Chuyên đề thể tích khối lăng trụ – Trần Đình Cư

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 3. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ………………………………………………………………. 3 DẠNG 1. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG …………………………………………………………………….. 4 DẠNG 2. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU ………………………………………………………………………. 18 DẠNG 3. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊNG …………………………………………………………………… 23 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ CHỦ ĐỀ 3. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1. Định nghĩa: Cho hai mặt song song () và ( ‘) . Trên () ta lấy đa giác lồi A1A2 …A n , qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt ( ‘) tại A1’ ,A’2 ,…,A ‘n . Hình bao gồm hai đa giác A1A2 …An ,A’1 A’2 …A’n và các hình bình hành A1A2 A’2 A1′ ,… Được gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu là: A1A2 …An .A’1 A’2 …A’n . A3 A2 A4 A1  A5 A’3 A’2 A’4 A’1 ’ A’5 Nhận xét:  Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau  Các mặt bên là các hình bình hành  Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau 2. Hình lăng trụ đứng – hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… thì ta hiểu là hình lăng trụ đều c) Hình hộp : Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương) Nhận xét:  Hình hộp chữ nhật  hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật  Hình lập phương  hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)  Hình hộp đứng  hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành) 3. Thể tích khối lăng trụ: V  B.h : Với B là diện tích đáy và h là chiều cao Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ 4. So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều: ĐỊNH NGHĨA:   TÍNH CHẤT Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên  Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật vuông góc với mặt đáy  Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy  Chiều cao là cạnh bên  Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau  Chiều cao là cạnh bên Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều DẠNG 1. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Trong các khối chóp dưới đây, khối chóp có thể tích B’ C’ 2V 3 A’ là: I A. A.A’B’C’ B. C’.ABC C. A’.BCC’B’ D. I.ABB’A’ B C A Hướng dẫn giải Ta có: VABC.A’B’C’  VA’.BCC’B’  VA’.ABC . 1 2 2 Mà VA’.ABC  VABC.A’B’C’  VA’.BCC’B’  VABC.A’B’C’  V . 3 3 3 Vậy chọn đáp án C. Câu 2. Cho hình hộp đứng có các cạnh AB  3a;AD  2a;AA’  2a như hình vẽ. Thể tích của khối A’ D’ B’ C’ A’.ACD’ là: A. a3 B. 2a3 C. 3a3 D. 6a3 B A D C Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Ta có: VA’.ACD’  VC.ADD’A’  . .VABCD.A’B’C’D’  .3a.2a.2a  2a3 . 2 2 3 6 Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC  3a,BC  a,ACB  1500 , đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng  ABB’ A ‘  một góc  thỏa mãn sin   1 . Thể tích khối lăng trụ 4 ABC.A’B’C’ là: A. a3 105 28 B. a3 105 14 a3 339 a3 339 D. 14 28 Hướng dẫn giải C. Ta có B’ C’ 1 AC.BC.sin ACB 2 1 3a2  a 3.a.sin1500  2 4 SABC  A’ Kẻ CH  AB  CH   ABB’ A’  nên B’H là hình chiếu vuông góc B  ABB’ A ‘   B’C,  ABB’ A ‘     B’C,B’ H   CB’ H   C của B’C lên H A AB2  AC2  BC2  2AC.BC.cos1500  7a2  AB  a 7 CH  2.SABC AB  a 21 CH 2a 21  B’C   14 s in 7 Xét BB’C vuông tại B có: BB’  B’C2  BC2  a 35 . 7 3a2 a 35 a3 105 .  Do đó V  SABC .AA ‘   Chọn đáp án A 4 7 28 Câu 4. Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng d thì thể tích của khối lập phương là: A. V  d3 ; B. C. 3d 3 ; 3d3 ; d3 3 D. V  9 Hướng dẫn giải Khối lập phương có cạnh là a d 3 . Do đó khối lập phương có thể tích là 3  d  d3 3 V  . Vậy chọn đáp án D.  9  3 Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB  AC  a , BAC  1200 . Mặt phẳng  AB’C’  tạo với mặt đáy góc 600 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. A. 8 3 a ; 3 B. 3 3 a ; 8 a3 ; C. 8 D. 3 3 a ; 8 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 5 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn giải Xác định góc giữa  AB’C’  và mặt đáy là AKA’  AKA’  60 C B 0 a Tính 1200 a A 1 a A ‘C’  2 2 A ‘K   AA ‘  A ‘K.tan 60 0  a 3 2 VABC.A’B’C’  AA ‘.SABC  600 B’ C’ K 3a3 . 8 A’ Vậy chọn đáp án B. Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC  a , 5 . Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’. 6 AA ‘  a 2 và cos BA ‘C  A. a3 6 4 B. a3 3 4 3a3 6 3a3 3 D. 4 4 Hướng dẫn giải C. Đặt AB  x thì A’B2  A’C2  x2  2a2 B Áp dụng định lí hàm số cosin trong A’ BC , ta có: cos BA ‘C    A A ‘ B2  A ‘C2  BC2 2A ‘ B.A ‘C 2×2  4a2  a2 2 2 x  2a 2   a 3 5 xa 6 Suy ra ABC đều nên SABC  C a C’ B’ a2 3 4 A’ Vậy thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là V  a3 6 4 Vậy chọn đáp án A. Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  450 , AA’  A. a3 2 1 2 2 a 2 2 . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là 2 B. a3 2 1 2 C. a3 2 1 4 D. a3 2 1 2 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 6 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Ta có: SABCD  2SABD SABD  D C O 1 a2 AB.AD.sin BAD  2 2 2 450 A B Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên a 2- 2 2 D’ VABCD.A’B’C’D’  AA ‘.SABCD C’ O’ a 2  2 a2 a3 2  1  .  2 2 2 A’ B’ Vậy chọn đáp án D. Câu 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB  3cm, BC’  3 2cm . Thể tích khối lăng trụ đã cho là   A. 27 cm 3 B.   27 cm 3 2     27 27 D. cm 3 cm 3 4 8 Hướng dẫn giải C. Diện tích đáy của khối lăng trụ: SABC    9 cm2 a A B 3 3 Chiều cao của khối lăng trụ: C h  CC’  BC’2  BC2  3  cm  3 2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho: B’ A’   9 27 V  SABC .h  .3  cm3 . 2 2 Vậy chọn đáp án C. A’ Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a, BC  b, AA’  c . Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ A. 1 2 B. 1 5 1 8 C. D. 1 4 Hướng dẫn giải A B C D M A’ A’ M B’ N B N D’ D’ C’ C’ Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN Ta có SD’MN  SA’B’C’D’   SD’A’M  SD’C’N  SB’MN  Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 7 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ  ab ab ab  3ab  ab       4 8  8  4 1 1 3ab abc Thể tích khối chóp D’.DMN là: V1  SD’MN .DD’  . .c  3 3 8 8 Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là V  abc V1 1  . Vậy chọn đáp án C. V 8 Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác cân tại A,  AB  AC  a, BAC   . Gọi M là trung điểm của AA’, tam giác C’MB vuông. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. a3 sin . cos  B. a3cos. sin  C. a3cot. sin  D. a3 tan . cos  Hướng dẫn giải Diện tích đáy của khối lăng trụ là: C’ A’ 1 S  a2 sin  2 Đặt A’A  x . Ta có: BM  C’ M  2 x  a2 , 4 BC’  BC2  x2 A Trong đó BC  2asin  . Tam giác C’MB 2 B’ M C α B vuông tại M, ta có: 2  x2    2   a2   BC2  x2  x2  4a2  2  2asin   x2  4a2 cos   x  2a cos  Thể  4  2    tích của khối lăng trụ là V  a3 sin . cos  . Vậy chọn đáp án A. Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, AB  a, BC  2a, AA’  3a . Mặt phẳng    qua A vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N. Diện tích tam giác AMN là a2 14 A. 6 a2 14 B. 3 a2 14 a2 14 C. D. 9 7 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 8 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Gọi H      A’C A’ C’ Trong tam giác A’AH ta có: 2 B’ A’A 9a  A ‘C a2  4a2  9a2 9a  A’H  14 A’H  Ta SAMN  có: M 2 3VA’.AMN A’H N H C A . Mà B NB∥AA’ nên: 1 VA’.AMN  VM.A’AN  VM.A’AB  VC.A’AB  AA ‘.SABC  VA’.AMN  a3 3 Vì vậy SAMN  3a3 a2 14  . Vậy chọn đáp án B. 9a 3 14 Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, AB  a, AD  a 3 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD) bằng a3 2 A. 8 a . Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là 2 3a3 2 B. 2 3a3 2 C. 4 3a3 2 D. 8 Giải Gọi K là hình chiếu của A lên BD, H là hình chiếu của A lên A’K D’  BD  AH H Mà AH  A’K  AH   A’BD  a 2 Trong tam giác vuông A’AK ta có: AH  Suy ra 1 A’A 2 1 A’A 2   1 AK 4 2 a 2   1 2 a 1 A’A  2 1 2 3a   1 2 AB 8 3 3a C D  AH  2 B’ A’ BD  AK Vì   BD   AKA ‘  BD  AA ‘ 1 C’ K B A  1 AD2  A’A  a 6 4 a 6 3a 3 2 .a.a 3  Vậy VABCD.A’B’C’D’  A’A.AB.AD  . 4 4 Vậy chọn đáp án C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 9 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB  a, AC  a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 300 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. a3 3 4 B. 2a3 3 3 3a3 2 3a3 2 D. 7 7 Hướng dẫn giải C. 1 a2 3 . AB.AC  2 2 Gọi M là hình chiếu của A trên BC. A’ Ta có SABC  C’ B’ Suy ra BC   A’ MA     A’ MA   A’ BC  ,  ABC   30 C A 0 M Do B AM  a 3 a  AA ‘  AM tan 300  2 2 a a2 3 a3 3 Vậy VABC.A’B’C’  AA ‘.SABC  . .  2 2 4 Vậy chọn đáp án A. Câu 14. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. A. a3 6 3 B. a3 6 8 C. a3 6 6 D. a3 6 4 Hướng dẫn giải Gọi I’ là trung điểm của A’B’, thì C’I’  A’B’ (do ABC đều) A’ C’I’  AA’  C’I’   ABB’A’  suy C’ I’ ra I ‘ BC’ là góc giữa BC’ và mặt phẳng (ABB’A’) I’ BC’  300 . Suy ra Ta C’ I ‘  C’ I ‘ a 3 a 3 , BC’  2 sin 300 có Trong BCC’ vuông: 2 2 2 B’ C A a 300 B 2 CC’  BC’  BC  2a  CC’  a 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 10 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  CC’.SABC  a3 6 . 4 Vậy chọn đáp án D. Câu 15. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2 và biết A ‘ B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ A. a3 2 B. a3 6 8 C. a3 6 6 D. a3 6 4 Hướng dẫn giải Ta có ABC vuông cân tại A nên A’ C’ AB  AC  a ABC.A’B’C’  AA’  AB B’ là lăng trụ đứng Trong AA’B: AA’2  A’B2  AB2 3a a A  8a2 C a  AA’  2a 2 . a 2 B Vậy V  AA’.SABC  a3 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 16. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác A’ BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. A. 8 B. 8 3 3 C. 8 3 D. 3 Hướng dẫn Gọi I là trung điểm BC . Ta có ABC đều nên AI  AB 3  2 3 , AI  BC  A ‘ I  BC 2 2S 1 SA’BC  BC.A ‘ I  A ‘ I  A’BC  4 2 BC AA’  (ABC)  AA’  AI . A’AI  AA’  A’I2  AI2  2 Vậy V  AA’.S ABC  8 3 . Vậy chọn đáp án C. Câu 17. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a ,biết A ‘ B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ. A. a3 3 4 B. a3 3 2 C. 2a3 3 D. a3 3 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 11 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Ta có A’A  (ABC)  A’A  AB và AB là hình chiếu của A’ B trên đáy ABC .   Vậy A’B,(ABC)  ABA ‘  60o . Trong ABA’ : AA’  AB.tan 600  a 3 SABC  1 a2 BA.BC  . 2 2 Vậy V  AA ‘.SABC  a3 3 . Vậy chọn đáp án B. 2 Câu 18. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC  a , ACB  600 , biết BC’ hợp với  AA’C’C  một góc 300 . Thể tích lăng trụ là A. 3a3 3 C. a3 3 B. 2a3 6 D. a3 6 Hướng dẫn giải ABC  AB  AC.tan60o  a 3 . Ta có: AB  AC;AB  AA’  AB  (AA’C’C) AC’ là hình chiếu của nên  AA ‘C’C .  BC’ trên   BC’,  AA’C’C   BC’ A  300 AC’ B  AC’  Trong AA’C’ : AB t an30o  3a AA’  AC’2  A’C’2  2a 2 ABC là nửa tam giác đều nên SABC  a2 3 . 2 Vậy V  a3 6 . Vậy chọn đáp án D. Câu 19. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a ,biết  A ‘ BC hợp với đáy  ABC  một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. A. 3a3 3 2 B. a3 3 2 C. a3 3 3 D. a3 3 Hướng dẫn Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 12 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Ta có A’A  (ABC)& BC  AB  BC  A’B    (A ‘ BC),(ABC)  ABA ‘  60 A’ C’ B’ o ABA’  AA’  AB.tan 600  a 3 A C o 60 1 a2 a3 3 SABC  BA.BC  . Vậy V  2 2 2 B Vậy chọn đáp án B. Câu 20. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh x . Mặt  A’BC  tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’ BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ A. x3 3 3 B. 3×3 3 C. x3 3 D. x3 3 Hướng dẫn giải ABC đều  AI  BC mà AA’   ABC nên A’I  BC . Vậy  A’BC , ABC   A’IA 30 0 Ta có BC  x  AI  C’ A’ 2x 3  x 3 . Ta có 2 A’ AI : A’ I  AI : cos 30 0  2 AI 3  B’ 2x 3 3 0 A’A  AI tan30  x . Ta có VABC.A’B’C’  x  2x 3 A 3. 30o C B x I Mà SA’BC  BI.A’I  x.2x  8  x  2 . Do đó VABC.A’B’C’  x3 . 3 Vậy chọn đáp án C. Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA’  a 2. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ A. 2 3 a 2 B. 2a3 C. 2a3 D. 2 2a3 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có SABC  BA.BC  a.a  a2 . 2 2 2 1 2 3 VABC.A’B’C’  AA ‘.SABC  a 2. a2  a . Vậy chọn đáp án A. 2 2 Câu 22. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp . Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 13 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ 3a3 6 A. 2 2a3 6 D. 3 a3 6 B. 3 a3 6 C. 2 Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD = a2 3 2 Theo đề bài BD’ = AC = 2 a 3 a 3 2 DD’B  DD’  BD’2  BD2  a 2 Vậy V = SABCD.DD’ = a3 6 . 2 Vậy chọn đáp án C. Câu 23. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . a2 6 A. 2 a3 6 B. 3 4a2 6 D. 3 a2 6 C. 4 Hướng dẫn giải Ta có ABCD A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên ta có: DD’  (ABCD)  DD’  BD và BD là hình chiếu của BD’ trên ABCD . Vậy góc [BD’;(ABCD)] = DBD’  300 BDD’  DD’  BD.tan 300  S = 4SADD’A’ = a 6 3 4a2 6 . Vậy chọn đáp án D. 3 Câu 24. Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o biết AB’ hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp a3 B. 4 A. 3a3 3a3 C. 2 D. a3 Hướng dẫn ABD đều cạnh a  SABD  SABCD  2SABD  ABB’ vuông tại B C’ B’ a2 3  4 A’ 2 a D’ 3 2 A 60 C B o 30 o D a Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 14 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ  BB’  ABt an30o  a 3 3a3 . Vậy chọn đáp án C. 2 Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 2a ; mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A’C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Vậy V  B.h  SABCD .BB’  16a3 2 A. B. 3 16a3 2 9 C. 16a3 2 3 D. 16a3 2 8 Hướng dẫn giải Ta có AA’  (ABCD)  AC là hình chiếu của A’C trên (ABCD) . Vậy góc[A’C,(ABCD)] = A’CA  30o C’ B’ Vậy góc[(A’BC),(ABCD)] = A’BA  60o 2a A’AC  AC = AA’.cot30o = 2a 3 A’AB  AB = AA’.cot60o = 2a 3 3 ABC  BC  AC2  AB2  D’ A’ BC  AB  BC  A’B (đl 3  ) . D A o 60 o 30 C B 4a 6 . 3 16a3 2 .Vậy chọn đáp án C. 3 Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a Vậy V  AB.BC.A A ‘  3 , cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ 3a3 6 2 A. B. a3 6 4 C. a3 6 2 D. 2a3 6 2 Hướng dẫn * Tam giác ABC vuông tại B  BC = AC2  AB2  a 2 1 a2 2  SABC  AB.BC  2 2 * Tam giác A/AB vuông tại A / / 2 2  A A  A B  AB  a 3 * V C/ A/ ABC.A / B/C / a3 6  SABC .A A  . 2 / B/ 2a a 3 A C a B Vậy chọn đáp án C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 15 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC  a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ. a3 6 9 A. B. a3 6 4 C. a3 6 3 a3 6 6 D. Hướng dẫn giải Ta có A/A  (ABC) C/ A/ / (A BC)  (ABC)  BC B/ AB  BC Mà AB = hc(ABC)A / B nên A/B  BC 2a     (A / BC),(ABC)   A / BA  300   * Tam giác ABC vuông tại B  SABC C 1 a2 2  AB.BC  2 2 A a ABC.A / B/C / Câu 28.  SABC .A / A  a 2 B * Tam giác A/AB vuông tại A  A / A  AB.tan 300  * V 30 0 a 3 3 a3 6 . Vậy chọn đáp án D. 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối OBB’C’. a3 2 A. 9 a3 2 B. 4 a3 2 C. 3 a3 2 D. 12 Hướng dẫn giải ABD có : DB  AB2  AD2  2a M là trung điểm BC  OM  (BB ‘ C ‘) A O D 1 1 a 2 a 3 a3 3  VO BB ‘C ‘  S BB ‘C ‘ .OM  . .  3 3 2 2 12 Vậy chọn đáp án D. B M C B’ A’ C’ D’ Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 16 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ a3 A. 2 a3 D. 4 a3 B. 6 a3 C. 3 Hướng dẫn giải Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. B A Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng D C thể tích. Khối CB’D’C’ có Khối lập 1 1 1 V1  . a 2 .a  a3 3 2 6 phương có thể A’ tích: V2  a 3 B’ C’  D’ a 1 1 VACB ‘ D ‘  a3  4. a3  a3 6 3 Vậy chọn đáp án C. Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE A. a3 3 5 B. a3 3 4 C. a3 3 16 D. a3 3 15 Hướng dẫn giải Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’. E A I F C Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên 1 VA ‘CEF  SCEF . A ‘ A 3 B B’ A’ J C’ SCEF 1 a2 3 a3 3  S ABC   VA ‘CEF  4 16 48 Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có SCFB’ Vậy : đáy là CFB’, đường cao JA’ nên VA ‘ B ‘CF  1 SCFB’ . A ‘ J ; 3 1 a2 1 a 2 a 3 a3 3  SCBB ‘   VA ‘ B ‘CF   2 4 3 4 2 24 VCA’B’FE a3 3  . Vậy chọn đáp án C. 16 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 17 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ DẠNG 2. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng: A. 1 ; 2 B. 1 3 D. ; 5 4 Hướng dẫn giải 1 ; 3 C. Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai phần là A’.ABC và A’B’C’BC C’ A’ B’ Ta có: 1 VA’.ABC  VABC.A’B’C’ 3 2  VA’B’C’BC  VABC.A’B’C’ 3 Suy ra tỉ số thể tích của hai phần đó C A B 1 . Vậy chọn đáp án A. 2 Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích cua hai phần đó bằng: bằng A. 1 ; 3 B. 1 ; 5 1 3 ; D. 5 6 Hướng dẫn giải C. Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần M.ABC Và MA’B’C’BC . 1 1 1 Ta có: VM.ABC  . h.SABC  VABC.A’B’C 3 2 6 Suy ra: VMA’B’C’BC  5 V 6 ABC.A’B’C’ A’ C’ B’ M A C B 1 . Vậy ta chọn đáp án B. 5 Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng Tỉ số thể tích cua hai phần đó bằng: a 6 . Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là 2 A. a3 2 8 B. a3 2 4 a3 a3 2 D. 8 2 Hướng dẫn giải C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 18 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ 1 VACA’B’  VC.AA’B’  SAA’B’ .d C,  AA ‘ B’  3 Ta có CM  AB (vì tam giác ABC là tam giác đều)   C’ A’ B’ a 6 2  CM   AA’ B’ B hay CM   AA’ B’    CM  d C,  AA’ B’   C A a M 1 1 1 VACA’B’  SAA’B’ .CM  . AA ‘.A ‘ B’.CM 3 3 2 B 1 a 6 a 3 a3 2  . .a.  6 2 2 8 Vậy chọn đáp án A. Câu 4. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. Vẽ AK  A’D  K  A’D  . Lúc đó độ dài AK là A. 1 B. 2 C. 3 AB∥A’B’  AB∥ A’B’D   D. 4 Hướng dẫn giải B’   d A,  A’ B’ D   d  AB,A’D  C’ D’ A’ Ta có A’ B’   AA’ D’ D   A’B’  AK K B Ta còn có A’D  AK (giả thiết)  AK   A’ B’ D  C A  D  Vậy AK  d A,  A’ B’ D   d  AB,A’ D   2 . Vậy chọn đáp án B. Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC’) hợp với mặt phẳng (BCC’B’) một góc  . Diện tích xung quanh của khối lăng trụ là A. 3 3a2 tan2   3 B. 3a2 tan2   3 C. 3 3a2 tan2   3 D. 3a2 tan2   3 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 19 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BC, BC’. B’ C’ A’ Ta có AH   BCC’B’   AH  BC’ , do đó  AKH    BC’    AKH K Tam giác AKH vuông tại H và AH  a 3 2 H α C B a a 3 2sin  Đặt AA’  x . Xét tam giác C’AB có: nên AK  A C’A  CB  x2  a2 , AB  a . Nên từ AK  a 3 a 3 ta tính được x  2sin  tan2   3 Diện tích xung quanh của khối lăng trụ Sxq  3 3a2 tan2   3 . Vậy chọn đáp án C. Câu 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ này A. 8a3 B. 9a3 C. 18a3 D. 21a3 Hướng dẫn giải ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên BD2 = BD’2 – DD’2 = 9a2  BD  3a ABCD là hình vuông  AB  Suy ra B = SABCD = 3a 2 9a2 2 Vậy V  B.h  S ABCD.AA’ 18a 3 Vậy chọn đáp án C. Câu 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật. a3 6 A. 2 a3 6 B. 4 a3 6 C. 3 a3 6 D. 12 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 20 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Gọi O là tâm của ABCD . Ta có D’ C’ ABCD là hình vuông nên OC  BD A’ B’ CC’  (ABCD) nên OC’  BD (đl 3  ). Vậy góc[(BDC’);(ABCD)] = COC’ = 60o D C Ta có V = B.h = SABCD.CC’ 60 0 O A B a ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 OCC’ vuông nên CC’ = OC.tan60o = a 6 a3 6 . Vậy V = . 2 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 8. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là  . Tính thể tích của lăng trụ theo h và  là h3 (1  sin ) A. sin  h3 (1  sin ) B. sin  h3 (1  cos ) h3 (1  cos ) C. D. cos  cos  Hướng dẫn giải Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x 2, AB’  AD’  h2  x2 AB’ D’ : 2 2 D’ C’ 2 B’ D’  AB’  AD’  2AB’.AD’.cos   2AB’2  2AB’2 cos  A’  2×2  2(h2  x2 )  2(h2  x2 ) cos  B’ D h  x2  (h2  x2 )  (h2  x2 ) cos  A h2 (1  cos ) x  . cos  C O B 2 h3 (1  cos ) .Vậy chọn đáp án C. cos  Câu 9. Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 600 và diện tích Vậy V = x2.h = tam giác ABC ‘ bằng A. 6 3 a 4 B. 3a2 3 6 3 a 8 3 6 3 3 6 3 a a D. 4 2 Hướng dẫn giải C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 21 Chuyên đề: Hình học không gian Gọi H là trung điểm Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ AB A’ C’ CH  AB  C’ H  AB B’   (ABC’),(ABC)   (CH,C’ H)  CHC’  600 SABC’  Xét HC’  2 A 2 3a  HC’.AB  2 3a (1) HCC’ HC cos600 vuông tại C H B C:  AB 3 (2) CC’  HC’.sin 60 0  3 2 2 a; 1 2 SABC  2 AB sin 60 0  3 2 a2 Từ (1),(2)  AB  a 2;HC’  a 6 V ABC.A ‘ B’C’  SABC.CC’  3 6 4 a3 (đvtt). Vậy chọn đáp án C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 22 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ DẠNG 3. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊNG Câu 1. Gọi V là thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và V1 là thể tích của khối tứ diện có cùng đáy và chiều cao với khối hộp. Hệ thức nào sau đây là đúng: A. V  6V1 ; B. V  5V1 ; C. V  4V1 ; D. V  3V1 Hướng dẫn giải Ta có: B’ 1 VB’.BCD  h.SBCD 3 1 1  h.SABCD  VABCD.A’B’C’D’ 6 6 Hay V  6V1 . A’ D’ B Vậy chọn đáp án A. C A D Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Trên đáy A’B’C’ lấy điểm M bất kỳ. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng A. V ; 2 B. 2V ; 3 C. V ; 3 D. 3V 4 Hướng dẫn giải Ta có: C’ A’ M 1 1 VM.ABC  h.SABC  V . 3 3 Vậy ta chọn đáp án C B’ C A B Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  a 3, BC  3a , ACB  300 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng  A ‘ BC  vuông góc với mặt phẳng  ABC . Điểm H trên cạnh BC sao cho HC  3BH và mặt phẳng  A ‘ AH  mặt phẳng  ABC  . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. 3a3 4 B. 9a3 4 C. 9a3 2 D. vuông góc với 3 3a3 4 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 23 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ  A ‘ BC    ABC    A ‘ H   ABC   A ‘ AH    ABC   A ‘ H   A ‘ BC    A ‘ AH  A’ C’ B’ A Suy ra A’AH  600 AH2  AC2  HC2  2AC.HC.cos30 0  a2  AH  a  A ‘ H  AH.tan 600  a 3 VABC.A’B’C’ B C H 3a2 3 9a3  SABC .A ‘ H  .a 3  4 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ABC đều có cạnh bằng a, AA’  a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. a3 2 2 B. a3 2 4 a3 2 D. 8 Hướng dẫn giải C. Gọi O là tâm tam giác đều ABC B’ a 3 2 a 3 , AO  AM  2 3 3 A ‘O  AA ‘2  AO2  a2  SABC C’ A’  A’O   ABC Ta có AM  2a3 3 a2 a 6  ; 3 3 C A a2 3  4 O M B a2 3 a 6 a3 2 .  Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V  SABC .A ‘O  . 4 3 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, ACB  300 ; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. 3a3 3 4 B. a3 3 4 C. 3a3 3 D. a3 3 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 24 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ A’H   ABC  A’H là đường cao của C’ A’ hình lăng trụ. B’ AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC)  A’AH  600 VABC.A’B’C’  A ‘ H.SABC 600 A 300 M AC  2a, MA  MB  AB  a C H a 3 3a  AH   A’H  2 2 B 1 1 a2 3 3a a2 3 3a3 3 SABC  BA.BC  a.a 3   VABC.A’B’C’  .  2 2 2 2 2 4 Vậy chọn đáp án A. a 10 , BAC  1200 . Hình 2 chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’). Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  2a, AC  a, AA ‘  A. a3 3 4 B. 3a3 4 3a3 3 D. a3 3 4 Hướng dẫn giải C. Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C’ H   ABC . Trong C’ A’ ABC ta có: B’ 2 1 a 3 AB.AC.sin120 0  2 2 2 2 2 BC  AC  AB  2AC.AB.cos1200  7a2 SABC  a 7 2 a 3  C’ H  C’C2  CH 2  2  BC  a 7  CH  C a a 10 2 B H 1200 2a A Suy ra thể tích lăng trụ V  C’ H.SABC  3a3 . Vậy chọn đáp án B. 4 Câu 7. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc  với tan   A. a3 6 B. a3 3 6 C. a3 3 3 2 5 . Thể tích khối chóp A’.ICD là D. a3 3 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 25 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn giải heo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra B’ C’ A’ D’  A’C,  ABCD   A’C,CI   A’CI   B Xét ta giác vuông A’IC: α C I A ‘ I  IC.tan A ‘CI  IC.tan   a 5 2 A . a 2 5 D 1 1 a2 a3 Thể tích khối chóp A’.ICD là: VA’.ICD  A ‘ I.SICD  a.  (đvtt) 3 3 2 6 Vậy chọn đáp án A. Câu 8. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Thể tích khối lăng trụ là A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 Hướng dẫn giải Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta A’ 1 V 2 ABCD.A’B’C’D’ Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai đáy là ABB’A’ và DCC’D’. có: VABC.A’B’C’  B’ C’ A VABCD.A’B’C’D’  SABB’A’ .h Vậy D’ D B C trong đó     h  d  CDD’C’  ,  ABB’ A’   d CC’,  ABB’ A’   7 1 và SABB’A’  4  VABC.A’B’C’  .4.7  14 . Vậy chọn đáp án C. 2 Câu 9. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A ‘ A  A ‘ B  A ‘C  a A. a3 8 B. 7 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a là 12 a3 3 8 C. 3a3 3 8 D. a3 3 4 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 26 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC) B’ C’ Vì A’A  A’B  A’C nên HA  HB  HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. A’ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. A ‘ J  AA ‘2  AJ2  7a2 a2 a   12 4 3 I B C Ja 1 1 a 3 a 3 HJ  CJ  .   A ‘ H  A ‘ J2  HJ2  3 3 2 6 2 H A a a2 3 a3 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  A ‘ H.SABC  .  2 4 8 Vậy chọn đáp án B. Câu 10. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , BAC  1200 và AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’). Mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là A. a3 3 3 B. 8a3 3 a3 3 a3 3 D. 8 2 Hướng dẫn giải C. Ta có K 2 2 2 2 BC  AB  AC  2AB.ACcosA  3a B’ C’ A’  BC  a 3 Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A’C’   AB’K  A Do đó: a   AKB’   A’ B’C’  ,  AA’C’   30 0 1200 a C B Trong tam giác A’KB’ có KA’ B’  600 , A’ B’  a nên B’K  A ‘ B’sin 600  a 3 . Suy ra 2 a AB’  B’K.tan 300  . 2 Thể tích khối lăng trụ: V  AB’.SABC  a3 3 . 8 Vậy chọn đáp án C. Câu 11. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB  AC  a, BAC  1200 , hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên AA’  2a . Thể tích của khối lăng trụ là Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 27 Chuyên đề: Hình học không gian 3a3 3 A. 4 3a3 B. 4 Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ a3 a3 3 C. D. 4 4 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm của đáy, M là trung điểm B’ C’ của cạnh BC, SH   ABC A’ a 3  BC  a 3 2 Áp dụng định lý sin ta có: AM  ABsin 600  HA  R  H BC 2sin120 0  a, M B C A ‘ H  A ‘ A 2  AH 2  a 3 A 1 a2 3 3a3 0 . Vậy VABC.A’B’C’  A ‘ H.SABC  SABC  AB.ACsin120  2 4 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’  a , góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 , tam giác ABC vuông tại C và BAC  600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện A’.ABC là 3a3 A. 208 9a3 B. 208 a3 9a3 C. D. 108 108 Hướng dẫn giải Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC B’ C’  B’G   ABC   B’ BG  600  B’G  BB’sin B’ BG  a 3a  BD  2 4 Trong ABC ta có: A’ a 3 ; 2 BG  B AB 3 , 2 AC  AB AB  CD  2 4  AB  C G BC  BC2  BD2  BD2  600 D A 3AB2 AB2 9a2   4 16 16 3a 13 3a 13 9a2 3 , AC  , SABC  13 26 104 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 28 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ 1 9a3 Thể tích khối tứ diện A’.ABC là: VA’.ABC  B’G.SABC  . 3 208 Vậy chọn đáp án B. Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. A. 3a3 8 a3 3 8 B. C. 3a3 3 8 D. a3 8 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của cạnh BC A’ C’  A’ H   ABC B’ Tam giác vuông A’HA: AH  A ‘ A2  AH2  3a2  SABC 3a2 3a  4 2 A a2 3 nên  4 C H B VABC.A’B’C’  A ‘ H.SABC  3a a2 3 3a3 3 .  2 4 8 Vậy chọn đáp án C. Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ. A. a3 4 B. a3 2 2 a3 2 a3 D. 4 2 Hướng dẫn giải C. Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’. Ta C’ có CO   ABB’ A’  . A’ Vì CA  CB nên OA  OB , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuông. Do đó OA  OC2  AC2  AO2  AB 2 2  a 2 B’ O . Suy a a .  OC  2 2 C ra: A B 1 a3 2 Vậy thể tích của khối chóp: VC.ABA’  CO.SABA’  3 12 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 29 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Mà VABC.A’B’C’  3VC.ABA’ nên thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC.A’B’C’  a3 2 4 . Vậy chọn đáp án C. Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, BAD  600 , BAA ‘  900 , DAA ‘  1200 . Thể tích khối hộp là A. a3 2 B. a3 4 a3 2 a3 2 D. 4 2 Hướng dẫn giải C. Từ giả thiết ta tính được BD  a , D’ A’ B  a 2 , A ‘ D  a 3 nên tam giác A’ A’BD vuông tại B. Vì AB  AD  AA’ nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD (do tam giác đó vuông nên H là trung điểm của A’D) C’ B’ H C D A B a 1 a2 2 Ta có AH  AA ‘ cos60  , SA’BD  BA ‘.BD  , 2 2 2 0 Do đó thể tích khối tứ diện A’.ABD là VA’.ABD  a3 2 . 12 Ta đã biết VABCD.A’B’C’D’  6VA’.ABD nên VABCD.A’B’C’D’  a3 2 . 2 Vậy chọn đáp án D. Câu 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho BAA’  450 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là A. a3 2 4 B. a3 2 8 a3 a3 D. 8 4 Hướng dẫn giải C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 30 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Gọi E là trung điểm của AB, ta có: OE  AB  A ‘O  AB do A ‘O   ABC   AB   A ‘OE   AB  A ‘ E  C’ A’  B’ Tam giác vuông A’EA có A  450 nên là tam giác vuông cân tại E C A O E a a 2 Suy ra A ‘ E  EA  , AA ‘  2 2 Tam giác vuông A’OE (vuông tại O) có: a B 2 a2  1 a 3  a2 3a2 6a2 a 6 A ‘O  A ‘ E  OE    .   A ‘O     4  3 2  4 36 36 6 2 2 2 Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’: a2 3 a 6 a3 2 . Vậy chọn đáp án B. .  4 6 8 Câu 18. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết V  SABC .A ‘O  cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ. A. 3a3 3 8 B. a3 3 8 C. 3a3 8 D. a3 8 Hướng dẫn giải Ta có C’H  (ABC)  CH A’ C’ là hình chiếu của CC’ trên (ABC) B’ Vậy [CC’,(ABC)]  C’CH  60o CHC’  C’H  CC’.sin600 SABC =  3a  ; 2 C A a o 60 H B a2 3 . 4 Vậy V = SABC.C’H = 3a3 3 . Vậy chọn đáp án A. 8 Câu 19. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ A. a3 3 3 B. a3 3 4 C. a3 3 8 D. a3 3 2 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 31 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Ta có A’O  (ABC)  OA A’ là hình chiếu của AA’ trên (ABC). C’ Vậy [AA’,(ABC)]  OAA’ 60 o Ta có BB’CC’ là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) B’ AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A’H (đl 3 )  BC  (AA’H)  BC  AA’ mà AA’//BB’ nên A 60 o BC  BB’ . C a Vậy BB’CC’ là hình chữ nhật. 2 3 ABC đều nên AO  AH  O H B 2a 3 a 3  3 2 3 a3 3 . AOA’  A’O  AOt an60o  a . Vậy V = SABC.A’O = 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB  3 , AD  7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. B. 2 A. 3 C. 4 D. 8 Hướng dẫn giải Kẻ A’H  (ABCD ) , HM  AB, HN  AD  A’ M  AB, A’ N  AD  A’MH  45o ,A’NH  60o Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 = 2x 3 AN = AA’ 2  A’ N 2  3  4x 2  HM 3 Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa là x = 3  4x 2 x 3 Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3 . 7 3. 7. 3  3 .Vậy chọn đáp án A. 7 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 32 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Câu 22. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ. A. 6a3 B. 8a3 C. 4a3 D. 2a3 Giải * Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác ABC Ta có A/G  (ABC) A/ / C/ GA = hc(ABC)A A B/     A / A,(ABC)   A / AG  300   * Tam giác ABC đều cạnh 2a 3   3  3a2 3 4 * Tam giác A/AG vuông tại G có 2  SABC  2a 3 . 30 0 A C G 2a 3 M B 2 2 3 A  300 ,AG  AM  .2a 3.  2a 3 3 2  A / G  AG.tan 300  2a 3 .Vậy V  SABC .A / A  6a3 . / / / ABC.A B C 3 Vậy chọn đáp án A. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 33 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí để tạo động lực cho tác giả ra đời những chuyên đề khác hay hơn TÊN TÀI LIỆU GIÁ MÃ SỐ TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 50K HHKG_TTLT Quà tăng đính kèm: File Word 5 đề thi thử THPT Quốc gia 2017 có đáp án và lời giải chi tiết {ĐỀ 15-19} Hướng dẫn thanh toán Quý thầy cô thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức gửi tài liệu cho quý thầy cô. Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện trực tiếp cho mình. Thầy cư. SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu Ví dụ: Nguyễn Thị [email protected]_HHKG_TTKC Lưu ý: Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, không được bán lại hoặc chia sẻ cho người khác. CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 34