Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Giới thiệu Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC …………………………………….. 3 I. LÝ THUYẾT……………………………………………………………………………………………………………………. 3 II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN …………………………………………………………… 5 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI …………………………………………….. 14 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ……………………………………………………………………………………………….. 22 1. ĐỀ BÀI …………………………………………………………………………………………………………………… 22 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT …………………………………………………………. 25 B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC …………….. 28 I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ……………………………………………………………………………………. 28 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI………………………………………………………………………………. 30 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC………………………………………. 30 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. …………………………………………………………………………………….. 31 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ……………………………………………… 38 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ……………………………………………………………………………………………….. 44 1. ĐỀ BÀI …………………………………………………………………………………………………………………… 44 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT …………………………………………………………. 48 C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC ………………………………………………………………. 53 I. LÝ THUYẾT………………………………………………………………………………………………………………….. 53 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ………………………………………………………………………………. 54 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS …………………………………………………………… 61 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ……………………………………………………………………………………………….. 64 1. ĐỀ BÀI …………………………………………………………………………………………………………………… 64 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT …………………………………………………………. 69 D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC……………………………………………………….. 75 I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. …………………………………………………………………………………………. 75 II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX………………………………………… 84 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI …………………………………………….. 92 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN …………………………………………………………………………………………………. 93 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 1 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1. ĐỀ BÀI …………………………………………………………………………………………………………………… 93 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ………………………………………………………………………….. 96 E. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ……………………………………………………. 101 I. LÝ THUYẾT………………………………………………………………………………………………………………… 101 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH …………………………………………………………………………….. 102 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ……………………………………………. 105 IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC ……………………….. 107 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ……………………………………………………………………………………………….. 109 F. TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO …………………………….. 111 I. ĐỀ BÀI ……………………………………………………………………………………………………………………….. 111 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT …………………………………………………………….. 118 Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Hoặc qua Gmail: [email protected] Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ Xin chân thành cảm ơn!!! Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuyên đề: SỐ PHỨC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa o Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi với a, b   và i 2  1 . o i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi . Tập hợp các số phức được kí hiệu là  .     a  bi / a, b  ; i 2  1 . o Chú ý: – Khi phần ảo b  0  z  a là số thực. – Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo. – Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.  a  c o Hai số phức bằng nhau: a  bi  c  di   với a, b, c, d   .   b d   o Hai số phức z1  a  bi; z 2  a  bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z  a  bi với a, b   là a  bi và được kí hiệu bởi z . Một số tính chất của số phức liên hợp: a) z  z b) z  z ‘  z  z ‘ c) z .z ‘  z .z ‘ z  z d)     z ‘  z ‘ c) z  z ‘  z  z ‘ z là số thực  z  z ; z là số thuần ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là số phức z  1  2i . Số phức liên hợp của số phức z  5  3i là số phức z  5  3i . 3. Biểu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b   được biểu diễn bằng điểm M a; b  . Ví dụ:  A 1; 2 biểu diễn số phức z1  1  2i .  B 0; 3 biểu diễn số phức z2  3i .  C 3;1 biểu diễn số phức z 3  3  i .  D 1;2 biểu diễn số phức z 4  1  2i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 3 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 4. Môđun của số phức o Môđun của số phức z  a  bi a, b    là z  a 2  b 2 . o Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z  a  bi a, b    đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là: OM  a 2  b 2  zz . o Một số tính chất của môđun:  z  0; z  0  z  0; 2  z 2  z , z  z , z  z  z 1  z 2  z1 + z 2  z  z ‘  z z ‘  z  z ‘  z 1.z 2  z1 . z 2  z1 z2  z1 z2 5. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức z  a  bi ; z ‘  a ‘ b ‘ i với a, b, a ‘, b ‘   và số k   . o Tổng hai số phức: z  z ‘  a  a ‘ (b  b ‘)i . o Hiệu hai số phức: z  z ‘  a  a ‘ (b  b ‘)i . o Số đối của số phức z  a  bi là z  a  bi .   o Nếu u, u ‘ theo thứ tự biểu diễn các số phức z , z ‘ thì   u  u ‘ biểu diễn số phức z  z ‘ .   u  u ‘ biểu diễn số phức z  z ‘ . o Nhân hai số phức: z .z ‘  a  bi a ‘ b ‘ i   a.a ‘ b.b ‘  a.b ‘ a ‘.b i . o Số phức nghịch đảo: z 1  1 z 2 z. o Chia hai số phức: Nếu z  0 thì z ‘ z ‘.z  2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ‘ cho số phức z  0 thì ta nhân z z cả tử và mẫu của thương z’ cho z . z  Chú ý: i 4k  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i (k  ) . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 4 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi a, b    . o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước của đề bài (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,… ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình 2 ẩn theo a và b nhờ tính chất 2 số phức bằng nhau ( phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ), rồi từ đó suy ra a và b và suy ra được số phức z cần tìm. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức z : a ) z  2  4i   2i 1  3i . b) z  2  4i 5  2i   4  5i . 2i Giải: a) z  2  4i   2i 1  3i   2  4i  2i  6i 2  2  6i  6  8  6i .  Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: z  8  6i . Môđun z  82  62  10 . b) z  2  4i 5  2i    Phần thực: 4  5i 2  i  4  5i  10  4 i 20 i 8 i2  2i 22  12 8  14i  5 93 94  18  16i    i. 5 5 5 93 94 93 94 ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   i. 5 5 5 5 2 2  93   94  17485 Môđun z        .  5  5  5  Bài toán 2 Cho số phức z  3  2i . Tìm môđun số phức w  zi  z 1  2i  . Giải: w  zi  z 1  2i   (3  2i )i  (3  2i )(1  2i ) .  3i  2  3  6i  2i  4  5  7i Vậy w  52  72  74 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 5 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3 Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng?   A. z1  z 2  OM  ON   C. z1  z 2  OM  MN  B. z1  z 2  MN   D. z 1  z 2  OM  MN Giải: M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z 1 ,ON biểu diễn số phức z 2     OM ON  NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z 2  NM  MN . Chọn B. Bài toán 4 Cho ba số phức z 1, z 2 , z 3 phân biệt thỏa mãn z 1  z 2  z 3  3 và 1 1 1   . Biết z1 z2 z3 z 1, z 2 , z 3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc ? ACB A. 60. B. 90. C. 120. D. 150. Giải: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , N là điểm biểu diễn của số phức z (z là số phức liên hợp của z ). Khi đó M và N đối xứng nhau qua Ox . Gọi A ‘, B ‘, C ‘ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 1, z 2 , z 3 . Từ giả thiết z z z 1 1 1    1 2  2 2  3 2  z 1  z 2  z 3 (do z 1  z 2  z 3  3 ). z1 z 2 z3 z1 z2 z3    Suy ra OA  OB ‘  OC ‘  OA ‘C ‘ B ‘ là hình bình hành.     Mà OA  OB ‘  OC ‘  OA ‘C ‘ B ‘ là hình thoi với A ‘C ‘ B ‘  1200 .   120 0 (do ACB  và A  Vậy ACB ‘C ‘ B ‘ đối xứng qua Ox ). Chọn C. Bài toán 5 Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau: 1  1  i   1  i   1  i   …  1  i  2 3 20 Giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 6 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1  i  21 P  1  1  i   1  i   …  1  i   2 20 1 i 20 2 10  1  i   1  i   1  i   2i  1  i   210 1  i    210 1  i   1 P   210  210  1 i i Vậy phần thực là 210 và phần ảo là 210  1 . 21   Bài toán 6 Tính S  1009  i  2i 2  3i 3  …  2017i 2017 . Giải: Cách 1: S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  …  2017i 2017   2i     1009  4i 4  8i 8  …  2016i 2016  i  5i 5  9i 9  …  2017i 2017  ….. 2 6 10  6i  10i  …  2014i 2014   3i 3 7  7i  11i  …  2015i 2015 504 505 504 504 n 1 n 1 n 1 n 1 11   1009   4n   i  4n  3   4n  2  i  4n  1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i. Cách 2: Đặt f x   1  x  x 2  x 3  ….  x 2017  f  x   1  2x  3x 2  …  2017x 2016  xf  x   x  2x 2  3x 3  …  2017x 2017 1 Mặt khác: f x   1  x  x  x  ….  x 2 3 2017   2018x 2017 x  1  x 2018  1 x 2018  1   f  x   2 x 1 x  1  xf  x   x .   2018x 2017 x  1  x 2018  1 x  1 2 2 Thay x  i vào 1 và 2 ta được: (1)  S  1009; (1)=(2) , nên: S  1009  i.    1009  i 2018  2018i  2  2017  1009i. 2018i 2017 i  1  i 2018  1 2i i  1 2 Bài toán 7 Cho số phức z     1 1  i 3 . Tính w  1  z  1  z 2 1  z 3 … 1  z 2017 . 2      Giải : Ta có z    z 2  z  1  0 1 1  i 3   .  3  z 1 2      Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 7 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   z 3k  1   Do đó với mọi k   , ta có z 3k 1  z    z 3k 2  z 2    1  z 3k  2  1  z 3k 1  1  z  z 2 .  1  z 3k 2  1  z 2  z Vì từ 1 đến 2017 có: 673 số chia 3 dư 1 , 672 số chia 3 dư 2 , 672 số chia hết cho 3 nên      w  1  z  1  z 2 1  z 3 … 1  z 2017  2672. z  672   . z 2 673  2672.z 2018  2672.z 3.6722 1 3    2672.z 2  2672 1  z   2672   i   2671 1  3i .  2 2    Bài toán 8 Tìm số z sao cho: z  (2  i)z  3  5i (A,A1  2014) . Giải: Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi a, b    . Ta có: z  (2  i )z  3  5i  a  bi  (2  i )(a  bi )  3  5i  a  bi  2a  2bi  ai  bi 2  3  5i  3a  b  (a  b )i  3  5i 3a  b  3 a 2      z  2  3i.     a  b  5 b   3     Bài toán 9 Tìm số phức z khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: z  (2  i )  10 và z .z  25 . Giải: Gọi số phức cần tìm là z  a  bi a, b    . 2 Ta có: z .z  z  a 2  b 2  25 (1) . Lại có: z  (2  i )  10  a  2  b  1  10  a 2  b 2  4a  2b  5  0 2 2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b  5  10  b  2a  10 . a  5 Nên a 2  b 2  25  a 2  (2a  10)2  25  5a 2  40a  75  0    a3  b  0  b  4  Vậy z  5 hoặc z  3  4i . Bài toán 10 Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm chung là z  1  2i Giải Theo giả thiết phương trình az 2  bz  c  0 có nghiệm z  1  2i khi đó: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 8 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3a  b  c  0 2 a 1  2i   b 1  2i   c  0  3a  b  c  4a  2b i  0   4a  2b  0 Tương tự phương trình cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm z  1  2i khi đó: 1 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i  0  c 3  4i   b  2bi  a  16  16i  0  a  b  3c  16  0  a  b  3c  16  2 b  2c  8 i  0   2   b  2c  8  0   Từ 1, 2 suy ra a, b, c   1; 2;5. 2 Bài toán 11 _ Cho z và z là số phức liên hợp của z . Biết z  z 2   và z  z  2 3 .Tìm z Giải : _    z  a  bi .  a  bi   a  bi   2bi  2 Gọi z  a  bi a,b   Ta có : z  z _   z . z    z .z 2   . Ta có: 2 z 2 .1  2 z  z     bi  Mà z 3  a 3  3a 2bi  3a bi z  3 3  b2  3 . z z  . 2 z2 z3  z2 z .z   2      z3   .  a 3  3ab 2  3a 2b  b 3 i 2 3 2 2 2 3a b  b  0 3a  b  0 a  1  2  2  2  z  2. b  3 b  3 b  3 Bài toán 12 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  z  3  4i và z  2i z i là một số thuần ảo. Giải : Đặt z  x  yi (x , y ) . Theo bài ra ta có : x  1  y  2i  x  3  4  y i  x  1  y  2  x  3  y  4  y  x  5 2 Số phức w  z  2i z i  x  y  2 i x  1  y i  2 2 2 x 2  y  2y  1  x 2y  3 i x 2  y  1 2    x 2  y  2y  1  0  12    x   2   2 7 . Vậy z   12  23 i . w là một số ảo khi và chỉ khi   x  y  1  0   23 7 7   y y x 5     7     Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 9 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 13 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1  0, z 2  0, z1  z 2  0 và trị biểu thức P  z1 1 1 2   . Tính giá z1  z 2 z1 z 2 . z2 Giải: Từ giả thiết z  2z1 1 1 2 1     2 z1  z 2 z1 z 2 z1  z 2 z 1z 2  z 1z 2  z1  z 2 . z 2  2z 1   Đặt t  z1 z2 z  z     1  11  2 1  .  z 2  z 2 z 2   z1 , ta được phương trình t  t  11  2t   t  1  1 i  2 2 2  t  2 P  2  2t  2t  1  0   2 2 t  1  1 i  2 2  Bài toán 14 Nếu số phức z thỏa mãn z  1 và z  1 thì phần thực của 1 bằng? 1z Giải: Cách 1:   Đặt z  a  bi a,b   . Từ z  1  a 2  b 2  1 . Ta có: 1 1 1  a  bi 1  a  bi    2 1  z 1  a  bi 1  a  bi 1  a  bi 1  a  b2  Suy ra phần thực của Ta có: 1a 1  a  2  b2      1a 1 là: . 2 1z 1  a  b2   1a 1a 1   . 2 2  2a 2 a  2a  1  b 2 Cách 2: Gọi A là phần thực của 2A  1 . 1z 1 1 1 1 1z 1z 2z z 2z z 1       1 a  . 2 2 1  z 1  z 1  z 1  z 1  z  z  z .z 1  z  z  z 2 2z  z Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 10 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 15 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn điều kiện z 1  z 2  z 1  z 2  1. Tính giá trị của biểu 2 2  z   z  thức P   1    2  .  z 2   z 1  Giải: Cách 1: 2 2 2  z   z  z z  Ta có P   1    2    1  2   2. 1  z 2   z1   z 2 z1  Mà z1 z2  z2 z1  z1 z 2 z2 2  z2 z1 z1 2 2  z1 z 2  z 2 z1.    Theo giả thiết: 1  z 1  z 2  z1  z 2 . z1  z 2  z1  z 2 . z 1  z 2 2 2 2    3   z1  z 2  z1 z 2  z 2 z1  z 1 z 2  z 2 z1  1. Từ 1 , 2 và 3 suy ra P  1. Cách 2: Chuẩn hóa Chọn z1  1 , còn z 2 chọn sao cho thỏa mãn z 2  1 và z 1  z 2  1 . Ta chọn như sau: Đặt z 2  a  bi . ● z2  1  a 2  b2  1 .  z 2  1  1  a  1  bi  1  a  1  b 2  1. ● z1  z 2  1  2    a    Từ đó giải hệ     b     Thay z1  1 và z 2  1 2 3 2  z2  1 3  i. 2 2 1 3  i vào P và bấm máy. 2 2 1 3 1 3 Hoặc ta cũng có thể chọn z1    i và z 2   i. 2 2 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 11 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 16 Cho số phức z có môđun bằng 2018 và w là số phức thỏa mãn biểu thức 1 1 1 .   z w z w Môđun của số phức w bằng? Giải: z  w   zw 1 1 1 z w 1 Từ giả thiết     0 0 z w z w zw z w zw z  w  2 2 2 2  i 3w    1 2 3 2 1  3 2 1   2 2 2     z  w  zw  0  z  zw  w  w  0  z  w    w  z  w    4 4 2  4 2     2  2 2  i 3w     1      z   1  i 3  w . Từ z  w     2  2    2   2 1 i 3 . w  1. w  w  w  2018. Lấy môđun hai vế, ta được z    2 2 Bài toán 17 Cho số phức z, w khác 0 sao cho z  w  2 z  w . Phần thực của số phức u  z là ? w Giải :   Cách 1 : Gọi u  a  bi a, b   .   z 1    2 u    1    2 a  b2  w    4  Ta có : z  w  2 z  w   . 2   z w 2 z w   a  1  b  1      u 1  1     w w    2 3 1  a  1  a 2  2a  1   a  4 8   Cách 2: Gọi w  a  bi a, b   .  a 2  b 2  4 * 1  Chọn z  1  z  1  1  w  2  w   a  . 2 2 2  a  1  b  4  Thay a   1 15 1 1 15 vào *  b  u    i . 2 2 8 8 1 15  i 2 2  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 12 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 18 Tính môđun của số phức z biết z  z và 1 có phần thực bằng 4. z z Giải: Cách 1: Giả sử z  a  bi a, b    . Ta có 1 1  2 2 z z a  b  a  bi  Theo giả thiết:   a 2  b 2  a  bi a 2 2 b a  2 a 2  b 2  2a a 2  b 2 1 2 a 2  b2  b  a 2 2 2 2 b a 1 có phần thực bằng 4 nên z z a 2  b2  a  a 2  b2  a  4  4  a 2  b2  2  2 2 b a a 2  b2  a a 2 2 b a a 2  b2  a 2 a 2  b2 b   b  a 2 a 2  b2  a   b 2  b 2 i. 2 4 2 4 1 1  z  . 8 8 Cách 2: Nếu z  a  bi thì z  z  2a . Áp dụng:   1 1 1 có phần thực bằng 4   8 z z z z z z 2 z z z 2 z z z 1 1  8 2 8 2 8 2 z z z z z  z z  z   z .z z  z z  z   z 2 z z z 2 z  z z  z  2 8 2 z z z  z 2 z z z  8 1 1 8 z  . 8 z Nhận xét: Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần z (tất cả đều z ) hoặc thuần z thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z hoặc z . Còn nếu chứa hai loại trở lên ( z , z , z ) thì ta sẽ gọi z  a  bi a, b    . Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 13 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI PP CASIO Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2. o Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b. o Tính môđun của số phức bấm qc. o Để bấm số phức liên hợp của z bấm q22để hiện Conjg (liên hợp). Sau đây là các bài toán điển hình cho các dạng tính toán cơ bản của số phức. 1. PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Bài toán 1 Tính z  1  i  (3  2i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b) Và ta được kết quả là: Bài toán 2 Tính z  (1  3i )(3  4i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết quả như sau: Bài toán 3 Tính z  (2  i) 1  3i . 2  7i Hướng dẫn: Ta lần lượt nhập biểu thức z  (2  i) 1  3i vào máy ta thu 2  7i được kết quả: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 14 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 4 Cho số phức z  a  bi . Số phức z 2 có phần ảo là : A. a 2b 2 B. 2a 2b 2 C. 2ab D. ab Hướng dẫn:  Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho a,b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt). Chọn a  1.25 và b  2.1 ta có z  1.25  2.1i  Sử dụng máy tính Casio tính z 2 1.25+2.1b)d= Vậy phần ảo là  21 4 Xem đáp số nào có giá trị là Vậy 2ab  21 thì đáp án đó chính xác. Ta có : 4 21  Đáp án C là chính xác. 4 Bài toán 5 [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho số phức z  a  bi . Số phức z 1 có phần thực là : a b A. a  b B. 2 C. 2 D. a  b 2 a b a  b2 Hướng dẫn:  Vì đề bài mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a  1;b  1.25 .  Với z 1  1 Sử dụng máy tính Casio z a1R1+1.25b= Ta thấy phần thực số phức z 1 là : 16 đây là 1 giá trị dương. Vì ta chọn b  a  0 nên ta 41 thấy ngay đáp số C và D sai. Thử đáp số A có a  b  1  1.25  9 16 vậy đáp số A cũng sai  Đáp án chính xác là B  4 41 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 15 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 6 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức z  1  i   1  i   …  1  i  . Phần thực của số phức z là : 2 A. 211 3 B. 211  2 22 C. 211  2 D. 211 Hướng dẫn: Dãy số trên là một cấp số nhân với U 1  1  i  , số số hạng là 21 và công bội là 1  i . Thu 2 2 1  1  i  1  qn gọn z ta được : z  U 1.  1  i  . 1q 1  1  i  21  Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1 p(1+b)= Vậy z  2050  2048i  Phần ảo số phức z là 2050  211  2  Đáp số chính xác là C Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 16 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. TÍNH MÔĐUN Bài toán 1 Tìm môđun của số phức (1  2i )z  2i  6 . Hướng dẫn: (1  2i)z  2i  6  z  z  6  2i .Nên ta thực hiện bấm như sau: 1  2i qcap6p2bR1p2b= Ta thu được kết quả: Bài toán 2 2  4i  2(1  i )3 Tìm số phức   2.z1.z2 . Biết z1  4  3i  (1  i )3, z2   1i Hướng dẫn: – Tính z1  4  3i  (1  i )3 và lưu vào biến A: 4p3b+(1pb)^3qJz – Tính z2  2  4i  2(1  i )3 và lưu vào biến B 1i a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJ x – Tính   2.z1.z2 : 2q22q22Qz)OQx)= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 17 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài toán 1 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: 1  3i  z  3i  7i  2 . A. z  1 B. z  4 C. z  2 D. z  5 3 Hướng dẫn: Ta chuyển z về dạng: z  7i  2  3i và tìm môđun. 1  3i Quy trình bấm máy: Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: >>> Chọn C. Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  1  i. Tìm môđun của số phức w  A. 82 4 B. i z . 1z 82 8 C. 2 82 9 D. 3 82 5 Hướng dẫn: Ở đây là sẽ cho phím X sẽ là đại diện cho số phức z . Đây là phương trình bậc nhất của số phức. Bước 1: Các em nhập lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau: (3  i )(X 1)  (2  i )(C onjg(X )  3i )  (1  i ) (3pb)(Q)+1)+(2pb)(q2 2Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị: Bước 2: Tìm số phức z  a  bi nghĩa là đi tìm a và b. Ta sẽ cho trước a=10000 và b=100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng 1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b. Cho z  10000  100i bằng cách nhập r10000+100b= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 18 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Màn hình sẽ cho kết quả: Nghĩa là: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )  50005  19894i  5a  5  (2a  b  6)i . Cho nên: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )  0  5a  5  0 5a  5  0      a  1,b  8  z  1  8i     2a  b  6  0  2a  b  6   Từ đó tính môđun của w : >>> Chọn B. Bài toán 3 2 Cho số phức z  a  bi thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  .Tìm P  2a  b A. 3 B. 1 C. 1 D. Đáp án khác Giải:  Phương trình  2  3i  z  4  i  z  1  3i   0  Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X  1000  100i 2 (2p3b)Q)+(4+b)q22Q)) +(1+3b)dr1000+100b= Vậy vế trái  6392  2194i với   6392  6.1000  4.100  8  6a  4b  8   2194  2.1000  2.100  6  2a  2b  6    6a  4b  8  0  a  2;b  5 Để vế trái  0 thì    2a  2b  6  0   Vậy z  2  5i  P  2a  b  1  Đáp số chính xác là C.  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 19 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 4. BIỄU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Bài toán 1 Các điểm M , N , P lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z 1  4i ; z  1  i 1  2i  i 1 2 ; z 3  1  2i A. Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác đều Hướng dẫn:  Rút gọn z 1 bằng Casio a4bRbp1= Ta được z 1  2  2i vậy điểm M 2; 2  Rút gọn z 2 bằng Casio (1pb)(1+2b)= Ta được z 2  3  i vậy điểm N 3;1 Tương tự z 2  1  2i và điểm P 1;2  Để phát hiện tính chất của tam giác MNP ta nên biểu diễn 3 điểm M , N , P trên hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại P  đáp án C chính xác Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 20 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M là điểm biểu diễn số phức z  3  4i , điểm M ‘ là 1i z . Tính diện tích OMM ‘ 2 25 15 15 C. S OMM ‘  D. S OMM ‘   2 4 2 điểm biểu diễn số phức z ‘  A. S OMM ‘  25 4 B. S OMM ‘ Hướng dẫn:  Điểm M biểu diễn số phức z 1  3  4i  tọa độ M 3; 4  Điểm M ‘ biểu diễn số phức z ‘  7 1 1i z  tọa độ N  ;    2 2  2 a1+bR2$O(3p4b)= Gốc tọa độ O 0; 0  Để tính diện tích tam giác OMM ‘ ta ứng dụng tích có hướng của 2 vecto trong không gian. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm O, M , M ‘ là xong   7 1   1   OM 3; 4; 0 , OM ‘  ;  ; 0  S  OM ;OM ‘  2   2 2      Tính OM ;OM ‘   w8113=p4=0=q51217P2= p1P2=0=Cq53q57q54=   25 1   Vậy OM ;OM ‘  12.5   SOMM ‘    2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học   25   OM ;OM ‘    4 Trang 21 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hai số phức z 1  1  2i; z 2  2  3i . Khi đó số phức w  3z1  z 2  z 1z 2 có phần ảo bằng bao nhiêu? A. 9 C. 9 B. 10 D. 10 Câu 2. Cho số phức z  3  2i , khi đó số phức w  2z  3z là A. 3  2i B. 3  2i C. 3  10i D. 11  2i Câu 3. Những số nào sau đây vừa là số thực và vừa là số ảo? A. 0 và 1 B. chỉ có 0 C. chỉ có số 1 D.không có số nào Câu 4. (Đề thử nghiệm 2017)Tìm số phức liên hợp của số phức z  i 3i  1 A. z  3  i B. z  3  i C. z  3  i D. z  3  i Câu 5. (Đề thử nghiệm 2017) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn z 2  i   13i  1 A. z  34 B. z  34 C. z  5 34 3 D. z  34 3 Câu 6. (Đề minh họa 2017) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 Câu 7. (Đề minh họa 2017)Cho hai số phức z1  1  i và z 2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z 2 A. z1  z 2  13 B. z1  z 2  5 C. z 1  z 2  1 D. z 1  z 2  5 Câu 8. (Đề minh họa 2017)Cho số phức z  2  5i . Tìm số phức w  iz  z A. w  7  3i B. w  3  3i C. w  3  7i D. w  7  7i Câu 9. Môđun của số phức z  A. z  5 1  i  2  i  1  3i B. z  5 là C. z  2 D. z  1 2 Câu 10. Cho số phức z thỏa điều kiện 3  i  z  1  2i   8  17i . Khi đó hiệu phần thực và phần ảo của z là A. 7 B. 3 C. 3 D. 7 2 1  2i   7  8i . Môđun của số phức Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  1i w  z  i  1 là A. 3 B. 5 C. 4 D. 13 Câu 12. Phần thực của số phức z  A. 29 13 B. 4  2i 1  i  2  i   là 2i 2  3i 11 13 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C.  29 13 D.  11 13 Trang 22 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  1  3i   5i . Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức z ? A. M 2; 3 B. M 2; 3 Câu 14. Số phức z thỏa mãn nhiêu? A. 31 25 z  C. M 2; 3 D. M 2; 3 1 1 . Khi đó phần ảo của số phức z bằng bao  1  i 2  i 2 B. 17 D. 17 C. 31 Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z 1  3i   17  i . Khi đó môđun của số phức w  6z  25i là A. 29 Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z  D. 5 C. 2 5 B. 13 1  i 2  i  1i  1  i 2  i  1i . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 1 z Câu 17. Cho hai số phức z 1  3  2i, z 2  2  i . Giá trị của biểu thức | z1  z 1z 2 | là A. z  z B. z là số thuần ảo C. | z | 4 D. z  A. 130 B. 10 3 C. 2 30 D. 3 10 Câu 18. Cho hai số phức z 1  2  3i, z 2  2  i . Giá trị của biểu thức z1  B. 5 A. 5 C. 13 z2 z1 là D. 11 2 Câu 19. Cho số phức z  4 3  i  3  i  . Môđun của số phức w  z  iz  1 là  1  2i i A. w  85 B. w  4 5 C. w  6 3 D. w  56 Câu 20. Cho z là một số phức. Xét các mệnh đề sau : (I) Nếu z  z thì z là một số thực (II) Môđun của z bằng độ dài đoạn OM với O là gốc tọa độ và M là điểm biểu diễn của số phức z (III) z  z .z Trong 3 mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A.0 B.1 C.2 D.3 Câu 21. Cho số phức z  m  1  m  2 i với m  R .Tìm tất cả các giá trị của m để z  5 là. A. 1  m  0 . B. 0  m hoặc m  1 . C. 1  m  0 . D. m  1 hoặc m  0 . Câu 22. Cho Số phức z  a  bi với a, b  R .Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào đúng. A. z  z  2bi . B. z  z  2a . C. z .z  a 2  b 2 . 2 D. z 2  z . Câu 23. Cho số phức z  2i . Lựa chọn phương án đúng A. z 2  1 . 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học B. z  2  4 . Trang 23 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 13i z  . D. z 6  64 . z 2 Câu 24. Trong các kết luận sau kết luận nào sai? A.Môđun số phức z là 1 số thực dương. B.Môđun số phức z là 1 số thực. C. Môđun số phức z là 1 số thực không âm. D. Môđun số phức z là 1 số phức. C. z 3  2016 1  i   Câu 25. Số phức z    1  i  A. 1  i 2018  1  i     1  i  bằng B. 0 2 D. 2 C. 2 2017 Câu 26. Cho P  1  i  i  …  i , khẳng định nào sau đây là đúng A. P  0 B. P  1 C. P  1  i D. P  2i Câu 27. Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau ? 2018 A. 1  i  2018 C. 1  i  2018  21009 i B. 1  i   21009 D. 1  i  Câu 28. Số phức z  A.1  21009 i 2018  21009 4  2i  i 2017 có tổng phần thực và phần ảo là 2i B.2 C.3 D.4 2017 Câu 29. Số phức z  1  i  21008 i A.0 có phần thực hơn phần ảo bao nhiêu đơn vị ? B.1 D. 21008 C.2 2 3 2017 Câu 30. Phần thực của số phức z  1  1  i   1  i   1  i   …  1  i  A.  2 2016 1008 C. 2 1008 B. 2 2 4 4k 2 i Câu 31. Cho A  1  i  i  …  i A. A  2ki B. A  2k 4k 1 là 1008 D.  2 * với k   . Hỏi đâu là phương án đúng C. A  0 D. A  1 2 Câu 32. Với mọi số phức z , ta có z  1 bằng A. z  z  1 2 C. z  2 z  1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học B. z 2  2z  1 D. z .z  z  z  1 Trang 24 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2C 3B 4D 5A 6D 7A 8B 9D 10A 11B 12A 13B 14D 15A 16D 17A 18B 19A 20D 21C 22D 23C 24B 25C 26A 27D 28B 29C 30D 31D 32D Câu 1. Cách 1:Ta có w  3 1  2i   2  3i   1  2i  2  3i   3  6i  2  3i  8  i  9  10i Suy ra w có phần ảo bằng 10. Cách 2 : Sử dụng Casio (Để máy ở chế độ Mode 2 _CMPLX) Casio Nhập vào máy 3 1  2i   2  3i   1  2i  2  3i     9  10i . Chọn B. Câu 2. Cách 1 :Ta có w  2 3  2i   3 3  2i   6  4i  9  6i  3  10i . Cách 2 : Sử dụng Casio (Để máy ở chế độ Mode 2 _CMPLX) Casio Nhập vào máy 2 3  2i   3 3  2i     3  10i . Chọn C. Câu 3. Gọi z  a  bi là số phức thỏa yêu cầu bài toán a,b    Ta có z là số thực khi b  0 ; z là số ảo khi a  0  z  0 . Chọn B. Câu 4. Ta có z  i 3i  1  3i 2  i  3  i  z  3  i . Chọn D. Câu 5. Cách 1: z 2  i   13i  1  z  1  13i  2  i  1  13i   3  5i  z  32  52  34 . 2 i 22  12 Cách 2 : Sử dụng Casio, Ta có z  1  13i Casio    34 . Chọn A. 2 i Câu 6. Ta có z  3  2i  z  3  2i , suy ra phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Chọn D. Câu 7. Ta có z 1  z 2  3  2i  z 1  z 2  32  22  13 . Chọn A. Câu 8. Ta có w  i 2  5i   2  5i  2i  5  2  5i  3  3i . Chọn B. Câu 9. Cách 1:Ta có z  1  i  2  i  Cách 2: Dùng Casio, 1  3i 1  i  2  i  1  3i 2 2  3    3  i  1  3i  3 4 3i     4   1 .     i  z    5   5  1  3i 5 5 12  32 Casio    1 . Chọn D. 8  17i  1  2i  caisio 2  5i khi đó hiệu phần thực phần ảo là: 2  5  7 . Câu 10. Ta có z  3i  Chọn A. 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 25 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  2(1  2i )  : 2  i   3  2i  w  z  i  1  4  3i  z  42  32  5 . Câu 11. z  7  8i   1  i  Chọn B 4  2i (1  i )(2  i ) 29 11    i . Chọn A. 2i 2  3i 13 13 2  Câu 13. Ta có z  5i  1  3i   : 1  2i   2  3i  N 2; 3 . Chọn B.   Câu 12. z     1 1  Câu 14. Ta có z  25 :     31  17i  z có phần ảo bằng 17 . Chọn D. 2 1  i 2  i    Câu 15. Ta có z  1  i 2  i  1  i 2  i   1i 1i  2  z  2 . Chọn A. Câu 16. Ta có z 17  i  2  5i  w  6z  25i  6 2  5i   25i  12  5i  w  122  52  13 . 1  3i  Chọn D. Câu 17. Ta có | z 1  z1z2 | 3  2i  3  2i 2  i   130 . Chọn A. Câu 18. Ta có | z1  Câu 19. Ta có z  z2 z1 | 2  3i  4 3  i  1  2i 5i  5 . Chọn B. 2  3i 3  i  2  i  2  4i  z  2  4i . w  z  iz  1  2  4i   i 2  4i   1  7  6i  49  36  85 . Chọn A. Câu 20. Gọi z  a  bi với a, b  R a  a  1. z  z    b  0  z  a  ĐÚNG   b  b   2. z  a  bi  OM  a 2  b 2  z  ĐÚNG 3. z  z .z  a  bi a  bi   Câu 21. Ta có z  5  a 2  b 2  z  ĐÚNG .Chọn D. m  1  m  2 2 2  5  m 2  m  0  1  m  0 . Chọn C. Câu 22. Ta có z  z  a  bi  a  bi  2a z  z  a  bi  a  bi   2bi . z .z  a  bi a  bi   a 2  b 2 Nên A, B,C đều sai .Nên Chọn D. Câu 23. Ta có 2i   3 1 1 13  2i  8i  i  2i   i . Chọn C. 2i 2 2 Câu 24. Gọi z  a  bi với a, b  R .khi đó  z  a 2  b 2  0 .Nên B sai. Chọn B. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 26 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 25. 2016 2018 1  i   Ta có A    1  i   1  i     1  i   i  2016  i  2018    i2 1008   1009  i2  1  1  0 . Chọn C. Câu 26. Cách 1: P  1  i  i 2  i 3  …  i 2017 iP  i  i 2  i 3  …  i 2018 P  iP  1  i 2018  P  2018 1i 1i    1  i2 1009  1i 2 1i 1i 1  i 2018  1  i . Chọn A. 1i Cách 2:Do P la tổng của cấp số nhân 2018  Phần tử z  1  i 2   1  i     Câu 27. Ta có 1  i  2018 Câu 28. Ta có i 2017  i. i 4  504 2017 2017 z 1008 .i 2  21008. 1  i  1008 .i 2  2i  1009    i   2  21009 i 2 504 1009 i . Chọn D. 4  2i  i 2017 4  2i  i   1  2i . Chọn B. 2i 2 i i z  2   1  i . 1  i     Câu 29. Ta có 1  i  1  i  1009 1008  . 2i  1008  21008. 1  i  . 1i  1  i . Vậy phần thực hơn phần ảo là 2. Chọn C. i 1  1  i  2017 Câu 30. Ta có z  1  1  i   1  i   1  i   …  1  i  2 1  i  2017 2   1  i . 1  i     1  1  i  1008 2017 z   21008. 1  1  i   .2i  3 1008 2016  1  1  i  .  21008. 1  i  . 1i  21008  21008.i . Phần thực là  21008 . Chọn D. i Câu 31. Do A là tổng của một cấp số nhân (gồm 2k  1 số hạng) với u1  1;q  i 2 . 2 4 Suy ra A  1  i  i  …  i 4 k 2 i 4k 1   1  i2 2k 1 2k 1  1  i2 1  1 1  1  1 . Chọn D. 2 2   z .z  a  b Câu 32. Gọi z  a  bi; a, b    z  a  bi   .  z  z  2a    z  1  a  bi  1  a  1  b 2  a 2  b 2  2a  1  z .z  z  z  1 . 2 2 2 2 2 2 Chú ý : Ngoài ra ta có thể viết z  1  a  bi  1  z  z  z  1 . Chọn D. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 27 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 1. LÝ THUYẾT Nội dung lý thuyết Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn thức bậc 2 của w . Mỗi số phức w  0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau z và – z .   o Trường hợp w là số thực ( w  a   ) + Khi a  0 thì w có hai căn bậc hai là a và  a . + Khi a  0 nên a  (a )i 2 , do đó w có hai căn bậc hai là a .i và  a .i . Ví dụ: Hai căn bậc 2 của 1 là i và –i . Hai căn bậc 2 của a 2 (a  0) là ai ,  ai . o Trường hợp w  a  bi (a, b  ;b  0) . Cách 1: Gọi z  x  yi (x, y  ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z 2  w , tức là: (x  yi )2  a  bi x 2  y 2  a    x  …; y  …   2xy  b      Mỗi cặp số thực x ; y nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z  x  yi của số phức w  a  bi . Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w  z 2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và – z . 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Tìm các căn bậc 2 của 5  12i . Giải: o Cách 1: Tìm các căn bậc 2 của 5  12i , tức là đi tìm các số phức x  yi (x, y  ) sao cho  x 2  y 2  5 . (x  yi )2 =  5  12i nên ta cần giải hệ phương trình    2xy  12    Rút y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất, ta có: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 28 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   36 4 2 2 2      x  2  5  x  5x  36  0 x  4    x   6  6    6 y  y    y     x x      x   Hệ này có 2 nghiệm: (2;3) và (2; 3) . Vậy có 2 căn bậc hai của 5  12i là 2  3i và 2  3i . o Cách 2: Ta có: 5  12i  4  2.2.3i  9  4  2.2.3i  3i   (2  3i )2 . 2 Từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 5  12i là 2  3i và 2  3i . Bài toán 2 Tìm căn bậc hai của số phức sau: w  4  6i 5 . Giải: o Cách 1: Gọi z  x  yi x , y    là một căn bậc hai của   x 2  y2  4   Khi đó ta có: x  yi   4  6i 5    2xy  6 5     x 3    y 5    Giải hệ phương trình tìm được nghiệm:  x  3    y   5    2 Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1  3  i 5; z 2  3  i 5 . o Cách 2: Ta có: w  4  6i 5  9  2.3. 5i    5i 2  (3  5i)2 . Suy ra 3  i 5 là căn bậc của w  4  6i 5 . Nên 3  i 5 là căn bậc của w  4  6i 5 Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1  3  i 5; z 2  3  i 5 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 29 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Phương pháp giải Cho phương trình bậc 2: Az 2  Bz  C  0 (1) trong đó A, B,C là những số phức A  0 . Xét biệt thức   B 2  4AC o Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: z1  B   ; 2A z2  B   2A Trong đó  là một căn bậc 2 của  . o Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1  z2  B 2A CHÚ Ý: o Mọi phương trình bậc n: A0z n  A1z n 1  …  An 1z  An  0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). o Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 : Az 2  Bz  C  0 (A, B,C  ; A  0) có 2 nghiệm phân   B  S  z1  z 2    A biệt (thực hoặc phức). Ta có:   C  P  z 1z 2    A   MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai sau: z 2  2z  3  0 . Giải: 2 2 Biệt thức   2  4.1.3  8  8i . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: z1  2  4i  1  2i; 2 z2  2  4i  1  2i . 2 Bài toán 2 Giải phương trình bậc hai sau: z 2  2z  4i  2  0 . Giải: 2 Biệt thức:   2  4.1.(4 i 2)  4  16i  8  12  16i  16  2.4.2i  4i 2  (4  2i )2 . Chọn   4  2i. Phương trình trên có hai nghiệm là : z1  B   2  4  2i B   2  4  2i   1  i; z 2    3  i. 2A 2 2A 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 30 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  Bước 1: Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau: o Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x  1 . o Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x  1 . o Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f  x  cho x  a bằng giá trị của đa thức f (x ) tại x  a . Tức là f x   x  a  g x   f a      Nếu f x  x  a  thì f a   0 . Hệ quả: Nếu f a  0 thì f x  x  a . o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: – Nhập phương trình vào máy tính. – Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình. Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử. o Sơ đồ Hoocne: Với đa thức f(x) = an x n  an -1x n -1  an -2x n -2  …  a1x  a 0 chia cho x – a thương là g(x) = bn -1x n -1  bn -2x n -2  bn -3x n -3  …  b1x  b0 dư r .       Nếu r  0 thì f x  g x , nghĩa là: f x  x  a g x . Ta đi tìm các hệ số bn -1, bn -2, bn -3 …b1, b0 bằng bảng sau đây. a an an -1 an -2 … a 2 bn 1  an bn 2  abn 1  an -1 bn 3  abn 2  an -2 b1  ab2  a2 a1 b0  ab1  a1 a0 r  ab0  a 0  Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải các phương trình: z 3  27  0 . Giải:  z 1  z – 27  0  z – 1 z  3z  9  0   3  3 3i . Vậy p/t đã cho có 3 nghiệm. z  2,3  2 3   2  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 31 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 2 Giải phương trình sau: z 3  3 1  2i  z 2  3  8i  z  5  2i  0. Giải: Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm z  1. Khi đó: z 3  3 1  2i  z 2  3  8i  z  5  2i  0  z  1 z 2  2 1  3i  z  2i  5  0    z  1 v z  i v z  2  5i. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : z  1 ; z  i ; z  2  5i. Bài toán 3 Cho phương trình sau: z 3  2 – 2i  z 2  5 – 4i  z – 10i  0 1 biết rằng phương trình có nghiệm thuần ảo. Giải: Đặt z  yi với y   . Phương trình (1) trở thành: 3 2 iy   2i  2 yi    5  4i yi  – 10i  0  iy 3 – 2y 2  2iy 2  5iy  4y – 10i  0  0  0i  2y 2  4y  0 Đồng nhất hoá hai vế ta được:  3 2  y  2y  5y  10  0 Giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y  2 . Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z  2i . * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i .  vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:       z 3  2 – 2i z 2  5 – 4i z – 10i  z – 2i z 2  az  b  (a, b  ) đồng nhất hoá hai vế ta giải được a  2 và b  5 .   z  2i z  2i    1  z – 2i z  2z  5  0   2  z  1  2i z  2z  5  0 z  1  2i      2  Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Bài toán 4 Giải z 3  3  i  z 2  2  i  z  16  2i  0 biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực. Giải : Gọi nghiệm thực là z0 ta có:  z 03  3z 02  2z 0  16  0 z 03  3  i  z 02  2  i  z 0  16  2i  0    z 0  2  2  zo  z 0  2  0    Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 32 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   Khi đó ta có phương trình z  2 z 2  5  i  z  8  i  0 Tìm được các nghiệm của phương trình là z  2 ; z  2  i ; z  3  2i . Bài toán 5 Giải phương trình z 3  2  3i  z 2  3 1  2i  z  9i  0 biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Giải: Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b   . Thay vào phương trình ta được: bi   2  3i bi   3 1  2i bi   9i  0 2b 2  6b  0  2 3 2  2b  6b  b  3b  3b  9 i  0    b  3  z  3i  3  b  3b 2  3b  9  0    2 3     Phương trình có thể phân tích thành z  3i  z 2  2z  3  0 Các nghiệm của phương trình là z  3i ; z  1  2i . Bài toán 6   Gọi z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4  4  m z 2  4m  0 (1). Tìm tất cả các giá trị m để z 1  z 2  z 3  z 4  6. Giải: z 1,2  2i z 4  4  m z 2  4m  0  z 2  4 z 2  m  0   z 3,4   m z 1,2  2i Nếu m  0 thì (1) có nghiệm là  . z 3,4   m 6  z  z  z  z  4  2 m 1 2 3 4 Khi đó   m  1 . m  0  z 1;2  2i Nếu m  0 thì (1) có nghiệm là  z 3;4  i m 6  z  z  z  z  4  2 m 1 2 3 4 Khi đó   m  1 . Kết hợp lại m  1 thỏa mãn bài toán. m  0       Bài toán 7 Cho phương trình 4z 4  mz 2  4  0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z 1, z 2 , z 3 , z 4 lần lượt là 4 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để z 2 1      4 z 22  4 z 32  4 z 42  4  324 . Giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 33 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cách 1: Đặt t  z 2 , phương trình trở thành: 4t 2  mt  4  0 có 2 nghiệm t1, t2 .  m t1  t2   2 2 2 2 Ta có:  4 . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có: z1  z 2  t1, z 3  z 4  t2 .  t1.t2  1   Yêu cầu bài toán  t1  4   m  17 2  2  t 2 4  2  2   324  t1t2  4 t1  t2  16  324 .    m  17  18 m  1  182    .  m  17  18 m  35 Cách 2:            Đặt f z  4 z  z 1 z  z 2 z  z 3 z  z 4 .    Do z12  4  z1  2i z 1  2i nên z12  4 z 22  4 z 32  4 z 4 2  4        Mà f 2i  f 2i  4 2i  Vậy * 4  68  4m   324  4.4    m 2i 2 2   . f  2i  f 2i 4 4 *  4  68  4m. m  1  . m  35 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 34 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc 4 hệ số thực Cho pt bậc 4: Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  0 với A, B,C , D, E  ; A  0 . Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z 1  a  bi . * Lưu ý: Nếu phương trình trên có 1 nghiệm là z 2  a  bi thì nó cũng có nghiệm z  a  bi. Khi đó z1z 2  x 2  2ax  a 2  b 2 nên Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  (x 2  2ax  a 2  b 2 )g (x ) . Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 để tìm g(x ) . Tiếp tục giải phương trình bậc hai : g(x )  0 để tìm 2 nghiệm còn lại của phương trình. BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán Tìm phương trình bậc 4: z 4  2z 3  z 2  2z  10  0 .Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z  2  i. Hướng dẫn : Phương trình trên có 1 nghiệm là z 1  2  i thì nó cũng có nghiệm z 2  2  i. Khi đó z1, z 2     2z  10)  z  4z  5 g z  . là nghiệm của phương trình: z  z 1 z  z 2  z 2  4z  5 . Nên (z 4  2z 3  z 2 2 Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 tìm được g z   z 2  2z  2 . Phương trình z 2  2z  2  0 có 2 nghiệm là 1  i; 1  i . Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là : 2  i ; 2  i; 1  i; 1  i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 35 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna c) Phương pháp đặt ẩn phụ o Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng giống nhau. o Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện (nếu có). o Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 theo ẩn mới. o Bước 4: Giải và kết luận nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải phương trình sau: (z 2  z )2  4(z 2  z )  12  0 . Giải: 2 Đặt t  z  z , khi đó phương trình đã cho có dạng:  1  23i z  2  z 2  z  6  0 t  6  1  23i . Vậy p/t đã cho có 4 n 0 . t 2  4t – 12  0     2  z  t  2 2  z  z  2  0   z 1   z  2  Bài toán 2 Giải phương trình sau trên tập số phức: z 2  3z  6  2z z 2  3z  6 – 3z 2  0 2 Giải: Đặt t  z 2  3z  6 phương trình đã cho có dang: z  1  5i  + Với t  z  z 2  3z  6 – z  0  z 2  2z  6  0   z  1  5i  z   3  3  2 2 + Với t  3z  z  3z  6  3z  0  z  6z  6  0    z  3  3  Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Bài toán 3 Giải phương trình (z 2  z )(z  3)(z  2)  10 . Giải: PT  z(z  2)(z  1)(z  3)  10  (z 2  2z )(z 2  2z  3)  0 Đặt t  z 2  2z . Khi đó phương trình (8) trở thành: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 36 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn t  2 t 2  3t  10  0    t  5 https://facebook.com/duytuan.qna z   1  i   z  1  6 Vậy phương trình có các nghiệm: z  1  6 ; z  1  i . Bài toán 4 Giải phương trình sau trên tập số phức z 4  z 3  z2 z 1  0. 2 Giải: Nhận xét: z  0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z  0 . 1 1 1 )  (z  )   0 (2) 2 z 2 z 1 1 1 Đặt t  z  . Khi đó t 2  z 2  2  2  z 2  2  t 2  2 z z z 5 Phương trình (2) có dạng: t 2 – t  (3) 2 5   1  4.  9  9i 2 2 1  3i 1  3i PT (3) có 2 nghiệm t  ,t . 2 2 1  3i 1 1  3i + Với t  ta có z    2z 2  (1  3i )z  2  0 (4) 2 z 2 Có   (1  3i )2  16  8  6i  9  6i  i 2  (3  i )2 Chia hai vế PT (1) cho z 2 ta được: ( z 2  (1  3i )  (3  i ) (1  3i )  (3  i ) i  1  1  i ,z   . 4 4 2 1  3i 1 1  3i  2z 2  (1  3i )z  2  0 (5) + Với t  ta có z   2 z 2 Có   (1  3i )2  16  8  6i  9  6i  i 2  (3  i )2 PT (4) có 2 nghiệm: z  (1  3i )  (3  i ) (1  3i )  (3  i ) i  1 .  1  i ,z   4 4 2 i 1 i  1 Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: z  1  i ; z  1  i ; z  ;z . 2 2 PT(5) có 2 nghiệm: z  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 37 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Một số lưu ý Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2. o Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b o Bấm q2 và lựa chọn các chức năng: o Chọn 1 để bấm acgumen của z o  arg z  . Chọn 2 để bấm số phức liên hợp của z Conjg  z   . o Chọn 3 để chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác. o Chọn 4 để chuyển từ dạng lượng giác sang dạng đại số. o Bấm dấu  bằng cách bấm: qz Sau đây là cách giải các bài toán điển hình cho các dạng toán tìm căn bậc hai của một số phức; giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan bằng máy tính casio. 1. BÀI TOÁN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC Cách 1 Xây dựng công thức bấm: Cho số phức z  a  bi , có dạng lượng giác là z = r(cos +isin) r  0 . Với   a  cos   2 2  r . r  a  b  z .  là góc thoả mãn :   b  sin     r    được gọi là acgument của z , kí hiệu là arg z  . Khi đó z có hai căn bậc hai là:       r cos  isin  và – r cos  isin  .   2 2  2 2  arg z   hay  z  2 2 Như vậy để tìm các căn bậc hai của số phức z  a  bi , ta làm như sau: o Nhập số phức z và lưu vào biến A (cái này đơn giản). Hay được viết gọn là:  r  o Bấm theo công thức sau: sqcQz$$qzaq21Qz)R2= o Ta thu được kết quả của một căn thức của z , suy ra căn bậc hai còn lại. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 38 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z  3  4i . Hướng dẫn: Quy trình bấm : o Nhập số phức z  3  4i và lưu vào biến A: p3+4bqJz o Bấm theo công thức ở trên : sqcQz$$qzaq21Qz)R2 = o Màn hình cho kết quả: Nên 1  2i và 1  2i là 2 căn bậc hai của số phức z  3  4i . Cách 2 o Nhập hàm X2 : Q)d o Sử dụng phímr,nhập các giá trị vào, giá trị nào cho ra số phức z thì ta chọn đáp án đó. Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z  3  4i . A.1  2i;  1  2i B.2  2i;  1  2i C .1  2i;  1  2i D.  2  i;  2  i Hướng dẫn: Q)d o r Nhập lần lượt các số phức ở các đáp án vào nhé. r1+2b= màn hình sẽ cho kết quả: o Nên 1  2i là căn bậc hai của số phức z  3  4i . Vì một số phức có hai căn bậc 2 đối nhau nên 1  2i cũng là căn bậc hai của số phức z  3  4i . >>> Chọn C. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 39 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cách 3 Tìm các căn bậc hai của số phức z  a  bi . o w1 o Nhấp Shift + (Pol), ta nhập Pol(a,b). o Dấu phẩy trong (a,b) bấm bằng cách q) o Nhấp Shift – (Rec), ta nhập Rec(X,Y), ta thu được kết quả X=…;Y=… o Kết luận các căn bậc 2 cần tìm. Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z  12  16i . Hướng dẫn: o w1 q+p12q)16)= màn hình hiện kết quả o qpsQ)$q)QnP2)= o thu được kết quả: Suy ra các căn bậc hai của số phức z  12  16i là 2  4i ; 2  4i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 40 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) Phương trình bậc hai với hệ số thực: Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai sau: z 2  4z  10  0 . Hướng dẫn: Quy trình bấm: w531=p4=10== Thu được kết quả: Bài toán 2 Gọi z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình : z 2  z  1  0 . Tính P  z12018  z 22018 . Hướng dẫn : Quy trình bấm như sau: o Tìm nghiệm z 1, z 2 w531=1=1== Thu được kết quả: o Lưu 2 nghiệm vào X và Y: qJ)RqJn o Màn hình hiển thị là đã lưu biến X thành công, tương tự biến Y. o Tính P . o Sau đó vào w2 và nhập P và thu được kết quả: Sau đây là Bài toán 3 tương tự Bài toán 2 nhưng giải theo dạng lượng giác của số phức. Cách này luôn giải được với số mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán 2 có thể không giải được với số mũ lớn nào đó. Bài toán 3 1 1  1 . Tính giá trị biểu thức P  z 2009  2009 z z 5 7 C. P   D. P  2 4 Biết z là nghiệm của phương trình z  A. P  1 B. P  0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 41 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Hướng dẫn:  1  0 ta được phương trình bậc hai z 2  z  1  0 . Tính z nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3 Quy đồng phương trình z  w531=p1=1==  Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được    1 3 Với z   i ta chuyển về dạng lượng giác  z  1cos  i sin   2 2 3 3  a1R2$+as3R2$bq23=       Vậy  z 2009  12009 cos 2009.  i sin 2009.   cos 2009.  i sin 2009.  3 3   3 3   Tính z 2009 và lưu và biến A Wk2009OaqKR3$)+bj2009 OaqKR3$)=qJz Tổng kết P  A  1 1 A Qz+a1RQz=  Đáp số chính xác là A Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 42 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Bài toán Giải phương trình : z 2  8(1  i )z  63  16i  0 . Hướng dẫn: o Tính   B 2  4AC bằng máy tính , ta được: o Sau đó gán kết quả của  vào A. o Dùng công thức tìm căn bậc 2 đã học ở trên, thu được 1 căn bậc 2 của  là 2  16i . o Gán kết quả này cho X. o Nên 2 nghiệm của phương trình là : Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 43 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Trong  , phương trình z 4  1  0 có nghiệm là: A. 1;  2i B. 2;  2i C. 3;  4i D. 1;  i Câu 2. Trong  , căn bậc hai của 121 là: A. 11i B. 11i D. 11i và 11i C. 11 2 Câu 3. Phương trình 8z  4z  1  0 có nghiệm là: 1 1 5 1  i; z 2   i 4 4 4 4 1 1 1 1 C. z1   i; z 2   i 4 4 4 4 A z1  1 1 1 3  i; z 2   i 4 4 4 4 2 1 1 1 D. z1   i; z 2   i 4 4 4 4 B. z1  Câu 4. Biết z 1; z 2 là hai nghiệm của phương trình 2z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z 12  z 22 là: A. 9 4 B. 9 D.  C. 4 9 4 Câu 5. Phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1  2i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B. 3 C. 3 D. 4 Câu 6. Gọi z 1; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Khi đó phần thực của z 12  z 22 là: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 2 Câu 7. Gọi z 1; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z  2z  4  0 . Khi đó A | z 1 |2  | z 2 |2 có giá trị là A. 7 B. – 8 C. 4 D. 8 3 Câu 8. Phương trình z  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 9. Biết z 1, z 2 là hai nghiệm của phương trình 2z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z 12  z 22 là: A. 4 B. 9 4 C. 9 Câu 10. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2  2z  2  0 A. 0 B. 1 C. 2 Câu 11. Tìm các căn bậc hai của 9 . A.  3i B. 3 C. 3i D.  9 4 D. Vô số nghiệm. D. 3 4 Câu 12. Trong  , phương trình z  4  0 có nghiệm là: A.  1  4i ;  1  4i  B.  1  2i  ;  1  2i  C.  1  3i ;  1  3i  D. ± 1  i  ;  1  i  Câu 13. Giải phương trình z 2  2z  7  0 trên tập số phức ta được nghiệm là: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 44 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A. z  1  2 2i B. z  1  6i C. z  1  2i D. z  1  7i Câu 14. Căn bậc hai của số phức 4  6 5i là:  A.  3  5i   B. 3  5i   C.  3  5i  D. 2 Câu 15. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33  56i . Phần thực của z là: A. 6 B. 7 C. 4 D. –4 Câu 16. Tập nghiệm trong  của phương trình z 3  z 2  z  1  0 là: A. i; i;1; 1 B. i; i;1 C. i; 1 D. i; i; 1 Câu 17. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm   4  3i;   2  i là: A. z 2  2  4i  z  11  2i   0 B. z 2  2  4i  z  11  2i   0 C. z 2  2  4i  z  11  2i   0 D. z 2  2  4i  z  11  2i   0 Câu 18. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z 2 | z |2 z ? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 C. 9  2i D. 15  5i Câu 19. Phương trình 2  i  z  az  b  0 a,b   có hai nghiệm là 3  i và 1  2i . Khi đó 2 a ? A.  9  2i B. 15  5i Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z 2  6z  13  0 . Tính z  A. 17 và 4 B. 17 và 5 C. 6 z i 17 và 3 D. 17 và 2 Câu 21. Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z  1  3i  z  2 1  i   0 . Khi đó 2 w  z12  z 22  3z 1z 2 là số phức có môđun là: A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 20 Câu 22. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z 2  8 | z |2 3  0 là: A. 3 B. 2 C. 4 Câu 23. Tìm số phức z để z  z  z 2 . A z  0; z  1  i C. z  0; z  1  i; z  1  i 2 D. 1 B. z  0; z  1  i D. z  1  i; z  1  i 2 Câu 24. Với mọi số ảo z, số z  | z | là: A. Số thực âm C. Số thực dương B. Số 0 D. Số ảo khác 0 Câu 25. Trong trường số phức phương trình z 3  1  0 có mấy nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 26. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm một nghiệm là: b  2 b  2     b  2 b  2 A.  B.  C.  D.          c  2 c  2 c2 c2         Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 45 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 27. Trên tập hợp số phức, phương trình z 2  7z  15  0 có hai nghiệm z1, z 2 . Giá trị biểu thức z1  z 2  z1z 2 là: A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 3 Câu 28. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn z  18  26i x  3 x  3 x  3     x  3 A.  B.  C.  D.          y  1 y  1 y 1 y  1         Câu 29. Trên tập số phức, cho phương trình sau: z  i   4z 2  0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng 4 trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực  . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức  . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0 B. 1 C. 3 6 D. 2 3 Câu 30. Phương trình z  9z  8  0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 Câu 31. Giả sử z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  5  0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1; 0 C. I 0;1 D. I 1; 0 Câu 32. Cho phương trình z 2  mz  6i  0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m  a  bi a,b   . Giá trị a  2b là: A. 0 C.  2 B. 1 D.  1 4  z  1    1 . Giá trị của Câu 33. Gọi z1, z 2 , z 2, z 4 là các nghiệm phức của phương trình   2z  i       P  z12  1 z 22  1 z 32  1 z 42  1 là: A. 17 8 B. 17 9 C. 9 17 D. 17i 9 Câu 34. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2  mz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng  4i là: A.  1  i  B. 1  i  C.  1  i  D.  1  i Câu 35. Cho phương trình z 2  mz  2m  1  0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z1, z 2 thỏa mãn z 12  z 22  10 là: A. m  2  2 2i B. m  2  2 2i C. m  2  2 2i D. m   2  2 2i Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 46 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 36. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  8  0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w  2z1  z 2  z1 là: A. 12  6i B. 10 D. 12  6i C. 8 4 Câu 37. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z  1  0 trên tập số phức là bao nhiêu? A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Câu 38. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  6  0 . Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 |  | 3z1  z 2 | là: A. 6  2 21 B. 6  2 21 C. 6  4 21 D. 6  4 21 Câu 39. Phương trình x 4  2x 2  24x  72  0 trên tập số phức có các nghiệm là: A. 2  i 2 hoặc  2  2i 2 B. 2  i 2 hoặc 1  2i 2 C. 1  2i 2 hoặc  2  2i 2 D.  1  2i 2 hoặc  2  2i 2 Câu 40. Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  3z  7  0 . Khi đó A  z14  z 24 có giá trị là: A. 23 B. 23 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C. 13 D. 13 Trang 47 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.D 11.A 21.D 31.D 2.D 12.D 22.C 32.D 3.C 13.B 23.C 33.B 4.D 14.C 24.B 34.A 5.C 15.B 25.B 35.A 6.B 16.D 26.C 36.C 7.D 17.B 27.B 37.D 8.A 18.A 28.C 38.B 9.D 19.A 29.D 39.A 10.A 20.B 30.D 40.A z  1 z  1   Câu 1. z 4  1  0  z  1z  1 z 2  1  0  z  1  z  1 . Chọn D.  2  z  i z  1  0    Câu 2.   Ta có: z  121  z  11i  . Do đó z có hai căn bậc hai là z  11i; z  11i . Chọn D. 2 Câu 3.  ‘  b ‘2  ac  4  8  4  0  z 1,2  2  2i 1 i   . Chọn C. 8 4 4   b 3   S  z1  z 2       a 2  z 2  z 2  S 2  2P  3  3   9 . Chọn D. Câu 4. Theo Viet, ta có:  1 2  4 4 c 3  P  z . z    1 2  a 2   Câu 5. Vì z  1  2i là một nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên ta có: 1  2i  2  a 1  2i   b  0  a  b  2ai  3  4i  a  b  3 . Chọn C.   b  S  z1  z2    4   a Câu 6.Theo Viet, ta có:   c  P  z1.z 2   5   a   z12  z 22  S 2  2P  16  2.5  6 . Chọn B. Câu 7. z 2  2z  4  0  z  1  3  0  z  1  3i  A | z1 |2  | z 2 |2  8 . Chọn D. 2 Câu 8.   2   z  2 z 3  8  z  2 z 2  2z  4  0  z  2 z  1  3  0      z  1  3i   Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm. Chọn A.   b 3   S  z1  z2      a 2 Câu 9. Áp dụng định lý Viet, ta có:    c 3  P  z 1z 2     a 2    z12  z 22  S 2  2P   3 9  3   . Chọn D. 4 4 Câu 10.  ‘  b’2  ac  1  2  1  0 nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Chọn A. Câu 11. Ta có 9  9.i 2 nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i . Chọn A. Câu 12. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 48 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna z   1  i  z 2  2i z 4  4  0   2   Chọn D. z   1  i  z  2i Câu 13. z 2  2z  7  0  z  1  6  0  z  1  6i . Chọn B. 2 Câu 14. Giả sử w là một căn bậc hai của 4  6 5i . Ta có:  w 2  4  6 5i  w 2  3  5i  2    w   3  5 i . Chọn C. Câu 15. Ta có: 33  56i  7  4i   z  7  4i . Do đó phần thực của z là 7. Chọn B. 2 z  1 Câu 16. z 3  z 2  z  1  0  z  1 z 2  1  0   . Chọn D z  i  S      2  4i Câu 17. Áp dụng định lý Viet, ta có:  .   P  .  11  2i     Do đó ,  là hai nghiệm của phương trình: z 2  Sz  P  0  z 2  2  4i  z  11  2i   0 . Chọn B. Câu 18. Gọi z  a  bi a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:   z 2 | z |2 z  a  bi   a 2  b 2  a  bi  a  2b 2  bi  2abi  0  a  2b 2  b  2ab  i  0 a  b  0    a  2b 2  0    2   a  2b  0  b  0 a   1         2   b  2ab  0  1      1   a     b    2      2  2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 19. Theo Viet, ta có: S  z1  z2   a  4  i  a  i  4i  2  a  9  2i . Chọn A. 2i Câu 20. z 2  6z  13  0  z  3  4  0  z  3  2i 2 +) Nếu z  3  2i : 6 6 9  15i 18  72i  3  2i     1  4i z i 3  3i 3  3i 18 6 z  1  4i  17 z i z +) Nếu z  3  2i : z 6 6 13  9i 30  40i 6  3  2i     3  4i  z   3  4i  5 Chọn B. z i 3 i 3i 10 z i   b  S  z1  z 2    1  3i   a Câu 21. Theo Viet, ta có:   c  P  z1.z 2   2 1  i    a   Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 49 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna w  z 12  z 22  3z 1z 2  S 2  5P  1  3i   10 1  i   2  4i | w | 4  16  20 . Chọn D 2 Câu 22. Gọi z  a  bi a, b    là nghiệm của phương trình. Ta có:       4 a  bi   8 a 2  b 2  3  0  4 a 2  b 2  2abi  8 a 2  b 2  3  0 2 2 2  12a  4b  8abi  3  0 a  0    2      2 a  b  1    2 2 2 2 2 2 12a  4b  3 4a  b  1 4a  4ab  b  1  b  1              a  0         a   1 ab  0   ab  0 ab  0          b0 4      b  0    Vậy phương trình có 4 nghiệm phức. Chọn C. Câu 23. Gọi z  a  bi a, b    là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:   a 2  b2  0  2 2  a  b  0      a  1   2 ab  2 b       b  0  z  z  z 2  a  bi  a  bi  a  bi  2  a  1    b  1    a0     b0   z  0  z  1  i .   z  1  i Chọn C. Câu 24. Do z là số ảo nên z có dạng: z  bi b    . Ta có: z 2  | z |2  bi   b 2  b 2  b 2  0 . Chọn B. 2 z  1  Câu 25. z 3  1  0  z  1 z 2  z  1  0   z  1  3i  2  Vậy phương trình có ba nghiệm trong trường số phức. Chọn B.   Câu 26. Do z  1  i là một nghiệm của z 2  bz  c  0 nên ta có:  b  2  2 b  c  0    1  i  b 1  i  c  0  b  c  bi  2 i  0  . Chọn C.         b   2 c2       b  S  z 1  z 2    7  a Câu 27. Theo Viet, ta có:   c  P  z1z 2   15   a    z 1  z 2  z 1z 2  S  P  7  15  8 Chọn B. Câu 28. z 3  18  26i  x  yi   18  26i  x 3  3x 2yi  3xy 2  y 3i  18  26i 3    (x 3  3xy 2 )  3x 2y  y 3 i  18  26i     x x 2  3y 2  18 x 3  3xy 2  18     2  3 2 2   3x y  y  26 y 3x  y  26         Do x, y nguyên nên Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 50 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  3  x  3  2  2  x  3 y  6   y  1 2 2 x  x  3 y   18    x  6 x6      loai    x 2  3 y 2  3   y   11   Mà y 3x 2  y 2  26  x  3; y  1 . Chọn C. Câu 29. z  i   4z  0  z  i   4z  z  1 z  1  0 z  i   2iz      z  i   2iz z  4 iz  1  0 z  2i     4 4 2 2 2 2 2 2 2 z  1   z  2  3 i 30    Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng. Chọn D. Câu 30. Ta có:   z 1    z  2 6 3 2 2 Chọn D. z  9z  8  0  z  1z  2 z  z  1 z  2z  4  0     z   3 1     1i 3      Câu 31. z 2  2z  5  0  z  1  4  0  z  1  2i  A 1;2; B 1; 2 2 Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 1; 0 . Chọn D. Câu 32. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho   b  S  z 1  z 2    m  a Theo Viet, ta có:   c  P  z1.z 2   6i   a   Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có: z12  z 22  S 2  2P  m 2  12i  5  m 2  5  12i  m 2  3  2i  2  m   3  2i   a  3;b  2  a  2b  3  4  1 . Chọn D. z  1  i    z 1 4 z  1  i   1  z  1  i  3   1   2z  i Câu 33. Với mọi z  , ta có:    2z  i  z  1 2  4i 2    i z   5  2z  i  z  0  2 2      2  4i   2    1  i  2 2 2 2  P  z1  1 z 2  1 z 3  1 z 4  1  1  i   1   1   1 .   25     9     9  2i 13  16i 425 17 Chọn B.  1  2i  .   9 25 9.25 9      Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 51 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 34. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình.   b  S  z 1  z 2    m   a  z12  z 22  S 2  2P  m 2  2i Theo Viet, ta có:   c  P  z1.z 2   i   a   Ta có: m 2  2i  4i  m 2  2i  m 2  1  i   m   1  i  Chọn A. 2   b  S  z1  z 2    m  a Câu 35. Theo Viet, ta có:   c  P  z1.z 2   2m  1   a   z12  z 22  10  S 2  2P  10  m 2  2 2m  1  10  m 2  4m  12  0  m  2  8  0  m  2  2 2i 2 Chọn A.   2 z 1  1  7i Câu 36. z 2  2z  8  0  z  1  7  0  z  1  7i     z  1  7i    2   w  2z1  z 2  z1  2 1  7i  1  7i  1  7i  1  7i 1  7i . Chọn C.   17  8 z   1 Câu 37. z 4  1  0   . z  i Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1  1  0 . Chọn D. Câu 38.        z 2  2z  6  0  z  1  5  0  z  1  5i 2  z 1  1  5i; z 2  1  5i Chọn B.  M | z 1 |  | 3z1  z 2 | 1  5i  2  4 5i  6  84  6  2 21 Câu 39.   x 4  2x 2  24x  72  0  x 2  4x  6 x 2 2  x 2  4x  6  0 x  2  2  0   2   x  22  8  0 x  4x  12  0    4x  12  0 x  2  2i   x  2  2 2i  Chọn A.   b  S  z1  z 2     3   a Câu 40. Theo Viet, ta có:   c  P  z 1.z 2   7   a    A  z 14  z 24  S 2  2P  2  2P 2  3  2.7   2.49  23 . Chọn A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2 Trang 52 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT Lý thuyết về tập hợp điểm của số phức Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó. Khi đó ta giải bài toán này như sau: 1. Phương pháp tổng quát: Đặt z  x  yi (x , y  ) . Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M x ; y  . Biến đổi điều kiện của bài toán thành để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. 2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b o | z  a || z  b | MA  MB  M thuộc đường trung trực của đoạn AB o | z  a || z  b | k (k  , k  0, k | a  b |)  MA  MB  k  M  (E ) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k. 3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z) Đặt z = x + yi và w = u + vi (x , y, u, v  ) . Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v o Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’ o Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’. Nhắc lại kiến thức về hình học giải tích Oxy 1. Các dạng phương trình đường thẳng – Dạng tổng quát: ax  by  c  0 . – Dạng đại số: y  ax  b .  x  x 0  at x  x0 y  y0  – Dạng tham số:  – Dạng chính tắc: .   y  y0  bt a b   x y – Phương trình đoạn chắn   1 . a b – Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm M 0 x 0 ; y 0  biết hệ số góc k: y  k (x  x 0 )  y 0 2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R: (x  a )2  (y  b )2  R 2  x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với c  a 2  b 2  R2 Lưu ý điều kiện để phương trình: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 là phương trình đường tròn: a 2  b 2  c  0 có tâm I a, b  và bán kính R  a 2  b 2  c . x 2 y2  1 a 2 b2 Với hai tiêu cự F1(c; 0), F2 (c; 0), F1F2  2c . Trục lớn 2a, trục bé 2b và a 2  b 2  c 2 . 3. Phương trình (Elip): Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 53 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a) z  1  i =2 b) z  1  3i  4 c) 2  z  1  i Giải:   Đặt z  x  yi (x , y  ) được biểu diễn bởi điểm M x ; y a) Xét hệ thức: z  1  i  2 .  x – 1  y  1 i  2 x  1  y  1  2.  x  1  y  1  4.  Tập hợp các điểm M z  trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z đường tròn có tâm tại I 1; 1 và bán kính R  2 . 2  2 2 2 thỏa mãn (1) là b) Xét hệ thức : z  1  3i  4  x  1  y  3 i  4 2 x  1    x  1  2 2 y  1 4 y  1  16. 2 Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là hình tròn có tâm là  1;1 ; bán kính r  4 . Nhận xét: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  3i  4 là tập   hình các điểm nằm trên và nằm ngoài đường tròn có tâm là 1;1 ; bán kính r  4 . c) Xét hệ thức: 2  z  z  i    x  2   y    x  2  yi  x  y  1 i 2 2   x2  y  1  4x  2y  3  0. 2  Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x  2y  3  0. Nhận xét: Đường thẳng 4x  2y  3  0 chính là đường trung trực của đoạn AB. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 54 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 2 Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z . Giải: Đặt z  x  yi (x , y )  . Ta có: z  i  1  i  z  x  y  1 i  x  y   x  y  i  x 2  y  1  x  y   x  y  2 2 2  x 2  y 2  2xy  1  0  x 2  y  1  2 2 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình x 2  y  1  2 . 2 Bài toán 3 Cho các số phức z 1, z 2 , z 3 có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường tròn ngoại tiếp là x  2017   y  2018   1. Tổng phần thực và phần 2 2 ảo của số phức w  z 1  z 2  z 3 bằng? Giải: Đường tròn đã cho có tâm I biểu diễn số phức z  2017  2018i . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 1, z 2 , z 3 .      Ta có OA  OB  OC  3OG  3OI (do tam giác ABC đều nên G  I ). Suy ra z 1  z 2  z 3  3 2017  2018i   6051  6054i . Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 3. Bài toán 4 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u  z  2  3i là một số thuần ảo. z i Giải : Đặt z  x  yi (x , y )   , khi đó: x  2  y  3i x  2  y  3i  x  y  1i  u  2 x  y  1 i x 2  y  1  x 2   y 2  2x  2y  3  2 2x  y  1 i x 2  y  1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2 Trang 55 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 2     x 2  y 2  2x  2y  3  0 x  1  y  1  5    u là số thuần ảo   2  2   x  y  1  0 x ; y  0;1          Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I (1; 1) , bán kính 5 trừ điểm (0;1) . Bài toán 5 Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) 2 z  i  z  z  2i b) z  1  z  1  4 Giải: Đặt: z  x  yi (x, y  R)  z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M x; y . a) 2 z  i  z  z  2i  2 x  (y  1)i  (1  y )i  y  x2 4 Vậy tập hợp điểm M là đường parabol (P) có phương trình y  b) z  1  z  1  4  x  1 2  y2  x  1 2  y2  4 x2 . 4 (*) . Đặt F1(1; 0) ; F2 (1; 0) (*)  MF1  MF2  4 và F1F2  2 . Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1, F2 . x 2 y2  2  1 (0  b  a; b 2  a 2  c 2 ) 2 a b   MF1  MF2  2a a  2 Ta có    b2  a 2  c2  3     F F  2 c c  1    1 2  Gọi (E) có phương trình Vậy (E) có phương trình x 2 y2   1. 4 3 Bài toán 6 Trong tập số phức  , gọi z1 và z 2 các nghiệm của phương trình z 2  2z  10  0 . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z 2 và số phức k  x  iy trên mặt phẳng phức. Để tam giác MNP đều thì số phức k là? Giải: Ta có z 2  2z  10  0  z1,2  1  3i . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z 2 và số phức k  x  iy trên mặt phẳng phức. Khi đó M 1; 3 , N 1; 3 , P x ; y  MN 2  MP 2    MN  MP  Để MNP đều     (1)   MN  NP MN 2  NP 2      Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 56 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    Ta có MN  0; 6 , MP  x  1; y  3 , NP  x  1; y  3 (2) 2 2      x  1  y  3  36  x  1  27  Từ (1) và (2)     k  1  27 .  2 2   y  0 x  1  y  3  36          Bài toán 7 Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi và Z  z 1 . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thực. z  2i Giải:       x  x  1  y y  2   y  2x  2  i Z  x  y  2  Ta có: Z            x  1  yi x  y  2 i x  yi  1 z 1 x  1  yi    z  2i x  yi  2i x  y  2 i x  y 2 i x  y 2 i 2 2 Z là một số thực khi và chỉ khi y  2x  2  0 . Tập hợp các điểm m biểu diễn số phức z  x  yi là đường thẳng y  2x  2  0  y  2x  2 Bài toán 8 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  z  i  4 là? Giải: Ta có z  i  z  i  4  x 2  y  1  x 2  y  1  4 2  x  y  1  4  x  y  1 2 2 2 2 2  2  2  x  y  1 4      2 2 2   x 2  y  1  16  x 2  y  1  8 x 2  y  1      2 2   2   2 x 2  y  1  16   x  y  1  16   2       x  y  1  16 y  4 y  4      2    2    2 2 2 x  y  1  y  4      x 2 y2 4 x  3 y  12      1     4  3 1 2 . 3 Tập hợp các điểm thỏa mãn 3 đều thỏa mãn 1 và 2 . Vậy tập hợp những điểm M là elip E  : Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học x 2 y2   1. 3 4 Trang 57 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 9 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho số phức z   thỏa mãn z  4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w  3  4i  z  i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I 0;1, R  2 5. B. I 1; 0, R  20 C. I 0;1, R  20. D. I 1; 2, R  22. Giải: Đặt w  a  bi với a;b; c   . a  b  1 i w  3  4i  z  i  z  3  4i a  b  1i  3  4i     25 3a  4b  4  3b  4a  3 2 3a  4b  4 3b  4a  3 z   i z  25 25 Mà 3a  4b  4  3b  4a  3 2 z 4 2 25 2 25  4  3a  4b  4  3b  4a  3  1002 2 2  a 2  b 2  2b  399  a 2  b  1  202 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I 0;1, R  20 . Bài toán 10  z  3  6i  5  Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:  ?  1  2i z  1  12i  15   Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , do M thỏa mãn phương trình z  3  6i  5 nên thuộc   đường tròn tâm A 3; 6 , bán kính R  5 .   Ta có: 1  2i z  1  12i  15  z  1  12i 15   z  5  2i  3 5 1  2i 1  2i    M thuộc đường tròn tâm B 5;2 , bán kính R  3 5 . Nhận thấy AB  2 2  5  3  2  6  2 5  R ‘ R . Vậy 2 đường tròn tiếp xúc trong tại M, hay chỉ có một số phức z thỏa mãn bài toán. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 58 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức   w  1  3i z  2 là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Giải: Cách 1:   Ta có: w  1  3i z  2  z  Suy ra z  1  w  3  3i 1  3i w 2 1  3i  z 1  w  3  3i  1  3i w  3  3i 1  3i w  3  3i 2 2  w  3  3i  4 Như vậy bán kính của đường tròn là 4. Cách 2:    Lấy môđun hai vế ta được: w   3  3i   1         Ta có: w  1  3i z  2  w  1  3i z  1  3  3i  w  3  3i  1  3i z  1 . 3i . z  1  2.2  4 . Bài toán 12 Cho các số phức z thỏa mãn z  1  3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w với 3  2i  w  iz  2 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó. Giải: Ta có 3  2i  w  iz  2  w   2 i 2 3  6 4 z  w    i  z   i 3  2i 3  2i 13 13  13 13   2 4 3  4 7 7   2 3   w    i z  1   i  w    i     i z  1. 13 13  13 13  13 13   13 13  4 7  2 3 3 Lấy môđun, hai vế ta được w    i     i . z  1  . 13 13   13 13 13  3 1 13 4 7 3 . Vậy tập hợp các số phức w thuộc đường tròn tâm I  ;  , bán kính r  13 13  13 Nhận xét: Bài này có rất nhiều cách giải tự luận nhưng cách này là tối ưu nhất. Quý thầy cô nên nghiên cứu kỹ phương pháp giải này để truyền đạt cho học sinh. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 59 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 13 Cho hai số phức z 1, z 2 thỏa mãn z1  3 , z 2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần   lượt là các điểm M , N . Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OM và ON bằng 300 . Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 z1  z 2 . Giải: Cách 1:   z1  z 2  OP Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó  .   z1  z 2  MN        z  z2  Ta có  1   z  z2     1  z1  z 2 z1  z 2 2 2 2 y z1  z 2 P N z1  z 2  2 z 1 z 2 cos1500  1 z1  z 2  2 z1  z 2  2 z1 z 2 cos 300  13  13 . M x O Nhận xét: Thầy cô nên giải thích rõ cho học sinh hiểu tại tại lại là góc 300 và góc 1500. Cách 2:        z  a  b i M a ; b OM    1 1 1 1 1     a1 ;b1 . Giả sử       ON  a ;b  z  a2  b2i N a ,b    2 2 2    2 2     a12  b12  3 Theo giả thiết, ta có  và  2  a2  b22  4      a1a2  b1b2 cos OM ,ON  cos 300   a1a2  b1b2  3. a12  b12 a22  b22   Ta có A   z1  z 2 z1  z 2 a a 2 1 2 1  a a 1  a 2   b1  b2  i 1  a 2   b1  b2  i    b   a   b   2 a a  a a  b12  a22  b22  2 a1a2  b1b2  2 1 2 2 2 2 1 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  b1b2   a 2   b1  b2  2 1  a 2   b1  b2  2 1  2 3  4  2.3 3  4  2.3 2  13. Trang 60 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS Đây là một trong những bài toán điển hình nhất dùng máy tính CASIO để giải bài toán tìm tập hợp điểm của số phức. Các bài toán khác ta làm tương tự. Bài toán 1   Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện | zi – 2  i | 2 2  2 B.  x  1  y – 2   9 A. x  2y  1  0 2   C. x  1  y  2 2  D. 3x  4y  2  0 4 Hướng dẫn: Ta giả sử: z  A  Bi . Nên điều kiện của bài toán được viết lại là: A  Bi  i – 2  i   2  0. o  w2 và nhập điều kiện vào: Thử đáp án A. x  2y  1  0x  1  2y . Cho y  1 ta được x  1 . Nhập rp1=1=thu được kết quả khác 0. >>> Loại đáp án A.   2   Thử đáp án B. x  1  y – 2  2 9. Cho x  1 ta được y  5 hoặc y  1 . rp1=5= ra kết quả khác 0. >>> Loại đáp án B  2 2 Thử đáp án C.  x  1  y  2   4 . Cho x  1 ta được y  0 và y  4 . r1=0= và r1=p4= đều được kết quả bằng 0. Vậy đáp án đúng là C. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 61 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 2 [Đề minh họa của bộ GD-ĐT lần 1-2017] Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  3  4i  z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4 B. r  5 C. r  20 D. r  22 Hướng dẫn:   Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biểu diễn của w , vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn z  4 Chọn z  4  0i (thỏa mãn z  4 ). Tính w1  3  4i 4  0i   i (3+4b)O4+b= Ta có điểm biểu diễn của z 1 là M 12;17   Chọn z  4i (thỏa mãn z  4 ). Tính w 2  3  4i 4i   i (3+4b)O4b+b= Ta có điểm biểu diễn của z 2 là N 16;13  Chọn z  4i (thỏa mãn z  4 ). Tính w 3  3  4i 4i   i (3+4b)(p4b)+b= Ta có điểm biểu diễn của z 3 là P 16; 11 Vậy ta có 3 điểm M , N , P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w  Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát x 2  y 2  ax  by  c  0 . Để tìm a,b, c ta sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 5 3 w5212=17=1=p12dp17d=p16= 13=1=p16dp13d=16=p11=1= p16dp11d== Vậy phương trình đường tròn biễu diễn số phức w là: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 62 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna x 2  y 2  2y  399  0  x 2  y  1  202 . 2 Bán kính đường tròn tập hợp điểm biểu diễn số phức w là 20  Đáp án chính xác là C. Bài toán 3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  2i là một Parabol có dạng: A. y  3x 2  6x  2 B. y  x2 x 2 C. y  x2 4 3 D. y  x 2  2x  1 3 Hướng dẫn:  Đặt số phức z  x  yi .  Nếu đáp số A đúng thì đúng với mọi z  x  yi thỏa mãn y  3x 2  6x  2 . Chọn một cặp x ; y  bất kì thỏa y  3x 2  6x  2 ví dụ A 0;2  z  2i Xét hiệu 2 z  1  z  z  2i 2qc2bp1$pqc2bp(p2b)+2b= Vậy 2 z  1  z  z  2i  6  2 5  0  2 z  1  z  z  2i  Đáp số A sai  1 Tương tự với đáp số B chọn z  1  i . Xét hiệu 2 z  1  z  z  2i 2 2qc1pabR2$p1$pqc1pab R2$p(1+abR2$)+2b= Vậy 2 z  1  z  z  2i  0  2 z  1  z  z  2i  Đáp số B chính xác. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 63 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. 6;  7  . B. 6; 7  . Câu 2. Điểm biểu diễn của số phức z  Câu 3. Số phức z  D. 6;  7  . C. 3; 2 . D. 4; 1 . 2 là 1  3i 1 3 B.  ;  .  5 5  A. 1; 3 . C. 6; 7  . 3  4i có điểm biểu diễn là: 2 3  A.  ;  2 .  2    B. 3; 4 .   C. 3;  4 .   D. 3; 4 . Câu 4. Cho số phức z  3i  2 có điểm biểu diễn hình học là:   A. 2; 3 . B.   3;2 . C. 2; 3 . Câu 5. Biểu diễn về dạng z  a  bi của số phức z  3 4  i. 25 25 A. M (4; 3 ) B.  B. M 3; 4  Câu 7. Điểm biểu diễn số phức z  A. 1; 4 .  i 2016 là số phức nào? (1  2i )2 3 4 3 4 C.  i.  i. 25 25 25 25 3  4i Câu 6. Điểm M biểu diễn số phức z  2019 có tọa độ là i A.  D. 2;  3 . C. M 3; 4 D.  3 4  i. 25 25 D. M 4; 3 (2  3i )(4  i ) có tọa độ là 3  2i B. 1; 4 . C. 1; 4 . D. 1; 4 . Câu 8. Điểm biểu diễn hình học của số phức z  a  ai nằm trên đường thẳng: A. y  x B. y  2x C. y  x D. y  2x Câu 9. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức 5  8i và B là điểm biểu diễn của số phức 5  8i. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung. C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O. D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x . Câu 10. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i và B là điểm biểu diễn của số phức z   2  5i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 64 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 11. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B là điểm biểu diễn của số phức z   2  3i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B B. Hai điểm A và B C. Hai điểm A và B D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. đối xứng với nhau qua trục tung. đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O . đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x . Câu 12. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z  x  yi x , y    các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua A. trục Ox . B. trục Oy . C. gốc tọa độ O . D. đường thẳng y  x . Câu 13. Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   , nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x  7 . B. y  7 . C. y  x . D. y  x  7 . Câu 14. Điểm biểu diễn của các số phức z  n  ni với n   , nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y  2x . B. y  2x . C. y  x . D. y  x . Câu 15. Cho số phức z  a  a 2i với a   . Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳng y  2x . B. Đường thẳng y  x  1 . C. Parabol y  x 2 . D. Parabol y  x 2 . Câu 16. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1 là: A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng. D. Một hình vuông. Câu 17. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1  1  3i , z 2  1  5i , z 3  4  i . Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là: A. 2  3i . B. 2  i. . C. 2  3i. . D. 3  5i. . 2 Câu 18. Gọi z1 và z 2 là các nghiệm phức của phương trình z  4z  9  0 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn của z1 và z 2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là: A. MN  4. . B. MN  5. C. MN  2 5. D. MN  2 5. 2 Câu 19. Gọi z1 và z 2 là các nghiệm của phương trình z  4z  9  0 . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z 1, z 2 và số phức k  x  yi trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là: A. đường thẳng có phương trình y  x  5. B. là đường tròn có phương trình x 2  2x  y 2  8  0. C. là đường tròn có phương trình x 2  2x  y 2  8  0, nhưng không chứa M , N . D. là đường tròn có phương trình x 2  4x  y 2  1  0 nhưng không chứa M , N . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 65 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 20. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z 1, z 2 . Khi đó độ dài của véctơ  AB bằng: A. z 1  z 2 . B. z 1  z 2 . C. z 2  z 1 . D. z 2  z 1 . Câu 21. Biết z  i  1  i  z , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh A. x 2  y 2  2y  1  0 . B. x 2  y 2  2y  1  0 . C. x 2  y 2  2y  1  0 . D. x 2y 2  2y  1  0 . Câu 22. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết 3zi  4  2 là A. điểm. B. đường thẳng. C. đường tròn. D. elip. Câu 23. Trong mặt phẳng phức cho ABC vuông tại C . Biết rằng A , B lần lượt biểu diễn các số phức z1  2  2i , z 2  2  4i . Khi đó, C biểu diễn số phức: A. z  2  4i . B. z  2  2i . C. z  2  4i . D. z  2  2i . Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số phức zi  2  i   2 là: B. x  1  y  2  9 . 2 A. 3x  4y  2  0 . C. x  1  y  2  4 . 2 2 2 D. x  2y  1  0 . Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độOxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  1  i  z là: A. Đường tròn có tâm I (0; 1) , bán kính r  2 B. Đường tròn có tâm I (0;1) , bán kính r  2 C. Đường tròn có tâm I (1; 0) , bán kính r  2 D. Đường tròn có tâm I (1; 0) , bán kính r  2 Câu 26. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  4 là: A. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng B. Một đường tròn D. Một hình vuông Câu 27. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 là một số thực âm là: A. Trục hoành (trừ gốc O ). B. Đường thẳng y  x (trừ gốc O ). C. Trục tung (trừ gốc O ). D. Đường thẳng y  x (trừ gốc O ). Câu 28. Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau đây: z  1  i  2 là một đường tròn:   C. Có tâm 1; 1 và bán kính là 2. A. Có tâm 1;  1 và bán kính là 2. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2.   D. Có tâm 1;  1 và bán kính là 2. B. Có tâm 1;  1 và bán kính là Trang 66 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 29. Giả sử M z  là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M z  thoả mãn điều kiện sau đây: 2  z  1  i là một đường thẳng có phương trình: A. 4x  2y  3  0 . B. 4x  2y  3  0 . C. 4x  2y  3  0 . D. 2x  y  2  0 . Câu 30. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: z  z  3  4 là hai đường thẳng: 1 7 1 7 và x   . B. x  và x   . 2 2 2 2 1 7 1 7 C. x  và x  . D. x   và x  . 2 2 2 2 Câu 31. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều A. x   kiện sau đây: z  z  1  i  2 là hai đường thẳng: A. y  1 3 1 3 và y  . 2 2 B. y  1 3 1 3 và y   . 2 2 D. y  1  3 1 3 và y  . 2 2 1  3 1 3 và y   . 2 2 z i Câu 32. Cho số phức z  x  y.i(x , y  ) . Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho là z i một số thực âm là: C. y  A. Các điểm trên trục hoành với 1  x  1 . B. Các điểm trên trục tung với 1  y  1 . x  1 C. Các điểm trên trục hoành với  . x  1 y  1 D. Các điểm trên trục tung với  . y  1 Câu 33. Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1  1  5i , z 2  3  i , z  6 . M , N , P là 3 đỉnh của tam giác có tính chất: A. Vuông. B. Vuông cân. C. Cân. D. Đều. Câu 34. Gọi A, B, C , D lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z 1  7  3i , z 2  8  4i , z 3  1  5i , z 4  2i . Tứ giác ABCD là: A. là hình vuông. B. là hình thoi. C. là hình chữ nhật. D. là hình bình hành. Câu 35. Gọi A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1  1  3i; z 2  3  2i; z 3  4  i . Chọn kết luận sai: A. Tam giác ABC vuông cân. C. Tam giác ABC vuông. B. Tam giác ABC cân. D. Tam giác ABC đều. Câu 36. Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z  i  z  i  4 có dạng là Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 67 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. x 2 y2   1. 4 3 https://facebook.com/duytuan.qna B. x 2 y2   1. 16 9 x 2 y2 x 2 y2 D.   1.   1. 16 9 4 3 Câu 37. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  3  2i, z 2  2  3i, z 3  5  4i C. Chu vi của tam giác ABC là : A. 22  2  58 . B. 26  2  58 . C. 22  2 2  56 . D. 26  2 2  58 . Câu 38. Cho các điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số: 1  i;2  4i; 6  5i . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành: A. 7  8i . B. 5  2i . C. 3 . D. 3  8i . Câu 39. Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4; 4i; x  3i . Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng : A. x  1 . C. x  1 . B. x  2 . D. x  2 . Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1  1  2i , B là điểm thuộc đường thẳng y  2 sao cho tam giác OAB cân tại O . B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z  1  2i . B. z  2  i . C. z  1  2i . D. z  1  2i . Câu 41. Cho các số phức z 1  1  3i; z 2  2 +2i; z 3  1  i được biểu diễn lần lượt bởi các    điểm A, B, C trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: AM  AB  AC . Khi đó điểm M biểu diễn số phức: A. z  6i . C. z  2 . B. z  2 . D. z  6i . Câu 42. Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A 4; 0 , B 0; 3 . Điểm C thỏa mãn:    OC  OA  OB . Khi đó điểm C biểu diễn số phức: A. z  4  3i . B. z  3  4i . C. z  3  4i . D. z  4  3i . Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i   2 là: A. x  5 . B. x  3  y  4  4 . C. y  2 . D. x 2  y 2  4 . 2 2 Câu 44. Cho A, B, C là ba điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số:   1  i; 1  i;2i . Tính AB.BC . A. – 7. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học B. 5. Trang 68 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. – 2. D. – 6. Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức  thỏa mãn điều kiện   1  2i  z  3 , biết z là số phức thỏa mãn z  2  5 . A. x  1  y  4  125 . B. x  5  y  4  125 . C. x  1  y  2  125 . D. x  2 . 2 2 2 2 2 2 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1A 2B 16B 17A 18D 19D 20C 31A 32B 3A 4A 5D 6D 7B 8A 9B 10B 11D 12A 13A 14D 15C 21B 22C 23A 24C 25D 26B 27C 28A 29A 30B 33A 34A 35D 36A 37D 38A 39C 40A 41D 42A 43B 44D 45A Câu 1. Chọn A. Câu 2. Ta có z  2 1 3   i . Chọn B. 1  3i 5 5 Câu 3. Số phức z  3  4i 3   2i có tọa độ điểm biểu diễn là 2 2  3   ; 2  . Chọn A. 2   Câu 4. Số phức..có tọa độ điểm biểu diễn là 2; 3 . Chọn A. Câu 5. Ta có z  i 2016 3 4   i (Dùng Casio). Chọn D. 2 25 25 (1  2i ) Câu 6. i 2019  i 4.504  3  i 3  i, z  4  3i . Suy ra điểm biểu diễn có tọa độ là 4; 3 . Chọn D. (2  3i)(4  i)  1  4i . Chọn B. 3  2i Câu 8. Ta có: M  a; a  biểu diễn nên z  a  ai . Chọn A. Câu 7. Ta có z      Câu 10. Ta có:  2;5  &  2;5  biểu diễn 2 số phức trên đối xứng qua Oy nên Câu 11. z  3  2i  A  3;2  ; z   2  3i  B  2; 3  Câu 9. Tọa độ điểm A 5; 8 , B 5; 8 ta thấy hai điểm đối xứng nhau qua trục tung  Oy  . Chọn B. Chọn B. 5 5 M  ;  là trung điểm AB nằm trên y  x và AB  d : y  x . Chọn D.  2 2  Câu 12. Số phức z  x  yi x , y    có điểm biểu diễn là M x ; y  . Số phức z  x  yi  x, y    có   điểm biểu diễn là M ‘ x ; y  M , M ‘ đối xứng qua Ox . Chọn A.   Câu 13. Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   là M 7;b nằm trên đường thẳng x  7 . Chọn A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 69 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   Câu 14. Điểm biểu diễn của các số phức z  n  ni với n   là điểm M n,  n nằm trên đường thẳng có phương trình là: y  x . Chọn D.   Câu 15. Điểm biểu diễn của các số phức z  a  a 2i với a   là điểm M a, a 2 nằm trên đường có phương trình là: y  x 2 . Chọn C. Câu 16. Chọn B.   Ta có A  1; 3  ; B 1;5  ;C  4;1 Câu 17. Gọi D x ; y; z là điểm biểu diễn số phức z  x  yi; x , y   .   4  x  2 x  2   ABCD là hình bình hành, nên AB  CD     z  2  3i . Chọn A.    1  y  2 y  3   Câu 18. Hai nghiệm phức của phương trình đã cho là z1  2  5i; z 2  2  5i .     Nên M 2; 5 , N 2;  5  MN  2 5 . Chọn D.     Câu 19. M 2; 5 , N 2;  5 ; P  x; y  . Tam giác MNP vuông tại P , nên   MP.NP  0  x  2  2    y 2  5  0  x 2  4x  y 2  1  0 . Chọn D.    Câu 20. Giả sử: A x1; y1 ; B x 2 ; y2 là điểm biểu diễn hai số phức z1  x1  y1i; z 2  x 2  y2i; x1, x 2, y1, y2   .  2 2   AB  x  x ; y  y AB  x 2  x1  y2  y1  2 1 2 1 . Chọn C.   z  z  x  x  y  y1 i  2 z  z  x  x 2  y  y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  2 Câu 21. Gọi M  x; y  là điểm biểu diến số phức z  x  yi; x ; y   .                      2 2 2  x 2  y  1   x  y    x  y   x 2  2y  y 2  1  0   z  i  1  i z  x  y  1 i  1  i x  yi  x  y  1 i  x  y  x  y i Chọn B. Câu 22. Gọi M  x; y  là điểm biểu diến số phức z  x  yi; x ; y   .   3zi  4  2  3i x  yi  4  2  4  3y  3xi  2   4  3y 2   2 Chọn C.  4 2  9x  2  x   y    3 9  2   2    Câu 23. A 2; 2 ; B 2; 4 ;C x ; y ;   ΔABC vuông tại C nên AC .BC  0   x  2  x  2   y  2 y  4   0 . Chọn A.   Câu 24. Gọi M x ; y là điểm biểu diến số phức z  x  yi; x ; y   .      2   zi  2  i  2  2  y  x  1 i  2  x  1  y  2 2   4 . Chọn C. Câu 25. Gọi điểm M x ; y  là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi, x , y    Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  Trang 70 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna           Ta có: z  1  1  i z  x  yi  1  1  i x  yi  x  1  yi  x  y  x  y i  x  1  y 2  x  y   x  y   x 2  y 2  2x  1  0  x  1  y 2  2 2 2 2 2 Gọi điểm M x ; y là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi, x , y         Ta có: z  i  1  x  yi  i  1  x  y  1 i  1  x 2  y  1   x2  y  1  2 2  1  1 là đường tròn . Chọn D.    Câu 26. Gọi điểm M x ; y là điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi, x , y        Ta có: z  1  2i  4  x  yi  1  2i  4  x  1  y  2 i  4 2 2 2  x  1   y  2  2      16 là đường tròn . Chọn B. Câu 27. Đặt z  a  bi a, b    . Điểm biểu diễn số phức z là M a;b  .   Khi đó z 2  a  bi 2   4  x 1  y 2  a 2  b 2  2abi a 2  b 2  0 a  0 là một số thực âm khi z   M 0;b , b  0  a.b  0 b  0  Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trục tung (trừ gốc tọa độ O ). Chọn C.    2        Câu 28. Xét hệ thức: z  1  i  2 (1). Đặt z  x  yi x , y    z  1  i  x  1  y  1 i  2   Khi đó (1)  (x  1)2  (y  1)2  2  x  1  y  1  2  4 . Tập hợp các điểm M trên mặt   phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I 1; 1 và bán kính R  2 . Chọn A. Câu 29. Xét hệ thức 2  z  z  i  z  (2)  z  i (*)     Gọi A là điểm biểu diễn số -2, còn B là điểm biểu diễn số phức i : A 2; 0 , B 0;1 Đẳng thức (*) chứng tỏ M (z )A  M (z )B . Vậy tập hợp tất cả các điểm M z  chính là đường trung trực của AB . Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau: Giả sử z  x  yi , khi đó: (2)  x  2  yi  x  1  y  i  x  2  y 2  x 2  1  y   4x  2y  3  0 2 2 Vậy tập hợp các điểm M  z  là đường thẳng 4x  2y  3  0 . Chọn A. Nhận xét: Đường thẳng 4x  2y  3  0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB . Câu 30. Xét hệ thức: z  z  3  4 (1)       Đặt z  x  yi x, y    z  x  yi , do đó  x  yi  x  yi  3  4  2x  3  4  x  1 7 hoặc x   . 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 71 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung x  1 7 và x   . 2 2 Chọn B. Câu 31. Xét hệ thức: z  z  1  i  2 . Đặt z  x  yi  z  x  yi .    y  2  Khi đó: (2)  1  2y  1 i  2  1  2y  1  4  2y 2  2y  1  0 1 3 1 3 hoặc y  . Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với trục 2 2 hoành y  1 3 . Chọn A. 2 x  y  1i z i Câu 32.   z i x  y  1i   x  y  1 i  x  y  1i  x 2  y2  1 2x       i 2 2 2 x 2  y  1 x 2  y  1 x 2  y  1   x 2  y2  1  0  x 2  y  1 2 z i x  0 x  0 là một số thực âm khi  . Chọn B.  2  1  y  1 y 1  0 z i 2x      0 2  2 x  y  1              Câu 33. z1  1  5i  M 1; 5 ; z 2  3  i  N 3; 1 ; z 3  6  P 6; 0    Ta có MN  2; 6 , NP  3;1    MN .NP  2.3  6.1  0, MN  4  36  40, NP  9  1  10  MN   Vậy MNP là tam giác vuông tại N . Chọn A.     Câu 34. z1  7  3i  A 7; 3 ; z 2  8  4i  B 8; 4    z 3  1  5i  C 1;5 ; z 4  2i  D 0; 2    AB  BC Ta có AB  1;7 , BC  7;1     AB.BC  0 Vậy ABCD là hình vuông. Chọn A.     Câu 35. z1  1  3i  A 1; 3; z 2  3  2i  B 3; 2; z 3  4  i  C 4;1   AB  AC Suy ra AB  2; 5 , AC  5; 2     . AB . AC  0      Vậy tam giác ABC vuông cân tại A . Chọn D.     Câu 36. Đặt z  x  yi x, y   . Suy ra M x ; y biểu diễn dố phức z . Ta có: z  i  z  i  4  x  yi  i  x  yi  i  4       x  y  1 i  x  y  1 i  4  x2  y  1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2    x2  y  1 2   4 (*) Trang 72 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn   https://facebook.com/duytuan.qna   Đặt F1 0; 1 , F2 0;1 . Thì (*)  MF2  MF1  4  2  F1F2 . Suy ra tập hợp các điểm M là elip  E  có 2 tiêu điểm F1 , F2 . Phương trình chính tắc của  E  có dạng x 2 y2  2  1 a  b  0; b 2  a 2  c 2 2 a b   Ta có : F1F2  2c  2  c  1 , MF2  MF1  4  2a  a  2  b  a 2  c 2  3 .   Vậy E : x 2 y2   1 . Chọn A. 4 3         Câu 37. z1  3  2i  A 3;2 ; z 2  2  3i  B 2; 3 ; z 3  5  4i  C 5; 4    Suy ra ta được AB  1; 5 , BC  3;7 , AC  2;2      AB  12  52  26, BC  32  72  58, AC  22  22  2 2 Vậy ChuViABC  26  2 2  58 . Chọn D.       Câu 38. Theo giả thiết ta có A 1;1 , B 2; 4 ,C 6; 5   Gọi D x ; y , khi đó AB  1; 3  ,CD   x  6; y  5      1  x  6 x  7  Tứ giá ABDC là hình bình hành khi AB  CD   . Chọn A. 3  y  5 y  8   Câu 39: Theo giả thiết ta có A 4; 0 , B 0; 4 ,C x ; 3 .Ta có AB  4; 4 , AC  x  4; 3 .               x 4 3   x  1 . Chọn C. A, B, M thẳng hằng  AB, AC cùng phương AB  k.AC  k  4 4 Câu 40. Cách 1.     Theo giả thiết A 1;2 , B x ;2 , x  1 thì B biểu diễn số phức z  x  2i . Tam giác OAB cân tại O  OB 2  OA2  x 2  22  12  22  x  1 (loại) hoặc x  1 (nhận) Vậy z  1  2i . Cách 2. Dễ thấy A, B cùng nằm trên d : y  2 nên tam giác OAB cân tại O khi và chỉ khi A, B đối xứng   Câu 41. Gọi M  x ; y  , x , y   thì M biểu diễn cho số phức z  x  yi . Theo giả thiết A 1; 3  , B  2;2  ,C  1; 1 . qua Oy . Vậy B 1;2 và do đó z  1  2i . Chọn A.      x  1  1  Từ AM  AB  AC  AM  CB   y 3 3     x  0 . Vậy z  6i . Chọn D.  y 6  Câu 42. Gọi C x ; y , x , y   thì C biểu diễn cho số phức z  x  yi .     OA  4;0 , OB  0; 3 . Suy ra OA  OB  4; 3 .     Theo giả thiết OC  OA  OB  OC  4; 3  C 4; 3 .Vậy z  4  3i . Chọn A.     Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học    Trang 73 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   Câu 43: Gọi M x ; y , x , y   thì M biểu diễn cho số phức z  x  yi . Ta có       z  3  4i  2  x  3  y  4 i  2  2  x  3   y  4  2  2 x 3 2   y  4  2  4. Chọn B.   Câu 44. Ta có A 1;1 , B 1; 1 ,C 0;2 . Suy ra AB  0; 2 , BC  1; 3 .   Do đó AB.BC  0 . 1  2 . 3  6 . Chọn D.               Câu 45. Gọi M  x ; y  , x , y   thì M biểu diễn cho số phức   x  yi .    1  2i  z  3  z  x  3  yi x  2y  3 2x  y  6   i. 1  2i 5 5 Theo giả thiết z  2  5   2   Suy ra x  1  y  4 2  x  2y  7 2x  y  6  i  5  x  2y  7 5 5  2 2   2x  y  6  625  125 . Chọn A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 74 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. Phương pháp 1 Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Phương pháp tổng quát: Đặt z  x  yi x ; y   . Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. Phương pháp 2 Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các bài toán min-max:  z  0; z  0  z  0; 2  z z  z 2  z , z  z , z  z  z z’ z z’  z1  z 2  z1 + z 2  z z’ z z’   z .z ‘  z .z ‘  z1 .z 2  z1 . z 2 z  z   z ‘ z ‘  z  z ‘  z z ‘  z  z ‘ z1 z2  z1 z2 Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki.  Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực a,b, x, y ta luôn có ax  by  2      a 2  b 2 x 2  y 2 . Dấu = xảy ra  a b  x y      Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto u x ; y  và v x ‘; y ‘ ta luôn có u  v  u  v  x 2  y 2  x ‘2  y ‘2  Dấu = xảy ra  x  x ‘  y  y ‘ 2 2 x y  0 x’ y’ Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 75 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1  5i  z  3  i , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Gọi z  x  yi Giải: x; y   . z  1  5i  z  3  i  (x  1)2  (y  5)2  (x  3)2  (y  1)2  x  3y  4  0  x  4  3y . 2  6 8 2 10 z  x  y  (4  3y )  y  10y  24y  16  10 y     . 5  5 5  2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi y  2 2 6 2 x  . 5 5 Vậy z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 6 2 6 2 10 khi z   i . Vậy z   i là số phức cần tìm. 5 5 5 5 5 Bài toán 2 Cho các số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 , với m là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  3  4i  z  2i là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó bằng? Giải : Cách 1 : Gọi w  x  yi . Từ giả thiết, ta có x  yi  3  4i  z  2i  z  3x  4y  8  4x  3y  6 2 z  x  y  2 i 3  4i  3x  4y  8 4x  3y  6  .i 25 25 2 25 .   Mà z  m 2  2m  5  3x  4y  8  4x  3y  6  252 m 2  2m  25 2 2 2 2 2 2 2      x  y  4y  4  25 m  1  4  x 2  y  2  25 m  1  4  400  202.     2 2 Vậy bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó là 20. Dấu ”  ” xảy ra khi m  1 . Cách 2: Từ giả thiết, ta có w  2i  3  4i  z . 2   Lấy môđun hai vế, ta được w  2i  3  4i . z  5. m 2  2m  5  5 m  1  4  20.    Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  Trang 76 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3 Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và thoả mãn:  z 3  1. z  1  2i  Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z 2  z 2  z 2  z 2 .i. z (1  i )  z (1  i ) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Điều kiện: z  1  2i . Gọi z  x  yi x; y    . *  z 3 z 3 1  1  z  3  z  1  2i  (x  3)2  y 2  (x  1)2  (y  2)2 z  1  2i z  1  2i  x y 1 (luôn thoả mãn điều kiện vì x  1; y  2 không thoả mãn phương trình) z  x  yi  z 2  z 2  4xy.i  z 2  z 2  4xy (vì x ; y không âm). z (1  i )  z (1  i )  2x  2y Do đó P  16x 2y 2  4xy.(2x  2y )  16x 2y 2  8xy . 2  x  y   1 1   , ta có P  16t 2  8t ; t  0;  . Đặt t  xy  0  t    4 4  2      1 + Xét hàm số f (t )  16t 2  8t liên tục trên 0;  .  4   1 f ‘(t )  32t  8t; f ‘(t )  0  t  0  t   (loại) 4  1  33 33 1 f (0)  0; f     max f (t )   t  ; min f (t )  0  t  0    1 16 4  4  16 0; 1   0;       4  4 x  0; y  1  x  1; y  0  33 1 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng khi z   i . 16 2 2 P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi z  1  z  0 . Khi t  1 1  x  y  ; Khi t  0  2 2 Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút y  1  x và thế vào biểu thức P ta được hàm số g(x )  16x 2 (1  x )2  8x (1  x ) rồi đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x ) trên 0;1 .   Bài toán 4 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Giải: Giả sử số phức z cần tìm có dạng z  x  yi (x , y  ) được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 77 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta có x  2  (y  4)i  x  (y  2)i https://facebook.com/duytuan.qna (1)  (x  2)2  (y  4)2  x 2  (y  2)2  y  x  4 . Mặt khác z  x 2  y 2  x 2  x 2  8x  16  2x 2  8x  16 Hay z  2 x  2  8  2 2 . Do đó z 2  x  2  y  2 . Vậy z  2  2i . min Bài toán 5 Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1  z  3 1  z đạt giá trị lớn nhất Giải: Giả sử z  x  yi, x , y    . Vì z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 Khi đó: 1 z  3 1z   x  1 x  1 Xét hàm số f x   2  2  y 2  3 x  1  y 2 2  1  x 2  3 x  1  1  x 2  2 2 2  1 x  3 1x   1  x  3 1  x trên đoạn 1;1 ta có:  1 3  4 f ‘ x   2    ; f ‘ x   0  x    2 1  x 2 1  x  5  4 Ta có: f 1  6; f    2 10 .  5    4 x   4 ; y   3  4   x    5 5 Vậy fmax  f    2 10    5  5   2 4 3 2  y  1  x x   ; y  5 5  4 3 4 3 Vậy z    i, z    i. 5 5 5 5 Bài toán 6 Trong các số phức z thỏa: z  3  4i  z , biết rằng số phức z  a  bi, a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của P  a 2  b là ? Giải: Ta có z  3  4i  z  a  bi  3  4i  a  bi  a  3  b  4  a 2  b 2  25  6a  8b  0  b  2 2 2 25  6a 8 2  25  6a  25 75 625  5 15  25 25   a 2  a   z  a     a     16 16 64 8  4 4  8  4 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 78 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Dấu ”  ” xảy ra khi a  https://facebook.com/duytuan.qna 3 b  2. 2 1 4 Khi đó P  a 2  b  . Bài toán 7 Cho số phức thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 1  z2  z 1 . Giải :   2 2 Đặt z  a  bi a;b    a  b  1 .  z 1  2 a  1    b2  2 a  1         2a  a   2a  1 b 2a  1 a  b   2a  1  z 2  z  1  a 2  2abi  b 2  a  bi  a 2  b 2  2a 2  a  2a  1 bi   2 2 2 2 2 2 2 Vậy P  2 a  1  2a  1 .   7  13 max P  P 1  3 max P  P     1   1    8  4 Xét a   ;1   . Xét a   1;    1 2   2 min P  P  2   3 min P  P  1   3     2   13 7 15 z   i Max Pz 1  4 8 8 Kết luận  Min P  3  z  1  3 i z 1  2 2 Bài toán 8 Số phức z  0 thỏa mãn z  2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i . z Giải: Ta có 1  i i i 1 i 1  1  1  1  1   1 . z z z z z z Mặt khác z  2  1 3 1 1  suy ra  P  . 2 2 2 z Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 3 1 , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2 2 của biểu thức P là 2. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 79 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 9 Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  i Giải: Ta có: z  2  3i  z  2  3i  z  2  3i  z  2  3i  1 P  z  1  i  z  2  3i  3  2i  z  2  3i  3  2i  1  13 . Vậy Pmax  1  13 . Bài toán 10 Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z và xảy ra khi z bằng bao nhiêu? Giải: Ta có : z  3  4i  z  (3  4i )  z  3  4i  z  5  4  z  5  4  z  5  4  1  z  9  max z  9 và min z  1 Đặt z  x  yi (x ; y  )  TH max z  9   x 2  y 2  81 x 2  y 2  81 z 9       2 2 3x  4y  45 z  3  4i  4 (x  3)  (y  4)  16   Giải hệ phương trình này ta thu được x  Vậy max z  9  z   27 36 27 36 ;y   z   i. 5 5 5 5 27 36  i. 5 5 TH min z  1   x 2  y 2  1 x 2  y2  1 z 1       2 2 3x  4y  45  z  3  4i  4 (x  3)  (y  4)  16 Giải hệ phương trình này ta thu được x  Vậy min z  1  z  3 4 3 4 ;y    z   i . 5 5 5 5 3 4  i. 5 5 Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z  1  1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1 bằng bao nhiêu ? Giải: Ta có 2  i  z  1  1  2  i  z  1 2 i Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  1 1 2 i 1  z  z   . 2i 5 5 2 i 5 Trang 80 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn z  https://facebook.com/duytuan.qna  7 i 2 i 7 i   z  1      z  1     z  1  2  5 5 5 5  5 5 1 5 z 1  z 1  2  max  z 1 min 1 5  z 1  2   1 5  1 5  2  z 1  2  1 5 2 2. Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  4i bằng bao nhiêu ? Giải: Ta có z  1  2i  z  1  2i  z  (1  2i )  z  1  2i  z  1  2i  10 Lại có : z  1  2i  z  1  4i   2  2i   z  1  4i  2  2i  z  1  4i  2 2  10  z  1  4i  2 2  10  z  1  4i  2 2  10  10  2 2  z  1  4i  10  2 2 Vậy z  1  4i max  10  2 2; z  1  4i min  10  2 2 . Bài toán 13 Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  i đạt giá trị lớn nhất. Gọi z  x  yi x; y   Giải: z  2 2  x 2  y2  2 2  x 2  y2  8 P  z  1  z  i  (x  1)2  y 2  x 2  (y  1)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số 1;1 và (x  1)2  y 2 ; x 2  (y  1)2 , ta có: P 2  2 (x  1)2  y 2  x 2  (y  1)2   4(9  x  y )   Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và x ; y , ta có:   x  y  2 x 2  y2  4  P 2  52  P  2 13 . Đẳng thức xảy ra khi x  y  2 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z  2  2i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 81 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 14 Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng ? Giải: Gọi z  x  yi với x ; y   . Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2z  z  4 . Do đó M  max z  4 . Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8  x  3 2  y2  x  3 2  y2  8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8  1. x  3  y 2  1. x  3  y 2  2 2   1 2  2 2    12 x  3  y 2  x  3  y 2       8  2 2x 2  2y 2  18  2 2x 2  2y 2  18  64  x 2  y2  7  x 2  y2  7  z  7 . Do đó M  min z  7 . Vậy M  m  4  7 . Bài toán 15 Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z bằng? Giải: Cách 1: Giả sử z  x  yi x ; y    . Ta có 10  z  4  z  4  z  4  z  4  2z  z  5 . 2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 100  z  4 .1  z  4 .1   z  4          z  4   .2 2 2   a  4  b 2  a  4  b 2  50  a 2  b 2  9  z  3 . 2 2 Cách 2: Giả sử z  x  yi x ; y    . Từ giả thiết, ta có x  4 2  y2  x  4 2  y 2  10 . * Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M x ; y  và F1 4; 0 , F2 4; 0 thì * có dạng MF1  MF2  2.5 . Vậy tợp hợp điểm M x ; y  biểu diễn số phức z là một Elip có độ dài trục lớn a  5 , tiêu cự F1F2  8  c  4 . Suy ra độ dài trục bé b  a 2  c 2  3 . Khi đó ta luôn có b  OM  a hay 3  z  5 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 82 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 16 Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  1  3 và z  1  5 . Gọi z 1, z 2  T lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z 1  2z 2 . Giải: Áp dụng bất đẳng thức: z 1  z 2  z 1  z 2  z 1  z 2 . 1 2 3  z  i  z  i 2  z   2 z  6. Ta có:   z  1  z  1  5  z  6 Dấu ”=” thứ nhất xảy ra khi z  i  3 , kết hợp với z  1  5 ta được hệ: z  1  3  1  z1  1  5  z1  2i .  z 2  1 z 1  5  2 Dấu ”=” thứ hai xảy ra khi z  i  5 , kết hợp với z  1  3 ta được hệ:  z 2  1  3  z 2  6  z 6  2 Suy ta z 1  2z 2  12  6i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 83 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX 1. PHƯƠNG PHÁP: Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau: Bài toán công cụ 1 Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM  AI  IM  AI  IB  AB . Đẳng thức xảy ra khi M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC . Đẳng thức xảy ra khi M  C +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM  IM  IA  IB  IA  AB . Đẳng thức xảy ra khi M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC . Đẳng thức xảy ra khi M  C Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. Bài toán công cụ 2 Cho hai đường tròn (T1 ) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2 ) có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên (T1 ) , điểm N trên (T2 ) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn (T1 ) tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 ) tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên (T1 ) và điểm N bất kì trên (T2 ) . Ta có: MN  IM  IN  IM  IJ  JN  R1  R2  IJ  AD Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 84 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN  IM  IN  IJ  IM  JN  IJ  R1  R2  BC . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán công cụ 3 Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng  không có điểm chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên  sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J Với M thuộc đường thẳng  , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  IN  IM  IH  IJ  JH  const . Đẳng thức xảy ra khi M  H ; N  I Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z Giải:  Cách 1 Gọi z  x  yi x; y    M (x ; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z  3  4i  4  (x  3)2  (y  4)2  4  (x  3)2  (y  4)2  16 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; 4) , bán kính R = 4. z  x 2  y 2  OM ;OI  5  R nên O nằm ngoài đường tròn (T) z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. (Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt  3 4   27 36  A  ;  ; B  ;    OA  1;OB  9 5   5 5   5 Với M di động trên (T), ta có: OA  OM  OB  1  OM  9  1  z  9  OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 85 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z  https://facebook.com/duytuan.qna 3 4 27 36  i ; z lớn nhất bằng 9 khi z   i. 5 5 5 5  Cách 2 Gọi z  x  yi x; y    M (x ; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy   3  4i  A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z  OM ;   OA  5  z    AM ; Theo giả thiết z  3  4i  4  z    4  AM  4 . Ta có: OM  OA  AM  4  OM  OA  4  4  OA  OM  4  OA  1  OM  9 3 4 27 36  i ; z  9 khi z   i. 5 5 5 5 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z   i ; z lớn nhất bằng 9 khi z   i. 5 5 5 5 Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức  1  z  9 ; z  1 khi z  Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá. Bài toán 2 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z (z  2  4i ) là một số ảo, tìm số phức z sao cho   z  1  i có môđun lớn nhất. Gọi z  x  yi x; y   Giải:  M (x ; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z (z  2  4i )  (x  yi ) (x  2)  (y  4)i   x (x  2)  y(y  4)  x (y  4)  y(x  2) i z (z  2  4i ) là một số ảo  x (x  2)  y(y  4)  0  x 2  y 2  2x  4y  0  (x  1)2  (y  2)2  5  M biểu diễn cho z thuộc đường tròn (T) có tâm I (1;2) , bán kính R  5   z  1  i  (x  1)  (y  1)i  (x  1)2  (y  1)2  AM với A(1;1) IA  5  A  (T ) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 – trường hợp 1) Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất  AM là đường kính của (T)  M đối xứng với A qua I  I là trung diểm của AM  M (3; 3)  z  3  3i    4  2i Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z  3  3i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 86 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3 Trong các số phức z1, z 2 thoả mãn: z 1  1  i  1 ; z 2  6  6i  6 , tìm số phức z1, z 2 sao cho z1  z 2 đạt giá trị lớn nhất. Giải: Gọi z 1  a  b.i ; z 2  c  d .i ; (a, b, c, d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi điểm M a;b  ; z 2 được biểu diễn bởi điểm N c; d  trong mặt phẳng toạ độ Oxy z1  1  i  1  z1  1  i 2  1  (a  1)2  (b  1)2  1  M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1. z 2  6  6i  6  z 2  6  6i 2  36  (c  6)2  (d  6)2  36  M thuộc đường tròn tâm J 6; 6 , bán kính R ‘  6 . z 1  z 2  (c  a )2  (d  b )2  MN . (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2) Đường thẳng IJ có phương trình y  x . Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm  2  2 2  2      2  2 2  2   M1  ; ; ; M    2 2  2  2 2     Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại 2 điểm N 1 6  3 2; 6  3 2 ; N 2 6  3 2;6  3 2  M 2N 1  MN  M1N 2  5 2  7  z 1  z 2  5 2  7 max z 1  z 2  5 2  7 khi M  M 1, N  N 2 . Vậy z1    2 2 2 2  i ; z 2  6  3 2  6  3 2 i thì z1  z 2 đạt giá trị lớn nhất. 2 2 Bài toán 4 Cho các số phức z1; z 2 thoả mãn: z1  1 ; z2 z2  (1  i)  6  2i là một số thực. Tìm số phức   z1; z 2 sao cho P  z 2 2  z1z 2  z1z 2  đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi z1  a  bi ; z2  c  di ; a,b, c, d   Giải:  M (a ;b), N (c; d ) lần lượt biểu diễn cho z1; z 2 trong hệ toạ độ Oxy z1  1  a 2  b 2  1  a 2  b 2  1  M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1 z 2  c  di;   z z  1  i   6  2i  c  di  (c  1)  (d  1)i   2  6i    c(c  1)  d(d  1)  2  c(d  1)  d(c  1)  6 i  là số thực  c(d  1)  d (c  1)  6  0  c  d  6  0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 87 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  N thuộc đường thẳng  : x  y  6  0 Ta có d (O; )  1 nên  và (T ) không có điểm chung z 1z 2  ac  bd  (bc  ad )i; z 1z 2  ac  bd  (bc  ad )i  z 1z 2  z 1z 2  2(ac  bd ) P  c 2  d 2  2(ac  bd )  (c  a )2  (b  d )2  1  MN 2  1 (vì a 2  b 2  1 ) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  : x  y  6  0  H (3; 3)  2 2   Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I  ;   2 2  Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  ON  OM  OH  OI  IH  3 2  1 . Đẳng thức xảy ra khi M  I ; N  H   2  P  3 2  1  1  18  6 2 . Đẳng thức xảy ra khi z1  2 2  i; z 2  3  3i 2 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18  3 2 khi z1  2 2  i; z 2  3  3i . 2 2 Bài toán 5 Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất. Gọi z  x  yi x; y   Giải: z  2  x 2  y2  2  x 2  y2  4 P  z  1  z  1  7i  (x  1)2  y 2  (x  1)2  (y  7)2     Xét u x  1; y , v 1  x ; 7  y   u  v  0; 7  . Khi đó:       P  u  v  u  v  7 . Đẳng thức xảy ra khi u , v cùng hướng  (x  1)(7  y )  y(1  x )  x  1  y   3   Với x  1; y  3 thì u , v ngược hướng (không thoả mãn)   Với x  1; y   3 thì u , v cùng hướng (thoả mãn) Vậy z  1  i 3 thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 88 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 6 Cho số phức z thỏa mãn z   3  4i   5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 nhỏ nhất của P  z  2  z  i . Tính giá trị A  M 2  m 2 . Giải :      Gọi z  a  bi a, b   . Ta có : z  3  4i  5  a  3 2 2   b  4   5.    z thuộc đường tròn  C  có tâm I 3; 4 và bán kính R  5 . Mặt khác : P  z  2  z  i  a  2  b 2  a 2  b  1  4a  2b  3  P  0 . 2 2 2 2   Vậy z thuộc đường thẳng  : 4a  2b  3  P  0 .     z  C  Để z thì C       d I ;   R . Ta có :    z     23  P 2 5  5  13  P  33  A  1258 . Bài toán 7 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất. Gọi z  x  yi x; y   Giải:  M (x ; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z  3  z  3  10  (x  3)2  y 2  (x  3)2  y 2  10 (với F1(3; 0); F2 (3; 0) ).  MF1  MF2  10  M  (E ) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6  M  (E ) : x2 y2  1 25 9 z  OM ;OM lớn nhất  OM  a  5  M (5; 0)  M (5; 0) Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z  5  z  5 . Bài toán 8   Biết rằng số phức z thỏa mãn u  z  3  i  z  1  3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải: Đặt z  x  yi (x, y  ) ta có u  x  3  y  1 i  x  1  y  3 i   x 2  y 2  4x  4y  6  2 x  y  4 i    Ta có: u  R  x  y  4  0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 89 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d : x  y  4  0 . M x ; y  là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất  OM  d . Tìm được M 2;2 suy ra z  2  2i . Bài toán 9 Tìm số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện z 1  i   3  2i  13 . 2 Giải: Gọi z  x  yi (x , y  R)  z  x  yi . 13 39  x 2  y 2  x  5y   0. 2 8 Gọi M x ; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. z (1  i )  3  2i  1 5 26  M  (C ) là đường tròn có tâm I  ;  và bán kính R  .  2 2  4 Gọi d là đường thẳng đi qua O và I  d : y  5x .  3 15  1 5 Gọi M1, M 2 là hai giao điểm của d và (C)  M 1  ;  và M 2  ;  .  4 4   4 4   OM 1  OM 2 Ta thấy    OM 1  OI  R  OM (M  (C ))    Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z  3 15  i. 4 4 Bài toán 10 Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1 đạt giá trị nhỏ nhất . Tính P  a  2b . Giải : Ta có : z  1  i  z  2i  a  b  1 . a  1  b . Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M a;b , A2;3, B 1;0 với M diễn số phức z  M  d  : a  b  1  0 . P  z  2  3i  z  1  a  2  b  3 2 2 2  2 điểm biểu a  2  b  3  a  1  b . Vậy ta tìm M  d sao cho MA  MB  . min Do x  y  1x  y  1  0  A, B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d 2 Ta có : MA  MB  A A B 2 2 2 B .  Gọi A ‘ là điểm đối xứng của A qua d . Ta có : MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B .  3 1 5 Dấu ”  ” xảy ra khi M  A ‘ B  d  M  ;   P  a  2b  .  2 2  2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 90 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 11 Cho hai số phức z 1, z 2 thỏa mãn z 1  2i  3 và z 2  2  2i  z 2  2  4i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 1  z 2 bằng? Giải: Đặt z 1  x 1  y1i và z 2  x 2  y 2i với x 1, x 2 , y1, y2  . ● z 1  2i  3  x 12  y1  2  9  tập hợp các số phức z 1 là 2 đường tròn C  : x 2  y  2  9 . 2 ● z 2  2  2i  z 2  2  4i  x 2  2  y2  2  x 2  2  y2  4  y2  3  0 2 2 2 2  tập hợp các số phức z 2 là đường thẳng d : y  3 . Ta có P  z1  z 2  x  x 1   y2  y1  đây chính là khoảng cách từ điểm B x 2 ; y 2   d đến 2 2 điểm A x 1; y1   C  . Do đó z 2  z1 2 min  ABmin . Dựa vào hình vẽ ta tìm được ABmin  2 khi A 0; 1, B 0; 3 . Vậy P  z 1  z 2 khi z 1  i; z 2  3i . Nhận xét: Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm A & B , nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm C và vuông góc với d , sau đó tìm giao điểm với C và d rồi loại điểm. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 91 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI Bài toán 1 Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất. A.1  i 3 B.1  i 3 C. 3  i D.  3  i Hướng dẫn: o Chuyển qua chế độ số phức: w2 o Nhập biểu thức P : qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b Màn hình hiển thị: o Gán X cho từng đáp án, dùng phím: r o So sánh kết quả và ta tìm được giá trị lớn nhất là 7 Bài toán 2 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất. 9 A.4  i 5 B.5 C .3  12 i 5 D.3  5 i Hướng dẫn: o Chuyển qua chế độ số phức: w2 o Nhập biểu thức: z  3  z  3  10 vào máy tính: qcQ)p3$ qcQ)+3$p10. Màn hình hiển thị: o Dùng phím r để nhập các đáp án, nếu đáp án nào cho kết quả bằng 0 thì thỏa mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Ta thấy 3 đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng đáp án B có môđun lớn nhất. Chọn B. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 92 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 2 2  1;2 2  1 B. 2  1; 2  1 C. 2;1 D. 3  1; 3  1 Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 5 B. 3 5 C. 5 5 D. 5 3 Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z thì số phức z có modul nhỏ nhất là 3 5 1 C. z  5  i D. z  3  i  2i 2 2 6 Câu 4. Trong các số phức z thỏa mãn: z  2  4i  z  2i thì số phức z có modul nhỏ nhất là A. z  11 i 2 A. z  2  2i B. z  B. z  2  2i C. z  2  2i D. z  2  2i Câu 5. Trong các số phức z thỏa: z  3  4i  z , biết rằng số phức z  a  bi, a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của P  a 2  b là A. P  1 4 B. P  1 2 C. P   1 4 D. P   1 2 Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  5i  z  3  i , biết rằng số phức z  a  bi, a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số 2 D. P   2 3 Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1 là A. 3 A. B. 2 1 B. 1 3 a bằng b C. 2 1 C. 2 D. 1 Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z  1  1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1 bằng A. 3 B. 2 2 C. 2 5 D. 2 3 Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất của z  1  4i bằng A. 10 B. 10 3 C. 3 10 D. 4 10 Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 2 2 trị nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của T  M  m là A. T  50 B. T  64 C. T  68 D. T  16 2 Câu 11. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  z  z  0 là đường tròn C  . Diện tích S của đường tròn C  bằng bao nhiêu? Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 93 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. S  4 https://facebook.com/duytuan.qna B. S  2 C. S  3 D. S   Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P  4 B. P   C. P  2 D. P  3 Câu 13. Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là? A. E  : x 2 y2  1 16 12 B. E  : C. T  : x  2  y  2  64 2 2 x 2 y2  1 12 16 D. T  : x  2  y  2  8 2 2 Câu 14. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phằng ảo bằng bao nhiêu? A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 Câu 15. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1; 3 A. 3  i B. 1  3i C. 2  3i D.  2  3i Câu 16. Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu? A.  2 2 2 B. 2 2 2 C. 2 2 2 D. 2 2 2 Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn : z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2 . Khi đó A2  B 2 có giá trị bằng A. 20 B. 18 C. 24 D. 32 Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn : z  1  2i  2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  i . Khi đó A.B có giá trị bằng C. A. 10 B. -10 C. 12 D. -12 Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn : z 1  i   1  2i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i . Khi đó 2A2  B 2 có giá gần nhất bằng A. 20 B. 18 C. 64 D. 32 Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Tìm giá trị lớn nhất của z  i  1 . A. 1  13. B. 2  13. C. 4. D. 6. Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z  i  1  z  4i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2i  1 . A. 98 . 5 B. 102 . 5 C. 7 10 . 5 D. 470 . 5 Câu 22: Cho số phức z thoã mãn z  3  4i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ 2 nhất của z . Tính giá trị của biểu thức P  A  2B . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 94 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. P  43 https://facebook.com/duytuan.qna B. P  80 C. P  8 D. P  48 Câu 23: Cho số phức z thoã mãn z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và 2 nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của biểu thức P  2A  B gần bằng. A. 6 B. 7 C. 8 1i z  1  i  2 . Giá trị lớn nhất của A  z  2  i là. 1i Câu 24: Cho số phức z thoã mãn A. 2  2 B. D. 9 5 2 C. 2  5 Câu 25: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1 1 i D. 5 hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất . A. z min  1 B. z min  2  2 C. z min  0 D. z min  2 Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 Giá trị lớn nhất của z  1  i là B. 4. A. 13  2. C. 6. D. 13  1. Câu 27: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z  2i  z  1  2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w  1  i  z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  w là: A. Pmin  1 5 B. Pmin  5 34 C. Pmin  5 D. Pmin  41 1 3 Câu 28: Cho số phức z  x  yi x, y   thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  2  3i  5 . Gọi 2 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x . z . Tổng M  2m bằng A.  54. B. 27. D.  9. C. 18. Câu 29: Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 2  4 z  9  0. Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng phứC. Khi đó độ dài MN là A. MN  4. B. MN  5. C. MN  2 5. D. MN  5. Câu 30 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức w thỏa mãn điều kiện w  1  2i  z  3, biết z là số phức z thỏa mãn z  2  5. 2 2 B.  x  5    y  4   125. 2 2 D. x  2. A.  x  1   y  4   125. C.  x  1   y  2   125. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2 2 Trang 95 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1A 16A 2B 3B 4D 5A 6B 7A 8B 9C 10C 11D 12C 13A 14C 15A 17C 18A 19C 20A 21C 22A 23C 24D 25A 26D 27B 28A 29C 30A Câu 1. Ta có z  2  2i  z  z  2  2i  z  2 2  z  2 2  1. Lại có z  2  2i  2i  2  z  2  2i  2i  2  z  z  1  2 2. Chọn A. Câu 2. Ta có 4 5  z  1  2i  z  1  2i  z  5  z  3 5. Chọn B. Câu 3. Ta có a  bi  3  4i  a  bi  a  3  b  4  a 2  b 2  25  6a  8b  0  a  2 2 2 8b  25 6 2  8b  25  25 100 625  5 10  25 25 3   b 2  b 2   z   b   b      b  2  a  .   6   9 9 36 3 4 4 2 3 2 Chọn B. 2 Câu 4. Ta có a  bi  2  4i  a  bi  2i  a  2  b  4  a  b  2 2 2 2  20  4a  8b  4  4b  4a  4b  16  b  4  a  z  a 2  4  a   2a 2  8a  16  2 a  2  8  a  2  b  2. Chọn D. 2 2 2 Câu 5. Ta có a  bi  3  4i  a  bi  a  3  b  4  a 2  b 2  25  6a  8b  0  b  2 2 2 25  6a 8 2  25  6a  25 75 625  5 15  25 3   a 2  a   z  a     a     a   b  2. Chọn A.   8  16 16 64 8 4 2 4 2 2 Câu 6. Ta có a  bi  1  5i  a  bi  3  i  a  1  b  5  a  3  b  1 2 2 2 2  26  2a  10b  10  6a  2b  4a  12b  16  a  4  3b 2  z  4  3b  2 2  12  8 6 2    b   a  . Chọn B.  b  10b  24b  16  b 10   5 5 5 10  2 2 Câu 7. Đặt w  z  1  z  w  1 , khi đó z  2 i  w 1i  1  w max Câu 8. Ta có 2  i  z  1  1   12  12  1  1  2. Chọn A. 2  i  z  1 2i  1 1 2 i 1  z  z   . 2 i 5 5 2i 5 Đặt w  z  1  z  w  1 , khi đó 2 2 7  1 2 i 7 i 1 1 1 z   w   w         2 . max 5 5 5 5  5   5  5 5 5 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 96 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 Và w max https://facebook.com/duytuan.qna 2 7  1 1 1         2 . Vậy w w  2 2. Chọn B. min max  5   5  5 5  2  Câu 9. Ta có z  1  2i  10  z  1  2i  10  z  1  2i .z  1  2i  10 .    z  1  2i . z  1  2i   10  z  1  2i . z  1  2i  10  z  1  2i  10. . Đặt w  z  1  4i  z  w  1  4i , khi đó z  1  2i  w  2  6i  10. 2 2 Vậy giá trị lớn nhất là w max  10  2  6  3 10  z  1  4i max  3 10. Chọn C. Câu 10. Đặt w  z  2  i  z  w  2  i , khi đó z  1  2i  w  2  i  1  2i  w  3  3i  4.   M w  32  32  4  3 2  4   max  M 2  m 2  68. Chọn C. Suy ra  2 2  mw  3 3 4  3 2 4  min   Câu 11. Đặt z  x  yi x, y   , ta có z  x  yi và z  x 2  y 2 . 2 2 2 Khi đó, giả thiết z  z  z  0  x  y  x  yi  x  yi  0  x  1  y  1. 2 2   Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 0 , bán kính R  1  SC   . Chọn D. Câu 12. Đặt z  x  yi x, y   , khi đó ta có z  1  i  x  1  y  1i  x  1  y  1 2 2  1  x  1  y  1  1  Tập hợp các 2  2  điểm biểu diễn số phức z nằm bên ngoài hình tròn có tâm I 1 1;1 , bán kính R1  1. z  1  i  x  1  y  1i  x  1 2  y  1  2  x  1  y  1  4  Tập hợp các 2 2  2  điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn có tâm I 2 1;1 , bán kính R2  2. Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi P hình vành khăn là P  C 2  C 2  2 R2  R1   2. Chọn C. Câu 13. Xét điểm F1 2; 0 và F2 2; 0 , ta có MF1  MF2  8  2a  a  4 x 2 y2   1 . Chọn A. 16 12 Câu 14. Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A 0;5  AM  3 F1F2  4  2c  c  2  b 2  a 2  c 2  12  Tập hợp điểm là Elip E  : Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn tâm A bán kính R  3  OM  AO  AM  5  3  2 . Chọn C. Câu 15. Xét điểm B 1; 2,C 0; 1  MB  MC  Tập hợp điểm M là đường thẳng trung được của BC . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 97 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 3 Ta có: BC  : x  y  1  0 và trung điểm BC là H  ;    Phương trình đường trung trực  2 2  BC là:  : x  y  2  0 . Lại có: AM  d A,   2 2 . Dấu bằng khi M là hình chiếu của A lên  Khi đó: AM  2 2  x M  1  yM  3  8  x M  1  x M  5  8 2 2 2 2  xM  3  0  x M  3  M 3;1 . Chọn A. 2 Câu 16. Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A 1;1  AM  1 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm A bán kính R  1  OM  AO  AM  2  1 . Dấu bằng khi M là giao điểm của C  và OA : y  x   x M  yM 2  2 2  2   xM   xM  (chọn điểm xa O hơn).  2 2  2 2 x M  1  yM  1  1     Chọn A. Câu 17. Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F 2; 0 và E 1; 1  EM  2 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  10  2  MF  10  2  A2  B 2  24 . Chọn C. Câu 18. Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F 0; 1 và E 1;2  EM  2 5 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 5 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  2 5  10  MF  2 5  10  AB  10 . Chọn A. Câu 19. Ta có z 1  i   1  2i  2  z   1 3i  1  2i  z      2 1i 2  2 1 3 Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F 1; 3 và E  ;   EM  2  2 2  Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 3 10 3 10  2  MF   2  2A2  B 2  64 . 2 2 Chọn C.  a  2  sin x 2 2 Câu 20: Giả sử a  bi  2  3i  1  a  2  b  3  1     b  3  cos x   Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  Ta có z  i  1  a  bi  i  1  a  1  b  1  3  sin x   2  cos x  2 2  14  2 3 sin x  2 cos x   14  2 2 3 2  2 2 2   22 sin2 x  cos2 x  14  2 13  z  i  1  1  13. Chọn A Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 98 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 21: Ta có a  bi  i  1  a  bi  4i  2  a  1  b  1  a  2  b  4 2 2 2 2  2  2a  2b  20  4a  8b  2a  6b  18  0  a  3b  9. Khi đó z  2i  1  a  bi  2i  1  a  1  b  2  3b  8  b  2 2 2 2 2 2 2 2  22  98 98 7 10    10b  44b  68  b 10    z  2i  1  . Chọn C  5 5 5 10  2 Câu 22: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 3; 4  bán kính R  2 Khi đó A  z max  OI  R  5  2  7 ; B  z min  OI  R  3 Suy ra P  43 . Chọn A. Câu 23: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;1 bán kính R  2 Gọi K 2; 1 khi đó A  z  2  i max  IK  R  5  2 ; B  5  2 Do đó P  2A  B 2  8 . Chọn C. Câu 24: Ta có: 1i z  1  i  2  iz  1  i  2  i . z  1  i  2  z  1  i  2 1i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính R  2 Gọi K 2; 1 suy ra Amax  IK  R  5 . Chọn D. Câu 25: 1  i  z 2 1 1i 2 1  i  1i z  1  z  2i  1 1i 1i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0;2 bán kính R  1 Ta có: z min  OI  R  1 . Chọn A. Câu 26: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 2; 3 bán kính R  1 . Gọi z  x  yi  z  1  i  x  1  yi  i  x  1  y  1 i . Gọi K 1;1 Do đó z  1  i max  IK  R  1  13 . Chọn D. Câu 27: Ta có: z  2i  z  1  2i  1  i  z  2  2i  1  i  z  1  3i  w  4  2i  w  1  3i . Gọi A 4; 2; B 1; 3 và M w  suy ra MA  MB nên tập hợp điểm M là trung trực của AB có PT là: 3x  5y  5  0 d  Ta có: w  OM  OM min  d O; d   5 34 . Chọn B.     Câu 28: Đặt z  x  yi x , y     M z   x ; y  và A 1;1 , B  2;3 suy ra AB  5. Từ giả thiết ta có x  1  y  1  x  2  y  3  MA  MB  AB. thuộc đường thẳng AB  : 2x  y  1  0  y   2x  1 với x   2; 1 .   z  1  i  z  2  3i  M 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2 2 2 Trang 99 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 2  2 3 2 Khi đó P  x . z  x . x  2x  1   5x  4x  x . Đặt f x   5x 3  4x 2  x .   2 Xét hàm số f x  trên đoạn  2; 1 , có f ‘ x   15x  8x  1  0; x   2; 1 .       M  f 1   2 Suy ra f x  là hàm số đồng biến trên  2; 1    M  2m   54. Chọn A     m  f  2   26    z  2  i 5  Câu 29 : Ta có z 2  4z  9  0   1 . Suy ra M 2;  5 , N 2; 5 MN  2 5 . z 2  2  i 5  Chọn C         Câu 30 : Gọi M x ; y  với x , y   thì M là điểm biểu diễn cho số phức w  x  yi Ta có w  1  2i  z  3  z  x  3  yi  1  2i  x  3  yi x  2y  3 2x  y  6      i 1  2i 5 5 5 Theo giả thuyết z 2  5  2 2 x  2y  7 2x  y  6  i  5  x  2y  7   2x  y  6  625 5 5 Suy ra x  1  y  4   125 . Chọn A. 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 100 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna E. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. Acgumen của số phức Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox , tia cuối OM được gọi là một acgumen của z . Như vậy nếu  là một acgumen của z , thì mọi acgumen đều có dạng: +2k,kZ. 2. Dạng lượng giác của số phức Xét số phức z = a + bi  0 (a, b  ) . Dạng lượng giác có dạng: z  r (cos   i sin ) trong đó r  0 . Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và ; o Ta có : r  z   a  cos  r . o  là số thực thoả mãn :   b  sin     r   3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos +isin) ; z ‘ = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z .z’ = r.r[cos( +’) +isin( +’)] z r  cos    ‘ +i sin    ‘ ; khi r  0  z’ r’   4. Công thức Moivre [z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n) 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)    Khi đó z có hai căn bậc hai là: r cos  isin  và 2 2           – r cos  isin  = r cos     isin       2 2 2   2  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 101 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1 3 b. z 2    i 4 4 a. z1  6  6i c. z 3  5 3 5  i 2 2 Giải: a) Ta có: r1  62  62  6 2.    cos     Chọn  là số thực thoả mãn     sin      1 2      z  6 2(cos   isin  ) . 1 4 4 4 2 2 2  12  3  1 b) Ta có r2 =       .  4   4  2   1  cos     2    2  z  12(cos 2  isin 2 ). Chọn  là số thực thoả mãn   2  3 3 3 3  sin     2   2 2  5 3   5         5 . c)Ta có: r3    2   2      cos  Chọn  là số thực thoả mãn     sin       Bài toán 2 3   2      z  5 cos   i sin   . 3  6 6 6  1 2 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) (1  i ) 1  i  b) 1i 3 1i c) 1 2  2i Giải: a) Ta có: 1  i       3  2 cos    isin   ; 1  i     3     3      2 cos  i sin   4 4   Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta được:       (1  i 3 )1  i   2 2 cos    isin     12    12  b)   7   7   1 i 3 = 2 cos    isin    1 i  12    12  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 102 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn c) https://facebook.com/duytuan.qna          1 1 1 2     2 cos    isin   =   isin   . = (1  i ) = c os    4 2  2i 4  4  2   4   4    4  Bài toán 3 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:   (1  i )10 cos   i sin   i 5 (1  3i )7 a) b) 9  3 3  3 i   Giải: a) Xét số phức:     2 cos-   i sin     4 4   9        2 cos  i sin    6 6   (1  i )10  3 i  9 10  5 5  25 cos i sin   12 12    3 3  29 cos  i sin   2 2   Vậy: phần thực bằng:  1 1  16 2 (cos  i sin ) 4 1 và phần ảo bằng 0. 16 b) Xét số phức:   cos   i sin   i 5 (1  3i )7  3 3  7     2 cos  i sin     3 3          7 7   27 cos    i sin   i cos  i sin  .   3  3 3   3   7  7  2 cos2  i sin 2  i  2 i.     cos  i sin  i 3 3   Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bằng 128. Bài toán 4 (1  i )10 Tính số phức sau: z =  3 i  5 1  i 3  10 Giải:  2 10 z 10 5     cos    i sin    25 cos   i sin      4  6 6   4    10  4 4  2 cos  isin   3 3  10 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 103 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna   10   10   5 5    i sin   cos  210 cos   i sin  4   6 6    4   40 40   210 cos  isin  3 3   5   5  cos    i sin    3   3    cos(15p)  isin(15p)   1. 40 40 cos  isin 3 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 104 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI PP CASIO Đưa máy tính về dạng rađian qw4 Để chuyển một số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, trong chế độ CMPLX ta bấm q2 và chọn 3 Để chuyển một số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, trong chế độ CMPLX ta bấm q2 và chọn 4 Bài toán 1 Viết số phức z  7  7i dưới dạng lượng giác. Hướng dẫn: o Đưa máy tính về dạng rađian qw4 o Vào chế độ CMPLX w2 o Nhập số phức z: 7+7b. o Nhấn q23 để chuyển sang dạng lượng giác. o Kết quả thu được là: Số phức z đã được chuyển sang dạng lượng giác với r  7 2 và acgument là    4   z  7 2 cos     isin    .       4   4     Bài toán 2     Viết số phức z= 2 (cos   + isin   ) dưới dạng đại số.  4   4  Hướng dẫn: o Đưa máy tính về dạng rađian qw4 o Vào chế độ CMPLX w2 o Nhập số phức z ở dạng lượng giác và chuyển số phức qua dạng đại số như sau: s2$qzpaqKR4$q24= o Màn hình cho kết quả là: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 105 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3 Số phức z  A.  6 5  3i 3 1  2i 3  B. 4 có một Acgument là : C.  2 D. 8 3 Hướng dẫn:  Thu gọn z về dạng tối giản  z  1  3i  Tìm Acgument của z với lệnh SHIFT 2 1 a5+3bs3R1p2bs3= q21p1+s3$b)= Vậy z có 1 Acgument là 2 . Tuy nhiên khi so sánh kết quả ta lại không thấy có giá trị nào là 3 2 . Khi đó ta nhớ đến tính chất “Nếu góc  là một Acgument thì góc   2 cũng là một 3 Acgument”  Đáp số chính xác là D vì 2 8  2  2 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 106 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC Bài toán 1 Giải phương trình: z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0 1  Giải: Ta có: (1)  z 4 z  1  z 2 z  1  z  1  0          z  1 z4  z2  1  0  z   1   4 2 z  z  1  0 Xét phương trình: z 4  z 2  1  0  z2 =  z 2   1   2    2 z   1   2  1  3i 2 3 2 2 i  cos  i sin 2 3 3  2   2  3 i  cos    i sin   2  3   3   z  cos   i sin  2  2   3 3 Từ z2 = cos    i sin 3 3 z  cos  -i sin   3 3       z  cos     i sin       2   2   3   3  Từ z2 = cos    i sin          3   3  z  cos    -i sin        3   3   Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm: z  1 ; z  1 3 1 3 1 3 1 3  i; z   i; z   i; z   i. 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài toán 2 Cho z1 và z 2 là hai số phứ xác định bởi z1  1  i và z 2  1 – i . Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của z1 z2 . Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos 7 7 và sin . 12 12 Giải: Ta có: 1  3  z1 1  i 3 1  3   . = =  i  z2 1i 2  2  Ta có: z1 = 2(cos cos 7 12 =   + isin ); z2 = 3 3     z 2 (cos   + isin   ) 1 =  4   4  z2 2 (cos 7 7 + isin ) 12 12 1 3 1 3 7 và sin = . 12 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 107 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy được một ứng dụng quan trọng của số phức, ta có thể tính sin, cos của một góc bằng công cụ số phức thông qua sự liên hệ giữa dạng đại số và dạng lượng giác của số phức. Bài toán 3 6 Giải phương trình: z  64  0 . Giải: Ta có: : z 6  64  0  z 6  64. Giả sử z  x  yi  r(cos   i sin  ) Ta có: 64  64(cos   i sin  ) Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z) =    2k 6 6   Với k  0  z1  2 cos  isin  6    = 6  3 +i       Với k  1  z 1  2 cos -   isin   =  6    6    Với k  1  z1  2 cos  isin  2 3 -i    = 2i 2        Với k  2  z1  2 cos -   isin   = -2i  2    2    5   5  Với k  3  z1  2 cos -   isin -  =  6    6  3 – i. Bài toán 4  Tìm n là số nguyên dương và n  1,10 sao cho số phức z  1  i 3    n là số thực. Giải:    n  n    Ta có: 1 + i 3 = 2 cos  i sin   z = 2n cos  i sin   3 3  3 3   n n = 0  sin =0 3 3  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9]. Để z  R  2n.sin Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 108 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Số phức z = -1 + i viết dưới dạng lượng giác là:    A. z = 2 cos  i sin  B. z =  6 6  C. z =  3 3  2 cos  i sin  4 4      2 cos  isin   4 4     3 cos  i sin  6 6   D. z = Câu 2: Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là:  3 3   A. z = 8 cos  i sin  2 2     B. z = 8 cos  i sin   2 2  C. z = 8 cos 0  i sin 0 D. z = 8 cos   i sin      2 cos  i sin  là:  6 6  Câu 3: Dạng lượng giác của số phức z = A. z =  11 11   2 cos  i sin 6 6   B. z = C. z =  5 5  2 cos  i sin  6 6   D.  7 7  2 cos  i sin  6 6    13 13   2 cos  i sin 6 6   Câu 4: : Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là:       A. 8 2 cos  i sin  B. 8 2 cos  i sin    6 6  4 4        C. 6 2 cos  i sin  5 5     D. 6 2 cos  i sin   7 7  Câu 6: Cho số phức z = – 1 – i. Argumen của z (sai khác k2) bằng: A.  4 B. 3 4 C.  B. (-1; 1)  0 0 D. 7 4  2 cos 3150  i sin 3150 có toạ độ là: Câu 7: Điểm biểu diễn của số phức z = A. (1; -1) 5 4  C. (2; 2)  0 0 D. (-2; 2)  Câu 8: Cho z1  3 cos15  i sin15 , z 2  4 cos 30  i sin 30 . Tích z1.z2 bằng: B. 6 2 1  i  A. 12(1 – i)   A. 6(1 – 2i) B. 4i C. 3 2 1  2i   D. 2 2  i   Câu 9: Cho z 1  3 cos 200  i sin 200 , z 2  2  cos1100  i sin1100 . Tích z1.z2 bằng: C. 6i D. 6(1 – i) z Câu 10: Cho z1  8 cos1000  i sin 1000 , z 2  4 cos 400  i sin 400 .Thương 1 bằng: z2    B. 2 1  i 3 A. 1 + i 3      C. 1 – i 3  D. 2(1 + i)  Câu 11: Cho z1  4 cos100  i sin 100 , z 2  2 cos 2800  i sin 2800 . Thương A. 2i Câu 12: Tính (1 – i)20, ta được: B. -2i Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C. 2(1 + i) z1 z2 bằng: D. 2(1 – i) Trang 109 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A. -1024 B. 1024i C. 512(1 + i) D. 512(1 – i) Câu 13: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau đây là đúng? A. (1+ i)8 = -16 B. (1 + i)8 = 16i C. (1 + i)8 = 16 D. (1 + i)8 = -16i Câu 14: Cho số phức z  0. Biết rằng số phức nghịch đảo của z bằng số phức liên hợp của nó. Trong các kết luận nào đúng: A. z  R B. z là một số thuần ảo C. z  1 D. z  2 Câu 15: Cho số phức z = cos + isin . kết luận nào sau đây là đúng: A. z n  z n   n cos  B. z n  z n   2 cos n C. z n  z n   2n cos  D. z n  z n   2 cos  . Đáp án: 1. C 2. B 3. D 4. B 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A 11. B 12. A 13. C 14. C 15. B Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 5. Trang 110 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna F. TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO I. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho các số phức z 1, z 2 khác nhau thỏa mãn: z 1  z 2 . Chọn phương án đúng: A. C. z1  z 2 z1  z 2 z1  z 2 z1  z 2 0 B. là số thực D. z1  z 2 z1  z 2 z1  z 2 z1  z 2 là số phức với phần thực và ảo đều khác 0 là số thuần ảo Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . Câu 3. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. z  1  2i . 1 2 B. z    i . 5 5 C. z  1 2  i. 5 5 D. z  1  2i . Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13  1 . Câu 5. Cho z 1, z 2 , z 3 là các số phức thỏa mãn z 1  z 2  z 3  0 và z 1  z 2  z 3  1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. z13  z 23  z 33  z 13  z 23  z 33 . B. z13  z 23  z 33  z13  z 23  z 33 . C. z13  z 23  z 33  z13  z 23  z 33 . D. z13  z 23  z 33  z 13  z 23  z 33 . Câu 6. Cho z 1, z 2 , z 3 là các số phức thỏa z 1  z 2  z 3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z 1  z 2  z 3  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1 . B. z 1  z 2  z 3  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1 . C. z 1  z 2  z 3  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1 . D. z 1  z 2  z 3  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1 . Câu 7. Cho P z  là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn P z   0 thì   A. P z  0. 1 B. P    0.  z  Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  A. A  1 . B. A  1 . 1 C. P    0.  z  D. P z   0. 2z  i . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz C. A  1 . D. A  1 . Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  A. 5. B. 4. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C. 6. 5i . z D. 8. Trang 111 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna z  2z  3i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  2   2  i z  i   3  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON  2 , trong Câu 10. Gọi M là điểm biểu diễn số phức       đó   Ox ,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N   nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (III). B. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (IV). Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . A. M max  5; M min  1. B. M max  5; M min  2. C. M max  4; M min  1. D. M max  4; M min  2. Câu 12. Cho số phức z thỏa P A. z 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i . z 3 . 4 B. 1. C. 2 . D. 2 . 3 4  z  1    1. Tính giá trị biểu thức Câu 13. Gọi z 1, z 2 , z 3 , z 4 là các nghiệm của phương trình   2z  i       P  z12  1 z 22  1 z 32  1 z 42  1 . A. P  2. B. P  17 . 9 C. P  16 . 9 D. P  15 . 9 Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17 . B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17 . Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3. D. 13 . 4 1i z ; z  0 trên mặt phẳng 2 tọa độ ( A, B, C và A, B , C  đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng Câu 17. Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và z   định nào sau đây đúng? Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 112 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O . C. Tam giác OAB vuông cân tại B . D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 z  6 3 1 . 6 C. 6  1  z  6  1. B. 5  1  z  5  1. D. 2 1 2 1 z  . 3 3 Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9  4 5. 11  4 5 B. C. 64 5 D. 56 5 Câu 20. Cho A, B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  3. B. z  1  3i. C. z  1. D. z  1. Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z  2  i  4  i   và gọi  là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính cos 2. 2 A.  425 . 87 B. 475 . 87 C.  475 . 87 Câu 22. Cho z 1, z 2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn D. z1 z 22 425 . 87   và z1  z 2  2 3. Tính môđun của số phức z 1. A. z 1  5. B. z 1  3. C. z 1  2. D. z 1  5 . 2 m  2  6i   , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là Câu 23. Cho số phức z    3  i  số thuần ảo? A. 24. B. 26. z2 1 z A. lấy mọi giá trị phức. C. bằng 0. C. 25. D. 50. Câu 24. Nếu z  1 thì B. là số thuần ảo. D. lấy mọi giá trị thực. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C. 3. D. 3  5 Trang 113 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 26. Gọi z  x  yi x , y   là số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và 3 3 z  i xy. 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính tích 2 A. xy  9 . 4 B. xy  13 . 2 Câu 27. Có bao nhiêu số phức z thỏa A. 1. C. xy  16 . 9 2 9 D. xy  . 2 z 1 z i  1 và  1? i z 2z B. 2. C. 3. D. 4. Câu 28. Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z 1 ; z 2 ; z 1.z 2  0 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B , C  đều không thẳng hàng) và z12  z 22  z 1.z 2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. B. Tam giác OAB vuông cân tại O . D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Câu 29. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3  2 Câu 30. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z 4  mz 2  n  0 không có nghiệm thực.   m 2  4n  0   2 B. m  4n  0 hoặc m  0   n0      m 2  4n  0   2 D. m  4n  0 hoặc m  0   n0    2 A. m  4n  0.   m 2  4n  0   C. m  0 .   n0    Câu 31. Nếu z  a; a  0 thì z 2 a z A. lấy mọi giá trị phức. C. bằng 0. B. là số thuần ảo. D. lấy mọi giá trị thực. Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. 2z  z  1  i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  i   1  i z  i   2  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON  2 , trong Câu 33. Gọi M là điểm biểu diễn số phức    Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  Trang 114 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   đó   Ox ,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm   N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (III). B. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (IV). Câu 34. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức 2 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i. A. z  i  2 41 B. z  i  3 5. C. z  i  5 2 D. z  i  41. Câu 35. Các điểm A, B, C và A, B , C  lần lượt biểu diễn các số phức z 1, z 2 , z 3 và z 1, z 2, z 3 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B , C  đều không thẳng hàng). Biết z 1  z 2  z 3  z 1  z 2  z 3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và A B C  bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và A B C  có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và A B C  có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và A B C  có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Câu 36. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z  2  3i 1  i   và gọi  là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính sin 2. A.  5 . 12 Câu 37. Cho số phức z  A. 1. B. 5 . 12 C. 12 . 5 D.  12 . 5 m  i , m   . Tìm môđun lớn nhất của z. 1  m m  2i  B. 0. C. 1 . 2 D. 2. Câu 38. Cho số phức z có z  m; m  0 . Với z  m; tìm phần thực của số phức A. m. B. 1 . m C. 1 . m z 1 1 . D. . 4m 2m Câu 39. Cho số phức z1, z 2 thỏa mãn z1  3 , z 2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức   z  z2  lần lượt là các điểm M , N . Biết  OM ,ON  , tính giá trị của biểu thức 1 . z1  z 2 6  A. 13 B. 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  C. 7 3 2 D. 1 13 Trang 115 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 10  1  2i . Biết tập hợp các điểm biểu z R I w  3  4i  z  1  2i diễn cho số phức là đường tròn , bán kính . Khi đó. Câu 40. Cho thỏa mãn z   thỏa mãn 2  i  z  A. I 1; 2, R  5. B. I 1;2, R  5. C. I 1;2, R  5. D. I 1; 2, R  5. Câu 41. Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z 0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z 0 . B. z 0  2 . C. z 0  7 . D. z 0  3 . Câu 42. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0; 0 và có bán kính R  4. . x 2 y2   1. 9 25 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x ; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn x  4 2 phương trình  y2  x  4 2  y 2  12. D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x 2 y2   1. 25 9 Câu 43. Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . A. 3  i . B. 1  3i . D. 2  3i . C. 2  3i . Câu 44. Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ? A. P  4 . B. P   . C. P  2 . D. P  3 . Câu 45. Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn  z2  z 2 2 z 2  16 là hai đường thẳng d1, d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu ? A. d d1, d2   2 . B. d d1, d2   4 . C. d d1, d2   1 .   D. d d1, d2   6 .  Câu 46. Cho số phức z thỏa mãn z 2  2z  5  z  1  2i z  3i  1 .Tính min | w | , với w  z  2  2i . A. min | w | 3 . 2 B. min | w | 2 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học C. min | w | 1 . D. min | w | 1 . 2 Trang 116 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Câu 47. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . Khi đó độ dài của AB bằng A. z 2  z1 . B. z 2  z1 . C. z1  z 2 . D. z1  z 2 . Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z i  z 2i . A. max T  8 2 . B. max T  4 . C. max T  4 2 . D. max T  8 . Câu 49. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 . A. Đường tròn x  2  y  2  100 . B. Elip x 2 y2   1. 25 4 C. Đường tròn x  2  y  2  10 . x 2 y2   1. 25 21 2 2 2 2 D. Elip   z 1  z i    Câu 50. Tìm nghiệm phức z thỏa mãn hệ phương trình phức:  z  3i  1     z i A. z  2  i . B. z  1  i . C. z  2  i . D. z  1  i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 117 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1D 2C 3C 4D 5D 6A 7D 8A 9C 10A 11A 12A 13B 14A 15D 16A 17C 18B 19A 20C 21D 22C 23C 24B 25B 26D 27A 28A 29C 30D 31B 32C 33B 34D 35C 36A 37A 38D 39B 40C 41D 42D 43A 44C 45B 46C 47B 48B 49D 50D Câu 1. Phương pháp tự luận: Vì z 1  z 2 và z 1  z 2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w  z1  z 2 z1  z 2 và z 1  z 2  a , ta có a2 a2  z1 z2  z  z  z  z z  z2 2 1 2 w   1  2  1  w   2  z1  z 2  z  z z 2  z1 a a 1 2  z1 z 2 Từ đó suy ra w là số thuần ảo Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z 1, z 2 khác nhau thỏa mãn z 1  z 2 nên chọn z 1  1; z 2  i , suy ra z1  z 2 z1  z 2  1i i 1i là số thuần ảo  Chọn D. Câu 2. w  2z  1  i  z  z  3  4i  2  Giả sử w  x  yi w 1  i 2 w 1  i  3  4i  2  w  1  i  6  8i  4  w  7  9i  4 1 2 x, y   , khi đó 1  x  7  y  9 2 2   16  Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7;  9 , bán kính r  4. 2 Vậy diện tích cần tìm là S  .4  16  Chọn C. Câu 3. Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi x , y    z  3i  z  2  i  x  y  3i  x  2  y  1i  x 2  y  3  x  2  y  1 2 2 2  6y  9  4x  4  2y  1  4x  8y  4  0  x  2y  1  0  x  2y  1 2  2  1 5  z  x  y  2y  1  y  5y  4y  1  5 y     5  5 5  2 2 2 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 118 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 5 2 1 1 2 khi y    x  .Vậy z   i.  Chọn C. 5 5 5 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Suy ra z min  Giả sử z  x  yi x, y   z  3i  z  2  i  x  y  3i  x  2  y  1i  x 2  y  3  x  2  y  1 2 2 2  6y  9  4x  4  2y  1  4x  8y  4  0  x  2y  1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng d : x  2y  1  0 .   Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;  2  d nên loại A. 1 2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn 5 5  1 2   ;   d nên loại B.  5 5    Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;2  d nên loại B. Phương án C: z  1 2  i có điểm biểu diễn 5 5 1   ;  2   d  5 5  Câu 4. Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2  y  3 i . Theo giả thiết x  2  y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường 2 2 tròn tâm I 2; 3 bán kính R  1 . Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i  x  1 Gọi M x ; y  và H 1;1 thì HM  2 x  1 2  y  1 . 2 2  y  1 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.  x  2  3t Phương trình HI :  , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:   y  3  2 t    3 2   3 2  1 , M 2   . ;3  ; 3  9t 2  4t 2  1  t   nên M 2    13 13   13 13  13 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1  Chọn D Câu 5. Cách 1: Ta có: z1  z 2  z 3  0  z 2  z 3  z1 z  z 2  z 3   z 13  z 23  z 33  3 z1z 2  z 1z 3 z1  z 2  z 3   3z 2z 3 z 2  z 3  3 1  z13  z 23  z 33  3z1z 2z 3  z 13  z 23  z 33  3z1z 2z 3 .  z13  z 23  z 33  3z1z 2z 3  3 z1 z 2 z 3  3 3 3 3 Mặt khác z 1  z 2  z 3  1 nên z1  z 2  z 3  3  Chọn D. Cách 2: thay thử z1  z 2  z 3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 119 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 6. Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. Ta có z1  z 2  z 3  z1  z 2  z 3  2 Re z1z 2  z 2z 3  z 3z1   3  2 Re z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1  (1). 2 2 2 2 z1z 2  z 2z 3  z 3z1  z1z 2  z 2z 3  z 3z1  2 Re z1z 2z 2z 3  z 2z 3z 3z1  z 3z1z1z 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    z1 . z 2  z 2 . z 3  z 3 . z 1  2 Re z1 z 2 z 3  z 2 z 3 z 1  z 3 z 1 z 2     3  2 Re z 1z 3  z 2z 1  z 3z 2   3  2 Re z 1z 2  z 3z 3  z 3z 1  (2). Từ 1 và 2 suy ra z 1  z 2  z 3  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1 . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn z1  z 2  z 3  A đúng và D sai  Chọn A. Cách 2: thay thử z1  z 2  z 3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai   2 n Câu 7.Giả sử A(3; 3; 0) có dạng P z   a 0  a1z  a2z  …  an z a 0 ; a1; a2 ;…;an  ; an  0 P z   0  a 0  a1z  a2z 2  …  an z n  0  a 0  a1z  a2z 2  …  an z n  0  a 0  a1z  a 2z 2  …  an z n  0  P z   0 .  Chọn D.   2 2 Câu 8. Đặt Có a  a  bi, a, b    a  b  1 (do z  1 ) 2a  2b  1 i 2z  i A    2  iz 2  b  ai 4a 2  2b  1 4a 2  2b  1 2 2  b  2  a2 2 Ta chứng minh 2  b   a 2 2 4a 2  2b  1 1. 2 Thật vậy ta có 2  b  2  a2  1  4a 2  2b  1  2  b   a 2  a 2  b 2  1 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a 2  b 2  1 .Vậy A  1  Chọn A. Câu 9. Ta có: A  1  5i 5i 5 1  1   6. Khi z  i  A  6.  Chọn C. z z z Câu 10. Ta có: 2  i z  i   3  i  z  z  1  i  w  Lúc đó: sin 2  5 1 5 1 1  i  M  ;   tan   . 4 4 5  4 4  2 tan  5 1  tan2  12   0; cos 2     0 .  Chọn A. 2 2 1  tan  13 1  tan  13 2 3 Câu 11. Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5. Mặt khác: M  1z3 1z 3  1z  1z3 2  1  z3 2  1z3  1  z3 2  1, khi z  1  M  1  M min  1.  Chọn A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 120 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 12. Ta có P  1  https://facebook.com/duytuan.qna i 1 3 i 1 1 1  . Mặt khác: 1   1   . z |z | 2 z |z | 2 1 3 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z  2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi 2 2 z  2i.  Chọn A. Câu 13. Ta có phương trình  f z   2z  i   z  1  0. 4 4 Suy ra: f z   15 z  z 1 z  z 2 z  z 3 z  z 4  . Vì z12  1  z 1  i z1  i   P  f i .f i  225 1. 4 Mà f i   i  i  1  5; f i   3i   i  1  85. Vậy từ 1  P  4 4 4 17 .  Chọn B. 9 Câu 14. Gọi z  x  yi; x  ; y     z  2i  x  y  2 i . Ta có: z  1  2i  9  x  1  y  2  9 . 2 2 Đặt x  1  3 sin t ; y  2  3 cos t ; t   0;2  .  z  2i  1  3 sin t   4  3 cos t   26  6 sin t  4 cos t   26  6 17 sin t  ;    . 2 2 2  26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17 .  Chọn A. Câu 15. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x  1;1 . 1  x  2 Ta có: P  1  z  3 1  z   y 2  3 1  x   y 2  2 1  x   3 2 1  x  . 2 Xét hàm số f x   2 1  x   3 2 1  x ; x  1;1 . Hàm số liên tục trên 1;1 và với x  1;1 ta có: f  x   1 2 1  x   3 2 1  x  0x  4  1;1. 5  4 Ta có: f 1  2; f 1  6; f    2 20  Pmax  2 20.  Chọn D.  5  Câu 16. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: z  1  z .z  1 Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t   0;2 . 2 Ta có t  1  z 1  z   1  z .z  z  z  2  2x  x  2 2 Suy ra z  z  1  z  z  z .z  z z  1  z  t2  2 . 2 2x  1 2  2x  1  t 2  3 . Xét hàm số f t   t  t 2  3 , t  0;2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra max f t   13 13 3 ; min f t   3  M .n  .  Chọn A. 4 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 121 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 17. Ta có: OA  z ; OB  z   1i 1i 2 .z  .z  z. 2 2 2    1i 1i 2 z  .z  z. Ta có: BA  OA  OB  BA  z  z   z  2 2 2 2 2 2 Suy ra: OA  OB  AB và AB  OB  OAB là tam giác vuông cân tại B .  Chọn C. Câu 18. Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được 2 2 2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 z  z  z 2  4  z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1. Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z  i  i 5.  Chọn B. Câu 19. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: z  1  2i  2  x  1  y  2  4. 2 2 Đặt x  1  2 sin t; y  2  2 cos t ; t  0;2  . Lúc đó: z  1  2 sin t   2  2 cos t   9  4 sin t  8 cos t   9  42  82 sin t   ;     2 2 2 2    z  9  4 5 sin t     z   9  4 5; 9  4 5    5  2 5 10  4 5  z max  9  4 5 đạt được khi z   i.  Chọn A. 5 5   Câu 20. Ta có AB biểu diễn số phức 3  i; DB biểu diễn số phức 3  3i . Mặt khác     3  3i  3i nên AB.DB  0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC .AC  0 . Từ đó 3 i suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C , D. Vậy I 1; 0  z  1.  Chọn C. Câu 21. Ta có: z  2  i  4  i   16  13i  M 16;13  tan   2 Ta có: cos 2  13 . 16 1  tan2  425  .  Chọn D. 2 87 1  tan  Câu 22. Gọi z 1  a  bi  z 2  a  bi; a  ; b    . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0. Do z1  z 2  2 3  2bi  2 3  b  3. Do z1, z 2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1.z 2   , mà z1 z 22  z 13 z z  2    z13  . 1 2 b  0 3 2 Ta có: z13  a  bi   a 3  3ab 2  3a 2b  b 3 i    3a 2b  b 3  0   2 2  a  1. 3 a  b     Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học  Trang 122 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vậy z1  a 2  b 2  2.  Chọn C. m  2  6i    (2i )m  2m.i m Câu 23. Ta có: z    3  i  z là số thuần ảo khi và chỉ khi m  2k  1, k   (do z  0; m   * ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.  Chọn C. Câu 24. Ta có: z2 1 1 z z z z  z  2  z  z là số thuần ảo.  Chọn B. z z z .z z Câu 25. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: 1  i  z  6  2i  10  1  i  . z  6  2i  10  z  2  4i  5 1i  x  2  y  4  5. 2 2 Đặt x  2  5 sin t; y  4  5 cos t; t   0;2  .   Lúc đó: 2  z  2  5 sin t   4  2 5 cos t    2  25  4 5 sin t  8 5 cos t  25  4 5   8 5  sin t  ; 2 2    2  z  25  20 sin t     z   5; 3 5     z max  3 5 đạt được khi z  3  6i.  Chọn B. Câu 26. Đặt z  x  iy x , y   . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2  y 2  36. Đặt x  3 cos t,y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P z 3 2    i  18  18 sin t    6.  4  2 3   3 3 2 3 2 z   i.  Chọn D. Dấu bằng xảy ra khi sin t    1  t    4  4 2 2   z 1    3 1   z 1  i z x       x   y i  z  2  z   3  3 i.    Câu 27. Ta có:         z i z i  2  z 2 2   4x  2y  3 y  3    1     2     2z  Chọn A. 2 2 2 Câu 28. Ta có: z1  z 2  z1.z 2  z1  z1 z 2  z 1 ; z1  z1 . z 2  z1 . Do 2 z1  0  z 2  z 1  z2 z1 2 ; (1) Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 123 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 Mặt khác: z1  z 2 z 1  z 2   z1  z 2 . z1  z 2  z 1  z 2  2 Từ (1) và (2) suy ra: 2 z2  z1 z1 z2 z1 z2 2 (do z 2  0 ) (2) 2  z 1  z 2 . Vậy ta có: z 1  z 2  z 2  z 1  OA  OB  AB .  Chọn A. Câu 29. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: z  2  4i  z  2i  x  2  y  4 2 2  x 2  y  2  x  y  4  0  y  4  x . 2 2 2 2 Ta có: z  2i  x  y  2  x  6  x   2x  12x  36  2 x  3  18  18 2  z  2i min 2 2 2  18  3 2 khi z  3  i.  Chọn C. 4 2 Câu 30. Phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp: 2 TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là m  4n  0.  TH 2: Phương trình t 4  mt 2  n  0; t  z 2 Câu 31. Ta có:    0 m 2  4n  0        . có hai nghiệm âm  S  0   m  0     P 0 n0        Chọn D. z 2  a2 a a 2z a 2z z  z   z  2  z  z là số thuần ảo.  Chọn B. z z z .z z Câu 32. Gọi z  x  yi; x  ; y     z  1  i  x  1  y  1 i . Ta có: z  1  2i  9  x  1  y  2  9 . 2 2 Đặt x  1  3 sin t ; y  2  3 cos t ; t   0;2  .  z  1  i  3 sin t   1  3 cos t   10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i 2 2 2 min  2 , khi z  1  i.  Chọn C. Câu 33. Ta có:     7 19 7 19 19  i  M  ;    tan   . 1  i z  i   2  i  z  z  3i  w   82 82 82 82  7 Lúc đó: sin 2  2 tan  133 1  tan2  156   0; cos 2     0 .  Chọn C. 2 2 205 1  tan  205 1  tan  Câu 34. Gọi z  x  yi; x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5  C  : x  3  y  4  5 : 2 2 tâm I 3; 4 và R  5. Mặt khác: 2 2 2 2  M  z  2  z  i  x  2  y 2   x 2  y  1   4x  2y  3  d : 4x  2y  3  M  0.     Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C  có điểm chung Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 124 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  d I ; d   R   M max 23  M 2 5 https://facebook.com/duytuan.qna  5  23  M  10  13  M  33   x  5  4x  2y  30  0  33     z  i  5  4i  z  i  41.  Chọn D.   2 2   y  5 x  3  y  4  5         Câu 35. Gọi z 1  x 1  y1i; z 2  x 2  y2i; z 3  x 3  y 3i; x k ; yk  ; k  1; 3 . Khi đó: A x 1 ; y1 ; B x 2 ; y2 ; C x 3 ; y 3  , gọi G là trọng tâm  x  x  x y  y  y  2 3 2 3 ABC  G  1 ; 1  .  3 3    Tương tự, gọi z 1  x 1  y1i; z 2  x 2  y2i; z 3  x 3  y 3i; x k ; yk  ; k  1; 3 . Khi đó: A x 1; y1 ; B  x 2; y 2 ; C  x 3 ; y 3  ,  x   x   x  y   y   y   2 3 2 3 ; 1 gọi G  là trọng tâm A B C   G   1  .  3 3  Do z1  z 2  z 3  z 1  z 2  z 3  x 1  x 2  x 3   y1  y 2  y 3  i  x 1  x 2  x 3   y1  y2  y 3 i x  x  x  x   x   x   1 2 3 1 2 3   G  G .  Chọn C.      y  y  y  y  y  y 2 3 1 2 3   1 1 Câu 36. Ta có: z  2  3i 1  i   5  i  M 5; 1  tan    . 5 2 tan  5 Ta có: sin 2    .  Chọn A. 2 12 1  tan  Câu 37. Ta có: z m  i 1  m m  2i   m i  2  z  m 1 m 1 2 1 1 z  1  z  i; m  0. max m 1 2  Chọn A. Câu 38. Gọi Re z  là phần thực của số phức z . Ta xét:   1  1 1 1 m z m z 2m  z  z        2  m  z m  z  m  z m  z m  z m  z  m  z.z  mz  mz  1  2m  z  z 2m  z  z 1 1       Re .  Chọn D. 2  2m  mz  mz m 2m  z  z  m  m  z  2m Câu 39. Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :  2 2     z1  z 2  z1  z 2  2 z1 z 2 cos 1500  1 z1  z 2 z  z  OP z  z2   1 2    1  1  2 2   z1  z 2  MN z  z 0 z  z   1 2 1 2 z  z 2  z1  z 2  2 z1 z 2 cos 30  1      1  Chọn B.     Câu 40. Đặt z  a  bi và z  c  0 , với a;b; c   . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 125 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Lại có w  3  4i  z  1  2i  z  https://facebook.com/duytuan.qna w  1  2i . 3  4i Gọi w  x  yi với x ; y   . Khi đó z  c   w  1  2i w  1  2i c   c  x  yi  1  2i  5c 3  4i 3  4i x  1  y  2 2 2  5c  x  1  y  2  25c 2 . 2 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I 1;2 . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R  5  5c  5  c  1 . Thử c  1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn  Chọn C. Câu 41. Cách 1: Đặt z  a  bi (a, b  ) . Khi đó z  3  4i  2  (a  3)2  (b  4)2  4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C  tâm I 3; 4 và bán kính R  5 . Gọi M z  là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M z   C  . z  OM  OI  R  3 . Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z   C   IM . Cách 2: a  3  2 cos  a  3  2 cos    Đặt  .      b  4  2 sin  b  4  2 sin      z  a 2  b 2  (2 cos   3)2  (2 sin   4)2  29  12 cos   16 sin  . 3  4  29  20  cos   sin   29  20 cos(  )  9   5 5 .  z 0  3  Chọn D Câu 42. Ta có: Gọi M x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi. Gọi A 4; 0 là điểm biểu diễn của số phức z  4. Gọi B 4; 0 là điểm biểu diễn của số phức z  4. Khi đó: z  4  z  4  10  MA  MB  10. (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. x 2 y2 2 2 2 Gọi phương trình của elip là 2  2  1, a  b  0, a  b  c a b Từ (*) ta có: 2a  10  a  5.   AB  2c  8  2c  c  4  b 2  a 2  c 2  9 Vậy quỹ tích các điểm M là elip: E  : x 2 y2   1.  Chọn D. 25 9 Câu 43. Gọi M x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 126 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi E 1, 2 là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F 0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M 3,1  z  3  i => Chọn A. Câu 44. Gọi M x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Gọi A 1,1 là điểm biểu diễn số phức 1  i 1  z  1  i  2  1  MA  2 . Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là R1  2, R2  1  P  P1  P2  2 R1  R2   2 . => Chọn C. Lưu ý cần nắm vững lý thuyết và hình vẽ của dạng bài này khi học trên lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình tròn. Câu 45. Gọi M x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R   Ta có: z 2  z 2 2 z 2  16  x 2  2xyi  y 2  x 2  2xyi  y 2  2x 2  2y 2  16  4x 2  16  x  2  . d d1, d2   4 .  Chọn B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Câu 46. Ta có         z 2  2z  5  z  1  2i z  3i  1  z  1  2i z  1  2i  z  1  2i z  3i  1  z  1  2i  0  .  z  1  2i  z  3i  1     Trường hợp 1 : z  1  2i  0  w  1  w  1 1 . Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1 Gọi z  a  bi (với a, b   ) khi đó ta được        a 1 b 2 i  a 1  b  3 i  b 2 Suy ra w  z  2  2i  a  2  3 iw  2 2   b  3  2 a  2  2 b   9 3  4 2 1 . 2  2 . Từ 1 ,  2  suy ra min | w | 1  Chọn C. Câu 47. Giả sử z1  a  bi , z2  c  di ,  a, b, c, d    . Theo đề bài ta có: A a;b  , B c; d   AB  2 2 . c  a   d  b   Chọn B.  z  1  1  i   z  1  1  i  . z 2  z 1  a  c   d  b i  z 2  z 1  Câu 48. T  z  i  z  2  i c  a   d  b  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học 2 2 Trang 127 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w  1  i   w  1  i  . 2 Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 . T  x  1  y  1i  x  1  y  1 i  1. x  1  y  1  1. x  1  y  1 2   2 2 2 1  1 x  1  y  1  x  1  y  1  2 2x  2y  4  4 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy max T  4  Chọn B Câu 49. Gọi M x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x , y   . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z  2  z  2  10  MB  MA  10 . Ta có AB  4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A 2; 0 , B 2; 0 , tiêu cự AB  4  2c , độ dài trục lớn là 10  2a , độ dài trục bé là 2b  2 a 2  c 2  2 25  4  2 21 . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 là Elip có phương trình x 2 y2   1.  Chọn D. 25 21 Câu 50. Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1 và i . Gọi C , D lần lượt là điểm biểu diễn số phức i và 3i Ta có: z  1  z  i  MA  MB với A 1, 0  ; B  0,1  M thuộc đường trung trực 1 của AB z  3i  1  z  i  z  3i  MC  MD với C  0, 1 ; D  0,3  M thuộc đường trung trực z i  2 của CD y  x  M 1,1  z  1  i => Chọn D. M là giao điểm của 1 ;  2  M thỏa hệ:   y 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 128
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top