Chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 2 Bài 1: Cho  ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: BH .BD + CH .CE = BC HD: A Từ H kẻ HK ⊥ BC Khi đó: CEB ( g.g ) = CKH D CH CK = = CH .CE = CK .CB (1) CB CE E H Tương tự: BH BK = = BH .BD = BK .BC (2) BC BD Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT = CK.BC + BK.BC = BC ( BK + KC ) = BC 2 BKH BDC ( g.g ) = B C K Bài 2: Cho  BHC có BHC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D 2 CMR: BH .BD + CH .CE = BC HD: Kẻ: HG ⊥ BC = CGH CEB ( g.g ) D E CH CG = = CH .CE = BC.CG (1) CB CE Tương tự ta có: BGH BDC ( g.g ) BH BG = = BH .BD = BC.BG => (2) BC BD Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT = BC.CG + BC.BG = BC (CG + GB ) = BC 2 => H B Bài 3: Cho  ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: HD: C K 1 1 1 + = AB AC AD B D Kẻ DE / / AB ( E  AC ) = ADE là tam giác đều A ABC có : DE CE AD AC − AE AE AD DE / / AB = = = = = 1− = 1− AB CA AB AC AC AC AD AD 1 1 1 = + = 1 = + = (đpcm) AB AC AB AC AD C E 1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của  ABC, AM AB ‘ AC ‘ = + biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: A ‘ M CB ‘ BC ‘ HD: A E Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó: AM AE = (1) AME có AE / / A ‘ C = A ‘ M A ‘C AM AD = (2) AMD có AD / / A ‘ B = A ‘M A ‘ B Từ (2) và (2) ta có: AM AE AD AD + AE DE = = = = (*) A ‘ M A ‘ C A ‘ B A ‘ C + A ‘ B BC Chứng minh tương tự ta cũng có: AB ‘ AD = (3) AB ‘D có AD / / BC = B ‘ C BC AC ‘ AE = AC ‘ E có: AE / / BC = C ‘ B BC AB ‘ AC ‘ AD AE DE + = + = Từ (3) và (4) ta có: B ‘C BC ‘ BC BC BC AM DE AB ‘ AC ‘ = = + Từ (*) và (**) => (đpcm) A ‘ M BC B ‘ C BC ‘ D B’ C’ M B C A’ (**) Bài 5: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR: AM BM CM + + =2 AA ‘ BB ‘ CC ‘ A HD: Từ A, M vẽ AH , MK ⊥ BC = AH / / MK A ‘ M MK MK .BC SMBC = = = A ‘ AH có: A ‘ A AH AH .BC S ABC A ‘ M AA ‘− AM AM SMBC = = 1− = Mặt khác: A’ A AA ‘ A ‘ A S ABC S AM = = 1 − MBC A’ A S ABC Chứng minh tương tự: S S BM CM = 1 − MAC , = 1 − MAB BB ‘ S ABC CC ‘ S ABC Cộng theo vế ta được đpcm C’ B’ M B H K A’ C 2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 6: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam MA ‘ MB ‘ MC ‘ + + =3 giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : GA ‘ GB ‘ GC ‘ HD: Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC A ‘ M MD A = (1) A ‘GI có: MD / /GI = A’G GI A1M MD MD = = A1AI có MD / / GI = ( AI = 3GI ) (2) A1A AI 3GI A ‘ M 3 A1M = Từ (1) và (2) ta có: A ‘G A1A M C’ Chứng minh tương tự ta có: A’ B’ G B A1 D C I MB ‘ 3.B1M MC ‘ 3.C1M  A1M B1M C1M  = , = = VT = 3  + +  GB ‘ B1B GC ‘ C1C  A1A B1B C1C  mà ta có: từ bài 6 => A1M B1M C1M + + = 1 = VT = 3 A1A B1B C1C Bài 7: Cho  ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a, CMR:  AEF đồng dạng  ABC b, H là giao các đường phân giác của  DEF 2 c, BH .BE + CH .CF = BC A HD: 1 AE AB AE AF = = = a, Ta có: AEB CFC ( g.g ) = AF AC AB AC => AEF ABC ( c.g.c ) b, Chứng minh tương tự ta cũng có: CED CBA, (c.g.c) và BFD => Do AEF BCA (c.g.c) ABC = AEF = ABC = CED ( E 2 F H 1 B 2 C D ) 0 Mà: BEF + AEF = BED + CED = 90 = BED = BEF => HE là phân giác góc E Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D BH BD = = BH .BE = BD.BC BC BE CH CD = = CH .CF = CD.CB và CDH CFB ( g.g ) = CB CF Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm c, BHD BCE ( g.g ) = (1) (2) 3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 Bài 8: Cho  ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR : AD = AB. AC − BD.DC HD: A Trên AD lấy điểm E sao cho: AEB = ACB = ABE ADC ( g.g ) 1 BE AB AE = = = AB. AC = AD. AE (1) DC AD AC lại có: BD DE BDE ADC ( g.g ) = = = BD.DC = AD.DE AD DC 2 = B C D (2) E Lấy (1) – (2) theo vế ta được: AB.AC − BD.DC = AD ( AE − DE ) = AD 2 Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: ABC = ADC, ABC + BCD  1800 , Gọi E là giao điểm của AB và 2 CD, CMR: AC = CD.CE − AB. AE x HD: Trên nửa mặt phẳng bờ BE, B N không chứa C vẽ tia Ex sao cho: BEx = ACB A => Ex cắt AC tại N => N = B = D E Ta có : AB AC = = AB. AE = AC. AN (1) AN AE CD CA = = CD.CE = CA.CN Tương tự : CAD CEN ( g.g ) = CN CE Lấy (2) – (1) theo vế ta được đpcm ABC C D ANE ( g.g ) = (2) Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD 2 CMR: Hệ thức: AB. AE + AD. AF = AC HD: B A Vì AC là đường chéo lớn => D  900 = H  AC , Kẻ DH ⊥ AC => AHD AFC ( g.g ) AD AH = = = AD. AF = AC. AH (1) AC AF Tương tự kẻ BK ⊥ AC = AKB AEC ( g.g ) E H K C D F = AB AK = = AB. AE = AC. AK AC AE (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD. AF + AB.AE = AC ( AH + AK ) = AC.AC = AC 2 Vì ABK = CDH ( cạnh huyền – góc nhọn) => AK=HC 4 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 12: Cho  ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E DG KF EH KH DE GF + + + + =2 =1 a, CMR: b, CMR: AB BC AC AB BC AC HD: A KH KO = AB BC GF OF GOF ABC ( g.g ) = = AC BC KH DE GF KO DE OF + + = + + =1 Nên AB BC AC BC BC BC b, Ta có: DG DC EH BE = = và , AC BC AB BC a, HKO ABC ( g.g ) = G H O K B F D C E Khi đó: DG KF EH DC KF BE DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC + + = + + = = =2 AB BC AC BC BC BC BC BC Bài 13: Cho  ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, CMR : NC AC − =1 ND BC HD: Vẽ DE / / BM ( E  AC ) NC MC = (*) ND ME AD AC = ABC có DC là tia phân giác nên: (1) DB BC AD AE = và ABM có DE//BM = (2) DB EM AC AE = Từ (1) và (2) ta có : (**) BC ME NC AC MC AE ME − = − = =1 Lấy (*) – (**), ta có : ND BC ME ME ME QDE có NM / / DE = Bài 14: Cho  ABC có các đường phân giác AD, BE, CF, CMR: A E M D N 2 B 1 C DB EC FA . . =1 DC EA FB HD: A DB AB = ABC có AD là tia phân giác nên: = , DC AC E EC BC FA AC = , = Tương tự: , EA AB FB BC F Nhân theo vế ta được đpcm B D C 5 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G CMR: 2 a, AE = EK .EG 1 1 1 = + b, AE AK AG c, Khi a thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi? HD: AE EB = a, ABE có AM / / DG = EG ED ADE có AD / / BK = Từ (1) và (2) ta có: b, Từ: EB EK = ED EA a (1) B A (2) E AE EK = = AE 2 = EK .EG EG EA D C G K 1 1 1 AE AE = + = + =1 AE AK AG AK AG ADE có AD / / BC = AE ED AE ED AE ED = = = = = EK EB AE + EK ED + EB AK DB Tương tự: AEB có AB / / DG = (3) AE BE AE BE AE BE = = = = = EG ED AE + EG BE + ED AG BD Khi đó: AE AE ED BE + = + = 1 =>đpcm AK AG BD BD c, ta có: KC CG BK AB KC. AB AD.CG = = = BK = = DG = và KC CG AD DG CG KC (4) Nhân theo vế ta được = BK.DG = AB.AD không đổi Bài 16: Cho  ABC nhọn, H là trực tâm, CMR : BH .CH CH . AH AH .BH + + =1 AB. AC BC.BA CA.CB HD: BH BC ‘ = Ta có: BC ‘H BB ‘ A ( g. g ) = AB BB ‘ BH .CH BC ‘.CH SHBC (1) = = = AB. AC BB ‘.AC S ABC CH CA ‘ = Tương tự: CA ‘ H CC ‘ B ( g.g ) = BC CC ‘ CH . AH CA ‘. AH S AHC (2) = = = B BC.BA CC ‘.BA S ABC AH AB ‘ AB.BH AB ‘.BH SHAB AHB ‘ ACA ‘ ( g.g ) = = = = = AC AA ‘ CACB . AA ‘.CB S ABC Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm A B’ C’ C A’ (3) 6 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 17: Cho  ABC, M là điểm nằm trong  ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF lần lượt tại K và I, CMR : MI=MK A HD: Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q AN MN = ABD có MN / / BC = AB BD F AN NQ MN NQ E = = = (1) ABC có NQ / / BC = AB BC BD BC M H N IM FM I K = , FDC có IM / / DC = DC FC MN FM = FBC có NM / / BC = BC FC C B D IM MN IM DC = = = = (2) DC BC MN BC IM DC.NQ DC.NQ.BD = = IM = Nhân (1) và (2) theo vế ta được: (*) 2 BD BC BC 2 Tương tự ta cũng có: MQ AQ NQ AQ = = ADC có MQ / / DC = và ABC có NQ / / BC = BC AC DC AC MQ NQ = Do đó: (3) DC BC MK EM MQ ME = = Và: EBD có MK / / BD = , EBC có MQ / / BC = BD EB BC EB MK MQ MK BD Do đó: (4) = = = BD BC MQ BC MK NQ.BD DC.NQ.BD = = MK = Nhân (3) với (4) ta được: (**) 2 DC BC BC 2 Từ (*) và (**) ta có MI = MK Bài 18: Cho  ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC, đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE HD: A Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J  HK / / GO Tứ giác HGOK có:  => HGOK là hình bình hành  HG / / KO => J là trung điểm của HO => HJ=OJ N DH BH = BNG có DH / / NG = (1) NG BG HK BH = BGC có HK / /GC = (2) D GC BG H DH HK DH NG 1 = = = = Từ (1) và (2) ta có (*) B NG GC HK GC 2 OE OC = CMTT ta có: CMG có OE / /GM = (3) GM CG M G I J K E O C 7 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức OK OC = (4) GB CG OE OK OE GM 1 = = = = Từ (3) và (4) => (**) GM GB OK GB 2 DH OE 1 = = = DKE có OH / / DE Từ (*) và (**) = HK OK 2 Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE CBG có OK / / BG = Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, CMR: DBF = EBC B A HD: Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G DK FD = (1) FAB có DK / / AB = AB FA DH FD = (2) FAG có DH / / AG = AG FA D Từ (1) và (2) DK DH DK AB = = = = (*) AB AG DH AG Tương tự: F IC EC AB / / IC = = (3) EIC có AB EA HC EC = EHC có HC / / AB = (4) AG EA IC HC IC AB = = = Từ (3) và (4) ta có: = (**) AB AG HC AG DK IC = Từ (*) và (**) => , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC DH HC G 2 1 E 1 1 K H I C Mặt khác: BD=BC(gt)=> BDC cân=> BDK = BCI => BDK = BCI ( c.g.c ) = DBK = CBI đpcm Bài 20: Cho  ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại AB AC + =3 M và N, CMR: A AM AN HD: Gọi O là trung điểm của BC, Kẻ BH, CK lần lượt // MN ( H , K  AO ) BOH = COK ( g.c.g ) = OH = OK AB AH = AM AG AC AK = AKC có GN / / KC = AN AG N G ABH có MG / / BH = (1) M (2) B H O C K Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 8 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức VT = AH AK AG + GH + AG + GH + HK 2 AG + 2GO 3 AG + = = = =3 AG AG AG AG AG Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N) đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, CMR: AE.BF=DE.CF HD: A H B E M N D F G C Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G AE AH = AEH có HA / / DM = ED DM BF BM CF CG = = = CF CG BF BM Mặt khác: NAH = NCG ( g.c.g ) = AH = CG AE CF = = AE.BF = ED.CF Từ (1), (2) và (3) ta có: ED BF CGF có CG / / BM = (1) (2) (3) và DM = BM Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB, CMR: EF //BC HD: Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND  BM / / NC => Tứ giác BMCN là hình bình hành =>   BN ..MC AF AM = ABN có FM / / BN = (1) AB AN AE AM = ANC có ME / / NC = (2) AC AN Từ (1) và (2) => AF AE = => EF / /BC AB AC A E F M B C D N 9 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM và OA OD 2 = 4, = , CMR: ABCD là hình bình hành DN, biết OM ON 3 B A N K O HD: D Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN OM MH 1 DH 4 = = = = MAD có OH / / AD = AM MD 5 DM 5 Vì C H M (1) OA OA OA + OM AM OM 1 = 4 = + 1 = 5 = = = 5 = = OM OM OM OM AM 5 Tương tự ta có: DNC có KM / / NC , mà OD 2 OD 2 DO 4 = = = = = ON 3 DN 5 DK 5 (2) Từ (1) và (2) => OH / / KM = AD / / BC Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND HD: Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H MB MF BF = = => MAG có BF / / AG = MA MG AG F NC FC = (1) ND HD Ta lại có: AEG = DEH ( g.c.g ) = HD = AG Thay vào (1) ta được: NHD có FC / / HD = 10 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức = NC FC BF MB NC MB = = = = = = MA.NC = MB.ND đpcm ND AG AG MA ND MA Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN a/ CMR:  GPI và  GNCđồng dạng A b/ CMR: IC vuông góc với GI HD: a, Vì G là trọng tâm nên GP ⊥ MN , I 1 1 1 Lại có : MA=NC=> PI = MA = NC và GP = .GN 2 2 2 M Vì  ABC đều =>  BMN đều 1 P G B => M1 = 1200 = MIP = 600 = GPI = 900 + 600 = 1500 O C N Và GNB = 300 = GNC = 1800 − 300 = 1500 = GPI GNC ( c.g.c ) 1 b, GIC có GI = .GC theo câu a=>  GIC vuông tại I=> IC ⊥ GI 2 Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho AIC = 900 , AKB = 900 a, CMR: AI=AK A b, Cho A = 600 , S ABC = 120cm2 , Tính diện tích tam giác AEF HD: AI AE = = AI 2 = AE. AC AC AI (1) AK AF = = AK 2 = AB. AF AB AK (2) ACI ( g.g ) = a, AIE E Chứng minh tương tự: AIK AKB ( g.g ) = F Lại có ABE I ACF ( g.g ) = AB AE = = AB. AF = AC. AE AC AF (3) 1 K 1 B C Từ (1), (2) và (3) ta có: AI 2 = AK 2 = AI = AK B, Vì A = 600 = B1 = 300 = AE = 1 1 AB, C1 = 300 == AC 2 2 2 => AEF S 1  AE  1 2 ABC ( c.g.c ) = AEF =   = = S AEF = .120 = 30cm S ABC  AB  4 4 11 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của I trên BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E, Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K a/  IHE và  BHA đồng dạng b,  BHI và  AHE đồng dạng A c, AE vuông góc với BI 1 HD: a, Ta có:  AHC vuông cân tại H, I K G có I là trung điểm AC => HI = IC => I nằm trên đường trung trực của HC => IF là đường trung trực 2 1 B M 1 H C F => EH=EC=>  IHE=  ICE ( c.c.c) => IHE = ICE = 900 Mặt khác: E1 = C1 = A1 = IHE = BHA ( g.g ) b, Theo câu a ta có:  IHE  BHA HI HE = => và BHI = 900 + AHI = AHE HB HA = BIH AHE ( c.g.c ) 1 E c, Giả sử: AE giao với HI tại M => M1 = M 2 Từ câu b=> I = E = K = H = 900 = AE ⊥ BI Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR: a,  AND và  DPC đồng dạng b, ND và MN vuông góc với nhau A B 1 HD: a, Ta có: A1 = D1 ( cùng phụ ADE ) AE AD = và AED DEC ( g.g ) = DE DC N 1 M P 2 mà AE= 2. AN và DE= 2. DP 1 AN AD = = = AND DP DC b, Ta có : ND / / = DPC ( c.g.c ) E D 1 C 1 AD = MC 2 => Tứ giác NPCM là hình bình hành => PNM = PCM 12 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức  D2 = C1 (cmt ) = DNM = N1 + PNM = C1 + PCM = C = 900 Lại có :   D2 = N1 ( sole) = DN ⊥ NM Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH, CMR: a,  ABP và  ACQ đồng dạng b, AP vuông góc với CQ A HD: a, Ta có: B1 = A1 ( Phụ BAH ) => AHB CHA ( g.g ) = 1 2 AH AB BH = = CH AC AH K Q 1 1 B mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP => AB 2BP BP = = = ABP AC 2 AQ AQ P C H CAQ ( c.g.c ) b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì ABP CAQ ( cmt ) = A2 = C1 mà A2 + KAC = 900 = KAC + C1 = 900 = AK ⊥ KC Bài 30: Cho  ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung điểm của HI a, CMR:  BIC và  AOH đồng dạng b, AO vuông góc với IC HD: A a, Ta có: H1 = C1 (Cùng phụ IHC ) (1) 1 AH HC AC = = lại có : AHC HIC ( g.g ) = HI IC HC BC Mà HI = 2.HO, HC = 2 AH BC AH HO = = = 2 HO 2 IC BC IC Từ (1) và (2) ta có : BIC AOH ( c.g.c ) Thay vào ta được : b, Vì BIC D (2) 1 B 1 1 1 H E O I 1 C AOH ( c.g.c ) theo câu a nên ( ) 2 0 B1 = A1 và D1 = D2 d = E = H = 90 = BI ⊥ AE 13 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 14 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 31: Cho  ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O G theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm  ABC a, Tìm các  đồng dạng với  AHB b, CMR:  HAG đồng dạng với  OMG A c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng HD: a, Dự đoán AHB 2 1 MON ( g.g ) , N Chứng minh: H  BAG = GMN ( sole ) Vì MN / / AB =   ABG = GNM ( sole ) G 2 Mặt khác: AH / /OM ( cùng vuông góc BC) => A1 = M1 = A2 = M 2 Tương tự ta có: 12 1 2 O 12 1 B C M BH//ON vì cùng vuông góc với AC => N1 = B1 ( sole ) = N2 = B2 = AHB b, ta có: AHB Mặt khác: MON ( g.g ) = MON ( g.g ) OM MN 1 = = AH AB 2 MG 1 OM GM 1 = = = = Và A1 = M1 = AHG = MOG ( c.g.c ) AG 2 AH GA 2 c, Vì AHG MOG ( c.g.c ) = G1 = G2 Mà G1 + HGM = 1800 = G2 + HGM = 1800 = H , G, O thẳng hàng Bài 32: Cho  ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC HD: Vẽ đường cao AH ( H  BC )  ABC vuông cân nên AH là đường trung trực A D => G là trọng tâm => BG=2. GD Cần chứng minh GE// DC  ABE có G là giao 2 đường cao GE ⊥ AB = GE / / D C => G là trực tâm =>   AC ⊥ AB BG BE = = 2 = BE = 2 EC  BDC có GE// DC => GD EC G B H E C 15 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 33: Cho  ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q a, CMR: Q là trung điểm của CN b, PQ//AC A 1 3 c, PQ = MN , PQ = DE 2 4 D HD : 1 BE và ND//BE => QE// ND 2 mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM, Gọi G là trọng tâm của  ABC => PG=AG – AP = 1 AM 2 1 1 PG 6 1 AM − AM = AM = = = 3 2 6 AG 2 AM 4 3 GQ 1 = = PQ / / AC Tương tự GC 4 c, Tự chứng minh N a, Vì ND = P E G Q B C M Bài 34 : Cho  ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông góc với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE HD : DM DE = (1) DA DC DE DN = lại có : NE//BC => (2) DC DB DM DN = = MN / / AB từ (1) và (2) ta có : = DA DB ta có : AC// BE => I A Giả sử : AC cắt BD tại I Ta có: C1 = B2 = B1 + C1 = 900 mà C1 + I = 900 = I = B1 =>  ABI cân tại A => BA là đường trung trực => AI =AC 1 B 1 2 C M Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE N E D 16 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM a, CMR : BN vuông góc với CM b, CMR: DP=DC c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB M F B A 1 1 HD: P a, Ta có:  BAN =  CBM (c.g.c) => B1 = C1 mà C1 + M1 = 900 = M1 + B1 = 900 = MPB = 900 = BN ⊥ CM N b, Kéo dài BN cắt DC tại I => IBC có ND / / BC = ND ID 1 = = BC IC 2 1 =>I là trung điểm IC, I  PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC C D c, Tự chứng minh Bài 36: Cho  ABC (AB AD = AE A BD BM = Ta có:  BDM có AK// DM => , AD KM CE M = Mặt khác  CAK có ME / / AK = AE KM BD CE = Mà BM= CM => và AD = AE = BD = CE AD AE E B K C M Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc CDM cắt BC tại E, CMR: CM = AM+2EC HD: Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM => DAM DCN ( c.g.c ) Lại có: DM=2.DN (1) và E = ADE = EDN = EDN cân tại N 1 2 M => ND=EN=EC+CN => AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND D A B E C N (2) từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC 17 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho GOH = 450 , Gọi M là trung điểm của AB, CMR: a,  HOD đồng dạng với  OGB b, MG // AH M A HD: B 1 a, ta có: D = B = 45 , Mặt khác: O1 + O2 = 1800 − 450 = 1350   = O1 = G1 O2 + G1 = 1800 − 450 = 1350  => HOD OGB ( g.g ) 0 45 2 O b, Theo câu a, HOD OGB ( g.g ) 1 45 1 G HD OD = => , Đặt MB=a, AD=2a OB GB => HD.GB = OB, OD = a 2.a 2 = 2a2 = AD.BM 45 HD BM = = BMG AD BG => M1 = H1 , mà = DHA ( c.g .c ) 1 D H C H1 = BAH ( sole ) = M1 = BAH ( đồng vị) => AH//MG Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E  AB, F  AD), CMR: a, EF//DB b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC HD: AE AP = và AB AC AF AP AE FA FP / / DC = = = = = EF / / BD AD AC AB AD b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN QE EF , EF / / DC = = QD DB QE IE Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=> = QD DO và E = D = IEQ ODQ = Q1 = Q2 E A B I a, Ta có: EP//BC => F Q 1 2 P O D C Mà Q2 + OQE = 1800 = Q1 + OQE = 1800 => A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC 18 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho BE = CF = BC , trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho 3 BC , M là giao AEvà BF, CMR: AM vuông góc với CM 2 HD: B A H Gọi G là giao AM và DC, 1 H là giao của AB và CM 1 E 2 M  GAD có CE / / AD = GC CE 2 = = GD AD 3 1 D C G F = GC 2 DC 1 = = = = DF = FG GC + DC 3 GC 2 BH AB 2 2 2 1 BC = = = BH = .CF = . .BC = = BE CF GF 3 3 32 2 3   A1 = C1 = AM ⊥ MC Khi đó:  ABE =  CBH (c.g.c) =>    E1 = E2 Lại có: AB//DG=> Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường thẳng song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD I HD: a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M EN BN NF EN AO E = = = = => AO BO OC NF OC GM DM MH GM AO = = = = Tương tự ta cũng có: AO DO OC MH OC A EN GM  AO  Từ hai điều trên ta có: = =   NF GH  OC  G b, Giả sử : GE cắt BD tại I’ EN I ‘ N = => (1), GM I ‘ M NF I ‘ N = Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’: (2) MH I ‘ M EN GM EN NF = = = Theo câu a ta có: (3) NF GH GM GH IN I ‘ N = = I  I ‘ , hay I là giao điểm GE, HF, DB Từ (1), (2) và (3) => IM I ‘ M B F N O C H M D 19 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN vuông góc với DH (N  BC) a, CMR:  DHC và  NHB đồng dạng b, CMR: AM.NB=NC.MB M A B 1 HD: H 1 H1 + NHC = 900  2 a, Ta có:  H1 = H 2 0 H 2 + NHC = 90  N lại có: B1 = M1 ( Phụ HBM ) và M1 = C1 ( sole ) => DHC b, Ta có: MBH NHB ( g.g ) BCH ( g.g ) = MB BH = , BC CH 1 D BH BN MB BN = = = CH DC BC DC mà BC= DC => MB = NB => AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm Mà C Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F a, CMR tích BE.DF không đổi khi d di chuyển BE AE 2 b, CMR: = F BF AF 2 c, Xác định vị trí của d để DF=4.BE HD: a, EBC CDF ( g.g ) = BE BC = = BE.DF = BC.CD = a 2 CD DF => BE. DF không đổi D C b, Ta có: EBC EAF ( g.g ) = EB BC AE BE = = = EA FA FA BC FD DC AE DC FCD FEA ( g.g ) = = = = FA AE FA FD AE 2 BE DC BE Nhân (1) và (2) theo vế ta được: , = . = FA2 BC DF DF Vì BC= DC c, Để DF = 4BE = (1) E A (2) B d BE 1 AE 2 AE 1 BE 1 a = = = = = = = BE = 2 DF 4 FA FA 2 BC 2 2 20 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 44: Cho  ABC có AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau tại O, CMR đoạn nối điểm O với trọng tâm G của  ABC thì song song với BC HD: ABC có AD là đường phân giác nên: DB DC DB + DC 6 = = = AB AC AB + AC 12 DB BC = = = DB = 2cm AB AB + AC  ABD có OB là tia phân giác nên: OA OD OA AB = = = = 2 (1) AB BD OD BD Gọi AM là đường trung tuyến của  ABC, AG =2 G là trọng tâm của  ABC => GM AO AG = = 2 = OG / / DM Từ (1) và (2) => OD GM A E 8 4 O B G D C M 6 Bài 45: Cho  ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các  ABD vuông cân ở B,  ACF vuông cân ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR: a, AH=AK 2 b, AH = BH .CK F A HD: D K H B C a, Ta có: AC//BD ( cùng vuông góc với AB) AB. AC AH AC AH AC AH AC = AH = = = = = = (1) AB + AC BH BD AH + BH BD + AC AB AB + AC Tương tự: AB // CF ( cùng vuông góc với AC) AK AB AK AB AK AB AB. AC = = = = = = = AK = (2) KC CF AK + KC AB + AC AC AB + AC AB + AC Từ (1) và (2) ta có: AH=AK => b, ta có : AH AC = (3) BH BD AK AB BD KC AC = = = = Và (4) KC CF AC AK BD AH KC = = AH . AK = BH .KC , mà AH=AK=> đpcm Từ (3) và (4)=> BH AK 21 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 46: Cho tam giác ABC nhọn, Các đường cao AD, BE, CF, Gọi I, K, M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA, CMR: 4 điểm I, K, M, N thẳng hàng A HD: Ta có: BI BD BK = = = KI / /EF FI DC KE Tương tự: CN CD CM = = = MN / / FE NE DB MF FA AH AE = = = FE / / IN , Mặt khác: AI AD AC Khi đó I, K, M, N thẳng hàng E F N H M K I B C D Bài 47: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, E là điểm bất kỳ trên AB, kẻ HF vuông góc với HE (F trên AC) a, CMR:  BEH và  AFH đồng dạng b, CMR: HE.BC=EF.AB c, Cho AB = 6cm, AC=8cm, diện tích  HEF =6cm2, Tính các cạnh của  HEF HD: a, Ta có: B = A1 và H1 = H 2 => BEH b, Theo câu a ta có: BEH AFH ( g.g ) E HE BH = HF AH Mặt khác: ABH CAH ( g.g ) => = F (1) 2 1 B AB BH = AC AH Từ (1) và (2) => A AFH ( g.g ) H C (2) HE AB = HF AC và A = H = 900 = HEF ABC ( c.g.c ) = HE FE = = HE.BC = FE. AB AB BC 1 1 c, Sabc = . AB. AC = .6.8 = 24cm2 2 2 2 S 6 1 EF 1  EF  = = = mặt khác: HEF =   = S ABC  BC  24 4 BC 2 Mà BC=10=> EF = 5 = HE = 3, HF = 4 22 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 48: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE, giả sử AD cắt BE tại F, CMR: EA FD = EC FA A HD: ABD có BF là tia phân giác E FD BD = => (1) FA BA  ABC có BE là phân giác : F EA AB = = (2) EC BC C B D Mà  ADB  CAB ( g . g ) AB BD = => (3) BC AB EA FD = Từ (1), (2) và (3) ta có: EC FA Bài 49: Cho M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật, E là điểm trên tia DC, K là giao EM và AC, CMR: MN là tia phân giác KNE HD: Gọi H là giao KN với DC O là giao MN với AC Khi đó MO=ON MO ON  KO  => = =  EC CH  OC  => EC = CH B A K M E O 1 2 N 1 D H C =>  NEH cân tại N => E1 = H mà KNE = 2H ( Góc ngoài) = 2.N1 = N1 = N2 = đpcm Bài 50: Cho  ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, đường thẳng vuông góc AB tại D cắt CE ở F, CMR  BCF vuông HD: Lấy M là giao của DE với AC => M là trung điểm AC A ta có : 1   DE = 2 BH DE BH (1)F = =  EM HC  EM = 1 HC  2 E D Mặt khác : FD// AC ( cùng vuông góc với AB) DE FE = => (2) EM EC B H Từ (1) và (2) ta có : BH EH = = EH / / BF , Mà EH ⊥ BC = BF ⊥ BC = BCF vuông HC EC M C 23 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 51: Cho tam giác ABC (AB KD BD tương tự ta có:  ABC có EF // AB FE CE AB FE FE = = = = => AB CA AC CE BD Từ (1) và (2) => đpcm A (1) D (2) E B N C K Bài 52: Cho  ABC nhọn, AD là đường cao, H là điểm trên đoạn AD, Gọi E là giao điểm của BH và AC, F là giao điểm của CH và AB, CMR: DA là tia phân giác của EDF C Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB tại M, Cắt DF tại N, DE tại I, AC tại K => NI //BC, AD ⊥ BC => DH ⊥ NI Xét các  FDC,  FBC,  EBC,  EBD,  ABD,  ADC,  ABC ta có : NH FH NH MH HI EH HK EH MH FH = = = = = , , , , DC FC DC BC BD EB BC EB BC FC MH AH HI HK = = , , BD BC BD AD = MK AH HK AH = = , DC AD BC AD MH HK MK NH HK MH MH HI HK = = = . . = . . BD DC BC CD BC BD BC BD DC = NH = HI = NDI có HD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên=>  NDI cân Vậy DH là tia phân giác 24 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 53 : Cho  ABC có AD là đường trung tuyến, Trọng tậm là điểm G, một đường thẳng đi qua G cắt BE CF + =1 các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E, và F, CMR : AE AF HD : A Kẻ BM// EF, CN//EF Khi đó ta có : F BE GN CF GN BE CF GM + GN = ; = = + = AE AG AF AG AE AF AG G E GD + DN + GD − MD 2GD AG = = = =1 AG AG AG M B C D N Bài 54 : Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai đường chéo, đường thẳng qua B và //AD cắt AC tại E, đường thẳng qua C //AD cắt BD tại F, CMR : a, OA2 = OC.OE b, OD 2 = OB.OF HD : OA 0 B = (1) OC OD OE OB BE / / AD = = (2) OA OD OA OE = = OA2 = OE.OC Từ (1), (2) => OC OA OD OA = b, AD / / FC = (3) OF OC OB OD = = OD 2 = OB.OF và OD OF a, Ta có : AB//CD => F B A O D E C 25 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 55 : Cho  ABC, Lấy E trên BC sao cho EC=2.BE, Lấy điểm F trên AB sao cho AF=2BF 1 a, CMR : EF//AC và EF = AC 3 IE IF 1 = = b, Gọi I là giao điểm của AE và CF, CMR: AE CF 4 c, Thay điều kiện EC=2BE và AF=2.BF bằng điều kiện AE, CF thứ tự là hai tia phân giác của góc A và C của  ABC thì  ABC cần có điều kiện gì để EF //BC HD: EB FB 1 = = = EF / / AC , Do đó: EC FA 2 EF BE 1 1 = = = EF = AC AC BC 3 3 IE IF EF 1 IE IF 1 = = = = = = b, Vì EF / / AC = IA IC AC 3 AE CF 4 EC FA = c, EF / / AC Khi (1) EB FB EC AC = Mà AE là tia phân giác góc A = (2) EB AB FA AC = CF là tia phân giác góc C = (3) FB BC AC AC = = AB = BC =>  ABC cân tại B Từ (1), (2) và (3)=> AB BC a, Ta có: A F B I C E Bài 56 : Cho  ABC, kẻ tia phân giác AD, trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE=BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF=CD a, CMR : EF //BC b, CMR : ED là tia phân giác góc BEF , FD là tia phân giác góc CFE HD : A BD AB = a, Vì AD là tia phân giác góc A nên: DC AC Theo gt ta lại có: BD=BE, DC= CF BE AB BE CF = = = = EF / / BC => CF AC AB AC b, BDE cân => E1 = D1 , C B 1 mà D1 = E2 ( sole ) = E1 = E2 vậy ED là tia phân giác góc BEF E 1 2 D F Chứng minh tương tự cho FD là tia phân giác góc CFE 26 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 57 : Cho  ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là các điểm đối xứng với H qua AB và AC a, CMR : Tứ giác BCED là hình thang 2  DE  b, CMR: BD.CE =    2  c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tính DE và Diện tích  DHE HD: E a, Dễ dàng chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và BD ⊥ DE , CE ⊥ DE = BD..EC Vậy BCED là hình thang A DB AE = = AD. AE = DB.CE b, ADB CEA = AD CE A là trung điểm DE 2 D 1  DE  nên AD = AE = DE = DB.CE =   2  2  C c, Theo định lý Pi ta go thì : B H 2 2 2 2 2 BC = AB + AC = 3 + 4 = 25 = BC = 5 1 1 = S ABC = . AB. AC = BC. AH 2 2 AB. AC = AH = = 2, 4 Vì DE=2.AH=> DE=4,8 BC 2 1 S DE 4,8  4,8   ABC  HDE = = = HDE =   , Mà S ABC = 2 .3.4 = 6 = S HDE BC 5 S ABC  5  Bài 58: Cho HCN ABCD, Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF =AB, Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE=AD, Gọi N là giao điểm FC với AB và M là giao điểm EC và AD CMR: MD=BN HD: ta có: F NB BC = CD DF NB CD DC.BC = = = NB = BC DF AB + AD MD DC MDC CBE = = CB BE DC.BC = MD = AB + AD Từ (1) và (2) => NB= MD NBC CDF = (1) E A N B (2) M D C 27 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 59: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hình chiếu của I trên BC, Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vuông góc AC cắt IF tại E, Gọi giao điểm AH, AE với BI theo thứ tự là G, K, CMR: a,  IHE  BHA b,  BHI  AHE B c, AE vuông góc với BI HD: E a, Chứng minh IHE BHA 1   HI = IC = AC Ta có:  =>IF là trung trực HC 2  IF ⊥ HC H G E  IF = EC = EH = IHE = ICE ( c.c.c ) K = IHE = ICE = 90 (1) ta lại có : BHA = ACH ( Cùng phụ góc A ) F 0 => BAH = IEH (2) Từ (1) và (2) => IHE BHA ( g.g ) b, Từ câu a, IHE BHA = A IH EH IH BH = = = BH AH EH AH Mà IHE = BHA = 900 = IHE + AHI = BHA + AHI = AHE = BHI => BHI c, Vì BHI C I AHE ( c.g.c ) AHE = IBH = EAH = GBH = GAK GBH = GAK (cmt ) = AKG = BHG = 900 => AK ⊥ GK tại K => AE ⊥ BI Xét AKG, BHG có   AGK = BGH (cmt ) Bài 60 : Cho HCN ABCD (AB NF là đường trung bình => NF / / ED Mà DE ⊥ AC = NF ⊥ AC =>  NFC vuông có I là trung tuyến 1 1 A => NI = CF = MD = MND vuông tại N 2 2 => MN ⊥ ND AN ND = = AN .CP = ND.PD c, AND DPC ( g.g ) = DP CP d, ABCD là hình vuông thì  NMD là vuông cân tại N M C E I N P D F 28 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức e, Diện tích ABCD bằng 4cm 2 Bài 61 : Cho hình vuông ABCD có cạnh a, Gọi I là trung điểm AB, Trên tia đối của tia CD đặt điểm M sao cho CM=a, Trên tia đối của tia CB đặt điểm N sao cho CN =2a, trên tia đối của tia DC đặt điểm P sao cho DP =2a, trên tia đối của tia AD đặt Q sao cho AQ=3a, Gọi E,F, R lần lượt là trung điểm PN, QM, PQ, Gọi S là giao điểm QM và PN a, CMR : AID DPQ b,  MPQ là tam giác gì ? Tứ giác MNPQ là tứ giác gì ? Q c, CMR : 4 điểm E, D, I, F thẳng hàng d, CMR: I là trung điểm NQ e, CMR: 3 đường thẳng SR, QN, CD đồng quy R F A I HD: a, AID DPQ ( c.g.c ) b, MPQ cân tại Q ( vì QD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến) => Tứ giác MNPQ là hình thang c, AID DPQ = ADI = DQP = DI / / PQ (1) EF là đường trung bình của hình thang MNPQ => EF//PQ (2) DF là đường trung bình của  MPQ => DF// PQ (3) Từ (1), (2) và (3) => E, D, I, F thẳng hàng d, Do AQ =BN và AQ // BN Nên AQBN là hình bình hành, B P M D O C E N S => AB và QN cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường mà I là trung điểm của AB => I là trung điểm QN e, Theo cmt ta có: MNPQ là hình thang, Gọi O là giao điểm MP và NQ Ta lại có NP giao MQ tại S => S, O, R thẳng hàng => SR, Qn, CD đồng quy tại O Bài 62: Cho HBH ABCD, một đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD lần lượt tại E và F, CMR: tích BE.DF không đổi ABE có IF / / BE = I A HD: Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại I B AI IF = AB BE = AI .BE = AB.IF = DF.BE = AB. AD ( không đổi) D F C E 29 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 63: Cho  ABC (AB , AB AC  BE = FC Mà   AB = CD CF CE CF CD = = = = = DF / / AE DC AC CE CA M D B N E C F 1 => ADFE là hình thang có MN là đường trung bình => CMN = A1 = .BAC 2 Bài 64 : Cho Tứ giác ABCD, O là giao điểm của AC và BD, CMR : S ABC OB = S ACD OD HD : B  BH ⊥ AC = BH / / DK Vẽ  DK ⊥ AC  ta có : 1 S ABC 2 .BH .AC BH = = (1) S ACD 1 .DK . AC DK 2 Mặt khác OBH ODK ( g.g ) = K A O H BH OB = DK OD C (2) Từ (1) và (2) => đpcm D Bài 65 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Có AB=a, CD= b, M, N trên các cạnh AD và BC sao cho MA a + m.b = M , cmr : MN = MN//CD và MD m +1 HD : Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt tại N và I Khi đó MNCI là hình bình hành => DI= b – MN A B Tương tự : NA = MN – a a N Xét  MDI có DI / / AN MA AN MN − a N = = = M = M MD DI b − MN = mb − m.MN = MN − a = MN + m.MN = mb + a a + mb = MN = đpcm m +1 D I C b 30 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 66 : Cho  ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H, đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt BE ở K, CMR : EAK ECH A HD : Vì AD cắt BE tại H=> H là trực tâm 1 K => CH ⊥ AB = CH / / AK A1 = C1 = EAK E ECH ( g.g ) H 1 B C D Bài 67: Chứng minh rằng  ABC vuông nếu các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn: BI CI 1 . = BD CE 2 A HD: Nối AI=> AI là tia phân giác góc A ABD có AI là tia phân giác D BI AB BI AB BI = = = = => (1) E ID AD ID + BI AB + AD BD AD AB AD AB I = = = Mặt khác : DC BC AD + DC AB + BC AB. AC AD AB B = = = AD = AC AB + BC AB + BC Thay vào (1) ta được : BI AB AB + BC = = BD AB + AB. AC AB + BC + CA AB + BC CI BI CI 1 AC + BC = . = Tương tự : Với gt CE AB + BC + CA BD CE 2 C => 2 ( AB + BC )( AC + BC ) = ( AB + BC + CA) = AB 2 + AC 2 = BC 2 2 Vậy  ABC vuông tại A Bài 68 : Cho hình thoi ABCD có A = 600 , P là 1 điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP a, CMR : AB 2 = BP.DN D b, Gọi M là giao điểm của Bn và DP, Tính BMD = ? c, CMR : PA.PB = PD.PM HD : a, Ta có PBC CDN = CD.BC = BP.DN Do AB =BC=CD=> AB 2 = BP.DN b, Ta chứng minh được BMD = 600 PA PM = c, PAD PMB = PD PB = PA.PB = PD.PM đpcm. A C P N ? M B 31 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 69: Cho  ABC nhọn có AB=AC, và hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt DE tại I a) CMR :  HIE  DIC IH FH = b) Đường thẳng đi qua E song song với BC cắt CH ở F, CMR : và F  AB IC FC Bài 70: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB=6cm, BC=8cm, Kẻ AE vuông góc với BD, Tia AE cắt BC tại F a) Tính BD, AE, BE, BF và diện tích  BÈ b) CMR: CD.AB=BE.BD=BF.BC c) Kẻ EH vuông góc với AB, EK vuông góc với AD, CMR: AE=HK và AH.AB=AK.AD d) Tia KH cắt DB ở T, CM AC vuông góc với HK và TH.TK=TD.TB HD: a) Xét  ADB và  BAF có : DAB = ABF = 900 ADB = BAF ADB + ABD = 900 , BAF + FAD = BAD = 900 =>  ADB AD AB 8 6 = = = = BF = 4,5cm BA BF 6 BF  BAF (g.g) => Xét  ABD vuông tại A: BD = AB2 + AD2 = 62 + 82 = 10cm Xét  ABF vuông tại B: có BE ⊥ AF 1 1 1 1 1 1 = = + = = 2+ = BE = 3,6cm 2 2 2 2 BE AB BF BE 6 4,52 Chứng minh tương tự: ABE AFB => AB AE BE 6 AE 3,6 = = = = = = AE = 4,8cm, AF = 7,5cm AF AB FB AF 6 4,5 1 1 1 2 Và SBEF = BE .EF = .3,6. ( AF − AE ) = .3,6. ( 7,5 − 4,8) = 4,86cm 2 2 2 b)  ABD vuông tại A có AE vuông góc với BD tại E=> AB = BE .BD = AB.CD = BE .BD Vì ( AB=CD) Có: BF.BC=4,5.8=36=AB2 =>AB.CD=BF.BC=BE.BD( đpcm) 2 c) Ta có: HAK = AKE = AHE = 900 (1) 0 Mà: AKE + KEH + EHA + HAK = 360 => KEH = 900 Từ (1) và (2) => AHEK là hình chữ nhật=> AE=HK Xét  AKH vuông vag  HEA vuông có: AK=HE AH cạnh chung (2) =>  AKH=  HEA (Hai cạnh góc vuông)=> AKH = AEH Vì EH ⊥ AB, BC ⊥ AB=>EH // BC=> AEH = AFB Mà AFB = ABD ( Cùng phụ BDC ) => AKH = ABD Xét  HAK và  BAD có: Góc A chung AKH = ABD =>  HAK  DAB (g.g)=> d) Ta có: AKH = ABD ( cmt ) AH AK = = AH . AB = AD. AK (đpcm) AD AB (3) Xét  BDA vuông và  CAD vuông có: AD cạnh chung 32 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức AB=DC =>  BDA=  CAD => ABD = ACD (4) Từ (3) và (4) ta được: AKH = ACD Mà CAD + ACD = 900 = AKH + CAD = 900 Gọi M là giao điểm của HK và AC.  AMK có: AKH + CAD = 900 = AMK = 900 = AC ⊥ HK Ta có: THB = AHK ( đối đỉnh) AHK = ADB ( HAK = ADB ) => THB = ADB hay THB = KDT Xét  THB và  TDK có: Góc T chung THB = KDT = THB TDK ( g.g ) => TH TB = = TH .TK = TD.TB ( đpcm) TD TK Bài 71: Cho  ABC nhọn có các đường cao AD< BE, CF cắt nhau tại H a) CMR:  BDH  BEC suy ra BH.BE+CH.CF=BC2 b) Chứng minh H cách đều ba cạnh cảu  DEF HD HE HF + + c) Tính tổng: AD BE CF d) Trên các đoạn thẳng HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM= CN. CMR đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 72: Cho  ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H a) CMR:  ABD và  ACE đồng dạng b) CMR: BH.HD=CH.HE c) Nối D với E, Biết BC=a, AB=AC=b, Tính DE theo a và b HD: a) Xét  ABD và  ACE Có A là góc chung ABD = AEC = 900 = ABD ACE (g.g) b) Xét  BHE và  CHD có : BHE = CHD (đối đỉnh) BEH = CDH = 900 HB HE = = BH .HD = CH .HE CH HD DE AD AD.BC = = DE = c) Khi AB=AC=b, thì  ABC cân tại A => DE / / BC = BC AC AC Gọi giao điểm của AH và BC là F a DC BC BC.FC a2 = AF ⊥ BC , FB = FC = , = DBC FAC = = = DC = = 2 FC AC AC 2b 2  a  b − a  a 2b 2 − a 2 2b  AD.BC ( AC − DC ) .BC  = DE = = = = AC AC b 2b 2 = BHE CDH (g.g) = ( ) Bài 73: Từ ba đỉnh A, B, C của  ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau, Chúng lần lượt cắt BC và các đường thẳng CA, AB tại D, E, F, CHứng minh rằng: 33 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 1 1 = + AD BE CF b) SDEF = 2.SABC a) HD: a) Theo hệ quả của định lí ta let ta có: AD CD AD BD = ; = , Cộng từng vế ta được: BE CE CF CB AD AD CD BD + = + = 1 , chi hai vế cho AD ta được: BE CF CB CB 1 1 1 = + AD BE CF b) Từ AD//BE//CF, lập luận chứng minh được: SADE = SADB , SADF = SADC , SAEF = SACB Suy ra SADE + SADF + SAEF = SADB + SADC + SACB = SDEF = 2.SABC Bài 74: Cho  ABC vuông cân tại A, CM là đường trung tuyến (M nằm trên AB), Từ A vẽ đường thẳng BH vuông góc với MC cắt BC ở H, Tỉnh tỉ số HC HD: Giả sử: AH cắt MC tại I Gọi trung điểm của BH là K thì MK//AH Dễ thấy ba tam giác vuông  AMC,  IAC,  IMA đồng dạng mà AC=2. AM Nên IC=2. IA=4. IM HK IM 1 BH 2.HK 1 HB 1 = = = = = = = Suy ra: HC IC 4 HC HC 2 HC 2 Bài 75: Cho hình thang (AD//BC). Một điểm M di động trên đường chéo AC, Chứng minh : MB.AC  MC.AB + MA.BC HD: Kẻ Cx // AB cắt tia BM tại P => AB.MC = MA.CP Ta có: MC. AB + MA.BC = MA.CP + MA.BC = MA (CP + BC )  MA.BP Ta lại có: MB.AC = BP.AM , Vậy MB.AC  MC.AB + MA.BC Bài 76: Cho  ABC đều, Gọi M là trung điểm cảu BC, Dựng góc xMy = 600 , quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E, CMR: BC 2 a) BD.CE = 4 y b) DM, EM lần lượt là tia phân giác góc: BDE, CED x c) Chu vi  ADE không đổi HD: A a) Trong  BDM, ta có: D1 = 1200 − M1 E Vì M2 = 60 = M3 = 120 − M1 => D1 = M3 0 0 Ta chứng minh được:  BMD và  CEM đồng dạng BD CM = = = BD.CE = BM .CM (1) BM CE D 2 1 1 B 2 M 3 C 34 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức BC BC 2 = BD.CE = 2 4 BD MD BD MD = = b) Từ (1) suy ra: , Mà BM=CM nên ta có: CM EM BM EM Vì BM = CM = Ta chứng minh được: BMD MED => D1 = D2 . do đó: DM là phân giác BDE Chứng minh tương tự ta có: EM là phân giác góc CED b) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC, Chứng minh DH=DI, EI=EK Tính chu vi  ADE bằng 2. AH không đổi Bài 77: Cho hình thang ABCD có AB//CD và AB OC OD CD OC + OD IA IB AB IA + IB = =  IAB  IDC => = ID IC CD IC + ID OA + OB IA + IB = = OC + OD IC + ID OA AB OA AM = = = b) và BAC = ACD =>  OAM  OCN OC CD OC NC a)  AEB  KED (g.g) = = AOM = CON => M, O, N thảng hàng IA B IA M = = = và I là góc chung =>  IAM ID CD IC DN  IDN=> I, M, N thẳng hàng = AMI = DNI , Vậy I, M, O, N thẳng hàng c) Vì S SAOB S 1 OB B 1 1 1 1 = SAOB = .SABD = = = AOB = = = = AOB = 4 OD CD 3 SAOD 3 SAOD + SAOB 3 + 1 SABD 4 Lại có: SABD AB 1 SABD S 1 1 1 1 = = = = = ABD = = SABD = .SABCD = S AOB = S ABD 16 SBDC CD 3 SBDC + SABD 3 + 1 SABCD 4 4 35 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức SIAB 1 SIAB S 1 1 1 = = = = ABD = = SIAB = .SABCD SICD 9 SICD − SIAB 9 − 1 SABCD 8 8 1 1 3 3a SIAOC = SIAB + S AOB = S ABCD + S ABCD = .S ABCD = 8 16 16 16 Bài 79: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC, Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì? b) CMR: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB. AH + AD. AK = AC 2 HD: a) Ta có: BE ⊥ AC, DF ⊥ AC = BE / / DF Dễ thấy  BEO=  DFO (g.c.g) => BE=DF Suy ra BEDF là hình hình hành b) Ta có: ABC = ADC = HBC = KDC =>  CBH  CDK (g.g) CH CK = = = CH .CD = CK .CB CB CD c) Chứng minh:  AFD  AKC (g.g) AF AK = = = AD. AK = AF . AC AD AC Lại có:  CFD  AHC (g.g) CF AH CF AH = = = = AB. AH = CF . AC , Mà CD = AB = CD AC AB AC = AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF ) .AC = AC 2 Bài 80: Cho  ABC có BAC = 1200 , Các phân giác trong lần lượt là AD, BE, CF 1 1 1 = + a) CHứng minh rằng: AD AB AC b) Tính FDE HD: a) Từ B kẻ BK//AC, cắt AD tại K, ta có:  ABK đều, dó đó: = AB. AD = AC ( AB − AD ) = 1 1 1 = + AD AB AC b) Áp dụng tính chất đường phân giác: ta có: BD = Từ câu a = AD = AB DB DK AB − AD = = = AC DC DA AD BC. AB AB + AC , AB. AC DA CA EA = = = , Nên DE là phân giác BDA AB + AC DB CB EB Chứng minh tương tự DF là phân giác ADC , từ đó suy ra : BDA = 900 Bài 81: Cho  ABC, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AM 1 AN 2 = , = , Gọi D là AB 3 AC 3 giao điểm của Bn và Cm, E là giao điểm của MN và BC EB a) Tính EC b) Tính tỉ số diện tích tứ giác AMDN và  ABC HD: 36 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a) Kẻ CK //AB cắt ME tại K CK 1 CK 1 EC 1 EB = = = = = = =4 Chứng minh AM 2 BM 4 EB 4 EC 1 2 b) Chứng minh được: SAMC = SABC = SAMN = .SABC 3 9 Từ M kẻ MF// AC cắt BN tại F MD 4 MF 2 MD 4 MF 4 = = = = = , Từ đó suy ra: = Ta chứng minh được: DC 3 AN 3 MC 7 CN 3 4 4 1 4 S Ta cũng có: SMDN = SMNC = . S ABC = 7 7 9 63 ABC 4 2 2 = SAMDN = S ABC + S ABC = S ABC 63 9 7 Bài 82: Cho hình thoi ABCD, Có BAD = 1200 , Gọi M là 1 điểm nằm trên cạnh AB, Hia đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM căt AN tại E, chứng minh rằng: a)  AMD và  CDN đồng dạng và AC 2 = AM .CN b)  AME và  CMB đồng dạng HD: a) Xét  AMD và  CDN có: AMD = CDN ( so le trong) ADM = CND (so le trong) =>  AMD  CDN (g.g) = AM.CN = AD.CD , Vì BAD = 1200 = CAD = 600 = ACD đều=> AD = CD = AC = AM .CN = AC 2 b) Vì AM .CN = AC 2 = AM AC = AC CN Chứng minh MAC = ACn = 600 = MAC CAN = ACM = CNA Mà ACM + ECN = 600 = CNA + ECN = 600 = AEC = 600 Xét  AME và  CMB có: AME = BMC ( đối đỉnh) AEM = MBC = 600 = AME CMB(g.g) Bài 83: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, Cho biết AB=15cm và AC =20cm a) Chứng minh rằng: AB.BC = AB.AC , Tính BC và AH b) Kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC , Chứng minh rằng  AMN và  ACB đồng dạng c) Trung tuyến AK của  ABC cắt MN tại I, Tính diện tích  AMI HD: AB AH = = AH .BC = AB. AC  CBH = a) Ta có:  ABH BC AC AB. AC = 12cm Từ đó ta có : AH = BC b) Chứng minh  ACB  HCA,  HCA  NHA  NHA=  AMN=>  AMN  ACB c) Ta có : N1 = B (  AKC cân tại K) Và A1 = C , mà B + C = 900 = N1 + A1 = 900  ACB (cmt) =>  AIN vuông cân tại I, và  NHA NH AH AC. AH = = = NH = = 9,6cm AC BC BC 37 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức = AM = NH = 9,6cm Và  IMA = SAMI =  AMN=>  IMA  ACB => 1 1 192 144 13824 . AI .IM = . . = 2 2 25 25 625 AM IM AI 9,6 192 144 = = = = IM = , AI = BC AC AB 25 15 25 38 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức