Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

Giới thiệu Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7 Toán 6

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

Text Chuyên đề tìm x bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7
CHUYÊN ĐỀ TÌM X DẠNG 1: TÌM X THÔNG THƯỜNG Bài 1: Tìm x biết: 13 5 6 x  3x 13   7 7  + = a, −  −  =  + x  b, x − 1 2 x − 2 3x − 3 2  5 5   5 10  HD: x  3x 13   7 7  x 3x 13 7 7 x 3x 7 x 7 13 −  −  =  + x  = − + = + x = − − = − a, 2  5 5   5 10  2 5 5 5 10 2 5 10 5 5 3 −4 −6 −6 −4 3 x= = x = : = . Vậy x = => 2 5 5 5 5 2 13 5 6 78 15 12 93 12 + = = + = = = = 93 = 12 (Vô lý) b, x − 1 2 x − 2 3x − 3 6x − 6 6x − 6 6x − 6 6x − 6 6x − 6 Bài 2: Tìm x biết: 2 x − 3 −3 5 − 3x 1 2 3 4 7  + = − − = −  − 2 a, b, 3 2 6 3 3x 12 5  x  HD: 4 x − 6 + ( −9) 5 − 3x − 2 2 x − 3 −3 5 − 3x 1 18 a, + = − = = = 4 x − 15 = 3 − 3x = 7 x = 18 = x = 3 2 6 3 6 6 7 2 3 4 7 2 1 4 7 2 7 4 1 23 61  − = −  − 2  = − = − + 2 = + = + + 2 = = b, 3x 12 5  x 3x 4 5 x 3x x 5 4 3x 20  460 460 = 3x = = x = 61 183 Bài 3: Tìm x biết: 1 −2  3 6  5 +  − = a, x −1 3  4 5  2 − 2x HD: a, b, b, 9 13 5 x + 15 x − 20 x = 16 17 17 17 1 3 5 1 5 −3 7 −3 + = = + = = = x − 1 10 2 − 2 x x − 1 2 ( x − 1) 10 2 ( x − 1) 10 70 −35 −32 = 2 ( x − 1) = − = x − 1 = = x = 3 3 3 13 5 9 =>  + 15 − 20  x = 16 = −4.x = 16 = x = −4 17 17   17 Bài 4: Tìm x biết: a, 720 : 41 − ( 2 x − 5)  = 23.5 b, 6 ( x + 11) − 7 ( 2 − x ) = 26 HD: a, => 720 :  46 − 2 x  = 40 = 46 − 2 x = 18 = 2 x = 46 :18 = b, => 6x + 66 −14 + 7 x = 26 = 13x = −26 = x = −2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 23 23 = x = 9 18 1 Bài 5: Tìm x biết: a, −4 x ( x − 5) − 2 x (8 − 2 x ) = −3 HD: a, b, b, −7 ( x + 9) − 3 ( 5 − x ) = 2 −3 4 => −7 x − 63 −15 + 3x = 2 = −4x − 78 = 2 = −4x = 80 = x = −20 = −4 x 2 + 20 x − 16 x + 4 x 2 = −3 = 4 x = −3 = x = 7  33 3333 333333 33333333  + + Bài 6: Tìm x biết : − x  +  = 22 4  12 2020 303030 42424242  HD: 7 7  33 33 33 33  1 1 1 1  Ta có : − x  + + +  = 22 => − x.33  + + +  = 22 4 4  12 20 30 42   12 20 30 42  7 −7 4 1 1 x.33. = 22 = x = −2 => − x.33  −  = 22 = 4 4 21 3 7 Bài 7: Tìm x biết: HD: 1 −1 : 2015 x = 2016 2015 1 −1 −1 1 x= = x = : = −2016 2016.2015 2015 2015 2016.2015 Bài 8: Tìm x biết : 2 ( x − 1) − 3 ( 2 x + 2 ) − 4 ( 2 x + 3) = 16 1 1 1  1 1 1  x x +  − x − x x −  − x + 2 5 10  2 3 6 Bài 9: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:  . 3 5 HD : 1 1 1 Quy đồng trên tử ta có : x  x +  − x − = 0 = 10 x 2 − 3x − 1 = 0 = ( 2 x − 1)( 5x + 1) = 0 2 5 10  Làm tương tự với tử còn lại GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 DẠNG 2: ĐƯA VỀ TÍCH BẰNG 0 Bài 1: Tìm x biết: x +1 x + 3 x + 5 x + 7 x −3 x −3 x −3 x −3 + + = = + + a, b, 65 13 63 14 61 15 59 16 HD: x −3 x −3 x −3 x −3 1 1 1 1 a, = + − − = 0 = ( x − 3)  + − −  = 0 13 14 15 16  13 14 15 16  1 1 1 1 1 1 1 1 + − − 0 −  0 và −  0 nên => x = 3 vì 13 14 15 16 13 15 14 16 x + 66 x + 66 x + 66 x + 66  x +1   x + 3   x + 5   x + 7  b, =  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 = + = + 65 63 61 59  65   63   61   59  1 1 1 1 1 1 1 1 + − − 0 => ( x + 66 )  + − −  = 0 = x = −61 vì 65 63 61 59  65 63 61 59  Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x x − 10 x − 14 x − 5 x − 148 + + + + + + + = −5 =0 a, b, 21 30 23 43 25 95 27 8 29 HD:  29 − x   27 − x   25 − x   23 − x   21 − x  a, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  21   23   25   27   29  50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x + + + + = 0 => ( 50 − x )  1 + 1 + 1 + 1 + 1  = 0 => 21 23 25 27 29  21 23 25 27 29  x − 10   x − 14   x − 5   x − 148  b, =>  − 3 +  − 2 +  − 1 +  + 6 = 0  30   43   95   8  x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 + + + = 0 => ( x − 100 )  1 + 1 + 1 + 1  = 0 => 30 43 95 8  30 43 95 8  Bài 3, Tìm x, biết: x − 5 x − 4 x − 3 x − 100 x − 101 x − 102 x − 2 x −1 x − 4 x − 3 + + + = = + + + a, b, 100 101 102 7 8 5 5 4 6 3 HD:  x − 5   x − 4   x − 3   x − 100   x − 101   x − 102  a, =  − 1 +  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 +  − 1  100   101   102   5   4   3  x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 + + = + + => 100 101 102 5 4 3 => x −105 = 0 = x = 105 x − 2   x −1   x − 4   x − 3  x −9 x −9 x −9 x −9 b, =>  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 = + = + 7 8 5 6  7   8   5   6  => x − 9 = 0 = x = 9 Bài 4, Tìm x, biết: x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 2 x + 19 2 x + 17 2 x + 7 2 x + 5 + + = + + − = − a, b, 94 93 92 91 90 89 21 23 33 35 HD: x +1   x + 2   x + 3   x + 4   x + 5   x + 6  a, =>  + 1 +  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 +  + 1  94   93   94   91   90   89  GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 3 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 => x + 95 = 0 = x = −95 => 2 x + 19   2 x + 17   2 x + 7   2 x + 5  =>  + 1 −  + 1 =  + 1 −  + 1  21   23   33   35  2 x + 40 2 x + 40 2 x + 40 2 x + 40 = + = + 21 35 33 23 = 2x + 40 = 0 = x = −20 Bài 5, Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x − 5 x − 6 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + + + = = + + + a, b, 59 15 58 14 57 56 13 55 12 54 HD: x −1   x − 2   x − 3   x − 4   x − 5   x − 6  a, =>  − 1 +  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 +  − 1  59   58   57   56   55   54  x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 = + + = + + 59 58 57 56 55 54 => x − 60 = 0 = x = 60  x + 1   x + 2   x + 3   x + 4  = x + 16 + x + 16 = x + 16 + x + 16 b, =  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 15 14 13 12  15   14   13   12  => x + 16 = 0 = x = −16 Bài 6, Tìm x, biết: x − 5 x − 15 x − 1990 x − 1980 x −1 x − 3 x − 5 x − 7 + + = = + + a, b, 1990 1980 2015 2013 2011 2009 5 15 HD: x − 5   x − 15   x − 1990   x − 1980  a, =>  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 5  1990   1980     15  x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 = + = + 1990 1980 5 15 = x −1995 = 0 = x = 1995  x −1   x − 3   x − 5   x − 7  b, =  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1  2015   2013   2011   2009  x − 2016 x − 2016 x − 2016 x − 2016 = + = + = x − 2016 = 0 = x = 2016 2015 2013 2011 2009 Bài 7, Tìm x, biết: 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + + + = + + = −4 a, b, 10 101 11 103 12 105 13 107 14 HD: 1 1 1 1 1 a, = ( x + 1)  + + − −  = 0 = x + 1 = 0 = x = −1  10 11 12 13 14   315 − x   313 − x   311 − x   309 − x  b, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  101   103   105   107  416 − x 416 − x 416 − x 416 − x + + + = 0 = 416 − x = 0 = x = 416 => 101 103 105 107 b, GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 4 Bài 8: Tìm x, biết: 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x x −1 x − 2 x − 3 x − 4 + + + = + + + = −5 a, b, 2009 2008 2007 2006 41 43 45 47 49 HD:  x −1   x − 2   x − 3   x − 4  a, =  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1  2009   2008   2007   2006  x − 2010 x − 2010 x − 2010 x − 2010 = + = + = x − 2010 = 0 = x = 2010 2009 2008 2007 2006  59 − x   57 − x   55 − x   53 − x   51 − x  b, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  41   43   45   47   49  100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x = + + + + = 0 = 100 − x = 0 = x = 100 41 43 45 47 49 Bài 9: Tìm x, biết: x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x − 15 x + 14 x + 15 x + 16 x + 17 + + + + + + + = −4 = 15 a, b, 10 86 12 85 14 84 16 83 17 HD:  x + 14   x + 15   x + 16   x + 17  a, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  86   85   84   83  x + 100 x + 100 x + 100 x + 100 = + + + = 0 = x + 100 = 0 = x = −100 86 85 84 83 x − 90   x − 76   x − 58   x − 36   x − 15  b, =>  − 1 +  − 2 +  − 3 +  − 4 +  − 5 = 0  10   12   14   16   17  x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 = + + + + = 0 = x − 100 = 0 = x = 100 10 12 14 16 17 Bài 10, Tìm x, biết: x +1 x +1 x +1 x +1 x −1 x − 2 x − 3 x − 4 + = + + − = a, b, 11 12 13 14 2011 2010 2009 2008 HD:  x −1   x − 2   x − 3   x − 4  a, =  − 1 +  − 1 −  − 1 −  − 1 = 0  2011   2010   2009   2008  x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 + − − = 0 = x − 2012 = 0 = x = 2012 => 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 b, = ( x + 1)  + − −  = 0 = x + 1 = 0 = x = −1  11 12 13 14  x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + Bài 11, Tìm x, biết: 10 11 12 13 14 HD: 1 1 1 1 1 = ( x + 1)  + + − −  = 0 = x + 1 = 0 = x = −1  10 11 12 13 14  Bài 12, Tìm x, biết: a, 2 + 4 + 6 = x ( x + 2)( x + 4) ( x + 4)( x + 8) ( x + 8)( x + 14) ( x + 2)( x + 14) HD: GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 5 1   1 1   1 1  x  1 =  − − − + + =  x + 2 x + 4   x + 4 x + 8   x + 8 x + 14  ( x + 2 )( x + 14 ) 1 1 x 12 x = − = = = = 12 = x x + 2 x + 14 ( x + 2 )( x + 14 ) ( x + 2)( x + 14) ( x + 2)( x + 14) Bài 13: Tìm x thỏa mãn: x − 10 x − 14 x − 5 x − 148 + + + =0 30 43 95 8 HD:  x − 10   x − 14   x − 5   x − 148  − 3 +  − 2 +  − 1 +  + 6 = 0   30   43   95   8  x −1 x − 3 x − 5 x − 7 Bài 14: Tìm x biết: + = + 2015 2013 2011 2009 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349 + + + + =0 Bài 15: Tìm x biết: 327 326 325 324 5 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 6 DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LŨY THỪA Bài 1: Tìm x biết:  a, 3  x +  1  x2  1 − x+  = 0  2 3  2 b, x2 + 1 = x + 2 c, ( ) x +3 10 = 1024.1252.252 Bài 2: Tìm x biết: a, x  64  4.59.710 − 511.79 = b,   359.4  27  9 ( 5x − 1) − 16 ( 5x − 1) + 36 ( 5x − 1) = 15 Bài 3: Tìm x biết: a, 16 ( x − 1) − 9 x − 9 = 5 b, ( x − 1) = −243 c, 3−2.34.3n = 37 5 Bài 4: Tìm x biết: 10 20 a, ( 3x − 1) = ( 3x − 1) b, x ( 6 − x ) 2003 = (6 − x) c, 5x + 5x+ 2 = 650 2003 HD: a, = ( 3x − 1) − ( 3x − 1) = 0 = ( 3x − 1) ( 3x − 1)  b, => x ( 6 − x ) c, => 5x + 5x.52 = 650 = 5x (1 + 25) = 650 = 5x = 25 20 2003 10 − (6 − x) Bài 5: Tìm x biết: a, 5x + 5x+2 = 650 Bài 6: Tìm x biết: 1 n n n a, .2 + 4.2 = 9.5 2 Bài 7: Tìm x biết: a, 2n+3.2n = 144 x −1 x −2 Bài 8: Tìm x biết: 2 + 5.2 = 2003 10 = 0 = ( 6 − x ) 10 2003 1  3 x − 1 = 0 x=  − 1 = 0 =  = 3 10  ( 3x − 1) = 1 3x − 1 = 1  6 − x = 0 x = 6 =   x −1 = 0 x = 1 ( x − 1) = 0 =  ( ) b, 32.3n = 35 c, 22 : 4 .2n = 4 1  b, 2n  + 4  = 9.5n 2  c, 2n −1.9 = 9.5n b, ( x − 2015) x+2 − ( x − 2015) x +12 = 0 c, ( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) 8 6 7 32 HD: 7 7 1  5 7 = 2 x −1 1 +  = = 2 x −1. = = 2 x −1 = = 2−4 = x = −3 2 32 16  2  32 Bài 9: Tìm x biết: x +1 x +11 5 3 a, ( x − 7 ) − ( x − 7 ) = 0 b, 2 x + 2.3x +1.5x = 10800 c, ( 2 x − 15) = ( 2 x − 15) HD: x − 7 = 0 x = 7 x +1 10 a, =  ( x − 7 ) 1 − ( x − 7 )  = 0 =  10 ( x − 7 ) = 1  x − 7 = 1 10800 x 2 x.4.3x.3.5x = 10800 = 2 x.3x.5 x = = 900 = ( 2.3.5 ) = 900 = 30 x = 900 = 30 2 = x = 2 b, 12 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 7 ( 2 x − 15) − ( 2 x − 15) 5 c, 3 Bài 10: Tìm x biết: 2 2 a, ( x − 5) = (1 − 3x )  2 x − 15 = 0 3 2 = 0 = ( 2 x − 15) ( 2 x − 15 ) − 1 = 0 =     2 x − 15 = 1 b, x 2 + x = 0 c, 34.3n = 37 HD: 3  x=  x − 5 = 1 − 3x 4 x = 6  =  = =>  2   x − 5 = 3x − 1 2 x = −4  x = −2 x = 0 x = 0 = x ( x + 1) = 0 =  =  x +1 = 0  x = −1 a, b, = 3n = 37 : 34 = 33 = n = 3 c, Bài 11: Tìm x biết: 4 2 a, ( 4 x − 3) = ( 4 x − 3) b, (x-1)3 = 125 c, 2 x + 2 − 2 x = 96 HD: a, ( 4 x − 3) − ( 4 x − 3) b, ( x − 1) 4 3 2 4 x − 3 = 0 2 2 = 0 = ( 4 x − 3) ( 4 x − 3) − 1 = 0 =     4 x − 3 = 1 = 53 = x − 1 = 5 = x = 6 2x+2 − 2x = 96 = 2x ( 4 −1) = 96 = 2x = 32 = 25 = x = 5 Bài 12: Tìm x biết: 2 a, ( 4 x − 7 ) = 5 7 − 4 x b, 32.3n = 37 c, c, y2008 = y2010 HD: Đặt: 7 − 4 x = a = ( 4 x − 7 ) = a 2 2 a, a = 0 Khi đó ta có: a 2 = 5a = a 2 − 5a = 0 = a ( a − 5) = 0 =  a = 5 n 7 2 5 3 = 3 : 3 = 3 = n = 5 b,  y 2008 = 0 2010 2008 2008 2 c, = y − y = 0 = y y − 1 = 0 =  2 y =1 Bài 13: Tìm x biết: 2 1 4 n 1 n 1 7 n a, 9 x 2 − 1 + x − = 0 b, .3 .3 = 3 c, .27 = 3 9 9 3 HD: 9 x 2 − 1 = 0 2 1 1  a, Vì 9 x 2 − 1  0, x −  0 , để ( 9 x 2 − 1) + x − = 0 =  1 3 3 x−3 =0  1   x =  3 1 = x = =>  3 x = 1  3 1 = 3n. = 37 : 34 = 33 = 3n = 33.32 = 35 b, 9 ( ( ) ) ( ) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 8 n 3n 1 1 1 = =   = 2 = n = 2 n 27 9 3 3 Bài 14: Tìm x biết: a, 3x −1 + 5.3x −1 = 162 b, 5x+ 2 = 625 c, HD: = a, => 3x−1 (1 + 5) = 162 = 3x−1 = 27 = 33 = x −1 = 3 = x = 4 b, => 5x + 2 = 54 = x + 2 = 4 = x = 2 c, 2 x − 1 = 0 49 => ( 2 x − 1) ( 2 x − 1) − 1 = 0 =    2 x − 1 = 1 Bài 15: Tìm x biết: a, 3x −1 + 5.3x −1 = 486 HD: a, b, x 200 = x 50 c, ( 22 : 4 ) .2n = 4 => 3x−1 (1 + 5) = 486 = 3x−1 = 81 = 34 = x −1 = 4 = x = 5 x = 0 => x x199 − 1 = 0 =  x = 1 n 2 = 2 = 4 = 2 = n = 2 c, Bài 16: Tìm x biết: x+2 x+4 a, ( x − 1) = ( x − 1) b, 5n + 5n+ 2 = 650 b, c, ( 2 x − 1) = 2 x − 1 ( ) c, 2008n = 1 HD: a, b, ( x − 1) x + 2 = 0 x+2   = ( x − 1) x − 1) − 1 = 0 =  (  ( x − 1) x + 2 = 1 = 5n (1 + 52 ) = 650 = 5n = 25 = 52 = n = 2 x+2 c, => 2008n = 1 = 20080 = n = 0 Bài 17: Tìm x biết: 2000 2008 1 n y  y  n n .2 + 4.2 = 9.5 a, b,  − 5  =  − 5 2 3  x  HD: 9 1  = 2n  + 4  = 9.5n = 2n. = 9.5n = 2n−1.9 = 9.5n = 2n−1 = 5n Vô lý a, 2 2  y 2000 8 3 −5 = 0  y   y  b,  − 5   − 5  − 1 = 0 =  y 3   3    − 5 = 1  3 Bài 18: Tìm x biết: a, 32− n.16n = 1024 b, 3−1.3n + 5.3n −1 = 162 c, 2n+3.2n = 128 HD: = 2−5n.24 n = 1024 = 2− n = 210 = n = −10 a, = 3n−1 + 5.3n−1 = 162 = 3n−1.6 = 162 = 3n−1 = 27 = 33 = n − 1 = 3 = n = 4 b, 22 x +3 = 128 = 27 = 2n + 3 = 7 = n = 2 c, GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 9 Bài 19: Tìm x biết: a, 2 x − 15 = 17 b, 2.22 x + 43.4 x = 1056 HD: a, => 2 x = 32 = 25 = x = 5 b, => 2.22 x + 43.22 x = 1056 = 22n ( 2 + 64) = 1056 = 22n = 16 = 24 = 2n = 4 = n = 2 Bài 20: Tìm x biết: 2 n−1 2x +1 x − 5 1 = a,   b, = 35 3 2 3 HD: a, => 31−2 n = 35 = 1 − 2n = 5 = n = −2 b, 2 ( 2x + 1) = 3( x − 5) = 4x + 2 = 3x −15 = x = −17 Bài 21: Tìm x biết: 3 x+2 x+4 a, 4 x −2 + 4 x+1 = 1040 b, ( 2 x − 1) = −8 c, ( x − 1) = ( x − 1) HD: a, => 4 x −2 + 4 x −2.43 = 1040 = 4 x −2.65 = 1040 = 4 x −2 = 16 = 42 = x − 2 = 2 3 3 b, => ( 2 x − 1) = ( −2 ) = 2 x − 1 = −2 => ( x − 1) c, x+2 ( x − 1) x + 2 = 0 ( x − 1) − 1 = 0 =    ( x − 1) x + 2 = 1 2 Bài 22: Tìm x biết: a, 2−1.2n + 4.2n = 9.25 HD: b, 3x −1 + 5.3x −1 = 162 9 1  = 2n  + 4  = 9.25 = 2n. = 9.25 = 2n−1 = 25 = n = 6 2 2  n −1 n −1 b, => 3 .6 = 162 = 3 = 27 = 33 = n = 4 Bài 23: Tìm x biết: a, ( ) 54 a, n 2 =n b, 4 x −2 + 4 x +1 = 1040 HD: n = 0 => n108 = n = n n107 − 1 = 0 =  n = 1 x −2 x −2 3 x −2 b, => 4 + 4 .4 = 1040 = 4 .65 = 1040 = 4 x −2 = 16 = 42 = x = 4 Bài 24: Tìm x biết: a, 2 x + 2 − 2 x = 96 b, (2x-1)50 = 2x-1 HD: 2 x.4 − 2 x = 96 = 3.2 x = 96 = 2 x = 32 = 25 = x = 5 a, 2 x − 1 = 0 49 b, ( 2 x − 1) ( 2 x − 1) − 1 = 0 =  2 x − 1 = 1 Bài 25: Tìm x biết: a, ( x − 5)2 = (1 − 3x)2 b, 32− n.16n = 1024 HD:  x − 5 = 1 − 3x 4 x = 6 =  =  a, b, 2−5n.24 n = 210 = 2− n = 210 = n = −10  x − 5 = 3x − 1  2 x = −4 a, ( GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ) 10 Bài 26: Tìm x biết: 3 a, ( 5 x − 7 ) = 512 b, (2x-15)5 = (2x-15)3 c, ( x + 2 − 2)( x2 − 4) = 0 HD: a, ( 5x − 7 ) b,  2 x − 15 = 0 3 2 = ( 2 x − 15) ( 2 x − 15 ) − 1 = 0 =     2 x − 15 = 1 3 = 83 = 5 x − 7 = 8 = 5 x = 15 = x = 3  x+2 =2  x + 2 = 2 =  2 =   x − 4 = 0  x = 2 Bài 27: Tìm x biết: a, 10 x : 5 y = 20 y b, x − 5 + x − 8 = 6 ( với x > 5) HD: a, = 10x = 20y.5y = 100y = 102 y = x = 2 y c, b, c, 2 x +1.3 y = 12 x Vì x  5 = x − 5 = x − 5 , Khi đó ta có: x − 5 + x − 8 = 6 = 2 x = 19 = x = 19 2 x −1 = 0 2 x +1.3 y = 22 x.3x = 22 x : 2 x +1 = 3 y : 3x = 2 x −1 = 3 y − x =  = x = y = 1 y − x = 0 Bài 28: Tìm x biết: 2 2 7 6 8  −11   29  2 a, ( x − 2 ) = ( x − 2 ) b, x +   =  −x= y 3  12   12  HD : x − 2 = 0 6 2 a, ( x − 2) ( x − 2 ) − 1 = 0 =   x − 2 = 1 c, 2 b, = 2 7 10 3  29   11  x + x =   −   = x = 5 = x = Thay vào tìm đc y 3 3 2  12   12  2 2  31   49  Bài 29: Tìm x,y biết rằng : x +  −  =   − x = y 2  12   12  HD : 2 2  49   31  = x + x =   −   = 2 x = 10 = x = 5 Thay vào tìm đc y  12   12  x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2 Bài 30: Tìm x,y,z biết: + + = 2 3 4 5 HD :  x2 x2   y 2 y 2   z 2 z 2   −  +  −  +  −  = 0 = x = y = z = 0 5   4 5  2 5   3 Bài 31: Tìm x biết: HD : = 7 x+2 + 7 x+1 + 7 x 52 x + 52 x+1 + 52 x+3 = 57 131 7 x ( 49 + 7 + 1) 52 x (1 + 5 + 125) = = 7 x = 25x = x = 0 57 131 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 11 Bài 32: Tìm n biết: 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 . = 2n 35 + 35 + 35 25 + 25 HD : 5 4.45 65.6  24  24 = . 5 = 2n =   . = 2n = 45.4 = 2n = 46 = 2n = 212 = 2n = n = 12 5 3.3 2.2  6  6 Bài 33: Tìm x biết: ( 23 ) 12005 HD : .x + 20050.x = 994 −15: 3 + 12005 = 8.x + x = 990 = 9x = 990 = x = 110 Bài 34: Tìm x biết: 2x + 2x +1 + 2x + 2 + 2x +3 = 480 HD : = 2x (1 + 2 + 4 + 8) = 480 = 2x = 32 = 25 = x = 5 t −2 27 − x 3 ( z + 3) = = 2 = = 4 3 y −4 8 2 Bài 35: Tìm các số nguyên x, y, z, t biết: HD : 3.27 81 = Làm tương tự tìm y,z,t 4 4 Bài 36: Tìm m,n thỏa mãn : ( −7 x 4 y m ) . ( −5x n y 4 ) = 35×9 y15 = − x = HD : n + 4 = 9 = 35.x n+ 4 . y m+ 4 = 35.×9 . y15 =  m + 4 = 15 x−1 + y2 −1 Bài 37: Tìm x, y nguyên biết : 2012 .32012 = 91006 HD : 2 2 => 2012 x−1 + y −1.32012 = 32012 = 2012 x−1 + y −1 = 1 = x − 1 + y 2 − 1 = 0  x − 1 = 0   x −1 = 1 => x − 1 + y 2 = 1 =  2 hoặc  2  y = 1  y = 0 Bài 38: Tìm các số x,y,z nguyên dương biết: x2 + y2 + x2 +1: x2 +1: y2 +1: z 2 = 6 Bài 39: Tìm x biết: 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 . = 8x 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2 HD : 5 = 4.45 65.6  24  24 . 5 = 23n =   . = 23n = 45.4 = 23n = 46 = 23n = 3n = 6 = n = 2 5 3.3 2.2  6  6 ( x+7) ( x−5)( x−6) Bài 40: Tìm giá trị của biểu thức biết: ( x − 4) HD : Thay x=7 vào ta được : ( 7 − 4 ) 7 −5 với x=7 = 32 = 9 Bài 41: Tìm x biết: 2 x+2.3x+1.5x = 10800 HD : Phân tích 10800 = 24.33.52 = 2 x +2.3x +1.5x = x = 2 Bài 42: Tìm x biết: ( x − 7 ) x +1 − ( x − 7) Bài 43: Tìm x, y nguyên biết : 2012 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức x +1 ( x − 7) 10 =0 x−1 + y −1 2 .32012 = 91006 12 Bài 44: Tìm x biết: ( x 2 − 3x − 5 ) = ( x 2 + 5 x + 1) 2 2 Bài 45: Tìm x biết: ( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) = 0 2 Bài 46: Tìm x biết: ( x 2 + 1) = ( x 2 − 2 x − 5) 2 2 Bài 47: Tìm x biết : 2 x +2.3x +1.5x = 10800 Bài 48: Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm, và 1 số bằng 0, Tìm 3 số đó biết: a = b2 ( b − c ) HD : b = 0 Xét a = 0 = b 2 ( b − c ) = 0 =  (VL ) b = c b  c = c = 0, b  0, a  0 Xét a  0 = a = b2 ( b − c )  0 =  b  0 Bài 48: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: x 3 = y ( z − x ) , Biết rằng trong ba số đó có 1 số bằng 0, một số âm, một số dương, hãy chỉ rõ số nào bằng 0, số nào âm, số nào dương? −3 3 Bài 49: Tìm x,y biết: x ( x − y ) = và y ( x − y ) = 10 50 HD : 2 9 2  3 Trừ theo vế ta được : ( x − y )( x − y ) = = ( x − y ) =    25  5 3 3 3 Bài 50: Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: a − b − c = 3abc và a 2 = 2 ( b + c ) HD: Vì a 2 = 2 ( b + c ) => a 2 là 1 số chẵn => a chẵn, mà a, b, c nguyên dương nên từ a3 − b3 − c3 = 3abc = a  b và a  c => 2a  b + c = 4a  2 (b + c ) = 4a  a2 = a  4 => a = 2 và b = c = 1 Bài 51: Tìm các số nguyên dương a, b, c, d biết : ab = bc = c d = d a và a + b + c + d = 20 Bài 52: Tìm các số nguyên dương a, x, y biết: 4x +19 = 3a ;2x + 5 = 3b Bài 53: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 5x − 17 y = 2 xy và x − y = 5,2x + 3y = xy Bài 54: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : x + 2 y − 3z = 5xyz và ( x − 2 y )( y + 7 ) − x = 192 (xyz>0) Bài 55: Tìm số nguyên x, y sao cho: x – 2xy + y = 0 HD : Biến đổi về dạng ( 2 x − 1)(1 − 2 y ) = −1 Bài 56: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: ( 2008a + 3b + 1) ( 2008a + 2008a + b ) = 225 HD: Do a,b là số tự nhiên nên: Nếu a  1 thì 2008a+2008a+b >225 (loại) Nên a=0 khi đó (3b+1)(b+1)=225=3.75=5.45=9.25 vì 3b+1 không chia hết cho 3 và 3b+1>b+1 3b + 1 = 25 = b = 8 =>  b + 1 = 9  Bài 57: Chứng minh rằng với a, b là số nguyên thì giá trị của biểu thức: A = 2021a2 + 2019b + 1 2017a2 − 2015b + 2018 là một số chẵn. ( )( ) Bài 58: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho 2018m + 4035 = n + n − 2018 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 13 Bài 59: Tìm x nguyên biết: x 2015 + 2015x = 20172016 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 14 DẠNG 4: TÌM X DẠNG PHÂN THỨC Bài 1: Tìm x nguyên biết: 1 1 1 2 1 8 2 1 a, + = b, + = 3 c, − = + 1 x y 5 y x xy x y HD: a, = 5( x + y) = xy = xy − 5x − 5 y = 0 = x ( y − 5) − 5 y + 25 = 25 = x ( y − 5) − 5 ( y − 5) = 25 = ( x − 5)( y − 5) = 25 = 1.25 = 5.5 b, = 2 y + x = 3xy = 3xy − x − 2 y = 0 = x ( 3 y − 1) − 2 y + => 3x ( 3 y −1) − 2 (3 y −1) = 2 = (3x − 2)(3 y −1) = 2 2 2 1 2  = = x ( 3 y − 1) − 2  y −  = 3 3 3 3  = 2x − y = 8 + xy  xy − 2x + y = −8 = x ( y − 2) + y − 2 = −10 = ( x + 1)( y − 2) = −10 Bài 2: Tìm x nguyên biết: −3 12 x 1 1 1 4 a, x − − = −1 b, c, − = − =1 8 y 4 y xy y xy HD: a, => x2 y − x − 4 = − xy = x2 y + xy − x − 4 = 0 = xy ( x + 1) − x − 1 − 3 = 0 c, => xy ( x + 1) − ( x + 1) = 3 => ( xy −1)( x + 1) = 3 = 1.3 b, => −3x −12 = xy = xy + 3x = −12 = x ( y + 3) = −12 = −1.12 = −2.6 = −3.4 => xy − 8 = 2 y = xy − 2 y = 8 = y ( x − 2) = 8 = 1.8 = 2.4 Bài 3: Tìm x nguyên biết: 3 y 5 4 2 −2 2 a, b, + = 1 c, + = − = −1 x 3 6 x y x y HD: a, = −2 y − 2x = − xy = xy − 2x − 2 y = 0 = x ( y − 2) − 2 y + 4 = 4 = x ( y − 2) − 2 ( y − 2) = 4 c, => ( x − 2)( y − 2) = 4 b, = 4 y + 2x = xy = xy − 2x − 4 y = 0 = x ( y − 2) − 4 y + 8 = 8 = ( y − 2)( x − 4) = 8 3 5 y 5 − 2y = − = = x ( 5 − 2 y ) = 18 x 6 3 6 Bài 4: Tìm x nguyên biết: 5 y 1 x 4 1 x 2 1 a, − = b, − = c, − = x 3 6 3 y 5 6 y 30 HD: 5 1 y 5 1+ 2y = = + = = = x ( 2 y + 1) = 30 a, x 6 3 x 6 x 1 4 5x − 3 4 b, => − = = = = y ( 5x − 3) = 60 3 5 y 15 y x 1 2 5x − 1 2 c, => − = = = = y ( 5x − 1) = 60 6 30 y 30 y Bài 5: Tìm x nguyên biết: 4 y 5 x 3 1 −25 x 5 a, + = b, − = c, = = 2 x 3 6 9 y 18 −5 −3 y HD: c, => GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 15 4 5 y 5 − 2y = − = = x ( 5 − 2 y ) = 24 x 6 3 6 x 1 3 2x − 1 3 b, = − = = = = y ( 2 x − 1) = 54 9 18 y 18 y ( −5) .5 ( −25)( −3) = 1 = y = 1 c, = x = = −15 và y 2 = −25 ( −5) Bài 6: Tìm x nguyên biết: 5 y 1 x 1 7 9 2 359 1 a, b, − = c, + = + = − x 4 8 15x 10 y 5 30 xy 7 2 y +1 HD: a, Quy đồng ta được: 14 y + 27 x 12 xy − 359 = = = 12 xy − 27 = 14 y + 359 = 6 x ( 4 y − 9) = 7 ( 4 y − 9) + 781 30 xy 30 xy = ( 4 y − 9)( 6 x − 7 ) = 781 = 11.71 2x − 7 1 b, => = = ( 2 x − 7 )( y + 1) = 14 14 y +1 5 1 y 1− 2y = x (1 − 2 y ) = 40 c, => = − = x 8 4 8 a, = GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 16 DẠNG 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHẶN Bài 1: Tìm số tự nhiên x,y biết: 7 ( x − 2004 ) = 23 − y 2 HD: 2 Từ giả thiết ta thấy 7 ( x − 2004 )  0 nên 23 − y 2  0 = y 2  23 = y 0;1;2;3;4 2 Mà 7 là số nguyên tố nên 23 − y 2 7 = y 3;4 . Thay y vào ta tìm được x Bài 2: Tìm số tự nhiên x,y biết: 25 − y 2 = 8 ( x − 2002 ) HD: 2 Từ giả thiết ta có: 8 ( x − 2002 )  0 = 25 − y 2  0 = y 2  0,1, 2,3, 4,5 2 Mà 8( x − 200)2 8 = 25 − y 2 8 = y 1;3;5 . Thay y vào tính x Bài 3: Tìm ba số tự nhiên a, b, c biết: 1 1 1 4 + + = a b c 5 HD : 4 1 1 1 1 1 1 3 = + +  + + = = c  3 5 a b c c c c c 1 1 4 1 1 4 TH1 : Với c = 1 = + + 1 = = + = − 1  0 ( Loại) a b 5 a b 5 1 1 4 1 3 TH2 : Với c = 2 = + = − = = 3ab = 10a + 10b a b 5 2 10 1 1 4 1 7 TH3 : Với c = 3 = + = − = = 7ab = 15a + 15b a b 5 3 15 1 1 1 4 Bài 4: Tìm ba số từ nhiên a, b, c khác 0 biết: + + = a b c 3 HD: c = 1 1 1 1 3 4 Không mất tính tổng quát: Giả sử: a  b  c = + +  = =  a b c c 3 c = 2 b = 6 b = 4 1 1 4 1 1 2 1 , Với c = 1 = + + 1 = = +  = = b  6 =  a b 3 a b b 3  a = 6  a = 12 Giả sử : a  b  c = Với c = 2 = 1 1 1 4 1 1 5 + + = = + = = b = 3, a = 2 a b 2 3 a b 6 Bài 5: Tìm các số nguyên a, b, c  0, biết: a b c a c b + + = + + = a+b+c = 3 b c a c b a HD: a b c a c b a c  b a   c b  =  + +  +  + +  + 3 = 9 =  + + 1 +  + + 1 +  + + 1 = 9 b c a c b a b b  c c  a a  a+b+c a+b+c a+b+c 1 1 1 + + = 9 = ( a + b + c )  + +  = 9 => b c a a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 => + + = 3 , do a, b, c  Z nên  1,  1,  1 = + +  3 = a = b = c = 1 a b c a b c a b c GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 17 Bài 6: Tìm số nguyên x, y biết: 42 − 3 y − 3 = 4 ( 2012 − x ) HD: 4 4 => 42 = 3 y − 3 + 4 ( 2012 − x ) , Do 3 y − 3  0, y  Z nên 4 ( 2012 − x )  42 4 = ( 2012 − x )  11  24 = 2012 − x = 0 hoặc 2012 − x =  1, Vì 2012 – x là số nguyên nên 4 38 (loại) 3 + Nếu: 2012 – x = 0 => x = 2012 và 42 = 3 y − 3 = y − 3 = 14 => y= 17 hoặc y = – 11 + Nếu 2012 − x =  1=> x = 2011 hoặc x = 2013 thì 38 = 3 y − 3 = y − 3 = Bài 7: Tìm số tự nhiên x,y biết: 25 − y 2 = 8 ( x − 2009 ) (Tự luyện) HD : 2 Từ giả thiết ta có: 8 ( x − 2009 )  0 = 25 − y 2  0 = y 2  0,1, 2,3, 4,5 2 Mà 8( x − 2009)2 8 = 25 − y 2 8 = y  1;3;5 . Thay y vào tính x Bài 8: CMR không tìm được hai số x, y nguyên dương sao khác nhau sao cho 1 1 1 − = x y x− y HD : Quy đồng chéo ta được : ( y − x )( x − y ) = xy , Vì x – y và y – x là hai số đối nhau nên VT < 0, Và nếu x, y nguyên dương thì VP > 0=> Mẫu thuẫn Vậy không tồn tại hai số x, y nguyên dương 1 1 1 Bài 9: Tìm ba số nguyên dương x, y, z sao cho: + + = 2 x y z HD : 1 1 1 1 1 1 3 3 Giả sử : x  y  z = 2 = + +  + + = = z  = z = 1 x y z z z z z 2 1 1 1 1 Với z = 1 = + + 1 = 2 = + = 1 = x + y = xy = ( x − 1)( y − 1) = 1 x y x y 1 1 1 + =1 Bài 10: Tìm bộ ba số tự nhiên khác 0 sao cho: + a a+b a+b+c HD: 1 1 1 1 1 1 3 + = 1  + + = = a  3 = a  1; 2;3 Vì + a a+b a+b+c a a a a 1 1 1 1 + + 1 = 1 = + = 0 ( Loại) TH1 : Với a = 1 = b +1 b + c +1 b +1 b + c +1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + = 1 = + =  + = TH2 : Với a = 2 = b+2 b+c+2 2 b+2 b+c+2 2 b+2 b+2 b+2 = b + 2  4 = b  2 = b  1;2 1 1 1 + = = c 3 c+3 2 1 1 1 = = c Nếu b=2 thì + 4 c+4 2 1 1 1 2 1 1 2 + = 1− =  + = = b + 3  3 = b  0 (loại) TH3 : Với a = 3 = b+3 b+c+3 3 3 b+3 b+3 b+3 Nếu b=1 thì GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 18 1 1 1 + = m n 7 Bài 11: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn: HD: m+n 1 = = 7m + 7n = mn = mn − 7m − 7n = 0 mn 7 => m ( n − 7 ) − 7n + 49 = 49 = ( n − 7 )( m − 7 ) = 49 a b c a c b Bài 12: Tìm các số nguyên a,b,c  0 biết: + + = + + = a + b + c = 3 b c a c b a HD: a+b+c a+b+c a+b+c  1 1 1 = + + = 9 = ( a + b + c )  + +  = 9 b c a a b c 1 1 1 1 1 1 = + + = 3 . Do a, b, c  Z =  1,  1,  1 = a = b = c = 1 a b c a b c 2 Bài 13: Tìm các số x, y nguyên dương biết: y ( x + 1) = 1576 + x 2 = Bài 14: Tồn tại hay không số tự nhiên m và n để 1995n − 18m + 1 = 0 Bài 15: Tìm x, y để: 4 x + 24 = 5 y Bài 16: Tìm x,y,z nguyên dương biết: x + y + z = xyz HD: Vì x, y, z có vai trò như nhau nên ta xét: x  y  z Vì x, y, z nguyên dương nên xyz  0, = xyz = x + y + z  3z = xy  3 = xy  1;2;3 Nếu xy = 1 = x = y = 1 = 2 + z = z vô lý Nếu xy = 2, ( x  y ) = x = 1, y = 2 = z = 3 Nếu xy = 3, ( x  y ) = x = 1, y = 3 = z = 2 Bài 17: Tìm x,y thuộc Z biết 25 − y 2 = 8 ( x − 2015) Bài 18: Cho A = 2 −3 7 −4 8 −2 5 −4 20 12 11 x + − + − + + + − . Tìm số nguyên x sao cho A   B và B = 17 9 31 17 31 7 15 7 15 3 9 HD : −4 2 và B = 9 3 −4 x 2 −4 x 6   =   = −4  x  6 Theo bài ra ta có : 9 9 3 9 9 9 Bài 19 : Tìm số nguyên x sao cho : x 2 − 1 x 2 − 4 x 2 − 7 x 2 − 10  0 Tính A ta có : A = ( HD : ( )( )( )( )( )( )( ) Vì tích của 4 số : x 2 − 1 , x 2 − 4 , x 2 − 7 , x 2 − 10 ) là 1 số âm, nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm Ta có : x 2 − 10  x 2 − 7  x 2 − 4  x 2 − 1 , ta xét 2 TH sau : TH1 : Có 1 số âm :=> x 2 − 10  x 2 − 7 = x 2 − 10  0  x 2 − 7 = 7  x 2  10 = x 2 = 9 = x = 3 TH2 : Có 3 số âm và 1 số dương : = x 2 − 4  0  x 2 − 1 = 1  x 2  4 , Do x là số nguyên nen không tồn tại x Vậy x = 3 là số cần tìm GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 19 Bài 20: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 6x 2 + 5y2 = 74 HD: 74 Từ 6 x 2 + 5y 2 = 74 = 6 x 2  74 = x 2  mà x  Z = x 2 0;1;4;9 6 2 2 Mặt khác ta lại có: x + 1 = 75 − 5x − 5y2 5 = x 2 = 4 hoặc x 2 = 9 Với x2 = 4 = y2 = 10 ( loại) vì y không là số nguyên   Với x 2 = 9 = y 2 = 4 = ( x; y )  ( 3;2 ) ; ( 3; −2 ) ; ( −3;2 ) ; ( −3; −2 ) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 20 DẠNG 6: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG Bài 1: Tìm x, biết: x + 2x + 3x + … + 2011x = 2012.2013 HD: Ta có: x (1 + 2 + 3 + … + 2011) = 2012.2013 = x. (1 + 2011) .2011 = 2012.2013 => x 2 Bài 2: Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + … + ( x + 100) = 5070 HD: Ta có: ( x + x + x + … + x ) + (1 + 2 + 3 + … + 100) = 5070 => 100 x + 5050 = 5070 = 100 x = 20 = x = 1 5 1 1 1 1 1 2 3 9 Bài 3: Tìm x biết:  + + + … +  x = + + + … + 10  9 8 7 1 2 3 4 HD: 9 1 2 3 9 1 2 3 8 Ta có: Tách thành 9 số 1=> + + + … + =  + 1 +  + 1 +  + 1 + … +  + 1 + 1 1 9 8 7 1 9  8  7  2  10 10 10 10 10 1 1 1 1 = + + + … + + = 10  + + + … +  9 8 7 2 10 10  2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó  + + + … +  x = 10  + + + … +  = x = 10 10  10  2 3 4 2 2 3 Bài 4: Tìm x biết: 1 + 2 + 3 + … + x = 820 HD: (1 + x ) x = = 820 = x ( x + 1) = 1640 = 40.41 = x = 40 2 2 Bài 5: Tìm x biết: 13 + 23 + 33 + … + 103 = ( x + 1) HD: Ta có: 13 + 23 = 1 + 8 = 9 = (1 + 2 ) 2 13 + 23 + 33 = 9 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3) 2 ….  x + 1 = 45 2 2 13 + 23 + 33 + … + 103 = (1 + 2 + 3 + … + 10 ) = ( x + 1) = 452 =   x + 1 = −45 2 Bài 6: Tìm x biết: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 = ( x − 2 ) HD: (1 + 99 ) 50  x − 2 = 50 2 => = 502 = ( x − 2 ) =  2  x − 2 = −50 Bài 7: Tìm x biết: x − 3x + 5x − 7 x + … + 2013x − 2015x = 3024 HD: => ( x − 3x ) + ( 5x − 7 x ) + … + ( 2013x − 2015x ) = 3024 = ( −2x ) + ( −2x ) + … + ( −2 x ) = 3024 = ( −2 x ).504 = 3024 = −2x = 6 = x = −3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 21 Bài 8: Tìm x biết: 2 6 12 20 110 . . . … .x = −20 12 22 32 42 102 HD: (1.2.3…10 )( 2.3….11) 1.2 2.3 3.4 4.5 10.11 .x = −20 . . . … .x = −20 = 1.1 2.2 3.3 4.4 10.10 (1.2….10 )(1.2….10 ) −20 = 11x = −20 = x = 11 3 3 3 3 24 + + + … + = Bài 9: Tìm x biết: 35 63 99 x ( x + 2 ) 35 HD: 3 3 3 3 24 + + + … + = Ta có: => 5.7 7.9 9.11 x ( x + 2 ) 35 Ta có:  24 3 2 2 2 2 =  + + + … + = 2  5.7 7.9 9.11 x ( x + 2 )  35 31 1  24 1 1 24 2 16 =  − = − = . = = 2  5 x + 2  35 5 x + 2 35 3 35 1 16 1 −9 −35 −35 −53 = − = = = x + 2 = = x = −2= 5 35 x + 2 35 9 9 9 1 2 3 4 31 x Bài 10: Tìm x biết: . . . … = 2 4 6 8 10 64 HD: (1.2.3.4.5….30.31) 1.2.3….31 1 1 = = 2 x = 31 = 31 5 = 36 = 2 x = x = −36 2 .2.3.4…32 2 .2 2 ( 2.2 )( 2.3)( 2.4 ) … ( 2.32 ) Bài 11: Tìm x biết: 1 1 1 1 49 + + + … + = 1.3 3.5 5.7 ( 2 x −1)( 2 x + 1) 99 HD: = 2 2 2 2 98 1 98 + + + … + = = 1 − = 1.3 3.5 5.7 2 x + 1 99 ( 2 x − 1)( 2 x + 1) 99 2x 98 = = 2 x = 98 = x = 49 2 x + 1 99 1 1 1 2 1989 =1 Bài 12: Tìm x biết: 1 + + + + … + 3 6 10 x ( x + 1) 1991 HD: 2 2 2 2 1989 = 2 + + + + …. + =1 6 12 20 x ( x + 1) 1991 =>  1  1989 1 1 1 = 2 + 2  + + + … +  =1 x ( x + 1)  1991  2.3 3.4 4.5  x − 1  −2 1  1989 1 => 2 + 2  − = 2   =  =1  2 x + 1  1991  2 ( x + 1)  1991 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 22 x − 1 −2 = = 1991( x − 1) = −2 ( x + 1) = 1991x − 1991 = −2 x − 2 x + 1 1991 1989 = 1991x + 2 x = −2 + 1991 = 1993x = 1989 = x = 1993 1006 9 +1 x Bài 13: Tìm x biết: 1 − 3 + 32 − 33 + … + ( −3) = 4 HD: x +1 x Đặt A = 1 − 3 + 32 − 33 + … ( −3) . Khi đó: 3 A = 3 − 32 + 33 − 34 + … + ( −3) => = 3 A + A = 4 A = 1 + ( −3) x +1 = A = ( −3) x +1 4 +1 Theo giả thiết ta có: ( −3) = x + 1 = 2012 = x = 2011 12 Bài 14: Tìm x biết: 3 + x − 3 = 217 − 216 − 215 − … − 22 HD: Đặt: A = 22 + 23 + 24 + … + 216 . Tính A ta có: 2 A = 23 + 24 + 25 + … + 217 = 2 A − A = 217 − 22 = A Theo giả thiết ta có: 3 + x − 3 12 = 217 − A = 217 − ( 217 − 22 ) = 4 = x − 3 12 x+1 4 +1 32012 + 1 = 4 x − 3 = 1 = 112 =   x − 3 = −1 1 1 1 1 + + + … + 200 = 1 Bài 15: Tìm x biết: ( x − 20 ) 2 3 4 1 2 199 2000 + + … + 199 198 1 HD: 1 1 1 1 + + + … + 200 . Ta có mẫu của Đặt A = 2 3 4 1 2 199 + + … + 199 198 1 200 200 200 200  1   2   198  A= + 1 +  + 1 + … +  + 1 + 1 = + + … + + 199 198 2 200  199   198   2  1 1 1 1 + + + … + 200 = 1 Khi đó A = 2 3 4 1  200 1 1 200  + + … +  200  2 3 1 1 1 1 −199 = = x − 20 = = x = − 20 = Như vậy ta có: ( x − 20 ) . 200 2000 10 10 10 4 8 12 32 16 + + + … + = Bài 16: Tìm x biết: 3.5 5.9 9.15 n ( n + 16 ) 25 HD:  2  16 4 6 16 = 2  + + + … +  = 3.4 5.9 9.15 n n + 16 ( )   25 1  16 1 1 8 1 1 8 1 1 = 2  − = − = = = − = = n + 16 = 75 = 3 n + 16 25 n + 16 3 25 75  3 n + 16  25 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 23 1 1 1 1 = 511 Bài 17: Tìm x biết: x : + x : + x : + … + x : 2 4 8 512 HD: = 2x + 4x + 8x + … + 512 x = 511 = x ( 2 + 4 + 8 + 16 + … + 512) = 511 Đặt A = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 512 = 2 A = 4 + 8 + 16 + … + 1024 = 2 A − A = 1024 − 2 = 1022 511 1 = Khi đó ta có: xA = 511 = x.1022 = 511 = x = 1022 2 Bài 18: Tìm x biết: 2 x −1 + 2 x −2 + 2 x −3 + … + 2 x −49 = 249 − 1 HD: Đặt: A = 2 x −1 + 2 x −2 + 2 x −3 + … + 2 x −49 = 2 A = 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 + … + 2 x −48 = 2 A − A = A = 2 x − 2 x −49   x x − 49 = 249 − 1 = 2x 1 − theo bài ra ta có: 2 − 2 49 1  49 −1 x 2 = 2 − 1 = 2 . − ( 249 − 1) = 0 49  49 2  2 2x x − 49 = 1 = 20 = x − 49 = 0 = x = 49 − 1 = 0 = 2 249 Bài 19: Tìm x biết: x + x −1 + x − 2 + x − 3 + … + x − 50 = 255 HD : = = ( x + x + x + … + x ) − (1 + 2 + 3 + … + 50) = 255 = 51x − 1275 = 255 = 51x = 1530 = x = 30 Bài 20: Tìm x biết: x + ( x + 1) + ( x + 2) + … + ( x + 2010) = 2029099 HD : = ( x + x + x + … + x ) + (1 + 2 + 3 + … + 2010) = 2029099 = 2011x + 2021055 = 2029099 = 2011x = 2029099 − 2021055 = 8044 = x = 4 Bài 21: Tìm x biết: 2 + 4 + 6 + … + 2 x = 210 HD : = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + … + x ) = 210 = 2. ( x + 1) .x = 210 = x ( x + 1) = 210 = 14.15 2 Bài 22: Tìm x biết: (x+1) + (2x+3) + (3x+5) + … + (100x+199) = 30200 HD : = ( x + 2x + 3x + … + 100x ) + (1 + 3 + 5 + … + 199) = 30200 = x.5050 + 10000 = 30200 = 5050x = 20200 = x = 4 1 1 1 2 1 + + + … + 2 = Bài 23: Tìm x biết: 14 35 65 x + 3x 9 HD : 2 2 2 2 1 + + + … + = => 28 70 130 x ( x + 3) 9 = 2 2 2 2 1 + + + … + = 4.7 7.10 10.13 x ( x + 3) 9  1 21 2 3 3 3 1  1 =>  + + … + =  = =  −  3  4.7 7.10 x ( x + 3)  9 3  4 x + 3  9 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 24 1 1 1 1 1 1 1 1 − = = − = = = = x = 9 4 x+3 6 4 6 x+3 12 x + 3 3 3 3 3 24 Bài 24: Tìm x biết: + + + … + = 35 63 99 x( x + 2) 35 HD : 3 3 3 3 24 + + + … + = 5.7 7.9 9.11 x ( x + 2 ) 35 =>  24 3 2 2 2 2 =  + + + … + = 2  5.7 7.9 9.11 x ( x + 2 )  35 31 1  24 1 1 24 2 16 =  − = − = . = = 2  5 x + 2  35 5 x + 2 35 3 35 1 16 1 −9 −35 −35 −53 = − = = = x + 2 = = x = −2= 5 35 x + 2 35 9 9 9 2 Bài 25: Tìm x biết: 1+ 3 + 5 + 7 + … + 99 = ( x − 2) HD: (1 + 99 ) 50  x − 2 = 50 2 => = 502 = ( x − 2 ) =  2  x − 2 = −50 (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99).x 6 3 = 12 : Bài 26: Tìm x biết: 26950 7 2 HD : Đặt : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 Tính A ta được : 3A = 1.2 ( 3 − 0) + 2.3 ( 4 − 1) + 3.4 (5 − 2) + … + 98.99 (100 − 97 ) 3A = (1.2.3 − 0.1.2) + ( 2.3.4 − 1.2.3) + … + (98.99.100 − 97.98.99) = 98.99.100 A= 98.99.100 3 98.99.100.x 6 3 60 5 = 12 : = 12 x = = x = 3.26950 7 2 7 7 1 1 1 1 1 2 3 9 Bài 27: Tìm x biết: ( + + + … + ) x = + + + … + 2 3 4 10 9 8 7 1 HD : Thay vào ta có : 1 2 3 9 1  2  3  8  + + + … + =  + 1 +  + 1 +  + 1 + … +  + 1 + 1 9 8 7 1 9  8  7  2  10 10 10 10 10 1 1 1 1 = + + + … + + = 10  + + … + +  9 8 7 2 10 9 10  2 3 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó :  + + + … +  .x = 10  + + … +  = x = 10 10  10  2 3 4 2 3 Bài 28: Tìm x biết: x-3x+5x-7x+…+2013x-2015x = 3024 HD : Ta có : ( x − 3x ) + ( 5x − 7 x ) + … + ( 2013x − 2015x ) = 3024 Ta có : = ( −2x ) + ( −2x ) + ( −2x ) + … + ( −2x ) = 3024 = ( −2x ) .504 = 3024 = −2x = 6 = x = −3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 25 7 13 21 31 43 57 73 91 = 10 Bài 29: Tìm x biết: 2 x + + + + + + + + 6 12 20 31 42 56 72 90 HD : 1 1 1 1 Ta có : 2 x + 1 +  + 1 +  + 1 +  + … + 1 +  = 10 20   6   12    90  1 1 1 1 = 2 x + 8 + + + + … + = 10 2.3 3.4 4.5 9.10 1 1 8 4 = 2 x + 8 + − = 10 = 2 x = = x = 2 10 5 5 1 1 1 49  Bài 30: Tìm x biết:  + + … + x = 98.99.100  200  1.2.3 2.3.4 HD : 1 2 2 2 2 49  Ta có :  + + + … +  .x = 2  1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100  200 1  1 1   1 1  1  49  1 =  − − − +  + … +    .x = 2  1.2 2.3   2.3 3.4  200  98.99 99.100   1 1 1  49 99 =  − = x =  .x = 2  1.2 99.100  200 101 1 1 1  2012 2012 2012 Bài 31: Tìm x biết:  + + … + + + … + x = 99.100  51 52 100  1.2 3.4 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + … + = − + − + … + − Ta có : 1.2 3.4 99.100 1 2 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    =  + + + + … + +  − 2  + + + … +  99 100  100  1 2 3 4 2 4 6 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 =  + + + … + + + + … +  −  + + … +  = 100   1 2 50  51 52 53 100 1 2 3 1 1 1  1 1 1  1 Khi đó :  + + … + + + … +  .x = 2012  +  = x = 2012 100  100   51 52  51 52 53 1 1 1  2014 2015 4025 4026 Bài 32: Tìm x biết: 1 + + + … + + + … + +  x + 2013 = 2013  1 2 2012 2013  2 3 HD : 2014 2015 4025 4026 + + … + + − 2013 Ta có : 1 2 2012 2013 2014   2015   4025   4026  =  − 1 +  − 1 + … +  − 1 +  − 1  1   2   2012   2013  2013 2013 2013 2013 2013 1  1 1 1 = + + + … + + = 2013  + + + … +  1 2 3 2012 2013 2013  1 2 3 1 1 1  1  1 1 Khi đó : 1 + + + … +  .x = 2013  + + … + .  = x = 2013 2013  2013   2 3 1 2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 26 Bài 33: Tìm x biết: Cho x1 + x2 + x3 + … + x50 + x51 = 1 và x1 + x2 = x3 + x4 = … = x49 + x50 = 1, Tính x51 =? HD : Thay vào ta có : ( x1 + x2 ) + ( x3 + x4 ) + … + ( x49 + x50 ) + x51 = 1 => 1 + 1 + 1 + … + 1 + x51 = 1 = 25 + x51 = 1 = x51 = −24 Bài 34: Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 3100 , Tìm số tự nhiên n sao cho 2 A + 3 = 3n HD : Tính A ta được : 3 A = 32 + 33 + 34 + … + 3101 = 3 A − A = 2 A = 3101 − 3 = 2 A + 3 = 3101 Theo bài ra ta có : 2 A + 3 = 3n = 3101 = n = 101 Bài 35: Tìm x biết : 23.x + 20100.x = 995 − 15 : 3 HD : 8.x + x = 990 = 9x = 990 = x = 110 Bài 36: Tìm x biết : ( x – 1 ) + ( x – 2 ) + … + ( x – 20) = – 610 HD : Ta có : ( x + x + x + … + x ) − (1 + 2 + 3 + … + 20) = −610 = 20x − 210 = −610 = x = −20 Bài 37: Tìm x biết : ( x + 1) + ( x + 2 ) + … + ( x + 100 ) = 7450 HD : Ta có : ( x + x + x + .. + x ) + (1 + 2 + 3 + … + 100) = 7450 100x + 5050 = 7450 = x = 24 Bài 38: Cho x = 22012 − 22011 − 22010 − … − 2 − 1 , Tính 2010 x HD : Đặt : A = 1 + 2 + 22 + … + 22010 + 22011 Tính A ta có : 2 A = 2 + 22 + 23 + … + 22012 = 2 A − A = 22012 − 1 = A Khi đo ta có : x = 22012 − A = 22012 − ( 22012 − 1) = 1 Vậy 2010 x = 20101 = 2010 Bài 39: Tìm x biết: 2 + 4 + 6 = x ( x + 2)( x + 4) ( x + 4)( x + 8) ( x + 8)( x + 14) ( x + 2)( x + 14) HD : 1   1 1   1 1  x  1 =  − − − + + =  x + 2 x + 4   x + 4 x + 8   x + 8 x + 14  ( x + 2 )( x + 14 ) 1 1 x 12 x = − = = = = 12 = x x + 2 x + 14 ( x + 2 )( x + 14 ) ( x + 2)( x + 14) ( x + 2)( x + 14) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 27 DẠNG 7: TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG BẰNG 0 Bài 1: Tìm a, b, c biết: ( 2a + 1) + ( b + 3) + ( 5c − 6 )  0 2 4 2 HD: Vì ( 2a + 1)  0, ( b + 3)  0, ( 5c − 6 )  0 Nên để ( 2a + 1) + ( b + 3) + ( 5c − 6 )  0 thì: 2 4 2 2 4 2 −1  a=   2a + 1 = 0 2   b + 3 = 0 = b = − 3   5c − 6 = 0  6  c = 5  Bài 2: Tìm x, y, z biết: (x −3 5) 2 ( y + 3 5) + 2 + x+ y+ z =0 HD: Vì (x −3 5) (x −3 5) 2 2  0, ( y + 3 5) ( y + 3 5) + 2 2  0, x + y + z  0 nên để : x − 3 5 = 0 x = 3 5   + x + y + z = 0 thì:  y + 3 5 = 0 =  y = −3 5 x + y + z = 0 z = 0   Bài 3: Tìm a, b, c biết: ( x − 13 + y ) + ( x − 6 − y ) = 0 2 HD: 2 Vì ( x − 13 + y )  0, ( x − 6 − y )  0 Nên để: ( x − 13 + y ) + ( x − 6 − y ) = 0 Thì: 2 2 2 2  19 x=  x − 13 + y = 0  x + y = 13  2 =  =   x − 6 − y = 0 x − y = 6 y = 7  2 Bài 4: Tìm a, b, c biết: ( x + 2 ) + 2 ( y − 3)  4 2 HD: 2 Vì A = ( x + 2 )  0, B = ( y − 3)  0 nên ta có các TH sau: 2 2 A = 0 x + 2 = 0 TH 2 :  =  B = 1  y − 3 = 1  x + 2 = 1 A =1 =  TH 4 :   y − 3 = 1 B = 1 A = 0 x + 2 = 0  x = −2 TH1:  =  =  B = 0 y −3 = 0 y = 3  x + 2 = 1 A =1 =  TH 3 :  y −3 = 0 B = 0 4 Bài 5: Tìm x, y biết: 42 − 3 y − 3 = 4 ( 2012 − x ) HD: 4 Từ giả thiết ta có: 42 = 3 y − 3 + 4 ( 2012 − x ) , Do 3 y − 3  0 = 4 ( 2012 − x )  42 = ( 2012 − x )  11  24 => 2012 − x = 0 hoặc 2012 − x = 1 4 4 Bài 6: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( a − 7 ) + ( 3b + 2 ) + ( 4c − 5)  0 2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 6 28 HD : Vì : ( a − 7 )  0, ( 3b + 2 )  0, ( 4 x − 5)  0 2 2 2  a = 7 a − 7 = 0  −2 2 2 2   nên để : ( a − 7 ) + ( 3b + 2 ) + ( 4c − 5 )  0 = 3b + 2 = 0 = b = 3 4c − 5 = 0   5  c = 4 2 1 Bài 7: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 9 x 2 − 1) + x − = 0 3 HD : 2 1 Vì ( 9 x2 − 1)  0, x −  0 nên để : 3 9 x 2 − 1 = 0 2 1 2 ( 9 x − 1) + x − 3 = 0 =  x = 1 = x = 13  3  Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 7b − 3) + ( 21a − 6 ) + (18c + 5)  0 4 4 6 HD : ( 7b − 3)4  0 7b − 3 = 0  4 4 6  4  Vì : ( 21a − 6 )  0 Nên để : ( 7b − 3) + ( 21a − 6 ) + (18c + 5)  0 = 21a − 6 = 0 18c + 5 = 0  6  (18c + 5 )  0 100 200 Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 3x − 5) + ( 2 y − 1)  0 HD : 100  3x − 5 = 0 100 200 ( 3 x − 5 )  0 Vì  , Nên để : ( 3x − 5) + ( 2 y − 1)  0 thì  200 2 y − 1 = 0  ( 2 y − 1)  0 Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 2a + 9 ) + (8b + 1) + ( c − 19 )  0 2 4 6 HD : ( 2a + 9 )2  0  2a + 9 = 0   2 4 6 4  Vì ( 8b + 1)  0 , Nên để : ( 2a + 9 ) + (8b + 1) + ( c − 19 )  0 thì 8b + 1 = 0 c − 19 = 0  6  ( c − 19 )  0 2 2 Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x + 2 ) + 2 ( y − 3)  4 HD : 2  ( x + 2 )  0 Vì  nên ta có các TH sau : 2 y − 3  0 ( )   2  ( x + 2 ) = 0 TH1 :  2  ( y − 3 ) = 0 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2  ( x + 2 ) = 0 TH2 :  2  ( y − 3 ) = 1 29 2  ( x + 2 ) = 1 TH3 :  2  ( y − 3 ) = 0 2  ( x + 2 ) = 1 TH4 :  2  ( y − 3) = 1 Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 2 x − 1) 2008 2  + y−  5  2008 + x+ y−z =0 HD : Vì: ( 2 x − 1) 2008 2   0 , và  y −  5  2008  0 và x + y − z  0 ( 2 x − 1) = 0  2008 2  2 2008  nên để : ( 2 x − 1) +  y −  + x + y − z = 0 thì  y − = 0 5 5    x + y − z = 0 Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 4 x − 7 ) − 5 7 − 4 x = 0 2 HD: t = 0 Đặt: 4 x − 7 = t = t 2 − 5t = 0 =  t = 5 4k 2  Bài 14: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 2.x 2 k +  y −  = 0 ( k  N ) 3  HD: 4k 4k 2 2   2k 2k Vì: 2  0 và  y −   0 nên để : 2.x +  y −  = 0 thì: 3 3    x2k = 0   2 y − = 0 3  2 2 Bài 15: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − 13 + y ) + ( x − 6 − y ) = 0 HD: 2   x + y − 13 = 0 2 2 ( x − 13 + y )  0 Vì:  Nên để: thì x − 13 + y + x − 6 − y = 0 ( ) ( )  2 x − y − 6 = 0 x − 6 − y  0 ( )   Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 2 x + 3) + ( 3x − 2 ) = 0 2 4 HD: 2  2 x + 3 = 0 2 4 ( 2 x + 3)  0 Vì:  Nên để: thì 2 x + 3 + 3 x − 2 = 0 ( ) ( )  4 3x − 2 = 0 3 x − 2  0 ( )   Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: x + 5 + ( 3 y − 4 ) 2010 =0 HD: Vì x + 5  0 và ( 3 y − 4 ) 2010  0 Nên để: x + 5 + ( 3 y − 4 ) 2010 Bài 18: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 42 − 3 y − 3 = 4 ( 2012 − x ) x + 5 = 0 = 0 Thì  3 y − 4 = 0 4 HD: GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 30 = 42 = 3 y − 3 + 4 ( 2012 − x ) .Do 3 y − 3  0 = 4 ( 2012 − x )  42 4 4 = ( 2012 − x )  11  24 = 2012 − x = 0 hoặc 2012 − x = 1 4 Bài 19: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 3x − 5 ) 2006 + ( y 2 − 1) 2008 + (x − z) 2010 =0 HD: ( 3 x − 5 ) 2006  0 3x − 5 = 0  2008 2008  2 2006 2010 2  0 Nên để: ( 3x − 5) + ( y − 1) + ( x − z ) = 0 thì  y 2 − 1 = 0 Vì ( y − 1)  x − z = 0 2010  0 ( x − z ) Bài 20: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: x − 2011y + ( y − 1) 2012 =0 HD: Vì: x − 2011y  0 và ( y − 1) 2012 0  x − 2011y = 0 = 0 thì:   y −1 = 0 2 Bài 21: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( 2 x − 1) + 2 y − x − 8 = 12 − 5.22 Nên để: x − 2011y + ( y − 1) 2012 HD: ( 2 x − 1)2  0 2 x − 1 = 0 2 Ta có: ( 2 x − 1) + 2 y − x = 0 , Vì  , Nên để: ( 2 x − 1) + 2 y − x = 0 Thì  2 y − x = 0  2 y − x  0 Bài 22: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x + 2 − 2 ) ( x 2 − 4 ) = 0 2 HD :  x+2 −2 =0  x+2 =2 =  2 Ta có : =  2 ( x − 4 ) = 0  x = 4 Bài 23: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − 2)20 + y − x  0 HD : ( x − 2 )20  0 x − 2 = 0 Vì  , Nên để ( x − 2)20 + y − x  0 Thì  y − x = 0  y − x  0 Bài 24: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x +1)2016 + ( y −1)2  0 HD : ( x + 1) 2016  0 x +1 = 0 2016 2 Vì :  , Nên để : thì : ( x + 1) + ( y − 1)  0  2  y −1 = 0 ( y − 1)  0 Bài 25: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − 2 y)2 + ( y − 2001)2016  0 HD : 2  x − 2 y = 0 ( x − 2 y )  0 2 2016 Vì :  , Nên để : thì : ( x − 2 y ) + ( y − 2001)  0  2016  y − 2001 = 0 0  ( y − 2001) Bài 26: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: ( x − 2)10 + y − x + 3  3 HD : GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 31 Từ giả thiết ta có : ( x − 2)10 + y − x = 0 , ( x − 2 )10  0 x − 2 = 0 Vì  , Nên để : ( x − 2)10 + y − x = 0 Thì :  y − x = 0  y − x  0 1 1 1 Bài 27: Tìm x biết: x + + x+ + … + x + = 100 x 1.2 2.3 99.100 HD: Vì vế trái không âm nên vế phải không âm, do đó 100x  0=>x  0 1 1 1 +x+ + … + x + = 100 x Khi đó: x + 1.2 2.3 99.100 2 1 1  Bài 28: Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn:  x + y −  + x − y + 2 3  HD : 2  1  x + y −   0 2 2  1 1  Vì :  , Nên để :  x + y −  + x − y + = 0 Thì : 2 3   x− y+1 0  3 Bài 29: Tìm x,y,z biết: x + 1 + ( y − 2) + ( z + 3) 2 2 =0  1  x + y − 2  = 0     x− y+1 =0  3 =0 HD :  x +1 = 0  x +1  0   2 2 2 2   y − 2  0 Vì :  ( nên để : x + 1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 0 Thì  ( y − 2 ) = 0 )   2 2 z + 3  0 ( ) ( z + 3) = 0   11 2 4 Bài 30: Tìm x biết: x + + x+ + x+ = 4x 17 17 17 HD : 11 2 4 Vì : x +  0, x +  0, x +  0 => 4 x  0 = x  0 17 17 17 11 2 4 Khi x  0 =  x +  +  x +  +  x +  = 4 x = x = 1 17   17   17   Bài 31: Tìm x biết: x + 0,8 + x + 5, 2 + x + 9,7 = 4 x HD : Vì x + 0,8  0, x + 5, 2  0, x + 9,7  0 => 4x  0 = x  0 Khi x  0 = ( x + 0,8) + ( x + 5, 2) + ( x + 9,7 ) = 4x = x = 15,7 (x −3 5) Bài 32: Tìm x,y,z biết: 2 + ( y +3 5) 2 + x+ y+ z =0 HD : Vì : (x −3 5) 2  0 , và GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ( y + 3 5) 2  0 và x + y + z  0 , Nên để : 32 (x −3 5) 2 + ( y +3 5) 2 x − 3 5 = 0  + x + y + z = 0 Thì :  y + 3 5 = 0 x + y + z = 0  Bài 33: Tìm x, y biết: 4k 2  b, 2. x +  y −  = 0, ( k  N ) 3  a, ( x − 13 + y ) + ( x − y − y ) = 0 2 2 Bài 34: Tìm x biết: x + 5 + ( 3 y − 4 ) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2k 2016 =0 33 DẠNG 8 : LŨY THỪA Bài 1: Tìm số tự nhiên n, m biết : 2m + 2n = 2m+n HD : Từ giả thiết ta có : 2m.2n − 2m − 2n = 0 = 2m ( 2n − 1) − 2n + 1 = 1 = 2m ( 2n − 1) − ( 2n − 1) = 1 => ( 2m − 1)( 2n − 1) = 1 Bài 2: Tìm m, n nguyên dương biết : 2m − 2n = 256 HD : Từ giả thiết ta có m > n, và => 2m+ n−n − 2n = 256 = 2n ( 2m−n − 1) = 28 Vì m>n nên 2m−n − 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, Vế phải chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 nên m−n  2 − 1 = 1 n = 8 =   n 8 2 = 2  m = 9  Bài 3: Tìm a, b, c nguyên dương biết : a 3 + 3a 2 + 5 = 5b và a + 3 = 5c HD : Từ giả thiết => a 2 ( a + 3) + 5 = 5b = a 2 .5c = 5b − 5 = 5 ( 5b−1 − 1) 5b−1 − 1 Vì a,b,c là các số nguyên nên 5c −1 = 1 = 50 = c = 1 => a = 2, b = 2 c −1 5 Bài 4: Tìm hai số tự nhiên x, y biết : 2 x +1.3 y = 12 x HD : 22 x 3 y Từ giả thiết=> 2x+1.3y = 22 x.3x = x+1 = x = 2x−1 = 3y − x 2 3 Vì (2 ;3) =1 nên x=1 và y – x = 0 => y = 1 Bài 5: Tìm x, y biết: 10 x : 5 y = 20 y HD : Từ giả thiết ta có : 10x = 102 y = x = 2 y Bài 6: Tìm a, b biết: 2a + 124 = 5b HD : Xét a = 0 = VT = 20 + 124 = 125 = 53 = b = 3 Xét a  1 = VT là 1 số chẵn, VP là 1 số lẻ=> Vô lý, Vậy a=0, b=3 Bài 7: Tìm số tự nhiên a,b biết: 10a + 168 = b2 HD : Xét a = 0 = b = 13 Xét a  1 = 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8 => b 2 cũng có tận cùng là 8 (Vô lý) Vậy a=0, b=13 Bài 8: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 35x + 9 = 2.5 y HD : Xét x = 0 = 10 = 2.5y = y = 1 Với x  0 = VT có tận cùng là 4, còn vế phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 0 mẫu thuẫn nên x=0 và y=1 Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 2a + 342 = 7b HD: Xét a = 0 = VT = 343 = 73 = 7b = b = 3 Với a  0 thì VT là 1 số chẵn, còn vế phải là 1 số lẻ (mâu thuẫn) => a 2 = GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 34 Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 3a + 9b = 183 HD: Vì 183 3 nhưng 183  9 Nên 3a + 9b 3 và 3a + 9b  9 , Mà 9b 9 = 3a  9 = a = 1 Khi a=1 >b=20 Bài 11: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 5a + 323 = b2 HD: Xét a = 0 = VT = 1 + 323 = 324 = 82 = b2 = b = 8 Với a  0 = VT có chữ số tận cùng là 8, Vế phải là 1 số chính phương nên không có tận cùng là 8=> Mâu thuẫn Bài 12: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 2a + 80 = 3b HD: Xét : a = 0 = VT = 1 + 80 = 81 = 34 = 3b = b = 4 Nếu a  0 = VT là 1 cố chẵn, còn VP là 1 số lẻ ( Mâu thuẫn) Bài 13: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : 2×2 + 3 y2 = 77 HD: Do : 0  3 y2  77 = 0  y2  25 , mà 2x 2 là 1 số chẵn nên 3y 2 là số lẻ => y 2 lẻ => y 2 1;9;25 = x Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y biết : x2 − 2 y2 = 1 HD: Vì x2 −1 = 2 y 2 , Nếu x 3 vì x là nguyên tố nên x=3, y=2 Nếu x  3 = x2 −1 3 = 2 y2 3 = y = 3 = x2 = 19 (Loại) Bài 15: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x + 26 y = 2000 HD: Vì 17.3x = 2 (1000 −13 y ) , Do 17, 3 là số nguyên tố => x 2 , mà x là số nguyên tố => x=2 Lại có 1000 − 13 y 51 = 1000 − 13 y  0 và y nguyên tố =>Tìm y Bài 16: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : 52 p + 2013 = (52 p )2 + q2 HD: ( ) 2 p p p p Ta có : 2013 − q = 25 − 25 = 25 25 − 1 2 Do p là số nguyên tố => 2013 − q 25 và 2013 − q2  0 => Tìm q 2 2 Bài 17: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết : ( 2008a + 3b + 1) ( 2008a + 2008a + b ) = 225 HD : Do a,b là số tự nhiên : Nếu a  1 = 2008a + 2008a + b  225 (loại) => a = 0 = ( 3b + 1)( b + 1) = 225 = 3.75 = 5.45 = 9.25 3b + 1 = 25 Vì 3b + 1  3 = 3b + 1  b + 1 =  => Tìm b b + 1 = 9 Bài 18: Tìm x,y nguyên biết: 2 x + 624 = 5 y HD: Nếu x=0 thì y=4 Nếu x # 0 thì vế trái là số chẵn, còn vế phải là số lẻ với mọi y=> vô lý GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 35 Bài 19: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2×2 + 3 y2 = 77 HD: Từ 2×2 + 3y3 = 77 = 0  3 y2  77 = 0  y2  25 kết hợp với 2x 2 là số chẵn => 3y 2 là số lẻ => y 2 là số lẻ=> y 2 1;9;25 Với y2 = 1 = 2×2 = 77 − 3 = 74 = x2 = 37(l ) Với y2 = 9 = 2×2 = 77 − 27 = 50 = x2 = 25 = x = 5 Với y2 = 25 = 2×2 = 77 − 75 = 2 = x2 = 1 = x = 1 Bài 20: Tìm m,n nguyên dương biết: 2x − 2 y = 1024 HD : Ta có: 2x  2 y = x  y = 2 y ( 2 x − y − 1) = 210 , mà 2 x − y − 1 là số lẻ, 2x− y −1  0, và là ước của 210 Nên 2x− y −1 = 1 = 2y = 210 = y = 10 =>x=11 Bài 21: Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: x2 − 2 y2 = 1 HD: Từ gt => x2 −1 = 2 y 2 , Nếu x chia hết cho 3 , vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y=2, (t/m) Nếu x không chia hết cho 3 thì x 2 − 1 chi hết cho 3, do đó 2y 2 chia hết cho 3 mà (2;3)=1 Nên y chia hết cho 3, do đó: x2 = 19(l ) Vậy cặp số (x;y) duy nhất tìm được là (2;3) Bài 22: Tìm tất cả các số tự nhiên m,n sao cho 2m + 2015 = n − 2016 + n − 2016 HD: Nhận xét, Với x  0 = x + x = 2 x Với x  0 = x + x = 0 , Do đó x + x luôn là 1 số chẵn với mọi x Áp dụng nhận xét trên ta thấy n − 2016 + n − 2016 là số chẵn => 2m + 2015 là số chẵn =>m=0 Khi đó n − 2016 + n − 2016 = 2016 Nếu n  2016 = − ( n − 2016) + n − 2016 = 2016 = 0 = 2016 (loại) Nếu n  2016 = 2 ( n − 2016) = 2016 = n = 3024 (t/m) Vậy (m ;n)=(0 ;3024) Bài 23: Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn : 2 x + 2 y = 72 HD: Giả sử x > y thế thì ta có : 2 x + 2 y = 2 y (1 + 2 x − y ) = 9.23 Do 1 + 2 x − y là số lẻ nên 1 + 2 x − y = 1;3;9 Ta có bẳng giá trị sau : 1 + 2 x− y = 1 2 y = 9.23 (Loại) 2 y = 3.23 (Loại) 1 + 2 x− y = 3 1 + 2 x − y = 9 2 y = 23 Ta thấy 2 y = 23 = y = 3 = x = 6 Bài 24: Tìm 3 số nguyên tố x,y,z thỏa mãn : x y + 1 = z GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 36 Bài 25: Tìm các số nguyên dương a,b,c,d biết : a b = bc = c d = d e = ea và a + b + c + d + e = 20 Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n − 1 7 HD : Với n  3 = 2n − 1  7 Với n  3 = n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 Xét n = 3k = 23k − 1 = 8k − 1 = ( 7 + 1) − 1 = 7 A + 1 − 1 7 k Xét n = 3k + 1 = 23k +1 −1 = 2.8k −1 = 2 ( 7 A + 1) −1 = 7 A + 1  7 Xét n = 3k + 2 = 23k +2 −1 = 4 ( 7 A + 1) = 27 A + 4  7 Vậy n=3k với k  N GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 37 DẠNG 9: TÌM X, Y DỰA VÀO TÍNH CHẤT VỀ DẤU Bài 1: Tìm x biết: a, ( x −1)( x − 2)  0 HD : a, c, ( 2 x − 4)( 9 − 3x )  0 b, 2x − 3  0 Để ( x −1)( x − 2)  0 thì ta có hai trường hợp : x −1  0 = x  2 TH1 :  x − 2  0 x −1  0 = x  1 TH2 :  x − 2  0 Vậy x>2 hoặc x<1 b, c, 3 2 Để : ( 2 x − 4)( 9 − 3x )  0 thì ta có các TH sau : Để : 2x − 3  0 = 2 x  3 = x  2 x − 4  0 2 x − 4  0 TH1:  hoặc TH2:  9 − 3x  0 9 − 3x  0 Bài 2: Tìm x biết: 2x 3 2 5 15 − 0 a, b,  − 4   3 4  3x 3 6 HD: 2x 3 3 3 9 =  = x  . = a, 3 4 4 2 8 2 11 4  2  15 3 3 b, =  − 4   . = =  = 3x.11  4 = x  3x 2 33  3x  6 5 2 Bài 3: Tìm x biết: a, ( x − 6)( x + 5)  0 b, ( x − 6)( x + 5)  0 c, (2x-3) < 0 HD: a, Để ( x − 6)( x + 5)  0 thì : x − 6  0 hoặc TH2 :  x + 5  0 b, x − 6  0 TH1 :  x + 5  0 Để: ( x − 6)( x + 5)  0 Thì: x − 6  0 TH1:  x + 5  0 x − 6  0 Hoặc TH2:  x + 5  0 c, = 2 x − 3  0 = 2 x  3 = x  Bài 4: Tìm x biết: a, ( 2 x − 4)( 9 − 3x )  0 HD: a, 3 2 b, ( x 2 − 5)( x 2 − 25)  0 c, (x+5)(9+x2)<0 Để: ( 2 x − 4)( 9 − 3x )  0 thì : 2 x − 4  0 TH1:  9 − 3x  0 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 x − 4  0 hoặc  9 − 3x  0 38 b, Để: ( x 2 − 5)( x 2 − 25)  0 thì: 2  x − 5  0 Hoặc  2   x − 25  0 2  x − 5  0 TH1:  2   x − 25  0 c, Để: ( x + 5) ( 9 + x 2 )  0 , Vì x 2 + 9  0 = x + 5  0 = x  −5 Bài 5: Tìm x biết: a, ( x + 3)( x − 4)  0 HD: b, ( x 2 + 7 )( x 2 − 49 )  0 c, ( x 2 + 2 ) ( x + 3)  0 a, Để: ( x + 3)( x − 4)  0 thì: b, x + 3  0 x + 3  0 TH1:  Hoặc:  x − 4  0 x − 4  0 Để ( x 2 + 7 )( x 2 − 49 )  0 = ( x 2 + 7 ) ( x + 7 )( x − 7 )  0 Vì x2 + 7  0 = ( x + 7 )( x − 7 )  0 c, x + 7  0 TH1:  TH2: x − 7  0 Để: ( x 2 + 2 ) ( x + 3)  0 thì x + 3  0 = x  −3 x + 7  0  x − 7  0 Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn : a, ( x + 2 )( x − 3)  0 b, ( 2 x − 1)( 2 x − 5)  0 c, ( 3 − 2 x )( x + 2)  0 Bài 7: Tìm các số nguyên x thỏa mãn : ( 3x + 1)(5 − 2 x )  0 Bài 8: Tìm x biết: 4 x + 5 − x + 3 = 11, x  −3 HD: Với x  −3 = 4x + 5 − ( x + 3) = 11 = 3x = 9 = x = 3 Bài 9: Tìm n  N biết: a, 3  3n  234 b, 8.16  2n  4 HD: a, Ta có: 3  3n  234  243 = 35 = n 2;3;4 b, c, 415.915  2n.3n  1816.216 Ta có: 8.16  2n  4 = 27  2n  22 = n 2;3;4;5;6;7 415.915  2n.3n  1816.216 = 3615  6n  3616 = 630  6n  632 = n = 31 x+3 1 Bài 10: Tìm x biết: x+4 c, Bài 11: Tìm n  N biết: a, 32 < 2n < 128 b, 2.16  2n > 4 HD: 25  2n  2048 = 211 = n 6;7;8;9;10 a, b, 2.16  2n  4 = 25  2n  22 = n 5;4;3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 39 DẠNG 10: TÌM X, Y, N NGUYÊN Bài 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, 2n+1⋮ 16-3n b, 3n+1⋮ 11-2n c, 3n+17⋮ 2n+3 HD: 2n + 1 − 3n + 16 = 3(2n + 1) − 3n + 16 = 6n + 3 − 3n + 16 a, b, c, d, d, 3n+1⋮ 11-2n 6n − 32 + 35 − 3n + 16 = 2(3n − 16) + 35 − (3n − 16) = 3n − 16 U (35) 3n + 1 − 2n + 11 = 2(3n + 1) − (2n − 11) = 6n + 2 − (2n − 11) = 6n − 33 + 35 − (2b − 11) = 3(2n − 11) + 35 − (2n − 11) = 2n − 11 U (35) 2(3n + 17) 2n + 3 = 6n + 34 2n + 3 = 6n + 9 + 25 2n + 3 = 3(2n + 3) + 25 2n + 3 = 2n + 3 U (25) 2(3n + 1) − (2n − 11) = 6n + 1 (2n − 11) = 6n − 33 + 34 2n − 11 = 3(2n − 11) + 34 2n − 11 = 2n − 11 U (34) Bài 2: Tìm số nguyên x thỏa mãn: a, x+4⋮ x+1 b, 4x+3⋮ x- 2 c, x-15⋮ x+2 d, 3x+16⋮ x+1 HD: Ta cần biến đổi số bị chia thành bội lần của số chia sau đó sử dụng tính chất chia hết của 1 tổng để đưa về ước số nguyên a, x + 4 x + 1 = x + 1 + 3 x + 1 = 3 x + 1 = x + 1U (3) = 1; −1;3; −3 b, 4x + 3 x − 2 = 4x − 8 + 11 x − 2 = 4 ( x − 2) + 11 x − 2 = x − 2 U (11) = 1; −1;11; −11 c, x −15 x + 2 = x + 2 −17 x + 2 = 17 x + 2 = x + 2 U (17 ) = 1; −1;17; −17 d, 3x + 16 x + 1 = 3x + 3 + 13 x + 1 = 3 ( x + 1) + 13 x + 1 = x + 1U (13) = 1; −1;13; −13 Bài 3: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, x+4⋮ x b, 3n+7⋮ n c, 3n+2⋮ n-1 HD: Cách làm tượng tự đối với bài 1 a, x + 4 x = 4 x = x U ( 4) = 1; −1;2; −2;4; −4 d, n+8⋮ n+3 b, 3n + 7 n = 7 n = n U ( 7 ) = 1; −1;7; −7 c, 3n + 2 n −1 = 3n − 3 + 5 n −1 = 3 ( n − 1) + 5 n − 1 = n − 1U (5) = 1; −1;5; −5 d, n + 8 n + 3 = n + 3 + 5 n + 3 = 5 n + 3 = n + 3 U (5) = 1; −1; −5;5 Bài 4: Tìm số nguyên n thỏa mãn: a, n+6⋮ n-1 b, 4n-5⋮ 2n-1 c, 3n+2⋮ n-1 HD: a, n + 6 n −1 = n −1 + 7 n −1 = n −1U ( 7 ) = 1; −1;7; −7 d, 3n+24⋮ n-4 b, 4n − 5 2n −1 = 4n − 2 − 3 2n −1 = 2 ( 2n −1) − 3 2n −1 = 2n −1U (3) = 1; −1;3; −3 c, 3n + 2 n −1 = 3n − 3 + 5 n − 1 = 3 ( n − 1) + 5 n − 1 = n − 1U (5) = 1; −1;5; −5 d, 3n + 24 n − 4 = 3n −12 + 36 n − 4 = 3 ( n − 4) + 36 n − 4 = n − 4 U (36 ) Bài 5: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 5n-1⋮ n+2 b, 3n⋮ n-1 c, n+6⋮ n d, 4n+5⋮ n HD: a, 5n − 1 n + 2 = 5n + 10 − 11 n + 2 = 5 ( n + 2 ) − 11 n + 2 = 11 n + 2 b, c, d, 3n n − 1 = 3n − 3 + 3 n − 1 = 3 ( n − 1) + 3 n − 1 = 3 n − 1 n + 6 n = 6 n 4n + 5 n = 5 n = n U (5) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 40 Bài 6: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 38-3n⋮ n b, n+5⋮ n+1 HD: a, 38 − 3n n = 38 n = n U ( 38) c, 3n+4⋮ n-1 n + 5 n + 1 = n + 1 + 4 n + 1 = 4 n + 1 b, c, 3n + 4 n − 1 = 3n − 3 + 7 n − 1 = 3 ( n − 1) + 7 n − 1 d, 27 − 5n n = 27 n = n U ( 27 ) Bài 7: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 2n+3⋮ n-2 b, n+6⋮ n+2 c, 18n+3⋮ 7 HD: a, 2n + 3 n − 2 = 2n − 4 + 7 n − 2 = 2 ( n − 2 ) + 7 n − 2 = 7 n − 2 b, c, d, 27-5n⋮ n d, 2n+5⋮ n+1 n + 6 n + 2 = n + 2 + 4 n + 2 = 4 n + 2 18n + 3 7 = 14n + 4n + 3 7 = 4n + 3 7 = 4n + 3 + ( −7 ) 7 = 4n − 4 7 = n − 1 7 = n = 7k + 1 d, 2n + 5 n + 1 = 2n + 2 + 3 n + 1 = 2 ( n + 1) + 3 n + 1 = 3 n + 1 Bài 8: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+7⋮ n b, 27-5n⋮ n HD: a, 3n + 7 n = 7 n = n U ( 7 ) c, 2n+3⋮ n-2 b, 27 − 5n n = 27 n = n U ( 27 ) c, 2n + 3 n − 2 = 2n − 4 + 7 n − 2 = 2 ( n − 2 ) + 7 n − 2 = 7 n − 2 d, 2n + 3 n − 4 = 2n − 8 + 11 n − 4 = 2 ( n − 4 ) + 11 n − 4 = 11 n − 4 d, 2n+3⋮ n-4 Bài 9: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, 3n+2⋮ n-5 b, n2+4⋮ n-3 c, n2+1⋮ n-1 d, n2+5⋮ n+1 HD: a, 3n + 2 n − 5 = 3n − 15 + 17 n − 5 = 3 ( n − 5) + 17 n − 5 = 17 n − 5 b, n2 + 4 n − 3 = n2 − 3n + 3n + 4 n − 3 = 3n + 4 n − 3 = 3n − 9 + 13 n − 3 = n − 3U (13) n 2 + 1 n − 1 = n 2 − n + n + 1 n − 1 = n + 1 n − 1 = n − 1 + 2 n − 1 = 2 n − 1 c, n 2 + 5 n + 1 = n 2 + 5n − 5n + 5 n + 1 = −5n + 5 n + 1 = −5n − 5 + 10 n + 1 d, Bài 10: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+3⋮ n-1 b, n2+3n-13⋮ n+3 c, 2n2+n+4⋮ 2n+1 d, 3n2-n+1⋮3n-1 HD : n 2 + 3 n − 1 = n 2 − n + n + 3 n − 1 = n + 3 n − 1 = n − 1 + 4 n − 1 = 4 n − 1 a, b, n2 + 3n − 13 n + 3 = n ( n + 3) − 13 n + 3 = 13 n + 3 c, 2n2 + n + 4 2n + 1 = n ( 2n + 1) + 4 2n + 1 = 4 2n + 1 d, 3n2 − n + 1 3n − 1 = n ( 3n − 1) + 1 3n − 1 = 1 3n − 1 Bài 11: Tìm số nguyên x, n thỏa mãn: a, n2+2n+7⋮ n+2 b, 2n+1⋮ 7-3n HD: 3(2n + 1) − (3n − 7) = 6n + 3 3n − 7 = 6n − 14 + 17 3n − 7 b, = 2(3n − 7) + 17 3n − 7 = 3n − 7 U (17) a −5 Bài 12: Cho x = , ( a  0 ) , Tìm a nguyên để x nhận giá trị nguyên a HD : GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 41 5 để x nguyên thì 5 a = a  U ( 5) = 1; −1;5; −5 =>a a Bài 13: Tìm m nguyên để m − 1 2m + 1 HD : Ta có m −1 2m −1 = 2 ( m −1) 2m −1 = 2m −1 −1 2m −1 => 1 2m − 1 => 2m −1U (1) = 1; −1 Ta có : x = 1 − Bài 14: Cho x = HD : a −3 , ( a  0 ) , Tìm a để x có giá trị nguyên 2a Để x có giá trị nguyên thì a − 3 2a => a là 1 số lẻ và a − 3 a = 3 a = a 1; −1;3; −3 Bài 15: Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên với A = HD : Để A nguyên thì : 1 − 2x x + 3 = 2x −1 x + 3 = 2 x + 6 − 7 x + 3 = x + 3 U ( 7 ) Bài 16: Tìm số nguyên a để: HD : 1− 2x x+3 2a + 9 5a + 17 3a + − Z a+3 a+3 a+3 2a + 9 5a + 17 3a 4a + 26 + − = để có giá trị nguyên thì : a+3 a+3 a+3 a+3 4a + 26 a + 3 = 4a + 12 + 14 a + 3 = a + 3 U (14 ) Ta có : Bài 17: Tìm n để n3 − n2 + n + 7 n2 + 1 HD : Ta có : n3 − n2 + n + 7 n2 + 1 = n3 + n − ( n2 + 1) + 8 n2 + 1 = n ( n2 + 1) − ( n2 + 1) + 8 n2 + 1 = n2 + 1U (8) Bài 18: Tìm x nguyên để x 2 + 3x − 1 Z x+2 HD : Để : x 2 + 3x − 1 2 2  Z thì x + 3x − 1 x + 2 = x + 2 x + x + 2 − 3 x + 2 x+2 = x ( x + 2) + ( x + 2) − 3 x + 2 = x + 2 U (3) Bài 19: Tìm số nguyên x thỏa mãn: 6 x +1 2 x − 3 HD : ( ) Ta có : 6 x + 1 2 x − 3 = 6 x − 9 + 10 2 x − 3 = 3 2 x − 3 + 10 2 x − 3 => 2 x − 3 U (10 ) Bài 20: Tìm số nguyên x thỏa mãn: 2012 x + 5 1006 x +1 HD : Ta có : 2012 x + 5 1006 x +1 => 2012 x + 2 + 3 1006 x + 1 = 2 1006 x + 1 + 3 1006 x + 1 ( ) => 1006 x + 1U ( 3) Bài 21: Tìm x để P = 3x 2 − 2 Z 3x 2 + 1 HD : GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 42 Ta có : để : P = 3x 2 − 2 2 2 2 2  Z thì 3x − 2 3x + 1 = 3x + 1 − 3 3x + 1 2 3x + 1 = 3×2 + 1U ( 3) Bài 22: Tìm số nguyên a để a2 + a + 3 là 1 số nguyên a +1 HD : a2 + a + 3 có gí trị nguyên thì : a2 + a + 3 a + 1 = a ( a + 1) + 3 a + 1 = a + 1U ( 3) a +1 3x ( x + y ) − 6 ( x + y ) + 1 Bài 23: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau có giá trị nguyên: K = x−2 HD : 3x ( x + y ) − 6 ( x + y ) + 1 (3x − 6)( x + y ) + 1 = 3( x − 2)( x + y ) + 1 Để : K = có giá trị nguyên thì : x−2 x−2 x−2 Phải có giá trị nguyên hay 1 x − 2 = x − 2 U (1) Để : Bài 24: Tìm giá trị nguyên của x để y nhận giá trị nguyên: y = HD : 5x + 9 x+3 Để y có giá trị nguyên thì : 5x + 9 x + 3 = 5x + 15 − 6 x + 3 = 5 ( x + 3) − 6 x + 3 6 x + 3 = x + 3 U ( 6) Bài 25: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để A = HD : 5a − 7 3a 2a + 27 − + có giá trị nguyên a+3 a+3 a+3 4a + 20 , để A có giá trị nguyên thì : a+3 4a + 20 a + 3 = 4a + 12 + 8 a + 3 = 4 ( a + 3) + 8 a + 3 Ta có : A = = 8 a + 3 = a + 3 U (8) Bài 26: Tìm x để giá trị của biểu thức: P = 3x 2 − 2 là số nguyên 3x 2 + 1 x2 + 2 x − 3 Bài 27: Cho biểu thức: M = x2 − 1 a, Với giá trị nào của x thì biểu thức trên được xác định b, Rút gọn M c, Tính giá trị của M tại x=3 d, Tìm x khi M=4 e, Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên x+2 Bài 28: Cho M = , Biết x là số hữu tỉ âm và M là số nguyên, Tìm x x −1 12 x − 2 4x + 1 a, Tìm Giá trị thích hợp của biến x trong A b, Tính giá trị của A khi x 2 + 2 x = 0 c, Tìm giá trị của x để A=1 Bài 29: Cho A = GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 43 d, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên e, Tìm x để A<0 Bài 30: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x+2)(y-3)=5 b, (x+1)(y-3)=3 c, x(y-3)=-12 HD : a, = ( x + 2)( y − 3) = 5 = ( x + 2 ) , ( y − 3) U (5) b, = ( x + 1) , ( y − 3) U ( 3) c, = x, ( y − 3) U (12 ) d, = ( x + 1) , y U ( 3) Bài 31: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x-2)(y+1)= - 2 b, (2x-1)(2y+1)= -35 HD : a, = ( x − 2 ) , ( y + 1) U ( 2 ) b, = ( 2 x + 1) , ( 2 y + 1) U ( 35) c, = ( x − 3) , ( y − 3) U ( 9 ) d, = ( x + 3) , ( y + 2 ) U (1) Bài 32: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (2x+1)(y-3)=10 HD : a, = ( 2 x − 5) , ( y − 6) U (17 ) b, = ( 2 x + 1) , ( y − 3) U (10) c, = ( 3x − 2 ) , ( 2 y − 3) U (1) d, = ( x + 1) , ( 2 y − 1) U (12 ) d, (x+1)y=3 c, (x-3)(y-3)=9 d, (x+3)(y+2)=1 c, (3x-2)(2y-3)=1 d, (x+1)(2y-1)=12 Bài 33: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x+6)=y(x-1) b, x-3=y(x+2) c, (x-1)(y+2)=7 d, 2x+xy-y=9 HD : a, = x + 6 x − 1 = x − 1 + 7 x − 1 = x − 1U (7 ) = x = .... = y = .... b, = x − 3 x + 2 = x + 2 − 5 x + 2 = x + 2 U (5) = x = ... = y = ... c, = ( x − 1) , ( y + 2 ) U ( 7 ) d, = x ( y + 2 ) − y − 2 + 2 = 9 = x ( y + 2 ) − ( y + 2 ) = 7 = ( x − 1)( y + 2 ) = 7 Bài 34: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x2y+xy-x=4 b, xy - 3x= - 19 c, 3x+4y-xy=16 d, xy-2x-2y=0 HD : a, = xy ( x + 1) − x − 1 = 3 = xy ( x + 1) − ( x + 1) = 3 = ( x + 1)( xy − 1) = 3 = ( x + 1) , ( xy − 1) U (3) b, = x ( y − 3) = −19 = x, ( y − 3) U (19 ) c, = − x ( y − 3) + 4 y − 12 = 4 = ( − x + 4 )( y − 3) = 4 d, = x ( y − 2 ) − 2 y + 4 = 4 = x ( y − 2 ) − 2 ( y − 2 ) = 4 = ( x − 2 )( y − 2 ) = 4 Bài 35: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+3y=-6 b, xy-3x=12 c, -3x-3y+xy=9 d, y-x2y-xy=5 HD : a, = x ( y + 2) + 3 y + 6 = 0 = x ( y + 2 ) + 3 ( y + 2 ) = 0 = ( x + 3)( y + 2 ) = 0 b, = x ( y − 3) = 12 = x, ( y − 3) U (12 ) GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 44 c, d, = x ( y − 3) − 3 y + 9 = 18 = x ( y − 3) − 3( y − 3) = 18 = ( x − 3)( y − 3) = 18 = y (1 − x 2 − x ) = 5 = y, (1 − x 2 − x ) U (5) Bài 36: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+3x-y=6 b, x-y+2xy=7 c, x2+2y=xy d, x-y+2xy=6 HD : a, = x ( y + 3) − y − 3 = 3 = x ( y + 3) − ( y + 3) = 3 = ( y + 3)( x − 1) = 3 b, = x ( 2 y − 1) − y = 7 = x ( 2 y − 1) − y + => ( 2 x − 1)( 2 y − 1) = 15 c, 1 15  2 y − 1  15 = = x ( 2 y − 1) −  = 2 2  2  2 = x2 − xy + 2 y = 0 = y ( 2 − x ) + x 2 − 4 = 4 = y ( 2 − x ) + ( x − 2 )( x + 2 ) = 4 = ( x − 2)( x + 2 − y ) = 4 d, = x ( 2 y + 1) − y = 6 = x ( 2 y + 1) − y − 1 11 = = ( 2 x − 1)( 2 y + 1) = 11 2 2 Bài 37: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, x+y+9=xy-7 b,(x+2)2(y-1)=-9 c, 8xy-3(x-y)=85 d, (x+3)(y+2)=1 HD : a, = xy − x − y = 16 = x ( y − 1) − y + 1 = 17 = x ( y − 1) − ( y − 1) = 17 = ( x − 1)( y − 1) = 17 b, = ( y − 1)  0 và ( x + 2 ) , ( y − 1) U ( 9 ) và ( x + 2 ) là số chính phương c, = x (8 y − 3) + 3 y = 85 = x (8 y − 3) + 3 y − d, = ( x + 2 ) , ( y + 2 ) U (1) 2 Bài 38: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (2x-5)(y-6)=17 b, (x-1)(x+y)=33 HD : a, = ( 2 x − 5) , ( y − 6) U (17 ) 2 9 9 = 85 − 8 8 c, (x+7)(x-9)=0 d, xy-3x=-19 b, = ( x − 1) , ( x + y ) U ( 33) x + 7 = 0 c, =  x − 9 = 0 d, = x ( y − 3) = −19 = x, ( y − 3) U (19 ) Bài 39: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, 3x+4y-xy=16 b, (x+3)(x2+1)=0 c, x(x+1)=0 d, (x+5)(x2-4)=0 HD : a, = − x ( y − 3) + 4 y − 12 = 4 = − x ( y − 3) + 4 ( y − 3) = 4 = ( 4 − x )( y − 3) = 4 b, c, d, x + 3 = 0 =  2  x + 1 = 0 (l ) x = 0 =  x +1 = 0 x + 5 = 0 =  2 x − 4 = 0 Bài 40: Tìm x,y nguyên thỏa mãn: a, (x-2)(x+1)=0 b, (x+1)(xy-1)=3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 45 HD : b, a, x − 2 = 0 =  x +1 = 0 = ( x + 1) , ( xy − 1)  ( 3) Bài 41: Tìm các số x,y sao cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 HD : a, = ( 2 x + 1) , ( y − 3) U (10) c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) b, = ( 3x − 2 ) , ( 2 y − 3)  (1) c, = ( x + 1) , ( 2 y − 1) U (12 ) d, = x + 6 x − 1 = x − 1 + 7 x − 1 = 7 x − 1 = x − 1U (7 ) = x = … = y = …. Bài 42: Tìm các số x,y sao cho: a, x-3=y(x+2) b, xy=4(x+y) HD : a, = x − 3 x + 2 = x + 2 − 5 x + 2 = 5 x + 2 = x + 2 U (5) = x = … = y = … = xy = 4 x + 4 y = xy − 4 x − 4 y = 0 = x ( y − 4 ) − 4 y + 16 = 16 = ( x − 4 )( y − 4 ) = 16 Bài 43: Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho : 2 xy + x − 2 y = 4 Bài 44: Cho hai số x,y là hai số cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1, xét dấu của: P = 1 − x − y + xy Bài 45: Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d và a.b + 1 = c.d , Chứng minh rằng c = d b, HD: Từ a + b = c + d = a = c + d − b , thay vào a.b + 1 = c.d ta được: ( c + d − b) .b + 1 = c.d = cb + db − cd + 1 − b = 0 = b (c − b ) − d (c − b ) + 1 = 0 = ( b − d )( c − b ) = −1 Vì a, b, c, d là các số nguyên nên ( b − d ) , ( c − d ) là các số nguyên, ta có các TH sau: 2  b − d = −1  d = b + 1 =  = c = d TH1:  c − b = 1 c = b + 1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức b − d = 1 d = b − 1 =  = c = d TH2:  c − b = −1 c = b − 1 46
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top