Chuyên đề so sánh phân số

CHƯƠNG 3: PHÂN SỐ BÀI 5: SO SÁNH PHÂN SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách so sánh hai phân số cùng mẫu, hai phân số khác mẫu. + Hiểu khái niệm phân số âm và phân số dương.  Kĩ năng + Biết so sánh hai phân số. + Biết cách sắp xếp dãy các phân số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM So sánh hai phân số cùng mẫu Hai phân số có cùng mẫu dương thì phân số nào Ví dụ 1: 4 0  (vì 4  0 ). 3 3 Chú ý: Phương pháp bên sử dụng cho hai phân số có tử lớn hơn thì lớn hơn. cùng mẫu dương. Ví dụ 2: 1 2 . Ta có thể chuyển các phân số  2 2 có mẫu âm thành phân số có mẫu dương rồi so sánh. So sánh hai phân số khác mẫu Ta viết hai phân số không cùng mẫu thành hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh tử số với nhau. Phân số âm, phân số dương Chú ý: Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu là phân số dương. Phân số âm: là phân số nhỏ hơn 0. Phân số dương: là phân số lớn hơn 0. Phân số có tử và mẫu là các số nguyên khác dấu là phân số âm. HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA SO SÁNH HAI PHÂN SỐ So sánh hai phân số cùng mẫu So sánh A C và B B Quy đồng mẫu So sánh hai phân số khác mẫu Phân số có tử và mẫu cùng dấu thì lớn hơn 0 Phân số lớn hơn 0 là phân số dương Phân số có tử và mẫu khác dấu thì nhỏ hơn 0 Phân số nhỏ hơn 0 là phân số âm B>0 Nếu A  C thì A C  B B Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu Bài toán 1. So sánh các phân số Phương pháp giải Ví dụ: So sánh 2 4 và . 5 5 Hướng dẫn giải Bước 1. Viết phân số có mẫu âm (nếu có) thành Ta có: phân số có mẫu dương. 2 2 4 4 ; .   5 5 5 5 Vì 2  4 nên Bước 2. So sánh tử của các phân số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn Vậy 2 4  . 5 5 2 4 .  5 5 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. So sánh các phân số sau: a) 1 3 và ; 4 4 b) 3 4 và ; 7 7 c) 5 3 và . 11 11 Hướng dẫn giải a) Viết các phân số dưới dạng mẫu dương: Vì 1  3 nên 1 3 1 3 . Vậy .   4 4 4 4 b) Viết các phân số dưới dạng mẫu dương: Vì 3  4 nên 1 1 3 3  ;  . 4 4 4 4 3 3  4 4  ;  . 7 7 7 7 3 4 3 4 .  . Vậy  7 7 7 7 Chú ý: Ta có thể nhận xét c) Ta thấy 3 4 3 4  0 và  0 nên  . 7 7 7 7 5 3 5 3  0 và  0 nên  . 11 11 11 11 Bài toán 2. Sắp xếp các phân số Phương pháp giải Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 7 24 13 1 43 36 ; ; ; ; ; . 36 36 36 36 36 36 Hướng dẫn giải Trang 3 Vì 1  7  13  24  36  43 nên Bước 1. So sánh các phân số. 1 7 13 24 36 43      . 36 36 36 36 36 36 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng Bước 2. Sắp xếp các phân số theo thứ tự yêu cầu dần là: 1 ; 7 ; 13 ; 24 ; 36 ; 43 . 36 36 36 36 36 36 của bài toán. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: 5 11 7 13 9 27 ; ; ; ; ; . 48 48 48 48 48 48 Hướng dẫn giải Viết lại các phân số dưới dạng mẫu dương: 11 11 13 13 9 9 ; ; .    48 48 48 48 48 48 Vì 27  13  11  9  7  5 nên 27 13 11 9 7 5 .      48 48 48 48 48 48 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 5 7 9 11 13 27 ; ; ; ; ; . 48 48 48 48 48 48 Ví dụ 2. Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 9 … … … … 4 .      11 11 11 11 11 11 Hướng dẫn giải 9 8 7 6 5 4      . 11 11 11 11 11 11 Giải thích: Do các phân số đều có cùng mẫu (dương) nên ta sẽ điền tử số là dãy các số nguyên tăng dần. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Điền số thích hợp vào ô vuông: a) 13 8 ;      18 18 18 18 18 18 c) 1 1     . 2 24 12 8 3 b) 2 2 2 2 2 2 ;      9 4 Câu 2: a) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 15 36 2 7 72 97 ; ; ; ; ; . 24 24 24 24 24 24 b) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: 71 13 21 12 60 1 8 ; ; ; ; ; ; . 60 60 60 60 60 60 60 Trang 4 Dạng 2: So sánh các phân số không cùng mẫu Phương pháp giải Cách 1. Quy đồng mẫu. Ví dụ 1: So sánh các phân số sau: 15 5 và . 16 8 Hướng dẫn giải Bước 1. Quy đồng mẫu số các phân số (biến đổi Viết lại phân số 5 dưới dạng mẫu số dương và 8 thành các phân số có cùng mẫu dương). 5 5 5.2 10 quy đồng mẫu số:    . 8 8 8.2 16 Bước 2. So sánh các phân số có cùng mẫu Vì 15  10 nên dương. Vậy 15 10 .  16 16 15 5  . 16 8 Ví dụ 2: So sánh hai phân số sau: 4 3 và . 5 7 Hướng dẫn giải Tử số chung là 12. Cách 2. Quy đồng tử. Nếu a; b; c  0 và b  c thì a a  . b c Ta có: 4 4.3 12 3 3.4 12 .   ;   5 5.3 15 7 7.4 28 Vì 15  28 nên Vậy Cách 3. Sử dụng phân số trung gian. a x  b y  a c   . c x b d  d y  12 12  . 15 28 4 3  . 5 7 Ví dụ 3: So sánh các phân số sau Hướng dẫn giải Vì 7 1 7 1  0 và  0 nên  . 11 5 11 5 Ngoài ra, còn một số phương pháp khác để so Ví dụ 4: So sánh các phân số sau: sánh hai phân số: • Rút gọn phân số. • Sử dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau 7 1 và . 11 5 7 21 và . 36 108 Hướng đẫn giải Cách 1. Rút gọn Ta có: 21 21: 3 7 .   108 108 : 3 36 Suy ra 7 21  . 36 108 Cách 2. Sử dụng định nghĩa phân số bằng nhau: Trang 5 Ta có: 7.108  756 ; 36.21  756 . Suy ra 7 21 .  36 108 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. So sánh các phân số sau bằng hai cách quy đồng tử số và quy đồng mẫu số: a) 5 4 và ; 8 7 b) 7 6 và . 3 5 Hướng dẫn giải a) Cách 1 (Quy đồng mẫu số). Mẫu số chung là 56. Ta có: 5 5.7 35 4 4.8 32   ;   . 8 8.7 56 7 7.8 56 Vì 35  32 nên Vậy 35 32 .  56 56 5 4  . 8 7 Cách 2 (Quy đồng tử số). Ta sẽ so sánh hai phân số 5 4 vả . 8 7 Tử số chung là 20. Ta có: 5 5.4 20 4 4.5 20   ;   . 8 8.4 32 7 7.5 35 Vì 32  35 nên Suy ra 20 20 .  32 35 5 4 5 4  . Vậy  . 8 7 8 7 Chú ý: Sai lầm thường gặp khi so sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số: 5 5.4 20 4 4.5 20 ; .     8 8.4 32 7 7.5 35 Nhận xét 32  35 nên Vậy 20 20  . 32 35 5 4 .  8 7 b) Cách 1 (Quy đồng mẫu số). Mẫu số chung là 15. Trang 6 7 7.5 35 6 6.3 18 ; .     3 3.5 15 5 5.3 15 Ta có: Vì 35  18 nên Vậy 35 18  . 15 15 7 6 .  3 5 Chú ý: Khi so sánh hai phân số âm ta có thể so sánh hai phân số đối của hai phân số đó, từ đó suy ra kết luận đối với hai phân số ban đầu. Cách 2 (Quy đồng tử số). Ta sẽ so sánh hai phân số 7 6 và . 3 5 Tử số chung là 42. 7 7.6 42 6 6.7 42 ;  .    3 3.6 18 5 5.7 35 Ta có: Vì 18  35 nên Suy ra 42 42  . 18 35 7 6 7 6 .  . Vậy  3 5 3 5 Ví dụ 2. Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh các phân số sau: a) 3 5 và ; 2 6 c) 18 15 và . 31 37 b) 935 10 và ; 732 9 Hướng dẫn giải a) Vì 3 5 3 5  1 (tử lớn hơn mẫu) và  1 (tử nhỏ hơn mẫu) nên  . 2 6 2 6 b) Vì 935 10 935 10 .  0 (tử và mẫu cùng dấu) và  0 (tử và mẫu trái dấu) nên  732 9 732 9 c) Ta có: 18 18 15 18 18 15  và  . Suy ra  . 31 37 37 37 31 37 Chú ý: Ta có thể dùng 0 hoặc 1 hoặc một phân số làm số trung gian để so sánh hai phân số. Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0 (phân số dương). Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên trái dấu thì nhỏ hơn 0 (phân số âm). Phân số dương có tử lớn hơn mẫu thì phân số đó lớn hơn 1. Phân số dương có tử nhỏ hơn mẫu thì phân số đó nhỏ hơn 1. Cách chọn phân số trung gian. Trang 7 So sánh Chọn a c ; . b d a c hoặc . d b Ví dụ 3. Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh các phân số sau: a) 15 13 và ; 19 17 b) 13 17 và . 20 28 Hướng dẫn giải a) Ta có: 15.17  255 ; 19.13  247 . Suy ra 15.17  19.13 do đó b) Ta có: 15 13  . 19 17 13.28  364 ; 20.17  340 . Suy ra 13.28  20.17 do đó 13 17 .  20 28 13 17  . 20 28 Vậy Ví dụ 4. a) Cho phân số a b Chứng minh rằng:  a, b  , b  0  . Giả sử a  1 và m  * . b a am  . b bm b) Áp dụng kết quả của câu a) để so sánh: A  1718  1 1717  1 ; . B  1719  1 1718  1 Hướng dẫn giải a) Ta có: a a.  b  m  a.b  a.m   b b.  b  m  b 2  b.m a  m  a  m  .b a.b  m.b   b  m  b  m  .b b 2  m.b Vì a  1 nên a  b suy ra a.m  b.m với mọi m  * . b Do đó a.b  a.m  a.b  b.m suy ra Vậy a am với mọi m  * .  b bm b) Vì 1718  1  1 nên 1719  1 a.b  a.m a.b  b.m  . b 2  b.m b 2  b.m Trang 8 A 17 1718  1 1718  1  16 1718  17 17. 17  1 1717  1     B 1719  1 1719  1  16 1719  17 17. 1718  1 1718  1 Vậy A  B . Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng mẫu số: a) 2 5 và ; 3 6 b) 4 3 và ; 5 7 c) 5 63 và ; 6 70 d) 3 4 và . 11 13 d) 13 39 và . 27 47 Câu 2: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng tử số: a) 3 6 và ; 4 7 b) 3 2 và ; 7 9 c) 4 3 và ; 9 13 Câu 3: a) Thời gian nào dài hơn: 2 3 giờ và giờ? 3 4 b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn: c) Khối lượng nào lớn hơn: d) Vận tốc nào nhỏ hơn: 7 5 m và m? 12 6 7 8 kg hay kg? 8 9 4 9 km/h và km/h? 5 10 2 3 5 số học sinh thích bóng chuyền, số học sinh thích cầu lông và số học sinh 5 8 12 thích bóng đá. Hỏi môn thể thao nào được nhiều học sinh lớp 6A yêu thích nhất? Câu 4: Lớp 6A có Câu 5: Không quy đồng tử và mẫu, hãy so sánh các phân số sau: a) 5 13 và ; 7 12 b) 25 26 và ; 34 35 c) 120 45 và . 133 51 Câu 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: a) 13 7 9 2 1 ; ; ; ; . 20 20 4 5 2 b) 37 17 23 7 2 ; ; ; ; . 100 50 25 10 5 Câu 7: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: a) 13 152 13 5 ; ; ; . 21 17 17 21 b) 1 3 2 4 ; ; ; . 2 4 3 5 Bài tập nâng cao Câu 8: Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông: 8 7 .   15 40 15 Câu 9: Không quy đồng tử và mẫu, hãy so sánh các phân số sau: a) 23 21 và ; 35 37 b) 17 13 và ; 24 28 c) 9 11 và ; 16 24 d) 12 19 và . 47 77 Câu 10: Tìm các số tự nhiên x sao cho: Trang 9 a) 1 x 1   ; 5 30 4 b) 8 4 5   . 5 x 7 Câu 11: Tìm ba phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn 1 1 và nhỏ hơn . 4 3 Câu 12: So sánh: a) A  9889  1 9888  1 và B  . 9899  1 9898  1 b) C  1516  1 1515  1 và D  . 1517  1 1516  1 Câu 13: Tìm hai phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn 1 1 nhưng nhỏ hơn . 5 4 Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu Câu 1. a) 13 12 11 10 9 8 .      18 18 18 18 18 18 b) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           . Suy ra ; 9 8 7 6 5 4 9 4 8 7 6 5 c) Quy đồng các phân số với mẫu số chung là 24, ta được: Suy ra Vậy 12 2. 3. 8     . 24 24 24 24 24 12 11 2. 5 3. 3 8     . 24 24 24 24 24 1 11 5 3 1     . 2 24 12 8 3 Câu 2. a) Các phân số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 97 72 36 15 7 2 ; ; ; ; ; . 24 24 24 24 24 24 b) Các phân số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 71 60 21 13 12 8 1 ; ; ; ; ; ; . 60 60 60 60 60 60 60 Dạng 2: So sánh các phân số không cùng mẫu Bài tập cơ bản Câu 1: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng mẫu số: a) Mẫu số chung là 6. Ta có: Vậy 2 2.2 4 5    . 3 3.2 6 6 2 5  . 3 6 b) Mẫu số chung là 35. Ta có: Vì 4 4.7 28   ; 5 5.7 35 3 3.5 15   . 7 7.5 35 28 15 4 3 nên .   35 35 5 7 c) Rút gọn phân số 63 63: 7 9 9    . 70 70 : 7 10 10 Mẫu số chung là 30. Ta có: 5 5.5 25 9 9.3 27   ;   . 6 6.5 30 10 10.3 30 Trang 11 Vì 25 27 5 63 nên .   30 30 6 70 d) Mẫu số chung là 11.13  143 (vì 11 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau). Ta có: Vì 3 3.13 39 4 4.11 44 ; .     11 11.13 143 13 13.11 143 39 44 3 4  nên  . 143 143 11 13 Câu 2. a) Ta có: 3 3.2 6 6 3 6    . Vậy  . 4 4.2 8 7 4 7 3 2 và : 7 9 b) So sánh hai phân số Ta có Vì 3 3.2 6   ; 7 7.2 14 6 6 3 2 3 2 nên  . Vậy .   14 27 7 9 7 9 c) So sánh hai phân số Ta có: Vì 2 2.3 6   . 9 9.3 27 4 3 và : 9 13 4 4.3 12   ; 9 9.3 27 3 3.4 12   . 13 13.4 52 12 12 4 3 4 3 nên  . Vậy .   27 52 9 13 9 13 d) Ta có 13 13.3 39 39 13 39    . Vậy  . 27 27.3 81 47 27 47 Câu 3: a) Vì 2.4  8  3.3  9 nên 2 3 3  . Vậy giờ dài hơn. 3 4 4 b) Ta có: 5 5.2 10 7 7 m ngắn hơn.    . Vậy đoạn thẳng 6 6.2 12 12 12 c) Ta có: 7 7.9 63   ; 8 8.9 72 Vậy 8 8.8 64 7 8   . Suy ra  . 9 9.8 72 8 9 8 kg lớn hơn. 9 d) Ta có: 4 4.2 8 9 4    . Vậy vận tốc km/h nhỏ hơn. 5 5.2 10 10 5 Câu 4. Ta so sánh các phân số: 2 3 5 ; và . 5 8 12 Quy đồng tử số của các phân số: 2 2.15 30 ;   5 5.15 75 3 3.10 30 ;   8 8.10 80 5 5.6 30 .   12 12.6 72 Trang 12 Vì 30 30 30 5 2 3 nên     . 72 75 80 12 5 8 Vậy môn bóng đá được nhiều học sinh lớp 6A yêu thích nhất. Câu 5. a) Ta có: 5  1 (vì tử nhỏ hơn mẫu); 7 13  1 (vì tử lớn hơn mẫu). 12 Suy ra 5 13  . 7 12 b) Ta có 25  0 (vì tử và mẫu trái dấu); 34 26  0 (vì tử và mẫu cùng dấu). 35 Suy ra 25 26 .  34 35 c) Ta có 120  0 (vì tử và mẫu trái dấu); 133 45  0 (vì tử và mẫu cùng dấu). 51 Suy ra 120 45  . 133 51 Câu 6. a) Ta thấy 9 9  1 và các phân số còn lại đều nhỏ hơn 1 nên là phân số lớn nhất. 4 4 Quy đồng mẫu số các phân số còn lại với mẫu số chung là 20. Ta có: Vì 2 2.4 8   ; 5 5.4 20 1 1.10 10   . 2 2.10 20 7 8 10 13 7 2 1 13 nên .       20 20 20 20 20 5 2 20 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 7 2 1 13 9 ; ; ; ; . 20 5 2 20 4 b) Viết lại các phân số dưới dạng mẫu số dương: 17 17 23 23  ;  . 50 50 25 25 Quy đồng mẫu số các phân số với mẫu số chung là 100: 17 17.2 34   ; 50 50.2 100 Vì 23 23.4 92 7 7.10 70   ;   ; 25 25.4 100 10 10.10 100 2 2.20 40   . 5 5.20 100 92 70 40 37 34 23 7 2 37 17 nên .         100 100 100 100 100 25 10 5 100 50 Trang 13 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 23 7 2 37 17 ; ; ; ; . 25 10 5 100 50 Câu 7. a) Ta có: Lại có 13 152 ;  17 17 5 13  . 21 21 13 13 5 13 13 152  suy ra    . 21 17 21 21 17 17 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: b) Trước hết ta so sánh các phân số Quy đồng tử số các phân số: Vì 152 13 13 5 ; ; ; . 17 17 21 21 1 3 2 4 ; ; ; . 2 4 3 5 1 1.12 12   ; 2 2.12 24 3 3.4 12   ; 4 4.4 16 2 2.6 12   ; 3 3.6 18 4 4.3 12   . 5 5.3 15 12 12 12 12 1 2 3 4    nên    . 24 18 16 15 2 3 4 5 Suy ra 1 2 3 4 .    2 3 4 5 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 1 2 3 4 ; ; ; . 2 3 4 5 Bài tập nâng cao Câu 8. Ta có BCNN 15, 40   120 nên quy đồng mẫu số các phân số, ta được: 8.8 3. 7.8 64 3. 56   hay   . 15.8 40.3 15.8 120 120 120 Suy ra 64  3.  56 , do đó 3.  63; 60; 57   21; 20; 19 . Vậy các giá trị thích hợp là –21; –20; –19. Câu 9. a) Chọn phân số trung gian là Ta có: 23 23 21 23 23 21  ;  . Suy ra  . 35 37 37 37 35 37 b) Ta so sánh hai phân số Chọn phân số Ta có 23 . 37 17 13 và . 24 28 17 làm phân số trung gian. 28 17 17 13 17 17 13 17 13  ;  . Suy ra  . Do đó  . 24 28 28 28 24 28 24 28 Trang 14 c) Ta thấy cả hai phân số Ta có: 9 8 1 11 12 1 9 11   ;   . Suy ra  . 16 16 2 24 24 2 16 24 d) Ta thấy cả hai phân số Ta có: 9 11 1 1 và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số trung gian. 16 24 2 2 12 19 1 1 và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số trung gian. 47 77 4 4 12 12 1 19 19 1 12 19 .   ;   . Suy ra  47 48 4 77 76 4 47 77 Câu 10. a) Quy đồng mẫu số các phân số với mẫu số chung là 60, ta được: 1.12 x.2 1.15 12 x.2 15 hay .     5.12 30.2 4.15 60 60 60 Suy ra 12  x.2  15 , do đó x.2  14 hay x  7 . Vậy x  7 . b) Quy đồng tử số các phân số với tử số chung là 40, ta được: 8.5 4.10 5.8 40 40 40 hay .     5.5 x.10 7.8 25 x.10 56 Suy ra 25  x.10  56 , do đó x.10  30; 40;50 . Vậy x  3; 4;5 . Câu 11. Quy đồng các phân số với mẫu số chung là 48, ta được: 1 1.12 12 ;   4 4.12 48 Ta có: 1 1.16 16 .   3 3.16 48 12 13 14 15 16     . 48 48 48 48 48 Rút gọn các phân số trên ta được: Vậy ba phân số cần tìm là: 1 13 7 5 1     . 4 48 24 16 3 13 7 5 ; và . 48 24 16 Câu 12. a) Ta thấy A  9889  1  1 (vì tử nhỏ hơn mẫu) nên: 9899  1 88 9889  1 9889  1  97 9889  98 98.  98  1 9888  1 A  99     B. 98  1 9899  1  97 9899  98 98.  9898  1 9898  1 Vậy A  B . b) Ta thấy C  1516  1  1 (vì tử nhỏ hơn mẫu) nên: 1517  1 15 1516  1 1516  1  14 1516  15 15. 15  1 1515  1 C  17     D. 15  1 1517  1  14 1517  15 15. 1516  1 1516  1 Vậy C  D . Câu 13. Trang 15 Quy đồng hai phân số 1 1 và với mẫu số chung là 60, ta được: 5 4 1 1.12 12   ; 5 5.12 60 Ta có: 1 1.15 15   . 4 4.15 60 12 13 14 15 .    60 60 60 60 Rút gọn các phân số trên ta được: Vậy hai phân số cần tìm là: 1 13 7 1    . 5 60 30 4 13 7 và . 60 30 Trang 16