Chuyên đề phép trừ phân số Toán 6

CHUYÊN ĐỀ 3
BÀI 7. PHÉP TRỪ PHÂN SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu khái niệm phân số đối.
+ Hiểu quy tắc thực hiện phép trừ hai phân số.
 Kĩ năng
+ Biết cách tìm phân số đối của một phân số.
+ Biết cách thực hiện phép tính trừ phân số.
+ Biết cách tính biểu thức có chứa phép trừ và phép cộng phân số.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phân số đối

Chú ý: 

– Hai phân số được gọi là đối nhau nếu tổng của

a a a
.


b b b

chúng bằng 0.
– Phân số đối của

a
a
là  .
b
b

a  a
   0
b  b
Phép trừ hai phân số
Ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

a c a  c
   
b d b  d

PHÉP TRỪ
HAI PHÂN SỐ

Hai phân số đối
nhau

Hai phân số có tổng
bằng 0 là hai phân số
đối nhau

Trừ hai phân số

Phân số đối của
kí hiệu là 

a  a
   0
b  b

a
b

a c a  c
   
b d b  d

a
b



a a a


b b b

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm số đối của phân số
Phương pháp giải
Số đối của phân số

a
a
là 
b
b

a  a
   0
b  b



Ví dụ. Số đối của

2
2
là  .
5
5

2  2
   0
5  5

a a a


b b b

 a , b  , b  0 



2 2 2

 .
5 5 5

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số đối của đối số sau và giải thích rõ vì sao:

2
3 1
;  3; ;
; 0; 2020.
7
5 4

Hướng dẫn giải
Số đối của

2
2
2  2
là  vì      0 .
7
7
7  7

Số đối của 3 là 3 vì  3  3  0 .
Số đối của

3
3
 3  3
là vì     0.
5
5
 5  5

Số đối của

1
1
1 1
là
vì
  0.
4
4
4 4

Số đối của 0 là 0 vì 0  0  0 .
Số đối của 2020 là 2020 vì 2020   2020   0 .
Nhận xét: Số đối của 0 là 0.
Ví dụ 2. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
a
b


a
b

 a 


 b 

Nhận xét:

4
9

Ta thấy
7
8

 a   a a

 .

 b  b b

0


7
15

 a  a
Do đó:  
 .
 b  b

Hướng dẫn giải
Trang 3

a
b


4
9

a
b



 a 


 b 



4
9

7
8

7
8

4
9



7
8

7
15

0



0

7
15

0



7
15

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tìm số đối của các số sau:

1 3 2
4
;
;
;  5;
; 1000.
5 4 9
5

Câu 2: Hoàn thành bảng sau:
a
b


5
22

5
24

a
b

1

 a 


 b 

21
25

3
11

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1.
Số đối của các số

1 3 2
4
1 3 2
4
;
;
;  5;
; 1000 lần lượt là:
; ; ; 5;
;  1000 .
5 4 9
5
5 4 9
5

Câu 2.
a
b


a
b

 a 


 b 

5
24
5
24
5
24

3
11


3
11

3
11

1

21
25

5
22

1

21
25

5
22

1

21
25

5
22

Dạng 2: Thực hiện phép tính
Bài toán 1. Trừ hai phân số
Phương pháp giải
Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:
Trang 4

a c a  c
   
b b b  d

Trừ hai phân số cùng mẫu

Ví dụ.

a b a b
 
m m
m

2 1 2 1 1
 
 .
5 5
5
5

Trừ hai phân số khác mẫu
Bước 1. Quy đồng mẫu số các phân số

Ví dụ 2. Tính
Ta có

Bước 2. Thực hiện phép trừ hai phân số
Suy ra

cùng mẫu.

1 1
 .
2 3

1 3 1 2
 ;  .
2 6 3 6
1 1 3 2 3 2 1
   
 .
2 3 6 6
6
6

Chú ý rút gọn kết quả.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a)

5 2
 ;
7 7

b)

23 7
 ;
30 30

c)

16
2
 .
27 27

Hướng dẫn giải
a)

5 2 52 3
 
 .
7 7
7
7

b)

23 7 23   7  23  7 30




 1.
30 30
30
30
30

c)

16
2 16 2  16   2 18 2





 .
27 27 27 27
27
27
3

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính:
a)

1 1
 ;
5 3

b)

5
7
 ;
18 3

c)

4
 1.
11

Hướng dẫn giải
a)

1 1 3 5 3  5 2
   

.
5 3 15 15 15
15

b)

5
7 5 42  5   42 47
 



.
18 3 18 18
18
18

Trang 5

c)

4
4 11 4  11 7
1   

.
11
11 11
11
11

Ví dụ 3. Một kho thóc chứa

25
12
13
tấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất
tấn thóc, lần thứ hai
tấn
2
5
4

thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Hướng dẫn giải
Số thóc lấy ra ở cả hai lần là:
12 13 48 65 113
(tấn).
 


5 4 20 20 20

Trong kho còn số tấn thóc là:
25 113 250 113 137




(tấn).
2 20
20 20
20

Bài toán 2. Thực hiện phép tính
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a)

2 1 5
  ;
3 4 12

b)

4 5 2
  .
21 7 3

Hướng dẫn giải
a)

2 1 5 8 3 5 8  3   5 10 5
 
  


 .
3 4 12 12 12 12
12
12 6

b)

4 5 2 4 15 14 4  15  14 3 1
     

 .
21 7 3 21 21 21
21
21 7

Ví dụ 2. Tính bằng cách hợp lí:
a) A 

3 7 10 5
   .
13 12 13 12

b) B 

15 6 28 30 10
    .
24 26 48 39 24

Hướng dẫn giải
a) Ta có: A 

3 7 10 5
  
13 12 13 12

 3 10   7 5 
     
 13 13   12 12 


 3  10  7  5



13 12

13 12

13

12

  1  1

 0.
b) Ta có: B 

15 6 28 30 10
    .
24 26 48 39 24

Trang 6



15 : 3 6 : 2 28 : 4 30 : 3 10 : 2




24 : 3 26 : 2 48 : 4 39 : 3 24 : 2

5 3 7 10 5
    
8 13 12 13 12


5  3 10   7 5 
    
8  13 13   12 12 



5  3  10 7  5


8
13
12



5 13 12


8 13 12



5
  1  1
8



5
  1  1
8 



5
0
8

5
 .
8

Chú ý: Khi thực hiện các phép tính chứa phân số ta có thể rút gọn trước khi quy đồng để mẫu số
chung đơn giản.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Thực hiện các phép tính:
a)

2 5
 ;
11 11

b)

3 1
 ;
5 6

c)

4
 2;
9

d)

7 3
 .
8
4

Câu 2: Tính bằng cách hợp lí:
a) A 

1 3 1 7 4
    ;
2 7 9 18 7

b) B 

5 12 3 7 20

   .
10 28 27 18 35

Câu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước. Một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể hết 3 giờ,
vòi thứ hai hết 5 giờ. Hỏi trong 1 giờ vòi nào chảy được nhiều nước hơn và nhiều hơn bao nhiêu?
Câu 4: Một cái đĩa đựng một quả thanh long, một quả táo và một quả cam. Biết rằng quả thanh long nặng
1
1
1
kg, quả táo nặng kg và quả cam nặng
kg. Hỏi cái đĩa nặng bao nhiêu nếu khối lượng của cả đĩa
3
8
4

và quả là

5
kg?
4

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1.

Trang 7

a)

2 5  2   5 7
 

.
11 11
11
11

b)

3 1 18 5 18  5 13
 


 .
5 6 30 30
30
30

c)

4
4 18  4   18 22
2
 

.
9
9 9
9
9

d)

7 3 7 6  7    6  1




 .
8
4
8
8
8
8

Câu 2
a) Ta có:
A

1 3 1 7 4
   
2 7 9 18 7

 1 1 7   3 4 
      
 2 9 18   7 7 

 9 2 7  3  4

  
7
 18 18 18 



 9   2  7



18

7
7

18
1
18

  1  1
 0.

b) Ta có:
B



5 12 3 7 20


 
10 28 27 18 35
5 : 5 12 : 4 3 : 3 7 20 : 5


 
10 : 5 28 : 4 27 : 3 18 35 : 5
1
2



3
7

1
9





7 4

18 7

 0 (theo câu a).

Câu 3.
Trong 1 giờ:
– Vòi thứ nhất chảy được
– Vòi thứ hai chảy được
Vì

1
bể.
3

1
bể.
5

1 1
 nên trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được nhiều nước hơn và nhiều hơn số phần bể là:
3 5

Trang 8

1 1 5 3
2
(bể).
   
3 5 15 15 15

Câu 4.
Khối lượng của ba loại quả là:
1 1 1 8
3
6 8  3  6 17
  




kg.
3 8 4 24 24 24
24
24

Khối lượng của cái đĩa là:
5 17 30 17 30  17 13





kg.
4 24 24 24
24
24

Dạng 3: Tính tổng của dãy số theo quy luật
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
1
a) Tính: 1  ;
2

1 1
 ;
2 3

1 1
 ;
3 4

1 1
 ;
4 5

1 1
 .
5 6

b) Sử dụng kết quả của câu a) để tính nhanh tổng sau:
1 1 1 1
1
  
 .
2 6 12 20 30

Hướng dẫn giải
a) Ta có:
1

1 2 1 2 1 1
  
 .
2 2 2
2
2

1 1 3 2 3 2 1
   
 .
2 3 6 6
6
6
1 1 4 3 43 1
   
 .
3 4 12 12
12
12
1 1 5
4 54 1
 


 .
4 5 20 20
20
20
1 1 6
5
1
 

 .
5 6 30 30 30

b) Áp dụng kết quả của câu a) ta được:
1 1 1 1
1
  

2 6 12 20 30

 1  1 1 1 1  1 1 1 1
 1                  
 2  2 3 3 4  4 5 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1        
2 2 3 3 4 4 5 5 6

Trang 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1                
 2 2 3 3  4 4 5 5 6

 1 0  0  0  0 
 1

1
6

1
6



6 1

6 6



6 1
6



5
.
6

Ví dụ 2.
a) Chứng tỏ rằng với mọi n  * ta có:

1
1
1
 
.
n  n  1 n n  1

b) Áp dụng kết quả ở câu a) để tính nhanh tổng sau:
A

1
1
1
1


 … 
.
1.2 2.3 3.4
9.10

Hướng dẫn giải
a) Ta có:

 n  1  n  1 .
1
1
n 1
n




n n  1 n  n  1 n  n  1
n  n  1
n  n  1

Vậy với mọi n  * ta có:

1
1
1
 
.
n  n  1 n n  1

b) Áp dụng kết quả ở câu a) ta có:
1 1 1
1
   1 .
1.2 1 2
2
1
1 1
  .
2.3 2 3
1 1 1
  .
3.4 3 4
………………..

1
1 1
  .
9.10 9 10

Suy ra:

 1   1 1 1 1
1 1 
A  1            ….    
 2  2 3 3 4
 9 10 

Trang 10

1 1 1 1 1 1
1 1 1
 1              …     
 2 2 3 3  4 4
 9 9  10

 1
 1

0



0



0

 … 

0



1
10

1
10



10 1

10 10



9
.
10

Ví dụ 3. Tính các tổng sau:
a) A 

1
1
1
1


 … 
;
2.4 4.6 6.8
18.20

b) B 

1 1
1
1
1
   
.
15 35 63 99 143

Hướng dẫn giải
a) Với mọi n   * ta có:
 1 1
1
1  n  2  n 1  n  2
n
1 
 .
 . 

  .  
.
n  n  1 2 n  n  2 
2  n  n  2 n  n  2  2  n n  2 

1
1 1
1 
Suy ra
 . 
.
n  n  1 2  n n  2 
1
1 1 1
Khi đó:
 .   .
2.4 2  2 4 
1
1 1 1
 .  .
4.6 2  4 6 
1
1 1 1
 .   .
6.8 2  6 8 

Mở rộng:
Với mọi a, n  * ta có:

1
n.  n  a 
1 n  a  n
 .
a n.  n  a 

1 1
1 
 . 
.
a n na

………………………
1
1 1 1 
   .
18.20 2  18 20 

Suy ra:
1 1 1  1 1 1 1 1 1
1 1 1 
A  .     .     .     …  .    .
2  2 4 2  4 6 2  6 8
2  18 20 
1 1 1 1 1 1 1
1 1
 .        …   
2 2 4 4 6 6 8
18 20 

Trang 11

1 1 1 
 .  
2  2 20 
1  10 1 
 .  
2  20 20 

1 9
 .
2 20


9
.
40

Vậy A 

9
.
40

b) Ta có: B 

1
1
1
1
1




.
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13

Theo câu a) ta có:

1
1 1 1
 .   .
3.5 2  3 5 
1
1 1 1
 .   .
5.7 2  5 7 
1
1 1 1
 .   .
7.9 2  7 9 
1
1 1 1 
 .  .
9.11 2  9 11 
1
1 1 1
 .   .
11.13 2  11 13 

Suy ra :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1  1 1 
B  .    .    .    .    .   .
2  3 5  2  5 7  2  7 9  2  9 11  2  11 13 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 .          
2  3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 
1 1 1 
 .  
2  3 13 

1  13 3 
 .  
2  39 39 
1 10
 .
2 39


Vậy B 

5
.
39

5
.
39

Trang 12

Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Tính các tổng sau:
a) A 

1 1
1
1
1
1
 
 
 .
6 12 20 30 42 56

b) B 

1
1
1
1
1
1
  


.
56 72 90 110 132 156

c) C 

1 1
1
1
1
1
  


.
4 28 70 130 208 304

Câu 2. Tính các tổng sau:
a) M 

4
4
4
4
4
4





;
21 77 165 285 437 621

b) N 

1
1
1
1
1
1





.
1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31

Câu 3. Tính tổng: P 

1 1 1
1
1
1
   

.
2 14 35 65 104 152

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1.
a) Ta có: A 

1 1 1
1
1
1
 
 

6 12 20 30 42 56



1
1
1
1
1
1





2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
          
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8



1 1

2 8



4 1
 .
8 8

3
 .
8

b) Ta có: B 

1
1
1
1
1
1
  


56 72 90 110 132 156



1
1
1
1
1
1





7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
          
7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13



1 1

7 13



13 7

91 91

Trang 13

6
.
91



1 1
1
1
1
1
 



4 28 70 130 208 304

c) Ta có: C 


1
1
1
1
1
1





1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19

1  3
3
3
3
3
3 
 .






3  1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 
1  4  1 7  4 10  7 13  10 16  13 19  16 
 .






3  1.4
4.7
7.10 10.13 13.16 16.19 

1  1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1  
 .  1                       
3  4   4 7   7 10   10 13   13 16   16 19  
1 
1
 . 1  
3  19 
1  19 1 
 .  
3  19 19 

1 18
 .
3 19


6
.
19

Câu 2.
4
4
4
4
4
4





21 77 165 285 437 621

a) Ta có: M 


4
4
4
4
4
4





3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 23.27



7  3 11  7 15  11 19  15 23  19 27  23





3.7
7.11 11.15 15.19 19.23
23.27

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
           
3 7 7 11 11 15 15 19 19 23 23 27
1 1
 
3 27


9
1

27 27



8
.
27

b) Ta có: N 

1
1
1
1
1
1





1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31

Trang 14

1  5
5
5
5
5
5 
 .






5  1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 
1  6  1 11  6 16  11 21  16 26  21 31  26 
 .






5  1.6
6.11 11.16 16.21
21.26
26.31 

1  1   1 1   1 1   1 1   1 1   1 1  
 . 1                       
5  6   6 11   11 16   16 21   21 26   26 31  
1 
1
 . 1  
5  31 
1  31 1 
 .  
5  31 31 
1 30
 .
5 31


6
.
31

Câu 3.
2 2
2
2
2
2
 



4 28 70 130 208 304

Ta có: P 


2
2
2
2
2
2





1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19

2  3
3
3
3
3
3 
 .






3  1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 
2  4  1 7  4 10  7 13  10 16  13 19  16 
 .






3  1.4
4.7
7.10 10.13 13.16 16.19 
2  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 . 1            
3  4 4 7 7 10 10 13 13 16 16 19 
2 
1
 .1  
3  19 
2  19 1 
 .  
3  19 19 

2 18
 .
3 19


12
.
19

Dạng 4. Tìm số chưa biết trong một đẳng thức
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm x biết:

Trang 15

4
1
x ;
15
5

a) x 

6 2
 ;
13 3

b)

c) x 

5 3
 ;
24 8

c) x 

1 2 1
  .
7 3 9

Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b)

6 2 18 26 18  26 8
8
 


 . Vậy x  .
13 3 39 39
39
39
39

4 1 4 3 4   3 7
4
1
7
x
suy ra x  
 

 . Vậy x  .
5
5
15 5 15 15
15
15
15

c) x 

5 3
3 5
9
5 95 4 1
1
 suy ra x  




 . Vậy x  .
24 8
8 24 24 24
24
24 6
6

d) Ta có:

2 1 6 1 6 1 5
   
 .
3 9 9 9
9
9

Khi đó x 

1 5
5 1 35 9 35  9 26
 suy ra x   


 .
7 9
9 7 63 63
63
63

Do đó x 

26
26
ta được x   .
63
63

Vậy x 

26
26
hoặc x   .
63
63

Ví dụ 2. Điền phân số thích hợp vào ô vuông:
a)

3

8

9
 ;
8

b)



3 2
 ;
14 7

Hướng dẫn giải
a)

3

8



Ta được:
b)



9
suy ra
8

9 3 93 6 3
 
  .
8 8
8
8 4

3 3 9

 .
8 4 8

3 2
 suy ra
14 7

Ta được:





2 3 4 3 4   3 7 1

 


 .
7 14 14 14
14
14 2

1 3 2

 .
2 14 7

Ví dụ 3. Tìm số nguyên x biết:
a)

7 x 1
  ;
9 3 9

b)

1 2 7

 ;
x 15 15

c)

11 4 3

 ;
14
x 14

d)

x 2 5
  .
21 3 21

Hướng dẫn giải

Trang 16

a)

7 x 1
x 7 1 7 1 6 2
  suy ra   
  .
9 3 9
3 9 9
9
9 3

Khi đó
b)

1 7 2 7   2  5 1
1 2 7
suy ra  



  .
x 15 15
x 15 15
15
15 3

Khi đó
c)

1 1
 ta được x  3 . Vậy x  3 .
x 3

4 11 3  11  3 14
4
11 4 3
suy ra



 

 1 
.
14
x 14
x
14 14
14
14
4

Khi đó
d)

x 2
 ta được x  2 . Vậy x  2.
3 3

4 4
ta được x  4 . Vậy x  4 .

x
4

x 2 5
x
5 2 5 14 5  14 19
 
suy ra
    
 .
21 3 21
21 21 3 21 21
21
21

Khi đó

x 19
ta được x  19 . Vậy x  19 .

21 21

Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Điền phân số thích hợp vào ô vuông:
a)

1

15

c)

1

5




2
;
5

1
;
25

b)

1

2



5
;
9

d)

7

25

 0.

b)

2
4 2
x  ;
7
5 3

Câu 2. Tìm x biết:
a) x 

5 4
 ;
7 9

Câu 3. Hoàn thành các phép tính:
a)

2 … 7
  ;
5 10 10

b)

2 2 8
  ;
… 15 15

c)

… 1 1
  ;
21 3 7

d)

11 5 31
  .
12 … 12

b)

5
5 5
x  .
16
12 6

b)

1 7 2 233
  
.
8 5 x 120

Câu 4. Tìm x biết:
1 1 1
a) x    ;
9 3 6

Câu 5. Tìm số nguyên x biết:
a)

x 2 3 17
   ;
5 3 4 60

Hướng dẫn giải bài tập dạng 4
Câu 1.
Trang 17

a)

1

15

Vậy
b)

d)





2 1 6 1  6    1 5 1





 .
5 15 15 15
15
15 3

5
suy ra
9



5 1 10 9  10    9  1




 .
9
2
18 18
18
18

1
suy ra
25



1 1
5
1 5 1 4




 .
5 25 25 25 25 25



7
7
7
(vì
là đối của
).
25
25
25

1 4
1

 .
5 25 25

7

25

Vậy



1 1 5

 .
2 18
9

1

5

Vậy

2
suy ra
5

1 1 2


.
15
3
5

1

2

Vậy
c)



 0 suy ra

7
7

0.
25 25

Câu 2.
a) x 

5 4
4 5 28 45 28  45 73
73
. Vậy x  .
 suy ra x   



7 9
9 7 63 63
63
63
63

b) Ta có:
Khi đó

4 2 12 10 12  10 2
   
 .
5 3 15 15
15
15

2 2 30 14  30   14 44
2
2
44
suy ra x 
x
 



. Vậy x 
.
7
15
7 15 105 105
105
105
105

Câu 3.
a)

2 … 7
… 7 2 7 4 7  4 3
 
suy ra
    
 .
5 10 10
10 10 5 10 10
10
10

Do đó 3  3 . Vậy
b)

2 3
7
  .
5 10 10

2 2 8
2 8 2 8  2 6 2 2
 
suy ra 
 


 .
… 15 15
… 15 15
15
15 5 5

Do đó 5  5 . Vậy
c)

… 1 1
… 1 1 3 7 3  7 4
suy ra
 

 
 
 .
21 3 7
21 7 3 21 21
21
21

Do đó 4  4 . Vậy
d)

2 2 8
  .
5 15 15

4 1 1
  .
21 3 7

11 5 31
5 31 11 31  11 20 5
suy ra   
 

 .
12 … 12
… 12 12
12
12 3

Trang 18

11 5 31
  .
12 3 12

Do đó 3  3 . Vậy
Câu 4.
a) Ta có:

b) Ta có:
5
5 5
x 
16
12 6

1 1 1
x  
9 3 6
x

1 1 1
 
9 6 3

5
5 5
x

16
6 12

x

1 1

9 2

5
5
x
16
4

x

1 1

2 9

x

5 5

16 4

x

7
.
18

x

25
.
16

Vậy x 

7
.
18

25
.
16

Vậy x 

Câu 5.
a) Ta có:

b) Ta có:
1 7 2 233
  
8 5 x 120

x 2 3 17
  
5 3 4 60

 1 7  2 233
   
 8 5  x 120

x 2 17 3
 

5 3 60 4
x 2 7
 
5 3 15

51 2 233
 
40 x 120

x 7 2


5 15 3

2 51 233


x 40 120

x 1

5 5

2 2

x 3

Suy ra x  5 .

Suy ra x  3 .

Dạng 5. So sánh phân số
Cách 1. Dùng “phần bù” với 1: 1 
được gọi là “phần bù” với 1 của

a a
a

thì
b b
b

a
.
b

Ví dụ. So sánh
Ta có: 1 

4
6
và .
5
7

4 5 4 1
   .
5 5 5 5

Phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì nhỏ hơn.
Trang 19

1

Cách 2. Dùng “phần hơn” với 1:

c
c
c
thì
1 
d
d
d

được gọi là “phần hơn” với 1 của

c
.
d

Vì

6 7 6 1
   .
7 7 7 7

1 1
4 6
 nên  (“phần bù” lớn hơn
5 7
5 7

thì nhỏ hơn).
Ví dụ. So sánh

Phân số nào có “phần hơn” lớn hơn thì lớn hơn.
Nhận xét: Dùng phần bù với phân số nhỏ hơn 1 và

Ta có:

dùng phần hơn với phân số lớn hơn 1.

9
3
và .
8
2

9
9 8 1
1    .
8
8 8 8
3
3 2 1
1    .
2
2 2 2

Vì

1 1
9 3
 nên  (“phần hơn” nhỏ
8 2
8 2

hơn thì nhỏ hơn).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. So sánh các phân số sau:
a)

11
17
và
;
12
18

b)

2018
2017
và
.
2020
2019

b)

2013
2018
và
.
2010
2015

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 1 

11 12 11 1
   .
12 12 12 12

1

Vì

17 18 17 1
   .
18 18 18 18

1
1
11 17
nên

 .
12 18
12 18

b) Ta có: 1 

2018 2020 2018
2



.
2020 2020 2020 2020

1

2017 2019 2017
2



.
2019 2019 2019 2019

Vì

2
2
2018 2017

nên

.
2020 2019
2020 2019

Ví dụ 2. So sánh các phân số sau:
a)

77
84
và
;
76
83

Hướng dẫn giải
a) Ta có:

77
77 76 1
1 

 .
76
76 76 76
84
84 83 1
1 
  .
83
83 83 83

Trang 20

Vì

1
1
77 84
nên

 .
76 83
76 83

b) Ta có:

2013
2013 2010
3
1 


.
2010
2010 2010 2010
2018
2018 2015
3
1 


.
2015
2015 2015 2015

Vì

3
3
2013 2018

nên

.
2010 2015
2010 2015

Ví dụ 3. So sánh các phân số sau:
a)

387
592
và
;
386
591

b)

1999
2000
và
.
2000
2001

Hướng dẫn giải
a) Ta có:

387
387 386
1
1 


.
386
386 386 386
592
592 591
1
1 


.
591
591 591 591

Vì

1
1
387 592
387 592
nên
. Suy ra



.
386 591
386 591
386
591

b) Ta có: 1 

1999 2000 1999
1



.
2000 2000 2000 2000

1

Vì

2000 2001 2000
1



.
2001 2001 2001 2001

1
1
1999 2000
1999 2000

nên

. Suy ra

.
2000 2001
2000 2001
2000
2001

Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1. So sánh các cặp phân số sau bằng cách dùng phần bù (hoặc phần dư) so với 1:
a)

36
97
và
;
37
98

b)

65
43
và
;
67
45

c)

2017
2020
và
;
2016
2019

d)

1015
1025
và
.
1010
1020

Bài tập nâng cao
Câu 2. Chứng minh rằng: S 

1 1 1
1
 2  2  …  2  1.
2
2 3 4
10

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1.
a) Ta có: 1 
Vì

36 37 36 37  36 1



 ;
37 37 37
37
37

1

97 98 97 98  97 1



 .
98 98 98
98
98

1
1
36 97
nên

 .
37 98
37 98

Trang 21

b) Ta sẽ so sánh hai phân số

65
43
và
.
67
45

Ta có: 1 

65 67 65 67  65 2



 ;
67 67 67
67
67

1

43 45 43 45  43 2



 .
45 45 45
45
45

Vì

2
2
65 43
65 43

nên
 . Suy ra

.
67 45
67 45
67 45

c) Ta có:

2017
2017 2016 2017  2016
1
1 



;
2016
2016 2016
2016
2016
2020
2020 2019 2020  2019
1
1 



.
2019
2019 2019
2019
2019

Vì

1
1
2017 2020

nên

.
2016 2019
2016 2019

d) Ta sẽ so sánh hai phân số
Ta có:

1015
1025
và
.
1010
1020

1015
1015 1010 1015  1010
5
1 



;
1010
1010 1010
1010
1010
1025
1025 1020 1025  1020
5
1 



.
1020
1020 1020
1020
1020

Vì

5
5
1015 1025
1015 1025

nên

. Suy ra

.
1010 1020
1010 1020
1010
1020

Bài tập nâng cao
Câu 2.
Ta thấy

1
1
1


;
2
2
2.2 1.2
1
1
1


;
2
3
3.3 2.3
1
1
1


;
2
4
4.4 3.4
……………..
1
1
1


.
2
10 10.10 9.10

Suy ra S 

1
1
1
1


 … 
.
1.2 2.3 3.4
9.10

Ta có:
1
1
1
1


 … 
1.2 2.3 3.4
9.10

Trang 22

 1 1 1 1 1
1 1 
  1            …    
 2  2 3 3 4
 9 10 

1 1 1 1 1
1 1
 1       …  
2 2 3 3 4
9 10
 1

1
10



10 1

10 10



9
.
10

Do đó S 

9
 1.
10

Vậy S  1.

Trang 23