Chuyên đề tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho : 4a 2 + b 2 = 5ab và 2a  b  0 , Tính giá trị của : A = HD : ab 4a − b 2 2 Từ : 4a 2 + b2 = 5ab  4a 2 − 4ab − ab + b2 = 0  ( 4a − b )( a − b ) = 0 TH 1: 4a − b = 0  4a = b ( mâu thẫn vì 2a > b) a2 1 TH 2: a − b = 0  a = b = A = 2 = 2 4a − a 3 a −b Bài 2: Cho 3a 2 + 3b2 = 10ab và b  a  0 , Tính A = a+b HD: Từ: 3a2 + 3b2 = 10ab  3a2 − 9ab − ab + 3b2 = 0  ( a − 3b )(3a − b ) = 0 TH 1: a − 3b = 0  a = 3b ( mâu thuẫn vì b > a > 0) a − 3a −1 = TH 2: 3a − b = 0  3a = b = A = a + 3a 2 3x − 2 y Bài 3: Cho 9 x2 + 4 y 2 = 20 xy ( 2 y  3x  0) , Tính A = 3x + 2 y HD: Từ: 9×2 + 4 y 2 = 20xy  ( x − 2 y )( 9x − 2 y ) = 0 3x − x 1 = 3x + x 2 TH2: 9 x = 2 y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0) TH1: x = 2 y = A = Bài 4: Cho x2 − 2 y 2 = xy, ( y  0, x + y  0) ,Tính A = HD: x− y x+ y Từ x2 − 2 y 2 = xy  x2 − xy − 2 y 2 = 0  ( x − 2 y )( x + y ) = 0 2y − y 1 = 2y + y 3 TH2: x + y = 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) x+ y Bài 5: Cho x  y  0 và 2x2 + 2 y2 = 5xy , Tính A = x− y HD: Từ: 2x2 + 2 y 2 = 5xy  2 x2 − 5xy + 2 y 2 = 0  ( x − 2 y )( 2 x − y ) = 0 TH1: x − 2 y = 0  x = 2 y = A = 2y + y =3 2y − y TH2: 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) TH1: x = 2 y = A = x 2 − 2 xy Bài 6: Cho 3x − y = 3z và 2 x + y = 7 z , Tính A = 2 , x, y  0 x + y2 HD: 3x − y = 3z  x = 2z 4 z 2 − 12 z 2 −8 =  = A = = Từ gt ta có:  4 z 2 + 9 z 2 13 2 x + y = 7 z  y = 3z 1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 7: Cho xy = −1 , Tính P = HD: Ta có: P = 1 1 + 2 y − xy x − xy 2 −( x − y) 1 1 −x + y + = = =1 y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y ) Bài 8: Cho 3 y − x = 6 , Tính giá trị của A = x 2x − 3 y + y−2 x−6 HD: Ta có: 3 y − x = 6 = x = 3 y − 6 = A = 3 y − 6 2 (3 y − 6) − 3 y + = 3 + 1 = 12 y−2 3y − 6 − 6 Bài 9: Tính biểu thức : x2 y2 z2 a, A = 2 với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 + + y + z2 − x2 z2 + x2 − y 2 x2 + y 2 − z2 x y z b, P = với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 − + − xy + x + 1 yz − y + 1 xz + z − 1 z  x  y  Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B =  1 −   1 −   1 +  x  y  z  a+b Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A = với b> a> 0 và 2a 2 + 2b2 = 5ab a−b 2 2 x + y 10 x−y = Bài 12: Cho y  x  0, , tính giá trị của biểu thức: M = xy 3 x+y 2a − 1 5 − a  1 2 + ,  a    , Tính giá trị của P biết: 10a + 5a = 3 Bài 13: Cho biểu thức: P = 3a − 1 3a + 1  3 2015a b c + + Bài 14: Cho abc=2015, Tính A = ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + 1 HD : a2bc b c A= + + 2 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + 1 a 2bc b c ac + c + 1 = + + = =1 ab (1 + ac + c ) b ( c + 1 + ac ) ac + c + 1 ac + c + 1 Bài 15: Cho abc=2, Tính B = a b 2c + + ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 HD : B= a b abc 2 a b abc 2 + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + 1 ac + abc 2 + abc a ( b + 1 + bc ) bc + b + 1 ac (1 + bc + b ) Bài 16: Cho abc=1, Tính A = a b c + + ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 HD : A= a 2bc b c a 2bc b c + + = + + =1 2 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + 1 ab (1 + ac + c ) b ( c + 1 + ac ) ac + c + 1 Bài 17: Cho abc= – 2012, Tính B = a b 2012c + − ab + a − 2012 bc + b + 1 ac − 2012c − 2012 HD : 2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức B= a b abc 2 a b abc 2 + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + 1 ac + abc 2 + abc a ( b + 1 + bc ) bc + b + 1 ac (1 + bc + b ) Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì 1 1 1 + + =1 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx HD : VT = xyz xyz 1 xyz xyz 1 + + = + + = 1 = VP 2 xyz + x yz + xy xyz + y + yz 1 + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + 1 + z ) 1 + z + zx Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + 1 HD : x 2 yz y z + + =1 2 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + 1 Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac P= − + 3c − 2bc + 2016 3 − 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a x + 2 xy + 1 y + 2 yz + 1 z + 2zx + 1 Bài 21: Tính GTBT P = biết xyz = 1 + + x + xy + xz + 1 y + yz + yx + 1 z + zx + zy + 1 HD : yz ( x + 2 xy + 1) xz ( y + 2 yz + 1) xy ( z + 2zx + 1) P= + + yz ( x + xy + xz + 1) xz ( y + yz + xy + 1) xy ( z + zx + xy + 1) VT = = (1 + y) + y (1 + z ) + 1 + z + z (1 + x ) + 1 + x + x (1 + y ) (1 + y)(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y) y 1 1 1 z 1 x + + + + + + 1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x y +1 1+ z 1+ x = + + =3 y +1 1+ z x +1 16a 2 − 40ab a 10 Bài 22: Cho = , Tính A = b 3 8a 2 − 24ab HD : 100 2 10 50 16. b − 40. b 2 a 10 10 9 3 = = a = b = A = = 9 =5 100 10 10 b 3 3 8. .b 2 − 24. .b 2 9 3 9 Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a + b + c = 0 , CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc HD : 3 Ta có : a + b = −c  ( a + b ) = −c3  a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3  a3 + b3 + c3 = 3abc = Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a3 + b3 + c3 = 3abc , CMR: a + b + c = 0 HD : Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 3abc Vì a3 + b3 + c3 = 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) = 0 Mà a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca = 0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0 ( Mâu thuẫn vì a  b  c ) 2 2 2 Nên a + b + c = 0 3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức  a  b  c  Bài 25: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc, ( a, b, c  0) , Tính P = 1 + 1 + 1 +   b  c  a  HD : Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca ) + 3abc , Mà a3 + b3 + c3 = 3abc Nên a + b b + c a + c −c −a −b . . = . . = −1 b c a b c a TH2 : a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 = a = b = c = P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 TH1 : a + b + c = 0 = P = Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a+b b+c c+a  a  b  c  = = , Tính B = 1 + 1 + 1 +  c a b  b  c  a  HD : a + b b + c c + a 2( a + b + c) = = = c a b a +b+c a + b b + c a + c −c −a −b . . = . . = −1 TH1 : Nếu a + b + c = 0 = B = b c a b c a a + b b + c a + c 2c 2a 2b . . = . . =8 TH2 : nếu a + b + c  0 = gt = 2 = B = b c a b c a  a  b  c  Bài 27: Cho a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a 2b2c 2 , Tính A = 1 + 1 + 1 +   b  c  a  HD : ab = x a+b b+c c+a y + z x+ z x+ y  . . = . . Đặt bc = y = x3 + y 3 + z 3 = 3xyz = x + y + z = 0 = A = b c a bc ac ab ac = z  −ab −bc −ac = . . = −1 Hoặc : x = y = z = a = b = c = A = 8 bc ac ab a +b−c b+c −a c + a −b  a  b  c  = = Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: . Tính A = 1 + 1 + 1 +  c a b  b  c  a  HD : a +b −c b +c −a c + a −b a +b +c = = = Từ gt=> c a b a+b+c a+b b+c a+c . . = −1 TH1 : a + b + c = 0 = A = a c a TH2 : a + b + c  0 = gt = 1 = a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b = A = 8 ax + by = c  Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: bx + ay = a , CMR : a3 + b3 + c3 = 3abc cx + ay = b  HD : Cộng theo vế của gt=> ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c = ( a + b + c )( x + y − 1) = 0 Từ gt TH1: a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc TH2: x + y = 1 = a = b = c  a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 30: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c  0 , Tính giá trị N = a 2 + b2 + c2 (a + b + c) 2 HD: 4 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Từ gt = a = b = c = N = 3a2 1 = 9a2 3 Bài 31: Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz , Rút gọn A = xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) HD: xyz x3 1 Từ gt=> TH1: x + y + z = 0 = A = = −1 TH 2 : x = y = z = A = = − xyz 2 x.2 x.2 x 8 Bài 32: Rút gọn : A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) 3 HD: 3 3 Đặt: a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z A = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x 2 + y 2 + z 2 + …) = 0 Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 1 1 1 1 1 1 + + = 0 , Rút gọn: A = 2 + 2 + 2 a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: 1 1 1 + + = 0  ab + bc + ca = 0 = a 2 + 2bc = a 2 + bc − ab − ca = ( a − b )( a − c ) a b c Tương tự: b2 + 2ac = ( b − a )(b − c ) , c2 + 2ba = ( c − a )( c − b ) Ta có: Khi đó: A = 1 + 1 + 1 ( a − b )( a − c ) ( b − a )(b − c ) ( c − a )( c − b ) = c −b + a −c +b−a =0 ( a − b )(b − c )(c − a ) 1 1 1 1 1 1 + + = 0 , Tính P = 2 + 2 + 2 a b c a − 2bc b + 2ac c + 2ab 1 1 1 bc ac ab + 2 + 2 Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 , Rút gọn: B = 2 a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 => ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a ) bc ac ab B= + + = ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) ( a − b )(b − c )( c − a ) Phân tích tử => B a2 b2 c2 1 1 1 Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và + + = 0 ,Rút gọn: C = 2 + 2 + 2 a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo bài 26 a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a ) a2 b2 c2 = C = + + = ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) ( a − b )(b − c )( c − a ) Phân tích tử =>C 1 1 1 bc ac ab Bài 37: Cho a,b,c  0, và + + = 0 , Tính A = 2 + 2 + 2 a b c a b c HD: 1 1 1 1 1 1 3 Từ gt = + + = 0 = 3 + 3 + 3 = a b c a b c abc abc abc abc 3 1 1 1 =3 Khi đó: A = 3 + 3 + 3 = abc  3 + 3 + 3  = abc. a b c abc a b c  yz xz xy 1 1 1 + 2 + 2 Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và + + = 0 , Tính A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2xy x y z Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và 5 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c  0, Rút gọn A = ab bc ac + 2 2 + 2 2 2 2 a + b − c b + c − a c + a 2 − b2 2 HD: Từ a + b + c = 0 = a + b = −c = a 2 + b2 + 2ab = c 2 = a 2 + b2 − c 2 = −2ab Tương tự: b2 + c2 − a2 = −2bc, c2 + a2 − b2 = −2ac , Khi đó: ab bc ac −3 A= + + = −2ab −2bc −2ac 2 a2 b2 c2 Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn B = 2 2 2 + 2 + a − b − c b − a 2 − c 2 c 2 − a 2 − b2 HD: Từ a + b + c = 0 = b + c = −a = b2 + c 2 + 2bc = a 2 = a 2 − b2 − c 2 = 2bc , Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 1 3abc 3 B= + + = a3 + b3 + c3 ) = = ( 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 1 1 1 + 2 + 2 Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = 2 2 2 2 2 b + c − a c + a − b a + b2 − c 2 HD: Từ: a + b + c = 0 = b + c = −a = b 2 + c 2 + 2bc = a 2 = b2 + c 2 − a 2 = −2bc Tương tự: c2 + a2 − b2 = −2ac, a2 + b2 − c2 = −2ab , Khi đó: 1 1 1 −1  a + b + c  A= + + =  =0 −2bc −2ac −2ab 2  abc  a 2 b2 c 2 Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c  0, Rút gọn A = + + bc ca ab HD: a3 b3 c3 3abc Từ a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc , khi đó: A = + + = =3 abc abc abc abc 1 1 1 yz xz xy Bài 43: Cho + + = 0, ( x  0, y  0, z  0) , Tính giá trị của biểu thức: 2 + 2 + 2 x y z x y z HD: 1 1 1 Với a = , b = , c = , Áp dụng kết quả câu a ta có: x y z 1 1 1 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz 3 + 3+ 3= = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz  3 + 3 + 3  = xyz. =3 3 x y z xyz x y z x y z y z  xyz x 1 1 1 Bài 44: Cho a+b+c=1, + + = 0 , CMR: a 2 + b2 + c 2 = 1 a b c HD: Từ a + b + c = 1  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 1 , (1) 1 1 1 ab + bc + ca + + =0 = 0  ab + bc + ca = 0 , thay vào (1)=> ĐPCM Mà: a b c abc 1 1 1 1 1 1 Bài 45: Cho x,y,z  0, Thỏa mãn: x + y + z = xyz và + + = 3 , Tính A = 2 + 2 + 2 x y z x y z HD:  1 1 1  x+ y+z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ: + + = 3  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 3  2 + 2 + 2 + 2  =3 x y z x y z x y z  xy yz zx   xyz  6 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Nên A + 2 = 3 = A = 1 1 1 1 Bài 46: Cho a,b,c  0 và + + = 2 , và a + b + c = abc , CMR: a b c HD: 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 + + = 2  2 + 2 + 2 + 2 + +  = 4  2 a b c a b c a  ab bc ca  a b c Bài 47: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và + + = 0 , CMR: x y z Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a + b + c = 3 và HD: 1 1 1 + + =2 a 2 b2 c2 + 1 1  a+b+c  + 2 + 2 =4 2 b c  abc  a.x 2 + b.y2 + c.z 2 = 0 1 1 1 + + = 0 , Tính A = a 2 + b2 + c 2 a b c Từ: a + b + c = 3  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 9 , (1) 1 1 1 + + = 0  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) A + 2.0 = 9 = A = 9 a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 49: Cho + + = 2 và a + b + c = abc , Tính A = 2 + 2 + 2 a b c a b c HD: 1 1  1 1 1  1 1 1 Từ: + + = 2  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 4 a b c a b c  ab bc ca   a+b+c   A + 2  = 4  A+ 2 = 4  A = 2  abc  1 1 1 1 1 1 Bài 50: CMR: Nếu + + = 3 và a+b+c=abc Thì ta có: 2 + 2 + 2 = 7 a b c a b c 2 x y2 z2 a b c x y z Bài 51: Cho + + = 1 và + + = 0 , Tính A = 2 + 2 + 2 a b c a b c x y z HD: x y z x2 y 2 z 2  xy yz zx   cxy + ayz + bzx  Từ: + + = 1  2 + 2 + 2 + 2  + +  = 1  A + 2   = 1 (1) a b c a b c abc  ab bc ca    a b c Mà: + + = 0  ayz + bxz + cxy = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 1  A = 1 x y z x y z a b c a 2 b2 c 2 Bài 52: Cho + + = 0, + + = 2 , Tính A = 2 + 2 + 2 x y z a b c x y z HD:  ab bc ca   abz + bcx + cay  a b c a 2 b2 c 2 Từ: + + = 2  2 + 2 + + 2  + +  = 2  A + 2   = 2 (1) x y z x y z xyz  xy yz zx    x y z Mà: + + = 0  bcx + acy + abz = 0 thay vào (1) ta được: A + 2.0 = 2 = A = 2 a b c a b c b2 c 2 a 2 Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc = 1 và 2 + 2 + 2 = + + , CMR trong ba số a,b,c b c a a b c phải có 1 số bằng bình phương số còn lại HD: a b c b2 1 c 2 1 a 2 1 Đặt: x = 2 , y = 2 , z = 2 = = , = , = = xyz = 1 và b c a a x b y c z 1 1 1 x + y + z = + + = xy + yz + zx x y z Mà: 7 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Xét tích: ( x −1)( y −1)( z −1) = 0 = x = 1, y = 1, z = 1 . Với x = 1 = a = b2 (ĐPCM) x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b2 + c 2 ) ( x y z = =  0 Bài 54: Cho , Rút gọn: A = 2 a b c ( ax + by + cz ) HD: x y z = = = k = x = ak , y = bk , z = ck thay vào A a b c 2 y + 2z − x 2z + 2x − y 2x + 2 y − z = = Bài 55: Cho: , trong đó a,b,c thỏa mãn: a b c x y z = = 2b + 2c − a, 2c + 2a − b, 2a + 2b − c  0 , CMR: 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c HD: 2 ( 2z + 2x − y ) + 2 ( 2x + 2 y − z ) − ( 2 y + 2z − x ) Từ gt = = 2b + 2c − a 2 ( 2x + 2 y − z ) + 2 ( 2 y + 2z − x ) − ( 2z + 2x − y ) Đặt 2c + 2a − b x y z = = = 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Bài 56: Cho yz zx xy 1 1 1 + + = 0, xyz  0 , Tính A = 2 + 2 + 2 x y z x y z a3 + b3 + c3 Bài 57: Cho a + b + c = 0 , Tính ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a) ( a + b + c ) ( a + b + c) + ( ab + bc + ca) Bài 58: Tính : A = ( a + b + c) − ( ab + bc + ca) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 59: Cho c + 2ab − 2ac − 2bc = 0 , Rút gọn biểu thức : 2 Bài 60: Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, và a2 + ( a − c ) b2 + ( b − c ) 2 2 x y z = = , CMR: xy + yz + zx = 0 a b c HD: x y z = = = k = xy + yz + zx = k 2 ( ab + bc + ca ) (1) a b c Mà: a + b + c = 1  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 1  ab + bc + ca = 0 thay vào (1) ta được: xy + yz + xz = 0 Đặt: Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 0, ab + bc + ca = 0 , Tính A = ( a − 1) 2015 + b2014 + ( c + 1) 2013 HD: Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: a + b + c = 0  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0  a 2 + b2 + c2 = 0 Do đó : a=b=c=0 thay vào A = ( −1) 2015 + 02014 + 12013 = 0 Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và x + y + z = HD: 1 1 1 + + , Tính P = ( x19 − 1)( y 5 − 1)( z1890 − 1) x y z Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0 8 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0 1 1 1 Bài 63: Cho xyz=1, x + y + z = + + , Tính A = ( x 2015 − 1)( y1006 − 1) ( z − 1) + 2016 x y z HD : xy + yz + zx Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x + y + z = = xy + yz + zx xyz Xét tích : ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0 Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016 1 1 1 Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và x + y + z = + + , x y z Tính : A = ( x15 − 1)( y 27 − 1)( z 2016 − 1) HD : 1 1 1 + + = xy + yz + zx x y z Xét ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = 0 Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0 1 1 1 Bài 65: Cho x2 + y 2 + z 2 + 2 + 2 + 2 = 6 , Tính A = x2012 + y2013 + z 2014 x y z HD : Từ gt ta có : x + y + z = 2 1  1  1   1 1 1      Từ gt=>  x 2 + 2 − 2  +  y 2 + 2 − 2  +  z 2 + 2 − 2  = 0   x −  +  y −  +  z −  = 0 x  y  z x y z        2012 2014 Vì x , y luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH : TH1 : y = 1 = A = 3 TH2 : y = −1 = A = 1 1 1 1 1 Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và + + = , thì 1 trong ba số phải có 1 a b c 2000 số bằng 2000 HD : 1 1 1 1 1 a+b a +b 1 1 1    + + − + =0 Từ gt ta có : + + = =0 a b c a +b+c ab c ( a + b + c )  a b   c a +b +c  2 2 ( a + b ) c ( a + b + c ) + ab = 0  ( a + b )(b + c )( c + a ) = 0 TH1 : a + b = 0  c = 2000 TH2 : b + c = 0  a = 2000 TH3 : c + a = 0  b = 2000 Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và a + b + c = 1 1 1 + + , a b c CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1 HD : 1 1 1 Từ gt ta có : a + b + c = + + = ab + bc + ca a b c Xét tích : ( a −1)( b −1)( c −1) = abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) −1 = 0 nên hoặc a=1 hoặc b=1 hoặc c=1 9 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 , Tính P = a 2015 + b2015 HD : Từ : a100 = b100 = a101 + b101  a100 ( a −1) + b100 ( b −1) = 0 (1) và a101 + b101 = a102 + b102  a101 ( a − 1) + b101 (b − 1) = 0 (2) Từ (1) và (2) 2 2 => a101 ( a − 1) + b101 ( b − 1) − a100 ( a − 1) − b100 ( b − 1) = 0  a100 ( a − 1) + b100 ( b − 1) = 0 ( a − 1)2 = 0 a = 1  Do a, b  0 =  khi đó : P = 12015 + 12015 = 2  2 b = 1 ( b − 1) = 0  a 3 + b3 = 1  Bài 69: Cho  2 , Tính A = a 2014 + b2014 (CL) 2  a + b = 1 x + y = a + b Bài 70: Cho  2 CMR: xn + yn = an + bn 2 2 2 x + y = a + b HD: Ta có: x2 + y 2 = a2 + b2  ( x − a )( x + a ) + ( y − b )( y + b ) = 0 (1) Mà x − a = b − y thay vào (1) ta được: ( b − y )( x + a − b − y ) = 0 TH1 : b − y = 0  b = y = x = a = xn + y2 = an + b2 TH2 : x + a − b − y = 0  x − y = b − a = 2 x = 2b  x = b = y = a => xn + yn = an + bn Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A = HD : x2 + y 2 + z 2 ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y) 2 2 2 Ta có : x + y + z = 0  x2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0  x2 + y 2 + z 2 = −2 ( xy + yz + zx ) Mẫu : 2×2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2 ( xy + yz + zx ) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 3 ( x3 + y 2 + z 2 ) Khi đó : A = x2 + y 2 + z 2 1 = 2 2 2 3( x + y + z ) 3 Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = 3xyz , Tính giá trị của biểu thức : T= x10 + y10 + z10 ( x + y + z) 10 Bài 73: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 , Tính giá trị của biểu thức : bc ( y − z ) + ac ( z − x ) + ab ( x − y ) 2 A= 2 2 ax 2 + by2 + cz 2 Bài 74: Cho a + b + c = 1 ( a, b, c khác 1 và 2), CMR : c + ab a + bc b + ac bc + ac + ab + 8 + 2 + 2 = 2 2 2 a + b + abc − 1 b + c + abc − 1 a + c + abc − 1 ( a − 2 )( b − 2 )( c − 2 ) 2 Bài 75: Rút gọn : HD : (a A= 2 + b2 + c 2 ) ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 2 2 ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) 2 Ta có : Đặt : a 2 + b2 + c 2 = x và ab + bx + ca = y khi đó : ( a + b + c ) = x + 2 y , thay vào A ta có : 2 10 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức A= x( x + 2 y) + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 = = x + y = a 2 + b2 + c 2 + ab + ab + ca x + 2y − y x+ y 1 2 2 2 a + b ) + (b + c ) + ( c + a )  (  2 a2 b2 c2 a b c + + = 1 , Tính giá trị của: Q = Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn : + + b+c c+a a +b b+c c+a a+b HD: Nhận thấy a + b + c = 0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a + b + c = 0 ta được : a b c  + + ( a + b + c )   = a+b+c b+c c+a a+b  a ( b + c ) b ( c + a ) b2 c ( a + b ) c2 a2  + + + + + = a+b+c  b+c b+c c+a c+a a +b a +b Q+a+b+c = a+b+c  Q = 0 a b c + + = 0 , Tính giá trị của biểu thức : Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và b −c c −a a −b a b c A= + + 2 2 2 (b − c ) (c − a ) ( a − b ) HD: b c  1 1 1 1  1   a  1 Nhân  + + + + + +  =0  vao gt ta được :   b − c c − a a − b  b − c c − a a − b   b −c c −a a −b  a+b b+c c+a  P+ + + =0 ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) ( a − b )(b − c ) ( a + b )( a − b ) + ( b + c )( b − c ) + ( c + a )( c − a ) = 0  P = 0 ( a − b )( b − c )( c − a ) 2 2 2 a + b) (b + c ) ( c + a ) ( Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab + bc + ca = 1 , Tính A =  P+ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 2 HD : 2 2 Ta có : 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = b ( a + c ) + a ( a + c ) = ( a + b )( a + c ) Tương tự : 1 + b2 = ( b + a )( b + c ) , 1 + c2 = ( c + a )( c + b ) khi đó : A = 1 Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab + bc + ca = 1 , a 2 + 2bc − 1)( b2 + 2ca − 1)( c 2 + 2ab − 1) ( Tính B = 2 2 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) HD : Ta có : a2 + 2bc −1 = a2 + 2bc − ab − bc − ca = a2 + bc − ab − ac = a ( a − b ) + c (b − a ) = ( a − b )( a − c ) Tương tự : b2 + 2ca −1 = ( b − a )( b − c ) , c2 + 2ab − 1 = ( c − a )( c − b ) Khi đó : B = −1 Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR : b−c c−a a −b 2 2 2 + + = + + ( a − b )( a − c ) (b − c )(b − a ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a HD : (a − c) − (a − b) = 1 − 1 = 1 + 1 b−c = Ta có : ( a − b )( a − c ) ( a − b )( a − c ) a − b a − c a − b c − a 11 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a −b c−a 1 1 1 1 = = + + , ( b − c )( b − a ) b − c a − b ( c − a )( c − b ) c − a b − c 1 1 1 1 1 1 + + + + + = VP Khi đó : VT = a −b c −a b−c a −b c −a b−c ab bc ca + + Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị : A = ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) ( a − b )(b − c ) HD : a b c = x, = y, = z khi đó : Đặt : b−c c−a a −b ( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1)  xy + yz + zx = −1 a b c + + = 0 , CMR trong ba số a,b,c phải có Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : b −c c −a a −b 1 số âm, 1 số dương HD : 1 1 1 a b c + +  0 Mà : + + =0 Vì a  b, b  c, c  a = b−c c −a a −b b −c c −a a −b b c  1 1 1   a + + + +   =0  b − c c − a a − b  b − c c − a a − b   a  b c   a+b a+c b+c  + + +  + +  = 0 2 2 2  ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )   ( b − c )( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( c − a )( a − b )  a b c + + = 0, Nhận thấy Tổng B  0 => 2 2 2 (b − c ) ( c − a ) ( a − b ) Tương tự : Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương 1 1 1 + + Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR : A = là bình 2 2 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) phương của 1 số hữu tỉ HD : Ta có : 2  1 1 1  1 1 1 2 2 2 + + + + + + +   = 2 2 2  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) A+ 2 ( a − b) + 2 (b − c ) + 2 ( c − a ) = A + 0 = A Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ : ( a − b )( b − c )( c − a ) Bài 84: Cho a+b+c=0, P = HD : a −b b −c c −a c a b + + + + và Q = , CMR : P.Q=9 a −b b −c c −a c a b c c  b−c c −a  c b 2 − bc + ac − a 2 c ( a − b )( c − a − b ) Xét P. = 1+ + . = 1+ .   = 1+ a −b a −b  a b  a −b ab a −b ab a 2a3 b 2b3 2c 2 2c3 = 1+ = 1+ = 1+ , Tương tự : P. và P. khi đó : b−c abc c−a abc ab abc 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) P.Q = 3 + =9 abc 1+ 12 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức: a2 b2 c2 A= + + ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − b )( c − a ) HD : a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a ) A= =1 ( a − b )( b − c )( c − a ) Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b  c, a + b  c và c2 = 2 ( ac + bc − ab ) , CMR: a2 + ( a − c ) b + (b − c ) 2 2 2 = a−c b−c HD : Ta có : a 2 + ( a − c ) = a 2 + c 2 − c 2 + ( a − c ) = a 2 + c 2 − 2 ( ac − bc − ab ) + ( a − c ) 2 (a 2 2 2 + c 2 − 2ac ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = ( a − c ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = 2 ( a − c )( a − c + b ) 2 2 2 Tương tự ta có : b2 + ( b − c ) = 2 ( b − c )( b − c + a ) 2 Khi đó : a2 + ( a − c ) 2 = a−c b−c b + (b − c ) Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR: y−z z−x x− y 2 2 2 + + = + + ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x ) ( z − x )( z − y ) x − y y − z z − x HD: −( x − y) + ( x − z) y−z −1 1 1 1 = = + = + Ta có: ( x − y )( x − z ) ( x − y )( x − z ) x − z x − y x − y z − x 2 2 x− y z−x 1 1 1 1 = = + + và ( y − z )( y − x ) y − z x − y ( z − x )( z − y ) z − x y − z Cộng theo vế ta được: Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR: 3 3 3 2 2 2 a 5 + b5 + c 5 ( a + b + c ) ( a + b + c ) 5 5 5 2 2 2 = . a, 2 ( a + b + c ) = 5abc ( a + b + c ) b, 5 3 2 HD: Ta có: a + b + c = 0 = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3abc ( a 2 + b2 + c 2 ) = ( a3 + b3 + c3 )( a 2 + b2 + c 2 ) Tương tự ta có: => 3abc ( a 2 + b2 + c 2 ) = a5 + b5 + c5 + a3 (b2 + c 2 ) + b3 ( c 2 + a 2 ) + c3 ( a 2 + b 2 ) Mà: b + c = −a = b2 + c 2 = ( b + c ) − 2bc = a 2 − 2bc ,Tương tự ta có: c 2 + a 2 = b 2 − 2ac 2 a 2 + b 2 = c 2 − 2ab Nên ta có : ( a3 + b3 + c3 )( a2 + b2 + c2 ) = a5 + b5 + c5 + a3 ( a2 − 2bc ) + b3 (b2 − 2ac ) + c3 (c2 − 2ab ) = 2 ( a5 + b5 + c5 ) − 2abc ( a 2 + b2 + c 2 )  2 ( a5 + b5 + c5 ) = 5abc ( a 2 + b2 + c 2 ) a2 b2 c2 3 + 2 2 2= Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: 2 2 2 + 2 2 2 a −b −c b −a −c c −a −b 2 HD: Từ a + b + c = 0 = b + c = −a = b2 + c 2 + 2bc = a 2 = a 2 − b2 − c 2 = 2bc , Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 1 3abc 3 + + = a3 + b3 + c3 ) = = ( 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 13 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ( a + b ) + (b + c ) + ( c + a )  2 2 2 2 ( a − b ) (b − c ) (c − a ) 2 Bài 90: CMR: HD : 2 2 a+b b+c c+a = x, = y, = z = M = x 2 + y 2 + z 2 , Ta cần CM : a −b b−c c−a ( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1) => xy + yz + zx = −1 (1) Đăt : Từ : ( x + y + z )  0  x 2 + y 2 + z 2  −2 ( xy + yz + zx ) = −2 ( −1) = 2 = M  2 2 a+b b+c c+a + + =0 a −b b−c c −a Bài 91: Cho a+b+c=0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14 , Tính A = a 4 + b4 + c 4 HD : Dấu bằng khi x + y + z = 0  Ta có : 142 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) 2 (1). Ta lại có : a + b + c = 0 = ( a + b + c ) = 0  a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0 2  ab + bc + ca = −7  a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc ( a + b + c ) = 49 , Thay lên (1) 142 = A + 2.49 Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 2010 , Tính giá trị của biểu thức: A = a4 + b 4 + c 4 HD: (a + b + c) − (a Ta có: ab + bc + ca = 2 2 + b2 + c2 2 ) = 0 − 2010 = −1005 2 = a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052 2 2 2 2 2 2 2 ( = A = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2 Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: x 2 + ) 2 2 ( ) − 2 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 20102 − 10052 = 2.10052 1 1 = 7 , CMR: x 5 + 5 là 1 số nguyên 2 x x HD : 1  4 1  1  1 =  x + 4  x +  −  x3 + 3  5 x  x  x  x  2 1  1  1  1 1 1 1  Ta tính :  x +  = x 2 + 2 + 2 = 9 = x + = 3 , x3 + 3 =  x 2 + 2  x +  −  x +  = 18 x x x x  x  x  x  1  1  1  1 Và x 4 + 4 =  x3 + 3  x +  −  x 2 + 2  = 47 x  x  x  x  1 Bài 94: Cho x  0 và x + = a , Tính theo a các giá trị của: x 1 1 1 a, x 3 + 3 b, x 6 + 6 c, x 7 + 7 x x x HD : 1 1 1  1  1  1 a, x + = a  x 2 + 2 = a 2 − 2 Nên x3 + 3 =  x +  x 2 + 2  −  x +  = a ( a 2 − 2 ) − a x x x  x  x   x 2 1  1 b, x 6 + 6 =  x3 + 3  − 2 x x   1  1  1  1 c, x7 + 7 =  x3 + 3  x4 + 4  −  x +  x  x  x   x Ta có : x5 + 14 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 95: Cho x  0 và x 2 + a, x 3 + 1 x3 1 = a , Tính theo a các giá trị của: x2 1 1 b, x 6 + 6 c, x 7 + 7 x x HD : 2 Ta có : x 2 + 1  1 1 =  x +  − 2 = x + = a + 2 . Làm giống bài 68 2 x  x x Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn : a + b = 5 và a + b = 5 , Tính a + b 6 1  6 1    x +  − x + 6 −2 1 x  x  2 Bài 97: Cho x + 2 = 2 , và x > 0. Tính A =  3 x 1  3 1   x+  +x + 3  x  x   HD : 2 1  1  2 1   1 1 1 1  3 2  x +  = x + 2 + 2 = 4 = x + = 2 và x + 3 =  x +  x + 2  −  x +  = 2.2 − 2 = 2 x x x x  x  x   x  2 2 3 3 2 1  3 1 =  x + 3  − 2 = 2 thay vào A x6  x  Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x2 + y2 + z 2 = a2 , Tính A = x4 + y4 + z 4 theo a HD : và x 6 + Ta có : a 4 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) = A + 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) , Mặt khác: 2 ( x + y + z) 2 = a 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0 −a 2 a4 a4 2 2 2 2 2 2 2  xy + yz + zx =  ( xy + yz + zx ) =  x y + y z + z x + 2xyz ( x + y + z ) = 2 4 4 4 4 4 a a a Thay lên trên ta đươc : a 4 = A + 2. = A + x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = 4 4 2 Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và a2 + b2 + c2 = 2010, Tính giá trị của biểu thức: A = a 4 + b4 + c 4 HD: 2 ( a + b + c ) − ( a 2 + b2 + c 2 ) 0 − 2010 = = −1005 Ta có: ab + bc + ca = 2 2 2 2 => a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052 => A = a 4 + b 4 + c 4 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) = 20102 − 10052 = 2020050 2 Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a 4 + b 4 + c 4 = a+b+c=abc . Thì ta có: HD : 2 1 1 1 1 2 a + b 2 + c 2 ) Bài 10: CMR: Nếu + + = 3 và ( a b c 2 1 1 1 + + =7 a 2 b2 c2 Ta có : ( a + b + c ) = 0  a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0  a 2 + b2 + c 2 = −2 ( ab + bc + ca ) 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) = 4 ( ab + bc + ca ) 2 2  a 4 + b4 + c 4 + 2 ( a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 ) = 4 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 + 2abc ( a + b + c ) )  a 4 + b4 + c 4 = 2 ( a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 )  2 ( a 4 + b4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2a 2 15 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức  2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = ( a 2 + b 2 + c 2 ) => ĐPCM 2 Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy + x + y = −1, và x2 y + xy2 = −12 , Tính A = x3 + y3 HD :  a = −4  xy + ( x + y ) = −1 a + b = −1 a = 3 Từ gt ta có :  hoặc   =  b = 3 ab = −12 b = −4   xy ( x + y ) = −12 Khi đó A = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) 3 Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính a, x2 + y 2 b, x3 + y3 c, x − y HD : 2 a, x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = 81 − 28 d, x5 + y5 b, x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 93 − 3.14.9 = 351 3 c, ( x − y) 2 = ( x + y ) − 4 xy 2 d, x5 + y 5 = ( x3 + y 3 )( x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 ( x + y ) ( ) Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A = 2 x3 − y 3 − 3 ( x + y ) HD : 2 Ta có : x3 − y3 = ( x − y ) + 3xy ( x − y ) , Mà : 3 ( x + y) 2 = ( x − y ) + 4 xy = A = 2.8 + 12 xy − 3. ( 4 + 4 xy ) 2 ( ) ( ) ) ( ) Bài 104: Cho a + b = 1 , Tính giá trị của biểu thức: C = 2 a3 + b3 − 3 a2 + b 2 HD: ( ) ( ) = 2 ( a − ab + b ) − 3 ( a + b ) = 2 ( a + b ) − 2ab − 3( a + b ) = − ( a ( Ta có: C = 2 a3 + b3 − 3 a2 + b2 = 2 ( a + b ) a2 − ab + b 2 − 3 a2 + b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính a, x2 + y 2 b, x3 + y3 HD : 2 a, x 2 + y 2 = ( x − y ) + 2 xy ) + b2 − 2ab = − ( a + b ) = −1 2 c, x − y , b, x3 + y3 = ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) − xy ( x + y ) , mà : ( x + y ) = ( x − y ) + 4 xy = 49 + 4.60 2 2 Bài 106: Cho a+b=1, tính A = a3 + b3 + 3ab ( a 2 + b2 ) + 6a 2b2 ( a + b ) HD : Ta có : a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) , và a 2 + b2 = ( a + b ) − 2ab 3 2 Bài 107: Cho x2 − y2 = 1, Tính A = 2 ( x6 − y 6 ) − 3 ( x 4 + y 4 ) HD : ( x6 − y 6 = ( x 2 − y 2 )( x 4 + y 4 ) + x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) , mà : x 4 + y 4 = x 2 − y 2 Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức C = 2 ( a3 + b3 ) − 3 ( a 2 + b2 ) HD : ) 2 + 2 x 2 y 2 , thay vào ta được Ta có: C = 2 ( a3 + b3 ) − 3 ( a 2 + b2 ) = 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) − 3 ( a 2 + b2 ) ( ) ( ) ( ) = 2 a 2 − ab + b2 − 3 a 2 + b 2 = − a 2 + b 2 − 2ab = − ( a + b ) = −1 2 16 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a + b + c = 0 Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:  2 , Tính A = a 4 + b4 + c 4 2 2 a + b + c = 2012  HD: 2 a 2 + b2 + c 2 = ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) = −2 ( ab + bc + ca ) 2  a2 + b2 + c2  20122 => a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) =   = 2 4   20122 => A = a 4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − 2 ( a 2b2 + b2c2 + c2 a 2 ) = 2 1 1 1 3 2 Bài 110: Cho ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 và x, y, z  0 , CMR: 3 + 3 + 3 = x y z xyz HD : xy + yz + zx 1 1 1 2 Từ : ( x + y + z ) = x2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx = 0 = = 0 = + + = 0 xyz x y z 1 1 1 3 Khi đó : 3 + 3 + 3 = x y z xyz 2 2 2 2 2 2 2 Bài 111: CMR: Nếu ( a + b + c ) = 3 ( ab + bc + ca ) thì a=b=c 2 HD: Từ: a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca = 0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0 2 2 2 Bài 112: Cho a 2 + b2 + c 2 = m , Tính theo m giá trị của: A = ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) 2 2 2 HD: Phân tích theo hằng đẳng thức: 2 Bài 113: Cho a 2 − b2 = 4c 2 , CMR: ( 5a − 3b + 8c )( 5a − 3b − 8c ) = ( 3a − 5b ) HD: VT = ( 5a − 3b ) − 64c 2 = 25a 2 − 30ab + 9b 2 − (16a 2 + 16b 2 ) = ( 3a − 5b ) 2 Bài 114: Tìm x,y biết: x 2 + y 2 + 2 1 1 + =4 x2 y 2 HD:   1 1 − 2 +  y2 + 2 − 2  = 0 2 x y   2 2 x y z 2 x2 + y 2 + z 2 Bài 115: Tìm x,y,z biết : + + = 2 3 4 5 HD:  x2 x2   y 2 y 2   z 2 z 2   − + − + −  = 0 5   4 5  2 5   3 x2 + x2 − yz y 2 − zx z 2 − xy a 2 − bc b2 − ca c 2 − ab = = = = Bài 116: Cho , CMR : x y z a b c HD: x2 − yz y 2 − zx z 2 − xy ,b = ,c = Đặt gt =k=> a = , sau đó tính: a2 − bc, b2 − ca, c2 − ab rồi thay vào k k k 17 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 117: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = ax 2 + by 2 + cz 2 1 = 2000 , CMR : 2 2 2 2000 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) HD: Từ ( ax + by + cz ) = 0  a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) 2 Xét mẫu số: bc ( y 2 − 2 yz + z 2 ) + ac ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ab ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = bcy 2 + bcz 2 + acx 2 + acz 2 + abx 2 + aby 2 + ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 ) = c ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + b ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + a ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) = ( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) VT = 1 = 2000 a+b+c Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn : ( ax + by + cz ) HD: 2 = ( x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ay − bx cx − az bz − cy = = , CMR : c b a acy − bcx bcx − abz abz − acy = = = k = 0 = ay − bx = cx − az = bz − cy = 0 c2 b2 a2 2 2 2 2 2 2 => ( ay − bx ) = ( cx − az ) = ( bz − cy ) = 0  ( ay − bx ) + ( cx − az ) + (bz − cy ) = 0 Đặt gt=k=> = ( a 2 y 2 + b2 x 2 + c 2 x 2 + a 2 z 2 + b2 z 2 + c 2 y 2 ) − 2 ( aybx + cxaz + bzcy ) = 0 => ( a 2 y 2 + a 2 z 2 + a 2 x2 ) + ( b2 x2 + b2 y 2 + b2 z 2 ) + ( c 2 x 2 + c 2 y 2 + c 2 z 2 ) − ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 + 2axby + 2bycz + 2axcz ) = 0  ( a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) − ( ax + by + cz ) = 0 =>ĐPCM 2 Bài 119: Cho x2 − yz = a, y2 − zx = b, z 2 − xy = c CMR : ax + by + cz = ( x + y + z )( a + b + c ) Với x, y, z  0 HD:  x3 − xyz = ax  Từ gt=>  y 3 − xyz = by = ax + by + cz = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz  z 3 − xyz = cz  = ax + by + cz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = ( x + y + z )( a + b + c )  x2 + 2 y + 1 = 0  Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :  y 2 + 2 z + 1 = 0 , Tính A = x2000 + y2000 + z 2000 z2 + 2x + 1 = 0  HD: Cộng theo vế của gt ta được: ( x 2 + 2 x + 1) + ( y 2 + 2 y + 1) + ( z 2 + 2 z + 1) = 0 = x = y = z = −1 Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P = x + y + z HD: ( x + 1)( y + 1) = 4  2 2 2 Từ gt ta có: ( x + 1)( z + 1) = 16 = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 4.16.9 = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 24  ( y + 1)( z + 1) = 9 18 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3 Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2 x + 1 3 2 y − xyz = − z 3 , Tính giá trị của biểu 4 27 2018  6 x + 3y − 2 z  thức: N = 1 −   6 x − 3y + 2 z  HD: 3 3 3 1 3 −2z3 3 Vì 2 x + y − xyz = = ( 6x ) + ( 3y ) + ( 2z ) = 108xyz 4 27 a + b + c = 0 Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c 3 = 3abc =  a = b = c 3 3 3 Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: a + b + c = 3abc , mà x, y,z dương nên 6 x + 3y + 2z  0 = 6 x = 3y = 2z thay vào ta có :  6 x + 3y − 2 z  N = 2 − 6 x − 3y + 2 z   2018  2z + 2z − 2z  = 2 − 2 z − 2 z + 2 z   2018 =0 Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn: a + 1 1 1 =b+ =c+ , b c a CMR: abc=1 hoặc abc=-1 HD: 1 1 b−c 2 c−a a −b , T = b − c = ,c − a = Từ gt=> a − b = − = a − b = c b bc ca ab ( a − b )( b − c )( c − a ) = a − b b − c c − a a 2b 2c 2 − 1 = 0 Nhân theo vế: ( a − b )( b − c )( c − a ) = ( )( )( )( ) 2 ( abc ) Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên ( abc ) = 1 = abc = 1, hoặc -1 2 Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by + cz = a, và ax + cz = b và ax + by = c , Trong đó a,b,c là các số dương 1 1 1 cho trước, CMR : , không phụ thuộc vào a,b,c + + x +1 y +1 z +1 HD: Cộng theo vế của gt ta có: 1 2c a + b + c = 2 ( ax + by + cz ) = a + b + c = 2 ( c + cz ) = 2c (1 + z ) = = z +1 a + b + c 1 2a 1 2b Tương tự: = , = x +1 a + b + c y +1 a + b + c a −b b−c c−a ,y= ,z = Bài 125: Cho x = , Thì (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1 − x )(1 − y )(1 − z ) a+b b+c c+a HD: a −b 2a +1 = Tính x + 1 = , Tương tự là ra a+b a+b a+b b+c a+c b+c a+c b+a . + . + . = −1 Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR: a −b b −c c −a b −c c −a a −b HD: a+b 2a 2b b+c 2a 2c = x + 1 = , x −1 = = y + 1 = , y −1 = Đặt: x = , y= a −b a −b a −b b−c b−c b−c c+a 2c 2a z= = z + 1 = , z −1 = , Khi đó: ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ( x −1)( y −1)( z −1) c−a c−a c−a Khi đó: xy + yz + zx = −1 19 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 127: Cho x = by + cz và y = ax + by , z = ax + by và x+y+z khác 0. 1 1 1 + + Tính giá trị: A = 1+ a 1+ b 1+ c HD: Cộng theo vế gt ta được: x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) = 2 ( ax + x ) = 2x ( a + 1) = 1 2x = a +1 x + y + z 1 2y 1 2z = , = b +1 x + y + z c +1 x + y + z 2a = by + cz 1 1 1  Bài 128: Cho 2b = ax + cz và a + b + c  0 , Rút gọn: M = + + x+2 y+2 z+2 2c = ax + by  HD: Cộng theo vế gt tacó 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz  a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + 2) Tương tự: = 1 b 1 a 1 c = = , Tương tự: , = x+2 a+b+c y +2 a +b+c z + 2 a +b + c Bài 129: Cho kia HD: a 2 + b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 c 2 + a 2 − b2 + + = 1 , CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số 2ab 2bc 2ac Từ gt ta có: ( a 2 + b2 − c 2 ) c + ( b2 + c 2 − a 2 ) a + ( c 2 + a 2 − b2 ) b = 2abc (a 2 + b2 − c 2 + 2ab ) c + ( b2 + c 2 − a 2 − 2bc ) a + ( c 2 + a 2 − b2 − 2ac ) b = 0 ( a + b + c )( a + b − c ) c + (b − c + a )(b − c − a ) a + (c − a + b )(c − a − b ) b = 0 ( a + b − c )( a + c − b)(b + c − a ) = 0 c = a + b hoặc a + c = b hoặc: b + c = a 2 2 2 bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y ) Bài 130: Cho ax + by + cz = 0 , Rút gọn A = ax 2 + by 2 + cz 2 HD: 2 Từ ( ax + by + cz ) = 0  a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Xét mẫu số: bc ( y 2 − 2 yz + z 2 ) + ac ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ab ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = bcy 2 + bcz 2 + acx 2 + acz 2 + abx 2 + aby 2 + ( a 2 x 2 + b2 y 2 + c 2 z 2 ) = c ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + b ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) + a ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) = ( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) Khi đó: A = ( a + b + c ) ( ax 2 + by 2 + cz 2 ) ax 2 + by 2 + cz 2 Bài 131: Cho x + y + z = 0 , Rút gọn: B = HD: Ta có: ( x + y + z) 2 = a+b+c x2 + y 2 + z 2 ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y) 2 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 0  x 2 + y 2 + z 2 = −2 ( xy + yz + zx ) Khi đó: Mẫu = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 ( xy + yz + zx ) = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + x 2 + y 2 + z 2 = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) Vậy B = 1 3 20 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c  0 và x4 + y 4 + z 4 x4 y 4 z 4 = + + , Tính a 4 + b4 + c 4 a 4 b4 c 4 P = x2 + y9 + z1945 + 2017 HD:  x4 x4   y4 y4   z4 z4  − + − + + Từ gt=>  4  4   =0 4 4 4  4 4 b4   a 4 + b4 + c 4 c 4   a +b +c a   a +b +c nên x = y = z = 0 = P = 2017 1 1 1 1 Bài 133: Cho a,b,c là ba số thực  0 thỏa mãn: + + = , CMR: a b c a +b+c 1 1 1 1 + 2015 + 2015 = 2015 2015 2015 a b c a + b + c 2015 HD: 1 1 b+c b+c 1 1 + +  = 0  + =0 Từ gt ta có: − a a+b+c b c  a ( a + b + c ) bc TH1: b + c = 0 = b = −c = 1 a 2015 + 1 b 2015 + −1 1 = 2015 2015 2015 b a + b − b 2015 1 1 + = 0  bc + a 2 + ab + ac = 0  ( a + b )( a + c ) = 0 => giống TH1: a + ab + ac bc a3 b3 c3 Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: 2 + + = 1006 , a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a 2 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 Tính giá trị của biểu thức: M= 2 + + a + ab + b2 b2 + bc + c3 c2 + ca + a 2 HD : M = 2(a + b + c) TH2: 2 Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: x  y, xyz  0, và x ( y 2 − xz ) (1 − yz ) = y ( x 2 − yz ) (1 − xz ) , CMR : HD: 1 1 1 + + = x+ y+ z x y z Từ GT ta có: ( x 2 − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y 2 − xz ) = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 = xy2 − x2 z − x2 yz 2 = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 − xy 2 + x2 z + xy3 z − x2 yz 2 = 0 = xy ( x − y ) − xyz ( yz + y 2 − xz − x 2 ) + z ( x 2 − y 2 ) = 0 = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0 Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0 hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) 1 1 Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a + b + c = , a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca = , Tính giá trị của 2 6 a b c + + biểu thức: P = b+c c+a a+b (b Bài 137: Cho x = 2 + c2 − a2 ) 2bc ( a − (b − c ) ) , Tính giá trị của biểu thức M = x + y + xy ;y= ((b + c ) − a ) 2 2 2 2 21 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 138: Cho biết x2 x 2 = − , Tính độ dài của biểu thức : x2 + x + 1 3 x4 + x2 + 1 HD : x −2 x2 + x + 1 −3 1 −3 1 −5 Từ gt ta có : 2 = = = = x + + 1 = = x + = x + x +1 3 x 2 x 2 x 2 2 2 4 2 x 4 x + x +1 1 1 25 21  Nên Vậy 4 = x2 + 2 + 1 =  x +  − 1 = −1 = = 2 2 x x x 4 4 x + x + 1 21  1 (Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được x1 = 2, x2 = rồi thay vào) 2 2 2 x − yz y − xz Bài 139: CMR: với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z) = x (1 − yz ) y (1 − xz ) HD: Từ GT ta có: ( x 2 − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y 2 − xz ) = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 = xy2 − x2 z − x2 yz 2 = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z 2 − xy 2 + x2 z + xy3 z − x2 yz 2 = 0 = xy ( x − y ) − xyz ( yz + y 2 − xz − x 2 ) + z ( x 2 − y 2 ) = 0 = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0 Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0 hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) Bài 140: Cho x>y>0, hãy so sánh A = HD: A= ( x − y )( x + y ) , Mà 2 ( x + y) x− y x2 − y 2 và B = 2 x + y2 x+ y x + y + 2xy  x + y , x − y  0 nên A = 2 2 2 2 2 2 x2 − y 2 x2 − y 2  2 xy + x 2 + y 2 x 2 + y 2 Vậy A ( a + b − 2) ( a −1) − ( a −1)( b −1) + ( b − 1) + 2 = 0 , Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2   1 1 1 2 2 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + 2  0 nên a+b – 2=0=> a+b=2 2 2 2 Bài 144: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 5×2 + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + 2 = 0 ( ) Tính giá trị của biểu thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b 2 + 6a2b 2 ( a + b )  z  x  y  Bài 145: Cho x,y,z khác 0 và x-y-z=0, Tính B = 1 −  1 −  1 −   x  y  z  a +b−c b+c −a c + a −b − − =0, Bài 146: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn: ab bc ca CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số kia 1 1 1 1 1 1 Bài 147: Cho + + = k và a+b+c=abc, Tính k để 2 + 2 + 2 = k a b c a b c x y 2z b, Q = với xyz=2 và các mẫu thức đều khác 0 + + xy + x + 2 yz + y + 1 xz + 2 z + 2 Bài 148: Tính tổng: x y z x2 y2 z2 a, A = 2 , P= với xyz=1 và các − + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 y +z −x z +x −y x + y −z − xy + x + 1 yz − y + 1 xz + z − 1 mẫu thức đều bằng 0 Bài 149: 1  1  1 a, CMR: n4 + = ( n − 1) n +   n ( n + 1) +  4  2  2  4 1  4 1  4 1   4 1   1 + 4   3 + 4   5 + 4  …  13 + 4       b, Áp dụng câu a, thu gọn: A =   4 1  4 1  4 1   4 1   2 + 4   4 + 4   6 + 4  …  14 + 4        Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì : a3 b3 c3 + + = a+b+c ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) 4 4 4 4 Bài 151: Chứng minh rằng : Nếu a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d a b c + + = 0 , CMR : Bài 152: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : b−c c−a a−b a b c + + =0 2 2 2 b − c c − a a − b ( ) ( ) ( ) Bài 153: Chứng minh rằng nếu : x1 + 1 1 1 1 = x2 + = x3 + = … = xn + , thì x1 = x2 = x3 = …. = xn x2 x3 x4 x1 hoặc : x1.x2 .x3 ….xn = 1 Bài 154: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: 1 1 1 + + = 2 và a + b + c = abc , thì a b c 1 1 1 + + =2 a2 b 2 c 2 23 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 155: Cho a + b + c = 2 p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = 4 p ( p − a ) 3 Bài 156: Cho x + y = a, x 2 + y2 = b, x 3 + y3 = c , CMR: a − 3ab + 2c = 0 4 4 4 Bài 157: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1 , Tính giá trị của: M = a + b + c Bài 158: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( a + b + c ) = a2 + b 2 + c 2 , CMR: 2 a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 1 1 b+c c+a a+b + + Bài 159: Cho + + = 0 , Tính giá trị của: M = a b c a b c 2 2 2 a b c a b c + + = 1 , CMR: Bài 160: Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a.x 2 + b.y2 + c.z 2 Bài 161: Cho a.x + b.y + c.z = 0 , Rút gọn: A = 2 2 2 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) Bài 162: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = −3 thì: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 3 ( x + 1)( y + 1)( z + 1) 3 3 3 a b c Bài 163: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0 , CMR: a.x 2 + by2 + cz2 = 0 x y z a b c a b c + + = 0 , CMR: Bài 164: Cho + + =0 2 2 2 b−c c−a a−b b − c c − a a − b ( ) ( ) ( ) x 2 x2 = Bài 165: Cho 2 , Hãy tính giá trị của biểu thức: 4 x + x +1 3 x + x2 + 1 HD: 1 −3 1 −5 x −2 x 2 + x + 1 −3 = x + = Từ: 2 , hay x + + 1 = = = = x 2 x 2 x 2 x + x +1 3 2  x4 + x2 + 1 1 1 21 x2 4 2 = = x + + 1 = x + − 1 = , vậy 4 =   2 2 2 x 4 x x x + x + 1 21  3 2  a − 3a + 5a − 2011 = 0 Bài 166: Cho các số a, b, c thỏa mãn các hệ thức sau:  3 , Tính a+b  b − 3b + 5b + 2005 = 0 HD: Từ điều kiện ta có: ( a − 1) + 2 ( a − 1) − 2008 = 0 2 Và ( b − 1) + 2 ( b − 1) + 2008 = 0 2 (1) (2) Cộng theo vế ta được : ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = 0 = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + (b − 1)  + 2 ( a + b − 2 ) = 0 2 2 2 2 2 2 = ( a + b − 2 ) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2 = 0   2 2 2 2 2 1 1 1 Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + 2  0 2 2 2 Nên a + b − 2 = 0 = a + b = 2 24 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 167: Chứng minh rằng nếu: xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) HD: ( x 2 − yz y 2 − xz = , ( x  y ) , xyz  0, yz  1, xz  1 , thì: x (1 − yz ) y (1 − xz ) ) ( Từ GT = x 2 − yz y (1 − xz ) = x (1 − yz ) y 2 − xz ) = x2 y − x3yz − y2 z + xy2z2 = xy2 − x 2 z − xy3z + x 2 yz 2 = x2 y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x 2 yz2 = 0 ( ) ( ) <=> xy ( x − y ) + xyz yz + y 2 − xz − x 2 + z x 2 − y 2 = 0 = xy ( x − y ) − xyz ( x − y )( x + y + z ) + z ( x − y )( x + y ) = 0 = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = 0 Do x − y  0 = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) Bài 168: Cho x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m ) , trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0, CMR : m−n n− p p−m = = x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y) HD : Vì xyz  0 và x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m ) x ( m + n) y (n + p) z ( p + m) m+n n+ p p+m = = xyz xyz xyz yz xz xy ( p + m) − ( n + p) = ( m + n) − ( p + m) = ( n + p ) − ( m + n) = m − n = n = p = p − m = xy − xz yz − xy xz − yz x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y) = = Bài 169: Rút gọn: A = HD: = , hay xy + 2 x + 1 yz + 2 y + 1 zx + 2z + 1 + + xy + x + y + 1 yz + y + z + 1 zx + z + x + 1 ( xy + x + y + 1) + ( x − y ) = 1 + x − y = 1 + x − y xy + 2 x + 1 = xy + x + y + 1 xy + x + y + 1 x +1 y +1 ( x + 1)( y + 1) Ta có: zx + 2z + 1 z x yz + 2 y + 1 y z = 1+ − , = 1+ − z +1 x +1 yz + y + z + 1 y + 1 z + 1 zx + z + x + 1 Cộng theo vế ta được A=3 ( Bài 170: Chứng minh rằng: x 2 + y2 + z 2 ) 2 ( ) = 2 x 4 + y4 + z 4 , biết rằng: x+y+z=0 HD: Ta có: x + y + z = 0 = x = − ( y + z ) = x 2 = − ( y + z ) ( 2 = x 2 = y2 + z2 + 2 xz = x 2 − y2 − z2 = 2 xz = x 2 − y2 − z2 ) = (2xz) 2 2 = x 4 + y4 + z 4 − 2x 2 y2 − 2x 2z2 + 2y2z2 = 4x 2z2 = x 4 + y4 + z4 = 2x 2 y2 + 2x2z2 + 2y2z2 = x 4 + y4 + z4 + x 4 + y4 + z 4 = x 4 + y4 + z 4 + 2x 2 y2 + 2x 2z2 + 2y2z2 ( ) ( = 2 x 4 + y4 + z 4 = x 2 + y2 + z 2 ) 2 25 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức BGH DUYỆT TỔ CHUYÊN MÔN DUYỆT GIÁO VIÊN 26 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức