Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

Giới thiệu Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo VươngChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương
Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho là một số nguyên dương và là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên (1) . Nếu là đúng và (2) Nếu đúng, thì cũng đúng với mọi số tự nhiên thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề sau Bước 1: Kiểm tra . đúng với mọi số tự nhiên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với Kết luận: ; , giả sử đúng với đúng ta cần chứng minh cũng đúng. . Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề đúng gọi là giả thiết quy nạp. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính (hoặc ) đúng với ta rồi chứng minh Bước 2: Giả sử , ta cần chứng minh . 1. caùc ví duï minh hoïa n(n + 1) Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1 + 2 + 3 + … + n = 2 Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1 + 3 + 5 + … + 2n − 1 = n2 1.3.5… ( 2n − 1) 1 Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1 , ta có bất đẳng thức: < 2.4.6.2n 2n + 1 x n (x n +1 + 1) 2n +1  x + 1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? ≤  n  2  x +1 Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1, ∀x > 0 ta có bất đẳng thức: minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với n = 1 và n = 2 k Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n= k + 1 , ta chứng minh P(n) đúng với n = k . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n(n + 1)(2n + 1) 1. 12 + 2 2 + … + (n − 1)2 + n 2 = 6 Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau n ( n + 1)( n + 2 ) 1. 1.2 + 2.3 + … + n(n + 1) = với ∀n ≥ 1 3  n ( n + 1)  3. 1 + 2 + 3 + … + n =   2   3 5. 3 3 3 2 2. 1 2 n 3 2n + 3 + + … + = − 2 3 3 3n 4 4.3n 2. 1 1 1 1 n + + + … + = 1.5 5.9 9.13 4n +1 ( 4n − 3 )( 4n + 1)   4  4  4  4 4.  1 −  1 −  1 −  …  1 − 1  9  25    ( 2n − 1)2  1 1 1 n + + … + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + 1 + … + (n − 1).n 2 6. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 = 2n(n + 1)(2n + 1) 7. 2 2 + 4 2 + … + (2n)2 = 3  1 + 2n =  1 − 2n  n(n 2 − 1)(3n + 2) , ∀n ≥ 2 12 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 8. 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1)(n + 2) = 4 Với mọi n ∈  * . n(n 2 − 1)(3n + 2) 9. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 + … + (n − 1).n 2 = với ∀n ≥ 2 . 12 1 1 1 n(n + 3) Với mọi n ∈  * . 10. + + … + = 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có: 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 2 cos π 2 n +1 (n dấu căn) nx (n + 1)x sin sin 2 2 với x ≠ k2 π với n ≥ 1 . 2. Chứng minh các đẳng thức sin x + sin 2x + …sin nx = x sin 2 Bài 4 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức: sin nx ≤ n sin x ∀x ∈  Bài 5 n  1 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta có :  1 +  < 3 n  2. 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ; 2.4.6.2n > 2n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ; 3. 1.3.5… ( 2n − 1) Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi x ∈  và thoả mãn điều kiện : f(x + y) ≥ f(x).f(y), ∀x, y ∈  (*). Chứng minh 2n   x  rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có : f ( x ) ≥ f  n    2  Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 + + + … + 2. n < 1 + <2− + .... + ≤2 n ∀n ≥ 2 2 4 9 n 2 3 n n π 4. 2 n > 2n + 1 ∀n ≥ 3 3. tan nα > n tan α với 0 < α < 4 ( n − 1) 5. 2 n + 2 > 2n + 5, (∀n ∈  * ) 6. 3n −1 > n(n + 2); (∀n ∈  * , n ≥ 4) 7. 2 n − 3 > 3n − 1; (∀n ∈  * , n ≥ 8) 8. (n + 1)cos 9. 1 3 5 2n + 1 1 . . …. < 2 4 6 2n + 2 3n + 4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 π π − n cos ≥ 1 với ∀n ≥ 1 n+1 n 1 1 1 10. 1 + + + ... + < n ;(∀n ∈  * , n ≥ 2) . 2 3 2n − 1 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 Bài 8 Cho tổng: S n = n¨m häc 2018 1 1 1 1 + + + ... + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 1. Tính S1 ; S 2 ; S 3 ; S 4 2. Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Bài 9 Cho hàm số f :  →  , n ≥ 2 là số nguyên . Chứng minh rằng nếu x+y f(x) + f(x) ≥ f  ∀x, y ≥ 0 (1) thì ta có 2  2   x + x 2 + ... + x n  f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n ) ≥ f 1  ∀xi ≥ 0 , i = 1, n (2). n n   Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: a n = 16 n – 15n – 1 225 Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n) = 7 n + 3n − 1 luôn chia hết cho 9 Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn = ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )…. ( 3n ) 3n Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 3) bằng (n − 2)1800 . 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng: 1. n(2n 2 − 3n + 1) chia hết cho 6. 2. 11n +1 + 12 2n −1 chia hết cho 133 3. n7 − n chia hết cho 7 4. 13n − 1 chia hết cho 6 5. n 5 − n chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1 6. 16 n − 15n − 1 chia hết cho 225 với mọi n ≥ 1 7. 4.32n +1 + 32n − 36 chia hết cho 64 với mọi n ≥ 1 . Bài 2 1. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 2 , ta luôn có a n = ( n + 1)( n + 2 ) … ( n + n ) chia hết cho 2n . 2. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2 − 27x + 14 = 0 Đặt S ( n= ) a n + bn . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S(n) là một số nguyên không chia hết cho 715. f(1) 1,f(2) = 2 và f(n + 2)= 2f(n + 1) + f(n) . 3. Cho hàm số f :  →  thỏa= ( 1)n Chứng minh rằng: f 2 (n + 1) − f(n + 2)f(n) =− n 4. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 2 2 > pn . 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n! . n n Bài 3 Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 − 6x + 1 = 0 . Đặt a= n x1 + x 2 . Chứng minh rằng : 1. = a n 6a n −1 − a n − 2 ∀n ≥ 2 . 2. a n là một số nguyên và a n không chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1 . Bài 4 1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n ≥ 1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? 2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành n2 + n + 2 miền. 2 Bài 5 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. Cho a, b,c,d,m là các số tự nhiên sao cho a + d , (b − 1)c , ab − a + c chia hết cho m . Chứng minh rằng x n = a.bn + cn + d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . 2. Chứng minh rằng từ n + 1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n  1. B. n  p. C. n  p. Câu 5. Cho Sn  Mệnh đề nào sau đây đúng? D. n  p. A. S3  1 1 . B. S2  . 6 12 Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước Câu 6. Cho Sn  2 ta giả thiết mệnh đề A n  đúng với n  k . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k  p. B. k  p. C. k  p. 1 1 1 1    …  với n   * . n.n  1 1 2 2  3 3  4 Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một 1 1 1 1    …  với n   * . 1 2 2  3 3  4 n.n  1 A. Sn  n 1 . n B. Sn  n . n 1 C. Sn  n 1 . n2 D. Sn  n2 . n 3 số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Câu  Bước 2, giả thiết mệnh đề A n  đúng với số tự nhiên bất kỳ n  k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. 7. Cho 7, n   * ” * như sau: A. Sn  n 1 . 2n 1 B. Sn  n . 2n  1 C. Sn  n . 3n  2 D. Sn  n2 . 2n  5 với n  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. P  n 1 . n2 B. P  n 1 . 2n C. P  n 1 . n D. P  n 1 . 2n  Giả sử * đúng với n  k , tức là 8k  1 chia hết cho 7.  Ta có: 8 1 1 1   …  1 3 3  5 2n 1 2n  1  1  1  1 Câu 8. Cho Pn  1  2 1  2 …1  2  với n  2 và  2  3   n  D. Cả hai bước đều sai.  1  8 8  1  7 , kết hợp với giả thiết 8  1 k k Sn  n   * . Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Chỉ có bước 2 đúng. Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ”8n  1 chia hết cho k 1 1 D. S3  . 4 Mệnh đề nào sau đây đúng? D. k  p.  Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n  đúng với n  p. 2 C. S2  . 3 chia hết cho 7 nên suy ra được 8 k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n   * . Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 9. Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai? A. 1  2  …  n  A. Học sinh trên chứng minh đúng. n n  1 2 B. 1  3  5  …  2n 1  n 2 . B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. C. 12  2 2  …  n 2  n n  12n  1 6 D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 D. 2 2  4 2  6 2    2n   2n n  12n  1 6 . 1 1 1 13 .   …   n 1 n  2 2n 24 Mệnh đề nào đúng? Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n   * , số n 3  3n 2  5n chia hết cho 3. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng II) Với mọi n   * , ta có – 0946798489 A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n 0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n ≥ n 0 . Nếu (1) P(n 0 ) là đúng và (2) Nếu P(k) đúng, thì P(k + 1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k ≥ n 0 ; thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n 0 . Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n 0 , n 0 ∈  ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau Bước 1: Kiểm tra P(n 0 ) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k ≥ n 0 , giả sử P(k) đúng ta cần chứng minh P(k + 1) cũng đúng. Kết luận: P(n) đúng với ∀n ≥ n 0 . Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề P(k) đúng gọi là giả thiết quy nạp. Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n) ) đúng với ∀n ≥ n 0 , n 0 ∈  ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n 0 ), Q(n 0 ) rồi chứng minh P(n 0 ) = Q(n 0 ) = Q(k); k ∈  ,k ≥ n 0 , ta cần chứng minh Bước 2: Giả sử P(k) P(k + 1)= Q(k + 1) . Các ví dụ Ví dụ 1. n(n + 1) Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1 + 2 + 3 + … + n = 2 Lời giải. n(n + 1) Đặt P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : Q(n) = 2 = Q(n) ∀n ∈  ,n ≥ 1 . Ta cần chứng minh P(n) P(1) 1,= Q(1) = Bước 1: Với n = 1 ta có 1(1 + 1) = 1 2 ⇒ P(1) = Q(1) ⇒ (1) đúng với n = 1 . Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) với k ∈  , k ≥ 1 tức là: k(k + 1) 1 + 2 + 3 + … + k = (1) 2 Ta cần chứng minh P(k + 1)= Q(k + 1) , tức là: (k + 1)(k + 2) 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = (2) 2 Thật vậy: VT(2) = (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1) k(k + 1) + (k + 1) (Do đẳng thức (1)) 2 k (k + 1)(k + 2) = (k + 1)( + 1) = = VP(2) 2 2 Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1 . Ví dụ 2. = n2 Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1 + 3 + 5 + … + 2n − 1 = Lời giải. 2 • Với n = 1 ta có VT = 1, VP = 1= 1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 = VP ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 . Suy ra VT • Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k với k ∈  , k ≥ 1 tức là: 1 + 3 + 5 + … + 2k − 1 = k 2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là: 1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = ( k + 1) 2 (2) Thật vậy: VT(2) = (1 + 3 + 5 + … + 2k − 1) + (2k + 1) =k 2 + (2k + 1) (Do đẳng thức (1)) =(k + 1)2 =VP(1.2) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1 . Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1 , ta có bất đẳng thức: 1.3.5… ( 2n − 1) 2.4.6.2n < 1 2n + 1 Lời giải. * Với n = 1 ta có đẳng thức cho trở thành : 1 1 < ⇔ 2 > 3 đúng. 2 3 ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 . * Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là : 1.3.5… ( 2k − 1) 1 < (1) 2.4.6...2k 2k + 1 Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là : 1.3.5... ( 2k − 1)( 2k + 1) 1 (2) < 2.4.6....2k ( 2k + 2 ) 2k + 3 Thật vậy, ta có : = VT(2) 1.3.5...(2k − 1) 2k + 1 1 2k + 1 < = . 2.4.6...2k 2k + 2 2k + 1 2k + 2 2k + 1 2k + 2 2k + 1 1 < ⇔ (2k + 1)(2k + 3) < (2k + 2)2 2k + 2 2k + 3 ⇔ 3 > 1 (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 . Ta chứng minh: Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1, ∀x > 0 ta có bất đẳng thức: x n (x n +1 + 1) xn + 1  x + 1 ≤   2  2n +1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. • Với n = 1 ta cần chứng minh: 3 x(x 2 + 1)  x + 1  2 4 ≤  ⇔ 8x(x + 1) ≤ (x + 1) x+1 2   Tức là: x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)4 ≥ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . • Giả sử x k (x k +1 + 1) xk + 1  x + 1 ≤   2  2k +1 , ta chứng minh x k +1 (x k + 2 + 1) x k +1 + 1  x + 1 ≤   2  2k + 3 (*) Thật vậy, ta có: 2k + 3 2  x + 1  x + 1  x + 1 =       2    2   2  Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 2k +1 2  x + 1  x k (x k +1 + 1) ≥   2  xk + 1 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2  x + 1  x k (x k +1 + 1) x k +1 (x k + 2 + 1) ≥    2  xk + 1 x k +1 + 1 2  x + 1 k +1 + 1)2 ≥ x(x k + 2 + 1)(x k + 1) (**) Hay   (x  2  Khai triển (**) , biến đổi và rút gọn ta thu được x 2k + 2 (x − 1)2 − 2x k +1 (x − 1)2 + (x − 1)2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 (x k +1 − 1)2 ≥ 0 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có ⇔ x = 1. Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với n = 1 và n = 2 k Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n= k + 1 , ta chứng minh P(n) đúng với n = k . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có n(n + 1)(2n + 1) 1. 12 + 2 2 + … + (n − 1)2 + n 2 = 6 1 2 n 3 2n + 3 + … + = − 2. + 2 3 3 3n 4 4.3n Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau n ( n + 1)( n + 2 ) 1. 1.2 + 2.3 + … + n(n + 1) = với ∀n ≥ 1 3 1 1 1 1 n + + + … + = 2. 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3 )( 4n + 1) 4n + 1  n ( n + 1)  3. 1 + 2 + 3 + … + n =   2   3 3 3 3 2   4  4  4  4 4.  1 −  1 −  1 −  …  1 −  1 9 25      ( 2n − 1)2  1 1 1 n + + … + = 5. 1.2 2.3 n(n + 1) n + 1  1 + 2n =  1 − 2n  n(n 2 − 1)(3n + 2) , ∀n ≥ 2 12 2n(n + 1)(2n + 1) 7. 2 2 + 4 2 + … + (2n)2 = 3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 8. 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1)(n + 2) = 4 Với mọi n ∈  * . 6. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 = + … + (n − 1).n 2 n(n 2 − 1)(3n + 2) 9. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 + … + (n − 1).n 2 = 12 với ∀n ≥ 2 . 1 1 1 n(n + 3) + + … + = 10. 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Với mọi n ∈  * . Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 2 cos π 2 n +1 (n dấu căn) nx (n + 1)x sin sin 2 2 2. Chứng minh các đẳng thức sin x + sin 2x + …sin nx = với x ≠ k2 π với n ≥ 1 . x sin 2 Bài 4 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức: sin nx ≤ n sin x ∀x ∈  Bài 5 n 1  1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta có :  1 +  < 3 n  2. 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ; 2.4.6.2n > 2n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ; 3. 1.3.5… ( 2n − 1) Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi x ∈  và thoả mãn điều kiện : f(x + y) ≥ f(x).f(y), ∀x, y ∈    x  rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có : f ( x ) ≥ f  n    2  Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 1 1 1 <2− 1. 1 + + + ... + ∀n ≥ 2 2 4 9 n n 2. n < 1+ 1 2 + 1 3 .... + 1 n (*). Chứng minh 2n ≤2 n 3. tan nα > n tan α với 0 < α < π 4 ( n − 1) 4. 2 n > 2n + 1 ∀n ≥ 3 5. 2 n + 2 > 2n + 5, (∀n ∈  * ) 6. 3n −1 > n(n + 2); (∀n ∈  * , n ≥ 4) 7. 2 n − 3 > 3n − 1; (∀n ∈  * , n ≥ 8) π π − n cos ≥ 1 với ∀n ≥ 1 n+1 n 1 3 5 2n + 1 1 < 9. . . .... 2 4 6 2n + 2 3n + 4 8. (n + 1)cos 10. 1 + 1 1 1 + + ... + < n ;(∀n ∈  * , n ≥ 2) . n 2 3 2 −1 Bài 8 Cho tổng: S n = 1 1 1 1 + + + ... + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 1. Tính S1 ; S 2 ; S 3 ; S 4 2. Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Bài 9 Cho hàm số f :  →  , n ≥ 2 là số nguyên . Chứng minh rằng nếu x+y f(x) + f(x) ≥ f  ∀x, y ≥ 0 (1) thì ta có 2  2  f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n )  x + x 2 + ... + x n  ≥ f 1  ∀xi ≥ 0 , i = 1,n (2). n n   ĐÁP ÁN Bài 1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. Bước 1: Với n = 1 ta có: 1(1 + 1)(2.1 + 1) VT = 12 = 1, VP = =⇒ 1 VT = VP 6 ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 . Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là: k(k + 1)(2k + 1) 12 + 2 2 + ... + (k − 1)2 + k 2 = (1) 6 Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là cần chứng minh: (k + 1)(k + 1)(2k + 3) 12 + 2 2 + ... + (k − 1)2 + k 2 + (k + 1)2 = (2). 6 Thật vây: do (1)  + (k + 1)2 VT(2) = 12 + 2 2 + ... + k 2=   k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 6  2k 2 + k  (k + 1)(2k 2 + 7k + 6) = (k + 1)  + k + 1 = 6  6  (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = VP(2) 6 ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1 . 2. * Với n = 1 ta có VT= 1= VP ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 * Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là: 1 2 k 3 2k + 3 + + ... + = − (1) 3 32 3k 4 4.3k Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là cần chứng minh 1 2 k k + 1 3 2k + 5 + + ... + + = − (2). 3 32 3k 3k +1 4 4.3k +1 Thật vậy: 3 2k + 3 k + 1 3 2k + 5 VT(2) =− VP(2) + =− = 4 4.3k 3k +1 4 4.3k +1 ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng. Bài 2 1. 1.2 + 2.3 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) + (k + 1)(k + 2) = . 3 3 1 1 1 1 1 + + + ... + + = 2. 1.5 5.9 9.13 ( 4k − 3 )( 4k + 1) (4k + 1)(4k + 5) k 1 k+1 = + = 4k + 1 (4k + 1)(4k + 5) 4k + 5 2 2  k(k + 1)   (k + 1)(k + 2)  3.  + (k + 1)3 =    . 3  3      1 + 2k 4 (2k + 3)(2k − 1)(1 + 2k) 2k + 3 = − = 4.  1 −  2  (2k + 1)2  1 − 2k −(2k + 1) (2k + 1) (1 − 2k)   5,6,7. Bạn đọc tự làm k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 8. 4 (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) = . 4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 9. n¨m häc 2018 k(k 2 − 1)(3k + 2)  (k − 1)(3k + 2)  + k(k + 1)2 = k(k + 1)  + 1 12 12   k(k + 1)(3k 2 − k − 10) (k + 1)k(k + 2)(3k + 5) . = 12 12 k(k + 3) 1 + = 10. 4(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) = (k + 1)(k + 4) k(k + 3)2 + 4 (k + 1)2 (k + 4) = . = 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4(k + 2)(k + 3) Bài 3 1. π =2 4 ⇒ VT = VP ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 . * Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k , tức là: 1 VT =2 , VP = 2 cos * Với n =⇒ 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 2 cos Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 2 cos Thật vậy: VT(2) = 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 2 + 2 cos  k dau can = 2(1 + cos π 2 k +1 )= 4 cos 2 π 2 k+2 = 2 cos π k+2 2 a 2 cos 2 ). (Ở trên ta đã sử đụng công thức 1 + cosa = 2 ⇒ (2) đúng ⇒ đẳng thức cho đúng. π 2 k +1 π 2 k+2 (k dấu căn) (1) ( k + 1 dấu căn) (2). π 2 k +1 = VP(2) x sin sin x 2 = = = x, VP sin x nên đẳng thức cho đúng với n = 1 2. • Với n = 1 ta có VT sin x sin 2 • Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là: kx (k + 1)x sin sin 2 2 sin x + sin 2x + ...sin kx = (1) x sin 2 Ta chứng minh (4) đúng với n= k + 1 , tức là (k + 1)x (k + 2)x sin sin 2 sin x + sin 2x + ...sin(k + 1)x = 2 (2) x sin 2 kx (k + 1)x sin sin 2 2 = VT(2) + sin(k + 1)x Thật vậy: x sin 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  kx (k + 1)x x sin + 2 cos sin  (k + 1)x  2 2 2 = sin   x 2   sin   2 (k + 1)x (k + 2)x sin sin 2 2 = = VP(2) x sin 2 Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1 . = sin1. = α 1. sin= α VP nên đẳng thức cho đúng. Bài 4 * Với n = 1 ta có: VT * Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là : sin kx ≤ k sin x (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 ,tức là : sin(k + 1)α ≤ ( k + 1) sin α (2) Thật vậy: sin ( k + 1= ) α sin kα cos α + cos kα sin α ≤ sin kα . cos α + cos kα . sin α ≤ sin kα + sin α ≤ k sin α + sin α= ( k + 1) . sin α Vậy đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n . Bài 5 k 1 n2 n  1. Ta chứng minh  1 +  < + + 1 ,1 ≤ k ≤ n (1) bằng phương pháp quy nạp theo k . Sau đó cho k = n ta có (7). n  k2 k 1 1 1 + + 1 = VP(1) * Với k = 1 ⇒ VT(1) = 1 + < n n2 n ⇒ (1) đúng với k = 1 . * Giải sử (1) đúng với k= p, 1 ≤ p ≤ n , tức là: p Ta chứng minh (1) đúng với k= p + 1 , tức là p2 p  1 + < + +1 1   n  n2 n 1  1 +  n  1  Thật vậy:  1 +  n  p +1 p +1 < (p + 1)2 n 2 + (2). p+1 + 1 (3). n p  1  1   p2 p 1  =  1 +  . 1 +  <  + + 1  1 +  2   n  n n n n   p2 p2 + p p + 1 p p2 + p p + 1 = + + +1≤ + + +1 n n n3 n2 n2 n2 < p2 + 2p + 1 n2 + p+1 (p + 1)2 p + 1 + 1= + + 1 ⇒ (3) đúng ⇒ đpcm. n n n2 Cách khác: Khi n = 1 ⇒ 2 < 3 (đúng) dễ thấy khi n > 1 ⇒ n 1 1  tiến dần về 0 ⇒  1 +  tiến gần về 1 .Vậy ∀n ≥ 1 ta luôn có n n  n  1 1 +  < 3 n  2. Với n = 2 ta có: VT = 32 = 9 > VP = 3.2 + 1 = 7 nên đẳng thức cho đúng với n = 1 • Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 2 , tức là: 3k > 3k + 1 (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là : Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3k +1 ≥ 3(k + 1) + 1 = 3k + 4 (2) Thật vậy: 3k +1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 3k + 4 + (6k − 1) > 3k + 4 nên (2) đúng. Vậy bài tóan được chứng minh. 2 3. Với n = 1 ta có: VT= = 2, VP= 3 ⇒ đẳng thức cho đúng với n = 1 1 • Giả sử đẳng thức cho đúng với n= k ≥ 1 , tức là: 2.4.6.2k > 2k + 1 (1) 1.3.5… ( 2k − 1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là: 2.4.6.2k(2k + 2) > 2k + 3 (2) 1.3.5… ( 2k − 1) (2k + 1) Thật vậy: 2.4.6.2k(2k + 2) 2k + 2 2k + 2 > 2k + 1. = 2k + 1 1.3.5… ( 2k − 1) (2k + 1) 2k + 1 Nên ta chứng minh 2k + 2 2 > 2k + 3 ⇔ ( 2k + 2 ) > (2k + 1)(2k + 3) 2k + 1 ⇔ 4 > 3 hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 6 1. Trong BĐT f(x + y) ≥ f(x).f(y) thay x và y bằng 2 x , ta được: 2 x x x x  x  f  +  ≥ f   .f   ⇒ f ( x ) ≥ f( )  2 2 2 2  2  Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1 . Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k ≥ 1 . Ta có   x f ( x ) ≥ f  k  2 Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , tức là :    2k   x  f ( x ) ≥ f  k +1     2  x Thật vậy ta có : f   k 2   x x    x  + ≥ f    = f       2k + 1 2k + 1    2k + 1   (1) 2k +1 (2) 2 2k 2    x     x   ⇒ f  ≥  f       k + 1      2k    2        2k 2k + 1   x    x  ⇒ f  ≥ f      2k     2k + 1   2k 2k +1   x  Do tính chất bắc cầu ta có được : f ( x ) ≥ f  k +1     2 Bất đẳng thức đúng với n= k + 1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n. Bài 7 1 1 1 1 1 <2− ⇔ < (hiển nhiên đúng) 1. 2 − + k (k + 1)2 k+1 k+1 k Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 > k + 1 ⇔ k(k + 1) > k (hiển nhiên) k+1 1 2 k+ < 2 k + 1 ⇔ 2 k(k + 1) < 2k + 1 k+1 2. k+ 2 ⇔ 4k(k + 1) < (2k + 1)= 4k(k + 1) + 1 (hiển nhiên). = 3. tan(n + 1)α tan nα + tan α > (n + 1) tan α 1 − tan nα.tan α ⇔ tan nα + tan α > (n + 1) tan α − (n + 1) tan 2 α.tan nα ⇔ tan nα 1 + (n + 1) tan 2 α  > n tan α (đúng)   4. 2 k +1 > 2(2k + 1) = 2k + 3 + 2k − 1 > 2k + 3 . 5. 2 k + 3 = 2.2 k + 2 > 2(2k + 5) = 2(k + 1) + 5 + 2k + 7 > 2(k + 1) + 5 6. 3k = 3.3k −1 > 3k(k + 2) = (k + 1)(k + 2) + 2k 2 + 3k − 2 > (k + 1)(k + 2) . 7. 2 k − 2 = 2.2 k − 3 > 2(3k − 1) = 3k + 2 + 3k − 4 > 3k + 2 8. • Với n = 1 thì bđt hiển nhiên đúng π π ≥ 1 . Ta cần chứng minh • Giả sử k cos − (k − 1)cos k k −1 π π  π π π (k + 1)cos − k cos ≥ 1 ⇔ k  cos − cos  ≥ 2 sin 2 k+1 k k+1 k 2(k + 1)  ⇔ k sin Ta có: (2k + 1)π π π sin ≥ sin 2 (1) 2k(k + 1) 2k(k + 1) 2(k + 1) (2k + 1)π π (2k + 1)π π π > > > 0 ⇒ sin > sin 2 2k(k + 1) 2(k + 1) 2k(k + 1) 2(k + 1) Mặt khác: sin nx ≤ n sin x ⇒ k sin π π ≥ sin 2k(k + 1) 2(k + 1) Từ đó ta có được (1) luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. 1 3 5 2k + 1 2k + 3 1 2k + 3 . . < 9. . . .... 2 4 6 2k + 2 2k + 4 2k +4 3k + 4 Và 1 2k + 3 1 < 3k + 4 2k + 4 3k + 7 . ⇔ (3k + 7)(2k + 3)2 < (3k + 4)(2k + 4)2 ⇔ k + 1 > 0 (đúng). 10. k + 1 2 k +1 −1 < k+1⇔ 1 2 k +1 −1 < 1 (đúng). Bài 8 1 2 3 4 = ,S 2 = ; S3 = ,S 4 3 5 7 9 n 2. Dự đoán công thức S n = . 2n + 1 S1 1. Ta có= Bài 9 • Ta chứng minh (2) đúng với n = 2 k , k ≥ 1 * Với k = 1 thì (8.2) đúng (do (1)) * Giả sử (2) đúng với n = 2 k , ta chứng minh (2) đúng với n = 2 k +1  x1 + ... + x k  2  Thật vậy: f(x1 ) + ...f(x k ) ≥ 2 k f  k 2   2   Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 x + ... + x k +1  k  2 k +1 2  ) ≥ 2 f k 2 k +1 2 k +1   2    x1 + ... + x k   x k + ... + x k +1 2  2 + 2 k f  2 +1 Do đó: f(x1 ) + ...f(x k +1 ) ≥ 2 k f  k k 2    2 2     x1 + ... + x k + x k + ... + x k +1  2 2 +1 2 . ≥ 2 k +1 f  k +1   2   f(x ) + ...f(x Do vậy (2) đúng với mọi n = 2 k . • Giả sử (2) đúng với mọi n = k + 1 ≥ 3 , tức là f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k +1 ) k+1 Ta chứng minh (8.2) đúng với n = k , tức là f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k ) k Thật vậy: đặt x k +1 =      x + x 2 + ... + x k +1  ≥ f 1  (3) k+1    x + x 2 + ... + x k  ≥ f 1  (4) k   x1 + x 2 + ... + x k x , áp dụng (3) ta có = k k x  x f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k ) + f   x1 + x 2 + ... +   k   ≥f k  k+1 k + 1     Hay f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k )  x + x 2 + ... + x k  ≥ f 1 . k   k Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Chứng minh tương tự ta cũng có bài toán sau f(x) + f(y) ≥ f( xy) ∀x, y ≥ 0 (a) thì ta có Nếu 2 f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n ) ≥f n ( n x1x 2 ...x n ) 1,n (b). với ∀xi ≥ 0, i = Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học Các ví dụ Ví dụ 1. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: a n = 16 n – 15n – 1 225 Lời giải. • Với n = 1 ta có: a1= 0 ⇒ a1  225 . • Giả sử a k = 16 k − 15k − 1 225 , ta chứng minh k +1 a k += − 15(k + 1) − 1 225 1 16 ( Thậ vậy: a k +1 = 16.16 k − 15k − 16 = 16 k − 15k − 1 − 15 16 k − 1 ( = a k − 15 16 k − 1 ( ) ) ) k Vì 16 = − 1 15. 16 k −1 + 16 k − 2 + ... + 1  15 và a k  225 Nên ta suy ra a k +1  225 . Vậy bài toán được chứng minh Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n) = 7 n + 3n − 1 luôn chia hết cho 9 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải. * Với n = 1 ⇒ A(1) = 7 1 + 3.1 − 1 = 9 ⇒ A(1) 9 * Giả sử A(k) 9 ∀k ≥ 1 , ta chứng minh A(k + 1) 9 Thật vậy: A(k + 1) = 7 k +1 + 3(k + 1) − 1 = 7.7 k + 21k − 7 − 18k + 9 ⇒ A(k += 1) 7A(k) − 9(2k − 1) A(k) 9 ⇒ A(k + 1) 9 Vì  9(2k − 1) 9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 . Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn = ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )…. ( 3n ) 3n Lời giải. • Với n = 1 , ta có : B1 = 2.3 3 • Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là : Bk = ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )…( 3k ) 3k Ta chứng minh : Bk +1 = ( k + 2 )( k + 3 )( k + 4 )…  3 ( k + 1)  3k +1 Bk +1= 3 ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )…( 3k )( 3k + 1)( 3k + 2 ) = 3Bk ( 3k + 1)( 3k + 2 ) Mà Bk  3k nên suy ra Bk +1  3k +1 . Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. Lời giải. Giả sử mệnh đề đúng với n= k ≥ 3 điểm. Ta chứng minh nó cũng đúng cho n= k + 1 điểm. Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A n và A n +1 là A n A n +1 . Nếu những điểm A1 ,A 2 ,…,A n nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n + 1 : Gồm n đường thẳng nối A n +1 với các điểm A1 ,A 2 ,…,A n và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A1 ,A 2 ,…,A n không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối A n +1 với các điểm A1 ,A 2 ,…,A n . Vì đường thẳng A n A n +1 không chứa một điểm nào trong A1 ,A 2 ,…,A n −1 , nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A1 ,A 2 ,…,A n . Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n + 1. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 3) bằng (n − 2)1800 . Lời giải. • Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 1800 • Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n , ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia ngiác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là ( k − 1) 1800 và ( n − k − 1) 1800 . Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là ( k – 1 + n −k – 1) 1800 = ( n − 2 ) 1800 . Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. n(2n 2 − 3n + 1) chia hết cho 6. 2. 11n +1 + 12 2n −1 chia hết cho 133 3. n7 − n chia hết cho 7 4. 13n − 1 chia hết cho 6 5. n 5 − n chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1 6. 16 n − 15n − 1 chia hết cho 225 với mọi n ≥ 1 7. 4.32n +1 + 32n − 36 chia hết cho 64 với mọi n ≥ 1 . Bài 2 1. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 2 , ta luôn có a n = ( n + 1)( n + 2 ) ... ( n + n ) chia hết cho 2n . 0 2. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2 − 27x + 14 = Đặt S ( n= ) a n + bn . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S(n) là một số nguyên không chia hết cho 715. f(1) 1,f(2) = 2 và f(n + 2)= 2f(n + 1) + f(n) . 3. Cho hàm số f :  →  thỏa= ( 1)n Chứng minh rằng: f 2 (n + 1) − f(n + 2)f(n) =− n 4. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 2 2 > pn . 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n! . 0 . Đặt a= Bài 3 Gọi x1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 − 6x + 1 = x1n + x n2 . Chứng minh rằng : n a n 6a n −1 − a n − 2 1. = ∀n ≥ 2 . 2. a n là một số nguyên và a n không chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1 . Bài 4 1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n ≥ 1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? 2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành n2 + n + 2 miền. 2 Bài 5 1. Cho a, b,c,d, m là các số tự nhiên sao cho a + d , (b − 1)c , ab − a + c chia hết cho m . Chứng minh rằng x n = a.bn + cn + d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . 2. Chứng minh rằng từ n + 1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. ĐÁP ÁN Bài 1 1. Đặt a n= n(2n 2 − 3n + 1)= 2n 3 − 3n 2 + n Ta có: a n +1 = 2(n + 1)3 − 3(n + 1)2 + n + 1 = a n + 6n 2 . 2. Đặt= a n 11n +1 + 12 2n −1 Ta có: a n +1 = 11.11n +1 + 12 2.12 2n −1 = 11.a n + 133.12 2n −1 3. Đặt a= n7 − n n 7 Ta có a n +1 = (n + 1)7 − (n + 1) = a n +1 = a n + ∑ C7k n7 − k i =1 7! = ,1 ≤ k ≤ 7 luôn chia hết cho 7 . Mà C7k k!(7 − k)! 4. Đặt a n= 13n − 1 ⇒ a n +1= 13a n + 12 5. Đặt a= n 5 − n thì ta có: a k +1 − a k = (k + 1)5 − k 5 − 1 = 5k(k 3 + 2k 2 + 2k + 1) . n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 ( 6. Đặt a n = 16 n − 15n − 1 thì ta có: a k +1 = 16 k +1 − 15k − 16 = a k + 15. 16 k − 1 ) 7. Đặt a= 4.32n +1 + 32n − 36 thì ta có: a k +1 = 4.32k + 3 + 32(k + 1) − 36 = a k + 32(32k +1 + 1) n Bài 2 1. * Với n = 2 , ta có : a 2 = ( 2 + 1)( 2 + 2 ) = 12 ⇒ a 2  4 = 2 2 . * Giả sử a k  2 k ta chứng minh a k +1  2 k +1 . Thật vậy: a k +1 = = = = ( k + 1 + 1)( k + 1 + 2 ) … ( k + k + 1 + 1) ( k + 2 )( k + 3 ) … ( k + k + 2 ) ( k + 2 )( k + 3 ) … ( k + k )( k + k + 1)( k + k + 2 ) ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 ) … ( k + k )  .2. ( k + k= + 1)   k Do a k  2 ⇒ 2a k  2 2a k .(k 2 + k + 1) ak k +1 ⇒ a k +1  2 k +1 đpcm. = 27S(n − 1) − 14S(n − 2) rồi dùng quy nạp để chứng minh S(n) chia hết cho 751 . 2. Ta có: S(n) 3. 2 2 − 5.1 = ( −1)1 • Ta có: f(3) = 2f(2) + f(1) = 5 , nên f 2 (2) − f(3)f(1) = Suy ra đẳng thức cho đúng với n = 1 . • Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k , tức là: f 2 (k + 1) − f(k + 2)f(k) =− ( 1)k (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với n= k + 1 , tức là: f 2 (k + 2) − f(k + 3)f(k + 1) =− ( 1)k +1 (2) Ta có: f 2 (k + 2) − f(k + 3)f(k + 1)= f 2 (k + 2) −  2f(n + 2) + f(n + 1) f(k + 1) =f(k + 2) f(k + 2) − 2f(k + 1) − f 2 (k + 1) = f(k + 2)f(k) − f 2 (k + 1) = −( −1)k = ( −1)k +1 Vậy bài toán được chứng minh. 4. Trước hết ta có nhận xét: p1 .p2 …pn + 1 > pn +1 1 • Với n = 1 ta có: 2 2 =4 > p1 =2 k • Giả sử 2 2 > pk ∀k ≤ n , ta cần chứng minh 2 2 1 2 Thật vậy, ta có: 2 2 .2 2 …2 2 pk 1 + 22 +…+ 2k Suy ra 2 2 k +1 > pk +1 + 1 > p1 .p2 …pk + 1 > pk +1 2k +1 −1 k +1 > pk +1 ⇒ 2 2 + 1 > pk +1 ⇒ 2 2 > pk +1 Vậy bài toán được chứng minh 5. • Với n = 1 bài toán hiển nhiên đúng. • Giả sử bài toán đúng với n = k , ta chứng minh bài toán đúng với n= k + 1 a (k + 1)! thì bài toán hiển nhiên đúng Nếu = Ta xét a < (k + 1)! , ta có: a =(k + 1)d + r với d < k!,r < k + 1 Vì d < k! nên d = d1 + d 2 + ... + d k với di (i = 1,k) là các ước đôi một khác nhau của k! Khi đó: a = (k + 1)d1 + (k + 1)d 2 + ... + (k + 1)d k + r Vì (k + 1)di ,r là các ước đôi một khác nhau của (k + 1)! Vậy bài toán được chứng minh. Bài 3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. Ta có: a n = (x1 + x 2 )(x1n −1 + x 2n −1 ) − x1x 2 (x1n − 2 + x1n − 2 ) 6 x + x 2 = nên ta có: Theo định lí Viét:  1 x1x 2 = 1 a n = 6(x1n −1 + x n2 −1 ) − (x1n − 2 + x1n − 2 ) = 6a n −1 − a n − 2 . 2. * Với n =1 ⇒ a1 =x1 + x 2 =6 ⇒ a1 ∈  Và a1 không chia hết cho 5 * Giả sử a k ∈  và a k không chia hết cho 5 với mọi k ≥ 1 . Ta chứng minh a k +1 ∈  và a k +1 không chia hết cho 5. Do a k= +1 6a k − a k −1 Mà a k ,a k −1 ∈  ⇒ a k +1 ∈  . Mặt khác: a k +1 = 5a k + (a k − a k −1 ) = 5a k + 5a k −1 − a k − 2 5a  5 Vì a k − 2 không chia hết cho 5 và  k nên suy ra a k +1 không chia hết cho 5. 5a k −1  5 Bài 4 1. Giả sử n mặt phẳng chia không gian thành a n miền Ta chứng minh được: a n += 1 an + n2 + n + 2 2 (n + 1)(n 2 − n + 6) . 6 2. Gọi a n là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Từ đó ta tính được: a n = Ta có: a1 = 2 . Ta xét đường thẳng thứ n + 1 (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành n + 1phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của a n . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của a n sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm là n + 1 . Do vậy, ta có: a n +1 = a n + n + 1 Từ đây ta có: a n = n2 + n + 2 . 2 Bài 5 1. • Với n = 0 ta có x0= a + d m • Giả sử x k = a.bk + ck + d m với k ≥ 0, k ∈  , ta chứng minh k +1 x k= + c(k + 1) + d m . Thật vậy: +1 a.b + c bk ( ab − a + c ) − c.bk + c x k +1 −= x k a.bk +1 − a.bk = ( = bk ( ab − a + c ) − c(b − 1) bk −1 + bk − 2 + ... + 1 ) Mà x k ,ab − a + c,c(b − 1) m ⇒ x k +1  m Vậy bài toán được chứng minh. 2. • Với n = 1 ta thấy bài toán hiển nhiên đúng • Giả sử bài toán đúng với n − 1 , có nghĩa là: từ n số bất kì trong 2n − 2 số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh bài toán đúng với n , tức là: từ n + 1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh bằng phản chứng: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Giả sử tồn tại một tập con X có n + 1 phần tử của tập A = {1,2,...,2n} sao cho hai số bất kì trong X không là bội của nhau. Ta sẽ chứng minh rằng có một tập con X ' gồm n phần tử của tập {1,2,...,2n − 2} sao cho hai phần tử bất kì của X ' không là bội của nhau Để chứng minh điều này ta xét các trường hợp sau đây TH 1: X không chứa 2n và 2n − 1 Ta bỏ đi một phần tử bất kì của tập X ta được một tập X ' gồm n phần tử và là tập con của {1,2,...,2n − 2} mà hai phần tử bất kì thuộc X ' không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n mà không chứa 2n − 1 Ta bỏ đi phần tử 2n thì ta thu được tập X ' gồm n phần tử và là tập con của {1,2,...,2n − 2} mà hai phần tử bất kì thuộc X ' không là bội của nhau. TH 3: X chứa 2n − 1 mà không chứa 2n Ta bỏ đi phần tử 2n − 1 thì ta thu được tập X ' gồm n phần tử và là tập con của {1,2,...,2n − 2} mà hai phần tử bất kì thuộc X ' không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n và 2n − 1 Vì X không chứa hai số là bội của nhau nên X không chứa n và ước của n (Vì nếu chứa ước của n thì số đó là ước của 2n ) Bây giờ trong X , ta bỏ đi hai phần tử 2n − 1 và 2n rồi bổ sung thêm n vào thì ta thu được tập X ' gồm n phần tử và là tập con của {1,2,...,2n − 2} mà hai phần tử bất kì thuộc X ' không là bội của nhau. Như vậy ta luôn thu được một tập con X ' gồm n phần tử của tập {1,2,...,2n − 2} mà các phần tử không là bội của nhau. Điều này trái với giả thiết quay nạp. Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n  1. C. n  p. B. n  p. D. n  p. Lời giải. Chọn B. Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A n  đúng với n  k . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k  p. B. k  p. C. k  p. D. k  p. Lời giải. Chọn B. Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n  đúng với n  p.  Bước 2, giả thiết mệnh đề A n  đúng với số tự nhiên bất kỳ n  k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai. Lời giải. Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n  1 chia hết cho 7, n   * '' * như sau:  Giả sử * đúng với n  k , tức là 8k  1 chia hết cho 7.  Ta có: 8k 1  1  8 8k  1  7 , kết hợp với giả thiết 8k  1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n   * . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n  1 , khi đó ta có 81  1  9 không chi hết cho 7. Câu 5. Cho Sn  A. S3  1 1 1 1    ...  với n   * . Mệnh đề nào sau đây đúng? n.n  1 1 2 2  3 3  4 1 . 12 1 B. S2  . 6 Lời giải. Nhìn vào đuôi của Sn là Do đó với n  2 , ta có S2  Câu 6. Cho Sn  A. Sn  2 C. S2  . 3 1 D. S3  . 4 1 1 1   cho n  2 , ta được  . n.n  1 2.2  1 2  3 1 1 2   . Chọn C. 1 2 2  3 3 1 1 1 1    ...  với n   * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 2  3 3  4 n.n  1 n 1 . n B. Sn  n . n 1 C. Sn  n 1 . n2 D. Sn  n2 . n 3 1 2 3 Lời giải. Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1  , S2  , S3  . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị. 2 3 4 Chọn B. 1 2 3 n  dự đoán Sn  Cách tự luận. Ta có S1  , S2  , S3   . 2 3 4 n 1  Với n  1 , ta được S1  1 1  : đúng. 1.2 1  1  Giả sử mệnh đề đúng khi n  k k  1 , tức là  Ta có k 1 1 1   ...   . 1.2 2.3 k k  1 k  1 k 1 1 1   ...   1.2 2.3 k k  1 k  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  k 1 1 1 1 1   ...     k k  1 k  1k  2 k  1 k  1k  2 1.2 2.3  k 2  2k  1 1 1 1 1   ...    k k  1 k  1k  2 k  1k  2 1.2 2.3  1 1 1 1 k 1   ...    . Suy ra mệnh đề đúng với n  k  1 . 1.2 2.3 k k  1 k  1k  2 k  2 Câu 7. Cho Sn  A. Sn  1 1 1   ...  với n   * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 3  5 2n 1 2n  1 n 1 . 2n 1 n . 2n  1 B. Sn  n . 3n  2 C. Sn  n2 . 2n  5 D. Sn   1 n  1   S1   3  6  S2  . Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. Chọn B. Lời giải. Cho n  2   15  3 n  3   S3   7   1  1  1 Câu 8. Cho Pn  1  2 1  2 ...1  2  với n  2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  2  3   n  A. P  n 1 . n2 n 1 . 2n B. P  C. P  n 1 . n D. P  n 1 . 2n    1 3 n  2   P2  1  2     2  4   Lời giải. Vì n  2 nên ta cho  .    1   1  2    P3  1  2 .1  2   n  3    2   3  3   Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D. Câu 9. Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai? A. 1  2  ...  n  n n  1 2 B. 1  3  5  ...  2n 1  n 2 . C. 12  2 2  ...  n 2  n n  12n  1 6 2 D. 2 2  4 2  6 2    2n   2n n  12n  1 6 . Lời giải. Bẳng cách thử với n  1 , n  2 , n  3 là ta kết luận được. Chọn D. Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n   * , số n 3  3n 2  5n chia hết cho 3. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 II) Với mọi n   * , ta có 1 1 1 13 .   ...   n 1 n  2 2n 24 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Lời giải. Chọn A.  Ta chứng minh I) đúng. Với n  1 , ta có u1  13  3.12  5.1  9  3 : đúng. Giả sử mệnh đề đúng khi n  k k  1 , tức là uk  k 3  3k 2  5k  3 . Ta có uk 1  k 3  3k 2  5k   3k 2  9 k  9  uk  3 k 2  3k  3 3. Kết thúc chứng minh.  Mệnh đề II) sai vì với n  1, ta có VT  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 1 1 12 13 : Vô lý.    1  1 2 24 24 - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2. DÃY SỐ A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT 1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên Ta kí hiệu bởi : và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, hạng đầu của dãy số. Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển hoặc dạng rút gọn được gọi là số . 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách: Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó Cho bằng công thức truy hồi, tức là: * Cho một vài số hạng đầu của dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số gọi là dãy tăng nếu Dãy số gọi là dãy giảm nếu 4. Dãy số bị chặn Dãy số gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực Dãy số gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho sao cho . . Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI cho . sao Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1, 3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Ví dụ 2. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u n = n 2 + 3n + 7 n+1 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. 1 u = Ví dụ 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  1 . u n 2u n −1 + 3 ∀n ≥ 2 = 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng = u n 2 n +1 − 3 ; 3. Số hạng thứ 2012 2012 của dãy số có chia hết cho 7 không? u = u 2 + 2v 2 n +1 n n với n ≥ 2 . u1 3,v = Ví dụ 4. Cho hai dãy số (u n ),(v n ) được xác định như sau= 1 2 và  v n +1 = 2u n .v n ( 1. Chứng minh : u 2n − 2v 2n = 1 và u n − 2v n = 2 − 1 ) 2n với ∀n ≥ 1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy (u n ) và (v n ) . 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 1 Cho dãy số (u n ) có số hạng tổng quát u n = 2n + 1 . n+2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 167 3. Số có thuộc dãy số đã cho hay không 84 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên. 3 u = −1,u 2 = Bài 2 Cho dãy số (a n ) xác định bởi:  1 . u n += 1 5u n − 6u n −1 ∀n ≥ 2 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy 2. Chứng minh rằng: = u n 5.3n −1 − 6.2 n −1 , ∀n ≥ 1 . Bài 3 Cho dãy số (u n ) có số hạng tổng quát: u n =2n + n 2 + 4 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính u 20 ,u 2010 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. u1 = 2  Bài 4 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  u= n 2u n −1 + 3n − 1, n ≥ 2 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy 2. Chứng minh rằng u= 5.2 n − 3n − 5 ∀= n 1, 2, 3,... n 3. Tìm số dư của u 2010 khi chia cho 3 u 2 2009 = u 2008; = n≥1 Bài 5 Cho dãy số (u n ) :  1  2u n += 1 un + un+2 1. Chứng minh rằng dãy (v n ) : v= n u n − u n −1 là dãy không đổi 2. Biểu thị u n qua u n −1 và tìm CTTQ của dãy số (u n ) u1= 1; u 2= 2  n≥2 Bài 6 Cho dãy số (u n ) :  u 2n u =  n +1 u n −1  u 1. Chứng minh rằng dãy (v n ) : v n = n là dãy không đổi u n −1 2. Tìm công thức tổng quát của dãy (u n ) . 2 u = Bài 7. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi  1 .  u n = 2u n −1 + 3, n ≥ 2 1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng = u n 5.2 n −1 − 3 với ∀n ≥ 2 ; 3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu? = u 3 6,u = : u1 1,u Bài 8. Cho dãy số (u n ) có 4 số hạng đầu là = 2 3, = 4 10 . 1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên; 2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên. Bài 9 1. Cho dãy (u n ) : u n= 1 (2 + 5)n + (2 − 5)n  .Chứng minh rằng u 2n là số tự nhiên chẵn và u 2n +1 là số tự nhiên   2 lẻ. 2. Cho dãy số (u n ) : u n = (4 − 2 3)n + (4 + 2 3)n . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  u1 = 1  3. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) có vô hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ. 3  =  u n +1  2 u n  , n ≥ 1    2 u0 1,u = 4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương (u n ) thỏa:= 1. 1 2 và u n + 2 .u n − u n +1 = Bài 10. (Dãy Fibonacci) F1 1,F = Fn Fn −1 + Fn − 2 Cho dãy số (Fn ) được xác định bởi= 2 1 và= Chứng minh rằng: n n  1− 5   1  1 + 5  = 1. Fn   −    2   5  2      F2n + 2 với mọi n ≥ 2 . 2. Fn2 + Fn2+1 = F2n +1 và Fn Fn +1 + Fn +1Fn + 2 = 3. Fn  5k ⇔ n 5k . 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän n 2n . Năm số hạng đầu tiên Câu 6. Cho dãy số un , biết un  1n . . Tìm số hạng u3 . n 1 n của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? 8 8 A. u3  . B. u3  2. C. u3  2. D. u3   . 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 3 A.  ;  ;  ;  ;  . B.  ;  ;  ;  ;  . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 u1  2    1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 u Câu 7. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số  n  1 C. ; ; ; ; . D. ; ; ; ; .  un 1  un  1  3 4 5 6 7 2 3 4 5 6  3  Câu 1. Cho dãy số un  , biết un  n Câu 2. Cho dãy số un  , biết un  n . Ba số hạng đầu tiên 3 1 của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 1 1 1 1 1 3 ; ; . B. ; ; . 2 4 8 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 hạng u4 . 5 A. u4  . B . u4  1. 9 Câu 8. Cho dãy un  C. 4;7;10. Câu 4. Cho dãy số un , biết un  D. 1;3;7. 2n 2 1 . Tìm số hạng u5 . n2  3 7 C. u5  . 4 71 D. u5  . 39 C. u4  Câu 9. Cho dãy số un , biết un  14 . 27 31 . 8 D. u5  63 . 16 8 n 1 . Số là số hạng 15 2n  1 thứ mấy của dãy số? A. 8. 1 17 A. u5  . B . u5  . 4 12 D. u4   u1  3    xác định bởi  . Mệnh đề u  un 1  n  2   2  u1  1 Câu 3. Cho dãy số un  , biết  với n  0 . Ba số nào sau đây sai? un 1  un  3 hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới 5 15 A. u2  . B. u3  . đây? 2 4 A. 1;2;5. B. 1;4;7. 2 C. u4  . 3 B. 6. C. 5. Câu 10. Cho dãy số un , biết un  D. 7. 7 2n  5 . Số là số hạng 5n  4 12 n Câu 5. Cho dãy số un , biết un  1 .2n. Mệnh đề nào sau thứ mấy của dãy số? đây sai? A. u1  2. B. u2  4. A. 8. C. u3  6. D. u4  8. B. 6. - 0946798489 D. 10. Câu 11. Cho dãy số un , biết un  2 n. Tìm số hạng un 1 . A. un 1  2 n.2. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. 9. B. un 1  2 n  1. Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 C. un 1  2 n  1. D. un 1  2 n  2. Câu 12. Cho dãy số un  , biết un  3n. Tìm số hạng u2 n1 . A. u2 n1  32.3n 1. B. u2 n1  3n.3n1. C. u2 n1  32 n 1. D. u2 n1  3 . Câu 13. Cho dãy số un , với un  5n 1. Tìm số hạng un1 . B. un1  5n. C. un1  5.5n 1. D. un1  5.5n1. . Tìm số hạng un 1 .  n 1   A. un 1    n  1 2 n 13 2 n 13 . . 2 n 5 2 n 3  n  C. un 1    n  2   n 1   B. un 1    n  1 .  n  D. un 1    n  2  . C. un  2 n 1. D. un  2.  u1  1 . Số Câu 19. Cho dãy số un , được xác định  2  un 1  un  2 hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un  2 n 3  n 1  Câu 14. Cho dãy số un , với un    n  1 tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un  n n1 . B. un  2 n. 2n 1 A. un1  5n1. u1  2 . Số hạng Câu 18. Cho dãy số un , được xác định  un 1  2un 1  2 n 1. 2 1 C. un   2n. 2 B. un  1  2 n 1. 2 D. un  1  2n. 2 u1  2 . Câu 20. Cho dãy số un , được xác định   un 1  un  2n 1 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 B. un  2  n 2 . 2 D. un  2  n 1 . A. un  2  n 1 . C. un  2  n  1 . 2 1 2 3 4 Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;. có số 2 3 4 5 u1  1 . Số Câu 21. Cho dãy số un , được xác định  hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?  un 1  un  n 2  n 1 n hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? . . B. un  A. un  n 1 n n (n  1)(2n  1) . A. un  1  n2  n n 1 6 . . D. un  C. un  n 1 n n (n 1)(2n  2) . B. un  1  Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1;. có số 6 hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? n (n 1)(2n 1) . C. un  1  A. un  1. B. un  1. 6 n C. un  1 . n 1 D. un  1 . Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;. Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. un  2n. B. un  n  2. C. un  2 n  1. D. un  2n  4. D. un  1  u1  2  Câu 22. Cho dãy số un , được xác định  1 . Số un 1  2  un  hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 n (n  1)(2n  2) . 6 n  1 . n B. un  n 1 . n Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 C. un   n¨m häc 2018 n 1 . n D. un   n . n 1 u1  1 Câu 23. Cho dãy số un , được xác định  2n . un 1  un  1 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un  1  n. 2n C. un  1  1 . u1  6 . A.  un  6un1 , n  1 u1  6 . B.  un  3un1 , n  1 u1  3 . C.  un  3un1 , n  1 u1  3 . D.  un  6un1 , n  1 B. un  1  n. a1  3   Câu 25. Cho dãy số an , được xác định  .  an 1  1 an , n  1   2  D. un  n. Mệnh đề nào sau đây sai? Câu 24. Cho dãy số un  có số hạng tổng quát là un  2 3n  với n   * . Công thức truy hồi của dãy số đó là: A. a1  a2  a3  a4  a5  C. an 1  an  93 . 16 9 . 2n B. a10  D. an  3 . 512 3 . 2n Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của dãy số ta xét : * Nếu dãy tăng * Nếu dãy giảm. Khi ta có thể xét * Nếu dãy tăng * Nếu dãy giảm. Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp. 1. caùc ví duï minh hoïa 2  u1 =  Ví dụ 1. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy giảm và bị chặn. u n −1 + 1 = ∀n ≥ 2 u n  2 u1 1,= u2 2 = Ví dụ 2. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy tăng và bị chặn u n + u n −1 ∀n ≥ 2 u n += 1 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. u n = 3. u n = 3n 2 − 2n + 1 n+1 n n2 − 1 2. u n =− 3n − 1 2n Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u n ) , biết: 1. u n = 2n − 13 3n − 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 2. u n = n 2 + 3n + 1 n+1 - 0946798489 4. u n = 3. u n = n + ( −1) n n2 1 1 + n + n2 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 2n + + ... + 5. u n =1 + . 2 2 n! 2 3 n2 Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 2n + 1 1. u n = 2. u n = ( −1)n n+2 4. u n = 4. u n =4 − 3n − n 2 5. u n = Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1 1 1 + + ... + 1. u n = 1.3 2.4 n.(n + 2) n2 + n + 1 2 n −n+1 2. u n =  u1 = 1  u n −1 + 2 3.  ,n≥2 = u n u n −1 + 1  Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau  u1 = 1 1.  3 3 u n +1 = u n + 1, n ≥ 1 3. u= n 3n − 1 6. u n = n+1 n2 + 1 1 1 1 + + ... + 1.3 3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1)  u1 = 2  2.  u 2n + 1 u =  n +1 4  n≥1 Bài 6 1. Chứng minh rằng dãy số (u n ) xác định bởi = un 2010 + 2010 + ... + 2010 (n dấu căn). Là một dãy tăng. u1 1,= u2 2 = . Chứng minh rằng dãy (u n ) tăng và bị chặn. 2. Cho dãy số (u n ) :  3 3 u n =u n −1 + u n − 2 , n ≥ 3 an + 2 , n≥1 = 3. Cho dãy số (u n ) : un 2n − 1 a) Khi a = 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. 2 u = 4. Cho dãy số (u n ) :  1 u n = 3u n −1 − 2, n = 2, 3.. a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh u n = 3n −1 + 1, n = 1, 2,... 5. Cho dãy số u n = −5.2 n −1 + 3n + n + 2 , n = 1, 2,... a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh rằng: u n = 2u n −1 + 3n −1 − n . Bài 7 1. Cho dãy số (u n ) : u n = (1 − a)n + (1 + a)n ,trong đó a ∈ (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số b)Xét tính đơn điệu của dãy số  u1 = 1  . 2. Cho dãy số (u n ) được xác định như sau:  1 − 2, n ≥ 2 u n = 3u n −1 + 2u n −1  a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng u n > 0, ∀n b) Chứng minh dãy (u n ) là dãy tăng. u0 = 2011  3. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi :  u 2n = u n +1 , ∀n 1, 2,… = un + 1  a) Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy giảm Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 b) Tìm phần nguyên của u n với 0 ≤ n ≤ 1006 . u = 2, u 2= 6 4. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  1 u n + 2 = u n + 2u n +1 , ∀n= 1, 2,… n n 0 . Chứng minh rằng: u= a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2x − 1 = n a +b b) Chứng minh rằng: u 2n +1 − u n + 2 u n = ( −1)n −1 .8 . Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau n+1 2. (u n ) : u n = n 3 + 2n + 1 1. (u n ) : u n = n+2  u1 = 2 u1 2,= u2 3 =  3. (u n ) :  4.  . un + 1 u n + u n −1 , ∀n ≥ 2 u n +1 , ∀n ≥ 2 u n += = 1  2 Bài 9  x0 = 1  1. Cho dãy số (x n ) :  2n n −1 = = x ∑ xi , n 2, 3,…  n (n − 1)2 i =1  y n x n +1 − x n . Chứng minh rằng dãy (y n ) là một tăng và bị chặn. Xét dãy số = u0= 1, u1= 3   u2  . 2. Cho dãy số nguyên dương (u n ) thỏa :   n +1  , n ≥ 0 = + u 1  n+2  u n   Chứng minh rằng: u n + 2 u n − u n2 +1 = 2 n với mọi số tự nhiên n . u0 = 0 3. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  . 2 u n +1 = 5u n + 24u n + 1, n = 0,1,.. Chứng minh rằng dãy số (u n ) là dãy số nguyên. 1 (2 + 5)n + (2 − 5)n   2 là số tự nhiên chẵn và u 2n +1 là số tự nhiên lẻ. 4. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: u n= Chứng minh rằng u 2n 5. Cho hai dãy số (x n );(y n ) xác định : x = x 2 n n −1 + 1 + x n −1 x1 = 3  và  , ∀n ≥ 2 . y n −1   y1 = 3 yn = 1 + 1 + y 2n −1  Chứng minh rằng 2 < x n y n < 3, ∀n ≥ 2 . 1 u0 =  6. Cho dãy số số (u n ) được xác định bởi:  1 1 u n +1  u n + = 2 3u n  3 Chứng minh rằng: a n = là một số chính phương. 2 3u n − 1 .   1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 4 8 16 1 1 1 1 ; B . 1;  ; ;  ; 2 4 8 16 Câu 27. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 A. un  n¨m häc 2018 1 . 2n D. Dãy số un  n  sin 2 n là dãy tăng. 1 B. un  . n 2n 1 . D. un  n 1 n 5 . C. un  3n  1 Câu 28. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  2 . 3n Câu 33. Cho dãy số un  , biết un  chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 1 . 3 B. 1. C. 1 . 2 D. 0. Câu 34. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un 3 B. un  . n sau, dãy số nào bị chặn trên? n D. un  2 . C. un  2 n. 3n 1 . Dãy số un  bị 3n  1 Câu 29. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  n 2 . B. un  2 n. 1 C. un  . D. un  n  1. n Câu 35. Cho dãy số un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 1 A. un  n . 2 3n 1 . B. un  n 1 A. 0. C. un  n 2 . D. un  n  2. C. Câu 30. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? n2 1 . n A. un  sin n. B. un  C. un  n  n 1. D. un  1 .2 n  1. n Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. Dãy số un   2 là dãy tăng. n B. Dãy số un  1 2n  1 là dãy giảm. 2. B. 1. D. Không bị chặn trên. Câu 36. Cho dãy số un  , biết un  sin n  cos n. Dãy số un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C.  2. D. Không bị chặn dưới. Câu 37. Cho dãy số un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. m  2; M  2. 1 B. m   ; M  3  1. 2 n C. Dãu số un  n 1 là dãy giảm. n 1 D. Dãy số un  2n  cos 1 là dãy tăng. n Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Dãy số un  1 n n 1 1 C. m   3  1; M  3 1. D. m   ; M  . 2 2 n Câu 38. Cho dãy số un , biết un  1 .52 n 5. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. là dãy giảm. C. Dãy số un  bị chặn. B. Dãy số un  2n 2  5 là dãy tăng. D. Dãy số un  không bị chặn.  1 C. Dãy số un  1   là dãy giảm.  n  n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 Câu 39. un  n¨m häc 2018 Cho dãy un , số với A. un  1 1 1 , n  1; 2; 3. Mệnh đề nào   ...  1.4 2.5 n n  3 Câu C. Dãy số un  bị chặn. 43. Cho dãy un , số Cho dãy un , số xác định A. 5 6  un  . 2 B. 6  un  3. C. 6  un  2. D. 6  un  2 3. D. Dãy số un  không bị chặn. 40. D. un  n 2 . bởi u1  6  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  * un 1  6  un , n   B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. Câu B. un  3n. C. un  n  1. sau đây đúng? A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. 1 . 2n với  1 1 1 Câu 44. Cho dãy số un , với un  sin . Khẳng định nào   ...  ,  n  2; 3; 4;  . Mệnh đề nào sau đây n 1 2 2 2 2 3 n sau đây là đúng? đúng? un  A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. A. Số hạng thứ n  1 của dãy là un 1  sin B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. B. Dãy số un  là dãy số bị chặn. C. Dãy số un  bị chặn. C. Dãy số un  là một dãy số tăng. D. Dãy số un  không bị chặn. D. Dãy số un  không tăng không giảm. Câu 41. Trong các dãy số un  sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? n Câu 45. Cho dãy số un , với un  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. un  n 2  1. 1 B. un  n  . n C. un  2 n  1. D. un  n . n 1 Câu 42. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  . n 1 - 0946798489 A. Dãy số un  là dãy số tăng. B. Dãy số un  là dãy số giảm. C. Dãy số un  là dãy số bị chặn. D. Dãy số un  là dãy số không bị chặn. Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 DÃY SỐ Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Lời giải. Xét dãy (u n ) có dạng: u n = an 3 + bn 2 + cn + d a + b + c + d =−1  3 8a + 4b + 2c + d = Ta có hệ:  19 27a + 9b + 3c + d = 64a + 16b + 4c + d = 53 1, b = 0,c = −3,d = 1 Giải hệ trên ta tìm được: a = ⇒ u n = n 3 − 3n + 1 là một quy luật . Số hạng thứ 10: u10 = 971 . Ví dụ 2. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u n = 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Lời giải. 1. Ta có năm số hạng đầu của dãy n 2 + 3n + 7 n+1 12 + 3.1 + 7 11 17 25 47 = ,= u2 , u3 , u 4 7,= u5 = = 1+1 2 3 4 6 5 5 2. Ta có: u n = n + 2 + , do đó u n nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n + 1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n+1 n+1 n+1= 5 ⇔ n = 4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u 4 = 7 . = u1 1 u = . Ví dụ 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  1 u n 2u n −1 + 3 ∀n ≥ 2 = 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; u n 2 n +1 − 3 ; 2. Chứng minh rằng = 3. Số hạng thứ 2012 2012 của dãy số có chia hết cho 7 không? Lời giải. 1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 = 1; u 2= 2u1 + 3= 5 ; u 3= 2u 2 + 3= 13; u 4= 2u 3 + 3= 29 u 5= 2u 4 + 3= 61 . 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * Với n = 1 ⇒ u1 = 21+1 − 3 = 1 ⇒ bài toán đúng với N = 1 k+2 u k 2 k +1 − 3 , ta chứng minh u= −3 * Giả sử = k +1 2 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có: u k +1= 2u k + 3= 2(2 k +1 − 3) + 3= 2 k + 2 − 3 đpcm. 3. Ta xét phép chia của n cho 3 * n = 3k ⇒ u n = 2(2 3k − 1) − 1 Do 2 3k − 1 = 8 k − 1 = 7.A 7 ⇒ u n không chia hết cho 7 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 * n = 3k + 1 ⇒ u n = 4(2 3k − 1) + 1 ⇒ u n không chia hết cho 7 * n = 3k + 2 ⇒ u n = 8(2 3k − 1) + 5 ⇒ u n không chia hết cho 7 Vậy số hạng thứ 2012 2012 của dãy số không chia hết cho 7. u = u 2 + 2v 2 n n với n ≥ 2 . Ví dụ 4. Cho hai dãy số (u n ),(v n ) được xác định như sau= u1 3,= v1 2 và  n +1 v n +1 = 2u n .v n ( 1 và u n − 2v n = 2 − 1 1. Chứng minh : u 2n − 2v 2n = ) 2n với ∀n ≥ 1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy (u n ) và (v n ) . Lời giải. 1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp 1 (1) a) Chứng minh: u 2n − 2v 2n = • Ta có u12 − 2v12 =32 − 2.2 2 =1 nên (1) đúng với n = 1 1 , khi đó ta có: • Giả sử u 2k − 2v 2k = ( u 2k +1 − 2v 2k +1 =u 2k + 2v 2k ) 2 ( − 2 ( 2u k v k ) =u 2k − 2v 2k ) 2 = 1 Từ đó suy ra (1) đúng với ∀n ≥ 1 . ( b) Chứng minh u n − 2v n = 2 − 1 ) 2n (2) ( Ta có: u n − 2v n =u 2n −1 + 2v 2n −1 − 2 2u n −1v n −1 = u n −1 − 2v n −1 ( • Ta có: u1 − 2v1 = 3 − 2 2 =2 − 1 ( • Giả sử u k − 2v k = 2 − 1 ) 2k ) 2 ) 2 nên (2) đúng với n = 1 , ta có: ( u k +1 − 2v k +1 = u k − 2v k ) ( 2 =2 − 1 ) 2 k +1 Vậy (2) đúng với ∀n ≥ 1 . ( 2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: u n + 2v n = 2 + 1  2n 2n 2u n = 2 + 1 + − 2 1  Do đó ta suy ra  2n  − 2 −1 2 2v n = 2 + 1  ( ) ( ( ) 2n ) ) ( ) 2n  2n 2n  1 u n=  2 +1 + 2 −1  2    . Hay  2n 2n   1   2 +1 = − 2 −1  v n  2 2   ( ( ) ( ) ) ( ) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho dãy số (u n ) có số hạng tổng quát u n = 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 167 3. Số có thuộc dãy số đã cho hay không 84 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 2n + 1 . n+2 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 u = −1, u 2 = Bài 2 Cho dãy số (a n ) xác định bởi:  1 . u n += 1 5u n − 6u n −1 ∀n ≥ 2 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy = u n 5.3n −1 − 6.2 n −1 , ∀n ≥ 1 . 2. Chứng minh rằng: Bài 3 Cho dãy số (u n ) có số hạng tổng quát: u n =2n + n 2 + 4 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính u 20 , u 2010 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. u1 = 2  Bài 4 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  2u n −1 + 3n − 1, n ≥ 2 u= n 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy n n 1, 2, 3,... 2. Chứng minh rằng u= n 5.2 − 3n − 5 ∀= 3. Tìm số dư của u 2010 khi chia cho 3 = = u 2 2009 u 2008; Bài 5 Cho dãy số (u n ) :  1 n≥1  2u n += 1 un + un+2 1. Chứng minh rằng dãy (v n ) : v= u n − u n −1 là dãy không đổi n 2. Biểu thị u n qua u n −1 và tìm CTTQ của dãy số (u n ) u1= 1; u 2= 2  Bài 6 Cho dãy số (u n ) :  n≥2 u 2n u =  n +1 u n −1  u 1. Chứng minh rằng dãy (v n ) : v n = n là dãy không đổi u n −1 2. Tìm công thức tổng quát của dãy (u n ) . 2 u = Bài 7. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi  1 .  u n = 2u n −1 + 3, n ≥ 2 1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy; = u n 5.2 n −1 − 3 với ∀n ≥ 2 ; 2. Chứng minh rằng 3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu? Bài 8. Cho dãy số (u n ) có 4 số hạng đầu là = : u1 1,= u 3 6,= u 4 10 . u 2 3, = 1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên; 2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên. Bài 9 1. Cho dãy (u n ) : u n= 1 (2 + 5)n + (2 − 5)n  .Chứng minh rằng u 2n là số tự nhiên chẵn và u 2n +1 là số tự nhiên  2 lẻ. 2. Cho dãy số (u n ) : u n = (4 − 2 3)n + (4 + 2 3)n . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên. 1  u1 =  3. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) có vô hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ. 3  =  u n +1  2 u n  , n ≥ 1    4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương (u n ) thỏa:= 1. u0 1,= u1 2 và u n + 2 .u n − u 2n +1 = Bài 10. (Dãy Fibonacci) Cho dãy số (Fn ) được xác định bởi= F1 1,F = Fn Fn −1 + Fn − 2 2 1 và= Chứng minh rằng: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 1. Fn = n¨m häc 2018 n n  1− 5   1  1 + 5    −    2   5  2      F2n +1 và Fn Fn +1 + Fn +1Fn + 2 = 2. Fn2 + Fn2+1 = F2n + 2 với mọi n ≥ 2 . 3. Fn  5k ⇔ n 5k . ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Năm số hạng đầu của dãy là:= = u1 1, u2 5 7 3 11 . = = = ,u ,u ,u 4 3 5 4 2 5 7 2.100 + 1 67 = 100 + 2 34 2.200 + 1 401 Số hạng thứ 200: = u 200 = 200 + 2 202 167 2n + 1 167 3. Giả sử u n= ⇒ = ⇔ 84(2n + 1)= 167(n + 2) 84 n+2 84 ⇔n= 250 . 167 Vậy là số hạng thứ 250 của dãy số (u n ) . 84 2(n + 2) − 3 3 4. Ta có: u n= = 2− n+2 n+2 3 ⇒ un ∈  ⇔ ∈  ⇔ 3 n + 2 ⇔ n = 1 n+2 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên. Bài 2 1. Bốn số hạng đầu của dãy: u 3 = 5u 2 − 6u1 = 21 ; u 4 = 5u 3 − 6u 2 = 87 ; u 5 = 5u 4 − 6u 3 = 309 2. Số hạng thứ 100: = u100 u6 = 5u 5 − 6u 4 = 1023 ; u7 = 5u6 − 6u 5 = 3261 . 2. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp 5.30 − 6.20 = −1 (đúng). * u1 = = u k 5.3k −1 − 6.2 k −1 , ∀k ≥ 2 . * Giả sử Khi đó, theo công thức truy hồi ta có: ( ) ( u k +1 =5.u k − 6u k −1 =5 5.3k −1 − 6.2 k −1 − 6 5.3k − 2 − 6.2 k − 2 ( ) ( = 5 5.3k −1 − 6.3k − 2 − 6 5.2 k −1 − 6.2 k − 2 ) ) = 5.3k − 6.2 k đpcm. Chú ý: Ta có bài toán tổng quát sau u , u Cho dãy (u n ) :  1 2 , với b2 − 4ac > 0 a.u bu cu 0 n 2 + + = ∀ ≥  n +1 n n −1 α  .x1 + β.x 2 = u1 Khi đó: u n = α.x1n −1 + β.x 2n −1 với x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = . 0 (*) và α , β :  2 2 α.x1 + β.x 2 = u 2 Phương trình (*) gọi là phương trình đặc trưng của dãy. Bài 3 2 + 5; u 2 = 4 + 2 2; u 3 = 6 + 13; u 4 = 8+2 5 1. Ta có: u1 = u5 = 10 + 29; u6 = 12 + 2 10 . = 40 + 2 101 ; u 2010 = 2. Ta có: u 20 4020 + 2010 2 + 4 3. Ta có: u n nguyên ⇔ n 2 + 4 = k ∈  ⇔ k 2 − n 2 = 4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 ⇔ (k − n)(k + n) = 4 phương trình này vô nghiệm Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên. Bài 4 1 Ta có:= u1 2;= u 2 9;= u 3 26;= u 4 63;= u 5 140 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 1(mod 3) 3. Ta có: 5.2 2010 ≡ 1.( −1)2010 = Suy ra u 2010 ≡ 2(mod 3) . Bài 5 1. Ta có: u n + 2 − u n +1 =u n +1 − u n ⇒ v n + 2 =v n +1 =… =v 2 =1 2. Ta có: u n − u n −1 =⇒ 1 un = u n −1 + 1 Suy ra u n= ( un − un −1 ) + ( un −1 − un−2 ) + … + ( u2 − u1 ) + u1 = 1 + 1 + … + 1 + u1 = n − 1 + 2008 = n + 2007 . Bài 6 1. Ta có: u n +1 un u = = …= 2= 2 un u n −1 u1 n −1 u n 2u u1 2 n −1 = = 2. Ta có n −1 …2 = Bài 7. 1. Ta có 6 số hạng đầu của dãy là: u 2= 2u1 + 3= 7, u 3= 17, u 4= 37, u 5= 77, u6= 157 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp Với n = 2 ta có: u 2 = 5.2 − 3= 7 (đúng) u k 5.2 k −1 − 3 , khi đó ta có: = Giả sử ( ) u k +1= 2u k + 3= 2 5.2 k −1 − 3 + 3= 5.2 k − 3 Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. 1003 3. Ta có u n < 1000 ⇔ 2 n −1 < . 5 Mà 29 là lũy thừa lớn nhất của 2 lớn nhất có 3 chữ số nên ta có: 2 n −1 = 29 ⇒ n = 10 . Vậy u10 là số hạng cần tìm. Bài 8. 1. Vì dãy số cho giá trị của 4 số hạng đầu ứng với 4 giá trị tương ứng của n = 1,2,3,4 nên ta chỉ cần xác định một hàm số theo n mà ta phải tìm 4 ẩn là được. Chẳng hạn ta xét u n = an 3 + bn 2 + cn + d Theo bài ra ta có hệ phương trình : b+c+d 1 b+c+d 1 a += a += 1    + 2c + d 3 + 3b + c 2 8a + 4b= 7a= a= 0, b= c= ⇔ ⇔ 2    3c + d 6 8b + 2c 5 27a + 9b += 26a + = d = 0  64a + 16b += 21a + 4c + d 10 5b + c 3 = n(n + 1) là một dãy thỏa đề bài. 2 2. Ta có ba số hạng tiếp theo của dãy là: = u 5 15, = u6 21, = u7 28 . Nên u n = Bài 9 a + b =4 1. Đặt a =2 + 5 , b =2 − 5 ⇒  . Khi đó: ab = −1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 un = n¨m häc 2018 1 n 1 (a + bn ) = (a + b)(a n −1 + bn −1 ) − ab(a n − 2 + bn − 2 )   2 2 a n −1 + bn −1 a n − 2 + bn − 2 = 4. + = 4u n −1 + u n − 2 2 2 Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * u1 = 2 là số chẵn và u 2 = 9 là số lẻ * Giả sử u 2k là số lẻ và u 2k −1 là số chẵn. Khi đó: u= u 2k + 2 4u 2k +1 + u 2k là số lẻ 2k +1 4u 2k + u 2k −1 là số chẵn, = Từ đó ta có đpcm. 2. Ta chứng minh được: = u n 8u n −1 − 4u n − 2 . Từ đây suy ra đpcm. 3. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng • Giả sử dãy (u n ) có hữu hạn các số chẵn, giả sử u k là số hạng lớn nhất của dãy là số chẵn. Khi đó u n lẻ với ∀n ≥ k + 1 . m Đặt u= k +1 2 .p + 1 với m,p ∈  ,p lẻ. Khi đó:  m −1 3  u= += 3p.2 m −1 + 1  k +1  3p.2 2  = u k + 2 3p.2 m − 2 + 1 ,…, u k + m = 3p.20 + 1 = 3p + 1 là số lẻ, suy ra vô lí. Nên dãy (u n ) chứa vô hạn số chẵn. • Chứng minh tương tự ta cũng có dãy (u n ) chứa vô hạn số lẻ.  u =5 ⇒ u 3 =12, u 3 =13 4. Ta có: u 2 − 4 =1 ⇒  2  u 2 =3 ⇒ u 3 =4, u 3 =5 a) Ta chứng minh tồn tại duy nhất dãy số nguyên dương (u n ) thỏa = u0 1,= u1 2,= u 2 3,= u 3 5 và u n + 2 .u n − u n2 +1 = 1, ∀n ≥ 4 (1) • Chứng minh tồn tại: v = 1, v1= 2 Xét dãy (v n ) :  0 v n + v n −1 , n = 2, 3,... v n +1 = Bằng quy nạp ta chứng minh được (v n ) thỏa mãn (1). Thật vậy: v n + 2 .v n − v n2= v n ( v n +1 + v n ) − v n2 +1 +1 = v n +1 ( v n − v n +1 ) + v n2 = v n2 − v n −1v n +1 = 1 • Chứng minh duy nhất. Trước hết ta chứng minh nếu dãy (u n ) thỏa (1) thì (u n ) là dãy tăng. Giả sử a n +1 > a n ⇒ a n +1 − 1 ≥ a n Từ a n + 2 a n − a n2 +1 = 1 ⇒ a n + 2 = a 2n +1 ± 1 a 2n +1 ± 1 ≥ > a n +1 + 1 > a n +1 an a n +1 − 1 Nên theo quy nạp ta có đpcm. Giả sử tồn tại k để v k ≠ u k và v= u n , ∀n < k . Khi đó n u .u= u 2 + 1 k −1 Ta giả sử v k < u k , suy ra:  k k − 2 2 = v .v v  k k − 2 k −1 − 1 ⇒ u k − 2 ( u k − v k ) =⇒ 2 2 u k − 2 điều này vô lí. Do vậy tồn tại duy nhất dãy nguyên dương (u n ) (đó chính là dãy (v n ) ) thỏa mãn (1). b) Tương tự ta chứng minh được tồn tại dũy nhất các dãy nguyên dương thỏa: u0 =1, u1 =2, u 2 =3, u 3 =4, u n + 2 u n − u n2 +1 =1 u0 =1, u1 =2, u 2 =5, u 3 =12, u n + 2 u n − u n2 +1 =1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u0 =1, u1 =2, u 2 =5, u 3 =13, u n + 2 u n − u 2n +1 =1 . Đó là các dãy tương ứng là: u0 1,= u1 2, u= = n +1 2u n +1 − u n = u0 1,= u1 2, u= n +1 2u n +1 + u n u0 1,= u1 2, u= = n +1 3u n +1 − u n . Vậy tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương thỏa yêu cầu bài toán. Bài 10. 1. Trước hết ta thấy dãy (Fn ) tồn tại và duy nhất. n n  1− 5   1  1 + 5  1 n n Xét x n =   −  = a −b       2 5  2  5     a + b = 1 1+ 5 1− 5 Với = a = ,b ⇒ 2 2 ab = −1 Ta có: x= 1 x= 2 1 và ( x n −1 + x n= −2 = = (a 5 1 n −1 − bn −1 + a n − 2 − bn − 2 ) ) 1  n −2 a (a + 1) − bn − 2 (b + 1)    5 1  n −2 3 + 5 3− 5 − bn −2 . a .  2 2  5  2 2     1  n−2  1 + 5  n−2 1 − 5  a . =  − b . =       2 2 5       Vậy ta có: F= x n , ∀n ≥ 1 . n (a 5 1 n ) − bn= x n 2. Ta chứng minh đồng thời hai tính chất trên theo quy nạp Với n = 2 ta có: F22 + F32 =12 + 2 2 =5 =F5 Và F2 F3 + F3 F4 = 1.2 + 2.3 = 8= F6 F2k +1 và Fk Fk +1 + Fk +1Fk + 2 = Giả sử Fk2 + Fk2+1 = F2k + 2 với k ≥ 2 2 Ta có: Fk2+1 + Fk2+ 2 = Fk2+1 + ( Fk + Fk +1 ) = Fk2+1 + Fk2 + Fk2+1 + 2Fk Fk +1 ( = Fk +1 ( Fk +1 + 2Fk ) + Fk2 + Fk2+1 ) = Fk +1 ( Fk + 2 + Fk ) + F2k +1 = F2k + 2 + F2k +1 = F2k + 3 . Và: Fk Fk +1 + Fk +1Fk + 2 = Fk ( Fk + Fk −1 ) + Fk +1 ( Fk +1 + Fk ) = Fk Fk −1 + Fk2 + Fk2+1 + Fk +1Fk = ( Fk Fk−1 + Fk Fk+1 ) + ( Fk2 + Fk2+1 ) = F2k + 2 + F2k + 3 = F2k + 5 . Từ đó ta có điều phải chứng minh. 3. • Trước hết ta chứng minh: F5n = 5Fn q n với q n không chia hết cho 5 (1) 5n − b5n Ta có : 5F= 5n a n = x a= , y bn , như vậy ta có xy = Đặt Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng ( ab )n = ( −1)n - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 ( ) Do đó : 5F5n =( x − y )  x 4 + xy x 2 + y 2 + x 2 y 2 + y 4  (2)   2 Mặt khác : x 2 + y 2 = ( x − y ) + 2xy = 5Fn2 + 2 ( −1) x4 + y4 = (x 2 + y2 ) n 2 2 n − 2x 2 y 2 =  5Fn2 + 2 ( −1)  − 2   n = 25Fn4 + 20 ( −1) Fn2 + 2 (3). 5Fn  25Fn4 + 20( −1)n Fn2 + 2 + 5( −1)n Fn2 + 2 + 1   2 Hay= F5n 5Fn  5Fn4 + 5Fn2 ( −1) = + 1 5Fn q n ,   Từ đó, ta= có: F5n n trong đó: q n = 5Fn4 + 5Fn2 ( −1) + 1 . Rõ ràng ta thấy q n không chia hết cho 5. • Với số tự nhiên n , ta phân tích n = 5s t với ( t, 5 ) = 1 . Khi đó từ (1) ta có Fn = 5s Ft A n trong đó A n không là bội của 5. Nếu t không là bội của 5 thì Ft không là bội của 5, do đó Fn  5k ⇔ s ≥ k ⇔ n 5k (đpcm). ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM n Câu 1. Cho dãy số un  , biết un  . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? n 1 1 2 3 4 5 A.  ;  ;  ;  ;  . 2 3 4 5 6 C. 2 3 4 5 6 B.  ;  ;  ;  ;  . 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. 2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 Lời giải. Ta có u1   ; u2   ; u3   ; u4   ; u5   . Chọn A. 2 3 4 5 6 Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh. (ii) Ta thấy dãy un  là dãy số âm nên loại các phương án C, D. Đáp án đúng là A hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng hạng kiểm tra u1 thì thấy u1   Câu 2. Cho dãy số un  , biết un  A. 1 1 1 ; ; . 2 4 8 B. 1 nên chọn A. 2 n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? 3n 1 1 1 3 ; ; . 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 Lời giải. Dùng MTCT chức năng CALC: ta có 1 2 2 1 3 3 u1  ; u2  2   ; u3  3  . Chọn B. 2 3 1 8 4 3 1 26 u1  1 Câu 3. Cho dãy số un  , biết  với n  0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây? un 1  un  3 A. 1;2;5. C. 4;7;10. B. 1;4;7. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 D. 1;3;7. Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải. Ta có u1  1; u2  u1  3  2; u3  u2  3  5. Chọn A. Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập vào màn hình: X  X  3. Bấm CALC và cho X  1 (ứng với u1  1) Để tính un cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp n 1 lần. Ví dụ để tính u2 ta bấm “=” ra kết quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là u3 ,... (ii) Vì u1  1 nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra u2 (vì u2 ở hai đáp án là khác nhau): u2  u1  3  2 nên chọn A. Câu 4. Cho dãy số un , biết un  1 A. u5  . 4 B . u5  2n 2 1 . Tìm số hạng u5 . n2  3 7 C. u5  . 4 17 . 12 Lời giải. Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u5  D. u5  71 . 39 2.52 1 49 7   . Chọn C. 28 4 52  3 n Câu 5. Cho dãy số un , biết un  1 .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1  2. C. u3  6. B. u2  4. D. u4  8. Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u1  2.1  2; u2  1 .2.2  4, u3  1 2.3  6; u4  1 2.4  8 . Chọn D. 2 3 4 Nhận xét: Dễ thấy un  0 khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai. n Câu 6. Cho dãy số un , biết un  1 . 8 A. u3  . 3 2n . Tìm số hạng u3 . n B. u3  2. 8 D. u3   . 3 C. u3  2. Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u3  1 . 3 23 8   . Chọn D. 3 3 u1  2  Câu 7. Cho dãy số un  xác định bởi  . Tìm số hạng u4 . un 1  1 un  1  3 5 A. u4  . 9 B . u4  1. 2 C. u4  . 3 D. u4  14 . 27 Lời giải. Ta có 1 1 1 2 1 12  5 u2  u1  1  2  1  1; u3  u2  1  ; u4  u3  1    1  . Chọn A. 3 3 3 3 3 3  3  9 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. u1  3  Câu 8. Cho dãy un  xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây sai? un 1  un  2 2  5 A. u2  . 2 B. u3  15 . 4 C. u4  31 . 8 D. u5  63 . 16  u2  u1  2  3  2  7 ; u3  u2  2  7  2  15  2 2 2 2 4 4 Lời giải. Ta có  Chọn A.  u u 15 31 31 63 u4  3  2   2  ; u5  4  2   2  . 2 8 8 2 16 16  Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. Câu 9. Cho dãy số un , biết un  A. 8. n 1 8 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 2n  1 15 B. 6. C. 5. D. 7. n 1 8   15n  15  16n  8  n  7. Chọn D. 2n  1 15 Lời giải. Ta cần tìm n sao cho un  Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. Câu 10. Cho dãy số un , biết un  A. 8. 7 2n  5 là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số 12 5n  4 B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau: un  2n  5 7   24n  60  35n  28  11n  88  n  8. Chọn A. 5n  4 12 Câu 11. Cho dãy số un , biết un  2 n. Tìm số hạng un 1 . A. un 1  2 n.2. B. un 1  2 n  1. C. un 1  2 n  1. D. un 1  2 n  2. Lời giải. Thay n bằng n  1 trong công thức un ta được: un1  2n1  2.2n . Chọn A. Câu 12. Cho dãy số un  , biết un  3n. Tìm số hạng u2 n1 . A. u2 n1  32.3n 1. B. u2 n1  3n.3n1. C. u2 n1  32 n 1. D. u2 n1  32n1. n  2 n1 Lời giải. Ta có un  3n   u2 n1  32 n1  3n.3n1. Chọn B. Câu 13. Cho dãy số un , với un  5n 1. Tìm số hạng un1 . A. un1  5n1. B. un1  5n. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 C. un1  5.5n 1. D. un1  5.5n1. Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n1 1 n  n1 Lời giải. un  5n1   un1  5   5n. Chọn B. 2 n 3  n 1  Câu 14. Cho dãy số un , với un    n  1  n 1   A. un 1    n  1 . Tìm số hạng un 1 . 2 n 13  n 1   B. un 1    n  1 2 n 13 . 2 n 3  n  C. un 1    n  2  2 n 5  n  D. un 1    n  2  . 2 n 3  n 1 Lời giải. un     n  1 .  n  1 1  n  n 1    un1   n  1  1 2 n 13 . 2 n 5  n      n  2  . Chọn D. 1 2 3 4 Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? 2 3 4 5 A. un  n 1 . n B. un  n . n 1 C. un  n 1 . n Lời giải. Vì u1  0 nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u2  D. un  n2  n . n 1 1 ở các đáp án C, D: 2 Xét đáp án C: un  n 1 1   u2    Chọn C. n 2 Xét đáp án D: un  n2  n 2 1  u2      loại D.  n 1 3 2 Nhận xét: u1  0  n 1 1 1 1 2 1 2 3 1 ; u2   ; u3   ,... nên đoán un  . 1 2 2 3 3 n Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. un  1. n C. un  1 . B. un  1. n 1 D. un  1 . Lời giải. Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u1  1 ở các đáp án C, D: Xét đáp án C: un  1   u1  1   Chọn C. n n 1 Xét đáp án D: un  1   u1  1  1   1   loại D. 2 Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;. Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. un  2n. B. un  n  2. C. un  2 n  1. D. un  2n  4. Lời giải. Kiểm tra u1  2 ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra u2  0 ở các đáp án A, D: Xét đáp án A: un  2n  u2  4   0   loại A. Xét đáp án D: un  2n  4  2.2  4  0   Chọn D. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Nhận xét: Dãy 2; 4;6;... có công thức là 2n n  *  nên dãy 2;0;2;4;6;. có được bằng cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2n  4. u1  2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? Câu 18. Cho dãy số un , được xác định  un 1  2un A. un  n n1 . B. un  2 n. C. un  2 n 1. D. un  2.  u1  2    u1  2     Lời giải. Từ công thức    u2  2u1  2.2  4.   un 1  2un     u3  2u2  2.4  8 Xét đáp án A với n  1   u1  111  10  1   A loại. Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. Xét đáp án C với n  1   u1  211  2 2  4   C loại. Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn.  u  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? Câu 19. Cho dãy số un , được xác định  1 2  2 u u    n 1 n A. un  1  2 n 1. 2 1 B. un   2 n 1. 2 1 C. un   2n. 2 D. un  1  2n. 2  1   u1    2     u1  1  1 3  Lời giải. Từ công thức  .   2 u2  u1  2   2     2 2     un 1  un  2  3 7  u3  u2  2    2     2 2    u2  Xét đáp án A với n  2  1 5  2 2 1    A loại. 2 2 Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. 1 1 7  u2   2.2   4     C loại. Xét đáp án C với n  2  2 2 2  u1  Xét đáp án D với n  1  1 5  2.1    D loại. 2 2 u1  2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? Câu 20. Cho dãy số un , được xác định  un 1  un  2n 1 2 A. un  2  n 1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng B. un  2  n 2 . - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 2 C. un  2  n  1 . D. un  2  n 1 . Lời giải. Kiểm tra u1  2 ta loại các đáp án B và C. Ta có u2  u1  2.11  3. Xét đáp án A: un  2  n 1   u2  3   Chọn A. 2 Hoặc kiểm tra: un1  un  n 2  n 1  2n 1. 2  u2  1   loại D. Hoặc kiểm tra: Xét đáp án D: un  2  n 1  2 un1  un  n 1  n 2  2n  1   2 n  1. 2 u1  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? Câu 21. Cho dãy số un , được xác định   un 1  un  n 2  A. un  1  n (n  1)(2n  1) . 6 B. un  1  n (n 1)(2n  2) . 6 C. un  1  n (n 1)(2n 1) . 6 D. un  1  n (n  1)(2n  2) . 6 Lời giải. Kiểm tra u1  1 ta loại đáp án A. Ta có u2  u1  12  2. Xét đáp án B: un  1  2.1.6 n(n 1)(2n  2)  3  u2  1   2   B loại. 6 6 Xét đáp án C: un  un  1  Xét đáp án D: un  1  n(n 1)(2n 1) 2.1.3   u2  1   2   Chọn C. 6 6 2.3.2 n(n  1)(2n  2) .   u2  1  3  2   D loại. 6 6 u1  2    Câu 22. Cho dãy số un , được xác định  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?  un 1  2   u  n   A. un  n  1 . n B. un  n 1 . n C. un   n 1 . n Lời giải. Kiểm tra u1  2 ta loại các đáp án A, B. Ta có u2  2  Xét đáp án C: un   n 1 3   u2     Chọn C. n 2 Xét đáp án D. un   n 2   u2     D loại. n 1 3 D. un   n . n 1 1 3  . u1 2  u1  1 Câu 23. Cho dãy số un , được xác định   2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?   un 1  un  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 B. un  1  n. A. un  1  n. 2n C. un  1  1 . D. un  n. Lời giải. Kiểm tra u1  1 ta loại đáp án A, B và C nên chọn D. Câu 24. Cho dãy số un  có số hạng tổng quát là un  2 3n  với n   * . Công thức truy hồi của dãy số đó là: u1  6 . A.   un  6un1 , n  1 u1  6 . B.   un  3un1 , n  1 u1  3 . C.  un  3un1 , n  1 u1  3 . D.   un  6un1 , n  1 Lời giải. Vì u1  2.31  6 nên ta loại các đáp án C và D. Ta có u2  2.32  18. u1  6   u2  6u1  6.6  36   A loại. Xét đáp án A:  un  6un1 , n  1 u1  6   u2  3u1  3.6  18   chọn B. Xét đáp án B:  un  3un1 , n  1 a1  3 Câu 25. Cho dãy số an , được xác định  . Mệnh đề nào sau đây sai? an 1  1 an , n  1  2 A. a1  a2  a3  a4  a5  C. an 1  an  93 . 16 9 . 2n Lời giải. Ta có a1  3; a2  B. a10  3 . 512 D. an  3 . 2n u u1 u u u u 3  un  n11  n1 nên suy ra đáp án D sai. Chọn D. ; a3  2  12 ; a4  3  13 ,...  2 2 2 2 2 2 2 Xét đáp án A: 1 1    2   1 1 1 1 93 a1  a2  a3  a4  a5  31   2  3  4   3.    A đúng.  2 2 1  16 2 2 1 2 5 Xét đáp án B: a10  3 3    B đúng. 29 512 Xét đáp án C. an1  an  3 3 3  3.2 9    n   C đúng. 2n 2n1 2n 2 Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn Các ví dụ Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  u1 = 2  Ví dụ 1. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy giảm và bị chặn. u n −1 + 1 = ∀n ≥ 2 u n  2 Lời giải. 1− u Ta có: u n − u n −1 =n −1 2 Do đó, để chứng minh dãy (u n ) giảm ta chứng minh u n > 1 ∀n ≥ 1 Thật vậy: Với n = 1 ⇒ u1 =2 > 1 uk + 1 1+1 > = 1 2 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có u n > 1 ∀n ≥ 1 Giả sử u k > 1 ⇒ u= k +1 Suy ra u n − u n −1 < 0 ⇔ u n < u n −1 ∀n ≥ 2 hay dãy (u n ) giảm Theo chứng minh trên, ta có: 1 < u n < u1 = 2 ∀n ≥ 1 Vậy dãy (u n ) là dãy bị chặn. u1 1,= u2 2 = Ví dụ 2. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy tăng và bị chặn u n + u n −1 ∀n ≥ 2 1 u n += Lời giải. Ta chứng minh dãy (u n ) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp * Dễ thấy: u1 < u 2 < u 3 . * Giả sử u k −1 < u k ∀k ≥ 2 , ta chứng minh u k +1 < u k . Thật vậy: u k +1 = u k + u k −1 > u k −1 + u k − 2 = uk Vậy (u n ) là dãy tăng. Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được u n < 4 ∀n , hơn nữa u n > 0 Nên dãy (u n ) là dãy bị chặn. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 1. u n = 3. u n = 3n 2 − 2n + 1 n+1 2. u n =− n n2 − 1 3n − 1 2n Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u n ) , biết: 1. u n = 2n − 13 3n − 2 2. u n = n 2 + 3n + 1 n+1 4. u n = 3. u n = 2n 1 1 1 5. u n =1 + . + + … + 2 2 n! 2 3 n2 Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 2n + 1 1. u n = 2. u n = ( −1)n n+2 n + ( −1) n n2 1 1 + n + n2 4. u n = 4. u n =4 − 3n − n 2 5. u n = Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1 1 1 1. u n = + + … + 1.3 2.4 n.(n + 2) Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng n2 + n + 1 2 n −n+1 2. u n = – 0946798489 3. u= 3n − 1 n 6. u n = n+1 n2 + 1 1 1 1 + + … + 1.3 3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1) Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  u1 = 1  3.  u n −1 + 2 = ,n≥2 u n u  n −1 + 1 Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau  u1 = 2  2.  u 2n + 1 =  u n +1 4  u1 = 1  1.  3 3 u n +1 = u n + 1, n ≥ 1 n≥1 Bài 6 1. Chứng minh rằng dãy số (u n ) xác định bởi = un Là một dãy tăng. 2010 + 2010 + … + 2010 (n dấu căn) u1 1,= = u2 2 2. Cho dãy số (u n ) :  . Chứng minh rằng dãy (u n ) tăng và bị chặn. 3 3 u n =u n −1 + u n − 2 , n ≥ 3 an + 2 3. Cho dãy số (u = , n≥1 n ) : un 2n − 1 a) Khi a = 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. 2 u = 4. Cho dãy số (u n ) :  1 u n = 3u n −1 − 2, n = 2, 3.. a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh u n = 3n −1 + 1, n = 1, 2,… −5.2 n −1 + 3n + n + 2 , n = 1,2,… 5. Cho dãy số u n = a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh rằng: u n = 2u n −1 + 3n −1 − n . Bài 7 1. Cho dãy số (u n ) : u n = (1 − a)n + (1 + a)n ,trong đó a ∈ (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số b)Xét tính đơn điệu của dãy số  u1 = 1  2. Cho dãy số (u n ) được xác định như sau:  . 1 − 2, n ≥ 2 u n = 3u n −1 + 2u  n −1 a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng u n > 0, ∀n b) Chứng minh dãy (u n ) là dãy tăng. 2011 u0 =  3. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi :  u 2n = = u , ∀n 1, 2,…  n +1 un + 1  a) Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy giảm b) Tìm phần nguyên của u n với 0 ≤ n ≤ 1006 . u = 2, u 2= 6 4. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  1 u n + 2 = u n + 2u n +1 , ∀n= 1, 2,… n n a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2x − 1 = 0 . Chứng minh rằng: u= n a +b ( −1)n −1 .8 . b) Chứng minh rằng: u 2n +1 − u n + 2 u n = Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n+1 2. (u n ) : u n = n 3 + 2n + 1 n+2  u1 = 2 u1 2,= = u2 3  3. (u n ) :  4.  . un + 1 u n + u n −1 , ∀n ≥ 2 u n +1 , ∀n ≥ 2 u n += = 1  2 Bài 9  x0 = 1  1. Cho dãy số (x n ) :  2n n −1 = ∑ xi , n 2, 3,… xn = (n − 1)2 i =1  Xét dãy số = y n x n +1 − x n . Chứng minh rằng dãy (y n ) là một tăng và bị chặn. 1. (u n ) : u n = u0= 1, u1= 3   u2  2. Cho dãy số nguyên dương (u n ) thỏa :  .  n +1  , n ≥ 0 u 1 = + n 2 +   u n   2 n với mọi số tự nhiên n . Chứng minh rằng: u n + 2 u n − u n2 +1 = u0 = 0 3. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  . 2 u n +1 = 5u n + 24u n + 1, n = 0,1,.. Chứng minh rằng dãy số (u n ) là dãy số nguyên. 1 (2 + 5)n + (2 − 5)n   2 là số tự nhiên chẵn và u 2n +1 là số tự nhiên lẻ. 4. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: u n= Chứng minh rằng u 2n 5. Cho hai dãy số (x n );(y n ) xác định : x = x 2 n −1 + 1 + x n −1  n x = 3 1 và  , ∀n ≥ 2 . y n −1   y1 = 3 yn = 2 1 + 1 + y n −1  Chứng minh rằng 2 < x n y n < 3, ∀n ≥ 2 . u0 = 1  6. Cho dãy số số (u n ) được xác định bởi:  1 1 u n +1  u n + = 2 3u n  3 Chứng minh rằng: a n = là một số chính phương. 2 3u n − 1 .   ĐÁP ÁN Bài 1 1. Ta có: u= n +1 − u n 2. = Ta có: u n +1 − u n 5n 2 + 10n + 2 > 0 nên dãy (u n ) là dãy tăng ( n + 1)( n + 2 ) 1 ( n + 1) + ( n + 1) 2 − −1 1 n + n2 − 1 <0 Nên dãy (u n ) giảm. 3n + 1 > 0 ⇒ dãy (u n ) tăng. 2 n +1  u > u1 1 2 4. Ta có: u1 = 0; u 2 = ; u3 = ⇒ 2 ⇒ Dãy số không tăng không giảm. 2 9 u 3 < u 2 Bài 2 3. Ta có: u n +1 − u n = u n +1 − u n = Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2n − 11 2n − 13 34 − = > 0 với mọi n ≥ 1 . 3n + 1 3n − 2 (3n + 1)(3n − 2) ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy tăng. 1. Ta có: u n +1 − u = n Suy ra u n +1 > u n 2 35 2 − ⇒ −11 ≤ u n < ∀n ≥ 1 3 3(3n − 2) 3 Vậy dãy (u n ) là dãy bị chặn. Mặt khác: u n = = 2. Ta có: u n +1 − u n = = (n + 1)2 + 3(n + 1) + 1 n 2 + 3n + 1 − n+2 n+1 n 2 + 5n + 5 n 2 + 3n + 1 − n+2 n+1 (n 2 + 5n + 5)(n + 1) − (n 2 + 3n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n 2 + 3n + 3 > 0 ∀n ≥ 1 (n + 1)(n + 2) > u n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy số tăng. = ⇒ u n +1 n 2 + 2n + 1 = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u n ) bị chặn dưới. n+1 3. Ta có: u n > 0 ∀n ≥ 1 un > u n +1 = un n2 + n + 1 = (n + 1)2 + (n + 1) + 1 n2 + n + 1 n 2 + 3n + 3 < 1 ∀n ∈  * ⇒ u n +1 < u n ∀ ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy số giảm. Mặt khác: 0 < u n < 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy bị chặn. 4. Ta có: u n +1 2 n +1 2 n 2 n +1 n! 2 = : = .= < 1 ∀n ≥ 1 n un (n + 1)! n! (n + 1)! 2 n+1 Mà u n > 0 ∀n ⇒ u n +1 < u n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy số giảm. Vì 0 < u n ≤ u1 = 2 ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy bị chặn. − un 5. Ta có: u n +1 = 1 (n + 1)2 > 0 ⇒ dãy (u n ) là dãy số tăng. 1 1 1 1 + + … + = 2+ 1.2 2.3 (n − 1)n n ⇒ 1 < u n < 3 ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u n ) là dãy bị chặn. Bài 3 1. Ta có 0 < u n < 2 ∀n nên dãy (u n ) bị chặn Do u n < 1 + 2. Ta có: −1 ≤ u n ≤ 1 ⇒ (u n ) là dãy bị chặn 3. Ta có: u n ≥ 2 ∀n ⇒ (u n ) bị chặn dưới; dãy (u n ) không bị chặn trên. 25 3 25 − (n + )2 < ⇒ (u n ) bị chặn trên; dãy (u n ) không bị chặn dưới. 4 2 4 5. Ta có: 1 < u n < 2 ∀n ⇒ (u n ) bị chặn 4. Ta có: u n = 6. Ta có: 0 < u n < 2 ∀n ⇒ (u n ) bị chặn Bài 4 1 1 1 1 1. Ta có: 0 < u n < + + ... + =1 − <1 1.2 2.3 n.(n + 1) n+1 Dãy (u n ) bị chặn. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n ⇒ 0 < u n < 1 , dãy (u n ) bị chặn. 2n + 1 3. Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 < u n < 2 nên dãy (u n ) bị chặn. 2. Ta có: = un Bài 5 1. Ta có: u n +1= 3 u n3 + 1 ⇒ u n +1 > 3 u n3 = u n ∀n ⇒ dãy số tăng u 2n − 4u n + 1 2. Ta có: u n +1 − u n = 4 Bằng quy nạp ta chứng minh được 2 − 3 < u n < 2 ∀n ⇒ u n +1 − u n < 0 . Dãy (u n ) giảm. Bài 6 2 −u n2 +1 + u n +1 + 2010 1. Ta có u= n +1 2010 + u n ⇒ u n +1 − u n = 1 + 8041 ∀n 2 Suy ra u n +1 − u n > 0 ⇒ dãy (u n ) là dãy tăng. Bằng quy nạp ta chứng minh được u n < 3u +3u 3 3 uk 2. Chứng minh bằng quy nạp : u k +1 = k k − 2 > u k −1 + u k − 2 = Ta chứng minh: 0 < u n < 3 . 3. 4n + 2 . Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là a) Với a = 4 ta có: u n = 2n − 1 10 14 18 22 . = = = u1 = 6, u 2 = ,u ,u ,u 3 3 5 4 7 5 9 b) Ta có dãy số (u n ) tăng khi và chỉ khi: = u n +1 − u n −a − 4 > 0, ∀n ∈  * ⇔ −a − 4 > 0 ⇔ a < −4 . (2n + 1)(2n − 1) 4. a) Ta có:= u1 2,= u 2 4,= u 3 10,= u 4 28,= u 5 82,= u6 244 b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau Ta có: u n − 1 = 3(u n −1 − 1) = 32 (u n − 2 − 1) = ... = 3n −1 (u1 − 1) n −1 1 3n −1 ⇒ u= +1. Suy ra: u n −= n 3 5. a) Ta có:= u1 1,= u 2 3,= u 3 12,= u 4 47,= u 5 170 −5.2 n − 2 + 3n −1 + n + 1 b) Ta có: u n −1 = ( ) Nên 2u n −1 + 3n − n = 2 −5.2 n − 2 + 3n −1 + n + 1 + 3n −1 − n =−5.2 n −1 + 3n + n + 2 =u n . Bài 7 1. u1 = 2   a) Ta có:  n n  u n +1 = u n + a ( 1 + a ) − ( 1 − a )  b) Dãy (u n ) là dãy số tăng. 2. 3 17 227 . = , u3 = , u4 2 6 34 Ta chứng minh u n > 0, ∀n bằng quy nạp. a) Ta có:= u1 1,= u2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Giả sử u n > 0 , khi đó: 2u n + 1 1 ≥ 2 2u n . = 2 2u n 2u n   1 Nên u n +1 = u n +  2u n + − 2  > u n > 0 . 2u n   b) Theo chứng minh trên ta có: u n +1 > u n , ∀n nên dãy (u n ) là dãy tăng. 3. −u n < 0, ∀n nên dãy (u n ) là dãy giảm a) Ta có: u n +1 − u= n un + 1 b) Ta có: u= n u n −1 − u n −1 > u n −1 − 1 > … > u0 − n u n −1 + 1 Suy ra: u n −1 > u0 − (n − 1) = 2012 − n Mặt khác: u n= ( u n − u n −1 ) + (u n −1 − u n − 2 ) + … + (u1 − u0 ) + u0  u0 u1 u n −1  = u0 −  + + … +  u n −1 + 1   u 0 + 1 u1 + 1  1  1 1 = u0 − n +  + + … +  u n −1 + 1   u 0 + 1 u1 + 1 Mà: 0< 1 1 1 n n + + ... + < < <1 u 0 + 1 u1 + 1 u n −1 + 1 u n −1 + 1 2013 − n Với mọi n = 2,1006 . Suy ra u n < u0 − n += 1 2012 − n Do đó: 2011 − n < u n < 2012 − n ⇒  u=  2011 − n n với n = 2,1006 . 20112 = 2010,000497 2012 nên  u= = 2011 − 1 0 1  2011 − 0,  u=  2010 = u1 Vì u0 = 2011 và ∀n 0,1006 . Vậy  u= n  2011 − n, = 4. a) Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp Với n =1 ⇒ u1 =a + b = 2 Giả sử u n = a n + bn , ∀n ≤ k ( ) Khi đó: u k +1 = 2u k + u k −1 = 2 a k + bk + a k −1 + bk −1 ( ) =(a + b) a k + bk + a k −1 + bk −1 = a k +1 + bk +1 + ab(a k −1 + bk −1 ) + a k −1 + bk −1 = a k +1 + bk +1 − (a k −1 + bk −1 ) + a k −1 + bk −1 = a k +1 + b k +1 . b) Ta có: u 2n +1 − u n + 2 u n = u n2 +1 − ( 2u n +1 + u n ) .u n = u n +1 ( u n +1 − 2u n ) − u n2 = −(u n2 − u n +1u n −1 ) ( ) = ... = ( −1)n −1 u 22 − u 3 u1 = ( −1)n .8 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 8 n + 2 n + 1 (n + 2)2 − (n + 3)(n + 1) − = n+3 n+2 (n + 2)(n + 3) 1. Ta có u n +1 − u n= = 1 > 0, ∀n . (n + 2)(n + 3) 1 ⇒ 0 < u n < 1, ∀n n+2 Vậy dãy (u n ) là dãy tăng và bị chặn. Mặt khác: u n = 1 − 2. Ta có: u n +1 − u n = (n + 1)3 + 2(n + 1) − n 3 − 2n = 3n 2 + 3n + 3 > 0, ∀n Mặt khác: u n > 1, ∀n và khi n càng lớn thì u n càng lớn. Vậy dãy (u n ) là dãy tăng và bị chặn dưới. 3. Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < u n ≤ 2, ∀n Điều này đúng với n = 1 , giả sử 1 < u n < 2 ta có: un + 1 < 2 nên ta có đpcm. 2 1 − un Mà u n +1 − u= < 0, ∀n . n 2 Vậy dãy (u n ) là dãy giảm và bị chặn. 1 < u n +1 = 4. Trước hết ta chứng minh 1 < u n < 4, ∀n Điều này hiển nhiên đúng với n = 1 . Giả sử 1 < u n < 4 , ta có: 1 < u n +1 = u n + u n −1 < 4 + 4 = 4 Ta chứng minh (u n ) là dãy tăng Ta có: u1 < u 2 , giả sử u n −1 < u n , ∀n ≤ k . u < u k −1 Khi đó:  k ⇒ u k + u k −1 < u k −1 + u k − 2 ⇒ u k +1 < u k u k −1 < u k − 2 Vậy dãy (u n ) là dãy tăng và bị chặn. n −1  2(n + 1) n 2(n + 1)  = + x x  ∑ i ∑ xi  n n2 i 1= n 2  = i 1  = Bài 9 Ta có: x n +1 =  (n + 1)(n 2 + 1) 2(n + 1)  (n − 1)2 xn  = xn .  xn +  2n n 2  n3  Do đó: y n = x n +1 − x n = n2 + n + 1 n3 • Ta chứng minh dãy (y n ) tăng. xn (n + 1)2 + n + 2 (n + 1)(n 2 + 1) n2 + n + 1 . xn − xn (n + 1)3 n3 n3 Ta có: y n +1 − y n = (n 2 + 3n + 3)(n 2 + 1) − (n 2 + n + 1)(n 2 + 2n + 1) n 3 (n + 1)2 xn 2x n 1, 2,.. > 0 , ∀n = n (n + 1)2 • Ta chứng minh dãy (y n ) bị chặn. = 3 2,3… Trước hết ta chứng minh: x n ≤ 4(n − 1) (1) với ∀n = * Với n = 2 , ta có: = x 2 4x = 1 4 nên (1) đúng với n = 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 * Giả sử (1) đúng với n , tức là: x n ≤ 4(n − 1) , ta có x n +1 = (n + 1)(n 2 + 1) xn ≤ n3 Nên (1) đúng với n + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng 4(n 4 − 1) n3 < 4n n2 + n + 1 4(n − 1)(n 2 + n + 1) 4(n 3 − 1) Ta có: y n = x n ≤ =< 4 n3 n3 n3 Vậy bài toán được chứng minh. 2. Từ cách cho dãy số, ta thấy dãy (u n ) luôn tồn tại và duy nhất. v = 1, v1= 3 . Xét dãy (v n ) :  0 v n + 2 =4v n +1 − 2v n , n ≥ 0 2 n (1) • Ta chứng minh: v n + 2 .v n − v 2n +1 = Ta có: v n + 2 .v n − v n2 +1= (4v n +1 − 2v n )v n − v n2 +1 2 v n +1 ( 4v n − v n +1 ) − 2v n2 = 4v n +1v n − v 2n +1 − 2v= n ( = v n +1 .2v n −1 −= 2v 2n 2 v n +1v n −1 − v 2n ( ) ) =....... =2 n v 2 v 0 − v12 =2 n ⇒ (1) được chứng minh. • Ta chứng minh v n > 2 n (2) bằng quy nạp Trước hết ta thấy dãy (v n ) là dãy tăng Với n = 1 ta thấy (2) đúng Giả sử v n > 2 n ta có: v n +1 = 2v n + 2 ( v n − v n −1 ) > 2v n = 2 n +1 Do đó (2) đúng. • Dựa vào các kết quả trên ta có: v 2n +1 v2 2n = vn+2 − ⇒ v n + 2 − 1 < n +1 < v n + 2 vn vn vn Hay v 2n +1 v2 − 1 < v n +1 − 1 < n +1 vn vn  v2   v2  Do đó: v n + 2 − 1 =  n +1  ⇔ v n + 2 = 1 +  n +1   v n   v n  Vì tính duy nhất nên ta có: u n= v n , ∀n ≥ 0 . Vậy bài toán được chứng minh. 3. Ta có u0 , u1 ∈  ( un +1 − 5un= )2 24u n2 + 1 ⇔ u n2 +1 − 10u n +1u n + u n2 −= 1 0 (1) 0 Ở (1) thay n + 1 bởi n ta được: u 2n − 10u n .u n −1 + u n2 −1 − 1 = ⇔ u 2n −1 − 10u n −1 .u n + u n2 − 1 = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra u n +1 , u n −1 là hai nghiệm của phương trình t 2 − 10tu n + u 2n − 1 = 0 Theo định lí Viet ta có: u n +1 + u n −1 = 10u n Hay u= n +1 10u n − u n −1 Từ đó ta có: u n ∈  , ∀n . a + b =4 . Khi đó: 4. Đặt a =2 + 5 , b =2 − 5 ⇒  ab = −1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 11 un = n¨m häc 2018 1 n 1 (a + bn ) = (a + b)(a n −1 + bn −1 ) − ab(a n − 2 + bn − 2 )   2 2 a n −1 + bn −1 a n − 2 + bn − 2 = 4. + = 4u n −1 + u n − 2 . 2 2 Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp • Với n = 1 ta có: u1 = 2 là số chẵn và u 2 = 9 là số lẻ • Giả sử u 2k là số lẻ và u 2k −1 là số chẵn. Khi đó: u= 2k +1 4u 2k + u 2k −1 là số chẵn = u 2k + 2 4u 2k +1 + u 2k là số lẻ Từ đó ta có đpcm. π π π 3 = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot 2 = 6 6 6 5. Ta có: x1 = Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n = cot Tương tự, ta cũng có: y n = tan Đặt α= n π n 2 .3 π 2 n −1 .6 π +1 π 6 = cot π 2.6 sin 6 cos . π 2 n −1 .3 tan 2α n ⇒ x n .y= tan 2α n .cot α n ⇒ x= n cot α n ; y= n n 2t 1 2 . . = t 1− t 1 − t2 1 2 π π Vì n ≥ 2 ⇒ 0 < α n < ⇒ 0 < t < tan = ⇒ ≤ 1 − t2 < 1 6 6 3 3 Đặt t= tan α n ⇒ tan 2α n .cot α n= ⇒2< 2 1 − t2 2 < 3 ⇒ 2 < x n y n < 3, ∀n ≥ 2 ⇒ đpcm. b  b ,c ∈  6. Vì u n ∈ ⇒ u n =n với  n n cn (bn ,c n ) = 1 Khi đó: b n +1 1  b n c  3b2n + c 2n =  + n  = c n +1 2  c n 3bn  6bn c n ( ) Bằng quy nạp ta chứng minh được 3b2n + c n2 ,6bn c n = 3  b = 3b2 + c 2 n n Suy ra  n +1 c n +1 = 2bn c n 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được: 3b2n − c 2n = Do= đó: a n 3 = c 2n (đpcm). 2 3bn −1 c 2n ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 1 1 1 B . 1;  ; ;  ; ; 2 4 8 16 C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 4 8 16 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải. Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; đây là dãy hằng nên không tăng không giảm. 1 1 1 1 Xét đáp án B: 1;  ; ;  ; ;   u1  u2  u3   loại B. 2 4 8 16 Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9;   un  un1 , n  *   Chọn C. Xét đáp án D: 1; 1 1 1 1  loại D.  u1  u2  u3  un   ; ; ; ;  2 4 8 16 Câu 27. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  1 . 2n 1 B. un  . n C. un  Lời giải. Vì 2n ; n là các dãy dương và tăng nên n 5 . 3n  1 D. un  2n 1 . n 1 1 1 ; là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B. 2n n  u1  3 n5  2      u1  u2   loại C. Xét đáp án C: un   7 3n  1 u2  6  Xét đáp án D: un   1 2 n 1 3 1   2  un1  un  3   Chọn D.   0    n  1 n  2  n 1 n 1 Câu 28. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  2 . 3n 3 B. un  . n C. un  2 n. n D. un  2 . Lời giải. Xét đáp án C: un  2n   un1  un  2n1  2n  2n  0   Chọn C. Vì 2n ; n là các dãy dương và tăng nên 1 1 ; là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B. 2n n u2  4 n     u2  u3   loại D. Xét đáp án D: un  2  u3  8 Câu 29. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  1 . 2n B. un  3n 1 . n 1 Lời giải. Vì 2n là dãy dương và tăng nên C. un  n 2 . D. un  n  2. 1  Chọn A. là dãy giảm  2n u1  1  3n 1 Xét B: un       u1  u2   loại B. Hoặc u2  5 n 1  3 un1  un  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 3n  2 3n 1 4    0 nên un  là dãy tăng. n2 n  1 n  1n  2 - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  un1  un  n  1  n 2  2n  1  0   loại C. Xét C: un  n 2  2 Xét D: un  n  2   un1  un  n  3  n  2  1 n3  n2  0   loại D. Câu 30. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? n2 1 . n A. un  sin n. B. un  C. un  n  n 1. D. un  1 .2 n  1. n  1 1 Lời giải. A. un  sin n  un 1  un  2 cos n   sin có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A sai. Hoặc dễ thấy sin n  2 2 có dấu thay đổi trên  * nên dãy sin n không tăng, không giảm. B. un  n2 1 1 1 1 n 2  n 1  n   un 1  un  1     0 nên dãy đã cho tăng nên B sai. n n n 1 n n n  1 C. un  n  n 1  1 n  n 1 , dãy n  n 1  0 là dãy tăng nên suy ra un giảm. Chọn C. D. un  1 2 n  1 là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. n Cách trắc nghiệm. A. un  sin n có dấu thay đổi trên  * nên dãy này không tăng không giảm. n2 1 , ta có B. un  n n  1  u1  2  n2 1 không giảm.       u u u  n 1 2 n  2  u2  5 n  2  n  1  u1  1 C. un  n  n 1 , ta có    u1  u2 nên dự đoán dãy này giảm.   n  2  u2  2 1 D. un  1 2 n  1 là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. n Cách CASIO.  Các dãy sin n; 1 2 n  1 có dấu thay đổi trên  * nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D. n  Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập F  X   X 2 1 với thiết lập Start  1, End  10, Step  1. X Nếu thấy cột F  X  các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột F  X  các giá trị giảm dần thị chọn B và loại C. Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 A. Dãy số un   2 là dãy tăng. n B. Dãy số un  1 2n  1 là dãy giảm. n n 1 là dãy giảm. n 1 C. Dãu số un  D. Dãy số un  2n  cos 1 là dãy tăng. n 1 1 1 Lời giải. Xét đáp án A: un   2   un 1  un    0   loại A. n n 1 n Xét đáp án B: un  1 2n  1 là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B. n Xét đáp án C: un   1 n 1 2 1   1   un1  un  2    0   loại C.  n  1 n  2  n 1 n 1 Xét đáp án D: un  2n  cos  1 1  1   un1  un  2  cos  0 nên Chọn D.   cos  n n  1 n2 Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Dãy số un  1 n n B. Dãy số un  2n 2  5 là dãy tăng. là dãy giảm.  1 C. Dãy số un  1   là dãy giảm.  n  n Lời giải. Xét A: un  1 n n  1 n D. Dãy số un  n  sin 2 n là dãy tăng.  n   un1  un  1 n 1  1 n  n  n  1  0 nên dãy un  là dãy giảm nên C đúng. Xét đáp án B: un  2n 2  5 là dãy tăng vì n 2 là dãy tăng nên B đúng. Hoặc un1  un  2 2n  1  0 nên un  là dãy tăng.  1  n  1 u n  2  n  2  .  0   n1   un  là dãy tăng nên Chọn C. Xét đáp án C: un  1        1    n   n  un n  1  n  n n n Xét đáp án D: un  n  sin 2 n   un1  un  1 sin 2 n  1  sin 2 n  0 nên D đúng. Câu 33. Cho dãy số un  , biết un  A. 1 . 3 Lời giải. Ta có un  3n 1 . Dãy số un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3n  1 B. 1. C. 1 . 2 D. 0. 3n 1 2 5 1 1  1  1. Mặt khác: u2     0 nên suy ra dãy un  bị chặn trên bởi số 1. Chọn B. 7 2 2 3n  1 3n  1 Câu 34. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên? A. un  n 2 . B. un  2 n. 1 C. un  . n D. un  n  1. Lời giải. Các dãy số n 2 ; 2n ; n  1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 11 Nhận xét: un  n¨m häc 2018 1  1 với mọi n  * nên dãy un  bị chặn trên bởi 1. n Câu 35. Cho dãy số un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. C. B. 1. 2. D. Không bị chặn trên. MTCT Lời giải. Ta có un   u1  sin1  cos1  1  0 nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn trên bởi . )   Ta có un  cos n  sin n  2 sin n    2   Chọn C.  4 Câu 36. Cho dãy số un  , biết un  sin n  cos n. Dãy số un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C.  2. D. Không bị chặn dưới. MTCT Lời giải. un   u5  sin 5  cos 5  1  0   loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số . )   Ta có un  2 sin n     2   Chọn C.  4 Câu 37. Cho dãy số un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. m  2; M  2. 1 B. m   ; M  3  1. 2 C. m   3  1; M  3 1. 1 1 D. m   ; M  . 2 2    u1  3 1  Lời giải. un  MTCT TABLE 1   loại C và D. 2 1 MTCT TABLE  un   u4     loại B. Vậy Chọn A. 2  3    1 2  un  2. Nhận xét: un  2  sin n  cos n  2sin n        2 2 6  n Câu 38. Cho dãy số un , biết un  1 .52 n 5. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số un  bị chặn. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 D. Dãy số un  không bị chặn. Lời giải. Nếu n chẵn thì un  52 n1  0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy un  không bị chặn trên. Nếu n lẻ thì un  52 n1  0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy un  không bị chặn dưới. Vậy dãy số đã cho không bị chặn. Chọn D. Câu 39. Cho dãy số un , với un  1 1 1 , n  1; 2; 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?   ...  1.4 2.5 n n  3 A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số un  bị chặn. D. Dãy số un  không bị chặn. Lời giải. Ta có un  0   un  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác un  1 1 1 1    k  *  nên suy ra: k k  3 k k  1 k k  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     1          1 1 2 2 3 2 4 n n  1 n n 1 n 1 1.2 2.3 3.4 nên dãy un  bị chặn trên, do đó dãy un  bị chặn. Chọn C. Câu 40. Cho dãy số un , với un  1 1 1  2  ...  2 , n  2; 3; 4;. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 3 n A. Dãy số un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số un  bị chặn. D. Dãy số un  không bị chặn. Lời giải. Ta có un  0   un  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác un  1 1 1 1    k  * , k  2 nên suy ra: k 1 k k 2 k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     1          1 1 2 2 3 2 4 1.2 2.3 3.4 n n  1 n n 1 n 1 nên dãy un  bị chặn trên, do đó dãy un  bị chặn. Chọn C. Câu 41. Trong các dãy số un  sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? A. un  n 2  1. 1 B. un  n  . n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 C. un  2 n  1. D. un  n . n 1 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải. Các dãy số n 2 ; n; 2n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên các dãy 1 n 2  1; n  ; 2n  1 cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. n Chọn D. Nhận xét: 0  un  n 1  1  1. n 1 n 1 Câu 42. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A. un  1 . 2n B. un  3n. C. un  n  1. D. un  n 2 . Lời giải. Các dãy số n 2 ; n; 3n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên các dãy n 2 ; n  1; 3n cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn A. Nhận xét: 0  un  1 1  . 2n 2  u1  6 Câu 43. Cho dãy số un , xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  *   un 1  6  un , n   A. 5 6  un  . 2 B. 6  un  3. C. 6  un  2. D. 6  un  2 3. Lời giải. Ta có u2  12  3  5  2 nên loại các đáp án A, B, C. Chọn D. 2 Nhận xét: Ta có   u1  6    u1  6 u1  6     un  0     un  6.   un1  6  un    un1  0    un1  6  un  6 Ta chứng minh quy nạp un  2 3. u1  2 3; uk  2 3   uk 1  6  uk 1  6  2 3  6  6  2 3. Câu 44. Cho dãy số un , với un  sin  . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 A. Số hạng thứ n  1 của dãy là un 1  sin  . n 1 B. Dãy số un  là dãy số bị chặn. C. Dãy số un  là một dãy số tăng. D. Dãy số un  không tăng không giảm. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 11 Lời giải. un  sin un  sin n¨m häc 2018      un1  sin  sin   A sai. n 1 n2 n  1  1    1  un  1   B đúng. Chọn B. n 1 un1  un  sin        sin  0 0       C, D sai.   n2 n 1 n  2 n 1 2  n Câu 45. Cho dãy số un , với un  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số un  là dãy số tăng. B. Dãy số un  là dãy số giảm. C. Dãy số un  là dãy số bị chặn. D. Dãy số un  là dãy số không bị chặn.  A, B sai. Lời giải. un  1 là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm  n Tập giá trị của dãy un  1 là 1;1  1  un  1   C đúng. Chọn C. n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A. LÝ THUYẾT 1. Cấp số cộng 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là cấp số cộng; công sai. 2.1. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: Ba số hạng gọi là . là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi . Tổng số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức : . 2. Cấp số nhân 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là cấp số cộng; gọi là công bội. 2.2. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: Ba số hạng Tổng . là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng đầu tiên . được xác định bởi công thức : . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Phương pháp: • Dãy số (u n ) là một cấp số cộng ⇔ u n +1 − u n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai. • Dãy số (u n ) là một cấp số nhân ⇔ u n +1 = q không phụ thuộc vào n và q là công bội. un • Ba số a, b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ a + c = 2b . • Ba số a, b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ⇔ ac = b2 . • Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d . • Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d = x , là chẵn thì gọi công sai d = 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. p  a1 + a 2 + ... + a n = * Nếu cấp số cộng (a n ) thỏa:  2 thì: 2 2 s2 a1 + a 2 + ... + a n = ( ) 12 ns 2 − p2 n ( n − 1)  1 a1 .d  và d = ± = . p − n  2 n2 n2 − 1  ( ) 10 u 2 − u 3 + u 5 =  u 4 + u6 = 26 Ví dụ 2. Cho CSC (u n ) thỏa :  1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính S = u1 + u 4 + u7 + ... + u 2011 . −21 u + 3u 3 − u 2 = Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa:  5 . −34 3u7 − 2u 4 = 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; 3. Tính S = u 4 + u 5 + ... + u 30 . 10 u − u 3 + u 5 = Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn  2 26  u 4 + u6 = S u 5 + u7 + … + u 2011 1. Xác định cấp số cộng 2. Tính tổng = Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (u n ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính = S 1 u1 u 2 + 1 1 + ... + u2 u3 u 49 u 50 Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (u n ) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  u1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11  2.  82 u1 + u 5 =   11 15  u1 + u 2 + u 3 + u 4 = 1.  2 2 2 2 85 u1 + u 2 + u 3 + u 4 = 2  u = Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (u n ) thỏa:  4 27 . u = 243u 8  3 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Dãy số (u n ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 2 n Bài 2 . Dãy số (u n ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 1. u= n 2n + 3 −3n + 1 2. u n = Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 3. u= n2 + 1 n 4. u n = Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 . n Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 2n + 3 n+1 n 1. u= 3. u n = 4. u n = 5. u n = 6. u= n2 + 1 n 3n + 1 2. u n= 4 − 5n n n 5 n 2 Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. u n = 2n 1. u n = 2 n 2. u n = 4.3n 2. u n = − 3n −1 5 3. u n = 3. u= n 3n − 1 4. u n = 2n − 1 3 5. u n = n 3 . Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A, B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A . Xác định số đo các góc A, B,C . 3+ 3 2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin A + sin B + sin C = tính các góc của tam 2 giác Bài 6. Cho dãy số (u n ) với u n = n +1 32 1. Chứng minh dãy số (u n ) là cấp số nhân S u 2 + u 4 + u6 + … + u 20 2. Tính tổng = 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. Bài 8. u − u 3 = 8 1. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn  7 . Tìm u1 ,d ?  u 2 .u7 = 75 u 31 + u 34 = 11 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. 2. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d > 0 ;  2 2 101 u 31 + u 34 = 3. Gọi S1 ; S 2 ; S 3 là tổng n1 ; n 2 ; n 3 số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: S S1 S n 2 − n 3 ) + 2 ( n 3 − n1 ) + 3 ( n1 − n 2 ) = 0 ( n1 n2 n3  u1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11  Bài 9. Cho CSN (u n ) thỏa:  82 u1 + u 5 =   11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 2. Tính tổng S 2011 1  3. Trên khoảng  ;1  có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2  Bài 10. 1 : xn = , n 1,2,3… . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều 1. Cho dãy số (x n )= n thuộc dãy số trên. Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội. Sử dụng tính chất của cấp số: theo thứ tự đó lập thành CSC theo thứ tự đó lập thành CSN – 0946798489 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3 , 3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2, 3, 5 không thể cùng thuộc một CSN. Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u n ) là: 2. CSN khi và chỉ khi u n = a.q n . 1. CSC khi và chỉ khi u= n an + b Ví dụ 3. Chứng minh rằng : = 2a 3 + 27c 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab 1. Nếu phương trình x 3 − ax 2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca 3 − b3 ) = 0 2. Nếu phương trình x 3 − ax 2 + bx − c = Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X = {1, 2, 3,…,9} thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: x n + m − x m − x n < 1 ∀m, n ∈  * . Chứng minh rằng: (xn) là một cấp số m+n cộng. 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 1. Cho ba số a, b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : a 2 + 2bc =c 2 + 2ab . 1 1 2 + =. 2. Cho a, b,c > 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : a+ b b+ c c+ a 1 3. Cho (u n ) là cấp số cộng. Chứng minh rằng= : un ( u + un+k ) , 1 ≤ k ≤ n − 1 2 n −k Bài 2 A B C 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan ; tan ; tan lập thành cấp số cộng ⇔ cos A; cos B; cos C lập thành cấp 2 2 2 số cộng. A B C 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ; cot ; cot lập thành cấp số cộng ⇔ sin A; sin B; sin C lập thành cấp số 2 2 2 cộng. Bài 3 Cho a, b,c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 2 + b2 + c 2 ( 2. a 2 + b2 )( b 2 ) + c 2 = ( ab + bc ) 3 2 3. ( ab + bc + ca= ) abc ( a + b + c ) ( )( 3 ) 4. a n + bn + c n a n − bn + c n = a 2n + b2n + c 2n ; n ∈  * Bài 4 Cho (u n ) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 2 2. S n ( S 3n − S 2n ) = ( S 2n − S n ) . = 1. a1a n a= k .a n − k +1 , k 1; n Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a, b,c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p, t,r sao cho  p + t + r = 0 .  p t r a .b .c = 1 2. Cho cấp số cộng (a n ) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh rằng: 1 1 1 n −1 + + … + = . a1a 2 a 2 a 3 a n −1a n a1a n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 2  1 a a + a a = a1a 3  2 3 3. Cho bốn số thực a1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 .Biết rằng :  1 2 3  1 + 1 + 1 =  a1a 2 a 2 a 3 a 3a 4 a1a 4 Chứng minh rằng : a1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 lập thành cấp số cộng. 4. Cho a, b,c lần lượt là ba số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a. ( n − p ) + b. ( p − m ) + c. ( m − n ) = 0. 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a, b,c là ba số hạng của một CSC là tồn tại ba số nguyên khác không pa + qb + rc = 0 . p,q,r thỏa:  0 p + q + r = 6.Cho CSC (u n ) thỏa S m = S n ( m ≠ n ). Chứng minh S m + n = 0 .  5 −1 1+ 5  ; 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó nằm trong khoảng  .  2  2   Bài 6 1. Chứng minh ba số a, b,c > 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số a 2 + ab + b2 ; c 2 + ca + a 2 ; b2 + bc + c 2 cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 2. Cho (u n ) là cấp số nhân. Kí hiệu S = u1 + u 2 + … + u n ; T= 1 1 1 ; P = u1u 2 …u n . Hãy tính P theo S,T và n. + + … + u1 u 2 un Bài 7 Cho hai số tự nhiên n, k thỏa k + 3 ≤ n . 1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho Ckn , Ckn+1 và Ckn+ 2 là ba số hạng liên tiếp của một CSC. 2. Chứng minh rằng không tồn tại k để Ckn , Ckn+1 , Ckn+ 2 và Ckn+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 1. Cho (u n ) là CSC. Chứng minh rằng: n u1 + u n + 1 n + 1 n + 1 2 k . ∑ 2 Ck 2 n +1 k 1 k 0= ∑ = k u k +1 = n 2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử s1 ,s 2 ,s 3 ,… là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss ,ss ,ss ,… và ss 1 2 3 1+k ,ss 2 +k ,ss 3 +k ,… đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng s1 ,s 2 ,s 3 ,… cũng là một cấp số cộng Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: theo thứ tự đó lập thành CSC theo thứ tự đó lập thành CSN . 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm x biết : 1. x 2 + 1, x − 2,1 − 3x lập thành cấp số cộng ; 2. 1, x 2 ,6 − x 2 lập thành cấp số nhân. 2 2 Ví dụ 2. Cho các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng π  2. 1; sin  − x  ; 4 sin x 1. 1; x; x 3 6  Bài 2. Tìm x, y biết: 1. Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số ( y − 1)2 , xy − 1, ( x + 1)2 lập thành cấp số nhân. 2. Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số x + 5 y, y − 1, 2x − 3y lập thành cấp số nhân. 3 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài 3. Xác định a, b để phương trình x 3 + ax + b = Bài 4 Tìm m để phương trình: 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 1. mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân 2. x 3 − 3mx 2 + 4mx + m − 2 = Bài 5 Xác định m để: 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 1. Phương trình x 3 − 3x 2 − 9x + m = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. Phương trình x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. 3. Phương trình x 3 + 2x 2 + ( m + 1) x + 2 ( m + 1) = 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cấp số cộng Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 3; 7; 11; 15; B. 1; 3; 6; 9; 12; C. 1; 2; 4; 6; 8; D. 1; 3; 5; 7; 9; 1 Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1   , công sai 2 1 d  . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: 2 1 1 A.  ;0;1; ;1. 2 2 Câu 2. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? 2 1 1 2 4 A.  ;  ;0; ; ;1; …. 3 3 3 3 3 C. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;…. 5 5 5 5 Câu 3. Cho dãy số C. B. 15 2;12 2;9 2;6 2;…. D. 1 2 3 4 3 5 ; ; 3; ; ;… 3 3 3 3 1 1 3 ;0;  ; 1;  ;….. là cấp số cộng với: 2 2 2 A. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là . 2 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là  . 2 2 C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 1 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là  . 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 1 3 5 ;1; ;2; . 2 2 2 1 1 1 B.  ;0; ;0; . 2 2 2 1 1 3 D.  ;0; ;1; . 2 2 2 Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B.6;10;14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Câu 6. Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d  2. Tìm n. A. n  12. B. n  13. C. n  14. D. n  15. Câu 7. Cho các số 4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x . A. x  7. B. x  10. C. x  11. D. x  12. Câu 8. Biết các số C n1 ; C n2 ; C n3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n  3. Tìm n. Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 A. n  5. B. n  7. n¨m häc 2018 C. n  9. D. n  11. u1  1 . C.  un  un1 1 u1  1 . D.  un  2un1 A. un  4 n  9. B. un  2n  19. C. un  2n  21. D. un  2n  15. Câu 9. Nếu các số 5  m; 7  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. m  2. B. m  3. C. m  4. D. m  5. Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; x ; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. x  1; y  21. B. x  2; y  20. C. x  3; y 19. D. x  4; y  18. Câu 11. Cho cấp số cộng un  có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;  . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng. A. un  5n  1. B. un  5n 1. C. un  4 n  1. D. un  4 n 1. Câu 17. Cho cấp số cộng un  có u1  5 và d  3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. Câu 18. Cho cấp số cộng un  có u1  5 và d  3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u15  34. B. u15  45. C. u13  31. D. u10  35. Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số 1 Câu 12. Cho cấp số cộng un  có u1  3 và d  . Khẳng hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao 2 nhiêu? định nào sau đây đúng? A. d  4. B. d  5. C. d  6. D. d  7. 1 1 B. un  3  n 1. A. un  3  n  1. Câu 20. Cho cấp số cộng un  có u1  4 và d  5. Tính tổng 2 2 C. un  3  1 n 1. 2 D. un  3  1 n 1. 4 Câu 13. Cho cấp số cộng un  có u3  15 và d  2 . Tìm un . A. un  2n  21. 3 B. un   n  12. 2 C. un  3n 17. D. un  3 2 n  4. 2 Câu 14. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un  7  3n. C. un  7 . 3n A. un  1 2n  1. A. S100  24350. B. S100  24350. C. S100  24600. D. S100  24600. 1 1 và d   . Gọi S5 4 4 là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 21. Cho cấp số cộng un  có u1  5 4 A. S5   . B. S5  . 5 4 5 C. S5  . 4 4 D. S5   . 5 B. un  7  3n. Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là un  3n  4 D. un  7.3n. đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? n 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.  B. un  sin . n với n   * . Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 3n  1 . A. Sn  2 C. Sn  3n 2  5n . 2 B. Sn  D. Sn  7 3n 1 2 . 3n 2  11n . 2 Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 A. 7650. n¨m häc 2018 B. 7500. C. 3900. Câu 31. Cho cấp số cộng un  có u4  12 và u14  18. Tìm D. 3825. u Câu 24. Cho cấp số cộng un  có d  2 và S8  72. Tìm số số hạng đầu tiên 1 và công sai d của cấp số cộng đã cho. hạng đầu tiên u1 . B. u1  16. A. u1  16. C. u1  1 1 . D. u1   . 16 16 A. u1  21; d  3. B. u1  20; d  3. C. u1  22; d  3. D. u1  21; d  3. Câu 32. Cho cấp số cộng un  có u2  2001 và u5  1995 . Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số Khi đó u1001 bằng: cộng đó là un có giá trị là bao nhiêu? A. un  57. D. un  69. C. un  65. B. un  61. A. u1001  4005. B. u1001  4003. C. u1001  3. D. u1001  1. Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó Câu 33. Cho cấp số cộng un  , biết: un  1, un 1  8 . Tính công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? công sai d cảu cấp số cộng đó. A. d  2. B. d  3. D. d  5. C. d  4. A. d  9. B. d  7. C. d  7. D. d  9. Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Câu 34. Cho cấp số cộng un . Hãy chọn hệ thức đúng trong 3n 2 19n * Sn  với n   . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công các hệ thức sau: 4 sai d của cấp số cộng đã cho. u  u20  u5  u10 . B. u90  u210  2u150 . A. 10 2 3 1 B. u1  4; d  . A. u1  2; d   . 2 2 u .u C. u10 .u30  u20 . D. 10 30  u20 . 2 3 5 1 C. u1   ; d  2. D. u1  ; d  . 2 2 2 Câu 35. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn u2  u23  60. Tính Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là tổng S24 của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Sn  n 2  4 n với n   * . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đã cho. B. un  3n  2. Câu 36. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và n 1 8 D. un  5.   5  C. un  5.3n1. . số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. Câu 29. Tính tổng S  1  2  3  4  5  …  2n 1  2n với n  1 và n  . B. S  1. A. S  0. 30. B. S24  120. C. S24  720. D. S24  1440. A. un  2n  3. Câu A. S24  60. Cho cấp cộng C. d  4. D. d  5. u7  u3  8 . Tìm Câu 37. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn  u2 u7  75 mãn công sai d của câp số cộng đã cho. un  thỏa u2  u8  u9  u15  100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. S16  100. B. S16  200. C. S16  300. D. S16  400. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng B. d  3. D. S  n. C. S  n. số A. d  2. – 0946798489 1 A. d  . 2 1 B. d  . 3 C. d  2. D. d  3. u1  u7  26 . Câu 38. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn  2 u2  u6 2  466  Mệnh đề nào sau đây đúng? Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 u1  13  . A.     d  3   u1  10 . B.    d  3 n¨m häc 2018 u1  1  . C.     d  4 u  13 . D.  1 d  4 A. b 2 ; a 2 ; c 2 . B. c 2 ; a 2 ; b 2 . C. a 2 ; b 2 ; c 2 . D. a 2 ; c 2 ; b 2 . Câu 47. Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề u1  u3  u5  15 nào sau đây đúng? . Câu 39. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn  u1  u6  27 A. a 2  c 2  2ac  4b 2 . B. a 2  c 2  2ab  2bc . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? D. a 2  c 2  2ab  2bc . C. a 2  c 2  ab  bc .     u  21 u  21 u  18 21 u   1  1  1  1 . . B.  . C.  . D.  A.          Câu 48. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. d 3 d 3 d 3           d  4  Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: u2  u4  u6  36 . Tìm Câu 40. Cho cấp số cộng un  thỏa   u2 u3  54 A. 20 và 70. B. 45 và 45. công sai d của cấp số cộng un  biết d  10. C. 20 và 45. D. 30 và 60. B. d  4.        C. d  5. A. d  3. D. d  6. Câu 49. Ba góc A, B, C  A  B  C  của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ u1  u2  u3  27 của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: Câu 41. Cho cấp số cộng un  thỏa  . Tính  2 u1  u22  u32  275  A. 40. B. 45. C. 60. D. 80. u2 . Câu 50. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các B. u2  6. C. u2  9. D. u2  12. A. u2  3. cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: Câu 42. Tính tổng T  15  20  25  …  7515. 1 3 3 5 1 7 1 5 A. ; 1; . B. ; 1; . C. ; 1; . D. ; 1; . A. T  5651265. B. T  5651256. 3 3 4 4 2 2 4 4 C. T  5651625. D. T  5651526. Câu 43. Tính tổng T  10002  9992  9982  997 2  …  22 12. A. T  500500. B. T  500005. C. T  505000. D. T  500050. Câu 44. Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có công sai d , các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 1 1 1 là một cấp số cộng? ; ; ; ; u1 u2 u3 un A. d  1. B. d  0. C. d  1. D. d  2. Câu 45. Nếu a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2b 2 ; a 2 ; c 2 . B. 2b; 2a; 2c . C. 2b; a; c . D. 2b;  a;  c . 1 1 1 ; ; theo thứ tự lập thành cấp số b c c a a b cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? Câu 46. Nếu Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Câu 51. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Câu 52. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,…Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Câu 53. Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Câu 54. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 55. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết hạng tiếp theo là: giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ B. 81. C. 64. D. 56. 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét A. 720. khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; x ; 128 theo thứ tự đó lập thành nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? một cấp số nhân. A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. B. x  32. C. x  64. D. x  68. A. x  14. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; x ;  9 theo Phần 2. Câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cấp số nhân thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? B. x   A. x  36. 2; 2; 4; 4 2; …. A. 128;  64; 32; 16; 8; … B. C. 5; 6; 7; 8; … D. 15; 5; 1; 1 ; … 5 Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; 1; 1; 1;  C. 12 ; 2 2 ; 32 ; 4 2 ;  D. a; a 3 ; a 5 ; a 7 ;  a  0. Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 4; 8;  C. 4; 2; 1 1 ; ;  2 4 B. 3; 32 ; 33 ; 34 ;  D. 1 1 1 1 ; 2; 4; 6;      Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32;  là một cấp số nhân với: 13 . C. x  6. 2 Câu 10. Tìm b  0 để các số 1 2 ; b; D. x  36. 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. B. b  1. A. b  1. C. b  2. D. b  2. Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 x 1; x ; 2 x  1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x   1 1 . B. x   . 3 3 C. x   3. D. x  3. Câu 12. Tìm x để ba số 1  x ; 9  x ; 33  x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x  1. B. x  3. C. x  7. D. x  3; x  7. Câu 13. Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. 2; x; 18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.  x  6 . A.      y  54 C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.   x  10 . C. B.      y  26  x  6   . D.     y  54  x  6   .     y  54 D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Câu 5. Cho cấp số nhân un  Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là với u1  2 và q  5. Viết x ; 12; y; 192. Mệnh đề nào sau đây là đúng? bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. 2; 10; 50;  250. B. 2; 10;  50; 250. C. 2; 10;  50;  250. D. 2; 10; 50; 250. A. x  1; y  144. B. x  2; y  72. C. x  3; y  48. D. x  4; y  36. Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 1 1 1 1 1 . Hỏi số Câu 6. Cho cấp số nhân ; ; ; ; là 320 để được bốn số 5; x ; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp 4096 2 4 8 4096 số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? A. 11. B. 12. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. 10. – 0946798489 D. 13.   x  20  x  25 . . B.  A.     y  125   y  80  x  15  . C.      y  45  x  30  . D.      y  90 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x  6; x và y. Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. y  216. B. y  324 . 5 C. y  1296 . D. y  12. 5 Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 x  1 và 4 x 2 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 x 1. B. 2 x  1. C. 8 x 3  4 x 2  2 x  1. D. 8 x 3  4 x 2  2 x 1. Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. un  7  3n. B. un  7  3n. C. un  Câu 22. Cho dãy số 7 . D. un  7.3n. 3n un  là một cấp số nhân với un  0, n   * . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. u1 ; u3 ; u5 ; … C. B. 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; … 1 1 1 ; ; ; … u1 u2 u3 D. u1  2; u2  2; u3  2; … Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho. u1  1 . A.  un 1  un  1, n  1 u1  1 . B.   un 1  3un , n  1 u1  2 . C.  un 1  2un  3, n  1  u1    2 . D.        , n  1 un  sin   n 1  A. un  3n1. B. un  3n. C. un  3n 1. D. n un  3  3 . Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. q  3. B. q  3. C. q  2. D. q  2. 3 Câu 19. Cho dãy số un  với un  .5n. Khẳng định nào sau 2 2 Câu 25. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  . Mệnh đề 3 đây đúng? nào sau đây đúng? A. un  không phải là cấp số nhân. B. un  là cấp số nhân có công bội q  5 và số hạng đầu 16 27 16 . B. u5   . C. u5  . 27 16 27 27 . 16 nào sau đây đúng? C. un  là cấp số nhân có công bội q  5 và số hạng đầu 15 . 2 A. S6  130. B. u5  256. C. S5  256. D. q  4. Câu 27. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  2 . Số 192 5 D. un  là cấp số nhân có công bội q  và số hạng đầu 2 u1  3. là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. C. Số hạng thứ 7. Câu 20. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. un  D. u5  Câu 26. Cho cấp số nhân un  có u1  2 và u2  8 . Mệnh đề 3 u1  . 2 u1  A. u5   1 3 n 2 C. un  n  . 1 . 3 B. un  B. Số hạng thứ 6. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 28. Cho cấp số nhân un  có u1  1 và q   1 1. 3n 1 D. un  n 2  . 3 1 . Số 10 1 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? 10103 A. Số hạng thứ 103. C. Số hạng thứ 105. Câu 21. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un đã cho. B. Số hạng thứ 104. D. Không là số hạng của cấp số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. C. S  2 1  2 n  1 2 n D. S  2. . 1  2 3 . Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u6 của cấp số D. 9. Câu 30. Cho cấp số nhân un  có un  81 và un 1  9. Mệnh nhân đã cho. đề nào sau đây đúng? 1 A. q  . 9 B. q  9. 1 D. q   . 9 C. q  9. Câu 31. Một dãy số được xác định bởi u1  4 1 un   un1 , n  2. Số hạng tổng quát un của dãy số đó là: 2 A. un  2 n1. C. un  4 2n 1 . n 1 B. un  2 A. u6  32. B. u6  104. C. u6  48. D. u6  96. Câu 37. Cho cấp số nhân un  có u1  6 và q  2. Tổng và n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm n. A. n  9. B. n  10. C. n  11. D. n  12. Câu 38. Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng đầu tiên là . Sn  5n 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. n 1  1 D. un  4    2  . A. u4  100. B. u4  124. C. u4  500. D. u4  624. Câu 32. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  2. Tính Câu 39. Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng đầu tiên là tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. S10  511. B. S10  1025. C. S10  1025. D. S10  1023. Sn  3n  1 . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. 3n1 A. u5  2 . 34 B. u5  1 . 35 C. u5  35. D. u5  5 . 35 Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là Câu 40. Cho cấp số nhân u  có u  2 và u  54. Tính 2 5 n 1; 4; 16; 64;  Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Sn  4 n1. C. Sn  B. Sn  2 4 4 1 . n n 4 1 . 3 n 1  4 n1  D. Sn  3 A. S1000  1  31000 . 4 B. S1000  31000 1 . 2 C. S1000  31000 1 . 6 D. S1000  1  31000 . 6 . Câu 41. Cho cấp số nhân un  có tổng của hai số hạng đầu tiên Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của 1 1 ; ; 1; ; 2048. Tính tổng S của tất cả các số hạng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của 4 2 cấp số nhân là một số dương. cấp số nhân đã cho. A. S  2047,75. B. S  2049,75. C. S  4095,75. D. S  4096,75. A. S5  181 . B. S5  141. 16 C. S5  121. D. S5  Câu 42. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng Câu 35. Tính tổng n 1 S  2  4  8  16  32  64  …  2 n  1, n  . A. S  2n. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng n  2 với B. S  2 n. – 0946798489 bằng 35 . 16 1 , công bội 2 1 . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu? 4 A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. 1 . 512 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 43. Cho cấp số nhân un  có u2  6 và u6  486. Tìm Câu 51. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng u3  0. A. q  3. 1 B. q   . 3 1 C. q  . 3 u7  384 D. q  3. Câu 44. Cho cấp số nhân u1 ; u2 ; u3 ;  với u1  1. Tìm công bội q để 4u2 + 5u3 đạt giá trị nhỏ nhất? 2 A. q   . 5 B. q  0. 2 C. q  . 5 B. un  2 n C. un  2 n 1. D. un  2n. u  5 . A.  1 q  2 u1  6 . B.   q  2 u1  6 . C.   q  3 u  5 . D.  1 q  3 u4  u2  36 . Chọn Câu 52. Cho cấp số nhân un  thỏa mãn  u5  u3  72 D. q  1. Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. un  2 n1. u  192 . un , biết  6 Câu 46. Cho cấp số nhân un  có công bội q. Mệnh đề nào sau đây đúng? uk 1  uk 1 . 2 A. uk  u1 .q k 1 . B. uk  C. uk  uk 1 .uk 2 . D. uk  u1  k – 1 q. Câu 47. Cho cấp số nhân un  có u1  0 và q  0. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. u7  u4 .q 3 . B. u7  u4 .q 4 . C. u7  u4 .q 5 . D. u7  u4 .q 6 . A. um  uk .q k . B. um  uk .q m . C. um  uk .q mk . D. um  uk .q m  k . khẳng định đúng? u1  4 . A.   q  2 u1  6 . B.   q  2 u1  9 . C.   q  2 u1  9 . D.   q  3 u20  8u17 . Chọn Câu 53. Cho cấp số nhân un  thỏa mãn  u1  u5  272 khẳng định đúng? A. q  2. B. q  4. C. q  4. D. q  2. Câu 54. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba 1 . Tìm bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 16 số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đã cho.  1   u  A.  1 2 .    q  2   u1  2 B.   1.  q   2    1   u1  2  u1   . C.  D. . 2  1    q     q 2   2   u1  u3  u5  65 . Tính Câu 55. Cho cấp số nhân un  thỏa   u1  u7  325 Câu 48. Cho cấp số nhân un  có u1  0 và q  0. Với u3 . 1  k  m, đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. u3  10. B. u3  15. C. u3  20. D. u3  25. u1  u2  u3  14 . Tính Câu 56. Cho cấp số nhân un  thỏa  u1 .u2 .u3  64 Câu 49. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau u2 . đây là sai? A. u1 .u15  u2 .u14 . B. u1 .u15  u5 .u11 . C. u1 .u15  u6 .u9 . D. u1 .u15  u12 .u4 . Câu 50. Cho một cấp số nhân có n số hạng n  k  55. Đẳng thức nào sau đây sai? u1 .un  u5 .un4 . A. u1 .un  u2 .un1 . B. C. u1 .un  u55 .un55 . D. u1 .un  uk .unk 1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 A. u2  4. B. u2  6. C. u2  8. D. u2  10. Câu 57. Cho cấp số nhân un  có công bội q và thỏa 1  1 1 1 1 u1  u2  u3  u4  u5  49         u1 u2 u3 u4 u5  .  u1  u3  35 Tính P  u1  4q 2 . Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 A. P  24. B. P  29. Câu 58. Cho cấp số nhân n¨m häc 2018 C. P  34. D. P  39. un  có công bội q và thỏa u1  u2  u3  26 . Tìm q biết rằng q  1.  2 u1  u22  u32  364  5 A. q  . 4 B. q  4. 4 C. q  . 3 Câu 64. Gọi S  9  99  999  …  999…9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. S  D. q  3. 10 n 1 . B. S  10   9  10 n 1 . 9 10 n 1   n. C. S  10   9  10 n 1   n. D. S  10   9  Câu 65. Gọi S  1  11  111  …  111…1 ( n số 1) thì S Câu 59. Các số x  6 y, 5 x  2 y, 8 x  y theo thứ tự đó lập nhận giá trị nào sau đây? thành một cấp số cộng; đồng thời các số x 1, y  2, x  3 y 10 n 1 10 n 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2  y 2 . . . A. S  B. S  10   81  81 A. x 2  y 2  40. C. x 2  y 2  100. B. x 2  y 2  25. D. x 2  y 2  10. Câu 60. Ba số x ; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x ; 2 y; 3 z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . 1 A. q  . 3 1 B. q  . 9 1 C. q   . 3 D. q  3. Câu 61. Cho dãy số tăng a, b, c c   theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b  8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b  8, c  64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P  a  b  2c . A. P  184 . 9 B. P  64. 10 n 1   n. C. S  10   81  92 . 9 1  10 n 1   n . 10  9   9   Câu 66. Biết rằng S  1  2.3  3.32  …  11.310  a  21.3b . 4 b Tính P  a  . 4 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4. Câu 67. Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. C. P  D. S  1 1  . a 2 bc B. 1 1  . b 2 ac C. 1 1  . c 2 ba D. 1 1 2   . a b c D. P  32. Câu 68. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc Câu 62. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một bé nhất bằng: cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm q. A. 56 0. B. 102 0. C. 252 0. D. 1680. Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện Câu 63. Cho bố số a, b, c, d biết rằng a, b, c theo thứ tự đó tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m 2 ). Tính diện tích mặt A. q  2. B. q  2. 3 C. q   . 2 3 D. q  . 2 lập thành một cấp số nhân công bội q  1 ; còn b, c, d theo thứ trên cùng. tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a  d  14 và b  c  12. 18  73 . A. q  24 C. q  20  73 . 24 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 19  73 . B. q  24 D. q  21  73 . 24 – 0946798489 A. 6 m 2 . B. 8 m 2 . C. 10 m 2 . D. 12 m 2 . Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng. C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồn Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng n¨m häc 2018 – 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . Lời giải. Giả sử bốn số hạng đó là a − 3x;a − x;a + x;a + 3x với công sai là d = 2x .Khi đó, ta có:  ( a − 3x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3x ) = 20   2 2 2 2 120 ( a − 3x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3x ) =  4a = 20 5 a= ⇔ 2 ⇔ 2 120 4a + 20x = x = ±1 Vậy bốn số cần tìm là 2, 4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d = x , là chẵn thì gọi công sai d = 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. p  a1 + a 2 + … + a n = thì: * Nếu cấp số cộng (a n ) thỏa:  2 2 2 s2 a1 + a 2 + … + a n = ( ) 12 ns 2 − p2 n ( n − 1)  1 = a1 .d  và d = ± . p − n  2 n2 n2 − 1  ( ) 10 u 2 − u 3 + u 5 =  Ví dụ 2. Cho CSC (u n ) thỏa :  u 4 + u6 = 26 1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính S = u1 + u 4 + u7 + … + u 2011 . Lời giải. Gọi d là công sai của CSC, ta có: 10 10 u = 1 u + 3d = (u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = ⇔ 1 ⇔ 1  13 26 (u1 + 3d) + (u1 + 5d) = d = 3 u1 + 4d = 1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : u n = u1 + (n − 1)d = 3n − 2 . 2. Ta có các số hạng u1 , u 4 , u7 ,…, u 2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d’ = 3d , nên ta có: S= 670 ( 2u1 + 669d’ )= 673015 2 −21 u + 3u 3 − u 2 = Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa:  5 . −34 3u7 − 2u 4 = 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; 3. Tính S = u 4 + u 5 + … + u 30 . Lời giải. u + 4d + 3(u1 + 2d) − (u1 + d) = −21 Từ giả thiết bài toán, ta có:  1 −34 3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = u + 3d = −7 u = 2 . ⇔ 1 ⇔ 1 −34 d = −3 u1 + 12d = 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 = u1 + 99d = −295 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 = 15  2u + 14d  = −285 2  1 27  2u + 26d  2  4 = 27 ( u1 + 16d ) = −1242 . 3. Ta có: S = u 4 + u 5 + … + u 30 = Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: S= S 30 − S 3 = 15 ( 2u1 + 29d ) − 3 −1242 . ( 2u1 + 2d ) = 2 10 u − u 3 + u 5 = Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn  2 26  u 4 + u6 = 1. Xác định cấp số cộng 2. Tính tổng = S u 5 + u7 + … + u 2011 Lời giải. u + d − (u1 + 2d) + u1 + 4d = 10 = 10 u + 3d 1. Ta có:  1 ⇔ 1 + 3d + u1 + 5d 26 = u1 + 4d 13 u1= ⇔ u1 = 1,d = 3 ; u 5 =u1 + 4d =1 + 12 =13 2. Ta có u 5 , u7 ,…, u 2011 lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên S= 1003 ( 2u5 + 1002.6=) 3028057 . 2 Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (u n ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính = S 1 u1 u 2 + 1 1 + … + u2 u3 u 49 u 50 Lời giải. Gọi d là công sai của cấp số đã cho Ta có: S100 d = 50 ( 2u1 + 99d = ) 24850 ⇒= ⇒ 5S = = 497 − 2u1 = 5 99 5 5 5 + + … + u1 u 2 u 2 u 3 u 49 u 50 u − u 49 u 2 − u1 u 3 − u 2 + + … + 50 u1 u 2 u2 u3 u 49 u 50 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + … + − + − u1 u 2 u 2 u 3 u 48 u 49 u 49 u 50 1 1 1 1 245 = − = − = u1 u 50 u1 u1 + 49d 246 49 ⇒S= . 246 Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (u n ) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  u1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11  2.  82 u1 + u 5 =   11  u1 + u 2 + u 3 + u 4 = 15 1.  2 2 2 2 85 u1 + u 2 + u 3 + u 4 = Lời giải.  q4 − 1 = 15  u1 u (1 + q + q 2 + q 3 ) = 15 q −1   1 1. Ta có:  2 ⇔ 2 4 6 8 85 u1 1 + q + q + q = u 2 q − 1 = 85  1 2  q −1 ( Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng ) – 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11  q4 − 1   ⇒  q −1    2 n¨m häc 2018 q = 2  q 2 − 1  45 (q 4 − 1)(q + 1) 45   = ⇔ = ⇔ q = 1  q 8 − 1  17 (q − 1)(q 4 + 1) 17    2 Từ đó ta tìm được= u1 1,= u1 8 . ( ) 39  u 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 = 11 u1q(1 + q + q 2 ) =  1  11 2. Ta có:  ⇔ 82 4 82 u1 (1 + q ) = u (1 + q 4 ) = 11   1 11 ⇒ q4 + 1 3 2 q +q +q = 82 1 . ⇔ q = 3,q = 39 3 2  u 4 = . Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (u n ) thỏa:  27 u = 243u 8  3 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 Lời giải. Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:  2 3  2  1 3 u1q = 27  u1 q = q = 27 ⇔ ⇔ 3  u q 2 = 243.u q7 q 5 = 1 u = 2  1  1 1  243 1. Năm số hạng đầu của cấp số là: = u1 2,= u2 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 2 2 2 2 . = = = , u3 ; u4 , u5 3 9 27 81 10 1  3 −1 10   1 10  59048 q −1   S10 = u1 2. 3 1 −    = = = . 1 q −1   3   19683 −1   3 2 2 3. Ta có: u n = ⇒ un = ⇔ 3n −1 = 6561 = 38 ⇒ n = 9 n −1 6561 3 Vậy 2 là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Dãy số (u n ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 2 n Bài 2 . Dãy số (u n ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 1. u= 2n + 3 n 2. u n = −3n + 1 2 3. u= n n +1 4. u n = 2 . n Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 2n + 3 1. u= 2. u n= 4 − 5n 3. u n = 3n + 1 n 5 n n+1 2 4. u n = 5. u n = 6. u= n n +1 n 2n 1. u n = 2n 2. u n = 4.3n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 3. u n = Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. u n = 2 n 4. u n = 2n − 1 3 2. u n = − 3n −1 5 3. u= 3n − 1 n 5. u n = n 3 . Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A, B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A . Xác định số đo các góc A, B,C . 3+ 3 2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin A + sin B + sin C = tính các góc của tam 2 giác n +1 32 Bài 6. Cho dãy số (u n ) với u n = 1. Chứng minh dãy số (u n ) là cấp số nhân 2. Tính tổng = S u 2 + u 4 + u6 + … + u 20 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. Bài 8. 8 u − u 3 = 1. Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn  7 . Tìm u1 ,d ?  u 2 .u7 = 75 11 u 31 + u 34 = 2. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d > 0 ;  2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. 2 101 u 31 + u 34 = 3. Gọi S1 ; S 2 ; S 3 là tổng n1 ; n 2 ; n 3 số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: S S1 S n 2 − n 3 ) + 2 ( n 3 − n1 ) + 3 ( n1 − n 2 ) = 0 ( n1 n2 n3  u1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11  Bài 9. Cho CSN (u n ) thỏa:  82 u1 + u 5 =   11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 2. Tính tổng S 2011 1  3. Trên khoảng  ;1  có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2  Bài 10. 1 1. Cho dãy số (x n )= : xn = , n 1, 2, 3… . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều n thuộc dãy số trên. ĐÁP ÁN Bài 1 1. Ta có: u n +1 − u n= 2(n + 1) + 3 − (2n + 3)= 2 là hằng số Suy ra dãy (u n ) là cấp số cộng với công sai d = 2 . 2. Ta có: u n +1 − u n =−3(n + 1) + 1 − ( −3n + 1) =−3 là hằng số Suy ra dãy (u n ) là cấp số cộng với công sai d = −3 . 3. Ta có: u n +1 − u n = (n + 1)2 + 1 − (n 2 + 1) = 2n + 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (u n ) không phải là cấp số cộng. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 −2 2 2 phụ thuộc vào n −= n + 1 n n(n + 1) Vậy dãy (u n ) không phải là cấp số cộng. Bài 2 . u n+1 1. Ta có: n +1 = phụ thuộc vào n suy ra dãy (u n ) không phải là cấp số nhân. un n 4. Ta có: u n +1 − u = n u n +1 4.3n +1 2. Ta có: = = 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (u n ) là một cấp số nhân với công bội q = 3 . un 4.3n u n +1 2 2 n : = = phụ thuộc vào n . 3. Ta có: un n+1 n n+1 Suy ra dãy (u n ) không phải là cấp số nhân. Bài 3. 1. Ta có: u n +1 − u n= 3(n + 1) + 1 − 3n − 1= 3 Dãy (u n ) là CSC có công sai d = 3 . 2. Ta có: u n +1 − u n = −5 Dãy (u n ) là CSC có công sai d = −5 2 2 3. Ta có: u n +1 − u n = . Dãy (u n ) là CSC có công sai d = 5 5 1 4. Ta có: u n +1 − u n = − ⇒ (u n ) không là CSC n(n + 1) 5. Tương tự ý 4 dãy (u n ) không là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy (u n ) không là CSC. Bài 4 u 1. Ta có: n +1= 2 ⇒ (u n ) là CSN với công bội q = 2 un 2. Ta có: u n +1 = 3 ⇒ (u n ) là CSN với công bội q = 3 un u n +1 3n + 2 ⇒ (u n ) không phải là CSN 3. Ta có: = un 3n − 1 u n +1 2 n +1 − 1 4. Ta có:= ⇒ (u n ) không phải là CSN un 2n − 1 u n +1 (n + 1)3 5. Ta có:= ⇒ (u n ) không phải là CSN . un n3 Bài 5. 1. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : A = 0 200 A= C 5A + B + C 180=     C 2B B 3A B 600 . ⇔ = ⇔ = A + = C = 5A   0 0 = =  9A 180 C 100 2. Ba góc của tam giác: 300 ,600 ,900 Bài 6. n +1 +1 u 1 3 2 = u1 3= 3; q 3. 1. Ta có: n += = 3 , ∀n ∈ N* ⇒ Dãy số là cấp số nhân với n un +1 32 2. Ta có u 2 ; u 4 ; u6 ; …; u 20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u = = q 3 và có 10 số hạng nên 2 9; Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 − 310 310 − 1 9 10 = S u 2 . = 9. = (3 − 1) 1− 3 2 2 n n + 1 = 9 ⇔ n = 16 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. Bài 7. 1. Gọi CSN đó là (u n ), n = 1,7 . Theo đề bài ta có : 3. Ta có : u n = 19683 ⇔ 3 2 +1 = 39 ⇔  2  u .q 3 6 =  u 4 6 =  u1 = 1 ⇔ ⇔ 9  6 u7 = 243u 2  q=3 u1 .q = 243u1 .q  Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là 2 2 = u1 = ;u = ;u 2;= u 5 18;= u6 54;= u7 162 9 2 3 3 2. Gọi ba số hạng của CSC là a − 2x;a;a + 2x với d = 2x a =−3 a − 2x + a + a + 2x =−9  Ta có:  ⇔  1. 2 2 2 (a 2x) a (a 2x) 29 − + + + =  x = ± 2  a + d = 37 a = 37 − d   c + b = 36 c = 36 − b ⇔ 3. Gọi bốn số đó là a, b,c,d ta có hệ :  a + c = 2b d = 73 − 3b  bd = c 2  b(73 − 3b) = (36 − b)2   ⇔ b= 16,c= 20,d= 25,a= 12 . Bài 8. 8 2 d = u + 6d − u1 − 2d = 1. Ta có:  1 ⇔ 75 u1 = 3, u1 = −17 (u1 + d)(u1 + 6d) = 11 −89 2u1 + 63d = u = ⇔ 1 2. Ta có:  2 2 101 d = 3 (u1 + 30d) + (u1 + 33d) = Vậy u n = 3(n − 1) − 89 = 3n − 92 . n1 ( 2u1 + (n1 − 1)d ) 2 n3 n2 S3 S2 2u 2 + (n 2 − 1)d ) ; = = ( ( 2u3 + (n 3 − 1)d ) 2 2 Ta có điều phải chứng minh. Bài 9. 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có: S1 3. Thay công thức = ( ( ) 39 39   2 u3 + u4 u1 q + q = + q3 u 2 +=   11 ⇔ 11   82 82 4 u + u u 1 + q = = 5  1  1 11 11 Suy ra: q4 + 1 3 2 q +q +q = ) 82 ⇔ 39q 4 − 82q 3 − 82q 2 − 82q + 39 = 0 39 1 ⇔ (3q − 1)(q − 3)(13q 2 + 16q + 13) = 0 ⇔ q = ,q = 3 3 1 81 81 1 • q = ⇒ u1 = ⇒ u n = . 3 11 11 3n −1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 3n −1 • q =3 ⇒ u1 = ⇒ u n = . 11 11 2. Ta có: S 2011 = u1 q 2011 − 1 q −1 1 243  1  • q =⇒ S 2011 =  1 −  2011 3 22  3  ( 1 • q= 3 ⇒ S 2011 = 32011 − 1 22 3. Với q = 3 ta có: u n= Với q = ) 3n −1  1  ∈  ;1  ⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy 11  2  1  1 1 ∈  ;1  ⇔ = un n 3 nên có một số hạng của dãy. ta có:= 3 11.3n − 5  2  Bài 10. k = , k 1, 2011 2011! k+1 k 1 1 Ta có: u k +1 = = + = uk + 2011! 2011! 2011! 2011! Nên dãy (u n ) là CSC có 2011 số hạng. 1. Xét dãy số (u = n ) : uk 1 = x1.2…(k −1)(k +1)…2011 1.2…(k − 1)(k + 1)…2011 Từ đó ta có đpcm. Hơn nữa u k Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3 , 3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN. Lời giải. 1. Giả sử 1, 3 , 3 là số hạng thứ m, n, p của một CSC (u n ) . Ta có: u1 (p − n) p − n p−n 3 − 3 up − un vô lí vì 3 là số vô tỉ, còn là số hữu tỉ. = = = n−m 3 − 1 u n − u m u1 (n − m) n − m 2. Giả sử 2,3,5 là ba số hạng thứ m, n, p của CSN (v n ) có công bội q = 3 2 um 5 q m − n= ; q p− n , suy ra Ta có:= = 3 un 3 p− n m −n 2 5 p(p− n)(m − n) =  =  3 3     1 vô lí. ⇒ 2 p− n.3m − p.5n − m = Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u n ) là: 2. CSN khi và chỉ khi u n = a.q n . 1. CSC khi và chỉ khi u= n an + b Lời giải. 1. Giả sử (u n ) là một CSC công sai d , khi đó : u n = u1 + (n − 1)d = dn + u1 − d = an + b . Giả sử: u n = an + b ⇒ u n +1 − u n = a ⇒ u n +1 = u n + a, ∀n Suy ra (u n ) là một CSC với công sai a . 2. Giả sử (u n ) là CSN với công bội q , khi đó: u n = u1 .q n Giả sử u n = a.q n , suy ra u n +1 q ⇒ u n +1 = q.u n , ∀n = un Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Suy ra dãy (u n ) là CSN với công bội q . Ví dụ 3. Chứng minh rằng : 1. Nếu phương trình x 3 − ax 2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab = 2a 3 + 27c 0 2. Nếu phương trình x 3 − ax 2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca 3 − b3 ) = Lời giải. 1. Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x 2 , x 3 lập thành CSC Suy ra: x1 + x 3 = 2x 2 (1) Mặt khác: x 3 − ax 2 + bx − c = (x − x1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) = x 3 − (x1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x1x 2 + x 2 x 3 + x 3 x1 )x − x1x 2 x 3 Suy ra x1 + x 2 + x 3 = a (2) Từ (1) và (2), ta suy ra 3x 2 = a hay x 2 = a 3 Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x 2 = 3 a , tức là: 3 2 2a 3 ba a a a + − c = 0 ⇔ 9ab = 2a 3 + 27c   − a  + b  − c = 0 ⇔ − 27 3 3 3 3 Ta có đpcm. 2. Giả sử ba nghiệm x1 , x 2 , x 3 lập thành CSN, suy ra x1x 3 = x 22 Theo phân tích bài trên, ta có: x1x 2 x 3 =c ⇒ x 23 =c ⇒ x 2 =3 c Hay phương trình đã cho có nghiệm x 2 = 3 c , tức là: ( c) 3 3 −a ( c) 3 2 3 + b 3 c − c = 0 ⇔ b 3 c = a c 2 ⇔ c(ca 3 − b3 ) = 0 Bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X = {1, 2, 3,…,9} thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Lời giải. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B không có ba số nào lập thành CSC. Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B, tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC. Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7 không thể cũng nằm trong một tập. Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra (3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau • 4 ∈ A , vì 3,4 ∈ A ⇒ 2 ∉ A ⇒ 2 ∈ B , do 1,4,7 lập thành CSC nên 1 ∈ B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8 ∈ A ⇒ 9 ∈ B Do đó 1,5,9 ∈ B lập thành CSC vô lí • 4 ∈ B , do 4,5 ∈ B ⇒ 6 ∈ A mà 6,7 ∈ A ⇒ 8 ∈ B 5,8 ∈ B ⇒ 2 ∈ A , vì 2,3 ∈ A ⇒ 1 ∈ B , vì 1,5 ∈ B ⇒ 9 ∈ A Do đó: 3,6,9 ∈ B vô lí. Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: x n + m − x m − x n < 1 ∀m, n ∈  * . Chứng minh rằng: (xn) là một cấp số m+n cộng. Lời giải. Đặt a= x n − nx1 , khi đó ta có a1 = 0 và |a m + n − a m − a n |< n a n = 0, ∀n ∈  . Thật vậy, ta có: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 1 , ∀m, n ∈  . Ở đây ta sẽ chứng minh m+n Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 , ∀n ∈  , nên lim|a n +1 − a n |= 0 hay lim|a n + k − a n |= 0, ∀k ∈  . n+1 1 0. Mà a n + k − a n − a k < nên lim|a n + k − a n − a k |= n n+k Từ đây suy ra a k = 0, ∀k ∈  . a n +1 − a n < Vậy ta có điều phải chứng minh. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho ba số a, b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : a 2 + 2bc =c 2 + 2ab . 2. Cho a, b,c > 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : 1 1 2 + =. a+ b b+ c c+ a 3. Cho (u n ) là cấp số cộng. Chứng minh rằng : 1 = un ( u + un+k ) , 1 ≤ k ≤ n − 1 2 n −k Bài 2 A B 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan ; tan ; 2 2 C tan lập thành cấp số cộng ⇔ cos A; cos B; cos C lập thành cấp số cộng. 2 A B C 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ; cot ; cot lập thành cấp số cộng ⇔ sin A; sin B; sin C lập thành cấp số 2 2 2 cộng. Bài 3 Cho a, b,c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 2 + b2 + c 2 ( 2. a 2 + b2 )( b 2 ) + c 2 = ( ab + bc ) 3 2 3. ( ab + bc + ca= ) abc ( a + b + c ) ( )( 3 ) 4. a n + bn + c n a n − bn + c n = a 2n + b2n + c 2n ; n ∈  * Bài 4 Cho (u n ) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 2 2. S n ( S 3n − S 2n ) = ( S 2n − S n ) . 1. a1a n a= = k .a n − k +1 , k 1; n Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a, b,c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p, t,r sao cho  p + t + r = 0 .  p t r a .b .c = 1 2. Cho cấp số cộng (a n ) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh rằng: 1 1 1 n −1 + + … + = . a1a 2 a 2 a 3 a n −1a n a1a n  1 1 2 a a + a a = a1a 3  2 3 3. Cho bốn số thực a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 .Biết rằng :  1 2 3  1 + 1 + 1 =  a1a 2 a 2 a 3 a 3a 4 a1a 4 Chứng minh rằng : a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 lập thành cấp số cộng. 4. Cho a, b,c lần lượt là ba số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a. ( n − p ) + b. ( p − m ) + c. ( m − n ) = 0. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a, b,c là ba số hạng của một CSC là tồn tại ba số nguyên khác không pa + qb + rc = 0 p,q,r thỏa:  . 0 p + q + r = 6.Cho CSC (u n ) thỏa S m = S n ( m ≠ n ). Chứng minh S m + n = 0 .  5 −1 1+ 5  ; 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó nằm trong khoảng  .  2 2   Bài 6 1. Chứng minh ba số a, b,c > 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 3 số a 2 + ab + b2 ; c 2 + ca + a 2 ; b2 + bc + c 2 cũng là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 2. Cho (u n ) là cấp số nhân. Kí hiệu S = u1 + u 2 + … + u n ; T= 1 1 1 ; P = u1u 2 …u n . Hãy tính P theo S,T và n. + + … + u1 u 2 un Bài 7 Cho hai số tự nhiên n, k thỏa k + 3 ≤ n . 1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho Ckn , Ckn+1 và Ckn+ 2 là ba số hạng liên tiếp của một CSC. 2. Chứng minh rằng không tồn tại k để Ckn , Ckn+1 , Ckn+ 2 và Ckn+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 u1 + u n + 1 n + 1 n + 1 2 k . ∑ k ∑ 2 C 2 n +1 k 1 k k 0= = 1. Cho (u n ) là CSC. Chứng minh rằng: n u k +1 = n 2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử s1 ,s 2 ,s 3 ,… là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss ,ss ,ss ,… và ss 1 2 1+k 3 ,ss 2 +k ,ss 3 +k ,… đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng s1 ,s 2 ,s 3 ,… cũng là một cấp số cộng ĐÁP ÁN Bài 1 1. Vì a, b,c lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b . Do đó : a 2 + 2bc − c 2 − 2ab = ( a − c )( a + c ) − 2b ( a − c ) = ( a − c )( a + c − 2b ) = 0 Suy ra a 2 + 2bc =c 2 + 2ab . 2. Gọi d là công sai của cấp số, suy ra b − a = c − b = d,c − a = 2d Do đó: 1 a+ b + 1 b+ c = = b− a c− b + = d d c−a = d( c + a ) 2 c+ a c− a d . = u1 + (n − k − 1)d  u 3. Gọi d là công sai của cấp số. Ta có:  n − k u n + k = u1 + (n + k − 1)d u + un+k ⇒ u n − k + u n + k = 2u1 + ( 2n − 2 ) d = 2u n ⇒ u n = n − k 2 Bài 2 A B C 1. Ta có: tan ; tan ; tan lập thành cấp số cộng 2 2 2 A C B sin( + ) sin A C B 2 2 = 2 2 ⇔ tan + tan = 2 tan ⇔ A C B 2 2 2 cos cos cos 2 2 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 B B A C  A C  cos 2 sin cos  +  + cos  −   ⇔ = 2 2 2 2  2 2  1 + cos B 1 − cos B 1 ⇔ = + cos A + cos C  2 2 2 cos A + cos C ⇔= cos B ⇔ cos A,cos B,cos C lập thành CSC. 2 A B B C 2. Ta có: cot − cot = cot − cot 2 2 2 2 A B B A B C C B cos sin − cos sin cos sin − cos sin 2 2 2 2 = 2 2 2 2 ⇔ A B C B sin sin sin sin 2 2 2 2 B−A B+A C−B C+B ⇔ sin cos = sin .cos 2 2 2 2 ⇔ sin B − sin A = sin C − sin B ⇔ sin A + sin C = 2 sin B . Bài 3 Vì a, b,c lập thành cấp số nhân nên ta có b2 = ac . 2 1. Ta có: ( a + b + c )( a − b + c ) = ( a + c ) − b2 = a 2 + 2ac + c 2 − b2 ( 2. Ta có: a 2 + b2 )( b = a 2 + 2b2 + c 2 − b2 = a 2 + b2 + c 2 2 ) ( )( ) + c 2 = a 2 + ac ac + c 2 = ac ( a + c ) 2 2 2 = b2 ( a + c ) = ( ab + bc ) . 3. b2 = ac 3 ( Ta có: ( ab + bc + ca ) = ab + bc + b2 ) 3 = b3 (a + b + c)3 = abc(a + b + c)3 . 4. Ta có: VT = (a n + c n )2 − b2n = a 2n + c 2n + b2n + 2(a n c n − b2n ) = a 2n + b2n + c 2n . Bài 4 Gọi q là công bội của cấp số n −1 a12 q n −1 1. Ta= có: a1a n a= 1 .a1q k −1 = a k .a n − k +1 a= .a1 .q n − k a12 .q n −1 1 .q Suy ra : a1a n = a k .a n − k +1 . S n ( S 3n − S 2n ) u1 2. Ta có: = ( S2n q n − 1  q 3n − 1 q 2n − 1  q 2n (q n − 1)2  u12 = − .u1   q −1 q −1 q − 1  (q − 1)2  2 2n n 2  q 2n − 1 qn − 1  2 q (q − 1)   u u u − S= − = ) n 1 1  1 q −1 q − 1  (q − 1)2  2 2 Suy ra S n ( S 3n − S 2n ) = ( S 2n − S n ) . Bài 5 1. • Giải sử a, b,c là ba số hạng thứ k + 1; l + 1; m + 1 của cấp số nhân có công bội q , khi đó ta có : a a b = a u1 .q k= ; b u1 .q l= ; c u1 .q m ⇒= q k −l = ; ql−m ⇒   b c b Đặt p = l − m; t = m − l − k + 1; r = k − 1 . Khi đó ta có ba số p, t,r thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 l−m k −l b l − m m −l − k +1 k −1 = .b .c = 1   ⇒a c   Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 p r 0 a b  p + t + r = • Giả sử ta có  p t r ⇒ a p .cr =bp+ r ⇒   =  (*) b c a .b .c = 1 0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm. Do p + t + r = Giải sử r > 0,t < 0 . Đặt p  a   =   a.q r    Vậy ba số 2. Ta có  a.q r   c  a, b,c b = q r ⇒ b = a.q r kết hợp với (*) ta có a r  = ⇒ c a.q r + p .   là ba số hạng của cấp số nhân với a là số hạng đầu,b là số hạng thứ r + 1 ;c là số hạng thứ r + p + 1 . 1 1 1 1  = −   a k a k +1 d  a k a k +1  1 1 1 1 1 1  n −1 + + ... + =  − =  a1a 2 a 2 a 3 a n −1a n d  a1 a n  a1a n 1 1 2 + = ⇔ a 3 + a1 = 2a 2 ⇒ a1 − a 2 = a 2 − a 3 = d 3. Ta có a1a 2 a 2 a 3 a1a 3 Suy ra 1 1 1 3 2 1 3 + + = ⇔ + = a1a 2 a 2 a 3 a 3a 4 a1a 4 a1a 3 a 3a 4 a1a 4 ⇔ 2a 4 + a1 = 3a 3 ⇔ 2a 4 = 3(a1 + 2d) − a1 ⇒ a 4 = a1 + 3d . 4. Ta có: b =a + (n − m)d; c =a + (p − m)d Suy ra VT = a(n − p) + a + (n − m)d  (p − m) + a + (p − m)d  (m − n) = d (n − m)(p − m) + (p − m)(m − n) = 0 . 5. • Giả sử a, b,c là ba số hạng thứ m + 1,n + 1,k + 1 của một CSC (u n )  a−b d= a = u1 + md  −n m Ta có:  ⇒ u1 + nd m(a − b) mb − an  b = u = = a−  1 m−n m−n Mặt khác: c = u1 + kd ⇒ (m − n)c = mb − na + k(a − b) ⇒ (k − n)a + (m − k)b + (n − m)c = 0 pa + qb + rc = 0 Đặt p =k − n,q =m − k,r =n − m ⇒  0 p + q + r = • Giả sử tồn tại ba số nguyên khác không p,q,r sao cho pa + qb + rc = 0  0 p + q + r = Không mất tính tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c và p,q,r > 0 Ta có: p =−q − r nên ( −q − r)a + qb + rc = 0 ⇔ (a − b)p = (c − a)r a−b ⇒ a = b + rd,c = a + pd = b + (p + r)d r Vậy b,a,c là ba số hạng u1 , ur , u p+ r của một CSC. Đặt d = 6. Ta có S m = S n ⇔ 2u1 (m − n) + (m 2 − n 2 )d − (m − n)d = 0 ⇔ 2u1 + (m + n − 1)d = 0 n+m 1)d  0 .  2u + (m + n −= 2  1 7. Giả sử a, b,c là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q . Suy ra S= m+n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 a + aq > aq 2 q 2 − q − 1 < 0 ⇔ Ta có:  2 2 aq + aq > a q + q − 1 > 0  1− 5 1+ 5  ; q ∈    2   5 −1 5 + 1   2 ⇔ ⇔ q ∈ ; .  2 2    −1 − 5   −1 + 5   ; +∞  ∪ q ∈  −∞;    2 2      Bài 6 1. Ta có: a 2 + ab + b2 + b2 + bc + c 2 = 2(a 2 + ca + c 2 ) 0 ⇔ 2b2 + ab + bc = a 2 + 2ac + c 2 ⇔ b(a + b + c) + b2 − (a + c)2 = ⇔ b(a + b + c) + (a + b + c)(b − a − c) = 0 ⇔ 2b − a − c = 0 ⇔ 2b = a + c . n 1   −1 n q −1 qn − 1 1 q 1 2. Ta có: S u= ; T = = 1 q −1 u1 1 u1 q n −1 (q − 1) −1 q P n 1+ 2 +…+ n −1 u= 1q u1n q n(n −1) 2 S . Suy ra: P =   T n Bài 7 2Ckn+1 1. Ta có: Ckn + Ckn+ 2 = n! n! n! + = 2 k!(n − k)! (k + 2)!(n − k − 2)! (k + 1)!(n − k − 1)! ⇔ (k + 1)(k + 2) + (n − k)(n − k − 1)= 2(k + 2)(n − k) Đây là phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều nhất hai nghiệm. ⇔ 2. Giả sử tồn tại k để Ckn , Ckn+1 , Ckn+ 2 và Ckn+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Do Ckn = Cnn − k nên suy ra: Cnn − k ,Cnn − k −1 ,Cnn − k − 2 ,Cnn − k − 3 cũng tạo thành bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Vậy ta có các bộ sau là ba số hạng liên tiếp của một CSC: Ckn ,Ckn+1 ,Ckn+ 2 Ckn , Ckn+1 , Ckn+ 2 , Ckn+ 3 Cnn − k − 3 ,Cnn − k − 2 ,Cnn − k −1 Cnn − k − 2 ,Cnn − k −1 ,Cnn − k Ta chứng minh tập {k, k + 1, n − k − 3, n − k − 2} chứa không quá hai số khác nhau. Thật vậy, giả sử k,k + 1,n − k − 3 là ba số khác nhau. Khi đó, tồn tại ba CSC: Ckn ,Ckn+1 ,Ckn+ 2 Ckn+1 , Ckn+ 2 , Ckn+ 3 Cnn − k − 3 ,Cnn − k − 2 ,Cnn − k −1 Điều này trái với kết quả câu 1) k = n − k − 3 Do k,k + 1 và k − k − 3,n − k − 2 là các số tự nhiên liên tiếp nên ta có:  ⇒ Ckn+1= Cnn − k − 2= Ckn+ 2 k + 1 = n − k − 2  k +1 Ckn C= Cnk + 2 (1). Suy ra= n Xét phương trình : Ckn = Cnk +1 (2) Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n! n! n −1 = ⇔ k+1= n−k⇒ k = 2 k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! Suy ra phương trình (2) có không quá một nghiệm k , điều này dẫn tới (1) mâu thuẫn. ⇔ Vậy không tồn tại k để Ckn , Ckn+1 , Ckn+ 2 và Ckn+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một CSC. Bài 8 u1 + u n +1 = u k +1 + u n − k +1 , ∀k = 0,1, 2,…, n 1. Ta có  k n −k Cn = Cn n u n u n u n − k +1  n u k +1 + u n − k +1 1 k +1   + = = + (u u ) Nên 2 ∑ k +1 = ∑ k 1 n +1 ∑ k k n −k  ∑ k Cn Cn= Cn = = k 0= k 0  Cn k 0 Cn  k 0 Do đó, để chứng minh đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh n n + 1 n +1 2 k ∑ (1). Ckn 2 n +1 k 1 k 0= ∑ k = 1 = Ta chứng minh (1) bằng quy nạp 2 1 1 • Với n = 1 ta có: VT(1) = + = 2 và VP(1)= ( 2 + 2 )= 2 0 1 4 C1 C1 Nên (1) đúng với n = 1 . n n +1 n + 1 n +1 2 k 1 n + 2 n + 2 2k = , ta chứng minh ∑ ∑ (2) ∑ Ckn +1 2 n + 2 k 1 k Ckn 2 n +1 k 1 k =k 0= 0= 1 ∑ • Giả sử k = n +1 n n 1 1 1 = +∑ = 1+ ∑ k 0 k +1 k +1 C n +1 k 0 = C n +1 0 C n +1= k 0 C n +1 1 ∑ Thật vậy: = k = (n + 1)! n+1 k = C (k + 1)!(n − k)! k + 1 n Mà Ckn++11 = n n  1 1 n k+1 1 k + 1 n − k + 1  = Suy= ra ∑ ∑ k 2(n + 1) ∑  k + n−k  Ckn++11 n + 1 k 0 C= Cn k 0= k 0  Cn = n  n+2 n 1 n + 2 n + 1 n +1 2 k n + 2 n +1 2 k = = ∑ ∑ k n+2 ∑ k 2(n + 1) k 0 Ck 2(n + 1) 2 n +1 k 1 = 2 k 1 = = n = n + 2 n +1 2 k n + 2 n + 2 2 k = 1+ ∑k= ∑ dẫn tới (2) được chứng minh k 2n + 2 k 1= 2n + 2 k 1 k 0 C n +1 = n +1 Suy ra ∑ = k 1 2. Gọi p và q lần lượt là công sai của các cấp số cộng ss ,ss ,ss ,… và ss 1 = b ss 1+k 2 1+k 3 ,ss 2 +k ,ss 3 +k a ss − p và ,… . Đặt= 1 −q. Theo công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng và với số nguyên dương n ta có: ss =ss + (n − 1)p =a + np, ss + k =ss + k + (n − 1)q =b + nq. n 1 n 1 Từ dãy s1 ,s 2 ,s 3 ,… là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên dương n và với chú ý s n + k ≤ s n + k ta có ss + k − 1 < ss n n +k ≤ ss n+k , từ đó ta thu được a + np + k − 1 < b + nq ≤ a + (n + 1)p, điều này tương đương với 0 < k − 1 + b − a + n(q − p) ≤ kp, nếu p ≠ q thì ta thấy bất đẳng thức trên mâu thuẫn khi cho n cằng lớn. Nên suy ra p = q và do đó 0 ≤ k − 1 + b − a ≤ kp (1) Đặt = m min {s n +1 − s n = : n 1, 2,...} . a (ss Khi đó b −= 1+k p) ss − q) − (ss − = 1+k 1 kp =a + (s1 + k)p − (a + s1p) =ss Ta xét hai trường hợp: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng s1 + k − ss s1 − ss ≥ km 1 (2) và =s b + p − sa + q ≥ m(b − a) (3) - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 kp . • b−a = Khi đó, với mỗi số nguyên dương n , ss n +k =b + np =a + (n + k)p =ss n+k , từ đây kết hợp với dãy s1 ,s 2 ,s 3 ,... là một dãy tăng ngặt ta có s n += k sn + k . Mặt khác do s n < s n +1 < ... < s n + k = s n + k nên s n += 1 s n + 1 và do đó s1 ,s 2 ,s 3 ,... là một cấp số cộng với công sai bằng 1. • b − a < kp . Chọn số nguyên dương N sao cho s N +1 − s N = m . Khi đó m(a − b + p − k) = m((a + (N + 1)p) − (b + Np + k)) ≤ sa +(N +1)p − s b + Np+ k =ss − ss +k s N +1 sN + k = (a + s N +1p) − (b + (s N + k)p) = (s N +1 − s N )p + a − b − kp = mp + a − b − kp, do vậy: (b − a − km) + (kp − m(b − a)) ≤ 0. (4) Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau: kp m(b − a) . b−a = km và = Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho s n +1 > s n + m . Khi đó m(m + 1) ≤ m(s n +1 − s n ) ≤ ss n +1 − ss = (a + (n + 1)p) − (a + np) n m(b − a) = m 2 , vô lý. k Vì vậy điều giả sử là sai nên s n += 1 s n + m với mọi n ∈  hay dãy s1 ,s 2 ,s 3 ,… là một cấp số cộng có công sai bằng m . = p= Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Ví dụ 1. Tìm x biết : 1. x 2 + 1, x − 2,1 − 3x lập thành cấp số cộng ; 2. 1, x 2 ,6 − x 2 lập thành cấp số nhân. Lời giải. 1. Ta có: x 2 + 1, x − 2,1 − 3x lập thành cấp số cộng ⇔ x 2 + 1 + 1 − 3x = 2(x − 2) ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ; x = 3 x 2,= x 3 là những giá trị cần tìm. Vậy= 2. Ta có: 1, x 2 ,6 − x 2 lập thành cấp số nhân ⇔ x 4 = 6 − x2 ⇔ x = ± 2. 2 2 Ví dụ 2. Cho các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y Lời giải. Ta có các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành CSC nên suy ra 2 ( 2x + 3y ) = 5x − y + x + 2y hay 2x = 5y (1) 2 2 Các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập thành CSN suy ra ( xy + 1)2 = ( y + 1)2 ( x − 1)2 ⇔ ( 4 + 2y − 2x )( 4xy + 2x − 2y ) = 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được : ( 4 + 2y − 5y ) ( 10y 2 + 5y − 2y ) = 0 4 3 ⇔ y ( 4 − 3y )( 10y + 3 ) = 0⇔y= 0, y = , y = − . 3 10  10 4   3 3  = Vậy (x; y) ( 0; 0 ) ;  ;  ;  − ; −  .  3 3   4 10  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng 1. 1; x; x 3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 π  2. 1; sin  − x  ; 4 sin x 6   Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 2. Tìm x, y biết: 1. Các số x + 5y, 5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số ( y − 1)2 , xy − 1, ( x + 1)2 lập thành cấp số nhân. 2. Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số x + 5 y, y − 1, 2x − 3y lập thành cấp số nhân. 3 Bài 3. Xác định a, b để phương trình x 3 + ax + b = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài 4 Tìm m để phương trình: 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 1. mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 = 2. x 3 − 3mx 2 + 4mx + m − 2 = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Bài 5 Xác định m để: 1. Phương trình x 3 − 3x 2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2. Phương trình x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. 3. Phương trình x 3 + 2x 2 + ( m + 1) x + 2 ( m + 1) = ĐÁP ÁN Bài 2 x + 5y + 8x + y= 2(5x + 2y) giải hệ này ta tìm được 1 Ta có hệ:  2 2 2 (x + 1) (y − 1) = (xy − 1)  3  3 (x; y) =  − 3; −  ;  3; .  2   2   x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)  giải hệ này ta tìm được 2. Ta có hệ:  5 2 (x + y)(2x − 3y) =(y − 1) 3  3 1 (x; y) =( −3; −1) ;  ;  . 8 8 b 0,a < 0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là x =0, x =± −a . Bài 3 Đáp số:= Bài 4. 9 1. Đáp số : m = − 16 2. Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b,c lập thành CSN abc= 2 − m ⇒ m =2 − b3 thay vào phương trình ta có Suy ra  2  b = ac  4 10 b =⇒ m = −  (3b − 4)(b − 2) =0 ⇔  3 27 3  b = 2 ⇒ m = 0 Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. 3 Bài 5: 1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đó: x1 + x 3 =2x 2 , x1 + x 2 + x 3 =3 ⇒ x 2 =1 Thay vào phương trình ta có : m = 11 . Với m = 11 ta có phương trình : x 3 − 3x 2 − 9x + 11 = 0 ( ) ⇔ ( x − 1) x 2 − 2x − 11 =0 ⇔ x1 =1 − 12 , x 2 =1, x 3 =1 + 12 Ba nghiệm này lập thành CSC. Vậy m = 11 là giá trị cần tìm. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2. Đặt = t x2 , t ≥ 0 . 0 (2) Phương trình trở thành: t 2 − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t 2 > t1 > 0 . 2  ∆ ‘ > 0 ( m + 1) − ( 2m + 1) > 0 1   2m + 1 > 0 ⇔ P > 0 ⇔ ⇔− 0  2 ( m + 1) > 0   Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: − t 2 ; − t1 ; t1 ; t 2 Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : −2 t1 − t 2 + t1 = ⇔ t 2= 3 t1 ⇔ t 2= 9t1  2 t1  − t1 + t 2 =  m=4 t1 + t 2= 2 ( m + 1) t1 + 9t1 = 2 ( m + 1) 2 . Theo định lý viet thì :  ⇒ ⇒ 9m − 32m − 16 =0 ⇔  m = − 4 t 2 2m + 1 2m 1 = +  t1=  t1 9t 1  9 4 là những giá trị cần tìm. 9 3. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :  x1x 3 = x 22 m +1  x1 + x 2 + x 3 = −2 ⇒ x2 = −  2 x x + x x + x x = 2 3 3 1 m +1  1 2 −1,m = −4 . 3,m = thay vào phương trình ta có : m = Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Vậy m = 4 hoặc m = − ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 1. CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 3; 7; 11; 15; B. 1; 3; 6; 9; 12; C. 1; 2; 4; 6; 8; D. 1; 3; 5; 7; 9; Lời giải. Ta lần lượt kiểm tra: u2  u1  u3  u2  u4  u3  ? Xét đáp án A: 1; 3; 7; 11; 15;   u2  u1  u3  u2  u4  u3     Chọn A. Xét đáp án B: 1; 3; 6; 9; 12;   u2  u1  4   3  u3  u2   loại B. Xét đáp án C: 1; 2; 4; 6; 8;   u2  u1  3   2  u3  u2   loại C. Xét đáp án D: 1; 3; 5; 7; 9;   u2  u1  4   2  u3  u2   loại D. Câu 2. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? 2 1 1 2 4 A.  ;  ;0; ; ;1; …. 3 3 3 3 3 C. B. 15 2;12 2;9 2;6 2;…. 4 7 9 11 ;1; ; ; ;…. 5 5 5 5 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng D. – 0946798489 1 2 3 4 3 5 ; ; 3; ; ;… 3 3 3 3 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải. Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: um1  um   uk 1  uk thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng. 2 1 1 2 4 1 Xét đáp án A:  ;  ;0; ; ;1; ….    u2  u1  u3  u2  u4  u3     loại A. 3 3 3 3 3 3 Xét đáp án B:  loại B. 3 3  u2  u1  u3  u2  u4  u3    15 2;12 2;9 2;6 2;….  Xét đáp án C: Xét đáp án D: 2 4 7 9 11 1  Chọn C.   u2  u1   u3  u2   ;1; ; ; ;….  5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 3 5 3 ; ; 3; ; ;…    u2  u1  u3  u2  u4  u3   loại D. 3 3 3 3 3 Câu 3. Cho dãy số 1 1 3 ;0;  ; 1;  ;….. là cấp số cộng với: 2 2 2 A. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là . 2 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là  . 2 2 C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 1 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là  . 2 Lời giải: Nếu dãy số un  là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.  u1  1 1 1 3  2 Ta có ;0;  ; 1;  ;….. là cấp số cộng      Chọn B.  1 2 2 2 u u d      2 1 2  1 1 Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1   , công sai d  . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: 2 2 1 1 A.  ;0;1; ;1. 2 2 1 1 1 B.  ;0; ;0; . 2 2 2 C. 1 3 5 ;1; ;2; . 2 2 2 1 1 3 D.  ;0; ;1; . 2 2 2 1 1 n 1 Lời giải: Ta dùng công thức tổng quát un  u1  n 1 d    n 1  1  , hoặc un1  un  d  un  để tính các số 2 2 2 2 hạng của một cấp số cộng. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  1   u1     2    u2  u1  d  0    1 1 1  Ta có u1   ; d     Chọn D. u3  u2  d    2 2 2    u4  u3  d  1    3   u5  u4  d    2   Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập: X  X  1 (nhập X  X  d ). 2 Bấm CALC: nhập  1 (nhập u1 ). 2 Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa! Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Lời giải. Giữa 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với u1  2; u5  22; ta cần tìm u2 , u3 , u4 . u2  u1  d  7   u5  u1 22  2   Ta có u5  u1  4d  d    5   u3  u1  2d  12   Chọn A.  4 4    u4  u1  3d  17 Câu 6. Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d  2. Tìm n. A. n  12. B. n  13. C. n  14. D. n  15. Lời giải. Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n  2 số hạng với u1  3, un 2  23. Khi đó un 2  u1  n  1 d  n  1  un 2  u1 23  3   13  n  12   Chọn A. 2 d Câu 7. Cho các số 4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x . A. x  7. B. x  10. C. x  11. D. x  12. Lời giải. Vì các số 4; 1; 6; x theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên u4  u3  u3  u2   x  6  6 1  x  11   Chọn C. Câu 8. Biết các số C n1 ; C n2 ; C n3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n  3. Tìm n. A. n  5. C. n  9. B. n  7. D. n  11. Lời giải. Ba số C n1 ; C n2 ; C n3 theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u1  u3  2u2  Cn1  Cn3  2Cn2 n  3  n   1 n  2n 1 n 6  2. n 1 n 2 n  2 n 2  3n  2  n 1  n 2  9n  14    n  7 n  3. Chọn B. n  7 6  Nhận xét: Nếu uk 1 , uk , uk 1 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có uk 1  uk 1  2uk . Câu 9. Nếu các số 5  m; 7  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. m  2. B. m  3. C. m  4. D. m  5. Lời giải. Ba số 5  m; 7  2m; 17  m theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên u1  u3  2u2  5  m  17  m  2 7  2m  m  4   Chọn C. Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất u3  u2  u2  u1 . Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; x ; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. x  1; y  21. B. x  2; y  20. C. x  3; y 19. D. x  4; y  18. Lời giải. Bốn số 7; x ; 11; y theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên u4  u3  u3  u2  y 11  11 x  x  y  22  x  2        Chọn B.  u4  u3  u2  u1  y 11  x  7  x  y  18  y  20 Câu 11. Cho cấp số cộng un  có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;  . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng. A. un  5n  1. B. un  5n 1. C. un  4 n  1. D. un  4 n 1. Lời giải. Các số 5; 9; 13; 17;  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng un  nên u1  5 CTTQ   un  u1  n 1 d  5  4 n 1  4n  1   Chọn C.  d  u2  u1  4 1 Câu 12. Cho cấp số cộng un  có u1  3 và d  . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 1 A. un  3  n  1. 2 1 B. un  3  n 1. 2 1 C. un  3  n 1. 2 1 D. un  3  n 1. 4 u1  3 1 CTTQ Lời giải. Ta có    un  u1  n 1 d  3  n 1   Chọn C. d  1 2  2 Câu 13. Cho cấp số cộng un  có u3  15 và d  2 . Tìm un . 3 A. un  2n  21. B. un   n  12. 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 C. un  3n 17. D. un  3 2 n  4. 2 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 15  u3  u1  2d u  19 Lời giải. Ta có    1  un  u1  n 1 d  2n  21. Chọn A. d  2 d  2 Câu 14. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un  7  3n. B. un  7  3n. C. un  7 . 3n D. un  7.3n. Lời giải. Dãy un  là cấp số cộng  un  an  b ( a, b là hằng số). Chọn A. Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un  1 2n  1.  B. un  sin . n u1  1 . C.   un  un1 1 u1  1 . D.  un  2un1 n Lời giải. Dãy un  là một cấp số cộng  un  un1  d ( d là hằng số). Chọn C. Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. un  4 n  9. B. un  2n  19. C. un  2n  21. D. un  2n  15. Lời giải. Dãy số un  2n  15 không có dạng an  b nên có không phải là cấp số cộng. Chọn D. Câu 17. Cho cấp số cộng un  có u1  5 và d  3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. u  5 nu 100 n Lời giải.  1  100  un  u1  n 1 d  3n  8  n  36   Chọn D. d  3 Câu 18. Cho cấp số cộng un  có u1  5 và d  3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u15  34. B. u15  45. C. u13  31. D. u10  35. u15  37    u1  5     Lời giải.    un  3n  8   u13  31   Chọn C.     d  3 u10  22   Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. d  4. B. d  5. C. d  6. D. d  7. u1  5   d  5   Chọn B. Lời giải.  40  u8  u1  7 d Câu 20. Cho cấp số cộng un  có u1  4 và d  5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 A. S100  24350. Lời giải. S n  nu1  B. S100  24350. n n 1 2 C. S100  24600. d   S100  100u1  Câu 21. Cho cấp số cộng un  có u1  D. S100  24600. 100.99 d  24350   Chọn B. 2 1 1 và d   . Gọi S5 là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào 4 4 sau đây đúng? 5 A. S5   . 4 5 C. S5  . 4 4 B. S5  . 5 4 D. S5   . 5  u1  1  1 5.4 1 5  4   S5  5u1   Chọn A. d  5.  10.     Lời giải.      1 2 4 4 4 d   5  Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là un  3n  4 với n   * . Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Sn  3n  1 . 2 B. Sn  7 3n 1 2 . 3n 2  5n . 2 C. Sn  D. Sn  3n 2  11n . 2 u  a  b Lời giải. Câp số cộng un  an  b  .   1 d  a 3n 2  n 3n 2  11n  u1  7 n n 1    S n  nu1   . Chọn D. un  3n  4   d  7n   2 2 2  d  3 Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: A. 7650. B. 7500. C. 3900. Lời giải. Số nguyên dương chia hết cho 3 D. 3825. có dạng 3n n  *  nên chúng lập thành cấp số cộng u1  3 50     S50  u1  u50   3825   Chọn D. un  3n  u50  150 2 n n 1 n Chú ý: S n  u1  un   nu1  d. 2 2 Câu 24. Cho cấp số cộng un  có d  2 và S8  72. Tìm số hạng đầu tiên u1 . A. u1  16. B. u1  16. C. u1  1 . 16 D. u1   1 . 16 d  2 Lời giải.    72  8u1  28.2  u1  16   Chọn A. 72  S8  8u1  8.7 d 2  Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là un có giá trị là bao nhiêu? A. un  57. B. un  61. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 C. un  65. D. un  69. Page | 22 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u1  1, d  4 n2  n  .4  2n 2  n  561  0  n  17.   561  n  Lời giải.  n n 1    561  S  nu  2 d 1 n  2 un  u17  u1  16d  1  16.4  65   Chọn C. Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? B. d  3. A. d  2. C. d  4. D. d  5. u1  1 u1  11d  23   u  23   12     Chọn A. Lời giải.  12 S12  144  u1  u12   144 d  23  u1  2 11  2  Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Sn  3n 2 19n với n   * . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d 4 của cấp số cộng đã cho. 1 A. u1  2; d   . 2 3 B. u1  4; d  . 2 3 C. u1   ; d  2. 2 5 1 D. u1  ; d  . 2 2 Lời giải. Ta có  3n 2 19n 3 2 19 n2  n d d  n  n  S n  nu1  d  n 2  u1   n   4 4 4 2 2 2  d 3   u1  4  2 4    3 . Chọn B.  19 d  d u1     2 2 4  Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Sn  n 2  4 n với n   * . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đã cho. n 1 A. un  2n  3. B. un  3n  2. C. un  5.3n1. 8 D. un  5.   5  .  d   1   d d 2 Lời giải. Ta có n 2  4n  S n  n 2  u1   n     d 2 2 u1   4 2  u1  5     un  2n  3   Chọn A.    d  2 Câu 29. Tính tổng S  1  2  3  4  5  …  2n 1  2n với n  1 và n  . A. S  0. B. S  1. C. S  n. D. S  n. Lời giải. Với mọi n  * thì 2n 1  2n  1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Ta có S  1 2  3  4  5  6   2n 1  2n . Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng 1 nên S  n. Chọn D. Nhận xét: Ta có 1;3;5;; 2n 1 và 2; 4;6;; 2n là các cấp số cộng có n số hạng nên S  1  3  5    2n 1  2  4  6    2n n n  1  2n 1  2  2n  n 2  n 2  n  n. 2 2 Câu 30. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn u2  u8  u9  u15  100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. S16  100. B. S16  200. C. S16  300. D. S16  400. Lời giải. Ta có u2  u8  u9  u15  100  4u1  30d  100  2u1  15d  50. Khi đó S16  16  Chọn D. u1  u16   82u1  15d   8.50  400  2 Câu 31. Cho cấp số cộng un  có u4  12 và u14  18. Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng đã cho. A. u1  21; d  3. B. u1  20; d  3. C. u1  22; d  3. D. u1  21; d  3. 12  u4  u1  3d u  21    1   Chọn A. Lời giải.  18  u14  u1  13d d  3 Câu 32. Cho cấp số cộng un  có u2  2001 và u5  1995 . Khi đó u1001 bằng: A. u1001  4005. B. u1001  4003. C. u1001  3. D. u1001  1. 2001  u2  u1  d u  2003   1   u1001  u1  1000d  3   Chọn C. Lời giải.  1995  u5  u1  4d d  2 Câu 33. Cho cấp số cộng un  , biết: un  1, un 1  8 . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. A. d  9. B. d  7. C. d  7. D. d  9. Lời giải. d  un1  un  8  1  9   Chọn D. Câu 34. Cho cấp số cộng un . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. u10  u20  u5  u10 . 2 B. u90  u210  2u150 . C. u10 .u30  u20 . D. u10 .u30  u20 . 2  u10  u30 u1  9d  u1  29d   u1  19d   loại A. Lời giải. Xét đáp án A:  2 2  u5  u10  u1  4d  u1  9d  2u2  13d Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  u90  u210  2u2  298d  2 u1  149d  Xét đáp án B:    Chọn B.   2u150  2 u1  159d  Nhận xét: Có thể lấy một cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ un  n n  * . Câu 35. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn u2  u23  60. Tính tổng S24 của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. S24  60. C. S24  720. B. S24  120. D. S24  1440. Lời giải. u2  u23  60  u1  d   u1  22d   60  2u1  23d  60. Khi đó S 24  24 u1  u24   12 u1  u1  23d   12 2u1  23d   12.60  720. Chọn C. 2 Câu 36. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. d  2. B. d  3. C. d  4. D. d  5. u1  u6  17 2u1  5d  17 u1  16      Chọn B. Lời giải.  u2  u4  14 2u1  6d  14 d  3 u7  u3  8 . Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. Câu 37. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn   u2 u7  75 1 A. d  . 2 1 B. d  . 3 C. d  2. D. d  3.  u1  6d   u1  2d   8  d  2 u  u3  8  Lời giải.  7     Chọn C.      u1  2u1  12  75  u d u 6 d 75       u2 u7  75   1 1    u1  u7  26 . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 38. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn   2 u2  u6 2  466  u  13 A.  1 . d  3 u  10 B.  1 . d  3 u  1 C.  1 . d  4 u  13 D.  1 . d  4 Lời giải. Ta có 2u1  6d  26  u1  13  3d (1)      u1  u7  26    .    2 2 2 2 2 2    u1  d   u1  5d   466   u2  u6  466  u1  d   u1  5d   466 2 Thay (1) và (2) ta được: 13  2d   13  2d   466  8d 2  338  466 2 2  d  4  u1  1    Chọn C.  d  4  u1  25  u1  u3  u5  15 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? Câu 39. Cho cấp số cộng un  thỏa mãn  u1  u6  27 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 11 u  21 A.  1 . d  3 n¨m häc 2018 u  21 B.  1 . d  3 u  18 C.  1 . d  3 u  21 D.  1 . d  4 u  u3  u5  15    u1  u1  2d   u1  4d   15 Lời giải. Ta có  1    u1  u6  27   u1  u1  5d   27 u1  2d  15 u  21 . Chọn B.     1 2u1  5d  27 d  3 u2  u4  u6  36 . Tìm công sai d của cấp số cộng un  biết d  10. Câu 40. Cho cấp số cộng un  thỏa   u2 u3  54 A. d  3. B. d  4.        C. d  5. D. d  6. u1  d   u1  3d   u1  5d   36   u  u4  u6  36  Lời giải. Ta có  2    u2 u3  54   u1  d u1  2d   54 u  3d  12 1 . Từ 1 suy ra u1  12  3d . Thay vào 2 , ta được   1 u1  d u1  2d   54 2  12  2d 12  d   54  d 2 18d  45  0  d  3 hoặc d  15 . Chọn A. u1  u2  u3  27 Câu 41. Cho cấp số cộng un  thỏa  2 . Tính u2 . 2 2 u1  u2  u3  275 A. u2  3. B. u2  6. C. u2  9. D. u2  12. u  u1  d   u1  2d   27 u1  u2  u3  27  1  Lời giải. Ta có  2 u1  u22  u32  275 u 2  u  d 2  u  2d 2  275  1 1  1 u1  d  9 1   2 . 2 2 u1  u1  d   u1  2d   275 2  Từ 1 suy ra d  9  u1 . Thay vào 2 , ta được 2 2 u12  u1  9  u1   u1  2 9  u1   275  u12 18u1  65  0  u1  13 hoặc u1  5 .  u  5 u1  13 hoặc  1 Vậy    u2  u1  d  9   Chọn C.   d  4  d  4 Câu 42. Tính tổng T  15  20  25  …  7515. A. T  5651265. B. T  5651256. C. T  5651625. D. T  5651526. Lời giải. Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1  15 và công sai d  5. Giả sử tổng trên có n số hạng thì un  7515  u1  n 1 d  7515  15  n 1 5  7515  n  1501 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 11 Vậy T  S1501  n¨m häc 2018 2u1  1500d .1501 2  2.15  1500.5.1501 2  5651265   Chọn A. Câu 43. Tính tổng T  10002  9992  9982  997 2  …  22 12. A. T  500500. B. T  500005. C. T  505000. D. T  500050. Lời giải. Ta có T  1.1000  999  1.998  997  …  1.2  1  1999  1995  …  3. Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1  1999 và công sai d  4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì un  3  u1  n 1 d  3  1999  n 14  3  n  500. Vậy T  S500  u1  u500 .500 2  1999  3.500 2  500500   Chọn A. Câu 44. Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có công sai d , các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 1 1 1 là một cấp số cộng? ; ; ; ; u1 u2 u3 un A. d  1. B. d  0. C. d  1. D. d  2.  1 1 d      u2  u1  d  u2 u1 u1u2  Lời giải. Ta có   .    1 1 d u3  u2  d        u2 u3   u3 u2 Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có 1 1 1 1    u2 u1 u3 u2 d  0  d  0   1  d  0   Chọn B. 1    u1  u3  u1  2d   u1 u3  Câu 45. Nếu a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2b 2 ; a 2 ; c 2 . B. 2b; 2a; 2c . C. 2b; a; c . D. 2b;  a;  c . Lời giải. Ta có c  a  2b  2 c  a   2 2b  2c   2a   2 2b. Chọn B. Câu 46. Nếu 1 1 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? ; ; b c c a a b A. b 2 ; a 2 ; c 2 . B. c 2 ; a 2 ; b 2 . Lời giải. Theo giả thiết ta có C. a 2 ; b 2 ; c 2 . D. a 2 ; c 2 ; b 2 . 2 1 1 c  a b  c b  a      c a b c a b 2 2b  a  c  a  c   2b c  a   2 b 2  ab  bc  ac   a 2  c 2  2ac  2bc  2bc  2 b 2  ab  bc  ac   a 2  c 2  2b 2 . Chọn C. 2 Câu 47. Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 A. a 2  c 2  2ac  4b 2 . B. a 2  c 2  2ab  2bc . C. a 2  c 2  ab  bc . D. a 2  c 2  2ab  2bc . Lời giải. Ta có: a  c  2b  a  c   4b 2  a 2  c 2  2ac  4b 2   Chọn A. 2 Câu 48. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20 và 70. B. 45 và 45. C. 20 và 45. D. 30 và 60. Lời giải. Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó ( A  B  C ) lập thánh cấp số cộng nên C  90, C  A  2 B .  A  B  C  180  3B  180  B  60            Ta có  A  C  2 B   A  C  2 B   A  30   Chọn D.          C  90 C  90 C  90    Câu 49. Ba góc A, B, C  A  B  C  của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40. B. 45. C. 60. D. 80. Lời giải. Ba góc A, B, C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, thì C  2 A, C  A  2 B . Ta có  A  B  C  180 0 3B  180 0 B  60 0  A  40 0      A  C  2 B   A  C  2 B   A  C  120 0   B  60 0   C  A  40 0 . Chọn A.     0 C  2 A C  2 A C  2 A   C  80 Câu 50. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 1 3 ; 1; . 2 2 B. 1 5 ; 1; . 3 3 C. 3 5 ; 1; . 4 4 D. 1 7 ; 1; . 4 4 Lời giải. Ba cạnh a, b, c a  b  c  của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu cầu thì a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2    a  b  c  3  3b  3 .  b  1    a  c  2b a  c  2b a  2b  c  2  c  3   a   4 5  2  2 b 1 Ta có a 2  b 2  c 2  2 1 4 5 0 1 . Chọn C.   c   c   c    c   b     a  2 c 4    5  c   4   Câu 51. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Lời giải. Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d  3 và u1  25. Tổng số ghế là S30  u1  u2    u30  30u1  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 30.29 d  2055   Chọn C. 2 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 52. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,…Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Lời giải. Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng un  có u1  1, d  1. Giả sử có n hàng cây thì u1  u2    un  3003  S n . Ta có 3003  S n  nu1  n n 1 2 d  n 2  n  6006  0  n  77   Chọn C. Câu 53. Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Lời giải. Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u1  1, công sai d  1. Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là: S  S 24  24  Chọn C. u1  u24   12 1  24  300  2 Câu 54. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Lời giải. Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng un  có u1  7, d  5. Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u1  u2   un  25450  S n . Ta có 25450  S n  nu1  n n 1 2 d  7n  n2  n .5 2  5n 2  9n  50900  0  n  100   Chọn B. Câu 55. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Lời giải. Giá tiền khoang mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng un  có u1  80 000, d  5000. Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả là u1  u2    u50  S50  50u1  50.49 d  50.80 000  1225.5000  10125000   Chọn B. 2 PHẦN 2. CẤP SỐ NHÂN Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128;  64; 32; 16; 8; … Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 B. 2; 2; 4; 4 2; …. Page | 29 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 C. 5; 6; 7; 8; … D. 15; 5; 1; 1 ; … 5 Lời giải. Dãy un  là cấp số nhân  un  qun1 n  *   Xét đáp án A: 128;  64; 32; 16; 8; …   Xét đáp án B:  2; 2; 4; 4 2; ….  u2 u3 u4      q un   0 , q gọi là công bội. u1 u2 u3 u2 u 1 u    3  4   Chọn A. u1 2 u2 u3 u u2 1  loại B.    2  3  u1 u 2 2 Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D. Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; 1; 1; 1;  C. 12 ; 2 2 ; 32 ; 4 2 ;  D. a; a 3 ; a 5 ; a 7 ;  a  0. Lời giải. Xét đáp án C: 12 ; 22 ; 32 ; 42 ;    u2 9 u  Chọn C. 4   3  u1 4 u2 Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.  0 là cấp số nhân  un  a.q n , tức là các số hạng của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa Nhận xét: Dãy un  với un  của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ 2; 4; 8; 16;    là cấp số nhân và un  2n. 1; 1; 1; 1;    là cấp số nhân và un  1 . n n 1 a; a 3 ; a 5 ; a 7 ;  a  0   là cấp số nhân và un  a 2 n1  .a 2  . a Câu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? B. 3; 32 ; 33 ; 34 ;  A. 1; 2; 4; 8;  C. 4; 2; 1 1 ; ;  2 4 D. 1 1 1 1 ; 2; 4; 6;      1 Lời giải. Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 2;3; . 2 Xét đáp án D: u u 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ;    2    3   Chọn D.  2 4 6 u1   2 u2 Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32;  là một cấp số nhân với: A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2. D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.  u1  1    Lời giải. Cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32;     Chọn B. u  q 2 2  u1    Câu 5. Cho cấp số nhân un  với u1  2 và q  5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. 2; 10; 50;  250. B. 2; 10;  50; 250. C. 2; 10;  50;  250. D. 2; 10; 50; 250. u1  2  u2  u1q  10 u1  2      Chọn B. Lời giải.  u3  u2 q  50 q  5  u4  u3 q  250 Câu 6. Cho cấp số nhân A. 11. 1 1 1 1 1 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? ; ; ; ; . Hỏi số 2 4 8 4096 4096 B. 12. C. 10. D. 13.  1   u1  n1   2 1 1 1 1 1 1 1 Lời giải. Cấp số nhân: ; ; ; ;    un  .   n .   u 1  2 4 8 4096 2  2 2  q 2    u 2 1   un  1 1 1  n  12  n  12   Chọn B. 4096 2 2 Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720. B. 81. C. 64. D. 56. Lời giải. Ta có cấp số nhân un  có: uk  16 u 9  q  k 1    uk  2  uk 1q  81   Chọn B.  uk 1  36 uk 4 Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; x ; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x  14. B. x  32. C. x  64. D. x  68. Lời giải. Cấp số nhân 2; 8; x ; 128 theo thứ tự đó sẽ là u1 ; u2 ; u3 ; u4 , ta có  u2 u3  8 x    x  32     x  32  u1 u2  2 8    2   x  32  x  32   Chọn B.   u3 u4 128 x  x  1024       x  32 8  x  u2 u3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; x ;  9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? B. x   A. x  36. 13 . 2 Lời giải. Cấp số nhân: 4; x;  9   C. x  6. D. x  36. x 9   x 2  36  x  6   Chọn C. x 4 Nhận xét: ba số a; b ; c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân  ac  b 2 . Câu 10. Tìm b  0 để các số A. b  1. 1 2 ; b; 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. C. b  2. B. b  1. Lời giải. Cấp số nhân 1 2 ; b; 2   1 2 . 2  b 2 D. b  2.  b  1   Chọn B. Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 x 1; x ; 2 x  1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x   1 3 . 1 B. x   . 3 C. x   3. D. x  3. Lời giải. Cấp số nhân 2 x 1; x; 2 x  1   2 x 12 x  1  x 2  3 x 2  1  x   1 3 . Chọn A. Câu 12. Tìm x để ba số 1  x ; 9  x ; 33  x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x  1. B. x  3. D. x  3; x  7. C. x  7.  1  x 33  x   9  x   x  3. Chọn B. Lời giải. Cấp số nhân 1  x; 9  x; 33  x  2 Câu 13. Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; x; 18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?  x  6 A.  .  y  54  x  10 B.  .  y  26  x  6 C.  .  y  54  x  6 D.  .  y  54 18  x  x  6    x 2  . Vậy Lời giải. Cấp số nhân: 2; x; 18; y     18  y  324  54 y    x 18  x  Chọn C.  x; y   6;54 hoặc  x; y   6; 54  Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x ; 12; y; 192. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x  1; y  144. B. x  2; y  72. C. x  3; y  48. D. x  4; y  36. 12   y 144   x 12  x  3 x   y     . Chọn C. Lời giải. Câp số nhân: x; 12; y; 192   y 192  2  y  48    y  2304 y 12 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x ; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?  x  25  A.  .     y  125  x  20  B.  .     y  80  x  15  C.  .     y  45  x  30  D.  .     y  90 u1  5     x  q   5     x  20 2 Lời giải. Cấp số nhân: 5; x; y; 320    . Chọn B.   x 2   y  80    y u u q  3 1    5    x3  320  u4  u1q 3    25  Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x  6; x và y. Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. y  216. B. y  324 . 5 C. y  1296 . 5 D. y  12. Lời giải. Cấp số nhân x  6; x và y có công bội q  6 nên ta có  u1  x  6, q  6  x  36  5  x  u  u q  6  x  6     Chọn C.   2 1   36 1296 2  y  u3  u2 q  36 x  y  36.   5 5  Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 x  1 và 4 x 2 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 x 1. B. 2 x  1. C. 8 x 3  4 x 2  2 x  1. D. 8 x 3  4 x 2  2 x 1. Lời giải. Công bội của cấp số nhân là: q 4 x 2 1  2 x 1. 2 x 1 Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:  Chọn C. 4 x 2 12 x 1  8 x3  4 x 2  2 x 1  Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? u1  1 . A.  un 1  un  1, n  1 u1  1 . B.  un 1  3un , n  1 u1  2 . C.  un 1  2un  3, n  1     u1    2 D.  .       sin , 1 u  n      n  n 1   Lời giải. un  là cấp số nhân  un1  qun   Chọn B. 3 Câu 19. Cho dãy số un  với un  .5n. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. un  không phải là cấp số nhân. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 B. un  là cấp số nhân có công bội q  5 và số hạng đầu u1  . 2 C. un  là cấp số nhân có công bội q  5 và số hạng đầu u1  D. un  là cấp số nhân có công bội q  15 . 2 5 và số hạng đầu u1  3. 2 15 3  Chọn C. Lời giải. un  .5n là cấp số nhân công bội q  5 và u1   2 2 Câu 20. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. un  1 3 n 2 B. un  . Lời giải. Dãy un  1 3n2 1 1. 3n C. un  n  1  9.  là cấp số nhân có  3  n 1 . 3 1 D. un  n 2  . 3 u1  3      Chọn A.  q  1   3  Câu 21. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. un  7  3n. B. un  7  3n. C. un  7 . 3n D. un  7.3n. u1  21 Lời giải. Dãy un  7.3n là cấp số nhân có    Chọn D.  q  3 Câu 22. Cho dãy số un  là một cấp số nhân với un  0, n   * . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. u1 ; u3 ; u5 ; … C. B. 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; … 1 1 1 ; ; ; … D. u1  2; u2  2; u3  2; … u1 u2 u3 Lời giải. Giả sử un  là cấp số nhân công bội q, thì Dãy u1 ; u3 ; u5 ; … là cấp số nhân công bội q 2 . Dãy 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; … là cấp số nhân công bội 2q. Dãy 1 1 1 1 ; ; ; … là cấp số nhân công bội . u1 u2 u3 q Dãy u1  2; u2  2; u3  2; … không phải là cấp số nhân. Chọn D. Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ un  2n. Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho. A. un  3n1. B. un  3n. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 C. un  3n 1. D. un  3  3n. Page | 34 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u1  3 Lời giải. Câp số nhân 3; 9; 27; 81; …     un  u1q n1  3.3n1  3n . q  9  3  3 Chọn B. Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. q  3. C. q  2. B. q  3. D. q  2. u1  2   486  u6  u1q 5  2q 5  q 5  243  q  3. Lời giải. Theo giải thiết ta có:  u6  486 Chọn A. 2 Câu 25. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. u5   27 . 16 B. u5   16 . 27 C. u5  16 . 27 D. u5  27 . 16 u1  3 4   2 16 16 Lời giải.    u5  u1q 4  3.   3.   . Chọn B. 2  q   3 81 27  3 Câu 26. Cho cấp số nhân un  có u1  2 và u2  8 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S6  130. B. u5  256. C. S5  256. D. q  4.      u1  2     q  4    5   u1  2 1 4   1 q 5   Lời giải.   S5  u1 .  2.  410   Chọn D.  1 q 1 4   u2  8  u1q  2q    6  1 4     1638 S 2. 6   1 4   4 4    u5  u1q  2.4  512. Câu 27. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. n1 Lời giải. 192  un  u1q n1  3.2 n1  1 .2n1  64  1 .26  n  7. Chọn C. Câu 28. Cho cấp số nhân un  có u1  1 và q   6 1 1 . Số 103 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? 10 10 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n1 Lời giải.  1 1  un  u1q n1  1.   10  10103 1 n  10 n1 n chan    n  104. Chọn B. n 1  103 Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. D. 9. Lời giải. 32805  un  u1q n1  5.3n1  3n1  6561  38  n  9. Vậy u9 là số hạng chính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. Chọn B. Câu 30. Cho cấp số nhân un  có un  81 và un 1  9. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. q  . 9 Lời giải. Công bội q  B. q  9. C. q  9. 1 D. q   . 9 un1 9 1     Chọn A. un 81 9 1 Câu 31. Một dãy số được xác định bởi u1  4 và un   un1 , n  2. Số hạng tổng quát un của dãy số đó là: 2 A. un  2 n1. n 1 B. un  2 C. un  4 2n 1 . . n 1  1 D. un  4    2  . u1  4 u1  4 n1  1  Lời giải.      un  u1q n1  4.  . Chọn D. 1 1  2  un1   un q     2 2 Câu 32. Cho cấp số nhân un  có u1  3 và q  2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. S10  511. B. S10  1025. C. S10  1025. D. S10  1023.  1 2 u  3 1 q10 Lời giải.  1   S10  u1 .  3.  1023. Chọn D.  1 q 1 2   q  2 10 Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Sn  4 n1. B. Sn  n 1  4 n1  2 . C. Sn  4 n 1 . 3 D. Sn  4 4 n 1 3 . u  1 1 q n 1  4 n 4 n 1   S n  u1 .  1.  Lời giải. Cấp số nhân đã cho có  1 . Chọn C. 1 q 1 4 3 q  4 Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1 ; ; 1; ; 2048. Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã 4 2 cho. A. S  2047,75. B. S  2049,75. C. S  4095,75. D. S  4096,75. Lời giải. Cấp số nhân đã cho có Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  u1  1 1  2048  211  u1q n1  .2n1  2n2  n  13. 4    2 q  2 Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy S13  u1 . 1 q13 1 1 213  .  2047, 75   Chọn A. 1 q 4 1 2 n 1 Câu 35. Tính tổng S  2  4  8  16  32  64  …  2 B. S  2 n. A. S  2n. C. S  2 1  2 n  n1 Lời giải. Các số hạng 2; 4;  8; 16;  32; 64;…; 2 n  2 với n  1, n  . 1 2 n . D. S  2. 1  2 3 . ; 2 trong tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành cấp số n nhân có u1  2, q  2. Vậy 1 2 1 2 1 q n  2.  2.   Chọn D. 1 q 1 2 3 n S  S n  u1 . n Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u6 của cấp số nhân đã cho. B. u6  104. A. u6  32. D. u6  96. C. u6  48. Lời giải. Theo giả thiết:   q  2 q  2     u6  u1q 5  3.25  96. Chọn D.   1 q 6 1  26     3 u  189 . S u u    6 1 1  1    1 q 1 2   Câu 37. Cho cấp số nhân un  có u1  6 và q  2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm n. A. n  9. C. n  11. B. n  10. D. n  12. Lời giải. Ta có 1 2 1 q n n n 2046  S n  u1 .  6.  2 2 1  2  1024  n  10. Chọn B. 1 q 1 2 n   Câu 38. Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  5n 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. A. u4  100. B. u4  124. Lời giải. Ta có 5n1 1  S n  u1 . C. u4  500. D. u4  624. u  q 1 u1  4 u 1 q n . Khi đó  1 q n 1   1  q  5 q  5 q 1 1 q u4  u1q 3  4.53  500   Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 37 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 39. Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  A. u5  2 . 34 B. u5  1 . 35 3n  1 . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. 3n1 C. u5  35. D. u5  5 . 35 u1  31 q  u1  2   1 n  u1 3n 1   n       1 q    . Khi đó Lời giải. Ta có n1  31     S n    q  1 q  1 1 q 3   3     3 3  u5  u1q 4  2   Chọn A. 34 Câu 40. Cho cấp số nhân un  có u2  2 và u5  54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. S1000  1  31000 . 4 B. S1000  31000 1 . 2 C. S1000  31000 1 . 6 D. S1000  1  31000 . 6  2  u2  u1q u1  2  Lời giải. Ta có   3 . Khi đó 54  u5  u1q 4  u1q.q 3  2q 3   q  3 1 q100 2 1 3 1 3100  .    Chọn D. 1 q 3 1 3 6 100 S100  u1 . Câu 41. Cho cấp số nhân un  có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương. A. S5  Lời 181 . 16 giải. S5  u1 . B. S5  141. C. S5  121. D. S5  35 . 16 4  S 2  u1  u2  u1 1  q    4 1  q  q 2   131  q   q  3 q  0  u1  1.  13  S3  u1 1  q  q 2   Khi đó 1 q 5 1 35  1.  121   Chọn C. 1 q 1 3 Câu 42. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng A. 4096. B. 2048. 1 1 , công bội bằng . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu? 2 4 C. 1024. D. 1 . 512  q  1 46  4  u1   2048   Chọn B. Lời giải. Ta có   1 u 2 6   u7  u1q  16 4  2 Câu 43. Cho cấp số nhân un  có u2  6 và u6  486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng u3  0. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 38 Tµi liÖu to¸n 11 A. q  3. n¨m häc 2018 1 B. q   . 3 1 C. q  . 3 D. q  3. 6  u2  u1q  q 4  81  34  q  3. Chọn D. Lời giải.  486  u6  u1q 5  u1q.q 4  6.q 4  Câu 44. Cho cấp số nhân u1 ; u2 ; u3 ;  với u1  1. Tìm công bội q để 4u2 + 5u3 đạt giá trị nhỏ nhất? 2 A. q   . 5 2 C. q  . 5 B. q  0. D. q  1.  4 2 4 Lời giải. Ta có 4u2  5u3  4u1q  5u1q 2  5q 2  4q  5 q      . Vậy  5 5 5 2 min 4u2  5u3    2 4 khi q     Chọn A. 5 5 Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. un  2 n1. B. un  2 n C. un  2 n 1. D. un  2n. 4  u2  u1q u  2   1  un  u1q n1  2.2n1  2n. Lời giải. Ta có  5 4 4 64  u6  u1q  u1q.q  4q q  2  Chọn B. Câu 46. Cho cấp số nhân un  có công bội q. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. uk  u1 .q k 1 . B. uk  uk 1  uk 1 . 2 C. uk  uk 1 .uk 2 . D. uk  u1  k – 1 q. Lời giải. Chọn A. Câu 47. Cho cấp số nhân un  có u1  0 và q  0. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. u7  u4 .q 3 . B. u7  u4 .q 4 . C. u7  u4 .q 5 . D. u7  u4 .q 6 .  u  u1q 3 Lời giải.  4   u7  u1q 3 .q 3  u4 q 3   Chọn A. 6  u u q   7 1  Câu 48. Cho cấp số nhân un  có u1  0 và q  0. Với 1  k  m, đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. um  uk .q k . B. um  uk .q m . C. um  uk .q mk . D. um  uk .q m  k . Lời giải. uk  u1q k 1   um  u1q m1  u1q k 1 .q mk  uk q mk   Chọn C. Câu 49. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. u1 .u15  u2 .u14 . B. u1 .u15  u5 .u11 . C. u1 .u15  u6 .u9 . D. u1 .u15  u12 .u4 . Lời giải. u1 .u15  u1 .u1 .q14  u1q m1 .u1q n1   um .un với m  n  16. Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 39 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 50. Cho một cấp số nhân có n số hạng n  k  55. Đẳng thức nào sau đây sai? A. u1 .un  u2 .un1 . B. u1 .un  u5 .un4 . C. u1 .un  u55 .un55 . D. u1 .un  uk .unk 1 . Lời giải. u1un  u1 .u1q n1  u1q k 1 .u1q m1   uk .um với k  m  n  1. Chọn C. u6  192 . Câu 51. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân un , biết  u7  384 u  5 A.  1 . q  2 u1  6  B.  .    q  2 u1  6  C.  .    q  3 u  5 D.  1 . q  3 q  2 192  u6  u1q 5  . Chọn B.  Lời giải.  192 384  u7  u1q 6  u1q 5  q  192q u1  5  6  q  u4  u2  36 . Chọn khẳng định đúng? Câu 52. Cho cấp số nhân un  thỏa mãn   u5  u3  72 u1  4  A.  .    q  2  u1  6 B.  .    q  2 u1  9  C.  .    q  2 u1  9  D.  .    q  3 q  2 36  u  u  u q q 2 1  4 2 1   36 .   Lời giải.  2 2 2 u  6   72  u5  u3  u1q q 1  u1q q 1 q  36q  1 q q 2 1   Chọn B. u20  8u17 . Chọn khẳng định đúng? Câu 53. Cho cấp số nhân un  thỏa mãn  u1  u5  272 A. q  2. B. q  4. C. q  4. D. q  2.   q3  8 u1q19  8u1q16    q  2 u 8 u     17 Lời giải.  20 . Chọn A.      272   4      u1  u5  272  u1 1  q   272  u1  1  q 4 u1  16     Câu 54. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, 1 tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đã cho. 16   u1  1 A.  2.    q  2  u1  2   B.   1.  q   2  u1  2   C.   1.  q    2   u   1 D.  1 2.  q  2 u1  0, u1 ,   1  q  0 u2  0 q    2   . Chọn B. Lời giải. u1 .u3  1  u12 q 2  1 1    u 2     1  1 1 q u3 .u5    u12 q 6  u12 q 2  q 4  q 4  16 16  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 40 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u1  u3  u5  65 Câu 55. Cho cấp số nhân un  thỏa  . Tính u3 . u1  u7  325 B. u3  15. A. u3  10. C. u3  20. D. u3  25.  u1  u1q 2  u1q 4  65  u1 1  q 2  q 4   65 1 u  u3  u5  65      Lời giải. Ta có  1 .    6    u1 1  q 6   325 2   u1  u1q  325 u1  u7  325     Lấy 2 chia 1 , ta được 1 q6 325   1  q 2  5  q  2 . 2 4 65 1 q  q u  5 u1  5  hoặc  1 Vậy    u3  u1q 2  5.4  20. Chọn C.     q 2 q 2      u1  u2  u3  14 . Tính u2 . Câu 56. Cho cấp số nhân un  thỏa   u1 .u2 .u3  64 A. u2  4. B. u2  6. C. u2  8. D. u2  10. 3 Lời giải. Từ u1 .u2 .u3  64  u1 .u1q.u1q 2  64  u1q   64  u1q  4 hay u2  4 . u1  4  u3  14 u1  u3  10 u1  8 u1  2   hoặc  . Thay vào hệ ban đầu ta được  u3  8 u1 .4.u3  64 u3  2 u1 .u3  16 u1  8   u  2  Vậy  hoặc  1   u2  u1q  4. Chọn A. 1  q  2 q   2  Câu 57. Cho cấp số nhân un  có công bội q và thỏa   1 1 1 1   1 u1  u2  u3  u4  u5  49  u  u  u  u  u  . 1 2 3 4 5  u1  u3  35 Tính P  u1  4q 2 . A. P  24. B. P  29. C. P  34. D. P  39. Lời giải. Nhận xét: Nếu u1 , u2 , u3 , u4 , u5 là một cấp số nhân với công bội q thì nhân với công bội 1 1 1 1 1 cũng tạo thành cấp số , , , , u1 u2 u3 u4 u5 1 . q    1   1 5 5 1 q  q 1   49  . u1 .  1 1 . Do đó từ giả thiết ta có  q 1   u1  1    q   u  u q 2  35 2  1  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 41 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Phương trình 1  u1 . q 5 1 49  q 5 1  2 4 2   4   u1 q  49  u1q  7 . q 1 u1  q q 1 Với u1q 2  7 . Thay vào 2 , ta được u1  7  35  u1  42 . Suy ra q 2   7 : vô lý. 42 u1  28  u1  28    2  Với u1q  7 . Thay vào 2 , ta được u1  7  35  u1  28 . Vậy  1 hoặc  1 . Khi đó u1  4q  29. Chọn B.  q q      2 2  2 u1  u2  u3  26 Câu 58. Cho cấp số nhân un  có công bội q và thỏa  . Tìm q biết rằng q  1.  2 u1  u22  u32  364  5 A. q  . 4 4 C. q  . 3 B. q  4. D. q  3. Lời giải. Ta có u 2 1  q  q 2 2  26 2 1  u1 1  q  q 2   26   u1  u2  u3  26  1      .     2 2 2 2 2 4 u 2 1  q 2  q 4  364 2   u1  u2  u3  364  u1 1  q  q   364    1   Lấy 1 chia 2 , ta được 2 1  q  q 2  1 q2  q4   26 2 1  1  3q 4  7q 3  4 q 2  7q  3  0  3 q 2  2   7 q    4  0 .   364 q  q     t  1 loaïi  1 2 . Đặt t  q  , t  2 . Phương trình trở thành 3t  7t 10  0    t   10 q  3 Với t   1 10 10 1 , suy ra q     3q 2 10q  3  0  q  3 hoặc q  . Vì q  1 nên q  3. Chọn D. 3 q 3 3 Câu 59. Các số x  6 y, 5 x  2 y, 8 x  y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x 1, y  2, x  3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2  y 2 . A. x 2  y 2  40. B. x 2  y 2  25. C. x 2  y 2  100. D. x 2  y 2  10.  x  6 y   8 x  y   2 5 x  2 y  Lời giải. Theo giả thiết ta có   x 1 x  3 y    y  22    x  3 y    x  3 y  x  6 .     2 2         y  2 3 y 13 y  3 y    y  2 0   y  2 Suy ra x 2  y 2  40. Chọn A. Câu 60. Ba số x ; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x ; 2 y; 3 z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 42 Tµi liÖu to¸n 11 1 A. q  . 3 n¨m häc 2018 1 B. q  . 9 1 C. q   . 3 D. q  3.  y  xq; z  xq 2 x  0  Lời giải.  .  x  3 xq 2  4 xq  x 3q 2  4q  1  0   2 3q  4q  1  0     x  3z  2 2 y  Nếu x  0  y  z  0  công sai của cấp số cộng: x; 2 y; 3 z bằng 0 (vô lí). q  1  1 Nếu 3q 2  4q  1  0    1. Chọn A. 1  q  q  q  3  3 Câu 61. Cho dãy số tăng a, b, c c   theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b  8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b  8, c  64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P  a  b  2c . A. P  184 . 9 B. P  64. C. P  92 . 9 D. P  32. ac  b 2 ac  b 2 1      a  2b  16  c Lời giải. Ta có a  c  2 b  8  2 .   2 2 a c  64  b  8 ac  64a  b  8 3   Thay (1) vào (3) ta được: b 2  64a  b 2  16b  64  4a  b  4 4.  c 8  a  2b  16  c a  7  Kết hợp (2) với (4) ta được:  5 4a  b  4  4c  60 b  7  Thay (5) vào (1) ta được:  c  36  7 c  8 c  4c  60  9c  424c  3600  0   100  c  36 c  . c   9 2 2 Với c  36  a  4, b  12  P  4 12  72  64. Chọn B. Câu 62. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm q. A. q  2. 3 C. q   . 2 B. q  2. 3 D. q  . 2 Lời giải. Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó b; a; c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội q. Ta có a  c  2b b  0 2   bq  bq  2 b  .  q2  q  2  0 a  bq; c  bq 2  Nếu b  0  a  b  c  0 nên a; b; c là cấp số cộng công sai d  0 (vô lí). Nếu q 2  q  2  0  q  1 hoặc q  2. Nếu q  1  a  b  c (vô lí), do đó q  2. Chọn B. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 43 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 63. Cho bố số a, b, c, d biết rằng a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội q  1 ; còn b, c, d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a  d  14 và b  c  12. A. q  18  73 19  73 . B. q  . 24 24 C. q  20  73 . 24 D. q  21  73 . 24 Lời giải. Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng công bội q. Khi đó theo giả thiết ta có: b  aq, c  aq 2  2  1 aq  d  2aq b  d  2c   a  d  14  2  a  d  14   a q  q 2   12 3 b  c  12  Nếu q  0  b  c  0  d (vô lí) Nếu q  1  b  a; c  a  b  c  0 (vô lí).  0, q   1, từ (2) và (3) ta có: d  14  a và a  Vậy q  12 thay vào (1) ta được: q  q2 12q 14q 2  14q 12 24q 3    12q 3  7 q 2 13q  6  0 q  q2 q  q2 q  q2  q  112q 2 19q  6  0  q  Vì q  1 nên q  19  73 24 19  73 . Chọn B. 24 Câu 64. Gọi S  9  99  999  …  999…9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. S  10 n 1 B. S  10  .  9  10 n 1 . 9 10 n 1   n. C. S  10   9  10 n 1   n. D. S  10   9  2 n Lời giải. Ta có S  9  99  999  …  99…9   10 1  10 1  …  10 1 n so 9  10  10 2  …  10 n  n  10. 1 10 n  n. Chọn C. 1 10 Câu 65. Gọi S  1  11  111  …  111…1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. S  10 n 1 . B. S  10   81  10 n 1 . 81 10 n 1   n. C. S  10   81  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng D. S  – 0946798489 1  10 n 1   n . 10  9   9   Page | 44 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018   1  1 10 n 1  n  . Chọn D. Lời giải. Ta có S  9  99  999  …  99…9   . 10.   9  9  1 10 n so 9   Câu 66. Biết rằng S  1  2.3  3.32  …  11.310  a  A. P  1. b 21.3b . Tính P  a  . 4 4 C. P  3. B. P  2. D. P  4. Lời giải. Từ giả thiết suy ra 3S  3  2.32  3.33  …  11.311 . Do đó 2 S  S  3S  1  3  32  …  310 10.311  Vì S  1 311 1 21.311 1 21 11.311     S   .311. 1 3 2 2 4 4 1 21.311 21.3b 1 1 11   a  a  , b  11   P    3. Chọn C. 4 4 4 4 4 4 Câu 67. Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1 1  . a 2 bc B. Lời giải. Ta có ac  b 2  1 1  . b 2 ac C. 1 1  . c 2 ba D. 1 1 2   . a b c 1 1    Chọn B. b 2 ac Câu 68. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: A. 56 0. B. 102 0. C. 252 0. D. 1680. Lời giải. Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A  B  C  D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q. Ta có q  3  A  B  C  D  360  A1  q  q 2  q 3   360    A  9  A  D  252.   D  27 A  3   Aq  27 A  D  Aq 3  243 Chọn C. Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 6 m 2 . B. 8 m 2 . C. 10 m 2 . D. 12 m 2 . Lời giải. Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội q  1 12 288  6 144. Khi đó và u1  2 2 diện tích mặt trên cùng là u11  u1q10  6144  6   Chọn A. 210 Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? B. Thua 20000 đồng. A. Hòa vốn. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 45 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Lời giải. Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u1  20 000 và công bội q  2. Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: S9  u1  u2  …  u9  u1 1  p 9  1 p  10220000 Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u10  u1 . p 9  10240000 Ta có u10  S9  20 000  0 nên du khách thắng 20 000. Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 46
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top