Chuyên đề phân số Toán 6

CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6
PHÂN SỐ
Chuyên đề 1. MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ.
PHÂN SỐ BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a
với a và b là những số nguyên, b ≠ 0 gọi là phân số.
b

1. Số có dạng

2. Số nguyên a có thể viết là
3. Hai phân số

a
.
1

a
c
và
gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c
b
d

4. Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì ta được một phân số mới bằng phân số đã
cho.
a −a −a a
;
.
=
=
−b
b −b b

B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho bốn số -7; 0; 5; 9. Hãy dùng hai trong bốn số này để viết thành phân số.
Giải.
Với mỗi cặp hai số khác 0: -7 và 5; -7 và 9; 5 và 9 ta viết được hai phân số:
−7 5 −7 9 5 9
;
;
;
; ; .
5 −7 9 −7 9 5

Với mỗi cặp gồm số 0 và một số khác 0, ta viết được một phân số:
0 0 0
; ; .
−7 5 9

Vậy tất cả viết được 9 phân số.
Nhận xét:
– Với mỗi cặp hai số nguyên khác 0 ta luôn viết được hai phân số, do đó trước tiên cần
xác định tất cả các cặp số nguyên khác 0;
– Vì mẫu phải khác 0 nên khi ghép số 0 với một số nguyên khác 0 ta chỉ viết được một
phân số với tử là 0.

[1]

Ví dụ 2. Cho phân số A =

5
với n ∈  .
n+3

Phân số A bằng bao nhiêu nếu n = 4 ; n = 2 ; n = −3 ?
Giải.
Với n = 4 thì
=
A

5
5
.
=
4+3 7

Với n = 2 thì A=

5
5
= = 1.
2+3 5

Với n = −3 thì n + 3 =−3 + 3 =0 nên không tồn tại A.
Nhận xét:
Chú ý rằng phân số

a
tồn tại khi a, b ∈  và b ≠ 0 .
b

Ví dụ 3. Cho phân=
số B

n +1
(n ∈ ) .
n−2

a) Tìm điều kiện của số nguyên n để B là phân số.
b) Tìm các số nguyên n để phân số B có giá trị là số nguyên.
Giải.
a) Để B là phân số thì n − 2 ≠ 0 hay n ≠ 2.
b) Ta có: B =

n +1
=
n−2

( n − 2) + 3 =
n−2

1+

3
.
n−2

B là số nguyên nếu 3( n − 2 ) tức là

n − 2 ∈ Ư ( 3) ={−3; −1;1;3} .
Vậy n ∈ {−1;1;3;5} .
Nhận xét:
Câu b) có thể giải thích như sau:
B là số nguyên khi ( n + 1)( n − 2 ) . Suy ra :

( n + 1) − ( n − 2 )( n − 2 )

do đó 3( n − 2 ) . Sau đó giải tiếp như trên.

[2]

Ví dụ 4. Tìm các số nguyên x, y, z biết rằng:

− x 14
z 2
= = = .
6 − y 60 3

Giải.
−x 2
x 2
Theo đề bài ta=
có:
=
hay
.
6
3
−6 3

Suy ra x.3 = −6.2 . Do đó x =

−6.2
= −4.
3

14 2
−14 2
. Suy ra y.2 = −14.3 .
= =
hay
−y 3
y
3
Do đó y =

Ta lại có

−14.3
= −21.
2

z
2
60.2
= nên z.3 = 60.2 . Do đó
=
z = 40.
60 3
3

Vậy x =
−4; y =
−21; z =
40.
Nhận xét:
Để tìm x và y ta đổi dấu cả tử và mẫu của phân số:

−x
x 14 −14
= =
;
.
6 −6 − y
y
Sau đó, theo định nghĩa hai phân số bằng nhau từ

a c
= ta có a.d = b.c.
b d

Suy ra:
=
a

b.c
a.d
a.d
b.c
=
; b
=
; c
=
; d
.
d
c
b
a

C. BÀI TẬP
3.1. Dùng hai trong ba số -4; 0; 7 để viết thành phân số.
3.2. Viết tập hợp A các số nguyên x, biết rằng:
−144
−40
≤x≤
12
5

3.3. Một lớp học có 45 học sinh, trong đó có 22 học sinh nữ. Hỏi số học sinh nữ bằng mấy
phần số học sinh nam?

[3]

3.4. Tìm các số nguyên x, y, z, t biết rằng:
2 x
42 −7
−30
6
y 36
b)
c)
d)
= ;
=
;
=
.
= ;
7 56
48
z
t
−13
−5 45
3.5. Trong các phân số sau, phân số nào có giá trị bằng một số nguyên?

a)

−304
;
4

−416
;
6

−3267
;
9

−1353
.
−11

3.6. Tìm số nguyên x lớn nhất sao cho:
800
−533
−513
;
b) x < ; c) x < . −50 41 −19 3.7. Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu nhưng khi “quay 1800 ” theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ, ta được một phân số mới vẫn bằng phân số cũ. a) x < 3.8. Cho năm số -3; 7; 0; 11; -13. Hãy dùng hai trong năm phân số này để viết thành phân số. 3.9. Cho M = {−3;7;0} . Hãy viết tất cả các phân số 3.10. Tìm x, y ∈  biết a với a; b ∈ M . b x 7 = và x < y < 0. 6 y 3.11. Tìm số nguyên x lớn nhất sao cho: 0 ; 18 3.12. Tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho: a) x < a) x >

−13
;
14

3.13. Tìm số nguyên x, biết rằng
3.14. Cho phân
số M
=

b) x < −14 . 5 b) x >

−42
.
14

x 16
và x < 0. = 4 x n−3 ( n ∈  ). n2 + 5 a) Chứng tỏ rằng phân số M luôn tồn tại. b) Tìm phân số M, biết n = 0 ; n = 2 ; n = −5 . 3.15. Tìm tập hợp các số nguyên x để phân số x−3 có giá trị là số nguyên. x −1 3.16. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn số sau: −4; −8; −16; −32. [4] 3.17.= Cho a n+8 n ∈ * ) . Tìm các giá trị của n để a là số nguyên tố. ( 2n − 5 3.18. Có tồn tại số tự nhiên n nào để hai phân số: 7n − 1 5n + 3 và đồng thời là các số tự 4 12 nhiên? 3.19. Tìm các số tự nhiên x và y, biết rằng: 3+ x 3 = và x + y = 16. 5+ y 5 3.20. Tìm x, y ∈  , biết rằng: x−7 7 = và x − y = −4. y−6 6 [5] Chương 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ. RÚT GỌN PHÂN SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tính chất cơ bản của phân số * Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho. a a.m với m ∈  và m ≠ 0. = b b.m * Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho. a a:n với n ∈ ƯC ( a, b ) . = b b:n Chú ý: – Ta có thể viết một phân số bất kì có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương bằng cách nhân tử và mẫu của phân số đó với -1. – Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số gọi là số hữu tỉ. 2. Rút gọn phân số Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng. 3. Phân số tối giản Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. Chú ý: – Nếu chia cả tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng, ta sẽ được một phân số tối giản. a là phân số tối giản nếu ƯCLN ( a , b ) = 1. b – Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản. – Nếu a a.m là phân số tối giản thì mọi phân số bằng nó đều có dạng với m ∈  và m ≠ 0. b b.m [6] B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho ba phân số 3 1 −4 ; ; . −5 −6 −7 a) Viết ba phân số bằng các phân số trên và có mẫu là những số dương. b) Viết ba phân số bằng các phân số trên và có mẫu là 210. Giải. a) Theo tính chất cơ bản của phân số ta có: 3 = −5 3. ( −1) −3 = ; ( −5) .( −1) 5 1 = −6 1. ( −1) −1 = ; ( −6 ) .( −1) 6 −4 = −7 −4 ) . ( −1) (= ( −7 ) .( −1) 4 . 7 3 −3 −3.42 −126 = = = ; −5 5 5.42 210 b) 1 −1 −1.35 −35 = = = ; −6 6 6.35 210 −4 4 4.30 120 = = = . −7 7 7.30 210 Nhận xét: a) Có thể vận dụng định nghĩa phân số bằng nhau để giải. Chẳng hạn 3 −3 vì 3.5 = = ( −5) .( −3) . −5 5 b) Mẫu 210 của ba phân số đã cho chính là BCNN của −5 , −6 , −7 . Bài tập này chuẩn bị cho chủ đề tiếp theo về quy đồng mẫu nhiều phân số. Ví dụ 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân số hãy giải thích vì sao các phân số sau đây bằng nhau: a) −18 −39 = ; 30 65 b) 23 2323 = . 99 9999 Giải. [7] −18 −18 : 6 −3 −39 −39 :13 −3 a)= = ;= = . 30 30 : 6 5 65 65 :13 5 Vậy −18 −39 = . 30 65 23 23.101 2323 b) = = . 99 99.101 9999 Nhận xét: Có thể giải thích sự bằng nhau của các cặp phân số đã cho bằng cách sử dụng định nghĩa phân số bằng nhau. 30. ( −39 ) = a) ( −18 ) .65 = ( −1170 ) nên b) 23.9999 = 23.99.101 (1) 99.2323 = 99.23.101 ( 2) −18 −39 = 30 65 So sánh (1) và ( 2 ) ta có 23.9999 = 99.2323 suy ra 23 2323 = . 99 9999 Ví dụ 3. Rút gọn: 132639 ; 173451 Giải. A= = A = B = C B= 16515 ; 20919 C= 11.12 + 22.24 + 44.48 33.36 + 66.72 + 132.144 132639 132639 :10203 13 = = . 173451 173451:10203 17 16515 16515 :1101 15 = = . 20919 20919 :1101 19 11.12. (1.1 + 2.2 + 4.4 ) 1.1 1 11.12 + 22.24 + 44.48 = = = . 33.36 + 66.72 + 132.144 33.36. (1.1 + 2.2 + 4.4 ) 3.3 9 Nhận xét: a) Ta có nhận xét về đặc điểm của các số 132639 và 173451 như sau: 132639 = 130000 + 2600 += 39 13 (10000 + 200 += 3) 13.10203. 173451 = 170000 + 3400 += 51 17. (10000 + 200 += 3) 17.10203. Vì thế, để rút gọn A ta chia cả tử và mẫu của nó cho 10203. [8] = 15000 + 1500 + 15 = 15. (1000 + 100 += 1) 15.1101. b) Ta có 16515 20919 = 19000 + 1900 + 19 = 19. (1000 + 100 += 1) 19.1101. Vì thế, để rút gọn B ta chia cả tử và mẫu của nó cho 1101. c) Ta còn có thể rút gọn C như sau: C 11.12 + 22.24 + 44.48 11.12 + 22.24 + 44.48 1 = = . 33.36 + 66.72 + 132.144 9 (11.12 + 22.24 + 44.48 ) 9 Ví dụ 4. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số dạng n+2 là phân số tối giản. 2n + 3 Giải. Gọi d là ước chung của n + 2 và 2n + 3. Ta có ( n + 2 ) d nên 2 ( n + 2 ) d hay ( 2n + 4 ) d . Mặt khác ( 2n + 3) d nên ( 2n + 4 ) − ( 2n + 3) d . Tức là 1 d . Vậy d = ±1. Nhận xét: Để chứng tỏ một phân số là tối giản ta cần chỉ ra rằng ước chung của tử và mẫu của nó là 1 hoặc -1. C. BÀI TẬP 3.21. Chứng tỏ rằng: −13 −1313 −131313 −13131313 = = = . 41 4141 414141 41414141 3.22. Viết dạng chung của tất cả các phân số bằng 3.23. Viết các phân số bằng các phân số 3.24. Tìm tất cả các phân số bằng −68 . 76 −36 −63 −143 và có mẫu là 36. , , 48 81 −156 −57 và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 30. 133 3.25. Rút gọn: A= 4157 − 19 ; 12471 − 57 B= 7 . 10 + 6.102 2 [9] 3.26. Rút gọn: B= 3.5.7.11.13.37 − 10101 . 1212120 + 40404 201220122012 M= ; 201320132013 N= 1326395265 . 1836547290 39.320.28 ; 324.243.26 Q= 215.53.26.34 . 8.218.81.5 A= 31995 − 81 ; 42660 − 108 3.27. Rút gọn: 3.28. Rút gọn: P= 3.29. Rút gọn: T= 24.315 + 3.561.8 + 4.124.6 . 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 − 500 25 a biết rằng tích của BCNN ( a, b ) với ( a, b ∈ , b ≠ 0 ) có giá trị bằng 35 b ƯCLN ( a, b ) bằng 4235. 3.30. Tìm phân số 3.31. Phân số 5n + 6 ( n ∈  ) có thể rút gọn cho những số nào? 8n + 7 3.32. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 3.33. Cho phân số 18n + 3 có thể rút gọn được. 21n + 7 x có x + y = 316293 và y − x = 51015. y a) Hãy xác định phân số đó rồi rút gọn. b) Nếu thêm 52 vào tử của phân số trên sau khi đã tối giản thì phải thêm vào mẫu bao nhiêu để giá trị của phân số không đổi? 3.34. a) Cho phân số tối giản b−a a cũng tối ( a, b ∈ , a < b, b ≠ 0 ) . Chứng tỏ rằng phân số b b giản. b) Nếu phân số tối giản a tối giản b ( a, b ∈ , b ≠ 0 ) thì phân số a có tối giản a+b không? 3.35. Cho phân số a ( a ∈  ). 35 [10] a) Tìm số nguyên tố a để phân số trên có thể rút gọn được. b) Tìm tập hợp M các số tự nhiên a biết phân số đó là phân số tối giản nhỏ hơn 1. 3.36. Tìm dạng tối giản của một phân số có tử là 45 và mẫu là BCNN (12; 18; 75 ) . 3.37. Chứng tỏ rằng các phân số sau đây là tối giản: a) 12n + 1 ; 30n + 2 3.38. Cho phân số b) 21n + 4 ( n ∈  ). 14n + 3 n+9 ( n ∈ , n > 6 ) .
n−6

a) Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên.
b) Tìm các giá trị của n để phân số là tối giản.
3.39. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây là tối giản:
7
8
9
31
;
;
;…;
.
n + 9 n + 10 n + 11
n + 33
6 44 30
sao cho mẫu của phân số thứ
; ;
10 77 55
nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba.

3.40. Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số

Chuyên đề 3. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ. SO SÁNH PHÂN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phấn số đó lớn hơn.
3. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng
một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
4. Phân số lớn hơn 0 là phân số dương. Phân số nhỏ hơn 0 là phân số âm.
5. Hai phân số có mẫu dương, cùng tử dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn
hơn.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
[11]

Ví dụ 1. Quy đồng mẫu các phân số:
7
−3 −13
;
;
.
−14 40 −455

Giải.
7
−7
−13
13
Ta
có:
=
=
;
.
−14 14
−455 455

Phân tích các mẫu dương ra thừa số nguyên tố ta được:

14 = 2.7
40 = 23.5

455 = 5.7.13
3
BCNN (14; 40;
=
455 ) 2=
.5.7.13 3640.

Thừa số phụ: 260; 91; 8.
Vậy:

7
−7 −7.260 −1820
= =
=
−14 14 14.260
3640

−3 −3.91 −273
= =
40 40.91 3640
−13
13
13.8
104
= =
=
.
−455 455 455.8 3640

Nhận xét:
Cách giải trên đã thực hiện đúng quy tắc quy đồng mẫu của nhiều phân số.
Tuy nhiên, cách giải này chưa gọn vì mẫu chung chưa phải là nhỏ nhất mặc dù ta đã lấy
BCNN của các mẫu làm mẫu chung.
Ta nhận thấy hai phân số

7
−13
và
chưa tối giản nên trước hết hãy rút gọn các
−14
−455

phân số đó:
7
−7 −1
= =
;
−14 14
2

−13
13
1
=
=
.
−455 455 35

Xét các phân số

−1 −3
1
và
có mẫu chung là 280.
;
2 40
35

[12]

−1 −1.140 −140
= =
.
2
2.140
280
−3 −3.7 −21
= =
.
40 40.7 280
1
1.8
8
= =
.
35 35.8 280

7
−140 −3 −21 −13
8
Vậy:
= =
;
=
;
.
−14 280 40 280 −455 280

Ví dụ 2. Tìm số nguyên x, biết rằng

x−3 3
= .
25
5

Giải.
Quy đồng mẫu hai phân số đã cho ta được:

x − 3 15
= .
25
25

Suy ra x − 3 =
15 . Vậy x = 15 + 3 = 18.
Nhận xét:
Có thể giải theo cách khác:
Từ

x−3 3
25.3.
= ta có ( x − 3) .5 =
25
5

Suy ra x −=
3

25.3
= 15.
5

Vậy x = 15 + 3 = 18.
Ví dụ 3. Tìm hai phân số có mẫu số khác nhau, các phân số này lớn hơn

1
1
nhưng nhỏ hơn .
3
2

Giải.
1 6 1 9
Chọn mẫu chung là 18, ta =
có:
=
;
.
3 18 2 18

Ta có

6
7
8
9
< < < 18 18 18 18 Rút gọn các phân số này ta được: 1 7 4 1 < < < . 3 18 9 2 [13] Ta tìm được hai phân số 7 4 1 1 và có mẫu khác nhau, lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 18 9 3 2 Nhận xét: Có nhiều cặp phân số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn, chọn mẫu chung là 120, 1 40 1 60 ta= có: = ; . 3 120 2 120 42 21 41 59 41 đến ta có thể chọn các cặp như: và hoặc = 120 60 120 120 120 44 11 45 15 và … đều thỏa mãn bài toán. = = 120 30 120 40 Trong các phân số từ Ví dụ 4. So sánh các phân số sau: 3 6 và ; 121 241 Giải. b) a) a) Quy đồng tử số ta được: Rõ ràng 16 60 63 và ; ; 52 115 175 c) 31 29 và . 67 73 3 6 = . 121 242 3 6 6 6 tức là < . < 121 241 242 241 b) Rút gọn các phân số đã cho: 16 4 60 12 63 9 = = ; = ; . 52 13 115 23 175 25 Quy đồng tử số ba phân số 4 12 9 ; ; . 13 23 25 4 36 12 36 9 36 = = ; = ; . 13 117 23 69 25 100 Ta có: 36 36 36 16 63 60 nên < < < < . 117 100 69 52 175 115 c) Chọn phân số trung gian là 31 ta có: 73 31 31 29 31 29 do đó >
>
> .
67 73 73
67 73

Nhận xét:
[14]

a) Ta so sánh hai phân số này bằng cách quy đồng tử số tức là đưa chúng về những
phân số có cùng tử. Khi đó phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Ttrong trường
hợp này nếu quy đồng mẫu thì phức tạp hơn nhiều.
b) Trước hết ta cần rút gọn các phân số. Sau đó do đặc điểm dễ thấy của các tử ta đã
quy đồng tử để so sánh (các tử là 4; 12; 9 dễ nhận ra BCNN của chúng là 36 để làm tử chung).
c) Trong câu này, ta đã chọn một phân số trung gian có tử của phân số thứ nhất và mẫu
của phân số thứ hai để so sánh. Sau đó sử dụng tính chất “bắc cầu” để rút ra kết luận
a > b, b > c thì a > c.
C. BÀI TẬP
3.41. Quy đồng mẫu các phân số:
−7
2
và ;
12
9
3 −1
9
c) ;
và
;
5 3
10
3.42. Quy đồng mẫu các phân số:

a)

−27
−13
và
;
120
40
11 −27
35
c)
và
;
;
30 60
200
3.43. Quy đồng mẫu các phân số:

a)

25 −17 121
;
;
;
75 34 −132
3.44. So sánh các phân số sau:

a)

−8
7
và
;
15
12
−6 −2
3
d)
và
;
.
−75 5
25

b)

14
−6
và
;
125
25
13 −7
−32
d)
và
;
.
60 18
90

b)

b)

1078 9764 −56272
;
;
.
−2541 36615 263775

84
39
45
98
và
b)
và
;
;
147
52
105
112
3.45. So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

c)

a)

47
13
và
;
53
19
33
53
c)
và
;
131
217
3.46. So sánh các phân số sau:

a)

−9764
−56272
và
;
36615
263775
688882
46872
c)
và
.
2422198
165564
3.47. Rút gọn rồi so sánh các phân số sau:

a)

137
101
và
.
210
98

31
186
và
;
40
241
41
411
d)
và
.
91
911

b)

b)

36.85.20
30.63.65.8
và
;
25.84.34
117.200.49

[15]

A=

2489 − 36
;
7467 − 108

B=

2929 − 303
.
8787 + 1717

3.48. Rút gọn rồi so sánh các phân số sau:
A=

8056
;
2012.16 − 1982

B=

1.2.6 + 2.4.12 + 4.8.24 + 7.14.42
.
1.6.9 + 2.12.18 + 4.24.36 + 7.42.63

3.49. So sánh hai phân số sau:
a)

−371
−371
và
459
−459

3.50. Viết các phân số bằng

b)

−80
−29
và
.
49
73

−26
sao cho mẫu lớn hơn 2 và nhỏ hơn 21.
65

3.51. Tìm số nguyên dương x, biết:
a)

3
≥1 ;
x

b) 1 < 4 ≤2 ; x c) 6 x 13 . < < x 3 x 3.52. Cho a ∈{7;11;13}; b ∈{15;0;41;32}. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân số a . b 3.53. Tìm các giá trị của a ∈  để: a) phân số dương 2a − 3 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đố. 4 b) phân số dương 5 có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 3a − 7 3.54. a) Tìm các phân số có tử là 3, lớn hơn 1 1 nhưng nhỏ hơn . 8 7 b) Tìm các phân số có tử là 1000, lớn hơn 1 1 nhưng nhỏ hơn . Có tất cả bao nhiêu phân số 9 8 như vậy? 3.55. Cho phân số A = 2012 . Tìm x ∈  để: x − 99 a) A có giá trị lớn nhất. b) A có giá trị nhỏ nhất. [16] 3.56. Tìm phân số phân số a biết rằng nếu thêm 6 vào tử số và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của b a không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy? b 3.57. Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có một chữ số và mỗi phân số này đều lớn hơn nhỏ hơn 7 và 9 8 . 9 3.58. Tìm a, b ∈  sao cho 9 a b 13 . < < < 56 8 7 28 3.59. So sánh các phân số sau: a) −37 −56 và ; 47 66 b) −29 −13 và . 38 22 3.60. a) Có thể bớt đi ở tử và mẫu của phân số a những số khác 0 nào mà không làm thay đổi b phân số? b) Cho phân số A = 1 + 2 + 3 + … + 9 . 11 + 12 + 13 + … + 19 Hãy xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số mới có giá trị bằng phân số cũ. [17] Chuyên đề 4. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu. 2. Muốn cộng hai phân số không cũng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung. 3. Phép cộng phân số có các tính chất cơ bản: giáo hoán, kết hợp, cộng với số 0. Lưu ý: Do các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, khi cộng nhiều phân số, ta có thể đổi chỗ hoặc nhóm các phân số lại theo bất cứ cách nào sao cho thuận tiện trong tính toán. 4. Hai phân số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 5. Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Cộng các phân số: −17 −95 + ; 238 266 Giải. a) b) 13 4 + . 156 15 a) −17 −95 −1 −5 −6 −3 + = + = = . 238 266 14 14 14 7 b) 13 4 1 4 5 16 21 7 + = + = + = = . 156 15 12 15 60 60 60 20 Nhận xét: Nên rút gọn phân số trước và sau khi cộng. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng tổng của ba phân số sau đây nhỏ hơn 2: 15 10 8 + + . 26 17 21 Giải. Ta có BCNN ( 26; 17; 21) = 9282 Các thừa số phụ là 357; 546; 442. Do đó: 15 10 8 15.357 + 10.546 + 8.442 5355 + 5460 + 3536 14351 18564 + + = = = < = 2. 26 17 21 9282 9282 9282 9282 Nhận xét: [18] Đây là cách giải theo suy nghĩ thông thường: tính tổng của ba phân số rồi so sánh kết quả với 2. Tuy nhiên, làm theo cách này phải tính toán phức tạp. Liệu có thể không cần tính cụ thể tổng của ba phân số đó mà vẫn so sánh với 2 được không? Với suy nghĩ đó, ta chỉ cần ước lượng giá trị từng phân số theo các quy tắc so sánh phân số đã biết. Ta có: 15 15 10 11 8 8 < ; < ; < . 26 17 17 17 21 17 Do đó: 15 10 8 15 11 8 34 + + < + + = = 2. 26 17 21 17 17 17 17 Ví dụ 3. Tính: A= −5 −7 35 5 −16 7 + + + + + ; 46 25 19 46 19 25 B= −2 −1 52 3 5 −7 + + + + + . 11 6 264 22 24 8 Giải.  −5 5   −7 7   35 −16  Ta có: A =  + + + + +   46 46   25 25   19 19  = 0+0+ 19 = 1. 19  −2 3   −1 5 −7  52 B=  + + + + +  11 22   6 24 8  264 = = −4 + 3 −4 + 5 − 21 13 −1 −5 13 + + = + + 22 24 66 22 6 66 −3 − 55 + 13 −45 −15 = = . 66 66 22 Nhận xét: Phát hiện đặc điểm của các phân số, khéo sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số, ta sẽ có được lời giải một cách nhanh chóng. Ví dụ 4. a) Chứng tỏ rằng với mọi n ∈ * ta luôn có: [19] 1 1 1 = − . n ( n + 1) n n + 1 b) Áp dụng: Tính nhanh tổng sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 A= + + + + + + + . 2 6 12 20 30 42 56 72 Giải. a) Ta có ( n + 1) − n = n +1 n 1 1 1 = − = − . n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) n n + 1 b) Nhận xét : 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9  1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 −  +  −  +  −  +  −  + ….. +  −   2  2 3 3 4  4 5 8 9 1 8 =1 − = . 9 9 A= Nhận xét : Công thức 1 1 1 = − n ∈ N * ) giúp ta tính nhanh được tổng các phân số viết theo quy ( n ( n + 1) n n + 1 luật vì đã làm xuất hiện các số đối nhau. C. BÀI TẬP 3.61. Tính : a) 2 1 1 5 8 + + + + ; 7 9 7 9 14 b) 2 4 5 260 + + + . 3 37 111 1443 3.62. Ba người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải làm mất 4 giờ, người thứ hai 3 giờ,người thứ ba 6 giờ. Nếu làm chung thì mỗi giờ cả ba người làm được mấy phần công việc ? 3.63. Tính tổng các phân số lớn hơn 1 1 , nhỏ hơn và có tử là 3. 7 8 3.64. Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của hai phân số tối giản có mẫu khác nhau: a) 7 ; 15 b) 13 . 27 [20] 3.65. Dùng 10 chữ số 0,1, 2,3,….,9 ( mỗi chữ số chỉ dùng một lần) để lập hai phân số bằng nhau có tổng bằng 1. 3.66. Tính một cách hợp lý: S= 25 14 31 −15 −27 −36 + − − + − . 100 21 62 40 45 135 3.67. Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) = A −9764 36.85.20 −2 19 + + + . 36615 25.84.34 5 133 40404 244.395 − 151 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 b) B =+ . + 70707 244 + 395.243 1.5.7 + 2.10.14 + 4.20.28 + 7.35.49 3.68. Cho S = 1 1 1 1 + + + …. + . 3 5 7 101 Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên. 3.69. Tổng 1 1 1 1 a + + + ….. + bằng phân số . Chứng tỏ rằng a chia hết cho 13. 3 4 5 10 b a’ a 3.70. Cho hai phân số tối giản và ‘ a, b, a ‘ , b ‘ ∈ N * có tổng là một số tự nhiên n. Chứng tỏ b b ‘ rằng b = b . ( 3.71. a) Viết phân số ) 1 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau. 8 b) Nêu tất cả các cách viết như thế. 3.72. Nêu tất cả các cách viết phân số 1 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1 và mẫu khác 10 nhau. 3.73. Tìm x, y ∈ N * , biết rằng x 2 2 − =. y y 15 3.74. Tính : a) 28 27 − ; 29 28 b) 23 7 − ; 8 2 c) 11 3 − . 15 5 3.75. Tìm x ∈ Z ,biết : [21] a) x − 3 1 =; 4 7 b) x 2 1 − =; 2 5 10 c) 15 1 28 − = . x 3 51 3.76. Tính nhanh : 1 1 1 1 + + + …. + 5.6 6.7 7.8 24.25 2 3 11 13 25 30 + + + + + B= . 3.5 5.8 8.19 19.32 32.57 57.85 A= 3.77. Cho A = 10 8 11 . Chứng tỏ rằng A < 2 . + + 17 15 16 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3.78. Cho B = + + + + + + + 3 16 19 21 61 72 83 94 So sánh B với 3.79. Cho C = 3 . 5 1 1 1 1 9 . Chứng tỏ rằng C >
.
+ +
+ … +
20 21 22
200
10

3.80. Chứng tỏ rằng với mọi a, b ∈ N * thì:
a)

a b
+ ≥2 ;
b a

1 1
b) ( a + b ) .  +  ≥ 4 .
a b

[22]

Chuyên đề 5. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
2. Phép nhân phân số có các tính chất cơ bản: giao hoán; kết hợp; nhân với số 1; tính
chất phân phối của phép nhân đối với phép công.
Lưu ý: Do các tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân, khi nhân nhiều phân số,
ta có thể đổi chỗ hoặc nhóm các phân số lại theo bất cứ cách nào sao cho việc tính toán được
thuận tiện.
3. Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1
4. Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số
chia.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a)

2 3 −10
;
+ .
5 5 21

b)

−4 2 4
: + .
5 7 7

Giải:

2 3 −10 2 3. ( −10 ) 2 −2 14 − 10 4
+ .
= +
= +
=
=
5 5 21 5
5.21
5 7
35
35
−4 2 4 −4 7 4 −14 4 −98 + 20 −78
b)
.
: + =
. + =
+ =
=
5 7 7 5 2 7
5
7
35
35

a)

Nhận xét:
Cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: Làm phép nhân hoặc phép chia trước rồi
mới làm phép công.
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức sau theo nhiều cách khác nhau:
8 2 5 6 9 5
M =  + . +  + . .
5 5 7 5 5 7

Giải:
Cách 1: M =

10 5 15 5 10 15 25
.
. + . = + =
5 7 5 7 7 7
7

[23]

8 5 2 5 6 5 9 5
Cách 2: M = . + . + . + . .
5 7 5 7 5 7 5 7
=

8 2 6 9 25
.
+ + + =
7 7 7 7 7

 8 2 6 9  5 25 5 25
.
Cách 3: M =  + + +  . =
. =
5 5 5 5 7 5 7 7

Nhận xét:
Ớ cách 1, ta thực hiện phép cộng trong ngoặc trước rồi mới làm phép nhân.
Ớ cách 2, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với từng dấu ngoặc.
5
làm thừa số chung cho cả hai biểu thức trong ngoặc rồi mới làm
7
phép cộng và phép nhân.

Ớ cách 3, ta đặt

`Ví dụ 3: Tìm x, biết
a)

−2 4
3
;
+ .x =
5 5
5

b)

−3 4
− :x=
−2
7 7

Giải.

a)

−2 4
3
+ x=
5 5
5
4
3 −2
x=
−
5
5 5
4
x =1
5
4
x = 1:
5
5
x=
4

b)

−3 4
− :x=
−2
7 7
−3
4
x
+2
:=
7
7
4
11
:x=
7
7
4 11
x= :
7 7
4
x=
11

Nhận xét:
a) Ta có thể viết :

1
1
.(−2 + 4 x) = .3
5
5

Suy ra − 2 + 4 x =
3
4 x= 3 + 2
5
x =
4
b) Ta có thể viết:

[24]

−3 4
−
=
−2
7 7.x
1 
4 1
.  −3 − = .(−14)
x 7
7 
4
= 11
x
4
x=
11
Ví dụ 4. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau :

6 6 6 6
− + −
7
9 11 13 ;
M=
8 8 8 8
− + −
7 9 11 13

5
7
+1−
11
N= 12
2 1 5
− +
3 4 11

Giải.

2 2 2 2
3.( − + − )
3
7 9 11 13
=
M =
2 2 2 2
4.( − + − ) 4
7 9 11 13
(vì rõ ràng

2 2 2 2
− + − ≠ 0 ).
7 9 11 13

5
7
( + 1 − ).132
55 + 132 − 84 103
11
N= 12 =
=
2 1 5
− 33 + 160 115
88
( − + ).132
3 4 11
Nhận xét:

1 1 1 1
6.( − + − )
Với biểu thức M nếu ta viết M = 7 9 11 13 thì ta sẽ phải rút gọn hai lần :
1 1 1 1
8.( − + − )
7 9 11 13
6 3
M= =
.
8 4
Với biểu thức N, căn cứ vào đặc điểm của đề bài, ta đã nhận số bị chia và số chia với
cùng một số là BCNN của các mẫu. Khi đó giá trị của biểu thức không đổi nhưng các phép
tính đều được thực hiện dễ dàng với các số nguyên.
C. BÀI TẬP
3.81. Tính nhanh :

[25]

=
A

−1 3
. .(−12)
6 2

5
5
B =−
.( 56). .(−4).
8
7

3.82. Áp dụng các tính chất của phép nhân phân số để tính nhanh :
=
C

4 3 7
−11
. . .(−20).
;
7 5 4
12

D=

7 5 7 8
7
. + . − 3. .
13 19 19 13
19

3.83. Tính nhanh:
=
M

−1 141 39 −1
.
− . ;
3 17
3 17

−9 13  3  19
. −−  . .
16 3  4  3
2

=
N

14
thành tích của năm phân số sao cho mỗi phân số đó có tử
19
và mẫu là hai số nguyên liên tiếp.

3.84. Nêu hai cách viết phân số

3.85. Viết phân số

6
dưới dạng thương của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương
35

có một chữ số.
3.86. Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 2 2
2
+ + −
A = 7 5 17 293 ;
3 3 3
3
+ + −
7 5 17 293

7 5
+ −1
B = 12 6 .
3 1
5− +
43 3

8
8
8
8
− +
−
C = 23 25 27 29 ;
12 12 12 12
− +
−
23 25 27 29

15 15 15 15
− − +
D = 8 6 32 64 .
3 3 3
3− − +
2 4 8

3.87. Tính:

3.88. Cho tổng của hai số bằng 2 và tích của chúng bằng 3. Hãy tìm tổng các nghịch đảo của
hai số đó.
3.89. Chứng tỏ rằng:
11 1
1
1
1
1 3
< + + + … + + < . 15 21 22 23 59 60 2 3.90. Chứng tỏ rằng: 3 < 1+ 1 1 1 1 + + + … + < 6. 2 3 4 63 [26] 1 3 4 9999 3.91. Cho A = . . …. . 2 4 5 10000 Hãy so sánh A với 0,01. 3.92. Tính các tích sau: 3 8 15 9999 A = . . ….. ; 4 9 16 10000 1  1  1   1   B= 1 − 1 − 1 −  …. 1 − ;  21  28  36   1326  1  1  1   1   C= 1 + 1 + 1 +  …. 1 + .  1.3  2.4  3.5   99.101  3.93. Tính các tích sau: 12 22 32 42 52 62 A= . . . . . ; 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 B= 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 . . . . . ; 22 32 42 52 62 7 2  1  1  1  1  1  1 C= 1 +  .1 +  .1 +  .1 +  .1 +  .1 +  .  2  3  4  5  6  7  3.94. Tìm giá trị của biểu thức sau: 1  1   1  1  M =− 1 1 − 1 −  …. 1 − .  4  9  16   225  3.95. Viết số nghịch đảo của 2 dưới dạng tổng các nghịch đảo của ba số tự nhiên khác nhau. 3.96. Tính:  810 675   810 675  a) A =− +  : ;  162 225   162 225   1648 131313   1648 131313  b) B = + −  : .  1751 686868   1751 686868  3.97. Tính:  1284 212121   27  a) C  = +  :  .3  ;  1391 656565   12  39.210 b) D = 8 6  55.24 26.34  :  4 . 4 . 6   10 [27] 3.98. Ba đội công nhân làm việc với năng suất khác nhau. Khối lượng công việc đội I làm trong ba ngày bằng đội II làm trong bốn ngày, và đội III làm trong năm ngày. Cả ba đội cùng làm thì trong 30 ngày xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao lâu mới xong? 3.99. Ba vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy thì sau 7 giờ 12 phút 72 đầy bể; Vòi II và III trong giờ chảy thì đầy bể còn vòi I và III cùng chảy thì trong 8 giờ 7 đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu bể đầy? 3.100. Tìm phân số lớn nhất mà khi chia các phân số 154 385 231 và cho phân số ấy ta , 195 156 130 dduwoccj kết quả là các số tự nhiên. 3.101. Tìm phân số dương nhỏ nhất mà khi chia phân số ấy cho 25 35 28 và ta được kết , 231 66 165 quả là các số tự nhiên. [28] Chuyên đề 6. HỖN SỐ, SỐ THẬP PHÂN, PHẦN TRĂM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phân số Phân số 7 2 có thể viết dưới dạng hỗn số là 1 5 5 −7 2 viết dưới dạng hỗn số là −1 5 5 Lưu ý: Khi viết một phân số âm dưới dạng hỗn số, ta chỉ cần viết số đối của nó dưới dạng hỗn số rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được. 2. Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10 . Ví dụ: −7 13 −21 ; ; ;…. 10 100 1000 Các phân số thập phân có thể viết dưới dạng số thập phân. Ví dụ: −7 13 −21 = −0,7; = 0,13; = −0,021;…. 10 100 1000 Lưu ý: Số chữ số của phần thập phân (viết bên phải dấu phẩy) đúng bằng chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân. 3. Các phân số thập phân có mẫu là 100 còn được viết dưới dạng phần trăm với kí hiệu là %. Ví dụ: 13 = 13 0 0 100 B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Viết các phân số sau dưới dạng phân số thập phân, số thập phân và phần trăm: a) 9 17 39 ; b) ; c) ; 25 4 65 Giải 9 36 a )= = 0,36 = 36 0 0 ; 25 100 17 17.25 425 b)= = = 4,= 25 425%; 4 4.25 100 39 39 :13 3 6 c) = = = = 0,6= 60%; 65 65 :13 5 10 Nhận xét: [29] - Khi viết phân số thập phân dưới dạng số thập phân, cần lưu ý số chữ số của phần thập phân đúng bằng chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân. – Trong thực hành, khi cần viết một phân số dưới dạng một số thập phân ta chỉ việc chia tử cho mẫu. 9 Ví dụ1:= 9= : 25 0,36. 25 Ví dụ 2: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số hoặc hỗn số. a )0,5. b) − 0,125; c) − 3,75. Giải a )0,5 = 5 1 = 10 2 125 1 b) − 0,125 = − = − ; 1000 8 375 3 c) − 3,75 = − = −3 . 100 4 Nhận xét: Để viết một số thập phân dưới dạng phân số, ta có thể viết số đó dưới dạng phân số thập phân, sau đó rút gọn nếu có thể được. Cần nhớ một số trường hợp thường gặp. = 0,5 1 1 1 1 3 . ;0, = 25 ;0,125 = = ;0, 2 ;0,75 = 2 4 8 5 4 Ví dụ 3. Thực hiện phép tính: 2 1 a )8 + 3 ; 9 3 1 1 b)3 − 1 ; 2 4 1 1 c)3 − 1 ; 5 2 1 d) − 4 − 2 ; 3 Giải 2 1 2 3 5 a )8 + 3 = 8 + 3 = 11 ; 9 3 9 9 9 1 1 2 1 1 b)3 − 1 = 3 − 1 = 2 2 4 4 4 4 1 1 2 5 12 5 7 c. 3 − 1 = 3 − 1 = 2 − 1 = 1 ; 5 2 10 10 10 10 10 [30] 1 3 1 2 d. 4 − 2 = 3 − 2 = 1 . 3 3 3 3 Nhận xét: Khi cộng hoặc trừ hai hỗn số, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng hoặc phép trừ phân số. Khi hai hỗn số đều dương, ta có thể cộng phần nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau (như đã làm ở câu a). Khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ, ta có thể lấy phần nguyên của số bị trừ, trừ phần nguyên của số trừ, phần phân số của số bị trừ trừ phần phân số của số trừ rồi cộng hai kết quả với nhau ( như đã làm ở câu b ). Trong trường hợp phần phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số của số trừ, ta phải rút một đơn vị ở phần nguyên của số bị trừ để thêm vào phần phân số, sau đó tiếp tục trừ như trên (như đã làm ở câu c) Đặc biệt, một số nguyên cũng có thể viết dưới dạng hỗn số. Ví dụ ở câu d) ta đã viết 3 4 = 3 để thực hiện phép trừ hỗn số. 3 Ví dụ 4. Thực hiện phép tính: 1 6 a. 3 .2 ; 4 13 1 2 b. 5 : 2 ; 3 9 1 c. 6 .3; 7 8 d. 10 : 2. 9 Giải. 1 6 13 32 a. 3 = .2 = . 8; 4 13 4 13 1 2 16 20 16 9 12 2 b. 5 : 2 = : = . = = 2 ; 3 9 3 9 3 20 5 5 1 3 c. 6 .3 = 18 ; 7 7 8 4 d. 10 : 2 = 5 . 9 9 Nhận xét: Khi nhân hoặc chia hai hỗn số, ta viết các hỗn số dưới dạng phân số rồi làm phép nhân hoặc chia phân số (câu a) và câu (b). Ở câu c) khi nhân một hỗn số với một số nguyên, ta nhân số nguyên với phần nguyên và nhân số nguyên đó với phần phân số của hỗn số. Thực chất của cách làm này như sau: 1 1 1 3 3  6 .3 =  6 +  .3 = 6.3 + .3 = 18 + = 18 . 7 7 7 7 7  [31] Tương tự, ở câu d) khi chia một hỗn số cho một số nguyên, ta lấy phần nguyên chia cho số nguyên (nếu phép chia không có dư) và phân số chia cho số nguyên (nếu tử chia hết cho số nguyên đó). 8 8 8 4 4  Thật vậy, ta có 10 : 2 =10 +  : 2 =10 : 2 + : 2 =5 + =5 . 9 9 9 9 9  C. BÀI TẬP 3.102. Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số: a. 19 ; 3 b. −25 ; 4 c. − 37 ; 9 d. − 134 . 13 d. 7 5 . 14 3.103. Viết các hỗn số sau dưới dạng phân số: 1 a. 8 ; 2 3 b. −9 ; 4 2 c. −12 ; 3 3.104. Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân và số phần trăm: a. 7 ; 20 b. 13 ; 4 c. 329 . 188 3.105. Viết các phần trăm sau dưới dạng số thập phân: a. 7%; c. 247%. b. 49%; 3.106. Tìm số nghịch đảo của các số sau: a. −5 ; 7 3 c. 5 . 8 b. 0; 3.107. Tính: 1 7 a. 3 − 2 ; 2 8 b. 10 − 2 38 . 39 3.108. Tính giá trị của các biểu thức sau đây theo cách hợp lí nhất: 2  15 2 9  6  6 b)  31 + 5  − 36 ; a) 17 −  + 6  ; 31  17 31  41  13  13 51  51 1  7   28  29  d) 17 − 3  −  2 − 4  . −7 −  ; 59  59 3  8   31  31  3.109. Giải bằng ba cách bài toán sau:  13  Tính 5.  8 −   15  3.110. Tính giá trị cửa các biểu thức sau: c) 27 [32]  2 7 8 5 A =  5 .7  . 13 .7  ;  5 12   9 13  19 7 16 7 = B 74 . + 15. . ; 35 90 35 90  1 1 = C  3 −  .11.  15 11  3.111. Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 ; 3 4 5 6 7 8 9 10 11  1 1 1 1 1 1 B=  −1  .  −1  .  −1  .  −1  .  −1  .  −1  .  12   13   14   15   16   17  3.112. Tìm x, biết: 3  3 4 b)  2 − 1  .x = a) 2 .x = 1; 1. 4  4 5 3.113. Thực hiện các phép tính sau đây một cách hợp lí: 3 2 3  2 15 7  5 b)  3 . .1  : ; a) 4 :  .4  ; 7 5 7  9 23 29  23 17 11 9 3 4 3 d) 2 − 1 + 6 : 3. c) 5 : − 4 : ; 20 15 20 4 5 4 3.114. So sánh các phân số sau: 16 36 −81 −85 và ; b) và . a) 3 7 20 21 3.115. So sánh các biểu thức sau: 10010 + 1 10010 − 1 A= ; B = 10010 − 1 10010 − 3 255 438 3.116. Tìm các số tự nhiên n lớn hơn và nhỏ hơn . 23 29 −125 −191 3.117. Tìm các số nguyên n lớn hơn và nhỏ hơn . 12 14 3.118. Tính nhanh: 1 1 1 1 1 1 1 1 P = 1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 . 3 8 15 24 35 48 63 80 3.119. Hãy so sánh bốn phân số: 222221 444443 666664 ; b) B = ; c) C = ; A= 222222 444445 666667 3.120. Thực hiện phép tính: 1001  6 6  187   3535 a) 17 − 16  .3 + 3 :  5 − 1 . 1365  23 23  253   88375 d) D = 888885 888889 [33] 2  4 4   0,8 :  .1, 25  1,08 −  : 4 25  7 5 +  b) + (1, 2.0,5) : . 1 1 2 5  5 0,64 − 6 − 3  .2  25 4  17  9 Chuyên đề 7. BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ta thường gặp ba bài toán cơ bản sau đây về phân số: Bài toán 1. Tìm giá trị phân số cửa một số cho trwuowcs. m m Muốn tìm của số b cho trước, ta tính b. (m, n ∈ , n ≠ 0). n n Bài toán 2. Tìm một số biết giá trị một phân số của nó. m m của nó bằng a, ta tính a : ( m, n ∈ * ) . Muốn tìm một số biết n n Bài toán 3: Tìm tỉ số của hai số. Muốn tìm tỉ số của hai số a và b ( b ≠ 0) ta tìm thương của hai số ấy a = a : b(b ≠ 0). b Lưu ý: Ba bài toán cơ bản về phân số cũng là ba bài toán cơ bản về phần trắm vì phần trăm chỉ là dạng đặc biệt của phân số. • Trong thực hành, ta thường dung tỉ số dưới dạng tỉ số phần trăn với kí hiệu %. Muốn tìm tỉ số phần tram của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí a.100 hiệu % vào kết quả: %. b • Tỉ lệ xích = Khoảng cách giữa hai điểm trên bản đồ Khoảng cách giữa hai điểm tương ứng trên thực tế (hai khoảng cách có cùng đơn vị đo) B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Khối 6 của một trường có 300 học sinh trong đó có 40% là học sinh giỏi. 2 Trong số học sinh giỏi đó, số nữ sinh chiếm . Tính số học sinh nữ của khối 6 đạt loại 3 giỏi. Giải. Số học sinh giỏi của khối 6 là: 300.40% = 120 ( học sinh). 2 Số học sinh nữ của khối 6 đạt loại giởi là: 120. = 80 ( học sinh). 3 Nhận xét: [34] 2 của 40% số học sinh khối 6 tức là 3 2 4 4 bằng 40% . = số học sinh khối 6. Vậy số nữ đạt laoij giỏi là: 300. = 80 (học 3 15 15 sinh). 2 số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A Ví dụ 2. Số sách ở ngăn A bằng 3 3 sang ngăn B thì số sách ở ngăn A bằng số sách ở ngăn B. Tìm số sách ở mỗi ngăn. 7 Giải. Tổng số sách ở hai ngăn không đổi khi ta chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B. 2 2 3 3 Lúc đầu, số sách ở ngăn A bằng = (tổng số sách), lúc sau bằng = 2+3 5 3 + 7 10 (tổng số sách). 2 3 1 3 quyển chính là: − = (tổng số sách). 5 10 10 1 Vậy tổng số sách ở hai ngăn là: 3 : = 30 (quyển). 10 2 Ngăn A có: 30. = 12 (quyển) 5 Ngăn B có: 30 – 12 = 18 ( quyển). Nhận xét: Khi giải bài toán này, ta đã dựa trên nhận xét quan trọng sau đây: tổng số sách ở hai ngăn không đổi khi chuyển ba quyển sách từ ngăn A sang ngăn B. Căn cứ vào đó, ta đã lập tỉ số giữa số sách cửa ngăn A và tổng số sách trước và sau khi chuyển. Có thể dung sơ đồ để thấy rõ hơn: Có thể nhận xét rằng số nữ sinh đạt loại giởi bằng Ngăn A Ngăn B Lúc đầu số sách ngăn A bằng Ngăn Ngăn Lúc sau số sách ngăn A bằng 2 tổng số sách 5 A B 3 tổng số sách 10 Từ đó, đưa về bài toán: tìm một số biết giá trị một phân số của nó ( tìm số sách biết 1 10 của nó là 3 quyển). Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất. Giải. [35] Gọi số tự nhiên phải tìm là ab (a, b ∈ ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9) , tỉ số giữa ab và a + b là k. Ta có: ab 10a + b 10a + 10b 10(a + b) ≤ = = k= = 10 a+b a+b a+b a+b k = 10 ⇔ b = 10b ⇔ b = 0. b 0, a ∈ {1;2;…;9} . Vậy k lớn nhất bằng 10 khi= Các số phải tìm là a 0 với a là chữ số khác 0. Nhận xét: Bài toán này có thể giải theo nhiều cách khác, chẳng hạn cách giải sau đây: ab 10a + b = . a+b a+b 10a a) Nếu b = 0 thì= k = 10. a b) Nếu b ≠ 0 thì a + b ≥ a + 1 và 10a + b < 10(a + 1). = k 10a + b 10(a + 1) c) Khi đó ta có k = < =10. a+b a +1 Vậy k lớn nhất bằng 10 khi b = 0, 1 ≤ a ≤ 9. Các số phải tìm là 10,20,30,…,80,90. Ví dụ 4. Giá hàng hạ 20%. Hỏi với cùng một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu phần trăm hàng? Giải. Với số tiền không đổi nên giá hàng tỉ lệ nghịch với lượng hàng mua được. Ta lập bảng sau đây để giải: Giá hàng (%) Lượng hàng mua được (%) 100 100 1 100.100 100 – 20 = 80 100.100 = 125 80 Vậy lượng hàng mua thêm được là: 125 – 100 = 25 (%). Nhận xét: Bài toán đề cập đến ba đại lượng: giá hàng, số tiền mua hàng và lượng hàng mua được. Vì số tiền mua hàng không đổi nên giá hàng và lượng hàng mua được là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Như vậy để giải bài toán này, điều quan trọng là phải xác định rõ các đại lượng được đề cập trong bài và quan hệ giữa các đại lượng đó. Lên lớp 7, với kiến thức về đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất của tỉ lệ thức, ta sẽ giải lại bài toán này một cách dễ dàng. C. BÀI TẬP [36] 3.121. Hiệu của hai số là 16. Tìm hai số ấy biết rằng 5 3 số thứ nhất bằng số thứ 32 16 hai. 3.122. Tìm hai số biết rằng 6 9 số thứ nhất bằng số thứ hai và tổng của chúng bằng 9 11 172. 3.123. Tìm hai số biết rằng tổng và tỉ số của hai số đó đều bằng 10 1 . 2 3 số đó. Hãy tìm số đó. 7 2 3.125. Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kì I bằng số còn lại. Cuối năm có thêm 5 học 7 1 sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giởi bằng số còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A. 2 2 3.126. Số thỏ ở chuồng A bằng số thỏ ở cả hai chuồng A và B. Sau khi bán 3 con ở 5 1 chuồng A thì số thỏ ở chuồng A bằng tổng số thỏ ở cả hai chuồng lúc đó. Tính số thỏ 3 lúc đầu ở chuồng A. 1 cuốn 3.127. Bạn Thu đọc một cuốn sách trong 4 ngày. Ngày thứ nhất Thu đọc được 5 4 sách và 10 trang. Ngày thứ hai, Thu đọc được số trang còn lại và 10 trang. Ngày thứ 9 8 2 ba, Thu đọc được số trang còn lại và 10 trang. Ngày thứ tư, Thu đọc được số 9 7 trang còn lại và 10 trang cuối. Hỏi cuốn sách Thu đã đọc có bao nhiêu trang? 1 tấm vải và 3.128. Một cửa hàng bán một tấm vải trong 4 ngày. Ngày thứ nhất bán 6 5m; ngày thứ hai bán 20% số còn lại và 10m; ngày thứ ba bán 25% số còn lại và 9m; 1 ngày thứ tư bán số còn lại. Cuối cùng còn 13m. Tính chiều dài của tấm vải? 3 3.129. Có bốn người mua khoai. Người thứ nhất mua 12,5% số khoai và 10kg; người 10 thứ hai mua số còn lại và 40kg; người thứ ba mua 40% số còn lại; người thứ tư mua 31 75% số còn lại. Cuối cùng còn 57kg. Hỏi số kilogam khoai mỗi người đã mua? 1 3.130. Một người đi chơi ba ngày bằng xe đạp. Ngày thứ nhất đi quãng đường trừ đi 3 8 1 2km; ngày thứ hai đi quãng đường còn lại trừ đi 3km; ngày thứ ba đi quãng 9 2 đường còn lại và 6km. Tính quãng đường người ấy đã đi trong ba ngày. 3.124. Một số bớt đi 36 thì bằng [37] 3.131. Một cô thư kí có thể đánh máy xong một tài liệu trong 5 giờ 20 phút. Một cô khác đánh máy xong tài liệu ấy trong 4 giờ 40 phút. Nếu cùng làm, cả hai cô đánh được 90 trang. Hỏi mỗi cô đánh được bao nhiêu trang? 3.132. Hai máy cày cùng làm việc trong 16 giờ thì cày xong một thửa ruộng. Nếu hai máy cày cùng làm việc trong 12 giờ trên thửa ruộng ấy thì phần ruộng còn lại, máy cày thứ hai phải làm việc trong vòng 6 giờ mới xong. Hỏi nếu làm việc một mình thì mỗi máy cày phải cần một thời gian bao lâu để cày xong thửa ruộng ấy? 3.133. Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể hoàn thành công 2 việc đó trong giờ. Lúc đầu người thứ nhất làm sau 8 phút 40 giây người thứ hai cùng 5 11 làm, thì sau đó giờ sẽ hoàn thành công việc. Hỏi người thứ hailamf một mình bao 90 lâu thì xong công việc? 3.134. Một ô tô đi từ A lúc 8 giờ. Đến 9 giờ, một ô tô khác cũng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2 giờ chiều. Xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở chỗ cách A bao nhiêu kilomet, nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 20km/h. 3.135. Hai xe lửa đi từ A đến B mất 2 giờ 48 phút và 4 giờ 40 phút. Tính khoảng cách AB biết rằng vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 26km/h. 3.136. Khối lượng công việc tăng 80% nhưng năng suất lao động chỉ tăng 20%. Hỏi phải tăng số công nhân thêm bao nhiêu phần tram để hoàn thành công việc? 3.137. Lượng nước trong cỏ tươi là 60%, trong cỏ khô là 15%. Hỏi một tấn cỏ tươi cho bao nhiêu cỏ khô? 3.138. Số hộp sữa loại một ít hơn loại hai là 12,5% nhưng lượng sữa trong mỗi hộp lại nhiều hơn 8%. Hỏi lượng sữa tổng cộng của loại nào ít hơn và ít hơn bao nhiêu phần trăm? 3.139. Tính tuổi hai anh em, biết 62,5% tuổi anh lớn hơn 75% tuổi em là 2 tuổi và 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi. 3.140. Trong số học sinh tham gia lao động buổi sáng có 40% học sinh là lớp 6, 36% là học sinh lớp 7, số còn lại là học sinh lớp 8. Buổi chiều số học sinh lớp 6 giảm 75%, số học sinh lớp 7 tăng 37,5%, số học sinh lớp 8 tăng 75%. Hỏi số học sinh tham gia lao động buổi chiều thay đổi thế nào so với số học sinh lao động ở buổi sáng. 3.141. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài 30m, chiều rộng 10m. 1 a) Tính chiều dài và chiều rộng của khu đất trên bản vẽ, tỉ lệ xích của bản vẽ là . 100 b) Tính số diện tích của khu đất trên bản vẽ và diện tích khu đất trên thực tế. 3.142. Trên bản đồ có tỉ lệ xích 1:1000, một khu đất hình chữ nhật có diện tích là 50cm 2 Hỏi trên thực thế, khu đất đó có diện tích thực tế là bao nhiêu mét vuông? [38] Chuyên đề nâng cao 1. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ. Ta đã biết: – Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. – Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. Đây là phương pháp chung để so sánh hai phân số bất kì. Tuy nhiên, do đặc điểm riêng của từng phân số, ta có thể có những cách khác để so sánh phân số mà không quy đồng mẫu số. Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu các phương pháp đó. Trước hết ta có hai lưu ý sau: 1. Phân số âm bao giờ cũng nhỏ hơn phân số dương. Thật vậy, phân số âm nhỏ hơn 0 và phân số dương lớn hơn 0, suy ra phân số dương lớn hơn phân số âm. 2. Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn. Điều này cũng đúng đối với phân số: trong hai phân số âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn. Giá trị tuyệt đối của một phân số âm là số đối của nó. Do đó, trong hai phân số âm, số nào có số đối nhỏ hơn thì lớn hơn. Vì vậy, khi so sánh các phân số âm, ta chỉ cần so sánh các số đối của chúng là các phân số dương. Sau đây, ta chỉ sét các phương pháp so sánh các phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương. 1) Quy đồng tử các phân số ( tức đưa về các phân số có cùng tử) Trong hai phân số cùng tử ( trong đó tử và mẫu đều dương), phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn. Thật vậy: giả sử ta có a,b,c >0 và b < c. a ac a ab ; = = b bc c bc a a ac ab Do c>b nên ac > ab suy ra
. Vậy >
>
b c
bc bc
−48
−52
Ví dụ : So sánh
và
224
247
Giải.
48
52
Ta so sánh hai số đối của hai phân số đã cho là
và
224
247
4
48
3 52
Rút gọn ta được
=
= ;
224 14 247 19
3 12 4 12
; =
.
=
14 56 19 57
12 12
48
52
Vì
nên
>
.
>
56 57
224 247
−48
−52
Vậy
< 224 247 [39] 2) Sử dụng tính chất bắc cầu Tính chất bắc cầu của thứ tự: c k a k a c Nếu > và > thì > .
d q
b q
b d
Ví dụ: So sánh

43
59
và
.
81
73

Giải
43
. Ta có :
73
43 43 59
43 59
< < ⇒ < 81 73 73 81 73 Ta chọn số trung gian là Ta cũng có thể chọn số trung gian là 59 . Ta có : 81 43 59 59 43 59 < < ⇒ < 81 81 73 81 73 3) Xét “phần bù đến đơn vị Đối với các phân số nhỏ hơn 1 có hiệu giữa tử và mẫu bằng nhau, ta có thể so sánh chúng bằng cách xét “ phần bù” đến đơn vị của chúng. 31 41 Ví dụ: So sánh và 61 71 Giải. Nhận xét: 61 – 31=71 – 41 =30 31 61 − 30 30 Ta có: (1) = = 1− 61 61 61 41 71 − 30 30 (2) = = 1− 71 71 71 30 30 31 41 Vì nên từ (1) và (2) suy ra >
< 61 71 61 71 4) Viết phân số dưới dạng hỗn số Đối với các phân số có tử lớn hơn mẫu, ta có thể viết chúng dưới dạng hỗn số rồi so sánh. −23 −31 Ví dụ: So sánh và . 7 9 Giải. 23 2 31 4 Ta có: =3 ; =3 . 7 7 9 9 2 4 4 2 4 23 31 Vì < < nên 3 < 3 hay < . 7 14 9 7 9 7 9 −23 −31 Vậy: >
7
9
[40]

5) « Nhân chéo »
Ta có tính chất sau:
Với mọi số a, b, c, d nguyên dương:

a c
< ⇔ ad < bc . b d a ad c bc ; = = b bd d bd a c ad bc Do < ⇔ < ⇔ ad < bc . b d bd bd 11 12 Ví dụ: So sánh và . 15 17 Giải. Ta có: 11.17 =187 15.12= 180 Do đó 11.17>15.12
11 12
Suy ra
> .
15 17

Thật vậy, ta có :

6) Viết phân số dưới dạng số thập phân
Ta có thể viết các phân số dưới dạng bằng cách chia tử cho mẫu rồi so sánh hai số thập phân
này.
39
187
Ví dụ: So sánh
và
.
104
500
Giải.
39 3
= = 0,375
(1)
104 8
187
(2)
= 0,374
500
39 187
Từ (1) và (2) suy ra
.
>
104 500
7) Đối với các phân số nhỏ hơn 1 hoặc lớn hơn 1, ta có tính chất sau:
Với a, b, c ∈ * :
a a+c
a
.
Nếu < 1 thì < b b+c b a a+c a Nếu > 1 thì >
.
b b+c
b
a
Thật vậy, nếu < 1 thì a < b, suy ra ac < bc. b Từ đó suy ra: ab + ac < ab + bc a a+c Vậy a (b + c) < b(a + c) ⇒ < . b b+c [41] Chứng minh tương tự với trường hợp Ví dụ: So sánh a > 1.
b

−387
−592
và
386
591

Giải.
387
387 387 + 205 592
>1⇒
>
=
386
386 386 + 205 591
387 592
−387 −592
Ta có:
nên
>
< 386 591 386 591 8) Áp dụng tính chất Với các số nguyên dương a, b, c, d : a c a a+c c Nếu < thì < < . b d b b+d d Thật vậy, ta có: a c < ⇒ ad < bc ⇒ ab + ad < ab + bc b d ⇒ a (b + d ) < b(a + c) ⇒ a a+c < b b+d a c < ⇒ ad < bc ⇒ ad + cd < bc + cd b d ⇒ d (a + c) < c(b + d ) a+c c ⇒ < b+d d a a+c c Từ (1) và (2) suy ra < < . b b+d d (1) (2) Ví dụ. Tìm ba phân số khác nhau, các phân số này lớn hơn 1 1 nhưng nhỏ hơn . 4 3 Giải. 1 1 1 2 1 1 1+1 1 Từ < suy ra < < hay < < . 4 3 4 7 3 4 4+3 3 1 2 1 3 2 1 1+ 2 2 Từ < suy ra < < hay < < . 4 7 4 11 7 4 4+7 7 2 1 2 2 +1 1 2 3 1 Từ < suy ra < < hay < < . 7 3 7 7+3 3 7 10 3 1 3 2 3 1 Vậy, ta có < < < < . 4 11 7 10 3 [42] BÀI TẬP 5 14 và bằng nhiều cách khác nhau. 8 17 3.144. So sánh các phân số sau: −16 −24 12 112 24 và b) và . a) ; 121 143 35 217 49 3.145. Cho các số nguyên dương a, b, c, d. Chứng tỏ rằng: a b c d 1< < < < <2 . a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 3.146. So sánh các phân số sau: 49 47 n+5 49 n và b) và a) ; ( n ∈ * ) 56 58 n+6 58 n+7 3.147. So sánh các phân số sau: −47 −68 27 271 và b) và . a) 48 69 73 731 3.148. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: 7 66 555 4444 33333 ; ; ; ; 8 77 666 5555 44444 3.149. So sánh các phân số sau: 3.143. So sánh hai phân số 810 + 1 810 + 1 35 31 và b) A = 10 và B = 10 . 8 −1 8 −3 8 7 3.150. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: 588 245 768 513 ; ; ; 533 221 697 255 3.151. So sánh: a) 1009 + 1 1009 + 4 B = và 1009 − 4 1009 − 1 3.152. So sánh: 10016 + 1 10015 + 1 C= và D = 10017 + 1 10016 + 1 3.153. So sánh các phân số sau −815 −497 −2011 −2012 và b) và . a) 816 496 2012 2013 3.154. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: 3 31 311 3112 ; ; ; 7 71 711 7112 3.155. So sánh hai phân số sau theo hai cách: n+3 n và ( n ∈ * ) n+5 n+2 3.156. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng tỏ rằng: A= [43] 1< a b c < < <2 b+c c+a a+b 3.157. Viết 9 phân số có tử và mẫu là các số có 1 chữ số, các phân số này lớn hơn 1 nhưng 3 2 . 3 3.158. So sánh hai biểu thức A và B, biết rằng: 2n + 1 n n +1 ; B ( n ∈ * ) = A + = 2n + 3 n +1 n + 2 3.159. So sánh hai số A và B, biết rằng: 1 1 1 1 ; A= + + + …. + 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 . B= + + + … + + 10 11 12 99 100 a b c 3.160. Cho S = . + + b+c c+a a+b 1 1 1 7 Biết rằng a + b + c = . 7 và + + = a + b b + c c + a 10 8 So sánh S và 1 . 11 nhỏ hơn Chuyên đề nâng cao 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Ta thường gặp một số bài toán trong đó các phân số có tử và mẫu được viết theo quy luật. Việc phát hiện ra quy luật viết của các phân số giúp ta tìm được cách giải quyết nhanh chóng và thuận tiện. Sau đây là một số các ví dụ. Ví dụ 1. Tính nhanh tổng sau: S= 1 1 1 1 + 2 + 3 + … + 10 . 2 2 2 2 Giải. Nhận xét: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi phân số bằng phân số đứng ngay trước nó nhân 1 với . 2 Ta có: 2 S =1 + 1 1 1 + 2 + …. + 9 2 2 2 (1) [44] 1 1 1 1 S = + 2 + ….. + 9 + 10 2 2 2 2 Lấy (1) trừ đi (2) ta được : S = 1− (2) 1 1 1023 = 1− = . 10 2 1024 1024 Ví dụ 2. Hãy tính tổng các phân số sau đây theo cách nhanh nhất : A= 1 1 1 1 + + + …. + ; 5.6 6.7 7.8 24.25 2 2 2 2 + + + … + . 1.3 3.5 5.7 99.101 52 52 52 52 52 52 C= + + + + + ; 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 3 3 3 3 D= + + + ….. + ; 1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1 1 1 1 E= + + + + + ; 7 91 247 475 775 1147 B= Giải. Nhận xét :Các phân số trong các bài tập này có thể đưa về dạng a . Đó là các phân số n(n + a) có tử không đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu. Các phân số này đều có thừa số cuối ở mẫu của phân số trước bằng thừa số đầu ở mẫu của phân số sau. Nếu ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số thì ta có thể khử liên tiếp để thực hiện tính tổng một cách dễ dàng: Ta có: Vậy : (n + a) − n = a n+a n 1 1 = − = − . a (n + a) n(n + a) n(n + a) n(n + a) n n + a a 1 1 = − . n(n + a) n n + a Áp dụng công thức trên ta có thể tính các tổng đã cho như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 − + − + − + ….. + − = − = ; 5 6 6 7 7 8 24 25 5 25 25 1 1 1 1 1 1 1 . B =1 − + − + …. + − =1 − = 3 3 5 99 101 101 101 5 5  1 1  5  1 1 1 C = 5 + + …. + −   = 5 1 − + − + …. + 26.31  26 31   1.6 6.11  6 6 11 A= 1  150 26  = 5 1 −  = =4 . 31  31  31 [45] 3 2 2 2 2  3 1 1 1 1 1 + + + … + −   = 1 − + − + … + 2  1.3 3.5 5.7 49.51  2  3 3 5 49 51  3 1 8 = 1 −  = 1 . 2  51  17 1 1 1 1 1 1 + + + + E= + . 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 6 6 6  1 1 1 1 1 1 1  = + +  = 1 − + − + + … + −  6  1.7 7.13 13.37  6  7 7 13 13 31 37  1 1  6 = 1 −  = . 6  37  37 D= Ví dụ 3. Tính các tổng sau: 1 1 1 1 + + + …. + . 15 21 28 190 12 12 12 12 . B= + + + …. + 84 210 390 2100 A= Giải. A= 2 2 2 2 ( nhân cả tử với mẫu của mỗi phân số với 2 ). + + + …. + 30 42 56 380 2 2 2 2 1 1 1   1 + + + … + = 2  + + + … +  5.6 6.7 7.8 19.20 19.20   5.6 6.7 7.8 1 1  3 3 1 1 1 1 1 1  = 2  − + − + … + − = 2  − = 2. = . 19 20  20 10 5 6 6 7  5 20  B= 4 4 4 4 (chia cả tử và mẫu của mỗi phân số cho 3) + + + … + 28 70 130 700 4 4 4 4 4 3 3 3 3  + + + … + = + + + … +   4.7 7.10 10.13 25.28 3  4.7 7.10 10.13 25.28  41 1 1 1 1 1  41 1  4 6 2 . = − = . =  − + − + … +   − =  3  4 7 7 10 25 28  3  4 28  3 28 7 = Ví dụ 4. Tìm x biết: 1 1 1 11 + + … + = ( x ∈ N , x ≥ 2) 2.4 4.6 ( 2 x − 2 ) .2 x 48 Giải. [46] 1 1 1 11 + + = 2.4 4.6 ( 2 x − 2 ) .2 x 48  11 1  1 1 1 .  + + ….. + = 4  1.2 2.3 ( x − 1) .x  48 1  1 1 1 1 1  11 . 1 − + − + …. + − = 4  2 2 3 x − 1 x  48 1  1  11 .1 −  = 4  x  48 1 11 1 = : x 48 4 1 11 1− = x 12 1− 1 11 = 1− x 12 1 1 = x 12 x = 12. Ví dụ 5. Chứng tỏ rằng với mọi x ∈ N * , ta có : 1 1 1 n + + …. + = 2.5 5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) 2 ( 3n + 2 ) Giải. Xét vế trái, ta có: 1 1 1 + + …. + 2.5 5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) =  1 3 3 3 + + …. +   3  2.5 5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 )  = 1 1 1 1 1 1 1  − .  − + − + … +  3 2 5 5 8 3n − 1 3n + 2  n 1 1 1  1 3n = − = .  =. 3  2 3n + 2  3 2. ( 3n + 2 ) 2 ( 3n + 2 ) Vế trái đúng bằng vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng: [47] 1 1 1 1 9 + + + …. + 2 < . 2 5 13 25 10 + 11 20 1 1 1 1 Giải. Xét vế trái : T = + + + …. + 5 13 25 221 Ta có: T < 1 1 1 1 + + + 5 12 24 220 = 1 11 1 1  1 1 1 1 1  +  + + …. + + + … + = +   5 2  6 12 110  5 2  2.3 3.4 10.11  = 1 11 1 1 1 1 1 +  − + − + …. + −  5 2 2 3 3 4 10 11  = 1 11 1  1 1 9 +  − < + ⇒T < . 5 2  2 11  5 4 20 Ví dụ 7. a) Với n ∈ N * hãy chứng tỏ rằng:  1 1 1 1 = −  . n ( n + 1)( n + 2 ) 2  n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 )  b) Cho S= 1 1 1 1 + + + …. + . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 23.24.25 Hãy so sánh S và 1 4 Giải. a) 1 1 ( n + 2) − n = . n ( n + 1)( n + 2 ) 2 n. ( n + 1)( n + 2 ) = =  n+2 n 1 −   2  n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1)( n + 2 )   1 1 1 −  . 2  n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 )  b)Theo kết quả câu a) ta có: S= 1 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1  − − − −  +  +   + … +   2  1.2 2.3  2  2.3 3.4  2  3.4 4.5  2  23.24 24.25  [48] 1 1 1 1 1 1 1  − + − + …. + −   2  1.2 2.3 2.3 3.4 23.24 24.25  = 1 1 1  1 =  − < 2  1.2 24.25  4 2 4 6 4999 Ví dụ 8. Cho A = . . …. 3 5 7 5000 Hãy so sánh A và 0,02 Giải. 3 5 7 4999 Đặt: A’ = . . …. 4 6 8 5000 Rõ ràng A < A’ 2 1  1  Suy ra A < AA = = =   50000 2500  50  2 nên A < 2 ‘ 1 = 0,02 50 Ví dụ 9. Tính : 3 8 15 9999 M = . . ….. . 4 9 16 10000 Giải. = M 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3….99 3.4.5….101 1 101 101 . 2 . 2 …..= . = = . 2 2 2 3 4 100 2.3.4…100 2.3.4….100 100 2 200 Ví dụ 10. Chứng tỏ rẳng: 1 1 1 1 99 97 7 5 3 + + ….. + = − + ….. + − + − 1. 26 27 49 50 50 49 4 3 2 Giải. Xét vế phải: 99 97 7 5 3 7 5 3 1  99 97 − + ….. + − + − 1 = 2  − + …. + − + −  50 49 4 3 2 8 6 4 2  100 98  1   1   1   1   1   1  = 2  1 −  − 1 −  + … + 1 −  − 1 −  + 1 −  − 1 −    8   6   4   2   100   98  P= [49] 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 =2  − + − + …. + − −  =1 − + − + 98 100  2 3 4 49 50 2 4 6 8 1 1  1 1 1 1   1 1 1 = 1 + + + + ….. + +  − 2  + + + … +  49 50   2 4 6 50   2 3 4 1 1 1   1 1   1 1 1 = 1 + + + + … + + + …. +  − 1 + + …. +  25 26 50   2 25   2 3 4 1 1 1 1 = + + …. + . 26 27 49 50 Đẳng thức được chứng tỏ là đúng. BÀI TẬP 3.161. Tính tổng : S= 1 1 1 1 + + + …. + . 1.2 2.3 3.4 2011.2012 3.162. Tính tổng : T= 3 3 3 3 + + + …. + . 2.5 5.8 8.11 299.302 3.163. Tính tổng : A= 2 2 2 2 + + + ….. + . 1.7 7.13 13.19 601.607 3.164. Tính tổng S biết rằng : S =1 + 1 1 1 1 1 + + + + + …. 2 4 8 16 32 3.165. Cho 1 1 1 1 1 A = + 2 + 3 + 4 + ….. + 2012 . 2 2 2 2 2 Chứng tỏ rằng A < 1. 3.166. Tính : 1  1   1   A= 1 − 1 −  …. 1 − .  1 + 2  1 + 2 + 3   1 + 2 + 3….. + 100  3.167. Chứng tỏ rằng với mọi n ∈ N , ta luôn có : [50] 1 1 1 1 n +1 + + + ….. + = . 1.3 3.5 5.7 ( 2n + 1)( 2n + 3) 2n + 3 3.168. Chứng tỏ rằng : 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 . + − + ….. + − = + + …. + 2 3 4 199 200 101 102 200 3.169. Chứng tỏ rằng : 1 1 1 1 + 2 + 2 + …… + 2 < 1( n ∈ N , n ≥ 2 ) . 2 2 3 4 n 3.170. Chứng tỏ rằng : 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + < . 4 16 36 64 100 144 196 2 3.171. Tìm số tự nhiên x, biết rằng : 1 1 1 2 2011 + + + … + = . 3 6 10 x ( x + 1) 2013 3.172. Tính : 1 1 1  1  M=  + + + ….. +  .1482 + 185.8. 37.38.39   1.2.3 2.3.4 3.4.5 3.173. Tính : 1 1 1 1 + + + ….. + 2 3 4 3000 . N= 2999 2998 2997 1 + + + …. + 1 2 3 2999 3.174. tìm tổng tất cả các phân số tối giản có mẫu bằng 31, mỗi phân số này điềm lớn hơn 25 và nhỏ hơn 70. 3.175. Tính nhanh : S =1 + 3.176. Cho : A = 1 1 1 1 . + + + ….. + 2 4 8 1024 1 1 1 1 + + + ….. + . 2 3 4 50 Hãy chứng tỏ là A không phải là số tự nhiên. 3.177.Cho đẳng thức : [51] 49 48 74 2 1 + + + ….. + + = 50 A. 1 2 3 48 19 Hãy chứng tỏ rằng A không phải là số tự nhiên. 3.178. Tính tích : 7  7   7   7  P =+ 1 1 + 1 +  ….. 1 + .  9  20  33   2900  3.179. Kí hiệu n ! = 1.2.3……n Hãy chứng tỏ rằng: 3 3 3 3 + + + …… + < 0,6. 5.2! 5.3! 5.4! 5.100! 3 3 3 3 1 b) + + + ….. + < . 4! 5! 6! 100! 3! a) 3.180. Tính :  2012  2012  2012   2012  1 + 1 + 1 +  …. 1 +  1  2  3   1000   A= .  1000  1000  1000   1000  1 + 1 + 1 +  …. 1 +  1  2  3   2012   3.181. Cho : 1 1 1 1 + + + … + . 1.2 3.4 5.6 2013.2014 1 1 1 1 = B + + + ….. + . 1008.2004 1009.2013 1010.2012 2014.1008 A= Hãy chứng tỏ rằng A là một số nguyên B [52] HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 PHÂN SỐ Chuyên đề 1. MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ PHÂN SỐ BẰNG NHAU −4 7 0 0 ; ; ; . 7 −4 −4 7 3.1. Có 4 phân số: 3.2. x ∈ Z và −12 ≤ x ≤ −8. Do đó x ∈ A =− { 12; −11; −10; −9; −8}. 3.3. Số nữ bằng 3.4. a) = x 2.56 = 16; 7 c) z = 48. ( −7 ) = −8; 42 3.5. 22 số nam. 23 −304 = −76 ; 4 b) y = = d) t −3267 = −363 ; 9 −5.36 = −4; 45 −30 ) . ( −13) (= 6 65. −1353 = 123. −11 −416 có giá trị không là số nguyên. 6 3.6. a) x < −16 nên x lớn nhất là −17. b) x < −13 nên x lớn nhất là −14. c) x < 27 nên x lớn nhất là 26. 3.7. Phân số 6 . 9 3.8. Có tất cả 16 phân số: −3 7 −3 11 −3 −13 7 11 7 −13 11 −13 0 0 0 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 7 −3 11 −3 −13 −3 11 7 −13 7 −13 11 −3 7 11 −13 3.9. Lấy −3 làm mẫu, ta viết được ba phân số là: −3 7 0 ; ; . −3 −3 −3 [73] Lấy 7 làm mẫu, ta viết được ba phân số là: −3 7 0 ; ; . 7 7 7 Số 0 không thể lấy làm mẫu của phân số. Vậy ta viết được tất cả 6 phân số. 3.10. Vì x y = nên xy = 42. 6 7 Ta lại có: x < y < 0 nên ta lập được bảng sau: x −42 −21 −14 −7 y −1 −2 −3 −6 3.11. a) x = −1 ; b) x = −3. 3.12. a) x = 0; b) x = −2. 3.13. x = −8. 3.14. a) Với mọi n ∈ Z thì n 2 + 5 > 0 nên phân số M luôn tồn tại;

3.15.

b) n = 0 thì M =

−3
;
5

n = 2 thì M =

−1
;
9

n = −5 thì M =

−8
.
30

( x − 1) − 2 =

1−

x −3
=
x −1

x −1

2
.
x −1

x−3
có giá trị là số nguyên khi x − 1 ∈ Ư ( 2 ) ={−2; −1;1;2} .
x −1

Vậy x ∈ {−1;0;2;3} .
3.16. Ta có: ( −4 ) . ( −32 ) =
( −8) .( −16 ) .
Từ đó ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau:
−4 −16 −4
−8 −32 −16 −32 −8
=
;
=
;
=
;
=
.
−8 −32 −16 −32 −8
−4 −16 −4

3.17.

Để a là số nguyên tố ta phải có ( n + 8 )( 2n − 5 ) và n ≥ 3.

[74]

Suy ra 2 ( n + 8 ) − ( 2n − 5 )( 2n − 5 ) hay 21( 2n − 5 ) .
Do đó: 2n − 5 ∈ Ư ( 21) = {1;3;7;21} (vì 2n − 5 > 0)
Ta có bảng sau:
2n − 5

1

3

7

21

n

3

4

6

13

A

11

4

2

1

Trong các giá trị trên của a chỉ có 11 và 2 là số nguyên tố. Vậy giá trị của n phải tìm
để a là số nguyên tố là=
n 3,=
n 6.
3.18. Giả sử

7n − 1
5n + 3
và
đồng thời là các số tự nhiên.
4
12

Khi đó ta có ( 7 n − 1) 4 và ( 5n + 3)12 hay ( 5n + 3) 4.
Suy ra ( 7 n − 1) + ( 5n + 3) 4 tức là (12n + 2 ) 4.
Điều này vô lí vì 12n 4 và 2 4 .
Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
3.19. Ta có 5. ( 3 + x ) = 3. ( 5 + y ) suy ra 5 x = 3 y.
Mặt khác từ x + y =
16 ta có 5 x + 5 y =
80.

(1)

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra: 8 y = 80 ⇒ y = 10. Từ đó x = 6.
3.20. Ta có 6. ( x − 7 )= 7. ( y − 6 ) suy ra 6 x = 7 y hay

6 x − 6 y = y ⇒ 6 ( x − y ) = y ⇒ 6. ( −4 ) = y ⇒ y = −24.
Từ đó suy ra x =

7 y 7. ( −24 )
=
= −28.
6
6

[75]

Chuyên đề 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
RÚT GỌN PHÂN SỐ
−13 −13.101 −1313
3.21. = =
41
41.101
4141

(1)

−13 −13.10101 −131313
= =
41
41.10101
414141

( 2)

−13 −13.1010101 −13131313
.
= =
41
41.1010101
41414141

Từ (1) ; ( 2 ) ; ( 3) ta có:
3.22.

−13 −1313 −131313 −13131313
.
= =
=
41
4141
414141
41414141

−68 −68 : 4 −17
Ta có:= =
.
76
76 : 4
19

Vậy dạng chung của phân số bằng
3.23.

−68
−17.m
là
76
19.m

( m ∈ Z, m ≠ 0 ) .

Trước hết hãy rút gọn các phân số đã cho.
Đáp số:

3.24.

( 3)

−27 −28 33
;
; .
36 36 36

−57 −57 :19 −3
Ta có:
= =
.
133 133 :19
7

Các phân số phải tìm là:

−3 −6 −9 −12
;
;
;
.
7 14 21 28

=
A
3.25.

4157 − 19
4157 − 19
1
=
= .
12471 − 57 3 ( 4157 − 19 ) 3

=
B

7
7
1
=
=
.
2
2
2
10 + 6.10 10 (1 + 6 ) 100

=
A
3.26.

B

=

31995 − 81 81. ( 395 − 1) 3
= = .
42660 − 108 108 ( 395 − 1) 4
3.5.7.11.13.37 − 10101 5.11.10101 − 10101
=
1212120 + 40404
10101.120 + 10101.4

10101. ( 5.11 − 1) 54 27
= =
.
10101. (120 + 4 ) 124 62

[76]

3.27.

3.28.

M

201220122012 :100010001 1012
=
201320132013 :100010001 2013

N

1326395265 :102030405 13
.
=
1836547290 :102030405 18

P
=

39.320.28
39.320.28 329.28
2
=
= 29 =
2=
4.
24
6
24 5 6
6
3 .243.2
3 .3 .2
3 .2

215.53.26.34
221.53.34
221.53.34
2
Q
=
= 3 18 4 =
= 5=
25.
18
21 4
8.2 .81.5 2 .2 .3 .5 2 .3 .5
3.29. T
=

24. ( 315 + 561 + 124 )
24.1000
= = 12.
(1 + 99 ) .50 − 500 2500 − 500
2

25 25 : 5 5
3.30. = =
.
35 35 : 5 7

Phân số

a 5
5
tối giản nên từ = ta suy ra a = 5.m=
và b 7.m ( m ∈ N *) .
b 7
7

Vì tích của BCNN ( a, b ) với ƯCLN ( a, b ) chính bằng a.b nên ta có:

( 5.m ) .( 7.m ) = 4235.
Từ đó:=
m2

4235
= 121. Suy ra m = 11.
35

a 5.11 55
Vậy= =
.
b 7.11 77

3.31.

Giả sử phân số

5n + 6
rút gọn được cho k ( k ∈ N , k > 1) tức là 5n + 6 và 8n + 7 cùng
8n + 7

chia hết cho k .
Do đó: 8 ( 5n + 6 ) − 5 ( 8n + 7 ) cùng chia hết cho k hay 13  k
Vì k > 1 nên k = 13.
3.32.

Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng rút gọn được cho số nguyên tố p.
Suy ra 6 ( 21n + 7 ) − 7 (18n + 3) p hay 21 p .
Vậy p ∈ {3;7} . Nhưng 21n + 7  3 nên suy ra 18n + 3 7.
Do đó 18n + 3 − 21 7 hay 18 ( n − 1) 7. Từ đó n − 1 7.

[77]

Vậy n =7 k + 1( k ∈ N ) thì phân số

18n + 3
có thể rút gọn được.
21n + 7

132639 13. (10000 + 200 + 3) 13
3.33. a)
=
=
.
183654 18 (10000 + 200 + 3) 18
b) Thêm 72 vào mẫu.
3.34.

a) Giả sử phân số

b−a
chưa tối giản. Như vậy b − a và b có ước chung là d > 1.
b

dq1 (1) và b = dq2 ( 2 ) , trong đó q1 , q2 ∈ N và q2 > q1.
Ta có b − a =
=
a d ( q2 − q1 ) nghĩa là a cũng có ước là d .
Từ (1) và ( 2 ) suy ra
Như vậy a và b có ước chung là d > 1 trái với giả thiết
Vậy nếu

a
b−a
tối giản thì
cũng tối giản.
b
b

b) Làm tương tự câu a) phân số
3.35.

a
là phân số tối giản.
b

a
cũng tối giản.
a+b

a) 35 − 5.7. vậy a = 5 hoặc a = 7.

a
< 1 nên a là số tự nhiên nhỏ hơn 35 trừ các giá trị là bội khác 0 của 5 hoặc của 35 7.Do đó: b) M = {0;1;2;3;4;6;8;9;11;12;13;16;17;18;19;22;23;24;26;27;29;31;32;33;34} . 3.36. BCNN (12; 18; 75 ) = 900. Phân số đó là 3.37. 1 45 mà tối giản là . 20 900 Ta chứng tỏ rằng tử và mẫu của các phân số này chỉ có ước cgunng là 1. a) Gọi d là ước chung của 12n + 1 và 30n + 2 . 1 d Ta có: 5 (12n + 1) − 2 ( 30n + 2 ) = Vậy d = 1 nên phân số 12n + 1 tối giản. 30n + 2 b) Làm tương tự câu a). 3.38. a) Phân số n+9 có giá trị là số tự nhiên khi ( n + 9 )( n − 6 ) . n−6 [78] Ta có ( n + 9 ) − ( n − 6 )( n − 6 ) hay 15( n − 6 ) . Ta có bảng sau: n−6 1 3 5 15 n 7 9 11 21 Vậy khi n ∈ {7;9;11;21} thì phân số n+9 có giá trị là số tự nhiên. n−6 b) n − 6  3 và n − 6  5. Vậy n ≠ 3k và n ≠ 5k + 1. 3.39. Các phân số đã cho đều có dạng a . a + ( n + 2) Vì các phân số này dều tối giản nên n + 2 và a phải nguyên tố cùng nhau. Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với các số 7,8,9,…31 và n + 2 là số nhỏ nhất. Vậy n + 2 phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 31, tức là n + 2 = 37 , do đó số n cần phải tìm là 35. 3.40. Rút gọn các phân số đã cho: 6 3 44 4 30 6 = ; = ; = . 10 5 77 7 35 11 Vì các phân số 3 4 6 3m 4n tối giản nên các phân số phải tìm có dạng , , , , 5 7 11 5m 7 n 6p ( m, n, p ∈ N *) . 11 p Theo đề bài ta có = 5m 4= n, 7 n 6 p. Suy ra 4n5, 7 n 6 và do ƯCLN ( 4;5 ) = 1, ƯCLN ( 7;6 ) = 1 nên n5 và n 6. = n 30k ( k ∈ N *) , ta có: Vậy n = 30. Đặt = m 7 n 7.30k 4n 4.30k p = = 35k ; = = 24k ; = 6 6 5 5 Vậy các phân số phải tìm là: 6.35k 210k 3m 3.24k 72k 4n 4.30k 120k 6 p = = . = = ; = = ; 5m 5.24k 120k 7 n 7.30k 210k 11 p 11.35k 385k [79] Chuyên đề 3. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ. SO SÁNH PHÂN SỐ 3.41. 3.42. 3.43. a) −21 8 và ; 36 36 b) −32 35 và ; 60 60 c) 18 −10 27 và ; ; 30 30 30 d) 6 −30 9 ; ; . 75 75 75 a) −9 −13 và ; 40 40 b) 14 −30 và ; 125 125 c) 44 −54 21 ; và ; 120 120 120 d) −64 39 −70 và . ; 180 180 180 Chú ý rút gọn các phân số trước khi quy đồng. a) 4 −6 −11 ; ; ; 12 12 12 b) 1078 14 = ; −2541 −33 Đáp số: 3.44. 3.45. 9764 4 = ; 36615 15 −56272 −16 = . 263775 75 −350 220 −176 ; ; . 825 825 825 a) 45 3 84 4 45 84 = ; =⇒ < . 105 7 105 7 105 105 b) 39 98 39 3 98 7 3 6 7 < . = ; = ; = < ⇒ 52 112 52 4 112 8 4 8 8 c) 132 101 137 101 < 1; >1⇒
< . 210 98 210 98 a) 13 19 − 6 6 47 53 − 6 6 = = 1− ; = = 1− . 19 19 19 53 53 53 Vì 13 47 6 6 suy ra < . >
19 53
19 53

31 186 186
b) =
>
.
40 240 241

c)

33
33 1
>
=
131 132 4

53
53 1
< = 217 212 4 (1) ( 2) [80] Từ (1) và ( 2 ) suy ra 33 53 >
.
131 217

41 410 910 − 500
500
=
=
= 1−
91 910
910
910

d)

(1)

411 911 − 500
500
=
= 1−
911
911
911

3.46.

( 2)

Vì

500 500
41 411
nên từ (1) và ( 2 ) suy ra
>
< . 910 911 91 911 a) −9764 −4 −56272 −16 −4 −20 −16 < . = ;= = ; 75 75 36615 15 263775 75 15 Vậy −9764 −56272 < . 36615 263775 b) Hai phân số bằng nhau và cùng bằng 6 . 7 46872 62 688882 62 = ; = . 165564 219 2422198 218 c) Vì = A 3.47. Vì 46872 688882 62 62 nên < . < 165564 2422198 219 218 101. ( 29 − 3) 2489 − 36 1 26 1 = ;= B = = . 3. ( 2489 − 36 ) 3 101. ( 87 + 17 ) 104 4 1 1 > nên A > B.
3 4

8056
4.2014
4.2014
=
=
2012.16 − 1982 2012.15 + 2012 − 1982 2012.15 + 30

3.48. A
=

4.2014
4
=
.
15. ( 2012 + 2 ) 15

=

B

2. (1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21) 2
= .
9. (1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21) 9

(1)
( 2)

2 4
4
Ta có: =
nên từ (1) và ( 2 ) suy ra A > B.
< 9 18 15 3.49. a) −371 −371 −371 −371 <0< ⇒ < . 459 −459 459 −459 [81] b) −29 −73 >
=
−1.
73
73

(1)

−80 −49
< = −1. 49 49 ( 2) Từ (1) và ( 2 ) suy ra 3.50. −29 −80 >
.
73
49

a −26 −2
−2k , b =
5k ( k ∈ Z , k ≠ 0 ) .
Ta có= =
nên a =
b
65
5

Do 2 < b < 21 nên 2 < 5k < 21 suy ra k ∈ {1;2; 3; 4} . Các phân số phải viết là: 3.51. a) −2 −4 −6 −8 ; ; ; . 5 10 15 20 3 3 x ≥ 1 ⇒ ≥ ⇒ x ≤ 3 ⇒ x ∈ {1; 2;3} . x x x b) 1 < 4 x 4 2x ≤2⇒ < ≤ ⇒ x < 4 ≤ 2 x ⇒ 2 ≤ x < 4 ⇒ x ∈ {2;3} . x x x x 6 x 13 18 x 2 39 < < ⇒ 18 < x 2 < 39 ⇒ x 2 ∈ {25;36} c) < < ⇒ x 3 x 3x 3x 3x ⇒ x ∈ {5;6} (vì x > 0).
3.52.

a 13
Giá trị lớn nhất của
=
(b ≠ 0).
b 15

Giá trị nhỏ nhất của
3.53.

a 7
= .
b 41

2a − 3
có mẫu số là không đổi nên giá trị của nó nhỏ nhất khi và chỉ
4
khi tử của nó nhỏ nhất.

a) Phân số dương

Vì a ∈ N và 2a − 3 ∈ N nên tử 2a − 3 có giá trị nhỏ nhất là 1 khi a = 2.
Vậy phân số dương

2a − 3
1
có giá trị nhỏ nhất là khi a = 2.
4
4

5
có tử là một số không đổi nên giá trịc ủa nó lớn nhất khi và
3a − 7
chỉ khi mẫu có giá trị nhỏ nhất.

b) Phân số dương

Vì a ∈ N và 3a − 7 ∈ N * nên mẫu 3a − 7 có giá trị nhỏ nhất là 2 khi a = 3.

[82]

Vậy phân số dương
3.54.

5
5
có giá trị lớn nhất là khi a = 3.
3a − 7
2

a) Phân số phải tìm có dạng:
Ta có

3
( x ∈ N *) .
x

1 3 1
x
< < . Suy ra 8 > > 7 hay 24 > x > 21.
8 x 7
3

Vậy x ∈ {22;23} . Các phân số phải tìm là

3 3
; .
22 23

b) Làm tương tự câu a).
Có tất cả 999 phân số.
3.55.

a) Điều kiện x ≠ 99.
Nếu x < 99 thì x − 99 < 0, do đó A < 0. Nếu x > 99 thì x − 99 > 0. Vì x ∈ Z nên x − 99 ≥ 1.
Do =
đó A

2012
≤ 2012.
x − 99

A = 2012 khi x − 99 =
1 hay x = 100.

Vậy với x = 100 thì A có giá trị lớn nhất là 2012.
b) Điều kiện x ≠ 99.
Nếu x > 99 thì x − 99 > 0, do đó A > 0.
Nếu x < 99 thì 99 − x > 0.
Vì a ∈ Z nên 99 − x ≥ 1.
Do đó

2012
2012
≤ 2012 nên
≥ −2012 hay A ≥ −2012.
99 − x
x − 99

A = −2012 khi 99 − x =
1 hay x = 98.

Vậy với x = 98 thì A có giá trị nhỏ nhất là −2012.
3.56.

Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng

3.57.

Gọi phân số phải tìm là
Ta có

2m
( m ∈ Z , m ≠ 0).
7m

a
( a, b ∈ N , a < b và 1 < b ≤ 9) . b 7 a 8 < < hay 7b < 9a < 8b. Từ đó tìm được các giá trị thích hợp của a và b. 9 b 9 [83] Có tất cả bốn phân số 3.58. Từ 4 5 6 7 ; ; ; . 5 6 7 8 9 a b 12 9 7 a 8b 26 suy ra < < < < < < . 56 8 7 28 56 56 56 56 a 2,= b 2;= a 2.= b 3; = a 3,= b 3. Từ đó ta tìm được= 3.59. a) Ta có: 37 47 − 10 10 = = 1− 47 47 47 56 66 − 10 10 = = 1− 66 66 66 Vì ( 2) 10 10 37 56 nên từ (1) và ( 2 ) suy ra >
< . 47 66 47 66 Do đó −37 −56 >
.
47
66

b) Làm tương tự câu a) ta có:
3.60.

(1)

−29 −13
< . 38 22 a) Giả sử bớt đi các số x và y lần lượt ở tử và mẫu của phân số phân số: a mà không thay đổi b a−x a = . b− y b Ta có: b ( a − x ) = a ( b − y ) , hay ab − bx = ab − ay. Suy ra bx = ay x a = . y b Vậy muốn phân số không thay đổi ta chỉ được trừ đi ở tử và mẫu các số x và y sao cho x a = . y b b)= A 1 + 2 + 3 + … + 9 45 1 = = . 11 + 12 + 13 + … + 19 135 3 Theo câu a) ta chỉ được xóa đi ở tử và mẫu các số x, y sao cho x 1 = . y 3 Đó là các số 5 ở tử và 15 ở mẫu, số 4 ở tử và số 12 ở mẫu, số 6 ở tử và số 18 ở mẫu. [84] Chuyên đề 4. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ 3.61. 6 2 5 2 1 4 1 5 a)  + +  +  +  =1 + =1 + = . 9 3 3 7 7 7 9 9 b) 3.62. 3.63. 2 4 5 20 74 12 5 20 111 + + + = + + + = = 1. 3 37 111 111 111 111 111 111 111 1 1 1 9 3 (công việc) + + = = 4 3 6 12 4 a) Có thể viết như sau: 7 1+ 6 1 6 1 2 = = + = + ; 15 15 15 15 15 5 7 2+5 2 5 2 1 = = + = + ; 15 15 15 15 15 3 7 3+ 4 3 4 1 4 = = + = + . 15 15 15 15 5 15 b) 13 1 + 12 1 12 1 4 = = + = + ; 27 27 27 27 27 9 13 3 + 10 3 10 1 10 = = + = + ; 27 27 27 27 9 27 13 4 + 9 4 9 4 1 = = + = + ; 27 27 27 27 27 3 13 6 + 7 6 7 2 7 = = + = + . 27 27 27 27 9 27 3.65. Có nhiều cách lập. Sau đây là một số cách: 1 3845 1 4845 35 148 31 485 13 485 + = + = + = + = + 2 7690 2 9670 70 296 62 970 26 970 15 486 38 145 45 138 48 135 = + = + = + = + =1. 30 972 76 290 90 276 96 270 3.66. Ta rút gọn các phân số: S= 1 2 1 −3 −3 −4 + − − + − 4 3 2 8 5 15  1 1 3   2 3 4  1 1 11 =  − + + − +  = + = .  4 2 8   3 5 15  8 3 24 3.67. a) Sau khi rút gọn các số hạng, ta được: [85] A= −4 6 −2 1  −4 −2   6 1  −2 1 + + + = + +1 = . + +  = 15 7 5 7  15 5   7 7  3 3 b) Ta có: 40404 4.10101 4 = = ; 70707 7.10101 7 244.395 − 151 = 244 + 395.243 243 + 1) .395 − 151 (= 244 + 395.243 = 243.395 + ( 395 − 151) 244 + 395.243 243.395 + 244 = 1. 243.395 + 244 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 1.3.5. (1.1.1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7 ) 3 = = . 1.5.7 + 2.10.14 + 4.20.28 + 7.35.49 1.5.7. (1.1.1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7 ) 7 Vậy B = 3.68. 4 3 4 3 + 1 + =  +  + 1 = 1 + 1 = 2. 7 7 7 7 Trong tổng S có duy nhất một phân số có mẫu chứa thừa số 3 với số mũy cao nhất là 1 1 4. Đó là phân số = 4. 81 3 Khi quy đồng, mẫu chung là một số chia hết cho 3, các thừa số phụ đều chia hết cho 3 1 trừ thừa số phụ của phân số . Do đó, tổng các tử mới không chia hết cho 3. Do đó 81 S không phải là số tự nhiên. 3.69. a 1 1 1 1 1 = + + + … + + b 3 4 5 9 10 1 1  1 1 1 1 1 1 =  + + + + + + +   3 10   4 9   5 8   6 7  = 13 13 13 13 13. ( 84 + 70 + 63 + 60 ) 13.277 + + + = = . 30 36 40 42 2520 2520 Phân số 13.277 tối giản nên a = 13.277 m ( m ∈ N *) . 2520 Vậy a chia hết cho 13. 3.70. a a′ + = n trong đó a và b nguyên tố cùng nhau; a′ và b′ nguyên tố cùng b b′ nhau, a ∈ N . Ta có [86] Suy ra: ab′ + a′b =n ⇔ ab′ + a′b =nbb′. bb′ (1) Từ (1) ta có ( ab′ + a′b )b mà a′bb nên ab′b nhưng a và b nguyên tố cùng nhau, Suy ra b′b. ( 2) Tương tự, ta cũng có bb′. ( 3) Từ ( 2 ) và ( 3) suy ra b = b′. 3.71. a) Ta có: 1 3 1+ 2 1 2 1 1 = = = + = + . 8 24 24 24 24 24 12 b) Gọi hai phân số phải tìm là Ta có: 1 1 và x y ( x, y ∈ N *, x ≠ y ) . 1 1 1 + =. x y 8 (1) Không mất tính tổng quát, ta giả sử x < y . Từ (1) suy ra 1 1 < hay x > 8.
x 8

Lại do x < y nên Do đó ( 2). 1 1 1 1 1 1 2 1 > suy ra + > + hay > .
x 8
x y
x x x y

1 1
hay x < 16 . >
x 16

( 3)

Từ ( 2 ) và ( 3) ta có 8 < x < 16 Thay các giá trị của x lần lượt bằng 9,10,11,12,13,14,15 vào (1) ta tìm được ba trường hợp cho y là số tự nhiên: = x 9,= y 72 = x 10, = y 40 = x 12, = y 24 Vậy có tất cả ba cách viết: 1 1 1 ; = + 8 9 72 1 1 1 ; = + 8 10 40 1 1 1 . = + 8 12 24 3.72. Làm tương tự bài 3.71 ,ta có tất cả bốn cách viết: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; = ; = ; = . = + + + + 10 11 110 10 12 60 10 14 35 10 15 30 [87] 3.73. Từ 2 x 2 3x − 2 x 2 2 . − = ta có = − = y 5 15 15 5 y 15 30 . Vì x ∈ N * nên 3 x − 2 ∈ N * .Do đó 3 x − 2 là ước của 30 , hơn Suy ra y ( 3 x − 2 ) = nữa 3 x − 2 lại chia cho 3 dư 1. Như vậy chỉ có thể có 3 x − 2 = 1 hoặc 3 x − 2 = 10 . Từ đó tìm được= x 1,= y 30;= x 4,= y 3. −5 ; 8 3.74. a) 1 ; 812 b) 3.75. a) 25 ; 28 b) 1 3.76. = A = c) 2 . 15 c) 17 . 6−5 7−6 8−7 25 − 24 + + + … + 5.6 6.7 7.8 24.25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 . − + − + − + … + − = − = 5 6 6 7 7 8 24 25 5 25 25 B= = 5 − 3 8 − 5 19 − 8 32 − 19 57 − 32 87 − 57 + + + + + 3.5 5.8 8.19 19.32 32.57 57.87 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + − 3 5 5 8 8 19 19 32 32 57 57 87 1 1 28 = − = . 3 87 87 10 8 11 10 9 11 30 3.77. A = A = + + < + + = =2 . 17 15 16 15 15 15 15 1 1 1 1   1 1 1 1  3.78. B =B = +  + +  +  + + +  3  16 19 21   61 72 83 94  < 1 1 1 1  1 1 1 1  + + + + + + +  3  15 15 15   60 60 60 60  = 1 3 4 1 1 1 9 3 + + = + + = = . 3 15 60 3 5 15 15 5 Vậy B < 3.79. C = 3 . 5 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + … + >
+
+
+ … +
20 21 22
20 
200 200 
200
200

181

[88]

=

181 180 9
.
>
=
200 200 10

Vậy C >

9
.
10

3.80. a) Nếu a = b thì

a b a a
+ = + =1 + 1 =2 .
b a a a

– Nếu a > b thì có thể đặt a =
b + m(m ∈ N* ) .
Ta có :
a b b+m
b
b m
b
+ =
+
= + +
b a
b
b+m b b b+m

m
b
m
b
m+b
=
1+ +
> 1+
+
=
1+
=
2 .
b b+m
b+m b+m
b+m

–

Nếu a < b thì xét tương tự như trên ta cũng có Vậy a b + >2 .
b a

a b
+ ≥ 2 với mọi a, b ∈ N * .
b a

1 1
1 1 1 1
b) Ta có ( a + b )  +  = a  +  + b  + 
a b
a b a b
a a b b
a b
= + + + = 2 +  +  ≥ 2 + 2 = 4 ( theo câu a).
a b a b
b a

CHUYÊN ĐỀ 5: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ
−3
 −1 3 
3.81. A =  .  . ( −12 ) =
. ( −12 ) = 3 .
12
 6 2
25
5 5
B = .  . ( −56 ) . ( −4 ) = . ( −56 ) . ( −4 ) =( −25 ) . ( −4 ) =100 .
56
8 7
−11
 4 7  3
 −11
3.82. C =
=
1. ( −12 ) .
=
11 .
 .  .  . ( −20 )  .
12
 7 4  5
 12
=
D

7  5 8 39  7 −26 −14
.
. + − =
. =

13  19 19 19  13 19
19

[89]

−1 141 39 −1 −1  141 39  −1
−1
3.83. M =.
− . =. 
−  = ( 47 − 13) =.34 =
−2 .
17 3
3 17 17  3
3  17
17
−9 13 −9 19 −9  13 19  −9 32
N =. + . =.  +  =. =
−6 .
16 3 16 3 16  3 3  16 3

3.84.

14 14 15 16 17 18
;
= . . . .
19 15 16 17 18 19

14 −14 −15 −16 −17 −18
.
=
.
.
.
.
19 −15 −16 −17 −18 −19

6 1.6 2.3
. Ta có các cách viết sau:
3.85. = =
35 5.7 5.7

6 1 6 1 7
6 6 1 6 5
= =
.
: ; = =
.
: ;
35 5 7 5 6
35 7 5 7 1
6 1 6 1 5
6 6 1 6 7
= =
.
: ; = =
.
: ;
35 7 5 7 6
35 5 7 5 1

6 2 3 2 7
6 3 2 3 5
= =
.
: ; = =
.
: ;
35 5 7 5 3
35 7 5 7 2
6 2 3 2 5
6 3 2 3 7
= =
.
: ; = =
.
: ;
35 7 5 7 3
35 5 7 5 2

3.86. A

1 
1 1 1
2.  + + −

7 5 17 293  2

.
=
1  3
1 1 1
3.  + + −

 7 5 17 293 

7 5 
 + − 1 .12 7 + 10 − 12 5
1
12 6 
.
=
B 
=
= =
3 1
60 − 9 + 4 55 11

 5 − +  .12
4 3


3.87. C

D

4
4
4 
 4
+
− 
 −
2
 23 25 27 29 
.
=
4
4
4  3
 4
+
− 
3.  −
 23 25 27 29 
3
3 
3 3
5 − − + 
 8 16 32 64  5 .
=
3
3  8
3 3
8.  − − + 
 8 16 32 64 

3.88. Gọi hai số là x và y. Ta có x + y =
2 và xy = 3 .

[90]

Do đó :
3.89. Ta có

1 1 x+ y 2
.
+=
=
x y
xy
3
1
1
1
1
1
+
+ … +
> .10 = .
21 22
30 30
3

1
1
1
1
1
2
+
+ … +
> .30 > .24 = .
31 32
60 60
30
5

Do đó

1
1
1 1 2 11
+
+ … +
> + = .
21 22
60 3 5 15

Mặt khác

(1)

1
1
1
1
+
+ … +
< .20 = 1. 21 22 40 20 1 1 1 1 1 + + … + < .20 = . 41 42 60 40 2 Do đó 1 1 1 1 3 + + … + < 1+ = 21 22 60 2 2 ( 2) Từ (1) và ( 2 ) ta suy ra điều phải chứng minh. 3.90. Đặt S =1 + 1 1 1 . + + … + 2 3 63 Một mặt, ta có thể viết: 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = 1 +  +  +  +  + + +  +  + + … +  16   2   3 4   5 6 7 8   9 10 1   1 1 1 1  1  1 1 +  + + … +  +  + + … + +  − 32   33 34 63 64  64  17 18 1 1 1 1 1 1 1 > .2 + .2 + .4 + .8 + .16 + .32 −
2
4
8
16
32
64
64
7 1 223 192
= −
=
>
=3 .
2 64 64
64

(1)

.

Mặt khác, ta lại có:
1
1 1 1 1 1 1 1 1
S =1 +  +  +  + + +  +  + + … + 
15 
 2 3  4 5 6 7  8 9
1  1
1
1 
1 1
+  + + … +  +  + + … + 
31   32 33
63 
 16 17

[91]

1
1
1
1
1
< 1 + .2 + .4 + .8 + .16 + .32 = 6. 2 4 8 16 32 ( 2) Từ (1) và ( 2 ) ta kết luận 3 < S < 6 . 2 4 6 9998 10000 3.91. Đặt A’ = . . … . . 3 5 7 9999 10000 1 Rõ ràng A < A’ . Suy ra A2 < AA ‘ = nên A < 0,01 . 100 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3…99 3.4.5…101 1 101 101 . = . . … . = = . 2.2 3.3 4.4 100.100 2.3.4…100 2.3.4…100 100 2 200 3.92. A 2  2  2   2   B= 1 −  .1 −  .1 −  … 1 −   6.7   7.8   8.9   51.52  = = C 3.93. A = = B 5.8 6.9 7.10 50.53 5.6.7…50 8.9.10…53 5 53 265 . . … = . = = . 6.7 7.8 8.9 51.52 6.7.8…51 7.8.9…52 51 7 367 22 33 43 1003 2.3.4…100 2.3.4…100 100 2 200 . . …= . 3.4.5…101 = = . . 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3…99 1 101 101 1 2 3 4 5 6 1 = . . . . . 2 3 4 5 6 7 7 1.2.3.4.5.6 3.4.5.6.7.8 1 8 4 . = = . 2.3.4.5.6.7 2.34.5.6.7 7 2 7 = C 3 4 5 6 7 8 = . . . . . 4. 2 3 4 5 6 7 3.94. M = 3 8 15 224 1.3 2.4 3.5 14.16 1.2.3…14 3.4.5…16 1 16 8 . = . . … . . … = . = = . 4 9 16 225 2.2 3.3 4.4 15.15 2.3.4…15 2.3.4…15 15 2 15 3.95. Có thể viết như sau: 1 8 3 + 2 +1 3 2 1 1 1 1 . = = = + + = + + 2 12 12 12 12 12 4 6 12 1 21 14 + 6 + 1 14 6 1 1 1 1 . = = = + + = + + 2 42 42 42 42 42 3 7 42 1 3.96. a) ( 5 − 3) : ( 5 + 3) = . 4 [92]  16 13   16 13  77 b)  +  :  −  =.  17 68   17 68  51  12 21  81 81 13 1 3.97. a)  +  : = . = .  13 65  13 65 81 5 b) 39.210 28.38  55.24 26.34  3.22 3 : 4 4 . 4 = = . 4  2 5 .2 2 .3 5.2 5   3.98. Nếu làm riêng thì số ngày đội I , đội II, đội III phải làm để xong công việc theo thứ tự là 70,5 ; 94 và 117.5 ngày. 3.99. Thời gian mỗi vòi I, II, III chảy một mình đầy bể theo thứ tự là 12 giờ, 18 giờ và 24 giờ. 3.100. Gọi phân số tối giản phải tìm là a ta có: b 154 a 231 a 385 a : ∈N , : ∈N . : ∈N , 195 b 130 b 156 b Suy ra 154 a, b195 385 a, b156 231 a, b130 Như vậy, a là ước chung của 154; 385; 231. b là bội chung của 195; 156; 130. Để a lá phân số lớn nhất thì a phải lớn nhất và b nhỏ nhất. b = = Do đó : a UCLN (154,385, 231) 77 = b BCNN = (195,156,130 ) 780 . Vậy phân số phải tìm là 3.101. Phân số phải tìm là 77 . 780 700 . 33 [93] CHUYÊN ĐỀ 6 HỖN SỐ. SỐ THẬP PHÂN. PHẦN TRĂM. 3.102. a) 6 3.103. a) 1 ; 3 b) −6 17 ; 2 1 ; 4 b) − c) −4 39 ; 4 1 ; 9 c) − d) −10 38 ; 3 d) b) 3, 25 = 325% ; c) 3.105. a) 0,07 ; b) 0, 49 ; c) 2, 47 . 3.107. a) 7 ; 5 5 ; 8 b) Số 0 không có số nghịch đảo; b) 7 103 . 14 329 7 = = 1,75= 175% . 188 4 3.104. a) 0,35 = 35% ; 3.106. a) − 4 . 13 c) 8 . 43 1 ; 39 2  15 15 17 15 2  2 3.108. a) 17 − 6  − =11 − =10 − =10 31  17 17 17 17 17  31 6 9 6 9 b) ( 31 + 5 − 36 ) +  + −  =  13 41 13  41 51  1 1 1  51 c)  27 − 7  + = 20 + = 20 . 59  3 3 3  59 28   7 1 1 39  29 d) 17 − 2  +  4 − 3 = .  15 + = 15 31   8 31 8 248  31 107 107 2  13   120 13  3.109. Cách 1: 5.  8 −  = 5.  −  = 5. = = 35 . 15 3 3  15   15 15  2 107 2  13   15 13  Cách 2: 5.  8 −  = 5.  7 −  = 5.7 = = 35 15 3 3  15   15 15  13 1 3 1 2  13  Cách 3: 5.  8 −  = 40 − = 40 − 4 =39 − 4 =35 . 3 3 3 3 3  15  3.110. A = 4200 ; 3.111. = A B=7 ; C = 32 11 . 15 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 . . . . . . . .= = 4. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 [94] −13 −14 −15 −16 −17 −18 18 3 1 . . . . . = = = 1 . 12 13 14 15 16 17 12 2 2 B= 3.112. a) x = 4 ; 11 x =1 1 . 19 1 3.113. a) 2 ; 2 b) 12 ; c) 4 ; 15 d) 3 4 . 15 16 1 36 1 1 1 1 1 16 36 . 3.114. a) = 5 ; = 5 ; > ⇒ 5 > 5 hay
>
3
3 7
7 3 7
3
7
3
7

b)

81
1
;
=4
20
20

Do đó

85
1
1
1
1
1
81 85
;
.
=4
>
⇒4
>4 ⇒
>
21
21
20 21
20
21
20 21

−81 −85
.
< 20 21 = A 3.115. 10010 + 1 2 = 1 10 10 100 − 1 100 − 1 (1) = B 10010 − 1 2 = 1 10 10 100 − 3 100 − 3 ( 2) Vì 3.116. 2 2 nên từ (1) và ( 2 ) suy ra A < B . < 10 100 − 1 100 − 3 10 255 438 2 3 nên 11 < n < 15 .
8 17
8 17

Cách 5: (Nhân chéo):
Ta có : 5.17 = 85 ;
Vì 5.17 < 8.14 nên 8.14 = 112 ; 85 < 112 5 14 < . 8 17 Cách 6. (Viết phân số dưới dạng số thập phân) [102] 5 14 Ta có: = 0,625; ≈ 0,824 6 17 Vì 0,625 < 0,824 nên 5 14 < 8 17 Cách 7 ( áp dụng tính chất của phân số nhỏ hơn 1) 5 5 5+9 5 14 hay < < 1 nên < 8 8 8+9 8 17 Vì Cách 8.(áp dụng tính chất: nếu Ta có Vậy 3.144. a ) a c a a+c c < thì < < ) b d b b+d d 5 9 5 5+9 9 < nên suy ra < < 8 9 8 8+9 9 5 14 < 8 17 −16 −24 >
;
121 133

b)

12 24 112
< < 35 49 217 3.145. Theo quy tắc so sánh các phân số có cùng tử dương, ta có : a a a < < (1) a+b+c+d a+b+c a+c b b b < < (2) a+b+c+d d +b+c d +b c c c < < (3) a+b+c+d a+d +c a+c d d d < < (4) a+b+c+d a+b+d d +b Cộng (1), (2), (3), (4) theo từng vế ta được: = 1 a+b+c+d a b c d a+c b+d < + + + < += 2 a+b+c+d a+b+c d +b+c a+d +c a+b+d a+c b+d 3.146. a) 49 49 47 n n+5 n+5 >
>
; b)
< < 56 58 58 n+7 n+7 n+6 3.147. a) 47 48 − 1 1 = = 1− ; 48 48 48 b) 68 69 − 1 1 = = 1− 69 69 69 [103] Vì 1 1 47 67 nên >
< 48 69 48 69 Vậy −47 −68 >
48
69

b)

27 270 730 − 460
460 271
460
=
= =
1−
;
=
1−
73 730
730
730 731
731

Vì

460 460
27 271
nên
>
< 730 731 73 731 3.148. rút gọn rồi so sánh phần bù đến đơn vị của các phân số đó, ta có: 7 66 555 4444 33333 >
>
>
>
8 77 666 5555 44444
31
3 35
3 3 3
3
3
31 35
3.149. a)
= 4=
:
4 : > nên 4 > 4 . Vậy
>
7
7 8
8 7 8
7
8
7
8

b)

Vì 1

2
2
Cách
1. A 1=
=
; B 1 10
10
8 −1
8 −3
2
2
nên A < B < 10 8 −1 8 − 3 10 810 − 1 810 − 1 + 2 810 + 1 >
= =
A
Cách 2. B > 1 nên B =
810 − 3 810 − 3 + 2 810 − 1
Vậy A < B 3.150. Viết các phân số dưới dạng hỗn số rồi so sánh: 768 588 245 513 < < < 697 533 221 255 3.151. Viết A và B dưới dạng hỗn số rồi so sánh: ta có A< B 10016 + 1 = C < 1 nên ta có: 3.152. 10017 + 1 = C 10016 + 1 (10016 + 1) + 99 < 10017 + 1 (10017 + 1) + 99 10016 + 100 = 10017 + 100 [104] 100.(10015 + 1) = 100.(10016 + 1) 10015 + 1 = = D 10016 + 1 Vậy C < D 3.153. a) Vì b) Vì 497 497 497 + 319 816 > 1 nên
>
=
496
496 496 + 319 815

497 816
−497 −816
nên
>
< 496 815 496 815 2011 2011 2011 + 1 2012 < 1 nên < = 2012 2012 2012 + 1 2013 2011 2012 −2011 −2012 nên < >
2012 2013
2012
2013

3.154.

3 30 30 + 1 31
3 31
=
< = ⇒ < (1) 7 70 70 + 1 71 7 71 31 310 310 + 1 311 31 311 = < = ⇒ < (2) 71 710 710 + 1 711 71 711 311 3110 3110 + 2 3112 311 3112 = < = ⇒ < (3) 711 7110 7110 + 2 7112 711 7112 Từ (1), (2), (3) suy ra: 3.155. Cách 1. 3112 311 31 3 >
>
>
7112 711 71 7

n
(n + 2) − 2
2
=
= 1−
(1)
n+2
n+2
n+2

n + 3 (n + 5) − 2
2
=
= 1−
(2)
n+5
n+5
n+2

Vì

2
2
n
n+3
nên từ (1) và (2) suy ra:
>
< n+2 n+5 n+2 n+5 Cách 2. n n+3 n+3 n < = < 1 nên n +1 n + 1 (n + 2) − 3 n + 5 3.156. Ta có: a a a+a < < (1) a+b+c b+c a+b+c [105] b b b+b < < (2) a+b+c a+c a+b+c c c c+c < < (3) a+b+c b+a a+b+c Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta được: = 1 a+b+c a b c 2(a + b + c) < + + < = 2 a+b+c b+c a+c a+b a+b+c 3.157. Áp dụng tính chất : nếu a c a a+c c < thì < < ta tìm được: b d b b+d d 1 3 2 3 4 1 5 4 3 5 2 < < < < < < < < < < 3 8 5 7 9 2 9 7 5 8 3 3.158. Cách 1 ta có: n n >
(1)
n + 1 2n + 3

n +1
n +1
>
(2)
n + 2 2n + 3

Cộng theo từng vế (1) và (2) ta được:
A=

n
n + 1 2n + 1
+
>
=B
n + 1 n + 2 2n + 3

Vậy A > B
Cách 2. A =

n
n +1
n
n + 1 2n + 1 2n + 1
+
>
+
=
>
=B
n + 1 n + 2 n + 2 n + 2 n + 2 2n + 3

Vậy A > B
3.159. A =

2 −1 3 − 2 4 − 3
50 − 49
+
+
+ …. +
1.2
2.3
3.4
49.50

=1 −

1 1 1 1 1
1
1
+ − + − + … +
−
2 2 3 3 4
49 50

=−
1

1
<1 50 B= (1) 1 1 1 1 1 1 1 + ( + + … + + )> +
.90 = 1 (2)
10 11 12
99 100 10 100

[106]

Từ (1) và (2) ta có A < 1, B > 1 nên A < B 3.160. S = a b c + + b+c c+a a+b = (a + b + c) − (b + c) (a + b + c) − (a + c) (a + b + c) − (b + a ) + + b+c a+c b+a = 7 − (b + c) 7 − (c + a ) 7 − (a + b) + + b+c c+a a+b = 7.( = 7. = 1 1 1 )−3 + + b+c c+a a+b 7 −3 10 49 19 − 3= 10 10 S= 19 19 8 >
=1
10 11 11

[107]

Chuyên đề nâng cao 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
3.161. S =

2011
2012

3.162. T =

75
151

3.163. A =

202
607

3.164. S = 2 S − A = 2
3.165. A =2 A − A =1 −

1
2

2011

<1 1 1 1 3.166. A =− (1 ).(1 − )…(1 − ) 3 6 5050 2 5 5049 4 10 10098 1.4 2.5 99.102 . … .= … . … = 3 6 5050 6 12 10100 2.3 3.4 100.101 = 1.2…98.99 4.5…102 1 102 = . . 2.3…99.100 3.4…101 100 3 102 17 = 300 50 Vậy= A 3.167. Vế trái có thể viết như sau: 1 2 2 2 2 ( + + + … + ) 2 1.3 3.5 5.7 (2 n + 1).(2 n + 3) = = = 1 1 1 1 1 .(1 − + − + … − ) 2 3 3 5 2n + 3 1 1 .(1 − ) 2 2n + 3 n +1 2n + 3 3.168. Ta có: 1− 1 1 1 1 1 + − + … + − 2 3 4 199 200 [108] =1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + … + − − 2( + + … + ) 2 3 4 199 200 2 4 200 =1 + 1 1 1 1 1 1 + + + … + − (1 + + … + ) 2 3 4 200 2 100 1 1 1 + + … + 101 102 200 = 3.169. 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + …. + 2 < + + + … + 2 2 3 4 n 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n =1 − 3.170. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + + … + − =1 − < 1 2 2 3 3 4 4 n −1 n n 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 4 16 36 64 100 144 196 1 1 1 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2 2 4 6 8 10 12 13 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) < (1 + 1) = 4 2 3 4 5 6 7 4 2 (Theo bài 3.169.) 3.171. Viết vế trái dưới dạng: 2 2 2 2 + + + … + 2.3 4.3 4.5 x.(x + 1) Đáp số: x = 2012 3.172. Đặt: = S 1 1 1 1 + + + … + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 Áp dụng công thức: Ta tính được S =  1 1 1 1 = −  n.(n + 1).(n + 2) 2  n.(n + 1) (n + 1).(n + 2)  185 741 Từ đó tìm được đáp số: M = 1850 3.173. Viết biểu thức dưới dạng: ( 2998 2997 1 3000 + 1) + ( + 1) + ( + 1) + 2 3 2999 3000 [109] 1 1 1 1 1 = 3000.( + + + … + + ) 2 3 4 2999 3000 Từ đó ta có đáp số N = 1 3000 3.174. Tổng phải tìm chính là: 25 1 2 30 1 30 + 25 + … + 25 + 25 + … + 69 31 31 31 31 31 = (25 + 26 + … + 69).30 + ( 1 2 30 + + … + ).45 = 64125 31 31 31 3.175. Viết = S 2 S − S ta tìm được S = 1 3.176. Ta có: A = 1023 1024 1 1 1 1 + + + … + (1) 2 3 4 50 Gọi T là tất cả các số lẽ nhỏ hơn 50 : = T 1.3.5.6… 49 Nhân hai vế của (1) với 24 T ta được: A.24 T = 24 T 24 T 24 T 24 T 24 T + + + …. + + (2) 2 3 4 49 50 24 T Dễ thấy tất cả các số hạng ở vế phải của (2) trừ số hạng đều là số tự nhiên. 5 Suy ra về phải có tổng không phải là số tự nhiên Do đó, A không phải số tự nhiên. 3.177. viết vế trái của đẳng thức dưới dạng: ( 48 47 2 1 50 + 1) + ( + 1) + … + ( + 1) + ( + 1) + 2 3 48 49 50 1 1 1 1 1 = 50.( + + + … + + ) 2 3 4 48 49 Suy ra A = 1 1 1 1 + + + … + 2 3 4 50 Theo bài 3.176 thì A không phải là số tự nhiên. 3.178. Chú ý: 9 1.9; = = 20 2.10; = 33 3.11; ….;= 2900 50.58 [110] Từ đó ta tìm được= P 204 1 = 7 29 29 3.179 a) Vế trái được viết dưới dạng: 31 1 1 1  3 1 1 1 1  + + ….. + < . + . + + + …… +   99.100  5  2! 3! 4! 100!  5  1.2 2.3 3.4 = 3 1  3 .1 −  < = 0,6. 5  100  5 b) Thay tử của các phân số ở vế trái lần lượt bằng 4 − 1;5 − 1;6 − 1;…..;100 − 1 để so sánh. 3.180. Ta có 2013 2014 2015 3012 . . ….. 2013.2014.2015….3012 2012! 3012! 1 2 3 1000 = A = . = = 1 1001 1002 1003 3012 1000! 1001.1002.1003….3012 3012! . . ….. 1 2 3 2012 1 1 1 1 3.181. A = + + + …… + 1.2 3.4 5.6 2013.2014 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ……. + − 2 3 4 5 6 2013 2014 1  1 1 1   1 1 A = 1 + + + …. +  − 2  + + …. +  2014   2 4 2014   2 3 A =1 − 1   1 1 1   1 1 A = 1 + + + …. +  − 1 + + + …. +  2014   2 3 1007   2 3 1 1 1 = + + … + A 1008 1009 2014 = B = B 1  3022 3022 3022  + + …. + .  3022  1008.2014 1009.2013 2014.1008  2  1 1 1  + + …. + . . 3022  1008 1009 2014  A 3022 Vậy = = 1511 là số nguyên. B 2 [111]