Chuyên đề tổ hợp và xác suất – Nguyễn Hoàng Việt

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường MỤC LỤC §1 – §2 – §3 – §4 – §5 – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 Các quy tắc đếm cơ bản 1 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 | Dạng 1.Các bài toán chọn người và đồ vật cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 | Dạng 2.Bài toán đếm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 | Dạng 3.Nhóm 3 Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ và bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp 22 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 | Dạng 1.Các bài toán liên quan đến hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 | Dạng 2.Các bài toán liên quan đến hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 | Dạng 3.Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Nhị thức Newton 61 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 | Dạng 1.Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 | Dạng 2.Chứng minh hoặc tính tổng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 | Dạng 3.Dạng toán chẵn hoặc toàn lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 | Dạng 4.Nhóm bài toán tính tổng hoặc chứng minh dựa vào tính chất hoặc biến đổi (nâng cao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 | Dạng 5.Tìm hệ số hoặc số hạng dạng có điều kiện (kết hợp giữa dạng 1 & 2) . . . . . . . . . . . . 99 | Dạng 6.Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Biến cố và xác suất của biến cố 114 A Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 B Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 C BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 | Dạng 1.Xác suất liên quan đến hình học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 146 A Quy tắc cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Quy tắc nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 p Th.S Nguyễn Hoàng Việt i Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt MỤC LỤC p Th.S Nguyễn Hoàng Việt ii Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT AA A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Quy tắc cộng . Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, • Hành động 1 có m cách thực hiện; • Hành động 2 có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân . Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, • Hành động 1 có m cách thực hiện; • Hành động 2 có n cách thực hiện (ứng với mỗi cách ở hành động 1) thì công việc đó có m · n cách thực hiện. AA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng 1. Các bài toán chọn người và đồ vật cơ bản c Ví dụ 1. Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 cái áo màu xanh và 12 áo màu đỏ; 12 quần xanh và 8 quần đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Ví dụ 2. Lớp 11A có 39 học sinh trong đó có 1 học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 học sinh trong đó có 1 học sinh tên Tranh. Có mấy cách chọn một tổ gồm 2 học sinh khác lớp mà không có mặt Chiến và Tranh cùng lúc. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 3. Trong lớp 11A có 32 học sinh, trong đó có 2 học sinh tên Ưu và Tiên. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh đi thi mà trong đó có mặt ít nhất 1 trong 2 học sinh tên Ưu và tên Tiên? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 2. Bài toán đếm số cơ bản ○ Khi giải các bài toán liên quan đến tìm số sao cho các số đó là số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực hiện chọn chúng trước và nếu chứa số 0 nên chia 2 trường hợp (trường hợp có số 0 và trường hợp không có số 0) nhằm tránh trùng lặp với nhau. ○ Dấu hiệu chia hết: Gọi N = an an−1 . . . a1 a0 là số tự nhiên có n + 1 chữ số (an 6= 0). Khi đó: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8 và 125 của số tự nhiên N : . . — N ..2 ⇔ a0 ..2 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4; 6; 8}. . . — N ..5 ⇔ a0 ..5 ⇔ a0 ∈ {0; 5}. . . — N ..4( hay 25) ⇔ a1 a0 ..4( hay 25). . . — N .. 8( hay 125) ⇔ a2 a1 a0 .. 8( hay 125). . . — Dấu hiệu chia hết cho 3, 9 là N ..3( hay 9) ⇔ (a0 + a1 + a2 + · · · + an )..3( hay 9). c Ví dụ 5. Cho tập hợp X = {1; 2; 4; 5; 7; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ X sao cho: a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và nó là số chẵn. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 3 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 4. Trong lớp 11C có 30 học sinh, trong đó có 2 học sinh tên A và B. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh đi thi mà trong đó có mặt ít nhất 1 trong 2 học sinh tên A và tên B? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 6. Cho tập hợp X = {1; 3; 4; 6; 7; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ X sao cho: a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và nó là số chẵn. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 7. Cho tập hợp X = {1; 3; 4; 5; 7; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lấy từ X sao cho a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và nó là số chẵn. d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 5 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 8. Cho tập hợp X = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lấy từ X sao cho a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và chia hết cho 2. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 6 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 9. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số được lấy từ A sao cho a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và nó là số chẵn. d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 7 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Ví dụ 10. Cho tập hợp X = {0; 2; 3; 4; 5; 6; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lấy từ X sao cho a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và chia hết cho 2. d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 8 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 11. Cho tập hợp X = {0; 1; 3; 4; 5; 7; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lấy từ X sao cho: a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau từng đôi một và nó là số chẵn. d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 12. Cho tập hợp X = {0; 3; 4; 5; 6; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lấy từ X sao cho: a) Khác nhau từng đôi một. b) Khác nhau từng đôi một và nó là số lẻ. c) Khác nhau đôi một và chia hết cho 2. d) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. 9 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1. Các quy tắc đếm cơ bản | Dạng 3. Nhóm 3 Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ và bài toán khác Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x và x̄ đối lập nhau. Nếu X có m cách chọn, x̄ có n cách chọn. Vậy x có (m − n) cách chọn. Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa a và b. Ta cần làm: ○ Bài toán 1: Đếm những đối tượng a. ○ Bài toán 2: Đếm những đối tượng thoả a, không thoả b. Do đó, kết quả bài toán kết quả bài toán 1 − kết quả bài toán 2. c Ví dụ 13. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 14. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 12? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 15. Hỏi từ 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 16. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được lấy từ tập A và trong đó có chứa chữ số 4? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 17. Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có sáu chữ số đôi một khác nhau, trong đó phải có mặt chữ số 7. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. 10 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 18. Có 20 thẻ đựng trong hai hộp khác nhau, mỗi hộp chứa 10 thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 10. Có bao nhiêu cách chọn hai thẻ (mỗi hộp một thẻ) sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 20. Trong trường THPT A, khối 11 có: 160 em tham gia câu lạc bộ Toán, 140 em tham gia câu lạc bộ Tin học, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi khối 11 có bao nhiêu học sinh? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 21. Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI TẬP VỀ NHÀ 01 c Câu 1. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật? A 20. B 11. C 30. D 10. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 2. Các thành phố A, B, C được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần duy nhất ? A 8. B 12. C 6. D 4. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 11 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 19. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác nhau được lấy từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. Có bao nhiêu cách lấy hai phần tử từ tập S sao cho tích của hai phần tử này là một số chẵn. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 3. Lớp 12A có 20 bạn nữ, lớp 12B có 16 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn một bạn nữ lớp 12A và một bạn nam lớp 12B để dẫn chương trình hoạt động ngoại khóa ? A 36. B 320. C 1220. D 630. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Câu 4. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn. A 25. B 75. C 100. D 15. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 5. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh bằng A 81. B 7. C 12. D 64. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 6. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A 80. B 60. C 48. D 188. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 7. Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Có mây cách chọn hai quyển sách khác môn? A 80. B 60. C 90. D 70. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 8. Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu? p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 12 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A 319. B 3014. C 310. D 560. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 10. Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số. A 256. B 24. C 35. D 120. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 11. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau. A 35. B 210. C 120. D 72. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A 210. B 1200. C 4536. D 5040. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 13. Có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được từ các số 0, 2, 4, 6, 8? A 48. B 60. C 10. D 24. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 13 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Câu 9. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho 2 người đó không phải là vợ chồng bằng A 100. B 91. C 10. D 90. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 14. Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau lập từ X. A 2240. B 2520. C 2016. D 256. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 15. Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2? A 24. B 48. C 1250. D 120. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 16. Với năm chữ số 1, 2, 3, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? A 120. B 24. C 16. D 25. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 17. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2? A 1230. B 2880. C 1260. D 8232. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 14 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 18. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau. A 160. B 156. C 752. D 240. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3. A 108. B 228. C 36. D 144. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 15 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 20. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2? A 720. B 360. C 288. D 240. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bảng Đáp Án 01 B. B. B B B. B. A C B. B. B A B. B. B A B. B. C B B. B. A B B. B. D C B. B. D B B. B. D A B. B. A D BÀI TẬP VỀ NHÀ 02 c Câu 21. Một lớp có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Cần chọn 2 học sinh để làm trực nhật. Yêu cầu trong 2 em được chọn phải có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A 231. B 40. C 396. D 780. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. 16 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 23. Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F , G (tham khảo hình vẽ bên), trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh. Số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G là A 23. B 252. C 2880. D 522. B (2) E (3) (2) (5) D A (3) (4) C G (2) (2) F Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 24. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)? A 9. B 20. C 50. D 45. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 17 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Câu 22. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? A 6. B 4. C 10. D 24. 1. Các quy tắc đếm cơ bản …………………………………………. …………………………………………. c Câu 25. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món ăn, 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn thực đơn? A 75. B 60. C 12. D 3. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Câu 26. Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Số cách lấy ra hai viên, trong đó có một viên bi đỏ và một viên bi xanh bằng A 81. B 7. C 12. D 64. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 27. Một hình lập phương có cạnh 4 cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1 cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ A 16. B 72. C 96. D 24. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 28. Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ? A 703. B 360. C 1406. D 3420. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 29. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 18 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A 29. B 36. C 18. D 35. Ê Lời giải. c Câu 30. Cho các chũ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi đó, có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ các chữ số đã cho? A 1. B 36. C 72. D 46656. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 31. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ? A 20. B 50. C 25. D 45. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 32. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số ? A 5040. B 4536. C 10000. D 9000. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 33. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A 15. B 4096. C 360. D 720. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 19 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1. Các quy tắc đếm cơ bản c Câu 34. Nhãn mỗi chiếc ghế trong một hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái tiếng Việt ), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau? A 624. B 600. C 49. D 648. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 35. Từ các chữ số của tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. A 418. B 720. C 300. D 731. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 36. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? A 168. B 210. C 84. D 105. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 20 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 37. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? A 72. B 120. C 54. D 69. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 38. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Có bao nhiêu cách chọn hai thẻ sao cho tích hai số trên hai thẻ là số chẵn? A 32. B 36. C 26. D 72. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 39. Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Từ tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các chữ số này lẻ và không chia hết cho 5 A 520. B 15120. C 120. D 11520. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 21 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp c Câu 40. Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Từ tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số cuối lẻ. A 1200. B 15120. C 11520. D 1400. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bảng Đáp Án 02 B. B. C C B. B. D D B. B. C C B. B. A B B. B. B B B. B. C D B. B. D C B. B. B C B. B. A B B. B. D C BÀI 2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP AA A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Hoán vị . Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. • Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là Pn . • Công thức tính Pn = n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1. (n! đọc là n giai thừa) Nhận dạng bài toán: “Chọn hết phần tử và đi xắp xếp” Ví dụ: Xếp 4 học sinh A, B, C, D vào một bàn dài 4 chỗ ngồi thì • Các hoán vị là ABCD, ACDB,… • Số hoán vị (hay số cách xếp) là P4 = 4! = 24 cách. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 22 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 2. Chỉnh hợp . Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k (1 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). • Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Akn . • Với quy ước 0! = 1, ta có công thức tính Akn = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1) = n! · (n − k)! • Ann = n! = Pn . Nhận dạng bài toán: “Chọn k phần tử trong tập gồm n phần tử và đi xắp xếp” . Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). • Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Ckn . • Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy nhiên, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. • Cho các số nguyên dương n và k với 0 ≤ k ≤ n. Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: n! Ak Ckn = = n· k!(n − k)! k! Nhận dạng bài toán: “Chọn k phần tử trong tập gồm n phần tử để tạo thành 1 tập con (không chú ý vị trí xếp)” 4. Các công thức cơ bản về tổ hợp ¬ Ckn = Cn−k với mọi nguyên n và k thỏa 0 ≤ k ≤ n. n với mọi nguyên n và k thỏa 1 ≤ k ≤ n. ­ Ckn+1 = Ckn + Ck−1 n AA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hoán vị ○ Sắp xếp n phần tử theo một hàng n! = n(n − 1) · (n − 2) . . . 3 · 2 · 1 cách sắp xếp. ○ Sắp xếp n phần tử theo một vòng tròn (bàn tròn) có (n − 1)! cách. o Casio: Bấm n! ta thao tác: n SHIFT x−1 , chẳng hạn: 3 SHIFT x−1 = 6, tức 3! = 6. c Ví dụ 1. Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên nếu a) Xếp một cách tùy ý. b) Xếp theo từng môn. c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 23 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 3. Tổ hợp 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 2. Một THPT X có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh trên thành 1 hàng ngang nhận thưởng nếu a) Những học sinh đứng tùy ý. b) Các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau. c) Cùng khối đứng cạnh và khối 11 ở giữa. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 24 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. a) Nam, nữ được xếp tùy ý. b) Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 4. Có hai dãy ghế, mỗi dãy 4 ghế. Xếp 4 nam, 4 nữ vào hai dãy ghế trên, có bao nhiêu cách xếp, nếu: a) Nam, nữ được xếp tùy ý. b) Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 25 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 3. Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên, có bao nhiêu cách xếp, nếu 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 5. Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho: a) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau. b) Học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 6. Cho một bàn dài có 8 ghế và 8 học sinh trong đó có 4 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 8 học sinh sao cho: a) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau. b) Học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 26 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 7. Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài, có mấy cách sắp xếp nếu: a) 6 học sinh này ngồi bất kì. b) A và F luôn ngồi ở hai đầu ghế. c) A và F luôn ngồi cạnh nhau. d) A, B, C luôn ngồi cạnh nhau. e) A, B, C, D luôn ngồi cạnh nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 27 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 8. Xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài, có mấy cách sắp xếp nếu: Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt a) 5 học sinh này ngồi bất kì. b) A và E luôn ngồi ở hai đầu ghế. c) A và E luôn ngồi cạnh nhau. d) A, B, C luôn ngồi cạnh nhau. e) A, B, C, D luôn ngồi cạnh nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 28 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi a) Có tất cả bao nhiêu số? b) Có bao nhiêu số chẵn và bao nhiêu số lẻ? c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 10. Từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập các số gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi a) Có tất cả bao nhiêu số? b) Có bao nhiêu số chẵn và bao nhiêu số lẻ? c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 29 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 11. Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 234? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 30 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài Tập Về Nhà c Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 2. Từ tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, gồm năm chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt các chữ số 1, 2, 3 và chúng đứng cạnh nhau? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 3. Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau chia hết cho 3 được lập từ tập X? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 31 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp c Bài 4. Cho tập E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 2. Các bài toán liên quan đến hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp ○ Chọn k trong n và sắp xếp ⇒ Sử dụng chỉnh hợp Akn = n! (n − k)! (Casio : n SHIF T × k) ○ Chọn k trong n tuỳ ý ⇒ Sử dụng tổ hợp Ckn = n! (n − k)!k! Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt (Casio : n SHIF T ÷ k) c Ví dụ 12. Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D mà không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi: a) Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành? b) Có bao nhiêu vectơ được tạo thành? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên. a) Gồm 4 chữ số. b) Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau. c) Gồm 4 chữ số khác nhau và nó là số chẵn. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 32 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 14. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên. a) Gồm 5 chữ số. b) Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 15. Cho X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số được tạo từ tập X, sao cho: a) Khác nhau đôi một và là số lẻ. b) Khác nhau đôi một và là số chẵn. c) Khác nhau đôi một và luôn có mặt 1, 2, 3. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 33 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c) Gồm 5 chữ số khác nhau và nó là số lẻ. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 16. Cho X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số được tạo từ tập X, sao cho: a) Khác nhau đôi một và là số chẵn. b) Khác nhau đôi một và chia hết cho 5. c) Khác nhau đôi một và luôn có mặt số 2 và số 3. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 34 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 18. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sẽ lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà có đúng bốn chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 19. Có bao nhiêu chữ số có 5 chữ số khác nhau biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI TẬP VỀ NHÀ c Bài 5. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 35 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 17. Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau và khác 0, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp c) Có 2 nam và 2 nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 6. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 5 học sinh trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 5 học sinh tuỳ ý. b) Có 3 nam và 2 nữ. c) Có không quá 3 nữ. d) Có ít nhất 1 nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 7. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 học sinh, trong đó có: a) Số nam và số nữ bằng nhau. b) Ít nhất một nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 8. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người, sao cho: a) Có đúng 2 nam. b) Có ít nhất 2 nam và 1 nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 36 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 9. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa hồng gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn một đóa hoa sao cho: a) Có đúng 1 bông hồng đỏ. b) Có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 10. Trông một hộp có 18 bi, trong đó có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi sao cho những viên bi được chọn thỏa mãn: a) Có đúng 2 viên bi màu đỏ? b) Số bi xanh bằng số bi đỏ? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 11. Trong ngân hàng đề kiểm tra 30 phút môn Vật Lí có 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi có dạng như trên? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 12. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 37 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 13. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 14. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách bầu sao cho trong 4 người được bầu nhất thiết phải có nữ? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 15. Lớp có 50 học sinh được chia thành 5 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 16. Một tổ có 8 học sinh đi trồng cây. Khi trồng cây cần có 2 em học sinh. Có bao nhiêu cách chia tổ thành những cặp như vậy? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 17. Giải bóng truyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm chia làm 3 bảng đấu A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho: a) Mỗi bảng ba đội? b) Mỗi bảng ba đội và 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau? Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 38 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 18. Để sắp xếp 5 bạn nữ và 15 bạn nam thành bốn nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm sao cho: a) Thành viên trong nhóm là bất kì? b) 5 bạn nữ ở cùng một nhóm. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 19. Trong một hộp có 50 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Có bao nhiêu cách lấy ra ba thẻ sao cho có đúng 2 thẻ mang số chia hết cho 8? Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 39 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 20. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Có bao nhiêu cách chọn ra 10 tấm thẻ sao cho có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 21. Trong một hộp có 20 viên bi được đánh số từ 1 đến 20. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi sao cho có đúng 3 viên bi mang số lẻ, 2 viên bi mang số chẵn trong đó có đúng một viên bi mang số chia hết cho 4? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 22. Trong một hộp có 100 viên bi được đánh số từ 1 đến 100. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 viên bi sao cho tổng ba số trên 3 bi chia hết cho 2. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 40 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 23. Trong một hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Có bao nhiêu cách chọn 3 tấm thẻ trong hộp sao cho tổng ba số trên 3 thẻ chia hết cho 3. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 24. Cho hai đường thẳng a ∥ b. Trên đường thẳng a có 5 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 10 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên hai đường thẳng a và b đã cho? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 25. Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên d1 và d2 đã cho? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 26. Cho hai đường thẳng d1 ∥ d2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt với n ∈ N, n ≥ 2. Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Hãy tìm n? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 41 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 27. Cho hai đường thẳng d1 ∥ d2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt với n ∈ N, n ≥ 2. Biết có 1725 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Hãy tìm n? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 28. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số a) Có 9 chữ số sao cho chữ số 0 có mặt 2 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. b) Có 8 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 2 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 42 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 29. Từ các chữ số 0, 2, 4, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số a) Có 9 chữ số sao cho chữ số 0 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 2 lần, chữ số 5 có mặt 2 lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. b) Có 8 chữ số sao cho chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 9 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 43 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 30. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 2 lần; chữ số 6 có mặt đúng 4 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 31. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 32. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt mà a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 44 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT b) Số chẵn đứng cạnh và số lẻ đứng cạnh nhau. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt mà a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau. b) Số chẵn đứng cạnh và số lẻ đứng cạnh nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 45 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ○ Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau: Các kí hiệu và công thức • n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2.1 • Pn = n! n! • Akn = (n − k)! n! • Ckn = k!(n − k)! • Ckn = Cn−k n • Ckn+1 = Ckn + Ck−1 n Điều kiện n∈N ∗ ®n∈N n, k ∈ N ®0 ≤ k ≤ n n, k ∈ N ®0 ≤ k ≤ n n, k ∈ N ®0 ≤ k ≤ n n, k ∈ N 1≤k≤n ○ Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được ẩn. ○ So với điều kiện để nhận những giá trị cần tìm. c Ví dụ 20. Giải phương trình P2 · x2 − P3 · x = 8. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 46 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 21. Giải phương trình 1 Px − Px−1 = . Px+1 6 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 22. Giải phương trình (n + 1)! = 72. (n − 1)! Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 23. Giải phương trình n! n! − = 3. (n − 2)! (n − 1)! Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 47 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 24. Giải phương trình A3n = 20n. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 25. Giải phương trình A3n + 2C2n = 16n. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 26. Giải phương trình A3x + Cx−2 = 14x. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 48 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 28. Cho n ∈ Z+ thỏa C2n+1 + 2C2n+2 + 2C2n+3 + C2n+4 = 149. Chứng minh: A4n+1 + 3A3n = (n + 1)! 3 . 4 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 29. Giải bất phương trình A3n + 15 < 15n. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 49 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 27. Giải phương trình A2x−2 + Cx−2 = 101. x 2. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Ví dụ 30. Giải bất phương trình 2C2x+1 + 3A2x < 30. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ĐỀ ÔN SỐ 1 c Câu 1. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n, mệnh đề nào đúng? n! n! n! k!(n − k)! A Ckn = . B Ckn = . C Ckn = . D Ckn = . k!(n − k)! k! (n − k)! n! Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh vào 5 ghế xếp thành một dãy? A 120. B 240. C 90. D 60. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 50 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 3. Trong một lớp học có 20 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và một bạn khác làm lớp phó? A A18 B A220 . C 202 . D C220 . 20 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 4. Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau? A 45. B 90. C 35. D 55. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. #» c Câu 5. Số véc-tơ khác 0 có điểm đầu, điểm cuối là hai trong 6 đỉnh của lục giác bằng A P6 . B C26 . C A26 . D 36 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 6. Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là A A350 . B 330 . C 10. D C330 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 7. Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ ? A C238 . B A2 . C C220 · C118 . D C120 · C118 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 51 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ................................................. ................................................. ................................................. 2. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp c Câu 8. Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau? A 48. B 72. C 24. D 36. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Câu 9. Cho hai đường thằng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm, trên đường thứ hai có 15 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho? A 1725. B 1050. C 675. D 1275. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 10. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 ∥ d1 cho n điểm phân biệt. Biết có 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên thì n là A n = 9. B n = 8. C n = 10. D n = 7. Ê Lời giải. Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau: Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 và một đỉnh thuộc vào d2 . — Số cách chọn bộ hai điểm trong 5 thuộc d1 : C25 . — Số cách chọn một điểm trong n điểm thuộc d2 : C1n . Loại này có: C25 · C1n tam giác. Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào d1 và hai đỉnh thuộc vào d2 . — Số cách chọn một điểm trong 5 thuộc d1 : C15 p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 52 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT — Số cách chọn bộ hai điểm trong n điểm thuộc d2 : C2n . Loại này có: C15 · C2n tam giác. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ C25 · C1n + C15 · C2n = 175 n! n! 10 +5 = 175 1!(n − 1)! 2!(n − 2)! 5 10n + n(n − 1) = 175 2 2 5n + 15n − 350 = 0 ñ n=7 n = −10 (loại). Vậy n = 7.  c Câu 11. Trong một đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là A C2n . B A2n . C A2 − n. D C2n − n. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 12. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. A A45 . B P5 . C C45 . D P4 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 13. Cho tập A = {1; 2; 3; 5; 7; 9}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? A 720 . B 360 . C 120 . D 24 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 14. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập A? A A410 . B 9 · C49 . C 9 · A49 . D C410 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 53 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Vậy có tất cả: C25 · C1n + C15 · C2n tam giác. Theo đề bài ta có 2. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 15. Nghiệm của phưong trình A3n = 20n là A n = 6. B n = 5. C n = 8. D n = −3. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 16. Cho n ∈ N∗ thóa mãn C5n = 2002. Tính A5n A 2007. B 10010. C 40040. D 240240. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. c Câu 17. Tổng các nghiệm của bất phưong trình A3x + 15 < 15x bằng A 7. B 9. C 14 . D 20 . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 54 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 18. Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật? A 72. B 18. C 12. D 36. Ê Lời giải. c Câu 19. Cho đa giác đều 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ N). Biết số hình chữ nhật được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác đó là 45. Tìm n. A n = 12. B n = 10. C n = 9. D n = 45. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. c Câu 20. Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn? A 816. B 18. C 8!. D 604. Ê Lời giải. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. 55 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 2. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. B. B. A D B. B. A A B. B. B B B. B. A C B. B. C A B. B. D D B. B. D A B. B. D D B. B. A B 10. D B. A ĐỀ ÔN SỐ 2 c Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ? A Akn = k! · Cn−k B Ckn = k! · Akn . C Akn = k · Ckn . n . D Ckn = k · Akn . Ê Lời giải. ................................................. ................................................. c Câu 2. Có n phần tử (n > 0), lấy ra k phần tử (0 ≤ k ≤ n) đem sắp xếp theo một thứ tự nhất định mà khi thay đổi thứ tự ta được cách sắp xếp mới. Khi đó số cách sắp xếp là A Ckn . B Ank . C Akn . D Pn . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 56 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 3. Từ các số 1, 2, 3, 4 có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A 12. B 24. C 42. D 44 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 5. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con có 2 phần tử của M là A A810 . B A210 . C C210 . D 102 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 6. Nhân dịp lễ sơ kết học kì 1, để thưởng cho 3 học sinh có thành tích tốt nhất lớp, cô An đã mua 10 cuốn sách khác nhau và chọn ra 3 cuốn để phát thưởng cho 3 học sinh đó mỗi học sinh nhận 1 cuốn. Hỏi cô An có bao nhiêu cách phát thưởng. A C310 . B A310 . C 103 . D 3 · C310 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc ? A 55 . B 5!. C 4!. D 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 8. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm 6 người và một nhóm 4 người ? A 210. B 120. C 100. D 140. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 57 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Câu 4. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ để thực hiện quả đá luân lưu 11 m theo thứ tự từ quả thứ nhất đến quả thứ 5 ? A A511 . B C511 . C A511 · 5!. D C510 . 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 9. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II ? A 246. B 3480. C 245. D 3360. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 10. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách ? A 120. B 90. C 80. D 220. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 11. Tổ 1 lớp 11A có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh của tổ 1 để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy nếu có ít nhất một học sinh nam ? A 600. B 25. C 325. D 30. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 12. Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Có bao nhiêu cách chọn ra hai tấm thẻ rồi nhân hai số ghi trên đó lại với nhau sao cho kết quả thu được là một số chẵn ? A 10. B 26. C 36. D 27. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 58 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 13. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; . . . ; 7}. Hỏi từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải là 1 ? A 65. B 2280. C 2520. D 2802. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 14. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có bốn chữ số đôi một khác nhau ? A 2520. B 50000. C 4500. D 2296. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 15. Từ các số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 5 ? A 72. B 120. C 54. D 69. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 59 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp c Câu 16. Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song nhau. Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt. Trên d2 lấy n điểm phân biệt. Biết rằng có 175 tam giác được tạo thành mà ba đỉnh của tam giác là ba trong n + 5 điểm kể trên. Giá trị của n là A 10. B 7. C 8. D 9. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 17. Cho đa giác đều A1 A2 A3 · · · A30 nội tiếp đường tròn tâm O. Tính số hình chữ nhật mà bốn đỉnh là bốn trong 30 đỉnh của đa giác ? A 105. B 27405. C 27406. D 106. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 18. Cho một tam giác. Trên ba cạnh của tam giác lấy 9 điểm như hình vẽ. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba trong 9 điểm kể trên? A 79. B 48. C 55. D 24. B2 A3 A2 B1 A1 C1 C2 C3 C4 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 19. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} sao cho mỗi số lập được luôn có mặt của số 3 ? A 72. B 36. C 32. D 48. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 60 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 20. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 đứng liền giữa chữ số 1 và chữ số 3 ? A 2942. B 5880. C 7440. D 3204. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. B. B. A C B. B. C B B. B. B B B. B. A D B. B. C C B. B. B B B. B. B A B. B. A A B. B. A B B. B. BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON AA A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Nhị thức Niu-tơn ¬ Nhắc lại các hằng đẳng thức .¬ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . ­ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 . ® (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . ¯ (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 . ­ Công thức nhị thức Niu – tơn . n−1 (a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + · · · + Cn−1 + Cnn bn n ab = n X Ckn an−k bk . k=0 • Với a = b = 1, ta có C0n + C1n + · · · + Cnn−1 + Cnn = 2n . • Với a = 1; b = −1, ta có C0n − C1n + · · · + (−1)k Ckn + · · · + (−1)n Cnn = 0. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 61 Ô SĐT: 0905.193.688 B C Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton 1) (x + 2)4 = 4 X Ck4 · x4−k · 2k k=0 = C04 · x4 · 20 + C14 · x3 · 21 + C24 · x2 · 22 + C34 · x1 · 23 + C44 · x0 · 24 = x4 + 8×3 + 24×2 + 32x + 16. 2) (x + 2y)5 = 5 X Ck5 · x5−k · (2y)k k=0 = C05 · x5 · (2y)0 + C55 · x0 · (2y)5 5 4 + C15 · x4 · (2y)1 + C25 · x3 · (2y)2 + C35 · x2 · (2y)3 + C45 · x1 · (2y)4 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt = x + 10x y + 40×3 y 2 + 80×2 y 3 + 80xy 4 + 32y 5 . Å ã Å ãk 6 1 6 X 1 k 6−k 3) x + · = C6 · x x x k=0 Å ã1 Å ã2 Å ã3 Å ã4 Å ã0 1 1 1 1 1 5 4 3 2 6 1 2 3 4 0 + C6 · x · + C6 · x · + C6 · x · + C6 · x · = C6 · x · x x x x x Å ã5 Å ã6 1 1 + C56 · x1 · + C66 · x0 · x x 6 1 15 = x6 + 64×4 + 15×2 + 20 + 2 + 4 + 6 x x x ã Å Å ã 6 1 6 X 1k k 6−k 4) 2x − = C6 · (2x) · − x x k=0 ã0 ã ã ã Å Å Å Å 1 1 1 2 1 3 1 1 2 3 0 5 4 3 6 + C6 · (2x) · − + C6 · (2x) · − + C6 · (2x) · − = C6 · (2x) · − x x x x ã4 ã5 ã6 Å Å Å 1 1 1 + C46 · (2x)2 · − + C56 · (2x)1 · − + C66 · (2x)0 · − x x x 60 12 1 = 64×6 − 192×4 + 240×2 − 160 + 2 − 4 + 6 . x x x 2. Chú ý Trong biểu thức ở vế phải của khai triển (a + b)n . ○ Số các hạng tử là n + 1; ○ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1); ○ Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau. 3. Tam giác Pascal Trong công thức nhị thức Newton, cho n = 0, 1, . . . và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 62 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 1 1 1 2 1 1 1 1 5 6 7 3 4 & 1 1 1 3 . 6 & 10 15 10 20 21 1 . 4 35 1 5 15 35 1 6 21 1 7 k o Từ công thức Ckn = Ck−1 n−1 + Cn−1 suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước AA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng 1. Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển nhị thức Newton xm Cần nhớ: Tk+1 = Ckn · an−k · bk và xm · xn = xm+n , n = xm−n , x Å ãn n x x (x · y)n = xn · y n , = n. y y Å ã 1 5 3 c Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển x − 2 , ∀x 6= 0. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 12 c Ví dụ 2. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển x + , ∀x 6= 0. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 63 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường nó. Chẳng hạn C25 = C14 + C24 = 4 + 6 = 10. 3. Nhị thức Newton Å 1 c Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển x + 4 x ã10 , ∀x 6= 0. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển Å x 3 + 3 x ã12 , ∀x 6= 0. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 6 c Ví dụ 5. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển 2x − 2 , ∀x 6= 0. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 10 c Ví dụ 6. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) Trong khai triển 2x − , ∀x 6= 0. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 64 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 7. Tìm hệ số của số hạng chứa x16 trong khai triển nhị thức (x2 − 2x)10 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 8. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển nhị thức (1 − 3x)11 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển nhị thức (3x − x2 )12 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức (x − 3)9 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 11. Tìm hệ số của số hạng chứa x12 y 13 trong khai triển nhị thức (x + y)25 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 65 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton c Ví dụ 12. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 y 9 trong khai triển nhị thức (2x − 3y)17 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Ví dụ 13. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 y 7 trong khai triển nhị thức (2x + y)13 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x25 y 10 trong khai triển nhị thức (x3 − xy)15 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 15. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức (1 + x + 3×2 )10 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 16. Tìm hệ số của số hạng chứa x17 trong khai triển nhị thức (1 + x + 2×2 )10 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 66 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 17. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức (1 + x2 − x3 )8 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 18. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển nhị thức (x2 + x − 1)5 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 67 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức P (x) = (1 + x + x2 + x3 )5 . Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 20. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức P (x) = (1 + x + x2 + x3 )10 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 21. Xét P (x) = x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 . Tìm hệ số x5 trong khai triển P (x). Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 68 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 22. Xét P (x) = x(2x − 1)6 + (3x − 1)8 . Tìm hệ số x5 trong khai triển P (x). …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 c Ví dụ 23. Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức P (x) = (2x + 1) 6 Å 1 x +x+ 4 2 ã4 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 10 c Ví dụ 24. Tìm hệ số của số hạng x trong khai triển biểu thức P (x) = Å x2 +x+1 4 Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 69 Ô SĐT: 0905.193.688 ã2 (x+2)15 . Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Ví dụ 25. Tìm hệ số của x5 trong khai triển sau: (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 26. Tìm hệ số của x5 trong khai triển sau: (x + 1)6 + (x + 1)7 + (x + 1)8 + · · · + (x + 1)12 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 27. Cho (1 − 2x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 71. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 70 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 28. Cho (1 − 4x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 1197. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 71 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI TẬP VỀ NHÀ c Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x − 3)2018 ? A 2017. B 2018. C 2019. D 2020. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Câu 2. Trong khai triển (a + b)n , số hạng tổng quát của khai triển là n+1 n−k+1 n−k+1 k+1 A Ckn an−k bk . B Ck−1 b . C Ckn an−k bn−k . D Ck+1 b . n a n a Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 3. Tìm số hạng chứa x3 y 3 trong khai triển (x + 2y)6 thành đa thức. A 120×3 y 3 . B 160×3 y 3 . C 20×3 y 3 . D 8×3 y 3 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển nhị thức Newton (2x − 1)6 . A 160. B −960. C 960. D −160. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 72 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 5. Giả sử có khai triển (1 − 2x)7 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a7 x7 . Tìm a5 . A 672×5 . B −672. C −672×5 . D 672. c Câu 6. Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3x)10 . A C610 · 26 · (−3)4 . B C610 · 24 · (−3)6 . C −C410 · 26 · (−3)4 . D C610 · 24 · 36 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã Å 1 10 c Câu 7. Số hạng không chứa x trong khai triển P (x) = 2x − là số hạng thứ x A 6. B 7. C 8. D 9. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 c Câu 8. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức A − 220 . 729 B 220 6 x. 729 C − 220 6 x. 729 Å 3 x − x 3 ã12 (với x 6= 0) là D 220 . 729 Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 73 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Å ã 1 6 c Câu 9. Số hạng không chứa x trong khai triển 2x − 2 là x A 60. B 120. C 480. D 240. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3 c Câu 10. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển A 36. B 84. Å C 126. 1 + x3 x ã9 (với x 6= 0) bằng D 54. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 74 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 11. Số hạng chứa x4 trong khai triển (2 + x)7 thành đa thức là A 8C47 . B C47 . C 8C47 x4 . D C47 x4 . Å ã 1 45 c Câu 12. Số hạng không chứa x trong khai triển x − 2 là x A −C545 . B C545 . C −C15 45 . D C15 45 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 13. Trong khai triển của (1 + 3x)9 số hạng thứ 3 theo số mũ tăng dần của x là A 180×2 . B 120×2 . C 324×2 . D 4×2 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã 2 21 c Câu 14. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton x − 2 là x A 27 C721 . B 28 C821 . C −28 C821 . D −27 C721 . Å Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 75 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 1 c Câu 15. Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức x + x xm bằng 495. Tập hợp giá trị của m là A {4; 8}. B {0}. C {0; 12}. 2 ã12 ta có hệ số của số hạng chứa D {8}. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 n 2 c Câu 16. Biết hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3x + là 34 C5n . Khi đó giá trị x của n bằng A 15. B 9. C 16. D 12. 3 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 76 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. c Câu 17. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển x3 (1 − x)8 . A −28. B 70. C −56. D 56. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 18. Tìm hệ số của x5 trong khai triển x(2x − 1)6 + (x − 3)8 . A −1752. B 1272. C 1752. D −1272. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 19. Tìm hệ số của x4 trong khai triển f (x) = x(1 − x)5 + x2 (1 + 2x)10 . A 965. B 263. C 632. D 956. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 20. Giả sử (1−x+x2 )n = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+a2n x2n . Giá trị S = a0 +a1 +a3 +· · ·+a2n bằng 3n + 1 3n 3n − 1 . . . A B C D 1. 2 2 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Bài tập về nhà 2 p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 77 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton c Câu 21. Số hạng tổng quát trong khai triển của (1 − 2x)12 là A (−1)k · Ck12 · 2xk . B −Ck12 · 2k · xk . C (−1)k · Ck12 · 2k · xk . D Ck12 · 2k · x12−k . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 22. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1 + x)12 . A 820. B 210. C 792. D 220. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (1 − x)10 . A 30. B −120. C 120. D −30. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 24. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2x − 3×2 )5 . A 357. B 243. C 628. D −243. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 25. Trong khai triển biểu thức (x + y)21 . Tìm hệ số của số hạng chứa x13 y 8 . A 116280. B 293930. C 203490. D 1287. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 26. Trong khai triển biểu thức (a − 2b)8 . Tìm hệ số của số hạng chứa a4 b4 . A 560. B 70. C 1120. D 140. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 78 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển (2 − 3x)10 . A C610 · 26 · (−3)4 . B C610 · 24 · (−3)6 . C −C410 · 26 · (−3)4 . D −C610 · 24 · 36 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 c Câu 28. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển A 792. B 210. Å 1 + x3 x ã10 bằng C 165. D 252. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 2 7 2 c Câu 29. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x + bằng x A 84. B 672. C 560. D 280. 5 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 6 c Câu 30. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x − 2 . x A 15. B 240. C −240. D −15. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 79 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton Å ã 2 5 3 c Câu 31. Tìm hệ số chứa x trong khai triển 3x − 2 . x A −240. B 810. C −810. 10 D 240. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã7 x2 1 c Câu 32. Tìm số hạng chứa x trong khai triển − . 2 x 35 5 35 16 x. A B − x5 . C − x5 . 16 16 35 Å Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 5 D 16 5 x. 35 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 33. Xét khai triển (5x−1)2017 = a2017 x2017 +a2016 x2016 +· · · a1 x+a0 . Giá trị a2000 bằng 17 17 2000 2000 A −C17 B C17 C −C17 . D C17 . 2017 · 5 . 2017 · 5 . 2017 · 5 2017 · 5 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã 1 7 c Câu 34. Hệ số của x trong khai triển của x + + (2x + 1)2 bằng x A 4. B 40. C 35. D 39. 2 Å 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 35. Hệ số của x5 trong khai triển của P (x) = (x+1)6 +(x+1)7 +· · ·+(x+1)12 bằng A 1715. B 1711. C 1287. D 1716. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 80 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 36. Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển (1 + 2x)(3 + x)11 . A 4620. B 1380. C 9405. D 2890. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển P (x) = x(1−2x)5 +x2 (1+3x)10 . A 3240. B 3320. C 80. D 259200. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 38. Cho khai triển (1 − 2x)9 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a9 x9 . Tính tổng a0 + a1 + a2 . A 127. B 46. C −2816. D 163. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 39. Tìm hệ số của x7 trong khai triển f (x) = (1 − 3x + 2×3 )10 thành đa thức. A 204120. B −262440. C −4320. D −62640. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 81 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton c Câu 40. Tìm hệ số của x5 trong khai triển f (x) = (1 + x + x2 + x3 )10 thành đa thức. A 582. B 1902. C 7752. D 252. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 2. Chứng minh hoặc tính tổng. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt (a + b)n = n X Ckn · an−k · (b)k = C0n an + C1n an−1 b + C2n an−2 b2 + · · · + Cnn bn . k=0 a) Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n. b) Trong khai triển (a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi −, rồi +, . . . 16 16 c Câu 41. Chứng minh 316 C016 − 315 C116 + 314 C216 + · · · − 3C15 16 + C16 = 2 . A 582. B 1902. C 7752. D 252. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 42. Tính tổng S = C05 + 2C15 + 22 C25 + · · · + 25 C55 . A 25 . B 35 . C 35 . D 45 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 43. Tính tổng S = 40 C08 + 41 C18 + 42 C28 + · · · + 48 C88 . A 58 . B 38 . C 48 . D 98 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 82 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Câu 44. Tìm n ∈ Z+ thỏa mãn 3n C0n −3n−1 C1n +3n−2 C2n −3n−3 C3n +· · ·+(−1)n Cnn = 2048. A n = 10. B n = 8. C n = 11. D n = 9. Ê Lời giải. c Câu 45. Tìm n ∈ Z+ thỏa mãn C1n + C2n + · · · + Cn−1 + Cnn = 4095. n A n = 10. B n = 8. C n = 12. D n = 9. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 3. Dạng toán chẵn hoặc toàn lẻ 2k+1 1 + · · · (toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu Trong biểu thức có C0n + C2k n + · · · (toàn chẵn) hoặc Cn + Cn n nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a − b) và (a + b)n khi chọn a, b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi (khi toàn lẻ) theo từng vế. c Ví dụ 29. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C02n + C22n + C42n + C62n + · · · + C2n 2n = 512. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2n+1 c Ví dụ 30. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C12n+1 +C32n+1 +C52n+1 +C72n+1 +· · ·+C2n+1 = 1024. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 83 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 503n c Ví dụ 31. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C22014 +C42014 +C62014 +C82014 +· · ·+C1006 −1. 2014 = 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2n−1 1 3 c Ví dụ 32. Chứng minh C02n + C22n + · · · + C2n = 22n−1 . 2n = C2n + C2n + · · · + C2n Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 84 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 34. Tính tổng S = C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + · · · + 32000 C2000 2001 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 15 16 c Ví dụ 35. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S = C02n + 32 C22n + 34 C42n + · · · + 32n C2n 2n = 2 (2 + 1). Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 85 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 33. Tính tổng C0100 + C2100 + C4100 + · · · + C100 100 . Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 4. Nhóm bài toán tính tổng hoặc chứng minh dựa vào tính chất hoặc biến đổi (nâng cao) c Ví dụ 36. Tính tổng S = 1 1 1 1 + + ··· + + . 2!2012! 4!2010! 2012!2! 2014! Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 86 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 1 1 1 1 1 + + ··· + + + . 2019! 3!2017! 2017!3! 2019!1! 2020! n! o Suy luận: Dựa vào công thức tổ hợp Ck = , có: k + (n − k) = n nên sẽ phân n k! · (n − k)! 1 1 tích = và gợi cho ta nhân thêm hai vế cho 2014! sẽ đưa được về 2! · 2012! 2! · (2014 − 2)! C22014 . c Ví dụ 37. Tính tổng S = Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 87 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 38. Tính tổng S = …………………………………………. …………………………………………. C02013 C12013 C22013 C2013 + + + · · · + 2013 . 1 2 3 2014 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. k−1 c Ví dụ 39. Chứng minh k 2 Ckn = n(n − 1)Ck−2 n−2 + nCn−1 với k, n là số nguyên thỏa 2 ≤ k ≤ n. Tính tổng S = 12 · C12013 + 22 · C22013 + 32 · C32013 + · · · + 20132 · C2013 2013 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 88 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 2 c Ví dụ 40. Chứng minh (C0n ) + (C1n ) + · · · + (Cnn )2 = Cn2n với n ≥ 2, n ∈ N. o Suy luận: Ta có (1 + x)2n = (1 + x)n (x + 1)n nên suy nghĩ đến việc khai triển (1 + x)2n Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 2 2 c Ví dụ 41. Tính tổng S = (C02020 ) + (C12020 ) + · · · + (C2020 2020 ) . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 89 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường và khai triển tích (1 + x)n (x + 1)n , sau đó so sánh hệ số xn với nhau đưa đến đpcm. 3. Nhị thức Newton c Ví dụ 42. Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh Å S= C02020 1 ã2 C12020 + 2 Å ã2 Cnn + ··· + n+1 Å ã2 = Cn+1 2n+2 − 1 (n + 1)2 . Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 43. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C0n + 5C1n + 8C2n + · · · + (3n + 2)Cnn = 1600. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 90 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT C12 C12 C12 C12 C12 13 14 2013 2014 12 + + + ··· + + . c Ví dụ 44. Tính tổng S = 11 · 12 12 · 13 13 · 14 2012 · 2013 2013 · 2014 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 45. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 1 1 1023 1 C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn = . 2 3 4 n+1 n+1 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 91 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton c Ví dụ 46. Tính tổng Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt S = 1 · 2 · C22013 + 2 · 3 · C32013 + · · · + 2012 · 2013 · C2013 2013 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 47. Tính tổng S = C02012 + 2C12012 + 3C22012 + 4C32012 + 5C42012 + · · · + 2013C2012 2012 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 48. Tìm n ∈ N ∗ thỏa 2010−k 1 2009 k 2010 0 n C02011 C2010 2011 + C2011 C2010 + · · · + C2011 C2011−k + · · · + C2011 C1 = 2011 · 2 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 92 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 49. Tìm số nguyên dương n ≥ 3 thỏa mãn 1 1 1 1 89 + 3 + 3 + ··· + 3 = . 3 C3 C4 C5 Cn 30 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 93 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 3. Nhị thức Newton c Ví dụ 50. Tính tổng S= A02013 A12013 A22013 A2013 + + + · · · + 2013 . 0! 1! 2! 2013! Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 51. Tìm số nguyên dương n ≥ 2 thỏa mãn 1 1 1 2013 1 + 2 + 2 + ··· + 2 = . 2 A2 A3 A4 An 2014 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Ví dụ 52. Tính tổng 1 10 2 9 10 1 11 0 S = C020 C11 12 + C20 C12 + C20 C12 + · · · + C20 C12 + C20 C12 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 94 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 46. Xét (1 − 2x)20 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a20 x20 . Giá trị của a0 + a1 + a2 + · · · + a20 bằng A 1. B 320 . C 0. D −1. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 47. Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 − 2x)2018 . A −1. B 1. C −2018. D 2018. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 48. Khai triển (1 + 2x + 3×2 )10 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a20 x20 . Giá trị của tổng S = a0 + 2a1 + 4a2 + · · · + 220 a20 bằng A S = 1510 . B S = 1710 . C S = 710 . D S = 1720 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 49. Cho đa thức P (x) = (x − 2)2017 + (3 − 2x)2018 = a2018 x2018 + a2017 x2017 + · · · + a1 x + a0 . Khi đó S = a2018 + a2017 + · · · + a1 + a0 bằng A 0. B 1. C 2018. D 2017. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 2 3 2016 c Câu 50. Tổng C2016 + C2016 + C2016 + · · · + C2016 bằng 2016 2016 + 1. A 4 . B 2 C 42016 − 1. D 22016 − 1. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 95 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI TẬP VỀ NHÀ 3 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 51. Tổng S = C010 + 2C110 + 22 C210 + · · · + 210 C10 10 bằng 10 10 A S=2 . B S=4 . C S = 310 . D S = 311 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 52. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C0n + 2C1n + 22 Cn2 + · · · + 2n Cnn = 14348907. A n = 15. B n = 14. C n = 10. D n = 11. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 53. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 3n C0n −3n−1 C1n +3n−2 Cn2 −· · ·+(−1)n Cnn = 2048. A n = 8. B n = 9. C n = 11. D n = 10. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. + 5n−2 · 32 · Cnn−2 + · · · + 3n C0n . c Câu 54. Tính tổng S = 5n Cnn + 5n−1 · 3 · Cn−1 n A 28n . B 1 + 8n . C 8n−1 . D 8n . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 55. Tính tổng các hệ số trong khai triển (x + y)20 . A 77520. B 1860480. C 1048576. D 81920. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 56. Trong khai triển nhị thức (3 + 0,02)7 , tìm tổng ba số hạng đầu tiên? A 2289,3283. B 2291,1012. C 2275,93801. D 2291,1141. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 96 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 57. Tổng C02n + C22n + C42n + · · · + C2n 2n bằng n−2 n−1 A 2 . B 2 . C 22n−2 . D 22n−1 . Ê Lời giải. c Câu 58. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C12n+1 + C32n+1 + · · · + C2n+1 2n+1 = 1024. A n = 10. B n = 5. C n = 9. D n = 11. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 59. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C02n+1 + C22n+1 + C42n+1 + · · · + C2n 2n+1 = 1024. A n = 6. B n = 10. C n = 5. D n = 9. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 60. Tổng T = C12017 + C32017 + C52017 + · · · + C2017 2017 bằng 2017 2016 A 2 − 1. B 2 . C 22017 . D 22016 − 1. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 97 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 3. Nhị thức Newton c Câu 61. Tính tổng S = C0n C12n + C1n C22n + · · · + Cnn Cn+1 2n bằng 2n n A S = C3n . B S = C3n . C S = Cn+1 3n . D S = C2n−1 3n . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 2 2 c Câu 62. Tính tổng S = (C0n ) + (C1n ) + · · · + (Cnn )2 . A S = n · Cn2n . B S = (Cn2n )2 . C S = n · (Cn2n )2 . D S = Cn2n . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 63. Tính tổng S = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn . A 4n · 2n−1 . B n · 2n−1 . C 3n · 2n−1 . D 2n · 2n−1 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 1 1 c Câu 64. Tính tổng S = C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn . 2 3 n+1 2n+1 − 1 2n+1 + 1 2n+1 − 1 A + 1. B . C . n+1 n+1 n+1 2n+1 − 1 D − 1. n+1 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 98 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. B. B. A B B. B. B D B. B. B B B. B. A C B. B. D B B. B. C C B. B. A D B. B. C B B. B. D C B. C | Dạng 5. Tìm hệ số hoặc số hạng dạng có điều kiện (kết hợp giữa dạng 1 & 2) Å ã 2 n 3 c Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x + 2 , biết C1n + C2n = 55. x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 2. Tìm số hạng chứa x 10 ã Å 1 n 3 trong khai triển x − 2 , biết C4n = 13C2n . x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 99 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Đáp Án BTVN 3 3. Nhị thức Newton c Bài 3. Tìm hệ số của x 20 ã Å 1 n 4 , biết A2n + 3n = 440. trong khai triển nhị thức Newton x − 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. n c Bài 4. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển (x2 + 2) , biết A3n − 8Cn2 + Cn1 = 49. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 n 3 c Bài 5. Tìm số hạng chứa x trong khai triển x + 2 , ∀x 6= 0, biết Cn0 + Cn1 + Cn2 = 11. x 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4 c Bài 6. Tìm hệ số của x trong khai triển Å …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2 − x3 x ãn n−6 , ∀x 6= 0, biết Cn−4 + n · A2n = 454. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 100 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 8. Tính An20 , biết hệ số x2 trong khai triển (1 + 3x)n là 90. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 9. Trong khai triến nhị thức (1 + 2ax)n , (x 6= 0) ta có đưọc số hạng đâu là 1, số hạng thứ hai là 48x, số hạng thứ ba là 1008×2 . Tìm n và a ? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 10. Trong khai triển nhị thức (1 + ax)n , (x 6= 0) ta có được số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252×2 . Tìm n và a? Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 101 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường n c Bài 7. Tìm số nguyên dương n để trong khai triển (1 + x2 ) có hệ số của x8 bằng 6 lần hệ số của x4 . 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 11. Biết hệ số của xn−2 trong khai triển (x − 2)n bằng 220. Tìm hệ số của x2 . Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 12. Biết hệ số của x n−2 Å ã 1 n trong khai triển x − bằng 31. Tìm số nguyên dương n. 4 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã Å 1 n c Bài 13. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x + , biết hiệu các hệ số của số hạng x thứ ba và thứ hai bằng 35. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 2 n 2 c Bài 14. Trong khai triến của nhị thức x − cho biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên x trong khai triển trên bằng 97 . Tìm hệ số của số hạng có chứa x4 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 102 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. n Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 6 c Bài 16. Tìm hệ số của x trong khai triển Å …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 + x3 x ãn , vói n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 3n c Bài 17. Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức x + 2 là 64. Tìm số hạng không chứa x x. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 c Bài 18. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khaiÄtriển biểu thức (x − 4x 2 )n với x > 0. Biết ä √ 1 rằng C0n + 3C1n + 32 C2n + · · · + 3n = 65536 với n ∈ N, x 2 = x, với x > 0 . Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 103 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Bài 15. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2 ) là 1024. Tìm hệ số của x12 ? 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ã Å 2 n 3 với x 6= 0 c Bài 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x + 4 x và biết rằng C0n 7n − C1n 7n−1 · 2 + C2n 7n−2 · 22 − · · · + (−1)n 2n = 390625, 3 với n ∈ N. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 20. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (x + 2)n biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3n · C0n − 3n−1 · C1n + 3n−2 · C2n − · · · + (−1)n · Cnn = 2048. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ãn 2 5 + x2 với x > 0. Biết n c Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển P (x) = x3 Ä ä √ 5 5 nguyên dương thỏa mãn điều kiện C1n + C2n + · · · · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095, x 2 = x2 , với x > 0 . Å 8 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 104 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 22. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3x)2n , biết n là số nguyên 2n+1 dương thỏa mãn C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + · · · + C2n+1 = 1024. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ä Ä 1 n c Bài 23. Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức 2x + x− 3 , x 6= 0, trong đó n là số nguyên Å ã 1 − 31 0 2 4 2n dương thỏa mãn C2n + C2n + C2n + · · · + C2n = 512, x = √ , với x > 0 . 3 x Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 24. Tìm a để trong khai triển (1 + ax)(1 − 3x)n có hệ số của x3 trong khai triển trên là 405. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 64. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 25. Xét khai triển f (x) = (1 + 2x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Tính n và a11 biết a1 a2 a3 an rằng a0 + + 2 + 3 + · · · · + n = 4096. 2 2 2 2 Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 105 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 26. Cho P = (2 + 3x)n , n ∈ N∗ . Khai triển P ta được P = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . a1 a2 an + 2 + · · · + n = 177147. Tính n và a9 biết rằng a0 + 3 3 3 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. n c Bài 27. Cho khai triển (1 − 2x + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a3n x3n . Xác định n và tìm a6 Å ã15 a1 a2 a3n 1 biết a0 + + 2 + · · · + 3n = . 2 2 3 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. | Dạng 6. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)n Xét khai triển nhị thức (a + bx)n có số hạng tổng quát Tk+1 = Ckn an−k bk xk . Đặt ak = Ckn an−k bk , 0 ≤ k ≤ n thì dãy hệ số là {ak }. Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 106 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ® thỏa mãn hệ bất phương trình c Bài 28. Cho khai triển Å ak ≥ ak+1 ⇒ k0 ⇒ ak0 max = Ckn0 an−k0 bk0 . ak ≥ ak−1 1 2x + 3 3 ã11 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a11 x11 . Hãy tìm k để hệ số ak lớn nhất và tính nó. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 29. Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , n ∈ N∗ và các hệ số thỏa an a1 + · · · + n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , · · · , an . a0 + 2 2 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 107 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton Å ã ã Å 1 20 1 10 3 c Bài 30. Cho A = x − 2 . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A có + x − x x tất cả bao nhiêu số hạng? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. BÀI TẬP VỀ NHÀ 4 c Câu 1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển (1 + 3x)2n biết A3n + 2A2n = 100. A 61236. B 63216. C 63216. D 66321. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 2. Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x − 1)n biết Cnn−1 + Cnn−2 = 78. A 25344. B 101376. C −101376. D −25344. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 108 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4 c Câu 3. Tìm số hạng chứa x trong khai triển biểu thức nguyên dương thỏa mãn Cn2 + nA2n = 476. A 1792×4 . B −1792. Å C 1792. 2 − x3 x ãn với mọi x 6= 0 biết n là số D −1792×4 . …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. n−6 4 2 c Câu 4. Với n là số tự nhiên Å thỏaãnmãn Cn−4 + nAn = 454, hệ số của số hạng chứa x trong 2 khai triển nhị thức Newton − x3 bằng x A 1792. B 786. C 1962. D −1792. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 5. VớiÅn là số nguyên dương thỏa mãn C1n + C2n = 55, số hạng không chứa x trong khai ãn 2 triển của thức x3 + 2 bằng x A 322560. B 3360. C 80640. D 13340. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 6. Biết rằng hệ số của x n−2 p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 n bằng 31. Tìm n. trong khai triển x − 4 109 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 3. Nhị thức Newton A n = 32. B n = 30. C n = 31. D n = 33. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 7. Biết hệ số x2 trong khai triển của (1 − 3x)n là 90. Tìm n. A n = 5. B n = 8. C n = 6. D n = 7. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 8. Giả sử trong khai triển (1 + ax)(1 − 3x)6 với α ∈ R thì hệ số của số hạng chứa x3 là 405. Giá trị của a bằng A 9. B 6. C 7. D 14. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 9. Xét (1 − 2x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 71. A −672. B 672. C 627. D −627. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 110 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. n 3 c Câu 11. Với n thỏa mãn 3Cn+1 − 3A2n = 52 · (n − 1). Trong khai triển (x3 + 2y 2 ) , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34. Hệ số của Tk bằng A 54912. B 1287. C 2574. D 41184. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 12. Cho n ∈ N thỏa mãn Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 1023. Tìm hệ số của x2 trong khai triển [(12 − n) x + 1]n thành đa thức. A 90. B 2. C 45. D 180. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Å ã 1 n c Câu 13. Cho tổng các hệ số của khai triển của nhị thức x + 2 , n ∈ N∗ bằng 64. Số hạng x không chứa x trong khai triển đó là p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 111 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Câu 10. Tổng các hệ số trong khai triển (3x − 1)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn là 211 . Tìm a6 . A −336798. B 336798. C −112266. D 112266. 3. Nhị thức Newton A 20. B 10. C 15. D 25. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 1 0 + 22 Cn2 + · · · + 2n Cnn = 14348907. Hệ c Câu 14. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C Ån + 2Cn ã 1 n 10 2 số của số hạng x trong khai triển của biểu thức x − 3 bằng x A −1365. B 32760. C 1365. D −32760. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 15. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của (2 − 3x)2n , biết n là số nguyên 0 2 4 2n dương thỏa mãn: C2n+1 + C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 = 1024. A 2099529. B −2099520. C −1959552. D 1959552. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 16. Cho (1 + 2x)n = a0 + a1 x1 + · · · + an xn . Biết a0 + nhất trong các số a0 , a1 , a2 , · · · , an có giá trị bằng A 126720. B 924. C 972. a1 a2 an + 2 + · · · + n = 4096. Số lớn 2 2 2 D 1293600. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 112 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 17. Khai triển A 30. √ …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. √
124 5− 47 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? B 31. C 32. D 33. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Câu 18. Cho khai triển (x + 3)n = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn , trong đó n ∈ N∗ và a0 , a1 , a2 , · · · , an là các số thực. Gọi S là tập hợp chứa các số tự nhiên n để a10 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , · · · , an . Tổng giá trị các phần tử S bằng A 205. B 123. C 81. D 83. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 113 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 4. Biến cố và xác suất của biến cố c Câu 19. Khai triển đa thức P (x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1 x + · · · + a12 x12 . Tìm hệ số ak lớn nhất trong khai triển trên. 8 9 10 8 · 28 . · 29 . · 210 . · 28 . A C12 B C12 C C12 D 1 + C12 Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Đáp Án BTVN 4 B. B. A B B. B. B D B. B. B B B. B. A C B. B. D B B. B. C C B. B. A D B. B. C B B. B. D C B. C BÀI 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những hiện tượng (biến cố) mà chúng ta không thể dự báo một cách chắc chắn là nó xảy ra hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pascal (1623 – 1662) và Phec – ma (1601 – 1665) xung quanh các giải đáp một số vần đề rắc rối nảy sinh trong quá trình trò chơi cờ bạc của một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pascal. Năm 1812, nhà toán học Pháp La – pha – xơ đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y tế, sinh học,. . . AA A BIẾN CỐ a) Phép thử và không gian mẫu ○ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: — Kết quả của nó không đoán trước được. — Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. ○ Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là Ω. Số phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là n(Ω). c Ví dụ 1. Phép thử: “Gieo 1 con súc sắc ” có không gian mẫu là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ n(Ω) = 6. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 114 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 2. Xét phép thử: “Gieo hai đồng xu phân biệt ”. Nếu kí hiệu S để chỉ đồng xu “sấp ” , kí hiệu N để chỉ đồng xu “ngửa ” thì không gian mẫu của phép thử trên là: Ω = {SS; SN ; N S; N N }. c Ví dụ 3. Xét phép thử T là: “Gieo ba đồng xu phân biệt ” . Hãy cho biết không gian mẫu và số phần tử của không gian mẫu đó. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. b) Biến cố c Ví dụ 4. Xét phép thử T : “Gieo một con súc sắc ” có không gian mẫu là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn ”. Biến cố A xảy ra khi kết quả của phép thử T là: Các kết quả này được gọi là kết quả thuận lợi cho A được mô tả bởi: ΩA = {2; 4; 6} là một tập con của Ω ⇒ Số phần tử thuận lợi của biến cố A là n(A) = 3. Tổng quát: ○ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T . ○ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. ○ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA . c Ví dụ 5. Xét phép thử T như trên và biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ ” và biến cố C: “Số chấm xuất hiện trên mặt là số nguyên tố ”. Hãy mô tả biến cố B và C. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. AA B …………………………………………. …………………………………………. XÁC SUẤT c Ví dụ 6. Xét phép thử T : “Gieo hai con súc sắc ”. Các kết quả xảy ra của T là các cặp (x; y) được cho bởi bảng sau: p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 115 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 4. Biến cố và xác suất của biến cố Số chấm 1 2 3 4 5 6 1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ○ Không gian mẫu T là Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); . . . . . . . . . . . . . . . ·; (6; 5); (6; 6)} ⇒ n(Ω) = 36. ○ Các mặt của con súc sắc có cùng khả năng xuất hiện nên 36 kết quả của T là đồng khả năng xảy ra. Xét biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt là 7 ”. Lúc này ta có: ΩA = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)} ⇒ n(A) = 6. 1 6 = được gọi là xác suất của biến cố A. Khi đó tỉ số 36 6 Tổng quát: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả cả T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P (A), được xác định bởi công thức: P (A) = n(A) Số phần tử của A |ΩA | = = . |Ω| n(Ω) Số phần tử của Ω Từ định nghĩa, suy ra: 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (Ω) = 1, P (∅) = 0. c Ví dụ 7. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất các biến cố sau: a) A: “mặt lẻ xuất hiện ”. b) B: “xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 ”. c) C: “mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2 ”. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 116 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT AA C BÀI TẬP Nhóm 1: Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn đồ vật. c Bài 1. Từ hộp chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu xanh kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được có đúng 1 màu? …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 2. Từ hộp chứa 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được có đúng 1 màu? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 3. Từ hộp chứa 15 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy được khác màu. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 117 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 4. Biến cố và xác suất của biến cố c Bài 4. Một bể cá gồm 5 con cá 7 màu và 7 con cá vàng. Một người vớt ngẫu nhiên 4 con cá từ bể cá trên. Tính xác suất để vớt được 2 con cá bảy màu và 2 con cá vàng. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 5. Một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu đỏ. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 6. Một hộp có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi (không kể thứ tự ra khỏi hộp). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 7. Một hộp chứa 3 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 9 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu chọn được khác màu. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 118 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 8. Một hộp đựng 5 bi đỏ, 6 bi xanh và 7 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 6 bi được chọn có cùng màu. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 9. Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 6 viên bi ngẫu nhiên từ hộp đó rồi cộng các số trên 6 viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 10. Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 4 viên bi ngẫu nhiên từ hộp đó rồi cộng các số trên 4 viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 119 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 4. Biến cố và xác suất của biến cố …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 11. Trong một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên. Tính xác suất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 12. Trong chiếc hộp có 6 bi đỏ, 5 bi vàng và 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 120 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 13. Trong một chiếc hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 lần 3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được chỉ có 2 màu. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 14. Hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Tính xác suất để 4 bi được chọn đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 15. Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh bằng bi đỏ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 121 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 4. Biến cố và xác suất của biến cố …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 16. Một lô hàng có 10 sản phẩm cùng loại, trong đó có 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 6 sản phẩm đi kiểm định. Tính xác suất để có nhiều nhất một phế phẩm. Ê Lời giải. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 17. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp được chọn có cả 3 loại. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 18. Trong một lô hàng của một công ty có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có đúng 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm được lấy ra không có quá một phế phẩm. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 19. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm có 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất 2 câu đã học thuộc. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 122 Ô SĐT: 0905.193.688 …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 20. Một ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất 2 câu đã học thuộc. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 21. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất của biến cố a) Số chấm xuất hiện ở hai lần gieo là giống nhau. b) Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần. c) Tổng số chấm trong hai lần gieo không bé hơn 10. d) Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 7. e) Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 5. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 123 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt 4. Biến cố và xác suất của biến cố …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nhóm 2: Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn người. c Bài 22. Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 23. Một lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn. Cần chọn ra 5 học sinh. Tính xác suất học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số nữ ít hơn số nam. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 124 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 24. Một chi đoàn có 15 giáo viên, trong đó có 7 nam và 8 nữ. Chọn ra 4 người trong chi đoàn đó để lấp một đội thanh niên tình nguyện. Tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn có ít nhất một nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 25. Một đội văn nghệ của trường THPT X gồm 5 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh trong đội văn nghệ để lập một tốp ca. Tính xác suất để tốp ca có ít nhất 3 học sinh nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 26. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 người đi hát đồng ca. Tính xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 27. Một tổ có 11 học sinh, trong đó có 5 nam và 6 nữ. Giáo viên chọn 5 học sinh làm trực tuần. Tính xác suất để chọn được nhiều nhất 2 học sinh nam. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 125 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4. Biến cố và xác suất của biến cố Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 28. Tổ một có 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Tổ hai có 5 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất sao cho chọn được 2 học sinh có cả nam và nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 29. Tổ một có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Tổ hai có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh để kéo cờ. Tính xác suất sao cho chọn được 2 học sinh có cả nam và nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 30. Trong một giải cầu lông có 8 người tham gia, trong đó có 2 bạn tên Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng là ngẫu nhiên. Tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 126 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 31. Chuẩn bị chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, đội văn nghệ của trường THPT X gồm 9 học sinh, trong đó có 3 học sinh nữ chia thành 3 tổ đều nhau (mỗi tổ 3 học sinh) để làm công tác biểu diễn văn nghệ. Tính xác suất để mỗi tổ có đúng 1 nữ. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 32. Trong giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm để chia thành 3 bảng đấu A, B, C, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 127 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4. Biến cố và xác suất của biến cố c Bài 33. Trong cuộc thi “Tìm kiếm tài năng Việt”, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí thi đấu, ban tổ chức chia thành 4 nhóm A, B, C, D mỗi nhóm có 5 bạn. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 34. Một tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau, mỗi toa còn ít nhất 12 chỗ trống. Tìm xác suất xảy ra các tình huống sau a) Tất cả cùng lên toa thứ ba. b) Tất cả cùng lên một toa. c) Toa thứ nhất có 4 người, toa thứ hai có 5 người và còn lại toa ba. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 128 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. c Bài 35. Có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo 1 hàng dọc. Tính xác suất để người đứng ở đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam. c Bài 36. Có 4 bạn nam và 4 bạn nữ, được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 8 ghế xếp thành hàng ngang. Tìm xác suất sao cho hai đầu ghế là các bạn phải khác giới? Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 37. Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để có 2 học sinh nữ đứng cạnh nhau. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 38. Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh nữ và 8 học sinh nam thành một hàng dọc. Tính xác suất để không có 2 em nữ nào đứng cạnh. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 39. Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11. Ê Lời giải. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 129 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 4. Biến cố và xác suất của biến cố …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 40. Có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ được xếp thành hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp sao cho hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau ? Ê Lời giải. Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 41. Một tổ học sinh có 4 em nữ và 5 em nam được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để chỉ có hai em nữ A, B đứng cạnh nhau, còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh hai em A và B. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 42. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biễu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 43. Một lớp 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp. Tính xác suất để 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. 130 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. Nhóm 3: Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn số. c Bài 44. Một chiếc hộp gồm có 9 thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong hộp. Tính xác suất để 2 thẻ lấy được có tích của nó là số chẵn. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 45. Một hộp chứa 18 thẻ được đánh số từ 1 đến 18. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong hộp. Tính xác suất để 2 thẻ lấy được tích của nó là số chẵn. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 46. Cho 14 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 14. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 tấm thẻ này chia hết cho 3. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. c Bài 47. Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều là số chẵn. Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. p Th.S Nguyễn Hoàng Việt …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 131 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải. 4. Biến cố và xác suất của biến cố c Bài 48. Có 30 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Hãy tìm xác suất để trong 10 tấm thẻ được chọn có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. ……………………………………