Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Giới thiệu Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề số phức ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Lý thuyết chung  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b. y  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức Dạng 1.1 Xác định phần thực, phần ảo của số phức Câu 1. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Phần thực của số phức z  3  4i bằng A. 3 B. 4 C. 3 Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. D. 4 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Phần thực của số phức z  5  4i bằng A. 5 . B. 4 . C. 4 . D. 5 . (Mã 104 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1  3i B. 1  3i C. 1  3i D. 1  3i (Mã 103 -2018) Số phức 5  6i có phần thực bằng A. 6 . B. 6 . C. 5 . (Mã 102 2018) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3  4i B. 4  3i C. 3  4i D. 5 D. 4  3i (Đề Tham Khảo 2017) Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3  2 2i . Tìm a, b. A. a  3; b  2 B. a  3; b  2 2 C. a  3; b  2 D. a  3; b  2 2 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 7. Câu 8. (Mã 101 2018) Số phức 3  7i có phần ảo bằng: A. 7 B. 7 C. 3 (Mã 123 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A. z  3  i Câu 9. Câu 10. D. 3 B. z  2 C. z  2  3i (Mã 105 2017) Cho số phức z  2  3i . Tìm phần thực a của z ? A. a  2 B. a  3 C. a  2 D. z  3i D. a  3 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z  3  4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là  4 và phần ảo là 3i . B. Phần thực là 3 và phần ảo là  4 . C. Phần thực là  4 và phần ảo là 3 . D. Phần thực là 3 và phần ảo là  4i . Dạng 1.2 Xác định số phức liên hợp, số phức đối, môđun của số phức Câu 11. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Môđun của số phức 1  2i bằng A. 5 . B. 3. C. 5. D. 3 . Câu 12. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Số phức liên hợp của số phức z  2  i là A. z  2  i . B. z  2  i . C. z  2  i . D. z  2  i . Câu 13. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  3  5i là: A. z  3  5i . B. z  3  5i . C. z  3  5i . D. z  3  5i . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A. z  2  5i . B. z  2  5i . C. z  2  5i . D. z  2  5i . Câu 14. Câu 15. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A. z  2  5i . Câu 16. B. z  2  5i . C. z  2  5i . D. z  2  5i . (Mã 104 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  3  5i là A. z  3  5i . B. z  3  5i . C. z  3  5i . D. z  3  5i . Câu 17. (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Câu 18. (Mã 104 2019) Số phức liên hợp của số phức z  3  2i là. A. 3  2i . B. 3  2i . C. 2  3i . D. 3  2i . (Mã 103 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 1  2i là: A. 1 2i . B. 1  2i . C. 2  i . D. 1  2i . Câu 19. Câu 20. (Mã 104 2017) Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  5 Câu 21. Câu 22. Câu 23. B. z  5 C. z  2 D. z  3 (Mã 102 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 5  3i là A. 3  5i . B. 5  3i . C. 5  3i . D. 5  3i . (Mã 101 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 3  4i là A. 3  4i . B. 4  3i . C. 3  4i . D. 3  4i . (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 21 Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i . C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i . Câu 24. (Chuyên Hạ Long 2019) Số phức đối của z  5  7i là? A. z  5  7i . Câu 25. C.  z  5  7i . D.  z  5  7i . B. z  2  i . C. z  1  2i . D. z  1  2i . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Số phức liên hợp của số phức z  5  6i là A. z  5  6i . Câu 27. B.  z  5  7i . (Chuyên Sơn La 2019) Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là A. z  1  2i . Câu 26. B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . B. z  5  6i . C. z  6  5i . D. z  5  6i . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho số phức z  2  3i . Số phức liên hợp của số phức z là: A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  2  3i . D. z  2  3i . Dạng 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức Câu 28. 2 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  1  2i  là điểm nào dưới đây? A. P  3; 4  . B. Q  5; 4  . C. N  4;  3 . D. M  4;5  . Câu 29. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  1  2i là điểm nào dưới đây? A. Q 1; 2  . B. P  1; 2  . C. N 1; 2  . D. M  1; 2  . Câu 30. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, biết M  3;1 là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng A. 1. Câu 31. C. 1 . D. 3 . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, biết M  1;3 là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng A. 3 . Câu 32. B. 3 . B. 1 . C. 3 . D. 1. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ, biết điểm M (2;1) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng: A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 Câu 33. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z  1  2i ? A. Q 1; 2  . B. M  2;1 . C. P  2;1 . D. N 1;  2  . Câu 34. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i ? A. P  3; 2  . B. Q  2; 3 . C. N  3; 2  . D. M  2;3 . Câu 35. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z  1  2i ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. N  1; 2  . Câu 36. D. M 1; 2  . B. z  1  2i C. z  2  i D. z   2  i (Đề Tham Khảo 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z  1  2i ? A. P Câu 38. C. Q  2;1 . (Đề Tham Khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  1  2i Câu 37. B. P  2; 1 . B. M C. Q D. N (Mã 110 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên? A. z1  1  2i B. z2  1  2i C. z3  2  i D. z4  2  i Câu 39. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i Câu 40. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là: Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 1  2i . B. 2  i . C. 1  2i . Câu 41. Điểm nào ở hình vẽ bên biểu diễn số phức z  3  2i ? A. M . B. N . C. P . D. 2  i . D. Q . Câu 42. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Điểm biểu diễn hình học của số phức z  2  3i là điểm nào trong các điểm sau đây? A. M  2;3 . B. Q  2;  3 . C. N  2;  3 . D. P  2;3 . Câu 43. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình vẽ bên? A. 1  2i. Câu 44. B. i  2. C. i  2. D. 1  2i. (Thanh Hóa 2019) Điểm M trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức y M 3 x 2 A. 3  2i. Câu 45. B. 2  3i. O C. 2  3i. D. 3  2i. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Chọn kết luận đúng về số phức z . A. z  3  5i . Câu 46. B. z  3  5i . C. z  3  5i . D. z  3  5i . (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Điểm M trong hình vẽ là biểu diễn hình học của số phức nào dưới đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 y 2 x O -1 A. z  2  i . Câu 47. C. z  1  2i . D. z  1  2i . (Sở Bình Phước 2019) Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; 2) ? A. 1  2i Câu 48. B. z  2  i . M B. 1 2i C. 1  2i D. 2  i Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của hai số phức đối nhau là A. hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . B. hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành. C. hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. D. hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Câu 49. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z  3i  2 ? A. M . Câu 50. B. N . D. P . C. Q . (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là: A. 1  2i . B. 2  i . C. 1  2i . D. 2  i . Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , 3 điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của ba số phức z1  3  7i, z2  9  5i và z3  5  9i . Khi đó, trọng tâm G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? A. z  1  9i . B. z  3  3i . C. z  7 i. 3 D. z  2  2i . Dạng 3. Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phức Dạng 3.1 Phép tính cộng trừ 2 số phức Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 52. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  3  i và z2  1  i. Phần ảo của số phức z1  z2 bằng A. 2. Câu 53. B. 2i. C. 2. D. 2i. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  3i . Phần thực của số phức z1  z2 bằng A. 1. Câu 54. B. 3 . C. 4 . D. 2 . (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  3  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 5  i . B. 5  i . C. 5  i . D. 5  i . Câu 55. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 3  i Câu 56. B. 3  i C. 3  i D. 3  i (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  3  i . Số phức z1  z2 bằng. A. 4  2i . B. 4  2i . C. 4  2i . D. 4  2i . Câu 57. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  4  i . Số phức z1  z2 bằng A. 3  3i . Câu 58. C. 3  3i . D. 3  3i . (Mã 103 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  3  i . Số phức z1  z2 bằng A. 2  4i . Câu 59. B. 3  3i . B. 2  4i . C. 2  4i . D. 2  4i . (Mã 104 – 2019) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của số phức 2 z1  z2 có tọa độ là A.  0; 5 . Câu 60. C.  1; 5 . D.  5; 0  . (Mã 104 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  3  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 1  3i . Câu 61. B.  5; 1 . B. 1  3i . C. 1  3i . D. 1  3i . (Mã 103 – 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z1  2 z2 có tọa độ là A. (3;5) . Câu 62. C. z  7  4i D. z  2  5i B. z1  z2  5 . C. z1  z2  1 . D. z1  z2  13 . B. z  11 C. z  1 10i D. z  3  6i (Mã 104 2017) Cho số phức z1  1  2i , z2  3  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z1  z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. M  2; 5  Câu 66. B. 14 (Mã 110 2017) Cho hai số phức z1  4  3i và z2  7  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  3  6i Câu 65. D. (2; 5) . (Đề Minh Họa 2017) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  5 . Câu 64. C. (5; 3) . (Mã 123 2017) Cho 2 số phức z1  5  7 i và z2  2  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  3  10i Câu 63. B. (5; 2) . B. P  2; 1 C. Q  1;7  (Mã 104 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i . A. z  5  5i B. z  1  i C. z  1  5i D. N  4; 3 D. z  1  i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 67. (Mã 105 2017) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  2  5i . Tìm phần ảo b của số phức z  z1  z 2 . A. b  3 B. b  2 C. b  2 D. b  3 Câu 68. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  1 . Câu 69. B. z1  z2  5 . C. z1  z2  13 . D. z1  z2  5 . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng phức ở hình bên. Tính z1  z2 . y 2 A. 2 29 . M O 1 -4 N B. 20 . 3 x C. 2 5 . D. 116 . Dạng 3.2 Phép tính nhân, chia 2 số phức Câu 70. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  3  i và z2  1  i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng A. 4 . Câu 71. D. 50 . B. 8 . C. 2 2 . D. 2 10 . B. 8. C. 2 10. D. 40. B. 2 2 . C. 20 . D. 8 . B.  7  4i . C. 7  4i . D. 1  8i . (Mã 103 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  2  3i , số phức 1 i  z bằng A. 5  i . Câu 77. C. 26 . (Mã 102 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  2  i , số phức  2  3i  z bằng A.  1  8i . Câu 76. 26 . (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  1  3i và w  1  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 2 5 . Câu 75. B. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  4  2i và w  1  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 2 2. Câu 74. D. i . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  2  2i và w  2  i . Mô đun của số phức zw A. 40 . Câu 73. C. 1. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  1  2i và w  3  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 5 2 . Câu 72. B. 4i . B. 1  5i . C. 1  5i . D. 5  i . (Mã 104 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  3  2i , số phức 1  i  z bằng A. 1  5i B. 5  i . C. 1  5i . D. 5  i . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 78. Câu 79. (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z A. w  3  3i . B. w  3  7i. . C. w  7  7i D. w  7  3i . (Đề Tham Khảo 2017) Tính môđun của số phức z biết z   4  3i 1  i  . A. z  5 2 B. z  2 C. z  25 2 D. z  7 2 Câu 80. (Mã 110 2017) Cho số phức z  1  i  i 3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a  1, b  0 B. a  0, b  1 C. a  1, b  2 D. a  2, b  1 Câu 81. (Mã 123 2017) Cho số phước z  1  2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ A. Q  1; 2  Câu 82. B. N  2; 1 C. P  2;1 (Đề Tham Khảo 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ? y E Q M x O P N A. Điểm Q Câu 83. D. M  1; 2  B. Điểm E C. Điểm P D. Điểm N (Mã 101 – 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  1  2i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1  z2 có tọa độ là: A. 1; 4  . Câu 84. B.  1; 4  . C.  4;1 . D.  4; 1 . (Mã 102 – 2019) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z1  z2 có tọa độ là A.  3;3 . B.  3; 2  . C.  3; 3 . D.  2; 3 . C. z  3  i . D. z  3  i . Câu 85. Tìm số phức liên hợp của số phức z  i  3i  1 . A. z  3  i . Câu 86. B. z  3  i . (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i   4  3i . Tìm số phức liên hợp z của z . A. z  2 11  i. 5 5 B. z  2 11  i. 5 5 2 11  i. 5 5 C. z = D. z = 2 11  i. 5 5 Câu 87. Cho số phức z thỏa mãn z 1  i   3  5i . Tính môđun của z A. z  17 . Câu 88. C. z  17 . D. z  4 . 2 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z  1  2i  . Tính mô đun của số phức A. Câu 89. B. z  16 . 1 . 5 B. 5. C. 1 . 25 D. 1 . z 1 . 5 2 (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z có phần ảo là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 2 . Câu 90. Câu 91. D. 2i . C. 4 . 1 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  1  i . Tìm số phức w  iz  3z . 3 8 8 10 10 A. w  . B. w   i . C. w  . D. w   i . 3 3 3 3 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  2  i . Điểm nào dưới đây là biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng toạ độ? A. M  1; 2  . Câu 92. B.  2 . B. P  2;1 . C. N  2;1 . D. Q 1; 2  . (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z  1  2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w  2z  z . A. 3 B. 5 C. 1 D. 2 Câu 93. (Chuyên KHTN 2019) Cho số phức z khác 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? z A. là số thuần ảo. B. z.z là số thực. C. z  z là số thực. D. z  z là số ảo. z Câu 94. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  3  4i . Số phức 2 z1  3 z2  z1 z2 là số phức nào sau đây? A. 10i . Câu 95. B. 10i . C. 11  8i . D. 11  10i . (THPT Gia Lộc Hải Dương Năm 2019) Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình 1  i  z  3  5i . A. M  1; 4  . Câu 96. C. M 1; 4  . D. M 1;  4  . (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  3i  z  5  7i. Mệnh đề nào sau đây đúng? 13 4 A. z   i . 5 5 Câu 97. B. M  1;  4  . B. z   13 4  i. 5 5 C. z   13 4  i. 5 5 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z  D. z  13 4  i. 5 5  2  3i  4  i  . Tìm tọa độ điểm biểu 3  2i diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy . A. 1; 4  . Câu 98. C.  1;  4  . D. 1;  4  . (Chuyên Hạ Long 2019)Cho z1  2  4i, z2  3  5i . Xác định phần thực của w  z1.z2 A. 120 . Câu 99. B.  1; 4  . B.  32 . C. 88 . 2 D. 152 . (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn phương trình (3  2i ) z  (2  i ) 2  4  i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z. A. M  1;1 B. M  1; 1 C. M 1;1  Câu 100. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  3i A. 5 4 B. 5 2 C. 2 5 D. M 1; 1  2 z  4  3i . Môđun của z bằng D. 4 5 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3i Câu 101. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh – 2018) Cho z  . Tổng phần thực và phần ảo của z là xi 2x  4 4x  2 4x  2 2x  6 A. . B. . C. 2 . D. 2 . x 1 x 1 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ 7-8 ĐIỂM  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b. y  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng toán. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K ? Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z  x  yi với x, y   . Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,… ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình  x, y .  Lưu ý Trong trường phức , cho số phức z  x  y.i có phần thực là x và phần ảo là y với x, y   và i 2  1 . Khi đó, ta cần nhớ:  Mônđun của số phức z  x  y.i là z  OM  x 2  y 2  (thực) + (ảo) . Số phức liên hợp của z  x  y.i là z  x  y.i (ngược dấu ảo).  x  x2 Hai số phức z1  x1  y1.i và z2  x2  y2 .i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi  1 (hai số phức  y1  y2 bằng nhau khi thực  thực và ảo  ảo). Câu 1. (Mã 104 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi    3  i   5 x  4i với i là đơn vị ảo. A. x  1; y  1 . Câu 2. B. x  1; y  1 . C. x  1; y  1 . D. x  1; y  1 . (Mã 105 2017) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x 2  1  yi  1  2i . A. x  2 , y  2 B. x   2 , y  2 C. x  0, y  2 D. x  2 , y  2 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 3. (Mã 101 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi   1  3i   x  6i với i là đơn vị ảo. A. x  1; y  1 Câu 4. B. x  1; y  3  B. 5 . B. x  2; y  1 D. 5. D. x  2; y  1 1 D. a  , b  1. 2 C. a  0, b  2. (Mã 103 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  3x  yi    4  2i   5 x  2i với i là đơn vị ảo. B. x  2 ; y  0 C. x  2 ; y  0 D. x  2 ; y  4 (Mã 102 – 2019) Cho số phức z thoả mãn 3 z  i  2  3i  z  7 16i. Môđun của z bằng 5. B. (Mã 101 – 2019) Cho số phức A. Câu 11.  C. x  2; y  2 B. a  1, b  2. A. 3. Câu 10.  D. 13 . (Đề Tham Khảo -2019) Tìm các số thực a, b thỏa mãn 2a  (b  i)i  1  2i với i là đơn vị ảo. A. x  2 ; y  4 Câu 9. 5. (Mã 102 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  3x  2 yi    2  i   2 x  3i với i là đơn vị ảo. A. a  0, b  1. Câu 8. C. C. 13 . B. 5 . A. x  2; y  2 Câu 7.  (Mã 103 – 2019) Cho số z thỏa mãn  2  i  z  4 z  i  8  19i . Môđun của z bằng A. 13 . Câu 6. D. x  1; y  1 (Mã 104 – 2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  3  16i  2 z  i . Môđun của z bằng A. 13 . Câu 5. C. x  1; y  3 3. C. 5.  Cẩm Giàng 2  2 x  3 yi   1  3i   1  6i A. x  1 ; y  3 . 3.  z thỏa mãn 3 z  i   2  i  z  3  10i . Môđun của z bằng B. 3 . (THPT D. C. 5 . Năm Tìm 2019) hai số thực D. 5. x và y thỏa mãn với i là đơn vị ảo. B. x  1 ; y  3 . C. x  1 ; y  1 . D. x  1 ; y  1 . Câu 12. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi    3  i   5 x  4i với i là đơn vị ảo. A. x  1, y  1 Câu 13. (Chuyên Sơn B. x  1, y  1 La C. x  1, y  1 Tìm 2019) các  3x  2    2 y  1 i   x  1   y  5 i , với i 3 2 3 4 B. x   , y   . 2 3 A. x  , y  2 . Câu 14. (Chuyên Phan Bội Châu 1  i  z  2 z  3  2i . Tính A. P  1 Câu 15. 2019) số thực D. x  1, y  1 x và y thỏa mãn là đơn vị ảo. C. x  1, y  Cho số phức 4 . 3 3 2 4 3 D. x  , y  . z  a  bi  a, b    thỏa mãn P  ab B. P   1 2 C. P  1 2 D. P  1 (Chuyên KHTN -2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  4  3i  13  4i . Môđun của z bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 2 . D. 10 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn 1  2i  z  z  3  4i . Tính giá trị của biểu thức S  3x  2 y . A. S   12 Câu 17. B. S  11 B. 2 C. 2 D. 6 (Sở Bình Phước 2019) Cho a, b   và thỏa mãn  a  bi  i  2a  1  3i , với i là đơn vị ảo. Giá trị a  b bằng A. 4 Câu 19. D. S  10 (Sở Bình Phước 2019) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz  1  i  z  2i bằng A. 6 Câu 18. C. S  13 C. 4 B. 10 D. 10 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thoả mãn (1  i ) z  2 z  3  2i . Tính P  a  b 1 B. P   . 2 A. P  1 . Câu 20. Câu 21. C. P  1 . 2 D. P   1 (Chuyên Hạ Long -2019) Tìm số phức z biết 4 z  5z  27  7i . A. z  3  7i . B. z  3  7i . C. z  3  7i . D. z  3  7i . 2 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thỏa mãn  3  2i  z   2  i   4  i . Mô đun của số phức w   z  1 z bằng. B. 10 . A. 2 . Câu 22. (THPT Lê Quý Đôn 5. C. Đà Nẵng 2019) D. 4 . Tìm các số thực a, b thỏa mãn  a  2b    a  b  4  i   2a  b   2bi với i là đơn vị ảo. A. a  3, b  1 . Câu 23. B. a  3, b  1 . C. a   3, b   1 . D. a  3, b  1 . Cho hai số phức z1  m  1  2i và z1  2   m  1 i . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để z1. z2  8  8i là một số thực. A. 1. Câu 24. B. 2 . C. 3 . D. 4 .   (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm mô đun của số phức z biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i . A. 1 9 B. 2 3 C. 2 9 D. 1 3 Câu 25. Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z 1  2i   z 1  i   4  i  0 với i là đơn vị ảo. A. Câu 26. 6. B. 5. C. 2. D. 3. (Chuyên Trần Đại Nghĩa – TPHCM – 2018) Tìm số phức z thỏa mãn z   2  3i  z  1  9i . A. z  2  i . B. z  2  i . C. z  2  i . D. 2  i . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b. y  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng toán. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K ? Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z  x  yi với x, y   . Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,… ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình  x, y .  Lưu ý Trong trường phức , cho số phức z  x  y.i có phần thực là x và phần ảo là y với x, y   và i 2  1 . Khi đó, ta cần nhớ:  Mônđun của số phức z  x  y.i là z  OM  x 2  y 2  (thực) + (ảo) . Số phức liên hợp của z  x  y.i là z  x  y.i (ngược dấu ảo).  x  x2 Hai số phức z1  x1  y1.i và z2  x2  y2 .i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi  1 (hai số phức  y1  y2 bằng nhau khi thực  thực và ảo  ảo). Dạng 1. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  i  5 và z 2 là số thuần ảo? A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 2. (Mã 110 2017) Cho số phức z  a  bi  a, b   thoả mãn z  2  i  z . Tính S  4a  b . A. S  4 Câu 3. B. S  2 C. S  2 D. S  4 (Đề Tham Khảo 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1. Tính P  a  b . A. P   1 Câu 4. B. P   5 2 B. 2 B. 3 C. 2 B. 3 D. 3 C. 2 D. 4 (Mã 105 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2 i  z  2  2 i . Tính z . B. z  17 C. z  10 (Mã105 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  13 và A. 0 Câu 10. D. 2 (Mã 102 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  3  i   2i   4  i  z ? A. z  17 Câu 9. C. 4 B. 4 A. 1 Câu 8. D. 3 (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  6  i   2i   7  i  z ? A. 1 Câu 7. C. 4 (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  5  i   2i   6  i  z ? A. 1 Câu 6. D. P  7 (Mã 110 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  2  i | 2 2 và  z  1 là số thuần ảo? A. 0 Câu 5. C. P  3 B. 2 C. Vô số D. z  10 z là số thuần ảo? z2 D. 1 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z.z  z  2 và z  2? A. 2 . Câu 11. D. 4 . (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i 5  z  i 5  6 , biết z có môđun bằng A. 3 Câu 12. C. 1. B. 3 . 5? B. 4 C. 2 D. 0 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1  z2  2 và z1  2 z2  4 . Giá trị của 2z1  z2 bằng A. 2 6 . B. 6. C. 3 6 . D. 8 . Câu 13. Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Môđun của số phức w  1  z  z 2 bằng A. w  445 . B. w  425 . C. w  37 . D. w  457 Câu 14. Cho số phức z  a  bi  a, b    thoả mãn z  4 i  z  2i  5 1  i  . Tính giá trị của biểu thức T  ab. A. T  2 . C. T  1 . B. T  3 . D. T  1 . 2 Câu 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3  2i z  0 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 4 C. 2 B. 3 Câu 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa z  1  2i  z  3  4i và A. 0 . C. 1. B. Vô số. D. 6 z  2i là một số thuần ảo zi D. 2 . Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  (2  i )  10 và z.z  25 . B. 3 . A. 2 . Câu 18. (THPT Chuyên  2 C. 1. Đại Học  1? z 1  z  z i  z  z i A. 4 2019 Vinh Có 2019) D. 4 . bao nhiêu C. 1 B. số phức z thỏa mãn D. 3 2 Câu 19. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z và z 2 là số thuần ảo A. 4 C. 3 B. 2 D. 5 2 Câu 20. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3  2i z  0 . A. 4 Câu 21. C. 2 B. 3 D. 6  a, b    thỏa mãn  a, b    thỏa mãn (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho số phức z  a  bi   z  3  z  1 và  z  2  z  i là số thực. Tính a  b . A. 2 . Câu 22. B. 0. C. 2. D. 4. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z  a  bi z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S  6 . B. S  6 . C. S  5 . D. S  5 .  z1  z2  z3  0  Câu 23. Cho ba số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn  2 2 . Tính  z1  z2  z3  3  2 2 A  z1  z2  z2  z3  z3  z1 A. Câu 24. 2 2 . 3 2 B. 2 2 . C. 8 . 3 D. 3 . 8 (THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2 – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  5i  5 và z.z  82 . Tính giá trị của biểu thức P  a  b . A. 10 . Câu 25. B. 8 . C. 35 . D. 7 . (Đồng Tháp – 2018) Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  3 . Câu 26. B. P  3 . 2 C. P  2 . D. P  2 . 1 i là số thực và z  2  m với z m   . Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó: (Chuyên Quang Trung – 2018) Cho số phức z thoả mãn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  1 A. m0   0;  .  2 1  B. m0   ;1 . 2  3  C. m0   ; 2  . 2   3 D. m0  1;  .  2 Câu 27. (Chuyên Quang Trung – 2018) Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m  S có đúng z một số phức thỏa mãn z  m  6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z4 A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Câu 28. (Cần Thơ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  4  1  i  z   4  3 z  i . Môđun của số phức z bằng A. 2 . Câu 29. B. 1 . D. 4 . C. 16 . (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b  , a  0  thỏa z.z  12 z   z  z   13  10i . Tính S  a  b . A. S  17 . Câu 30. B. S  5 . D. S  17 . (Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh – 2018) Cho số phức z  0 thỏa mãn w iz   3i  1 z 1 i 2  z . Số phức 13 iz có môđun bằng 3 A. 26 . Câu 31. C. S  7 . B. 26 . C. 3 26 . 2 D. 13 . (Toán Học Tuổi Trẻ – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1 , z2  2 và z1  z 2  3 . Giá trị của z1  z2 là B. 1 . A. 0 . Câu 32. C. 2 . D. một giá trị khác. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – Sóc Trăng – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b  R  thỏa mãn z  7  i  z  2  i   0 và z  3. Tính P  a  b. 1 B.  . 2 A. 5 . Câu 33. C. 7 . D. 5 . 2 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: 2 2 z1  2 3 , z2  3 2 . Hãy tính giá trị biểu thức P  z1  z2  z1  z2 . Câu 34. C. P  30 2 . B. P  20 3 . A. P  60. (Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh – 2018) Cho số phức w  x  yi , D. P  50 .  x , y   thỏa mãn điều kiện w2  4  2 w . Đặt P  8  x 2  y 2   12 . Khẳng định nào dưới đây đúng?  2  2  A. P   w  2 . 2  2 2 C. P    w  4  . B. P   w  2 .  2  2 D. P   w  4 . Câu 35. Số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  8 i  z  6i  5 1  i  . Tính giá trị biểu thức P  a  b . A. P  1 . Câu 36. (Chuyên 2 B. P  14 . Đại học   z  1  z  z i z  z i A. 4 . Vinh 2019 D. P  7 . C. P  2 . 2019) Có bao nhiêu số phức 1? B. 2 . C. 1. D. 3 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ z thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 37. (Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1 . Tính P  a  b . B. P  1. A. P  3 . Câu 38. C. P  5 . D. P  7 . (Sở GD Kon Tum – 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  1  i và  2  z 2 z z 5? B. 1. A. 0 . Câu 39. (Chuyên Bắc  Giang 2019) C. 2 . Cho số phức D. 4 . z  a  bi  a, b  , a  0  thỏa mãn  z.z  12 z  z  z  13  10i . Tính S  a  b . A. S  17 . Câu 40. B. S  5 . 2 A. 2 5. . Module của số phức z  2  i bằng B. 9. C. 25. (Nho Quan A – Ninh Bình – 2019) Cho số phức  z  1  i  z  i   3i  9 và A. 2 . Câu 42. D. S  17 . z  3  4i  5 (SGD Điện Biên – 2019) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: và z  2  z  i  33 Câu 41. C. S  7 . D. 5. z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2 . Tính P  a  b . B. 1. D. 1. C. 3 . (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3 , z1  z2  3 2 và z1  iz2  6 . Biết z2  z1 , tính z2 . A. 3 7 . B. 3 5 . D. 3 3 . C. 3 2 .  5 Câu 43. Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z  0 thỏa mãn  z   i  7  z .  z   A. 3 . B.  2 . C.  3 . D. 2 . Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến số phức có lũy thừa bậc cao, chứa tham số Câu 44. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z  1  i  A. 21009 . Câu 45. B. 22019 . 2019 C. 2 2019 . . Phần thực của z bằng D. 21009 . 2 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – 2018) Số phức z  1  i   1  i   …  1  i  2018 có phần ảo bằng A. 21009  1 . Câu 46. B. 1  21009 . C. 21009  1 . D.   21009  1 . (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Gọi T là tổng phần thực, phần ảo của số phức w  i  2i 2  3i 3  …  2018i 2018 . Tính giá trị của T. A. T  0. B. T  1. C. T  2. D. T  2.  z  z2  z3  1 Câu 47. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn hệ  1 . Tính giá trị biểu thức  z1  z2  z3  1 S  z12019  z22019  z32019 . A. S  1 . B. S  22019 . C. S  1 . D. S  22019 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 48. Tính S  i  2i 2  3i 3  …  2019i 2019 A. S  1010  1010i . B. S  1010  1010i . C. S  2019i . D. S  1010  1010i . Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z 2  z  1  0 . Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1  1  1    P   z     z 2  2   …   z 2019  2019  . z  z  z    A. P  4038 . B. P  2019 . Câu 50. C. P  673 . D. P  6073 . (THPT Chu Văn An – Hà Nội – 2018) Khai triển của biểu thức  x 2  x  1 2018 được viết thành a0  a1 x  a2 x 2  …  a4036 x 4036 . Tổng S  a0  a2  a4  a6  …  a4034  a4036 bằng A. 21009 . B. 21009 . C. 0 . D. 1 . Câu 51. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4  z . Số phần tử của S là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Câu 52. (Mã 104 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Câu 53. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh – 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức m  2i có phần thực dương z m  2i  m  2 A. m  2 . B.  . C. 2  m  2 . D. m  2 . m  2 Câu 54. (Kon Tum – 2019) Cho hai số phức z  3  4i và z ‘   2  m   mi  m    thỏa mãn z ‘  iz . Tổng tất cả các giá trị của m bằng A. 1 . B. 46 . 2 C. 0 . D. 2 . Câu 55. Biết rằng z  m 2  3m  3  (m  2)i , với m   , là một số thực. Giá trị của biểu thức P  1  z  z 2  z 3    z 2019 bằng A. 1. B. 2020 . Câu 56. D. 0 . 1 i là số thực và z  2  m với z m   . Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó: (Chuyên Quang Trung – 2018) Cho số phức z thoả mãn  1 A. m0   0;  .  2 Câu 57. C. 2019 . 1  B. m0   ;1 . 2  3  C. m0   ; 2  . 2   3 D. m0  1;  .  2 (Chuyên Quang Trung – 2018) Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m  S có đúng z một số phức thỏa mãn z  m  6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z4 A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Câu 58. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z  z  z  z  2 và     z z  2  z  z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 1. 1 B. . 2 3 C. . 2 D. 3 . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Lý thuyết chung  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b.  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. y b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức Dạng 1.1 Xác định phần thực, phần ảo của số phức Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Phần thực của số phức z  3  4i bằng A. 3 B. 4 C. 3 Lời giải Ta có phần thực của số phức z  3  4i bằng 3 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Phần thực của số phức z  5  4i bằng A. 5 . B. 4 . C. 4 . Lời giải Chọn D Số phức z  5  4i có phần thực là 5 . (Mã 104 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1  3i B. 1  3i C. 1  3i Lời giải Chọn C D. 4 D. 5 . D. 1  3i (Mã 103 -2018) Số phức 5  6i có phần thực bằng Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 6 . B. 6 . C. 5 . Lời giải D. 5 Chọn D Số phức 5  6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6 . Câu 5. Câu 6. (Mã 102 2018) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3  4i B. 4  3i C. 3  4i Lời giải Chọn A Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là: z  3  4i . D. 4  3i (Đề Tham Khảo 2017) Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3  2 2i . Tìm a, b. A. a  3; b  2 B. a  3; b  2 2 C. a  3; b  2 D. a  3; b  2 2 Lời giải Chọn B Số phức 3  2 2i có phần thực là a  3 và phần ảo là b  2 2 . Câu 7. Câu 8. (Mã 101 2018) Số phức 3  7i có phần ảo bằng: A. 7 B. 7 C. 3 Lời giải Chọn A D. 3 (Mã 123 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A. z  3  i B. z  2 C. z  2  3i Lời giải D. z  3i Chọn D Số phức z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0 . Câu 9. Câu 10. (Mã 105 2017) Cho số phức z  2  3i . Tìm phần thực a của z ? A. a  2 B. a  3 C. a  2 Lời giải Chọn A Số phức z  2  3i có phần thực a  2 . D. a  3 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z  3  4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là  4 và phần ảo là 3i . B. Phần thực là 3 và phần ảo là  4 . C. Phần thực là  4 và phần ảo là 3 . D. Phần thực là 3 và phần ảo là  4i . Lời giải Số phức z  3  4i có phần thực là 3 và phần ảo là  4 . Dạng 1.2 Xác định số phức liên hợp, số phức đối, môđun của số phức Câu 11. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Môđun của số phức 1  2i bằng A. 5 . B. 3. C. 5 . Lời giải D. 3 . Chọn C Ta có 1  2i  12  22  5 . Câu 12. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Số phức liên hợp của số phức z  2  i là Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. z  2  i . B. z  2  i . C. z  2  i . Lời giải D. z  2  i . Chọn C Số phức liên hợp của số phức z  2  i là z  2  i . Câu 13. Câu 14. Câu 15. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  3  5i là: A. z  3  5i . B. z  3  5i . C. z  3  5i . Lời giải Chọn A. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A. z  2  5i . B. z  2  5i . C. z  2  5i . Lời giải Chọn D Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là z  2  5i . D. z  3  5i . D. z  2  5i . (Mã 103 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A. z  2  5i . B. z  2  5i . C. z  2  5i . Lời giải D. z  2  5i . Chọn A Ta có số phức liên hợp của số phức z  2  5i là z  2  5i . Câu 16. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z  3  5i là A. z  3  5i . B. z  3  5i . C. z  3  5i . D. z  3  5i . Lời giải Chọn B Ta có: z  3  5i  z  3  5i . Câu 17. (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Lời giải Chọn B z  3  2i  z  3  2i . Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 . Câu 18. (Mã 104 2019) Số phức liên hợp của số phức z  3  2i là. A. 3  2i . B. 3  2i . C. 2  3i . Lời giải Chọn A D. 3  2i . Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là số phức z  a  bi từ đó suy ra chọn đáp án B. Câu 19. (Mã 103 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 1  2i là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2  i . D. 1  2i . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa số phức liên hợp của số phức z  a  bi, a, b   là số phức z  a  bi, a, b   . Câu 20. (Mã 104 2017) Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  5 B. z  5 C. z  2 D. z  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn A Ta có z  22  1  5 . Câu 21. Câu 22. (Mã 102 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 5  3i là A. 3  5i . B. 5  3i . C. 5  3i . Lời giải Chọn C Số phức liên hợp của số phức 5  3i là 5  3i (Mã 101 – 2019) Số phức liên hợp của số phức 3  4i là A. 3  4i . B. 4  3i . C. 3  4i . Lời giải Chọn A D. 5  3i . D. 3  4i . Số phức liên hợp của số phức a  bi là số phức a  bi . Vậy số phức liên hợp của số phức 3  4i là số phức 3  4i . Câu 23. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng B. Phần thực bằng C. Phần thực bằng D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . 3 và phần ảo bằng 2 . 3 và phần ảo bằng 2i . 3 và phần ảo bằng 2 . Lời giải z  3  2i  z  3  2i . Nên số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 21 Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i . C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i . B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Lời giải z  3  2i . Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 24. (Chuyên Hạ Long 2019) Số phức đối của z  5  7i là? C.  z  5  7i . Lời giải Số phức đối của z là  z . Suy ra  z  5  7i . A. z  5  7i . Câu 25. B.  z  5  7i . D.  z  5  7i . (Chuyên Sơn La 2019) Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là A. z  1  2i . B. z  2  i . C. z  1  2i . D. z  1  2i . Lời giải Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là số phức z  a  bi . Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Số phức liên hợp của số phức z  5  6i là A. z  5  6i . B. z  5  6i . C. z  6  5i . Lời giải D. z  5  6i . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Số phức liên hợp của số phức z  x  yi , x, y   là số phức z  x  yi . Do đó số phức liên hợp của số phức z  5  6i là z  5  6i . Câu 27. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho số phức z  2  3i . Số phức liên hợp của số phức z là: A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  2  3i . Lời giải D. z  2  3i . Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là z  2  3i . Dạng 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức Câu 28. 2 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  1  2i  là điểm nào dưới đây? A. P  3; 4  . B. Q  5; 4  . C. N  4;  3 . D. M  4;5  . Lời giải Chọn A 2 2 Ta có z  1  2i   12  2.1.2i   2i   3  4i . 2 Vậy trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  1  2i  là điểm P  3; 4  . Câu 29. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  1  2i là điểm nào dưới đây? A. Q 1; 2  . B. P  1; 2  . C. N 1; 2  . D. M  1; 2  . Lời giải Chọn B Điểm biểu diễn số phức z  1  2i là điểm P  1; 2  . Câu 30. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, biết M  3;1 là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng A. 1. B. 3 . C. 1 . Lời giải D. 3 . Chọn B Điểm M  3;1 là điểm biểu diễn số phức z , suy ra z  3  i . Vậy phần thực của z bằng 3 . Câu 31. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Trên mặt phẳng tọa độ, biết M  1;3 là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng A. 3 . B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 1. Chọn B Ta có M  1;3 là điểm biểu diễn số phức z  z  1  3i . Vậy phần thực của z bằng 1 . Câu 32. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ, biết điểm M (2;1) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng: A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn A Điểm M (2;1) là điểm biểu diễn số phức z  z  2  i Vậy phần thực của z là 2 Câu 33. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z  1  2i ? A. Q 1; 2  . B. M  2;1 . C. P  2;1 . D. N 1;  2  . Lời giải Chọn D Điểm biểu diễn số phức z  1  2i là điểm N 1;  2  . Câu 34. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i ? A. P  3; 2  . B. Q  2; 3 . C. N  3; 2  . D. M  2;3 . Lời giải Chọn C Ta có: z  a  bi  N  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z z  3  2i  N  3; 2  Câu 35. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z  1  2i ? A. N  1; 2  . B. P  2; 1 . C. Q  2;1 . D. M 1; 2  . Lời giải Chọn A Điểm biểu diễn số phức z  1  2i là điểm N  1; 2  . Câu 36. (Đề Tham Khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  1  2i B. z  1  2i C. z  2  i Lời giải D. z   2  i Chọn D Theo hình vẽ M  2;1  z  2  i Câu 37. (Đề Tham Khảo 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z  1  2i ? A. P B. M C. Q D. N Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C Ta có điểm biểu diễn của số phức z  1  2i trên hệ trục tọa độ Oxy là điểm Q  1; 2  Câu 38. (Mã 110 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên? A. z1  1  2i B. z2  1  2i C. z3  2  i D. z4  2  i Lời giải Chọn C Điểm M  2;1 là điểm biểu diễn số phức z1  2  i Câu 39. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 Lời giải Chọn B Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z  x  yi được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) . Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x  3 và tung độ y  4 . Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . Câu 40. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là: A. 1  2i . B. 2  i . C. 1  2i . D. 2  i . Lời giải Điểm M  2;1 trong hệ tọa độ vuông góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  2  i suy ra z  2  i . Câu 41. Điểm nào ở hình vẽ bên biểu diễn số phức z  3  2i ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. M . C. P . B. N . D. Q . Lời giải Chọn Câu 42. D. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Điểm biểu diễn hình học của số phức z  2  3i là điểm nào trong các điểm sau đây? A. M  2;3 . B. Q  2;  3 . C. N  2;  3 . D. P  2;3 . Lời giải Điểm biểu diễn hình học của số phức z  a  bi  a, b    là  a ; b  . Với z  2  3i ta có a  2 và b  3 . Do đó điểm biểu diễn tương ứng là N  2;  3 . Câu 43. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình vẽ bên? A. 1  2i. C. i  2. Lời giải Tọa độ điểm M (1; 2) là điểm biểu diễn của số phức z  1  2i . Câu 44. B. i  2. D. 1  2i. (Thanh Hóa 2019) Điểm M trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức y M 3 x 2 A. 3  2i. B. 2  3i. O C. 2  3i. D. 3  2i. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Điểm M  2;3 biểu thị cho số phức z  2  3i. Câu 45. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Chọn kết luận đúng về số phức z . A. z  3  5i . B. z  3  5i . C. z  3  5i . Lời giải D. z  3  5i . Tọa độ điểm M  3;5   z  3  5i  z  3  5i . Câu 46. (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Điểm M trong hình vẽ là biểu diễn hình học của số phức nào dưới đây? y 2 x O -1 A. z  2  i . M C. z  1  2i . Lời giải Điểm M (2; 1) nên nó biểu diễn cho số phức z  2  i . Câu 47. B. z  2  i . D. z  1  2i . (Sở Bình Phước 2019) Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; 2) ? A. 1  2i B. 1 2i C. 1  2i Lời giải D. 2  i Chọn C M (1; 2) là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 , tức là 1  2i . Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của hai số phức đối nhau là A. hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . B. hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành. C. hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. D. hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Lời giải Điểm biểu diễn của số phức z  a  bi trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M  a; b  Điểm biểu diễn của số phức  z   a  bi trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm N  a; b  Do đó: điểm biểu diễn của hai số phức đối nhau là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ Câu 49. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z  3i  2 ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. M . B. N . D. P . C. Q . Lời giải Số phức liên hợp của số phức z  3i  2 là z  2  3i . Điểm biểu diễn số phức z là N  2 ; 3 . Vậy điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z  3i  2 là N . Câu 50. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là: A. 1  2i . B. 2  i . C. 1  2i . D. 2  i . Lời giải Điểm M  2;1 trong hệ tọa độ vuông góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  2  i suy ra z  2  i . Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , 3 điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của ba số phức z1  3  7i, z2  9  5i và z3  5  9i . Khi đó, trọng tâm G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? A. z  1  9i . B. z  3  3i . C. z  7 i. 3 D. z  2  2i . Lời giải Ta có: A  3; 7  , B  9; 5 , C  5;9  7  Trọng tâm của tam giác ABC là G  ; 1 3  Vậy trọng tâm G là điểm biểu diễn của số phức z  7 i. 3 Dạng 3. Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phức Dạng 3.1 Phép tính cộng trừ 2 số phức Câu 52. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  3  i và z2  1  i. Phần ảo của số phức z1  z2 bằng A. 2. B. 2i. C. 2. D. 2i. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C Ta có: z2  1  i . Do đó z1  z2  (3  i )  (1  i )  2  2i. Vậy phần ảo của số phức z1  z2 bằng 2. Câu 53. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  3i . Phần thực của số phức z1  z2 bằng A. 1. B. 3 . C. 4 . Lời giải D. 2 . Chọn B Ta có z1  z2  3  4i . Phần thực của số phức z1  z2 bằng 3 . Câu 54. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  3  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 5  i . B. 5  i . C. 5  i . Lời giải D. 5  i . Chọn C Ta có: z1  z2  3  2i  2  i  5  i . Câu 55. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 3  i B. 3  i C. 3  i Lời giải D. 3  i Chọn C Tacó: z1  z2  1  2i  2  i  3  i . Câu 56. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  3  i . Số phức z1  z2 bằng. A. 4  2i . B. 4  2i . C. 4  2i . D. 4  2i . Lời giải Chọn A Ta có: z1  z2  1  3i  3  i  4  2i . Câu 57. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  4  i . Số phức z1  z2 bằng A. 3  3i . B. 3  3i . C. 3  3i . Lời giải D. 3  3i . Chọn C Ta có: z1  z2  1  2i    4  i   3  3i . Câu 58. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  1  3i và z2  3  i . Số phức z1  z2 bằng A. 2  4i . B. 2  4i . C. 2  4i . Lời giải D. 2  4i . Chọn A Ta có z1  z2  1  3i    3  i   1  3i  3  i  2  4i . Câu 59. (Mã 104 – 2019) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn của số phức 2 z1  z2 có tọa độ là A.  0; 5 . B.  5; 1 . C.  1; 5 . D.  5; 0  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có 2 z1  z2  5  i . Nên ta chọn A. Câu 60. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  3  2i và z2  2  i . Số phức z1  z2 bằng A. 1  3i . B. 1  3i . C. 1  3i . Lời giải D. 1  3i . Chọn D Ta có z1  z2  3  2i   2  i   1  3i Câu 61. (Mã 103 – 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z1  2 z2 có tọa độ là A. (3;5) . B. (5; 2) . C. (5; 3) . D. (2; 5) . Lời giải Chọn C Ta có z1  2 z2  (1  i )  2(2  i )  5  3i . Do đó điểm biểu diễn số phức z1  2 z2 có tọa độ là (5; 3) . Câu 62. (Mã 123 2017) Cho 2 số phức z1  5  7 i và z 2  2  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  3  10i B. 14 C. z  7  4i Lời giải D. z  2  5i Chọn C z  5  7i  2  3i  7  4i . Câu 63. (Đề Minh Họa 2017) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  5 . C. z1  z2  1 . B. z1  z2  5 . D. z1  z2  13 . Lời giải Chọn D 2 z1  z2  1  i   2  3i   3  2i nên ta có: z1  z2  3  2i  32   2   13 . Câu 64. (Mã 110 2017) Cho hai số phức z1  4  3i và z2  7  3i . Tìm số phức z  z1  z2 . A. z  3  6i B. z  11 C. z  1  10i Lời giải D. z  3  6i Chọn A Ta có z  z1  z2   4  3i    7  3i   3  6i . Câu 65. (Mã 104 2017) Cho số phức z1  1  2i , z2  3  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z1  z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. M  2; 5  B. P  2; 1 C. Q  1;7  D. N  4; 3 Lời giải Chọn B z  z1  z2  2  i . Câu 66. (Mã 104 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i . A. z  5  5i B. z  1  i C. z  1  5i Lời giải D. z  1  i Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn D z  2  3i  3  2i  z  3  2i  2  3i  1  i . Câu 67. (Mã 105 2017) Cho hai số phức z1  1  3i và z 2  2  5i . Tìm phần ảo b của số phức z  z1  z 2 . A. b  3 B. b  2 C. b  2 Lời giải D. b  3 Chọn B Ta có z  z1  z 2  3  2 i  b  2 Câu 68. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z2 . A. z1  z2  1 . B. z1  z2  5 . C. z1  z2  13 . D. z1  z2  5 . Lời giải Ta có z1  z2  1  i  2  3i  3  2i  z1  z2  3  2i  13 . Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng phức ở hình bên. Tính z1  z2 . y 2 A. 2 29 . M O 1 -4 N 3 x C. 2 5 . Lời giải B. 20 . D. 116 . Từ hình bên ta có tọa độ M  3;2  biểu diễn số phức z1  3  2i . Tọa độ N  1;  4  biểu diễn z2  1  4i . Ta có z1  z2  4  2i  z1  z2  2  4    2  2 2 5. Dạng 3.2 Phép tính nhân, chia 2 số phức Câu 70. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hai số phức z1  3  i và z2   1  i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng A. 4 . B. 4i . C. 1. Lời giải D. i . Chọn A Ta có: z1 z2  3  i 1  i   2  4i . Suy ra phần ảo của z1 z2 bằng 4 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 71. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  1  2i và w  3  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 5 2 . B. 26 . C. 26 . D. 50 . Lời giải Chọn A. Ta có z.w  z . w  z . w  1  22 . 32  1  5 2. Câu 72. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  2  2i và w  2  i . Mô đun của số phức zw A. 40 . B. 8 . C. 2 2 . Lời giải D. 2 10 . Chọn D zw   2  2i  2  i   6  2i  2 10 Câu 73. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  4  2i và w  1  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 2 2. B. 8. C. 2 10. D. 40. Lời giải Chọn C Ta có: z.w   4  2i 1  i   6  2i. Suy ra z.w  40  2 10. Câu 74. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hai số phức z  1  3i và w  1  i . Môđun của số phức z.w bằng A. 2 5 . B. 2 2 . C. 20 . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có: w  1  i  w  1  i z.w  1  3i 1  i   4  2i Từ đây ta suy ra: z.w  42  22  2 5 . Câu 75. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  2  i , số phức  2  3i  z bằng A.  1  8i . B.  7  4i . C. 7  4i . Lời giải D. 1  8i . Chọn C Ta có:  2  3i  z   2  3i  2  i   7  4i . Câu 76. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  2  3i , số phức 1 i  z bằng A. 5  i . B. 1  5i . C. 1  5i . Lời giải D. 5  i . Chọn C Ta có z  2  3i  z  2  3i . Do đó 1  i  z  1  i  .  2  3i   1  5i . Câu 77. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Cho số phức z  3  2i , số phức 1  i  z bằng B. 5  i . A. 1  5i Chọn C. 1  5i . Lời giải D. 5  i . D. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì z  3  2i nên ta có 1  i  z  (1  i)(3  2i)  5  i Câu 78. (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z A. w  3  3i . B. w  3  7i. . C. w  7  7i Lời giải Chọn A D. w  7  3i . Ta có w  iz  z  i (2  5i )  (2  5i )  2i  5  2  5i  3  3i Câu 79. (Đề Tham Khảo 2017) Tính môđun của số phức z biết z   4  3i 1  i  . A. z  5 2 B. z  2 C. z  25 2 D. z  7 2 Lời giải Chọn A z   4  3i 1  i   7  i  z  7  i  z  5 2 Câu 80. (Mã 110 2017) Cho số phức z  1  i  i 3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . A. a  1, b  0 B. a  0, b  1 C. a  1, b  2 D. a  2, b  1 Lời giải Chọn C Ta có: z  1  i  i 3  1  i  i 2 .i  1  i  i  1  2i (vì i 2  1 ) Suy ra phần thực của z là a  1 , phần ảo của z là b  2 . Câu 81. (Mã 123 2017) Cho số phước z  1  2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ A. Q  1; 2  B. N  2; 1  C. P  2;1 D. M  1; 2  Lời giải Chọn B w  iz  i  1  2 i   2  i Câu 82. (Đề Tham Khảo 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ? y E Q M x O P N A. Điểm Q B. Điểm E C. Điểm P D. Điểm N Lời giải Chọn B Gọi z  a  bi  a, b    . Điểm biểu diễn của z là điểm M  a; b   2 z  2a  2bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là M 1  2a; 2b  .   Ta có OM 1  2OM suy ra M1  E . Câu 83. (Mã 101 – 2019) Cho hai số phức z1  1  i và z2  1  2i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1  z2 có tọa độ là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 1; 4  . B.  1; 4  . C.  4;1 . D.  4; 1 . Lời giải Chọn D 3 z1  z 2  3 1  i   1  2i   4  i . Suy ra: Tọa độ điểm biểu diễn là:  4; 1 . Câu 84. (Mã 102 – 2019) Cho hai số phức z1  2  i và z2  1  i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z1  z2 có tọa độ là A.  3;3 . B.  3; 2  . C.  3; 3 . D.  2; 3 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 z1  z2  4  2i  1  i  3  3i. Vậy điểm biểu diễn số phức 2z1  z2 có tọa độ là  3;3 . Câu 85. Tìm số phức liên hợp của số phức z  i  3i  1 . A. z  3  i . B. z  3  i . C. z  3  i . Lời giải D. z  3  i . Chọn B z  i  3i  1  3  i nên suy ra z  3  i . Câu 86. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i   4  3i . Tìm số phức liên hợp z của z . A. z  2 11  i. 5 5 B. z  2 11  i. 5 5 C. z = 2 11  i. 5 5 D. z = 2 11  i. 5 5 Lời giải 4  3i  4  3i 1  2i  2  11i 2 11 Vì z 1  2i   4  3i nên z =   =  i. 12  22 1  2i 5 5 5 2 11 Vậy nên z =  i. 5 5 Câu 87. Cho số phức z thỏa mãn z 1  i   3  5i . Tính môđun của z A. z  17 . B. z  16 . C. z  17 . D. z  4 . Lời giải z 1  i   3  5i  z  Câu 88. 3  5i  1  4i  z  1 i 2  1   4  2  17 . 2 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z  1  2i  . Tính mô đun của số phức A. 1 . 5 B. 5. C. 1 . 25 D. 1 . 5 Lời giải 2 Ta có z  1  2i   1  4i  4i 2  3  4i  1 1 3 4    i. z 3  4i 25 25 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 . z TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Do đó Câu 89. 2 1 1  3   4        . z 5  25   25  2 (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z có phần ảo là: A. 2 . B.  2 . C. 4 . Lời giải D. 2i . Chọn B 2   Ta có: z  1  i  1  2i   1  2i  i 2 1  2i   2i 1  2i   2i  4i 2  4  2i . Suy ra số phức z có phần ảo là:  2 . Câu 90. Câu 91. 1 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  1  i . Tìm số phức w  iz  3z . 3 8 8 10 10 A. w  . B. w   i . C. w  . D. w   i . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có z  1  i  z  1  i 3 3 1 1 8 Khi đó: w  iz  3 z  i (1  i )  3(1  i )  3 3 3 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  2  i . Điểm nào dưới đây là biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng toạ độ? A. M  1; 2  . B. P  2;1 . C. N  2;1 . D. Q 1; 2  . Lời giải Chọn A Ta có: w  iz  i  2  i   1  2i . Vậy điểm biểu diễn số phức w  iz là điểm M  1; 2  . Câu 92. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z  1  2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w  2z  z . A. 3 B. 5 C. 1 Lời giải D. 2 Chọn B Ta có z  1  2i  z  1  2i w  2 z  z  2(1  2i )  1  2i  3  2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w là 5 Câu 93. (Chuyên KHTN 2019) Cho số phức z khác 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? z A. là số thuần ảo. B. z.z là số thực. C. z  z là số thực. D. z  z là số ảo. z Lời giải Đặt z  a  bi,  a1 , b1     z  a  bi . 2 a 2  b2   2ab.i a 2  b2  a  bi   z a  bi 2ab     2  2 .i chỉ là số thuần ảo 2 2 2 z a  bi  a  bi  a  bi  a b a  b a  b2  a  b . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 94. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hai số phức z1  1  2i và z2  3  4i . Số phức 2 z1  3 z2  z1 z2 là số phức nào sau đây? A. 10i . B. 10i . C. 11  8i . D. 11  10i . Lời giải Ta có 2 z1  3 z2  z1 z2  2 1  2i   3  3  4i   1  2i  3  4i   11  8i  11  2i   10i . Câu 95. (THPT Gia Lộc Hải Dương Năm 2019) Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình 1  i  z  3  5i . A. M  1; 4  . B. M  1;  4  . C. M 1; 4  . D. M 1;  4  . Lời giải 3  5i  z  1  4i . 1 i Suy ra z  1  4i . Vậy M  1; 4  . Ta có 1  i  z  3  5i  z  Câu 96. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  3i  z  5  7i. Mệnh đề nào sau đây đúng? 13 4 A. z   i . 5 5 B. z   13 4  i. 5 5 C. z   13 4  i. 5 5 D. z  13 4  i. 5 5 Lời giải 5  7i 13 4 13 4  z   i  z   i. 1  3i  z  5  7i  z  1  3i 5 5 5 5 Câu 97. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z   2  3i  4  i  . Tìm tọa độ điểm biểu 3  2i diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy . A. 1; 4  . B.  1; 4  . C.  1;  4  . D. 1;  4  . Lời giải Ta có z    2  3i  4  i    8  3   2  12  i 3  2i 3  2i 15  28  10  42  i 94   5  14i  5  14i  3  2i   3  2i  3  2i  3  2i  13  52i  1  4i . 13 Vậy điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là M  1;  4  . Câu 98. (Chuyên Hạ Long 2019)Cho z1  2  4i, z2  3  5i . Xác định phần thực của w  z1.z2 A. 120 . B.  32 . 2 C. 88 . Lời giải 2 D. 152 . 2 Ta có z2  3  5i  z2   16  30i  w  z1. z2   2  4i  16  30i    152  4i . Vậy phần thực của w là 152 . Câu 99. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn phương trình (3  2i ) z  (2  i ) 2  4  i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z. A. M  1;1 B. M  1; 1 C. M 1;1 D. M 1; 1 Lời giải Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C 2 Ta có z  4  i  2  i  1  i nên M 1;1 . 3  2i   2 Câu 100. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  3i z  4  3i . Môđun của z bằng A. 5 4 B. 5 2 2 5 Lời giải C. D. 4 5 Chọn A Ta có z  4  3i 1  3i  2  z  4  3i 1  3i 2  5 . 4 3i . Tổng phần thực và phần ảo của z là xi 4x  2 2x  6 C. 2 . D. 2 . x 1 x 1 Câu 101. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh – 2018) Cho z  A. 2x  4 . 2 B. 4x  2 . 2 Lời giải 3  i  3  i  x  i  3x  3i  xi  1 3x  1 ( x  3)i    2  . x2  1 x  1 x2  1 x  i ( x  i)( x  i ) 3x  1 x  3 4 x  2 . Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 2   x  1 x2  1 x2  1 Ta có: z  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ 7-8 ĐIỂM  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b. y  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng toán. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K ?  Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z  x  yi với x, y   .  Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,… ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình  x, y .  Lưu ý Trong trường phức , cho số phức z  x  y.i có phần thực là x và phần ảo là y với x, y   và i 2  1 . Khi đó, ta cần nhớ:   Mônđun của số phức z  x  y.i là z  OM  x 2  y 2  (thực) + (ảo) .  Số phức liên hợp của z  x  y.i là z  x  y.i (ngược dấu ảo).  x  x2  Hai số phức z1  x1  y1.i và z2  x2  y2 .i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi  1 (hai số phức  y1  y2 bằng nhau khi thực  thực và ảo  ảo). Câu 1. (Mã 104 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi    3  i   5 x  4i với i là đơn vị ảo. A. x  1; y  1 . B. x  1; y  1 . C. x  1; y  1 . D. x  1; y  1 . Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 x  3  5 x x  1  3 y  1  4 y 1  2 x  3 yi    3  i   5 x  4i   2 x  3   3 y  1 i  5 x  4i   Câu 2. (Mã 105 2017) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2  1  yi  1  2i . A. x  2 , y  2 B. x   2 , y  2 C. x  0, y  2 D. x  2 , y  2 Lời giải Chọn C 2  x  1  1  x  0 Từ x2  1  yi  1  2i     y  2 y  2 Câu 3. (Mã 101 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi   1  3i   x  6i với i là đơn vị ảo. A. x  1; y  1 B. x  1; y  3 C. x  1; y  3 D. x  1; y  1 Lời giải Chọn C x 1  0  x  1 Ta có  2 x  3 yi   1  3i   x  6i  x  1   3 y  9  i  0   .  3 y  9  0  y  3 Câu 4.   (Mã 104 – 2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  3  16i  2 z  i . Môđun của z bằng A. 13 . B. 5 . C. 5 . Lời giải D. 13 . Chọn A Gọi z  x  yi .  2  i  z  3  16i  2  z  i    2  i  x  yi   3  16i  2  x  yi  i   2 x  2 yi  xi  y  3  16i  2 x  2 yi  2i 2 x  y  3  2 x  2 y  x  16  2 y  2 y 3  0   x  4 y  14 x  2   y  3 Suy ra z  2  3i . Vậy z  13 . Câu 5.   (Mã 103 – 2019) Cho số z thỏa mãn  2  i  z  4 z  i  8  19i . Môđun của z bằng A. 13 . B. 5 . C. 13 . Lời giải D. Chọn A Gọi z  a  bi ; z  a  bi  a, b    . Ta có: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2  i  z  4  z  i   8  19i   2  i  a  bi   4  a  bi  i   8  19i  2a  b   a  6b  4   8  19i 2a  b  8 a  3   a  6b  4  19 b  2 Vậy z  3  2i  z  13 . Câu 6. (Mã 102 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  3x  2 yi    2  i   2 x  3i với i là đơn vị ảo. A. x  2; y  2 B. x  2; y  1 C. x  2; y  2 Lời giải D. x  2; y  1 Chọn C Ta có:  3x  2 yi    2  i   2 x  3i  3x  2   2 y  1  2 x  3i 3 x  2  2 x  x  2 .   2 y  1  3  y  2 Câu 7. (Đề Tham Khảo -2019) Tìm các số thực a, b thỏa mãn 2a  (b  i)i  1  2i với i là đơn vị ảo. A. a  0, b  1. B. a  1, b  2. C. a  0, b  2. 1 D. a  , b  1. 2 Lời giải Chọn B 2a  (b  i )i  1  2i  2a  bi  i 2  1  2i  (2a  1)  bi  1  2i  2a  1  1  b  2 a  1  b  2 Câu 8. (Mã 103 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  3x  yi    4  2i   5 x  2i với i là đơn vị ảo. A. x  2 ; y  4 B. x  2 ; y  0 C. x  2 ; y  0 D. x  2 ; y  4 Lời giải Chọn A 2 x  4  0 x  2   . 4  y  0 y  4  3x  yi    4  2i   5x  2i  2 x  4   4  y  i  0   Câu 9. (Mã 102 – 2019) Cho số phức z thoả mãn 3 z  i  2  3i  z  7 16i. Môđun của z bằng A. 3. B. 5. C. 5. Lời giải D. 3. Chọn B Đặt z  a  bi  a; b   . Theo đề ta có 3a  bi  i 2  3ia  bi   7 16i  3a  3bi  3i  2a  2bi  3ai  3b  7 16i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 a  3b  7 a  3b  7 a  1  a  3b  3a  5b  3  7 16i   .     3a  5b  3  16 3a  5b  13 b  2 Vậy z  12  22  5 . Câu 10. (Mã 101 – 2019) Cho số phức A. 3.   z thỏa mãn 3 z  i   2  i  z  3  10i . Môđun của z bằng B. 3 . C. 5 . Lời giải D. 5. x và Chọn D Đặt z  x  yi,  x, y      3 z  i   2  i  z  3  10i  3 x  yi  i    2  i  x  yi   3  10i  x  y   x  5 y  3 i  3  10i x  y  3   x  5 y  3  10 x  2   y  1 z  2i Vậy z  5 Câu 11. (THPT Cẩm Giàng 2  2 x  3 yi   1  3i   1  6i A. x  1 ; y  3 . Năm Tìm 2019) hai số thực y thỏa mãn với i là đơn vị ảo. B. x  1 ; y  3 . C. x  1 ; y  1 . D. x  1 ; y  1 . Lời giải Ta có:  2 x  3 yi   1  3i   1  6i  2 x  1   3 y  3 i  1  6i . 2 x  1  1  x  1  Suy ra  . 3 y  3  6  y  3 Câu 12. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn  2 x  3 yi    3  i   5 x  4i với i là đơn vị ảo. A. x  1, y  1 B. x  1, y  1 C. x  1, y  1 D. x  1, y  1 Lời giải Chọn B 2 x  3 yi    3  i   5 x  4i   2 x  3   3 y  1 i  5 x  4i Từ  2 x  3  5  x  1   Vậy x  1, y  1 . 3 y  1  4 y 1 Câu 13. (Chuyên Sơn La 2019) Tìm  3x  2    2 y  1 i   x  1   y  5 i , với i các số thực x và là đơn vị ảo. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ y thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 A. x  , y  2 . 2 3 4 B. x   , y   . 2 3 4 C. x  1, y  . 3 3 2 4 3 D. x  , y  . Lời giải Ta có  3x  2    2 y  1 i   x  1   y  5  i   3x  2    2 y  1 i   x  1   5  y  i 3   x  2 3x  2  x  1 .   2 y  1  5  y y  4  3 Câu 14. (Chuyên Phan Bội Châu 1  i  z  2 z  3  2i . Tính A. P  1 2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn P  ab B. P   1 2 C. P  1 2 D. P  1 Lời giải Ta có 1  i  z  2 z  3  2i  1  i  a  bi   2  a  bi   3  2i  3a  b   a  b  i  3  2i 1  a 3a  b  3  2   a  b  2  b   3  2 Vậy P  a  b  1 . Câu 15. (Chuyên KHTN -2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  4  3i  13  4i . Môđun của z bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 2 . Lời giải 9  7i  2  3i  z  4  3i  13  4i   2  3i  z  9  7i  z  2  3i  9  7i  2  3i   z  39  13i  z  3  i z . 49 13 D. 10 . Vậy z  9  1  10 . Câu 16. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn 1  2i  z  z  3  4i . Tính giá trị của biểu thức S  3x  2 y . A. S  12 C. S  13 Lời giải  x  2 2 x  2 y  3   Có 1  2i  z  z  3  4i   7  S  13 . 2 x  4  y   3 Câu 17. B. S  11 D. S  10 (Sở Bình Phước 2019) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz  1  i  z  2i bằng A. 6 B. 2 C. 2 Lời giải D. 6 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Giả sử số phức z có dạng: z  x  yi , x , y   . Ta có: iz  1  i  z  2i  i  x  yi   1  i  x  yi   2i  x  2 y  yi  2i . x  2 y  0 x  4    x y 6.  y  2 y  2 Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 6 . Câu 18. (Sở Bình Phước 2019) Cho a, b   và thỏa mãn  a  bi  i  2a  1  3i , với i là đơn vị ảo. Giá trị a  b bằng A. 4 C. 4 Lời giải B. 10 D. 10 Chọn D b  2a  1 a  3 Ta có  a  bi  i  2a  1  3i  b  2a  ai  1  3i    a  3 b  7 Vậy a  b  10 . Câu 19. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thoả mãn (1  i ) z  2 z  3  2i . Tính P  a  b 1 B. P   . 2 A. P  1 . C. P  1 . 2 D. P   1 Lời giải (1  i ) z  2 z  3  2i  (1  i )( a  bi )  2( a  bi )  3  2i  (3a  b)  ( a  b)i  3  2i 1  a  3a  b  3  2   . Suy ra: P  a  b  1 . a  b  2 b   3  2 Câu 20. (Chuyên Hạ Long -2019) Tìm số phức z biết 4 z  5 z  27  7i . A. z  3  7i . B. z  3  7i . C. z  3  7i . D. z  3  7i . Lời giải Giả sử z  a  bi  a , b  R  , khi đó 4(a  bi)  5(a  bi)  27  7i  9a  bi  27  7i 9a  27 a  3    z  3  7i .  b  7 b  7 Câu 21. 2 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thỏa mãn  3  2i  z   2  i   4  i . Mô đun của số phức w   z  1 z bằng. A. 2 . B. 10 . C. 5 . Lời giải D. 4 . 2 Ta có:  3  2i  z   2  i   4  i   3  2i  z  1  5i  z  1  i . Do đó: w   z  1 z  z z  z  1  i 1  i   1  i  2  1  i  3  i .  w  32  1  10 . Câu 22. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm các số mãn  a  2b    a  b  4  i   2a  b   2bi với i là đơn vị ảo. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thực a, b thỏa TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. a  3, b  1 . B. a  3, b  1 . C. a   3, b   1 . Lời giải D. a  3, b  1 . Ta có:  a  2b    a  b  4  i   2a  b   2bi . a  2b  2a  b a  3b  0 a  3    . a  b  4  2b a  b  4 b  1 Câu 23. Cho hai số phức z1  m  1  2i và z1  2   m  1 i . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để z1. z2  8  8i là một số thực. A. 1. B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 4 .   Ta có: z1. z2  8  8i   m  1  2i  2   m  1 i   8  8i  8  m2  2m  3 i . m  1 Để z1. z2  8  i là một số thực thì m2  2m  3  0   .  m  3 Vậy có hai giá trị của tham số m để z1. z2  8  i là một số thực. Câu 24.   (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm mô đun của số phức z biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i . A. 1 9 2 3 B. 2 9 Lời giải C. D. 1 3 Chọn B Giả sử z  a  bi  z  a  bi   Do đó  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i   2a  2bi  11  i    a  bi  11  i   2  2i   2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i  2  2i 1  a  3  2a  2b  1   a  b  1  2 3a  3b  2    a  b  0  2a  2b  1   a  b  1  2 b   1  3 Khi đó z  a 2  b 2  2 . 3 Câu 25. Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z 1  2i   z 1  i   4  i  0 với i là đơn vị ảo. A. 6. B. 5. C. 2 . Lời giải D. 3. Giả sử: z  x  yi , x, y   . Ta có: z 1  2i   z 1  i   4  i  0   x  yi 1  2i    x  yi 1  i   4  i  0 2 x  3 y  4  0 y  2   2 x  3 y  4    x  1 i  0     x 1  0 x  1  z  1  2i  z  5 . Câu 26. (Chuyên Trần Đại Nghĩa – TPHCM – 2018) Tìm số phức z thỏa mãn z   2  3i  z  1  9i . A. z  2  i . B. z  2  i . C. z  2  i . D. 2  i . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Giả sử z  a  bi  a, b    . Ta có: z   2  3i  z  1  9i  a  bi   2  3i  a  bi   1  9i  a  3b   3a  3b  i  1  9i a  3b  1 a  2 .   3a  3b  9 b  1 Vậy z  2  i . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC – CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM  Số phức z  a  bi có phần thực là a, phần ảo là b. y  Số phức liên hợp z  a  bi và cần nhớ i 2  1.  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b). Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z .z  z.z ;    ; z.z  a 2  b 2  z  z  Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. b N (a; b)  Mô đun của số phức z là: z  a 2  b 2  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i và z2  c  d .i . Khi đó z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d .i    a  c    b  d  .i.  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i  .  c  d .i    ac  bd    ad  bc  .i. k .z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i  .  c  d .i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      2  i. 2 z2 z2 .z2 c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 z2 Dạng toán. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K ? Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z  x  yi với x, y   . Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,… ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình  x, y .  Lưu ý Trong trường phức , cho số phức z  x  y.i có phần thực là x và phần ảo là y với x, y   và i 2  1 . Khi đó, ta cần nhớ:  Mônđun của số phức z  x  y.i là z  OM  x 2  y 2  (thực) + (ảo) . Số phức liên hợp của z  x  y.i là z  x  y.i (ngược dấu ảo).  x  x2 Hai số phức z1  x1  y1.i và z2  x2  y2 .i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi  1 (hai số phức  y1  y2 bằng nhau khi thực  thực và ảo  ảo). Dạng 1. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  i  5 và z 2 là số thuần ảo? A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn A Giả sử z  a  bi  z2  a2  b2  2abi Vì z  i  5 và z 2 là số thuần ảo ta có hệ phương trình  a  b a  b  4  2  2 2 2 a  (b  1)  25  b  (b  1)  25 a  b  3  2 2   .  b  a  4  a  b a  b  0     b 2  (b  1)2  25 b  a  3  Câu 2. (Mã 110 2017) Cho số phức z  a  bi  a, b   thoả mãn z  2  i  z . Tính S  4a  b . A. S  4 B. S  2 C. S  2 Lời giải D. S  4 Chọn A  a  2  a 2  b 2 (1) Ta có z  2  i  z   a  2    b  1 i  a 2  b 2   (2) b  1  0 Từ (2) ta có: b  1 . Thay vào (1): a  2  0 3 a2  1  a  2   2 a 2 4 a  1  (a  2) Vậy S  4a  b  4 Câu 3. (Đề Tham Khảo 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1. Tính P  a  b . A. P   1 B. P   5 C. P  3 Lời giải D. P  7 Chọn D Ta có: z  2  i  z 1  i   0  a  bi  2  i  a 2  b2 1  i   0 2  2 2  a  2  a  b  b 1 a  b 2  a  2  a 2  b 2  0 1  i0 b  1  a 2  b2  0  2  Lấy 1 trừ  2 ta được: a  b  1  0  b  a  1 . Thế vào 1 ta được: 2 a  2  a 2   a  1  0  a  2  2a 2  2a  1  a  2   a  2 a  2  2  2    a  3  tm  2  a  4a  4  2a  2a  1  a  2a  3  0   a  1 tm     Với a  3  b  4 ; a   1  b  0 . a  3 Vì z  1  z  3  4i    P  a b  3 4  7 . b  4 Câu 4. 2 (Mã 110 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  2  i | 2 2 và  z  1 là số thuần ảo? A. 0 B. 2 C. 4 D. 3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn D Gọi số phức z  x  yi  x, y   , vì  z  12   x  12  y 2   2  x  1 yi là số thuần ảo nên theo  x  2 2   y  1 2  8 (1) đề bài ta có hệ phương trình:  2 2 (2)  x  1  y Từ (2) suy ra: y   ( x  1) 2 2  Với y  x  1 , thay vào (1) , ta được:  x  2    x  2   8  x 2  0  x  0. Suy ra: z  i .  Với y  ( x 1) , thay vào (1) , ta được:  x  2 2 2    x   8  2 x 2  4 x  4  0  x  1  3.         Suy ra: z  1  3  2  3 i ; z  1  3  2  3 i Vậy có 3 số phức thỏa mãn. Câu 5. (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  5  i   2i   6  i  z ? B. 3 A. 1 C. 4 Lời giải D. 2 Chọn B Ta có z  z  5  i   2i   6  i  z   z  6  i  z  5 z   z  2  i 1 Lây môđun hai vế của 1 ta có:  z  6 2 2  1. z  25 z   z  2  2 Bình phương và rút gọn ta được: 4 3  2 3 2  z  12 z  11 z  4 z  4  0   z  1 z  11 z  4  0 z   z 1 z  3  2  z  11 z  4  0 z z  1  10, 9667…  0, 62…  0,587… Do z  0 , nên ta có z  1 , z  10,9667… , z  0, 62… . Thay vào 1 ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài. Câu 6. (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  6  i   2i   7  i  z ? A. 1 B. 4 C. 2 Lời giải D. 3 Chọn D Đặt z  a  0, a   , khi đó ta có z  z  6  i   2i   7  i  z  a  z  6  i   2i   7  i  z   a  7  i  z  6a  ai  2i   a  7  i  z  6a   a  2  i   a  7  i  z  6 a   a  2  i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2   a  7   1 a 2  36a 2   a  2   a 4  14a 3  13a 2  4 a  4  0   a  1   a  1  a3  13a 2  4   0   3 2  a  12a  4  0 Xét hàm số f  a   a3  13a 2  a  0  , có bảng biến thiên là Đường thẳng y  4 cắt đồ thị hàm số f  a  tại hai điểm nên phương trình a 3  12 a 2  4  0 có hai nghiệm khác 1 (do f 1  0 ). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z . Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện. Câu 7. (Mã 102 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  3  i   2i   4  i  z ? B. 3 A. 1 C. 2 Lời giải D. 4 Chọn B z  z  3  i   2i   4  i  z   z  4  i  z  3 z   z  2  i (*)   z  4 2 2 2  1. z  9 z   z  2  (1). m z 0 Đặt 1    m  4  2  ta có 2  1 .m2  9m2   m  2   m 4  8m3  7 m 2  4 m  4  0 m  1  m  6,91638 m  1     m  1  m3  7 m 2  4   0   3 2  m  0.80344  m  7m  4  0   m  0.71982 Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z  m sẽ có một số phức z  .  L 3m   m  2  i thỏa mãn đề bài. m4i Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 8. (Mã 105 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i  z  2  2i . Tính z . A. z  17 B. z  17 C. z  10 D. z  10 Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi ; x , y   2  x  3 2  y 2  25   x  3   y 2  25    Theo bài ra ta có  x 2  y  2 2  x  2 2  y  2 2 4 x  4  0        Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  y 2  9  y  3 . Vậy z  10    x  1 x  1 Câu 9. (Mã105 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  13 và A. 0 C. Vô số Lời giải B. 2 z là số thuần ảo? z2 D. 1 Chọn B Gọi số phức z  a  bi ,  a , b    2 Ta có z  3i  13  a  bi  3i  13  a 2   b  3   13  a 2  b 2  6b  4  0  a 2  b 2  4  6b  1 2  a  2  bi  z 2 2 .  1  1  1 2 2 z2 z2 a  2  bi a  2  b   2 a  2  b  a  2 2 2  2a  4  b2  2b a  2 2  b2 i a2  b2  2a  a  2 2  b2  2b a  2 2  b2 i a 2  b2  2a  0  2   z a  b  2a  0   a  2 Do là số thuần ảo nên 2 z2 b  0  a  2   b2  2 2 Thay  1 vào  2  ta có 4  6b  2a  0  a  3b  2 thay vào  1 ta có  b  0( L)  3b  2   b  4  6b  0  10b  6b  0   3 1 b a  5 5 2 2 2 Vậy có một số phức cần tìm. Câu 10. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z.z  z  2 và z  2? A. 2 . B. 3 . C. 1. Lời giải D. 4 . Đặt z  x  yi ( x ; y   ; i 2  1 ).  x 2  y 2  x  yi  2  4  x  yi  2 Theo bài ra ta có:   2 2 x y 4 x2  y 2  2   4  x  2  y 2  4  x  2  2  2  x  y  4  y0 Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán là z  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 11. (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i 5  z  i 5  6 , biết z có môđun bằng A. 3 5? B. 4 D. 0 C. 2 Lời giải Chọn B Gọi z  a  bi  a, b  , i 2  1 Ta có 2  2 2  z i 5  z i 5  6   a  b 5  a  b 5   2  z  5  2  a b  5 4   2 16 a a  2 2  36a  16b  144 5   5  2    2 9 3 a  b  5 b 2  b    5  5 Vậy có 4 số phức thỏa mãn.  Câu 12.    2 6 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1  z2  2 và z1  2 z2  4 . Giá trị của 2z1  z2 bằng A. 2 6 . B. 6. C. 3 6 . D. 8 . Lời giải Giả sử z1  a  bi , ( a , b   ); z2  c  di , ( c , d  ). Theo giả thiết ta có: a 2  b 2  4 a 2  b 2  4  z1  2     c 2  d 2  4  c 2  d 2  4  z2  2  2 2   2 2 2 2  a  2c    b  2d   16  z1  2 z2  4 a  b  4  c  d   4  ac  bd   16 1  2  3 Thay 1 ,  2  vào  3 ta được ac  bd  1  4  . Ta có 2z1  z2  2  2a  c    2b  d  2  4  a 2  b 2    c 2  d 2   4  ac  bd   5 . Thay 1 ,  2  ,  4  vào  5  ta có 2 z1  z2  2 6 . Câu 13. Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Môđun của số phức w  1  z  z 2 bằng A. w  445 . B. w  425 . C. w  37 . D. w  457 Lời giải Đặt z  a  bi  a  , b    . Khi đó: z  2 z  7  3i  z  a 2  b 2  2a  2bi  7  3i  a  bi Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  b  3    5  a 7  2 2 a  b  3a  7   b  3  i  0   4 (a  ) .  3  b3      a  4  Do a   nên a  4  z  4  3i  w  4  21i  w  457 Câu 14. Cho số phức z  a  bi  a, b    thoả mãn z  4 i  z  2i  5 1  i  . Tính giá trị của biểu thức T  ab. A. T  2 . C. T  1 . B. T  3 . D. T  1 . Lời giải z  4 i  z  2i  5 1  i   a  bi  4 i  a  bi  2i  5 1  i   a  4  bi  5   a   b  2  i  5 1  2 2 2 Từ 1 và  2  , ta có a  4  bi  a   b  2  i   a  4   b 2  a 2   b  2   b  2a  3 .  a  4  2  b 2  5 a  2 Kết hợp với 1 , ta được:   b  1 b  2a  3 Vậy T  a  b  3 . 2 Câu 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3  2i z  0 . A. 4 C. 2 Lời giải B. 3 D. 6 Chọn A z  0 2 z 3  2i z  0  z 3  2iz z  0  z  z 2  2iz   0   2  z  2iz  0 2 Gọi z  x  yi  z  x  yi với x, y  thay vào  2  có:  x  0  x2  y2  2 y  0  2  x  y  2 y  0    y  2 y  0 2 2 x  y  2 y  2x  y  1 i  0     x  0  y  1 2 x  y  1  0   y  1      x 2  3  0 2 2 x  y  0    x  0 z  0  y  2  z  2i      x   3   z   3 i     y  1  z  3  i    x  3   y  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy phương trình có 4 nghiệm Câu 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa z  1  2i  z  3  4i và A. 0 . C. 1. Lời giải B. Vô số. z  2i là một số thuần ảo z i D. 2 . Đặt z  x  yi ( x, y   ) Theo bài ra ta có x  1   y  2 i  x  3   4  y  i 2 2 2 2   x  1   y  2    x  3   y  4   y  x  5 Số phức w  2 z  2i x   y  2  i x   y  2  y  1  x  2 y  3 i   2 x  1  y  i z i x 2   y  1 12  x 2   y  2  y  1  0  x   2  7 w là một số ảo khi và chỉ khi  x 2   y  1  0  y  x 5  y  23  7  12 23 Vậy z    i .Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn. 7 7 Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  (2  i )  10 và z.z  25 . B. 3 . A. 2 . C. 1. Lời giải D. 4 . Gọi số phức cần tìm là z  a  bi  a, b    . 2 Ta có: z.z  z  a 2  b 2  25 Lại có: (1) . z  (2  i )  10  a  2  (b  1)i  10  ( a  2) 2  (b  1) 2  10  ( a  2) 2  (b  1) 2  10  a 2  b 2  4a  2b  5  10 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b  5  10  b  2a  10 . Nên a 2  b 2  25  a 2  (2a  10) 2  25 a  5 b  0  5a 2  40a  75  0    a  3 b  4 Vậy Vậy có 2 số phức z thoả mãn là z  5 và z  3  4i . Câu 18. (THPT Chuyên  2 Đại Học  1? z 1  z  z i  z  z i A. 4 2019 Vinh 2019) Có bao nhiêu C. 1 Lời giải B. số phức z D. 3 Chọn D Gọi z  a  bi ;  a, b     z  a  bi . 2 2 2 Ta có: z  1  a  bi  1   a  1  b 2 , z  z i  a  bi  a  bi i    2b  2  i 2019  i , z  z i 2019  i  a  bi  a  bi   2ai . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ i2b i, thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 Suy ra phương trình đã cho tương đương với:  a  1  b  2 b i  2ai  1  a  0   b  0  b  0 2 2 2 2 2  a  1  a  1  b  1 a  2a  b  0  2 b  2 b  0         b  1     b  1  a  b  a  b  2 b  2a  0  a  b  a  1  b  1 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn. 2 Câu 19. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z và z 2 là số thuần ảo A. 4 C. 3 Lời giải B. 2 D. 5 Gọi số phức z  a  bi , a , b   . 2 Ta có z  z  z  z  z  a 2  b 2  2a  2bi  a 2  b2  2 a  2 b 1 . 2 Lại có z 2   a  bi   a 2  b 2  2abi là số thuần ảo, suy ra a 2  b 2  0  a  b Trường hợp 1: a  b thay vào 1 ta được: a 0 a  0 a  b  0 .  2a 2  4 a      a  2  a  b  2  a  2 Trường hợp 2: a  b thay vào 1 ta được: a 0 a  0 b  0  2a 2  4 a    .   a  2 b  2  a  2 Vậy có 5 số phức thỏa mãn bài toán là z  0 , z  2  2i , z  2  2i . 2 Câu 20. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3  2i z  0 . A. 4 C. 2 Lời giải B. 3 D. 6 Chọn A z  0 2 z 3  2i z  0  z 3  2iz z  0  z  z 2  2iz   0   2  z  2iz  0 2 Gọi z  x  yi  z  x  yi với x, y  thay vào  2  có:  x  0  x2  y2  2 y  0  2  x  y  2 y  0    y  2 y  0 2 2 x  y  2 y  2x  y  1 i  0     x  0  y  1   y  1 2 x  y  1  0      x 2  3  0 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 x  y  0    x  0 z  0  y  2  z  2i     x   3   z   3 i     y  1  z  3  i  x  3     y  1 Vậy phương trình có 4 nghiệm Câu 21.  a, b    thỏa mãn  a, b    thỏa mãn (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho số phức z  a  bi   z  3  z  1 và  z  2  z  i là số thực. Tính a  b . A. 2 . B. 0. C. 2. Lời giải D. 4. Ta có z  a  bi  a, b    . +) z  3  z  1  a  3  bi  a  1  bi  2  a  3 2  b2   a  1 2  b2 2   a  3  b 2   a  1  b 2  4a  8  0  a  2 .   +)  z  2  z  i   a  bi  2  a  bi  i    a  2   bi   a   b  1 i   a  a  2   b  b  1   a  2b  2  i .  z  2  z  i  là số thực  a  2b  2  0 . Thay a  2 tìm được b  2 . Vậy a  b  0 . Câu 22. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z  a  bi z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S  6 . B. S  6 . C. S  5 . Lời giải  D. S  5 .  Ta có z  1  3i  z i  0   a  1  b  3  a 2  b 2 i  0 . a  1 a  1  0    2 2 2 b  3  a  b  0  1  b  b  3 * .  b  3 4  b  3 *   2 4 b . 2   3 1  b   b  3 b   3  a  1  Vậy  4  S  2a  3b  6 . b   3  z1  z2  z3  0  Câu 23. Cho ba số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn  2 2 . Tính  z1  z2  z3  3  2 2 A  z1  z2  z2  z3  z3  z1 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 2 2 . 3 8 . 3 Lời giải B. 2 2 . C. D. 3 . 8  z1  z2   z3  z1  z2  z3  0   z1  z3   z2 . z  z  z 1  3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A  z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1   z2   z3  z1  z2  z3 Câu 24. 2 2 2 8  3.    .  3  3 (THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2 – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  5i  5 và z.z  82 . Tính giá trị của biểu thức P  a  b . A. 10 . B. 8 . C. 35 . D. 7 . Lời giải   a  2 2   b  5 2  5 a  5b  43 1 2 Theo giả thiết ta có   2 2 2 2 a  b  82  2  a  b  82  b  9 Thay 1 vào  2  ta được 29b 2  430b  1521  0   b  169 29  Vì b   nên b  9  a  1 . Do đó P  a  b  8 . Câu 25. (Đồng Tháp – 2018) Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . B. P  A. P  3 . 3 . 2 C. P  2 . D. P  2 . Lời giải Đặt z  x  yi với x , y   . Ta có: 2 z  i  2  iz  2 x   2 y  1 i  2  y  xi  x 2  y 2  1 . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường tròn  O;1  z1  z2  1 . 2 2  2 Ta có: z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2  P 2 3 P  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Cho số phức z thoả mãn 1 i z là số thực và z  2  m với m   . Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  1 A. m0   0;  .  2 1  B. m0   ;1 . 2  3  C. m0   ; 2  . 2  Lời giải  3 D. m0  1;  .  2 Giả sử z  a  bi,  a, b    . a b 1 i 1 i 1 ab i.  2 2  a  b   a  b  i   2  2  2 a  b a  b2 a  bi a  b z w là số thực nên: a  b 1 . Đặt: w  2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  . 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  2a 2  4a  4  m 2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhất.  3    0  4  2 4  m2  0  m2  2  m  2  1;  (Vì m là mô-đun).  2 Trình bày lại   Giả sử z  a  bi, vì z  0 nên a 2  b 2  0 * . 1 i 1 i 1 ab a b i.  2 2  a  b   a  b  i   2  2  2 a  bi a  b a  b a  b2 z w là số thực nên: a  b 1 .Kết hợp * suy ra a  b  0 . Đặt: w  2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  .(Vì m là mô-đun nên m  0 ). 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  g  a   2a 2  4a  4  m 2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a  0 duy nhất. Có các khả năng sau : KN1 : PT  3 có nghiệm kép a  0 2   0 m  2  0 ĐK:   m 2. 2  g  0   0 4  m  0 KN2: PT  3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a  0 m2  2  0   0 ĐK:    m  2. 2 4  m  0  g  0   0  3 Từ đó suy ra m0  2  1;  .  2 Câu 27. (Chuyên Quang Trung – 2018) Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m  S có đúng z một số phức thỏa mãn z  m  6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z4 A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 1: Gọi z  x  iy với x, y   ta có  x  iy  x  4  iy   x  x  4   y 2  4iy z x  iy   2 2 z  4 x  4  iy  x  4  y2  x  4  y2 2 là số thuần ảo khi x  x  4   y 2  0   x  2   y 2  4 2 Mà z  m  6   x  m   y 2  36 Ta được hệ phương trình  36  m 2 x    x  m   y 2  36  4  2m  x  36  m 2 4  2m    2    2 2 2 2 2  y 2  4   36  m  2   y  4   x  2   x  2   y  4     4  2m   2 2  36  m 2  36  m 2 36  m 2  2  0  2  Ycbt  4    2 hoặc 2  2 4  2m 4  2m  4  2m   m  10 hoặc m  2 hoặc m  6 Vậy tổng là 10  2  6  6  8 . Câu 28. (Cần Thơ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  4  1  i  z   4  3 z  i . Môđun của số phức z bằng A. 2 . B. 1 . C. 16 . Lời giải D. 4 . Giả sử z  a  bi  a, b    . Ta có: z  4  1  i  z   4  3 z  i  z 1  3i   4  4i  1  i  z   a  bi 1  3i   4  4i  1  i  a 2  b 2  a  3b  4   3a  b  4  i  a 2  b 2  a 2  b 2 i a  3b  4  a 2  b2 a  3b  4  a 2  b 2 5b  8  5b 2  16b  16    a  2b  4 a  2b  4 3a  b  4  a 2  b2 8  b   5  5b  8  0  b  2  N  b  2   2  20b  64b  48  0    .  b   6  L  a  0 a  2b  4  5   a  2b  4  Vậy z  2 . Câu 29. (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b  , a  0  thỏa z.z  12 z   z  z   13  10i . Tính S  a  b . A. S  17 . B. S  5 . C. S  7 . Lời giải D. S  17 . Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 z.z  12 z   z  z   13  10i  a 2  b 2  12 a 2  b 2  2bi  13  10i   a 2  25  13   a  b  12 a  b  13 a  25  12 a  25  13      a 2  25  1VN  2b  10 b  5  b  5 2 2 2 2 2 2 a  12 a  12 , vì a  0 .   b  5 b  5 Vậy S  a  b  7 . Câu 30. (Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh – 2018) Cho số phức z  0 thỏa mãn iz   3i  1 z 1 i 2  z . Số phức 13 w  iz có môđun bằng 3 A. 26 . B. 26 . C. 3 26 . 2 D. 13 . Lời giải Gọi z  a  bi  a, b    . Suy ra z  a  bi . Ta có iz   3i  1 z 1 i 2  z  i  a  bi    3i  1 a  bi  1 i  a 2  b2  ai  b  3ai  3b  a  bi  a 2  b2  a 2i  b2i   a 2  b2  2a  b  i   a 2  b2  4b  a   0 2 2 a  b  2a  b  0  2 2 a  b  a  4b  0 b  0, a  0 z  0 26b 2  9b  0 45 9  (Vì z  0 ). z i     9  45  45 9 b  z  26 26 ,a  i a  5b 26 26 26 26   Với z  Câu 31. 45 9 15 3 3 26 i w  i w  . 26 26 2 2 2 (Toán Học Tuổi Trẻ – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1 , z2  2 và z1  z 2  3 . Giá trị của z1  z2 là C. 2 . Lời giải Giả sử z1  a1  b1i,  a1 , b1    , z2  a2  b2i,  a2 , b2    . A. 0 . B. 1 . D. một giá trị khác. Theo bài ra ta có: a12  b12  1  z1  1 a12  b12  1     a22  b22  4 .  a22  b22  4  z2  2  2a a  2b b  4  2 2 1 2  a1  a2    b1  b2   9  z1  z2  3  1 2 Khi đó, ta có: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z1  z2  2  a1  a2    b1  b2  2 a 2 1   b    a  b    2a1a2  2b1b2   1 . 2 1 2 2 2 2 Vậy z1  z2  1 . Câu 32. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – Sóc Trăng – 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b  R  thỏa mãn z  7  i  z  2  i   0 và z  3. Tính P  a  b. 1 B.  . 2 A. 5 . C. 7 . 5 . 2 D. Lời giải 2 2 2 2 a  7   b  1 i  2 a  b  a  b i  0 a  7  2 a 2  b 2 1   2  a  b 2  b  1  2   a  7  2  b  1  a  2b  5 thế vào (2). b  1  b  1 2  b  4 2 2 b  5  b  b  1      2  4b  22b  24  0  b  3   2 TH1: b  4  a  3  z  5  3. (loại) 3 5  a  2  z   3. (nhận). 2 2 1 P  ab   . 2 TH2: b  Câu 33. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: 2 2 z1  2 3 , z2  3 2 . Hãy tính giá trị biểu thức P  z1  z2  z1  z2 . C. P  30 2 . Lời giải B. P  20 3 . A. P  60. D. P  50 . Đặt z1  a  bi , z2  c  di  a, b, c, d     z1  2 3 a 2  b 2  12 Theo đề:   2 2 c  d  18  z2  3 2 Vậy 2 P  z1  z2  z1  z2 2 2 2 2 2   a  c    b  d    a  c    b  d   2  a 2  b 2  c 2  d 2   60 Câu 34.  x , y   (Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh – 2018) Cho số phức w  x  yi , thỏa mãn điều kiện w2  4  2 w . Đặt P  8  x 2  y 2   12 . Khẳng định nào dưới đây đúng?  2  2  A. P   w  2 . 2  2 B. P   w  2 . 2 C. P    w  4  .  2  2 D. P   w  4 . Lời giải 2 Ta có w2  4   x  yi   4  x 2  y 2  2 xyi  4  w2  4  x 2 2  y2  4  4 x2 y2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Do đó x w2  4  2 w  2 2   x  y  2x y  8 x  y   16  4 x y  4  x  y   x  y  2 x y  4  x  y   4  8  x  y   12  0   x  y   4  x  y   4  8  x  y   12  0   x  8  x  y   12    x  y  2   P    w  2  . 4 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2   y 2  4   4 x 2 y 2  2 x 2  y 2  x2  y 2  4  4 x2 y 2  4 x2  y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 2  y 2  2   8  x 2  y 2   12  0 2 2 Câu 35. Số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  8 i  z  6i  5 1  i  . Tính giá trị biểu thức P  a  b . A. P  1 . B. P  14 . D. P  7 . C. P  2 . Lời giải Chọn D Ta có: z  8 i  z  6i  5 1  i   a  bi  8 i  a  bi  6i  5 1  i  .  a  8  bi i  a   b  6  i  5 1  i    a  8 2 2  b2 .i  a 2   b  6   5.i  5   a  8 2  b 2  5    a 2   b  6 2  5   a 2  16a  64  b 2  25  2 2  a  b  12b  36  25 2 2 a  b  16a  39 1  2 2 . a  b  12b  11  2  Lấy 1   2  ta được: 16a  12b  28  0  a  3b  7 3 . 4 2  3b  7  2 2 Thế  3 vào  2  ta được:    b  12b  11  25b  150b  225  0  b  3  a  4.  4  Vậy P  a  b  7 . Câu 36. (Chuyên 2 Đại học   z  1  z  z i z  z i A. 4 . Vinh 2019 2019) Có bao nhiêu số phức 1? B. 2 . C. 1. Lời giải D. 3 . Chọn D Đặt z  a  b i ta được 2   z  1  z  z i  z  z i 2019  1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ z thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  a  b i 1  a  b i a  b i i  a  b i a  b i  i 2019  1 (ta có i 2019  i 2016 3   i 4  504 .i3   i ). 2   a  1  b 2  2 b i  2a i  1  a 2  2a  b 2  2 b i  2a i  0  a 2  2 a  b 2  0   2 b  2 a  0 a 2  2a  b 2  0   a  0 b 2  a 2   a 2  2a  a 2  0   a  0 b2  a 2  a  0, b  0   b  1 a  1,  b  1    Suy ra có ba số phức thỏa mãn phương trình z1  0, z2  1  i, z3  1  i . Câu 37. (Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1 . Tính P  a  b . B. P  1. A. P  3 . C. P  5 . D. P  7 . Lời giải Chọn D Từ giả thiết z  2  i  z 1  i   0  a  bi  2  i  a 2  b2 1  i   0 . a  2  a 2  b 2  0 (1)  a  2  a2  b2  b  1  a 2  b2 i  0   . b  1  a 2  b 2  0 (2)     Lấy 1   2  ta được a  b  1  0  b  a  1. Thay vào phương trình 1 ta được a  2 a  2 2 a  2  a 2   a  1  0  2a 2  2a  1  a  2   2 2   2 2a  2a  1   a  2  a  2a  3  0 a  2  a  1  .    a  1   a  3 a  3  + Với a  1  b  0  z  1  z  1 (loại) + Với a  3  b  4  z  3  4i  z  5 (thỏa mãn). Vậy P  a  b  7 . Câu 38. (Sở GD Kon Tum – 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  1  i và 2   z 2 z z 5? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn C Đặt z  a  bi ( a, b  R ). Ta có 2 2 2 z  2  3i  z  1  i   a  2    b  3   a  1   b  1 2 6a  11 2 (1); z  2 z  z  5  a 2  b 2  4a  5 (2) 8  31  4 371 2 a   6a  11  4a  5  100a 2  124a  199  0   50 Thế (1) vào (2) ta có: a 2  64  31  4 371 a  50  Suy ra có hai số phức z thỏa yêu cầu bài toán.   6a  8b  11  0  b  Câu 39. (Chuyên Bắc  Giang 2019) Cho số phức  z  a  bi  a, b  , a  0  thỏa  z.z  12 z  z  z  13  10i . Tính S  a  b . A. S  17 . B. S  5 . C. S  7 . Lời giải D. S  17 . Chọn C   Từ giả thiết z. z  12 z  z  z  13  10i  a 2  b 2  12 a 2  b 2   a  bi  a  bi   13  10i  a 2  b 2  12 a 2  b 2  13 (1) .  a 2  b 2  12 a 2  b 2  2bi  13  10i   (2)  2b  10   Từ (2) suy ra b  5 thay vào (1) ta được a 2  25  12 a 2  25  13 .  t  1  loaïi Đặt t  a 2  25  0 khi đó ta có phương trình t 2  12t  13  0   .  t  13  thoûa maõn  Với t  13  a 2  25  13  a 2  144  a  12 (vì a  0 ). Vậy S  a  b  12  5  7 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 5. B. 9. C. 25. D. 5. Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi  x, y    . 2 2   z  3  4i  5   x  3   y  4   5  Theo giả thiết:  2 2 2 2  z  2  z  i  33  x  2   y 2  x 2   y  1  33 2 2 2 2  x  3   y  4   5  x  3  15  2 x  4   5    y  15  2 x  4 x  2 y  3  33 5 x 2  50 x  125  0  x  5    z  5  5i . y  5  y  15  2 x Vậy z  2  i  3  4i  32  42  5 . Câu 41. (Nho Quan A – Ninh Bình – 2019) Cho số phức  z  1  i  z  i   3i  9 và A. 2 . z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2 . Tính P  a  b . B. 1. C. 3 . Lời giải D. 1. Chọn B z  a  bi  z  a  bi ; z  a 2  b2 . Theo bài ra ta có: z  2  a 2  b 2  2 (*).  z  1  i  z  i   3i  9   a  1   b  1 i   a   b  1 i   3i  9 2  a  a  1   b  1   b  1 i  9  3i b  2 2 b  2  a  0; b  2. a  a  1   b  1  9    2  a  0    a  1; b  2. a  a  0   b  1  3    a  1 TH a  0 ; b  2 loại do không thỏa mãn (*). TH a  1 ; b  2 thỏa mãn nên P  a  b  1 . Câu 42. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3 , z1  z2  3 2 và z1  iz2  6 . Biết z2  z1 , tính z2 . A. 3 7 . B. 3 5 . C. 3 2 . D. 3 3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có: z1  z2  3 2  z1  z2 z1 Ta lại có: z1  iz2  6  1  i Từ (1), (2) suy ra: 1  1 i  2  1 z2  2 (1). z1 z z2  2 (2). Ta gọi 2  x  yi ; x , y   . z1 z1 z2 2  2  1  x   y 2  2 . z1 z2 2  2  1  y   x 2  4 . z1 2 2  y  1 1  x   y  2  y  1 hay  . Ta có hệ phương trình   2 2 x  2 1  y   x  4  x  0 z Vậy: 2  0  i  z2  z1 (loại). z1 z2  2  i  z2  z1 . 5  3 5 (nhận). z1  5 Câu 43. Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z  0 thỏa mãn  z   i  7  z .  z   A. 3 . B.  2 . C.  3 . D. 2 . Lời giải Chọn A Đặt z  a  bi  a, b    .  5 Theo giả thiết  z   i  7  z  z  a  bi  i  5i  7 z   a  bi  z  0  z   a  b  7  0  a 2  b2  a  b  7    a  b  a 2  b2  5 i  0   2 2  a  b  a  b  5  0   a  b  7 a  b  7  2    2b  7   2b 2  14b  49   25  2  2b  7  2b  14b  49  5  2b  7  0 a  b  7   2b  7  0  2 2  4b  28b  98  49  2b  14b  49   25  0 a  b  7  b   7 b  4  2  .  2 a  3 2b  14b  49  25  2 1 2b  14b  49    loai   2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy có một số phức thỏa mãn điều kiện là z  3  4i có phần thực là 3 . Vậy tổng phần thực của tất cả các số phức z là 3 . Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến số phức có lũy thừa bậc cao, chứa tham số Câu 44. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z  1  i  A. 21009 . B. 22019 . 2019 C. 2 2019 . Lời giải . Phần thực của z bằng D. 21009 . Cách 1: Phương pháp lượng giác  1    1   i   2  cos  i sin  Xét số phức z1  1  i  2  4 4 2    2 Ta có số phức z  z12019  1  i   2 3 3  i sin  cos 4 4  2019  2019  2 2019   cos  2019 2019   i sin  4 4  2019  2 2    i   21009  21009 i    2 2    2 Phần thực của z bằng 21009 . Cách 2: Ta có z  1  i  2019  1 1 (1  i)2020 (4)505   (4)505 (  i)  21009  21009 i 1 i (1  i) 2 2 Phần thực của z bằng 21009 . Câu 45. 2 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – 2018) Số phức z  1  i   1  i   …  1  i  2018 có phần ảo bằng A. 21009  1 . B. 1  21009 . C. 21009  1 . D.   21009  1 . Lời giải 2 z  1  i   1  i   …  1  i  2018 2018 1  i   1  1  i 21009 i  1  1  i    i 1  i   1  1  i   21009  i   21009  1   21009  1 i .  z có phần ảo bằng 21009  1 . Câu 46. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Gọi T là tổng phần thực, phần ảo của số phức w  i  2i 2  3i 3  …  2018i 2018 . Tính giá trị của T. A. T  0. B. T  1. C. T  2. D. T  2. Lời giải w  i 1  2i  3i 2  …  2018i 2017  Xét f ( x)  x  x 2  x3  …  x 2018  x f ‘( x)  1  2 x  3 x 2  …  2018 x 2017  w  i 1  2i  3i  …  2018i 2 2017  x 2018  1 x 2019  x  x 1 x 1  2019 x 2018  1 ( x  1)   x 2019  x  ( x  1) 2  2019i  i. f (i )  i 2018  1 (i  1)   i 2019  i  (i  1) 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2020(i  1)  2i  1010  1009i 2i T  1010  1009  1 . i  z  z 2  z3  1 . Tính giá trị biểu thức Câu 47. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn hệ  1  z1  z2  z3  1 S  z12019  z22019  z32019 . B. S  22019 . A. S  1 . C. S  1 . Lời giải D. S  22019 . Chọn C Đặt 1 : z1  z2  z3  1 ,  2  : z1  z2  z3  1 . Gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 . Từ 1  OA  OB  OC  1  Đường tròn  C  tâm O , bán kính R  1 ngoại tiếp ABC . Gọi G , H lần lượt là trọng tâm, trực tâm ABC .   z z z Vì G là điểm biểu diễn số phức 1 2 3 mà OH  3.OG nên từ  2   H 1;0  . 3 Dễ thấy H   C  nên ABC vuông. Giả sử ABC vuông tại C  C 1;0   z3  1 .  z1  z2  0  z1   z 2  z12019   z22019  z12019  z22019  0 . Vậy S  1 . Câu 48. Tính S  i  2i 2  3i 3  …  2019i 2019 A. S  1010  1010i . B. S  1010  1010i . C. S  2019i . Lời giải Chọn A D. S  1010  1010i . S  i  2i 2  3i 3  …  2019i 2019  i  2  3i  4  …  2016  2017i  2018  2019i   4  8  …  2016    2  6  …  2018   i  5i  …  2017i    3i  7i  …  2019i    4  8  …  2016    2  6  …  2018   i  5i  …  2017i    3i  7i  …  2019i   4  2016  2016  4  2  2018  2018  2   1   1   2 4 2 4      1  2017  2017  1  3  2019  2019  3   1 i   1 i   2 4 2 4      1010  1010i. Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z 2  z  1  0 . Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1  1  1    P   z     z 2  2   …   z 2019  2019  . z  z  z    A. P  4038 . B. P  2019 . C. P  673 . Lời giải D. P  6073 . Chọn A Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  z 3n  1  Ta có z 2  z  1  0   z  1  z 2  z  1  0  z 3  1   z 3n 1  z .  z 3n  2  z 2  2 2019 1  2019  1 1  2019   Mà P    z k  k     z 2 k  2 k  2     z 2 k  2 k z  z z  k 1  k 1  k 1     2.2019  Ta có z 2  z  1  z 2  z 4  z 6  …  z 4034  z 4036  z 4038  0 , 1 1 1 z2  z4  z6 z2  z 1     0 z6 z6 z2 z4 z6 Tương tự 1 1 1 1 1 1  10  12  …  4034  4036  4038  0 8 z z z z z z Vậy P  4038 . Câu 50. (THPT Chu Văn An – Hà Nội – 2018) Khai triển của biểu thức  x 2  x  1 2018 được viết thành a0  a1 x  a2 x 2  …  a4036 x 4036 . Tổng S  a0  a2  a4  a6  …  a4034  a4036 bằng A. 21009 . B. 21009 . C. 0 . D. 1 . Lời giải x 2  x  1 2018 2  a0  a1 x  a2 x  …  a4036 x 4036 . Thay x  i với i 2  1 ta được: 1009  1  a0  a1i  a2i 2  a3i 3  …  a4034i 4034  a4035i 4035  a4036i 4036 . Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được: 1  a0  a2  a4  a6  …  a4034  a4036 . Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay 2018 bằng 2 , 4 để tính trực tiếp S . Câu 51. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4  z . Số phần tử của S là A. 7 . B. 6 . D. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi ,  a, b    thì z  a 2  b 2 và 2 4 2 z 4   a  bi    a 2  b 2  2abi    a 2  b 2   4a 2b 2  4ab  a 2  b 2  i . 2 Ta có z 4  z   a 2  b 2   4a 2b 2  4ab  a 2  b 2  i  a 2  b 2 . 4ab  a 2  b 2   0, 1  Suy ra  2 2 2 2 2 2 2  a  b   4a b  a  b ,  2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 a  0  Xét 1  b  0 .  a 2  b 2 Với a  0 thì từ  2   b 4  b  b  0, b  1, b  1 ta được z  0; z  i; z  i . Với b  0 thì từ  2   a 4  a  a  0, a  1, a  1 ta được z  0; z  1; z  1 . Với a 2  b 2 thì từ  2   4a 4  2a 2  a 2  a  0 , b  0 z  0 ta được z  0 . Vậy S  0;1;  1; i;  i . Câu 52. (Mã 104 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . D. 3 . C. 1. Lời giải Chọn A  x 2  y 2  1 (1)  Gọi z  x  yi , ( x, y   ) , ta có hệ  2 2 2  x  3   y  1  m (m  0)   Ta thấy m  0  z  3  i không thỏa mãn z.z  1 suy ra m  0 . Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn 1 là đường tròn (C1 ) có O(0; 0), R1  1 , tập hợp các điểm thỏa mãn  2 là đường tròn (C2 ) tâm I   3; 1 , R2  m , ta thấy OI  2  R1 suy ra I nằm ngoài (C1 ) . Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C1 ), (C2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI  R1  R2  m  1  2  m  1 hoặc R2  R1  OI  m  1  2  3 Câu 53. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh – 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức m  2i z có phần thực dương m  2i  m  2 A. m  2 . . C. 2  m  2 . B.  D. m  2 . m  2 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải m  2i  m  2i  m  2i  m 2  4 4m   2  2 i. 2 m  2i m 4 m 4 m 4 m  2 Vì z có phần thực dương  m 2  4  0   .  m  2 z Câu 54. (Kon Tum – 2019) Cho hai số phức z  3  4i và z ‘   2  m   mi  m    thỏa mãn z ‘  iz . Tổng tất cả các giá trị của m bằng A. 1 . B. 46 . 2 C. 0 . D. 2 . lời giải: Chọn D Ta có z ‘  2  m 2  m 2 và iz  42  32  5 2 vậy ta có phương trình  2  m   m 2  25  2m 2  4m  21  0  m1  m2   4  2 2 Câu 55. Biết rằng z  m 2  3m  3  (m  2)i , với m   , là một số thực. Giá trị của biểu thức P  1  z  z 2  z 3    z 2019 bằng A. 1. B. 2020 . C. 2019 . Lời giải D. 0 . Chọn B Ta có z  m 2  3m  3  ( m  2)i là một số thực khi m  2  0  m  2 . Với m  2  z  1 , thay vào biểu thức P , ta được: P  1  1  12  13    12019  2020.  là số thực và z  2  m với m   . z Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  1 A. m0   0;  .  2 1  B. m0   ;1 . 2  3  C. m0   ; 2  . 2  Lời giải  3 D. m0  1;  .  2 Giả sử z  a  bi,  a, b    . Đặt: w  1 i 1 i 1 ab ab  2  a  b   a  b  i   2  2  i. 2  2 a  bi a  b z a  b a  b2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 w là số thực nên: a  b 1 . 2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  . 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  2a 2  4a  4  m 2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhất.  3    0  4  2 4  m2  0  m2  2  m  2  1;  (Vì m là mô-đun).  2 Trình bày lại   Giả sử z  a  bi, vì z  0 nên a 2  b 2  0 * . 1 i 1 i 1 ab a b   2 2  a  b   a  b  i   2  2 i. 2 z a  bi a  b a  b a  b2 w là số thực nên: a  b 1 .Kết hợp * suy ra a  b  0 . Đặt: w  2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b2  m2  2  .(Vì m là mô-đun nên m  0 ). 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  g  a   2a 2  4a  4  m 2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a  0 duy nhất. Có các khả năng sau : KN1 : PT  3 có nghiệm kép a  0 2   0 m  2  0  m 2. ĐK:  2  g  0   0 4  m  0 KN2: PT  3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a  0 m2  2  0   0   m  2. ĐK:  2  g  0   0 4  m  0  3 Từ đó suy ra m0  2  1;  .  2 Câu 57. (Chuyên Quang Trung – 2018) Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m  S có đúng z một số phức thỏa mãn z  m  6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z4 A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Lời giải Cách 1: x  iy  x  4  iy  x  x  4   y 2  4iy  z x  iy    Gọi z  x  iy với x, y   ta có 2 2 z  4 x  4  iy  x  4  y 2  x  4  y2 2 là số thuần ảo khi x  x  4   y 2  0   x  2   y 2  4 2 Mà z  m  6   x  m   y 2  36 Ta được hệ phương trình  36  m 2 x    x  m   y 2  36  4  2m  x  36  m 4  2m    2    2 2 2 2 2  x  2   y  4  y 2  4   36  m  2   y  4   x  2      4  2m   2 2 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 2  36  m  36  m 36  m 2  2  0  2  Ycbt  4    2 hoặc 2  2 4  2m 4  2m  4  2m   m  10 hoặc m  2 hoặc m  6 Vậy tổng là 10  2  6  6  8 . Cách 2:  x  m 2  y 2  36 Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt  có đúng một nghiệm 2 2  x  2   y  4 2 2 Nghĩa là hai đường tròn  C1  :  x  m   y 2  36 và  C2  :  x  2   y 2  4 tiếp xúc nhau. Xét  C1  có tâm I1  2;0  bán kính R1  2 ,  C2  có tâm I 2  m;0  bán kính R2  6 m2  4  I1 I 2  R1  R2 Cần có:    m  6; 6;10; 2 .  m  2  6  I1 I 2  R1  R2 Vậy tổng là 10  2  6  6  8 . Câu 58. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z  z  z  z  2 và     z z  2  z  z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là A. 1. B. 1 . 2 3 . 2 Lời giải C. D. 3 . 2 Chọn C *) z  x  yi , x , y    z  z  z  z  2  2 x  2 yi  2  x  y  1 .     *) z z  2  z  z  m  x 2  y 2  2 yi  m là số thuần ảo  x2  y 2  m  m  0  .  x  y  1 Để tồn tại 4 số phức z thì hệ phương trình  2 (*) có 4 nghiệm phân biệt. 2  x  y  m Hệ (*) có 4 nghiệm thì đường tròn tâm O bán kính m phải cắt các đường thẳng x  y  1 tại 4 điểm phân biệt. Các đường thẳng x  y  1 đôi một cắt nhau tạo thành 1 hình vuông như trên đồ thị. Để đường tròn  C  : x2  y 2  m cắt các đường thẳng x  y  1 tại 4 điểm thì đường tròn sẽ là đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp hình vuông với các bán kính tương ứng r  1 và bán kính 2 1  m 3 R  1 . Hay  2 . Suy ra tổng các giá trị m cần tìm là .  2 m  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TẬP HỢP ĐIỂM SỐ PHỨC Chuyên đề 34 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng toán. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn điều kiện K cho trước ? Bước 1. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Bước 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận. Mối liên hệ giữa x và y Ax  By  C  0. 2  x  a    y  b 2 Là đường thẳng d : Ax  By  C  0 . 2  R 2 hoặc x  y  2ax  2by  c  0. 2 2 2  R 2 hoặc Là hình tròn tâm I  a; b  và bán kính R  a2  b2  c . 2 x  y  2ax  2by  c  0. 2 Là đường tròn tâm I  a; b  và bán kính R  a2  b2  c . 2  x  a    y  b Kết luận tập hợp điểm M  x; y  2 R12   x  a    y  b   R22 . Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I  a; b  và bán kính lần lượt R1 và R2 . y  ax 2  bx  c,  a  0  .    b Là một parabol có đỉnh S   ;   .  2a 4a  x2 y2   1 với MF1  MF2  2a và a b F1 F2  2c  2a . Là một elíp có trục lớn 2a, trục bé 2b và tiêu cự x2 y2   1 với MF1  MF2  2a và a b F1 F2  2c  2a . Là một hyperbol có trục thực là 2a, trục ảo là 2b MA  MB . Là đường trung trực đoạng thẳng AB. 2c  2 a 2  b 2 ,  a  b  0  . và tiêu cự 2c  2 a 2  b 2 với a, b  0 .  Lưu ý Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách: Trực tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn tính chất K. Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  f  z  mà số phức z thỏa mãn tính chất K nào   đó, chẳng hạn: f z , z , z  0,… Dạng 1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn Câu 1. (Mã 102 2018) Xét các số phức z thỏa mãn  z  3i  z  3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Câu 2. 9 2 B. 3 2 C. 3 D. 3 2 2 (Mã 103 2018) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 2 Câu 3. B. 4 (Mã 104 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  A. 44 . Câu 4. D. 2 2 C. 5  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z C. 2 13 . B. 52 .  D. 2 11 .  (Mã 104 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z  2i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng? A. Câu 5. 2 C. 4 B. 2 D. 2 2 (Đề Minh Họa 2017) Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó A. r  22 Câu 6. C. r  5 B. r  4 D. r  20   (Đề Tham Khảo 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. 1;1 Câu 7. B.  1;1 C.  1; 1  D. 1; 1  (Mã 101 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. Câu 8. 3 2 B. 1 A. 26 . D. 5 2 4  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z B. 34 . C. 26 . D. 34 . (Mã 102 – 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  A. 2 5 . Câu 10. 5 4 (Mã 101 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  Câu 9. C. 3  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z B. 20 . C. 12 . D. 2 3 . (Mã 103 – 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 10 . Câu 11. B. C. 2 . 2. (THPT Gia Lộc Hải Dương -2019) D. 10 . Cho số phức z thỏa mãn z  2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó? A. I  3;  2 . Câu 12. C. I  3;2 . D. I  3;  2  . (ĐỀ MẪU KSNL ĐHQG TPHCM 2019) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z.z  1 là A. một đường thẳng. Câu 13. B. I  3;2 . B. một đường tròn. C. một elip. D. một điểm. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z thỏa z  1  2i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  2 z  i trên mặt phẳng  Oxy  là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I  2; 3 . Câu 14. B. I 1;1 . C. I  0;1 . (Chuyên Sơn La 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức D. I 1;0  . z thỏa mãn z  i  1  i  z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. 1;1 . Câu 15. B.  0; 1 . C.  0;1 . (Quang Trung Đống Đa Hà Nội -2019) Cho số phức z thỏa mãn D.   1; 0  . z  1 . Biết rằng tập hợp i2 các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn  C  . Tính bán kính r của đường tròn  C  . A. r  1. Câu 16. B. r  5. C. r  2. . D. r  3. . (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 là A. đường tròn tâm I (1;2) , bán kính R  9 . C. đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  3 . Câu 17. B. đường tròn tâm I (1;2) , bán kính R  3 . D. đường thẳng có phương trình x  2 y  3  0 . (Sở Thanh Hóa 2019) Xét các số phức z thỏa mãn (2  z )( z  i ) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là: 5  1 A. Đường tròn tâm I 1;  ,bán kính R  . 2 2   1 5  B. Đường tròn tâm I  1;   ,bán kính R  . 2 2  C. Đường tròn tâm I  2;1 ,bán kính R  5 . 5  1 D. Đường tròn tâm I 1;  ,bán kính R  nhưng bỏ điểm A(2;0); B(0;1) . 2  2 Câu 18. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  (1  i) z . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R  2 . B. Đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I(-1; 0), bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R  2 . Câu 19. Tâp hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  i  4 là đường cong có phương trình 2 A.  x  1  y 2  4 Câu 20. 2 B. x 2   y  1  4 2 C.  x  1  y 2  16 2 D. x 2   y  1  16 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  i  4 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là A. I  2;  1 ; R  4 . Câu 21. B. I  2;  1 ; R  2 . C. I  2;  1 ; R  4 . D. I  2;  1 ; R  2 . (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  i  2 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là: A. I  1;1 , R  4 . Câu 22. D. I 1;  1 , R  4 .  2 là một đường tròn tâm I và bán kính R lần lượt là A. I  2; 3  , R  2 . B. I  2; 3 , R  2 . C. I  2;3  , R  2 . D. I  2;3 , R  2 . z2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các z  2i điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng (Chuyên KHTN -2019) Xét các số phức z thỏa mãn A. 1. Câu 24. C. I 1;  1 , R  2 . (Chuyên KHTN 2019) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1  i  z  5  i Câu 23. B. I  1;1 , R  2 . B. 2. C. 2 2 . D. 2 . (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z  m và z  4m  3mi  m2 . A. 4 . Câu 25. B. 6 . C. 9 . D. 10 . (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  i  3 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức w  1  z là A. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  3 . B. Đường tròn tâm I  2; 1 bán kính R  3 . C. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  9 . D. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  3 . Câu 26. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho các số phức z thỏa mãn z  2 5 . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn của số phức w  i   2  i  z cùng thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó? A. r  5 . B. r  10 . C. r  20 . D. r  2 5 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27. Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng B. 11 A. 13 C. 11 2 D. 13 2 Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức   w  1  i 8 z  i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 3 . Câu 29. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5  3i | 5 đồng thời | z1  z2 | 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình Câu 30. A. ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 . B. ( x  10)2  ( y  6)2  16 . 5 3 C. ( x  ) 2  ( y  ) 2  9 . 2 2 5 3 9 D. ( x  ) 2  ( y  ) 2  . 2 2 4 (Chuyên KHTN – 2018). Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I  2; 1 ; R  4 . Câu 31. B. I  2; 1 ; R  2 . C. I  2; 1 ; R  4 . D. I  2; 1 ; I  2; 1 . (Toán Học Tuổi Trẻ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  2i là A. Một đường tròn. C. Một Elip. Câu 32. B. Một đường thẳng. D. Một parabol hoặc hyperbol. (Đồng Tháp 2018) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  1  1  i  2 z là đường tròn  C  . Tính bán kính R của đường tròn  C  A. R  Câu 33. 10 . 9 B. R  2 3 . C. R  7 . 3 D. R  10 . 3 (SGD – Hà Tĩnh – 2018) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z  i  6 là một đường tròn có bán kính bằng: A. 3 . Câu 34. B. 6 2 . C. 6 . D. 3 2 . (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w   2  i  z  3i  5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính của đường tròn trên. A. I  6;  4  , R  2 5 . B. I  6; 4  , R  10 . C. I  6; 4  , R  2 5 . D. I  6; 4  , R  2 5 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 35. (Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng? A. 7 . Câu 36. B. 20 . C. 2 5 . D. 7. (SGD Thanh Hóa – 2018) Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5  3i  5 , đồng thời z1  z2  8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2 5  3 9  A.  x     y    . 2  2 4  2 2 2 2 5  3  D.  x     y    9 . 2  2  2 C.  x  10    y  6   16 . Câu 37. 2 B.  x  10    y  6   36 . (THPT Thái Phiên – Hải Phòng – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z  3i  4  3 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  (12  5i) z  4i là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó. A. r  13 . B. r  39 . C. r  17 D. r  3 . Câu 38. (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  1 . Biết rằng tập hợp   các điểm biểu diễn các số phức w  1  3i z  1  2i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  2 . Câu 39. B. r  1 . C. r  4 . D. r  2 . (THPT Lệ Thủy-Quảng Bình 2017) Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  m  1  3i  4 . Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy . A. m  5; m  3 . Câu 40. B. m  5; m  3 . C. m  3 . D. m  5 . (Cụm 4 HCM 2017 Cho số phức z thỏa mãn z  2  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  1  i  z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  2 . Câu 41. B. r  4 . C. r  2 . D. r  2 2 .   (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội –2018) Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  z  2  i  25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w  2 z  2  3i là đường tròn tâm I  a; b  và bán kính c . Giá trị của a  b  c bằng A. 18 . Câu 42. B. 20 . C. 10 . D. 17 . (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   2  3i   2 . A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường elip. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 43. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1  z  2i và z 1 A. 0 . Câu 44. B. 2 . C. 1. D. 4 .   (SGD Điện Biên – 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  z  4i  z  2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A.  1; 2  . Câu 45. Câu 46. B.  1;2  . C. 1; 2  . D. 1; 2  . (SGD Bắc Ninh 2019) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  1 là A. đường tròn I 1;2  , bán kính R  1 . B. đường tròn I  1; 2  , bán kính R  1 . C. đường tròn I  1;2  , bán kính R  1 . D. đường tròn I 1; 2  , bán kính R  1 . (Sở Hà Nam – 2019) Cho số phức z thảo mãn  z  1  3i  z  1  3i   25 . Biết tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I  a ; b  và bán kính c . Tổng a  b  c bằng A. 9 . Câu 47. C. 2 . B. 3 . D. 7 . (Ngô Quyền – Hải Phòng 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  2. Biết rằng tập hợp   điểm biểu diễn các số phức w  1  3 i z  2 là đường tròn có bán kính bằng R. Tính R. A. R  8 . B. R  2 . C. R  16 . D. R  4 . Câu 48. Cho số phức z thoả mãn z  1  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w   2  3i  z  3  4i là một đường tròn bán kính R . Tính R . A. 5 13 . Câu 49. B. 5 17 . C. 5 10 . D. 5 5 . (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  (1  2i ) z  i là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó. A. r  5 . B. r  10 . C. r  5 . D. r  2 5 . Câu 50. Cho số phức z có môđun bằng 2 2 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w  1  i  z  1  i là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R . Tổng a  b  R bằng A. 5 . Câu 51. B. 7 . C. 1. D. 3 . (SP Đồng Nai – 2019) Cho số phức z thoả mãn z  3 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức w  z  i là một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó. A. I  0;1 . B. I  0;  1 . C. I  1;0  . D. I 1;0  . Dạng 2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng Câu 52. (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  z  i là một đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y  3  0 . B. 2 x  4 y  13  0 . C. 4 x  2 y  3  0 . D. 2 x  4 y  13  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 53. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2 . Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z . A. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . B. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . C. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . D. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . Câu 54. Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  2  i  z  3i là đường thẳng có phương trình A. y  x  1 . Câu 55. B. y   x  1 . C. y   x  1 . D. y  x  1 . (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  2i là đường thẳng có phương trình A. x  2 y  1  0 . B. x  2 y  0 .  C. x  2 y  0 . D. x  2 y  1  0 .  Câu 56. Xét các số phức z thỏa mãn z z  2  i  4i  1 là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng d . Diện tích tam giác giới hạn bởi đường thẳng d và hai trục tọa độ bằng A. 8 . Câu 57. B. 4 . D. 10 . (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  z  i là một đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y  3  0 . Câu 58. C. 2 . B. 2 x  4 y  13  0 . C. 4 x  2 y  3  0 . D. 2 x  4 y  13  0 . (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z  1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  1 . B. Đường thẳng có phương trình 2 x  6 y  12  0 . C. Đường thẳng có phương trình x  3 y  6  0 . D. Đường thẳng có phương trình x  5 y  6  0 . Câu 59. (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa 12  5i  z  17  7i  13 . z 2i A. d :6 x  4 y  3  0 . 2 2 B. d : x  2 y  1  0 . C.  C  : x  y  2 x  2 y  1  0 . Câu 60. D.  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0 . (SGD&ĐT BRVT – 2018) Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Hỏi M thuộc đường thẳng nào sau đây? A. x  y  5  0 . B. x  y  2  0 . C. x  y  2  0 . D. x  y  1  0 . Câu 61. Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z  z2  z 2 2 z 2 thỏa mãn  16 là hai đường thẳng d1, d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu? Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. d  d1 , d2   1 . B. d  d1 , d2   6 . C. d  d1 , d2   2 . D. d  d1 , d2   4 . Câu 62. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  3  4i là? A. Parabol y 2  4 x . B. Đường thẳng 6 x  8 y  25  0 . C. Đường tròn x2  y 2  4  0 . D. Elip x2 y 2  1. 4 2 Câu 63. Cho số phức z thỏa: 2 z  2  3i  2i  1  2 z . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là. A. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  32 y  47  0 . B. Một đường có phương trình: 3 y 2  20 x  2 y  20  0 . C. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0 . D. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0 . Câu 64. (SGD Hưng Yên 2019) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biễu diễn số phức z sao cho z 2 là số thuần ảo. A. Hai đường thẳng y  x và y   x . B. Trục Ox . C. Trục Oy . D. Hai đường thẳng y  x và y   x , bỏ đi điểm O  0; 0  . Câu 65. (SGD Bến Tre 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2i là đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y 1  0 . B. 4 x  6 y 1  0 . Câu 66. C. 4 x  2 y 1  0 . D. 4 x  2 y  1  0 . (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2  z  z  i . A. Đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . B. Điểm M  1;1/ 2  . C. Đường thẳng 2 x  y  3  0 . D. Đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . Câu 67. Cho số phức z thỏa mãn 2 z  2  3i  2i  1  2 z . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường thẳng có phương trình: A. 20 x 16 y  47  0 . Câu 68. B. 20 x  6 y  47  0 . C. 20 x  16 y  47  0 . D. 20 x  16 y  47  0 . (Kim Liên – Hà Nội 2019) Cho số phức thỏa mãn z  i  z  1  2i . Tập hợp điểm biểu diễn số phức    2  i  z  1 trên mặt phẳng phức là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là A. x  7 y  9  0 . B. x  7 y  9  0 . C. x  7 y  9  0 . D. x  7 y  9  0 . Dạng 3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường conic Câu 69. (Sở Bình Phước 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z  i  z  z  2i là A. Một điểm B. Một đường tròn C. Một đường thẳng D. Một Parabol Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 70. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Một đường elip. C. Một đoạn thẳng. B. Một đường parabol. D. Một đường tròn. Câu 71. Xét các số phức z thoả mãn parabol có toạ độ đỉnh 1 3 A. I  ;   . 4 4 Câu 72. z 1  i  z  zi 1 là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  1 1 B. I   ;  .  4 4 1 3 C. I  ;   . 2 2 z là 2  1 1 D. I   ;  .  2 2 (Chuyên KHTN 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . Câu 73. (CHUYÊN VINH 2017) Gọi D. Đáp án khác. là điểm biểu diễn của số phức M z thỏa mãn 3 z  i  2 z   z  3i . Tìm tập hợp tất cả những điểm M như vậy. A. Một đường thẳng. Câu 74. B. Một parabol. C. Một elip. D. Một đường tròn. (Sở Bình Phước 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là? 2 2 B.  E  : A.  C  :  x  2    y  2   64 . C.  E  : Câu 75. x2 y2  1. 12 16 2 x2 y2  1. 16 12 2 D.  C  :  x  2    y  2   8 . (THPT Nguyễn Trãi 2017) Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  i  z  z  2i là hình gì? A. Một đường tròn. C. Một đường Elip. B. Một đường Parabol. D. Một đường thẳng. Câu 76. (THPT Hai Bà Trưng- Huế 2017) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. . A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x 2 y2   1. 9 25 B. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x ; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x  4 2  y2  x  4 2  y 2  12 . C. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0; 0 và có bán kính R  4 . D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x 2 y2   1. 25 9 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 77. (Chuyên Bến Tre 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10 . Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường có phương trình. x2 y 2 x2 y2 x2 y2 B. C.   1.  1.   1. 9 25 25 9 9 25 Dạng 4. Tập hợp điểm biểu diễn là một miền A. D. x2 y 2  1. 25 9 Câu 78. Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. 6  z  8 . Câu 79. B. 2  z  4  4i  4 . C. 2  z  4  4i  4 . D. 4  z  4  4i  16 . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết z   2  3i   2 . A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường Elip. Câu 80. Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z  4  4i  2 là Câu 81. A. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  4 . B. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  2 . C. Hình tròn tâm I  4;4  , bán kính R  2 . D. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  4 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội -2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích của hình phẳng đó. A. S  25 . Câu 82. B. S  8 . C. S  4 . D. S  16 . (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Trong mặt phẳng Oxy cho số phức z có điểm biểu diến nằm trong cung phần tư thứ  I  . Hỏi điểm biểu diễn số phức w  1 nằm trong cung phần tư thứ iz mấy? A. Cung  IV  . B. Cung  II  . C. Cung  III  . D. Cung  I  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 83. (Sở Nam Định – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,gọi  H  là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 16 và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0;1 .Tính 16 z diện tích S của  H  A. S  32  6    . Câu 84. B. S  16  4    . C. S  256. . D. S  64 . . (Sở Yên Bái – 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó. A. S  4 . Câu 85. B. S  25 . C. S  8 . D. S  16 . (Sở Hà Tĩnh 2017) Biết số phức z thõa mãn z  1  1 và z  z có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là: B.  2 . A. 2 . C.  2 . D.  . Câu 86. (Chuyên Võ Nguyên Giáp 2017) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ 0xy sao cho 2 z  z  3 , và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H . A. 3 . 2 B. 3 . 4 C. 6 . D. 3 . Câu 87. (Chuyên Thái Nguyên 2017) Tập hợp các số phức w  1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1  1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. B.  . A. 2 . C. 3 . D. 4 . z  2 z  3i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  2    2  i  z  i   3  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox , OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong Câu 88. Gọi M là điểm biểu diễn số phức       góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (IV). B. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (III). Câu 89. (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB-2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . Câu 90. (THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa – 2017)Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng: A. 9 . B. 16 . C. 25 . D. 4 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 91. Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Một đường Parabol. B. Một đường Elip. Câu 92. C. Một đoạn thẳng. D. Một đường tròn. (THPT Ngô Quyền – Ba Vì – Hải Phòng 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2 . trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  25 B. S  9 C. S  12 D. S  16 Câu 93. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z  z  z  12 thỏa mãn  . Diện tích của hình phẳng  H  là: z  4  3 i  2 2  A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . Dạng 5. Một số dạng toán khác D. 8  4 . Câu 94. Các điểm A, B tương ứng là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên hệ trục tọa độ Oxy , G là trọng tâm tam giác OAB , biết z1  z2  z1  z2  12 . Độ dài đoạn OG bằng A. 4 3 . B. 5 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Câu 95. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . D. Đáp án khác. Câu 96. Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z1 , z2 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z12  z22  z1 z2 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Vuông cân tại O. B. Vuông tại O. C. Đều. D. Cân tại O. Câu 97. (Sở Kon Tum 2019) Cho các số phức z1  3  2i, z2  1  4i, z3  1  i có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng Oxy lần lượt là các điểm A, B , C . Tính diện tích tam giác ABC . B. 12 . A. 2 17 . Câu 98. C. 4 13 . D. 9 . (Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ, I là trung điểm MN , O là gốc tọa độ, ( 3 điểm O, M , N không thẳng hàng ). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng? A. z1  z2  2  OM  ON  . B. z1  z2  OI . C. z1  z2  OM  ON . D. z1  z2  2OI . Câu 99. Cho số phức z  m  2   m 2  1 i với m   . Gọi  C  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành bằng: A. 32 . 3 B. 8 . 3 C. 1. D. 4 . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 100. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biếu diễn các số phức 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i trên mặt phẳng tọa độ. Biết tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, tâm của đường tròn đó biếu diện số phức có phần thực là A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 Câu 101. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Xét hai điểm A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy biểu diễn các số phức z và 1  3i  z . Biết rằng diện tích của tam giác OAB bằng 6, môđun của số phức z bằng A. 2 . B. 2 3 . C. 2. D. 4 . Câu 102. (THPT Phan Bội Châu – Nghệ An – 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  z  z  z  z 2 và z  m ?   A. 2; 2 2 . B.  2; 2 2  .  C. 2 .  D. 2; 2 2 . Câu 103. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Có bao nhiêu số phức z  a  bi ,  a, b   thỏa mãn z  i  z  3i  z  4i  z  6i và z  10 . A. 12 . B. 2 . C. 10 . D. 5 . Câu 104. Cho hai số phức z1 ; z2 thoả mãn: z1  6, z2  2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của các số   600 , khi đó giá trị của biểu thức z 2  9 z 2 bằng phức z1 , iz2 . Biết MON 1 2 A. 18 . B. 36 3 . C. 24 3 . D. 36 2 . Câu 105. (SP Đồng Nai – 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37 . Xét số phức z  A. b  z1  a  bi . Tìm b z2 3 3 . 8 B. b  39 . 8 C. b  3 . 8 D. b  Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 . 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TẬP HỢP ĐIỂM SỐ PHỨC Chuyên đề 34 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng toán. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn điều kiện K cho trước ?  Bước 1. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi .  Bước 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận. Mối liên hệ giữa x và y Ax  By  C  0. 2  x  a    y  b Là đường thẳng d : Ax  By  C  0 . 2  R 2 hoặc 2 2 2  R 2 hoặc Là hình tròn tâm I  a; b  và bán kính R  a2  b2  c . 2 x  y  2ax  2by  c  0. 2 Là đường tròn tâm I  a; b  và bán kính R  a2  b2  c . x 2  y 2  2ax  2by  c  0.  x  a    y  b Kết luận tập hợp điểm M  x; y  2 R12   x  a    y  b   R22 . Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I  a; b  và bán kính lần lượt R1 và R2 . y  ax 2  bx  c,  a  0  .    b Là một parabol có đỉnh S   ;   .  2a 4a  x2 y2   1 với MF1  MF2  2a và a b F1 F2  2c  2a . Là một elíp có trục lớn 2a, trục bé 2b và tiêu cự x2 y2   1 với MF1  MF2  2a và a b F1 F2  2c  2a . Là một hyperbol có trục thực là 2a, trục ảo là 2b MA  MB . Là đường trung trực đoạng thẳng AB. 2c  2 a 2  b 2 ,  a  b  0  . và tiêu cự 2c  2 a 2  b 2 với a, b  0 .  Lưu ý Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách:  Trực tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn tính chất K.  Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  f  z  mà số phức z thỏa mãn tính chất K nào   đó, chẳng hạn: f z , z , z  0,… Dạng 1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn Câu 1. (Mã 102 2018) Xét các số phức z thỏa mãn  z  3i  z  3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 9 2 B. 3 2 C. 3 D. 3 2 2 Lời giải Chọn D Gọi z  x  yi , với x, y   . 2 Theo giả thiết, ta có  z  3i  z  3  z  3 z  3iz  9i là số thuần ảo khi 3 2 3 3 . x 2  y 2  3 x  3 y  0 . Đây là phương trình đường tròn tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 Câu 2. (Mã 103 2018) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng B. 4 A. 2 2 C. 2 Lời giải D. 2 Chọn C Giả sử z  x  yi với x, y   . Vì  z  2i  z  2    x   2  y  i   x  2   yi    x  x  2   y  2  y     xy   x  2  2  y   i là 2 2 số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x  x  2   y  2  y   0   x  1   y  1  2 . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng Câu 3. 2. (Mã 104 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  A. 44 . 5  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z B. 52 . C. 2 13 . Lời giải D. 2 11 . Chọn C Gọi w  x  yi với x, y là các số thực. 5  iz w5 . z 1 z iw w5 Lại có z  2   2 iw Ta có w  2 2  w  5  2 w  i   x  5   y 2  2  x 2   y  1    2 2   x  5   y  4   52 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính bằng Câu 4.  52  2 13 .  (Mã 104 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z  2i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng? A. 2 B. 2 C. 4 Lời giải D. 2 2 Chọn A Gọi z  a  bi , a , b   Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   2 2 Ta có: z  2i  z  2    a  bi  2i  a  bi  2   a  2a  b  2b  2  a  b  2  i  2  2 Vì z  2i  z  2  là số thuần ảo nên ta có a 2  2a  b2  2b  0   a  1   b  1  2 . Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng Câu 5. 2. (Đề Minh Họa 2017) Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó A. r  22 C. r  5 Lời giải B. r  4 D. r  20 Chọn D Giả sử z  a  bi ; w  x  yi ;  a, b, x, y    Theo đề w   3  4i  z  i  x  yi   3  4i  a  bi   i  x  3a  4b  x  3a  4b  x  yi   3a  4b    3b  4a  1 i    Ta có  y  3b  4a  1  y  1  3b  4a 2 2 2  x 2   y  1   3a  4b    4a  3b   25a 2  25b 2  25 a 2  b2  2 Mà z  4  a 2  b 2  16 . Vậy x 2   y  1  25.16  400 Bán kính đường tròn là r  400  20 . Câu 6.   (Đề Tham Khảo 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. 1;1 B.  1;1 C.  1; 1 D. 1; 1 Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi  z  x  yi  z  2i   z  2   z.z  2 z  2iz  4i  x 2  y 2  2  x  yi   2i  x  yi   4i  x2  y 2  2 x  2 y   2 x  2 y  4 i  z  2i   z  2  là số thuần ảo  x 2  y 2  2 x  2 y  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường tròn có tâm là I  1; 1 . Câu 7.   (Mã 101 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 3 2 B. 1 5 4 Lời giải C. D. 5 2 Chọn D Đặt z  x  yi  x, y    . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  z  i   z  2    x  1  y  i   x  2   yi  là số thuần ảo  x  x  2  y  y  1  0  x2  y2  2 x  y  0 . 5  1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I  1;  , R  . 2 2  Câu 8. (Mã 101 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  A. 26 . 4  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z B. 34 . C. 26 . Lời giải D. 34 . Chọn B w 4  iz  1  z  w  4  iz  z  w  i   4  w 1 z  z . w  i  4  w  2. w  i  4  w (*) Gọi w  x  yi,  x, y    khi đó thay vào (*) ta có: 2 2 2. x  yi  i  4  x  yi  2  x 2   y  1    x  4   y 2   2 2  x 2  y 2  8 x  4 y  14  0   x  4    y  2   34 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  Câu 9. 4  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z 34 . (Mã 102 – 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  A. 2 5 . 3  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z B. 20 . D. 2 3 . C. 12 . Lời giải Chọn A 3  iz  w  wz  3  iz  w  3   i  w z . 1 z  w  3  i  w z  w  3  i  w z . Ta có: w  Gọi w  x  yi,  x, y    . Do đó, w  3   i  w  z  2  x  3 2 2  y 2  x 2  1  y  . 2 2   x  3   y 2  2 x 2  2 1  y   x 2  y 2  6 x  4 y  7  0 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn z  2 là đường tròn có tâm I  3; 2  và bán kính bằng 2 5 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10. (Mã 103 – 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  A. 10 . B. 2  iz là một đường tròn có bán kính bằng 1 z C. 2 . Lời giải 2. D. 10 . Chọn A Gọi số phức w  x  yi; x, y   . Khi đó: w 2  iz  w 1  z   2  iz  w  2  z  i  w  1 z 2    x  2   y 2  2 x 2  1  y  2    x  2 2  w  2  z i  w  w  2  z  z i  w 2   y  2   10 * Từ * suy ra điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 10 . Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z  2. Biết rằng tập hợp các (THPT Gia Lộc Hải Dương -2019) điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó? A. I  3;  2 . B. I  3;2 . C. I  3;2 . D. I  3;  2  . Lời giải Cách 1. Đặt w  x  yi .Ta có w  3  2i   2  i  z .  x  yi  3  2i   2  i  z .   2  i  z   x  3   y  2 i .    4  i 2 z   x  3   y  2  i  .  2  i  .  z 2x  y  8 x  2 y 1  i. 5 5 2 2  2x  y  8   x  2 y 1  Vì z  2 nên      4. 5 5      x2  y2 6x  4y 13  20 . 2 2   x  3    y  2   20 . Vây tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  3;  2 . Cách 2. Đặt z  a  bi; w  x  yi . Vì z  2 nên a 2  b2  4 . Ta có w  3  2i   2  i  z .  x  yi  2i  3   2  i  a  bi  .   x  3   y  2  i   2a  b    2b  a  i . 2 2 2 2 2 2   x  3   y  2    2a  b    2b  a  .     x  3   y  2   5 a 2  b 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2   x  3   y  2   20 . Vây tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  3;  2 . Câu 12. (ĐỀ MẪU KSNL ĐHQG TPHCM 2019) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z.z  1 là A. một đường thẳng. B. một đường tròn. C. một elip. D. một điểm. Lời giải Đặt z  x  yi ; x, y   . Khi đó z  x  yi . Vì z.z  1   x  yi  x  yi   1  x 2  y 2  1 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z cần tìm là đường tròn đơn vị. Câu 13. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z thỏa z  1  2i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  2 z  i trên mặt phẳng  Oxy  là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I  2; 3 . B. I 1;1 . C. I  0;1 . D. I 1;0  . Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn số phức w . Ta có w  2 z  i  z  wi . 2 Do đó z  1  2i  3  wi  1  2i  3  w  2  3i  6  MI  6 , với I  2; 3 . 2 Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I  2; 3 và bán kính R  6 . Câu 14. (Chuyên Sơn La 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là B.  0; 1 . A. 1;1 . C.  0;1 . D.   1; 0  . Lời giải Đặt z  x  yi  x, y    . Ta có z  i  1  i  z .  x   y  1 i  1  i  x  yi   x   y  1 i   x  y    x  y  i 2 2 2 2  x 2   y  1   x  y    x  y   x 2  y 2  2 y  1  0  x 2   y  1  2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức Câu 15. z là đường tròn có tâm  0;  1 . (Quang Trung Đống Đa Hà Nội -2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Biết rằng tập hợp i2 các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn  C  . Tính bán kính r của đường tròn  C  . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. r  1. Ta có: B. r  5. C. r  2. . Lời giải D. r  3. . z 1 z  i  2  5 . i2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính r  5. Câu 16. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 là A. đường tròn tâm I (1;2) , bán kính R  9 . B. đường tròn tâm I (1;2) , bán kính R  3 . C. đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  3 . D. đường thẳng có phương trình x  2 y  3  0 . Lời giải Chọn C Giả sử điểm M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: z  1  2i  3  ( x  1)  ( y  2)i  3  ( x  1) 2  ( y  2) 2  9 Vậy điểm M(x; y) thuộc đường tròn ( x  1) 2  ( y  2) 2  9 có tâm I (1;2) , bán kính R  3 . Câu 17. (Sở Thanh Hóa 2019) Xét các số phức z thỏa mãn (2  z )( z  i ) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là: 5  1 A. Đường tròn tâm I 1;  ,bán kính R  . 2  2 1 5  B. Đường tròn tâm I  1;   ,bán kính R  . 2 2   C. Đường tròn tâm I  2;1 ,bán kính R  5 . 5  1 D. Đường tròn tâm I 1;  ,bán kính R  nhưng bỏ điểm A(2;0); B(0;1) . 2  2 Lời giải Gọi số phức z  x  yi  x, y     z  x  yi. Thay vào điều kiện ta được: (2  z )( z  i).  (2  x  yi)( x  yi  i ).   2  x   yi   x  1  y  i  .  (2  x) x  y (1  y )   (2  x)(1  y )  xy  i. (2  z )( z  i ) là số thuần ảo khi và chỉ khi: (2  x) x  y(1  y)  0 .  x2  y 2  2 x  y  0 . 5  1 Vậy số phức z  x  yi thuộc đường tròn tâm I 1;  ,bán kính R  . 2  2 Câu 18. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  (1  i) z . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R  2 . B. Đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I(-1; 0), bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R  2 . Lời giải Chọn D 2 z  i  (1  i ) z  a 2   b  1  2 nên tập điểm M là Đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R 2. Câu 19. Tâp hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  i  4 là đường cong có phương trình 2 A.  x  1  y 2  4 2 2 B. x 2   y  1  4 C.  x  1  y 2  16 2 D. x 2   y  1  16 lời giải: 2 2 Ta có z  i  4  x 2   y  1  4  x 2   y  1  16 Câu 20. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  i  4 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là A. I  2;  1 ; R  4 . B. I  2;  1 ; R  2 . C. I  2;  1 ; R  4 . D. I  2;  1 ; R  2 . Lời giải Giả sử số phức thỏa mãn bài toán có dạng z  x  yi  x, y    . Suy ra z  2  i  x  yi  2  i  x  2  ( y  1)i . Do đó: z  2  i  4  x  2  ( y  1)i  4  ( x  2) 2  ( y  1) 2  16 . Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  2;  1 , bán kính R  4 . Câu 21. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  i  2 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là: A. I  1;1 , R  4 . B. I  1;1 , R  2 . C. I 1;  1 , R  2 . D. I 1;  1 , R  4 . Lời giải Gọi z  a  bi , với x, y   , ta có: 2 2 z  1  i  2  x  yi  1  i  2   x  1   y  1 i  2   x  1   y  1  4 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;  1 , bán kính R  2 . Câu 22. (Chuyên KHTN 2019) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1  i  z  5  i  2 là một đường tròn tâm I và bán kính R lần lượt là A. I  2; 3  , R  2 . B. I  2; 3 , R  2 . C. I  2;3  , R  2 . D. I  2;3 , R  2 . Lời giải Gọi z  x  yi,  x , y    . Ta có: 1  i  z  5  i 2  2  1  i  x  yi   5  i  2   x  y  5    x  y  1 i  2 2   x  y  5    x  y  1  4  2 x 2  2 y 2  8 x  12 y  22  0  x 2  y 2  4 x  6 y  11  0 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I  2;  3 và R  2 . Câu 23. z2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các z  2i điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng (Chuyên KHTN -2019) Xét các số phức z thỏa mãn A. 1. B. 2. C. 2 2 . Lời giải D. 2 . Đặt z  a  bi, a , b   . Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn cho số phức z . Có w    a  2  bi  a   b  2  i  z2 a  2  bi   2 z  2i a   b  2  i a2  b  2 a  a  2   b  b  2      a  2  b  2   ab  i a2  b  2 2 a  a  2   b  b  2   0 1 w là số thuần ảo   2 2 a   b  2   0 Có 1  a 2  b 2  2a  2b  0 . Suy ra M thuộc đường tròn tâm I  1;1 , bán kính R  2 . Câu 24. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z  m và z  4m  3mi  m2 . B. 6 . A. 4 . Đặt z  x  yi C. 9 . Lời giải  x, y    . Ta có điểm biểu diễn D. 10 . z là M  x; y  . Với m  0 , ta có z  0 , thoả mãn yêu cầu bài toán. Với m  0 , ta có: + z  m  M thuộc đường tròn  C1  tâm I  0;0  , bán kính R  m 2 2 + z  4m  3mi  m 2   x  4 m    y  3m   m 4  M thuộc đường tròn  C2  tâm I   4m; 3m  , bán kính R   m 2 . +) Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  C1  và  C2  tiếp xúc   5m  m 2  m    II   R  R m  4 nhau      5m  m 2  m   .  m  6  II   R  R   m  0 Kết hợp với m  0 , suy ra m  0; 4;6 . Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10 . Câu 25. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  i  3 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức w  1  z là A. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 B. Đường tròn tâm I  2; 1 bán kính R  3 . C. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  9 . D. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  3 . Lời giải Gọi w  x  yi , x , y   . Số phức w được biểu diễn bởi điểm M  x; y  . Từ w  1  z suy ra x  yi  1  z  z   x  1  yi  z   x  1  yi . Mà z  2  i  3 nên ta có:  x  1  yi  2  i 2  3   x  1   y  1 i  3   x  1   y  1 2 2 2 2  3   x  1   y  1  3 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  3 . Câu 26. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho các số phức z thỏa mãn z  2 5 . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn của số phức w  i   2  i  z cùng thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó? A. r  5 . B. r  10 . C. r  20 . Lời giải D. r  2 5 . Chọn B Ta có w  i   2  i  z  w  i   2  i  z . Suy ra w  i   2  i  z  2  i . z  10 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức w trên mặt phẳng tọa độ nằm trên đường tròn có bán kính r  10 . Câu 27. Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  3 là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 13 B. 11 C. 11 2 D. 13 2 Lời giải Chọn D Gọi z  x  y i  x, y   . Khi đó: w   z  2i  z  3   x  ( y  2)i  ( x  3)  y i   x( x  3)  y ( y  2)   xy  ( x  3)( y  2) i Do w là số thuần ảo 2 3 13 2   x ( x  3)  y ( y  2)  0  x 2  y 2  3x  2 y  0   x     y  1  . 2 4   3  Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I   ; 1 , bán kính  2  R 13 . 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức   w  1  i 8 z  i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Gọi w  x  yi  x, y    Theo đề bài ta có:         8  i  1  i 8   z  1 w  1  i 8 z  i  w  i  1  i 8 z  w  i  1  i 8  z  1  1  i 8     w  i  1  i 8  1  i 8  z  1   x  1  y  1   x  1 2   y 1 8  2 2 2  8  .2   x  1   y  1  8   36 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i 8  z  i là một đường tròn có bán kính r  6.   12  2 Câu 29. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z  5  3i | 5 đồng thời | z1  z2 | 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình B. ( x  10)2  ( y  6)2  16 . A. ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 . 5 3 C. ( x  ) 2  ( y  ) 2  9 . 2 2 5 3 9 D. ( x  ) 2  ( y  ) 2  . 2 2 4 Lời giải +)Đặt z  x  yi Khi đó | z 5  3i | 5 | x  5  (y 3)i | 5  ( x  5)2  ( y  3)2  25 (C ) Gọi A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn số phức z1 , z2  A, B thuộc đường tròn (C ) có tâm I (5; 3), bán kính R = 5 và | z1  z2 | 8  AB  8 +) Gọi H là điểm biểu diễn số phức w =  H là trung điểm AB  AH  z1  z2 2 AB 4 2 Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên IH  IA2  AH 2  52  42  3  H thuộc đường tròn (C ) có tâm I (5; 3), bán kính R  3 (*) +) Gọi M là điểm biểu diễn số phức w=z1  z2    OM  2OH  M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 với O là gốc tọa độ (**) Từ (*)và (**)  tập hợp M là đường tròn (C ) là ảnh của (C ) phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 +) Giả sử đường tròn (C ) có tâm J (a; b) và bán kính R   a  2.5  10   b  2.3  6  R  2.R   6   Phương trình đường tròn (C ) là ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 30. (Chuyên KHTN – 2018). Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I  2; 1 ; R  4 . B. I  2; 1 ; R  2 . C. I  2; 1 ; R  4 . D. I  2; 1 ; I  2; 1 . Lời giải Gọi số phức z  x  iy  x, y    Ta có: 2 2 z  2  i  4   x  2     y  1 i  4   x  2    y  1  16 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I  2;  1 và có bán kính R  4 . Câu 31. (Toán Học Tuổi Trẻ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  2i là A. Một đường tròn. C. Một Elip. B. Một đường thẳng. D. Một parabol hoặc hyperbol. Lời giải Ta có: w  1  i  z  2i  w  2i  1  i  z  w  2i  1  i  z  w  2i  2 2 . Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  0; 2  và bán kính 2 2 . Câu 32. (Đồng Tháp 2018) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  1  1  i  2 z là đường tròn  C  . Tính bán kính R của đường tròn  C  A. R  10 . 9 C. R  B. R  2 3 . 7 . 3 D. R  10 . 3 Lời giải Gọi số phức z  a  bi ,  a, b    a  bi  1  1  i  2  a  bi    a  1 2  b2  2 1  2a    1  2b  2 4 1  a 2  2a  1  b 2  1  4a  4a 2  1  4b  4b 2  a 2  b2  2a  b   0 3 3 2  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I 1;   , 3  2 10  2 1 Bán kính R  1       . 3  3 3 Câu 33. (SGD – Hà Tĩnh – 2018) Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z  i  6 là một đường tròn có bán kính bằng: A. 3 . B. 6 2 . C. 6 . Lời giải D. 3 2 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Cách 1: Đặt z  a  bi ta có 2 z  i  6  2a  2bi  i  6  4a 2   2b  1  6 . 2 4a 2  4b 2  4b  35  0  a 2  b 2  b  35 1   0  a2   b    9 . 4 2   1 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  0;  bán kính R  3 .  2 1 1   Cách 2: 2 z  i  6  z   0  i   3 . Gọi I là điểm biểu diễn số phức 0  i , M là điểm biểu 2 2   diễn số phức z . Ta có MI  3 . Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  1 tâm I  0;  bán kính R  3 .  2 Câu 34. (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w   2  i  z  3i  5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính của đường tròn trên. A. I  6;  4  , R  2 5 . B. I  6; 4  , R  10 . C. I  6; 4  , R  2 5 . D. I  6; 4  , R  2 5 . Lời giải Ta có: w   2  i  z  3i  5  w   2  i  z  1  3i   6  4i  w  6  4i   2  i  z  1  3i   w  6  4i   2  i  z  1  3i   2 5 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức w  x  yi  x; y    w  6  4i  2 5   x  6    y  4  i  2 5 2 2    x  6   y  4  2 5  2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số w là đường tròn tâm I  6; 4  , bán kính R  2 5 . Câu 35. (Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng? A. 7 . B. 20 . Ta có w  3  2i   2  i  z  z  Khi đó z  C. 2 5 . Lời giải w  3  2i . Đặt w  x  yi 2i D. 7.  x, y    . x  yi  3  2i . 2i Ta có z  2  x  3   y  2 i x  3   y  2 i x  yi  3  2i 2  2 2 2i 2i 2i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2   2  x  3   y  2  i  2 2  i  x  3   y  2  i  2 5   x  3   y  2   2 5 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn có bán kính R2 5. Câu 36. (SGD Thanh Hóa – 2018) Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5  3i  5 , đồng thời z1  z2  8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2 5  3 9  A.  x     y    . 2  2 4  2 2 2 2 C.  x  10    y  6   16 . 2 B.  x  10    y  6   36 . 2 5  3  D.  x     y    9 . 2  2  Lời giải Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc đường tròn 2 2  C  :  x  5   y  3  25 và AB  z1  z2  8 .  C  có tâm I  5;3 và bán kính R  5 , gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và IT  IA2  TA2  3 . Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J 10;6  và IT là đường trung bình của tam giác OJM , do đó JM  2 IT  6 . 2 2 Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình  x  10    y  6   36 . Câu 37. (THPT Thái Phiên – Hải Phòng – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z  3i  4  3 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  (12  5i) z  4i là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó. A. r  13 . B. r  39 . C. r  17 Lời giải Gọi số phức w  x  yi, với x, y  R , biểu diễn bởi M ( x; y) w  (12  5i ) z  4i  x  yi  (12  5i) z  4i  z  z D. r  3 . x  ( y  4)i 12  5i x  ( y  4)i 12  5i Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  ( y  4)i  3i  4  3 Ta có : z  3i  4  3  12  5i  ( x  63) 2  ( y  12)2 x  63  ( y  12)i 3  3  ( x  63) 2  ( y  12)2  392 2 2 12  5i 12  5 Vậy r  39 . Câu 38. (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  1 . Biết rằng tập hợp   các điểm biểu diễn các số phức w  1  3i z  1  2i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  2 . B. r  1 . C. r  4 . Lời giải D. r  2 . Gọi w  x  yi .     w  1  3i z  1  2i  x  yi  1  3i z  1  2i  z  x 1   y  2 i 1  3i 1 3   x  1  3  y  2   y  2    x  1 3  z   x  1   y  2  i    i    i 4 4 4 4   z 3   x  13  3  y  2 4   y  2    x  1 3 4 i 2 2   x  13  3  y  2     y  2    x  1 3  z 3 1      1     4 4     2 2 2 2   x  13  2 3  x  13 y  2   3  y  2    y  2   2  y  2  x  1 3  3  x  1  16    x 2  y 2  8 x  4  6 3 y  12 3  43  0  Bán kính r  42  2  3 3 Câu 39.  2  12 3  43  2 . (THPT Lệ Thủy-Quảng Bình 2017) Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  m  1  3i  4 . Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy . A. m  5; m  3 . C. m  3 . B. m  5; m  3 . D. m  5 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi ,  x, y   . Khi đó. z  m  1  3i  4  x  yi  m  1  3i  4 .     y  3   x  m  1  y  3 i  4    x  m  1 2  x  m  1 2   y 3  2 4. 2  16 .   Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I 1  m;  3 và bán kính 1  m  4  m  3 .  R  4 . Để đường tròn này tiếp xúc với trục Oy thì 1  m  4   1  m  4 m  5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy m  5; m  3 . Câu 40. (Cụm 4 HCM 2017 Cho số phức z thỏa mãn z  2  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  1  i  z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  2 . B. r  4 . C. r  2 . Lời giải D. r  2 2 . Chọn D w  1  i  z  i  z  z  wi ; đặt w  x  yi ; x, y  . 1 i x  yi  i  x  yi  i 1  i   2  2 . x  yi  i . Ta có z  2  2  2  2  1 i 1 i 2  x  yi  i 1  i   2  2  2 2 x  xi  yi  y  i  1  4  4  x  y  3   x  y  1 i  4 2   x  y  3   x  y  1  16  x 2  y 2  9  2 xy  6 y  6 x  x 2  y 2  1  2 xy  2 y  2 x  16 .  2 x2  2 y 2  8x  4 y  6  0  x2  y 2  4 x  2 y  3  0 Đường tròn có bán kính là R  22  12  3  2 2 . Câu 41.   (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội –2018) Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  z  2  i  25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w  2 z  2  3i là đường tròn tâm I  a; b  và bán kính c . Giá trị của a  b  c bằng A. 18 . B. 20 . C. 10 . Lời giải Chọn A Giả sử z  a  bi  a; b    và w  x  yi D. 17 .  x; y    .  z  2  i   z  2  i   25   a  2   b  1 i   a  2   b  1 i   25 2 2   a  2    b  1  25 1 Theo giả thiết: w  2 z  2  3i  x  yi  2  a  bi   2  3i  x  yi  2a  2   3  2b  i . x2  a   x  2a  2  2    y  3  2b b  3  y  2  2 . 2 2 2 2  x2   3 y  Thay  2  vào 1 ta được:   2    1  25   x  2    y  5   100 .  2   2  Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I  2;5 và bán kính R  10 . Vậy a  b  c  17 . Câu 42. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   2  3i   2 . A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. Lời giải D. Một đường elip. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Gọi z  x  yi ; x , y   . Từ giả thiết z   2  3i   2  x  yi  (2  3i )  2 . 2 2  ( x  2)  ( y  3)i  2   x  2    y  3   4 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức Câu 43. z là một hình tròn. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1  z  2i và z 1 B. 2 . A. 0 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi; x, y   và M  z   M  x; y  2 2 2 2  z  i  1  z  2i  x  y  1  0  x  1   y  1  x   y  2   2    2 2 2 x  y  1  x  y  1  z  1 Suy ra tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng  :  x  y  1  0 và đường tròn x 2  y 2  1 có tâm O  0;0  , R  1 Ta có d  O,    0  0  1  1 2 2 1  1 1 R 2 Suy ra đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm hay có hai số phức z thỏa mãn. Câu 44.   (SGD Điện Biên – 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  z  4i  z  2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A.  1; 2  . B.  1;2  . C. 1; 2  . D. 1; 2  . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi với x , y   và M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z . Ta có  z  4i  z  2   x 2  y 2  2 x  4 y   2 y  4 x  8  i .  z  4i   z  2  2 là số thuần ảo  x 2  y 2  2 x  4 y  0 2   x  1   y  2   5 . Tập hợp các điểm biễn diễn của số phức z là mộ đường tròn có tâm I  1; 2  ,bán kính R  5 . Câu 45. (SGD Bắc Ninh 2019) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  1 là A. đường tròn I 1;2  , bán kính R  1 . B. đường tròn I  1; 2  , bán kính R  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 C. đường tròn I  1;2  , bán kính R  1 . D. đường tròn I 1; 2  , bán kính R  1 . Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi;  x, y  R  Khi đó: z  1  2i  1   x  1    y  2  i  1  2 2  x  1    y  2  2 1 2   x  1   y  2   1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I  1;2  , bán kính R  1 . Câu 46. (Sở Hà Nam – 2019) Cho số phức z thảo mãn  z  1  3i  z  1  3i   25 . Biết tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I  a ; b  và bán kính c . Tổng a  b  c bằng A. 9 . C. 2 . Lời giải B. 3 . D. 7 . Chọn D Ta có  z  1  3i  z  1  3i   25  z.z   z  z    z  z  3i  15 * .  z. z  x 2  y 2  Đặt z  x  yi ,  x, y    khi đó  z  z  2 x .  z  z  2 yi  Thay vào * ta được x 2  y 2  2 x  6 y  15  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z thuộc đường tròn  C  có tâm I  1;3 và bán kính R  5 .  a  1  Suy ra b  3 . Vậy a  b  c  7 . c  5  Cách 2: Đặt z0  1  3i và R  5 . 2 Ta có z  z0 z  z0  z  z0 z  z0  z  z0 . 2 Suy ra z  z0 z  z0  R 2  z  z0  R 2  z  z0  R , với R  0 . Vậy tập hợp biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I  1;3 , bán kính R  5 .  a  1  Suy ra b  3 . Vậy a  b  c  7 . c  5  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 47. (Ngô Quyền – Hải Phòng 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  2. Biết rằng tập hợp   điểm biểu diễn các số phức w  1  3 i z  2 là đường tròn có bán kính bằng R. Tính R. B. R  2 . A. R  8 . C. R  16 . Lời giải D. R  4 . Chọn D Gọi w  x  yi, x, y  .   w  1 3 i z  2      x  yi  1  3 i z  2  x  yi  1  3 i  z  1  1  3 i  2      x  3   y  3  i  1  3 i   z  1  x  3  y  3 i  1  3 i  z  1 2    1   x  3   y  3   4   x  3   y  3   16.   x  3 2  y 3 2 2 2 3 i z 1 2     Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w  1  3 i z  2 là đường tròn tâm I 3; 3 , bán kính bằng R  4. . Câu 48. Cho số phức z thoả mãn z  1  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w   2  3i  z  3  4i là một đường tròn bán kính R . Tính R . A. 5 13 . B. 5 17 . C. 5 10 . Lời giải D. 5 5 . Chọn A Ta có: z  1  z  1  z  1  5 . Khi đó: w   2  3i  z  3  4i  w   2  3i  z  1  3  4i  2  3i  w  1  i   2  3i  z  1  w  1  i  2  3i . z  1  5 13 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn bán kính R  5 13 . Câu 49. (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  (1  2i ) z  i là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó. A. r  5 . B. r  10 . C. r  5 . Lời giải D. r  2 5 . Chọn C Ta có: w  (1  2i) z  i  w – i  (1  2i) z  w – i  (1  2i) z  w – i  (1  2i ) . z  w – i  5. Gọi w  x  yi; x , y   . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Khi đó w – i  5  x  yi  i  5  x 2  ( y  1) 2  5  x 2  ( y  1) 2  25. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính r  5. Câu 50. Cho số phức z có môđun bằng 2 2 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w  1  i  z  1  i là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R . Tổng a  b  R bằng A. 5 . C. 1. B. 7 . D. 3 . Lời giải Chọn D Cách 1: Đặt w  a  bi với điều kiện a , b   . Ta có w  1  i  z  1  i  a  bi  1  i  z  1  i  a   b  1 i  1  i  z  1  i z a  1   b  2  i  a  1   b  2  i  1  i  a  b  3   a  b  1 i  . z 1 i 2 2 Vì z  2 2  2  a  b  3 2 4  a  b  1  4 2 2 2  2 2   a  b  3    a  b  1  32 2  a  b  2a  4b  11  0 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I 1;  2  , bán kính R  4 . Từ đó suy ra a  1, b  2, R  4  a  b  R  1   2   4  3 . Cách 2: Đặt w  x  yi , với x, y   . Ta có w  1  i  z  1  i  w  i  1  i  z  1  w  i  1  i  z  1  i  w  1  2i  1  i  z . Lấy môđun hai vế ta được w  1  2i  1  i  z  x  yi  1  2i  1  i z  2  x  1   y  2  2 2 2  4   x  1   y  2   16 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I 1;  2  , bán kính R  4 . Từ đó suy ra a  1, b  2, R  4  a  b  R  1   2   4  3 . Câu 51. (SP Đồng Nai – 2019) Cho số phức z thoả mãn z  3 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức w  z  i là một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó. A. I  0;1 . B. I  0;  1 . C. I  1;0  . D. I 1;0  . Lời giải Chọn A Ta có z  z  3 . Từ w  z  i  w  i  z  w  i  z  w  i  3 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I  0;1 . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng Câu 52. (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  z  i là một đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y  3  0 . B. 2 x  4 y  13  0 . C. 4 x  2 y  3  0 . D. 2 x  4 y  13  0 . Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . 2 2 Ta có z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  4  2 y  1  4 x  2 y  3  0 Do đó ta chọn đáp án Câu 53. A. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2 . Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z . A. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . B. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . C. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . D. là đường thẳng 3 x  y  1  0 . Lời giải  x, y    Giả sử số phức z có dạng: z  x  yi Ta có: z  1  i  z  2  x  yi  1  i  x  yi  2   x  1   y  1 i   x  2   yi  2  x  1   y  1 2 2   x  2 2 2  y2 2   x  1   y  1   x  2   y 2  x2  2 x  1  y 2  2 y  1  x2  4 x  4  y 2  6 x  2 y  2  0  3x  y  1  0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 3 x  y  1  0 . Câu 54. Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  2  i  z  3i là đường thẳng có phương trình A. y  x  1 . B. y   x  1 . C. y   x  1 . D. y  x  1 . Lời giải 2 2 2 2 z  2  i  z  3i   x  2    y  1  x   y  3  4 x  4 y  4  0  y  x  1 . Câu 55. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  2i là đường thẳng có phương trình A. x  2 y  1  0 . B. x  2 y  0 . C. x  2 y  0 . Lời giải D. x  2 y  1  0 . Đặt z  x  yi  x, y     z  x  yi và M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z . Ta có: z  1  2i  z  1  2i  x  yi  1  2i  x  yi  1  2i   x  1   y  2  i   x  1   2  y  i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2  x  1   y  2  2  2  x  1   2  y  2  x2  2 x  1  y 2  4 y  4  x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  4 x  8 y  0  x  2 y  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x  2 y  0 .   Câu 56. Xét các số phức z thỏa mãn z z  2  i  4i  1 là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng d . Diện tích tam giác giới hạn bởi đường thẳng d và hai trục tọa độ bằng A. 8 . Lời giải B. 4 . C. 2 . D. 10 . Giả sử z  a  bi  a, b  R  .   Khi đó z z  2  i  4i  1   a  bi  a  bi  2  i   4i  1   a  bi  .  a  2   1  b  i   4i  1  a  a  2   b 1  b    a 1  b   b  a  2   i  4i  1  a  a  2   b 1  b   1   a  2b  4  i .   + z z  2  i  4i  1 là số thực suy ra a  2b  4  0. + Số phức z có điểm biểu diễn M  a; b   M  d : x  2 y  4  0 . 1 + Đường thẳng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A  4;0  và B  0; 2   SOAB  .OA.OB  4 . 2 Câu 57. (Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  z  i là một đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y  3  0 . B. 2 x  4 y  13  0 . C. 4 x  2 y  3  0 . D. 2 x  4 y  13  0 . Lời giải Gọi số phức z  a  bi , với a, b thuộc  . Khi đó, M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: z  2  z  i  a  2  bi  a  (b  1)i  (a  2) 2  b 2  a 2  (b 1) 2  (a  2)2  b 2  a 2  (b 1)2  4a  2b  3  0  điểm M (a; b) thuộc đường thẳng 4x  2 y  3  0 Vậy, tập hợp các điểm M thỏa mãn bài ra là đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . Câu 58. (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z  1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  1 . B. Đường thẳng có phương trình 2 x  6 y  12  0 . C. Đường thẳng có phương trình x  3 y  6  0 . D. Đường thẳng có phương trình x  5 y  6  0 . Lời giải Gọi z  x  yi ; ( x , y   ). 2 2 2 Ta có: z  1  z  2  3i   x  1  y 2   x  2    y  3  x  3 y  6  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x  3 y  6  0 . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 59. (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa 12  5i  z  17  7i  13 . z 2i A. d :6 x  4 y  3  0 . B. d : x  2 y  1  0 . C.  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 . D.  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0 . Lời giải  z  x  yi  x, y    12  5i  z  17  7i  13  12  5i z  17  7i  13 z  2  i Đặt  , ta có:   z 2i  z  2  i  12  5i  z  1  i   13 z  2  i  12  5i z  1  i  13 z  2  i  13 z  1  i  13 z  2  i 2 2 2  z  1  i  z  2  i  x  yi  1  i  x  yi  2  i   x  1   y  1   x  2    y  1 2  6 x  4 y  3  0 .(thỏa điều kiện z  2  i ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 6 x  4 y  3  0 . Câu 60. (SGD&ĐT BRVT – 2018) Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Hỏi M thuộc đường thẳng nào sau đây? A. x  y  5  0 . B. x  y  2  0 . C. x  y  2  0 . D. x  y  1  0 . Lời giải Ta có z  2  i  z 1  i   0  x  yi  2  i  1  i  x 2  y 2  0    x  2  x2  y2  y 1  x2  y 2 i  0  x  2  x 2  y 2  0   x  2  x2  y 2  y  1  x2  y 2  0  x  y  1  0 . 2 2 y  1  x  y  0  Do đó M thuộc đường thẳng x  y  1  0 . Câu 61. Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z  z2  z 2 2 z 2 thỏa mãn  16 là hai đường thẳng d1, d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu? A. d  d1 , d2   1 . B. d  d1 , d2   6 . C. d  d1 , d2   2 . D. d  d1 , d2   4 . Lời giải Chọn D Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R   Ta có: z 2  z 2 2 z 2  16  x 2  2 xyi  y 2  x 2  2 xyi  y 2  2 x 2  2 y 2  16  4 x 2  16  x  2  d  d1 , d2   4 Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 62. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  3  4i là? A. Parabol y 2  4 x . B. Đường thẳng 6 x  8 y  25  0 . C. Đường tròn x2  y 2  4  0 . D. Elip x2 y 2  1. 4 2 Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi  x, y    và M  x; y  là điểm biểu diễn của z.  z  x 2  y 2 Ta có  .  z  3  4i  x  iy  3  4i   x  3  y  4  i  z  3  4i  2  x  3    y  4  2 . 2 2 Vậy z  z  3  4i  x 2  y 2   x  3    y  4   6 x  8 y  25  0 . Câu 63. Cho số phức z thỏa: 2 z  2  3i  2i  1  2 z . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là. A. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  32 y  47  0 . B. Một đường có phương trình: 3 y 2  20 x  2 y  20  0 . C. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0 . D. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0 . Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Ta có. 2 z  2  3i  2i  1  2 z  2  x  2    y  3 i   1  2 x    2 y  2  i 2  x  2    y  3 2  2 2 .  1  2 x    2 y  2   2   4 x 2  y 2  4 x  6 y  13  4 x 2  4 y 2  4 x  8 y  5 .  20 x  16 y  47  0 Vậy tập hợp điểm M  x; y  là đường thẳng 20 x  16 y  47  0 . Câu 64. (SGD Hưng Yên 2019) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biễu diễn số phức z sao cho z 2 là số thuần ảo. A. Hai đường thẳng y  x và y   x . B. Trục Ox . C. Trục Oy . D. Hai đường thẳng y  x và y   x , bỏ đi điểm O  0;0  . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , x , y   . Số phức z được biểu diễn bởi M  x; y  . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 2 2 Ta có: z   x  yi   x  y  2 xyi . y  x Vì z 2 là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0 , tức là x 2  y 2  0  y 2  x 2   .  y  x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng y  x và y   x . Câu 65. (SGD Bến Tre 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2i là đường thẳng có phương trình A. 4 x  2 y  1  0 . B. 4 x  6 y 1  0 . C. 4 x  2 y 1  0 . D. 4 x  2 y  1  0 . Lời giải Chọn A Gọi số phức z  x  yi  x; y    có điểm biểu diễn là M  x; y  .  z  x  yi . z  2  i  z  2i  x  yi  2  i  x  yi  2i  x  2   y  1 i  x   2  y  i  2  x  2    y  1 2  x2   2  y  2  4 x  4  2 y  1   4 y  4  4 x  2 y  1  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng 4 x  2 y  1  0 . Câu 66. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2  z  z  i . A. Đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . B. Điểm M  1;1/ 2  . C. Đường thẳng 2 x  y  3  0 . D. Đường thẳng 4 x  2 y  3  0 . Lời giải Chọn A Gọi M  x ; y  , x, y   là điểm biểu diễn số phức z . Suy ra z  x  iy . 2 2 2  z  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  0 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0 . Câu 67. Cho số phức z thỏa mãn 2 z  2  3i  2i  1  2 z . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường thẳng có phương trình: A. 20 x 16 y  47  0 . B. 20 x  6 y  47  0 . C. 20 x  16 y  47  0 . D. 20 x  16 y  47  0 . Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi, x, y   .  z  x  yi . 2 z  2  3i  2i  1  2 z  2 x  yi  2  3i  2i  1  2  x  yi  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  2 x  2   y  3  i  2 x  1   2 y  2  i 4 2  x  2    y  3 2  2  2 x  1   2 y  2  2 2 2 2 2  4  x  2    y  3    2 x  1   2 y  2     16 x  24 y  16  36  4 x  8 y  1  4  20 x  16 y  47  0 . Câu 68. (Kim Liên – Hà Nội 2019) Cho số phức thỏa mãn z  i  z  1  2i . Tập hợp điểm biểu diễn số phức    2  i  z  1 trên mặt phẳng phức là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là A. x  7 y  9  0 . B. x  7 y  9  0 . C. x  7 y  9  0 . D. x  7 y  9  0 . Lời giải Chọn A Ta có:    2  i  z  1  z   1 2i . Gọi   x  yi,  x, y    . Ta có: z  i  z  1  2i   2  x  2   y  2  2   1 2i i  2  1 2i  x  1   y  5 2  1  2i   x  2   y  2 i 2i   x  1   y  5 i 2i  x  7 y  9  0. Kết luận: Tập hợp điểm biểu diễn số phức  trên mặt phẳng phức là một đường thẳng có phương trình x  7 y  9  0. Dạng 3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường conic Câu 69. (Sở Bình Phước 2019) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z  i  z  z  2i là A. Một điểm B. Một đường tròn C. Một đường thẳng Lời giải D. Một Parabol Chọn D Đặt z  x  yi  x, y     z  x  yi . Khi đó 2 z  i  z  z  2i  2 x   y  1 i   2 y  2  i 2 2  4  x 2   y  1    2 y  2     4 x2  4 y 2  8 y  4  4 y 2  8 y  4  y x2 là một Parabol. 4 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 70. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Một đường elip. C. Một đoạn thẳng. B. Một đường parabol. D. Một đường tròn. Lời giải Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Xét hai điểm F1  2;0  , F2  2;0  , khi đó theo giả thiết: z2  z2  4  x  2 2  y2   x  2 2  y 2  4  MF1  MF2  4 . Mà F1F2  4 , nên MF1  MF2  F1F2 . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z chính là đoạn thẳng F1 F2 . Câu 71. Xét các số phức z thoả mãn parabol có toạ độ đỉnh 1 3 A. I  ;   . 4 4 z 1  i  z  zi 1 là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  1 1 B. I   ;  .  4 4 1 3 C. I  ;   . 2 2 Lời giải z là 2  1 1 D. I   ;  .  2 2 Giả sử z  a  bi  a, b  R  . Khi đó  z 1  i  z  zi 1  a  1   b  1 i 1  2ai  a  1   b  1 i  1  2ai   1  4a 2 a  1  2a  b  1   2a  a  1  b  1 i 1  4a 2 z 1 i  z  zi 1 . 2 là số thực suy ra 2a  a  1  b  1  0  b  2a 2  2a  1  b a 1 a  4.    2.  . 2 2 2 2 z a b có điểm biểu diễn M  ;   quỹ tích M là parabol có phương trình 2 2 2 1 y  4 x2  2 x  2 Số phức Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức Câu 72. z 1 3 là parabol có toạ độ đỉnh I  ;   . 2 4 4 (Chuyên KHTN 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . Lời giải Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi  x, y    . D. Đáp án khác. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có: z  2  i  z  4  i  10  x  2   y  1 i  x  4   y  1 i  10.  2  x  2    y  1 2 2  x  4    y  1  Đặt A  2;1 , B  4;1  AB   4  2 2 2  10 (*)  02  6. Khi đó phương trình (*) trở thành: MA  MB  10. Khi đó tập hợp những điểm M thỏa mãn phương trình (*) là một elip với. 10 + Độ dài trục lớn 2a  10  a   5. 2 6 + Tiêu cự 2c  AB  6  c   3. 2 + Độ dài trục bé 2b với b2  a2  c2  52  32  16  b  4. Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 là diện tích Elip trên: S   ab   4.5  20 . Câu 73. (CHUYÊN VINH 2017) Gọi là điểm biểu diễn của số phức M z thỏa mãn 3 z  i  2 z   z  3i . Tìm tập hợp tất cả những điểm M như vậy. A. Một đường thẳng. B. Một parabol. C. Một elip. Lời giải D. Một đường tròn. Chọn B Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn là M  x, y  trên mặt phẳng tọa độ: Theo đề bài ta có: 3 z  i  2 z  z  3i  3( x  yi)  3i  2( x  yi)  ( x  yi)  3i  . 3x  (3 y  3)i  x  (3  3 y )  9 x 2  (3 y  3)2  x 2  (3  3 y )2  . 2 9 x 2  (3 y  3)2  x 2  (3  3 y )2  8 x 2  36 y  0  y   x 2 . 9 Vậy tập hợp các điểm M  x, y  biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là Một parabol 2 y   x2 . 9 Câu 74. (Sở Bình Phước 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là? 2 2 A.  C  :  x  2    y  2   64 . C.  E  : x2 y2  1. 12 16 B.  E  : 2 x2 y2  1. 16 12 2 D.  C  :  x  2    y  2   8 . Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  , F1 (2;0) , F2 (2;0) . Ta có z  2  z  2  8  x 2  ( y  2) 2  x 2  ( y  2) 2  8  MF1  MF2  8 . Do đó điểm M  x; y  nằm trên elip  E  có 2a  8  a  4, ta có F1 F2  2c  4  2c  c  2 . Ta có b 2  a 2  c 2  16  4  12 . Vậy tập hợp các điểm M là elip  E  : x2 y 2  1. 16 12 Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75. (THPT Nguyễn Trãi 2017) Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  i  z  z  2i là hình gì? A. Một đường tròn. C. Một đường Elip. B. Một đường Parabol. D. Một đường thẳng. Lời giải Chọn B  Đặt z  x  yi  z  x  yi điểm biểu diễn của z là M  x; y  . Ta có: 2 z  i  z  z  2i  2 x  yi  i   x  yi    x  yi   2i 2  2 x   y  1 i  2  y  1 i  2 x 2   y  1  2 y  1  y  1 2. x 4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol. Câu 76. (THPT Hai Bà Trưng- Huế 2017) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. . A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x 2 y2   1. 9 25 B. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x ; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x  4 2  y2  x  4 2  y 2  12 . C. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0; 0 và có bán kính R  4 . D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x 2 y2   1. 25 9 Lời giải Chọn D Ta có: Gọi M x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi. . Gọi A 4; 0 là điểm biểu diễn của số phức z  4. . Gọi B 4; 0 là điểm biểu diễn của số phức z  4. . Khi đó: z  4  z  4  10  MA  MB  10. (*). Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. x 2 y2 Gọi phương trình của elip là 2  2  1, a  b  0, a 2  b 2  c 2 . a b Từ (*) ta có: 2a  10  a  5. .   AB  2c  8  2c  c  4  b 2  a 2  c 2  9 . Vậy quỹ tích các điểm M là elip: E  : x 2 y2   1. 25 9 Câu 77. (Chuyên Bến Tre 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10 . Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường có phương trình. A. x2 y 2   1. 9 25 B. x2 y2  1. 25 9 C. x2 y 2   1. 9 25 D. x2 y 2  1. 25 9 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  . Từ giả thiết ta có  x  4 2  y2   x  4 2  y 2  10  MF1  MF2  10 với F1  4;0  , F2  4;0  . Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường Elip có phương trình x2 y2  1. 25 9 Dạng 4. Tập hợp điểm biểu diễn là một miền Câu 78. Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. 6  z  8 . B. 2  z  4  4i  4 . C. 2  z  4  4i  4 . D. 4  z  4  4i  16 . Lời giải Dễ thấy điểm I  4; 4  là tâm của hai đường tròn. 2 2 Đường tròn nhỏ có phương trình là:  x  4    y  4   4 . 2 2 Đường tròn to có phương trình là:  x  4    y  4   16 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là 2  z  4  4i  4 . Câu 79. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết z   2  3i   2 . A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. Lời giải D. Một đường Elip. Cách 1: Đặt z  x  yi với x, y   . Theo bài ra: z   2  3i   2  x  yi   2  3i   2  x  2  ( y  3)i  2   x  2 2   y  32 2 2  2   x  2    y  3  4 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là hình tròn tâm I  2 ;  3 , bán kính R  2 . Câu 80. Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z  4  4i  2 là A. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  4 . B. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  2 . Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  2 . D. Hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R  4 . Lời giải Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi;  x; y    . z  4  4i  2 .  x  yi  4  4i  2  x  4   y  4 i  2  2  x  4   y  4 2 2 2 2   x  4   y  4  4 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z  4  4i  2 là hình tròn tâm I  4; 4  , bán kính R 2. Câu 81. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội -2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích của hình phẳng đó. A. S  25 . B. S  8 . C. S  4 . Lời giải D. S  16 . Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z ; A  1;3 là điểm biểu diễn số phức 1  3i . Khi đó, AM  z  3i  1  2 2  a  1   b  3 2 2  32   a  1   b  3   25 , tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn  A;3 và  A;5  , kể cả các điểm nằm trên hai đường tròn này. S  25  9  16  dvdt  . Câu 82. (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Trong mặt phẳng Oxy cho số phức z có điểm biểu diến nằm trong cung phần tư thứ  I  . Hỏi điểm biểu diễn số phức w  1 nằm trong cung phần tư thứ iz mấy? A. Cung  IV  . B. Cung  II  . C. Cung  III  . D. Cung  I  . Lời giải Vì số phức z có điểm biểu diến nằm trong cung phần tư thứ  I  nên gọi z  a  bi,  a  0, b  0  . w 1 1 1 b  ai b a    2 2  2 2 2 2i iz i  a  bi  b  ai a  b a b a b Do a  0, b  0  b a  0,  2  0. 2 a b a  b2 2 Vậy điểm biểu diễn w nằm trong cung phần tư thứ  III  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 83. (Sở Nam Định – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,gọi  H  là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 16 và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0;1 .Tính 16 z diện tích S của  H  A. S  32  6    . B. S  16  4    . D. S  64 . . C. S  256. . Lời giải. 20 18 A B 16 14 12 10 8 6 4 2 O 10 E 5 5 I 10 15 C 2 4 6 8 Gọi z  x  yi, x, y  R khi đó điểm biểu diễn của z là M  x; y  . x  0  1  0  x  16 z x  yi x y  16 (I)     i theo giả thiết  16 16 16 16 0  y  1 0  y  16  16 16  x  yi  16 16 16 x 16 y   2  2  2 i 2 2 z x  yi x y x y x  y2  0   Theo giả thiết  0   16 x 1 0  16 x  x 2  y 2 x  y2  2 2 16 y 0  16 y  x  y  1 x2  y 2 2  x  0, y  0  x  0, y  0  2  2   x  y 2  16 x  0   x  8   y 2  64 (II)  2  x 2  y 2  16 y  0 2   x   y  8   64 Gọi S1 là diện tích hình vuông OABC có cạnh bằng 16, S1  162  256 . S2 là diện tích hình tròn có bán kính bằng 8. S3 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn như hình vẽ. 1  1 S  S1  S2  S3  256  64  2   82  82  2  4 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy S  256  64  32  64  32  6    . Câu 84. (Sở Yên Bái – 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó. A. S  4 . B. S  25 . C. S  8 . D. S  16 . Lời giải Gọi z  a  bi  a ; b    . 2 2 Ta có 3  z  3i  1  5  3  a  bi  3i  1  5  9   a  3   b  1  25 . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn có tâm I  3;  1 bán kính lần lượt là 3 và 5.  Vì vậy S   52  32 Câu 85.   16 . (Sở Hà Tĩnh 2017) Biết số phức z thõa mãn z  1  1 và z  z có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là: A. 2 . B.  2 . C.  2 Lời giải D.  . . Chọn C y 2 1 -1 O 1 2 x -1 . Đặt z  x  yi  z  x  yi khi đó ta có: z  1  1   x  yi   1  1 . 2   x  1  yi  1   x  1  y 2  1 1 . z  z   x  yi    x  yi   2 yi có phần ảo không âm suy ra y  0  2 . Từ (1) và (2) ta suy ra phần mặt phẳng biểu diễn số phức z là nửa hình tròn tâm I 1;0  bán kính r  1 , diện tích của nó bằng 1 2   r   (đvdt). 2 2 Câu 86. (Chuyên Võ Nguyên Giáp 2017) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ 0xy sao cho 2 z  z  3 , và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H . A. 3 . 2 B. 3 . 4 C. 6 . D. 3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi,  x, y    . Ta có 2  x  yi    x  yi   3  x 2  9 y 2  3  x 2  9 y 2  9  Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip Ta có a  3, b  1, nên diện tích hình H cần tìm bằng x2 y 2   1. 9 1 x2 y 2   1. 9 1 1 diện tích Elip. 4 1 3 Vậy S  . .a.b  . 4 4 Câu 87. (Chuyên Thái Nguyên 2017) Tập hợp các số phức w  1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1  1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. B.  . A. 2 . C. 3 . Lời giải D. 4 . Chọn A Gọi w  x  yi; x; y   . Ta có w  1  i  z  1  z  Do đó z  1  1    x  2    y  1 i  1 . w 1 w2i 1  1  1 1 i 1 i 1 i  x  2    y  1 i 1 i w 1 . 1 i 2 2  1   x  2    y  1  2 . Vậy diện tích hình tròn đó là S  2 . z  2 z  3i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  2    2  i  z  i   3  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox , OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong Câu 88. Gọi M là điểm biểu diễn số phức       góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (IV). B. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (III). Lời giải Chọn B Ta có:  2  i  z  i   3  i  z  z  1  i  w  Lúc đó: sin 2  Câu 89. 5 1 5 1 1  i  M  ;   tan   . 4 4 5 4 4 2 tan  5 1  tan 2  12   0; cos 2     0. 1  tan 2  13 1  tan 2  13 (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB-2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . Lời giải D. S  25 . Chọn C w 1  i 2 w 1 i z  3  4i  2   3  4i  2  w  1  i  6  8i  4  w  7  9i  4 1 2 w  2z 1  i  z   x, y    , khi đó 1   x  7 2   y  9 2  16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I  7;  9  , bán kính Giả sử w  x  yi r  4. Vậy diện tích cần tìm là S   .4 2  16 . Câu 90. (THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa – 2017)Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng: A. 9 . B. 16 . D. 4 . C. 25 . Lời giải Chọn B . Gọi z  x  yi . 2 2 (với x, y   )  3  z  3i  1  5  9   x  1   y  3  25 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là hình vành khăn giới hạn bởi   hai đường tròn bán kính R  5 và r  3. Diện tích S   R 2  r 2  16 . Câu 91. Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Một đường Parabol. B. Một đường Elip. C. Một đoạn thẳng. Lời giải D. Một đường tròn. Chọn C Cách 1: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi , với x, y   . Ta có z  2  z  2  4   x  2   yi   x  2   yi  4   x  2 2  y2   x  2 2  y2  4 Xét F1  2;0  , F2  2;0   F1F2  4 . MF1  MF2   x  2 2  y2   x  2 2  y2 . Suy ra MF1  MF2  F1 F2  M thuộc đoạn thẳng F1 F2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy tập hợp các điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức z là một đoạn thẳng F1 F2 . Câu 92. (THPT Ngô Quyền – Ba Vì – Hải Phòng 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2 . trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  25 B. S  9 C. S  12 D. S  16 Lời giải Chọn D Ta có: w  2 z  1  i  2 z  w  1  i . Ta có: z  3  4i  2  2 z  6  8i  4  w  1  i  6  8i  4  w  7  9i  4 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I  7; 9  , bán kính R  4. Do đó diện tích hình tròn tâm I  7; 9  , bán kính là S  16 . Câu 93. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z  z  z  12 thỏa mãn  . Diện tích của hình phẳng  H  là:  z  4  3i  2 2 A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . Lời giải D. 8  4 . Chọn C Gọi z  x  yi ; ( x, y   );  z  x  yi .  2 x  12  x  6  z  z  12   Ta có  H  .  2 2 2 2  z  4  3i  2 2  x  4    y  3  8  x  4    y  3   8  H  là phần tô đậm trong hình vẽ.  y  3  y  3 Giải hệ :  .  2 2  x  4  2 2  x  4    y  3  8     Suy ra đồ thị hàm số y  3 cắt đường tròn  C  tại E 4  2 2;3 và F 4  2 2;3 . 4 2 2 Vậy diện tích của hình phẳng  H  là: 2.  6 3  2  8   x  4   3 dx =2  4 . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 5. Một số dạng toán khác Câu 94. Các điểm A, B tương ứng là điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên hệ trục tọa độ Oxy , G là trọng tâm tam giác OAB , biết z1  z2  z1  z2  12 . Độ dài đoạn OG bằng A. 4 3 . B. 5 3 . C. 6 3 . Lời giải D. 3 3 . Chọn A Ta có: OA  OB  AB  12  OAB đều. 2  OG  AH  4 3 ( do AH  6 3 đường cao trong tam giác đều). 3 Kết luận: OG  4 3 . Câu 95. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . Lời giải D. Đáp án khác. Chọn C Đặt z  x  yi( x; y ) . Ta có: z  2  i  z  4  i  10  ( x  2)2  ( y  1)2  ( x  4) 2  ( y  1)2  10  x 2  y 2  2 y  1  4 x  4  x 2  y 2  2 y  1  16  8 x  10 .  c  x2  y 2  2 y  1 Đặt  . d  4 x  4  16  8 x  24  2d Thay vào ta có: c  d  c  24  2d  10  9d 2  400c  56d  5776  0 .  9(4 x  4) 2  400( x 2  y 2  2 y  1)  56(4 x  4)  5776  0  256( x  1) 2  400( y  1) 2  6400 .  X  x 1 X 2 Y2   1. Đặt  ta thu được tập hợp số phức z là một Elip có phương trình: 25 16 Y  y 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức chính là diện tích của Elip trên. Áp dụng công thức tính diện tích Elip với a  5, b  4 ta được: S   .a.b  20 . Câu 96. Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z1 , z2 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z12  z 22  z1 z2 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Vuông cân tại O. B. Vuông tại O. C. Đều. Lời giải D. Cân tại O. Chọn C Ta có: z12  z 22  z1 z2 (1) 2 z  z    1    1  1  0.  z2   z 2   z1 1 z 3   i  1  1  z1  z2  OA  OB . z2 2 2 z2 (1)  ( z1  z2 ) 2   z1 z2 . Lấy modul 2 vế: z1  z2 2 2   z1 z2  z1 .  AB2  OA2  OA  OB  AB . Vậy tam giác OAB là tam giác đều. Câu 97. (Sở Kon Tum 2019) Cho các số phức z1  3  2i, z2  1  4i, z3  1  i có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng Oxy lần lượt là các điểm A, B , C . Tính diện tích tam giác ABC . A. 2 17 . B. 12 . C. 4 13 . Lời giải D. 9 . Chọn D z1  3  2i, z2  1  4i, z3  1  i có điểm biểu diễn hình học trong mặt phẳng Oxy lần lượt là các điểm A, B , C  A  3; 2  , B 1; 4  , C  1;1 .   1 AB   x1 ; y1  , AC   x2 ; y2   S ABC  x1 y2  x2 y1 . 2   AB   2; 6  , AC   4;3 Diện tích tam giác ABC là: S  Câu 98. 1  2  .3   4  .6  9 . 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ, I là trung điểm MN , O là gốc tọa độ, ( 3 điểm O, M , N không thẳng hàng ). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng? A. z1  z2  2  OM  ON  . B. z1  z2  OI . C. z1  z2  OM  ON . D. z1  z2  2OI . Lời giải Chọn D Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ và 3 điểm O, M , N không thẳng hàng.    Nên ta có z1  z2  OM  ON  NM  NM loại đáp án z1  z2  2  OM  ON  và z1  z2  OM  ON     Mặt khác z1  z2  OM  ON  2OI  2 OI  2OI (theo quy tắc đường trung tuyến của tam giác) loại đáp án z1  z2  OI . Câu 99. Cho số phức z  m  2   m 2  1 i với m   . Gọi  C  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành bằng: A. 32 . 3 B. 8 . 3 C. 1. D. 4 . 3 Lời giải Chọn D Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    . m  x  2 x  m  2 Theo giả thiết, z  m  2   m 2  1 i nên:    y  x2  4 x  3 .  2 2  y  m  1  y   x  2   1  C  : y  x2  4 x  3 .  x  3 Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox : x 2  4 x  3  0   .  x  1  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành: 1 S  3 1 1  x3  4 4 x  4 x  3 dx    x  4 x  3  dx    2 x 2  3 x     0  . 3 3  3  3 3 2 Vậy S  2 4 . 3 Câu 100. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biếu diễn các số phức 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i trên mặt phẳng tọa độ. Biết tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, tâm của đường tròn đó biếu diện số phức có phần thực là A. 3 C. 2 Lời giải B. 2 D. 1 Chọn D     Ta có A 1; 2  ; B 1  3;1 ; C 1  3; 1 ; D 1; 2    1 Có AD  2 BC ; AB  BC  CD  AD nên tứ giác ABCD là nửa lục giác đều 2 Vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của AD và I 1;0  nên biểu diễn số phức là z  1  0 i  z  1 , có phần thực là 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 101. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Xét hai điểm A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy biểu diễn các số phức z và 1  3i  z . Biết rằng diện tích của tam giác OAB bằng 6, môđun của số phức z bằng A. 2 . B. 2 3 . C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn A Ta có: OA  z , OB  1  3i  z  10 z , AB  z 1  3i  1  3iz  3 z . 2 Ta thấy OB 2  AB 2  OA2  10 z  OAB vuông tại Do đó SOAB  6  A. 1 1 AB.OA  3 z . z  6  z  2. 2 2 Câu 102. (THPT Phan Bội Châu – Nghệ An – 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  z  z  z  z 2 và z  m ?   A. 2; 2 2 . C. 2 . B.  2; 2 2  .   D. 2; 2 2 . Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi  x, y  R   4 x 2  4 y 2  x 2  y 2  z  z  z  z  z 2  x 2  y 2  2 x  2 y  0 1     2  2 2 2 2  x  y  m  0  2   z  m  x  y  m Điều kiện 1 cho ta bốn đường tròn: +  C1  có tâm I1 1;1 và bán kính R1  2 . +  C2  có tâm I 2  1;1 và bán kính R2  2 . +  C3  có tâm I3 1;  1 và bán kính R3  2 . +  C4  có tâm I 4  1;  1 và bán kính R4  2 . Điều kiện  2  là đường tròn  C  tâm O và bán kính R  m . Dựa vào đồ thị, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn  C  tiếp xúc với 4 đường tròn  C1  ,  C2  ,  C3  ,  C4  tại D, A, B, C hoặc đi qua các giao điểm E , F , G , H của bốn đường tròn đó. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra m  2 2 hoặc m  2 . Cách 2: dùng điều kiện trên rồi thử các đáp án. Câu 103. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Có bao nhiêu số phức z  a  bi ,  a, b  thỏa mãn z  i  z  3i  z  4i  z  6i và z  10 . A. 12 . B. 2 . C. 10 . Lời giải D. 5 . Chọn A Gọi M  a; b  , A  0;  1 , B  0;3 , C  0;  4  , D  0;6  lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z  a  bi , i , 3i , 4i , 6i . Trường hợp 1: Xét trường hợp M không thuộc Oy . Gọi I là trung điểm AB khi đó I cũng là trung điểm CD . Do ( M , A , B ), ( M , C , D ) không thẳng hàng. Gọi M  là điểm đối xứng của M qua I . Theo tính chất hình bình hành ta có MA  MB  MB  M B ; MC  MD  MD  M D . Dễ thấy MD  M D  MB  M B vậy trường hợp này không có điểm M thỏa mãn. Trường hợp 2: Xét trường hợp M thuộc Oy  M  0; m  ,  m  10  . m  6 MA  MB  MC  MD  m  1  m  3  m  4  m  6   .  m  4 Kết hợp điều kiện  m   10; 4   6;10 . Vì m    có 12 giá trị. Câu 104. Cho hai số phức z1 ; z2 thoả mãn: z1  6, z2  2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của các số   600 , khi đó giá trị của biểu thức z 2  9 z 2 bằng phức z1 , iz2 . Biết MON 1 2 A. 18 . B. 36 3 . C. 24 3 . Lời giải D. 36 2 . Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có: z1  6 nên điểm biểu diễn của số phức z1 là điểm M nằm trên đường tròn  C  tâm O , bán kính bằng 6. 3iz2  3 iz2  6 nên điểm biểu diễn của số phức 3iz2 là điểm N1 ( N1 là giao điểm của tia ON với đường tròn  C  , N là điểm biểu diễn của số phức iz2 ), điểm biểu diễn của số phức 3iz2 là điểm N 2 đối xứng với điểm N1 qua O .   600  MON   600 ; MON   1200 Theo giả thiết: MON 1 2 Ta có: 2 z12  9 z22  z12   3iz2   z1  3iz2 z1  3iz2  z1  3iz2 z1   3iz2   MN1.MN 2  6.6 3  36 3 Câu 105. (SP Đồng Nai – 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37 . Xét số phức z  A. b  z1  a  bi . Tìm b z2 3 3 . 8 B. b  39 . 8 C. b  3 . 8 D. b  Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 . 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Cách 1 Giả sử z1  x1  y1i  M  x1; y1  và z2  x2  y2i  N  x2 ; y2  Theo giả thiết ta có: OM  3, ON  4, MN  37 Suy ra: tập hợp các điểm biểu diễn z1 là đường tròn  C1  có tâm O, R1  3 tập hợp các điểm biểu diễn z2 là đường tròn  C2  có tâm O, R2  4 2 2 2   OM  ON  MN   1  MON   1200 (không đổi) Xét tam giác OMN có cos MON 2.OM .ON 2   Suy ra M là ảnh của N qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự V 3  O,   4 và phép quay Q O ,1200 hoặc phép quay Q O ,1200     Như vậy ứng với mỗi điểm N ta có 2 điểm M đối xứng nhau qua ON thỏa yêu cầu bài toán Không mất tính tổng quát của bài toán ta chọn N  4;0  khi đó M , M ‘ đối xứng qua Ox 3  0   1200  xM  OM .sin 30   2  MON yOM  300   Vì  suy ra  0   NOy  90  y  OM .cos 300  3 3  M 2  3 3 3  3 3 3 ‘  M   ;  và M   ;   2   2 2   2 3 3 3 z 3 3 3 Khi đó z1    i, z2  4 suy ra z  1    i 2 2 z2 8 8 3 3 3 z 3 3 3 Và z1    i, z2  4 suy ra z  1    i 2 2 z2 8 8 Vậy b  3 3 8 Cách 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 z1  3 1 Ta có: z2  4  2  z1  z2  37  3 Mặt khác z  z1  a  bi  z1  z.z 2 (4) z2   z   z . z2  3  Thay (4) vào (1) và (3) ta được:   z  1 . z2  37  z 1   3 4 37 4 9 28 3    2 2  a   8  2a  1  16  a  b  16 3 3   b  8  b2  9  a 2 b 2  27  a  12  b 2  37    16 16 64 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 35 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC CAO SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Xét phương trình bậc hai az 2  bz  c  0,   với a  0 có:   b 2  4ac . b . 2a Nếu   0 và gọi  là căn bậc hai  thì   có hai nghiệm phân biệt: Nếu   0 thì   có nghiệm kép: z1  z2   z1  b   b    z2  . 2a 2a  Lưu ý b c và z1 z2  . a a Căn bậc hai của số phức z  x  yi là một số phức w và tìm như sau: Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức  : z1  z2   + Đặt w  z  x  yi  a  bi với x, y, a, b   . a 2  b 2  x 2 + w2  x  yi   a  bi    a 2  b 2   2abi  x  yi   . 2ab  y + Giải hệ này với a, b   sẽ tìm được a và b  w  z  a  bi . Câu 1. (THPT Phan Bội Châu – Nghệ An -2019) Gọi z1 ; z 2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 z 2  2z 10  0 . Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 . A. 10 3 . B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . Câu 2. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  5  0 là: A. 1  2i . B.  1  2i . C.  1  2i . D. 1  2i . Câu 3. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1  z0 là A. N  2; 2 . Câu 4. B. M  4; 2  . C. P  4;  2  . D. Q  2;  2 . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1  z0 là A. M  2;2  . Câu 5. B. Q  4; 2  . C. N  4; 2  . D. P  2; 2  . (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  4 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1  z0 là A. P(1; 3). Câu 6. B. M (1;3). C. N (3; 3). D. Q(3;3). (Mã 104 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  4 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. M  3; 3 . Câu 7. B. P  1;3  . C. Q 1;3 D. N  1; 3  . (Mã 102 – 2020 Lần 2) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  3  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 3. B. 2 3 . C. 6 . D. 3 . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 8. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  2  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 2 . Câu 9. B. 4 . C. 2 2 . D. 2. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  3  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 3 . Câu 10. B. 2 3 C. 3. D. 6 . (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Môđun của số phức z0  i bằng A. 2 . Câu 11. B. 2. C. 10 . D. 10 . (Mã104 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  4  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. A. T  8 Câu 12. D. T  2 (Mã 123 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và 1  2i là nghiệm. A. z 2  2 z  3  0 Câu 13. C. T  2 B. 4 B. z 2  2 z  3  0 C. z 2  2 z  3  0 D. z 2  2 z  3  0 (Mã 110 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2  z  1  0 . Tính P  z1  z2 . A. P  Câu 14. 2 3 B. P  3 3 C. P  2 3 3 D. P  14 3 (Mã 102 – 2019) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6z  14  0 . Giá trị của z12  z2 2 bằng A. 36 . Câu 15. B. 8 . C. 28 . D. 18 . (Mã 104 – 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  7  0. Giá trị của z12  z 22 bằng Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. 2. B. 8. Câu 16. C. 16. D. 10. (Đề Tham Khảo 2017) Kí hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 . Tính P  z12  z22  z1 z2 . A. P  2 Câu 17. B. P  1 C. P  0 D. P  1 (Đề Tham Khảo 2019) Kí hiệu z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3 z  5  0 . Giá trị của z1  z2 bằng: A. 10 Câu 18. B. 2 5 . C. 5. D. 3 . (Mã 105 2017) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  6  0 . Tính P 1 1  . z1 z2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 A. 6 Câu 19. 1 B.  6 C. 6 D. 1 12 (Đề Tham Khảo 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng: B. 2 3 A. 3 2 Câu 20. D. 3 (Mã 103 – 2019) Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Giá trị của z12  z22 bằng A. 16. Câu 21. C. 3 B. 26. C. 6. D. 8. (Mã 101 – 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6 z  10  0 . Giá trị của z12  z 22 bằng: A. 16. Câu 22. B. 56 . C. 20. D. 26 . (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 . A. 10 3 . Câu 23. B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . (Chuyên Sơn La 2019) Ký hiệu z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  2 z  10  0 . Giá trị của z1 . z2 bằng A. 5 . 5 . 2 B. C. 10 . D. 20 . Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3 . Giá trị của z1  z2 bằng A. 6 . Câu 25. B. 2 3 . C. 3 . D. 3. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  8 z  25  0 . Giá trị z1  z2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 8 . D. 6 . Câu 26. Biết z là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình z 2  6 z  10  0 . Tính tổng phần z thực và phẩn ảo của số phức w  . z 7 1 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 27. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Tính 1 1 w    i z12 z2  z2 2 z1 . z1 z2  4 A. w    20i . 5  B. w  4  20i . 5 C. w  4  20i . 4 D. w  20  i . 5 Câu 28. Với các số thực a, b biết phương trình z 2  8az  64b  0 có nghiệm phức z0  8  16i . Tính môđun của số phức w  a  bi A. w  19 B. w  3 C. w  7 D. w  29 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 29. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Phương trình z 2  a . z  b  0 , với a , b là các số thực nhận số phức 1  i là một nghiệm. Tính a  b ? . A. 2 . Câu 30. B. 4 . C. 4 . D. 0 . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  7  0 . Số phức z1 .z2  z2 .z1 bằng A. 2 B. 10 C. 2i D. 10i Câu 31. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2  2 z  27  0 . Giá trị của z1 z2  z 2 z1 bằng: B. 6 A. 2 Câu 32. C. 3 6 D. 6 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 4 z 2  4 z  29  0 .Tính giá trị của biểu thức z1  z 2 . A. 841 . Câu 33. B. 1682 . C. 1282 . D. 58 . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2  z  1  0 . Tính P  z1  z2 . A. P  Câu 34. 14 . 3 B. P  2 . 3 C. P  3 . 3 D. P  2 3 . 3 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 z 2  z  2  0 . Tính giá trị biểu thức T  z1  z 2 . A. T  2 . 3 8 B. T  . 3 C. T  4 . 3 D. T   Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 11 . 9 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC CAO SỐ PHỨC Chuyên đề 35 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Xét phương trình bậc hai az 2  bz  c  0,   với a  0 có:   b 2  4ac . b . 2a Nếu   0 và gọi  là căn bậc hai  thì   có hai nghiệm phân biệt: Nếu   0 thì   có nghiệm kép: z1  z2   z1  b   b    z2  . 2a 2a  Lưu ý b c và z1 z2  . a a Căn bậc hai của số phức z  x  yi là một số phức w và tìm như sau: Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức  : z1  z2   + Đặt w  z  x  yi  a  bi với x, y, a, b   . a 2  b 2  x 2 + w2  x  yi   a  bi    a 2  b 2   2abi  x  yi   . 2ab  y + Giải hệ này với a, b   sẽ tìm được a và b  w  z  a  bi . Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2 12  0 . Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 B. T  4 A. T  2  2 3 Câu 2. C. T  2 3 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính modun của số phức w  b  ci , b, c  biết số phức i8  1  2i là nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 . 1  i7 A. 2 . B. 3 . C. 2 2 . Câu 3. D. T  4  2 3 D. 3 2 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z12  z22  z1 z2  0, khi đó tam giác OAB ( O là gốc tọa độ): A. Là tam giác đều. B. Là tam giác vuông. C. Là tam giác cân, không đều. D. Là tam giác tù. Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho phương trình az 2  bz  c  0 , với 2 a, b, c  , a  0 có các nghiệm z1, z2 đều không là số thực. Tính P  z1  z2  z1  z2 2 theo a , b, c. A. P  Câu 5. b2  2ac a2 . B. P  2c . a C. P  4c . a D. P  2b2  4ac a2 . (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh -2019) Gọi S là tổng các số thực m để phương trình z 2  2 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  2. Tính S . A. S  6. B. S  10. C. S  3. D. S  7. Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 6. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S  6 . Câu 7. Câu 8. Câu 9. B. S  6 . C. S  5 . D. S  5 . 2 Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9 z  6 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  1 . Tính S . A. 20 . B. 12 . C. 14 . D. 8 . 2 (Sở GD Kon Tum 2019) Gọi z là một nghiệm của phương trình z  z  1  0 . Giá trị của biểu 1 1 thức M  z 2019  z 2018  2019  2018  5 bằng z z A. 5. B. 2. C. 7. D. 1 . Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức  z1 1 2019   z2  1 A. 21009 . 2019 bằng? B. 21010 . D. 21010 . C. 0 . Câu 10. Cho phương trình z 2  bz  c  0 , có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z2  z1  4  2i . Gọi A, B là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z 2  2bz  4c  0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 8 5. Câu 11. B. 2 5. C. 4 5. D. 5. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w  i và 2w  1 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 . Tổng S  a  b bằng 5 5 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 9 9 3 3 Câu 12. Số phức z  a  bi , a, b  là nghiệm của phương trình  z  1 1  iz   i . Tổng 1 z z T  a 2  b2 bằng A. 4 . B. 4  2 3 . C. 3  2 2 . Câu 13. Cho các số phức z , w khác 0 thỏa mãn z  w  0 và A. Câu 14. 3. B. 1 . 3 1 3 6 z . Khi đó bằng   w z w zw C. 3 . D. 1 . 3 c c tối giản) có hai  0 ( với phân số d d nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Cho phương trình x 2  4 x  giác OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính P  c  2 d . A. P  18 . B. P   10 . C. P  14 . Câu 15. D. 3 . (Đề thử nghiệm 2017) Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  D. P  22 . 10  2  i. Mệnh đề nào dưới đây z đúng? A. 3  z  2. 2 B. z  2. C. z  1 . 2 D. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 3  z  . 2 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z 2  3z  a 2  2a  0 có nghiệm phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn z0  3. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC CAO SỐ PHỨC Chuyên đề 35 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Xét phương trình bậc hai az 2  bz  c  0,   với a  0 có:   b 2  4ac .  Nếu   0 thì   có nghiệm kép: z1  z2   b . 2a  Nếu   0 và gọi  là căn bậc hai  thì   có hai nghiệm phân biệt: z1  b   b    z2  . 2a 2a  Lưu ý  Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức  : z1  z2   b c và z1 z2  . a a  Căn bậc hai của số phức z  x  yi là một số phức w và tìm như sau: + Đặt w  z  x  yi  a  bi với x, y, a, b   . 2  a 2  b 2  x . 2ab  y  + w2  x  yi   a  bi   a 2  b 2  2abi  x  yi   + Giải hệ này với a, b   sẽ tìm được a và b  w  Câu 1. z  a  bi . (THPT Phan Bội Châu – Nghệ An -2019) Gọi z1 ; z 2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 z 2  2z 10  0 . Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 . B. 5 2 . A. 10 3 . C. 2 10 . Lời giải D. 20 . Chọn D  z  1  3i z 2  2 z  10  0   1 .  z2  1  3i 2 2 2 2 Do đó: A  z1  z 2  1  3i  1  3i  20 . Suy ra z1  z2  6 4 . Vậy P  . 3 3 Câu 2. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  5  0 là: A. 1  2i . B.  1  2i . C.  1  2i . D. 1  2i . Lời giải Chọn A  z  1  2i . Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình là z  1  2i . z2  2z  5  0    z  1  2i Câu 3. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1  z0 là A. N  2; 2 . B. M  4; 2  . C. P  4;  2  . D. Q  2;  2 . Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  z  3  2i Ta có: z 2  6 z  13  0   .  z  3  2i Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên z0  3  2i . Từ đó suy ra điểm biểu diễn số phức 1  z0  4  2i là điểm P  4;  2 . Câu 4. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1  z0 là A. M  2;2  . B. Q  4; 2  . C. N  4; 2  . D. P  2; 2  . Lời giải Chọn D  z  3  2i TM  Ta có z 2  6 z  13  0   .  z  3  2i  L  Suy ra 1  z0  1   3  2i   2  2i . Điểm biểu diễn số phức 1  z0 là P  2; 2  . Câu 5. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  4 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1  z0 là A. P(1; 3). B. M (1;3). C. N (3; 3). D. Q(3;3). Lời giải Chọn C  z  2  3i Ta có z 2  4 z  13  0   . Do z0 có phần ảo dương nên suy ra z0  2  3i  z  2  3i Khi đó 1  z0  1   2  3i   3  3i . Vậy điểm biểu diễn số phức 1  z0 là N  3; 3 Câu 6. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  4 z  13  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. M  3; 3 . B. P  1;3 . C. Q 1;3 D. N  1; 3  . Lời giải Chọn D Ta có z 2  4 z  13  0  z  2  3i . Vậy z0  2  3i  1  z0  1  3i . Điểm biểu diễn của 1 z0 trên mặt phẳng tọa độ là: N  1; 3 . Câu 7. (Mã 102 – 2020 Lần 2) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  3  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 3. B. 2 3 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn B  1 z   2 Giải phương trình z 2  z  3  0    1 z    2 11 i 2 . 11 i 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó: z1  z2  Câu 8. 1 11 1 11  i  i  2 3. 2 2 2 2 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  2  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 2 . Lời giải D. 2. Chọn C  1 i 7 z  2 Ta có z 2  z  2  0    1 i 7 z   2 Không mất tính tổng quát giả sử z1  1 i 7 1 i 7 và z2  2 2 2 2 2 2 1  7  1  7   Khi đó z1  z2         2 2 2 2.      2   2   2   2  Câu 9. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  3  0 . Khi đó z1  z2 bằng A. 3 . C. 3 . Lời giải B. 2 3 D. 6 . Chọn B 1 11 Ta có z 2  z  3  0  z    i . Suy ra z1  z2  2 3 2 2 Câu 10. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Gọi z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Môđun của số phức z0  i bằng A. 2 . B. 2. C. 10 . Lời giải D. 10 . Chọn B  z  1  2i  z  1  2i 2 Ta có: z 2  2z  5  0  z 2  2 z  1  4   z  1  4i 2   .   z 1  2  z  1  2i Vì z 0 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z0  1  2i  z0  i  1  2i  i  1  i . 2 Suy ra: z0  i  1  i  12   1  2 . Câu 11. (Mã104 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  4  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. A. T  8 B. 4 C. T  2 Lời giải D. T  2 Chọn B  z  2i Ta có: z 2  4  0   1 .  z2  2i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Suy ra M  0; 2  ; N  0; 2  nên T  OM  ON  Câu 12.  2  2  22  4 . (Mã 123 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và 1  2i là nghiệm. A. z 2  2 z  3  0 B. z 2  2 z  3  0 C. z 2  2 z  3  0 Lời giải D. z 2  2 z  3  0 Chọn B z  z  2 Theo định lý Viet ta có  1 2 , do đó z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  3  0  z1 .z2  3 Câu 13. (Mã 110 2017) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2  z  1  0 . Tính P  z1  z2 . A. P  2 3 B. P  3 3 C. P  2 3 3 D. P  14 3 Lời giải Chọn C 2 Xét phương trình 3 z 2  z  1  0 có    1  4.3.1  11  0 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt z1  1  i 11 1 11 1  i 11 1 11   i; z 2    i 6 6 6 6 6 6 Suy ra 2 2 2 2 3 3 2 3 1 11 1 11  1   11   1   11  P  z1  z2      i  i              3 3 3 6 6 6 6 6  6  6  6  Câu 14. (Mã 102 – 2019) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6z  14  0 . Giá trị của z12  z2 2 bằng A. 36 . B. 8 . C. 28 . D. 18 .  z  3  5i 2 Ta có : z 2  6z  14  0    z12  z2 2  3  5i  3  5i  z  3  5i  Câu 15.    2  8. (Mã 104 – 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  7  0. Giá trị của z12  z 22 bằng Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. 2. B. 8. C. 16. Lời giải D. 10. Chọn A Ta có   4  7  3  2  3i  . Do đó phương trình có hai nghiệm phức là z1  2  3i, z2  2  3i.  Suy ra z12  z22  2  3i Câu 16. 2    2  3i  2  4  4 3i  3  4  4 3i  3  2. (Đề Tham Khảo 2017) Kí hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 . Tính P  z12  z22  z1 z2 . A. P  2 B. P  1 C. P  0 D. P  1 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C Cách 1  1 z    2 z2  z 1  0    1 z    2  3 i 2 3 i 2 2 2  1 3   1 3   1 3  1 3  P  z  z  z1 z2     i      i      i     i   0  2 2   2 2   2 2  2 2  2 1 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1  z2  1 ; z1.z2  1 . 2 Khi đó P  z12  z22  z1 z 2   z1  z2   2 z1 z2  z1 z2  12  1  0 . Câu 17. (Đề Tham Khảo 2019) Kí hiệu z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3 z  5  0 . Giá trị của z1  z2 bằng: A. 10 B. 2 5 . C. 5 . Lời giải D. 3 . Chọn B  3  z1   2 Xét phương trình z 2  3 z  5  0 ta có hai nghiệm là:   3  z2    2 11 i 2 11 i 2  z1  z2  5  z1  z2  2 5 . Câu 18. (Mã 105 2017) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  6  0 . Tính P A. 1 1  . z1 z2 1 6 B.  1 6 C. 6 D. 1 12 Lời giải Chọn A z  z  1 1 1 z z 1 Theo định lí Vi-et, ta có  1 2 nên P    1 2  z1 z2 z1 .z2 6  z1z2  6 Câu 19. (Đề Tham Khảo 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng: A. 3 2 Lời giải Chọn D B. 2 3 C. 3  1  z1   2 Xét phương trình 4 z 2  4 z  3  0 ta có hai nghiệm là:   1  z2   2  D. 3 2 i 2 2 i 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  z1  z2  Câu 20. 3  z1  z2  3 2 (Mã 103 – 2019) Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Giá trị của z12  z 22 bằng A. 16. B. 26. C. 6. Lời giải D. 8. Chọn C ’  b’2  ac  4  5  1 Phương trình có 2 nghiệm phức z1  2  i, z2  2  i 2 2 nên z12  z22   2  i    2  i   4  4i  i 2  4  4i  i 2  8  2i 2  8  2  6 Câu 21. (Mã 101 – 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6 z  10  0 . Giá trị của z12  z22 bằng: A. 16. B. 56 . C. 20. Lời giải D. 26 . Chọn A  z1  z2  6 Áp dụng định lý Viet áp dụng cho phương trình trên ta được:  .  z1 z2  10 2 Khi đó ta có z12  z22   z1  z2   2 z1 z 2  36  20  16 . Câu 22. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 z 2  2z  10  0 . Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 . A. 10 3 . C. 2 10 . Lời giải B. 5 2 . D. 20 .  z  1  3i z 2  2 z  10  0   1 .  z2  1  3i 2 2 2 2 Do đó: A  z1  z2  1  3i  1  3i  20 . Câu 23. (Chuyên Sơn La 2019) Ký hiệu z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  2 z  10  0 . Giá trị của z1 . z2 bằng A. 5 . B. 5 . 2 C. 10 . D. 20 . Lời giải  z  1  3i Phương trình z 2  2 z  10  0   . Vậy z1  1  3i , z2  1  3i .  z  1  3i Suy ra z1 . z2  10. 10  10 . Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3 . Giá trị của z1  z2 bằng A. 6 . B. 2 3 . C. 3 . Lời giải D. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z  i 3 Ta có: z 2  3    z1  z2  i 3  i 3  2 3 .  z  i 3 Câu 25. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  8 z  25  0 . Giá trị z1  z2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 8 . Lời giải D. 6 .  z  4  3i Phương trình z 2  8 z  25  0   1 .  z 2  4  3i Suy ra: z1  z2  6i  6 . Câu 26. Biết z là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình z 2  6 z  10  0 . Tính tổng phần z thực và phẩn ảo của số phức w  . z 7 1 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Ta có: z 2  6 z  10  0 z  3  i . Vì z là số phức có phần ảo âm nên  z  3  i  z  3  i Suy ra w  z 3i 4 3    i z 3i 5 5 Tổng phần thực và phần ảo: Câu 27. 4  3 1    . 5  5 5 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Tính 1 1 w    i z12 z2  z2 2 z1 . z1 z2  4 A. w    20i . 5  B. w  4  20i . 5 C. w  4  20i . 4 D. w  20  i . 5 Lời giải  z1  z2  4 Theo hệ thức Vi-et, ta có  .  z1 z2  5 Suy ra w  z2  z1 4  i  z1  z2  z1 z 2   20i . z1 z 2 5 Câu 28. Với các số thực a, b biết phương trình z 2  8az  64b  0 có nghiệm phức z0  8  16i . Tính môđun của số phức w  a  bi A. w  19 B. w  3 C. w  7 D. w  29 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Chọn D  z  z  8a  16  a  2  Theo Viet ta có  1 2 . Vậy w  29 .  z1 .z2  64b  64.5 b  5 Câu 29. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Phương trình z 2  a . z  b  0 , với a , b là các số thực nhận số phức 1  i là một nghiệm. Tính a  b ? . A. 2 . B. 4 . C. 4 . Lời giải D. 0 . Do số phức 1  i là một nghiệm của phương trình z 2  a . z  b  0 . a  b  0  a  2 2 Nên ta có: 1  i   a 1  i   b  0  a  b   a  2  i  0   .  a  2  0 b  2 Vậy: a  b  4 . Câu 30. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  7  0 . Số phức z1 .z2  z2 .z1 bằng A. 2 B. 10 C. 2i D. 10i Lời giải Chọn A  z  2  3i 1 Ta có   z2  2  3i   z1 .z2  z2 .z1  2  3i 2    2  3i  2 2 Câu 31. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3 z 2  2 z  27  0 . Giá trị của z1 z2  z 2 z1 bằng: B. 6 A. 2 C. 3 6 D. 6 Lờigiải Chọn A 3 z 2  2 z  27  0 z1  Câu 32. 1  80i 1  80i vậy z1 z2  z 2 z1 =2 ; z2  3 3 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 4 z 2  4 z  29  0 .Tính giá trị của biểu thức z1  z 2 . A. 841 . B. 1682 . C. 1282 . Lời giải D. 58 .  z1  2  5i 2 2 2 Phương trình z 2  4 z  29  0   z  2   25   z  2    5i    .  z2  2  5i  2  Suy ra z1  z2  4 4 Vậy z1  z2  Câu 33.  2  52  29 . 4 29   29  4  1682 . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2  z  1  0 . Tính P  z1  z2 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 14 A. P  . 3 2 B. P  . 3 3 C. P  . 3 Lời giải D. P  2 3 . 3 Cách 1: 1 1 11  1 Ta có 3z 2  z  1  0  z 2  z   0   z   2   3 36 3  6  1 z   11 1  6   z   2  i2   6 36   1 z   6  11 i 6 . 11 i 6 2 2 2 2 2 3  1   11   1   11  . Khi đó P                3 6  6  6  6  Cách 2: Theo tính chất phương trình bậc 2 với hệ số thực, ta có z1; z2 là hai số phức liên hợp nên z1.z2  z12  z22 . Mà z1.z2  Vậy P  z1  z2  Câu 34. 1 3 suy ra z1  z2  . 3 3 2 3 . 3 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 z 2  z  2  0 . Tính giá trị biểu thức T  z1  z 2 . A. T  2 . 3 8 B. T  . 3 C. T  4 . 3 D. T   11 . 9 Lời giải  1  23i  z1  6 . Phương trình 3 z 2  z  2  0 có   (1) 2  4.3.2  23    1  23i  z2  6  2 2 z2  z1 2 2 2 2 2 4  1   23          T    . 3 3 3 3 6  6  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC CAO SỐ PHỨC Chuyên đề 35 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Xét phương trình bậc hai az 2  bz  c  0,   với a  0 có:   b 2  4ac . b . 2a Nếu   0 và gọi  là căn bậc hai  thì   có hai nghiệm phân biệt: Nếu   0 thì   có nghiệm kép: z1  z2   z1  b   b    z2  . 2a 2a  Lưu ý b c và z1 z2  . a a Căn bậc hai của số phức z  x  yi là một số phức w và tìm như sau: Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức  : z1  z2   + Đặt w  z  x  yi  a  bi với x, y, a, b   . a 2  b 2  x 2 + w2  x  yi   a  bi    a 2  b 2   2abi  x  yi   . 2ab  y + Giải hệ này với a, b   sẽ tìm được a và b  w  z  a  bi . Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2 12  0 . Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 A. T  2  2 3 B. T  4 C. T  2 3 Lời giải D. T  4  2 3 Chọn D  z 2  3  z  i 3 z 4  z 2  12  0   2   z  2  z  4 T  z1  z2  z3  z4  i 3  i 3  2  2  2 3  4 Câu 2. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính modun của số phức w  b  ci , b, c  biết số phức i8  1  2i là nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 . 7 1 i A. 2 . B. 3 . C. 2 2 . Lời giải Chọn C D. 3 2 . i8   i 2 4   14  1 i  1  2i  +) Đặt zo  , ta có  3 1  i7 i 7   i 2  .i  i  1  1  2i 2i 2i 1  i   zo     1  i . 1 i 1 i 1 i2 +) zo là nghiệm của đa thức P  z   z 2  bz  c  zo là nghiệm còn lại của P  z  . 8 +) Ta có: zo  zo   b  b  2  b  2 . a Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 zo .zo  c   1  i  1  i   c  c  2 a  w  2  2i  w  22  22  2 2 . Câu 3. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z12  z22  z1 z2  0, khi đó tam giác OAB ( O là gốc tọa độ): A. Là tam giác đều. B. Là tam giác vuông. C. Là tam giác cân, không đều. D. Là tam giác tù. Lời giải Cách 1: + Gọi z1  a  bi (a, b   : a 2  b2  0) . A  a; b  . 2 Khi đó z 2 là nghiệm phương trình: z22   a  bi  z2   a  bi   0 2 2 2 2 + Ta có:    a  bi   4  a  bi   3  a  bi    3  a  bi  i    3  b  ai   Phương trình có hai nghiệm phân biệt: z2  2  a  3b 3a  b  a  3b 3a  b  i nên B  ;  .  2 2 2 2   Hoặc z2   a  3b  3a  b  a  3b  3a  b  i nên B  ;  . 2 2 2 2   + Tính OA2  a 2  b 2 , OB 2  a 2  b 2 , AB 2  a 2  b 2 . Vậy tam giác OAB đều. Cách 2: Theo giả thiết: z12  z22  z1 z 2  0   z1  z2   z12  z 22  z1 z2   0  z13  z 32  0  z13   z23  z1  z2  OA  OB . 2 Mặt khác: z12  z22  z1 z 2  0   z1  z2    z1 z 2 2 2   z1  z2    z1 z2  z1  z2  z1 z2  AB 2  OA.OB . Mà OA  OB nên AB  OA  OB . Vậy tam giác OAB đều. Cách 3: 2 z  z + z  z  z1 z2  0   1   1  1  0 z2  z2  2 1 2 2 2 z  z z z 1  3i   1   1 1  0  1   1  1  z1  z 2 z2 z2 2 z2  z2  Vậy OA  OB . Mặt khác: z1  z2  1  3i z2  z 2  z 2  AB  OB 2 Vậy tam giác OAB đều. Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho phương trình az 2  bz  c  0 , với 2 a, b, c  , a  0 có các nghiệm z1, z2 đều không là số thực. Tính P  z1  z2  z1  z2 a , b, c. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 theo TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 A. P  b  2ac a2 . B. P  2c . a C. P  4c . a D. P  2b 2  4ac a2 . Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận. Ta có phương trình az 2  bz  c  0 có các nghiệm z1, z2 đều không là số thực, do đó     b2  4ac  0 . Ta có   i 2 4 ac  b 2 .  b  i  z1   *   b  i  z2   4ac  b 2 2a 4ac  b 2 2a  b2 2  z1  z2  2 4c 4c  2 2 a Khi đó:   P  z1  z2  z1  z2  . Vậy P  . a a 4ac  b 2 2  z  z  1 2  a2 Cách 2: Trắc nghệm. Cho a  1, b  0, c  1 , ta có phương trình z 2  1  0 có 2 nghệm phức là z1  i, z2  i . Khi đó 2 2 P  z1  z2  z1  z2  4 . Thế a  1, b  0, c  1 lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống. Câu 5. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh -2019) Gọi S là tổng các số thực m để phương trình z 2  2 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  2. Tính S . A. S  6. B. S  10. C. S  3. Lời giải D. S  7. Chọn D 2 Ta có: z 2  2 z  1  m  0   z  1  m 1 m  1 +) Với m  0 thì 1  z  1  m . Do z  2  1  m  2   (thỏa mãn). m  9 +) Với m  0 thì 1  z  1  i  m . Do z  2  1  i  m  2  1  m  4  m  3 (thỏa mãn). Vậy S  1  9  3  7 . Câu 6. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S  6 . B. S  6 . C. S  5 . Lời giải  D. S  5 .  Ta có z  1  3i  z i  0   a  1  b  3  a 2  b 2 i  0 . a  1  a  1  0   2 2 2 b  3  a  b  0  1  b  b  3 * . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  b  3 4  b  3 *   2 4 b . 2   3 1  b   b  3 b   3  a  1  Vậy  4  S  2a  3b  6 . b   3 Câu 7. 2 Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9 z  6 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  1 . Tính S . B. 12 . A. 20 . C. 14 . Lời giải D. 8 . 9 z 2  6 z  1  m  0  * . Trường hợp 1: * có nghiệm thực    0  9  9 1  m   0  m  1 . z 1 z 1  .  z  1 z  1  m  16 (thỏa mãn). z  1  m  4 (thỏa mãn). Trường hợp 2: * có nghiệm phức z  a  bi  b  0     0  9  9 1  m   0  m  1 . Nếu z là một nghiệm của phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 thì z cũng là một nghiệm của phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 . c 1 m 1  1  m  8 (thỏa mãn). a 9 Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12 . 2 Ta có z  1  z  1  z.z  1  Câu 8. (Sở GD Kon Tum 2019) Gọi z là một nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 . Giá trị của biểu 1 1 thức M  z 2019  z 2018  2019  2018  5 bằng z z A. 5. B. 2. C. 7. D. 1 . Lời giải Chọn B Phương trình z 2  z  1  0 có hai nghiệm z  Chọn z  1 i 3 1 3   i. 2 2 2 1 3    i  cos  i sin . 2 2 3 3 n Áp dụng công thức Moivre:  cos   i sin    cos  n   i sin  n  n   , ta được: 2019 2019 1  i sin  1  2019  1 . 3 3 z 2018 2018 2 2 z 2018  cos  i sin  cos  i sin 3 3 3 3 1 2 2  2   2  .  2018  cos    i sin   i sin     cos z 3 3 3 3     z 2019  cos Do đó, M  1  1  cos 2 2 2 2  i sin  cos  i sin 5  2. 3 3 3 3 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy M  2 . Câu 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Giá trị của biểu thức  z1 1 2019   z2  1 2019 bằng? A. 21009 . B. 21010 . D. 21010 . C. 0 . Lời giải Chọn D z  2  i  z 1  1 i Ta có z2  4 z  5  0   .  z  2  i  z 1  1 i 2 4 2 4 Mà i 2  1; i 4  1; 1  i   2i; 1  i   4; 1  i   2i; 1  i   4; Suy ra  z1  1   4  504 2019   z2  1 2019 .  2i  . 1  i    4    1  i  504 4 504  2  . 1  i  1  i   1  i  2 504  2 . 1  i  . 1  i  . 2i  . 1  i   4504.2i.  1  i  1  i   4504.2i.2i  21010 . Câu 10. Cho phương trình z 2  bz  c  0 , có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z2  z1  4  2i . Gọi A, B là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z 2  2bz  4c  0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 8 5. B. 2 5. C. 4 5. D. 5. Lời giải: Chọn C z 2  bz  c  0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z2  z1  4  2i 2 2 Xét z2  z1  4  2i   z2  z1   4 z1 z2   4  2i   b 2  4c   4  2i  2 Khi đó phương trình z 2  2bz  4c  0  z A  b  4  2i  A  b  4; 2  2 có   b 2  4c   4  2i     b  m  ni, m, n     z B  b  4  2i  B  b  4; 2  Vậy AB  Câu 11. 2 b  4  b  4   2  2 2  4 5. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w  i và 2w  1 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 . Tổng S  a  b bằng 5 5 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 9 9 3 3 Lời giải Chọn B Đặt w  x  yi  x, y    . Vì a , b   và phương trình z 2  az  b  0 có hai nghiệm là z1  w  i , z2  2w  1 nên z1  z2  w  i  2 w  1  x  yi  i  2  x  yi   1 x  1 x  2x 1   x   y  1 i   2 x  1  2 yi    1.  y  1  2 y  y   3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2  z1  w  i  1  i  1  3  w  1 i   . 3  z  2w  1  1  2 i  2 3 2  a  a  2  z1  z2  a   Theo định lý Viet:   4   13 .  z2 .z2  b 1  9  b b  9 5 Vậy S  a  b   . 9 Câu 12. Số phức z  a  bi , a, b  là nghiệm của phương trình  z  1 1  iz   i . Tổng 1 z z T  a 2  b2 bằng B. 4  2 3 . A. 4 . C. 3  2 2 . Lời giải D. 3 . Chọn C Điều kiện: z  0; z  1 . Ta có  z  1 1  iz   i  z 1 z  z  1  z  i z  2 2 2    z 1 i 2   z  i z   z  1 i  z   z  z  1 i  2  2 2 2  z    z  z  1  z  1 hoặc z  2 z  1  0  z  1  2  z  3  2 2 . Vậy T  a 2  b 2  3  2 2 . Câu 13. Cho các số phức z , w khác 0 thỏa mãn z  w  0 và A. 3. B. 1 . 3 1 3 6 z . Khi đó bằng   w z w zw C. 3 . D. 1 . 3 Lời giải Chọn B 1 3 6 w  3z 6   w  3z  z  w   6 zw  3 z 2  2 zw  w 2  0 Ta có     z w zw zw zw 2 z 1 2 z 1 z z .  3   2 1  0    i  w w 3 3 w 3  w Câu 14. c c tối giản) có hai  0 ( với phân số d d nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Cho phương trình x 2  4 x  giác OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính P  c  2 d . A. P  18 . B. P   10 . C. P  14 . Lời giải Chọn D c c Ta có: x 2  4 x   0 có hai nghiệm phức    4   0 . d d D. P  22 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức x1  2   i ; x2  2   i . Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của x1 ; x2 trên mặt phẳng Oxy ta có:     A 2;  ; B 2;   . Ta có: AB  2  ; OA  OB  4   . Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB  OA  OB  2   4    4   4   4 4 c 4 c 16 . Vì    0 nên    hay 4      . 3 3 d 3 d 3 Từ đó ta có c  16 ; d  3 . Vậy: P  c  2 d  22 .    Câu 15. (Đề thử nghiệm 2017) Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  10  2  i. Mệnh đề nào dưới đây z đúng? A. 3  z  2. 2 B. z  2. C. z  1 . 2 D. 1 3  z  . 2 2 Lời giải Chon D Ta có z 1  1 z z. 2 Vậy 1  2i  z  10 2i z  10    z  2    2 z  1 i   2  . z   z     10 2 2   z  2    2 z  1   4  z   z  2    2 z  1 i  10    2  .z  z     2 10  . z  2 . Đặt z  a  0.  z  a2  1  10  4 2   a  2   2a 1   2   a  a  2  0   2  a  1  z  1. a  a  2 2 2 Câu 16. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z 2  3z  a 2  2a  0 có nghiệm phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn z0  3. B. 2 . A. 3 . C. 1. Lời giải D. 4 . Chọn C   2 2 Ta có   3  4 a  2a  3  4a  8a . Phương trình z 2  3z  a 2  2a  0 có nghiệm phức khi và chỉ khi   0  3  4a2  8a  0  4a2  8a  3  0 * . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Khi đó phương trình có hai nghiệm z1, z2 là hai số phức liên hợp của nhau và z1  z2 . Ta có 2 z1.z2  a2  2a  z1.z2  a2  2a  z1 . z2  a2  2a  z0  a2  2a . Theo giả thiết có  3 2  a 2  2a  3  a  1 ( t/m ĐK(*)).  a 2  2a   2  a  3  a  2 a  3 Các giá trị của a thỏa mãn điều kiện * . Vậy có 1 giá trị dương a thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:  Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2 Tính chất   z  a 2  b 2  zz  OM  z  0, z   , z  0  z  0 z z   ,  z ‘  0  z  z ‘  z  z ‘  z  z ‘ z’ z’  z. z ‘  z . z ‘  kz  k . z , k   2 2 Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z  z  z.z . Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2  2 z1  z 2  z  z z  z 2  2 2 2 2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  0 (1) z  a  bi  z  c  di (2)  x  a   y  b 2 Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  0 (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d   2  R 2 hoặc Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R 2  R 2 hoặc Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R 2  x  a   y  b z  a  bi  R 2 2 r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc r  z  a  bi  R  y  ax 2  bx  c  c  0  2  x  ay  by  c  x  a 2 2  y  c  2  11 hoặc 2 b d z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a  x  a b 2 2   y  c d2 Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là r , R Parabol 1 Elip 2 Elip nếu 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB nếu 2a  AB Hypebol 2 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min . Khi đó ta có Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1 1 2  2  z Min  2 z0  2 a  b  z  a  b i  2 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a 2  b2  c 2  d 2 2 2  a  c   b  d  2 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di . Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi a  bi c  di  z  z  b  ai  z  d  ci . i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. iz  a  bi  iz  c  di  z  TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0  z  z0  R  . Tìm z Max , z Min . Ta có Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R 2 2 z  Max  OI  R  a  b  R  z0  R  2 2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b  ai  R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c2  d 2 Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  z1 R  (Chia cả hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi đó ta có x2 y2 Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là Elip: 2  2 2  1 a a c Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  z Max  a  2 2  z Min  a  c TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  và z1 , z2  c,  ci ). Tìm Max, Min của P  z  z0 .  z1  z2  2c Đặt  2 2 2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0 2  PMax  a (dạng chính tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1  z1  z2  PMax  z0  2  a    P  z  z1  z2  a 0  Min 2  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1 Nếu z0  z1  z0  z2 Câu 1. PMax  z0  z1  z2 a 2 PMin  z0  z1  z2 b 2 (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b  thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất. A. P  8 Câu 2. B. P  10 C. P  4 D. P  6 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  Câu 3. 5 2  2 73 2 B. P  5 2  73 C. P  5 2  73 2 D. P  13  73 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z  1  34, z  1  mi  z  m  2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1  z2 là lớn nhất. Khi đó giá trị z1  z2 bằng A. Câu 4. 2 B. 10 D. 130 C. 2 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. 52. B. 5 1. C. 5 1. D. 5 2. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 5. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2z  i M của P  với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính tỉ số . z m M M 4 M 5 M A. B. C. D.  3.  .  . 2. m m 3 m 3 m Câu 6. Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i . A. 13  3 . Câu 7. B. 13  5 . C. 13  1 . D. 13  6 . Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i  4  1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  7  24i nằm trong khoảng nào? A.  0;1009  . Câu 8. B. 1009; 2018  . C.  2018; 4036  . D.  4036;   . (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A Câu 9.   34;6 .   B. A 6; 42 .    D. A 4;3 3 . (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  6  z  6  20 . Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M  n A. M  n  2 . B. M  n  4 . C. M  n  7 . Câu 10.  C. A 2 7; 33 . D. M  n  14 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng A. 4  74 . Câu 11. B. 2  130 . C. 4  130 . D. 16  74 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có M và M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N . Biết rằng M , M  , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của điểm biểu diễn là z  4i  5 . A. 5 . 34 B. 2 . 5 C. 1 . 2 D. 4 . 13 Câu 12. Biết số phức z thỏa mãn iz  3  z  2  i và z có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng: 2 A. . 5 Câu 13. B. 1 . 5 2 C.  . 5 1 D.  . 5 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . Câu 14. B. z  1  i . C. z  1  3i . D. z  1  i . (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. A Câu 15.   34;6 .   B. A 6; 42 .   D. A   4;3 3 . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 3 A. . B. . 10 5 Câu 16. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A. 2 2 . Câu 17.  C. A  2 7; 33 . B. 3 C.  . 5 D.  3 . 10 z1  i z i  1; 2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là z1  2  3i z2  1  i 2. C. 1 . D. 2 1 . (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  1  34 và z  1  mi  z  m  2i , (trong đó m   ). Gọi z1 , z 2 là hai số phức thuộc S sao cho z1  z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1  z2 bằng A. 2 B. 10 C. 2 D. 130 Câu 18. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 2  2 , w  4 2i  2 2 . Biết rằng z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 , w  w0 . Tính 3z0  w0 . A. 2 2 . B. 4 2 . D. 6 2 . C. 1. Câu 19. Cho hai số phức z và w thỏa mãn z  2w  8  6i và z  w  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức z  w bằng A. 4 6. B. 2 26. C. 66. D. 3 6. Câu 20. Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. Câu 21. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho hai số phức z và   a  bi thỏa mãn z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là A. Câu 22. 3 . 41 B. 5 . 41 C. 4 . 41 D. 3 . 41 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện z  1  2i  z  2  3i  10 và có mô đun nhỏ nhất. Tính S  7a  b ? A. 7 . B. 0 . Câu 23. C. 5 . D. 12 . (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 z  z  8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M  m . A. 10  34 . B. 2 10 . C. 10  58 . D. 5  58 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 24. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z2  z  z2  z 1 . A. Câu 25. 13 4 B. 3 C. 3 D. 11 4   (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của z1  3 z2 bằng A. 5  21 B. 20  4 21 C. 20  4 22 D. 5  22 Câu 26. Trong các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Giá trị 2 nhỏ nhất của z1  z 2 A. 10 Câu 27. 2 bằng B. 4  3 5 C. 5 D. 6  2 5 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. Câu 28. 2 1. B. 2 1. C. 2 2  1 . D. 2 2  1 . (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  2i  z  1  3i là B. 13 . A. 5 2 . Câu 29. C. 29 . D. 5. (Chuyên Hạ Long – 2018) Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa 2 2 mãn z  z1  z  z2  16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng A. 15 . B. 7 . Câu 30. C. 11 . D. 8 . (Chuyên Quang Trung – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: A. 13  1 . B. 10  1 . C. 13 . D. 10 . Câu 31. Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng A. 1  10 . Câu 32. B. 4 . C. 17 D. 5 . (SGD Cần Thơ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá 2 2 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Môđun của số phức w  M  mi là A. w  3 137 . Câu 33. B. w  1258 . C. w  2 309 . D. w  2 314 . (THPT Hậu Lộc 2 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . B. m  2 2 . C. m  2 . D. m  2 2  2 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  z  3  2i  1 Câu 34. (SGD Bắc Giang – 2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn  . Tìm giá trị  w  1  2i  w  2  i nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  w . A. Pmin  Câu 35. 3 2 2 . 2 B. Pmin  2  1 . C. Pmin  5 2 2 . 2 3 2 2 . 2 D. Pmin  (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Cho số phức z thỏa z  1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. m  4 , n  3 . Câu 36. B. m  4 , n  3 C. m  4 , n  4 . (Chuyên Đh Vinh – 2018) Cho các số phức w, z D. m  4 , n  4 . thỏa mãn w i  3 5 5 và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng A. 6 7 . Câu 37. B. 4  2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 . (Kim Liên – Hà Nội – 2018) Xét các số phức Vz  a  bi ( a, b   ) thỏa mãn z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . Câu 38. B. 2  3 . C. 3 . D. 4  3 . (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  4i  1 và 1 . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ 2 nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: z2  3  4i  A. Pmin  Câu 39. B. Pmin  5  2 3 . C. Pmin  9945 . 13 D. Pmin  5  2 5 . (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z  1  i  z  1  2 i , số phức A. Câu 40. 9945 . 11 z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 . 10 B. 3 . 5 3 5 C.  . D.  3 . 10 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. M  m  1 . Câu 41. B. M  m  7 . C. M  m  6 . D. M  m  3 . (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. 6 5 . Câu 42. B. 4 5 . C. 2 5 . D. 5. (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 43. (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  4 là A. 5. Câu 44. B. 4. C. 3 3. D. 6. (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1  1  3i , z2  5  3i . Tìm điểm M  x; y  biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x  2 y  1  0 và mô đun số phức w  3 z3  z2  2 z1 đạt gí trị nhỏ nhất.  3 1 A. M   ;  .  5 5 Câu 45. 3 1 B. M  ;  . 5 5  3 1 C. M   ;   .  5 5 3 1 D. M  ;   . 5 5 (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1  2i  5 . Giá trị lớn nhất của z  1  i bằng 5. A. Câu 46. B. 5 2 . D. 2 5 . C. 20 . (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z   2  i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng 5 . 5 Câu 47. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn 2  3i  z  z  i A. 1. B. 2 5 . 5 C. 2 . B. 3 6  i. 5 5 C. D. là A. Câu 48. 6 3  i. 5 5 3 6  i. 5 5 D. 6 3  i. 5 5 12  5i  z  17  7i (Sở GD Nam Định – 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z 2i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 3 13 . 26 B. 5 . 5 C. 1 . 2 D. 2. Câu 49. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i . A. min w  Câu 50. 1 . 2 B. min w  1 . C. min w  3 . 2 D. min w  2 . (Kim Liên – Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  1  3i . Tìm M , m . Câu 51. A. M  17  5 ; m  3 2 . B. M  26  2 5 ; m  2 . C. M  26  2 5 ; m  3 2 . D. M  17  5 ; m  3 . (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . D. z  1  i . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 52. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz  2i  4  3 , phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức T  z  z1  z  z2 . A. 9. Câu 53. B. 2. C. 5. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn 2 D. 4. z  3  4i  5 và biểu thức 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z  i . A. 5 3 . Câu 54. B. 41 . C. 61 . D. 3 5 . (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  5 là A. 3  2 . Câu 55. B. 2  2 . C. 3  2 2 . D. 2  2 . (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức z  a  bi ( a , b  ) thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  z  2  2 z  2 . A. 10 . Câu 56. B. 5 2 . C. 10 2 . D. 7 . (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z ia  . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Khoảng 2 a  1 1  a  a  2i  cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4  (khi a thay đổi) là A. 6 . Câu 57. B. 5 . C. 4 . D. 3 . (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2  4i  5 . Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức a 2  b 2 bằng A. 40 . Câu 58. B. 4 5 . C. 20 . D. 2 5 . (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . Câu 59. B. 4 3 . C. 4 . D. 2  2 3 .   (Chuyên Đại học Vinh – 2019) Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 . Giá trị nhỏ nhất của z1  3 z2 bằng A. 5  21 . Câu 60. B. 20  4 21 . C. 20  4 22 . D. 5  22 . (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 2 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z2 2 bằng A. 6. Câu 61. B. 2 2. C. 4 2. D. 2. (SGD Đà Nẵng 2119) Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z  2  8i  17 . Biết z  a  bi  a, b    , tính m  2a 2  3b A. m  18 . B. m  54 . C. m  10 . D. m  14 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 62. (Nho Quan A – Ninh Bình – 2019) Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  3i  2 2 . Tính P  2a  b khi z  1  6i  z  7  2i đạt giá trị lớn nhất. A. P  3 . Câu 63. C. P  1 . B. P  3 . D. P  7 . (SGD Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  6 z  2  3i bằng A. 5 6 . Câu 64.   B. 15 1  6 . C. 6 5 . D. 10  3 15 . (Lômônôxốp – Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 z  4  5i  z  1  7i bằng a b (với a, b là các số nguyên tố). Tính S  ab? A. 20 . Câu 65. B. 18 . C. 24 . D. 17 . (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 là nghiệm phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i và thỏa mãn z1  z2  A. 56 . 5 8 . Giá trị lớn nhất của z1  z 2 bằng 5 28 B. . C. 6 . 5 Câu 66. Cho các số phức z và w thỏa mãn  3  i  z  A. 2 . 2 B. 3 2 . 2 D. 5 . z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất T  w  i w 1 C. 2 . D. 1 . 2 Câu 67. Cho các số phức z thỏa mãn z  2  z  2  2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2 3  i  z  3 3  2i  z  3i . A. 12 . B. 6 . C. 8 . D. 10 . 2 Câu 68. Cho số phức z  x  yi , x , y   thỏa mãn z  3 y 2  16 . Biểu thức P  z  i  z  2 đạt giá trị lớn nhất tại  x0 ; y0  với x0  0, y0  0 . Khi đó: x02  y02 bằng A. 20  3 6 . 2 B. 20  3 7 . 2 C. 20  3 6 . 2 D. 20  3 7 . 2 Câu 69. Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  11 . B. S  5 . C. S  3 . D. S  5 . Câu 70. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b ? A. S  3 . B. S  5 . C. S  5 . D. S  11 . Câu 71. Cho số phức z thỏa mãn z  1 , M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  z  2 1  z . Giá trị của biểu thức M  m bằng A. 2 5  2 . B. 6 . C. 2 5  4 . D. 7 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 72. Xét tập hợp S các số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện 3 z  z  1  i  2  2i  . Biểu thức Q  z  z  2  x  đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0  x0  y0 i ( khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị T  M . x0 y 02 . A. T   Câu 73. 9 3 . 2 B. T  9 3 . 4 C. T  9 3 . 2 D. T   9 3 . 4 (THPT Hậu Lộc 2 2019) Cho z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . Câu 74. B. 4 3 . C. 4 . D. 2  2 3 . z1 , (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z2 thỏa mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. 2 2  1. Câu 75. B. 2 1. 2 1. D. (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1  4  5i  z2  1  1 và z  4i  z  8  4i . Tính z1  z 2 A. 8 Câu 76. C. 2 2  1 . khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất B. 6 . C. 41 . D. 2 5 . (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho các số phức z và  thỏa mãn  2  i  z  z   1  i. Tìm giá trị lớn nhất của T    1  i A. 4 2 3 B. 2 3 C. 2 2 3 D. 2 Câu 77. Cho số phức z và gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  8i  0 ( z1 có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  z1  z2  z  z  2 z1  z2 được viết dưới dạng 2 m n  p q (trong đó n, p   ; m , q là các số nguyên tố). Tổng m  n  p  q bằng A. 3 . B. 4 . C. 0 . D. 2 . Câu 78. Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z 2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ 2 2 nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z 2 bằng A. 6 . Câu 79. B. 2 2 . C. 4 2 . (Sở Nam Định – 2019) Xét các số phức w , z thỏa mãn w  i  D. 2 . 3 5 và 5w   2  i  z  4  . 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2i  z  6  2i . A. 7 . B. 2 53 . C. 2 58 . D. 4 13 . Câu 80. Cho hai số phức z1 ; z2 đều khác 1 và 1 sao cho z144  z 258  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của T  z1  z2 gần nhất với giá trị nào sau đây. A. 11 . 100 B. 7 . 205 C. 7 . 200 D. 1 . 200 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 81. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1 . A. P  9 . B. P  10 . C. P  8 . D. P  12 . Câu 82. Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z  4  3i . Giá trị của M .m bằng: A. 28 . B. 24 . C. 26 . D. 20 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:   Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2  Tính chất   z  a 2  b 2  zz  OM  z  0, z   , z  0  z  0 z z   ,  z ‘  0  z  z ‘  z  z ‘  z  z ‘ z’ z’  z. z ‘  z . z ‘  kz  k . z , k   2 2  Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z  z  z.z . Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2  2 z1  z 2  z  z z  z 2  2 2 2 2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  0 (1) z  a  bi  z  c  di (2)  x  a   y  b 2 Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  0 (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d   2  R 2 hoặc Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R 2  R 2 hoặc Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R 2  x  a   y  b z  a  bi  R 2 2 r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc r  z  a  bi  R  y  ax 2  bx  c  c  0  2  x  ay  by  c  x  a 2 2  y  c  2  11 hoặc 2 b d z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a  x  a b 2 2   y  c d2 Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là r , R Parabol 1 Elip 2 Elip nếu 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB nếu 2a  AB Hypebol 2 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min . Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1 1 2  2  z Min  2 z0  2 a  b   z  a  b i  2 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a 2  b2  c 2  d 2 2 2  a  c   b  d  2 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di .  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi a  bi c  di  z  z  b  ai  z  d  ci . i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. iz  a  bi  iz  c  di  z  TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0  z  z0  R  . Tìm z Max , z Min . Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a 2  b 2  R  z0  R  Max   2 2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b  ai  R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c2  d 2 Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  z1 R  (Chia cả hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  z Max  a   2 2  z Min  a  c TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  và z1 , z2   c,  ci ). Tìm Max, Min của P  z  z0 .  z1  z2  2c Đặt  2 2 2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0 2  PMax  a (dạng chính tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1  z1  z2  PMax  z0  2  a    P  z  z1  z2  a 0  Min 2  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1 Nếu z0  z1  z0  z2 Câu 1. PMax  z0  z1  z2 a 2 PMin  z0  z1  z2 b 2 (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất. A. P  8 B. P  10 C. P  4 Lời giải D. P  6 Chọn B Goi M  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z. 2 2 Theo giả thiết ta có: z  4  3i  5   a  4    b  3  5  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  4;3 bán kính R  5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  A  1;3 Gọi:   Q  z  1  3i  z  1  i  MA  MB  B 1; 1 Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: Q 2  MA 2  MB 2  2 MA.MB   Q 2  MA2  MB 2  MA2  MB 2  2 MA2  MB 2  Vì ME là trung tuyến trong MA2  MB 2 AB 2 AB 2   MA2  MB 2  2 ME 2  MAB  ME 2  2 4 2 2  AB  2 2  Q 2  2  2ME 2    4ME  AB . Mặt khác ME  DE  EI  ID  2 5  5  3 5 2     2  Q2  4. 3 5  20  200  MA  MB  Q  10 2  Qmax  10 2   M  D   4  2( xD  4)  xD  6  EI  2 ID     M  6; 4   P  a  b  10 2  2( yD  3)  yD  4 2 2 Cách 2:Đặt z  a  bi. Theo giả thiết ta có:  a  4    b  5   5. a  4  5 sin t Đặt  . Khi đó: b  3  5 cos t Q  z  1  3i  z  1  i     2  a  1   b  3 2 5 sin t  5  5cos 2 t  2  2  a 1   b  1 2    5 sin t  3  5 cos t  4  2 2  30  10 5 sin t  30  2 5  3sin t  4 cos t  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:     Q  2 60  8 5  2 sin t  cos t   2 60  8 5. 5  200  10 2  Q  10 2  Qmax  10 2  sin t  Dấu bằng xảy ra khi  cos t   Câu 2. 2 a  6 5   P  a  b  10. 1 b  4 5 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  5 2  2 73 2 B. P  5 2  73 C. P  5 2  73 2 D. P  13  73 Lời giải Chọn A Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 8 D 6 4 A 2 H E 5 N 2 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , F  4;7  và N 1; 1 . Từ AE  A F  z  2  i  z  4  7i  6 2 và EF  6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . Gọi 5 2  2 73 3 3 H là hình chiếu của N lên EF , ta có H   ;  . Suy ra P  NH  NF  . 2  2 2 Câu 3. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z  1  34, z  1  mi  z  m  2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1  z2 là lớn nhất. Khi đó giá trị z1  z2 bằng A. B. 10 2 C. 2 Lời giải D. 130 Chọn C Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 Gọi z  x  iy,  x, y    Ta có z  1  34  M , N thuộc đường tròn  C  có tâm I 1;0 , bán kính R  34 Mà z  1  mi  z  m  2i  x  yi  1  mi  x  yi  m  2i  2  x  1   y  m  2  2  x  m   y  2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  2  m  1 x  2  m  2  y  3  0 Suy ra M , N thuộc đường thẳng d : 2  m  1 x  2  m  2  y  3  0 Do đó M , N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn  C  Ta có z1  z2  MN nên z1  z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất  MN đường kính của  C  . Khi đó z1  z2  2OI  2 Câu 4. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. 52. 5  1. B. C. 5  1 . Lời giải D. 52. Cách 1: Đặt w  z  i  z  w  i . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn hình học của số phức w. Từ giả thiết z  2  2i  1 ta được: 2 2 w  i  2  2i  1  w  2  i  1   x  2    y  1 i  1   x  2    y  1  1 . Suy ra tập hợp những điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức w là đường tròn  C  có tâm I  2;1 bán kính R  1 . Giả sử OI cắt đường tròn  C  tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI . Ta có w  OM Mà OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA Nên w nhỏ nhất bằng OA  OI  IA  5  1 khi M  A. Cách 2: 2 2 Từ z  2  2i  1   a  2    b  2   1 với z  a  bi  a, b    a  2  sin x; b  2  cos x  a  2  sin x, b  2  cos x Khi đó: z  i  2  sin x   2  cos x  i  i   6 4 2  22  sin 2 x  cos 2 x   6  2 5  Nên z  i nhỏ nhất bằng 2  2  sin x   1  cos x    5 1 2  6   4sin x  2 cos x  2  5 1  2 5 sin x    4 cos x  2sin x   5  5  1 khi  4sin x  2 cos x  2 5 cos x   5  5 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2 5  5 Ta được z   2     2  i 5   5   Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1  z2  z1  z 2  z1  z2 z  i   z  2  2i    2  i   z  2  2i  2  i  5  1 Câu 5. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2z  i M của P  với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính tỉ số . z m M 5 M D.  . 2. m 3 m Lời giải 2z  i 2z  i 2z  i 2z  i 1 1 3 5 Ta có P    P  2  P  2   P  . z z z z z z 2 2 A. M  3. m Vậy Câu 6. B. M 4  . m 3 C. M 5  . m 3 Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i . A. 13  3 . B. 13  5 . C. 13  1 . Lời giải D. 13  6 . Chọn C 2 Ta có 1  z  2  3i   z  2  3i  . z  2  3i    z  2  3i  z  2  3i   1   z  2  3i  z  2  3i   z  2  3i  1` z  1  i  3  2i  1(*) . +Đặt w  z  1  i , khi đó  w  3  2i  1 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z  1  i là đường tròn  I ;1 và w là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ .  w max  1  32  2 2  1  13 . Câu 7. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i  4  1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  7  24i nằm trong khoảng nào? A.  0;1009  . B. 1009;2018 . C.  2018; 4036  . D.  4036;   . Lời giải Ta có 1  z  3i  4  z  3i  4  z  5  1  z  5  1  4  z  6 . Đặt z0  4  3i  z0  5, z0 2  7  24i . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2  2 2 Ta có A  z 2  7  24i  z 2  zo 2   z 2  zo 2  z  zo   2 Mà  z  zo  z  zo  1  z.zo  zo .z  1  z  zo 4 4  2 Suy ra A  z  zo  1  z  zo 2 2   2 z.z 2 o 2  z 4  4  zo  z.zo  zo .z  2  2 z.zo 2 2 4 2  2 z  2 z  1201 . Hàm số y  2t 4  2t 2  1201 đồng biến trên  4;6 nên A  2.44  2.42  1201  1681 .  z  4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  .  z  4  3i  1 Do đó z 2  7  24i nằm trong khoảng 1009;2018  . Câu 8. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A   34;6 .   B. A 6; 42 .    C. A 2 7; 33 .  D. A 4;3 3 . Lời giải Giả sử: z  x  yi,  x, y     N  x; y  : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Ta có: • z  z  z  z  4  x  y  2  N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ). y I B 2 1 E F C O -2 1 x 2 D -2 • P  z  2  2i  P  2  x  2    y  2 2  P  d  I ; N  với I  2; 2  Từ hình ta có: E 1;1 M  Pmax  ID  4 2  22  2 5 và m  Pmin  IE  Vậy, A  M  m  2  2 5  Câu 9.  2  2  1   2  1 2  2  34;6 . (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  6  z  6  20 . Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M  n A. M  n  2 . B. M  n  4 . C. M  n  7 . D. M  n  14 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Gọi z  x  yi ,  x, y    . Theo giả thiết, ta có z  6  z  6  20 .  x  6  yi  x  6  yi  20   x  6 2  y2   x  6 2  y 2  20  . Gọi M  x; y  , F1  6;0  và F2  6;0  . Khi đó    MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 20 . Ta có c  6 ; 2a  20  a  10 và b2  a 2  c2  64  b  8 . x2 y2   1. 100 64 Suy ra max z  OA  OA’  10 khi z  10 và min z  OB  OB ‘  8 khi z  8i . Do đó, phương trình chính tắc của  E  là Vậy M  n  2 . Câu 10. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng A. 4  74 . B. 2  130 . C. 4  130 . Lời giải D. 16  74 . Theo bất đẳng thức tam giác ta có w  2 z  1  i   2 z  6  8i    7  9i   2 z  6  8i  7  9i  4  130 . Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130 . Câu 11. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N . Biết rằng M , M  , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . A. 5 . 34 B. 2 . 5 C. 1 . 2 D. 4 . 13 Lời giải Gọi z  x  yi , trong đó x, y   . Khi đó z  x  yi , M  x; y  , M   x;  y  . Ta đặt w  z  4  3i    x  yi  4  3i    4 x  3 y    3x  4 y  i  N  4 x  3 y;3x  4 y  . Khi đó w  z  4  3i    4 x  3 y    3 x  4 y  i  N   4 x  3 y ;  3 x  4 y  . Ta có M và M  ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox . Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì yM  yN hoặc yM  yN . Suy ra y  3 x  4 y hoặc y  3 x  4 y . Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng: d1 : x  y  0 và d2 :3x  5 y  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Đặt P  z  4i  5  2  x  5   y  4  2 . Ta có P  MA với A  5; 4  . 1 5 , d  A; d2   , vậy 2 34 Pmin  MAmin  MA  d  A; d1  hoặc MA  d  A; d 2  . Mà d  A; d1   Pmin  d  A; d1   1 . 2 Câu 12. Biết số phức z thỏa mãn iz  3  z  2  i và z có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng: 2 A. . 5 B. 1 . 5 2 C.  . 5 Lời giải 1 D.  . 5 Đặt z  x  yi ( x , y  ). Khi đó 2 iz  3  z  2  i  x 2    y  3  2  x  2   y  1 2  x  2 y  1  0  x  2 y  1 1 . 2 2 Lại có z  x  y  2 . Thay 1 vào  2  ta được: 2 2 1 5  z  x  y   2 y 1  y  5 y  4 y 1  5 y     5 5 5  2 2 2 2 2 2 5 2 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi y   0  y   . Thay y   2 1 vào 1 suy ra x   . 5 5 1 Vậy phần thực của số phức z là  . 5 Câu 13. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . Lời giải D. z  1  i . Gọi z  x  yi , x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z . 2 2 Theo bài ra ta có z  1  3i  2   x  1   y  3   4 . Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R  2 . Khi đó z  1   x  1 2  y 2  I M với I  1; 0  . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z  1 nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I , M , I  thẳng hàng, M nằm giữa I và I  . Phương trình đường thẳng II  là x  1 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng II  với đường tròn tâm I bán kính R  2 là M 1 1; 1 và M1 1; 5 . Thử lại ta thấy M 1 1; 1 thỏa mãn. Vậy z  1  i . Câu 14. (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A      B. A 6; 42 . 34;6 .  C. A  2 7; 33 .  D. A   4;3 3 . Lời giải Đặt z  x  iy và gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của z  x  iy ta có: z  z  z  z  4  x  y  2 Gọi A  2; 2  và P  MA * Theo hình vẽ, min P  d  A,   , với  : x  y  2 và min P  222 2  2 max P  AE  22  42  2 5, với E  0; 2  Vậy M  m  2  2 5  5,88 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 15. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 3 A. . B. . 10 5 3 C.  . 5 Lời giải D.  3 . 10 Gọi z  x  yi ,  x , y    được biểu diễn bởi điểm M  x ; y  . z  1  i  z  1  2i   x  1   y  1 i   x  1   y  2  i   x  1 2 2   y  1   x  1 2 2   y  2   4 x  2 y  3  0  y  2 x  3 . 2 Cách 1: 2 2 3 9 3 9 3 5   z  x 2  y 2  x 2   2 x    5 x 2  6 x   5  x     , x . 2 4 5  20 10   Suy ra min z  3 5 3 3 khi x   ; y   . 10 5 10 Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  3 . 10 Cách 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 4x  2 y  3  0 . Ta có z  OM . z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d . Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x  2 y  0 . 3  x  4 x  2 y  3  0  5  3 3  Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:   M  ;  .  5 10  x  2 y  0 y   3  10 3 3 Hay z    i . 5 10 3 Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  . 10 Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau: z  1  i  z  1  2i  z  1  i   z   1  2i  * Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A 1;  1 biểu diễn số phức 1  i , điểm B  1;  2  biểu diễn số phức 1  2i . Khi đó *  MA  MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d : 4 x  2 y  3  0 . Câu 16. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A. 2 2 . B. z1  i z i  1; 2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là z1  2  3i z2  1  i 2. C. 1 . D. Lời giải Giả sử z1  x1  y1i với x1 ; y1   . Khi đó: Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 1 . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z1  i  1  z1  i  z1  2  3i  x1   y1  1 i   x1  2    y1  3  i z1  2  3i 2  x12   y1  1  2  x1  2    y1  3 2  x1  y2  3  0 .  Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng  : x  y  3  0 . Giả sử z2  x2  y2i với x2 ; y2   . Ta có: z2  i  2  z2  i  2 z2  1  i  x2   y2  1 i  2  x2  1   y2  1 i z2  1  i  2 x22   y2  1  2 2  x2  1   y2  1 2  x22  y22  4 x2  2 y2  3  0 .  Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  3  0 có tâm 2 I  2; 1 và bán kính R  22   1  3  2 . Khoảng cách từ I đến  là: d  I ;    2   1  3 2 1   1 2  3 2  R  đường thẳng  và đường tròn C không có điểm chung. Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1  z2 là đoạn thẳng MN .  z1  z2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. I N’ N M M’ Dễ thấy MN min  3 2  2  2 2 . Câu 17. (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  1  34 và z  1  mi  z  m  2i , (trong đó m   ). Gọi z1 , z 2 là hai số phức thuộc S sao cho z1  z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1  z2 bằng A. 2 B. 10 C. 2 Lời giải D. 130 Chọn A Đặt z  x  yi ,  x , y    . Khi đó 2 z  1  34   x  1  y 2  34 ; z  1  mi  z  m  2i  2  m  1 x  2  2  m  y  3  0 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn  C  :  x  1 2  y 2  34 và đường thẳng d : 2  m  1 x  2  2  m  y  3  0 . Gọi A , B là hai điểm biểu diễn z1 và z 2 . Suy ra  C   d   A, B . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Mặt khác z1  z2  AB  2 R  2 34 do đó max z1  z2  2 34  AB  2 R  I 1;0   d . Từ đó ta có m    z1  6  3i 1 nên d : 3x  5 y  3  0   . 2  z2  4  3i Vậy z1  z2  2 . Câu 18. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 2  2 , w  4 2i  2 2 . Biết rằng z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 , w  w0 . Tính 3z0  w0 . A. 2 2 . B. 4 2 . D. 6 2 . C. 1. Lời giải Ta có: + z  3 2  2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có   tâm I 3 2 ;0 , bán kính r  2 . + w  4 2i  2 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm   J 0; 4 2 , bán kính R  2 2 . Ta có min z  w  min MN . + IJ  5 2; IM  r  2; NJ  R  2 2 . Mặt khác IM  MN  NJ  IJ  MN  IJ  IM  NJ hay MN  5 2  2  2 2  2 2 . Suy ra min MN  2 2 khi I , M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I , J (Hình vẽ). Cách 1:    1   3  Khi đó ta có: 3 z0  w0  3OM  ON và IN  3 2  IM  IJ ; IN  IJ . 5 5     3      3    1   Mặt khác ON  OI  IN  OI  IJ ; 3OM  3 OI  IM  3  OI  IJ   3OI  IJ . 5  5 5       3    3    Suy ra 3 z0  w0  3OM  ON  3OI  IJ   OI  IJ   2OI  6 2 . 5 5   Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 2:      Ta có IN  3IM  3IM  IN  0 .        Do đó 3z0  w0  3OM  ON  3 OI  IM  OI  IN  2OI  2.OI  2.3 2  6 2.     Cách 3:  12 2  xM   IM   1  12 2 4 2  5 IJ  IM  IJ    z0   i. +) IM  IJ 5 5 5 y  4 2  M 5  6 2  xN   IN   3  6 2 12 2  5 IJ  IN  IJ    w0   i. +) IN  IJ 5 5 5  y  12 2  N 5 Suy ra 3 z0  w0  6 2  6 2 . Câu 19. Cho hai số phức z và w thỏa mãn z  2w  8  6i và z  w  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức z  w bằng A. 4 6. B. 2 26. C. 66. Lời giải D. 3 6. Chọn C     Giả sử M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra OM  ON  OF  2OI , z  w  MN  4 và OF  2OI  10. a Đặt z  ON  ; w  OM  b. Dựng hình bình hành OMFE 2 E F I N O a M b  a 2  b 2 ME 2  2  4  25 264  a 2  2b 2  Ta có  2 2 2 3  b  ME  a  16  2 4 2  z  w 2 a  1 1    b    a 2  2b 2      66 2  4 2 Suy ra a  b  66, dấu “=” xảy ra khi a  b  2 66 . 3 Vậy  a  b max  66. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 20. Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Lời giải 2 Thay z  1 vào P ta có P  z 1  z2  z 1  z 1  z2  z  z 2  z  1  z 2  z  z.z  z  1  z z  z  1  z  1  z  z 1 .  2  Mặt khác z  1   z  1 z  1  2  z  z . Đặt t  z  z do z  1 nên điều kiện t   2; 2 . Suy ra P  t  2  t  1 . Xét hàm số f  t   t  2  t  1 với t   2; 2  . 1  1 với t  1 . Suy ra f   t   0 với t  1 . 2 t2 1 7 f  t    1 với t  1 . Suy ra f   x   0  x  . 4 2 t2 Ta có bảng biến thiên f  t   Từ bảng biến thiên suy ra M  Vậy M .m  Câu 21. 13 7 tại t  và m  3 tại t  2 . 4 4 13 3 . 4 (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho hai số phức z và   a  bi thỏa mãn z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là A. 3 . 41 B. 5 . 41 C. 4 . 41 D. 3 . 41 Lời giải   Đặt F1  5 ; 0 , F2   5 ; 0 , vì 5  3 nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip a  3 x2 y 2  b 2  a 2  c 2  4 suy ra  E  :  1. có  9 4 c  5 Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng  : 5 x  4 y  20  0 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M   E  và N   sao cho MN nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với  có dạng d : 5 x  4 y  c  0 ,  c  20  .  c  17 2 d tiếp xúc với  E  khi và chỉ khi c 2  52.9   4  .4  289   .  c  17 Với c  17  d  d ,    Với c  17  d  d ,    Vậy min  MN   Câu 22. 20  17 2 5   4   2 20  17 52   4  2 37 . 41 3 . 41  3 . 41 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện z  1  2i  z  2  3i  10 và có mô đun nhỏ nhất. Tính S  7a  b ? A. 7 . B. 0 . C. 5 . Lời giải D. 12 . Chọn A 4 B M H 2 A O 2 4 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi A 1;2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 B  2;3 là điểm biểu diễn số phức 2  3i  , AB  10 z  1  2i  z  2  3i  10 trở thành MA  MB  AB  M, A, B thẳng hàng và M ở giữa A và B Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình  AB  : x  3y  7  0 ,  OH  : 3x  y  0     3 1    27 9   7 21  Tọa độ điểm H  ;  , Có AH    ;  , BH   ;   và BH  9 AH  10 10   10 10   10 10  Nên H thuộc đoạn AB z nhỏ nhất  OM nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB  7 21   M H ;   10 10  Lúc đó S  7a  b  Câu 23. 49 21   7 . Chọn A 10 10 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 z  z  8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M  m . A. 10  34 . B. 2 10 . C. 10  58 . Giải: D. 5  58 . Chọn D   x  4 Gọi z  x  yi, x, y   , ta có z  z  2 z  z  8  x  2 y  4   , tập hợp  y 2    K  x; y  biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ. P  z  3  3i đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi K  D hay K  4;0  suy ra M  49  9  58 P  z  3  3i đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi K  F ( F là hình chiếu của E trên AB . Suy ra F  2;1 do AE  AB nên F là trung điểm của AB . Suy ra m  1  4  5 . Vậy M  m  58  5 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 24. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z2  z  z2  z 1 . A. 13 4 B. 3 C. 3 D. 11 4 Lời giải Chọn A P  z2  z  z2  z 1  z z 1  z2  z  1  z 1  z2  z  1 Do z  1 nên ta đặt z  cos x  i.sin x . Khi đó P  z  1  z 2  z  1  cos x  i.sin x  1  cos 2 x  i sin 2 x  cos x  i sin x  1   cos x  1 2 2  sin 2 x   cos 2 x  cos x  1   sin 2 x  sin x  2  2  2 cos x  3  4 cos x  2 cos 2 x  2  2 cos x  4 cos 2 x  4 cos x  1  2  2 cos x  2 cos x  1 Đặt t  cos x, t   1;1 . Xét hàm y  2  2t  2t  1 Với t   1 thì y  2  2t  2t  1, y ‘  2 y’ 0  1 2 2  2t 1 7 20t  8 2  2t  7  13  1  y 1  3; y    ; y     3 8 4  2 1 1 Với t   thì y  2  2t  2t  1, y ‘  2 2 2  2t 1 1 (phương trình vô nghiệm) y’ 0   2  0  2  2t  2 2  2t  1 y  1  3 ; y     3  2 13 13 Vậy max y  . Do đó giá trị lớn nhất của P  z 2  z  z 2  z  1 là .  1;1 4 4 Câu 25.   (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của z1  3 z2 bằng A. 5  21 B. 20  4 21 C. 20  4 22 Lời giải D. 5  22 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Giả sử z  x  yi , x, y  .Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 . Suy ra AB  z1  z2  4 .   giả thiết  z  6   8  zi  là số thực nên ta suy ra x   * Ta có  z  6  8  zi   x  6   yi  .  8  y   xi    8 x  6 y  48   x 2  y 2  6 x  8 y i . Theo 2  y 2  6x  8 y  0 . Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn  C  tâm I  3; 4  , bán kính R  5 .       * Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA  3MB  0  OA  3OB  4OM .Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2  R2  HB2  21; IM  HI 2  HM 2  22 , suy ra điểm M thuộc đường tròn  C   tâm I  3; 4  , bán kính r  22 .    * Ta có z1  3z2  OA  3OB  4OM  4OM , do đó z1  3 z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. Ta có  OM min  OM 0  OI  r  5  22 . Vậy z1  3z2 min  4OM 0  20  4 22 . Câu 26. Trong các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Giá trị 2 nhỏ nhất của z1  z 2 2 A. 10 bằng B. 4  3 5 C. 5 Lời giải D. 6  2 5 Chọn A Đặt z1  x1  y1i,  x1 , y1   và z2  x2  y2i,  x2 , y2   .  x1  32   y1  4 2  4 2 2 Khi đó  và  x1  x2    y1  y2   1 . 2 2  x2  3   y2  4   4 2 2 2 2 Ta có  x1  3   y1  4    x2  3   y2  3  x12  y12   x22  y22   6  x1  x2   8  y1  y2  . 2 Suy ra z1  z2 2 2 2 2  2 3  x1  x2   4  y1  y2   2.  32  42   x1  x2    y1  y2    10 .   2 Do đó 10  z1  z2  10 . Câu 27. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 2 1. B. 2 1. C. 2 2  1 . Lời giải D. 2 2  1 . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và A  2;1 ; B  4;7  lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức 2  i , 4  7i . Ta có AB  6 2 . Phương trình đường thẳng AB là d : x  y  3  0 . +) z1  2  i  z1  4  7i  6 2  MA  MB  6 2  MA  MB  AB . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 là đoạn thẳng AB . +) iz2  1  2i  1  iz2  1  2i i  1   z2  2  i  1 . Gọi N là điểm biểu diễn số phức  z2 và I  2;1 là điểm biểu diễn số phức 2  i . Ta có IN  1 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  z2 là đường tròn  C  có phương trình: 2 2  x  2    y  1  1 . d  I , AB   2 2  1 , suy ra AB không cắt đường tròn. Gọi K là hình chiếu của I  2;1 lên AB . Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C  . Ta có z1  z2  MN  KH  d  I , AB   R  2 2  1 . AB . Suy ra min z1  z 2  2 2  1. Câu 28. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  2i  z  1  3i là A. 5 2 . B. 13 . C. 29 . Lời giải D. 5. Đặt z  a  bi  a, b    . 2 Ta có: z  z  2i  a 2  b 2  a 2   b  2   4b  4  0  b  1  z  a i. Xét: z  1  2i  z  1  3i  a  1  i  a  1  2i  1  a  2  12  1  a  2  22 . Áp dụng BĐT Mincôpxki: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1  a  2  12  1  a  2  22  2 2 1  a  1  a   1  2  4  9  13 . 1 . 3 Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng. Suy ra: z  1  2i  z  1  3i đạt GTNN là 13 khi 2 1  a   1  a  a  Câu 29. (Chuyên Hạ Long – 2018) Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa 2 2 mãn z  z1  z  z2  16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng A. 15 . B. 7 . C. 11 . Lời giải D. 8 . Giả sử z  x  yi  x, y    . 2 2 2 2 2 Ta có: z  z1  z  z2  16  x  yi  2  i  x  yi  2  i  16  x 2   y  1  4 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  2 . Do đó m  1 , M  3 . Vậy M 2  m2  8 . Câu 30. (Chuyên Quang Trung – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: A. 13  1 . B. 10  1 . C. 13 . Lời giải D. 10 . 2 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z ta có: z  2i  z  4i  x 2   y  2   x 2   y  4  Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  y  3 ; z  3  3i  1  điểm M nằm trên đường tròn tâm I  3;3 và bán kính bằng 1. Biểu thức P  z  2  AM trong đó A  2;0  , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P  z  2 đạt được khi M  4;3 nên max P  2  4  2  3  0 2  13 . Câu 31. Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng B. 4 . A. 1  10 . C. 17 Lời giải D. 5 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . Do z  2  2i  2 nên tập hợp điểm M là đường tròn 2 2  C  :  x  2   y  2  4 . Các điểm A 1;1 , B  5; 2  là điểm biểu diễn các số phức 1  i và 5  2i . Khi đó, P  MA  MB . Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C  còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C  , mà MA  MB  AB  17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C  . Ta có, phương trình đường thẳng AB : x  4 y  3  0 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn  C  là nghiệm của hệ với 1  y  5  x  2 2   y  2 2  4  4 y  5 2   y  2  2  4     x  4 y  3  0  x  4 y  3 2 Ta có  4 y  5   y  2  2 Vậy min P  17 khi z  Câu 32.  22  59 N y  17 2  4  17 y  44 y  25  0    22  59  L y  17  37  4 59 22  59  i 17 17 (SGD Cần Thơ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá 2 2 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Môđun của số phức w  M  mi là A. w  3 137 . B. w  1258 . C. w  2 309 . D. w  2 314 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải – Đặt z  x  yi , với x, y   . 2 2 Ta có: z  3  4i  5   x  3   y  4  i  5   x  3   y  4   5 , hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  có tâm I  3; 4  , bán kính r  5 . 2 2 2 2 – Khi đó : P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  4 x  2 y  3  P  0 , kí hiệu là đường thẳng  . – Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  cắt đường tròn  C   d I;  r  23  P  5  P  23  10  13  P  33 2 5 Suy ra M  33 và m  13  w  33  13i . Vậy w  1258 . Câu 33. (THPT Hậu Lộc 2 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . C. m  2 . B. m  2 2 . D. m  2 2  2 . Lời giải Chọn D Đặt z1  a  bi; a, b   z2  b  ai  z1  z2   a  b    b  a  i . Nên z1  z2  2  a  b  b  a 2  2. z1 Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2  z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi a b   0. 1 1 Vậy m  min z1  z2  2 2  2 .  z  3  2i  1 Câu 34. (SGD Bắc Giang – 2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn  . Tìm giá trị  w  1  2i  w  2  i nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  w . A. Pmin  3 2 2 . 2 C. Pmin  B. Pmin  2  1 . 5 2 2 . 2 D. Pmin  Lời giải Giả sử z  a  bi  a, b    , w  x  yi  x, y    . 2 2 z  3  2i  1   a  3   b  2   1 (1) 2 2 2 2 w  1  2i  w  2  i   x  1   y  2    x  2    y  1 . Suy ra x  y  0 . P  zw  2  a  x   b  y  2  2  a  x   b  x  2 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 2 2 . 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ (1) ta có I  3; 2  , bán kính r  1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y   x . x  3  t Đường thẳng HI có PTTS  . y  2t M  HI  M  3  t ; 2  t  1  t  2 M   C   2t 2  1   1  t   2 1 1  5 2  t  2  M 3 ;2   , MH  2 2 2  1 1  5 2  t  3  M 3 ;2   , MH  2 2 2  Vậy Pmin  Câu 35. 5 2 2 . 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Cho số phức z thỏa z  1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. m  4 , n  3 . B. m  4 , n  3 2 Vì z  1 và z.z  z nên ta có z  C. m  4 , n  4 . Lời giải D. m  4 , n  4 . 1 . z Từ đó, P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1  z z 4  z 4  6  2 z 4  1  z 4  z 4  6  2 z 4  1 . Đặt z 4  x  iy , với x, y   . Do z  1 nên z 4  x 2  y 2  1 và 1  x, y  1 . Khi đó P  x  iy  x  iy  6  2 x  iy  1  2 x  6  2  2x  6  2 2x  2     x  1 2  y2 2 2x  2 1  3 . Do đó P  3 . Lại có 1  x  1  0  2 x  2  2  1  2 x  2  1  1  P  4 . 1 3 Vậy M  4 khi z 4  1 và m  3 khi z 4    i . Suy ra M  m  1 . 2 2 Câu 36. (Chuyên Đh Vinh – 2018) Cho các số phức w, z thỏa mãn w i  3 5 5 và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng A. 6 7 . B. 4  2 13 . C. 2 53 . Lời giải D. 4 13 . Gọi z  x  yi , với x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Theo giả thiết, 5w   2  i  z  4   5  w  i    2  i  z  4   5i   2  i  w  i   z  3  2i 2 2  z  3  2i  3 . Suy ra M  x; y  thuộc đường tròn  C  :  x  3   y  2   9 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A 1; 2  và B  5; 2  . Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  và khi đó: P  MA  MB  2  MA2  MB 2  hay P  4MH 2  AB 2 . 2 Mặt khác, MH  KH với mọi M   C  nên P  4 KH 2  AB 2  4  IH  R   AB 2  2 53 . M  K 3 11 Vậy Pmax  2 53 khi  hay z  3  5i và w   i . 5 5  MA  MB Câu 37. (Kim Liên – Hà Nội – 2018) Xét các số phức Vz  a  bi ( a, b   ) thỏa mãn z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . B. 2  3 . Cách 1: Đặt z  3  2i  w với w  x  yi C. 3 . Lời giải D. 4  3 .  x, y    . Theo bài ra ta có Ta có P  z  1  2i  2 z  2  5i  w  4  2 w  1  3i   20  8 x  2 2  2  x  1   y  3 x2  y 2  2 x  1  2  2 5  2x  2 2  x  1   y  3 2   2 w  2  x2  y2  4 .  x  4 2 2  x  1   y  3  x  1 2  y2   y2  2 2 2  x  1   y  3  2 y  y  3   2 y  3  y  6 .  x  1   x  1 P  6   y 3  y   0   . y  3    2 2 x  y  4  2  x  1   y  3  Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2  2  3 i . Cách 2: Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2  2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z  3  2i  2  MI  2  M   I ; 2  với I   3; 2  . P  z  1  2i  2 z  2  5i  MA  2 MB với A  1; 2  , B   2;5  . Ta có IM  2 ; IA  4 . Chọn K  2; 2  thì IK  1 . Do đó ta có IA.IK  IM 2  IA IM  IM IK AM IM   2  AM  2 MK . MK IK Từ đó P  MA  2MB  2  MK  MB   2BK .  IAM và IMK đồng dạng với nhau  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .   Từ đó tìm được M  2; 2  3 . Cách 3: Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi. Đặt I   3; 2  , A  1; 2  và B  2;5  . Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C  có tâm I , bán kính R  2 sao cho biểu thức P  MA  2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Trước tiên, ta tìm điểm K  x; y  sao cho MA  2MK M   C  .   2   2 Ta có MA  2 MK  MA2  4 MK 2  MI  IA  4 MI  IK         MI 2  IA2  2 MI .IA  4 MI 2  IK 2  2 MI .IK  2 MI IA  4 IK  3R 2  4 IK 2  IA2 * .     IA  4 IK  0 . * luôn đúng M   C    2 2 2 3R  4 IK  IA  0            4  x  3  4 x  2 IA  4 IK  0    . y  2 4  y  2   0 Thử trực tiếp ta thấy K  2; 2  thỏa mãn 3R 2  4 IK 2  IA2  0 . Vì BI 2  12  32  10  R 2  4 nên B nằm ngoài  C  . Vì KI 2  1  R 2  4 nên K nằm trong  C  . Ta có MA  2 MB  2 MK  2MB  2  MK  MB   2 KB . Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA  2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C  và đoạn thẳng BK . Phương trình đường thẳng BK : x  2 . 2 2 Phương trình đường tròn  C  :  x  3   y  2   4 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  x  2  x  2  x  2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ   hoặc  . 2 2  y  2  3  y  2  3  x  3   y  2   4   Thử lại thấy M 2; 2  3 thuộc đoạn BK . Vậy a  2 , b  2  3  a  b  4  3 . Câu 38. (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  4i  1 và 1 . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ 2 nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: z2  3  4i  A. Pmin  9945 . 11 C. Pmin  B. Pmin  5  2 3 . 9945 . 13 D. Pmin  5  2 5 . Lời giải Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z trên hệ trục tọa độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M 1 là đường tròn  C1  tâm I  3; 4  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M 2 là đường  C2  tròn tâm I  6;8  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x  2 y  12  0 . Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM 1  MM 2  2 . y I2 8 B I1 4 O A 3 I3 M x 6  138 64  ;  , R  1 là đường tròn đối xứng với  C2  qua d . Khi đó Gọi  C3  có tâm I 3   13 13  min  MM 1  MM 2  2   min  MM 1  MM 3  2  với M 3   C3  . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I1I 3 với  C1  ,  C3  . Khi đó với mọi điểm M 1   C1  , M 3   C3  , M  d ta có MM 1  MM 3  2  AB  2 , dấu “=” xảy ra khi M 1  A, M 3  B . Do đó Pmin  AB  2  I1I 3  2  2  I1 I 3  Câu 39. 9945 . 13 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z  1  i  z  1  2 i , số phức A. 3 . 10 z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là B. 3 . 5 3 5 C.  . D.  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 . 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn D + Gọi số phức cần tìm là z  a  bi , ( a , b   ) .  z  a  bi + z  1  i  z  1  2i  a  bi  1  i  a  bi  1  2i  a  1   b  1 i  a  1   b  2  i .  2  a 1   b  1 2  2  a  1   b  2  4a  2b  3  0  b   2 4a  3 3  2a  2 2 2 3 9 9 9   2 6 2 2 2 2 + z  a  b  a   2a    5a  6a   5  a  a    2 4 5 25  20   2  3 9  5 a     5 20  z nhỏ nhất bằng Câu 40. 9 3 5  20 10 3 3 3 5 khi a    b   . 5 10 10 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. M  m  1 . B. M  m  7 . C. M  m  6 . Lời giải D. M  m  3 . Chọn A 2 Ta có: zz  z  1  z  Suy ra P  z 5  1 . z 1 1  6 z  2 z 4  1  3 z8  1  6 z 4  2 z 4  1  z8  6 z 4  1  2 z 4  1 3 z z Đặt w  z 4  w  1 , ta được P  w2  6w  1  2w  2 .  x  1 Gọi w  x  yi , vì w  1  x 2  y 2  1   .  y  1 P  x2  6 x  1  y 2  2 y  x  3 i  2 x  1  yi  2 x 2  6 x  2 y  x  3 i  2 x  1  yi  2  x  3 x  yi   2  x  1 2  y 2  2  x  3 x  yi  2 2 x  2  2  x  3  2 2 x  2 Xét hàm số f  x   2  x  3  2 2 x  2 trên đoạn  1;1 . f  x  2  2 1 1 1 ; f  x  0  2  2  0  2x  2  1  x   . 2 2x  2 2x  2  1 Ta có: f  1  4; f     3; f 1  4  2 Vậy M  4, m  3  M  m  1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 41. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. 6 5 . B. 4 5 . C. 2 5 . Lời giải 5. D. Chọn C Gọi z  x  yi;  x; y    . z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x   1;1. Ta có: P  1  z  3 1  z  1  x  2 2  y 2  3 1  x   y 2  2 1  x   2 2 1  x  . Xét hàm số f  x   2 1  x   2 2 1  x  ; x   1;1. Hàm số liên tục trên  1;1 và với x   1;1 ta có: f   x   f  x  0  1 2 1  x   1 2 1  x   2 2 1  x  . 2 3  0  x     1;1 . 5 2 1  x   3 f 1  2; f  1  4; f     2 5 .  5  max f  x   2 5 . x 1;1 3 4 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z bằng 2 5 khi x   , y   . 5 5 Câu 42. (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Lời giải Chọn A 2 Thay z  1 vào P ta có P  z 1  z2  z 1  z 1  z2  z  z 2  z  1  z 2  z  z. z  z  1  z z  z  1  z  1  z  z 1 . 2   Mặt khác z  1   z  1 z  1  2  z  z . Đặt t  z  z do z  1 nên điều kiện t   2; 2 . Suy ra P  t  2  t  1 . Xét hàm số f  t   t  2  t  1 với t   2; 2 . 1  1 với t  1 . Suy ra f   t   0 với t  1 . 2 t2 7 1 f  t    1 với t  1 . Suy ra f   x   0  x  . 4 2 t2 Ta có bảng biến thiên f  t   Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ bảng biến thiên suy ra M  Vậy M .m  Câu 43. 13 7 tại t  và m  3 tại t  2 . 4 4 13 3 . 4 (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  4 là A. 5. C. 3 3. Lời giải B. 4. D. 6. Chọn A Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có z  z  2i  y  1  0, tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y  1  0. Xét điểm A(0;1) và B(4;0) thì P  z  i  z  4  MA  MB. Dễ thấy A, B cùng phía với đường thẳng y  1  0 nên MA  MB nhỏ nhất bằng BA trong đó A(0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y  1  0. B A M’ M A’ Do đó MA  MB nhỏ nhất bằng BA  5. Câu 44. (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1  1  3i , z2  5  3i . Tìm điểm M  x; y  biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x  2 y  1  0 và mô đun số phức w  3 z3  z2  2 z1 đạt gí trị nhỏ nhất.  3 1 A. M   ;  .  5 5 3 1 B. M  ;  . 5 5  3 1 C. M   ;   .  5 5 3 1 D. M  ;   . 5 5 Lời giải Chọn A Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A Tự luận: Ta có w  3 z3  z2  2 z1  3 z3  3  3i  3  z3  1  i   w  3 z3  1  i  3 AM với A  1;3  M  x; y  biểu diễn số phức z3 nằm trên đường thẳng d : x  2 y  1  0 và A  1;3  d . Khi đó w  3 z3  1  i  3 AM đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất  AM  d Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 AM  d nên AM có phương trình: 2 x  y  1  0 .  3 1 Khi đó M  AM  d nên M   ;  . . Chọn A  5 5 Câu 45. (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1  2i  5 . Giá trị lớn nhất của z  1  i bằng A. 5. D. 2 5 . C. 20 . Lời giải B. 5 2 . Chọn D Cách 1. Ta có z  1  i  z  1  2i  2  i  z  1  2i  2  i  2 5 . Đẳng thức xảy ra khi z  3  3i . Vậy max z  1  i  2 5 . Cách 2. 2 2 Đặt z  x  yi,  x, y    thì từ điều kiện ta có:  x  1   y  2   5 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho z và A  1;  1 là điểm biểu diễn cho số phức 1  i , khi đó z  1  i  AM với M thuộc đường tròn  C  tâm I 1; 2  bán kính R  5 . Dễ thấy A   C  , do đó AM  2 R  2 5 . Suy ra max z  1  i  2 5 , đẳng thức xảy ra khi M  K . Cách 3. z  1  2i  5 * Đặt z  x  yi  x, y    , khi ấy, ta có *  x  yi  1  2i  5   x  1   y  2  i  5 2 2   x  1   y  2   5 .  x  1  5 sin a Đặt  . Ta có  y  2  5 cos a z  1  i   x  1   y  1 i  2  x  1   y  1 2   2   5 sin a  2   5 cos a  1  10  4 5 sin a  2 5 cos a Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  cos   2 5  5   10  10  sin a  cos a   10  10sin  a    với  5  5  sin    2 5 5 . 5 5 Vì 1  sin  a     1 với mọi a;   10  10  z  1  i  10  10  0  z  1  i  2 5 . Vậy giá trị lớn nhất z 1  i của là 2 5. Dấu “” xảy ra khi  5   cos a  cos   k 2      sin    5   2  sin  a     1  a     k 2    2 sin a  sin    k 2     cos   2 5    5 2   x  1  5 sin a x 1  2 x  3    z  3  3i .   y  2  1  y  3  y  2  5 cos a Câu 46. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z   2  i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng A. 1. B. 2 5 . 5 C. 2 . D. 5 . 5 Lời giải Chọn D  x, y    . Ta có  2  i  z   2  i  z  2i   2  i  x  yi    2  i  x  yi   2i   2 x  y    2 y  x  i   2 x  y    2 y  x  i   2i   4 y  2 x  i  2i Giả sử z  x  yi  4 y  2x  2  x  2 y 1. 2 2  1 1  2 2 Do đó z  x 2  y 2   2 y  1  y 2  5 y 2  4 y  1   5 y     , y  . 5 5 5  Suy ra min z  1 5 2 1  khi y  , x   . 5 5 5 5 Câu 47. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn 2  3i  z  z  i là A. 6 3  i. 5 5 B. 3 6  i. 5 5 3 6  i. 5 5 Lời giải C. D. 6 3  i. 5 5 Chọn C Đặt z  x  yi,  x; y     z  x  yi. Khi đó 2  3i  z  z  i   x  2    y  3 i  x   y  1 i  2  x  2    y  3 2 2  x 2   y  1  x  2 y  3  0 . Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng  : x  2 y  3  0 . Ta có min z  d  O,   . Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với   d : 2 x  y  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 x  y  0 3 6  H  ;  . Gọi H  d    H :  5 5 x  2 y  3  0 3 6 Khi đó z có môđun nhỏ nhất thoả mãn có điểm biểu diễn là H , tức là z   i . 5 5 Câu 48. 12  5i  z  17  7i (Sở GD Nam Định – 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z 2i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 3 13 . 26 B. 5 . 5 1 . 2 Lời giải C. D. 2. Chọn A Điều kiện: z  2  i . Phương trình đã cho  12  5i . z  17  7i  13 z  2  i  z  1  i  z  2  i 12  5i 1 . Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Vì z  2  i nên M  N  2;1 . 2 2 2 2 Khi đó, 1   x  1   y  1   x  2    y  1  6 x  4 y  3  0 . Ta thấy đường thẳng d : 6 x  4 y  3  0 không đi qua điểm N  2;1 nên tập hợp điểm M là đường thẳng d . Ngoài ra, z  OM nên z nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất, tức là OM  d  O , d   Vậy min z  3 62  42  3 13 . 26 3 13 . 26 Câu 49. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i . A. min w  1 . 2 B. min w  1 . C. min w  3 . 2 D. min w  2 . Lời giải Chọn B Theo giả thiết, z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i .  z  1  2i  z  1  3i   0  z  1  2i  0   z  1  2i  z  1  3i 1 .  2 1  z  1  2i  0  z  1  2i . Khi đó, w  1  2i  2  2i  1  3 . Đặt z  x  yi ( x, y   ). Khi đó,  2    x  1   y  2  i   x  1   y  3 i 2 2 2 2 2 2   x  1   y  2    x  1   y  3   y  2    y  3  y   1 1  z  x i. 2 2 Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3  w   x  2  i  2  x  2 2  9 9 3   x   .  4 . 4 4 2 Từ  3 và  4   min w  1 . Câu 50. (Kim Liên – Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  1  3i . Tìm M , m . A. M  17  5 ; m  3 2 . B. M  26  2 5 ; m  2 . C. M  26  2 5 ; m  3 2 . D. M  17  5 ; m  3 . Lời giải Chọn C Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F1  3; 2  , F2  3; 1 , A  2;0  và B 1;3 . Ta có z  3  2i  z  3  i  3 5 và F1F2  3 5  MF1  MF2  F1F2 . Do đó tập hợp các điểm M là đoạn thẳng F1 F2 . Dựa vào hình vẽ, ta thấy: + M  Pmax  M 2 A  M 2 B  26  2 5 . + m  Pmin  M1 A  M1 B  AB  3 2 . Vậy M  26  2 5 ; m  3 2 . Câu 51. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . Lời giải D. z  1  i . Chọn B Giả sử z  x  yi  x; y    . Ta có z  1  3i  2  2  x  1   y  3 2 2  2   x  1   y 2  6 y  5 2 Vì  x  1  0   y 2  6 y  5  0  1  y  5 z 1   x 1 2  y2  6 y  5 Vì 1  y  5  1  6 y  5  25  1  z  1  5 x  1 Vậy z  1 nhỏ nhất khi  khi đó z  1  i y 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 52. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz  2i  4  3 , phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức T  z  z1  z  z2 . A. 9. C. 5. B. 2. D. 4. Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi, x, y   , ta có M  z   M  x; y  Khi đó: iz  2i  4  3  i  x  yi   2i  4  3   y  4   x  2i  3 2 2   x  2   y  4   9 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn C  tâm I 2; 4 , bán kính R  3 . Mặt khác: z1  2  bi  A z1   A2; b  Tập hợp điểm A là đường thẳng d1 : x  2. z2  a  i  B  z2   B a; 1  Tập hợp điểm B là đường thẳng d2 : y  1. Giao điểm của d1 và d2 là P 2; 1 . y d1 I 4 M H d2 1 -2 O K P 2 x Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d1 và d2 . 2 2 Ta có: T  z  z1  z  z2  MA2  MB2  MH 2  MK 2  MP 2 . T đạt giá trị nhỏ nhất khi A  H , B  K và I , M , P thẳng hàng (theo thứ tự đó).   x  2  4t  M 2  4t; 1  3t  (vì M  IP ). Phương trình đường thẳng IP :      y  1  3t  2 t   9  2 2 2 5 Mà M  C  nên ta có 4  4t   3  3t   9  1  t    8 25  t    5  22 29  8 – Với t    M  ;  (loại)  5 5  5  2 11 2 2 11 11 2 – Với t    M  ;   z   i  z1  2  i, z2   i.    5 5 5 5 5 5 5 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 Suy ra MPmin  IP  IM  IP  R  4  3  3  2 . 2 11 11 2 Vậy Tmin  22  4 khi z   i, z1  2  i, z2   i. 5 5 5 5 Câu 53. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z  i . A. 5 3 . B. C. 61 . Lời giải 41 . D. 3 5 . Chọn C Giả sử z  x  yi , ( x, y   ). 2 2 +) Ta có: z  3  4i  5   x  3    y  4   5 1 . 2 2 2 2 +) P  z  2  z  i   x  2   y 2    x 2   y  1   4 x  2 y  3      4  x  3  2  y  4   23  4 2 2 2  22   x  3   y  4    23  33 .   x3 y 4   x  3  2  y  4  2 . 4 2 x  5 x  1 Từ 1 và  2  suy ra  hoặc  . y  5 y  3 x  5 x  1 Với   P  33 ; Với   P  13 . y  5 y  3 P  33  2 2 Vậy số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và biểu thức P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất là z  5  5i . Khi đó z  i  61 . Câu 54. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  5 là A. 3  2 . C. 3  2 2 . B. 2  2 . D. 2  2 . Lời giải Chọn A Cách 1: 2 2 Theo giả thiết ta có z  1  i  1   a  1   b  1  1 . Đặt a  1  sin t , b  1  cos t  0  t  2  .     2 sin  t    3  3  2 sin  t   . 4    4 Khi đó P  a  b  5  sin t  cos t  3      Ta có: 1  sin  t    1   2   2 sin  t    2  3  2  P  3  2 . 4 4   Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 3  2 . Cách 2: 2 2 Theo giả thiết ta có z  1  i  1   a  1   b  1  1  a , b   0; 2 . Khi đó P  a  b  5  5  a  b  3   a  1   b  1  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Theo BĐT Bunhia ta có:  a  1   b  1  1 2 2 2  12  .  a  1   b  1   2   Do đó P  3  2 . Câu 55. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức z  a  bi ( a , b  ) thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  z  2  2 z  2 . A. 10 . B. 5 2 . C. 10 2 . D. 7 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có: z  2   a  2   b 2 ; z  2   a  2   b 2 . 2 2 2 Suy ra: z  2  z  2  2  a 2  b 2   8  2 z  8  10 . 2  Ta có: A2   z  2  2 z  2   12  22  z  2 2  z2 2   50 . Vì A  0 nên từ đó suy ra A  50  5 2 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 . Câu 56. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z ia  . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Khoảng a 2  1 1  a  a  2i  cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4  (khi a thay đổi) là A. 6 . D. 3 . C. 4 . B. 5 . Lời giải Chọn C  a2 1 z 2 a 1  i  a  1  a  2ai  ia z   2 1  a  a  2i  a2  1  a2  1 2 z Ta có:   a3  a   a 2  1 i a 2  1 2 z ai a2  1  z  1. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O bán kính R  1 . Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: OI  5 . Do đó: OM min  OM 1  OI  R  5  1  4 . Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2  4i  5 . Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức a 2  b 2 bằng A. 40 . B. 4 5 . C. 20 . Lời giải D. 2 5 . Chọn A Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi với x , y   . 2 2 Ta có z  2  4i  5   x  2    y  4   5  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I  2; 4  và bán kính R  5 . Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm O và I cắt đường tròn tại 2 điểm M và N như hình vẽ. OI  22  42  2 5 ; IM  IN  R  5 . Từ hình vẽ ta thấy: z min  OM  OI  IM  2 5  5  5  b . z max  ON  OI  IN  2 5  5  3 5  a . Vậy a 2  b 2  40 . Câu 58. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 4 3 . D. 2  2 3 . C. 4 . Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 .  M , N   C  :  x  3 2  y  3  z1  3  3i  z2  3  3i  2 Do  nên   z1  z2  4  MN  4  2.2    2  22 .  Như vậy MN là đường kính của đường tròn  C  với tâm I 3;  3 , bán kính R  2 , do đó I là trung điểm MN , OI  12 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có z1  z2  OM  ON   MN 2  2  2OI 2    8. 2   1  1  OM 2  ON 2   Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi OM  ON  MN là đường kính của  C  vuông góc với OI . Câu 59.   (Chuyên Đại học Vinh – 2019) Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 . Giá trị nhỏ nhất của z1  3z2 bằng A. 5  21 . B. 20  4 21 . C. 20  4 22 . Lời giải D. 5  22 . Chọn C   Giả sử số phức z  x  yi thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Ta có:  z  6  8  zi    x  yi  6  (8   x  yi  i)   x  6  8  y   8 xy   8 x  x  6   y 8  y   i   2 2 Để là  z  6  8  zi số thực thì 8 x  x  6   y  8  y   0   x  3    y  4   52 Vậy điểm biểu diễn số phức z1 , z2 thuộc đường tròn tâm I  3, 4  , bán kính R  5 Giả sử z1  x1  y1i có điểm biểu diễn A  x1 , y1  ; z2  x2  y2i có điểm biểu diễn B  x2 , y2  . Vì z1  z2  4  2  x1  x2    y1  y2  2  4  AB  4   Ta xét z1  3 z 2  OA  3OB Gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm HB , khi đó ta có:      z1  3z2  OA  3OB  2 OH  OB  4OK  4OK   Ta có OI  IB  IA  5; AB  4;AH  HB  2; HK  1 Suy ra IH  21  IK  22 . Theo bất đẳng thức tam giác ta có OK  KI  OI  OK  OI  KI  OK  5  22 . Suy ra z1  3 z2  4OK  20  4 22 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 60. (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 2 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z2 2 bằng A. 6. B. 2 2. C. 4 2. D. 2. Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức mô đun : z1  z2  z1  z2 . Dấu bằng xảy ra z1  kz2 ,  k  0  . 2 2 2 Ta có: 2 z  z  1  z  1  2 z  z  1  2 z Với z 2  1  2 z  z 2  2 z  1  0  z  1  2   z  1  2 k  3  2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:    z max  1  2  z2 2 z   1  2 i  z  k    Với z 2  1  2 z  z 2  2 z  1  0  z  1  2  z  2  1 m  3  2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:    z min  2  1  z1 2  z   2  1 i  z  m  2 2 Vậy z1  z2  Câu 61.  2   2 1    2 2  1  6. (SGD Đà Nẵng 2119) Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z  2  8i  17 . Biết z  a  bi  a, b   , tính m  2a 2  3b A. m  18 . B. m  54 . C. m  10 . Lời giải D. m  14 . Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    . Ta có: z  2  8i  17  2  a  2    b  8 2  17  IM  17 với I  2;8  . Suy ra: M thuộc đường tròn  C  có tâm I bán kính R  17 . Lại có: OI  22  82  2 17  R nên O nằm ngoài  C  . GTNN của môđun z là z min  OM min  OI  R  17 1 . Đẳng thức xảy ra khi M  OI   C  và M nằm giữa O và I  2 . Từ 1 và  2 ta có M là trung điểm OI nên M 1;4 . Suy ra a  1; b  4 . Khi đó: m  2 a 2  3b  2  12  10 . Câu 62. (Nho Quan A – Ninh Bình – 2019) Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  3i  2 2 . Tính P  2a  b khi z  1  6i  z  7  2i đạt giá trị lớn nhất. A. P  3 . B. P  3 . C. P  1 . Lời giải D. P  7 . Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 M (C) I B N K A  Đặt A  1;  6  , B  7; 2   AB   8;8 và trung điểm của AB là K  3;  2 . 2 2 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z ta có:  a  2    b  3  8 .  M thuộc đường tròn  C  có tâm I  2;3 , bán kính R  8 .    Ta thấy IK   5;  5  IK . AB  0  I nằm trên đường thẳng trung trực của AB . Xét tam giác MAB  MA2  MB 2  2MK 2  AB 2 . 2 2  2  MA2  MB 2   4 MK 2  AB 2   MA  MB   MA  MB  4 MK 2  AB 2 . Ta có z  1  6i  z  7  2i là tổng khoảng cách từ điểm M trên đường tròn  C  tới hai điểm A và B .  MA  MB Vậy MA  MB lớn nhất khi:  . Điều này xảy ra khi M là giao điểm của IK với đường  MK max tròn  C  và M nằm ngoài đoạn IK .  x  2  t Ta có phương trình của đường thẳng IK :  . y  3t Tọa độ giao điểm của IK với đường tròn  C  là nghiệm của hệ:  x  2  t   2t 2  8  t  2 . y  3t  2 2  x  2    y  3  8 Vậy điểm M cần tìm ứng với t  2 khi đó a  4 M  4;5     P  2a  b  8  5  3 b  5 Câu 63. (SGD Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  6 z  2  3i bằng A. 5 6 .   B. 15 1  6 . C. 6 5 . D. 10  3 15 . Lời giải Chọn C Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 1 1  i  z  1  3i  3 2  1 i z  1  3i  3 2  z  1  2i   3 1 . 1 i   Gọi OM   x; y  , OI  1; 2  là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z  x  iy , w  1  2i .   Từ 1 có OM  OI  3  MI  3 . 2 3 Suy ra M thuộc đường tròn  C  tâm I 1;2 bán kính R  3 ,  C  :  x  1   y  2   9   Gọi OA   2;  1 , OB   2;3  lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a  2  i , b  2  3i .        Có IA   3;  3 , IB  1;1 . Suy ra IA  3IB  IA  3IB  0 .   Lúc đó P  MA  6 MB  MA  2. 3MB  3 MA2  3MB 2 .   2   2 Có MA2  3MB 2  IA  IM  3 IB  IM  4 IM 2  IA2  3 IB 2 .     Có IM 2  9 , IA2  18 , IB 2  2 , nên MA2  3MB 2  60 . Suy ra P  3.60  6 5 . Có P  6 5  MA 3MB  . 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của P là P  6 5 . Cách 2. Giả sử M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z khi đó 1  i  z  1  3i 2  3 2  x  y  1   x  y  3 i  3 2  x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 2   x  1   y  2   9 . Do đó M thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , bán kính R  3 . a  x  1 Đặt  Ta có a 2  b 2  9 . Gọi A   2;  1 , B   2;3 b  y  2  P  z  2  i  6 z  2  3i  MA  6MB   2  a  3   b  3 2 2 2 2  6  x  2    y  3    2 2  6  a  1   b  1   6  a  b   27  6    6  a  b   27  2 Câu 64. 2  x  2    y  1  6  a  b   33  1  2  27  33  6  2  a  b   11 5. (Lômônôxốp – Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 z  4  5i  z  1  7i bằng a b (với a, b là các số nguyên tố). Tính S  ab? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 20 . B. 18 . D. 17 . C. 24 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi,  x, y    . Ta có: 2 2 z  1  i  3   x  1   y  1  9  C  ; Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  , có tâm là I  1;1 và bán kính R  3. Ta có: A  2 z  4  5i  z  1  7i  2  2 2  4 x 2  8 x  4 y 2  20 y  29 2 2  2 x 2  2 x  y 2  10 y  2  x  4    y  5 2  x  4    y  5 2  x  4    y  5  2  x  1   y  7  2  2  x  4    y  5 2 2 2 2   2   2  x  4    y  5 2  x  1   y  7  2 2  3  x  1   y  1  9 5    x  1   y   2  2 2 2  29 4  .   Gọi M  x ; y    C  .  A  2 z  4  5i  z  1  7i  2MA  MB, A  4;  5 ; B  1;7  . 5   A  2 MA  MB  2  MA  MC  , C  1;  . 2    3   3 Ta có: IC   0;   IC   RC  . 2  2 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn  C  . Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn  C  tại hai điểm. Do đó, để A  2  MA  MC  đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C .  A  2  MA  MC   2 AC , AC  5 13 . 2  A  5 13  a b . Vậy, a  b  18 . Câu 65. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 là nghiệm phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i và thỏa mãn z1  z2  A. 56 . 5 8 . Giá trị lớn nhất của z1  z 2 bằng 5 28 B. . C. 6 . 5 Lời giải D. 5 . Chọn A Gọi z1  x1  y1i, z2  x2  y2i , với x1 , y1 , x2 , y2   . Do z1  z2  8 8   x1  x2    y1  y2  i   5 5 Gọi M 1  x1 ; y1  , M 2  x2 ; y 2   M 1M 2   x1  x2  2 2   y1  y2   2  x1  x2    y1  y2  2 8 5 8  . 5 Mà z1 là nghiệm phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i   6  y1    x1  3 i   2 x1  6    2 y1  9 i  2  6  y1    x1  3 2  2  2 x1  6    2 y1  9  2  x12  y12  6 x1  8 y1  24  0  M 1  x1 ; y1   đường tròn (C ) : x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 . Tương tự M 2  x2 ; y 2    C  . Đường tròn (C ) có tâm I  3; 4  , bán kính R  1 . 4 2 3 Goị M là trung điểm M 1 M 2  IM  M 1 M 2 , IM  R 2  M 1 M 2  1     , và 5 5 z1  z2  2OM . Mà OM  OI  IM , dấu bằng xảy ra khi O , I , M thẳng hàng. Khi đó OM  M 1 M 2 , và OM  OI  IM  28 . 5  z1  z 2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2  OI  IM  , bằng 56 . 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Hoặc đánh giá chọn đáp án như sau: Gọi N   x 2 ;  y 2   NM1  2  x1  x2    y1  y2  2  z1  z2 Và N đối xứng với M 2 qua gốc tọa độ O , N  đường tròn (C1 ) : x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 . (C1 ) có tâm I1   3;  4  , bán kính R1  1 , (C1 ) đối xứng với  C  qua gốc tọa độ O . Có I1 I  10  I1I  R  R1  8 . Nhận xét: với mọi điểm M 1   C  , N   C1  thì M1 N  I1I  R  R1 . Loại các đáp án B,C,D  z1  z 2  M 1 N đạt giá trị lớn nhất bằng 56 . 5 Câu 66. Cho các số phức z và w thỏa mãn  3  i  z  A. 2 . 2 B. 3 2 . 2 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất T  w  i w 1 C. 2 . D. 1 . 2 Lời giải Chọn B Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z z z 1 i   3 z  1  1  z  i   3  i  z  w 1 w 1 w 1 2  3 z  1  1  z  2 .. Đặt t  z ; t  0 (vì z  0 không thỏa phương trình trên). (1) trở thành:  w 1  t  w 1  3t  1 2 t 2  1  t   w  1  2 .. 10t  8t  2 1 1 1   ; t  0. . 2 8 2 2 1   10   2  2  2 t t2 t  Ta luôn có: w  i  w  1  1  i  1 3 2  2  wi  .. 2 2  1 t  z  1  2   z  2 i Dấu = xảy ra   w  1  k 1  i    .  w  3  1 i   wi  3 2 2 2  2 Vậy: Giá trị lớn nhất của T  3 2 .. 2 Câu 67. Cho các số phức z thỏa mãn z  2  z  2  2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2 3  i  z  3 3  2i  z  3i . B. 6 . A. 12 . C. 8 . Lời giải D. 10 . Chọn A    Gọi M  x; y  , F1  2; 0 , F2  2,  2; 0 , lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z  x  yi , 2. Có z  2  z  2  2 3  MF1  MF2  2 3 , có 2 3  F1F2  2 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Suy ra M  x; y  chạy trên  E  có tiêu cự 2c  2 2 , độ dài trục lớn 2a  2 3 , độ dài trục nhỏ x2 y2   1. 3 1 2b  2 và phương trình chính tắc của  E  là  3  x  3 Có M  x; y    E    .  1  y  1 Có P  z  2 3  i  z  3 3  2i  z  3i .     2 2 2 2 2 2 2 2  x  2 3    y  1   x  3 3    y  2  x   y  3 .  x  2 3    y  1  3 3  x    y  2    y  3 . 3  3 3  x    2 y  3   y  3 1 (Bất đẳng thức tam giác). 2 x2 2 2 2 2  4 y 2  12 y  84  3  y . Đặt f  y   2 y 2  3 y  21  3  y , với 1  y  1 . Có f   y   2y  3 y 2  3y  21 1. f   y   0  y 2  3y  21  2 y  3 1 ,  y  1  nhaän  Có 1  y  1  1  3y 2  9 y  12  0   .  y  4  loaïi Có f  1  4  2 19 , f 1  12 . Suy ra Min f  y   12  P  12 . y 1;1  x  0, y  1  Đẳng thức 1 xảy ra khi  x  2 3 y  1  x  0, y  1 .  0  3 3  x y  2 Thử lại: Khi x  0, y  1 có P  12 . Vậy MinP  12 khi x  0, y  1 . 2 Câu 68. Cho số phức z  x  yi , x , y  thỏa mãn z  3 y 2  16 . Biểu thức P  z  i  z  2 đạt giá trị lớn nhất tại  x0 ; y0  với x0  0, y0  0 . Khi đó: x02  y02 bằng A. 20  3 6 . 2 20  3 7 . 2 B. 20  3 6 . 2 Lời giải C. D. 20  3 7 . 2 Chọn D 2 Ta có: z  3 y 2  16  x2  4 y 2  16 . P  2 x 2   y  1  2  x  2  x  2  x   y 1  y  2 2  y2  2 x 2   y  1  2 2  x   y  2  5. Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Pmax x  2  2 y  x.   y    2  x  y  1 x  2 y  2  0    2 2  2  2 y   4 y  16  0  x.  2  x   0 x 2  x  0   y 1 .  y  0  y  1 .   y   0  x  2  x  0    5   2 2  x 2  4 y 2  16  x  4 y  16  y  1 .   y   0  x  0  x  0  x  0  y  0  y  0  y  0  x0  1  7  1 7 20  3 7 y   2 2 .  2  1  7  x0  y0  2 x  1 7  y0    2 Nhận xét: Bài này ta dùng bất đẳng thức véc tơ như sau     Cho a  a1 ; a2 , b   b1 ; b2   a  b   a1  b1 ; a2  b2  , ta có:     2 2 a  b  a  b   a1  b1    a2  b2   a12  a22  b12  b22 .   a1b2  a2b1    Dấu “ = ” xãy ra  a , b ngược hướng  a1b1  0 . a b  0  2 2 Câu 69. Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  11 . B. S  5 . C. S  3 . Lời giải D. S  5 . Chọn B Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức: z  x  yi là M  x ; y  ; z  4  0i là F1  4;0  ; z  4  0i là F2  4;0  . Ta có: z  4  z  4  10  MF1  MF2  10 . (1)  MF12   x  4 2  y 2 8x .(2)  MF12  MF2 2  16 x  MF1  MF2   2 2 2 5  MF2   x  4   y 4x Từ (1) và (2), suy ra MF1  5  . 5 2 4x  x2 y2 2 2  Mặt khác MF12   x  4   y 2   5     x  4   y 2    1. 5  25 9  Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn z  4  z  4  10 là Elip có phương trình E: x2 y 2   1. 25 9 Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc  E  sau cho z  6 lớn nhất. Ta gọi các điểm biểu diễn số phức: z  6  0i là A  6;0 ; z  a  bi là M  a ; b    E  ; z  5  0i là C  5;0  . Do đó, z  6 lớn nhất khi và chỉ khi MA lớn nhất. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để MA lớn nhất khi M  C  5;0   a  5; b  0  S  5 . Câu 70. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b ? A. S  3 . B. S  5 . C. S  5 . D. S  11 . Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    . z  4  z  4  10   a  4   bi   a  4   bi  10  a  4 2  b2   a  4 2  b 2  10 * Xét F1  4;0  và F2  4;0  . Khi đó *  MF1  MF2  10 c  4  b  a2  c2  3 Suy ra M thuộc Elip có  2 a  10  a  5  Ta có: z  6   a  6 2  b 2  IM , I  6; 0  , suy ra max z  6  IA hay điểm M  A  5;0   z  5  0i  S  5 . Câu 71. Cho số phức z thỏa mãn z  1 , M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  z  2 1  z . Giá trị của biểu thức M  m bằng A. 2 5  2 . B. 6 . C. 2 5  4 . D. 7 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi với x , y  . z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1  A  1 z  2 1 z   x  1 2 2  y 2  2 1  x   y 2  2  2 x  2 2  2 x . Xét hàm số f  x   2  2 x  2 2  2 x với x   1;1 . Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  1;1 và 1 2 1 x  2 1 x   . 2  2x 2  2x 2 1  x 2  f  x  3 f   x   0  1  x  2 1  x  0  x     1;1 . 5  3 Khi đó f  1  4 ; f     2 5 ; f 1  2 .  5  3 Do đó M  max f  x   f     2 5 ; m  min f  x   f 1  2 . Suy ra M  m  2 5  2 .  1;1  1;1  5 Câu 72. Xét tập hợp S các số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện 3 z  z  1  i  2  2i  . Biểu thức Q  z  z  2  x  đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0  x0  y0 i ( khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị T  M . x0 y 02 . A. T   9 3 . 2 B. T  9 3 . 4 C. T  9 3 . 2 D. T   9 3 . 4 Lời giải Chọn D Ta có: 3 z  z  1  i  2  2i   4 x 2  16 y 2  16  x 2  4 y 2  4  4 y 2  4  x 2 Do đó, Q  z  z  2  x   4 y 2  2  x   4  x 2  2  x   f  x  ,  2  x  2  . f  x  2×2  2x  4 ,  2  x  2  . 4  x2  x  1 f  x  0    x  1.  x  2   2 ; 2  Mặt khác, f  2   0, f  2   0, f  1  3 3. 3 Suy ra M  3 3 tại x0  1, y02  . 4 Vậy T  Câu 73. 9 3 . 4 (THPT Hậu Lộc 2 2019) Cho z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 4 3 . D. 2  2 3 . C. 4 . Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 .  M , N   C  :  x  3 2  y  3  z1  3  3i  z2  3  3i  2 Do  nên   z1  z2  4  MN  4  2.2   2  22 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   Như vậy MN là đường kính của đường tròn  C  với tâm I 3;  3 , bán kính R  2 , do đó I là trung điểm MN , OI  12 . Ta có z1  z2  OM  ON  1  1  OM 2  ON 2    MN 2  2  2OI 2    8. 2   Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi OM  ON  MN là đường kính của  C  vuông góc với OI . Câu 74. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. 2 2  1 . B. 2 1 . C. 2 2  1 . Lời giải D. 2  1. Chọn C Trên mặt phẳng Oxy , gọi M  a; b  là điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A  2;1 , B  4;7  lần lượt là điểm biểu cho các số phức 2  i và 4  7i  AB  6 2 . Từ đó ta được MA  MB  6 2  AB nên tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z1 là đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng d : x  y  3  0 . Đặt z3   z2 , khi đó iz2  1  2i  1  iz3  1  2i  1  z3  2  i  1 . Gọi N  c; d  là điểm biểu diễn cho z3 ; I  2;1 là điểm biểu diễn cho số phức 2  i , khi đó IN  1 nên tập hợp các điểm biểu diễn cho số 2 2 phức z3 là đường tròn  C  :  x  2    y  1  1 . z1  z2  z1  z3  MN . Dễ thấy hình chiếu vuông góc của điểm I  2;1 trên đường thẳng  d  là điểm K  0;3 thuộc đoạn AB suy ra MN  KH với H là giao điểm của IK với  C  và thuộc đoạn IK . Do đó min MN  KH  d  I , AB   R  2 2  1 . Vậy min z1  z2  2 2  1 Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75. (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1  4  5i  z2  1  1 và z  4i  z  8  4i . Tính z1  z2 A. 8 khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất B. 6 . 41 . C. D. 2 5 . Lời giải Chọn D Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 . Suy ra A thuộc đường tròn  C1  tâm I1  4;5  , R  1 . Gọi B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Suy ra B thuộc đường tròn  C2  tâm I 2 1; 0  , R  1 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi Theo giả thiết z  4i  z  8  4i  x  y  4 . Suy ra M thuộc đường thẳng  d  x  y  4  0 Gọi  C2 ‘ có tâm I 2 ‘  4; 3 , R  1 là đường tròn đối xứng với đường tròn  C2  tâm I 2 1;0  , R2  1 qua đường thẳng d. Gọi B ‘ là điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d. Ta có P  z  z1  z  z2  MA  MB  MA  MB ‘  AB ‘  I1 I 2 ‘ R1  R2  6 .  1  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A, B ‘, I1 , I 2 ‘, M thẳng hàng. Khi đó I1 A  I1I 2 ‘ suy ra A  4; 4  và 8  1  I 2 B ‘  I 2 ‘ I1 suy ra B ‘  4; 2   B  2;0  . AB  2 5 . 8 Vậy z1  z2  2 5 . Câu 76. (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho các số phức z và  thỏa mãn  2  i  z  z   1  i. Tìm giá trị lớn nhất của T    1  i A. 4 2 3 B. 2 3 C. 2 2 3 D. 2 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2  i z  z   z  1 i  z    2  i  z  1  i.   2 z  1   z  1 i  f t   z   2  2 z  1   z  1 2 z   2 2 5 z 2 z 2 t2 2t 2  4t t  0  f ‘ t   f ‘t   0  t  0  t  2    2 2 5t 2  2t  2 5 t  2 t  2   Bảng biến thiên Ta có T    1  i  z  1  i  2 4 2  2 9 3 Câu 77. Cho số phức z và gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  8i  0 ( z1 có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  z1  z2  z  z  2 z1  z2 được viết dưới dạng 2 m n  p q (trong đó n, p   ; m , q là các số nguyên tố). Tổng m  n  p  q bằng A. 3 . B. 4 . C. 0 . Lời giải D. 2 . Chọn A z 2  8i  0  z1  2  2i và z2  2  2i . P  z  z1  z2  z  z  2 z1  z2 z  z  z1  z  z2  z  2 z1  2  MA  MB  MC . 2 2 Trong đó M , A  2; 2  , B  2; 2  , C  3; 3  lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z , z1 , z 2 ,   2 z1  z2  3  3i . 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên OC . Ta có MA  MB  HA  HB  MA  MB  MC  HA  HB  HC . Do đó Pmin   MA  MB  MC min  HA  HB  HC  M  H  M  OC : y  x . Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gỉa sử M  x; x   x   3;0    P  MA  MB  MC  2  x  3  2 2  x 2  4   P  2  2 2. x 2  P  0  x   x 4 Vậy Pmin 2 3   3;0  . 3  2 3  2   2 3   2    3   2 2     4   2 6  3 2 . 3 3        Suy ra m  2 , n  6 , p  3 , q  2  m  n  p  q  3 . Câu 78. Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z 2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ 2 2 nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z 2 bằng A. 6 . B. 2 2 . C. 4 2 . Lời giải D. 2 . Chọn A Đặt z  a  bi ; a , b   . z 2  1  a 2  b 2  1  2abi  a 2 2  b 2  1  4a 2b 2 ; 2 z  2 a 2  b 2 . 2 Ta có z 2  1  2 z   a 2  b 2  1  4a 2 b 2  4  a 2  b 2  2 2   a 2  b 2   4a 2b 2  2  a 2  b 2   1  4  a 2  b 2   0   a 2  b 2   2a 2  6b 2  1  0 2   a 2  b 2   6  a 2  b 2   1  4 a 2 . 2 Vì 4a 2  0, a   nên  a 2  b 2   6  a 2  b 2   1  0  3  2 2  a 2  b 2  3  2 2 . Suy ra m  2  1 2  1  a 2  b2  2  1    m 2  M 2  6.  M  2  1 a  0 a  0 M  2 1   2 2  . a  b  3  2 2 b   1  2  a  0 a  0 m  2 1   2   2 a  b  3  2 2 b   Câu 79.    2 1 . (Sở Nam Định – 2019) Xét các số phức w , z thỏa mãn w  i  3 5 và 5w   2  i  z  4  . 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2i  z  6  2i . A. 7 . B. 2 53 . C. 2 58 . D. 4 13 . Lời giải Chọn C Cách 1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có: 5w   2  i  z  4   5w  5i   2  i  z  4   5i  5 w  5i   2  i  z  4   5i  5 w  i  1  2i  z  4  1  2i   5 z  3  2i 3 5  5 z  3  2i  z  3  2i  3 . 5 Ta có:  5. 2  2 2 z  z1  z  z1  2 z  z1 2 z  z1 2 z z   2  ; z, z . (1) 1 2 1 2 ; z , z1 . (2) Ta có: P  z  2i  z  6  2i  z  3  2i  3  z  3  2i  3 . Áp dụng (1) và (2), ta có: 2  2  2 z  3  2i  3  z  3  2i  3  2 z  3  2i  9 . 2 z  3  2i  3  z  3  2i  3 Vậy, ta có:  z  2i  z  6  2i  2  2  z  3  2i  3  z  3  2i  3   2 2  z  2i  z  6  2i   2  2  2  2 2   9   4  z  3  2i  4i 2   9 nên P 2  4  z  3  2i  4i   9 2  P 2  4  7 2  9   232  P  2 58 . Cách 2. Ta có: 5w   2  i  z  4  thay w  i  3 5 5  z  3  2i  3 . 2 2 Suy ra, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  :  x  3    y  2   9 . Gọi M   C  . Ta có: P  z  2i  z  6  2i  AM  BM ; A  0;2  , B  6;2  .    2 z  3  2i  9   z  2i  z  6  2i   4 z  3  2i  9 . 2  . 2  P 2  4 z  3  2i  9 . Do 4 z  3  2i 2  Suy ra P  2 AM 2  BM 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB .  AB 2  2 2 Ta có: P  2  AM 2  BM 2   2  2MH 2    4MH  AB . 2   Vậy, P  z  2i  z  6  2i đạt giá trị lớn nhất khi MH 2 đạt giá trị lớn nhất. Dựa vào hình vẽ sau Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, MH 2 đạt giá trị lớn nhất khi M  M ‘  P2  232  P  2 58 . Câu 80. Cho hai số phức z1 ; z2 đều khác 1 và 1 sao cho z144  z 258  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của T  z1  z2 gần nhất với giá trị nào sau đây. A. 11 . 100 B. 7 . 205 7 . 200 Lời giải C. D. 1 . 200 Chọn D z144  z258  1  z1  z2  1 Gọi  là một acgumen của z1 và  ‘ là một acgumen của z 2 với  ;  ‘   0;2  . z1  cos   i sin  ; z2  cos  ‘ i sin  ‘ . z144  z258 cos 44  1   cos   i sin  44  1 cos 44  i sin 44  1 sin 44  0 1    .   58   cos  ‘ i sin  ‘  1 cos 58 ‘ i sin 58 ‘  1 cos 58 ‘  1 sin 58 ‘  0 cos 44  1 k  sin   0   22 ;   k     k; t   . z2 1 cos 58 ‘  1   ‘  t ; ‘  t sin  ‘  0 29  z1 1 k   k  ;   k    22  1  k  43;     0; 2    k  22 t t      ;   t  29  1  t  57 .       0; 2  t  29 T  z1  z2  cos   i sin   cos  ‘ i sin  ‘  2  cos   cos  ‘   sin   sin  ‘ 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  k t   2  2  cos  cos  ‘ sin  sin  ‘  2  2cos    ‘  2  2cos   .  22 29  Tmin  z1  z2 min 1  k  43; k  22   k t   cos     1  t  57; k  29 .  22 29  max  29k  22t min  Lấy k  3; t  4 thì 29k  22t min  1 ; số nguyên dương nhỏ nhất.  3 4   Vậy min z1  z2  2  2cos    0.00492 .  22 29  Câu 81. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1 . A. P  9 . B. P  10 . C. P  8 . Lời giải D. P  12 . Chọn A Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  là các điểm lần lượt biễu diễn các số phức z1 ; z2 ; z3 . vì z1  z2  z3  1 suy ra A ; B ; C thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Ta có z1  z2  AB ; z2  z3  BC z3  z1  AC . Suy ra   2   2   2 2 2 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1  AB 2  BC 2  AC 2  AO  OB  BO  OC  AO  OC    2  2        6  2 OA.OB  OB.OC  OA.OC  9  OA  OB  OC  9  3OG  9  OG 2  9 ( với G là             trọng tâm tam giác ABC ). Dấu “ = “ xảy ra khi G  O , hay ABC đều. Câu 82. Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z  4  3i . Giá trị của M .m bằng: B. 24 . A. 28 . C. 26 . D. 20 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x; y  . Xét 3 z  z  2 z  z  12  3 x  2 y  6. Ta có: P  z  4  3i  2  x  4    y  3 2 (1)  2 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tập hợp những điểm biểu diễn z  x  yi ; x; y  . thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với A  0;3 ; B  2;0  ; C  0; 3 ; D  2;0  tạo bởi 4 đường thẳng 3 x  2 y  6. Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) là đường tròn tâm I  4; 3 bán kính R  P  0 . P đạt min, max khi bán kính đường tròn đạt min, max khi xét sự tương giao với miền hình thoi ABCD. Ta có đường tròn giao với miền hình thoi điểm gần tâm nhất khi đường tròn tiếp xúc cạnh CD: 3 x  2 y  6  0 tương ứng có m  3.4  2.3  6 2 3 2 2 2  12 . Điểm giao xa nhất là đỉnh A  0;3 của 13 2 hình thoi. Do đó M  4  6  2 13.  M .m  24. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top