Chuyên đề phép nhân và phép chia hai lũy thừa cùng cơ số Toán 6

BÀI 5. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu định nghĩa lũy thừa, phân biệt được cơ số và số mũ.
+ Hiểu được quy tắc nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.
+ Hiểu được khái niệm số chính phương.
 Kĩ năng
+ Thực hiện được các phép tính lũy thừa.
+ Biết cách viết gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa.
+ So sánh được các lũy thừa.
+ Biết biểu diễn một số tự nhiên bất kì dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng
nhau, mỗi thừa số bằng a:
a n  a . a . a. … . a (n  0)


Ví dụ. 2.2.2.2  2 4 ;

n thõa sè

x.x.x  x 3 .

Trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép
nâng lên lũy thừa.
Quy ước a1  a ; a 0  1  a  0  .
Chú ý:
+ 00 không có nghĩa.
+ a 2 còn được gọi là a bình phương (hay bình
phương của a).
+ a 3 còn được gọi là a lập phương (hay lập
phương của a).
2. Nhân hai lũy thừa có cùng cơ số

Ví dụ. 32.35  32 5  37 ;

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ

a.a 4  a1 4  a 5 .

nguyên cơ số và cộng các số mũ:
a m .a n  a m  n

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Ví dụ. 512 : 58  5128  54 ;

x 7 : x 3  x 7 3  x 4  x  0  .

Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (khác 0), ta
giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

a m : a n  a m n  a  0; m  n 
4. Chú ý

Ví dụ.

Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng

2345  2.1000  3.100  4.10  5

các lũy thừa của 10.

 2.103  3.102  4.101  5.100 .

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a n  a . a . a. … . a ( n  0)

n thõa sè

Lũy thừa với số
mũ tự nhiên

00 không có nghĩa

a là cơ số, a  0
n là số mũ

a 0  1 ; a1  a

 a  0
Giữ nguyên cơ số
Các phép toán lũy
thừa

a m .a n  a m  n
a m : a n  a mn

Cộng số mũ
Trừ số mũ

Mọi số tự nhiên đều viết
Chú ý

được dưới dạng tổng các lũy

251  2.102  5.10  1.10 0

thừa của 10.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viêt gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa:
a) 5.5.5.5.5.5.5;

b) 3.5.15.15.45;

c) 3.3.3.4.4.4.4;

d) a.a.b.b.b.b.b .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 5.5.5.5.5.5.5 = 57.
b) Ta có: 3.5.15.15.45 = 3.5.  3.5  .  3.5  .  3.3.5   35.54 .
c) Ta có: 3.3.3.4.4.4.4 = 33.22.22.2 2.22  33.22 2 2 2  33.28 .
d) Ta có: a.a.b.b.b.b.b  a 2 .b5 .
Ví dụ 2. Viết gọn các kết quả sau dưới dạng lũy thừa:
a) 210 : 24 ;

b) 52.54 ;

c) 25.314 : 64 ;

d)  ab  : b5 với b  0 .
7

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 210 : 24  210  4  26 .
b) Ta có: 52.54  52 4  56 .
Trang 3

c) Ta có:
25.314 : 64  25.314 :  2.3  25.314 :  24.34    25 : 24  :  314 : 34   2.310 .
4

d) Ta có:  ab  : b 5  a 7 .b 7 : b5  a 7 .b7 5  a 7 .b 2 .
7

Ví dụ 3. Viết mỗi số sau dưới dạng lũy thừa của 10:
a) 1000;

b) 1 000 000;

c) 1 tỉ;

d) 1 00…0
 ;
12 ch÷ sè 0

Hướng dẫn giải
Tổng quát:

a) Ta có: 1000  103 .

n
100…0
  10

b) Ta có: 1000 000  106 .

n ch÷ sè 0

c) Ta có: 1 tỉ  1000 000 000  10 .
9

12
d) Ta có: 1 00…0
  10 .
12 ch÷ sè 0

Ví dụ 4. Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:
a) ab ;

b) abc ;

c) abcd .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: ab  a.10  b  a.101  b.100 .
b) Ta có: abc  a.100  b.10  c  a.102  b.101  c.100 .
c) Ta có:

abcd  a.1000  b.100  c.10  a.103  b.102  c.101  d .100 .
Ví dụ 5. Mỗi tổng sau có phải là số chính phương hay không?
a) 13  23  33  43 ;

b) 13  23  33  43  53 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 13  23  33  43  1  8  27  64  100  10 2 .

Tổng quát:

Vậy 13  23  33  43 là một số chính phương.

13  23  33  43  …  n3

b) Ta có: 13  23  33  43  53  100  53  100  125  225  152 .

 1  2  3  …  n 

2

Vậy 13  23  33  43  53 là một số chính phương.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1. Viết gọn các biểu thức sau bằng cách dùng lũy thừa
a) 2.2.2.2.3.3.3.3.3;

b) 2.4.5.10.20.25;

c) 3.3.7.9.21.49

d) m.m.m.m  n.n .

Câu 2. Viết gọn các kết quả sau bằng cách dùng lũy thừa:
Trang 4

a) 7.7.7.7.7;

b) 2.2.3.3.3;

c) 5.5.5 – 3.3.3.3;

d) 4.4.4.8 : 2.2.2;

e) 2.2.5.10;

f) x. y. y. y. x .

Câu 3. Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng lũy thừa:
a) 25.2 4 ;

b) 4.310  5.310 ;

c) 515 : 57 ;

d) x 6 . x. x3

Câu 4. Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:
a) 567;

c) abcde ;

b) 1024;

Câu 5. Dùng lũy thừa để viết các số sau:
a) Khối lượng Trái Đất bằng 6 00…0
 tấn.
21 ch÷ sè 0

b) Khối lượng khí quyển Trái Đất bằng 5 00…0
 tấn.
15 ch÷ sè 0

Bài tập nâng cao
Câu 6. Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa:
a) x. x 2 . x3 … x 99 ;

b) x. x 3 . x 5 … x 99 ;

c) x 2 . x 4 . x 6 … x100 .

Câu 1.
a) Ta có: 2.2.2.2.3.3.3.3.3  2 4.35 .
b) Ta có: 2.4.5.10.20.25  2.2 2.5.  2.5  .  2.2.5  .52  26.55 .
c) Ta có: 3.3.7.9.21.49  3.3.7.32.  3.7  .7 2  35.7 4 .
d) Ta có: m.m.m.m  n.n  m 4  n 2 .
Câu 2.
a) 7.7.7.7.7  75 .
b) 2.2.3.3.3  22.33 .
c) 5.5.5  3.3.3.3  53  34 .
d) 4.4.4.8 : 2.2.2  2 2.2 2.22.23 : 2.2.2  29 : 2.2.2  28.2.2  210 .
e) 2.2.5.10  2.2.5.2.5  23.52 .
f) x. y. y. y.x  x 2 . y 3 .
Câu 3.
Ta có: 25.2 4  25 4  29 .
Ta có: 4.310  5.310  310.  4  5   310.9  310.32  310 2  312 .
Ta có: 515 : 57  5157  58 .
Ta có: x 6 .x.x 3  x6 1 3  x10 .
Câu 4.
Ta có: 567  5.100  6.10  7  5.102  6.101  7.100 .
Trang 5

Ta có: 1024  1000  24  1000  2.10  4  103  2.101  4.10 0 .
Ta có: abcde  a.10000  b.1000  c.100  d .10  e
 a.104  b.103  c.10 2  d .101  e.100 .

Câu 5.
21
a) 6 00…0
  6.10 .
21 ch÷ sè 0

15
b) 5 00…0
  5.10 .
15 ch÷ sè 0

Câu 6.
a) Ta có: x.x 2 .x3 …x 99  x1 23…99 .
Xét tổng: 1  2  3  …  99
+ Số số hạng: 99  1  1  99 .
+ Tổng: 1  2  3  …  99   99  1 .99 : 2  100.99 : 2  4950 .
Vậy x.x 2 .x 3 …x 99  x 4950 .
b) Ta có: x.x 3 .x5 …x 99  x135…99  x

1 99.50:2

c) Ta có: x 2 .x 4 .x 6 …x100  x 2 4 6…100  x 

 x 2500 .

100 2 .50:2

 x 2550 .

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức:
a) 36 : 32  34 ;

b) 2 2.52.3  81 : 32 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 36 : 32  34  36 2  34  34  34  0 .
b) Ta có: 2 2.52.3  81 : 32   2.5  .3  34 : 32
2

 102.3  32

 100.3  9
 300  9
 291 .
Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:
a) 4.6 2  2.62 ;

b) 9 2.54.95.32  98.54 ;

c)  22018  22019  : 22017 ;

d)  4101  4100  : 499 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có:

b) Ta có:

Trang 6

4.62  2.6 2

9 2.54.95.32  98.54

 62.  4  2 

 92.54.95.9  98.54

 62.6
 36.6

 98.54  98.54
 0.

 216.
c) Ta có:

2

2018

d) Ta có:



4

 22019 : 22017

101



 4100 : 499

 22018 : 22017  2 2019 : 22017

 4101 : 499  4100 : 499

 22018 2017  22019 2017

 410199  410099

 2  22

 42  4
 16  4

 24
 6.

 12.

Ví dụ 3. Tính nhẩm: 152 ; 252 ; 352 ; 452 ; 752 ;1252 .
Hướng dẫn giải
Ta có:

Tương tự, ta có: 352  1225; 452  2025; 752  5625.

Muốn bình phương một số có tận cùng bằng
5, ta lấy số chục nhân với số chục cộng 1,
rồi viết thêm số 25 ở bên phải của tích vừa
nhận được.

Ví dụ 4. Tính tổng S  1  2  22  23  …  299  2100 .
Hướng dẫn giải

Để tính tổng S có dạng

Ta có: S  1  2  2 2  23  …  299  2100 . (1)

S  1  a  a 2  a 3  …  a n (1)

Nhân cả 2 vế với 2, ta được:

Ta làm như sau:

2 S  2  22  23  2 4  …  2100  2101 . (2)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta được:






2 S  S  2  22  23  24  …  2100  2101



 1  2  2 2  23  …  299  2100

Nhân cả 2 vế của S với a ta được:
a.S  a  a 2  a 3  a 4  …  a n 1 . (2)

Trừ theo vế của (2) cho (1) ta
được:

S  2101  1.
Vậy S  2101  1 .

Trang 7

a.S  S  a n 1  1

 a  1 S  a n 1  1
S

a n 1  1
.
a 1

a n 1  1
Vậy S 
.
a 1
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1. Điền vào các bảng sau:
a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a2
a3
a
a2
Câu 2. Tính nhẩm:
a) 552 ;

b) 652 ;

c) 1052 ;

d) 1452 .

Câu 3. Thực hiện các phép tính:
a) 35.37 ;

b) 210 : 23 ;

c) 22.53.10 ;

d) 35.7 2.49 : 213 .

Câu 4. Mỗi biểu thức sau có phải là một số chính phương hay không?
a) 32  4 2 ;

b) 83 : 23 ;

c) 52  122 ;

d) 13  23  33  43  53  63 .

Câu 5. Thực hiện các phép tính:
a) 125 : 25  ;

b)  29.16  29.34  : 210 ;

c)  34.57  9 2.21 : 35 ;

d) 38 : 34  22.23 .

2

Câu 6. Thực hiện các phép tính:
a)  28  83  :  25.23  ;

b)  71997  71995  :  71994.7  ;

Bài tập nâng cao
Câu 7. Tính tổng:
a) 1  2  22  23  …  250 ;

b) 1  3  32  33  …  31999  32000 ;

Đáp án
Câu 1.
Trang 8

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

a3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

a

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a2

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

Câu 2.
a) 552  3025 .

b) 652  4225 .

c) 1052  11025 .

d) 1452  21025 .

Câu 3.
a) 35.37  312 .
b) 210 : 23  27 .
c) 2 2.53.10  2 2.53.2.5  23.54 .
d) 35.7 2.49 : 213  35.7 2.7 2 :  3.7 

3

 35.7 4 :  33.73 
 32.7.

Câu 4.
a) Ta có: 32  42  9  16  25  52 .
Vậy 32  42 là một số chính phương.
b) Ta có: 83 : 23   23  : 23  23.3 : 23  293  26   23  .
3

2

Vậy 83 : 23 là một số chính phương.
c) Ta có: 52  12 2  25  144  169  132 .
Vậy 52  122 là một số chính phương.
d) Ta có: 13  23  33  43  53  63  225  216  9  32 .
Vậy 13  23  33  43  53  63 là một số chính phương.
Câu 5.
a) Ta có: 125 : 25   52  25 .
2

b) Ta có:  29.16  29.34  : 210   29. 16  34   : 210

Trang 9

  29.50  : 210
  29.2.25 : 210
  210.25  : 210
 25.  210 : 210 
 25.

c) Ta có:  34.57  92.21 : 35  34.57  34.21 : 35
 34.  57  21  : 35
  34.36  : 35

  34.3.12  : 35
  35.12  : 35
 12.  35 : 35 
 12.

d) Ta có: 38 : 34  22.23  38 4  223
 34  25
 81  32
 113.

Câu 6.
a) Ta có:  28  83  :  25.23    28   23 


3

 :  25  3 


  28  29  : 28
  28 : 28    29 : 28 
 1 2
 3.

b) Ta có:  71997  71995  :  71994.7    71997  71995  : 71995
  71997 : 71995    71995 : 71995 
 72  1
 48.

Bài tập nâng cao
Câu 7.
a) Đặt A  1  2  22  23  …  250 (1)
Nhân cả hai vế của A với 2 ta được:

2. A  2  22  23  24  …  251 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

Trang 10



 

2. A  A  2  2 2  23  24  …  251  1  2  2 2  23  …  250



A  251  1.

Vậy A  251  1.
b) Tương tự câu a) ta có: 1  3  32  33  …  31999  32000 

32001  1
.
2

Dạng 3: Tìm cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa
Phương pháp giải
+ Đưa về cùng cơ số: a m  a n suy ra m  n .

Ví dụ.
2x  8
2 x  23
x3

+ Đưa về cùng số mũ: a m  b m suy ra a  b

Ví dụ.

x2  9
x 2  32
x3
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2 n  32 ;

b) 4 n  64 ;

c) 5n  625 ;

d) 15n  225 ;

Hướng dẫn giải
Vì 32  25 nên 2n  25 suy ra n  5 .
Vì 64  43 nên 4 n  43 suy ra n  3 .
Vì 625  54 nên 5n  54 suy ra n  4 .
Vì 225  152 nên 15n  152 suy ra n  2 .
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên x sao cho:
a) x 2  25 ;

b) x 3  64 ;

c) x n  1 với n   ;

d) x100  x ;

Hướng dẫn giải
a) Vì 25  52 nên x 2  25  x 2  52 suy ra x  5 .
b) Vì 64  43 nên x3  64  x3  43 suy ra x  4 .
c) Vì 1n  1 với mọi số tự nhiên n nên x n  1 suy ra x  1 .
d) Ta có: x100  x

Nhận xét:
x m  x n với x, m, n là

Trang 11

các số tự nhiên thì x  0

x100  x  0





hoặc x  1 .

x. x99  1  0.

Suy ra x  0 hoặc x99  1  0 .
Với x99  1  0 suy ra x 99  1 , do đó x  1 .
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x, biết:
a)  4 x  1  25.9 ;

b) 2 x  2 x3  144 ;

c) 2.3x  10.312  8.27 4 ;

d)  2 x  1  12  15 .

2

3

Hướng dẫn giải
a) Ta có:  4 x  1  25.9

b) Ta có: 2 x  2 x3  144

 4 x  1  25.9

2 x . 1  23  144

2



2



2 x .9  144

 4 x  1  52.32
2
 4 x  1  152
2

2 x  144 : 9
2 x  16.

4 x  1  15

Vì 16  24 nên x  4 .

4 x  15  1

Vậy x  4 .

4 x  16
x  4.
Vậy x  4 .
c) Ta có: 2.3x  10.312  8.27 4



d) Ta có:  2 x  1  12  15
3



3x  10.312  8.27 4 : 2

 2 x  1  15  12
3
 2 x  1  27
3
 2 x  1  33
3

3x  10.312 : 2  8.27 4 : 2
3x  5.312  4.27 4
3x  5.312  4.312

2x  1  3

3x  312  5  4 

2x  3  1

3x  312.9

2x  2

3x  312.32

x  1.

3 3
x

14

Vậy x  1 .

x  14.
Vậy x  14 .
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
a) 2 x  16

b) 3x  81 ;

c) x3  64 ;

d) x 2  81 .

Câu 2. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
Trang 12

a) 2 x .8  512 ;

b) x 20  x ;

c)  2 x  1  125 ;

d)  x  3  0 .

3

10

Câu 3. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
a) 3x  3x 2  90 ;

b)  2 x  1  625 ;

c) x 2 : 4  55 : 53  29 ;

d) 20199.  x  16   201910 .

2

Bài tập nâng cao
Câu 4. Cho A  3  32  33  …  32008 . Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2 A  3  3n .
Đáp án
Câu 1.
a) Ta có: 2 x  16

b) Ta có: 3x  81

2 x  24
x  4.

3x  34
x  4.

Vậy x  4.

Vậy x  4.

c) Ta có: x3  64

d) Ta có: x 2  81

x 3  43

x 2  92

x  4.

x  9.

Vậy x  4.

Vậy x  9.

Câu 2.
a) Ta có: 2 x.8  512
2 x  512 : 8

b) Ta có: x 20  x

x 20  x  0
x.  x19  1  0.

2 x  64
2 x  26

Suy ra x  0 hoặc x19  1  0 .

x  6.

Với x19  1  0 ta được x  1 .

Vậy x  6.

Vậy x  0 hoặc x  1 .
c) Ta có:  2 x  1  125

d) Ta có:  x  3  0

 2 x  1

x 3  0

3

3

 53

2x 1  5
2x  5 1
2x  4
x  4:2

10

x  3.

Vậy x  3.

x  2.
Vậy x  2.
Câu 3.

Trang 13

a) Ta có: 3x  3x 2  90

b) Ta có:  2 x  1  625

3x . 1  32   90

 2 x  1

2

3x .10  90

2

 252

2 x  1  25

3  90 :10

2 x  25  1

3 9

2 x  24

x
x

x  24 : 2

3 3
x

2

x  12.

x  2.

Vậy x  2.

Vậy x  12.

c) Ta có: x 2 : 4  55 : 53  29

d) Ta có: 20199.  x  16   201910

x 2 : 4  52  29

x  16  201910 : 20199

x 2 : 4  25  29

x  16  2019

x : 4  29  25

x  2019  16

x :4  4

x  2035.

2
2

x  4.4
2

x 4
2

Vậy x  2035.

2

x  4.

Vậy x  4.
Câu 4.
Xét tổng A  3  32  33  …  32008 . (1)
Nhân cả hai vế của A với 3, ta được:
3 A  32  33  34  …  32009 . (2)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1), ta được:



 

3. A  A  32  33  34  …  32009  3  32  33  …  32008



2. A  32009  3





A  32009  3 : 2.

Khi đó: 2 A  3  3n





2.  32009  3 : 2   3  3n
32009  3  3  3n
32009  3n
n  2009.

Vậy n  2009.
Dạng 4: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa
Phương pháp giải
Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có Ví dụ. So sánh:
Trang 14

thể làm theo một trong ba cách sau:

a) 23 và 32 :

Cách 1. Tính cụ thể rồi so sánh.

23  8; 32  9 . Suy ra 23  32 .

Cách 2. Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi b) 94 và 27 2 :
so sánh hai số mũ:
Nếu m  n thì a  a .
m

n

 

9 4  32

4

 

27 2  33

 32.4  38 ;
2

 33.2  36 .

Suy ra 9 4  27 2 .
Cách 3. Đưa về cùng số mũ, rồi so sánh hai cơ c) 330 và 520 :
số:
Nếu a  b thì a  b .
m

 

330  33.10  33

m

10

 

520  52.10  52

10

 2710 ;
 2510 .

Suy ra 330  520 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Hãy so sánh:
b) 25 và 34 ;

a) 53 và 35 ;
c) 34 và 82 .
Hướng dẫn giải
Ta có: 53  125; 35  243 , suy ra 53  35 .
Ta có: 25  32; 34  81 , suy ra 25  34 .
Ta có: 34  81; 82  64 , suy ra 34  82 .
Ví dụ 2. Hãy so sánh:
a) 1619 và 825 ;

b) 2711 và 818 ;

c) 6255 và 1257 .
Hướng dẫn giải

 

a) Ta có: 1619  2 4

 

8  2
25

3

25

19

 24.19  276 ;

khác nhau, nhưng đều là lũy
2

3.25

2 .
75

Vì 76  75 nên 276  275 , suy ra 1619  825 .

 

b) Ta có: 2711  33

 

818  34

8

a) Các cơ số 16 và 8 tuy

11

 33.11  333 ;

thừa của 2 nên ta có thể đưa
chúng về cùng cơ số 2.
b) Đưa về cùng cơ số 3.

 34.8  332 .

Vì 33  32 nên 333  332 , suy ra 2711  818 .

Trang 15

 

c) Ta có: 6255  54

 

1257  53

7

5

c) Đưa về cùng cơ số 5.

 54.5  520 ;

 53.7  521 .

Vì 20  21 nên 520  521 , suy ra 6255  1257 .
Ví dụ 3. Hãy so sánh:
a) 2300 và 3200 ;

b) 536 và 1124 ;

c) 32 n và 23n với n   .
Hướng dẫn giải

 

100

a) Ta có: 2300  23.100  23
3

3

200

2.100

 

100

 3

2

a) Hai số mũ 300 và 200 đều

 8100 ;

chia hết cho 100 nên ta nghĩ

9

100

8

100

.

đến việc đưa chúng về lũy
thừa có cùng số mũ là 100.

Vậy 2300  3200 .

 

12

b) Ta có: 536  53.12  53
11  11
24

2.12

 

 11

2

12

b) 36 và 24 đều là bội của 12

 12512 ;

nên đưa về cùng số mũ là 12.
 121  125 .
12

12

Vậy 536  1124 .

 

c) Ta có: 32 n  32. n  32

 

23n  23. n  23

n

n

c) Đưa về cùng số mũ là n.

 9n ;

 8n  9 n .

Vậy 32 n  23n .
Ví dụ 4. So sánh:
b) 222333 và 333222 ;

a) 523 và 6.522 ;
c) 3111 và 1714 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 523  5.522 .

a) Đưa hai số về dạng một tích,

Vì 5.522  6.522 nên 523  6.522 .

trong đó có chung thừa số 522 .



b) Ta có: 222333  2223.111  2223
222

333



 333

Vì 2223

2.111



111



 333



và 3332

2





111

111



111

;

.

có cùng số mũ là 111 nên ta sẽ so sánh

b) Ta thấy hai cơ số 222 và 333
đều chia hết cho 111 nên ta sẽ
phân

tích

222  2.111 ;

333  3.111

2223 và 3332 .

Lại có: 2223  111.2   1113.23  1112.111.8  1112.888 ;
3

3332  111.3  1112.9
2

Trang 16

Ta thấy 1112.888  1112.9 suy ra 2223  3332 .

 

11

c) Ta có: 3111  3211  25

 

17  16  2
14

14

4

14

2

4.14

c) Ta thấy 31 là số liền trước của

 25.11  255 .

32 và 17 là số liền sau của 16.

2 .
56

Mà 32 và 16 có thể đưa về cùng
cơ số 2.

Vì 255  256 , suy ra 3111  1714 .

Do vậy để so sánh 3111 và 1714
ta sử dụng tính chất bắc cầu.
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
Câu 1. Hãy so sánh:
a) 52 và 25 ;

b) 930 và 27 20 ;

c) 2 210 và 5140 ;

d) 7.213 và 216 ;

e) 2115 và 27 5.498 ;

f) 291 và 535 .

Câu 2. So sánh:
a) 2545 và 12530 ;

b) 2300 và 3200 ;

c) 85 và 3.47 ;

d) 202303 và 303202 ;

e) 333444 và 444333 .
Bài tập nâng cao
Câu 3. So sánh: 10750 và 7375 ,
Câu 4. Tìm số tự nhiên n, biết:
a) 9  3n  81 ;

b) 25  5n  125 .

Đáp án
Câu 1.
a) Ta có: 52  25 và 25  32 , suy ra 52  25 .
b) Ta có: 930   32   32.30  360 ;
30

27 20   33   33.20  360 .
20

Vậy 930  27 20 .
c) Ta có: 2210  23.70   23   870 ;
70

5140  52.70   52   2570 .
70

Vậy 2210  5140 .
d) Ta có: 216  2313  23.213  8.213  7.213 .
Trang 17

Vậy 7.213  216 .
e) Ta có: 2115   3.7   315.715 ;
15

275.498   33  .  7 2   33.5.7 2.8  315.716 .
5

8

Vậy 2115  275.498 .
f) Ta có: 291  290  25.18   25   3218 ;
18

535  536  52.18   52   2518 .
18

Vậy 291  535 .
Câu 2.
a) Ta có: 2545   52   52.45  590 ;
45

12530   53   53.30  590 .
30

Vậy 2545  12530 .
b) Ta có: 2300  23.100   23 

100

3200  32.100   32 

100

 8100 ;

 9100 .

Vậy 2300  3200 .
c) Ta có: 85   23   23.5  215 ;
5

3.47  3.  22   3.22.7  3.214  215 .
7

Vậy 85  3.47 .
d) Ta có: 202303  2023.101   2023  ;
101

303202  3032.101   3032  .
101

Ta so sánh: 2023 và 3032 .
Lại có: 2023   2.101  23.1013  8.101.1012  808.1012 ;
3

3032   3.101  32.1012  9.1012  808.1012 .
2

Suy ra 2023  3032 . Vậy 202303  303202 .
e) Tương tự câu d) ta có: 333444  444333
Bài tập nâng cao
Câu 3.
Ta có: 10750  10850   4.27    22.33   2100.3150
50

50

Trang 18

7375  7275   8.9    23.32   2225.3150  2100.3150
75

75

Vậy 10750  7375 .
Câu 4.
a) 9  3n  81  32  3n  34 . Vì n là số tự nhiên nên n  3 .
b) 25  5n  125  52  5n  53 . Vì n là số tự nhiên nên n  2 hoặc n  3 .
Dạng 5: Tìm chữ số tận cùng của số có dạng lũy thừa
Phương pháp giải
Chữ số tận cùng của a n chính là chữ số tận Ví dụ.
cùng của x n (với x là chữ số tận cùng của a).

– Chữ số tận cùng của 20195 bằng chữ số tận cùng

Các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy của 95 .
thừa bất kì (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là 0; – 1003  …0; 510  …5
1; 5; 6.
1150  …1; 680  …6 .
Các số có tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa
– 4 20  …6 (số mũ chẵn); 421  …4 (số mũ lẻ).
lẻ thì chữ số tận cùng không thay đổi, khi nâng lên
92  …1 (số mũ chẵn); 93  …9 (số mũ lẻ).
lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lần lượt là 6;
1.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của:
a) 101000 ;

b) 20112011 ;

c) 5100 ;

d) 62020 ;

e) 450 ;

f) 9120 .

Hướng dẫn giải
a) 101000  …0 .

b) 20112011  …1 .

c) 5100  …5 .

d) 62020  …6 .

e) 450  …6 (vì số mũ chẵn).
f) 9120  …1 (vì số mũ chẵn).
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 2000 2018 ;

b) 11112019 ;

c) 123454321 ;

d) 20161000 .

Hướng dẫn giải
a) 2000 2018 có chữ số tận cùng là 0.

Ta thấy các số trên có tận cùng

b) 11112019 có chữ số tận cùng là 1.

lần lượt là 0; 1; 5; 6 nên khi
nâng lên lũy thừa bất kì cũng
Trang 19

c) 123454321 có chữ số tận cùng là 5.

có chữ số tận cùng là 0; 1; 5;

d) 20161000 có chữ số tận cùng là 6.

6.

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 5210  455 ;

b) 102010  1 ;

c) 201630  956 ;

d) 202170.1426 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: 5210  …5

455  …4 (vì số mũ lẻ).

   

Suy ra 5210  455  …5  …4  …1 .
Vậy chữ số tận cùng của 5210  455 là 1.
b) Ta có: 102010  …0 .

 

Suy ra: 102010  1  …0  1  …1 ,
Vậy chữ số tận cùng của 102010  1 là 1.
c) Ta có: 201630  …6 ;
956  …1 (do số mũ chẵn).

   

Suy ra: 201630  956  …6  …1  …7 .
Vậy chữ số tận cùng của 201630  956 là 7.
d) Ta có: 202170  …1

1426  …6 (do số mũ chẵn).

   

Suy ra: 202170.1426  …1  …6  …6 .
Vậy chữ số tận cùng của 202170.1426 là 6.
Ví dụ 4. Tìm chữ số hàng đơn vị của: 2016 2019  20152020  20142021 .
Hướng dẫn giải
Ta có: 2016 2019  …6 ;
20152020  …5 ;

2014 2021  …4 (vì số mũ lẻ).

     

Suy ra 20162019  20152020  20142021  …6  …5  …4  …7 .
Vậy số đã cho có chữ số hàng đơn vị là 7.
Bài tập tự luyện dạng 5
Bài tập cơ bản
Câu 1. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
Trang 20

a) 16 2019 ;

b) 4 2010 ;

c) 9999 ;

d) 5101 .

Bài tập nâng cao
Câu 2. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa:
a) 135234 ;

b) 2119.12615 ;

c) 1000100  109100 ;

d) 9518  5136 .

Câu 3. Tìm chữ số hàng đơn vị của:
a) P  100510.11101  2451 ;
b) Q  21687  9120  10030 .
Đáp án
Bài tập cơ bản
Câu 1.
a) Ta có: 162019  …6 .
b) Ta có: 42010  …6 (vì số mũ chẵn).
c) Ta có: 9999  …9 (vì số mũ lẻ).
d) Ta có: 5101  …5 .
Bài tập nâng cao
Câu 2.
a) Vì 135 có chữ số tận cùng là 5 nên 135234 cũng có chữ số tận cùng là 5.
b) Ta thấy 2119 có chữ số tận cùng là 1 và 12615 có chữ số tận cùng là 6.

  

Suy ra 2119.12615  …1 . …6  …6 .
c) Vì 1000100  …0 nên chữ số tận cùng của 1000100  109100 chính là chữ số tận cùng của 9100 .
Ta có: 9100  …1 (vì số mũ chẵn).
Vậy chữ só tận cùng của 1000100  109100 là 1.

   

d) Ta có: 9518  5136  …5  …1  …4 .
Câu 3.
a) Ta có: 100510  …5 ;
11101  …1 ;

2451  …4 .

    

Suy ra: P  …5 . …1  …4  …1 .
Vậy P có chữ số hàng đơn vị là 1.
b) Ta có: 21687  …6 ;

9120  …1 ;
Trang 21

10030  …0 .

     

Suy ra: Q  …6  …1  …0  …7 .
Vậy Q có chữ số hàng đơn vị là 7.
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 1

Trang 22