Chuyên đề phép nhân phân số, tính chất cơ bản của phép nhân phân số Toán 6

CHƯƠNG 3
BÀI 8. PHÉP NHÂN PHÂN SỐ.
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÉP NHÂN PHÂN SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được các quy tắc nhân hai phân số.
+

Nắm vững các tính chất của phép nhân phân số.

 Kĩ năng
+

Thành thạo nhân hai phân số.

+

Biết cách thực hiện phép tính có chứa phép nhân, phép cộng, phép trừ phân số.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Quy tắc nhân hai phân số

Minh họa:

Muốn nhân hai phân số ta nhân các tử với nhau các
mẫu với nhau
Mở rộng: Muốn nhân một số nguyên với
phân số ta nhân số nguyên với tử số và giữ
nguyên mẫu số.

Tính chất của phép nhân phân số
1. Tính chất giao hoán:

b a.b
a. 
c
c

a c c a
.  . .
b d d b

a c e a c e 
2. Tính chất kết hợp:  .  .  .  . 
b d  f b d f 

3. Nhân với số 1:

a
a a
.1  1. 
b
b b

4. Tính chất phân phối phép nhân đối với phép cộng:
a c e
. 
b d f

 a c a e
 .  .
 b d b f

Trang 1

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép nhân phân số
Bài toán 1. Thực hiện phép nhân hai phân số
Phương pháp giải
Quy tắc nhân hai phân số
a c a.c
. 
b d b.d

Ví dụ:

2 5 2.  5  10 5
. 


.
3 4
3.4
12
6

(nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu)
Chú ý rút gọn kết quả.
Nhân một số nguyên với một phân số

Ví dụ : 2.

b a.b
a. 
c
c

3 2.  3 6 3


 .
4
4
4
2

(nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu)
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nhân các phân số (chú ý rút gọn nếu có thể):

Trang 2

1 3
a . ;
5 7

c   3  .

4
;
27

b

25 2
. ;
16 15

d

5
.12 .
9

b

2 7
.
;
5 16

Hướng dẫn giải

1 3 1.  3 3
a . 
 .
5 7
5.7
35

b

25 2
25.2
5.1
5
5
. 


 .
16 15  16  .15  8  .3 24 24

c   3  .
d

4  3 .4  1 .4 4


 .
27
27
9
9

5
5.12 5.4 20
.12 

 .
9
9
3
3

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính:
2

 3 
a   ;
 5 

5
 1 3 
c     .  1   .
8
 2 5 
Hướng dẫn giải
3 3  3  .  3 9
 3 
a    . 
 .
5 5
5.5
25
 5 
2

b

2 7 2 7  2  .7  1 .7 7
.
 . 


.
5 16
5 16
5.16
5.8
40

5   5 6   8 5  1 3 3
 1 3 
c     .  1       .     .  .
8   10 10   8 8  10 8 80
 2 5 
Ví dụ 3. Hãy viết mỗi phân số sau thành tích của hai phân số:

4 6
6
9
;
;
;
.
15 35 49 22

Hướng dẫn giải
Ta có:

4 2.2
4

. Suy ra có rất nhiều cách viết
thành tích của hai phân số.
15
3.5
15

Chẳng hạn,
Tương tự,

4 2 2 2 2 2 2

. 
.  .
 …
15
3 5 5 3 5 3

6 2.3 2 3 2 3 2 3

 .  . 
.  …
35 5.7 5 7 7 5 7 5

6
2.3
2 3 2 3


.  .  …
49 7.7 7 7 7 7
9 3.3 3 3 3 3

 .  .  …
22 2.11 2 11 11 2

Trang 3

Bài toán 2. Thực hiện phép nhân nhiều phân số
Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất của phép nhân để tính hợp lí các biểu thức.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính tích:

a A 

7 3 11
. . ;
11 41 7

b B 

5 13 13 4
.  . .
9 28 28 9

Hướng dẫn giải

a  Ta có:
A

7 3 11
. .
11 41 7



7 11 3
. .
11 7 41

 7 11  3
  . .
 11 7  41

 1.


3
41

(Tính chất giao hoán)
(Tính chất kết hợp)
(Nhân với số 1)

3
41

b  Ta có:
B

5 13 13 4
.  .
9 28 28 9



13  5 4 
.  
28  9 9 



13  5   4
.
28
9



13 9
.
28 9



13
.  1
28



13
.
28

(Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau một cách hợp lí :

a A 

7 8 7 3 12
.  .  ;
19 11 19 11 19

 67 2 15   1 1 1 
b B  
 
 .    ;
 111 33 117   3 4 12 

Hướng dẫn giải

Trang 4

a  Ta có:
A

7 8 7 3 12 7  8 3  12 7 11 12
.  .   .     . 
19 11 19 11 19 19  11 11  19 19 11 19


7
12
.1 
19
19



7 12

19 19



19
19

 1.

b  Ta có:

 67 2 15   1 1 1 
B
 
 .   
 111 33 117   3 4 12 
 67 2 15   4 3 1 

 
 .   
 111 33 117   12 12 12 
 67 2 15  4  3  1

 
.
 111 33 117  12
 67 2 15 

 
 .0
 111 33 117 
 0.

Ví dụ 3* . Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
1
1
4
a  M  a.  a.  a. với a 
;
2
3
4
5

3
4
1
6
b  N  .b  .b  .b với b  ;
4
3
2
19
3
5
9
2022
c  P  c.  c.  c.
với c 
.
4
6
12
2020

Hướng dẫn giải

a  Ta có:

1
1
1
643
7
1 1 1
 6 4 3
M  a.  a.  a.  a.      a.      a.
 a. .
2
3
4
12
12
2 3 4
 12 12 12 
4 7  4  .7  1 .7 7
4
vào M, ta được : M  . 


.
5
5 12
5.12
5.3
15

Thay a 

b  Ta có:

3
4
1
9  16  6
19
3 4 1
 9 16 6 
N  .b  .b  .b  b.      b.      b.
 b. .
4
3
2
12
12
4 3 2
 12 12 12 
Thay b 

6
6 9
6.9
1.9
9
vào N, ta được : N  . 

 .
19
19 12 19.12 19.2 38

Trang 5

3
5
9
5
3 5 9 
 9 5 9
c  Ta có: P  c.  c.  c.  c.      c.      c. .
4
6
12
6
 4 6 12 
 12 6 12 

Thay c 

2022
2022 5 2022.5 337
vào P, ta được: P 
. 

.
2020
2020 6 2020.6 404

1 
 1  1  1 
Ví dụ 4. Tính tích P   1   .  1   .  1   …  1   .
 2   3   4   99 
Hướng dẫn giải
1  1 2 3 98 1.2.3…98 1
 1  1  1 
Ta có: P  1   .  1   .  1   …  1    . . … 
 .
 2   3   4   99  2 3 4 99 2.3.4…99 99

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thực hiện các phép tính

a  4.
c

3
;
8

b

1 2 3
.  ;
2 3 10

 3 7   2 12 
d     .   .
 4 2   11 22 

7 1 2
 . ;
8 4 3

Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức:

a  A  a.

3
1
5
3
 a.  a. với a  ;
2
4
6
5

2
1
1
6
b  B  .b  .b  b.
với b  ;
5
3
2
13
5 3
11
2019
c  C  c.  .c  .c với c 
.
6 4
12
2020

Câu 3: Áp dụng tính chất cơ bản của phép nhân để tính nhanh

a

17 8 23
3
. . .  80  . ;
23 16 17
4

b

5 18 5 8 5 19
.  .  . ;
11 29 11 29 11 29

 13 1313 131313   1 1 7 
c  

 .   .
 23 2323 232323   3 4 12 

Bài tập nâng cao
1 
 1  1  1 
Câu 4: Tính P  1   . 1   .  1   …  1 
.
 2   3   4   2020 

Câu 5: Tính:
3 8 15 99
a  A  . . …
;
4 9 16 100
1 
1
1  
1 

b  B  1  2  .  1  2  .  1  2  … 1  2  .
 2   3   4   30 

Câu 6: Chứng tỏ rằng: S 

1
1
1
1
2

 … 

 .
101 102
299 300 3

Trang 6

Câu 7: Tính giá trị của biểu thức: P 

1
1
1
1


 … 
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12

Câu 8: Lúc 8 giờ 10 phút, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 80km/h. Lúc 8 giờ 30 phút, một người đi xe
máy từ B đến A với vận tốc 50km/h. Họ gặp nhau ở C lúc 9 giờ 20 phút. Tính quãng đường AB.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập cơ bản
Câu 1:

a  4.

3 3
 .
8
2

b

1 2 3 1 3 10 9 19
.    

 .
2 3 10 3 10 30 30 30

c

7 1 2 7 1 21 4 17
 .   

 .
8 4 3 8 6 24 24 24

 3 7   2 12   3 14   2 6  11 8
d  
.  2.
.     
 .   
4   11 11 
4 11
 4 2   11 22   4

Câu 2:

a  Ta có:
A  a.

3
1
5
 a.  a.
2
4
6

 3 1 5 
 a.    
 2 4 6
 18 3 10 
 a. 
  
 12 12 12 

 a.

Thay a 

25
.
12

3 25 3.  25  1.  5  5
3
vào A ta được: A  .


 .
5
5 12
5.12
1.4
4

b  Ta có :
2
1
1
B  .b  .b  b.
5
3
2
 2 1 1 
 b.    
5 3 2 
 12 10 15 
 b.   

 30 30 30 

 b.

13
.
30

Thay b 

6
6 13 1
vào B ta được: B  .
 .
13
13 30
5

Trang 7

c  Ta có:
5 3
11
C  c.  .c  .c
6 4
12
 5 3 11 
 c.    
 6 4 12 
 10 9 11 
 c.    
 12 12 12 

 c.

8
12

2
 c. .
3

Thay c 

2019
2019 2 2019.2 673
vào C ta được: C 
. 

.
2020
2020 3 2020.3 1010

Câu 3:

a

17 8 23
3  17 23   8 3 
3
. . .  80  .   .  .  .  .  80   1. .  80   30.
23 16 17
4  23 17   16 4 
8

b

5 18 5 8 5 19 5  18 8 19  5 29 5
5
.  .  .  . 
   .  .1  .
11 29 11 29 11 29 11  29 29 29  11 29 11
11

c  Ta có:

1 1 7
4 3 7
      0.
3 4 12 12 12 12

 13 1313 131313   1 1 7 
Suy ra  

 .      0.
 23 2323 232323   3 4 12 
Bài tập nâng cao
Câu 4:
1 
 1  1  1 
Ta có: P   1   .  1   .  1   …  1 

 2   3   4   2020 

3 4 5 2021
 . . …
2 3 4 2020


3.4.5…2021
2.3.4…2020



2021
.
2

Câu 5:

a  Ta có:

3 8 15 99
A  . . …
4 9 16 100
3 8 15 24 35 48 63 80 99
 . . . . . . . .
4 9 16 25 36 49 64 81 100


1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 9.11
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 10.10

Trang 8



1.2.3…9 3.4.5…11
.
2.3.4…10 2.3.4…10



1 11
.
10 2



11
.
20

1 
1
1  
1 

b  Ta có: B  1  2  .  1  2  . 1  2  …  1  2 
 2   3   4   30 
1 
1 
 1  1 
  1   .  1   . 1   …  1 

 4   9   16   900 

3 8 15 899
 . . …
4 9 16 900


1.3 2.4 3.5 29.31
.
.
…
2.2 3.3 4.4 30.30



1.2.3…29 3.4.5…31
.
2.3.4…30 2.3.4…30



1 31
.
30 2



31
.
60

Câu 6:
Ta thấy

1 1
1
1
đều lớn hơn
, S có tất cả 200 số hạng.
;
;…
101 102 299
300

Suy ra: S 

1
1
1
1
1
2

 … 

 200.
 .
300 300 
300 300
300 3


200 soá haïng

2
Vậy S  .
3
Câu 7:
Ta có :

1
1
3 1
2



;
1.2 2.3 1.2.3 1.2.3
1
1
42
2



;
2.3 3.4 2.3.4 2.3.4
1
1
53
2



;
3.4 4.5 3.4.5 3.4.5
…………………………………

1
1
12  10
2



.
10.11 11.12 10.11.12 10.11.12

Suy ra:
Trang 9

1  2
2
2
2

P  .


 … 

2  1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12 
1  1
1
1
1
1
1
1
1 
 .





 … 


2  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5
10.11 11.12 
1  1
1 
 .


2  1.2 11.12 

1 65
 .
2 132


65
.
264

Câu 8:
Thời gian ô tô đi từ A đến C là :
9 giờ 20 phút  8 giờ 10 phút = 1 giờ 10 phút = 1 giờ

1
7
phút = giờ.
6
6

Quãng đường ô tô đi được là :
7
280
km.
.80 
6
3

Thời gian xe máy đi từ B đến C là:
9 giờ 20 phút  8 giờ 30 phút = 50 phút =

50
5
giờ = giờ.
60
6

Quãng đường xe máy đi được là:
5
125
km.
.50 
6
3

Vậy quãng đường AB là:
280 125

 135 km.
3
3

Dạng 2: Tìm x
Ví dụ 1. Tìm x biết:

a x 
c

2 1
. ;
7 4

3
1 15
x . ;
4
2 9

b x 
d

1 3 4
 . ;
5 8 15

x
5 4
 . .
126 9 7

Hướng dẫn giải

a  Ta có:

2 1  2  .1  1 .1 1
1
. 

 . Vậy x  .
7 4
7.4
7.2
14
14

b  Ta có :

3 4
3.4
1
1
. 

 .
8 15 8.15 2.5 10

Trang 10

1 1
1 1 1 2
3
Khi đó x  
suy ra x      .
5 10
10 5 10 10 10

Vậy x 

3
.
10

c  Ta có:
Khi đó

1 15  1 .15  1 .5 5
. 

 .
2 9
2.9
2.3
6

3
5
3 5 9 10 19
suy ra x  
x
 
 .
4
6
4 6 12 12 12

Vậy x 

19
.
12

d  Ta có:
Khi đó

5 4  5  .4 20 40
. 


.
9 7
9.7
63 126

x
40

suy ra x  40.
126 126

Vậy x  40.
Ví dụ 2. Tìm x biết:
3 5 7
a x  . 
;
2 9 12

c

2 3 5
b x  .  ;
7 8 14

x 1 2 1
 
. .
12 6 3 8

Hướng dẫn giải
3 5 7
a  Ta có: x  . 
2 9 12

Vậy x 

2 3 5
b  Ta có: x  . 
7 8 14

x

5 7

6 12

x

7 5

12 6

x 

5 3

14 28

x

17
.
12

x 

13
28

x

17
.
12

x

Vậy x 

c  Ta có:

3
5

28 14

13
.
28

13
13
hoặc x  .
28
28

x 1 2 1
 
.
12 6 3 8
x 1 1
 
12 6 12
x 1 1


12 12 6

Trang 11

x
1

12 12

 x 1
x  1.

Vậy x  1 hoặc x  1 .
Ví dụ 3. Tìm các số nguyên x biết:

a

2  1 3 1 x 7  1 1
.      .   ;
3  2 4 3  18 3  2 6 

 31 26  36
 51 8 1  8
b   .
 x     . .
 20 45  35
 56 21 3  13

Hướng dẫn giải

a  Ta có:

2  1 3 1  2  6 9 4  2 11 11
.     .     .  .
3  2 4 3  3  12 12 12  3 12 18
7  1 1  7  6 2  7 4 7 1 7 14
.    .    .  .   .
3  2 6  3  12 12  3 12 3 3 9 18

Khi đó

11 x 14
 
nên x  . Suy ra x  11; 12; 13; 14 .
18 18 18

 31 26  36  279 104  36 175 36 35 36
b  Ta có:    .



.
 .
 1.
.
 20 45  35  180 180  35 180 35 36 35
 51 8 1  8  153 64 56  8 273 8 13 8


.  .  1.
   .  
. 
 56 21 3  13  168 168 168  13 168 13 8 13

Khi đó 1  x  1 và x   . Suy ra x  0.

Ví dụ 4. Tìm x biết:

2 
5

a   x   .  x    0;
3 
4

 1  1  1  1  1
b  x   1   .  1   .  1   . 1   . 1   .
 2   3  4   5  6
Hướng dẫn giải
2 
5
2
5
2
5

a  Ta có  x   .  x    0 suy ra x   0 hoặc x   0. Vậy x 
hoặc x  .
3
4
3
4
3 
4


b  Ta có:
 1  1  1  1  1
 1   .  1   . 1   .  1   .  1  
 2  3  4  5  6

1 2 3 4 5
 . . . .
2 3 4 5 6


1.2.3.4.5
2.3.4.5.6

Trang 12

1
 .
6
1
Vậy x  .
6

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm x biết:

a x 

3 2 1
 . ;
7 5 4

b x

4 5 3
 . ;
5 12 25

c

x
6 35

. .
182 14 91

Câu 2: Tìm x biết:

a x 

2 
4

b   x   . x    0 .
7 
11 


1 3 4
 . ;
3 7 9

Câu 3: Tìm các số nguyên x biết

a

24  1 1 1 
7 3 1
.      x      .9;
5  2 4 3
 3 2 6

 5 3 2  2 x 1 5 1 5 5 1
b    . 
 .  .  . .
 12 8 3  3 24 4 2 6 2 2 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:

a x 

3 2 1
3 1
1 3 7 30 37
 . suy ra x   , do đó x   

 .
7 5 4
7 10
10 7 70 70 70

b x 

4 5 3
4 1
1 4 1 16 17
, do đó x 
 . , suy ra x  
 


.
5 12 25
5 20
20 5 20 20 20

c

x
6 35
x
15 30
, do đó x  30.

. , suy ra


182 14 91
182 91 182

Câu 2:

a x 

1 3 4
1 4
4 1 4 7 11
 . , suy ra x  
hay x 
 
 
(vô lí vì x  0 ).
3 7 9
3 21
21 3 21 21 21

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài.

2 
4
2
4

b  Ta có:  x   .  x    0 suy ra x   0 hoặc x   0 .
7
11
7 
11 

Vậy x 

2
4
hoặc x  .
7
11

Câu 3:

a  Ta có:

24  1 1 1  24  6 3 4  24 5
.    
.    
.  2;
5  2 4 3
5  12 12 12 
5 12

Trang 13

4
2
7 3 1
 14 9 1 
    .9      .9  .9  .9  6.
6
3
 3 2 6
 6 6 6

Khi đó 2  x  6 và x   , suy ra x  2;  1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 .

 5 3 2  2  10 9 16  2 3 2 2
b  Ta có:     .
    .
 . 
;
 12 8 3  3  24 24 24  3 24 3 24
1 5 1 5 5 1 5 1 1 1 5  3 2 4  5 1
5
.  .  .  .     .     .  .
4 2 6 2 2 3 2  4 6 3  2  12 12 12  2 12 24
Khi đó

2 x
5


và x   , suy ra x  1; 0; 1; 2; 3; 4 .
24 24 24

Trang 14