi đỏ, vì các bi xanh giống nhau nên khi ta hoán vị 3 viên bi xanh các cách xếp ban đầu vẫn không đổi, vậy số cách xếp để các bi đỏ đứng cạnh nhau và các bi xanh đứng cạnh nhau là 6 · 3! · 1 = 36.  Bài 8. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn sách môn văn, 6 cuốn sách môn Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách cạnh nhau lên một kệ dài? ĐS: 207360 Lời giải. Có 2! cách xếp 2 cuốn sách toán. Có 4! cách xếp 4 cuốn sách văn. Có 6! cách xếp 6 cuốn sách Anh văn. Mỗi lần ta hoán vị 3 nhóm sách này ta có 3! cách xếp mới. Vậy có tất cả 2! · 4! · 6! · 3! = 207360 cách.  DẠNG 0.13. Bài toán sắp xếp người Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: 1 Bạn C ngồi chính giữa. 2 Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế. ĐS: 24 ĐS: 12 Lời giải. 1 Xếp C ngồi chính giữa có 1 cách. Xếp A, B, D và E vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách. Suy ra có 24 cách xếp chỗ theo yêu cầu bài toán. 2 Xếp A và E ngồi hai đầu ghế có 2! cách. Xếp B, C, D xếp vào 3 vị trí còn lại có 3! cách. Suy ra có 2! · 3! = 12 cách xếp chỗ theo yêu cầu bài toán.  Bài 2. Có 4 người nam và 3 người nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng sao cho: 1 Họ ngồi tùy ý. 2 Nam, nữ xen kẽ với nhau. ĐS: 5040 ĐS: 144 Lời giải. 1 Nam, nữ ngồi tùy ý có 7! = 5040 cách. 2 Có 4! cách các người nam ngồi, 3! cách người nữ ngồi. Vậy có 4! · 3! = 144 cách.  137 Bài 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh đứng thành 1 hàng dọc để vào lớp sao cho: 1 Các học sinh nữ đứng cạnh nhau. 2 ĐS: 144 ĐS: 72 Nam nữ không đứng cạnh nhau. Lời giải. 1 Các bạn nữ đứng cạnh nhau ta xem như một khối đoàn kết, có 4! cách. Mỗi lần ta hoán vị 3 bạn nữ với nhau ta được cách xếp mới có 3! cách. Vậy có 3! · 4! = 144 cách. 2 Các bạn nam đứng riêng, ta có 3! cách, các bạn nữ đứng riêng ta có 3! cách. Mỗi lần ta đổi chỗ hai nhóm nam và nữ ta được 2! cách. Vậy có tất cả 2! · 3! · 3! = 72 cách.  Bài 4. Có 8 học sinh xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau nếu có ba học sinh không chịu rời nhau? ĐS: 4320 Lời giải. Ba học sinh không chịu ròi nhau ta xem như đó là một khối đoàn kết. Khối đoàn kết này cùng với 5 học sinh còn lại ta sẽ có 6! cách xếp khác nhau. Mỗi lần ta đổi chỗ 3 học sinh trong khối đoàn kết ta được 3! cách xếp khác nhau. Vậy có tất cả 6! · 3! = 4320 cách.  Bài 5. Trong cuộc hội nghị thân mật giữa ba nước Đông Dương, phái đoàn Việt Nam có 5 người, Lào có 4 người và Campuchia có 4 người. Có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi trên một bàn dài sao cho: 1 Các đại biểu ngồi tùy ý. 2 Những người cùng quốc gia cùng ngồi một chỗ. ĐS: 622702800 ĐS: 414720 Lời giải. 1 Các đại biểu ngồi tùy ý có tất cả là (5 + 4 + 4)! = 13! = 622702800 cách. 2 Đoàn Việt Nam có 5 đại biểu, ta có 5! cách sắp xếp. Đoàn Lào có 4 đại biểu ta có 4! cách sắp xếp. Đoàn Campuchia có 4 đại biểu có 4! cách sắp xếp. Mỗi lần ta đổi chỗ 3 đoàn đại biểu của 3 nước ta có 3! cách sắp xếp khác nhau. Suy ra có tất cả 5! · 4! · 4! · 3! = 414720 cách.  Bài 6. Có 8 học sinh được sắp xếp vào 8 chỗ ngồi trên một bàn dài. Có bào nhiêu cách sắp xếp khác nhau nếu như chị Nga không chịu ngồi cạnh anh Duy? ĐS: 30240 Lời giải. Có 8! cách sắp xếp 8 học sinh ngồi vào 8 chỗ trên một bàn dài, trong đó chứa trường hợp chị Nga và anh Duy ngồi cạnh nhau. Trong trường hợp này ta xem chị Nga và anh Duy như một khối thống nhất. Khối thống nhất này cùng với 6 học sinh còn lại có 7! cách xếp khác nhau. Mỗi lần ta đổi chỗ 2 học sinh Nga, Duy ta được 2! cách xếp khác nhau. Vậy số cách sắp xếp là 8! − 7! · 2! = 30240 cách.  138 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 7. Một hàng ghế dài có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ chồng ngồi vào 8 ghế trên và vợ luôn ngồi ở bên trái chồng? ĐS: 28 Lời giải. Ghế có đánh số thứ tự từ 1 đến 8. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ nhất thì vợ có 7 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ hai thì vợ có 6 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ ba thì vợ có 5 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ tư thì vợ có 4 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ năm thì vợ có 3 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ sáu thì vợ có 2 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ bảy thì vợ có 1 cách chọn ghế. Khi chồng ngồi ở ghế số thứ tám thì vợ có 0 cách chọn ghế. Vậy có tất cả 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 cách.  Bài 8. Có 5 nam và 5 nữ. Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một bàn dài và xen kẽ nhau? ĐS: 28800 Lời giải. Nếu có 1 nam ngồi ở vị trí thứ nhất thì kết thúc ở vị trí thứ 10 là một nữ. Vậy có 5! · 5! cách xếp. Nếu có 1 nữ ngồi ở vị trí thứ nhất thì kết thúc ở vị trí thứ 10 là một nam. Vậy có 5! · 5! cách xếp. Do đó, có 5! · 5! + 5! · 5! = 28800 cách. Bài 9. Có bao nhiêu cách xếp 6 nam và 6 nữ ngồi xen kẽ quanh một bàn tròn?  ĐS: 1036800 Lời giải. Có 6! cách xếp 6 nam. Có 6! cách xếp 6 nữ. Có 2! cách xếp khi nam, nữ ngồi đổi chỗ nhau. Vậy có tất cả 6! · 6! · 2! = 1036800 cách.  Bài 10. Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam, 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 1 Các học sinh ngồi tùy ý. 2 Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS: 3628800 ĐS: 28800 Lời giải. 1 Có 10 học sinh xếp tùy ý vào 10 ghế ta có 10! = 3628800 cách xếp. 2 Các học sinh nam ngồi riêng một bàn có 5! cách xếp. Các học sinh nữ ngồi một bàn ta có 5! cách xếp. Mỗi lần đổi chỗ 2 nhóm học sinh nam nữ ta có 2! cách ngồi mới. Vậy có tất cả 5! · 5! · 2! = 28800 cách xếp.  139 Bài 11. Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. 1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2 ĐS: 3628800 ĐS: 2800 Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau? Lời giải. 1 Xếp tùy ý 5 nam và 5 nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử. Do đó, số cách xếp là 10! = 3628800 cách. 2 Có 5! cách xếp 5 học sinh nam. + Có 5! cách xếp 5 học sinh nữ. + Có 2! cách xếp 2 nhóm học sinh nam và nữ. Có 5! · 5! · 2! = 2800 cách.  Bài 12. Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. 1 Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn. 2 ĐS: 720 Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không được ngồi cạnh nhau. ĐS: 480 Lời giải. 1 Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị 6 phần tử nên số cách sắp xếp là: 6! = 720 cách. 2 Ta tìm số cách sắp xếp mà 2 học sinh A và B ngồi cạnh nhau. Hai học sinh A và B ngồi cạnh nhau ta xem đó là một khối thống nhất, khối thống nhất này cùng với 4 học sinh còn lại sẽ có 5! cách sắp xếp. Mỗi cách sắp xếp ở trên, hoán vị 2 học sinh ta sẽ có 2! cách sắp xếp mới. Do đó theo quy tắc nhân suy ra có 5! · 2! cách sắp xếp 6 học sinh và A, B ngồi cạnh nhau. Vậy có: 6! − 5! · 2! = 720 − 240 = 480 cách sắp xếp học sinh và A, B không ngồi cạnh nhau.  Bài 13. Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo một hàng dọc để đi vào lớp. Hỏi có bao nhiêu cách để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ hai học sinh bất kì cho nhau ta được một cách sắp xếp hàng mới). ĐS: 21600 Lời giải. Có 5 vị trí cho 3 học sinh nữ đứng cách nhau một vị trí để có thể xem 2 học sinh nam vào. Có 3! cách xếp 3 học sinh nữ. Có 6! cách xếp 6 học sinh nam. Suy ra có 5 · 3! · 6! = 21600 cách.  Bài 14. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? ĐS: 120960 (Đại học Cần Thơ, 2001) Lời giải. Cả 7 học sinh nam đứng liền nhau ta xem như một khối thống nhất, khối thống nhất này cùng với 3 học sinh nữ ta sẽ có 4! cách sắp xếp. Mỗi lần hoán vị 7 học sinh nam ta sẽ có 7! cách sắp xếp. Vậy có 4! · 7! = 120960 cách sắp xếp khác nhau.  140 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 15. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau. ĐS: 1152 2 ĐS: 9216 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. (Đại học Quốc gia TPHCM, khối B,1999) Lời giải. 1 Ta có: Có 2! cách xếp chỗ cho 2 nhóm học sinh trường A và học sinh trường B. Có 4! cách xếp chỗ cho 4 học sinh trường A. Có 4! cách xếp chỗ cho 4 học sinh trường B. Vậy có 2! · 4! · 4! = 1152 cách xếp. 2 Ta có: Học sinh thứ nhất của trường A ngồi trước, có 8 cách chọn ghế ngồi. Sau đó, xếp 1 học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh trên, có 4 cách chọn 1 học sinh của trường B. Học sinh thứ hai của trường A có 6 chỗ ngồi, có 3 cách chọn học sinh thứ hai của trường B. Lý luận tương tự đến học sinh cuối cùng. Vậy có 8 · 4 · 6 · 3 · 4 · 2 · 1 = 9216 cách xếp.  Bài 16. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau. 2 ĐS: 1036800 ĐS: 33177600 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. (Đại học Quốc gia TPHCM, khối A,1999) a) Lời giải. 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. Điều này chứng tỏ 6 học sinh trường A được chia ra, mỗi ghế có 3 bạn và 6 học sinh trường B cũng được chia ra, mỗi ghế có 3 bạn. Giả thiết trên cũng cho ta biết rằng nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường B thì cạnh đó là học sinh trường A và đối diện với học sinh trường B là học sinh trường A. Ghế 1 Ghế 2 B A A B B A A B B A A B Ngược lại, nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường A thì cạnh đó là học sinh trường B và đối diện với học sinh trường A là học sinh trường B. Ghế 1 Ghế 2 A B B A A B B A A B B A 141 Như vậy ta có 2! cách sắp xếp 2 nhóm học sinh trường A và trường B. Với 6 vị trí chỗ ngồi cho học sinh trường A ta có 6! cách sắp xếp họ vào 6 chỗ, 6 học sinh trường B ta có 6! cách xếp họ ngồi vào 6 chỗ. Vậy có tất cả 2! · 6! · 6! = 1036800 cách xếp. 2 Giả sử học sinh thứ nhất của trường A ngồi trước: có 12 cách chọn chỗ ngồi. Sau đó, chọn 1 học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh trường A đã ngồi ta có 6 cách chọn 1 học sinh trường B. Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn: có 10 cách chọn chỗ ngồi cho học sinh thứ hai của trường A. Chọn học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai của trường A: có 5 cách chọn học sinh thứ hai của trường B. Tiếp tục lý luận như trên đến học sinh cuối cùng. Như vậy có 12 · 6 · 10 · 5 · 8 · 4 · 6 · 3 · 4 · 2 · 1 = 33177600 cách.  Bài 17. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách là các toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: 1 Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. 2 Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên. ĐS: 99 ĐS: 24 Lời giải. 1 Vì có 4 khách và 3 toa, nên trong 3 toa ít nhất có 1 toa có không ít hơn hai khách lên tàu. Giả sử không ít hơn hai khách lên toa I, ta có các khả năng sau: 4 khách lên toa I: có 1 cách. 3 khách lên toa I, có C34 cách xếp 3 khách lên toa I, một khách còn lại có 2 cách chọn lên toa II hoặc toa III. 2 khách lên toa I, có C24 cách xếp 2 khách lên toa I, hai khách còn lại lên cùng toa (2 khả năng) hoặc lên toa khác nhau (có 2 khả năng) là: 2C24 + 2C24 . Toa II và toa III cũng tương tự như toa I. Vậy có tất cả:
1 + 2C34 + 2C24 + 2C24 · 3 = 99 cách. 2 Ta có: Giả sử lúc đầu có 3 vị khách lên toa I, ta có C34 cách sắp xếp chỗ ngồi, 1 vị khách còn lại có 2 cách chọn lên toa II hoặc toa III. Nếu có 3 vị khách lên toa II hoặc toa III cũng tương tự như 3 vị khách lên toa I. Vậy có tất cả là: 3 · C34 · 2 = 24 cách sắp xếp.  DẠNG 0.14. Bài toán chọn vật, dùng tổ hợp Bài 1. Một bộ bài có 52 quân trong đó có 4 quân Át. 1 Có bao nhiêu cách rút 3 quân trong 52 quân? 2 Có bao nhiêu cách rút 3 quân trong 52 quân, trong đó có đúng 1 quân Át? Lời giải. 1 Rút bất kì 3 quân trong 52 quân là tổ hợp chập 3 của 52. Vậy có C352 = 22100 cách. ĐS: 22100 ĐS: 4512 142 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Rút 1 quân Át bất kì trong 4 quân Át là tổ hợp chập 1 của 4: có C14 cách. Hai quân còn lại rút trong 48 quân không có Át là một tổ hợp chập 2 của 48: có C248 cách. Suy ra số cách rút 3 quân có 1 quân Át là C14 · C248 = 4512 cách.  Bài 2. Một cỗ bài có 52 con bài. Có bao nhiêu cách rút ra từ cỗ bài 10 con bài gồm 3 con Cơ, 3 con Rô và 4 con Bích? ĐS: 58484140 Lời giải. Một cỗ bài gồm 13 con Cơ, 13 con Rô, 13 con Chuồn và 13 con Bích. Rút bất kì 3 con Cơ trong 13 con Cơ là một tổ hợp chập 3 của 13: C313 . Rút bất kì 3 con Rô trong 13 con Rô là một tổ hợp chập 3 của 13: C313 . Rút bất kì 4 con Bích trong 13 con Bích là một tổ hợp chập 4 của 13: C413 . Vậy số cách rút 10 con bài là: C313 · C313 · C413 = 58484140 cách.  Bài 3. Trong một hộp bánh trung thu có 6 loại bánh thịt và 4 loại bánh đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi nếu: 1 Lấy tùy ý các loại bánh trung thu trong hộp trên. 2 Có đúng 4 loại bánh thịt. ĐS: 210 ĐS: 90 Lời giải. 1 Lấy tùy ý 6 bánh trong (6 + 4) bánh trên là một tổ hợp chập 6 của 10: C610 = 210 cách. 2 Chọn tùy ý 4 bánh thịt trong 6 bánh thịt là một tổ hợp chập 2 của 4: C24 . Suy ra số cách chọn là C46 · C24 = 90 cách.  Bài 4. Một hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng. Ta lấy ra từ đó 6 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy khác nhau để có: 1 Có 6 viên bi bất kì. 2 Có đúng 2 bi xanh và 1 bi đỏ. ĐS: 924 ĐS: 120 Lời giải. 1 Có tất cả 12 viên bi. Lấy 6 viên bi bất kì trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12: C612 = 924 cách. 2 Chọn bất kì 2 bi xanh trong 3 bi xanh là một tổ hợp chập 2 của 3: C23 . Chọn bất kì 1 bi đỏ trong 4 bi đỏ là một tổ hợp chập 1 của 4: C14 . Chọn bất kì 3 bi vàng trong 5 bi vàng là một tổ hợp chập 3 của 5: C35 . Vậy có tất cả C23 · C14 · C35 = 120 cách.  Bài 5. Một bạn học sinh có 7 cuốn sách gồm 3 cuốn toán, 2 cuốn lý, 2 cuốn hóa, mỗi buổi học lấy ra 3 cuốn. 1 Có bao nhiêu cách lấy sao cho mỗi loại có đúng 1 cuốn? 2 Có bao nhiêu cách lấy sao cho mỗi lần lấy có đúng 2 quyển sách toán? Lời giải. ĐS: 12 ĐS: 12 143 1 Chọn 1 cuốn bất kì trong 3 cuốn sách toán, ta có C13 cách chọn. Chọn 1 cuốn bất kì trong 2 cuốn sách lý, ta có C12 cách chọn. Chọn 1 cuốn bất kì trong 2 cuốn sách hóa, ta có C12 cách chọn. Vậy số cách chọn là C13 · C12 · C12 = 12 cách. 2 Chọn bất kì 2 quyển sách toán trong 3 quyển sách toán là một tổ hợp chập 2 của 3: C23 . Quyển còn lại chọn bất kì trong (2 + 2) quyển ta có C14 . Suy ra số cách chọn là C23 · C14 = 12 cách.  Bài 6. Trong một lô hàng có 10 quạt bàn và 5 quạt trần. 1 Có bao nhiêu cách lấy 5 quạt trong đó có 3 quạt bàn? 2 ĐS: C310 · C25 Có bao nhiêu cách lấy 4 quạt trong đó có ít nhất 2 quạt bàn? ĐS: 1260 Lời giải. 1 Chọn bất kì 3 quạt bàn trong 10 quạt bàn là một tổ hợp chập 3 của 10: C310 . Chọn 2 quạt còn lại trong 5 quạt trần là một tổ hợp chập 2 của 5: C25 . Vậy số cách lấy là C310 · C25 cách. 2 Có C210 · C25 cách chọn trong đó có 2 quạt bàn và 2 quạt trần. Cách 1. Có C310 · C15 cách chọn trong đó có 3 quạt bàn và 1 quạt trần. Có C410 · C05 cách chọn trong đó có 4 quạt bàn và không có quạt trần. Vậy có C210 · C25 + C310 · C15 + C410 · C05 = 1260 cách. Cách 2. Có C415 cách chọn 4 quạt bất kì, trong đó có C110 · C35 cách chọn có 1 quạt bàn và 3 quạt trần, C010 · C45 cách chọn không có quạt bàn và 4 quạt trần. Do đó có C415 − C110 · C35 − C010 · C45 = 1260 cách.  Bài 7. Có 8 bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 4 viên bi sao cho: 1 Có đúng 2 bi xanh. ĐS: 784 2 ĐS: 400 Số bi xanh bằng số bi đỏ. Lời giải. 1 Chọn 2 bi xanh trong 8 bi xanh là một tổ hợp chập 2 của 8: C28 . Hai viên bi còn lại chọn bất kì trong 5 bi đỏ và 3 bi vàng, tức là một tổ hợp chập 2 của 8: C28 . Vậy số cách chọn C28 · C28 = 784 cách. 2 Có C28 · C25 cách chọn có 2 bi xanh và 2 bi đỏ. Có C18 · C15 · C23 cách chọn có 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng. Vậy có C28 · C25 + C18 · C15 · C23 = 400 cách.  Bài 8. Có 5 bi xanh, 4 bi trắng và 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 6 viên bi có đúng 2 màu? Lời giải. Trường hợp 1. Lấy 6 viên bi gồm màu xanh và màu trắng. Có C55 · C14 + C45 · C24 + C35 · C34 + C25 · C44 = 84 cách (hay C69 ). Trường hợp 2. Lấy 6 viên bi gồm màu xanh và màu vàng. Có C55 · C13 + C45 · C23 + C35 · C33 = 28 cách (hay C68 ). ĐS: 119 144 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Trường hợp 3. Lấy 6 viên bi gồm màu trắng và màu vàng. Có C44 · C23 + C34 · C33 = 7 cách (hay C67 ). Vậy có 84 + 28 + 7 = 119 cách.  Bài 9. Có 6 cuốn sách khác nhau trong đó có cuốn Giải tích tổ hợp. Lấy có thứ tự từ đó ra 4 cuốn. Có bao nhiêu cách lấy nếu: 1 Trong 4 cuốn đó phải có cuốn Giải tích tổ hợp. 2 Trong 4 cuốn đó không có cuốn Giải tích tổ hợp. ĐS: 240 ĐS: 120 Lời giải. 1 Giả sử ta rút được cuốn Giải tích tổ hợp, 3 cuốn còn lại chọn trong bất kì 5 cuốn là một tổ hợp chập 3 của 5: C35 . Mặt khác ta lại có 4! cách sắp xếp thứ tự 4 cuốn đã chọn, nên số cách lấy là C35 · 4! = 240 cách. 2 Lấy có thứ tự 4 cuốn trong 6 cuốn là một chỉnh hợp chập 4 của 6: A46 trong đó có chứa C35 · 4! trường hợp rút có cuốn Giải tích tổ hợp. Vậy có A46 − C35 · 4! = 120 cách.  Bài 10. Trong một kì thi, một học sinh phải trả lời 7 trong 10 câu hỏi. 1 Có bao nhiêu cách chọn nếu 4 câu hỏi đầu là bắt buộc? 2 Nếu chọn tùy ý? ĐS: 20 ĐS: 120 Lời giải. 1 Nếu 4 câu hỏi đầu là bắt buộc, 3 câu còn lại chọn bất kì trong 6 câu hỏi không bắt buộc là một tổ hợp chập 3 của 6: C36 = 20 cách. 2 Chọn bất kì 7 câu trong 10 câu là một tổ hợp chập 7 của 10: C710 = 120 cách.  Bài 11. Có 15 chữ cái gồm 3 nguyên âm và 12 phụ âm. Có thể tạo ra nhiều chữ (không cần nghĩa) gồm 6 kí tự chứa 1 Đúng 2 nguyên âm? 2 Có ít nhất 1 nguyên âm? Lời giải. 1 Có C23 cách chọn 2 nguyên âm. Có C412 cách chọn 4 phụ âm. Có 6! cách hoán vị 6 kí tự để tạo thành chữ mới. Vậy ta có: C23 · C412 · 6! = 1069200 chữ. 2 Cách 1: Có C615 cách chọn 6 kí tự. Có 6! cách hoán vị 6 kí tự. Suy ra có tổng cộng là C615 · 6! chữ. Có C612 · C03 cách chọn có 6 phụ âm và 0 nguyên âm. Suy ra có C612 · C03 · 6! chữ không có nguyên âm. Vậy có C615 · 6! − C612 · C03 · 6! = 2938320 chữ. Cách 2: Có C13 · C512 · 6! chữ có 1 nguyên âm và 5 phụ âm. Có C23 · C412 · 6! chữ có 2 nguyên âm và 4 phụ âm. Có C33 · C312 · 6! chữ có 3 nguyên âm và 3 phụ âm. Vậy có C13 · C512 · 6! + C23 · C412 · 6! + C33 · C312 · 6! = 2938320 chữ. ĐS: 1069200 ĐS: 2938320 145  Bài 12. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm, có bao nhiêu chữ gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 3 nguyên âm khác nhau sao cho 1 Chữ đó chứa a và b? 2 Chữ đó bắt đầu bằng a và kết thúc bằng 2 chữ b, c (không có thứ tự)? ĐS: 820800 ĐS: 1368 Lời giải. 1 Vì chữ a là nguyên âm nên chọn 2 nguyên âm trong 4 nguyên âm còn lại là một tổ hợp chập 2 của 4, do đó số cách chọn là C24 . Vì chữ b là phụ âm nên chọn 2 phụ âm trong 20 phụ âm còn lại là một tổ hợp chập 2 của 20, do đó số cách chọn là C220 . Mặt khác, có 6! hoán vị 6 chữ cái để có một chữ mới nên có 6! cách hoán vị. Vậy có C24 · C220 · 6! = 820800 chữ thỏa mãn yêu cầu. 2 Vì a là nguyên âm, nên việc chọn 2 nguyên âm trong 4 nguyên âm còn lại là một tổ hợp chập 2 của 4, do đó số cách chọn là C24 . Vì chữ b, c là phụ âm, nên việc chọn 1 phụ âm trong 19 phụ âm còn lại là một tổ hợp chập 1 của 19, do đó số cách chọn là C119 . Mà có 3! hoán vị 3 chữ số ở giữa để tạo ra chữ mới. b, c không có thứ tự nên ta có 2! cách hoán vị để tạo ra chữ mới. Vậy có tất cả C24 · C119 · 3! · 2! = 1368 chữ thỏa mãn yêu cầu.  Bài 13. Có 26 chữ cái gồm 21 phụ âm và 5 nguyên âm. 1 Có bao nhiêu chữ gồm 6 kí tự trong đó chứa 3 phụ âm khác nhau và 3 nguyên âm khác nhau? ĐS: 9576000 2 Trong các chữ ở câu a, có bao nhiêu chữ bằng đầu bằng D và kết thúc bằng E? ĐS: 27360 3 Trong các chữ ở câu a, có bao nhiêu chữ chứa cả C, D và E? ĐS: 82080 Lời giải. Có C321 cách chọn phụ âm. 1 Có C35 cách chọn nguyên âm. Có 6! hoán vị 6 kí tự. Suy ra có C321 · C35 · 6! = 9576000 chữ. 2 D là phụ âm ⇒ Có C220 cách chọn 2 phụ âm còn lại. E là nguyên âm ⇒ Có C24 cách chọn 2 nguyên âm còn lại. Có 4! hoán vị 4 chữ ở giữa D và E. ⇒ Có C220 · C24 · 4! = 27360 chữ. 3 C, D là 2 phụ âm ⇒ Có C119 cách chọn 1 phụ âm còn lại. E là nguyên âm ⇒ Có C24 cách chọn 2 nguyên âm còn lại. Có 6! cách hoán vị 6 kí tự. ⇒ Có C119 · C24 · 6! = 82080 chữ.  Bài 14. Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Có bao nhiêu cách lấy để có 1 bóng bị hỏng? ĐS: 112 Lời giải. Có C14 cách chọn 1 bóng đèn bị hỏng. 146 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Có C28 cách chọn 2 bóng đèn không bị hỏng. Vậy có C14 · C28 = 112 cách.  Bài 15. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó có số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu? ĐS: 105 Lời giải. Có C410 cách chọn 4 viên bi. Có C25 C12 C13 cách chọn 4 viên bi trong đó có 2 bi vàng, 1 bi đỏ, 1 bi trắng. Có C15 C22 C13 cách chọn 4 viên bi trong đó có 1 bi vàng, 2 bi đỏ, 1 bi trắng. Có C15 C12 C23 cách chọn 4 viên bi trong đó có 1 bi vàng, 1 bi đỏ, 2 bi trắng. Vậy có C410 − C25 C12 C13 − C15 C22 C13 − C15 C12 C23 = 105 cách chọn.  Bài 16. Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ? 2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? ĐS: 7150 ĐS: 3045 Lời giải. 1 Có C25 cách chọn ra 2 viên bi đỏ. Có C413 cách chọn 4 viên bi còn lại. Vậy có C25 · C413 = 7150 cách chọn 6 viên bi có đúng 2 bi đỏ. 2 Có C39 C35 cách chọn 6 viên có 3 xanh, 3 đỏ và 0 vàng. Có C29 C25 C24 cách chọn 6 viên có 2 xanh, 2 đỏ và 2 vàng. Có C19 C15 C44 cách chọn 6 viên có 1 xanh, 1 đỏ và 4 vàng. Vậy số cách chọn 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ là C39 C35 + C29 C25 C24 + C19 C15 C44 = 840 + 2160 + 45 = 3045 (cách).  Bài 17. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ ba màu? ĐS: 645 Lời giải. Hộp đựng tất cả 15 viên bi, nên số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi là C415 . Ta sẽ tìm số cách chọn 4 viên bi có đủ ba màu, có các trường hợp sau Trường hợp chứa 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng có C24 C15 C16 cách chọn. Trường hợp chứa 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng có C14 C25 C16 cách chọn. Trường hợp chứa 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng có C14 C15 C26 cách chọn. Vậy số cách chọn 4 viên bi không đủ ba màu là C415 − C24 C15 C16 − C14 C25 C16 − C14 C15 C26 = 645 cách chọn.  147 Bài 18. Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào một bình hoa. Bó thứ nhất có 10 bông hồng, bó thứ hai có 6 bông thược dược và bó thứ ba có 4 bông cúc. 1 Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn? 2 ĐS: 38760 Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 4050 Lời giải. 1 Chọn bất kì 6 bông trong tổng số (10 + 6 + 4) bông là một tổ hợp chập 6 của 20: C620 = 2 Chọn bất kì 2 Chọn bất kì 2 Chọn bất kì 2 Vậy có tất cả: 20! = 38760 cách chọn. 6! · 14! bông hồng trong 10 bông hồng là một tổ hợp chập 2 của 10: C210 ; bông thược dược trong 6 bông thược dược là một tổ hợp chập 2 của 6: C26 ; bông cúc trong 4 bông cúc là một tổ hợp chập 2 của 10: C24 . C210 C26 C24 = 4050 cách chọn.  Bài 19. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. 1 Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ? 2 Có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ĐS: 112 ĐS: 150 (Đại học Quốc gia Tp. HCM, khối D, đợt 2, 2000) Lời giải. 1 Có C14 cách chọn 1 bông hồng đỏ. Có C68 cách chọn 6 bông hồng còn lại trong số các bông hồng vàng và trắng. Do đó có C14 · C68 = 112 cách chọn 7 bông hồng, trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ. 2 Có C35 · C34 · C13 cách chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng. Có C45 · C34 · C03 cách chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 0 bông hồng trắng. Có C35 · C44 · C03 cách chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ và 0 bông hồng trắng. Vậy có C35 · C34 · C13 + C45 · C34 · C03 + C35 · C44 · C03 = 120 + 20 + 10 = 150 cách chọn 7 bông hoa, trong đó có ít nhất 3 bông hồng trắng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.  Bài 20. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng? ĐS: 60480 2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng? ĐS: 579600 (Đại học Quốc gia Tp. HCM, khối A, đợt 2, 2000) Lời giải. 1 Cách 1: Chọn bất kì 6 cuốn sách từ 5 cuốn sách văn học và 4 cuốn sách âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9. Ta có C69 cách lấy 6 cuốn sách mà không có sách hội họa, với mỗi cách lấy ta có 6! cách tặng. Vậy số cách tặng là C69 · 6! = 60480 cách. 148 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Cách 2: Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn sách (gồm 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc) có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là A69 = 60480 cách. 2 Có C612 cách chọn 6 cuốn sách bất kì, trong đó Có C55 · C17 cách chọn 6 cuốn sách trong đó đó 5 cuốn văn học. Có C44 · C28 cách chọn 6 cuốn sách trong đó đó 4 cuốn âm nhạc. Có C33 · C39 cách cọn 6 cuốn sách trong đó đó 3 cuốn hội họa. Vậy có C612 − C55 · C17 − C44 · C28 − C33 · C39 = 805 cách chọn 6 cuốn sách mà sau khi chọn xong mỗi một trong 3 loại sách văn học, âm nhạc và hội họa còn lại ít nhất một cuốn. Với mỗi cách chọn ta có 6! cách tặng. Vậy số cách tặng thỏa đề bài là 805 · 6! = 579600 cách.  DẠNG 0.15. Bài toán chọn về người - Dùng tổ hợp Bài 1. Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban đại diện gồm 5 người sao cho 1 Không phân biệt nam nữ. 2 Có đúng 2 nữ. ĐS: 252 ĐS: 120 Lời giải. 1 Chọn 5 người không xếp thứ tự trong 10 người là một tổ hợp chập 5 của 10. Vậy ta có C510 = 252 cách. 2 Chọn 2 nữ trong 4 nữ là một tổ hợp chập 2 của 4. Vậy có C24 cách. Chọn 3 nam trong 6 nam là một tổ hợp chập 3 của 6. Vậy có C36 cách. Do đó có C24 · C36 = 120 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 2. Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. 1 Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 6 người? 2 Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 6 người, trong đó có nhiều nhất là 2 nữ? ĐS: 3003 ĐS: 1414 Lời giải. 1 Chọn không xếp thứ tự 6 người trong 14 người là một tổ hợp chập 6 của 14. Vậy ta có C614 = 3003 cách chọn. 2 Chọn 2 nữ trong 6 nữ là một tổ hợp chập 2 của 6. Vậy ta có C26 cách. Chọn 4 nam trong 8 nam là một tổ hợp chập 4 của 8. Vậy ta có C48 cách. Do đó, có tổng cộng C26 · C48 cách chọn 6 người trong đó có 4 nam và 2 nữ. Tương tự, có C16 · C58 cách chọn 6 người trong đó có 5 nam và 1 nữ và C06 · C68 cách chọn 6 người trong đó không có nữ. Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là C26 · C48 + C16 · C58 + C06 · C68 = 1050 + 336 + 28 = 1414 (cách).  DẠNG 0.16. Bài toán chọn về người - Dùng tổ hợp 149 Bài 3. Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban đại diện gồm 5 người sao cho 1 Không phân biệt nam nữ? 2 Có đúng 2 nữ? ĐS: 1) 252, 2) 120 Lời giải. 1 Số cách chọn 5 người không thứ tự trong 10 người bằng số tổ hợp chập 5 của 10. 10! Do đó, có C510 = = 252 cách. 5! · 5! 2 Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ bằng số tổ hợp chập 2 của 4. Do đó, có C24 cách. Số cách chọn 3 nam trong 6 nam bằng số tổ hợp chập 3 của 6. Do đó, có C36 cách. Vậy, có C24 · C36 = 120 cách thỏa mãn.  Bài 4. Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. 1 Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 6 người? 2 Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 6 người, trong đó có nhiều nhất là 2 nữ? ĐS: 1) 3003, 2) 1414 Lời giải. 1 Số cách chọn không thứ tự 6 người trong 14 người bằng số tổ hợp chập 6 của 14. Do đó, có C614 = 3003 cách. 2 Số cách chọn 2 nữ trong 6 nữ bằng số tổ hợp chập 2 của 6. Do đó, có C26 cách. Số cách chọn 4 nam còn lại trong 8 nam bằng số tổ hợp chập 4 của 8. Do đó, có C48 cách. Vậy, trong trường hợp này có C26 · C48 cách. Tương tự ta có C16 · C58 cách chọn trong đó có đúng 1 nữ. C06 · C68 cách chọn trong đó không có bạn nữ nào. Vậy, có tất cả C26 · C48 + C16 · C58 + C68 = 1050 + 336 + 28 = 1414 cách.  Bài 5. Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 6 người sao cho 1 Số nam và nữ bằng nhau? 2 Có ít nhất 5 nữ? ĐS: 1) 136800, 2) 5250 Lời giải. 1 Số nam, nữ bằng nhau nên nam có 3 người và nữ có 3 người trong ban cán sự. Số cách chọn không thứ tự 3 nam trong 20 nam bằng số tổ hợp chập 3 của 20. Do đó, có C320 cách. Số cách chọn không thứ tự 3 nữ trong 10 nữ bằng số tổ hợp chập 3 của 10. Do đó, có C310 cách. Vậy, số cách chọn thỏa mãn là C320 · C310 = 136800 cách. 2 Có C510 · C120 cách chọn có 5 nữ và 1 nam. Có C610 · C020 cách chọn có 6 nữ và 0 nam. Do đó, có C510 · C120 + C610 · C020 = 5250 cách thỏa mãn. 150 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN  Bài 6. Trong một buổi biểu diễn văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp lên biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 40320 Lời giải. Số cách chọn có thứ tự 3 nam trong 8 nam bằng số chỉnh hợp chập 3 của 8. Do đó, có A38 cách. Số cách chọn có thứ tự 3 nữ trong 6 nữ bằng số chỉnh hợp chập 3 của 6. Do đó, có A36 cách. Vậy, có A38 · A36 = 40320 cách chọn thỏa mãn.  Bài 7. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để 1 Có nhiều nhất 2 nữ? 2 Có ít nhất 3 nam? ĐS: 1) 1260, 2) 810 Lời giải. 1 Có C25 · C210 cách chọn có 2 nữ và 2 nam. Có C15 · C310 cách chọn có 1 nữ và 3 nam. Có C05 · C410 cách chọn có 0 nữ và 4 nam. Do đó, có tất cả C25 · C210 + C15 · C310 + C05 · C410 = 1260 cách. 2 Có C310 · C15 cách chọn có 3 nam và 1 nữ. Có C410 · C05 cách chọn có 4 nam và 0 nữ. Do đó, có C310 · C15 + C410 · C05 = 810 cách.  Bài 8. Một tổ học sinh gồm 6 nam và 5 nữ. Chọn từ đó ra 3 học sinh làm vệ sinh. Có bao nhiêu cách chọn trong đó có ít nhất 1 nam sinh? ĐS: 155 Lời giải. Cách 1. Có C16 · C25 cách chọn có 1 nam và 2 nữ. Có C26 · C15 cách chọn có 2 nam và 1 nữ. Có C36 · C05 cách chọn có 3 nam và 0 nữ. Do đó, có tất cả C16 · C25 + C26 · C15 + C36 · C05 = 155 cách. Cách 2. Chọn bất kì 3 học sinh trong tổng số 11 học sinh có C311 cách. Chọn 3 nữ sinh bất kì trong 5 nữ sinh có C35 cách. Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C311 − C35 = 155 cách.  Bài 9. Một lớp có 15 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn từ đó ra 4 học sinh để lập một tốp ca. Có bao nhiêu cách chọn khác nhau 1 Nếu có ít nhất 2 nữ? 2 Có đúng 2 nữ? ĐS: 1) 19215, 2) 11025 Lời giải. 151 1 Cách 1. Có C215 · C215 cách chọn có 2 nữ và 2 nam. Có C315 · C115 cách chọn có 3 nữ và 1 nam. Có C415 · C015 cách chọn có 4 nữ và 0 nam. Do đó, có tất cả C215 · C215 + C315 · C115 + C415 · C015 = 19215 cách. Cách 2. Có C430 cách chọn 4 học sinh bất kì. Trong đó có chứa trường hợp C115 · C315 (1 nữ và 3 nam) và trường hợp C015 · C415 (0 nữa và 4 nam). Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C430 − C115 · C315 − C015 · C415 = 19215 cách. 2 Chọn 2 học sinh nữ trong tổng số 15 học sinh nữ có C215 cách. Chọn 2 học sinh nam trong tổng số 15 học sinh nam có C215 cách. Do đó, có C215 · C215 = 11025 cách.  Bài 10. Một lớp có 20 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để được 3 học sinh cùng phái? ĐS: 1595 Lời giải. Có C320 cách chọn 3 học sinh nam. Có C315 cách chọn 3 học sinh nữ. Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C320 + C315 = 1595 cách.  Bài 11. Một lớp có 20 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để được 3 học sinh khác phái? ĐS: 4950 Lời giải. Có C220 · C115 cách chọn có 2 nam và 1 nữ. Có C120 · C215 cách chọn có 1 nam và 2 nữ. Do đó, có tất cả C220 · C115 + C120 · C215 = 4950 cách.  Bài 12. Một lớp có 20 học sinh, trong đó có Duân. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh làm vệ sinh, trong đó nhất thiết phải có Duân? ĐS: 3876 Lời giải. Trong 5 người được chọn luôn có Duân, chọn 4 học sinh còn lại chọn trong 19 học sinh có C419 = 3876 cách.  Bài 13. Một nhóm học sinh có 5 trai và 6 gái. Chọn từ đó ra 4 em học sinh để làm ban đại diện. Có bao nhiêu cách chọn trong đó có ít nhất 2 trai và 1 gái? ĐS: 210 Lời giải. Có C25 · C26 cách chọn có 2 trai và 2 gái. Có C35 · C16 cách chọn có 3 trai và 1 gái. Do đó, có tất cả C25 · C26 + C35 · C16 = 210 cách. Bài 14. Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn từ đó ra 6 học sinh để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau 1 Nếu có ít nhất 2 nữ?  152 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2 Nếu chọn tùy ý? ĐS: 1) 5413695, 2) 8145060 Lời giải. 1 Cách 1. Có C215 · C430 cách chọn có 2 nữ và 4 nam. Có C315 · C330 cách chọn có 3 nữ và 3 nam. Có C415 · C230 cách chọn có 4 nữ và 2 nam. Có C515 · C130 cách chọn có 5 nữ và 1 nam. Có C615 · C030 cách chọn có 6 nữ và 0 nam. Do đó, có tất cả C215 · C430 + C315 · C330 + C415 · C230 + C515 · C130 + C615 · C030 = 5413695 cách. Cách 2. Có C645 cách chọn 1 tốp ca tùy ý. Trong đó có chứa trường hợp C115 · C530 (1 nữ và 5 nam) và trường hợp C015 · C630 (0 nữ và 6 nam). Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C645 − C115 · C530 − C015 · C630 = 5413695 cách. 2 Nếu chọn tùy ý ta sẽ có C645 = 8145060 cách.  Bài 15. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho 1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó? 2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó? ĐS: 1) 5400, 2) 12900 Lời giải. 1 Số cách chọn 2 nam trong tổng số 10 nam bằng số tổ hợp chập 2 của 10. Do đó, có C210 cách. Số cách chọn 3 nữ trong tổng số 10 nữ bằng số tổ hợp chập 3 của 10. Do đó, có C310 cách. Vậy, có C210 · C310 = 5400 cách chọn thỏa mãn. 2 Cách 1. Có C210 · C310 cách chọn có 2 nam và 3 nữ. Có C310 · C210 cách chọn có 3 nam và 2 nữ. Có C410 · C110 cách chọn có 4 nam và 1 nữ. Do đó, có tất cả C210 · C310 + C310 · C210 + C410 · C110 = 12900 cách. Cách 2. Có C520 cách chọn 5 người bất kì. Có C110 · C410 cách chọn có 1 nam và 4 nữ. Có C010 · C510 cách chọn có 0 nam và 5 nữ. Có C510 · C010 cách chọn có 5 nam và 0 nữ. Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C520 − C110 · C410 − C010 · C510 − C510 · C010 = 12900 cách.  Bài 16. Từ một tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 4 người thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp 1 Không có điều kiện gì thêm? 2 Tổ chỉ gồm 4 nam? 3 Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ? ĐS: 1) 70, 2) 5, 3) 30 Lời giải. 153 1 Số cách chọn bất kì 4 người trong 8 người bằng số tổ hợp chập 4 của 8. Do đó, có C48 = 70 cách. 2 Số cách chọn 4 nam trong 5 nam bằng số tổ hợp chập 4 của 5. Do đó, có C45 = 5 cách. 3 Có C25 cách chọn 2 nam. Có C23 cách chọn 2 nữ. Do đó, có C25 · C23 = 30 cách chọn 4 người có đúng 2 nam và 2 nữ.  Bài 17. Một lớp có 20 em học sinh, trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một đội gồm 4 học sinh trong đó có 1 Số nam và nữ bằng nhau? 2 Có ít nhất 1 nữ? ĐS: 1) 1365, 2) 3844 Lời giải. 1 Có C214 cách chọn 2 nam sinh. Có C26 cách chọn 2 nữ sinh. Do đó, có C214 · C26 = 1365 cách. 2 Cách 1. Có C16 · C314 cách chọn có 1 nữ và 3 nam. Có C26 · C214 cách chọn có 2 nữ và 2 nam. Có C36 · C114 cách chọn có 3 nữ và 1 nam. Có C46 · C014 cách chọn có 4 nữ và 0 nam. Do đó, có tất cả C16 · C314 + C26 · C214 + C36 · C114 + C46 · C014 = 3844 cách. Cách 2. Có C420 cách chọn 4 học sinh bất kì, trong đó có C414 cách chọn 4 học sinh không có nữ. Do đó, số cách chọn thỏa mãn là C420 − C414 = 3844 cách.  Bài 18. Có 10 học sinh, trong đó có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 3 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để 1 Trong nhóm được chọn mỗi loại có 1 học sinh? 2 Trong nhóm được chọn không có học sinh trung bình? ĐS: 1) 36, 2) 35 Lời giải. 1 2 Có C13 cách chọn 1 học sinh giỏi. Có C14 cách chọn 1 học sinh khá. Có C13 cách chọn 1 học sinh trung bình. Do đó, có C13 · C14 · C13 = 36 cách chọn 3 học sinh, mỗi loại có 1 học sinh. Trong nhóm được chọn không có học sinh trung bình, nên số cách chọn 3 học sinh là số tổ hợp chập 3 của 7 học sinh giỏi và khá. Do đó số cách chọn là C37 = 35 cách chọn.  Bài 19. Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mít tinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 1260 Lời giải. 154 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Có C17 · C46 cách chọn 5 học sinh có 1 nam và 4 nữ. Có C27 · C36 cách chọn 5 học sinh có 2 nam và 3 nữ. Có C37 · C26 cách chọn 5 học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có C47 · C16 cách chọn 5 học sinh có 4 nam và 1 nữ. Do đó, có C17 · C46 + C27 · C36 + C37 · C26 + C47 · C16 = 1260 cách chọn.  Bài 20. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. 1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm để giao nhiệm vụ khác nhau sao cho mỗi nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau? 2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam? ĐS: 1) 120, 2) 66 Lời giải. 1 Theo đề thì mỗi nhóm phải có đúng 3 nữ và 2 nam. Có C36 cách chọn 3 nữ. Có C24 cách chọn 2 nam. Do đó, có C36 · C24 = 120 cách chia 2 nhóm, mỗi nhóm có 5 người gồm 3 nữ và 2 nam. 2 Cách 1. Có C510 cách chọn 5 người bất kì, trong đó Có C24 · C36 cách chọn 5 người có 2 nam và 3 nữ. Có C34 · C26 cách chọn 5 người có 3 nam và 2 nữ. Có C44 · C16 cách chọn 5 người có 4 nam và 1 nữ. Do đó, có C510 − C24 · C36 − C34 · C26 − C44 · C16 = 66 cách chọn 5 người trong đó có không quá 1 nam. Cách 2. Có C14 · C46 cách chọn 5 người có 1 nam và 4 nữ. Có C04 · C56 cách chọn 5 người có 0 nam và 5 nữ. Do đó, có C14 · C46 + C04 · C56 = 66 cách chọn thỏa đề.  Bài 21. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, để giao nhiệm vụ khác nhau, sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá? ĐS: 7560 Lời giải. Ta chọn 8 học sinh thỏa đề bài vào tổ 1, 8 học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai. Có C13 · C25 · C58 cách chọn tổ có 1 học sinh giỏi, 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có C23 · C35 · C38 cách chọn tổ có 2 học sinh giỏi, 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Có C13 · C35 · C48 cách chọn tổ có 1 học sinh giỏi, 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Có C23 · C25 · C48 cách chọn tổ có 2 học sinh giỏi, 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Vậy có C13 · C25 · C58 + C23 · C35 · C38 + C13 · C35 · C48 + C23 · C25 · C48 = 7560 cách chia tổ.  155 Bài 22. Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm công tác phong trào “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất 1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam? 2 Một học sinh nữ và một học sinh nam? ĐS: 1) 10800, 2) 15000 Lời giải. a) Có C210 · C310 cách chọn 5 học sinh có 2 nữ và 3 nam. Có C310 · C210 cách chọn 5 học sinh có 3 nữ và 2 nam. Do đó, có C210 · C310 + C310 · C210 = 10800 cách chọn. b) Có C520 cách chọn 5 học sinh bất kỳ. Trong đó Có C010 · C510 cách chọn 5 học sinh có 0 nữ và 5 nam. Có C510 · C010 cách chọn 5 học sinh có 5 nữ và 0 nam. Do đó, có C520 − C010 · C510 − C510 · C010 = 15000 cách chọn.  Bài 23. Một chi đoàn có 51 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm gồm có 1 Một bí thư và một lớp phó học tập? 2 Một bí thư và 6 ủy viên? ĐS: 1) 2550, 2) 810425700 Lời giải. 1 2 Có 51 cách chọn một bí thư. Có 50 cách chọn một lớp phó học tập. Do đó, có 50 · 51 = 2550 cách. Có 51 cách chọn một bí thư và C650 cách chọn 6 ủy viên. Do đó, có 51 · C650 = 810425700 cách.  Bài 24. Một đội ngủ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nam. Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học. Có bao nhiêu cách chọn nếu 1 Chọn tùy ý? 2 Trong 4 người phải có nữ và phải có đủ 3 bộ môn? ĐS: 780 Lời giải. 1 2 Chọn tùy ý 4 người trong 16 người là một tổ hợp chập 4 của 16. Do đó, có C416 = 1820 cách. Có C15 · C18 · C23 cách chọn 1 nữ vật lý, 1 nam toán học, 2 nam hóa học. Có C15 · C28 · C13 cách chọn 1 nữ vật lý, 2 nam toán học, 1 nam hóa học. Có C25 · C18 · C13 cách chọn 2 nữ vật lý, 1 nam toán học, 1 nam hóa học. Do đó, có C15 · C18 · C23 + C15 · C28 · C13 + C25 · C18 · C13 = 780 cách.  156 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 25. Một tổ có 10 học sinh. Chọn từ đó ra 4 học sinh để lập ban đại diện. 1 Có bao nhiêu cách chọn? 2 Có bao nhiêu cách chọn nếu cô Anh và cậu Tâm không chịu làm việc chung với nhau? 3 Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu Oai và cô Hiền phải làm việc chung mới chịu? ĐS: 1) 210, 2) 182, 3) 98 Lời giải. 1) Chọn bất kì 4 học sinh trong 10 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 10, do đó có C410 = 210 cách. 2) Cách 1. Trong C410 có C28 trường hợp cô Anh và cậu Tâm làm việc chung với nhau. Do đó có C410 − C28 = 182 cách chọn nếu cô Anh và cậu Tâm không làm việc chung với nhau. Cách 2. Có C38 cách chọn trong đó có Anh và không có Tâm. Có C38 cách chọn trong đó có cậu Tâm và không có Anh. Có C48 cách chọn không có cả Anh lẫn Tâm. Do đó, có C38 + C38 + C48 = 182 cách. 3) Cách 1. Có C28 cách chọn có cả Oai và Hiền trong ban đại diện. Có C48 cách chọn không có cả Oai và Hiền trong ban đại diện. Do đó, có C28 + C48 = 98 cách chọn nếu Oai và Hiền không chịu rời nhau. Cách 2. 3 Trong C410 có C38 trường hợp
có Oai và không có Hiền và có C8 trường hợp có Hiền và không có Oai. 4 3 3 Do đó, có C10 − C8 + C8 = 98 cách nếu Oai và Hiền không chịu rời nhau.  Bài 26. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị học sinh của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp? ĐS: 324 Lời giải. Cách 1. Có C12 · C218 cách cử 3 người có 1 cán bộ lớp. Có C22 · C118 cách cử 3 người có 2 cán bộ lớp. Do đó, có C12 · C218 + C22 · C118 = 324 cách. Cách 2. Có C320 cách cử 3 người bất kì. Trong C320 có C318 cách cử 3 người không có 2 cán bộ lớp. Vậy số cách cử 3 người có ít nhất một cán bộ lớp là C320 − C318 = 324 cách. Bài 27. Một lớp có 51 học sinh gồm 29 nữ và 22 nam thì có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu 1 Mọi người đều vui vẻ tham gia?  157 2 Cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung với nhau? 3 Anh Bính và chị Hằng không thể làm việc chung với nhau? ĐS: 1) 2349060, 2) 1925308, 3)2330636 Lời giải. 1 2 3 Mọi người đều vui vẻ tham gia ta chọn tùy ý 5 người trong 51 tức là một tổ hợp chập 5 của 51, có C551 = 2349060 cách. Trường hợp cả Huy và Thục cùng tham gia vào ban cán sự, ta có C349 cách chọn. Trường hợp cả Huy và Thục đều không tham gia vào ban cán sự, ta có C549 cách chọn. Do đó, có C349 + C549 = 1925308 cách. Có C551 cách chọn ban cán sự trong đó có C349 trường hợp anh Bính và chị Hằng cùng tham gia vào ban cán sự. Do đó, có C551 − C349 = 2330636 cách chọn không đồng thời chứa cả Bính và Hằng.  Bài 28. Một lớp học có 20 học sinh, cần chọn ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 5 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 3255840 Lời giải. Có C120 cách chọn 1 lớp trưởng. Có C119 cách chọn 1 lớp phó. Có C518 cách chọn 5 ủy viên. Do đó, có C120 · C119 · C518 = 3255840 cách. Bài 29. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong trường hợp 1 Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. 2 Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. Lời giải. 1) Cách 1. Có C16 · C58 cách chọn tổ có 1 nam và 5 nữ. Có C26 · C48 cách chọn tổ có 2 nam và 4 nữ. Có C36 · C38 cách chọn tổ có 3 nam và 3 nữ. Có C46 · C28 cách chọn tổ có 4 nam và 2 nữ. Có C56 · C18 cách chọn tổ có 5 nam và 1 nữ. Do đó, có C16 · C58 + C26 · C48 + C36 · C38 + C46 · C28 + C56 · C18 = 2974 cách chọn tổ. Cách 2. Có C614 cách chọn tổ có 6 người. Trong đó Có C66 cách chọn tổ chỉ có toàn nam. Có C68 cách chọn tổ chỉ có toàn nữ. Do đó, có C614 − C66 − C68 = 2974 cách chọn tổ.  158 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 2) Có 14 cách chọn tổ trưởng và có C513 cách chọn 5 tổ viên. Do đó, có 14 · C513 cách chọn tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên. Bây giờ, ta tìm số trường hợp mà An và Bình cùng có mặt trong tổ. Nếu chọn tổ trưởng không trùng An và Bình thì – Có 12 cách chọn tổ trưởng. – Có C311 cách chọn 3 tổ viên còn lại. Do đó, có 12 · C311 cách chọn tổ. Nếu chọn tổ trưởng trùng An hoặc trùng Bình thì – Có 2 cách chọn tổ trưởng. – Có C412 cách chọn 4 tổ viên còn lại. Do đó, có 2 · C412 cách chọn tổ. Vậy có tất cả 14 · C513 − 12 · C311 − 2 · C412 = 15048 cách chọn tổ.  DẠNG 0.17. Bài toán phân chia tập hợp - dùng tổ hợp Bài 30. Có 10 em học sinh đi học ngoại ngữ, trong đó có 2 em đã biết ngoại ngữ. Thầy giáo muốn chia thành 2 nhóm với số lượng học sinh bằng nhau. Có bao nhiêu cách chia để cho 2 em đã biết ngoại ngữ về hai nhóm khác nhau? ĐS: 140 Lời giải. Trong 10 học sinh đã có 2 em biết ngoại ngữ còn lại 8 học sinh chưa biết ngoại ngữ. 8 học sinh này chia đều cho 2 nhóm ta có C48 cách chia các học sinh chưa biết ngoại ngữ. 2 học sinh đã biết ngoại ngữ chia đều cho 2 nhóm ta có C12 cách chia. Vậy có tất cả C48 · C12 = 140 cách.  Bài 31. Một lớp có 20 học sinh gồm 10 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chia thành 2 nhóm bằng nhau sao cho trong mỗi nhóm số lượng học sinh nam bằng số lượng học sinh nữ? ĐS: 63504 Lời giải. Để mỗi nhóm có số lượng học sinh nam bằng số lượng học sinh nữ thì mỗi nhóm có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Vậy có tất cả C510 · C510 = 63504 cách.  Bài 32. Một gia đình có 15 vệ sĩ. Trong đó có 3 người làm nhiệm vụ bảo vệ bà mẹ, 5 người bảo vệ cho người cha, số còn lại bảo vệ cho cô con gái đầu lòng. Có bao nhiêu cách phân công như vậy? ĐS: 360360 Lời giải. Chọn 3 người bảo vệ bà mẹ ta có C315 cách chọn. Chọn 5 người bảo vệ người cha ta có C512 cách chọn. Số còn lại bảo vệ cho cô con gái ta có C77 cách chọn. Vậy có tất cả C315 · C512 · C77 = 360360 cách phân công.  Bài 33. Một lớp có 50 học sinh được chia thành 5 tổ. Mỗi tổ có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách chia tổ? 10 10 10 10 ĐS: C10 50 · C40 · C30 · C20 · C10 Lời giải. 159 Tổ thứ nhất có 10 học sinh được chọn bất kì trong 50 học sinh là một tổ hợp chập 10 của 50: C10 50 . Tổ thứ hai có 10 học sinh được chọn bất kì trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 10 của 40: C10 40 . Tổ thứ ba có 10 học sinh được chọn bất kì trong 30 học sinh là một tổ hợp chập 10 của 30: C10 30 . Tổ thứ tư có 10 học sinh được chọn bất kì trong 20 học sinh là một tổ hợp chập 10 của 20: C10 20 . Tổ thứ năm có 10 học sinh được chọn bất kì trong 10 học sinh là một tổ hợp chập 10 của 10: C10 10 . 10 10 10 10 Vậy có tất cả C10 50 · C40 · C30 · C20 · C10 cách chia tổ.  Bài 34. Một tổ có 8 học sinh đi trồng cây. Khi trồng một cây cần có 2 em học sinh. Có bao nhiêu cách chia tổ thành những cặp như vậy? ĐS: 2520 Lời giải. Có C28 cách chọn cặp thứ nhất. Có C26 cách chọn cặp thứ hai. Có C24 cách chọn cặp thứ ba. Có C22 cách chọn cặp thứ tư. Vậy có tất cả C28 · C26 · C24 · C22 = 2520 cách.  Bài 35. 1 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 2 Khai triển đa thức P (x) = (1 + 2x)12 thành dạng a0 + a1 x1 + a2 x2 + · · · + a12 x12 . Tìm max (a1 , a2 , . . . , a12 ). ĐS: 1) 1260 2) 126720 Lời giải. 1 Có C39 cách chọn người làm nhiệm vụ ở địa điểm A. Có C26 cách chọn người làm nhiệm vụ ở địa điểm B. Có C44 cách chọn người thường trực tại đồn. Vậy có tất cả C39 · C26 · C44 = 1260 cách. 12 2 Ta thấy (1 + 2x)12 = C012 + C112 (2x)1 + C212 (2x)2 + · · · + C12 12 (2x) . Suy ra ak = Ck12 2k với mọi 0 ≤ k ≤ 12, k ∈ N. Ta thấy k+1 ak < ak+1 ⇔ Ck12 · 2k < Ck+1 12 · 2 12! 12! ⇔ < ·2 k!(12 − k)! (k + 1)!(11 − k)! 1 2 ⇔ < 12 − k k+1 23 ⇔ k< . 3 Mà k là số tự nhiên nên k ≤ 7. Vậy max (a1 , a2 , . . . , a12 ) = a8 = C812 28 = 126720.  160 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Bài 36. Cho một tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau. Xét các tập con không rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp trên. Hãy tính xem có bao nhiêu tập hợp con như vậy? ĐS: 511 Lời giải. Số tập hợp con khác rỗng và chứa chẵn phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là T = C210 + C410 + · · · + C10 10 . Để tính T ta xét các khai triển sau 210 = (1 + 1)10 = 0 10 10 = (1 − 1) = C010 + C110 + · · · + C10 10 (1) C010 (2) − C110 + ··· + C10 10 . 10 = 2(1 + T ). Cộng 2 vế của (1) và (2) ta được 210 = 2(C010 + C210 + · · · + C10 10 ). Suy ra 2 9 Vậy T = 2 − 1 = 511. Nhận xét. Tương tự như quá trình suy luận ở trên rút ta ra đẳng thức C0n + C2n + · · · + Cnn = 2n−1 . Từ đó có thể giải bài toán trên trong trường hợp tổng quát khi tập hợp ban đầu có n phần tử với n ∈ N.  Bài 37. Cho A là một tập hợp chứa 20 phần tử. 1 Có bao nhiêu tập hợp con của A? 2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? ĐS: 1) 220 2) 219 − 1 Lời giải. 1 Số tập con của A có 0 phần tử (tập rỗng) là C020 . Số tập con của A có 1 phần tử là C120 . ... Số tập con của A có 20 phần tử là C20 20 . 20 = 220 . Vậy số tập con của A là C020 + C120 + · · · + C20 20 = (1 + 1) 2 Số tập hợp con khác rỗng của A chứa chẵn phần tử là T = C220 + C420 + · · · + C20 20 . Để tính T ta xét các khai triển sau 220 = (1 + 1)20 = 20 0 20 = (1 − 1) = C020 + C120 + · · · + C20 20 (1) C020 (2) − C120 + ··· + C20 20 . Cộng 2 vế của (1) và (2) ta được 220 = 2(C020 + C220 + · · · + C20 20 ). 20 19 Suy ra 2 = 2(1 + T ). Vậy T = 2 − 1.  DẠNG 0.18. Đếm số điểm, số đoạn thẳng, số góc, số đa giác, số miền 161 Bài 38. Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo? ĐS: n(n − 3) 2 Lời giải. Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta được một đường chéo hay một cạnh. Như vậy, số các cặp đỉnh tạo thành một đường chéo hay một cạnh là C2n . n(n − 3) Vì đa giác có n cạnh nên số đường chéo là C2n − n = .  2 Bài 39. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm. Trên đường thứ hai có 15 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? ĐS: 1725 Lời giải. Tam giác tạo bởi một điểm trên đường thứ nhất và hai điểm trên đường thứ hai ta có: 10 · C215 tam giác. Tam giác tạo bởi hai điểm trên đường thứ nhất và một điểm trên đường thứ hai ta có: C210 · 15 tam giác. Vậy có 10 · C215 + C210 · 15 = 1725 tam giác. Bài 40. Trên một đường tròn có 10 điểm. Có bao nhiêu tam giác nhận các điểm đó làm đỉnh?  ĐS: 120 Lời giải. Mỗi tam giác có 3 đỉnh ứng với 3 trong 10 điểm đã cho. Vậy số tam giác tạo thành là C310 = 120 tam giác.  Bài 41. Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 10 cạnh. 1 Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác? 2 Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh của đa giác? 3 Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh của đa giác? 4 Có bao nhiêu tam giác không chứa cạnh nào của đa giác? ĐS: 1) 120 2) 10 3) 60 4) 50 Lời giải. 1 Đa giác có 10 cạnh tương ứng có 10 đỉnh. Chọn 3 đỉnh trong 10 đỉnh ta sẽ được một tam giác. Vậy số tam giác tạo thành là C310 = 120 tam giác. 2 Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác là tam giác chứa hai cạnh của đa giác. Các tam giác đó là A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , . . . , A9 A10 A1 , A10 A1 A2 . Vậy có 10 tam giác cần tìm. 3 Tam giác có đúng một cạnh của đa giác là tam giác chứa 2 đỉnh thuộc một cạnh của đa giác và đỉnh thứ 3 là đỉnh không kề với 2 đỉnh đó, có 6 đỉnh không kề như vậy. Vậy với một cạnh sẽ có 6 tam giác thỏa yêu cầu. Đa giác có 10 cạnh nên có tất cả 10 · 6 = 60 tam giác thỏa yêu cầu bài toán. 4 Trong C310 tam giác có 10 tam giác chứa 2 cạnh của đa giác, có 60 tam giác chứa 1 cạnh của đa giác. Như vậy, có C310 − 10 − 60 = 50 tam giác không chứa cạnh nào của đa giác.  Bài 42. Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng. Số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. 1 Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? 2 Có bao nhiêu tứ diện? Lời giải. ĐS: 1) C3p − C3q + 1 2) C4p − C4q 162 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN 1 Mỗi mặt phẳng chứa 3 trong p điểm ⇒ số mặt phẳng là tổ hợp chập 3 của p: C3p . Nhưng trong đó có q điểm đồng phẳng tức q điểm này xác định một mặt phẳng. Số mặt phẳng tạo ra từ q điểm này là C3q ta xem như một mặt phẳng lớn. Vậy số mặt phẳng mặt phẳng cần tìm là: C3p − C3q + 1. 2 Một tứ diện có 4 đỉnh tương ứng với 4 điểm không đồng phẳng trong p điểm. Chọn bất kì 4 điểm trong p điểm trên là một tổ hợp chập 4 của p: C4p . Trong C4p có chứa C4q không phải tứ diện. Vậy số tứ diện cần tìm là C4p − C4q .  Bài 43. Trên mặt phẳng, cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A1 A2 . . . A10 . Xét tất cả các tam giác mà các đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác? ĐS: 50 Lời giải. Có C310 = 120 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của thập giác. Có 10 tam giác có hai cạnh là cạnh của thập giác. Có 10 · 6 = 60 tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác. Vậy có 120 − 10 − 60 = 50 tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác.  Bài 44. Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. 1 Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh của H ? 2 Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H ? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào của H ? ĐS: 1) 20 2) 800 Lời giải. 1 Đa giác có 20 cạnh nên đa giác có 20 đỉnh. Các đa giác có 3 đỉnh là đỉnh của H suy ra số các tam giác là một tổ hợp chập 3 của 20: C320 = 1140 tam giác. Tam giác có đúng 2 cạnh của đa giác là tam giác được tạo bởi 3 đỉnh liên tiếp của đa giác. Đó là các tam giác A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A5 , . . . , A19 A20 A1 , A20 A1 A2 . Vậy số các tam giác có đúng 2 cạnh của H là 20 tam giác. 2 Chọn một cạnh của H và bỏ đi 2 cạnh ở hai bên cạnh đã chọn, tức bỏ đi 4 đỉnh, còn lại 16 đỉnh. Ứng với một trong 16 đỉnh này và một cạnh đã chọn ban đầu ta có một tam giác có đúng một cạnh của H, nên có 16 tam giác ứng với một cạnh đã chọn ban đầu của H. Vậy số tất cả các tam giác cần tìm là 16 · 20 = 320 tam giác. Từ trên ta suy ra số các tam giác không chứa cạnh nào của H là 1140 − 20 − 320 = 800 tam giác.  Bài 45. Trong một mặt phẳng có 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành ? ĐS: 1620 Lời giải. Một hình bình hành là một cách chọn của hai đường thẳng di k dj trong số 9 đường thẳng song song và hai đường thẳng 4i k 4j trong số 10 đường thẳng song song. Như vậy có C29 · C210 = 1620 hình bình hành.  Bài 46. Kẻ tất cả các đường chéo của một đa giác lồi 7 cạnh. Biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng quy. Có bao nhiêu giao điểm của hai đường chéo nằm trong đa giác ? ĐS: 35 163 Lời giải. Mỗi giao điểm của hai đường chéo tương ứng duy nhất với một tứ giác lồi có các đỉnh là các đỉnh của đa giác. Do đó có bao nhiêu tứ giác thì có bấy nhiêu giao điểm của hai đường chéo nằm trong đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm là C47 = 35.  Bài 47. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từ cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm nhiều nhất có thể của các đường thẳng vuông góc đó ? (không kể 5 điểm đã cho). ĐS: 320 Lời giải. Đường thẳng cần dựng là đường thẳng qua 2 điểm suy ra có C25 = 10 đường thẳng. Với mỗi điểm, chẳng hạn A có 4 đường thẳng đi qua A và 6 đường thẳng không đi qua A. Từ A kẻ được C24 = 6 đường thẳng vuông góc góc xuống các đường thẳng không đi qua A. Xét 2 điểm bất kì B 6= A. Các đường thẳng vuông góc từ B xuống các đường thẳng qua A cắt tất cả các đường thẳng vuông góc hạ từ A. Có 3 đường thẳng qua A mà không qua B. Vậy từ B ta hạ được 3 đường thẳng vuông góc với 3 đường thẳng đó. Ba đường thẳng vuông góc này cắt 6 đường thẳng vuông góc ha từ A tại 3 · 6 = 18 điểm. Hạ từ B còn có 3 đường thẳng vuông góc nữa, mỗi đường thẳng này sẽ cắt 5 đường thẳng vuông góc hạ từ A (nó song song với một đường còn lại). Vậy có thêm 3 · 5 = 15 giao điểm. Suy ra có tổng cộng 10(18 + 15) = 330 giao điểm. Nhưng cứ mỗi 3 giao điểm lại tạo thành một tam giác mà 3 đường cao của nó là 3 đường vuông góc đã xét. Vậy các trực tâm của các tam giác này được kể 3 lần, mà số tam giác được tạo thành là C35 = 10. Suy ra số giao điểm nhiều nhất có thể có là 330 − 10 = 320.  Bài 48. Trong mặt phẳng cho 3 điểm A, B, C. Từ A dựng m đường thẳng, từ B dựng n đường thẳng, từ C dựng p đường thẳng. Trong số các đường thẳng vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng qui và không có cặp đường thẳng nào song song. Tìm số các tam giác tạo bởi các đường thẳng dựng từ 3 điểm A, B, C. Trừ ba điểm A, B, C. ĐS: C3mn+np+pm − mC3n+p − nC3m+p − pC3m+n Lời giải. Số các giao điểm nằm trên 1 đường thẳng kẻ từ A là n + p. Số các giao điểm nằm trên 1 đường thẳng kẻ từ B là m + p. Số các giao điểm nằm trên 1 đường thẳng kẻ từ C là m + n. Suy ra tổng tất cả các giao điểm là 1 [m(n + p) + n(m + p) + p(m + n)] = mn + np + pm. 2 Một bộ ba giao điểm không thẳng hàng sẽ tạo thành 1 tam giác. Vậy số tam giác được tạo ra là C3mn+np+pm − mC3n+p − nC3m+p − pC3m+n .  164 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN BÀI 1. BỘ ĐỀ SỐ 1 Câu 1. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Hãy chọn phương án trả lời đúng nhất trong các phương án sau A. 1260. B. 4A46 − 3A35 .

C. A57 − A46 − 3A46 − 3A35 . D. Cả ba đáp án trên đều đúng. Lời giải. Gọi số cần lập là abcde. Khi đó các trường hợp xảy ra gồm: • Trường hợp 1: Nếu e = 0 thì số cách chọn các chữ số a, b, c, d là A46 . • Trường hợp 2: Nếu e ∈ {2; 4; 6} thì có 3 cách chọn chữ số e, 5 cách chọn chữ số a và A35 cách chọn các chữ số b, c, d. Vậy có A46 + 3 · 5 · A35 = 1260 số thỏa
mãn 4yêu cầu.
4 3 5 4 Các đáp án 4A6 − 3A5 = A7 − A6 − 3A6 − 3A35 = 1260. Chọn đáp án D  Câu 2. Trong một buổi dạ vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người ra khiêu vũ? A. A222 . B. A218 . C. C240 . D. A240 . Lời giải. Số cách chọn 2 người ra khiêu vũ là số cách lấy 2 phần tử từ tập có 40 phần tử. Vậy có C240 cách. Chọn đáp án C  Câu 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách theo thứ tự? A. P5 . B. A05 . C. A15 . D. C55 . Lời giải. Sắp xếp 5 cuốn sách lên kệ theo thứ tự. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 5 nên có P5 cách. Chọn đáp án A  Câu 4. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con? A. C352 . B. A352 . C. 523 . D. 352 . Lời giải. Mỗi bộ 3 quân bài được rút ra là một tập con của tập 52 quân bài. Do đó có C352 = 22100 cách rút. Chọn đáp án A  Câu 5. Trong một ủy ban có 10 người, cần chọn ra 3 người để 1 người làm chủ tịch, 1 người làm phó chủ tịch và 1 người làm thư ký. Hỏi có thể có bao nhiêu cách chọn? A. C310 . B. C310 · 3!. C. 3!A310 . D. 3C310 . Lời giải. Mỗi cách chọn ra 3 người từ 10 người trong ủy ban để sắp xếp vào các vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư ký là một chỉnh hợp chập 3 của 10. Vậy có A310 cách sắp xếp. Mặt khác lại có C310 · 3! = A310 Chọn đáp án B  Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? A. A510 − A49 . B. A510 . C. C510 − C49 . D. A49 . Lời giải. Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde với a 6= 0. Khi đó có 9 cách chọn chữ số a và A49 cách chọn cho các chữ số còn lại. Vậy có 9A49 = 27216 số thỏa mãn yêu cầu. Ta có A510 − A49 = 27216. Chọn đáp án A  Câu 7. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8? A. C35 − C24 . B. 43 . C. A35 − A24 . D. A35 . Lời giải. Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là abc với a 6= 0. Khi đó có 4 cách chọn chữ số a và A24 cách chọn cho các chữ số còn lại. Vậy có 4A24 = 48 số thỏa mãn yêu cầu. Ta có A35 − A24 = 3 · 4 · 4 = 48. Chọn đáp án C  1. BỘ ĐỀ SỐ 1 165 Câu 8. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay biết rằng có 8 vị thẩm phán. A. A28 . B. C28 . C. C18 . D. 16. Lời giải. Hai vị thẩm phán bất kỳ bắt tay nhau đúng một lần. Vậy số cái bắt tay là số tập con có 2 phần tử của tập 8 phần tử. Vậy có C28 cái bắt tay được thực hiện. Chọn đáp án B  Câu 9. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Biết rằng có 36 cái bắt tay được thực hiện (hai vị thẩm phán bất kỳ chỉ bắt tay nhau đúng một lần). Hỏi đoàn thẩm phán có bao nhiêu người? A. 18. B. 10. C. 9. D. 8. Lời giải. Giả sử đoàn thẩm phán có n người (n ∈ N∗ ). Hai vị thẩm phán bất kỳ bắt tay nhau đúng một lần. Vậy số cái 2 bắt tay là số tập con có 2 phần tử của tập n phần " tử. Do đó có Cn cái bắt tay được thực hiện. n = 9 (thỏa mãn) Theo bài ra ta có C2n = 36 ⇔ n2 − n − 72 = 0 ⇔ n = −8 (loại). Chọn đáp án C  √ 1 4 √ x3 + 3 2 x C. Không tồn tại.  Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 17 với x > 0. A. C717 . B. C17 D. C817 . 8 . Lời giải. Số hạng tổng quát của khai triển là  17−k  √     k k 2 17−k 3 17k−136 1 4 −3 k 3 Tk+1 = Ck17 √ x · x · x4 = Ck17 x 12 . = C 17 3 x2 Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với số nguyên k thỏa mãn Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C817 . Chọn đáp án D 17k − 136 = 0 ⇔ k = 8. 12  Câu 11. Có 8 vận động viên võ thuật tham gia thi đấu theo hình thức loại trực tiếp trong mỗi trận đấu, người thắng cuộc sẽ tiếp tục đấu ở vòng sau. Kết thúc giải đấu, ba người xếp hạng ở vị trí thứ nhất, nhì và ba sẽ lần lượt được nhận huy chương vàng, huy chương bạc và huy chương đồng. Hỏi có bao nhiêu khả năng trao huy chương cho các vận động viên biết rằng khả năng chiến thắng của các vận động viên là như nhau. A. A38 . B. C38 . C. 8!. D. 83 . Lời giải. Mỗi khả năng trao huy chương cho các vận động viên là kết quả của việc sắp thứ tự của 3 vận động viên ở các vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Do đó số khả năng trao huy chương là số chỉnh hợp chập 3 của 8. Chọn đáp án A  Câu 12. Có 4 người nam và 3 người nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 4! · 3!. B. 7!. C. 4! · 5!. D. 4! + 3!. Lời giải. Sắp xếp 4 người nam thành một hàng khi đó có 4! cách sắp xếp, có 3 khoảng trống giữa những người nam. Sau đó ta sắp xếp 3 người nữ xen kẽ vào 3 vị trí giữa 4 người nam, số cách sắp xếp là 3! cách. Vậy có 4! · 3! cách sắp xếp. Chọn đáp án A  Câu 13. Một người sắp xếp thời khóa biểu cho 7 môn học. Do ngày Thứ Hai có tiết sinh hoạt tập thể nên chỉ có 3 tiết học văn hóa. Người đó dự định sắp xếp 3 môn học cho ngày Thứ Hai, mỗi môn có 1 tiết học. Hỏi người đó có bao nhiêu khả năng xếp thời khóa biểu cho ngày Thứ Hai đó? A. C37 . B. A37 . C. 3!. D. 7!. Lời giải. Mỗi khả năng xếp thời khóa biểu cho ngày Thứ Hai đó là việc sắp xếp 3 môn học từ 7 môn học cho 3 tiết học theo thứ tự. Do đó số cách sắp xếp là số chỉnh hợp chập 3 của 7. Chọn đáp án B  166 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Câu 14. Có 10 hòn bi kích thước hoàn toàn giống nhau, trong đó có 7 hòn bi màu trắng và 3 hòn bi màu đen. Ta xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? A. C310 . B. A310 . C. 10!. D. 7! · 3!. Lời giải. Số cách sắp xếp 10 viên bi theo hàng ngang là 10! cách. Do có 7 viên bi trắng giống nhau và 3 viên bi đen giống nhau nên mỗi hoán vị của các viên bi cùng màu là 10! như nhau. Do đó có = C310 cách sắp xếp khác nhau cho 10 viên bi nói trên. 7! · 3! Chọn đáp án A  Câu 15. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau? A. 48. B. 72. C. 120. D. 150. Lời giải. Cách 1: (Sử dụng quy tắc đếm) Số các số có 4 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là 5! = 120. Ta tìm số các số có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau. Vì chỉ có hai số chẵn là 2 và 4 nên chỉ có 2 trường hợp đó là số 2 đứng trước và 4 đứng sau hoặc 4 đứng trước và 2 đứng sau. Trong mỗi trường hợp thì có 4 ví trí để hai số đó đứng vào. Còn 3 vị trí còn lại trong số có 5 chữ số thì vị trí thứ nhất có 3 cách chọn, vị trí thứ 2 có 2 cách chọn và vị trí thứ 3 có 1 cách chọn. Do đó số các số có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau bằng 2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48. Vậy số các số cần tìm bằng 120 − 48 = 72. Cách 2: (Sử dụng chỉnh hợp) Xếp 3 chữ số 1, 3, 5 theo hàng ngang ta có 3! cách. Khi đó có 4 khoảng trống (kể cả 2 đầu) để xếp các chữ số 2, 4 nên có A24 cách. Vậy số các số cần lập là 3 × A24 = 72. Chọn đáp án B  Câu 16. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9. Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau? A. 120. B. 184. C. 288. D. 360. Lời giải. Giả sử số cần chọn có dạng a1 a2 a3 a4 a5 . Ta thấy a5 có 3 cách chọn, a1 có 4 cách chọn, a2 có 4 cách chọn, a3 có 3 cách chọn, a4 có 2 cách chọn. Theo quy tắc nhân thì số các chữ số cần tìm bằng 3 × 4 × 4 × 3 × 2 = 288. Chọn đáp án C  Câu 17. Có 12 công nhân xây dựng. Người đội trưởng bố trí 3 người làm ở A, 4 người làm ở B và 5 người làm ở C. Có bao nhiêu cách bố trí? A. 19248. B. 19720. C. 20150. D. 27720. Lời giải. Có C312 cách bố trí 3 người làm ở A, C49 cách bố trí 4 người làm ở B và C55 cách bố trí 5 người làm ở C. Theo quy tắc nhân số cách bố trí bằng C312 × C49 × C55 = 27720. Chọn đáp án D  Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh? A. C526 . B. A524 . C. A526 . D. C524 . Lời giải. Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 chữ số. Một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh là một tổ hợp chập 5 của 26. Do đó số cách chọn cần tìm bằng C526 . Chọn đáp án A  Câu 19. Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam bằng số ủy viên nữ? A. C625 . B. C310 · C315 . C. A310 · A315 . D. C610 · C615 . Lời giải. Việc chọn 6 ủy viên gồm 3 nam và 3 nữ nên có số cách chọn là C310 · C315 . Chọn đáp án B  Câu 20. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 4 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 1?

B. A46 − A35 − A45 − A34 . A. 4A35 − 3A34 . C. 4A35 − 4A24 . D. A46 − A45 . 1. BỘ ĐỀ SỐ 1 167 Lời giải. Có A46 cách lấy ra bốn chữ số và viết liền nhau theo thứ tự, trong đó có A35 cách viết có chữ số 0 đứng ở đầu. Do đó, số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được chọn từ tập các chữ số đã cho là A46 − A35 . Nếu không có chữ số 1 thì tương tự như trên, số cách viết các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5 là A45 − A34 .

Vậy kết quả là có A46 − A35 − A45 − A34 . Chọn đáp án B  Câu 21. Kí hiệu Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Tính giá trị của tổng S = C02n + C22n 32 + C42n 34 + · · · + 2n C2n 2n 3 . A. 22n−1 (22n + 1). B. 22n (22n−1 + 1). C. 22n+1 (22n + 1). D. 22n (22n+1 + 1). Lời giải. 2n Xét khai triển (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n 2n x . 2n 0 1 2 2 2n Chọn x = 3, ta được 4 = C2n + C2n 3 + C2n 3 + · · · + C2n 32n . 2n Chọn x = −3, ta được (−2)2n = C02n − C12n 3 + C22n 32 − · · · +
C2n 2n 3 . Cộng vế với vế hai đẳng thức trên, ta có S = 22n−1 22n + 1 . Chọn đáp án A  Câu 22. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó? A. C310 C211 . B. C312 C211 . C. C210 C310 . D. C312 C412 . Lời giải. Cần chọn 2 trong số 10 nam và chọn tiếp 3 trong số 10 nữ. Vậy có C210 C310 cách chọn.  Chọn đáp án C Câu 23. Cho một tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau. Xét các tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp trên. Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy? A. 210 − 1. B. 28 − 1. C. 211 − 1. D. 29 − 1. Lời giải. Số tập con có k phần tử (1 ≤ k ≤ 10) được rút ra từ 10 phần tử là Ck10 . Số các tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử là 9 C210 + C410 + C610 + C810 + C10 10 = 2 − 1. Chọn đáp án D  Câu 24. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu? A. C47 + C48 . B. C48 · C47 . C. C47 + C58 . D. C47 + C48 + C45 . Lời giải. Ta có các trường hợp sau TH1. 4 viên bi được chọn từ 2 màu đỏ và trắng. Số cách chọn là C45 . TH2. 4 viên bi được chọn từ 2 màu đỏ và vàng. Số cách chọn là C47 TH3. 4 viên bi được chọn từ 2 màu trắng và vàng. Số cách chọn là C48 Trong các các chọn ở trên có C45 cách chọn 4 viên bi cùng màu vàng ở trường hợp 2 và 3 bị trùng nhau. Vậy số cách chọn thỏa mãn là C47 + C48 + C45 − C45 = C47 + C48 . Chọn đáp án A  Câu 25. Cho đa giác đều A1 A2 . . . A2n nội tiếp đường tròn tâm O, với n là số nguyên dương, n ≥ 2. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là ba trong số 2n điểm A1 , A2 , . . . , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là bốn trong 2n điểm đó, tìm n. A. n = 7. B. n = 8. C. n = 9. D. n = 10. Lời giải. Số tam giác được tạo thành là C32n . Đa giác đều có n đường chéo đi qua tâm O nên số hình chữ nhật là C2n . 168 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Theo giả thiết n! (2n)! = 20 3!(2n − 3)! (n − 2)!2! 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) ⇔ = 20 6 2 ⇔ 4n(n − 1)(2n − 1) = 60n(n − 1) C32n = 20C2n ⇔ ⇔ n(n − 1)(4n − 32) = 0 ⇔ n = 8 (do n ≥ 2). Chọn đáp án B  ĐÁP ÁN BỘ ĐỀ 01 1. D 11. A 21. A 2. C 12. A 22. C 3. A 13. B 23. D 4. A 14. A 24. A 5. B 15. B 25. B 6. A 16. C 7. C 17. D 8. B 18. A 9. C 19. B 10. D 20. B 2. BỘ ĐỀ SỐ 2 169 BÀI 2. BỘ ĐỀ SỐ 2 Câu 1. Có 10 điểm nằm trên một đường tròn. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác lồi? A. C410 . B. A410 . C. C210 . D. A210 . Lời giải. Cứ 4 điểm bất kỳ trong 10 điểm đã cho sẽ tạo thành một tứ giác lồi. Do đó có C410 tứ giác. Chọn đáp án A  Câu 2. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu các chọn ra một ban cán sự gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một bạn học sinh nam? A. C430 . B. C420 . C. C430 − C420 . D. C430 − C410 . Lời giải. Số cách chọn ra 4 học sinh bất kỳ là C430 . Số cách chọn ra 4 học sinh đều là nữ là C410 . Do đó, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C430 − C410 . Chọn đáp án D  Câu 3. Từ các số 0, 4, 5, 7, 9. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5? A. 96. B. 48. C. 60. D. 72. Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abcd ta có: * Nếu d = 0 có A34 số thỏa mãn. * Nếu d = 5 có 3 · A24 số thỏa mãn. Vậy có 96 số thỏa mãn. Chọn đáp án A  Câu 4. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho các số đó không tận cùng bằng chữ số 5? A. 5040. B. 840. C. 120. D. 720. Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abcde Theo bài ra ta có a có 7 cách chọn (trừ chữ số 0); e có 6 cách chọn. Các chữ số còn lại có A36 cách chọn. Vậy, có 7 · 6 · A36 = 5040.  Câu 5. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? A. 35. B. 210. C. 120. D. 6!. Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abc. Theo đề bài ra ta có a có 3 cách chọn (các chữ số 1, 2, 3). Xét các trường hợp: * Nếu a lẻ: Có 2 cách chọn a và 2 cách chọn c. Do đó có 2 · 2 · 5 = 20 số. * Nếu a chẵn: Có 3 cách chọn c. Suy ra có 1 · 3 · 5 = 15 số. Vậy, có 35 số thỏa mãn. Chọn đáp án A  Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh đứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho các bạn nữ đứng chung với nhau? A. 3! · 3!. B. 3! · 3! · 2!. C. 3! · 4!. D. 6!. Lời giải. Ta thưc hiện xếp 3 bạn nam thành một hàng. Vì 3 nữ sinh đứng chung với nhau nên số cách xếp chính là số cách xếp 3 bạn nữ vào giữa các hai bạn nam bất kỳ hoặc ở hai đầu. Mặt khác với mỗi cách xếp trên, nếu hoán vị các bạn nữ với nhau, ta sẽ được một cách xếp khác phù hợp. Vậy có 3! · 4! cách xếp thỏa mãn. Chọn đáp án C  170 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Câu 7. Từ 9 nam và 6 nữ có bao nhiêu cách lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ? A. C515 . B. C29 · C26 . C. C29 · C36 + C39 · C26 . D. C29 · C39 . Lời giải. Yêu cầu đầu bài được thỏa mãn nếu 5 người có đúng 2 nam và 3 nữ, hoặc 2 nữ và 3 nam. Có C29 · C36 cách chọn 2 nam và 3 nữ. Có C39 · C26 cách chọn 2 nam và 3 nữ. Vậy có C29 · C36 + C39 · C26 cách chọn thỏa mãn. Chọn đáp án C  Câu 8. Một tòa nhà có 9 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào cửa này và ra bằng cửa khác A. 9. B. 72. C. 36. D. 9!. Lời giải. Số cách vào một cửa và ra một cửa là số chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử. Do đó số cách thực hiện là A29 = 72. Chọn đáp án B  Câu 9. Có 10 thực tập sinh, 4 vị trí công tác và chế độ làm việc hai ca. Nếu mỗi thực tập sinh phải tập làm ở từng vị trí trong cả hai ca thì cuộc thực tập phải kéo dài trong mấy ngày? A. 10. B. 15. C. 20. D. 5. Lời giải. Gọi hai ca làm việc là S và C. Do có 4 vị trí công tác nên mỗi buổi sáng có thể xếp được 4 người thực hiện và mỗi ca chiều có 4 người thực hiện. Do đó có tất cả 4 (vị trị) ·2 (ca) = 8 công việc. Mỗi công việc đều được 10 thực tập sinh làm nên sẽ hoàn thành trong vòng 10 ngày. Chọn đáp án A  Câu 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 8! − 7! 8! 6! − 5! A. . B. 8! − 7!. C. . D. . 3! 3! 3! Lời giải. Giả sử số có 8 chữ số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . Ta có 8! cách xếp 8 chữ số (gồm tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và hai chữ số 1. Trong đó có 7! số có chữ số 0 đứng đầu. Vậy có 8! − 7! số có 8 chữ số lập từ tập X và có 3 chữ số 1. Mặt khác, trong các số thỏa mãn ở trên , những số có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau được tính 2 lần, các số có 3 chữ số 1 đứng cạnh nhau, được tính 3 lần. 8! − 7! Do đó, số các số thỏa mãn là .  3! Câu 11. Có 6 công việc và 5 công nhân. Có mấy cách phân cho một người nào đó làm một việc? A. 6. B. 5. C. 30. D. 11. Lời giải. Sô cách phân công thỏa mãn yêu cầu là C56 = 6 Chọn đáp án A  Câu 12. Mỗi khóa gồm 5 vòng số ghi từ 0 đến 9. Mỗi dãy 5 chữ số cho một cách để mở khóa. Có bao nhiêu khóa ứng với các cách mở khác nhau? A. A510 . B. A510 − A410 . C. 105 . D. C510 − A410 . Lời giải. Số khóa ứng với các cách mở là số các dãy số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 (chữ số đầu tiên có thể là chữ số 0). Do đó có 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 cách. Chọn đáp án C  Câu 13. Trong mặt phẳng có 15 điểm A, B, C, . . . và không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác chứa điểm A? A. C315 . B. C214 . C. C314 . D. C215 . Lời giải. Mỗi cách chọn ra 2 điểm trong số 14 điểm khác điểm A cho ta một tam giác thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Do đó có C214 tam giác. Chọn đáp án B  2. BỘ ĐỀ SỐ 2 171 Câu 14. Xếp 10 người thành một hàng ngang từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để hai anh A và B đứng không cạnh nhau? A. 10! − 9!. B. 10! − 9! · 2!. C. 9! · 2!. D. 10! + 9! · 2!. Lời giải. Xếp 10 người thành một hàng ngang từ trái sang phải có 10! cách. Xếp anh A và B cạnh nhau có 2! cách. Xếp cặp A,B và 8 người còn lại có 9! cách. Vậy có 10! − 9! · 2! cách xếp hai anh A và B đứng không cạnh nhau.  Chọn đáp án B Câu 15. Trong mặt phẳng có 5 đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt 10 đường thẳng song song khác. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên? A. C25 · C210 . B. A25 · A210 . C. C215 . D. C415 . Lời giải. Ta thấy cứ hai đường thẳng song song lần lượt cắt hai đường thẳng song song khác thì tạo thành một bình hành. Nên sẽ có C25 · C210 hình bình hành được tạo nên. Chọn đáp án A  Câu 16. Tập hợp các điểm P (x; y; z) của không gian ba chiều. Có bao nhiêu điểm nếu x ∈ {1; 2; 3}, y ∈ {2; 5}, z ∈ {3; 7; 8; 9}? A. 20. B. 12. C. 36. D. 24. Lời giải. Có 3 · 2 · 4 = 24 điểm.  Chọn đáp án D Câu 17. Cho 20 điểm A, B, C, . . . trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong cùng một mặt phẳng. Có bao nhiêu tam giác nhận BC làm cạnh chung? B. C218 . C. C220 . D. C320 . A. C118 . Lời giải. Để chọn tam giác nhận BC làm cạnh chung, ta chọn 1 điểm ngoài B, C làm đỉnh còn lại của tam giác. Vậy có C118 tam giác thỏa yêu cầu. Chọn đáp án A  Câu 18. Sau buổi tổng kết, có 5 công nhân của xí nghiệp A được khen thưởng. Công đoàn của nhà máy có 3 suất đi du lịch để thưởng cho 3 trong số 5 công nhân đó, 2 công nhân còn lại được thưởng tiền. Có bao nhiêu cách phân phối các phiếu du lịch cho 3 trong số 5 công nhân nói trên với giả thiết các phiếu du lịch khác nhau. A. C35 . B. A35 . C. 3 · C35 . D. 3 · A35 . Lời giải. Chọn 3 người công nhân để phân phối phiếu du lịch có C35 cách. Chia 3 suất du lịch cho 3 người có 3! cách. Vậy có 3! · C35 = A35 cách. Chọn đáp án B  Câu 19. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. A. 120. B. 72. C. 48. D. 16. Lời giải. Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau có 5! cách. Xếp hai chữ số 1 và 2 có 2! cách. Xếp cặp hai chữ số 1 và 2 với 3 chữ số còn lại có 4! cách. Vậy có 5! − 2! · 4! = 72 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Chọn đáp án B  Câu 20. Có bao nhiêu cách xếp 4 vật khác nhau vào 2 hộp có đánh số? A. 16. B. 8. C. 42. D. 36. Lời giải. Mỗi một vật có 2 cách xếp vào hộp. Nên có 24 = 16 cách xếp 4 vật vào 2 hộp có đánh số. Chọn đáp án A  172 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Câu 21. Tìm hệ số của một hạng tử chứa x4 trong khai triển (1 + 2x + 3×2 )10 A. 8085. B. 8086. C. 8014. D. 8055. Lời giải. 10 P k 10 P k P P Ta có (1 + 2x + 3×2 )10 = Ck10 Cik (2x)k−i (3×2 )10−k = Ck10 Cik 2k−i 310−k x20−k−i . k=0 i=0 k=0 i=0 Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 trong khai triển là 6 4 0 9 7 2 1 8 8 0 2 C10 10 C10 2 3 + C10 C9 2 3 + C10 C8 2 3 = 8085. Chọn đáp án A  Câu 22. Xét khai triển h√ 2log(10−3x ) + √ 5 2(x−2) log 3 im . Cho biết hạng tử thứ sáu là 21 và các hệ số thứ hai, ba và bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất, ba và năm của một cấp số cộng. Tìm giá trị của x. A. x = 0 ∨ x = 2. B. x = 2 ∨ x = 1. C. x = 2 ∨ x = 3. D. x = 1 ∨ x = 3. Lời giải. Số hạng tổng quát trong khai triển là k Cm · k  p m−k p 5 2log(10−3x ) · 2(x−2) log 3 1 , C2 , C3 . Ta có hệ số thứ hai, ba và bốn lần lượt là Cm m m Do hệ số thứ hai, ba và bốn của khai triển cũng là số hạng thứ nhất, ba và năm của cấp số cộng nên ” C1m + C3m = 2C2m 2 ⇔ m − 9m + 14 = 0 ⇔ m = 2 (loại) m = 7. Số hạng thức sáu của khai triển là C57 2  p 5 p 5 2log(10−3x ) · 2(x−2) log 3 = 21 ⇔ log(10 − 3x ) + log 3x−2 = 0 ⇔ (3x )2 − 10 · 3x + 9 = 0 ” 3x = 1 ⇔ 3x = 2 ” x=0 ⇔ x = 2. Chọn đáp án A  1 1 1 1 Cn . Câu 23. Tính S = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + 2 3 4 n+1 n 2n+1 − 1 2n + 1 2n+1 − 2 A. . B. . C. . n+1 n+1 n+1 Lời giải. k−1 Ta có với mọi n, k ∈ N∗ và n ≥ k ≥ 1 thì kCkn = nCn−1 . ∗ Thật vậy, với n, k ∈ N sao cho n ≥ k ≥ 1 thì D. n! k · n · (n − 1)! = (n − k)!k! (n − k)!k · (k − 1)! (n − 1)! = n· = nCk−1 n−1 . (điều phải chứng minh) (n − k)!(k − 1)! kCkn = k · Suy ra ta có 1 1 Ck = Ck+1 . k + 1 n n + 1 n+1 2n+1 + 1 . n+1 2. BỘ ĐỀ SỐ 2 173 Vì vậy 1 1 1 1 S = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cn 2 3 4 n+1 n 1 1 1 1 C1n+1 + C2n+1 + C3n+1 + · · · + Cn = n+1 n+1 n+1 n + 1 n+1  1  n+1 = 2 −1 . n+1 Chọn đáp án A  11 Câu 24. Tính S = C611 + C711 + C811 + C911 + C10 11 + C11 . 9 10 A. 2 + 2. B. 2 − 1. C. 210 . Lời giải. Ta có Ckn = Cn−k n . Do đó xét khai triển D. 211 − 1. 11 (1 + 1)11 = C011 + C111 + · · · + C10 11 + C11 ⇔ 211 = 2(C611 + C711 + · · · + C11 11 ) 10 ⇒ C611 + C711 + · · · + C11 11 = 2 . Chọn đáp án C  Câu 25. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó? A. C310 C210 + C310 C410 + C410 C110 . B. 2C310 C210 + C410 C110 . C. 3C210 C310 + 9C410 . D. C310 C410 + C210 C310 . Lời giải. Chọn 2 nam, 3 nữ có C210 C310 cách. Chọn 3 nam, 2 nữ có C310 C210 cách. Chọn 4 nam, 1 nữ có C410 C110 cách. Vậy có 2C310 C210 + C410 C110 cách chọn. Chọn đáp án B  ĐÁP ÁN BỘ ĐỀ 02 1. A 13. B 23. A 2. D 14. B 24. C 3. A 15. A 25. B 5. A 16. D 6. C 17. A 7. C 18. B 8. B 19. B 9. A 20. A 11. A 21. A 12. C 22. A 174 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN BÀI 3. BỘ ĐỀ SỐ 3 Câu 1. Trong bảng chữ cái tiếng Anh có 21 phụ âm và 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chữ (không cần có nghĩa) gồm 6 chữ chứa ít nhất hai nguyên âm? A. C25 C421 + C35 C321 + C45 C221 + C55 C121 . B. C626 − C15 C521 − C621 . C. B sai. D. A và B đúng. Lời giải. Cách 1. Chọn 2 nguyên âm và 4 phụ âm có C25 C421 cách. Chọn 3 nguyên âm và 3 phụ âm có C35 C321 cách. Chọn 4 nguyên âm và 2 phụ âm có C45 C221 cách. Chọn 5 nguyên âm và 1 phụ âm có C55 C121 cách. Vậy có tất cả C25 C421 + C35 C321 + C45 C221 + C55 C121 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Cách 2. Chọn bất kì 6 chữ cái có C626 cách. Chọn 1 nguyên âm và 5 phụ âm có C15 C521 cách. Chọn 6 phụ âm có C621 cách. Vậy có tất cả C626 − C15 C521 − C621 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D  Câu 2. Có 3 bộ sách, mỗi bộ có 3 cuốn sách. Có bao nhiêu cách xếp số sách đó trên cùng một kệ sao cho sách cùng một bộ phải ở cạnh nhau? A. 9!. B. 3! · 3! · 3!. C. (3!)4 . D. 3! · 9!. Lời giải. Số cách xếp 3 bộ sách lên kệ là 3! cách. Số cách xếp 3 cuốn sách trong từng bộ sách là 3! cách. Vậy có 3!3!3!3! = (3!)4 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C  Câu 3. Một hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 6 viên bi sao cho có đúng 2 viên bi đỏ? A. C612 . B. C24 C48 . C. C24 C68 . D. C24 . Lời giải. Lấy 2 viên bi đỏ từ 4 viên bi đỏ có C24 cách. Lấy 4 viên bất kì từ 8 viên bi xanh và vàng có C48 cách. Vậy có C24 C48 cách thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B  Câu 4. Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh của đa giác? A. C210 . B. 10. C. C310 . D. 20. Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với việc chọn 2 cạnh từ 10 cạnh của đa giác sao cho 2 cạnh ấy phải kề nhau. Vậy có 10 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án B Câu 5. Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao cho A và B ngồi cạnh nhau, còn C và D thì không ngồi cạnh nhau? A. 9!2!. B. 10! − 9!2!. C. 9!2! − 8!2!. D. 9!2! − 8!2!2!. Lời giải. Bước 1. Sắp xếp 10 người với A và B ngồi cạnh nhau, C và D ngồi bất kì. Coi như A và B là một nhóm. Xếp chỗ ngồi A và B trong nhóm có 2! cách. Sắp xếp chỗ ngồi 1 nhóm và 8 người có 9! cách. Suy ra có 9!2! cách sắp xếp thỏa bước 1. Bước 2. Sắp xếp 10 người với A và B ngồi cạnh nhau, C và D ngồi cạnh nhau. Coi như A và B là một nhóm C và D là một nhóm. Xếp chỗ 2 người trong từng nhóm có 2! cách. Sắp xếp chỗ ngồi 2 nhóm và 6 người có 8! cách. 3. BỘ ĐỀ SỐ 3 Suy ra có 8!2!2! cách sắp xếp thỏa bước 2. Vậy có 9!2! − 8!2!2! cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D 175  Câu 6. Trong một buổi họp mặt, có 5 nam sinh và 5 nữ sinh. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có 2 nam sinh, 2 nữ sinh nào ngồi cạnh nhau? A. 2 · 5! · 5!. B. 5! · 5!. C. 10!. D. 10! · 2!. Lời giải. Từ yêu cầu bài toán, ta có nam nữ ngồi xen kẽ nhau. Chọn nam hoặc nữ để xếp vào trước có 2 cách. Xếp 5 nam vào 5 chỗ xen kẽ có 5! cách. Xếp 5 nữ vào 5 chỗ còn lại có 5! cách. Vậy có 2 · 5! · 5! cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 7. Trong các số nguyên dương có đúng 3 chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 3 và 4? A. 75. B. 450. C. 225. D. 675. Lời giải. Ta có BCNN(3; 4) = 12. Từ yêu cầu bài toán, ta suy ra số đó phải chia hết cho 12. Số nguyên dương nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 12 là 108. Số nguyên dương lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 12 là 996. 996 − 108 Vậy có + 1 = 75 số thỏa yêu cầu bài toán. 12 Chọn đáp án A  Câu 8. Có bao nhiêu biển đăng kí xe nếu mỗi biển số gồm 2 chữ số tiếp sau là 4 chữ cái hoặc 2 chữ cái theo sau là 4 chữ số? A. 45697600. B. 52457600. C. 33177600. D. 46547600. Lời giải. Chọn biển số gồm 2 chữ số tiếp sau là 4 chữ cái có 102 · 264 cách. Chọn biển số gồm 4 chữ số tiếp sau là 2 chữ cái có 104 · 262 cách. Vậy có 102 · 264 + 104 · 262 = 52457600 biển số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B  Câu 9. Có bao nhiêu biển đăng kí xe mà mỗi biển số gồm hai hoặc ba chữ cái tiếp sau bởi hai hoặc ba chữ số? A. 20077200. B. 25657200. C. 2278200. D. 24607200. Lời giải. Chọn từ gồm hai hoặc ba chữ cái có 262 + 263 cách. Chọn một số gồm hai hoặc ba chữ số có 102 + 103 cách. Vậy có (262 + 263 ) · (102 + 103 ) = 20077200 biển số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A  Câu 10. Để lập 700 bảng đăng kí, mỗi bảng gồm ba kí số, cần phải dùng ít nhất bao nhiêu chữ số nếu các chữ số không được trùng nhau trong một bảng? A. 7. B. 9. C. 8. D. 10. Lời giải. Gọi x là số chữ số ít nhất phải dùng. (x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 10) Số bảng đăng kí có thể lập từ x chữ số là x · (x − 1) · (x − 2) bảng. Theo đề bài ta phải lập được 700 bảng, nghĩa là x · (x − 1) · (x − 2) ≥ 700. Thử từng giá trị của x ta thấy x = 10 thỏa. Vậy cần dùng ít nhất 10 chữ số. Chọn đáp án D  Câu 11. Với các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau sao cho mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lặp lại nhiều nhất 2 lần? 1 1 3 A. A34 . B. C34 . C. A . D. C34 . 2! 4 2! Lời giải. 176 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Vì chữ số 1 lặp lại nhiều nhất 2 lần nên xem như ta chọn 3 chữ số từ tập hợp {1; 1; 2; 3} có A34 . 1 Tuy nhiên, do số được lập từ hai chữ số 1 bị lặp lại 2 lần nên có A34 thỏa yêu cầu bài toán. 2 Chọn đáp án C  Câu 12. Cho các số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 278? A. 12. B. 8. C. 24. D. 20. Lời giải. Gọi số cần tìm là abc. TH 1. a = 1. Chọn a có 1 cách. Chọn b có 4 cách. Chọn c có 3 cách. TH 2. a = 2, b < 7. Chọn a có 1 cách. Chọn b có 2 cách. Chọn c có 3 cách. TH 3. a = 2, b = 7. Chọn a có 1 cách. Chọn b có 1 cách. Chọn c có 2 cách. Vậy có 1 · 4 · 3 + 1 · 2 · 3 + 1 · 1 · 2 = 20 số thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D  Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp 6 người quanh bàn tròn sao cho có một cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau? A. 6!. B. 2! · 4!. C. 5!. D. 5! · 2!. Lời giải. Xem như cặp vợ chồng là một nhóm. Số cách xếp 1 nhóm và 4 người vào bàn tròn là 4! cách. Số cách xếp 2 vợ chồng trong nhóm là 2! cách. Vậy có 2!4! cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B  Câu 14. Có 8 học sinh xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau nếu có 3 học sinh không chịu rời nhau? A. 8!. B. 5! · 3!. C. 6! · 3!. D. 5!. Lời giải. Ta xem 3 học sinh không chịu rời nhau là một, khi đó số cách sắp xếp 6 người vào một hàng dọc là 6!. Với mỗi cách xếp ta hoán đổi vị trí 3 học sinh đó có 3! cách. Theo quy tắc nhân ta có 6! · 3! cách. Chọn đáp án C  Câu 15. Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Có bao nhiêu tam giác không chứa cạnh nào của H? A. 800. B. 1140. C. 320. D. 20. Lời giải. Số tất cả các tam giác được tạo thành có đỉnh là đỉnh của H là C320 = 1140. Ta xét các trường hợp mà tam giác tạo thành chứa cạnh của H. TH 1. Tam giác có chứa hai cạnh của H. Loại tam giác này được tạo thành từ 3 đỉnh liên tiếp của H. Vì H có 20 cạnh nên có 20 tam giác như vậy. TH 2. Tam giác có chứa một cạnh của H. Loại tam giác này được tạo thành từ 2 đỉnh liền kề và một đỉnh khác không liền kề với hai đỉnh đó. Ta có 20 cách chọn ra 2 đỉnh liền kề (chọn 1 cạnh) và C116 cách chọn 1 đỉnh không liền kề với 2 đỉnh đã chọn. Vậy có 20 · C116 = 320 tam giác. Từ đó suy ra có 1140 − 20 − 320 = 800 tam giác thỏa mãn. Nhận xét: Có thể xét cho bài toán tổng quát: “Cho đa giác H có n cạnh. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của H và không chứa cạnh nào của H?” Lập luận như trên ta đưa ra được kết quả là C3n − n − nC1n−4 tam giác không chứa cạnh nào của H. Chọn đáp án A  3. BỘ ĐỀ SỐ 3 177 Câu 16. Từ các số 0, 4, 5, 7, 9. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 5000? A. 24. B. 36. C. 48. D. 120. Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abcd với a, b, c, d khác nhau đôi một, d ∈ {0; 4}. Ta xét các trường hợp: TH 1. a > 5, khi đó có 2 cách chọn chữ số a, 2 cách chọn chữ số d và A23 cách chọn các chữ số b, c. Vậy có 2 · 2 · A23 = 24 số. TH 2. a = 5, b = 0 thì d = 4, khi đó có 2 cách chọn chữ số c (7 hoặc 9). Vậy có 2 số. TH 3. a = 5, b = 4 thì d = 0, khi đó có 2 cách chọn chữ số c (7 hoặc 9). Vậy có 2 số. TH 4. a = 5, b 6= 4, khi đó có 2 cách chọn chữ số b (7 hoặc 9), 2 cách chọn chữ số d và 2 cách chọn chữ số c. Vậy có 2 · 2 · 2 = 8 số. Vậy có tất cả 24 + 2 + 2 + 8 = 36 số thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án B  Câu 17. Từ các số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000? A. 60. B. 320. C. 260. D. 280. Lời giải. Giả sử số cần lập có dạng abcd, trong đó a, b, c, d khác nhau đôi một. Ta xét các trường hợp: TH 1. a = 6, khi đó ta có 3 cách chọn d, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c. Vậy có 3 · 5 · 4 = 60 số. TH 2. a = 8, khi đó ta có 3 cách chọn d, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c. Vậy có 3 · 5 · 4 = 60 số. TH 3. a ∈ {7; 9}, khi đó ta có 2 cách chọn a, 4 cách chọn d, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c. Vậy có 2·4·5·4 = 160 số. Vậy có tất cả 60 + 60 + 160 = 280 số thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án D  Câu 18. Một người mời 6 bạn đến nhà, bố trí họ ngồi vào một bàn dài và đãi tiệc. Tiệc xong, khi tiễn các bạn về ông ta tuyên bố, bắt đầu từ tuần tới, mỗi tuần lại mời các bạn đến nhà chơi một lần và mỗi lần ngồi theo một trật tự khác nhau. Phải mất bao lâu người đó mới thực hiện xong lời mời đó? A. 719 tuần. B. 718 tuần. C. 720 tuần. D. 721 tuần. Lời giải. Để thực hiện xong lời mời, số lần mời phải bằng số cách sắp xếp 6 người vào một bàn dài. Số cách sắp xếp 6 người vào một bàn dài là 6! = 720 cách. Người nọ đã thực hiện được một lần mời, vậy cần 720 − 1 = 719 tuần để thực hiện xong lời mời. Chọn đáp án A  Câu 19. Có bao nhiêu trường hợp ta nhận được các số khác nhau khi tung cùng lúc ba súc sắc? A. 30. B. 120. C. 90. D. 60. Lời giải. Ta coi mỗi lần tung kết quả thu được là một số có 3 chữ số khác nhau đôi một dạng abc, trong đó a, b, c ∈ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Số các số có 3 chữ số khác nhau đôi một được lập từ các chữ số thuộc tập A là A36 = 120 số. Vậy có tất cả 120 kết quả thu được.  Chọn đáp án B Câu 20. Có bao nhiêu số tự nhiên là số có 5 chữ số mà trong mỗi số có đúng hai chữ số 8, các chữ số còn lại khác nhau? A. 7404. B. 9408. C. 4704. D. 3108. Lời giải. Gọi số cần viết có dạng abcde với a 6= 0. Ta xét hai trường hợp sau: 178 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN TH 1. Với a = 8 thì có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 8 còn lại, có A39 cách chọn giá trị cho 3 chữ số còn lại. Khi đó có 4 · A39 = 2016 số thoả mãn. TH 2. Với a 6= 8 thì có 8 cách chọn giá trị cho a, C24 cách chọn vị trí cho hai chữ số 8 và A28 cách chọn giá trị cho 2 chữ số còn lại. Khi đó có 8 · C24 · A28 = 2688 số thoả mãn. Vậy tổng cộng có 2016 + 2688 = 4704 số thoả mãn. Chọn đáp án C  Câu 21. Đa thức P (x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 + · · · + 20(1 + x)20 được viết dưới dạng P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a20 x20 . Tìm a15 . A. 400996. B. 400895. C. 400995. D. 400896. Lời giải. Từ dạng của khai triển ta thấy a15 chính là hệ số của số hạng chứa x15 . Hệ số này chỉ xuất hiện trong khai triển của các biểu thức n(1 + x)n với n = 15, 20. Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức n(1 + x)n là T = nCkn · xk . Khi đó, tổng tất cả các hệ số của số hạng chứa x15 trong tất cả các khai triển trên là 20 X 15 15 15 15 15 15 nC15 n = 15C15 + 16C16 + 17C17 + 18C18 + 19C19 + 20C20 = 400995. n=15 Chọn đáp án C  x25 y 10 (x3 xy)15 . Câu 22. Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức + 10 11 9 A. C15 . B. C15 . C. C15 . D. C12 15 . Lời giải. Số hạng tổng quát của khai triển là T = Ck15 · x3(15−k) · (xy)k = Ck15 · x45−2k · y k . Để T là số hạng chứa x25 y 10 thì k = 10. Khi đó, hệ số của số hạng cần tìm là C10 15 . Chọn đáp án A C0n + 2C1n + 22 C2n 3n+1 − 1.  2n Cnn Câu 23. Giá trị của tổng S = + ··· + bằng n n−1 A. 3 . B. C. 3 . D. 3n + 1. Lời giải. Ta xét khai triển (1 + x)n = C0n + xC1n + x2 C2n + · · · + xn Cnn . Khi x = 2, từ khai triển trên ta được (1 + 2)n = C0n + 2C1n + 22 C2n + · · · + 2n Cnn = 3n . Chọn đáp án A  Câu 24. Khai triển đa thức P (x) = (1+2x)12 thành dạng a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+a12 x12 . Tìm max{a1 , a2 , a3 , . . . , a12 }. A. 28 · C511 . B. 29 · C712 . C. 28 · C812 . D. 28 · C811 . Lời giải. Số hạng thứ k + 1 của khai triển đã cho là Tk+1 = Ck12 · 2k · xk . Suy ra hệ số tương ứng là ak+1 = Ck12 · 2k . Giải sử ak+1 là hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số ai , ∀i = 1, . . . , 12. Khi đó, ta có  12! 12! 2k  ( ( k k  · 2 ≥ · k−1 k k−1  C12 · 2 ≥ C12 · 2 ak+1 ≥ ak k! · (12 − k)! (k − 1)! · (12 − k + 1)! 2 ⇔ ⇔ k+1 k k k+1  12! 12! ak+1 ≥ ak+2 C12 · 2 ≥ C12 · 2   · 2k ≥ · 2 · 2k k! · (12 − k)! (k + 1)! · (12 − k − 1)!  1 1    ≥ 23 26 k 2(12 − k + 1) ⇔ ⇔ ≤k≤ .  1 2 3 3   ≥ 12 − k k+1 Do k nguyên nên k = 8. Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là a9 = 28 · C812 . Chọn đáp án C  Câu 25. Một lớp có 20 học sinh gồm 9 nam và 11 nữ trong đó có một học sinh nam tên Duy và học sinh nữ tên Nga. Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 5 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nam và 2 nữ nếu Duy và Nga không chịu làm việc chung
với nhau?
A. C19 · C711 + C39 · C211 − 8C210 + 10C28
. B. C29 · C311 + C39 · C211 − C28 · C210 + C110 · C28
. C. C29 · C310 + C210 · C39 − 8C210 + 10C210 . D. C29 · C311 + C39 · C211 − C18 · C210 + C110 · C28 . Lời giải. 3. BỘ ĐỀ SỐ 3 179 Trước hết ta tìm số các cách để lập một ban cán sự lớp gồm 5 học sinh sao cho có ít nhất 2 nam và 2 nữ. – Chọn 2 nam và 3 nữ có C29 · C311 cách. – Chọn 3 nam và 2 nữ có C39 · C211 cách. Vậy có C29 · C311 + C39 · C211 cách tất cả. Tiếp theo ta lập ban cán sự có mặt cả Duy và Nga. – Chọn 1 nữ và 2 nam (không chọn Duy và Nga) có C18 · C210 cách. – Chọn 1 nam và 2 nữ (không chọn Duy và Nga) có C110 · C28 cách. Vậy có C18 · C210 + C110 · C28 cách.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là C29 · C311 + C39 · C211 − C18 · C210 + C110 · C28 . Chọn đáp án D  ĐÁP ÁN BỘ ĐỀ 03 1. D 11. C 21. C 2. C 12. D 22. A 3. B 13. B 23. A 4. B 14. C 24. C 5. D 15. A 25. D 6. A 16. B 7. A 17. D 8. B 18. A 9. A 19. B 10. D 20. C 180 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN BÀI 4. BỘ ĐỀ SỐ 4 Câu 1. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau? A. 120. B. 72. C. 261. D. 60. Lời giải. Số cần lập là số có 1 chữ số: có 5 số (0, 1, 2, 3, 4). Số cần lập có 2 chữ số: có 4 · 4 = 16 số. Số cần lập có 3 chữ số: có 4 · A24 = 48 số. Số cần lập có 4 chữ số: có 4 · A34 = 96 số. Số cần lập có 5 chữ số: có 4 · A44 = 96 số. Vậy có 5 + 16 + 48 + 96 + 96 = 261 số. Chọn đáp án C  Câu 2. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. A. 420. B. 50400. C. 220. D. 480. Lời giải. Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a4 (a1 6= 0). Chữ số 5 đứng đầu (a1 = 5): a1 có 1 cách chọn; a2 a3 a4 có A36 . Suy ra trường hợp này có 1 · A36 = 120 số. Chữ số 5 không đứng đầu (a1 6= 5): có 3 vị trí để đặt chữ số 5, khi đó: a1 có 5 cách chọn (khác 0 và 5); hai chữ số còn lại có A25 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 3 · 5 · A25 = 300 số. Vậy có tất cả 120 + 300 = 420 số. Chọn đáp án A Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 328. B. 320. C. 248. Lời giải. Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 (a1 6= 0).  D. 40. Chữ số cuổi cùng bằng 0 (a3 = 0): a3 có 1 cách chọn; a1 có 9 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 1 · 9 · 8 = 72 số. Chữ số cuổi cùng khác 0 (a3 6= 0): a3 có 4 cách chọn; a1 có 8 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 4 · 8 · 8 = 256 số. Vậy có tất cả 72 + 256 = 328 số cần tìm. Chọn đáp án A  Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. A45 − A34 . B. A45 . C. 96. D. 100. Lời giải. Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Do đó có thể viết được A45 = 120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn đáp án B  4. BỘ ĐỀ SỐ 4 181 Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7. A. 1 · A47 + 1 · 2 · 6 · A36 . B. 1A47 + 1 · 6 · A36 . 5 4 3 C. A8 − A7 + 1 · 2 · 6 · A6 . D. 1 · A47 + 1 · 2 · 7 · A36 . Lời giải. Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a4 a5 (a1 6= 0). Trường hợp 1: a1 = 7 a1 có 1 cách chọn; a2 a3 a4 a5 có A47 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 1 · A47 số. Trường hợp 2: a2 = 7 a1 có 6 cách chọn; 7a3 a4 a5 có A36 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 6 · A36 số. Trường hợp 3: a3 = 7 a1 có 6 cách chọn; a2 7a4 a5 có A36 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 6 · A36 số. Vậy có tất cả 1 · A47 + 2 · 6 · A36 số cần tìm. Chọn đáp án A   Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển √ √ 3 B. C410 x 3 x. A. C510 x2 . Lời giải. 10 √ 1 3 √ x + . 5 x √ 3 C. C511 x2 . Khai triển có tất cả 11 số hạng nên số hạng ở giữa ứng với k = 5. Số hạng đó là √ D. C611 x 3 x. C510 ·  1 √ 5 x 5 √ √ 5 3 · ( 3 x) = C510 x2 . Chọn đáp án A  Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể? A. 240. B. 360. C. 480. D. 600. Lời giải. Ta đánh số 6 vị trí để xếp 6 người từ 1 đến 6 theo thứ tự từ trái sang phải của người chụp ảnh. Trường hợp 1: Chú rể đứng ở vị trí số 1. Khi đó có 5 cách xếp cô dâu và 4! cách xếp 4 người còn lại. Trường hợp 2: Chú rể đứng ở vị trí số 2. Khi đó có 4 cách xếp cô dâu và 4! cách xếp 4 người còn lại. Trường hợp 3: Chú rể đứng ở vị trí số 3. Khi đó có 3 cách xếp cô dâu và 4! cách xếp 4 người còn lại. Trường hợp 4: Chú rể đứng ở vị trí số 4. Khi đó có 2 cách xếp cô dâu và 4! cách xếp 4 người còn lại. Trường hợp 5: Chú rể đứng ở vị trí số 5. Khi đó có 1 cách xếp cô dâu và 4! cách xếp 4 người còn lại. Vậy có tất cả 4! · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360 cách xếp. Chọn đáp án B Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên không lớn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6. A. 16. B. 34. C. 17. Lời giải.  D. 33. Các số nguyên không lớn 100 chia hết cho 4 có dạng 4k ≤ 100, k ∈ Z ⇒ k ≤ 25, k ∈ Z. Suy ra trường hợp này có 26 số. 182 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Các số nguyên không lớn 100 chia hết cho 6 có dạng 6k ≤ 100, k ∈ Z ⇒ k ≤ 50 , k ∈ Z. 3 Suy ra trường hợp này có 17 số. Các số nguyên không lớn 100 chia hết cho cả 4 và 6 có dạng 12k ≤ 100, k ∈ Z ⇒ k ≤ 25 , k ∈ Z. 3 Suy ra trường hợp này có 9 số. Vậy có tất cả 26 + 17 − 9 = 34 số thỏa yêu cầu. Chọn đáp án B  Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ a, b, c, d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a? A. 15. B. 16. C. 18. D. 17. Lời giải. Số cách xếp tùy ý là 4!. Số cách xếp b đi liền sau a là 3 · 2! Vậy số cách xếp b không đi liền sau a là 4! − 3 · 2! = 18. Chọn đáp án C  Câu 10. Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo? n(n − 2) n(n − 1) n(n − 3) . C. . D. . A. n(n − 3). B. 2 2 2 Lời giải. Đa giác có n cạnh nên có n đỉnh. Qua 2 đỉnh nối với nhau thì được 1 đường. Suy ra tổng số đường chéo và số n(n − 3) cạnh là C2n . Vậy số đường chéo là C2n − n = . 2 Chọn đáp án B  Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn? A. 105 . B. 9 · 105 . C. 9 · 5 · 105 . D. 8 · 5 · 105 . Lời giải. Gọi số cần tìm là abcdef g. Vị trí a có 9 cách chọn (a 6= 0). Các vị trí b, c, d, e, f , mỗi vị trí có 10 cách chọn. Vị trí g: Nếu a + b + c + d + e + f là số chẵn thì g cũng chẵn nên g có 5 cách chọn. Nếu a + b + c + d + e + f là số lẻ thì g cũng lẻ nên g có 5 cách chọn. Suy ra g có 5 cách chọn. Vậy có 9 · 105 · 5 số thỏa mãn điều kiện đề bài. Chọn đáp án C  Câu 12. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300; 500)? A. 2 · A24 . B. A24 . C. A34 . D. A44 . Lời giải. Bạn gọi tập các số cần tìm có dạng là abc. Vì cần lập ra các số có 3 chữ số khác nhau năm trong khoảng (300, 500) nên a có 2 cách chọn (là 3 và 4); bc có A24 cách chọn. Vậy có thể lập được 2 · A24 số.  Chọn đáp án A Câu 13. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác và lớn hơn 6000? A. 2 · A34 . B. A55 . C. P5 . D. 2A34 + A55 . Lời giải. Trường hợp số cần lập có 5 chữ số: có A55 số. Trường hợp số cần lập có 4 chữ số: có 2 cách chọn chữ số hàng nghìn và A34 cách chọn 3 chữ số còn lại. Suy ra có 2 · A34 số. 4. BỘ ĐỀ SỐ 4 183 Vậy có tất cả 2A34 + A55 số. Chọn đáp án D  Câu 14. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6 trong đó các chữ số đều khác nhau? A. 1440. B. 1442. C. 1444. D. 1446. Lời giải. Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a4 a5 (a1 6= 0). Vì hai chữ số đầu không nhỏ hơn 6 nên a1 , a2 ∈ {6; 7; 8; 9} do đó có A24 cách chọn a1 a2 . Vì ba chữ số sau đều nhỏ hơn 6 nên a3 , a4 , a5 ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} do đó có A36 cách chọn a3 a4 a5 . Vậy có tất cả A24 · A36 = 1440 số cần tìm. Chọn đáp án A  Câu 15. Cho P (x, y, z) là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy? A. 1000. B. 503. C. 879. D. 1001. Lời giải. Ta có x, y, z ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Do đó có tất cả 103 = 1000 điểm thỏa mãn điều kiện đề bài. Chọn đáp án A  Câu 16. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu? A. 13 vận động viên, 156 ván. B. 12 vận động viên, 35 ván. C. 15 vận động viên 35 ván. D. 15 vận động viên, 210 ván. Lời giải. Gọi n là số vận động viên tham dự giải. Theo đề bài ta có số vận động viên nam là n − 2. Số ván cờ vận động viên nam chơi với nhau là (n − 2)(n − 3). Số ván cờ vận động viên nam chơi với vận động viên nữ là 4(n − 2). Theo đề bài ta có phương trình (n − 2)(n − 3) − 4(n − 2) = 66 ⇔ ” n2 − 9n − 52 = 0 n = 13 (nhận) ⇔ n = −4 (loại). Vậy có 13 vận động viện tham dự giải và có tất cả n(n − 1) = 156 ván cờ. Chọn đáp án A  Câu 17. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? A. C35 C210 + C15 C310 + C05 C410 . B. 1260. C. 1050. D. 215. Lời giải. Trường hợp 1. Chọn ban đại diện có 4 nam, có C410 cách chọn Trường hợp 2. Chọn ban đại diện có 3 nam và 1 nữ, có C310 C15 cách chọn. Trường hợp 3. Chọn ban đại diện có 2 nam và 2 nữ, có C210 C25 cách chọn. Vậy có tất cả C410 + C310 C15 + C210 C25 = 1260 cách lập ban đại diện thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án B  Câu 18. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng? A. 35. B. 36. C. 12. D. 15. Lời giải. 184 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Theo yêu cầu đề bài thì trong 4 hố sẽ có 2 cây cùng loại và hai cây còn lại khác loại, áp dụng hoán vị lặp ta 4! có = 12 cách trồng cho mỗi trường hợp. Vì có 3 trường hợp tương ứng 3 loại cây nên có tất cả 3 · 12 = 36 2! cách trồng.  Chọn đáp án B Câu 19. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, ba người muốn quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được thỏa mãn? A. 43200. B. 20000. C. 37500. D. 300. Lời giải. Sắp xếp 4 người ngồi quay mặt về hướng tàu đi, có A45 cách chọn. Sắp xếp 3 người ngồi quay mặt về hướng ngược lại, có A35 cách chọn. Sắp xếp 3 người còn lại sắp tùy ý, có 3! cách chọn. Vậy có A45 · A35 · 3! = 43200 cách sắp xếp. Chọn đáp án A    √ n 3 √ x Câu 20. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức x2 x + bằng 36. Hãy tìm số x hạng thứ 7. √ √ √ √ 3 3 B. C37 x3 x2 . C. C47 x2 . D. C58 x4 x. A. 84×3 x. Lời giải. Hệ số của số hạng thứ 3 khai triển bằng C2n . Theo đề bài ta có C2n = 36 n! ⇔ = 36 2(n − 2)! ⇔ n(n − 1) = 72 ⇔ ” n2 − n − 72 = 0 n = 9 (nhận) ⇔ n = −8 (loại). Ta được n = 9. Do đó số hạng thứ 7 của khai triển là √ C69 (x2 x)3 √ 6 3 √ x = 84×3 x. x Chọn đáp án A Câu 21. Tìm hệ số của x31    1 40 trong khai triển của f (x) = x + 2 . x B. C340 . C. C440 . A. C240 . Lời giải. Số hạng tổng quát của khai triển có dạng Ck40 x40−k  1 x2 k D. C540 . = Ck40 x40−3k . Theo đề bài ta có 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3. Vậy hệ số cần tìm là C340 . Chọn đáp án B   Câu 22. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển A. 2. Lời giải. B. 3. C. 4. 6 √ 4 x −1 √ + 2 2 bằng 240. 4−x 4 D. 1. 4. BỘ ĐỀ SỐ 4 Điều kiện 185 ( x>0 x 6= 4. Theo đề bài ta có C46 ⇔ 4  4 √ 4−x 2 2− 4−x 4 4− 4−x 4 2  √ 4 x · 24 2−1 = 240 · 24 · 2 −4 x = 16 −4 x ·2 =1 4 4 ⇔ 4− − =0 4−x x ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ 2 ⇔ x = 2. Chọn đáp án A   Câu 23. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển 1 tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng . 6 A. 8. B. 10. Lời giải. Hạng tử thứ 7 của khai triển kể từ hạng tử đầu tiên là √ 3 1 2+ √ 3 3 x tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng C. 9. C6x D. 11.  1 6 √ . 3  3 x−6 √
6 1 3 √ 2 . 3 3 √
x−6 3 2 Hạng tử thứ 7 của khai triển kể từ hạng tử cuối cùng là Cx−6 x  Theo đề bài ta có  √ x−6  1 6 1  √ 6  1 x−6 3 x−6 3 √ √ = Cx 2 2 3 3 6 3 3  √ x−12 1 3 ⇔ 6 2 = √ ( 3 3)x−12  √ x−12  √ −3 3 3 ⇔ 6 = 6 C6x ⇔ x − 12 = −3 ⇔ x = 9. Chọn đáp án C  Câu 24. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. A. 2974. B. 2984. C. 2985. D. 2975. Lời giải. Chọn 6 người từ 14 người có C614 cách chọn. Chọn 6 người từ 14 người mà chỉ có nam thì có C66 . Chọn 6 người từ 14 người mà chỉ có nữ thì có C68 . Vậy chọn 6 từ 14 người trong đó có cả nam lẫn nữ thì có C614 − C66 − C68 = 2974 cách chọn. Chọn đáp án A  1 1 (−1)n n C là Câu 25. Giá trị của tổng S = C0n − C1n + C2n − · · · + 2 3 n+1 n 1 1 1 A. . B. . C. . n+1 n+2 n−1 Lời giải. Ta có Z1 Z1 (1 − x)n+1 n (1 − x) dx = − (1 − x)n d(1 − x) = − n+1 0 0 D. 1 0 = 1 . n+1 1 . 2n + 1 186 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Mặt khác (1 − x)n = C0n − C1n x + C2n x2 − · · · + (−1)n Cnn xn Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 n 0 1 2 2 ⇒ (1 − x) dx = Cn dx − Cn x dx + Cn x dx − · · · + (−1)n Cnn xn dx 0 ⇔ ⇔ 0 0 0 0 1 1 1 (−1)n n n+1 1 1 1 = C0n x 0 − C1n x2 0 + C3n x2 0 − · · · + C x n+1 2 3 n+1 n 1 1 1 (−1)n n = C0n − C1n + C2n − · · · + C . n+1 2 3 n+1 n 1 0 1 . n+1 Chọn đáp án A Vậy S =  ĐÁP ÁN BỘ ĐỀ 04 1. C 11. C 21. B 2. A 12. A 22. A 3. A 13. D 23. C 4. B 14. A 24. A 5. A 15. A 25. A 6. A 16. A 7. B 17. B 8. B 18. B 9. C 19. A 10. B 20. A 5. BỘ ĐỀ SỐ 5 187 BÀI 5. BỘ ĐỀ SỐ 5 Câu 1. Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? A. C16 . B. C310 . C. C310 − C34 . D. C310 . Lời giải. Có C310 cách chọn 3 điểm trong 10 điểm đã cho, có C34 cách chọn 3 điểm trong 4 điểm thẳng hàng. Suy ra có C310 − C34 tam giác. Chọn đáp án C  Câu 2. Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ chối tham gia? A. C210 − C35 + C310 − C35 . B. C515 − C210 C310 + C310 C35 . C. C29 C34 + C39 C24 . D. C213 . Lời giải. Có 2 trường hợp: 2 nam và 3 nữ: có C29 cách chọn 2 nam, C34 cách chọn 3 nữ. Suy có C29 C34 2 nam và 3 nữ. 3 nam và 2 nữ: có C39 cách chọn 3 nam, C24 cách chọn 2 nữ. Suy có C39 C24 3 nam và 2 nữ. Vậy có tất cả C29 C34 + C39 C24 cách chọn. Chọn đáp án C  Câu 3. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ số đó chứa q và v? A. C24 C220 6!. B. C35 C321 6!. C. C24 C220 . D. C35 C321 . Lời giải. Có C24 hai nguyên âm, C220 cách chọn hai phụ âm, 6! cách sắp xếp 6 kí tự vừa được chọn. Vậy có tất cả A26 C24 A24 A220 = C24 C220 6! chuỗi. Chọn đáp án A  Câu 4. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là 2 số liên tiếp. B. C590 . C. C590 + C586 . D. C590 − C586 . A. C586 . Lời giải. Giả sử các phiếu được chọn có số thứ tự là a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và 1 6 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 6 90. Ta xét trường hợp không tồn tại hai phiếu nào có số thứ tự là hai số liên tiếp. Mỗi trường hợp như vậy tương ứng với bộ (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) thỏa mãn 1 6 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 6 90 và ai+1 − ai > 2, i = 1, 4 (1) Đặt b1 = a1 , b2 = a2 − 1, b3 = a3 − 2, b4 = a4 − 3, b5 = a5 − 4, ta có 1 6 b1 < b2 < b3 < b4 < b5 6 86 và bi+1 − bi > 1, i = 1, 4 (2) Ta thấy số cách chọn bộ (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) thỏa mãn (1) bằng số cách chọn bộ (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) thỏa mãn (2) và bằng C586 . Vậy có C590 − C586 cách rút phiếu. Chọn đáp án D  Câu 5. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào dạy 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp? A. C26 . B. C24 . C. C26 C24 . D. C26 + C24 . Lời giải. Thầy giáo thứ nhất có C26 cách chọn lớp, thầy thứ hai có C24 cách chọn 2 lớp trong 4 lớp còn lại, thầy thứ ba có 1 cách chọn 2 lớp còn lại. Vậy có cách C26 C24 chia lớp. Chọn đáp án C  188 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Câu 6. Cho P (x, y, z) là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox? A. 1000. B. 10. C. 10000. D. 100. Lời giải. Hai điểm (x1 , y1 , z1 ) và (x2 , y2 , z2 ) không cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox khi x1 6= x2 . Vậy mỗi hệ có nhiều nhất 10 điểm. Chọn đáp án B  Câu 7. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M . Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác M , trên b lấy 10 điểm phân biệt khác M . Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác? A. C320 . B. C320 − C310 − C311 . C. C320 − C39 − C310 . D. 9C211 + 10C210 . Lời giải. Có C320 cách chọn 3 điểm trong 20 đã cho, có C310 cách chọn 3 điểm trên a, C311 cách chọn 3 điểm trên b. Suy ra lập được C320 − C310 − C311 tam giác. Chọn đáp án B  Câu 8. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà bạn D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, C muốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn 2 quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? A. C18 C57 . B. C29 C27 C35 . C. C18 C27 C35 . D. 3C18 C27 C35 . Lời giải. Bạn A có 8 cách chọn, sau khi bạn A chọn bạn B có C27 cách chọn, sau khi bạn A và B chọn bạn C có C55 cách chọn. Vậy bạn D có 8C27 C35 cách cho mượn. Chọn đáp án C  Câu 9. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 ta lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? A. 20C310 + 10C320 . B. 10C310 + 10C210 . C. C320 . D. 10C220 + 20C210 . Lời giải. Có C330 cách chọn 3 điểm bất kì, C310 cách chọn 3 điểm trên đường thẳng thứ nhất, C320 cách chọn 3 điểm trên đường thẳng thứ hai. Vậy có C330 − C310 − C320 = 10C220 + 20C210 tam giác. Chọn đáp án D  Câu 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? A. 576. B. 444. C. A56 − A45 − 78. D. Kết quả khác. Lời giải. Gọi X là tập các chỉnh hợp chập 5 của tập {0; 1; 2; 3; 4; 5}, Y là tập con của X gồm tất cả các chỉnh hợp mà 0 đứng đầu, Z là tập con của X gồm tất cả các chỉnh hợp được lập từ {0; 1; 2; 3; 4; 5} trong đó 3, 4 đứng cạnh nhau và chữ số đứng đầu khác 0. Ta có |X| = A56 , |Y | = A45 . Giả sử a1 a2 a3 a4 a5 ∈ Z. Nếu a1 = 3 hoặc a1 = 4 có 2 cách chọn vị trí của 3 và 4, A34 cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại. Nếu a1 6= 3 và a1 6= 4 thì có 3 cách chọn a1 , có 6 cách chọn vị trí của 3 và 4, A23 cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại. Vậy |Z| = 2A34 + 3 · 6A23 = 156. Suy ra số các số tự nhiên cần tìm là |X| − |Y | − |Z| = A56 − A45 − 156 = 444. Chọn đáp án B  Câu 11. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? A. 3A24 . B. 4A24 . C. A34 . D. 4A34 . Lời giải. Chữ số hàng nghìn là 5 nên có 3 cách chọn vị trí cho số 4, A24 cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại. Vậy có tất cả 3A24 số.  Chọn đáp án A Câu 12. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là 7? A. 36. B. 48. C. 57. D. 66. 5. BỘ ĐỀ SỐ 5 189 Lời giải. Xét trường hợp chữ số cuối là 0. Có 2 cách chọn vị trí của chữ số 7, A24 cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại. Suy ra có 2A24 = 24 số. Xét trường hợp chữ số cuối là 2 hoặc 6. Có 2 cách chọn chữ số cuối. Nếu chữ số đầu là 7, có A24 cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại. Nếu chữ số thứ hai là 7 thì có 3 cách chọn chữ số đầu, 3 cách chọn chữ số còn lại. Suy ra có 2(A24 + 3 · 3) = 42 số. Vậy có tất cả 24 + 42 = 66 số. Chọn đáp án D  Câu 13. Có bao nhiêu người tham gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván? A. 13. B. 14. C. 15. D. 16. Lời giải. Gọi n là số người tham gia (n ∈ N∗ ), hai người bỏ cuộc là A và B. Có hai trường hợp xảy ra A đã đấu với B. Trong 84 ván có 79 ván không có A, B tham gia. Số ván không có A, B tham gia là (n − 2)(n − 3) . Suy ra 2 √ 5 ± 633 (n − 2)(n − 3) = 79 ⇔ n = (không thỏa mãn). 2 2 A chưa đấu với B. Trong 84 ván có 78 ván không có A, B tham gia. Số ván không có A, B tham gia là (n − 2)(n − 3) . Suy ra 2 ” n = 15 (n − 2)(n − 3) = 79 ⇔ 2 n = −10 (loại). Vậy số người tham gia là 15. Chọn đáp án C  Câu 14. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm? A. 39. B. 40. C. 41. D. 42. Lời giải. Gọi 4 đường thẳng song song là a1 , a2 , a3 , a4 , các đường thẳng còn lại là b1 , b2 , . . . , b6 . Mỗi đường thẳng bi cắt aj tại một điểm. Suy ra tổng số giao điểm các đường thẳng bi , i = 1, 6 cắt các đường thẳng aj , j = 1, 4 là 24. Tổng số giao điểm các đường thẳng bi , i = 1, 6 cắt nhau là C26 = 15. Vậy các đường thẳng đã cho cắt nhau tại 24 + 15 = 39 điểm. Chọn đáp án A  Câu 15. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên. A. 66666. B. 7999920. C. 3333300. D. 3999960. Lời giải. Gọi S là tập hợp tất cả các số. Ta sắp xếp tất cả các phần tử của S dạng 12345 21435 45321 …. …. 54321 ——— 190 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Trong mỗi cột mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5 xuất hiện 4! = 24 lần cho nên tổng các chữ số của mỗi cột là 24(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360. Ta thực hiện cộng như sau : Tổng cột thứ 5 bằng 360 viết 0 nhớ 36, tổng cột thứ 4 bằng 360 cộng thêm 36 bằng 396 ta viết 6 nhớ 39, tổng cột thứ 3 bằng 360 cộng thêm 39 bằng 399 ta viết 9 nhớ 39 tổng cột thứ 2 bằng 360 cộng thêm 39 bằng 399 ta viết 9 nhớ 39, tổng cột thứ nhất bằng 360 cộng thêm 39 bằng 399 ta được kết quả 3999960. Chọn đáp án D  Câu 16. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu? A. C521 . B. C549 . C. C339 . D. C549 + C349 . Lời giải. Trường hợp 1: Cậu Huy và cô Thục cùng làm việc trong ban cán sự. Chọn cậu Huy và cô Thục vào ban cán sự lớp có 1 cách. Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí còn lại trong ban cán sự lớp có C349 . Do đó có 1 · C349 = C349 cách. Trường hợp 2: Cậu Huy và cô Thục không cùng làm việc trong ban cán sự. Chọn 5 học sinh từ 49 học sinh (bỏ cậu Huy và cô Thục ra) vào ban cán sự lớp có C349 cách. Vậy có C549 + C349 cách chọn thỏa yêu cầu đề bài. Chọn đáp án D  Câu 17. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau? B. C349 . C. C339 . D. ·C551 − C349 . A. C551 . Lời giải. Có C551 cách chọn ban cán sự và có C349 trường hợp cậu Huy và cô Thục cùng tham gia vào ban cán sự. Vậy có ·C551 − C349 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D  Câu 18. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã cho, nhiều nhất là bao nhiêu? A. 320. B. 330. C. 20. D. 15. Lời giải. Đường thẳng cần dựng là đường thẳng đi qua 2 điểm nên có C25 = 10 đường thẳng. Qua mỗi điểm A chẳng hạn, có C14 = 4 đường thẳng. Do đó có 6 đường thẳng không đi qua A. Vậy từ A có C25 − C14 = 6 đường thẳng vuông góc. Xét hai điểm bất kỳ B 6= A. Các đường thẳng vuông góc từ B xuống các đường thẳng qua A cắt tất cả các đường thẳng vuông góc hạ từ A. Có 3 đường thẳng qua A mà không qua B. Vậy từ B ta hạ được 3 đường vuông góc với 3 đường thẳng đó. Ba đường thẳng vuông góc này cắt 6 đường thẳng vuông góc hạ từ A tại 3 · 6 = 18 điểm. Hạ từ B còn có 3 đường thẳng vuông góc nữa, mỗi đường này sẽ cắt 5 đường vuông góc hạ từ A (nó song song với một đường còn lai). Vậy có 3 · 5 = 15 giao điểm. Vậy có tổng cộng 10 · (18 + 15) = 330 giao điểm. Nhưng cứ mỗi 3 giao điểm lại tạo thành một tam giác mà 3 đường cao của nó là 3 đường vuông góc đã xét. Vậy, các trực tâm của các tam giác này được kể 3 lần. Số các tam giác được tạo thành là C35 = 10. Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là 330 − 10 = 320. Chọn đáp án A   √  n 28 Câu 19. Trong khai triển nhị thức x 3 x + x− 15 . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rằng Cnn + Cn−1 + Cn−2 = 79. n n A. C512 . B. C612 . C. C712 . D. C812 . 5. BỘ ĐỀ SỐ 5 191 Lời giải. Điều kiện: 2 ≤ n ∈ Z. ” n = 12 n (n − 1) Ta có: Cnn + Cn−1 + Cn−2 = 79 ⇔ 1 + n + = 79 ⇔ . Ta nhận n = 12 vì 2 ≤ n ∈ Z. n n 2 n = −13   √ 28 12 . Khi đó ta có khai triển: x 3 x + x− 15  4 12−k  28 k 48k 112 · x− 15 = Ck12 · x− 15 + 5 . Sô hạng thứ k + 1 trong khai triển là Tk+1 = Ck12 · x 3 48k 112 Số hạng không phụ thuộc x ứng với − + = 0 ⇔ k = 7. 15 5 7 Vậy số hạng không chứa x là C12 . Chọn đáp án C   x 3 12 Câu 20. Trong khai triển nhị thức + . Tìm hạng tử độc lập với x. 3 x A. C712 . B. C512 . C. C812 . D. C612 . Lời giải.  x 12−k  3 k · Sô hạng thứ k + 1 trong khai triển là Tk+1 = Ck12 · = Ck12 · 32k−12 · x12−2k . 3 x Số hạng không chứa x ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là C612 . Chọn đáp án D Câu 21. Tính A = C1n − 2C2n + 3C3n − 4C4n + · · · + (−1)n−1 · nCnn . A. 1. B. (−1)n . C. 0. D. −1. Lời giải. Áp dụng công thức kCkn = nCk−1 n−1 ta được: n−1 0 1 2 = n (1 − 1)n−1 = 0. A = nCn−1 − nCn−1 + nCn−1 − nC3n−1 + · · · + (−1)n−1 nCn−1 Chọn đáp án C   1 2 10 Câu 22. Cho khai triển nhị thức: + x = a0 + a1 x + · · · + a9 x9 + a10 x10 . Tìm số hạng ak lớn nhất. 3 3 27 29 26 28 B. 10 C710 . C. 10 C910 . D. 10 C610 . A. 10 C810 . 3 3 3 3 Lời giải.   10 1 2 10 1 1 P 1 + x = 10 (1 + 2x)10 = Ck (2x)k ⇒ ak = 10 Ck10 2k . 3 3 3 30 k=0 10 3  1 2 ( ( k k  k+1 k+1 ≥  C10 2 ≥ C10 2 ak ≥ ak+1 10 − k k+1 ⇔ Ta có: ak lớn nhất khi ⇔ k−1 k−1 k k 1 2  ak ≥ ak−1 C10 2 ≥ C10 2  ≥ k 11 − k ⇔ Vậy max ak = a7 = Chọn đáp án B    19 22 ≤k≤ ⇒ k = 7 (k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 10). 3 3 27 7 C . 310 10  Câu 23. Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam? A. 4C46 + C56 . B. C24 C36 + C56 . C. C26 C14 + C56 . D. C26 C14 + C56 . Lời giải. Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 4 nữ có 4C46 . Trường hợp 2: Chọn 5 nữ có C56 . Theo quy tắc cộng có 4C46 + C56 . Chọn đáp án A  192 CHƯƠNG 3. CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Câu 24. Tính tổng S = 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 C + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 . 1 6 2 3 4 5 6 7 38 − 27 37 − 27 B. . C. . 7 8 37 − 28 37 − 27 . D. . 7 7 Lời giải. Xét khai triển: (x + 2)6 = C06 26 + C16 25 x + C26 24 x2 + C36 23 x3 + C46 22 x4 + C56 2×5 + C66 x6 . Z1 Z1
6 Suy ra (x + 2) dx = C06 26 + C16 25 x + C26 24 x2 + C36 23 x3 + C46 22 x4 + C56 2×5 + C66 x6 dx A. 0 (x + 2)7 1 ⇔ 7 0 7 3 − 27 ⇔ = 7 Chọn đáp án 0   x3 x4 x5 x6 x7 x2 2 4 3 3 4 2 5 6 0 6 1 5 + C6 2 + C6 2 + C6 2 + C6 2 + C6 = C6 2 x + C 6 2 2 3 7 5 6 7 6 5 4 3 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 6 C + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 . 1 6 2 3 4 5 6 7 D 1 0  Câu 25. Cho khai triển biểu thức  x n  x−1 n  x−1 n−1 x  x−1  x n = C0n 2 2 + C1n 2 2 2− 3 + · · · + Cnn 2− 3 2 2 + 2− 3 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C3n = 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x. A. x = 4; n = 7. B. x = 7; n = 4. C. x = 6; n = 3. D. x = 5; n = 7. Lời giải. Điều kiện: 3 ≤ n ∈ Z. Từ phương trình C3n = 5C1n ta tìm được n = 7.  x−1 4  x 3 Số hạng thứ tư bằng 20n nên C37 2 2 · 2− 3 = 20 · 7 ⇔ 2x−2 = 22 ⇔ x = 4. Chọn đáp án A  ĐÁP ÁN BỘ ĐỀ 05 1. C 11. A 21. C 2. C 12. D 22. B 3. A 13. C 23. A 4. D 14. A 24. D 5. C 15. D 25. A 6. B 16. D 7. B 17. D 8. C 18. A 9. D 19. C 10. B 20. D CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI DẠNG 0.1. Bài toán chia hết Bài 1. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. 1 Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4? ĐS: P = . 5 Lời giải. Gọi số có 6 chữ số mà trong đó chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt đúng một lần là abcdef với a, b, c, d, e, f ∈ {1, 3, 4, 8}. Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có C36 cách. Sắp xếp 3 chữ số 1; 4; 8 vào 3 vị trí còn lại có 3! cách. Vậy có tất cả C36 × 3! = 120 số. Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4. Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi trường hợp có C34 = 4 cách sắp xếp chữ số 3 và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho 4. Gọi A là biến cố “Số lấy ra chia hết cho 4”. Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là |ΩA | = 8. Số phần tử của không gian mẫu là |Ω| = 120. |ΩA | 8 1 Xác suất của biến cố A là P(A) = = = .  |Ω| 120 5 Bài 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự 11 nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. ĐS: P = . 27 Lời giải. Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có A89 cho 8 vị trí còn lại. Vậy n(A) = 9 × A89 . . Giả sử B = {0; 1; 2; . . . ; 9} ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 .. 3 nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập B {0}, B {3}, B {6}, B {9} nên số các số loại này là A99 + 3 × 8 × A88 . A9 + 3 × 8 × A88 11 Vậy xác suất cần tìm là P = 9  = . 27 9 × A89 Bài 3. Gọi S là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200. Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S. 9 Tính xác suất lấy được hai phần tử là hai số không chia hết cho 5. ĐS: P = . 23 Lời giải. Ta có 43200 = 26 × 33 × 52 . Mỗi ước nguyên dương của số 43200 là một số có dạng 2i × 3j × 5k , trong đó i ∈ {0; 1; . . . ; 6}, j ∈ {0; 1; 2; 3}, k ∈ {0; 1; 2}. Số ước nguyên dương bằng số bộ (i, j, k) được chọn từ 3 tập trên. Suy ra số cách chọn bộ (i, j, k) từ 3 tập trên là 7 × 4 × 3 = 84 cách, nên số phần tử của S là 84. Có C284 cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S. Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho 5 của số 43200 là một số có dạng 2i × 3j × 50 . Suy ra số các ước của 43200 không chia hết cho 5 trong tập S là 7 × 4 = 28. Do đó có C228 cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho 5. 9 C2  Suy ra xác suất lấy được hai số không chia hết cho 5 trong S là P = 228 = . 23 C84 Bài 4. Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6? ĐS: 640. 193 194 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Lời giải. Gọi số cần tìm là: n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Ta có hai trường hợp là TH1: a3 = 0. Do n lẻ nên a6 có 4 cách chọn, a1 có 6 cách. Chọn 3 chữ số còn lại có A35 cách. TH2: a3 = 6. Do n lẻ nên a6 có 4 cách chọn, a1 có 5 cách. Chọn 3 chữ số còn lại có A35 cách. Vậy có S = 4 × 6 × A35 + 4 × 5 × A35 = 2640 số.  Bài 5. Trong tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số ta chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để chọn 43 . được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. ĐS: P = 3000 Lời giải. Số các số tự nhiên có 4 chữ số là 9999 − 1000 + 1 = 9000. Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abc1. Ta có abc1 = 10abc + 1 = 3abc + 7abc + 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi 3abc + 1 chia hết cho 7. Đặt h−1 3abc + 1 = 7h ⇔ abc = 2h + là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t + 1. 3 98 997 Khi đó ta được abc = 7t + 2 ⇒ 100 ≤ 7t + 2 ≤ 999 ⇔ ≤t≤ ⇔ t ∈ {14; 15; . . . ; 142}, suy ra số cách 7 7 chọn ra t sao cho số abc1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 129. 129 43 Vậy xác suất cần tìm là: P = = .  9000 3000 Bài 6. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. ĐS: P ≈ 0,015. Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 99999 − 10000 + 1 = 90000. Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1. Ta có abcd1 = 10abcd + 1 = 3abcd + 7abcd + 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi 3abcd + 1 chia hết cho 7. Đặt h−1 3abcd + 1 = 7h ⇔ abcd = 2h + là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t + 1. 3 998 9997 Khi đó ta được abcd = 7t + 2 ⇒ 1000 ≤ 7t + 2 ≤ 9999 ⇔ ≤t≤ ⇔ t ∈ {143; 144; . . . ; 1428}, suy ra 7 7 số cách chọn ra t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286. 1286 643 = ≈ 0,015.  Vậy xác suất cần tìm là: P = 90000 45000 Bài 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3. ĐS: P = 0, 6. Lời giải. Tìm số có ba chữ số khác nhau lập từ tập E = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Số cần tìm có dạng abc, chọn a có 5 cách, chọn 2 số trong 5 số còn lại của E để xếp vào hai vị trí b, c có A25 cách. Vậy có 5 × A25 = 100 số. . Tính số lập được chia hết cho 3. Số cần tìm có dạng abc, với a + b + c .. 3. Xét các tập con gồm 3 phần tử của tập E, ta thấy chỉ có các tập sau thỏa mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là A1 = {0; 1; 2}, A2 = {0; 1; 5}, A3 = {0; 2; 4}, A4 = {0; 4; 5}, A5 = {1; 2; 3}, A6 = {1; 3; 5}, A7 = {2; 3; 4}, A8 = {3; 4; 5}. Khi a, b, c ∈ A1 , A2 , A3 , A4 mỗi trường hợp lập được 4 số thỏa mãn yêu cầu. Khi a, b, c ∈ A5 , A6 , A7 , A8 mỗi trường hợp lập được 6 số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có 4 × 4 + 4 × 6 = 40 số. Suy ra số không chia hết cho 3 là 100 − 40 = 60 số. Xác suất cần tính là P = 60 = 0, 6. 100  195 Bài 8. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Lấy 1 ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 1111. ĐS: P = . 105 Lời giải. Ta có số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 8!. Giả sử số tự nhiên n = a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 chia hết cho  1111 trong đó a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 thuộc n … 9 . .. ⇒ n .. 9999. Đặt x = a1 a2 a3 a4 , y = b1 b2 b3 b4 ⇒ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Ta có 1 + 2 + 3 + · · · + 8 = 36 . 9 ⇒  .. n . 1111 n = 104 x + y = 9999x + x + y. . . n .. 9999 ⇒ x + y .. 9999, vì 0 < x + y < 2 × 9999 nên x + y = 9999. Suy ra a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = a4 + b4 = 9. Có 4 cặp số có tổng bằng 9 là (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5). Có 4! cách chọn cặp số trên, mỗi cặp số có 2 hoán vị nên có 4! × 24 số chia hết cho 1111. Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được lấy chia hết cho 1111”, suy ra n(A) = 4! × 24 . Xác suất của biến cố A là 1 P(A) = .  105 Bài 9. Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3. ĐS: 384. Lời giải. Ta chia 20 số từ 1 đến 20 thành ba nhóm sau: A = {3; 6; 9; 11; 15; 18}. Nhóm chia hết cho 3, n(A) = 6. B = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19}. Nhóm chia cho 3 dư 1, n(B) = 7. C = {2; 5; 8; 11; 14; 17; 20}. Nhóm chia cho 3 dư 2, n(C) = 7. Tổng 3 số đã cho chia hết cho 3 có bốn trường hợp sau: TH1. 3 số thuộc A. Có C36 = 20 cách chọn. TH2. 3 số thuộc B. Có C37 = 35 cách chọn. TH3. 3 số thuộc C. Có C37 = 35 cách chọn. TH4. 1 số thuộc A, 1 số thuộc B, 1 số thuộc C. Có C16 × C17 × C17 = 294 cách chọn. Vậy tất cả có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn số thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Bài 10. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự 1 nhiên thuộc vào tập S. Tính xác suất để chọn được một số thuộc S và số đó chia hết cho 9. ĐS: P = . 9 Lời giải. Gọi số có 8 chữ số phân biệt có dạng là: x = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . Có n(Ω) = A810 − A79 . Gọi A là biến cố “x chia hết cho 9”. Các số a1 , a2 , . . ., a8 được lập từ 4 trong 5 cặp (0; 9), (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5). Xét hai trường hợp sau TH1: Trong x không có chữ số 0 và 9. Có 8! số. TH2: Trong x có chứa chữ số 0 và 9. – Chọn 3 trong 4 cặp còn lại có C34 . – Xếp 8 số chọn được thành số có 8 chữ số có 8! − 7!. Vậy có 8! + C34 × (8! − 7!) số, suy ra xác suất là P(A) = 8! + C34 × (8! − 7!) 1 = . 8 7 9 A10 − A9  196 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Bài 11. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập hợp A = {0; 2; 3; 4; 5; 7; 8}. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập X. Tính xác suất để chọn được 53 số chia hết cho 4. ĐS: P = . 105 Lời giải. Mỗi số tự nhiên thuộc X có dạng x = a1 a2 a3 a4 trong đó a1 6= 0 và a4 chẵn. Trường hợp a4 = 0, số các số dạng x có a4 = 0 là A36 = 120 số. Trường hợp a4 6= 0, số các số dạng trong trường hợp này là 5 × 5 × 4 × 3 = 300 Vậy X có 120 + 300 = 420 số. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 420. Gọi A là biến cố chọn được số chia hết cho 4. Ta có x chia hết cho 4 khi và chỉ khi a3 a4 chia hết cho 4. Do đó a3 a4 thuộc tập hợp {04; 08; 20; 24; 28; 32; 40; 48; 52; 72; 80; 84}. Nếu a3 a4 ∈ {04; 08; 20; 40; 80} thì số cách chọn x là A25 × 5 = 100 số. Nếu a3 a4 ∈ {24; 28; 32; 48; 52; 72; 84} thì số cách chọn x là 4 × 4 × 7 = 112 số. 212 53 Suy ra n(A) = 212. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = = .  420 105 Bài 12. Cho X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà tổng các chữ số bằng 18. 43 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập X. Tính xác suất để chọn được là số chẵn. ĐS: P = . 75 Lời giải. Gọi số có 6 chữ số khác nhau là abcdef , mà tổng các chữ số bằng 18 nên tập {a; b; c; d; e; f } là một trong các tập hợp sau: {0; 1; 2; 3; 4; 8}; {0; 1; 2; 3; 5; 7}; {0; 1; 2; 4; 5; 6}. Ứng với mỗi trường hợp có 5 cách chọn chữ số a, các chữ số còn lại có 5! cách chọn. Suy ra có 3 × 5 × 5! = 1800 số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà tổng bằng 18. Suy ra n(Ω) = 1800. Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được chọn là số chẵn”. Suy ra A là biến cố “Số tự nhiên được chọn là số lẻ”. a, b, c, d, e, f ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 8}, có 2 × 4 × 4! = 192 số. a, b, c, d, e, f ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 7}, có 4 × 4 × 4! = 384 số. a, b, c, d, e, f ∈ {0; 1; 2; 4; 5; 6}, có 2 × 4 × 4! = 192 số.

43 Suy ra n A = 768, nên P(A) = 1 − P A = . 75  Bài 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng của ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn và hàng trăm bằng 9? ĐS: 2160. Lời giải. Ta có 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4. Gọi số cần lập là abcdef . Vì tổng của ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn và hàng trăm bằng 9 nên bcd có 3 × 3! = 18 cách lập. Khi đó, a, e, f ∈ {1; 2; . . . ; 9} nên các vị trí còn lại có A36 = 120 cách lập. Vậy số các số cần lập là 18 × 120 = 2160 (số)  Bài 14. Một hộp chứa 11 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 11, lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu. 118 Tính xác suất để tổng của các số được ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ. ĐS: P = . 231 Lời giải. Số cách bốc ngẫu nhiên 6 quả cầu từ 11 quả là C611 = 462 (cách). Trong 11 quả cầu thì có 5 quả đánh số chẵn và 6 quả đánh số lẻ. Để bốc được 6 quả mà tổng các số là số lẻ thì trong đó phải có số quả đánh số lẻ là một số lẻ. Ta xét các trường hợp sau. TH1: Bốc được 1 quả có số lẻ, có C16 × C55 = 6 cách. 197 TH2: Bốc được 3 quả có số lẻ, có C36 × C35 = 200 cách. TH3: Bốc được 5 quả có số lẻ, có C56 × C15 = 30 cách. Vậy xác suất cần tính là P = 118 6 + 200 + 30 = . 462 231  Bài 15. Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu 5 quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 và lớn hơn . ĐS: 6. 6 Lời giải. Nhận thấy trong chín quả cầu đã cho, có hai quả ghi số chia hết cho 4 (các quả ghi số 4 hoặc số 8), bảy quả còn lại ghi số không chia hết cho 4. Giả sử rút ra x quả 1 ≤ x ≤ 9, x ∈ N. Số cách chọn x quả từ 9 quả trong hộp là Cx9 nên số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = Cx9 . Gọi A là biến cố “Trong số x quả lấy ra, có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4” thế thì biến cố đối của A là A: “Trong số x quả lấy ra, không có quả nào ghi
số chia hết cho 4”. Số cách chọn tương ứng với biến cố A là n A = Cx7 .

n A Cx (9 − x)(8 − x) Ta có P A = = x7 = . Do đó n(Ω) C9 72
5 (9 − x)(8 − x) 1 < ⇔ x2 − 17x + 60 < 0 ⇔ 5 < x < 12. P(A) = 1 − P A > ⇔ 6 72 6 Suy ra 6 ≤ x ≤ 9, x ∈ N. Vậy số quả cầu phải rút ra ít nhất mà ta phải tìm là 6.  DẠNG 0.2. Số lần xuất hiện của chữ số Bài 16 (Thi HSG Quảng Nam lớp 11, 2016-2017). Từ 10 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa điều kiện là số có 8 chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. ĐS: 428400. Lời giải. • Bước 1: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần (kể cả chữ số 0 đứng đầu). Từ 10 chữ số đã cho chọn ra 5 chữ số gồm 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn là C25 · C35 cách chọn. Với mỗi cách chọn 8! ta có thể viết ra được chữ số (kể cả số 0 đứng đầu) có 8 chữ số trong đó mỗi số chẵn xuất hiện 2 lần. 2! · 2! · 2! 8! Do đó ta có viết được C25 · C35 · số có 8 chữ số (kể cả số 0 đứng đầu) theo yêu cầu đề. 2! · 2! · 2! • Bước 2: Ta tìm số cách viết số như trên nhưng số 0 lại xuất hiện tại ví trí đầu tiên. Đầu tiên ta chọn ra 2 số lẻ và 2 chữ số chẵn khác 0 có C25 · C24 cách chọn. Mà mỗi cách chọn ta có thể viết ra 7! được số có 8 chữ số theo yêu cầu đề mà số 0 đứng đầu. 2! · 2! 7! Do đó ta có viết được C25 · C24 · số có 8 chữ số theo yêu cầu đề mà số 0 đứng đầu. 2! · 2! 8! 7! − C25 · C24 · = 428400 số thỏa yêu cầu đề bài.  Vậy có C25 · C35 · 2! · 2! · 2! 2! · 2! Bài 17 (Thi HSG Thanh Hóa lớp 12, 2013-2014). Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số được lấy ra chỉ có mặt 12600 ba chữ số khác nhau. ĐS: . 59049 Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số đều khác 0 là 95 . Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 mà chỉ có 3 chữ số khác nhau là C39 · C13 · 5! 5! + C39 · C23 · (do 3 số mà 3! 2! · 2! 198 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI tạo ra số có 5 chữ số nên chỉ có hai trường hợp hoặc có 1 số lặp 3 lần hoặc có 2 số mỗi số lặp 2 lần). 5! 5! C39 · C13 · + C39 · C23 · 3! 2! · 2! = 12600 . Vậy xác suất P = 95 59049  Bài 18 (Thi HSG Bắc Giang lớp 11, 2012-2013). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần? ĐS: 3888. Lời giải. Ta xét các trường hợp sau • Trường hợp 1. Chữ số 0 xuất hiện hai lần. Có C23 cách chọn vị trí cho hai chữ số 0. Có A29 cách sắp xếp hai chữ số trong 9 chữ số vào hai vị trí còn lại. Suy ra trường hợp này có C23 · A29 = 216 số thỏa mãn. • Trường hợp 2. Chữ số x (khác 0) xuất hiện hai lần và x ở vị trí đầu tiên. Có 9 cách chọn x. Có 3 cách chọn thêm một vị trí cho x còn lại. Có A29 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại. Suy ra có 9 · 3 · A29 = 1944. • Trường hợp 3. Chữ số x (khác 0) xuất hiện hai lần và x không nằm ở vị trí đầu. Có 9 cách chọn x. Có C23 cách chọn vị trí cho chữ số x. Có 8 cách chọn cho số ở vị trí đầu và 8 cách chọn cho vị trí còn lại. Suy ra có 8 · 8 · 9 · C23 = 1728. Vậy ta có 216 + 1944 + 1728 = 3888 số thỏa yêu cầu đề.  Bài 19 (Thi HSG Nam Định lớp 11, 2012-2013). Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp A = {1; 2; 3; . . . ; 20}. Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp. ĐS: 68 . 95 Lời giải. Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là C320 = 1140 cách. Số cách chọn ra ba số liên tiếp là 18 cách Số cách chọn ra ba số mà có đúng hai số liên tiếp là 17 + 17 = 306 cách. 1140 − 18 − 306 68 = . Vậy xác suất cần tìm là P = 1140 95  Bài 20 (Thi HSG Thanh Hóa lớp 12, 2008-2009). Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau mà trong đó có đúng một chữ số lẻ? ĐS: 3000. Lời giải. Ta kí hiệu số có dạng là a1 a2 a3 a4 a5 a5 a6 . Có 5 cách chọn một chữ số lẻ. Mỗi cách chọn ra một số lẻ và 5 số chẵn ta có thể viết được 6! số (kể cả a1 = 0). Suy ra có 5 · 6! số (kể cả a1 = 0). Ta tìm số cách làm như trên nhưng a1 = 0. Vì a1 = 0 nên số cách viết 5 số còn lại là 5 · 5!. Vậy có 5 · 6! − 5 · 5! = 3000 số. Bài 21 (Thi HSG Nam Định lớp 12, 2013-2014). Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 6. ĐS: 1560. Lời giải. Có 5 cách chọn vị trí cho số 6. Điền vào 4 vị trí còn lại bởi 6 số còn lại ta có A46 cách điền. Suy ra số các số vừa tìm được là 5 · A46 (kể cả số 0 đứng đầu).  199 Trong đó số cách làm mà số 0 đứng vị trí đầu tiên là 4 · A35 . Vậy có 5 · A46 − 4 · A35 = 1560 số thỏa yêu cầu bài.  Bài 22 (Thi HSG Diễn Châu-Nghệ An lớp 11, 2016-2017). Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn một số ngẫu nhiên từ 10 . X tính xác suất để số đó có đúng ba chữ số lẻ. ĐS: 21 Lời giải. Ta có số phần tử của X là A69 . Số cách số mà trong đó có đúng ba chữ số lẻ là C35 · C34 · 6!. 10 C3 · C3 · 6! = . Vậy xác suất cần tìm là P = 5 64 21 A9  Bài 23 (Thi HSG Đà Nẵng lớp 11, 2010-2011). Từ tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy chỉ có mặt ba 12600 chữ số khác nhau. ĐS: . 5 9 Lời giải. Số các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0 là 95 . 5! 5! Số các số tự nhiên có năm chữ số mà chỉ có mặt ba chữ số khác nhau là C39 · C13 · + C39 · C23 · = 12600. 3! 2! · 2! 12600 .  Vậy xác suất cần tìm là P = 95 DẠNG 0.3. Liên quan đến vị trí Bài 24 (Thi HSG Vĩnh Phúc lớp 12, 2017-2018). Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau trong đó hai số đứng kề nhau không là số lẻ? ĐS: 37800. Lời giải. Gọi số đó là A = a1 a2 a3 a4 a5 a5 a6 . Theo đề bài ta thấy A có nhiều nhất là ba số lẻ. • Trường hợp 1. A có một số lẻ. Nếu a1 là số lẻ thì số các số A là C15 · 5!. Nếu a1 là số chẵn thì số các số A là C14 · C15 · C14 · 4!. Suy ra có C15 · 5! + C14 · C15 · C14 · 4! số trong trường hợp này. • Trường hợp 2. A có hai chữ số lẻ. Nếu a1 lẻ, suy ra a2 chẵn thì số các số A là C15 · C15 · C14 · C34 · 4!. Nếu a1 chẵn thì số các số A là C14 · C25 · 6 · 2! · A34 . • Trường hợp 3. A có ba chữ số lẻ. Nếu a1 lẻ suy ra a2 chẵn thì số các số A là C15 · C15 · 3 · 2! · C24 A24 . Nếu a1 chẵn thì có một cách chọn để hai số lẻ không đứng liền kề nên số các số A là C14 · C35 · 1 · 3! · A24 . Vậy số các số A là 37800.  Bài 25 (Thi HSG Thái Nguyên lớp 12, 2011-2012). Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được thành lập từ các số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau? ĐS: 240. Lời giải. Số các số có bốn chữ số khác nhau được thành lập từ các số đã cho là 5 · 5 · 4 · 3. Ta tìm số các số có bốn chữ số khác nhau mà số 0 và số 1 đứng kề. Nếu 1, 0 đứng ở hai vị trí đầu thì số các số là 1 · A24 . Nếu 1, 0 không ở hai vị trí đầu thì số các số là 2 · 2! · A24 . Vậy có 5 · 5 · 4 · 3 − 2 · 2! · A24 = 240 số thỏa yêu cầu bài.  200 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Bài 26 (Thi HSG Vĩnh Long lớp 11, 2015-2016). Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. ĐS: 2400. Lời giải. 5! số. 3! Bây giờ ta chèn ba số chẵn 2, 4, 6 vào các hoán vị trên để được số theo yêu cầu đề. 5! · A36 = 2400. Do đó số các số thỏa yêu cầu đề là 3! Đầu tiên ta hoán vị 5 số sau 1, 1, 1, 3, 5 được  Bài 27 (Thi HSG Lào Cai lớp 11, 2017-2018). Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau sao cho ba số lẻ không đứng cạnh nhau? ĐS: 2736. Lời giải. Ta có số các số tự nhiên có bảy chữ số khác nhau là 7!. Ta tìm số các số tự nhiên mà có ba số lẻ đứng cạnh nhau. Gồm hai trường hợp sau Trường hợp 1. Bốn số lẻ đứng cạnh nhau. Số các số có bốn số lẻ đứng cạnh nhau là 4! · 4!. Trường hợp 2. Chỉ có ba số lẻ đứng cạnh nhau. Ta hoán vị ba số chẵn này trước 2, 4, 6 sau đó chèn ba số lẻ vào cùng một vị trí giữa các hoán vị đó và chèn một số lẻ còn lại vào một vị trí khác. Như vậy ta được số các số là 3! · C14 · 4 · 3 · 3!. Vậy số các số cần tìm là 7! − 4! · 4! − 3! · C14 · 4 · 3 · 3! = 2736.  Bài 28 (Thi HSG Đông Anh-Hà Nội lớp 11, 2017-2018). Từ hai số 1 và 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số sao cho số tạo thành không có số nào có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau? ĐS: 143. Lời giải. Ta chia thành các trường hợp sau • Trường hợp 1. Một chữ số 1 và chín chữ số 4. Ta sắp chín số 4 thành một hàng, sau đó chèn một số 1 vào 10 vị trí tạo ra bởi chín số 4 đó. Do đó số các số là C110 . Tương tự cách làm này cho các trường hợp sau. • Trường hợp 2. Hai chữ số 1 và tám chữ số 4. Trường hợp này có số các số là C29 . • Trường hợp 3. Ba chữ số 1 và bảy chữ số 4, có C38 số. • Trường hợp 4. Bốn chữ số 1 và sáu chữ số 4, có C47 số. • Trường hợp 5. Năm chữ số 1 và năm chữ số 4, có C56 số. Vậy có C110 + C29 + C38 C47 + C56 = 143 số. Bài 29. Từ các chữ số 1 và 4 thiết lập được bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số sao cho số tạo thành không có số nào có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau? ĐS: 143 Lời giải. Chỉ xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: 1 chữ số 1 và 9 chữ số 4 – Xếp 9 chữ số 4 thành hàng ngang: có 1 cách xếp. Khi đó, ta có 10 vị trí có thể xếp số 1, đó là 8 khoảng trống giữa các số 4 và hai đầu. – Xếp số 1 vào một trong 10 vị trí nói trên: có C110 cách xếp. Suy ra trường hợp 1 có C110 cách xếp. Trường hợp 2: 2 chữ số 1 và 8 chữ số 4 – Xếp 8 chữ số 4 thành hàng ngang: có 1 cách xếp. Khi đó, ta có 9 vị trí có thể xếp số 1, đó là 7 khoảng trống giữa các số 4 và hai đầu.  201 – Xếp số 1 vào hai trong 9 vị trí nói trên: có C29 cách xếp. Suy ra trường hợp 2 có C29 cách xếp. Trường hợp 3: 3 chữ số 1 và 7 chữ số 4 – Xếp 7 chữ số 4 thành hàng ngang: có 1 cách xếp. Khi đó, ta có 8 vị trí có thể xếp ba số 1, đó là 6 khoảng trống giữa các số 4 và hai đầu. – Xếp số 1 vào ba trong 8 vị trí nói trên: có C38 cách xếp. Suy ra trường hợp 3 có C38 cách xếp. Trường hợp 4: 4 chữ số 1 và 6 chữ số 4 – Xếp 6 chữ số 4 thành hàng ngang: có 1 cách xếp. Khi đó, ta có 7 vị trí có thể xếp bốn số 1, đó là 5 khoảng trống giữa các số 4 và hai đầu. – Xếp số 1 vào bốn trong 7 vị trí nói trên: có C47 cách xếp. Suy ra trường hợp 4 có C47 cách xếp. Trường hợp 5: 5 chữ số 1 và 5 chữ số 4 – Xếp 5 chữ số 4 thành hàng ngang: có 1 cách xếp. Khi đó, ta có 6 vị trí có thể xếp năm số 1, đó là 4 khoảng trống giữa các số 4 và hai đầu. – Xếp số 1 vào năm trong 6 vị trí nói trên: có C56 cách xếp. Suy ra trường hợp 5 có C56 cách xếp. Vậy có C110 + C29 + C38 + C47 + C56 = 143 số.  Bài 30. Trong hộp chứa các thẻ được ghi dãy số gồm sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để rút được một thẻ có ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, trong đó các chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau và các chữ số 3, 4 242 không đứng cạnh nhau. ĐS: 315 Lời giải. Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác nhau là n(Ω) = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151200. Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác nhau mà các chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau và các chữ số 3, 4 đứng cạnh nhau là n(A) = 2! · 2! · C26 · 4! = 1440. Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác nhau mà các chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau là n(B) = 2!·C48 ·5! = 16800. Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác nhau mà các chữ số 3, 4 đứng cạnh nhau là n(C) = 2!·C48 ·5! = 16800. Vậy xác suất để rút được một thẻ có sáu chữ số khác nhau mà các chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau và các chữ số 3, 4 không đứng cạnh nhau là P= n(Ω) − n(B) − n(C) − n(A) 242 = . n(Ω) 315  Bài 31. Gọi E là tập các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập E. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn, có đúng hai chữ số 0 và không 1 đứng cạnh nhau, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. ĐS: 45 Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ a1 a2 . . . a5 (a5 chẵn; đúng 2 chữ số 0, không cạnh nhau). Trường hợp 1: a5 = 0 – Chọn vị trí xếp số 0 còn lại có 2 cách (loại a1 , a4 ). – Còn 3 vị trí, xếp bởi 5 chữ số nên có A35 cách. Trường hợp này có 2 · A35 số. 202 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Trường hợp 2: a5 6= 0 suy ra a5 có hai cách chọn – Chọn ra 2 vị trí không cạnh nhau từ a2 a3 a4 để xếp số 0 có 1 cách (vào a2 và a4 ). – Còn 2 vị trí, xếp bởi 4 chữ số nên có A24 cách. Trường hợp này có 2 · A24 số. Do đó xác suất cần tìm là: P = 2 · A35 + 2 · A24 144 1 = = . 4 5·6 6480 45  Loại 4. Liên quan đến lớn hơn, nhỏ hơn. Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số abcd thỏa mãn a ≤ b ≤ c < d? ĐS: 330 Lời giải. Trường hợp 1: a = b = c < d thì có 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 số thỏa mãn. Trường hợp 2: a = b < c < d thì có C28 + C27 + C26 + C25 + C24 + C23 + C22 = 84 số thỏa mãn. Trường hợp 3: a < b = c < d thì có 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 4 + 5 · 3 + 6 · 2 + 7 · 1 = 84 số thỏa mãn. Trường hợp 4: a < b < c < d thì có C49 = 126 số thỏa mãn. Vậy có 330 số thỏa mãn.  Bài 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không lớn hơn 2503. ĐS: 202 Lời giải. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là abcd. Số abcd không lớn hơn 2503 ta có 3 trường hợp Trường hợp 1: Số có dạng 250d thì có 2 số: 2501, 2503. Trường hợp 2: Số có dạng 2bcd thì b ∈ {0; 1; 3; 4} nên có 4 · 5 · 4 = 80 số. Trường hợp 3: Số có dạng 1bcd thì có 6 · 5 · 4 = 120 số. Vậy có 2 + 80 + 120 = 202 số thỏa yêu cầu bài toán.  Bài 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một 7 số vừa lập. Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012. ĐS: 10 Lời giải. Gọi số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là abcd. Trường hợp 1: Nếu d = 0 thì có 4 · 3 · 2 = 24 số. Trường hợp 2: Nếu d 6= 0 thì có thể là 2 hoặc 4, trường hợp này có 2 · 3 · 3 · 2 = 36 số. Do đó có 60 số chẵn theo giả thiết bài toán. Trong 60 số trên các số nhỏ hơn 2012 phải có dạng 1bcd. Vì d chỉ có thể là 0, 2, 4 nên có 3 · 3 · 2 = 18 số như vậy, suy ra các số lớn hơn 2012 là 42. 7 42 = . Từ đó suy ra xác suất cần tìm là 60 10  Bài 4. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M . Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn 37 a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 . ĐS: 34020 203 Lời giải. n(M ) = 9 · A59 (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì a1 có 9 cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có A59 ). Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 ”. Ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a6 = 0 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C59 = 126 cách chọn. Trường hợp 2: a6 = 2 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C57 = 21 cách chọn. Trường hợp 3: a6 = 4 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C55 = 1 cách chọn. ⇒ n(A) = 126 + 21 + 1 = 148. n(A) 37 148 Do đó P(A) = = = . 5 n(M ) 34020 9 · A9  Bài 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập ra tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên hai số trong các số được lập. Tính xác suất để trong hai số được chọn có ít nhất một 14299 số lớn hơn 2015. ĐS: 14950 Lời giải. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập ra được 5 · A35 = 300 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Suy ra n(Ω) = C2300 = 44850. Số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 nhỏ hơn hoặc bằng 2015 là 1 · A35 + 1 · 1 · 1 · 3 = 63.
Gọi A là biến cố “trong hai
số được chọn có ít nhất một số lớn hơn 2015” thì n A = C263 = 1953. Do đó n(A) = n(Ω) − n A = 44850 − 1953 = 42897. 14299 42897 = .  Vậy P(A) = 44850 14950 Bài 6. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu cách chọn một bộ 3 số phân biệt của A (không tính thứ tự) để hiệu của 2 số bất kỳ trong 3 số đó có giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2. ĐS: 56 Lời giải. Đặt T = {(a1 ; a2 ; a3 ) |a1 , a2 , a3 ∈ A; a1 < a2 < a3 ; a2 − a1 ≥ 2, a3 − a2 ≥ 2}. Với mỗi bộ (a1 , a2 , a3 ), xét tương ứng với bộ (b1 , b2 , b3 ) cho bởi b1 = a1 ; b2 = a2 − 1; b3 = a3 − 2. Lúc này ta có: 0 ≤ b1 < b2 < b3 ≤ 7 và tương ứng này là tương ứng 1 − 1 do: Với mỗi bộ (a1 ; a2 ; a3 ) cho tương ứng với một bộ (b1 , b2 , b3 ) bởi công thức b1 = a1 ; b2 = a2 − 1; b3 = a3 − 2. Ngược lại, với mỗi bộ (b1 , b2 , b3 ) cho tương ứng với một bộ (a1 ; a2 ; a3 ) bởi công thức a1 = b1 ; a2 = b2 + 1; a3 = b3 + 2. Đặt B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Tập các bộ (b1 , b2 , b3 ) là các tập con có 3 phần tử của B. Vậy số tập con (a1 ; a2 ; a3 ) cần tìm là C38 = 56.  Bài 7. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd, trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9. ĐS: 0,055 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là 9 · 10 · 10 · 10 = 9000. • Cách 1: Xét các số x = a, y = b + 1, z = c + 2, t = d + 3. Vì 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9 (∗) ⇒ 1 ≤ x < y < z < t ≤ 12. Và mỗi bộ gồm bốn số (x, y, z, t) được chọn từ tập hợp {1; 2; 3; . . . ; 12} ta đều thu được bộ số thỏa mãn (∗). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là C412 = 495 số. 495 = 0,055. Xác suất cần tìm là 9000 • Cách 2: Ta chia các trường hợp: 204 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Trường hợp 1: 1 ≤ a < b < c < d ≤ 9 có C49 = 126 cách chọn. Trường hợp 2: 1 ≤ a ≤ b < c < d ≤ 9 hoặc 1 ≤ a < b ≤ c < d ≤ 9 hoặc 1 ≤ a < b < c ≤ d ≤ 9 có 3 · C312 = 252 cách chọn. Trường hợp 3: 1 ≤ a ≤ b ≤ c < d ≤ 9 hoặc 1 ≤ a < b ≤ c ≤ d ≤ 9 hoặc 1 ≤ a ≤ b < c ≤ d ≤ 9 có 3 · C29 = 108 cách chọn. Trường hợp 4: 1 ≤ a = b = c = d ≤ 9 có C19 = 9 cách chọn. Vậy có tất cả 126 + 252 + 108 + 9 = 195 cách chọn. Xác suất cần tìm là 495 = 0,055. 9000  DẠNG 0.4. Các bài toán đếm số phương án, tính xác suất liên quan người, đồ vật Bài 1. Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh (trong đó có hai học sinh A và B) mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Tính xác suất 5 để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau. ĐS: 18 Lời giải. Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành ba loại: Toán + Lý ; Toán + Hóa; Lý + Hóa. Gọi x, y, z (x, y, z ∈ N) lần lượt là số học sinh nhận được bộ phần thưởng Toán + Lý ; Toán + Hóa; Lý + Hóa. Khi đó, ta có hệ sau:     x + y = 7 x = 4 x+z =6 ⇔ y =3     y+z =5 z = 2. Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh: C49 · C35 · 1. Vậy số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C49 · C35 . Gọi S là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”. Trường hợp 1: A và B cùng nhận bộ Toán+Lý có C27 · C35 cách phát. Trường hợp 2: A và B cùng nhận bộ Toán+Hóa có C17 · C46 cách phát. Trường hợp 3: A và B cùng nhận bộ Lý+Hóa có C47 cách phát. ⇒ n(S) = C27 · C35 + C17 · C46 + C47 . Vậy xác suất của biến cố S là: P(S) = C27 C35 + C17 C46 + C47 5 = . 4 3 18 C9 C5  Bài 2. Một trường học có 25 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ trong đó có đúng hai cặp vợ chồng. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 5 người trong số 40 giáo viên trên đi công tác. Tính xác suất sao cho trong
5 2 C338 − C136 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng. ĐS: 5 C40 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C540 . Giả sử có hai cặp vợ chồng là (A, B) và (C, D) trong đó A, C là chồng. Trường hợp 1: Chọn cặp vợ chồng (A, B). Cần chọn 3 người trong số 38 người còn lại (trừ (A, B)) mà không có cặp (C, D). – Số cách chọn 3 người bất kì trong 38 người là C338 . – Số cách chọn 3 người trong số 38 người mà có cặp (C, D) là C136 . 205 Suy ra số cách chọn 3 người trong số 38 người mà không có cặp (C, D) là C338 − C136 . Trường hợp 2: Chọn cặp vợ chồng (C, D). Tương tự ta cũng có số cách chọn là C338 − C136 .
2 C338 − C136 Vậy xác suất cần tìm là . C540  Bài 3. Chi đoàn lớp 12A gồm 40 đoàn viên, trong đó có một người tên là An và một người tên là Bình. Ban chấp hành chi đoàn bao gồm một bí thư, một phó bí thư và n ủy viên được bầu từ 40 đoàn viên của chi đoàn. 1 Có thể lập được bao nhiêu ban chấp hành chi đoàn 12A với số ủy viên n = 7, còn An và Bình mỗi người giữ một chức vụ là bí thư hoặc phó bí thư? 2 Một ban chấp hành của chi đoàn 12A được gọi là đạt chuẩn A0 nếu An và Bình đều là ủy viên ban chấp hành, đồng thời không giữ chức vụ bí thư và phó bí thư. Xác định giá trị n, biết xác suất lấy 1 ngẫu nhiên được một ban chấp hành đạt chuẩn A0 là . 78 ĐS: 2 · A738 , n = 5. Lời giải. 1 Số cách chọn An và Bình giữ chức vụ bí thư hoặc phó bí thư là 2 cách. Số cách chọn 7 ủy viên là A738 . Vậy có tất cả: 2 · A738 . 2 Số phần tử của không gian mẫu là A240 · Cn38 . Chọn 2 người từ 38 người để giữ chức vụ bí thư hoặc phó bí thư có A238 . Chọn thêm ủy viên có Cn−2 36 (trừ bí thư, phó bí thư và An, Bình). A2 · Cn−2 1 36 Vậy xác suất để được ban chấp hành đạt chuẩn A0 là: 382 = ⇒ n = 5. n 78 A40 · C38  Bài 4. Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, các phương án trả lời đôi một khác nhau, trong đó có một phương án đúng, ba phương án sai, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm, trả lời sai không được điểm và không bị trừ điểm. Một thí sinh là cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương 3676 án ngẫu nhiên. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên. ĐS: 10 4 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 410 . Gọi A là biến cố “Thí sính đạt từ 7, 0 điểm trở lên”. Thí sinh chọn đúng 7 câu, sai 3 câu có C710 · 1 · 3 · 3 · 3 = 3240 cách. Thí sinh chọn đúng 8 câu, sai 2 câu có C810 · 1 · 3 · 3 = 405 cách. Thí sinh chọn đúng 9 câu, sai 1 câu có C910 · 1 · 3 = 30 cách. Thí sinh chọn đúng 10 câu có 1 cách. 3676 n(A) = 10 . Vậy n(A) = 3240 + 405 + 30 + 1 = 3676 ⇒ P(A) = n(Ω) 4  Bài 5. Một học sinh tham dự kỳ thi môn Toán. Học sinh đó phải làm một đề trắc nghiệm khách quan gồm 10 cầu hỏi. Mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Học sinh sẽ được chấm đỗ nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu. Vì học sinh đó không học bài nên chỉ chọn ngẫu nhiên đáp án 20686 trong cả 10 câu hỏi. Tính xác suất để học sinh thi đỗ. ĐS: 10 4 Lời giải. 206 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI 1 Trong một câu xác suất trả lời đúng là . 4 3 Trong một câu xác suất trả lời sai là . 4 Học sinh đó thi đỗ trong các trường hợp sau: Trường hợp 1: đúng 6 câu và sai 4 câu. Số cách chọn 6 câu đúng trong 10 câu là C610 .  6  4 1 3 Xác suất để trả lời 6 câu đúng đồng thời 4 câu còn lại trả lời sai là: · . 4 4  6  4 1 3 Suy ra trường hợp 1 có xác suất là P1 = C610 · · . 4 4 Tương tự:  7  3 3 7 · 1 Trường hợp 2: đúng 7 câu và sai 3 câu có xác suất là: P2 = C10 · . 4 4  8  2 1 3 8 Trường hợp 3: đúng 8 câu và sai 2 câu có xác suất là: P3 = C10 · · . 4 4  9   1 3 9 . Trường hợp 4: đúng 9 câu và sai 1 câu có xác suất là: P4 = C10 · · 4 4  10 1 10 Trường hợp 5: đúng 10 câu có xác suất là: P5 = C10 · . 4 Do mỗi trường hợp trên là 1 biến cố thì các biến cố đó là xung khắc nên xác suất để học sinh thi đỗ là: P = P 1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 20686 . 410  Bài 6. Một công ty nhận được 30 hồ sơ của 30 người muốn xin việc vào công ty, trong đó có 15 người biết tiếng Anh, 8 người biết tiếng Pháp và 14 người không biết tiếng Anh và tiếng Pháp. Công ty cần tuyển 5 người biết ít nhất tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Tính xác suất để trong 5 người được chọn có 3 15 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp. ĐS: 52 Lời giải. Ta có: Số người biết ít nhất tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: 30 − 14 = 16 (người). Số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là: 15 + 8 − 16 = 7 (người). Số người chỉ biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: 16 − 7 = 9 (người). Xét phép thử: “5 người được chọn biết ít nhất tiếng Anh hoặc tiếng Pháp”, suy ra n(Ω) = C516 = 4368. Xét biến cố: “Chọn 5 người trong đó có 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp”, suy ra n(A) = C37 · C29 = 1260. n(A) 15 Xác suất cần tìm là P(A) = = .  n(Ω) 52 Bài 7. Thầy X có 15 quyển sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn sách Địa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. 5949 Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn. ĐS: 6435 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n (Ω) = C815 . Gọi A là biến cố: “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”. Suy ra A là biến cố: “7 cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn” Xét các khả năng xảy ra: 207 Khả năng 1: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Sử. Số cách chọn là: C79 . Khả năng 2: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Địa. Số cách chọn là: C710 . Khả năng 3: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Địa và Sử. Số cách chọn là: C711 .
C7 + C710 + C711 5949 Vậy P(A) = 1 − P A = 1 − 9 = . 8 6435 C15  Bài 8. Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa còn ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai 15 toa có một khách lên và một toa không có khách nào lên tàu. ĐS: 64 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n (Ω) = 45 . Gọi A là biến cố “trong 5 hành khách lên tàu có một toa có 3 khách lên, hai toa có một khách lên và một toa không có khách nào”. Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là: C35 = 10. Số cách chọn ra một toa tàu để xếp ba người này là: C14 = 4. Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là: A23 = 6. Suy ra n (A) = 10 · 4 · 6 = 240. n(A) 240 15 Vậy xác suất cần tìm là P(A) = = 5 = .  n (Ω) 4 64 Bài 9. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 181 người khách vào. ĐS: 625 Lời giải. Mỗi người khách có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) = 55 = 3125. Gọi A là biến cố: “có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào ”. TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba của hàng còn lại không có khách nào. Trường hợp này có C15 · C35 · C14 · C22 = 200 khả năng xảy ra. TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào. Trường hợp này có C15 · C35 · C24 · P2 = 600 khả năng xảy ra. TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào. Trường hợp này có C15 · C45 · C14 = 100 khả năng xảy ra. TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. Trường hợp này có C15 = 5 khả năng xảy ra. Suy ra n(A) = 200 + 600 + 100 + 5 = 905. Vậy xác suất cần tìm là: P(A) = n(A) 905 181 = = . n(Ω) 3125 625  Bài 10. Một khóa số với mật khẩu là 3 số tăng dần từ 0 đến 9 có tổng bằng 10. Một người không nhớ mật khẩu mà chỉ nhớ tăng dần nên bấm bừa 3 số bất kì tăng dần. Khóa sẽ bị block nếu quá 3 lần bấm sai. Tính xác suất để người này mở được khóa biết rằng người này chỉ nhớ được kết quả bấm của mình 8 112 8 112 111 8 ở lần kế trước (trí nhớ ngắn hạn) để tránh kết quả đó cho lần sau. ĐS: + · + · · 120 120 119 120 119 118 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = C310 = 120. có 8 dãy mã đúng để mở khóa gồm; {0; 1; 9}, {0; 2; 8}, {0; 3; 7}, {0; 4; 6}, {1; 2; 7}, {1; 3; 6}, {1; 4; 5} và {2; 3; 5}. Gọi A là biến cố “người này mở được khóa”. Ta có ba trường hợp: 208 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI TH1: Khóa được mở ở lần thứ nhất. Xác suất của biến cố này là 8 . 120 TH2: Khóa được mở ở lần thứ hai. Xác suất của biến cố này là 112 8 · . 120 119 TH3: Khóa được mở ở lần thứ ba. Xác suất của biến cố này là 112 111 8 · · . 120 119 118 Vậy xác xuất P(A) = 8 112 8 112 111 8 + · + · · 120 120 119 120 119 118  DẠNG 0.5. Các bài toán đếm số phương án. Tính xác suất liên quan đến đa giác Bài 11. Cho đa giác đều (H) có n đỉnh (n ∈ N, n > 4). Tìm n biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H). ĐS: n = 35 Lời giải. Số tam giác có 3 đỉnh thuộc (H) là C3n . Số tam giác có 3 đỉnh thuộc (H) và có hai cạnh là cạnh của (H) là n. Số tam giác có 3 đỉnh thuộc (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H) là n(n − 4). Suy ra số các tam giác có 3 ba đỉnh thuộc (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) ” là Cn − n − n(n − 4). n = 35 Theo giả thiết ta có C3n − n − n(n − 4) = 5n(n − 4) ⇔ .  n = 4 (loại). Bài 12. Cho đa giác lồi 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là 15 cạnh của đa giác đã cho. ĐS: 26 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n (Ω) = C314 = 364. Gọi A là biến cố: “Tam giác được chọn trong X không có cạnh nào là cạnh của đa giác ”. Suy ra A là biến cố: “Tam giác được chọn trong X có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác” TH1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa mãn. TH2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có 14 · 10 = 140 tam giác thỏa mãn.

Suy ra n A = 14 + 140 = 154. Vậy số phần tử của biến cố A là: n (A) = n (Ω) − n A = 210. 210 15 Suy ra P (A) = = .  364 26 Bài 13. Cho đa giác lồi A1 A2 A3 . . . A10 . Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có 5 cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. ĐS: 12 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n (Ω) = C310 = 120. Gọi A là biến cố: “Tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”. Các tam giác ở tập X có ba loại: Tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác, tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác, tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác. Ứng với một cạnh của đa giác thì có đúng 10 − 4 đỉnh của đa giác tạo thành tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác nên số tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là: 10(10 − 4) = 60. Có 10 tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác. Do đó n (A) = 120 − 60 − 10 = 50. 5 50 Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = .  120 12 209 Bài 14. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O (n ∈ N∗ , n ≥ 2). Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một đa giác thuộc tập S, 1 biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n. ĐS: n = 20 13 Lời giải. Số phần tử của tập S là: C32n . Nên số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = C32n . Gọi A là biến cố: “Chọn được tam giác vuông ”. Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O. Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O và một trong 2n − 2 đỉnh còn lại. Suy ra số tam giác vuông là n(2n − 2). n(2n − 2) 1 Theo đề bài ta có: P (A) = = ⇒ n = 20.  3 13 C2n Bài 15. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc M , tính xác suất để tam giác được chọn là tam giác cân 18 nhưng không phải là tam giác đều. ĐS: 91 Lời giải. Số phần tử của tập M là: C315 = 455. Số phần tử của không gian mẫu: C1455 = 455. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kì của đa giác: Có 7 cặp đỉnh đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A. Như vậy với mỗi đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh của tam giác cân. 15 Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là = 5 tam giác. 3 Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên các tam giác đều được đếm ba lần. Suy ra số tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: 7 · 5 − 3 · 5 = 90. 90 18 Vậy xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều từ tập M là P = = . 455 91  Bài 16. Cho đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình H. Tính xác suất để 4 đỉnh 1 chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông. ĐS: 161 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n (Ω) = C424 . Gọi A là biến cố: “4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông”. Gọi O là tâm của đa giác đều. Vì đa giác đều có số đỉnh là chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành một đường kính, cứ lấy bất kì 2 đường kính nào chúng cũng là 2 đường chéo của một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật là C212 . Suy ra n (A) = C212 . C2 1 Vậy P (A) = 412 = .  161 C24 Bài 17. Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X. Tính xác suất để chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh 748 của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H). ĐS: 1195 Lời giải. Đầu tiên ta xét các loại tam giác được tạo thành. Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H là: C322 = 1540 tam giác, bao gồm 3 loại sau: Loại 1 là tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của (H), loại 2 là tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H), loại 3 là tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H). Cứ mỗi đỉnh của (H) cùng với 2 đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành một tam giác loại 1 nên có 22 tam giác loại 1. 210 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Mỗi cạnh của (H) cùng với một đỉnh trong số 22 − 4 = 18 đỉnh còn lại (trừ hai đầu mút của cạnh đang xét và hai đỉnh kề hai bên của cạnh này) tạo thành một tam giác loại 2. Do đó có 22 · 18 = 396 tam giác loại 2. Do đó số tam giác loại 3 là 1540 − (22 + 396) = 1122 tam giác. Số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) = C21540 = 1185030. Gọi A là biến cố “Chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) ”. Suy ra n (A) = 396 · 1122 = 444312. 444312 748 Vậy P(A) = = .  1185030 1195 Bài 18. Một đa giác đều 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh 190 cùng màu. ĐS: 253 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) = C324 = 2024 Gọi A là biến cố “chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu ”. Tức là ba cạnh này cùng màu đỏ. Mỗi cạnh màu xanh của đa giác cùng với một đỉnh trong 24 − 4 = 20 đỉnh còn lại (trừ hai đầu mút của cạnh đang xét và hai đỉnh hai bên cạnh này) sẽ tạo thành một tam giác có đúng một cạnh màu xanh. Do đó có 24 · 20 = 480 tam giác loại này. Mỗi đỉnh của đa giác cùng với hai cạnh hai bên sẽ tạo thành một tam giác có đúng 2 cạnh màu xanh. Do đó có 24 tam giác loại này. Do đó số tam giác không có cạnh nào màu xanh là 2024 − 480 − 24 = 1520. Do đó n (A) = 1520. 1520 190 Vậy xác suất P (A) = = .  2024 253 Bài 19. Cho đa giác đều 2n đỉnh, lấy ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác này, thì xác suất để 1 đường chéo được chọn có độ dài lớn nhất bằng . Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 9 n  1 3 ĐS: 480 x + +2 . x Lời giải. Số đường chéo trong đa giác 2n cạnh là C22n − 2n. Đường chéo có độ dài lớn nhất là đường chéo đi qua tâm của đa giác đều, có n đường chéo như vậy. Từ giả thiết ta có: 1 n n 1 1 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ n = 6. 2 9 (2n − 1)n − 2n 9 2n − 3 9 C2n − 2n  6  i
k−i 1 1 3 k i 6−k 3 Xét khai triển x + + 2 có số hạng tổng quát là: C6 · Ck · 2 x · = Ck6 · Cik · 26−k · x3k−4i . x x  (  3k − 4i = 5 i=1 5 Số hạng chứa x trong khai triển ứng với i, k thỏa mãn hệ: 0 ≤ i ≤ k ≤ 6 ⇒  k = 3.  i, k ∈ N Hệ số của số hạng chứa x5 là C36 · C13 · 23 = 480.  Bài 20. Có năm đoạn thẳng có độ dài 1, 3, 5, 7, 9. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng 2 đó. Tính xác suất để ba đoạn được chọn có thể xếp thành một hình tam giác. ĐS: 5 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: C35 = 10. Để ba đoạn thẳng có thể xếp thành một tam giác thì có bốn cách chọn như sau: {3, 5, 7}; {3, 7, 9}, {5, 7, 9}, {3, 5, 9}. Gọi A là biến cố: “chọn được ba đoạn thẳng có thể xếp thành một hình tam giác ”. Ta có n (A) = 4. 4 2 Vậy xác suất P (A) = = .  10 5 211 Bài 21. Trong không gian có 2n điểm phân biệt (n > 4; n ∈ N), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm phân biệt có đúng n điểm thuộc một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho từ 2n điểm có đúng 505 mặt phẳng phân biệt. ĐS: n = 8 Lời giải. Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt là C32n . Trong 2n điểm phân biệt có đúng n điểm thuộc một mặt phẳng nên có C3n mặt phẳng trùng nhau. Vậy số mặt phẳng tạo ra từ 2n điểm phân biệt là C32n − C3n + 1. Ta có phương trình: C32n − C3n + 1 = 505 2n (2n − 1) (2n − 2) n (n − 1) (n − 2) ⇔ − = 505 1·2·3 1·2·3 ⇔ 7n3 − 9n2 + 2n − 3024 = 0 ⇔ n = 8. Vậy n = 8.  DẠNG 0.6. Các bài toán đếm, sắp xếp liên quan đến vị trí, xếp chỗ Bài 22 (Đề thi học sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 − 2018). Trong một lớp học có 2n + 3 học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến 2n + 3, mỗi học sinh ngồi 1 ghế thì xác suất để số ghế của Bình bằng trung bình 12 cộng số ghế An và số ghế của Chi là . Tính số học sinh của lớp. ĐS: 25 575 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là số cách sắp xếp 2n + 3 học sinh vào 2n + 3 chỗ ngồi đã được đánh số. Suy ra n(Ω) = (2n + 3)!. Gọi A là biến cố “số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và số ghế của Chi ” thì ta có: + Xếp Bình ở ghế số 2 hoặc ghế thứ 2n + 2 thì mỗi cách có 1 · 2! cách xếp An và Chi. + Xếp Bình ở ghế số 3 hoặc ghế thứ 2n + 1 thì mỗi cách có 2 · 2! cách xếp An và Chi. + Xếp Bình ở ghế số 4 hoặc ghế thứ 2n thì mỗi cách có 3 · 2! cách xếp An và Chi. …… + Xếp Bình ở ghế số n + 1 hoặc ghế thứ n + 3 thì mỗi cách có n · 2! cách xếp An và Chi. + Xếp Bình ở ghế số n + 2 mỗi cách có (n + 1) · 2! cách xếp An và Chi. Suy ra 2(1 + 2 + 3 + · · · + n) · 2! + (n + 1) · 2! = (n + 1)2 · 2! cách xếp để số ghế của Bình bằng trung bình cộng số ghế của An và Chi. Với mỗi cách xếp trên có (2n)! cách xếp các học sinh còn lại. Vậy ta có n(A) = 2(n + 1)2 · (2n)!. Theo giả thiết ta có phương trình  n = 11 2 2(n + 1) · (2n)! 12 2  = ⇔ 48n − 479n − 539 = 0 ⇔ 49 (2n + 3)! 575 n=− (loại). 48 Suy ra số học sinh là 2 · 11 + 3 = 25.  Bài 23 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 − 2018). Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 11A và 3 học sinh lớp 11B và 5 học sinh của lớp 11C thành một hàng 1 ngang. Tính xác suất để không có học sinh nào của cùng một lớp đứng cạnh nhau. ĐS: 126 212 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 10!. Gọi D là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Xếp 5 học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách. (Sau khi xếp sẽ có 6 vị trí trống (4 giữa và 2 ở hai đầu), chẳng hạn (1C2C3C4C5C6). + Nếu xếp xen kẽ 5 học sinh lớp A và B từ phía tận cùng bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải (23456) cũng sẽ có 5! cách xếp. Suy ra n(D) = 5! · 2 · 5! = 28800. Vậy xác suất của biến cố D là P(D) = n(D) 28800 1 = = . n(Ω) 10! 126  Bài 24 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2016 − 2017). Một nhóm học sinh gồm 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh 1 nêu ở trên không ngồi cạnh nhau. ĐS: 858 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 13!. Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13. Các bạn nữa phải ngồi vào các ghế số 1, 5, 9, 13. Gọi A là biến cố “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau ”. Xét các trường hợp sau: * Bạn Minh ngồi ghế số 1. – Số cách xếp ba bạn nữ còn lại là 3!. – Có 8 cách xếp vị trí của bạn Hải. – Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại. Suy ra số cách sắp xếp là 8 · 3! · 8!. * Ban Minh ngồi ghế số 13 cũng có số cách sắp xếp là 8 · 3! · 8!. * Bạn Minh ngồi ghế số 5 (tương tự bạn Minh ngồi ghế số 9). – Xếp 3 bạn nữ còn lại có 3!. – Có 7 cách xếp vị trí của Hải. – Có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại. Do đó số cách sắp xếp là 7 · 3! · 8!. Số phần tử của biến cố A là n(A) = 2 · 3! · 8 · 8! + 2 · 3! · 7 · 8! = 7257600. n(A) 7257600 1 Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = = = . n(Ω) 13! 858  Bài 25 (Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 − 2018). Trong một phòng học, có 36 cái bàn rời nhau được đánh số từ 1 đến 36, mỗi bàn dành cho 1 học sinh. Các bàn được xếp thành một hình vuông có kích thước 6 × 6. Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh của lớp trong đó có hai em là Hạnh và Phúc vào các bàn. Tính xác suất để Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp 2 cạnh nhau theo hàng dọc hoặc hàng ngang. ĐS: 21 Lời giải. Số cách sắp xếp 36 học sinh vào 36 cái bàn của lớp cũng chính là số phần tử của không gian mẫu nên n(Ω) = 36!. Gọi A là biến cố “Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau theo hàng dọc hoặc hàng ngang ”. * Nếu Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau theo hàng ngang. 213 + Có 6 cách chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh nhau. + Coi hai bạn Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau là 1 nhóm X nên có 2 nhóm X khác nhau và có 5 cách xếp chỗ cho nhóm X. + Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh còn lại vào 34 bàn. Vậy trong trường hợp này có 6 · 2 · 5 · 34! = 60 · 34! cách xếp. * Nếu Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau theo hàng dọc. Tương tự ta có 60 · 34! cách xếp. Số phần tử của A là n(A) = 120 · 34!. n(A) 120 · 34! 2 Xác suất của biến cố A là P(A) = = = . n(Ω) 36! 21  Bài 26 (Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 − 2016). Trong một cuộc thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An, có 52 học sinh đăng ký dự thi trong đó có một em tên Thành và một em tên Đạt. Dự kiến ban tổ chức sắp xếp làm 3 phòng thi (phòng 1 và phòng 2 có 18 thí sinh, phòng 3 có 16 thí sinh). Nếu phòng thi được sắp xếp một cách ngẫu nhiên, hãy tính 71 xác suất để Thành và Đạt ngồi chung một phòng. ĐS: 221 Lời giải. 18 Không gian mẫu có số phần tử là n(Ω) = C18 50 · C34 . 18 Nếu Thành và Đạt ngồi chung phòng 1 hoặc phòng 2 thì n(A1 ) = 2 · C16 50 · C34 . 18 18 Nếu Thành và Đạt ngồi chung phòng 3 thì n(A2 ) = C50 · C32 . Gọi A là biến cố “Thành và Đạt ngồi chung phòng ”. n(A) = n(A1 ) + n(A2 ) ⇒ P(A) = 18 18 18 2 · C16 n(A) 71 50 · C34 + C50 · C32 = . = 18 18 n(Ω) 221 C50 · C34  Bài 27 (Đề thi học sinh giỏi Chuyên Bắc Ninh lớp 11). Có 6 viên bi gồm 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng sao cho không có hai viên bi cùng màu xếp cạnh nhau? ĐS: 30 Lời giải. 6! = 90 (cách). 23 Kí hiệu: A1 là tập hợp 2 viên bi xanh cạnh nhau; A2 là tập hợp hai viên bi đỏ cạnh nhau; A3 là tập hợp hai viên bi vàng cạnh nhau. Số cách sắp xếp không hợp lệ (có ít nhất 2 viên bi cùng màu cạnh nhau) là Tổng số cách xếp 6 viên bi thành một hàng là C26 · C24 = n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = n(A1 ) + n(A2 ) + n(A3 ) − (n(A1 ∩ A2 ) + n(A1 ∩ A3 ) + n(A2 ∩ A3 )) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ). 5! = 30. 22 n(A1 ∩ A2 ) = n(A1 ∩ A3 ) = n(A2 ∩ A3 ) = C24 · C12 = 12 và n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 3! = 6. Suy ra n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 90 − 3 · 12 + 6 = 60. Vậy số cách sắp xếp hợp lí là n(A1 A2 A3 ) = 90 − 60 = 30. Với n(A1 ) = n(A2 ) = n(A3 ) = C25 · C23 =  Bài 28 (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 − 2018). Từ 2012 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 . Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. ĐS: 2012 · 1005 · A32009 Lời giải. u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi u1 + u3 = 2u2 . Do đó u1 , u3 hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Số tất cả các cấp số cộng theo thứ tự đó chính là số các cặp số (có thứ tự) (u1 , u3 ). Chọn u1 có 2012 cách chọn, chọn u3 chỉ có 1005 cách chọn số cùng chẵn hoặc cùng lẻ với u1 . u1 + u3 Khi đó u2 = có duy nhất một cách chọn. 2 Còn lại 2009 số, ta chọn ra 3 số sắp xếp có thứ tự để hoàn tất việc chọn. Vì vậy số kết quả là 2012 · 1005 · A32009 .  214 CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Bài 29 (Đề thi giữa kì 2 Yên Phong 1 – Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 − 2018). Có 6 xe xếp cạnh nhau thành hàng ngang gồm: 1 xe màu xanh, 2 xe màu vàng và 3 xe màu đỏ. Tính xác 1 suất để hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau. ĐS: 6 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6! = 720. Gọi A là biến cố hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau. Ta tính n(A). Xe màu đỏ nhiều nhất nên ta sắp trước để tránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp như sau: Đ Đ + TH1: Đ Có 3! cách sắp xếp các xe màu đỏ, thỏa mái xếp các xe còn lại nên có 3! cách sắp xếp các xe còn lại. Vậy trường hợp này có 3! · 3! = 36 cách. Đ Đ Đ + TH2: Có 3! cách sắp xếp các xe màu đỏ, thỏa mái xếp các xe còn lại nên có 3! cách sắp xếp các xe còn lại. Vậy trường hợp này có 3! · 3! = 36 cách. Đ Đ + TH3: Đ Có 3! cách sắp xếp các xe màu đỏ, có 2 · 2 = 4 cách sắp xếp 2 xe màu xanh và vàng vào hai ô trống liền kề và ô còn lại xếp xe màu vàng còn lại. Vậy trường hợp này có 3! · 4 = 24 cách. Đ Đ + TH4: Đ Có 3! cách sắp xếp các xe màu đỏ, có 2 · 2 = 4 cách sắp xếp 2 xe màu xanh và vàng vào hai ô trống liền kề và ô còn lại xếp xe màu vàng còn lại. Vậy trường hợp này có 3! · 4 = 24 cách. Vậy tổng cộng ta có n(A) = 36 · 2 + 24 · 2 = 120. 120 1 n(A) = = . Do đó xác suất của biến cố A là: P(A) = n(Ω) 720 6  Bài 30 (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2017 − 2018). Cho một lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 1 × 1 (mét) như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B, con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A. Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển là 1 mét/phút. Tính xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi. A B ĐS: Lời giải. Nhận xét: Để di chuyển đến đích, mỗi con kiến phải có hành trình 8m. Vì hai con kiến xuất phát cùng thời điểm và cùng vận tốc di chuyển nên chúng chỉ có thể gặp nhau khi mỗi con kiến đều di chuyển được 4m (sau 4 phút). Do vậy chúng chỉ có thể gặp nhau tại các giao điểm trên đường chéo chính chạy từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải (A1 A5 ). C0 Xác suất để sau 4 phút, con kiến thứ nhất đi đến vị trí A1 là P1 (A1 ) = 44 ; 2 C04 Xác suất để sau 4 phút, con kiến thứ hai đi đến vị trí A1 là P2 (A1 ) = 4 . 2 Xác suất để hai con kiến gặp nhau tại vị trí A1 là A1
2 C04 P(A1 ) = P1 (A1 ) · P2 (A1 ) = . 256 Tương tự xác suất để hai con kiến gặp nhau tại các vị trí A2 , A3 , A4 , A5 là 35 128 B A2 A3 A4 A A5 215
2
2
2
2 C14 C24 C34 C44 P(A2 ) = , P(A3 ) = , P(A4 ) = , P(A5 ) = . 256 256 256 256 Vậy xác suất hai con kiến gặp nhau là P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + P(A4 ) + P (A5 ) = C04
2 + C14
2
2
2
2 + C24 + C34 + C44 35 = . 256 128  Bài 31 (Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh lớp 11 năm học 2016 − 2017). Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt 397 sấp. ĐS: 1728 Lời giải. Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = 63 · 23 = 1728. Số trường hợp xảy ra để cả 3 lượt tung đó đều thu được súc sắc mặt 1 chấm và đồng xu mặt sấp là 1. Số trường hợp xảy ra để trong 3 lượt tung đó có đúng 2 lượt được súc sắc mặt 1 chấm và đồng xu sấp là 3 · 1 · 1 · 11 = 33. Số trường hợp xảy ra để trong 3 lượt tung đó có đúng 1 lượt được súc sắc mặt 1 chấm và đồng xu mặt sấp là 3 · 1 · 11 · 11 = 363. 1 + 33 + 363 397 Vậy xác suất cần tìm là: P = = .  1728 1728